ecuaciones-diferenciales-rainville-bedient-bedient

18.10 La solución para valores grandes de x 385

8. Demuestre que las respuestas del ejercicio 7 pueden remplazarse por:

"x00 n-I

Y3 = 1-x; =Y4 Y3lnx - 21:x-1 +2x - ~------.
n=3 (n - l)(n - 2)

9. Resuelva la ecuación del ejercicio 7 cerca del punto x = 1.

10. x?-y" + xy '+ (x2 - l)y = O. Esta es una ecuación de Bessel de índice uno. (Véanse

también las secciones 19.5 y 19.6.)

11. x2y" - 5xy' + (8 + 5x)y = O.
12. xy" + (3 - x)y' - 5y = O.
13. 9x2y" - 15xy' + 7(1 + x)y = O.
14. x2y" + x(1 - 2x)y' - (x + l)y = O.

118. 101 La solución para valores grandes de x

Las soluciones en series de potencias que hemos estudiado hasta el momento convergen en

regiones situadas alrededor de algún punto x = xo' por lo común el origen. Tales solucio-
nes, aunque pueden convergir para valores grandes de x, son susceptibles de hacerlo con
lentitud desalentadora. Por esta razón, y por otras de naturaleza más teórica, debemos ana-

lizar el problema de encontrar soluciones que sean particularmente útiles para valores
grandes de x.

Considere la ecuación:

bo(x)y" + bl (x)y' + b2(x)y = O (1)

con coeficientes polinomiales. Escribimos:

1 (2)
w=-.

x

Entonces,

dy dw dy 1 dy 2 dy
d-x=--=dx --dw-=-wx2dw -
dw

y

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386 Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

Así, la ecuación (1) se transforma en la ecuación siguiente en y y w:

(l) 1) (l)] 1)2

+bo w W 4 ddwy2 [ 2w 3bo ( w - w 2b¡ w
ddwy + b2 ( W y = O. (3)

Ya que bo' b¡ y b2 son polinomios, la ecuación (3) se convierte rápidamente en una ecua-
ción con coeficientes polinomiales.

Si el punto w = Oes ordinario o un punto singular regular de la ecuación (3), entonces
nuestro método anterior de solución producirá soluciones válidas para valores pequeños
de w. Pero w = l/x, de modo que si w es pequeño significa que tenemos unax grande.

Como parte de la terminología aplicable en estos casos, decimos que cualquier cosa que sea

cierta acerca de la ecuación (3) cuando w = O, es cierta para la ecuación (1) "en el punto al in-
finito". Por ejemplo, si la ecuación transformada tiene w = Ocomo un punto ordinario, deci-

mos que la ecuación (1) tiene un punto ordinario al infinito. (Véanse los ejercicios dell al 6.)

EJEMPLO 18.8 (4)
Obtenga soluciones que sean válidas para valores grandes de x en la ecuación:

x2y" + (3x - l)y' + Y = O.

Esta ecuación tiene un punto singular irregular en el origen y no tiene otros puntos sin-
gulares en el plano finito. Para investigar la naturaleza de la ecuación (4) para valores gran-
des de x hacemos x = l/w. Ya hemos encontrado que:

-dy= - w2 -dy (5)

dx dw

y

d 2y 4 d 2y 3 dy (6)
d x 2 = w -d w 2 + 2w -dw.

Con la ayuda de (5) y (6) vemos que la ecuación (4) se transforma en:

2 + ( -3 - ( - w 2 -d Y )
+-w12 ( w4 -ddwy2 2w3 -dy ) w 1) dw +. y = O,
dw

o

2 d 2y w(1 - dy +y = O, (7)
W dw2 - w) dw

una ecuación que queremos resolver alrededor de w = O.
Ya que w = Oes un punto singular regular de la ecuación (7), el punto al infinito será un

punto singular regular de la ecuación (4). De la forma supuesta:

00

y = ¿anWn+c,

n=O

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(

18.10 La solución para valores grandes de x 387

la ecuación (7) implica, por los métodos usuales, que:

¿(n ¿(n00 00 + e - 1)an_IWn+c,
L(y) = + e - 1)2anwn+c +

n=O n=1

en la cual L(y) representa ahora al miembro izquierdo de la ecuación (7). La ecuación indi-
catriz tiene raíces e = 1, 1. Establecemos y(w, e) de la forma acostumbrada. De la relación
de recurrencia:

n:::1:

resulta que:

an = (-lt ao .
1)
c(c + 1) ... (e + n -

De aquí elegimos:

( - 1)n wn+c
1) ... (e n - 1) ,
¿ - - - - - - -- -+ + +y(w, e) = W C
00

n=1 c(c

y encontramos:

f +{1 1 1 }ay(w, e) = y(w, e) In w _
(-1)nwn c _ + __ + ... + ____

e e+1 e+n - 1 .
ac n=1 c(c + 1) .. . (e + n - 1)

Al emplear la raíz e = 1, llegamos a las soluciones:

¿ - - - -00 (- 1)n wn+1

YI = w +

n=1 n!

y

Por lo tanto, la ecuación diferencial original tiene las dos soluciones linealmente inde-
pendientes:

(8)

y

00 (- 1tH x - n- 1
Y2 = y1 ln(1jx) _ "~ . (9)
n=1 n

n!

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388 Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

Estas soluciones son válidas para toda x > O. •

• Ejercicios

En los ejercicios del 1 al 6 los puntos singulares en el plano finito ya han sido localizados y clasificados.
Para cada ecuación determine si el punto al infinito es un punto ordinario (P.O.), un punto singular regu-
lar (P.S .R.) o un punto singular irregular (P.S.I.). No resuelva los problemas.

1. .0(x - l)y" + (x - l)y' + 4xy = O. (Ejercicio 1, sección 18.1.)
2. X2(X2 - 4)y" + 2x3y' + 3y = O. (Ejercicio 2, sección 18.1.)
3. y" + xy = O. (Ejercicio 3, sección 18.1.)
4. x2y" + y = O. (Ejercicio 4, sección 18.1.)
5. .0y" + y = O. (Ejercicio 5, sección 18.1.)
6 . .0y" + 2.0y' + 4y = O. (Ejercicio 18, sección 18.1.)

En los ejercicios del 7 al 19, a menos que se indique lo contrario, encuentre soluciones que sean válidas
para valores positivos grandes dex.

7. .0y" + x(1 + 2x2)y' + 5y = O.
8. 2.0y" - x(2 - 5x)y' + y = O.
9. x(1 - x)y" - 3y' + 2y = O, la ecuación del ejercicio 8, sección 18.8.
10. x3y" + x(2 - 3x)y' - (5 - 4x)y = O. Véase el ejercicio 13, sección 18.6.
11. 2x2(x - l)y" + x(5x - 3)y' + (x + l)y = O.

12. Resuelva la ecuación del ejercicio 11 alrededor del punto x = O.

13 . 2x2(1 - x)y" - 5x(1 + x)y' + (5 - x)y = O.

14. Resuelva la ecuación del ejercicio 13 alrededor del punto x = O.

15. x(l + x)y" + (1 + 5x)y' + 3y = O, la ecuación del ejercicio 5, sección 18.6.
16. x2(4 + X2)y" + 2x(4 + x2)y' + y = O.
17. x( 1 - x)y" + (1 - 4x)y' - 2y = O, la ecuación del ejercicio 18 dad¡t en los ejercicios

diversos al final de este capítulo.

18. x(1 + 4x)y" + (1 + 8x)y' + y = O, la ecuación del ejercicio 49 dada en los ejercicios

diversos al final de este capítulo.
19. La ecuación del ejercicio 6.

11 8. 1 11 Relaciones de recurrencia que dependen de varios términos

Al resolver una ecuación cerca de un punto singular regular, algunas veces sucederá que se
encuentra una relación de recurrencia que depende de varios términos. En casos no logarít-

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18.11 Relaciones de recurrencia que dependen de varios términos 389

micos, los métodos estudiados en este capítulo se aplican fácilmente y no causan complica-
ciones excepto que por lo regular no se obtendrá una fórmula explícita para los coeficientes.

En casos logarítmicos, los métodos mencionados, como la construcción de y(x, e) y

By(x, e) / ae, pueden ser difíciles de manejar cuando se presenta una relación de recurren-

cia con varios términos. Hay otro método que puede aplicarse en esos casos con ciertas
ventajas. Considere el problema de resolver la ecuación:

L(y) = x2y" + x(3 + x)y' + (1 + x + x 2)y = O (1)

para x > O. De:

(2)

es fácil demostrar que:

00 00 00 (3)

L(y) = L(n + e + 1)2anxn+c + L(n + e)an_IXn+c + L an_2Xn+c.

n=O n=1 n=2

Por lo tanto, la ecuación indicatriz es (e + 1)2 = O.

Ya que las raíces de la ecuación indicatriz son iguales, e = -1, -1, resulta que existen
las soluciones:

00 (4)

YI = 'L".",.'.anxn-I ,

n=O

00 (5)

Y2 = yllnx + L bnxn- I,

n=1

que son válidas para x> O. La región de validez se obtiene de la ecuación diferencial; la

forma de las soluciones puede verse por el razonamiento dado en la sección 18.6.

Determinaremos la an, n> O; para ello requerimos que L (YI) sea igual a cero. Entonces
la bn' n 2: 1, será determinada en términos de an, pidiendo también que L (Y2) sea igual a ce-

ro. De L (YI) = Oresulta que:

'""'e00 00 00

+ + '""''L".",.'.n2a"xn-I L.,.. n - 1)a,,_IXn-I L.,..an-2Xn- I =O.

,,=0 ,,=1 n=2

Escogemos ao = 1. Entonces las constantes a que restan se determinan mediante:

n= 1: al + O· ao = O,

n ?: 2 : n 2an + (n - l)a,,_1 + a,,-2 = O.

Por lo tanto, una solución de la ecuación diferencial (1) es:

00 (6)

YI = 'L".",.'.anxn-I ,
n=O

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390 Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

enlaqueao = l,a¡ =0,

n ~ 2:

Ahora queremos que L (Y2) = O. De,

00 (5)

Y2 = yllnx + Lbnxn- I

n=1

se deduce que:

00

y~ = y; lnx +X-IYI + L(n -l)bnx n- 2
n=1

y

00

y; = y;'lnx + 2x-ly; - X- 2YI + L(n - l)(n - 2)bnx n- 3.

n=1

El cálculo directo de L (y) produce:

00

L(Y2) = L(y¡) lnx + 2xy; - YI + XYI + 3YI + Ln2bnxn-1
n=1

00 00

+ L(n -l)bn_ lx n- 1 + L bn-2Xn - l .

n=2 n=3

Ya que L(y¡) = O, el requisito L(Y2) = Oconduce a la ecuación:

00 00 00

Ln2bnxn-1 + L(n - l)bn_lx n- 1 + Lbn_2x n- 1

n=1 n=2 n=3

= -2xy; - 2YI - XYI

00 00 (7)

= - L2nanxn-1 - Lan_IXn- l ,

n=1 n=1

en la que el miembro de la derecha ha sido simplificado usando la ecuación (6). Con base en la

identidad (7) se obtienen las siguientes relaciones para determinar las bn a partir de

las an :

n = 1: bl = -2al - ao,
n =2:
n ~ 3: 4b2 + bl = - 4a2 - al,
n2bn + (n - l)bn- 1 + bn_2 = -2nan - an-I.

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18.11 Relaciones de recurrencia que'dependen de varios términos 391

Por lo tanto, la ecuación diferencial original tiene las dos soluciones linealmente indepen-
dientes dadas por la y ¡ de la ecuación (6) Ypor:

00 (8)

Y2 = y¡lnx + L bnxn-l,

n=1

4,en la que b¡ = -1, b2 = +b __ (n - l)bn_ 1 bn- 2 _ 2an _ an-I

n ~ 3: n - n2 n n2 .

Si la ecuación indicatriz tiene raíces que difieren en un entero positivo, y si existe la so-
lución logarítmica, entonces las dos soluciones tendrán la forma:

L00

=YI anx n+C1 ,

n=O

00

Y2 = yllnx + Lbnxn+c2,

n=O

donde e¡ es la raíz mayor y e2 1a raíz menor de la ecuación indicatriz. La an y la bn aún pue-
den determinarse por el procedimiento usado en esta sección.

• Ejercicios

A menos que se indique lo contrario, resuelva cada ecuación para x> o.

1. x2y" + 3xy' + (1 + x + x 3)y = O.
2. 2x(1 - x)y" + (1 - 2x)y' + (2 + x)y = O.
3. xy" + y' +x(l +x)y = O.
4. x2y" + x(1 + x)y' - (1- 3x + 6x2)y = O.

5. Demuestre que la serie en la respuesta del ejercicio 4 empieza como sigue:

y = ao(x- I + 2 + 4x2 - +~x3 .!fx4 - ~X2 + ... )

++a2(x -
~x2 + .1!.22x 3 - I6x 4 722lx 5 + ... ).

3

6. xy" + xy' + (1 + x 4)y = O. Aquí la ecuación indicatriz tiene raíces, e = O, e = 1, y un

intento por obtener una solución completa sin In x fracasa. Entonces escribimos:

00

YI = L anxn+1 ,
n=O

00

+Y2 = yllnx Lbnxn .

n=O

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392 Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

El coeficiente bl(s = 1) puede elegirse arbitrariamente y lo escogemos igual a cero. De-

muestre que las YI y Y2 indicadas son soluciones si:

4,ao = 1, al = - 1, a2 = a3 = - ~ , a4 = :}¡,

+ +n > 5 : a = _ (n l)an _1 an - 5
n(n + 1)
-n ,

y si las constantes b están dadas por:

j¿ ,bo = -1 , b l = O(así se escogió), b2 = 1, b3 = -~, b4 =

n::: 5: bn = +-n-bn-- I- -bn-- 5 +(2n - l)an -l an- 2

n(n - 1) n(n - 1)

7. Para la YI dada en el ejercicio 6, demuestre que las constantes an alternan en signo.
También calcule los términos desde y I hasta x7"

8. x(x - 2)2y" - 2(x - 2)y' + 2y = O.

9. Resuelva la ecuación del ejercicio 8 para x > 2.

10. 2xy" + (1 - x)y' - (1 + x)y = O.

11. Demuestre que las respuestas al ejercicio 10 también están dadas por:

118.121 Resumen

Enfrentados al problema de resolver una ecuación lineal :

L(y) = O, (1)

primero determinamos la ubicación y naturaleza de sus puntos singulares. En la búsqueda

de soluciones que sean válidas alrededor del punto x = xo' en primer lugar, siempre trasla-

damos al origen haciendo x - Xo = v.

Las soluciones válidas cerca de un punto ordinario x = Ode la ecuación (1) toman la

forma:

(2)

con aoy al elegidas arbitrariamente, si la ecuación (1) es de segundo orden. Si x = Oes un
punto singular regular de la ecuación (1) y queremos obtener soluciones que sean válidas

para x > O, primero hacemos:

00 (3)

y = ¿anXn+c.

11=0

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18.12 Resumen 393

Para la y de (3), obtenemos la serie para L(y) por sustitución. Con base en el término n = O

de esa serie puede escribirse la ecuación indicatriz. Cuando la diferencia de las raíces de la
ecuación indicatriz no es un entero, o si las raíces son iguales, la técnica es directa siguien-
do el método de la sección 18.4 o el de la 18.6.

Cuando las raíces difieren por un entero diferente de cero, la solución puede o no incluir
In x. La relación de recurrencia para n = s, donde s es la diferencia de las raíces, es la rela-

ción crítica. Entonces debemos determinar si las relaciones para n = 1,2, ... , s permiten

que aoy as sean elegidas arbitrariamente. Si es así, dos series de potencias de la forma (3)
serán soluciones de la ecuación diferencial. Si aoy as no se eligen arbitrariamente, el caso
es logarítmico. Entonces puede usarse el método de la sección 18.9.

La técnica puede variarse, si se desea, seleccionando siempre la an en términos de c de
modo que la serie de potencias para L(y) se reduzca a un término. Así se determinará una
serie de la forma:

(4)

para la que:

(5)

donde k = Oo 1 para las ecuaciones aquí consideradas y c l y c2 son las raíces de la ecua-
ción indicatriz. De esta manera puede determinarse a partir de los coeficientes reales en (4)
si el uso de c = c l y C = c2 tiene como resultado dos soluciones de la ecuación diferencial.

Si c l = c2' los resultados serán idénticos y se recomienda el uso de oy(x, c)/oc. El otro

caso logarítmico se identifica por el hecho de que uno o más de los coeficientes f/c) no
existen cuando c = c2' la raíz menor. Entonces, de nuevo se hace necesario aplicar el pro-
ceso de diferenciación, después de introducir ao = c - c2.

El método reseñado líneas arriba tiene una desventaja: parece inducir al usuario a una apli-
cación automática de reglas, un procedimiento que siempre es peligroso en matemáticas.
Cuando el estudiante entiende perfectamente qué es lo que sucede en cada uno de los cuatro
casos posibles, este método puede usarse de manera segura y ahorra un poco de trabajo.

Ampliar la aplicación de los métodos estudiados en este yen el capítulo anterior a ecua- .---
ciones lineales de orden superior se hace directamente. Por ejemplo, una ecuación de cuar-

to orden cuya ecuación indicatriz tiene raíces c = 2, 2, 2, ~ se trataría como sigue. Una

serie sería determinada para y(x, c),

t.y(x, e) ~ "o [x<+ J"(e)x"+O]

donde el miembro izquierdo de la ecuación original se reduzca a un término, tal como:
L[y(x, c)] = (c - 2)3(2c - I)aoxc .

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394 Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

Entonces podrían obtenerse cuatro soluciones linealmente independientes:

YI = y(x, 2); _ [OY(X,C) ] .
ocY2 - ,
_ [02 y(X,C) ] .
Y3 - 0 2 c=2
'
Y4 = y(X, ~).

C c=2

• Ejercicios diversos

En cada ejercicio obtenga soluciones que sean válidas para x > O.

I. xy"- (2+x)y'- y = O.
2. xy" - (2+x)y' - 2y = O.
3. x2y" + 2x2y' - 2y = O.
4. 2x2y" - x(2x + 7)y' + 2(x + 5)y = O.
5. x2(1 + X2)y" + 2x(3 + x2)y' + 6y = O.
6. (1 - x 2)y" - lOxy' - 18y = O.
7. 2xy" + (1 + 2x)y' - 3y = O.
8. y" + 2xy' - 8y = O.
9. x(1 - x 2)y" - (7 + x 2)y' + 4xy = O.
10. 2x2y" - x(1 + 2x)y' + (1 + 4x)y = O.
lI. 4x 2y" - 2x(2 + x)y' + (3 + x)y = O.
12. x2y" - x(1 + x2)y' + (1 - x 2)y = O.
13. 2xy" + y' + y = O.
14. x2y" + x(x2 - 3)y' + 4y = O.
15. 4x2y" - x2y' + y = O.
16. (1 +x2)y" - 2y = O.
17. 2x2y" - x(1 + 2x)y' + (1 + 3x)y = O.
18. yl/l +xy = O.
19. 4x2y" + 3x2y' + (1 + 3x)y = O.
20. xy" + (1 - x 2)y' + 2xy = O.
2I. 4x 2y" + 2x2y' - (x + 3)y = O.
22. x(1 - x 2)y" + 5(1 - x 2)y' - 4x)' = O.
23. x2y" + x(3 + x)y' + (1 + 2x)y = O.
24. x2y" + xy' - (x 2 + 4)y = O.
25. x(1 - 2x)y" - 2(2 + x)y' + 18y = O.
26. xy" + (2 - x)y' - y = o.

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18.12 Resumen 395

27 . x2y" - 3xy' + 4(1 + x)y = O.
28. y" - 2xy' + 6y = O.
29. 4x2y" + 2x(x - 4)y' + (5 - 3x)y = O.
30. x2y" - x(3 + 2x)y' + (3 - x)y = O.
31. x(1 - x)y" - (4 + x)y' + 4y = O.
32. 4x 2y" + 2x(x + 2)y' + (5x - 1)y = O.

33. Resuelva la ecuación del ejercicio 31 alrededor del punto x = 1.

34. 4x2y" + (3x + 1)y = O.
35 . x(1 - x)y" + (1 - 4x)y' - 2y = O.

36. Demuestre que las soluciones del ejercicio 35 pueden escribirse en la forma:

Y2 = (1 - x) - 2(lnx - x).

37. xy" + (l - x)y' + 3y = O.
38. x2y" + x(3x -' 1)y' + (3x + 1)y = O.
39. 2x(1 - x)y" + (1 - 2x)y' + 8y = O.
40. x2y" + x(4x - 3)y' + (8x + 3)y = O.
41. x2y" - 3x(1 + x)y' + 4(1 - x)y = O.
42. 2(1 + x 2)y" + 7xy' + 2y = O.
43 . 2xy" + (3 - x)y' - 3y = O.
44. xy" - (1 + 3x)y' - 4y = O.
45. xy" + 3y' - Y = O.
46. x2y" - x(3 + 2x)y' + (4 - x)y = O.
47. 3xy" + 2(1 - x)y' - 2y = O.
48. 2x(1 - x)y" + y' + 4y = O.
49. xy" + (3 - 2x)y' +4y = O.
50. x(1 + 4x)y" + (1 + 8x)y' + y = O.
51. 2x2y" + 3xy' - (1 + x)y = O.
52. x2y" + x(2x - 3)y' + (4x + 3)y = O.

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Ecuaciones de tipo 19
hipergeométrico

119.11 Ecuaciones que se tratarán en este capítulo

Con los métodos de los capítulos 17 y 18 podemos resolver muchas ecuaciones que apa-
recen con frecuencia en física e ingeniería, así como en matemáticas puras . En este capí-
tulo consideraremos brevemente la ecuación hipergeométrica, la ecuación de Bessel y las
ecuaciones que conducen al estudio de los polinomios de Laguerre, Legendre y Hermite.
En la literatura matemática existen miles de artículos de investigación dedicados, por
completo o en parte, al estudio de las funciones que son soluciones de estas ecuaciones.
Aquí solamente las incluimos para que el estudiante esté enterado acerca de la existencia
de estas funciones especiales, pues son de gran valor para físicos teóricos, ingenieros y
matemáticos. Una introducción al conocimiento de las propiedades de estas y otras fun-
ciones especiales puede encontrarse en Rainville. 1

119.21 Función factorial

Por conveniencia emplearemos una notación que se encuentra mucho en matemáticas

avanzadas. Definimos la función factorial Ca)" para una n igual a cero o un entero positivo

mediante:

(a)" = a (a + 1) (a + 2) ... (a + n - 1) para n ~ 1;

(a)o = 1 para a :j:. O. (1)

Así, el símbolo Ca)" denota un producto de n factores que empieza con el factor a y cada
factor es una unidad mayor que el factor precedente. Por ejemplo,

(7)4 = 7 . 8 · 9· 10,

(-5)) = (-5)(-4)(-3),

(-~)3 = (-~) G) (i)·

La función factorial es una generalización del factorial usual. En efecto,

(1)" = 1 · 2·3 ··· n = n!. (2)

396 1 E. D. Rainville, Special Functions (Nueva York, Macmillan Publishing Company, 1960).

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19.3 Función hipergeométrica 397

En nuestro estudio de la función gamma dado en la sección 14.9, deducimos la relación
funcional:

r(x + 1) = xr(x) para x > O. (3)

Al emplear de manera repetida (3), encontramos que si n es un entero,

r(a + n) = (a + n - 1)r(a + n - 1)
= (a + n - 1) (a + n - 2)r(a + n - 2)

= (a + n - l)(a + n - 2)· . . (a)r(a)

= (a)nr(a).

Por lo tanto, la función factorial y la función gamma están relacionadas mediante:

r(a + n) n es un entero, n > 0, ya> O. (4)

(a)n = r(a) ,

En realidad, puede demostrarse que (4) es válida para cualquier número a complejo, ex-
cepto para cero o los enteros negativos.

119.31 Función hipergeométrica

Ahora consideremos una ecuación diferencial lineal de segundo orden que sólo tenga tres

puntos singulares (uno de éstos podría ser infinito). Suponga que cada una de estas singu-

laridades es regular. Es posible demostrar2 que tal ecuación puede transformarse, por me-

dio de un cambio de variables, en la ecuación hipergeométrica:

x(1 - x)y" + [e - (a + b + l) x ]y' - aby = 0, (1)

en la que a, b y e son parámetros fijos.
Resolvamos la ecuación (1) alrededor del punto singular regular x = O. Por el momen-

to supóngase que e no es un entero. Para (1), la ecuación indicatriz tiene las raíces cero y
(1 - e). Escribimos:

en la ecuación (1) Yllegamos, después de las simplificaciones usuales, a:

00 00

+ + +Ln(n 1
e- l)enx ll- - L(n a)(n b)enxll = O. (2)

n=O n=O

Al hacer un corrimiento del índice en (2) obtenemos:

00 00 (3)

L n(n + e - 1)enxn- 1 - L(n + a - l)(n + b - l)en-l xn - l = O.

n=O n=l

2 Por ejemplo, véase E. D. Rainville, Intermediate Differential Equations, segunda edición. (Nueva York, Macmillan
Publishing Company, 1964, capítulo 6).

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398 Capítulo 19 Ecuaciones de tipo hipergeométrico

Así encontramos que ea tiene un valor elegido en forma arbitraria y para n 2:: 1,

en = (n + a - 1)(n + b - 1) en-l' (4)

n(n+e-l)

La relación de recurrencia (4) puede resolverse mediante el recurso acostumbrado. El re-

sultado es, para n 2:: 1,

a(a + 1)(a + 2)· .. (a + n - 1) . b(b + 1)(b + 2)· .. (b + n - l)eo (5)
en = n! e(e + l)(e + 2)· ·· (e + n - 1)

Pero (5) se simplifica bastante con el uso de la función factorial. Escribimos de nuevo (5) como:

en = (a)n(b)n eo. (6)

n! (e)"

Elegimos ea = I Yescribimos nuestra primera solución de la ecuación hipergeométrica

de esta manera,

(7)

La solución particular Y, en (7) es la llamada función hipergeométriea y un símbolo
común para ella es F(a, b; e; x). Esto es,

L '+ 00 (a)n(b)n x "

F(a, b; e; x) = 1
n= 1 (e)nn!

y Y , = F(a, b; e; x) es una solución de la ecuación (1).
La otra raíz de la ecuación indicatriz es (1 - e). Podemos escribir:

L00

Y = fnxn+l -c
n=O

en la ecuación (1 ), determinar 1" de la manera usual y llegar a una segunda solución

l-c + ~ (a + 1- e)n(b + 1 - e)nxn+l-c (8)
~
Y2 = x n=1 (2 - e)nn!

En la notación hipergeométrica esta segunda solución puede escribirse como:

Y2 = x l-C F(a + l-e, b+ l - e; 2-e; x),

la cual significa exactamente lo mismo que (8). Las soluciones (7) y (8) son válidas en

O< x < l. una región que se extiende hasta el otro punto singular más cercano de la ecua-

ción diferencial (1).
Si e es un entero, una de las soluciones (7) u (8) es correcta pero la otra incluye un deno-

minador cero. Por ejemplo, si e = 5, entonces en (8) (2 - e)" = (- 3)" y en cuanto n 2:: 4,
(-3)" = O, porque:

(-3)4 = (-3)(-2)(-1)(0) = O.

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19.4 Polinomios de Laguerre 399

Si e es un entero pero a y b no son enteros, una de las soluciones alrededor de x =Oen la

ecuación hipergeométrica es de tipo logarítmico. Si e y a o b, o ambas, son enteros, la so-
lución puede o no incluir un logaritmo. Por razones de espacio omitiremos las soluciones
logarítmicas de la ecuación hipergeométrica.

119.41 Polinomios de Laguerre

La ecuación:

xy" + (l-x)y' +ny = O (1)

es llamada ecuación de Laguerre. Si n es un entero no negati vo, una solución de (1) será un
polinomio.

Considere la solución de (1) alrededor del punto singular regular x = O. La ecuación in-
dicatriz tiene las raíces iguales e = O, O. De aquí deducimos que una solución incluirá un
logaritmo. Busquemos la solución no logarítmica.

Hacemos:

en (1) Yobtenemos, de la manera acostumbrada,

00 00 (2)

Lk2akxk-1 - L(k - 1 - n)ak_lxk- 1 = O.

k=O k=1

A partir de (2) encontramos que:

k?: 1 : (k - 1 -n)ak_1

F

(-n)(-n + 1) . . . (-n + k - 1)ao

(k!)2
(-nh
-- -(k-!)2ao·

Si n es un entero no negativo, (-n) k = Opara k> n. Por lo tanto, al escoger aoigual a uno,

una solución de la ecuación (1) será:

t:o~ (-nhxk (3)

YI = (k!)2

El miembro de la derecha en (3) es llamado polinomio de Laguerre y, por lo común, se
denota mediante Ln(x ):

(4)

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400 Capítulo 19 Ecuaciones de tipo hipergeométrico

El estudiante debe comprobar la equivalencia de las dos sumas en (4) demostrando que:

(-l)kn !

=( -n h (n - k)!

Una solución de (1) es YI = LIl(x). La solución logarítmica asociada, después de efectuar

una considerable simplificación, puede escribirse en la forma:

+Y2 = L 11 (X ) 1nx {-- ( -n h(Hn - k - H" - 2Hdxk

~
k=1 (k!)2

00 ( - l)" n !(k _ l)!x k+"

+ {; [(k+n)!]2 (5)

La solución (3) es válida para toda x finita; la solución (5) es válida para x > O.

119 .5 1 Ecuación de Bessel con Índice no entero

La ecuación:

(1)

es llamada ecuación de Bessel de índiee n. La ecuación (1) tiene un punto singular regular

en x = 0, pero ningún otro punto singular en el plano finito. En x = 0, las raíces de la ecua-

ción indicatriz son el = n, e2 = -no En esta sección suponemos que n no es un entero.
Con los métodos del capítulo 18 es sencillo demostrar que si n no es un entero, entonces

dos soluciones linealmente independientes de (1) serán:

00 (_I)k x2k+1l (2)

YI = {; 22kk! (1 + nh '

00 ( _1)kx2k-n (3)
Y2 = { ; 22kk! (1 - n)k '

y válidas para x > O. La función :
1 00 (_I/x2k+1l

Y3 = 2/1r(l + n) YI = { ; 22k+llk! r(k + n + 1)'

que también es soluci ón de la ecuación (1), es ll amada J,,(x), función de Bessel de primer
tipo e índice n. Así,

00 :22:k-+;I:l(k;_.!-I;)rk-(-xk:2-+k-+:n1-l +~--1-) (4)

""
6íY3
= Jn (x) =

es una solución de (1), y la solución general de (1) puede escribirse como:

y = AJn(x) + BLn(x ), (5)

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19.6 Ecuación de Bessel con índice entero 401

El hecho de que J_n(x) es una solución de la ecuación diferencial (1), debe ser evidente a
partir de que el parámetro n aparece en (1) sólo en el término n2• También es cierto que:

=LII(x) 2- lI ro _1 n) Y2 ·

119.61 Ecuación de Bessel con índice entero

En la ecuación de Bessel:

(1)

suponga que n es cero o un entero positivo. Entonces,

2000 (_1)k x2k+n (2)
+ +YI = Jn(x) =
22k+llk! r(k n 1)

es una solución de la ecuación O). Cualquier solución linealmente independiente de (2)
debe contener In x. Ya hemos resuelto O) para n = Oen el ejercicio 11 de la sección 18.6,
y para n = 1 en el ejercicio 10 de la sección 18.9.

Para una n que sea un entero mayor o igual que dos, hacemos:

00

y = LajX j+c ,

j=O

o

y procediendo con la técnica de la sección 18.9, determinamos y (x, c) y - y(x, c), luego

ocusamos c = - n para obtener dos soluciones:

200 (_I)k x2k-1I (3)
Y2 = 22k- 1(1 - n)n - I (k - n)! k!

y

+ + LY3 = Y2 In x 11- 1 (_l)kx2k-n
x-n --=2-k:- - --
fk=1 2 (1 - nhk!
+ +( - I)k+I(Hk_n Hk - Hn_l)x2k-n

k=n 22k - I (l-n)n _ l(k-n)!k! (4)

Un corrimiento del índice en (3) de k a (k + n) nos da:

2000 (_I)k+n x2k+n
Y2 = +22k+2n-1 O - n)II_ l k! (k n)!·

Pero para n;::: 2, (1 - n)Il_1 = ( - l)lI-l(n - 1)!, de modo que:

-1
Y2 = 211 - 1(n _ 1)! Jn(x) .

Por lo tanto, podemos remplazar la solución (3) con:

(5)

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402 Capítulo 19 Ecuaciones de tipo hipergeométrico

Por medio de operaciones semejantes, remplazamos la solución (4) con:

n-I (-l)k+l(n _1 )!x2k-n

Y4 = ln(x) Inx + { ; 22k+l-nk! (1 _ nh

++-1 LOO (_l)k+1 (Hk + Hk+n)x2k+n (6)
2 k=O 22k+nk! (k n)!

Para una n que sea un entero mayor que uno, las ecuaciones (5) y (6) pueden usarse co-
mo la pareja fundamental de soluciones linealmente independientes para la ecuación de

Bessel (1) cuando x> O.

119.71 Polinomios de Hermite

La ecuación:

yl! - 2xy' + 2ny = O (1)

es llamada ecuación de Hermite. Ya que (1) no tiene singularidades en el plano finito, x = O

resulta ser un punto ordinario de esa ecuación. Hagamos:

y = 00 j x j

La

j=O

y usemos los métodos del capítulo 17 para obtener la solución general:

[ L + +oo 2k(-n)(-n 2)··· (-n 2k - 2)X2k ]

Y =ao 1+

k= 1 (2k)!

~ 2k(1 - n)(1 - n + 2)··· (1 - n + 2k - 2)X2k+l ] (2)
+al [ x+ ~ ,
k= 1 (2k + 1)!

que es válida para toda x finita y con aoy al elegidas arbitrariamente.
El interés en la ecuación (1) es mayor cuando n es un entero positivo o cero. Si n es un

entero par, el coeficiente de ao en (2) termina, ya que cada término para k ;::: ~ (n + 2) será

cero. Si n es un entero impar, el coeficiente de al en (2) termina, ya que cada término para

k ;::: ~ (n + 1) será cero. Por lo tanto, la ecuación de Hermite siempre tendrá una solución

polinomial, de grado n, cuando n es cero o un entero positivo. Es elemental pero tedioso

obtener a partir de (2) una sola expresión para esta solución polinomial. El resultado es:

[~n] (-I)k n ! (2xy-2k (3)

Hn(x) = {; k!(n-2k)! '

donde [ ~ n ] representa al máximo entero ::; ~ n.

El polinomio Hn(x) de (3) es el polinomio de Hermite; y = Hjx) es una solución de la

ecuación (1).

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19.8 Polinomios de Legendre 403

JI 9. 8J Polinomios de Legendre

La ecuación: o - x2) y" - 2xy' + n(n + 1) y = O

O)

es llamada ecuación de Legendre. Resolvamos (1) alrededor del punto singular regular

x = 1. Hacemos x - 1 = v y obtenemos la ecuación transformada:

v(v + 2) d2y + 2(v + dy - n(n + 1)y = O. (2)
dv2 1) dv

En v = O, la ecuación (2) tiene, como raíces de su ecuación indicatriz, c = O, O. De aquí que
resulte ser una solución logarítmica. Por el momento sólo estamos interesados en hallar la
solución no logarítmica.

Seguimos los métodos del capítulo 18 y hacemos:

00

y = Lak vk

k=O

en la ecuación (2) para llegar a los resultados: aoes elegida arbitrariamente y:

k ~ 1: -(k - n - 1) (k + n)ak _ 1 (3)

ak =

Resolvemos la relación de recurrencia (3) y obtenemos:

(_1)k (-nh O + n)kaO

2k (k!)2

con la notación factorial de la sección 19.2.
Ahora podemos escribir una solución de la ecuación O) en la forma:

= 1 + ~ (-l)k(-nh(n + 1)k(X - 1)k (4)
YI ~
k=·1 2k (k!)2 (5)

Ya que k! = (1)k' podemos expresar (4) como:
1h (1 -YI = 1+ ~~ (-nh(n +
- -X)k
k=1 O)kk! 2

El miembro derecho de la ecuación (5) es un ejemplo de la función hipergeométrica que

encontramos en la sección 19.3. De hecho, (6)

x)YI = F ( -n, n + 1; 1; -12- - .

Si n es un entero positivo o cero, las series en (4), (5) o (6) terminan. Estas series son lla-

madas polinomios de Legendre y se dlJsignan con PI/(x). Escribimos nuestra solución no lo-

garítmica de la ecuación de Legendre como: (7)

x)YI = PI1(x) = F ( -n, n + 1; 1; -12- - .

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Ecuaciones 20
diferenciales parciales

120.11 Observaciones sobre ecuaciones diferenciales parciales

Una ecuación diferencial parcial es aquella que tiene una o más derivadas parciales. Ecua-
ciones de este tipo aparecen frecuentemente en aplicaciones de matemáticas. El tema de
ecuaciones diferenciales parciales presenta bastantes ramificaciones y dificultades muy in-
teresantes. En este libro dedicaremos casi por completo el espacio asignado a ecuaciones
diferenciales parciales para tratar una clase de problemas con valores en la frontera que se
presentan a menudo en matemáticas aplicadas.

Las ecuaciones diferenciales parciales pueden tener soluciones que impliquen funcio-
nes arbitrarias y soluciones que incluyan un número ilimitado de constantes cualesquiera.
La solución general de una ecuación diferencial parcial de orden n puede incluir n funciones
arbitrarias. La solución general de una ecuación diferencial parcial casi nunca es de uso
práctico en la solución de problemas con valores en la frontera asociados con esa ecuación
(la ecuación de onda es una de las pocas excepciones).

120.21 Algunas ecuaciones diferenciales parciales

de matemáticas aplicadas

Ciertas ecuaciones diferenciales parciales se utilizan en matemáticas aplicadas tan fre-
cuentemente y tienen tantas conexiones que su estudio es bastante provechoso. Un estu-
dio exhaustivo de estas ecuaciones nos conduciría por cada fase de la matemática clásica
y, en particular, nos llevaría casi de inmediato a ponernos en contacto con funciones espe-
ciales que son ampliamente utilizadas en teoría cuántica, así como en física teórica e
ingeniería.

La deducción de las ecuaciones diferenciales que se presentarán aquí queda fuera de los
alcances de este libro. Algunas de las formas en que estas ecuaciones son útiles aparecerán
en las aplicaciones detalladas en los capítulos 23 y 25.

Sean x, y y z coordenadas rectangulares en el espacio usual. Entonces la ecuación conoci-

(1) .

404

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20.2 Algunas ecuaciones diferenciales parciales de matemáticas aplicadas 405

da como ecuación de Laplace, aparece en problemas de temperatura estacionaria, poten-
cial eléctrico, flujo de fluidos de la variedad estacionaria, etc. Si un problema que incluya
la ecuación (1) es tal que trata con un objeto físico como un cilindro, es posible que las
coordenadas cilíndricas faciliten la solución. Este problema lo encontraremos más adelan-
te. Es posible cambiar la ecuación (1) en otra donde las variables independientes sean las

coordenadas cilíndricas, r, (J y z relacionadas con x, y y z de la ecuación (1) por medio de

las ecuaciones:

x = rcos (J, y = r sen (J, z = z.

La ecuación resultante, la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas, es:

2 + ~ av + ~ 2 + 2 _ O (2)
av av av
ar2 r ar r 2 ae2 az2 - .

Observe que el uso de z en ambos sistemas de coordenadas es seguro al realizar el cam-
bio de variables sólo porque z no está involucrada con otras variables en las ecuaciones.

Esto es, en un cambio de variables independientes como:

x = x¡ + y¡ + Z¡ , y = x¡ - y¡, z = Z¡,

o su equivalente: y¡ = !(x - y - z), z¡ = z,

x ¡ = !(x + y - z),

con frecuencia se podría llegar a conclusiones incorrectas por la omisión del subíndice en z¡,
aunque z = z¡. Por ejemplo, del cambio de variables que estamos estudiando se deduce que:

En consecuencia, -av= -l-aV- - -la-V+a-v .

az 2 ax¡ 2 ay¡ az¡

aunque z = z¡. av av

-# -

oz az¡

Regresemos a la ecuación de Laplace. En coordenadas esféricas, p, (J y <1>, relacionadas

con x, y y Z por medio de las ecuaciones:

x = p sen <f; cos e, y = p sen <f; sen e, z = p cos <f; ,

la ecuación de Laplace es: (3)

-aa2pv2 + -p2 -aapv+ -p12 -aa<2f;v+2 -copt2<-f; -aa<-vf; +cs-pc22-<f; -aa2e-v2 = 0.

Con una variable independiente adicional t que represente el tiempo, y con una cons-

tante denotada por a, podemos escribir la ecuación de onda en coordenadas rectangulares,

2 _ 2 + a2v + a2v ) . (4)
av - 2 (a v oy2 az 2
at2 a ax2

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406 Capítulo 20 Ecuaciones diferenciales parciales

La ecuación (4) aparece en problemas que implican movimientos ondulatorios. La ve-
remos más adelante en el problema de la vibración de una cuerda.

Siempre que el problema físico sugiera una elección diferente para el sistema de coorde-
nadas, dada la forma de los objetos involucrados, la ecuación diferencial parcial pertinente
puede transformarse en una que incluya las nuevas variables independientes adecuadas.

Suponga que para algún objeto sólido bajo consideración, u representa la temperatura
en un punto con coordenadas rectangulares x, y y z en el tiempo t. El origen de coordena-
das y el tiempo inicial t = Opueden asignarse a nuestra conveniencia. Si no existen fuen-
tes de calor presentes, la temperatura u satisface la ecuación del calor:

(5)

en la que h2 es una constante física llamada difusividad térmica. La ecuación (5) está dedu-
cida bajo la hipótesis de que la densidad, el calor específico y la conductividad térmica son
constantes para el sólido que se estudia. En la sección 23.2 se harán más comentarios acerca
de la validez de la ecuación (5). Ésta es la ecuación que se relaciona con muchos tipos de di-
fusión, no sólo cuando se trata del calor. Con frecuencia es llamada la ecuación de difusión.

En cuanto al fenómeno de elasticidad, ciertos problemas de tensión pueden resolverse con

ayuda de la función de tensión de Airy, <p, la que debe satisfacer la ecuación diferencial

parcial:

(6)

Muchas otras ecuaciones diferenciales parciales aparecen en las aplicaciones, aunque no
con la frecuencia insistente de las ecuaciones (1), (4) Y(5).

En este libro se examinarán dos métodos para resolver problemas con valores en la fron-
tera en ecuaciones diferenciales parciales. La transformada de Laplace, que se estudió en los
capítulos 14 y 15, es una herramienta útil para cierta clase de problemas con valores en la
frontera. La técnica de transformación se desarrollará en el capítulo 24 y se usará en
el capítulo 25.

Un segundo método, el clásico de separación de variables, se analizará en el resto de es-
te capítulo. Encontraremos que otros dos temas, conjuntos ortogonales y series de Fourier,
necesitan ser estudiados antes que podamos proceder, en el capítulo 23, a usar separación
de variables de manera eficiente para resolver problemas que incluyan ecuaciones diferen-
ciales parciales.

120.31 Método de separación de variables

Antes de tratar un problema real de ecuaciones diferenciales parciales con valores en la
frontera, es conveni.ente adquirir un poco de habilidad en la obtención de soluciones de las
ecuaciones diferenciales. Cuando hayamos adquirido alguna práctica podremos tratar los

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20.3 Método de separación de variables 407

problemas más difíciles adaptándolos para que satisfagan las condiciones estipuladas en
la frontera.

El recurso presentado aquí es particularmente útil en relación con las ecuaciones linea-
les, aunque no siempre se aplica a éstas. Considere la ecuación:

au h2 a2 u (1)

-= -
at ax2

con h siendo constante. En general, una solución de la ecuación (1) será una función de las
dos variables independientes t y x y del parámetro h.

Busquemos una solución que sea producto de una función exclusiva de t por una fun-
ción exclusiva de x. Escribimos:

u = jet) v (t)

en la ecuación (1) Y llegamos a:

j'(t)v(x) = h2 j(t)v"(x), (2)

donde los apóstrofes denotan derivadas con respecto al argumento que se indica. Dividiendo
cada miembro de (2) entre el productoj(t) v (x), obtenemos:

f'(t) (3)
jet)

Ahora la ecuación (3) se dice que tiene sus variables (las independientes) separadas; esto
es, el miembro izquierdo de la ecuación (3) es una función exclusiva de t y el miembro de-
recho de la ecuación (3) es una función exclusiva de x.

Ya que x y t son variables independientes, la única manera en que una función exclusi-
va de x pueda ser igual a una exclusiva de t es que cada función sea constante. Así, de (3)
se deduce de inmediato que:

(4)

h2v"(x) (5)
- - - = k,

v(x)

en la que k es elegida en forma arbitraria.
Otra manera de obtener las ecuaciones (4) y (5) es diferenciando cada miembro de la

ecuación (3) con respecto a t (se puede usar cualquiera de las variables independientes), así
se obtiene:

~f'(t) =0,

dt jet)

ya que el miembro derecho de la ecuación (3) es independiente de t. Primero obtenemos la
ecuación (4) por integración y luego (5) se deduce de (4) y (3).

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408 Capítulo 20 Ecuaciones diferenciales parciales

La ecuación (4) puede escribirse de nuevo como:

ddft = kf,

de la que su solución general:

se deduce inmediatamente.
Antes de continuar con la resolución de nuestro problema intentaremos elegir de manera

conveniente la constante k introducida en las ecuaciones (4) y 5). La ecuación (5) sugiere
que k debe tomarse como un múltiplo de h2. Entonces regresamos a las ecuaciones (4) Y (5)

Yhacemos k = h2 fJ2 , de modo que tenemos:

(6)

y

h 2 V I/(x) = h 2f32. (7)
---
v(x)

Al usar una [3 real y k = h2[3 2, estaremos implicando que la constante k es positiva. Más

adelante obtendremos soluciones correspondientes a la elección de una constante negativa.
De las ecuaciones (6) y (7) de inmediato encontramos que:

y (8)

+v(x) = C2 cosh f3x C3 senh f3x. (9)

Ya que u = f(t)v(x), llegamos al resultado de que la ecuación diferencial parcial: (1)

au = h? a-2-u

-
at ax2

tiene soluciones:

u = exp(h2f3 2t)[acoshf3x +b senhf3x], (10)

donde [3, a y b son constantes cualesquiera. Las a y b de la ecuación (lO) están dadas, res-

pectivamente, por a = ClC2 y b = c lC3 en términos de las constantes de las ecuaciones
(8) y (9).

Si regresamos a las ecuaciones (4) y (5) haciendo k = -h2a 2, de modo que k sea una

constante negativa, encontraremos que la ecuación diferencial parcial (1) tiene soluciones:

u = exp(-h2a 2t)[Acosax + B senax], (11)

donde ex, A y B son constantes cualesquiera.

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20.3 Método de separación de variables 409

Por último, suponga que la constante k es cero. De manera directa determinamos que las
soluciones correspondientes de la ecuación diferencial (1) son:

(12)

en la que el y e 2 son constantes.
Resulta sencillo verificar que las ecuaciones (10), (11) Y(12) son soluciones reales de

(1). Ya que la ecuación diferencial parcial (1) es lineal, podemos construir soluciones
creando combinaciones lineales de las soluciones. Por lo tanto, de (10), (11) y (12) con

eelecciones diferentes de a, [3, A, B, a, b, el y 2, podemos construir tantas soluciones de

(1) como queramos.
La diferencia entre las ecuaciones (10) Y(11) depende de los parámetros y variables que

conservan valores reales. Como nuestro objetivo es desarrollar herramientas para resolver
problemas físicos, intentaremos mantener valores reales.

• Ejercicios

Excepto donde se den otras indicaciones, use el método de separación de variables para obtener solucio-
nes reales en cada ecuación diferencial.

a a1.
_2u =a2 _ 2u
8t2 ax2 ·

a2v a2v

2. - + - = 0.

ax2 ay2

3. a2u + au = a 2 a 2u · Demuestre que esta ecuación tiene las soluciones:
at2 ax2
2ba¡

+u = g(t)(B l coskx B2 senkx),

donde puede suponerse que g(t) tiene cualquiera de las formas:

o

o

y las soluciones:

+ +u = (A? A ge-2bl )(B3 B4x) .

También encuentre las soluciones que tengan ela: y e - la:.

4. aawy = Yaaw.; .

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410 Capítulo 20 Ecuaciones diferenciales parciales

aw aw
5. x - = w+y-.

ax ay
6. Someta la ecuación diferencial parcial del ejercicio 5 al cambio de variable depen-

diente w = v / y Ydemuestre que la ecuación resultante para ves:

av av

x- = y - .
ax ay .

7. Demuestre que el método de separación de variables no tiene éxito, sin modificacio-
nes, para la ecuación:

8. Para la ecuación del ejercicio 7, busque una solución de la forma:
u = ekt f(x)

y así obtenga las soluciones:

u = exp [k(t - 2x)[A¡ coskx + A 2 senkx],

edcounadceiók,nAd¡elYeAje2rscoicnioco7ntsiteannetelsaselseogluidcaiosnaersbiutr=ariAamx e+ntBe. También demuestre que la
C
Y u = Ct + D, con A, B,

y D cualesquiera.

9. Para la ecuación:

a2u au a2u

ax2 + 4x ax + ay2 = 0,

escriba u = f(x) g (y) y obtenga así las soluciones:

u = [A¡e2ky + A 2e-2kY ][B¡f¡ (x) + B2!z(X)],

en las quef¡(x) y fix) son cualesquiera dos soluciones linealmente independientes
de la ecuación:

1" + 4xf' + 4k2f = O.

*También obtenga las soluciones de la ecuación anterior que correspondan a k = O.

Para k 0, las funciones f¡ y f 2 deben obtenerse por el método del capítulo 17. Pue-
den encontrarse en la forma:

f¡(x) = 1 + ; + + +00 (-4)m(k2)(k2 2)(k2 4) ... (k 2 2m _ 2)x2m

(2m)! '

00 ( _ 4)m(k2 + 1)(k2 + 3)(k2 + 5) ... (k2 + 2m _ l)x 2m+¡

!Z(X) = X+; (2m+l)!

Encuentre soluciones similares que involucren cos 2ky y sen 2ky.

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20.4 Un problema de conducción de calor en una lámina 411

10. Utilice el cambio de variable u = ePI g(x) para encontrar las soluciones de la ecuación:

-aax22+u 2aa-x2au-t +aa-2tu2= 0.

11 . Por cálculo directo demuestre que sifl(Y) y f 2(Y) son funciones cualesquiera con se-

gundas derivadas continuas, f~(y) y f;(Y), entonces:

u = fl (x - at) + h(x + at)

satisface la ecuación de onda simple (ejercicio 1):

a a_2 u= a 2 _ 2 u

at2 ax2 .

12. Demuestre que v = f(xy) es una solución de la ecuación del ejercicio 6.

13. Demuestre que w = f(2x + y2) es una solución de la ecuación del ejercicio 4.
14. Demuestre que u =¡;et - x) + xh (t - x) es una solución de la ecuación del ejercicio 10.

120.4 1Un problema de conducción de calor en una lámina

Entre las ecuaciones de matemáticas aplicadas que ya vimos está la ecuación de difusión
del calor en coordenadas rectangulares,

au = h 2 ( a 2 + 2 + 2 (1)
u au a u)
at ax2 ay2 az 2 '

en la que:

x, y, z coordenadas rectangulares del espacio,

t coordenada del tiempo,
h2 difusividad térmica,

u - temperatura.

La constante h2 y las variables x, y, Z, t Y u pueden darse en cualquier conjunto consisten-

te de unidades. Por ejemplo, podemos medir x, y y zen pies, t en horas, u en grados Fahren-

heit y h2 en pies cuadrados por hora. La difusividad (que se supondrá constante en nuestro
trabajo) puede definirse por:

en términos de cantidades físicas elementales,
K conductividad térmica,
(J calor específico,
8 densidad,

todas relativas al material de que está hecho el objeto sólido cuya temperatura buscamos.

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412 Capítulo 20 Ecuaciones diferenciales parciales

Para nuestro primer problema de ecuaciones diferenciales parciales con valores en la
frontera, parece deseable simplificarlo tanto como sea posible. Así construimos un proble-
ma de temperatura en el que ésta es independiente de dos variables espaciales; por ejem-
plo, y y z. Para tal problema, u será una función de sólo dos variables independientes
(x y t), que es el número más pequeño posible de variables independientes que puede haber
en una ecuación diferencial parcial.

Considere una lámina de concreto o de algún otro material que sea razonablemente ho-
mogéneo en su textura. Suponga que el grosor de la lámina es de e unidades de longitud.
Seleccione el origen de coordenadas sobre una cara de la lámina como,se indica en la figu-
ra 20.1 y suponga que la lámina se extiende en las direcciones y y z.

Seaf(x) la temperatura inicial de la lámina (t = O), una función exclusiva de x, y supon-

ga que las superficies x = O, x = e se mantienen a una temperatura de cero para toda t > O.

Si la lámina se considera infinita en las direcciones y y z, o más específicamente, si sólo
tratamos las secciones transversales cercanas (lejos de las superficies distantes de la lámi-
na), entonces la temperatura u a cualquier tiempo t y posición x estará determinada por el
problema con valores en la frontera:

au ah2 2u para 0 < t , O < x < e; (2)
-
-=
at ax2

cuando t -+ 0+, U -+ f(x) para O < x < e; (3)
cuando x -+ 0+, U -+ O para 0 < t ;
cuando x -+ e- , u -+ O para 0 < t. (4)

(5)

En el problema con valores en la frontera de (2) a (5), el cero en la escala de temperatu-
ras se seleccionó como la temperatura a la que se mantienen las superficies de la lámina.

y

I

I

I

I
I _- -

_ -í"

I _ -- I
- - - - -- -:::,*~----t---+- x
_- 0 1 eI

_-- I I

1I

--z 1 I
1 _.J---
1..- ..........
............... ,

Figura 20.1
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20.4 Un problema de conducción de calor en una lámina 413

Entonces laf(x) en realidad es la diferencia entre la temperatura inicial real y la tempera-

tura constante y subsecuente en la frontera.

El conjunto de símbolos t ---7 0+ significa que t tiende a cero por medio de valores mayo-

res que cero. Análogamente, x ---7 e- significa que x tiende a e con valores menores que e,

"e menos algo" en cada paso durante la aproximación. Podemos decir, por ejemplo, que

x tiende a e por la izquierda.

Es particularmente notable que no requiramos una condición tal como que la función

u(x, t) seaf (x) cuando t = O. Sólo necesitamos que cuando t ---70+, U ---7 f (x) para cada x

en el rango O < x < e.

La pregunta de cuántas condiciones en la frontera, y de qué naturaleza, están asociadas

a una ecuación diferencial parcial dada para asegurar la existencia y unicidad de una solu-

ción, implica una dificultad considerable. En este libro usaremos la guía práctica más

común: la intuición. Esto es, buscaremos una solución y si la encontramos sabremos que

existe; si no, es difícil asegurar que existe. En este volumen no estudiaremos el difícil pro-

blema de unicidad.

Ahora intentaremos resolver el problema con valores en la frontera, esto es, buscaremos

una función u(x, t) que satisfaga la ecuación diferencial parcial (2) y las condiciones (3),

(4) y (5).

Ya sabemos cómo obtener algunas soluciones de la ecuación diferencial (2). En efecto,

en la sección 20.3 se usó el método de separación de variables para llegar a las soluciones:

u = exp (h2,82t)[a cosh,8x + b senh ,8x], (6 )

con valores para a, by f3 elegidos arbitrariamente, y las soluciones:

u = exp (-h 2a 2t)[A cosax + B senax], (7)

con A, B Y a cualesquiera.

Ahora es necesario intentar ajustar las soluciones (6) y (7) para que satisfagan las con-
diciones en la frontera (3), (4) Y (5). Los intentos preliminares muestran rápidamente que
es más sencillo satisfacer las condiciones (4) Y (5) y tratar luego la condición (3).

Tratemos de satisfacer (4) y (5) con soluciones en la forma de la ecuación (6) anterior.
Ahora la condición (4) requiere que cuando hagamos x ---70+, U ---7 Opara toda t positiva.
Haciendo x ---7 0+ en la ecuación (6) concluimos que:

0= exp (h 2,82t)[a + O] para O < t .

Así estamos obligados a concluir que a = O, de modo que la solución (6) se convierte en:

u = b exp (h 2,82t) senh,8x. (8)

Por la condición (5) debemos pedir que cuando x ---7 e - , entonces otra vez u ---7 Opara toda
t positiva; esto es, de la ecuación (8) y la condición (5) obtenemos:

para O < t .

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414 Capítulo 20 Ecuaciones diferenciales parciales

La exponencial exp(h2f3 2 t) no puede anularse. Para valores reales de f3 y e la función
senh f3c es cero sólo si f3c = O. De aquí se deduce que f3 = Oo b = O, de modo que u == OY

no tenemos elección para satisfacer la condición restante, (3). Por lo tanto, abandonamos
la ecuación (6) y nos concentramos en las soluciones:

u = exp (- h2a 2t)[A cosax + B senax]. (7)

Impondremos las condiciones (4) y (5) sobre la u de la ecuación (7). Primero hacemos
x ~ 0+ Y concluimos que:

para O < t,

así debemos elegir A = O. Entonces (7) se reduce a:

u = B exp (- h2a 2t) senax. (9)

Ahora imponemos la condición (5), de que u ~ Ocuando x ~ e - , así:
0 = Bexp(- h2a 2t) senae para O < t.

No debemos elegir B = Osi queremos tener éxito en satisfacer la condición adicional (3).

La función exp( -h2a 2 t) no se anula. Por lo tanto, para que la u de (9) satisfaga la condi-

ción (5) es necesario que:

sen ae = O. (10)

La función seno es cero exclusivamente cuando su argumento es un múltiplo entero de

7r; esto es, sen z es cero cuando z = O" ± 7r, ±27r, . .. , ±n7r, .... Por lo tanto, de (10) se de-

duce que:

ae = n7r, n es un entero. (11)

Ya que e está dada, la ecuación (11) sirve para restringir los valores de a. Con a = n7r/e,

las soluciones (9) se convierten en:

u = B exp [ - ( -mer-h)2 t ] sen -nen-x

con n siendo un entero y B elegida arbitrariamente. Ya que no necesitamos usar la misma cons-
tante B para diferentes valores de n, es más común escribir las soluciones así:

=U ll Bn exp [ - ( -nen-h)2t] sen -nenx-' n es un entero. (12)

No perdemos nada restringiendo la n en la ecuación (12) a enteros positivos 1,2,3, ... ,

para n = Otenemos la solución trivial u == OYlos valores negativos de n conducen esen-

cialmente a las mismas soluciones encontradas para los valores enteros positivos.

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20.4 Un problema de conducción de calor en una lámina 415

Veamos dónde nos encontramos en este momento. Cada una de las funciones u defini-
lI

da por la ecuación (12) es una solución de la ecuación diferencial:

au 2 a2 u para O < x < c, 0< t, (3)
-at = h -ax 2

y cada una de dichas funciones satisface las dos condiciones: (4)

cuando x ~ 0+, u~O para O< t

y

cuando x ~ c-, u~O para 0< t (5)

Falta por encontrar a partir de las soluciones un' una solución u(x, t) que también satis-
faga la condición en la frontera (o inicial):

cuando t ~ 0+, u ~f(x) para O < x < c. (3)

Ya que la ecuación diferencial parcial involucrada es lineal y homogénea en u y sus de-

rivadas, una suma de las soluciones también será una solución. Por lo tanto, a partir de las

soluciones conocidas ul' u2' u3, ... , un' ... , podemos construir otras. Dadas ciertas con-
diciones de convergencia lo suficientemente fuertes, es cierto que aún la serie infinita:

00

u= ¿un

n= 1

o

t;; Bo (":h)'u(x, t) = t] sen n:x (13)
exp [ -

también es una solución de la ecuación diferencial (2).
La u(x, t) de la ecuación (13) satisface la ecuación (2) y las condiciones en la frontera (4)

Y (5). Si u(x, t) satisface también la condición (3), entonces para cada x en el intervalo

O < x < c, el miembro derecho de la ecuación (13) debe tender af(x) cuando t ~ 0+. Su-

pondremos que es posible intercambiar el orden del límite (cuando t ~ 0+) y la suma y así
concluir que la condición (3) requiere formalmente que:

00 para O < x < c. (14)

f(x) = 'L"."..' Bn sen -mr-x

n=1 C

Así, podremos resolver el problema bajo consideración si es posible elegir las constan-
tes BII de modo que la serie infinita del lado derecho en (14) tenga af(x) como su suma pa-

. ra cada x en el intervalo O < x < c. Que existen tales coeficientes BII está muy lejos de ser

evidente. Para una clase grande de funcionesf(x), existe un desarrollo del tipo de la ecua-
ción (14), como se verá en el capítulo 22. Una vez que las BII son conocidas se insertan en

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416 Capítulo 20 Ecuaciones diferenciales parciales

el lado derecho de la ecuación (13), lo cual resulta entonces ser la solución final del proble-
ma con valores en la frontera 'dado en la ecuación (2) y las condiciones (3), (4) Y(5).

Para poder completar la solución de problemas con valores en la frontera de la clase que
se consideró aquí, necesitamos conocer ciertos métodos de desarrollo de funciones en se-
ries trigonométricas. El capítulo 22 está dedicado a desarrollar ese análisis, proporcionán-
donos las herramientas para resolver numerosos problemas con valores en la frontera
dados en el capítulo 23.

120.5 1Suplemento para computadora

Aunque la mayoría de los Sistemas de Álgebra Computacional no están acondicionados
para manejar ecuaciones diferenciales parciales de manera directa, pueden ser útiles en la
realización de varias tareas necesarias en la resolución de tales ecuaciones. Empezaremos por
utilizar Maple para ayudar a resolver la ecuación de onda del ejercicio 1 en la sección 20.3:

a a_2u= a2 2u

_.
at2 ax2

Al hacer u (x, t) = f(t) v (t) se obtiene:
1"(t) 2 v"(x)
- -= a --o
f(t) v(x)

Seguimos el método aplicado en el texto y, suponiendo por el momento que la constante de
separación es negativa, tenemos dos ecuaciones,

1"(t) = 2 ¡p
f(t)
_a

y

2 v"(x) 22
a - - = -a f3 .
v(x)

que pueden ser resueltas por Maple como sigue:

>Left:=diff(f(t) ,t$2)=-aA 2*betaA 2*f(t):

>dsolve(Left,f(t)) ;

_el _e2f(t) =
+cos(af3 t) sen(af3 t)

y

>Right: =diff(v(x) ,x$2)= - beta A 2*v(x);
>dsolve(Right , v(x)) ;

v(x) = _el _e2+cos(f3 x) sen(f3 x).

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20.5 Suplemento para computadora 417
Luego pueden combinarse en:

+ +u(x, t) = (Al cosaf3t A 2 senaf3t)(B l cosf3x B2 senf3x).

Dejamos para los ejercicios resolver los casos donde la constante de separación es positi-
va o cero. En suplementos para computadora posteriores veremos cómo encontrar las
constantes Al' A2, Bl YB2•
• Ejercicios
l. Utilice una computadora para encontrar soluciones de la ecuación de onda cuando la

constante de separación es positiva.
2. Repita el ejercicio 1 cuando la constante de separación es cero.
3. Utilice el mismo método para encontrarle soluciones a otras ecuaciones de este

capítulo.

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Conjuntos de 21
funciones ortogonales

12 1.11 Ortogonalidad

Un conjunto de funciones como {Jo(x), JI (x), h(x), . . . , Jn(X) , ... } se dice que es
ortogonal con respecto a laJunción de peso OJ (x) en el intervalo a::::::: x ::::::: b si:

lb w(x)Jn(x)Jm(X) dx = O para m # n ,

#0 para m = n .

La ortogonalidad es una propiedad que se encuentra con mucha frecuencia en ciertas áreas

de matemáticas. A menudo se hace uso de la representación de funciones en series de la

forma:

00

L C I l Jn(X)

n=O

en las que las Cn son coeficientes numéricos y {f,,(X)} es un conjunto ortogonal.
Existe mucha literatura acerca de los conjuntos de funciones ortogonales. El estudiante

que desee continuar el estudio del tema más allá del material dado en este capítulo, puede
conseguir su información en cursos y libros sobre polinomios ortogonales, series de Fou-
rier, análisis de Fourier, etcétera.

Una versión sencilla de un teorema sobre funciones ortogonales puede enunciarse co-
mo sigue: dado un conjunto de funciones:

{ct>o(x) , ct>j (x), ct>2(X), ... , ct>n(x), ... },

linealmente independientes y continuas en el intervalo a ::::::: x ::::::: b, y dada una función de
peso OJ(x) positiva y continua en el mismo intervalo, tendremos un conjunto de funciones:

{Jo(x) , JI (x), h(x), ... , Jn(x), ... }

418

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21.3 Polinomios ortogonales 419

con las propiedades siguientes:

(a) Cadafn (x) es una combinación lineal de las cjJ.
(b) Las!" (x) son linealmente independientes en el intervalo a:::; x:::; b.

(e) {f" (x)} es un conjunto ortogonal con respecto a la función de peso w (x) en el inter-

valo a:::; x:::; b.

Ya sabemos que las funciones l,x,x?-, ... ,x', ... son linealmente independientes y continuas

en cualquier intervalo finito. Las combinaciones lineales de potencias de x son polinomios. De
aquí que, dado un intervalo y una función de peso apropiada, exista un conjunto de polinomios
ortogonales con respecto a esa función de peso en ese intervalo. Dadas ciertas condiciones adi-
cionales en la función de peso, puede eliminarse la restricción de que el intervalo sea finito.

121.21 Conjuntos simples de polinomios

Un conjunto de polinomios como {f,,(x)} , n = 0, 1, 2, 3, ... , es llamado conjunto simple si

!,,(x) es precisamente de grado n. Entonces el conjunto contiene un polinomio de cada gra-

do, 0, 1, 2, ... , n, . ..

Una propiedad importante de los conjuntos simples es que si gm(x) es cualquier polino-

mio de grado m y {f,,(x)} es un conjunto simple de polinomios, entonces existen constan-

tes ck tales que:

Lm (1)

gm(x) = ckfk(X).

k=O

Para demostrar que esto es cierto supongamos que el término de mayor grado en g",(x)

es amx", y el término de mayor grado enfm(x) es bmr'. Definamos cm = am/ bm, con bm =1= O.
Entonces el polinomio:

es, cuando mucho, de grado (m - 1). En este polinomio usamos el mismo procedimiento
aplicado en gm(x). Se deduce que existe una cm _ l ' tal que:

gm(x) - cmfm(x) - Cm-dm-I(X)

es, cuando mucho, de grado (m - 2). Repitiendo el proceso se obtiene la ecuación (1) en

(m + 1) pasos. Tenga en cuenta que cualquier ek puede ser cero, excepto cm'

121 .3 1Polinomios ortogonales

Ahora obtenemos una condición equivalente a nuestra definición de ortogonalidad (sec-
ción 21.1) para polinomios.

Teorema 21.1 Si {!,,(x)} es un conjunto simple de polinomios, una condición necesaria y sufi-
ciente para que {!,,(x)} sea ortogonal con respecto a w (x) en el intervalo a :::; x :::; b

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420 Capítulo 21 Conjunto de funciones ortogonales

es que: ¡b W(X)X k fn(x) dx = O,

#0, k = 0,1,2, ... , (n - 1), (1)
k = n.

Demostración. Suponga que se satisface (1). Ya que {.xk} es un conjunto simple, po-
demos escribir:

m (2)

fm(x) = ¿akxk .

k=O

Si m < n, por la expresión (1) se deduce que:
¡b ¡bm
w(x)fm(x)fn(x)dx = ¿ak w(x)xkfn(x)dx = O

a k=O a

ya que cada k resultante es menor que n. Si m > n, intercambiamos los papeles de m y n y

¡b 2 ta ¡brepetimos el argumento. Si en (2) m = n, entonces an =1= O, y tenemos:
w(x)fn (x)dx = ak w(x)x k fn(x)dx

¡b= an w(x)xnfn(x) dx # O.

Por lo tanto, vemos que la condición (1) es suficiente para la ortogonalidad del conjunto
if/x )}.

Ahora supongamos que {f,,(x)} satisface la condición de ortogonalidad como se estable-
ció en la sección 21.1. Como if/x)} es un conjunto simple, podemos escribir:

k (3)

xk = ¿bmfm(x).

m=O

Si k < n, se deduce que:

la la[b w(x)xk fn(x) dx [b
= ~k bm = o,
W(X)!m(x)fn(x) dx

ya que ninguna m puede ser igual a n. Si en (3) k =n, entonces bn =1= O, y tenemos:
¡b 1; ¡bw(x)xnfn(x) dx =
bm w(x)fm(x)fn(x) dx

¡b 2= bn w(x)fn (x) dx # O.

Esto complementa la demostración del teorema 21 .1. •

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21.4 Ceros (raíces) de polinomios ortogonales 421

121.41 Ceros (raíces) de polinomios ortogonales

Ahora mostraremos que los polinomios reales y ortogonales tienen todos sus ceros reales
y diferentes y que están en el intervalo de ortogonalidad.

Teorema 21.2 Si {fn (x)} es un conjunto de polinomios reales y ortogonales con respecto a w (x) en el

intervalo a ::::; x ::::; b, Y si ro (x) > Oen a < x < b, entonces los ceros de fJx) son distintos y
todos están en el intervalo abierto a < x < b.

Demostración. Para n ;:::: 1, cada uno de los polinomiosfn(x) cambia de signo en el in-

tervalo a < x < b ya que, por el teorema 21.1 (con k = O),

y w (x) no cambia de signo en a < x < b.
Suponga que!,,(x) cambia de signo en a < x < b precisamente en los puntos distintos

x = a¡, a 2, ... , a s' Las a son precisamente los ceros de multiplicidad impar de!,,(x) en el

intervalo. Comofn(x) es de grado n, tiene n ceros, tomando en cuenta la multiplicidad.

Así sabemos que s ::::; n.

Construimos la función:

1/f(x) = (x - a¡)(x - a2)' .. (x - as)' (1)

Entonces, en a < x < b, 'V(x) cambia de signo en x = al' ~, ..., a syen ningún otro punto.
Si s < n , 'V(x) es de grado menor que n, aSÍ:

(2)

por la aplicación del teorema 21.1 a cada término en la forma desarrollada de 'V(x). Pe-

ro el integrando en (2) no cambia de signo en ningún punto en el intervalo de integra-

ción, ya que w (x) > Oy las funcionesfn(x) y lj/(x) cambian de signo precisamente en los

mismos puntos. Por lo tanto, la integral en (2) no puede anularse y suponer que s < n

nos llevó a una contradicción.

Así tenemos s = n. Esto es, entre los n ceros defn(x) existe exactamente una cantidad

n que tiene multiplicidad impar en el intervalo a < x < b. Por lo tanto, cada cero es de

multiplicidad uno; los ceros son distintos. La demostración del teorema 21.2 está ahora

terminada. •

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422 Capítulo 21 Conjunto de funciones ortogonales

12 1 .51Ortogonalidad de los polinomios de Legendre (1)

Los polinomios de Legendre:

( 1-X)Pn(x) = F -n, n + 1; 1; - 2-

de la sección 19.8 se obtuvieron resolviendo la ecuación diferencial: (2)

(1 - x2)y" - 2xy' + n(n + l)y = O.

Los P" (x) forman un conjunto simple de polinomios para los cuales ahora obtendremos
una propiedad de ortogonalidad.

De (2) tenemos:

(1 - x2)p~'(x) - 2xP~(x) + n(n + 1) Pn(x) = O,

d (3)
D- -d-x·

Para el Índice m tenemos:

(4)

Estamos interesados en encontrar el producto pnJx) Pn (x). Entonces multiplicamos (3)
por el polinomio PnJx) , (4) por el P,,(x) y restamos para obtener:

Pm(x)D [ (1 - x2)p~(x) ] - Pn(x)D[ (1 - x2)p~(x)]

+ [n(n + 1) - m(m + 1)] Pm(x)Pn (x) = O.

La ecuación anterior puede volver a escribirse como:

+(n 2 - m 2 n - m)Pm(x)Pn(x) (5)

= Pn(x)D[(1 - X2)p~(x) ] - Pm(x)D[(l - x2)p~(x)].

Ahora, por la fórmula para derivar un producto, obtenemos :

y

De aquÍ que,
D[(l- X2){Pn(x)P~(x) - P~(X)Pm(X)}]
= Pn(x)D[(1 - x2)p~(x )] - Pm(x)D[(1 - x 2)p~(x)].

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21.5 Ortogonalidad de los polinomios de Legendre 423

Además, n2 - m2 + n-m = (n - m)(n + m + 1). Por lo tanto, podemos escribir (5)

como:

+ +(n - m)(n m I)Pm(x)Pn(x) = D [ (1 - x2){ Pn(x)P~(x) - P~(X)Pm(X)}].

(6)

Hemos expresado el producto de cualesquiera dos polinomios de Legendre como una
derivada. Las derivadas son fáciles de integrar. La ecuación (6) nos da:

lb+ +(n - m)(n m 1) Pm(x)Pn (x) dx

= [ (1 - x2){ PIl(X)P~(x) - P~(X)Pm(X)}t (7)

Podemos seleccionar cualesquiera a y b que deseemos . Ya que (1 - x2) es cero en

x = - 1 Yen x = 1, concluimos que: (8)

¡II+ +(n - m)(n m 1) Pm(x) Pn(x) dx = O.

Como n y m son enteros no negativos, n + m + 1 =1= O. Se deduce que si m =1= n, n - m =1= O,

Y de (8) se tiene:

(9)

2Los polinomios de Legendre son reales, así que: J~ I Pn (x) =1= O.

Hemos demostrado que los polinomios de Legendre {P/x)} forman un conjunto orto-

gonal con respecto a la función de peso w (x) = 1 en el intervalo -1 < x < 1. Como

{P (x)} es un conjunto simple de polinomios reales, se le pueden aplicar los teoremas de
II

las secciones 21.3 y 21.4.

Un estudio adicional de PII(x) ocuparía más espacio del apropiado en un texto básico de

ecuaciones diferenciales. A continuación listamos unas cuantas de las propiedades más

sencillas, de entre cientos de propiedades conocidas, de estos interesantes polinomios:

+ L00
(1 - 2xt t 2) - 1/2 = PII(x)tn, (10)

n=O (11)

JI 2 (12)
+P;(x) dx = - - , (13)
(14)
-1 2n 1 (15)

d
D =-

dx'

+xP~(x) = nPn(x) P~ _ I (x) ,

(x 2 - I)P~(x) = nxPn(x) - nPn - l(x),

nPn(x) = (2n - I)XPn-I(X) - (n - 1)Pn-2(X).

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424 Capítulo 2/ Conjunto defunciones ortogonales

121.61 Otros conjuntos ortogonales

En el capítulo 19 resolvimos varias ecuaciones diferenciales del tipo hipergeométrico. En
la sección 19.4 analizamos el polinomio de Laguerre:

n (-n)kxk n (_1)k n !xk

Ln(x) = {; (k!)2 = {; (k!)2(n - k)! (1)

como una solución de la ecuación diferencial: (2)

+ +xL;;(x) (1 - x)L;, (x) nLn(x) = O.

La ecuación (2) puede escribirse en la forma: (3)

+D[xe - X L~(x)J ne - x Ln(x) = 0,

de la cual se deduce la ortogonalidad del conjunto de los polinomios de Laguerre. (Véase
el ejercicio 1.)

El polinomio de Hermite en la sección 19.7,

[n /2] (_l)k n! (2x y - 2k (4)
Hn(x) = { ; k! (n _ 2k)! '

satisface la ecuación diferencial: (5)

+H;"(x) - 2x H;' (x) 2nHn(x) = O.

La ecuación (5) puede escribirse en la forma: (6)

+D[exp (-x 2)H;'(x) ] 2n exp (-x 2)Hn(x) = 0,

de la que se deduce la ortogonalidad de los polinomios de Hermite. (Véase el ejercicio 3.)
Puede demostrarse que las funciones de Bessel Jn(x) de la sección 19.6 también tienen

propiedades de ortogonalidad, pero eso queda fuera del alcance de este libro. 1

• Ejercicios

1. Utilice la ecuación (3) anterior y el método de la sección 21.5 para demostrar que el

°: ;conjunto de polinomios de Laguerre es ortogonal con respecto a la función de peso e-X

en el intervalo x <oo.

2. Con la ayuda del ejercicio 1, demuestre que los ceros de los polinomios de Laguerre
L (x) son distintos y positivos.

II

3. Utilice la ecuación (6) anterior y el método de la sección 21.5 para demostrar que el
conjunto de los polinomios de Hermite es ortogonal con respecto a la función de peso

e - x' en el intervalo -00 < x < oo.

4. Con la ayuda del ejercicio 3, demuestre que los ceros de los polinomios de Hermite
HJx) son reales y distintos.

1 Por ejemplo, véase, R. Y. Churchill y J. W. Brown, Fourier Series and Boundary Va/ue Prob/ems, quinta edición.
(Nueva York, McGraw Hill Book Company, 1993).

/

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Series de Fourier

122.1 1 Ortogonalidad de un conjunto de senos y cosenos

Las funciones sen ax y cos ax aparecen en la solución formal de ciertos problemas con va-
lores en la frontera en ecuaciones diferenciales parciales, como se indicó en el capítulo 20.
Ahora obtendremos una propiedad de ortogonalidad para un conjunto de tales funciones

con una a especificada. Debemos utilizar un intervalo; suponga que el origen está en el

centro del intervalo de modo que este aparezca en la forma simétrica -c :::; x :::; c.
Demostraremos que el conjunto de funciones:

sen(mrxjc), n =:. I,2,3 , ... }, (1)
{ cos (mrxjc),
n - O, 1, 2, .. .

o

sen (JTxjc), sen (2JTxjc) , sen(3JTxjc), ... , sen(nJTxjc), ... } (1)
{ 1, COS (JTxjc), COS (2JTxjc), cos (3JTxjc), ... , cos (nJTxjc), ... '

es ortogonal con respecto a la función de peso w (x) = 1 en el intervalo -c :::; x:::; c. Esto es,
demostraremos que la integral de x = - c a x = + c del producto de cualesquiera dos

miembros diferentes del conjunto (1) es cero.
Primero consideremos la integral del producto de cualesquiera de las funciones seno y

coseno en (1). El resultado:

11 = l e nJTX kJTX
sen - -cos - - dx = 0

-e C C

se obtiene de inmediato del hecho de que el integrando es una función impar de x; por el mo-
mento el resultado no depende de que k y n sean enteros.

Ahora consideremos la integral del producto de dos funciones seno diferentes del con-
junto (1),

l e nJTX kJTX k -¡. n.
12 = sen - - sen - - dx,
c
-e C

Por simplicidad en la escritura, introducimos una nueva variable de integración; hacemos:

JTX
- = {3,

C

425

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426 Capítulo 22 Series de Fourier

de lo que se obtiene:

dx = -e df3.

n

Entonces /2 puede escribirse como:

/2 = -e ¡1f
n -1f sen nf3 sen kf3 df3.

Ahora, de trigonometría, obtenemos la fórmula:

4 +sen nf3 sen kf3 = [cos (n - k)f3 - cos (n k)f3],

que es útil para realizar la integración deseada. Así, se deduce que la integral se convierte

en :

rJ-1fh = ~ +[cos (n - k)f3 - cos (n k)f3] df3
2n

= ~ [ sen (n - k)f3 _ sen (n + k)f3 J1f ,
n + k -1f
2n n-k

ya que ni (n - k) ni (n + k) pueden ser cero. Como n y k son enteros positivos, sen(n - k)~
Ysen(n + k)f3 se anulan en f3 = 1t Yf3 = -7r; entonces:

/2 = O

para n, k = 1, 2, 3, ... ; k =1= n.

Por último, considere la integral del producto de dos diferentes funciones coseno del

conjunto O),

¡h = e nnx knx

cos - - cos - - dx,
-e e e

donde n, k = 1,2,3, ... ; k =1= n. Aquí el método usado en /2 funciona igualmente bien para

obtener:

/3 = ~ [sen (n - k)f3 + sen (n + k)f3 J1f = O.
n + k -1f
2n n-k

Es fácil ver que la integral del cuadrado de cualquier función del conjunto (1) no se

anulará; su integrando es positivo excepto en un punto ocasional. Los valores de esas inte-

grales se obtienen con facilidad. La integral:

¡/4 = e sen 2 nnx

-- dx

-e e

tiene un integrando par. Por lo tanto, puede escribirse como:

l/4 = 2 esen 2 nnx dx.

--
Oe

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22.2 Series de Fourier: un teorema de desarrollo 427

Métodos elementales de integración conducen a:

re (14 = Jo 1 - cos -2mer-x) dx

e 2mrX]e
= [ x - 2nn sen -e- o = e.

Por lo tanto,

fe ~ nnx para n = 1, 2, 3, ....
sen¿ - - dx = e,
-e e
De la misma manera se concluye que para n > O, siendo n un entero,

f15 = e cos2 nnx dx

--
-e e

= [x + -e- sen -2nn-X]e = e.

2nn eo

Para n = Ola integral 15 se convierte en:

reLeh = 1 . dx = 2e.

Así,

fe cos2 nnx dx = e, para n = 1, 2, 3,

--

-e e .

= 2e, para n = O.

Hemos demostrado que el conjunto:

n::sen(nnx/e), 1, 2, 3, ... } (1)
{ cos (mnx/e), m - O, 1,2, .. ,

es ortogonal con respecto a la función de peso w (x) = 1 en el intervalo -e::; x ::; e. Tam-
bién hemos evaluado las integrales de los cuadrados de las funciones del conjunto (1).

122.21 Series de Fourier: un teorema de desarrollo

Con la hipótesis de que existe un desarrollo en serie del tipo:

f(x) = -1ao + ~L..- (ann cons -x- + bn sen -nn-x) , (1)

2 n=1 e e

válido en el intervalo -e ::; x ::; e, es sencillo determinar los coeficientes, a" y b • 1 Pasan-
ll

do por alto la cuestión de la validez del intercambio en el orden de la suma y la integración,

procedemos como sigue.

!ao1 Pronto se verá una razón de la aparentemente peculiar notación para el término constante.

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428 Capílulo 22 Series de Fourier

Multiplicamos cada término de la ecuación (1) por sen(k nx / c) dx, donde k es un ente-
ro positivo, y luego integramos cada término desde - c hasta +c, así llegamos a:

c f eknx kn x
f(x)sen--dx sen - - dx
f-e = -1ao
c 2 -e
C

L fe f e+ +00
,,= 1
[ an. cos -nn-x sen -kn-x dx b" sen -nn-x sen -krr-x dx ] . (2)

-e C C -e C C

Como se vio anteriormente:

f e nrrx krrx para toda k y n, (3)
cos --sen-- dx = O
-e C C

y

f e nrrx krrx para k f. n; k, n = 1, 2, 3, . . . . (4)
sen - - sen - - dx = O
-e C C

Por lo tanto, cada término del lado derecho de la ecuación (2) es cero excepto para n = k.

Así la ecuación (2) se reduce a:

e f ekrrx _csen 2 krrx dx. (5)
f- c f (x) sen - c- dx = bk
-C-

Ya que:

fc sen 2 krrx dx = C,

--

-e C

tenemos: f ebk = -l

f(x)seknrr-x dx, k = 1, 2, 3, ... ,

C -e C

de la que el coeficiente b en la ecuación (1) se obtiene por un sencillo remplazo de k con
ll

11; esto es,

f ebn = -1 f(x) sennr-rx- dx , n = 1, 2, 3, .... (6)

C -e C

Ahora calculemos las a" de manera análoga. Multiplicamos cos(k nx / c)dx por la ecua-

ción (1) e integramos luego término a término desde x = -c hasta x = +c, obtenemos:

c f ekrrx = l krr x
f f(x) cos - - d x cos - - dx
-ao
2 -e
-e C C

L [ f e f C+ 00 a" cos -nrr-x cos -krr-x dx +b" sen -nrr-x cos -kr-rxdx] . (7)

,, =1 -e C C -e C C

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22.2 Series de Fourier: un teorema de desarrollo 429

El coeficiente de bn en (7) es cero para todas n y k. Si k =1= O, sabemos que:

fe cos nrrx cos krrx dx = O para n i= k,
-- --

-e C C

=C para n = k,

y también el coeficiente de ~ao es cero. Así, para k =1= O, la ecuación (7) se reduce a:

e fekrrx cos2 krrx dx,
f f(x) cos - - dx = ak
--

-e . C -e C

de la que ak y, por lo tanto, a puede determinarse de la misma manera que bk• Por lo tanto,
n

obtenemos:

lfean = - f(x) cos -nrr-x dx, n = 1, 2, 3, .... (8)

C -e C

Ahora determinemos ao- Suponga que k = Oen la ecuación (7); así, tenemos la ecuación:

f e fe L [ fe fef(x) dx = -1ao
2 -e +dx 00 an cos -nrr-x dx + bn sen -nrr-x dx ] .

-e n=] -e C -e C

i:Los términos que incluyen a n ;:::: 1 son cero. En consecuencia,
4f(x) dx = ao(2c),

de lo cual se obtiene:

lfeao = - f(x) dx. (9)

C -e

La ecuación (9) coincide cori la ecuación (8) como un caso especial para n = O. Si el fac-

tod no hubiese sido incluido en la ecuación (1) se habría necesitado una fórmula especial

para resolverla. Así las cosas, escribimos el desarrollo formal como sigue:

f(x) = -1ao + ~~ ( an cos -nrr-x + bn sennr-r-x) (10)

2 n=] C C

fecon,
an = -1 f(x) cos -nrr-x dx, n = o, 1, 2, (11)

feC -e C

1 f(x) s ennrr-x dx, n = 1, 2, 3, (12)
bn = -

C -e C

Antes de continuar con ejemplos y aplicaciones prácticas debemos establecer algunas con-

diciones bajo las cuales la igualdad en (10) tenga sentido. Cuando a y b están dadas por
ll ll

las expresiones (11) y (12) anteriores, la serie del lado derecho de la ecuación (10) es

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430 Capítulo 22 Series de Fourier

f(xl

- c o-4?-----------~~--~------~ x
cc
2

oo

Figura 22.1

llamada serie de Fourier, en el intervalo -c 5 x 5 c, para lafunciónf(x). En seguida te-
nemos un enunciado de condiciones suficientes para asegurar que la serie de Fourier en
(lO) represente a la funciónf(x) de una manera razonablemente significativa.

Suponga quef(x) es continua y diferenciable en todo punto dentro del intervalo -c :5 x :5 c
excepto, cuando mucho, en un número finito de puntos, y en esos puntos suponga quef(x)
y f'(x) tienen límites a la derecha ya la izquierda. Tal función se muestra en la figura 22.1.

Teorema 22.1 Bajo lo estipulado en el párrafo precedente, la serie de Fourier paraf(x), a saber, la se-
rie del lado derecho en la ecuación (10) con coeficientes dados por las ecuaciones (11) Y
(12), converge al valor def(x) en cada punto de continuidad def(x); en cada punto de dis-
continuidad def (x) la serie de Fourier converge a la media aritmética de los valores ha-
cia los cuales tiende f (x) por la derecha y por la izquierda.

Ya que la serie de Fourier paraf(x) puede no convergir al valor def(x) en todos lados

(por ejemplo, en las discontinuidades de la función), se acostumbra remplazar el signo de

igual en la ecuación (10) por el símbolo rv, que puede leerse "tiene como serie de Fburier".

Escribimos:

Lf(x) ~ -1ao + 00 ( an cos -nn-x + bn sen -nn-x) , (13)

2 n=1 C C

con a" y b" dadas por las ecuaciones (11) Y(12). Un hecho interesante y con frecuencia útil co-
mo verificación en problemas numéricos es que ~ aosea el valor promeqio def(x) en el in-
tervalo - c :s x :s c.

Las funciones seno y coseno son periódicas con periodo 27T, así que los términos en la

serie de Fourier (13) paraf(x) son periódicos con periodo 2c. Por 10 tanto, la serie repre-

senta (converge a) una función que se describió anteriormente para el intervalo - c < x <

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22.3 Ejemplos numéricos de series de Fourier 431

f(x)

/
•

----~~--.---~----~--~~~~--~--~----~----x

-2e 3e -e e O •e e 3e 2e
2
• -"2 22

Figura 22.2

c, y repite esa estructura una y otra vez fuera de ese intervalo. Para la función que se mues-
tra en la figura 22.1, la correspondiente serie de Fourier convergiría a la función periódica
mostrada en la figura 22.2. Observe la convergencia al valor promedio en las discontinui-
dades, la periodicidad y la manera en que juntas determinan el valor al que converge la

serie en x = c y x = - c.

Estos conceptos serán ampliamente ilustrados en los ejercicios numéricos de la sección
siguiente.

122.3 1Ejemplos numéricos de series de Fourier

Ahora construiremos las series de Fourier para dos ejemplos específicos.

EJEMPLO 22.1
Construya la serie de Fourier en el intervalo:

- 2:S;x:S;2

para la función definida por:

f(x) = 2, -2 < x :s O, (1)

= x, O < x < 2,

y bosqueje la gráfica de la función a la que converge la serie.

Primero dibujamosf(x), el resultado se muestra en la figura 22.3. Observe quef(x) só-

lo está definida para x entre x = - 2 y x = +2.

Para la función descrita en (1),

f(x) '" -1ao + ~ ( an cos -nn-x + bn sennn--x) ,

L-,

2 n=1 2 2

en la que: 12

an = -1 f(x) cos -nn-x dx; n = O, 1, 2, ... , (2)
-2 2
2

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432 Capítulo 22 Series de Fourier

f(x )

- 2 o~------------~----------~~ x

Figura 22.3

¡2y
= 21 nlrX n = 1, 2, 3, .. .. (3)

bn f(x)sen -- dx;
-2 2

Como en la descripción def(x) se utilizaron fórmulas diferentes en los dos intervalos

-2 < x < O Y O < x < 2, es conveniente separar las integrales en (2) y (3) en las partes

¡O 112correspondientes. Así, insertando laf(x) de (1) en la integral (2) llegamos a la forma:
an = -1 2 cos -nlr-X dx + - x cos -nlrX- d x. (4)
2 -2 2 2o 2

Para estas integrales, el método de integración diferirá de acuerdo con n es igualo diferen-

te de cero. .

Si n =1= O, entonces:

2 . ]2an =
2 nlrX o + -1 [2 nlrX + ( -2 ) nlrX ,
-[sen - ] - nlr o
xsen - cos - 2
nlr 2 - 2 2 nlr 2

o

.~[O ~ (~) 2 (~) 2]an = nlr
_ O] + [O + cosnlr _ O_

2 nlr nlr .

Por lo tanto, para n =1= O, las an están dadas por la fórmula :

-2(1-cosnlr) n = 1, 2, 3, .... (5)

Para n = Ola integración anterior no es válida (por la división entre n) , pero regresamos

a (4) , hacemos n = O, Yobtenemos:

1¡ O 112ao = -
2dx + - x dx ,
2 -2 2o

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22.3 Ejemplos numéricos de series de Fourier 433

de donde:

ao = [X]~2 + ~[x2]6 = 2 + 1 = 3.

Las b pueden obtenerse de manera análoga. Con base en (3) y en (1) se deduce que:
1¡O 112n
bn = - 2sen -mr-x dx + - x sen -nrr-x dx.
2 -2 2 2 o2

Así,

2 ] 2bn =
2 nrrx o + -1 [ - ( 2 )xcos nrrx + (-2 ) nrrx ,
-[- cos-] -nrr -2 s e n2 - o
nrr 2 -2 2 nrr

=de la que, como cos( - mr) COS(n7T),

b" = -2[ - 1 + cosnrr] + -1 [ - -2 . 2cosnrr + O+ O- O] ,

nrr 2 nrr
o

bn = 2 n = 1, 2, 3, .... (6)
--,
nrr

Cuando n es un entero, cos n7T = ( - 1)", como se ve examinando ambos miembros para

n par e impar. Por lo tanto, la fórmula (5) también puede escribirse como:

n = 1, 2, 3, .... (7)

Ahora podemos escribir la serie de Fourier, en el intervalo -2 < x < 2 para laf(x) de este

ejemplo,

Jf(x) '" -3 - 2 Loo [ 1 - (- 1)" cos -nrr-x + - 1 sennr-r x- · . (8)
2 ,,=1 n2rr 2 2 nrr 2

Pueden hacerse varias observaciones pertinentes acerca de (8). Ahí el miembro derecho

converge hacia la función mostrada en la figura 22.4. Converge af (x) en cada punto en

dondef(x) está definida excepto en la discontinuidad en x = O. Aunquef(O) = 2, las series

convergen a uno en x = O.

Por lo tanto, podemos escr~bir:

3 [1 - 1f(x) = - - 2 Loo
(-1)" cos -nrr-x + -senn-rr-x] (9)
2 ,,= 1 n2rr 2 2 nrr 2

para - 2 < x < OYpara O< x < 2.

Algunas veces es conveniente definir una nueva función <!>(x) como sigue:

</J(x) = f(x), -2 <x < O,
= 1, x =0,

= f(x), O <x < 2

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434 Capítulo22 Series de Fourier

~)

•

----~----~----~----~----~2----~4~----~6---%

Figura 22.4

y

<f>(x + 4) = <f>(x) .

Esta <jJ(x) es la función mostrada en la figura 22.4. Si <jJ(x) se pone en el lugar def(x) en (8),

el símbolo rv puede remplazarse por el símbolo = para toda x.

Ya que [1 - (_1)"] es cero para n par, la serie de Fourier del lado derecho en (8) puede

escribirse de la forma un poco más condensada:

+f
~ 3 4 ~ cos [(2k I)Jrx/2] 2 ~ sen (nJrx/2) . (10)
(x) - 2 L. 2 - - L. .
-
+2 Jr k=O Jr n= 1 n
(2k 1)

Este es un caso en el que fácilmente se justifica un reacomodo de los términos, pasando de
(8) a (10). Volveremos a (lO) cuando se estudien las secciones de series de Fourier en
términos de senos y de cosenos.

Ahora usaremos el desarrollo en (8) o (10) para sumar dos series numéricas. Por ejemplo,
si hacemos x - Oen (10), las series tienen como suma la unidad, como se indicó anterior-
mente. De aquí que:

o

00 1 Jr2
L (2k+ 1)2 = 8'
(11)

k=O

Para x = 1, las series en (10) tienen otra vez el valor de uno. Usando x = 1 en (10),

llegamos a f f1 = ~ - ~ cos [(2k + 1)Jr/2] _ ~ sen (nJr/2)

2 Jr2 k=O (2k + 1)2 Jr n=l n.

Ahora cos[(2k + 1)p/2] = OYsen(n7T /2) pueden obtenerse como sigue. Para n par, n = 2k,

obtenemos:
2kJr

sen --- = sen kJr = O.
2

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