ecuaciones-diferenciales-rainville-bedient-bedient

15.3 Problemas de valor inicial 285

8. y " + y = e- I ; y(O) = y' (0) = O.
9. y" - 2y' = -4; y (O) = O, y' (O) = 4.
10. y" + y' - 2y = - 4; y(O) = 2, y'(0) = 3.
11. x"(t) - +4X'(t) 4x(t) = 4e21 ; x(O) = - 1, X'(O) = - 4.
12. x"(t) +x(t) = 6 sen2t ; x(O) = 3, X' (O) = 1.
13 . y" (t) - y(t) = 4cost; y (O) = O, y' (0) = 1.
+14. y"(t) - 6y'(t) 9y(t) = 6t 2e31; y(O) = y'(0) = O.
15 . . x " (t) + 4x(t) = t + 4; x(O) = 1, X' (O) = O.
16. x "(t) - 2X' (t) = 6 - 4t; x(O) = 2, X' (O) = O.
17 . x " (t) + x(t) = 4el ; x(O) = 1, X'(O) = 3.
18. x " (t) +X'(t) - 2x(t) = 6; x(O) = 1, X' (O) = 1.
19. y" (x) + 9y (x) = 40ex ; y(O) = 5 , y' (0) = -2.
20. y"(x) + y(x) = 4eX ; y(O) = O, y' (O) = O.
21. x"(t) + 3X'(t) + 2x(t) = 4t 2 ; x(O) = O, X'(O) = O.
22. x " (t) - 4X'(t) + 4x(t) = 4cos 2t ; x (O) = 2, X'(O) = 5.

En los ejercicios del 23 al 42 utilice el método de la transformada de Laplace; sin embargo, tenga en cuen-
ta que esos problemas no fueron diseñados pensando en aplicar dicha técnica en su resolución . Compare
su trabajo con el que hizo al resolver los mismos problemas por los métodos del capítulo 8. Los números
de los ejercicios se refieren a los dados en la sección 8.3.

23. Ejercicio l . 33. Ejercicio 37.
24. Ejercicio 2. 34. Ejercicio 38.
25 . Ejercicio 3. 35. Ejercicio 39.
26. Ejercicio 11 . 36. Ejercicio 40.
27. Ejercicio 14. 37. Ejercicio 41.
28. Ejercicio 20. 38. Ejercicio 42.
29. Ejercicio 21. 39. Ejercicio 43.
30. Ejercicio 22. 40. Ejercicio 44.
31. Ejercicio 23. 41. Ejercicio 45.
32. Ejercicio 36. 42. Ejercicio 46.
43 . Resuelva el problema:

x" (t ) -4X' (t) +4x (t) = e21 ; X' (O) = O, x(l) = O.

44. Resuelva el problema:

+x" (t) 4x(t) = -8t2 ; x(O) = 3, x (~n) = O.

http://gratislibrospdf.com/

286 Capítulo 15 Transformadas inversas

11 5.41 . Función escalón

Con frecuencia las aplicaciones tratan casos que cambian de manera abrupta en tiempos
específicos. Necesitamos una notación para una función que suprima un término dado
hasta cierto valor de t e inserte ese término para todo valor mayor que t. La función que
estamos por introducir nos proporciona una herramienta poderosa para construir transfor-
madas inversas.

Definamos la función a (t) por

a(t) = 0, t< 0, (1)

= 1, t~O.

La gráfica de a (t) se muestra en la figura 15.1.

La definición (1) dice que a (t) es cero cuando el argumento es negativo y que a(t) es
uno cuando el argumento es positivo o cero. De ello resulta que

a(t-c)=O, t< e, (2)
= 1,
t~ c.

La función a permite una designación sencilla del resultado de trasladar la gráfica de

F(t). Si la gráfica de .

y = F(t), t~O , (3)

es como se muestra en la figura 15.2, entonces la gráfica de (4)
y=a(t-c)F(t-c), t~c,

es la que se muestra en la figura 15.3. Además, si F(t) está definida para -e :5 t < 0, enton-
ces F(t - e) está definida para 0:5 t < e a causa del argumento negativo en a (t -:- e). Ob-

serve que los valores de F(t) para una t negati va no tienen importancia en este resultado, ya

que cada valor está multiplicado por cero (de la a); sólo se necesita la existencia de Fpara

argumentos negativos.

a(t)

o

Figura 15.1
http://gratislibrospdf.com/

15.4 Función escalón 287

y

o

Figura 15.2

y

oe

Figura 15.3

La transformada de Laplace de a (t - e) F(t - e) está relacionada con la de F(t).

Considere: 100

L{a(t - c)F(t - e)} = e-sta(t - c)F(t - c)dt.

Ya que a(t - e) = Opara O:$ t< e y a(t - e) = 1 para t 2: e, obtenemos:

l ooL{a(t - c)F(t - e)} = e- st F(t - e) dt .

Ahora ponemos t - e = ven la integral para obtener: 100

L{a(t - c)F(t - e)} = e-S (C+V) F(v) dv

= e- CS 100 e-SV F(v) dv .

http://gratislibrospdf.com/

288 Capítulo 15 Transformadas inversas "

Como una integral definida es independiente de la variable de integración,

100 100e- SV F(v) dv = e - SI F(t) dt = L{F(t)} = fes).

Por lo tanto, hemos demostrado que:

L{a(t - c)F(t - c)} = e - CI"L{F(t)} = e-el"f(s). (5)

Teorema 1 5.3 Si L -J(fes)} = F(t), si c :::::: 0, y si a F(t) se le asignan valores (no importa cuáles) para
-c :::::; t < 0, entonces,

L - 1{e-eS fes)} = F(t - c)a(t - c). (6)

EJEMPLO 15.10 °< t< 2,
Encuentre L{y(t)} donde (figura 15.4): t> 2.

y(t) = t2,

= 6,

Aquí, el uso directo de la definición de una transformada produce:

1 1002 6e-SI dt.
L{y(t)} = +t 2 e - sl dt

°Aunque las integraciones anteriores no.son difíciles, preferimos usar la función a.
Como a (t - 2) = para t < 2 Ya (t - 2) = 1 para t :::::: 2, construimos la y(t) de la ma-

nera siguiente. Un primer intento:

y
6

4

Figura 15.4
http://gratislibrospdf.com/

15.4 Función escalón 289

funciona para O< t < 2, pero queremos eliminar la t2cuando t > 2. De modo que escribimos:

Y2 = t2 - t 2a(t - 2).

Esto da t2 para t < 2 Ycero para t > 2. Entonces sumamos el término 6a (t - 2) y, final-

mente, llegamos a:

+y(t) = t2 - t 2a(t - 2) 6a(t - 2). (7)

Lay de (7) es lay de nuestro ejemplo y, por supuesto, puede escribirse de inmediato luego

de un poco de práctica con la función a.

Pero desafortunadamente la y de (7) aún no tiene la mejor forma para nuestro objetivo.
El teorema que queremos utilizar nos da:

L{F(t - c)a(t - e)} = e-es f(s).

Por lo tanto, debemos tener el coeficiente de a(t - 2) expresado como una función de (t - 2).

Ya que, _ t 2 + 6 = _ (t 2 - 4t + 4) - 4(t - 2) + 2,

y(t) = t2 - (t - 2)2a(t - 2) - 4(t - 2)a(t - 2) + 2a(t - 2), (8)

de lo cual se deduce de inmediato que:

+2 2e-2s 4e- 2s 2e - 2s

L{y(t)} = - - - - - - - - - o
S3 s3 s2 S
•

EJEMPLO 15.11

Encuentre y bosqueje una función g (t) para la que:

_] {3g(t) = L - - 4- e-s + -4e--3S } .
S s2 S2

Sabemos que L - 1{4/s2} = 4t. Entonces, por el teorema 15.3, obtenemos:

L - ] { 74e - S } = 4(t - l)a(t - 1)

y

L - ] { -4-e;-¡3-s } = 4(t - 3)a(t - 3).

http://gratislibrospdf.com/

290 Capítulo 15 Transformadas inversas

Por lo tanto, podemos escribir:

g(t) = 3 - 4(t - 1)a(t - 1) + 4(t - 3)a(t - 3) . (9)

Para escribir g(t) sin la función ex, primero consideremos el intervalo:

0:5 t< 1

en el que ex (t - 1) = OY ex (t - 3) = O. Encontramos:

g(t) = 3, O:5t< 1. (10)
(11)
=Para 1 :5 t < 3, ex (t - 1) = 1 Y ex (t - 3) O. Por lo tanto,

g(t) = 3 - 4(t - 1) = 7 - 4t, 1:5 t < 3.

Para t;::: 3, ex(t - 1) = 1 Y ex(t -3) = 1. así que: t;::: 3. (12)

g(t) = 3 - 4(t - 1) + 4(t - 3) = -5,

Las ecuaciones (10), (11) Y(12) son equivalentes a la ecuación (9). La gráfica de g(t) se

muestra en la figura 15.5. •

EJEMPLO 15.12 x(O) = 1, x/(O) = O, (13)
Resuelva el problema:

x"(t) + 4x(t) = 1j;(t);

g(t)
3

o

-s

Figura 15.5
http://gratislibrospdf.com/

J5.4 Función escaLón 291

en el que ",(t) está definida por:

",(t) = 4t, t> 1. (14)
= 4,

Por supuesto, buscamos una solución válida en el rango t ~ Oen la que la función", (t)
esté definida.

En este problema empieza a surgir otra faceta del poder que guarda el método de la
transformada de Laplace. El hecho de que la función ",(t) en la ecuación diferencial tenga
derivadas discontinuas, hace necesario el uso del método clásico de coeficientes indeter-
minados, que es un poco difícil, pero tales discontinuidades no interfieren en absoluto con
la simplicidad del método de la transformada de Laplace.

Para encarar este problema ponemos L {x(t) } = hes). Necesitamos obtener L{ ",(t) }. En
términos de la función apodemos escribir, de (14),

1/r(t) = 4t - 4(t - 1)a(t - 1) , t :::: O. (15)

De (15) se deduce que:

L{1/r(t)} = -4 - -4e- s .
s2 s2

Por lo tanto, la aplicación del operador L transforma el problema (13) en:

2 s- O+ 4h(s) = 4 - 4e-s
- -,
s hes) - s2 S2

de lo que: 4 4e-s
Ahora, s2(s2 4) S2(S2 4)'
s (16)

+ -hes) = - -
+ + +s 2 4

4 11

así, (16) se transforma en:

1__ __1_)hes) ~ (~
= _ s+_4 + __ s2 + 4 e-s (17)
s2 s2 + 4 S2
s2 . (18)
(19)
Ya que x(t) = L - 1{h(s) }, obtenemos la solución deseada, (20)

x(t) = cos 2t + t - ~ sen 2t - [(t - 1) - ~ sen 2(t - 1)]a(t - 1).

Es fácil verificar nuestra solución. De (18) resulta que:

x /(t) = -2 sen2t + 1 - cos2t - [1 - cos2(t - 1)]a(t - 1),
x" (t) = -4 cos 2t + 2 sen 2t - 2 sen 2(t - 1)a(t - 1) .

http://gratislibrospdf.com/

292 Capítulo 15 Transformadas inversas

Por lo tanto, x(O) = 1 Yx' (O) = O,como se deseaba. También, de (18) Y (20), obtenemos:

xl/(t) + 4x(t) = 4t - 4(t - 1)a(t - 1) = t¡f(t), t 2: O. •

• Ejercicios

,En los ejercicios del l al 7 bosqueje la gráfica de la función dada para t ~ O.

1. att - e). 4. sen (t - zr) . att - n).

+2. a(t - 1) 2a(t - 2) - 3a(t - 4). 5. (t - 3)2a(t - 3).
6. t2 - (t - 1)2a(t - 1).
3. (t - 3)a(t - 3).
7. t2 - t2a(t - 2).

En los ejercicios del 8 al 15 exprese F(t) en términos de la función a y encuentre L{ F(t)}.

8. F(t) = 3, 0< t < 1, 12. F(t)=t2, 0< t < 2,
= t, t > 1. = t -1, 2 < t < 3,
=7,
9. F(t) = 4, 0< t < 2, t > 3.
13. F(t) = e:',
= 2t - 1, t > 2. =0, 0< t < 2,
t > 2.
10. F(t) = t2, 0< t < 2, 14. F(t) = sen3t,
=0, 0< t < tn,
=3, t > 2.
15. F(t) = sen3t, t > '1in.
11. F(t) = t2, 0< t < 1, =0,
O<t<n,
= 3, 1 < t < 2, t > it .
=0, t > 2.

16. Encuentre y bosqueje una transformada inversa de:

5e-3s e-S
---- s

s

+17. Evalúe L -1 { e -4s 3' }

(s 2)
18. Si F(t) resulta ser continua para t 2: O y:

= _1 { e -3s }

L 3'
+F(t)
(s 1)

evalúe F(2), F(5), F(7).

19. Si F(t) es continua para t 2: O y,

F(t) = L _1 { (1 - e-2s)(l - 3e-2s) }

s 2'

evalúe F(1), F(3), F(5).

http://gratislibrospdf.com/

J5.4 Función escalón 293

00

20. Demuestre que 1/I(l, e) = I)-lta(l - nc)eslamismafunciónquefueutilizada

n=Ü

en el ejemplo 14.8, sección 14.10. Observe que para cualquier t específica la serie es
finita; no hay que resolver nada acerca de la convergencia.
21. Obtenga la transformada de la rectificación de media onda F(t) de sen t escribiendo:

F(t) = sen t ",(t, 7r)

en términos de la ",del ejercicio 20. Utilice el hecho de que

( - 1) 11 sen t = sen (t - n7r).

Compare su resultado con el del ejercicio 17, sección 14.10.

En los ejercicios del 22 al 25 resuelva el problema usando la transformada de Laplace. Verifique si su
solución satisface la ecuación diferencial y las condiciones iniciales.

22. xl/(t) +x(t) = F(t); x(O) = O, x/(O) = O, en laque

F(t) = 4, O.:::: t .:::: 2,

= t + 2, t > 2.

23. xl/(t) +x(t) = H(t); x(O) = 1, x/(O) = O, en laque

H(t) = 3, O.:::: t .:::: 4,

= 2t - 5, t > 4.

24. xl/(t) + x(t) = G(t); x(O) = O, x/(O) = 1, en laque

G(t) = ] , O.:::: t .:::: n /2 ,

= O, t > n/2.

+25. x"(t) 4x(t) = M(t); x(O) = x/(O) = O, en laque

M(t) = sen t - a(t - 2n) sen (t - 2n).

26. Calcule y(~1t) y y(2 + ~1t) para la función y(x) que satisface el problema de valor

inicial:

+y" (x) y(x) = (x - 2)a(x - 2); y(O) = O, y/(O) = O.

27. Calcule x(1) y x(4) para la función x(t) que satisface el problema de valor inicial:

x"(t) + 2x'(t) + xCt) = 2 + (t - 3)a(t - 3); x(O) = 2, x/(O) = 1.

http://gratislibrospdf.com/

294 Capítulo 15 Transformadas inversas

11 5.51 Un teorema de convolución

Ahora buscaremos una fórmula para la transformada inversa de un producto de transfor-
madas. Dadas:

L -l{f(s)} = F(t), L -l{g(s)} = G(t), (1)

donde suponemos que F(t) y G(t) son funciones de clase A, deberemos obtener una fórmu-
la para:

L -l{f(s)g(s)}. (2)
Comof(s) es la transformada de F(t), podemos escribir:

100fes) = e-SI F(t) dt. (3)

Ya que g(s) es la transformada de G(t),

(4)

en la que, para evitar confusión, hemos utilizado f3 (en lugar de t) como la variable de inte-

gración en la integral definida.
Por la ecuación (4), tenemos:

100f(s)g(s) = e-sf3 f(s)G(f3) df3. (5)

En el lado derecho de (5) encontramos el producto e-sf3fes). Por el teorema 15.3 de la sec-
ción 15.4 sabemos que con base en:

L -l{f(s)} = F(t) (6)

se deduce:

L - 1{e-sf3 fes)} = F(t - f3)a(t - f3), (7)

en laque aes la función escalón analizada en la sección 15.4. La ecuación (7) significa que:

100e-sf3 fes) = e-SI F(t - f3)a(t - f3)dt. (8)

Con la ayuda de (8) podemos poner la ecuación (5) en la forma:

100 100f(s)g(s) = e-SI G(f3)F(t - f3)a(t - f3)dtdf3 . (9)

http://gratislibrospdf.com/

15.5 Un teorema de convolución 295

Como a (t - [3) = Opara 0< t < [3 ya (t -[3) = 1 para t;::: [3, la ecuación (9) puede

volver a escribirse como

100 tOOf(s)g(s) = e-SI G(f3)F(t - (3)dtdf3. (lO)

En (10), la integración en el plano t [3 cubre la región sombreada en la figura 15.6. Los ele-
mentos se suman desde t = [3 a t = 00 y luego desde [3 = Oa [3 = oo.

En cálculo avanzado se demuestra que como F(t) y G(t) son funciones de clase A, es

válido intercambiar el orden de integración en el lado derecho de la ecuación (10). De la

figura 15.6 vemos que en el nuevo orden de integración, los elementos se suman de [3 = O
a [3 = t Y desde t = Ohasta t = oo.

Así obtenemos:

100 1f(s)g(s) =1

e-SI G(f3)F(t - (3) df3 dt,

o

100 [1f(s)g(s) =
1 (11)

e-SI G(f3)F(t - (3) df3 ] dt.

Ya que el miembro derecho de (11) es precisamente la transformada de Laplace de:

1/ G(f3)F(t - (3) df3,

llegamos al resultado deseado, que se conoce como teorema de convolución para la trans-
formada de Laplace.

f3

o

Figura 15.6
http://gratislibrospdf.com/

296 Capítulo 15 Transformadas inversas

Teorema 15.4 =Si L - 1{ f (s)} = F(t), si L - 1{g(s)} G(t), y si F(t) y G(t) son funciones de clase A,

entonces: il

L- 1(f(s)g(s)} = G({3)F(t - (3) d{3. (12)

Es fácil demostrar que el miembro derecho de la ecuación (12) también es una función

de clase A.

Por supuesto, F y G se pueden intercambiar en (12) ya quef y g aparecen ahí simétrica-

mente. Podemos remplazar (12) por: (13)

il

L -l {f(s)g(s)} = F({3)G(t - (3) d{3,

un resultado que también se deduce de (12) por un cambio de la variable de integración.

EJEMPLO 15.13

Evalúe L{f(s)/s}. Sea L{f(s)} = F(t). Como:

usamos el teorema 15.4 para concluir que:

•

EJEMPLO 15.14 x(O) = A, x' (O) = B . (14)
Resuelva el problema

xl/(t) + k2x(t) = F(t);

Aquí k, A YB son constantes y F(t) es una función cuya transformada de Laplace exis-
te. Sean

L{ x(t) } = u(s), L{F(t)} =f(s).

Entonces, el operador de Laplace transforma el problema (14) en:

+s2 u (s) - As - B eu(s) = fes),

As + B fes) (15)

u(s) = s2 + k2 + S2 + k 2'

Para obtener la transformada inversa del último término en (15) aplicamos el teorema
de convolución. Así llegamos a:

B 1il

x(t) = A cos kt + - sen kt + - F(t - (3) sen k{3 d{3 ,

k ko

http://gratislibrospdf.com/

15.5 Un teorema de convolución 297

o

10x(t) = A cos kt + kBIsten kt + k F(f3)sen k(t - (3) df3. (16)

•

Verificar la solución (16) es sencillo. Una vez que la comprobación ha sido realizada, no
hay necesidad de suponer que F(t) tiene una transformada de Laplace. No importa qué mé-
todo usemos para obtener la solución (con ciertas excepciones durante los exámenes) si la
validez del resultado puede ser verificada a partir del mismo .

• Ejercicios

En los ejercicios del 1 al 3 encuentre la transformada de Laplace de la integral de convolución dada.

1/1. (t - (3) sen 3f3 df3.

1/2. e-(t-/3) sen f3 df3.

1/3. (t - (3)3 e/3 df3.

En los ejercicios del 4 al7 encuentre la transformada dada f(s) usando el teorema de convolución.

1 4
4. s(s2+k2)' 6.

1 S2(S - 2)
1
5. s(s + 2)
7. (s2 + 1)2'

8. Resuelva el problema: x(O) = O, X '(O) = O.

x"(t) + 2x'(t) + x(t) = F(t);

9. Resuelva el problema:

y"(t) - k2y(t) = H(t); y(O) = O, y '(O) = O.

10. Resuelva el problema: y(O) = O, y '(O) = O.
x(O) = A, x '(O) = B.
y"(t) + 4y'(t) + 13y(t) = F(t);

11. Resuelva el problema:

x"(t) + 6x '(t) + 9x(t) = F(t);

http://gratislibrospdf.com/

298 Capítulo J5 Transformadas inversas

115.6 1 Ecuaciones integrales especiales

Una ecuación diferencial puede definirse de manera aproximada como una ecuación que
contiene la derivada de una variable dependiente; la ecuación contiene una variable depen-
diente bajo un signo de derivada. Una expresión matemática de este tipo se denomina
ecuación integral.

Como consecuencia del teorema de convolución, la transformada de Laplace es una
herramienta excelente para resolver una clase muy especial de ecuaciones integrales. Del
teorema 15.4, sabemos que si

L{F(t) } = fes)

y

L{ G(t)} = g(s),

entonces,

{10 1 (1)

L F(f3)G(t - (3) d f3 } = f(s)g(s).

La relación (1) sugiere el uso de la transformada de Laplace para resolver las ecuaciones
que contengan integrales de convolución.

EJEMPLO 15.15
Encuentre F(t) de la ecuación integral:

310F(t) = 4t - 1 (2)

F(f3) sen (t - (3) df3.

La integral (2) tiene la forma correcta como para permitir el uso del teorema de convo-
lución. Sea:

L{ F(t)} = fes).

Entonces, como:

sen t} = 1

-2- - '
+L{
S1

la aplicación del teorema 15.4 da:

tL { F(f3) sen (t - (3) d f3 } = s2f e+s ) 1 .
Jo

Por lo tanto, el operador de Laplace convierte la ecuación (2) en: (3)
fes) = ~ _ 3f(s) .

s2 s2 + 1

http://gratislibrospdf.com/

15.6 Ecuaciones integrales especiales 299

Necesitamos obtenerf(s) a partir de (3) y luego F(t) a partir def(s). De (3) tenemos:

1)~ s~,( 1 + S2
f(s) =

o f (s) = 4(s2 + 1) = ~ + _3_
Por lo tanto, s2(S2 + 4) s2 S2 + 4·

o

F(t) = t + ~ sen2t. (4)

Que la F(t) de (4) es una solución de la ecuación (2) puede verificarse de manera direc-
ta. Con frecuencia tal verificación es tediosa. Ahora demostraremos que para la F de (4), el
lado derecho (L.D.) de la ecuación (2) se reduce alIado izquierdo (L.I.) de (2). Como

31LD = 4t - ~1

(f3 + sen 2(3) sen (t - (3) df3,

integramos por partes y obtenemos el resultado:

1~LD = 4t - 3[ (f3 + sen 2(3) cos (t - (3)

31 3 (t -1 (3) df3,

+ (1 + cos 2(3) cos

de lo cual,

3(t 31LD = 4t -
~1

+ sen2t) + cos (t - (3) df3

911

+ cos 2f3 cos (t - (3) df3,

o

~ 1LD = t - sen 2t - 3[ sen (t - (3)

1~ 1

+ [cos (t + (3) + cos (t - 3(3)] df3.

http://gratislibrospdf.com/

300 Capítulo 15 Transformadas inversas

Esto nos lleva a:

~ ~[ ~LD = t - sen2t + 3 sent + sen(t + fJ) - sen(t - 3fJ)1

= t - ~ sen 2t + 3 sen t + ~ sen 2t + ~ sen 2t - ~ sen t + ~ sen t ,

o

LD = t + ~ sen 2t = F (t) = LI

como se deseaba. •

Es importante darse cuenta de que la ecuación original: (2)

31/F(t) = 4t - F(fJ) sen (t - fJ ) dfJ

pudo haberse encontrado en la forma equivalente:

31/F(t ) = 4t - F(t - fJ) sen fJ dfJ ·

Un detalle esencial para que el método usado tenga éxito es que la integral implicada
teng¡:t exactamente la forma de la integral de convolución. Los límites de integración deben
ser cero y la variable independiente y el integrando debe ser el producto de una función de
la variable de integración por una diferencia entre la variable independiente y la variable
de integración. El hecho de que integrales con esa forma aparezcan a menudo en proble-
mas físicos hace que el tema de esta sección sea relegado al papel de un juego matemático
de palabras.

EJEMPLO 15.16
Resuelva la ecuación:

-1g(x ) = ~x2 x (5)

(x - y )g(y) dy.

De nuevo la integral implicada es del tipo de convolución, con x desempeñando el
papel de la variable independiente. Suponga que la transformada de Laplace de g(x) es al-
guna función aún desconocida hez):

L{g(x)} = hez). (6)

Como L{~2} = 1/z3 YL{x} = 1/z2, podemos aplicar el operador L a (5) y obtener:

1 hez)
hez) = - - - ,

Z3 Z2

http://gratislibrospdf.com/

15.6 Ecuaciones integrales especiales 301

de la que:

o

h_ 1 Z
+(z) - Z(Z2 1)
~ - Z2 + i

Entonces:

z}+g(x) = L -1 { -1 - -- ,
Z Z2 1

o

g(x) = 1 - cosx. (7)

La comprobación de (7) es sencilla. Para el miembro derecho de (5) obtenemos: •
-1LD = !x2
x

(x - y)(l- cosy)dy

-1= !x2 - [(X - y)(y - senY)I x

(y - seny)dy

! [!l= x2 - O - + cos y I

= 21x 2 - 21x 2 - cos x + 1 = 1 - cos x = LI

• Ejercicios

En los ejercicios del 1 al 4 resuelva la ecuación dada y verifique su solución.
21l. F(t) = 1 +
r

F(t - f3)e-2f3 df3.

1r

2. F(t) = 1 + F(f3) sen (t - f3) df3.
1r

3. F(t) = t + F(t - f3)e-f3 df3.
-14. F(t) = 4t2
r

F(t - f3)e-f3 df3.

http://gratislibrospdf.com/

302 Capítulo 15 Transformadas inversas

En los ejercicios del 5 al 8 resuelva la ecuación dada. Si dispone de tiempo, compruebe su solución.

11

5. F(t) = t 3 + F(f3) sen (t - 13) df3 .
316. F(t) = 8t2 -
1

F(f3) sen (t - 13) df3 .

217. F(t) = t2 - 1

F(t - 13) senh 213 df3.

211

8. F(t) = 1 + F(t - 13) cos 13 df3.

En los ejercicios del 9 al 12 resuelva la ecuación dada.

219. H (t) = ge21 - 1

H (t - 13) cos 13 df3.

1l Y

10. H(y) = + H(x) sen (y - x) dx.
2111. g(x) = e - x -
x

g(f3) cos (x - 13) df3.

411

12. y(t) = 6t + (13 - t)2y(f3) df3.

13. Resuelva la ecuación siguiente para F(t) con la restricción de que F(O) = 4.

11

F' (t) = t + F(t - 13) cosf3df3.

14. Resuelva la ecuación siguiente para F(t) con la restricción de que F(O) = O.

11

F ' (t) = sent + F(t - 13) cosf3 df3.

15. Demuestre que la ecuación del ejercicio 3 puede ponerse en la forma:

(A)

Derive cada miembro de (A) con respecto a t y así remplace la ecuación integral con

una ecuación diferencial. Observe que F(O) = O. Encuentre F(t) por este método.

16. Resuelva la ecuación:

por dos métodos; use el teorema de convolución y la idea básica que se introdujo en
el ejercicio 15. Observe que en este caso no necesita resolver ninguna ecuación
diferencial.

http://gratislibrospdf.com/

15.7 Métodos de transformación y vibración de resortes 303

115.7 1 Métodos de transformación y vibración de resortes

Todas las aplicaciones estudiadas en el capítulo 10 dieron origen a ecuaciones diferencia-
les con condiciones iniciales. Esos problemas de valor inicial fueron resueltos mediante la
teoría de ecuaciones diferenciales lineales desarrollada en capítulos anteriores. Por su-
puesto que los problemas de valor inicial pueden resolverse usando las transformaciones
de Laplace, esto lo ilustraremos volviendo a examinar algunos de los problemas conside-
rados antes.

EJEMPLO 15.17
Resuelva el problema del resorte dado en el ejemplo 10.1 de la sección 10.2, sin amortigua-
miento pero con F(t) = A sen rot.

Como vimos antes, el problema a resolver es:

xl/(t) + f32x(t) = sen rot, (1)

con las condiciones iniciales de que:

x(O) = xo' x '(O) = vo' (2)
Sea L {x(t)} = u(s). Entonces (1) y (2) producen,

s2u(s) - sxo-vo + ,82u(s) = s2 Aw 2 ,

+w

o

(3)

El último término en (3) nos conduce a transformadas inversas diferentes de acuerdo con

ro = {3 o ro -:;:. {3. El caso ro = {3 produce un fenómeno denominado resonancia, el cual será

analizado en el ejemplo 15.20.

Si ro -:;:.{3, la ecuación (3) produce:
( 1 1 )u(s) = sxo + Vo + Aw
- -,---- (4)
S2 + ,82 w2 - ,82 s2 + ,82 s2 + w2 .

De (4) se deduce inmediatamente que:

1 Aw A
x(t) = xocos,8t+vo,8- sen,8t + sen,8t- 2 2 senwt. (5)
,8 (w2 - ,82) W- ,8

Es fácil verificar que la x de (5) es una solución del problema (1) y (2). Un estudio de (5)
es sencillo y en seguida nos lleva a conclusiones tales como que x(t) está acotada, y así su-
cesivamente. Los primeros dos términos de la derecha en (5) producen la componente
armónica natural del movimiento; los últimos dos términos constituyen la componen-
te forzada.

http://gratislibrospdf.com/

304 Capítulo 15 Transformadas inversas

Esta es la misma solución encontrada para el mismo problema en la sección 10.2, pero

usando un enfoque diferente por completo. •

EJEMPLO 15.18
Utilice transformaciones de Laplace para resolver el problema del resorte del ejemplo 10.2
en la sección 10.2.

El problema de valor inicial es:

+x " (t) 64x(t) = O; x(O) = ~, x /(O) = -2. (6)

Hacemos L{x(t)} = u(s) y en seguida concluimos que:

+ +S2U (S) - ~s 2 64u(s) = 0,

de lo cual: !s - 2
Entonces, u(s) = 3
S 2 +64 •

x(t) = ~cos8t - ~ sen8t. (7)

••

EJEMPLO 15.19
Un resorte, cuya constante es de 0.75 libras por pie, está en una mesa larga y lisa (sin fric-
ción). En la posición de equilibrio, se sujeta al resorte en reposo (velocidad cero) un peso
de 6 libras. Durante 4 segundos se aplica una fuerza de 1.5 libras al soporte del peso, situa-
do a lo largo de la línea de acción del resorte. Analice el movimiento.

Debemos resolver el problema:

f2x " (t) + ~x(t) = H(t); x(O) = 0, x/(O) = 0, (8)

en el que: °< t< 4,
t> 4.
H(t) = 1.5,
=0,

Ahora, en términos de la función ade la sección 15.4, H(t) = 1.5[1 - a(t - 4)].
Por lo tanto, volvemos a escribir nuestro problema (8) en la forma:

+x " (t) 4x(t) = 8[1 - a(t - 4)]; x(O) = 0, x /(O) = O. (9)

http://gratislibrospdf.com/

15.7 Métodos de transformación y vibarción de resortes 305

Sea L{x(t)} = u(s). Entonces (9) produce:

s2u (s) + 4u(s) = 8 e-4s ) ,
-(1 -
s

o

8(1 - e-4s )
u(s) - -S-(s-2:+-4-)-
-
s )= 2 ( :1;- - -s2-+-4 (1 - e-4s ).

La solución deseada es: (10)
x(t) = 2(1 - cos 2t) - 2[1 - cos 2(t - 4)]a(t - 4).

Por supuesto, la solución (10) puede dividirse en las dos relaciones:

para O:::=: t :::=: 4, x(t) = 2(1 - cos 2t), (11)
para t > 4, x(t) = 2[cos 2(t - 4) - cos 2t], (12)

si éstas dan la impresión de ser más sencillas de utilizar.

La verificación del resultado en (10), (11) o (12) es directa. El estudiante debe demos-

trar que:

lim x(t) = lim x(t) = 2(1 - cos 8) = 2.29
1-+ 4- 1-+4+

y

lim x/(t) = lim x/(t) = 4 ,sen 8 = 3.96.
1-+4- 1-+4+

De (10) o de (11) vemos que en el rango O < t < 4, la desviación máxima del peso des-

de el punto de partida es x = 4 pies, y que sucede en t = ~1t = 1.57 segundos. En t = 4,

x = 2.29 pies, corrio se demostró anteriormente. Para t > 4 se utiliza la ecuación (12) y, por

lo tanto, resulta que el movimiento es armónico simple con una x máxima de 3.03 pies. En

efecto, para t > 4,

maxlx(t)1 = 2}(1 - cos 8)2 + sen2 8

= 2.J2J1 - cos 8

= 2J2.291O = 3.03. •

El ejemplo 15.19 es un tipo de problema para el que la técnica de la transformada de La-

place resulta particularmente útil. Tales problemas pueden resolverse por medio de méto-

dos clásicos más conocidos, pero con mucha menos simplicidad y prontitud.

http://gratislibrospdf.com/

306 Capítulo 15 Transformadas inversas

EJEMPLO 15.20
Resuelva el problema de vibración no amortiguada del ejemplo 15.1 7 para el caso en que

ro = [3.

Nuestro problema es resolver:

xl/(t) + {32 X(t) = A sen {3t; x(O) = xo, x/(O) = VO, (13)

con la ayuda de:

(14)

De la ecuación (8), sección 14.8, ya sabemos que:

L - 1 { (S2 +1{32)2 } = 2{133 ( sen {3t - {3t cos {3t) .

Por lo tanto, (14) nos lleva a la solución:

Xo cos {3t + Vo A
7Jx (t) = sen {3t + 2{32 ( sen {3t - {3t cos {3t). (15)

Otra vez obtenemos una solución igual a la encontrada en la ecuación (5) de la sección

10.3, y tenemos que se presenta el fenómeno de resonancia. •

EJEMPLO 15.21
Resuelva el problema dado en el ejemplo de la sección 10.4,

~xl/(t) + 0 .6x'(t) + 24x(t) = O; t,x(O) = x/(O) = - 2. (16)

Hacemos L{x(t)} = u(s). Entonces (16) produce:

(s2 + 1.6s + 64)u(s) = tes - 4.4),

de lo que obtenemos:

1-I{x t -- L es + 0s.8-)42 .+463.36 }
()- 3

1 -I{= 'lexp(-0.8t)L s2s+-56.32.36 } .
.

Por lo tanto, la solución deseada es: (17)

x(t) = exp( - 0.8t)(0.33 cos 8.0t - 0.22 sen 8.0t), •

una parte de su gráfica se muestra en la figura 10.3.

http://gratislibrospdf.com/

/5.8 Deflexión de vigas 307

• Ejercicios

Cada uno de los ejercicios del capítulo lOes apropiado para resolverse como vimos en esta sección. Sería
instructivo resolver un problema con y sin la transformada de Laplace para comparar los dos métodos.

11 5.81 Deflexión de vigas

Como ejemplo adicional de la utilidad de los métodos de transformación, consideremos
una viga de longitud 2e, como se muestra en la figura 15.7. Denotamos con x la distancia
desde uno de los extremos de la viga y la deflexión de ésta con y. Si la viga está sujeta a una
carga vertical W(x), la deflexión y deberá satisfacer la ecuación:

d4y = W(x) para O < x < 2e, (1)
EI-
dx4

en la que E, el módulo de elasticioad, e 1, un momento de inercia, son constantes conocidas
asociadas con esa viga en particular.

La pendiente de la curva de deflexión es y '(x), el momento de flexión es E/y"(x) y la fuer-
za cortante es E/y'"(x). Las condiciones de frontera comunes son de los tipos siguientes:

(a) Viga empotrada en un soporte: y = OYy' = Oen el punto.

(b) Viga soportada simplemente: y = Oy" = Oen un punto.

(c) Viga libre: y" = OYy'" = Oen el punto.

Los problemas donde se plantea el desplazamiento transversal de una viga tienen la for-
ma de la ecuación diferencial (1), con condiciones de frontera en cada extremo de la viga.
Tales problemas pueden ser resueltos por integración con el uso de un poco de álgebra; sin
embargo, existen dos razones por las que es preferible solucionarlos con nuestro método de
transformadas. Con frecuencia, la función de carga, o su derivada, es discontinua. Los pro-
blemas de vigas también nos dan oportunidad de examinar un recurso útil en el que un
problema sobre un rango finito se resuelve con la ayuda de un problema asociado sobre
un rango infinito.

,
,- - - - - - - - 1 - - - - - - -

x __ e 2e

Figura 15.7
http://gratislibrospdf.com/

308 Capítulo 15 Transformadas inversas

EJEMPLO 15.22

Encuentre el desplazamiento y a lo largo de la viga mostrada en la figura 15.7, donde se

supone que la carga disminuye de manera uniforme desde (í)o en x = O, hasta cero en x = e,
y permanece en cero desde x = e hasta x = 2e. El peso de la viga se considera insignifican-
te. La viga está empotrada en x = OYlibre en x = 2e. Tenemos que resolver el problema:

d4y Wo x + (x - e)a(x - e)] para O < x < 2e; (2)
EdIx-4 =
-[e -
e

y(O) = O, y' (O) = O, (3)

y"(2e) = Q, y'''(2e) = O. (4)

El estudiante debe verificar si el miembro derecho de (2) es la función de carga esti-
pulada.

W(x) = -W(o e - x) para O .:::: x.:::: e, (5)

e
= O para e < x .:::: 2e.

Para aplicar la técnica de la transformada, con x desempeñando el papel para el que

generalmente empleamos t, necesitamos extender primero el rango de x de modo que tome

valores desde O hasta oo. Esto es, en lugar de (2), (3) y (4), resolveremos el problema que

consiste en:

d4 y para O < x < 00, (6)

El dx4 = H(x )

y las condiciones (3) y (4). En (6) la función H(x) la elegimos nosotros salvo cuando deba

coincidir con W(x) en el rango O< x < 2e. Luego la solución del problema (6), (3), (4) se

usará sólo en el rango:
O:::;x :::;2e.

De las diferentes alternativas para H(x) parece que la más sencilla de usar es:

H(x) = Wo [e - x + (x - e)a(x - e)] para O < x < oo. (7)

-
e

Esto es, en la práctica, por lo regular mantenemos la ecuación (2) y sólo extendemos el ran-

go de O< x < 2e a O < x < oo. Sin embargo, el estudiante debe tener en mente que no po-

demos aplicar el operador de Laplace a la función W(x) de (5), ya que la función no está

definida en todo el rango O< x < oo. Resolveremos (6) y concluiremos que la solución es

válida para (2) en el rango O:::; x :::; 2e, sobre el cual (2) y (6) son idénticas.

Sean,

L{Ely(x)} = u(s);

100u(s) = El e-SXy(x)dx. (8)

Para transformar E/y(4)(x), necesitamos usar los valores de E/ y(x) y sus primeras tres
derivadas en x = O. De (3) sabemos que:

E/y(O), E/y'(O) = o.

http://gratislibrospdf.com/

J5.8 Defiexión de vigas 309

Pero,

E/y" (O) = A, E/ylll(O) = B. (9)

Las constantes A y B deben determinarse usando las condiciones dadas en (4). (10)
(11)
Por medio de nuestros métodos usuales obtenemos, para la H(x) de (7),
(12)
+Wo (13)
(14)
L{H(x)} = -L{e - x (x - e)a(x - e)}
e

= Wo (~ _ ~ + e-eS) .

e s S2 S2

Así, la ecuación diferencial (6) se transforma en:

(e -es)+ -S4u(S) - S3 . O- S2 . O - s · A - B = -Wo - - -1 e ,
e S S2 s2

de la que obtenemos:

e-eS)u(s) =A ( -e -1
- + -B + -Wo - +- .
s3 S4 e s5 s6 s6

AhoraL- l {u(S)} =Ely(x).Deaquíque:

E/y(x) = 4Ax2 + ~Bx3 + 1~~e[5ex4 - x 5 + (x - e)5a (x - e)].

De (11) obtenemos:

E/y' (x) = Ax + 4Bx2 + ~: [4ex 3 - x 4 + (x - e)4a (x - e)),

+ + +E/ y" (x) = A Bx W6eo [3ex 2 - x 3 (x - e)3a(x - e)],
E/ ylll (X) = B + ~; [2ex - x2 + (x - e)2a (x - e)].

Al diferenciar ambos miembros de las ecuaciones (14), podemos ver que la y de (11) es

una solución de (6) sobre el rango infinito y, lo más importante, una solución de (2) sobre

el rango O < x < 2e.
Con ayuda de las ecuaciones de la (11) a la (14), podemos determinar ahora A y B para

hacer que la y satisfaga las condiciones apropiadas en x = 2e, sea que ahí la viga esté libre,

empotrada o sujeta. En nuestro ejemplo la viga está libre en x = 2e; la solución debe satis-

facer las condiciones:

y"(2e) = O, y"/(2e) = o. (4)

Al usar (13) y (14), con un poco de trabajo, encontramos que (4) requiere A = (t)woe2,
B = -~woe. Por lo tanto, llegamos a la solución:

E/y(x) = 12woe2x2 - 12woex3 + 1~~e[5ex4 - x 5 + (x - e)5a (x - e) ] ,

(15)

para O::::: x ::::: 2e .

http://gratislibrospdf.com/

310 Capítulo 15 Transformadas inversas

El estudiante debe verificar por diferenciación y las sustituciones apropiadas, que la y de

(15) satisface la ecuación diferencial original (2), así como las condiciones de frontera en

(3) y (4).

De (15) podemos obtener toda la información que deseemos. Por ejemplo, en x = !c el

momento de flexión es: •

*Ely//(~c) = woc2[~ - + ~(-k + ~ + 0)] = -Jswoc2.

• Ejercicios

En cada ejercicio, encuentre la y que satisfaga la ecuación (1) de esta sección con la función de carga W(x)

dada y las condiciones dadas para los extremos de la viga. Verifique sus soluciones.

°l. W(x) es como en el ejemplo 15.22, la viga está empotrada en x = yen x = 2c.

2. W(x) = O, para O < x < ~c,
= wo, para 21 c < x < 23 c,
= O, para ~ c < x < 2c;

la viga está empotrada en x = 0, y libre en x = 2c.

3. W(x) = wo[l - a (x - c)] (describa la carga); la viga está empotrada en x = O Y

soportada en x = 2c.
Wo
4. W(x) = -(2c - x), para O < x < c,
c
= wo, parac < x < 2c;

la viga está empotrada en x = OYlibre en x = 2c.

115.9 1 Sistemas de ecuaciones

El operador de Laplace puede usarse para transformar un sistema de ecuaciones diferen-
ciales lineales con coeficientes constantes en un sistema de ecuaciones algebraicas.

EJEMPLO 15.23
Resuelva el sistema de ecuaciones:

xl/(t) - x(t) + 5y'(t) = t, (1)
.(2)
y//(t) - 4y(t) - 2x'(t) = -2,
(3)
que tiene las condiciones iniciales: y(O) = 0, y'(O) = O.
x(O) = O, x'(O) = 0,

http://gratislibrospdf.com/

15.9 Sistemas de ecuaciones 311

Sean L{x(t)} = u(s) y L{y(t)} = ves). Entonces, al aplicar el operador de Laplace,

transformamos el problema en uno donde hay que resolver un par de ecuaciones alge-
braicas simultáneas:

+(s2 - 1)u(s) 5sv(s) = 21 ' (4)

s (5)

+- 2su(s) (s 2 - 4)v(s) = - -2o

s

Resolvemos las ecuaciones (4) y (5) para obtener:

u(s) = Ils2 - 4 (6)
+ +s2(s2 1)(S2 4)'
(7)
ves) = -2s2 + 4
+ +S(s2 1)(s2 4) .

Al buscar las transformadas inversas de u y v, desarrollamos primero los miembros dere-
chos de (6) y (7) en fracciones parciales:

u(s) = - 1 + - 5+- 1 -s-2 4+- 4 ' (8)
- (9)
s2
S2

1 2s s
+ves) = - - - - - - o
+ +S S2 1 s2 4

Ya que x(t) = L - 1{u(s)} y y(t) = L -1 {v(s)}, obtenemos el resultado deseado:

x (t) = - t + 5 sen t - 2 sen 2t , (10)

y (t) = 1 - 2 cos t + cos 2t , (11)

que se puede verificar con facilidad por sustitución directa en (1), (2) Y (3). •

El procedimiento anterior es conceptualmente sencillo, pero su uso práctico dependerá

de nuestra habilidad para encontrar las transformadas inversas de u(s) y ves) . Por otra parte,

aplicar la teoría de las transformadas nos puede ayudar a comprender la teoría general de

sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Ilustramos esta idea en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 15.24
Resuelva el sistema:

ddxi = y + F(t), (12)
(13)
dy = x + G(t).
dt

http://gratislibrospdf.com/

312 Capítulo 15 Transformadas inversas

Aquí suponemos que todas las transformadas de las funciones x(t), y(t), F(t) y G(t) existen
y están dadas por u(s), v(s),ft..s) y g(s), respectivamente. Entonces tenemos:

+su(s ) - el = ves) fes) , (14)
+sv(s ) - e2 = u(s ) g(s) , (15)

donde el y e2 representan los valores iniciales de x(t) y y(t). Podemos escribir de nuevo las
ecuaciones (14) y (15) en la forma:

+su (s) - ves) = e l fes ), (16)
+ +-u(s) sv(s) = e2 g(s) . (17)

Usamos la regla de Cramer y encontramos que la solución del sistema algebraico (16) y
(17) puede escribirse como:

el + fes) -sIl -11 -11el If(S)
-1- g(s) l~~--~+ ~~----~
= -le2- e2 s g(s) s (18)
s--=2---I------'- (19)
u (s) s2-s2 - 1 1

I +s e l + f(S)1 I-~ ~~I I-~ ~~~~I
+S2 - 1 s2 - 1 .
-1 e2 g(s)
v (s) = -'---------'-

S2 - 1

Una revisión cuidadosa de las ecuaciones (18) Y(19) revela varias propiedades impor-
tantes del par de funciones , x(t) y y(t). Primero, cada una de estas funciones puede consi-
derarse como la suma de dos funciones; esto es,

x(t) = xcCt) + xp(t),
y (t) = Ye (t) + y p(t).

La notación usada tiene la intención de hacemos recordar una situación similar que encon-

tramos cuando tratábamos con una sola ecuación diferencial lineal con una variable depen-

diente. Notamos que el par de funciones xc(t) y yc(t) es una solución del sistema (12) y (13)

en el caso donde F(t) = G(t) = O[y por supuestof(s) = g(s) = O]. Además, cada una de las

funciones x/t) y y/t) incluyen a las constantes e l y e2, que son los valores iniciales de x(t)

y y(t). Por otra parte, las funciones x/t) y y/t), aunque son independientes de las condicio-

nes iniciales, están relacionadas íntimamente con las funciones F(t) y G(t). •

Aunque es posible obtener las funciones x(t) y y(t) de (18) y (19) utilizando integrales

de convolución (véase el ejercicio 9), simplificaremos el problema considerando un caso

particular.

http://gratislibrospdf.com/

\

15.9 Sistemas de ecuaciones 313

EJEMPLO 15.25 "" (20)
(21)
Resuelva elsistema de ecuaciones (12) y (13) cuando F(t) = 1 YG(t) = t.

Ahora las ecuaciones (18) y (19) se transforman en:

I~~ -!I 11~~~ -!I

u (s) = S2 _ 1 + s2 _ 1 '

Is e'l s l/l/ss2i
-1
-1 e2
Ives) = s2 - 1 + s2 - 1 .

que pueden escribirse como:

u(s) = el + e2 + e, - e2 - -1 + -1- - -s +1-1' (22)
(23)
2(s - 1) 2(s + 1) S2 S- 1

ves) = el + e2 e, - e2 - 2 + -1- + -1-
- -
2(s-l) 2(s+1) s s-l s+l'

donde hemos tenido cuidado de conservar separadas las dos partes de cada una de estas
funciones.
La transformada inversa de las ecuaciones (22) y (23) nos da:

x(t) = e, + e2 el + -e,---ee2 -I - t + el - e- I (24)
22 ' (25)
+y(t) = el e2 e1 - e-, -- ee2 -1 -2+e1 +e- t . .
22

El lector debe ahora verificar de manera directa que el par de funciones x/t) y y/t), que
incluyen a los valores iniciales e, y e2, es una solución del sistema:

dy
y -=x.

dt

Este sistema resulta de remplazar F(t) = G(t) = Oen las ecuaciones (12) y (13). También

debe verificarse que la parte restante de la solución, xp(t) y yp(t), es una solución particu-

lar del sistema (12) y (13) con F(t) = 1 Y G(t) = t. Por último, es fácil demostrar que

e,x(O) = y y(O) = e2• •

EJEMPLO 15.26
Determine la corriente [,(t) del ejemplo 12.7, en la sección 12.4, empleando las técnicas de
la transformada qe Laplace.

Con la finalidad de conservar el símbolo convencional L para el número de henrys de
inductancia en el circuito, en este ejemplo denotaremos por Lt al operador de Laplace pa-

ra el cual se usa L en todas las demás partes de este libro. Sean LI{lk(t)} = ik(s) para cada

k = 1,2,3.

http://gratislibrospdf.com/

314 Capítulo J 5 Transformadas inversas

Entonces, el operador L( transforma el problema de resolver las ecuaciones (1), (2) Y (3) de
la sección 12.4 en el problema algebraico de resolver las ecuaciones:

i, - i: - i3 = O, (26)
(27)
R,i, + sL2i2 E (28)
= -,
s

R¡i¡ + (R3 + SL3)i3 E
= -.
s

Como sólo deseamos i,(s), usamos la regla de Cramer para escribir la solución:

O -1 -1

E O
s sL2

E O R3 + SL3 E R3 + s(L2 + L3)
s
i, (s) = .0- = s .0- (29)

en la que:

1 -1 -1

.0-= R, sL2 O

R, O R3 + SL3

o

.0- = L2L3S2 + (R, L2 + R3L2 + R, L3)S + R, R3' (30)

Es importante reconocer que este polinomio en s es el mismo que el polinomio caracte-
rístico obtenido en la ecuación (6) del ejemplo 12.7. Por lo tanto, las observaciones que se
hicieron ahí, con respecto a las raíces de d, también son ciertas aquí. Esto es,

donde a, y az son números reales positivos. En consecuencia, de (29), tenemos:

i,(s)= E. R3+S(L2+L3) (31)

S L2L3(S + a,)(s + a2)

El miembro derecho de la ecuación (31) tiene un desarrollo en fracciones parciales:

. = Aa + --A, + __A2 ,
l,(S) - s + a, s + a2
s

de modo que:

(32)

http://gratislibrospdf.com/

15.9 Sistemas de ecuaciones 315

Unos cuantos cálculos algebraicos tediosos nos permitirán determinar los valores de las

constantes Ao' Al' A2 Y demostrar que la ecuación (32) es idéntica a la (11) de la sección
12.4.
•

• Ejercicios

En los ejercicios del 1 al 8 utilice el método de la transformada de Laplace para resolver el sistema dado.

+ +1. xl/(t) - 3x'(t) - y/(t) 2y(t) = 14t 3,
+x/(t) - 3x(t) y'(t) = 1; x(O) = O, x/(O) = O, y(O) = 6.5.

+ +2. 2x'(t) y'(t) - y(t) = 3t,
2x(t)

+ + +x/(t) x(t) y/(t) y(t) = 1; x(O) = 1, y(O) = 3.

3. x/(t) - 2x(t) - y/(t) - y(t) = 6e3t,

+2x'(t) - 3x(t) y'(t) - 3y(t) = 6e3t; x(O) = 3, y(O) = O.

+ +4. xl/(t) 2x(t) - y'(t) = 2t 5,
+ +x/(t) - x(t) y/(t) y(t) = -2t - 1; x(O) = 3, x'(O) = O, y(O) = -3.

5. Las ecuaciones del ejemplo 15.23 en la sección 15.9, con las condiciones iniciales de

x(O) = O, x'(O) = O, y(O) = 1, Y '(O) = O.

6. Las ecuaciones del ejemplo 15.23 en la sección 15.9, con las condiciones iniciales de

x(O) = 9,x'(0) = 2,y(0) = 1,y'(0) = O.

+7. xl/(t) y/(t) - y(t) = O,
+2x'(t) - x(t) z'(r) - z(t) = O,
+ + +x'(r) 3x(t) y'(t) - 4y(t) 3z(t) = O;

x(O) = O, x'(O) = 1, y(O) = O, z(O) = O.

+8. xl/(t) - x(t) 5y'(t) = {J(t),

yl/(t) - 4y(t) - 2x'(t) = O,
en el que f3(t) = 6t, para O ::; t ::; 2 Y f3 (t) = 12, para t > 2;

o.Y x(O) = x '(O) = y(O) = y'(O) =

9. Escriba la solución del sistema dado en el ejemplo 15.24, sección 15.9, en términos
de integrales de convolución.

10. Utilice los resultados del ejercicio 9 para obtener la solución del ejemplo 15.25, sec-
ción 15.9.

En los ejercicios 11 y 12 escriba la solución en términos de integrales de convolución.

11. x'It) - 2y(t) = F(t),

+y/(t) 2x(t) = G(t); x(O) = 1, y(O) = O.

+12. 2x'(t) 3y(t) = F(t),
+y/(t) 2x(t) = G(t); x(O) = 2, y(O) = 1.

http://gratislibrospdf.com/

316 Capítulo 15 Transformadas inversas

13. Considere el problema de valor inicial:

+ +x /(t) = ax by Jet),
+ +y /(t) = ex dy g(t);

x(O) = e" y (O) = e2,

donde a, b, e, d y el' e2 son constantes. Utilice un argumento similar al del ejemplo
15.24 de la sección 15.9 para demostrar que la solución, si existe, debe tener la forma

+x(t) = x c(t) xp(t),
+y (t) = yc(t) yp(t) ,

donde x/t) y Ye(t) dependen de el y e2, mientras que x/t) y y/t) dependen dej(t)
y g(t).
14. Considere el problema de valor inicial:

+x /(t) 2y(t) = O
+ +xl/(t) 2y'(t) 2y(t) = 2e!;

x(O) = 1, x /(O) = O, y(O) = O.

(a) Demuestre que el método de la transformada de Laplace produce:'
y = é.

(b) Verifique que estas funciones satisfacen las ecuaciones diferenciales pero no
cumplen las condiciones iniciales.

(c) Por eliminación elemental, demuestre que una solución del sistema de ecuacio-
nes diferenciales tiene la forma:
x = el - 2é, y = é,

y que por eso las condiciones iniciales dadas no son compatibles con el sistema de
ecuaciones diferenciales.
15. Para la red en el ejercicio 15 de la sección 12.4, utilice la transformada de Laplace y
demuestre que la naturaleza de las soluciones depende de los ceros del polinomio:

16. Para la red en el ejercicio 16 de la sección 12.4, utilice la transformada de Laplace y
analice el carácter de f ,(t) sin encontrar explícitamente la función.

115 . 101 Suplemento para computadora

Un Sistema de Álgebra Computacional, como Maple, está adecuado especialmente para
aplicar las técnicas de transformadas de Laplace descritas en los dos capítulos anteriores.
Podemos dejar que la máquina haga el trabajo pesado y encuentre las transformadas e in-

http://gratislibrospdf.com/

15.10 Suplemento para computadora 317

versas de Laplace necesarias. Maple encuentra L{ sen kt} del ejemplo 14.2, en la sección
14.3, mediante la instrucción:

>laplace(sin(k*t),t,s);

k

+S2 k 2

También podemos ir en la dirección contraria. El ejemplo 15.1 de la sección 15.1 pre-

-1{2gunta por L + 15 + 13 }. Maple utiliza el procedimiento invlaplace para resolver
s 4s

este problema:

>invlaplace(15 / (s A2+4*s+13) ,s,t);
5 e- 2 'sen(3 t)

De modo que podríamos combinar estos dos procedimientos para resolver "a mano"

una ecuación diferencial dada. Alternativamente, podemos hacer que la máquina resuelva

el problema de manera directa mediante los comandos usuales. Por otra parte, para proble-

mas que impliquen la función escalón a, necesitamos la opción Laplace. En lugar del nom-
bre a, Maple utiliza el nombre Heaviside. Este es el método que usaríamos para un

problema como el del ejemplo 15.12 de la sección 15.4.

+x l/ (t) 4x(t) = 1jt(t); x(O) = 1, x/(O) = O, (1)

en el que lfJ(t) está definida por:

1jt(t) = 4t, O ~ t ~ 1,

= 4, 1 < t. (2)

Después de convertir la función ljI en términos de a, introducimos:

>Eqn2:=D(D(x)) (t)+4*x(t)=4*t-4*(t-l)*Heaviside(t-l):

(tdsolve({Eqn2,x(O')=1,D(x) (O)=O},x(t) ,laplace);

x(t) = cos(2 t) + t - sen(2 t) - 4 Heaviside (t - 1) - - 1/ 4 - s-en-(2 t-- -2))

248

• Ejercicios

l . Utilice una computadora para resolver algunos problemas variados que impliquen la
aplicación de las transformadas de Laplace.

2. Utilice una computadora para resolver diversos problemas que impliquen el uso de
las transformadas inversas de Laplace.

3. En el ejemplo 15.12 de la sección 15.4, como se describió anteriormente, la solución
incluye a la función Heaviside. Sin embargo, esto no significa que dicha solución no
sea continua. Utilice una computadora para encontrar, primero, la solución anterior,
luego trace la gráfica de esa solución. ¿Parece continua?

http://gratislibrospdf.com/

318 Capítulo 15 Transformadas inversas

TABLA DE TRANSFORMADAS

Donde se utilice, n representa un entero no negativo. El rango válido puede
determinarse a partir del material apropiado del texto. En los ejemplos
y ejercicios se encontrarán muchas otras transformadas.

f(s) = L{F(t)} F(t)
f(s - a) eaIF(t)

feas + b)

-1e:", e > O a(t - e) = O, O::: t < e,
=1,c:::t
s

e-es f(s), e> O F(t - c)a(t - e)

fl (s)12(s) 11
FI(~)F2(t - f3) df3

s tn
n!
sn+1 tX
1
-- x>-1 r(x + 1)
sx+l'
(nt)-1/2
s-I/2
e-al
s+a
t't e?"
+(s a)n+1 n!

k senkt

s2 + k2 coskt

s senh kt

s2 + k2 cosh kt

k sen kt - kt cos kt
s2 - k2

S

s2 - k2
2k3

+(s2 k2)2

http://gratislibrospdf.com/

15.10 Suplemento para computadora 319

TABLA DE TRANSFORMADAS

(continuación)

f(s) = L{F(t)} F(t)
2ks t senkt

1- e:'

ln(I+~)

ln-s-+k 2senhkt

s-k -(1 -2
coshkt)
In (1 - ~:) t
(1In + ~:)
-(1 -2
aretan-k coskt)
t
s
senkt

http://gratislibrospdf.com/

16Ecuaciones no lineales

a

11 6. 11 Observaciones preliminares

El teorema de existencia y unicidad que estudiamos en el capítulo 13 no hace distinción en-
tre ecuaciones diferenciales lineales y no lineales. Sin embargo, de nuestro estudio en los
primeros capítulos de este libro, sabemos que la utilización de los métodos conocidos pa-
ra determinar las soluciones de una ecuación dada con frecuencia depende de que la ecua-
ción sea lineal. Por ejemplo, en el capítulo 2 encontramos que ciertas clases particulares de
ecuaciones no lineales de primer orden pueden resolverse siendo la ecuación exacta, sepa-
rable, homogénea, etc. Por otra parte, si una ecuación de primer orden es lineal, podemos
aplicar cierto método que produce todas las posibles soluciones de la ecuación diferencial.

El hecho es que no existe un método general para resolver ecuaciones diferenciales no
lineales de primer orden, aún si la existencia de soluciones puede demostrarse por los teo-
remas del capítulo 13. En realidad, la determinación de soluciones para ecuaciones de es-
te tipo con frecuencia es difícil, si no imposible. En este capítulo analizaremos brevemente
unas cuantas de las dificultades especiales que surgen con ecuaciones no lineales, y vere-
mos algunas técnicas con las que se resuelven ciertos tipos particulares de ecuaciones.

116.21Factorización del miembro izquierdo

Para ilustrar la complejidad que puede surgir en situaciones no lineales, primero conside-
raremos una complicación relativamente sencilla. Para una ecuación de la forma:

f(x, y, y') = O (1)

puede ser posible factorizar el miembro izquierdo. El problema a resolver (1) se remplaza
entonces por dos o más problemas más sencillos. Lo último puede ser resuelto por los mé-
todos de los capítulos 2 y 5.

Ya que en el ejemplo y en los ejercicios y' se elevará a potencias, simplificaremos su
representación y escritura con un recurso muy común, usando p por y ':

dy
p -- d-x·

320

http://gratislibrospdf.com/

16.2 Factorización del miembro izquierdo 321

EJEMPLO 16.1 (2)
Resuelva la ecuación diferencial:

xyp2 + (x + y)p + 1 = O.

El miembro izquierdo de la ecuación (2) se factoriza con facilidad. Así (2) conduce a:

(xp + 1)(yp + 1) = 0,

de lo que resulta: °yp + 1 = (3)

o bien, xp + 1 = O. (4)
De la ecuación (3) en la forma:
°ydy + dx =

se deduce que:

y2 = 2(x - Cl). (5)

La ecuación (4) puede escribirse como:

*de la cual, para x 0, xdy + dx = 0,

dx
dy+ - =0,

x

de modo que:

y = - In I c2 x l. (6)

•
Decimos, y es un lenguaje muy poco formal, que las soluciones de (2) son (5) y (6). Con

base en éstas se pueden conformar soluciones particulares; sea a partir de (5) solamente,

sólo de (6), o mediante uniones parciales usando (5) en algunos intervalos y (6) en otros.

En el punto donde una solución proveniente de (5) se junte con una de (6), la pendiente

debe seguir siendo continua de modo que las partes puedan unirse a lo largo de la recta y = x

(Véase el ejercicio 21 más adelante.) Note que la segunda derivada, la que no entra en la

ecuación diferencial, no necesita ser continua (Véase el ejercicio 24.)

La existencia de estos tres conjuntos de soluciones particulares de (2), esto es, solucio-

nes de (5), de (6) o de (5) y (6), nos lleva a conocer un fenómeno interesante en los proble-

mas de valor inicial. Considere el problema de encontrar una solución de (2) tal que pase

!' -1,por el punto (- 2). Si el resultado debe ser válido para el intervalo -1 < x < exis-

ten dos respuestas, que se encontrarán en el ejercicio 25. Si el resultado tiene que ser váli-

!,do para -1 < x < sólo existe una respuesta (ejercicio 26), y es una de las dos respuestas

del ejercicio 25. Si el resultado tiene que ser válido en -1 < x < 2, sólo hay una respues-

ta (ejercicio 27).

http://gratislibrospdf.com/

322 Capítulo 16 Ecuaciones no lineales

• Ejercicios

En los ejercicios dell all8 encuentre las soluciones en el sentido de (5) y (6).

1. x2 p2 _ y2 = O. 6 . p2 - (x 2y + 3)p + 3x 2y = O.
7. Xp2 - (1 + xy)p + y = O.
2. xp2 - (2x + 3y)p + 6y = O.
3. x2 p2 - 5xyp + 6y2 = O. 8. p2 - x2y2 = O.
4. x2 p2 + xp - y2 - Y = O.
9. (x + y)2p2 = y2.

5. xp2+(l-x2y)p-xy = O. 10. yp2 + (x - y2)p - xy = O.

11. p2- xy (x+y)p+x 3y 3 = O.

12. (4x - y)p2 + 6(x - y)p + 2x - 5y = O.

13. (x _ y)2 p2 = y2.

14. xyp2 + (xy2 - 1)p - y = O.
15. (x 2 + y2)2p2 = 4x2y2.

16. (y + xf p2 + (2 y 2 + xy - x2)p + y(y - x) = O.
17. xy(x2 + y2)(p2 - 1) = p(x4 + x2y2 + y4).

18 . xp3 - (x 2 +x + y)p2 + (x 2 +xy + y)p -xy = O.

Los ejercicios dell9 al 27 se refieren al ejemplo de esta sección. Allí se demostró que la ecuación diferencial:

xyp2 + (x + y)p + 1 = O (2)

tiene las soluciones:

y2 = -2(x - el) (5) .

y

(6)

19. Demuestre que de la familia (5), la única curva que pasa por el punto (1, 1) es

y = (3 - 2X)1/2 y que esta solución es válida para x < ~.

20. Demuestre que de la familia (6), la única curva que pasa por el punto (1, 1)

es y = 1 - In x y que esta solución es válida para O< x.

21. Demuestre que la función definida por:

y = (2 - 2X) 1/2 para x ::::; 1,

y = - In x para x ~ 1,

es una solución de la ecuación (2) para toda x =1= 1, pero que no tiene derivada enx = 1

y, por lo tanto, allí no es solución.

http://gratislibrospdf.com/

16.3 Soluciones singulares 323

y

o--------------1-----~~~~-- x

Figura 16.1

22. Demuestre que si una solución de (2) se forma uniendo partes de (5) y de (6), enton-
ces las pendientes de las curvas deben ser iguales donde se unan las secciones. Prue-
be también que, por lo tanto, las secciones deben unirse en un punto de la recta y = x.

23 . Demuestre que la función determinada por:

y = (3 - 2x) l/ 2 para x ::: 1,

Y = 1 - In x para 1 ::: x

es una solución de la ecuación (2) y válida para toda x. La parte interesante de está
curva se muestra en la figura 16.1 .

24. Demuestre para la solución dada en el ejercicio 23 que y 11 no es continua en x = l.

Pruebe también que cuando x ~ 1- , y 11 ~ -1, Ycuando x ~ 1+ , y 11 ~ + l.

25 . Encuentre aquellas soluciones de (2) que sean válidas en - 1 < x < -;} y que sus

! ,gráficas pasen por el punto (- 2).
!26. Encuentre la solución de (2) que sea válida para -1 < x < y que su gráfica pase

por el punto (- ! ' 2).

27. Encuentre la solución de (2) que sea válida para -1 < x < 2 Yque su gráfica pase por

el punto (- !' 2).

11 6.31 Soluciones singulares (1)

Ahora resolv~mos la ecuación diferencial:

l +p2 - a 2 y 2 = O.

Aquí,

de modo que podemos escribir:

(2)

http://gratislibrospdf.com/

324 Capítulo 16 Ecuaciones no lineales

o (3)
ydy = dx,

Ja2 - y2

o (si no puede efectuarse la división entre: .ja2 _ y2

De (2) se deduce que: (4)
de (3) que: (5)
(6)

y de (4),

y=a o y = - a (7)

De manera gráfica, las soluciones de (5) son los semicírculos del lado izquierdo con radio
a y centro en el eje x; las soluciones de (6) son los semicírculos del lado derecho con radio a y
centro en el eje x. Podemos combinar (5) y (6) en:

(8)

que podríamos estar tentados a llamar la solución "general" de (1). Sin embargo, de cual-
quiera de las ecuaciones (7) obtenemos p = 0, de modo que y = a y y = -a son ambas so-
luciones de la ecuación (1), pero ninguna de estas funciones es un caso especial de (8).

Por lo tanto, vemos que el uso del término solución "general" para las funciones defini-
das implícitamente por (8) no es consistente con el uso dado para el caso de las ecuaciones
diferenciales lineales. Para las ecuaciones lineales, cualquier solución es un caso particu-
lar de la solución general. Tal vez no sea conveniente que designemos como "solución ge-
neral" la familia de soluciones con un parámetro definida por (8). Las soluciones

particulares y = a y y = -a son llamadas singulares. (Debe quedar claro que las ecuacio-

nes lineales no pueden tener soluciones singulares.)
Una solución singular de una ecuación diferencial no lineal de primer orden es cual-

quier solución que:

(a) No sea un caso especial de la solución general.

(b) En cada uno de sus puntos, sea tangente a algún elemento de la familia con un pará-
metro dada por la solución general.

La figura 16.2 muestra varios elementos de la familia de círculos dada por la ecuación
(8) y las dos rectas que representan a y = a y = -a. En cada punto de cualquiera de las rec-

http://gratislibrospdf.com/

16.4 Ecuación con discriminante c 325

y

-r----+----Hr---~--~Hr--_+----~x

Figura 16.2

tas, la línea es tangente a un elemento de la familia de círculos. Una curva en la que cada
uno de sus puntos es tangente a un elemento de una familia de curvas con un parámetro es
llamada curva envolvente de esa familia.

11 6.41 Ecuación con discriminante e

Considere la ecuación diferencial de primer orden:

f(x, y, p) = O; dy (1)
p = dx'

en la que el miembro izquierdo es un polinomio en x, y y p. Tal vez no sea posible factori-
zar el miembro izquierdo en factores que sean polinomios en x, y y p. En ese caso se dice
que la ecuación es irreducible.

La solución general de (1) será una familia con un parámetro,

<l> (x, y, e) = O (2)

Si existe una solución singular para la ecuación (1), debe ser una envolvente de la familia
(2). Cada punto en la envolvente es un punto de tangencia con algún elemento de la fami-
lia (2), y está determinado por el valor de e que identifica a ese elemento. Entonces la en-
volvente tiene ecuaciones paramétricas, x = x(e) y y = y(e), con la e de la ecuación (2)
como parámetro. Las funciones x(e) y y(e) son hasta ahora desconocidas. Pero la x y la y
del punto de contacto deben satisfacer también la ecuación (2), de lo que obtenemos, por
diferenciación con respecto a e, la ecuación:

acp dx + acp dy + acp = o. (3)

ax de ay de ae

La pendiente de la envolvente y la del elemento perteneciente a la familia de curvas de-
ben ser iguales en el punto de contacto. Esa pendiente puede determinarse al diferenciar la
ecuación (2) con respecto a x, considerando a e constante. Así se deduce que:

acp acp dy (4)
-+--=0.
ax ay dx

http://gratislibrospdf.com/

326 Capítulo 16 Ecuaciones no lineales

Las ecuaciones (3) y (4) se cumplen en el punto de contacto y de ellas se deduce que:

aacct> = O. (5)

Ahora tenemos dos ecuaciones, c/J = OYac/J / ac = O, que deben satisfacer x, y y c. Estas dos

expresiones pueden tomarse como las ecuaciones paramétricas deseadas. Contienen cual-

quier envolvente que pueda existir para la familia de curvas original, c/J = O. Afortunada-

mente, no necesitamos poner estas ecuaciones en la forma x = x(c) y y = y(c).

La ecuación que se obtiene al eliminar a c de las ecuaciones c/J = OY ac/J / ac = Ose de-

nomina ecuación con discriminante c l de la familia c/J = o. Una condición necesaria y

suficiente es que la ecuación

c/J(x, y, c) = O, (2)

considerada como una ecuación en c, tenga al menos dos de sus raíces diferentes.
Nada en nuestro trabajo garantiza que la ecuación con discriminante c, o parte de ella,

producirá una solución de la ecuación diferencial. Para obtener la ecuación con discrimi-
nante c necesitamos la solución general; durante el proceso de obtención de ésta encontra-
remos también la solución singular, si es que existe alguna.

116.51 Ecuación con discriminante p

Suponga que en la ecuación diferencial irreducible:

f(x, y,p) = O (1)

el polinomiof es de grado n en p. Habrá entonces n raíces de la ecuación (1) y cada una pro-

ducirá un resultado de la forma:

p = g(x, y). (2)

Si en el punto (xo' Yo) la ecuación (1) tiene, como una ecuación en p, todas sus raíces dis-
tintas, entonces habrá n ecuaciones distintas del tipo de la ecuación (2) cerca de (xo' Yo).
También cerca de (xo' Yo)' los miembros derechos de estas n ecuaciones serán univaluados
y deberán satisfacer las condiciones del teorema de existencia descrito en el capítulo 13.

Pero si en (xo' Yo) la ecuación (1) tiene al menos dos de sus raíces iguales, entonces al me-
nos dos de las n ecuaciones de la forma (2) tendrán miembros derechos que toman el mis-

mo valor en (xo' Yo). Para tales ecuaciones no existe una región, no importa qué tan pequeña
sea, alrededor de (xo' Yo) en la que el miembro derecho sea univaluado. De aquí que el teo-
rema de existencia del capítulo 13 no pueda aplicarse cuando la ecuación (1) tenga dos o

más raíces iguales, como una ecuación en p. Por lo tanto, debemos considerar por separa-

do el lugar geométrico de puntos (x, y) para los cuales (1) tiene al menos dos de sus raíces

iguales.

l La ecuación con discriminante e puede tener un lugar geométrico de cúspides de las curvas de la solución general y
un lugar geométrico de nodos de esas mismas curvas, así como la envolvente que despertó nuestro interés en ella.

http://gratislibrospdf.com/

16.5 Ecuación con discriminante p 327

La condición de que la ecuación (1) tenga al menos dos raíces iguales es que tanto f

como ajI ap sean iguales a cero. Estas dos ecuaciones con tres variables x, y y p son las
ecuaciones paramétricas de una curva en el plano xy con p desempeñando el papel de pa-

° °rámetro. La ecuación que resulta cuando p es eliminada de las ecuaciones paramétricas

f = y ajl ap = es llamada ecuación con discriminante p.

Si existe una envolvente de la solución general def = 0, ésta estará contenida en la ecua-

ción con discriminantep. Aquí no se da ninguna demostración.2 Para nosotros la ecuación con
discriminante p es útil en dos formas. Cuando una solución singular se obtiene en el curso
natural de resolución de una ecuación, la ecuación con discriminante p nos proporciona
una comprobación. Si ninguno de nuestros métodos nos lleva a una solución general,
entonces la ecuación con discriminante p ofrece funciones que pueden ser soluciones par-
ticulares (incluso singulares) de la ecuación diferencial. En consecuencia, la ecuación con
discriminante p debe ser comprobada para buscar posibles soluciones de la ecuación dife-
rencial. Por supuesto, tales soluciones particulares no contribuyeii al proceso de encontrar
la solución general.

La ecuación con discriminante p puede contener soluciones singulares, soluciones que
no son singulares y funciones que no son soluciones.

• Ejercicjos

1. Para la ecuación cuadrática:

f=A p2 + Bp + C= 0,

°con A, B YC como funciones de x y y, demuestre que la ecuación con discriminante

p obtenida al eliminar p def = y de ajI ap = 0, es la conocida ecuación

B2 - 4AC = O.

2. Para la cúbica p3 + Ap + B = 0, demuestre que la ecuación con discriminante p es
4A3 + 27B2 = O.

3. Para la cúbica p3 + Ap2 + B = 0, demuestre que la ecuación con discriminante p es

B(4A3 + 27B) = O.

°4. Establezca las condiciones para que la ecuaciónx3p2 + x2yp + 4 = tenga raíces igua-

les como una ecuación cuadrática en p. Compárela con la solución singular xy2 = 16.

°5. Demuestre que la condición de que la ecuación xyp2 + (x + y)p + 1 = del ejemplo

dado en la sección 16.2 tenga raíces iguales enp es (x - y)2 = 0, también demuestre
que la última ecuación no produce una solución de la ecuación diferencial. ¿Habría

°una solución singular?

6. Para la ecuación y2p2 - a2y2 = de la sección 16.3, encuentre la condición para la
existencia de raíces iguales en p y compárela con la solución singular.

2 Para mayores detalles acerca de soluciones singulares y discriminantes, véase E. L. Ince, Ordinary Differential Equa-
tions (Londres, Longmans, Green & Co., 1927), pp. 82-92.

http://gratislibrospdf.com/

328 Capítulo 16 Ecuaciones no lineales

7. Para la ecuación diferencial del ejercicio 6, demuestre que la función definida
por:

y = [a 2 - (x + 2a)2]1/2 para -3a < x :s -2a,
para - 2a :s x :s 2a,
y= a para 2a :s x :s 3a,

y = [a 2 - (x - 2a)2]1/2

es una solución. Bosqueje la gráfica y demuestre cómo se obtuvo uniendo partes
de las soluciones general y singular dadas en las ecuaciones (5), (6) Y(7) de la sec-
ción 16.3.

En los ejercicios del 8 al 16 obtenga, (a) la ecuación con discriminante p y (b) aquellas soluciones de la
ecuación diferencial que estén contenidas en dicha ecuación.

8. xp2 - 2yp +4x = O. 12. p2 +4x5 p - 12x4y = O.

9. 3x4p2 - xp - y = O. 13. 4l p2 - 4xp + y = O.

10. p2 - xp - y = O. 14. p3 + xp2 - y = O.

11. p2 - xp + y = O. 15. y4 p3 - 6xp + 2y = O.

16. 4y3p2 + 4xp + y = O. Véase también el ejercicio 13.

17. Para la ecuación diferencial del ejercicio 4 se encontrará que la solución general es

exy + 4x + e2 = O. Encuentre la condición para que esta ecuación cuadrática

en e tenga raíces iguales. Compare esa condición con la solución singular.

116.61 Eliminación de la variable dependiente

Suponga que la ecuación:

f(x, y, p) = O; dy (1)
p = dx'

es de una forma tal que podemos despejar fácilmente la variable dependiente y y
escribir:

y = g(x,p). (2)

Podemos diferenciar la ecuación (2) con respecto a x y, como dy / dx = p, así obtene-
mos una ecuación:

(x,h p, ~~) = O (3)

sólo con x y p. Si podemos resolver la ecuación (3), tendremos dos ecuaciones que rela-
cionan a x, y y p, esto es, la ecuación (2) y la solución de (3). Éstas juntas forman ecuacio-
nes paramétricas de la solución de (1) con p considerada ahora como un parámetro. 0, si

http://gratislibrospdf.com/

16.6 Eliminación de la variable dependiente 329

puede eliminarse p de entre (2) y la solución de (3), entonces se obtendrá una solución en
forma no paramétrica.

EJEMPLO 16.2 parax > O. (4)
Resuelva la ecuación diferencial:

Xp2 - 3yp + 9x2 = O

Escribimos de nuevo la ecuación (4) como (5)
9X 2

3y = xp + - .

p

Entonces, al diferenciar ambos miembros de (5) con respecto a x, usando el hecho de que
dy / dx = p, obtenemos:

3p=p+18-x + ( x -9-x 2) -dp ,
p p2 dx

o (1 _ (1 _2p 9X) = x 9X) dP .
p2 p2 dx
(6)

Con base en (6) se deduce que, o bien:

9x (7)
1 - -p2 =0

o

dp (8)
2p =X-.

dx

Primero consideramos (8), que conduce a:

2dx = dp
xp

de modo que:

(9)

Por lo tanto, las ecuaciones (4) y (9), siendo p un parámetro, constituyen una solución de
(4) la cual es considerada como una ecuación diferencial con p = dy / dx.

En este ejemplo es fácil eliminar p de las ecuaciones (4) y (9), de modo que realizamos
esa eliminación. El resultado es:

x . c2x 4 - 3y . cx 2 + 9x2 = O.

Como x > Otenemos:

http://gratislibrospdf.com/

330 Capítulo 16 Ecuaciones no lineales
o

Ahora hacemos c = 3k para obtener:

(lO)

La ecuación (10), con k como una constante elegida arbitrariamente, es llamada solución
general de la ecuación diferencial (4).

Aún tenemos que tratar con la ecuación (7). Observe que (7) es una relación algebraica
entre x y p, en contraste con la relación diferencial (8), que ya hemos usado. Razonamos que
eliminar p de (7) y (4) puede llevamos a una solución de la ecuación diferencial (4) y
que la solución no incluirá una constante arbitraria. De (7) se ve que p = 3X l/2 o P = - 3x 1/2.
Cualquiera de estas expresiones para p puede sustituirse en (4) y nos llevará a:

(11)

No es difícil demostrar que la ecuación (11) define dos soluciones de la ecuación dife-
rencial. Estas soluciones no son casos especiales de la solución general (10). Son solucio-
nes singulares; la ecuación (11) tiene como gráfica la envolvente de la familia de curvas
dada por la ecuación (10). Las soluciones definidas por (11) también son fáciles de obtener
a partir de la ecuación con discriminante p.

•

116.71 Ecuación de Clairaut (1)

Cualquier ecuación diferencial de la forma:

y = px + f(P),

dondef(p) no contiene ax ni ay de manera explícita, puede resolverse de inmediato por el
método de la sección 16.6. La ecuación (1) se conoce como ecuación de Clairaut.

Diferenciamos ambos miembros de (1) con respecto ax, así obtenemos:

p = p + [x + f'(P)]p',

o

[x +f , dp = O. (2)

(P) ] dx

Entonces, o bien:

dp = 0 (3)

dx

http://gratislibrospdf.com/

J6. 7 Ecuación de Clairaut 331

o

x+ f'(P) =0. (4)

La solución de la ecuación diferencial (3) es, por supuesto, p = e, y aquí e es una cons-
tante cualquiera. Regresando a la ecuación diferencial (1), ahora podemos escribir su
solución general como:

y = ex + f(e), (5)

un resultado que se comprueba fácilmente por sustitución directa en la ecuación diferen-
cial (1). Observe que (5) es la ecuación de una familia de rectas.

Ahora considere la ecuación (4). Como f (P) y f' (P) son funciones conocidas de p , (4) Y
(1) constituyen un conjunto de ecuaciones paramétricas dando x y yen términos del pará-
metro p. En efecto, de la ecuación (4) resulta que:

x= - f'(P), (6)

la cual, combinada con la ecuación ( 1), produce:

y = f(P) - pf'(P). (7)

Sif(P) no es una función lineal de p y tampoco una constante, puede demostrarse que
(6) y (7) son ecuaciones paramétricas de una solución no lineal de la ecuación diferencial
(1) (Véanse los ejercicios 1 y 2, de esta sección.) Como la solución g~neral (5) representa una
recta para cada valor de e, la solución (6) y (7) no puede ser un caso especial de (5); es
una solución singular.

EJEMPLO 16.3
Resuelva la ecuación diferencial:

(8)

Como (8) es una ecuación de Clairaut, de inmediato podemos escribir su solución general:

y = ex + e3.

Luego, empleando (6) y (7), obtenemos las ecuaciones paramétricas : (9)

y = - 2p3,

de las soluciones singulares. El parámetro p puede eliminarse de las ecuaciones (9), obte-
niéndose la forma:

(10)

para las soluciones singulares. Véase la figura 16.3. •

http://gratislibrospdf.com/

332 Capítulo 16 Ecuaciones no lineales

y

----------------~~----- x

Figura 16.3

EJEMPLO 16.4 (11 )
Resuelva la ecuación diferencial:

(x 2 - I)p2-2xyp+ l -1 =0.

Al escribir de nuevo (11) como:

x 2p2 _ 2x yp + l - 1 - p2 = O.

Queda claro que la ecuación es de la forma:

(y _ x p)2 _ 1 - p2 = O (12)

y así podemos dividirla en dos ecuaciones, cada una de la forma de Clairaut. Entonces la
solución general de (11) se obtiene remplazando p, en todas partes donde aparezca, por una
constante c elegida arbitrariamente. Esto es,

(x 2 - 1)c2 - 2x yc + l - 1 = O (13)

es la solución general de (11). La solución (13) está compuesta por dos familias de rectas,

y = c, x + R (14)

http://gratislibrospdf.com/

16.7 Ecuación de Clairaut 333

y

J +y = C2X - 1 c~ (15)

De la ecuación con discriminante p para (11), en seguida obtenemos las soluciones singu-
lares definidas por:

• Ejercicios (16)

•

1. Suponga que a es un parámetro y demuestre que sif '~(a) existe, entonces:

x = - f'(a), y = fea) - af'(a) (A)

es una solución de la ecuación diferencial y = px +f (p). Sugerencia: utilice dx y dy
para obtener p en términos de a y luego demuestre que y - px - f (P) se anula

*idénticamente.

2. Demuestre que sif 1/( a) O, entonces (A) del ejercicio anterior no es un caso especial

de la solución general y = ex +f(c). Sugerencia: demuestre que la pendiente de lagrá-

fica de una solución depende de x, no así la pendiente de la gráfica de la otra solución.

En los ejercicios del 3 al 30 encuentre la solución general y la solución singular, si ésta existe.

3. p2 + x3 P _ 2x2y = O. 17. xp3 - yp2 + 1 = O.
18. y = px + p"; para n#- O, n #- l.
4. p2 +4x5p - 12x4y = O.
19. p2 _ xp - y = O~
+5. 2xp3 - 6yp2 x4 = O.
6. p2 _ xp + y = O. 20. 2p3 + xp - 2y = O.
7. y = px + kp", 2l. 2p2 + xp - 2y = O.
8. x8 p2 + 3xp + 9y = O. 22. p3 + 2xp - y = O.
+9. X4p2 2x3yp - 4 = O. 23. 4xp2 - 3yp + 3 = O.
10. xp2 - 2yp + 4x = O. 24. p3 - xp + 2y = O.

11. 3x4 p2 - xp - y = O. 25. 5p2+6xp-2y=0.

12. xp2 + (x - y)p + 1 - Y = O. 26. 2xp2 + (2x - y)p + 1 - Y = O.
13. p(xp - y + k) + a = O.
27. 5p2+3xp-y=0.
14. x6 p3 - 3xp - 3y = O.
28. p2 + 3xp - y = O.
15. y = x6p3 -xp.
29. y=xp+x3p2.
16. xp" - 2yp3 + 12x3 = O.
30. 8y = 3x2 + p2.

http://gratislibrospdf.com/

334 Capítulo 16 Ecuaciones no lineales

116.81 Ecuaciones sin variable dependiente explícita

Considere una ecuación de segundo orden,

f(x, y', y") = 0, (1)

que no tenga a la variable dependiente y de manera explícita. Ponemos:

y '=p.

Entonces, dp
y la ecuación (1) puede remplazarse por: y"

dx

(2)

una ecuación de orden uno en p. Si podemos encontrar p a partir de la ecuación (2), enton-
ces y puede obtenerse de y I = P mediante una integración.

EJEMPLO 16.5
Resuelva la ecuación:

°x y" - (y' )3 - y, = . (3)

Como y no aparece de manera explícita en la ecuación diferencial (3), escribimos y '= p.
Entonces,

dp

y" = d x'

así, la ecuación (3) se transforma en:

x -dp - 3 P =0.
dx
P-

La separación de variables nos conduce a:

dp dx
p(p2+1) x

o
dp pdp dx

-----=

px

http://gratislibrospdf.com/