คู่มือคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.6 เล่ม1_compressed

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบือ้ งตน 139
คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

• บทนิยาม iii
ให A ⊂  จะกลาววา x∈ เปน จุดลมิ ิต (limit point) ของเซต A กต็ อเม่ือ สาํ หรับทุก
ε > 0 ชวง (x − ε, x + ε ) จะตอ งมสี มาชกิ ในเซต A ในชวง (x − ε, x + ε ) ทไี่ มใชจ ดุ x
กลาวคือ x เปนจดุ ลิมิตของเซต A กต็ อเมื่อ ∀ε > 0, ( x − ε, x + ε ) ∩ ( A −{x}) ≠ ∅
ตวั อยา ง
จํานวนจรงิ ทกุ จํานวนเปน จดุ ลิมติ ของเซตของจํานวนจรงิ เน่ืองจาก สาํ หรบั ทุก x∈
จะไดว า ( x − ε , x + ε ) ∩ ( −{x}) ≠ ∅ ทุก ε > 0

• บทนยิ าม iv
ให A ⊂  ฟง กช ัน f : A →  และ a∈ A จะกลาววา จํานวนจริง L เปน ลมิ ิตของ f
เมื่อ x เขา ใกล a ซึ่งเขยี นแทนดวย lim f (x) = L ก็ตอเม่ือ สาํ หรับทกุ ε > 0 จะมี

x→a

δ > 0 ซึง่ ทาํ ให f ( x) − L < ε สําหรบั ทุก x∈ A ท่ี x − a < δ กลา วคอื
lim f ( x) = L กต็ อเมื่อ ถา ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ A, x − a < δ แลว f ( x) − L < ε

x→a

• ทฤษฎบี ท v
ให A ⊂  ฟงกชนั f : A →  และ a ∈ A
1. ถา lim f ( x) > 0 แลว จะมี δ ซง่ึ f ( x) > 0 ทกุ x ∈(a − δ , a + δ ) ∩ ( A −{a})

x→a

2. ถา lim f ( x) < 0 แลว จะมี δ ซง่ึ f ( x) < 0 ทกุ x ∈(a − δ , a + δ ) ∩ ( A −{a})
x→a

3. ถา lim f ( x) ≠ 0 แลว จะมี δ ซงึ่ f ( x) ≠ 0 ทุก x ∈(a − δ , a + δ ) ∩ ( A −{a})
x→a

• บทนยิ าม vi
ให A ⊂  ฟง กช นั f : A →  และ c∈ A จะกลาววา f เปน ฟงกช ันตอเนอ่ื งที่ x = c
กต็ อเมื่อ lim f ( x) = f (c)

x→c

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบอื้ งตน
140 คูมอื ครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

• บทนิยาม vii

ให A ⊂  ฟงกช ัน f : A →  และ a∈ A อนพุ ันธของฟงกช นั f ท่ี a

เขียนแทนดว ย f ′(a) คอื

f ′(a) = lim f (a + h) − f (a)

h→0 h

ถาเราให x= a + h เราจะเหน็ วา เมื่อ h ลูเขาสู 0 แลว x จะลูเขาสู a

โดยการเปล่ียนตวั แปร จะสามารถเขียนอนุพันธของฟงกชนั f ที่ a ไดอีกวธิ ีดงั น้ี

f ′(a) = lim f ( x) − f (a)

x→a x − a

• ทฤษฎบี ท viii

ให A ⊂  ฟงกชนั f : A →  และ a∈ A ถา f มอี นุพันธท ี่ a แลว f จะมีความตอเน่ืองท่ี a

• ทฤษฎีบท ix (ทฤษฎบี ทคา มัชฌิม : Mean Value Theorem)

ให f :[a, b] →  เปนฟงกช นั ตอเน่ือง และมีอนุพันธท่ที ุกจดุ ในชวง (a, b) แลว

จะมี c∈(a, b) ซงึ่

f ′(c) = f (b) − f (a)

b−a

• บทนิยาม x

ให A ⊂  และ f : A →  เปน ฟงกช นั จะกลา ววา

1. f เปนฟง กชันเพิ่ม (increasing function) กต็ อ เมือ่ สําหรับทกุ x, y ∈ A

ถา x < y แลว f ( x) < f ( y)

2. f เปน ฟง กช ันลด (decreasing function) ก็ตอเม่ือ สาํ หรบั ทุก x, y ∈ A

ถา x < y แลว f ( x) > f ( y)

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบอ้ื งตน 141
คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

• บทนิยาม xi
ให A ⊂  จะกลาววา

1. u เปนขอบเขตบน (upper bound) ของเซต A ถา u ≥ a ทกุ a ∈ A และจะกลา ววา
A มีขอบเขตบน (bounded above) เม่ือมีจํานวนจริง u ที่เปนขอบเขตบนของ A

2. l เปนขอบเขตลาง (lower bound) ของเซต A ถา l ≤ a ทุก a ∈ A และจะกลาววา
A มีขอบเขตลา ง (bounded below) เมอ่ื มจี ํานวนจริง l ทเี่ ปน ขอบเขตลา งของ A

จะกลาววา A เปน เซตมีขอบเขต (bounded set) เม่ือ A มที ง้ั ขอบเขตบนและขอบเขตลา ง
• ทฤษฎบี ท xii

ให f :[a, b] →  เปนฟง กช ันตอเนื่องบนชวง [a, b] แลว เรนจของ f เปนเซตปดท่ีมขี อบเขต

• บทนยิ าม xiii
ให A ⊂  เรยี กจํานวนจรงิ x วาเปน ขอบเขตบนนอยสดุ (least upper bound) หรือ
ซูพรมี ัม (supremum) ของ A เขียนแทนดวย x = sup A ก็ตอเม่ือ
1. x เปนขอบเขตบนของ A

2. ถา y เปน ขอบเขตบนของ A แลว x ≤ y

• บทนิยาม xiv
ให A ⊂  เรยี กจํานวนจริง x วาเปน ขอบเขตลา งมากสุด (greatest lower bound) หรอื
อินฟมัม (infimum) ของ A เขียนแทนดวย x = inf A ก็ตอเม่ือ
1. x เปน ขอบเขตลา งของ A

2. ถา y เปนขอบเขตลางของ A แลว y ≤ x

• ทฤษฎีบท xv
ให A เปนเซตปดท่ีไมเ ปน เซตวา ง

1. ถา A มีขอบเขตบน แลว sup A∈ A

2. ถา A มขี อบเขตลา ง แลว inf A∈ A

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบ้ืองตน

142 คมู อื ครูรายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

สวนที่ 2 แนวทางการพสิ ูจนท ฤษฎีบทในหนงั สือเรยี น
• ทฤษฎีบท 1

ให a เปน จาํ นวนจรงิ จะไดว า
1. limc = c เมือ่ c เปน คา คงตวั ใด ๆ

x→a

2. lim xn = an เมื่อ n ∈ 
x→a

พสิ ูจน
1. จากบทนิยาม iv จะเห็นวาในที่นี้ f ( x) = c L = c และ A = 

ให ε > 0
เลือก δ = ε
ให x ∈ A ท่ี x − a < δ
จะไดว า f ( x) − L = c − c = 0 < ε
นน่ั คอื lim c = c

x→a

2. ในการพิสจู นวา lim xn = an จะแบง การพิสจู นอ อกเปน 2 ขน้ั คอื
x→a
ขั้นที่ 1 จะแสดงวา lim x = a
x→a
ข้นั ที่ 2 จะแสดงวา lim xn = an เมือ่ n∈ โดยท่ี n ≠1
x→a
ขั้นที่ 1
ให ε > 0
เลือก δ1 = ε
สาํ หรบั ทุก x∈ ที่ x − a < δ1 จะไดว า x − a < ε
น่นั คอื lim x = a
x→a
ข้นั ที่ 2
ให n∈ โดยที่ n ≠1
เนอื่ งจาก lim x = a
x→a
จะมี δ2 > 0 ที่สาํ หรบั ทกุ x∈ A ถา x − a < δ2 แลว

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบือ้ งตน 143
คมู ือครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

x−a < 1

x − a ≤ x−a < 1

x < 1+ a

พิจารณา

xn−1 + axn−2 + a2 xn−3 +  + an−2 x + an−1

≤ xn−1 + axn−2 + a2 xn−3 +  + an−2 x + an−1
= x n−1 + a x n−2 + a2 x n−3 +  + an−2 x + an−1

( ) ( ) ( ) ( )< 1 + a n−1 + a 1 + a n−2 + a2 1 + a n−3 + + an−2 1 + a + an−1

( ) ( ) ( ) ( )ให kn = 1 + a n−1 + a 1 + a n−2 + a2 1 + a n−3 + + an−2 1 + a + an−1

จะไดว า kn > 0
ให ε > 0

ดังนัน้ ε > 0
kn

เลือก δ =  ε 
min δ2 , kn 



ให x∈ A ที่ x − a < δ จะไดว า

xn − an

( )( )= x − a ⋅ xn−1 + axn−2 + a2 xn−3 +  + an−2 x + an−1

= x − a ⋅ xn−1 + axn−2 + a2 xn−3 +  + an−2 x + an−1

( )( ) ( ) ( ) ( )≤ x − a ⋅ 1 + a n−1 + a 1 + a n−2 + a2 1 + a n−3 + + an−2 1 + a + an−1

< δ ⋅ kn

≤ ε ⋅ kn
kn

=ε

นน่ั คอื lim xn = an เม่อื n∈
x→a

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบอ้ื งตน
144 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

• ทฤษฎบี ท 2
กําหนดให a, L และ M เปนจาํ นวนจรงิ ใด ๆ ถา f และ g เปนฟงกชนั ท่มี โี ดเมนและ

เรนจเปน สับเซตของเซตของจํานวนจรงิ โดยที่ lim f (x) = L และ lim g (x) = M แลว
x→a x→a

1. =lim cf ( x) c=lim f ( x) cL เมื่อ c เปนคาคงตวั ทเ่ี ปน จํานวนจริง
x→a x→a

2. lim ( f ( x) + g ( x)) =lim f ( x) + lim g ( x) =L + M
x→a x→a x→a

3. lim ( f ( x) − g ( x)) =lim f ( x) − lim g ( x) =L − M
x→a x→a x→a

4. lim ( f ( x) ⋅ g ( x)) =lim f ( x) ⋅ lim g ( x) =L ⋅ M
x→a x→a x→a

 f (x) lim f ( x) L เมือ่ M ≠ 0
5. lxi→ma= g ( x)  xl=i→ma g ( x)
M
x→a

n

=lim f ( x)
( )6. l=im( f ( x))n Ln เมื่อ n∈ 
x→a x→a

พสิ จู น

1. สมมติ D=f D=g A โดยที่ A เปนสบั เซตของเซตของจํานวนจริงที่ไมเปน เซตวา ง
ให c เปน คา คงตัวทเ่ี ปน จาํ นวนจรงิ และ ε > 0

เนือ่ งจาก c ≥ 0

ดังนน้ั c +1 > 0

จะไดว า ε > 0

c +1

เนื่องจาก lim f ( x) = L
x→a

จะมี δ > 0 ทสี่ าํ หรบั ทกุ x∈ A ถา x − a < δ แลว f ( x) − L < ε

c +1

ให x∈ A ที่ x − a < δ จะไดวา

cf ( x) − cL = c f ( x) − L < c ⋅ ε < ε

c +1

นั่นคือ lim cf ( x=) c=L c lim f ( x)
x→a x→a

2. ให ε > 0

เนอื่ งจาก lim f ( x) = L
x→a

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบือ้ งตน 145
คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

จะมี δ1 > 0 ทีส่ ําหรับทกุ x∈ A ถา x − a < δ1 แลว f (x)− L < ε

2

เนื่องจาก lim g ( x) = M
x→a

จะมี δ2 > 0 ทีส่ าํ หรบั ทุก x ∈ A ถา x−a < δ2 แลว g(x)− M <ε
2

เลือก δ = min{δ1, δ2}

ให x∈ A ท่ี x − a < δ จะไดวา

( f (x) + g(x)) −(L + M ) = ( f (x) − L) + (g(x) − M )

≤ f (x)− L + g(x)− M

< ε +ε
22

=ε

น่ันคือ lim ( f ( x) + g ( x)) =L + M =lim f ( x) + lim g ( x)
x→a x→a x→a

3. ให ε > 0

เนอ่ื งจาก lim f ( x) = L
x→a

จะมี δ1 > 0 ท่สี ําหรบั ทกุ x∈ A ถา x − a < δ1 แลว f (x)− L < ε

2

เน่ืองจาก lim g ( x) = M
x→a

จะมี δ2 > 0 ที่สําหรับทกุ x ∈ A ถา x−a < δ2 แลว g(x)− M <ε
2

เลอื ก δ = min{δ1, δ2}

ให x∈ A ท่ี x − a < δ จะไดว า

( f (x) − g(x)) −(L − M ) = ( f (x) − L) −(g(x) − M )

≤ f (x)− L + g(x)− M

< ε +ε
22

=ε

นน่ั คือ lim ( f ( x) − g ( x)) =L − M =lim f ( x) − lim g ( x)
x→a x→a x→a

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบื้องตน
146 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

4. ให ε > 0

เนอ่ื งจาก lim g ( x) = M
x→a

จะมี δ1 > 0 ทสี่ ําหรับทุก x∈ A ถา x − a < δ1 แลว

g(x)− M < 2( ε + 1)
L

และจะมี δ2 > 0 ท่ีสําหรบั ทุก x∈ A ถา x − a < δ2 แลว

g(x)− M < 1

g(x) − M < g(x)− M < 1

g(x) < 1+ M

เนอื่ งจาก lim f ( x) = L
x→a

จะมี δ3 > 0 ทสี่ ําหรับทกุ x∈ A ถา x − a < δ3 แลว

f (x)− L < ε M )

2 (1 +

เลอื ก δ = min{δ1, δ2, δ3}
ให x∈ A ท่ี x − a < δ จะไดวา

f (x)⋅ g(x)− L⋅M = f (x)⋅ g(x)− L⋅ g(x)+ L⋅ g(x)− L⋅M

= ( f (x)⋅ g(x) − L⋅ g(x)) + (L⋅ g(x) − L⋅M )

≤ f (x)⋅ g(x)− L⋅ g(x) + L⋅ g(x)− L⋅M

= g(x) ⋅ f (x)− L + L ⋅ g(x)− M

< (1 + M )⋅ ε M ) + L ⋅ 2( ε + 1)
L
2 (1 +

< ε +ε
22

=ε

น่ันคือ lim ( f ( x) ⋅ g ( x)) =L ⋅ M =lim f ( x) ⋅ lim g ( x)
x→a x→a x→a

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบอ้ื งตน 147
คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

5. สมมติให M ≠ 0

ตอ งการแสดงวา lim 1 = 1
M
x→a g(x)

เน่อื งจาก lim g ( x=) M ≠ 0
x→a

โดยทฤษฎีบท v จะไดว า มี δ1 > 0 ซ่ึง g ( x) ≠ 0 สาํ หรบั x∈(a − δ1, a + δ1 ) ∩ ( A −{a})

กลาวคอื ท่ีรอบ ๆ จดุ a คา ของ g (x) ≠ 0

เนอ่ื งจาก lim g ( x) = M
x→a

ดงั นน้ั สําหรบั x − a < δ1 จะไดวา

M − g(x) ≤ g(x)− M M
<
ให ε > 0 M − g(x)
2
g(x) M
<
1 2
>M
g ( x) 2
<2
M

จะไดว า M 2ε
>0
2

จาก lim g ( x) = M
x→a

จะมี δ2 > 0 ท่ีสําหรับทุก x∈ A ถา x − a < δ2 แลว

g(x)− M < M 2 ε

2

เลือก δ = min{δ1, δ2}
ให x∈ A ท่ี x − a < δ จะไดว า

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบอื้ งตน
148 คมู อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

g 1 ) − 1 = M − g(x)
M M ⋅ g(x)
(x

= 1 ⋅ 1 ⋅M − g(x)
M
g(x)

= 1 ⋅ 1 ⋅ g(x)− M
M
g(x)

< 1 ⋅ 2 M 2ε
⋅
MM 2

=ε

นน่ั คือ lim 1 = 1
M
n→∞ g ( x)

จากบทพิสจู นกอนหนา จะไดวา

 f (x) lim  f ( x)⋅ 1 
lxi→ma= g ( x)   
x→a g (x)
=
lim f ( x) ⋅ lim g 1

x→a x→a (x)

= L⋅ 1
M

=L
M

lim f ( x)
= x→a

lim g ( x)
x→a

นน่ั คอื lim  f (x) =L lim f ( x)
 g ( x)= M
x→a x→a

lim g ( x)

x→a

6. เนื่องจาก lim f ( x) = L
x→a

จะมี δ1 > 0 ที่สําหรับทกุ x∈ A ถา x − a < δ1 แลว

f (x)− L < 1

f (x) − L ≤ f (x)− L < 1

f (x) < 1+ L

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบื้องตน 149
คมู ือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

ให n∈ โดยที่ n ≠ 1
พจิ ารณา

( f ( ))x n−1 + L ⋅ ( f ( ))x n−2 + L2 ⋅ ( f ( ))x n−3 + + Ln−2 ⋅ f ( x) + Ln−1

≤ ( f ( x))n−1 + L ⋅ ( f ( x))n−2 + L2 ⋅ ( f ( x )) n−3 + + Ln−2 ⋅ f ( x) + Ln−1

= f ( x) n−1 + L ⋅ f ( x) n−2 + L2 ⋅ f ( x) n−3 +  + Ln−2 ⋅ f ( x) + Ln−1

( ) ( ) ( ) ( )< 1 + L n−1 + L 1 + L n−2 + L2 1 + L n−3 +  + Ln−2 1 + L + Ln−1

( ) ( ) ( ) ( )ให kn = 1 + L n−1 + L 1 + L n−2 + L2 1 + L n−3 + + Ln−2 1 + L + Ln−1

จะเหน็ วา kn > 0
สมมติ ε > 0

เนอ่ื งจาก lim f ( x) = L
x→a

จะมี δ2 > 0 ทีส่ ําหรบั ทุก x∈ A ถา x − a < δ2 แลว f (x)− L < ε

kn

เลอื ก δ = min{δ1, δ2}

ให x∈ A ที่ x − a < δ จะไดวา

( f ( x))n − Ln

( )= ( f ( x) − L) ⋅ ( f ( ))x n−1 + L ⋅ ( f ( ))x n−2 + L2 ⋅ ( f ( ))x n−3 + + Ln−2 ⋅ f ( x) + Ln−1

= f ( x) − L ⋅ ( f ( ))x n−1 + L ⋅ ( f ( x))n−2 + L2 ⋅ ( f ( ))x n−3 + + Ln−2 ⋅ f ( x) + Ln−1

( )( ) ( ) ( ) ( )≤ f ( x) − L ⋅ 1 + L n−1 + L 1 + L n−2 + L2 1 + L n−3 + + Ln−2 1 + L + Ln−1

< ε ⋅ kn
kn

=ε

n

lim f ( x)
( )นั่นคือ lim( f ( x))=n L=n เม่อื n∈
x→a x→a

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบ้ืองตน
150 คูม อื ครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

• ทฤษฎบี ท 3

ให p เปน ฟง กช นั พหุนาม และ a เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ จะไดวา lim p(x) = p(a)
x→a

พิสจู น

ให p(x)= cn xn + cn−1xn−1 + cn−2xn−2 + + c1x + c0 เมื่อ c0, c1,..., cn เปน คาคงตัว
ท่เี ปน จาํ นวนจรงิ และ n เปน จาํ นวนเตม็ ทมี่ ากกวา หรอื เทากับศนู ย

จะไดว า ( )lim

x→a
lim p(x) = cn xn + cn−1xn−1 + cn−2 xn−2 +  + c1x + c0

x→a ( ) ( ) ( ) ( )lim

= x→a
cn xn + lim cn −1 x n −1 + lim cn−2 xn−2 +  + lim c1x + lim c0
= x→a x→a x→a
x→a
=
= cn lim xn + cn−1 lim xn−1 + cn−2 lim xn−2 ++ c1 lim x + lim c0

x→a x→a x→a x→a x→a

cnan + cn−1an−1 + cn−2an−2 +  + c1a + c0

p(a)

• ทฤษฎบี ท 4

ให f เปน ฟงกช ันท่ี f (x) = p(x) เมอ่ื p และ q เปนฟงกชนั พหนุ าม
q(x)

จะไดวา lim f ( x) = p(a) สาํ หรบั จาํ นวนจริง a ใด ๆ ที่ q(a) ≠ 0
q(a)
x→a

พสิ ูจน

ให f (x) = p(x) เม่อื p(x) และ q(x) เปนฟง กช นั พหนุ าม
q(x)

พจิ ารณา สาํ หรบั a∈ ซง่ึ q(a) ≠ 0

จะไดวา p(x) lim p ( x) p(a)
lim f (x) = lim = x→a = q(a)
q(x)
x→a x→a lim q ( x)

x→a

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบื้องตน 151
คมู ือครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

• ทฤษฎบี ท 5
ถา f และ g เปนฟงกชันตอเนื่องที่ x = a แลว

1. f + g เปนฟงกชนั ตอเนอ่ื งท่ี x = a

2. f − g เปน ฟงกชนั ตอเน่ืองที่ x = a
3. f ⋅ g เปน ฟงกชันตอเนื่องท่ี x = a

4. f เปนฟงกชันตอเนื่องที่ x = a เม่ือ g (a) ≠ 0

g

พสิ จู น

ให f และ g เปน ฟง กช ันตอเนื่องที่ x = a

ดังนั้น lim f (x) = f (a) และ lim g(x) = g (a)
x→a x→a

1. lim ( f + g )(x) = lim ( f (x) + g(x))
x→a x→a

= lim f (x) + lim g(x)
x→a x→a

= f (a) + g(a)

= ( f + g)(a)

น่ันคอื f + g เปนฟง กช ันตอเนอื่ งที่ x = a

2. lim ( f − g )(x) = lim ( f (x) − g(x))
x→a x→a

= lim f (x) − lim g(x)
x→a x→a

= f (a) − g(a)

= ( f − g)(a)

น่ันคือ f − g เปนฟง กช นั ตอเนอื่ งที่ x = a

3. lim ( f ⋅ g )(x) = lim ( f (x) ⋅ g(x))
x→a x→a

= lim f (x) ⋅ lim g(x)
x→a x→a

= f (a)⋅g(a)

= ( f ⋅ g)(a)

นนั่ คือ f ⋅ g เปน ฟง กชันตอเนื่องท่ี x = a

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบื้องตน
152 คมู ือครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

4. พิจารณา สําหรับ a ∈ ซงึ่ g (a) ≠ 0

จะไดว า lim f (x) = lim f (x)
x→a g x→a g(x)

lim f (x)
= x→a

lim g(x)

x→a

= f (a)
g(a)

=  f 
 g  (a)
 

นัน่ คือ f เปนฟงกชนั ตอเนอื่ งท่ี x = a เม่ือ g (a) ≠ 0

g

• ทฤษฎบี ท 6

สําหรบั จํานวนจริง a ใด ๆ ฟงกช ันพหุนาม p เปนฟง กช นั ตอเนอื่ งที่ x = a

พสิ ูจน

ให p เปน ฟง กช ันพหนุ าม

โดยทฤษฎบี ท 3 จะไดวา lim p( x) = p(a)
x→∞

นนั่ คือ ฟงกชนั พหนุ าม p เปนฟง กชนั ตอเนือ่ งท่ี x = a

• ทฤษฎบี ท 7

ถา f เปน ฟง กช นั ที่ f (x) = p(x) เมอื่ p และ q เปน ฟง กช นั พหนุ าม
q(x)

แลว f เปนฟงกชันตอเน่ืองท่ี x = a เมื่อ a จํานวนจริงใด ๆ ท่ี q(a) ≠ 0

พสิ ูจน

ให f (x) = p(x) เม่อื p(x) และ q(x) เปน ฟง กช นั พหนุ าม
q(x)

พจิ ารณา สําหรบั a∈ ซ่งึ q(a) ≠ 0

โดยทฤษฎีบท 4 จะไดวา lim f (x) = p(a)
q(a)
x→a

นัน่ คือ ฟงกช ัน f เปน ฟงกช นั ตอเนื่องท่ี x = a เมอื่ a จาํ นวนจริงใดๆ ที่ q(a) ≠ 0

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบ้ืองตน 153
คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

• สูตรท่ี 9
ถา f หาอนพุ นั ธไดที่ x และ g หาอนุพันธไดที่ f (x) แลว

( g = f )′ ( x) g′( f ( x)) ⋅ f ′( x)

พิสจู น

สมมติให f หาอนพุ นั ธไ ดท่ี x และ g หาอนพุ ันธไดท่ี f (x)

พจิ ารณา (g  f )(x + h)−(g  f )(x)

lim
h→0 h

g( f (x + h)) − g( f (x))

= lim
h→0 h

= lim g( f (x + h)) − g( f (x)) f (x + h) − f (x)⋅ เม่ือ f (x + h)− f (x) ≠ 0

h→0 f (x + h)− f (x) h

เนื่องจาก f หาอนพุ นั ธไดที่ x

จะไดวา lim f ( x + h) − f ( x) = f ' ( x)

h→0 h

พจิ ารณา g( f (x + h)) − g( f (x))

lim f (x + h)− f (x)

h→0

ให k= f ( x + h) − f ( x)

จะเหน็ วา ถา h เขา ใกล 0 แลว k จะเขา ใกล 0

ดงั นัน้ lim g( f (x + h)) − g( f (x)) = lim g( f (x)+ k)− g( f (x))

h→0 f (x + h)− f (x) k →0 k

จาก g หาอนุพันธไดที่ f (x)

จะไดว า g( f (x)+ k)− g( f (x)) = g′( f (x))

lim
k→0 k

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบ้อื งตน
154 คูม ือครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

ดังนั้น (g  f )(x + h)−(g  f )(x) = lim g( f (x + h)) − g( f (x)) ⋅ f (x + h)− f (x)

lim h→0 f (x + h)− f (x) h
h→0 h

= lim g ( f ( x) + k ) − g ( f ( x)) ⋅ lim f ( x + h) − f ( x)
k→0 k h→0 h

= g′( f (x))⋅ f ′(x)

นน่ั คอื ( g  f )′ ( x) = g′( f ( x)) ⋅ f ′( x)

• ทฤษฎบี ท 8

ให f เปนฟง กชันที่หาอนุพันธไดบนชว ง A ซ่ึงเปนสบั เซตของโดเมนของฟงกช ัน f

1. ถา f ′(x) > 0 สาํ หรบั ทุก x ในชว ง A แลว f เปนฟงกชนั เพม่ิ บนชวง A

2. ถา f ′(x) < 0 สาํ หรบั ทกุ x ในชวง A แลว f เปนฟงกช นั ลดบนชว ง A

พสิ ูจน

เนอ่ื งจาก f เปนฟงกชนั ทห่ี าอนพุ นั ธไ ดบ นชว ง A

ดงั น้นั f เปนฟงกชนั ตอเน่อื งบนชว ง A

ให a, b∈ A โดยท่ี a < b

ดังน้นั f เปน ฟง กชันตอเนือ่ งบนชวง [a, b] และ มีอนพุ นั ธบ นชว ง (a, b)

โดยทฤษฎีบทคามัชฌิม จะมี c∈(a, b) ท่ี f ′(c) = f (b) − f (a)

b−a

1. สมมตใิ ห f ′(x) > 0 สาํ หรบั ทกุ x ในชว ง A

จะได f (b) − f (a) > 0

b−a

ดังน้ัน f (b) − f (a) > 0 หรือ f (b) > f (a)

นนั่ คือ f เปน ฟง กชันเพ่ิมบนชวง A

2. สมมตใิ ห f ′(x) < 0 สาํ หรบั ทุก x ในชวง A

จะได f (b) − f (a) < 0

b−a
ดังนน้ั f (b) − f (a) < 0 หรือ f (b) < f (a)

นนั่ คือ f เปน ฟง กช นั ลดบนชวง A

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบอื้ งตน 155
คมู ือครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

• ทฤษฎบี ท 9

ให f เปน ฟงกชันทีน่ ิยามบนชวง (a, b) และ c∈(a, b)

ถา ฟง กชัน f มคี าสูงสุดสัมพัทธหรือคาตาํ่ สดุ สมั พทั ธท่ี x = c และ f ′(c) มคี า

แลว f ′(c) = 0

พสิ ูจน

สมมตใิ ห f มีคา สงู สดุ สัมพทั ธที่ x = c และ f ′(c) มีคา

จะไดวา f (c) ≥ f (x) ทุก x ในชวง (a, b)

เมอ่ื x > c

จาก x − c > 0 และ f (c) ≥ f ( x)

จะได f (x)− f (c) ≤ 0

x−c

ดังน้ัน lim f ( x) − f (c) ≤ 0

x→c+ x − c

เมอ่ื x < c

จาก x − c < 0 และ f (c) ≥ f ( x)

จะได f (x)− f (c)

≥0
x−c

ดงั นั้น lim f (x)− f (c) ≥0

x→c− x−c

เน่ืองจาก f ′(c) มคี =า ดังนัน้ f ′(c) f (x)− f (c) 0

หมายเหตุ li=m
x→c x − c

กรณี ถา f มคี าตาํ่ สดุ สมั พัทธที่ x = c และ f ′(c) มคี า แลว f ′(c) = 0 สามารถ

พิสูจนไดใ นทํานองเดยี วกัน

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบื้องตน
156 คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

• ทฤษฎีบท 10

ให f เปน ฟงกช นั ท่ีหาอนุพันธไดบนชว ง (a, b) และ c∈(a, b) เปน คาวิกฤตของ f

ถา f ′(x) เปลี่ยนจากจํานวนจริงบวกเปนจาํ นวนจริงลบ เม่ือ x เพ่ิมขน้ึ รอบ ๆ c

แลว f (c) เปน คา สูงสดุ สมั พทั ธข อง f

ถา f ′(x) เปล่ียนจากจํานวนจริงลบเปนจาํ นวนจรงิ บวก เมื่อ x เพ่ิมขึ้นรอบ ๆ c

แลว f (c) เปน คา ตํา่ สุดสมั พัทธของ f

พสิ ูจน

สมมติ f ′(x) เปลีย่ นจากจาํ นวนจริงบวกเปน จาํ นวนจริงลบ เม่ือ x เพิม่ ขนึ้ รอบ ๆ c

นัน่ คอื จะมี δ >0 ท่ี f ′( x) > 0 ทกุ x ∈(c − δ , c) และ f ′( x) < 0 ทกุ x ∈(c, c + δ )

ให x ∈(c − δ , c)

จะไดวา f เปนฟง กช นั ทตี่ อเน่ืองบนชว ง [x, c] และมีอนุพันธบ นชวง (x, c)

โดยทฤษฎบี ทคามัชฌมิ จะมี d ∈( x, c) ท่ี f ′(d) = f (c)− f (x) และ f ′(d) >0

c−x

จะไดว า f (c) − f ( x) > 0 เนื่องจาก c − x > 0

ดงั น้ัน f (c) > f ( x) ทุก x ในชวง (c −δ , c)

ให x ∈(c, c + δ )

จะไดวา f เปนฟง กช นั ที่ตอเนื่องบนชวง [c, x] และมีอนุพันธบนชวง (c, x)

โดยทฤษฎบี ทคามชั ฌมิ จะมี e∈(c, x) ที่ f ′(e) = f (x)− f (c) และ f ′(e) < 0

x−c

จะไดว า f ( x) − f (c) < 0 เนอ่ื งจาก x − c > 0

ดังน้ัน f (c) > f ( x) ทุก x ในชวง (c, c + δ )

ฉะนั้น f (c) ≥ f ( x) ทกุ x ในชว ง (a, b)

น่นั คือ f (c) เปนคาสงู สุดสมั พัทธข อง f

หมายเหตุ

กรณี ถา f ′(x) เปลยี่ นจากจาํ นวนจริงลบเปนจาํ นวนจรงิ บวก เมื่อ x เพ่มิ ขนึ้ รอบ ๆ c

แลว f (c) เปนคาตา่ํ สดุ สมั พัทธของ f สามารถพสิ จู นไดใ นทํานองเดยี วกนั

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบือ้ งตน 157
คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

• ทฤษฎบี ท 11
กาํ หนดให f เปนฟง กชันทต่ี อเน่อื งบนชว ง (a, b) และ c∈(a, b) เปนคาวกิ ฤตของ f ซงึ่
f ′(c) = 0 และ f ′′(c) มคี า
1. ถา f ′′(c) > 0 แลว f (c) เปน คา ต่ําสุดสัมพัทธของ f
2. ถา f ′′(c) < 0 แลว f (c) เปน คาสงู สุดสัมพัทธของ f
พิสจู น
สมมตใิ ห f ′′(c) > 0
จากบทนิยามของอนุพนั ธ จะไดวา

f " (c) = lim f ′( x) − f ′(c)

x→c x − c

f ′(x)

= lim
x→c x − c

เนือ่ งจาก f ′′(c) > 0

จะไดว า lim f ′( x) > 0

x→c x − c

กรณี x < c
จะเห็นวา x − c < 0
ดังนัน้ f ′( x) < 0

กรณี x > c
จะเหน็ วา x − c > 0
ดังนัน้ f ′( x) > 0

โดยทฤษฎีบท 10 จะไดว า f (c) เปนคาตาํ่ สุดสมั พัทธข อง f
หมายเหตุ

กรณี ถา f ′′(c) < 0 แลว f (c) เปน คาสงู สดุ สัมพัทธข อง f สามารถพิสูจนไ ดใ น
ทํานองเดียวกนั

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบือ้ งตน
158 คูมือครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

• ทฤษฎบี ท 12
ถา f เปนฟงกช ันตอ เน่ืองบนชวง [a, b] แลว f จะมีท้งั คาสูงสุดสมั บูรณแ ละคาตาํ่ สดุ สมั บรู ณ
บนชวง [a, b]
พสิ ูจน
เนือ่ งจาก [a, b] เปนชวงปด และ f เปนฟงกชันตอเน่อื งบนชว ง [a, b]
โดยทฤษฎบี ท xii จะไดว า Rf เปนเซตปดที่มีขอบเขต
ให z = sup Rf และ w = inf Rf
จะไดวา w ≤ f ( x) ≤ z ทกุ x ในชวง [a, b]
เนื่องจาก Rf เปนเซตปด ท่ีมีขอบเขต
โดยทฤษฎบี ท xv จะไดว า z ∈ Rf และ w∈ Rf
ดงั นั้น จะมี c, d ∈[a, b] ท่ี z = f (c) และ w = f (d )
จาก f (c) ≥ f ( x) และ f (d ) ≤ f ( x) ทกุ x ในชวง [a, b]
จะเหน็ วา f (c) เปนคาสงู สุดสัมบูรณ และ f (d ) เปนคา ตํ่าสุดสมั บูรณ บนชว ง [a, b]
น่ันคอื f มีคา สูงสุดสมั บรู ณและคา ตาํ่ สุดสมั บูรณบ นชวง [a, b]

ความสมั พนั ธร ะหวา งอนุพันธแ ละความตอ เนื่องของฟง กชนั f ทจ่ี ุด c
ให f เปน ฟงกช นั ทีน่ ยิ ามบนชว งเปด (a, b) และ c∈(a, b)
ถา f มีอนุพนั ธท ่ี c แลว f จะมีความตอ เนื่องที่ c
แสดงการพิสูจนไดดังน้ี
พิสจู น
ให f เปนฟง กชนั ทน่ี ิยามบนชวงเปด (a, b) และ c∈(a, b)
สมมตวิ า f มอี นุพนั ธที่ c
สําหรับ x∈(a, b) ซ่ึง x ≠ c จะไดว า

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบอ้ื งตน 159
คมู อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

f (x)− f (c) = f (x)− f (c) ⋅(x −c)

x−c

 f ( x) − f (c) 
( )lim( f ( x) − f (c))  lim − c ⋅
 x→c x 
x→c
= lim( x − c)

x→c

= f ′(c)⋅0

=0

นน่ั คอื lim f ( x) = f (c)
x→c

ดงั นั้น f มคี วามตอ เนื่องที่ c

หมายเหตุ

ในทางตรงกนั ขาม ถา f มคี วามตอ เนื่องท่ี c แลว อนพุ นั ธข อง f ท่ี c อาจไมมีคา

กไ็ ด เชน ในกรณีท่ี f (x) = x เขียนกราฟของ f ไดด งั นี้

จากกราฟ จะเหน็ วา f เปนฟงกชันตอ เนื่องที่ x = 0 แตจ ากตวั อยางที่ 25 จะไดว า f ′(0)

ปริพันธไมตรงแบบ (Improper Integral)

ปริพนั ธจ ํากดั เขต b ที่มีคา a หรือ b เปนอนนั ต หรือฟง กช ัน f ไมต อเนอื่ ง

∫ f (x) dx
a

อยางนอย 1 จดุ ในชว ง [a,b] เราจะเรียกปริพนั ธท ่ีอยูในรปู ดงั กลาววา ปริพนั ธไ มต รงแบบ

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบอ้ื งตน
160 คมู อื ครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

บทนยิ ามท่สี าํ คญั เกีย่ วกับปริพันธไ มตรงแบบมดี ังน้ี

บทนิยาม 1 (ปริพันธไ มตรงแบบเมอื่ ชวงของการหาปรพิ นั ธเปน อนันต)
1. ถา f (x) ตอ เนื่องบน [a,∞) แลว

∞t เม่อื t มคี า

∫ ∫f (x) dx = lim f (x) dx ∫lim f (x) dx
t→∞
t→∞
aa a

2. ถา f (x) ตอ เนื่องบน (−∞,b] แลว

b b เมอื่ b มคี า

∫ ∫f (x) dx = lim f (x) dx ∫lim f (x) dx
t →−∞
−∞ t t→∞
t

จะกลาววา ปรพิ นั ธไมตรงแบบลูเขา เมือ่ ลมิ ติ มีคา และจะกลาววา ปรพิ ันธไมต รงแบบลูออก

เมอ่ื ลิมติ ไมมีคา

3. ถา f (x) ตอ เน่ืองบน (−∞,∞) แลว

∞ c∞

∫=f (x) dx ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx
−∞ −∞ c

เมือ่ c เปนจํานวนจริงใดๆ และ c f (x) dx และ ∞ ลเู ขา

∫ ∫ f (x) dx
−∞ c

บทนยิ าม 2 (ปรพิ ันธไ มตรงแบบเม่อื ฟง กช ันไมตอเน่ืองบางจดุ ในชว งของการหาปริพันธ)

1. ในชว ง [a,b] ถา f (x) ตอ เนือ่ งทุกคา x ยกเวนที่ x = a แลว

b f (x) dx = lim b f (x) dx เม่ือ lim b f (x) dx มคี า
t→a+
∫ ∫ t→a+ ∫
at t

2. ในชวง [a,b] ถา f (x) ตอ เน่อื งทกุ คา x ยกเวนที่ x = b แลว

bt เมื่อ lim t f (x) dx มีคา

∫ ∫f (x) dx = lim f (x) dx t →b− ∫
t →b− a
aa

จะกลา ววา ปรพิ นั ธไมต รงแบบลูเขาเม่อื ลิมิตมคี า และจะกลาววาปริพนั ธไ มตรงแบบลอู อกเมื่อ

ลิมิตไมมีคา

3. ในชว ง [a,b] ถา f (x) ตอเนื่องทุกคา x ยกเวน ท่ี x = c เมือ่ c∈(a,b) แลว

b cb เมือ่ c f (x) dx และ ∞ ลเู ขา

∫=f (x) dx ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx ∫ ∫ f (x) dx
−∞ c
a ac

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบอื้ งตน 161
คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

2.7 ตวั อยา งแบบทดสอบประจาํ บทและเฉลยตวั อยา งแบบทดสอบประจําบท

ในสวนน้ีจะนําเสนอตัวอยางแบบทดสอบประจําบทท่ี 2 แคลคูลัสเบื้องตน สําหรับรายวิชาเพิ่มเติม
คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 ซ่ึงครูสามารถเลือกนําไปใชไดตามจุดประสงคการเรียนรู
ทตี่ อ งการวดั ผลประเมินผล

ตวั อยา งแบบทดสอบประจาํ บท

1. จงหา

1) lim f ( x) เม่ือ f ( x) = 5 + x − 5 2) f (x) − f (3) เม่ือ f ( x) = 16x2

x→0 2x lim
x→3 x − 3

2. จงพิจารณาวาฟงกช นั ตอไปน้ีเปนฟงกชันตอเนือ่ ง ณ จุดท่ีกําหนดหรือไม

 x2 −1 x ≠ −1
 , ท่ีจุด x = −1
1) f ( x) =  x +1

−2 , x =−1

2) f ( x ) = −x , x ≤ 0 ท่จี ุด x = 0

 x2 , x>0

3. กาํ หนดให A, B และ C เปนจํานวน=จริงใด ๆ โดยท่ี A li=m x2 − x − 2 , f (1) B และ

x→2 x − 2

1 − x2 , x < 1
=f ( x) =0 , x 1 ถา f ตอเนอ่ื งที่ x =1 แลว A + B เทากับเทา ใด
3x − C , x > 1 C

2+ 5−b , x ≤1

 x +1 , 1< x < 6 เม่ือ a และ b เปน จาํ นวนจริง

4. =กําหนดให f (x)  x3 −1 , x≥6

 x2 −1

 x−2+a

 13 − x

ถา f เปนฟง กชนั ตอ เน่ืองที่ x =1 และ x=6 แลว 3 a−x เทา กับเทาใด
lim
x→14 x − b

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบ้อื งตน
162 คูม อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

กาํ หนดให =y ( )( )1 + จงหา dy

x3 + 3 dx
5. x2 + 2x +1 x2 − 5x − 4

6. เสน ตรง l สัมผสั เสน โคง y = f ( x) โดยท่ี y = 5x3 + 2x2 − 7x + 9 ท่ี x =1

3x

จงหาวาเสน ตรง l ทาํ มุมกี่องศากับแกน X ในทิศทวนเข็มนาฬิกา

7. จงหา ( f  g )′ (2) เมื่อกาํ หนดให f ( x) = 2x2 −1 และ g (=x) x3 + 8

x

8. กาํ หนดให f ( x=) (1− 2x) 4 จงหา f ′′( x)

9. จงหา

∫1)  x3 + 5x2 − 4  2) ∫ (3x + 4)2 dx
  dx
 x2 

10. กําหนดให y = f ( x) และอัตราการเปลย่ี นแปลงของ y เทียบกับ x คือ ax3 −12x + 8

เมอื่ x และ a เปน จํานวนจรงิ ใด ๆ ถา f (0) =1 และ f ′(1) = 0 แลว f (a − 2) เทากบั

เทาใด

11. กาํ หนดให g (x=) x6 − 3x ถา a เปน จํานวนจริงท่ีทาํ ให a −1 แลว
6 16
∫ g′′( x) dx =

−a

g′(a) เทา กับเทา ใด

12. จงหาพ้ืนที่ที่ปด ลอมดวยเสนโคง =y x2 + 4x กบั แกน X จาก x = −5 ถงึ x =1

13. ให f และ g เปน ฟง กชนั ตอเน่ืองบนชวง [1, 2] โดยที่ f ( x) +=1 g ( x) + x

จงหา 2 f ( x) − g ( x))2 dx

∫(
1

14. กําหนดให เสน โคง  มีความชันท่จี ุด (1, 3) เทา กบั −1 และ f ( x) = ax2 + bx + c

ถา 1 แลว f (2) เทา กับเทา ใด

∫ f ( x) dx = 0
0

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบื้องตน 163
คูมือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

เฉลยตวั อยา งแบบทดสอบประจาํ บท

1. 1) จาก f ( x) = 5 + x − 5

2x

จะได lim f ( x) = lim 5 + x − 5

x→0 x→0 2x

= lim  5+x − 5⋅ 5+x + 5
 2x 5+x + 5 
x→0

( ) (2 )2

5+x − 5
( )= lim
x→0 2x 5 + x + 5

5+ x−5

( )= lim
x→0 2x 5 + x + 5

x
( )= lim
x→0 2x 5 + x + 5

1

( )= lim
x→0 2 5 + x + 5

( )= 1
2 5+0+ 5

=1
45

2) จาก f ( x) = 16x2

จะได f (x) − f (3) ( )16x2 −16 32

lim = lim
x→3 x − 3 x→3 x − 3

( )16 x2 − 32

= lim
x→3 x − 3

16( x − 3)( x + 3)

= lim
x→3 x − 3

= lim(16( x + 3))
x→3

= 16(3 + 3)

= 96

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบ้ืองตน
164 คูมอื ครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

2. 1) จากฟงกชนั f ทกี่ ําหนดให
จะได f (−1) =−2

และ lim f ( x) =  x2 −1
x→−1 xl→im−1 
x +1 

 ( x −1)( x +1) 
= lim  
x→−1 x +1 

= lim ( x −1)
x→−1

= −1−1
= −2

จะเหน็ วา lim f ( x=) f (−1)
x→−1

ดงั น้นั ฟง กชัน f เปน ฟงกชันตอเน่อื งท่ี x = −1

2) จากฟงกช ัน f ที่กาํ หนดให

จะได f (0) = 0

จาก lim f ( x) = lim (−x) = 0
x→0− x→0−

และ lim f ( x) = lim x2 = 0
x→0+ x→0−

จะไดว า lim f ( x) = lim f ( x)
x→0− x→0+

ดังน้นั lim f ( x) = 0
x→0

จะเห็นวา lim f ( x) = f (0)
x→0

ดังนนั้ ฟง กช นั f เปนฟงกชนั ตอเนื่องท่ี x = 0

3. จาก A = x2 − x − 2
จะได lim
x→2 x − 2
ดงั นน้ั
( x − 2)( x +1)

A = lim
x→2 x − 2

= lim( x +1)
x→2

= lim x + lim1
x→2 x→2

= 2+1

A=3 ----- (1)

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบือ้ งตน 165
คูม อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

1 − x2 , x < 1
f ( x) = 0
จาก , x =1

3x − C , x > 1

จะได f (1) = 0

ดังน้ัน B = 0 ----- (2)
----- (3)
จาก f ตอเนื่องที่ x =1 จะไดวา f (1) = lim f ( x)
x→1

ดงั นัน้ lim f ( x) = 0
x→1

น่ันคอื li=m f ( x) li=m f ( x) 0
x →1− x →1+

จาก lim f ( x) = lim (3x − C )
x →1+ x →1+

จะได 0 = 3 − C

ดงั น้ัน C = 3

จาก (1), (2) และ (3) จะไดวา A=+ B 3=+ 0 1

C3

4. จาก f เปนฟงกชันตอเนื่องท่ี x =1

จะไดว า lim f ( x) = f (1)
x→1

นน่ั คอื lim f ( x) = lim f ( x) ----- (1)
x →1− x →1+

จากฟง กชนั f ท่ีกาํ หนดให จ=ะได lim f (x) xli=→m1−  2 +x +51− b  2+ 5−b ----- (2)
x →1− 2

และ ( )=lim f ( x)
x →1+
xli=→m1+  xx32 −−11   ( x −1) x2 + x +1  =x2 x++x1+1  3
lim  ( x −1=)( x +1)  lim 2 ----- (3)
x→1+ 
x →1+

จาก (1), (2) และ (3) จะได 2 + 5 − b = 3 ----- (4)
----- (5)
22

ดงั นน้ั b = 4

จาก f เปน ฟง กชนั ตอ เนื่องที่ x = 6

จะไดวา lim f ( x) = f (6)
x→6

น่ันคอื lim f ( x) = lim f ( x)
x→6− x→6+

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบ้อื งตน
166 คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

จากฟง กช นั f ท่กี ําหนดให จะได= lim f (x) xl=→im6−  xx32 −−11  43 ----- (6)
x→6− 7

และ=lim f ( x) xl=→im6+  x13−−2 x+ a  2+a ----- (7)
x→6+ 7

จาก (5), (6) และ (7) จะได 43 = 2 + a ----- (8)

77

ดังนัน้ a = 41

จาก (4) และ (8) จะได =lim 3 a − x li=m 3 41− x 3

x→14 x − b x→14 x − 4 10

จาก 1+ x3 + 3 −1 + x2 + 2x + 1
x3 + 3
( )( ) ( ) ( )( )y =
5. x2 + 2x +1 x2 − 5x − 4 = x2 − 5x − 4

( )จะได ( ) ( )( )dy = d x3 + 3 −1 + x2 + 2x +1 x2 − 5x − 4
dx dx

( )( ) ( )( )= d x3 + 3 −1 + d x2 + 2x +1 x2 − 5x − 4
dx dx

พจิ ารณา ( )d x3 + 3 −1
dx

ให =u x3 + 3

( )จะได ( )d x3 + 3 −1 = d u−1 ⋅ du
dx du dx

( )= −u−2 ⋅ d x3 + 3
dx

− 3x2
x3 + 3 2
( )= ----- (1)

พจิ ารณา ( )d ( x2 + 2x +1)( x2 − 5x − 4)
dx

จาก ( )d ( x2 + 2x +1)( x2 − 5x − 4)
dx
= ( x2 − 5x − 4) d ( x2 + 2x +1) + ( x2 + 2x +1) d ( x2 − 5x − 4)
dx dx
= ( x2 − 5x − 4)(2x + 2) + ( x2 + 2x +1)(2x − 5)

( ) ( )= 2x3 − 8x2 −18x − 8 + 2x3 − x2 − 8x − 5

= 4x3 − 9x2 − 26x −13 ----- (2)

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบอื้ งตน 167
คมู อื ครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

จาก (1) และ (2) จะได

dy 3x2
x3 + 3
( ) ( )dx
= − 2 + 4x3 − 9x2 − 26x −13

6. จาก y = f ( x) โดยที่ y = 5x3 + 2x2 − 7x + 9

3x

จะได f ( x)= 5x3 + 2x2 − 7x + 9= 5 x2 + 2 x − 7 + 3x−1

3x 3 3 3

ดงั น้ัน ความชนั ของเสนสมั ผัสเสน โคง y = f (x) นี้ ที่ x ใด ๆ คอื

f ′(x) = d  5 x2 + 2 x − 7 + 3x−1 
dx  3 3 3 

= 10 x + 2 − 3
3 3 x2

จาก เสน ตรง l สมั ผสั เสน โคง y = f (x) ที่ x =1

จะไดวา ความชันของเสน ตรง l คือ f ′(1) = 10 (1) + 2 − 3 = 10 + 2 − 3 = 1
3 33
3 (1)2

ดังนน้ั เสนตรง l ทํามุม 45 องศากับแกน X ในทิศทวนเข็มนาฬิกา

7. จาก f ( x=) 2x2 −=1 2x − x−1

x

จะได f ′(x)= 2 + 1
x2

จาก g (=x) x3 + 8

จะได g (2)= 23 + 8= 4

ให =u x3 + 8

จะได g (=x) 1

=u u 2

ดังนน้ั g′(x) = dy ⋅ du
du dx
=
= ( )1 u − 1  3x2
2 2 


3x2

2 x3 + 8

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบอื้ งตน
168 คมู ือครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

จาก ( f  g )′ ( x) = f ′( g ( x)) ⋅ g′( x)

ดังน้นั ( f  g )′ (2) = f ′( g (2)) ⋅ g′(2)

= f ′(4)⋅ g′(2)

( )=  
 2 + 1   3 22 
 42   2 23 + 
8

=  33  3 
 16  2 

= 99
32

8. ให u= 1− 2x

จะได y =(1− 2x)4 =u4

ดังนนั้ dy = dy ⋅ du

dx du dx

( )= d u4 ⋅ d (1− 2x)
du dx

= (4u3 )(−2)

= −8(1− 2x)3

ให u= 1− 2x

จะได dy =−8(1− 2x)3 =−8u3

dx

ดงั นน้ั d2y = d  dy 
dx2 dx  dx 

= d  dy  ⋅ du
du  dx  dx

( )= d −8u3 ⋅ d (1− 2x)
du dx

= (−24u2 )(−2)

= 48(1− 2x)2

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบ้ืองตน 169
คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

 x3 + 5x2 − 4   x3 5x2 4 
∫ ∫9. 1) =  x2 + x2 − x2 
 x2  dx   dx
 

= ∫ ( x + 5 − 4x−2 ) dx

= x2 + 5x + 4x−1 + C เมื่อ C เปนคา คงตวั

2

2) ∫ (3x + 4)2 dx = ∫ (9x2 + 24x +16) dx

= 3x3 +12x2 +16x + C เมอ่ื C เปนคาคงตัว

10. จาก y = f ( x) และอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกบั x คือ ax3 −12x + 8

จะได f ′( x) = ax3 −12x + 8

จาก f ′(1) = 0

จะได 0 = a(13 ) −12(1) + 8

นั่นคือ a = 4
ดังน้นั f ′( x) = 4x3 −12x + 8

จะได f ( x) = ∫(4x3 −12x + 8) dx

= x4 − 6x2 + 8x + C เม่ือ C เปนคาคงตวั
จาก f (0) =1

จะได 1 = 04 − (6 02 ) + 8(0) + C

นนั่ คือ C = 1
ดังนน้ั f ( x) = x4 − 6x2 + 8x +1
พิจารณา f (a − 2) = f (4 − 2)

= f (2)

= 24 − (6 22 ) + 8(2) +1

=9

ดงั นั้น f (a − 2) =9

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบ้อื งตน
170 คูมือครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

11. จาก ∫ g′′( x=) dx g′( x) + C

จะได a ----- (1)

∫ g′′( x) dx= g′(a) − g′(−a)
−a

จาก g ( x=) x6 − 3x

6

จะได g′( x=) x5 − 3

จาก a dx = −1 และ (1) จะได
16
∫ g′′( x)

−a

− 1 = g′(a) − g′(−a)

16

( )( )− 1 = a5 − 3 − (−a)5 − 3
16

− 1 = a5 − 3 + a5 + 3
16

− 1 = 2a5
16

a5 = − 1
32

a = −1
2

ดงั นน้ั g′(a) =g ′  − 1  = − 1 5 − 3 =− 97
 2  2  32

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบอ้ื งตน 171
คมู อื ครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

12. พจิ ารณากราฟของบริเวณท่ปี ดลอมดว ยเสนโคง =y x2 + 4x กบั แกน X จาก x = −5 ถึง
x =1 ดงั นี้

จะไดว า พนื้ ที่ทีป่ ดลอมดวยดว ยเสน โคง =y x2 + 4x กบั แกน X จาก x = −5 ถึง x =1

เทากับ ∫ (−4 x2 + 4x) ∫ (dx − 0 x2 + 4x) dx + ∫ (1 x2 + 4x) dx ตารางหนว ย
−5 −4 0

จาก ( )∫ x2 + 4x dx =x3 + 2x2 + C เมื่อ C เปนคา คงตัว
3

จะได ∫ ( )−4 x2 + 4x dx =  x3 + 2 x2  −4
−5   −5
 3 

=  ( −4 )3 + 2 ( −4 )2  −  ( −5)3 + 2 ( −5)2 
   
3 3

= 61 −18
3

∫ ( )0 x2 + 4x dx =  x3 + 2 x 2  0
−4   −4
 3 

( )=  03 + 2 02   ( −4 )3 + 2 ( −4 )2 
 3  −  
  3

= 64 − 32
3

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบื้องตน
172 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

( )และ ∫1 x2 + 4x dx =  x3 + 2 x 2  1
0  3  0
 

 13   03 
( ) ( )=  + 2 12  −  3 + 2 02 
 3   

= 1+2
3

ดงั นน้ั พื้นทีท่ ป่ี ดลอมดวยดว ยเสน โคง =y x2 + 4x กับแกน X จาก x = −5 ถึง x =1

เทากับ  61 − 18  −  64 − 32  +  1 + 2  =46 ตารางหนว ย
 3   3   3  3

13. จาก f ( x) +=1 g ( x) + x

จะได f ( x) − g ( x) =x −1

และ ( f ( x) − g ( x))2 =( x −1)2 = x2 − 2x +1

ดงั นัน้ 22

∫( f ( x) − g ( x))2 dx = ∫( x2 − 2x +1)dx
11

=  x3 − x2 + 2
 3
 
x

1

=  23 − 22 + 2  −  13 − 12 + 
 3   3 1
   

=1
3

14. จาก f ( x) = ax2 + bx + c

จะได f ′(=x) 2ax + b

และ ∫ f ( x) dx = ax3 + bx2 + cx + D เมอ่ื D เปนคาคงตวั ใด ๆ
32

เนอ่ื งจาก เสน โคง ของฟง กชัน f มคี วามชันท่ีจุด (1, 3) เทากบั −1

จะไดวา f (1) = 3 และ f ′(1) = −1

น่นั คือ a + b + c =3 ----- (1)

และ 2a + b =−1 ----- (2)

จาก 1

∫ f ( x) dx = 0
0

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบ้ืองตน 173
คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

จะไดว า a + b + c =0 น่นั คอื 2a + 3b + 6c =0 ----- (3)

32

จาก (1), (2) และ (3) จะได a =− 21, b =20 และ c = −13

22

นัน่ คือ f ( x) =− 21 x2 + 20x − 13

22

ดงั นั้น f (2) (=− 21 22 ) + 20(2) − 13 =−17
2 22

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

174 คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

เฉลยแบบฝกหัดและวธิ ีทาํ โดยละเอียด

บทที่ 1 ลาํ ดับและอนุกรม

แบบฝก หดั 1.1.1

1. 1) แทน n ใน a=n 2n + 5 ดว ย 1, 2, 3 และ 4 จะได ส่ีพจนแ รกของลาํ ดับดังนี้

a1 = 2(1) + 5 = 7
a2 = 2(2) + 5 = 9
a3 = 2(3) + 5 = 11
a4 = 2(4) + 5 = 13

ดังน้นั สีพ่ จนแ รกของลาํ ดับนี้ คอื 7, 9,11 และ 13

2) แทน n ใน an =  1 n ดว ย 1, 2, 3 และ 4 จะได ส่ีพจนแ รกของลําดับดังน้ี
 2 

a1 =  1 1 = 1
 2  2

a2 =  1 2 = 1
 2  4

a3 =  1 3 = 1
 2  8

a4 =  1 4 = 1
 2  16

ดงั นั้น สี่พจนแรกของลําดับนี้ คอื 1 , 1 , 1 และ 1

2 4 8 16

3) แทน n ใน an = (−2)n ดวย 1, 2, 3 และ 4 จะได ส่ีพจนแรกของลําดบั ดังนี้

a1 = (−2)1 = −2
a2 = (−2)2 = 4
a3 = (−2)3 = −8
a4 = (−2)4 = 16

ดงั นน้ั ส่ีพจนแ รกของลาํ ดับน้ี คอื −2, 4, − 8 และ 16

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 175

4) แทน n ใน an = n +1 ดว ย 1, 2, 3 และ 4 จะได ส่พี จนแรกของลําดบั ดังนี้
n

a1 = 1+1 = 2
1

a2 = 2+1 = 3
22

a3 = 3+1 = 4
33

a4 = 4+1 = 5
44

ดงั นั้น สพี่ จนแ รกของลําดับน้ี คอื 2, 3 , 4 และ 5

23 4

5) แทน n ใน 1+ (−1)n ดวย 1, 2, 3 และ 4 จะได สี่พจนแรกของลําดบั ดังน้ี

an = n

1 + (−1)1 1−1 =0
1
a1 = 1 =

1+ (−1)2 1+1 =1
2
a2 = 2 =

1+ (−1)3 1−1 =0
3
a3 = 3 =

1+ (−1)4 1+1 =1
4 2
a4 = 4 =

ดังน้นั สพ่ี จนแ รกของลาํ ดับนี้ คอื 0,1, 0 และ 1

2

6) แทน n ใน an = 2n ดว ย 1, 2, 3 และ 4 จะได สพี่ จนแ รกของลําดบั ดังน้ี
3n

a1 = 21 = 2
31 3

a2 = 22 = 4
32 9

a3 = 23 = 8
33 27

a4 = 24 = 16
34 81

ดงั น้นั สพี่ จนแรกของลาํ ดับนี้ คือ 2 , 4 , 8 และ 16
3 9 27 81

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

176 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

7) แทน n ใน an =(n −1)(n +1) ดว ย 1, 2, 3 และ 4 จะได ส่พี จนแ รกของลาํ ดบั ดังน้ี

a1 = (1−1)(1+1) = 0(2) = 0
a2 = (2 −1)(2 +1) = 1(3) = 3
a3 = (3 −1)(3 +1) = 2(4) = 8
a4 = (4 −1)(4 +1) = 3(5) = 15

ดงั นน้ั ส่พี จนแ รกของลําดับน้ี คือ 0, 3, 8 และ 15
8) แทน n ใน an =n(n −1)(n − 2) ดว ย 1, 2, 3 และ 4 จะได ส่พี จนแรกของลาํ ดับดังนี้

a1 = 1(1−1)(1− 2) = 1(0)(−1) = 0
a2 = 2(2 −1)(2 − 2) = 2(1)(0) = 0
a3 = 3(3 −1)(3 − 2) = 3(2)(1) = 6
a4 = 4(4 −1)(4 − 2) = 4(3)(2) = 24

ดงั น้นั ส่พี จนแ รกของลาํ ดับนี้ คือ 0, 0, 6 และ 24
2. 1) แทน n ใน an= an−1 + n −1 ดว ย 2, 3, 4 และ 5 จะได

a2 = a1 + 2 −1 = 0 + 2 −1 = 1
a3 = a2 + 3 −1 = 1 + 3 −1 = 3
a4 = a3 + 4 −1 = 3 + 4 −1 = 6
a5 = a4 + 5 −1 = 6 + 5 −1 = 10

ดังนั้น หาพจนแ รกของลําดับน้ี คอื 0, 1, 3, 6 และ 10
2) แทน n ใน an = 1+ (0.05)an−1 ดว ย 2, 3, 4 และ 5 จะได

a2 = 1+ (0.05) a1 = 1+ (0.05)(1,000) = 51
a3 = 1+ (0.05) a2 = 1+ (0.05)(51) = 3.55
a4 = 1+ (0.05) a3 = 1+ (0.05)(3.55) = 1.1775
a5 = 1+ (0.05) a4 = 1+ (0.05)(1.1775) = 1.058875

ดังน้นั หาพจนแ รกของลาํ ดับนี้ คือ 1000, 51, 3.55, 1.1775 และ 1.058875

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 177

3) แทน n ใน an = 6an−1 ดว ย 2, 3, 4 และ 5 จะได

a2 = 6a1 = 6(2) = 12

a3 = 6a2 = 6(12) = 72

a4 = 6a3 = 6(72) = 432

a5 = 6a4 = 6(432) = 2,592

ดังนั้น หาพจนแ รกของลําดับนี้ คือ 2, 12, 72, 432 และ 2,592

4) แทน n ใน =an an−1 + 2an−2 ดว ย 3, 4 และ 5 จะได

a3 = a2 + 2a1 = 2 + 2(1) = 4

a4 = a3 + 2a2 = 4 + 2(2) = 8

a5 = a4 + 2a3 = 8 + 2(4) = 16

ดังน้ัน หาพจนแ รกของลําดับน้ี คอื 1, 2, 4, 8 และ 16

5) แทน n ใน =an an−1 + an−2 ดว ย 3, 4 และ 5 จะได

a3 = a2 + a1 = 0 + 2 = 2

a4 = a3 + a2 = 2 + 0 = 2

a5 = a4 + a3 = 2 + 2 = 4

ดังน้นั หาพจนแ รกของลาํ ดบั น้ี คอื 2, 0, 2, 2 และ 4

3. เน่อื งจากจาํ นวนเต็มบวกท่หี ารดว ย 2 และ 7 ลงตวั คือ จาํ นวนเตม็ บวกท่หี ารดว ย 14 ลงตัว

จะไดว า จํานวนเตม็ บวกท่ีหารดวย 2 และ 7 ลงตัว เขยี นอยใู นรูป 14n เม่อื n เปนจาํ นวนเต็มบวก

นั่นคือ ลาํ ดบั ของจํานวนเตม็ บวกทีห่ ารดวย 2 และ 7 ลงตวั มีพจนท ว่ั ไป คือ an =14n
เมอ่ื n เปนจํานวนเต็มบวก

แทน n ใน an =14n ดวย 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7
จะได เจ็ดพจนแ รกของลาํ ดับของจํานวนเต็มบวกท่ีหารดว ย 2 และ 7 ลงตวั คือ

14, 28, 42, 56, 70, 84 และ 98

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

178 คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

แบบฝก หดั 1.1.2

1. 1) จาก a1 = 2 และ d = 4 จะได

a2 = a1 + d = 2 + 4 = 6
a3 = a2 + d = 6 + 4 = 10
a4 = a3 + d = 10 + 4 = 14

ดงั นั้น สี่พจนแ รกของลาํ ดับเลขคณติ น้ี คอื 2, 6,10 และ 14
2) จาก a1 = 3 และ d = 5 จะได

a2 = a1 + d = 3 + 5 = 8
a3 = a2 + d = 8 + 5 = 13
a4 = a3 + d = 13 + 5 = 18

ดงั นน้ั สพ่ี จนแ รกของลาํ ดับเลขคณิตนี้ คือ 3, 8,13 และ 18
3) จาก a1 = −3 และ d = 3 จะได

a2 = a1 + d = −3 + 3 = 0
a3 = a2 + d = 0 + 3 = 3
a4 = a3 + d = 3 + 3 = 6

ดังนน้ั สพ่ี จนแรกของลาํ ดับเลขคณติ นี้ คือ −3, 0, 3 และ 6
4) จาก a1 = − 4 และ d = 2 จะได

a2 = a1 + d = − 4 + 2 = −2
a3 = a2 + d = −2 + 2 = 0
a4 = a3 + d = 0 + 2 = 2

ดังนั้น ส่พี จนแ รกของลําดับเลขคณติ น้ี คอื −4, − 2, 0 และ 2
5) จาก a1 = 5 และ d = −2 จะได

a2 = a1 + d = 5 + (−2) = 3
a3 = a2 + d = 3 + (−2) = 1
a4 = a3 + d = 1 + (−2) = −1

ดังนั้น สี่พจนแรกของลาํ ดับเลขคณิตนี้ คอื 5, 3,1 และ −1
6) จาก a1 = −3 และ d = −4 จะได

a2 = a1 + d = (−3) + (− 4) = −7
a3 = a2 + d = (−7) + (− 4) = −11

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 179

a4 = a3 + d = (−11) + (− 4) = −15

ดังนนั้ สพี่ จนแรกของลาํ ดับเลขคณิตนี้ คอื −3, − 7, −11 และ −15

7) จาก a1 = 1 และ d =1 จะได
2 2

a2 = a1 + d = 1+1 =1
22

a3 = a2 + d = 1+ 1 =3
2 2

a4 = a3 + d = 3+1 =2
22

ดงั นน้ั สพี่ จนแรกของลําดับเลขคณติ นี้ คอื 1 , 1, 3 และ 2

22

8) จาก a1 = 5 และ d = −3 จะได
2 2

a2 = a1 + d = 5 +  − 3  =1
2  2 

a3 = a2 + d = 1 +  − 3  = −1
 2  2

a4 = a3 + d =  − 1  +  − 3  = −2
 2   2 

ดังนั้น ส่ีพจนแรกของลาํ ดับเลขคณติ นี้ คือ 5 ,1, − 1 และ −2

22

2. 1) เนื่องจาก a1 = 4, d = 3 และ an = a1 + (n −1)d จะได

a3 = 4 + (3 −1)(3)
= 4 + (2)(3)

= 10

ดงั น้ัน a3 =10
2) เน่ืองจาก a1 = 7, d = −3 และ an = a1 + (n −1)d จะได

a12 = 7 + (12 −1)(−3)

= 7 + (11)(−3)

= −26

ดังนนั้ a12 = −26

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

180 คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

3) เนือ่ งจาก a1 = 4 , d= −1 และ an = a1 + (n −1)d จะได
5

a20 = 4 + (20 −1)(−1)

5

= 4 + (19)(−1)

5

= − 91
5

ดงั นน้ั a20 = − 91
5

4) เนอ่ื งจาก a1 = 4, d = 1 และ an = a1 + (n −1)d จะได

2

a11 = 4 + (11 − 1)  1 
 2 

= 4 + (10)  1 
 2 

=9

ดงั นน้ั a11 = 9
3. 1) จากลาํ ดับเลขคณิต −2, 4,10,

จะได a1 = −2 และ d = 4 − (−2) = 6
เนอื่ งจากพจนท ัว่ ไปของลาํ ดบั เลขคณติ คือ an = a1 + (n −1)d
จะได an = −2 + (n −1)(6)

= −2 + 6n − 6

= 6n − 8

ดงั นนั้ พจนท วั่ ไปของลาํ ดับเลขคณิตน้ี คือ 6n −8

2) จากลาํ ดับเลขคณติ − 1 , 1 , 1 ,

662

จะได a1 = −1 และ d= 1 −  − 1  = 2= 1
6 6  6  6 3

เนื่องจากพจนท ว่ั ไปของลาํ ดับเลขคณติ คือ an = a1 + (n −1)d

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 181

จะได an = − 1 + ( n −1)  1 
6  3 

= −1+1n−1
63 3

= 1n−1
32

ดังนน้ั พจนท ว่ั ไปของลาํ ดบั เลขคณิตน้ี คือ 1 n − 1

32

3) จากลําดบั เลขคณติ 11, 27 ,16,

2

จะได a1 = 11 และ d = 27 −11 = 5
2 2

เน่อื งจากพจนทั่วไปของลําดบั เลขคณติ คือ an = a1 + (n −1)d

จะได an = 11 + ( n − 1)  5 
 2 

= 11+ 5 n − 5
22

= 5 n + 17
22

ดังนนั้ พจนทั่วไปของลาํ ดบั เลขคณิตนี้ คือ 5 n + 17

22

4) จากลําดับเลขคณติ 19.74, 22.54, 25.34,

จะได a1 = 19.74 และ d = 22.54 −19.74 = 2.80
เนอ่ื งจากพจนทว่ั ไปของลาํ ดับเลขคณิต คือ an = a1 + (n −1)d
จะได an = 19.74 + (n −1)(2.80)

= 19.74 + 2.80n − 2.80

= 2.80n +16.94

ดงั นัน้ พจนท วั่ ไปของลําดบั เลขคณิตน้ี คอื 2.80n +16.94

5) จากลาํ ดับเลขคณติ x, x + 2, x + 4,

จะได a1 = x และ d = ( x + 2) − x = 2
เนือ่ งจากพจนทั่วไปของลาํ ดับเลขคณติ คือ an = a1 + (n −1)d

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

182 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

จะได an = x + (n −1)(2)

= x + 2n − 2

= 2n + x − 2

ดงั น้นั พจนท ว่ั ไปของลาํ ดับเลขคณติ น้ี คือ 2n + x − 2 เมื่อ x เปน จํานวนจรงิ
6) จากลําดบั เลขคณติ 3a + 2b, 2a + 4b, a + 6b,

จะได a=1 3a + 2b และ d =(2a + 4b) − (3a + 2b) =−a + 2b
เนอ่ื งจากพจนทว่ั ไปของลําดบั เลขคณติ คือ an = a1 + (n −1)d
จะได an = (3a + 2b) + (n −1)(−a + 2b)

= 3a + 2b + (−a + 2b) n + a − 2b

= 4a + (−a + 2b) n

ดงั น้นั พจนทัว่ ไปของลาํ ดับเลขคณติ น้ี คือ 4a + (−a + 2b)n เมอ่ื a และ b เปน
จาํ นวนจรงิ
4. 1) จาก a1 = 13 และ a2 = 25
จะได d = 25 −13 = 12
นนั่ คือ a3 = a2 + d = 25 +12 = 37

a4 = a3 + d = 37 +12 = 49

a5 = a4 + d = 49 +12 = 61

ดงั นน้ั พจนทีข่ าดหายไป คือ 37, 49 และ 61 ตามลําดบั
2) จาก a1 = 18, a3 = 11 และ an = a1 + (n −1) d

จะได 11 = 18 + (3 −1)d

d = −7
2

น่นั คือ a2 = a1 + d = 18 +  − 7  = 29
 2  2

a4 = a3 + d = 11 +  − 7  = 15
 2  2

a5 = a4 + d = 15 +  − 7  =4
2  2 

ดังนั้น พจนทีข่ าดหายไป คอื 29 , 15 และ 4 ตามลาํ ดับ

22

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 183

3) จาก a1 = 13, a5 = 33 และ an = a1 + (n −1) d
จะได 33 = 13 + (5 −1)d

d =5

น่ันคอื a2 = a1 + d = 13 + 5 = 18

a3 = a2 + d = 18 + 5 = 23

a4 = a3 + d = 23 + 5 = 28

a6 = a5 + d = 33 + 5 = 38

ดงั น้ัน พจนทีข่ าดหายไป คอื 18, 23, 28 และ 38 ตามลําดบั

4) จาก a3 = 100, a6 = 142 และ an = a1 + (n −1) d จะได

100 = a1 + (3 −1) d ----- (1)

142 = a1 + (6 −1) d ----- (2)

จาก (1) และ (2) จะได d =14 และ a1 = 72

นน่ั คือ a2 = a1 + d = 72 +14 = 86

a4 = a3 + d = 100 + 14 = 114

a5 = a4 + d = 114 + 14 = 128

a7 = a6 + d = 142 + 14 = 156

ดังนนั้ พจนทข่ี าดหายไป คือ 72, 86, 114, 128 และ 156 ตามลําดับ

5. จากลําดบั เลขคณติ 3, 8, 13, 18, 23, …

จะได a1 = 3 และ d = 8 − 3 = 5
จาก an = a1 + (n −1) d
จะได a15 = 3 + (15 −1)(5)

= 3 + (14)(5)

= 73

ดงั น้ัน พจนท่ี 15 ของลําดับเลขคณิตนี้ คือ 73
6. จากพจนท ี่ n ของลาํ ดบั ท่ีกาํ หนดให ซึง่ คือ an =−n − 3

จะได a20 = −20 − 3 = −23
และ a50 = −50 − 3 = −53
ดงั น้นั พจนท ี่ 20 ของลําดับเลขคณิตนี้ คือ −23 และพจนท่ี 50 ของลาํ ดับเลขคณติ น้ี คอื −53

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

184 คมู ือครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

7. จาก an = a1 + (n −1)d จะได ----- (1)
----- (2)
12 = a1 + (6 −1) d

16 = a1 + (10 −1) d

จาก (1) และ (2) จะได d =1 และ a1 = 7
ดังนั้น พจนแรกของลาํ ดับเลขคณติ นี้ คือ 7

8. จาก an = a1 + (n −1)d จะได ----- (1)
----- (2)
20 = a1 + (3 −1) d

32 = a1 + (7 −1) d

จาก (1) และ (2) จะได d = 3 และ a1 =14
น่นั คอื a25 = 14 + (25 −1)(3)

= 14 + (24)(3)

= 86

ดังนัน้ พจนท่ี 25 ของลาํ ดับเลขคณติ นี้ คือ 86

9. จาก an = a1 + (n −1)d จะได

16 = a1 + (2 −1) d ----- (1)

116 = a1 + (12 −1) d ----- (2)

จาก (1) และ (2) จะได d =10 และ a1 = 6

นน่ั คือ an = 6 + (n −1)(10)

= 6 +10n −10

= 10n − 4

ดังนัน้ =an 10n − 4 และ d =10

10. ลําดับเลขคณติ ที่กําหนดใหมี a1 = −1 และ d =−6 − (−1) =−5

จาก an = a1 + (n −1) d

จะได −176 = −1+ (n −1)(−5)

n = 36

ดังนั้น −176 เปน พจนที่ 36 ของลาํ ดบั เลขคณติ น้ี

11. ให a เปนพจนของลาํ ดบั เลขคณิตที่อยูระหวาง 39 และ 51

จะได 39, a, 51 เปนสามพจนเรียงกันของลําดบั เลขคณิต

จาก =d an+1 − an

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 185

จะได d =a2 − a1 =a − 39 และ d = a3 − a2 = 51− a
ดงั นน้ั a − 39 = 51− a

2a = 90
a = 45

นัน่ คือ 45 เปนพจนข องลําดับเลขคณติ ที่อยูร ะหวา ง 39 และ 51
12. จาํ นวนนบั ทนี่ อยทีส่ ุดท่ีมากกวา 100 ซึ่งหารดวย 13 ลงตวั คอื 104

เนอ่ื งจาก 1,000 หารดวย 13 ไดผลหาร 76 เหลอื เศษ 12
ดงั นั้น จาํ นวนนบั ท่ีมากที่สุดท่ีนอ ยกวา 1,000 ซง่ึ หารดวย 13 ลงตัว คือ 1,000 −12 =988
จะไดว า ลาํ ดับของจาํ นวนนบั ทีอ่ ยูระหวาง 100 ถงึ 1,000 ซึง่ หารดวย 13 ลงตวั เปนลาํ ดบั
เลขคณติ ที่มีพจนแรกเปน 104 ผลตา งรวมเปน 13 และพจนท่ี n เปน 988
จาก an = a1 + (n −1) d
จะได 988 = 104 + (n −1)(13)

988 = 91+13n
13n = 897

n = 69

ดังนัน้ จํานวนนับท่อี ยูระหวาง 100 ถึง 1,000 ที่หารดวย 13 ลงตัว มีทงั้ หมด 69 จาํ นวน
13. เนือ่ งจาก a, 6a + 2, 8a +1 เปนสามพจนแรกของลําดับเลขคณติ

จาก =d an+1 − an
จะได d = a2 − a1 = (6a + 2) − a = 5a + 2 และ d = a3 − a2 = (8a +1) − (6a + 2) = 2a −1
ดงั นนั้ 5a + 2 = 2a −1

3a = −3
a = −1

นัน่ คือ สามพจนแรกของลาํ ดับเลขคณิต คือ −1, − 4, − 7
จะได a1 = −1 และ d =−4 − (−1) =−3
จาก an = a1 + (n −1)d จะได

an = −1+ (n −1)(−3)

= −1− 3n + 3
= 2 − 3n

ดังนัน้ a ในลาํ ดับเลขคณิตทก่ี ําหนดให คือ −1 และพจนท ว่ั ไปของลําดับ คือ 2 − 3n

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

186 คูมือครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

14. ให a1, a2, a3 เปน สามพจนแรกของลาํ ดับเลขคณิต
โดยที่ a1 + a2 + a3 =12 และ a13 + a23 + a33 =408
จาก an = a1 + (n −1) d
จะได a1 + a2 + a3 = 12

a1 + (a1 + d ) + (a1 + 2d ) = 12 ----- (1)
a13 + a23 + a33 = 408
3a1 + 3d = 12

a1 + d = 4

และ

จาก (1) จะได a13 + (a1 + d )3 + (a1 + 2d )3 = 408
(4 − d )3 + 43 + (4 + d )3 = 408

( ( ) ) ( ( ) )64 − 3 42 d + 3(4)d 2 − d 3 + 43 + 64 + 3 42 d + 3(4)d 2 + d 3 = 408

64 +12d 2 + 64 + 64 +12d 2 = 408

24d 2 = 216

d2 = 9

นั่นคอื d = 3 หรอื d = −3

กรณี d = 3 จาก (1) จะได a1 =1

นน่ั คือ an =1+ (n −1)(3) =3n − 2
ดังนั้น พจนทวั่ ไปของลําดบั นี้ คือ 3n − 2

กรณี d = −3 จาก (1) จะได a1 = 7

น่ันคอื an =7 + (n −1)(−3) =−3n +10

ดังน้ัน พจนทัว่ ไปของลาํ ดบั น้ี คือ −3n +10

หมายเหตุ

อาจหาพจนท่ัวไปของลาํ ดบั ที่กาํ หนด โดยให a2 = a จะไดวา a1= a − d และ
a3= a + d เมอ่ื d เปน ผลตางรว ม จากนน้ั ดําเนนิ การตามวธิ ขี า งตน

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 187

15. สมศกั ด์ิไดรบั เงนิ เดือนเดือนละ 25,000 บาท และไดรบั เงินเดือนเพ่ิมขึน้ ปละ 1,000 บาท
นน่ั คอื เม่ือสมศักด์ทิ าํ งานได 1 ป เขาจะไดร บั เงนิ เดอื นเดือนละ 25,000 +1,000 =26,000 บาท
เมอื่ สมศักด์ทิ ํางานได 2 ป เขาจะไดรบั เงินเดอื นเดอื นละ 26,000 +1(1,000) =27,000 บาท
เม่ือสมศกั ด์ิทํางานได 3 ป เขาจะไดรับเงนิ เดือนเดอื นละ 26,000 + 2(1,000) =28,000 บาท
ในทํานองเดียวกัน จะไดว าเมื่อสมศักด์ทิ ํางานได n ป เขาจะไดร บั เงินเดือนเดอื นละ
26,000 + (n −1)(1,000) บาท
จะไดวา ลําดบั ของเงนิ เดอื นที่สมศกั ด์ิไดร บั เมื่อทาํ งานได 1, 2, 3, …, n, … ป คือ

26000, 27000, 28000, , 26000 + (n −1)(1000), 

ซ่งึ เปน ลาํ ดับเลขคณิตท่ีมีพจนแรกเปน 26,000 และผลตา งรวมเปน 1,000
เมอ่ื สมศกั ดท์ิ ํางานได 6 ป เขาจะไดรบั เงนิ เดือนเทา กับพจนท่ี 6 ของลําดับน้ี
ดงั นั้น เมอื่ สมศกั ดทิ์ ํางานได 6 ป เขาจะไดรับเงินเดอื นเดือนละ 26,000 + (6 −1)(1,000) =31,000 บาท
16. บริษทั แหงหนึ่งรบั ซือ้ รถยนตทใี่ ชแ ลว 1 ปในราคาท่ตี าํ่ กวาราคาทีบ่ ริษัทขาย 100,000 บาท
สาํ หรับรถยนตทใ่ี ชแ ลวเกนิ 1 ป ราคาซื้อคืนจะลดลงอีกปละ 70,000 บาท
วธิ ีที่ 1 พิจารณาราคาที่บริษัทรบั ซ้ือรถคนื

เนอ่ื งจาก ซื้อรถยนตจ ากบริษัทนม้ี าในราคา 1,000,000 บาท
สาํ หรบั รถยนตท ี่ใชแลว 1 ป บริษัทจะรับซื้อรถคนื ในราคา

1,000,000 −100,000 =900,000 บาท
สําหรบั รถยนตทใี่ ชแ ลว 2 ป บรษิ ทั จะรบั ซ้ือรถคืนในราคา

900,000 − (2 −1)(70,000) =830,000 บาท
สําหรับรถยนตทใ่ี ชแ ลว 3 ป บริษทั จะรับซื้อรถคนื ในราคา

900,000 − (3 −1)(70,000) =760,000 บาท
ในทํานองเดียวกนั จะไดว าสาํ หรบั รถยนตทีใ่ ชแ ลว n ป บริษทั จะรับซื้อรถคนื ในราคา

900,000 − (n −1)(70,000) บาท
จะได ลําดบั ของราคาทีบ่ ริษัทจะรับซ้ือคืน สําหรับรถยนตท ่ีใชไปแลว 1, 2, 3, …, n, … ป คือ

900000, 830000, 760000, , 900,000 − (n −1)(70,000), 

ซงึ่ เปน ลาํ ดบั เลขคณติ ที่มพี จนแรกเปน 900,000 และผลตางรวมเปน 70,000

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

188 คูม อื ครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

เม่ือใชร ถยนตไปแลว 5 ป ราคาทบี่ รษิ ัทจะรบั ซื้อคืนเทากับพจนที่ 5 ของลําดับนี้
ดงั นน้ั เมือ่ ใชรถยนตไ ปแลว 5 ป ราคาท่ีบรษิ ัทจะรับซ้ือคืนเทากบั

900,000 − (5 −1)(70,000) =620,000 บาท
นั่นคอื เม่ือใชรถยนตไปแลว 5 ป บรษิ ทั จะรบั ซื้อรถยนตคนื ในราคาทตี่ ํา่ กวาราคา
ที่ซ้อื จากบรษิ ทั 1,000,000 − 620,000 =380,000 บาท
วธิ ีท่ี 2 พจิ ารณาสวนตา งของราคาขายและราคาซ้ือคืน
สาํ หรับรถยนตที่ใชแลว 1 ป สวนตางของราคาขายและราคาซื้อคืนเทากับ 100,000 บาท
สําหรับรถยนตท ใ่ี ชแลว 2 ป สวนตา งของราคาขายและราคาซ้ือคืนเทา กบั

100,000 + (2 −1)70,000 =170,000 บาท
สาํ หรับรถยนตทใี่ ชแ ลว 3 ป สวนตางของราคาขายและราคาซอ้ื คืนเทา กบั

100,000 + (3 −1)70,000 =240,000 บาท
ในทํานองเดยี วกนั จะไดวา สาํ หรบั รถยนตท ใี่ ชแลว n ป สว นตางของราคาขายและ
ราคาซอ้ื คนื เทากับ 100,000 + (n −1)(70,000) บาท
จะได ลําดับของสวนตางของราคาขายและราคาซือ้ คืน สาํ หรบั รถยนตท ี่ใชไปแลว
1, 2, 3, …, n, … ป คอื 100000, 170000, 240000,, 100000 + (n −1)(70000), 
ซงึ่ เปน ลําดับเลขคณติ ที่มีพจนแรกเปน 100,000 และผลตา งรวมเปน 70,000
เมื่อใชรถยนตไปแลว 5 ป สว นตางของราคาขายและราคาซ้อื คืนเทากบั พจนท ่ี 5 ของ
ลําดับน้ี
ดังนนั้ เมื่อใชรถยนตไ ปแลว 5 ป สวนตา งของราคาขายและราคาซอ้ื คืนเทากบั

100,000 + (5 −1)(70,000) =380,000 บาท
น่ันคอื เมื่อใชรถยนตไปแลว 5 ป บรษิ ทั จะรับซ้ือรถยนตคนื ในราคาทีต่ ่ํากวาราคา
ทีซ่ ้อื จากบรษิ ทั 380,000 บาท

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี