ecuaciones-diferenciales-rainville-bedient-bedient

10.10 Suplemento para computadora 185

x
60
40

- 40
- 60

Figura 10.5

Utilice una computadora para explorar una variación de la idea de resonancia. En lugar de hacer f3 = m,
veamos el caso donde f3 - m es pequeño. En esa circunstancia observamos un fenómeno conocido como

ruido.

4. Utilice una computadora para trazar la gráfica de la ecuación de resonancia usada
anteriormente.

5. Modifique la ecuación para OJ = 0.9.

6. ¿Qué puede decir acerca de la naturaleza de la gráfica obtenida en el ejercicio inme-
diato anterior?

7. ¿Qué tan pequeña necesita ser la diferencia de f3 - OJpara que produzca ruido?

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Sistemas de
ecuaciones lineales

111.1 1 Introducción

En este capítulo veremos que ciertos problemas que se presentan en el estudio de circuitos
eléctricos y en el estudio de la carrera armamentista conducen de manera natural a la aplica-
ción de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Aunque el
tema sobre sistemas de ecuaciones puede ser estudiado en un contexto más amplio que im-
plique coeficientes que no sean constantes, en este libro no lo haremos así.

111.2 1 Sistemas de primer orden con coeficientes constantes

En las secciones siguientes mostraremos cómo puede ser utilizada el álgebra matricial

para reducir el problema de resolver sistemas de ecuaciones diferenciales a una rutina al-

gebraica. Pero antes de que hagamos eso es importante observar que un sistema de ecua-

ciones lineales de orden mayor que uno puede ser escrito en términos de un sistema de

primer orden.

Por ejemplo, considere la ecuación:

y" + 2y' - Y = eX. (1)

Si hacemos u = y', entonces la ecuación (1) se transforma en:
u' = y - 2u + ex.

En otras palabras, la ún; "ecuación de segundo orden (1) ha sido sustituida por el sistema

de primer orden:

y' = u , (2)

u' = y - 2u + eX.

De manera análoga, la ecuación de tercer orden: (3)

y'" + 2y" - y' + 3y = x

puede ser escrita como un sistema de ecuaciones de primer orden seleccionando nuevas

variables: u = y' y v = u' = y" .

186

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11.3 Solución de un sistema de primer orden 187

Entonces la ecuación (3) se convierte en:
v' = - 2v+u-3y+x,

y podemos considerar el sistema de pri,mer orden:

y = u,

u' = v, (4)

v' = u - 2v - 3y + x ,

como equivalente a la ecuación (3). (5)

El sistema de ecuaciones de segundo orden:

y" - y + Sv' = x,
2y' - v" + 4v = 2,

puede ser sustituido por un sistema de primer orden si hacemos u = v' y w = y', de modo que:

u' = 4v + 2w - 2,

v' = u , (6)

w' = - Su + y + x,

y' = w .

• Ejercicios

En los ejercicios del 1 al 5 sustituya la ecuación dada por un sistema de ecuaciones de primer orden.

1. y" - 6y' + 8y = x + 2. 3. y" + py' + qy = f(x).
2. y" + 4y' + 4y = eX. 4. y '" + py" + qy' + ry = f(x).

5. =y (4) - Y O.

En los ejercicios del 6 al 9 sustituya el sistema dado por un sistema equi valente de ecuaciones de primer

orden.

6. v' - 2v + 2w' = 2 - 4e2x, 2v' - 3v + 3w' - w = O.
7. (3D + 2)v + (D - 6)w = Sex, (4 D + 2)v + (D - 8)w = Sex + 2x - 3.
8. (D2 + 6)y + D v = O, (D + 2)y + (D - 2)v = 2.
9. D2y - (2D - l) v = 1, (2D + l)y + ( D2 - 4)v = O.

111.31 Solución de un sistema de primer orden

Considere el sistema de primer orden:

ddxt = y ,

dy (1)
-
dt = -2x + 3y.

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188 Capítulo 11 Sistemas de ecuaciones lineales

Podemos volver a escribir este sistema en la forma: (2)

Dx - y = O,

2x + (D - 3)y = O.

Al aplicar el operador D - 3 a la primera ecuación y sumar las dos ecuaciones, eliminamos
la variable y para obtener:

(D 2 - 3D + 2)x = O. (3)

De manera análoga podemos eliminar x del sistema (2), entonces: (4)

(D2 - 3D + 2) y = O.

Así nos damos cuenta de que las soluciones para las ecuaciones (1) son de la forma:

+x = c ¡e21 C2el,
+y = C3e21 C4 el ,

donde hay algunas relaciones entre las cuatro constantes Cl' e2, e3, e4 que podemos deter-
minar por sustitución regresiva en las ecuaciones (1).

Una manera alterna de visualizar la naturaleza de las soluciones para el sistema (1) es

que desde el inicio esperemos la existencia de soluciones en la forma:

x = llll

Cle ,

y = e2 el1ll , (5)

donde las constantes el' e2 y m deben ser determinadas por sustitución en (1). Si hacemos
esto encontramos:

y

o (6)

+-mc¡ e2 = O,
-2e¡ + (3 - m)e2 = O.

El sistema (6) puede tener soluciones no triviales para el y e2 sólo si el determinante:

- m JI (7)
I -2 3-m

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11.4 Repaso de álgebra matricial 189

es cero. Esto es,

m 2 - 3m + 2 = (m - l)(m - 2) = O.

Además, si m = 1, el sistema (6) nos lleva a la condición c2 = cl' Ypara m = 2 estaríamos

forzados a tomar c2 = 2cl. Por lo tanto, tendríamos dos soluciones distintas de la forma de
las ecuaciones (5), dadas por:

(8)

y

x = cle2t , (9)
y = 2c ,e2t •

Un examen cuidadoso de lo que hemos hecho aquí nos lleva a sospechar que el problema
de álgebra elemental, de encontrar soluciones no triviales para el sistema (6), tiene la clave
que nos ayudará a resolver el sistema de ecuaciones diferenciales (1). La formalización de
este procedimiento se realiza mejor con alguna ayuda de la notación de vectores y matri-
ces. En la sección siguiente resumimos la cantidad mínima de álgebra matricial requerida
aquí para nuestros propósitos.

\11.4\ Repaso de álgebra matricial

En este punto suponemos que el estudiante está familiarizado con el cálculo elemental de
funciones vectoriales. Las ideas básicas que esto implica son deducidas a partir de la
definición:

(1)

y de las propiedades de la suma de vectores, multiplicación de vectores por números y el

producto escalar de vectores. La mayoría de los textos y cursos de cálculo elemental pro-

porcionan toda el álgebra requerida.

No siempre los estudiantes que han terminado un curso de cálculo elemental están

familiarizados con el uso del álgebra matricial. Por lo tanto, aquí incluiremos una breve

introducción adecuada a nuestros propósitos.

Una matriz es un arreglo rectangular de números. Por ejemplo, los arreglos siguientes

son matrices:

i) ,GA = ~) , B = (~ (1 2 1)e -_ 3 1 2 .
2 -1

Cada uno de los números en la matriz es llamado elemento de esa matriz.

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190 Capítulo 11 Sistemas de ecuaciones lineales

Se dice que una matriz es de dimensión n x m (n por m) si tiene n renglones y m colum-
nas. Así, la matriz general n x m puede escribirse como:

donde aij indica el número que se halla en el renglón i y la columna).

Dos matrices de la misma dimensión son iguales si los elementos correspondientes son

iguales.

La suma está definida sólo para dos matrices de la misma dimensión, y se define ele-

mento a elemento. Por ejemplo, la suma de dos matrices 2 X 3 se realiza como sigue:

c) (g i) (a i)a bh
k
(d e f
+) l = +g b+h fc++1 . (2)
e+k
d +)

Cualquier matriz puede multiplicarse por un número al multiplicar cada uno de sus ele-
mentos por ese número. Por ejemplo,

k (~ ~) = (~~ Z~). (3)
e f ke kf

El estudiante debe observar que el álgebra de matrices, regida por las definiciones de los
párrafos anteriores, es en esencia la misma clase de álgebra que el álgebra de vectores.
Esto proviene del hecho de que las operaciones de suma y multiplicación por números se
realizan elemento por elemento, tanto en el álgebra de matrices como en el álgebra de
vectores. En efecto, podemos considerar al vector (a, b, c) como una matriz 1 X 3 e inter-
pretar el álgebra usual de vectores como un caso especial del álgebra de matrices descrita
anteriormente. La única precaución que debe tenerse es advertir que las matrices:

(a b c) y

son muy diferentes desde el punto de vista matricial, aunque podemos desear identificarlas
como el mismo vector en algún contexto físico o geométrico. Al primer vector le llamare-
mos vector renglón y al segundo vector columna.

De aquí en adelante formaremos con frecuencia el producto de un vector renglón, que
es una matriz de dimensión 1 x n, con un vector columna, una matriz de dimensión n x l.
Este producto es el conocido producto escalar de cálculo elemental:

(:j) ~a") . a,b, +a2b2 + + aA (4)

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11.4 Repaso de álgebra matricial 191

donde le recordamos que el vector renglón siempre será escrito a la izquierda y el vector

columna a la derecha.

Ahora puede definirse el producto de dos matrices en términos de productos escalares
de vectores renglón y columna. Una matriz n x m y una matriz p x q pueden multiplicarse
sólo si m = p; esto es, el número de columnas en la primera matriz debe ser igual al número
de renglones en la segunda matriz. La matriz producto resultante tiene dimensión
n x q. Esto se define más fácilmente como sigue:

Al. B I Al· B2 AAl · BBqq)
A2 · BI A 2 . B2 2
A · B= ·
An· B2
( , (5)
An· B I
An . Bq

donde A¡ es el i-ésimo vector renglón de la matriz A, y B j es la j-ésima columna de la ma-
triz B. Así, el elemento en el renglón i y la columnaj del producto es el producto escalar or-
dinario de los vectores A¡ y B j.

Unos cuantos ejemplos nos ayudarán a memorizar estas definiciones.

EJEMPLO 11.1
2
(- 1) +2 (-1 2) = (2 1) + (-2 4) = (0 5)
1 1 -1 2 1
3 1 3 2 5.

•

EJEMPLO 11.2

EJEMPLO 11.3 •
•
( 2 1) (x) y)- 1 3 Y (2- Xx ++3y . •

EJEMPLO 11.4 (ap+ br

(ac b). (p q) = cp + dr aq + bS) .
r
d s cq + ds

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192 Capítulo 11 Sistemas de ecuaciones lineales

EJEMPLO 11.5

1) ( 2·3+1·4 2·1 + 1 . 1)
1 - 1·3+(-1) · 4
1·1+(-1) · 1

= (10. °3) . •
-1

EJEMPLO 11.6
El producto:

no está definido, ya que el número de columnas en la primera matriz es dos y el número de
renglones en la segunda matriz no es dos. Por otra parte,

•está definida, lo cual demuestra que la multiplicación de matrices no es conmutativa.
En álgebra vectorial elemental a menudo encontramos conveniente designar un vector
por medio de un solo símbolo en lugar de expresarlo en términos de sus componentes. Nos-
otros aquí también usaremos con frecuencia un solo símbolo para referirnos a una matriz.
Cuando se usan tales abreviaciones se debe tener cuidado y asegurarse que las dimensiones
de los objetos implicados sean apropiadas en términos de las definiciones usadas en álgebra.
Por ejemplo, la ecuación:

-dX = X / = AX

dt
puede interpretarse como un sistema de ecuaciones lineales de primer orden con coeficien-
tes constantes si interpretamos a X como una función vector columna n-dimensional en la
variable t, y a A como una matriz n x n de números reales. Así,

dx
-=2x+y,
dt
dy

dt = x - y,

puede escribirse como:

X ' =AX,

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11.4 Repaso de álgebra matricial 193

donde,

X' = (dXjdt)
dyjdt .

Aquí usaremos letras mayúsculas para distinguir las matrices y minúsculas para los nú-
meros. En particular, usaremos un cero grande para una matriz, con todos sus elementos
iguales a cero, dondequiera que la dimensión de esa matriz cero quede clara a partir del
contexto.

EJEMPLO 11.7
Si,

y X' - AX = O, entonces X debe ser una función vector columna tridimensional y O debe
ser un vector columna tridimensional:

•

Quisimos tratar aparte otra clase de matriz para ponerle una atención especial. Al mul-

I=G n,tiplicar cualquier matriz A de 2 x 2 por la matriz:

es evidente que obtendremos los resultados:

AI = A y lA =A.

Para cualquier matriz de n x n puede hacerse una observación similar, siempre que 1 se in-

terprete como la matriz de n x n modelada luego del caso de dos dimensiones, a saber:

1 = Ca) donde *aij = 0, si i j,
y
aij=l,sii=j.

De nuevo, usaremos el símbolo 1siempre que la dimensión sea evidente a partir del contexto.
La estructura algebraica que se obtiene como consecuencia de las definiciones anteriores

se llama álgebra matricial. Algunos de sus teoremas básicos se listan a continuación y la
mayoría se demuestra con facilidad cuando sus dimensiones son bajas, pero para matrices
grandes la demostración es muy tediosa. Pediremos al estudiante que demuestre algunos de

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194 Capítulo 11 Sistemas de ecuaciones lineales

estos teoremas en los siguientes ejercicios. En cada teorema se supone que las matrices uti-
lizadas tienen dimensiones para las que las operaciones indicadas están definidas.

(A + B) + C = A + (B + C). (6)
(7)
A+B=B + A.
(8)
A + O = A.
(9)
A+(- l)A=O.
(10)
(AB)C = A(BC) (11)
(12)
A(B + C) = AB + AC. (13)
(14)
/ A = A/ = A . (15)

k(A + B) = kA +kB.

kO = O.

k(A B) = (kA)B = A(kB).

Como último punto en esta sección enunciamos, sin demostrarlo, un teorema básico del
álgebra elemental que hemos utilizado en capítulos anteriores.

Teorema 11.1 Sea A una matriz n x n de números reales constantes y X un vector columna n-dimensio-
nal. El sistema de ecuaciones:

AX=O

*tiene soluciones no triviales, esto es, X O, si y sólo si, el determinante de A es cero.

• Ejercicios

En los ejercicios del 1 al 8, dadas las siguientes matrices, encuentre la matriz que se le pide.

D -nA=G c=G -12) .
B=G

1. A+2B. S. C -2/.

2. 2A + C. 6. AB +c.

3. AB +2/. 7. AC-B.

4. AC + B/. 8. AB Y BA.

9. Demuestre que D + E = E + D para cualesquiera matrices D y E donde la suma

esté definida.

10. Demuestre la ley distributiva de la ecuación (11) para matrices 2 x 2.

11. Demuestre el teorema de la ecuación (8).

12. Demuestre el teorema de la ecuación (9).

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11.5 Revisión de sistemas de primer orden 195

13. Demuestre el teorema de la ecuación (13).
14. Demuestre el teorema de la ecuación (15) para matrices 2 X 2.
15. Demuestre que el sistema de ecuaciones:

G -D (;) = O

no tiene soluciones distintas de la solución trivial.

Encuentre todas las soluciones para cada sistema dado en los ejercicios del 16 al 23.

G16. ~)(;)=o. 20. (_~ 1)(;)=0.

17. (2-4 -21)(X)Y_O - . 21. (~ ~)(;)=o.

2 H nm1

G DW18. -1 = O. 22. 1 = O.
1 1
-1 G Dm1

G üW19. 1 = O. 23. 1 = O.
-1 1

En los ejercicios del 24 al 27 escriba en forma de una ecuación matricial cada sistema de ecuaciones

diferenciales dado. \

dx dx
24. -d=t 2x+3y, 26. - = 2x - y+e1

dy dt '
- =x -y. dy
dt dt =x+y+t.
dx
25. Tt=x-y+z+t, 27. dx = tx + Y + z + sen t ,
-dt
dy dy
-dt = x +2y - z+ 1' -dt = t2x + ty + 1'

dz = 2x - y + z + el. dz = 2x + y + t r,
-dt
-

dt

[[[)] Revisión de sistemas de primer orden

Ahora regresaremos a considerar los sistemas de ecuaciones lineales de primer orden con
coeficientes constantes. Sea X una función vector columna n-dimensional de t, y A una ma-
triz de n X n de números reales. Además, suponga que B(t) es un vector columna cuyas
componentes son funciones conocidas de t. Entonces, la ecuación vectorial:

X'=AX+B (1)

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196 Capítulo 11 Sistel1Uls de ecuaciones lineales

representa un sistema de n ecuaciones en las n funciones componentes de X desconocidas.
Si B = 0, decimos que el sistema es homogéneo. Por ahora restringiremos nuestra atención
a sistemas homogéneos y trataremos los sistemas no homogéneos en el capítulo siguiente.

Dada nuestra experiencia, tenemos razones para creer que el sistema homogéneo:

X'=AX (2)

puede tener soluciones de la forma:

X = eemt , (3)

donde e es un vector constante y m algún número que queremos determinar. La sustitu-

ción de X en el sistema (2) nos lleva a:

que puede escribirse como:

(Ae - me)emt = o.

Al recordar que e = le, podemos volver a escribir esta ecuación en la forma: (4)

(A - m/)eelllt = o.

La ecuación (4) debe satisfacerse para todos los valores reales de t, condición que puede
cumplirse sólo si:

(A - mI)e = o. (5)

El teorema citado al final de la sección anterior establece que el sistema algebraico (5) tie-
ne soluciones no triviales sólo si el determinante de A - m 1es cero; esto es,

IA-mll=O. (6)

La ecuación (6) es una ecuación polinomial de grado n en la incógnita m. Observamos
que el polinomio lA - m II sólo depende de la matriz A. El polinomio lA - m JI es llama-
do polinomio característico de la matriz A, y la ecuación (6) se conoce como ecuación ca-
racterística de la matrizA.

Las raíces de la ecuación característica de A son llamadas valores propios de la matriz

A. Un vector el distinto de cero, que es una solución de la ecuación (5) para determinado

valor propio mI' se conoce como vector propio de la matriz A correspondiente al valor pro-
pio mI' Por lo tanto, vemos que el primer paso en la solución del sistema homogéneo (2) es
encontrar los valores propios y los correspondientes vectores propios de la matrizA.

También podríamos sospechar, basándonos en nuestra experiencia con las raíces de la
ecuación auxiliar en el capítulo 7, que la naturaleza de las soluciones de la ecuación (3)

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11.5 Revisión de sistemas de primer orden 197

dependerá de si los valores propios son reales y distintos, complejos o repetidos. Tratare-
mos estos casos por separado.

EJEMPLO 11.8
Ahora reconsideremos el sistema de ecuaciones de la sección 11.3. En notación matricial
tenemos

X' = AX donde A = (_~ ~). (7)

La ecuación característica de A es:

Los valores propios son números reales y distintos, mi = 1 Ym2 = 2.
Para mi = 1, la ecuación (5) se transforma en:

(--12 1) (el) = 0,

2 e2

el e2de modo que - + = OYtenemos,

Por lo tanto, en correspondencia con el valor propio mi = 1, existe un conjunto de vecto-

(i).res cuyos elementos son múltiplos escalares del vector columna

De manera análoga, para m2 = 2 la ecuación (5) es

(--22 1) (el) = 0,

1 e2

de modo que - 2el + e2 = OY

Esto es, los vectores propios son múltiplos del vector (;). •
Así obtenemos dos conjuntos distintos de soluciones para el sistema (7),
y (8)
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198 Capítulo 11 Sistemas de ecuaciones lineales

donde b) Yb2 son constantes elegidas arbitrariamente. Verificar que estas funciones vec-
toriales son soluciones del sistema (7) es una cuestión muy sencilla, pero afirmar que to-
da solución del sistema (7) es alguna combinación de las dos soluciones que hemos
encontrado es algo muy diferente. Para fundamentar lo anterior se requiere el apoyo de
varias definiciones y teoremas importantes. El estudiante debe observar que estas defini-
ciones y teoremas tienen mucho en común con el desarrollo teórico dado en el capítulo 6.
Enunciaremos los teoremas apropiados sin demostrarlos.

Un conjunto de m vectores constantes de dimensión n,

es linealmente independiente si:

c)X) +c2X2+···+cmXm=O

implica que c I = c2 = .. . = Cm = O.

Un conjunto de funciones vectoriales de t,

es linealmente independiente en un intervalo a < t < b si:

para toda t en el intervalo implica que:

Teorema 11.2 Si XI(t) , Xit), ...,Xm(t) son cada una solución de un sistema lineal homogéneo X' = AX,

entonces CIXI(t) + c2Xit) + ... + cmXm(t) es una solución del mismo sistema para cons-

tantes elegidas arbitrariamente cl' c2' ••• ,cm.

Teorema 11.3 Si A es una matriz n X n de números reales y {XI' X2, ... ,xn} es un conjunto linealmente

independiente de soluciones para el sistema X' = AX en el intervalo a < t < b, entonces

cualquier solución del sistema es una combinación lineal única del conjunto
{XI'X2, ··· ,Xn}·

Si el conjunto de vectores columna n-dimensionales {XI(t), Xit), ... ,X/t)} es considera-
do como una matriz n x n,

entonces el determinante:

IXI (t) X2 (t) ... X (t)1
n

es llamado el wronskiano del conjunto de vectores.

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11.5 Revisión de sistemas de primer orden 199

Teorema 11.4 El conjunto de vectores columna n-dimensionales {X)(t), X2(t), . . . ,xn(t)} es linealmente
independiente en t = tosi, y sólo si, el wronskiano del conjunto no es cero en t = to; esto es:

Teorema 11.5 Si lasfunciones vectoriales XI(t),XzCt), ... ,Xn(t) son soluciones del sistema X' = AXpa-

ra toda t en el intervalo a < t < b, donde A es una matriz n X n, entonces el conjunto {XI(t),

*XzCt), ... ,x/t)} es linealmente independiente en a < t < b si, y sólo si, W{ X) (to)' XzCto)' ...

, Xn(to)} Opara alguna to en el intervalo a < t < b.

Teorema 11.6 Si XI(t), X2(t), ... ,Xn(t) son soluciones linealmente independientes del sistema homogé-

neo n-dimensional X' = AX, en el intervalo a < t < b, y si X/t) es cualquier solución del

sistema no homogéneo X' = AX + B(t) en el intervalo a < t < b, entonces cualquier solu-

ción del sistema no homogéneo puede escribirse como:

para una selección única de constantes cl' . . . , cn.
Volvamos al ejemplo 11.8. En la ecuación (8) presentamos dos conjuntos de soluciones

para el sistema (7). Si tomamos b) = b2 = 1 Yconsideramos el wronskiano del sistema (7),
tenemos:

Ya que el wronskiano no se anula para ningún valor de t, concluimos que las soluciones X)

y X2 son linealmente independientes en cualquier intervalo, y de aquí resulta que la solu-
ción general del sistema (7) es:

G)X(t) = Cl + 21

el C2 (;) e .

EJEMPLO 11.9 (9)
Considere el sistema:

La ecuación característica deA es:

1 - 114 - -m4 4 _ m = m 2 - 8m + 12 = O.

Por lo tanto, los valores propios deA son mi = 2 Ym2 = 6.

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200 Capítulo 11 Sistemas de ecuaciones lineales

Para mI = 2, calculamos las soluciones no triviales de:
2
(- -1) (el) = O.
4 2 ez

2el- e elAsí 2 = O. Una de esas soluciones se obtiene eligiendo = 1, lo que nos da el va-
(~). (~)lor propio
Resulta que XI = eZI es una solución del sistema (9).

Para m2 = 6, el sistema: (el)(

-2 -1) = O,
-4 -2
e2

elcon la selección de = 1, produce el vector propio (_ ~) para la matriz A y una segun-

da solución:

X 2 = ( -21) e61 .

El wronskiano de XI y X2 es

-2:::1W{X l , X2} = 12:~: 81

= -4e •

Ya que W{ XI' X2 } nunca es cero, se concluye del teorema 11.5 que XI y X2 son linealmente

independientes. Por el teorema 11.3 vemos que la solución general del sistema X I = AX es:

(1) (1)+X = el 2 e2/ e2 -2 e6/ . •

EJEMPLO 11.10 G -1)X'=AX paca A =
Resuelva el sistema:

-1 (10)
1 3. (11)

31

La ecuación característica de A es:

1-m -1 -1

O l-m 3 =(1-m)(m-4)(m+2)=0.

O 3 1 -m

Al elegir el valor propio mI = 1 se llega a:

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11.5 Revisión de sistemas de primer orden 201

que exige constantes C2 = C3 = Opero deja libre a Cl ' Así,

(g)X, = e'

es una solución de la ecuación (10).
El valor propio m2 = 4 exige que:

(-~ =~ -~) (~~) = 0 ,
O 3 - 3 C3
o

+ +3cI C2 C3 = O,
+- C2 C3 = O.

D D..'Una solución de este sistemaesel vector propio (:: ,del cual obtenemos: X2 = (::

como una segunda solución para el sistema (10).
Por último, escogiendo m3 = - 2 de la ecuación (11), obtenemos:

(J)que produce el vector propio y la solución,

U)X 3 = 2

e- '

Para establecer la independencia lineal de las tres soluciones XI ' X2, X3, calculamos el
wronskiano; esto es,

12O
W{X I (t) , X 2 (t) , X 3 (t)} = O -3 1 e3t = 6e3t .

O - 3 -1

Ya que W nunca es cero, del teorema 11.5 resulta que las soluciones son linealmente inde-

(g) (::De~ enpendientes en cualquier intervalo. Por lo tanto, la solución general del sistema (10) es+ C32
X(I) = C, e' + C2 e- '.

•

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202 Capítulo 11 Sistemas de ecuaciones lineales

EJEMPLO 11.11
Concluiremos esta sección con un ejemplo que nos sirva para ilustrar por qué el uso de la
palabra wronskiano, en el contexto de un conjunto de soluciones para un sistema de ecua-
ciones diferenciales lineales de primer orden, es consistente con el uso de la misma pala-
bra, en la sección 6.4, dentro del contexto de un conjunto de soluciones para una sola
ecuación diferencial lineal de primer orden.

Considere la ecuación lineal de segundo orden:

[D2 - (a + b)D + ab]x = O, (12)

en la que D = d / dt. El operador se factoriza en (D - a )(D - b) y, por lo tanto, las funcio-

nes ea, y eh' son soluciones de la ecuación (12). El wronskiano de estas soluciones, como se

definió en la sección 6.4, es el determinante:

(13)

donde las funciones en el segundo renglón son las derivadas de las funciones en el primer
renglón.

La ecuación (12) puede ser transformada en un sistema de ecuaciones de primer orden

haciendo Dx = y de modo que se convierta en:

D2x = Dy = (a + b)y - abx.

Así, la ecuación (12) es equivalente al sistema:

Xl = Y

y' = - abx + (a + b)y,

o

(14)

Aplicamos la técnica presentada en esta sección y escribimos la ecuación característica
de la matriz del sistema (14):

I--amb a + b - m11= O,

que se reduce a:

m2 - (a + b)m + ab = O. (15)

Es importante observar que el polinomio característico de (15) y el operador polinomial de

(12) tienen la misma forma y, por lo tanto, los mismos ceros.

De la ecuación (15) obtenemos los valores propios mI = a y m2 = b. Escogiendo el va-

lor propio mI = a se llega a: (CI) _1) O(

- -a b C2 - ,
ab

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11.5 Revísión de sistemas de primer orden 203

de modo que c2 = ac¡ y

Por lo tanto, (~) ea! es una solución de la ecuación (14).

Al seleccionar el valor propio m2 = b se llega a:

-b 1) (c¡) _O

( - ab a C2 - ,

de modo que e2 = bc¡ y

(!)Así, eh! es una segunda solución de (14).

En el contexto que estamos trabajando, el wronskiano de estas dos soluciones es:

ea! (16)

W{X¡ (t) , X2(t)} = aeal
l

y vemos que las expresiones dadas en (13) Y(16), aunque provienen de contextos comple-

tamente diferentes, son las mismas, y la palabra wronskiano es usada en ambos casos para

cada expresión. •

Todos los ejemplos que hemos considerado han incluido matrices cuyos valores propios

son números reales distintos. En cada caso, los vectores propios correspondientes a valo-

res propios distintos resultaron ser linealmente independientes. Esto no fue casualidad y es

posible establecer un teorema para tal efecto.

Teorema 11.7 Si m!, m2, .. . , ms son valores propios distintos de una matriz A de n x n, y si Xl' X2, . .. ,Xs
son sus vectores propios correspondientes, entonces el conjunto:

{Xl ' . .. ,Xs }

es linealmente independiente.

Las definiciones y teoremas de esta sección se han enunciado sin la demostración que se
necesita para entenderlos con claridad. Deseamos que esto sirva de motivación para un estu-
dio de álgebra lineal, donde las definiciones y teoremas llegan a ser más fáciles de entender.

• Ejercicios

En los ejercicios del 1 al 7 encuentre la solución general del sistema X' = AX para la matriz A dada. En
cada caso verifique la independencia lineal de las soluciones examinando el wronskiano.

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204 Capítulo 11 Sistemas de ecuaciones lineales

-3)1. A = (1~ -8 . 5. A = (-i -no
~).2. A = (_;
c~-no6. A=(i
3. A = (_! -¡). -1-54) .
7. A=
G -1)4. A= U -1)8. A=
3 .2 2
1 1.
-1 1O
O2

111.61 Valores propios complejos

En la sección 11.5 tuvimos el cuidado de evitar sistemas para los que los valores propios
fueran complejos. Ahora consideraremos algunos ejemplos en los que aparecen números
complejos.

EJEMPLO 11.12
Resuelva el sistema:

(1)

La ecuación característica de la matriz del sistema (1) es:

2 - m2 -5-1 4 _ m = m 2 + 2m + 2 = O, (2)

1

con valores propios mi = -1 + i Y m2 = -1 - i.
Para mi = -1 + i debemos hacer que se satisfaga el sistema:

(CI)(3-i 2
-~) = 0,
-3 - l
C2

el cual exige que:

3- i
C2 = -5-cI.

Una solución se obtiene eligiendo C I = 5. Por lo tanto, un vector propio correspondiente al

valor propio mi es (3 _~) con la función vectorial compleja:

5)x - (1- e(-l+i)t (3)
3- i
'

como solución del sistema (1), al menos formalmente.

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11.6 Valores propios complejos 205

El segundo valor propio m2 = -1 - i conduce de manera semejante a una segunda

sol ución, - ( 5)
3+i e(- I - i )t .
X2 - (4)

Las dos soluciones pueden ser combinadas para obtener:

X (3 _:) + (3 +:)= el (5)
e (- I + i )t e2 eH - i)t.

Una solución que adquiera esta forma debe recordamos la situación, vista en el capítulo 7,
donde resolvimos ecuaciones lineales con coeficientes constantes. Procederemos de ma-
nera parecida, haciendo uso de la fórmula de Euler:

+e (ll+bi )t = e"t (cos bt i sin bt). (6)

Al cambiar formalmente la presentación de la ecuación (5) obtenemos:

(3 _:) + + (3 +:)X = el
e- t (cos t i sent) e2 e-t (cos t - i sent) ,

y después de combinar las partes real e imaginaria,

X = e- t [ ( + ) ( 3 co s t +5sceontst+)1.(e l - ) ( -cost+35sseenntt)] . (7)
el
e2 e2

Si hacemos b¡ = e ¡ + e2 y b2 = i(e ¡ - e2), la ecuación (7) puede escribirse finalmente como:

(8)

La independencia lineal de las dos soluciones en (8) puede comprobarse calculando el

wronskiano en t = O. El estudiante debe demostrar que W(O) = - 5. •

Con base en el ejemplo anterior, hacemos las observaciones siguientes:

(a) Ya que la matriz del sistema (1) es real , los valores propios aparecen en pares conju-
gados .

(b) Los vectores propios correspondientes a valores propios conjugados también son

conjugados entre ellos.

(c) El primer vector propio:

G (-nB = ~ ~n = (~) + i = Re B + i 1m B ,

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206 Capítulo 11 Sistemas de ecuaciones lineales

aparece en la solución de (8) en la forma: (9)

X = e-t[b l {Re B cost - 1m Bsent}

+b2{lm Bcost +Re Bsent}].

(d) El wronskiano de las dos soluciones de (9) en t = Oestá dado por el determinante

w= IReBlmBI.

En los ejercicios 12, 13 Y14 se le pide al estudiante que demuestre la aplicación de las obser-
vaciones del inciso (a) al (d) en el sistema general de dos ecuaciones con dos incógnitas.

EJEMPLO 11.13
Resuelva el sistema:

(lO)

haciendo uso de las observaciones anotadas hacia el final del ejemplo 11.12.
La ecuación característica:

2 - -m4 2 _ m11 = m2 - 4m + 8 = O

1

tiene raíces conjugadas m i = 2 + 2í Y m2 = 2 - 2í. Un vector propio correspondiente a

Si aceptamos los planteamientos de las observaciones del ejemplo 11 .12, y notando que:

I~W(O) = ~I = 2 # O,

concluiremos que la solución general del sistema (10) es:

EJEMPLO 11.14 •

Ahora consideremos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas dado por: (11)
(g _: -nX' = AX
~dond, A

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11.6 Valores propios complejos 207

La ecuación característica:

(1 - m)(m2 - 2m + 2) = O

itiene raíces mi = 1, m2 = 1 + Y m3 = 1(-~I)i.

El valor propio mi = 1 tiene al vector como un vector propio, lo que nos da una

solución para (11) como:

El valor propio m2 = 1 + i nos proporciona un vector propio:

( 2- (2) (-1)i)O+~ = O +i1.
-1 + 01 -1 O

La solución general puede escribirse como:

La independencia lineal de las soluciones en t = Oestá garantizada por la evaluación del

wronskiano en ese mismo punto. Su valor es:

1 2 -1
W(O) = O O 1 = 1 =j:. O.

O -1 O

• Ejercicios •

En los ejercicios del 1 al 7 encuentre la solución general del sistema X' = AX para la matriz A dada.

-13)1. 3. -6 .

-no2. 4.

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208 Capítulo JJ Sistemas de ecuaciones lineales

-17)5. -4 . 7.
-5)6. -8 .

Tomando como base los ejemplos de la sección 11.2, sustituya cada una de las ecuaciones siguientes por
un sistema de ecuaciones de primer orden. Luego resuelva cada sistema usando técnicas matriciales y ve-
rifique sus respuestas resolviendo directamente la ecuación original.

8. y(4) - Y = O. 10. y'" - 3y" +4y' - 2y = O.
11. y"+4y =O.
9. y" + 2y' + 2y = O.

En los ejercicios del 12 al 15 consideramos el sistema general homogéneo con coeficientes reales

G)' = (~ ~) G)· (A)

12. Encuentre los valores propios para la matriz de (A) y demuestre que los valores pro-

pios complejos ocurren sólo si (a - d)2 + 4bc < O. En particular, observe que los va-

lores propios complejos aparecen como pares conjugados y que ocurren sólo si b y e
no son cero.
13. Para el sistema (A) suponga que los valores propios son los números complejos

p + qi Y p - qi, donde q =1= O. Demuestre que los vectores propios correspondientes

son pares conjugados.
14. Demuestre que en el caso complejo la observación hecha en la ecuación (9) es cierta.
15. Encuentre el valor del wronskiano para t = Oen el caso complejo y demuestre que es

diferente de cero.

11 1.71 Valores propios repetidos

Ahora consideremos un ejemplo en el que la ecuación carac.terística tiene raíces repetidas.

EJEMPLO 11.15
Resuelva el sistema:

!) .x' = A X para A = (_~ (1)

La ecuación característica de A es:

II-=-~ ~4 _ = (m - 2)2 = O.

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11.7 Valores propios repetidos 209

Para el valor propio mi = 2 obtenemos la solución: (2)

(1)X, = 2 e2t .

Una segunda solución X2, independiente de XI' no está disponible de manera inmediata ya
que el valor propio m i es una raíz doble de la ecuación característica. Dada nuestra expe-
riencia con raíces repetidas en el capítulo 7, podemos estar tentados de suponer que una se-
gunda solución tiene la forma:

(3)

Sin embargo, una sustitución en la ecuación (1) rápidamente demuestra que la única solu-

ción de esta forma es la solución trivial cI = c2 = o.

y podríamos hacer otra sugerencia, esto es, intentar encontrar una segunda solución de
la forma:

(4)

donde en esencia usamos una técnica de variación de parámetros. La sustitución directa de
(4) en (1) da:

Podemos volver a escribir este sistema de ecuaciones en la forma: (5)

(-2 1) (c,( (t))c~ (t)) _
c; (t) - -4 2 C2 (t) ·

El sistema (5) puede representarse también como:

c; (t) = -2c , (t) + C2 (t), (6)

c; (t) = -4c , (t) + 2e2(t) ,

de lo cual concluimos que c 'zCt) = 2c ',(t). Integrando, obtenemos czCt) = 2c ,(t) + .a, para

una constante a cualquiera. Al sustituir en la primera ecuación de (6) se obtiene:

e; (t ) = a o e, (t ) = at + b.

Por lo tanto, de las ecuaciones (5) obtenemos el conjunto de soluciones:

c,(t) = at + b y C2(t) = 2at + 2b + a ,

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210 Capítulo JJ Sistemas de ecuaciones lineales

con valores constantes para a y b elegidos arbitrariamente. Ahora la ecuación (4) se trans-
forma en:

Si eligiésemos a = O Y b = 1, la solución sería igual a XI. En lugar de eso, seleccionare-
mos a = 1 Yb = Opara obtener:

1;En t = Oel wronskiano: ~I = 1 =1= O,
W{X I (O), X 2(0)} =

de modo que las dos soluciones son linealmente independientes.
Por lo tanto, la solución general del sistema (1) es:

•

Al examinar en retrospectiva este ejemplo, podremos notar que la suposición hecha en
la ecuación (3), aunque incorrecta, no estaba muy alejada de la verdad. Ahora estamos
en posición de hacer algunos supuestos razonables acerca de la naturaleza de una segunda
solución en el caso de raíces repetidas.

EJEMPLO 11.16
Resuelva el sistema:

(7)

Los valores propios son las raíces de la ecuación:

-118 - m4 12 _ m = m 2 - 20m + 100 = (m - 10)2 = O.

1

Por lo tanto, una solución está dada por el valor propio mI = 10. Esta solución es:

(-DX I = lOt (8)

e•

Guiados por nuestra experiencia en el ejemplo 11.15, ahora buscamos una segunda so-
lución de la forma:

(9)

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11.7 Valores propios repetidos 211

La sustitución de (9) en el sistema (7) nos da:

(~:)(_;) 10tel01 + (_;) e lOI + 10e lOI

(! (_;) (! -1)= ~;) (C3)12 C4 e101 .
+lOI

te

Notamos que los ténninos que incluyen a te 101 se cancelan unos a otros, dejándonos con

(-2 -1) 1)(C3)4 2 C4 e101 -_ ( -2 e101 ,

o

(lO)

Una solución del sistema (lO) es c3 = O Y c4 = -1. Por lo tanto,

(_~)X2 = (_;) te lOl + e lOl

es una segunda solución del sistema (7). La solución general del sistema (7) es:

•

EJEMPLO 11.17
Resuelva el sistema:

D2y + (D - l)v = O,

(2D-l)y+(D-l)w O, (ll)
O.
(D + 3)y + (D - 4)v + 3w

Para reducir (11) a un sistema de ecuaciones de primer orden, hacemos Dy = u; enton-

ces (ll) puede escribirse como:

Du = u -3v + 3w + 3y,

Dv = -u +4v - 3w - 3y, (12)

Dw = - 2u + w+ y,

Dy = u.

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212 Capítulo 11 Sistemas de ecuaciones lineales

La matriz del sistema (12) tiene la ecuación característica:

m(m - 4)(m -1 )2 = O.

Los valores propios mI = O, m2 = 4 Ym3 = 1 dan lugar a las soluciones:

(-~~)X2-- -7 e41 ,

3

Si suponemos que la raíz repetida m3 = 1 dará una solución de la forma:

una sustitución directa en (12) producirá un conjunto de valores para las constantes de la Cs
. a la cs'

m~u)·

Así, la solución deseada es:

Por último, la solución del sistema (11) es:

En el ejercicio 10 de esta sección se pide completar los detalles de este ejemplo. •

EJEMPLO 11.18
Ahora consideremos un ejemplo en el que una raíz repetida de la ecuación característica de
una matriz da lugar a dos vectores propios linealmente independientes, y así evita las com-
plicaciones encontradas en los ejemplos 11 .15, 11.16 Y11 .17.

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JJ.7 Valores propios repetidos 213

Los. valores propios de la matriz del sistema lineal:
(13)

son las raíces de la ecuación:

-m = -(m + 1)2(m - 2) = O.
-m

-m

Para la raíz repetida m = -1, buscamos soluciones no triviales del sistema:

esto es, las soluciones de c I + c2 + c3 = O. Por lo tanto,

e = (~~) = ( ~~) = CI ( ~) + C2 ( ~).
C3 - CI - C2 -1 -1
De esto resulta que:

y CDe-'

son soluciones del sistema (13).
El segundo valor propio, m = 2, nos exige encontrar soluciones no triviales del sistema

de ecuaciones:

(-i -~ ~) (~~) = O.
1 1 -2 C3

Esto es,

- 2cI + C2 + C3 = O .
+CI -2C2 C3 = O
CI + C2 - 2C3 = O.

Por eliminación elemental de c2en la primera y en la última ecuaciones, y de cIen las se-
gunda y tercera, llegamos a:

y

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214 Capítulo 11 Sistemas de ecuaciones lineales

de modo que:

De aquí que una tercera solución para el sistema (13) sea:

La independencia lineal de las tres soluciones se establece examinando su wronskiano
en t = O,

1 O1

W{X¡(O), X 2 (0), X 3 (0)} = O 1 1 = 3 =1= O.
-1 -1 1

Por lo tanto, la solución general es:

•

EJEMPLO 11.19
Resuelva el sistema:

(14)

La ecuación característica:

2-m 1 2

1 2-m 2 = -(m - 1)2(m - 5) = O

1 1 3-m

tiene las raíces 1 y 5. El valor propio repetido 1 da lugar a la ecuación el = - e2 - 2e3. En
consecuencia,

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11. 7 Valores propios repetidos 215

y dos soluciones del sistema (14) son:

y

El valor propio 5 nos conduce a resolver el sistema:

-3cl + C2 + 2C3 = O

+CI -3C2 2C3 = O

+ =CI C2 - 2C3 O,

(¡).que por eliminación elemental nos da e1 ~ C, ~ c3 y el tercer vector propio

El wronskiano de las tres soluciones:

en t = Otiene un valor de 4. Así, la solución general del sistema (14) es: •

m n) n) G)~cl e' +c, e' +C3 e" .

• Ejercicios

En los ejercicios dell al 9 resuelva el sistema X' = AX.

G -1)6. A=
D·l. A = (_: 1
2. A = (: --89) . -1 2 .

O -1

(¡3. A = -16) . 7. 3
2
4. A=G --23) . A~Ge n8. A= 3

G -1)5. A= -2)2

; 3 -1 .
11

2 A~G D9. -1
1 1. -3
O2
-1

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216 Capítulo 11 Sistemas de ecuacioneS lineales

10. Complete con los detalles faltantes el ejemplo 11.17 de esta sección.

1l. Analice con detalle las posibles soluciones del sistema X' = AX si A es la matriz

diagonal:

a O O)

A= O b O .

(O O C

12. Considere el sistema X' = AX para:

(a) Demuestre que la ecuación característica de A tiene una raíz repetida sólo si

(a -d'P + 4bc =0.

(b) Demuestre que si a =1= d, Ysi (a - d)2 + 4bc = O, la solución completa del sis-

tema es:

X (d _2!) [(d _2!)= Cl (~)]+t e l / 2(a+d)l.
+e
l / 2 C2
(a+d)1

(c) Analice completamente la solución en el caso de que:

(a - d)2 + 4bc = O y a =d.

11 1. 81 Plano fase

En las secciones anteriores examinamos las soluciones de sistemas homogéneos con coe-
ficientes constantes, esto es, sistemas de la forma:

X' = AX. (1)

Vimos que la naturaleza de las soluciones depende de la naturaleza de los valores pro-
pios. En esta sección examinaremos la naturaleza geométrica de dichas soluciones, con -
centrándonos en el caso donde A es una matriz 2 x 2. Como las soluciones x(t) y y(t) son
funciones de t, podríamos trazar la gráfica de cada una en su propio conjunto de ejes.
Aunqu~ esto proporciona información útil, obtenemos más datos al trazar la gráfica de

x = x(t) y y = y(t) como una pareja de ecuaciones paramétricas en el plano xy. Haremos

referencia al plano xy como el plano fase, a cada curva solución le denominaremos tra-
yectoria ya una colección representativa de trayectorias en el plano fase la identificare-
mos como el retrato fase.

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11.8 Planofase 217

El primer punto a resaltar es que el par de funciones x(t) == O, y(t) == Oes una solu-
ción de (l). Este será el caso para cualquier par de funciones x(t) == xo' y(t) == Yo' para el

que:

A G~) = (~) .

Desde un punto de vista geométrico, tal función constante es una trayectoria. Nos referi-
remos a esta clase especial de trayectoria como un punto crítico. Del álgebra lineal sabe-
mos que (O, O) es el único punto crítico de (1) si, y sólo si, det A =F O. En adelante
supondremos que tenemos este caso. Una consecuencia más de esta suposición es que
ningún valor propio podrá ser cero.

Para ver lo que sucede con trayectorias distintas al punto crítico en (O, O), debemos con-
siderar los diferentes casos para los valores propios.

11.8.1 Valores propios reales y distintos

Si los valores propios son reales y distintos, vimos que la solución generales de la forma:

(2)

Nosotros estamos interesados en conocer el comportamiento de estas soluciones en condi-

ciones iniciales distintas de x(O) = O, y(O) = O. Como mI =F m 2 es posible que se nos pre-

senten tres situaciones, O < mI < m 2, mI < O < m 2 y mI < m 2 < O. En el primer caso, (2)

*tiene la propiedad de que todas las soluciones crecerán sin límite cuando t ~ oo. Lo mismo

sucederá en el segundo caso mientras c2 O; pero si c2 = O, el segundo término en (2) de-
saparecerá y el término restante tenderá hacia el origen cuando t ~ oo. En el tercer caso, to-
das las soluciones se aproximan a (O, O) cuando t ~ oo.

Para ilustrar de manera geométrica estos casos escogemos tres matrices sencillas:

-1

A3 = ( O

Los retratos fase se muestran en las figuras 11.1, 11 .2 Y11 .3, respectivamente.
Como se hizo notar anteriormente, en el primer caso, todas las soluciones se alejan del

origen y éste se califica como un nodo inestable. En el segundo caso, casi todas las solucio-
nes se alejan del origen, que es llamado un punto silla. Las excepciones son las soluciones
a lo largo del eje y, las cuales se mueven hacia (O, O). El tercer caso es ejemplo de un nodo
estable, con todas las soluciones moviéndose hacia el origen. Para otras matrices, las cur-
vas específicas del retrato fase serán diferentes, pero la naturaleza básica del punto crítico
será determinada por los valores propios.

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218 Capítulo JJ Sistemas de ecuaciones lineales

y

----------~~~~~~~-----------x

Figura 11.1

y

Figura 11.2

11.8.2 Valores propios complejos

Ahora, supóngase que los valores propios son el par complejo conjugado, mi = a + ib,

m2 = a - ib. Aquí los subcasos geométricamente importantes son a = 0, a < 0, ya> O.

Éstos pueden representarse por las matrices:
-1

A2 = ( -1

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11.8 Plano fase 219

y

x-------=~¡iIiJ~~~::=:__------

Figura 11.3
Para los sistemas correspondientes tenemos los retratos fase de las figuras 11.4, 11.5 Y11.6.

En el caso a = 0, todas las trayectorias se mueven alrededor del origen, que es llamado
centro estable. En el segundo caso, las soluciones se mueven hacia el punto crítico, al que
hacemos mención como una espiral estable. Por último, cuando a> 0, tenemos una espi-
ral inestable.

y

--r-+--+--~-+--r-+--~-~- x

Figura 11.4
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220 Capítulo 11 Sistemas de ecuaciones lineales

y

Figura 11.5

y

Figura 11.6
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11.8 Planofase 221

y

x-----------,,~~'---------

Figura 11.7

11.8.3 Valores propios reales repetidos

Para valores propios reales repetidos, sólo hay dos casos, mI = m2 < O Y O< mI = m2. Los

describimos con las matrices:

-1 A2 = (~
Al = ( O

Los retratos fase correspondientes se muestran en las figuras 11.7 y 11.8. Estos puntos crí-
ticos son conocidos como nodo estable y nodo inestable, respectivamente.

y

-------~~~'--------- x

Figura 11.8
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222 Capítulo 11 Sistemas de ecuaciones lineales

Como se hizo notar anteriormente, estas selecciones particulares de matrices representa-
tivas son sólo eso. El problema general de graficación de los retratos fase es complicado. Por
ejemplo, no hemos analizado la dirección de las asíntotas en los puntos silla, o qué sucede
cuando los valores propios repetidos tienen dos vectores propios linealmente independientes.
Estas preguntas están contempladas en los ejercicios y para otras se pueden utilizar las téc-
nicas computacionales descritas en el capítulo siguiente.

• Ejercicios

Para los ejercicios del I al 7, clasifique el punto crítico en el origen como nodo estable, nodo inestable,
punto silla, espiral estable, espiral inestable o centro estable.

1. Ejercicio 1, de la sección 11.5. 5. Ejercicio 3, de la sección 11.6.
2. Ejercicio 2, de la sección 11 .5. 6. Ejercicio 1, de la sección 11.7.
3. Ejercicio 1, de la sección 11.6. 7. Ejercicio 2, de la sección 11.7.
4. Ejercicio 2, de la sección 11 .6.

Los ejercicios del 8 al 14 se aplican al ejercicio I de la sección ll.5.

8. Encuentre la solución general.

9. Dibuje los vectores propios en un plano xy.

10. Haga C l = O Y c2 = 1 Ydibuje la trayectoria resultante.
11. Haga C l = 1 Y c2 = OYdibuje la trayectoria resultante.

12. Haga C l = 1 Y c2 = 1 Ydibuje la trayectoria cuando ~ 00 •
13. Haga c l = 1 Y c2 = 1 Ydibuje la trayectoria cuando ~ - oo .
14. Utilice la técnica anterior y dibuje un conjunto representativo de soluciones para

completar el retrato fase.

15. Repita los pasos dados en los ejercicios del 8 al 14 para el sistema x' = -x, y 1 = - y.

Observe que este sistema tiene un valor propio repetido con dos vectores propios li-
nealmente independientes.

111.91 Suplemento para computadora

Todos los Sistemas de Álgebra Computacional están provistos para manejar los cálculos al-
gebraicos utilizados en la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales. En particular, es-
tos sistemas pueden encontrar los valores propios y los vectores propios requeridos, y luego
el usuario puede juntarlos para formar la solución general. Sin embargo, como hemos visto
en capítulos anteriores, dichos sistemas computacionales también están diseñados para rea-
lizar todo el proceso sin intervención del usuario. Solucionar un sistema de ecuaciones dife-
renciales usando Maple, sólo requiere pequeñas modificaciones de las técnicas utilizadas en
la sección 2.7. Para usar dsolve sólo necesitamos modificar la manera en la que el sistema se
haya especificado. Usaremos Maple para resolver el sistema dado en el ejemplo 11. 12.

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11.9 SupLemento para computadora 223

con las condiciones adicionales x(O) = 1, y(O) = 1.

>Eqn: =D( x) (t)=2*x(t)-5*y(t) , D(y) (t)=2*x(t)-4*y(t):
Sol:=dsolve({Eqn,x(O)=l,y(O)=l},{x(t),y(t)})¡

+ +Sol := {x(t) = - 2 e-t sin(t) e-t cos(t), y(t) = _e-t sin(t) e-t cos(t)}

Maple también puede producir el retrato fase que se muestra en la figura 11.9. Introdu-
cimos al programa la matriz de coeficientes, un rango para la variable independiente t, y un
conjunto de valores iniciales, cada uno en la forma (t, x, y).

>A:=array( [[2, -5], [2, -4]]) :
>phaseportrait(A, [x,y],0 .. 5,

{[O,l,l], [0,.5,1], [0,0,1], [0,- . 5,1],
[0,-1,-1], [0,1,-1], [0, .5,-1], [0,0,-1],
[0,-.5,-1], [0 ,-1 ,-1] },stepsize=.l)¡

• Ejercicios

Utilice una computadora para resolver los problemas siguientes. Luego aplique un programa adecuado
para trazar el retrato fase en cada uno de los problemas.

1. Ejercicio 1, de la sección 11.5. 5. Ejercicio 3, de la sección 11.6.
2. Ejercicio 2, de la sección 11.5. 6. Ejercicio 1, de la sección 11.7.
3. Ejercicio 1, de la sección 11.6. 7. Ejercicio 2, de la sección 11.7.
4. Ejercicio 2, de la sección 11.6.
8. Elsistemax'= - x,y' =-y

y

Figura 11.9
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Sistemas no homogéneos
de ecuaciones

112. 11 Sistemas no homogéneos

Ahora que tenemos algunos conocimientos de sistemas homogéneos con coeficientes
constantes, pongamos nuestra atención en sistemas que no son homogéneos. Considere el
sistema:

X' = AX+ B, (1)

donde A es una matriz constante n x n y B una función vectorial de t. El teorema 11.6 de la

sección 11.5 indica que necesitamos encontrar una solución particular Xp del sistema (1) Y
sumarla a la solución general del sistema homogéneo asociado. Usaremos una técnica de

variación de parámetros para encontrar la solución particular Xp.

EJEMPLO 12.1
Considere el sistema:

(2)

En el ejemplo 11.8 de la sección 11.5 encontramos que la solución general del sistema
homogéneo:

(3)

es,

(4)

donde al y a2 son constantes elegidas arbitrariamente.

Ahora buscamos una solución del sistema (2) de la forma:

G) G) G)p = al (t) 2t (5)
+el a2(t) e.

224

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12.1 Sistemas no homogéneos 225

La sustitución directa en (2) nos da: (6)

C) G) C) G)al (t) et + 2a2(t) e2t + a~ (t) et + a~(t) e2t
1) (1) (O 1) (1)3 1 al (t)et + - 2 3 2 a2(t)e2t + (jg((tt))) ,

o, más sencillamente, (7)

'() (1) (1)al t 1 et + a2'(t) 2 e2t = (jg((tt)) ) .

(~)cLos otros términos en (6) se cancelan porque precisamente es una solución del

sistema homogéneo (3). Ahora la ecuación (7) puede escribirse como:

C;) .(~~;~~;:) = (~~~O

Al usar la regla de Cramer encontramos :

j(t) 11
I1: ;1I t
a, (t )e ~ g(t) 2 ~ 2f(t) - g(t),

1 j(t)1

~1: ;1I 2t 11 g(t) ~ g(t) - f(t),

",(t)e

Así,
a~ (t) = [2j(t) - g(t) ]e-t ,

a~(t) = [g(t) - j(t)]e-2t .

Por ejemplo, sifl.t) = é Yg(t) = 1, tenemos:

~ a; (t) = (2e t - l)e-t = 2 - e- t ,

de modo que:

a l(t) = 2t + e- t ,

+a2(t) = _~e-2t e-t.

La solución particular de (5) es:

C) G)(~)p = (2t + e-t) et + (_ ~e-2t + e-t) e2t ,

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226 Capítulo 12 Sistemas no homogéneos de ecuaciones

o

Por lo tanto, la solución general del sistema (2) paraJ(t) = et y g(t) = 1 es:

G) G) G) G) .X = a¡
et + a2 e2t + (2tet + 1) !)+ (et -

•

EJEMPLO 12.2 Dpara A = (-~ y _(3e2t (8)
Resuelva el sistema:
B - te2)t.
X' = AX + B

El problema homogéneo asociado es el mismo que el del ejemplo 11.13 de la sección 11.6.
La solución general del sistema homogéneo es:

G)Xc = e2t [b¡ { (~)cos 2t - sen2t}

G) l(~)+b2 { cos 2t + sen2t} (9)

Buscamos una solución particular del sistema no homogéneo de la forma:

{(6)X p = e2t [b ¡(t) cos2t - (~)sen2t}

G)(~)+b2(t) { cos 2t + sen2t}] .

Al omit~términos que se cancelan cuando Xp es sustituida en (8) tenemos:

[(6)e2tbl( t ) { (~)cos 2t - sen2t }

¡

+b;(t) {(~) cos2t + (6)sen2t}] = e:~:)·

Podemos volver a escribir este sistema lineal en la forma:

(bl

cos 2t sen 2t) ¡ (t») _ (3)
( -2sen2t 2cos2t b;(t) - t·

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12.1 Sistemas no homogéneos 227

Al resolver para b;(t) y b;(t) se obtiene:

~2 3 2 cseons 22tt 1 = 1 (6 cos 2t - t sen 2t ) ,
2:b'¡ ( t ) --1t

b2'(t)- -~2I -2csoens22tt 3t1 = 21: (t cos 2t + 6 sen2t) .

La integración de estas funciones da:

b¡(t) = !(2tcos2t + 11sen2t),

b2(t) = !(2t sen2t - 11 cos 2t).

Por lo tanto, una solución particular del sistema (8) es:

iX = e2t ( b¡ (t) cos 2t + b2(t) sen2t) = e2t ( t ),
-lf
p -2b¡(t)sen2t+2b2(t)cos2t

o sencillamente:

¡e t)X p = ¡ 2t ( -11 '

La solución general del sistema (8) es: •

¡e t)X = Xc + ¡ 2t ( -11 '

donde Xc está dada en la ecuación (9).

• Ejercicios

Encuentre la solución general de cada uno de los sistemas siguientes.

n .1. (~)' = (_~ (~) + (e~) Véase el ejemplo 12.l.

G)2~~)' = (_~ ;) + (~:~:) . Véase el ejemplo 12.2.

3. (~)' = (-i -i) (~) + (U ·

i _i) G) .4. (~)' = (_
+ (ee~:) Véase el ejercicio 3.

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228 Capítulo 12 Sistemas no homogéneos de ecuaciones

5. G), = (-~ ~)G) + (~)et .

G)' DG)6. = ( - : + (6~) 61

e.

112.21 Carrera armamentista

Una aplicación interesante que conduce a la utilización de un sistema de ecuaciones dife-
renciales lineales es el estudio de una carrera armamentista. La presentación que se hace
aquí es llamada con frecuencia el modelo de Richardson, ya que fue propuesto por primera
vez por el meteorólogo inglés L. F. Richardson (1881-1953). 1

Considere el problema de dos países con presupuesto para armamento x y y, medido en
miles de millones de dólares. Supongamos que x y y son funciones del tiempo, medido
en años. Entonces, por el modelo de Richardson, se hacen las suposiciones siguientes:

(a) El presupuesto para armamento de cada país aumentará a una tasa proporcional al
gasto del otro país.

(b) El presupuesto para armamento de cada país disminuirá a una tasa proporcional a su
propio gasto.

(c) La razón de cambio en el presupuesto para armamento en un país tiene una compo-
nente constante que mide el nivel de antagonismo de ese país hacia el otro.

(d) Los efectos de las tres suposiciones anteriores son aditivos.

Estas hipótesis conducen al sistema:

ddxt = ay - px + r, (1)

dy
- = bx - qy + s.
dt

Las constantes a, b, p y q son positivas pero los números r y s pueden tener cualquier valor;
r y s pueden ser positivas si los países tienen desconfianza mutua.

En la notación matricial el problema puede escribirse como:

X' = AX + B, X(O) = G~), (2)

donde, ~

X( ) = (x(!») A -- -p
t y(t)' (b

1 Por ejemplo, véase T. L. Saaty, Mathematical Models ofArms Control and Disarmament (Nueva York: John Wiley
& Sons, Ine., 1968).

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12.2 Carrera armamentista 229

Como hemos visto, la naturaleza de las soluciones del sistema dependerá de los valores
propios de la matriz A, esto es, de las raíces de la ecuación característica:

-p - m - q - mal = m2 + (p + q)m + (pq - ab) = O.

Ib

Estas raíces son:

- (p + q) ± J(p + q)2 - 4(pq - ab) - (p + q) ± J (p - q)2 + 4ab

22

°y, ya que a y b son positivas, los valores propios son reales y distintos. Como p > y

q > 0, resulta que si pq - ab > 0, los dos valores propios son negativos, pero si pq - ab < 0,

los valores propios tendrán signos opuestos. La presencia de un valor propio positivo es
preocupante, ya que conduce a una función exponencial no acotada cuando el tiempo
aumenta; una situación así podría tener como consecuencia una carrera armamentista
incontrolable.

Ahora examinaremos varios ejemplos ilustrativos de las posibles consecuencias del
modelo de Richardson.

EJEMPLO 12.3

Considere una situación en la que los parámetros en las ecuaciones (2) son a = 4, b = 2,

p = 3, q = 1, r = 2, s = 2, X o = 4 Y Yo = 1, esto es,

XI=(-~ _~)X+(;) y X(O) = (~).

La ecuación característica de la matriz es:

1 -3-~ - 1 -m41 = m2 + 4m - 5 = 0,

así los valores propios son mI = 1 y m2 = - 5.
Para mI = 1, calculamos las soluciones no triviales del sistema:

(-42 4) (el) = O.

- 2 e2

el elPor lo tanto, = e2• Tomando = 1 se obtiene una solución que nos da el vector pro-

PiOG).

Para m2 = - 5, el sistema:

i)·requiere que el + 2e2 = O. Tomando e2 = - 1 se obtiene el vector propio (_

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230 Capítulo 12 Sistemas no homogéneos de ecuaciones

Por lo tanto, la solución general del sistema homogéneo X' = AX es:

G) (-i)X(t) = Cl
+el C2 51
e- •

El sistema no homogéneo X' = AX + B tiene una solución constante de la forma (;).

La sustitución en el sistema da:

(=:;) .un sist~ma con soluciónEn consecuencia, la solución general del sistema no

homogeneo es:

(1) (2) (-2)+X(t)=CI 1 eI+c2 -1 e-51 -2'

(~)Ahora la condición inicial X (O) = I requiere que:

de modo que C1 = 4 Yc2 = 1. Por lo tanto, la solución final es:

o

+x(t) = 4el 2e-51 - 2,

y(t) = 4e l - e-51 - 2.

Tenemos una carrera armamentista incontrolable.

•
EJEMPLO 12.4
Veamos un segundo ejemplo de carrera armamentista. Tomamos los valores siguientes para

=t ·los parámetros en la ecuación (2): a = 4, b = 2, p = 3, q = 1,-r = -2, s = -2, Xo = 2,

Yo El sistema de ecuaciones diferenciales tiene la misma solución hallada en el ejemplo
12.3 salvo por el signo de la solución particular. Por lo tanto, la solución general es:

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12.2 Carrera armamentista 231

Ahora las condiciones iniciales requieren que:

(ü G) (-i)=CI + (;),
+C2

t.de la que obtenemos C l = -1 Yc2 = La solución es:

x(t) = _el + e-51 + 2,

y(t) = _el -1e-51 + 2,

y finalmente cada país disminuirá su presupuesto en armamento hasta llegar a cero; tene-

mos así una condición de desarme. •

EJEMPLO 12.5

Ahora cambiamos los valores de los parámetros en el sistema (2) a a = 3, b = 1, P = 4,
q = 2, r = 6, s = 1 con las condiciones iniciales Xo = O, Yo = O. El sistema que será re-

suelto se convierte en:

(~)Una solución particular de este sistema es el vector y los valores propios de la ma-

i)·(~)triz son -1 y - 5 con los correspondientes vectores propios
y (_

Por lo tanto, la solución general del sistema es:

(x) (1) (3) (3)+ +Y = CI 1 e- 1 C2 -1 e-512.

Las condiciones iniciales Xo = Yo = Orequieren que:

G) (-O(~) = CI + (;),
+ C2

t t.una ecuación que se satisface sólo si C l = - y c2 = - En consecuencia, la solución

del problema de valor inicial es:

(3)

También es cierto que:

(4)

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232 Capítulo 12 Sistemas no homogéneos de ecuaciones

Ahora podemos interpretar las ecuaciones (3) y (4) como una situación donde cada
país tiene un presupuesto de cero, pero con dx / dt = 6 Ydy / dt = 1, ambas cantidades
positivas. A causa de los exponentes negativos, la razón de cambio de ambos pre-

supuestos tiende a cero y el propio presupuesto tenderá a x = 3 Y Y = 2. Habrá una

situación armamentista estabilizada.

•

• Ejercicios

Para el modelo de Richardson descrito por las ecuaciones (2), resuelva los casos especiales siguientes a-
notando en cada ejercicio si habrá una situación armamentista estable, una carrera armamentista incon-
trolable o una situación de desarme.

1. a = 2, b = 4, p = 5, q = 3, r = 1, s = 2, Xo = 8, Yo = 7.

2. El cambio de los valores iniciales de Xo y Yo' ¿qué efecto tiene en la estabilidad de la
solución del ejercicio l?

3. a = 4, b = 4, p = 2, q = 2, r = 8, s = 2, Xo = 5, Yo = 2. \

4. Demuestre que la solución del ejercicio 3 siempre será inestable s\ los valores ini-

ciales son no negativos.

5. Para a = 4, b = 4, p = 2, q = 2, r = -2, s = -2, demuestre que habrá desarme si

Xo+ Yo < 2, Yuna carrera armamentista incontrolable si Xo+ Yo> 2.

6. Para a = 4, b = 4, p = 2, q = 2, r > 0, s > 0, demuestre que habrá una carrera ar-

mamentista incontrolable para cualesquiera valores no negati vos de Xoy Yo'

7. Para a = 4, b = 4,p = 2, q = 2, r < 0, s < 0, demuestre que habrá una carrera arma-

mentista incontrolable si Xo + Yo > -r -s

2

°8. Demuestre que si pq - ab > 0, r > y s> 0, habrá una solución estable.
°9. Demuestre que si pq - ab < 0, r> y s > 0, habrá una carrera armamentista

°incontrolable.

10. Demuestre que si pq - ab > 0, r < y s < 0, habrá desarme.

\12.31 Circuitos eléctricos

Las leyes básicas que rigen el flujo de corriente eléctrica en un circuito o una red se darán
aquí sin deducción. La notación utilizada es común en la mayoría de los textos de inge-
niería eléctrica, aSÍ:

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12.3 Circuitos eléctricos 233

t (segundos) tiempo
Q (culombs) cantidad de electricidad (por ejemplo, carga en un capacitor)
l (amperes) corriente, velocidad de flujo de la electricidad
E (volts) fuerza electromotriz o voltaje
R (ohms) resistencia
L (henrys) inductancia
C (faradios) capacitancia

Por la definición de Q e l resulta que:

Jet) = Q /(t).

La corriente que hay en cada punto de una red eléctrica puede determinarse resolviendo
las ecuaciones que resultan de aplicar las leyes de Kirchhoff:

(a) La suma de las corrientes que entran (o salen) de cualquier polo es cero.
(b) Alrededor de cualquier trayectoria cerrada la suma de los voltajes instantáneos que

pasan en un dirección determinada es cero.

Un circuito es tratado como una red que tiene una sola trayectoria cerrada. La figura
12.1~estra un circuito "RLC" con algunas de las convenciones usuales para indicar los
diferentes elementos.

Para un circuito, la ley de Kirchhoff en (a) sólo indica que la corriente es la misma en todas
partes. Esa ley tiene un papel importante en redes eléctricas, como veremos posteriormente.

Para aplicar la ley del voltaje (b) de Kirchhoff, es necesario conocer las contribuciones
de cada uno de los elementos descritos idealmente en la figura 12.1. El voltaje que pasa por
la resistencia es RI, la energía que cruza por el inductor (bobina) es LI'(t) y la que cruza
por el capacitor es C- IQ(t). La fuerza electromotriz ejercida E(t) contribuye a aumentar el
voltaje.

R

E(t)

e

Figura 12.1
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234 Capítulo 12 Sistemas no homogéneos de ecuaciones

Suponga que en el instante t = Ose cierra el interruptor que se muestra en la figura 12.1 . En

t = Ono hay flujo de corriente; 1(0) = Oy, si inicialmente el capacitor está sin carga, Q(O) = O.
Con base en la ley de Kirchhoff señalada antes en (b), obtenemos la ecuación diferencial:

LJ/(t) + RI(t) + C IQ(t) = E(t) , (1)

en laque:

I(t) = Q' (t). (2)

Las ecuaciones (1) y (2), con las condiciones iniciales : (3)

1(0) = O, Q(O) = O,

constituyen el problema a resolver.
La función I(t) puede eliminarse de (1), (2) Y(3) para obtener el problema de valor inicial

+ +LQ"(t) RQ'(t) C- I Q(t) = E(t) ; Q(O) = O, Q'(O) = O. (4)

De ello resulta que el problema del circuito es equivalente a un problema de vibración
amortiguada de un resorte (sección 10.4). El término de la resistencia RQ'(t) corresponde
al término de amortiguamiento en problemas de vibración. En la práctica, las analogías en-
tre sistemas eléctricos y mecánicos son útiles.

Los problemas de valor inicial del tipo dado en la ecuación (4) pueden resolverse por
medio de la teoría general de ecuaciones lineales con coeficientes constantes. Ahora pre-
sentamos un ejemplo usando esta técnica.

/

EJEMPLO 12.6
En el circuito RL que se muestra en la figura 12.2, encuentre la corriente l(t) si la corriente
en t = Oes cero y E es constante.

De las ecuaciones O) y (3) tenemos:

LJ' (t) + RI(t) = E; 1(0) = O. (5)

-R L
I(t)

Figura 12.2
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