คู่มือคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.6 เล่ม1_compressed

คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 439

และ f ′′(1) = 6 ซ่ึง 6 > 0
ดังนน้ั f มีคา สูงสดุ สมั พัทธท่ี x = −1 และคา สูงสดุ สมั พัทธคือ f (−1) =8
และ f มีคา ตาํ่ สุดสัมพทั ธที่ x =1 และคาตา่ํ สุดสมั พัทธคือ f (1) = 4
3) จาก f ( x) =x3 − 3x2 − 24x + 4

จะได f ′( x) = 3x2 − 6x − 24 = 3( x2 − 2x − 8) = 3( x − 4)( x + 2)

ดังนั้น f ′( x) = 0 เมอ่ื x = 4 หรือ x = −2
จะไดวา คาวิกฤตของฟงกชัน f มี 2 คา คอื 4 และ −2
ตอไปหาอนุพนั ธอนั ดบั ท่ี 2 ของฟงกชัน f จะได f ′′(x) = 6x − 6 = 6(x −1)
เนื่องจาก f ′′(4) = 18 ซ่ึง 18 > 0
และ f ′′(−2) = −18 ซึง่ −18 < 0
ดังนน้ั f มคี า สูงสุดสมั พทั ธท ่ี x = −2 และคาสูงสดุ สัมพทั ธค ือ f (−2) =32
และ f มีคา ตํา่ สดุ สัมพทั ธท ่ี x = 4 และคาตํา่ สุดสัมพัทธค ือ f (4) = −76
4) จาก f ( x) =x4 − 8x2 +12

จะได f ′( x) = 4x3 −16x = 4x( x2 − 4) = 4x( x − 2)( x + 2)

ดังนั้น f ′( x) = 0 เม่อื x = −2 , x = 0 หรอื x = 2
จะไดว า คาวิกฤตของฟง กช นั f มี 3 คา คอื −2 , 0 และ 2
ตอ ไปหาอนุพันธอ ันดับที่ 2 ของฟงกชัน f จะได f ′′=(x) 12x2 −16
เนื่องจาก f ′′(−2) = 32 ซ่ึง 32 > 0

f ′′(0) = −16 ซง่ึ −16 < 0
และ f ′′(2) = 32 ซง่ึ 32 > 0
ดงั นน้ั f มคี า สงู สุดสัมพทั ธท ่ี x = 0 และคา สูงสุดสมั พทั ธคือ f (0) =12
และ f มคี าตา่ํ สุดสัมพทั ธที่ x = −2 และ x = 2 โดยคาตํ่าสดุ สัมพัทธคอื
f (−2) =−4 และ f (2) = −4 ตามลําดับ

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

440 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

5) จาก f ( x) =x4 − 4x3 + 8
จะได f ′( x) =4x3 −12x2 =4x2 ( x − 3)
ดงั น้ัน f ′( x) = 0 เมอื่ x = 0 หรือ x = 3
ดังนั้น คาวิกฤตของฟงกชนั f มี 2 คา คอื 0 และ 3
พิจารณาคาของ f ′(x) เม่ือ x เปนคา วิกฤตและจํานวนจริงในชว งตาง ๆ โดยใช
เสน จํานวน ดงั น้ี

จะเหน็ วา f ′(x) ท่ี x = 0 ไมมกี ารเปล่ยี นจากจํานวนบวกเปน จาํ นวนลบหรอื ไมมกี าร
เปล่ียนจากจาํ นวนลบเปนจํานวนบวก
ดังน้ัน 0 เปนคา วิกฤตทีไ่ มไดทําใหฟ งกช นั มีคา สงู สดุ สมั พัทธหรอื คาต่าํ สุดสมั พัทธ
เนอื่ งจาก ที่ x = 3 เปน จุดแบงท่ีทาํ ให f ′(x) เปลย่ี นจากจํานวนลบเปนจาํ นวนบวก
ดงั นั้น f มคี าตา่ํ สุดสัมพทั ธท่ี x = 3 และคา ต่ําสดุ สัมพัทธค อื f (3) = −19
3. 1) จาก f ( x) = x2 − 4x + 3
จะได f ′( x) = 2x − 4 = 2( x − 2)
ดังน้นั f ′( x) = 0 เม่อื x = 2
จะไดว าคาวกิ ฤตของฟง กช ันในชวงเปด (0,5) คือ 2
ตอไปคํานวณหา f (0), f (2) และ f (5) จะได

f (0) = 3
f (2) = −1
f (5) = 8
สรปุ ไดวา f มคี า สงู สุดสัมบรู ณท่ี x = 5 และคา สงู สดุ สัมบรู ณคือ f (5) = 8
และ f มีคาต่ําสุดสัมบรู ณท ่ี x = 2 และคา ต่าํ สดุ สมั บรู ณคือ f (2) = −1

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 441

2) จาก f ( x) = x3 − 2x2 − 4x + 8
จะได f ′( x)= 3x2 − 4x − 4= (3x + 2)( x − 2)

ดงั น้นั f ′( x) = 0 เมือ่ x = − 2 หรอื x = 2

3

จะไดว า คาวิกฤตของฟงกชนั ในชวงเปด (−2,3) คือ − 2 และ 2

3

ตอไปคาํ นวณหา f (−2), f  − 2  , f (2) และ f (3) จะได
 3 

f (−2) = 0

f  − 2  = 256
 3  27

f (2) = 0

f (3) = 5

สรุปไดวา f มีคา สงู สดุ สมั บรู ณท่ี x= −2 และคา สูงสดุ สัมบรู ณค ือ f  − 2  =256
3  3  27

และ f มีคาตา่ํ สุดสัมบรู ณท ี่ x = −2 และ x = 2 โดยท่ีคา ต่ําสดุ สัมบูรณคือ

f (−2=) f (2=) 0

3) จาก f ( x) =x4 − 2x3 − 9x2 + 27

จะได f ′( x) = 4x3 − 6x2 −18x = 2x(2x2 − 3x − 9) = 2x(2x + 3)( x − 3)

ดงั น้นั f ′( x) = 0 เมื่อ x = − 3 , x = 0 หรือ x = 3

2

จะไดวาคาวกิ ฤตของฟง กช นั ในชวงเปด (−2,4) คอื − 3 , 0 และ 3

2

ตอไปคํานวณหา f (−2), f  − 3  , f (0), f (3) และ f (4) จะได
 2 

f (−2) = 23

f  − 3 = 297
 2  16

f (0) = 27

f (3) = −27

f (4) = 11

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

442 คมู อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

สรปุ ไดวา f มีคา สูงสุดสัมบูรณท่ี x = 0 และคาสงู สุดสมั บูรณค ือ f (0) = 27
และ f มคี า ต่าํ สดุ สัมบูรณท ่ี x = 3 และคา ต่ําสดุ สมั บรู ณค ือ f (3) = −27
4) จาก f ( x) = x3 + 5x − 4
จะได f ′( x) = 3x2 + 5
เนอ่ื งจาก f ′( x)= 3x2 + 5 > 0 ทุก x ∈(−3,−1)
ดังนน้ั f ไมมคี าวิกฤตในชวงเปด (−3,−1)
ตอ ไปคาํ นวณหา f (−3) และ f (−1) จะได

f (−3) = − 46
f (−1) = −10
สรุปไดว า f มีคาสงู สุดสัมบูรณที่ x = −1 และคา สงู สุดสมั บรู ณคือ f (−1) =−10
และ f มคี าตํ่าสดุ สมั บรู ณท ี่ x = −3 และคาตํ่าสดุ สมั บูรณคือ f (−3) =−46
4. จาก f ( x) = x3 + ax2 + bx + c
จะได f ′( x) = 3x2 + 2ax + b
ดงั นัน้ คําตอบของสมการ f ′( x) = 0 คือ x = −2a ± 4a2 −12b หรอื x = −a ± a2 − 3b

63

เนอื่ งจาก คาวกิ ฤตคอื คําตอบของสมการ f ′(x) = 0
ดังน้นั f จะมีคาวิกฤต 2 คา เมอ่ื a2 − 3b > 0

f จะมีคาวิกฤต 1 คา เมอื่ a2 − 3b =0
และ f จะไมมคี า วิกฤต เม่ือ a2 − 3b < 0
จะไดว า ตวั อยางจาํ นวนจริง a, b และ c ท่ีทาํ ให
1) f มคี า วกิ ฤต 2 คา คอื a = 0 , b = −3 และ c = 0
2) f มคี าวิกฤตเพยี ง 1 คา คือ a = 0 , b = 0 และ c = 0
3) f ไมมคี าวิกฤต คือ a = 0 , b = 3 และ c = 0

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 443

แบบฝก หัด 2.8.3

1. จาก =p 100 − 0.04x
เนอื่ งจากราคาสนิ คา p เปนจํานวนจริงท่ีมากกวา หรือเทา กบั 0 ดังนนั้ x∈[0, 2500]
ให P(x) แทนกําไรทไ่ี ดจากการผลิตสินคา x ชน้ิ เมือ่ x∈[0, 2500]
จะได P( x) = px − (600 + 22x)

= (100 − 0.04x) x − (600 + 22x)

= −0.04x2 + 78x − 600 เมอื่ x ∈[0, 2500]
ดังนั้น P′( x) = −0.08x + 78
ถา P′( x) = 0 แลวจะได −0.08x + 78 =0
น่นั คอื x = 975
ดังนัน้ คาวิกฤตในชว งเปด (0,2500) คือ 975
ตอ ไปคาํ นวณหา P(0), P(975) และ P(2,500) จะได

P (0) = −600

P (975) = 37,425

P (2,500) = −55,600

สรุปไดว า P มคี าสงู สุดสมั บูรณท่ี x = 975 และคาสงู สุดสมั บรู ณค ือ P(975) = 37,425
ดังน้นั แมคาจะตองผลิตสนิ คาออกขายสปั ดาหละ 975 ชิน้ จงึ จะไดกําไรมากทส่ี ดุ
2. ให C (x) แทนคาใชจา ยรวมในการสัง่ ใหร ถบรรทุกวิ่งดวยอตั ราเร็วเฉลี่ย x กิโลเมตรตอ ชวั่ โมง
เม่ือ x ∈[25,80]

เน่ืองจาก ระยะเวลาทร่ี ถบรรทุกของบรษิ ัทว่งิ รบั สงสนิ คาคือ 500 ชั่วโมง
x

ดงั น้ัน บริษัทจะตอ งจา ยคานํา้ มนั 500  24 + x2  ( 24 ) บาท
x  150 
 

และจา ยคา เบ้ียเล้ยี งคนขบั 500 (49) บาท

x

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

444 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

จะได C(x) = 500  24 + x2  ( 24) + 500 ( 49)
x  150  x
 

= 80x + 312,500 เมือ่ x ∈[25,80]
x

ดังนั้น C′(x) = 80 − 312, 500
x2

ถา C′( x) = 0 แลวจะได

0 = 80 − 312,500
x2

312,500 = 80
x2
80x2 = 312,500

x2 = 3,906.25

x2 − 312,500 = 0

( x + 62.5)( x − 62.5) = 0

นน่ั คอื x = −62.5 หรือ x = 62.5
เนอ่ื งจาก −62.5∉(25,80)
ดงั นน้ั คาวิกฤตในชวงเปด (25,80) คอื 62.5
ตอ ไปคาํ นวณหา C (25), C (62.5) และ C (80) จะได

C (25) = 14,500

C (62.5) = 10,000

C (80) = 10,306.25
สรุปไดว า C มีคาต่าํ สุดสมั บูรณที่ x = 62.5 และคา ตํา่ สดุ สัมบูรณคือ C (62.5) =10,000
ดังน้นั บรษิ ทั ควรใหคนขับขับรถดว ยอัตราเร็วเฉล่ยี 62.5 กิโลเมตรตอ ชั่วโมง จึงจะประหยดั ท่ีสุด
3. จากโจทยจ ะได 6x + 4y =200

นัน่ คือ =y 50 − 3 x

2

เนอื่ งจากความยาวและความกวางของรปู สเี่ หลย่ี มมุมฉากเปน จํานวนจรงิ บวก

ดงั นัน้ x ∈  0, 100 
3 

ให A แทนพน้ื ท่ีของทดี่ ินที่ลอมดวยลวดหนาม

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 445

จะได A = 3xy

= 3x  50 − 3 x 
 2 

= 150x − 9 x2 เม่ือ x ∈  0, 100 
2  3 

ดงั นน้ั A′( x) = 150 − 9x

ถา A′( x) = 0 แลวจะได 150 − 9x =0

น่ันคอื x = 50
3

ดงั นั้น คาวกิ ฤตในชวงเปด  0, 100  คือ 50
 3  3

ตอ ไปหาอนุพันธอ นั ดับท่ี 2 ของฟงกชัน A จะได A′′(x) = − 9

เน่อื งจาก A′′ 50  = −9 ซ่ึง −9 < 0
3 

ดังนนั้ A มีคาสงู สดุ สัมพทั ธท่ี x = 50 เพยี งคา เดยี วบนชว ง  0, 100 
3  3 

สรุปไดวา A มีคา สงู สดุ สมั บูรณที่ x = 50 บนชว ง  0, 100 
3  3 

และคาสูงสุดสัมบูรณคือ A 50  = 1, 250
3 

ดงั นั้น จะลอมพืน้ ท่ีไดม ากที่สุด 1,250 ตารางเมตร

4. ให f ( x) แทนผลของการลบจาํ นวนจริง x ดว ยกําลงั สองของ x

จะได f ( x)= x − x2 เม่อื x ∈(−∞,∞)

ดังนัน้ f ′( x)= 1− 2x

ถา f ′( x) = 0 แลวจะได 1− 2x =0

นน่ั คอื x= 1
2

ดงั นั้น คาวกิ ฤต คือ 1
2

ตอ ไปหาอนุพนั ธอ ันดบั ท่ี 2 ของฟงกช ัน f จะได f ′′(x) = −2

เนอ่ื งจาก f ′′ 1  = −2 ซ่งึ −2 < 0
2 

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

446 คูมอื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

ดังนั้น f มีคาสูงสุดสัมพัทธท ี่ x = 1 เพยี งคา เดยี วบนชว ง (−∞, ∞)

2

สรปุ ไดว า f มคี าสงู สดุ สมั บูรณที่ x = 1

2

นน่ั คือ จาํ นวนจริงที่เมื่อนาํ จาํ นวนดงั กลาวลบออกดวยจาํ นวนจริงนน้ั แลวไดผ ลลบมคี า มาก
ทสี่ ุด คอื 1

2

5. ให x แทนจาํ นวนจํานวนหน่ึง จะไดวา จํานวนอีกจาํ นวนหนงึ่ มีคา เปน 10 − x
ให f (x) แทนผลคูณของสองจาํ นวนดงั กลาว
จะได f=( x) x(10 − x) เม่อื x ∈(−∞,∞)

= 10x − x2

ดังนนั้ f ′( x) = 10 − 2x
ถา f ′( x) = 0 แลว จะได 10 − 2x =0
น่ันคือ x = 5
ดังน้ัน คาวกิ ฤต คือ 5
ตอ ไปหาอนุพนั ธอ ันดับท่ี 2 ของฟงกชนั f จะได f ′′(x) = −2
เนอ่ื งจาก f ′′(5) = −2 ซ่ึง −2 < 0
ดังนน้ั f มีคา สงู สุดสัมพัทธท่ี x = 5 เพยี งคา เดยี วบนชวง (−∞, ∞)
สรปุ ไดวา f มคี าสูงสดุ สัมบูรณที่ x = 5
นัน่ คอื จาํ นวนจรงิ สองจํานวนท่ีมีผลบวกเปน 10 และผลคูณของสองจาํ นวนนม้ี ีคา มากที่สุด
คอื 5 และ 10 – 5 = 5
6. 1) ให x และ y เปน จํานวนจริงสองจํานวนทมี่ ากกวาหรือเทากบั ศูนยซ งึ่ x + y =1

ดงั นัน้ y= 1− x และ x ∈[0, 1]
ให f (x) แทนผลบวกของกําลังสองของ x และ 1 – x
จะได f ( x) = x2 + (1− x)2

= 2x2 − 2x +1 เม่อื x ∈[0, 1]
ดงั นน้ั f ′( x) = 4x − 2
ถา f ′( x) = 0 แลวจะได 4x − 2 =0

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 447

นัน่ คือ x = 1

2

ดงั นนั้ คาวิกฤตของฟง กชนั ในชว งเปด (0,1) คือ 1
2

ตอไปคาํ นวณหา f (0), f  1  และ f (1) จะได
 2 

f (0) = 1

f  1  =1
 2  2

f (1) = 1

สรุปไดวา f มีคาสงู สุดสัมบูรณที่ x = 0 และ x =1 โดยทค่ี า สูงสดุ สัมบรู ณคอื

f=(0) f=(1) 1

ดังนน้ั จะตอ งเลือกจาํ นวนจรงิ สองจาํ นวนคือ 0 และ 1 จึงจะทาํ ใหผ ลบวกของกําลังสอง
ของแตละจาํ นวนมีคา มากท่สี ุด

2) จากขอ 1) สรปุ ไดวา f มคี า ตา่ํ สดุ สัมบรู ณท ี่ x=1 และคา ตาํ่ สุดสัมบูรณค ือ f  1 = 1
2  2  2

ดังนนั้ จะตองเลือกจาํ นวนจริงท้งั สองจํานวนเปน 1 จงึ จะทําใหผ ลบวกของกาํ ลังสอง
2

ของแตละจํานวนมีคา นอยทีส่ ดุ

7. จาก p = 400 + 20x − x2

เนอื่ งจากกําไรและปริมาณปยุ ตอ งเปน จํานวนจรงิ ที่มากกวาหรอื เทา กับ 0 จงึ พจิ ารณาเฉพาะ

x ∈ 0, 10 +10 5 

จะได p′( x=) 20 − 2x
ถา p′( x) = 0 แลว จะได 20 − 2x =0
น่นั คือ x =10

ดังนั้น คา วิกฤตของฟง กช ันในชว งเปด (0, 10 +10 5) คือ 10

ตอไปคํานวณหา p(0), p(10) และ (p 10 +10 5) จะได

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

448 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

p(0) = 400
p(10) = 500

( )p 10 +10 5 =0

นน่ั คอื p(10) = 500 เปนคา สงู สดุ สัมบูรณ
จะไดว า จะตองใชป ุย 10 กโิ ลกรมั ตอ ทด่ี ิน 1 ไร จงึ จะไดกําไรสทุ ธิสงู สดุ และกําไรสทุ ธิสูงสุด
จากผลผลติ ตอไรคอื 500 บาท
8. จาก C (t) = 10 + 4t − 0.2t2 เม่อื t ∈[0,∞)
จะได C′(t ) = 4 − 0.4t
ถา C′(t) = 0 แลวจะได 4 − 0.4t =0
นนั่ คือ t =10
ดังนัน้ คา วกิ ฤตของฟง กชนั ในชว งเปด (0, ∞) คือ 10
ตอไปหาอนุพันธอ นั ดับที่ 2 ของฟงกชนั C จะได C′′(x) = −0.4
เนื่องจาก C′′(10) = −0.4 ซ่ึง −0.4 < 0
ดงั นั้น C มีคาสูงสดุ สัมบูรณที่ x =10 เพียงคาเดียวบนชวง (0, ∞)
ตอไปคํานวณหาคา C (0) และ C (10) จะได

C (0) = 10
C (10) = 30

น่นั คอื C (10) = 30 เปนคาสูงสุดสมั บรู ณ
จะไดว า อุณหภูมิจะขึน้ สูงสดุ เม่อื เวลาผานไป 10 วินาที และอุณหภูมสิ ูงสุดเปน 30 องศาเซลเซียส
9. ให x แทนความยาวรว้ั ทลี่ อมดานที่อยตู รงขา มแมน าํ้
และ y แทนความยาวร้วั ท่ีลอมแตล ะดา นที่เหลือ
เนอ่ื งจากตอ งการลอ มรั้วเปน รปู สี่เหลยี่ มมมุ ฉากทมี่ ีพ้นื ที่ 384 ตารางเมตร
จะได xy = 384
นนั่ คือ y = 384 เม่ือ x ∈(0, ∞)

x

ให P แทนคาใชจ า ยในการลอมร้ัว
จะได P = 3,000x + 2,000y

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 449

นั่นคอื P( x) = 3, 000 x + 2, 000  384  เมื่อ x ∈(0, ∞)
 x 

ดงั นั้น P′( x) = 3,000 − 2, 000 ( 384 )

x2

ถา P′( x) = 0 แลว จะได 2, 000 ( 384 ) = 0

3,000 −
x2

น่ันคือ x = 16 หรือ −16

เนื่องจาก −16∉(0, ∞)

ดังนนั้ คา วกิ ฤตของฟง กชนั ในชวงเปด (0, ∞) คือ 16

เน่ืองจาก P′( x) < 0 เมอื่ 0 < x <16

และ P′( x) > 0 เม่ือ x >16

จะได P เปนฟงกชนั ลดบนชว ง (0, 16) และ P เปนฟง กช นั เพมิ่ บนชว ง (16, ∞)

ดงั นั้น P มีคาต่าํ สดุ สมั พัทธท่ี x =16 เพยี งคา เดยี วบนชวง (0, ∞)

สรุปไดวา P มีคา สงู สุดสัมบรู ณที่ x =16

นน่ั คือ P(16) = 96,000 เปน คา ต่าํ สดุ สมั บูรณ

เนอ่ื งจาก x = 16 จะได y = 384 = 24

16

ดังนัน้ จะตองสรางร้วั ใหม คี วามกวาง 16 เมตร และความยาว 24 เมตร จึงจะทําใหค าใชจาย
ตาํ่ ท่ีสุด และคาใชจ า ยตํ่าท่สี ุดคอื 96,000 บาท

10. ให V (x) แทนความจุของกลองเม่ือตัดรูปส่ีเหลี่ยมจัตรุ สั ยาวดา นละ x เซนติเมตรท่ีมุมท้ังสี่ออก

จะได V ( x) = (20 − 2x)(24 − 2x) x

= 4x3 − 88x2 + 480x

เน่ืองจากความกวา ง ความยาว ความสงู และปริมาตรของกลอ งเปน จาํ นวนจรงิ บวก
จะได x ∈(0, 10)
ดงั นน้ั V ′( x) = 12x2 −176x + 480

( )= 4 3x2 − 44x +120

ถา V ′( x) = 0 แลว จะได ( )4 3x2 − 44x +120 =0

น่นั คือ x = 22 − 2 31 หรือ x = 22 + 2 31

33

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

450 คูมอื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

เนอื่ งจาก 22 + 2 31 ∉(0,10)

3

ดังน้ัน คา วกิ ฤตในชว งเปด (0,10) มีเพยี งคาเดียวคือ 22 − 2 31

3

เนือ่ งจาก V ′=′( x) 4(6x − 44) และ

′′ 22 − 2 31   22 −2 31  
3  =4 6 3  44 
( )V − =4 −4 31 <0

ดงั น้นั V  22 −2 31  ≈ 774.16 เปน คา สูงสุดสัมพัทธ
 3 

เนอ่ื งจาก V มีคาสูงสดุ สมั พัทธท่ี x = 22 − 2 31 เพยี งคาเดยี วบนชว ง (0,10)

3

สรุปไดว า V มีคาสูงสดุ สมั บรู ณที่ x = 22 − 2 31 บนชวง (0,10)

3

และคาสงู สดุ สมั บูรณค ือ V  22 −2 31  ≈ 774.16
 3 

จะไดว า กลองจะมีความจุมากทีส่ ดุ ประมาณ 774.16 ลูกบาศกเซนตเิ มตร เมอ่ื

x = 22 − 2 31 เซนตเิ มตร

3

11. ให P(x) แทนกําไรทไี่ ดจ ากการตั้งราคาสินคาช้ินละ x บาท เม่อื x∈[4,20]
เนื่องจาก จาํ นวนสนิ คา ที่ขายไดเ มื่อตั้งราคาสนิ คาช้ินละ x บาท คือ 1,000 +100(20 − x) ชน้ิ
ตอสปั ดาห
จะได P( x) = ( x − 4)(1000 +100(20 − x))

= −100x2 + 3,400x −12,000 เมื่อ x ∈[4,20]
ดงั นน้ั P′( x) = −200x + 3,400
ถา P′( x) = 0 แลวจะได −200x + 3,400 =0
นน่ั คือ x =17
ดังนัน้ คาวิกฤตของฟงกช ันในชว งเปด (4,20) คือ 17
ตอ ไปคาํ นวณหา P(4), P(17) และ P(20) จะได

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 451

P(4) = 0
P(17) = 16,900
P(20) = 16,000

สรปุ ไดว า P มีคา สูงสุดสมั บูรณที่ x =17 และคา สูงสดุ สัมบูรณคือ P(17) =16,900
ดังน้ัน พอคาควรจะตัง้ ราคาสินคา ช้นิ ละ 17 บาท จงึ จะไดกาํ ไรจากการขายมากทส่ี ดุ
12. ให x แทนความยาวของดา นของรปู สเี่ หลย่ี มมมุ ฉาก ดงั รปู

ให S (x) แทนพืน้ ที่ของรูปส่เี หล่ยี มมมุ ฉาก เมื่อ x∈(0, 120)
เนอ่ื งจาก ∆ ABC  ∆ ADE

จะได AB = AD น่นั คือ 120 = 120 − x ทําใหไดวา DE = 90(120 − x)
BC DE 90 DE
120

ดังนน้ั S ( x) =  90(120 − x) 
x 
 120 

= 90x − 3 x2 เมือ่ x ∈(0, 120)

4

ดงั นนั้ S′( x) = 90 − 3 x

2

ถา S′( x) = 0 แลวจะได 90 − 3 x =0

2

นั่นคือ x = 60

ดังนัน้ คา วกิ ฤตของฟงกช นั ในชวงเปด (0,120) คอื 60

ตอ ไปหาอนุพันธอันดบั ที่ 2 ของฟงกช ัน S จะได S′′(x) = − 3

2

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

452 คูมอื ครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

เนื่องจาก S′′(60) = − 3 ซง่ึ − 3 < 0

22

ดงั นัน้ S มีคา สูงสดุ สัมพัทธท ี่ x = 60 เพียงคา เดยี วบนชว ง (0, 120)

สรุปไดว า S มคี า สงู สดุ สมั บูรณที่ x = 60

ดงั น้นั ความยาวและความกวางของรูปสเี่ หลยี่ มมุมฉากท่ีมีพน้ื ที่มากทส่ี ดุ คือ 60 หนว ย และ

90(120 − 60) = 45 หนว ย ตามลําดับ

120

13. จากรูป จะไดว า =d a2 − w2
ดังน้ัน s = kwd 2

( )2

= kw a2 − w2

= a2kw − kw3 เม่ือ w∈(0, a)
ดังนนั้ s′(w) = a2k − 3kw2
ตอ ไปหาอนุพนั ธอนั ดบั ที่ 2 ของฟงกช ัน s จะได s′′(w) = −6kw

เนื่องจาก s′′ a  = −2 3ak ซึง่ −2 3ak < 0
3 

ดงั นนั้ s มีคาสูงสดุ สัมพทั ธท่ี w = a เพยี งคา เดียวบนชว ง (0, a)

3

สรปุ ไดว า s มคี า สูงสดุ สัมบรู ณที่ w = a

3

นน่ั คอื จะตองเล่ือยคานใหม คี วามกวา ง w = a เซนติเมตร และความหนา

3

d = a2 − w2 = a 6 เซนตเิ มตร จึงจะรบั น้าํ หนักไดมากทส่ี ดุ

3

14. จากโจทยจะไดวา เง่ือนไขของงบประมาณเขยี นแทนไดด ว ยสมการ 150x + 300y =315,000

นนั่ คือ=x 2,100 − 2y เมอ่ื 0 ≤ y ≤1,050

ภายใตเงอ่ื นไขน้ีจะ=ไดว า P 12

100(2,100 − 2 y)3 y 3

ใ=ห f ( y) 12

100(2,100 − 2 y)3 y 3

ตอ งการหาคา สูงสุดของ f ( y) บนชวงปด [0, 1050]

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 453

หาจดุ วิกฤตโดยพจิ ารณา

f ′( y) = 100 ( 2,100 − 1  2  −1 2  1  ( 2,100 − )2 y −2 ( −2 )
 3   3  3
2y)3 y3 +100 y 3

12

= 200  2,100 − 2 y 3 − 200  y 3
 y   2,100 − 2 y 
3   3  

ให f ′( y) = 0

12

จะได 200  2,100 − 2 y 3 = 200  y 3
   
3  y  3  2,100 − 2 y 

2,100 − 2 y = y

y = 700

ดงั น้ัน คา วกิ ฤตในชวงเปด (0, 1050) คอื 700

ตอ ไปคาํ นวณหา f (0) , f (700) และ f (1,050) จะได

f (0) = 0

f (700) = 70,000

f (1,050) = 0
ดังนั้น ถา y = 700 จะใหค าสูงสุดสัมบูรณบ นชว ง [0, 1050]
น่นั คือ จาํ นวนปากกาลกู ล่นื ที่มากทีส่ ุดทโ่ี รงงานนจ้ี ะผลิตไดใน 1 ชว่ั โมงภายใตง บประมาณ
315,000 บาท คอื 70,000 ดาม

15. จุดบนพาราโบลาจะอยใู นรปู  y2 , y  เมอ่ื y เปนจํานวนจรงิ
 2 
 

ให d ( y) แทนระยะทางระหวา งจดุ (1, 4) กบั จดุ  y2  บนพาราโบลา
 , y

2 

จะได d(y) =  y2 2 + ( y − 4)2
 2 −1



1

=  y4 −8y 2
 4 +17 



ดังนั้น 1 y4 − 1
( )d′( y) = 4 2
−8y +17  y3 −8
2 
 

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

454 คมู ือครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

1 y4  − 12
4 +17 


( )ถา d′( y) = 0 แลวจะได
2  −8y y3 − 8 =0


นน่ั คอื y = 2

ดังนัน้ คา วกิ ฤต คือ 2

เนอ่ื งจาก d′( y) < 0 เม่ือ y < 2

และ d′( y) > 0 เม่ือ y > 2

ดังนนั้ d เปนฟงกช นั ลดบน (−∞,2) และเปน ฟง กชนั เพ่ิมบน (2,∞)

น่นั คอื d มีคา ต่ําสดุ สัมพัทธที่ y = 2 เพยี งคาเดยี วในชว งเปด (−∞,∞)

ดังนน้ั d มีคาตํ่าสุดสมั บูรณท ี่ y = 2 และ d (2) = 5 เปนคา ตาํ่ สุดสัมบูรณ

จะไดวา จุดบนพาราโบลา y2 = 2x ทอี่ ยูใ กลจุด (1, 4) มากที่สุด คือ  22 , 2  = ( 2, 2)
 2 
 

16. ใหจุด A มพี ิกัดเปน (a,0) เม่ือ a ∈( p,∞)

ดังนัน้ สมการเสนตรงทผ่ี านจุด A และ ( p, q) และตดั แกน Y ท่ีจดุ B คอื

=y  p q a  ( x − a)
 − 
 

จากรปู จะไดว า จดุ B จะมพี ิกัดเปน  0, qa 
 a− p 
 

ให f (a) แทน OA + OB

จะได f (a) = a + qa เมื่อ a ∈( p,∞)

a− p

ดังนน้ั f ′(a) (a − p)q − qa(1) (a − p)2 − pq
= 1+ (a − p)2 = (a − p)2

ถา f ′(a) = 0 แลว จะได (a − p)2 − pq
(a − p)2 = 0

นนั่ คือ a= p + pq หรือ a= p − pq

เนอื่ งจาก p − pq ∉( p,∞)

ดงั นั้น คาวิกฤตในชว งเปด ( p,∞) คอื p + pq
เน่อื งจาก f ′(a) < 0 เมื่อ p < a < p + pq

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 455

และ f ′(a) > 0 เมื่อ a > p + pq

ดังนั้น f เปนฟงกช นั ลดบน ( p, p + pq ) และเปนฟง กช นั เพ่ิมบน ( p + )pq,∞
นน่ั คอื f ( p + )pq = p + q + 2 pq เปนคา ตาํ่ สุดสมั พทั ธเพยี งคา เดียวบนชว ง ( p,∞)

ดังนน้ั f ( p + )pq = p + q + 2 pq เปนคาต่ําสดุ สัมบรู ณบนชว ง ( p,∞)

จะไดว า คานอยท่ีสดุ ของ OA + OB ท่เี ปนไปไดคือ p + q + 2 pq

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

456 คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

แบบฝก หัด 2.9

1. จาก F (x) = x2 −1

จะได F′(x) ( )=1 x2 −1 −1 (2x)
นั่นคือ F′(x) 2

2

=x
x2 −1

= f (x)

ดงั นน้ั F (x) = x2 −1 เปนปฏิยานพุ ันธห นง่ึ ของฟงกชัน f (x) = x

x2 −1

∫ ( ) ∫ ∫ ∫2. 1) x4 + 3x2 + 5x dx = x4dx + 3 x2dx + 5 x dx

= x5 +  x3  +  x2  + c
5 3 3  5 2 
 
 

= x5 + x3 + 5x2 + c เม่ือ c เปน คาคงตัว

52

∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ∫2) 2x3 − 3x2 + 6 − 2x−2 dx = 2 x3dx − 3 x2dx + 6 1dx − 2 x−2 dx

= 2  x4  −  x3  + 6x − 2  x−1  + c
 4  3 3   −1 
    


= x4 − x3 + 6x + 2 + c เมือ่ c เปน คาคงตวั

2x

 x10 1  x10dx − x−3dx
∫ ∫ ∫3)  − x3  dx =

= x11 − x−2 + c
11 −2

= x11 + 1 +c เม่อื c เปนคาคงตัว
11 2x2

 1 2  x−2dx + 2 x−4dx
∫ ∫ ∫4)  x2 + x4  dx =

= x−1 +  x−3  + c
−1 2 −3 



= − 1 − 2 + c เม่ือ c เปน คาคงตวั
x 3x3

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 457

1

∫ ∫5) xdx = x2dx

3

= x2 +c
3

2

= 2 3 + c เมอื่ c เปนคา คงตัว

3 x2

 3 2 32

∫ ∫ ∫6)  x2 − x3  dx =
x 2dx − x 3dx

55

= x2 − x3 +c
55

23

55

= 2x2 − 3x3 + c เมื่อ c เปน คา คงตวั

55

 1 1  x−2dx − 1 −1
∫ ∫ ∫7)x2−2x  dx = 2
x 2dx

x−1  1
−1  
= − 1  x2  + c
2  1 

2

= − 1 − x + c เมอ่ื c เปน คา คงตัว

x

∫8) x2 ( x − 3) dx ( )∫= x3 − 3x2 dx

∫ ∫= x3dx − 3 x2dx

= x4  x3  + c
4 − 3 3 



= x4 − x3 + c เมอื่ c เปนคา คงตัว

4

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

458 คมู ือครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

x ( x +1) dx =  3 1
∫ ∫9)  x2 + x2  dx

31

∫ ∫= x2dx + x2dx

53

= x2 + x2 +c
5 3

22

53

= 2x2 + 2x2 + c เมอื่ c เปนคา คงตัว

53

∫10)  x − 2  dx ∫ ( )= x−2 − 2x−3 dx
 x3 

∫ ∫= x−2dx − 2 x−3dx

= x−1 −  x−2  + c
−1 2 −2 



= − 1 + 1 + c เมอ่ื c เปนคา คงตวั
x x2

( )∫ ∫ ∫ ∫11) x2 + 5x +1 dx = x2dx + 5 x dx + 1dx

= x3 +  x2  + x + c
3 5 2 



= x3 + 5x2 + x + c เมอื่ c เปน คา คงตัว

32

( )∫12) 6 x +15 dx 1

∫ ∫= 6 x2dx +15 1dx

 3
 
= 6 x2  + 15 x + c
3 

2

3

= 4x2 +15x + c เมือ่ c เปนคา คงตัว

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 459

∫ ( ) ∫ ∫ ∫13) x3 + 5x2 + 6 dx = x3dx + 5 x2dx + 6 1dx

= x4 +  x3  + 6x + c
4 5 3 



= x4 + 5x3 + 6x + c เม่ือ c เปนคา คงตวั

43

 6 +8  −1 1
 x 
6 x 2dx + 8 x 2dx
∫ ∫ ∫14) x dx =

 1  3
   
= 6 x2  + 8 x2  + c
1  3 
 
2 2

3

= 12 x + 16x2 + c เม่ือ c เปน คา คงตวั

3

∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ∫15) x4 −12x3 + 6x2 −10 dx = x4dx −12 x3dx + 6 x2dx −10 1dx

= x5 −12  x4  +  x3  −10x + c
5  4  6 3 
  


= x5 − 3x4 + 2x3 −10x + c เมอ่ื c เปน คาคงตวั

5

3. จาก f ′(x) = x
จะได
f ( x) = ∫ x dx

เนื่องจาก = x2 + c เมอื่ c เปนคาคงตวั

2

f (2) = 2

ดงั น้นั 22 + c = 2

2

น่นั คอื c = 0

จะได f (x) = x2

4. จาก 2
จะได
f ′′( x) = −2
เมอื่ c1 เปนคาคงตวั
f ′( x) = ∫ −2dx

= −2x + c1

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

460 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

เนอ่ื งจาก f มคี า สูงสุดสมั พัทธเ มอื่ x =1
จะไดวา 1 เปนคาวิกฤตของ f
นัน่ คอื f ′(1) = 0

−2(1) + c1 = 0

c1 = 2

ดังน้นั f ′( x) = −2x + 2

จะได f ( x) = ∫(−2x + 2)dx

= −2∫ x dx + 2∫1dx

= −2  x2  + 2 x + c2
 2 
 

= −x2 + 2x + c2 เมือ่ c2 เปนคาคงตวั

เนื่องจาก f (1) = 2

−12 + 2(1) + c2 = 2

ดงั นนั้ c2 = 1

f (x) = −x2 + 2x +1

5. 1) เนื่องจาก dy = x2 − 3x + 2

dx

จะได ( )∫y= x2 − 3x + 2 dx

ดังนน้ั สมการเสน โคง คอื y = x3 − 3x2 + 2x + c เมอ่ื c เปน คาคงตวั

32

แตเสน โคงน้ผี านจดุ (2, 1) น่นั คือ x = 2 และ y =1 สอดคลองกบั สมการเสนโคง

แทน x และ y ในสมการเสน โคง ดวย 2 และ 1 ตามลําดบั

จะได 3( )1 =2322+ 2(2)+ c น่ันคอื c = 1
−
32 3

ดังนัน้ สมการเสน โคง ท่ีตองการคอื y = x3 − 3x2 + 2x + 1
32 3

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 461

2) เนื่องจาก d=y 2x3 + 4x

dx

จะได =y ∫(2x3 + 4x)dx

ดังนัน้ สมการเสนโคง คอื y =x4 + 2x2 + c เมอื่ c เปน คาคงตัว

2

แตเ สนโคง น้ีผา นจุด (0, 5) นั่นคอื x = 0 และ y = 5 สอดคลองกับสมการเสนโคง

แทน x และ y ในสมการเสน โคง ดวย 0 และ 5 ตามลําดับ

จะได 5 =04 + 2(0)2 + c นั่นคอื c = 5

2

ดงั นัน้ สมการเสนโคง ท่ีตองการคือ y =x4 + 2x2 + 5

2

3) เนือ่ งจาก dy =6 + 3x2 − 2x4

dx

จะได ∫( )y = 6 + 3x2 − 2x4 dx

ดังนน้ั สมการเสนโคง คอื y = 6x + x3 − 2x5 + c เมอ่ื c เปน คาคงตวั

5

แตเสนโคง น้ผี า นจุด (1, 0) นน่ั คอื x =1 และ y = 0 สอดคลองกบั สมการเสนโคง

แทน x และ y ในสมการเสนโคงดว ย 1 และ 0 ตามลาํ ดับ

จะได 0 = 6(1) + (1)3 − 2(1)5 + c นนั่ คือ c = − 33

55

ดงั น้ัน สมการเสน โคงทีต่ องการคอื y =− 2 x5 + x3 + 6x − 33
55

6. 1) เนอื่ งจาก a(t) = v′(t)

ดงั นัน้ v′(t) = 6 − 2t

จะได v(t) = ∫(6 − 2t)dt เม่ือ c1 เปน คาคงตวั
เน่ืองจาก
= 6t − t2 + c1

v(0) = 5

ดงั นน้ั 6(0) − (0)2 + c1 = 5

c1 = 5

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

462 คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

จะได v(t ) = 6t − t2 + 5 เม่ือ 0 ≤ t ≤ 3
เนื่องจาก v(t) = s′(t)
ดังนัน้
s′(t ) = 6t − t2 + 5

จะได s(t) = ∫(6t − t2 + 5)dt

= 3t 2 − t3 + 5t + c2 เม่ือ c2 เปนคา คงตัว
3

เน่อื งจาก s(0) = 0

ดงั นน้ั 3(0)2 − (0)3 + 5(0) + c2 = 0

3

c2 = 0

จะได s(t ) = 3t2 − t3 + 5t เมือ่ 0 ≤ t ≤ 3
2) เน่ืองจาก
3

a(t) = v′(t)

ดงั น้นั v′(t) = 120t −12t2

จะได v(t ) ( )∫= 120t −12t2 dt
เนอ่ื งจาก
= 60t2 − 4t3 + c1 เม่ือ c1 เปน คา คงตวั

v(0) = 0

ดงั นั้น 60(0)2 − 4(0)3 + c1 =0

จะได c1 =0
เน่อื งจาก
ดงั น้นั v(t) = 60t2 − 4t3 เมอ่ื 0 ≤ t ≤ 10
v(t) = s′(t)
s′ (t )
= 60t2 − 4t3

จะได ( )∫s(t ) = 60t2 − 4t3 dt
เนือ่ งจาก
= 20t3 − t4 + c2 เม่อื c2 เปน คา คงตัว

s(0) = 4

ดังนั้น 20(0)3 − (0)4 + c2 = 4

c2 = 4

จะได s(t) = 20t3 − t4 + 4 เม่อื 0 ≤ t ≤10

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 463

3) เนอื่ งจาก a(t) = v′ (t )
ดงั นั้น v′(t) =
v(t) = t2 + 5t + 4
จะได
∫(t2 + 5t + 4)dt

= t3 + 5t 2 + 4t + c1 เมือ่ c1 เปนคาคงตวั
3 2

เนื่องจาก v(0) = −2

ดงั นั้น (0)3 + 5(0)2 + 4(0) + c1 = −2

3 2

c1 = −2

จะได v(t) = t3 + 5t2 + 4t − 2 เมือ่ 0 ≤ t ≤15

32

เนอื่ งจาก v(t) = s′(t)

ดงั นั้น s′(t ) = t3 + 5t2 + 4t − 2
จะได
32
เนอ่ื งจาก
∫s(t) =  t3 + 5t 2 + 4t − 
 3 2 2 dt



= t4 + 5t 3 + 2t 2 − 2t + c2 เม่อื c2 เปนคาคงตัว
12 6

s(0) = −3

ดงั น้ัน (0)4 + 5(0)3 + 2(0)2 − 2(0) + c2 = −3

12 6

c2 = −3

จะได s(t ) = t4 + 5t3 + 2t2 − 2t − 3 เมือ่ 0 ≤ t ≤15

12 6

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

464 คูม ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

7. 1) ให s(t) เปนความสูงของวตั ถุจากพ้ืนดนิ (หนว ยเปนเมตร) ณ เวลา t วินาที

v(t) เปนความเร็วของวัตถุ (หนวยเปนเมตรตอวนิ าที) ขณะเวลา t ใด ๆ

a(t) เปนความเรงของวตั ถุ (หนว ยเปน เมตรตอ วินาที2) ขณะเวลา t ใด ๆ

เนอื่ งจาก a(t) = v′(t) และความเรง มีทิศลงสพู น้ื โลก

ดงั นน้ั v′(t) = −9.8

จะได v(t ) = ∫(−9.8)dt
เน่อื งจาก v(0) = 98
= −9.8t + c1 เมือ่ c1 เปน คา คงตวั

ดังนั้น v(0) = 98

−9.8(0) + c1 = 98

c1 = 98

นน่ั คือ v(t) =−9.8t + 98

เน่ืองจาก v(t) = s′(t)

จะได s′(t) = −9.8t + 98

ดังน้ัน s(t ) = ∫(−9.8t + 98)dt
เนอ่ื งจาก
= −4.9t2 + 98t + c2 เมือ่ c2 เปนคาคงตวั

s(0) = 0

ดงั นัน้ −4.9(0)2 + 98(0) + c2 = 0

c2 = 0

จะได s(t ) = −4.9t2 + 98t

เนอ่ื งจาก s(t) ≥ 0

ดงั น้นั −4.9t2 + 98t ≥ 0

t (t − 20) ≤ 0

นนั่ คอื 0 ≤ t ≤ 20

จะได s(t) = −4.9t2 + 98t เมอื่ 0 ≤ t ≤ 20

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 465

2) จาก s′(t ) = −9.8t + 98

ถา s′(t) = 0

จะได t = 10

ดังนัน้ คาวิกฤตของฟง กชัน s ในชวง (0, 20) คือ 10

เน่อื งจาก s(10) =−4.9(10)2 + 98(10) =490

s (0) =−4.9(0)2 + 98(0) =0

และ s (20) =−4.9(20)2 + 98(20) =0
สรปุ ไดว า ฟง กช ัน S มคี า สงู สดุ สัมบรู ณท่ี s =10 และคา สงู สุดสมั บูรณ คอื s(10) = 490
ดังนัน้ วตั ถุข้ึนไปถงึ ตาํ แหนงสูงสดุ เมื่อเวลาผานไป 10 วนิ าที และตําแหนงสูงสุดของวตั ถุ
คือ 490 เมตร
3) ตอ งการหา t ทท่ี ําให s(t) = 249.9
เน่ืองจาก s(t) = −4.9t2 + 98t เมอ่ื 0 ≤ t ≤ 20
ดังน้ัน 249.9 = −4.9t2 + 98t
นัน่ คอื t2 − 20t + 51 = 0

(t − 3)(t −17) = 0

จะได t = 3 หรือ t =17
น่ันคือ ตอ งใชเวลา 3 วนิ าที หรือ 17 วินาที วตั ถจุ งึ อยูส ูง 249.9 เมตร จากพ้ืนดนิ

8. เนอื่ งจาก a(t) = 1 (20 − t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 20 และ a(t) = v′(t)

4

ดงั น้ัน v(t) = ∫ 1 ( 20 − t ) dt
4

= 5t − t2 + c1 เม่ือ c1 เปน คาคงตัว และ 0 ≤ t ≤ 20
8

เน่ืองจาก v(0) = 0

ดงั นนั้ 5(0) − 02 + c1 =0
8

c1 = 0

จะได v(t) = 5t − t2 เมอ่ื 0 ≤ t ≤ 20

8

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

466 คูมือครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

เนือ่ งจากรถไฟแลน ดวยความเรว็ เทาเดมิ หลงั วนิ าทีที่ 20

และ v(20) = 5(20) − 202 = 50

8

ดงั น้ัน หลงั วนิ าทที ่ี 20 รถไฟแลนดว ยความเร็ว 50 เมตรตอ วนิ าที

เนื่องจาก v(t ) = 5t − t2 เม่อื 0 ≤ t ≤ 20 และ v(t) = s′(t)
ดงั นั้น
8
เน่อื งจาก
∫s(t) =  5t − t2  dt
 8 
 

= 5t 2 − t3 + c2 เมือ่ c2 เปนคา คงตัว และ 0 ≤ t ≤ 20
2 24

s(0) = 0

ดังนัน้ 5(0)2 − 03 + c2 =0
24
2

c2 = 0

จะได s(t) = 5t2 − t3 เมอื่ 0 ≤ t ≤ 20

2 24

เนื่องจาก s(20) = 5(20)2 − (20)3 = 2000

2 24 3

ดังนนั้ ณ วินาทีท่ี 20 รถไฟอยูหา งจากสถานตี นทางเปนระยะ 2000 เมตร

3

เน่ืองจาก หลงั วินาทีท่ี 20 รถไฟแลน ดว ยความเรว็ 50 เมตรตอวินาที

ดงั นั้น จากวนิ าทที ี่ 20 จนถงึ วินาทที ี่ 30 รถไฟแลน ไดระยะทางเพิม่ ข้นึ อีก 50(30 − 20) =500 เมตร

นั่นคือ เมื่อเวลาผานไป 30 วนิ าที รถไฟจะอยูหา งจากสถานีตนทางเปนระยะทาง

2,000 + 500 ≈ 1,166.67 เมตร

3

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 467

9. เนอ่ื งจาก d N (t ) = 1200t2 −15t4

dt

ดังน้ัน ( )∫N (t) = 1200t2 −15t4 dt

= 400t3 − 3t5 + c เม่ือ c เปน คาคงตวั

เนื่องจาก N (0) = 600

ดงั นน้ั 400(0)3 − 3(0)5 + c = 600

c = 600

จะได N (t ) = 400t3 − 3t5 + 600
ดังนั้น จาํ นวนปรสติ ณ เวลา t สปั ดาห คอื 400t3 − 3t5 + 600 ตัว

10. เนอื่ งจาก d H (t) = 1 t 1
4

dt 4

ดังนน้ั ∫H (t) = 1 t 1 dt
4

4

5

เน่ืองจาก = t4 + c เมื่อ c เปน คา คงตัว

5

H (0) = 1

5

ดงั นนั้ 04 + c = 1

5
c =1

5

จะได H (t) = t 4 +1

5

5

ดังน้ัน ตนไมตน นีจ้ ะสูง t 4 +1 เมตร ในเวลา t ป

5

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

468 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

11. 1) ให C (x) เปนคา ใชจา ยรวมสาํ หรบั งานชนดิ หน่งึ (หนวย : รอ ยบาท)

เมอ่ื x แทนจํานวนวันนับต้งั แตเริ่มงาน

เนือ่ งจาก E ( x) = 120x + 60 และ C′( x) = E ( x)

ดังน้นั C ( x) = ∫(120x + 60)dx

= 60x2 + 60x + c เม่ือ c เปน คา คงตัว

เน่อื งจาก C(0) = 0

ดังนัน้ 60(0)2 + 60(0) + c = 0

c =0

จะได C ( x) = 60x2 + 60x

เน่ืองจาก C (10) = 60(10)2 + 60(10) = 6,600

ดังนั้น หากงานดังกลา วใชเ วลา 10 วัน คา ใชจ า ยรวมจะเปน 6,600×100 =660,000 บาท

2) เนอ่ื งจาก C (25) = 60(25)2 + 60(25) = 39,000

ดังน้ัน หากงานดังกลาวใชเ วลา 25 วัน คา ใชจา ยรวมจะเปน 3,900,000 บาท

นั่นคอื คาใชจายรวมทเ่ี พิ่มขน้ึ นับตั้งแตวนั ท่ี 10 ถึงวนั ท่ี 25 คอื
3,900,000 − 660,000 = 3, 240,000 บาท

12. ให F (x) เปนพลังงานรวมโดยประมาณท่ีบา นอยูอาศยั ใช ณ ป ค.ศ. x + 2000

จะได F ( x) = ∫ f ( x)dx

∫ ( )= 2.17x2 − 9.74x +19.956 dx

= 2.17 x3 − 4.87x2 +19.956x + c เมอ่ื c เปนคา คงตัว

3

ดังนน้ั =F (40) 2.17 (40)3 − 4.87(40)2 +19.956(=40) + c 39, 299.57 + c

3

F=(15) 2.17 (15)3 − 4.87(15)2 +19.956(15=) + c 1,644.84 + c

3

นั่นคอื พลงั งานรวมทบ่ี า นอยูอาศัยใชต้ังแต ค.ศ. 2015 ถงึ 2040 มคี า ประมาณ

F (40) − F (15) =37,654.73 ลานลานบีทียู

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 469

แบบฝกหดั 2.10

1. 1) เน่ืองจาก ∫( x3 + 3)dx = x4 + 3x + c เมอ่ื c เปนคาคงตัว
4

จะไดวา ปฏิยานพุ ันธของ f ( x=) x3 + 3 คอื F ( x) = x4 + 3x + c

4

ดงั นั้น ∫( )4 =  x4 +  4
x3 + 3 dx  4 3x  3

3 

=  44 + 3(4)  −  34 + 3(3)
 4   4
  

= 187
4

2) เน่ืองจาก ∫( x2 − 2x − 3)dx = x3 − 2x2 − 3x + c
32

= x3 − x2 − 3x + c เม่ือ c เปนคาคงตัว
3

จะไดว า ปฏยิ านพุ นั ธข อง f ( x) = x2 − 2x − 3 คอื F ( x) = x3 − x2 − 3x + c

3

ดงั นัน้ ∫( )4 =  x3 − x2 4
x2 − 2x − 3 dx 

− 3x
1  3 1

=  43 − 42 − 3(4)  −  13 − 12 − 3(1)
  
3  3 

= −3

3) เนอ่ื งจาก ( )∫ 4x3 + 2x dx = 4x4 + 2x2 + c
42
= x4 + x2 + c เมื่อ c เปน คาคงตัว

จะไดวา ปฏยิ านพุ นั ธข อง f (=x) 4x3 + 2x คอื F ( x) = x4 + x2 + c

ดงั น้ัน ∫ ( ) ( )1 4x3 + 2x dx = x4 + x2 1
−1 −1
( )( )= 14 +12 − (−1)4 + (−1)2

=0

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

470 คมู อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

4) เนอ่ื งจาก ∫ ∫1 = x −2 dx
x2 dx

= x−1 + c
−1

= −1+c เมอ่ื c เปน คาคงตัว
x

จะไดวา ปฏิยานุพันธของ f ( x) = 1 คอื F ( x) =− 1 + c
x2
x

ดงั นน้ั ∫−1 1  1  −1
 x 
−3 x2 dx = −

−3

=  − 1  −  − 1 
 −1   −3 

2
=3

5) เนื่องจาก ∫ ∫ ∫ 3 
x3 

x2 + dx = x2dx + 3 x−3dx

= x3 +  x−2  + c
3 3 −2 



= x3 − 3 + c เมอ่ื c เปนคาคงตวั
3 2x2

จะไดว า ปฏยิ านพุ นั ธของ f ( x=) x2 + 3 คือ F ( x) =x3 − 3 +c
x3 2x2
3

ดงั น้นั ∫4  x2 + 3  dx =  x3 − 3  4
 x3   3 2x2  2
2  

=  43 − 3   23 − 3 
 3  −  3 
2(4)2 2(2)2

1,819
= 96

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 471

6) เนือ่ งจาก ∫ (−x4 + x2 −1)dx = −∫ x4dx + ∫ x2dx − ∫1dx

= − x5 + x3 − x + c เมือ่ c เปนคาคงตวั

53

จะไดว า ปฏยิ านุพันธของ f ( x) =−x4 + x2 −1 คือ F ( x) =− x5 + x3 − x + c

53

ดังนน้ั ∫ ( )1 =  − x5 + x3 − 1
−x4 + x2 −1 dx  5 3
 
−1 x

 −1

=  − 15 + 13 −1  ( −1)5 + ( −1)3 
 5 3  −  −
 5 3 − (−1)

= − 26
15

7) เน่ืองจาก ∫ x( x2 +1)dx = ∫ ( x3 + x)dx

= ∫ x3dx + ∫ x dx

= x4 + x2 + c เมื่อ c เปนคา คงตัว
42

จะไดวา ปฏิยานพุ นั ธของ f=( x) x( x2 +1) คอื F ( x) = x4 + x2 + c
42

ดงั นัน้ ∫ ( )1 =  x4 + x2 1
x x2 +1 dx  4 2
 
0 
0

 14 + 12  −  04 + 02 
=  2   4 2 
 4   

3
=4

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

472 คูมอื ครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

8) เนอ่ื งจาก ( )∫ x2 x2 +1 2 dx ( )∫= x6 + 2x4 + x2 dx

= ∫ x6dx + 2∫ x4dx + ∫ x2dx

= x7 + 2x5 + x3 + c เมือ่ c เปนคา คงตวั

753

จะไดว า ปฏิยานพุ นั ธข อง =f ( x) ( )x2 x2 +1 2 คือ F ( x) = x7 + 2x5 + x3 + c
753

ดังนน้ั ∫ ( )1 =  x7 + 2x5 + x3  1
x2 x2 +1 2 dx  7 5 3  0
 
0

=  17 + 2 (1)5 + 13   07 + 2(0)5 + 03 
 7 3  −  7 3 
5 5

92
= 105

9) เนื่องจาก ∫  2x − x3  = 2∫ x dx − 1 ∫ x3 dx
 3  dx 3
 

= 2x2 − 1 ⋅ x4 + c
2 34

= x2 − x4 + c เม่อื c เปน คา คงตวั
12

จะไดวา ปฏยิ านพุ ันธของ f ( x=) 2x − x3 คอื F ( x) = x2 − x4 + c

3 12

ดงั นนั้ ∫4  − x3  dx =  x2 − x4  4
 2x 3   12  1
1    

=  42 − 44  − 12 − 14 
 12   12 
  

= − 25
4

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 473

10) เนื่องจาก ( ) ∫( )∫ x x2 +1 2 dx = x5 + 2x3 + x dx

∫ ∫ ∫= x5dx + 2 x3dx + x dx

= x6 + x4 + x2 + c เมอื่ c เปน คา คงตวั
622

จะไดว า ปฏยิ านุพนั ธของ f=( x) ( )x x2 +1 2 คอื F ( x) = x6 + x4 + x2 + c
622

ดังนน้ั ∫ ( )2 =  x6 + x4 + x2  2
x x2 +1 2 dx  6 2 2  0
 
0

=  26 + 24 + 22  −  06 + 04 + 02 
 6 2 2   6 2 2 
   

62
=3

2. เน่อื งจาก v(t) เปน ปฏิยานพุ นั ธข อง a(t)

ดงั นนั้ 5 = v(5) −v(0)

∫ a(t)dt
0

เนอ่ื งจาก 5 และ v(0) = 20

∫ a(t )dt =10
0

ดังน้ัน 10 = v(5) − 20

น่ันคือ v(5) = 30

จะไดวา ความเร็วของรถยนตคนั นีข้ ณะเวลา 5 วนิ าที คือ 30 เมตรตอ วินาที

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

474 คูมอื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

แบบฝก หดั 2.11

1. 1) กราฟของ f (x) = x2 เปน รูปพาราโบลาหงาย และ f (x) ≥ 0 สาํ หรบั ทุก x ท่ีอยู
ในชว ง [−3, 0]
ให A แทนพ้นื ที่ของบริเวณที่ปดลอมดวยเสน โคง y = x2 จาก x = −3 ถึง x = 0
เนื่องจาก f (x) ≥ 0 สาํ หรับทุก x ทอี่ ยใู นชวง [−3, 0]

∫จะได A= 0 x3 0 = 0 − (−9) = 9

x2dx =
3−3 −3

ดงั นน้ั พื้นท่ีของบริเวณท่ีปด ลอมดว ยเสนโคง y = x2 จาก x = −3 ถึง x = 0 เทากับ

9 ตารางหนว ย

2) กราฟของ f (x)= x +1 เปน เสนตรง และ f (x) ≥ 0 สําหรับทุก x ทีอ่ ยูในชว ง [−1, 1]

ให A แทนพื้นที่ของบรเิ วณทป่ี ดลอมดว ยเสน โคง y= x +1 จาก x = −1 ถึง x =1

เน่อื งจาก f (x) ≥ 0 สําหรบั ทกุ x ทอี่ ยูในชว ง [−1, 1]

จะได ∫A = 1  x2 + 1 = 3 −  − 1  = 2
 2 2  2 
( x +1)dx =  
x
−1
 −1

ดังน้ัน พื้นท่ีของบรเิ วณทป่ี ดลอมดวยเสนโคง y= x +1 จาก x = −1 ถึง x =1 เทากับ

2 ตารางหนวย

3) กราฟของ f ( x) = 6 + x − x2 เปน รปู พาราโบลาควํ่า และ f ( x) ≥ 0 สาํ หรบั ทุก x

ท่ีอยใู นชว ง [−1, 1]

ให A แทนพ้นื ท่ีของบรเิ วณที่ปดลอ มดวยเสนโคง y = 6 + x − x2 จาก x = −1 ถึง x =1

เนื่องจาก f (x) ≥ 0 สําหรับทุก x ท่ีอยใู นชวง [−1, 1]

1  x2 x3  1 37 31 34
6x 2 3  6 6 3
6 + x − x2 dx=   =

−1
∫ ( )จะไดA= + − = − −

 −1

ดังนน้ั พนื้ ท่ีของบรเิ วณท่ีปด ลอมดวยเสนโคง y = 6 + x − x2 จาก x = −1 ถงึ x =1

เทากับ 34 ตารางหนวย

3

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 475

4) กราฟของ f (x)= 9 − x2 เปนรปู พาราโบลาควา่ํ และ f (x) ≥ 0 สําหรบั ทกุ x ที่อยู
ในชวง [−3, 3]
ให A แทนพื้นท่ีของบริเวณที่ปดลอมดว ยเสน โคง y= 9 − x2 จาก x = −3 ถึง x = 3
เน่ืองจาก f (x) ≥ 0 สําหรับทุก x ที่อยูใ นชว ง [−3, 3]

3  x3  3
9x 3  −3
9 − x2  

−3
( )∫จะไดA= dx = − = 18 − (−18)= 36

ดังนนั้ พื้นที่ของบรเิ วณทปี่ ดลอมดวยเสนโคง y= 9 − x2 จาก x = −3 ถงึ x = 3 เทา กบั

36 ตารางหนวย

5) กราฟของ f (x=) x2 − 25 เปน รูปพาราโบลาหงาย และ f (x) ≤ 0 สาํ หรับทุก x ท่ี

อยูใ นชวง [−1, 3]

ให A แทนพนื้ ที่ของบริเวณทป่ี ดลอมดว ยเสนโคง =y x2 − 25 จาก x = −1 ถงึ x = 3

เนื่องจาก f (x) ≤ 0 สาํ หรับทุก x ทีอ่ ยูใ นชว ง [−1, 3]

3  x3  3 74 =272
 3  3 3
A =−    
 
−1
( )∫จะได
x2 − 25 dx =− − 25x =− −66 −

−1

ดงั นั้น พ้ืนที่ของบรเิ วณท่ปี ดลอมดวยเสนโคง =y x2 − 25 จาก x = −1 ถงึ x = 3

เทากับ 272 ตารางหนวย

3

2. จากทฤษฎีบทหลกั มูลของแคลคูลสั จะไดว า 1

F (1) − F (0) =∫ f ( x)dx
0

เนอ่ื งจากพนื้ ทีข่ องบริเวณท่ีปดลอมดว ยกราฟของ f บนชว ง [0, 1] เทากับ 1 (1)(2) =1 ตารางหนว ย

2

ดังนนั้ 1

∫ f ( x)dx = −1
0

และเนอ่ื งจาก F (0) = 0

ดังน้ัน 1

F (1) =∫ f ( x)dx + F (0) =−1+ 0 =−1
0

ตอไปหาคาของ F (2)

จากทฤษฎีบทหลักมลู ของแคลคูลสั จะไดวา 2

F (2) − F (1) =∫ f ( x)dx
1

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

476 คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

เน่ืองจากพน้ื ท่ีของบริเวณทป่ี ดลอ มดว ยกราฟของ f บนชวง [1, 2] เทากับ

1 (2 +1)(1) =3 ตารางหนว ย

22

ดังนน้ั 2 f ( x)dx = −3
2
∫

1

และเนือ่ งจาก F (1) = −1

ดังนั้น F (2) 2 f ( x ) dx + F (1) =− 3 + ( −1) =− 5
2 2
=∫
1

ตอไปหาคาของ F (3)

จากทฤษฎบี ทหลกั มลู ของแคลคลู สั จะไดว า 3

F (3) − F (2) =∫ f ( x)dx
2

เนือ่ งจากพน้ื ที่ของบรเิ วณทป่ี ดลอ มดวยกราฟของ f บนชวง [2, 3] เทา กับ

1 (1)(1) = 1 ตารางหนว ย

22

ดงั นั้น 3 f ( x)dx = −1
2
∫

2

และเนื่องจาก F (2) = − 5

2

ดังนน้ั F (3) 3 f ( x) dx + F (2) =− 1 +  − 5  =−3
2  2 
=∫
2

ตอ ไปหาคาของ F (4)

จากทฤษฎบี ทหลักมูลของแคลคลู สั จะไดวา 4

F (4) − F (3) =∫ f ( x)dx
3

เนอื่ งจากพนื้ ที่ของบริเวณทป่ี ดลอมดว ยกราฟของ f บนชว ง [3, 4] เทากบั

1 (1)(1) = 1 ตารางหนวย

22

ดงั น้ัน 4 f ( x) dx = 1
2
∫

3

และเนื่องจาก F (3) = −3

ดังนั้น F (4) 4 f ( x) dx + F (3) =1 + ( −3) =− 5
2 2
=∫
3

ตอ ไปหาคาของ F (5)

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 477

จากทฤษฎบี ทหลกั มูลของแคลคลู สั จะไดว า 5

F (5) − F (4) =∫ f ( x)dx
4

เนือ่ งจากพื้นที่ของบรเิ วณทป่ี ดลอ มดว ยกราฟของ f บนชวง [4, 5] เทา กับ

1 (1)(1) = 1 ตารางหนว ย

22

ดงั น้ัน 5 f ( x) dx = 1
2
∫

4

และเนือ่ งจาก F (4) = − 5

2

ดังนั้น F (5) 5 f ( x) dx + F (4) =1 +  − 5  =−2
2  2 
=∫
4

สรุปไดวา F (1) = −1 , F (2) = − 5 , F (3) = −3, F (4) = − 5 และ F (5) = −2

22

3. ให F เปน ปฏิยานพุ ันธข องฟงกชนั f

จากทฤษฎีบทหลกั มูลของแคลคลู ัส จะไดวา 2

F (2) − F (0) =∫ f ( x)dx
0

เนอื่ งจากพ้ืนที่ของบรเิ วณท่ีปดลอมดว ยกราฟของ f บนชว ง [0, 2] เทา กับ 5 ตารางหนวย

ดังน้ัน 2

∫ f ( x)dx = 5
0

และเน่ืองจาก F (0) = 3

ดงั นั้น 2

F (2) = ∫ f ( x)dx + F (0) = 5 + 3 = 8
0

ตอ ไปหาคาของ F (5)

จากทฤษฎบี ทหลกั มูลของแคลคลู สั จะไดว า 5

F (5) − F (2) =∫ f ( x)dx
2

เน่ืองจากพื้นท่ีของบริเวณทีป่ ดลอ มดว ยกราฟของ f บนชวง [2, 5] เทากบั 16 ตารางหนว ย

ดังนนั้ 5

∫ f ( x)dx = −16
2

และเนื่องจาก F (2) = 8

ดังนัน้ 5

F (5) =∫ f ( x)dx + F (2) =−16 + 8 =−8
2

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

478 คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

ตอ ไปหาคา ของ F (6)

จากทฤษฎีบทหลกั มูลของแคลคูลสั จะไดว า 6

F (6) − F (5) =∫ f ( x)dx
5

เนือ่ งจากพื้นที่ของบรเิ วณท่ปี ดลอ มดว ยกราฟของ f บนชว ง [5, 6] เทา กบั 10 ตารางหนว ย

ดงั น้ัน 6

∫ f ( x)dx = 10
5

และเนือ่ งจาก F (5) = −8

ดงั น้นั 6

F (6)= ∫ f ( x)dx + F (5)= 10 + (−8)= 2
5

สรุปไดวา F (2) = 8 , F (5) = −8 และ F (6) = 2

4. เน่ืองจาก v(t) = 60=เมื่อ t =20 1 ชัว่ โมง
60 × 60
180

ดังนั้น ตอ งหา s  1 
 180 

เนอื่ งจาก s(t) เปน ปฏิยานพุ ันธของ v(t)

1

จากทฤษฎีบทหลกั มูลของแคลคลู ัส จะไดว า s  1  − s ( 0 ) 180 ) dt
 180 
=∫ v(t
0

เน่ืองจากพื้นท่ีของบริเวณที่ปดลอมดวยกราฟของ v บนชว ง 0, 1  เทากบั
180 

1 (30)  60 5 60  + 1 (30 + 50)  5 + 1 (50 + 60) 10  =1418 ตารางหนวย
2  ×   60 × 60  2 60 × 60 
2

1

ดังน้ัน ∫180 v(t ) dt = 11

0 48

และเนอื่ งจาก s(0) = 0

1

ดงั นนั้ s  1  = 180 11 + 0 = 11
 180  48 48
∫ v(t )dt + s(0)=

0

น่ันคือ รถยนตคนั นแี้ ลนได 11 กิโลเมตร ในเวลา 20 วินาที

48

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 479

แบบฝกหัดทา ยบท

( )1. 1) lim 7x6 −11x4 + 9 = 7(0)6 −11(0)4 + 9 = 9
x→0

2) lim x7 + x5 +1 = 17 +15 +1
=3
x→1 x 1

3) จัดรปู ฟง กช ันใหม ดังนี้

( )x3 − x2 − x − 2
=
(x − 2) x2 + x +1 = x2 + x +1 เม่ือ x ≠ 2

x−2 x−2

lim x3 − x2 − x − 2 = lim x2 + x +1 = 7
( )ดังนนั้
x→2 x − 2 x→2

4) เนอื่ งจาก x −1 = −( x −1) เมือ่ x <1

จะได lim x −1 = lim x −1
x→1− x −1 x→1− −( x −1)

= lim x −1 −( x −1)

⋅
x→1− −( x −1) −( x −1)

= lim ( x −1) −( x −1)
x→1−
−( x −1)

( )= lim − −( x −1)
x→1−

=0

และเนื่องจาก x −1 = x −1 เม่อื x >1

จะได lim x −1 = lim x −1
x→1+ x −1 x→1+ x −1

x −1⋅ x −1
= lim

x→1+ x − 1

เนื่องจาก l=im x −1 = lim x −1
x→1− x −1 x→1+

=0
l=im x −1 0
x→1+ x −1

ดังนนั้ lim x −1 = 0

x→1 x −1

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

480 คมู อื ครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

5) จัดรูปฟง กช ันใหม ดังนี้

( )1  x3 −1
  = 1  ( x −1) x2 + x +1 
 

x +1 x − 1 x +1  x −1 

x2 + x +1 เมอื่ x ≠ 1
=

x +1

ดงั น้นั lim  1  x3 −1 x2 + x +1 3
    = lim = 2
x→1− x + 1  x −1  x→1− x + 1

6) lim x2 − 6x + 5 = 22 − 6(2) + 5 = −3
22 + 4(2) − 5 7
x→2 x2 + 4x − 5

7) จัดรูปฟงกชันใหม ดังนี้

x −1 = x −1
x2 −1 x −1 x +1

เนือ่ งจาก x −1 = −( x −1) และ x +1 = x +1 เมอื่ −1< x <1

จะได lim x −1 = lim x −1
x→1− x2 −1
x→1− − ( x −1) ( x + 1)

= lim  − x 1 1 
 + 
x→1−

= −1
2

และเน่ืองจาก x −1 = x −1 และ x +1 = x +1 เมอื่ x >1

จะได x −1 x −1
lim = lim
x→1+ x2 −1 ( x −1) ( x + 1)
x→1+

เนอื่ งจาก 1
= lim

x→1+ x + 1
1
=
2
lim x −1 ≠ lim x −1
x→1− x2 −1 x→1+ x2 −1

ดงั นั้น lim x −1 ไมม คี า
x→1 x2 −1

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 481

8) วธิ ีที่ 1 จดั รูปฟงกช ันใหม ดงั น้ี

x2 − 4x + 4 x−22
=
x−2 x−2

เนอื่ งจาก x − 2 = −( x − 2) เมอ่ื x < 2

จะได x2 − 4x + 4 x−22
lim = lim
x→2− x − 2 x→2− x − 2

(−(x − 2))2

= lim
x→2− x − 2

= lim ( x − 2)
x→2−

=0

และเนื่องจาก x − 2 = x − 2 เมอ่ื x > 2

จะได x2 − 4x + 4 x−22
lim = lim
x→2+ x − 2 x→2+ x − 2

( x − 2)2

= lim
x→2+ x − 2

= lim ( x − 2)
x→2+

=0

เนอ่ื งจาก x2 − 4x + 4 x2 − 4x + 4
l=im l=im 0
x→2− x − 2 x→2+ x − 2

ดังน้นั x2 − 4x + 4
lim = 0
x→2 x − 2

วิธที ี่ 2 จดั รปู ฟง กช ันใหม ดงั นี้

x2 − 4x + 4 = x − 2 2 ( x − 2)2 x − 2 เม่อื x≠2
x−2
==
x−2 x−2

จะได x2 − 4x + 4 = lim( x − 2) = 0
lim
x→2 x − 2 x→2

ดงั นั้น x2 − 4x + 4
lim = 0
x→2 x − 2

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

482 คูมอื ครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

2. 1) lim f ( x) = lim ( x +1)
x→0+ x→0+

= 0+1

=1

2) lim f ( x) = x +1
x→0− lim
x→0− 1 − x

(−x) +1 เน่อื งจาก x < 0

= lim
x→0− 1 − x

0 +1
=

1− 0

=1

3) เน่อื งจาก lim f ( x)= 1= lim f ( x) จะได lim f ( x) = 1
x→0− x→0+ x→0

4) เน่อื งจาก lim f ( x) = lim ( x +1)
x→2− x→2−

= 2+1

=3

และ ( )lim f ( x) = lim x2 − 5x + 9
x→2+ x→2+

= (2)2 − 5(2) + 9

=3

ดังน้นั lim f ( x) = 3
x→2

5) lim f ( x) = x +1
lim
x→−3 x→−3 1 − x

−(−x) +1 เน่ืองจาก x < 0

= lim
x→−3 1 − x

= 3+1

1− (−3)

=4
4

=1

6) lim f ( x) = lim ( x +1)
x→3 x→3
22

= 3 +1
2

=5
2

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 483

3. 1) จดั รปู ฟง กช นั ใหม ดังนี้

x2 + x − 6 ( x − 2)( x + 3) เมอ่ื x ≠ 2
เนือ่ งจาก x > 0
=
x−2 x−2

= x+3

ดังนนั้ lim f ( x) = lim( x + 3)
x→2 x→2
2)
= 2+3

=5

lim g ( x) = lim x
x→2 x→2

= lim x
x→2

=2

3) เนือ่ งจาก lim f ( x) และ lim g ( x) หาคาได
x→2 x→2

จะได  f (x) lim f ( x) 5
lxi→m2= g ( x)  =lxi→m2 g ( x) 2

x→2

4) lim (5 f ( x) − 4g ( x)) = 5 f (−2) − 4g (−2)
x→−2

= 5(−2 + 3) − 4(2)

= −3

4. 1) จาก f ( x) =  x2 −1 , x ≠1
 x2 −x

2 , x = 1

ดังนน้ั f (1) =2

เนอื่ งจาก lim f ( x) = lim x2 −1
x2 −x
x→1 x→1

= lim ( x −1)( x +1)
x→1
x( x −1)

= lim x +1
x→1 x

=2

เนือ่ งจาก lim f ( x) = f (1)
x→1

ดังน้ัน ฟง กชนั f เปน ฟงกชันตอ เน่ืองท่ี x =1

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

484 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

2) จาก f ( x) =  x3 + x + 1 , x ≤1
 + 2 , x >1
 x 2

ดังนน้ั f (1) =3

เนอื่ งจาก ( )lim f ( x) = lim x3 + x +1 = 3
x→1− x→1−

และ ( )lim f ( x) = lim x2 + 2 = 3
x→1+ x→1+

จะไดวา lim f ( x) = 3 = lim f ( x)
x→1− x→1+

ดังนนั้ lim f ( x) = 3
x→1

เนื่องจาก lim f ( x) = f (1)
x→1

ดงั น้นั ฟงกช นั f เปนฟง กชันตอเน่ืองที่ x =1

3) จาก f ( x) =  x3 −1 , x ≠1
 x −1 , x =1

2

จะได f (1) = 2

และ lim f ( x) = x3 −1
lim
x→1 x→1 x − 1

( x −1)( x2 + x +1)

= lim
x→1 x −1

( )= lim x2 + x +1
x→1

=3

เนื่องจาก lim f ( x) ≠ f (1)
x→1

ดังนนั้ ฟงกชนั f ไมเ ปน ฟงกช นั ตอ เน่ืองที่ x =1

 x −1 , 0< x <1
 , x ≥1
4) จาก f ( x) =  x − 9

x10

10

ดังนั้น f (1) =10

และ lim =f ( x) l=im 10 10
x→1+ x→1+

ตอไปจะหา lim f ( x) ซึ่งเทากบั lim x −1
x→1− x→1−
9

x − x10

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 485

จดั รปู ฟงกช นั ใหม โดยใชเอกลักษณ xn −1= ( )( x −1) 1+ x + x2 + + xn−1

 1  1 + 2 ++ 9 
 − 1 1 + 
x10 x10 x10 x10

จะได x −1 = 9 1 

9 x10  x10 −1

x − x10

12 9

1+ x10 + x10 + + x10 เม่อื x ≠ 1
=9

x10

12 9

ดงั นั้น ( )lim f x = lim 1+ x10 + x10 + + x10
x→1−
x→1− 9

x10

12 9

1+110 +110 + +110
=9

110

= 10

เนื่องจาก lim f ( x) = lim f ( x) = 10
x→1− x→1+

ดังนัน้ lim f ( x) = 10
x→1

เนอ่ื งจาก lim f ( x) = f (1)
x→1

ดังน้นั ฟง กชนั f เปนฟง กชันตอเน่อื งท่ี x =1

5. พิจา=รณา f ( x) =1 1
x2 − 7x + 10
(x − 2)(x − 5)

จะได f ( x) เปน ฟงกช ันตอเนื่องท่ี x = a เมอื่ a เปนจาํ นวนจริงใด ๆ ซ่งึ x2 − 7x +10 ≠ 0

เน่ืองจาก x2 − 7x +10 = ( x − 2)( x − 5) จะได f ( x) ไมนยิ ามท่ี x = 2 และ x = 5

น่ันคือ f เปน ฟงกช ันตอเน่อื งที่ x = c ทกุ c∈ −{2,5}

1) เน่อื งจาก 2∉(−∞,2) และ 5∉(−∞,2) จะไดว า f เปน ฟง กช ันตอเนือ่ งบนชว ง (−∞,2)

2) เนือ่ งจาก 2∉[3,4) และ 5∉[3,4)

จะไดว า f เปนฟง กชนั ตอเนือ่ งบนชว ง [3,4)

3) เน่ืองจาก 2∉(4,5) และ 5∉(4,5) จะไดว า f เปน ฟง กช ันตอเนือ่ งบนชว ง (4,5)

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

486 คูมอื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

4) เนื่องจาก 2∉(5,∞) และ 5∉(5,∞)

จะไดว า f เปน ฟง กชนั ตอเนอื่ งบนชวง (5,∞)

6. พิจารณาความตอ เนือ่ งของฟงกช ัน g ท่ี x = −2 และ x =1

เนือ่ งจาก lim g ( x) =lim x − 2 =lim − ( x − 2) =−(−2 − 2) =4
x→−2− x→−2− x→−2−

และ lim g ( x) =lim ( x + 6) =− 2 + 6 =4
x→−2+ x→−2+

จะไดวา =lim g ( x) =lim g ( x) 4
x→−2− x→−2+

ดังนั้น lim g ( x) = 4
x→−2

และ g (−2) =− 2 + 6 =4

เนื่องจาก lim g ( x=) g (−2)
x→−2

ดงั นน้ั g เปน ฟง กช นั ตอเน่อื งท่ี x = −2

ตอไปพิจารณาท่ี x =1

เนอื่ งจาก lim g (=x) lim ( x + 6=) 7
x→1− x→1−

( )และ lim g=( x) lim x2 − x=+ 6 6
x→1+ x→1+

น่นั คอื lim g (x) หาคาไมได
x→1

ดงั น้ัน g ไมเปนฟง กช นั ตอเนื่องท่ี x =1

1) เนอ่ื งจาก 1∉(−∞,− 3] จะไดวา g เปนฟงกชนั ตอเนื่องบนชวง (−∞,− 3]

2) เนอื่ งจาก g (1) =1+ 6 =7

นน่ั คอื g (1) = lim g ( x)
x→1−

จะไดวา g เปน ฟงกช ันตอเน่ืองบนชว ง (−2,1]

3) เนอื่ งจาก 1∈[−4,3] จะไดว า g ไมเ ปนฟงกชนั ตอเน่ืองบนชวง [−4,3]

4) เนอ่ื งจาก 1∉(1,∞) จะไดวา g เปน ฟง กชนั ตอ เนอ่ื งบนชวง (1,∞)

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 487

7. 1) จากโจทย f จะเปนฟงกช ันตอเนอ่ื งทที่ ุกจดุ

นน่ั คือ f เปนฟง กช นั ตอ เนือ่ งท่ี x = −2

ดังน้ัน lim f ( x) = lim f ( x)
x→−2− x→−2+

( )lim ax2 − x −1 = lim ( x − a)
x→−2− x→−2+

a(−2)2 − (−2) −1 = (−2) − a

4a +1 = −a − 2

จะได a = − 3

5

2) จากโจทย f จะเปน ฟงกช นั ตอ เนอ่ื งท่ที ุกจุด

นนั่ คือ f เปนฟง กชันตอเนอ่ื งท่ี x = 2

และ x = 4

เนือ่ งจาก f เปน ฟง กชนั ตอเนื่องที่ x = 2

จะได lim f ( x) = lim f ( x)
x→2− x→2+

lim (ax + b) = lim 1− x
x→2− x→2+

2a + b = lim − (1− x)
x→2+

2a + b = 1 ----- (1)
----- (2)
เนือ่ งจาก f เปนฟงกชนั ตอเน่ืองที่ x = 4

จะได lim f ( x) = lim f ( x)
x→4− x→4+

( )lim 1− x = lim x2 − ax − b
x→4− x→4+

( )lim − (1− x) = lim x2 − ax − b
x→4− x→4+

3 = (4)2 − a(4) − b

4a + b = 13

จาก (1) และ (2) จะได a = 6 และ b = −11

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

488 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

8. g อาจเปน หรือไมเ ปนฟง กชันตอเนอื่ งทีท่ กุ จุดก็ได ตัวอยางเชน
ให f (x) = 0 ทกุ x∈ จะไดวา f เปน ฟง กชันตอ เน่อื งที่ทุกจุด
เนือ่ งจาก f (1) ≠ g (1)
ดังน้นั ถา g (x) = 0 ทกุ x∈ แลว g จะเปน ฟง กชนั ตอเนอ่ื งทีท่ ุกจดุ

ให g ( x ) = 0 , x ≠1 จะไดว า f (x) = g (x) สําหรับทุกจํานวนจรงิ x ≠1
1 , x =1

แต g ไมตอเนือ่ งที่ x =1

ดังนัน้ g ไมเ ปนฟง กชนั ตอเน่อื งที่ทกุ จุด

9. เน่อื งจาก f ตอ เน่ืองที่ x =1

ดังน้นั lim f ( x) มคี า
x→1

นั่นคอื lim f ( x) = lim f ( x)
x→1− x→1+

จาก f ( x) = ax −1 x − b , x <1
, x ≥1
(2a + b)

จะได lim f ( x) = lim (ax −1) = a −1
x→1− x→1−

และ lim f ( x) = lim ((2a + b) x − b) = 2a
x→1+ x→1+

ดังนัน้ a −1 = 2a

นนั่ คือ a = −1

เน่อื งจาก f ( x) = (2a + b) x − b = (b − 2) x − b เมื่อ x ≥ 1

ดงั นน้ั f ′( x) = d ((b − 2) x − b) = b−2 เมื่อ x >1

dx

เน่ืองจาก f ′(2) = 2

ดังนนั้ b − 2 = 2

นัน่ คอื b = 4

จะได lim f ( x) = lim((b − 2) x − b)
x→2 x→2

= lim(2x − 4)
x→2

=0

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี