คู่มือคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.6 เล่ม1_compressed

คมู อื ครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 189

แบบฝก หัด 1.1.3

1. 1) จาก 7, 9, 11, 13, , 2n + 5
พิจารณาผลตางของพจนท่อี ยตู ิดกนั
จะไดว า a2 − a1 = 9 − 7 = 2

a3 − a2 = 11 − 9 = 2

a4 − a3 = 13 −11 = 2

an − an−1 = (2n + 5) − (2(n −1) + 5) = (2n + 5) − (2n + 3) = 2
ดังน้ัน ผลตางของพจนทีอ่ ยตู ดิ กนั เปน คาคงตัวท่เี ทากัน ซ่งึ เทากบั 2
พิจารณาอัตราสวนของพจนทอี่ ยูติดกัน

จะไดวา a2 = 9

a1 7

a3 = 11
a2 9

จะเหน็ วา อตั ราสว นของพจนท อ่ี ยูตดิ กันไมเ ปน คา คงตวั ท่เี ทากัน
ดงั นนั้ ลําดับนเี้ ปน ลาํ ดับเลขคณิตท่ีมีผลตา งรวมเทา กับ 2 แตไมเ ปนลําดับเรขาคณติ
2) จาก 6, − 6, 6, − 6, , 6( )−1 n−1
พิจารณาผลตางของพจนทอ่ี ยตู ิดกนั
จะไดวา a2 − a1 =(−6) − 6 =−12

a3 − a2 = 6 − (−6) = 12

จะเห็นวา ผลตางของพจนท ีอ่ ยูต ิดกนั ไมเ ปนคาคงตัวที่เทากัน
พจิ ารณาอตั ราสวนของพจนท อี่ ยูต ดิ กนั

จะไดว า a2 = −6 = −1
a1 6

a3 = 6 = −1
a2 −6

a4 = −6 = −1
a3 6

an = 6 ( −1)n = −1
an−1 6( )−1 n−1

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

190 คูม อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

จะเห็นวา อตั ราสว นของพจนท่ีอยตู ิดกันเปน คาคงตัวท่เี ทา กนั ซึง่ เทากบั −1
ดังน้นั ลําดับนี้ไมเ ปนลาํ ดับเลขคณิต แตเปนลําดบั เรขาคณิตทม่ี อี ตั ราสว นรว มเทา กบั −1
3) จาก 4, 2, 0, − 2, , 6 − 2n
พจิ ารณาผลตา งของพจนที่อยูต ิดกัน
จะไดวา a2 − a1 =2 − 4 =−2

a3 − a2 =0 − 2 =−2

a4 − a3 =(−2) − 0 =−2

an − an−1 =(6 − 2n) − (6 − 2(n −1)) =(6 − 2n) − (8 − 2n) =−2
จะเห็นวา ผลตา งของพจนทอ่ี ยูติดกนั เปนคา คงตัวที่เทากนั ซึ่งเทา กบั −2
พจิ ารณาอตั ราสวนของพจนท ีอ่ ยูตดิ กนั

จะไดวา a2= 2= 1

a1 4 2

a3= 0= 0
a2 2

จะเหน็ วา อตั ราสวนของพจนท อี่ ยูตดิ กันไมเปนคาคงตวั ท่เี ทากนั
ดังน้นั ลําดบั นเ้ี ปนลําดบั เลขคณิตทมี่ ีผลตางรว มเทากับ −2 แตไมเ ปนลาํ ดบั เรขาคณติ

4) จาก 3, 1, 1, 1 , , 9  1 n
3 9  3 

พิจารณาผลตางของพจนทอ่ี ยตู ิดกัน

จะไดวา a2 − a1 =1− 3 =−2

a3 − a2 =1 −1 =− 2
3 3

จะเห็นวา ผลตางของพจนท ี่อยูติดกันไมเปน คาคงตวั ท่เี ทา กนั

พิจารณาอตั ราสว นของพจนท ีอ่ ยูตดิ กนั

จะไดวา a2 = 1
a1 3
1
1 3
a3= 3=
a2 1

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 191

1

a4= 9= 1
a3 1 3

3

=an 9=91313nn−1 1
an−1 3

จะเหน็ วา อตั ราสว นของพจนท อ่ี ยตู ดิ กันเปน คา คงตวั ทเี่ ทากัน ซ่งึ เทา กับ −1

ดงั น้ัน ลําดับนไ้ี มเปนลาํ ดับเลขคณิต แตเ ปน ลาํ ดบั เรขาคณติ ทมี่ อี ตั ราสวนรว มเทากับ −1

5) จาก − 1 , − 2 , − 1 , − 4 , , − n
4527 n+3

พจิ ารณาผลตา งของพจนทอี่ ยูตดิ กนั

จะไดวา a2 − a1 = − 2  −  − 1  =− 3
5   4  20

a3 − a2 = − 1  −  − 2  =− 1
2   5  10

จะเห็นวา ผลตา งของพจนท ี่อยูติดกนั ไมเ ปนคาคงตัวทเ่ี ทากนั

พิจารณาอตั ราสวนของพจนท่ีอยูติดกัน

จะไดว า=a2 =− 52  8
 1  5
a1  − 4 

=a3 =− 12  5
a2  2  4
 − 5 

จะเหน็ วา อัตราสว นของพจนท อี่ ยูตดิ กันไมเ ปนคาคงตวั ท่เี ทากัน

ดังน้นั ลําดับนไี้ มเ ปน ลําดับเลขคณติ และไมเปน ลาํ ดบั เรขาคณิต

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

192 คมู ือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

2. 1) จากลําดบั เรขาคณิต 1, 7, 49, 343,

จะได a1 = 1 และ r= 7= 7
1

พจนท ี่ n ของลําดบั เรขาคณิต คอื an = a1rn−1

( )จะได
a5 = a1r5−1 = 1 74 = 74 = 2,401

( )a6 = a1r6−1 = 1 75 = 75 = 16,807

( )a7 = a1r7−1 = 1 76 = 76 = 117,649

ดงั นัน้ สามพจนถัดไปของลาํ ดับเรขาคณิตน้ี คือ 2401, 16807 และ 117,649

2) จากลําดับเรขาคณติ −1, 2, − 4, 8,

จะได a1 = −1 และ r= 2= −2
−1

พจนท ่ี n ของลําดบั เรขาคณติ คือ an = a1rn−1

จะได a5 = a1r5−1 = (−1)(−2)4 = −16

a6 = a1r6−1 = (−1)(−2)5 = 32

a7 = a1r7−1 = (−1)(−2)6 = −64

ดังน้นั สามพจนถ ัดไปของลาํ ดับเรขาคณิตน้ี คอื −16, 32 และ −64

3) จากลําดับเรขาคณิต 3,1, 1 , 1 ,

39

จะได a1 =3 และ r =1
3

พจนท ่ี n ของลาํ ดับเรขาคณติ คือ an = a1rn−1

จะได a5 = a1r 5−1 = 3 1 4 = 1 = 1
3  33 27

a6 = a1r 6−1 = 3 1 5 = 1 =1
3  34 81

a7 = a1r 7−1 = 3 1 6 = 1 =1
3  35 243

ดังนน้ั สามพจนถ ัดไปของลําดับเรขาคณิตนี้ คือ 1 , 1 และ 1
27 81 243

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 193

3. จากลาํ ดับเรขาคณติ 2, 4, 8,16,

จะได a1 = 2 และ r= 4= 2
2

จาก ( )=an a=1rn−1 2 =2 n−1 2n

จะได a=9 2=9 512
ดังนนั้ พจนท ี่ 9 ของลําดับเรขาคณิตนี้ คือ 512

4. จากลําดับเรขาคณิต 2, −10, 50, − 250,

จะได a1 = 2 และ r= −10 = −5
2

จาก ( )a=n a1rn−=1 2 −5 n−1

จะได a11 =2(−5)11−2 =2(−5)10 =2(5)10

ดังนนั้ พจนท่ี 11 ของลําดบั เรขาคณิตน้ี คือ ( )2 510

5. จากลําดับเรขาคณติ 1 , 1 , 1 , 1 ,
2 6 18 54

1

จะได a1 = 1 และ =r 6= 1
2 1 3

2

จาก=an a=1r n−1 1  1 n−1
2  3 

จะไ=ด a8 1 =13 8−1 12= 13 7 1
2 2 × 37

ดงั นั้น พจนท ่ี 8 ของลําดบั เรขาคณติ น้ี คือ 1
2 × 37

6. 1) จากลําดับเรขาคณติ −3, − 6, −12,

จะได a1 = −3 และ r = 2

จาก an = a1rn−1

จะได an = −3(2)n−1

ดงั น้ัน พจนท ี่ n ของลาํ ดบั เรขาคณติ นี้ คือ −3( )2 n−1

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

194 คูม ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

2) จากลําดับเรขาคณิต 10, − 5, 5 ,

2

จะได a1 = 10 และ r = −1
2

จาก an = a1rn−1

จะได =an 10  − 1 n−1
 2 

ดงั น้ัน พจนท่ี n ของลาํ ดบั เรขาคณิตน้ี คือ 10  − 1 n−1
2 

3) จากลําดบั เรขาคณิต 1 , 5 , 25 ,

44 4

จะได a1 = 1 และ r =5
4

จาก an = a1rn−1

จะได ( )an 1
= 4 5n−1

ดังนน้ั พจนท ี่ n ของลาํ ดบั เรขาคณติ นี้ คือ ( )1 5n−1
4

4) จากลาํ ดบั เรขาคณิต 5 , 5 , 10 ,

63 3

จะได a1 = 5 และ r=2
6

จาก an = a1rn−1

จะได ( )an 5
= 6 2n−1

ดังนั้น พจนท ี่ n ของลําดับเรขาคณิตนี้ คือ ( )5 2n−1
6

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 195

5) จากลําดบั เรขาคณิต − 2 , 1 , − 1 ,

9 12 32

จะได a1 = −2 และ r= −3
9 8

จาก an = a1rn−1

จะได an =− 2  − 3 n−1
9  8 

ดังน้นั พจนที่ n ของลาํ ดบั เรขาคณิตน้ี คือ − 2  − 3 n−1
9  8 

6) จากลําดับเรขาคณติ 2, 2 3, 6,

จะได a1 = 2 และ r = 3
จาก an = a1rn−1

( )จะได an = 2 n−1

3

ดังน้ัน พจนที่ n ของลาํ ดับเรขาคณิตน้ี คือ 2( )n−1

3

7) จากลาํ ดับเรขาคณิต −1, 0.3, − 0.09, ...

จะได a1 = −1 และ r= 0.3 = −0.3
−1

จาก an = a1rn−1

จะได an =−1(−0.3)n−1 =−(−0.3)n−1 =(−1)n (0.3)n−1

ดังน้นั พจนท ี่ n ของลาํ ดับเรขาคณติ นี้ คือ (−1)n (0.3)n−1

8) จากลําดับเรขาคณิต ab3, a2b2, a3b, เม่อื a และ b เปนจาํ นวนจริงที่ไมเ ปนศนู ย

จะได a1 = ab3 แล=ะ r a=2b2 a
ab3 b

จาก an = a1rn−1

( )จะได=an =ab3  ba n−1 anb4−n

ดงั นัน้ พจนที่ n ของลาํ ดบั เรขาคณิตนี้ คือ anb4−n เม่ือ a และ b เปนจํานวนจรงิ

ที่ไมเ ปน ศนู ย

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

196 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

7. เนื่องจาก ลําดบั เรขาคณติ นีม้ ีพจนทีห่ า คือ 16 และอัตราสวนรว ม คือ 2

นนั่ คอื a5 =16 และ r = 2
จาก an = a1rn−1
จะได= a5 a=1r5−1 a1r4

ดังน้ัน 16 = a1 (2)4
จะได a1 = 1
ดงั นน้ั พจนแรกของลาํ ดับเรขาคณิตน้ี คือ 1

8. เนอื่ งจาก ลาํ ดบั เรขาคณติ นี้มี a3 =12 และ a6 = 96

จาก an = a1rn−1

จะได= a3 a=1r3−1 a1r2

และ=a6 a=1r6−1 a1r5

ดังน้นั 12 = a1r2 ----- (1)

และ 96 = a1r5 ----- (2)

จาก (1) และ (2) จะได r3 = 8 นนั่ คือ r = 2

ดังนนั้ อตั ราสว นรวมของลาํ ดับเรขาคณิตน้ี คอื 2

9. เนอื่ งจาก ลําดับเรขาคณติ นีม้ ี a1 = 2, a2 = −6 และ a3 =18

จาก an = a1rn−1

จะได −6 =2r2−1 นน่ั คอื −6 =2r ----- (1)

และ 18 = 2r3−1 นนั่ คอื 18 = 2r2 ----- (2)

จาก (1) และ (2) จะได r = −3

น่นั คือ a=n 2( )−3 n−1 2 ( −3)n−1
เมอ่ื an =162
จะได 162 =

81 = ( )−3 n−1

(−3)4 = ( )−3 n−1

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 197

น่ันคือ n −1 = 4

จะได n = 5

ดังนน้ั 162 เปนพจนท ี่ 5 ของลําดบั เรขาคณิตนี้

10. 1) พจนท ห่ี ายไปของลําดับเรขาคณิตนี้ คอื a3, a4 และ a5

จากลําดับเรขาคณิตทีก่ ําหนดให จะได a1 =4 และ r = 1
4

จาก an = a1rn−1

จะได=an a=1r n−1 4  14=n−1  1 n−2
  4 

นัน่ คือ a3 =  1 3−2 = 1
 4  4

a4 =  1 4−2 = 1
 4  16

a5 =  1 5−2 = 1
 4  64

ดงั นัน้ พจนทข่ี าดหายไป คอื 1 , 1 และ 1 ตามลาํ ดบั
4 16 64

2) พจนที่หายไปของลาํ ดบั เรขาคณิตน้ี คอื a2, a4 และ a5

จากลําดับเรขาคณติ ทีก่ าํ หนดให จะได a1 =2 และ a3 = 2
9

จาก an = a1rn−1

จะได 2 = 2(r )3−1

9

2 = 2r2
9

r2 = 1
9

นัน่ คือ r = 1 หรือ r = − 1

33

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

198 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

กรณี r = 1 จะได an = 2  1 n−1
 3 
3

น่นั คอื a2 = 2  1 2−1 = 2
3  3

a4 = 2  1 4−1 = 2
3  27

a5 = 2  1 5−1 = 2
3  81

กรณี r = − 1 จะได a=n 2  − 1 n−1
 3 
3

น่ันคอื a2 = 2  − 1 2−1 = −2
 3  3

a4 = 2  − 1 4−1 = −2
 3  27

a5 = 2  − 1 5−1 = 2
 3  81

ดังนนั้ กรณี r = 1 พจนท ีข่ าดหายไป คอื 2 , 2 และ 2 ตามลําดบั
3 3 27 81

และกรณี r = − 1 พจนทีข่ าดหายไป คอื − 2 , − 2 และ 2 ตามลําดับ
3 3 27 81

3) พจนท หี่ ายไปของลําดบั เรขาคณติ นี้ คอื a2, a3, a4 และ a6

จากลําดับเรขาคณิตท่ีกาํ หนดให จะได a1 = 3 และ a5 =3
7 343

จาก an = a1rn−1

จะได 3 = 3 (r )5−1

343 7

3 = 3 r4
343 7

r4 = 1
49

นน่ั คือ r = 1 หรอื r = − 1

77

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 199

กรณี r = 1 จะได an = 3  1 n−1
7 7  7 

นัน่ คอื 3  1 2−1 =3
a2 = 7  7  77

a3 = 3  1 3−1 =3
7  7  49

a4 = 3  1 4−1 3
7  7  =

49 7

a6 = 3  1 6−1 =3
7  7  343 7

กรณี r = − 1 จะได a=n 3  − 1 n−1
7  7 
7

น่นั คือ a2 = 3  − 1 2−1 = −3
7  7  77

a3 = 3  − 1 3−1 = 3
7  7  49

a4 = 3  − 1 4−1 = −3
7  7  49 7

a6 = 3  − 1 6−1 = −3
7  7  343 7

ดังน้ัน กรณี r = 1 พจนท่ีขาดหายไป คือ 3 , 3 , 3 และ 3 ตามลาํ ดับ
7 7 7 49 49 7 343 7

และกรณี r = − 1 พจนท ี่ขาดหายไป คือ − 3 , 3 , − 3 และ − 3 ตามลําดับ
7 7 7 49 49 7 343 7

4) พจนท ีห่ ายไปของลาํ ดบั เรขาคณิตนี้ คอื a1, a2, a4, a5 และ a7

จากลําดบั เรขาคณิตท่กี ําหนดให จะได a3 =1 และ a6 = 8
27

จาก an = a1rn−1

จะได 1 = a1 (r )2 ----- (1)

8 = a1 (r )5 ----- (2)
27

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

200 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

จาก (1) และ (2) จะได r=2 และ a1 = 9
3 4

นัน่ =คอื an 94= 32 n−1  2 n−3
 3 

จะได a2 =  2 2−3 = 3
 3  2

a4 =  2 4−3 = 2
 3  3

a5 =  2 5−3 = 4
 3  9

a7 =  2 7−3 = 16
 3  81

ดงั น้นั พจนท ีข่ าดหายไป คอื 9 , 3 , 2 , 4 และ 16 ตามลําดับ
4239 81

11. 1) ให a เปนพจนท ี่อยรู ะหวา ง 5 และ 20
2)
จะได 5, a, 20 เปน สามพจนท่เี รยี งตดิ กันในลําดบั เรขาคณิต

จาก r = an+1

an

จะได a = 20

5a

a2 = 100

น่นั คือ a =10 หรือ a = −10
ดงั นัน้ พจนท ี่อยูร ะหวา ง 5 และ 20 ในลําดับเรขาคณิตน้ี คือ 10 หรอื −10
ให a เปนพจนท ีอ่ ยูร ะหวาง 8 และ 12
จะได 8, a,12 เปนสามพจนท เ่ี รยี งติดกนั ในลําดับเรขาคณิต

จาก r = an+1

an

จะได a = 12

8a
a2 = 96

นั่นคอื a = 4 6 หรือ a = −4 6

ดงั นั้น พจนที่อยูระหวาง 8 และ 12 ในลําดบั เรขาคณิตน้ี คือ 4 6 หรือ −4 6

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 201

12. จาก r = an+1

an

จะได a + 20 = a +105
a + 3 a + 20

(a + 20)(a + 20) = (a + 3)(a +105)

a2 + 40a + 400 = a2 + 108a + 315

68a = 85

a=5
4

จะได a + 3 = 5 + 3 = 17

44

a + 20 =5 + 20 =85
44

และ a +105 =5 +105 =425

44

ดังนน้ั สามพจนแรกของลาํ ดับเรขาคณิตน้ี คอื 17 , 85 และ 425
44 4

นน่ั คือ a1 = 17 และ r =5
4

จะได พจนทวั่ ไป คือ an = a1r n−1 = 17 (5)n−1

4

ดังน้นั a = 5 และ พจนท่ัวไป คือ ( )17 5n−1
44

13. ในการคาํ นวณจํานวนประชากรในแตละป จะพิจารณาเมื่อสน้ิ ปน้ัน ๆ

จาก พ.ศ. 2550 ประชากรในอําเภอหน่งึ มี 60,000 คน และประชากรในอําเภอน้เี พ่ิมขน้ึ ปล ะ 2%

จะไดวา

ใน พ.ศ. 2551 (ครบ 1 ป) จะมปี ระชากร 60,000 + 60,000(0.02) =60,000(1.02) คน

ใน พ.ศ. 2552 (ครบ 2 ป) จะมปี ระชากร 60,000(1.02) + 60,000(1.02)(0.02) =60,000(1.02)2 คน

ใน พ.ศ. 2553 (ครบ 3 ป) จะมีประชากร 60,000(1.02)2 + 60,000(1.02)2 (0.02) =60,000(1.02)3 คน

ในทํานองเดยี วกัน เมื่อครบ n ป จะมปี ระชากร 60,000(1.02)n คน

จะได จาํ นวนประชากรเม่ือครบ 1, 2, 3, , n,  ป คือ

60000(1.02), 60000(1.02)2 , 60000(1.02)3 ,, 60000(1.02)n , 

ซึง่ เปนลาํ ดบั เรขาคณติ ทีม่ ี a1 = 60,000(1.02) และ r =1.02

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

202 คูมือครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

จาก an = a1rn−1
=จะได an (=60,000(1.02))(1.02)n−1 60,000(1.02)n

ดงั น้นั สตู รการคํานวณจํานวนประชากรในแตล ะป คือ 60,000(1.02)n เมอ่ื n เปนจํานวน
เตม็ บวกทีใ่ ชแทนจาํ นวนปที่คํานวณจํานวนประชากรหลงั จาก พ.ศ. 2550
เนอ่ื งจาก พ.ศ. 2565 คอื ปท่ี 15 หลงั จาก พ.ศ 2550
จะได จํานวนประชากรในพ.ศ. 2565 เทากับ 60,000(1.02)15 ≈ 80,752 คน
ดังนัน้ สตู รการคาํ นวณจาํ นวนประชากรในแตละป คือ 60,000(1.02)n เมอ่ื n เปน จาํ นวน
เตม็ บวกท่ใี ชแ ทนจาํ นวนปทคี่ ํานวณจํานวนประชากรหลงั จาก พ.ศ. 2550 และจํานวน
ประชากรใน พ.ศ. 2565 ประมาณ 80,752 คน
หมายเหตุ

การหาคําตอบในขอน้ี อาจพิจารณาลําดับเรขาคณิตท่ีมีพจนแรกเทากับ 60,000 และ
อตั ราสวนรวมเทากับ 1.02 ซ่งึ จํานวนประชากรใน พ.ศ. 2565 จะเปนพจนท ี่ 16 ของลาํ ดับน้ี
14. ในทีน่ ้ี ความสงู ของลกู บอล คือ ระยะท่ลี กู บอลอยสู งู ทีส่ ุดเม่ือวดั จากระดับพืน้ ดิน
จาก ความสงู ของลกู บอลเมื่อเรม่ิ ปลอ ยลกู บอลเทา กับ 2 เมตร และเม่ือลกู บอลกระทบพ้ืน
ความสูงของลูกบอลทก่ี ระดอนข้ึนจะลดลง 8% ของความสูงของลูกบอลกอ นหนา จะไดวา
ความสงู ของลูกบอลเมื่อกระทบพื้นครงั้ ท่ี 1 เทา กับ 2 − 2(0.08) =2(0.92) เมตร
ความสงู ของลูกบอลเม่ือกระทบพื้นคร้งั ท่ี 2 เทากบั 2(0.92) − (2(0.92))(0.08) =2(0.92)2 เมตร

ความสงู ของลูกบอลเม่ือกระทบพื้นครง้ั ท่ี 3 เทา กบั 2(0.92)2 − (2(0.92)2 )(0.08) =2(0.92)3 เมตร

ในทาํ นองเดยี วกนั เม่ือลูกบอลกระทบพ้ืนคร้งั ท่ี n ความสงู ของลกู บอลจะเทากบั 2(0.92)n เมตร
จะได ความสงู ของลูกบอลเม่ือกระทบพื้นคร้งั ที่ 1, 2, 3, , n,  คอื

2(0.92), 2(0.92)2 , 2(0.92)3 , , 2(0.92)n , 

ซึ่งเปนลําดับเรขาคณ=ติ ท่ีมี a1 2=(0.92), r 0.92 และพจนท ว่ั ไป คอื 2(0.92)n
ให f เปนฟงกช ันแสดงความสูงของลูกบอลเมื่อลูกบอลกระทบพื้นคร้ังท่ี n เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก
จะได f (n) = 2(0.92)n
ดงั นน้ั ฟง กชันแสดงความสูงของลูกบอลเมื่อลูกบอลกระทบพื้นคร้ังท่ี n เมื่อ n เปนจาํ นวนเต็มบวก
คือ f (n) = 2(0.92)n

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 203

แบบฝก หดั 1.1.4

1. กําหนด bn = 1 จะไดว า bn เปน ลาํ ดบั เลขคณติ
an

จาก b=3 1= 1 และ b=6 1= 1
a3 3 a6 6

จะได 1 = b1 + 2d ----- (1)
3

และ 1 = b1 + 5d ----- (2)
6

จาก (1) และ (2) จะได d = −1 และ b1 = 4
18 9

จาก b4 =b1 + (4 −1) d = 4 + 3 − 1  =5 จะได a=4 1= 18
9 18  18 b4 5

และจาก b5 =b1 + (5 −1) d = 4 + 4  − 1  = 2 จะได a=5 1= 9
9  18  9 b5 2

ดังน้นั a4 + a5 = 18 + 9 = 81
52 10

2. ให an = log2n 3

จะสามารถเขียน an ไดเ ปน=an =log 3 log 3
log 2n n log 2

กาํ หนด bn = 1 จะได bn = n log 2
an log 3

สังเกตวา b=n+1 − bn (n +1)log 2 −=n log 2 log 2
log 3 log 3 log 3

ดังนนั้ ลําดับ bn เปน ลาํ ดับเลขคณติ น่ันคือ ลําดับ an เปน ลําดับฮารมอนกิ

ดงั น้ัน log2 3, log4 3, log8 3, ,log2n 3,  เปนลาํ ดับฮารมอนกิ

3. ให bn = 1 จะไดวา ลาํ ดับ bn เปน ลาํ ดบั เลขคณติ โดยที่ an ≠0 เม่อื n เปนจาํ นวนเต็มบวก
an

เนื่องจาก a1 =1 และ a2 + a3 =1

จะได b1= 1= 1= 1
a1 1

b2 = 1 โดยท่ี a2 ≠ 0
a2

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

204 คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

และ b=3 1= 1 โดยที่ 1− a2 ≠ 0 หรอื a2 ≠ 1
a3 1 − a2

เน่อื งจาก ลาํ ดับ bn เปน ลําดบั เลขคณติ จะไดว า

b2 − b1 = b3 − b2

น่นั คอื 1 −1 = 1 − 1
a2 1 − a2 a2

1 − a2 = a2 − (1− a2 )
a2 a2 (1− a2 )

(1 − a2 )2 = 2a2 −1

1 − 2a2 + a22 = 2a2 −1

a22 − 4a2 + 2 = 0

จะได −(−4) ± (−4)2 − 4(1)(2)
a2= 2(1) = 2 ± 2

ดงั นน้ั คาท่ีเปน ไปไดของ a2 คือ 2 + 2 และ 2 − 2

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 205

แบบฝกหัด 1.2

1. 1) จาก an = sin nπ
2

เขยี นลําดับไดเปน 1, 0, −1, 0, 1,0,−1, 0, 1, 0, −1,  , sin nπ , 

2

เขียนกราฟของลาํ ดับไดด ังนี้

จากกราฟ จะเหน็ วา เม่ือ n เปน 1, 5, 9, … พจนท่ี n เปน 1
เมอื่ n เปน 2, 4, 6, … พจนท ี่ n เปน 0
เมอื่ n เปน 3, 7, 11, … พจนท ี่ n เปน −1

นน่ั คือ เม่ือ n มากขึน้ โดยไมมที ่ีสิน้ สดุ an ไมเขา ใกลจ ํานวนใดจํานวนหน่งึ
ดังนัน้ ลําดับนเี้ ปน ลําดบั ลอู อก

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

206 คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

2) จาก an = 1 sin nπ
n2

เขียนลําดบั ไดเปน 1, 0, − 1 , 0, 1 , 0, − 1 , 0 , 1 sin nπ , 
35 7 n2

เขียนกราฟของลําดบั ไดดงั นี้

จากกราฟ จะเหน็ วา แนวของจดุ ในกราฟจะเขาใกล 0
ซงึ่ หมายความวา เม่ือ n มากขึ้นโดยไมมที ่ีสน้ิ สุด an จะเขา ใกล 0 แตไ มเ ทากบั 0
ดังนน้ั ลาํ ดับนีเ้ ปน ลําดบั ลูเขา และลิมิตของลาํ ดับเทา กบั 0

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 207

3) จาก an = 5
n +1

เขียนลําดบั ไดเ ปน 5, 5, 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 ,, 5 ,
23 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n +1

เขยี นกราฟของลาํ ดบั ไดด งั นี้

จากกราฟ จะเห็นวา แนวของจดุ ในกราฟจะเขาใกล 0
ซ่งึ หมายความวา เม่ือ n มากข้ึนโดยไมมีท่ีสิ้นสุด an จะเขาใกล 0 แตไมเทากับ 0
ดงั น้นั ลําดบั น้ีเปน ลาํ ดับลเู ขา และลิมติ ของลําดับเทา กับ 0

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

208 คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

4) จาก an = 2n
n

เขียนลําดบั ไดเ ปน 2, 2, 8 , 4, 32 , , 2n , 
35 n

เขียนกราฟของลําดับไดด ังน้ี

จากกราฟ จะเหน็ วา เมอื่ n มากขึ้นโดยไมม ีท่สี ้นิ สุด an มคี าเพ่ิมขึ้นและไมเ ขาใกล
จํานวนใดจาํ นวนหน่งึ
ดังนนั้ ลําดบั นีเ้ ปน ลาํ ดบั ลอู อก

( )5) จาก an= n 1+ (−1)n

( )เขียนลาํ ดบั ไดเปน 0, 4, 0, 8, 0, 12, , n 1+ (−1)n , 

เขยี นกราฟของลําดบั ไดด ังน้ี

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 209

จากกราฟ จะเห็นวา เมอ่ื n เปน 1, 3, 5, … พจนท ่ี n เปน 0
เมอื่ n เปน 2, 4, 6, … พจนท ่ี n เปน 2n

นั่นคอื เม่ือ n มากขึน้ โดยไมมที ่ีส้นิ สุด an ไมเ ขา ใกลจาํ นวนใดจาํ นวนหนึ่ง
ดังน้นั ลาํ ดบั นี้เปนลําดบั ลอู อก

6) จาก an= 4 − 1
2n

เขยี นลาํ ดับไดเ ปน 7 , 15 , 31 , 63 , , 4 − 1 , 
24 8 16 2n

เขยี นกราฟของลาํ ดบั ไดดังน้ี

จากกราฟ จะเหน็ วา แนวของจุดในกราฟจะเขาใกล 4
ซึ่งหมายความวา เม่ือ n มากข้ึนโดยไมมที สี่ ้ินสุด an จะเขาใกล 4 แตไ มเทากบั 4
ดังน้นั ลําดบั นเี้ ปนลาํ ดับลูเขา และลมิ ิตของลําดับเทา กับ 4

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

210 คูมือครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

7) จาก an = 4(0.5)n−1
เขยี นลาํ ดับไดเปน 4, 2, 1, 1 , 1 , , 4(0.5)n−1 , 

24

เขียนกราฟของลาํ ดบั ไดดงั น้ี

จากกราฟ จะเหน็ วา แนวของจุดในกราฟจะเขาใกล 0
ซึง่ หมายความวา เมื่อ n มากขึ้นโดยไมม ีท่สี ้ินสดุ an จะเขา ใกล 0 แตไ มเทา กบั 0
ดงั น้ัน ลาํ ดบั น้เี ปนลําดบั ลเู ขา และลมิ ิตของลําดบั เทากบั 0

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 211

1

8) จาก an =  2  n
 3 

11 1 11 1

เขียนลําดบั ไดเปน 2 ,  2  2 ,  2  3 ,  2  4 ,  2  5 ,  2  6 ,,  2  n , 
3  3   3   3   3   3   3 

เขียนกราฟของลาํ ดบั ไดด ังนี้

จากกราฟ จะเหน็ วา แนวของจดุ ในกราฟจะเขาใกล 1
ซึ่งหมายความวา เม่ือ n มากข้ึนโดยไมม ที ีส่ ้ินสุด an จะเขา ใกล 1 แตไมเ ทากับ 1
ดงั นนั้ ลาํ ดับนีเ้ ปนลําดับลเู ขา และลมิ ิตของลาํ ดบั เทา กบั 1

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

212 คูมือครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

9) จาก an =  − 4 n
 3 

เขยี นลําดับไดเ ปน − 4 ,  4 2 , −  4 3 ,  4 4 , ,  − 4 n , 
3  3   3   3   3 

เขยี นกราฟของลําดบั ไดด งั นี้

จากกราฟ จะเหน็ วา แนวของจุดในกราฟมลี ักษณะขึ้นและลงสลบั กัน โดยไมเขาใกลค า ใดคาหน่งึ
ดังน้นั ลาํ ดับน้ีเปนลาํ ดับลอู อก

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 213

10) จาก an = n 2
2n +

เขยี นลาํ ดับไดเ ปน 1, 2, 3 , 4 , 5 , 6, 7 , 8 , , 2n n 2 , 
4 6 10 18 34 66 130 258 +

เขียนกราฟของลาํ ดบั ไดดังนี้

จากกราฟ จะเหน็ วา แนวของจุดในกราฟจะเขาใกล 0
ซึง่ หมายความวา เม่ือ n มากขึ้นโดยไมม ที ่ีสนิ้ สุด an จะเขาใกล 0 แตไมเ ทา กับ 0
ดงั นั้น ลาํ ดับนีเ้ ปนลําดบั ลเู ขา และลมิ ิตของลาํ ดับเทา กับ 0

2. 1) เน่อื งจาก lim 8 = 8  lim 1 = 8(0) = 0
n→∞ 3n 3  n 
n→∞ 3

ดงั นนั้ lim 8 = 0

n→∞ 3n

น่นั คือ ลาํ ดบั น้เี ปน ลาํ ดับลูเขา และลมิ ติ ของลาํ ดับคือ 0

2) เน่ืองจาก 7 <1

8

พิจารณา li=m 1 lni=→m∞ 78nn lni→m∞= 87 n 0
an→∞

n

จากทฤษฎีบท 4 จะไดวา ลําดบั นี้เปน ลาํ ดับลูออก

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

214 คูมอื ครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

เนือ่ งจาก3) =an 24=81−−2nn 22=82−−22nn 1
26

จะได lim 41−n = lim  1 
28−2n  26 
n→∞ n→∞

=1
26

ดังนัน้ lim 41−n =1
n→∞ 28−2n 26

นัน่ คอื ลําดบั นเ้ี ปนลําดับลูเขา และลิมติ ของลําดบั คือ 1
26

4) เน่ืองจาก 1 <1 จะได lim  1 n = 0
2  2 
n→∞

ดงั น้นั lim 3 1 n = 3 lim  1 n =3× 0 =0
2  n→∞  2 
n→∞

นั่นคอื ลาํ ดับน้เี ปน ลําดบั ลเู ขา และลมิ ิตของลาํ ดับคอื 0

5) เน่ืองจาก lim  4 + 1  = lim 4 + lim 1
 n  n→∞ n→∞ n
n→∞

= 4+0

=4

ดงั นนั้ lim  4 + 1  =4
 n 
n→∞

นนั่ คือ ลาํ ดบั น้เี ปนลาํ ดบั ลูเ ขา และลิมติ ของลําดบั คอื 4

6) เนอื่ งจาก 6n − 4 n  6 − 4 
lim  n 
n→∞ 6n = lim
n→∞ 6n

6− 4
= lim n

n→∞ 6

lim  6 − 4 
 n 
= n→∞

lim 6
n→∞

lim 6 − lim 4
= n→∞ n→∞ n

lim 6

n→∞

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 215

lim 6 − 4 lim 1
= n→∞ n→∞ n

lim 6
n→∞

6 − 4(0)

=
6

=1

ดังนนั้ lim 6n − 4 =1

n→∞ 6n

น่นั คอื ลาํ ดับนีเ้ ปน ลําดบั ลูเขา และลิมิตของลาํ ดับคอื 1

7) พจิ ารณา lim 1 = lim 6
n→∞ an n→∞ 3n + 5

n  6 
 n 
= lim
n→∞  5
n  3 + n 

6

= lim n
n→∞ 3 + 5
n

lim 6
= n→∞ n
 5 
lim  3 + n 

n→∞

lim 6
= n→∞ n

lim 3 + lim 5
n→∞ n→∞ n

6 lim 1
= n→∞ n
lim 3 + 5 lim 1
n→∞ n→∞ n

6(0)
= 3+ 5(0)

=0

จากทฤษฎีบท 4 จะไดวา ลําดับ an เปนลาํ ดบั ลูออก

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

216 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

8) เนื่องจาก lim n = lim n
n→∞ n +1
n→∞ n 1 + 1
n 

= lim 1
n→∞ 1 + 1
n

lim 1
= n→∞
1 1 
lim + n 

n→∞

lim 1
= n→∞

lim 1 + lim 1
n→∞ n→∞ n

1
=

1+ 0

=1

ดงั น้นั lim n =1

n→∞ n +1

นั่นคือ ลําดบั นเี้ ปน ลําดบั ลูเขา และลมิ ติ ของลําดบั คอื 1

9) เนอ่ื งจาก lim 4 + 5n = lim  4 + 5
n2  n2 n 
n→∞ n→∞

= lim 4 + lim 5
n→∞ n2 n→∞ n

= 0+0

=0

ดังนนั้ lim 4 + 5n = 0
n2
n→∞

นั่นคอื ลาํ ดบั นี้เปนลาํ ดบั ลเู ขา และลิมิตของลําดับคือ 0

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 217

10) เนอ่ื งจาก 2n −1 n  2 − 1 
lim  n 
n→∞ 3n + 1 = lim
n→∞ n 3 + 1
n 

2− 1
= lim n

n→∞ 3 + 1
n

lim  2 − 1 
 n 
= n→∞

lim  3 + 1 
 n 
n→∞

lim 2 − lim 1
= n→∞ n→∞ n

lim 3 + lim 1
n→∞ n→∞ n

= 2−0
3+0

2
=

3

ดังนนั้ lim 2n −1 = 2
3n +1 3
n→∞

นั่นคือ ลําดบั นีเ้ ปนลาํ ดบั ลูเ ขา และลมิ ติ ของลําดบั คือ 2

3

11) พิจารณา lim 1 = lim 7n −1
n→∞ an 3n2 − 5n
n→∞

n2  7 − 1 
 n n2 
= lim
n→∞  5 
n 2  3 − n 

7− 1
= lim n n2

n→∞ 3 − 5
n

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

218 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

lim  7 − 1 
 n n2 
= n→∞

lim  3 − 5 
 n 
n→∞

= lim 7 − lim 1
n n→∞ n2
n→∞

lim 3 − lim 5
n→∞ n→∞ n

= 0−0
3−0

=0

จากทฤษฎีบท 4 จะไดวา ลาํ ดบั an เปน ลาํ ดับลอู อก

12) เนอื่ งจาก lim 7n2 = lim 7n2

n→∞ 5n2 −3 n→∞ n2  5 − 3 
 n2 

= lim 7 3
n→∞ n2
5−

lim 7
= n→∞
 3 
lim  5 − n2 

n→∞

lim 7
= n→∞
3
lim 5 − lim n2
n→∞
n→∞

7
=

5−0

7
=

5

ดงั นนั้ lim 7n2 = 7
5n2 − 3 5
n→∞

น่ันคือ ลําดับนเี้ ปนลําดบั ลเู ขา และลิมติ ของลําดับคอื 7

5

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 219

13) เนื่องจาก lim 4n2 − 2n + 3 = lim  4 − 2 + 3 
n2  n n2 
n→∞ n→∞

= lim 4 − lim 2 + lim 3
n→∞ n n→∞ n2
n→∞

= 4−0+0

=4

ดงั นน้ั lim 4n2 − 2n + 3 = 4
n2
n→∞

น่นั คือ ลําดบั นี้เปนลําดับลเู ขา และลิมิตของลาํ ดบั คอื 4

14) เนื่องจาก 3n2 −1 n2  3 − 1 
10n − 5n2  n2 
lim = lim
n→∞  10 
n→∞ n2  n − 5 

3− 1
n2
= lim
n→∞ 10 − 5
n

lim  3 − 1 
 n2 
= n→∞

lim  10 − 5 
 n 
n→∞

lim 3 − lim 1
n2
= n→∞ n→∞

lim 10 − lim 5
n→∞ n n→∞

3−0
=

0−5

= −3
5

ดังนั้น lim 3n2 −1 = −3
10n − 5n2 5
n→∞

นั่นคอื ลําดับนี้เปน ลาํ ดบั ลูเขา และลิมิตของลําดบั คอื − 3

5

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

220 คมู ือครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

พจิ ารณา 1− 1 n +1− n 1= n2  1  1
n n+1 n2 + n  n2 
15) = n(n +1) = = n2
1 1  1+ 1
n2 + n 
n

1

ดงั นั้น lim 1 − 1 = lim n2
 n n +1 n→∞ 1 + 1
n→∞

n

= lim 1
n2
n→∞

lim 1 + lim 1
n→∞ n→∞ n

=0
1+ 0

=0

นัน่ คือ ลําดบั น้เี ปนลําดบั ลเู ขา และลมิ ิตของลาํ ดบั คอื 0

เน่อื งจาก16) lim 3n+1 = lim 3 ⋅ 3n
5n+2 52 ⋅ 5n
n→∞ n→∞

= 3 lim  3 n
25  5 
n→∞

และ 3 <1 จะได lim  3 n = 0
 5 
5 n→∞

ดังนั้น 3 lim  3 n = 3 ×0= 0
25  5  25
n→∞

น่นั คือ lim 3n+1 =0
5n+2
n→∞

ดังน้นั ลาํ ดบั นีเ้ ปน ลําดับลเู ขา และลมิ ิตของลาํ ดบั คอื 0

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 221

เนื่องจาก17) 2n−1 + 3 = 2n−1 + 3 = 1  2 n + 1  1 n
3n+2 3n+2 3n+2 18  3  3  3 

จะได lim 2n−1 + 3 = lim  1  2 n + 1  1 n 
n→∞ 3n+2  18  3  3  3  
n→∞

= lim 1  2 n + lim 1  1 n
18  3  3  3 
n→∞ n→∞

= 1 lim  2 n + 1 lim  1 n
18  3  3  3 
n→∞ n→∞

เนื่องจาก 2 <1 จะได lim  2 n = 0
3  3 
n→∞

ดงั น้นั 1 lim  2 n = 1 ×0= 0
18  3  18
n→∞

เนื่องจาก 1 <1 จะได lim  1 n = 0
3  3 
n→∞

ดงั น้นั 1 lim  1 n = 1 × 0 = 0
3  3  3
n→∞

นั่นคอื lim 2n−1 + 3 =0+0 =0
3n+2
n→∞

ดังนน้ั ลําดบั นีเ้ ปนลาํ ดบั ลเู ขา และลมิ ติ ของลําดบั คือ 0

18) เนื่องจาก n −1 = lim n 1− 1
lim n→∞ n 
n→∞ n +1
n 1+ 1
n 

1− 1
n
= lim 1
n→∞ 1 +
n

lim 1− lim 1
n→∞ n→∞ n
= 1
lim 1+ lim
n→∞ n→∞ n

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

222 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

lim 1− lim 1

n→∞ n→∞ 1

= n2

lim 1+ lim 1

n→∞ n→∞ 1

n2

1− 0
=

1+ 0

=1

ดังน้นั lim n −1 =1

n→∞ n +1

นน่ั คอื ลาํ ดบั นี้เปนลําดับลเู ขา และลมิ ิตของลาํ ดับคือ 1

19) เนอ่ื งจาก lim n2 −1 n2 1 − 1 
n→∞ 4n n2 
= lim
n→∞ 4n

n 1− 1
lim n2
=
n→∞ 4n

1 − 1
n2
= lim
n→∞ 4

= lim 1− lim 1
n2
n→∞ n→∞

lim 4
n→∞

= 1−0
4

=1
4

ดงั น้ัน lim n2 −1 = 14
n→∞ 4n

น่นั คอื ลาํ ดบั นเี้ ปน ลาํ ดับลูเ ขา และลมิ ติ ของลาํ ดบั คอื 1

4

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 223

20) เนื่องจาก 4n2 −1 n2  4 − 1 
lim  n2 
n→∞ 2n + 3 n3 + 2 = lim
n→∞
n3 1 + 2 
2n + 3 n3 

n 4 − 1
n2
= lim
n→∞ 2
2n + n3 1+ n3

n 4 − 1
n2
= lim
n→∞  
n 2 + 2 
3 1+ n3 


4 − 1
n2
= lim
n→∞ 2
2+ 3 1+ n3

lim 4 − lim 1
n→∞ n→∞ n2
=
2
lim 2 + 3 lim 1 + lim n3
n→∞ n→∞
n→∞

4−0
=

2+ 31+0
2
=
3

ดังน้นั lim 4n2 −1 = 2

n→∞ 2n + 3 n3 + 2 3

นัน่ คือ ลําดับนเี้ ปนลําดบั ลเู ขา และลมิ ติ ของลําดบั คอื 2

3

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

224 คูม อื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

21) เนื่องจาก lim 23n+2 4(8n )
32n−1
n→∞ = lim

( )n→∞ 1 9n
3

= 12 lim  8 n
n→∞  9 

และ 8 <1 จะได lim  8 n =0
 9 
9 n→∞

ดังนน้ั 12 lim  8 n = 12 × 0 = 0
n→∞  9 

นน่ั คอื lim 23n+2 =0
n→∞ 32n−1

ดังน้นั ลาํ ดับน้ีเปน ลําดบั ลูเ ขา และลิมิตของลาํ ดับคือ 0

22) เนอื่ งจาก lim 1 = lim 3 + 2n 2
8n2 + 5n +
n→∞ an n→∞

n2  3 + 2
 n2 n 
= lim
n→∞  5 2 
n2  8 + n + n2 

3 +2
= lim n2 n
n→∞ 5 2
8 + n + n2

= lim 3 + lim 2
n2 n→∞ n
n→∞

lim 8 + lim 5 + lim 2
n→∞ n n→∞ n2
n→∞

0+0
=

8+0+0

=0

จากทฤษฎีบท 4 จะไดวา ลาํ ดบั an เปน ลาํ ดบั ลอู อก

23) จาก r > 0 จะได r > 0 และ 1+ r >1

12 12

 n
 
จาก 1 <1 จะได lim  1 r  =0
1+ r  + 
n→∞ 1

12  12 

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 225

พจิ าร=ณา lim 1   n 0
 lni=→m∞  1 +1 r 
an→∞ lni→m∞= 1 +11r2 n 
n  12 

จากทฤษฎีบท 4 จะไดวา ลําดบั an เปนลาํ ดับลอู อก

24) พจิ ารณา

( )( ) ( )lim
( )n→∞
 n2 − 5 + 1− n3  n2 − 5 n2 + 3n + 1 − n3 (n + 2)
 n+2 n2 + 3n  = lim (n + 2) n2 + 3n
 
n→∞

= lim ( ) ( )n4 + 3n3 − 5n2 −15n + n + 2 − n4 − 2n3
n→∞
n3 + 5n2 + 6n

= lim n3 − 5n2 −14n + 2

n→∞ n3 + 5n2 + 6n

n3 1 − 5 − 14 + 2
n n2 n3 
= lim
n→∞ 1 + 5 6 
n3 n + n2 

= lim 1 − lim 5 − lim 14 + lim 2
n n→∞ n2 n→∞ n3
n→∞ n→∞

lim 1 + lim 5 + lim 6
n n→∞ n2
n→∞ n→∞

= 1−0−0+0
1+ 0 + 0

=1

ดังน้ัน ลาํ ดบั น้เี ปน ลําดับลเู ขา และลมิ ติ ของลาํ ดับคือ 1

3. 1) เปนเทจ็

ให an = n และ bn = −n

จะไดว า lim an = lim n ซ่งึ ไมม ีคา และ nli→m∞=bn lim (−n) ซงึ่ ไมม คี า
n→∞
n→∞ n→∞

ดังนน้ั ลําดับ an และ ลําดับ bn เปนลาํ ดบั ลอู อก

พจิ ารณา an + bn = n + (−n) = 0

จะไดว า lim (an + bn ) = lim 0 = 0

n→∞ n→∞

ดังนัน้ ลําดับ an + bn เปนลําดบั ลูเขา

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

226 คูม ือครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

2) เปนเท็จ

ให an = 0 และ bn = n

จะไดวา nli→m=∞ an l=im 0 0 และ lim bn = lim n ซ่ึงไมมคี า
n→∞
n→∞ n→∞

ดงั น้ัน an เปนลาํ ดับลเู ขา และ bn เปน ลําดบั ลูอ อก

พิจารณา an + bn = 0 + n = n

จะไดวา lim =1 l=im 1 0

n→∞ an + bn n→∞ n

ดงั น้ัน an + bn เปนลําดับลูอ อก
4. 1) บริษัทแหงน้มี ีงบรายจา ยปแ รก 2.5 พนั ลานบาท และวางแผนจะปรบั ลดงบรายจา ยลง

20% ของปก อ นหนา จะไดว า
งบรายจายในปที่ 1 หลงั จากปรับลดงบ เทากับ 2.5(0.8) พันลา นบาท

งบรายจา ยในปที่ 2 หลงั จากปรับลดงบ เทากับ (2.5(0.8))(0.8) = 2.5(0.8)2 พนั ลานบาท

งบรายจา ยในปที่ 3 หลังจากปรบั ลดงบ เทากบั ( )2.5(0.8)2 (0.8) = 2.5(0.8)3 พนั ลา นบาท

งบรายจายในปท ี่ 4 หลงั จากปรบั ลดงบ เทากับ ( )2.5(0.8)3 (0.8) = 2.5(0.8)4 พันลานบาท

ดังนน้ั งบรายจา ยในปท ีส่ ่หี ลงั จากปรับลดงบ เทา กับ 2.5(0.8)4 =1.024 พนั ลานบาท
2) จากขอ 1) จะไดว า n ปห ลังจากปรับลดงบ งบรายจา ยเทากับ 2.5(0.8)n พันลานบาท

ดังนั้น งบรายจายในปท ่ี n หลงั จากปรบั ลดงบ เทากับ 2.5(0.8)n พนั ลานบาท
3) จากขอ 1) และ 2) จะได งบรายจา ยในปท ่ี 1, 2, 3, , n,  หลงั จากปรบั ลดงบ คือ

2.5(0.8), 2.5(0.8)2 , 2.5(0.8)3 , , 2.5(0.8)n ,  ซ่ึงเปนลําดับเรขาคณิตท่ีมี
พจนแ รกเปน 2.5(0.8) และอัตราสวนรว มเปน 0.8

( )พจิ ารณา lim 2.5(0.8)n = 2.5 lim (0.8)n
n→∞ n→∞

เนอ่ื งจาก 0.8 <1 จะได lim (0.8)n = 0
n→∞

ดังน้นั 2.5 lim (0.8)n = 2.5× 0= 0
n→∞

( )นน่ั คือ lim 2.5(0.8)n = 0
n→∞

ดังนนั้ ลาํ ดบั ของงบของรายจายนเ้ี ปนลาํ ดับลูเ ขา

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 227

แบบฝกหัด 1.3.1

1. 1) จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d )
2

จะได S4 = 4 (2(3) + (4 −1)(2)) = 24

2

ดงั นนั้ ผลบวก 4 พจนแ รกของอนกุ รมเลขคณติ นี้ คือ 24

2) จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d )
2

จะได S11 = 11(2(−7) + (11−1)(3)) = 88

2

ดงั นนั้ ผลบวก 11 พจนแ รกของอนุกรมเลขคณิตน้ี คือ 88

3) จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d )
2

จะได S14 = 14 (2(−5) + (14 −1)(−2)) = −252

2

ดงั นั้น ผลบวก 14 พจนแ รกของอนุกรมเลขคณิตนี้ คือ −252

4) จาก Sn = n ( a1 + an )
2

จะได S7 = 7 (5 + 29) = 119

2

ดงั นั้น ผลบวก 7 พจนแ รกของอนกุ รมเลขคณิตน้ี คือ 119

5) จาก Sn = n ( a1 + an )
2

จะได S9 = 9 (−3 + 37) = 153

2

ดงั นั้น ผลบวก 9 พจนแรกของอนุกรมเลขคณติ น้ี คือ 153

2. 1) อนกุ รมทกี่ าํ หนดใหม ี a1 = 5 และ d = 2

จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d )
2

จะได S50 = 50 (2(5) + (50 −1)(2)) = 2,700

2

ดงั น้นั ผลบวก 50 พจนแรกของอนุกรมเลขคณิตนี้ คอื 2,700

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

228 คูม ือครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

2) อนกุ รมที่กําหนดใหมี a1 = 0 และ d = 2

จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d )
2

จะได S30 = 30 (2(0) + (30 −1)(2)) = 870

2

ดังนั้น ผลบวก 30 พจนแ รกของอนุกรมเลขคณิตนี้ คอื 870

3) อนุกรมที่กําหนดใหม ี a1 = −2 และ d = 5

จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d )
2

จะได S60 = 60 (2(−2) + (60 −1)(5)) = 8,730

2

ดังนัน้ ผลบวก 60 พจนแรกของอนุกรมเลขคณติ นี้ คอื 8,730

4) อนกุ รมท่ีกําหนดใหม ี a1 = 5 และ d = −3

จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d )
2

จะได S75 = 75 (2(5) + (75 −1)(−3)) = −7, 950

2

ดังนน้ั ผลบวก 75 พจนแ รกของอนุกรมเลขคณิตนี้ คือ −7,950

5) อนกุ รมที่กาํ หนดใหม ี a1 = 1 และ d = 1
2 2

จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d )
2

จะได S50 = 50  2  1  + (50 − 1)  1   = 1, 275
2   2  2   2
 

ดงั น้ัน ผลบวก 50 พจนแ รกของอนุกรมเลขคณิตน้ี คอื 1,275

2

3. 1) จาก an = a1 + (n −1) d

อนกุ รมที่กําหนดใหมี a1 = 6, d = 3 และ an = 99

จะได 99 = 6 + (n −1)(3)

99 = 6 + 3n − 3

n = 32

จาก Sn = n ( a1 + an )
2

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 229

จะได S32 = 32 (6 + 99) = 1,680

2

ดังนั้น ผลบวกของอนกุ รมเลขคณติ นี้ คือ 1,680

2) จาก an = a1 + (n −1) d
อนุกรมที่กาํ หนดใหมี a1 = −7, d = −3 และ an = −109
จะได −109 = −7 + (n −1)(−3)

−109 = −7 − 3n + 3
n = 35

จาก Sn = n ( a1 + an )
2

จะได S35 = 35 (−7 + (−109)) = −2, 030

2

ดังนั้น ผลบวกของอนุกรมเลขคณิตนี้ คือ −2,030

3) จาก an = a1 + (n −1) d
อนุกรมที่กาํ หนดใหม ี a1 = −7, d = 3 และ an =131
จะได 131 = −7 + (n −1)(3)

131 = −7 + 3n − 3
n = 47

จาก Sn = n ( a1 + an )
2

จะได S47 = 47 (−7 +131) = 2, 914

2

ดงั นนั้ ผลบวกของอนกุ รมเลขคณติ น้ี คือ 2,914

4. ให a10 = 20 และ a5 = 10

จะได 20 = a1 + (10 −1)d

น่นั คอื 20 = a1 + 9d ----- (1)
----- (2)
และ 10 = a1 + (5 −1) d

น่นั คือ 10 = a1 + 4d

จาก (1) และ (2) จะได d = 2 และ a1 = 2

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

230 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

พิจารณาผลบวกของพจนท ่ี 8 ถงึ พจนท ่ี 15 คือ

a8 + a9 + a10 +  + a15 = (a1 + a2 + a3 +  + a15 ) − (a1 + a2 + a3 +  + a7 ) = S15 − S7

จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d )
2

จะได S7 = 7 (2(2) + (7 −1)(2)) = 56

2

และ S15 = 15 (2(2) + (15 −1)(2)) = 240

2

น่นั คอื S15 − S7 = 240 − 56 = 184

ดงั น้นั ผลบวกของพจนท ่ี 8 ถึงพจนท ี่ 15 ของอนุกรมเลขคณติ น้ี คอื 184

5. จากทก่ี ําหนดให จะไดว า

ทบั ทมิ ออมเงินวนั แรก 1 บาท

ออมเงินในวันที่สอง 1 + 1 = 2 บาท

ออมเงินในวนั ท่ีสาม 2 + 1 = 3 บาท

ในทํานองเดยี วกัน จะไดวา ทับทมิ ออมเงนิ ในวันท่ี n เทา กับ n บาท

จะได เงนิ ที่ทบั ทิมออมในวันที่ 1, 2, 3, , n คือ 1, 2, 3, , n บาท ซง่ึ เปนลําดับ

เลขคณติ ที่มพี จนแรกเปน 1 และผลตางรวมเปน 1

ให Sn แทนจาํ นวนเงนิ ออมทัง้ หมดของทับทิม เม่ือออมครบ n วัน
ดังนน้ั จํานวนเงนิ ออมทง้ั หมดของทับทิม เม่ือออมครบ 30 วนั คือ S30

จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d )
2

จะได S30 = 30 (2(1) + (30 −1)(1)) = 465

2

ดงั น้นั ถา ทบั ทิมออมเงินจนครบ 30 วัน ทับทมิ จะมีเงนิ ออมทง้ั หมด 465 บาท

6. ให a1 = 6, d = 4 และ an = 26
จาก an = a1 + (n −1) d
จะได 26 = 6 + (n −1)(4)

26 = 6 + 4n − 4
n =6

จาก Sn = n ( a1 + an )
2

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 231

จะได S6 = 6 (6 + 26) = 96

2

ดงั น้นั ผลบวกของอนุกรมเลขคณิตนี้ คือ 96

7. ลาํ ดบั ของจาํ นวนคี่บวก คือ 1, 3, 5, 7,, 2n −1,  ซง่ึ เปนลาํ ดบั เลขคณิตท่ีมีพจนแรกเปน 1

และผลตา งรวมเปน 2

ให Sn แทนผลบวกของจาํ นวนค่บี วก n จํานวนแรก
พจิ ารณาผลบวกของจาํ นวนค่ีบวก 100 จาํ นวนแรก ซึ่งคือ S100

จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d )
2

จะได S100 = 100 (2(1) + (100 −1)(2)) = 10,000

2

ดังน้ัน ผลบวกของจํานวนค่บี วก 100 จํานวนแรก คอื 10,000

8. ลาํ ดบั ของจํานวนเต็มบวกท่เี ปนพหุคูณของ 3 คือ 3, 6, 9,12,, 2n +1, 

ซง่ึ เปนลาํ ดบั เลขคณิตท่ีมีพจนแรกเปน 3 และผลตา งรวมเปน 3

ให Sn แทนผลบวกของจํานวนเต็มบวก n จํานวนแรกทเ่ี ปนพหคุ ณู ของ 3
พจิ ารณาผลบวกของจาํ นวนเตม็ บวกยส่ี ิบจาํ นวนแรกทเ่ี ปนพหุคณู ของ 3 ซ่งึ คือ S20

จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d )
2

จะได S20 = 20 (2(3) + (20 −1)(3)) = 630

2

ดังน้ัน ผลบวกของจาํ นวนเต็มบวกยส่ี บิ จํานวนแรกท่ีเปน พหุคูณของ 3 คือ 630

9. ลาํ ดับของจาํ นวนคี่ต้งั แต 17 ถึง 379 คือ 17, 19, 21, …, 379 เปน ลําดบั เลขคณิตท่ีมีพจนแรก

เปน 17 พจนส ุดทา ยเปน 379 และผลตา งรว มเปน 2

จาก an = a1 + (n −1) d
จะได 379 = 17 + (n −1)(2)

379 = 17 + 2n − 2

n = 182

ดงั นน้ั ผลบวกของจาํ นวนค่ีตั้งแต 17 ถงึ 379 คอื ผลบวกของ 182 พจนแรกของอนุกรม

เลขคณิตท่ไี ดจ ากลําดับเลขคณติ น้ี ซึง่ คือ S182

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

232 คูมือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

จาก Sn = n ( a1 + an )
2

จะได S182 = 182 (17 + 379) = 36,036

2

ดงั นน้ั ผลบวกของจาํ นวนค่ีต้ังแต 17 ถงึ 379 คือ 36,036

10. การจดั แผนไมต ามเง่ือนไขท่ีกําหนดเปน ดงั รปู

ช้นั ที่ n แผน ไม 5 แผน

ชัน้ ที่ 4 แผน ไม 27 แผน
ช้นั ท่ี 3 แผนไม 28 แผน
ชัน้ ท่ี 2 แผน ไม 29 แผน
ชั้นท่ี 1 แผน ไม 30 แผน

จากการจัดวางแผนไมใ นชั้นท่ี 2 โดยใหแ นวกึ่งกลางของแผนไมแ ตล ะแผน อยูตรงกบั รอยตอ

ของแผน ไมแ ตล ะคูในช้ันท่ี 1 จะไดว า ชั้นท่ี 2 มีแผนไมทวี่ างจํานวนท้งั หมด 30 −1=29 แผน

จากการจัดวางแผนไมในชนั้ ที่ 3 โดยใหแ นวก่งึ กลางของแผนไมแตละแผน อยูตรงกบั รอยตอ

ของแผน ไมแตล ะคูในชน้ั ที่ 2 จะไดว า ชน้ั ที่ 3 มีแผน ไมท ่ีวางจาํ นวนท้งั หมด 29 −1=28 แผน

ให n เปน ช้ันทมี่ ีแผนไมทวี่ างจาํ นวนทง้ั หมด 5 แผน

จะไดวา จํานวนแผน ไมท ี่วางในช้ันท่ี 1, 2, 3, , n คือ 30, 29, 28,, 5 ซ่ึงเปน ลําดับ

เลขคณิตที่มพี จนแรกเปน 30 พจนท ี่ n เปน 5 และผลตางรว มเปน −1

จาก an = a1 + (n −1) d
จะได 5 = 30 + (n −1)(−1)

5 = 30 − n +1

n = 26

ดังน้ัน จาํ นวนแผน ไมตัง้ แตชัน้ ท่ี 1 จนถงึ ชัน้ ทม่ี ีแผน ไม 5 แผน คอื ผลบวกของ 26 พจนแ รก

ของอนกุ รมเลขคณติ ที่ไดจ ากลาํ ดบั เลขคณติ นี้ ซึ่งคือ S26

จาก Sn = n ( a1 + an )
2

จะได S26 = 26 (30 + 5) = 455

2

ดงั น้นั แผนไมกองไมน ี้มี 26 ชน้ั และมแี ผน ไมทั้งหมด 455 แผน

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 233

แบบฝก หดั 1.3.2

( )1.
1) จาก Sn = a1 1 − r n
1− r

จะได 3(1− 24 )

S4 = 1 − 2 = 45

ดังนั้น ผลบวก 4 พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณติ นี้ คือ 45

( )2)
จาก Sn = a1 1 − r n
1− r

( )จะได
5 1− 47
S7 = 1 − 4 = 27,305

ดังนน้ั ผลบวก 7 พจนแ รกของอนกุ รมเรขาคณติ นี้ คือ 27,305

( )3)
จาก Sn = a1 1 − r n
1− r

( )(−3) 1− 59 = 3 1 − 59
4
( )จะได
S9 = 1−5

ดังนน้ั ผลบวก 9 พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณติ น้ี คือ 3 (1− 59 )
4

( )4)
จาก Sn = a1 1 − r n
1− r

( )( )จะได
S11 = (−7) 1 − 311 = 7 1 − 311
2
1−3

ดังน้ัน ผลบวก 11 พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิตนี้ คอื ( )7 1− 311
2

( )5)
จาก Sn = a1 1 − r n
1− r

( ) ( )จะได
S14 = (−5) 1− (−2)14 = 5 214 −1
3
1− (−2)

ดงั นนั้ ผลบวก 14 พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณิตน้ี คอื (5 214 −1)
3

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

234 คูม ือครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

2. 1) อนกุ รมเรขาคณิตท่ีกําหนดใหมี a1 = 2 และ r= 6= 3
2

แทน n ดว ย 9 ใน Sn = ( )a1 1− rn

1− r

( )จะได
2 1 − 39
S9 = 1 − 3 = 39 −1 = 19,682

ดงั น้ัน ผลบวก 9 พจนแรกของอนกุ รมเรขาคณติ นี้ คือ 19,682

2) อนกุ รมเรขาคณิตที่กําหนดใหมี a1 = 9 และ =r 1=2 4
9 3

แทน n ดว ย 8 ใน Sn = ( )a1 1− rn

1− r

9  −  4 8  9  −  4 8   8 
1  3   1  3   1  
จะได S8 = = = −27 −  4
1− 4 −1  3

33

ดงั นนั้ ผลบวก 8 พจนแรกของอนกุ รมเรขาคณิตน้ี คือ −27  −  4 8 
1  3  

4

3) อนกุ รมเรขาคณติ ที่กาํ หนดใหมี a1 = 2 และ =r 92= 2
3 3

3

แทน n ดวย 10 ใน Sn ( )= a1 1− rn
1− r

2  −  2 10   10 
3 1  3   1  
จะได S10 = = 2 −  2
1− 2  3

3

ดังนน้ั ผลบวก 10 พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณติ น้ี คือ 2  −  2 10 
1  3  

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 235

3. 1) อนกุ รมทกี่ าํ หนดใหม ี a1 = 9, =r 2=7 3 และ an = 729
9

จาก an = a1rn−1

จะได ( )729 = 9 3n−1

น่นั คือ 81 = 3n−1
34 = 3n−1
n −1 = 4

n=5

แทน n ดวย 5 ใน Sn = ( )a1 rn −1

r −1

( )S5
จะได = 9 35 −1 = 9 (243 −1) = 1,089
3−1
2

ดังน้นั ผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตน้ี คือ 1,089

2) อนุกรมท่กี าํ หนดใหมี a1 = 4, r= 2= 1 และ an =1
4 2 512

จาก an = a1rn−1

จะได 1  1 n −1
512  2 
= 4

1 =  1 n−1
211  2 

 1 11 =  1 n−1
 2   2 

น่นั คือ n −1 = 11

n = 12

แทน n ดวย 12 ใน Sn = ( )a1 1− rn

1− r

4  −  1 12   12 
1  2   1  
จะได S12 = = 8 −  1
1− 1  2

2

ดังนั้น ผลบวกของอนกุ รมเรขาคณิตน้ี คือ  −  1 12 
81  2  

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

236 คมู ือครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

3) อนุกรมที่กาํ หนดใหม ี a1 = 1, r= −2 = −2 และ an = 256
1

จาก an = a1rn−1

จะได 256 = 1(−2)n−1

(−2)8 = (−2)n−1

นั่นคือ n −1 = 8

n=9

แทน n ดวย 9 ใน Sn = ( )a1 1− rn

1− r

( )จะได
1 1− (−2)9 = 1 (1+ 512) = 171
S9 = 1− (−2)
3

ดงั นั้น ผลบวกของอนกุ รมเรขาคณิตน้ี คือ 171

4. จากที่กาํ หนดให จะไดวา

มังกรออมเงินวันแรก 1 บาท

ออมเงนิ ในวันที่สอง 2(1)= 2= 21 บาท

ออมเงนิ ในวันทส่ี าม 2(2)= 4= 22 บาท

ออมเงนิ ในวันทีส่ ี่ 2(4)= 8= 23 บาท

ในทาํ นองเดียวกัน จะไดวา มังกรออมเงนิ ในวันท่ี n เทา กับ 2n−1 บาท

จะได เงนิ ทม่ี ังกรออมในวนั ที่ 1, 2, 3, , n,  คือ 1, 21, 22, , 2n−1,  บาท ซึง่ เปน

ลําดับเรขาคณิตทมี่ ีพจนแ รกเปน 1 และอตั ราสว นรว มเปน 2

ให Sn แทนจาํ นวนเงนิ ออมท้ังหมดของมังกร เม่ือออมครบ n วนั

ดังน้ัน จํานวนเงนิ ออมทงั้ หมดของมังกร เมื่อออมครบ 15 วัน คอื S15

( )จาก
Sn = a1 r n −1
r −1

( )จะได
1 215 −1
S15 = 2 −1 = 215 −1 = 32,767

ดงั นนั้ เม่ือครบ 15 วัน มังกรจะมเี งนิ ออมทง้ั หมด 32,767 บาท

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 237

5. จาก ยอดขายของบรษิ ัทแหงนใี้ นไตรมาสแรกของปที่ 1 คือ 300,000 บาท
และผูจดั การฝา ยขายของบรษิ ัทตอ งการเพิ่มยอดขายขน้ึ ไตรมาสละ 3% ของยอดขายใน
ไตรมาสกอนหนา จะไดว า
ไตรมาสแรกของปท ี่ 1 ผูจดั การฝา ยขายทํายอดขายได 300,000 บาท
เมอ่ื ผานไป 1 ไตรมาส (ไตรมาสสองของปท่ี 1) ผจู ัดการฝายขายทํายอดขายได 300,000(1.03) บาท
เมอ่ื ผา นไป 2 ไตรมาส (ไตรมาสสามของปที่ 1) ผจู ัดการฝา ยขายทาํ ยอดขายได
(300,000(1.03))(1.03) = 300,000(1.03)2 บาท
เมื่อผานไป 3 ไตรมาส (ไตรมาสสข่ี องปท่ี 1) ผจู ดั การฝา ยขายทํายอดขายได

( )300,000(1.03)2 (1.03) = 300,000(1.03)3 บาท

เมือ่ ผา นไป 4 ไตรมาส (ไตรมาสหน่ึงของปที่ 2) ผูจัดการฝายขายทํายอดขายได

( )300,000(1.03)3 (1.03) = 300,000(1.03)4 บาท

ในทาํ นองเดียวกัน เมื่อผานไป n ไตรมาส ผจู ัดการฝายขายควรทํายอดขายได 300,000(1.03)n บาท
จะไดวา เมื่อผา นไป 1, 2, 3, , n,  ไตรมาส จากไตรมาสแรกของปท่ี 1 ผูจัดการฝา ยขายควรทาํ
ยอดขายได 300000(1.03), 300000(1.03)2 , 300000(1.03)3 , , 300000(1.03)n ,  บาท
ซึ่งเปน ลําดับเรขาคณติ ท่ีมีพจนแ รกเปน 300000(1.03) และอตั ราสว นรว มเปน 1.03
1) เน่ืองจาก ไตรมาสแรกของปท ี่ 3 คอื ไตรมาสท่ี 8 นับจากไตรมาสแรกของปท่ี 1

จะได ยอดขาย ณ ไตรมาสแรกของปท ่ี 3 คือ ยอดขายทผี่ ูจ ัดการฝายขายควรทํายอดได
เมื่อผา นไป 8 ไตรมาส ซง่ึ เทากับ 300,000(1.03)8 ≈ 380,031.02 บาท
ดงั นนั้ ผจู ัดการฝายขายควรทํายอดขายไตรมาสแรกของปท่ี 3 ใหไดป ระมาณ
380,031.02 บาท
2) ให Sn แทนยอดขายรวมทผ่ี จู ดั การฝา ยขายควรทําได เมื่อผา นไป n ไตรมาส นับจาก

ไตรมาสแรกของปท่ี 1
พิจารณา ยอดขายรวมที่ผจู ัดการฝายขายควรทําไดต้ังแตไตรมาสสองของปท่ี 1 ถึงไตรมาสส่ี
ของปท่ี 2 ซงึ่ คือ ยอดขายรวมทผ่ี จู ดั การฝายขายควรทาํ ไดเ มือ่ ผา นไป 7 ไตรมาส นับจาก
ไตรมาสแรก หรือ S7

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

238 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

( )จาก
Sn = a1 r n −1
r −1

( )จะได
S7 = 300,000(1.03) (1.03)7 −1 ≈ 2,367,700.81

1.03 −1

น่ันคือ เมื่อครบสองป ผูจดั การฝา ยขายควรทํายอดขายรวมไดเทา กบั ยอดขายที่ไดใ น

ไตรมาสแรกของปท่ี 1 รวมกับยอดขายรวมทผ่ี จู ัดการฝา ยขายควรทําไดต ั้งแตไตรมาสสอง

ของปท ี่ 1 ถึงไตรมาสส่ีของปที่ 2 ซง่ึ เทากบั 300,000 + S7 บาท

ดังน้ัน เมอ่ื ครบสองป ผจู ัดการควรทํายอดขายทงั้ หมดใหไดประมาณ

300,000 + 2,367,700.81 = 2,667,700.81 บาท

6. ถังใบหนง่ึ มีนํ้าอยู 5,832 ลิตร แตละวนั จะใชน าํ้ 1 ของปรมิ าณน้ําที่อยูในถงั

3

วันท่ี 1 จะใชน้ําไป 1 (5,832) ลิตร และเหลอื น้ําอยูในถงั 5,832 − 1 (5,832) =2 (5,832) ลติ ร

3 33

วนั ท่ี 2 จะใชนา้ํ ไป 1  2 (5,832)  ลติ ร และเหลอื นํ้าอยูในถัง
3  3 

2 ( 5, 832) − 1  2 ( 5, 832 )  = 23 2 (5,832) ลติ ร
3 3  3 

วนั ท่ี 3 จะใชนาํ้ ไป  2 2 (5,832) ลิตร และเหลอื น้ําอยูในถัง
 3 

 2 2 ( 5, 832 ) − 1   2 2 ( 5, 832)  = 23 3 (5,832) ลติ ร
 3  3   3  

ในทํานองเดียวกนั วันที่ n จะใชนาํ้ ไป  2 n−1 (5, 832 ) ลิตร
 3 

จะได ปริมาณนาํ้ ท่ีใชไ ปในวันที่ 1, 2, 3, , n,  คอื

1 ( 5832 ) ,  2   1 ( 5832)  ,  2 2  1 ( 5832 )  , ,  2 n−1  1 ( 5832 )  , 
3  3   3   3   3   3   3 

ซง่ึ เปน ลาํ ดับเรขาคณติ ท่ีมพี จนแรกเปน 1 (5,832) และอตั ราสวนรวมเปน 2

33

ให Sn แทนปรมิ าณนํ้าท่ีใชไปทั้งหมด เม่อื ครบ n วัน

ดงั นั้น ปรมิ าณนํา้ ทีใ่ ชไปทั้งหมด เมื่อครบ 6 วัน คือ S6

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี