คู่มือคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.6 เล่ม1_compressed

คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 339

41. ให a1 + a2 + a3 + เปนอนกุ รมเรขาคณิตทมี่ ีพจนแ รก คอื a1 อัตราสวนรว ม คือ r
และผลบวกของอนุกรมเทา กบั 1

จะไดวา r <1 และ a1 =1 ----- (1)

1− r

นัน่ คือ a1 = 1− r

จาก ผลบวกยอ ยสองพจนแรกของอนุกรมนี้คือ 3

4

จะไดว า a1 + a2 =3
4

น่นั คือ a1 (1+ r) =3 ----- (2)
4

จาก (1) และ (2) จะได

(1− r )(1+ r ) = 3

4

1− r2 = 3
4

r2 = 1
4

ดังน้นั r = 1 หรอื r = − 1

22

กรณี r=1 จะได a1 = 1
2 2

( )Sn =12 1 −  1 10 
จาก = a1 1− rn จะได S10  2   =1 −  12 10 =1023
1− r  1024
1− 1
2

กรณี r = −1 จะได a1 = 3
2 2

( )จาก 3  −  − 1 10 
a1 1− rn 2 1  2   10
Sn = 1− r จะได S10 = = 1 −  − 1  = 1023
 1   2 1024
1 −  − 2 

ดังนน้ั ผลบวก 10 พจนแ รกของลาํ ดบั เรขาคณติ น้ี คือ 1023

1024

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

340 คมู ือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

42. 1) จาก 0.123 = 0.123123123
2)
3) = 0.123 + 0.000123 + 0.000000123 +

= 123 + 123 + 123 +
1,000 1,000,000 1,000,000,000

= 123 + 123 + 123 + 
103 106 109

จะไดวา 123 + 123 + 123 +  เปน อนกุ รมเรขาคณติ ทมี่ ี a1 = 123 และ r = 1
103 106 109 103 103

เน่อื งจาก =r 1 < 1 จะไดว า อนกุ รมนีเ้ ปนอนกุ รมลูเ ขา และผลบวกของอนุกรม
103

123

คอื a1 = 103 = 41
1 333
1− r 1 − 103

จะไดว า 0.123 = 41

333

จาก 0.112 = 0.11222

= 0.11+ 0.002 + 0.0002 + 0.00002 +

= 11 + 2 + 2 + 2 + 
100 1,000 10,000 100,000

จะไดวา 2 + 2 + 2 + เปนอนกุ รมเรขาคณิตทม่ี ี a1 = 1, 2 และ r= 1
1,000 10,000 100,000 000 10

เนอื่ งจาก =r 1 <1 จะไดว า อนุกรมนีเ้ ปน อนุกรมลเู ขา และผลบวกของอนกุ รม

10
2

คือ a1 = 1, 000 = 1
1− r 1− 1 450

10

จะไดวา 0.112 = 11 + 1 = 101

100 450 900

จาก 1.9 = 1.999

= 1+ 0.9 + 0.09 + 0.009 +

= 1+ 9 + 9 + 9 +
10 100 1,000

จะไดวา 9 + 9 + 9 + เปน อนุกรมเรขาคณิตที่มี a1 = 9 และ r= 1
10 100 1,000 10 10

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 341

เนอื่ งจาก =r 1 <1 จะไดว า อนุกรมนี้เปน อนุกรมลูเขา และผลบวกของอนุกรม

10

9

คอื a1 = 10 = 1

1−r 1− 1
10

จะไดว า 1.9 = 1+1 = 2
4) จาก 0.0989898 = 0.098 + 0.00098 + 0.0000098 +

= 98 + 98 + 98 + 
1,000 100,000 10,000,000

จะไดว า 98 + 98 + 98 +  เปนอนุกรมเรขาคณิตทมี่ ี a1 = 98
1,000 100,000 10,000,000 1, 000

และ r = 1

100

เนื่องจาก=r 1 <1 จะไดว า อนุกรมน้เี ปนอนุกรมลเู ขา และผลบวกของอนกุ รม

100

98

คือ a1 = 1,000 = 49
1−r 1− 1 495

100

จะไดว า 0.0989898 = 49

495

จาก43. a1 + a1r + a1r2 + a1r3 +  + a1rn−1 +  = 3
2

จะเหน็ วา a1 + a1r + a1r2 + a1r3 + + a1rn−1 + เปน อนกุ รมเรขาคณิตทม่ี ีพจนแ รก

คือ a1 อตั ราสวนรวม คือ r และมีผลบวกเปน 3
2

จะได a1 = 3

1−r 2

2a1 + 3r = 3 ----- (1)

และจาก a1 − a1r + a1r 2 − a1r3 +  + ( )−1 n−1 a1r n−1 +  =3
4

จะเห็นวา a1 − a1r + a1r2 − a1r3 + + ( )−1 n−1 a1rn−1 + เปน อนุกรมเรขาคณิตทม่ี ี

พจนแรก คอื a1 อัตราสว นรวม คือ −r และมผี ลบวก คอื 3
4

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

342 คมู ือครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

จะได a1 =3
4
1− (−r)

4a1 − 3r = 3 ----- (2)

จาก (1) และ (2) จะได a1 = 1 และ r=1
3

44. เน่อื งจากรปู สามเหล่ียมดา นเทา รูปหนง่ึ มดี า นยาวดา นละ 10 นว้ิ

จะได ครึ่งหนึ่งของดานของรปู สามเหลี่ยมดานเทายาว 1 (10) น้วิ

2

น่นั คือ ดา นของรูปสามเหล่ยี มดา นเทา รปู ที่ 2 ทเี่ กดิ จากการลากสวนของเสน ตรงเชอื่ ม

จดุ กึ่งกลางดานทั้งสามของรปู สามเหล่ยี มดานเทา รูปแรกยาว 1 (10) นิว้

2

และ คร่ึงหน่งึ ของดา นของรปู สามเหลี่ยมดา นเทา รปู ที่ 2 ยาว 2.5 =  1  1  (10 ) นิว้
 2   2

นั่นคือ ดา นของรูปสามเหลีย่ มดา นเทา รปู ที่ 3 ท่เี กดิ จากการลากสวนของเสนตรงเช่อื ม

จุดกึ่งกลางดานทั้งสามของรปู สามเหลย่ี มดานเทารปู ที่ 2 ยาว  1  1  (10) นว้ิ ดงั รปู
 2  2 

จะได ความยาวของเสน รอบรูปของรปู สี่เหล่ียมดานเทารปู ท่ี 1 เทา กับ 3(10) น้ิว

ความยาวของเสนรอบรปู ของรูปส่ีเหลีย่ มดานเทารูปท่ี 2 เทากบั 3 1  (10 ) น้ิว
2

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 343

ความยาวของเสนรอบรูปของรูปส่ีเหล่ยี มดานเทารูปท่ี 3 เทากบั 3 1   1  (10) = 3 1 2 (10 ) นวิ้
2   2  2 

ในทํานองเดียวกัน จะไดว า ความยาวของเสน รอบรูปของรูปสามเหลี่ยมดานเทา รปู ท่ี n

เทากบั 3  1 n−1 (10) นิ้ว
 2 

จะไดว า ความยาวของเสน รอบรปู ของรปู สามเหลยี่ มดานเทารูปท่ี 1, 2, 3, , n,  เทา กับ

 1   1 2  1 n −1 นว้ิ
 2   2   2 
3 (10 ) , 3 (10 ) , 3 (10) , , 3 (10) , 

ถา สรางรูปสามเหลยี่ มดา นเทาตามกระบวนการท่ีกําหนดนไ้ี ปเร่ือย ๆ ไมส้นิ สดุ

จะไดผลบวกของความยาวของเสนรอบรปู ของรปู สามเหล่ยี มดา นเทาทง้ั หมด

 1   1 2  1 n −1 นว้ิ
 2   2   2 
3(10 ) + 3 (10 ) + 3 (10) +  + 3 (10 ) + 

พิจารณาอนุกรม 3(10 ) + 3  1  (10 ) + 3  1 2 (10 ) +  + 3  1 n−1 (10 ) +  ซงึ่ เปน
 2   2   2 

อนุกรมเลขคณิตท่มี ี a1 = 3(10) และ r = 1
2

เน่ืองจาก =r 1 <1 จะไดว าอนุกรมนเ้ี ปน อนกุ รมลเู ขา

2

และผลบวกของอนุกรมนี้ คอื =a1 3=(10) 60

1− r 1− 1

2

ดงั น้ัน ถา สรา งรูปสามเหล่ียมดา นเทา ดวยกระบวนการทก่ี ําหนดไปเรอ่ื ย ๆ ไมส นิ้ สดุ ผลบวก

ของความยาวของเสน รอบรูปของรปู สามเหลี่ยมดา นเทาท้ังหมด เทา กบั 60 นวิ้

45. ในชว งเวลากลางวันของแตละวัน หอยทากจะคลานข้นึ มาได 5 เมตร และในเวลากลางคนื

หอยทากจะลืน่ ลงไปเปนระยะทางครึ่งหน่งึ ของระยะหางระหวา งตวั มนั กับกน บอ

ในวนั ท่ี 1 ชว งเวลากลางวนั หอยทากจะคลานขน้ึ มาได 5 เมตรจากกนบอนาํ้

และในเวลากลางคืนจะล่ืนลงไป 1 (5) = 5 เมตร

22

ดงั นั้น เม่อื สิน้ วนั ที่ 1 หอยทากจะอยูหา งจากกนบอ 5 − 5 = ( )5 = 5(1) = 5 21 −1 เมตร
22 21
2

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

344 คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

ในวันท่ี 2 ชว งเวลากลางวัน หอยทากจะคลานข้ึนมาได 5 เมตรจากวนั แรก ทาํ ใหอยทู ี่

ตาํ แหนง 5 + 5 =15 เมตร จากกนบอ

22

และในเวลากลางคืนจะลืน่ ลงไป 1  15  = 15 เมตร
2  2  4

ดังน้นั เมือ่ สน้ิ วนั ที่ 2 หอยทากจะอยูหางจากกน บอ 15 − 15 = 15 = 5(3) 5(22 −1) เมตร

244 22 = 22

ในวันท่ี 3 ชวงเวลากลางวนั หอยทากจะคลานขน้ึ มาได 5 เมตรจากวนั ทีส่ อง ทําใหอยูท่ี

ตาํ แหนง 15 + 5 =35 เมตร จากกนบอ

44

และในเวลากลางคนื จะลนื่ ลงไป 1  35  = 35 เมตร
2  4  8

ดังนั้น เม่อื สน้ิ วันที่ 3 หอยทากจะอยูหางจากกนบอ 35 − 35 = 35 = 5(7) 5(23 −1) เมตร
48 8
= 23
23

ในทาํ นองเดียวกนั เม่ือส้นิ วนั ที่ n หอยทากจะอยูหางจากกน บอ 5(2n −1) เมตร

2n

จะไดว า เมอื่ ส้นิ วนั ท่ี 1, 2, 3, …, n, … หอยทากจะอยูหา งจากกน บอ

( )5 , 15 , 35 , , 52n −1 , เมตร
2n
24 8

เมื่อหอยทากเคลื่อนท่ีในรูปแบบน้ีโดยไมมีที่ส้ินสุด จะไดวาหอยทากจะอยูหางจากกนบอ

5( )เทา กับ2n −1
lim 2n

n→∞

จะได ( )5 2n −1 lim 5 ⋅ 1 − 1 = lim 5 ⋅  lim 1 − lim 1 = 5(1− 0=) 5
lim = 2n  2n
n→∞ 2n n→∞ n→∞ n→∞ n→∞

จะเหน็ วา เมอื่ ส้นิ แตละวัน หอยทากตัวนีจ้ ะอยหู างจากกนบอไมเกิน 5 เมตร

แตเ นอื่ งจากบอ นํ้านล้ี ึก 10 เมตร

ดงั นน้ั หอยทากตัวน้ไี มสามารถคลานออกจากบอนาํ้ นี้ได

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 345

46. 1) จากอนุกรม (−2) + 8 + (−24) +  + n(−2)n +  จะได
2)
S1 = −2
S2 = −2 + 8 = 6

S3 = −2 + 8 − 24 = −18 ----- (1)

ให Sn แทนผลบวก n พจนแ รกของอนุกรมนี้

จะได Sn = 1(−2) + 2 ⋅(−2)2 + 3⋅(−2)3 + + n ⋅(−2)n
จาก (1) จะได

(−2) Sn = 1(−2)2 + 2 ⋅ (−2)3 + 3⋅ (−2)4 + + (n −1) ⋅ (−2)n + n( )−2 n+1 ----- (2)

จาก (1) และ (2) จะได

3Sn = (−2) + (2 −1)(−2)2 + (3 − 2)(−2)3 + + (n − (n −1))(−2)n − n ⋅ ( )−2 n+1

( )3Sn = (−2) + (−2)2 + (−2)3 + + (−2)n − n ⋅ (−2)n+1 ----- (3)

จะเห็นวา (−2) + (−2)2 + (−2)3 + + (−2)n เปน อนุกรมเรขาคณิตท่มี ี a1 = −2
และ r = −2
จาก (3) และสูตรการหาผลบวก n พจนแ รกของอนกุ รมเรขาคณติ จะได

( )(−2) 1− (−2)n
3Sn = 1− (−2) − n ⋅ ( )−2 n+1

( )3Sn −2 − n ⋅ (−2)n+1
= 3 1− (−2)n

− 2 1 − (−2)n n ⋅ (−2)n+1

9 −
=( )Sn 3

( )ดงั นั้น ลําดับของผลบวกยอยของอนุกรมน้ี คือ −2, 6, −18, , − 2 1− (−2)n − n ⋅(−2)n+1 , 
93

จากอนกุ รม 1+ 0.2 + 0.03 +  + 10  n  +  จะได
 10n 

S1 = 1

S2 = 1+ 0.2 = 1+ 2
10

S3 = 1+ 0.2 + 0.03 = 1+ 2 + 3
10 100

ให Sn แทนผลบวก n พจนแรกของอนุกรมนี้

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

346 คูม อื ครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

จะได Sn =1 + 2 +3 +  + n −1 ----- (1)
10 102 10n

จาก (1) จะได

1 Sn = 1 +2 +3 + +n ----- (2)
10 10 102 103 10n

จาก (1) และ (2) จะได

9 Sn = 1+ (2 −1) 1 + (3− 2 ) 1 ++ (n −(n )−1) 1 − n ⋅ 1
10 102 10n−1 10n
10

9 = 1+ 1 + 1 ++ 1 − n ⋅ 1 ----- (3)
10 Sn 10 102 10n−1 10n

จะเห็นวา 1 + 1 + 1 +  + 1 เปน อนุกรมเรขาคณติ ทมี่ ี a1 = 1 และ r= 1
10 102 10n−1 10

จาก (3) และสตู รการหาผลบวก n พจนแรกของอนกุ รมเรขาคณิต จะได

 −  1 n 
11  10  
9 = 1 − n ⋅ 1
10 Sn 10n
1−
10

9 Sn = 10  −  1 n  − n
10 9 1  10   10n

Sn = 100  −  1 n  − 9 n −1
81 1  10   ⋅10n

ดังนนั้ ลาํ ดับของผลบวกยอ ยของอนุกรมน้ี คอื 1, 1.2, 1.23, , 100  −  1 n  − 9 n , 
81 1  10   ⋅10n−1

3) จากอนุกรม 1+ 4 +18 +  + n ⋅ n!+  จะได

S1 = 1

S2 = 1+ 4 = 5

S3 = 1 + 4 +18 = 23

ให Sn แทนผลบวก n พจนแรกของอนุกรมนี้
จะได Sn = 1⋅1!+ 2 ⋅ 2!+ 3⋅ 3!+ + n ⋅ n!
สงั เกตวา สาํ หรับจํานวนนับ k ใด ๆ จะได

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 347

k ⋅ k! = (k +1−1) ⋅ k!

= ((k +1) −1) ⋅ k!

= (k +1)k!− k!
= (k +1)!− k!
ดังนั้น Sn = 1⋅1!+ 2 ⋅ 2!+ 3⋅ 3!+ + n ⋅ n!

= (2!−1!) + (3!− 2!) + (4!− 3!) + + (n!− (n −1)!) + ((n +1)!− n!)

= −1!+ (n +1)!
= (n +1)!−1!
น่ันคือ ลาํ ดบั ของผลบวกยอยของอนุกรมนี้ คอื 1, 5, 23, , (n +1)!−1, 
47. พนกั งานหางสรรพสนิ คาแหง หนงึ่ จดั เรียงสมสายน้ําผ้งึ ใหม ลี กั ษณะคลา ยพีระมิดฐาน
ส่ีเหล่ยี มจัตรุ ัส โดย
ในชั้นท่ี 1 (ชัน้ ลา งสุด) วางสม จาํ นวน 100 ผล
ในชน้ั ท่ี 2 วางสม จาํ นวน 81 ผล
ในช้นั ท่ี 3 วางสม จํานวน 64 ผล
และวางสม เชน น้ีตอไปเรือ่ ย ๆ จนกระทัง่ ในช้นั ที่ n (ชั้นบนสุด) ซึง่ วางสม จาํ นวน 1 ผล
จะไดวา พนักงานคนน้วี างสมในชัน้ ที่ 1, 2, 3, , n จาํ นวน 100, 81, 64, , 1 ผล
1) จาํ นวนสม ท้งั หมดท่ีวาง เทา กับ 100 + 81+ 64 + + 9 + 4 +1
พิจารณาอนุกรม 100 + 81+ 64 + + 9 + 4 +1 จะได

100 + 81+ 64 + + 9 + 4 +1 = 1+ 4 + 9 + +100
= 12 + 22 + 32 + +102

10

∑= n2
n=1
10(10 +1)(20 +1)

=
6

= 385

ดงั นั้น จะมสี ม วางอยูที่ชน้ั วางนี้ 385 ผล
2) เนอ่ื งจากในชนั้ ท่ี 5 และชัน้ ที่ 7 วางสมจํานวน 62 และ 42 ตามลําดบั

จะไดวา ถา ไมน ับสมในชั้นท่ี 5 และ 7 จะเหลอื สม (385 − 62 )+ 42 =333 ผล

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

348 คูม อื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

3) ตอ งการนาํ สม 1,015 ผล มาจดั เรยี งเปน พีระมิดฐานสเี่ หลีย่ มจตั ุรัสในลักษณะเดียวกับทก่ี ําหนด
โดยในชั้นที่ 1 (ช้นั ลางสุด) วางสมจาํ นวน n2 ผล
ในช้ันที่ 2 วางสมจาํ นวน (n −1)2 ผล
ในชั้นท่ี 3 วางสมจํานวน (n − 2)2 ผล
และวางสม เชน นต้ี อ ไปเรอ่ื ย ๆ จนกระทง่ั ในชน้ั ที่ n (ช้ันบนสดุ ) ซึง่ วางสม จาํ นวน 1 ผล
จะไดวา พนักงานคนน้ีวางสมในชัน้ ท่ี 1, 2, 3, , n จาํ นวน n2, (n −1)2 , (n − 2)2 , , 1 ผล
ดงั นนั้ จาํ นวนสมทง้ั หมดท่วี าง เทา กบั n2 + (n −1)2 + (n − 2)2 +  +1 ผล
พิจารณาอนุกรม n2 + (n −1)2 + (n − 2)2 +  +1 จะได

n2 + (n −1)2 + (n − 2)2 +  +1 = 1+ 4 + 9 +  + n2

n

∑= i2
i =1

n(n +1)(2n +1)

=

6

เนื่องจากมสี ม ท้ังหมด 1,015 ผล จะได

นั่นคอื n(n +1)(2n +1)

= 1,015

6

n = 14

ดังน้ัน จะตองวางสมในชั้นแรก 142 =196 ผล และจะวางสม ไดท ัง้ หมด 14 ชน้ั

48. ฝากเงิน 5,000 บาท ไดรบั อตั ราดอกเบ้ียรอยละ 1.5 ตอป โดยคิดดอกเบ้ยี แบบทบตนทุก 3 เดือน

ในทนี่ ี้ไมม ีการฝากและถอนในระหวา ง 3 ป

ให =P 5000=, k 4=, n 3 และ i =1.5 จะไดวา =r =i 1=.5 0.015

100 100

จากทฤษฎบี ท 10 จะไดวา จํานวนเงินในบญั ชีเมอื่ ฝากเงินครบ 3 ป คอื 5, 000 1 + 0.015 4(3) บาท
4 

หรอื ประมาณ 5,229.70 บาท

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 349

49. ฝากเงนิ 18,600 บาท ไดรบั อัตราดอกเบ้ียรอยละ 4 ตอป โดยคดิ ดอกเบี้ยแบบทบตนทุก 6 เดือน
ในทีน่ ไี้ มมกี ารฝากและถอนในระหวาง 15 ป

ให =P 18600=, k 2=, n 15 และ i = 4 จะไดว า=r =i =4 0.04

100 100

จากทฤษฎีบท 10 จะไดวา จํานวนเงินในบญั ชีเมื่อฝากเงนิ ครบ 15 ป คือ 18, 600 1 + 0.04 2(15) บาท
2 

หรอื ประมาณ 33,691.33 บาท

50. แมของสทุ ัศนตองการฝากเงนิ ในธนาคาร 10,000,000 บาท เปนเวลา 10 ป โดยไมม ีการ

ฝากถอนในระหวาง 10 ปน ้ี

พิจารณา ธนาคาร A ซึง่ กําหนดอัตราดอกเบีย้ 12% ตอ ป โดยคดิ ดอกเบย้ี ทบตน ทุกส้ินเดือน

ให= P 1000000=0, k 1=2, n 10 และ i =12 จะไดว า=r =i 1=2 0.12

100 100

จากทฤษฎีบท 10 จะไดว า เม่อื แมข องสทุ ัศนเลือกฝากเงินในธนาคาร A ครบ 10 ป จะได

เงนิ รวม 10, 000, 000 1 + 0.12 12(10) บาท หรอื ประมาณ 33,003,868.95 บาท
12 

พิจารณา ธนาคาร B ซงึ่ กาํ หนดอตั ราดอกเบี้ย 12.5% ตอ ป โดยคดิ ดอกเบ้ียแบบทบตนทุกส้ินป

=ให P 1=0000000, n 10 และ i = 12.5 จะไดวา =r =i 12=.5 0.125

100 100

จากทฤษฎีบท 9 จะไดว า เม่ือแมข องสทุ ัศนเลอื กฝากเงินในธนาคาร B ครบ 10 ป จะได

เงนิ รวม 10,000,000(1+ 0.125)10 บาท หรอื ประมาณ 32,473,210.25 บาท
ดังน้ัน แมของสทุ ศั นค วรเลอื กฝากเงินกับธนาคาร A จงึ จะไดเงินรวมมากที่สุด และไดเงินรวม
เมือ่ ส้ินปท ่ี 10 ประมาณ 33,003,868.95 บาท
51. เอกฝากเงิน 100,000 บาท โดยธนาคารคดิ ดอกเบยี้ แบบทบตนทกุ 6 เดือน
และอัตราดอกเบ้ยี คงที่ตลอดระยะเวลาท่ีฝากเงิน
เมอื่ ฝากเงนิ ครบ 10 ป เขาพบวา มีเงนิ ในบัญชีประมาณ 148,595 บาท
ให= P 100000=, k 2=, n 10 และมีเงินรวม 148,595 บาท

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

350 คูมือครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

จากทฤษฎีบท 10 จะไดว า

148,595 = 100, 000 1 + r 2(10)
2 

1.48595 = 1 + r 20
2 

นั่นคอื 1 + r = 20 1.48595
2

( )r = 2 20 1.48595 −1

r ≈ 0.04

ดงั นั้น ธนาคารแหงน้ีกาํ หนดอตั ราดอกเบ้ียประมาณ 4% ตอป
52. ตนตระการกเู งินจากวิทวัสจํานวน 200,000 บาท โดยมกี ําหนดชําระหน้ีท้งั หมดในอกี 2 ป

ขา งหนา เปน เงิน 300,000 บาท และดอกเบีย้ ทีว่ ทิ วัสเรยี กเก็บคิดดอกเบ้ียแบบทบตน ทุกป
=ให P 1=00000, n 2 และมเี งินรวม 300,000 บาท

จากทฤษฎบี ท 9 จะไดวา

300,000 = 200,000(1+ r )2

นน่ั คอื 1.5 = (1+ r )2

r = 1.5 −1

r ≈ 0.2247

ดงั นั้น ดอกเบ้ยี ท่วี ทิ วสั เรียกเก็บสามารถคิดเปนอัตราดอกเบ้ียรอยละ 0.2247×100 =22.47 ตอ ป
ซ่ึงอัตราดอกเบย้ี ดังกลาวไมเปนไปตามท่ีกฎหมายกําหนด
53. แตละเดือนบรษิ ัทตอ งจา ยเงนิ ชดเชยรายไดร วมเปน เงนิ 23,000 + 37,000 =60,000 บาท
เปนเวลา 3 ป
บริษัทแหงน้นี ําเงินที่จะใชใ นการจายเงินชดเชยรายไดไปฝากธนาคาร ซ่ึงกําหนดอัตราดอกเบยี้

5% ตอ ป โดยคิดดอกเบย้ี แบบทบตนทกุ เดอื น (หรืออตั ราดอกเบ้ยี ตอเดือน คือ 5 % )

12
5

จะไดว า =r 1=2 1

100 240

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 351

เขยี นแผนภาพแสดงมลู คาปจ จบุ ันของเงนิ ทบ่ี รษิ ัทนําไปฝากธนาคารเปน เวลา 36 เดอื น
(3 ป) ไดดังนี้

จากแผนภาพจะไดว า

มลู คาปจ จบุ ันของเงินชดเชยรายไดทต่ี องจายในเดอื นแรก คือ

60, 000 1 + 1 −1 =60, 000  240  บาท
240  241 

มูลคาปจ จบุ ันของเงนิ ชดเชยรายไดท ตี่ องจายในเดอื นที่ 2 คอื

60, 000 1 + 1 −2 =60, 000  240 2 บาท
240  241 

มลู คาปจจบุ นั ของเงนิ ชดเชยรายไดทต่ี องจา ยในเดอื นที่ 3 คอื

60, 000 1 + 1 −3 =60, 000  240 3 บาท
240  241 


มูลคา ปจ จบุ นั ของเงินชดเชยรายไดท่ีตองจา ยในเดอื นที่ 36 คือ

60, 000 1 + 1 −36 =60,000 224401 36 บาท
240  

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

352 คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

น่นั คอื เม่ือครบ 3 ป ยอดเงนิ รวมของเงินชดเชยรายไดท่ีตองจา ย เทากับ

60, 000  240  + 60, 000  240 2 + 60, 000  240 3 +  + 60, 000  240 36 บาท
 241   241   241   241 

ซ่ึงเปน อนุกรมเรขาคณิตทม่ี ี a1 = 60, 000  240  และ r= 240
241  241

จะได ยอดเงินรวมของเงินชดเชยรายไดท่ตี องจา ย เทา กบั

60, 000  240   −  240 36 
 241  1  241  
≈ 2,001,942.08 บาท
1− 240
241

ดงั น้ัน นายจางตอ งนําเงินไปฝากอยา งนอย 2,001,924.08 บาท

54. วชิ ยั ตอ งการฝากเงินกบั ธนาคารแหง หนึ่งซงึ่ กําหนดอัตราดอกเบย้ี 5% ตอป โดยคดิ ดอกเบีย้

แบบทบตน ทกุ ป และวิชยั ตองการใหมีเงนิ ในบัญชีประมาณ 250,000 บาท ในเวลา 10 ป

โดยไมมกี ารฝากถอนในระหวาง 10 ปน ้ี

ให=S 250000,=k 1,=n 10 และ i = 5 นัน่ คอื =r =5 0.05

100

จะได P = 250, 000 1 + 0.05 −1(10) ≈ 153, 478.31
1 

ดังน้ัน วิชยั ตอ งฝากเงนิ ตน ไวอ ยา งนอย 153,479 บาท

55. ธรี ะฝากเงินไวกบั ธนาคารแหงหนึ่ง เมอื่ เวลาผานไป 10 ป โดยไมม ีการฝากถอนในระหวาง 10 ปน ้ี

พบวา มเี งนิ ในบญั ชี 122,079.42 บาท โดยธนาคารกาํ หนดอัตราดอกเบย้ี 2% ตอ ป

และคดิ ดอกเบ้ียแบบทบตนทุก 3 เดือน

ให= S 122079.42=, k 4=, n 10 และ i = 2 น่ันคอื =r =2 0.02

100

จะได P= 122, 079.42 1 + 0.02 −4(10) ≈ 100,000
4 

ดงั นัน้ เงินตนท่ธี รี ะฝากไวเ มือ่ 10 ปก อน ประมาณ 100,000 บาท

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 353

56. หมากฝากเงนิ กับธนาคารแหง หนง่ึ เดือนละ 2,000 บาท ทุกสิ้นเดือน
และธนาคารกาํ หนดอัตราดอกเบ้ยี รอยละ 3 ตอป โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบตน ทกุ เดือน
น่ันคือ ธนาคารคดิ ดอกเบย้ี แบบทบตนรอยละ 3 = 1 ตอเดอื น

12 4
1

จะไดวา =r =4 0.0025

100

เขียนแผนภาพแสดงการฝากเงินและมูลคา ของเงินเม่ือส้ินเดือนท่ี 24 ไดดังน้ี

จากแผนภาพจะไดวา เม่ือส้ินงวดท่ี 24
เงนิ ฝากเม่ือสิน้ เดอื นที่ 1 จํานวน 2,000 บาท จะมีมูลคา 2,000(1.0025)23 บาท
เงินฝากเมื่อสน้ิ เดือนท่ี 2 จํานวน 2,000 บาท จะมมี ูลคา 2,000(1.0025)22 บาท
เงนิ ฝากเมื่อสิน้ เดือนที่ 3 จาํ นวน 2,000 บาท จะมมี ูลคา 2,000(1.0025)21 บาท



เงนิ ฝากเมื่อสน้ิ เดือนท่ี 23 จาํ นวน 2,000 บาท จะมมี ลู คา 2,000(1.0025) บาท
เงนิ ฝากเม่ือสน้ิ เดอื นท่ี 24 จํานวน 2,000 บาท จะมีมลู คา 2,000 บาท
น่นั คอื เม่ือสน้ิ เดอื นที่ 24 หมากจะไดเงินรวม
2,000(1.0025)23 + 2,000(1.0025)22 + 2,000(1.0025)21 +  + 2,000 บาท
หรือ 2,000 + 2,000(1.0025) + 2,000(1.0025)2 +  + 2,000(1.0025)23 บาท
ซ่ึงเปนอนุกรมเรขาคณิตท่มี ี 24 พจน พจนแ รก คือ 2,000 และอตั ราสว นรวม คือ 1.0025

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

354 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

( )จะไดผ ลบวก 24 พจนแ รกของอนุกรมน้ี คอื 2,000 (1.0025)24 −1 หรือประมาณ 49,405.64 บาท
1.0025 −1

ดังนนั้ เมื่อส้นิ เดือนท่ี 24 หมากจะมเี งนิ รวมประมาณ 49,405.64 บาท
57. มะปรางมีรายรบั เดอื นละ 20,000 บาท และตองการออมเงนิ ทกุ ส้นิ เดอื น เดอื นละ 10%

ของรายรับ น่ันคอื มะปรางออมเงนิ ทุกสิ้นเดือน เดอื นละ 10 (20,000) = 2,000 บาท

100

มะปรางฝากเงินเขา บญั ชธี นาคารท่กี ําหนดอตั ราดอกเบ้ีย 12% ตอ ป และคดิ ดอกเบ้ยี แบบ
ทบตนทุกเดอื น นนั่ คอื ธนาคารกาํ หนดอตั ราดอกเบีย้ 12 =1% ตอเดอื น

12

จะไดวา =r =1 0.01

100

เขยี นแผนภาพแสดงการฝากเงินและมูลคาของเงนิ เม่ือส้ินเดือนที่ 24 (ครบ 2 ป) ไดดังน้ี

จากแผนภาพจะไดวาเมื่อสิ้นงวดที่ 24
เงินฝากเม่ือสิน้ เดือนที่ 1 จํานวน 2,000 บาท จะมมี ูลคา 2,000(1.01)23 บาท
เงินฝากเม่ือส้ินเดือนท่ี 2 จํานวน 2,000 บาท จะมีมูลคา 2,000(1.01)22 บาท
เงินฝากเม่ือสิน้ เดอื นท่ี 3 จํานวน 2,000 บาท จะมมี ลู คา 2,000(1.01)21 บาท



เงินฝากเมื่อส้ินเดอื นที่ 23 จาํ นวน 2,000 บาท จะมีมูลคา 2,000(1.01) บาท
เงินฝากเมื่อสิ้นเดอื นท่ี 24 (ครบ 2 ป) จาํ นวน 2,000 บาท จะมมี ูลคา 2,000 บาท

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 355

นน่ั คือ เมื่อเวลาผา นไป 2 ป มะปรางจะไดเ งินออมทั้งหมด

2,000(1.01)23 + 2,000(1.01)22 + 2,000(1.01)21 +  + 2,000 บาท

หรือ 2,000 + 2,000(1.01) + 2,000(1.01)2 +  + 2,000(1.01)23 บาท
ซึ่งเปน อนุกรมเรขาคณิตท่ีมี 24 พจน พจนแ รก คือ 2,000 และอตั ราสว นรวม คือ 1.01

( )จะไดผ ลบวก 24 พจนแ รกของอนุกรมน้ี คือ 2,000 (1.01)24 −1 หรือประมาณ 53,946.93 บาท
1.01 − 1

ดงั นั้น เมือ่ เวลาผานไป 2 ป มะปรางจะมีเงนิ ออมทงั้ หมดประมาณ 53,946.93 บาท

58. ในวันที่ 1 มิถนุ ายน 2561 สม ซาฝากเงนิ 100,000 บาท เขา บัญชเี งนิ ฝากออมทรพั ยท่ีให

อัตราดอกเบีย้ รอยละ 1.2 ตอป โดยคดิ ดอกเบี้ยแบบทบตนทุกเดือน

นั่นคอื ธนาคารใหอ ตั ราดอกเบย้ี รอ ยละ 1.2 = 0.1% ตอเดือน

12

ถาไมมีการฝากถอนในระยะเวลา 1 ป จากทฤษฎีบท 10 จะไดว า เมอ่ื ครบ 1 ป สม ซา จะมเี งนิ

ในบญั ชที ั้งหมด 100, 000 1 + 0.1 12(1) บาท หรอื ประมาณ 101,206.62 บาท
100 

จาก สม ซา โอนเงินใหน อ งสาวทกุ วันที่ 1 ของเดือน ตัง้ แตเดือนมิถุนายน 2561 โดย

ไมเ สยี คา ธรรมเนยี มในการโอน

จะไดวา เมื่อตนเดือนที่ 1 (มิถุนายน) สม ซาถอนเงนิ ไป 5,000 บาท ทาํ ใหเมื่อครบ 1 ป

เงินในบัญชีของสมซาจะลดลง 5,000(1.001)12 บาท
เมื่อตนเดือนท่ี 2 สมซาถอนเงินไป 5,000 บาท ทําใหเมื่อครบ 1 ป เงนิ ในบัญชีของสม ซาจะ

ลดลง 5,000(1.001)11 บาท
เม่ือตนเดือนที่ 3 สมซาถอนเงินไป 5,000 บาท ทําใหเมื่อครบ 1 ป เงนิ ในบัญชีของสมซาจะ

ลดลง 5,000(1.001)10 บาท
ในทาํ นองเดยี วกัน จะไดวา เม่ือตน เดือนท่ี 12 สม ซาถอนเงินไป 5,000 บาท ทาํ ใหเ ม่ือครบ

1 ป เงนิ ในบัญชขี องสม ซา จะลดลง 5,000(1.001) บาท
ดังนน้ั เมื่อครบ 1 ป เงนิ ในบญั ชขี องสมซาจะลดลงทั้งหมด

5,000(1.001)12 + 5,000(1.001)11 + 5,000(1.001)10 +  + 5,000(1.001)

หรอื 5,000(1.001) + 5,000(1.001)2 + 5,000(1.001)3 +  + 5,000(1.001)12 ซงึ่ เปน

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

356 คมู อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

อนกุ รมเรขาคณิตที่มี 12 พจน พจนแรก คือ 5,000(1.001) และอตั ราสว นรวม คอื 1.001

นั่นคอื เม่ือครบ 1 ป เงินในบัญชีของสม ซาจะลดลงท้ังหมด ( )(5,000(1.001)) 1.00112 −1 บาท
1.001 − 1

หรอื ประมาณ 60,391.43 บาท
ดงั นัน้ เม่ือครบ 1 ป สมซา จะมีเงนิ เหลือในบัญชีประมาณ 101,206.62 – 60,391.43 = 40,815.19 บาท
เน่อื งจาก เมอื่ ครบ 1 ป หากไมน าํ ดอกเบยี้ จากธนาคารมาคํานวณ สมซาจะเหลือเงนิ

100,000 −12(5,000) =40,000
จะไดวา เมอื่ ครบ 1 ป สม ซาจะไดรบั ดอกเบ้ยี จากบญั ชีเงินฝากนีป้ ระมาณ

40,815.19 – 40,000 = 815.19 บาท
59. ยอดรักผอ นตูเ ย็นราคา 30,000 บาท ดวยยอดชาํ ระเทากันทกุ เดือน เดอื นละ R บาท

เปน เวลา 6 เดือน โดยผอ นชําระทกุ ส้ินเดือน อัตราดอกเบ้ีย 18% ตอ ป โดยคดิ ดอกเบ้ยี แบบ

18

ทบตน ทกุ เดอื น (หรอื อตั ราดอกเบี้ยตอ งวด คือ 18 % ) จะไดว า =r 1=2 203

12 100 200

เขียนแผนภาพแสดงการผอนตเู ย็นของยอดรักเปนเวลา 6 เดือน ไดด ังนี้

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 357

จากแผนภาพจะไดวา

มูลคา ปจ จบุ ันของเงินผอ นงวดที่ 1 คอื R 1+ 3 −1 =R  220003  บาท
200 

มูลคาปจจุบันของเงินผอ นงวดท่ี 2 คอื R 1+ 3 −2 =R  220003 2 บาท
200 

มูลคาปจจุบันของเงินผอนงวดที่ 3 คือ R 1+ 3 −3 =R  220003 3 บาท
200 



มลู คาปจ จุบนั ของเงินผอ นงวดท่ี 6 คือ R 1+ 3 −6 =R  220003 6 บาท
200 

น่ันคอื เม่ือครบ 6 เดอื น ยอดเงินรวมที่ยอดรกั จา ยเพ่อื ผอ นตูเย็น เทา กบั

R  200  + R  200 2 + R  200 3 +  + R  200 6 บาท
 203   203   203   203 

ซ่งึ เปน อนกุ รมเรขาคณิตท่ีมี 6 พจน พจนแรก คือ R  200  และอัตราสวนรวม คือ 200
 203  203

R  200   −  200 6 
 203  1  203  
จะไดผ ลบวก 6 พจนแรกของอนกุ รมน้ี คือ บาท
1− 200
203

เน่อื งจาก ยอดรกั ผอนตเู ยน็ ราคา 30,000 บาท

R  200   −  200 6 
 203  1  203  
จะได 30,000 =
1− 200
203

นน่ั คอื 30, 000 1 − 200 
203 
R= ≈ 5,265.76
 6 
 200  1 −  200  
 203   203

ดงั นัน้ ยอดรักจะตองผอนชาํ ระเดือนละประมาณ 5,265.76 บาท

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

358 คมู ือครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

60. อนงคซอ้ื รถยนตราคา 600,000 บาท โดยตกลงจายเงินดาวน 15% ของราคารถยนต
นั่นคอื อนงคจ า ยเงนิ ดาวน 15 (600,000) = 90,000 บาท

100

และผอนชาํ ระสว นที่เหลือเปน จาํ นวนเงนิ เทากันทุกเดือน เปนเวลา 4 ป โดยผอ นชาํ ระทุก
สนิ้ เดอื น เดอื นละ R บาท
อัตราดอกเบ้ยี 6% ตอป (หรืออตั ราดอกเบย้ี ตอ งวด คอื 6 % )

12
6

จะไดวา=r 1=2 1

100 200

เขยี นแผนภาพแสดงการจายเงนิ ผอ นรถยนตข องใบเตยเปนเวลา 4 ป (48 งวด) ไดด ังน้ี

จากแผนภาพจะไดว า

มูลคาปจจบุ นั ของเงินผอ นงวดที่ 1 คือ R 1 + 1 −1 =R  220001  บาท
200 

มูลคา ปจ จบุ นั ของเงินผอ นงวดท่ี 2 คอื R 1+ 1 −2 =R  220001 2 บาท
200 

มลู คา ปจจุบันของเงนิ ผอนงวดท่ี 3 คือ R 1+ 1 −3 =R  220001 3 บาท
200 



สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 359

มูลคาปจจุบันของเงนิ ผอ นงวดที่ 48 คือ R 1+ 1 −48 =R  220001 48 บาท
200 

นัน่ คือ เมอ่ื ครบ 4 ป (48 เดือน) ยอดเงนิ รวมท่อี นงคจา ยเพ่อื ผอ นรถยนต เทากับ

R  200  + R  200 2 + R  200 3 +  + R  200 48 บาท
 201   201   201   201 

ซ่ึงเปนอนกุ รมเรขาคณติ ท่ีมี 48 พจน พจนแ รก คือ R  200  และอตั ราสวนรว ม คือ 200
 201  201

R  200   −  200 48 
 201  1  201  
จะไดผลบวก 6 พจนแ รกของอนกุ รมน้ี คอื บาท
1 − 200
201

เน่ืองจากอนงคเ หลอื เงินท่ีตอ งชําระอีก 600,000 – 90,000 = 510,000 บาท

R  200   −  200 48 
 201  1  201  
จะได 510,000 =
1 − 200
201

นั่นคอื R= 510,0001 − 200  ≈ 11,977.36
201 

 200   −  200 48 
 201  1  201  

ดังนน้ั อนงคจ ะตอ งผอนชําระเดอื นละประมาณ 11,977.36 บาท

และเสียดอกเบย้ี ทัง้ หมด 48(11,977.36) − 51,000 =64,913.28 บาท

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

360 คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

บทท่ี 2 แคลคลู ัสเบื้องตน

แบบฝกหัด 2.1ก

1. 1) แสดงคาของ f (x) = x −2 เม่ือ x เปน คา ตามทก่ี ําหนด
x−4

x f (x) x f (x)

3.9 0.251582 4.1 0.248457
3.99 0.250156 4.01 0.249844
3.999 0.250016 4.001 0.249984

จากตารางจะเห็นวา f (x) เขา ใกล 0.25 เมื่อ x เขา ใกล 4 ท้ังทางดานซายและขวาของ 4

ดังนั้น lim x − 2 = 0.25

x→4 x − 4

2) แสดงคาของ f ( x) = x−2 6 เมอ่ื x เปน คา ตามท่กี าํ หนด
x2 + x −

x f (x) x f (x)

1.9 0.204082 2.1 0.196078
1.99 0.200401 2.01 0.199601
1.999 0.200401 2.001 0.199601

จากตารางจะเห็นวา f (x) เขาใกล 0.2 เม่ือ x เขาใกล 2 ทั้งทางดา นซา ยและขวาของ 2

ดังนนั้ lim x2 x−2 6 = 0.2
+x−
x→2

3) แสดงคา ของ f ( x ) = 3x −3 เม่อื x เปน คา ตามทกี่ ําหนด
x3 −1

x f (x) x f (x)

0.9 1.107011 1.1 0.906344
0.99 1.010067 1.01 0.990066
0.999 1.001001 1.001 0.999001

จากตารางจะเห็นวา f (x) เขาใกล 1 เมื่อ x เขา ใกล 1 ทงั้ ทางดานซา ยและขวาของ 1

ดงั นัน้ lim 3x −3 =1
x3 −1
x→1

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 361

4) แสดงคาของ f (x) = ex −1 เมอ่ื x เปนคา ตามท่ีกาํ หนด

x

x f (x) x f (x)

−0.1 0.951626 0.1 1.051709
−0.01 0.995017 0.01 1.005017
−0.001 0.999500 0.001 1.000500

จากตารางจะเหน็ วา f (x) เขา ใกล 1 เม่ือ x เขา ใกล 0 ท้งั ทางดานซา ยและขวาของ 0

ดังน้นั lim ex −1 =1

x→0 x

5) แสดงคาของ f (x) = sin x เมือ่ x เปนคา ตามท่กี ําหนด

x

x f (x) x f (x)

−1 0.841471 1 0.841471
−0.5 0.958851 0.5 0.958851
−0.1 0.998334 0.1 0.998334
−0.05 0.999583 0.05 0.999583
−0.01 0.999983 0.01 0.999983

จากตารางจะเห็นวา f (x) เขาใกล 1 เม่อื x เขา ใกล 0 ทง้ั ทางดา นซา ยและขวาของ 0

ดงั นน้ั lim sin x =1

x→0 x

6) แสดงคาของ f (x) = xln x เมือ่ x เปน คา ตามท่ีกําหนด

x f (x)

0.1 −0.230259
0.01 −0.046052
0.001 −0.006908
0.0001 −0.000921
0.00001 −0.000115

จากตารางจะเห็นวา f (x) เขา ใกล 0 เม่ือ x เขา ใกล 0 ทางดา นขวาของ 0

ดงั นนั้ lim xln x = 0
x→0+

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

362 คมู ือครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

7) แสดงคา ของ f ( x) = | x| เม่อื x เปนคาตามท่ีกําหนด
x2 +x

x f (x) x f (x)

−0.1 −1.111111 0.1 0.909091
−0.01 −1.010101 0.01 0.990099
−0.001 −1.001001 0.001 0.999001

จากตารางจะเห็นวา f (x) เขา ใกล −1 เมื่อ x เขาใกล 0 ทางดา นซายและ f (x)
เขาใกล 1 เม่ือ x เขาใกล 0 ทางดานขวา

ดังน้นั lim |x| ไมมีคา
x2 + x
x→0

2. 1) f (1) = 2

2) เม่ือ x →1− หมายถึง x เขา ใกล 1 ทางดานซา ย (x <1) จะไดว าคา ของ f (x)

เขาใกล 2 ดงั นนั้ lim f ( x) = 2
x→1−

3) เม่ือ x →1+ หมายถงึ x เขาใกล 1 ทางดานขวา (x >1) จะไดว าคาของ f (x)

เขา ใกล 3 ดงั นนั้ lim f ( x) = 3
x→1+

4) เนอื่ งจาก lim f ( x) ≠ lim f ( x)
x→1− x→1+

ดังนน้ั lim f (x) ไมม ีคา
x→1

5) จาก f (x) ไมนยิ ามที่ x = 5 ดังน้นั f (5) ไมม ีคา

6) เม่ือ x → 5+ หมายถึง x เขา ใกล 5 ทางดานขวา (x > 5) จะไดว าคาของ f (x)

เขาใกล 4 ดังน้ัน lim f ( x) = 4
x→5+

7) เมื่อ x → 5− หมายถึง x เขาใกล 5 ทางดานซา ย (x < 5) จะไดว าคา ของ f (x)

เขาใกล 4 ดังนน้ั lim f ( x) = 4
x→5−

8) เน่ืองจาก l=im f ( x) l=im f ( x) 4
x→5− x→5+

ดังนัน้ lim f ( x) = 4
x→5

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 363

3. 1) f (0) = 3

2) เม่ือ x เขา ใกล 0 ทั้งทางดา นซา ย (x < 0) และขวา (x > 0)

จะไดว า คา ของ f (x) เขาใกล 3

ดังน้นั lim f ( x) = 3
x→0

3) f (3) = 3

4) เมื่อ x เขาใกล 3 ทางดา นซา ย (x < 3) จะไดว าคาของ f (x) เขา ใกล 4

ดังนั้น lim f ( x) = 4
x→3−

5) เมื่อ x เขา ใกล 3 ทางดานขวา (x > 3) จะไดวา คาของ f (x) เขาใกล 2

ดงั นน้ั lim f ( x) = 2
x→3+

6) เน่อื งจาก lim f ( x) ≠ lim f ( x)
x→3− x→3+

ดงั นน้ั lim f (x) ไมม ีคา
x→3

4. 1) g (0) = −1

2) เมื่อ x เขา ใกล 0 ทางดา นซา ย (x < 0) จะไดวาคา ของ g (x) เขา ใกล −1

ดงั นั้น lim g ( x) = −1
x→0−

3) เม่ือ x เขา ใกล 0 ทางดานขวา (x > 0) จะไดว า คาของ g (x) เขา ใกล −2

ดงั น้ัน lim g ( x) = −2
x→0+

4) เนื่องจาก lim g ( x) ≠ lim g ( x)
x→0− x→0+

ดังนั้น lim g (x) ไมมีคา
x→0

5) g (2) =1

6) เม่ือ x เขา ใกล 2 ทางดานซาย (x < 2) จะไดวาคาของ g (x) เขาใกล 2

ดงั นั้น lim g ( x) = 2
x→2−

7) เม่ือ x เขา ใกล 2 ทางดา นขวา (x > 2) จะไดวาคา ของ g (x) เขา ใกล 0

ดังนั้น lim g ( x) = 0
x→2+

8) เนอื่ งจาก lim g ( x) ≠ lim g ( x)
x→2− x→2+

ดงั นั้น lim g (x) ไมม ีคา
x→2

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

364 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

9) เม่ือ x เขาใกล 4 ทั้งทางดา นซา ย (x < 4) และขวา (x > 4)

จะไดว า คาของ g (x) เขาใกล 3

ดังนั้น lim g ( x) = 3
x→4

5. 1) f (1) = 0

2) เม่ือ x เขา ใกล 1 ทางดา นซา ย (x <1) จะไดวาคา ของ f (x) เขา ใกล −1

ดงั นั้น lim f ( x) = −1
x→1−

3) เมื่อ x เขา ใกล 1 ทางดา นขวา (x >1) จะไดว า คาของ f (x) เขา ใกล 0

ดงั นน้ั lim f ( x) = 0
x→1+

4) เนื่องจาก lim f ( x) ≠ lim f ( x)
x→1− x→1+

ดังนั้น lim f (x) ไมมีคา
x→1

6. 1) เมื่อ x เขา ใกล 2 ทางดานซาย (x < 2) จะไดวา คา ของ f (x) เขา ใกล 2

ดังนน้ั lim f ( x) = 2
x→2−

2) เม่ือ x เขาใกล 2 ทางดานขวา (x > 2) จะไดว าคา ของ f (x) เขาใกล −2

ดงั นน้ั lim f ( x) = −2
x→2+

3) เน่อื งจาก lim f ( x) ≠ lim f ( x)
x→2− x→2+

ดงั นน้ั lim f (x) ไมม ีคา
x→2

4) เม่ือ x เขา ใกล −2 ทางดา นซา ย (x < −2) จะไดว า คาของ f (x) เขาใกล 0

ดังน้ัน lim f ( x) = 0
x→−2−

5) เมื่อ x เขาใกล −2 ทางดานขวา (x > −2) จะไดวาคาของ f (x) เขาใกล 0

ดงั นน้ั lim f ( x) = 0
x→−2+

6) เน่อื งจาก l=im f ( x) l=im f ( x) 0
x→−2− x→−2+

ดังนน้ั lim f ( x) = 0
x→−2

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 365

7. 1) เขยี นกราฟของฟง กชัน f (x)= 1+ x ไดดังรปู

จากกราฟ เม่ือ x เขา ใกล 4 ทางดานซาย (x < 4) จะไดว าคาของ f (x) เขา ใกล 5

ดงั นนั้ lim (1+ x) =5
x→4−

2) เขยี นกราฟของฟง กชัน f ( x) =  2 1 ,x > 2 ไดดังรปู
 x + ,x≤2

จากกราฟ จะได lim f ( x) = 3 และ lim f ( x) = 2
x→2− x→2+

แต lim f ( x) ≠ lim f ( x)
x→2− x→2+

ดงั นั้น lim f (x) ไมม คี า
x→2

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

366 คมู อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

แบบฝกหัด 2.1ข

( ) ( )1. 1) lim 3x2 + 7x −12 = lim 3x2 + lim(7x) − lim12
x→0 x→0 x→0 x→0

= 3lim x2 + 7 lim x −12
x→0 x→0

= 3(0)2 + 7(0) −12

= −12

( )2) lim x5 − 2x ( )= lim x5 − lim (2x)
x→−1 x→−1 x→−1

( )= lim x5 − 2 lim x
x→−1 x→−1

= (−1)5 − 2(−1)

=1

3) lim x5 ( x − 2) ( )( )= lim x5 lim( x − 2)
x→5 x→5 x→5

= (55 )(5 − 2)

= 9,375

( )( )( ) ( )4) lim ( x + 3) x2 + 2 = lim ( x + 3) lim x2 + 2
x→−1 x→−1 x→−1

( )= (−1+ 3) (−1)2 + 2

=6

5) เนอื่ งจาก lim( 2x − 5) =2(3) − 5 =1 ≠ 0
x→3

จะได lim x +1 lim( x +1)
x→3
x→3 2x − 5 =
lim(2x − 5)
x→3

= 3+1
1

=4

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 367

6) เนือ่ งจาก lim (x + 5) =0 จึงไมส ามารถใชท ฤษฎบี ท 2 ขอ 5 ไดโ ดยตรง
x→−5
จัดรปู ฟงกชันใหม ดังนี้

x2 − 25 ( x − 5)( x + 5)
x+5 =
x+5

= x − 5 เม่ือ x ≠ −5

ดังนนั้ lim x2 − 25 =lim ( x − 5) =−5 − 5 =−10

x→−5 x + 5 x→−5

7) เนือ่ งจาก lim( x2 − )x − 2 =(1)2 −1− 2 =−2 ≠ 0
x→1

x +1 lim( x +1)

x→1

lim x2 − x − 2
( )จะได lim x2 − x − 2 =

x→1

x→1

= 1+1
−2

= −1

8) เน่อื งจาก lim( x2 )+ 4x + 3 = (1)2 + 4(1) + 3 = 8 ≠ 0
x→1

จะได lim x2 − x − 2 = ( )lim x2 − x − 2
x2 + 4x + 3
x→1 x→1

( )lim x2 + 4x + 3

x→1

12 −1 − 2
=

8

= −1
4

9) เนอ่ื งจาก lim(1− x) =0 จงึ ไมสามารถใชท ฤษฎีบท 2 ขอ 5 ไดโดยตรง
x→1

จัดรูปฟง กช ันใหม ดงั นี้

( )( )1− x = 1− x

1− x 1− x 1+ x

ดังนน้ั 1 เมอื่ x ≠ 1 1= =1 1
= lim1+ lim x 1+ 1 2
lim 1
1+ x x→1 x→1
lim 1=− x lim =1 ( )x→1=
x→1 1 − x x→1 1 + x
lim 1+ x

x→1

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

368 คูมือครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

10) เนือ่ งจาก lim(9 − x) =0 จงึ ไมส ามารถใชท ฤษฎีบท 2 ขอ 5 ไดโดยตรง
x→9
จัดรปู ฟงกชันใหม ดังนี้

( )( )3− x = 3− x

9−x 3− x 3+ x

=1 เมอื่ x ≠ 9
3+ x

lim 3=− x lim =1 lim 1 1= =1 1
x→9 9 − x x→9 3 + x x→9= lim3 + lim x 3+ 9 6
lim 3 + x
( )ดงั นัน้
x→9 x→9 x→9

11) เน่อื งจาก lim(x −1) =0 จึงไมสามารถใชท ฤษฎีบท 2 ขอ 5 ไดโ ดยตรง
x→1

จดั รูปฟงกช นั ใหม ดังน้ี

2− x+3 = 2− x+3⋅2+ x+3
x −1 x −1 2+ x+3

4 − ( x + 3)

( )=

( x −1) 2 + x + 3

=− 1 เมอ่ื x ≠ 1
2+ x+3

ดังนั้น lim 2 − x + 3= lim  − 2 + 1
x→1 x −1  x + 3 
x→1

( )lim(−1) =−1 =− 1 =− 1
x +3 2+ 1+3 4
=x→1
lim 2 + x + 3 lim 2 + lim
x→1 x→1 x→1

( )12) lim 3 x2 −1 2 ( )= 3 lim x2 −1 2
x→0 x→0

( )( ) 2

= 3 lim x2 −1
x→0

( )= 3 02 −1 2

=1

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 369

2. 1) เนอ่ื งจาก x + 4 = −( x + 4) เม่อื x < − 4

จะได lim x + 4 = lim − ( x + 4) = 0
x→− 4− x→ − 4−

เน่ืองจาก x + 4 = x + 4 เม่ือ x > −4

จะได lim x + 4 = lim ( x + 4) = 0
x→− 4+ x→− 4+

จะไดว า lim x + 4 =0 = lim x + 4
x→− 4− x→− 4+

ดังนน้ั lim x + 4 =0
x→− 4

2) เนือ่ งจาก x − 2 = −( x − 2) เมื่อ x < 2

จะได x−2 = −(x − 2) = lim (−1) = −1
lim
x→2− x − 2 lim x→2−
x→2− x − 2

และเนอ่ื งจาก x − 2 = x − 2 เมือ่ x > 2

จะได x − 2 = lim x − 2 = lim 1 = 1
x→2+ x − 2 x→2+
lim
x→2+ x − 2

จะไดว า lim x − 2 ≠ lim x − 2

x→2− x − 2 x→2+ x − 2

ดังน้นั x−2 ไมม ีคา
lim
x→2 x − 2

3) เนอ่ื งจาก x + 4 = −( x + 4) เมื่อ x < −4

จะได x+4 = −(x + 4) = lim (−1) = −1
lim
x→−4− x + 4 lim
x→−4− x + 4 x→− 4−

4) เนื่องจาก x = −x เมื่อ x < 0

จะได lim  1 + 1 = lim  1 − 1  = lim 0 = 0
 x x   x x 
x→0− x→0− x→0−

5) เนือ่ งจาก 2x − 3 = −(2x − 3) เมือ่ x < 3

2

จะได 2x2 − 3x lim x(2x − 3) = lim (−x) = −3
lim = 2
x→3− 2x − 3 x→ 3 − − ( 2x − 3) x→ 3 −

222

เน่อื งจาก 2x − 3 = 2x − 3 เมอ่ื x > 3

2

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

370 คูม ือครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

จะได 2x2 − 3x x(2x − 3) 3
lim = lim = lim x =
x→3+ 2x − 3 x→3+ 2x − 3 x→ 3 + 2

22 2

จะไดวา lim 2x2 − 3x ≠ lim 2x2 − 3x
x→3− 2x − 3 x→3+ 2x − 3
22

ดังน้นั 2x2 − 3x ไมม คี า
lim
x→3 2x − 3
2

3. 1) เมอ่ื x < 2 จะไดว า f ( x) = x −1

ดงั น้นั lim f ( x) = lim ( x −1)
x→2− x→2−

= 2–1

=1

2) เมอ่ื x > 2 จะไดวา f ( x) = x2 − 4x + 6

ดงั นั้น ( )lim f ( x) = lim x2 − 4x + 6
x→2+ x→2+

= 22 − 4(2) + 6

=2

3) จาก 1) และ 2) จะไดวา lim f ( x) ≠ lim f ( x)
x→2− x→2+

ดังนนั้ lim f ( x) ไมม ีคา
x→2

4) เมอ่ื x เขาใกล 0 จะไดวา f ( x) = x −1

และ lim f ( x) = lim( x −1)
x→0 x→0

= 0–1

= −1

ดังนัน้ lim f ( x) = −1
x→0

5) เมื่อ x เขา ใกล 5 จะไดว า f ( x) = x2 − 4x + 6

( )และ lim f ( x) = lim x2 − 4x + 6
x→5 x→5

= 52 − 4(5) + 6

= 11

ดงั นั้น lim f ( x) =11
x→5

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 371

4. 1) เมื่อ x เขาใกล 0 ทางดา นขวา จะไดว า f ( x) = x2

และ lim f ( x) = lim x2 = 02 = 0
x→0+ x→0+

ดังนนั้ lim f ( x) = 0
x→0+

2) เมื่อ x เขา ใกล 0 ทางดานซา ย จะไดว า f (x) = x

จะได lim f ( x) = lim x = 0
x→0− x→0−

ดังน้ัน lim f ( x) = 0
x→0−

3) จาก 1) และ 2) จะไดว า l=im f ( x) l=im f ( x) 0
x→0− x→0+

ดังนัน้ lim f ( x) = 0
x→0

4) เม่ือ x เขาใกล 2 ทางดา นซาย จะไดวา f (x) = x2

และ lim f ( x) = lim x2 = 22 = 4
x→2− x→2−

5) เมือ่ x เขาใกล 2 ทางดา นขวา จะไดว า f (x) = 8 − x

และ lim f ( x) = lim (8 − x) = 8 – 2 = 6
x→2+ x→2+

6) จาก 4) และ 5) จะไดว า lim f ( x) ≠ lim f ( x)
x→2− x→2+

ดงั น้ัน lim f ( x) ไมมีคา
x→2

7) เมือ่ x เขา ใกล 1 จะไดว า f ( x) = x2

จะได lim f ( x) = lim x2 = 12 = 1
x→1 x→1

ดังนน้ั lim f ( x) =1
x→1

8) เมื่อ x เขา ใกล 6 จะไดว า f ( x) = 8 − x

จะได lim f ( x) = lim(8 − x) = 8 – 6 = 2
x→6 x→6

ดังนนั้ lim f ( x) = 2
x→6

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

372 คูมือครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

5. 1) จาก x เขาใกล 0 ทางดานซาย น่นั คอื x < 0

จะได x = −x และ f ( x) = −x = −1

x

ดงั น้ัน lim f ( x) = −1
x→0−

จาก x เขาใกล 0 ทางดานขวา นั่นคอื x > 0

จะได x = x และ f ( x=) x= 1

x

ดงั นั้น lim f ( x) =1
x→0+

จะไดว า lim f ( x) ≠ lim f ( x)
x→0− x→0+

ดงั นนั้ lim f ( x) ไมม ีคา
x→0

2) จะไดว า lim g ( x) = lim x = 0
x→0 x→0

ดงั นัน้ lim g ( x) = 0
x→0

3) กรณี x เขา ใกล 0 ทางดา นซา ย จะไดว า x < 0 ดงั น้นั x = −x

จะไดวา f ( x) = x = −x = −1

xx

นน่ั คอื lim ( f ( x) ⋅ g ( x)) = lim (−1) ⋅ x
x→0− x→0−

= lim (−x)
x→0−

=0

กรณี x เขา ใกล 0 ทางดานขวา จะไดวา x > 0 ดังนนั้ x = x

จะไดวา f (x=) x x= 1
=
xx

จะได lim f ( x)⋅ g ( x) = lim 1⋅ x
x→0+ x→0+

= lim x

x→0+

=0

จะไดว า lim f ( x)⋅ g (=x) lim f ( x)⋅ g (=x) 0
x→0− x→0+

ดงั นน้ั lim f ( x)⋅ g ( x) =0
x→0

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 373

6. 1) เนื่องจาก f ( x) = 1 เมอื่ 1≤ x < 2

จะได lim f ( x) = lim 1
x→1+ x→1+

=1

2) เน่อื งจาก f ( x) = 0 เม่อื 0 ≤ x <1

จะได lim f ( x) = lim 0
x→1− x→1−

=0

3) เน่ืองจาก lim f ( x) ≠ lim f ( x)
x→1− x→1+

ดงั น้นั lim f ( x) ไมมีคา
x→1

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

374 คมู ือครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

แบบฝกหดั 2.2

1. 1) จากฟงกชนั f ทก่ี ําหนด
จะได f (0) = −1
และ lim f ( x) = lim(3x −1) = 3(0) −1 = −1

x→0 x→0

จะเห็นวา lim f ( x) = f (0)
x→0

ดงั นั้น ฟงกช ัน f เปนฟงกชันตอเนอื่ งที่ x = 0
2) จากฟง กชนั f ทก่ี ําหนด

จะได f (4) = − 1
4

และ lim f ( x) = lim x2 −16

x→4 x→4 x − 4

(x − 4)(x + 4)

= lim
x→4 x − 4

= lim( x + 4)
x→4

=8

จะเหน็ วา lim f ( x) ≠ f (4)
x→4

ดังน้นั ฟงกช นั f ไมเ ปนฟงกชันตอเน่อื งท่ี x = 4
3) จากฟง กช นั f ทกี่ าํ หนด

จะได f (1) = − 2
3

และ lim f ( x) = lim x2 −1
x3 −1
x→1 x→1

( x −1)( x +1)

( )= lim

x→1 ( x −1) x2 + x + 1

= lim x2 x +1 1
+x+
x→1

=2
3

จะเห็นวา lim f ( x) ≠ f (1)
x→1

ดังน้ัน ฟงกชนั f ไมเ ปนฟงกชันตอ เนอ่ื งที่ x =1

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 375

4) จากฟงกช นั f ที่กาํ หนด

 x เมือ่ x ≥ 0
 เม่อื x < 0
จะได f ( x) = 

 −x

ดังนน้ั f (0) =0

จาก lim f ( x=) lim (−x=) 0 และ lim =f ( x) l=im x 0
x→0− x→0− x→0+ x→0+

จะไดวา lim f ( x)= 0= lim f ( x)
x→0− x→0+

ดังนน้ั lim f ( x) = 0
x→0

เนื่องจาก lim f ( x) = f (0)
x→0

ดงั น้ัน ฟงกช ัน f เปน ฟง กชันตอเนอื่ งท่ี x = 0

5) จากฟง กช นั f ที่กําหนด

จะได f (−1) =−1

และจาก x +1 = x +1 เมอ่ื x ≥ −1 และ x +1 =− ( x +1) เมื่อ x < −1

จะได lim f ( x) = lim =x +1 lim =x +1 l=im 1 1
x→−1+ x→−1+ x + 1 x→−1+ x + 1 x→−1+

และ lim f ( x) = lim x +1 − ( x + 1) =− lim 1 =−1
=lim
x→−1− x→−1− x + 1 x→−1− x + 1 x→−1−

= lim (−1)
x→−1+

= −1

ดังนั้น lim f ( x) ≠ lim f ( x)
x→−1+ x→−1−

นัน่ คือ lim f (x) ไมมีคา
x→−1

ดงั น้ัน ฟง กชนั f ไมเ ปน ฟงกช ันตอ เนอ่ื งท่ี x = −1

2. 1) พจิ ารณาฟงกชัน f

จะเห็นวา f (1) = 2 แต lim f ( x) มีคา นอยกวา 1
x→1−

ซง่ึ ไดว า f (1) ไมเทากับ lim f (x)
x→1−

ดังนัน้ ฟงกช นั f ไมเ ปน ฟงกช ันตอเน่ืองบน [−1, 1]

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

376 คมู ือครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

พิจารณาฟง กช นั g

จะเหน็ วา g (0) = 2 แต lim g ( x) =1 จงึ ไดว า g (0) ≠ lim g ( x)
x→0 x→0

นั่นคอื ฟงกชัน g ไมต อเน่ืองที่ x = 0

จะไดวา ฟงกชนั g ไมตอเน่ืองทที่ กุ จุดในชวง [−1, 1]

ดงั น้ัน ฟงกชนั g ไมเ ปนฟงกช ันตอ เนือ่ งบน [−1, 1]

พิจารณาฟง กชนั h

จาก lim h( x) = 2 และ lim h( x) =1
x→0− x→0+

จึงไดว า lim h( x) ≠ lim h( x) นั่นคอื lim h( x) ไมมีคา
x→0− x→0+ x→0

นนั่ คือ ฟงกชนั h ไมตอเนื่องที่ x = 0

จะไดว า ฟงกชนั h ไมตอ เน่ืองที่ทุกจดุ ในชวง [−1, 1]

ดงั น้ัน ฟง กช ัน h ไมเ ปน ฟงกช ันตอเนื่องบน [−1, 1]

2) พจิ ารณาฟง กช ัน f

ให c ∈(−1,1) จะเหน็ วา lim f ( x) = f (c)
x→c

นั่นคอื ฟงกชนั f เปน ฟงกชันตอเน่อื งทที่ ุกจุดในชว ง (−1,1)

ดังนัน้ ฟงกช ัน f เปนฟง กชนั ตอเนอ่ื งบน (−1,1)

พจิ ารณาฟงกชนั g

จะเห็นวา g (0) = 2 แต lim g ( x) =1 ซงึ่ ไดวา g (0) ≠ lim g ( x)
x→0 x→0

ดังนน้ั ฟง กช นั g ไมตอเนื่องท่ี x = 0

นนั่ คอื ฟงกช ัน g ไมตอ เน่ืองที่ทกุ จดุ ในชว ง (−1,1)

ดังนัน้ ฟง กช นั g ไมเปนฟงกช ันตอ เนอื่ งบน (−1,1)

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 377

พิจารณาฟงกช นั h

จะเหน็ วา lim h( x) = 2 และ lim h( x) =1 ซึ่งไดว า lim h( x) ≠ lim h( x)
x→0− x→0+ x→0− x→0+

น่นั คอื limh( x) ไมมคี า
x→0

ดงั นัน้ ฟงกช ัน h ไมตอเน่ืองท่ี x = 0

น่นั คอื ฟงกช นั h ไมต อเน่ืองที่ทุกจุดในชว ง (−1,1)

ดังน้ัน ฟง กช ัน h ไมเ ปนฟงกช ันตอ เนื่องบน (−1,1)

3) พจิ ารณาฟง กช นั f

เน่อื งจาก f (1) = 2 แต lim f ( x) มีคา นอยกวา 1
x→1−

ซงึ่ ไดวา f (1) ไมเ ทา กบั lim f (x)
x→1−

นัน่ คือ f ไมเปน ฟง กช นั ตอเน่ืองท่ี x =1

จะไดว า f ไมเปน ฟงกช นั ตอ เน่ืองทุกจดุ บน [0,1]

ดงั นนั้ ฟง กชนั f ไมเปนฟงกชันตอเนือ่ งบน [0,1]

พิจารณาฟงกชนั g

จะเห็นวา g (0) = 2 แต lim g ( x) =1 จะไดวา g (0) ≠ lim g ( x)
x→0+ x→0+

นัน่ คอื g ไมเ ปนฟง กชนั ตอ เน่ืองท่ี x = 0

จะไดว า g ไมเปน ฟงกชนั ตอเนื่องทุกจดุ บน [0,1]

ดงั นัน้ ฟง กช นั g ไมเปน ฟงกชันตอ เน่อื งบน [0,1]

พจิ ารณาฟง กช นั h

จาก h(0) = 2 แต lim h( x) =1 จะไดวา h(0) ≠ lim h( x)
x→0+ x→0+

น่ันคือ h ไมเ ปน ฟงกชนั ตอเนื่องที่ x = 0

จะไดวา h ไมเปน ฟง กชนั ตอเน่ืองทุกจุดบน [0,1]

ดงั น้ัน ฟงกช ัน h ไมเปนฟงกช ันตอ เน่ืองบน [0,1]

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

378 คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

4) พจิ ารณาฟงกชัน f

ให c∈(−1,0) จะเหน็ วา lim f ( x) = f (c)
x→c

พจิ ารณาที่ x = 0 จะไดว า f (0) =1 และ lim f ( x) =1
x→0−

นั่นคอื f (0) = lim f (x) ดังนัน้ f เปนฟงกช นั ตอเน่ืองที่ x = 0
x→0

นนั่ คือ ฟงกช ัน f เปนฟง กช นั ตอเน่อื งทท่ี ุกจดุ ในชวง (−1,0]

ดงั น้ัน ฟงกช นั f เปน ฟง กชันตอเนื่องบน (−1,0]

พิจารณาฟงกช ัน g

จะเห็นวา g (0) = 2 แต lim g ( x) =1 จึงไดว า g (0) ≠ lim g ( x)
x→0− x→0−

น่ันคือ g ไมเปน ฟง กช นั ตอเน่ืองท่ี x = 0

จะไดว า g ไมเ ปนฟงกช ันตอ เน่ืองทุกจุดบน (−1,0]

ดงั น้ัน ฟง กชัน g ไมเปน ฟงกชันตอ เนื่องบน (−1,0]

พจิ ารณาฟงกชนั h

ให c∈(−1,0) จะเห็นวา limh(x) = h(c) ดงั น้ัน h เปน ฟงกช ันตอ เนื่องบนชว ง (−1,0)
x→c

พจิ ารณาที่ x = 0 จะได h(0) = 2 และ lim h( x) = 2
x→0−

นัน่ คอื h(0)= 2= lim h( x)
x→0−

จะไดวา h เปน ฟง กช ันตอ เนอ่ื งทุกจดุ บนชว ง (−1,0]

ดงั นน้ั ฟงกชนั h เปน ฟง กช ันตอเนอ่ื งบน (−1,0]

3. 1) ให c ∈(−∞,4) จะไดวา lim f=( x) =2 f (c)

x→c c − 4

นน่ั คือ ฟงกช ัน f เปน ฟง กช นั ตอเน่ืองที่ทุกจดุ ในชว ง (−∞,4)

ดงั นน้ั ฟงกช นั f เปน ฟง กช นั ตอเนอื่ งบน (−∞,4)

2) ให c∈(4,6) จะไดว า lim f=( x) =2 f (c)
x→c c−4

นนั่ คอื ฟงกชัน f เปน ฟง กช ันตอเนื่องที่ทุกจดุ ในชวง (4, 6)

พจิ ารณา กรณี x = 6 จะได f (6) =1 และ lim f=( x) =2 1
x→6 6−4

น่ันคือ f (6)= 1= lim f ( x)
x→6−

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 379

ดงั นัน้ ฟง กชัน f เปน ฟงกช ันตอเนอ่ื งทจ่ี ดุ x = 6
จะไดวา ฟงกชัน f เปน ฟงกช นั ตอ เน่อื งทท่ี ุกจุดในชว ง (4,6]
ดังน้นั ฟง กชนั f เปน ฟงกชนั ตอเนอ่ื งบน (4,6]

3) ให c∈(4,∞) จะไดวา lim f=( x) =2 f (c)
x→c c−4

นั่นคือ ฟงกชนั f เปน ฟงกชนั ตอเน่อื งทที่ ุกจดุ ในชว ง (4,∞)

ดังนนั้ ฟง กชัน f เปนฟงกชนั ตอเนือ่ งบน (4,∞)

4. 1) จาก (−∞,1] = (−∞,− 2) ∪{−2} ∪ (−2,1) ∪{1}

และจากฟง กช ัน g ท่กี าํ หนดให จะไดว า

(1) ให c ∈(−∞,−2) จะไดว า g ( x=) 2x − 2

และ lim g ( x) = lim(2x − 2) = 2c − 2 = g (c)
x→c x→c

นน่ั คอื ฟงกชัน g เปน ฟงกชันตอเน่ืองทที่ ุกจดุ ในชว ง (−∞,−2)

ดังน้ัน ฟง กช นั g ตอเน่อื งบนชวง (−∞,−2)

(2) พิจารณาความตอ เน่ืองทจี่ ุด x = −2

เมื่อ x เขาใกล −2 ทางดานซา ย จะได g (x=) 2x − 2

ดงั นน้ั lim g ( x) =lim (2x − 2) =2(−2) − 2 =−6
x→−2− x→−2−

เมอื่ x เขาใกล −2 ทางดา นขวา จะได g (x)= x − 4

ดังนัน้ lim g ( x) =lim ( x − 4) =−2 − 4 =−6
x→−2+ x→−2+

จะไดวา lim g ( x) = lim g ( x) ดังนั้น lim g ( x) = −6
x→−2− x→−2+ x→−2

จาก g (−2) =(−2) − 4 =−6

จะไดว า g (−2) =−6 =lim g ( x)
x→−2

ดังนัน้ ฟง กชนั g ตอเน่อื งที่จุด x = −2

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

380 คูม ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

(3) ให c ∈(−2,1) จะไดว า g ( x)= x − 4

ดังนนั้ เนือ่ งจาก lim g ( x) = lim( x − 4) = c − 4 = g (c)
x→c x→c

น่นั คือ ฟงกชนั g เปน ฟง กช นั ตอเนอื่ งที่ทุกจดุ บนชว ง (−2,1)

จาก lim g ( x) =lim ( x − 4) =1− 4 =−3 =g (1)
x →1− x →1−

จะไดวา ฟงกชัน g เปน ฟงกช ันตอเน่อื งท่ีจุด x =1

ดงั น้นั ฟงกช ัน g เปน ฟงกช นั ตอเน่อื งบนชวง (−2,1]

จาก (1), (2) และ (3) จะไดว าฟง กช นั g เปน ฟงกชันทต่ี อเนื่องทท่ี ุกจดุ บนชว ง

(−∞,−2), {−2} และ (−2,1]

ดังนนั้ ฟง กชนั g เปนฟงกชันตอเนอื่ งบนชว ง (−∞,1]

2) จากขอ 1) จะไดว า ฟง กชัน g เปนฟง กช นั ตอเนื่องบนชว ง (−2,1]

3) จาก lim g ( x) =lim ( x − 4) =1− 4 =−3
x →1− x →1−

แต lim g ( x) = lim (4 − x) = 4 −1 = 3 จะไดวา lim g ( x) ไมม ีคา
x →1+ x →1+ x→1

น่ันคือ ฟงกช ัน g ไมตอเน่ืองท่ี x =1

ดังนน้ั ฟง กช ัน g ไมเปนฟงกชันตอเนอ่ื งบนชวง (−2,2]

4) จาก lim g ( x) = lim (4 − x) = 4 −1 = 3 แต g (1) = −3
x →1+ x →1+

จะไดวา lim g (x) ≠ g (1) ไมมีคา
x→1+

น่นั คอื ฟงกชนั g ไมต อ เนื่องที่ x =1

ดังนน้ั ฟงกช ัน g ไมเปน ฟงกชันตอเนอ่ื งบนชว ง [1,∞)

5. 1) ตองการใหฟงกชัน f เปน ฟง กชนั ตอ เนอ่ื งทีท่ กุ จุด

ซงึ่ คือ ฟง กชนั f เปน ฟง กชนั ตอเนอื่ งบนชว ง (−∞,∞)

และ (−∞,∞) = (−∞,1) ∪{1} ∪ (1,∞)

จะไดวา (1) f เปน ฟง กช ันตอเนอ่ื งท่ี x =1

(2) f เปนฟง กช ันตอ เน่ืองบนชวง (−∞,1)

(3) f เปน ฟงกชนั ตอ เนื่องบนชวง (1,∞)

จาก (1) พิจารณา ทจ่ี ุด x =1

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 381

จาก lim f =( x) lim (7x −=2) 5 และ lim=f ( x) l=im kx2 k
x →1− x →1− x→1+ x→1+

และ f เปนฟงกชันตอ เน่ืองที่ x =1 จะไดวา lim f (x) = lim f ( x)
x →1− x →1+

นน่ั คอื k = 5 ดงั นั้น lim f ( x) = 5
x→1

และจะเห็นวา f (1)= 5= lim f ( x) จรงิ
x→1

จาก (2) พจิ ารณาบนชวง (−∞,1)

จะไดวา f (x=) 7x − 2 ซ่ึงเปน ฟงกช ันพหุนาม

โดยทฤษฎบี ท 6 จะไดว าฟง กชัน f เปนฟงกช ันตอเน่ืองที่ทุกจดุ บนชว ง (−∞,1)

น่นั คอื f เปน ฟง กชนั ตอ เน่อื งบนชวง (−∞,1) จริง

จาก (3) พจิ ารณาบนชว ง (1,∞)

จะไดว า f (=x) k=x2 5x2 ซงึ่ เปนฟง กช นั พหนุ าม

โดยทฤษฎบี ท 6 จะไดวาฟงกชัน f เปน ฟง กชนั ตอ เนื่องท่ีทุกจุดบนชว ง (1,∞)

นนั่ คือ f เปน ฟงกช ันตอเนอื่ งบนชว ง (1,∞) จรงิ

ดงั นั้น จาก (1), (2) และ (3) จะไดวา ถา k = 5 แลว ฟง กชัน f เปน ฟง กช นั ตอเน่อื งท่ี

ทุกจุด

2) จาก f เปน ฟงกชนั ตอเน่ืองทุกจุด

พิจารณาที่จุด x = 2 จะไดว า

l=im f ( x) l=im (kx2 ) 4k
x→2− x→2−

lim f ( x) =lim (2x + k ) =4 + k
x→2+ x→2+

เนอ่ื งจาก f เปนฟงกชนั ตอ เนื่องท่ี x = 2 จะได lim f (x)= lim f (x)= 4k= 4 + k
x→2+ x→2−

น่ันคือ k = 4

3

พิจารณา f (x) = 2x +4 ,x > 2
 3 ,x ≤ 2
 4
x2
 3

จะเห็นวา กรณี x > 2 จะได f (x=) 2x + 4 ซึ่งเปน ฟงกช นั พหุนาม โดยทฤษฎบี ท 6

3

จะไดวา ฟงกช ัน f เปนฟง กชนั ตอเนื่องทท่ี ุกจดุ

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

382 คูม อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

ในทํานองเดยี วกัน กรณี x ≤ 2 จะได f (x) = 4 x2 ซึ่งเปนฟง กช นั พหนุ าม

3

โดยทฤษฎีบท 6 จะไดว า ฟงกชัน f เปนฟง กชนั ตอเนื่องท่ีทุกจดุ
ดงั นน้ั ฟง กชนั f เปน ฟงกชันตอเนื่องท่ีทุกจดุ เม่ือ k = 4

3

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 383

แบบฝกหัด 2.3

1. ให= y f (=x) 2x2 − 3

จะไดอัตราการเปลยี่ นแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x เมื่อ x เปล่ยี นจาก a เปน a + h คือ

( )f (a + h) − f (a)
( )2(a + h)2 − 3 − 2a2 − 3

h= h

4ah + 2h2
=h

= 4a + 2h

1) อัตราการเปลย่ี นแปลงเฉลย่ี ของ y เทียบกบั x เมื่อ x เปลย่ี นจาก 2 เปน 2.2 คอื

f (2 + 0.2) − f (2) = 4(2) + 2(0.2)

0.2

= 8.4

2) อัตราการเปล่ียนแปลงเฉลยี่ ของ y เทยี บกับ x เมอ่ื x เปลี่ยนจาก 2 เปน 2.1 คือ

f (2 + 0.1) − f (2) = 4(2) + 2(0.1)

0.1

= 8.2

3) อตั ราการเปล่ยี นแปลงเฉลย่ี ของ y เทียบกบั x เมอ่ื x เปล่ยี นจาก 2 เปน 2.01 คอื

f (2 + 0.01) − f (2) 4(2) + 2(0.01)

=
0.01

= 8.02

4) อัตราการเปล่ียนแปลงของ y เทียบกบั x ขณะที่ x = 2 คอื

f (2 + h) − f (2) = lim(4(2) + 2h)

lim
h→0 h h→0

=8

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

384 คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

2. ใ=ห y f=( x) 1

x

จะไดอัตราการเปลีย่ นแปลงเฉล่ียของ y เทียบกบั x เมอื่ x เปลี่ยนจาก a เปน a + h คอื

f (a + h)− f (a) 1 −1
a+h a
h = h

−h

= ha(a + h)

= − 1 h)

a(a +

1) อตั ราการเปลีย่ นแปลงเฉลยี่ ของ y เทียบกับ x เมอ่ื x เปลีย่ นจาก 4 เปน 5 คอื

f (4 +1) − f (4) = − 1

1 4(4 +1)

= −1
20

2) อตั ราการเปล่ยี นแปลงเฉลี่ยของ y เทยี บกบั x เมอ่ื x เปลย่ี นจาก 4 เปน 4.1 คือ

f (4 + 0.1) − f (4) = − 4(4 1 0.1)
+
0.1

= − 1 =− 5
16.4 82

3) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉล่ยี ของ y เทยี บกบั x เมือ่ x เปลี่ยนจาก 4 เปน 4.01 คือ

f (4 + 0.01) − f (4) = − 4(4 1

0.01 + 0.01)

= − 1 =− 25
16.04 401

4) อตั ราการเปลย่ี นแปลงของ y เทียบกับ x ขณะท่ี x = 4 คอื

f (4 + h) − f (4) = lim  − 4 ( 1 h ) 
 4+ 
lim h→0
h→0 h

= −1
16

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 385

3. 1) ให A เปนพนื้ ที่วงกลม (หนวยเปนตารางเซนตเิ มตร)

r เปนรัศมีของวงกลม (หนว ยเปนเซนติเมตร)

โดยท่ี A(r) = π r2

อัตราการเปล่ียนแปลงเฉลี่ยของพื้นท่วี งกลมเทยี บกับความยาวของรัศมี

เม่อื ความยาวของรศั มีเปลย่ี นจาก r เปน r + h เซนตเิ มตร คือ

A(r + h) − A(r) π (r + h)2 −π r2

=
hh

( )π r2 + 2rh + h2 − π r2

=
h

= 2π rh + π h2
h

= 2π r + π h

ดังนัน้ อัตราการเปล่ียนแปลงเฉลยี่ ของพ้ืนทว่ี งกลมเทยี บกับความยาวของรัศมี

เม่อื ความยาวของรัศมีเปล่ยี นจาก r เปน r + h เซนตเิ มตร คือ 2π r + π h ตาราง

เซนตเิ มตรตอเซนติเมตร

2) อัตราการเปลย่ี นแปลงของพ้นื ทีว่ งกลมเทียบกบั ความยาวของรัศมี ขณะรศั มียาว

r เซนติเมตร คอื

A(r + h) − A(r) = lim(2π r + π h)

lim
h→0 h h→0

= 2π r

ดงั น้ัน อตั ราการเปล่ยี นแปลงของพ้นื ท่ีวงกลมเทียบกบั ความยาวของรัศมี ขณะรัศมี
ยาว r เซนติเมตร คอื 2π r ตารางเซนตเิ มตรตอเซนตเิ มตร
4. 1) ให x เปน ความยาวดานของรูปสี่เหล่ียมจตั รุ สั (หนว ยเปนเซนตเิ มตร)

A เปนพืน้ ที่ของรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรสั (หนวยเปนตารางเซนติเมตร)
โดยที่ A( x) = x2

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

386 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลยี่ ของพื้นทรี่ ูปสีเ่ หลย่ี มจตั ุรสั เทียบกับความยาวดาน
เมื่อความยาวดา นเปลยี่ นจาก 10 เปน 12 เซนติเมตร คือ

A(10 + 2) − A(10) = (10 + 2)2 −102

22

= 22

ดงั นนั้ อตั ราการเปล่ียนแปลงเฉลีย่ ของพน้ื ท่รี ูปสเ่ี หลย่ี มจัตุรัสเทียบกบั ความยาวดา น

เม่อื ความยาวดานเปลีย่ นจาก 10 เปน 12 เซนติเมตร คอื 22 ตารางเซนติเมตรตอ

เซนตเิ มตร

2) อัตราการเปล่ยี นแปลงของพ้ืนทีร่ ปู สเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั เทยี บกับความยาวดา น ขณะดา นยาว

10 เซนติเมตร คือ

A(10 + h) − A(10) (10 + h)2 −102

lim = lim
h→0 h h→0 h

= lim 20h + h2
h→0 h

= 20

ดังนนั้ อัตราการเปลี่ยนแปลงของพ้ืนทรี่ ปู สเ่ี หลี่ยมจตั รุ ัสเทียบกับความยาวดานขณะ

ดานยาว 10 เซนตเิ มตร คอื 20 ตารางเซนติเมตรตอ เซนตเิ มตร

5. 1) ให x เปน ความยาวดานของรูปสามเหลีย่ มดานเทา (หนวยเปนเซนติเมตร)

A เปน พน้ื ที่ของรปู สามเหล่ยี มดา นเทา (หนว ยเปนตารางเซนตเิ มตร)

โดยท่ี A( x) = 3 x2

4

อัตราการเปล่ยี นแปลงเฉลย่ี ของพน้ื ทร่ี ูปสามเหลยี่ มดานเทา เทยี บกบั ความยาวดา น

เม่ือความยาวดา นเปลย่ี นจาก 10 เปน 9 เซนตเิ มตร คอื

A(10 −1) − A(10) = 3 (9)2 − 3 (10)2

−1 44
= −1

19 3

4

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 387

ดังน้นั อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลีย่ ของพ้ืนที่รูปสามเหล่ียมดา นเทาเทียบกับความยาวดาน

เม่ือความยาวดา นเปลยี่ นจาก 10 เปน 9 เซนตเิ มตร คือ 19 3 ตารางเซนตเิ มตรตอ

4

เซนตเิ มตร

2) อตั ราการเปลีย่ นแปลงของพน้ื ทรี่ ูปสามเหล่ยี มดา นเทาเทยี บกับความยาวดา นขณะดา น

ยาว 10 เซนตเิ มตร คอื

A(10 + h) − A(10) = lim 4 3 (10 + h)2 − 3 (10)2
4
lim
h→0 h h→0 h

=5 3

ดังนัน้ อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นทร่ี ปู สามเหลีย่ มดา นเทา เทียบกบั ความยาวดาน

ขณะดานยาว 10 เซนติเมตร คอื 5 3 ตารางเซนตเิ มตรตอเซนติเมตร

6. จากอตั ราการเปลีย่ นแปลงของ N เทียบกบั t ขณะที่ t = 3 คือ

N (3 + h) − N (3) ( 3 + 8 + 1 − 3 8 1
+
lim = lim h)
h→0 h
h→0 h

= lim 32 − 8(4 + h)

h→0 h(4 + h)(4)

= −8
16

= −1
2

ดงั นนั้ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ N เทียบกบั t ขณะที่ t = 3 คอื − 1 กรมั ตอนาที

2

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

388 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

7. จาก PV = 6,000 นั่นคือ P = 6,000

V

ให P(V ) = 6,000

V

จะได อัตราการเปล่ียนแปลงของ P เทียบกับ V ขณะท่ี V =100 คอื

P (100 + h) − P (100) = 6,000 − 6,000
= lim 100 + h 100
lim h→0 h
h→0 h

lim 6000 − 60(100 + h)

h→0 h(100 + h)

= − 60
100

= −0.6

ดงั น้ัน อตั ราการเปลย่ี นแปลงของ P เทยี บกบั V ขณะที่ V =100 คือ −0.6
8. ให r แทน ความยาวของรัศมีของฐานของกรวยกลมตรง

และ h แทน ความสงู ของกรวยกลมตรง
1) ให V แทน ปริมาตรของกรวยกลมตรงที่มรี ัศมขี องฐานยาว r

โดยสว นสงู มีคาคงตวั เทา กับ h

จะได V (r) = 1π r2h

3

ดังน้ัน อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรของกรวยกลมตรงเทยี บกบั ความยาวของ

รศั มีของฐาน ขณะรศั มียาว r หนวย เมื่อสว นสูงมีคา เทา กับ h คอื

V (r + k)−V (r) 1π (r + k )2 h − 1π r2h
= lim 3 3
lim
k→0 k k→0 k

= lim 2π rkh + π k 2h
k→0 3k

2π rh + π kh
= lim

k→0 3

= 2π rh ลกู บาศกหนว ยตอหนว ย

3

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี