ecuaciones-diferenciales-rainville-bedient-bedient

5.3 Sustitución sugerida por La ecuación 85

y la ecuación (1) se transfonna en:

(v -l)(dv - 2dy) + 3vdy = 0,

o

(v - 1) dv + (v + 2) dy = O.

Ahora las variables pueden ser separadas. De la ecuación en la fonna:

v- 1
--dv+dy =0,
v+2

obtenemos:

°( 1 -
_3_) dv + dy =

v+2

y luego:

v - 31n Iv + 21 + Y + e = O.

Pero v = x + 2y, así que nuestro resultado final es:

x + 3y + e = 31n Ix + 2y + 21. •

EJEMPLO 5.8
Resuelva la ecuación:

(1 + 3x sen y) dx - x2 cos y dy = O. (2)

Hacemos sen y = w. Entonces cos y dy = dw y la ecuación (2) se transfonnan en:

(1 + 3xw)dx -x2dw = 0,

una ecuación lineal en w. De la fonna canónica:
3 dx

dw - -wdx =-
x x2

se ve que un factor integrante es:

La aplicación del factor integrante produce la ecuación exacta:
x-3 dw - 3x-4w dx = x-s dx,

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86 Capítulo 5 Temas adicionales sobre ecuaciones de orden uno

°tanto para x > como para x < 0, de lo cual obtenemos:
+X -3 W = -;¡1:x - 4 ;1¡:C,

o
4xw = cx4 - l .

De aquí que el conjunto solución para la ecuación (2) sea,

4x sen y = cx4 - 1.

15.4 Ecuación de Bernoulli •

Una ecuación bien conocida que se ajusta a la categoría vista en la sección 5.3 es la ecua-

ción de Bemoulli,

y' + P(x)y = Q(x)yn. (1)

Si n = 1 en la ecuación (1) las variables serán separables, así que nos concentraremos en el

caso donde n =1= l. La ecuación (1) puede ponerse en la forma:

y-n dy + py- n+l dx = Qdx. (2)

Pero la diferencial de y-n+l es O - n)y-ndy, entonces la ecuación (2) puede ser simplifica-

da escribiendo: .

y-n+l = z,

de la cual,

O - n)y-n dy = dz.

Así la ecuación en z y x es:

dz + 0- n)Pzdx = 0- n)Qdx,

una ecuación lineal en forma canónica. En consecuencia, cualquier ecuación de Bemoulli
puede ser resuelta con la ayuda del cambio de variable anterior (a menos que n = 1, que es
cuando no se necesita ninguna sustitución).

EJEMPLO 5.9
Resuelva la ecuación:

y(6l- x - 1) dx + 2x dy = O. (3)

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5.4 Ecuación de Bernoulli 87

Primero agrupamos los términos de acuerdo con las potencias de y, escribiendo:

2x d y - y(x + 1) dx + 6l dx = O.

Ahora puede verse que tenemos una ecuación de Bemoulli, ya que sólo involucra términos
que contienen, respectivamente, a dy, y y y" (aquí n = 3). Por lo tanto, dividimos todo en-
tre y3, obteniendo:

Esta ecuación es lineal en y-2, así que ponemos y-2 = V, lo cual nos da dv = -2y-3dy,
además necesitamos resolver la ecuación:

x d v + v (x + 1) dx = 6 dx ,

o

dv + v(1 + x-l) dx = 6x- 1 dx. (4)

Ya que,

exp (x + In Ixl) = Ixlex

es un factor integrante para (4), la ecuación:

xeX dv + vex (x + 1) dx = 6ex dx

es exacta. Su conjunto solución es:

que junto con v = y-2, nos lleva al resultado final,

•

EJEMPLO 5.10
Resuelva la ecuación:

61 dx - x(2x 3 + y) dy = o. (5)

Ésta es una ecuación de Bemoulli con x como la variable dependiente, así que puede re-

solverse como en el ejemplo 5.9. Ese método de solución se deja para los ejercicios.

La ecuación (5) también puede ser tratada como sigue; observe que si cada miembro es
multiplicado por x2, la ecuación se transforma en:

61x2 dx - x 3(2x 3 + y) dy = o. (6)

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88 Capítulo 5 Temas adicionales sobre ecuaciones de orden uno

En la ecuación (6), la variable x aparece sólo en las combinaciones de x3 y su diferencial

3x2dx. De aquí que una selección razonable de una nueva variable sea w = x3. La ecuación

en w y y es:

2idw - w(2w + y)dy = O,

tenemos entonces una ecuación con coeficientes homogéneos de grado dos en y y w. El

nuevo cambio de variable w = zy conduce a la ecuación:

2y dz - z(2z - 1) dy = O,

4dz 2dz dy
------=0.
2z - 1 z y

Por lo tanto, 2ln 12z - 11 - 2ln Izl-In Iyl = In lel,
o

Pero z = w / y = x3 / y, de modo que las soluciones que buscamos están determinadas por:

• Ejercicios •

En los ejercicios 1 al 20 resuelva cada ecuación.

1. (3x - 2y + 1) dx + (3x - 2y + 3) dy = O.

2. sen y(x + seny) dx + 2x2 cos y dy = O.

3. dy/dx = (9x+4y+1)2. 5. dy/dx=sen(x+y).
4. y'=y_ xy3e-2x. 6. xydx+(x 2 -3y)dy=0.

7. (3 sen y - 5x) dx + 2x2 coty dy = O.

8. y' = 1 + 6x exp (x - y) .

9. dv/du = (u - v)2 - 2(u - v) - 2.

10. 2y dx + x(x2 1n y - 1) dy = O.
11. (ke2v - u) du = 2e2v (e 2v + ku) dv.

12. y'tanxsen2y = sen2 x+cos2 y.

13. (x + 2y - 1) dx - (x + 2y - 5) dy = O.

14. y (x tan x + In y) dx + tan x dy = O.

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5.5 Coeficientes lineaies en dos variables 89

* *15. xy' - y = x!'y", donde n 1 Y k + n 1.

16. (3 tan x - 2 cos y) sec2 x dx + tan x sen y dy = O.
17. (x + 2y - 1) dx + (2x + 4y - 3) dy = O. Resuélvala por dos métodos.
18. Resuelva la ecuación 6y2 dx - x(2x3 + y)dy = O del ejemplo 5.10 tratándola como

una ecuación de Bemoulli en la variable dependiente x.

19. 2:x3y' = y(y2 + 3X2). Resuélvala por dos métodos.

20. cos y sen 2x dx + (cos2 y - cos2 x) dy = O.

21. Resuelva la ecuación del ejercicio 15 para los valores de k y n no incluidos ahí.

En los ejercicios 22 al 27 encuentre la solución particular requerida.

22. 4(3x + y - 2)dx - (3x + y)dy = O; cuando x = l,y = O.
23. y' = 2(3x + y)2 - 1; cuando x = O, Y = 1.

24. 2xyy' = y2 - 2x3• Encuentre la solución que pasa'por el punto (1, 2).

25. (y4 - 2xy)dx + 3x2dy = O; cuando x = 2, Y = l.
26. (2y3 - :x3)dx + 3xy2dy = O; cuando x = 1, Y = l. Resuélvala por dos métodos.
27. (x2 + 6y2)dx - 4xydy = O; cuando x = 1, Y = l. Resuélvala por tres métodos.

5.5 Coeficientes lineales en dos variables

Considere la ecuación:

(1)

en la que a, b y e son constantes. Ya sabemos cómo resolver el caso especial en que el = O

ye2 = O, ya que entonces los coeficientes en (1) son, cada uno, homogéneos y de grado uno

en x y y. Por 10 tanto, es razonable tratar de reducir la ecuación (1) a esa situación.

En conexión con la ecuación (1), considere las rectas:

alx + bly + el = O, (2)
a2x + b2y + e2 = O.

Que pueden ser paralelas o intersecarse. No tendremos dos rectas si al y bl o a2 y b2 son
cero, pero entonces la ecuación (1) será lineal en una de sus variables.

Si las rectas dadas en (2) se intersecan, sea (h, k) el punto de intersección. Entonces la
traslación:

x = u +h, (3)
y=v+k

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90 Capítulo 5 Temas adicionales sobre ecuaciones de orden uno

cambiará las ecuaciones (2) en ecuaciones de rectas que pasan por el origen del sistema de
coordenadas uv, esto es,

alu+hv=O, (4)

+a2U b2v = O.

Por lo tanto, ya que dx = du y dy = dv, el cambio de variables:

x = u +h,

y = v +k,

donde (h, k) es el punto de intersección de las rectas (2), transformará la ecuación diferen-
cial (1) en:

(5)

una ecuación que sí sabemos cómo resolver.
Si las rectas (2) no se intersecan, suponemos que existe una constante k tal que:

de modo que la ecuación (1) aparece en la forma:

(alx + bly + CI) dx + [k(al x + bl y ) + C2] dy = O. (6)

La repetición de (alx + b¡y) en la ecuación (6) sugiere la introducción de una nueva varia-
ble w = alx + bly. Entonces la nueva ecuación, en w y x o en w y y, es una ecuación con

variables separables, ya que sus coeficientes contienen sólo a w y a las constantes.

EJEMPLO 5.11
Resuelva la ecuación:

(x + 2 y - 4) dx - (2x + y - 5) d y = O. (7)

Las rectas: x + 2y - 4 = O
y

2x+y-5=O

se intersecan en el punto (2, 1). De aquí que escribimos:

x = u + 2,

y =v+l.

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5.5 Coeficientes lineales en dos variables 91

Entonces la ecuación (7) se transforma en: (8)

(u + 2v) du - (2u + v) dv = 0,

que tiene coeficientes homogéneos y de grado uno en u y en v. Por lo tanto, hacemos u = vz,
lo que transforma a (8) en:

(z + 2)(zdv + vdz) - (2z + l)dv = 0,

o

(Z2 - 1) dv + vez + 2) dz = O.

La separación de las variables v y z nos lleva a la ecuación:

- +dv (z+2)dz =0.
V 2 1
Z-

Con la ayuda de fracciones parciales, podemos escribir la ecuación anterior en la forma:

De aquí obtenemos: 2dv + 3dz _ ~ = O.

v z -l z +l

2ln Ivl + 31n Iz - 11-1n Iz + 11 = In lel,

de la cual se deduce que:

o

+(vz - v)3 = e(vz v).

Ahora vz = u, así que un conjunto de soluciones aparece como:

= +(u - v)3 e(u v).

Pero u = x - 2 Yv = y - l. Por lo tanto, el resultado requerido en términos de x y y será:

+(x - y - 1)3 = e(x y - 3).

Para conocer otros métodos de solución de la ecuación (7), remítase a los ejercicios 22

y 29 al final de esta sección. •

EJEMPLO 5.12 (9)
Resuelva la ecuación:

(2x + 3y - 1) dx + (2x + 3y + 2) dy = 0,

bajo la condición de que y = 3 cuando x = l.

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92 Capítulo 5 Temas adicionales sobre ecuaciones de orden uno

Las rectas: 2x + 3y - 1 = O
y 2x + 3y + 2 = O

son paralelas. Por lo tanto, procedemos, como lo habríamos hecho a primera vista de la
ecuación, haciendo:

2x + 3y = v.

Entonces 2 dx = dv - 3 dy, Yla ecuación (9) se transforma en:

(v - l)(dv - 3dy) + 2(v + 2)dy = O,

o

(v - 1) dv - (v - 7) dy = O. (lO)

La ecuación (lO) se resuelve fáci lmente, llevándonos a la relación:

v - y + e + 6ln 1v - 71= O.

Por lo tanto, un conjunto solución de (9) es:

2x + 2y + e = -61n 12x + 3y - 71 .

Pero y = 3 cuando x = 1, así que e = - 8 - 6 In 4. En consecuencia, la solución particular
requerida está dada por:

+x + y - 4 = -31n [±(2x 3y - 7»). •

• Ejercicios

En los ejercicios 1 al 17 resuelva las ecuaciones.

1. (y - 2) dx - (x - y - 1) dy = O.

2. (x - 4» - 9) dx + (4x + y - 2) dy = O.
3. (2x - y) dx + (4x + y - 6) dy = O.

4. (x - 4y - 3) dx - (x - 6y - 5) dy = O.

5. (x + y - 1) dx + (2x + 2y + 1) dy = O.
6. (x - 2) dx + 4(x + y - 1) dy = O.

=7 . (x - 3y + 2) dx + 3(x + 3y - 4) dy O.

8. (6x - 3y + 2) dx - (2x - y - 1) dy = O.

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5.5 Coeficientes lineales en dos variables 93

9. (9x - 4y + 4) dx - (2x - y + 1) dy = O.
10. (x + 3y - 4) dx + (x + 4y - 5) dy = O.
11. (x + 2y - 1) dx - (2x + y - 5) dy = O.

12. (x - l)dx - (3x - 2y -' 5)dy = O.

13. (3x + 2y + 7 )dx + (2x - y)dy = O. Resuélvala por dos métodos.
14. (2x + 3y - 5)dx + (3x - y - 2)dy = O. Resuélvala por dos métodos.
15. 2dx + (2x - y + 3)dy = O. Utilice un cambio de variables.

16. Resuelva la ecuación del ejercicio 15 basándose en el hecho de que la ecuación es
lineal en x.

17. (x - y + 2)dx + 3dy = O. Resuélvala por dos métodos.

En los ejercicios 18 al 21, obtenga la solución particular indicada.

18. (2x - 3y + 4)dx + 3(x - l)dy = O; cuando x = 3, Y = 2.

19. Resuelva la ecuación del ejercicio 18 bajo la condición de que cuando x = -1 , Y = 2.

20. (x + y - 4)dx - (3x - y - 4)dy = O; cuando x = 4, Y = 1.
21. Resuelva la ecuación del ejercicio 20 bajo la condición de que cuando x = 3, Y = 7.

22. Demuestre que el cambio de variables:

x = a,u + a2 v, y=u+v

transformará la ecuación:

en una ecuación donde las variables u y v serán separables si a, y a son las raíces de
2

la ecuación:

(B)

*y si a, lXz.Observe que este método de solución de (A) no es práctico a menos que

las raíces de la ecuación (B) sean reales y distintas.

Resuelva los ejercicios 23 al 28 por el método indicadoen el ejercicio 22.

23 . Resuelva el ejercicio 4. Como una forma de verificación, la ecuación (B) para este
caso es:

a2 - 5a+ 6=0,

de modo que podemos elegir a, = 2 Ya2 = 3. La ecuación en u y v se convierte en:

(v - l)du - 2(u + 2)dv = O.

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94 Capítulo 5 Temas adicionales sobre ecuaciones de orden uno

24. Resuelva el ejercicio 3. 26. Resuelva el ejercicio 11.
Resuelva el ejercicio 12.
25. Resuelva el ejercicio 5. 27.

28. Resuelva el ejercicio 5.11 de esta sección.

29. Demuestre que el cambio de variables:

y =u+v

transformará la ecuación:

(C)

en una ecuación que es lineal en la variable u si al es una raíz de la ecuación:

(D)

entonces {3 es cualquier número distinto de al' Observe que este método no es prácti-
co para nosotros a menos que las raíces de la ecuación (D) sean reales; sin embargo,
no necesitan ser distintas, como tuvieron que serlo en el teorema del ejercicio 22. El
método de este ejercicio es particularmente útil cuando las raíces de (D) son iguales.

Resuelva los ejercicios 30 al 34 por el método indicado en el ejercicio 29.

30. Resuelva el ejercicio 10. La única al posible es (- 2). Así f3 puede tener cualquier
otro valor.

31. Resuelva el ejercicio 6.

32. Resuelva el ejercicio 9.

33. Resuelva el ejercicio 12.

34. Resuelva el ejercicio 4. Como se vio en el ejercicio 23, las raíces de la "ecuación a"

son 2 y 3. Por ejemplo, si al = 2 entonces f3 puede tener cualquier valor excepto 2.

Por supuesto, si al = 2 Yf3 = 3, se vuelve al método del ejercicio 22.

5.6
Soluciones que involucran integrales no elementales

Al resolver ecuaciones diferenciales, con frecuencia enfrentamos la necesidad de integrar
una expresión que no es la diferencial de ninguna función elemental. I

Por función elemental entendemos una función estudiada en los cursos de cálculo elemental. Por ejemplo, polino-
mios, exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas son funciones ele-
mentales. Todas las funciones obtenidas a partir de ellas por medio de un número finito de aplicaciones de las
operaciones elementales de suma, resta, multiplicación, división, extracción de raíces y elevación a potencias son
elementales. Por último, incluimos funciones como sen sen x, en las cuales el argumento en una función previamente
clasificada como elemental es remplazado por una función elemental.

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5.6 Soluciones que involucran integrales no elementales 95

A continuación damos una lista pequeña de integrales no elementales:

f exp(-x2)dx e:x

f dx f xtanxdx

f senx2 dx fse:x dx f dx
lnx

f cosx2 dx f -c-odsxx f dx
x ~

Las integrales que involucran la raíz cuadrada de un polinomio de grado mayor que dos,
por lo general, son no elementales. Sólo en casos especiales pueden degenerar en integra-
les elementales.

El ejemplo siguiente presenta dos maneras de tratar problemas en los que surgen inte-
grales no elementales.

EJEMPLO 5.13
Resuelva la ecuación:

y'-2xy=1

bajo la condición inicial de que cuando x = 0, y = l. La ecuación es lineal en y, escribimos

dy - 2xydx = dx

y al obtener el factor integrante exp( - x2)estamos listos para resolver la ecuación: (1)
exp( -x2)dy - 2xy exp( -x2)dx = exp( -x2)dx.

Por supuesto, el miembro izquierdo es la diferencial de y exp( - x2). Pero el miembro dere-

cho no es la diferencial de ninguna función elemental; esto es, f exp( - x2)dx no es una

integral elemental.

Como ayuda, utilizaremos las series de potencias. De la serie:

00 (_1)nx2n
)=¿ ,exp(-x2
n=O n!

obtenida en cálculo, se deduce que:

2 00 (_ltx2n+l
f exp(-x )dx=c+ ~ n!(2n+l)

Así la ecuación diferencial (1) tiene la solución general:

2 00 (_1)n x2n+1

yexp(-x)=c+¿ +1(2 1)'

11=0 n. n

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96 Capítulo 5 Temas adicionales sobre ecuaciones de O1den uno

Puesto que y = 1 cuando x = O, c puede determinarse de:

1 = c + O.

Por lo tanto, la solución particular deseada es:

2 + ~00 (_I)"x 2" + 1 (2)
yexp(-x ) = 1 n!(2n+ 1)'

Un procedimiento alterno es introducir una integral definida. En cálculo, la función de

error definida por:

rxerf = .f2ii Jo exp (_f32) df3 (3)

es estudiada ocasionalmente. Como de (3),

-derf. x = -. 2 i exp (-x 2),

dx fi

podemos integrar la ecuación exacta (1) como sigue:

i.foy exp (_x2) = erf x + c. (4)

Ya que erf O = O, la condición de que y = 1 cuando x = Onos da c = l . De aquí, como una

alternativa para la ecuación (2) obtenemos:

i.foyexp( - x 2) = 1 + erf x. (5)

La ecuación (5) significa lo mismo que: (6)

lx

y exp(-x2) = 1 + exp (_f3 2) df3.

Escribir la solución en la forma de la ecuación (6) implica que la integral definida será

evaluada mediante series de potencias, por integración aproximada tal como la regla de

Simpson, cuadratura mecánica, o cualquier otro recurso matemático adecuado. Si, como

en este caso, sucede que la integral definida es una función tabulada, esto es de gran utili-

dad pero no fundamental. Lo esencial es reducir la solución a una forma que se pueda

calcular. •

• Ejercicios

En cada ejercicio exprese la solución con ayuda de series de potencias o integrales definidas.

1. yl = y[ l - exp (_x2)].

+2. (xy - sen x) dx x2 dy = O.

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5.6 SoLuciones que invoLucran integraLes no eLementaLes 97

3. y' = 1-4x3y.

+4. (y COS2 X - X senx) dx senx cosx dy = O.

5. (1 + xy) dx - X dy = O; cuando X = 1, Y = O.

y](~:)6. [xexp
- dx +xdy = O; cuando x = 1, Y = 2.

7. x(2y +x)dx - dy = O; cuando x = O, y = 1.

• Ejercicios diversos

En cada ejercicio encuentre un conjunto de soluciones a menos que su enunciado estipule otra cosa.

1. (y2 - 3y - x) dx + (2y - 3) dy = O.

2. (y3 + Y + 1) dx + x(x - 3i - 1) dy = O.
3. (x + 3y - 5) dx - (x - y - 1) dy = O.
4. (x 5 - y2) dx + 2xy dy = O.
5. (2x + y - 4) dx + (x - 3y + 12) dy = O.

6. y3 sec2 x dx - (1 - 2y 2 tanx) dy = O.

7. x3 y dx + (3x 4 - y3) dy = O.

8. (x - 4y + 7) dx + (x + 2y + 1) dy = O.

9. xydx + (y4 - 3x2)dy = O.

10. (x + 2y - 1) dx - (2x + y - 5) dy = O.

11. (5x + 3eY) dx + 2xeY dy = O.

12. (3x + y - 2) dx + (3x + y + 4) dy = O.

13. (x - 3y + 4) dx + 2(x - y - 2) dy = O.

14. (x - 2) dx +4(x + y -1) dy = O. 16. 2(x _. y) dx+(3x- y-l) dy = O.

15. ydx=x(1+xy4)dy=0. 17. ydx+x(x 2y - l )dy=0.

18. dyjdx = tanycotx - secycosx.

19. (4x + 3y - 7) dx + (4x + 3y + 1) dy = O.
20. (x + 4y + 3) dx - (2x - y - 3) dy = O.
21. (3x - 3y - 2) dx - (x - y + 1) dy = O.
22. (x - 6y + 2) dx + 2(x + 2y + 2) dy = O.

23. (x - y - 1) dx - 2(y - 2) dy = O.

24. (x - 3y + 3) dx + (3x + y + 9) dy = O.
25. (2x + 4y - 1) dx - (x + 2y - 3) dy = O.

26. y(x -1)dx - (x 2 - 2x - 2y)dy = O.

27. (6xy - 3y2 + 2y) dx + 2(x - y) dy = O.
28. 4 dx + (x - y + 2)2 dy = O.

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98 Capítulo 5 Temas adicionales sobre ecuaciones de orden uno

'*29. Resuelva de dos maneras la ecuación y' = ax + by + e; con b O.

30. (alx + ky + el) dx + (kx + b2y + e2) dy = O.

!.31. 2x dv + v(2 + v2x) dx = O; cuando x = 1, v =

32. (2x - Sy + 12)dx + (7x -4y + IS)dy = O.
33. [1 + (x + y) 2]dx + [1 +x(x + y)]dy = O.

34. (x - 2y - l)dx - (x - 3)dy = O. Resuélvala por dos métodos.

35. (2x - 3y + l)dx - (3x + 2y - 4)dy = O. Resuélvala por dos métodos.

36. Encuentre un cambio de variables que reduzca cualquier ecuación de la forma

xy' = yf(xy)

a una ecuación en la que las variables sean separables.

37. (x4 - 4x2y2 - y4) dx + 4x 3 y dy = O; cuando x = 1, Y = 2.
38. 4ydx + 3(2x -l)(dy + y4 dx) = O; cuandox = 1, Y = 1.

39. y' = x - y + 2. Resuélvala por dos métodos.
40. (x + y - 2)dx - (x - 4y - 2)dy = O.

I 5.7 I Suplemento para computadora

Las técnicas desarrolladas en el presente capítulo para tratar casos especiales son innece-
sarias cuando se utiliza un Sistema de Álgebra Computacional (SAC). La mayoría de las
ecuaciones vistas en el capítulo pueden ser resueltas de manera directa usando las técnicas
elementales de la sección 2.7. Aún si las soluciones involucran "integrales no elementa-
les", con frecuencia un SAC encontrará una solución. Por ejemplo, podemos resolver la
ecuación:

y'-2xy=1

dada en el ejemplo de la sección 5.6 por el comando sencillo Maple:

>dsolve({diff(y( x) ,x)-2 *x*y=1,y(O)=1},y(x));

y (x) = +ex2 ,foerf(x) x22
e.

Es fácil advertir que esto es lo mismo que la ecuación (5) de la sección 5.6 .

• Ejercicios

1. Resuelva una selección de ejercicios del capítulo usando un Sistema de Álgebra
Computacional.

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Ecuaciones 6
diferenciales lineales

I 6. 1 I La ecuación lineal general

La ecuación diferencial lineal general de orden n puede escribirse como

dny + dn-1y + ... + bn- dy + bn(x)y = R(x). (1)
bo(x)- 1( xd)x-
b1(Xd)x-n-- l
dxn

Si el valor de la función R(x) es cero para toda x, entonces la ecuación es llamada ecuación
diferencial lineal homogénea. I Cuando las funciones coeficientes bo"" ,bn y la función R
son continuas en el intervalo /, y bo(x) no se anula en /, se dice que la ecuación (1) es nor-

maten/o

Por ejemplo,

(x - dy +y = sen x

1) -
dx

es una ecuación lineal de primer orden no homogénea y normal en cualquier intervalo que

no contenga a x = 1. Por otra parte,

°éy

3 dx2 + xy =

es una ecuación lineal de segundo orden, homogénea y normal en cualquier intervalo.
Ahora demostraremos que si YI y Y2 son soluciones de la ecuación homogénea:

+bo(x)y<n) bl (x)y<n-l) + ... + bn- 1(x)y' + bn(x)y = 0, (2)

y si c l y c2 son constantes, entonces: (3)

+y = G1Yl G2Y2

es una solución de la ecuación (2).
El enunciado de que YI y Y2 sean soluciones de (2) significa que:

°bo(x)y~n) + bl(X)y~n - l) + ... + bn-1(x)y; + bn(X)Yl =

Tal vez no sea afortunado que la palabra homogénea, como se utiliza aquí, tenga un significado muy diferente al de
las secciones 2.2 y 2.3.

99

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100 Capítulo 6 Ecuaciones diferenciales lineales

y

Ahora multipliquemos cada miembro de (3) por c¡, cada miembro de (4) porc2 y sumemos
los resultados. Obtenemos:

bo(x)(c¡y;n) + c2yin) + b¡ (x)(C¡y;n - ¡) + c2yin- ¡) + .. .

+bn-¡(x)(c¡y; +C2Y~) +bn(x)(c¡y¡ +C2Y2) = O. (5)

Yaquec¡y'¡ + c2y'2 = (c¡y¡ + C2Y2)', y así sucesivamente, la ecuación (5) establece ni más
ni menos que c¡y¡ + C2Y2 es una solución de la ecuación (2). Con esto completamos la
demostración. el caso para una ecuación lineal ho-
Conviene destacar especial c2 = o:

mogénea, cualquier constante por una solución también es una solución.

De manera similar, o por repetición del resultado anterior, puede verse que si Y¡, con

i = 1, 2, ... ,k, son soluciones de la ecuación (2) y si c¡, con i = 1, 2, .. .,k, son constantes,

entonces:

y = c¡Y¡ + C2Y2 + ... + CkYk (6)

es una solución de la ecuación (2).
La expresión en la ecuación (6) es una combinación lineal de las funciones YI , Y2,· "'Yk'

Así, el teorema que se acaba de demostrar puede enunciarse como sigue:

Teorema 6.1 Cualquier combinación lineal de soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea
es también una solución.

I 6.2 I Un teorema de existencia y unicidad

En la sección 2.6 establecimos un teorema de existencia, para un problema de valor inicial,
. en el que aparecía una ecuación diferencial lineal de primer orden. La generalización de
ese teorema a ecuaciones lineales de orden n puede enunciarse como sigue:

Teorema 6.2 Dada una ecuación diferencial lineal de orden n:

dny dn-¡y .+ dy + bn(x)y =
+ + .:
bo(x)- b¡ (x) - n--¡ bn- 1(x) - R(x) (1)
dx" dx dx

que sea normal en un intervalo l. Suponga que Xoes cualquier número en el intervalo 1, y que
Yo' y ¡, · · ·,yn-¡ son n números reales seleccionados arbitrariamente. Existe entonces una

función única Y = y(x) que es una solución de la ecuación diferencial en el intervalo Y

además satisface las condiciones iniciales:

y(xo) = Yo, y'(xo) = y¡,

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6.2 Un teorema de existencia y unicidad 101

La demostración de este teorema para n = 1 fue dada en la sección 2.6 como conse-
cuencia de que toda ecuación lineal normal de primer orden puede hacerse exacta intro-
duciendo un factor integrante. Desafortunadamente, no disponemos de un método de

demostración similar para n > 1. En este libro no demostraremos el teorema 6.2, pero en

el capítulo 13 demostraremos un teorema de existencia y unicidad para ecuaciones de
primer orden en general.

EJEMPLO 6.1
Encuentre la solución única al problema de valor inicial:

y" + y = 0, y(O) = 0, y/(O) = 1. (2)

Observamos que sen x y cos x son soluciones de la ecuación diferencial (2) así que, por
el teorema de la sección 6.1, para cualesquiera C l y c2'

+y = CI sen x C2 cos X

también es una solución.

° ° ° °- °A causa de las condiciones iniciales en (2), debemos escoger C l y c2 de modo que

Cl sen + c2 cos = y C l cos c2 sen = 1. Esto sólo se puede hacer de una manera,

a saber, escogiendo C l = 1 Yc2 = O. Encontramos así que la función sen x es una solución

para el problema de valor inicial (2). Además, ya que el problema satisface las condiciones

requeridas en el teorema 6.2, para cualquier intervalo que contenga a x = 0, sen x es la

única solución al problema planteado en (2). •

EJEMPLO 6.2
Considere el problema de valor inicial:

x2y" + 2xy' - 12y = 0, y(1) = 4, y/(1) = 5. (3)
°La ecuación diferencial es normal para x > o x < O. Como las condiciones iniciales se
establecen para Xo = 1, hacemos 1 igual al intervalo x > O. Es una cuestión sencilla

demostrar que.x3 y x-4 son soluciones de la ecuación diferencial (3), así que para cuales-

quiera constantes Cl y c2'

+Y = CIX 3 C2 X -4

también es una solución. Las dos condiciones iniciales requieren ahora que:

y

Se deduce que c I = 3 Yc2 = 1 y, por lo tanto, la función:
y = 3x3 +x-4

satisface el problema de valor inicial para x> O.

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102 Capítulo 6 Ecuaciones diferenciales lineales

Ahora, por el teorema 6.2, podemos asegurar que la solución que hemos encontrado es

la única válida para x > O. •

• Ejercicios

En los ejercicios 1 al4 determine todos los intervalos en los que la ecuación es normal.

1. (x - l)y" + xy' + y = senx. 3. x2y'" + eXy = lnx.
2. (x 2 - l)y" + 6y = eX. 4. (cotx)y'" + y = O.

En los ejercicios 5 al 8 determine la solución única para el problema de valor inicial, tomando como pauta
los ejemplos de esta sección.

5. y" - y = O, y(O) = 4, y' (O) = 2. Utilice el hecho de que é y e-X son soluciones de la

ecuación diferencial.

6. y" + 4y = O, Y (O) = 2, y'(O) = 4. Utilice el hecho de que sen 2x y cos 2x son solucio-

nes de la ecuación diferencial.

7. y" - 2y' + y = O, y(O) = 7, y'(O) = 4. Utilice el hecho de que é y xé son solu-

ciones de la ecuación diferencial.

8. x2y" + xy' - 9y = O, y(l) = -1, y'(l) = 15. Utilice el hecho de que.x3 y [3 son so-

luciones de la ecuación diferencial.

9. Establezca en lenguaje matemático el siguiente importante corolario del teorema 6.2:

Si la ecuación diferencial es normal y homogénea en 1 y Yo = YI = ... = Yn-I = O,

entonces y = Oes la única solución.

6.3 Independencia lineal

Dadas las funcionesfl'f2'" .,J", si existen constantes cl' c2'·· "cn' y no son todas cero, tales

que:

(1)

par.a toda x en algún intervalo a S; x S; b, entonces las funcionesfl,f2, . .. ,Jn son linealmente

dependientes en ese intervalo. Si no existe tal relación, las funciones son linealmente inde-

pendientes. Esto es, las funcionesfl,J2'" .,J" son linealmente independientes en un inter-

valo cuando la ecuación (1) implique la igualdad:

Debe comprenderse bien que si las funciones de un conjunto son linealmente depen-
dientes, entonces al menos una de ellas es una combinación lineal de las otras; si son li-
nealmente independientes, ninguna de ellas será una combinación lineal de las otras.

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6.4 El Wronskiano 103

I 6.4 I El Wronskiano

Con las definiciones de la sección 6.3 en mente, ahora obtendremos una condición idónea

para que n funciones sean linealmente independientes en un intervalo a :s: x :s: b. Su-

pongamos que cada una de las funcionesJl J 2, . . •,fn es diferenciable al menos (n - 1)

veces en el intervalo a :s: x :s: b. Entonces, de la ecuación:

c¡fl +c2h + ···+cnJn =0, (1)

por diferenciación sucesiva se deduce que:

Cl J{ + cd~ + ... + Cn J~ = O,
ClJ;' + cd~' + ... + cnJ~' = O,

J + + ... +CI I(n-I) C2 /(2n - I) cn f,n(n-I) -- O.

Para cualquier valor fijo de x en el intervalo a :s: x :s: b, la naturaleza de las soluciones

de estas n ecuaciones lineales en Cl' c2' . . . , cn estará dada por el valor del determinante:

JI (x) h(x) Jn(x)
J;(x) J~(x)
J~(x)

W(x) = (2)

=En efecto, si W(xo) =f:: O para alguna X o en el intervalo a :s: x :s: b, se deduce que c I =

c2 = ... = cn O, en consecuencia, las funciones JI J 2, ••• ,fn son linealmente indepen-

dientes en a :s: x :s: b.

A la función W(x) definida por la ecuación (2) se le llama el wronskiano2 de las n fun-

ciones JI' J2,·· · ,fn' Hemos demostrado que si en un punto del intervalo el wronskiano es

diferente de cero, las funciones en ese intervalo serán linealmente independientes. El

recíproco de este enunciado no es verdadero, como se muestra en el ejercicio 10.

Si las n funciones involucradas son soluciones de una ecuación diferencial lineal ho-

mogénea, la situación se simplifica, como lo establece el teorema 6.3. Una prueba de este

teorema en el caso de n = 2 está sugerida en los ejercicios 11 a 14 al final de esta sección.

Teorema 6.3 Si en el intervalo a :s: x:S: b, bo(x) =f:: O, bo' b l , •• •, bn son continuas, y y!' Y2""'Yn son solu-

ciones de la ecuación:

bo/ +n ) b l / n I + ... + bn - Iy' + bny = O, (3)
- )

2 El determinante wronskiano es llamado así en honor del matemático polaco Hoené Wronski (1778- 1853).

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104 Capítulo 6 Ecuaciones diferenciales lineales

entonces una condición necesaria y suficiente para que y!' Y2"'" Y" sean linealmente inde-
pendientes es que el wronskiano de Y" Y2"'" Y" sea diferente de cero en al menos un punto
del intervalo a :::;; x :::;; b.

EJEMPLO 6.3

Considere el conjunto de funciones cos ax, sen ax, sen(ax + b). Estas funciones son li-
nealmente dependientes en cualquier intervalo ya que sen(ax + b) - cos b sen ax - sen b

cos ax = O, para toda x.
Si calculamos el wronskiano para este conjunto de funciones, encontraremos que

W(x) = Opara toda x. Esto no es suficiente para determinar la dependencia lineal de nues-
tro conjunto de funciones. Pero si nos percatamos de que cada una de estas funciones es
solución de la ecuación diferencial:

y '" + a 2y' = O,

entonces debemos aplicar el teorema 6.3, y el hecho de que W(x) = Opara toda x nos garan-

tiza que las funciones son linealmente dependientes en cualquier intervalo. •

EJEMPLO 6.4

Uno de los conjuntos mejor conocidos de funciones de x linealmente independientes es el
conjunto 1, x, x2, •.• ,x"- I . La independencia lineal de las potencias de x se deduce en

seguida del hec ho de que si CI' c 2 , . . . , c no son todas cero, la ecuación:
lI

c + c x + ... + C X,,-I = O
l2 "

puede tener, cuando mucho, (n - 1) raíces distintas y, por lo tanto, el polinomio no puede

•anularse en ningún intervalo. Véase también el ejercicio uno que aparece a continuación .
• Ejercicios

1. Obtenga el wronskiano de las funciones:

1, x, x2, .. .,X" - l para n > l.

2. Demuestre que las funciones eX, eh, e3x son linealmente independientes.

3. Demuestre que las funciones eX, cos x, sen x son linealmente independientes.

4. Demuestre que las funciones son linealmente dependientes, determinando las cons-

c cJ,tantes CI' 2, c3' c4' no siendo todas cero + c2f2 + c3f3 + c4f4 = O.

y tales que,

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6.4 El Wronskiano , 105

5. Demuestre que las funciones cos( ro t - [3), cos ro t, sen oJt son linealmente

dependientes de t.

6. Demuestre que 1, sen x, cos x son linealmente independientes.

7. Demuestre que 1, sen2 x, cos2 x son linealmente dependientes.

8. Demuestre que sify l' son continuas en a :::; x:::; b Yf(x) no es cero para toda x

en a:::; x:::; b, entoncesfy xfson linealmente independientes en a:::; x:::; b.

9. Demuestre que sif, l' y1" son continuas en a :::; x :::; by f(x) no es cero para toda x en

a:::; x:::; b, entoncesf, xfy rfson linealmente independientes en a:::; x :::; b.

10. Seanf¡(x) = 1 +,i3 para x :::; O,f¡(x) = 1 para x 2: O;
f 2(x) = 1 para x :::; O,fix) = 1 +,i3 para x 2: O;

f 3(x) = 3 + x3 para todax.

Demuestre que (a) f,1',f" son continuas para toda x, para cada una de las funciones
fl'f2,f3; (b) el wronskiano def¡,f2,f3 es cero para toda x; (c)f¡ ,f2,f3 son linealmente
independientes en el intervalo -1 :::; x :::; 1. En la parte (e) debe demostrar que si

cJ¡(x) + e2fix) + e3f/x) = Opara todaxen -1 :::; x:::; 1, entonces e¡ = e2 = e3 = O.

Utilice x = - 1, O, 1 de manera sucesiva a fin de obtener tres ecuaciones con que re-
solver para el' e2 y e3•
11. Dado cualquier intervalo a :::; x :::; b donde Xo es un número fijo de tal intervalo y
suponiendo que y es una solución de la ecuación homogénea:

y" + Py' + Qy = o. (A)

Además, suponga que y(xo) = y'(xo) = O. Luego utilice el teorema de existencia y

unicidad de la sección 6.2 para demostrar que y(x) = Opara toda x en el intervalo

a :::;x:::;b.

12. Suponga que y¡ y Y2 son soluciones de la ecuación (A) en el ejercicio 11, Y que el

wronskiano de y¡ y Y2 es cero en a :::; x:::; b. Demuestre que para X oen el intervalo
b, deben existir constantes e¡ y e no siendo ambas cero, tales que:
a :::; x :::; 2 ,

y

13. Considere la función definida por:

y(x) = c¡y¡(x) + C2Y2(X),

donde e¡ y e2 son las constantes determinadas en el ejercicio 12, Demuestre que esta

función es una solución de la ecuación (A) anterior y que de esto se concluye que

y(x) == Oen a :::; x :::; b. (Utilice los resultados del ejercicio 11.)

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106 Capítulo 6 Ecuaciones diferenciales lineales

14. Combine los resultados de los ejercicios 11, 12 Y 13 para obtener una demostración

de la condición de necesidad planteada en el teorema 6.3 cuando n = 2. También ob-

serve que la condición de suficiencia fue comprobada en el texto de esta sección.

6.5 Solución general de una ecuación homogénea

Uno de los resultados fundamentales del estudio de ecuaciones diferenciales lineales está
contenido en el teorema 6.4.

Teorema 6.4 Sea {yl' Y2' ..., yJ un conjunto de soluciones linealmente independientes de la ecuación

lineal homogénea:

para x en el intervalo a ::; x ::; b. Además suponga que la ecuación es normal en
a ::; x ::; b.

Si 4> es cualquier solución de la ecuación (1), válida en a ::; x ::; b, entonces existen

e econstantes el' 2,· •• n tales que:

(2)

Gracias a este teorema podemos definir la solución general de la ecuación como:

(3)

donde cl' c2' ••. ,cn son constantes elegidas arbitrariamente.
En cierto sentido cada solución particular de la ecuación lineal (1) es un caso especial

(para alguna selección de las constantes) de la solución general (3). Las ideas básicas nece-
sarias en la demostración de este importante teorema se presentan aquí para una ecuación
de orden dos. Para ecuaciones de orden superior no hay complicaciones adicionales.

Demostración. Considere la ecuación:

bO(X)Y" + b¡ (X)y' + b2(x)y = o. (4)

Suponga que YI y Y2 son soluciones linealmente independientes de la ecuación (4) en
el intervalo a ::; x ::; b. Por el teorema 6.3, existe un número Xoen el intervalo tal que:

- y;W _!y¡(XO) y;(XO)! # o. (5)
(xo) Y2 (xo)

Se deduce que el sistema de ecuaciones:

C¡ y¡ (xo) + C2Y2 (xo) = ep (xo) ,

y;C¡ (xo) + C2Y~ (xo) = ep'(xo),

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6.6 Solución general de una ecuación no homogénea 107

tiene una solución única C l = cI' c2 = c2• Esto es,
+CIY¡ (xo) C2Y2(XO) = cf>(xo),
c¡Y; (xo) + C2Y~(XO) = cf>'(xo).

Ahora considere la función:

(6)

Ya quefes una combinación lineal de dos soluciones de la ecuación (4) en el intervalo
a ~ x ~ b, también es una solución en ese intervalo. Además,

f(xo) = CIY¡ (xo) + C2Y2(XO) ,
f'(xo) = c¡Y; (xo) + C2Y~(XO),

de modo que f(xo) = c/J(xo) y f'(xo) = c/J '(xo). Se concluye del teorema de unicidad de la

sección 13.2 quef y c/J son la misma solución. Esto es,

cf> = c¡Y¡ + C2Y2,

con lo que se completa la demostración del teorema.

*° •Es necesario tener presente que en el estudio anterior se aprovechó que bo(x) en el

intervalo a ~ x ~ b. Es fácil advertir que la ecuación lineal:

xy' - 2y = 0

tiene la solución general y = cx2, y también soluciones particulares como:

°:s x,

x < O.

x*La solución y l no es un caso especial de la solución general. Pero en cualquier intervalo en

el que bo(x) = 0, esta solución particular sí es un caso especial de la solución general.
Por supuesto, fue construida uniendo dos partes en x = 0, sacada cada una de la solución
general.

6.6 Solución general de una ecuación no homogénea

Sea y cualquier solución particular (no necesariamente con constantes elegidas arbitra-
p

riamente) de la ecuación:

bo/n) + bly(n-I) + ... + bn_¡y' + bny = R(x) (1)

y seayc una solución de la ecuación homogénea correspondiente: (2)

boy(n) + b¡y(n- ¡) + ... + bn_ ¡y' + bny = O.

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108 Capítulo 6 Ecuaciones diferenciales lineales

Entonces,

y = Yc + Yp (3)

es una solución de la ecuación (1). Usando la y de la ecuación (3), vemos que:

bo/n) + . .. + bny = (boy~n) + ... + bllyc)

+ (boy~n) + ... + bnyp) = 0+ R(x) = R(x).

Si Y I , Y2"'" Y son soluciones linealmente independientes de la ecuación (2), tenemos que:
II

Yc = CIYI + C2Y2 + ... + CnYn, (4)

es la solución general de la ecuación (2), en la que las C son constantes seleccionadas arbi-

trariamente. El miembro derecho de la ecuación (4) se llama función complementaria para

la ecuación (1).
La solución general para la ecuación no homogénea (1) resulta de sumar la función

complementaria con cualquier solución particular. Para justificar el uso del término solu-

ción general, es necesario demostrar que si f es cualquier solución de la ecuación (1) ,

entoncesf='=' Yc + Yp para alguna selección particular de las constantes c I , ... , cn' Observemos

que comofy Yp son soluciones de la ecuación no homogénea (1),f - Yp es una solución de la
ecuación homogénea (2). En consecuencia, por el teorema 6.4 de la sección 6.5,

f - Yp == CI Y I + C2Y2 + ... + CnYn

para alguna selección particular de las constantes cl" .., cn' Esto comprueba lo que de-
seábamos demostrar.

EJEMPLO 6.5
Encuentre la solución general de:

y"=4. (5)

En primer lugar, observamos que las funciones 1 y x son linealmente independientes en
cualquier intervalo y son soluciones de la ecuación homogénea y' , = O. Por lo tanto, la fun-
ción complementaria para la ecuación (5) es:

+Y c = CI C2 X .

Por otra parte, la función 2X2 es una solución particular de la ecuación (5). Así que la
solución general de la ecuación (5) es:

+ +y = C I C2X 2x 2. •

EJEMPLO 6.6 (6)
Encuentre la solución general de la ecuación:

Y"- y = 4

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6.7 Operadores diferenciales 109

Se ve fácilmente que y = -4 es una solución de la ecuación (6). Por lo tanto, la yp en la
ecuación (3) puede tomar el valor de (-4). Como veremos posteriormente, la ecuación ho-
mogénea:

y" - y = O

tiene como solución general:

Así que la función complementaria para la ecuación (6) es Cle< + c2e-x, y una solución par-

ticular de (6) es yp = -4. En consecuencia, la solución general de la ecuación (6) es:

+y = clex C2e - x - 4,

en la que cl y c2 son constantes elegidas arbitrariamente. •

I 6.7 I Operadores diferenciales

Suponga que D denota la derivación con respecto de x, D2 1a deri vación doble con respecto
de x, y así sucesivamente; esto es, para cualquier entero positivo k,

La expresión:

(1)

se llama operador diferencial de orden n. Puede definirse como el operador tal que, cuando se
aplica a cualquier función3 y, produce:

dny dn - 1y dy

Ay = a od x -n + a 1x-n d1 + ... +an-1-dx +any. (2)

-

Los coeficientes ao' al" .. , an en el operador A pueden ser funciones de x, pero en este li-
bro la mayor parte de los operadores utilizados tendrá coeficientes constantes.

Dos operadores A y B son iguales si, y sólo si, se obtiene el mismo resultado cuando se
aplica cada operador a la función y. Esto es, A = B si, y sólo si, Ay = By para todas las fun-

cionesy que tengan las derivadas necesarias para las operaciones implicadas.
El producto AB de dos operadores A y B se define como el operador que produce el

mismo resultado obtenido al usar el operador B seguido por el operador A. Así ABy =

A(By). El producto de dos operadores diferenciales siempre existe y es un operador dife-

3 Se supone que la función y tiene tantas derivadas como se requiera en cualquiera de las operaciones que se realicen.

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110 Capítulo 6 Ecuaciones diferenciales lineales

rencial. Para operadores con coeficientes constantes, pero por lo regular no para aquellos

con coeficientes variables, se cumple queAB = BA.

EJEMPLO 6.7

Sean A = D + 2 Y B = 3D - l. Entonces,

By = (3D - l)y = 3 dy - Y
dx

y

-A(By) = (D+2) (3~~ y)

d 2y dy dy

= 3dx2 - dx + 6dx - 2y

d 2y dy

= 3dx2 + 5dx - 2y

+= (3D 2 5D - 2)y.

De aquí que AB = (D + 2)(3D - 1) = 3D2 + 5D - 2.

Ahora considere el operador BA. Al actuar este operador sobre y se obtiene,

(~~B(Ay) = (3D - 1) + 2Y)

En consecuencia, d 2y dy dy

= 3dx2 + 6dx - dx - 2y •

d 2y dy

= 3dx2 + 5dx - 2y
= (3D2 + 5D - 2)y.

BA = 3D2 + 5D - 2 = AB.

EJEMPLO 6.8

Sean G = xD + 2 Y H = D - l. Entonces,

G(Hy) = (xD + 2) (~~ - y)

d 2y dy dy

= X dx2 - x dx + 2dx - 2y

. d 2y dy
=x dx2 +(2-x)dx -2y,

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6.8 Leyesfundamentales de operación 111

así, GH = XD2 + (2 - x)D - 2.
Por otra parte,

(x~~H(Gy) = (D-l) + 2Y)

= ~ (x dy + 2Y) _ (x dy + 2Y)
dx dx
dx

d 2y + -dy + 2d-y dy - 2y
= x- -x-
dx2 dx dx dx

d2y dy
= x - +(3 - x) - - 2y;

dx2 dx

esto es,

HG = XD2 + (3 - x)D - 2.

Es importante hacer notar que aquí tenemos dos operadores G y H (uno de ellos con coefi-

cientes variables) cuyo producto depende del orden de los factores. Véanse los ejercicios

17 a 22 en la sección siguiente. •

La suma de dos operadores diferenciales se obtiene expresando cada uno en la

forma:

aoDn + a¡Dn-¡ + ... + an_¡D + an

y sumando los coeficientes correspondientes. Por ejemplo, si:

A = 3D2 - D + x - 2

y

B = rD2 + 4D + 7,

entonces, A + B = (3 + x2)D2 + 3D + x + 5.

Los operadores diferenciales son operadores lineales; esto es, si A es cualquier operador

diferencial, c¡ y c2 son constantes, y JI y J2 son cualesquiera dos funciones de x con el

número requerido de derivadas cada una, entonces:

6.8 Leyes fundamentales de operación

eSean A, B Y operadores diferenciales cualesquiera como se definió en la sección 6.7. A

partir de las definiciones anteriores de suma y multiplicación, se deduce que los operadores
diferenciales satisfacen lo siguiente:

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112 Capítulo 6 Ecuaciones diferenciales lineales

(a) Ley conmutativa de la suma:
A+B=B+A.

(b) Ley asociativa de la suma:

(A + B) + C = A + (B + C).

(c) Ley asociativa de la multiplicación:
(AB)C = A(BC).

(d) Ley distributiva de la multiplicación con respecto a la suma:

A(B + C) = AB + AC.

(e) Si A YB son operadores con coeficientes constantes, entonces también satisfacen la
ley conmutativa de la multiplicación:
AB=BA

Por lo tanto, podemos afirmar que los operadores diferenciales con coeficientes cons-
tantes satisfacen todas las leyes del álgebra de polinomios con respecto de las operaciones
de suma y multiplicación.

Si m y n son enteros positivos cualesquiera, tenemos que:

un resultado muy útil que surge de inmediato de las definiciones anteriores.
Ya que para propósitos de suma y multiplicación, los operadores con coeficientes cons-

tantes se comportan igual que los polinomios algebraicos, es válido utilizar en esos casos
las herramientas del álgebra elemental. En particular, se puede emplear la división sintética
para factorizar operadores con coeficientes constantes.

• Ejercicios

Efectúe las multiplicaciones indicadas en los ejercicios 1 a14.

1. (4D + l)(D - 2). 3. (D + 2)(D2 - 2D + 5) .
2. (2D - 3)(2D + 3). 4. (D - 2)(D + 1f.

En los ejercicios 5 al 16 factorice cada uno de los operadores.

5. 2D2 + 3D - 2. 9. D 4 - 4D 2 .
10. D 3 - 3D2 +4.
6. 2D2 - 5D - 12. 11. D3 -21D+20.
12. 2D3 - D 2 - 13D - 6.
+7. D 3 - 2D2 - 5D 6.
+8. 4D3 - 4D2 - 11 D 6.

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6.9 Algunas propiedades de los operadores diferenciales 113

13 . 2D4 +11D3 +18D2 +4D-8 . 15. D4 +D3 -2D2 +4D-24.

14. +8D4 36D3 - 66D2 + 35D - 6. 16. D 3 - lID - 20.

Realice las multiplicaciones indicadas en los ejercicios 17 al 22.

17. (D - x)(D + x) . 20. (xD - 1)D.
18 . (D + x)(D - x).
21. (xD + 2)(xD - 1) .
19. D(x D - 1). 22. (xD - 1)(xD + 2).

6.9 Algunas propiedades de los operadores diferenciales

Ya que para la constante m y el entero positivo k se tiene que,

(1)

es fácil encontrar entonces el efecto que tiene un operador sobre enlX • Seaf(D) un polinomio
enD,

(2)

Entonces,

así,

f(D)e mx = emx f(m). (3)

Cuando m es una raíz de la ecuaciónf(m) = OYconsiderando la ecuación (3), tenemos que

f(D) enu = O.

Ahora considere el efecto del operador D -a sobre el producto de ea:< y una función y .
Tenemos,

(D - a)(eax y) = D(eaxy) _ aeax y

= eax Dy

y

(D - a)2(eax y) = (D - a)(eax Dy)
= eax D2 y.

Al repetir la operación, llegamos a:

(4)

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114 Capítulo 6 Ecuaciones diferenciales lineales

Con base en la linealidad de los operadores diferenciales, concluimos que cuandof(D) es
un polinomio en D con coeficientes constantes, entonces:

eax f(D) y = f(D - a)[eax y] . (5)

La relación (5) nos muestra cómo trasladar un factor exponencial que se encuentra a la
izquierda de un operador diferencial, hacia la derecha de éste. Esta relación tiene muchas
aplicaciones, algunas de las cuales examinaremos en el capítulo 7.

EJEMPLO 6.9

Seaf(D) = 2D2 + 5D - 12. Entonces la ecuaciónf(m) = Oes:

2m2 + 5m - 12 = O,

o

(m + 4)(2m - 3) = O,

cuyas ral,ces son mI = - 4 y m2 = "32'

Con ayuda de la ecuación (3) puede verse que:

+(2D 2 5D - 12)e-4X = O

y que:

(2D 2 + 5D - 12) exp (~x) = O.

En otras palabras, YI = e-4x y Y2 = exp( %x) son soluciones de:

(2D2 + 5D - 12)y = O.

•

EJEMPLO 6.10
Demuestre que:

(D - mt(ikemx ) = O para k = 0,1 , ... , (n - 1). (6)

En la ecuación (5) hacemosf(D) = Dn y y = Xk. Entonces, usando la traslación expo-
nencial obtenemos,

Pero Dnxk = Opara k = O, 1, 2,... ,n - 1, que de manera directa nos da la ecuación (6).

Los resultados obtenidos en la ecuaciones (3), (5) y (6) son de importancia fundamental

en la solución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, las que.

consideraremos en el capítulo 7. •

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6.10 Suplemento para computadora 115

EJEMPLO 6.11
Como un ejemplo del uso de la traslación exponencial, resolveremos la ecuación diferencial:

(D + 3)4y = O. (7)

Primero multiplicamos la ecuación (7) por e3x para obtener:

e3x (D + 3)4y = O.

Al aplicar la traslación exponencial igual que en la ecuación (5):

o.=D4 (e3x y)

Luego de integrar cuatro veces obtenemos:

+ + +e3x y = C I C2X C3X 2 C4X 3 ,

y, finalmente,

(8)

Observe que cada una de las cuatro funciones e- 3x, xe-3X, x2e-3x y ~e-3x es una solución
de la ecuación (7). Por supuesto, estamos en posición de asegurar lo anterior dado el teo-
rema de la ecuación (6) en el ejemplo 6.10.

Si ahora demostramos que esas cuatro funciones son linealmente independientes, en-

•tonces la ecuación (8) nos dará la solución general para la ecuación (7). Véase el ejercicio (5).

• Ejercicios

En los ejercicios 1 al 4, utilice la traslación exponencial como en el ejemplo 6.11 para encontrar la solu-
ción general.

1. (D - 2)3 y = O. 3. (2D - 1)2y = O.

2. (D + 1)2y = O. +4. (D 7)6 y = O.

5. Para demostrar que las cuatro funciones del ejemplo 6.11 son linealmente indepen-
dientes en cualquier intervalo, suponga que son linealmente dependientes y com-
pruebe que esto conduce a una contradicción con los resultados obtenidos en el
ejercicio 1 de la sección 6.4.

6. Demuestre que el conjunto de funciones:

es linealmente independiente en cualquier intervalo. Véase el ejercicio 5.

16.101 Suplemento para computadora

Aunque la mayor parte del material estudiado en este capítulo es bastante teórico y, por lo
tanto, no adecuado para su implementación en una computadora, hay dos áreas en las que un
Sistema de Álgebra Computacional puede ayudar. La primera es en la factorización de los

operadores diferenciales. Por ejemplo, el operador D3 - 3D2 + 4 puede ser factorizado con el

comando de Maple:

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116 Capítulo 6 Ecuaciones diferenciales lineales

(D + 1) (D - 2)2

La segunda aplicación computacional muestra que las cuatro funciones exp( - 3x),
x exp( - 3x), x2exp( - 3x) y ilexp( - 3x) del ejemplo 6.11 en la sección 6.9, son linealmente
independientes.
>y: =vector{ [exp{-3 *x) ,x*exp{-3*x),

(x"2) *exp (-3 *x) , (x"3) *exp (-3 *x) 1) ;
>Ans:=det{Wronskian{y,x)) ;
Podemos advertir fácilmente que el wronskiano nunca es cero, de aquí que las funciones
sean linealmente independientes.
• Ejercicios
1. Seleccione algunos ejercicios de factorización de la sección 6.8 y resuélvalos por

medio de una computadora.
2. Resuelva los ejercicios 2, 3, 6 Y7 de la sección 6.4.

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Ecuaciones lineales
con coeficientes
constantes

7.1 Introducción

En este libro se presentan varios métodos para resolver ecuaciones diferenciales que tienen
coeficientes constantes. Una técnica clásica es tratada en este y en el siguiente capítulo.
Los capítulos 14 y 15 contienen un análisis de la transformada de Laplace y su uso en la so-
lución de ecuaciones diferenciales lineales. En el capítulo 12 estudiamos las técnicas ma-
triciales para resolver ecuaciones lineales que contienen coeficientes constantes. Cada
método tiene ventajas y desventajas. En teoría cada uno es suficiente: pero todos son nece-
sarios para lograr una eficiencia máxima.

7.2 La ecuación auxiliar: raíces distintas

Cualquier ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes,

dny + dn - 1y + ... + dy + any = O, (1)
a odx-n ad¡x-n--l a n -dlx-

puede escribirse en la forma:

f(D)y = O, (2)

dondef(D) es un operador diferencial lineal. Como vimos en el capítulo anterior, si m es
cualquier raíz de la ecuación algebraicaf(m) = O, entonces:

f(D)en/x = O,

lo cual significa simplemente que y =en/X es una solución de la ecuación (2). La ecuación:

f(m) = O (3)

es llamada ecuación auxiliar asociada con (1) o (2).

La ecuación auxiliar para (1) es de grado n. Sean sus raíces m¡ ,..., mn. Si estas raíces son
todas reales y distintas, entonces las n soluciones:

Yl = exp (mlx), Y2 = exp (m2x) , Yn = exp (mnx)

117

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118 Capítulo 7 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes

son linealmente independientes y la solución general de (1) puede escribirse de inmediato.
Esto es:

y = C I exp (ml x ) + C2 exp (m2x) + . .. + Cn exp (mnx) ,

en la que Cl' c2' · ·· ' cn son constantes cualesquiera.
Las raíces repetidas de la ecuación auxiliar serán tratadas en la sección siguiente. Las

raíces complejas se estudian hasta la sección 7.5, donde las soluciones correspondientes se
expondrán en una forma adecuada.

EJEMPLO 7.1
Resuelva la ecuación:

Primero se escribe la ecuación auxiliar:

m3 - 4m2 + m + 6 = O,

cuyas raíces m = -1,2,3 pueden obtenerse por medio de división sintética. Entonces la

solución general es:

EJEMPLO 7.2 •
Resuelva la ecuación:

(3D3 + 5D2 - 2D)y = O.

La ecuación auxiliar es:

3m3 + 5m2 - 2m = 0,

t .y sus raíces son m = 0, - 2, Usando el hecho de que eOx = 1, la. solución deseada puede

escribirse como:

+y = CI+ C2e- 2x c3 exP (31x ) . . •

EJEMPLO 7.3

Resuelva la ecuación:

d 2x - 4x =0
°-
t 2
d
con las condiciones de que cuando t = 0, x = y dx / dt = 3.

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7.2 La ecuación auxiliar: raíces distintas 119

La ecuación auxiliar es:
m2 ~ 4 = O,

con raíces m = 2, - 2. De aquí que la solución general de la ecuación diferencial sea:

Faltahacer que se cumplan las condiciones en t = O. Ahora:
dx
dt = 2c Je21-2c2e - 21.

Así que la condición x = Ocuando t = Orequiere que:

0= cI + c2'

y la condición dx / dt = 3 cuando t = Orequiere que:

3 = 2c I - 2c2.

De las ecuaciones simultáneas para cl y c2 concluimos que c l = ~ y c2 = - ~ .Por lo tanto,

x -- l4(e21 _ e- 21 )'
que también puede ponerse en la forma:

x = ~ senh(2t ). •

• Ejercicios

En los ejercicios 1 al 22 encuentre la solución general. Cuando se utilice el operador D, deberá sobreen-
tenderse que la variable independiente es x.

l. (D 2 + 2D - 3) y = O. 10. (4D J - l3D - 6) y = O.
' I 1.
2. (D 2 + 2D) y = O. d Jx d 2x 2 dx 0
3. (D 2 + D - 6)y = O. - + -dt-2 -= .
dt J dt

4. (D 2 -SD+6)y =0. 12. d Jx - dx + 30x O.
- 19- =
5. (D 3 + 3D2 - 4D) y = O. dt J dt

6. (D 3 - 3D2 - 10D) y = O. 13. (9D 3 - 7D + 2 )y = O.

7. (D 3 + 6D2 + lID + 6)y = O. 14. (4D J - 21D - lO)y = O.

8. (D 3 + 3D2 - 4D - 12)y = O. 15. (D J - 14 D + 8)y = O.

9. (4D 3 - 7D+3) y =0. 16. (D J - D 2 - 4D - 2) y = O.

17. (4D 4 - 8D 3 -7D2 + 1 ID + 6) y = O.

18. (4D 4 - 16D3 + 7D 2 + 4D - 2) y = O.

19. (4D4 + 4D J - 13D2 -7D + 6) y = O.

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120 Capítulo 7 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes

20. (4D5 - 8D4 - 17D3 + 12D2 + 9D)y = O.
21 . (D2 - 4aD + 3a2)y = O; a real =/= O.
22. [D2 - (a + b)D + ab]y = O; a y b son reales y diferentes.

En los ejercicios 23 al 24 encuentre la solución particular indicada.

23. (D 2 - 2D - 3)y = O; cuando x = O, Y = O, y' = -4.
24. (D 2 - D - 6)y = O; cuando x = O, y = O, Y cuando x = 1, Y = e3 .

En los ejercicios 25 al 29 encuentre el valor de y para la solución particular pedida en x = 1.

25. (D 2 - 2D - 3)y = O; cuando x = O, Y = 4, y' = O.
26. (0"3 - 4D)y = O; cuando x = O, Y = O, y' = O, yl! = 2.
27. (D 2 -D-6)y=0; cuandox=0, y = 3,y' = -1.

28. (D 2 + 3D - lO)y = O; cuando x = O, y = O, Y cuando x = 2, Y = 1.

29. (D 3 - 2D 2 - 5D +6)y = O; cuando x = O, y = 1, y' = -7, yl! =-1.

7.3 La ecuación auxiliar: raíces repetidas

Suponga que en la ecuación:

f(D)y = O (1 )

el operadorf(D) tiene factores repetidos; esto es, la ecuación auxiliarf(m) = Otiene raíces

repetidas. En este caso el método de la sección anterior no nos d<fla solución general. Supon-

ga además que la ecuación auxiliar tiene tres raíces reales iguales mI = b, m 2 = b, m 3 = b. La

parte de la solución que se obtiene por el método de la sección 7.2 es:

+ +y = el e bx e2ebx e3ebx,

(2)

Ahora la ecuación (2) puede ser remplazada por:

(3)

con e4 = el + e2 + e3• Por lo tanto, y dadas las tres raíces bajo consideración, vemos que

este método sólo proporciona la solución (3). Por supuesto, la dificultad se presenta porque las

tres soluciones que corresponden a las raíces mI = m 2 = m 3 = b no son linealmente inde-

pendientes.
Lo que se necesita aquí es un método para obtener n soluciones linealmente indepen-

dientes que correspondan a n raíces iguales de la ecuación auxiliar. Suponga que la ecua-

ción auxiliarf(m) = Otiene las n raíces iguales:

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7.3 La ecuación auxiliar: raíces repetidas 121

Entonces el operadorf(D) debe tener un factor (D - b)n. Deseamos encontrar n funciones
y linealmente independientes para las que:

(4)

Del resultado (6) obtenido casi al final de la sección 6.9 y escribiendo m = b, encontra-
mosque:

para k = 0, 1,2, ... , (n - 1). (5)

Las funciones Yk = xi'éx donde k = 0, 1, 2,...,(n - 1) son linealmente independientes por-
que, además del factor común ehx, sólo contienen las potencias xo, Xl , X2, ... , xn- I. (Véase el

ejercicio 5 de la sección 6.9.)
La solución general de la ecuación (4) es:

+ + +y = c l ebx C2xebx .. . Cnx Il - I ebx. (6)

Además, sif(D) tiene el factor (D - b)n, entonces la ecuación: (1)

°f(D)y =

puede escribirse como:

g(D)(D - b)"y = 0, (7)

donde g (D) contiene todos los factores def(D) excepto a (D - b)n. Entonces, cualquier
solución de:

(4)

también es solución de (7) y, por lo tanto, de la ecuación (1).
Ahora estamos en posición de escribir la solución de la ecuación (1) siempre y cuando

la ecuación auxiliar sólo tenga raíces reales. Cada raíz de la ecuación auxiliar es, o distinta
de todas las demás raíces o miembro de un conjunto de raíces iguales. En correspondencia
a una raíz mi distinta de todas la demás raíces, existe la solución:

Yi = C¡ exp (mix) , (8)

y para las n raíces iguales mI' m 2, •.• ,m , cada una igual a b, están las soluciones:
ll

(9)

El conjunto de soluciones en (8) y (9) tiene el número apropiado de elementos, esto es, un
número igual al orden de la ecuación diferencial, ya que para cada raíz de la ecuación
auxiliar hay una solución correspondient~. Se puede demostrar que las soluciones así ob-
tenidas son linealmente independientes.

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122 Capítulo 7 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes

EJEMPLO 7.4
Resuelva la ecuación:

( D 4 - 7D 3 + 18D2 - 20D + 8)y = O. ( 10)

Con ayuda de la división sintética, es fácil advertir que la ecuación auxiliar:

m4 - 7m3 + 18m2 - 20m + 8 = O

tiene las raíces m = 1, 2, 2, 2. Entonces la solución general de la ecuación (10) es,

o •

EJEMPLO 7.5
Resuelva la ecuación:

La ecuación auxiliar es:

m4 + 2m3 + m2 = O,

con raíces m = O, O, -1 , -1. En consecuencia, la solución buscada es: •

+ + +y = C I C2X C3e - x C4 xe - x .

• Ejercicios (- ~

En los ejercicios l al 20 encuentre la solución general.

1. ( D 2 - 6D +9)y =0. +4. ( D 3 - 8 D 2 16D )y = O.

2. (D2 +4D+4)y =0. 5. ( D 4 + 6D 3 + 9D2)y = O.

3. (4D3 + 4 D 2 + D) y = o. +6. (D 3 - 3D2 4)y = O.

7. +(4D3 - 3 D l )y = O.

+8. (D 4 - 3D 3 - 6D 2 28D - 24) y = O.

9. ( D 3 + 3 D 2 + 3D + l) y = O. 11. ( D 5 - D 3 )y = O.

10. ( D 3 + 6D 2 + 12D + 8)y = O. 12. ( D 5 - 16 D 3 )y = O.

13. +(4D 4 4D 3 - 3D2 - 2D + l )y = O.

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7.4 Una definición de exp z para valores complejos de z 123

+ +14. (4D4 - 4D3 - 23D2 l2D 36)y = O.
+15. (D4 3D3 - 6D2 - 28D - 24)y = O.
16. (27 D4 - l8D2 + 8D - l)y = O.

17. (4D5 - 23D3 - 33D2 - 17 D - 3)y = O.

+18. (4D5 - l5D3 - 5D2 l5D +'9)y = O.

19. (D4 - 5D2 - 6D - 2)y = O.
20. (D5-5D4+7D3+D2-8D+4)y=0.

En los ejercicios 21 al 26 encuentre la solución particular indicada.

21. (D2+4D+4)y=0;cuandox=0,y= 1,y'=-1.

22 . Resuelva la ecuación del ejercicio 21 con la condición de que la gráfica de la solución
pase por los puntos (O, 2) Y (2, O).

23. (D3 - 3D - 2)y = O; cuando x = 0, y = 0, y' = 9, y" = O.
24. (D4 + 3D3 + 2D2)y = O; cuando x = O,y = O,y' = 4,y" = -6, Y 11I = 14.

25. Resuelva la ecuación del ejercicio 24 bajo las condiciones de que cuando x = 0, y = 0,
y' = 3,y" = -5,ylll = 9.

26. (D3 + D2 - D -l)y = O; cuando x = 0, y = 1, cuando x = 2, y = 0, y también con la

condición de que cuando x ~ 00, y ~ O.

En los ejercicios 27,28 Y 29, encuentre el valor de y para la solución particular requerida, cuando x = 2.

27. (4D2-4D-\1)y=0;cuandox=0,y= -2,y' =2.

28. (D3 + 2D2)y = O; cuando x = 0, y = - 3, Y ; = 0, y 11 = 12.

29. (D3 + 5D2 + 3D - 9)y = O; cuando x = 0, y = -1, cuando x = 1, Y = 0, y también

con la condición de que cuando x ~ 00, y ~ O.

I 7.4 I Una definición de exp z para valores complejos de z

Ya que la ecuación auxiliar puede tener raíces complejas, necesitamos formular una defi-
mantener la validez de las leyes
nición de exp z para un número complejo z.

Sea z = a + if3 con a y f3 reales. Como es conveniente

comunes de los exponentes, es sensato requerir que:

+exp (a if3) = ea eif3. (1)

A ea con una a real, le asignamos el significado usual.

Ahora considere eif3, f3 es real. En cálculo se demuestra que para todos los números reales x:

eX = 1 + -x + x-2 + x-3 + ... + -x" + ... (2)
1! 2! 3! n!

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124 Capítulo 7 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes

o

ex - LOO -x"

- ni '
11 =0 .

Si tentativamente ponemos x = ¡f3 en (2) como una definición de eif3, obtenemos:

= I + + + + ... + + .. ..e ~. {I ·2 {l2 ·3 {l3
ifJ _1_1-'_ _1_1-'_ '/l {I/l (3)

_1_1-'_

l! 2! 3! n!

Al separar las potencias pares de f3 de sus potencias impares en la ecuación (3) se obtiene,

·2 {l2 ·4 R4 ·2k R2k
= I + -eifi / 1-' +1 -1-' + .. . +/ - -1-' + ...
2! 4! (2k)!

¡f3 ¡3f33 ¡2k+ 1f32k+1
+ T! + 3! + .. .+ (2k + I)! + ... ,

o

~ ¡2k+1f32k+ 1
L...; - - --
k=O (2k 1)!
ifi ~ ¡2k f3 2k (4)

+e = L...; - -
+k=O (2k)!

Ahora i2k ~/( - 1)k, de manera que podemos escribir:

i fi =1-f3-2 +f-34+ .. ·+ (-llf3 2k + ...

e 2! 4! (2k)!

+¡ [ t _ f3 3 + ... + (-I)kf32k+1 + ... ]
(2k + 1)!
1! 3! '

o

. 00 (_ I )k f32k . 00 (-I)k f32k+ 1
e'fi =L +b/OL(2k-+-1)-1
k=O (2k)! (5)

Pero las series a la derecha en la ecuación (5) son precisamente las de cos f3 y sen f3 de-

sarrolladas en cálculo. Esto nos lleva al resultado provisional :

eifJ = cos f3 + ¡ sen f3 . (6)

Debe comprenderse que las operaciones anteriores carecen de significado en el estudio

que por ahora nos ocupa (las series infinitas con términos complejos no son parte del con-

tenido de matemáticas elementales). Sin embargo, nos han conducido a esto: las operacio-

nes formales anteriores sugieren una definición significativa de exp(a + if3), esto es,

exp (a + i (3) = eCl (cos f3 + ¡sen (3) cuando a y f3 son reales. (7)

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7.5 La ecuación auxiliar: raíces complejas 125

Al remplazar f3 por (- fJ) en (7) se obtiene un resultado que nos será muy útil en la sección

siguiente,

exp(a - ifJ) = ea(cosf3 - i senf3).

Es interesante e importante advertir que con la definición (7) la función el para z com-

pleja conserva muchas de las propiedades inherentes a la función ti' cuando x es real. Con
frecuencia tales temas se estudian detalladamente en textos de variable compleja. I En par-
ticular, aquí necesitamos saber que si:

y = exp(a + ib)x,

con a, b y x reales, entonces:

(D -a - ib)y = O.

Obtenemos el resultado deseado de inmediato al derivar con respecto de x la función:

y = eax(cosbx + i senbx).

7.5 La ecuación auxiliar: raíces complejas

°Considere una ecuación diferencialj (D)y = 0, para la cual la ecuación auxiliarf (m) =

tiene coeficientes reales. De álgebra elemental sabemos que si la ecuación auxiliar tiene
raíces complejas, éstas deben aparecer en pares conjugados. Por lo tanto, si:

mI = a + ib /

es una raíz de la ecuaciónf(m) = 0, con a y b reales y b =1= 0, entonces:

m2 = a - ib

°también es una raíz def(m) = O. Debe tenerse en cuenta que este resultado es consecuen-

cia de que los coeficientes en la ecuaciónj(m) = son reales. Las raíces complejas no ne-

cesariamente aparecen por parejas en una ecuación algebraica cuyos coeficientes impliquen
números complejos.

Ahora podemos construir una forma útil de las soluciones de:

°f(D)y = (1)

correspondientes a las raíces c"omplejas def(m) = O. Como estamos suponiendo quef(m)
tiene coeficientes reales, cualesquiera raíces complejas aparecen en pares conjugados,

mI = a + ib y m2 = a - ib.

I Por ejemplo, R. V. Churchill y J. W. Brown, Complex Variables and Applicalions. sexta edición. (Nueva York:
McGraw-Hill. 1996).

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126 Capítulo 7 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes

Entonces, de acuerdo con la sección anterior, la ecuación (1) es satisfecha por: (2)

y = el exp [(a + ib)x] + e2 exp [(a - ib)x].

Si consideramos a x real, al igual que a a y b, obtenemos de la ecuación (2) el resultado:

y = el eQX (cos bx + i sen bx) + e2eQX (cos bx - i sen bx). (3)

Ahora (3) puede escribirse como:

+ +y = (el e2)eQX cos bx i (el - e2)eQX sen bx.

Por último, hacemos el + c2 = c3 e i(c I - c) = c4' donde c3 y c4 son nuevas constantes

elegidas arbitrariamente. ASÍ, la ecuación (1) tiene las soluciones:

(4)

*correspondientes a las dos raíces mI = a + ib Y m2 = a - ib (h O) de la ecuación auxiliar.

Basta hacer la reducción de la solución (2) a la forma (4) sólo una vez. Siempre que apa-
rezca un par de raíces complejas conjugadas de la ecuación auxiliar, escribiremos de inme-
diato la solución particular correspondiente a esas dos raíces en la forma dada en el lado
derecho de la ecuación (4).

EJEMPLO 7.6 J
Resuelva la ecuación:
)

(D 3 - 3D2 + 9D + 13)y = O.

Para la ecuación auxiliar:

m3 - 3m 2 + 9m + 13 = O,

se encuentra fácilmente una raíz, mI = -1. Cuando se elimina por división sintética el fac-
tor (m + 1), se ve que las otras dos raíces son soluciones de la ecuación cuadrática:

m2 - 4m + 13 = O.

Esas raíces son m2 = 2 + 3i Y m3 = 2 - 3i. La ecuación auxiliar tiene las raíces m =

.-1, 2 ± 3i. De aquÍ que la solución general de la ecuación diferencial sea:

+ +y = cle - x C2e2x cos 3x C.3e2x sen 3x.

•

Las raíces complejas repetidas nos conducen a soluciones análogas a las que se obtie-

nen con raíces reales repetidas. Por ejemplo, si las raíces m = a ± ib aparecen tres veces,

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7.6 Una observación acerca de las funciones hiperbólicas 127

las seis soluciones correspondientes linealmente independientes de la ecuación diferencial
son aquellas que aparecen en la expresión:

(e¡ + e2X + e3x2)eax cos bx + (e4 + esx + e6x2)eax sen bx.

EJEMPLO 7.7
Resuelva la ecuación:

(IJ4 + 8D2 + 16)y = O.

La ecuación auxiliar m4 + 8m2 + 16 = Opuede escribirse como:
(m2 + 4)2 = O,

de modo que sus raÍCes son m = ±2i, ±2i. Las raíces m¡ = 2i Ym2 = -2i aparecen dos

veces cada una. Pensando en 2i como O+ ·2i Yrecordando que eOx = 1, escribimos la solu-

ción de la ecuación diferencial como:

y = (e¡ + e2x) cos 2x + (e3 + e4x) sen 2x . •

En ejercicios como los de la sección 7.6, se puede obtener una buena comprobación sus-

tituyendo directamente el resultado y sus derivadas apropiadas en la ecuación diferencial.

La verificación es particularmente eficaz pues las operaciones que implica son muy dife-

rentes de las realizadas al obtener la solución.

7.6 Una observación acerca de las funciones hiperbólicas

En matemáticas puras y aplicadas aparecen con tal frecuencia dos combinaciones linea-
les particulare~funciones exponenciales, que ha resultado útil usar símbolos especiales
para identificarlas. El seno hiperbólico de x , senh x, se define por:

eX _ e- X (1)
senhx = - ---

2

el coseno hiperbólico de x, cosh x, se define por: (2)

eX+ e-x

coshx = 2

De las definiciones de senh x y cosh x se deduce que:

senh2 x = *(e2X - 2 + e-2x )

y

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128 Capítulo 7 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes

así que,

cosh2 X - senh2 x = 1 (3)

una identidad análoga a la muy conocida identidad trigonométrica cos2 x + sen2 x = 1.

De la definición anterior encontramos directamente que:

y = senh u

equivale a:

De aquí que, si u es una función de x, entonces:

+dy = !(e" e-II } d..u,
dx 2 dx

esto es,

d du (4)

- senhu = coshu-. (5)

dx dx

Con el mismo método se obtiene el resultado:
d du
- cosh u = senh u - .
dx dx

Las gráficas de y = cosh x y y = senh x se muestran en la figura 7.1. Es importante ob-
servar aquí las propiedades siguientes:

(a) cosh x 2: 1, para toda x real.
(b) El único valor real para el que senh x = Oes x = O.

(c) cosh( - x) = cosh x; esto es, cosh x es una función par.

(d) senh( - x) = - senhx; s~hxes una función impar.

Las funciones hiperbólicas no tienen periodos reales; sin embargo, en correspondencia
con el periodo 27T de las funciones trigonométricas comunes, las funciones hiperbólicas
tienen un periodo 27T i.

La curva coseno hiperbólico tiene una forma como la que describe una línea de transmi-
sión de energía eléctrica, un cable, un pedazo de cuerda, la cadena de un reloj, etc., que cuel-
gue entre dos puntos de los que esté suspendida. Este enunciado se muestra en el capítulo 16.

Ya que D2 cosh ax = a2 cosh ax y D2 senh ax = a2 senh ax, se deduce que cosh ax y

senh ax son soluciones de:

a =1= O. (6)

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7.6 Una observación acerca de las funciones hiperbólicas 129

y

y = cosh x

- - - - -¡f-- - - - - x

Figura 7.1

Además, el wronskiano de estas dos funciones,

I IW(x) =
coshax senhax = a,
a senh ax a cosh ax

no es cero, de modo que cosh ax y senh ax son soluciones linealmente independientes de la

ecuación (6). En consecuencia, la solución general de (6) puede escribirse como:

y = c l cosh ax + c2 senh ax

en lugar de la forma:

+y = C3 eax C4 e - ax .

Con frecue'rlcia es conveniente usar esta forma alternativa para representar la solución
general de la ecuación (6).

EJEMPLO 7.8 cuando x = 0, y = 0, y' = 2. (7)
Encuentre la solución del problema:

(D2 - 4)y = O;

La solución general de esta ecuación diferencial puede escribirse como:

y = c l cosh 2x + c2 senh 2x,

de lo cual:

y' = 2cl senh 2x + 2c2 cosh 2x.

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130 Capítulo 7 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes

°Ahora las condiciones iniciales requieren que = C I y 2 = 2c2, de modo que, finalmente,

y = senh 2x.
Observe que si hubiéramos elegido la forma alternativa:

+y = C3 e2x c4e-2x

para la solución general de (7), obtendríamos el mismo resultado con un poco más de tra-

bajo al determinar c3 y c4• En efecto, una de las principales razones para utili zar las fu ncio-
nes hiperbólicas es que cosh ax y senh ax tienen valores 1 y 0, cuando x = 0, un hecho que

es particularmente útil en la resolución de problemas de valor inicial. •

• Ejercicios

Encuentre la solución general, excepto cuando el ejercicio estipule otra cosa.

1. Verifique directamente que la relación:

(A)

satisface la ecuación:

[(D - a)2 + b2Jy = O.

2. (D 2 -2D+5)y=0. 7. (D2 -4D +7)y=0.

3. (D 2 - 2D + 2)y = O. 8. (D 3 + 2D2 + D + 2)y = O.

4. (D 2 + 9)y = O. \' 9. (D4 + 2D3 + IOD2)y = O.
10. =(D4 - 2D3 +2D2 - 2D+l)y O.
= '-5. (D 2 - 9)y 0. - f'-

6. (D2 + 6D + 13)y = O. 11. (D4 + 18D2 + 8l)y = O.

+ +12. (2D 4 llD 3 - 4D2 - 69D 34)y = O.

13. ( D6 + 9D4 + 24D2 + 16) y = O.

14. (2D 3 - D 2 + 36D - --I8)y = O.

- 15. (D 2 -l) y = O; cuando x = 0, y = Yo, y' = O.

16. (D 2 + l) y = O; cuando x = 0, Y = Yo, y' = O.

17. (D 3 + 7D 2 + 19D + 13) y = O; cuando x = 0, Y = 0, y' = 2, y" = -12.

18....:.- +(D 5 D4 -7D 3 - llD2 - 8D - 12)y = O.

+~x , ~

19. 2 k 2x = 0 , k real ; cuando t = 0, x = 0 , - = Vo .
d t dt

20. (D 3 + D 2 +4D +4)y = O; cuando x = 0, y = 0, y' = -1, y" = 5.

21. d 2x + 2b dx + k2x = 0, k > b > O; cuando t = 0, x = 0 , Tdxt = Vo.
dt2
Tt

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7.6 Una observación acerca de las funciones hiperbólicas 131

• Ejercicios diversos

Obtenga la solución general. a menos que se indique lo contrario.

1. (D2 + 3D)y = O. 10. (4D 3 - 21D - lO)y = O.

2. (9D4 + 6D3 + D2)y = O. 11. (4D 3 -7 D + 3)y = O.

3. (D2 + D - 6)y = O. 12. (D 3 - 14D + 8)y = O.

4. (D 3 + 2D2 + D + 2)y = O. 13. (8D 3 - 4D2 - 2D + l)y = O.

S. (D 3 - 3D2 + 4)y = O. 14. (D4 + D 3 - 4D2 - 4D)y = O.

6 . (D3 - 2D2 - 3D)y = O. lS. (D 4 -2D3+SD2-8D+4)y = O.

7. (4D 3 - 3D + l)y = O. 16. (D4 + 2D2 + l)y = O.

8. (D3 + 3D2 - 4D - 12)y = O. 17. (D4 + SD2 + 4)y = O.

9. (D 3 + 3D2 + 3D + l)y = O. 18. (D4 + 3D3 - 4D)y = O.

19. (D 4 - 11D3 + 36D2 - 16D - 64)y = O.

20. (D 2 + 2D + S)y = O.

21. (D 4 + 4D3 + 2D2 - 8D - 8)y = O.

22. (4D4 - 24D3 + 3SD2 + 6D - 9)y = O.

23. (4D4 + 20D3 + 3SD2 + 2SD + 6)y = O.

24. (D4 -7 D 3 + lID2 + SD - 14)y = O.

25. (D 3 +5D2 +7D + 3)y = 0. 33. (D 4 - D 3 -3D2 +D+2)y = 0.

26. (D 3 - 2D2 + D - 2)y = O. 34. (D 3 - 2D2 - 3D + lO)y = O.

27. \D3 - D 2 + D - l)y = O. 35. +(D 5 D 4 - 6D 3)y = O.

28. (\P3+4D 2 + SD)y = 0. 36. (4D 3 + 28D2+61D+37)y = 0.

29. (D 4 - 13D2 + 36)y = O. 37. (4D 3+ 12D2+ 13D + lO)y = O.

30. (D 4 -5D3+SD2+SD-6)y = 0. 38. (18D 3 -33D2+20D-4)y = 0.

31. (4D 3 + 8D2 - lID + 3)y = O. 39. (D 5 -2D3-2D2-3D-2)y = O.

32. (D 3 + D 2 - 16D - 16) y = O. 40. (D4 -2D3+2D2- 2D+1)y = O.

41. (D 5 - 15D3 + 10D2 + 60D - 72)y = O.

42. (4D4 - lSD2 + SD + 6)y = O.

43. (D4 + 3D3 - 6D2 - 28D - 24)y = O.

44. (4D4 - 4D3 - 23D2 + 12D + 36)y = O.

- M5. (4D5 - 23D3 - 33D2 - 17D - 3)y = O.

46. (D2 - D' - 6)y = O; cuando x = O. y - 2, Y I = 1.

47. (D4 + 6D3 - 9D2)y = O; cuando x = O, Y - O, yl = O, y" = 6, Y cuando x ~ 00,

y I ~ 1. Para esta solución particular. encuentre el valor de y cuando x = 1.

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132 Capítulo 7 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes

48. (D3 + 6D2 + 12D + 8)y = O; cuando x = O, Y = 1, y' = -2, y" = 2.
49. (D5 + D4 - 9D3 - 13D2 + 8D + 12)y = O.

50. (4D5 +4D4 - 9D3 - 11D2 + D + 3)y = O.

+51. (D5 D4 - 7 D3 - 11 D2 - 8D - 12)y = O.

I 7.7 I Suplemento para computadora

Las técnicas descritas en el suplemento para computadora del capítulo 2 pueden ser am-
pliadas con facilidad para aplicarse a ecuaciones de orden superior. Podemos ilustrar esto
con el ejemplo 7.6 en la sección 7.5:

(D3 - 3D2 + 9D + 13)y - O.

Si agregamos las condiciones iniciales, y(O) - 1, Y I (O) = 2, Y 11 (O) = 3, Maple resuelve el
problema con los comandos:

>diff(y(x) ,x$3)-3*diff(y(x) ,x$2)
+9*diff(y(x) ,x)+13*y(x)=O;

+ +d3 d2

dx3 y(x) - 3 dx2 y(x)
d 13 y(x) = O
9 dx y(x)

>dsolve({",y(O)=l,D(y) (O)=2,D(D(y)) (O)=3},y(x));

+4e-X 5e2xcos(3x) + 4e2xsen(3x)
y(x) = -9- 9 --9-~

También podemos utilizar Maple para trazar la gráfica de la solución resultante con el
comando:

/>plot(rhs(") ,x=-2 ..2);

Véase la figura 7.2.

y

I

20 I

15

10

5
¡--~-====~====~~==~~---~--X
-2 -1 O 2

-5

-10

Figura 7.2

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7.7 Suplemento para computadora 133

• Ejercicios
l. Resuelva diversos problemas del presente capítulo.
2. Utilice una rutina adecuada para mostrar gráficamente sus resultados.

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Ecuaciones no 8 11
homogéneas: coeficientes
indeterminados

8. 1 Construcción de una ecuación homogénea a partir
de una solución específica

En la sección 6.6 vimos que la solución general de la ecuación : (1 )

(boD" + b l D"- 1 + ... + bll _ 1D + bll)y = R(x)

es:

y = Ye + Yp '

donde Ye, la función complementaria, es la solución general de la ecuación homogénea:
(boD" + b l D,,-I + .. . + b,, _1D + bll)y = O
(2)

YY es cualquier solución particular de la ecuación original (1).
l'
En este capítulo se presentarán varios métodos por medio de los cuales podemos obte-

ner una solución para la ecuación (1) cuando bo' bl , . .. , bn sean constantes. Al prepararse
para abordar el método de coeficientes indeterminados, es aconsejable adquirir cierta habi-

lidad en escribir una ecuación diferencial homogénea de la que es solución una función es-

pecífica dada en la forma apropiada.

Recuerde que en la resolución de ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes,
aparece un término como cleax sólo cuando la ecuación auxiliar f(m) = Otiene una raíz
m = a, y entonces el operadorf(D) presenta un factor (D - a). De manera análoga, c~ xe(lX

Japarece sólo cuando f (D) contiene al factor (D - a?; C3X2eax aparece sólo cuando (D)

contiene a (D - a)3, y así sucesivamente. Términos como ceClX cos bx o cea:< sen bx corres-

ponden a raíces m = a ± ib , o a un factor [(D - af + b2].

EJEMPLOS.1

Encuentre una ecuación lineal homogénea, con coeficientes constantes, que tenga como

solución particular a:

y = 7e3x + 2x .

Primero observe que los coeficientes (7 y 2) son aquí totalmente irrelevantes, con tal que

no sean cero. Obtendremos una ecuación que sea satisfecha por y = c I e3x + c2x sin que im-

porte los valores de las constantes.

134

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