ecuaciones-diferenciales-rainville-bedient-bedient

25.2 Ecuación de onda 485

2. aaxy + 2 aayt = 4t para t > O, x > O;
t -+ 0+, Y -+ O
x -+ 0+, Y -+ 2t3 para x > O;
para t > O.

3. Resuelva el ejercicio 1 con la condición de que t --7 0+ sea remplazada con t --7 0+,
Y --7 x.

4. Resuelva el ejercicio 2 con la condición de que t --7 0+ sea remplazada con t --7 0+ ,

Y --7 2x.

a2y a2y para t > O, x > O;
para x > O;
5. -ax=2 16--at2
t. -+ 0+, Yay-+ O
t -+ 0+ , -at -+ -2 para x > O;

x -+ 0+, y -+ t para t > O;

lím y (x, t) existe para t > O.

x~oo

a2y a2y para t > O, x > O;
6. -a=t2 4- ax2
t -+ 0+, Y -+ O para x > O;

ay
att -+ 0+, - -+ 2 parax > O;

x -+ 0+, Y -+ sen t para t > O;

lím y (x, t) existe para t > O.

x~oo

125.21 Ecuación de onda

El desplazamiento transversal y de una cuerda elástica satisface la ecuación de onda en una
dimensión:

a2y 2 a2y
at-=a-
2 ax2

de la sección 23.5, en donde la constante positiva a tiene las dimensiones de una velocidad,

centímetros por segundo, etcétera.

Suponga que una cuerda larga y elástica inicialmente está tensa y en reposo de modo

que podemos tomar, en t = O,

y =O ay para x ::::O.
Y -at = O

Supongamos que la cuerda es lo suficientemente larga como para que la hipótesis de que se

extienda desde x = O hasta 00 no introduzca un error apreciable en el intervalo de tiempo

en el que estamos interesados.

También suponemos que el extremo de la cuerda que está alejado del eje y se mantiene

fijo, y --7 O cuando x --7 00, pero que el extremo en el eje y está moviéndose hacia arriba y

hacia abajo de acuerdo con alguna ley establecida, y --7 F(t) cuando x --7 0+, con F(t) cono-

cida. La figura 25.1 muestra la posición de la cuerda para algún t > O.

http://gratislibrospdf.com/

486 Capítulo 25 Ecuaciones diferenciales parciales: métodos de transformación

y(x, ti)

o =---4----------------~=-~-x
x atl
Figura 25.1

Determinar el desplazamiento transversal y en términos de x y de t es resolver el proble-
ma con valores en la frontera:

a2y 2 a2y para t > O, x > O; (1)
- =2 a - para x ::: O; (2)

at ax2

t -+ 0+, y-+O

t -+ 0+, ay -+ O parax > O; (3)
-- para t ::: O;
at (4)

x -+ 0+, Y -+ F(t)

lÍm y(x, t) = O para toda t 2: O. (5)

X"'" 00

La función dada F(t) debe anularse en t = Opara conservar la continuidad de la cuerda.

Este problema satisface los criterios de la sección 25.1 que sugieren el uso de la trans-
formada de Laplace. Sean:

L{y(x, t)} = u(x, s), L{F(t)} = fes). (6)

Observe que en este caso F(t) debe ser continua a causa de su significado físico. El ope-
rador L convierte el problema planteado en las expresiones de la (1) a la (5) en el nuevo
problema:

d 2 u

s2u = a 2 _ para x > O; (7)

dx2

X -+ 0+, U -+ fes); (8)
(9)
lÍm u(x, s) = o.

X "'" 00

http://gratislibrospdf.com/

25.2 Ecuación de onda 487

Con base en (7) de inmediato escribimos la solución general:

e:).(s) s:)u(x, s) = Cl exp ( -
+ C2(S) exp (10)
(11)
Con s > 0, x > 0, la condición (9) exige que: (12)

Así (10) se convierte en:

u(x, s) = Cl (s) exp ( _ s:) ,

y (8) pide que:

f(s) = Cl (s).

Por lo tanto, tenemos:

u(x,s) = f(s)exp( - s:), x> 0, s> O. (13)
(14)
La ecuación (13) proporciona la solución deseada, x> 0, t > 0,

y(x, t) = F (t - ~) ex (t - ~) ,

en la que suponemos que F(t) está definida de alguna manera para argumentos negativos,
para poder utilizar el teorema 15.3 de la sección 15.4.

Es sencillo verificar la solución (14). Nótese que:

ay = - ~F' (t - ~) ex (t - ~)
ax a a a

y

2 = ~F" (t - ~) ex (t - ~).

ay a2 a a

ax2

Estamos obligados a suponer la existencia de dos derivadas de la función dada F(t). Es par-
ticularmente conveniente seleccionar F(t) de modo que F '(O) YF "(O) se anulen junto con
F(O), para que la continuidad de y y de sus derivadas no se interrumpa a lo largo de la rec-
tax = ato Se deja al estudiante la tarea de terminar la verificación de este resultado.

En la sección 23.5 estudiamos el desplazamiento transversal de una cuerda de longitud
finita sujeta de ambos extremos. Para resolver tales problemas, los métodos de series de
Fourier parecen ser mejores que la transformada de Laplace. Por ejemplo, intente solucio-
nar el ejercicio 1 de la sección 23.5 con el método de la transformada L.

http://gratislibrospdf.com/

488 Capítulo 25 Ecuaciones diferenciales parciales: métodos de transformación

• Ejercicios
1. Interprete y resuelva el problema:

a2y _ a2y para t > O, O < x < 1;

at2 - ax2 para O < x < 1;

t -+ 0+, Y -+ x - x2 para O < x < 1;
para t > O;
t -+ 0+, a y -+ o para t > O.

at

ox -+ 0+, y -+

x-+l-,y-+O

Verifique su solución directamente.

125.31 Difusión en un sólido semiinfinito

Considere el sólido definido por x ;:::O: que ocupa la mitad de un espacio tridimensional.
Si la temperatura inicial dentro del sólido y las condiciones en la superficie x = O son in-
dependientes de las coordenadas y y z, la temperatura u será independiente de y y z para

toda t > O. Por ejemplo, podemos visualizar una enorme lámina de concreto con una distri-

bución inicial de temperatura dependiente sólo de la distancia medida desde la superficie

de la lámina. Si la temperatura en esa superficie se mantiene después (t > O) en alguna fun-

ción específica de t, o si la superficie se aísla, el problema de encontrar la temperatura pa-
ra toda x y t positivas es uno que involucra la ecuación simple del calor (2) dada en la
sección 23.1.

EJEMPLO 25.2
Considere una lámina semiinfinita x;:::: O cuya temperatura inicial fija es u = A; la lámina
queda expuesta a una temperatura superficial (x -+ 0+) que es u = B para O < t < '» y lue-

go u = O para t ;:::t:o. Encuentre la temperatura dentro del sólido cuando x> O, t > O.

El problema con valores en la frontera que se resolverá es:

ou 2 a2u para x > O, t > O; (1)

-a=t h- ax2 para x > O; (2)
para O < t < to,
t -+ 0+, u -+ A para t > (o; (3)

x -+ 0+, u-+B para cada ( > O fijo. (4)

x -+ 0+, u-+O

límu(x,t) existe

x~oo

http://gratislibrospdf.com/

25.3 Difusión en un sólido semiinfinito 489

En este problema A, By h2 son constantes. Usamos la función apara expresar lacondi-
ción con valores en la frontera (3) en la forma:

x -+ 0+, u -+ B[1 - a(t - to)] para t > O. (5)

También note que la naturaleza física del problema impone la condición de que el valor lí-
mite en (4) seaA. Esto nos proporciona una verificación adicional de nuestro trabajo.

El problema satisface los criterios de la sección 25.1, que sugieren el uso de la transfor-
mada de Laplace. Sea: .

L {u (x, t)} = W (x, s), x> O, s > O. (6)

La ecuación (1) con la condición (2) se transforma en:

sw - A= h 2 d2w x> O,
x> O.
__
dx2 '

o

d2w S A
-dx-2- - wh2 = -h-2 ' (7)

Las condiciones (4) y (5) se convierten en:

lim w (x, s) existe para una s> Ofija: (8)

x->oo (9)

y (10)

x -+ 0+ , B.
w -+ - [1- exp(-tos)].

s

La ecuación diferencial (7) tiene la solución general:

w xf) (xf)= CI exp (- +~, x > O, s > O,
+ C2exP

en la que CI y c2 pueden serfunciones de s, pero no de x. Cuando x ~ 00, la w de (10) ten-
derá a un límite si, y sólo si, c2 = O. De aquí que la condición (8) nos dé el resultado:

(11)

y la w de (10) se convierta en:

( x.fi)w = clexp --h- +~A. (12)

Al hacer x ~ 0+ Yutilizar (9), obtenemos:

B exp(-tos)] = CI + -A. (13)

- [1 -
Ss

Por lo tanto, la solución del problema dado en (7), (8) Y(9) es:

w(x, xf)] xf)[l -s) = ; [1 - exp (-
+ ~ exp ( - exp (-tos)] . (14)

http://gratislibrospdf.com/

490 Capítulo 25 Ecuaciones diferenciales parciales: métodos de transformación

Sabemos que:

(x.Js)} ( x )L _1 { ~1 exp - - h- = erfc 2h.ji , x> O. (15)

Entonces podemos escribir:

L- 1 {~exp(- x.Js)exP(-toS)} = erfc ( 2hlt x to 1/ 2) et Ct - tO), (16)
sh - l

donde los signos de valor absoluto se insertaron para permitir que t sea utilizada en el ran-

go de Oa to' en el cual el rango de la función a obligará a que el lado derecho de (16) sea

cero.
Ahora estamos en posición de escribir la transformada inversa de la w en la ecuación

(14). Para x > OYt > O,

Jx

u(x, t) = A [1 - erfc (2h .ji)

l.) - 1/2)+ B [erfc ( x x
2hv t erfc ( 2h lt - to l et(t - to)J, (17)

o

x

u(x, t) = A erf (2h.ji)

l.) - 1/2)+ B [erfC ( x x
2hv t erfc ( 2hlt - to l et(t - to)J. (18)

La u de (17), o de (18), es la solución deseada.
Basta una sustitución directa para demostrar que cada término de (18) es una solución

de la ecuación del calor en una dimensión. Que las condiciones (2), (3) Y(4) también se sa-
tisfacen se deduce rápidamente de las propiedades:

lÍm erfz = O, IÍm erfz = 1

2--->0 2--->00

y de las correspondientes propiedades de la función erfc. En realidad, para la u de (18),

cuando x -+ 0+, U -+ A· 0 + B [ l - et(t - to) ] = B[1 - et(t - to)] para t > O;
parax > O;
cuando t -+ 0+, +U -+ A . 1 B(O - O) = A para O < t < to;
+cuando x -+ 00, u -+ A· 1 B . O = A para t > too
+cuando x -+ 00 , u -+ A . 1 B(O - O) = A

http://gratislibrospdf.com/

25.4 Variables canónicas 491

125.41 Variables canónicas

Cuando tratamos con problemas que aumentan en complejidad, es importante poder
simplificar nuestro trabajo con la introducción de las llamadas variables canónicas. Estas va-
riables son combinaciones adimensionales de las variables físicas y de los parámetros del
problema original. Ahora ilustraremos un método útil para seleccionar tales variables.

En la sección 25.5 resolveremos un problema de difusión que puede expresarse de la
manera siguiente:

au 2 a2u para t > O, O < x < c; (1)
-a=t h- ax2
para O < x < c; (2)
t ~ 0+, u ~ A para t > O; (3)
para t > O. (4)
x ~ 0+, u ~ O

x ~ e>, u ~ O

En este problema, un conjunto consistente de unidades para medir las diferentes cons-
tantes (parámetros) y variables es:

u = temperatura (OF),
= tiempo (horas),

x = coordenada espacial (pies),
h2 = difusividad térmica (piesvhora),
e = longitud (pies),
A = temperatura inicial (OF).

S'Buscaremos nuevas variables adimensionales 1" Y ljI, que son proporcionales a las va-

riables físicas x, t y u. Por el momento hagamos:

x = f3s, t = y r, u = 81/f, (5)

donde {3, y, (j son constantes positivas que serán determinadas de modo que las nuevas va-
riables no tengan dimensión. Los cambios de variable (5) transforman las expresiones de
la(1)ala(4)en:

8a1/f h28 a21/f spara r > O, O < f3 < c; (6)
---
-y -ar f32 a S2 (7)
(8)
r ~ 0+, 81/f ~ A spara O < f3 < c;
(9)
S ~ 0+, 1/f ~ O para r > O;

f3s~c-, 1/f~0 para r > O.

http://gratislibrospdf.com/

492 Capítulo 25 Ecuaciones diferenciales parciales: métodos de transformación

Como consecuencia de (7), elegimos 8 = A Y~ = c. Debido a (6), elegimos:

de la que:

Así encontramos que la introducción de las nuevas variables:

x (10)
1; =-,

e

transforman el problema planteado en las expresiones de la (1) a la (4), en la forma

canónica:

a1/1 a21/1 para r > O, O < 1; < 1; (11)

ar al;2

r -+ 0+, 1/1-+1 para O < 1; < 1; (12)

1; -+ 0+ , 1/1-+0 para r > O; (13)

1;-+1 -, 1/1-+0 para r -+ O. (14)

Observe que las variables canónicas en (10) no tienen dimensión; Stiene la dimensión de

pies sobre pies, y así sucesivamente las otras variables.
La solución para las expresiones de la (11) a la (14) es independiente de los parámetros

h2 , e y A del problema original, este hecho es de gran importancia en las aplicaciones. La so-
lución del problema original planteado en (1), (2), (3) Y(4) es una función de dos variables
y tres parámetros:

u = f(x, l , e, h, A). (15)

La solución de (11), (12), (13) Y(14) es una función de dos variables:

1/1 = F(I;, r), (16)

de modo que (15) realmente toma la forma: (17)

U = AF(~, ::l) .

La función F, de dos variables, puede ser calculada y, por lo tanto, dar la solución del
problema original, sin importar los valores de e, A y h2.

Existen problemas tales como el planteado en el estudio de las temperaturas en una presa

de concreto, en los que es importante conocer el valor medio con respecto a x de la tempe-

ratura u de (15) en un rango de O< x < c. Ese valor medio puede calcularse usando (16) , y

http://gratislibrospdf.com/

25.5 Difusión en una lámina de ancho finito 493

el resultado es una función de la única variable, 'r. Por lo tanto, en el plano lfI'l"Se puede di-
bujar una única curva para dar la temperatura media concerniente a todos los problemas
planteados en las expresiones de la (1) a la (4).

125.51 Difusión en una lámina de ancho finito

Ahora resolveremos por métodos de transformadas el problema de la lámina de la sección
20.4 para el caso especialf(x) = A. Suponga que el grosor de la lámina es de e unidades.
Denotemos con x la distancia desde una cara de la lámina y supongamos que esta lámina
se extiende al infinito en las direcciones y y z. Supongamos también que la temperatura ini-

cial de la lámina es una constante A y que las superficies x = O, x = e se mantienen a tem-
peratura cero para toda t > O. Si la lámina se considera infinita en las direcciones y y z, o

más específicamente, si sólo tratamos con las secciones transversales cercanas a la lámina,
entonces la temperatura u en cualquier momento t y cualquier posición x estará determina-

da por el problema con valores en la frontera:

ou 202u para t > O, O < x < e ; ( l)
para O < x < e; (2)
-ot = h -ox2

t -+ 0+ , U -+ A

x -+ 0+ , U -+ O para t > O; (3)

x -+ c-, u -+ O para t > O. (4)

Resolveremos el problema correspondiente usando variables canónicas. Esto es, en las

expresiones de la (1) a la (4) ponemos:

x r = -e2 ' (5)
~= -,

e

En las nuevas variable.. S' 'r, 1fI, el problema que se resolverá es:

01/1 021/1 para r > O, O < ~ < 1; (6)
or 0~2

r -+ 0+, 1/1-+1 para O < ~ < 1; (7)

~ -+ 0+, 1/1-+0 para r > O; (8)

~-+1- , 1/I-+0 para r > O. (9)

Sea,

100L{1/I(~, r)} = w(~ , s) = e-SI1/l(~ , r)dr. (10)

La aplicación del operador de Laplace transforma el problema dado en las expresiones de
la (6) a la (9) en:

d 2w paraO < ~ < 1; (1 1)
sw - 1 = -d~2-

~ -+ 0+, W -+ O; (12)

~ -+ 1- , w -+ O. (1 3)

http://gratislibrospdf.com/

494 Capítulo 25 Ecuaciones diferenciales parciales: métodos de transformación

La solución general de (11) puede escribirse como:

w= el senh (~-Ji) + e2 cosh (~-Ji) + 1 (14)
(15)
-s. (16)

Con base en (12) se concluye que:

0= e2 +-1

s

y (13) nos da:

O= el senh -Ji + e2 cosh -Ji + 1

-s.

Al resolver (15) y (16) obtenemos:

e2 = --1, el = cosh.jS - 1 , (17)
(18)
s s senh.jS

de la cual vemos que:

= -w 1 + (cosh.jS - 1)senh (~.jS) -senh.jS cosh (~ .jS)
s s senh.jS .

Como,

senh Bl cosh B2 - cosh Bl senh B2 = senh (B I - B2),

la w de (18) puede escribirse en la forma:

w(~,s) = ~ [1- senh(~.jS) _ senh{(1- {).jS}]. (19)

s senh .jS senh .jS

s'La solución deseada IfIU;, -r) es la inversa de la O) ( s) de (19), con Sen el rango 0< z < 1.

Ya sabemos de la ecuación (29), sección 24.2, que para O< x < 1,

f (1 - (1L-1 {senh (x .jS) } = [enc
x + 2n) _ enc + x + 2n )]. (20)

s senh .jS n=O 20 20

Al aplicar (20) dos veces, una vez con z y otra con (1 - S) remplazando a x, con base en

(19) obtenemos la solución deseada:

e- e1fr(~, r) = 1 - ~ [enc
2~ 2n) - enc +2~ 2n ) ]

l- ~ [enc ( ~2~n) - enc ( 2 - 2~ 2n ) (21)

http://gratislibrospdf.com/

25.5 Difusión en una lámina de ancho finito 495

La funciones complementarias de error en (21) pueden remplazarse por funciones de
error, ya que:

erfcz = 1 - erfz. (22)

Con ayuda de las propiedades:

erfc O = 1, lím erfc z = O, (23)

z..... oo

la solución (21) se verifica fácilmente, suponiendo que el signo de suma y los límites per-
tinentes pueden intercambiarse. Con los teoremas de cálculo avanzado se puede demostrar
que la suposición es válida.

Con base en (21) obtenemos, cuando t; ~ 0+ ,

(2n 1) (2n 1)]1/1 ~ 1 - ~00 [ erfc 2J+r - erfc 2J+r

En la primera serie, cada término es cero. La segunda serie es telescópica; en ella rempla-
zamos la serie por el límite de las sumas parciales para obtener:

o n;.[1/1 ~ 1 - }!.~ erfc O_ erfc (

1
)] .

Para una l' fija mayor que cero, cuando n ~ oo. Así que, por (23),

1/1 ~ 1 - 1 + O = O cuando ~ ~ 0+. (24)

La solución (21) no cambia cuando t; se remplaza por (1 - t;), ya que las dos series só-

lo intercambian lugares. Por lo tanto, como consecuencia de (24),

1/1 ~ O cuando ~ ~ 1- . (25)

Para cualquier z en el rango 0 < t; < 1, el argumento de cada erfc en (21) es positivo y

tiende a infinito cuando l' ~ 0 +. De aquí que cada erfc y cada término de las dos series tien-

dan a cero. Así, como el orden del límite y de la suma es indiferente,

1/1-+ 1, cuando i -+ 0+ para O < ~ < 1. (26)

http://gratislibrospdf.com/

496 Capítulo 25 Ecuaciones diferenciales parciales: métodos de transformación

Tal vez el hecho más importante acerca de la solución (21) es que la serie converge muy
rápidamente para un r pequeño, ya que el argumento de las diferentes funciones erfc es
muy grande. Por los métodos de separación de variables y de series de Fourier, puede de-
mostrarse que el problema planteado en las expresiones de la (6) a la (9) al inicio de esta
sección tiene la solución:

{:o + +r _ ~ ~ exp [-n2(2k
+1/r({, ) - tt
1)2r ]sen [(2k l)n{] (27)
2k 1 .

Las soluciones dadas en (21) y (27) son idénticas, aunque su unicidad no se demostrará aquí.
La serie en (27) converge rápidamente para valores grandes de ry lentamente para valores

pequeños de r. La serie (21) converge rápidamente para valores pequeños de r y lentamente
para valores grandes de t. Las dos formas de solución se complementan armoniosamente. La
solución del problema original dado en las expresiones de la (1) a la (4), puede obtenerse de
(21) o (27) haciendo la sustitución en (5) .

• Ejercicios

l. Interprete y resuelva el siguiente problema.

au °para t > 0, < x < 1;

at para 0< x < 1;
t -+ 0+, u -+ para t > O;
para t > O.
°x -+ 0+, u -+
125.61 Difusión au

x-+I-,--+O
ax

en un actante infinito

Como aplicación final, estudiaremos las temperaturas existentes cerca de una esquina cua-
drada de una lámina inmensa que inicialmente está a una temperatura constante y en la que
después, sus caras se mantienen a una temperatura constante diferente de la temperatura
interior inicial. Suponemos que todas las temperaturas son independientes de una coorde-
nada espacial rectangular. Introduciendo variables canónicas, podemos expresar el proble-
ma matemático en la forma:

-aaut=-aa2x+u2 -aa2y2u para t > 0, x > 0, y > O; (1)

t -+ 0+, U -+ 1 para x > 0, y > O; (2)

°x -+ 0+, u-+O para t > 0, y > O; (3)
para t > 0, x > O;
Y -+ 0+, u -+ (4)

lÍm u(x, y, t) existe para t y Y fijos y positivos; (5)

x--->oo

lÍm u (x, y, t) existe para t y x fijos y positivos. (6)

y---+oo

http://gratislibrospdf.com/

25.6 Difusión en un octante infinito 497

La resolución del problema planteado en las expresiones de la (1) a la (6) se realizará
combinando la separación de variables con la técnica de la transformada de Laplace. Pri-
mero separamos la función u de las tre1¡ variables x, y, t en el producto de una función ex-
clusiva de x y t por una función exclusiva de y y t. Esta separación sólo es posible gracias a
la simplicidad peculiar que presenta este problema con valores en la frontera. Sea,

u(x, y, t) = v(x, t)w(y , t). (7)

Con base en (7) se deduce que:

ou ow ov
-=v-+w-,
at at at

o2u a2v
-ax2--wa-x 2 '

a2u a2 w

-ay=2 v -ay-2 .

En consecuencia, (1) resulta en:

(8)

que será satisfecha si ambos:

para t > O, x > O (9)

y para t > O, Y > O, (10)
aw
= (11)
at (12)

se satisfacen. (13)
Si imponemos las condiciones: (14)
(15)
--+ 0+, V -+ 1 para x > O,
t -+ 0+ , W -+ 1 para y> O,

se cumplirá la condición (2).
De la condición (3) obtenemos:

y de (4), x -+ 0+, V -+ O para t > O,
y -+ 0+, W -+ O para t > O.

Las condiciones (5) y (6) serán satisfechas si:

IÍm v(x, t) existe para t positiva y fija,

x->oo

http://gratislibrospdf.com/

498 Capítulo 25 Ecuaciones diferenciales parciales: métodos de transformación

y

lim w(y, t) existe para t fija y positiva (16)

y-400

Ahora debemos encontrar v de:

av a2v para t > O, x > O; (9)
para x > O;
at ax2 (11)
t ---+ 0+ , V ---+ 1 (13)
(15)
x ---+ 0+, V ---+ O parat > O;

IÍm v (x, t) existe para t fija y positiva.

X-400

La función w debe satisfacer las expresiones dadas en (10), (12), (14) Y(16); por lo tanto,
es la misma función que v, salvo que y remplaza a x.

Para obtener v usamos la transformada de Laplace. Sea:

100L{v(x, t)} = g(x, s) = e-stv(x, t) dt. (17)

Entonces (9) y (11) proporcionan:

(18)

para las que la solución general se puede escribir fácilmente por inspección, dada nuestra ex-
periencia en el manejo de ecuaciones con coeficientes constantes. Por lo tanto, obtenemos:

g= 1 + C¡ (s) exp (- xJS) + C2(S) expxJS). (19)
-
s

Como consecuencia de (13) y (15), la función g debe satisfacer las condiciones:

g ---+ O, (20)

lím g(x, s) existe. (21)
(22)
X-400

Como consecuencia de (21), cis) = O. Debido a la condición (20),

1

0= - +c¡(s) .
s

Por lo tanto,

11
g(x, s) = - - - exp (-xJS).

ss

http://gratislibrospdf.com/

25.6 Difusión en un octante infinito 499

La función v(x, t) es una transformada inversa de g(x, s):

(2~)v(x, t) = 1 - erfc . (23)
(24)
Pero 1 - erfc z '= erf z. Así que:

(2~)v(x, t) = erf .

Por lo tanto, la solución de nuestro problema original es:

(25)

El estudiante debe verificar que la u de (25) satisface todas las condiciones del problema
con valores en la frontera planteado en las expresiones de la (1) a la (6) al inicio de esta
sección .

• Ejercicios

1. Demuestre que para la u de (25), O< u < 1, para toda x, y, t> O.

2. Suponga que el punto con coordenadas (x, y, t) está en el primer octante del espacio
rectangular x, y, t, Yque se aproxima al origen a lo largo de la curva

X2 = 4a2t,

l = 4a2t,

en la que a es positiva y elegida arbitrariamente. Demuestre que cuando x, y, t --70+ en la
manera descrita arriba, puede hacerse que u se aproxime al número que se desee entre ce-
ro y uno.

http://gratislibrospdf.com/

Respuestas a los
eJercIcIos

Capítulo 1 9. ordinaria, lineal en x o y, de orden 2
11. ordinaria, lineal en y, de orden 1
Sección 1.2 13. ordinaria, no lineal, de orden 3
1. ordinaria, lineal en x, de orden 2 15. ordinaria, lineal en y, de orden 2
3. ordinaria, no lineal, de orden 1
5. ordinaria, lineal en y, de orden 3 7 . y = 3ex + 3.
7. parcial, lineal en u, de orden 2
9. y = 3éx .
Sección 1.3 11. y = - 2cos2x.
1. y=~X4 +x2+c .
3. y = ~sen6x + c.
5. y = aretan (x/2) + c.

Capítulo 2

Sección 2.1 17. PV =c.

1. r = roexp(-2t2). 19. r = c(1 - bcos8).
3. y = &.JlOx2 - 4.
21. (x + 1)2 + y2 + 21n Ic(x - 1)1 = O.
5. y = (x /2)2/3. 23. eX (x - 1) = (2y + 1)/(2y2) + c.
7. y = ln2 -ln[l + exp (_ x2)]. 25. x(y + 1) = +(1 cx)eY •
9. r 2 1n (r/a) = r 2cos8 - a2.
27. 41n 1sec y+tanyl = 2x+sen2x + c.
11. ylnlc(l - x) 1= 1. 29. 2x + sen2x = c + (1 + t 2)2.
13. e-x2 + y-2 = c.
31. caf3 = exp (- 3a - f3).
15. xm = cyn.

33. y - c = -.Ja 2 - x2, la mitad inferior del círculo X2 + (y - C)2 = a 2.

y+c
35. x = asec - - o

a

37. In (x 2 + 1) = y2 - 2y + 41n Ic(y + 1)1·

500

http://gratislibrospdf.com/

Respuestas a los ejercicios 501

Sección 2.2
Todas las funciones son homogéneas excepto las de los ejercicios 2, 5, 6 Y19.

Sección 2.3

l . X3 = c(9x 2 + y2). 9. X2 + 4y2 = c(x + y) .
x2(x2 + 2y2) = c4.
3. x 4 = c2(4x2 + y2). 11. xv2 = c(x + 2v).
4x In Ix/cl - 2y + x sen (2y/x) = o.
5. x 2(y + 2x) = c(y + x). 13.
x-y = 5(y+4x)lnx .
7. x(y + X)2 = c(y - 2x). 15 .
y4(3x 2 + 4y2) = 4.
17. 2y arctan (y / x) = x In [c2(x 2 + y2)/x4J.
3x 3 - x2y - 2y 2 = O.
19. S2 = -2t2 1n Icst l. 27.
Y + 3x = (y + 4x) In (y + 4x).
21. (y-x)(y+3x)3=cx 3. 29.

23. 2(2x + 3y) + (x + y) In(x + y) = O. 31.

25. x2 = 2y + l . 33.
35. x2 = 2y2(y + 1).

Sección 2.4 17. r 2 +2r(sene-cose)=c.

1. x2 + 2xy - y2 = c. 19. r sene-r 2 cos2e=c.

3. x2y- x 3 + 1y2=C. 21. y(3x 2 + y2) = c.
23. x2y2 + 2xy - x2 = c.
5. x2 + 2y 2 = 4xy + c. 25. xy4 - y3 + 5xy - 3x = 5.

9. xy2 - x2y + 3x2 - 2y = c. 27. x 2y+y3+2x 3 +yexp(-x2)=c.

11. 1sen2y+ xcos2 y - x3y2 = c.

13. 2x+y2(l+x)2 = c.
15. x 2y-xtany=c.

Sección 2.6

1. 2y = x 5 + cx 3. 7. y = c senx - cosx.

3. 20x =4y - 1 +c(y + 1) -4. 9. y(secx + tanx) = c + x - cosx.

5. xu = ce3u - u - 31. 11. xysenx = c+senx-xcosx.

13. Y = (l + x2)(c + X - arctanx).

15. y = C3em1x + C2em,.. , con C3 = cl/(ml - m 2).
17: x2y = i(x 2 + 1)3 + c(x 2 + 1) .

19. (x -l)y = (x + I)(c + x - 21n Ix + 11).

21. 3y cos3 x = C + 3 senx - sen 3 x.

23. y = (x 2 + a 2)2[c(x2 + a 2) - I J.

25. Si n = 0, y = bx + c - ab In Ix + al.

Si n == -1, Y = ab + c(x + a) + b(x + a) In Ix + al .

27. 2y = (2x + 3)1 /2ln (2x + 3) . 31. y = 2x - 1.

29. i = ~ [ I - exP(- :) l 33 . s=(l+t2)[3 - exp(-t2)J.

Ejercicios diversos 7 . 2y=x 2 - 1+4exp(l-x2).

1. 2eY = e2t + c. 9. x2y = c(2x + 3y).

3. y = 2(x + 1) -1 + c(x + 1) -3. 11. '.x 3y3 + 1 = y3(c + 3x - 3 arctanx).

5. y2(x + y) = cx.

http://gratislibrospdf.com/

502 Respuestas a los ejercicios

13. 41n Isecx + tanxl = 2t + sen2t + e. 21. x2 y 3 = 3(e + y - xy).

15. x = y In lexyl. 23 . y = b/a + ee-ax •
17. x 2 +4xy+y2 = e.
19. ky4 + 4xy3 + x 4 = e. 25. xseny+ycosx=e.
27. y = 2 sen2 x sen2 ~x.

29. arcsen x + arcsen y = e, o una parte de la elipse x2 + 2elxy + y2 + ef - 1 = O;

donde el = cose.

30. arcsen x + arcsen y = ~rr o el arco de la elipse x2 + xy + y2 = ~ determinado por la lí-

nea continua superior en la figura 2.4.
31. arcsen x + arcsen y = - ~ rr , o el arco de la elipse X2 + xy + y2 = ~ indicado por la línea

continua inferior de la figura 2.4.

35. xy = ey2 - 1. 43. xy cosx = e + co~ x + x senx.

37. 2y = senx + (x + e) secx. 45. x=y2[1+yln(-y)].

+39. y = x - x 3 e(1 - x2)1/2. 47. y2 + 2xy + 1 = 21n y.

41. Y = senx + ecosx . 49. y = -3(x + 1).

51. (x + l)y = (x -l)[x + 1 +21n(x - 1)].

53. x 4y = 2x - 1.

55. 2x2(x - 2)y = x2 - 5.

Capítulo 3

Sección 3.2
1. Los resultados se encuentran en la tabla 1. La solución correcta se calcula con base en la solu-

ción y = 2e' - x - 1.

TABLA 1

x y x+y dy Correcta

0.0 1.00 1.00 0.10 1.00
0.1 1.10 1.20 0.12 1.11
0.2 1.22 1.42 0.14 1.24
0.3 1.36 1.66 0.17 1.40
0.4 1.53 1.93 0.19 1.58
0.5 1.72 2.22 0.22 1.80
0.6 1.94 2.54 0.25 2.04
0.7 2.19 2.89 0.29 2.33
0.8 2.48 3.28 0.33 2.65
0.9 2.81 3.71 0.37 3.02 ·
1.0 3.18 3.44

Sección 3.4

1. YI (x) = 1+x + ~x2; Y2(X) = 1+x +x2 + ¿x3; Y3(X) = 1+x +X2 + ~x3 + z\¡ x 4.

3. YI(x) = 1 + 2(x - 1) + ~(x _ 1)2;

Y2(X) = 1 + 2(x - 1) + ~(x - 1)2 + ¿(x - 1)3;
Y3(X) = 1 + 2(x - 1) + ~«x - 1)2 + ~(x - 1)3 + z\¡(x - 1)4.

http://gratislibrospdf.com/

Respuestas a los ejercicios 503

Sección 3.5

1. Y3(X) = 1+x +x2 + ¡ 3 + T¡2X 4.
jX

3. Y3(X) = 1 + 2(x - 1) + ~(x - 1)2 + 4(x - 1)3 + k(x - 1)4.

Sección 3.6

1. Ys(x)=I+x+x2+~x3+~x4+ixs.

3. ys(x) = 1 + 2(x .:...1.) + ~(x - 1)2 + 4(x - 1)3 + k(x - 1)4 + fo(x - 1)5.
5. ys (x) = -1 + (x - 2) + (x - 2)2 + ~(x - 2)3 + ~ (x - 2)4 + i (x - 2)5.
7. Y7(X) = 1 +x +x2 + ~x3 + ~x4 + ~xs + ~x6 + ~~~x7.

Sección 3.7
1. Los resultados aparecen en la tabla 2.

x TABLA 2

Y 0.20 0.30 0.40 0.50
K¡
x +!h 1.25 1.42 1.64 1.94
1.52 1.93 2.53
¡2 0.25 0.35 0.45
1.33 1.52 1.77
Y + 'ihK¡ 1.71 2.19 2.93
1.34 1.53 1.79
K2 1.73 2.22 3.00
0.30 0.40 0.50
Y + !hK2 1.42 1.64 1.94
1.93 2.53 3.51
K3 1.72 2.21 2.98
x+h

y+hK3
K4
K

2. Los resultados aparecen en la tabla 3.

TABLA 3

x 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40
1.00 1.24 1.40
Y 1.00 1.11 1.44 1.70 1.58
K¡ 1.21 0.35 1.98
0.05 0.25 1.49 0.45
x +!h 1.05 0.15 1.31 1.84 1.68
1.10 1.17 1.56 1.49 2.13
¡2 1.06 1.32 1.32 1.84 1.69
1.11 1.18 1.57 0.40
Y + 'ihK¡ 1.33 1.58 2.14
0.10 0.30 1.98 0.50
K2 1.11 0.20 1.40 1.84 1.79
1.21 1.24 1.70
Y + !hK2 1.11 1.44 1.57 2.29
1.33 2.14
K3
x+h

Y +hK3
K4
K

http://gratislibrospdf.com/

504 Res.puestas a los ejercicios

Sección 3.8

1. yf) = 1.93; y~2) = 1.94; y¿l) = 2.36; y¿2) = 2.37.
2. y!l) = 1.58; y!2) = 1.58; y~ l) = 1.80; yf) = 1.80.

Capítulo 4

Sección 4.3

1. 1.5 millas/segundo.

3. u = 70 - 52 exp( -0.29t); cuando t = S, u d 58.

5. 56°F. 19. v = b + (vo - b) exp( - gt/b).

7. A las 2:05 de la tarde. 21. 1.9 segundos y 10.5 pies/segundo.
a + ./a2 _
9. 80 segundos. 23. ' = y2 - ./a2 _ y2.
11. t = 2Fo/k. x a In Y

13. Si b ~ a, x ~ a; si b::S a, x ~ b. 25. (a) s = 160 libras; (b) t = 64 minutos.

15. 126 horas. 27. (a) 5.13 pesos; (b)5.13 por ciento.

Sección 4.4

3. t = In9 ~ 2.7 hr.

In9 -ln4

yoe-kT

7. (d) 1- e-kT'

9. P(t) = -e --a + -qk cos (f3t + ex) + ele-k(d+b)1
d+b Q ,

donde Q = ./k2(d + b)2 + f32, ex = arccos ~, y el = Po - e- a f3kq
-- - -.
d+b Q2

Capítulo 5

Sección 5.1

1. x(xy+ 1) =ey. 15. ylnlexl =x{1-:-x2) .

3. x 3y 3 =-3Inlexl . 17. x 2y+x+y= exy2.

5. y(3x4 + y2) = ex3. 19. x2 + exy + y2 = 1.

7. x(y2 + 1) = ey. 21. xy + arctan (y/x) = e.

9. x2y2 = 2ln lex /yl. 23. +2x2exy y2 = ex2.

11. x2y2=2Inlexm/ynl. 25. 3(x2 _y2)2=4(x 3 +4).

13. x(x + y2) = ey. 27. x 3y3 + 4x2 - 7xy + 2y = O.

= = =29. Si n#- 1, (n _1)(xy)n-l(x2 + y2 -e) 2a.Sin 1, x2 + y2 -e -2alnlxyl.

Sección 5.2 9. y(2x - y) = e exp (_X2).

1. x2 - y2 + xy - 1 = ex. 11. X4 (y2 + 2xy - y + 2) = e.
3. 2X2 + xy + 2y In Iyl = ey. 13. x2(y2 +xy - y + 2x) = e.
5. y(2x + y) = cex .
17. x2 = 4y2ln ly/eI.
7. x 3y(2x - 3y) = c.

19. u2 = 2v2 1n Icv 2 /u\.

http://gratislibrospdf.com/

Respuestas a los ejercicios 505

Sección 5.4

1. 5(x+y+e)=21nI15x-lOy+lll . 11. 2karctan(ue-2V ) = 1nle(u2 +e4V) I.

3. 3tan(6x+e)=2(9x+4y+1). 13. 3x-3y+e+41nI3x+6y-71=0.

5. x + e = tan (x + y) - sec (x + y). 15. (k+n _l) y l-n = (l-n)x k +ex l-n .

7. x\siny-x)2=esin2 y. 17. (x+2y-1?=2y+e.

9. (u-v-3)exp(4u)=e(u-v+l). 19. y2(e-x)=x3.

21. Sin=1 y kJiO,x k =klnley/xI-
Si n = 1 Y k = 0, y = ex2 .

t Si n Ji 1 pero k + n = 1, yl-n = (1 - n)x l- n In lex l.

23. 4arctan (3x + y) = 8x + n.
25, x2 = y3(x + 2).

27. 2y 2 = x 2(3x - 1).

Sección 5.5

1. x-3=(2-y)lnle(y-2)1.

3. (x + y - W = e(2x + y - 4)2.

5. x + 2y + e = 31n Ix + y + 21.

7. ln[(x - 1)2 + 9(y - 1)2] - 2arctan x-1 = e.

3(y - 1)

9. Y - 1 = 3(y - 3x - 1) In le(3x - y + 1)1· y- x
x) In -4- '
11. (x - y - 4? = e(x + y - 2). 21. Y- 5x + 8 = 2(y -

13. 3x2 + 4xy - y2 + 14x + 7 = e. 23. (x - 2y - 1? = e(x - 3y - 2).
15. y + e = -In 12x - y + 41.
27. (2y - x + 3)2 = e(y - x + 2).

17. x+e=31nlx-y+51. 31. 2(y+l) = -(x+2y)lnle(x +2y)l .
l- x
33. (2y - x + 3)2 = e(y - x + 2).
19. 3(y - 2) = -2(x - 1) In -2- '

Sección 5.6

1. In leyl = x - ~.fi erf x.

¡;3. y = exp (_x 4) [e + exp (f34) df3J .

5. Y =ex fX Te-~ df3 .
l

7 . 2y = 2exp(x2) - x + ~.fi exp (x 2) erf x.

Ejercicios diversos

1. y2 - 3y - x + 1 = ce-x.

3. 2(y - 1) = (x + y - 3) In le(x + y - 3)1.

5. 2x2 +2xy-3y2-8x+24y=e. 19. x+y +e=81nI4x+3y +251.

7. 15x4yl2 = 4 y l5 + e. 21. 2(y - 3x + e) = 51n 12x - 2y - 31.

9. x2 = y4(1 + ey2). 23. (x + y - 5)2(x - 2y + 1) = e.

11. x 3(x+e y )2=e. 25.1nlx+2y-ll=y-2x+e.

13. (x + y - 8)4 = e(x - 2y + 1). 27. y(2x - y) = ee-3x .

15. y(5 + xy4) = ex. 29. b2y = e1éx - abx - a - eb.

17. y2(2x2y - 3) = ex 2. 31. xv2(5x -1) = 1.

http://gratislibrospdf.com/

506 Respuestas a los ejercicios

33. y2=(x+y)2+2Inlx+yl+c. = +37. y2(5 - 3x) x2(5 3x).

35. x2 + x - 3xy - y2 + 4y = c. 39. In Ix - y + 11 = C- x.

Capítulo 6 5. Y = 3e' +e-x. ,
7. y = 7ex - 3xex.
Sección 6.2
3. W = 2e'.
1. x > \1 o x < 1.
11. (D - I)(D - 4)(D + 5).
3. x> O. 13. (D + 2)3(2D - 1).
15. (D - 2)(D + 3)(D2 + 4).
Sección 6.4 17. D 2 + 1 - x2.
1. W = O! 1! 2! . . . (n - 1)!. 19. xD2 .

Sección 6.8 3. y = (CI + C2X) exp (!x).
1. 4D2 -7D-2.
3. D3 +D+ 10.

5. (D + 2)(2D - 1).
7. (D - 1)(D + 2)(D - 3).

9. D 2(D - 2)(D + 2).

21. x 2D 2 +2xD-2.
Sección·6.9

1. y = (CI + C2X + c3x2)e2x.

Capítulo ·7

Sección 7.2

1. Y = Cle' + C2e-3x. 5. Y = CI + C2e' + C3e-4x.
7.
3. Y = CI e2x + C2e- 3x . Y = cle-x + C2e-2x + C3e-3x.

9. y=clex+c2exp(!x)+c3exp(-~x).

11. x = 'CI + C2el + C3e-21 .

13. y = cle- x + C2 exp (~x) + C3 exp (~x) .

15. y = cle-4x + C2 exp [(2 + .J2)x) + C3 exp [(2 - .J2)x).
17. y = cle-x + c2e2x + C3 exp (-!x) + c4exp(~x) .

19. y = cle-x + C2e-2x + C3 exp (!x) + C4 exp (~x).

21. Y = cleax + c2e3ax . 25. Cuando x = 1, Y = e3 + 3e-1 = 21.2.

23. y = e-x _ e3x . 27. Cuando x = 1, Y = 20.4.

29. Cuando x = 1, Y = -19.8.

Sección 7.3

1. Y = (CI + c2x)e3x. 9. Y = (CI + C2X + c3x2)e-x .

3. Y = CI + (C2 + C3X) exp (-!x). 11. y = CI + C2X + C3x2 + C4ex + cse-x.

5. Y = CI + C2X + (C3 + C4X )e-3x . 13. Y = (CI + C2X )ex/2 + (C3 + C4X )e-x.

7. Y = cle-x + (C2 + C3X) exp (!x) . 15. Y = cle3x + (C2 + C3X + c4x2 )e-2x .

17. Y = cle3x + (C2 + c3x)e-X + (C4 + csx)e-: /2.

19. -:Y = (CI + c2x)e-X + C3e(l+,¡'3)x + C4e(r.- ,¡'3)x .

http://gratislibrospdf.com/

Respuestas a los ejercicios 507

21. y=(1+x)e - 2x . 25. Y = 2 - e-x - e-2x .
27. Cuando x = 2, Y = 4e.
+23. y = 2e2x (3x - 2)e-x•

29. Cuando x = 2, Y = e-6 .

Sección 7.6

+3. y::::;: clex cosx C2ex senx .
5. y = CI cosh3x + c2senh3x.
+7. Y = CI e2x cos .J3x c2e2x sen .J3x.
9. Y = CI + C2X + C3e-x cos 3x + C4e-x sen 3x.
11. Y = (CI + C2X) cos 3x + (C3 + C4X) sen 3x.
13. Y = CI COSX + C2 senx + (C3 + C4X) cos2x + (C5 + C6X) sen2x.

15. y=yocosh~
17. y=e-3x sen2x.

19. x = (vol k) senkt.
21. x = (vola)e-bt senat; donde a =.JP - b2 •
Ejercicios diversos

1. Y = CI + C2e- 3x . 5. Y = cle-x + e2x (c2 + C3X).

+3. Y = cle2x C2e- 3x . 7. y = cle-x + (C2 + C3X) exp (!x).
+ +9. y = e-x (CI C2X C3x2).

11. y = clex + C2 exp (!x) + C3 exp (-~x).

13. y = (CI + C2X) exp (!x) + C3 exp (-!x).

15. y = eX(cl + C2X) + C3 cos2x + C4 sen2x.

17. Y = CI COSX + C2 sen x + C3 cos2x + C4 sen2x.
19. y = (CI + C2X + c3x2)e4x + C4e-x.

21. Y = e-2x (CI + C2X) + c3e...tix + c4e-...tix.
23. Y = +cle-x C2e-2x + C3 exp (-!x) + C4 exp (-~x).

25. y = e-x (CI + C2X) + C3e-3x. 31. Y = cle-3x + (C2 + C3X) exp (!x).

27. y = cle2x + C2 COSX + C3 senx. 33. y = +clex C2e2x + e-X(c3 + C4X).
29. y = cle2x +C2e-2x +C3e3x +c4e-3x . 35. y = CI +C2X+C3x2+c4e2x +C5e-3x .

37. y = cle-2x + (C2 COSX + C3 sen x) exp (-!x) .

39. y = e-X(cl + C2X) + C3e2x + C4COSX + C5 senx .

41. y = e2x (CI + C2X + C3x2) + e-3x (C4 + C5X).
43. Y = cle3x + e-2x (cl + C2X + C3x2) .

45. y = e-X(cl +C2X) + C3e3x + (C4 + c5x)exp(-!x).

47. y=l-e-:.

49. y = +clex C2e3x + C3e-x + e-2x (C4 + C5X).
51. y = e-2x (cl + C2X) + C3e3x + C4COSX + C5 senx.

Capítulo 8 3. D2(D - 4)y = O.

Sección 8.1

1. (D - 2)(D + l)y = O.

http://gratislibrospdf.com/

508 Respuestas a los ejercicios

5. (D 2 - 2D + lO)y = O. 19. m = 0, 0, 2, 2.
7. (D 2 - 6D + lO)y = O.
21. m = 1, 1.
9. (D 2 + 2D + 5)2y = o.
23. m = ±2i.
11. (D 2 +e)y=0. 25. m = 2i, 2i, - 2i, -2i.
27. m = 2i, 2i, -2i, -2i .
13. (D 2 - l)y = O. . 29. m = ±i, ±3i.
31. m = 0,0,0, - 1, -1, - 1 ± i.
15. m = 2, 2.

17. m = -1 ± 4i.

33. ±i, ±i, ±i.

=Sección 8.3 + e2e -x + '2I cosx - '2I senx. =7. y ele4x + e2e-x - 5ex .

1. y el 9. y = ele-2x+(e2+±x)e2x_~.

3. y=e le-x+e2e- 2x +6x2-18x+21.

5. y = el cos 3x+e2 sen~x+~ex -18x. 11. y = c lex + C2e3x + 2 cosx - 4senx.

13. y = e-X(c l + e2x) + 7 - 12cos2x - 9 sen2x.

15. y = el cos x + e2 sen x + ~ x sen x .

17. y = el é + C2e-x - 2e-x senx.
19. Y = el + c2ex + e3 e-x - '2I x 2 .

21. y = Cle2x + e2e-2x + (C3 - x)e-X + x + ~.

23. y = elex + (e2 - ±x)e-X + c3 COSX + e4 senx.

25. y = el cos x + c2 sen x + 6 - 2 cos 2x.
27. y = cle4x + C2e-x - 4x + 3 + 4cos2x + 3 sen2x.
29. y = (el + ~x)e-X + C2 e - 3x + e2x .

31. y = (el - 2x)e-X + e2e2x - 3x + ~.

33. y = c le-x + (C2 + e3x)e2x + ~ + 4cos 2x - 2 sen2x .

35. y = (el - 2x)e- X + e2e2x + C3e -2x - 2x.

37. y = e2x - ~e -2x + 2x - ~. 41. x = (l +e-2t ) sent - (l - e-2t ) COSI.

39. y = e- 2x (13 sen x - cosx) + 5e-3x . 43. Y = 2e-2x - e-x cos 2x - eX.

45. En x = 2, Y = e-2 , y' = 1.

47. En x = 2, Y = -0.7635, y' = +0.3012.

49. En x = 4, Y = 8 - e- I - e-2 - e-3.

51. Y = (e + x) senx.

53. El punto es (l , O); la solución es y = X2 + 1 - 2 exp(x - 1).

Sección 8.4 19. Y = 2x + ±- 3ex.

3. Y = 3. 21. Y = 3e2x .
5. Y = 2. 23. Y -- 4le3x .

7. Y = -~. -k25. y = cos2x.

9. Y = 3x. 27. y = ~ex + 3x.

11. y = 3x. -129. y = -2x cos2x.
13. y = -3x2.
15. y = -4x 3. 31. y = -~ sen4x.
17. y = 2senx .

http://gratislibrospdf.com/

Respuestas a los ejercicios 509

33. y = 3ex . 43 . Y -- _l2 e-x .
45. Y -- l6 e2x .
35. y = 3e-x .
fa47. Y = sen2x.
37. Y -- _l4 ex .
49. Y -- '2l cos 2x.
39. Y = - 4 senx .

41. y = 2ex - 5.

Capítulo 9

Sección 9.2 )

1. Y = clex + C2e- x - x + l.
+ +3. Y = (C I c2x)e2x eX.

5. y = Cl sen x + C2 cos X + x senx + cos x In 1cos x l.

7. y = e-X(c I + C2X -In 1I - e-X\) . =13. y CIX + C2X-I / 2 .

11. y = C l sen x + C2 cos X + ~ csc x. 15. Y = - 2+x ln 1-1 +-x 1.
I-x

Sección 9.4
1. Y = c l ex + C2e-x + ~xex - ~ ex - 1. 5. Y = Yc + ~ secx .

3. y = Yc - X cosx + sen x In 1senx l. 7. y = Yc - cosx In 1secx + tanx l.

9. y = Yc - cosx In 1secx + tanx l - senx In 1cscx + cotx l.

11. y = Yc + eX In (1 + eX). 15. y = Yc - sen (e - X) - eX cos (e-X).

13 . y = Yc - e2x cos (e-X) . 17. y = Yc - ~x2 - l.

19. Y = Yc - e-X(x - ~) ..

=25 . Y Yo cos (x - xo) + y~ sen (x - xo) + J~ f (f3) sen (x - (3) df3.

Ejercicios diversos

+1. Y = Yc - xe-x - ~e-x In (1 e-2x ).

3. Y = Yc + ~ tanx + ~ cosx In 1secx + tan x l.

5. Y = Yc - sen x In 1cscx + cotx l.

7 . Y = Yc + x sen x + cosx In 1cosx l·

+9. Y = Yc - xe - X ~(eX - e-X) In 1I - e-2x l.

11. Y = Yc - ~ - coshx arctane-x.

13. Y = Yc - e-2x sen (eX) - e-3x cos (eX).

15. Y = Yc + eX In 1secexl.

17. Y = Yc + ~ sen x tanx - x sen x - cosx In 1cosxl.

Capítulo 10

Sección 10.3
1. x = ~(cos8t - 3 sen8t) .

3. x = ~ cos 16t + ~ sen 16t.

5. x = ~(t - 2) sen8t.
9. t = 7T / 8, 7T / 4, 1, 37T / 8 (segundos)

y x = - 0.15, +0.05, +0.03, +0.04 (pies), respectivamente.

11. En t = 7T / 8 (segundos), x = -~ (pies), v = - 8 (pies /segundo) .

http://gratislibrospdf.com/

510 Respuestas a los ejercicios

13. x = 0.33 cos 11.31 - 0.71 sen 11.31. 17. En 1 = 0.4 segundos, aproximadamente.

15. 35 pulgadas. 19. x = 0.50 cos 9.81 - 0.82 sen 9.81.
4,21. 1 = 7T/8, 7T /4, 37T /8 (segundos).
k,23. 1 =
7T/16, 7T/8, 37T/16 (segundos) y x = +0.11, +0.14, - 0.54, +0.93 (pies),

respectivamente.

Sección 10.4

1. (a) y = 13(l/seg), x = 81e- 13t .

(b) x = 1.6e- 12t sen5t .

(c) x = 0 .77(e-8.8t _ e - 19.2t ).

3. x = ke-t(2sen71 - cos7t).
5. x = _~e-4t sen8t .

(47 . x = + 4t)e- 8t - ~ cos 8t.

9. tI = 0.3 seg, X I = -12 pulg.; t2 = 0.8 seg, X2 = +6 pulg.; t3 = 1.3 seg, X3 = -4 pulg.

11. 14.4seg.

13 . x = 0 .30e-4.8t cos 6.4t + 0.22e- 4.8t sen 6.4t - 0.05 cos 8t (ft).
15. x = ~(8t + l)e- 8t - ~ cos 8t; para t > 1, x = -~ cos 8t.
17. x = exp (-~t)(0 . 30cos 8.0t - 0.22 sen8.0t) - 0.05 cos4t + 0.49 sen4t.

19. x = 4gt2 .

21. v2 = vo2 + 2gx.
23. x = 4gt2 + vot - ~at2(3vo + gt) + ~a2t 3 (4vo + gt) .

25 . (a) x = _ 3e - 3t sen4t.

(b) t = 0.23 + ~mr, n = O, 1, 2, 3,

(c) 0.095.

Sección 10.5 5. 9°.
1. 38 veces.
3. 0.8 (radianes/segundo) en 0.2 segundos. 7. Omax = (O~ + f3-2Wf/) 1/ 2.

Capítulo 11

Sección 11.2

1. y' = u, u' = 6u - 8y + x + 2.
3. y' = u, u' = -pU - qy + f(x).

5. y' = u , u' = v , v' = W, W ' = y .

7. v' = 2w + 2x - +3, w' = - 2v 5eX - 6x + 9.

9. y' = u, v' = w, u' = -v + 2w + 1, w' = -y + 4v - 2u.

Sección 11.4 (-11 -1)
--nn·. O'
1. G 5.
3.
(~ G7. ~).

http://gratislibrospdf.com/

Respuestas a los ejercicios 511

17. (~) = C(-n.

m(O ~19

~ ~ G25. X' AX, donde A

~ ~ e27. X' AX, donde A

Sección 11.5

(!) G)1. X = CI e-41 . U i)5. X = CI ( _ + C2 ( _ e21 .
e41 + C2
7. X = CI G)e21 + C2(;)él •
(-n (-n3. X = CI e-21.
e21 + C2

9. Y = e-X(cl cosx + C2 senx).
11. y = CI COS 2x + C2 sen2x .

15. W(XI(O), X2(O») = bq Ji: O.

http://gratislibrospdf.com/

512 Respuestas a los ejercicios

Capítulo 12

Sección 12.1
G) G) G).1. Xp = té
+ t +

e

6)3.
_ ! (-2t 2 - 12 8+t - .
Xp - 14t
8 2t

C) - G).5. Xp = -3té 3et

Sección 12.2

1. x(t) = 4e - t + 3e-7t + 1, y(t) = 8e-t - 3e-7t + 2. Carrera armamentista estable.
3. x(t) = e-6t + 6e2t - 2, y(t) = +_e-6t 6e2t - 3. Carrera armamentista incontrolable.

Sección 12.4

1. 1 = ER- I [I-e xp( -RtL - I )].

3. 1 = EZ-2 [-wLcoswt + Rsenwt +wLexp(-RtL- I )].

5. 1(0) = 1.25(amp), I(t) = 1.25 exp (-250t)(amp).
7. I máx = 3e- l (amp).
9. 1 = EZ-2 (R sen wt-y cos wt)+Ef3-1 Z - 2e-at [f3y cos f3t-a(y+2w- 1C- I )senf3t].

+13. 1I = 2(1 - e- 3OOt ), 12 = _3e-3OOt , 13 = 2 e-3OOt .

Capítulo 13

Sección 13 .2

x2

1. - - 1 .
2

Capítulo 14

Sección 14.3

5. 6 23s " +42s ' s> O. b-a
4s -
15. (s + a)(s + b)' s> máx ( -a , -b).

2s +10 17. -1 + -e - 2s + -e-2,s s> O.
7. , s> 4. S
s s2
(s -4)(s+ 2)

2k 2 2(1 - e-rrs )
11. ses 2 +4k2) ' S > O.
19. s2 +4 ' s> O.

Sección 14.10 1 cs
11. - tanh-.
2k(3s 2 - k2 ) s2 2

+7. (s2 k2)3 ' S > O. ks
13. -s2 +-k2 · cothn- .
9. L{F'(t)} = s-I(1- e- 2s ), s> O. 2k

http://gratislibrospdf.com/

Respuestas a los ejercicios 513

-1 1 - expc(1 - s) , s > 1. O)
15. - - .
s - 1 1 - exp (-cs) 17. s2+0)2·1 - exp(-srrjO)·

Capítulo 15

Sección 15.1 5. te-21 .

1. 1e-lseñ3t. !7. e21 (2 cos 2t + sen 2t).

3. e-21 (3 cos 3t - 2 sen 3t).
9 . e - 41 (2t - ~t2) .

Sección 15.2

1. ~ (l - e- al). 5. 3e21 ":'" 3 - 2t .
7. t-2+é+e-21 .
a

3. 2 + é - e-:21 .

cos at - cos ht
9.

h2 - a2

Sección 15.3 11. x(t) = e21 (2t 2 - 2t - 1).
1. y = el +1.

3. Y -- l3 e21 - l3e-·I 13. y(t) = 2cosh t + senh t - 2 cos t .
5. Y = cosat. 15. x(t) = 1 + ~t - ~ sen2t.

+7. y = !el - e21 !e31 . +17 . x (t) = sen t - COS t 2el •

9. Y = e21 + 2t - 1. 19. y(x) = 4eX + cos 3x - 2 sen 3x.

21. x(t) = 2t2 - 6t + 7 - 8e-1+ e-21 .

27. y = e - 2x (cl cosx + C2 sen x) + lOx - 8 + !e3x.

!43. x(t) = (1 - t)2e21 .

Sección 15.4

9. 4 + e-2s (21) 13 . l-exps (+- 2s - 2)
:;- s2 -:;- . 1

11. ~ + e-s ( ~ - ~- ~ - ~3 .2s +3(1 e-rrs )
S +15. s2 9
s3 S s2 s3 )

17. !(t -4)2 exp [- 2(t - 4) ]a (t - 4).

19. F(1) = 1, F(3) = -1 , F(5) = - 4.
23. x(t) = 3 - 2cost + 2[t - 4 - sen(t - 4)]a(t - 4) .

25. x(t) = Hl - a(t - 2rr)](2sent - sen2t).

27 . x(l) = 2 + e- 1, x(4) = 1 + 3e- 1 + 4e-4.

Sección 15.5

3 5. !(1 - e-21 ).

1. S2(S2 + 9)·
6 7. !( sent - t cos t).
113. S4(S - 1) .
1

9. y(t) =- H(t-f3)senhkf3df3.
fk o
f3e -3~ F(t - (3) df3 .
11. x(t) = e-31 [A + (B + 3A)t] +

http://gratislibrospdf.com/

514 Respuestas a los ejercicios

Sección 15.6 7. F(t) = t2 -1t4.

1. F(t)=1+2t. 9. H (t) = 5e2t + 4e-t - 6te-t .

3. F(t) = t + !t2. 11. g(x) = e-x (1-x)2.
5. F(t) = t3 + 1ot5•
13. F(t) = 4 + ~t2 + -i4t4.

Sección 15.8

1. Ely(x) = iiowOC2X2 - ;fowocx3 + ~[5CX4 - x 5 + (x - C)5 a (x - c)].

120c

3. Ely(x) = l4woc2x2 - 1~8 wocx3 + -i4WO[X4 - (x - c)4a (x - c)].

Sección 15.9

1. x(t) = 2 - !é - !e3t - e-2t , y(t) = 7t + 5 - é + ~e-2t.
3. x(t) = (1 + 2t)et + 2e3t , y(t) = (1 - t)é - e3t .

15. x(t) = -t - ~ sent + sen2t , y(t) = 1 + ~ cost - ~ cos2t.

7. x(t) = -1 + é, y(t) = -tet, z(t) = 1- é - teto

9. x(t) = CI cosht + C2 senht + J~[cosh,8F(t -,8) + senh,8G(t - ,8)] d,8,
y(t) = CI senh t + C2 cosh t + J~ [cosh ,8G(t - ,8) + senh ,8F(t - ,8)] d,8.

11. x(t) = cos 2t + J~ [cos 2,8F(t - ,8) + sen 2,8G(t - ,8)] d,8,
y(t) = - sen 2t + J~ [cos 2,8G(t - ,8) - sen2,8F(t - ,8)] d,8.

Capítulo 16

Sección 16.2 9. x = y In ICIYI, y(2x + y) = C2.
11. y(x2 + CI) = - 2, x 3 = 31n IC2yl.
1. y=CIX,Xy=C2.
3. y = CIX 2, Y = C2x3 . 13. x = - y In IClyl, y(2x - y) = C2.

5. y = CI exp (!x 2), y = -In IC2x1. 15. y2 - x2 = CIY, y(3x2 + y2) = C2.

7. y = In IClxl, x = In IC2yl .

17. y2(y2 +2x2) = CI, y2 = 2X2 In IC2XI.
25. y = (3 - 2x)I /2; y y = 2 -ln2 -ln(-x).

27. y' = (3 - 2X)I/2 para x ::: 1; y = 1 -lnx para 1 ::: X.

Sección 16.5

9. (a) x2(1 + 12x2y) = O; (b) x = O, 12x2y = -1.

11. (a) X2 - 4Y = O; (b) X2 - 4Y = O.

13. (a) (y2 - x)(y2 + x) = O; (b) es igual que (a),

15. (a) y8(y2 - 2x)(y4 + 2xy2 + 4x2) = O; (b) Y = O, y2 = 2x.

Sección 16,7

3. e2 + cx2 = 2y; sol. sing., 8y = _x4•
5. 2c3x 3 = 1 - 6c2y; sol. sing., 2y = x2.
7. y = ex + kc2;sol. sing., x2 = -4ky.
9. x2(1 + ey) = c2.

11. xy = c(3cx - 1); sol. sing., 12x2y = - 1.

13. c(xc - y + k) + a = O; sol. sing., (y - k) 2 = 4ax.
15. xy = c(e2x - 1); sol. sing., 27x3y2 = 4.

http://gratislibrospdf.com/

Respuestas a los ejercicios 515

17 . xc3 - yc2 + 1 = O; sol. sing., 4 y 3 = 27x2.

19. 3x = 2p + Cp-I!2 y 3y = p2 - Cpl !2.

21. x = 4p In jpc j y y =;= p2[1 + 2 ln jpc jJ .

23. 2x = 3p-2 + Cp-4 y 3y = 9p- 1+ 2cp-3.
25 . +p3(x p)2 = C y 2y = 6xp + 5p2.
27. +p3(x 2p)2 = C y y = 3xp + 5p2.
= = +29. X2 Cp-4!3 - 2p- 1 Y Y x p x 3p2.

Sección 16.9 11. y = x- I + X + CIX 2 + C2.
1. x = CI sen (y + C2) . 13. cly+c2= - lnjcle-X-lj.
3. x = cly - Injc2yj.

5. (y-c2? = 4a(x - cl). 15. eYcos(x+CI) = C2.

7 . y3 = 3(C2 - X - CIY) . 17. x=c2+cly - (1+cf)lnjy+clj.

9. x = CI + Y In jC2yj. 19. 3y = C2 + In jx 3 + cd.
21. Solución general : 2y = CIX2 - 2efx + C2 ; familia de soluciones singulares: 12y =x3 + k.

23. 27e l (y + e l )2 = 8(x + C2)3 . 33. y=ln(4 - x).
25. y = ~x2 + 3x-3+9 In(3- x). 35. x=ln(- cscy - coty) .
37. Y = 1 + In (secx + tan x).
27. 24y = x 6 + 9x2 + 2.

29. y = CI COS f3x + e2 senf3x . 39. x = CI In je2yj - cos y.
41. 2y - 1 = (x - 2)2 + 8ln (x + 2).
31. Y = 1+ I In 2 + x ·
2 _ x
2"

43. 2y=l+x2 +2senx.

Ejercicios diversos

1. cxy + 4x + c2 = O; sol. sing., xy2 = 16.

3. cy3(x - c) = 1; sol. sing., x2 y 3 = 4.
5. x 2(y - e2) = c; sol. sing.; 4x4y = -1.

= =7 . x cp-3!2 - P y 2y 6Cp-I!2 _ p2.

9. x 3(2ey - 1) = e2; sol. sing. x3 y 2 = 1.

11. 5x = 4 p 3+ cp l!2 y 15y = 9 p 4+ cp3!2.
13 . x 2e3 - 2xye2 + y 2e + 1 = O; sol. sing. 27x = _4 y 3.

15. x2 = 2(y - el), Y = In je2xJ.
17. 8x=3 p 2+ ep -2!3 y 4y = p3 _ ep lf3 .
19. x 2C2 - (2xy + l)c + y2 + 1 = O; sol. sing., 4x2 - 4xy - 1 = O.

21. x(x - 2y) = CI, Y = -x In Ic2x j.

23 . y = cx + e3 - e2; sol. sing., x = 2a - 3a2 y y = a 2 - 2a3.

25. py = e exp (p-I) Y px = y(p2 - P + 1) ; sol. sing., y = x.
27. x2 = 4c(y - 8e2); sol. sing., 8y 3 = 27x 4.

Capítulo 17

Sección 17.3 7. x=i,-i.
1. x = 2i, -2i . 9. x = O, 1.
11. x = O.
3. Ninguna.

5. x = o.

http://gratislibrospdf.com/

516 Respuestas a los ejercicios

13. x = O, 3, - 3. 17 . x=O,i, -i.
15 . x = -~ , 3. 19. x = -~.

Sección 17.5

1. Y = ao cos x + a I sen x.

, [ 00 (-3 )k X2k] [ 00 (-3)kx2k+l ]

3. Y = ao 1 + { ; 2kk! + al x + { ; 3 . 5 . 7 ... (2k + 1) ;

válida para toda x finita.
00 22kx2k+1

!.5. y = ao(l - +4x 2) a l L 2 ; válida para Ixl <
k=O 4k - 1

00

7. Y = ~ao L( -I)k(k + 1)(2k + 1)(2k + 3)x2k

k=O

00

+ ~al L(-I)k(k + l)(k + 2)(2k + 3)X2k+l; válida para Ixl < 1.

k=O

~ [3·5·7· .. (2k l)]X 2k ]

L 18 k 2k _ I
+9 .
Y = ao [ 1 - k= I ( ) ( l)k . +alx; válida para Ixl < 3.

11. l + ~(-I)k(k+l)X2k] + al [ + ~(-I)k(2k+3)X2k+l]
= ao x L .
V [ L 2k 3 · 22k '
· k=1 2 k=1

válida para Ixl < 2.

+ L13. V = ao l 00 ( _1)k x 4k ]
·[
k=1 -2--2,-k,-k-!-· -3'·-7-·-1'1- -..-. - - -1)
(4k -

L++ 00 ( _1) kx4k+ I ]
al x ; válida para toda x finita.
2k
+[ k= I 2 .k ! . 5 . 9 . 13 . . . (4k 1)

15. Y = alx + ao [ 1 + b~( -l) k+13.7.11 .. . (4k-l)X2k] -
: válida para Ixl < 1/ -J2.
2k(2k _ l)k!

+ +00 (-l)k(2k l)x 2k
00 (-I)k(k l) x 2k+1
++ + +17 . .v -- _ 115. '5!'x2 ao "L
2kk! a I "L 1 .3 . 5 . .. (2k 1)'.
k=O k=O

válida para toda x finita.

~( -1) k7.13 ... (6k+l)X2k]
19. y = ao [ I + L
(2k) !

k=1

+ al [ x + b~ (-I)klQ.16 ... (6k+4)X 2k +1 ]
(2k + 1)! .

oo (-I)k 1 . 3 .. . (2k + 1)x 2k +a(x+.!.x3)
23·k k !(2k -
·v=3ao k=O 1)(2k _ 3) I 3·
L21.

? 00 (-I)k+19kx2k+ 1

23. y = ao(l + 9x-) + al L --"""'"2---
k=O 4k - 1

http://gratislibrospdf.com/

Respuestas a los ejercicios 517

= a [1 +~ (-V(2k + 1)3·7··· (4k _1)X2k ]
o
t:r25.y 2kk !

~ (-llck + 1)5 · 9· ·· (4k + I)X2k+1] .
+al [ x+ L
3 . 5 ... (2k + 1)
k= 1

(-I)k(x _ 2)3k ]
27. Y = ao 1 L --,---------+ 00
k=1 3kk ![2 . 5 . 8· .. (3k - 1)]
[

b00 (-I)k(x _ 2)3k+1 ]
+ al (x - 2) + 3kk ![4 .7. 10 ... (3k + 1)] ; válida para toda x finita.
[

Capítulo 18 -!.17. P.S.I. enx =

Sección 18.1 19. P.S .R.enx=2i,-2i.

l. P.S.R. enx = 1; P.SJ. enx = O. 21. Ninguno.

3. No hay P S (en el plano finito). 23. P.S.R. en x = i, -i.
25. P.S.R. en x = O; P.SJ. en x = 1.
5. P.S.I. enx = O.
27. P.S.R. en x = O, 3, -3.
7. P.S.R. en x = 2; P.S.I. en x = o.
!'29. P.S.R. en x == - 3.
9. P.S.R. enx = -2; P.S.I. enx = O. 31. P.S.R. en x = !i, -!i.

11. P.SJ. en x = O.

13. P.S.R. en x = !i, -!i.
15. P.S.I. en x = !i, -!i.

Sección 18.4

~

+ +00 (_1)n+1 x"
1. YI = 1 Ln=1 4n2 - ; Y2 = x- I/2 xl /2 .
1

3. YI = senhxj.JX; Y2 = coshxj.JX.

is 00 00

5. YI = X + L(2n + 3)(2n + 5)xn + l; Y2 = xl /2 +! L(n + l)(n + 2)xn+ I/2.

n=1 n=1

00 xn+I /4

7. YI = x l / 4 + '~"' 2n n !7 . 11 . 15· .. (4n + 3) ;

00 xn - I/2
x- I / 2 + '~"' 2"n!1 ·5·9· ·· (4n - .
Y2 =
3)

00 (_ly+IX" +3/ 2
+ '"' . + +9 y - x 3/2 ~x
. 1- y - 1 l x2
~ 3n - 1 (2n _ 1)(2n + 1)(2n + 3)' 3
2 - 9·

++1/2 3)[(-3)( -1) . 1· .. (2n - 5)]x n+ I/2 . _ I 2 1 2

11. YI=X
LOO (2n ,Y2 - - x+2: x .

n= 1 3.23nn!

00 (-I)"2n(n 1)x"
+ +00 (-1)"(2n 3)x" +1/ 2
+13. YI = L
11=0
3.n ! ; Y2 = 1 L 1 ·3 . 5 · .. (2n - .
I)
11=1

15 - x2 + '~0"0' ( -1 )n3n(n + l )x"+2 . y - xl /2 + '~0"0' -(_I-)I+-13-"(2-n _-I-)xn-+I-/2
. YI - 5.7.9 . . . (2n + 3) 2"n 1
' 2 -

http://gratislibrospdf.com/

518 Respuestas a los ejercicios

00 2k X2k+3/2 00 X2k
y = X 3/2 + " 3).' I +" -2k-k! -- exp (2! x 2) .
1
b b17. . . + y -
7 II 15· .. (4k
2 -

19. YI = x; Y2 = x - 1/2 .

21. YI = x2/3; Y2 = xl/3.

23. dy = e-tdy 2 = e-2t [d2y _ dY ]
dy dt2 dt'

dx dt ' dx2

29. YI = x 3; Y2 = x-4 .

31. y = X 2 (CI + C2Inx).
33 . y = x-2[CI cos (lnx) + C2 sen-(ln x)].

Sección 18.6

~ xn+1 x 00 Hnxn+1

1. YI=L-I-=xe ;Y2=yl l n x - L - - - '
n=O n. n=1 n _!

3. YI = L+~ (-lt (n + l)xn+2 + +00 ( -l)n+1 [n (n I)H ]xn+2
1 ; Y2 = YI In x L n
11=0 n. n=1 n!

00

5. YI = 1 + ~ L(-I)"(n + l)(n + 2)xn;

n=1

00

Y2 = yllnx - ~(YI - 1) + ~ L(-l)n(2n + 3)xn.

n=1

00 (-I)n xn+1
7. YI =x; Y2 =yl lnx+ L---'------

n=1 n· n!

5 ~ (-I)n(n + l)(x - 2)n
9. YI = 1+ (x - 2); Y2 = ylln (x - 2) - 2: (x - 2) - L
2n n(n - 1)
n=2

~~ ( - I ) k X2k 00 (-I)k Hk X2k
22k (k !)2
b= =11. YI 22k(k !)2
; Y2 yllnx -

-1/2 ~ (-I)n[(-I). 1 ·3·5··· (2n - 3)]xn-1/2
15. YI = x + L
( 1)2 ; Y2 = YI Inx
f n=1 n.

+ (-I)n[(-I). I ·3·· · (2n - 3)] (2H2n - 2 - Hn-I - 2Hn - 2)xn- 1/2

n=1 (n !)2

17. YI=I+ ~ xn ex ; Y 2 = y l 00 Hnxn
-= lnx-L--'
L
n! n=1 n!
n=1

Sección 18.7 Y 2 + (n + l)bn-1 + (-I)n(n+2) = 0, n ::: 2.
3. b l (n _ 1) !
=3 n bn

5. bl = 2 Y nbn + (n + 2)bn- 1 + (-I)n(n + 1) = 0, n ::: 2.
7. bl = -1 Y n2bn + (n - l)bn- 1 = 0, n ::: 2.

Sección 18.8

Y = ao(x - 2x2 + 2x3) + a3 +x 4 00 6( 2)n-3 xn+1 ]

1. L -1 •

[ n=4 n.

http://gratislibrospdf.com/

Respuestas a los ejercicios 519

f+ ~) +3. Y = ao(x-2 - 3x- 1 2(_1)n-3~n-2xn-2 ].
a3 [ x +

n=4 n .

S. Y = aO(x-4 + 4x - 3 + SX -2 ) + a4(l + ~X + ! X2).

+7. y = ao(x- I _ !) 00 (_I)n+ 1( 2) n- I
2
6a3 "L . n, - x
n=3 n.

9. Y = ao[(x _1) -2 + 4(x _1) - 1] + a2[1 + ~(x - 1) + ~(x - 1)2].

11. y=ao(l +x+~x2) +a5f n5n
60·2 - x

n=5 (n - S) !n(n - 1)(n - 2) .

~x ~x2 -1713. Y = ao(l- + n .

x3 ) +a4 [x4 + f (_1)n(n + I )X ]
n=5 S . 3,, - 4

[1 f 8~IS. ao
+ x3k ] +a2 [ X2 + S .(8_·1.).k(x33kk++2 2) ] .
(-lt

k=1 3 k !

Sección 18.9 I)"(Hn + H,,_I)X n

~ (_1)nxn 00 n !(n - 1) !
L n !(n -1) , ; Y2
n= l ' ~, , (-
= =1. YI ylln x + 1 + x _

~ (_1)n+1 xn-2

3. YI =L 2nn !(n - .

n=2 2) ! '

4Y2 = y llnx + YI + x - 2 + X- 1+ f +(-I)n(Hn H n_2)X n 2
-
n=2 2nn !(n - 2) ! .

fS. YI = (n + n2

l)x + •

,,=3 2(n - 3)! '

Y2 = +YI lnx !YI + x2 _ x 3 + ~X4 + f + n2

[1 - (n 1)H" _3 ]x +

n=3 2(n - 3) ! .

L _ _7. YI -- - 2 + 2x; Y2 = y l ln x + x - I + 1 - +Sx 00 2x_,,- 1__
n=3 (n - 1)(n - 2) .

9. YI = 2(x -1); Y2 = ylln(x -1) + 1- 3(x -1) + ' f (_ 1)"+1 (n + l)(x - 1)".

n=2 n - 1

~ (_1)n+lsnxn+2
11. YI = L
.
n=2 n !(n - 2)! '

Y2 = YI lnx + YI + x2 + Sx 3 + f +(-s)n(Hn Hn_2)X n2
+

n=2 n !(n - 2) ! .

~ (_1)n+17 nxn+I/3

13. YI = L 32n - In !(n - .
n=2 2)!'

Y2 = y llnx + 3x l/3 + ~x4/3 + f +(-7)n(Hn 13
Hn-2 -1)x"+ /
32n 1n !(n - 2) !
n=2 .

http://gratislibrospdf.com/

520 Respuestas a los ejercicios

Sección 18.10
1. P.S.R.

3. PS.1.

s. P.S.R.

00 -ISx -2k + al [x- I - ~x-3 + x - s],
1)(2k _ 3)(2k
= ao {;
157.
y 2k k !(2k _ _ S)

00

9. y = ao(x2 + 2x + 3) + ~a3l)n + 4)x - n - l.

n=O

11. YI = x-I; Y2 = - L ~n00 -n-I / 2
_ 1.

n=O

00 00

13. Y I = 15 L(n+I)(2n+3)(2n+S)x -"-I; Y2 = ~ L(n+l)(n+2)(2n+l)x-n - I/2. .

,,=0 n=O

00

IS . Y I = L(-I),,+ln(n - I )x-,,-I;

11=2
00

Y2 = YI In (l/x) + x - I + x - 2 + L(-l),,+1 (n 2 + n - l)x - n - I .

,,=2

00 00

17. YI = Lnx -"- I; Y2 = yl ln(l /x) + LX-" - I.

11= 1 n=O

19. YI = cos(2x - I ); Y2 = sen (2x- I).

Sección 18. 11

00

1. YI= 'L"..'..a"x,,- 1 enIaqueao= 1,a l=- 1,a2 = 4I '

11=0

+. a,, _1+ a,,-3. ~ ,,-1
11 ::: 3 . a" = - 2 ' Y2 = YI In x L.... b"x ,

11 ,,=1

en laque b l = 2, b2 = -43' b3 = 11098 ' n::: 4: b" = - +bn - I bn - 3 2a"
n
n2

00

3. YI = La"x",enlaqueao= I, al =0,a2=-~,

11=0

11 ::: 3: a" = - a,,-2 + a,,-3 Y2 = ylln x + L00bnx" , enlaqueb l = O, b2 =~,
2;

n ,,=1

b - ~ > 4 . b __ b,, - 2 + b,, -3 2a"
.1 - 27' n - . ,, - n2 n

7. .VI = X - x2 +' I2x3 - 6I x4 + .2.l4.. x s - .2.4l..x6 + .1l0.0L8 X7 + .. ..

L9. =VI (x - 2); =V2 VI In (x - 2) + 00 ~(-I~)"-(-.:x...-_- ~2),,-+1
. .. ,,= 1 2"n

Ejercicios diversos

00 X"
13+1,", .
=1. YI 'Ix '1 L.... (n - 3) !'

11=4

http://gratislibrospdf.com/

Respuestas a los ejercicios 521

Y2 = YI In x + 1 - 1 12 33 1 LOO (3 - 2Hn _3)X n
-x + -x + -x +-
2 2 4 4 n=4 (n - 3) !

L3. -(=--2---y-=--\-n--=_---2-)-X=-"----1
y1 = X -1 - +1; Y2 = X 2 00

6

11=4 n!

5. YI = X- 3 - 3X- I ; Y2 = X- 2 -~.

00 (-1 )"x" ; Y2 = x l/ 2 + ~x3/2 .

7. YI = 1 +3 L
11=1 (2n - 1)(2n - 3)n !
3

9. _ 1+ 31x 2. Y2 _ 8 + ~ (n - 2) (n - 3)X211
~ 2
YI - , - X

00 xn+I/2 00 x"+3/2
Y1-- xl /2 + y - x 3/ 2 + , , - - - -
11. ,,-_. f:i'2n(n+l)!·
f:i'2I1n! , 2 -

00 (- I)n x" 12 00 (_l)nX"+1 /2
13. YI = 1 + L ; Y2 = x / + L
11=1 1 ·3· .. (2n - l)n ! 11=1 3·5··· (2n + l)n ! .

L15. - oo 1·3··· (2n - l)x n+I / 2 .
Y1 - xl/2 + 23n (n !)2
n=1
,

00 1 .3 ... (2n - 1)x//+ 1/2 [2 2 2]
Y2 = YI In x + L - + - + .. . + - - - Hn .
n=1 23n (n!)2 13 2n - , 1

00 xn+1
(4n 2 - l)n !
= =:S"í .17. Y1
XI/2 - 2x 3/ 2 . y

,2

L19. - oo (- 3)n3· 5 ··· (2n + 1)x"+1/2 .
- XI /2 + 23n (n !)2 ,
Y1 n=1

~00 (-3)n3. 5 ... (2n + l)x//+ 1/ 2 [1 1 ]
2n + HII .
23// - 1(n !)2
'3Y2 = 1-
YI Inx + + ... +

= =" .:..-.,.:..---:Sí,
21. Y1 x- I/ 2e-x / 2• y 00 (_I)n x n+3/2

,2 +2n - 1(n 2) !.

23. YI = 00 (-1)"xn- 1 00 -( _=-1)-n-+I~X-/-/--1
; Y2 =
L yl lnx + L
n=O n! ,,=1 n!

00

25. YI = 2 + 9x + 24x2 + 40x 3; Y2 = L 2" (n - 4)(n + 1)(n + 2)xn.

11 =5

00 ( -4)" x,,+2 00 (-4)" H"x// +2

27. YI = L + 2; Y2 = YI In x - 2L + 2
n=O ,,=1
[en 1)!] [en 1)!]

YI=~ ;Y2 =~00 (-lyx,,+1 /2 00 (_I)n x "+5/2
29. 2"n! 2"(n+1)!

00

31. YI = 1 + x + ~x2; Y2 = L(n - 4)(n - 3)(n + l)x//.

n=5
33. YI = (x _1)-4 + 4(x _1) -3 +5(x _1) - 2; Y2 = 1 + ~(x -1) + ~(x _1)2.

http://gratislibrospdf.com/

522 Respuestas a los ejercicios

00 00

35 . YI = L(n + l)xn ; Y2 = yllnx - Lnxn.

11=0 11 = 1

37. YI = 1 - 3x + ~x2 - ~x3;

Y2=yl 23 2 11 x 3 -6~~n(n-l)(n-2Xn)(n-3)n! '

lnx+7x-"x +i2

3 ~ 5 ·7 · .. (2n 3)xn+I/2
L 2"(4n2 -1)n!
+ +39.
_1 8 8 2. _ X 1/2
YI- -
x+ X ,Y2-

11=1

_ X2 ~ 10· 13 · .. (3n + 7)xn+2 .
41. YI - + L
(n !)2 '

11=1 L -+00 10. 13 ... (3n 7)x n+2 [ 3

Y2 = YI In x + 3]
10 + ... + -3n +-7 - 2H .
n=1 (n !)2
11

43 . _ 1 ~ ~ (n + l)(n + 2)x" . _ x- I/2 ~ ~ (2n + 1)(2n + 3)xn- I/2
YI - + 2 L 3 .5 ... (2n + 1) , Y2 - + 3L
11=1 n=1 2"n!

00 (~- Hn - H n+2)Xn
~ ~00 xn
45. YI = 1 + 2 n !(n + 2)!; Y2 = yllnx + 2 2 n !(n + 2)!

YI -_ X 1/ 3 exp '2jx., Y2 -_ 00 2n n
1+ 'L""'
47. X .
1)
n= I 2· 5 . .. (3n -

49. YI = -24 - 32x + 8x2; Y2 = YI Inx + x-2 + 8x- 1

+ 26 - 00 2nx" -2
280 X + 224 x2 - 24'~""n'!(n-4)(n-3)(n-2) .

33

X'n-I X"+1 /2
L .51.
YI = I + 00 00

X- '""' ; Y2 = XI/2 +
f:í +(-1)(1)··· (2n - 3)n!
n=1 5·7··· (2n 3)n!

Capítulo 20

Sección 20.3

l. u = (A I cos af3t + A2 sen af3t)(B I cos f3x + B2 sen f3x ),
u = (AJ + A4t)(BJ + B4x), y
u = (A 5 cosh af3t + A6 senh af3t)(B5 cosh f3x + B6 senh f3x), en la que f3y lasA y B son constantes

cualesquiera.
5. w = Ax't- I, k YA elegidas arbitrariamente.

Capítulo 22

Sección 22.3

1. f (x) "" -e + -rre2 ~L -n12 [ {l - (-1) n } cos -nrr x + mr sen -nrr x ].
4 e e
n=1

+ -C2 4c2~(-1)"cos(nrrx/c)
L n2 .
3. f (x) "" - rr 2
n=1
3

5. f(x) "" 1 + -2 ~ sen [(2k + I)rrx/c] .
- L 2k + 1
2 rr
k=O

http://gratislibrospdf.com/

Respuestas a los ejercicios 523

7. f(x) ~ 2JT - 2 ~ -sen-2kox

~

k=1 k

9. f(x)~ -21+2J-T°2 O,~,1n-2 [ ! 1-(-lt} co s l .n JT x +n J T(- lt+ l s e nl. n J Tx ] .

n=1 2 2

11. f(x) ~ JT2 +2 ~~ ( _ 1)n cosnx + 1 ~~ 1 1)n+ ln 2JT2 - 2+2( _I)n] sen nx.
- n.2 - n=1 _n 3[(_
JT
6 . n=1

2 + -4 00 (_1)n+ 1cosnx
- JT n=1
JT (2n - 1)(2n + 1)
L .13. ~
f(x)

~ senh c + ~ 2( _I)n senh e[ecos (nJT x/e) - nJT sen (nJT x/e)]
-- ~
2 22 .
+15 .
f(x) e n=1 e n JT

[1 117.
f(x) ~ -1 - -1 Loo -1 sen -nJT cos -nJeT-x. + (cosnJT - cos -nJT) sen -nJT-X] .

4JT n=1 n 2 2C

19. f(x) ~ -43 + T-1 Loo -n1 [sennl2.nJJT cTos -x4- + (cosnJT - cos l.nJT) sen -nJ4T-x] .
J
n= 1 2

/1 -21.f ~ -e + ~~ [ - e (-1)n} cos -nJT x - - e sen -nJT X] .
(x) 4 n 2JT2
11=1 e nJT e

Sección 22.4

4 ~ sen [(2k + I)JTx/c]
1. f(x) ~ - ~
JT k=O 2k + 1 l.

3. 2~[( _ 1)n+1 - 2/l-. (-I)n}] sen -nJTX.
e
f(x) ~ 2e ~ n 3JT3
n=1 nJT

5. f(x)~ -2c ~~-s1 enn-JTX.

JT n=1 n e

6íx ~ 8e2 ~ sen [(2k + l)JTx/c]
7. f() JT3 (2k + 1)3 .

9. f(t)~2 -~~-1 ( I - cos -nJT-to) sen -nJTt o

JT n=1 n tI tI

11. f(x) - L -_ 00 [(-1)11+1 2 sen (nJT/2)]
2 2 sennJTx.

n=1 nJT n JT

6íx ~ ~ ~ (2k + 1) sen [c2k + I)x]
13. f() JT (2k - 1)(2k + 3) .

~ 2nJT[1 - (_I)ne-c] sen (nJTx/c)
15. f(x) ~ ~
2 22 .
11=1 e +nJT

~ 2nJT[1 + (_1)n+1 coshkc] nJTx
17. f(x) ~ ~ sen-o
11=1 (kc)2 + (nJT)2 e

http://gratislibrospdf.com/

524 Respuestas a los ejercicios

19. ((x) ~ 4 Loo [ (-1)"+1 { -1 - -rr122-n3 + -2-4} + -2-4] sennr-rxo
-2c rr 4 n5
· rr n rr 4 n5 c
11=1

-d21. ~ 2 00 1 n2rr2 -
f(x) 1" 2 + 2(_1)"] sennrrx.
rr ' "~ n'
11=1

Sección 22.5

1. {(x) ~ -1 + -4 Loo -1 [2ncosr-r - 1 - (_1)" ] cos -nr-r xo
· 2 rr 2 n2 2 2
11=1

3. f(x) ~ 1 + -4 ~ cosnrrx .
-
~
3 rr 2 11=1 n2

b. ~ ~ ~c 4c ~ cos [(2k + I)rrx/c]
5. .t (.) 2 + rr 2 (2k + 1)2 .

L -.7. -rr22 cos -nrr) cosnrrx .
l(x) ~ -1 + 00 1 ( cosnrr - 2
· 8
11 = ln 2

9. f(x) ' ~ cos 2x.

l(x) '~ e c 00 1 [nrr nrr x
11. · -8 + -rr 2 "~ -n 2 sen!nrr - 2(1 -cos!nrr)]cos--.

11=1 2 2C

. . ~ senhkc . ~ 2kc( - I)1I nrrx
13. f( .\) +--- +senhk(~
2 2 COS - - .
· 11 = 1 (kc) (nrr)
kc c

L - -15. e' -6c' 1- (.:... 1)11 ] nrr x
{(x) ~ + 00 [( -1 )11 +- 2 . cos --.
-
4 rr 2 11=1 n 2 rr 2 n4
· c

Capítulo 23

Sección 23.1

l. = -4uo ~ -2k 1+-1 exp [-h 2rr 2(2k + 1) 2t ] sen (2k + I)rrx
.
11 rr ~ 2
k=O c
c

3. =u A(c - xl / c.

5. /I=A(C - X) / c+~bodllexp [-(h-ncr-r)2 t ] sennr-r-x;
c

Loc nrrx

donde bll sen - - = f(x) - A(c - xl /c.
t)11= 1 e
7. 11 = 30+ 180~I-cos(3nrr/4) exp (-n-2- s e nnr-r-x .
-~
rr 11 = 1 1000 20
11

1l. /1 = ~~ bk exp [(- h(2k+l)rr) 2 t ] cos (2k+l)rrx ..
2c ~
k~

donde f(x) =~ bk COS (2k + I)rrx
~
.

k=O 2c

http://gratislibrospdf.com/

Respuestas a los ejercicios 525

Sección 23.4
~ f ~1. u =
bn exp [- (hnrr)2 t] sen p , en la que b" = [R pf(p) sen nrrp dp.
nrr
Jop n=1
R. R RR

Sección 23.5

_ 4e ~ C-Vcos[(2k+ l)arrt /e ] sen [(2k + I)rrx /e]
+(2k 1)2
1. y - rr 2 L .
k=O

2e ~ I (nrr 43nrr) narrt nrr x
rr 2 L n2 sen -e- sen -e-o
43. + sen cos
y=

n=1

f5. y= 2e Loo -nI ( 2 sen 1 r r - sen 1 cos -nrer-at sen -nrer-x o
-rr 2
,,=1 2 -n -nrr)
4
2

7 . Y = 2voe [cos (nrr /3) - cos (2nrr /3) ] sin (nrrat /e) sin (nrr x/e) .

lerr2a n=1 n2

9. y= ~ Bn sen -nrr-at sen -nrr-x , en laque Bn = -2 cjJ(x) sen -nrr-x dx.
L
n=1 e e e
nrra O

21Sección 23.6 a nrrx
l. = 00 nrr y nrr x nrrb =- f(x)sen--dx.
enlaquee"senh-
u Lell senh-sen--, a ao
aa a
fn= 1
[1-cos(nrr / 2)]senh(nrry/a)sen(nrr x/a) .
3. u = ~

rr n=1 nsenh (nrrb/a)

_ 4 ~ (_I)k senh [(2k + l )rry/(2a)] cos [(2k + l)rrx / (2a)]
f:o5. u - -;
(2k + 1) senh [(2k + l)rrb/(2a)] .
fu _ ~
(_I)k cosh [(2k + I)rr y/(2a) ] cos [(2k + l)rrx /(2a) ]

7. -rrk=o (2k+l)cosh[(2k+l)rrb/(2a)] .

11. u = Bln(r/ a) - A In (r/b)

f13. u = ~ In (b/a)

(~)(2k+l)rr/f3 sen [(2k + I)rr8/.8].

rr k=O R 2k + I

Capítulo 24

Sección 24.1

k
1. arctan - ,s > O.

s

3. '1iln -s+-k, s> k > O.
s-k

00

5. F(t) = &L(t - 2n)2a (t - 2n); F(5) = 17.5.

n=O

7. 344.
t) ( t -11. l(t)=-Eexp ( - - +2-EL~(-l)" exp - - -ne) a(t-ne).
R RC R ,,=1 RC

http://gratislibrospdf.com/

526 Respuestas a los ejercicios

Sección 24.2

1 ..
9. c-; _~ eterfc(.,fi).

yTC1 ·

Capítu16 25

Sección-:25.1

L y{x, t) = _t 2 + 3(t - 4x)2a (t - 4x) .
3. ~x, t) = x - ~t - t2 + [3 (t - 4x)2 + ~(t - 4x)]a(t - 4x).

5. ji = 3(t - 4x)a(t - 4x) - 2t.

Sección 25.2

00

L Y = x - x2 -t2+ L(-lt[(t-n-x)2a (t-n-x)+(t-n-l +x)2a (t-n - l - x)].

n=O

Sección 25.5 X)

en :5t- 1L u = 1 - ~(_ l)n [erfC e~~X) + erfc

http://gratislibrospdf.com/

/

Indice

Aislamiento (térmico), 448 Convergencia, mejora en la rapidez de la,
Álgebra matricial 444-445

ecuación característica, 196 Conversión química, 65-69
polinomio característico, 196 Corrimiento exponencial, 114
repaso, 189-195 Crecimiento logístico, 69-73
valores propios, 196 Cuerda elástica, 458-459, 485-488
vectores propios, 196 Curva solución, 11
Amortiguamiento
crítico, 173 Deflexión de una viga, véase Vigas
factor de, 172 Dependencia lineal, 102
Aproximaciones sucesivas, 49-51 Diferenciación de un producto, 367-368
Ausencia de la variable independiente, 335-338 Difusión, calor, véase Conducción del calor
Difusividad térmica, 411
Calor, véase Conducción del calor
Cambio de variable Ecuación característica, 196
Ecuación con discriminante e, 325-326
en una ecuación de orden uno, 26, 84-86 Ecuación de Bernoulli, 86-89
en una ecuación de tipo Cauchy, 366 Ecuación de Bessel
en una ecuación lineal de segundo orden,
con orden entero, 401-402
152-156 con orden no entero, 400-401
Catenaria, 338-340 de orden cero, 373
Ceros de polinomios ortogonales, 421 de orden uno, 385
Circuito RLC, 233 Ecuación de Clairaut, 330-333
Circuitos eléctricos, 232-234 Ecuación de Laplace
Coeficientes constantes, ecuaciones lineales de dos dimensiones, 461-463
de tres dimensiones
con,117 '/-:lOf,IO(/t¡ ')'>
en coordenadas cartesianas, 404-405
Coeficientes indeterminados, 139-144 en coordenadas cilíndricas, 405
Combinación lineal de funciones, 100 en coordenadas esféricas, 405
Condición de Lipschitz, 246 Ecuación de onda
Conducción del calor en tres dimensiones, 404-405
en una dimensión, 458-460, 485-488
en una esfera, 457-458 Ecuación de tipo Cauchy, 366
en una lámina de ancho finito, 493-496 Ecuación de tipo Euler, 366
en una lámina, 411-416, 448, 455 Ecuación del calor
octante sólido infinito, 496-499 en coordenadas cartesianas, 406, 411
sólido semiinfinito, 488-490 en coordenadas esféricas, 457
Conjuntos simples de polinomios, 419 validez de la, 453-454
Constante de la gravitación de Newton, 178 Ecuación diferencial ordinaria, 3
ley del enfriamiento, 64, 65
ley de la gravitación, 178
segunda ley del movimiento, 178

527

http://gratislibrospdf.com/

528 Índice para ecuaciones con coeficientes homogéneos, 83
Familias de curvas
Ecuación discriminante p, 326-328
Ecuación en diferencias, 351 como soluciones, 5-10
Ecuación indicadora (indicia!) interpretación geométrica, 10-12
Flujo de calor, 448
definición, 362 Fórmula de Abel, 163
raíces iguales, 368-374 Fuerza cortante, vigas, 307
'Fuerza de retardo, 165
método alternativo, 374-377 Fuerza ejercida, 166
resta de raíces dada por un entero Función a, 286
Función complementaria, 108
caso logarítmico, 381-385 Función de Bessel, 478-480
caso no logarítmico, 377-381 Función de clase A, 261-263
resta de raíces dada por un número no entero, Función de peso, 418
363-367 Función erf(x), 471-477
Ecuación lineal Función error
cambio de variable en una, 89-94 aplicación, 488-490, 493-499
con coeficientes indeterminados, 139-144 complementaria, 472
de orden uno, 35-43 definición, 471
de sistemas, 186, 187 Función exponencial con argumento imaginario,
definición, 4 123-125
homogénea con coeficientes constantes, 117 Función factorial, 396-397
homogénea con coeficientes variables, 106-107 Función gamma, 267-269
no homogénea con coeficientes constantes, 134 Función hipergeométrica, 397-399
no homogénea con coeficientes variables, Función nula, 274
107-109 Función onda cuadrada, 271
punto ordinario de una, 345-346 Función onda triangular, 272
solución cerca del , 347-355 Funciones analíticas, 342
punto singular irregular de una, 358 Funciones continuas por secciones, 257-258
punto singular regular de una, 358 Funciones de orden exponencial, 259-261
variación de parámetros, 156-161 Funciones hiperbólicas, 127-130
Ecuación lineal homogénea Funciones homogéneas, 24-25
con coeficientes constantes, 117 teorema de Euler sobre, 25
con coeficientes variables, 106-107
Ecuación lineal normal, 99 Grado de una función homogénea, 24
Ecuaciones con coeficientes homogéneos, 25-28, 83
Ecuaciones con coeficientes lineales, 89-94 Impedancia, estado estacionario, 239
Ecuaciones diferenciales parciales Independencia lineal
cambio de variables, 405
de matemáticas aplicadas, 404-406 de un conjunto de funciones vectoriales, 198
definición, 404 de un conjunto de funciones , 102
Ecuaciones exactas, 29-34 de un conjunto de vectores, 198
Ecuaciones integrales especiales, 298-302 Independencia lineal, véase Lineal, independencia,
Eliminación de la variable dependiente, 328-330 Infinito
Eliminación de un medicamento, 72 punto al , 386
Envolvente, 325 soluciones cercanas a, 380
Epidemias, 72 Integrales no elementales, 94-97
Escape, velocidad de, 62-64 Interés compuesto, 69
Excentricidad Isoc\ina, 12-13
de una cónica, 182
de una órbita, 183 Kepler,
Existencia de soluciones, 14-15, 243-245 primera ley, 180
Extensión periódica, 436, 438, 440, 442 segunda ley, 179
tercera ley, 182
Factor integrante
de una ecuación lineal de primer orden, 35-36
determinado por inspección, 75-78

http://gratislibrospdf.com/

Índice 529

Ley de Hooke, 165 Polinomio característico, 196
Ley de la gravitación de Newton, 178 Polinomios
Ley del enfriamiento de Newton, 64-65
Ley del voltaje de Kirchhoff, 233 conjuntos simples de, 419
Leyes de Kirchhoff, 233 de Hermite, 402
Lineal, dependencia 102 de Laguerrre, 399-400
Linealidad de Legendre, 403
ortogonalidad,419-420
de la transformada de Laplace, 253 Polinomios de Hermite
de la transformada inversa de Laplace, 275 definición, 402
de operadores diferenciales, 111 ortogonalidad, 424
Polinomios de Laguerre
Método de continuación, 58-60 definición, 399-400
Método de Euler, 45-48 ortogonalidad, 424
Polinomios de Legendre
modificado, 48-49 definición, 403, 404-405
Métodos numéricos ortogonalidad,422-423
Presas de concreto, temperatura de, 453-454
aproximaciones sucesivas, 49-51 Problema de valor inicial, 244
método de continuación, 58-60 Problemas de mezclas, 65-69
método de Euler modificado, 48-49 Punto ordinario
método de Euler, 45-48 definición, 345-346
método de Runge-Kutta, 54-58 solución cerca de un, 347-355
teorema de Taylor, 52-54
Movimiento planetario, 178-179 validez de la, 347
Movimiento sobreamortiguado, 173 Punto singular

Núcleo de una transformación integral, 252 definición, 346
irregular, 358
Operador regular, 358
diferencial, véase Diferenciales, Operadores, soluciones cerca de un, 358
de Laplace, 253 Punto singular regular, 358
relación de recurrencia de varios términos,
Operadores diferenciales, 109-115
corrimiento exponencial, 114 388-392
leyes de operación, 111-113 solución cerca de un, 362
productos de, 109 Punto singular regular de una ecuación lineal,
345-346
Orden de una ecuación diferencial, 2-3
Ortogonalidad Rectificación de media onda, 270
Redes eléctricas, 235-241
de los polinomios de Hermite, 424 Reducción de orden
de los polinomios de Laguerre, 424
de los polinomios de Legendre, 422-423 de una ecuación lineal, 152-156
de polinomios, 419-420 de una ecuación no lineal, 335-337
de ceros, 421 Relación de recurrencia
definición, 418 de varios términos, 388-392
definición, 350-351
Parámetros, variación de, 156- 161 Resonancia, 169-172
Péndulo simple, 177-179 Resorte, vibración de un, 165
Plano fase amortiguada, 172-176
amortiguamiento crítico, 173
definición, 216 constante de, 165
nodo estable, 217 métodos de transformación, 303-307
nodo inestable, 217 no amortiguada, 167-169
retrato fase, 216 resonancia en la, 169-172
silla de montar inestable, 217 sobreamortiguada, 173
trayectoria, 216 Retrato fase, 216
valores propios complejos, 218-221 Runge-Kutta, 54-58
valores propios reales distintos, 217
Plano inclinado, movimiento sobre un, 68

http://gratislibrospdf.com/

530 Índice de funciones continuas por secc iones, 257-258
de funciones de Clase A, 261-263
Segunda ley del movimiento de Newton, 178 de funciones de orden exponencial, 259-260
Separación de variables de funciones elementales, 253-257
de funciones periódicas, 269-272
en ecuaciones diferenciales ordinarias, 18-24 de una func ión escalón, 286-293
en ecuaciones diferenciales parciales, 406-411 definición, 253
Serie armónica, 372 deflexión de vigas, 307-310
Serie de Fourier derivada de la , 266-267
análisis numérico, 443-444 inversa de la, 274-277
definición, 429-430 linealidad de la, 253, 275
ejemplos numéricos, 431 -437 su obtención mediante series de potencias,
en discontinuidades, 430
en series de cosenos, 44 1-443 467-471
en series de senos, 438-440 tabla de la, 3 18-3 19
mejora en la rapidez de convergenci a, 444-445 un teorema de convolución, 294-297
periodicid ad , 4 3 0 vibración de resorte ,303-307
teorema de convergencia, 430 Transformada inversa de Laplace, véase
Series de potencias transformada de Laplace, inversa,
convergencia de, 343-345 Trayectoria, 2 16
tabla de, 467-468
Series, cá lculo con, 444-445 Valores propios de una matriz, 196
Sistemas de ecuaciones Variable dependiente
método de la transformada de Laplace, 310-3 16
métodos matriciales definición, 2
fa!tan te en .um: ecuación, 334-335
valores propios complejos, 204-208 Variable independiente, 2
valores propios reales distintos, 195-204 Variables adimensionales, 491
valores propios repetidos, 208-2 16 Variables canónicas, 491-493
Sistemas de ecuaciones lineales, 186-187 Variación de parámetros, 156- 161
Sobreamortiguarniento, 173 Vectores propios de una matriz, 196
Solución general Velocidad de escape, 62-64
ecuación li neal homogénea, 106-107 Vibración no amortiguada, 167- 168
ecuación lineal no homogénea, 107-109 Vibración, véase Resorte
Soluciones de una ecuación diferencial, 3 Vibraciones amortiguadas, 172- l 76
Soluciones logarítmicas, 38 1-385 Vigas
Soluciones singul ares, 323-325 condiciones de frontera , 307
Superposición de soluciones, 147 deflexión de, 307-310
fuerza cortante, 307
Temperatura estacionaria, 461 momento de fl exión, 307
Temperatura, véase Conducción del calor
Teorema de convolución, 294-297 Wronskiano
Teorema de Euler sobre funciones homogéneas, 25 de soluciones de un sistema, 198
Teorema de Tay lor, 52-54 de soluciones de una ecuac ión, 103- 105
Tractriz, 68 fórmula de Abel para el, 163
Transformac iones integrales, 252
Transformada de Laplace

de deri vadas', 263-266

http://gratislibrospdf.com/

http://gratislibrospdf.com/

http://gratislibrospdf.com/