คู่มือคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.6 เล่ม1_compressed

คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 489

10. 1) 1.1 lim f ( x) = −1
x→−3−
2)
11. 1) 1.2 lim f ( x) = 1
x→−3+

1.3 lim f ( x) ไมมีคา เน่ืองจาก lim f ( x) ≠ lim f ( x)
x→−3 x→−3− x→−3+

1.4 lim f ( x) = −2
x→−1

1.5 lim f ( x) = −2
x→0

1.6 f (2) = 3

1.7 lim f ( x) = 1
x→2

1.8 f (4) = 3

1.9 lim f ( x) ไมม ีคา เนื่องจาก lim f ( x) = 4 ≠ 3 = lim f ( x)
x→4 x→4− x→4+

2.1 ไมม ีคา

เนือ่ งจาก lim x2 มคี า
x→4

และ ถา (lim x2 + f ( x)) มีคาแลว จะทาํ ให
x→4

lim f ( x=) (lim x2 + f ( x) − )x2= (lim x2 + f ( x)) − lim( x2 ) มีคา ดว ย
x→4 x→4 x→4 x→4

ซ่งึ ขดั แยง กบั ขอ 1.9

2.2 ควรนยิ ามคาของ f (−1) =− 2

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

490 คมู ือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1
2)

3) 3.1 เนอ่ื งจาก ( )limf1 x = lim x2 − 4
x→−2 x + 2
x→−2

= (x − 2)(x + 2)

lim
x→−2 x+2

= lim ( x − 2)
x→−2

= −4

และ f1 (−2) ไมม ีคา

ดังนั้น f1 เปน ฟง กช นั ไมต อเนื่องแบบขจัดไดท ี่ x = −2

เน่ืองจาก ( )limf2 x = lim (−x)

x→0− x→0−

=0

และ ( )lim f2 x = lim x
x→0+ x→0+

=0

ดังน้นั lim f2 ( x) = 0

x→0

เนื่องจาก f2 (0) = 1

ดงั นั้น f2 (0) ≠ lim f2 ( x)

x→0

ดังน้ัน f2 เปนฟงกช ันไมตอเน่ืองแบบขจดั ไดที่ x = 0

3.2 ตอ งนิยามคา ของ f1 (x) ท่ี x = −2 โดยนยิ ามให f1 ( −2 ) =lim f1 ( x) =− 4
x→−2

ตองนยิ ามคา ของ f2 ( x) ท่ี x = 0 ใหม โดยนิยามใ=ห f2 (0) lxi=→m0 f2 ( x) 0

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 491

12. 1) ตัวอยางกราฟของฟงกชันทส่ี อดคลอง
2) ตัวอยา งกราฟของฟง กชนั ทีส่ อดคลอง

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

492 คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

13. ใ=ห y f=( x) 1 จะได อัตราการเปล่ียนแปลงเฉลี่ยของ y เทยี บกบั x เม่ือ x เปลย่ี น
x2

จาก a เปน a + h คือ

f (a + h)− f (a) (a 1 − 1
a2
= + h)2

hh

−2ah − h2

= ha2 (a + h)2

= −2a − h

a2 (a + h)2

1) อัตราการเปลย่ี นแปลงเฉลย่ี ของ y เทยี บกบั x เม่อื x เปล่ยี นจาก 2 เปน 3 คอื

f (2 +1) − f (2) −2(2) −1
1 = 22 (2 +1)2

= −5
36

2) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x เมอ่ื x เปล่ยี นจาก 2 เปน 2.1 คอื

f (2 + 0.1) − f (2) −2(2) − 0.1
0.1 = 22 (2 + 0.1)2

= − 4.1
17.64

= − 205
882

3) อตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทยี บกบั x เมือ่ x เปล่ียนจาก 2 เปน 2.01 คือ

f (2 + 0.01) − f (2) −2(2) − 0.01
0.01 = 22 (2 + 0.01)2

= − 4.01
16.1604

≈ −0.25

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 493

4) อตั ราการเปล่ียนแปลงของ y เทยี บกบั x ขณะที่ x = 2 คือ
14. 1)
f (2 + h) − f (2) lim −2(2) − h
2)
lim = h→0 22 ( 2 + h )2
h→0 h
−2(2) − 0
=
22 (2 + 0)2

= −1
4

เนื่องจาก y= x3 + x − 2 x
จะได 32
=
ให y′ = x3 + x 1
จะได
= 32 − 2x2
=
u= d  x3 + x − 1 
dx  3 2 
2x2

3x2 + 1 − 2  1  x − 1
3 2  2  2

x2 + 1 − 1
2x

x2 + 3x − 4

y = u3

ดงั นน้ั y′ = dy ⋅ du
du dx

( )= d (u)3 ⋅ d x2 + 3x − 4
du dx

= 3u2 ⋅ (2x + 3)

( )= 3 x2 + 3x − 4 2 (2x + 3)

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

494 คมู ือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

3) ให u = 4x2 − 5x + 7
จะได
ดงั นน้ั y = u−5

4) วธิ ีท่ี 1 y′ = dy ⋅ du
du dx

( )= d (u)−5 ⋅ d 4x2 − 5x + 7
du dx

= −5u−6 ⋅ (8x − 5)

( )= −5 4x2 − 5x + 7 −6 (8x − 5)

เนือ่ งจาก y = x2 (2x +1)3

= 8x5 +12x4 + 6x3 + x2

( )จะได y′ = d 8x5 +12x4 + 6x3 + x2
dx
= 8 d ( x5 ) +12 d ( x4 ) + 6 d ( x3 ) + d ( x2 )
dx dx dx dx
= 8(5x4 ) +12(4x3 ) + 6(3x2 ) + (2x)

วิธีท่ี 2 = 40x4 + 48x3 + 18x2 + 2x

เนื่องจาก y = x2 (2x +1)3

( )จะได y′ = d x2 (2x +1)3
dx

( ) ( )= x2 d (2x +1)3 + (2x +1)3 d x2
dx dx

( )= x2 d (2x +1)3 + (2x +1)3 (2x)
dx

ให u = 2x +1

( )จะได d (2x +1)3 = d (u3 )⋅ d (2x +1)
dx du dx
= (3u2 )(2)

= 6(2x +1)2

y′ = x2 d (2x +1)3 + (2x +1)3 (2x)
( )ดังนัน้
dx

( )= x2 6(2x +1)2 + (2x +1)3 (2x)

= (2x)(2x +1)2 (3x + 2x +1)

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 495

= (2x)(2x +1)2 (5x +1)

= 40x4 + 48x3 + 18x2 + 2x

5) วิธีท่ี 1 เนื่องจาก y= (2x +1)2 (1− x)3
วิธีที่ 2
x4

= x−4 + x−3 − 5x−2 − x−1 + 8 − 4x

จะได ( )y′ = d x−4 + x−3 − 5x−2 − x−1 + 8 − 4x
dx
เนอ่ื งจาก
จะได = − 4x−5 − 3x−4 +10x−3 + x−2 + 0 − 4

= − 4 − 3x +10x2 + x3 − 4x5
x5

y = (2x +1)2 (1− x)3

x4

y′ = d  ( 2 x + 1)2 (1 − x )3 
dx  
x4

( ) ( )x4 d (2x +1)2 (1− x)3 − (2x +1)2 (1− x)3 d x4
= dx dx

(x4 )2

( ) ( )x4 d (2x +1)2 (1− x)3 − (2x +1)2 (1− x)3 4x3
= dx
x8

( ) ( ) ( )จาก d (2x +1)2 (1− x)3 = (2x +1)2 d (1− x)3 + (1− x)3 d (2x +1)2
dx dx dx

ให u = 1− x และ v = 2x +1

( )จะได ( )d (1− x)3 = d u3 ⋅ d (1− x)
dx du dx
= (3u2 )(−1)

= −3(1− x)2

( )และ d (2x +1)2 = d (v2 )⋅ d (2x +1)
dx dv dx
= (2v)(2)

= 4(2x +1)

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

496 คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

( ) ( )จะได d (2x +1)2 (1− x)3 = (2x +1)2 −3(1− x)2 + (1− x)3 (4(2x +1))
dx
= (1−10x)(1− x)2 (2x +1)

( )x4 d (2x +1)2 (1− x)3 − (2x +1)2 (1− x)3 4x3
( )ดังนน้ั
y′ = dx x8

( )x4 (1−10x)(1− x)2 (2x +1) − (2x +1)2 (1− x)3 4x3

= x8

=− ( )(2x +1)( x −1)2 2x2 + 3x + 4

x5

= − 4 − 3x +10x2 + x3 − 4x5
x5

6) ให u = 6x +1
2 − 3x

จะได y = u5

ดังน้นั y′ = dy ⋅ du
du dx

= d ( u )5 ⋅ d  6 x +1 
du dx  2 − 3x 

= 5u 4 ⋅ d  6 x +1 
dx  2 − 3x 

 6 x +1 4 ( 2 − 3x ) d ( 6 x +1) − (6x + 1) d ( 2 − 3x )
 2 − 3x  dx (2 − 3x )2 dx
= 5 ⋅

= 5  6 x +1 4 ⋅ ( 2 − 3x ) ( 6) −(6x + 1) ( −3 )
 2 − 3x  ( 2 − 3x )2

= 5  6 x +1 4 ⋅ ( 15 )2
 2 − 3x  − 3x
2

75(6x +1)4
= (2 − 3x )6

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 497

1

7) เนอื่ งจาก y = x = x2

( x +1)3 ( x +1)3

 1
d  x2 
จะได y′ =  
dx  ( + 1)3 
x

( ) ( )=(x + 1)3 d  1  − 1 d ( x +1)3
dx   dx
x2 x2

( x +1)3 2

( )=  1 − 1  1 d
( x + 1)3  2 2  − x 2 dx ( x +1)3
x

( x +1)6

ให u = x +1

( )จะได ( )d ( x +1)3 = d u3 ⋅ d ( x +1)
dx du dx
= (3u2 )(1)

= 3( x +1)2

( )จะได + 1)3  1 −1  1
( x  2  − x 2 3( x +1)2
x2

y′ = ( x +1)6

( x + 1)2  ( x + 1)  1 −1  − 3x 1 
  2  2 
x2

= ( x +1)6

(x + 1)2  1 1 + 1 −1 1 
 2 2 
x2 x2 − 3x2

= ( x +1)6

 1 −1 − 5 1 
 2 2 
x2 x2

= ( x +1)4

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

498 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

= 1 − 5x

2 x ( x +1)4 2( x +1)4

1− 5x

= 2 x ( x +1)4

8) วธิ ีที่ 1 เนื่องจาก y= x −1

x + 2x −1

(2x −1) − x

=
x + 2x −1

( 2x −1+ x)( 2x −1− x)

=
x + 2x −1

= 2x −1 − x

11

= (2x −1)2 − x2

จะได y′ = d  (2x 1 − 1 
dx  
− 1) 2 x2

= d  ( 2 x − 1) 1  − d  x 1 
dx  2  dx  2 

= d  (2x 1  − 1 −1
dx   2
− 1) 2 x2

ให u = 2x −1

จะได d  (2x 1  = d  u 1  ⋅ d ( 2 x − 1)
dx   du  2  dx
− 1) 2

=  1 u − 1  ( 2 )
 2 2 

=1
2x −1

จะได y′ = 1 − 1 −1

2x −1 2 x2

= 1 −1
2x −1 2 x

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 499

วธิ ีท่ี 2 เน่ืองจาก y= x −1
จะได
x + 2x −1

y′ = d  x −1 
dx  x + 2x −1 

( ) ( )x + 2x −1 d ( x −1) − ( x −1) d x + 2x −1
dx dx

2
( )=
x + 2x −1

 d x +d 
 dx dx 
( ) ( ) ( )=x+ 2x −1 (1) − ( x −1) 2x −1

( )x + 2x −1 2

ให u = 2x −1

( )จะได d d  ( − 1) 1 
dx dx  2 
2x −1 = 2 x

= d  u 1  ⋅ d ( 2 x − 1)
du  2  dx

=  1 u − 1  ( 2)
 2 2 

=1
2x −1

( )และ d x = d  x 1 
dx dx  2 

= 1 −1

2 x2

=1
2x

 d x +d 
 dx dx 
( ) ( ) ( )จะได x+ 2x −1 − ( x −1) 2x −1

y′ = ( )x + 2x −1 2

2x −1 − ( x −1) 2 1 x + 1
( )= x+ 2x −1 

( )x + 2x −1 2

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

500 คูมือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

9) เนื่องจาก y= 1 = ( )x4 −1
ให 4 x4 − 6x3 + 3 − 6x3 +3 4

u = x4 − 6x3 + 3

จะได −1

y = u4

ดังนน้ั ( )y′ = d  −1  d
10) เนื่องจาก du  u 4  ⋅ dx x4 − 6x3 + 3

( )= 1 −5
− ⋅ 4x3 −18x2
4 u4

( ) ( )= −1 −5
x4 − 6x3 +3 4 ⋅ 4x3 −18x2

4

( )y = 1  x5 1 −5
 x3 − x 3

5= + 2

( )x5 + x3 − x 3  

1

u = x5 + x3 − x 2
( )ให

จะได −5

y = u3

ดังน้ัน ( )y′ = d  −5  d  x5 1
ให du  u 3  ⋅ dx  + x3 − x 2 

( ) ( )=  5 −8   d d  1 
 − 3 u 3   dx x5 + dx  x3 − x 2  

( ) ( )= 5  1 −83  d  1 
− 3  x5 + x3 − x 2   5x4 + dx  x3 − x 2  

v = x3 − x

( ) ( )จะไดd  1 d  1  d
dx  x3 − x 2  = dv  v 2  ⋅ dx x3 − x

( )=  1 −1 
 2  3x2 −1
v2

( ) ( )= 1 −1
x3 − x 2 3x2 −1

2

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 501

ดงั นน้ั ( ) ( )y′5 1 −83  d  1 
= − 3  x5 + x3 − x 2   5x4 + dx  x3 − x 2  

5  1 − 8  1 −1 
3  2 3  2 2 
( ) ( ) ( )=
− x5 + x3 − x  5x4 + x3 − x 3x2 −1

15. 1) ให f ( x) = x3 − 3x2 + 4 จะได f ′(=x) 3x2 − 6x

เมอื่ x = −1 จะได f (−1) =(−1)3 − 3(−1)2 + 4 =0 และ f ′(−1) = 3(−1)2 − 6(−1) = 9
ดงั น้นั ความชนั ของเสนโคง ที่จดุ (−1, 0) คือ 9
สมการของเสน ตรงทผ่ี านจดุ ( x1, y1) และมคี วามชัน m คอื y − y1= m( x − x1)
เนอ่ื งจากเสน สัมผัสเสน โคงทจี่ ุด (−1, 0) ทีม่ ี x = −1 เปน เสน ตรงทผ่ี า นจุด (−1, 0)
และมีความชัน 9
ดงั นั้น สมการของเสนสัมผสั เสนโคง ที่จุด (−1, 0) ทมี่ ี x = −1 คอื y −=0 9(x − (−1))
นั่นคอื =y 9x + 9

2) ให f ( x) = x2 − 2

3x − 5

จะได f ′(x) = (3x − 5)(2x) − (x2 − 2)(3)

(3x − 5)2

( )=ดงั นัน้ f ′(4)
(3(4) − 5)(2(4)) − (4)2 − 2 (3) 2

=
(3(4) − 5)2 7

น่นั คอื ความชนั ของเสนโคง ท่ีจุด (4, 2) คอื 2

7

สมการของเสน ตรงทีผ่ านจดุ ( x1, y1) และมคี วามชัน m คือ y − y1= m( x − x1)

เนอ่ื งจากเสนสมั ผัสเสนโคงท่จี ุด (4, 2) เปน เสน ตรงทผ่ี า นจดุ (4, 2) และมคี วามชนั 2

7

ดังน้นั สมการของเสนสมั ผัสเสน โคง ทจ่ี ดุ (4, 2) คอื y − 2= 2 (x − 4)

7

นัน่ คือ=y 2 x + 6

77

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

502 คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

16. ฟงกชัน f จะมีเสนสัมผัสเสนโคง ทจี่ ดุ (0, 2) กต็ อ เมอื่ lim f (0 + h) − f (0) หาคาได

h→0 h

เนื่องจาก f (0 + h) − f (0) (0 + h) − 2 − 2
lim = lim
h→0− h h→0− h

= lim h−2 −2

h→0− h

= −(h − 2) − 2

lim
h→0− h

= lim −h + 2 − 2
h→0− h

= lim (−1)
h→0−

= −1

( )และ
f (0 + h) − f (0) 2 − 2(0 + h) − (0 + h)2 − 2

lim = lim
h→0+ h h→0+ h

= −2h − h2
lim
h→0+ h

= lim (−2 − h)
h→0+

= −2

จะไดว า lim f (0 + h) − f (0) f (0 + h) − f (0)

h→0− ≠ lim
h h→0+ h

นัน่ คอื lim f (0 + h) − f (0) หาคา ไมได

h→0 h

ดังนน้ั ฟง กช ัน f ไมมีเสน สมั ผัสเสน โคง ท่ีจุด (0,2)

17. ให f ( x) = 2x2 +11x +15 จะได f ′( x=) 4x +11

และ f ′(−3) =4(−3) +11 =−1

น่นั คือ ความชนั ของเสน สมั ผัสเสนโคงทจ่ี ดุ (−3,0) คอื −1

เนอื่ งจากเสนตรง =y mx + c ตั้งฉากกบั เสน สมั ผสั เสนโคงที่จดุ (−3,0)

จะได m ⋅(−1) = −1 นน่ั คือ m = 1

เน่อื งจาก (−3,0) เปน จดุ อยบู นเสน ตรง =y mx + c ดังนน้ั 0= (1)(−3) + c

จะได c = 3 ดังน้ัน c − m = 3 −1 = 2

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 503

18. เนอ่ื งจาก f (x) = x2 + 3
จะได f ′(x) =
x +1
=
= d  x2 + 3 
 
dx  x +1 

( x +1) d ( x2 + 3) − ( x2 + 3) d ( x +1)
dx dx
( x +1)2

( x +1)(2x + 0) − ( x2 + 3)(1+ 0)

( x +1)2

x2 + 2x −3

= ( x +1)2

ดงั นนั้ f ′(0) = 02 + 2(0) − 3
และ (0 +1)2

= −3

f ′(1) = 12 + 2(1) − 3
(1 + 1)2

=0

19. จาก x2 + y2 =4

จะได y 1

( )= ± 4 − x2 2

เนอ่ื งจากจุดทีต่ องการหาความชันคอื (1, − 3)

ดงั น้ันตอ งใชส มการ y = 1

( )− 4 − x2 2

ตอไปจะหาเสน สมั ผสั เสนโคง (1 ที่จดุ 1, − 3)

( )y =− 4 − x2 2

ให u = 4 − x2

จะได 1

y = −u 2

ดงั น้ัน ( )dy = d  1  d
du  2  dx
dx  
−u ⋅ 4 − x2

=  − 1 u − 1  ( −2 x )
 2 2 
 

x
=

4 − x2

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

504 คูมอื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

จะได dy = 1
dx x=1 4 −12

=1
3

ดังนน้ั ความชันของเสน โคงที่จดุ (1, − 3) คอื 1
3

สมการของเสนตรงที่ผา นจดุ ( x1, y1) และมคี วามชัน m คอื y − y1= m( x − x1)

เน่ืองจากเสนสมั ผัสเสน โคง ทจ่ี ุด (1, − 3) เปนเสนตรงทผ่ี า นจดุ (1, − 3) และมีความชนั 1
3

ดังนัน้ สมการของเสนสัมผัสเสน โคง ที่จดุ (1, − 3) คือ y − (− =3) 1 (x −1)
3

น่ันคอื=y 1 x − 4

33

ดงั นั้น สมการของเสนสมั ผสั วงกลม x2 + y2 =4 ที่จดุ (1, − 3) ค=อื y 1 x − 4
33

20. จาก y = x3 + ax2 + b

จะได dy = 3x2 + 2ax
ดงั น้ัน dx

dy = 3(−1)2 + 2a (−1)

dx x=−1

= 3 − 2a

น่ันคอื ความชันของเสน โคงทจ่ี ดุ (−1, 3) คือ 3 − 2a

เน่อื งจากเสนสมั ผัสเสนโคง ที่จุด (−1, 3) ตั้งฉากกับเสนตรง 3y = x ซ่งึ มีความชนั 1 และ

3

เสนตรงสองเสน ที่ตั้งฉากกันจะมผี ลคณู ของความชันของเสนตรงสองเสนนั้นเปน −1

ดงั นั้น เสนสมั ผัสเสน โคง ท่จี ดุ (−1, 3) จะตองมีความชันเปน −3

นน่ั คอื dy = −3
dx x=−1

3 − 2a = −3

จะได a = 3
เนื่องจาก จุด (−1, 3) อยูบนเสน โคง y = x3 + 3x2 + b

จะได 3 = (−1)3 + 3(−1)2 + b

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 505

ดังนน้ั b = 1

น่นั คอื สมการของเสนโคง คือ y = x3 + 3x2 +1

เม่ือ x = 1 จะได y = 13 + 3⋅12 +1 = 5

ดงั น้นั พิกัดของจดุ ตดั ของเสนโคงนก้ี ับเสน ตรง x =1 คอื (1, 5)

21. วธิ ีที่ 1 ให a = 3x + 5

จะได x = 1 (a − 5)

3

จาก f (3x + 5) = x2 − x +1

จะได f (a) =  1 (a − 5) 2 − 1 (a − 5) +1
ดงั นน้ั  3  3

= 1 a2 − 13 a + 49
9 99

f ′(a) = d  1 a2 − 13 a + 49 
da  9 9 9 

= 2 a − 13
99

f ′′(a) = d  2 a − 13 
da  9 9 
=
2

9

และ f ′′′(a) = d 2
da  9 

=0

จะได f ′(2) = 2 (2) − 13 = −1

99

f ′′(2) = 2

9

และ f ′′′(2) = 0

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

506 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

วธิ ที ี่ 2 จาก f (3x + 5) = x2 − x +1

จะได d ( f (3x + 5)) = d ( x2 − x +1)
dx dx
f ′(3x + 5)⋅ d (3x + 5) = 2x −1
dx
f ′(3x + 5)⋅3 = 2x −1

f ′(3x + 5) = 2 x − 1

33

ดงั น้ัน d ( f ′(3x + 5)) = d  2 x − 1 
dx  3 3 
dx

f ′′(3x + 5) ⋅ d (3x + 5) = 2

dx 3

f ′′(3x + 5) ⋅ 3 = 2

3

f ′′(3x + 5) = 2

9

และ d ( f ′′(3x + 5)) = d 2
dx  9 
dx

f ′′′(3x + 5) ⋅ d (3x + 5) = 0

dx

f ′′′(3x + 5) ⋅ 3 = 0

f ′′′(3x + 5) = 0

เนอ่ื งจาก 3x + 5 =2 เมื่อ x = −1

ดังนน้ั f ′(2) =f ′(3(−1) + 5) =2 (−1) − 1 =−1

33

f ′′(=2) f ′′(3(−1) +=5) 2

9

และ f ′′′(=2) f ′′′(3(−1) +=5) 0

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 507

22. สมมติวา พหุนามดีกรีสามทตี่ อ งการคือ P( x) = ax3 + bx2 + cx + d
จะได P′( x) = 3ax2 + 2bx + c
และ P′′(=x) 6ax + 2b

เน่ืองจาก P′(0) = 5 จะไดว า 5 = 3a(0)2 + 2b(0) + c นน่ั คอื c = 5

เนือ่ งจาก P′′(1) = 2 จะไดว า =2 6a + 2b ----- (1)

เน่ืองจาก P′′(2) = 9 จะไดวา =9 12a + 2b ----- (2)

จาก (1) และ (2) จะได a = 7 และ b = − 5

62

ดังนน้ั P( x)= 7 x3 − 5 x2 + 5x + d

62

เนอ่ื งจาก P(−1) =2 จะไดว า 2 = 7 (−1)3 − 5 (−1)2 + 5(−1) + d

62

นน่ั คอื d = 32

3

ดงั น้นั พหุนามดีกรสี ามท่ีตองการ คือ P( x)= 7 x3 − 5 x2 + 5x + 32
62 3

23. เนื่องจาก F (x) = g( f (x))

โดยกฎลกู โซ จะได F′( x) = g′( f ( x)) ⋅ f ′( x)

ดังนน้ั F′( g (3)) = g′( f ( g (3))) ⋅ f ′( g (3))

เนือ่ งจาก g (3) = 3, g′(3) = 5, f (3) = 3, f ′(3) = −2

จะได F′( g (3)) = g′( f (3)) ⋅ f ′(3)

= g′(3) ⋅ (−2)

= 5(−2)

24. เนือ่ งจาก = −10
โดยกฎลกู โซ จะได
F (x) = f (g(x))

F′(x) = f ′(g(x))⋅ g′(x)

เนื่องจาก f (x) = (g (x))2 − 4x

โดยกฎลูกโซ จะได f ′( x) = 2( g ( x)) ⋅ g′( x) − 4

ทําใหไ ดว า f =′(1) 2( g (1)) ⋅ g′(1) =− 4 2(1)(5) =− 4 6

ดังนน้ั F′(1) = f ′( g (1)) ⋅ g′(1) = f ′(1) ⋅5 = 6× 5 = 30

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

508 คูมอื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

25. ให u = x⋅ g(x)+ g2 (x)

จะได 3

f (x) = u2

ดงั นั้น ( )f ′( x) =d  3  d
เนื่องจาก du  u 2  ⋅ dx x⋅g(x)+ g2 (x)
 

( )=  3 1   d ( )) d 
 2 u 2   dx x ⋅ g ( x + dx g2 (x) 
 

= 3 x ⋅ g ( x ) + g 2 ( x)  d ( x ⋅ g ( x)) + d ( g 2 ( x )) 
2  dx dx 

d (x⋅ g(x)) = x d (g(x))+ g(x) d (x)

dx dx dx

= x⋅ g′(x) + g (x)

และ d ( g2 ( x)) = (2g ( x))⋅ d ( g ( x))
dx dx
= 2g(x)⋅ g′(x)

ดังนน้ั f ′(x) = 3 x⋅ g(x) + g2 (x)(x⋅ g′(x) + g(x) + 2g(x)⋅ g′(x))
จะได
2
26. จาก
f ′(6) = 3 6⋅ g(6) + g2 (6) (6⋅ g′(6) + g(6) + 2g(6)⋅ g′(6))

2

= 3 6 ⋅ 2 + 22  6 ⋅ 1 + 2 + 2 ⋅ 2 ⋅ 1 
2  2 2 

= 42

D(x) = 2x3 +1
x6

จะได D(1) = 2(1)3 +1 3

=
16

และ D(10) = 2(10)3 +1 2, 001
=
106
1, 000

2x=3 + 1 1
x6
2x−3 + x−6 2
( )ตอ ไปหา D′(x) จาก D=( x)

ให u = 2x−3 + x−6

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 509

จะได ( )D′( x) d  1  d
ดังน้นั = du  u 2  ⋅ dx 2x−3 + x−6

( )= 1 − 1 
 2 2  −6x−4 − 6x−7
u

= − 3x−4 + 3x−7
2x−3 + x−6

D′(1) = 3(1)−4 + 3(1)−7 = −2 3

−
2(1)−3 + 1−6

และ D′(10) = 3(10)−4 + 3(10)−7 = − 3, 003

−
2(10)−3 + (10)−6 10,000 2,001

27. 1) เนื่องจาก คา กอสรางเรมิ่ ตนคิดเปน 10 ลา นบาท

และคากอสรา งตอ ชัน้ คิดเปน 7.9 + 0.04(x −1) ลา นบาทตอชัน้

ดังน้ัน คา กอสรางทั้งหมดเม่ือตอ งการสรางคอนโดมเิ นยี มจํานวน x ชนั้ คอื

C ( x) = 10 + (7.9 + 0.04( x −1)) x

= 0.04x2 + 7.86x +10 ลา นบาท
2) เนือ่ งจาก

( ) ( )C (11) − C (10) = 0.04(11)2 + 7.86(11) +10 − 0.04(10)2 + 7.86(10) +10

( )= 0.04 112 −102 + 7.86(11−10)

= 8.7

ดังนน้ั ตนทุนทเ่ี พิม่ ขึน้ เม่อื เพ่ิมจาํ นวนชน้ั ของคอนโดมเิ นียม จาก 10 ชัน้ เปน 11 ชัน้

คือ 8.7 ลา นบาท
3) เนอ่ื งจาก C ( x) = 0.04x2 + 7.86x +10

d 0.04x2 + 7.86x +10
dx
( )จะได
C′(x) =

= 0.08x + 7.86

ดังนน้ั C′(10) = 0.08(10) + 7.86

= 8.66

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

510 คมู ือครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

4) จะเหน็ วาการคํานวณ (0.04 112 )−102 + 7.86(11−10) มคี วามยุงยากมากกวา

การคํานวณ 0.08(10) + 7.86 แตคา ที่ไดจากการคํานวณทง้ั สองแบบมคี าตา งกนั
เพียง 0.04 ซ่งึ คิดเปน 40,000 บาท จงึ พออนุโลมไดว า ไมแ ตกตา งกันมาก

28. 1) R (200 +1) − R (200) = 400 1000(201) − 2012 − 400 1000(200) − 2002
R(400 +1) − R(400)
R(600 +1) − R(600) ≈ 299.22
R(800 +1) − R(800)
= 400 1000(401) − 4012 − 400 1000(400) − 4002
2) ใ=ห u 1000x − x2
≈ 81.22

= 400 1000(601) − 6012 − 400 1000(600) − 6002

≈ −82.08

= 400 1000(801) − 8012 − 400 1000(800) − 8002

≈ −300.78

ดงั นนั้ =R( x) 400 1000=x − x2 1

400u 2

โดยกฎลูกโซ จะได R′(x) = dR ⋅ du
du dx

( )=d  1  d
du  400u 2  ⋅ dx 1000x − x2
 

=  − 1  (1000 − 2x )
 2 
200u



200(1000 − 2x)

=
1000x − x2

ดงั นน้ั R′(200) = 200(1000 − 2(200)) = 300

1000(200) − 2002

R′(400) = 200(1000 − 2(400)) ≈ 81.65

1000(400) − 4002

R′(600) = 200(1000 − 2(600)) ≈ −81.65

1000(600) − 6002

และ R′(800) = 200(1000 − 2(800)) = −300

1000(800) − 8002

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 511

3) คาทไี่ ดมคี วามใกลเ คียงกนั
แตความซับซอนในการคาํ นวณ R(x +1) − R(x) มีมากกวาการคํานวณ R′(x)
เพราะมกี ารดําเนินการปรากฏในการคํานวณ R(x +1) − R(x) มากกวาท่ีปรากฏใน
การคํานวณ R′(x)

29. 1) จาก F (t ) = 60 − 140
ให
12 + t2

−140 ⋅ d −1
F′(t) ( )= 2
12 + t2
dt

u = 12 + t2

d −1 d −1 d
2
u 2⋅
( ) ( )จะได
12 + t2 = 12 + t2
dt du dt

= − 1 −3 ( 2t )

2 u2

=− t

3
( )12 + t2 2

น่นั คือ F′(t) = 140t

3
( )12 + t2 2

ดังน้ัน F′(5) = 140 ( 5) = 700 ≈ 3.1103
3
3 37 2
( )12 + 52 2

F′(10) = 140 (10 ) = 1, 400 ≈ 1.1811
3
3 112 2
( )12 +102 2

F′(20) = 140 ( 20 ) = 2,800 ≈ 0.3348
3
3 412 2
( )12 + 202 2

F′(40) = 140 ( 40 ) = 5, 600 ≈ 0.0865

3 3
( )12 + 402 2
1, 612 2

2) คาํ ตอบที่คาํ นวณไดใ นขอ 1) มคี า ลดลงเขาใกล 0 เม่ือ t มีคาเพิ่มข้นึ

จงึ สามารถแปลความหมายไดวา เม่ือเวลาผานไปนานขน้ึ ความสามารถในการสแกน

สนิ คาของพนักงานแทบจะคงท่ี

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

512 คมู ือครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

30. 1) จาก f ( x) = 5 − 3x2 + 6x4 − x5
จะได
ดงั นน้ั f ′( x) = −6x + 24x3 − 5x4
และ
f ′′( x) = −6 + 72x2 − 20x3
2) เน่ืองจาก
จะได f ′′′( x) = 144x − 60x2

ดงั น้ัน f ( x) = 3 x − x2 + x−2 = 1 − x2 + x−2
และ
3) เนอ่ื งจาก 66 x3 66
จะได
ดังน้ัน f ′(x) = −2 − 2⋅x + (−2) ⋅ x−3 = 1 −x− 1
และ 2 3 3x3
4) จาก x3
จะได
36 6 3x 3
ให
f ′′( x) =  − 2  −5 − 1 − (−3) ⋅ x−4 = − 2 −1+ 1
 3  3 5 3 x4
x3 3 9x3
3

f ′′′( x) =  − 2  − 5  −8 − 4 x −5 = 10 − 4
 9   3  8 x5
x3

27 x 3

( )f ( x)  1 
=  x − 3x  2x3 − 3x2

= −6x4 + 9x3 + 2x2 − 3x

f ′( x) = −4(6x3 ) + 3(9x2 ) + 2(2x) −1(3)

= −24x3 + 27x2 + 4x − 3

f ′′( x) = −3(24x2 ) + 2(27x) +1(4)

= −72x2 + 54x + 4

f ′′′( x) = −2(72x) +1(54)

= −144x + 54

f (x) = x − 2

x−4

(x − 4) d (x − 2) −(x − 2) d (x − 4)
f ′(x) = dx dx

( x − 4)2

(x − 4) −(x − 2)
= ( x − 4)2

= −2

( x − 4)2

u = x−4

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 513

จะได f ′(x) = −2
ดงั นั้น u2

= −2u−2

f ′′( x) = (−2)(−2)u−3 d u

dx

= 4u−3 d ( x − 4)

dx

= 4u−3

= 4( x − 4)−3

4

= ( x − 4)3
จาก f ′′( x) = 4u−3

จะได f ′′′( x) = 4(−3)u−4 d ( x − 4)

dx

= −12u−4

= − ( 12 )4
−4
x

31. จาก f (x) = 4 = 4(1 − 2x)−1
จะได = 4(1)(2)(1− 2x)−2
1− 2x

f ′( x) = 4(−1)(1− 2x)−2 (−2)

f ′′( x) = 4(1)(2)(−2)(1− 2x)−3 (−2) = 4(22 )(1⋅ 2)(1 − 2x)−3

f ′′′( x) = 4(22 )(1⋅ 2)(−3)(1− 2x)−4 (−2) = 4(23 )(1⋅ 2 ⋅ 3)(1− 2x)−4

โดยการทําซาํ้ เชน นเ้ี รือ่ ยไป จะไดว า

( )f (n) ( x) = 4 2n (n!)(1− 2x)−n−1 2n+2 ⋅ n!

= (1 − 2x)n+1

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

514 คูมอื ครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

32. 1) จาก F ( x) = x f ( x)
2) จะได F′( x) = d ( x f ( x))

dx

= x d ( f (x)) + f (x) d (x)

dx dx

= x f ′(x) + f (x)

F′′( x) = d ( xf ′( x) + f ( x))

dx

= d ( xf ′( x)) + d ( f ( x))

dx dx

= x d ( f ′(x)) + f ′(x) d (x) + f ′(x)

dx dx

= xf ′′( x) + f ′( x) + f ′( x)
= xf ′′( x) + 2 f ′( x)

F′′′( x) = d ( xf ′′( x) + 2 f ′( x))

dx

= d ( xf ′′( x)) + 2 d ( f ′( x))

dx dx

= x d ( f ′′( x)) + f ′′( x) d ( x) + 2 f ′′( x)

dx dx

= xf ′′′( x) + f ′′( x) + 2 f ′′( x)
= xf ′′′( x) + 3 f ′′( x)

และ F (4) ( x) = d ( xf ′′′( x) + 3 f ′′( x))

dx

= d ( xf ′′′( x)) + 3 d ( f ′′( x))

dx dx

= x d ( f ′′′( x)) + f ′′′( x) d ( x) + 3 f ′′′( x)

dx dx

= xf (4) ( x) + f ′′′( x) + 3 f ′′′( x)
= xf (4) ( x) + 4 f ′′′( x)

F(n) ( x) = x f (n) (x) + n f (n−1) (x) เมือ่ n เปน จาํ นวนเต็มบวกที่มากกวา หรือเทา กบั 2

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 515

33. เริ่มตน ดวยการหาอนพุ ันธข องฟงกช นั f ดังน้ี

f ′(x) = d  x2 + x −1
 
dx  x −1 

( x −1) d ( x2 + x −1) − ( x2 + x −1) d ( x −1)
= dx dx

( x −1)2

( x −1)(2x +1− 0) − ( x2 + x −1)(1− 0)

=

( x −1)2

x2 − 2x

= ( x −1)2

x(x − 2)
= ( x −1)2

ดังน้นั f ′( x) = 0 เมื่อ x = 0 หรอื x = 2
ตรวจสอบคา ของ f ′(x) โดยเขียนเสนจํานวนและจดุ แบงชวง ดงั น้ี

จะไดว า f ′( x) > 0 บนชวง (−∞,0) และชว ง (2,∞)
และ f ′( x) < 0 บนชวง (0,1) และชว ง (1,2)
ดังนนั้ f เปน ฟงกชนั เพ่ิมบนชว ง (−∞,0) และชวง (2,∞)
และ f เปน ฟง กชันลดบนชว ง (0,1) และชว ง (1,2)

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

516 คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

34. จาก f ( x) = g (x2 − 3)

จะได f ′( x) = (g′ x2 − 3) ⋅ d ( x2 − 3) = g′( x2 − 3)⋅(2x)
dx

ดังนั้น f ′( x) = 0 เมื่อ x = 0 หรือ g′( x2 − 3) =0

เนื่องจาก 1 เปนคา วิกฤตเพียงคาเดียวของ g

ดังนนั้ g′( x2 − 3) =0 เม่ือ x2 − 3 =1 น่ันคอื x = −2 หรอื x = 2

จะได f ′( x) = 0 เม่อื x = 0, x = −2 หรือ x = 2

สรปุ ไดวา คา วกิ ฤตทงั้ หมดของ f คอื 0, − 2 และ 2

35. เนอื่ งจาก f ( x) = x3 + ax2 − bx + 2

และ f (1) = −1

จะได ( )13 + a 12 − b(1) + 2 = −1

น่ันคอื b = a + 4

เน่ืองจาก ( )f ′( x) = d x3 + ax2 − bx + 2
dx
= 3x2 + 2ax − b
= 3x2 + 2ax − (a + 4)

ดงั น้นั f ′(1) = 3(1)2 + 2a(1) − (a + 4)

= a −1

เน่ืองจาก f มีคา ตาํ่ สุดสัมพทั ธท่ี x =1

ดงั นนั้ f ′(1) = 0

น่ันคือ a −1 = 0

จะได a = 1

และ b = 1+ 4

=5

ดังน้นั a + b = 1+ 5

=6

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 517

36. 1) จาก f ( x) = x4 −18x2
จะได f ′( x) = 4x3 − 36x = 4x( x − 3)( x + 3)
ดงั น้นั f ′( x) = 0 เม่อื x =−3, x =0 หรอื x = 3
จะไดวา คาวิกฤตของ f มี 3 คา คือ −3, 0 และ 3
ตอ ไปหาอนุพันธอ ันดบั ที่ 2 ของ f
จะได f ′′( x) = 12x2 − 36
เนอื่ งจาก f ′′(−3) = 72 ซ่ึง 72 > 0

f ′′(0) = −36 ซึง่ −36 < 0
และ f ′′(3) = 72 ซง่ึ 72 > 0
ดงั นัน้ f มคี า สงู สดุ สัมพัทธที่ x = 0 โดยคา สูงสุดสัมพทั ธ คือ f (0) = 0
และ f มีคา ต่าํ สดุ สัมพัทธที่ x = −3 และ x = 3 โดยคาตา่ํ สดุ สมั พัทธ คือ

f (−3) =f (3) =−81

2) จาก f ( x) = 27 − 2x4

จะได f ′( x) = −8x3

ดังนั้น f ′( x) = 0 เมื่อ x = 0

จะไดวา คา วิกฤตของ f มี 1 คา คอื 0

พิจารณาคาของ f ′(x) เมื่อ x เปน คาวกิ ฤตและจํานวนจรงิ ในชว งตาง ๆ

โดยใชเสนจาํ นวน ดังนี้

จะเห็นวา f ′(x) ที่ x = 0 เปนจดุ แบง ทท่ี ําให f ′(x) เปลย่ี นจากจาํ นวนจรงิ บวกเปน
จาํ นวนจริงลบ
ดงั นน้ั f มคี า สูงสุดสัมพัทธท่ี x = 0 โดยคาสูงสดุ สัมพัทธ คือ f (0) = 27

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

518 คูมอื ครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

37. 1) จาก f ( x) = 5 − 2x − x2
2) จะได f ′( x) = −2 − 2x = −2(1+ x)
3) ดงั นัน้ f ′( x) = 0 เมือ่ x = −1
จะไดว า คาวกิ ฤตของ f ในชว งเปด (−2, 3) มี 1 คา คือ −1
ตอ ไปหา f (−2), f (−1) และ f (3)

จะได f (−2) = 5 − 2(−2) − (−2)2 = 5

f (−1) = 5 − 2(−1) − (−1)2 = 6

f (3) = 5 − 2(3) − (3)2 = −10

ดังนนั้ f มคี า สูงสดุ สมั บูรณท ่ี x = −1 โดยคา สงู สุดสัมบรู ณ คือ f (−1) =6

และ f มคี าตํา่ สุดสมั บูรณท ่ี x = 3 โดยคา ตา่ํ สดุ สมั บูรณ คอื f (3) = −10

จาก f ( x) = x3 − 6x2 −15x + 7

จะได f ′( x) = 3x2 −12x −15 = 3( x +1)( x − 5)

ดงั นัน้ f ′( x) = 0 เมือ่ x = −1 หรือ x = 5 เนอ่ื งจาก 1∉(0, 6)

จะไดวา คาวกิ ฤตของ f ในชวงเปด (0, 6) มี 1 คา คือ 5

ตอ ไปหา f (0), f (5) และ f (6)

จะได f (0) = 03 − 6(0)2 −15(0) + 7 = 7

f (5) = 53 − 6(5)2 −15(5) + 7 = −93

f (6) = 63 − 6(6)2 −15(6) + 7 = −83

ดงั นั้น f มคี าสงู สุดสมั บรู ณท่ี x = 0 โดยคา สูงสดุ สัมบรู ณ คือ f (0) = 7
และ f มคี าตา่ํ สุดสมั บรู ณที่ x = 5 โดยคาตํ่าสดุ สมั บูรณ คอื f (5) = −93
จาก f ( x) = 3x4 + 6x3 − 24x2 +18x − 7
จะได f ′( x) = 12x3 +18x2 − 48x +18 = 6( x −1)(2x −1)( x + 3)

ดงั น้ัน f ′( x) = 0 เมื่อ=x 1,=x 1 หรอื x = −3 เน่ืองจาก −3∉(−3,2)

2

จะไดวา คา วิกฤตของ f ในชวงเปด (−3,2) มี 2 คา คือ 1 และ 1

2

ตอ ไปหา f (−3), f  1  , f (1) และ f (2)
 2 

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 519

จะได f (−3) = 3(−3)4 + 6(−3)3 − 24(−3)2 +18(−3) − 7 = −196

f  1  = 3 1 4 + 6  1 3 − 24  1 2 + 18 1  − 7 = −3.0625
 2  2   2  2  2  = −4

f (1) = 3(1)4 + 6(1)3 − 24(1)2 +18(1) − 7

f (2) = 3(2)4 + 6(2)3 − 24(2)2 +18(2) − 7 = 29

ดังนัน้ f มคี า สูงสดุ สมั บรู ณท ี่ x = 2 โดยคา สูงสดุ สัมบรู ณ คือ f (2) = 29

และ f มคี า ตาํ่ สุดสมั บูรณท่ี x = −3 โดยคาต่ําสดุ สมั บรู ณ คอื f (−3) =−196

4) จาก f ( x) = 6x5 +15x4 −130x3 − 210x2 + 720x + 976
38. 1)
จะได f ′( x) = 30x4 + 60x3 − 390x2 − 420x + 720

= 30( x + 4)( x + 2)( x −1)( x − 3)

ดังน้นั f ′( x) = 0 เม่อื x =−4, x =−2, x =1 หรือ x = 3
เนอ่ื งจาก −2, 4∉(−2,4)
จะไดวา คา วิกฤตของ f ในชว งเปด (−2, 4) มี 2 คา คอื 1 และ 3
ตอ ไปหา f (−2), f (1), f (3) และ f (4)
จะได f (−2) = 30(−2)4 + 60(−2)3 − 390(−2)2 − 420(−2) + 720 = −216

f (1) = 30(1)4 + 60(1)3 − 390(1)2 − 420(1) + 720 = 1,377

f (3) = 30(3)4 + 60(3)3 − 390(3)2 − 420(3) + 720 = 409

f (4) = 30(4)4 + 60(4)3 − 390(4)2 − 420(4) + 720 = 2,160

ดงั น้ัน f มคี าสูงสุดสัมบรู ณท่ี x = 4 โดยคาสูงสดุ สัมบูรณ คือ f (4) = 2,160

และ f มีคาตาํ่ สดุ สัมบรู ณที่ x = −2 โดยคา ตา่ํ สดุ สมั บูรณ คอื f (−2) =−216

จดุ บนเสนโคง y = x2 จะอยูในรปู ( x, x2 )

ให d (x) แทนระยะทางระหวางจุด (3,0) กับจุด ( x, x2 )

จะได ( )d ( x) = ( x − 3)2 + x2 − 0 2 ( x − 3)2 + x4

ให u = ( x − 3)2 + x4

จะได 1

d (x) = u2

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

520 คมู ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

( )ดังน้ัน d  1  d
d′(x) = du  u 2  ⋅ dx ( x − 3)2 + x4
 

 1 −1  d
 2  dx
 u2 
( )=
⋅ x4 + x2 − 6x + 9

 1 
( )= 
  4x3 + 2x − 6 + 0
 − 3)2 
2 (x + x4

2x3 + x − 3
=

( x − 3)2 + x4

( x −1)(2x2 + 2x + 3)

=

( x − 3)2 + x4

ถา d′(x) = 0 แลว จะได ( x −1)(2x2 + 2x + 3)
=0
( x − 3)2 + x4

เนื่องจาก 2x2 + 2x + 3 = ( x +1)2 + x2 + 2 > 0 และ ( x − 3)2 + x4 > 0

ดงั น้ัน x −1 =0 นั่นคอื x =1

ดังน้ัน คา วิกฤตในชวงเปด (−∞,∞) มี 1 คา คือ 1
เนือ่ งจาก d′( x) < 0 เมอ่ื x <1 และ d′( x) > 0 เม่ือ x >1

ดังนั้น d มีคา ตาํ่ สุดสัมพทั ธที่ x =1 เพียงคาเดียวในชวงเปด (−∞,∞)

นั่นคือ d มีคาตาํ่ สดุ สมั บูรณท ่ี x =1 โดยคาต่าํ สดุ สมั บรู ณ คอื d (1) = 5
ดังนน้ั ระยะทางระหวา งจดุ (3, 0) กบั เสนโคง y = x2 คอื 5 หนวย

2) จดุ บนเสนโคง y = x2 เมอ่ื −3 ≤ x ≤ 3 จะอยูในรูป ( x, x2 )

ให d ( x) แทนระยะทางระหวางจุด (0,3) กบั จดุ (x, x2 ) เมอ่ื −3 ≤ x ≤ 3

จะได d ( x) = ( )( x − 0)2 + x2 − 3 2

( )= x2 + x2 − 3 2 เมอ่ื −3 ≤ x ≤ 3

ให ( )u = x2 + x2 − 3 2

จะได 1

d (x) = u2

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 521

( )ดังนนั้d  1  d
du  2  dx x2 − 3 2
( )d′( x)  
= u ⋅ x2 +

( )= 1 − 1  d
 2 2  ⋅ dx x4 − 5x2 + 9
 u 


 1 
 x2 + x2 − 3 
( ) ( )= 2 
2 4x3 −10x + 0

2x3 − 5x
=

( )x2 + x2 − 3 2

x(2x2 −5) เมือ่ −3 ≤ x ≤ 3

=

( )x2 + x2 − 3 2

ถา d′( x) = 0 แลวจะได x(2x2 −5)
=0
( )x2 + x2 − 3 2

เนอื่ งจาก ( )x2 + x2 − 3 2 > 0

ดังนั้น x(2x2 − 5) =0

นั่นคอื x = 0 , x = − 2.5 หรอื x = 2.5
ดังนัน้ คา วกิ ฤตในชวงเปด (−3,3) มี 3 คา คอื − 2.5 , 0 และ 2.5

ตอไปคํานวณหา (d (−3) , d − ) (2.5 , d (0) , d 2.5) และ d (3)

จะได d (−3) = 3 5

( )d − 2.5 = 11
2
d (0) = 3

( )d 2.5 = 11
2
d (3) = 3 5

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

522 คมู ือครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

สรุปไดวา d มคี า ตาํ่ สุดสัมบูรณท่ี x = − 2.5 และ x = 2.5 โดยคา ตาํ่ สุดสัมบูรณ

คอื d (− )2.5= d ( )2.5= 11
2

ดงั นน้ั ระยะทางระหวา งจดุ (0,3) กับเสนโคง y = x2 เมอื่ −3 ≤ x ≤ 3 คอื 11 หนวย

2

39. ให A(x) แทนพนื้ ที่ของรปู สามเหลย่ี มหนาจว่ั ที่มีความยาวเสนรอบรูป 6 เซนตเิ มตร
และมคี วามยาวฐาน x เซนตเิ มตร

จากรปู สามเหลี่ยมหนาจัว่ ทม่ี ีความยาวเสนรอบรูป 6 เซนตเิ มตร และมีความยาวฐาน

x เซนตเิ มตร จะสูง  6− x 2 −  x 2 =9 − 3x เซนตเิ มตร
 2   2 

เนอ่ื งจาก 9 − 3x > 0 จะไดวา x < 3

ดังนั้น A(x) = 1 x 9 − 3x = 1 9x2 − 3x3 เมอื่ 0 < x < 3
ให 2
2
u = 9x2 − 3x3

จะได A(x) = 1 u 1
2

2

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 523

ดงั นัน้ ( )A′( x)d  1 1  d
= du  2 u 2  ⋅ dx 9x2 − 3x3
 

( )= 1 − 1 
 u 2  18x − 9x2
 
4

= 18x − 9x2
4 9x2 − 3x3

9(2− x) เมอ่ื 0 < x < 3

=
4 9 − 3x

เนือ่ งจาก 9 − 3x > 0 เมอ่ื 0 < x < 3

ดังนน้ั A′( x) = 0 เมอื่ x = 0

ดังนน้ั คาวิกฤตในชว งเปด (0, 3) มี 1 คา คอื 2

เนื่องจาก A′( x) > 0 เมือ่ x < 2 และ A′( x) < 0 เมอ่ื x > 2

ดงั น้ัน A มีคา สูงสุดสมั พัทธท่ี x = 2 เพยี งคา เดยี วในชวงเปด (0, 3)

นนั่ คือ A มีคาสูงสดุ สมั บรู ณท ี่ x = 2 โดยคาสงู สดุ สัมบรู ณ คือ A(2) = 3

ดงั น้นั ความยาวฐานของรปู สามเหลยี่ มหนาจ่วั นี้ทีท่ ําใหรปู สามเหลย่ี มมีพ้ืนที่มากทีส่ ดุ คือ

2 เซนติเมตร

40. ให r แทนรศั มีของฐานของทรงกระบอก

h แทนความสูงของทรงกระบอก

และ C แทนคาวสั ดทุ ี่ใชใ นการทําบรรจุภัณฑทรงกระบอก ที่มรี ศั มีของฐานของยาว

r เซนติเมตร และมคี วามสงู h เซนติเมตร

เน่ืองจากทรงกระบอกมีความจุ 20π ลูกบาศกเ ซนติมเมตร

ดังนน้ั π r2h = 20π

จะได h = 20 เมื่อ r ∈(0,∞)
เนอ่ื งจาก r2

C = 2(100)π r2 + 80(2π rh)

= 2(100)π r2 + 80  2π r  20 
  r2  

นั่นคือ C (r ) = 200π r2 + 3, 200π เมื่อ r ∈(0,∞)

r

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

524 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

ดงั นน้ั C′(r) = 400π r − 3, 200π
r2

400π (r3 − 8)

= r2

ถา C′(r) = 0 แลวจะได r = 2

เน่อื งจาก C′(r) < 0 เมอ่ื r < 2 และ C′(r) > 0 เม่อื r > 2

ดังน้ัน C มคี า ตา่ํ สุดสมั พัทธท ่ี r = 2 เพยี งคาเดยี วในชว งเปด (0,∞)

นัน่ คอื C มคี า ต่าํ สดุ สมั บูรณท่ี r = 2

โดยคา ต่าํ สุดสัมบรู ณ คือ C (2)= ( )200π 22 + 3,200π ≈ 7,539.82
2

ดงั นนั้ โรงงานตองออกแบบบรรจุภัณฑใหมคี วามยาวรัศมีของฐานเปน 2 เซนตเิ มตร

และมีความสูง 20 = 5 เซนติเมตร โดยจะใชต น ทุนนอยท่สี ดุ ประมาณ 7, 539.82 บาท
22

ในการผลติ บรรจภุ ัณฑ 1 ช้นิ

41. ให r แทนรัศมีของฐานของกรวย

และ l แทนสวนสงู เอียงของกรวย

เนอื่ งจากกรวยมพี ืน้ ที่ผิวขางเปน 30π ตารางหนว ย

ดังน้ัน π rl = 30π

นั่นคอื l = 30 เมื่อ r > 0
r

โดยทฤษฎีบทพที าโกรัส จะไดวา กรวยมคี วามสงู l 2 −=r 2  30 2 − r2 หนว ย
 r 

ตอไปหาชว งท่เี ปนไปไดของ r

เน่อื งจาก  30 2 − r2 >0 และ r >0
 r 

จะได r4 − 302 < 0

(r2 − 30)(r2 + 30) < 0

( )( )( )r − 30 r + 30 r2 + 30 < 0

นัน่ คอื r ∈(− 30, 30 )

แตเนอื่ งจาก r > 0 ดงั นัน้ (r ∈ 0, 30 )

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 525

ให V (r) แทนปริมาตรของกรวยท่ีมีพน้ื ที่ผวิ ขา งเปน 30π ตารางหนวย และรัศมฐี าน
ยาว r หนวย

จะได V (r) = 1πr2  30 2 − r2
3  r 
นน่ั คือ
ให V (r ) = 1 π 900r2 − r6 เมือ่ (r ∈ 0, 30 )

3

u = 900r2 − r6

จะได V (r) = 1 π u 1
2

3

ดงั นนั้ ( )V ′(r) d  1 1  d
= du  3 π u 2  ⋅ dx 900r2 − r6
 

( )= 1 − 1 
 π u 2  1,800r − 6r5
 
6

π (300 − r4 ) เม่ือ (r ∈ 0, 30 )

=

900 − r4

ดังน้ัน V ′(r) = 0 เม่ือ 1 หรือ r 1

r = −3004 = 3004

เน่อื งจาก (1 30 )

−3004 ∉ 0,

ดงั น้ัน คา วกิ ฤตในชว งเปด (0, 30 ) มี 1 คา คอื 1

300 4

เนอ่ื งจาก V′(r) > 0 เมือ่ 1 และ V′(r) < 0 เมอ่ื r 1

r < 3004 > 3004

ดังนน้ั V มคี า สูงสุดสมั พัทธที่ r 1 เพยี งคาเดยี วในชวงเปด (0, 30 )

= 3004

นั่นคือ V มีคา สูงสดุ สมั บูรณท ่ี 1 โดยคาสูงสดุ สัมบรู ณ คอื

r = 3004

 1 = 1π  1 2  1 6
V  3004  3 900 3004  −  3004 

   

= 1 π  1  900 − 300
3  
 300 4 

= 20 15 π
3

34

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

526 คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

ดังน้นั รัศมีของฐานของกรวยควรจะยาว 1 = 1 10 หนวย และจะไดสวนสงู เอยี ง คือ

300 4 34

30 3 10 หนว ย

1 = 34

34 10

ดังนน้ั สว นสูงเอยี งและรัศมีของฐานของกรวยที่ทาํ ใหกรวยมีปรมิ าตรมากท่สี ุด คือ 1 10 หนวย

34

และ 3 10 หนว ย ตามลาํ ดบั

34

42. ให r แทนรัศมีของฐานของทรงกระบอก

และ h แทนความสูงของทรงกระบอก

เนือ่ งจากพื้นทีผ่ ิวของทรงกระบอกคอื 80π ตารางหนวย

ดังน้ัน 2π r2 + 2π rh = 80π

น่นั คือ h = 40 − r เมื่อ r > 0

r

ตอไปหาชว งทเ่ี ปนไปไดของ r

เนื่องจาก 40 − r > 0 และ r > 0 จะได r2 − 40 < 0

r

นั่นคอื (r + 2 10 )(r − 2 )10 < 0

ดงั นนั้ (r ∈ 0, 2 10 )

ให V (r) แทนปรมิ าตรของทรงกระบอกท่มี ีพ้นื ท่ีผิวเปน 80π ตารางหนว ย และรัศมฐี าน
ยาว r หนวย

จะได V (r) = π r2h

= π r 2  40 − r 
 r 

น่นั คอื V (r ) = 40π r − π r3 เมือ่ ( )r ∈ 0, 2 10

ดงั น้นั V ′(r) = d (40π r )− π r3
dr

= 40π − 3π r2 เมื่อ ( )r ∈ 0, 2 10

ดังนน้ั V ′(r) = 0 เมอื่ r = − 40 หรือ r = 40

33

เนือ่ งจาก − (40 ∉ 0, 2 10 )
3

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 527

ดงั นนั้ คา วกิ ฤตในชวงเปด (0, 2 10) มี 1 คา คือ 40
3

เน่ืองจาก V ′(r) > 0 เม่อื r < 40 และ V ′(r) < 0 เมอื่ r > 40

33

ดงั นนั้ V มคี าสูงสดุ สมั พัทธท่ี r = 40 เพียงคาเดยี วในชว งเปด (0, 2 10)
3

น่ันคือ V มคี าสูงสุดสัมบูรณที่ r = 40 โดยคาสูงสุดสัมบรู ณ คอื V  40  = 160 10 π
3  3  3 3

ดังน้ัน รัศมขี องฐานของทรงกระบอกควรยาว 40 = 2 30 หนว ย และจะไดวา ความสูง

33

ของทรงกระบอก คือ 40 − 40 =4 30 หนวย

40 3 3

3

ดังนนั้ ความสงู และรัศมีของกระปองนี้ท่ที ําใหกระปองมีปริมาตรมากที่สดุ คือ 4 30 หนวย

3

และ 2 30 หนวย ตามลาํ ดบั

3

43. 1) จาก h(t ) = 10t2 − t3 เมือ่ 0 ≤ t <10

2 เม่ือ 0 < t <10
เม่ือ 10 ≤ t ≤15 + 5 5
จะได h′ (t ) = d  2 − t3 
dt 10t 2 
 

= 20t − 3t2
2

จาก h(t ) = 625 − 5(t −15)2

( )จะได h′(t) = d 625 − 5(t −15)2 เมื่อ 10 < t <15 + 5 5
dt
( )= d −5t2 +150t − 500
dt
= −10t +150

ตอ ไปจะหา h′(10)

โดยจะพจิ ารณาวา lim h(10 + k ) − h(10) = lim h(10 + k ) − h(10)
k →0− k k →0+ k

พจิ ารณา h(10 + k ) − h(10)

lim
k →0− k

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

528 คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

จาก  2 − t3 , 0 ≤ t < 10
10t 2
h(t) = 

625 − 5(t −15)2 , 10 ≤ t ≤ 15 + 5 5

 (10 + k )3 
2 
10 (10
( )จะได
h(10 + k ) − h(10) + k )2 − − 625 − 5(10 −15)2

lim = lim
k →0− k k →0− k

 + k )2 − (10 + k )3  − 500
2 
10 (10
= lim
k →0− k

(10 + k )2 10 − 10 + k  − 500
2 
= lim
k →0− k

(10 + k )2  10 − k  − 500
 2 
= lim
k →0− k

= lim 100k −10k 2 − k3

k →0− 2k

= lim 100 −10k − k 2

k →0− 2

= 50

พจิ ารณา h(10 + k ) − h(10)

lim
k →0+ k

( ) ( )จะได
h(10 + k ) − h(10) 625 − 5((10 + k ) −15)2 − 625 − 5(10 −15)2
lim = lim
k →0+ k k →0− k

= lim ( )625 − 5((10 + k ) −15)2 − 500
k →0−
k

= lim 50k − 5k 2

k →0− k

= lim (50 − 5k )
k →0−

= 50

เน่ืองจาก l=im h(10 + k ) − h(10) l=im h(10 + k ) − h(10) 50
k →0− k k →0+ k

ดงั นัน้ lim h(10 + k ) − h(10) = 50

k→0 k

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 529

น่ันคอื h′(10) = 50

=5200t − 32t2 ,, t0 <t< 10
10
=สรปุ ไดว า h′(t)
−10t +150 , 10 < t < 15 + 5 5


2) เน่ืองจาก h′(t ) = 20t − 3t 2 = t  20 − 3t  เมือ่ 0 < t < 10
2  2 

และ t  20 − 3t  =0 เมอ่ื t =0 หรือ t = 40
 2  3

ดังนัน้ h′(t) ≠ 0 เมือ่ 0 < t <10

นน่ั คือ h ไมมีคาวกิ ฤตบนชว งเปด (0, 10)

เน่ืองจาก h′(10=) 50 ≠ 0

ดังน้นั 10 ไมเ ปนคา วิกฤตของ h

เน่อื งจาก h′(t) =−10t +150 เมอ่ื 10 < t <15 + 5 5

และ −10t +150 =0 เม่อื t =15

ดังนั้น 15 เปน คา วิกฤตของ h

สรปุ ไดว า จุดวกิ ฤตทง้ั หมดของ h บน (0, 15 + 5 5) คอื t =15

คํานวณหา h(0), h(15) และ (h 15 + 5 5)

h(0) = 0

h(15) = 625

( )h 15 + 5 5 = 0

สรปุ ไดว า h มคี าสูงสดุ สมั บูรณที่ t =15 โดยคา สงู สดุ สมั บูรณ คือ h(15) = 625
ดงั นัน้ บงั้ ไฟเคลอ่ื นทไี่ ดส ูงทส่ี ุด 625 เมตร ณ เวลา 15 วนิ าที

44. จากโจทยจ ะไดวา เงื่อนไขของงบประมาณเขียนแทนไดด วยสมการ

น่นั คอื 100x +100 y = 100,000 เม่อื 0 ≤ x ≤ 1,000

y = 1,000 − x

ภายใตเ ง่อื นไขนจี้ ะไดว า 13

P = 10x4 (1,000 − x)4

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

530 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

ให 13

f ( x) = 10x4 (1,000 − x)4

ตอ งการหาคาสูงสุดของ f บนชวงปด [0,1000]

หาจดุ วกิ ฤตโดยพจิ ารณา

f ′(x) = 1 ⋅ 3 (1, 000 − )x −1 ( −1) + (1, 000 − 3 ⋅10  1  −3
4 4 4 
10x 4 x)4 x4

13
5(1,000 − x)4
= − 15x 4
+
13
2(1,000 − x)4
2x4

ให f ′( x) = 0

31
5(1,000 − x)4
จะได 15x 4
=
1
3
2x4 2(1,000 − x)4

1,000 − x = 3x

x = 250

ดงั นั้น คา วกิ ฤตในชว งเปด (0, 1000) คือ 250

ตอ ไปคาํ นวณหา f (0), f (250) และ f (1,000)

จะได f (0) = 0

3

f (250) = 2,500 ⋅ 34 ≈ 5,698.77

f (1,000) = 0

ดงั นั้น ถา x = 250 จะใหคาสูงสดุ สัมบูรณบนชว ง [0,1000]
นนั่ คือ จาํ นวนเสอ้ื ท่ีมากทสี่ ุดท่โี รงงานนจี้ ะผลิตไดใน 1 ชัว่ โมงภายใตง บประมาณ 100,000 บาท
คือ 5,698 ตวั

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 531

45. 1) ( )∫ 5x4 − 4x3 + 6x2 − 2x + 7 dx =  x5  −  x4  +  x3  −  x2  + 7x + c
2) 5 5  4 4  6 3  2 2 
   
3)    
4)
5) = x5 − x4 + 2x3 − x2 + 7x + c เมื่อ c เปนคา คงตัว

∫ 4 − 3 − x2 + 1  ∫= 4 − 3 − x2 + x−2 
 3x 3 x2  dx  3x 3  dx
 4x4  4x4



 7  7
    x3 x−1
= 3 x3  − 4 x4 − 3 + −1 + c
7  7 
 
3 4

= 9 7 − 16 7 − x3 − 1 + c เมอื่ c เปนคา คงตวั

x3 x4 3x
77

1

( )∫ 3x2 + x +1 dx = 3∫ x2 dx + ∫ x2 dx + ∫1dx

3

=  x3  + x2 +x+c
3 3  3



2

3

= x3 + 2x2 + x + c เมอ่ื c เปนคาคงตัว

3

∫ ( 2 x ) ( x2 + )2 dx ∫ ( )= 2x5 + 4x3 + 2x dx

1

∫ ∫ ∫= 2 x5dx + 4 x3dx + 2 x dx

=  x6  +  x4  +  x2  + c
2 6  4 4  2 2 
  
  

= x6 + x4 + x2 + c เมือ่ c เปน คา คงตัว

3

∫ x − 1  dx −1
 x 
∫ ∫= x dx − x 2dx

1

= x2 − x2 + c
21

2

= x2 − 2 x + c เมื่อ c เปนคา คงตวั

2

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

532 คูมอื ครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

∫ ( ) ∫ 7 5 3 1 

6) x x3 + x2 + x + 1 dx =  x 2 + x 2 + x 2 + x 2  dx

7531

∫ ∫ ∫ ∫= x2dx + x2dx + x2dx + x2dx

9753

= x2 + x2 + x2 + x2 + c
9753

∫7) x2 + x3 2222
x5 dx
9753

= 2x2 + 2x2 + 2x2 + 2x2 + c เมื่อ c เปนคาคงตวั

9753

∫ ( )= x−3 + x−2 dx

∫ ∫= x−3dx + x−2dx

= x−2 + x−1 + c
−2 −1

= − 1 − 1 + c เม่ือ c เปนคาคงตวั
2x2 x

8) ∫( x2 +1)( x4 − x2 +1)dx = ∫( x6 +1)dx

∫ ∫= x6dx + 1dx

46. จาก = x7 + x + c เมือ่ c เปนคา คงตวั
จะได
7

f ′′( x) = 6x − 2

f ′( x) = ∫ f ′′( x)dx

= ∫ (6x − 2)dx

=  x2  − 2x + c1
6 2 



= 3x2 − 2x + c1 เมอ่ื c1 เปนคา คงตัว

เนอื่ งจาก f มีคาต่ําสดุ สมั พัทธ เมอ่ื x =1

จะได f ′(1) = 0

3(1)2 − 2(1) + c1 = 0

นัน่ คอื c1 = −1

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 533

ดงั นั้น f ′(x) = 3x2 − 2x −1
และไดวา
f ( x) = ∫ (3x2 − 2x −1)dx

=  x3  −  x2  − x + c
3 3  2 2 
 
 

= x3 − x2 − x + c เมอ่ื c เปนคา คงตวั

เนื่องจาก f มคี าตาํ่ สดุ สัมพัทธเทา กบั −1 เมอื่ x =1

จะได f (1) = −1

(1)3 − (1)2 − (1) + c = −1

นั่นคือ c = 0
ดังน้นั f ( x) = x3 − x2 − x

47. 1) เน่ืองจาก dy = 4x3 + 9x2 − 5

dx

จะได y= ∫(4x3 + 9x2 − 5)dx

ดงั นั้น สมการเสนโคง คอื y = x4 + 3x3 − 5x + c เมอื่ c เปน คา คงตัว

เนือ่ งจาก เสน โคงน้ีผานจดุ (0, 5) นน่ั คอื x = 0 และ y = 5 สอดคลองกบั สมการเสน

โคง

แทน x และ y ในสมการเสน โคง ดวย 0 และ 5 ตามลําดบั

จะได 5 =04 + 3(0)3 − 5(0) + c หรือ c = 5
ดังนั้น สมการเสน โคงท่ตี อ งการคือ y = x4 + 3x3 − 5x + 5

2) เนอื่ งจาก dy =5 − 3 x − x3

dx

จะได (y =∫ 5 − 3 )x − x3 dx

ดงั นน้ั สมการเสน โคง คือ 3 − x4 +c เม่ือ c เปน คา คงตัว
4
y =5x − 2x2

และเสน โคง นผี้ า นจดุ (4, − 2) น่ันคอื x = 4 และ y = −2 สอดคลอ งกับ

สมการเสน โคง

แทน x และ y ในสมการเสน โคงดว ย 4 และ −2 ตามลําดบั

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

534 คูมือครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

จะได −=2 3 (4)4 +c หรอื c = 58

5(4) − 2(4)2 −
4

ดังน้ัน สมการเสน โคง ทีต่ อ งการคือ y =5x − 3 − x4 + 58

2x2 4

48. 1) เน่ืองจาก v(t) = 5t2 − 2t − 8
2)
จะได a(t) = v′(t ) = 10t − 2

ดงั นน้ั a(t) = 10t − 2

เนอ่ื งจาก s(t) = ∫v(t)dt

จะได s(t ) = ∫(5t2 − 2t − 8)dt

= 5t3 − t2 − 8t + c เม่อื c เปน คา คงตัว
3

เน่ืองจาก s(3) = 6

จะได 6 = 5(3)3 − (3)2 − 8(3) + c

3

c = −6

ดังนน้ั s(t ) = 5t3 − t2 − 8t − 6

3

เนอื่ งจาก v(t) = 5t − 6t2 − 4t3
จะได a(t ) = v′(t ) = 5 −12t −12t2
ดังนน้ั a(t ) = 5 −12t −12t2
เนื่องจาก s(t) = ∫v(t)dt

จะได s(t) = ( )∫ 5t − 6t2 − 4t3 dt

= 5t2 − 2t3 − t4 + c เม่อื c เปนคาคงตัว
2

เนอ่ื งจาก s(3) = −4

จะได −4 = 5(3)2 − 2(3)3 − (3)4 + c
ดงั น้นั
2
c = 217

2

s (t ) = 217 + 5t2 − 2t3 − t4

22

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 535

 x2 + 3x + 2xf ( x) + 6 f ( x)  (x + 2 f (x))(x + 3)
= ∫ x + 3 dx
49. ∫  x + 3  dx = ∫( x + 2 f ( x))dx

= ∫ x dx + 2∫ f ( x)dx

= x2 + 2F ( x) + c เม่อื x ≠ −3 และ c เปน คาคงตวั

2

50. จาก dN 1

dt = 6 t = 6t 2

จะได 1

∫N (t ) = 6t 2dt

 3
 
= 6 t2  + c
3 

2

3 เมอื่ c เปน คา คงตวั

= 4t 2 + c

เนอ่ื งจาก N (0) = 100

ดงั นนั้ 3

4(0)2 + c = 100

น่ันคือ c = 100

3

จะได N (t) = 4t 2 +100

ดังนน้ั 3

N (10) = 4(10)2 +100

= 40 10 +100

≈ 226.4911

ดังนั้น จะมีตนไมถ ูกเผาประมาณ 226 ตนเมือ่ เวลาผา นไป 10 ช่ัวโมง

51. จาก H ′( x) = 25 − 2x

จะได H ( x) = ∫(25 − 2x)dx

= 25x − x2 + c เมื่อ c เปนคาคงตวั

เนอ่ื งจาก H (0) คอื จํานวนชัว่ โมงที่ตอ งใชใ นการผลติ สนิ คา 0 ช้นิ

ดงั น้ัน H (0) = 0

25(0) − 02 + c = 0

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

536 คูมอื ครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

นั่นคอื c = 0

จะได H ( x) = 25x − x2
ดงั นน้ั H (6) = 25(6) − 62 = 114
และ H (12) = 25(12) −122 = 156
ดงั นน้ั จํานวนช่วั โมงท่ีตอ งใชในการผลติ สนิ คา 6 และ 12 ช้ินแรก คอื 114 และ 156 ชั่วโมง
ตามลาํ ดับ
จะเห็นวา จํานวนชวั่ โมงท่ีตอ งใชในการผลิตสินคา 6 ชนิ้ แรก คือ 114 ชั่วโมง

ดงั น้ัน จาํ นวนช่วั โมงเฉล่ยี ที่ตองใชใ นการผลติ สินคา 1 ชิ้น คอื 114 =19 ช่วั โมง

6

และเน่ืองจากจํานวนชั่วโมงท่ีตองใชในการผลิตสินคา 12 ชนิ้ แรก คอื 156 ชั่วโมง

ดงั นั้น จํานวนชวั่ โมงเฉลย่ี ทตี่ องใชในการผลิตสินคา 1 ช้นิ คือ 156 =13 ชัว่ โมง

12

สรุปไดวา เม่ือผลิตสินคา มากขึน้ จาํ นวนชั่วโมงเฉล่ียท่ตี องใชใ นการผลติ สินคา 1 ชนิ้ จะลดลง

52. จาก v′(t) = a

จะได v(t) = ∫ a dt เมื่อ c1 เปน คาคงตัว

เนือ่ งจาก = at + c1
ดังน้ัน
จะได v(0) = 0
จาก
a (0) + c1 = 0

c1 = 0

s′(t ) = v(t) = at

จะได s(t) = ∫ at dt

= at 2 + c2 เมื่อ c2 เปนคา คงตัว
2

เนื่องจาก s(0) = 0

ดงั น้นั a ( 0)2

2 + c2 = 0

จะได c2 = 0

น่ันคือ s(t) = at2

2

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 537

53. 1) ความสงู ของดาดฟา ตึกมีคา เทากับความสงู ของวตั ถจุ ากพื้นดนิ ขณะเวลา 0 วนิ าที

ดงั น้ัน ความสูงของดาดฟาตึก คือ s(0) =−4.9(02 ) − 0 + 20 =20 เมตร

2) จาก s (t ) = −4.9t2 − t + 20

จะได v(t) = s′(t)

= −9.8t −1

ดังนั้น ความเร็วตน ของวัตถุ คือ v(0) =−9.8(0) −1 =−1 เมตรตอ วนิ าที

3) ข้นั แรกหาเวลาขณะท่วี ัตถุมีความเรว็ −10.8 เมตรตอวนิ าที

เน่ืองจาก v(t) = −9.8t −1

จะได −10.8 = −9.8t −1

นัน่ คือ t = 1 วินาที

จาก s (t ) = −4.9t2 − t + 20

จะได s(1) = −4.9(1)2 − (1) + 20

= 14.1 เมตร

ดงั นั้น ขณะทว่ี ัตถุมีความเร็ว −10.8 เมตรตอ วินาที วัตถุอยูสูงจากพนื้ ดิน 14.1 เมตร

54. ให a1, v1 และ s1 แทนฟง กช ันแสดงความเรง ความเร็ว และตําแหนง ของรถยนตค ันหนา
ขณะเวลา t ชั่วโมง ตามลําดบั

และ a2, v2 และ s2 แทนฟงกช นั แสดงความเรง ความเรว็ และตําแหนง ของรถยนตค นั หลงั
ขณะเวลา t ชั่วโมง ตามลาํ ดบั

เมอื่ กําหนดใหขณะเวลาที่คนขับรถยนตทง้ั สองคันเรงเคร่ือง เปนเวลา t = 0 ชั่วโมง

จะได =v1 (0) v=2 (0) 40
เนอ่ื งจาก คนขับรถยนตคนั หนาขบั ดว ยความเรง 40 กโิ ลเมตรตอชั่วโมง2

จะได a1 (t ) = 40
เนอื่ งจาก คนขับรถยนตคนั หลังขับดวยความเรง 90 กโิ ลเมตรตอช่ัวโมง2

จะได a2 (t ) = 90

จาก v(t) = ∫ a(t) dt
จะได v1 (t) = ∫ 40 dt = 40t + c1 เมอ่ื c1 เปนคาคงตวั
และ v2 (t) = ∫90 dt = 90t + c2 เมอื่ c2 เปนคาคงตัว

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

538 คูม อื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

เนือ่ งจาก =v1 (0) v=2 (0) 40

จะได v1 (=t ) 40t + 40 และ v2 (=t ) 90t + 40

จาก s(t) = ∫ v(t) dt
จะได s1 (t) = ∫(40t + 40) dt = 20t2 + 40t + k1 เมอื่ k1 เปน คา คงตัว
และ s2 (t) = ∫(90t + 40) dt = 45t2 + 40t + k2 เม่ือ k2 เปนคาคงตวั
ดงั นั้น ( ) ( )s1 (t ) − s2 (t ) = 20t2 + 40t + k1 − 45t2 + 40t + k2 = −25t2 + (k1 − k2 )

เน่อื งจากขณะเวลา t = 0 ชั่วโมง รถยนตท ง้ั สองอยหู า งกนั 1 กโิ ลเมตร

36

จะได k1 − k2 = 1
36

นน่ั คอื s1 (t ) − s2 (t ) = −25t2 + 1
36

จะไดว า เมื่อเวลาผานไป 2 นาที

s1  2  − s2  2  = −25  2 2 + 1 = 0 กโิ ลเมตร
 60   60   60  36

นนั่ คือ เมื่อเวลาผานไป 2 นาที หากคนขับรถยนตท ั้งสองคันไมลดความเรง รถคนั หลังจะชนคันหนา

55. 1) ∫ ( x3 − 3x2 + 3) dx = x4 − x3 + 3x + c เม่อื c เปนคาคงตัว
2) 4

∫ ( )ดงั นนั้ 1 x3 − 3x2 + 3 dx =  x4 − x3 1
−2  4
 
+ 3x

 −2

=  (1)4 − (1)3 +  −  ( −2 )4 − ( −2 )3 + 
 
4 3(1)  4 3( −2 ) 

= −15
4

∫(4 − 5x4 )dx = 4x − x5 + c เม่อื c เปนคาคงตวั

ดงั นนั้ 3

∫ (4 − 5x4 ) dx = ( )4x − x5 3
1
1

( )= 4(3) − (3)5 − (4(1) −15 )

= −234

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี