ecuaciones-diferenciales-rainville-bedient-bedient

QA371 R293 1998
RAINVILLE V EARL D.

11111111111111111111111111111111111111111111111111

LB004503

ECUACIONES DIFERENCIALES

http://gratislibrospdf.com/

http://gratislibrospdf.com/

Ecuaciones
diferenciales

OCTAVA EDICIÓN

Earl D. Rainville V

Late Professor ofMathematics
University ofMichigan

Phillip E. Bedient

Professor Emertius ofMathematics
Franklin and Marshall College

Richard E. Bedient

Professor ofMathematics
Hamilton College

Traducción:
Víctor HU~Ibarra Mercado
Lic. en Físi y Matemáticas
ESFM, Instit to Politécnico Nacional

Revisión Técnica:
Oscar Alfredo Palmas Velasco
Matemático
Facultad de Ciencias, UNAM

PRBNTICE
HALL

MÉXICO· NUEVA YORK· BOGOTÁ· LONDRES· MADRID
MUNICH • NUEVA DELHI • PARÍS· RÍo DE JANEIRO • SIDNEY

SINGAPUR • TOKIO· TORONTO • ZURlCH

http://gratislibrospdf.com/

EDICIÓN EN ESPAÑOL: MOISÉS PÉREZ ZAVALA
JOSÉ TOMÁS PÉREZ BONILLA
DIRECTOR DE MERCADOTECNIA: LUIS CEDEÑO PLASCENCIA
GERENTE DIVISIÓN COLLEGE: PABLO EDUARDO ROIG VÁZQUEZ
GERENTE EDITORIAL: ALBERTO SIERRA OCHOA
EDITOR: JUAN ANTONIO RODRÍGUEZ MORENO
DIRECTOR DE EDICIONES: JORGE BONILLA TALAVERA
GERENTE DE EDICIONES: JULIÁN ESCAMILLA LIQUIDANO
GERENTE DE TRADUCCIÓN: JOSÉ LUIS NÚÑEz HERREJÓN
GERENTE DE PRODUCCIÓN: OLGA ADRIANA sÁNCHEZ NAVARRETE
SUPERVISOR DE TRADUCCIÓN:
SUPERVISORA DE PRODUCCIÓN:

EDICIÓN EN INGLÉS:

Acquisitions Editor: George Lobell
Editorial Assistant: Gale Epps
Editorial Director: Tim Bozik
Editor-in-Chief: Jerome Grant
Assistant Vice President of Production and Manufacturing: David R. Riccardi
EditoriallProduction Supervisor: Robert C. Walters
Managing Editor: Linda Mihatov Behrens
Executive Managing Editor: Kathleen Schiaparelli
Manufacturing Buyer: Alan Fischer
Manufacturing Buyer: Trudy Pisciotti
Marketing Manager: John Tweeddale
Marketing Assistant: Diana Penha
Creative Director: Paula Maylahn
Art Manager: Gus Vibal
Art Director: Maureen Eide
Cover and Interior Designer: Jill Little
Cover Photo: Spinning Schaft, by Alejandro and Moira Siña
Supplements Editor: Audra Walsh

RAINVILLE: ECUACIONES DIFERENCIALES, Octava Edición
Traducido del inglés de la obra: ELEMENTARY DIFFERENTIAL EQUATIONS, 8a. Ed.

AIl rights reserved. Authorized translation from English language edition published by Prentice-Hall, Inc.

Todos los derechos reservados. Traducción autorizada de la edición'e-n-i-n-gl-é-s publicada por Prentice-Hall, Inc.

Al! rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including
photocopying, recording or by any information storage and retrieval system, without permission in writing from the publisher.

Prohibida la reoroducción total o oarcial de esta obra, por cualquier medio o método sin autorización por escrito del editor.
Derechos reservados © 1998 respecto a la primera edición en español publicada por:

Prentice Hall Hispanoamericana, S.A. •JUL •1998
Calle 4 N9 25-29 piso Fracc. Ind. Alce Blanco,
Naucalpan de Juárez, Edo. de México, UTOGRAFICA INGRAMEX, SA DE C.V.
CENTENO NO. 162-1
c.P. 53370 MEXICD,OJ.
C.P. 09810
ISBN 970-17-0069-4
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, Reg . Núm. 1524. •3000
Original English Language Edition Published by Prentice-Hall, Inc.
A Simon & Schuster Company
Copyright © MCMXCVII
Al! rights reserved
ISBN 0-13-508011-8

IMPRESO EN MÉXICOIPRINTED IN MEXICO

http://gratislibrospdf.com/

Para
Esther, Marie, Betsy

Katey Adam

http://gratislibrospdf.com/

http://gratislibrospdf.com/

Contenido

Prefacio / Xl1l

1 Definiciones; familias de curvas / 1

1.1 Ejemplos de ecuaciones diferenciales / 1
1.2 Definiciones / 2
1.3 Familias de soluciones / 5
1.4 Interpretación geométrica / 10
1.5 Las isoc1inas de una ecuación / 12
1.6 Un teorema de existencia / 14
1.7 Suplemento para computadora / 15

2 Ecuaciones de orden uno / 18

2.1 Separación de variables / 18
2.2 Funciones homogéneas / 24
2.3 Ecuaciones con coeficientes homogéneos / 25
2.4 Ecuaciones exactas / 29
2.5 La ecuación lineal de orden uno / 35
2.6 La solución general de una ecuación lineal / 38
2.7 Suplemento para computadora / 43

3 Métodos numéricos / 45

3.1 Observaciones generales / 45 ·
3.2 Método de Euler / 45
3.3 Una modificación al método de Euler / 48

http://gratislibrospdf.com/ v

vi Contenido

3.4 Un método de aproximación sucesiva / 49
3.5 Una mejora en el método

de aproximación sucesiva / 51
3.6 Uso del teorema de Taylor / 52
3.7 Método de Runge-Kutta / 54
3.8 Un método de continuación / 58
3.9 Suplemento para computadora / 60

4 Aplicaciones elementales / 62

4.1 Velocidad de escape desde la Tierra / 62
4.2 Ley del enfriamiento de Newton / 64
4.3 Conversión química simple / 65
4.4 Crecimiento logístico y precio de mercancías / 69
4.5 Suplemento para computadora / 73

5 Temas adicionales sobre ecuaciones de orden uno / 75

5.1 Factores integrantes determinados por inspección / 75
5.2 Determinación de factores integrantes / 79

\ 5.3 Sustitución sugerida por la ecuación / 83
5.4 Ecuación de Bernoulli / 86
5.5 Coeficientes lineales en dos variables / 89
5.6 Soluciones que involucran integrales no elementales / 94
5.7 Suplemento para computadora / 97

6 Ecuaciones diferenciales lineales / 99

6.1 La ecuación lineal general / 99
6.2 Un teorema de existencia y unicidad / 100
6.3 Independencia lineal / 102
6.4 El Wronskiano / 103
6.5 Solución general de una ecuación homogénea / 106
6.6 Solución general de una ecuación no homogénea / 107
6.7 Operadores diferenciales / 109
6.8 Leyes fundamentales de operación / 111
6.9 Algunas propiedades de los operadores diferenciales / 113
6.10 Suplemento para computadora / 115

http://gratislibrospdf.com/

Contenido vii

7 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes / 117

7.1 Introducción / 117
7.2 La ecuación auxiliar: raíces distintas / 117
7.3 La ecuación auxiliar: raíces repetidas / 120

7.4 Una definición de exp z para valores complejos de z / 123

7.5 La ecuación auxiliar: raíces complejas / 125
7.6 Una observación acerca de las funciones hiperbólicas / 127
7.7 Suplemento para computadora / 132

8 Ecuaciones no homogéneas:
coeficientes indeterminados / 134

8.1 Construcción de una ecuación homogénea
a partir de una solución específica / 134

8.2 Solución de una ecuación no homogénea / 137
8.3 Método de coeficientes indeterminados / 139
8.4 Solución por inspección / 144
8.5 Suplemento para computadora / . 150

/

9 Variación de parámetros / 152

9.1 Introducción / 152
9.2 Reducción de orden / 152
9.3 Variación de parámetros / 156

9.4 Solución de yl! + Y =¡ex) / 161

9.5 Suplemento para computadora / 164

10 Aplicaciones / 165

10.1 Vibración de un resorte / 165
10.2 Vibraciones no amortiguadas / 167
10.3 Resonancia / 169
10.4 Vibraciones amortiguadas / 172
10.5 El péndulo simple / 177
10.6 Leyes de Newton y movimiento planetario / 178
10.7 Fuerza central y la segunda ley de Kepler / 179
10.8 Primera ley de Kepler / 180

http://gratislibrospdf.com/

viii Contenido

10.9 Tercera ley de Kepler / 182
10.10 Suplemento para computadora / 184

11 Sistemas de ecuaciones lineales / 186

11.1 Introducción / 186
11.2 Sistemas de primer orden con coeficientes constantes / 186
11.3 Solución de un sistema de primer orden / 187
11.4 Repaso de álgebra matricial / 189
11.5 Revisión de sistemas de primer orden / 195
11.6 Valores propios complejos / 204
11.7 Valores propios repetidos / 208 ·
11.8 Plano fase / 216
11.9 Suplemento para computadora / 222

12 Sistemas no homogéneos de ecuaciones / 224

12.1 Sistemas no homogéneos / 224
12.2 Carrera armamentista / 228
12.3 Circuitos eléctricos / 232
12.4 Redes sencillas / 235

13 Existencia y unicidad de soluciones / 243

13.1 Observaciones preliminares / 243
13.2 Un teorema de existencia y unicidad / 243
13.3 Condición de Lipschitz / 246
13.4 Demostración del teorema de existencia / 250
13.5 Demostración del teorema de unicidad / 250
13.6 Otros teoremas de existencia / 251

14 La transformada de Laplace / 252

14.1 El concepto de transformación / 252
14.2 Definición de la transformada de Laplace / 253
14.3 Transformadas de funciones elementales / 253
14.4 Funciones continuas por secciones / 257
14.5 Funciones de orden exponencial / 258
14.6 Funciones de clase A / 261

http://gratislibrospdf.com/

Contenido ix

\ 14.7 Transformada de derivadas / 263
14.8 Derivadas de transformadas / 266
14.9 La función gamma / 267
14.10 Funciones periódicas / 269

15 Transformadas inversas / 274

15.1 Definición de una transformada inversa / 274
15.2 Fracciones parciales / 277
15.3 Problemas de valor inicial / 280
15.4 Función escalón / 286
15.5 Un teorema de convolución / 294
15.6 , Ecuaciones integrales especiales / 298
15.7 Métodos de transformación y vibración de resortes / 303
15.8 Deflexión de vigas / 307
15.9 Sistemas de ecuaciones .. / 310
15.10 Suplemento para computadora / 316

16 Ecuaciones no lineales / 320

16.1 Observaciones preliminares / 320
16.2 Factorización del miembro izquierdo / 320
16.3 Soluciones singulares / 323
16.4 Ecuación con discriminante e / 325
16.5 La ecuación con discriminante p / 326
16.6 Eliminación de la variable dependiente / 328
16.7 Ecuación de Clairaut / 330
16.8 Ecuaciones sin variable dependiente explícita / 334
16.9 Ecuaciones sin variabl~ independiente explícita / 335
16.10 La catenaria / 338

17 Soluciones en series de potencias / 342

17.1 Ecuaciones lineales y series de potencias / 342

17.2 Convergencia de series de potencias / 343 V

17.3 Puntos ordinarios y puntos singulares / 345
17.4 Validez de las soluciones cerca de un punto ordinario / 347
17.5 Soluciones cerca de un punto ordinario / 347
17.6 Suplemento para computadora / 256

http://gratislibrospdf.com/

x Contenido

18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares / 358

18.1 Puntos singulares regulares / 358
18.2 Ecuación indicatriz / 360
18.3 Forma y validez de soluciones

cerca de un punto singular regular / 362
18.4 Ecuación indicatriz cuya diferencia

entre las raíces no es un entero / 363
18.5 Diferenciación de un producto de funciones / 367
18.6 Ecuación indicatriz con raíces iguales / 368
18.7 Ecuación indicatriz con raíces iguales:

una alternativa / 374
18.8 Ecuación indicatriz cuya diferencia entre raíces

es un entero positivo: caso no logarítmico / 377
18.9 Ecuación indicatriz cuya diferencia entre raíces

es un entero positivo: caso logarítmico / 381
18.10 La solución para valores grandes de x / 385
18.11 Relaciones de recurrencia

que dependen de varios términos / 388
18.12 Resumen / 392

19 Ecuaciones de tipo hipergeométrico / 396

19.1 Ecuaciones que se tratarán en este capítulo / 396
19.2 Función factorial / 396
19.3 Función hipergeométrica / 397
19.4 Polinomios de Laguerre / 399
19.5 Ecuación de Bessel con índice no entero / 400
19.6 Ecuación de Bessel con índice entero / 401
19.7 Polinomios de Hermite / 402
19.8 Polinomios de Legendre / 403 ,

20 Ecuaciones diferenciales parciales / 404

20.1 Observaciones sobre ecuaciones diferenciales parciales / 404
20.2 Algunas ecuaciones diferenciales parciales

de matemáticas aplicadas / 404
20.3 Método de separación de variables / 406

http://gratislibrospdf.com/

Contenido xi

20.4 Un problema de conducción de calor en una lámina / 411
20.5 Suplemento para computadora / 416

21 Conjuntos de funciones ortogonales / 418

21.1 Ortogonalidad / 418
21.2 Conjuntos simples de polinomios / 419
21.3 Polinomios ortogonales / 419
21.4 Ceros (raíces) de polinomios ortogonales / 421
21.5 Ortogonalidad de los polinomios de Legendre / 422
21.6 Otros conjuntos ortogonales

22 Series de Fourier / 425

22.1 Ortogonalidad de un conjunto de senos y cosenos / 425
22.2 Series de Fourier: un teorema de desarrollo / 427
22.3 Ejemplos numéricos de series de Fourier / 431 >-
22.4 Series de Fourier en términos de senos / 438
22.5 Series de Fourier en términos de cosenos / 441
22.6 Análisis numérico de Fourier / 443
22.7 Cómo mejorar la rapidez de convergencia / 444
22.8 Suplemento para computadora / 445

23 Problemas con valores en la frontera / 447

23.1 La ecuación del calor en una dimensión / 447
23.2 Verificación experimental de la validez

de la ecuación del calor / 453
23.3 Temperatura superficial que varía con el tiempo / 455
23.4 Conducción del calor en una esfera / 457
23.5 La ecuación de onda simple / 458
23.6 La ecuación de Laplace en ocho dimensiones / 461
23.7 Suplemento para computadora / 464

24 Propiedades adicionales de la transformada
de Laplace / 467

24.1 Series de potencias y transformadas inversas / 467
24.2 Función error / 471

http://gratislibrospdf.com/ /

xii Contenido
24.3 Funciones de Besse1 / 478
24.4 Ecuaciones diferenciales con coeficientes variables / 480

25 Ecuaciones diferenciales parciales: métodos de
transformación / 481

25.1 Problemas con valores en la frontera / 481
25.2 Ecuación de onda / 485
25.3 Difusión en un sólido semiinfinito / 488
25.4 Variables canónicas / 491
25.5 Difusión en una lámina de ancho finito / 493
25.6 Difusión en un octante infinito / 496

Respuestas a los ejercicios / 500
Índice / 527

http://gratislibrospdf.com/

Prefacio

Al preparar esta nueva edición de Ecuaciones diferenciales elementales, nos propusimos
alcanzar dos objetivos de importancia primordial: primero, mantener el estilo directo que
los estudiantes y maestros de las ediciones anteriores han aceptado tan bien. Segundo, como
una respuesta a los cambios en la naturaleza de muchos cursos de ecuaciones diferenciales,
agregamos material geométrico nuevo, reorganizamos algunas secciones y añadimos un
componente computacional al texto.

El nuevo material geométrico aparece principalmente en las secciones 1.4 y 11.8. En la
primera, introducimos el concepto de una familia de curvas como solución para una ecua-
ción diferencial; en la sección 11.8 presentamos el concepto de plano fase de un sistema de
ecuaciones. También, el tratamiento de sistemas de ecuaciones lo veremos con más antici-
pación en el presente libro.

De todas las áreas de las matemáticas que se cubren en un plan de estudios universitario
tradicional, el campo de las ecuaciones diferenciales es tal vez sobre el que más influencia
tiene el uso de la computadora. Se han producido numerosos programas que están diseña-
dos específicamente para ecuaciones diferenciales o que tienen subaplicaciones para ese ti-
po de material. En este libro tomamos la decisión, algo arbitraria, de presentar nuestros
ejemplos para computadora utilizando el programa denominado Maple. Pudimos haber
elegido igualmente cualquiera de los otros sistemas de álgebra computacional, como Mathe-
matica, Matlah o Derive. Hay también varios programas muy eficaces para trazar gráficas
numéricas y los cuales producen resultados geométricos excelentes. Entre los más común-
mente disponibles se encuentran MacMath y Phaser.

Cada suplemento para computadora contiene un ejemplo del capítulo correspondiente
y está resuelto con ayuda de Maple. Posteriormente, se presenta un conjunto de ejercicios
que el estudiante puede resolver por medio de cualquiera de los programas disponibles en
el mercado. Nuestro deseo es que estas introducciones, aunque breves, alienten a los lecto-
res a ir más allá del texto y a emprender exploraciones adicionales con la computadora.

Queremos expresar asimismo nuestro agradecimiento a los revisores siguientes por sus
comentarios al manuscrito de la octava edición: Ebrahim Salchi, University ofNevada-Las
Vegas; J. P. Mokanski, University ofGuelph; Thomas G. Berry, University ofManitoba; Gi-
les Wilson Maloof, Boise State University; John H. Ellison, Grove City College; James L.
Handley, Montana Tech; Baigiao Deng, Columbus College y Jay Delkin, University of
Western Ontario.

Phillip. E. Bedient
Richard E. Bedient

xiii

http://gratislibrospdf.com/

http://gratislibrospdf.com/

11 Definiciones;

familias de curvas

I I1.1 Ejemplos de ecuaciones diferenciales

La construcción de modelos matemáticos para tratar los problemas del mundo real se ha des-
tacado como uno de los aspectos más importantes en el desarrollo teórico de cada una
de las ramas de la ciencia. Con frecuencia estos modelos implican una ecuación en la que
una función y sus derivadas desempeñan papeles decisivos. Tales ecuaciones son llamadas
ecuaciones diferenciales. Como en la ecuación (3), una derivada puede estar presente de
manera implícita a través de diferenciales. Nuestra meta es encontrar métodos para resolver
tales ecuaciones; esto es, determinar la función o funciones desconocidas que satisfagan
una ecuación diferencial.

Los siguientes son ejemplos de ecuaciones diferenciales:

dy (1)
- = cosx, (2)
dx (3)
d2y
-2 +k2y =0, (4)
dx
(5)
(x2 + l)dx - 2xydy = O,
(6)
22
(7)
au = h2 (a u + a u) ,

at ax2 ay2

d2i + di + 1 = Eto cos cot;
L- R-
dt -ei
dt?

a-v a2v - ,
ay2
-a+x2--0

2

(d--w2y - xy-dw + w = O,

dx dx

http://gratislibrospdf.com/ 1

2 Capítulo 1 Definiciones; familias de curvas

d3x dx (8)
-dy3 +xd-y - 4xy = 0,
(9)
d (d2 )3-y y
+7 - - 8y = 0,
2
dx dx

(10)

af af (11)
x- +y- =nf.

ax ay

Cuando una ecuación involucra a una o más derivadas con respecto a una variable en par-
ticular, tal variable es llamada independiente. Una variable es dependiente si aparece una
derivada de esa variable. En la ecuación:

d2i di l (5)

L dt2 + R dt + C i = Ewcoswt

i es la variable dependiente, t la variable independiente y L, R, e, E y ro son llamados pará-

metros. La ecuación:

a2 v a2 v (6)

-ax+2 -a=y2 0

tiene una variable dependiente Vy dos variables independientes.

Puesto que la ecuación: (x 2 + i)dx - 2x y dy = O

(3)

puede ser escrita: °x 2 + i
dy
- 2xydx- =

o ¡ d x
-
(x 2 + i ) - 2xy = 0,

dy

podemos considerar a cualquiera de las variables como la variable dependiente y la otra
será la independiente.

• Ejercicios

ldentitique las variables independientes, las dependientes y los parámetros que existan en las ecuaciones
dadas como ejemplos en esta sección.

1.2 Definiciones

El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada de orden más alto que apa-
rezca en la ecuación. Por ejemplo,

http://gratislibrospdf.com/

1.2 Definiciones 3

(1)

es una ecuación de "orden dos". También se le denomina "ecuación de segundo orden".
En general, la ecuación:

F(x , y,y/, oO . ,y(n)) -- O (2)

es llamada ecuación diferencial ordinaria de "orden-n". Bajo restricciones adecuadas so-

bre la función F, en la ecuación (2) podemos despejar explícitamente yen) en términos de las

otras n + 1 variables x, y, y', ... , yen-l), para obtener:

y (n) -_ f( x,y,y,,oO.,y (n - l)) . (3)

Para los propósitos de este libro supondremos que esto siempre es posible. En caso contra-
rio, una ecuación como la (2) se puede representar en la práctica por más de una ecuación
de la forma de la ecuación (3) .

Por ejemplo, la ecuación:

X(y')2 + 4y' - 6x 2 = O

puede representarse por dos ecuaciones diferentes,

y , ,= -2+J4+6x3 o -2-J4+6x3
- - - -- -- - - - - - y' = ------------
x
x

Una función <jJ, definida en un intervalo a < x < b, es llamada solución de la ecuación

diferencial (3), a condición de que las n derivadas de la función existan en el intervalo
a<x<b y:

c/>(n)(x) = f(x, c/>(x), c/>/(x), ... , c/>(n-l)(x)),

para toda x en a < x < b.

Por ejemplo, verifiquemos que:

es una solución de la ecuación:

-d2+y -d-y -6y=0. (4)

dx2 dx

Sustituimos nuestra solución tentativa en el miembro izquierdo de la ecuación (4) Yencon-

tramos que para todos los valores de x:

-d 2y + -dy- - 6y = 4e2x + 2e2x - 6e2x == O,

dx2 dx

lo cual completa la verificación deseada.

http://gratislibrospdf.com/

4 Capítulo 1 Definiciones; familias de curvas

Todas las ecuaciones que consideraremos en el capítulo 2 son de orden uno y, por lo tan-
to, pueden escribirse:

dy

dx = ¡(x, y).

En tales ecuaciones, a veces es conveniente usar las definiciones de cálculo elemental

para escribirlas en la forma: .

M(x, y) dx + N(x, y) dy = O. (5)

Un concepto muy importante en el estudio de ecuaciones diferenciales es el de lineali-

dad. Una ecuación dife rencial ordinaria de orden n es llamada lineal si puede ser escrita en

la forma: .

dn y + b¡ dn - ¡y + ...+ bn- I (x) dy + bn(x) y = R(x).
bo(x)- ( xd)x-n-- ¡ -
dx
dxn

Por ejemplo, la ecuación (1) es no lineal, y la ecuación (4) es lineal. La ecuación:

x2y" + xy' + (x 2 - n2)y = 4x 3

también es lineal.
La noción de linealidad puede ser aplicada también a ecuaciones diferenciales parcia-

les. Por ejemplo,

bo(x, aw + b¡ (x, aw = R(x, y)
Y)ay
y)~

es la forma general de la ecuación diferencial parci al lineal de primer orden con dos varia-
bles independientes, y

a2w a2w a2w

bo(x, y) ax2 + b l (x, y) axay + b2(x, y) ay2

+ b3(x, aw + b4 (x, aw + bs(x, y)w = R(x , y)
y) - y)-

ax ay

es la forma general de la ecuación diferencial parcial Iinéal de segundo orden con dos
variables independientes.

• Ejercicios

Del ejercicio I al 16, establezca si la ecuación es ordinaria o parcial, lineal o no lineal , y dé su orden.

1. 2.

http://gratislibrospdf.com/

1.3 Familias de soluciones 5

3. (x 2 + y2) dx + 2xy dy = O. 10. di + Ri = E.
L-
1l. dt
4. y' + P(x)y = Q(x) . \ 12. (x + y)dx + (3x 2 -l)dy = O.

5. ylll - 3y' + 2y = O. x(y") 3 + (y' )4 - Y = O.

6. yy" = x. 3

7. -a2u +a-2u+ -aa=2zu2 0 . 13. (d-dxw3 y -2 (d- Wy +yw = Ü.
dx
ax2 ay2
14. -dy = 1-xy + y2 .
d 4y
dx
8. -4 = w(x) .
15 . y" + 2y' - 8y = x2 + cos x.
dx
d 2y d 2x 16. ada + bdb = O.

9. xd-t 2- y -d=t 2 c , .

17. Verifique si sen kt es una solución para la ecuación del ejercicio ,l.
18. Verifique si e-2x es una solución para la ecuación del ejercicio 5.

19. Verifique si 3e- 2x + 4e' es una solución para la ecuación del ejercicio 5.

20. La función de Bessel de índice cero está definida por la serie de potencias:

Jo(x) = ~00 (_1)" x2n
(n!) 2221l

Verifique si Jo(x) es una solución para la ecuación diferencial:

xy" + y' + x y = ü.

21. Verifique si para x > O, (2 / -f3)x3/2 es una solución para la ecuación del

ejercicio 6.

1.3 Familias de soluciones

Todo estudiante de cálculo ha invertido una cantidad considerable de tiempo en encontrar-
le soluciones a las ecuaciones diferenciales de primer orden de la forma:

dy (1)
- = f(x).
dx

Este problema de antiderivada con frecuencia es escrito: (2)

fy = f(x )dx + C

y al estudiante se le pide encontrar una sola función de x cuya derivada sea idéntica af(x)
en algún intervalo. Una vez determinada tal función, se demuestra que cualquier otra
función que satisface la ecuación diferencial (1) difiere de la primera función por una cons-
tante para toda x en el intervalo. Este importante teorema establece el hecho de que las so-

http://gratislibrospdf.com/

6 Capítulo 1 Definiciones; familias de curvas

luciones de la ecuación (1) no ocurren aisladas, sino como un a fam ili a de soluc iones con
un parámetro, la ll amada constante arbitraria e de la ecuación (2) .

Si consideramos la ecuación diferencial general de primer orden:

dy (3)
dx = f(x, y),

el problema de encontrar las soluciones, esto es; funciones qy(x) que sati sfagan la ecuaci ón
cuando se sustituya por la variable dependiente y, en general es más difícil, si no imposi-
ble. Sin embargo, como veremos , estas soluciones, c uando ex isten, aparecen como
fam ili as de soluciones con un parámetro.

En el capítu lo 2 estudi aremos varios métodos para encontrar fam ili as de so luciones de
algunos tipos particulares de ecuaciones de primer orden; pero, en general, no ex iste un a
fórm ul a universal que resuelva todas las ecuaciones. Por el momento nos conformaremos
con ilustrar lo que sucede en algunos ejemplos senci llos .

EJEMPLO 1.1 dy (4)
La ecuación diferenci al: - = 8sen 4x (5)
dx
tiene la fam ili a de so luciones:
y = -2cos4x + e,

un a senci lla antideriv ac ión ha producido este resultado.
Si deseamos encontrar un miembro de la familia (5) que sati sfaga la condición adici o-

nal y = 6 cuando x = O, estaremos obli gados a e leg ir e = 8. Ento nces decimos que:

y = - 2cos4x + 8

es la solución al problema de valor inicial:

dy y = 6, cuando x = O. •
- = 8sen 4x ,
dx

EJEMPLO 1.2
Del cálculo, aprendimos que la derivada de la Funciónf(x) = ce2.x esj'(x) = 2ce2.x. Expre-
sado en el lenguaje de ecuaciones diferenciales, decimos que la ec uación diferenc ial:

dy (6)
- =2y
dx

http://gratislibrospdf.com/

1.3 Familias de soluciones 7

tiene la familia de soluciones:

y = ee2x . (7)

Si buscamos una solución de la ecuación (6) que satisfaga: (8)

dy y = 4, cuando x = 0,
dx = 2y,

entonces, de la ecuación (7) vemos que e = 4 Yla solución de (8) es: •
y = 4e2x .

EJEMPLO 1.3 (9)
Considere la ecuación de segundo orden:

Y1/ = 12x2.

Al integrar ambos miembros de esta ecuación con respecto a x se obtiene:

y' = 4x3 + el. (lO)

Una segunda integración produce:

+ +Y =4 (11)
el x e2·
x

En este ejemplo hay dos constantes arbitrarias, de modo que tenemos una familia de solu-
ciones con dos parámetros. Esto significa que para aislar a un miembro de esta familia
necesitamos proporcionar dos partes de información. Por lo común éstas son dadas especi-
ficando los valores de y y y '_para el mismo valor de x. Por ejemplo, suponga que queremos

°encontrar la solución de (9) que también satisfaga y (O) = 1 Yy'(O) = 2. Sustituyendo

x = y y' = 2 en (10) vemos que el = 2, de modo que:

y = x 4 + 2x + e2.

Por último, sustituyendo x = 0, y = 1, vemos que e2 = 1, de modo que la solución reque-

rida es:

EJEMPLO 1.4 •
Considere la familia de curvas con un parámetro:
(12)

http://gratislibrospdf.com/

8 Capítulo 1 Definiciones; familias de curvas

Una diferenciación de ambos miembros de esta ecuación con respecto ax produce:

3x2 - 3 x 2 d y - 6xy = O
-
dx

o

dy x - 2y cuando x =f- O. (13)

dx x

De haber iniciado este ejemplo con la ecuación (13) y tratando de encontrar la familia

de curvas dadas por la ecuación (12), nos habríamos enfrentado a un problema mucho más

desafiante que los de los ejemplos anteriores. Aprenderemos cómo resolver la ecuación
(13) en el capítulo 2. Aquísólo indicaremos que el valor x = Ocrea cierta dificultad tanto
para la ecuación diferencial (13) como para su familia de soluciones:

obtenida de la ecuación (12). •

EJEMPLO 1.5 (14)
Considere la familia de círculos:

(x - 2)2 + (y + 1)2 = e2 .

Una sencilla diferenciación con respecto a x produce:

2(x - 2) + 2(y + dy = O
1)-

dx

o

dy -(x - 2) cuando y =f- -1 . (15)

dx = y + 1 '

Aquí estamos obligados a pensar en la familia de círculos como en dos familias de semi-
círculos, una familia:

J+y = -1 e2 - (x - 2)2 (16)

y la otra:

Jy = -1 - e2 - (x - 2)2 . (1 7)

En la ecuación (16) tenemos una familia de soluciones de la ecuación diferencial para

y > -1, mientras que en la ecuación (17) tenemos una familia de soluciones de (15)
para y < - 1. Para resolver el problema de valor inicial:

dy - (x - 2) y = 2, cuando x = - 1, (18)

dx y + 1 '

http://gratislibrospdf.com/

1.3 Familias de soluciones 9

debemos elegir el parámetro e de la ecuación (16), ya que 2 > -1. Tenemos 2 =
m.-1 + ~e2 - 9 o e =
Por lo tanto, la función:

y = -1 + J18 - (x - 2)2 •

m.es la solución que buscamos. Su gráfica es la de un semicírculo de radio

• Ejercicios

Resuelva las ecuaciones diferenciales de los ejercicios 1 al 6.

1. dy dy 4
-=x3+2x. 4. - x2 - 1
dx
dx 2
dy 3 dy x2 +4
2. - x 5. -
dx 3
dx dy x2 +x
6. -
dy dx
3. - = 4cos6x.

dx

Resuelva los problemas de valor inicial de los ejercicios 7 al 12.

7. dy = 3ex y = 6, cuando x = O.
-
dx '

8. ~~ = 4e-3x, y = 2, cuando x = O.

dy
9. dx = 4y, Y = 3, cuando x = O.

dy
10. dx = -5y, Y = 7, cuando x = O.

11. dy = 4 sen 2x, y = 2, cuando x = tt /2.
-
dx

12. dy = x2 + 3 + e2x, y = -1, cuando x = O.
dx

13. Demuestre que la familia de círculos (x + 1)2 + (y - 3)2 = e2 puede ser interpretada

como dos familias de soluciones para la ecuación diferencial:

dy -(x + 1)

dx y - 3

14. Demuestre que la familia de parábolas y = ax2 puede ser interpretada como dos
familias de soluciones para la ecuación diferencial:
dy 2y
dx x

http://gratislibrospdf.com/

10 Capítulo 1 Definiciones; familias de curvas

después encuentre la solución al problema de valor inicial:
d y 2y y = 2, cuando x = - l.
dx x

¿Para qué valores de x es válida la solución? También observe que no hay solución de esta

ecuación diferencial que satisfagll¡ la condición inicial y = 2 cuando x = O.

1.4 Interpretación geométrica

En la sección 1.3 vimos que por lo común una ecuación de primer orden tiene una familia
de soluciones. Una técnica útil para entender la naturaleza de estas soluciones es trazar las
gráficas de las soluciones representativas de esta familia.

EJEMPLO 1.6 (1)
Trace la gráfica de varios miembros de la familia de sol uciones para la ecuación: (2)

dy
-=8sen4x.
dx

Recuerde de la sección 1.3 que la familia de soluciones es:

y = -2cos4x + c.

Al trazar la gráfica de las soluciones correspondientes a e = 2, 1, 0, -1 obtenemos la figu-

ra 1.1. No es difícil imaginar cómo se verá el resto. •

y

Figura 1.1
http://gratislibrospdf.com/

1.4 Interpretación geométrica 11

La familia de curvas solución con un parámetro del ejemplo 1.6 satisface una propiedad
importante, a saber: por cada punto en el plano pasa exclusivamente un miembro de la
familia de soluciones. Formalizaremos este hecho en la sección 1.6; por ahora sólo afirma-
mos que esto es verdadero para las soluciones de cualquier ecuación diferencial de primer
orden con las restricciones adecuadas.

Si especificamos un punto en el plano, por la propiedad mencionada tendremos exacta-
mente una solución que pase por ese punto. La única curva que resulta es la curva solución del
problema con valor inicial. Esta es la versión geométrica del proceso descrito en la sección 1.3.

Si ampliamos el sentido de estas ideas y las aplicamos en ecuaciones de orden más alto,
encontraremos que sólo se puede conservar parte de la interpretación geométrica.

EJEMPLO 1.7 (3)
Trace la gráfica de varios miembros de la familia de soluciones de la ecuación:

d2y
- = 12x2
dx2

Como vimos en la sección 1.3, la familia de soluciones es: (4)

= + +y x 4 C¡X C2.

°Al trazar las gráficas de las soluciones correspondientes a las parejas de constantes c¡ = 2,

c2 = 1; c¡ = 0, c2 = y c l = 0, c2 = 1 obtenemos la figura 1.2.
Puede apreciarse claramente que estas soluciones no satisfacen la propiedad de unici-

dad del caso de primer orden. Hayal menos dos soluciones que pasan por los puntos (0, 1)
Ypor un punto cercano (- 112, O). Sin embargo, observemos que este par de soluciones no
tiene la misma pendiente en su punto de intersección. Esto es, al especificar una solución

particular para una ecuación de segundo orden, podríamos especificar tanto el punto por

y

----~~~~--~----~----~--- x

Figura 1.2
http://gratislibrospdf.com/

12 Capítulo J Definiciones; familias de curvas

donde pasa la solución como la pendiente en dicho punto. En este caso, dada esta informa-

ción, concluimos que hay una solución única. •

Entonces, la versión de segundo orden de la propiedad geométrica establecida anterior-

mente se transforma en: por cada punto en el plano pasa exclusivamente un miembro de la

familia de soluciones que tiene una pendiente dada. Esta propiedad será analizada con de-

talle en el capítulo 6.

• Ejercicios

l . Para los ejercicios 1 al6 de la sección 1.3, dibujar una muestra representativa de cur-
vas solución.

2. En los ejercicios 7 al 10 de la sección 1.3, dibujar la gráfica de la solución para el pro-
blema de valor inicial.

1 .5 Las isoclinas de una ecuación

En la sección 1.4 conocimos algunas propiedades geométricas de las familias de solucio-
nes que habíamos encontrado por los métodos analíticos de la sección 1.3. En esta sección
veremos que podemos usar métodos geométricos para encontrar curvas solución.

Considere la ecuación de orden uno:

dy (1)
dx = f(x, y).

Podemos pensar en la ecuación (1) como una máquina que asigna a cada punto (a, b) en el
dominio def, alguna dirección con pendientef(a, b). Así, podemos hablar del campo de di-
recciones de la ecuación diferencial. En un senlido real , cualquier solución de la ecuación
(1) debe tener una gráfica, la cual presentará en cada punto la dirección que la ecuación (1)
requiere.

Una manera de visualizar esta idea básica es dibujar una pequeña marca en varios pun-
tos para indicar la dirección asociada con cada uno de esos puntos. Esto puede hacerse un
poco sistemáticamente dibujando primero curvas llamadas isoclinas, esto es, curvas en las
que la dirección indicada por la ecuación (1) es fija.

EJEMPLO 1.8
Considere la ecuación:

-ddyx--y . (2)

Las isoclinas son líneas rectasf(x, y) = y = c. Para cada valor de c obtenemos una recta en

la que, en cada punto, la dirección impuesta por la ecuación diferencial es el número c. Por

ejemplo, en cada punto de la recta y = 1, la ecuación (2) determina una dirección con pen-

diente 1. En la figura 1.3 hemos dibujado varias curvas isoclinas, indicando las direcciones

http://gratislibrospdf.com/

1.5 Las isoclinas de una ecuación 13

y

~~~----~~----~~~----~~---------x

-----" .•.~..-.+..- ..•-.-•.~. .......>'r_---~~~e -= -112

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~c=-I

Figura 1.3

asociadas con cada isoclina mediante pequeñas marcas. Si empezamos en cualquier punto

en el plano y nos movemos a lo largo de una curva cuya dirección sea siempre la de las mar-

cas de dirección, entonces obtendremos una curva solución. En la figura 1.3 podemos apre-

ciar varias curvas solución. •

EJEMPLO 1.9
Use el método de isoclinas para bosquejar algunas de las curvas solución para la ecuación:

dy = x2 + l (3)

dx

lAquí las isoclinas serán los círculos x2 + = e, con e> O. Cuando e = 1, la isoclina

tiene radio 1; para e = 4 el radio es 2. En la figura 1.4 hemos dibujado estas isoclinas, mar-

cando cada una con el indicador de dirección apropiado y, por último, bosquejando varias

curvas que representan soluciones para la ecuación (3). •

• Ejercicios

Para cada una de las ecuaciones diferenciales siguientes, dibuje varias isoclinas con los indicadores de di-
rección apropiados y bosqueje varias curvas solución.

l. dy dy 2y
-=2x.
dx 3. -

dy Y dx x
dy
2. - 4. - = y-x.
dx x dx

http://gratislibrospdf.com/

14 Capítulo J Definiciones; familias de curvas

y

----~----~~~--r-~~~----_+----x

Figura 1.4

dy dy 2
5. --=x+y+l. 8. -- =y-x

dx dx
dy
6. --=x-y-l. dy x
dx 9. -- y
dy
7. -- = 2x - y. dx
dx
dy -x
10. -- y

dx

I 1.61 Un teorema de existencia

Debe ser claro, aún para el lector casual, que dibujar isoclinas no es una herramienta prác-
tica para encontrar soluciones a cualquier ecuación diferencial distinta de aquellas que in-
volucren las funciones más simples. Antes de estudiar algunas de las técnicas analíticas
para determinar soluciones, estableceremos un teorema importante en lo que concierne a
la existencia y unicidad de tales soluciones. En el capítulo 13 estudiaremos con detalle
dicho teorema.

Considere la ecuación de orden uno:

dy (1)
dx = f(x, y).

Sea T la región rectangular definida por:

Ix -xol::: a y Iy - yol ::: b,

una región con el punto (xo' Yo) en su centro. Suponga quef y af/ay son funciones conti-
nuas de x y y en T.

http://gratislibrospdf.com/

1.7 Suplemento para computadora 15

Bajo las condiciones impuestas sobref(x, y) anteriormente, existe un intervalo alrede-
dor de xo' Ix - xol ::; h, Yuna función y(x) que tiene las propiedades:

(a) y = y (x) es una solución de la ecuación (1) en el intervalo Ix - xo l ::; h.

(b) En el intervalo Ix - xo l <: h, y (x) satisface la desigualdad

Iy(x) - yol ::; b.

(c) En x = xo' y = y(xo) = Yo'
(d) y (x) es única en el intervalo Ix - xo l ::; h en el sentido de que es la única función que

tiene todas las propiedades (a), (b) y (e).

El intervalo Ix - xol ::; h puede o no ser más pequeño que el intervalo Ix - xol ::; a en el
cual se impusieron las condiciones sobref(x, y).

En un lenguaje aproximado, el teorema establece que sif(x, y) "se comporta bien" cer-
ca del punto (xo' Yo)' entonces la ecuación diferencial:

dy = f(x , y) (1)
dx

tiene una solución que pasa por el punto (xo' Yo) y esa solución es única cerca de (xo' Yo)'
En el ejemplo 1.8 de la sección 1.5 podemos considerar a (xo' Yo) como cualquier punto

en el plano, ya quef(x, y) = y y su derivada parcial af/ay = 1 son continuas en cualquier

rectángulo. Por 10 tanto, nuestro teorema de existencia nos asegura que para cualquier pun-

to (xo' Yo) existe exactamente una solución, situación que supusimos cuando bosquejamos
las curvas solución en la figura 1.3.

Volvamos al ejemplo 1.9 de la sección 1.5, donde la funciónf(x, y) =X2 + y2 Ysu deri-

vada parcial af/ay = 2y son continuas en cualquier rectángulo. De ahí se deduce que para

cualquier punto (xo' Yo) en el plano existe exactamente una curva solución, un hecho que
está sugerido por las curvas solución en la figura 1.4.

1.7 Suplemento para computadora

En la sección 1.5 estudiamos cómo dibujar el campo de pendientes para la ecuación
diferencial:

dy (1)
- = f(x, y).
dx

El método utilizado consistió en encontrar un conjunto de isoclinas haciendof(x, y) = e

para diferentes valores del parámetro e. Luego se trazaron las curvas y se agregaron los in-

dicadores de dirección de las pendientes. Esta técnica está limitada sólo por nuestra habi -

lidad para trazar la gráfica de las ecuacionesf(x, y) = c. Los ejemplos y ejercicios han sido

seleccionados con cuidado para hacer posible 10 anterior.

http://gratislibrospdf.com/

16 Capítulo 1 Definiciones; familias de curvas

i i i j~i//~/I~/I~/I~
/~ /~ I / / /
! ~ /~

~ II 1////

////..--
///----
/ I //..----

--..--/ /1
---- ///1
..--/////
////I/
///I//

¡¡¡¡ ji

Figura 1.5

Un enfoque más directo se da al considerar un conjunto de puntos {Xi} sobre el eje X y un
conjunto de puntos {Yj } sobre el eje y. Esto da lugar a una cuadrícula de puntos {(Xi' y)} en el,
plano xy. Después cada una de estas parejas puede ser sustituida en (1) para determinar la
pendiente en ese punto, dibujando luego la dirección apropiada de la pendiente. La cantidad
de trabajo necesario para producir un solo indicador de pendiente no es mucho, pero encon-
trar indicadores de pendiente para una cuadrícula de 10 por 10 constituye una tarea conside-
rable. Una vez que el campo de pendientes haya sido dibujado deberemos bosquejar varias
curvas solución que sean representativas. La facilidad con que podamos hacerlo estará en '
proporción directa con el número y densidad de los indicadores de pendiente que dibujemos.

Esta clase de cálculos repetitivos es muy adecuada para implementarla en computadora.
Programas como MacMath (Macintosh) y Phaser (DOS) están diseñados específicamente
para realizar un proceso de este tipo, y programas más generales como Maple, Mathemati-
ca y Matlab tienen comandos para dibujar campos de pendientes y curvas solución.

Por ejemplo, en la sección 1.5 dibujamos un campo de pendientes para la ecuación:

dy x 2 + y2 (2)

-=
dx

usando el método de las isoclinas. Podemos lograr el mismo objetivo con el programa
Maple , donde el comando:

> DEplotl ( diff(y(x) ,x)=xA 2+yA 2 , y(x), x=-2 . . 2, y=-2 .. 2 );

producirá la figura 1.5.
Para trazar las curvas solución agregamos selectivamente varios puntos a partir de los

cuales podamos eTi;pezar. El comando:

> DEplotl (diff(y(x) ,x)=xA 2+yA 2 ,
y(x) , x=-2 .. 2 , {[O,2],[O,O],[O,1]L y=-2 .. 2 );

produce la figura 1.6.

http://gratislibrospdf.com/

1.7 Suplemento para computadora 17

II I I
II I I
II I I
II / I
II / I
I/ / I
// /
/ /
// ,/ /

// ,/ / / /

// - ~,/ ,/ /- / /

,/ ,/ ---- --- ,/ ,/ / / / /
/
/ ,/ ,/ ,/ ,/ / / I /
///I/ / /
/// /II/ / I I
/////I I
II/ //IIII I
IIIIII I
/// IIIIII I
I// I
III
III

Figura 1.6

• Ejercicios

1. En los ejercicios 1 a 10 de la sección 1.5, utilice el programa de computación de su pre-
ferencia para trazar los campos de pendientes y las curvas solución representativas.

2. Considere el problema de dibujar isoclinas para la ecuación dyldx = y sen(y + x).

Éste es un problema muy difícil. Luego utilice la computadora para dibujar el campo
de pendientes y las curvas solución representativas.
3. ¿Qué puede decir acerca de las curvas dibujadas en el ejercicio 2 cuando x ~ 00 y
cuando x ~ -oo? ¿Sus respuestas dependen de las condiciones iniciales?

http://gratislibrospdf.com/

Ecuaciones 2 11
de orden uno

2.1 Separación de variables

En este capítulo estudiaremos varios métodos elementales para resolver ecuaciones dife-
renciales de primer orden. Empecemos con una ecuación de la forma:

Mdx+ Ndy = 0,

donde M YN pueden ser funciones de x y y. Algunas ecuaciones de este tipo son tan senci-
llas que pueden ser puestas en la forma:

A(x) dx + B(y) dy = O; (1)

esto es, las variables pueden separarse. En este caso, una solución puede ser escrita casi de
inmediato. Para ello sólo tenemos que encontrar una función F cuya diferencial total sea el

miembro izquierdo de (1). Por lo tanto, F = e, donde e es una constante arbitraria, es el re-

sultado deseado.

EJEMPLO 2.1
Resuelva la ecuación

dy 2y (2)
para x > O Y Y > O.

dx x

Advertimos que para la función de la ecuación (2) es aplicable el teorema de la sección
1.6, lo que asegura la existencia de una solución continua única que pasa por cada punto en
el primer cuadrante. Separando las variables podemos escribir:

dy 2dx
yx

De aquí obtenemos una familia de soluciones:

Inlyl=2Inlxl+c (3)

o, ya que estamos en el primer cuadrante,

(4)

18

http://gratislibrospdf.com/

2.1 Separación de variables 19

Ahora, si ponemos el =é, podemos escribir: •(5)

y=e¡x2, c»O.

EJEMPLO 2.2
Resuelva la ecuación (2) del ejemplo 2.1 para x 4= O.

Aquí el argumento debe ser hecho en dos partes. Primero, si y 4= 0, podemos proceder
como antes en la ecuación (3). Sin embargo, la ecuación (5) debe ser escrita como:

°Iyl = c)x2 , e) > O. (6)

Segundo, si y = 0, de inmediato vemos que como x 4= 0, Y = es una solución válida

para la ecuación diferencial (2).

Por convención, las soluciones encontradas mediante la ecuación (6) se escriben gene-

ralmente como:

Y = e2X 2 , (7)

donde e2 es un número real arbitrario. Esta forma de expresar las soluciones incluye el

caso especial y = O. Varias curvas solución representativas son mostradas en la figura 2.3.

Sin embargo, debemos ser cautelosos. La función definida por:

g(x)=x2 , x>O

x:::: 0,

y representada con una línea más oscura en la figura 2.1, obtenida al juntar dos arcos parabó-
licos diferentes, también podría ser considerada solución de la ecuación diferencial, aun-

y

--------------~~~~~-------------- x

Figura 2.1
http://gratislibrospdf.com/

20 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno

que dicha función no esté incluida en la familia de la ecuación (7). El enunciado de unici-

dad en el teorema de la sección 1.6 nos indica que, en tanto restrinjamos nuestra atención

a un punto (xo' Y~ con Xo =1= O, Y considerando un rectángulo con centro en (xo' Yo) que no
contenga puntos en los que x = O, entonces en ese rectángulo existe una solución única que

pasa por (xo' Yo) y es continua dentro del rectángulo. •

EJEMPLO 2.3
Resuelva la ecuación:

(8)

con la "condición inicial" de que cuando x = O, Y = -1.
Si escribimos esta ecuación en la forma:

dy -(1 + y2)
dx 1 + x2 '

observamos que el miembro derecho y su derivada parcial con respecto a y son continuas
cerca de (O, -1). Deducimos entonces que existe una solución única para la ecuación (8)
que pasa por el punto (O, -1).

De la ecuación diferencial obtenemos:

~1 + +x2 ~1 +-y2O- ,

de la cual se concluye inmediatamente que: (9)

arctan x + arctan y = c.

En el conjunto de soluciones (9), cada "arctan" representa el valor principal de la inver-
sa de la tang·ente y está sujeta a la restricción:

-217l" < arctan x < 217l" ·

La condición inicial de que y = -} cuando x = Onos permite determinar el valor de e que
debe ser usado para obtener la solución particular deseada. Ya que arctan O = O Y

tarctan( -1) = - 7T, la solución al problema de valor inicial es:

i+arctan x arctan y = - 7l". (10)

Ahora suponga que deseamos bosquejar la gráfica de (10). Mediante un recurso de tri-
gonometría, tomamos la tangente de cada lado de (10). Como:

tan(arctan x) = x

y tan (A + B) = tanA+tanB
-----
1 - tan A tan B

http://gratislibrospdf.com/

2.1 Separación de variables 21

obtenemos la ecuación: x+y
o - -- = - 1,
1 - xy
xy - x - y - 1 = O. (11)

Ahora (11) es la ecuación de una hipérbola equilátera con asíntotas x = 1 YY = l. Pero si
regresamos a (10), vemos de:

arctan x = - ~ 7r - arctan y

!que, como ( - arctan y) < 7T,

arctan x < ~7r.

Concluimos que x < 1, Yque la ecuación (10) sólo representa una rama de la hipérbola (11).

En la figura 2.2, la curva trazada con una línea continua es la gráfica de la ecuación (10); dicha

curva junto con la trazada en línea discontinua forman la gráfica de la ecuación (l1).

Cada rama de la hipérbola (11) representa una solución de la ecuación diferencial; una ra-

ma para x < 1 Yla otra para x > 1. En este ejemplo nos vimos forzados a circunscribirnos

a la rama izquierda, ecuación (10), por la condición inicial de que y = - 1 cuando x = O.

Puede advertirse una distinción entre las ecuaciones (10) y (11) observando que una

computadora, dada la ecuación diferencial (8) y buscando una solución que pase por el

punto (O, -1), estaría condicionada a prolongar la rama izquierda de la curva en la figura

2.2. La barrera (asíntota) en x = 1 impediría a la computadora detectar la existencia de la

otra rama de la hipérbola (11). •

y

\
\

I ... __

I

_ _ _ L __ _ _______ _
I

o

-----~~-+_-~------x

Figura 2.2
http://gratislibrospdf.com/

22 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno

EJEMPLO 2.4

Resuelva el problema de valor inicial:

°donde x = y y = - 2. 2x(y + l)dx - ydy = 0, (12)

Al separar las variables en la ecuación (12), obtenemos:

(1 - _1_)2xdx = dy, y:j:.-l.
y+1

Una vez integrado conseguimos una familia de soluciones dada implícitamente por:

x2 = y - In Iy + 11 + c. (13)

°Ya que buscamos un rruembro de esta farrulia que pase por el punto (0, - 2), debemos tener:
= -2 - In I - 11 + c ,

o

c = 2.

Así, la solución al problema está dada implícitamente por:

x2 = y -In Iy + 11 + 2.

Debe usted observar cómo se aplica el teorema de la sección 1.6 a este problema para in-
dicar que hemos encontrado implícitamente la solución única al problema de valor inicial,

solución que es continua para y < -l. Podemos apreciar una muestra representativa de cur-

vas solución en la figura 2.3, donde la solución particular fue trazada con una línea más
oscura. Observe que algunas de estas curvas no son gráficas de funciones y deben dividirse
en arcos separados en el punto donde crucen a la recta y = 0, como se hizo en el ejemplo 2.2.

y

----~~_+------+-----_+--~----- x

Figura 2.3 •
http://gratislibrospdf.com/

2.1 Separación de variables 23

• Ejercicios

En los ejercicios 1 al6 obtenga la solución particular que satisfaga la condición inicial dada. En cada ejer-

cicio interprete su respuesta a la luz del teorema de existencia de la sección 1.6 y dibuje una gráfica de la

solución. --

1. dr/dt = -4rt; cuando t = O, r = ro .
2. 2xyy' = 1 + y2; cuando x = 2, Y = 3.
3. xyy' = 1 + y2; cuando x = 2, Y = 3.
4 . 2ydx = 3xdy; cuando x = 2, Y = 1.
5. 2y dx = 3x dy; cuando x = - 2, Y = l.
6. 2ydx = 3x dy; cuando x = 2, Y = -1.

En los ejercicios 7 al 10 obtenga la solución particular que satisfaga la condición inicial dada.

7. y' = X exp (y - X2); cuandox = O, Y = O.

4.8. xy2 dx + eX dy = O; .cuando x --+ 00, y --+

9. (2a 2 - r2) dr = r 3sene de; cuando e = O, r = a.
10. v(dv/dx) = g; cuando x = xo, v = Vo·

En los ejercicios 11 al 37 obtenga la solución general.

11. (1 - X)y' = y2. 24. (1 - y)y' = x2.
25. x2yy' = eY.
12. sen x seny dx+cos x cos y dy =O. =26. tan2 ydy sen 3 x dx.
13. xy3 dx + ex2 dy = O. 27. y' = cos2 X cos y.
28. y' = Y secx.
14. 2ydx = 3xdy . 29. dx = t(1 + t2) sec2 x dt.
15. mydx = nxdy. 30. (e2x + 4)y' = y.
16. y' = xy2. 3l. a df3+f3 da+af3(3 da+d(3) = O.

17. dV/dP = -V/P. 32. O+lnx)dx+(1+1ny)dy =0.
= +18. ye2x dx (4 e2x ) dy.
19. dr = b(cose dr + rsene de). 33. x dx - J a2 - x2 dy = O.
20. xy dx - (x + 2) dy = O. 34. xdx + Ja 2 - x 2 dy = O.
2l. x 2 dx + y(x -l)dy = O. 35. a2 dx = xJx2 - a2 dy .
22. X cos2 y dx + tan y dy = O. 36. ylnxlnydx + dy = O.
23. xy3 dx + (y + l)e-X dy = O.
37. (xy +x)dx = (x2y2 +x2 + y2 + l)dy.

http://gratislibrospdf.com/

24 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno

2.2 Funciones homogéneas

Los polinomios en los que todos los términos son del mi smo grado, como: (1)

x2 -3xy +4l,
x3 + i,

x4 y + 7i,

son llamados homogéneos. Ahora deseamos ampli ar el concepto de homogeneidad y apli-

carlo a otras funciones más que a polinomios.

Si asignamos una dimensión física, digamos una longitud, a cada variable x y y en los

polinomios dados en (1), entonces cada po linomio tendrá también una dimensión fís ica,

un a longitud a :!lguna potencia. Esto sugiere la generalización deseada. Si, cuando ciertas

variables son conceptualizadas como longitudes, una función tiene la dimensión física lon-

gitud elevada a la k-ésima potencia, entonces decimos que la función es homogénea de grado

k en esas variables. Por ejemplo, la función:

Y)f(x, y )=2i exp - - -X4- (2)
(x x + 3y

es de dimensión (longitud)3 cuando x y Y son longitudes. Por lo tanto, se dice que esa
función es homogénea de grado 3 en x y y .

Permitimos que el grado k sea cualquier número. La función -V x +4 Y es llamada homo-

tgénea de grado en x y y. La función:

x

es homogénea de grado cero en x y y.
Una definición formal de homogeneidad es: lafunciónf(x, y) es homogénea de grado k

en x y Y si, y sólo si,

f(h , Ay ) = Ak f(x , y ). (3)

Puede extenderse fácilmente el sentido de esta definición y aplicarse a funciones de más de
dos variables.

Para la funciónf(x, y) de la ecuación (2), la definición formal de homogeneidad nos lle-
va a considerar:

Pero vemos de inmediato que:

fCh , Ay) = A3 f(x, y);

en consecuencia f( x, y) es homogénea de grado 3 en x y y, como se estableció antes.
Los teoremas siguientes demostrarán su utilidad en la próxima sección.

http://gratislibrospdf.com/

2.3 Ecuaciones con coeficientes homogéneos 25

Teorema 2.1 Si M(x, y) y Nix, y) son homogéneas ydel mismo grado, lafunciónM(x, y)lN(x, y) es homo-
génea de grado cero.

La demostración del teorema 2.1 se deja al estudiante.

Teorema 2.2 Si f( x, y) es homogénea de grado cero en x y y, entonces f( X, y) es solamente unafunción de x/y.

Demostración. Supongamos que y = vx. El teorema 2.2 establece que sif(x, y) es ho-
mogénea de grado cero, entonces f(x, y) será sólo una función de v. Ahora.:

f(x, y) = f(x, vx) = xo fO, v) = f(1, v), (4)

en la que la x está desempeñando el papel tomado por A. en la definición (3). Por (4),

f(x, y) sólo depende de v, como se establece en el teorema 2.2. •

• Ejercicios

Determine en cada ejercicio si la función es o no homogénea. Si es homogénea establezca el grado de la
función.

l. 4x2 - 3xy + y2. 1l. x2 + 3xy

2. x3_xy+y3. x -2y

3. 2y+Jx2+y2. x5

4. rx=y. 12. x2 + 2y2·
13. (u2 + v2)3/2.
5. eX.
14. (u2 _ 4v2)-1/2.
6. tanx.
X
7. exp (~).
15. ltan-
3y y
8. tan-o
(x2+y2)1/2
x 16. (x2 _ y2) 1/2 .

(2;)9. (x2 + y2) exp + 4xy. a +4b

yx 17. ---
10. x sen - - y sen -.
a -4b
xy x

18. In-.
y

20.19. x Inx - y In y.
x Inx - x Iny.

12.3 1 Ecuaciones con coeficientes homogéneos (1)

Suponga que los coeficientes M y N en la ecuación de orden uno,

M(x, y) dx + N(x, y) dy = O,

http://gratislibrospdf.com/

26 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno

son ambas funciones homogéneas y del mismo grado en x y y. Por los teoremas 2.1 y 2.2
de la sección 2.2, el cociente M/N sólo es una función de y Ix. De aquí que la ecuación (1)
pueda expresarse en la forma:

dy + g ( ~ ) = O. (2)

dx x

Esto sugiere la introducción de una nueva variable v haciendo y = vx. Entonces (2) se
transforma en:

dv + v + g(v) = 0, (3)
x-
dx

donde las variables son separables. Podemos obtener la solución de (3) por el método de la

sección 2.1, introduciendo y Ix por v, y llegar así a la solución de (l). De esta manera de-

mostramos que la sustitución y = vx transformará la ecuación (1) en una ecuación en v y x

donde las variables son separables.

El método anterior habría sido igualmente útil si se usara x = vy para obtener, a partir de

(1), una ecuación en y y v. Véase el ejemplo 2.6. .

EJEMPLO 2.5
Resuelva la ecuación:

l)(x 2 - xy + dx - xy dy = O. (4)

Ya que los coeficientes en (4) son homogéneos y de grado dos en x y y, hacemos y = vx.
Entonces (4) se transforma en:

+ +(x 2 - x 2 v x 2 v2 ) dx - x 2 v(v dx x dv) = 0,

de la cual el factor x? será eliminado de inmediato. Hecho eso, tenemos que resolver:

(1- v + v2 )dx - v(vdx + xdv) = 0,

o
(l-v)dx-xvdv=O.

Por lo que separamos las variables para obtener:

dx + vdv = O.

x v-I

Entonces de:

-dx + [ 1+-1 -] dv=O

x v- 1

http://gratislibrospdf.com/

2.3 Ecuaciones con coeficientes homogéneos 27

una familia de soluciones será: •

In Ixl + v + In Iv - 11 = In lel,

o
x(v - 1)ev = e.

En términos de las variables originales, estas soluciones están dadas por:

x (~ - 1) exp (~) = e,

o

(y - x) exp (~) = c.

EJEMPLO 2.6
Resuelva la ecuación

xydx + (x 2 + l)dy = O. (5)

donde los coeficientes son de nuevo homogéneos y de grado dos. Podríamos usar y = vx,

pero la simplicidad relativa del término dx en (5) sugiere que hagamos x = vy. Entonces
dx = v dy + y dv, y la ecuación (5) es remplazada por:

vl(v dy + Y dv) + (v2l + y2) dy = 0,

·0

v(v dy + Y dv) + (v2 + 1) dy = O.

De aquí que necesitemos resolver: (6)

vy dv + (2v 2 + 1) dy = 0,

lo cual nos conduce de inmediato a:

In (2v2 + 1) +4lnlyl = lne,

o

y\2v2 + 1) = c.

Así, las soluciones deseadas están dadas por:

http://gratislibrospdf.com/

28 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno

esto es,

(7)

Ya que el miembro izquierdo de la ecuación (7) no puede ser negativo, podemos, por sime-
tría, cambiar la constante arbitraria a e 14, escribiendo:

=Es útil, principalmente para el estudiante, resolver la ecuación (5) usando y vx. Ese

método conduce directamente a la ecuación:

+(v 3 2v) dx + x(v2 + 1) dv = O.

En las ecuaciones con coeficientes homogéneos, a menudo es por completo irrelevante

si se utiliza y = vx o x = vy. Sin embargo, algunas veces es más fácil sustituir la variable

cuya diferencial tenga el coeficiente más sencillo. •

• Ejercicios

En los ejercicios 1 al 21 obtenga una familia de soluciones.

+'- 1. 3(3x 2 y2) dx - 2xy dy = O.
2. (x - 2y)dx + (2x + y)dy = O.
+3. 2(2x2 y2) dx - xy dy = O.
4. +xy dx - (x 2 3y2) dy = O.
5. x2y' = 4x2 + 7xy + 2y 2.
6. 3xy dx + (x 2 + y2) dy = O.
+7. (x - y)(4x y)dx +x(5x - y)dy = O.
+8. (5v - u)du (3v -7u)dv = O.
+9. (x 2 2xy - 4y2) dx - (x 2 - 8xy - 4l) dy = o.
10. + +x(x 2 y2)2(y dx - x dy) y6 dy = O.
lI. (x 2 + y2) dx + xy dy = O.
12. xydx - (x + 2y)2dy = O.
13. v2dx +x(x + v)dv = O.

14. [x csc (ylx) - y]dx +xdy = O.

+15. x dx sen2 (ylx)[y dx - x dy] = O.
+16. (x - ylny ylnx)dx +x(1ny -ln x)dy = O.
l7 . [x - y arctan (y Ix)) dx + x arctan (y Ix) dy = O.

18. y 2 dy = x(xdy - ydx)ex / y •

+19. t(s2 t 2) ds - s(s2 - t 2) dt = O.

http://gratislibrospdf.com/

2.4 Ecuaciones exactas 29

20. ydx=(x+Jy2-x 2)dy.

21. (3x 2 - 2xy + 3y2) dx = 4xy dy.

22. Demuestre que con ayuda de la sustitución y = vx, puede resolverse cualquier ecua-
ción de la forma

y" f(x) dx + H(x, y)(y dx - x dy) = O,

donde H (x, y) es homogénea en x y y.

En los ejercicios 23 al 35 encuentre la solución particular indicada.

23. (x - y)dx + (3x + y)dy = O; cuando x = 3, Y = -2.
24. (y - Jx 2 + y2)dx - xdy = O; cuando x = O, y = l.
25. (y + Jx2 + y2) dx - x d y = O; cuando x = .)3, y = l.
+26. [x cos2 (y/x) - y] dx x dy = O; cuando x = 1, y = 71:/ 4.
27. (y2 + 7xy + 16x2) dx + x2 dy = O; cuando x = 1, y = 1.
28. y2 d x + (x 2 + 3xy + 4 y2) dy = O; cuando x = 2, y = l.
29. xy dx + 2(x2 + 2y2) d y = O; cuando x = O, Y = l.
30. y(2x2 - xy + y2) dx - x2(2x - y) dy = O; cuando x = 1, y = ~.

3l. y(9x - 2y)dx - x(6x - y)dy = O; cuando x = 1, y = 1.

32. y(x 2 + y2) dx + x(3x 2 - 5y2) d y = O; cuando x = 2, y = l.
33. (16x + 5y) dx + (3x + y)dy = O; la curva pasa por el punto (1, -3).

34. v(3x + 2v) dx - x2dv = O; cuando x = 1, v = 2.
35. (3x2 - 2y2) YI = 2xy; cuando x = O, y = -1 .

36. De los teoremas 2.1 y 2.2 de la sección 2.2, se deduce que si F es homogénea de gra-
do k en x y y, F puede ser escrita en la forma:

(A)

Utilice la ecuación (A) para demostrar el teorema de Euler: si F es una función
homogénea de grado k en x y y, entonces:

aF aF

xa-x+y-a=y kF.

2.4 Ecuaciones exactas

En la sección 2.1 se hizo notar que cuando una ecuación puede ser puesta en la forma:

A(x) dx + B( y) d y = O,

http://gratislibrospdf.com/

30 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno

siempre será posible determinarle un conjunto de soluciones por medio de integración, es-

to es, encontrando una función cuya diferencial sea A(x) dx + B (y) dy.

Esa idea puede ampliarse y ser aplicada en algunas ecuaciones de la forma:

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (1)

en las que la separación de variables no es posible. Suponga que se puede encontrar una

función F(x, y) en la que su diferencial tenga la expresión M dx + N dy; esto es,

dF = M dx + N dy. (2)

Entonces, naturalmente,

F(x, y) = c (3)

defina de manera implícita un conjunto de soluciones para la ecuación (1). De (3) se
deduce que:

dF=O,

o, en vista de (2),

Mdx+ Ndy = 0,

como se deseaba.

En este punto son necesarias dos cosas: (1) encontrar bajo qué condiciones impuestas a

M y N tiene lugar una función F tal que su diferencial total sea exactamente M dx + N dy;

Y (2), si dichas condiciones son satisfechas, determinar realmente la función F. Si existe

una función F tal que:

Mdx +Ndy

sea precisamente la diferencial total de F, decimos que la ecuación (1) es una ecuación exacta.
Si la ecuación:

Mdx+Ndy=O (1)

es exacta, entonces, por definición, existirá una F donde:

dF= Mdx + Ndy.

Pero, por razones de cálculo, se tiene:

dF = aF x + aF y ,
-axd -ady

de modo que:

aF aF
M=a-x' N=a-y.

http://gratislibrospdf.com/

2.4 Ecuaciones exactas 31

Estas dos ecuaciones nos conducen a:

aM aN
ay y ax = axay

Y, de nuevo por cálculo, tenemos:

a2 F a2 F

ayax - axay'

a condición de que estas derivadas parciales sean continuas. Por lo tanto, si (1) es una ecua-
ción exacta, entonces:

aM aN (4)
ay ax

Así, para que (1) sea exacta es necesario que (4) sea satisfecha.
Ahora mostraremos que si la condición (4) se satisface, entonces (1) es una ecuación

exacta. Sea cP(x, y) una función para la cual:

acP = M.
ax

La función cP es el resultado de integrar M dx con respecto a x mientras y se mantiene cons-
tante. Luego,

a2cP aM
ayax ay ,

en consecuencia, si (4) se satisface, también:

a2cP aN (5)
axay = ax

Integramos ambos miembros de la ecuación (5) con respecto a x, manteniendo fija a y. En
la integración con respecto a x, la "constante arbitraria" puede ser cualquier función de y.
Le llamamos B 'ey), por comodidad al indicar su integral. Entonces la integración de (5)
con respecto a x produce:

acP = N + B'(y). (6)

ay
Ahora puede ser representada una función F, a saber,

F = cP(x, y) - B(y),

para la cual:

dF = acP dx + acP dy - B'(y) dy

ax ay

= M dx + [N + B'(y)] dy - B'(y) dy

=Mdx+Ndy.

http://gratislibrospdf.com/

32 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno

De aquí concluimos que la ecuación (1) es exacta. Así terminamos una demostración del
teorema establecido a continuación.

Teorema 2.3 Si M, N, aM / ay y aN / ax son funciones continuas de x y y, entonces una condición nece-
saria y suficiente para que:

Mdx +Ndy = O (1)

sea una ecuación exacta es que:

ay ax (4)

Además, la demostración contiene el principio del método que utilizaremos para obte-
ner un conjunto de soluciones en los ejemplos 2.7 y 2.8.

EJEMPLO 2.7 3x(xy - 2) dx + (x 3 + 2y) dy = O. (7)
Resuelva la ecuación:
y
Primero, como:

concluimos que la ecuación (7) es exacta. Por lo tanto, su solución es F = c, donde:

aF = M = 3x2y - 6x (8)

- (9)
ax

y,

aF 3

ay=N=x +2y.

Tratemos de determinar F a partir de la ecuación (8). Al integrar ambos miembros de (8)
con respecto a x, manteniendo constante a y, se obtiene:

(10)

donde la constante arbitraria usual en la integración indefinida ahora es necesariamente
una función T (y), hasta ahora desconocida. Para determinar T (y), usamos el hecho de que
la función F de la ecuación (10) debe satisfacer la ecuación (9). De aquí que:

x 3 + T'(y) = x 3 + 2y,

T'(y) = 2y.

http://gratislibrospdf.com/

2.4 Ecuaciones exactas 33

No se necesita una constante arbitraria en la obtención de T (y), puesto que será introduci-
da una en el lado derecho en la solución F = c. Entonces:

y de (10)

Por último, un conjunto de soluciones para la ecuación (7) está definido por: •

x3y - 3X2 + y2 = c.

EJEMPLO 2.8 (2x 3 - x l - 2y + 3) dx - (x 2y + 2x) dy = O. (11)
Resuelva la ecuación:

Aquí,

-aaMy = -2xy-2 = aN

-ax'

de modo que la ecuación (11) es exacta. (12)
Un conjunto de soluciones para (11) es F = c, donde: (13)

-aaFx = 2x3 - xy2 - 2y + 3

y

-aaFy = -x2 y-2x.

Ya que (13) es más sencilla que (12), y para variar un poco, iniciamos la determinación
de F a partir de la ecuación (13). Veamos,

F = -4x2l- 2xy + Q(x),

donde Q (x) será d@terminadade(12). De la última se obtiene:

- x l - 2y + Q'(x) = 2x 3 - xl - 2y + 3,
Q' (x) = 2x 3 + 3.

Por lo tanto,

http://gratislibrospdf.com/

34 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno
y el conjunto de soluciones deseado para (11) está definido de manera implícita por:

o

•

• Ejercicios

Analice cada una de las ecuaciones siguientes para saber si son exactas y resuélvalas. Las que no lo sean
podrán resolverse con los métodos estudiados en las secciones anteriores.

1. (x + y) dx + (x - y) dy = O. 4. (2xy + y) dx + (x 2 - x) dy = O.

2. (6x+y2) dx+y(2x-3y) dy = O. 5. (x-2y)dx+2(y-x)dy=0.

3. (2xy-3x 2) dx+(x 2+y) dy = O. 6. (2x-3y)dx+(2y-3x)dy = o.

7. Resuelva el ejercicio 5 con otro método.

8. Resuelva el ejercicio 6 con otro método.

9. (y2 _ 2xy + 6x) dx - (x 2 - 2xy + 2) dy = O.

10. v(2uv2 - 3) du + (3u 2v2 - 3u + 4v) dv = O.
11. (cos 2y - 3x2y2) dx + (cos 2y - 2x sen 2y - 2x3 y) dy = O.

12. (1 + y2) dx + (x 2y + y) dy = O.
13. (1 + l + xy2) dx + (x 2y + y + 2xy) dy = O.
+ + +14. (w 3 wz2 - z) dw (Z3 w 2z - w) dz = O.
15. (2xy - tan y) dx + (x 2 - x sec2 y) dy = O.

16. (cosx cos y - cotx)dx - sen x senydy = O.

17. (r + sen e - cos e) dr + r(sen e + cos e) de = O.
18. x(3xy - 4 y 3 + 6) dx + (x 3 - 6x2y2 - 1) dy = O.
19. (sen e - 2r cos2 e) dr + r cos e(2r sen e + 1) de = o.
20. [2x + y cos (xy)] dx + x cos (xy) dy = O.
21. 2xydx + (y2 +x2)dy = O.
22. 2xy dx + (l - x2) dy = O.
23. (xy2 + y - x) dx + x(xy + 1) dy = O.
24. 3y(x2 - 1) dx + (x 3 + 8y - 3x) dy = O; cuando x = O, Y = 1.
25. (1 - xy)-2 dx + [y2 + x2(1 - xy)-2] dy = O; cuando x = 2, Y = 1.

26. (3 + Y + 2l sen2 x)dx + (x + 2xy - y sen 2x) dy = O.
27. 2x[3x + y - y exp (_x2)] dx + [x 2 + 3y2 + exp (_x2)] dy = O.
28. (xy2 +x - 2y + 3)dx +x2ydy = 2(x + y)dy; cuando x = 1, Y = 1.

http://gratislibrospdf.com/