ecuaciones-diferenciales-rainville-bedient-bedient

22.3 Ejemplos numéricos de series de Fourier 435

Cuando n es impar, n = 2k + 1,

sen (2k + l)rr = sen(krr + !rr) = coskrr = (_ l)k.

·2

Así llegamos a la ecuación:

l = 3 2 00 (_ l)k
- -- Lk=O 2k-+ '

2 rr 1

o or f (-l)k =::.,

+k=O 2k 1 4 (12)

que también puede verificarse por el hecho de que el miembro del lado izquierdo represen-

ta arctan 1. •

EJEMPLO 22.2
Obtenga la serie de Fourier en el intervalo que va de - 7T a 7T para la función Xl. Sabemos que:

X2,,-, 1 00 + bn sennx] (13)

lao+ L[a,; cosnx (14)
(15)
n=!

para - 7T < X < 7T, donde ¡nan = -1
rr
x' 2 cosnx dx; n = 0, 1, 2, ... ,
¡nbn = -1 n = 1, 2, 3, .. ..
-n

x 2sennx dx;

rr -n

°Ahora X2 es una función par de x y sen nx es una función impar de x, así que el producto

X2 sen nx es una función impar de x. Por lo tanto, bn = para toda n. Como x2 cos nx es una

función par de x,

an = - 21n x2 cosnx dx; n = 0, 1, 2, . ... (16)
rr
o

Para n =f= 0,

an = 2 [x2sennx + 2xcosnx - 2sennxJn
-rr n n2
n3 o '

de la que:

_ ~ [2rr cos nrr ] _ 4(_ l)n n = 1,2,3, ....
an - rr n2 - n2 '

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436 Capítulo 22 Series de Fourier

¡(x)

-~;AI0~~, x

Figura 22.5

Se necesita una integración aparte para ao' Obtenemos:

rao = ~ x2 dx = ~ . Jr3 = 2
2Jr
JoJr
Jr 3 3

Por lo tanto, en el intervalo - 7T < X < 7T,

2 '"'-' -Jr 2 4 LOO (-1 Y cos nx .

x + n2
3
n=l

En efecto, como consecuencia de la continuidad de la función involucrada, podemos escribir:

2 Jr2 LOO (_l)n cos nx
x = -+4 para - Jr ::: x ::: Jr. (17)
3 n=l n2

Fuera del intervalo indicado, la serie del lado derecho en la ecuación (17) representa la ex-

•tensión periódica de la función original. La suma de la serie se bosqueja en la figura 22.5.
• Ejercicios

En los ejercicios del l al 22, obtenga la serie de Fourier en el intervalo indicado para la función dada. En
todos los casos bosqueje la función que es la suma de la serie obtenida.

l. Intervalo -c < x < c; función, f(x) = O, - c < x < O,

= c - x, O < x < c.

2. Intervalo -c < x < c; función,f(x) = x.

3. Intervalo - c < x < c; función,f(x) = X2 . Compare su respuesta con la del ejemplo

22.2 en el texto.

4. Intervalo -c < x < c; función, f(x) = O, - c < x < O,

=(c-x)2,0 <x<c.

5. Intervalo -c < x < c; función, f(x) = O, - c < x < O,
O < x < c.
= 1,

6. Intervalo -c < x < c; función,f(x) = ~. - Jr < X < O,
O < x < Jr.
7. Interyalo - 7T < X < 7r, función, f (x) = 3Jr + 2x,

= Jr +2x,

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22.3 Ejemplos numéricos de series de Fourier 437

+8. Intervalo +c < x < e; función, f(x) = x(e x), - e < x < O,
O < X < e.
= (e - x)2,
- 2 < x < O,
+9. Intervalo -2 < x < 2; función, f(x) = x 1, O < x < 2.

= 1,

10. Intervalo -1 < x < 1; función, f(x) = O, - 1 < x < O,

= 1, O < x < ~,
= O, ~ < x < 1.

11. Intervalo-7T<x<7T;función'f(x) =0, -lf -c x <O,

=x2, O<X<lf.

12. Intervalo -7T < X < 7T; función,f(x) = cos 2x.

13. Intervalo -7T < X < 7T; función,f(x) = cos (x / 2).

14. Intervalo - 7T< X < 7T; función,f (x) = sen- x.

15. Intervalo = c < x < e; función,f(x) = e',

16. Intervalo c < x < e; función, f(x) = O, - e < x < O,
+ O < x < e.

17. Intervalo = c < x < e; función, f(x) = O, -e < x < !e
= 1,
2'

21:e < x < e.

18. Intervalo c < x < e; función, f(x) = O, - e < x < O,
+ O < x < e.

=x,

19. Intervalo -4 < x < 4; función, f(x) = 1, - 4 < x < 2,
= O, 2 < x < 4.

20. Intervalo = c < x < e; función, f(x) = O, - e < x < O,
=x(e-x), O<x<e.

+21. Intervalo = c < x < e; función, f(x) = e x, - e < x < O,
O < x < e.
= O,

22. Intervalo c < x < e; función,f(x) =.0.
+

23. Utilice la respuesta del ejercicio 3 para demostrar que ~ (_1)n+1 12
~,,=1 n2

00 1 lf2
L 6·24. Utilice la respuesta del ejercicio 8 para demostrar que
n2 =

n=1

• 00 1 lf4

L25. Utilice la respuesta del ejercicio 22 para demostrar que ,,=1 n4 = 90·

2.6 U tr·1I·ce x = O en la respuesta deel eejiercic..io 15 para sumar laa sseenrie ~~ 2(_l)n 2 2·

+n=1 e n lf

27. Suponga que e --7 O en el resultado del ejercicio 26 y compárelo con el ejercicio 23.

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438 Capítulo 22 Series de Fourier

122.41 Series de Fourier en términos de senos

En la sección 20.4 encontramos que era conveniente tener un desarrollo de una función

°f(x) en una serie que sólo implique funciones seno, de modo que el desarrollo represen-

te a laf(x) original en el intervalo < x < c. Con la notación que hemos utilizado, la se-

rie de Fourier:

-1ao + ~~ (ann crosr-x- + bn sen -nr-rx)
2 n=l
C C

se reducirá a una serie donde cada término contendrá una función seno si de algún modo la

an, n = 0, 1,2, ... , puede hacerse cero. Al examinar la fórmula para an, sección 22.2, vemos
que la an se anulará si la función que será desarrollada es una función impar en el intervalo
-c<x<c.

°Por lo tanto, para obtener una serie en términos de senos paraf(x) introducimos una nue-

va función g(x) definida como igual af(x) en el intervalo < x < c y que sea la extensión im-
par de esa función en el resto del intervalo, -c < x < O. Esto es, definimos g (x) mediante:

g(x) = f(x), 0< x < c,
= - fe - x), - c < x < O.

Entonces g(x) es una función impar en el intervalo -c < x < c. En consecuencia, de:

g(x) '" -1ao + ~~ (ann crosr-x- + bn sen -nr-rx)
2 n=l
C C

se concluye que:

fean = -1 g(x) cos -nrr-x dx = 0, n = 0, 1, 2,

C -e C

fe 21ey
bn = -1 g(x) sen -nrr-x dx = - f(x) sen -nrr-x dx .
c -e
C CO C
°La serie que resulta representa af(x) en el intervalo < x < c, ya que g (x) y f(x) son idén-
ticas en esa parte del intervalo completo.

Así, tenemos:

L00 nrrx 0< x < c, (1)

f(x) '" bn sen - ,

n= l C

en la que: 21e

bn = - f(x) sen -nrr-x dx, n = 1, 2, 3, .... (2)
c oc

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22.4 Series de Fourier en términos de senos 439

La representación (1) es llamada serie de Fourier en términos de senos (o serie sinusoidal

de Fourier) paraj{x) en el intervalo O < x < c.

Debe hacerse notar que el recurso de introducir la función g(x) fue la herramienta de que
nos valimos para llegar a (1) Y(2); no hay necesidad de repetir esto en problemas específi-
cos, donde podemos utilizar directamente (1) y (2).

EJEMPLO 22.3

=Desarrollef(x) x2 en una serie de Fourier en términos de senos en el intervalo O< x < 1.

De inmediato podemos escribir, para O < x < 1,

x 2 ", L00 bn sen nrrx, (3)

n=l (4)

en la que:

t .Jobn = 2 x 2 sennrrx dx

J=2 [
x2 cos nrr x + 2x sennrrx + -2 co-s-n;:rr-x- 1
nrr (nrr)2 (nrr)3 o

2[_ 2_J.+= cosnrr 2cosnrr __
n3rr 3 n3rr 3
nrr

Por lo tanto, la serie sinusoidal de Fourier, en O < x < 1, para x2 es:

L -2 00 [(_l)n+l 2{1 - (_l)n}J (5)
x '" 2 3 3 sennrrx.
n=l nrr n rr

La serie del lado derecho en (5) converge a la función que se muestra en la figura 22.6, esa:

f(x)

Figura 22.6
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440 Capítulo 22 Series de Fourier

función será llamada extensión periódica impar, con periodo 2, de la función:

O<x<l. •

• Ejercicios

En cada ejercicio obtenga la serie sinusoidal de Fourier en el intervalo especificado para la función dada.
Bosqueje la función que es la suma de la serie obtenida.

1. Intervalo, O< x < e; función,f(x) = 1.

2. Intervalo, O< x < e; función,f(x) = x. Compare su resultado con el del ejercicio 2

de la sección 22.3.

3. Intervalo, O< x < e; función,f(x) = X2. Verifique su respuesta con la del ejemplo 22.3.
4. Intervalo, O< x < e; función,f(x) = e-x.

5. Intervalo, O< x < 2e; función,f(x) = e-x.

6. Intervalo, O< x < 4e; función,f(x) = e-x. Compare con los ejercicios 4 y 5.

7. Intervalo, O< x < e; función,f(x) = x(e - x).

8. Intervalo, O< x < 2; función , f(x) = x, O < x < 1,

= 2 - x, 1 < x < 2.

9. Intervalo, O< t < tI; función, f(t) = 1, 0 < t < to ,
to < t < tI.
= O,

10. Intervalo, O< x < l ,' función , f (x) == O1,, O< x < ~,
~ <x< l.

11. Intervalo, O< x < 1; función, f (x) = O, 1 O < x < ~,
~ <x< l.
= x - 2'

12. Intervalo, O< x < 7T; función,f(x) = sen 3x.

13. Intervalo, O< x < 7T; función,f(x) = cos 2x. Observe el tratamiento especial que se

necesita para la evaluación de b2.
14. Intervalo, O< x < 7T; función,f(x) = cosx.

15. Intervalo, O< x < e; función,f(x) = e-X.

16. Intervalo, O< x < c; función,f(x) = senh kx.

17. Intervalo, O< x < e; función,f(x) = cosh kx.

18. Intervalo, O< x < e; función,f(x) = Xl.

19. Intervalo, O< x < e; función,f(x) = .0.

20. Intervalo, O< x < e; función, f (x) = x, O < x < ~ c,
21 c < x < c.
=0,

21. Intervalo, O< x < 1; función,f(x) = (x - 1)2.

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22.5 Series de Fourier en términos de cosenos 441

122.51 Series de Fourier en términos de cosenos

De manera análoga a la que utilizamos para obtener la serie sinusoidal de Fourier, es posi-

ble obtener una serie en términos de cosenos, incluyendo un término constante, para una

función definida en el intervalo O< x < c. Efectivamente, dada la funciónf(x) definida en
el intervalo O < x < c, y que satisface ahí las condiciones estipuladas en la sección 22.2,

podemos definir una función auxiliar h(x) mediante:

h(x) = f(x), O < x < c,
= fe-x),
-c < x < o.

Entonces h(x) es una función par de x y, por supuesto, es igual af(x) en el intervalo en don-

def(x) fue definida. Como h(x) es par, se concluye que en su desarrollo de Fourier usual en

el intervalo -c < x < c, todas las b son cero,
ll

fC1 h(x) sennr-rx- dx = O,

b" = -
c -c
C

como consecuencia de que el integrando es una función impar. Además, ya que h(x) es par,

h(x) cos(n7Tx / c) también es par y:
21 21c c

a" = - h(x) cos -nrr-x dx = - f(x) cos -nrr-x dx .
co c co c

Como h(x) y f (x) son idénticas en el intervalo O < x < c, podemos escribir lo que se

acostumbra llamar serie de Fourier en términos de cosenos (serie cosinusoidal de Fourier)
paraf(x) en ese intervalo, a saber,

+1 Loo nrrx O < x < c, (1)
f(x) '" -ao all cos - - , (2)
2
,,=1 C

en la que: 21C

a" = - f(x) cos -nrr-x dx.
co c

EJEMPLO 22.4

Encuentre la serie cosinusoidal de Fourier en el intervalo O< x < c para la funciónf(x) = x.

De inmediato escribimos:

f(x) '" -1ao +~ cos nrrx
~a" --,

2 ,,=1 C

en la que:

21C

a" = - x cos -nrr-x dx.
co c

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442 Capítulo 22 Series de Fourier

f(x)

o--~--------~--------~--~----~--------~-- x
- 2e -e e 2e

Figura 22.7

*Para n O, las an pueden evaluarse como sigue:

(e)2an =
-2 [ -e-x sen -nn-x- + - cos -n-n-xJ C
e nn· e
nn eo

[C:)2 )2J~= cosnn - (n:

2e n # O.
= - n2n 2(1 - cosnn),

El coeficiente restante aose obtiene rápidamente:

reao = ~2 Jo x dx = ~2 . 2e2 = e.

Así, la serie cosinusoidal de Fourier en el intervalo O< x < e para la funciónf(x) = x es

1 2e Loo 1 - ( _ 1)n nnx
f(x) '" -e - -- cos-,
2 n 2 n=1 n2 e

que también puede escribirse en la forma:

f=óf x '" ~e _ 4e ~ cos [(2k + l)nx/e] (3)
() 2 n 2 +(2k 1)2 .

La serie infinita del lado derecho en (3) converge hacia una función que con frecuencia

=es llamada extensión periódica par de la función f (x) x. La gráfica de tal extensión se

muestra en la figura 22.7.

•

• Ejercicios

En cada ejercicio, obtenga la serie cosinusoidal de Fourier para la función dada en el intervalo indicado y
bosqueje la función a la que la serie converge.

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22.6 Análisis numérico de Fourier 443

l. Intervalo, O< x < 2; función, f(x) = x, O < x < 1,

= 2 - x, 1 < x < 2.

2. Intervalo, O< t < ti; función, f (t) = 1, 0< t < to,

=0, to < t < ti.

3. Intervalo, O< x < 1; función,f(x) = (x - 1)2.

4. Intervalo, O< x < e; función,f(x) = x(e - x).

5. Intervalo, O< x < e; función,f(x) = (e - x).

6. Intervalo, O< x < 1; función, f (x) = O, O < x < t,

" = 1, t<x<l.
O < x < t,
7. Intervalo, O< x < 1; función, f(x) = O,
=x - t, t<x<l.
t -8. Intervalo, O< x < 1; función, f (x) = x, O < x < t,

=0, t<x<l.

9. Intervalo, O< x < 7í, función,f(x) = cos 2x.

10. Intervalo, O< x < 7T; función,f(x) = sen 2x.

11. Intervalo, O< x < e; función, f(x) = x, O < x < te,

= O, te < x < e.

12. Intervalo, O< x < e; función,f(x) = e-X. Observe cómo esta vez el término aocoin-

cide con los otros términos, haciendo innecesaria la integración por separado.

13. Intervalo, O< x < e; función,f(x) = cosh kx.

14. Intervalo, O< x < e; función,f(x) = senh kx.

15. Intervalo, O< x < e; función,f(x) = il.

16. Intervalo, O< x < e; función,f(x) = .0.

122.61 Análisis numérico de Fourier

En las secciones precedentes y en las aplicaciones que analizaremos en el capítulo siguien-
te, las funciones para las que se requiere la serie de Fourier están expresadas con fórmulas ,
por ejemplo,

f(x) = x, O < x < 1,
1 < x < 2.
=2- x,

De modo que los coeficientes de Fourier, an, bn se obtienen por integraciones formales.
A menudo sucede en la práctica que la función está descrita, en primer lugar, sólo por

una gráfica o una tabla de valores numéricos. De esta manera los coeficientes de Fourier

deben determinarse realizando las integraciones pertinentes mediante algún método nu-
mérico, mecánico o gráfico. Por ejemplo, en el problema de conducción de calor estudia-
do en la sección 20.4, la distribución inicial de temperaturaf (x) podría consistir de una

tabla de lecturas iniciales de temperaturas para puntos situados a diferentes distancias en la

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444 Capítulo 22 Series de Fourier

superficie de la lámina. Al final de la sección 20.4 se vio que la solución:. (1)

[(mrh)2] nnxu(x, t) = ~00 Bn exp - -c- t sen -c-

del problema de la temperatura involucra los coeficientes B", elegidos de modo que:

nnx of(x)~~00B" (2)
= s e ne - para < x < c.
,, = 1

Ahora podemos ver que (2) es el desarrollo en serie sinusoidal de Fourier deflx). Por lo
tanto , las B" están dadas por:

21'" nnxB" = - f (x) sen - - dx,
eo e

de la que las Bn se encuentran de manera numérica y se insertan luego en (1).
Es natural que en este libro exista una marcada tendencia a considerar cada tema sólo

desde el punto de vista de las ecuaciones diferenciales, o bien como una fase particular del
tema de ecuaciones diferenciales. Pero debemos apuntar que las series de Fourier están in-
volucradas en muchas otras ramas de las matemáticas y en otras ciencias. Para conocer el
tema de ajuste de curvas y el método de mínimos cuadrados, véase Churchill y Brown.2

122.71 Cómo mejorar la rapidez de convergencia

En problemas prácticos, algunas veces aparecen series trigonométricas sin que exista algu-
na forma conocida de la función suma. Los cálculos con tales series pueden ser fastidiosos,
a menos que la serie converja con rapidez razonable.

Suponga que se desea calcular la suma de la serie:

00 (_ 1)" /1 COS /1 X (1)

L +,,=1 /1 ' 7

en varios puntos en el intervalo O< x < 7T. La serie en (1) converge de manera absoluta, ya :

oc
L ) /que su término general es menor en valor absoluto que 1/n2 y
/12 converge.

Denotemos con cjJ(x) a la suma de la serie en (1).

Para valores grandes de n, los coeficientes en (1) se calculan aproximadamente bien me-
diante (-) )"/n2. Pero ya conocemos la suma de la serie correspondiente con esos coeficien-

2 R. V Churchill y J. W. Brown, Fourier Series and Boundary Va/ue Prob/ems, quinta edición. (Nueva York, McGraw-
Hill Book Company, 1993 .)

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22.8 Suplemento para computadora 445

tes; en el ejemplo 22.2 de la sección 22.3 demostramos que:

2 71: 2 LOO (_1)" CoS nx para - 71: :s x :s 71:. (2)
x = -+ 4 (3)
3 11=1 n2

Por lo tanto,

~ (X2 _ 2 = ~ (_ 1)" cosnx :s :s-71: x 71:.
71: )

4 3 ~ n2 '
11=1

Como los coeficientes en la serie en (3) y aquellos en la serie para <p (x),

~ (_1)" n cos nx o < x < 71:, (4)

cp(x) = ~ n3 + 7 '

11=1

son casi iguales para valores grandes de n, de esto se concluye que la diferencia de esos
coeficientes debe ser pequeña. Así que restamos los miembros de la ecuación (3) a los co-
rrespondientes de la ecuación (4), lo que nos da:

[+- --;]~ 3
cp(x) - (x2 - 71: ) = f(-1)n n +7 cosnx
n
4 3 n=1

L00 7(-1)" +1cosnx

= n2 (n 3 +7) .

11=1

Así, para <p (x) obtenemos la fórmula:

L_ ~ ( 2 _ 71: 2)

+ +cp(x) - 4 x 3
7 00 (_ 1)"+1 cosnx o < x < 71:, (5)
11=1 n 2(n 3 7) ,

con lo que el cálculo de <!>(x) se simplifica ya que los coeficientes de cos nx en (5) se vuel-
ven pequeños más rápidamente que aquellos en (4), cuando n aumenta.

Es importante recordar el recurso ilustrado anteriormente cuando se calculen series
infinitas, sean o no trigonométricas. El método depende mucho de la presencia de una co-
lección de series para las que la suma sea conocida.

\22.8\ Suplemento para computadora

Los Sistemas de Álgebra Computacional resultan muy adecuados al realizar las numerosas in-
tegraciones necesarias para encontrar las representaciones en series de Fourier para varias fun-
ciones. Como ejemplo, encontraremos la serie de Fourier, en términos de senos, para la función:

¡(x) = x, o < x < 1/2,

= l-x, 1/2 < x < l.

Primero encontramos los coeficientes h • Como la función está definida en dos intervalos,
ll

podemos dividir la integral requerida en dos partes. Luego estos coeficientes se escriben

juntos para formar la serie necesaria.

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446 Capítulo 22 Series de Fourier

>b[n] :=2*int(x*sin(n*Pi*x),x=0 .. (1/2))+
2*int((1-x)*sin(n*Pi*x) ,x=(1/2) .. 1):
>FouSinSer:=sum(b[n]*sin((n*Pi*x)),n=l .. 10);

FouSinSer := 4 sen(n x)

n 2

4 sen(3n x)

9n2

4 sen(5n x)

+ 25n2

4 sen(7 n x)

49n 2

4 sen(9n x)

+ 8ln2

Usaremos este resultado en el siguiente suplemento para computadora.

• Ejercicios

1. Utilice una computadora y encuentre las series de Fourier requeridas para varios pro-
blemas de este capítulo.

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Problemas con 23
valores en la frontera

123. 11 La ecuación del calor en una dimensión

La ecuación representativa de la conducción de calor, aa2zu2),
h2(aax22u + a2u +
aaut = ay2 (1)

se introdujo en la sección 20.2. A continuación se describen los símbolos que aparecen en ella
y un conjunto consistente de unidades que se emplea con frecuencia en la ingeniería práctica:

x, y, z = coordenadas espaciales rectangulares (pies),

t = tiempo (horas),

u = temperatura (OP),

h2= difusividad térmica (pies2/hora).

Otro conjunto de unidades de uso frecuente para las cantidades anteriormente descritas

remplaza pies por centímetros, horas por segundos y grados Pahrenheit por grados centí-

grados (Celsius).

Ya se indicó en la sección 20.4 que bajo condiciones físicas adecuadas es razonable es-

tudiar cierto caso especial de la ecuación (1), la ecuación del calor en una dimensión:

au 2 a2u
-at= h -ax2 .

En la sección 20.4 obtuvimos el problema con valores en la frontera:
au 2 a2u
-at= h -ax2 para O< t, O< x < e; (2)

cuando t -') 0+, U -') f(x) para O< x< e; (3)

cuando x -') 0+, U -') O para 0< t; (4)

cuando x -') c-, u -') O para 0< t, (5)

la relación:

u(x, t) = ~~ Bn exp [-(m-rch-)2 t] sen -n:crr-x ' (6)

447

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448 Capítulo 23 Problemas con valores en lafrontera

donde las B" se determinaron de manera que:

L00 nrrx (7)

f(x) = Bn sen - - para O< x < c.
e
n= 1

Luego, en el capítulo 22, encontramos que la ecuación (7) sugiere que la serie del lado

derecho es la serie sinusoidal de Fourier paraf(x) en el intervalo O< x < e y, por lo tanto,

que:

21'"B" = - f(x) sen -nrr-x dx. (8)
eo e

No es difícil, pero requiere conocimientos que van más allá de este curso, verificar que
(6), con los coeficientes B" dados por (8), es realmente una solución, esto es, que (6) posee,
para una elección adecuadaf(x), las propiedades de convergencia necesarias, además de
que satisface formalmente la ecuación diferencial (2) y las condiciones dadas en la fronte-
ra (3), (4) Y(5).

La cantidad de calor que pasa por un elemento de superficie en un tiempo específico es
proporcional a la velocidad de cambio de la temperatura en la dirección normal (perpen-
dicular) a esa superficie. Así, el flujo de calor en la dirección x Ca través de una superficie
normal a la dirección x) se toma como:

au
-K ax'

donde la constante de proporcionalidad K es la conductividad térmica del material que se

estudia. El significado del signo negativo puede apreciarse considerando un ejemplo en el

que la temperatura aumente con el aumento de x. au /ax es positiva, pero el calor va en la

dirección negativa de x, de la parte más caliente a la más fría; de aquí que el flujo del calor

se tome como negativo.

Usaremos con mayor frecuencia la expresión para el flujo de calor al formular condicio-

nes en la frontera que involucren aislamiento. Si existe un aislamiento total en una super-

ficie normal a la dirección x, entonces no hay flujo de calor a través de esa superficie, así

que ahí:

au
-ax= 0

EJEMPLO 23.1
Encuentre la temperatura existente en una lámina plana de espesor unitario tal que:

(a) Su temperatura inicial varía de manera uniforme desde cero en una cara hasta Uoen
la otra.

(b) La temperatura en la cara que inicialmente estaba en cero permanece en cero para

t> O.
(c) La cara que al principio estaba a la temperatura Uoes aislada para t > O.

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23.1 La ecuación del calor en una dimensión 449

Si x se mide desde la cara que está a temperatura cero, el problema puede escribirse como:

ou = h2 o2u para O< x < 1, O< t (9)

ot ox2

cuando t ~ 0+, U ~ uaX para O<x< 1; (10)
para O < t; (11)
cuando x ~ 0+, U ~ O

cuando x ~ 1- , -ou ~ O para O < t. (12)

ox

Primero buscamos funciones que satisfagan la ecuación diferencial (9), usando la técni-

ca de separación de variables independientes. Como antes, obtenemos:

u = exp (-h 2a 2t)[Acosax + B senax] (13)

con a, A y B elegidas arbitrariamente. La condición (11) exige que: (14)
O= A exp (-h 2a 2t) para O < t,

así que debemos tomar A = O. Ahora tenemos:
u = Bexp(-h2a 2t) senax,

la cual satisface a (9) y a (11). Con base en (14) se deduce que:

ou = aB exp (-h2a 2t)cosax,

-
ox

entonces la condición (12) requiere que:

0= aBexp (-h2a 2t) cosa para O < t.

No debemos elegir a = Oo B = Oya que entonces (14) daría u= O, que no satisface la

condición restante (10). El factor exp( -h2 d!t) no puede anularse para ninguna t, mucho

menos para una t positiva. Por lo tanto, concluimos que:

cos a= O. (15)

Con base en (15) se concluye que: k=0,1,2, ...

a = (2k + 1)7T/2;

Ahora tenemos las funciones:

u = Bk exp [-ih2(2k + 1)2Jr2t] sen [(2k + I)Jr xj2]; k = O, 1,2, ... ,

cada una de las cuales satisface a (9), (11) Y(12). Para tratar la condición (10), construimos

la serie:

L + +00
u(x, t) = Bk exp [-ih2(2k 1)2Jr2t] sen [(2k I)Jrxj2] (16)

k=O

y requerimos, como consecuencia de (10), que:

L +00 para O < x < 1. (17)
UoX = Bk sen [(2k I)Jrxj2]

k=O

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450 Capítulo 23 Problemas con valores en lafrontera

La comparación del miembro derecho de (17) con el desarrollo general de la serie sinu-

soidal de Fourier para el intervalo O < x < e, muestra que la serie en (17) es un desarrollo
en el intervalo O < x < 2 Y que faltan sus términos pares. Esto es, buscamos el desa-

rrollo en serie sinusoidal de Fourier:

para O < x < 2 (18)

donde:

f (x) = uox para O < x < 1,

Yf (x) se elige de forma tal que para 1 < x < 2 en (18), los términos con índice n par se

eliminen.
No es difícil advertir, físicamente, que de alguna manera queremos extender el ancho de

la lámina más allá de x = 1, para evitar que el calor cruce la cara aislada en x = 1. Una vez

que esto se logra, de inmediato se aprecia la necesidad de que todas las condiciones de tem-
peratura sean simétricas con respecto a la cara aislada x = 1.

La temperatura inicial f (x) de nuestra lámina original se muestra en la figura 23. l.
Hacemos quef(x) en 1 < x < 2 sea la reflexión con respecto ax = 1 de la temperatura ini-
cial, de modo que en O < x < 2 la temperatura inicial en la lámina extendida es como se

muestra en la figura 23.2.

Ahora puede remplazarse el problema con valor en la frontera dado en las expresiones
de la (9) a la (12), por uno nuevo, con una lámina de ancho igual a 2, temperatura inicial co-

mo se muestra en la figura 23.2 y de modo que las caras x = OYx = 2 se mantienen a tem-

peratura cero para t > O. La solución del primer problema es la misma para el nuevo, salvo
que sólo es usada cuando O< x < 1.

Un procedimiento alternativo es volver a la ecuación (18) con:

f(x) = uox para O < x < 1,
= uo(2 - x) para 1 < x < 2,

y así obtener bn' de la cual se deducen las Bk de (16) y (17).

f(x)

o--~------------'-x

Figura 23.1

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23.1 . La ecuación del calor en una dimensión 451

f(x)

o 2--~------------+---~-------4~x

Figura 23.2

Existe otro método digno de mencionarse. Tal como veremos en el ejercicio 10, después
de la justificación de los ejercicios que vienen a continuación, es válido obtener las Bk de
manera directa a partir de la ecuación (1 7) sin tener que hacer uso de los recursos anteriores.

El estudiante puede demostrar en una o más de estas formas que el problema dado en las
expresiones de la (9) a la (12) tiene como solución a:

(- l l 2 exp[- ~ h2(2k
8uooo 1)2Jr 2t] sen (2k + 1)Jrx . (19)

L +u(x, t) = -2 2 •
+Jr k=O (2k 1)

• Ejercicios

1. Utilice el método, no las fórmulas, de esta sección para resolver el problema de la lá-
mina que se encuentra inicialmente a la temperatura constante Uoy que mantiene sus

caras x = OYx = e a la temperatura cero para t > O.
2. Obtenga la temperatura promedio a través de la lámina del ejercicio 1 para t > O.

3. Para la anterior ecuación del calor en una dimensión (2), encuentre una solución u tal
que u sea independiente de t, u = A para x = O, Yu = Opara x = e; A es constante.

4. Con ayuda del resultado obtenido en el ejercicio 3, resuelva el problema de una lámi-
na de ancho e, con temperatura inicial cero, y con caras x = OYx = e que se mantie-

nen a temperaturas A y cero, respectivamente, para t > O.

5. Combine el resultado del ejercicio 4 con el material de esta sección para resolver el
problema de la lámina tal que:

cuando t -70+, U -7 f(x) para O< x < e;

cuando x -7 0+, U -7 A para O< t;

cuando x -7 C-, u -7 O para 0 < t.

6. Para cierto tipo de concreto, la difusividad térmica h2 se da en alrededor de 0.04
pies2/hora, de modo que podemos seleccionar razonablemente h27fl = 0.4. Un blo-
que de 20 pies de grosor está inicialmente a una temperatura de 130°F y su superficie

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452 Capítulo 23 Problemas con valores en lafrontera

se mantiene a 60°F cuando t > O. Demuestre que la temperatura en grados Fahren-

heit en el centro del bloque está dada por la fórmula:

fu = 60+ 280 (_l)k exp [ _ (2k + 1)2t ].

n k=ü 2k + 1 1000

7. Dos bloques del concreto citado en el ejercicio 6 (con h27f2 = 0.4 pies2/hora), uno de

15 pies de grosor y el otro de cinco, se colocan juntos. El más grueso se encuentra ini-

cialmente a una temperatura de 120°F y el más delgado a 30°F. Las caras exteriores

se mantienen a 30°F cuando t > O. Encuentre la temperatura en todo el conjunto
cuando t > O. Mida x desde la cara exterior del bloque más grueso.

8. Dos láminas del mismo material, una de 2 pies de grosor y la otra de un pie, se colo-
can juntas. La más gruesa está inicialmente a la temperatura A, la más delgada a tem-

peratura cero. Las caras exteriores se mantienen a temperatura cero cuando t > O.

Determine la temperatura en el centro de la lámina de 2 pies de grosor.

9. Al saber que la función de temperatura que es la respuesta al ejercicio 8 tiene el va-

lor A en t = O, demuestre que:

00 (-1)k(2k+l) 2n

{; (3k + 1)(3k + 2) = 9./3·

10. Al extender la funciónj(x) de manera adecuada (véase el ejemplo 23.1 de esta sección),

pruebe que conj(x) definida en O< x < e y que satisfaga las condiciones del teorema

de convergencia establecido en la sección 22.2, el miembro derecho en el desarrollo:

(2k + l)nx para O < x < e,

sen
2e

en el que: 21(' (2k+l)nx

Bk = - f(x) sen d x,
e ü 2e

representa la función extendida en el sentido de la sección 22.2.

11 . Interprete como un problema de conducción de calor y resuelva la ecuación (2) de es-

ta sección bajo las condiciones de que: para O < t ;

au
axcuando x ---7 0+, - ---7 O

cuando x ---7 e- , u ---7 O para O < t ;

cuando t ---7 0+, U ---7 f(x) para O < x < e.

12. Dos varillas metálicas del mismo material, cada una de longitud L, tienen sus lados
aislados de modo que el calor sólo fluye longitudinalmente. Una varilla está a una
temperatura A, la otra a una temperatura cero. En el instante t = O, las varillas se co-
locan extremo con extremo como se muestra en la figura 23.3. El extremo expuesto
de la primer varilla se aísla; a partir de ese instante el extremo expuesto de la segun-
da varilla se mantiene a la temperatura B. Determine la temperatura existente en el

punto de unión de las varillas cuando t > O.

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23.2 Verificación experimental de la validez de la ecuacuación del calor 453

u=B

o L 2L

Figura 23.3

123.2 1 Verificación experimental de la validez
de la ecuación del calor

Es tranquilizante que nuestras fórmulas matemáticas estén basadas en la comparación con
los fenómenos observados, y es agradable saber que esas fórmulas tienen un valor práctico.]
Ambas sensaciones se experimentan en el estudio de la conducción del calor referente a la
construcción de presas de concreto.

Cuando se vierte concreto, una reacción química provoca que se genere calor en el ma-
terial. La exposición al aire enfría el concreto, las partes internas se enfrían más lentamen-
te que las cercanas a la superficie. La diferencia de temperaturas da lugar a esfuerzos que
provocan dilataciones y contracciones. A causa de esto se acostumbra, cuando se constru-
ye una presa grande, dejar juntas de contracción, que son espacios para facilitar la dilata-
ción y contracción del concreto. Después que el concreto ha perdido la mayor parte del
calor generado al vertirse, la presa es "lechada" (las juntas de contracción se rellenan) y
queda lista para usarse en 10 que concierne al problema de la temperatura.

Saber cuándo estará lista una presa para lecharse es importante para el diseñador. Si se sa-
be que sin procedimientos especiales, el periodo de espera pudiera ser extremadamente gran-
de, el concreto puede enfriarse cuando se está vaciando. Esto fue realizado en la construcción
de la presa Boulder (presa Hoover), que fue diseñada por la oficina de sanidad de Estados
Unidos. Para esta gran presa el periodo de espera habría sido de un siglo y medio.

El problema de la temperatura necesita conceptualizarse lo suficiente como para llevar-
lo a un nivel en el que se conozcan soluciones calculables. La figura 23.4 muestra una sec-
ción transversal común de una presa; en ella se indica el grosor e en un punto elegido al
azar. Los ingenieros de diseño algunas veces proceden a determinar las temperaturas que
esperan a diferentes altitudes, remplazando el problema de temperatura para la figura 23.4
por el de la lámina plana de la figura 23.5. El ancho e puede variar para calcular aproxima-
damente el grosor a varias alturas.
. El diseñador sabe cuál será la temperatura inicial a la que estará el concreto (por prue-
bas de laboratorio) y también conoce las temperaturas esperadas del aire proporcionadas
por el servicio meteorológico. La solución al problema de calor planteado en la figura 23.5,
con temperatura inicial conocida y temperaturas variables en la superficie, puede manejar-

I Existe una anécdota, tal vez una leyenda, donde se dice que H. J. s. Smith, matemático, cierta vez propuso un brin-

dis: "i A las matemáticas puras, aunque nunca sean usadas por nadie!" Muchos matemáticos consideran como matemá-
ticas puras cualquier parte de esta disciplina que parezca digna de un estudio a causa de su atractivo inherente, sin
importar que carezca de aplicabilidad en casos prácticos.

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454 Capítulo 23 Problemas con valores en lafrontera

Figura 23.4

e

Figura 23.5
se por superposición de soluciones (véase la sección siguiente), por ejemplo, usando los
pronósticos de temperatura promedio mensual del aire. Entonces el diseñador puede prede-
cir las temperaturas del concreto en la presa a diferentes alturas y de ellas concluir cuándo
sería conveniente lecharla.

Si remplazamos la figura 23.5 por una sección transversal en forma de cuña para obtener
una apariencia más cercana a la figura 23.4, parece que tendríamos una diferencia insignifi-
cante en el resultado final, el momento pronosticado para el trabajo de lechar.

Durante la construcción de algunas presas grandes, actualmente se acostumbra instalar ter-
mouniones que permiten la lectura de las temperaturas posteriores en varios puntos en la pre-
sa. Años después se hacen cálculos por el método descrito anteriormente y las curvas de
temperatura que fueron estimadas en la fase de diseño se comparan con las curvas observadas.

Los resultados son interesantes y dignos de tomarse en cuenta. Con frecuencia, las
temperaturas históricas y las pronosticadas coinciden en un rango de entre 2 y 3°F por
años enteros, a causa de la disipación gradual del calor inicial y de las fluctuaciones pe-
riódicas debidas a cambios estacionales en las temperaturas del aire.

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23.3 Temperatura superficial que varía con el tiempo 455

123.3 1Temperatura superficial que varía con el tiempo

/ Como se indicó en la sección anterior, un problema práctico nos puede forzar a considerar
diferentes temperaturas en una superficie. Un ejemplo común es el de una lámina que se
encuentra inicialmente a la temperatura constante Ao pero que de ahí en adelante sus caras
se lJI.antienen expuestas a diferentes temperaturas A(t). Por lo tanto, debemos considerar la
ecuación simple del calor:

au = h2 a2u para O < t, O < x < e, (1)

- -
at ax2

cuyas condiciones son:

cuando t -7 0+, U -7 Ao para O< x < e; (2)

cuando x -70+, u -7 A(t) para 0 < t; (3)
cuando x -7 c- , U -7 A(t) para O< t, (4)

Aquí A(t) representa la temperatura superficial (del aire) como una función del tiempo.
Sólo estamos interesados en A(t) de la forma que se muestra en la figura 23 .6. Puede ayu-
dar el pensar en A(t) como la temperatura mensual pronosticada del aire, Al en el primer
mes:

0< t < tI

A2 en el segundo mes:

y así sucesivamente. (5 )

La función A(t) puede expresarse, usando to = O, por medio de:

A(t) = An paratn - l < t < tn ; n = 1, 2, 3,

Para nuestros propósitos, no hay necesidad de que los intervalos de tiempo sean iguales pe-
ro es necesario que A(t) -sea constante en cada intervalo. Este problema también se puede
tratar por medio de los métodos de la transformada de Laplace.

A(t)

A3

r----l I~As

I I A4

~¡¡
I I
AI I I I
IIII

IIII

IIII

to= O

Figura 23.6

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456 Capítulo 23 Problemas con valores en lafrontera

Ya que la ecuación (1) es lineal y homogénea en u, cualquier combinación lineal de solu-

ciones de (1) también es una solución. Como t sólo aparece en (1) en au / at, cualquier so-

lución lo sigue siendo aún bajo una traslación del origen del tiempo; esto es, si u(x, t)

satisface la ecuación (1), entonces u(x, t - tn) satisface (1) para cualquier constante tn•
La solución fundamental en la que basaremos nuestro tratamiento del problema plan-

teado en las expresiones de la (1) a la (4) es:

t]+F(x, t) -_~
1- -4 - 1 exp [(- 2k 1) 2h2rr 2 sen -(2k-+-l)r-rx (6)
L..,¡ e2
- e'
+rr k =O 2k 1

para O < t, O < x < e. Directamente, o por comparación con el ejercicio 1 de la sección

22.4, puede verse que la función F(x; t) de (6) es una solución de la ecuación del calor (1)
Y que tiene las propiedades:

cuando t ~ 0 +, F(x, t) ~ O para O< x < e ; (7)
cuando x ~ 0+ , F(x, t) ~ 1 para O< t; (8)
cuando x ~ e-, F(x, t) ~ 1
para 0 < t, (9)

Ya que F(x, t) en (6) no está definida para t ::::; O, nos tomamos la libertad de definirla como

idénticamente cero siempre que su segundo argumento t no sea positivo.

F(x, t) == O para t S O. (10)

Entonces la solución deseada puede escribirse de inmediato como:

00 para O < t, O < x < e. (11)

u(x , t) = Ao + L(An - An-dF(x, t - tn- l )

11= 1

Observe que la serie del lado derecho en (11) termina para cualquier t específica, ya que tar-

de o temprano (cuando aumenta n) el argumento (t - tn- l ) se vuelve y permanece negativo.
La u de (11) es una combinación lineal de las soluciones de (1); satisface (2) como

consecuencia de (7). Conforme x ~ 0+ o X ~ e-, en cualquier rango tk- l < t::::; tk,

k

u ~ Ao+ L(An - An- l) = Ab
n=l

a causa de (8) y (9) y de que F(x, t - tn- l ) == Ocuando t::::; tn-l .

En la práctica, los cálculos con la solución (11) se simplifican bastante porque la F(x, t)

de (6) es, en esencia, la misma para todas las difusividades y todos los anchos de la lámi-

s.na. En la ecuación (6), hacemos h27T2t /e2 = 't Y7TX/e = La manera en que los nuevos ar-

. gumentos 't y ~ son seleccionados será analizada en la sección 25.4. Ahora podemos

escribir:

4 ~ exp [- (2k + 1)2r] sen (2k + 1)S-
F (x , t) = 1 - - L..,¡ = <1> (S- , r) ,
rr k= O 2k + 1

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23.4 Conducción del calor en una esfera 457

para un O< 'r, O< S< 7T. La función cf> puede tabularse en intervalos de Sy 'r. Para un pro-

blema particular de una lámina, utilizamos los valores de h2, e, t y x para calcular los

valores pertinentes de Sy 'r Y los de cf> son leídos de la tabla.

123.41Conducción del calor en una esfera

Considere una esfera que inicialmente se encuentra a una temperatura conocida, la cual

depende sólo de la distancia que hayal centro de la esfera. Suponga que la superficie se

mantiene a temperatura cero cuando t > O. Determinaremos la temperatura en la esfera pa-

ra una t positiva bajo la hipótesis de que es válida la ecuación del calor:

aaut = h2(aax22u + aay22u + aa2zu2) (1)

Ya que el objeto en estudio es tina esfera, situamos el origen en el centro de la esfera e
introducimos coordenadas esféricas, relacionadas con x, y y z mediante:

x = p sen </> cos e, y = p sen </> sen e, z = p cos</>o

Entonces la ecuación del calor se convierte en:
h2(a2u + ~ au + ~ a2u + aa2eu2).
au = ap2 pap p2 a</>2 cot</> au + 2 (2)
at a</>
p2 csc </>

p2

Para el problema que queremos resolver, la temperatura es independiente de las coorde-
nadas () y cf>, así la ecuación (2) se reduce a:

aaut =h2(a2apU2 +~paaup). (3)

Suponga que R es el radio de la esfera y quef(p) es la temperatura inicial. Entonces el pro-

blema al que nos enfrentamos es:

aaut = h2(aap22u + ~paapu) para O < t, O < P < R; (4)

cuando p -+ R-, u -+ O paraO < t; (5)
cuando t -+ 0+, U -+ f(p) para O ::: p < R. (6)

El estudiante puede demostrar con facilidad que el cambio de la variable dependiente,

v (7)
u = -,

p

transforma el problema expuesto en (4), (5) y (6) en el problema: (8)

av 2 a2v
-at = h -ap2 para O < t, O < P < R;

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458 Capítulo 23 Problemas con valores en lafrontera

cuando p ---* R-, v ---* O para 0< t; (9)
v para 0< t;
para O < p <R. (lO)
cuando p ---* 0+, - ---* un límite (11)
p

cuando t ---* 0+, V ---* pf (p )

La condición adicional (10) surge del hecho que la temperatura u existe en p = Oa pesar de

la relación (7). El nuevo problema planteado en las expresiones de la (8) a la (11) es mucho
más parecido al tratado al inicio de este capítulo. Su solución se deja como ejercicio;

El problema correspondiente de determinar las temperaturas en un cilindro es menos
elemental e involucra series de funciones de Bessel. Puede encontrarse en muchos libros.2

• Ejercicios

1. Resuelva el problema dado en (4), (5) Y(6) por medio del método analizado en esta
sección.

2. Una esfera de radio R se encuentra inicialmente a una temperatura constante uo' lue-
go se mantiene su superficie a una temperatura u¡ cuando t > O. Determine la tempe-
ratura en toda la esfera para t > OYen particular la temperatura uc en su centro.

123.51 La ecuación de onda simple

Si una cuerda elástica que se mantiene sujeta en dos puntos está tensa y luego es despla-
zada de su posición de equilibrio y soltada, los desplazamientos subsecuentes medidos
con respecto a la posición de equilibrio pueden ser determinados resolviendo un proble-
ma con valores en la frontera. La figura 23.7 muestra un desplazamiento representativo de

la cuerda, que está fija en x = OYx = c. El desplazamiento y cuando O < x < e y O < t se

encuentra con base en el desplazamiento inicial conocidof(x), la velocidad inicial <P (x),
y el hecho de que y debe satisfacer la ecuación de onda en una dimensión:

(1)

en la que el parámetro a es una constante que depende de las propiedades físicas de la
cuerda.

El problema con valores en la frontera que se resolverá es:

para O < x < e, O < t; (2)

2 Por ejemplo, véase, E. D. Rainville, Intermediate Differential Equations, segunda edición. (Nueva York, Macmillan
Publishing Company, 1964), o en R. V. Churchill y J. W. Brown, Fourier Series and Boundary Value Problems, quin-
ta edición. (Nueva York, McGraw-Hill Book Company, 1993).

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23.5 La ecuación de onda simple 459

f(x)

--o~~--------------------e~-----x

Figura 23.7

cuando x -+ 0+, y -+ O para 0< t; (3)

cuando x -+ e>, y -+ O para O < t; (4)

cuando t -+ 0+, Y -+ f(x) para O < x < e; (5)

ay para O < x < e. (6)

cuando t -+ 0+, -a-t -+ cP (x)

En el problema de la cuerda, es inherente quef(x) es continua y quef(O) = f(e) = O.Cual-

quiera o ambas def(x) o cP (x) puede ser cero en todo el intervalo. En realidad, el problema

con valores en la frontera planteado en las expresiones de la (2) a la (6) siempre puede

transformarse en dos problemas, uno conf(x) remplazada por cero, el otro con <f>(x)tam-

bién remplazada por cero. La suma de las soluciones de esos dos problemas es la solución

de un problema con velocidad y desplazamiento iniciales.

La resolución de problemas como el analizado aquí con variasf(x) y <f>(x),puede reali-

zarse por el método de separación de variables y el uso de series de Fourier, como se hizo

anteriormente con los problemas de conducción del calor. Ese trabajo se deja al estudiante

para que lo ejecute en los ejercicios, ya que no demanda ninguna técnica nueva. Tenga en

cuenta la utilidad de las soluciones determinadas en el ejercicio 1 de la sección 20.3 .

• Ejercicios

En los ejercicios del 1 al 5, encuentre el desplazamiento cuando t > Oen el problema de vibración de una

cuerda dado en esta sección, bajo la condición de que la velocidad inicial es cero y el desplazamiento ini-
cial está dado por laf(x) descrita en cada ejercicio.

l. f(x) = x, para O ::: x ::: ~e,
para ~e ::: x ::: e.
= e-x,

2. f(x) = x(e - x)/e.

3. f(x) = x, para O < x <le

= ej4, - - 4'
= e-x,
para ie ::: x ::: ~e,

para ~e:::x:::e. Véase la figura 23.8.

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460 Capítulo 23 Problemas con valores en lafrontera

f(x)

o e 3c e--~~----L-----------~----~~x

44

Figura 23.8

4. f(x) = x, para O:s x :s ~e,

= l2e - x ' para l4e -< x -< 4le' Véase la figura 23.9.
= X - e, para ~ e :s x :s e.

5. f(x) = x, para O:s x :s ~e,

= e-21 - x, para 1 e -< x -< l2 e '

4
4= O, para e :s x :s e.

6. Encuentre el desplazamiento de la cuerda mencionada en esta sección si el desplaza-

miento inicial es cero y la velocidad inicial está dada por 4> (x) = ax(e - x)/(4c2).

7. Encuentre el desplazamiento de la cuerda mencionada en esta sección si el desplaza-
miento inicial es cero y la velocidad inicial está dada por:

</>(x) = O, para O :s x :s ~e,
= VD, para ~e :s x :s ~e,
= O, para ~ e :s x :s e.

f(x)

e
4

o--~~----------~----------~---x
e

Figura 23.9
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23.6 La ecuación de Laplace en dos dimensiones 461

8. Resuelva el problema planteado en las expresiones de la (2) a la (6) en esta sección con

4> (x) = O.

9. Resuelva el mismo problema del punto ocho pero conf(x) = O.

123.61 La ecuación de Laplace en dos dimensiones

Concluimos este capítulo con un estudio de la ecuación de Laplace; en particular veremos
el caso bidimensional:

(1)

La variable dependiente u podría representar cualquiera de varias cantidades: temperatura
estacionaria, potencial electrostático, etc. , pero en esta sección usaremos el lenguaje de los
problemas de temperatura estacionaria por simplicidad en el trabajo y la visualización.

El método de las series de Fourier, como se ha utilizado en este capítulo, se adapta par-
ticularmente bien a la resolución de problemas de temperatura estacionaria para una lámi-
na rectangular plana. Las dos caras de la lámina están aisladas de tal forma que no fluye
calor hacia ellas en la dirección normal. Entonces el problema es de dos dimensiones. Ca-
da lado de la lámina puede aislarse o bien mantenerse a una temperatura conocida.

Considere una lámina rectangular con lados de longitud a y b. Tres lados se mantienen
a temperatura cero y el otro, uno de los lados de longitud a, conserva una temperatura es-
pecífica, como función de la distancia a lo largo de ese lado. Escogemos un sistema de
coordenadas y la notación que se muestra en la figura 23.10.

El problema de temperatura estacionaria asociado con la figura 23.10 puede escribirse
como:

para O < x < a, O < Y < b; (2)

Y.
u =f(x)

b~-----------------,

u=O u=O

--O~--------u-=-O--------a~---- x
Figura 23.10

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462 Capítulo 23 Problemas con valores en lafrontera

cuando x ~ 0+, U ~ O para O < Y < b; (3)
para O < Y < b; (4)
cuando x ~ a- , u ~ O para O < x < a; (5)
cuando y ~ 0+ , U ~ O

cuando y ~ b-, u ~ f(x) para O < x < a . (6)

La solución del problema planteado en las expresiones de la (2) a la (6) se encuentra por el
mismo método usado en los problemas con valores en la frontera para la ecuación del calor
en una dimensión. Los resultados aparecen en los ejercicios que se muestran más adelante.

Cuando una lámina rectangular tiene temperaturas diferentes de cero en más de un lado,
el problema puede dividirse en dos o más problemas del tipo visto en las expresiones de la
(2) a la (6). El aislamiento de un lado puede tratarse duplicando el tamaño de la lámina, así
se convierte el lado aislado en la nueva línea central y luego se crean condiciones de tem-
peratura simétricas alrededor de esta línea de modo que el calor no pueda atravesarla.
Véanse los métodos usados en la sección 23 .l.

Ahora consideremos una lámina circular de radio R sujeta a ciertas temperaturas fijas en
su borde ya la cual se le deja que alcance la condición estacionaria. Utilizando coordena-

e,das cilíndricas, r, z y condiciones que no permitan el flujo del calor en la dirección nor-

mal a las caras de la lámina, llegamos al problema de dos dimensiones,

a2u 1 au 1 a2u para O < r < R, O < e < 2n; (7)

ar2 + -;. ar + r2 ae2 = O

cuando r ~ R-, u ~ f(e) para O:::: e < 2n; (8)

lím u exists epara O :::: < 2n; (9)

r---+O+

lím u = lÍm u para O ~ r < R. (10)
11---+0+ 1I---+2rr -

Si estamos dispuestos a definir la temperatura de la orilla como f( e) para toda ey hace-

mos que tenga periodo 27T, entonces la condición (10) puede remplazarse por el requisito de

eque u sea una función periódica de con periodo 27T. Los problemas correspondientes

de una cuña, o de una parte de una cuña, con extremos circulares concéntricos no involu-

cran ningún requisito de periodicidad en su naturaleza física.

La separación de variables en la ecuación (7) hace necesario resolver una ecuación

diferencial ordinaria del tipo Euler-Cauchy,

(11)

donde a es una constante. Véanse los ejercicios del 19 al 34 en la sección 18.4.

• Ejercicios

Cada uno de los ejercicios del 1 al7 se refiere al problema de la temperatura estacionaria para la lámina
rectangular de la figura 23.10, pero cuyas condiciones laterales están descritas en cada ejercicio.

1. Los lados x = O, x = a, y = Ose mantienen a temperatura cero; el lado y = b mantiene
la temperaturaf(x).

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23.6 La ecuación de Laplace en dos dimensiones 463

2. Los lados x = O, x = a, y = Ose mantienen a temperatura cero; el lado y = b conser-

va una temperatura igual a uno. Resuelva el problema directamente o usando el re-
sultado del ejercicio 1.

3. Igual al ejercicio 2, con el cambio de que el lado y = b se mantiene en uno cuando
O< x < a / 2, y en cero cuando a / 2 < x < a.

4. Los lados x = OYx = a se mantienen en cero; el lado y = Ose aisla; el lado y = b

mantiene la temperaturafix).

5. El lado x = Ose aísla; los lados x = a y y = Ose mantienen en cero; el lado y = b

mantiene la temperatura igual a uno.

6. Los lados x = O Y Y = Ose mantienen en cero; el lado x = a se aísla; el lado y = b

mantiene la temperatura igual a uno.

7. Los lados x = O Y y .= Ose aíslan; el lado x = a se mantiene en cero; el lado y = b

mantiene la temperatura igual a uno.

t8. Demuestre que la temperatura en el centro de la lámina del ejercicio 2 es:
~ (_l)k sech [(2k + 1)1Tb/(2a) ] .
2k + 1
1T k=O

9. Para una lámina cuadrada, demuestre por superposición de soluciones, sin obtener la

solución de manera explícita, que cuando una cara mantiene una temperatura unita-

t.ria y las otras se mantienen en cero, la temperatura en el centro es de Luego, com-

pare su resultado con el ejercicio 8, y use b = a, para concluir que:

f ( _ l)k sech [(2k + 1)1T/2] = ~.

+k=O 2k 1 8

10. Una lámina circular tiene radio R. El borde r = R de la lámina se mantiene con tem-
peratura de uno cuando O< () < 7T, Ya temperatura cero cuando 7T < () < 27T. Deter-
mine la temperatura en toda la lámina.

11 . Una lámina con fronteras circulares concéntricas r = a y r = b, O< a < b, mantiene

su borde interior a una temperatura A y su orilla exterior se conserva a una tempera-
tura B. Encuentre la temperatura en toda la lámina.

12. La lámina del ejercicio 11 tiene su borde interno r = a aislado, su borde externo

se mantiene a temperatura de ,uno cuando O < () < 7T ya temperatura cero para
7T < () < 27T. Encuentre la temperatura en toda la lámina.

13. Una cuña plana está definida en coordenadas polares por la región 0< r < R, O< () < [3.
Encuentre la temperatura en toda la cuña si los bordes () = OY () = [3 se mantienen a
temperatura cero y el borde curvo r = R se conserva a temperatura de uno.

14. Para la cuña del ejercicio 13, encuentre la temperatura si el borde () = Ose mantiene

a temperatura cero, el borde () = [3 se mantiene a temperatura uno, y el borde curvo

r = R conserva una temperaturaf«(}) cuando 0< () < [3.

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464 Capítulo 23 Problemas con valores en la frontera

123.71 Suplemento para computadora

Continuamos con la resolución asistida por computadora para la ecuación de onda con va-
lores en la frontera.

(1)

cuandox~O+,y~O paraO<t; (2)
para O < t; (3)
cuandox~ c-,y ~O
cuando t ~ 0 +, Y ~ f(x) para O<x < c; (4)

ay para O< x< c. (5)

at .cuando t ~ 0+, - -+ c/J (x)

Para nuestro ejemplo suponemos que a = 1, c = 1, cf>(x) = Oy:

f(x) = x, O < x < 1/2,
= l - x, 1/2 < x < 1.

Recordamos del ejercicio 1, sección 20.3, que:

+ +y(x, t) = (Al cos (f3t) A2 sen (f3t))(B l cos (f3x) B2 sen (f3x».

También nos acordamos que en Maple:

>y(x,t) :=(_Al*cos(beta*t)+_A2* sen (beta*t))
* (_Bl*cos(beta*x)+_B2* sen (beta*x) ) i.

De la ecuación (2) se obtiene Bl = O, así que hacemos ese cambio,
>y(x,t) :=subs(_Bl=O,y(x,t)) i

+y(x, t) := (_Al cos(f3 t) _A2 sen(f3 t) _B2 sen(f3 x).

Para aplicar la condición (5) primero diferenciamos,

>dydt:=diff(y(x,t),t) i

+dydt := (-_Al sen(f3 t)f3 _A2 cos(f3 t)f3) _B2 sen(f3 x),

de donde vemos que A 2 = O.
>y(x,t) :=subs(_A2=O,y(x,t)) i

y(x,t):= _Al cos(f3t)_B2 sen(f3x)

eEsto puede simplificarse haciendo = A¡B2 para obtener:

>y(x,t) :=C*cos(beta*t)* sen(beta*x) i

Ahora, aplicando la ecuación (3) vemos que sen(f3) = O, así que f3 = br. Usando el prin-

cipio de superposición, tenemos:

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23.7 Suplemento para computadora 465

>y(x , t) : =sum(C [k] *cos (k*pi *t) * ( s en (k*Pi *x) ) , k =O.. 10)
Por último, para aplicar la ecuación (4) hacemos t = O:

>s i mplify(subs(t=O,y(x,t))) ;

y(x, t) := Cl sen(nx)

+ C2 sen(2nx)
+ C3 sen(3nx)
+ C4 sen(4nx)
+ C5 sen(5nx)
+ C6 sen(6nx)
+ C7 sen(7nx)
+ C8 sen(8nx)
+ C9 sen(9nx)
+ C IO sen(10nx)

Recordamos, de la sección 22.8, que la serie sinusoidal de Fourier paraf(x) era calculada
con los comandos de Maple:

>b[n ] :=2*int(x*sin(n*P i *x) ,x=O.. (1/2))
+2*int( (l-x) *sin(n*Pi*x) ,x=(1 / 2) .. 1);

FouSinSer:=sum(b[n]*sen((n*Pi*x)) ,n=l .. 10);

FouSinSer := 4sen(nx)

n 2

4sen(3nx)

9n 2
4sen(5nx)

+ 25n 2

4sen(7nx)

49n 2
4sen(9nx)

+ 81n2

Ahora podemos hacer coincidir los coeficientes C¡ con los coeficientes correspondientes en
la serie de Fourier,

>for i from 1 to 10 by 1 do
C[i] :=coeff(FouSinSer , sen(i*Pi*x))
od;

>y (x, t) : =sum (e [j ] *e o s (j *pi *t) * ( sen ( j *pi *x) ) , j =O.. 10) ;

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466 Capítulo 23 Problemas con valores en lafrontera 1=0

f(x, t)
0 .5

o--~--------------------------------~--- x

Figura 23.11

y(x,t):= 4 cos(n t) sen(nx)

n 2

4 cos(3nt) sen(3nx)

9n 2

4 cos(5n t) sen(5nx)

+ 25n2

4 cos(7n t) sen(7nx)

49n 2

4 cos(9n t) sen(9nx)

+ 81n2

Un comando final ilustrará toda la potencia de la computadora:
>animat~(y(x,t),x=O .. 1,t=O .. 2);

Esto producirá una imagen de la cuerda al estar vibrando. En la figura 23.11 se muestran
varias imágenes.

• Ejercicios

1. Implemente la solución anterior usando un Sistema de Álgebra Computacional.
2. Modifique la función f(x) para que coincida con los ejercicios del 1 al 5 de la

sección 23.5.

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Propiedades adicionales
de la transformada de Laplace

124.11 Series de potencias y transformadas inversas

Para usar la transformada de Laplace en problemas con valores en la frontera que incluyan
ecuaciones diferenciales parciales, necesitaremos ciertas transformadas y transformadas
inversas que no obtuvimos en los capítulos 14 y 15.

Antes de continuar con ejemplos ilustrativos, listaremos ciertos desarrollos elementales
en series de potencias para facilitar las referencias.

_1 _ ~00xn Ixl < 1; (1)
l-x-L...., ,

n=O

eX =~00 ~n toda x; (2)
nL=..O.., n.l'

cosx = L00 (_IYx 2n ,todax; (3)

n=O (2n)!

00 (_1)n x2n+l toda x; (4)

senx = ~ (2n + 1)!'

L --,00 x2n toda x; (5)

coshx = (6)
n=O (2n)! (7)

L00 ' x2n+l

senhx = n=O (2n + 1)! ,todax;

00 (_1)n x2n+l
Larctanx =
+11=0 2n 1 , Ixl < 1;

467

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468 Capítulo 24 Propiedades adicionales de la transformada de Laplace

1 ~m(m+l) ... (m+n-l)xn Ixl < 1; (8)
---= I+L...-
(1 - x)m n!
n=l

L '00 (_l)nxn+l Ixl < 1; (9)
In (1 +x) = n+1 Ixl < 1.
n=O (10)

1+X 00 x2n+l

ln - = 2 " --
l- x Ln=.O..-2n+l'

Al buscar la transformada de Laplace o la transformada inversa de una función dada,
puede resultamos conveniente, difícil o hasta fuera de nuestro alcance, obtener el resultado
deseado mediante el uso directo de los teoremas dados en los capítulos 14 y 15 en un nú-
mero finito de pasos. En esas circunstancias, usaremos con frecuencia las series infinitas.
Si podemos desarrollar nuestra función en una serie tal que sepamos cómo obtener la trans-
formada o la transformada inversa deseada de cada término, entonces podremos resolver
nuestro problema original.

EJEMPLO 24.1

DadoqueL-llf(s)} = F(t),evalúe:

L -1 { f(s) }
senh (es) .

=!Sabemos que senh z (e Z - e-Z). Entonces:

f(s) 2f(s) (11)
=

senh (es) eCS - e-CS

Parah> O, s> O, sabemos cómo evaluar L - l{e-hsf(s)} por el teorema 15.3 de la sección

15.4. En efecto,

L -l{e-hs f(s)} = F(t - h)a(t - h), h > O, s> O. (12)

Por lo tanto, podemos escribir (11) como:

f(s) 2f(s)e-CS (13)
senh (es) 1 - e-2cs

ya que podemos utilizar la serie de potencias (1) para desarrollar (1 - e-2cs)-1 en una serie
de exponenciales con argumentos negativos. Con base en (1) obtenemos:

1 00

- -e-..2.,c,-s- = "Ln=..eO.-xp (- 2nes),
1-

así que, por medio de (l3),

Lf(s) 00

h ) = 2 f(s) exp (- 2nes - es). (14)

sen (es n=O

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24.1 Series de potencias y transformadas inversas 469

Ahora usamos (12) para obtener, cuando e> 0, s> 0,

Lf (S)} 00 (15)
L - 1 {senh (es) = 2 F(t - 2ne - c)a(t - 2ne - e).
n=ü

Es importante darse cuenta de que la serie del lado derecho en (15) es finita. No importa

qué tan grande sea el valor de t ni qué tan pequeña sea e (positiva), el argumento de la fun-

ción ex se volverá negativo para una n suficientemente grande y para todos sus valores subse-

•cuentes. Por lo tanto, cada término de la serie será cero para toda n tal que (2n + l)e > t.
El procedimiento utilizado en este ejemplo es importante para nosotros en aplicaciones que

incluyan problemas con valores en la frontera en ecuaciones diferenciales parciales, los

que analizaremos en el capítulo 25.

EJEMPLO 24.2

-t}Evalúe L { 1 - t e . Por (2) obtenemos:

00 ( _ 1) nt n
e- t = L L - -+00 (- lYtn
=1

n=ü n! n=1 n!

En consecuencia, podemos escribir:

L1 - e-t 00 (_1)n+lt n- 1
------ = nI

n=l .

Un corrimiento del índice de n a (n t- 1) nos da:

Sabemos que L -tn } = -1- . Entonces,
n! sn+ 1
{

~1-e-t } 00 (- ly
L{ t = (n + 1)sn+1 '

de modo que por comparación con la ecuación (9) anterior, tenemos:

s> O. (16)

°La restricción s > puede obtenerse examinando la definición en términos de una integral

del miembro del lado izquierdo en (16). También note la conexión con el ejercicio 19 de la

sección 14.10. •

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470 Capítulo 24 Propiedades adicionales de la transformada de Laplace

EJEMPLO 24.3

Evalúe L -1 {In s + 1 } . Con base en (lO) tenemos:

s- 1

= =s+1
1+1 00 1
In _ _s '~" ' ----::---:-
1- 1
(2n l)s2n+ 1 .
In - - +2
S- 1 s n=O

}Ahora L -1 L2~+1 = (~:)! . De aquí que:

l nS +- -1 } 2n
s- 1 2~0'0 "(2'n-t+-1-)!
L- 1 { - '

-

lo cual, con ayuda de (6), produce: •(17)

S+I}L -1 In - - = -2 senht.
{ s- 1 t

• Ejercicios 3. Evalúe L {Senh/kt) }.
1. Evalúe L {Se:kt}.

2. Evalúe L { 1 - ~os kt }. 4. Evalúe L { 1 - C~Sh (kt) }.

~5. Evalúe F(t) = L -1 {s3(1 e-2s ) } y calcule F(5).

-1 {36. Evalúe F(t) = L 1 } y calcule F(12).
s cosh (2s)

7. Suponga que l{>(t) = L -1 { 3 } . Calcule ct>ÚO) .
s4senh (3s)

8. Sean e > O, s > OYL-1 (j{s)} = F(t). Demuestre que:

L -1 { f(s) } = 2f ( - l t F(t - 2ne - e)a(t - 2ne - e) .
cosh (es)
n=O

9. Sean e > O, s> Oy L -1 (j{s)} = F(t). Demuestre que:

L(00

+L -1 {f(s) tanh (es)} = F(t) 2 - l t F(t - 2ne)a(t - 2ne).

n=1

10. Sea O< x < 1, donde x no depende de s. Encuentre la transformada inversa y(x, t) de

4exs

+s3(es e-S )

y después calcule y(! , 5), suponiendo continuidad de y.

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24.2 Función error 471

11. En el ejercicio 4 de la sección 12.4, sustituya el elemento de corriente alterna E
sen (j)t por EQ(t, e), en la que Q es la función onda cuadrada de la figura 14.4 dada
en la sección 14.10.

12. En el ejercicio 4 de la sección 12.4, remplace E sen (j)f por EF(t) , en la que F(t) es la
rectificación de media onda de sen wt como se describió en el ejercicio 17 de la sec-
ción 14.10.

124.21 Función error

La función error, abreviada "err', que fue mencionada brevemente en la sección 5.6, se de-

fine por:

2 ¡x (1)

erf x = .jJi Jo exp (- f32) df3 .

Esta función surge de muchas formas. Algunas veces es estudiada en cursos elementales.
erf x también se encuentra al evaluar transformadas inversas de ciertas funciones sim-
ples de s.

=(Sabemos que L -1 {S-1/2} 7T t) -1/2 y, por lo tanto, que:

L -1 { Jsl+T } = .eJ-]'ri'

Entonces el teorema de convolución da: (2)

l' fJ

L - 1 { sJsl+T } = o 1 . -Ne-- df3.

En el lado derecho de (2) ponemos .fP = y . Entonces f3- 112df3 = 2 dg Yobtenemos:

~} ~L- 1 {= [..Ji exp(-y2)dy.
s
s+1 v n Jo

Esto es,

~}+L - 1 { = erf(.jt). (3)
ss 1

Unas cuantas propiedades básicas de erf x son útiles en nuestro trabajo y ahora las ob-
tendremos. Directamente de la definición (1) se deduce que la derivada de erf x está dada
por:

d erfx = - 2 exp (_X2). (4)
-
dx .jJi (5)

De (1) Yde la serie de potencias para exp( - f32) obtenemos:

~2 00 (_l)n x2n+1

erfx = .jJi (2n + l)n! .

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472 Capítulo 24 Propiedades adicionales de la transformada de Laplace

En cálculo elemental encontramos que: (6)

100 "fii
exp (_ f32) df3 = - .
o2

Con base en (6) obtenemos:

lÍm erfx = 1. (7)

x--*oo

A partir de (5), los valores de erf x se calculan con facilidad para valores pequeños de x con
base en (5), y para valores grandes con base en el desarrollo asintótico l

exp (- x2) ~ ( _ 1)n[1 ·3·5· · · (2n - 1)] (8)
erfx ~ 1 - !Ji ~
2nx2n+1 .

y" n=O

En nuestro trabajo es conveniente usar la llamada función complementaria de error,

denotada por erfc x y definida mediante:

erfcx = 1 - erfx, (9)

que también significa: looerfcx = "f2ii x exp (_ f32) df3.

(10)

Las propiedades de erf x se convierten con facilidad a propiedades de erfc x. Es importan-
te que para cualquier m fija,

(11)

lo cual puede demostrar el estudiante considerando la forma indeterminada:
erfcx

y usando la derivada de erfc x como se obtuvo en la expresión (4). Véanse los ejercicios al
final de esta sección para las propiedades de erf x y de erfc x .

En ciertas aplicaciones (véanse las secciones de la 25.3 a la 25.6), una transformación
importante es:

en la que k es independiente de t y mayor que cero.

Por definición de erfe x tenemos:

k¡.) 100erfc (
=~ exp (_ f32) df3. (12)

yt y7r k/../i

I Por ejemplo, véase E. D. Rainville, Special Functions (Nueva York, Macmillan Publishing Company, 1960), pp. 36-
38. La función erfxestá tabulada bajo el nombre de "The Probability Integral", en B. O. Peirce y R. M. Foster, A Short
Table ofIntegrals, cuarta edición (Lexington, Mass. , Ginn and Company, 1956), pp. 128' 132.

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24.2 Función error 473

En (12) ponemos f3 = k! -JV de modo que los límites de integración son de v = t a v = O.
Como df3 = - ~kv -3/2 , ,obtenemos (usando el signo menos para invertir el orden de

integración)

r e)erfc (~)
.ji
= ~ v - 3/2 exp (_ v dv . (13)

.fijo

La integral del lado derecho en (13) es una integral de convolución. Entonces,

o

Ahora suponga que:

{t -A(s) = L 3/ 2 exp (_ ~2)}. (15)

Observe que las funciones t nz exp( - k2 / t) son de clase A, sección 14.6, para cada m.
Con base en (15) se deduce, por el teorema 14.8 de la sección 14.8, que

(k{ -1/2 tddAs = L -t
2 (16)

exp - )}

y

~:~ = L {t l/2exp (_ ~2)}. (17)

Pero también, por el teorema 14.5 de la sección 14.7,

L{: //2 exp ( - ~2) }= s L{t 1/2exp ( - kt2 ) } - I~n¿+ [t1/2exp ( - ~2) ] '

o

Como consecuencia de (15), (16) Y(17), la ecuación (18) puede escribirse como: (18)
(19)
1 dA 2 d2A
--- +k A=s - .
2 ds ds 2

Por lo tanto, la función deseadaA(s) es una solución de la ecuación diferencial:

d2A 1dA 2
sd-s 2+ - -- k A = O.
2 ds

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474 Capítulo 24 Propiedades adicionales de la transformada de Laplace

Necesitamos dos condiciones en la frontera, junto con la ecuación (19). Sabemos que
cuando s ~ 00, A ~ O. Ahora consideraremos lo que sucede cuando s ~ 0+.

Por (15):

Z
rlÍm A(s) = lÍm ('" e-s1 3/ Z exp (_ k ) dt
s....o+ Jo t
S ....0+

100= t-3/ Z exp ( _ ~Z) dt.

La ecuación (13) nos proporciona (remplazando y por t)

l ~) ~ (~).Y (20)
3Z
v- / exp (-
dv = erfc

Por lo tanto,

h~m A(s) = -./Ti h•m erfc ( -,JkY) .=/ T- i erfcO =./-Ti .
k Y.... OO k k
S"" 0+

Para obtener la solución general de la ecuación diferencial (19), cambiamos la va-

riable independiente2 de s a . Ahora, por la regla de la cade~a de cálculo

elemental,

dA dzdA 1 dA = 1 dA
dz
ds = ds dz ---- 2z
2yÍs dz

y

dZA 1 dZA dA
- - -z ----
ds 2 4s dz 4syÍs dz

Por lo tanto, dZA 1 dZA 1 dA
s -- = - - - - - -

ds 2 4 dz 2 4z dz

y la ecuación (19) se convierte en: (21)
dZA (22)
- - 4k2A =0.
dz2

La solución general de (21) es:

A = b¡ exp (-2kz) + b2 exp (2kz),

de modo que la solución general de (19) es:

A = b¡ exp (- 2kyÍs) + bzexp (2k,Js\

2 Tal cambio de variable está inspirado por la demostración en la página 16 de E. D. Rainville. Intermediate Dijferen-
tial Equations, segunda edición. (Nueva York, Macmillan Publishing Company. 1964).

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24.2 Función error 475

Debemos determinar las constantes b1 Y b2 a partir de las condiciones de que A ~ Ocuan-

do s ~ 00 y A -+ ,Jiij k cuando s ~ 0+. Cuando s ~ 00, A no tenderá hacia ningún lí-

mite, a menos que b2 = O. Entonces, haciendo s ~ 0+, obtenemos:

,Jii bl
-=
k ·

Por 10 tanto,

A(s) = L {t-3/2exp ( _ ~2)} = ~ exp(-2k.JS).

Regresamos a (14) para escribir la transformada deseada:

(5t) }L {erfc = } exp (- 2k.JS) , k> O, s > O. (23)

Usaremos (23) en la forma: k> O, s > O. (24)

(5t),L -1 {} exp (- 2k.JS} = erfc

En el capítulo 25 será importante combinar el uso de la ecuación (24) Ylos métodos de se-
ries de la sección 24.1 .

Considere el problema de obtener:

L - 1 {senh (xJs) } O < x < 1, s > O. (25)
s senhJs '

Si x es mayor que la unidad, la inversa en (25) no existiría a causa del comportamiento de
senh (xJs)j senh Js cuando s ~ oo.

Ya que conocemos (24), es atinado pasar a formas exponenciales. Escribimos:

senh (x Js) exp (x Js) - exp (- x Js) (26)
senh Js = exp (Js) - exp (-Js) .

Como en la sección 24.1, buscamos una serie que incluya exponenciales de argumentos

negativos. Por lo tanto, multiplicamos el numerador y el denominador del lado derecho en

(26) por y encontramos que:

senh (xJs) _ exp [- (1 - x)Js] - exp [-(1 + x)Js] (27)
(28)
senhJs - 1 - exp (- 2Js)

Ahora,

1- L1 00 exp (- 2n.JS).
exp (- 2Jss) =
n=O

En consecuencia,

senh (x Js) = ~ 1 [- (1 - x + 2n).JS] - exp [- (1 + x + 2n).JS]}.
, Js L.,¿ -{exp
s senh s n=O S

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476 Capítulo 24 Propiedades adicionales de la transformada de Laplace

Para O < x < 1, las exponenciales tienen argumentos negativos y podemos utilizar (24)

para concluir que:

f (1 - (1L 2n) _ 2n)].- 1 {senh (X JS)} = [erfc (29)
s senh JS x+ erfc + x +
20 20
n=O

• Ejercicios

l. Demuestre que para toda x real, lerf xl < l.

2. Demuestre que erf x es una función impar de x.

3: erf x 2
Demuestre que lím - - = --J7.i
x-+o x

4. Utilice integración por partes para demostrar que:

rJo erf y dy = x erf x - -J17i[1 - exp (_x2)].

5. Obtenga el resultado de la ecuación (11).
6. Inicie con la serie de potencias para erf x, ecuación (5), y demuestre que:

L{t-I /2 erf (0)} = ~2 arctan 1 s> o.

r;'
vS
v7íS

7. Utilice el hecho de que:

1 l-.JI+S 1.JI+S 1 l+s
--=== =--+ =--+-==
1 +.JI+S 1- (l +s) s s s s.JI+S

y la ecuación (3) para demostrar que:

L- 1} e- t e-t
.JI+S = -1 + erf (0) + r.:::: = r.:::: - erfc (0).
1 { 1+ l+s
v7ít v7ít

8. Utilice la ecuación (3) para concluir que:

L -1 { 1 JS} = el erf (0)

(s - 1) s
y, por lo tanto, que:

L - 1 { JS J1S } = eI erfc (vrt; ).
s( s+1)

9. Evalúe: L- 1{ JS+1 }
1.

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24.2 Función error 477

l} .10. Evalúe L -1 { ,;/_

--11. Defina la función <f>(t) mediante:

Demuestre que:

L{<!>(.Jt)} = ~2 sen 1

¡-; .

...¡7rS ...¡S

12. Demuestre que para x > O,

{SeCh [(2nL _ 1
x.fi } = 2 ~ n erfc +r.1)x ] '

L....-(-l)
s n=O 2...¡ t

13. Demuestre que para x> O,

l)X][(2nL _1
{CSchx.fi} = ~ erfc +,jt .
2 L....-
s n=O 2 t

14. Deduzca el resultado:

{t- ~2)} ~A(s) = L 3/2 exp (-
= exp(-2k.jS), k > O, s> O

directamente de la definición de una transformada. En la integral :

100A(s) = exp(-st -k2t - 1)r3/2dt

escriba f3 = ,jt para obtener:

o

Demuestre que:

100-dA = -2 exp (- sf3 2 - k 2 f3- 2 ) df3
ds o

100= -2 exp (-2k Js) exp [-(f3Js - kf3 - 1)2J df3.

Llegue así a la ecuación diferencial:

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478 Capítulo 24 Propiedades adicionales de la transformada de Laplace

y's -dA - kA = - 2,J7i exp (-2ky's)

ds
y con base en ella obtenga la función deseadaA(s).

124 .3 1 Funciones de Bessel

La función de Bessel:

(1)

de primera clase y de orden n, apareció en las secciones 19.5 y 19.6. Nos encontramos con
J/z) en una aplicación sencilla de la técnica de series de la sección 24.1. Si podemos desa-
rrollar una función dada de s en potencias negativas de s, seguramente podremos obtener
la transformada inversa término a término. Un ejemplo sencillo es el siguiente:

~1 x 00 ( _ I)kxk
exp ( - --;) = { ; k! sk+ 1 '

que lleva de manera inmediata a: (2)
(3)
¿ - - --_1{1L -exp (-X-)} = 00 (-llxktk
s S k=O k! k!

°Cuando n = en (1) obtenemos, ya que f(k + 1) = k! ,

00 (_I)k('!' z)2k

2

Jo(z) = { ; k! k !

Al comparar (2) con (3), nos da: x> 0, s > O. (4)

L -1 {~exp (-~)} = Jo(2./Xi);

Con base en:

obtenemos:

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24.3 Funciones de Bessel 479

Por lo tanto, al menos para n :2: O, s > O, x > O. (5)

-1Ln:1L exp (- ~)} = (~r/2 Jn(2.JXi),

Con un conocimiento mayor de la función gamma, podríamos utilizar métodos de series
para obtener la transformada de J/xt) para cualquier n. Por simplicidad, aquí nos limitare-
mos a trabajar con n = O. De (1) obtenemos:

Jo(xt) = ¿00 (-ll(lx)2kt2k2

k=O k! k!

Entonces:

00 (-l)k(4 x )2k(2k)!

L{lo(xt)} = ¿ ,,2k+1 .
k=O k . k. s

Pero (2k)! = 2kk![1 ·3· 5 .. ·(2k - 1)]. De aquí que:

}L{ Jo(xt) _ ~[ 1 + ~(-l)k[I.3.5 ... (2k - l)]X2k]
2k '
- L..- k
S k=1 2 ·k!s

o

L{Jo(xt)}=~1 ( 2)-1/2
1+;2

Por lo tanto,

1 (6)

L {lo(xt)} = J S2 + x2 .

Con base en (1) es fácil concluir que:

Entonces: d
y obtenemos: -Jo(z) = -JI (z).

dz

d
- Jo(xt) = -xJI (xt)
dt

L{ - xJI(xt)} = L {:/o(xt)}

Pero Jo(O) = 1, así que: = sL{lo(xt)} - Jo(O).
o s

L{ - xJI(xt)} = J s 2 + x2 - 1,

(7)

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480 Capítulo 24 Propiedades adicionales de la transformada de Laplace

• Ejercicios

l . La función modificada de Bessel de primera clase y de orden n es:

L , 2 .00 ('!' z )2k+n

rln(z) =
k=ü k . (k+n+1)
Demuestre que:

-1L LIl~1 exp (~)} = (~r/2 In (2Ft).

124.41 Ecuaciones diferenciales con coeficientes variables

Cualquier lector que sea demasiado optimista acerca de la eficiencia demostrada por la
transformada de Laplace al usarla como herramienta para resolver ecuaciones diferencia-
les lineales, debe recordar que hemos restringido nuestro trabajo a ecuaciones con coefi-
cientes constantes.

Suponga que nos enfrentamos con un problema de valor inicial que involucra la ecuación:

F"(t) + t 2 F(t) = O. (1)

Suponga que L {f(t)} = f(s) y que F(O) = A , F'(O) = B . Entonces la aplicación del opera-
dor L transforma la ecuación (1) en:

o

f"(s) + S2 f(s) = As + B. (2)

El problema de obtener la función complementaria para la ecuación (2) es el mismo que
para la ecuación (1); no se logró ningún avance. El miembro izquierdo de (1) permanece
esencialmente sin cambio bajo la.transformación de Laplace.

El comportamiento de (1) bajo L no es único. En realidad, las ecuaciones diferenciales
con coeficientes polinomiales que permanecen invariantes bajo la transformación de La-
place ya han sido clasificadas.3

Ya que L{tI1F(t)} = (_1)11 (d"/ ds")f(s) , se concluye que el operador L puede utilizarse

para transformar una ecuación diferencial con coeficientes polinomiales en otra ecuación
similar, y que el orden de la nueva ecuación será igual al grado máximo de los coeficientes
polinomiales que aparecen en la ecuación original. Simplemente, la transformada de La-
place no es la herramienta apropiada para tratar las ecuaciones diferenciales con coeficien-
tes variables. Para tal fin, el método clásico de solución por medio de series de potencias
resulta ser una buena herramienta.

3 E . D. Rainville. "Linear differential invariance under an operator related to the Laplace transformation", Amer. J.
Math. . 62:391-405 (1940).

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Ecuaciones diferenciales

:25parciales: métodos de

transformación

125.1 1Problemas con valores en la frontera

Para tratar algunos problemas con valores en la frontera que involucran ecuaciones dife-
renciales parciales, la transformada de Laplace nos proporciona un método eficaz; para
otros problemas, esta transformada contribuye con información adicional aún cuando las
técnicas tradicionales, tales como separación de variables y series de Fourier, pueden ser
más fáciles de emplear. Hay problemas para los que el método de la transformada de La-
place no aporta nada, sino al contrario, complica la resolución.

En este capítulo presentaremos unas cuantas aplicaciones y un estudio detallado de la
solución de algunos problemas sencillos. Nuestro objetivo es proporcionar suficientes co-
nocimientos para que un estudiante utilice la transformada de Laplace en problemas que se
encuentran en la práctica, y dar algunos criterios que ayuden a decidir cuándo el método de
la transformada es una herramienta útil para un problema dado.

Primero resolveremos algunos problemas que han sido configurados especialmente pa-
ra mostrar la técnica e ideas subyacentes, sin introducir las complejidades comunes de mu-
chas aplicaciones reales. El estudiante que entienda completamente y pueda ejecutar las
resoluciones de tales problemas sencillos no encontrará dificultad cuando en la realidad
tenga que enfrentar otros más complejos, si acaso solamente notará un aumento en la can-
tidad de trabajo.

EJEMPLO 25.1

Resuelva el problema que consiste en la ecuación:

a2y a2y (1)
- = 16 - para t > O, x > O;
ax2 at 2 (2)
(3)
bajo las condiciones:
(4)
t -+ 0+, y-+O para x > O;
(5)
ay para x > O;
para t > O; 481
- -+ - 1
at
x -+ 0+, Y -+ t2

Iím y(x, t) existe para una t > O, fija.

X-HJO

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482 Capítulo 25 Ecuaciones diferenciales parciales: métodos de transformación

Las características de este problema que sugieren intentar resolverlo con la técnica de la
transformada de Laplace son:

(a) La ecuación diferencial es lineal (indispensable).
(b) La ecuación tiene coeficientes constantes (muy conveniente).
(c) Al menos una variable independiente tiene el rango de Oa 00 (muy conveniente).
(d) Hay condiciones iniciales (t = O) que incluyen a la variable independiente de (c)

(conveniente).

En este problema la variable independiente xtambién tiene el rango de Oa 00, pero sólo
hay una condición en x = O; se necesitan dos condiciones para transformar una segunda de-
rivada. Por lo tanto, trataremos este problema con transformadas de Laplace con respecto
a la variable t.

Suponga que:

L{y(x, t)} = w(x, s), (6)

donde x es considerada como constante (parámetro) en lo que a la transformación de La-

place concierne. Ya que verificaremos nuestra solución, no hay peligro en suponer que las

operaciones de diferenciación con respecto a x y las transformadas de Laplace con respec-

to a t se pueden intercambiar.

Ya que (1) tiene coeficientes constantes, no aparecerán las derivadas con respecto a la

variable de la transformada s. La ecuación diferencial parcial (1) se transformará en una

ecuación diferencial ordinaria con variable independiente x y con s incluida como un pa-

rámetro. En vista de (6), la aplicación del operador L transforma (1), (2) y (3) en:

d2w = 16(s2 w + 1), x > O. (7)

-2
dx
Las condiciones (4) y (5) se convierten en:

2 (8)
x -+ 0+, W -+ 3s "'

l{m w (x, s) existe. (9)

x--->oo

Ahora resolveremos el nuevo problema (7), (8) y (9), para w (x, s) y luego obtendremos

y(x, t) como la transformada inversa de w. Escribimos de nuevo (7) en la forma:

d2w 16s2 w = 16 (10)
--
dx2

teniendo en cuenta que x es la variable independiente y s un parámetro. Cuando obtenga-
mos la solución general de (10), las constantes, elegidas arbitrariamente, en ella pueden ser
funciones de s ; no deben involucrar a x.

La solución general de (10) debe encontrarse por inspección. Es:

w = 1 + Cl (s) exp (-4sx) + C2(S) exp (4sx), x > O, s > O. (11)
-2
s

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25.1 Problemas con valores en lafrontera 483

A consecuencia de (9), la w de (11) tiende hacia un límite cuando x ~ oo. Los primeros dos
términos del lado derecho en (11) tienden a algún límite cuando x ~ 00, pero el término con el
exponente positivo, exp(4sx), no lo hará, a menos que:

Esto es, (9) implica (12) por nosotros. Entonces la w de (11) se convierte en:

w = 1 + CI(S) exp (- 4sx), x> O, s> O. (13)
-2: (14)
s

La aplicación de la condición (8) a la w de (13) produce:

21 2 + 1
-s3 = CI(S)--; CI(S) = 3s " 2s :'

S2

Así encontramos que: x> O, s> O.

1 (2 1)w(x, s) = -s-2 + -s3 + -s2 exp (-4sx),

Ya sabemos que si:

L - 1{f(s)} = F(t),

L -1 {e -eS f(s)} = F(t - c)a(t - c). (15)

Por lo tanto, la aplicación del operador L -1 a toda la expresión (14) nos da:

y(x, t) = -t + [(t - 4x)2 + (t - 4x)]a(t - 4x) , x > O, t > O. (16)

Afirmamos que la y de (16) satisface el problema con valores en la frontera planteado
inicialmente en las expresiones de la (1) a la (5). Ahora verificaremos la solución en deta-
lle. Con base en (16) se concluye de inmediato que:

ay = -1 + [2(t - 4x) + l]a(t - 4x), x > O, t > O, t =1= 4x. (17)

-at

Observe la discontinuidad existente en la derivada para t = 4x. Esto nos obliga a admitir

que obtenemos una solución del problema sólo a cada lado de la recta t = 4x en el primer

cuadrante del plano xt. Nuestra y no podrá satisfacer la ecuación diferencial a lo largo de la

recta a causa de que la segunda derivada no puede existir ahí. Esto se deriva del hecho de

que (1) es una "ecuación diferencial hiperbólica". Que la "solución" satisfaga o no la ecua-

ción diferencial, a lo largo de las llamadas líneas características de la ecuación, depende de

las condiciones específicas en la frontera. Trataremos cada problema de manera individual

sin intentar examinar la situación general.

De (17) obtenemos: .

a2 y x > O, t > O, t =1= 4x. (18)
at- = 2a(t -4x)

2'

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484 Capítulo 25 Ecuaciones diferenciales parciales: métodos de transformación

La ecuación (16) también nos da: x > O, t > O, t "# 4x, (19)
ay
ax = [-8(t - 4x) - 4]a(t - 4x),

y

a2y x > O, t > O, t "# 4x. (20)

f/ a 2 = 32a(t - 4x),

Las ecuaciones (18) Y(20) se combinan para mostrar que la y de (16) es una solución de la

ecuación diferencial (1) en la región xt deseada, excepto a lo largo de la recta t = 4x, don-

de la segunda derivada no existe.

Ahora verificaremos que nuestra y satisface las condiciones de frontera. Para ver si y

satisface la condición (2), debemos mantener a x fija, pero positiva, y luego hacer que t

tienda a cero utilizando valores positivos. Como:

t -+ 0+, Y -+ 0+ [( -4x)2 + (-4x)]a( -4x) = O para x > O.

Con lo que (2) se satisface. Observe que a( -4x) no habría sido cero de haber utilizado va-
lores negativos de x.

Con base en (17), con x fija y positiva, se concluye que cuando:

+ ay _
O,
att - >- -1 + [2(-4x) + l]a(-4x) = -1 para x > O.
-+

Por lo tanto, se satisface (3). Una vez más el hecho de que x es positiva desempeña un pa-
pel importante en la verificación.

Considere la condición (4). En ella debemos mantener a.t fija y positiva. Luego, por
(16), cuando:

x -+ 0+, Y -+ -t + (t 2 + t)a(t) = -t + t2 + t = t2 para t > O.

Por lo tanto, (4) se satisface.
Por último, la y de (16) satisface la condición (5), ya que:

lím y(x, t) = -t + 0= -t para t > O,

x-->oo

porque para una x lo suficientemente grande y una t fija, (t - 4x) es negativo y, por lo tan-

to, a(t - 4x) = O. Esto completa la verificación de la solución (16). •

• Ejercicios

En cada ejercicio resuelva el problema y verifique por completo su solución.

ay ay para t > O, x > O;
1. - +4- = -8t
para x > O;
ax at para t > O.
t -+ 0+, Y -+ O
x -+ 0+, Y -+ 2t2

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