ecuaciones-diferenciales-rainville-bedient-bedient

16.9 Ecuaciones sin variable independiente explícita 335

de la que se obtiene:

In Ipl - ~ In (p2 + 1) + In ICII = In Ixl (4)

La ecuación (4) produce: (5)

+CIP(p2 1)-1 /2 = x,

la cual queremos resolver para p. De (5) concluimos que:

Pero p = y', así tenemos: dy = ± xdx . (6)
Las soluciones de (6) son:
Jci - x2

o

(7)

La ecuación (7) es la solución general deseada para la ecuación diferencial (3). Obser-
ve que de haber dividido entre p al inicio de proceso, podríamos haber desechado las solu-
ciones y = k (es decir, p = O), doride k es una constante. Pero (7) puede ponerse en la forma

(8)

°con nuevas constantes arbitrarias c3 y c4. Si c3 = y c4 = - l/k, obtenemos la solución

•y = k.

116.91 Ecuaciones sin variable independiente explícita

Una ecuación de segundo orden,

f(y, y', y") = 0, (1)

donde la variable independiente x no aparece de manera explícita, puede reducirse a una
ecuación de primer orden en y y y l. Escribimos:

y' = p,

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336 Capítulo 16 Ecuaciones no lineales

Entonces,
yl/ = -dp = _dy _dp =pd_p ,
dx dx dy dy

así, la ecuación (1) se convierte en:

(2)

Tratemos de determinar p en términos de ya partir de la ecuación (2) para luego susti-

tuir el resultado en y ,= p.

EJEMPLO 16.6
Resuelva la ecuación:

yyl/ + (y')2 + 1 = O. (3)

Como la variable independiente no aparece en forma explícita en la ecuación (3), escri-

bimos y I = P y obtenemos:

1/ dp
Y = P dy'

como antes. Entonces la ecuación (3) se transforma en:

(4)

donde las variables p y y se separan con facilidad.
De (4) resulta que:

pdp + dy = 0,
p2 + 1 Y

de la cual,

!In (p 2 + 1) + In Iyl = In Icd,

así, (5)

p2 + 1 = eh-2 •

Despejamos p en (5) y encontramos que:

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Por lo tanto, 16.9 Ecuaciones sin variable independiente explícita 337
o
Entonces, dy = ± (c~ _ y2)1 /2

dx y

de lo cual obtenemos el resultado final,

• Ejercicios •

En los ejercicios del 1 al 24 resuelva cada ecuación diferenci 1.

~
3. y2y" + (y')3 = O.
1. y" = x(y')3.

2. yy" + (y'f = O. 4. (y + l)y" = (y')2.

5. 2ay" + (y')3 = O.

6. Resuelva el ejercicio 5 por otro método.

7. y" = 2y(y,)3.

8. yy" + (y,)3 _ (y')2 = O. 12. y" = (y')2.

9. yy" + (y')3 = O. =13. y" eX (y')2.
14. x2y" + (y')2 = O.
10. y" cosx = y'. 15. y" = 1 + (y')2 .

11. x 3y" - x2y' = 3 - x2.

16. Resuelva el ejercicio 15 por otro método.

17. (l + y2)y" + (y')3 + y' = O. 21. (y")2 _ xy" + y' = O.

18. x2y" = y'(3x - 2y'). 22. (y")3 = 12y'(xy" - 2y').

19. xy" = y'(2 - 3xy'). 23. 3yy'y" = (y')3 - 1.

20. y" = 2x + (x 2 _ y')2. 24. 4y(y')2y" = (y')4 + 3.

En los ejercicios del 25 al 43, resuelva la ecuación y encuentre una solución particular que satisfaga las
condiciones dadas a la frontera.

25. x2y" + (y')2 - 2xy' = O; cuando x = 2, y = 5, y' = -4.
26. x2y" + (y'f - 2xy' = O; cuando x = 2, y = 5, y' = 2.

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338 Capítulo 16 Ecuaciones no lineales

27 . xy" = y' +x5 ; cuando x = 1, Y = ~, y' = l.

" + ' +8r,(.. X Y Y X = O·, cuando X = 2, y = - l , y' - - 21:.
29. y" + /32 Y = O. Compruebe su resultado resolviendo la ecuación por medio de dos

métodos.
30. y" = x(y' )2; cuando x = 2, y = ~n, y' = -~ .
31. y" = x(y')2; cuando x = O, Y = 1, y' = ~.
32 . y" = _e - 2y ; cuando x = 3, y = O, y' = 1.
33. y" = - e-2y ; cuando x = 3, y = O, y' = -1.
34. 2y" = sen2y; cuando x = O, Y = n/2, y' = l.
35. 2y" = sen 2y; cuando x = O, Y = - n /2, y' = 1.
36. Demuestre que si puede realizar las integraciones que aparezcan, entonces puede re-

solver cualquier ecuación de la forma y" = f(y).

37. 2y" = (y')3 sen 2x; cuando x = O, Y = 1, y' = 1.

38. y" = [1 + (y ')2 ]312. Resuelva de tres formas, considerando el significado geométrico

de la ecuación y los métodos estudiados en este capítulo /
39. yy" = (y')2[1 - y' sen y - yy'cosy].

40. [yy" + 1 + (y')2f = [1 + (y')2]3.

41. x2y" = y'(2x-y');cuandox = -1 ,y =5,y ' = 1.
42. x4y " = y'(y'+x3);cuandox= l,y=2,y'= 1.

43. (y")2 - 2y"+ (y')2 - 2xy' + x2 = O; cuando x = O, y = } y y' = l.

116.101 La catenaria

Suponga que un cable, de peso distribuido uniformemente w (lb/pie), está suspendido de
dos soportes en los puntos A y B como se indica en la figura 16.4. Como podemos apreciar,
el cable cuelga y tiene su punto más bajo en V. Queremos determinar esta curva, llamada
catenaria, formada por el cable suspendido.

Seleccionamos los ejes de coordenadas como se muestra en la figura 16.5; el eje verti-
cal y pasa por el punto V y el eje horizontal x (se escogerá más adelante) pasa a una distan-

B

A

v

Figura 16.4

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16.10 La catenaria 339

y
TI

J

o~------------------x

Figura 16.5

ciayo por debajo de V. Suponga que s representa la longitud (en pies) del cable medido des-
de V hasta el punto variable P con coordenadas (x, y). ASÍ, la parte del cable de Va P está
sujeta a tres fuerzas, mostradas en la figura 16.5. Esas fuerzas son:

(a) La fuerza gravitacional ws(lb) que actúa hacia abajo a lo largo del centro de gravedad
de la parte que va de Va P.

(b) La tensión TI (lb), actuando tangencialmente en P.

(c) La tensión T2 (lb), actuando en forma horizontal en V (también tangencialP1.ente).

~a tensión TI es una variable, la tensión T2 es una constante.
Ya que se supone un equilibrio, las sumas algebraicas de las componentes verticales y
orizontales de estas fuerzas es cero. Por lo tanto, si q es el ángulo de inclinación, con res-

pe t? a la horizontal, de la tangente a la curva en el punto (x, y), tenemos:

TI sen () - ws = O (1)

y
(2)

Pero tan () es la pendiente de la curva del cable, aSÍ: (3)
dy

tane = --o
dx

Podemos eliminar la tensión variable TI de las ecuaciones (1) y (2) Y obtener:

ws (4)
tane = - - o

T2

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340 Capítulo 16 Ecuaciones no lineales

La constante T2 / w tiene la dimensión de una longitud. Hacemos T2 / w = a (en pies); así,
la ecuación (4) se transforma en:

tan e = s (5)
-.
a

De las ecuaciones (3) y (5) vemos que:

s dy (6)
a dx

Por nuestros antecedentes de cálculo sabemos que como s es la longitud de arco de la cur-
va, entonces:

ds (7)
dx

De (6) obtenemos:

1 ds
adx

de modo que la eliminación de s produce la ecuación diferencial:

a (8)

La ecuación que buscamos para la curva adoptada por el cable suspendido, es la solu-

ción de la ecuación diferencial (8) que también satisface las condiciones iniciales:
-
cuando x = 0, (9)
y=Yo~e-:-

La ecuación (8) cae dentro de los tipos estudiados en este capítulo. Se deja como ejerci-

cio para el estudiante resolverla con las condiciones dadas en (9) para llegar al resultado:

y= x + Yo - a. (lO)
a cosh -
a

Entonces, por supuesto, se hace la elección adecuada Yo = a, de modo que la ecuación de
la curva deseada (catenaria) sea:

x
Y = a cosh- .

a

• Ejercicios diversos

En los ejercicios dyl I al 27 resuelva la ecuación.

2. 6xp2 - (3x +2y)p + Y = O.

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16.10 La catenaria 341

3. 9p2 + 3xy4p + y5 = O. 5. x6p2_2xp-4y=0.
4. 4y3 p2 - 4xp + y = O.
6. 5 p2 + 6xp - 2y = O.

7. Resuelva el ejercicio 6 por otro método.

8. y2p2 _ y(x + l)p +x = O. 10. 4y2p3 - 2xp + y = O.

9. 4x5p2+12x4yp+9=0. 11. p4+xp-3y=0.

12. Resuelva el ejercicio 11 por otro método.

13. x2p3 _ 2xyp2 + y2p + 1 = O. 15. xp2 - (x2 + l)p +x = O.

14. 16xp2 + 8yp + y6 = O. 16. p3 - 2xp - y = O.

17. Resuelva el ejercicio 16 por otro método.

18. 9xy4 p2 _ 3y5 p -:- 1 = O. +22. (p 1)2(y - px) = 1.

19. x2 p2 _ (2xy + l)p + y2 + 1 = O. 23. p3 - p2 + xp - y = O.

+20. x6 p2 = 8(2y xp). 24. xp2 + yO - x)p - y2 = O.

21. x2p2=(x-yf. 25. yp2_(x+y)p+y=0.

26. +xp2 (k - x - y)p + y = O.

27. xp3 - 2yp2 + 4x2 = O. Véase el ejercicio 10.

~
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Soluciones en series
de potencias

11 7. 11 Ecuaciones lineales y series de potencias

La resolución de ecuaciones lineales con coeficientes constantes puede realizarse por los
métodos desarrollados al principio de este libro. La ecuación lineal general de primer orden
da lugar a un factor integrante, como se vio en el capítulo 2. Para abordar las ecuaciones di-
ferenciales lineales ordinarias con coeficientes variables y de orden mayor a uno, probable-
mente el método más general y efectivo sea uno que está basado en el uso de series de
potencias.

Para simplificar el trabajo y el planteamiento de los teoremas, nuestro análisis se restrin-
girá aquí a ecuaciones que tengan coeficientes polinomiales. Las dificultades, los métodos
de solución y los resultados que se obtienen, no cambian en esencia cuando se permite que
los coeficientes sean funciones que tengan desarrollos en series de potencias que sean vá-
lidos alrededor de algún punto. (Tales funciones son llamadas analíticas.)

Considere la ecuación lineal homogénea de segundo orden,

+ +bo(x)y" b l (x)y' b2(x)y = O, (1)

con coeficientes polinomiales. Si bo(x) no se anula en x =O, entonces, en algún intervalo al-
rededor de x =O, lejos del punto más cercano donde bo(x) pueda anularse, es posible divi-

dir todo entre bo(x). Así remplazamos la ecuación (1) por

y" + p(x)y' + q(x)y = O, (2)

en la que los coeficientes p(x), q(x) son funciones racionales d~Xcon denominadores que

no se anulan en x = O.

Ahora demostraremos que es razonable esperarl una solución ,e (2) que resulte ser una

serie de potencias en x y tenga dos constantes cualesquiera. .uponga que y = y(x) es

una solución de la ecuación (2). De manera arbitraria, asign~o valores de y y y I en x = O;

y(O) = A, y' (O) = B.

La ecuación (2) nos da:

y"(x) = - p(x)y'(x) - q(x)y(x), (3)

342 I Esta no es una demostración. Para ello véase, por ejemplo, E. D. Rainville, Intermediate Differential Equations,
segunda edición. Macmillan Publishing Company, Nueva York, 1964, pp. 67-71 .

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17.2 Convergencia de series de potencias 343

así y"(O) puede ser calculada directamente, ya que p(x) y q(x) se comportan bien en x = O.
De la ecuación (3) obtenemos:

yll/(x) = - p(x)y"(x) - p'(x)y'(x) - q(x)y'(x) - q'(x)y(x), (4)

de modo que y'" (O) puede calcularse una vez que se conoce y"(O).
El proceso anterior puede continuarse tantas veces como queramos; por lo tanto, po-

demos determinar de manera sucesiva y(n)(o) para todos los valores enteros de n que
deseemos. Ahora, por la fórmula de Maclaurin de cálculo,

+ ¿y(x) = y(O) 00 n (5)

y<n)(o);;

n=! n.

esto es, el miembro derecho de (5) convergirá al valor de y(x) en algún intervalo alrededor de

x = O, si y(x) es lo suficientemente bien comportada en, y cerca de, x = O. Así podemos de-

terminar la función y(x) y llegar a una solución en la forma de series de potencias.

Para obtener realmente las soluciones de ecuacionésespecíficas estudiaremos otro mé-

todo, que se ilustrará en los ejemplos, muy superior a la "fuerza bruta" usada anteriormen-

te. Lo que hemos ganado con este análisis es el conocimiento de que es razonable buscar

una solución en serie de potencias; ahora sólo nos falta desarrollar un buen método para

establecer la solución y teoremas que respalden la validez de nuestras conclusiones.

117. '21 Convergencia de series de potencias

De cálculo sabemos que la serie de potencias:

converge sólo en x = O, para toda x finita, o bien en un intervalo - R < x < R, Yque diver-

ge fuera de ese intervalo. A menos que la serie converja sólo en un punto, ella representa,
donde converge, una funciónf(x), en el sentido de que tiene en cada valor x la sumaf(x).

Si,

00 - R < x < R,

f(x) = ¿anXn,

n=O

entonces también:

f'(x) = ¿00 nanxn- 1, -R < x < R,

n=O

y Jo ¿[X
f(y) dy =
+~00 a xn+ l - R < x < R.
1'
o n=O

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344 Capítulo 17 Soluciones en series de potencias

Esto es, la serie es diferenciable e integrable término a término, en el sentido de que la se-

rie de las derivadas de cada uno de los términos converge a la derivada de la suma de la

serie original , y de manera semejante para la integración. Es importante que el intervalo de

convergencia no cambie. Aquí no estamos interesados en analizar el comportamiento que se

da en los extremos de ese intervalo.

Veamos con mayor detenimiento la razón por la que la serie tiene un intervalo particu-

lar de convergencia. Un ejemplo elemental de cálculo es:

1 (Xl - 1 < x< 1. (1)

L1 - x = xn ,
n=O

Es razonable sospechar que el mal comportamiento de la función 1/(1 - x) en x = 1 es el

hecho que está detrás de que el intervalo de convergencia termine en x = 1. Pero el hecho de

que deba extenderse hasta ese punto no es tan evidente. En este ejemplo, x = - 1 no es de im-

portancia; el intervalo termina en ese extremo porque existe una simetría alrededor dex = O.

Ahora remplacemos x en (1) por ( - X2 ) para obtener:

1 (Xl 211

1 +x2 = L(- 1)"x , - 1 < x < l. (2)

11 = 0

Como antes, el intervalo de convergencia es - 1 < x < 1, pero la funciónf(x) = 1/(1 + X2)

es bien comportada para toda x real. El por qué de cortar el intervalo de convergencia en

x = 1 no queda claro. Necesitamos considerar a x como una variable compleja para enten-

der lo que está ocurriendo.

Utilizamos el diagrama ordinario de Argand para números complejos. Sea x = a + ib,
siendo a y b números reales, con i = H , y asociamos con el punto (a, b) en el plano el

número a + ib . Luego marcamos en un diagrama los puntos (valores de x) para los que la

función 1I( 1 + X2) no exista. Los puntos donde el denominador (1 + X 2) se anula son x = i,

x = -i. En libros sobre funciones de una variable compleja se demuestra que la serie (2)

converge para todos los valores de x que están dentro del círculo mostrado en la figura

17.1. El intervalo de convergencia dado en (2) sólo es una sección transversal de la región

de convergencia en el plano complejo.

Una serie de potencias en una variable compleja x siempre tiene como región de conver-

gencia el interior de un círculo, si estamos dispuestos a admitir los casos extremos en los

que el círculo deriva en un solo punto o cuando es todo el plano complejo.

Los puntos en los que el denominador de una función racional se anula son los ejemplos

más elementales de singularidades en una función analítica. El círculo de convergencia de

una serie de potencias no puede contener en su interior una singularidad de la función re-

presentada porla serie. Un círculo de convergencia tiene su centro en el origen y pasa por

la singularidad más cercana a éste.

La función:

x-2

(x - 3)(x - 4)(x2 + 25)

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17.3 Puntos ordinarios y singulares 345

b

o-1r-------~------~-- a

-i

Figura 17.1

b
5i

-5i

Figura 17.2

tiene un denominador que se anula en x = 3,4, Si , - Si. En consecuencia, esta función tie-

ne un desarrollo en serie de potencias que es válido dentro de un círculo (Véase la figura
17.2) con centro en x = O, Yque se extiende hasta el más cercano de los puntos (x = 3) don-
de la función tiene un mal comportamiento. Para una x real, el intervalo de convergencia es
- 3<x<3.

117.31 Puntos ordinarios y singulares

Para una ecuación diferencial lineal:

+ + ... +bo(x)yn b1(x)y (n- l) bn(x)y = R(x) (1)

con coeficientes polinomiales, el punto x = XO es llamado punto ordinario de la ecuación

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346 Capítulo 17 Soluciones en series de potencias

si bo(xo) -:F- O. Un punto singular de la ecuación lineal (1) es cualquier punto x = Xl para el
que bO(x l ) = O. En este capítulo obtendremos soluciones en series de potencias que son vá-
lidas cerca de un punto ordinario de una ecuación lineal. En el capítulo siguiente obtendre-

mos soluciones en series de potencias que son válidas cerca de cierta clase de puntos
singulares de la ecuación. El conocimiento de los puntos singulares de una ecuación dife-
rencial nos será útil más adelante. Cualquier punto que no sea singular es un punto ordina-
rio, así que sólo enlistaremos los puntos singulares.

Hemos pospuesto el estudio del concepto de "punto al infinito" en el plano complejo, el
cual, a pesar de su gran utilidad, no es necesario para este análisis elemental. Sin embargo,
como consecuencia de esta omisión deberemos añadir las palabras "en el plano finito" a cual-
quier enunciado relativo a todos los puntos singulares de una ecuación diferencial. El con-
cepto de un punto al infinito será introducido en la sección 18.10.

La ecuación diferencial

(1 - x2)y" - 6xy' - 4y = O (2)

tiene ax = 1 Yx = - 1 como sus puntos singulares en el plano complejo finito. La ecuación:

y" + 2xy' + y = O

no tiene puntos singulares en el plano finito. La ecuación:

xy" + yl + xy = O

tiene al origen, x = O, como el único punto singular en el plano finito .

• Ejercicios

Para cada ecuación liste todos los puntos singulares en el plano finito.

1. (x 2 +4)y"-6xy' + 3y=0. 8. (x2-4x + 3)y" + x2y'-4y = 0.

2. x(3 - x)y" - (3 -X)yl +4xy = O. 9. x 2(1 - x)3 y" + (1 + 2x)y = O.

3. 4y" + 3xy' + 2y = O. 10. 6xy" + (1 - X2)yl + 2y = O.

4. x(x -I )2 y" +3xy'+ (x -1 )y = 0 . 11. 4xy"+y = 0.

5. x2y" + xy' + (1 - x 2)y = O. 12. 4y" + Y = O.

6. x 4 y" + y = O. 13. x 2(x 2 - 9)y" + 3xy' - y = O.

7. (\ + x 2)y" - 2xy' + 6y = O. 14. x2(1 + 4x 2)y" - 4xy' + y = O.

15. (2x + l)(x - 3)y" - yl + (2x + l) y = O.

16. x 3(x 2 - 4)2y" + 2(x 2 - 4)y' - xy = O.

17. x(x 2 + 1)2y" - Y = O. 19. (4x + l)y" + 3xy' + y = O.

18. (x 2 + 6x + 8)y" + 3y = O. 20. (x 2 - l)y" +xyl - y = O.

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17.5 Soluciones cerca de un punto ordinario 347

117.41 Validez de las soluciones cerca de un punto ordinario (1)

Suponga que x = Oes un punto ordinario de la ecuación lineal:

bo(x)y" + bl (x)y' + b2(x)y = O.

En textos más avanzados se demuestre que existe una solución:

00 (2)

y = '~""a' n.x n
n=O

que contiene dos constantes cualesquiera, ao y al' converge dentro del círculo con centro
en x = OYse extiende hasta el punto o puntos singulares más cercanos a x = O. Si la ecua-

ción diferencial no tiene puntos singulares en el plano finito, entonces la solución (2) es vá-

lida para toda x finita. Por supuesto, falta determinar an para n 2:: 2. Esta es una parte
fundamental del trabajo de resolución de una ecuación particular.

Es importante darse cuenta de que el teorema enunciado establece que la serie implica-

da converge dentro de cierto círculo. No establece que la serie diverge fuera de ese círcu-

lo. En un ejemplo particular puede suceder que el círculo de convergencia se extienda más

allá del mínimo dado por el teorema. En cualquier caso, el círculo de convergencia pasa

por un punto singular de la ecuación, que puede no ser el punto singular más cercano.

117.51Soluciones cerca de un punto ordinario

En la resolución de ecuaciones numéricas, la técnica empleada en los ejemplos siguientes
nos será útil.

EJEMPLO 17.1
Resuelva la ecuación:

y" + 4y = O (1)

cerca del punto ordinario x = O.

La ecuación que estamos considerando no tiene puntos singulares en el plano finito. De
aquí que podríamos esperar encontrar una solución:

(2)

que sea válida para todax ·y con aoy al elegidas arbitrariamente. Al sustituir la serie en (1)
nos da:

L L00 00 (3)

+n(n - 1)al1 x n- 2 4 anxn = O.

n=O n=O

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348 Capítulo 17 Soluciones en series de potencias

Ahora cambiamos el índice de los términos en la segunda suma de (3), de modo que la
serie incluya a x"-2 en su término general. Así, (3) se transforma en:

00 00 (4)

+L n(n - l)an x n - 2 4 L an _ 2Xn - 2 = O.

n=O 11.= 2

En seguida podemos sumar las dos series para obtener:

00 (5)

+L[n(n - l)an 4an _ 2]X n - 2 = O,

1l=2

ya que los primeros dos términos de la primera suma en (4) son cero.
Luego usamos el hecho de que para que una serie de potencias sea idénticamente nula

en cualquier intervalo, cada coeficiente en la serie debe ser cero. Por lo tanto, para que (5)
sea válida en algún intervalo se debe cumplir que:

n(n - +l)an 4an - 2 = O para n ::: 2.

Esta relación puede escribirse (ya que n ;::: 2) como:

an = -4an- 2 . (6)
n(n - 1)

La relación (6) puede usarse para obtener an para n ;::: 2 en términos de ao y al' que pue-
den elegirse de manera arbitraria. Tenemos:

- 4aO - 4a l

a2 = -- a3 = --

2·1 3·2
- 4a2 - 4a3

a4 = - - a5=--

4 ·3 5·4

a - 2-k- (-42ak-2k- - -21) - 4a2k - 1

2k - +a2k+1 = - - -- -

(2k 1)(2k)

Al escribir estos casos particulares de la ecuación (6), nos hemos esforzado por tener las
a con subíndice par o impar en columnas separadas. Si ahora multiplicamos los miembros
correspondientes de las ecuaciones de la primera columna, obtenemos:

que se simplifica a:

para k ::: 1. (7)

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17.5 Soluciones cerca de un punto ordinario 349

Un argumento similar aplicado a la columna derecha en el último arreglo nos da: (8)
(_1)k4k

a2k+ l = (2k + 1)! a l para k 2:: 1.

Ahora sustituimos las expresiones para las a en la serie supuesta para y,

00 (2)

y = ¿anXn.

n=O

Ya que tenemos diferentes formas para a2k y a2k+l ' primero escribimos de nuevo (2) en la
forma:

00 00

Y = ao + 'L."..,¡ a2k X2k + alx + 'L."..,¡ a2k+lx 2k+l ,

k=1 k=1

y luego usamos (7) y (8) para obtener:

00 (_1) k4kx 2k] [ 00 (_l)k 4kx 2k+l]
+ al x + '" (2k + 1)! .
-6 -6Y = ao 1 + '" (9)
[
(2k)! (10)

Es posible escribir nuevamente la ecuación (9) en la forma:

[1-a ~(-1 l (2X)2k ] 1 [ 00 (_l) k(2X)2k+ 1]
-6y - o + (2k)! + 'lal 2x + {; (2k+ 1)! '

Las dos series en (10) son las series de Maclaurin para las funciones cos 2x y sen 2x, de mo-
do que finalmente podemos escribir:

y = aocos2x + ~al sen2x.

Así hemos demostrado que la solución de la ecuación (1) es una combinación lineal de

cos 2x y sen 2x, un resultado que pudo haberse obtenido inmediatamente por los métodos

del capítulo 7. •

EJEMPLO 17.2
Resuelva la ecuación:

(1 - X2)y" - 6x y' - 4 y = O (11)

alrededor del punto ordinario x = O.

Los únicos puntos singulares que tiene esta ecuación en el plano finito son x = 1 Y

x = -1. Por lo tanto, sabemos de antemano que existe una solución:

¿00 (12)

y = anxn

n=O

que es válida en Ixl < 1 con ao y al elegidas arbitrariamente.

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350 Capítulo 17 Soluciones en series de potencias

Para determinar las an, n > 1, sustituimos lay de la ecuación (12) en el miembro izquier-

do de (11). Obtenemos así:

00 00 00 00

L n(n - 1)anx n- 2 - L n(n - l)anx n - L 6nanx n - L 4anx n = O,
n=O n=O n=O n=O

o

00 00 (13)

L n(n - l)anx n- 2 - L(n2 + 5n + 4)anx n = O,

n=O n=O

en la que hemos combinado las series que tienen las mismas potencias de x.
Ahora factorizamos el coeficiente en la segunda serie en la ecuación (13), escribiendo:

00 00 (14)

L n(n - l)anx n- 2 - L(n + 1)(n + 4)an x n = O.

n=O n=O

Las relaciones para la determinación de las an se obtendrían usando el hecho de que, pa-
ra que una serie de potencias se anule en cualquier intervalo, cada coeficiente en la serie de-

be ser cero. Por lo tanto, ahora queremos escribir las dos series en la ecuación (14) de forma

tal que los exponentes de x sean los mismos para que podamos identificar fácilmente los
coeficientes de cada potencia de x.

Recorremos el índice en la segunda serie remplazando n, dondequiera que aparezca,
por (n - 2). Entonces la suma que iniciaba con n = O(con la n anterior) ahora iniciará con

n - 2 = O, o con n = 2 (con la n nueva). Así obtenemos:

00 00 (15)

Ln(n - 1)anx n- 2 - L(n - 1)(n + 2)an_2Xn-2 = O.

11=0 n=2

En la ecuación (15) el coeficiente de cada potencia diferente de x debe ser cero. Para
n = OYn = 1, la segunda serie aún no inicia, así que sólo tenemos contribuciones de la pri-
mera serie. En detalle,

n = 0: O· ao = O,
O· al = O,
n = 1:
n(n - l)an - (n - 1)(n + 2)an- 2 = O.
n-;::2:

Como esperábamos, aoy a l son constantes cualesquiera. La relación para n ;::: 2 puede
ser usada para determinar las otras a en términos de aoy a l ' Ya que:

n(n - 1):;t: O

para n ;::: 2, podemos escribir: an = n+2 (16)
n-;::2: - - a
n n - 2·

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17.5 Soluciones cerca de un punto ordinario 351

La ecuación (16) es llamada relación de recurrencia y nos da an en términos de las
constantes a precedentes. En este caso particular, cada a se determina por la a con subíndi-

ce dos menos que su propio subíndice y en consecuencia, eventualmente, por aoo por al '
de acuerdo con la constante original si tiene un subíndice par o impar.

Una relación de recurrencia es una clase especial de ecuación en diferencias . En las
ecuaciones en diferencias, los argumentos de la función desconocida (los subíndices de

nuestras relaciones) no necesitan diferir por algún entero. Existen textos y cursos sobre
ecuaciones en diferencias y cálculo de diferencias finitas comparables a los libros y cursos

sobre ecuaciones diferenciales y cálculo.
Es conveniente acomodar los casos de la relación (16) en dos columnas verticales [en dos

columnas ya que los subíndices en (16) difieren en dos] , así usamos sucesivamente n = 2,

4,6,... , y n = 3, 5,7,... , para obtener:

a2 = 4 5
2ao a3 = 3'a¡

6 7
a4 = ¡a2 as = Sa3

8 9
a6 = (ja4 a7 = ;:¡as

Luego calculamos el producto de miembros correspondientes a partir de las ecuaciones
en la primera columna. El resultado,

k ~ 1:

se simplifica de inmediato a: a2k = (k + l)ao ,
k ~ 1:

lo que nos da cada a con subíndice par en términos de ao'
De manera similar, de la columna a la derecha en el arreglo anterior obtenemos:

k ~ 1: 5 . 7 . 9 . .. (2k + 3)

a2k+1 ---- 3.5.7 .. . (2k + l) a 1,

o

k ~ 1: 2k+3
a2k+ l = - -3- a ¡,

lo que nos da cada a con subíndice impar en términos de al'

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352 Capítulo 17 Soluciones en series de potencias

Ahora necesitamos sustituir las expresiones que hemos obtenido para las constantes a
en la serie supuesta para y,

00 (12)

y -_ '~"a' nx n .

n=O

La naturaleza de nuestras expresiones para las a, que depende de si el subíndice es par o
impar, sugiere que primero debemos separar la serie dada en (12) en dos series, una con
todos los términos con subíndice par y la otra con todos los términos con subíndice impar.
Escribimos:

y luego usamos nuestros resultados para a2k y a2k+ 1 para obtener la solución general en la

forma:

t;Ck t;+ + + + +Y = ao 1 00
[ l)x 2k ] al [ x 00 _2k-3- 3 x2k+1] . (17)

Como sabemos de la teoría, estas series convergen al menos para Ixl < 1. Que converjan

exclusivamente ahí puede verificarse aplicando pruebas elementales de convergencia.
En este ejemplo sucede que la solución (1 7) puede escribirse con mayor sencillez como:

+ + +l)x2k 3 x2k+l
LCk L00 00 2k
_ -3-
Y = ao al . (18)

k=O k=O

De hecho, las series pueden expresarse en términos de funciones elementales,

ao a l (3x - x 3)

+y = (1 - x2)2 3(1 - x2)2 .

Tales simplificaciones pueden ser importantes cuando es posible realizarlas en un proble-

ma en particular, pero nuestro objetivo aquí era obtener la ecuación (1 7) y saber dónde es

una solución válida. Los pasos adicionales que se hacen después de que se alcanza el obje-

tivo son, con frecuencia, irrelevantes en comparación con el deseo esencial de encontrar

una solución que sea calculable a partir de la ecuación diferencial.

La cantidad de trabajo en la resolución de esta ecuación particular se debe, en gran me-

dida, a que se detallaron los pasos, muchos de los cuales se podrán hacer mentalmente con-

forme se adquiera experiencia. •

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17.5 Soluciones cerca de un punto ordinario 353

EJEMPLO 17.3
Resuelva la ecuación:

yl! + (x - 1)2y' - 4(x - l)y = O (19)

alrededor del punto ordinario x = l.
Resolver una ecuación "alrededor del punto x = xo" significa obtener soluciones que

sean válidas en una región que rodee a dicho punto, soluciones que son expresadas en po-

tencias de (x - xo)' Primero trasladamos los ejes, escribiendo x - 1 = v. Entonces la ecua-

ción (19) se transforma en:

(20)

En una traslación pura x - Xo = v, siempre tenemos dy / dx = dy / dv, y así sucesivamente.
Como es usual, escribimos:

(21)

y de (20) obtenemos:

00 00 00 (22)
(23)
Ln(n - l)anvn- 2 + Lnanvn+l - L 4anvn+1 = O.

n=O n=O n=O

Al agrupar los términos semejantes en (22) se obtiene:

00 00

+Ln(n - 1)all vn - 2 L(n - 4)an vn+1 = O,

n=O n=O

en la que un corrimiento de índices de n a (n - 3) en la segunda serie nos da:

00 00

Ln(n - 1)anvn - 2 + L(n - 7)an _3 Vn - 2 = O.

n=O n=3

Por lo tanto, aoy al son constantes cualesquiera, y para las restantes tenemos:

n = 2: 2a2 = O,
n 2: 3:
n(n - l)an + (n - 7)an-3 = O,

n -7
an = - 1) an -3·
n(n -

Esta vez las a se dividen en tres grupos, los que provienen de ao' de al' y de a2. Utiliza-
mos tres columnas:

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354 Capítulo 17 Soluciones en series de potencias

aoarbitrario al cualesquiera

-4 a4 = - -3 -2

a3 = - - - ao - - al as = - - -a2 = O
3·2 4·3 5·4
-1
O as = - - 1 as = O
a6 = - -- a3 a7 = - - -a4 = O -
6·5 8·7
2 7 ·6

a9 = - -- a6 3 al l = 0
9·8 aJO = - - -a7 = O

10·9

3k -7 a3k+2 = O, k :::: 1.

a3k = - 3k(3k _ 1) a3k -3 a3k+1 = O, k:::: 2

Con el esquema usual de multiplicación, la primera columna produce:
(_ l)k[(-4)(-1) · 2· .. (3k - 7)]ao

k::::l: a3k = [3·6 · 9·· . (3k)][2 . 5·8· .. (3k - 1)] .

Para las a que están determinadas por al, vemos que a4 = tal pero cada una de las de-

más es cero. Ya que a2 = O, todas las a que son proporcionales a ella, as' as' etc., también

son cero.

Para y tenemos ahora:

~ ( _ l)k[( - 4)( - l) . 2 ... (3k-7)]V 3k ] 14

Y= ao [ 1+ L..., [3 .6 . 9 . .. (3k)][2 . 5 . 8 ... (3k - 1)] + al (v + ¡v).

k= 1

Ya que v = x -1, la solución aparece como:

~ (- l)k[(- 4)(- I) ·2 · ·· (3k - 7)](x - 1)3k]
y = ao 1+L...,
[ [3 . 6 . 9 . .. (3k)] [2 . 5 . 8 . . . (3k - 1)]
k= 1

+ al [(x - 1) + ~(x - 1)4]. (24)

La ecuación diferencial original no tiene puntos singulares en el plano finito, de modo que
la serie en (24) es convergente para toda x finita. Por supuesto, en los cálculos es más útil
cerca del punto x = 1.

El coeficiente de (x - 1)3k es bastante complicado como para intentar simplificarlo. En
el producto 3·6·9···(3k) hay k factores, donde cada uno es un múltiplo de 3. Por lo tanto, lle-
gamos a:

Además, todos los factores dentro de los corchetes en el numerador, excepto los primeros
dos, también aparecen en el denominador. Con un pequeño argumento más, probando los

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17.5 Soluciones cerca de un punto ordinario 355

términos k = O, 1,2 ya que los factores que se cancelan no aparecen hasta que k> 2, pue-
de demostrarse que:

~00 4( _ 1)k(X _ 1)3k 1) + i(x -
3k(3k _ 1)(3k _ 4)k!
Qo
+Y= Q¡[(x - 1)4]. (25)

k-O . •

En los ejercicios siguientes las ecuaciones son en su mayoría homogéneas y de segun-
do orden. Aumentar el orden de la ecuación no agrega nada nuevo, sólo trabajo adicional,
como se verá en el ejercicio 16. Una ecuación no homogénea cuyo miembro derecho tiene
un desarrollo distribución en serie de potencias, teóricamente no es más difícil de manejar
que una ecuación homogénea; sólo hay que igualar los coeficientes de las dos series de po-
tencias. El tratamiento de ecuaciones que conducen a relaciones de recurrencia, donde se
incluyen más de dos constantes Q diferentes, se estudiará en el capítulo 18.

• Ejercicios

A menos que se diga otra cosa, encuentre la solución general que es válida cerca del origen. Establezca
siempre la región de validez de la solución.

1. Resuelva la ecuación y" + y = O tanto por series como por métodos elementales y

compare sus resultados.

2. Resuelva la ecuación y" - 9y = Opor series y por métodos elementales.

3. y" + 3xy' + 3Y = O. 14. (1 - 4x2)y" + 6xy' - 4y = O.

4. (1 + 4x2)y" - 8y = O. 15. (1 + 2x 2)y" + 3xy' - 3y = O.

5. (1 - 4x 2 )y" + 8y = O. 16. ylll + x2y" + 5xy' + 3y = O.

6. (1 + x 2 )y" - 4xy' + 6y = O. 17. y" + xy'+3y = x 2 .

7. (1 + x 2 )y" + 10xy' + 20y = O. 18. y" + 2xy' + 2y = O.

8. (x 2 + 4)y" + 2xy' - 12y = O. 19. y" + 3xy' + 7y = O.

9. (x 2 - 9»)1" + 3xy' - 3y = O. 20. 2y" + 9xy' - 36y = O.

10. y" + 2xy' + 5y = O. 21. (x 2 + 4)y" + xy' - 9y = O.

11. (x 2 + 4)y" + 6xy' + 4y = O. 22. (x 2 + 4)y" + 3xy' - 8y = O.

12. (1 + 2x2)y" - 5xy' + 3y = O. 23. (1 + 9x 2)y" - 18y = O.

13. y" +x2y = O. 24. (1 + 3x2 )y" + 13xy' + 7y = O.

25. (1 + 2x2)y" + llxy' + 9y = O.

26. y" - 2(x + 3)y' - 3y = O. Resuelva alrededor de x = - 3.

27. y"+(x - 2)y = O. Resuelvaalrededordex = 2.

28. (x2 - 2x + 2)y" - 4(x - l)y' + 6y = O. Resuelva alrededor de x = 1.

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356 Capítulo 17 Soluciones en series de potencias

117.61 Suplemento para computadora

Dada la cantidad de operaciones algebraicas usadas en las técnicas de series, no es sorpren-

dente que los Sistemas de Álgebra Computacional resulten ser muy útiles en la resolución

de ecuaciones diferenciales que requieren estas técnicas. Hay dos enfoques diferentes que

pueden emplearse, dependiendo de en qué forma necesitemos la solución. Ilustraremos

ambos métodos para la ecuación diferencial dada en el ejemplo 17.2 de la sección 17.5;

(1 - X2)y" - 6xy' - 4y = O, (1)

cerca del punto ordinario x = O. Para simplificar un poco los cálculos, agregaremos las

condiciones iniciales y(O) = 2 Yy' (O) = 1.

El comando Maple usado para introducir este problema de valor inicial es:

>Eqnl: = { (1-x"2) *D (D (y) ) (x) -6*x*D (y) (x)
-4*y(x)=O,D(y) (O)=1,y(O)=2};

Si empleamos el comando dsolve encontramos que Maple produce un resultado muy
complicado:

>dsolve(Eqnl,y(x)) ;

Y(x) = -(:--1-:+:-x-)-3:/2-:(ix"7+2J:1-)~3;/2¡;-;J--r1==+:=x=2~

x3

3 (-1 + x)3/2 (x + 1)3/2 -J-l + x2

x

+ -(=----=-1-+-x---:-)-:3¡-/n2---:-(x-+-l-:-:)-:¡-3/n2-..¡r_=1=+=X=:<'2

Una pequeña modificación al comando dsolve producirá tantos términos de la serie co-
mo elijamos; en este caso son cinco.

>Order:=5:
>Soll:=dsolve(Eqnl,y(x) ,series);

y(x) = (2+x +4x2 + 5 +6x4 + O (x5)) (2)
3x3

Estos son los primeros cinco términos de la solución en serie de potencias y un término de
error del orden de x5•

Aunque esta es una técnica sencilla, en algunas aplicaciones lo que realmente queremos
encontrar es la relación de recurrencia para los coeficientes. Maple puede encontrar esto
también, aunque es preciso aplicar un poco más de trabajo. Primero cambiamos el forma-
to 'de entrada para la ecuación:
>Eqn2:=(1-x"2)*diff(y(x),x,x)-6*x*diff(y(x) ,x)-4*y(x)=O;

Después, creamos los términos representativos ak-2x k.2 + ... + ak+2xk+2 en una solución

en serie de potencias:

>SeriesSol:=sum(a[n)*x"n,n=k-2 .. k+2);

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17.6 Suplemento para computadora 357

Luego sustituimos esta solución en la ecuación diferencial y resolvemos la ecuación resul-
tante para ak, simplificando conforme avanzamos.

>simplify(simplify(subs(y(x)=SeriesSol,Eqn2))) ;
simplify (solve (coeff (lhs (") ,x" (k-2) ) ,a [k] ) ) ;

+(k 2) ak-2

k
El resultado coincide con la ecuación (16) de la sección 17.5. Para comprobar que esta re-
lación de recurrencia coincide con nuestro resultado final, especificamos valores de aoy al
con base en las condiciones iniciales para encontrar los coeficientes a2···a5 a partir de la re-
lación de recurrencia, y procedemos a formar el polinomio con esos coeficientes.

>a[O] :=2:
>a[l] :=1:
>for k from 2 to 5 do
a[k]:= (k+2) *a[k-2] /k
od:
>So12:=sum(a[j]*x"j,j=O .. 5);

2+x +4x2 + 35 x 3 +6x4 + 7x5
-3-

lo cual concuerda con los primeros cinco términos de la solución que se encontró en la
ecuación (2) de dicha sección.

• Ejercicios

1. Utilice una computadora para resolver una selección de problemas del capítulo.

2. Para la ecuación dada en el ejemplo 17.1 de la sección 17.5, agregue las condiciones

iniciales y(O) = 1, y'(O) = 2 Yencuentre los primeros m términos de la solución en

serie de potencias para m = 1 ... 5.

3. Haga que la computadora trace la gráfica de las cinco funciones del ejercicio 2 en los
mismos ejes junto con la solución real del problema de valor inicial.

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Soluciones cerca de
puntos singulares regulares

11 8. 11 Puntos singulares regulares

Suponga que el punto x = Xoes un punto singular de la ecuación: (1)

+ +bo(x)y" b, (x)y' b2(X)y = O

con coeficientes polinomiales. Entonces bo(xo) = O, de modo que bo(x) tiene un factor
(x - xo) elevado a alguna potencia.

Pongamos la ecuación (1) en la forma:

=y" + p(x)y' + q(x)y O. (2)

Ya que x = Xoes un punto singular y como p(x) y q(x) son funciones racionales de x, al me-
nos una (tal vez ambas) de éstas tiene un denominador que contiene al factor (x - xo)' En
lo que veremos a continuación supondremos que tanto p(x) como q(x) han sido reducidas

de modo que en cada caso el numerador y el denominador no tengan factores en común.

Si x = Xoes un punto singular de la ecuación (2), si el denominador de p(x) no contiene

. al factor (x - xo) a una potencia mayor que uno,y si el denominador de q(x) no contiene al

factor (x - xo) a una potencia mayor que dos, entonces x = Xoes llamado punto singular re-
gular (P.S.R.) de la ecuación (2). Si x = Xoes un punto singular pero no un punto singular

regular, se le denomina punto singular irregular (P.S.I.).

EJEMPLO 18.1
Clasifique los puntos singulares, en el plano finito, de la ecuación:

+ + +x(x - 1)2(x 2)y" x2y' - (x 3 2x - l)y = O. (3)

Para esta ecuación:

x

+p(x) = (x _ 1)2(x 2)

y

+_(x 3 2x - 1)
+q(x) = .
x (x - 1)2(x 2)

358

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18.1 Puntos singulares regulares 359

Los puntos singulares en el plano finito son x = O, 1, -2. Consi<.iere x = O. El factor x

no aparece en el denominador de p(x) y aparece elevado a la primera potencia en el deno-

minador de q(x). En consecuencia, x = Oes un punto singular regular de la ecuación (3).

Ahora considere x = 1. El factor (x - 1) aparece elevado al cuadrado en el denomina-

dor de p(x). Esta es una potencia más alta de lo que está permitido en la definición de pun-

to singular regular. Por lo tanto, no importa cómo aparezca (x - 1) en q(x); el punto x = 1

es un punto singular irregular. El factor (x + 2) aparece elevado a la primera potencia en el

denominador de p(x), justo la más alta que se permite, también está elevado a la primera

potencia en el denominador de q(x); por lo tanto, x =-2 es un punto singular regular.

En resumen, la ecuación (3) tiene los puntos singulares siguientes en el plano finito:

puntos singulares regulares en x = O, x = - 2; punto singular irregular en x = 1. Los méto-

dos de la sección 18.10 demostrarán que (3) también tiene un punto singular irregular "en

el infinito". •

EJEMPLO 18.2

Clasifique los puntos singulares en el plano finito para la ecuación:

Aquí, + + + +X4(X 2 l)(x - 1)2y" 4x\x - 1)y' (x l)y = O.

44

+ += =p(x) x(x2 1)(x - 1) x(x - i)(x i)(x - 1)

y

x+1

+q(x) = x4(x i)(x _ i)(x _ 1)2'

Por lo tanto, la clasificación deseada es:

P.S.R. enx = i, -i, 1; P.S.!. en x = O. •

Los puntos singulares de una ecuación lineal de orden superior se clasifican de la mis-

ma manera. Por ejemplo, el punto singular x = Xo de la ecuación:

+ + +ylll PI (x)y" P2(X)y' P3(X)y = O

es llamado regular si el factor (x - xo) no aparece en el denominador de PI (x) elevado a una
potencia mayor que 1, en el de pix) a una potencia mayor que 2 y en el de P3(x) a una po-
tencia mayor que tres. Si un punto no es regular, entonces es irregular.

Este capítulo está dedicado a la resolución de ecuaciones lineales cerca de puntos sin-
gulares regulares. Las soluciones cerca de puntos singulares irregulares presentan mucha

más dificultad y no se estudian en este libro.

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360 Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

• Ejercicios

Para cada ecuación, localice y clasifique todos sus puntos singulares en el plano finito. (Véase la sección
18.10 para el concepto de punto singular "en el infinito" .)

1. x\x - l) y" + (x - l) y' + 4xy = O.
2. x 2(x 2 - 4) y" + 2x3y' + 3y = O.

3. y" +xy = O.

4 . x 2y" + y = O.

5. x 4 y" + y = O.
6. (x 2 + 1)(x - 4)3 y" + (x - 4) 2y' + Y = O.
7. x 2(x - 2)y" + 3(x - 2)y' + Y = O.
8. x2(x - 4)2 y" + 3xy' - (x - 4)y = O.
9. x 2(x + 2)y" + (x + 2)y' + 4y = O.
10. x(x + 3)y" + y' - y = O.

11. x 3y" +4y = O.

12. (x - l)(x + 2)y" + (x + 2)y' + x 2y = O.
13. (1 + 4x2)y" + 6xy' - 9y = O.
14. (1 + 4x2)2y" + 6x(1 + 4x2)y' - 9y = O.
15. (1 + 4x 2)2y" + 6x y' - 9y = O.
16. (x - 1)2(x + 4)2y" + (x + 4)y' + 7y = O.
17. (2x + 1)4y" + (2x + l)y' - 8y = O.
18. x 4y" + 2x 3y' + 4y = O.

19. Ejercicio 1, de la sección 17.3. 26. Ejercicio 12, de la sección 17.3.

20. Ejercicio 2, de la sección 17.3. 27. Ejercicio 13, de la sección 17.3.

21. Ejercicio 3, de la sección 17.3. 28. Ejercicio 14, de la sección 17.3.

22. Ejercicio 4, de la sección 17.3. 29. Ejercicio 15, de la sección 17.3.

23. Ejercicio 7, de la sección 17.3. 30. Ejercicio 16, de la sección 17.3.

24. Ejercicio 8, de la sección 17.3. 31. Ejercicio 4, de la sección 17.5.

25. Ejercicio 9, de la sección 17.3. 32. Ejercicio 7, de la sección 17.5.

118.21Ecuación indicatriz*

Como en el capítulo 17, cuando queramos obtener soluciones alrededor de un punto, dife-
rente de x = O, primero trasladaremos el origen a ese punto y luego continuaremos con la
técnica usual. De modo que concentraremos nuestra atención en soluciones que sean váli-

* N. del Revisor Técnico: A este tipo de ecuación también se la conoce como "ecuación de índice" .

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18.2 Ecuación indicatriz 361

das alrededor de x = O. Restringimos nuestro estudio al intervalo x> O; si luego queremos

encontrar soluciones de la misma ecuación diferencial que sean válidas para x < O, pode-
mos sustituir simplemente x = - u y estudiar la ecuación resultante en el intervalo u > O.

Supongamos que x = Oes un punto singular regular de la ecuación:

yl! + p(x)y' + q(x)y = O, (1)

donde p y q son funciones racionales de x. Entonces, p(x) no puede tener en su denominador
el factor x elevado a una potencia mayor que uno. Por lo tanto,

r(x)
p(x) =-,

x

donde r(x) es una función racional de x que existe en x = O. Sabemos que esta función racional,
r(x), tiene un desarrollo en serie de potencias alrededor de x = O. Entonces existe el desarrollo:

p(x) = -Pxo + p¡ + P2X + P3x2 +"', (2)

que es válido en algún intervalo O < x < a.

Por medio de un argumento similar encontramos que existe un desarrollo:

q (x) = qo + ~ + q2 + q3x + q4x2 + ... (3)
x2 x

que es válido en algún intervalo O < x < b.

Veremos de manera formal que es razonable esperar que la ecuación (1) tenga una solu-
ción de la forma:

00 (4)

+ + + " ',y -_ L'"..".'.;anxn+c = aoxC a¡x ¡+c a2X 2+c

n=O

que es válida en un intervalo O< x < h, donde h es menor que a y que b.

Si sustituimos las series para y, p(x) y q(x) en la ecuación (1) y sólo consideramos los
primeros términos, obtenemos:

c(c - l)aoxc-2 + (1 + c)ca¡x c-¡ + (2 + c)(1 + c)a2xC + ...

[:0+ + p¡ + P2X + ... ] [caoxc-¡ + (1 + c)a¡xc + (2 + c)a2x l+c + ... ]

+ [ -qO + -q¡ + q2 + ...] + +[aoxC a ¡ x ¡+c a2X2+c + ... ] = O.
X
x2

Al realizar las multiplicaciones indicadas, encontramos que:

c(c - l)aoxC- 2 + (1 + c)ca¡xc-¡ + (2 + c)(1 + c)a2xC + .. . (5)
+ +pocaox c-2 [Po(1 + c)a¡ + p¡cao]x c-¡ + ...
+ +qoaox c- 2 [qoa¡ + q¡ao]x c-¡ + ... = O.

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362 Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

Con base en el hecho de que el coeficiente de x c- 2 debe anularse, obtenemos: (6)

[C(C - 1) + POC + qo]ao = O.

Podemos insistir en que ao=1= Oya que es el coeficiente de la menor potencia de x que apa-
rece en la solución (4), sin importar cuál sea esa potencia más baja. Así que de (6) se dedu-

ce que:

2 + (Po - l)c + qo = O, (7)
C

llamada ésta ecuación indicatriz (en x = O). Las Po y qo son constantes conocidas; la ecua-
ción (7) es una ecuación cuadrática que nos da dos raíces, c = cI Yc = c2•

Para distinguir entre las dos raíces de la ecuación indicatriz, denotaremos con cI a la raíz

cuya parte real no sea menor que la parte real de la otra raíz. Así, cuando las raíces son rea-

m mles, c I 2: c2; si las raíces son complejas, (c l) 2: (c2) . Por brevedad, llamamos a clla raíz

"mayor".

A simple vista parece que debería haber dos soluciones de la forma (4), una para cada
uno de estos valores de c. En cada solución la aosería una constante elegida arbitrariamen-
te y las subsiguientes constantes a serían determinadas igualando a cero los coeficientes de
las potencias superiores de x (r- I , xc' Xl +c, etc.) en la identidad (5).

Esta conclusión a priori es correcta si la diferencia de las raíces c I y c2 no resulta ser un
entero. Sin embargo, cuando esa diferencia es un entero, puede entrar un término logarít-

mico en la solución. Las razones para este comportamiento extraño se aclararán cuando de-
sarrollemos un método para la obtención de las soluciones.

11 8.31 Forma y validez de soluciones cerca de un punto (1)
singular regular

Sea x = Oun punto singular regular de la ecuación:

y" + p(x)y' + q(x)y = o.

Entonces las funciones xp(x) y rq(x) tienen desarrollos en serie de Maclaurin que son vá-

lidos en algún intervalo común O< x < b. Puede demostrarse que la ecuación (1) siempre

tiene una solución general que es de la forma:

+ ¿00 00 (2)

y = A ¿anXn+c1 B bnx n+c2

n=O n=O

o de la forma:

¿ L00 00
anx n+c1 B bnx n+C2 ,
+ +y = (A B lnx) (3)

n=O n=O

en la que A y B son constantes cualesquiera. Además, la serie infinita que aparece en la so-

lución anterior converge en el intervalo O< x < b.

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18.4 Ecuación indicatriz cuya diferencia entre las raíces no es un entero 363

11 8.41 Ecuación indicatriz cuya diferencia entre las raíces no

es un entero

La ecuación:

2xy" + (1 +x) y' - 2y = 0, (1)
°tiene un punto singular regular en x = y no tiene otros puntos singulares para una x fini-'

tao Supongamos que existe una solución de la forma:

00 x> O. (2)

y = LanX n+c,

n=O

La sustitución directa de esta yen (1) nos da:

00 00

L 2(n + c)(n + e - l)anx n+c- 1 + L(n + c)anxn+c- I

n=O n=O

00 00

+ L(n + c)anx n+c - 2 Lanxn+c = 0,

n=O n=O

o

00 00 (3)

L(n + c)(2n + 2c - l)anx n+c- 1 + L(n + e - 2)anx n+c = O.

n=O n=O

Al agrupar los términos semejantes recorremos el índice para reducir todos los expo-

nentes de x hasta el más pequeño que aparezca. Esta alternativa es usada para obtener una

relación de recurrencia para anen lugar de una para an+10 alguna otra a. En la ecuación (3),
remplazamos el índice n en la segunda suma por (n - 1), así que obtenemos:

00 00 (4)

L(n + c)(2n + 2c - l)anx n+c- 1 + L(n + e - 3)an_IXn+c- 1 = O.

n=O n=1

Una vez más razonamos que el coeficiente total de cada potencia de x en el miembro
de la izquierda en (4) se debe anular. La segunda suma no inicia su contribución sino has-
ta n = 1. De aquí que las ecuaciones para la determinación de e y las a sean:

n =0: c(2c - l)ao = 0,
n :::: 1 :
(n + c)(2n + 2c - l)an + (n + e - 3)an_1 = O.

Ya que sin pérdida de generalidad podemos suponer que ao =F 0, la ecuación indicatriz,
que determina e, es:

c(2c - 1) = O. (5)

La ecuación indicatriz proviene siempre del término n = Ocuando se emplea la técnica

usada en este libro.

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364 Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

=! = = =!,De (5) vemos que el y e2 O. La diferencia entre las raíces nos da s el - e2

que no es un entero. Cuando s no es un entero, el método que estamos usando siempre da

dos soluciones linealmente independientes de la forma (2), una con cada elección de e.

!.Regresamos a la relación de recurrencia usando el valor e = el = Así,

n ~ 1: 4-(n + 4)(2n + 1 - l)an + (n + 3)an_ 1 = o,

n ~ 1: (2n - 5)an _ 1

2n(2n + 1)

Como de costumbre, usamos un arreglo vertical y luego encontramos el producto que nos
dé una fórmula para an0Tenemos:

aoelegida arbitrariamente

(- 3)ao
al =-

2·3

(- 1)al
a2 = -

4·5

(l)a2
a3 = - --

6·7

(2n - 5)an -1

,

2n(2n 1)
+an = -

así el producto nos da, para n ;::: 1, (6)
( - 1)n[(- 3)( - 1)(l)··· (2n - 5)]ao

an = [2·4 · 6 · . . (2n)][3 . 5 ·7· . . (2n + 1)] .

La fórmula (6) puede simplificarse para hacer:

( _ 1)n · 3ao
+an = 2nn! (2n - 3)(2n - 1)(2n . (7)
1)

!,Al usar ao = 1, la an de (7), y el valor pertinente de e, el = podemos escribir una solu-

ción particular:

y = xl/2 + '0"0 _ __~(_~l)_n3. _xn+_I /2____ (8)
+l ~ 2nn! (2n - 3)(2n - 1)(2n 1).

La notación YI se usa para enfatizar que eSta solución particular corresponde a la raíz el de
la ecuación indicatriz. Ahora debemos obtener una solución particular Y2 correspondiente

a la raíz más pequeña e2• Entonces la solución general, si se desea, puede escribirse de in-
mediato como:

siendo A YB constantes cualesquiera.

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18.4 Ecuación indicatriz cuya diferencia entre las raíces no es un entero 365

Regresemos a la relación de recurrencia que está justo antes de la ecuación indicatriz (5)

con la intención de usar e = e2 = O; es evidente que las a serán diferentes de aquellas con

e = el' De modo que es recomendable cambiar la notación. Usamos b en lugar de a. Con e = O,

la relación de recurrencia se convierte en: '

n ~ 1: n(2n - 1)b" + (n - 3)bn-¡ = O.

El arreglo vertical correspondiente es:

boelegida arbitrariamente
b __ (-2 )bo

¡ - 1·1

b __ (-I)b ¡
2 - 2.3

b = _ (0)b2

3 3·5

b = _ (n - 3)bn _¡ .
n n(2n - 1)

=lEntonces b = 1, b¡ Yb2 pueden ser calculadas y encontramos
ll
Opara n 2: 3 y, usando bo =

que tienen los valores b ¡ = 2 Y b2 = ib¡ Por lo tanto, una segunda solución es:

(9)

Ya que la ecuación diferencial no tiene puntos singulares, distintos de x = O, en el pla-

no finito, concluimos que las soluciones linealmente independientes Y¡ de (8) y Y2 de (9)

son válidas al menos para x > O. La validez de (9) es evidente en este ejemplo particular ya

que la serie termina.
El estudiante debe asociar a cada solución la región de validez garantizada por el teore-

ma general enunciado en la sección 18.3; pero por ahora nosotros omitiremos tal región de
validez en las respuestas a los ejercicios.

• Ejercicios

En los ejercicios del I al 17, obtenga dos soluciones linealmente independientes que sean válidas cerca del

origen para x > 0, Establezca siempre la región de validez para cada solución.

1. 2x(x + 1)y" + 3(x + 1)y' - y = O.
2. 4x 2y" + 4xy' + (4x 2 - l)y = O.
3. 4x2 y" + 4xy' - (4x2 + 1)y = O.

4. 4xy" +3y'+3y = 0.

5. 2x2 (1 - x)y" - x(1 + 7x)y' + y = O.
6. 2xy" + 5(1 - 2x)y' - 5y = O.

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366 Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

7. 8x 2y" + lOxy' - (1 + x)y = O.

8. 3xy"+(2-x)y'-2y=0.

9. 2x(x + 3)y" - 3(x + 1)y' + 2y = O.

10. 2xy" + (1 - 2x 2)y' - 4xy = O.
11. X (4 - x) y" + (2 - x) y' + 4Y = O.
12. 3x2y" + xy' - (1 + x)y = O.

13. 2xy" + (1 + 2x)y' + 4y = O.

14. 2xy" + (1 + 2x)y' - 5y = O.
15. 2x2y" - 3x(1 - x)y' + 2y = O.
16. 2x2y" + x(4x - 1)y' + 2(3x - l)y = O.
17. 2xy" - (1 + 2x 2)y' - xy == O.

18. La ecuación del ejercicio 17 tiene una solución particular, Y2 = exp(! X 2), obtenida
por el método de series. Haga un cambio de la variable dependiente en la ecuación di-

ferencial, usando y = v exp(! X2) (el recurso usado en la sección 9.2) y obtenga así la

solución general en una "forma cerrada".

En los ejercicios del 19 al 22, utilice el método de series de potencias para encontrar soluciones que sean

válidas parax > O. ¿Qué provoca que las relaciones de recurrencia deriven en relaciones de un térI1'tino?

19. 2x 2y" +xy'-y=0. 21. 9x 2y" + 2y = O.
22. 2x2y" + 5xy' - 2y = O.
20. 2x2y" - 3xy' + 2y = O.

23. Obtenga dy / dx Yd2y / dX2 en términos de derivadas de y con respecto a una nueva va-

riable dependiente t relacionada con X por la fórmula t = In x, para x > O.

24. Utilice el resultado del ejercicio 23 para demostrar que el cambio de variable inde-
pendiente de x a t, donde t = In x, transforma la ecuación 1

a x 2 d 2y + dy + cy = O,
x2 bx-
- dx

d

siendo a, b y e constantes, en una ecuación lineal con coeficientes constantes.

Resuelva los ejercicios del 25 al34 por el método sugerido en el ejercicio 24, cambiando la variable inde-

pendiente a t = In x para x > o.

25. Ejercicio 19. 26. Ejercicio 20.

1 Una ecuación como la del ejercicio, que sólo tiene términos de la clase cxkDky, siendo c una constante y k = 0, 1,2,
3, ..., es llamada ecuación de tipo Cauchy o de tipo Euler.

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18.5 Diferenciación de un producto de funciones 367

27. Ejercicio 21. 30. x2y" + xy' - 9y = O.

28. Ejercicio 22. 31. x2y" - 3xy' + 4y = O.
32. x2y" - 5xy' + 9y = O.
29. x2y" + 2xy' - 12y = O.

33. x2y" + 5xy' + 5y = O.

34. (x3D3 + 4x2D2 - 8xD + 8)y = O. Necesitará ampliar el resultado del ejercicio 23 a la

tercera derivada, obteniendo

118.5 1 Diferenciación de un producto de funciones

Dentro de poco se demostrará que es muy necesario saber diferenciar de manera eficiente
un producto de varias funciones . Suponga que:

(1)

siendo cada una de las u una función del parámetro e. Denotamos la diferenciación con res-
pecto a e mediante los apóstrofes. Entonces, de:

lnu = lnu¡ + Inu2 + Inu3 + ...+ lnun

se deduce que: -u' = -u'¡ + -u; + -u; + ...+ -u~.
En consecuencia, u U ¡ U2 U3 Un

u, = u { -u'¡ +u-;+ -u; + .. .+ -u~ } . (2)

U¡ U2 U3 Un

Así, para diferenciar un producto, podemos multiplicar el producto original por un factor
de conversión (que convierte el producto en su derivada), el cual consiste en la suma de las
derivadas de los logaritmos de los distintos factores.

Cuando los factores que se incluyen son a su vez potencias de polinomios, hay una ma-
nera apropiada: de calcular mentalmente el factor de conversión. Ese factor es la suma de
los factores de conversión de las partes individuales.

La manera en que la mayoría de nosotros aprendimos a derivar una potencia de una can-
tidad fue multiplicando el exponente, la derivada de la cantidad original, por la cantidad
con su exponente disminuido en uno. Así, si:

y = (ae + b)k,

entonces,

{ k a }+d y

d e = y ae b '

la división entre (ae + b) convierte a (ae + b)k en (ae + b)k-¡.

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368 Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

EJEMPLO 18.3
Si,

entonces:

Observe que los factores del denominador en la función u son considerados como factores

en el numerador con exponentes negativos. •

EJEMPLO 18.4
Si,

y = -e(e-+ -- +-e2-+) .n.-. (-e +-n-- - ,

1)(c 1)

entonces:

d_y =y{_I__ ~ _ _I _ _ _I __ ... ___I__ }

de e + n e e + 1 e + 2 e+n- 1 .

•

EJEMPLO 18.5 2n e3
Si,

w = + + + +-----------~

[(e 2)(e 3) ... (e n 1)]2'

entonces:

•

11 8.61 Ecuación indicatriz con raíces iguales

Cuando la ecuación indicatriz tiene raíces iguales, el método de la sección 18.4 no puede
producir dos soluciones linealmente independientes. El trabajo con un valor de e sería só-
lo repetición de lo que se hizo con el otro valor de e. Es necesario entonces un nuevo méto-
do de solución.

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18.6 Ecuación indicatriz con raíces iguales 369

Considere el problema de resolver la ecuación (1)

°x2y" + 3xy' + (1 - 2x)y =

para x> O. Las raíces de la ecuación indicatriz son iguales, un hecho que puede detenni-

narse estableciendo la ecuación indicatriz como se desarrolló en la teoría, sección 18.2.
Aquí,

3 1 - 2x
p(x) = - , q(x) = --2-'

x x

de modo que Po = 3 Yqo = l. La ecuación indicatriz es:

c2 + 2e + 1 = 0,
con raíces cl = c2 = - l.

Cualquier intento por obtener soluciones escribiendo:

(2)

en la ecuación (1) es seguro que nos obligará a seleccionar c = - 1, Yasí obtendremos so-

lamente una solución. No debemos elegir c, si queremos obtener dos soluciones. De modo
que sustituimos la y de la ecuación (2) en el miembro izquierdo de la ecuación (1) e inten-
tamos anular el miembro izquierdo sin seleccionar c.

Es conveniente designar una notación para el miembro izquierdo de la ecuación (1);
usamos:

L(y) = x2y" + 3xy' + (1 - 2x)y. (3)

Para la y de la ecuación (2) encontramos que:

00 00

L(y) = L(n + c)(n + c - 1)anx n+c + L 3(n + c)anxn+c

n~ n~

00 00

+ L anx n+c - L 2anx n+c+l ,

n=O n=O

de donde:

00 00

L(y) = L[(n + c)2 + 2(n + c) + l]anx"+c - L 2anx n+c+l •

n=O n=O

La simplificación usual conduce a: (4)

00 00

L(y) = L(n + c + 1)2anxn+c - L 2an_lXn+c .

11=0 n=l

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370 Capítulo J8 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

°Al recordar que la ecuación indicatriz proviene de hacer el coeficiente en el término

n = igual a cero, a propósito tratamos de evitar que el término se anule, por el momento.

Pero seleccionando las a y dejando e como un parámetro, podemos hacer que todos los tér-
minos excepto el primero en L(y) se anulen. Por lo tanto, igualamos a cero cada coeficien-
te, excepto para n = 0, de las distintas potencias de x en el miembro de la derecha de la
ecuación (4); así:

n :::: 1 : (5)

La aplicación sucesiva de la relación de recurrencia (5) determinará cada an, n ;::: 1, en
términos de aoy e. En efecto, del arreglo:

+a -----2-a.o.,.

1 - (e 2)2

2al
a2 = -(e- +- 3)-:2:-

+ +a - - -2a-n - 1--

n - (e n 1)2 '

y por el recurso usual de multiplicación resulta:

2nao
+ + + +an =
::-:----::-:---:--- :----- - - - - - - = -

[(e 2)(e 3) ... (e n 1)]2'

Para llegar a una solución específica, seleccionamos ao = 1.

Con las a determinadas anteriormente, escribimos una y que depende de x y de e, es
decir,

00 x> 0, (6)
(7)
y(x, e) = +X C Lall(e)xn+c ,

n=1

en laque:

2n

an(e) = [(e + 2)(e + 3) ... (e + n + 1)]2 .

La y de la ecuación (6) ha sido determinada de modo que para ella el miembro derecho de

la ecuación (4) debe reducirse a un solo término: n = O. Esto es, para la y(x, e) de la ecua-

ción (6), tenemos:

(8)

Una solución de la ecuación diferencial original es una función y para la que L(y) = O.

Ahora vemos porqué la selección de e = - 1 produce una solución: porque iguala a cero el
miembro derecho de la ecuación (8).

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18.6 Ecuación indicatriz con raíces iguales 371

Pero el factor (e + 1), en la ecuación (8), aparece elevado al cuadrado, una consecuencia

automática de la igualdad de las raíces en la ecuación indicatriz. De cálculo elemental, sa-
bemos que si una función contiene una potencia de cierto factor dependiente de e, enton-
ces la derivada con respecto a e de esa función contendrá el mismo factor elevado a una
potencia menor en uno que en la original.

En particular, para la ecuación (8), la diferenciación de cada miembro con respecto a e
produce:

aae L[y(x, e)] = L [ay(axe,e)] = 2(e + l)xc + (e + 1)2x c lnx, (9)

el miembro del lado derecho tiene la primera potencia del factor (e + 1), como lo sabíamos

del teorema enunciado anteriormente.
En (9), el orden de las diferenciaciones con respecto a x yac fue intercambiado. Es

mejor evitar la justificación de tales pasos verificando directamente las soluciones (13) y
(14) que aparecen más adelante. La verificación en este caso es directa pero un poco exten-
sa y por eso la omitimos aquí.

De las ecuaciones (8) y (9) puede verse que dos soluciones de la ecuación L (y) = Oson:

Yl = [y(x , e)t=_l = y(x, -1)

y

Y2 = [ay(x, e)]
ae c=- l

ya que e = - 1 hace que el miembro derecho en cada una de las ecuaciones (8) y (9) se anule.
Que YI y Y2 son linealmente independientes se evidenciará más adelante.

Tenemos:

00 (6)

y(x, e) = x c + Lan(e)xn+c

n=1

y necesitamos ay (x, e) / ac. De (6) resulta:

a;ay(x e) + 00 +an(c)x n+c lnx 00 a~(c)xn+c,

= XC lnx L L

n=] n=l

que se simplifica de inmediato a la forma: (lO)

-a-y'(-x-, -e-) = y(x, e) lnx + Loo a~(e)xn+c.

ae n=1

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372 Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

Las soluciones Y1 y Y2 se obtendrán escribiendo e = - 1 en las ecuaciones (6) y (10),
esto es,

00 (11)
(12)
YI = x- I + Lan(-l)xn- I,

n=1

00

Y2 = yllnx + La~(-I)xn-l.

n=1

Por lo tanto, necesitamos evaluar all(e) y a 'n(e) en e = - 1. Sabemos que:

2n
an(e) = [(e+2)(e+3) ... (e+n+l)]2'

de la cual, mediante el método de la sección 18.5, de manera inmediata obtenemos:

{l 1 1 }anI (e) = -2a,,(e) - - + - - + ... + .
e+2 e+3 e+n+ 1

Ahora usamos e = - 1 para obtener:

y

n +21- 3-1 + -1 }
1 ) = - 22- -
aI (- { 1 + + · · · n .
n (n !)2

Aquí es útil una notación usada con frecuencia para una suma parcial de la serie armó-

nica. Esta es:

L -.1 1 1 n 1
Hn = 1+ - + - + ... + - =
23 n k=1 k

Ahora podemos escribir a 'n( - 1) más sencillamente como:

a~(-l) = - 2n+IH

(n!) /.

Por último, las soluciones deseadas pueden escribirse en la forma: (13)
- 1 ~ 2nxn-1 (14)

YI =x + ~ -( 1)2

n=1 n.

y

00 2n+1 Hnxn-I

Y2 = yllnx - L 2
n=1
(n!)

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18.6 Ecuación indicatriz con raíces iguales 373

La solución general, válida para x> O, es

y =Ay¡ + BY2

siendo A y B constantes elegidas arbitrariamente. La independencia lineal de y¡ y Y2 debe
ser evidente dada la presencia de In x en Y2. Detalladamente, XY¡ tiene un desarrollo en se-
rie de potencias alrededor de x = Opero XY2 no, así que no puede ser una múltiplo de la otra.

Una revisión del procedimiento usado para solucionar esta ecuación diferencial muestra
que el método de ninguna manera es dependiente de los coeficientes específicos, salvo que
la ecuación indicatriz tenga raíces iguales. Esto es, el éxito del método se debe a que el
término n = Oen L (y) contiene un factor cuadrático.

• Ejercicios

A menos que se indique otra cosa, obtenga dos soluciones linealmente independientes que sean válidas

para x > o.

1. x2y" - x(1 + x)y' + y = O.
2. 4x2y" + (1 - 2x)y = o.
3. x 2y" + x(x - 3)y' + 4y = O.
4. x2y" + 3xy' + (1 + 4x 2)y = O.
5. x(l + X)y" + (1 + 5x)y' + 3y = o.
6 . x2y" - x(1 + 3x)y' + (1 - 6x)y = O.
7. x2y" + x(x - l)y' + (1 - x)y = O.
8. x(x - 2)y" + 2(x - l)y' - 2y = o.

9. Resuelva la ecuación del ejercicio 8 alrededor del punto x = 2.

10. Resuelva alrededor de x = 4: 4(x - 4)2y" + (x - 4)(x - 8)y' + xy = O.

11. xy" + y' + xy = O. Ésta es conocida como ecuación de Bessel de índice cero. Se en-

cuentra con frecuencia en matemáticas puras y aplicadas. (Véanse también las sec-
ciones 19.5 y 19.6.)

12. xy" + (1 - x2)y' - xy = O.

13. Demuestre que:

1 + 1 + ¡ + .. .+ 2k 1 1= H 2k - 1
_
3 5" 2" Hk

Yaplique el resultado en la simplificación de la fórmula para Y2 en la respuesta del
ejercicio 12.

14. x2y" + x(3 + 2x)y' + (1 + 3x)y = O. En la simplificación de Y2' utilice la fórmula

dada en el ejercicio 13.

15. 4x2y" + 8x(x + l)y' + Y = O.
16. x2y" + 3x(1 + x)y' + (1 - 3x)y = O.

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374 Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

17. xy" + (1 - x)y' - y = O.
18. Con respecto al ejercicio 17, se encontró que una solución eray) = é. Utilice el cam-

bio de variable dependiente y = vé para obtener la solución general de la ecuación
diferencial en la forma:

118.71 Ecuación indicatriz con raíces iguales: una alternativa

En la sección 18.6 vimos que cuando la ecuación indicatriz tiene raíces iguales, e2 = el'

siempre aparecen dos soluciones linealmente independientes en la forma:

00 (1)
(2)
= +YI XCI L anxn+cl ,

n=1

00

+Y2 = yllnx L bnxn+cl ,

n= 1

donde el' an, bn son dependientes de los coeficientes dados en la ecuación particular por
resolver.

Es posibleevitar un poco las dificultades computacionales encontradas en la sección 18.6

para el cálculo de bn en (2), determinando primero e) y Y)' sustituyendo luego laY2 de (2)
directamente en la ecuación diferencial para encontrar una relación de recurrencia que sa-

tisfaga b • La relación de recurrencia resultante puede ser difícil de resolver en forma
n

cerrada, pero al menos podremos producir de manera sucesiva tantas b como queramos.
n

EJEMPLO 18.6 (3)
Para la ecuación diferencial de la sección 18.6,

L(y) = x2y" + 3xy' + (1 - 2x)y = 0,

vimos que las raíces de la ecuación indicatriz fueron ambas iguales a - 1 Yque una solu-
ción no logarítmica fue:

00 2n x n - 1

1)2 .
+ L -(-1 (4)

YI = X
n=1 n.

Sabemos que existe una solución logarítmica de la forma:

00 (5)

Y2 = y)lnx + Lbnxn- I

n= 1

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18.7 Ecuación indicatriz con raíces iguales: una alternativa 375

y detenrunaremos la bn forzando a esta Y2 para que sea una solución de (3). Tenemos:

00

y~ = y~ lnx + X-1YI + L(n -l)bnx n- 2,

n= 1

00

y~ = y~/lnx + 2x-Iy~ _ X- 2YI + L(n - 1)(n - 2)bnx n- 3 ,

n=1

de modo que:

00

L(Y2) = L(YI) lnx + 2YI + 2xy~ + L(n - l)(n - 2)bnx n- 1

n=1

00 00 00

+ L 3(n - l)bnx n- 1 + L bnxn- I - 2 L bnxn,

n=1 n=1 n=1

de la cual:

00

L(Y2) = 2YI + 2xy~ + bl + L(n2bn - 2bn_ l )xn- l .

n=2

El ténruno logarítmico desaparece ya que L(y¡) = O.
La sustitución de (4) paray¡ produce:

L L00 2nxn-1 00 2n(n _ l)xn-1
L(Y2) = 2x-1 +2 - -2- - 2x-1 + 2
2

n=1 (n!) n=1 (n!)

+ + L00
bl (n 2bn - 2bn_¡)xn- 1,
n=2

o

Si Y2 debe ser una solución de la ecuación (3), entonces b¡ = -4 Ybn debe satisfacer la re-

lación de recurrencia:

n 2: 2. (6)

Un cálculo sencillo nos da b2 = - 3 Yb3 = -22/27, pero una forma cerrada para bn es
difícil de obtener a partir de (6).

En la sección 18.6 encontramos que los valores de bn son:

b _ _ 2n+IH (7)

n

n - (n!)2

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376 Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

No es difícil demostrar que esta expresión satisface la relación de recurrencia (6), pero sí
es difícil obtener la forma (7) a partir de (6). Aún así, para propósitos computacionales, la

•forma alterna para Y2 dada por la serie (5) y la relación de recurrencia (6) resulta muy útil.

EJEMPLO 18.7 (8)
Resuelva la ecuación diferencial:

°x 2y" -x(1 + x )y' + y =

del ejercicio 1 en la sección 18.6.

Se encontró que las dos raíces de la ecuación indicatriz son c 1 = c2 = 1, Yque la solu-
ción no logarítmica es:

YI=00 ¿n~+ 1 . (9)

n=O n!

Busquemos una segunda solución de la forma:

¿00

Y2 = ylln x + bnx n+l ,

n= 1

de modo que:

00

y~ = y ; lnx + X- 1YI + Len + l)bnx n,

n= 1

00

+ +Y2" = YI" 1nx +2x - 1YII - X- 2Y I '~""n' ( n l )bnXn - I .

n= 1

La sustitución de estas expresiones en (8) nos da:

00 00

2xy; - 2YI - XYI + ¿ n2bnxn+1 - Len + l)bnx n+2 = 0,

n=1 n=1

o

00

2xy; - (2 + X)YI + b 1x 2 + ¿(n2bn - nbn _ l)x n+1 = O.

n= 2

Al usar la serie (9) para y1 obtenemos:

+~ 2(n 1) n+ 1 -2x-2~~-xIn+-1 -x 2

2x+~ I X

n=1 n. n=1 n.

- ¿00 Xn+2 00
7 + b 1x 2 + ¿(n2bn - nbn _ l)xn+1 = 0,

n=l' n=2

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18.8 Ecuación indicatriz cuya diferencia entre raíces es un entero positivo: caso no logarítmico 377
que puede escribirse como:

Resulta que bl = - 1 Y

n2bn - nb,,_ 1+ 1 = O, n ::: 2. (10)
(n - 1)!

Si este problema se resuelve por medio del método de la sección 18.6 nos dará:

b _ -H"

n - nI'

Es fácil demostrar que esta expresión satisface la relación de recurrencia (10). •

• Ejercicios

Para los ejercicios del 2 al 8 de la sección 18.6, encuentre la solución logarítmica determinando una rela-
ción de recurrencia para la bn dada en la ecuación (5) de esta sección.

118.8 1 Ecuación indicatriz cuya diferencia entre raíces es un entero
positivo: caso no logarítmico

Considere la ecuación: xy" - (4 + x)y' + 2y = O.

(1)

Como es costumbre, suponemos que L (y) representa el miembro izquierdo de (1) y
escribimos

00 (2)

y = LanX"+c.

n=O

En seguida encontramos que para la y de la ecuación (2), el miembro izquierdo de la ecua-
ción (1) toma la forma:

00 00

L(y) = L[(n + c )(n + e - 1) - +4(n c)]anxn+c- I - L(n + e - 2)anx n+c ,

n=O n=O

o

00 00

+ + +L(y) = L(n c)(n e - 5)a"x n+c- 1 - L(n e - 3)an_ IX n+c- l .

,,= 0 n=1

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378 Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

La ecuación indicatriz es e(e - 5) = 0, así

el = 5,

Razonamos que se pueden esperar dos soluciones en series de potencias, empezando una

de ellas con un término:xfJ y la otra con un término r .Si usamos la raíz mayor e = 5 y tra-

tamos con una serie:

00

~'""' an xn+5 ,

n=O

es evidente que podemos obtener cuando mucho una solución; el término xO nunca se
presenta.

Por otra parte, si usamos la raíz más pequeña e = 0, un intento de solución de la forma

tendrá entonces la posibilidad de producir ambas soluciones ya que el término n = 5 (n = s)

contiene a r .

Si s es un entero positivo, tratamos una serie de la forma (2) usando la raíz más pequeña
e2. Si ao y as resultan ser constantes cualesquiera, obtenemos la solución general por este
método. De lo contrario, la relación que debe determinar as será imposible de desarrollar,
con nuestra hipótesis usual de que ao =1= 0, Yla solución general incluirá un logaritmo co-
mo sucedió en el caso de raíces iguales. Ese caso logarítmico será estudiado en la sección
siguiente.

Regresemos al problema numérico. Usando la raíz más pequeña e = 0, ahora sabemos
que para:

(3)

obtenemos:

00 00

L(y) = L n(n - 5)anx n- 1 - L(n - 3)an_ IX n- l .

n=O n= 1

Por lo tanto, al hacer L(y) = 0, debemos tener:

n = O: °O·ao = (aoelegida arbitrariamente),

n C: 1: n(n - 5)a - (n - 3)a _ 1 = O.

n n

Ya que la división entre (n - 5) no puede realizarse hasta que n > 5, es mejor escribir

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18.8 Ecuación indicatriz cuya diferencia entre raíces es un entero positivo: caso no logarítmico 379

todas las relaciones individuales hasta la correspondiente a ay Así obtenemos:

n =1: - 4al + 2ao = 0,
n =2:
°.- 6a2 + al = 0,
n= 3:
n = 4: - 6a3 + a2 = 0,

n = 5: °.- 4a4 - a3 = 0,
a5 - 2a4 = 0,

n ~ 6: an = (n - -3)a-n --l

- -
n(n - 5)

De estas relaciones resulta que:

al = '12ao,
a2 -- 16a1 -- 1l2..aO,
a3 = 0,
a4 = 0,
O· a5 = 0,

aSÍ, as es elegida arbitrariamente. Cada an, n > 5, será obtenida de ay De la manera acos-

tumbrada encontramos que:

3
a6 = 6.1 a5,

4
a7 = - -a6 ,

7 ·2

(n - 3)
an = n(n _ 5) an-I,

de la cual:

an =- 3 ·4 . 5 . .. (n - 3) = (n - 3 ·4 .5 5)! a5 ·
[6·7·8 .. · n](n - 5)! a5 2)(n - l)n(n -

Por lo tanto, con ao y as cualesquiera, la solución general puede escribirse como:

l l 2 [5 f=6y = ao(1 + '2 x + T2x ) + a5 x + ~ (n _ 60xn ] .
5)! n(n - l)(n - 2)

La serie infinita puede escribirse también, con un corrimiento del índice, en la forma:

?;00 60xn+5
n! (n + 5)(n + 4)(n + 3)'

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380 Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

Antes de continuar con el ejercicio, examinaremos una ecuación en la que no ocurre la

circunstancia afortunada de que aoy as sean constantes cualesquiera. Para la ecuación:

x2 y" + x(1 - x )y' - (1 + 3x )y = O (4)

el intento:

00

y = ¿anXn+c

n=O

conduce a:

00 00

L(y ) = ¿(n + c + f)(n + c - l)anx n+c - ¿(n + c + 2)an_ IXn+c .

n=O n=l

Ya que c l = 1 Yc2 = -1 , usamos c = -1 Yencontramos las relaciones:

n ::: 1 : +n(n - 2)an - (n l)an _ 1 = O,

con aoelegida arbitrariamente. Escribimos las relaciones separadas hasta la relación crítica,

n = 1: - al - 2ao = O,
n = 2:
O. a2 - 3al = O,
n:::3:
an = +(n I)an-I
- -- --

n (n - 2)

Resulta que:

a l = -2ao,

O. a2 = 3a l = -6ao .

Estas relaciones no pueden satisfacerse excepto para la selección ao = o. Pero si se ha-

ce esto, a2 será la única constante elegida arbitrariamente, y la única solución que resulta
del trabajo, será la que corresponda al mayor valor de c, c = l . Este es un caso donde apa-

rece una solución logarítmica; la ecuación se resolverá en la sección siguiente.

Una buena manera de perder el tiempo es usando ao = O, al = O, a2 elegida arbitraria-
mente, y determinando an, n :2: 3, a partir de la relación de recurrencia anterior. Este trabajo

adicional produce una solución que será conseguida de nueva cuenta cuando se resuelva la

ecuación por el método de la siguiente sección.

• Ejercicios

Obtenga la solución general cercana a x = O, salvo que se indique lo contrario. Establezca la región de
validez para cada solución.

1. x 2y" + 2x (x - 2) y' + 2(2 - 3x) y = O.

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18.9 Ecuación indicatriz cuya diferencia entre raíces es un entero positivo: caso logarítmico 381

2. x2(1 + 2x)y" + 2x(1 + 6x)y' - 2y = O.
3. x2y" + x(2 + 3x)y' - 2y = O.

4. xy" - (3 +x)y' +2y = O.

5. x(1 + x)y" + (x + 5)y' - 4y = O.

6. Resuelva la ecuación del ejercicio 5 alrededor del punto x = - l.

7. x2y" + x2y' - 2y = O.
8. x(1 - x)y" - 3y' + 2y = O.

9. Resuelva la ecuación del ejercicio 8 alrededor del punto x = l.

10. xy" + (4 + 3x)y' + 3y = O. 12. xy" + (3 + 2x)y' + 4y = O.

11. xy"-2(x+2)y'+4y=O. 13. x(x+3)y"-9y'-6y=O.

14. x(1 - 2x)y" - 2(2 + x)y' + 8y = O.

15. xy" + (x 3 - l)y' + x2y = O.

16. x 2(4x - l)y" + x(5x + l)y' + 3y = O.

118.91 Ecuación indicatriz cuya diferencia entre raíces es un entero
positivo: caso logarítmico

En la sección anterior examinamos la ecuación: x>O (1)

x2y" + x(1 - x)y' - (1 + 3x)y = O

y encontramos que su ecuación indicatriz tiene raíces el = 1, e2 = -l. Como ninguna
solución en serie de potencias comienza con x C2, sospechamos la presencia de un término

logarítmico y comenzamos a tratar la ecuación en la forma usada para el caso logarítmico

anterior, el caso de raíces iguales.

De la forma supuesta:

00

y = Lan xn+c

n=O

determinamos fácilmente que el miembro izquierdo de la ecuación (1) será:

00 l)anx n+c - 00
l)anx n+c -
L(y) = L(n + e + l)(n + e - L(n + e + 3)anx n+c+1

n=O n=O

00 00

= L(n + e + l)(n + e - + +L(n e 2)an _ I X n+c .

n=O n=1

Como es costumbre, cada término después del primero en la serie para L (y) puede igua-
larse a cero seleccionando la a", n 2:: 1, sin restringir e. Escribimos:

n ::: l: a" = - -(n-+-e +-2-)a-n _1- -

(n+e+1)(n+e - l)'

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382 Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

de la cual inmediatamente se deduce que:

n:::l: (e + 3)(e + 4) . .. (e + n + 2)ao
+ + + + + +an =
~--~~--~--~----~~~--~------------

[(e 2)(e 3)··· (e n l)][e(e 1)··· (e n - 1)]'

o

an = (e (e + n + 2)ao - .
+ 2)[e(e + 1) . . . (e + n
1)]

De la a obtenida anterionnente, todos los ténninos después del primero en la serie de
n

potencias para L (y) han sido anulados, así, con:

y = aox C + Loo (e + n + 2)aoxn+c (2)
n=! (e + 2)[e(e + 1) . .. (e + n
- 1)]

debe resultar que:

+L(y) = (e l)(e - 1)aoXC . (3)

Con base en la raíz mayor, e = 1, sólo puede obtenerse una solución. De la raíz menor,

e = -1, obtendríamos dos soluciones, siguiendo la técnica de usar y(x, e) y dy(X, c)/de, co-
mo en el caso de raíces iguales si el miembro derecho de (3) tuviese al factor (c + 1? en
lugar de sólo (e + 1) elevado a la primera potencia. Pero aoaún es una constante cualquie-

ra, de modo que tomamos:

ao = (e + 1)

para obtener el factor al cuadrado que necesitamos en el lado derecho de la ecuación (3).

Otra manera de ver que es preferible seleccionar ao = (e + 1) la tenemos a continuación.
Sabemos que en algún momento será necesario utilizar e = -1 en la ecuación (2). Pero en

la serie el denominador contiene al factor (e + 1) para todos los ténninos que van después

de n = 1. Ahora, según la ecuación (2), los términos n ;::: 2 no existirán con e = -1. Por lo

tanto, eliminamos del denominador el factor problemático (e + 1) escogiendo ao = (e + 1).
Con ao = (c + 1) tenemos:

-+y (x, e) = Loo n + 2)xn+c
(e + 1)x c + (e (e + 1)(e 1) , (4)
n=! ... (e + n -
+ 2)[e(e + 1)]

para la que:

(5)

El argumento, similar al usado cuando la ecuación indicatriz tenía raíces iguales, nos

muestra que las dos soluciones linealmente independientes que son buscadas pueden obte-

nersecomo:

y¡ = y(x,-1) (6)

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18.9 Ecuación indicatriz cuya diferencia entre raíces es un entero positivo: caso logarítmico 383

y

Y2 = (ay(x , c)) . (7)

ac c=-I

Desde luego, es acertado cancelar el factor (c + 1) del numerador y denominador en los
términos de la serie en (4). Pero el factor (c + 1) aparece en el denominador hasta el térmi-

no n = 2. Por lo tanto, es preferible escribir por separado los términos que difieren. Escri-

bimos de nuevo la ecuación (4) como:

c (c + 1)(c + 3)x l +c (c + 4)x2+c
y(x, c) = (c + 1)x + (c + 2)c + (c + 2)c

+ ¿00 (c + n + 2)x"+c . (8)

11=3 (c + 2)c[(c + 2)(c + 3)··· (c + n - 1)]

La diferenciación con respecto a e de los miembros de la ecuación (8) produce:

+ay(x,c)

- - - = y(x, c) Inx XC
ac

+ (c + l)(c + 3)x l +c {_1_ + _1_ _ _1__ ~}

(c + 2)c c+ 1 c+ 3 c+ 2 c

(c + 4)x2+c {1 1 ~1 }

+ (c + 2)c c + 4 - c+ 2 -
f+ (c + n + 2)x"+c {c:t±t:z - eh - ¿- (eh + eh + ... + ~) }

11=3 (c + 2)c[(c + 2)(c + 3) ... (c + n - 1)] . (9)

Todo lo que falta ahora es obtener Y¡ y Y2 usando c = -1 en las expresiones anteriores
para y(x, c) y ay(x, c)/ac. En el tercer término de la derecha en la ecuación (9), insertamos

primero (mentalmente) el factor (c + 1) en la cantidad que está entre las llaves.

Por lo tanto, las soluciones deseadas serán:

+(n 1)x"- 1
¿ - - - - - - - -YI = ü · x- I +Ü · xo -3x+ 00
11=3 (-1)[1·2·· · (n - 2)]

y

+Y2 = y 1 1nx +x- I - 2xo - 3x{~ - 1 1}

I{ 1 ( 1 1 )}00 (n + 1)x11- - - - 1 + 1 - 1 + - + . .. + - -
+"~ n+l 2 n-2 .

n=3 (-1)[1·2··· (n - 2)]

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384 Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

Estos resultados pued~n escribirse de manera más compacta como:

L - -- --+= 00 (n

YI -3x -
l)xl/- I (10)

1/=3 (n - 2)!

y

+_ 1 LOO [1 - (n 1)HI/_2]xl/- 1 (11)
+Y2 = yllnx x - 2 - x -

(n - 2)!

1/=3

También es posible absorber un término más en la sumatoria y mejorar la apariencia de
los resultados. El estudiante puede demostrar que:

+00 (n 3)xl/+1

YI = - L -- -

n=O n!

y

con tal de que sean usadas las convenciones comunes (definiciones) Ha = OYO! = 1.
La solución general de la ecuación diferencial original es:

y = AY1 + By2,
Yvale para toda x> O, ya que la ecuación diferencial no tiene otros puntos singulares en el

plano finito.
Los pasos dados para ir de la ecuación (4) a la (8) deben utilizarse sin alteración en este

tipo de resoluciones. De lo contrario, se encontrarán formas indeterminadas que pueden

. causar confusión. Un punto esencial en este método es la elección aa = (c - c2), donde c2

es la raíz más pequeña de la ecuación indicatriz.

• Ejercicios
Encuentre dos soluciones linealmente independientes, que sean válidas para x > 0, a menos que se indi-

que lo contrario.

1. xy" + y = O.
2. x2y" - 3xy' + (3 + 4x)y = O.
3. 2xy" + 6y' + Y = O.
4 . 4x2y" + 2x(2 - x)y' - (1 + 3x)y = O.
5. x2y" - x(6 + x)y' + lOy = O.
6. xy" + (3 + 2x)y' + 8y = O.
7. x(l - x)y" + 2(1 - x)y' + 2y = O.

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