คู่มือคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.6 เล่ม1_compressed

คูมือครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 239

( )จาก
Sn = a1 1 − r n
1− r

1 ( 5, 832 )  −  2 6 
3 1  3  
จะได = = 5,320
S6 1− 2

3

นนั่ คือ เม่ือครบ 6 วนั ใชน ้ําไปทั้งหมด 5,320 ลิตร

ดังน้ัน เมอื่ ครบ 6 วนั จะมนี ้ําเหลืออยใู นถัง 5,832 − 5,320 =512 ลิตร

7. จาก รถยนตมมี ลู คา ลดลง 20% หมายความวา ราคารถยนตคันนจี้ ะลดลง 20% ของราคา

รถยนตคันน้ใี นปกอ นหนา

บริษัทซื้อรถยนตค ันน้ีมาราคา 1,000,000 บาท

เมือ่ ครบ 1 ป รถยนตค นั นจ้ี ะมรี าคาลดลง 0.2(1,000,000) บาท ทาํ ใหมูลคาของรถ

เทา กบั 1,000,000 − 0.2(1,000,000) =0.8(1,000,000) บาท

เมอื่ ครบ 2 ป รถยนตค นั นี้จะมีราคาลดลง 0.2(0.8(1,000,000)) บาท ทาํ ใหมลู คา ของรถ

เทากบั 0.8(1,000,000) − 0.2(0.8(1,000,000)) =(0.8)2 (1,000,000) บาท

เมือ่ ครบ 3 ป รถยนตคนั นีจ้ ะมรี าคาลดลง ( )0.2 (0.8)2 (1,000,000) บาท ทําใหม ลู คา ของรถ

( )เทา กับ (0.8)2 (1,000,000) − 0.2 (0.8)2 (1,000,000) =(0.8)3 (1,000,000) บาท

ในทาํ นองเดียวกนั เม่ือครบ n ป รถยนตคนั นจี้ ะมรี าคาลดลง ( )0.2 (0.8)n−1 (1,000,000) บาท

จะไดว า เมื่อครบ 1, 2, 3, , n,  ป รถยนตค นั น้ีจะมรี าคาลดลง เทากับ

( ) ( )0.2(1000000), 0.2(0.8(1000000)), 0.2 (0.8)2 (1000000) , , 0.2 (0.8)n−1 (1000000) , 

ซึ่งเปน ลําดบั เรขาคณิตที่มีพจนแรกเปน 0.2(1000000) และอตั ราสวนรวมเปน 0.8

ให Sn แทนผลรวมของราคาที่ลดลงของรถยนตคนั นี้ เม่ือครบ n ป

ดังนัน้ ผลรวมของราคาที่ลดลงของรถยนตคนั นี้ เมอ่ื ครบ 5 ป คอื S5

( )จาก Sn = a1 1− rn
1− r

( )จะได
S5 = 0.2(1,000,000) 1− (0.8)5 = 672,320

1 − 0.8

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

240 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

นั่นคือ ผลรวมของราคาที่ลดลงของรถยนตค นั นี้ เมือ่ ครบ 5 ป คอื 672,320 บาท
ดังนน้ั เมอ่ื ครบหา ป รถยนตคันน้ีจะมมี ูลคา 1,000,000 − 672,320 =327,680 บาท

8. ใ=ห a1 1=60, r 3 และ Sn = 2,110
2

( )จาก
Sn = a1 r n −1
r −1

จะได 2,110 =   3 n 
160   2  − 1

3 −1
2

160   3 n − 
  2  1
2,110 =
1

2

2,110 =   3 n 
320   2  − 1

 3 n −1 = 211
 2  32

 3 n = 243
 2  32

 3 n =  3 5
 2   2 
n=5
ดังนั้น

9. ให a1, a2 , a3,  เปน ลําดบั เรขาคณิตทม่ี ี a1 + a2 =−3 และ a5 + a6 =− 3
16

จาก an = a1rn−1

จะได a1 + a2 = −3

a1 + a1r = −3 ------ (1)

a1 (1+ r ) = −3

และ a5 + a6 = −3
16

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 241

a1r 4 + a1r5 = −3
16

a1r4 (1+ r ) = −3 ------ (2)
16

จาก (1) และ (2) จะได r4 = 1

16

นน่ั คอื r = 1 หรอื r = − 1

22

กรณี r = 1 จาก (1) จะได a1 = −2

2

( )จาก
Sn = a1 1 − r n
1− r

−2  −  1 8 
1  2  
จะได S8 = − 255
= 1− 1 64

2

กรณี r= −1 จาก (2) จะได a1 = −6
2

( )จาก
Sn = a1 1 − r n
1− r

( −6 )  −  − 1 8 
1  2  
นั่นคือ S8 = = − 255
 1  64
1 −  − 2 

ดงั นั้น ผลบวกของ 8 พจนแรกของอนุกรมน้ี คือ − 255

64

10. ณ เวลาปจ จบุ ัน มีแบคทีเรยี 1,000 เซลล และแบคทเี รยี จะแบงเซลลโ ดยมจี าํ นวนเพิ่มขนึ้

20% ในแตล ะชัว่ โมง จะไดวา

เมื่อเวลาผา นไป 1 ชว่ั โมง จะมีแบคทีเรียเพิ่มข้ึนจากเริ่มตนจาํ นวน 1,000(0.2)เซลล

ดงั นนั้ เม่ือเวลาผานไป 1 ช่ัวโมง จะมีแบคทีเรยี รวม 1,000 +1,000(0.2) =1,000(1.2) เซลล

เมื่อเวลาผานไป 2 ชั่วโมง มีแบคทีเรยี เพิ่มขน้ึ จากชว่ั โมงท่ี 1 จํานวน 1,000(1.2)(0.2) เซลล

ดังน้นั เม่ือเวลาผานไป 2 ชว่ั โมง จะมแี บคทเี รียรวม 1,000(1.2) +1,000(1.2)(0.2) =1,000(1.2)2 เซลล

เมื่อเวลาผานไป 3 ชว่ั โมง มีแบคทีเรยี เพ่ิมข้นึ จากชวั่ โมงท่ี 2 จํานวน 1,000(1.2)2 (0.2) เซลล

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

242 คูม ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

ดงั นัน้ เม่ือเวลาผานไป 3 ชั่วโมง จะมีแบคทีเรยี รวม 1,000(1.2)2 +1,000(1.2)2 (0.2) =1,000(1.2)3 เซลล
ในทํานองเดยี วกัน เม่ือเวลาผา นไป t ช่วั โมง จะมแี บคทเี รยี เพิม่ ข้นึ จากชวั่ โมงที่ t −1 จํานวน

1,000(1.2)t−1 (0.2) เซลล
จะไดวา เมื่อเวลาผานไป 1, 2, 3, , t,  ชวั่ โมง จะมีแบคทเี รยี เพิ่มข้ึน เทากับ

1000(0.2), 1000(1.2)(0.2), 1000(1.2)2 (0.2), , 1,000(1.2)t−1 (0.2), 

ซ่งึ เปน ลําดับเรขาคณติ ท่มี ีพจนแรกเปน 1,000(0.2) และอตั ราสวนรวมเปน 1.2

ให St แทนผลรวมของจาํ นวนแบคทเี รียทเี่ พิม่ ขน้ึ เม่ือครบ t ชวั่ โมง

ดังนน้ั ผลรวมของจํานวนแบคทีเรยี ที่เพิ่มขึน้ เม่ือครบ t ชัว่ โมง คอื St

( )จาก
St = a1 1 − rt
1− r

( ) ( )จะได
(1,000(0.2)) 1− (1.2)t
St = = 1,000 (1.2)t −1

1 −1.2

ดังนัน้ จํานวนแบคทเี รียทั้งหมดเมื่อเวลาผานไป t ช่วั โมง คอื

( )1,000 + S=t 1,000 +1,000 (1.2)t −1= 1,000(1.2)t เซลล

พจิ ารณาเม่อื เวลาผานไป 10 ชั่วโมง
จะไดว า จาํ นวนแบคทีเรียท้งั หมดเทา กับ 1,000(1.2)10 ≈ 6,191 เซลล
ดังนัน้ สูตรทใี่ ชในการหาจาํ นวนแบคทีเรยี เมื่อเวลาผา นไป t ชั่วโมง
และเม่ือเวลาผา นไป 10 ชัว่ โมง จะมีแบคทีเรยี ท้ังหมดประมาณ 6,191 เซลล

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 243

แบบฝกหัด 1.3.3

1. 1) จากอนุกรม 3+2+ 4 +  + 3  2 n−1 +  จะได
3  3 

S1 = 3

S2 = 3 + 2 = 5

S3 = 3+2+ 4 = 19
3 3

พิจารณาผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมน้ี (Sn )

จากอนุกรมท่ีกาํ หนดใหเปน อนุกรมเรขาคณติ ท่ีมี a1 =3 และ r = 2
3

และผลบวกยอย n พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณิต คอื Sn = ( )a1 1− rn

1− r

3  −  2 n   n 
1  3   1  
จะไดว า Sn = = 9 −  2
1− 2  3

3

ดงั นัน้ ลาํ ดับของผลบวกยอ ยของอนุกรมนี้ คือ 3, 5, 19 , , 9  −  2 n  , 
3 1  3  

2) จากอนุกรม 1 + 5 + 25 + + 1 (5)n−1 + จะได
22 2 2

S1 1
=

2

S2 = 1+5 = 3
22

S3 = 1 + 5 + 25 = 31
22 2 2

พจิ ารณาผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมน้ี (Sn )

จากอนุกรมท่ีกําหนดใหเปน อนกุ รมเรขาคณิต ที่มี a1 = 1 และ r =5
2

และผลบวกยอ ย n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิต คอื Sn = ( )a1 1− rn

1− r

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

244 คูมือครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

1 5n −1
=2
( ) ( )Sn
จะไดวา = 1 5n −1
5−1 8

ดงั น้ัน ลําดับของผลบวกยอยของอนุกรมน้ี คือ 1 , 3, 31, , (1 5n −1), 
22 8

3) จากอนุกรม 1 +  − 1  + 1 +  + ( )−1 n−1 + จะได
2  4  8
2n

1
S1 = 2

S2 = 1 +  − 1  = 1
2  4  4

S3 = 1 +  − 1  + 1 = 3
2  4  8 8

พิจารณาผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมน้ี (Sn )

จากอนุกรมท่ีกําหนดใหเ ปน อนุกรมเรขาคณิต ท่ีมี a1 = 1 และ r = −1
2 2

และผลบวกยอ ย n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณติ คือ Sn = ( )a1 1− rn

1− r

1  −  − 1 n  1  −  − 1 n   n 
2 1  2   2 1  2   1  
จะไดว า Sn = = = 1 −  − 1
 1  3 3  2
1 −  − 2 
2

ดังนั้น ลําดบั ของผลบวกยอยของอนุกรมนี้ คอื 1, 1, 3 , , 1  −  − 1 n  
2 4 8 3 1  2   ,

4) จากอนุกรม 2 + (−1) + (− 4) + + (5 − 3n) + จะได

S1 = 2

S2 = 2 + (−1) = 1

S3 = 2 + (−1) + (−4) = −3

พิจารณาผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมน้ี (Sn )
จากอนุกรมที่กาํ หนดใหเ ปนอนุกรมเลขคณิต ทม่ี ี a1 = 2 และ d = −3

และผลบวกยอ ย n พจนแรกของอนุกรมเลขคณิต คอื S=n n ( 2a1 + ( n − 1) d )
2

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 245

จะไดว า Sn = n (2(2) + (n −1)(−3)) = 7n − 3n2
2
2

ดงั นนั้ ลําดบั ของผลบวกยอยของอนุกรมนี้ คอื 2, 1, − 3, , 7n − 3n2 , 

2

5) จากอนุกรม 3 + 9 + 27 + +  3 n + จะได
4 16 64  4 

3
S1 = 4

S2 = 3+ 9 = 21
4 16 16

S3 = 3 + 9 + 27 = 111
4 16 64 64

พจิ ารณาผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมนี้ (Sn )

จากอนุกรมท่ีกาํ หนดใหเ ปน อนกุ รมเรขาคณิต ท่ีมี a1 = 3 และ r = 3
4 4

และผลบวกยอ ย n พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณติ คอื Sn = ( )a1 1− rn

1− r

3  −  3 n  3  −  3 n   n 
4 1  4   4 1  4   31  
จะไดว า Sn = = = −  3
1− 3 1  4

44

ดงั นน้ั ลําดบั ของผลบวกยอ ยของอนุกรมน้ี คอื 3 , 21 , 111 , , 3  −  3 n  , 
4 16 64 1  4  

6) จากอนุกรม − 1 + 1 − 1, 1 +  +  −1 n + จะได
10 100 000  10 

S1 = −1
10

S2 = −1+ 1 = −9
10 100 100

S3 = −1+ 1 − 1 = − 91
10 100 1,000 1, 000

พจิ ารณาผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมน้ี (Sn )

จากอนุกรมที่กําหนดใหเปนอนกุ รมเรขาคณิต ที่มี a1 = −1 และ r = −1
10 10

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

246 คูม ือครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

และผลบวกยอ ย n พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณิต คอื Sn = ( )a1 1− rn

1− r

− 1  −  − 1 n  − 1  −  − 1 n   n 
10 1  10   10 1  10   1  
จะไดวา Sn = = = − 1 −  − 1
 1  11 11  10
1 −  − 10 
10

ดังนนั้ ลําดับของผลบวกยอยของอนกุ รมน้ี คอื − 1 ,− 9 , − 91 , , − 1  −  − 1 n  , 
10 100 1, 000 11 1  10  

7) จากอนุกรม 100 +10 +1+ 0.1+ +103−n + จะได

S1 = 100

S2 = 100 +10 = 110

S3 = 100 +10 +1 = 111

พจิ ารณาผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมนี้ (Sn )

จากอนุกรมที่กําหนดใหเ ปน อนุกรมเรขาคณติ ที่มี a1 = 100 และ r =1
10

และผลบวกยอ ย n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณติ คอื Sn = ( )a1 1− rn

1− r

100  −  1 n  100  −  1 n   n 
1  10   1  10   1  
จะไดวา Sn = = = 1, 000 −  1
9  10
1− 1 9

10 10

ดงั นนั้ ลําดับของผลบวกยอยของอนุกรมนี้ คือ 100, 110, 111, , 1, 000  1 n  
9 1 −  10   ,

8) สาํ หรบั จาํ นวนนบั k ใด ๆ จะไดว า

1 = 1 ⋅ k +1 − k −1
k +1+ k −1 k +1 + k −1 k +1 − k −1

= k +1− k −1
(k +1) − (k −1)

= k +1 − k −1 ----- (1)
22

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 247

จาก (1) เขียนผลบวกยอ ย n พจนแ รกของอนุกรมไดใหมดังนี้

Sn  2− 0  +  3− 1  +  4− 2  +  5− 3  +  +  n −1 − n−3
=  2 2   2 2   2 2   2 2   2 2 

 n− n− 2  +  n+1 − n −1
+  2 2   2 2 

( )= 1 − 1 + n + n +1
2

( )= 1 n + n +1 −1
2

จะได

( )=S1 1 2
2 1 + 1+1 −=1 2

1 2 + 2 +1 −=1 1
2 2
( ) ( )=S2
2 + 3 −1

1 3 + 3 +1 −=1 1
2 2
( ) ( )=S3
3 + 4 −1

ดงั น้ัน ลําดับของผลบวกยอ ยของอนกุ รมนี้ คอื

( ) ( ) ( )2 , 1 2 + 3 −1 , 1 3 + 4 −1 ,, 1 n + n +1 −1 ,
22 2 2

4  2 n −1 เปน อนกุ รมเรขาคณิตท่ีมี และ 2
3  3  3
2. 1) 3+2+ +  + 3 + a1 =3 r =

เนื่องจาก r= 2 <1 จะไดว า อนุกรมน้ีเปนอนุกรมลเู ขา

3

และผลบวกของอนุกรม คือ a1 = 3 = 9
1− r 1− 2

3

2) 1+5+ 25 + + 1 ( )5 n−1 + เปน อนุกรมเรขาคณติ ท่ีมี a1 = 1 และ r =5
22 2
22

เนอื่ งจาก r= 5 >1 จะไดวา อนุกรมน้ีเปน อนกุ รมลูออก

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

248 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

3) 1 +  − 1  + 1 +  + ( )−1 n−1 + เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี a1 = 1 และ r = −1
2  4  8 2 2
2n

เนอื่ งจาก r= 1 <1 จะไดว า อนุกรมน้ีเปนอนกุ รมลเู ขา

2

1

และผลบวกของอนุกรม คือ a1 = 2 = 1  1 
1− r −  − 2  3
1

4) 2 + (−1) + (−4) ++ (5 − 3n) + เปนอนกุ รมเลขคณิต ทม่ี ผี ลบวกยอ ย n พจนแรก

คอื Sn = 7n − 3n2
2

จากลําดับของผลบวกยอยของอนกุ รมซง่ึ คือ S1, S2, S3, , Sn, 

 n2  2  2
  n2 =   7n−=2 3 
พจิ ารณา lim=1 lim  −23=n2  lim  lim  =0 0
Sn→∞  7n n→∞   7    0−3
n→∞  n2  n − 3   n→∞
n

n 

จากทฤษฎีบท 4 จะไดวา ลาํ ดบั นเี้ ปนลําดับลอู อก

ดงั นั้น อนกุ รมนี้เปน อนุกรมลูออก

5) 3 + 9 + 27 +  +  3 n + เปน อนุกรมเรขาคณติ ท่ีมี a1 = 3 และ r = 3
4 16 64  4  4 4

เนอ่ื งจาก r= 3 <1 จะไดวา อนุกรมน้ีเปนอนุกรมลเู ขา

4

3

และผลบวกของอนุกรม คือ a1 = 4 = 3
1− r 1− 3

4

6) − 1 + 1 − 1 +  +  − 1 n + เปน อนกุ รมเรขาคณติ ที่มี a1 = −1 และ r = −1
10 100 1000  10  10 10

เนือ่ งจาก =r 1 <1 จะไดวา อนุกรมน้ีเปนอนุกรมลเู ขา

10

และผลบวกของอนุกรม คือ a1 = −1 = −1
10

1− r 1 −  − 1  11
 10 

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 249

7) 100 +10 +1 + 0.1 + +103−n + เปน อนกุ รมเรขาคณิตที่มี a1 = 100 และ r =1
10

เนอ่ื งจาก =r 1 <1 จะไดว า อนุกรมนี้เปนอนกุ รมลเู ขา

10

และผลบวกของอนุกรม คือ a1 = 100 = 1000
1− r 1− 1 9

10

8) 1 + 1 + 1 + + 1 +
2+ 0 3+ 1 4+ 2 n +1 + n −1

เปน อนกุ รมทีม่ ผี ลบวกยอย n พจนแรกคอื =Sn 1( n+ )n +1 −1

2

จากลําดบั ของผลบวกยอยของอนกุ รมซ่งึ คือ S1, S2, S3, , Sn, 

พิจารณา lim 1 = lim  2
Sn→∞  n +1 −1
n→∞ n+
n

  2 
  n  
 n 

= lim  n+1 −  
n n  
n→∞  n+ 1  
 n n


2

= lim  n
n→∞  1
1+ n+1 − 
 n
n

2

 n 
= lim  1+ 1 
1 
n→∞

1+ −
 n n

lim  2
 n 
n→∞

=  1
lim 1+ 
1+ 1 −

n→∞  n n

2 lim  1
 n 
n→∞

= lim1+ lim 1+ 1 − lim 1

n→∞ n→∞ n n→∞ n

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

250 คูมือครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

2(0)

=
1+ 1+0 −0

=0
2

=0

จากทฤษฎีบท 4 จะไดว า ลําดับน้ีเปนลาํ ดับลูออก
ดังนน้ั อนุกรมนี้เปนอนุกรมลูออก

3. 1) อนกุ รม 3+ 3+ 3 + 3 ++ 3 + เปน อนกุ รมเรขาคณิตทม่ี ี a1 =3 และ r = 1
2 48 2n−1 2

เนื่องจาก r= 1 <1 จะไดว า อนกุ รมนี้เปน อนกุ รมลเู ขา

2

และผลบวกของอนุกรม คือ a1 = 3 = 6
1− r 1− 1

2

ดังน้ัน ผลบวกของอนุกรมน้ี คือ 6

2) เนอื่ งจาก 4 +1 + 8+1 + 16 +1 + + 2n+1 + 1 + 
9 27 81 3n+1

=  4 + 8 + 16 ++ 2n+1 +  +  1 + 1 + 1 ++ 1 + 
 9 27 81 3n+1   9 27 81 3n+1


พจิ ารณา อนกุ รม 4 + 8 + 16 + + 2n+1 + ซ่งึ เปนอนุกรมเรขาคณิตท่มี ี a1 = 4
9 27 81 3n+1 9

และ r = 2

3

เนอื่ งจาก r= 2 <1 จะไดว า อนกุ รมนี้เปนอนุกรมลเู ขา

3

4

และผลบวกของอนุกรม คือ a1 = 9 = 4×3= 4 ----- (1)
1− r 1− 2 9 3

3

พจิ ารณา อนุกรม 1 + 1 + 1 + + 1 + เปนอนกุ รมเรขาคณติ ทมี่ ี a1 = 1
9 27 81 3n+1 9

และ r = 1

3

เนือ่ งจาก r= 1 <1 จะไดวา อนกุ รมนีเ้ ปนอนุกรมลเู ขา

3

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 251

1

และผลบวกของอนุกรม คือ a1 = 9 =1×3 =1 ----- (2)
1− r 1− 1 92 6

3

จาก (1) และ (2) จะไดว า 4 +1 + 8+1 + 16 +1 ++ 2n+1 + 1 +  = 4 + 1 = 3
9 27 81 3n+1 3 6 2

ดังนนั้ ผลบวกของอนุกรมน้ี คือ 3

2

3) เม่อื x เปนจํานวนจรงิ จะได

2 1 + (2 1 )2 + (2 1 )3 ++ (2 1 )n + เปนอนุกรมเรขาคณติ ที่มี
+ x2 + x2 + x2 + x2

a1 = 2 1 และ r= 1
+ x2 2 + x2

เนอื่ งจาก x2 ≥0 จะได 2 + x2 ≥ 2 และ 0 < 2 1 ≤ 1 <1
+ x2 2

ดงั น=นั้ r 1 <1
2 + x2

1

จะไดวา อนุกรมนี้เปนอนุกรมลูเ ขา และผลบวกของอนกุ รม คอื a1 = 2 + x2 = 1
1− r 1 1+ x2
1 − + x2
2

1+ 1 1 1 1
2 + x2 2 + x2 2 + x2 2 + x2 = 1+ x2
( ) ( ) ( )ดงั นัน้
+ 3 ++ n +

2

สาํ หรบั ทกุ x ทเ่ี ปน จํานวนจริง
4. จาก 0.9 = 0.9999

= 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 +

= 9 + 9 + 9 + 9 +
10 100 1000 10000

= 9 + 9 + 9 + 9 +
10 102 103 104

จะไดว า 9+ 9 +9 +9 + เปน อนกุ รมเรขาคณิตท่ีมี a1 =9 และ r =1
10 102 103 104 10 10

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

252 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

เนือ่ งจาก =r 1 <1 จะไดว า อนุกรมนี้เปน อนุกรมลูเขา และผลบวกของอนุกรม คือ

10

99

a1 = 10 = 10 =1
1−r 1− 1 9

10 10

ดงั นั้น 0.9 =9 + 9 +9 + 9 + =1
10 102 103 104

5. 1) จาก 0.21 = 0.212121

= 0.21+ 0.0021+ 0.000021+

= 21 + 21 + 21 + 
100 10000 1000000

= 21 + 21 + 21 + 
100 1002 1003

จะไดวา 21 + 21 + 21 + เปน อนุกรมเรขาคณิตท่มี ี a1 = 21 และ r= 1
100 1002 1003 100 100

เนอื่ งจาก=r 1 <1 จะไดวา อนุกรมนี้เปน อนกุ รมลเู ขา และผลบวกของอนุกรม

100

21 21

คือ a1 = 100 = 100 =7
1−r 1− 1 99 33

100 100

จะไดว า 0.21 = 21 + 21 + 21 +  = 7
100 1002 1003 33

2) จาก 0.6104 = 0.6104104104

= 0.6 + 0.0104 + 0.0000104 + 0.0000000104 + 

= 6 + 104 + 104 + 104 + 
10 10,000 10,000,000 10,000,000,000

= 6 + 104 + 104 + 104 + 
10 104 107 1010

จะไดวา 104 + 104 + 104 + เปนอนุกรมเรขาคณิตทีม่ ี a1 = 104 และ r = 1
104 107 1010 104 103

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 253

เน่ืองจาก =r 1 <1 จะไดวา อนกุ รมนี้เปน อนกุ รมลเู ขา และผลบวกของอนุกรม
103

104 104

คือ a1 = 104 = 10, 000 = 104
1− r 1 999 9, 990
1 − 103
1, 000

จะไดวา 0.61 04 =6 + 104 + 104 + 104 +  =6 + 104 =3, 049
10 104 107 1010 10 9, 990 4, 995

3) จาก 7.256 = 7.2565656

= 7.2 + 0.056 + 0.00056 + 0.0000056 +

= 72 + 56 + 56 + 56 + 
10 1,000 100,000 10,000,000

= 72 + 56 + 56 + 56 +
10 103 105 7
10

จะไดว า 56 + 56 + 56 + เปนอนุกรมเรขาคณิตทม่ี ี a1 = 56 และ r = 1
103 105 7 103 102

10

เนอ่ื งจาก=r 1 < 1 จะไดวา อนกุ รมนีเ้ ปนอนกุ รมลูเขา และผลบวกของอนุกรม
102

56 56

คอื a1 = 103 = 1000 = 28
1− r 1 99 495
1 − 102
100

จะไดว า 7.256 = 72 + 56 + 56 + 56 += 72 + 28 = 3, 592
10 103 105 7 10 495 495
10
4) จาก 4.387 = 4.3878787

= 4.3 + 0.087 + 0.00087 + 0.0000087 +

= 43 + 87 + 87 + 87 + 
10 1,000 100,000 10,000,000

= 43 + 87 + 87 + 87 + 
10 103 105 107

จะไดวา 87 + 87 + 87 + เปนอนุกรมเรขาคณิตท่ีมี a1 = 87 และ r = 1
103 105 107 103 102

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

254 คมู ือครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

เน่ืองจาก =r 1 < 1 จะไดว า อนุกรมน้ีเปน อนกุ รมลเู ขา และผลบวกของอนุกรม
102

87 87

คอื a1 = 103 = 1000 = 29
1− r 1 99 330
1 − 102
100

จะไดว า 4.38 7 = 43 + 87 + 87 + 87 += 43 + 29 = 724
10 103 105 107 10 330 165

5) จาก 0.0737373 = 0.073 + 0.00073 + 0.0000073 +

= 73 + 73 + 73 + 
1,000 100,000 10,000,000

= 73 + 73 + 73 +
103 105 107

จะไดว า 73 + 73 + 73 + เปน อนุกรมเรขาคณิตทมี่ ี a1 = 73 และ r = 1
103 105 107 103 102

เนื่องจาก =r 1 < 1 จะไดวา อนุกรมนเ้ี ปน อนกุ รมลเู ขา และผลบวกของอนุกรม
102

73 73

คอื a1 = 103 = 1000 = 73
1− r 1 99 990
1 − 102
100

จะไดว า 0.0737373 = 73 + 73 + 73 + = 73
103 105 107 990

6) จาก 2.999 = 2 + 0.9 + 0.09 + 0.009 +

= 2+ 9 + 9 + 9 +
10 100 1,000

จะไดว า 9 + 9 + 9 + เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี a1 =9 และ r= 1
10 100 1,000 10 10

เนอ่ื งจาก =r 1 <1 จะไดว า อนุกรมนี้เปน อนุกรมลเู ขา และผลบวกของอนุกรม

10

99

คือ a1 = 10 = 10 =1
1−r 1− 1 9

10 10

จะไดว า 2.999 =2 + 9 + 9 + 9 +  =2 +1 =3 หรือ 3
10 100 1,000 1

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 255

6. ให x เปน จํานวนจริงใด ๆ
พิจารณา 1+ x + x2 + x3 + + xn−1 + ซึ่งเปนอนกุ รมเรขาคณิตท่ีมี a1 =1 และ r = x
จาก 1+ x + x2 + x3 + + xn−1 + =2 จะไดวา อนกุ รมนี้ลเู ขา และมผี ลบวกเทา กบั 2

33

ดงั นน้ั r <1 และผลบวกของอนุกรมคอื a1 = 2

1−r 3

น่นั คือ x <1 และ =a1 =1 2

1−r 1− x 3

จะได x = − 1 ซึ่ง x =− 1 <1

22

ดงั นนั้ คาํ ตอบของสมการน้ี คือ − 1

2

7. 1) เนอ่ื งจากรูปส่เี หลย่ี มจตั ุรสั ใหญม ีเสนรอบรูปยาว 20 หนว ย
จะได รูปสีเ่ หลี่ยมรูปใหญมีดานยาวดานละ 5 หนว ย
นนั่ คอื คร่งึ หนง่ึ ของดา นของรูปส่ีเหลีย่ มจัตรุ ัสยาว 2.5 หนว ย ดงั รปู

5

2.5

จะได ดานของรปู สี่เหลี่ยมจัตุรสั รปู เล็กยาว  5 2 +  5 2 = 25 =5 2 หนวย
 2   2  22

ดงั นั้น รูปสีเ่ หลย่ี มจตั รุ สั รปู เลก็ มเี สน รอบรูปยาว 4× 5 2 =10 2 หนวย

2

2) ในทาํ นองเดยี วกันกับขอ 1) เมือ่ กระบวนการเกิดรูปใหมของรปู สีเ่ หล่ียมจตั ุรสั เกิดขึน้

อกี 1 คร้งั จะไดรปู สเ่ี หลี่ยมจัตรุ สั รปู ท่ีสาม ซ่งึ มีดานแตล ะดานยาว

 5 2 2 +  5 2 2 = 5 หนวย และมเี สน รอบรปู ยาว 4× 5 =10 หนว ย
 4   4  2
2

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

256 คมู ือครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

ในทาํ นองเดยี วกัน เม่ือกระบวนการเกิดรูปใหมของรูปสี่เหลี่ยมจตั รุ ัสเกิดข้ึน
อีก 1 ครงั้ จะไดรปู สี่เหลี่ยมจัตรุ สั รูปที่สี่ ซึ่งมดี านแตล ะดานยาว

 5 2 +  5 2 = 52 หนว ย และมเี สนรอบรปู ยาว 4× 5 2 =5 2 หนวย
 4   4  4
4

ดงั น้ัน เมอ่ื กระบวนการเกิดรูปใหมของรูปส่เี หลี่ยมจตั รุ ัสเกิดขนึ้ อยางตอ เนื่องไมส้นิ สดุ

จะได ผลบวกของความยาวของเสน รอบรปู ของรูปสเี่ หลี่ยมจตั ุรสั ทั้งหมดเปน

20 +10 2 +10 + 5 2 + หนว ย

พิจารณาอนกุ รม 20 +10 2 +10 + 5 2 + เปน อนกุ รมเรขาคณติ ทมี่ ี a1 = 20

และ r = 2

2

เน่ืองจาก =r 2 <1 จะไดว า อนกุ รมนเี้ ปนอนุกรมลเู ขา

2

และผลบวกของอนุกรมนี้ คือ a1 = 20 = 40 + 20 2

1−r 1− 2
2

ดงั นน้ั เมอื่ กระบวนการเกดิ รูปใหมของรูปส่เี หลีย่ มจตั รุ สั เกิดขน้ึ อยา งตอ เน่ืองไมสนิ้ สุด

จะได ผลบวกของความยาวของเสนรอบรูปของรูปสี่เหลย่ี มจตั รุ ัสท้งั หมดเปน

40 + 20 2 หนวย

8. ในการแกวงครั้งแรก หัวเรือไวกิ้งจะแกวง จากตําแหนงซา ยสุดไปถงึ ขวาสดุ วดั ระยะทางได 75 เมตร

เนื่องจาก การแกวง แตละครัง้ หัวเรือไวก้ิงจะแกวง ไดร ะยะทางสัน้ ลงเปน 3 เทา ของระยะทาง

5

ในการแกวง คร้ังกอนหนา

จะไดว า ในการแกวงคร้งั ทส่ี อง หัวเรอื ไวกง้ิ จะแกวงไดระยะทาง 3(75) เมตร

5

ในการแกวง ครง้ั ทสี่ าม หวั เรือไวกิ้งจะแกวงไดร ะยะทาง 3  3 ( 75)  =  3 2 ( 75) เมตร
5  5   5 

ในการแกวง คร้งั ทส่ี ่ี หวั เรอื ไวกิ้งจะแกวง ไดระยะทาง 3   3 2 ( 75)  =  3 3 ( 75) เมตร
5   5    5 

นั่นคือ ระยะทางทั้งหมดท่หี วั เรือไวกิง้ แกวง คือ 75 + 3 (75) +  3 2 (75) +  3 3 ( 75) +  เมตร
 5   5 
5

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 257

พิจารณาอนุกรม 75 + 3 ( 75) +  3 2 ( 75) +  3 3 ( 75) +  ซง่ึ เปนอนกุ รมเรขาคณติ ท่ีมี
5  5   5 

a1 = 75 และ r=3
5

เน่ืองจาก r= 3 <1 จะไดวาอนกุ รมนีเ้ ปน อนุกรมลูเขา

5

และผลบวกของอนุกรมน้ี คือ a1 = 75 = 375
1− r 1− 3 2

5

ดังน้ัน หากไมม ีการหยุดกะทันหนั หัวเรอื ไวกิง้ จะแกวงไปมาตัง้ แตเรมิ่ ตนเปนระยะทาง

ทั้งหมด 375 เมตร

2

9. 1) ไมถ ูกตอ ง
เพราะ 1+ 2 + 4 + 8 +16 + 32 + เปน อนกุ รมเรขาคณติ ที่มี r = 2
เนือ่ งจาก r= 2 >1 จะไดวาอนุกรมนีเ้ ปนอนุกรมลูออก
นนั่ คอื ไมมจี ํานวนจรงิ ใดท่มี คี าเทา กบั ผลบวกของอนกุ รมนี้
ดังนน้ั การให x ท่ีเปนจาํ นวนจรงิ แทนผลบวกของอนุกรมจึงไมสามารถทําได

2) ไมถ ูกตอ ง
เพราะ 1− 2 + 4 − 8 +16 − 32 + 64 −  เปนอนุกรมเรขาคณติ ท่ีมี r = −2
เนอ่ื งจาก r= 2 >1 จะไดวา อนุกรมนเ้ี ปนอนกุ รมลูออก
นน่ั คือ ไมมีจํานวนจริงใดที่มีคาเทา กับผลบวกของอนกุ รมนี้
ดังนนั้ การให S ทเ่ี ปน จํานวนจริง แทนผลบวกของอนุกรมจงึ ไมสามารถทําได

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

258 คูมอื ครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

แบบฝกหดั 1.4

4
∑1. 1)
2i = 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4)

i =1

6

∑2) (3i − 2) = (3⋅ 4 − 2) + (3⋅ 5 − 2) + (3⋅ 6 − 2)
i=4

7

3) ∑ (2 − i) = (2 − 2) + (2 − 3) + (2 − 4) + (2 − 5) + (2 − 6) + (2 − 7)
i=2

52

∑4) (i + 2) = (1+ 2) + (2 + 2) + (3 + 2) + + (51+ 2) + (52 + 2)
i =1
4

5) ∑ (10 − 2k ) = (10 − 2(1)) + (10 − 2(2)) + (10 − 2(3)) + (10 − 2(4))
k =1

∑ ( )20
( ) ( ) ( ) ( ) ( )6) i2 + 4 = 12 + 4 + 22 + 4 + 32 + 4 + + 192 + 4 + 202 + 4
i =1

5 5  5(5 +1) 

3j =3 j

j =1 j =1
∑ ∑2. 1) = 3 2  = 45
 

50 = 50 × 8 = 400

2) ∑8
k =1

44

( )∑ ∑3) i2 (i − 3) = i3 − 3i2
i=1 i=1

44

∑ ∑= i3 − 3 i2
=i 1=i 1

 4(4 +1) 2  4(4 +1)(8 +1) 
=  − 3 
 2  6 

= 100 − 90

= 10

∑6 k + 4 = 2+4 + 3+4 + 4+4 + 5+4 + 6+4
2−1 3−1 4−1 5−1 6−1
4)
k=2 k −1

= 6 + 7 + 8 + 9 + 10
234 5

= 197
12

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 259

∑ ( ) ∑ ∑5 5 5

5) k 2 + 3 = k 2 + 3

k =1 =k 1=k 1

= 5(5 +1)(10 +1) + (5× 3)

6
= 55 +15
= 70

15 15 15

6) ∑(i + 5) = ∑i +∑5
i =1
=i 1 =i 1

= 15(15 +1) + (15× 5)

2
= 120 + 75
= 195

20 20 9

7) ∑ (2i +1) = ∑ (2i +1) − ∑ (2i +1)
i=10 =i 1 =i 1

∑ ∑ ∑ ∑ 20
20   9 9
=  2 i + 1 −  2 i + 1
= i 1=i 1  = i 1=i 1 

=  2  20 ( 20 + 1)  + ( 20 ×1)  −  2  9(9 + 1)  + ( 9 ×1) 
  2      
   2 

= (420 + 20) − (90 + 9)

= 341

∑ ∑( )15 15

8) (k + 5)(k − 5) = k 2 − 25

k =1 k =1

15 15

= ∑ k2 − ∑ 25

=k 1 =k 1

= 15(15 +1)(30 +1) − (15× 25)

6
= 1, 240 − 375

= 865

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

260 คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

20 20

∑ ∑( )9) j2 (2 j − 3) = 2 j3 − 3 j2
j=1 j=1

20 20

∑ ∑= 2 j3 − 3 j2

=j 1 =j 1

 20(20 +1) 2  20(20 +1)(40 +1) 
= 2  − 3 
 2 6 

= 88, 200 − 8,610

= 79,590

10 10
∑ ∑( )10)
(i − 2)3 = i3 − 6i2 + 12i − 8

i=1 i=1

10 10 10 10
= ∑ i3 − 6∑ i2 +12∑ i − ∑ 8
=i 1 =i 1 =i 1 =i 1

=  10 (10 + 1) 2 −  10 (10 + 1)( 20 + 1)  +  10 (10 + 1)  − (10 × 8)
  6  12  
 2  6  2 
 

= 3,025 − 2,310 + 660 − 80

= 1,295 ∞

3. 1) 1⋅ 3 + 2 ⋅ 4 + 3⋅ 5 + + n(n + 2) + = ∑i(i + 2)

i =1

2) 1 + 1 + 1 + + 1 ∑n 1
456 n
=
i=4 i

3) 2 + 4 + 6 + + 2n n

= ∑ 2i
i =1

( )4) 1 + 1 + 1 + + 1 + ∑ ( )∞ 1

(3) 2n−1 =
3 6 12 ( )i=1 3 2i−1

1 + 1 + 1 ++ 1 ∞ 1

+ =
∑5)
2+ 1 3+ 2 4+ 3 n + n −1 i=2 i + i −1

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 261

n n

∑4. 1) 6i = 6∑i
i =1 i =1

 n(n +1) 
= 6 
 2 

= 3n(n +1)

k kk

2) ∑(2i +1) = 2∑i + ∑1
i =1 =i 1=i 1

= 2  k ( k+ 1)  + k (1)
 2 
 

( )= k 2 + k + k

= k2 + 2k

m m

∑3) 3⋅ 4i ∑= 3 4i
i =1 i =1

( )= 3 4 + 42 + 43 + + 4m

เนื่องจาก 4 + 42 + 43 + + 4m เปน อนกุ รมเรขาคณิตทีม่ ี =a1 4=, r 4

( ) ( ) ( )a1 1− rm
และมผี ลบวก เทากับ 4 1− 4m =− 4 1 − 4m
=
1−r 1−4 3

m 3 4 
3 
3⋅ 4i = 3 4 + 42 + 43 + + 4m

i =1
∑ ( ) ( )ดังน้นั 4m+1
= − 1− 4m = − 4

n nn

4) ∑(i2 − i) = ∑i2 − ∑i
i=1 =i 1 =i 1
n(n +1)(2n +1) n(n +1)
=−
62

= 2n3 + 3n2 + n − 3n2 − 3n
6

= 2n3 − 2n
6

= n3 − n
3

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

262 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

5. 1) ผลบวก 10 พจนแรกของอนุกรมนี้ คอื

10

∑1⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3⋅ 4 + +10 ⋅11 = i (i +1)
i =1

10

= ∑ (i2 +i)
i =1

10 10

= ∑ i2 + ∑ i
=i 1=i 1

= 10(10 +1)(20 +1) + 10(10 +1)

62

= 385 + 55

= 440

2) ผลบวก 10 พจนแรกของอนุกรมน้ี คอื

1⋅ 4 ⋅ 7 + 2 ⋅ 5 ⋅8 + 3⋅ 6 ⋅ 9 + 4 ⋅ 7 ⋅10 + +10 ⋅13⋅16

10

= ∑i(i + 3)(i + 6)
i =1

10

∑ ( )= i3 + 9i2 +18i
i =1

10 10 10
∑ ∑ ∑= i3 + 9 i2 +18 i
=i 1 =i 1 =i 1

 10(10 +1) 2  10(10 +1)(20 +1)   10(10 +1) 
=  +9  +18 
 2  6  2 

= 3,025 + 3, 465 + 990

= 7,480

3) ผลบวก 10 พจนแ รกของอนุกรมน้ี คือ

1(2 + 3) + 4(4 + 3) + 9(6 + 3) + +100(20 + 3)

10

∑= i2 (2i + 3)
i =1
10

( )∑= 2i3 + 3i2
i =1
10 10

∑ ∑= 2 i3 + 3 i2

=i 1 =i 1

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 263

 10(10 +1) 2  10(10 +1)(20 +1) 
= 2  + 3 
 2  6 

= 6,050 +1,155

= 7,205

4) ผลบวก 10 พจนแ รกของอนุกรมน้ี คอื

10

∑12 + 32 + 52 + 72 +  + 192 = (2i −1)2
i =1

∑( )10

= 4i2 − 4i +1
i =1

10 10 10

= 4∑i2 − 4∑i + ∑1
=i 1 =i 1 =i 1

= 4  10 (10 + 1) ( 20 + 1)  − 4  10 (10 + 1)  + 10 (1)
   
 6   2 

= 1,540 − 220 +10

= 1,330

5) ผลบวก 10 พจนแ รกของอนกุ รมนี้ คอื

11 + 1  + 2 1 + 1  + 31 + 1  +  + 10 1 + 1  ∑= 10 i 1 + 1 
1  2  3  10  i =1 i 

10

= ∑ (i +1)
i =1

10 10

= ∑i+∑1
=i 1=i 1

= 10(10 +1) +10(1)

2

= 55 +10

6. 1) 1⋅ 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3⋅ 4 + 3⋅ 4 ⋅ 5 + +10 ⋅11⋅12 = 65

10

= ∑ i(i +1)(i + 2)
i =1

∑ ( )10

= i3 + 3i2 + 2i
i =1

10 10 10
∑ ∑ ∑= i3 + 3 i2 + 2 i
=i 1=i 1 =i 1

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

264 คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

 10(10 +1) 2  10(10 +1)(20 +1)   10(10 +1) 
=  + 3  + 2 
 2  6  2 

= 3,025 +1,155 +110

= 4,290

99

∑2) 1⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3⋅ 4 + 4 ⋅ 5 + + 99 ⋅100 = n(n +1)
n=1

∑ ( )99

= n2 + n
n=1

99 99

= ∑ n2 + ∑ n
=n 1 =n 1

= 99(99 +1)(198 +1) + 99(99 +1)

62
= 328,350 + 4,950

= 333,300

7. จาํ นวนเตม็ ตง้ั แต 1 ถึง 100 ท่ีนอยทส่ี ุดที่หารดว ย 4 แลว เหลือเศษ 3 คื=อ 3 4(0) + 3

และจํานวนเต็มต้งั แต 1 ถึง 100 ที่มากทส่ี ดุ ที่หารดว ย 4 แลว เหลือเศษ 3 คอื=99 4(24) + 3

จะไดวา ลําดับของจาํ นวนเต็มตง้ั แต 1 ถึง 100 ที่หารดวย 4 แลว เหลือเศษ 3 คือ 3, 7, 11, , 99

ซ่งึ เปน ลําดับเลขคณิตท่ีมพี จนแรกเปน 3 ผลตา งรวมเปน 4 และพจนที่ n เปน 99

จาก an = a1 + (n −1) d

จะไดว า 99 =3 + (n −1)(4)

นัน่ คอื n = 25

จากผลบวกของจํานวนเตม็ ต้งั แต 1 ถึง 100 ท่ีหารดวย 4 แลว เหลอื เศษ 3 คอื 3 + 7 +11+  + 99

พจิ ารณา 3 + 7 +11+  + 99 = 3 + 7 +11+  + (3 + (25 −1)(4))

25

= ∑(3 + (i −1)(4))
i =1
25

= ∑(4i −1)
i =1
25 25

= ∑(4i) − ∑1

=i 1 =i 1
25 25

= 4∑i − ∑1
=i 1 =i 1

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 265

= 4  25( 25 + 1)  − ( 25 ×1)
 2 
 

= 1,300 – 25

= 1,275

ดังน้นั ผลบวกของจาํ นวนเต็มตั้งแต 1 ถึง 100 ทหี่ ารดว ย 4 แลว เหลอื เศษ 3 คือ 1,275

1) ให n1

Sn = i=1 i (i + 1)
∑8.

เนือ่ งจาก i 1 1)= (i +1) − i 1− 1
i (i +1) = i i +1
(i +

∑ดังน้ันSn = n  1 − i 1 1 
i =1  i + 

= 1 − 1  +  1 − 1  +  1 − 1  + +  1 − 1  +  1 − 1
2   2 3   3 4   n −1 n   n n +1 

= 1− 1
n +1

=n
n +1

จะได S20 = 20 = 20
20 +1 21

ดงั นน้ั ผลบวก n พจนแรกของอนกุ รมน้ี คอื n และผลบวก 20 พจนแ รกของ

n +1

อนุกรมนี้ คอื 20

21

n1

Sn = i=1 (2i −1)(2i +1)
∑2) ให

เนื่องจาก (2i −=1)1(2i +1) 1  ( (22i i+−11))−=(2(2i i+−11))  1  1 − 1 
2  2  2i + 
( 2i −1) ( 1)

∑ดังนนั้Sn = n 1  1 − 1 
i =1 2  2i −1 2i +1 

∑= 1n  1 − 1
2 i=1  2i −1 2i +1

= 1  1 − 1  +  1 − 1  +  1 − 1  +  +  1 3 − 1  +  1 − 1 1  
2  3   3 5   5 7   2n − 2n −1   2n −1 2n +  

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

266 คมู ือครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

= 1 1 − 1
2 2n +1

=n
2n +1

จะได 20 20
41
S20 = 2(20) +1 =

ดงั น้นั ผลบวก n พจนแ รกของอนุกรมน้ี คอื n และผลบวก 20 พจนแ รกของ
2n +1

อนกุ รมน้ี คอื 20

41

ให n1

Sn = i=1 i (i +1)(i + 2)
∑3)

เน่อื งจาก i (i +=1)1(i + 2) 1  i 1 − (i + 1 + 2) 
2  
(i +1) 1)(i

∑ดงั นัน้ n  1  1 − 1  
Sn = =1  2  i ( i+ 1) ( i + i + 2 )  
1)(
i

∑= 1 n  1 − (i 1 + 2) 
2 i =1  
i (i +1) + 1) ( i

= 1   1 − 1  +  1 − 1  +  1 − 1  +  +  (n 1 n − n 1 1) 
2   2 6   6 12   12 20   
−1) (n +

+  n ( 1 − ( n + 1 n + 2)  
  
n +1) 1)(

= 1  1 − (n + 1 n + 2) 
2  2 
1)(

จะได S20 = 1  1 − 1  = 115
2  2 21⋅ 22  462

ดังน้นั ผลบวก n พจนแ รกของอนุกรมน้ี คือ 1  1 − ( n + 1 + 2) 
2  2 
1) ( n

และผลบวก 20 พจนแรกของอนุกรมนี้ คอื 115

462

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 267

n1

Sn = i=1 i (i + 2)
∑4) ให

เนอื่ งจาก i (i 1+=2) 1  (i + 2+)2−=)i  1  1 − i 1 2 
2  2  i + 
i (i

∑ดงั นน้ัSn = n 1  1 − i 1 2 
i =1 2  i + 

∑= 1n  1 − i 1 2 
2 i=1  i + 

= 1  1 − 1  +  1 − 1  +  1 − 1  +  +  n 1 2 − 1 
2  3   2 4   3 5   − n 

+  1 − 1 +  1 − 1 
 n −1 n +1  n +  
n 2 

= 1 1 + 1 − 1 − n 1 2 
2 2 n +1 + 

= 1  3 − ( n 2n + 3 2) 
2  2 
+1)(n +

จะได S20 = 1  3 − 43  = 325
2  2 21⋅ 22  462

ดังนัน้ ผลบวก n พจนแ รกของอนุกรมน้ี คือ 1  3 − ( n 2n +3 2) 
2  2 
+ 1) (n +

และผลบวก 20 พจนแรกของอนุกรมน้ี คอื 325

462

9. 1) ผลบวก n พจนแรกของอนุกรมนี้ คอื

0 + 3 + 8 + + (n2 −1) = n ( i 2 − 1)

∑
i =1

nn

= ∑i2 − ∑1
=i 1 =i 1

= n(n +1)(2n +1) − n

6

2n3 + 3n2 − 5n
=

6

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

268 คูมือครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

2) ผลบวก n พจนแ รกของอนุกรมนี้ คือ
10. 1)
( )−1 + 0 + 9 + + n3 − 2n2 ∑( )n
2)
= i3 − 2i2
i =1

nn

∑ ∑= i3 − 2 i2
=i 1 =i 1

 n(n +1) 2  n(n +1)(2n +1) 
=  − 2 
 2  6 

= n (n + 1)  n (n + 1) − 2n + 1 
3 
 4 

( )n(n +1) 3n2 − 5n − 4

=
12

∑ ∑เน่อื งจาก ∞ ∞1
e−(n−1) = n=1 en−1
n=1

จะได ∞ = 1+ 1 + 1 ++ 1 + เปนอนกุ รมเรขาคณติ ท่ีมี
e e2 en−1
∑ e−(n−1)

n=1

a1 =1 และ r=1
e

เน่ืองจาก r= 1 <1 จะไดว า อนุกรมน้เี ปน อนุกรมลเู ขา

e

และผลบวกของอนุกรมน้ี คือ =a1 1=−1 1 e
1− r e −1

e

ดงั น้นั ∞ เปนอนุกรมลเู ขา และผลบวกของอนุกรมคือ e
e −1
∑ e−(n−1)

n=1

∑เน่ืองจาก ∞ (−1)n−12n−1 =1− 2 + 22 − 23 + 24 − 25 + 
n=1

จะเห็นวา ∞ เปน อนุกรมเรขาคณติ ท่มี ี a1 = 1 และ r= −2

∑ (−1)n−12n−1
n=1

เนอ่ื งจาก r =−2 =2 >1

ดงั น้ัน อนุกรมน้ีเปนอนุกรมลูออก

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 269

3) เนื่องจาก ∑∞ 9 = ∑∞ 9 = 9 + 9 + 9 + เปนอนุกรมเรขาคณติ ทีม่ ี
102 104 106
n=1 100n n=1 102n

a1 = 9 และ r = 1
102 102

เนื่องจาก =r 1 <1 จะไดว า อนกุ รมนีเ้ ปนอนุกรมลูเขา
102

9

และผลบวกของอนุกรมนี้ คือ=a1 =102 1
1 11
1− r 1 − 102

ดังนัน้ ∑∞ 9 เปน อนุกรมลูเขา และผลบวกของอนุกรมคือ 1

n=1 100n 11

4) สาํ หรบั จาํ นวนนบั k ใด ๆ จะไดว า 5 = 5 1 − k 1
k +1 
k (k +1)

เขียนผลบวกยอย n พจนแรกของอนกุ รมไดใ หม ดงั น้ี

Sn = 5 1 − 1  +  1 − 1  +  1 − 1  +  +  1 − n 1 1  
 2   2 3   3 4   n +  


= 5 1 − n 1 1 
+ 

= 5n
n +1

เนอ่ื งจาก lim Sn = lim 5n
n→∞ n +1
n→∞

= lim 5n 1
n→∞ n 1 + n 

= lim 5
n→∞ 1 + 1
n

lim 5
= n→∞

lim1+ lim 1
n→∞ n→∞ n

=5
1+ 0

=5

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

270 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

ดงั น้ัน อนกุ รมนี้เปนอนุกรมลูเขา และผลบวกของอนกุ รม คือ 5
5) เขียนผลบวกยอ ย n พจนแ รกของอนุกรมไดด ังนี้

Sn = 1 − 1  +  1− 1  +  1− 1  +  +  1− 1
2   2 3   3 4   n n +1 

= 1− 1
n +1

เนื่องจาก lim Sn = lim 1 − 1 = 1
n +1 
n→∞ n→∞

ดงั นั้น อนุกรมน้ีเปน อนุกรมลเู ขา และผลบวกของอนกุ รม คือ 1

เนือ่ งจาก ∞ 4n+1 16 16  4  16  4 2
∑6) n=1 5n = 5 + 5  5  + 5  5  + 

เปน อนกุ รมเรขาคณติ ท่ีมี a1 = 16 และ r = 4
5 5

เนอ่ื งจาก r= 4 <1 จะไดว าอนุกรมนเี้ ปน อนกุ รมลเู ขา

5

16

และผลบวกของอนุกรมน้ี คือ =a1 =5 16
1− 4
1− r

5

ดังนนั้ อนกุ รมน้ีเปนอนุกรมลูเขา และผลบวกของอนกุ รม คือ 16

11. จาก พจนท ี่ n ของอนุกรมนี้ คือ 2n − 5

นน่ั คือ a=n 2n − 5

พิจารณาผลบวก 15 พจนแ รกของอนุกรมนี้ คือ

15 15

∑an = ∑(2n − 5)

n=1 n=1

15 15

= 2∑ n − ∑ 5
=n 1 =n 1

= 2  15(15 + 1)  − (15 × 5)
 
 2 

= 240 − 75

= 165

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 271

12. 1) จํานวนเตม็ ท่อี ยูระหวาง 9 ถงึ 199 ทีน่ อยทส่ี ุดทหี่ ารดวย 8 ลงตัว คอื 16 = 8(2)
2) และจาํ นวนเตม็ ท่ีอยรู ะหวา ง 9 ถึง 199 ท่ีมากทส่ี ุดทหี่ ารดว ย 8 ลงตวั คอื 192 = 8(24)
จะไดวา ลําดบั ของจํานวนเตม็ ทอี่ ยูระหวาง 9 ถงึ 199 ทีห่ ารดวย 8 ลงตวั คือ 16, 24, 32, , 192
ซึ่งเปนลําดับเลขคณติ ท่ีมีพจนแรกเปน 16 ผลตา งรวมเปน 8 และพจนท ่ี n เปน 192
จาก an = a1 + (n −1) d
จะไดว า 192 =16 + (n −1)(8)
น่นั คอื n = 23
จากผลบวกของจํานวนเต็มที่อยูระหวา ง 9 ถึง 199 ท่ีหารดว ย 8 ลงตัว คือ 16 + 24 + 32 +  +192
พจิ ารณา 16 + 24 + 32 +  +192 = 16 + 24 + 32 +  + (16 + (23 −1)(8))

23

= ∑(16 + (i −1)(8))
i =1

23

= ∑(16 + 8i − 8)
i =1

23

= ∑(8 + 8i)
i =1

23 23

= ∑8 + ∑8i
=i 1 =i 1

23

= 23(8) + 8∑i
i =1

= 184 +  23( 23 + 1) 
8 2 



= 184 + 2, 208

= 2,392

ดงั นน้ั ผลบวกของจาํ นวนเต็มทีอ่ ยรู ะหวา ง 9 และ 199 ทหี่ ารดวย 8 ลงตัว เทา กบั 2,392

กาํ หนดให เอกภพสัมพัทธ U คือ เซตของจํานวนเตม็ ทั้งหมดทอ่ี ยูร ะหวา ง 9 และ 199

A แทนเซตของจาํ นวนเต็มท้งั หมดที่อยูระหวาง 9 และ 199 ทีห่ ารดวย 8 ลงตัว

จะไดว า เซตของจาํ นวนเต็มท่ีอยรู ะหวา ง 9 และ 199 ท่ีหารดวย 8 ไมล งตัว คอื A′

และ A=′ U − A

ดังนน้ั ผลบวกของจาํ นวนเต็มทีอ่ ยูระหวาง 9 และ 199 ท่ีหารดว ย 8 ไมล งตัว หาไดจาก

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

272 คูม อื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

ผลบวกของจํานวนเต็มท้งั หมดท่ีอยูระหวา ง 9 และ 199 ลบดวยผลบวกของจาํ นวนเตม็
ท่อี ยูระหวาง 9 และ 199 ท่หี ารดวย 8 ลงตัว
จากจํานวนเตม็ ท่ีอยรู ะหวา ง 9 และ 199 คือ 10, 11, 12, , 198 ซ่ึงมี 189 จํานวน

198

10 +11+12 + +198 = n
∑จะได
n=10

198 9

= ∑n−∑n
=n 1 =n 1

= 198(198 +1) − 9(9 +1)

22

= 19,701 − 45

= 19,656

จากขอ 1) จะไดวา ผลบวกของจาํ นวนเต็มท่ีอยูระหวา ง 9 และ 199 ท่ีหารดว ย 8 ไมล งตัว

เทากับ 19,656 − 2,392 =17,264

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 273

แบบฝก หัด 1.5

1. 1) ในท่นี ้ีไมม กี ารฝากและถอนในระหวาง 10 ปน ี้

=ให P 1=00000, n 10 และ i = 4 จะไดว า =r =i 0.04

100

จากทฤษฎีบท 9 จะไดว า จํานวนเงินเม่อื ฝากเงนิ ครบ 10 ป คือ 100,000(1+ 0.04)10
หรือประมาณ 148,024.43 บาท
2) จากเงินตน 100,000 บาท
จะไดว า จาํ นวนเงินรวมเพิ่มข้ึนเปน 3 เทา ของเงินตน คือ จาํ นวนเงินรวม 300,000 บาท
ให n แทนจาํ นวนปที่จะทาํ ใหมีเงนิ เพ่ิมขึน้ เปน 3 เทา ของเงินตน
จากทฤษฎีบท 9 จะไดวา

300,000 = 100,000(1+ 0.04)n

(1.04)n = 3

log (1.04)n = log 3

จะไดว า n = log 3 ≈ 28.01
log 1.04

ดงั น้นั ตอ งฝากเงนิ ครบ 29 ป จะทําใหมเี งนิ เพิ่มขึน้ เปน อยา งนอยสามเทาของเงินตน

2. 1) ดอกเบ้ียทีไ่ ดจ ากการฝากเงนิ ตน P บาท โดยธนาคารคิดดอกเบย้ี ในอัตรา i% ตอ ป

และคดิ ดอกเบีย้ ใหค รัง้ สุดทายครงั้ เดียวเม่อื ฝากเงนิ ครบ n ป เทากบั P  i  n บาท
 100 

จาก P = 100,000 และ i = 3

ดงั นัน้ ดอกเบี้ยทไ่ี ดจากการฝากเงินนีเ้ ปนเวลา n ป เทา กับ 100, 000  3  n = 3, 000n บาท
100 

จะไดว า จํานวนเงนิ ในบัญชเี มื่อครบปท่ี n เมอื่ ธนาคารคิดดอกเบีย้ ใหครง้ั สดุ ทา ยครง้ั เดยี ว

เทากับ 100,000 + 3,000n บาท

2) ให P =100000 และ i = 3 จะไดว า=r =i 0.03

100

จากทฤษฎีบท 9 จะไดวา จํานวนเงินเม่ือฝากเงนิ ครบ n ป คือ 100,000(1+ 0.03)n บาท

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

274 คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

3. ให =P 100000=, k 4=, n 10 และ i = 4 จะไดว า =r =i 0.04

100

จากทฤษฎีบท 10 จะไดวา จํานวนเงนิ รวมเม่ือฝากเงินครบ 10 ป คอื 100, 000 1 + 0.04 4(10)
4 

หรือประมาณ 148,886.37 บาท

4=. ให P 1=00000, n 10 และมีเงนิ รวม 141,060 บาท

จากทฤษฎีบท 9 จะไดว า

100,000(1+ r )10 = 141,060

(1+ r )10 = 1.4106

1 + r = 10 1.4106

r = 10 1.4106 −1

r ≈ 0.035

ดงั นั้น ธนาคารแหงน้ีใหอัตราดอกเบ้ียประมาณ 3.5% ตอ ป
5. เมื่อตนปปญ ญาฝากเงิน 100,000 บาท กบั ธนาคารแหง หนึ่ง และฝากเงินเพมิ่ อีก 100,000 บาท

ทกุ ตนป โดยธนาคารกาํ หนดอัตราดอกเบ้ยี 3% และคดิ ดอกเบ้ยี แบบทบตนทุกป
เขยี นแผนภาพแสดงการฝากเงินและมลู คาของเงนิ เม่ือฝากเงินครบ 15 ป ไดด งั นี้

จากแผนภาพจะไดวา เมื่อฝากเงนิ ครบ 15 ป
เงินฝากเม่ือตนปท ่ี 1 จะมีมลู คา 100,000(1.03)15 บาท
เงินฝากเมื่อตนปที่ 2 จะมมี ลู คา 100,000(1.03)14 บาท

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 275

เงินฝากเมื่อตน ปที่ 3 จะมมี ลู คา 100,000(1.03)13 บาท



เงินฝากเม่ือตน ปท ี่ 15 จะมีมลู คา 100,000(1.03) บาท
ดังนัน้ เมอ่ื ฝากเงินครบ 15 ป จะไดร บั เงนิ รวม
100,000(1.03)15 +100,000(1.03)14 +100,000(1.03)13 + +100,000(1.03) บาท หรือ
100,000(1.03) +100,000(1.03)2 + +100,000(1.03)15 บาท
ซงึ่ เปน อนุกรมเรขาคณิตท่ีมี 15 พจน พจนแรก คอื 100,000(1.03) และอตั ราสว นรวม คอื 1.03
จะได ผลบวก 15 พจนแ รกของอนกุ รมน้ี คอื 100,000(1.03)(1.03)15 −1

1.03 −1

หรือประมาณ 1,915,688.13 บาท
ดังนน้ั เม่ือฝากเงนิ ครบ 15 ป จะมีเงินรวมประมาณ 1,915,688.13 บาท
6. 1) ให= S 1000000=, i 4=, n 20 จะไดว า =r =4 0.04

100

จะได มูลคา ปจ จบุ นั ของเงินรวม 1,000,000 บาท คือ
P = 1,000,000(1+ 0.04)−20 ≈ 456,386.95 บาท

ดังนนั้ ราตรตี อ งฝากเงนิ ตนไวอยา งนอย 456,386.95 บาท
2) จาก ฝากเงนิ ตน P บาท เม่ือตน ปท ่ี 1 และฝากเพม่ิ อกี ปละ 2,000 บาท

เขยี นแผนภาพแสดงการฝากเงินและมูลคาของเงนิ เมื่อฝากเงนิ ครบ 20 ป ไดด ังนี้

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

276 คูมอื ครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

จากแผนภาพจะไดว า อีก 20 ปขางหนา

เงนิ ฝากตน ปท ี่ 1 จาํ นวน P บาท จะมีมูลคา P(1.04)20 บาท

เงินฝากตน ปที่ 2 จํานวน 2,000 บาท จะมีมูลคา 2,000(1.04)19 บาท

เงนิ ฝากตนปท ่ี 3 จาํ นวน 2,000 บาท จะมีมูลคา 2,000(1.04)18 บาท



เงินฝากตนปท่ี 20 จาํ นวน 2,000 บาท จะมีมลู คา 2,000(1.04) บาท
นั่นคือ อีก 20 ปข า งหนา ราตรจี ะมีเงนิ รวม

P (1.04)20 + 2,000(1.04)19 + 2,000(1.04)18 + + 2,000(1.04) บาท

( )จะได
2,000(1.04) (1.04)19 −1
1,000,000 = P (1.04)20 +
1.04 −1
P ≈ 430,119.07 บาท

ดังนัน้ ราตรตี อ งฝากเงินตน ไวอยา งนอย 430,119.07 บาท

7. อนนั ตก เู งินจากวิเชียรจํานวน 2 ยอด โดยยอดแรกตองชําระ 12,682.42 บาท ในอีก 3 ป

ขางหนา ยอดท่ี 2 ตองชําระ 26,115.36 บาท ในอีก 7 ปข า งหนา และวเิ ชียรกําหนดอัตรา

ดอกเบ้ยี 8% ตอ ป โดยคดิ ดอกเบยี้ แบบทบตน ทุก 3 เดือน

พิจารณาการชาํ ระเงินยอดแรกในอีก 3 ปขางหนา

ให =S 12682.42=, i 8=, k 4 และ n = 3 จะไดว า=r =8 0.08

100

จะได มูลคาปจ จุบนั ของเงนิ 12,682.42 บาท คือ 12, 682.42 1 + 0.08 − 4(3)
4 

หรือประมาณ 10,000 บาท

พิจารณาการชาํ ระเงนิ ยอดท่ี 2 ในอีก 7 ปข างหนา

ให =S 26115.36=, i 8=, k 4 และ n = 7 จะไดว า =r =8 0.08

100

จะได มลู คา ปจจบุ นั ของเงิน 26,115.36 บาท คอื 26,115.36 1 + 0.08 −4(7)
4 

หรอื ประมาณ 15,000 บาท

ดังนั้น อนันตกเู งินจากวเิ ชยี รประมาณ 10,000 +15,000 =25,000 บาท

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 277

8. สดุ าฝากเงนิ 2,000 บาท เขา บญั ชีธนาคารทกุ ตน เดือน ไดรับอตั ราดอกเบี้ย 3% ตอป

3

(หรอื อตั ราดอกเบย้ี ตอเดือน คอื 3 % ) จะไดวา =r 1=2 0.0025

12 100

เขยี นแผนภาพแสดงการฝากเงินและมลู คาของเงินเม่ือส้ินปท่ี 5 (ส้ินเดือนที่ 60) ไดด ังนี้

จากแผนภาพจะไดว า เม่ือส้นิ ปท่ี 5
เงนิ ฝากเมื่อตน เดือนท่ี 1 จาํ นวน 2,000 บาท จะมีมูลคา 2,000(1.0025)60 บาท
เงนิ ฝากเม่ือตนเดือนท่ี 2 จํานวน 2,000 บาท จะมมี ูลคา 2,000(1.0025)59 บาท
เงนิ ฝากเมื่อตนเดือนที่ 3 จาํ นวน 2,000 บาท จะมมี ูลคา 2,000(1.0025)58 บาท



เงินฝากเม่ือตน เดือนที่ 60 จํานวน 2,000 บาท จะมมี ลู คา 2,000(1.0025) บาท
นน่ั คอื เม่ือสน้ิ ปท ่ี 5 สุดาจะไดเงนิ รวม
2,000(1.0025)60 + 2,000(1.0025)59 + 2,000(1.0025)58 +  + 2,000(1.0025) บาท
หรือ 2,000(1.0025) + 2,000(1.0025)2 + 2,000(1.0025)3 +  + 2,000(1.0025)60 บาท
ซึง่ เปนอนุกรมเรขาคณิตท่มี ี 60 พจน พจนแรก คอื 2,000(1.0025) และอตั ราสว นรว ม คือ 1.0025

( )จะได ผลบวก 60 พจนแรกของอนุกรมเรขาคณติ น้ี คือ 2,000(1.0025) (1.0025)60 −1
1.0025 −1

หรอื ประมาณ 129,616.66 บาท
ดงั น้นั เมอื่ ส้ินปที่ 5 สุดาจะไดเงินรวมประมาณ 129,616.66 บาท

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

278 คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

9. ทอแสงฝากเงนิ 3,000 บาท เขาบญั ชีธนาคารทุกสน้ิ ไตรมาส (1 ไตรมาส เทา กบั 3 เดือน)
ไดรบั อัตราดอกเบีย้ 6% ตอ ป (หรอื อัตราดอกเบยี้ ตอไตรมาส คอื 6 % )

4
6

จะไดวา =r =4 0.015

100

เขียนแผนภาพแสดงการฝากเงินและมูลคาของเงนิ เม่ือส้ินปท่ี 4 (รวมทั้งหมด 16 งวด) ไดดังน้ี

จากแผนภาพจะไดว าเมื่อสิน้ ปที่ 4
เงนิ ฝากเม่ือสิน้ งวดที่ 1 จํานวน 3,000 บาท จะมมี ูลคา 3,000(1.015)15 บาท
เงนิ ฝากเมื่อสิ้นงวดท่ี 2 จํานวน 3,000 บาท จะมีมลู คา 3,000(1.015)14 บาท
เงนิ ฝากเมื่อส้ินงวดที่ 3 จํานวน 3,000 บาท จะมีมูลคา 3,000(1.015)12 บาท



เงินฝากเม่ือสิ้นงวดที่ 15 จํานวน 3,000 บาท จะมีมลู คา 3,000(1.015) บาท
เงนิ ฝากเม่ือสน้ิ งวดท่ี 16 จาํ นวน 3,000 บาท จะมีมูลคา 3,000 บาท
นั่นคอื เม่ือสิ้นปท ี่ 4 หรอื ส้นิ งวดท่ี 16 ทอแสงจะไดเงนิ รวม
3,000(1.015)15 + 3,000(1.015)14 + 3,000(1.015)13 +  + 3,000(1.015) + 3,000 บาท
หรอื 3,000 + 3,000(1.015) + 3,000(1.015)2 + 3,000(1.015)3 +  + 3,000(1.015)15 บาท
ซง่ึ เปน อนุกรมเรขาคณิตท่มี ี 16 พจน พจนแรก คือ 3,000 และอตั ราสวนรว ม คือ 1.015

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 279

จะได ผลบวก 16 พจนแ รกของอนกุ รมน้ี คือ (3,000 (1.015)16 −1)
1.015 −1

หรอื ประมาณ 53,797.11 บาท
ดงั น้นั เม่อื สิน้ ปท่ี 4 ทอแสงจะไดเงินรวมประมาณ 53,797.11 บาท
10. ใบเตยซื้อรถยนตร าคา 700,000 บาท โดยจา ยเงินดาวน 200,000 บาท และผอนชาํ ระสวนท่ี
เหลอื เทากันทุกเดือน เดือนละ R บาท เปน เวลา 5 ป โดยผอ นชาํ ระทุกสิ้นเดอื น
อัตราดอกเบย้ี 3% ตอป (หรอื อตั ราดอกเบี้ยตองวด คือ 3 % )

12
3

จะไดว า =r 1=2 0.0025

100

เขยี นแผนภาพแสดงการจา ยเงินซือ้ รถยนตของใบเตยเปนเวลา 5 ป (60 งวด) ไดดังน้ี

จากแผนภาพจะไดวา
มูลคา ปจจบุ ันของเงินผอนงวดที่ 1 คอื R(1.0025)−1 บาท
มลู คาปจ จบุ นั ของเงนิ ผอนงวดท่ี 2 คอื R(1.0025)−2 บาท
มูลคา ปจ จุบันของเงินผอนงวดท่ี 3 คอื R(1.0025)−3 บาท



มูลคาปจจุบันของเงินผอนงวดท่ี 60 คือ R(1.0025)−60 บาท

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

280 คมู อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

นน่ั คือ เม่ือครบ 5 ป ยอดเงนิ รวมที่ใบเตยจา ยเพอื่ ผอนรถยนตเทา กบั

R (1.0025)−1 + R (1.0025)−2 + R (1.0025)−3 +  + R (1.0025)−60 บาท

ซ่งึ เปนอนุกรมเรขาคณิตทม่ี ี 60 พจน พจนแ รก คือ R(1.0025)−1 และอัตราสว นรวม คอื (1.0025)−1

( )จะไดผ ลบวก
60 พจนแ รกของอนกุ รมน้ี คอื R (1.0025)−1 1 − (1.0025)−60 บาท
1 − (1.0025)−1

เนือ่ งจาก ใบเตยตองจา ยเงินเพอื่ ผอนรถยนต 700,000 – 200,000 = 500,000 บาท

( )จะได
500,000 = R (1.0025)−1 1 − (1.0025)−60

1 − (1.0025)−1

น่ันคอื ( )500,000 1− (1.0025)−1 ≈ 8,984.35
( )R =
(1.0025)−1 1 − (1.0025)−60

ดงั นัน้ ใบเตยจะตองผอนชาํ ระเดอื นละประมาณ 8,984.35 บาท
11. วชั ระฝากเงนิ 10,000 บาท เขาบญั ชีธนาคารทุกตน เดอื น

ไดรับอัตราดอกเบ้ยี 3.6% ตอป (หรอื อตั ราดอกเบีย้ ตอเดือน คอื 3.6 % )

12

3.6

จะไดว า=r 1=2 0.003

100

เขียนแผนภาพแสดงการฝากเงินและมลู คาของเงินเม่ือส้ินปที่ 4 (48 เดอื น) ไดดงั นี้

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 281

จากแผนภาพจะไดว าเมื่อส้นิ ปท ี่ 4
เงนิ ฝากเม่ือตนเดือนท่ี 1 จํานวน 10,000 บาท จะมีมลู คา 10,000(1.003)48 บาท
เงนิ ฝากเมื่อตนเดือนท่ี 2 จาํ นวน 10,000 บาท จะมีมูลคา 10,000(1.003)47 บาท
เงนิ ฝากเม่ือตนเดือนที่ 3 จํานวน 10,000 บาท จะมมี ูลคา 10,000(1.003)46 บาท



เงนิ ฝากเมื่อตน เดือนที่ 48 จํานวน 10,000 บาท จะมีมลู คา 10,000(1.003) บาท
นั่นคอื เมื่อสิน้ ปท ี่ 4 วัชระจะไดเงนิ รวม
10,000(1.003)48 +10,000(1.003)47 +10,000(1.003)46 +  +10,000(1.003) บาท
หรอื 10,000(1.003) +10,000(1.003)2 +10,000(1.003)3 +  +10,000(1.003)48 บาท
ซ่ึงเปน อนุกรมเรขาคณิตท่มี ี 48 พจน พจนแ รก คือ 10,000(1.003) และอตั ราสว นรว ม คอื 1.003

( )จะไดผ ลบวก 48 พจนแ รกของอนุกรมน้ี คือ 10,000(1.003) (1.003)48 −1
1.003 −1

หรือประมาณ 516,996.95 บาท
ดงั นั้น เมือ่ สิน้ ปท ี่ 4 วัชระจะไดเงนิ รวม 516,996.95 บาท

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

282 คมู อื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

แบบฝก หัดทา ยบท

1. 1) เนอื่ งจาก a1 =− 4, d =−5 และ an = a1 + (n −1)d จะได

a8 = − 4 + (8 −1)(−5)

= − 4 − 35

= −39

ดงั นั้น a8 = −39

2) เนอ่ื งจาก a1 =−5, d =2 และ an = a1 + (n −1)d จะได

a9 = −5 + (9 −1)(2)

= −5 +16

= 11

ดงั นั้น a9 =11

3) เนอ่ื งจาก a1 =− 1 , d =−2 และ an = a1 + (n −1) d จะได
2

a15 = − 1 + (15 −1)(−2)

2

= − 1 − 28
2

= − 57
2

ดังน้ัน a15 = − 57
2

4) เนอ่ื งจาก=a1 4=, d 1 และ an = a1 + (n −1) d จะได
3 3

a15 = 4 + (15 − 1)  1 
3  3 

= 4 + 14
33

=6

ดงั น้นั a15 = 6

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 283

2. จาก an = a1 + (n −1)d จะได ----- (1)
----- (2)
5 = a1 + (7 −1) d

10 = a1 + (12 −1) d

จาก (1) และ (2) จะได d =1 และ a1 = −1
นนั่ คือ a100 = −1+ (100 −1)(1)

= −1+ (99)(1)

= 98

ดงั นน้ั พจนท่ี 100 ของลาํ ดบั เลขคณิตนี้ คือ 98

3. ลําดับเลขคณิตท่กี าํ หนดใหม ี a1 = 20 และ d =16 − 20 =−4
จาก an = a1 + (n −1) d
จะได −96 = 20 + (n −1)(−4)

n = 30

ดงั นน้ั −96 เปน พจนท่ี 30 ของลําดับเลขคณติ น้ี

4. จาก=a1 5=, a7 29 และ an = a1 + (n −1) d
จะได 29 = 5 + (7 −1)d

นั่นคือ d =4
a2 = a1 + d = 5 + 4 = 9

a3 = a2 + d = 9 + 4 = 13

a4 = a3 + d = 13 + 4 = 17

a5 = a4 + d = 17 + 4 = 21

a6 = a5 + d = 21 + 4 = 25

ดังนั้น พจนห าพจนด ังกลาว ไดแก 9, 13, 17, 21 และ 25

5. จะแสดงวา a2, b 2 , c2 เปน ลําดับเลขคณิต โดยพจิ ารณาวา b 2− a2 = c2 − b 2 หรือไม

เน่อื งจาก 1,1,1 เปน ลาํ ดบั เลขคณติ
b+c c+a a+b

จะไดผ ลตา งรวมของลาํ ดับเลขคณิตนี้หาไดจ าก 1 − 1 หรือ 1 − 1
c+a b+c a+b c+a

น่ันคอื 1−1 = 1−1
c+a b+c a+b c+a

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

284 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

2 = 1+1
c+a a+b b+c

2 = b+c+a+b
c+a ab + ac + b 2 +bc

2ab + 2ac + 2b 2 +2bc = ab + ac + a2 + ab + bc + c2 + ac + bc

ดังนั้น b 2− a2 = c2 − b 2

จงึ ไดวา a2, b 2 , c2 เปนลําดบั เลขคณติ

6. ผลบวกของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม เทา กบั 180 องศา

ผลบวกของมมุ ภายในของรูปสี่เหล่ยี ม เทา กับ 360 องศา

ผลบวกของมมุ ภายในของรูปหา เหล่ยี ม เทา กับ 540 องศา

จะเหน็ วา ผลบวกของมมุ ภายในของรปู สามเหล่ยี ม รูปสี่เหล่ียม รูปหาเหล่ยี ม … เทา กับ

180,360,540, ซง่ึ เปน ลําดบั เลขคณิตที่มี a1 =180 และ d =180

จาก an = a1 + (n −1) d

จะได an = 180 + (n −1)(180)

นัน่ คือ an =180n

เน่อื งจาก ผลบวกของมุมภายในของรูปสามเหลีย่ ม เทากับ a1 องศา

ผลบวกของมุมภายในของรูปสี่เหล่ียม เทากบั a2 องศา

ผลบวกของมมุ ภายในของรูปหา เหล่ยี ม เทา กบั a3 องศา



ดังน้ัน ผลบวกของมุมภายในของรูป n เหลยี่ ม เทา กบั an−2 องศา

น่ันคือ ผลบวกของมมุ ภายในของรูป n เหลย่ี ม เทากับ 180(n − 2) องศา

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 285

7. การจดั แผนไมตามเงอ่ื นไขทีก่ าํ หนดเปนดงั รปู

ช้นั ท่ี n แผนไม 7 แผน

ชชช้นัน้ั้นั ททที่่่ีี 4 แแแผผผนนน ไไไมมม 49 แแแผผผนนน
3 50
2 51
ช้นั ที่ 1 แผนไม 52 แผน

จากการจัดวางแผน ไมในช้นั ที่ 2 โดยใหแ นวก่งึ กลางตามดานยาวของแผน ไมแตล ะแผนอยู
ตรงกบั รอยตอ ของแผนไมแตละคูในช้ันแรก
จะไดว า ชน้ั ท่ี 2 มีแผนไมทีว่ างจํานวนท้ังหด 52 – 1 = 51 แผน
จากการจัดวางแผน ไมในชัน้ ที่ 3 โดยใหแนวกึง่ กลางตามดา นยาวของแผน ไมแ ตละแผนอยู
ตรงกบั รอยตอของแผน ไมแ ตละคูในช้ันที่ 2
จะไดวา ช้ันที่ 3 มีแผน ไมท ี่วางจํานวนท้ังหมด 51 – 1 = 50 แผน
ให n เปนช้ันที่มีแผน ไมทีว่ างจาํ นวนท้ังหมด 7 แผน
จะไดว า จาํ นวนแผนไมท วี่ างในช้นั ที่ 1, 2, 3, …, n คือ 52, 51, 50, …, 7 ซึง่ เปน ลําดับ
เลขคณิตทม่ี ีพจนแ รกเปน 52 พจนที่ n เปน 7 และผลตางรว มเปน −1
จาก an = a1 + (n −1) d
จะได 7 = 52 + (n −1)(−1)

7 = 52 − n +1

n = 46

ดังน้นั แผนไมก องนีม้ ีแผน ไม 46 ชัน้
เนือ่ งจาก แผน ไมแ ตละแผนหนา 3 เซนตเิ มตร
ดังน้นั ความสูงของแผน ไมก องน้ี คือ 46×3 =138 เซนตเิ มตร หรือ 1.38 เมตร

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

286 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

8. พจิ ารณาการออมเงนิ ของฟางขาว ซงึ่ มเี งนิ เกบ็ เร่มิ ตน 4,200 บาท และออมเงินเพม่ิ
เดือนละ 300 บาท ต้งั แตเดือนตลุ าคม 2560
จะไดว า เม่อื ส้นิ เดอื นที่ 1 (ตุลาคม 2560) ฟางขา วจะมเี งินเกบ็ ท้งั หมด 4, 200 + 300 =4,500 บาท
เม่ือส้ินเดือนท่ี 2 (พฤศจกิ ายน 2560) ฟางขาวจะมเี งินเก็บทง้ั หมด 4,500 + 300 =4,800 บาท
เมอื่ สน้ิ เดือนท่ี 3 (ธนั วาคม 2560) ฟางขาวจะมเี งนิ เก็บทง้ั หมด 4,800 + 300 =5,100 บาท



จะเห็นวา เม่ือสิ้นเดือนที่ 1, 2, 3, … ฟางขา วจะมเี งนิ เกบ็ ทง้ั หมด 4500, 4800, 5100, … บาท
ซึ่งเปนลาํ ดบั เลขคณิตท่ีมีพจนแรก คือ 4,500 และผลตา งรวม คอื 300
ใหล ําดบั an แทน ลําดับของเงนิ เก็บท้ังหมดของฟางขาวเม่ือส้ินเดือน ตงั้ แตเดอื นตลุ าคม 2560
โดยพจนทว่ั ไป คอื a=n 4,500 + (n −1)30=0 4,200 + 300n ----- (1)
พจิ ารณาการออมเงินของใยบัว ซง่ึ มีเงนิ เกบ็ เริม่ ตน 7,000 บาท และออมเงินเพิ่ม
เดอื นละ 250 บาท ตงั้ แตเ ดือนตุลาคม 2560
จะไดว า เมอ่ื ส้นิ เดือนท่ี 1 (ตุลาคม 2560) ใยบัวจะมเี งินเกบ็ ท้ังหมด 7,000 + 250 =7, 250 บาท
เมือ่ ส้ินเดือนท่ี 2 (พฤศจกิ ายน 2560) ใยบัวจะมเี งินเกบ็ ทั้งหมด 7, 250 + 250 =7,500 บาท
เม่อื สน้ิ เดอื นท่ี 3 (ธนั วาคม 2560) ใยบัวจะมเี งินเก็บทัง้ หมด 7,500 + 250 =7,750 บาท



จะเห็นวา เมือ่ สน้ิ เดือนท่ี 1, 2, 3, … ใยบวั จะมีเงินเกบ็ ทงั้ หมด 7250, 7500, 7750, … บาท
ซ่ึงเปนลาํ ดบั เลขคณิตท่ีมีพจนแรก คอื 7,250 และผลตา งรวม คือ 250
ใหลาํ ดับ bn แทน ลําดบั ของเงินเก็บทั้งหมดของใยบวั เม่ือส้นิ เดือน ต้งั แตเ ดอื นตลุ าคม 2560
โดยพจนท่ัวไป คือ b=n 7,250 + (n −1)25=0 7,000 + 250n ----- (2)
1) สมมติให เมอ่ื สิน้ เดือนที่ n ฟางขาวมีเงินเกบ็ ทง้ั หมด 12,300 บาท

น่ันคอื an =12,300
จาก (1) จะได 12=,300 4,200 + 300n
ดงั น้ัน n = 27
น่ันคือ เม่ือส้ินเดือนที่ 27 หรือสน้ิ เดือนธนั วาคม 2562 ฟางขา วมเี งินเกบ็ ทง้ั หมด 12,300 บาท
พจิ ารณาจาํ นวนเงนิ เกบ็ ของใยบวั เมือ่ ส้ินเดือนท่ี 27 โดยแทน n ดวย 27 ใน (2)

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 287

จะได b27= 250(27) + 7,000= 13,750

ดังนั้น เมื่อสนิ้ เดือนท่ี 27 หรือสน้ิ เดอื นธนั วาคม 2562 ใยบวั จะมีเงนิ เกบ็ ทั้งหมด 13,750 บาท

2) จาก ใยบวั ตองการนําเงินเกบ็ ไปซือ้ คอมพวิ เตอรร าคา 24,700 บาท

จะไดวา ใยบัวตอ งมีเงินเก็บมากกวา หรือเทากับ 24,700 บาท

สมมตใิ ห เมือ่ ส้นิ เดอื นที่ n ใยบวั มเี งนิ เกบ็ มากกวา หรือเทากับ 24,700 บาท

นนั่ คือ bn ≥ 24,700

จาก (2) จะไดว า 7,000 + 250n ≥ 24,700

n ≥ 354 =70.8
5

จาก n เปน จาํ นวนเตม็ บวก

จะไดว า ใยบวั จะตองออมเงินอยา งนอย 71 เดือน ตั้งแตเดือนตลุ าคม 2560

จงึ จะสามารถซอื้ คอมพวิ เตอรได

3) สมมติให เม่อื สิน้ เดอื นท่ี n ฟางขาวมเี งนิ เกบ็ มากกวา ใยบวั

นนั่ คือ an > bn

จะไดว า 300n + 4, 200 > 250n + 7,000

50n > 2800

n > 56

ดงั น้นั เมอ่ื สน้ิ เดอื นที่ 57 หรอื สน้ิ เดือนมิถนุ ายน 2565 ฟางขา วมเี งินเก็บมากกวา ใยบวั
9. จาก an = a1rn−1

อนกุ รมท่กี าํ หนดใหม ี a1 = −162 และ r = −1
3

จะได a12 =− 162  − 1 12−1 =2
 3  2,187

ดังนัน้ พจนท ่ี 12 ของลําดบั เรขาคณติ น้ี คือ 2

2,187

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

288 คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

10. เนือ่ งจาก ลาํ ดบั เรขาคณิตน้มี ี a2 = 8 และ a5 = 64
3 81

จาก an = a1rn−1

จะได= a2 a=1r2−1 a1r

และ=a5 a=1r5−1 a1r4

ดังนนั้ 8 = a1r ----- (1)
3

และ 64 = a1r 4 ----- (2)
81

จาก (1) และ (2) จะได r3 = 8 นั่นคือ r = 2
27 3

ดงั นนั้ อตั ราสวนรวมของลาํ ดับเรขาคณิตนี้ คือ 2

3

11. เนื่องจาก ลาํ ดับเรขาคณติ นมี้ ี a1 =7, a2 =−21, a3 =63 และ a4 = −189

จาก an = a1rn−1

จะได −21 =7r2−1 นน่ั คือ −21 =7r ----- (1)

และ 63 = 7r3−1 นนั่ คือ 63 = 7r2 ----- (2)

จาก (1) และ (2) จะได r = −3

นนั่ คือ a=n 7( )−3 n−1 7 ( )−3 n−1
เมอ่ื an = 5,103
จะได 5,103 =

729 = ( )−3 n−1

น่ันคอื (−3)6 = ( )−3 n−1

n −1 = 6

จะได n = 7

ดงั น้ัน 5,103 เปน พจนท ่ี 7 ของลําดับเรขาคณติ นี้

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี