ecuaciones-diferenciales-rainville-bedient-bedient

2.5 La ecuación lineal de orden uno 35

I 2.5 I La ecuación lineal de orden uno

En la sección 2.4 estudiamos las ecuaciones diferenc!ales de primer orden que eran exac-
tas. Si una ecuación no es exacta, es natural que se intente hacerla exacta introduciendo un
factor adecuado, el cual es llamado factor de integración. En la sección 2.1 multiplicamos
por un factor de integración para separar las variables y con eso obtuvimos una ecuación
exacta.

En general, es muy poco lo que se puede decir acerca de la teoría de factores de integra-
ción para ecuaciones de primer orden. En el capítulo 5 probaremos algunos teoremas que
nos ayudarán en ciertas situaciones aisladas. Sin embargo, hay una clase importante de
ecuaciones en las que la existencia de un factor de integración sí puede ser demostrada. Es-
ta clase es la de las ecuaciones lineales de orden uno.

Una ecuación que es lineal y de orden uno en la variable dependiente y por definición
(sección 1.2) debe ser de la forma:

+dy (1)

A(x) dx B(x)y = C(x).

Al dividir cada miembro de la ecuación (1) entreA(x), obtenemos:

-dy + P(x)y = Q(x), (2)

dx

a la que elegimos como la forma canónica para la ecuación lineal de orden uno.

Por el momento suponga que para la ecuación (2) existe un factor de integración posi-

tivo v (x) > 0, una función que es solamente de x. Entonces,

[~~ +v(x) P(X)Y] = v(x) Q(x) (3)

debe ser una ecuación exacta. Pero (3) se puede anotar fácilmente en la forma:

°Mdx+Ndy =

con,

M = vPy - vQ

y

N= v,

en las que v, P y Q son funciones exclusivas de x .
Por lo tanto, si la ecuación (3) es exacta, el requisito:

aM aN
ay ax

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36 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno

implica que v debe satisfacer la ecuación:

dv (4)
vP=-.

dx

De la ecuación (4), v puede ser obtenida fácilmente, ya que:

dv
Pdx =-,

v

de modo que,

Inv=fPdx,

o

(fv = exp P dx ) . (5)

Esto es, si la ecuación (2) tiene un factor de integración independiente de y, entonces ese
factor debe estar dado por la ecuación (5).

Nos falta demostrar que la v dada por la ecuación (5) es en realidad un factor de integra-
ción de:

dy + P(x)y = Q(x). (2)
dx

Multiplicamos (2) por el factor de integración, obteniendo: (6)

~~exp ( f P dx ) + P exp ( f P dX) y = Q exp ( f P dX) .

El miembro izquierdo de (6) es la derivada del producto:

el miembro derecho de (6) es una función exclusiva dex. De aquí que (6) sea exacta, lo cual
queríamos demostrar. Por supuesto, es suficiente un solo factor de integración. En conse-
cuencia, podemos utilizar en el exponente (f P d x) cualquier función cuya deri vada sea P.

Debido a la gran importancia de las ideas que acabamos de analizar, y como es frecuente
la presencia de ecuaciones lineales de primer orden, a continuación resumimos los pasos
involucrados en la solución de tales ecuaciones:

a) Escribir la ecuación en forma canónica:

dy + Py = Q.
dx

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2.5 La ecuación lineal de orden uno 37

b) Obtener el factor de integración exp (f P d x).
c) Multiplicar ambos miembros de la ecuación (escrita en forma canónica) por el factor

de integración.
d) Resolver la ecuación exacta resultante.

Observe que en la integración de la ecuación exacta la integral del lado izquierdo siempre
es el producto de la variable dependiente multiplicada por elfactor de integración utilizado.

EJEMPLO 2.9
Resuelva la ecuación:

2(y - 4x2) dx + x dy = O.

La ecuación es lineal en y . Al escribirla en forma canónica se transforma en: (7)

-dy + -2 y = 8x cuando x =f. O.

dx x

Entonces un factor integrante es:

(1exp 2 :x) = exp (21n Ix 1) = exp (In x2) = x 2.

Ahora se aplica el factor de integración a (7), así se obtiene la ecuación exacta: (8)

x2 dy + 2xy = 8x3

dx '
que de inmediato se puede escribir como:

(9)

Al integrar (9) encontramos que:

(lO)

Esto puede ser verificado. De (10) obtenemos (8) por diferenciación. Luego la ecuación

diferencial original se deduce de (8) por un ajuste sencillo. De aquí concluimos que (10)

define un conjunto de soluciones para la ecuación original. •

EJEMPLO 2.10
Resuelva la ecuación:

y dx + (3x - xy + 2) dy = O.

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38 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno

Ya que el producto y dy aparece aquí, deducimos que la ecuación no es lineal en y. Pero
sí es lineal en x. Por lo tanto, reacomodando los términos como en:

ydx + (3 - y)xdy = - 2dy

y pasando a la forma canónica, para y # O. (11)

~: + (~ - 1) x = ~2

Ahora, f -(~ 1) dy = 31n Iyl - +y Cl,

de modo que un factor de integración para la ecuación (1) es:

exp (3 In Iyl - y) = exp (3 In Iyl)e - Y

= exp (In IY I3)e-Y
= IYI3 e- y •

Se deduce que cuando y> O, y3e- Y es un factor de integración para la ecuación (11), Ycuan-

do y < O, _y3e- Y sirve como factor de integración. Cualquiera de estos casos nos conduce

a la ecuación exacta:

de la cual obtenemos:

fxie- Y = -2 le - Y dy

= 2le- Y + 4ye-Y + 4e-Y + c.

Así que una familia de soluciones queda definida de manera implícita por: •
xi =2l+4y+4+ceY•

2.6 La solución general de una ecuación lineal

En la sección 1.6 establecimos un teorema de existencia y unicidad para ecuaciones dife-
renciales de primer orden. Si sucede que la ecuación diferencial en ese teorema sea una
ecuación lineal, podemos demostrar un teorema un poco más difícil.

Considere la ecuación diferencial lineal:

-dy + P(x)y = Q(x). (1)

dx

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2.6 La solución general de una ecuación lineal 39

Suponga que P y Q son funciones continuas en el intervalo a < x < b, Yque x = Xoes cual-

quier número en ese intervalo. Si Yo es un número real arbitrario, existe una solución única

y = y (x) de la ecuación diferencial (1) que también satisface la condición inicial:

Además, esta solución satisface la ecuación (1) en todo el intervalo a < x < b.

En esencia, la demostración de este teorema fue hecha en la sección 2.5 . Al multiplicar

la ecuación (1) por el factor de integración v = exp (f P dx) e integrando se obtiene:

*Ya que v O, podemos escribir: fyv = vQdx + c.
fy = v- 1 vQdx+cv- 1•
(2)

*Es muy sencillo demostrar que como v Oy continúa en a < x < b, (2) es una familia de

soluciones para la ecuación (1).

. También es fácil advertir que dada una Xoen el intervalo a < x < b junto con cualquier
número Yo' podemos seleccionar la constante c de modo que y = Yo cuando x = xo·

El resultado de nuestro argumento es que toda ecuación con la forma de la ecuación (1),
para la cual P y Q tengan algún intervalo común de continuidad, tendrá un conjunto único

de soluciones, el cual poseerá una constante de integración que puede ser obtenida intro-
duciendo el f~ctor de integración apropiado. Como estamos seguros de la unicidad de es-
tas soluciones, debemos esperar que cualquier solución obtenida por otro método sea una
de las funciones contenidas en nuestra familia de soluciones con un parámetro. Es por es-
ta razón que a este conjunto de soluciones se le llama solución general de la ecuación (1).
La palabra "general" quiere decir que se han encontrado todas las posibles soluciones que

satisfacen la ecuación diferencial en el intervalo a < x < b.

• Ejercicios

En los ejercicios l al 24 encuentre la solución general.

l. (x 5 + 3y) dx - x dy = O. 6. y'=x - 4xy.

2. y' = X - 2y. 7. y' = cscx + y cotx.

3. (y + 1) dx + (4x - y) dy = O. 8. y' = cscx - Y cotx .

4. u dx+(1-3u)x du = 3u2e3u duo 9. (y - cos2 x) dx + cos x dy = O.

5. udx + (1 - 3u)xdu = 3udu . 10. y' = x - 2y cot2x.

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40 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno

11. (y - x +xy cotx)dx +xdy = O.

12. 2(2xy +4y - 3)dx + (x + 2fdy = O.

13. (2xy + X2 + x 4 ) dx - (1 + x2 ) dy = O.

14. y ,_ my = CIen..", donde c l y m son constantes.

15. y ,_ m 2y = cIen/Ix, donde c l ' mI' m 2 son constantes y mI =1= m 2·

16. v dx + (2x + 1 - vx) dv = O. 19. 2y dx = (x 2 - l)(dx - dy).

17. x(x 2 + 1)y' +2y = (x 2 + 1)3 . 20. dx - (1 +2xtany)dy = O.

18. 2y(y2_X)dy =dx. 21. y'=1+3ytanx.

22. (1 + cos x) y' = sen x (sen x + sen x cos x - y).

23. (x2 + a2) dy = 2x[(x2 + a2)2 + 3y] dx; a es una constante.

24. (x + a)y ,= bx - ny; a, b, n son constantes con n =1= O, n =1= -1.

25 . Resuelva la ecuación del ejercicio 24 para los casos excepcionales donde n = O Y

n = -1.
26. En la forma canónica dy + Pydx = Qdx, haga y = VW, para obtener:

w(dv + Pvdx) + vdw = Qdx.

Luego, seleccionando primero v de modo que:

dv + Pvdx = O

y determinando después w, demuestre cómo completar la solución de:

dy + Pydx = Qdx.

En los ejercicios 27 al 33 encuentre la solución particular indicada.

27. (2x + 3)y I = Y+ (2x + 3)112; cuando x = - 1, y = O.
28. YI = .x3 - 2xy; cuando x = 1, y = 1.

29. L di + Ri = E ; donde L, R YE son constantes, cuando t = O, i = O.
dt
di

30. L- + Ri = E senwt; cuando t = O, i = O.
dt

31. Encuentre la solución de y ,= 2(2x - y) que pase por el punto (O, -1).

32. Encuentre la solución de y I = 2(2x - y) que pase por el punto (O, 1).

33 . (1 + t 2) ds + 2t [st 2 - 3(1 + t 2)2] dt = O; cuando t = O, s = 2.

• Ejercicios diversos

En cada ejercicio encuentre el conjunto de soluciones, a menos que el enunciado del ejercicio indique otra cosa.

1. y' = exp (2x - y). 2. (x 4 + 2y) dx - x dy = O.

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2.6 La solución general de una ecuación lineal 41

3. (3xy + 3y - 4) dx + (x + 1)2 dy = O.
4. (x + y)dx +xdy = O.

5. y2 dx -x(2x +3y)dy = O.

6. (x 2 + l)dx +x2y2 dy = O.
7. y' = x 3 - 2xy; cuandox = 1,y = 2.

8. senedrjde = -1-2rcose. 13. dxjdt=cosxcos2 t.

9. y(x + 3y) dx + x2 dy = O. 14. 3x 3y' = 2y(y - 3).

10. dyjdx = sec2 x sec3 y. 15. xy(dx - dy) = x2 dy + y2 dx.

11. O+x 2)y' = x 4y4. 16. (y-sen 2 x)dx+senxdy = 0.

12. (2x 2-2xy _ y2)dx + xydy =0. 17. (x+2y)dx+(2x+y)dy = 0.

18. (2xy - 3x2) dx + (x 2 + 2y) dy = O.
19. (x 3 + l) dx + y2(3x + ky) dy = O; k es una constante.
20. y(2x 3 - x2y + y3) dx - x(2x 3 + y3) dy = O.

21. y(3 + 2xy2) dx + 3(x2y2 + X - 1) dy = O.
22. y(x2 + y2) dx + x(3x 2 - 5y2) dy = O; cuando x = 2, y = 1.

23. y '+ ay = b; a y b son constantes. Resuélvala con dos métodos.

24. (x - y) dx - (x + y) dy = O. Resuélvala con dos métodos.

25. (sen y - y sen x) dx + (cos x + x cos y) d y = O.
26. 0+ 4xy - 4x 2y) dx + (x 2 - x 3) dy = O; cuando x = 2, y = ~.

!Jr,27. (2y cosx + sen4 x) dx = sen x dy; cuando x = Y = 1.

28. a2(dy - dx) = x2 dy + y2 dx; a es una constante.

Al resolver los ejercicios 29 al 33 recuerde que el valor principal arcsen x de la función inversa del seno,
está restringido como sigue: -! 7T::S arcsen x ::S! 7T. Los ejercicios 30, 31 Y32 se refieren a los segmen-
tos de arco de la figura 2.4 que muestra la gráfica de la elipse:

29. JI=Yidx + vT=X2dy = O.

30. Resuelva la ecuación del ejercicio 29 con la condición adicional de que cuando x = O,

31. Resuelva la ecuación del ejercicio 29 con la condición adicional de que cuando x = O,

32. Demuestre que después de eliminar las respuestas a los ejercicios 30 y 31, los arcos
restantes de la elipse

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42 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno

y

------~------~------~------ x

Figura 2.4

no son soluciones de la ecuación diferencial:

JI"=Y2dx + ~dy = O.

Para lograr este objetivo tome en consideración el signo de la pendiente de la curva.
33. Para la ecuación

JI"=Y2dx - ~dy =0

plantee y resuelva cuatro problemas análogos a los ejercicios 29 al 32.

34. u du = (e V + 2uu - 2u) du. 36. y(y2 - 3x2) dx + x 3dy = O.

35. y2dx-(xy+2)dy=0. 37. y'=ytanx +cos x.

38. (x 3 - 3xy2) dx + (y3 - 3x2y) dy = O.

39. (l-x 2)y' =1 -xy-3x2+2x4 . 42. x 2y' = y(1 - x) .

40. (y3 _x 3 ) dx = xy(x dx + ydy). 43. xy' = x - y +xy tanx.

41. y' = secx - y tanx. 44. y2 dx + x2 dy = 2xy dy.

45. ydx = (3x + y3 - y2)dy; cuandox = 1, Y =-1.

46. (x 2 - 2xy - y2) dx - (x 2 + 2xy - y2) dy = O.

47. y2dx + (xy + y2 -l)dy = O; cuando x = -1, Y = l.

48. y' = cosx - ysecx; cu,ando x = O, Y = l.

49. Encuentre la solución de y ,= 3x + y que pase por el punto (-1, O). .
50. Encuentre la solución de y I = 3x + y que pase por el punto (-1, 1).

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2.7 Suplemento para computadora 43

51. (x 2 - 1 + 2y) dx + (1 - x2) dy = O; cuando x = 2, Y = 1.
52. (y2 + y) dx - (y2 + 2x y + x) dY = O; cuando x = 3, Y = 1.
53 . (3x 4 y - 1) dx + x 5 dy = O; cuando x = 1, Y = 1.
54. (sen x sen y + tan x) dx - cos x cos y dy = O.
55. (3xy - 4y - 1) dx + x(x - 2) dy = O; cuando x = 1, Y = 2.

I 2.7 I Suplemento para computadora

En este capítulo iniciamos el proceso para resolver ecuaciones diferenciales de manera
analítica. La mayor parte de los métodos descritos involucra la integración de alguna ma-
nera y, por lo tanto, están sujetos a resolverse utilizando los Sistemas de Álgebra Compu-
tacional (SAC) que pueden integrar de manera simbólica. Como una sencilla muestra
considere la ecuación diferencial separable del ejemplo 2.1 en la sección 2.1 :

dy = 2y
dx x

La solución dada en el texto implica la separación de las variables y la integración inme-
diata de ambos miembros de la ecuación resultante. Las integraciones pueden ser realizadas
en Maple por medio del siguiente comando:

>int(1/y,y) =int(2/x,x)+C;

ln(y) = 2 ln(x) + e

Esta solución implícita puede ser resuelta para y y simplificada por:

>sol ve(" , y);

e21n(x)+C

>s implify ( " ) ;

Consideremos también la ecuación (7) dada en el ejemplo 2.7 de la sección 2.4,

3x(xy - 2) dx + (x 3 + 2y) dy = O.

Aquí el primer paso es verificar si la ecuación es exacta. Maple puede hacer esto como
sigue:

>M: = 3*x* (x*y- 2) ; M := 3 x (xy - 2)
>N: = (x"3+2*y) ; N:= x 3 +2y
>di ff (M, y) ;

>di f f (N, x) ;

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44 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno

La ecuación resulta ser exacta. Podríamos usar la computadora para completar los pasos restan-

tes del proceso. Afortunadamente, los programas que trabajan con expresiones simbólicas, en

su mayor parte, están diseñados para encargarse de todos los pasos de una sola vez. Primero, re-

grese al primer ejemplo citado anteriormente. Podemos introducir la ecuación diferencial como

>diff(y(x) , x) =2*y/ x;

d 2y
-y(x) =-
dx x

Esta ecuación puede ser resuelta en un comando:

>dsolve ( " ,y(x ));

y(x) = X 2 _el

El segundo ejemplo es casi igual de fácil:
>(3*x*(x*y- 2) )+(x A3+2*y)*diff(y(x) , x)=O ;

°3x (xy -
2) + (x3 +2 y) d =
- y (x)
dx

>dsolve ( " ,y(x));

Por último, la computadora también puede resolver problemas de valor inicial. Veamos,
considere la ecuación (8) en el ejemplo 2.3 de la sección 2.1 :

(1 + l) dx + (1 +x2) d y = 0,

con la "condición inicial" de que cuando x = 0, y = - l . La ecuación es introducida como:

>diff(y(x) , x) =-(l+y(x)A2) / (l+x A2 ) ;

d 1 + (y(x»2

dx Y(x) = - 1 +x2

y luego resuelta mediante:

>dsolve({" , y(O) =-l } ,y (x)) ;

¡).y(x) = tan ( - arctan (x) -

• Ejercicios

1. Utilice un Sistema de Álgebra Computacional para resolver una muestra representati-
va de los problemas trabajados en el presente capítulo. Asegúrese de incluir algunos
con condiciones iniciales y otros sin éstas. Es probable que se encuentre con algunos
problemas que el SAC no podrá resolver usando técnicas básicas. Verifique si su siste-
ma tiene técnicas más avanzadas para resolverlos.

2.. Un SAC es capaz de resolver aún ecuaciones tan generales como dy/dx + P(x)y =

Q(x). Inténtelo en su sistema.

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Métodos

,/

nUmerlCOS

3. 1 Observaciones generales

No existe un método general que nos dé una forma explícita para encontrar la solución de
una ecuación diferencial. En la práctica, nos encontramos con ecuaciones específicas para
las que no se conoce un método de resolución o para las cuales las formas explícitas de
solución no son las adecuadas para los cálculos. Por estas razones, son tan importantes méto-
dos sistemáticos y eficaces que nos lleven a una aproximación numérica de las soluciones.
Desafortunadamente, el dominio de buenos métodos numéricos exige mucho tiempo de
práctica y la disponibilidad de una computadora adecuada.

Este capítulo está restringido a un estudio parcial de algunos de los métodos más senci-
llos y útiles. Aquí el propósito es dar al estudiante un concepto de los principios fundamenta-
les para obtener aproximaciones numéricas a las soluciones. Considerarem0s un problema
que no es posible resolver con los métodos desarrollados hasta el momento y le aplicare-
mos varios procesos numéricos.

3.2 Método de Euler

Buscamos obtener la solución de la ecuación diferencial:

y'=y-xl (1)

para la cual y = 1 cuando x = O. Deseamos aproximar la solución y = y (x) en el intervalo

o:::;x:::;l

La ecuación (1) puede ser escrita en forma diferencial como:

(2)

La figura 3.1 muestra el significado geométrico de la diferencial dy y de ~y, el cambio real
en y, inducido por un incremento dx (o ~) aplicado a x. En cálculo se muestra que cerca de
un punto donde exista la derivada, dy puede hacerse tan aproximado a ~y como se desee to-
mando un ~ x lo suficientemente pequeño.

Digamos que, conociendo el valor de y en x = O, deseamos calcular y para O :::; x :::; -±.

Suponga que elegimos ~ = 0.1; entonces dy puede ser calculado de:

dx = cY - X2) ~.

45

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46 Capítulo 3 Métodos numéricos

A saber, dy = (1 - 0)(0.1) = 0.1. Así, para x = O + 0.1, el valor aproximado de y es
1 + 0.1. Ahora tenemos x = 0.1, Y = 1.1. Otra vez elegimos Llx = 0.1. Entonces:

de modo que dy = 0.12. De aquí que en x = 0.2, el valor aproximado de y sea 1.22. El cálcu-
lo completo usando Llx = 0.1 se muestra en la tabla 3.1. Los cálculos se realizaron con seis
cifras decimales y después el resultado se redondeó a tres cifras decimales.

El incremento Llx no necesita ser constante a lo largo de todo el intervalo. Donde la pen-
diente sea grande, se toma un incremento pequeño. Por simplicidad en los cálculos, aquí se
usarán incrementos iguales.

Es útil repetir los cálculos con un incremento más pequeño y notar los cambios que
resultan en los valores aproximados de y . La tabla 3.2 muestra un cálculo con
Llx = 0.05.

En la tabla 3.3 tenemos los valores de y que se obtuvieron de los cálculos en las tablas
3.1 y 3.2, Ylos valores de y obtenidos usando Llx = 0.01 (no se muestran los cálculos), ade-
más de los valores correctos de y redondeados a tres cifras decimales.

y

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3.2 Método de Euler 47

TABLA 3.2 ~x = 0.05

x y y2 x2 (y2 _ X2) dy

0.00 1.000 1.000 0.000 1.000 0.050
0.05 1.050 1.102 0.002 1.100 0.055
0.10 1.105 1.221 0.010 1.211 0.061
0.15 1.166 1.359 0.022 1.336 0.067
0.20 1.232 1.519 0.040 1.479 0.074
0.25 1.306 1.706 0.06~ 1.644 0.082
0.30 1.388 1.928 0.090 1.838 r 0.092
0.35 1.480 2.192 0.122 0.103
0.40 1.584 2.508 0.160 2.069 0.117
0.45 1.701 2.894 0.202 2.348 0.135
0.50 1.836 2.692

TABLA 3.3

Cuando ~x = 0.1 ~x = 0.05 Sx = 0.01 Correcta
x y
y yy
0.0 1.000
0.1 1.000 1.000 1.000 1.l11
0.2 1.100 1.105 1.l10 1.247
0.3 1.220 1.232 1.417
0.4 1.365 1.388 1.244 1.637
1.542 1.584 1.411 1.934
0.5 1.764 1.836 1.625
1.911

Los valores correctos fueron obtenidos mediante el método que veremos en la sección
3.7. Su disponibilidad en cierto sentido es accidental. Con frecuencia no sabemos de qué
forma obtener el valor correcto de y con un grado específico de exactitud. En tales casos es
costumbre recurrir a la disminución del tamaño del incremento hasta que los valores de y
muestren cambios no mayores que los errores que estamos dispuestos a permitir. Entonces
se espera que el cambio constante de los valores de y se deba a que nos encontramos cerca
de la solución correcta, en lugar de atribuido a la lentitud de convergencia del proceso uti-
lizado (lo cual también es posible).

Para el problema más general de valor inicial:

-dy = f(x, y); cuandox = Xo, y = yo, (3)

dx

la sucesión de aproximaciones descritas anteriormente puede ser expresada en términos de las
relaciones de recurrencia:

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48 Capítulo 3 Métodos numéricos

Xk+ 1 = Xk + h (4)
Yk+1 = Yk + hf(xk, Yd,

para k = O, 1, 2, ... . Aquí hemos usado h para el valor de ru:.

La técnica descrita líneas arriba es conocida como el método de Euler, aunque no invo-
lucra nada más que la aproximación lineal de cálculo elemental.

• Ejercicios

En cada uno de los ejercicios siguientes, utilice el método de Euler con el Dx indicado para aproximar la
solución al problema de valor inicial en el intervalo dado. En los ejercicios 1 al 6, resuel va el problema por
métodos elementales y compare los valores aproximados de y con los valores correctos.

1. y' = x + y; cuando x = O, Y = 1; box = 0.1 Y O ::: x ::: 1.
2. Utilice ru: = 0.05 en el ejercicio l.
3. y' = x + y; cuando x = O, Y = 2; box = 0.1 Y O ::: x ::: 1.

4. y' =x +y; cuandox = l,y=l; box=0.lyl:::x :::2.

5. y' = x + y; cuando x = 2, y = -1 ; box = 0.1 Y 2::: x::: 3.

6. y' = 2x - 3y; cuando x = O, y = 2; ;0.x = 0.1 Y O::: x::: 1.

7. y' = e-xy ; cuando x = O, Y = O; box = 0.2 Y O::: x ::: 2.

8. Utilice ru: = 0.1 en el ejercicio 7.
9. y' = (1 +x2 + /)-1; cuando x = O, y = O; box = 0.2 Y O::: x::: 2.
10. Utilice ru: = 0.1 en el ejercicio 9.
] 1. y' = (cosx + seny)1 /2; cuando x = O, y = 1; box = 0 .2 Y O::: x::: 2.
12. Utilice ru: = O.] en el ejercicio] 1.

13. cuando x = O, y = O; box = 0.2 Y O ::: x ::: 2.

3.3 Una modificación al método de Euler

En cada paso del método de Euler, como se describió en las ecuaciones (4) de la sección
3.2, la nueva aproximación Yk+1 utiliza la pendientef(xk, Yk). Esta pendiente es calculada

en (xk' yk), un punto que está en el extremo izquierdo del intervalo xk :::; x :::; xk + h. Es ra-

zonable suponer que se obtendría una mejor aproximación para el valor de Yk+1 si la pen-
diente fuera calculada en el punto medio del intervalo en lugar de usar el extremo.
izquierdo. Una modificación en el método de Euler hace uso de esta observación.

Procedemos de la siguiente manera: a partir del punto inicial (xo' Yo) y mediante el mé-

todo de Euler determinamos el punto (XI' y), luego repetimos este paso empezando otra

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3.4 Un método de aproximación sucesiva 49

vez en el punto inicial (xo' Yo)' Sin embargo, en la segunda ocasión usamos el método de
Euler con un tamaño de incremento de 2h y tomando el valor de la pendiente en el punto
(xl' y,), un punto que está a la mitad del nuevo intervalo

Xo ::::x ::::Xo + 2h.

Por lo tanto, las fórmulas para el método modificado de Euler son:

+Xl = Xo h,
Yl = yo + hf(xo, yo)

y

Xk+2 = Xk + 2h, k ::::0,

+Yk+2 = Yk 2hf (Xk+ 1 , Yk+l), «> O.

Al aplicar el método modificado de Euler al problema:

Xo = 0, Yo = 1,

se obtienen los resultados de la tabla 3.4. Por comparación con la tabla 3.3 vemos que hay
una mejora considerable en la precisión de los valores calculados de y.

TABLA 3.4

Cuando h = 0.1 h = 0.05 h = 0.01 Correcta

X y Y Y Y
1.000 1.000 1.000
0.0 1.000 l.l00 l.l11 l.l11
0.1 l.l00 1.245 1.247 1.247
0.2 1.240 1.414 1.417 1.417
0.3 1.400 1.631
0.4 1.614 1.922 1.637 1.637
0.5 1.888 1.933 1.934

• Ejercicios

En cada uno de los ejercicios de la sección 3.2, utilice el método modificado de Euler para aproximar la
solución del problema de valor inicial en el intervalo dado. Compare estos resultados con los obtenidos
por el método de Euler.

I 3.4 I Un método de aproximación sucesiva

Ahora abordaremos nuevamente el problema anterior,

X = 0, y = 1, (1)

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50 Capítulo 3 Métodos numéricos

con la y requerida en el intervalo O ::5 x ::5 ~, por el método sugerido en el análisis del
teorema de existencia del capítulo 13. Una vez aplicados los enunciados hechos en ese aná-
lisis, concluimos que la solución deseada es y = y(x), donde:

y(x) = lim Yn(x)
n->oo

y la sucesión de funciones ylI(x) está dada por Yo(x) = 1, Y para n 2: 1, (2)

lx

Yn(X) = 1 + [Y~_I (t) - t2] dt.

Para el problema en cuestión,

lX

YI(X) = 1+ O-t2)dt,

=1+x-tx3.

Ahora obtenemos la segunda aproximación, encontrando y/x) a partir de yl(x) por me-
dio de (2). Así tenemos que:

lx

Y2(X) = 1 + [O + t - tt3)2 - t2] dt,

+ + += 1 x
x2 - !x4 - 11.5.x5 ..!..x7
6 63'

Entonces Ylx), Ylx), ... , pueden ser obtenidas de manera análoga, cada una a partir del
elemento precedente en la sucesión YII(X).

En la tabla 3.5 se muestran los valores tomados por yl(x), y/x) y ylx) a intervalos de
0.1 en x, junto con los valores correspondientes de y(x) redondeados a dos decimales, co-
mo se obtuvieron en la sección 3.7.

Debe tomarse en cuenta que la utilidad de este método no depende de nuestra habilidad
para realizar las integraciones en un sentido formal. Puede ser mejor realizar las integra-
ciones por medio de algún proceso numérico, como la regla de Simpson.

TABLA 3.5

x YI (x) Y2(X) Y3(X) y(x)

0.0 1.00 1.00 1.00 1.00
0.1 1.10 1.11 1.11 1.11
0.2 1.20 1.24 1.25 1.25
0.3 1.29 1.39 1.41 1.42
0.4 1.38 1.56 1.62 1.64
0.5 1.46 1.74 1.87 1.93

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3.5 Una mejora en el método de aproximación sucesiva 51

• Ejercicios

1. Aplique el método estudiado en esta sección para resolver el problema (ejercicio 1,
sección 3.2)

y' = x + y; cuando x = 0, y = l.

Obtenga y¡(x), Yix ) y Y3(x).

°2. Calcule una tabla de valores con dos decimales de Yl' Y2' Y3 en el ejercicio 1 para
x = a x = 1 a intervalos de 0.1. También tabule los valores correctos de y obtenidos
a partir de la solución elemental del problema.
3. Obtenga y¡(x), yix) y Y3(x) para el problema de valor inicial (ejercicio 4, sección 3.2)

y' = x + y; cuando x = 1, Y = l.

Sugerencia : exprese el integrando de la integral en la ecuación (2) en potencias de
t - 1 antes de integrar.
4. Calcule una tabla de valores con dos decimales de las y ¡, Y2' Y3 en el ejercicio 3 para x

= 1 a x = 2 a intervalos de 0.1. También tabule los valores correctos de y obtenidos a

partir de la solución elemental del problema.

3.5 Una mejora en el método de aproximación sucesiva

En el método utilizado en la sección 3.4, cada una de las y/x), donde n = 0, 1,2, ... , produ-
ce una aproximación a la solución y = y (x). Por lo regular es factible que, mientras una
aproximación en particular Yk(X) sea más correcta, su sucesora Yk+' (x) sea mejor.

El problema de valor inicial que estamos tratando es:

x = O,y = 1

el cual nos indica de inmediato que en x = 0, la pendiente es y ' = l. Pero en la sección 3.4,

siguiendo a ciegas una sugerencia dada en el capítulo 13, iniciamos con yo<x) = 1, una rec-

ta que no tiene la pendiente correcta en x = O.

Por lo tanto, es razonable cambiar nuestra aproximación inicial, seleccionando Yo(x)
para que tenga la pendiente correcta en x = 0, y = l. De aquí que escojamos:

Yo(x) = 1 + x

y procedamos a calcular y,(x), Yix), ... , como antes. Ahora las etapas sucesivas de aproxi-
mación ay (x) serán:

fax+ +y, (x) = 1
[(1 t)2 - t 2] dt

=1+ x +x2;

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52 Capítulo 3 Métodos numéricos

TABLA 3.6 y(X)

x YI (x) Y2(X) Y3(X) 1.00
1.11
0.0 1.00 1.00 1.00 1.25
0.1 1.11 1.11 1.11 1.42
0.2 1.24 1.25 1.25 1.64
0.3 1.39 1.41 1.42 1.93
0.4 1.56 1.62 1.64
0.5 1.75 1.87 1.92

Y2(x)=1+ fox[(1+t+t2)2-t2]dt

= 1 + x + X2 + ~X3 + ~X4 + ~X5;

y así por el estilo. En la tabla 3.6 se muestran los valores obtenidos, por este método, de
Yl' Y2' Y3junto con los valores correctos de y .

• Ejercicios

l. Aplique el método estudiado en esta sección para obtener las aproximaciones y l' Y2' Y3'
para el problema del ejercicio 1 en la sección 3.2.

2. Tabule con dos decimales YI' Y2, Y3 del ejercicio 1junto con los valores correspondien-
tes de la solución exactay(x) = 2e'" - 1 - x.

3. Aplique el método visto en esta sección al obtener las aproximaciones Yl' Y2, Y3 para el
problema del ejercicio 3 en la sección 3.4.

4. Compare las YI' Y2' Y3 del ejercicio 3 con la serie de Taylor en potencias de x - 1 para
la solución exacta:

y(x) = 3 exp (x - 1) - (x - 1) - 2.

I 3.6 I Uso del teorema de Taylor

Para los estudiantes familiarizados con el cálculo elemental, el enfoque más natural al calcu-
lar la aproximación de soluciones es por medio del teorema de Taylor. Si consideramos el
problema de valor inicial:

y' = F(x, y); x = Xo, y = yo, (1)

podemos calcular las derivadas sucesivas de la solución y = y (x) en x = Xo utilizando (1) ..

Adoptamos la notación:

yb = y'(xo), y~ = y"(xo),

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3.6 Uso de/teorema de Tay/or 53

y recordando que el teorema de Taylor sugiere la fórmula de aproximación: (2)

11 (n)

Y ""--'' Yo + Yo, (x - Xo ) + -Yo (x - Xo )2 + ... + -Yo (x - X. o )n .

2! n!

Una ventaja de usar la aproximación en (2) es que podemos estimar el error en nuestro
cálculo examinando el valor del término del residuo en el teorema de Taylor. Para la rela-
ción (2) este residuo toma la forma:

y(Il+I)(C)
-'---- (x - XO),,+I
(n+l)! ' (3)

donde e es algún número entre x y xo'
Debe quedar claro que la factibilidad de esta técnica para aproximar soluciones de-

penderá en gran medida de lo difícil que nos resulte obtener los valores de las derivadas
involucradas . Si la función F(x, y) es muy complicada, puede volverse necesaria una
gran cantidad de cálculos para producir una aproximación razonable utilizando el teore-
ma de Taylor.

Para el ejemplo:

xo=O,yo=l, (4)

es relativamente fácil demostrar que:

y" = 2yy' - 2x, (5)

y"' = 2yy" + 2(y')2 - 2,
/4) = 2yy"' + 6y' y",
y(5) = 2yy<4) + 8y'y"' + 6(y")2.

Así podemos obtener los valores:

Yo = 1, yb = 1, y~ = 2, y~' = 4, Y64) = 20, Y Y65) = 96.

Por lo tanto, la ecuación (2) se transforma en:

(6)

En la tabla 3.7 se da un indicio de la precisión de la ecuación (6). Los valores de y obte-
nidos a partir de la ecuación (6) para varios valores de x son mostrados junto con los valo-
res de Y redondeados a dos decimales.

Otro indicio de error al utilizar la ecuación (6) para la estimación del valor de Y cuando
x = 0.5 puede apreciarse si se examina el término subsecuente en el desarrollo de la serie

de Taylor. Esto es, podemos calcular el valor de (96/5 !)x5 en x = 0.5 Yencontrar que el error

es al menos tan grande como 0.02.
Un estudio más cuidadoso del término del residuo dado en la ecuación (3) podría ser uti-

lizado para obtener una mejor estimación del error en nuestros resultados. Sin embargo, en

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54 Capítulo 3 Métodos numéricos

TABLA 3.7

x y y Correcta

0.0 1.00 1.00
0.1 1.11 1.11
0.2 1.25 1.25
0.3 1.41 1.42
0.4 1.62 1.64
1.93
0.5 1.89

la práctica es muy difícil hacer dicha estimación a causa de la complejidad de las deri vadas
involucradas y el hecho de que no conocemos el valor de e.

• Ejercicios

En cada uno de los siguientes problemas de valor inicial utilice el teorema de Taylor; conserve potencias
de x - Xo lo suficientemente altas como para aproximar los valores de y con una precisión de dos decima-
les en el intervalo dado mediante los incrementos preescritos en x. En los ejercicios 1 al 6, compare los
valores estimados con los valores correctos obtenidos al resolver el problema de manera exacta usando
métodos elementales.

l. Ejercicio 1, sección 3.2. 4. Ejercicio 6, sección 3.2.

2. Ejercicio 3, sección 3.2. 5. Ejercicio 5, sección 3.2.

3. Ejercicio 4, sección 3.2.

+6. y' = y2 x2; cuando x = O, y = 1; /';.x = 0.1 Y O S x S 0.5.

7. y' = y2 - x2; cuando x = O, Y = 1; S» = 0.1 Y O S x S 0.5.

8. Utilice series de Taylor para redondear a tres decimales el valor de la solución al pro-
blema:

y'= _xy2; cuando x = O,y = 1,

para x = 0.1,0.2 Y0.3. Compare sus resultados con los valores obtenidos al resolver el
problema por medios elementales.

I 3.7 I Método de Runge-Kutta

Desde un punto de vista computacional, la mayor desventaja con que nos topamos al usar
la serie de Taylor para estimar los valores de las soluciones de ecuaciones diferenciales es
que cada coeficiente presente en la serie involucra una función derivada diferente, de modo
que cada aproximación requiere el cálculo de los valores de varias funciones diferentes.
Ahora consideraremos una técnica muy utilizada que requiere el cálculo de una sola fun-
ción en varios puntos en lugar del cálculo de varias funciones diferentes en un solo
punto.

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3.7 Método de Runge-Kutta 55

Consideremos el problema de valor inicial:

y' = F(x, y); cuando x = xn' y ·= Yn' (1)

y por conveniencia adoptemos la notación:

Fn = F(xn, yn)· (2)

Empezamos por considerar la recta tangente a la curva solución en el punto (xn ' yn). La
ecuación de esta recta está dada por:

(3)

Por lo tanto, el valor de y para esta recta tangente en x = xn + h es y = Yn + hFn. Si defini-

mosK¡ = Fn y calculamos Fenel punto(xn + h'Yn + hK¡), obtenemos K2 = F(xn + h'Yn +

hK¡). Así K¡ y K2 representan los valores de y' en dos puntos que resultan ser los dos extre-
mos del segmento de una recta tangente. Si consideramos la media aritmética de estos va-

lores de y', es decir, t(K¡ + K2), Yremplazamos la tangente con una nueva recta que pase

por (xn' yn) y tenga esta pendiente, obtendremos:

y = Yn + ~(K¡ + K2)(X - xn).

Para x = xn + h, esta recta tiene un punto cuya coordenada y es:

y = Yn + h + K 2), (4)
2(K¡

donde, K ¡ =Fn (5)
y

(6)

Las generalizaciones de la idea anterior son la base del método de Runge-Kutta. En lu-

gar de escoger la recta tangente como medio para aproximar el valor de y en x = xn + h,

elegimos una recta cuya pendiente es un promedio de los valores de y' en varios puntos
cuidadosamente seleccionados. Cuando se utilizan sólo dos puntos, como se acaba de mos-
trar, la idea puede ser representada como en la figura 3.2.

Ahora describiremos la idea intuitiva subyacente al esquema más elaborado. De nuevo
definimos a K¡ = Fn como la pendiente en el punto P. Esta vez, definimos K2 como la pen-
diente en el punto medio M del segmento de recta de la tangente PQ. A partir de la

ecuación (3) encontramos que M es (xn + ~ h, Yn + ~ h K 1) y, por lo tanto,

K2 = F(xl1 + ~h, YI1 + ~hKI).

La recta que pasa por P con pendiente K2 tiene ecuación:

y = Yn + Kz<x - xn),

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56 Capítulo 3 Métodos numéricos

y

~+h~~--------------------~~~_

~~----------~

o-----r----------~------------~--- x

Figura 3.2

y, tomando x = x" + -!-h, obtenemos un punto sobre esta segunda recta, a saber (x" + -!-h,
Y" + -!-h k2)· Ahora, definiendo k3 = F(x" + -!-h, Y" + -!-h k2 ), consideramos una tercera rec- ,

ta que pasa por P y tiene pendiente K3' Su ecuación es:

Y = Yn + Klx - x,,).
El valor de Y para esta tercera recta en x = xn + h es Yn + hK3' Ahora definimos K4 =
F(x" + h, Yn + hK3) como el valor de Y I en el cuarto punto.

Así los números K¡, K2, K3 Y K4 representan los valores de Y I en cuatro puntos, uno con

x = xn' dos con x = xn + -!-h y otro con x = xn + h. Ahora determinamos la media pondera-

da de estos cuatro números,

y consideramos una recta que pasa por P con pendiente K. Su ecuación es: (7)

Y = Yn + K(x - x). (8)
El valor de Y para esta cuarta recta en x = xn + hes:
(9)
Yn+¡ = Yn + hK , OQ)
(1)
donde, (2)

K = i(K¡ + 2K2 + 2K3 + K4),

K¡ = Fn,

K2 = F(xll + !h, Yn + !hK¡),
K3 = F(xn + !h , Yn + ! hK2),
K4 = F(xn + h, Yn + hK3)·

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3.7 Método de Runge-Kutta 571

TABLA 3.8 0.2
1.25
x O 0.1

Y 1.00 1.11
K, 1.00 1.22

x +!2h 0.05 0.15

Y + ~hK, 1.05 1.17

K2 1.10 1.35

Y + ~hK2 1.06 1.18

K 3 1.12 1.37
x +h 0.10 0.20
y + hK3 1.11 1.25

K4 1.22 1.52
K 1.11 1.36

Las fórmulas (7) a (12) se deben a Runge (1856-1927) y Kutta (1867-1944). Los facto-
res de peso particulares asignados a las KJ' K2, K3 YK4 en la ecuación (8) se escogen de modo
que el valor de Yn + J calculado por el método de Runge-Kutta y el valor calculado por una
fórmula de Taylor con cinco términos,

_ h I h2y~ h 3y~' h4y~4)

YIl+ J - YIl + YIl + 2! + 3! + 4! '

difieran en una cantidad proporcional a h5• La demostración de este hecho no se dará aquí
pero puede encontrarse en varios textos de análisis numérico. Aunque sí debemos hacerle
notar que si F(x, y) no involucra de manera explícita a la variable y, entonces las fórmulas
de Runge-Kutta quedan reducidas a la conocida regla de Simpson de cálculo elemental.
(Véase el ejercicio 14 de la siguiente página.)

EJEMPLO 3.1

Resuelva el ejemplo de la sección 3.2 por medio del método de Runge-Kutta.

En la tabla 3.8 presentamos los resultados de los cálculos para x = 0.1 Yx = 0.2 Ydeja-

mos el resto de los cálculos para los ejercicios. •

• Ejerddos

"c

En cada uno de los ejercicios siguientes. utilice el método de Runge-Kutta para aproximar la solución al

problema de valor inicial en el intervalo dado. En los ejercicios 2 al 6 compare los valores aproximados

con los valores correctos obtenidos por métodos elementales.

l. Continúe los cálculos del ejemplo 3.1 y obtenga valores aproximados de y para
x = 0.3,0.4 Y0.5.

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58 Capítulo 3 Métodos numéricos

2. Ejercicio 1, sección 3.2. 8. Ejercicio 7, sección 3.2.

3. Ejercicio 2, sección 3.2. 9. Ejercicio 8, sección 3.2.

4. Ejercicio 3, sección 3.2. 10. Ejercicio 10, sección 3.2.

5. Ejercicio 4, sección 3.2. Il. Ejercicio 11 , sección 3.2.

6. Ejercicio 5, sección 3.2. 12. Ejercicio 12, sección 3.2.

7. Ejercicio 6, sección 3.2. 13. Ejercicio 8, sección 3.6.

14. Demuestre que si la función F(x, y) en la ecuación (1) de esta sección no involucra
explícitamente a la variable y, entonces las fó rmul as de Runge-Kutta de la (7) a la ( 12)
se reducen a un caso especial de la regl a de Simpson.

3.8 Un método de continuación

Los métodos empleados en las secciones anteriores de este capítulo pueden llamarse mé-
todos "de partida" para encontrar aproxi maciones a las sol uciones del problema:

y' = F(x , y); x = Xo , y = yo· (1)

Con esto queremos decir que no se conoce información adicional a la dada en el problema

(1) . Una vez obtenido un valor aproximado de YI para XI = X o + h, lo utili zamos para calcu-

lar Y2' y así sucesivamente. Ahora describiremos un método de "continu ación" desarrolla-

do por M ilne ( 1890- 1971 ).1

Suponga que conocemos los valores de YI/' YI/_ I' YI/ - 2 Y YI/-3 ' Entonces podemos calcular
los valores de FI/' FI/ _I' FI/_2' FI/ _3' de la ecuación (l). Ahora aproximamos y '(x) por medio
de un polinomio cúbico que pase por los cuatro puntos (xn' F,), (xl/_ l ' Fn _ I), (xn - 2, Fn - 2) y
(xl/ _3' FI/_ 3)' Es posible demostrar que esto puede hacerse y que el polinomio obtenido así es
úni co. Usando e~te polinomio en lugar de y' (x) en la integral:

1X" + 1 (2)

YI/ + I-Y,, -3 = . y'(x)dx ,

·\11 - 3

realizando la integración y simplificando, se obtiene una aproximación de Yn+ l ' El resulta-
do es:

+ +( 1) 4h (3)

.V"+ 1 = .)',,-3 -3(2F" - F,, _ I 2F,, _2).

Los detalles de esta deducción son analizados en el ejercicio 10.
El problema de estimar el error de nuestras aproximaciones y del diseño de programas

para reducir o corregir errores es crucial en cualquier método que utilicemos. En el méto-
do de Milne, (3) es conocida como una fórmula de predicción y el valor y II(~I obtenido de
ella es empleado para encontrar un valor corregido para Yn+ l '

1 Por ejemp lo. véase W. E. Milne. Numerical Solutions oJ DijJerential Equariol/s (Nueva York: John Wiley & Sonso
lnc.. 1953). capítulos 3 y 4.

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3,8 Un método de continuación 59

TABLA 3,9

n Xll y" F"

O 0.0 1.00 1.00

1 0.1 l.l1 1.22

2 0.2 1.25 1.52

3 0.3 1.42 1.92

En el ejercicio 11 se sugiere una deducción de la fórmula de corrección. El resultado
es:

(2) h + 4FIl + F"+I), (4)
Y,,+I = Y,,-I + 3(Fn-1

Fn+ n(:'\donde el valor de ¡ se calcula usando la y obtenida de la fórmula de predicción.

Para ilustrar el procedimiento mencionado previamente, nos servimos del método de

Milne para encontrar el valor de y en x = 0,4 en el problema:

y' = l- x2; X = O, Y = 1.

Como punto de partida, tomamos los valores de Y¡, Y2 y Y3' que fueron calculados por me-
dio del método de Runge-Kutta. Dichos valores se presentan en la tabla 3.9.

Ahora aplicamos la fórmula de predicción (3) y obtenemos,

+ 3((1) 4h2F3 - F2 - 2F1)
Y4 = Yo

= 1.00+ 4(~·1)[2(1.92) -1.52+2(1.22)]
= 1.63.

Usar este valor para calcular F4 y aplicar la fórmula de corrección (4) nos da,

(2) h
Y4 = Y2 + 3(F2 + 4F3 + F4)

0.1 + 4(1.92) + 2.50]
= 1.25 + -[1.52

3
= 1.64.

• Ejercicios

l. Continúe trabajando en el problema de esta sección para estimar los valores de Y en 0.5
y 0,6,

En los ejercicios 2 al9, utilice el método de Runge-Kutta al obtener valores estimados para Y" Y2' Y3 Y
luego calcule aproximaciones para Y4 Y Y5 por medio del método de Milne.

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60 Capítulo 3 Métodos numéricos

2. Ejercicio 1, sección 3.2. 6. Ejercicio 7, secc ión 3.2 .

3. Ejercicio 3, sección 3.2. 7. Ejercicio 9, sección 3.2.

4. Ejercicio 4, sección 3.2. 8. Ejercicio 11, sección 3.2.

5. Ejercicio 6, sección 3.2. 9. Ejercicio 13, sección 3.2.

10. Sean:

\1F" = F" - F,, _ I ,

+\12F" = \1(\1F,,) = \1(F" - Fn - I ) = F" -2F,,_1 F,,-2,

\13F" = \1(\12F,,) .

(a) Verifique si la gráfica de:

y= F" + \1 F" - x,,) + \12F" x,,)(x - X,, _ I)
T!h(X
2 !h 2 (x -

+ \13F"
- -3 (x - XIl)(X - X,, _ I)(X - X,, -2 )
3 !h

pasa por los cuatro puntos (x,,_ 3' F" _3)' (X,, _2' F" _2)' (X,, _ I' F,, _I) y (x"' F,).

(b) Use el polinomio anterior en sustitución del integrando de la ecuación (2) y
deduzca la fórmula de Milne (3).

11 . Suponga que el valor dey,;~ len la ecuación (3) es usado para estimar F,, +l. Por sustitu-
ción en la ecuación diferencial y el uso de la regla de Simpson , dem uestre que un nue-
vo cálculo de Y + I da el resultado de la fórmula (4).

II

3.9 Suplemento para computadora

Dada la naturaleza de su contenido, parecería que esta sección es un lu gar perfecto para re-
currir a la ayuda de una computadora. Sorprendentemente, es una de los más difícil es. La
razón es que los métodos descritos son igualmente fáciles para la computadora. Por eJem-
plo, el trabajo adicional requerido para pasar del método de Euler al de Runge-Kutta es
casi imperceptible excepto en grados muy altos de precisión . Como consecuencia de esto,
la mayor parte de los sistemas de cómputo tiene incorporados so fisticado s métodos numé-
ricos que están fuera del alcance de este libro.

Con el fin de experimentar sobre métodos más senci ll os, se hace necesario escribir nues-
tros propios programas. Esto puede lograrse en casi cualquier lenguaje de computadora (o de
calculadora). Con propósitos de ilustración, mostramos un programa de Maple que sirve pa-
ra reproducir los resultados escritos en la primera columna de la tabla 3.2 en la sección 3.2:

> f : = (x, y) - >yA 2 -xA 2;
> Xi n it : =O ;

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3.9 Suplemento para computadora 61

> Xfinal :=O.5;
> Yinit : =l;
> n:=10;
> h:=(Xfinal-Xinit) / n¡
> x:=x init¡
> y:=Yini t;
> for i froro 1 to n do

y: =y +h * f(x,y) ¡
x:=x+h¡
od¡
> Yfinal:=y¡
Observe dos hechos acerca del programa: primero, tenemos que escoger el valor que le
asignaremos a n, el número de pasos y, luego, hacer que la máquina calcule el tamaño del
paso h. Este es el proceso inverso al descrito en la sección y libera al usuario de verificar
que el tamaño del paso sea un divisor de la longitud del intervalo. El segundo hecho digno
de considerar es el orden de los dos comandos dentro del ciclo foro Este orden nos obliga
a calcular el nuevo valor de y antes de incrementar el valor de X.
Como se hizo notar en la sección 3.7, la ecuación en tumo puede ser resuelta a cualquier
grado de precisión de modo que podamos comparar los resultados del programa anterior
con los valores reales. Luego podemos experimentar con varios tamaños de paso y median-
te un mínimo de trabajo modificar el programa para implantar otros métodos numéricos.

• Ejercicios
1. Implante el método de Euler dado en la sección 3.2 en el lenguaje de programación de

su preferencia.
2. Modifique su programa para n = 50 Y n = 100. Compare sus resultados con la res-

puesta correcta dada en el texto.
3. Modifique su programa para resolver algunos de los ejercicios de la sección 3.2.
4. Modifique su programa para implantar el método modificado de Euler. Esto requerirá

de añadir unas cuantas instrucciones al ciclo foro Tenga cuidado de hacer sus asigna-
ciones en el orden correcto. Compare la precisión de los dos métodos de Euler para la
mlsman.
5. Modifique su programa para implantar el método de Runge-Kutta y proceda como en
el ejercicio 4.

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Aplicaciones
elementales

4. 1 Velocidad de escape desde la oerra

Muchos problemas de física involucran ecuaciones diferenciales de orden uno. Considere

el problema de determinar la velocidad de una partícula proyectada en dirección radial fue-

ra de la Tierra, al mismo tiempo que sobre dicha partícula actúa sólo una fuerza: la atrac-

ción gravitacional de este planeta. Supondremos una velocidad inicial en cierta dirección

radial de modo que el movimiento de la partícula se lleve a efecto por completo sobre una

recta que pasa por el centro de la Tierra.

De acuerdo con la ley de gravitación de Newton, la aceleración de la partícula será

inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde la partícula al centro de la Tie-

rra. Sea r la distancia variable y R el radio de la Tierra. Si t representa el tiempo, v la velo-

cidad de la partícula, a su aceleración y k la constante de proporcionalidad en la ley de

Newton, entonces:

a dv k
= - = -r-2 .
dt

La aceleración es negativa ya que la velocidad está disminuyendo. De aquí que la constan-

te k sea positiva. Cuando r = R, entonces a = - g, la aceleración debida a la gravedad en

la superficie de la Tierra. Así,

de lo cual: gR2
a = - -2- .

r

Queremos expresar la aceleración en términos de la velocidad y la distancia. Tenemos

a = dv/ dt y v = dr/dt. En consecuencia,

dv dr dv dv
a =d-t =d-t -dr= v -dr'

de modo que la ecuación diferencial para la velocidad ahora se ve como:

dv = - -g-Ro2 (1)
v-
r2
dr

62

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4.1 Velocidad de escape desde la Tierra 63

El método de separación de variables se aplica a la ecuación (1) Yde inmediato nos con-

duce al conjunto de soluciones:

2 2gR2
V = - - +C.

r

Suponga que la partícula abandona la superficie de la Tierra con la velocidad inicial vo' En-
tonces v = Vocuando r = R, de lo cual es fácil determinar la constante C:

C = v5 - 2gR.

Así, una partícula que es lanzada en dirección radial fuera de la superficie de la Tierra con

una velocidad inicial vo' viajará a una velocidad v dada por la ecuación:

2 Vo2 - 2gR. '(2)
+v2 = -2gR-

r

Es de considerable interés determinar si la partícula escapará de la atracción de la

Tierra. Ahora bien, en la superficie terrestre, para r = R, la velocidad es positiva, v = vo'

Una revisión del miembro derecho de la ecuación (2) muestra que la velocidad de la par-

tícula permanecerá positi va si, y sólo.si,

v6 - 2gR :::: O. (3)

Si la desigualdad (3) se satisface, la velocidad dada por la ecuación (2) permanecerá posi-
tiva, ya que no puede anularse, es continua y positiva en r = R. Por otro lado, si (3) no se

satisface, entonces v~ - 2gR < O, y habrá un punto crítico de r para el cual el miembro de-

recho de la ecuación (2) es cero. Esto es, la partícula se detendría. la velocidad cambiaría
de positiva a negativa y la partícula regresaría a la Tierra.

Un partícula proyectada desde la Tierra con una velocidad inicial Votal que:

Vo :::: ../2gR
escapará de la atracción terrestre. De aquí que la mínima de tales velocidades de proyección,

ve = ../2gR, (4)

es llamada velocidad de escape .
El radio R de la Tierra mide aproximadamente 3 960 millas. La aceleración debida a la

gravedad g en la superficie de la Tierra es de aproximadamente 32.16 pies por segundo por
segundo (pies/segund02), o g = 6.09(10)-3 millas/segund02. Para la Tierra, se encuentra
fácilmente que la velocidad de escape es ve = 6.95 millas/segundo.

Por supuesto, la atracción gravitacional de otros cuerpos celestes, tales como la Luna, el
Sol, Marte, Venus, etc., ha sido pasado por alto en el problema que hemos tratado aquí en
forma idealizada. Aunque no es difícil advertir que tales aproximaciones están justificadas
ya que sólo estamos interesados en conocer la velocidad inicial crítica ve' Si la partícula
realmente regresa a la Tierra o se transforma, por ejemplo, en un satélite de algún cuerpo
celeste, ello no acarrea consecuencias en el problema tratado.

Si en este estudio sucede que conceptualizamos la partícula como un cohete de tipo ba-
lístico, entonces deberemos considerar otros elementos. En las primeras millas no puede

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64 Capítulo 4 Aplicaciones elementales

soslayarse la resistencia del aire. Pero los métodos recomendados para vencer tales dificul-

tades no son temas que puedan ser analizados aquí.

Debe darse cuenta que la fórmula ve = ..J2gR se aplica también para la velocidad de es-

cape desde cualquier otro miembro del Sistema Solar, mientras se den a R y a g sus valores

correctos.

4.2 Ley del enfriamiento de Newton

La experiencia ha demostrado que, bajo ciertas condiciones, una buena aproximación de la
temperatura de un objeto puede ser obtenida utilizando la ley del enfriamiento de Newton,
a saber: la temperatura de un cuerpo cambia a una velocidad que es proporcional a la dife-
rencia entre el medio y el cuerpo. Aquí supondremos que la constante de proporcionalidad
es la misma cuando la temperatura aumenta o disminuye.

Por ejemplo, suponga que un termómetro, que ha presentado una lectura de 70 0 P en el
interior de una casa, es colocado fuera, donde la temperatura del aire es de 10°F. Tres mi-
nutos más tarde se descubre que la lectura del termómetro es de 25°F. Deseamos predecir
las temperaturas en varios instantes posteriores.

Sea u (OP) la temperatura del termómetro en el tiempo t (minutos); el tiempo será medi-
do desde el instante en que el termómetro es colocado en el exterior. Tenemos que cuando

t = O, u = 70 y cuando t = 3, u = 25.

De acuerdo con la ley de Newton , la velocidad de cambio de la temperatura con respec-
to al tiempo, du/dt, es proporcional a la diferencia de temperatura (u - 10). Ya que la tem-
peratura del termómetro está disminuyendo , es conveniente seleccionar (- k) como la
constante de proporcionalidad. Así la u será determinada a partir de la ecuación diferencial:

du (1)
d t = - k (u - 10) ,

y las condiciones de que: t = O, u = 70 (2)
cuando

y (3)

cuando t = 3, u = 25.

Necesitamos conocer la lectura del termómetro en dos instantes diferentes ya que hay

dos constantes por determinar, k en la ecuación (1) Y la constante "arbitraria" que aparece

en la solución de la ecuación diferencial (1).

De la ecuación (1) se deduce de inmediato que:

+ eu = 10 e - k¡ .

Entonces la condición (2) conduce a 70 = 10 + e, de lo cual e = 60, de modo que tenemos:

u= 10 + 60 e- k (4)

¡.

Ahora el valor de k será determinado usando la condición (3). Poniendo t = 3 y u = 25

en la ecuación (4), obtenemos: 25 = 10 + 60e- 3k ,

de lo cual e- 3k = ~, de modo que k = ~ In 4.

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4.3 Conversión química simple 65

Por lo tanto, la temperatura está dada por la ecuación: (5)
u = 1O+60exp(- 1tln4). (6)

Ya que In 4 = 1.39, la ecuación (5) puede ser remplazada por
u = 10 + 60 exp (- 0.46t).

4.3 Conversión química simple

Se sabe por los resultados de experimentación química que, en ciertas reacciones donde la
sustancia A se transforma en otra sustancia, la razón de cambio de la cantidad x de sustan-
cia sin transformar con respecto al tiempo es proporcional a x.

Suponga que la cantidad de sustancia sin transformar es conocida en un instante especí-

fico, esto es, sea x = Xo cuando t = O. Entonces la cantidad x en cualquier instante t > O

estará determinada por la ecuación diferencial:

dx (1)
- = -kx
dt

y por la condición de que x = Xocuando t = O. Ya que la cantidad x está disminuyendo cuando

el tiempo aumenta, la constante de proporcionalidad en la ecuación (1) se tomará como (- k).

De la ecuación (1) se deduce que:

Pero x = Xocuando t = O. De aquí que e = xo. Así, tenemos el resultado: (2)

x = xoe - kl

Ahora agregaremos otra condición que nos permitirá determinar k. Suponga que se sa-
be que al final de medio minuto, en t = 30 (segundos), dos terceras partes de la cantidad
original Xo se han transformado. Determinaremos cuánta sustancia sin transformar queda

en t = 60 (segundos).

Cuando dos terceras partes de la sustancia han sido transformadas, una tercera parte per-

manece sin alterar. De aquí que x = txo cuando t = 30. Ahora la ecuación (2) nos conduce

a la relación: .3!.xo = x oe- 30k ,

de la cual se encuentra con facilidad que k es igual a toln 3. Entonces, con t medido en
segundos, la cantidad de sustancia sin transformar está dada por la ecuación:

x = xoexp (--tot In3). (3)

En t= 60,

x = xoexp(-2In3) = xO(3)-2 = !xo .

• Ejercicios

1. El radio de la Luna mide aproximadamente 1 080 millas. La aceleración debida a la
gravedad en la superficie lunar es cercana a 0.165g, donde g es la aceleración de la gra-
vedad en la superficie de la Tierra. Determine la velocidad de escape para la Luna.

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66 Capítulo 4 Aplicaciones elementales

2. Determine, con dos cifras significativas, la velocidad de escape de cada uno de los
cuerpos celestes numerados en la tabla 4.1. Ahí los datos son aproximados y g puede
ser tomada como 6.1(10)- 3millas/segund02•

3. Un termómetro que marca 18°P se lleva al interior de una habitación donde la tempe-
ratura mide 70oP; un minuto más tarde la lectura del termómetro es de 31°F. Determi-
ne las lecturas en el termómetro como una función del tiempo y, en particular,
encuentre cuánto marcará 5 minutos después de que es llevado a la habitación.

4. Un termómetro que marca 75°P se lleva al exterior, donde la temperatura es de 20°F.
Cuatro minutos después la lectura indica 30°F. Encuentre (a) la temperatura que mar-
cará el termómetro 7 minutos después de sacarlo, y (b) el tiempo que pasa para que
la lectura descienda desde los 75°P hasta los 20.5°F.

5. A la 1:00 p.m., un termómetro que marca 700P es llevado al exterior donde la tempe-
ratura del aire mide - 10°F. A la 1:02 p.m., la lectura indica 26°F. A la 1:05 p.m., el
termómetro es regresado al interior, donde el ambiente está a 70°F. ¿Qué temperatu-
ra marcará el termómetro a la 1:09 de la tarde?

6. A las 9 de la mañana un termómetro que marca 700P es llevado fuera, donde la tem-
peratura mide 15°F. Cinco minutos después, el termómetro marca 45°F. A las 9: 10
a.m., el termómetro es regresado al interior, donde la temperatura es fija a 70°F. Encuen-
tre (a) la lectura marcada a las 9:20 a.m., y (b) al grado más cercano, calcule cuándo
mostrará la lectura la temperatura correcta de la habitación (700P).

7. A las 2:00 p.m., un termómetro que marca 800P es llevado al exterior, donde la tem-
peratura del aire mide 20°F. A las 2:03 p.m., la temperatura obtenida de la lectura del
termómetro es de 42°F. Más tarde el termómetro es llevado dentro, donde la tempe-
ratura está a 80°F. A las 2: 10 p.m., la lectura indica 71°F. ¿Cuándo se regresó el ter-
mómetro al interior?

8. Suponga que una reacción química se conduce de acuerdo con la ley dada en la sec-
ción 4.3. Si la mitad de la sustancia A ha sido transformada después de 10 segundos,
encuentre cuándo cambiaron de estado nueve décimas de la sustancia.

9. La transformación de una sustancia B sigue la ley usada en la sección 4.3. Si sólo la
cuarta parte de la sustancia ha sido transformada después de 10 segundos, encuentre
en qué momento se modificaron nueve décimas.

Venus TABLA 4.1 Radio Respuesta
Marte (millas) (millas / segundo)
Júpiter Aceleración de la
gravedad en la superficie 3,800 6.3
Sol 2,100 3.1
Ganimedes 0.85g 43,000 37
0.38g 432,000 380
2.6g 1,780 l.6
28g
0.12g

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4.3 Conversión química simple 67

10. Para una sustancia e, la velocidad de transformación con respecto al tiempo es pro-

porcional al cuadrado de la cantidad x que no ha sido transformada. Sean k el valor
numérico de la constante de proporcionalidad y Xola cantidad de sustancia no trans-

formada en el tiempo t = o. Determine x para toda t ~ O.

11. Para una sustancia D, la velocidad de transformación con respecto al tiempo es pro-
porcional a la raíz cuadrada de la cantidad x de sustancia no transformada. Sea k el
valor numérico de la constante de proporcionalidad. Demuestre que la sustancia de-
saparecerá en un tiempo finito y determine ese tiempo.

12. Dos sustancias, A y B, serán transformadas en un sólo compuesto C. En ellaborato-
rio se ha demostrado que para estas sustancias se cumple la siguiente ley de transfor-

mación: la razón de cambio con respecto al tiempo de la cantidad x del compuesto e

es proporcional al producto de las cantidades de las sustancias A y B no transforma-
das. Suponga que las unidades de medida son elegidas de modo que una unidad del

compuesto e está formada a partir de la combinación de una unidad de A con una uni-

dad de B. Si en el tiempo t = O haya unidades de la sustancia A, b unidades de la

sustanciaB, y ninguna unidad del compuesto e, demuestre que la ley de transforma-

ción puede ser expresada por la ecuación

ddxt = k(a - x)(b - x).

Resuelva esta ecuación con las condiciones iniciales dadas.

13. En la solución del ejercicio 12, suponga que k > Oe investigue el comportamiento

de x cuando t ~ oo.

14. El radio se descompone a una velocidad que es proporcional a la cantidad presente de
este elemento. Suponga que en 25 años se ha descompuesto aproximadamente el
1.1 % de cierta cantidad de radio. Determine de manera aproximada cuánto tiempo
pasará para que la mitad de la cantidad original del radio se descomponga.

15. Cierta sustancia radiactiva tiene una vida media de 38 horas. Encuentre cuánto tiem-
po debe pasar para que el 90% de la radiactividad se disipe.

16. Se sabe que cierta población de la bacteria B tiene una tasa de crecimiento proporcio-
nal a B. Si entre el mediodía y las dos de la tarde la población se triplica sin ejercer
control alguno, ¿a qué hora B será 100 veces mayor que al mediodía?

17. Cuando un objeto se mueve en cierto medio (por ejemplo, el aire), el medio opone una
fuerza (resistencia) que es proporcional al cuadrado de la velocidad del objeto en mo-
vimiento. Suponga que un cuerpo cae libremente debido a la acción de la gravedad. Si
t representa el tiempo, v la velocidad, positiva hacia abajo, g la constante usual de ace-
leración de la gravedad y wel peso del cuerpo. Utilice la ley de Newton, fuerza es igual
a masa por aceleración, para concluir que la ecuación diferencial del movimiento es:

w dv = w -kv2,
--
g dt

donde kv2 es la magnitud de la fuerza de resistencia que opone el medio.

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68 Capítulo 4 Aplicaciones elementales

18. Resuelva la ecuación diferencial del ejercicio 17, con la condición inicial de que

v = Vo cuando t = O. Introduzca la constante a2 = w/k para simplificar las fórmulas .

19. Existen medios que oponen una resistencia al movimiento que pasa a través de ellos
con una fuerza proporcional a la primera potencia de la velocidad de desplazamien-
to. Para tales medios, plantee y resuelva problemas análogos a los ejercicios 17 y 18,
salvo que, por comodidad para efectos de la práctica, se introduce una constante
b = w/k para remplazar la a2 del ejercicio 18.
Demuestre que b tiene las dimensiones de una velocidad.

20. La figura 4.1 muestra un peso, w libras (libras), deslizándose hacia abajo en un plano

inclinado que forma un ángulo a con la horizontal. Suponga que aparte de la grave-

dad, ninguna otra fuerza actúa sobre el cuerpo; no hay fuerza de fricción , ni resisten-

cia del aire, etc. En el instante t = O, suponga que x = X oy que la velocidad inicial es

vo. Determine x para t > O.

21. Una tabla larga y pulida está inclinada a un ángulo de 10° con respecto a la horizon-
tal. Un cuerpo situado a 10 pies de la parte inferior de la tabla empieza a deslizarse
hacia abajo debido a la acción de la gravedad. Encuentre cuánto tiempo le tomará al
cuerpo llegar a la parte inferior dela tabla y determine la velocidad terminal.

22. Agregue a las condiciones del ejercicio 20 una fuerza de retraso con una magnitud
kv, donde ves la velocidad. Determine v y x bajo la suposición de que el peso parte

del reposo con x = xO• Utilice la notación a = kg/w.

23 . Un hombre, parado en el punto O de la figura 4.2, sujeta una cuerda de longitud a a la
cual está atado un peso que inicialmente se encuentra en Wo. El hombre camina hacia
la derecha arrastrando el peso hacia él y cuando llega a M el peso está en W. Encuen-
tre la ecuación diferencial de la trayectoria (llamada tractriz) del peso y resuélvala.

24. Un tanque contiene 80 galones (gal) de agua pura. Una solución de salmuera que
contiene 2 libras por galón de sal es introducida en el tanque a razón de 2 galones por
minuto y luego, perfectamente mezclada, sale a la misma velocidad. Encuentre Ca) la

Figura 4.1

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4.4 Crecimiento logístico y precio de mercancías 69

y

a

o x M--+-----~----------~~------ x

Figura 4.2

cantidad de sal en el tanque en cualquier instante, y (b) el tiempo en que la salmuera
que sale contendrá una libra por galón de sal.

25. Para el tanque del ejercicio 24, determine el valor límite de la cantidad de sal que
pueda hallarse después de mucho tiempo. ¿Cuánto tiempo pasará antes de que la can-
tidad de sal alcance un 80% de ese valor límite?

26. Cierta cantidad de dinero P genera interés compuesto de manera continua. Si en
cierto tiempo hay Po dólares en la cuenta, determine el plazo necesario para que el
capital alcance un valor de 2Podólares, cuando la tasa de interés anual es del (a) 2%,
(b) 4%.

27. Un banco ofrece el 5% de interés compuesto de manera continua en una cuenta de
ahorros. Determine (a) la cantidad de interés devengado en un año sobre un depósito
de $100.00, (b) la tasa equivalente si la composición fuera anual.

4.4 Crecimiento logístico y precio de mercancías

Se han hecho numerosos intentos por desarrollar modelos para el estudio del crecimiento
poblacional. Un medio de obtener un modelo sencillo para ese estudio es suponer que la
tasa promedio de nacimientos por individuo es una constante positiva, y que la tasa prome-
dio de defunciones por individuo es proporcional a la población.

Si hacemos que x(t) represente la población en el tiempo t, la suposición anterior condu-
ce a la ecuación diferencial:

1 dx (1)
- - =b - ax,
x dt

donde b Ya son constantes positi vas. Esta ecuación se conoce comúnmente como ecuación
logística y el crecimiento de la población determinado por ella es llamado crecimiento
logístico.

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70 Capítulo 4 Aplicaciones elementales

Las variables en la ecuación logística pueden ser separadas para obtener:

dx = dt,
x(b - ax)

o

(~ + _a_) dx = bdt.
x b -ax

Al integrar ambos miembros obtenemos:

Inl _x_1 =bt +c,
b - ax
o

I- x l=eCebl. (2)

b - ax

Para facilitar el estudio de la ecuación (2), supondremos además que en t = Ola pobla-

ción es el número positivo xo' Entonces la ecuación (2) puede ser escrita como:

x - -Xo - ebl,
b -ax b - axo

y al despejar x, tenemos:

bxoebl (3)

x(t) = b - axo + axoebl

Es importante hacer notar que la función de población obtenida en la ecuación (3) tiene

un valor límite: bxoebl

+lim x(t) = lim - - - - - --,-
1--> 00 b -1-->00 axo axoebl

lim b2xoebl
1--> 00 abxoebl

b

a

donde hemos utilizado la regla de I'H8pital para evaluar el límite.
También debemos tener en cuenta que la ecuación logística (1) regirá el crecimiento o dis-

minución de la población, dependiendo de si la población inicial es menor o mayor que b/a.
Como ejemplo adicional de una aplicación en la que aparece una ecuación diferencial

de primer orden, consideremos el modelo económico de cierto sector mercantil. Supondre-
mos que el precio P, la oferta S y la demanda D de un producto son funciones del tiempo,
y que la tasa de cambio en el precio es proporcional a la diferencia entre la demanda y la
oferta. Esto-es:

dP (4)
- = k(D - S).
dt

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4.4 Crecimiento logístico y precio de mercancías 71

Además suponemos que la constante k es positiva, de modo que el precio aumentará si la
demanda excede a la oferta.

De acuerdo con la naturaleza de las funciones de demanda y de oferta que se indiquen,
se tendrán diferentes modelos de mercado. Por ejemplo, si suponemos que:

D=e-dP y s = a + bp, (5)

donde a, b, e y d son constantes positivas, obtenemos una ecuación diferencial del tipo:

ddPt = k[(e - a) - (d + b)P] (6)

que es lineal en P. Las hipótesis (5) reflejan la tendencia decreciente para la demanda cuan-
do el precio aumenta y la tendencia creciente para la oferta cuando el precio aumenta; am-
bas suposiciones son razonables para muchos productos. También debemos suponer que
0< P < cid, de modo que D no es negativa.

La ecuación (6) se puede escribir como:

-dP + k(d + b)P = k(e - a), (7)

dt

y resolverse multiplicándola por el factor de integración e*<d+b)f; a continuación integramos
para obtener:

+ - - . 'P(t) = e e-k(d+b)f e-a

I d+b

Si el precio en t = Oes P = Po' tenemos:

e-a

el = Po - d + b'

de modo que, ( e-a) e-a+P(t) = R - - - e-k(d+b)f - -o

o d+b d+b (8)

La ecuación (8) muestra que bajo las hipótesis (4) y (5) el precio se estabilizará en un

valor (e - a)/(d + b) cuando t se vuelva grande.

• Ejercicios

1. Se sabe que cierta población crece a una velocidad dada por la ecuación logística dx/dt

=x(b - ax). Demuestre que la tasa máxima de crecimiento ocurrirá cuando la población

sea igual a la mitad de su tamaño de equilibrio, esto es, cuando la población sea b/2a.

2. Se sabe que una población de bacterias tiene un patrón de crecimiento logístico con
población inicial de 1 000 Ypoblación de equilibrio de 10 000. Un conteo muestra que
al final de una hora hay 2 000 bacterias presentes. Determine la población como una
función del tiempo.

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72 Capítulo 4 Aplicaciones elementales

3. Para el ejercicio 2, determine el tiempo en que la población estará aumentando con
mayor rapidez y haga un bosquejo de la curva logística.

4. Un dormitorio universitario aloja a 100 estudiantes, cada uno de los cuales es suscep-
tible de contraer cierta infección viral. Un modelo matemático simple supone que
durante el curso de una epidemia la tasa de cambio con respecto al tiempo del número
de estudiantes contagiados 1, es proporcional al número de estudiantes contagiados y
también al número de alumnos no contagiados, 100 - I.

(a) Si en el tiempo t = Oun solo estudiante está contagiado, demuestre que el núme-

ro de estudiantes contagiados en el tiempo t está dado por:

100e 1OOkt

+I= - --:-:=-:::.,--

99 e lOOkt

(b) Si la constante de proporcionalidad k tiene un valor de 0.01 cuando t es medido en
días, encuentre el valor de la tasa de nuevos casos 1f(t) al final de cada día para los
primeros 9 días.

5. Por vía intravenosa, a un paciente le suministra glucosa en la sangre a una tasa cons-
tante de c gramos por minuto. Al mismo tiempo, el cuerpo del paciente asimila la glu-
cosa y la elimina de su sangre a una velocidad que es proporcional a la cantidad de
glucosa presente. Si la constante de proporcionalidad es k, demuestre que cuando el
tiempo aumenta, la cantidad de glucosa en la sangre se aproxima a un valor de equili-
brio e/k.

6. La oferta de alimento para cierta población está sujeta a un cambio de estación que
afecta la tasa de crecimiento de la población. La ecuación diferencial:

- =dx
cx(t)cost,
dt

donde c es una constante positiva, proporciona un modelo matemático simple para el
crecimiento de la población durante el cambio de estación. Resuelva esta ecuación
diferencial en términos de una población inicial Xoy la constante c. Determine las po-
blaciones máxima y mínima y el intervalo de tiempo entre esos valores.
7. Suponga que el cuerpo humano elimina un medicamento a una velocidad que es pro-
porcional a la cantidad y de medicamento presente en la sangre en el tiempo t. En el
tiempo t = Ose aplica una primera inyección de Yo gramos del medicamento a un pa-
ciente cuyo cuerpo estaba libre de ese medicamento.

(a) Encuentre la cantidad residual de medicamento presente en la sangre al final de
Thoras .

(b) Si en el tiempo T se aplica una segunda inyección de Yo gramos, encuentre la can-
tidad residual de medicamento en la sangre al final de 2T horas.

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4.5 Suplemento para computadora 73

(e) Si al final de cada periodo de longitud Tse aplica una inyección de Yo gramos, en-
cuentre la cantidad residual de medicamento presente en la sangre al final de
nThoras.

(d) Encuentre el valor límite de la respuesta a la parte (e) cuando n tiende a infinito.

8. Si las funciones de demanda y oferta para cierto sector mercantil son D = e - dP y
S = asen f3t, determine P(t) y analice su comportamiento cuando t aumenta.

9. Un análisis de mercado revela que las funciones de demanda y oferta de cierto producto

están dadas por D = e - dP Y S = a + bP + q sen f3t, donde a, b, e, d, q Y f3 son cons-

tantes positivas. Determine P(t) y analice su comportamiento cuando t aumenta

I 4.5 I Suplemento para computadora

En la sección 4.4 estudiamos la ecuación logística:

dx (1)
- = x(b - ax).
dt

Como se hizo notar en el texto, esta ecuación puede ser utilizada para modelar el creci-

miento de una población x que se halle sujeta a algún límite superior. En este modelo supo-

nemos que cuando x es cercana a 0, el término ax2 podrá ser pasado por alto y veremos el

comportamiento de la población como una solución a:

dx
-=bx.
dt

°Sabemos por ejercicios anteriores que esta solución es exponencial. Por otra parte, cuando

x crece hasta acercarse a b/a, el término b-ax será cercano a y el crecimiento descende-
rá lentamente. Esto se demuestra fácilmente al escoger valores positivos para las constan-
tes a y b Y trazar la gráfica de varias soluciones de (1). La figura 4.3 fue obtenida mediante
el comando Maple:

> DEplot(diff(x(t) ,t)=x*(3-2*x) ,x(t) ,t=-O.5 ..2,
{ [O, .5] , [O, 1] , [O, 2] , [O, 2 .5] } r x= - O .5 .. 3) ;

Observamos que la población se estabilizará en 3/2 o b/a. Si una perturbación mínima
aumenta o disminuye la población, ésta regresará a dicho estado estable. Este es un ejem-
plo de población sustentable.

• Ejercicios

1. Utilice una computadora para reproducir la figura 4.3.
2. Suponga que existe un nivel constante de recolección de la población, de modo que la

ecuación se transforma en:
dx
- = x(b - ax) - h.
dt

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74 Capítulo 4 Aplicaciones elementales

x

Figura 4.3

Para niveles pequeños de recolección, esto es, cuando h es cercana a cero, cabría espe-
rar que la población no se vea muy afectada. Ajuste su solución a la anterior insertando
un valor pequeño para h y trace la gráfica de los resultados.
3. Si la población es una fuente alimenticia para los seres humanos , querríamos maximi-
zar la recolección sin poner en peligro la salud de la población. Aumente gradualmente
h y observe qué sucede. ¿Cuál es el máximo nivel de recolección que puede mantener-
se de manera segura?
4. Ahora suponga que la recolección se realiza por temporadas. Por ejemplo, remplace la h

por h(sen(t) + 1). Observe qué le sucede a la población para valores diferentes de h.

5. ¿Puede encontrar un valor para h y condiciones iniciales de modo que la población
sobreviva una "estación" pero desaparezca en la siguiente?

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Temas adicionales 5
sobre ecuaciones

de orden uno

5.1 Factores integrantes det~rminados por inspección

En la sección 2.5 vimos que cualquier ecuación lineal de orden uno puede ser resuelta con

ayuda de un factor integrante. En la sección 5.2 estudiaremos algunos criterios para la de-
terminación de factores integrantes.

Hasta ahora hemos centrado nuestra atención en ecuaciones que son lo suficiente-

mente sencillas como para permitimos encontrar por inspección los factores integran-

tes. La habilidad para hacer esto depende mucho de la identificación que podamos hacer

de ciertas ecuaciones diferenciales exactas comunes, amén de la experiencia. A conti-

nuación tenemos cuatro ecuaciones diferenciales exactas que aparecen con frecuencia

en la práctica:

d(xy) = x dy + ydx, (1)

d (~) = y dx - x dy , (2)
Y y2

d (~) = x dy - Y dx , (3)

X x2 (4)

( Y) +d arctan - = xdy - ydx .
X x2 y2

Observe la homogeneidad de los coeficiente de dx y dy en cada una de estas diferenciales.
Una diferencial que sólo implica una variable, como [2dx, es exacta.

EJEMPLOS.1
Resuelva la ecuación:

ydx + (x + x 3l)dy = O. (5)

Agrupamos los términos del mismo grado, escribiendo la ecuación en la forma:
(ydx + xdy) +x3ldy = O.

75

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76 Capítulo 5 Temas adicionales sobre ecuaciones de orden uno

Ahora la combinación (ydx + xdy) atrae nuestra atención, de modo que reescribimos la

ecuación, obteniendo:

i+d(x y) x 3 d y = O. (6)

Ya que la diferencial de xy está presente en la ecuación (6), cualquier factor que sea una
función del producto xy no alterará la integrabilidad de ese término. Pero el otro término
contiene la diferencial dy y, en consecuencia, deberá contener una función exclusiva de y.
Por lo tanto, dividimos entre (xy) 3y escribimos:

d(x y ) + d y = O.

(x y )3 y

La ecuación anterior es integrable como lo habíamos indicado. Una familia de soluciones
está definida por:

- -1- + In Iyl = - In lel,
2x 2y 2

o

•

EJEMPLO 5.2
Resuelva la ecuación:

+y (x 3 - y) d x - x (x 3 y) d y = O. (7)

Reagrupemos los términos de (7) para obtener: (8 )

+x 3(y dx - x d y ) - y (y d x x d y ) = O. (9)

Recordando que:

d (~) = y dx - x dy ,

y y2

dividimos todos los términos de la ecuación (8) entre y2 para obtener:

x 3 d (~) _ d(~Y ) = O.

La ecuación (9) se hará exacta introduciendo un factor, si existe, para transformar al coefi-
ciente de d(x / y) en una función de x / y y al coeficiente de d(xy) en una función de (xy) .
Con un poco de práctica se puede desarrollar cierta habilidad para obtener tales factores .

Hay un método directo para abordar la ecuación (9) que da buenos resultados. Suponga
que el factor integrante deseado es xk y" , donde k y n serán determinados. Aplicando ese
factor, obtenemos:

(lO)

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5.1 Factores integrantes determinados por inspección 77

Ya que el coeficiente de d(x / y) será una función del cociente x/y. los exponentes de

x y y en ese coeficiente deberán ser numéricamente iguales pero de signos opuestos.

Esto es,

k + 3 = -no (11)

De manera análoga, del coeficiente de d(xy) se sigue que debemos hacer:

k = n - l. (12)

De las ecuaciones (11) y (12) concluimos que k = - 2, n = -1. El factor integrante

deseado es x-2y-l y (10) se transforma en:

~d (~) _ d(xy) = O,

y Y x2y2

de la cual un conjunto de soluciones está dado por:

~ (~r + Xly = ~.

Por último, podemos escribir las soluciones deseadas para la ecuación (7) como: •
x 3 +2y = ex/.

EJEMPLOS.3
Resuelva la ecuación:

3x2y dx + ( l - x 3)dy = O.

Dos términos en los coeficientes de dx y dy son de grado tres, y el otro coeficiente no tie-
ne grado tres. Reagrupamos los términos para obtener:

(3x 2y dx - x 3 dy) + y4 dy = O,

Ahora, la forma de los primeros dos términos sugiere el numerador en la diferencial de un

cociente, como en:

( ~) _ vdu - udv .
d-
V v2

Por lo tanto, dividimos cada término de nuestra ecuación entre y2 y obtenemos:

+yd(x 3) - x 3 dy 2d = O,

'---- - - - :2,.-----'- yy
y

o

d ( x;) + / dy = O.

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78 Capítulo 5 Temas adicionales sobre ecuaciones de orden uno

De aquí que un conj unto solución de la ecuación original sea:

x 3 y3 e •

y + 3 = 3'

o

l+3x 3 = cy .

• Ejercicios

En cada uno de los ejercicios siguientes, excepto cuando se indique lo contrario, encuentre un conjunto de
so luciones.

1. y(2x y +l)dx - x d y =0. 3. (x 3y 3 + l)dx +x4y 2 dy = O.

2. y (y3 - x) dx +x(i +x) dy = O. 4. 2t ds + s(2 + S2t) dt = O.

5. y (x 4 -y2) d x + x(x4 + y 2) d y = O.

6 . y (y2 + l)dx +x(y2 - l ) d y = O.

7. Resuelva el ejercicio 6 por otro método.

8. y (x 3 - y5) dx - x(x 3 + y5) d y = O.
9. y (x 2y 2 - 1) d x + x(x 2y2 + 1) d y = O.
10. x 4y ' = _ x 3y - csc (x y ).
11. y (x 2y2 - m) dx + x(x 2y 2 + n) d y = O.

12 . y(2-3xy)dx-xdy =0.

13. y(2x + y 2) dx + x(y2 - x) d y = O.
14. y d x + 2( y4 - x) dy = O.
15 . y(3x 3 - x + y) dx + x2(l - x2) dy = O.
16. 2x 5y' = y (3x 4 + y2 ).
17 . y2 (l - x 2) dx + x (x 2y + 2x + y ) d y = O.
18. [1 + y tan (xy) ] dx + x tan (x y ) d y = O.
19 . y (x 2 - y2 + 1) d x - x(x 2 - y 2 - 1) d y = O.
20. (x 3 + x y2 + y ) dx + (y 3 + x 2y + x) d y = O.
21. y (x 2 + l - l)dx +x(x2 + y2 + l )dy = O.
22. (x 3 + x l - y) dx + (y3 +x2y +x ) d y = O.
+ +23. y(x 3 ex l' - y) dx x(y x 3ex \' ) dy = O.
24. xy (y 2 + 1) dx + (x 2y 2 - 2) d y = O; cuando x = 1, Y = 1.

25 . x(x 2 -y2-x)dx - y (x 2 -y2 ) d y = O; cuando x = 2 , Y = O.

26. y(x 2 + y) dx + x(x 2 - 2y) dy = O; cuando x = 1, y = 2.
27. y (x 3 y 3 + 2x2 - +y) dx x 3 (xy3 - 2) d y = O; cuando x = 1, y = 1.

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5.2 Determinación de factores integrantes 79

28. (xnyn+l + ay) dx + (x n+1yn + bx) dy = O.
29. (x n+1yn + ay) dx + (xnyn+l + ax) dy = O.

5.2 Determinación de factores integrantes

Veamos cuánto podemos avanzar en el estudio del problema de determinar un factor inte-
grante para la ecuación:

Mdx- Ndy = O. (1)

Suponga que u, posiblemente una función tanto de x como de y, será un factor integrante
de (1). Entonces la ecuación:

u M dx + u N dy = O. (2)

debe ser exacta. Por lo tanto, gracias al resultado de la sección 2.4,

aa

-(uM) = -(uN).
ay ax

De aquí que u deba satisfacer la ecuación diferencial parcial:

aM au aN au
u-+M-=u-+N-,
ay ay ax ax

o

u (aM _ aN) = N au _ M au . (3)

ay ax ax ay

Además, al invertir el argumento anterior, puede verse que si u satisface la ecuación (3),
entonces u es un factor integrante para la ecuación (1). Así, hemos "reducido" el problema
de resolver la ecuación diferencial ordinaria (1) al problema de obtener una solución par-
ticular de la ecuación diferencial parcial (3).

Pero no se ha ganado mucho, ya que no hemos desarrollado métodos para abordar una

ecuación como la (3). Por lo tanto, regresamos el problema al ámbito de las ecuaciones di-

ferenciales ordinarias restringiendo u a una función de una sola variable.

Primero, sea u una función exclusiva de x. Entonces au / ay = oy au / ax se transforma

en du/ dx. Luego (3) se reduce a:

u (aM _ aN) = N du ,

ay ax dx

o

!.- (aM _ aN) dx = du. (4)
N ay ax u

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80 Capítulo 5 Temas adicionales sobre ecuaciones de orden uno

Si el miembro izquierdo de la ecuación (4) es sólo función de x, podemos determinar u de

inmediato. En efecto, si:

~ ( aM _ aN) = f(x), (5)

N ay ax

entonces el factor integrante deseado es:

[J J.u = exp f(x)dx

Por un argumento similar, suponiendo que u es función sólo de y, llegamos a la conclu-
sión de que si:

-1 ( -aM - -aN ) = g(y), (6)
M ay ax

entonces un factor integrante para la ecu ación (1) es:

J 1u = exp [ - g(y) dy

Nuestros dos resultados se establecen en las siguientes reglas:

(a) Si N1 ( aaMy - ~aN ) = f(x) ,es una función exc lusiva de x, entonces exp (ff(x)dx)
es un factor integrante para la ecuación

M dx + N dy = O. (1)

(b) SI. -1 ( -aM - -aN ) = g(y), es una funcI.O,n exclusI.va de y, entonces exp ( f -g(y)
M ay ax

dx) es un factor integrante para la ecuación (1).

Debe hacerse hincapié en que si ninguno de los criterios precedentes se satisfacen, sólo
podremos decir que la ecuación no tiene un factor integrante que sea una función exclusi-
va de x o de y . Por ejemplo, el estudiante debe mostrar que los criterios anteriores fallan en
el caso del ejemplo 5.1 de la sección 5.1 , aunque (xy)- 3es un factor integrante para la ecua-
ción diferencial.

EJEMPLO 5.4
Resuelva la ecuación:

(4xy + 3l - x)dx + x(x + 2y)dy = O. (7)

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5.2 Determinación defactores integrantes 81

rAquí M = 4xy + 3y2 - x, N = + 2xy, de modo que:

aM aN = 4x + 6y - (2x + 2y) = 2x + 4y.
-- -
ay ax

En consecuencia,

1 (aM aN) 2x +4y 2

N ay - ~ = x(x + 2y) = ~.

Por lo tanto, un factor integrante para la ecuación (7) es:

f d:)exp (2 = exp(2ln Ixl) = x2.

Regresamos a la ecuación original (7) e insertamos el factor integrante para obtener

(8)

que sabemos debe ser una ecuación exacta. Aplicar los métodos de la sección 2.4 nos lleva
a poner la ecuación (8) en la forma:

l(4x 3y dx + x 4 dy) + (3x 2 dx + 2x3 y dy) - x 3 dx = 0,

de la cual se concluye de inmediato que el conjunto solución es:

o

EJEMPLO 5.5 y(x + y + 1) dx + x(x + 3y + 2) dy = O. •
Resuelva la ecuación:
(9)
Primero formamos:

aM aN
-= x + 2y + l, - = 2x + 3y + 2.
ay ax

Entonces vemos que:

aM aN
-ay - a-x =-x-y - l '

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82 Capítulo 5 Temas adicionales sobre ecuaciones de orden uno

así, x +y +1

1 (aM aN )
N ay - ~ = - x(x + 3y + 2)

no es una función exclusiva de x. Pero:

x +y+1 1
-y.I ( aM aN)
M ay - ~ = - y(x + y + 1) =

Por lo tanto, exp(lnlyl) = Iyl es el factor integrante para la ecuación (9).

Se deduce que cuando y > O, Y es un factor integrante de la ecuación (9), y cuando
y < O, -y es el factor integrante. En cualquier caso (9) se transforma en:

(xi + i + i )dx + (x 2 y + 3xi + 2x y )dy = o,

o

Entonces un conj unto de soluciones para la ecuación (9) está definido de manera implícita por:

~x2i +xi +xi = ~c,

o

xi(x + 2y + 2) = c. •

EJEMPLO 5.6
Resuelva la ecuación:

y(x + y) dx + (x + 2y - J) d y = o. (lO)

De a M / ay = x + 2y, aN / ax = 1, concluimos de inmediato que:

~ (aM _ aN) = x + 2y - 1 = 1.
x + 2y - 1
N ay ax

De aquí que eX sea un factor integrante para la ecuación (10). Entonces,

(x yeX + i eX) dx + (x eX + 2yeX - eX) dy = O

es una ecuación exacta. Agrupamos los términos de la manera siguiente:

[x yeXdx + (xeX - eX) d y ] + (le X d x + 2yeXd y) = O,

nos lleva de inmediato a la familia de soluciones definida por:

eX(x - l)y + le"' = e,

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5.2 Determinación defactores integrantes 83

o •

y(x + y - 1) = ce-X.

• Ejercicios

Resuelva cada una de las ecuaciones en los ejercicios l al 14.

1. (x 2 + y2 + 1) dx + x(x - 2y) dy = O.
2. 2y(x2 - y +x)dx + (x 2 - 2y)dy = O.

3. y(4x+y)dx - 2(x2 - y)dy = O. 5. y(y+2x - 2)dx - 2(x+y)dy=0.

4. (xy + 1)dx + x(x+4y - 2)dy=0. 6. y2 dx + (3xy + y2 -1)dy = O.
7 . y(8x - 9y) dx + 2x(x - 3y) dy = o.

8. Resuelva el ejercicio 7 por otro método.

9. y(2x2 - xy + 1) dx + (x - y) dy = o.
10. 2y(x + y + 2) dx + (y2 - X2 - 4x - 1) dy = O.
11. 2(2y 2 + 5xy - 2y +4)dx +x(2x + 2y - 1)dy = O.
12. 3(x2 + y2) dx + x(x 2 + 3y2 + 6y) dy = O.
13. (2 y2 + 3xy - 2y + 6x) dx + x(x + 2y - 1) dy = O.
14. y(2x - y + 1) dx + x(3x - 4y + 3) dy = O.

15. El teorema de Euler (ejercicio 36, sección 2.3) sobre funciones homogéneas estable-
ce que si F es una función homogénea de grado k en x y y, entonces:

aF aF

xa-x + ya-y = kF.

Utilice el teorema de Euler para demostrar el resultado de que si M y N son funciones

homogéneas del mismo grado, y si Mx + Ny =1= O, entonces:

1
Mx+Ny
es un factor integrante para la ecuación:

Mdx + Ndy = O (A)

16. Existe un caso excepcional para la conclusión demostrada en el ejercicio 15, a saber,

cuando Mx + Ny = O. Resuelva la ecuación CA) cuando Mx + Ny = O.

Utilice el factor integrante del resultado en el ejercicio 15 para resolver cada una de las ecuaciones en los
ejercicios 17 al 20.

17. xy dx - (x 2 + 2y2) dy = O.

.18 . v2 dx+x(x+v)dv=0.

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84 Capítulo 5 Temas adicionales sobre ecuaciones de orden uno

19. v(u 2 + v2) du - u(u2 + 2v2) dv = O.
20. (x 2 + y2) dx - xy dy = O.

21. Aplique el método analizado en esta sección a la ecuación general lineal de orden uno.

5.3 Sustitución sugerida por la ecuación

Una ecuación de la forma:

M dx+Ndy = O

puede no conducir a uno (o a ninguno) de los métodos vistos en el capítulo 2. Aún así la uti-
lidad de esos métodos no está agotada. Por medio de algún cambio de variable podría
transformarse la ecuación en un tipo que sepamos cómo resolver.

Una fuente natural de sugerencias para hallar transformaciones útiles es la misma ecua-
ción diferencial. Si una función particular de una o ambas variables destaca en la ecuación,
es adecuado examinar a ésta después que la función ha sido introducida como una nueva
variable. Por ejemplo, en la ecuación:

(x + 2y - 1) dx + 3(x + 2y) dy = O (1)

la combinación (x + 2y) aparece dos veces y por eso atrae nuestra atención. De aquí que

hagamos:

x + 2y = v,

y ya que no destaca ninguna otra función de x y y, retenemos cualquiera de x o y para la
otra variable. Tenemos la solución completa en el ejemplo 5.7.

En la ecuación:

(1 + 3x sen y) dx - x2 cos y dy = O, (2)

la presencia de sen y y de su diferencial cos y dy, más el hecho de que y aparece en la ecua-

ción sólo de esta manera, nos lleva a poner sen y = w y obtener la ecuación diferencial en

w y x. Véase el ejemplo 5.8.

EJEMPLOS.7
Resuelva la ecuación:

(x + 2y - 1)dx + 3(x + 2y)dy = O. (1)

Como se sugirió antes, ponemos:

x + 2y = v.

Entonces,

dx = dv - 2dy

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