ecuaciones-diferenciales-rainville-bedient-bedient

12.4 Redes sencillas 235

Esta ecuación lineal de primer orden puede escribirse como:

(D+~)l = ~,

para ella la solución general es:

!~ ~(t) = + CI exp ( - t)'

La condición inicial 1(0) = Orequiere que:

E

0= - +CI,

R

de modo que, finalmente,

•

112.41 Redes sencillas

Al aplicar las leyes de Kirchhoff a redes eléctricas aparecen sistemas de ecuaciones de
manera natural. En esta sección consideramos dos redes muy sencillas para indicar cómo
puede~licarse las técnicas de este capítulo.

EJEMPLO 12.7
Determine el carácter de las corrientes lIU), lit) e 13(t) en la red que tiene el diagrama es-
quemático mostrado en la figura 12.3, bajo la hipótesis de que cuando se cierra el interrup-
tor cada una de las corrientes son cero.

En cierta red aplicamos las leyes de Kirchhoff, sección 12.3, para obtener un sistema de
ecuaciones y determinar las corrientes. Como hay tres variables dependientes, 11, 12, /3'
necesitamos tres ecuaciones.

Figura 12.3
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236 Capítulo 12 Sistemas no homogéneos de ecuaciones

De la ley para la corriente se deduce:
(1)

La aplicación de la ley del voltaje al circuito de la izquierda en la figura 12.3 nos lleva a:
(2)

Al usar la ley del voltaje en el circuito exterior obtenemos, (3)

R¡/¡ + R3h + L3 /~ = E.

Aún se puede obtener otra ecuación a partir del circuito del lado derecho en la figura
12.3:

(4)

La ecuación (4) también se deduce con base en las ecuaciones (2) y (3); puede usarse en lu-
gar de (2) o de (3).

Deseamos obtener las corrientes a partir del problema de valor inicial que nos represen-

tan las ecuaciones (1), (2) Y(3) Ylas condiciones I¡(O) = 0,/2(0) = Oe liO) = O. Una de
las tres ecuaciones iniciales es redundante a causa de la ecuación (1).

Si eliminamos I¡ de las ecuaciones (1), (2) Y(3), podemos escribir:

" .. 1\o, en notaclOn matncla , I R¡ -R¡h + -E ,
12 = - -L 2/2 -
L2 L2
I R¡
13 = - - /2 - R¡ + R3 h + -E ,

L3 L 3 L3

(5)

Por lo tanto, la ecuación característica de la matriz del sistema (5) es:

R¡ R¡
-- - m
L2 R¡ + R3 L 2 =0,
R¡
-m
--

o L3 L3

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12.4 Redes sencillas 237

Estamos interesados en los factores del polinomio característico A: La ecuación (6) no
tiene raíces positivas. El discriminante de A es :

(R,L2 + R3L2 + R,L3)2 - 4L2 L 3R ,R3

y puede escribirse como:

(R , L 2)2 + 2R,L2(R3L 2 + R , L3) + (R3L2 + R , L3)2 - 4L2L3R,R3,

que es igual a:

y, por lo tanto, es positivo. Así vemos que la ecuación (6) tiene dos raíces negativas distin-
tas. Llamémosles -a, y -a2. Resulta que:

/::;. = L2L3(m + a,)(m + a2)

y que los valores propios de la matriz del sistema (5) son - a, y - a2. Correspondientes a
estos valores propios, obtenemos los vectores propios:

y (7)

De ello resulta que la solución general del sistema homogéneo asociado con (5) es:

Debe quedar claro en el sistema (5) que existe una solución particular de la forma:

G~) p = (~~),
don~B, y B2 son constantes. La sustitución directa en (5) nos da:

Por lo tanto, hemos encontrado que la solución general del sistema (5) es: (8)
(9)
(/2) ( R') R,) E(1)+ ( +h = Cl a,L2 - R, e- all C2 a2L2 - R, e-a21 -R, O .

Ahora las condiciones iniciales //0) = /zCO) = Orequieren que:

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238 Capítulo 12 Sistemas no homogéneos de ecuaciones

sea el sistema que debe ser satisfecho por C I y c2' La solución de la ecuación (9) es:

E(a2L 2 - R¡) Y C2 = E(aIL 2 - R¡) (10)
C¡ = - . 2
2 '
R¡ L2(a2 - al) R¡ L2(a2 - al)

La solución al problema de valor inicial está dada por la inserción de estas constantes

en la ecuación (8), Finalmente, la corriente I I se obtiene con facilidad como la suma de
12 e 13:

(11)

•

EJEMPLO 12.8

Para la red mostrada en la figura 12.4, plantee las ecuaciones que permitan determinar las
corrientes 11, 12, 13 Yla carga Q3' Suponga que cuando se cierra el interruptor, todas las corrien-
tes y cargas son cero, Encuentre el polinomio característico para la matriz del sistema
resultante,

Mediante el uso de las leyes de Kirchhoff escribimos las ecuaciones,

11 = h+h (12)

RI/I + L2dl-2 = Esenwt, (13)

dt

R¡/¡ + R3/3 + 1 = Esenwt; (14)

-CQ3 3

y por la definición de corriente (como la velocidad de cambio de la carga) obtenemos,

(15)

Figura 12.4
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12.4 Redes sencillas 239

Nuestro problema consiste en cuatro ecuaciones, de la (12) a la (15), con las condi-
ciones iniciales de que:

Q/O) = o. (16)

Si usamos las ecuaciones (12) y (15) para eliminar del sistema a 13 y a Q3' obtenemos:

dl¡ C3R¡R3+L2 + 1 /z
dt = -- -- -+-R/3)¡ R3)
C3 L 2(R¡ C3(R¡ +

+ Ew cos wt + ER3 R3) sen wt ,

R¡ + R3 L 2(R¡ +

d/z =- R¡ + E
- -/¡ -senwt.
dt L2 L2

La matriz del sistema homogéneo asociado es: 1)

C3R¡R3 + L2

C3L 2(R¡ + R~~ C3(R¡ + R3~ .

(

L2

Por lo tanto, el polinomio característico es:

(17)

•

• Ejercicios
1. Pa~ el circuito RL de la figura 12.2, encuentre la corriente 1 si el elemento de corri-
ente rontinua E no se retira del circuito.
2. Resuelva el ejercicio 1 si el elemento de corriente continua es sustituido por un ele-
mento de corriente alterna Ecos roto Por conveniencia, utilice la notación:

donde Z es llamada la impedancia del estado estable de este circuito.

3. Resuelva el ejercicio 2, sustituyendo Ecos rot con E sen rot.

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240 Capítulo 12 Sistemas no homogéneos de ecuaciones

R

~c

Figura 12.5

4 . La figura 12.5 muestra un circuito RC con un elemento de corriente alterna agregado.
Suponga que el interruptor se cierra en t = O, Y en ese momento Q = O e 1 = O.
Utilice la notación:

donde Z es la impedancia del estado estable de este circuito. Encuentre 1 para t > O.

5. En la figura 12.5 sustituya el elemento de corriente alterna con un elemento de
corriente continua E = 50 volts y use R = 10 ohms, C = 4(10) - 4faradios. Suponga
que cuando se cierra el interruptor (en t = O) la carga en el capacitor es de 0.015

coulombs. Encuentre la corriente inicial en el circuito y la corriente para t > O.

6. En la figura 12.1, encuentre l(t) si E(t) = 60 volts, R = 40 ohms, C = 5(10)-5 fara-
dios y L = 0.02 henrys. Suponga que 1(0) = O, Q(O) = O.

7. En el ejercicio 6 determine la corriente máxima.

En los ejercicios del 8 al 11 utilice la figura 12.1 con E(t) = E sen úJt y con las notaciones siguientes sim-
plifique la apariencia de las fórmulas:

R +Z2 = R 2 y2.
a =-,

2L
1

Y = wL - - ,

wC

La cantidad Z es la impedancia del estado estable para un circuito RLC. En cada uno de los ejercicios del

8 al 11, determine I(t) suponiendo que 1(0) = O Y Q~= o.

8. Suponga que 4L < R2C.
9. Suponga que R2C < 4L.

10. Suponga que R2C = 4L.

11. Demuestre que la respuesta al ejercicio 10 puede ponerse en la forma:

+ +1 = EZ-2 (Rsenwt - ycoswt) EZ-2e-at [y (ay - Rw)t].

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12.4 Redes sencillas 241
12. En el ejercicio 4, sustituya el elemento de corriente alterna E sen M con E cos 2M.

Determine la corriente en el circuito.
13. En la figura 12.6, suponga que E = 60 volts, R¡ = 10 ohms, R3 = 20 ohms y C2 = 5(10)-4

faradios. Determine las corrientes si, cuando se cierra el interruptor, el capacitor lleva
una carga de 0.03 coulombs.
14. En el ejercicio 13, suponga que la carga en el capacitor es de 0.01 coulombs, y deje el
resto del problema sin cambio.
15. Para la red mostrada en la figura 12.7, plantee las ecuaciones que lleven a la determi-
nación de la carga Q3 y las corrientes l., /2' /3. Suponga que las cuatro cantidades son
cero en el instante cero. Utilice álgebra matricial para demostrar que la naturaleza de
las soluciones depende de los ceros del polinomio:

C3L2(R¡ + R3)m2 + [C3(R¡R2 + R2R3 + R3R¡) + L2]m + R¡ + R3·

16. Para la red mostrada en la figura 12.8, plantee las ecuaciones que lleven a la determi-
nación de las corrientes. Suponga que todas las corrientes son cero en el instante cero.
Utilice álgebra matricial para analizar el carácter de /¡(t) sin encontrar de manera ex-
plícita la función.

Figura 12.6

Figura 12.7
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242 Capítulo 12 Sistemas no homogéneos de ecuaciones

- R¡
I¡
E

Figura 12.8

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Existencia 13
y unicidad de soluciones

11 3. 11 Observaciones preliminares

Los métodos estudiados en el capítulo 2 dependen estrictamente de ciertas propiedades
especiales (variables separables, exactitud, etc.), que una ecuación particular puede o no
tener. Es plausible que no pueda encontrarse una colección de métodos que permita la so-
lución explícita, en el sentido del capítulo 2, de todas las ecuaciones diferenciales de pri-
mer orden. Podemos buscar soluciones en otras formas, empleando series infinitas u otros
procesos de límite; o hasta recurrir a aproximaciones numéricas.

Enfrentado con esta situación, un matemático reacciona buscando lo que se conoce co-
mo teorema de existencia, esto es, determina las condiciones suficientes para asegurar la
existencia de una solución que tenga ciertas propiedades. En el capítulo 2 enunciamos tal
teorema y a continuación vamos a examinarlo más atentamente.

113.21 Teorema de existencia y unicidad (1)

Considere la ecuación de primer orden:
dy
- = f(x , y).
dx

Suponga que T denota la región rectangular definida por:

y

a auna regióncon el punto (xo' Yo) en su centro. Suponga que la función f en la ecuación (1) Y
y son continuas en cada punto de T. Entonces existe un
la función f/ intervalo, Ix - xol :s h,

y una función cjJ (x) que tienen las propiedades siguientes:

(a) y = cjJ (x) es una solución de la ecuación (1) en el intervalo Ix - xol :s h. 243
(b) En el intervalo Ix - xol :s h, cjJ(x) satisface la desigualdad:

IcjJ(x) - yol :s b.

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244 Capítulo J3 Existencia y unicidad de soluciones

(e) cfJ(xo) = Yo'

(d) cfJ(x) es única en el intervalo Ix - xol :5 h en el sentido de que es la única función que
tiene todas las propiedades enunciadas en (a), (b) y (c).

El intervalo Ix - xol :5 h puede o no ser más pequeño que el intervalo Ix - xol :5 a don-
de se cumplen las condiciones sobrefy afl ay.

En lenguaje informal, el teorema establece que si cerca del punto (xo' Yo) la función
f(x, y) es suficientemente bien comportada, entonces la ecuación diferencial (1) tiene una
solución que pasa por el punto (xo' Yo) y que es única cerca de (xo' Yo)'

Una demostración de este teorema fundamental se presenta en las tres secciones si-
guientes e implica, en esencia, la prueba de que cierta sucesión de funciones tiene un límite
y que la función límite es la solución deseada. La sucesión considerada será definida como
sigue:

yo(x) = Yo,

YI(X)=YO+¡X f(t,Yo(t))dt, (2)

Xo

Y2(X) = Yo + ¡X f(t, YI(t))dt,

Xo

Yn(x) = Yo + ¡X f(t, Yn-I (t)) dt.

xo

De modo que la demostración pueda parecer más razonable, primero consideraremos
algunos ejemplos para ecuaciones diferenciales especiales.

EJEMPLO 13.1
Demuestre que la sucesión de funciones definidas en las ecuaciones (2) converge en una
solución para el problema de valor inicial:

dy Xo = 0, Yo = 1. (3)

dx = y;

Encontramos que:

Yo(x) = 1,

YI (x) = 1 + fax dt = 1 + x,

r2
Y2(X) =. 1 + Jo (1 + t) dt = 1+x + x ,
2

1 (1 1Y3 (x) = + fax + t + t;) dt = + x + x; + ~: .

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13.2 Teorema de existencia y unicidad 245

Con base en el patrón que se desarrolla, es fácil conjeturar que:

L - 'n Xk

Yn(X ) =

k=O k!

En efecto, esto se puede demostrar por inducción. Además, el límite de esta sucesión exis-

te para todo número real x, ya que no es más que el desarrollo en serie de Maclaurin para

eX, que converge para todax. Esto es,

</J(x) = lim Yn(x) = L -00 x k = eX.
k=O k!
n--->oo

Resulta sencillo verificar que eX es una solución al problema de valor inicial (3). •

EJEMPLO 13.2
Encuentre una solución para el problema de valor inicial:

dy 2 xo = 2, Yo = 1. (4)
- = x'
dx '

La sucesión en (2) ahora se transforma en:
Yo(x) = 1,

lYn(x) = l + x x3 5
-
t2 dt=- -
2 33

•Queda claro que ellímÍte de esta sucesi~n es x3/3 - ~,y esta función es una solución de (4) .

• Ejercicios

En cada uno de los ejercicios siguien~es, determine el límite de la sucesión definida en (2). Verifique si la
función que obtiene es una solución para el problema de valor inicial.

1. y' = x; xo = 2, Yo = 1. 3. y' = 2y; xo = 0, Yo = 1.
2. y' = y; xo = 0, Yo = 2.
4. y' = x + y; Xo = 0, Yo = 1.

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246 Capítulo J3 Existencia y unicidad de soluciones

113.3 1 Condición de Lipschitz

En las hipótesis del teorema de existencia anterior hemos supuesto que la función f y su

derivada af/ ay son continuas en el rectángulo T. Así, cuando (x, YI) y (x, Y2) son puntos en
T, se puede aplicar el teorema del valor medio a fcomo una función de y.De aquí que exis-
ta un número y* entre YI y Y2 tal que:

f(x, YI) - f(x, Y2) = oayf (x, Y*)(YI - Y2).

La suposición de que a f / ay sea continua en T nos permite asegurar que a f / ay es acotada

en T. Esto es, existe un número K > Otal que:

laflay -< K,

para todo punto en T. Como (x, y*) está en T, resulta que:

If(x, YI) - f(x, Y2) 1= Iaayf (x, y *) I . IYI - Y2 1, (1)

If(x, YI) - f(x, Y2) 1:::: K IYI - Y21,

para toda pareja de puntos (x, YI ) y (x, Y2) en T.
La desigualdad (1) es llamada condición de Lipschitz para la función! Hemos demos-

trado que bajo las hipótesis de nuestro teorema de existencia, la condición de Lipschitz (1)

se cumple para cada par de puntos (x, YI ) y (x, y) en T.

En la demostración siguiente, sección 13.4, usaremos la condición de Lipschitz en lugar

de la hipótesis de continuidad de a f / ay. Por lo tanto, podríamos reformular el teorema de
existencia en términos de la condición (1) en vez de suponer que a f / ay es continua en T.

113.4 1 Demostración del teorema de existencia

Una hipótesis del teorema de existencia en la sección 13.2 es quefes continua en el rectán-

gulo T. De ello resulta que f debe ser acotada en T. Suponga que M > O es un número tal

que If(x, y)1::; M para todo punto en T. Ahora tomamos h como el más pequeño de los dos

números a y b/M, Ydefinimos el rectánguloR como el conjunto de puntos (x, y) para el que:

Ix - xol ::; h Y Iy - Yol ::; b.

Resulta evidente que R es un subconjunto de T.
Como se indicó en la sección 13.2, ahora consideraremos la sucesión de funciones:

¡XYn(x) = Yo + f(t, Yn - I(t))dt (1)

XO

y demostraremos el siguiente lema.

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13.4 Demostración del teorema de existencia 247

Lema 13.1 Si Ix - xol ::5 h, entonces

para n = 1,2,3,... .

La demostración de este lema se hará por inducción. En primer lugar, si Ix - xol ::5 h,

tenemos: 11:IYI (x) - Yol =

f(t, Yo) dtl

~ M 11: dtl

~ Mlx -xol

~Mh
~b.

Si ahora suponemos que para Ix - xol ::5 h, IYk(X) - Yol ::5 b, resulta que el punto [x, yk(x)) es-

tá en R de modo que If(x, Yix))I::5 M. Por lo tanto,

11:~IYk+l (x) - Yol dtlf(t, Yk(t))

~ M 11: dtl

~Mh

~ b.

Por inducción, ahora podemos estar seguros de la validez del lema.
El lema 13.1 puede ser enunciado de una manera un poco diferente: Si Ix - xol ::5 h,

entonces los puntos [x, Yn(x)), n = 0, 1,2,..., están en R. La condición de Lipschitz de la sec-

ción 13.3 puede usarse ahora para deducir el lema siguiente.

Lema 13.2 Si Ix - xol ::5 h, entonces,

If(x , Yn(x)) - f(x, Yn-l(x))1 ~ KIYn(x) - Yn- l(x)l ,

para n = 1,2,3,....

Ahora podemos dar una demostración inductiva de otro lema.

Lema 13.3 Si Ix - xol ::5 h, entonces,

IYn(x) - Yn- l(x)1 ~ MKn-1Ix-xoln MKn-Ihn
, < ----
n. n!

para n = 1, 2, 3,....

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248 Capítulo 13 Existencia y unicidad de soluciones

Para el caso n = 1 tenemos, de la demostración del lema 13.1,
IYI (x) - Yol S Mlx - xol·

Si suponemos que: (2)
M K n - 2 lx - xol" - I

IYn-1 (x) - Yn -2 (x)1 S - - - - - - -
(n - 1)!

debemos demostrar que:

M Kn - Ilx - xol"
. IYn(x) - Yn - l(x)1 S ,
n.

Demostraremos esto para el caso de Xo::; x ::; Xo + h. Del lema 13.2 tenemos:

¡xIIYn(x) - Yn - I(x)1 = [f(t, YIl - 1(t)) - f(l, Yn-2(t))] dll
IJXO

¡xS Jxo If(t , Yn - I(t)) - f(t, Yn-2(t))1 dt

¡xS K Jxo IYn - 1(l) - Yn-2(t)1 dl.

Al aplicar la hipótesis (2), concluimos que:

¡XIYn(x) -
Yn - I(x)1 S MKn - 1 xot- I dl,
,(t -
(n - 1). Xo

o

IYn(x) - Yn-l(x)1 S MKn- 1 xo ln. (3)
,Ix -
n.

Para el caso Xo - h ::; x ::; xo' el mismo tipo de argumento dará el mismo resultado. Así la
demostración del lema 13.3 queda completa.

Para utilizar los resultados del lema 13.3, ahora comparamos las dos series infinitas:

00 00 M Kn - Ih n
L¿:)Yn (x) - Yn - I(x)]
y
n=1 n=1 ni.

La segunda de éstas es una serie absolutamente convergente. Además, por el lema 13.3, la

segunda serie domina a la primera. De aquí que, por el criterio M de Weierstrass, la serie:

00

L[Yn(X) - Yn-I (x)] (4)
n=1

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13.4 Demostración del teorema de existencia 249

converge absoluta y uniformemente en el intervalo Ix - xol ::; h. Si consideramos la k-ésima
suma parcial de la serie (4):

k

~)Yn(X) - Yn - l (x)] = [Yl (x) - Yo(x)] + [Y2(X) - Yl (x)] + ...

n=1

vemos que:

k

2)Yn(X) - Yn - l (x)] = Yk(X).

,,=1

Esto es, el enunciado de que la serie (4) converge absoluta y uniformemente, equivale al
enunciado de que la sucesión y/x) converge uniformemente en el intervalo:

Si ahora definimos:

4>(x) = lim y,,(x)

n ~oo

y recordamos que, según la definición de la sucesión Y,,(x), cada Y,,(x) es continua en Ix - xol
::; h, resulta que <!>(x) también es continua (ya que la convergencia es uniforme) y:

+ r4>(x) = lim Yn(x) = Yo lim f(t, Yn- l (t)) dt.
n -*OO n-*oo J xo

A causa de la continuidad de f y de la convergencia uniforme de la sucesión Y,,(x) , pode-

mos intercambiar el orden de los dos procesos de límite para demostrar que <!>(x) es una
solución de la ecuación integral:

rJxo+4>(x) = Yo f(t, 4>(t)) dt. (5)

Al derivar la ecuación (5), se deduce de inmediato que <!>(x) es una solución de la ecuación

diferencial dy/dx = f(x, y) en el intervalo Ix - xol ::; h. Además, de la ecuación (5) queda

claro que <!>(xo) = Yo·

Por último, como demostramos en el lema 13.1 que Iy/x) - Yol ::; b para cada n y para

Ix - xol ::; h, deducimos que la misma desigualdad se cumple para <!>(x) = lím -+ 00 y,,(x).
ll

Esto es, si Ix - xol ::; h, entonces I<!>(x) - Yol ::; b.

Así terminamos la demostración de las partes (a), (b) y (c) del teorema de existencia de

la sección 13.2.

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250 Capítulo 13 Existencia y unicidad de soluciones

113.5 1 Demostración del teorema de unicidad

Ahora debemos demostrar que la función </J(x) obtenida en la sección 13.4 es única. Supon-

ga que existe otra función, Y(x), tal que dYl dx = f[x, Y(x)], Y(xo) = Yo y IY(x) - Yol ::5 b pa-
ra Ix - xol ::5 h. Entonces podemos escribir:

+Y(x) = Yo 1x f(t, Y(t» dt.

Xo

Si comparamos Y(x) con la función de la sucesión Y,,(x) de la sección 13.4, vemos que:

sil:IY(x) - y,, (x)1 [J(t , Y(t» - f(t , Y,,- I (t»] dtl · (1 )

Ahora demostraremos que cuando n ~ 00, la integral del lado derecho en (1) se aproxi-
ma a cero para Ix - xol ::5 h. Entonces resulta que Y(x) = límn.....oo Y,,(x), de modo que, final-

mente, Y(x) == </J(x) en el intervalo Ix - xol ::5 h.
Para cualquier x dentro del intervalo Ix - xol ::5 h, ocurre que [x, Y(x)] y [x, Y,,_ I(X)] es-

tán en el rectángulo R; de aquí que la condición de Lipschitz vista en la sección 13.3 nos
permita transformar a (1) en:

¡XIY(x) - Yn (x)1 S K IY(t) - Yn-I (t)I dt . (2)
Xo

Ahora continuemos con una demostración inductiva y limitemos nuestra atención a los
valores de x mayores que xo' (Un argumento análogo logra el mismo resultado para Xo - h
::5 x ::5xo')

Para n = 1, tenemos :

1x

IY(x ) - YI(x ) 1S K IY(t) - Yol dt

'<0

S Kb(x - xo )·

También queremos demostrar que la suposición:

Kn-Ib(x - xo) n- I
IY(x) - Yn-l(x)1 S - -- - '-'---

(n - l)!

lleva a concluir que:

IY (x) - Yn(x)1 S K nb(x ~ xo)" (3)

n.

Esto completará un argumento inductivo para la relación (3). Paraxo::5 x ::5 Xo + h tenemos:

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13.6 Otros teoremas de existencia 251

Xo ::: x ::: Xo + h,

¡XIY(x) - Yn(x) 1::: If(t, Y(t» - f(t, Yn-l (t» 1dt

Xo

: : K¡X IY(t) - Yn-l(t)ldt

¡XXo 1

Knb
::: (n _ 1)! Xo (t - xot- dt

Knb

::: - ,- (x - xot,
n.

y así se completa la demostración de la relación (3).
Para Ix - xol ::; h tenemos, de la desigualdad (3),

Knbh n (4)

IY(x) - Yn(x)1 ::: - - ,- .
n.

Cuando n ~ 00, la expresión del lado derecho de la relación (4) tiende a cero. De aquÍ re-
sulta que para Ix - xol ::; h, y/x) ~ Y(x). Por lo tanto, Y(x) debe ser la misma función <!>(x)
que obtuvimos en la sección 13.4. Esto es, la solución <!>(x) es única.

11 3.6 1 Otros teoremas de existencia

El teorema de existencia que ~emos demostrado en las secciones anteriores para una ecua-
ción de primer orden puede ser ampliado para aplicarlo en ecuaciones de orden superior.
La más sencilla de tales aplicaciones corresponde a las ecuaciones de segundo orden que
puedan escribirse en la forma:

y" = f(x, y, y'). (1)

Es natural esperar que el teorema incluya requisitos de continuidad sobre la funciónfy sus
derivadas parciales. El teorema puede reformularse como sigue:

Teorema 13.1 Si lafunción de la ecuación (1) y sus derivadas parciales con respecto a y y y' son
funciones continuas en una región T definida por:

Ix - xol ::: a, Iy - Yo l ::: b, Iy' - Ybl ::: c,

entonces existe un intervalo Ix - xol ::; h y una función única <!>(x) tal que <!>(x) es una solu-
ción de (1) para toda x en el intervalo Ix - xol ::; h, <!>(xo) = Yo' y <!>' (xo) = y'o'

Una demostración de este teorema, muy similar a la dada en las secciones 13.4 y 13.5,
puede encontrarse en Ince.' La generalización del teorema a ecuaciones de orden superior
es directa.

I E. L. Ince, Ordinary Differential Equations (Londres: Longmans, Green & Co., 1927), capítulo 3.

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La transformada
de Laplace

11 4. 11 El concepto de transformación

El lector ya está familiarizado con algunos operadores que transforman funciones en fun-

ciones. Un ejemplo notable es el operador diferencial D, que transforma cada función de

una clase amplia (aquellas que tienen derivada) en otra función.

Hemos comprobado que el operador D es útil en el tratamiento de ecuaciones diferencia-

les lineales con coeficientes constantes. En este capítulo estudiaremos una transformación

(una asignación de las funciones en las funciones) que ha tenido un papel muy importante

tanto en matemáticas puras como en las aplicadas: el operador L. Se introduce en la sección

14.2 y es efectivo especialmente en el estudio de problemas de valor inicial que incluyan

ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

Una clase de transformaciones, llamadas transformaciones integrales, puede ser defi-

nida por: i:T{F(t)} =

K(s, t)F(t)dt = fes) . (1)

Dada una función K(s, t), llamada núcleo (kernel) de la transformación, la ecuación (1)
asocia cada F(t), de la clase de funciones para las que la integral anterior exista, una fun-
ciónf (s) definida por (1). Generalizaciones y abstracciones de (1), así como estudios de
casos especiales, se encuentran en abundancia en la literatura matemática.

Varias elecciones particulares de K(s, t) en (1) llevan a transformaciones especiales,
cada una con propiedades particulares que las hacen útiles en circunstancias específicas. La
transformación definida por:

°K(s, t) = para t < O,

para t 2: 0,

es a la que está dedicado este capítulo.

252

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14.3 Transformadas de funciones elementales 253

11 4.21 Definición de la transformada de Laplace

Sea F(t) cualquier función tal que las integrales que aparecerán en este capítulo sean váli-

das. La transformada de Laplace de F(t) se denota L{ F(t)} y se define por:

L{F(t)} = 100 e-SIF(t) dt. (1)

La integral (1) es una función del parámetro s; esta función se denominaj(s). Podemos

escribir: 100

L{F(t)} = e-SIF(t) dt = f(s) . (2)

Es costumbre referirse af(s) y al símbolo L{ F(t)} como la transformada, o la transformada
de Laplace, de F(t).

También podemos ver a (2) como una definición de un operador de Laplace L, que trans-
forma cada función F(t) de cierto conjunto de funciones en alguna funciónf(s).

Es fácil demostrar que si la integral en (2) converge, también lo hará para toda s mayor
que] algún valor fijo so. Esto es, la ecuación (2) definirá af(s) para s> so. En casos extre-
mos la integral puede convergir para toda s finita .

Es importante que el operador L, al igual que el operador diferencial D , sea un operador
lineal. Si F](t) y Fit) tienen transformadas de Laplace, y si c] Yc2 son constantes cuales-
quiera,

(3)

El estudiante puede demostrar fácilmente la validez de la ecuación (3) usando propiedades
elementales de las integrales definidas.

De aquí en adelante emplearemos la relación (3) sin volver a enunciar que el operador L
es un operador lineal.

11 4. 31 Transformadas de funciones elementales

Ahora se obtendrán las transformadas de ciertas funciones exponenciales y trigonométri-
cas, así como de los polinomios. Estas deducciones se presentan con frecuencia en el
trabajo cotidiano.

EJEMPLO 14.1

Encuentre L{ él}. Procedemos como sigue:
1 100 00
L{ ekl } = e-sI. él dt = e-(s-k)1dt .

] Si s no está restringida a valores reales, la convergencia tiene lugar para toda s con parte real mayor que algún
valor fij o.

"

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254 Capítulo J4 La transformada de Laplace

Para s :5 k, el exponente de e es positivo o cero y la integral diverge. Para s> k, la integral

converge.

En efecto, para s > k, 1L{ekl } =

00

e -(s-k)1 dt

Joo= [_ e-(S-k)1

s- k o

1
=0+--.

s-k

Por lo tanto, encontramos que:

L{ekl } = 1 s> k. (1)
--,
s-k (2)

Tenga en cuenta el caso especial k = O: •

L{l} = ~, s> O.

s

EJEMPLO 14.2

Obtenga L{ sen kt}. Por cálculo elemental obtenemos:

f ax eax (asenmx - m cos mx) + c.
e sen mx dx =
2 2
a +m

Ya que: 100

L{senkt} = e-SI sen kt dt,

entonces resulta:

Llsenkt} = [ e-SI(-SSenkt - kcosktJ oo (3)

+2 2 o

Sk

Para una s positiva, e -sI ~ Ocuando t ~ oo. Además, sen kt y cos kt están acotados cuando

t ~ oo. Por lo tanto, (3) produce:

1(O - k)

+Llsenkt} = O- 2 2 '

Sk
o

El resultado: k (4)
(5)
Llsenkt} = 2 2' s> O.
s +k
s

L{cos kt} = 2 2' s> O,
s +k

puede obtenerse de manera semejante. •

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14.3 Transformadas defunciones elementales 255

EJEMPLO 14.3
Obtenga L{ f'} cuando n es un entero positivo. Por definición,

100L{tn} = e-sttn dt.

Si realizamos una integración por partes sobre esta integral obtenemos,

(6)

°Para s < y n > 0, el primer término de la derecha en (6) es cero, y nos quedamos con:

s> 0,
o

s> O. (7)
(8)
De (7) podemos concluir que para n > 1,

L{tn- I } = n_-_1 L{tn-2},
s

de modo que:

LW} = n(n - 1) L{tn- 2}.

2
s

La repetición de este proceso produce:

L{tn} = n(n - l)(n - 2) .. ·2· 1 L{to}.

sn

Del ejemplo 14.1 tenemos,

De aquí, cuando n es un entero positivo,

n n! s> O. (9)
L{t } = -sn1+ '
•
La transformada de Laplace de F(t) existirá aún si la función F(t) es discontinua, pero a

condición de que la integral en la definición de L{ F(t)} exista. Por ahora es poco lo que se

hará con funciones discontinuas F(t) específicas, ya que más adelante se desarrollarán mé-

todos mejores para obtener tales transformadas.

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256 Capítulo 14 La transformada de Laplace

EJEMPLO 14.4
Encuentre la transformada de Laplace de H(t), donde:

H(t) = t, 0< t < 4,
t > 4.
= S,

Tenga en cuenta que el hecho de que H(t) no esté definida en t = OY t = 4, no tiene re-

lación con la existencia, o con el valor, de L{ H(t)}. Regresamos a la definición de L{ H(t)}

para obtener: 100L{H(t)} =

e-SI H(t) dt

1 1004 e-SISdt.

= e- Sltdt +

Al usar integración por partes en la integral anterior, para s > O, llegamos rápidamente a:

[ SL{H(t)} = __te- sI i- le - SI J4+ __e-sI JOO
[s s o S 4

Por lo tanto,

4e-4s e-4s 1 Se-4s
L{H(t)} = - - - - - +0 + - - 0+--
s s2 s2 S

1 e-4s e-4s •

= -s2 +s- - -s2 .

• Ejercicios
s

1. DemuestrequeL{coskt} = 2 2;paras>0.
s +k

2. Puede usarse la fórmula de Euler eikl = cos kt + y sen kt para obtener la fórmula

, +cos kt = ~ (e ikl e-ikl ) . Demuestre que el resultado del ejercicio 1 puede obtener-
se ahora con una aplicación formal de la transformada de Laplace.

3. Obtenga la transformada de sen kt por medio de un argumento análogo al sugerido en

el ejercicio 2.

4. EvalúeL{t2 + 4t - S}. 6. EvalúeL{e-2/ + 4e-3/}.

S. EvalúeL{t3 - 4t2 + 4t} . 7. EvalúeL{3é/ - e- 2/}.

8. Demuestre que L {cosh kt} = s 2; para s > Ikl.
2
s -k

9. Demuestreque L{senhkt} = s2 k k2 ;paras> Ikl.
-

10. Utilice la identidad trigonométrica cos2 A = ~ (1 + cos 2A) y la ecuación (S) de la

sección 14.3 para evaluar L{ cos2kt}.

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J 4.4 Funciones continuas por secciones 257

11. Con el método sugerido en el ejercicio 8 obtenga L{ sen? kt}.

12. Utilice una identidad trigonométrica para cos 3kt al demostrar que:

+ + +L{cos3
kt} = s(s2 7k2) .

(S2 k2)(s2 9k2)

13. Obtenga L{ sen? kt} directamente de la respuesta del ejercicio 1O.

14. Evalúe L{ sen kt cos kt} con la ayuda de una identidad trigonométrica.

15. Evalúe Ll e":" - e-hl}. ° < t < 1, I
16. Encuentre L{ ljI(t)} donde ljI(t) = 4, ° t> l.

= 3, < t< 2,
17. Encuentre L{ </J(t)} donde </J(t)= 1,
° t> 2.
= t, < t < 1,
18. EncuentreL{A(t)} dondeA(t) = 0, 1 < t < 2,

= t,

=0, °t> 2.
19. Encuentre L{B(t)} donde B(t) = sen 2t, < t < 7T,
t> 7T.
=0,

114.41 Funciones continuas por secciones

Debe ser evidente que si debemos encontrar problemas para los que el método de la trans-

formada de Laplace sea útil, debemos aprender mucho acerca de funciones más complicadas

que las vistas en las secciones anteriores.

Para ello, nuestro enfoque consistirá en demostrar varias propiedades útiles de la transfor-

mada de Laplace, luego consideraremos problemas de valor inicial en los que podamos

usar esas propiedades.

En la sección 14.3 empezamos nuestro estudio determinando realmente las transforma-

das de algunas funciones sencillas. Sin embargo, pronto se vuelve tedioso probar, para

cada F(t) que encontramos, si la integral:

100 (1)
e-st F(t) dt

existe para algún rango de valores de s. Por lo tanto, buscamos una clase amplia de funcio-
nes para las que podamos demostrar que la integral (1) existe.

Una de las razones de nuestro interés por el uso de la transformada de Laplace, radica en
su utilidad como herramienta auxiliar en la resolución de problemas en aplicaciones más o
menos elementales, particularmente cuando tenemos problemas de valor inicial en ecua-
ciones diferenciales. Por lo tanto, hemos decidido restringir nuestro estudio a funciones
F(t) que son continuas o aún diferenciables, excepto, posiblemente, en un conjunto discre-
to de puntos, en el rango semiinfinito i e. O.

Para tales funciones, la existencia de la integral (1) sólo podría fallar en los puntos de
discontinuidad de F(t) o por la divergencia debida al comportamiento del integrando cuan-
do t-7 co,

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258 Capítulo 14 La transformada de Laplace ,.---,

F(t) :I I

o II

;1I I
I II

N:
II I

II I

II I

23 56

Figura 14.1

En cálculo elemental encontramos que las discontinuidades o saltos finitos del integran-
do no interfieren con la existencia de la integral. Por lo tanto, introduciremos un término
para describir las funciones que sean continuas excepto para tales saltos.

Definición. La función F(t) se denomina continua por secciones sobre el intervalo
cerrado a ::; t::; b, si éste puede dividirse en un númdro finito de subintervalos c ::; t ::; d
tales que, en cada uno de ellos:

(a) F(t) sea continua en el intervalo abierto c < t < d.

(b) F(t) tienda a un límite cuando t se aproxima, desde adentro del intervalo, a cada ex-

tremo del mismo; esto es, lim F(t) y lim F(t) existen.

t --> c+ t --> d -

La figura 14.1 muestra la gráfica de una función F(t) que es continua por secciones en el

intervalo O::; t ::; 6. ,

, El estudiante debe darse cuenta de que no importa que F(t) sea continua por secciones
para que L{ F(t)} exista. Más adelante veremos varios ejemplos de esta noción. En la sec-

ción 14.6, el concepto de funciones continuas por secciones desempeña un papel decisivo

dentro de un conjunto de condiciones suficientes para la existencia de la transformada.

114.51Funciones de orden exponencial

Si la integral de e-.I'tF(t) entre los límites Oy toexiste para toda topositiva y finita, el único
riesgo posible para la existencia de la transformada:

(1)

es el comportamiento del integrando cuando ---7 00 .

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14.5 Funciones de orden exponencial 259

Sabemos que:

100 e-el dt (2)

converge para c > O. Esto despierta nuestro interés en las funciones F(t) que están, para

una t grande (t 2: to)' acotadas esencialmente por alguna función exponencial ét, de modo

que el integrando en (1) se comportará como el integrando en (2) para una s que sea lo su-

ficientemente grande.

Definición. La función F(t) se denomina de orden exponencial cuando t ~ 00 si existen

constantes M y b Yun valor fijo tode t que:

IF(t) 1 < Me bl para t 2: too (3)

Si hay que enfatizar b, decimos que F(t) es de orden é t cuando t ~ oo. También escribimos

F(t) = O(ebl ), t -+ 00, (4)

para expresar que F(t) es de orden exponencial; la exponencial será é t cuando t ~ oo. Esto
es, (4) es otra manera de expresar (3).

La integral en (1) puede dividirse en partes como sigue:
00 110 ¡OOe-SIF(t) dt =
e-SIF(t) dt + e- SI F(t) dt.
1o o lO (5)

Si F(t) es de orden exponencial, F(t) = O(ét), la última integral en la ecuación (5) existe,

porque con base en la desigualdad (3), se deduce que para s> b,

[00 [00le-SIF(t)ldt < M e-sI . ebldt = Mexp[ - to(s -b)]. (6)

}IO }to S- b

Para s > b, el último miembro de (6) tiende a cero cuando to ~ oo. Por lo tanto, la última
integral en (5) es absolutamente convergente2 para s > b. Hemos demostrado así el enun-

ciado siguiente.

Teorema 14.1 Si la integral de e-stF(t) existe entre los límites Oy topara todo valor positivo y finito tO' y

si F(t) _es de orden exponencial, F(t) = O(ét) cuando t ~oo, entonces la transformada de

Laplace:

1 00L{F(t)} = e-SIF(t) dt = fes) (7)

existe para s > b.

Sabemos que una función que es continua por secciones sobre un intervalo, es integra-
ble en ese intervalo. Esto nos lleva al siguiente caso útil y especial del teorema 14.1 .

2 Si se utiliza una s compleja, la integral converge para Re(s) > b.

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260 Capítulo 14 La transformada de Laplace

Teorema 14.2 Si F(t) es continua por secciones sobre todo intervalo finito en el rango t:2: 0, Y si F(t) es

de orden exponencial, F(t) = O(ét) cuando t ~ 00, entonces la transformada de Laplace

L{ F(t)} existe para s> b.

Las funciones de orden exponencial desempeñan un papel predominante en nuestro tra-
bajo. Por lo tanto, es prudente desarrollar cierta habilidad para determinar si una función
específica es o no de orden exponenciál.

Sin duda, cuando hay una constante tal que:

lim [e-bt IF(t)ll (8)

1-+00

°existe, la función F(t) es de orden exponencial, m~s precisamente, de orden é t• Para ver es-

to, sea K =1= el valor del límite (8). Entonces, para una t lo suficientemente grande,
le-bt F(t) I puede hacerse tan cercana a K como se desee, de modo que:

le-bt F(t)1 < 2K.

Por lo tanto, para una t lo suficientemente grande, (9)

¡F(t) 1 < Me bt ,

con M = 2K. Si el límite en (8) es cero, podemos escribir (9) con M = 1.

Por otra parte, si para cada c fija,

lim [e -c1¡F(t)l] = 00, (10)

1-+00

entonces la función F(t) no es de orden exponencial. Supongamos que existe b tal que:

¡F(t)1 < Mebl , t 2: to; (11)

entonces, por (11), la elección c = 2b nos daría,

le-2bl F(t) 1 < Me - bl ,

°de esta manera e-2bl F(t) ~ a-medida que t ~ 00, lo que contradice a (10).

, EJEMPLO 14.5
Demuestre que t3 es de orden exponencial cuando t ~ oo. Examinamos, con b aún sin
especificar,

Si b > 0, el límite en (12) es de un tipo tratado en cálculo. En realidad, (12)

=3 2 = lim _6_t_ = lim _ 6_ = O. •

lim _t_ lim _3_t _
1-+00 ebl 1-+00 bebl 1-+00 b 2 ebl 1-+00 b3 ebl

Por lo tanto, concluimos que P es de orden exponencial,

t 3 = O(ebl ), t ~ 00,

para cualquier b positiva y fija.

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14.6 Funciones de clase A 261

EJEMPLO 14.6

Demuestre que exp(t2) no es de orden exponencial cuando t ~ oo. Considere: (13)
. exp (t 2 )
hm .

1--+00 exp (bt)

Si b ::; O, el límite en (13) es infinito. Si b > O,

exp (t 2 )
lim = lim exp [t(t - b)] = oo .
1--+ 00 exp (bt)
1--+00

De aquí que no importe cuál b fija usemos, el límite en (13) es infinito y exp(t2) no puede

ser de orden exponencial. •

En los ejercicios al final de la sección 14.6 encontraremos más oportunidades de deter-

minar si una función es o no de orden exponencial.

114.61 Funciones de clase A

Por razones de brevedad, de aquí en adelante usaremos el término "una función de clase A"
para cualquier función que sea:

(a) Continua por secciones sobre cualquier intervalo finito en el rango t ¿ O
(b) De orden exponencial cuando t ~ oo.

Ahora podemos volver a enunciar el teorema 14.2 como sigue.

Teorema 14.3 Si F(t) es una función de clase A, la transformada L{F(t)} existe.

Es importante resaltar que este teorema sólo establece que para que L{ F(t)} exista, es
suficiente que F(t) sea de clase A. La condición no es necesaria. Un ejemplo clásico para
demostrar que ciertas funciones no pertenecientes a la clase A tienen transformada de La-
place es:

F(t) = t- I/2•

Esta función no es continua por secciones en todo intervalo finito en el rango t :::::·0, ya que

F(t) ~ 00 cuando t ~ 0+. Pero t- l12 es integrable desde Ohasta cualquier topositivo. Tam-
bién, t - I/2 ~ Ocuando t ~ 00, así que t- l12 es de orden exponencial, con M = 1 Yb = Oen

la desigualdad (3) de la sección 14.5. De aquí que, por el teorema 14.1 , L{ t- I/2 } exista.

En efecto, para s > O, 100

L{t- I/2} = e- S1t - I/2 dt,

donde el cambio de variable st = l da por resultado:

1°°L{t - I /2 } = 2s- I / 2 exp (- l ) d y, s > O.

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262 Capítulo 14 La transformada de Laplace

!.Jrr .En cálculo elemental encontramos que 100exp (- y2) dy = Por lo tanto,

!.JrrL{t - 1/2} = 2s - I/ 2 .

s> O, (1)

aunque t - l12 ~ 00 cuando t ~ 0+. Pueden construirse ejemplos adicionales con facilidad;
veremos algunos de ellos más adelante en el libro.

Si F(t) es de clase A, F(t) es acotada sobre el rango O:::; t :::; to'

O:::: t :::: too (2)

Pero F(t) es también de orden exponencial,

t ::: too (3)

Si escogemos a M como el máximo entre MI y M 2 yac como el máximo entre b y cero, po-
demos escribir:

t ::: O. (4)

Por lo tanto, para cualquier función F(t) de clase A,

IJ[o 00 e- sI F(t) dtl < M J[o00 e-sI. él dt = ~, s> c. (5)

s- c

Ya que el miembro derecho de (5) tiende a cero cuando s ~ 00, hemos demostrado el si-
guiente resultado útil.

Teorema 14.4 Si F(t) es de clase A y si L{F(t)} = fes),

lim fes) = o.

s ~ oo

,
De (5) podemos concluir un resultado más poderoso, esto es, la transformadaf (s) de
una función F(t) de clase A debe ser tal que sf(s) está acotada cuando s ~ oo.

• Ejercicios

1. Pruebe que si FI(t) y F2(t) son de orden exponencial cuando t ~ 00, entonces FI(t) .
FzCt) YFI(t) + FzCt) también son de orden exponencial cuando t ~ oo.

2. Pruebe que si F¡(t) y FzCt) son de clase A, entonces F¡(t) + FzCt) Y F I(t)·F2(t) también
son de clase A.

3. Demuestre que tx es de orden exponencial cuando t ~ 00 para toda x real.

En los ejercicios del 4 al 17 demuestre que la función dada es de clase A. En estos ejercicios n denota un
entero no negativo y k representa cualquier número real.

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14.7 Transformadas de derivadas 263

4. sen kt. 1l. tnél•

5. cos kt. 12. tnsenkt.
13. t" cos kt.
6. coshkt. 14. tnsenh kt.

7. senhkt. 15. t" coshkt.
8. tn. 1 - coskt

senkt 16.
9. t

t cost - cosht
l-exp(-t) 17.
10.
t
t

114.71 Transformadas de derivadas

Cualquier función de clase A tiene una transformada de Laplace, pero la derivada de tal
función puede o no ser de clase A. Para la función:

F¡(t) = sen[exp(t)]

con derivada:

F{ (t) = exp (t) cos [exp (t)],

F¡ Y F'¡ son ambas de orden exponencial cuando t ~ oo. Aquí F¡ está acotada, así que es
del orden de exp(O . t); F'¡ es del orden de exp(t). Por otra parte, la función:

Fit) = sen[exp(P)]

con deri vada:

es tal que F2 es del orden de exp(O . t) pero F'2 no es de orden exponencial. Del ejemplo
14.6 en la sección 14.5,

. exp (t2)
lim = 00
HOO exp (bt)

para cualquier b real. Como los factores 2t cos[exp(t2)] no tienden a cero cuando t ~ 00, el

producto F'2 exp (-et) no puede estar acotado cuando t ~ 00, no importa cuán grande sea

elegida unae fija. Por lo tanto, al estudiar las transformadas de las derivadas, estipularemos

que las derivadas mismas sean de clase A.

Si F(t) es continua para t 2: O Y de orden exponencial cuando t ~ 00, y si F '(t) es de cla-

se A, la integral en:

1L{F'(t)} = 00 (1)

e-SI F'(t)dt

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264 Capítulo 14 La transformada de Laplace

puede simplificarse por medio de la integración por partes. Para una s mayor que alguna So
fija obtenemos:

o

+L{F'(t)} = - F(O) sL{F(t)}. (2)

Teorema 14.5 Si F(t) es continua para t;::: OY de orden exponencial cuando t -7 00, Y si F'(t) es de cla-
se A, entonces:

L{F' (t)} = sL{F(t)} - F(O). (3)

Al tratar una ecuación diferencial de orden n, buscamos soluciones para las que la deri-
vada de mayor orden que esté presente sea razonablemente bien comportada, digamos
continua por secciones. La integral de una función continua por secciones es continua. De
aquí que no perdemos nada al pedir continuidad en todas las derivadas de orden menor que
n. El requisito de que las diversas derivadas sean de orden exponencial resulta de nuestro
interés por usar la transformada de Laplace. Para nuestros propósitos tiene sentido la repe-
tición del teorema 14.5 al obtener transformadas de derivadas superiores.

De (3) obtenemos, si F, F', F" están restringidas de manera adecuada,

L{F"(t)} = sL{F'(t)} - F'(O),

o (4)

L{F"(t)} = s2 fes) - sF(O) - F'(O),

y el proceso puede repetirse tantas veces como se desee.

Teorema 14.6 Si F(t), F'(t),..., p.n-I)(t) son continuas para t;::: OY orden exponencial cuando t -7 00, Y
si p.n)(t) es de clase A, entonces de .:

L{F(t)} =f(s)

se deduce que:

n-l (5)

L{F(n)(t)} = sn fes) - I> S-I-k F(k) (O).

k=O

Por lo tanto,

L{F(3)(t)} = s3 fes) - S2 F(O) - sF' (O) - F"(O) ,

L{F(4) (t)} = S4 fes) - s3 F(O) - S2 F ' (O) - s F" (O) - F(3) (O), etc.

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14.7 Transformadas de derivadas 265

El teorema 14.6 es básico en el empleo de la transformada de Laplace para resolver ecua-
ciones diferenciales con coeficientes constantes, pues nos permite transformar tales
ecuaciones en algebraicas.

La restricción de que F(t) sea continua puede no ser muy severa, pero las discontinuida-
des en F(t) producen términos adicionales en la transformada de F'(t). Como un ejemplo,
considere una F(t) que es continua para t ~ Oexcepto por un salto finito en t = tI' como en
la figura 14.2. Si F(t) es también de orden exponencial cuando t ~ 00, Ysi F'(t) es de clase
A, podemos escribir:

100L{F' (t)} = e-SI F'(t)dt

1=11 ¡OO

e-SIF'(t)dt+ e-SIF'(t)dt.

o~

Entonces, aplicando integración por partes a las dos últimas integrales obtenemos:

[ J 10II [11

+L{F'(t)} = e-sI F(t) o s e - SI F(t) dt
[00oo
e-SI F(t) dt
+ [e-sI F(t)J + s
II 1/1

o

100L{F'(t)} = s + +e-SI F(t) dt e -SIl F(t¡) - F(O) O - e-SIl F(tt)

= sL{F(t)} - F(O) - exp (-st¡)[F(tt) - F(t¡)] .

En la figura 14.2, la longitud deAB es [F(tt) - F(t¡)].

F(t)

B~

A

o tI

Figura 14.2

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266 Capítulo /4 La transformada de Laplace

Teorema 14.7 Si F(t) es de o rden exponencial cuando t ~ 00 y es continua para t 2: Oexcepto por un

salto finito en t = tI' Y si F'(t) es de clase A, entonces de:

L{ F(t) } = f es),

se deduce que:

L{F'(t) } = sf(s) - F(O) - exp (-st¡)[F(tt) - F(tl)]. (6)

Si F(t) ti ene más de una di scontinuidad finita , en la fórmula para L{F '(t)} aparecerán
términos adicionales, similares al último término en (6).

11 4.8 1 Derivadas de transformadas

Para las funciones de clase A, los teoremas de cálculo avanzado demuestran que es válido
diferenciar la integral de la transformada de Laplace. Esto es, si F(t) es de clase A, de

100fes) = e-Sr F(t)dt ( 1)

se deduce que:

f ' (s) = l °° (-t)e - SI F(t)dt. (2)

La integra l del lado derecho en (2) es la transformada de la función (-t)F(t).

Teorema 14.8 Si F(t) es de clase A, de: L{ F(t)} = j(s) (3)

se concluye que: I'(s) = L{ -tF(t)}

•

Cuando F(t) es de clase A, ( - t) k F (t) también es de clase A para cualquier entero
positivo k.

Teorema 14.9 Si F(t) es de clase A. de L{ F(t)} = fes) se concluye que para cualquier entero positivo n,

d" (4)

-fes) = L{(_t)" F(t)}.
ds"

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14.9 Función gamma 267

Estos teoremas resultan muy útiles en varias situaciones. Una aplicación inmediata es
que nos permiten aumentar nuestra lista de transformadas con muy poco trabajo. Sabe-
mos que:

s2 k k2 = L { sen kt}, (5)

+

yen consecuencia, por el teorema 14.8,
-2ks

(s2 + k2)2 = L{-t senkt}.

Así obtenemos:

(S2 : k2)2 = L {;k sen kt } . (6)

Con base en la fórmula conocida:

+s

S2 k2 = L{coskt}

al derivar con respecto a s, obtenemos: (7)

k 2 _ S2

+2 2 2 = L{-tcoskt}.

(s k )

Sumamos a cada miembro de (7) el miembro correspondiente de:

2{~s+1 2 = L sen kt }
k
k

para obtener:

+ +S2 k2 k2 - s2 {1 }
L - sen kt - t cos kt ,
2 22 =
+(s k ) k

de lo cual se deduce que:

~ 2~3(S2 k2)2 = L { ( sen kt - kt cos kt) } . (8)

114.91 Función gamma

Para obtener la transformada de Laplace de las potencias no enteras de t, necesitamos ha-
cer uso de una función que por lo común no se estudia en matemáticas elementales.

La función gamma f(x) está definida por:

x > o. (1)

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268 Capítulo 14 La transformada de Laplace

La sustitución de (x + 1) por x en (1) nos da:

100r(x + 1) = e - /3 fY df3. (2)

Una integración por partes, integrando e - {3 df3 Ydiferenciando f3 x, resulta en :

100r(x + 1) ,= [ - e-/3 f3x ] ~ + x e-/3 f3 x- 1 df3. (3)

Como x> o, f3 x = Ocuando f3 -) O, y, ya que x está fija, e-jJ f3 x -) Ocuando f3 -) oo. Así,

100r(x + 1) = x e- /3 f3 x - 1 df3 = xr(x). (4)

Teorema 14.10 Para x > O, f(x + l) = xf(x) .

Suponga que n es un entero positivo. Utilizamos varias veces el teorema 14.10 para
obtener:

r(n + 1) = nr(n)

= n(n - l)r(n - 1)

= n(n - l)(n - 2)· ·· 2 · 1 · r(1)

= n! r(1) .

Pero, por definición:

Teorema 14.11 Para un entero positivo n, r(n + 1) = nL

En la integral para f(x + 1) en (2), hacemos f3 = st con s > OYt queda como la nueva
variable de integración. Como t -) Ocuando f3 -) OYt -) 00 cuando f3 -) 00, esto produce,

(5)

lo cual es válido para x + 1 > O. Así obtenemos: s > O, x > -1,

00r(x + 1) = [0 e-S1 t Xdt,
sx+l Jo

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14.10 Funciones periódicas 269

esto, en nuestra notación de transformada de Laplace, nos dice que:

x r(x + 1) s > 0, x > -1. (6)
L{t } = (7)
S x+ l '

-1-,Si en (6) hacemos x = obtenemos:

L{ - 1/2} = r(~)

t S I/2 .

Pero ya sabemos que L{ t - 1/2 } = (n / s) 1/2. De aquí que:

r(~) = v'Ji.

114 .10 1Funciones periódicas (1)

Suponga que la función F(t) es periódica con periodo eo:

F(t + eo) = F(t)

°: ;La función queda determinada completamente por (1) una vez que es dada la naturaleza de

F(t) a lo largo de un periodo, t < eo. Si F(t) tiene una transformada,

100L{F(t)} = e - srF(t) dt , (2)

la integral puede escribirse como una suma de integrales,

l<n+lL{F(t)}=00 l a> (3)

L e - sr F(t) dt.

n=O na>

Ponemos t = neo + {3. Entonces (3) se convierte en:

00 f a>
L{F(t)} = L Jo exp (-snúJ - sf3)F(f3 + núJ) df3.

n=O o

Pero F({3 + neo) = F(/3), por iteración de (1). De aquí que: (4)

00 f a>

L{F(t)} = Lexp(-snúJ) Jo exp (-sf3)F(f3) df3.
n=O o

La integral del lado derecho en (4) es independiente de n y podemos sumar la serie del

lado derecho:

00 00 1

Lexp(-snúJ) = L [exp(-súJ)r = - - -
1 - e-sa>
n=O n=O

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270 Capítulo 14 La transformada de Laplace (5)

Teorema 14.12 Si F(t) tiene una transformada de Laplaee y si F(t + (O) = F(t),

lw
e-s¡J F(f3) df3
L{F(t)} = .:...;0'---_ _ __

1 - e-SW

Ahora suponga que una función H(t) tiene un periodo 2e y que pedimos que H(t) sea
cero en toda la mitad derecha de cada periodo. Esto es,

H(t + 2e) = H(t) , (6)

H(t) = g(t), O::,::t<e , (7)
=0, e::,::t<2e.

Entonces decimos que H(t) es una rectificación de media onda de g(t). Usando (5), pode-

mos concluir que para la H(t) definida por (6) y (7),

lC (8)
exp (-sf3)g(f3) df3

L{ H (t)} = .:....0'---_ _ _ __
1 - exp (-2es)

EJEMPLO 14.7
Encuentre la transformada de la función lf/(t, e) mostrada en la figura 14.3 y definida por:

1f¡(t,e) = 1, 0< t < e, (9)
=0, e < t < 2e;

1f¡(t + 2e, e) = 1f¡(t, e). (lO)

,

",(1, el

o e 2e 3c 4e

Figura 14.3
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14.10 Funciones periódicas 271

Podemos usar la ecuación (8) y el hecho de que:

lc exp (-sf3) df3 = 1- exp(-se)
--=--
os

para concluir que:

1 1 - exp (-se) 1 1
L{1j;(t e)} = - . =-. . (11)
, s 1-exp(-2se) s l+exp(-se)
•

EJEMPLO 14.8

Encuentre la transformada de la función de onda cuadrada Q(t, e) mostrada en la figura

14.4 y definida por:

Q(t, e) = 1, 0 < t < e, (12)
= -1, e < t < 2e;

Q(t + 2e, e) = Q(t, e) . (13)

Esta transformada puede obtenerse utilizando el teorema 14.12, pero también: (14)
Q(t, e) = 2",(t, e) - 1; (15)

por lo tanto, de (11)

L{Q(t e)} = -1 [ 2 - 1] = -1 . 1-exp(- se) .
, s l+exp(-se) s l+exp(-se)

Q(t, e)

o c 2e 3e 4e

-1

Figura 14.4
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272 Capítulo 14 La transformada de Laplace

Si multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción por exp(~se), podemos

poner (15) en la forma (16)

L{Q(t,e)} 1 es •
= -tanh-.

s2

• Ejercicios

(77:)'/21. Demuestre que L {t '/2} = -1 - , s > O.
2s S

2. Demuestre que L{t 5/2} = -15 (7-7:) '/2 , s > O.
8s3 S

3. Utilice la ecuación (4) de la sección 14.7 para deducir L{sen kt}.

4. Utilice la ecuación (4) de la sección 14.7 para deducir L{ cos kt}.

5. Compruebe las transformadas conocidas de sen kt y cos kt, una contra otra, usando el
teorema 14.5.

6. Si n es un entero positivo, utilizando el teorema 14.9 obtenga L{t"él} a partir de la
L{ él} conocida.

7. Encuentre L{ t2 sen kt}. 0:5 t s: 2,
8. Encuentre L{ t2 cos kt}. t> 2,

9. Para la función F(t) = t + 1,

= 3,

trace la gráfica de F(t) y F'(t). Encuentre L{ F(t)}. Encuentre L{ F'(t)} por dos métodos.

J O. Para la función H(t) = t + 1, O :5 t :5 2,
= 6, t > 2,

repita el ejercicio 9.

11. Defina la función de onda triangular T(t, e) por

T(t, e) = t, O:::t:::e,

= 2e - t, e < t < 2e;

+T(t 2e, e) = T(t, e).

Bosqueje la gráfica de T (t, e) y encuentre su transformada de Laplace.
12. Demuestre que la derivada de la función Ttt, e) del ejercicio 11 es, salvo en ciertos

puntos, la función Q(t, e) del ejemplo 14.8, sección 14.10. Obtenga L{ T(t, e)} a par-
tir de L{ Q(t, e)}.
13. Encuentre L{ Isen ktl}.
14. Encuentre L{ Icos ktl}.

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14.10 Funciones periódicas 273

15. Defina la función G(t) por: o::: t < e,

G(t) = el, t ~ O.

G(t + e) = G(t),

Bosqueje la gráfica de G(t) y encuentre su transformada de Laplace.
16. Defina la función S(t) por:

S(t) = I-t , O:::t<l,
t ~ O.
S(t + 1) = S(t) ,

Bosqueje la gráfica de S(t) y encuentre su transformada de Laplace.

17. Bosqueje una rectificación de media onda de la función sen (JJt, definida a continua-
ción, y encuentre su transformada.

F(t) = senwt, 7í
= 0,
O:::t::: - ,
w

7í 27í

- < t < -;

ww

(t 2:)F + = F(t) .

18. Encuentre L{F(t)}, donde F(t) = t para 0 < t < roy F(t + ro) = F(t).

19. Pruebe que si L{F(t) } = 1(s) y si F(t) / t es de cIase A, entonces:

100L{F(t)jt} = f(f3) df3.

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11 15Transformadas inversas

11 5. 11 Definición de una transformada inversa

Suponga que la función F(t) se determina a partir de una ecuación diferencial con condi-
ciones iniciales. El operador de Laplace L se usa para transformar el problema original en
uno nuevo donde se encontrará la transformadaf (s). Si la transformación es efectiva, el
nuevo problema deberá ser más sencillo que el original. Primero encontramosf(s) y luego
obtenemos F(t) a partir def(s). Por lo tanto, será deseable desarrollar métodos para deter-
minar la función objetivo F(t) cuando se conoce su transformada f(s).

Si

L{F(t)} =f(s), (1)

decimos que F(t) es la transformada inversa de Laplace, o una transformada inversa, def(s)

y escribimos:

F(t) = L-I{f(s)}. (2)

Como (1) significa que: 100
«=' F(t) dt = f(s),
(3)

de inmediato se deduce que una transformada inversa no es única. Por ejemplo, si FI(t) y

FzCt) son idénticas salvo en un conjunto discreto de puntos y difieren en estos puntos, en-

tonces el valor de la integral en (3) es el mismo para las dos funciones; sus transformadas

son idénticas.

Empleamos el término función nula para cualquier función N(t) en la que: (4)

lro
N(t)dt = O

para toda to positiva. El teorema de Lerch (que no se demuestra aquí), establece que si

L{ F/t)} = L{ Fit)}, entonces FI(t) - Fit) = N(t). Esto es, una transformada inversa de

Laplace es única salvo por la suma de una función nula cualquiera.
La única función nula continua es la función cero. Si unaf(s) tiene una inversa continua

F(t), entonces F(t) es la única inversa continua def(s). Sif(s) tiene una inversa FI(t) con-
tinua sobre un intervalo cerrado especi ficado, toda inversa que también sea continua en ese

274
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15.1 Definición de una transformada inversa 275

intervalo será idéntica a F((t) en ese intervalo. En esencia, las inversas de la mismaf(s) di-

fieren cuando mucho en sus puntos de discontinuidad.

En aplicaciones, la falta de unicidad provocada por la suma de una función nula no es

grave, ya que esa función nula no tiene efecto sobre las propiedades físicas de la solución.

En los problemas que trataremos, se requiere que la inversa F(t) sea continua para t ;::: 0, o

que sea continua por secciones con valores de F(t) especificados en los puntos de disconti-

nuidad para cada problema. Entonces F(t) es única.

Un método burdo pero a veces efectivo para encontrar las transformadas inversas de

Laplace, es construir una tabla de transformadas (véase la tabla al final de este capítulo) y

luego usarla en sentido contrario para determinar las inversas. Sabemos del ejercicio 1,

sección 14.3, que:

s (5)
L{coskt} = 2 2'

s +k

Por lo tanto,

L _( { .2 s 2 } = coskt. (6)
s +k

Afinaremos el método anterior, y en realidad lo haremos muy poderoso, desarrollando
teoremas por medio de los cuales unaf(s) dada puede ser descompuesta en partes compo-
nentes cuyas inversas son conocidas (encontradas en tablas). Otros teoremas nos permiti-
rán escribirf(s) en formas alternas que producen la inversa deseada. El más fundamental
de éstos es el que establece que la transformación inversa es una operación lineal.

Teorema t 5. t Si c( y c2 son constantes,

L -I {cdl (s) + c2h(s)} = clL -I{fl (s)} + C2 L -1 {hes)}.

Ahora demostraremos un teorema muy sencillo pero extremadamente útil en cuanto al

manejo de transformadas inversas. Con base en:

100fes) = e-SI F(t) dt, (7)

obtenemos: 100fes - a) =

e-(s-a)t F(t) dt

100= e-SI[eat F(t)] dt .

Así, de L -( {f(s)} = F(t) se deduce que:

L -1{f(S - a)} = eat F(t), (8)
o

L - 1{fes - a)} = ea! L -1{f(S)}.

La ecuación (8) puede escribirse de nuevo con la exponencial transferida al otro miem-
bro de la ecuación. Así llegamos al enunciado siguiente.

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276 Capítulo 15 Transformadas inversas

EJEMPLO 15.1

Encuentre L -1 { 15 } . Primero complete el cuadrado en el denominador,
s2 + 4s + 13

L -1 L2 +~: + 13} = L -1 { (s + ~~2+ 9 } .

Como sabemos que L -1 {s2 : k2 } = sen kt , procedemos como sigue:

L -1 {s2 + ~: + 13 } = 5L -1 { (s + ;)2 + 9} 2t L -1 {S2 ~ 9}

= 5e-

= 5e-2t sen 3t,

en la que usamos el teorema 15.2. •
•
EJEMPLO 15.2

Evalúe L -1 { S + 1 }. Escribimos:

s2 + 6s + 25

L-1 L2 : ~ ~ 25 } = L -1 { (s +s3~2~ 16 } .

Entonces:

L -1 L2 : ~ ~ 25 } 3t L -1 L~ ~ ~6}

= e-

[L iL3t -1 L2: 16}]

= e-
-1 L2: 16} -

i= e-3t (cos 4t - sen 4t).

• Ejercicios

En los ejercicios del I al 10 obtenga L-1 { f (s)} de la f (s) dada.

1. 1 4. s
s2 + 6s + 13
s2 + 2s + 10

1 1
2. s2 - 4s + 8' 5. s2 + 4s + 4

3. 3s 6. s
s2 + 4s + 13' s2 + 4s + 4'

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15.2 Fracciones parciales 277

2s - 3 2s + 3
9.
+7.
(s +4)3·
S2 - 4s 8·
s2
3s + 1 10. (s - 1)4·
8. S2 + 6s + 13·

11. Demuestre que siendo n un entero no negativo,

L - 1 { (s +~)n+1 } = tn:~al .

12. Demuestre que para m > 1,

13. Demuestre que:

14. Demuestre que:

s b2 }
1/L_[{ + + = 1 -al (bcosbt - a sen bt).
(s a)2

15. Para a> 0, demuestre que a partir de L -1 {f(s)} = F(t) se deduce que:

L - I{f(as)} = ~F (~) .

16. Para a> 0, demuestre que a partir de L - 1{f(s)} = F(t) se deduce que:

• L - I {f(as + b)} = ~1exp (-b-¡t;) F (t~) .

115.2 1 Fracciones parciales

Al utilizar la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales, con frecuen-
cia necesitamos obtener la transformada inversa de una fracción racional:

N(s) (1)
D(s)

El numerador y el denominador en (1) son polinomios en sy el grado deD (s) es mayor que
el de N (s). La fracción (1) tiene el desarrollo en fracciones parciales usado en cálculo. A
causa de la linealidad del operador inverso L - 1, este desarrollo nos permite remplazar un
problema complicado de obtención de una transformada inversa por un conjunto de pro-
blemas sencillos.

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278 Capítulo 15 Transformadas inversas

~ s:~EJEMPLO 15.3 6+ 3s }. Dado que el denominador es un producto de factores li-
Obtenga +-1 { 3
s
s

neales distintos, sabemos que existen constantes A, B, C tales que:

s2 - 6 s2 - 6 AB C

s3 + 4s2 + 3s = ses + 1)(s + 3) = -; + s + 1 + s + 3·

Al multiplicar cada término por el mínimo común denominador obtenemos la identidad:

S2 - 6 = A(s + l)(s + 3) + Bs(s + 3) + Cs(s + 1), (2)

=de la cual necesitamos determinar A, By C. Usando los valores s 0, -1, - 3, de manera

sucesiva en (2), obtenemos:

s = O: -6 = A(1)(3),

s = -1: -5 = B(-1)(2),
3 = C(-3)(-2),
s = -3:

lde modo que A = -2, B =~, C = Por lo tanto,

+ + + +--;:-s_2---;:-6__ = _- 2
+ ? + .!.
_2_
_ 2_

s3 4s2 3s s s 1 s 3 .

a}{~ ~=Ya que L -1 } 1 YL -1 {s = e-al, obtenemos el resultado deseado,

+ +L -1 S2 - 6 } = -2 ?'e-I .!.e-31
+ +{ s3 4s2 3s 2
2.

EJEMPLO 15.4 •

Obtenga L- 5s3 - 6s - 3} . Como el denominador contiene factores linealesrepeti-
1 { s3(s
+ 1)2

dos, debemos suponer que existen fracciones parciales de la forma:

5s 3 - 6s - 3 Al + -A 2 + -A3 + -S B+-I 1 + -- -+B-2:1:)2- . (3)
- s2 s3
+---;;----::- = (s
s3 (s 1)2 S

Para cada factor en el denominador de la forma (x - "fY, en general debemos suponer la
existencia de r fracciones parciales de la forma:

-A-l + (x A2 + ... + -A-r -y
- y)2 (x - y
x- y

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15.2 Fracciones parciales 279

A partir de (3) obtenemos: (4)

5s3 - 6s - 3 = AIS2(s + 1)2 + A2S(S + 1)2
+ A3(S + 1)2 + B Is\s + 1) + B2s3,

que debe ser una identidad en s. Para obtener las cinco ecuaciones necesarias en la deter-

minación deAI' A2, A3, Bl' B2, es común utilizar dos métodos elementales. En (4) pueden
usarse valores específicos de s, o igualarse los coeficientes de las mismas potencias de s en los

dos miembros. Empleamos cualquier combinación de estos métodos siempre y cuando

proporcione ecuaciones sencillas que se resuelvan paraAI' A2,..., B2• De (4) obtenemos:

s= O: -3 =AP),

s = - 1: - 2 = Bi-l),
coeficiente de s4:
O= Al + Bl'
coeficiente de S3:
5 = 2A I + A2 + B I + B2,
coeficiente de s:
- 6 = A2 + 2A3'

Las ecuaciones anteriores producen A I = 3, A2 = O, A3 = - 3, B 1 = - 3, B2 = 2. Por lo tan-

to, encontramos que:

3 6s - 3} _ L - 1 {~ _ ~_ _ 3_ + 2 }
L -1 {5S - S S3 S + 1 (s + 1)2
s3(s + 1)2 -

= 3 - ~t2 - 3e-t + 2te- t . •

!EJEMPLO 15.5
1
Obtenga L - 1 {S(S2 4)2 } . Como los factores cuadráticos requieren que las fracciones

parciales correspondientes tengan numeradores lineales, empezamos con un desarrollo de

la forma:

16 = -A + BIS + el + -B-2s-,+--e-2,-

---~
s(s2+4)2 s s2+4 (s2+4)2'

De la identidad:

16 = A(s2 + 4)2 + (BIs + e l )s(s2 + 4) + (B2s + e2)S,

no es difícil encontrarlos valores A = 1, BI = -1, B2 = - 4, CI = O, C2 = O. Así obtenemos:

{ 16} { 1 s2 s+ 4 4+ S}
s(s2 4)2 -; 4)2
+I = I - ~ (s2

L- L-

= 1 - cos 2t - t sen 2t . •

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280 Capítulo 15 Transformadas inversas

• Ejercicios

En cada ejercicio encuentre la transformada inversa de la funciónf(s) dada.

1. 2s2 + I
s2 + as 4. s(S+I)2'

s+2 4s +4
2. 5.

s2 - 6s + 8 s2(s - 2)
2s2 + 5s - 4 I
3. s3 + s2 - 2s
6. s3(s2 + 1)
5s - 2
7.

s2(s + 2)(s - 1)

8. I a2 =1= b2, ab =1= O.
(S2 + a2)(s2 + b2)'

9. s + b2) , a2 =1= b2, ab =1= O.
(s2 + a2)(s2

10. S2 a2 =1= b2, ab =1= O.
(S2 + a2)(s2 + b2)'

115.31 Problemas de valor inicial

Como se establece en el teorema 14.6 de la sección 14.7, el operador de Laplace transfor-
mará una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes en una ecuación algebrai-
ea en la función transformada. Al resolver esta ecuación algebraica para la función
transformada obtendremos la transformada inversa; así podemos tener una solución de la
ecuación diferencial original. A continuación serán tratados en detalle varios ejemplos de
modo que podamos apreciar las ventajas y desventajas del método de la transformada.
Queda claro un hecho sobre la naturaleza de la transformada de derivadas, y es que este
método se aplica más fácilmente cuando se dan las condiciones iniciales junto con la ecua-
ción diferencial. En caso de que no sea así el álgebra se vuelve más complicada.

EJEMPLO 15.6 y(O) = O, y' (O) = 1. (1)
Resuelva el problema de valor inicial:

yl/(t) + y(t) = O,

Al aplicar la transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuación diferencial se ob-
tiene

L{yl/+ y} = O,

y, como consecuencia de la linealidad de la transformada,

L{yl/} + L{y} = O.

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15.3 Problemas de valor inicial 281

Una aplicación del teorema 14.6 produce ahora:

+S2 L{y(t)} - I L{y(t)} = O,

una ecuación que puede resolverse fácilmente para L{y(t)}. Tenemos: (2)
1

+L{y(t)} = - - o
s2 I

Sabemos que sen t es una función que satisface (2), y es algo muy sencillo verificar que

sen t es la solución de (1). •

EJEMPLO 15.7 y(O) = 1, y' (O) = O. (3)
Resuelva el problema:

+y"(t) f32y(t) = A senwt;

Aquí A, 13, wson constantes. Si 13 = O, obtendríamos un problema de cálculo elemental;
además, como un cambio de signo en 13 o en w no alteraría el carácter del problema, pode-
mos suponer que 13 y wson positivos. Sea,

L{y(t)} = u(s).

Entonces,

L{y'(t)} = su(s) - 1,

L{y" (t)} = s2u (s) - s· 1-0,

y la aplicación del operador L transforma el problema (3) en:

+2 Aw
s u(s) - s f3 2u (s) = 2 +w2 '

s

de lo cual,

u(s) = s + (s2 + Aw + w2) . (4)
f32) (s2
s2 + f32

Necesitamos calcular la transformada inversa del miembro derecho de (4). La forma de

esa inversa depende de si 13 y w son iguales o diferentes.

Si W=1:f3,

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282 Capítulo J5 Transformadas inversas

Ahora y(t) = L -) {u(s)}, así para (O::;:' [3,

y(t) = cos f3t + f3 A ( 2) (f3 sen wt - w sen f3t). (5)
(f32 _ (6)

Si ro = [3, la transformada (4) se convierte en: (7)

s Af3

u(s) = s2 + f32 + (s2 + f32)2

Dada la ecuación (8) de la sección 14.8, sabemos que:

L _ ) { (S2 +1f32)2 } = 2f313 ( sen f3t - f3t cos f3t).

En consecuencia, para ro = [3,

y(t) = cos f3t + A ( sen f3t - f3t cos f3t).
2f32

Resulta muy sencillo demostrar que esta función es en realidad la solución del problema de

valor inicial dado. •

Observe que las condiciones iniciales fueron satisfechas de manera automática por este

método cuando se aplicó el teorema 14.6. No obtuvimos la solución general con constan-

tes elegidas arbitrariamente, que tenían que ser determinadas, sino la solución particular

que satisface las condiciones iniciales deseadas. El método de la transformada también nos

da una idea de la razón por la que las soluciones toman diferentes formas según si roy [3 son

iguales o diferentes.

, EJEMPLO 15.8
Resuelva el problema:

x "(t) + 2x' (t) +x(t) = 3te-l ; x(O) = 4, x ' (O) = 2. (8)

Sea L{x(t)} = y(s). Entonces el operador L convierte (8) en:

s2y(S) - 4s - 2 + 2[sy(s) - 4] + y(s) = 3

+ 2'

(s 1)

o

4s + 10 3

y(s) = (s + 1)2 + (s + 1)4· (9)

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15.3 Problemas de valor inicial 283

Podemos escribir: 4(s + 1) + 6 3
o y(s) = (s+1)2 + (s+1)4'

46 3
y(s) = s + 1 + (s + 1)2 + (s + 1)4·

Al emplear la transformada inversa obtenemos:

x(t) = (4 + 6t + ~t3)e-t. (10)

•
De nuevo, saber cuáles eran las condiciones iniciales contribuyó a la eficiencia de nues-

tro método. Al obtener y usar la ecuación (9), aquellos términos procedentes de los valores

iniciales x(O) y x' (O) no se combinaron con el término que provenía de la transformada del

miembro derecho de la ecuación diferencial. Combinar tales términos en rara ocasión sim-

plifica, y con frecuencia complica, la tarea de obtener la transformada inversa.

De la solución (10) el estudiante debe obtener las derivadas:

+x/(t) = (2 - 6t ~t2 - ~t3)e-t,

x" (t) = (-8 + 9t - 3t2 + !t 3)e-t ,

y así verificar que la x de (10) satisface tanto la ecuación diferencial como las condiciones
iniciales del problema (8). Esta prueba no sólo verifica nuestro trabajo, también elimina
cualquier necesidad de justificar hipótesis temporales acerca del derecho a utilizar los teo-
remas de la transformada de Laplace sobre la función x (t) mientras la función aún no se
conoce.

EJEMPLO 15.9 w(O) = -3, w(1) = - 1. (11)
Resuelva el problema:

w"(x) + 2w'(x) + w(x) = x;

En este ejemplo las condiciones en la frontera no son del tipo de condición inicial. Usan-
do a x como la variable independiente en lugar de t,

L{ w(x)} = g(s). (12)

Sabemos que w(O) = - 3, pero también necesitamos w' (O) a fin de escribir la transforma-
da de w"(x). Por lo tanto, escribimos

w'(O) = B (13)

y esperamos determinar B más adelante usando la condición de que w (1) = - l.

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284 Capítulo 15 Transformadas inversas

El problema transfonnado es:

2 1
g(s) 2'
+ +s g(s) =
- s(-3) - B 2[sg(s) - (-3)] s

de lo cual,

- 3(s+1)+B-3 1 (14)

g(s) = (s + 1)2 + s2(S + 1)2

Pero por el desarrollo usual en fracciones parciales,

1 21 2 1
----:-----=- = - - + - + - - + --~
s2(s+I)2 S S2 s+1 (s+I)2'

así,

I2 1 B-2 (15)

g(s) = S2 - -; - s + 1 + (s + 1)2'

de lo que obtenemos:

+w(x) = x - 2 - e-x (B - 2)xe - x. (16)

Todavía debemos imponer la condición w( 1) = -l. A partir de (16) con x = 1, obtenemos
-1 = 1-2-e-1 +(B-2)e- l ,

así B = 3. Por lo que nuestro resultado final es:

+w(x) = x - 2 - e-x xe - x . (17)

•
El problema del ejemplo 15.9 puede resolverse de manera eficiente con los métodos del

capítulo 8. Véanse también los ejercicios del 23 a144.

• Ejercicios

En los ejercicios del l al 22 resuelva cada problema por medio del método de la transformada de Laplace.

Confirme que su solución satisface la ecuación diferencial y las condiciones iniciales.

1. y/ = e'; y(O) = 2. 3. y' + y = e2,; y(O) = O.

2. y/ = 2e'; y(O) = -1. 4. y' - y = e-'; y(O) = 1.

+5. y" a2y = O; y(O) = 1, y/(O) = O.

6. y" + a2y = O; y(O) = O, y'(0) = a.

o.+7. y" - 3y' 2y = e3,; y(O) = y'(0) =

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