ecuaciones-diferenciales-rainville-bedient-bedient

8.1 Construcción de una ecuación homogénea a partir de una solución especifica 135

Un término c¡e3x aparece junto con una raíz m = 3 de la ecuación auxiliar. El término c2x
aparecerá si la ecuación auxiliar tiene m = O, O, esto es, m = O, es una raíz doble. Hemos
reconocido que la ecuación:

o

y = c ¡é3x + c2x + c3 como su solución general y, por lo tanto, también tiene a =

2xcomo una solución particular.
tiene a y

•7e3x +

EJEMPLO 8.2
Encuentre una ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes reales que sea satis-
fecha por:

y = 6 + 3xeX - cos x. (3)

El término 6 está asociado con m = O, el término 3xé con una raíz doble m = 1, 1, Yel

término (-cos x) con el par conjugado de raíces complejas m = O± i. De aquÍ que la ecua-

ción auxiliar es:

o

m S - 2m4 + 2m 3 - 2m2 + m = O.

Por lo tanto, la función en (3) resulta ser una solución de la ecuación diferencial: (4)

(D s - +2D4 2D3 - 2D2 + D)y = O.

Esto es, con base en la solución general:

y = C¡ + (C2 + c3x)eX + C4 cosx + lis sen x

de la ecuación (4), la relación (3) se obtiene mediante una elección adecuada de las cons-

tantes: c¡ = 6, c2 = O, c3 = 3, c4 = -1, Cs = O. •

EJEMPLO 8.3
Encuentre una ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes reales que sea satis-
fecha por:

y = 4xé sen 2x.

La ecuación buscada debe tener su ecuación auxiliar con raíces:

m = 1 ± 2i, 1 ± 2i.

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136 Capítulo 8 Ecuaciones no homogéneas: coeficientes indeterminados

Las raíces m = 1 ± 2i corresponden a los factores (m -1 )2 + 4, de modo que la ecuación

auxiliar debe ser:

o

m4 - 4m 3 + 14m2 - 20m + 25 = O.

Por 10 tanto, la ecuación buscada es:

(D4 - 4D3 + 14D2 - 20D + 25)y = O. •

Observe que en todos los problemas, una solución correcta (pero nD conveniente)

puede obtenerse insertando raíces adicionales de la ecuación auxiliar.

• Ejercicios

En los ejercicios 1 al 14, obtenga en forma factorizada una ecuación diferencial lineal con coeficientes
constantes reales que sea satisfecha por la función dada.

1. Y = 4e2x + 3e- X • 8. y = e-X sen 2x.
9. Y = x e- X sen 2x + 3e- Xcos 2x.
2. y = 7 - 2x + 4e4x. 10. Y = sen 2x + 3 cos 2x .
11. Y = coskx.
3. Y = -2x + 4e4x . 12. Y = x sen2x .
13. y = 4 senhx.
4. Y = x2 - 5 sen 3x. 14. y = 2 cosh 2x - sen h 2x.
5. y = 2ex cos 3x .
6. y = 3e2x sen 3x .
7. y = _2e3x cosx.

En los ejercicios 15 al 34, numere las raíces de la ecuación auxiliar para una ecuación lineal homogénea
con coeficientes constantes reales que tiene la función dada como una solUCIón particular. .

15. Y = 3xe2x. 25. y = x cos2x.
16. y = x 2e- x + 4eX. 26. y = e- 2x cos3x.

17. y = e-X cos4x. 27 . y = x cos 2x - 3sen2x.
18. y = 3e- Xcos4x + ISe - x sen4x. 28. y = e- 2X(cos3x +sen3x).
19. y = x(e2x + 4). 29. Y =sen 3 x = ±(3senx - sen3x).
20. y = 4 + 2x2 _ e- 3x .
21. y = xex. 30. Y = cos2 x.
22. y = xeX + Sexo
31. y = x 2 - X + e- X(x + cosx).
23 . y = 4cos2x . 32. y = x 2senx .
33. y = x2 senx + x cos X.
24. y = 4 cos 2x - 3sen 2x .
34. Y = 8cos4x +sen3x.

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8.2 Solución de una ecuación no homogénea 137

8.2 Solución de una ecuación no homogénea

Antes de continuar el análisis de las bases teóricas y la técnica concreta de trabajo del útil

método de coeficientes indeterminados, examinaremos cómo sus conceptos subyacentes

son aplicados a un ejemplo numérico sencillo.

Considere la ecuación:

D 2 (D - l )y = 3ex +senx . (1)

La función complementaria puede determinarse de inmediato a partir de las raíces :

m = 0, 0,1 (2)

de la ecuación complementaria. La función complementaria resulta ser:

+ +=Yc Cl C2X C3 e x . (3)

Ya que la solución general de (1) es:

y = Yc + Yp'

donde Yc es como se da en (3) y Y es cualquier solución particular de (1) , todo lo que nos
p

queda por hacer es encontrar una solución particular para la ecuación (1).

El miembro derecho de (1),

R(x) = 3ex + sen x, (4)

es una solución particular de una ecuación lineal homogénea cuya ecuación auxiliar tiene

las raíces:

m'= 1, ±i. (5)

Por lo tanto, la función R es una solución particular de la ecuación : (6)

+(D - 1)(D2 I)R = O.

Queremos convertir la ecuación (1) en una ecuación diferencial lineal homogénea con

coeficientes constantes, puesto que sabemos cómo resolver cualquier ecuación de este ti-

po. Pero, en vista de la ecuación (6), sabemos que el operador (D - 1)(D2 + 1) anulará el

miembro derecho de (1). Por lo tanto, aplicamos ese operador a ambos miembros de la

ecuación (1) y obtenemos:

(D - 1) (D2 + l)D2 ( l) - l) y = O. (7 )

Cualquier solución de (1) debe ser una solución particular de (7). La solución general de

(7) puede escribirse de inmediato a partir de las raíces de su ecuación auxiliar, cuyas raíces

serán los valores m = 0,0, 1 de (2) y los valores m' = 1, ±i de (5). Así, la solución gene-

ral de (7) es:

+y = Cl C2X + C3e x + C4x ex + Cs cosx + C6 senx. (8)

Pero la solución general buscada de (1) es:

y = Yc + Yp ' (9)

donde,

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138 Capítulo 8 Ecuaciones no homogéneas: coeficientes indeterminados

como en (8), las Cl' C2, C3 son constantes cualesquiera. En consecuencia, debe existir una
solución particular de (1) que contiene, cuando mucho, los términos restantes en (8). Uti-

lizando letras diferentes como coeficientes para recalcar que no se eligieron arbitrariamen-

te, concluimos que (1) tiene una solución particular como:

Yp = Axex + Bcosx + Csenx. (10)

Ahora sólo tenemos que determinar los coeficientes numéricos A, B, C usando de manera
directa la ecuación original:

(1)

De (10) se deduce que:

Dyp = A(xeX + eX) - B senx + C cosx ,

D2yp = A(xeX + 2eX) - B cosx - Csenx ,

D3yp = A(xeX+ 3eX) + Bsenx - C cosx.

Al sustituir yp en (1) se obtiene:

~ Aex + (B + C)senx + (B - C)cosx = 3ex +senx . (11)

Ya que (11) es una identidad y como ¿, sen x y cos x son linealmente independientes, los
coeficientes correspondientes en los dos miembros de (11) deben ser iguales; esto es,

A= 3
B+C = l
B - C = O.

4, 1.Por lo tanto, A = 3, B = e = Regresando a (10), encontramos que una solu<;:ión par-

ticular de la ecuación (1) es:

yp = 3xex + ~ cosx + ~senx .

Así, la solución general de la ecuación original,

D2(D - l)y = 3ex +senx, (1)

se obtiene sumando, a la función complementaria, la y que se acaba de encontrar: (12)
p
y = C¡ + C2X + C3ex + 3xex + ~ cos x + ~ senx .

Un análisis cuidadoso de las ideas en que se basa el proceso anterior nos muestra que
para llegar a la solución (12) necesitamos realizar los pasos siguientes:

(a) A partir de la ecuación (1), encontrar los valores de m y m' como se mostró en (2) y (5).
(b) Con base en los valores de m y m " escribir Yc y yp como en (3) y (10).

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- 8.3 Método de coeficientes indeterminados 139

(c) Sustituir Y en (1), igualar los coeficientes correspondientes, y obtener los valores
p
numéricos de los coeficientes en Yp'

(d) Escribir la solución general de (1).

8.3 Método de coeficientes indeterminados

Examinemos el problema general del tipo tratado en la sección anterior. Seaf(D) un poli-
nomio en el operador D. Considere la ecuación:

f(D)y = R(x). (1)

°Suponga que las raíces de la ecuación auxiliarf(m) = son:

(2)

La solución general de (1) es:

(3)

donde Yc puede obtenerse de inmediato a partir de los valores de m en (2), y donde y = yp
es cualquier s~ción particular (aún por obtener) de (1).

Ahora suponga que el miembro derecho R(x) en la ecuación (1) es en sí mismo una so-
lución particular de alguna ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes
constantes,

g(D)R = 0, (4)

cuya ecuación auxiliar tiene las raíces:

Recuerde que los valores de m' en (5) pueden obtenerse por inspección de R(x). (5)
La ecuación diferencial :
(6)
g(D)f(D)y = 0,

tiene como raíces de su ecuación auxiliar los valores dados para m en la ecuación (2) y los
valores de m' en la ecuación (5). Por eso la solución general de (6) tiene la Yc de (3), así que
es de la forma:

y = Yc + yq'

Pero también cualquier solución particular de (1) debe satisfacer (6). Ahora, si:

f(D)(yc + Yq) = R(x),

entoncesf(D)Yq = R(x) ya quef(D)yc = O. Además, eliminar la Yc de la solución general

de (6) deja una funciónYq que, para algunos valores numéricos de sus coeficientes, debe sa-
tisfacer (1); esto es, los coeficientes en Yq pueden determinarse de modo que Yq = Yp' De-
terminar esos coeficientes numéricos se puede proceder como en los ejemplos siguientes.

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140 Capítulo 8 Ecuaciones no homogéneas: coeficientes indeterminados

Debe recordarse que el método de esta sección es aplicable únicamente cuando el
miembro derecho de la ecuación es en sí mismo una solución particular de alguna ecua-
ción diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes.

EJEMPLO 8.4
Resuelva la ecuación:

(D2 + D - 2)y = 2x - 40cos2x. (7)

Aquí tenemos:

m = 1,-2

y

m' = O, O, ±2i.

Por lo tanto, podemos escribir:

r +Ye = c,ex C2e- 2x ,
p = ~ + Bx + Ccos2x + Esen2x,

en la que c , y c2 son constantes cualesquiera, mientras que A, B, C y E deben determinarse
numéricamente de modo que yp satisfaga la ecuación (7).

Como:

Dyp = B - 2C sen2x + 2E cos 2x

y
D2yp = - 4C cos 2x - 4E sen2x,

la sustitución directa de y en (7) nos conduce a:
p

- 4C cos 2x - 4E sen2x + B - 2C sen2x + 2E cos 2x - 2A

- 2Bx - 2C cos 2x - 2E sen2x = 2x - 40cos 2x. (8)

Pero (8) es una identidad en x, así que debemos igualar los coeficientes de cada uno de los

conjuntos de funciones linealmente independientes, cos 2x, sen 2x, x y 1, que aparecen en
la identidad.

De este modo se deduce que:

-6C + 2E = -40,

- 6E - 2C = O,

-2B = 2,

B -2A = O.

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8.3 Método de coeficientes indeterminados 141

Las ecuaciones anteriores determinan A, B; e yE. En efecto, nos conducen a:

.A = -~, e =6,

B = - 1, E = -2.

Como la solución general de (7) es y = Ye + Yp' ahora podemos escribir el resultado de-

seadocomo:

•

EJEMPLO 8.5 (9)
Resuelva la ecuación:
•
(D2 + l)y = sen x,

Donde se advierte de inmediato que m = :±: i y m' = :±: i. Por lo tanto,

. Ye = CI cosx + C2senx,

\ Yp = Axcosx + Bxsenx.

Ahora,

y; = A( - x cos x - 2senx) + B(-x senx + 2 cosx),

así que el requisito de que Y satisfaga la ecuación (9) conduce a:

p

-2Asenx +2Bcosx =senx,

de lo cual concluimos que A = -~ y B = O.

La solución general de (9) es

y = +CI COSX C2senx - ~x cosx .

EJEMPLO 8.6 (lO)
Determine y de modo que satisfaga la ecuación:

yl/I - y' = 4e -x + 3e2x

bajo las condiciones de que cuando x = O, Y = O, y' = - 1 Yy" = 2.
Primero notamos que m = O, }, -} y m' = -}, 2.' Por eso,

x C3 e - x ,

c2e
+ +Ye = CI

YP = Axe- x + Be2x .

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142 Capítulo 8 Ecuaciones no homogéneas: coeficientes indeterminados

Ahora,

y~ = A(_xe-x + e- X) + 2Be2x ,
y; = A(xe-X - 2e-X) + 4Be2x ,
y;' = A(- xe-x + 3e-X) + 8Be2x .

Entonces,

y;' - y~ = 2Ae-x + 6Be2x ,

!.y con base en la ecuación (10) podemos concluir que A = 2 YB = (11)

Por lo tanto, la solución general de (lO) es:

y = el + e2ex + e3e-x + 2xe-x + !e2x .

Debemos en cyo,=ntra-r1eYl' Ye121, e3 de modo que (11) satisfaga las condiciones de que cuando
0,
x = 0, y = = 2.

De la ecuación (11) se deduce que:

(12)

y

(13)

°Escribimos x = en cada una de las expresiones (11), (12) Y(13) para obtener las ecuacio-

nes que determinarán las constantes el' e2 y e3. Dichas ecuaciones son:

° !'= el + e2 + e3 +

-1 = e2 - e3 + 3,
2 = +e2 e3 - 2,

t,de lo cual el = - e2 = 0, e3 = 4. Por lo tanto, el resultado final es:

y = -~ + 4e-x + 2xe-x + !e2x . •

Un punto importante, algunas veces omitido por los estudiantes, es que la solución

general, la y de (11), es la que debe hacerse que satisfaga las condiciones iniciales.

• Ejercicios

En los ejercicios 1 al 35 obtenga la solución general.

1. (D2 + D)y = - cosx. 3. (D2 + 3D + 2)y = 12x2.
2. (D 2 - 6D + 9)y = eX.
4. (D2+3D+2)y=1+3x+x 2.

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8.3 Método de coeficientes indeterminados 143

5.. (D2 + 9)y = 5ex - 162x. 11. y" - 4y' + 3y = 20 cos x.
6. (D 2 + 9)y = 5eX - 162x2 . 12.
y" -4y' +3y = 2cosx+4senx.
7. y" - 3y' - 4y = 30ex . 13.
y" + 2y' + y = 7 + 75 sin 2x.
8. y" - 3y' - 4y = 30e4x . 14. (D 2 + 4D + 5)y = +50x 13e3x .
(D2 + l)y = cosx.
+9. (D 2 - 4)y = e2x 2. 15. +(D 2 - 4 D 4) y = e2x .
+10. (D 2 - D - 2)y = 6x 6e-x • 16.

17. (D 2 - l)y = e-X (2senx +4cosx).

18. (D 2 - l)y = 8xex .

19. (D 3 - D)y = x.

20. (D 3 - D 2 + D - l)y = 4senx.
=+21. (D 3 D 2 - 4D - 4)y 3e - x - 4x - 6.

22. (D4 - l)y = 7x2 .

23. (D4 - l)y = e-X .

1(1 -24. (D2 - l)y = 10 sen2 x. Utilice la identidad sen2 x = cos 2x).

25. (D2 + l)y = 12cos2 x .

. 26. (D 2 + 4)y = 4sen2 x. 30. y" - y = eX - 4.

27. y" - 3y' - 4y = 16x - 50 cos 2x. 31. y"-y'-2y = 6x + 6e - x .

28. (D 3 - 3D - 2)y = 100sen2x. 32. y" + 6y' + 13y = 60cosx + 26.
29. y" + 4y' + 3y = 15e2x + e-X. 33. (D 3 -3D2 +4)y = 6+80cos2x.
+34. (D 3 D - lO)y = 2ge4x .

35. (D 3 +DJ-4D-4)y=8x+8+ .6e - x .

En los ejercicios 36 al 44 encuentre la solución particular indicada.

36. (D2 + l)y = lOe2x ; cuando x = O, y = O, y' = O.

37. (D 2 - 4)y =; 2 - 8x; cuando x = O, y = O, y' = 5.

38. (D 2 + 3D)y = -18x; cuando x = O, Y = O, y' = 5.

39. (D2 + 4D + 5)y = lOe-3x ; cuando x = O, Y = 4, y' = O.

40. d2x + dx + 5x = 10; cuando t = O, x = O, dx = O.
dt 2 4-¡¡ dt

41. x + 4.i + 5x = 8 sen t; cuando t = O, x = O, .i = O. Observe que la notación

xx = d.x / dt y =d2x / dt2 es común cuando la variable independiente es el tiempo.

42. y" + 9y = 81x2 + 14cos4x; cuando x = O, y = O, y' = 3.
43. (D 3+4D2+9D+I0)y = -24ex ; cuando x = O, y = O, y' = -4, y" = 10.
44 . y" + 2y' + 5y = 8e - x ; cuando x = O, Y = O, y' = 8.

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144 Capítulo 8 Ecuaciones no homogéneas: coeficientes indeterminados

En los ejercicios 45 al 48, a partir de la solución particular indicada obtenga el valor de y y el de y I en x = 2.

45. y" +2y' +y=x;enx=O, y= -3yenx= 1,y=-1.

46. y" + 2y' + y =x; enx= O, y = -2, y' = 2.

47. 4y" + y =2;en x = 7T,y = O, y' = 1.

48. 2y" - 5y' - 3y = -9x2 - 1; en x = O, Y = 1, y' = O.
49. (D2 + D)y = x + 1; cuando x = O, y = 1, Ycuando x = 1, y = ~. Calcule el valor de

yenx = 4.

50. (D2 + l)y = Xl; cuando x = O, Y = O, Ycuando x = 7T, Y = O. Demuestre que este pro-

blema con valores en la frontera no tiene solución.

51. (D2 + l)y = 2 cos x; cuando x = O, Y = O, y cuando x = 7T, Y = O. Demuestre que

este problema con valores en la frontera tiene un número infinito de soluciones yob-
tenga éstas.

52. Para (D3 + D2)y = 4, encuentre la solución cuya gráfica tiene en el origen un punto

de inflexión con una recta tangente horizontal.

53. Para (D2 - D)y = 2 - 2x, encuentre una solución particular que en algún punto (por

determinar) del eje x tenga un punto de inflexión con una recta tangente horizontal.

8.4 Solución por inspección

Con frecuencia es fácil obtener por inspección una solución particular de una ecuación no
homogénea:

(1)

Por ejemplo, si R(x) es una constante Ro y b" ::j: O, entonces: (2)
Ro

yp = -

b"

es una solución de:

ya que todas las derivadas de y" son cero, aSÍ:

(boDn + b¡Dn-¡ + ... + bn_¡D + bn)yp = bn Ro = Ro.
bn
Suponga que en la ecuación (3) b" = O. Sea Dky la derivada de menor orden que apare-

ce en la ecuación diferencial. Entonces la ecuación puede escribirse como:

bn _ k =f. O, Ro constante. (4)

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8.4 Solución por inspección 145

Ahora Dkx'< = k!, una constante, de modo que todas las derivadas de orden superior de x'<

son cero. Así, se vuelve evidente que (4) tiene una solución:

Roxk (5)
YP =k1b -'

. n- k

EJEMPLO 8.7
Resuelva la ecuación:

(D 2 - 3D + 2)y = 16. (6)

Por el método del capítulo 7 obtenemos la función complementaria,

= +Yc
x C2 e2x .
c¡e

y mediante inspección determinamos que una solución particular de la ecuación original es:

Yp = .!f = 8.

Por lo tanto, la solución general de (6) es: •

+ +=y c¡ex C2e2x 8.

EJEMPLO 8.8
Resueh~\la ecuación:

(7)

A partir de la ecuación auxiliar m5 + 4m3 = Oobtenemos m = O, O, O, ± 2i. En conse-

cuencia,

.Una solución particular de (7) es:

7x3 7x3

Yp = 3! ·4 = "24 .

Como una comprobación, observe que:

5 3 7x3 = 0+4· 7- ·6 =7.
(D +4D)-
24 24

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146 Capítulo 8 Ecuaciones no homogéneas: coeficientes indeterminados

La solución general de la ecuación (7) es:

Y = CI+C2X+C3X 2 +274x3 + C4COS 2x + cssen 2x, •
en la que C1'" .,cs son constantes elegidas arbitrariamente.

. Una revisión de:

(D2 + 4)y = sen 3x (8)

nos conduce a buscar una solución proporcional a sen 3x ya que si y es proporcional a
sen 3x, también lo es D2y. En efecto, de:

y = A sen 3x (9)

obtenemos:
D2y = - 9A sen 3x,

de modo que (9) es una solución para (8) si:

(-9+4)A = 1
A = -~.

Así, (8) tiene la solución general:
y = CI COS 2x + C2 sen2x - ~ sen3x,

un resultado que puede obte~e mentalmente.
Para la ecuación (8), el método general de coeficientes indeterminados nos lleva a escribir:

m = ±2i, mI = ± 3i,

así como:

yp = Asen3x + B cos 3x. (10)

Cuando la y de (10) es sustituida en (8), se encuentra que:
p
A = -~ B =0.

En contraste, considere la ecuación:

(D2 + 4D + 4)y = sen3x. (11)

Aquí cualquier intento por encontrar una solución proporcional a sen 3x está condenado al
fracaso ya que, aunque D2y también es proporcional a sen 3x, el término Dy implica cos 3x.

No hay otro término en (11) que pueda compensar este término con coseno, así que no es

posible la existencia de una solución en la forma y = A sen 3x. Para esta ecuación, m = -2,
-2, mI = ±3i, yen la solución particular,

yp = A sen 3x + B cos 3x,

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8.4 Solución por inspección 147

*"debe resultar que B O. No nos ahorramos ningún trabajo con el uso de la inspección.

En situaciones más complicadas, tales como:

(D2 + 4)y = xsen3x - 2cos3x,

el método de inspección no ahorrará trabajo.
Para la ecuación:

(12)

vemos que:

meyp = ¡ 5x

es una solución, ya que (D2 + 4)e5x = 2ge5x.

Por último, observe que si Y, es una solución de:

f(D)y = R,(x)

YY2 es una solución de:

f(D)y = Rix ),

entonces,

será una solución de:

De lo cual se deduce fácilmente que la tarea de obtener una solución particular de:

f(D)y = R(x)

puede dividirse, si es conveniente, tratando los términos distintos en R(x) de manera inde-
pendiente. Véanse los ejemplos siguientes. Ésta es la base del "método de superposición"
que se utiliza en matemáticas aplicadas.

EJEMPLO 8.9 (13)
Encuentre una solución particular de:

(D2 - 9)y = 3ex + x - sen4x.

Ya que (D2 - 9)é = - 8é, por inspección vemos que:
y¡ = _ ~ex

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148 Capítulo 8 Ecuaciones no homogéneas: coeficientes indeterminados

es una solución particular de:

De manera análoga, vemos que Y2 = - ~x satisface:
(D2 - 9)Y2 = X

y que,

satisface: Y3 -- 2I5 sen 4x

(D 2 - 9)Y3 = -sen4x.

Por lo tanto, +Yp = _l8ex _.!9.x .2..5L sen 4x

es una solución de la ecuación (13). •

EJEMPLO 8.10 (14)
Encuentre una solución particular de: (15)

(D2 + 4)y = sen x + sen 2x

=!De inmediato vemos que Y¡ sen(x) es una solución de:

(D2 + 4)y¡ = sen x.

Entonces buscamos una solución de:

(D2 + 4)Y2 = sen 2x

por el método de coeficientes indeterminados. Ya que m = ±2i y m / = ±2i, escribimos:

Y2 = Ax sen 2x + Bxcos2x

en la ecuación (15) y determinamos que:

4A cos 2x - 4B sen 2x = sen 2x,

!.de lo cual se obtiene A = 0, B =

Así, una solución particular de (14) es:

Yp = 31" senx - 41: x cos 2x. •

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8.4 Solución por inspección 149

EJEMPLO 8.11
Encuentre una solución particular de:

(16)

"*Si b a, entonces debe existir una solución particular de la forma y = A cos bx. De la ecua-

ción (16) deducimos que:

(_ b2A + a2A) cos bx = cos bx

y A = (a2 - b2)- I. Una solución particular de (16) es:
y = (a 2 - b2 ) - 1 cosbx.

Si b = a, entonces la ecuación (16) se transforma en:

(D2 + a2)y = cosax, (17)

y ninguna función de la forma A cos ax es una solución particular, ya que el operador D2 + a2
anulará a la función A cos ax. Sin embargo, existe una solución de la forma Ax cos ax + Bx

sen ax. Al sustituir en la ecuación (1 7) requerimos que:

-2aAsenax + 2aB cosax = cosax,

°una ecuación que se satisface sólo si A = y B = ~a . Por lo tanto,

x (18)
.y = -2saenax

es una solución particular de (17). •

/

"*En este ejemplo hemos visto una diferencia importante entre los casos b a y b = a. En

una aplicación física considerada en el capítulo 10, la presencia de una solución que tiene

la forma dada en (18) arroja como resultado un fenómeno llamado resonancia. Al llegar a

este punto sólo necesitamos advertir que la solución en (18) será de carácter oscilatorio,

pero las amplitudes de la oscilación crecerán conforme x aumente.

• Ejercicios

"*l. Demuestre que si b a, entonces:

(D2 + a2)y = sen bx

tiene una solución particular y = (a2 - b2)-1 sen bx.
2. Demuestre que la ecuación:

no tiene solución de la forma y = A sen ax, con A siendo constante. Encuentre una solución

particular para esta ecuación.

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150 Capítulo 8 Ecuaciones no homogéneas: coeficientes indeterminados

En los ejercicios 3 al 50 encuentre una solución particular por inspección. Verifique su respuesta.

3. (D2 + 4)y = 12. 27. (D2 + 1)y = eX + 3x.
4. (D2 + 9)y = 18. 28. (D 2 + l)y = 5e-3x .
5. (D2 + 4D + 4)y = 8. 29. (D 2 + 1)y = -2x + cos 2x.
6. (D 2 + 2D - 3)y = 6. 30. (D2 + l)y = 4e-2x .
7. (D 3 - 3D + 2)y = -7. 31. (D 2 + l)y = lOsen4x.
8. (D4 + 4D2 + 4)y = -20. 32. (D 2 + 1)y = _6e-3x .
9. (D2 + 4D)y = 12. 33. (D2 + 2D + l)y = 12ex .
10. (D 3 - 9D)y = 27. 34. (D2 + 2D + 1)y = 7e-2x .
11. (D 3 + 5D)y = 15. 35. (D2 - 2D + l)y = 12e-x .
12. (D 3 + D)y = -8. 36. (D 2 - 2D + 1)y = 6e-2x .
37. (D 2 - 2D - 3)y = eX.
13. (D 4 - 4D2)y = 24.
38. (D 2 - 2D - 3)y = e2x .
14. (D4 + D2)y = -12. 39. (4D2 + l)y = 12senx.
15. (D 5 - D 3)y = 24.
16. (D 5 - 9D3)y = 27. 40. (4D2 + l)y = -12cosx.
17. (D2 + 4)y = 6senx. 41. (4D2 + 4D + 1)y = 18ex - 5.
18. (D 2 +4)y = lOcos3x. 42. (4D2 + 4D + l)y = 7e-X + 2.
19. (D 2 +4)y = 8x + 1-15ex . 43. (D 3 - l)y = e-x.
20. (D2 + D)y = 6 + 3e2x .
21. (D2 + 3D - 4)y = 18e2x . 44. (D 3 - 1)y = 4 - 3x2.
22. (D2 + 2D + 5)y = 4ex - 10.
23. (D2 - l)y = 2e3x . 45. (D 3 - D)y = e2x .
24. (D2 - l)y = 2x + 3.
25. (D2 - l)y = cos 2x. 46. +(D4 4)y = 5e2x .
26. (D 2 - l)y = sen2x. 47. (D4 + 4)y = 6sen2x.
48. (D4 + 4)y = cos 2x.
49. (D3 - D)y = 5sen2x.
50. (D 3 - D)y = 5cos2x.

8.5 Suplemento para computadora

Las operaciones algebraicas necesarias para resolver una ecuación diferencial aplicando el
método de coeficientes indeterminados son realizadas fácilmente usando un Sistema de
Álgebra Computacional. Por ejemplo, considere el ejemplo 8.4 de la sección 8.3.

(D2 + D - 2)y = 2x - 40cos2x.

La siguiente sesión en Maple reproduce los pasos realizados a mano en la sección:
>y(x) :=A+B*x+C*cos(2*x)+F*sin(2*x);

ey(x) := A + Ex + cos(2x) + Fsen(2x)

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8.5 Suplemento para computadora 151

>yp (x) : =diff (y (x) ,x) ;

yp(x) := B - 2 esen(2x) + 2 F cos(2x)

>ypp (x) : =diff (yp (x) ,x) ;

eypp(x) := -4 cos(2x) - 4 Fsen(2x)

>ypp(x)+yp(x)-2*y(x)-2*x+40*cos(2*x)=O;

-6 e cos(2x) - 6 Fsen(2x) + B - 2 e sen(2 x)
o+2Fcos(2x) - 2A - 2Bx - 2x +40 cos(2x) =

>collect (", [x , cos (2*x) ,sin (2*x) 1) ;

(-2 B - 2) x + (-6 e + 2 F + 40) cos(2x)
+ (-6 F - 2 e) sen(2 x) + B - 2 A = o

>solve({ - 2*B -2=O,-6 *C+2*F+40 =O,-6*F-2 *C=O ,B-2 *A=O},
{A,B,C,F}) ;

{e = 6, A = -1/2, B = -1, F = -2}

Sólo hemos sustituido los coeficientes resultantes en la solución original para obtener la
respuesta correcta.
• Ejercicios
1. Utilice una computadora para resolver una selección de ejercicios del presente

capítulo.

)

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Variación de 9
para" metros

9. 1 Introducción

En el capítulo 8 resolvimos la ecuación lineal no homogénea con coeficientes constantes:

(1)

por medio del método de coeficientes indeterminados. Vimos que este método es aplicable
sólo en cierta clase de ecuaciones diferenciales: aquellas para las que R(x) es una solución
de una ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes.

En este capítulo estudiaremos dos métodos que no tienen tal restricción. En realidad,
mucho de lo que haremos será aplicable a ecuaciones lineales con coeficientes variables.
Empecemos con un procedimiento de D' Alembert que a menudo se identifica como el mé-
todo de reducción de orden.

9.2 Reducción de orden (1)

Considere la ecuación lineal general de segundo orden:

y" + py' + qy = R.

Suponga que conocemos una solución y = YI de la correspondiente ecuación homogénea:

y" +foy' + qy = O. (2)

Entonces la introducción de una nueva variable dependiente v mediante la sustitución:

y = YIV (3)

nos conducirá a una solución de la ecuación (1) de la siguiente manera.
De la ecuación (3) se deduce que:

y' = YIV' + Y;v ,
y" = YIV" + 2y;v' + y~v,

152

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9.2 Reducción de orden 153

así, la sustitución de (3) en (1) tiene como resultado:

o (4)

YI v" + (2y; + PYI)V' + (y;' + PY; + qYI)v = R.

Pero y = Y1 es una solución de (2). Esto es,

Y;'+PY; +qYI =0

y la ecuación (4) se reduce a: (5)
(6)
YI v" + (2y; + PYI)V' = R.

Ahora hagamos v' = w, así la ecuación (5) se transforma en:

YIW' + (2y; + PYI)W = R,

una ecuación lineal de primer orden en w.
A partir de la ecuación (6) podemos encontrar w mediante el método usual (factor in-

tegrante). Luego podemos obtener v de v' = w por medio de una integración. Finalmente,

y = Y1v.

Observe que el método no está restringido a ecuaciones con coeficientes constantes. Só-

lo depende de nuestro conocimiento de una solución distinta de cero en la ecuación (2). En

la práctica. el método también depende de n,uestra habilidad para efectuar integraciones.

EJEMPLO 9.1 (7)
Resuelva la ecuación:

y" - y = e".

La función complementaria de (7) es:

+Y c = clex C2 e- x .

Tomemos la solución particular e" y por el método de reducción de orden hagamos:

y= ve"

Entonces,

y' = ve" + v 'e"

y

y"= ve" + 2v'e" + v"e".

Al sustituir en la ecuación (7) obtenemos: (8)

v" + 2v' = 1.

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154 Capítulo 9 Variación de parámetros

La ecuación (8) es una ecuación liqeal de primer orden en la variable v'. Aplicando el
factor integrante e2.x se obtiene:

Así,

(9)

donde c es una constante cualquiera. La ecuación (9) fácilmente da:

4v' = + ce-2x ,

y, por lo tanto,

v = c¡e-2x + c2 + 2¡ x,

donde c¡ y c2 son constantes elegidas arbitrariamente.
Tengamos presente que y = v¿, en consecuencia:

4y = c¡e-x + C2ex + xex . •

Por supuesto, la solución de la ecuación (7) pudo haberse obtenido por el método de

coeficientes indeterminados. Ahora resolveremos un problema que no se puede abordar

por ese método.

EJEMPLO 9.2 (D2 + 1)y = cscx. (10)
Resuelva la ecuación: Yc = C¡ cosx + c2senx. (11)

La función complementaria es:

-----------

Podemos usar cualquier caso especial de (11) como la y¡ en la teoría que se expuso
anteriormente. Entonces escribimos:

y = v senx.

Encontramos que:

y' = v' sen x + v cos x

y

y"= v"senx + 2v'cosx - vsenx.

La ecuación para ves:

v" senx + 2v ' cosx = cscx,

o

v" + 2v' cotx = csc2 X. (12)

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9.2 Reducción de orden 155

Al hacer v' = w, la ecuación (12) se transforma en:
w' + 2w cotx = csc2 X,

para la que un factor integrante es sen2 x. Así, (13)

sen2 x dw + 2w senx cos x dx = dx •

es exacta. De la ecuación (13) obtenemos:

w sen2 x = x,

y si sólo buscamos una solución particular,

w = xcsc2 x,
o

v' = xcsc2 x.

Por lo tanto, fv = X csc2 X dx,

o
v = - x cotx + In Isenxl,

un resultado obtenido al usar la integración por partes.
Ahora,
y = v sen x,

de modo que la solución particular que buscábamos es:
~ Yp = - x cosx +senx In Isenxl.

Por último, la solución completa de (10) es:
y = Cl COS X + C2 senx - x cos x + senx In Isenx l.

• Ejercicios

Utilice el método de reducción de orden para resolver las ecuaciones en los ejercicios l al 8.

1. (D 2 - l)y = x - 1. +3. (D 2 - 4D 4)y = eX.

2. +(D 2 - 5D 6)y = 2ex . 4. (D 2 + 4)y = senx.

5. (D 2 + l)y = secx .

6. (D 2 + l)y = sec3 x. Utilice y = vsenx.

7. (D2 + 2D + 1)y = (eX - 1)-2.

+ +8. (D 2 - 3D 2)y = (1 e2x )-1/2.

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156 Capítulo 9 Variación de parámetros

9. Utilice la sustitución y = v cos x para resolver la ecuación del ejemplo 9.2.

10. Utilice y = ve -x para resolver la ecuación del ejemplo 9.1.

11. (D2 + l)y = csc3 x. Sugerencia: véase el ejercicio 6.

12. Verifique si y = ¿ es una solución de la ecuación:

+(x - l )y" - xy' y = O.

Utilice este hecho para encontrar la solución general de:

(x - 1) y" - x y' + y = 1.

13. Observe que y = x es una solución particular de la ecuación:
2x 2 y " +xy, - y = O

y encuentre la solución general. ¿Para qué valores de x es válida esta solución?
14. En el capítulo 19 estudiaremos la ecuación diferencial de Bessel de índice orden cero:

xy" + y' + xy = O.

Suponga que a una solución de esta ecuación se le identifica como Jo(x). Demuestre
que una segunda solución tom a la forma:

fJo(x) dx

?

x [Jo(x) ]-

15 . Una solución de la ecuacióri diferencial de Legendre:
(l-x2)y" - 2xy' +2y = O

es y = x. Encuentre un a segunda solución.

9 .3 Variación de parámetros

En la sección 9.2 vimos que si YI es una so lución de la ecuación homogénea: (1)

y " + p(x) y' + q(x) y = O,

podemo s usar ésta para determinar la solución general de la ecuaci ón no homogénea:

+ +y" p(x)y' q(x)y = R (x). (2)

Al usar el método de reducción de orden procedimos como sigue: ya que YI es una solu-
ción de (1) , la función elYI también es un a solución para una constante cualqui era e l' Así,
remplazamos la constante el por una función v(x) y consideramos la posibi lidad de la exis-
tencia de un a so lución de la forma v . YI para la ecuación (2). Esto nos llevó a una ecuación
lineal de primer orden en la variable v' que fuimos capaces de resolver.

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9.3 Variación de parámetros 157

Ahora suponga que conocemos la solución general de la ecuación homogénea (1). Esto
es, suponga que:

= +Yc C1Y 1 C2Y2 (3)

es una solución de (1), donde y l YY2 son linealmente independientes en un intervalo a < x < b.
Veamos qué sucede si remplazamos ambas constantes en (3) con funciones de x. Esto es, con-

sideramos:

(4)

y tratamos de determinar A(x) y B(x) de modo que AY 1 + BY2 sea una solución de la

ecuación (2).

Observe que estamos introduciendo dos funciones desconocidas, A (x) y B(x), y que só-

lo insistimos en que éstas satisfagan una condición: que la función (4) sea una solución de

la ecuación (2). Por lo tanto, podemos esperar imponer una segunda condición sobre A(x)

y B(x) de alguna manera que nos beneficie. En efecto, si imponemos simplemente la con-

dición B(x) == 0, estaremos tratando con el método de reducción de orden. Realmente,

impondremos una condición un poco diferente sobre A y B.

De la ecuación (4) se deduce que:

(5)

En lugar de implicar derivadas de A y B de orden superior al primero, escogemos alguna
función particular para la expresión:

A 'Y1 + B'Y2'

Desde el punto de vista técnico, podríamos hacer que esta función sea sen x , eX, o cual-
quier otra función adecuada. Por sencillez elegimos:

A 'Y1 + B'Y2 = O. (6)

Entonces, a partir de (5) concluimos que:

y " = Ay;' + By~ + A'y; + B ' y~. (7)

~
Ya que y tiene que ser una solución de (2), sustituimos (4), (5) Y (7) en la ecuación (2) para

obtener:

A(y;' + PY; + qYI) + B(y~ + Py~ + qY2) + A' y; + B'y~ = R(x) . (8)

Pero y l YY2 son soluciones de la ecuación homogénea (l), así que finalmente,

+A'y; B'y; = R(x).

Ahora las ecuaciones (6) y (8) nos dan dos ecuaciones que deseamos resolver para A' Y
B '. Tal solución puede existir siempre y cuando el determinante:

I~; ~~I

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158 Capítulo 9 Variación de parámetros

no se anule. Este determinante es precisamente el wronskiano de las funciones y¡ y Y2' Y

supusimos que estas dos funciones eran linealmente independientes en el intervalo a < x < b.

Por lo tanto, el wronskiano no se anula en ese intervalo y podemos encontrar A' YB '. Aho-
ra determinamos A y B por integración. Una vez que A y B son conocidas la ecuación (4) .
nos da la y buscada.

Este argumento se puede extender confacilidad, sin que ello implique modificaciones
esenciales, para aplicarlo en ecuaciones de orden superior a dos. Además, en el niétodo no
hay nada que prohiba que la ecuación diferencial implicada tenga coeficientes variables.

EJEMPLO 9.3
Resuelva la ecuación:

(D2 + l)y = secx tanx. (9)

Por supuesto,

Yc = c¡ cosx + c2 senx.

Buscamos una solución particular por medio de variación de parámetros. Escribimos:

y = A cos x + B sen x, (10)

de laque:

yl = - Asenx + B cosx + A' cosx + B' senx.

Ahora hacemos:

A ' cos x + B' sen x = 0, (11)

de modo que:

y' = - Asen x + B cos x .

Entonces,

yl! = - A cosx - B senx - A' senx + B' cosx. (12)

En seguida eliminamos a y combinando las ecuacio~ 1O) Y(12) con la ecuación original
(9). Así obtenemos la relación:

-A' senx + B' cosx = secx tanx. (13)

A' puede eliminarse fáci lmente de (13) y (11). El resultado es: (14)
B' = tan x,

de modo que:

B = In I sec xl,

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9.3 Variación de parámetros 159

donde la constante elegida arbitrariamente no ha sido incluida porque estamos buscando

sólo una solución particular para agregar a nuestra función complementaria Yc previamen-
te determinada.

De las ecuaciones (13) y (11) también se deduce que:

A I = - sen x sec x tan x,

o

Al = - tan2 x.

Entonces, f fA = -

=tan2 x dx (1 - sec2 x) dx,

de manera que:

A = x - tan x, (15)

tampoco aquí se ha considerado la constante elegida de modo arbitrario.
Regresemos a la ecuación (10) con la A de (15) y la B de (14) para escribir la solución

particular,

Yp = (x - tan x) cosx + senx In Isecx l,

o

Yp = x cosx - senx + senx In Isecx l·

Entonces la solución general de (9) es: (16)

y = el cosx + e3 senx + x cosx + senx In Isecx l,

donde el término (- sen x) en Yp ha sido absorbido en el término e3 sen x de la función com-
plementaria, ya que e3 es una constante elegida arbitrariamente.

Como de costumbre, la solución (16) puede ser verificada por sustitución directa en la

ecuación diferencial original. •

EReJsEuMelvPaLlOa e9c.u4ación:~ (D2 - 3D + 2)y = -1 +1-e-X .' (17)

Aquí,

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160 Capítulo 9 Variación de parámetros \
así que ~scribimos: (18)
Ya que,

imponemos la condición:

A'ex + B'e2x = O. (19)
(20)
Entonces, y' = Aex + 2Be2x , (21)
de la cual se deduce que: (22)
y" = Aex + 4B e2x + A'eX + 2B'e2x .

Si combinamos (18), (20), (21) Y la ecuación original (17), encontramos que:

A'eX + 2B'e2x = 1 +1e-X

Al eliminar B ' de las ecuaciones (19) Y (22) se obtiene:

A,eX = - 1 1 - ,

+e X

A'=

Entonces,

De manera análoga, B'e2x = __1__
en consecuencia:
o 1 + e-x'

f f (B = e-X )
e -2x dx = e-x - dx
1 + e-X '
1 + e-X

Entonces, de (18),

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9.4 Solución de yl! + Y = f(x) 161

El ténnino (-eX) en y puede absorberse en la función complementaria. La solución gene-

ral de la ecuación (17) es: \ ,

9.4 Solución de y" + y = f(x) •

Ahora considere la ecuación: (1)

(D2 + l)y = f(x),

en la cual todo lo que pedimos def(x) es que sea integrable en el intervalo donde busque-
mos una solución. Por ejemplo, f(x) puede ser cualquier función continua o cualquier fun-
ción con un número finito de discontinuidades finitas en el intervalo a :5 x :5 b.

Aplicaremos el método de variación de parámetros a la solución de (1). Escribimos:

y = A cos x + B sen x. (2)

Entonces,

y' = -Asenx + B cosx + A' cosx + B' senx,

y si escogemos: A' cos X + B I sen x = 0, (3)
obtenemos: y" = - A cos x - B senx - A' senx + B ' cos X .
(4)

De (1), (2) Y (4) concluimos que: (5)

-A I sen x + B ' cosx = f(x).

Las ecuaciones (3) y (5) se pueden resolver para A I Y B " lo cual nos da:
A'= -f(x) sen x y B'=f(x)cosx.

Ahora podemos escribir: A = - [" f({3) sen{3 d{3 ~ (6)
(7)
/ 1x

B = f({3) cos {3 d{3 ,

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162 Capítulo 9 Variación de parámetros

para cualquier x en a ~ x ~ b. Aquí es donde usamos la integrabilidad def(x) en el inter-

valo~~x~b. J

LaA y la B de (6) y (7) pueden introducirse en (2) para conseguir la solución particular:

+yp = - cosx ¡X f(f3)senf3 df3 senx ¡X f(f3) cos f3 df3

= ¡X f(f3)(senxcosf3 -cosxsenf3)df3. (8)
Por lo tanto, (9)
(lO)
YP = ¡X f(f3) sen (x _ f3) df3,
y ahora podemos escribir la solución general de la ecuación (1):

y=cICOSx+c2 senx + ¡X f(f3)sen(x - f3)df3.

• Ejercicios

En los ejercicios l al 18 utilice variación de parámetros para resol ver cada ecuación.

1. (D 2 - 1)y = eX + 1. 10. (D 2 + l)y = sec2x cscx.
2. (D2 + 1)y = cscx cotx. 11. (D 2- 2D + 1)y = e2x (eX + 1)-2.
3. (D2 + l)y = cscx. 12. (D 2 -3D+2)y = e2x /(1+e 2x ).
4. (D 2 + 2D + 2)y = e-x cscx.
5. (D 2 + l)y = sec3 x. 13. (D 2 - 3D + 2)y = cos (e-X).
6. (D 2 + 1)y = sec4 x.
7. (D2 + l)y = tanx. 14. (D 2 - l)y = 2(1 - e-2x )-1/2.
8. (D 2 + l)y = tan2x. 15. (D 2 -l)y = e- 2x sene-x.
9. (D 2 + l)y = secx cscx.
16. (D - l)(D - 2)(D - 3)y = eX.

17. ylll - y' = x.

18. ylll + y' = tanx.

19. Observe que x y ~ son soluciones de la ecuación homogénea asociada con:
(1 - x)y" + xy' - y = 2(x - 1)2e-x.

Utilice este hecho para res~ver la ecuación no homogénea.

20. Resuelva la ecuación:

y"- y = ~

por el método de variación de parámetros, pero en lugar de hacer A ' #'1 + B I Y2 = O
como en la ecuación (6) de la sección 9.3, escoja A I YI + B I Y2 = k, para una k constante.

21. Aplique la sugerencia del ejercicio 20 al ejercicio 5.

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9.4 Solución de y" + y = ¡(x) 163

22. Sean Y¡ y y2 las soluciones de la ecuación homogénea asociada con:

y" + p(x)y' + q(x)y = f(x). (A)

*'Sea W(x) el wronskiano de y¡ y Y2' Ysuponga que W(x) Oen el intervalo a < x < b.

Demuestre,que una solución particular de la ecuación (A) está dada por:
_ r fCB)[y ¡CB)Y2(X) - y ¡(X)Y2UJ)] d,B
Yp - la (B)
W(,B) .

23. Las condiciones del ejercicio 22 implican que: (C)

y;' + PY; + qy¡ = O

y

y~ + py~ + qY2 = O. (D)

Si multiplicamos.la ecuación (C) por Y2 y la ecuación (D) por Y¡ restando luego las
dos ecuaciones así obtenidas tenemos,

. (Y2Y;' - y ¡ y~) + p(Y2Y; - y ¡y~) = O.

Con base en esta ecuación demostramos que el wronskiano de Y¡ y Y2puede escribir-
se como:

fW(x) = c exp ( - P dx ). (E)

donde c es constante. La ecuación (E) se conoce como la fórmula de Abel.
24. Utilice la fórmula de Abel para demostrar que si W(xo) = Opara alguna Xoen el inter-

valo a < x < b, entonces W(x) == Opara toda a < x < b.

25. Resuelva el problema de valor inicial:

y" + y = f(x); cuando x = Xo, y = Yo, y' = yb.

Sugerencia: Demuestre que la constante a en las ecuaciones (6) y (7) de la sección
9.4 podrían ser elegidas como xo' Determine c¡ y c2 de la ecuación (10) usando la for-
ma de y de la ecuación (8).

p

• Ejercicios diversos

Resuelva las ecuaciones en los ejercicios l al 17.

+1. (D 2 - l)y = 2e-x (1 e-2x )-2. 5. (D 2 + l)y = cotx.

2. (D 2 - l)y = (1 - e2x )-3/ 2. 6. (D2 + l)y = secx.

\ 3. (D 2 + l)y = sec2 x tanx. 7. Resuelva el ejercicio 6 por otro método.

4. Resuelva el ejercicio 3 por otro 8. (D 2 - l)y = 2/(1 + eX).

método.

'"

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164 Capítulo 9 Variación de parámetros

9. (D 2 - I) y = 2/ (eX - e-X ). 12. y" + y == sec3 x tanx.

10. (D2 -3D+2)y=sen e- x . 13. y"+ 4y'+ 3y =sen ex.

11. (D2 -1) y =I / (e 2x +l). 14. y"+y =csc3 x cot x.
15. ( D 2 - I)y = e2x (3tan eX + ex sec2 eX ).

16. (D3 + D)y = sec2 x . Sugerencia: Primero integre una vez.

17. yl! + Y = sec x tan2 x. Verifique su respuesta.

9.5 Suplemento para computadora

Como en el capítulo anterior, un Sistema de Álgebra Computacional puede simplificarnos
mucho el trabajo con los detalles del método de variación de parámetros . Aquí usamos Ma-
ple al resolver el ejemplo 9.3 de la sección 9.3:

(D2 + l)y = sec x ta~ x .

Empezamos suponiendo que las soluciones complen1entarias cos x y sen x ya han sido
encontradas.
>y :=vector( [cos(x) , sin( x )]) ;

y := [cos (x) , sen(x) ]
>M :=Wr o n sk ian (y;x) ;

M ._ [CO S(X) sen (x) ]
- sen(x) cos(x)

Observe que Maple utiliza la palabra Wronskian para la matriz en lugar de usarla para su
determinante.
>ApBp : =linsolve(M , [O,sec(x)*tan(x)]) ;

A pBp := [ _ sen (x) sec(x) tan(x) , cos(x) sec(x) tan(x) ]
(seri(x»2 + (cOS(x»2 (sen(x»2 + (COS(x»2

Aquí Maple ha encontrado a A I YB I de manera simultánea pero no ha simplificado sus re-
sultados. A continuación hacemos esto antes de integrar.

>A : = int( s i~ l ifY ( APBp[l ] ) ,x );

sen (x)
A := x - - -

cos (x )
>B :=int(simplify(ApBp[2]) , x) ;

B := -In (cos (x»

Podemos usar estos valores para A y B a fin de construir la solución general.

~

• Ejercicios

l . Utilice una computadora para resolver una selección de ejercicios del capítulo.

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Aplicaciones 40

110.11 Vibración de un resorte

Considere un resorte de acero que cuelga de un soporte. Dentro de ciertos límites de estira-
miento, el resorte obedecerá la ley de Hooke: si un resorte se alarga o comprime, el cambio
en su longitud será proporcional a la fuerza ejercida sobre él, y cuando la fuerza sea retira-
da, el resorte regresar~ a su posición original conservando su longitud y otras propiedades
físicas sin alterar. Por lo tanto, podemos afirmar que existe una constante numérica asocia-
da con cada resorte; esta constante es la razón entre la fuerza ejercida y el desplazamiento
producido por esa fuerza. Si una fuerza de magnitud Q libras (lb) alarga un resorte hasta
una longitud de e pies, la relación:

Q=kc (1)

define la constante k del resorte en unidades de libras por pie (lb/pie).
Suponga que un objeto B que pesa w libras está sujeto al extremo inferior de un resorte

y es llevado a un punto de equilibrio donde permanece en reposo, como en la ilustración
izquierda de la figura 10.1. Una vez que el peso B es apartado del punto de equilibrio E, co-
mo en la ilustración derecha de la figura 10.1, el movimiento de B estará determinado por
una ecuación diferencial y ciertas condiciones iniciales asociadas.

Sea t el tiempo medido en segundos desde el momento en que el movimiento se inicia.
Sea x, en pies, la distancia medida desde el punto de equilibrio, positiva hacia abajo y ne-
gativa hacia arriba, como en la figura 10.1. Suponemos que el movimiento de B toma un
sentido vertical, así la velocidad y la aceleración están dadas por la primera y segunda de-
riva<;!a de x con respecto a t.

Además de la fuerza proporcional al desplazamiento (ley de Hooke), en general habrá
una fuerza de retardo causada por la resistencia del medio donde se efectúe el movimiento
o por fricción. Aquí sólo estamos interesados en las fuerzas de retardo que pueden ser apro-
ximadas de manera adecuada mediante un término proporcional a la velocidad, ya que
restringiremos nuestro estudio a problemas que impliquen ecuaciones diferenciales linea-
les. Estas fuerzas de retardo contribuirán con un término bx '(t) a la fuerza total que actúa
sobre B, en la que b es una constante determinada experimentalmente para el medio en el
que tiene lugar el movimiento. Algunas fuerzas de retardo comunes, como una que sea pro-
porcional al cubo de la velocidad, conducen a ecuaciones diferenciales no lineales.

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166 Capítulo 10 Aplicaciones

Figura 10.1

Por lo regular el peso del resorte es desdeñable comparado con el peso de B; así que para
la masa de nuestro sistema usamos el peso de B dividido entre la constante de la acelera-
ción de la gravedad, g. Si ninguna otra fuerza, distinta a las aquí descritas, actúa sobre el
peso, el desplazamiento x deberá satisfacer la ecuación:

W x"(t) + bx'(t) + kxt t) = O. (2)

g.

Suponga que al sistema se le aplica una fuerza vertical adicional, debida al movimiento
del soporte o a la presencia de un campo magnético. La nueva fuerza dependerá del tiem-
po y podemos usar F(t) para denotar la aceleración que esta sola fuerza transmitirá al peso
B. Entonces la fuerza ejercida es (ro! g) F(t) y la ecuación (2) se remplaza por:

W x"(t) + bx'(t) + kx(t) = -W F(t). (3)

-
gg

En el tiempo cero, suponga que el peso se desplaza una distancia X odel punto de equili-
brio a una velocidad inicial vo. En instantes específicos xo' Voo ambas, pueden ser cero. El

problema de determinar la posición del peso en cualquier instante t se transforma en resol-
ver el problema de valor inicial consistente en la ecuación diferencial:

W x"(t) + bx'(t) +. kx(t) = W para t > O, ' (4)

- - F(t)
gg

y las condiciones iniciales:

x(O) = XO, x/(O) = Vo . (5)

Es conveniente reescribir ia ecuación (4) en la forma:

x"(t) + 2yx'(t) + f3 2x(t) = F(t), (6)

en la que hemos escrito: bg -kg =f32.

\ -=2y,

WW

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10.2 Vibraciones no amortiguadas 167

Podemos elegir una f3 > O Ysabemos que r2: O. Observe que r= O corresponde a una fuer-

za de retardo insignificante.
A continuación estudiaremos varios casos especiales del problema de valor inicial con-

tenido en las ecuaciones (5) y (6).

110.21 Vibraciones no amortiguadas (1)
Si r= O en el problema de la sección 10.1, la ecuación diferencial se convierte en:
+x"(t) tPx(t) = F(t),

una ecuación lineal de segundo orden con coeficientes constantes en la que:

f32 = kg f ur.

La función complementaria asociada con la ecuación homogénea x" (t) + f32x(t) = O es:

+Xc = el senf3t e2 cos f3t,

y la solución general de la ecuación (1) será de la forma:

+ +x = el senf3t e2 cos f3t xp, (2)

xjdonde es cualquier solución particular de la ecuación no homogénea.

Ahora veamos varios ejemplos del movimiento descrito por la ecuación (2) para dife-

rentes funciones F(t) de la ecuación (1).

EJEMPLO 10.1

Resuelva el problema del resorte, sin amortiguamiento, pero con F (t) = Asen OJ t, donde

f3 =1= OJ. El caso f3 = OJ produce resonancia, efecto físico que será analizado en la sección 10.3.

La ecuación diferencial del movimiento es:

y puede escribirse como: -w x "(t) + kx(t) = -w A senwt

gg (3)

+x"(t) f32x(t) = Asenwt, (4)

con la introducción de f3 2 = kg / OJ. Supondremos las condiciones iniciales:

x(O) = Xo, x/(O) = va.

Una solución particular de la ecuación (3) será de la forma:

/ xp = Esen OJt,

y podemos obtener E por sustitución directa en la ecuación (3). Tenemos:

+-Ew2senwt f32Esenwt = Asenwt,

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168 Capítulo 10 Aplicaciones

una ecuación que será satisfecha para toda t sólo si escogemos:

A
E = fJ 2 - w2'

La solución general de (3) ahora se transforma en :

+ +x(t) = e l senfJt e2 cos fJt A (5)
2 2 senwt
fJ - w

con derivada:

+I Aw
2 2 cos wt.
x (t) = e l fJ cos fJt - e2fJ senfJt
~ fJ - w

En este punto las condiciones iniciales en (4) requieren que:

+ Aw

y Vo = e l fJ fJ 2 - W2

y nos obligan a escoger: y
Vo Aw

7f -el = fJ(fJ2 - ( 2)

De la ecuación (5) se deduce de inmediato que:
1x(t) = -Vo senfJt +xo cos t -
+Aw A senwt . (6)

2 2
2 senfJt fJ - (1)2
fJ fJ (fJ - w )

La x de (6) tiene dos partes. Los primeros dos términos representan el componente armónico
simple natural del movimiento, un movimiento que se presentaría si A fuera cero. Los últi-

•mos dos términos en (6) son causados por la presencia de la fuerza externa (ro/g)A sen ro t.

EJEMPLO 10.2

Cierto resorte se alargará 6 pulgadas si se ~Ie cuelga un peso de 12 libras. Suponga que el pe-

so está sujeto al resorte y que es estirado 4 pulgadas hacia abajo del punto de equilibrio. Si

el peso se mueve hacia arriba con una velocidad inicial de 2 pies/seg, describa el movi-

miento. No están presentes otras fuerzas.

Sabemos que el concepto de aceleración de la gravedad entra en nuestro trabajo en la

expresión utilizada para la masa. Deseamos usar el valor g = 32 pies/seg2 y unidades con-

sistentes, así que ponemos todas las longitudes en pies.

Primero determinamos la constante k del resorte con base en el hecho de que el peso

-!k,de 12 libras lo alarga 6 pulgadas, o sea medio pie. Entonces 12 = de modo que

k = 24 lb/pie.

Por lo tanto, la ecuación diferencial del movimiento es:

~X " (t) + 24x(t) = O. (7)

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10.3 Resonancia 169

(!En el instante cero el peso está a 4 pulgadas de pie) por debajo del punto de equilibrio,
lpor lo que x(O) = La velocidad inicial es negativa (hacia arriba), así que x '(O) = - 2. Por

lo tanto, nuestro problema consiste en resolver:

+xl/(t) 64x(t) = O; t,x(O) = x/(O) = -2. (8)

La solución general de la ecuación (8) es:

x (t) = CI sen 8t + C2 cos 8t,

de la que:

;'

x/(t) = 8cI cos 8t - 8c2sen8t.

Ahora las condiciones iniciales requieren que:

l = C2 y

3"

en conclusión,

+x(t) = -~sen8t tcos8t. (9)

Podemos hacer un estudio detallado del movimiento una vez que (9) ha sido obtenida.
La amplitud del movimiento es:

+J(!3)2 (!4)2 -- J1.2..'

esto quiere decir que el peso oscila 5 pulgadas hacia arriba y 5 pulgadas hacia abajo de E.

El periodo es de ~ 7r segundos. •

110.3 1Resonancia

En el ejemplo 10.1 pospusimos para esta sección el estudio del caso especial f3 = OJ. Así te-

nemos que la e~ción diferencial por resolver es:

+x l/ (t) rPx(t) = Asen,Bt, (1)

=donde f3 2 kg / OJ.

La función complementaria asociada con la ecuación homogénea x" (t) + f3 2x(t) = O

será la misma que antes, pero la solución particular xp anterior no existe ya que f3 = OJ.
-Aquí puede ser aplicado el método de coeficientes indeterminados para buscar una so-

lución particular de la forma:

+x p = PtsenfJt QtcosfJt, (2)

donde P y Q son constantes por determinar. La sustitución directa de laxp de (2) en la ecua-
ción (1) tiene como resultado:

2PfJcos,Bt - 2Q,Bsen,Bt = AsenfJt,

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170 Capítulo 10 Aplicaciones

una ecuación que puede satisfacerse para toda t sólo si P = OYQ = -A /2f3. ASÍ: (3)

-At (4)
x p = 2f3 cos f3t,
(5)
y la solución general de (1) es:

At
x(t) = c¡senf3t +C2COSf3t - 2f3 cosf3t,

de la que obtenemos:

x' (t) = c ¡f3 cosf3t - c2f3senf3t + At - A cosf3t.
-senf3t -
2 2f3

Las condiciones iniciales x(O) =X oy X '(O) =Vo ahora nos obligan a tomar:

7iVo A

y C l = + 2f32·

y la solución final puede escribirse como:

Vo A
7ix (t) = Xo f3t + sen f3t + 2f32 (senf3t - f3t cos f3t).
cos

Es fácil verificar que (5) satisface el problema de valor inicial.

En la solución (5) los términos proporcionales a cos f3 t Y a sen f3 t están acotados, pero
el término con f3 t cos f3 t puede hacerse tan grande como queramos mediante una selección

adecuada de t. Esta presencia de amplitudes grandes en la vibración es conocida como

resonancia .

• Ejercicios

1. Considere un resortehl que un peso de 5 libras alarga en 6 pulgadas. El peso se suje-

ta al resorte y éste al¿anza el equilibrio, luego el peso es jalado hacia abajo 3 pu lga-

das desde el punto de equilibrio y entonces vuelve hacia arriba a una velocidad de

6 pies/seg. Encuentre una ecuación que dé la posición del peso en todo momento

subsecuente. ../

2. Un resorte es alargado en 1.5 pulgadas por un peso de 2 libras. Suponga que el peso

es llevado 3 pulgadas por arriba de E y luego se suelta. Describa el movimiento.

3. Para el resorte y peso del ejercicio 2, suponga que el peso es jalado 4 pulgadas por
abajo de E y se le imprime una velocidad inicial positiva (hacia abajo) de 8 pies/seg.
Describa el movimiento.

4. Demuestreque la respuesta del ejercicio 3 puede escribirse como x = 0.60 sen
(l6t + <jJ), donde <jJ = arctan~.

5. Considere un resorte al que un peso de 4 libras alarga en 6 pulgadas. Una fuerza de

!cos 8t actúa sobre el resorte. Si el peso inicia un movimiento hacia arriba desde el

punto de equilibrio a una velocidad de 4 pies/seg, determine la posición del peso co-

mo una función del tiempo.

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10.3 Resonancia 171

6. Un resorte es alargado en 6 pulgadas por un peso de 12 libras. El peso se jala 3 pul-
gadas hacia abajo del punto de equilibrio y después se libera. Si se ejerce una fuerza
con magnitud de 9 sen 4t libras, describa el movimiento. Suponga que la fuerza ejer-
cida actúa hacia abajo para valores muy pequeños de t.

7. Demuestre que la respuesta del ejercicio 6 puede escribirse como:

*.J2x = cos (8t + n /4) + ~ sen4t.

8. Un resorte es alargado medio pie por un peso de 2 libras. Una fuerza de ±sen 8t actúa

sobre el resorte. Si el peso de 2 libras es liberado desde un punto que está a 3 pulga-
das por debajo del punto de equilibrio, determine la ecuación del movimiento.
9. Para el movimiento del ejercicio 8, encuentre los primeros cuatro instantes que el re-
sorte se detiene y la posición que guarda en cada uno de esos momentos.
10. En el ejercicio 8, determine la posición apropiada que se esperará si no hay interfe-
rencias, como roturas, en el momento que el resorte se detiene por sexagésima quin-

ta ocasión, cuando t = 8p (segundos).

11 . Considere un resorte al que un peso de 16 libras alarga en 1.5 pulgadas . El peso es ja-
lado 4 pulgadas hacia abajo del punto de equilibrio y se le imprime una velocidad ini-
cial positiva de 4 pies/seg. Se ejerce una fuerza de 360 cos 4t lb. Encuentre la posición
y velocidad del peso en el momento t = n / 8 segundos.

12. Un resorte es alargado 3 pulgadas por un peso de 5 libras. Suponga que el peso sube
desde E a una velocidad inicial de 12 pies /seg. Describa el movimiento.

13. Para el resorte y peso del ejercicio 12, suponga que el peso es jalado 4 pulgadas ha-
cia abajo de E y que luego se le imprime una velocidad negativa (hacia arriba) de
8 pies /seg. Describa el movimiento.

14. Encuentre la amplitud del movimiento del ejercicio 13.
15. Un peso de 20 libras alarga cierto resorte en 10 pulgadas. Suponga que primero el re-

sorte se comprime 4 pulgadas, luego se le sujeta el peso de 20 libras y a éste se le im-
prime una velocidad inicial positiva de 8 pies /seg. Determine la distancia que bajará
el peso.
16. ) A cierto resorte un peso de 8 libras lo alargaría 6 pulgadas. Suponga que al resorte se
le sujeta un peso de 4 libras, el cual es llevado 2 pulgadas arriba de su punto de equi-
librio donde luego se suelta. Describa el movimiento.
17. Si el peso de 4 libras del ejercicio 16 parte desde el mismo punto, 2 pulgadas arriba
de E, pero con una velocidad negativa de 15 pies /seg, ¿cuándo llegará a su punto más
bajo?
18. Un resorte es alargado en 4 pulgadas por un peso de 10 libras. Suponga que el peso
es llevado 5 pulgadas abajo de E donde se le imprime una velocidad positiva de
15 pies/seg. Describa el movimiento.
19. Un resorte es alargado en 4 pulgadas por un peso de 8 libras. Suponga que el peso es
llevado 6 pulgadas abajo de E donde se le imprime una velocidad hacia arriba de
8 pies/seg. Describa el movimiento.

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172 Capítulo 10 Aplicaciones

20. Demuestre que la respuesta del ejercicio 19 puede escribirse como x = 0.96 cos

(9.8t + l/», donde l/> = arctan 1.64.

21. A cierto resorte en posición vertical, un peso de 4 libras lo alarga en 6 pulgadas. El pe-
so se sujeta al resorte y alcanza su punto de equilibrio. Luego (t = O) el peso es baja-
do 3 pulgadas y de ahí se suelta. Hay una fuerza exterior armónica simple igual a
sen 8t ejercida sobre todo este sistema. Determine los primeros cuatro instantes en que
el resorte se detendrá, después de t = O. Escriba estos instantes en orden cronológico.

22. Un resorte es alargado 1.5 pulgadas por un peso de 4 libras. Suponga que el peso es
llevado 3 pulgadas abajo del punto de equilibrio donde luego se suelta. Si se ejerce
una fuerza de 8 sen 16t sobre el resorte, describa el movimiento.

23. Para el movimiento del ejercicio 22, encuentre los primeros cuatro instantes en que el
resorte se detiene y determine la posición que guarda en cada uno de esos momentos.

110.41Vibraciones amortiguadas

En el problema lineal general del resorte en la sección 10.1, estuvimos analizando la

ecuación:

+ +x"(t) 2yx'(t) f32 X (t) = F(t); x(O) = xo, x/ (O) = Vo, (1)

en la que 2y = bgl w y f32 = kgl w, f3 >0. La ecuación auxiliar:

°m2 + 2ym + f32 =

tiene raíces - y :±: vy2 - f32 Yvemos que la naturaleza de la función complementaria de-
pende de si f3 > y, f3 = y o f3 < y.

Si f3 > y, f3 2 - Y 2 > 0, de modo que escribimos:

f3 2 - y 2 = 82 . (2)

Entonces la solución general de (1) será: (3)

x (t) = e- yt (c¡ cos 8t + C2 sen8t) + o/¡ (t) ,

e?, la que lI'¡ (t) es cualquier soluci~n par~ic~lar de la e~uación (1). La pr.r sencia de la ~~n­
Clon e- yt, llamada factor de amortlguamlenf0' causara que la parte natural de la soluclOn,
esto es, la parte independiente de la fuerza externa (ro l g)F(t), tienda a cero cuando t ~ oo.

Si en (1) tenemos f3 =y, las dos raíces de la ecuación auxiliar son iguales y la solución

general es:

(4)

en la que 'Vit) es una solución particular de (1). Otra vez la componente natural tiene en sí
el factor de amortiguamiento e- yt.

Si en (1) tenemos f3 < y y y2 - f32 > 0, entonces podemos hacer:

(J > O. (5)

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10.4 Vibraciones amortiguadas 173

x
Críticamente amortiguada

O

Figura 10.2

Ya que a < y, las dos raíces de la ecuación auxiliar son reales y negativas, y tenemos:

x(t) = e¡e(-y+a)l + e2e(-y-a)1 + 0/3 (r). (6)

De nuevo t¡t/t) es una solución particular de (1), y vemos que el factor de amortiguamien-
to e-Yl provoca que la componente natural de (6) tienda a cero cuando t ---? co.

Por un momento suponga que F(t) == O, de modo que sólo se considera la componente

natural del movimiento. Si f3 > y, la ecuación (3) se cumple y el movimiento es calificado
como oscilatorio amortiguado. Si f3 = y, se cumple la ecuación (4) y el movimiento no es
oscilatorio; es un movimiento crítieamente amortiguado. Si f3 < y, se cumple (6) y se dice

que el movimiento es sobreamortiguado; el parámetro yes mayor de lo que se necesita pa-

ra eliminar las oscilaciones. La figura 10.2 muestra una gráfica representativa de cada tipo

de movimiento mencionado en este párrafo: movimiento oscilatorio amortiguado, movi-

miento críticamente amortiguado y movimiento sobreamortiguado.

EJEMPLO 10.3
Resuelva el problema del ejemplo 10.2 dado en la sección 10.2, agregando una fuerza de
amortiguamiento de magnitud 0.6 l v l. Esta fuerza puede presentarse al sumergir el cuerpo
B ~n líquido denso.

El problema de valor inicial que será resuelto es:

\ ~X"(t) + 0.6x'(t) + 24x(t) = O; x(O) = ~, x'(O) = -2. (7)

La ecuación auxiliar de (7) puede escribirse como:

m2 + 1.6m + 64 = O,

una ecuación que tiene raíces -0.8 ± "63 .36i. Por lo tanto, la solución general de (7) es:

x(t) = e-081 (e¡ cos 8.0l + <z sen8.0t)

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174 Capítulo 10 Aplicaciones

x

o

Figura 10.3

y

+x /(t) = e-o.8t [( _ 8c¡ - 0.8c2)sen8.0t (8C2 - 0.8c¡)cos8 .0t] .

Ahora las condiciones iniciales en (7) nos dan:
:¡3 -- C¡ y - 2 = 8C2 - 0.8c¡,

así que cl = 0.33 Yc2 = - 0.22.
Por lo tanto, la solución buscada es:

x(t) = exp ( - 0.8t)(0.33 cos 8.0t - 0.22 sen8.0t) , (8)
una parte de su gráfica se presenta en la figura 10.3.
•

• Ejercicios

1. Cierto movimiento en línea recta está determinado por la ecuación diferencial:

d2x + dx + 169x = O
dt 2 2Ydi

Ylas condiciones de que cuando t = O, x = OYv = 8 pies /seg. (a) Encuentre el valor

de yque provoca un amortiguamiento crítico, determine x en términos de t, y dibuje

una gráfica para O::; t ::; 0.2. (b) Utilice y = 12. Encuentre x en términos de t y dibu-

je la gráfica. (c) Utilice y= 14. Encuentre x en términos de t y dibuje la gráfica.
~
2. A cierto un peso de 2 libras lo alarga medio pié. Una fuerza de ~ sen 8t y una
resorte

fuerza de an\ortiguamiento de magnitud Ivl actúan sobre el resorte. El peso parte des-

de ~ de pie pbr debajo del punto de equilibrio a una velocidad negativa de 3 pies /seg.

Encuentre una fórmula para la posición del peso en el tiempo t.

3. A cierto resorte un peso de 4 libras lo alarga en 0.64 pies. El peso es llevado ~ por
arriba del punto de equilibrio y luego inicia el descenso a una velocidad positiva de
5 pies /seg. El movimiento se efectúa en un medio que imprime una fuerza de amor-
tiguamiento de! Ivl en todo momento. Encuentre la ecuación que describe la posi-
ción del peso en el instante t.

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10.4 Vibraciones amortiguadas 175

4. Considere un resorte al que un peso de 4 libras alarga en 0.32 pies. El peso está suje-
to al resorte y se mueve en un medio que imprime una fuerza de amortiguamiento de
~ Ivl. El peso es llevado hasta medio pie por debajo del punto de equilibrio donde se
le libera a una velocidad negativa de 4 pies/seg. Encuentre la posición del peso.

5. Un resorte es alargado 0.4 pies por un peso de 4 libras. El peso se sujeta al resorte
(suspendido de un soporte fijo) y se permite que el sistema alcance el equilibrio. En-
tonces el peso parte desde la posición de equilibrio a una velocidad negativa de
2 pies/seg. Suponga que el movimiento se efectúa en un medio que opone una fuer-
za de magnitud numérica igual a la velocidad del peso en movimiento, en pies por se-
gundo. Determine la posición del peso como una función del tiempo.

6. Un resorte es alargado 6 pulgadas por un peso de 3 libras. El peso se sujeta al resorte
y luego parte desde la posición de equilibrio a una velocidad negativa de 12 pies/seg.
La resistencia del aire opone una fuerza igual a 0.03 Ivl. Encuentre la ecuación del
movimiento.

7. Un resorte es alargado 6 pulgadas por un peso de 2 libras. Existe una fuerza de amor-
tiguamiento con magnitud igual a la de la velocidad. Sobre el resorte actúa una fuer-

za igual a 2 sen 8t. Si en t = O se suelta el peso desde un punto situado 3 pulgadas

abajo del punto de equilibrio, encuentre su posición para t> O.

8. Un resorte es alargado 10 pulgadas por un peso de 4 libras. El peso sube desde 6 pul-
gadas abajo del punto de equilibrio a una velocidad negativa de 8 pies/seg. Si un me-
dio resistente opone una fuerza de retardo de magnitud;} Iv 1, describa el movimiento.

9. Para el ejercicio 8, encuentre los tiempos y la posición (redondeada a pulgadas) en
que el resorte se detiene las tres primeras veces.

10. Un resorte es alargado 4 pulgadas por un peso de 2 libras. El peso baja desde el pun-
to de equilibrio a una velocidad positi va de 12 pies/seg. Si la resistencia del aire opo-
ne una fuerza de magnitud 0.02 de la velocidad, describa el movimiento.

11. Para el ejercicio 10, calcule cuánto tarda el factor de amortiguamiento en reducirse a
un décimo de su valor inicial.

12. Para el ejercicio 10, encuentre la posición del peso en (a) la primera vez que se detie-
ne y (b) la segunda vez que se detiene.

13. Suponga que el movimiento del ejercicio 8 en la sección 10.3 se retarda por una fuer-
~a de amortiguamiento de magnitud 0.6 Ivl. Encuentre la ecuación del movimiento.

14. Demuestre que siempre que t> 1(segundos), la solución del ejercicio 13 puede rem-

plazarse (hasta centésimas de pies) mediante x = - 0.05 cos 8t.

15. Suponga que el movimiento del ejercicio 8 en la sección 10.3 es retardado por una
fuerza de amortiguamiento de magnitud Ivl. Encuentre la ecuación del movimiento
y determine su forma (hasta centésimas de pie) para t > 1 (segundos).

16. Suponga que el movimiento del ejercicio 8 en la sección 10.3 es retardado por una

ifuerza de amortiguamiento de magnitud Ivl. Encuentre la ecuación del movi-

miento.

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176 Capítulo 10 Aplicaciones

17. Modifique el ejercicio 6 de la sección 10.3 para incluir una fuerza de amortiguamien-
to de magnitud igual a un medio de la velocidad y luego determine x.

18. Un resorte es alargado 6 pulgadas por un peso de 4 libras. El peso es llevado 6 pulga-
das abajo del punto de equilibrio y de ahí parte con una velocidad inicial negativa de
7 pies /seg. Suponiendo que existe una fuerza de amortiguamiento igual al doble
de la magnitud de la velocidad, describa el movimiento y bosqueje la gráfica en in-
tervalos de 0.05 seg para 0::5 t ::5 0.3 (segundos).

19. Un objeto que pesa w libras se deja caer desde una altura de h pies sobre el suelo. En
el instante t (segundos) después de que el objeto es soltado, suponga que su distancia
desde el punto de arranque es de x (pies) y positiva hacia abajo. Si la resistencia del
aire es insignificante, demuestre que x debe satisfacer la ecuación:

wd2x
- -= w
g dt2

mientras x < h. Encuentre x.

20. Suponga que al peso del ejercicio 19 se le imprime una velocidad inicial de vo' Si ves
la velocidad en el instante t, determine v y x.

21. Con base en los resultados del ejercicio 20, encuentre una relación que no contenga
a t de manera explícita.

22. Si la resistencia del aire opone una fuerza adicional que es proporcional a la veloci-

dad del movimiento estudiado en los ejercicios 19 y 20, demuestre que la ecuación

del movimiento se transforma en '

W d2x dx
-g d-t 2 +b-= w. (A)
dt

Resuelva la ecuación (A) dadas las condiciones t = O, x = OYv = vo' Utilice a = bg/w.

23. Para comparar los resultados de los ejercicios 20 y 22 cuando a = bg/w es pequeño,
utilice la serie de potencias para e - al en la respuesta del ejercicio 22 y descarte todos
los términos que impliquen an para n ::::: 3.

24. La ecuación que describe el movimiento'de caída vertical de una persona en paracaí-

das puede ser calculada aproximadamente por la ecuación (A) del ejercicio 22. Su-

ponga que un hombre pesa 180 libras y se arroja en paracaídas desde una gran altura

alcanzando una velocidad de 20 millas por hora (mph) después de un periodo largo.

Determine el coeficiente ,~ implicado en la ecuación (A).

ro25. Una partícula se mueve a largo del eje x de acuerdo con la ley:

-d 2 x + dx + 25x = O.
6-
dt2 dt

Si la partícula arranca en x = Oa una velocidad inicial hacia la izquierda de 12 pies-

/seg, determine (a) x en términos de t, (b) los tiempos en que la partícula se detiene,

y (c) el cociente entre los valores numéricos de x correspondientes a los instantes

sucesivos en que la partícula se detiene.

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10.5 El péndulo simple 177

110.51 El péndulo simple

Un alambre con longitud de C pies está suspendido por un extremo de modo que puede
oscilar libremente en un plano vertical. Suponga que un peso B (una esfera) de w libras se
sujeta al extremo libre del alambre; el peso del alambre es insignificante comparado con el

de la esfera.
Sea (J (radianes) el desplazamiento angular del alambre con respecto a la vertical en el

instante t, como se muestra en la figura 10.4. La componente tangencial de la fuerza w (lb)
es w sen (J y tiende a minimizar (J. Entonces, sin tener en cuenta el peso del alambre y usan-

=do S C(Jcomo una medida de la longitud de arco desde la vertical, podemos concluir que:

w d2S (1)
- - = -wsene.
g dt2

Ya que S = C(Jy C es constante, (1) se transforma en:

-d 2e + g = O. (2)
-sene
dt2
C

La solución de la ecuación (2) no es elemental; implica una integral elíptica. Sin embar-
go si (Jes pequeña, sen (Jy (J son casi iguales y (2) puede aproximarse mediante la ecuación
mucho más sencilla:

(3)

La solución de (3), con las condiciones iniciales pertinentes, da resultados útiles siempre

que esas condiciones sean tales que (J permanezca pequeña, digamos I (J 1< 0.3 (radianes).

Figura 10.4
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178 Capítulo JO Aplicaciones

• Ejercicios

1. Un reloj tiene un péndulo de 6 pulgadas. El mecanismo del reloj hace tic tac una vez
cada que el péndulo completa una oscilación. ¿Cuántas veces hace tic tac el reloj en
30 segundos?

2. Un péndulo de 6 pulgadas parte del reposo a un ángulo de ~ radianes con respecto a
la vertical. Usando g = 32 (pies /seg2), describa el movimiento.

3. Para el péndulo del ejercicio 2, encuentre la velocidad angular máxima y el tiempo
que debe transcurrir para que ocurra este valor máximo por primera vez.

4. Un péndulo de 6 pulgadas inicia una oscilación a una velocidad de 1 rad/seg, rumbo
a la vertical, desde una posición de ~ radianes con respecto a la vertical. Describa el

movimiento.

5. Para el ejercicio 4, encuentre el desplazamiento angular máximo con respecto a la
vertical, redondeado a grados.

6. Interprete lo siguiente como un problema de péndulo y resuélvalo:

-d2e + {Pe = o: f32 = g cuando t = O, e = ea , úJ = de = úJa.

dt2 -e -
dt

7. Encuentre el desplazamiento angular máximo con respecto a la vertical para el pén-
dulo del ejercicio 6.

110.61 Leyes de Newton y movimiento planetario

En las siguientes secciones presentamos una deducción de las leyes de Kepler para el mo-
. vimiento planetario a partir de las leyes de Newton de movimiento y gravitación. La se-

gunda ley de Newton del movimiento afirma que para un objeto con masa constante m, la

relación entre una fuerza F que actúa sobre el objeto y la aceleración del objeto está dada

por la ecuación

F = ma. (1)

La ley de Newton para la gravitación afirma que cualesquiera dos objetos se atraen mu-
tuamente con una fuerza cuya magnitud es directamente proporcional al producto de sus
masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los centros de la ma-
sa de dichos objetos. Por lo tanto, para objetos con masa M y m, tenemos la ecuación:

['Mm (2)

IFI = - 2r - '

donde r es llamada constante de gravitación de Newton y r es la distancia entre los dos

centros de masa.

Consideremos el problema del Sol y un solo planeta cuyas masas son M y m, respecti-

Invamente. Vamos a suponer que M es mucho más grande que y que el movimiento del

Sol causado por la fuerza gravitacional ejercida sobre él por la masa del planeta es insig-

nificante.

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10.7 Fuerza central y la segunda ley de Kepler 179

Para nuestros propósitos es conveniente conceptualizar el centro de la masa del Sol
como el polo de un sistema de coordenadas polares, y ubicar el centro de la masa del pla-
neta en movimiento en el punto (r,e). Usaremos los vectores ortonormales convencionales:

el = cos e i + sen e j,
e2 = - sen e i + cos e j.

Entonces el vector de posición para el planeta está dado por:

R = rel. (3)

Observamos que:

y

El vector velocidad para el planeta es:

dR dr del
v= - = -el+r-
dt dt dt '

o, por la regla de la cadena,

dr de del
v= -el+r--.

dt dt de

Así: dr de
- r-
v = el + e2.
dt dt

Al derivar otra vez con respecto a t se obtiene el vector aceleración:

= -d-r del + d2r + dr de d2e de de2
a -el --e2+r-e2+r--. dt dt
dt dt dt? dt dt dt?

Usamos nuevamente la regla de la cadena,

)2]2 2 dr de)
(d e 2 dt dt
d r (de el + r dt2 + e2·
a = [ dt2 - r dt

Ahora la segunda ley de Newton para el movimiento puede expresarse como:

22
F=m [d-dt?r -r (d-e)2] el +m (dr-e +2d-r-de) e2.
dt dt? dt dt (4)

110.71 Fuerza central y la segunda ley de Kepler

Si suponemos que la fuerza mencionada en la ecuación (4) de la sección anterior es una fuer-

za central, esto es, que está dirigida hacia el polo, advertimos que la componente de la

fuerza en la dirección de e2 debe ser cero, de modo que:

d2e dr de) (1)

m ( r dt2 + 2 dt dt = O.

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180 Capítulo 10 Aplicaciones

Al multiplicar ambos miembros de la ecuación (1) por robtenemos,

.~ 2de ) = O,
(r
dt dt

o

r 2 de c (2)

-=
dt '

donde c es una constante.

Cuando integramos ambos miembros de la ecuación (2) con respecto al tiempo en el in-

tervalo ti < t < t2, tenemos:

j t2 r2_de dt = c(t2 - ti). (3)

t) dt

Pero la integral de la ecuación (3) representa el área de la región que está acotada por la
órbita del planeta y los dos vectores de posición, en los tiempos ti Y t2. Así vemos que esta
área depende sólo de la longitud del intervalo y no de en qué parte de la órbita ocurren los
dos momentos.

El resultado obtenido anteriormente es conocido como la segunda ley de Kepler. Por lo
común se expresa así: el vector de posición que va desde el Sol hasta un planeta describe
áreas iguales en tiempos iguales.

110.81 Primera ley de Kepler

Regresemos a la fuerza dada en la ecuación (4) de la sección 10.6, suponiendo ahora que la
fuerza no sólo es central, sino que su magnitud satisface la ley de gravitación de Newton
dada en la ecuación (2) de la sección 10.6. Esto es,

m[~:; -, e~)']= J7,m

Al sustituir la ecuación (2) de la sección 10.7 tenemos,

d2r c2 rM (1)
dt2 - r3
r2 .

Ya que deseamos obtener la ecuación de la órbita del planeta en coordenadas polares, ob-
servamos que:

dr dr de

dt de dt

y

c d 2r de 2c dr dr
-r2 d-e 2-dt - - - -
r3 dt de'

o

(2)

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10.8 Primera ley de Kepler 181

Al sustituir (2) en (1) obtenemos: I

2 d 2r _ 2c2 (dr)2 rM (3)

c r2 .

r4 de2 r5 de

Al parecer la ecuación diferencial no lineal (3) es muy difícil, pero con un cambio de va-

riables minimizaremos su complejidad. Hacemos entonces r = l/u, de modo que:

dr 1 du

y

Sustituimos las últimas dos expresiones en (3) y al simplificar obtenemos una ecuación

diferencial lineal con coeficientes constantes que sabemos cómo resolver, (4)

d2u rM
de2 +u = 7·

La solución general de la ecuación (4) es

u= b, cose + b2sene + rM

-2-.

C

Para simplificar la última ecuación polar de la órbita, ahora escogemos la dirección del

eeje polar de modo que r alcanza un mínimo cuando = O. Ya que u es el recíproco de r,
oqueremos que u sea máximo cuando e = O. Pero esta condición demanda que du / de =
oy d 2 u/de 2 < cuando e = O. Como:

du
de = -hsene +b2cose

y
d2u

de2 = -b, cose - b2sene,

requerimos que b2 = OY b, > O. Por lo tanto,

u = b, cos e+ rM

-2-
c

y

= -r --- :+-b-, -- -
M / c2 cos
er 1 + (b,c2/rM)cose'

donde todas las constantes son positivas. Por simplicidad hacemos:

b,c2 1 (5)

e =r-M- y B=b-,

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182 Capítulo JO Aplicaciones

para obtener:

Be (6)
r = -+-e c-o -
1 '
se

donde e y B son constantes positivas.

La ecuación (6) es la que buscábamos expresar en coordenadas polares para la órbita del

planeta donde el Sol está en el polo. También es la ecuación estándar en coordenadas pola-

res para una sección cónica con foco en el polo y directriz perpendicular al eje polar. El nú-

mero e simboliza la excentricidad de la cónica. Si suponemos que la órbita del planeta está

acotada, entonces la cónica debe ser una elipse y O< e < 1.

Hemos demostrado que la órbita de un planeta es una elipse con foco en el centro de la

masa del Sol. Esta es la primera ley de Kepler.

110.91 Tercera ley de Kepler

Es posible transformar la ecuación polar:

Be

r =1-+-ec-os-e

en una ecuación en coordenadas rectangulares y obtener la ecuación de la órbita elíptica en
la forma:

O)

donde,

Be2 Be b ----~--B=e=.= (2)

h= -1 -- 2e ' a =1--- 2e '

Los detalles son elementales y se dejan como ejercicio.
Si recordamos que el área de la elipse está dada por A = 7rab, tenemos:

][ B2e2 (3)

A -- -O-::--;:e-2-);3:/:2- .

Pero podemos elegir una expresión diferente para el área de la elipse a partir de la se-

gunda ley de Kepler dada en la ecuación (3) de la sección 10.7. Si usamos ti = OYt2 = P,
donde P es el tiempo requerido para recorrer toda la elipse una vez, esto es, el periodo de

revolución del planeta alrededor del Sol, entonces:

A =cP. (4)

De las ecuaciones (3) y (4) se deduce que:

][2 B4e4 (5)
c2 p 2 =O - e.2)3

Este resultado se simplifica si observamos que la longitud del eje mayor de la elipse está

dada por:

2Be

L=2a=--.
1 - e2

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10.9 Tercera ley de Kepler 183

Por lo tanto, la ecuación (5) puede reescribirse como:

c2 P 2 = -n 2-BLe 3

S
Y así podemos expresar la ecuación (5) de la sección 1O.S como,

c2 p 2 = _n 2_c2 L 3
SrM

o

(6)

El resultado en la ecuación (6) es la tercera ley de Kepler, la cual afirma que: el cuadrado
del periodo de la órbita de un planeta es proporcional al cubo de la longitud del eje mayor
de la misma órbita.

Concluimos este apartado haciendo una observación acerca de la elección de las unida-
des para algunas cantidades implicadas en la presentación anterior. Es convencional elegir
la unidad de masa para la masa del Sol de modo que M = l. La unidad del tiempo se elige
como el periodo P, así P = l. Por último, si elegimos L/ 2 como la unidad de longitud, de
la ecuación (6) obtenemos:

para el valor de la constante de gravitación de Newton.
Además, como:

tenemos:

1 - e2
B=--,

e

y, finalmente,

1- e2 (7)

+r = - - - -

I ecos e

En la ecuación (7) observamos que cuando e se acerca a cero, la elipse se aproxima a un
círculo de radio unitario. En la ecuación (2) también notamos que la razón de la longitud
dtel eje menor de la elipse a la longitud del eje mayor es,

2b=~

2a '.

así que esta razón se aproxima a uno cuando e se acerca a cero.
Las excentricidades de las órbitas de los planetas que integran nuestro sistema solar es-

tán tabuladas a continuación. Para medir lo cercano que cada órbita está de ser circular, po-
demos utilizar el valor -.Jl-e2• En el cinturón de asteroides que se halla entre las órbitas de
Marte y Júpiter, algunos asteroides tienen órbitas con excentricídades tan grandes como~.

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184 Capítulo 10 Aplicaciones

Mercurio: e = 0.206
Venus: e = 0.007
Tierra: e = 0.017
Marte: e = 0.093
Júpiter: e = 0.048
Saturno: e = 0.056
Uráno: e = 0.047
Neptuno: e = 0.008
Plutón: e = 0.249

El material presentado en las tres secciones anteriores se considera el éxito más notable
de Newton. Su capacidad para derivar las leyes de Kepler del movimiento planetario en
una forma tan sencill a, a partir de su segunda ley y la ley de gravitación, asombró al mun-
do científico de su época y aún después de varios siglos permanece como un a muestra de
su gemo.

110.101 Suplemento para computadora

La computadora es una herramienta muy valiosa para examinar el comportamiento de
cualquiera de las aplicaciones presentadas en este capítulo. Como un ejemplo, considere la
ecuación general tratada en la sección 10.3 acerca de la vibración de un resorte.

xl/(t) + 2yx'(t) + fPx(t) = Asenwt,

donde 2y= bglw y f3 2 = kglw.

Si hacemos 2y= 8/5, f32 = 64, A = O, x=(O),= (1/3) Y x'(O) = -2, tenemos la ecuación

para vibraciones no amortiguadas dada en el ejemplo de la sección 10.4. El comando de Maple:

>DEplot(diff(x( t) ,t$2) + (8 / 5)*(diff(x(t) ,t))+64*x=0,

x (t) , o.. 2 , { [0, (1!3) , -2] } , stepsi ze= . 01) ;

producirá la figura 10.3.
El fenómeno de resonancia anali zado en la sección 10.3 lo ilustramos haciendo las

constantes w / g = 1, k = 1, A = 1 y w = 1, así f3 = w. Si usamos x(O) = OYx '(O) = Oco-

mo nuestras condiciones iniciales, Ma¡jle traza la solución con el ,comando:

>DEplot(diff(x(t) , t$2)+x=s in (t),
x(t ) ,-1 .. 120 , {[O,0 , 0]} , stepsize=.5);
cuyo resultado se muestra en la figura 10.5.

• Ejercicios

l. Utilice una computadora para producir la gráfica de una ecuación para vibraciones
no amortiguadas, como se mostró anteriormente.

2. Varíe las constantes para mostrar vibraciones sobreamortiguadas.
3. Varíe las constantes para mostrar vibraciones críticamente amortiguadas.

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