e book Matematika Kelas 9

Bab X Fungsi Kuadrat

Kata Kunci

x Fungsi Kuadrat
x Akar Kuadrat

K ompetensi Sumber: Dokumen Kemdikbud
D asar
Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang
1.1 Menghargai dan menghayati ajaran berbentuk f(x)=ax2+bx+c. *UD¿N IXQJVL LQL EHUEHQWXN
agama yang dianutnya. parabola yang mempunyai nilai optimum. Dalam
aplikasi dunia nyata ini sangat berguna.
2.2 Memiliki rasa ingin tahu,
percaya diri dan keterkaitan
pada matematika serta memiliki
rasa pada daya dan kegunaan
matematika yang terbentuk melalui
pengalaman belajar.

3.3 Menganalisis sifat-sifat fungsi
NXDGUDW GLWLQMDX GDUL NRH¿VLHQ GDQ
determinannya.

4.1 Menyelesaikan permasalahan nyata
yang berkaitan dengan persamaan
linear dua variabel, sistem
persamaan linear dua variabel, dan
atau fungsi kuadrat.

Pengalaman
Belajar

0HQHQWXNDQ JUD¿N GDUL IXQJVL NXDGUDW
2. Menentukan sumbu simetri dan nilai optimum.
3. Menentukan fungsi kuadrat.
4. Menjelaskan aplikasi dari fungsi kuadrat.

MATEMATIKA 495

Peta
Konsep

Sistem Koordinat

*UD¿N )XQJVL Menentukan Fungsi
Kuadrat Kuadrat

Sumbu Simetri dan Aplikasi Fungsi
Nilai Optimum Kuadrat

496

Abu ‘Abdallah Muhammad ibnu Musa al-

Khwarizmi NHUDS GLMXOXNL VHEDJDL %DSDN

$OMDEDU NDUHQD VXPEDQJDQ LOPX SHQJHWDKXDQ

$OMDEDU GDQ $ULWPDWLND ,D PHUXSDNDQ VHRUDQJ

ahlimatematika dari Persia yang dilahirkan pada

WDKXQ 0 WHSDWQ\D GL .KZDUL]P 8]EHLNLVWDQ

Selain terkenal sebagai seorang ahli

PDWHPDWLND \DQJ DJXQJ LD MXJD DGDODK

DVWURQRPHU GDQ JHRJUDIHU \DQJ KHEDW %HUNDW

NHKHEDWDQQ\D .KDZDUL]PL WHUSLOLK VHEDJDL

ilmuwan penting di pusat keilmuwan yang

Sumber: buku kemendikbud kelas SDOLQJ EHUJHQJVL SDGD ]DPDQQ\D \DNQL %DLWDO
+LNPDK DWDX +RXVH RI :LVGRP \DQJ GLGLULNDQ
8 semester 2

.KDOLIDK $EEDVL\DK GL 0HWURSROLV ,QWHOHNWXDO

Al-Khwarizmi World, Baghdad.
.LWDE $O -DEU :DO 0XTDEDODK PHUXSDNDQ

NLWDE SHUWDPD GDODP VHMDUDK GLPDQD LVWLODK

DOMDEDU PXQFXO GDODP NRQWHNV GLVLSOLQ LOPX 6XPEDQJDQ $O .KZDUL]PL GDODP

LOPX XNXU VXGXW MXJD OXDU ELDVD 7DEHO LOPX XNXU VXGXWQ\D \DQJ EHUKXEXQJDQ

GHQJDQ IXQJVL VLQXV GDQ JDULV VLQJJXQJ WDQJHQ WHODK PHPEDQWX SDUD DKOL

(URSD PHPDKDPL OHELK MDXK WHQWDQJ LOPX LQL ,D PHQJHPEDQJNDQ WDEHO ULQFLDQ

WULJRQRPHWUL \DQJ PHPXDW IXQJVL VLQXV NRVLQXV GDQ NRWDQJHQ VHUWD NRQVHS

GLIHUHQVLDVL .LWDE \DQJ WHODK GLWXOLVQ\D \DLWX $O -DEU ZD¶O 0XTDEDODK EHOLDX

telah mencipta pemakaian secans dan tangens dalam penyelidikan trigonometri

GDQ DVWURQRPL +LVDE DO -DEU ZD DO 0XTDEDODK %HOLDX WHODK PHQJDMXNDQ

contoh-contoh persoalan matematika dan mengemukakan 800 buah masalah

yang sebagian besar merupakan persoalan yang dikemukakan oleh Neo. Babylian

GDODP EHQWXN GXJDDQ \DQJ WHODK GLEXNWLNDQ NHEHQDUDQQ\D ROHK DO .KDZDUL]PL

6LVWHP 1RPRU %HOLDX WHODK PHPSHUNHQDONDQ NRQVHS VLIDW GDQ LD SHQWLQJ

GDODP VLVWHP 1RPRU SDGD ]DPDQ VHNDUDQJ .DU\DQ\D \DQJ VDWX LQL PHPXDW &RV

6LQ GDQ 7DQ GDODP SHQ\HOHVDLDQ SHUVDPDDQ WULJRQRPHWUL WHRUHPD VHJLWLJD VDPD

kaki dan perhitungan luas segitiga, segi empat dan lingkaran dalam geometri.

Sumber: www.edulens.org

Hikmah yang bisa diambil
1. .LWD KDUXV MHOL PHODNXNDQ SHQJDPDWDQ IHQRPHQD \DQJ DGD GL VHNLWDU NLWD
2. Kita harus mau dan mampu melakukan pembuktian-pembuktian tentang

IHQRPHQD DODP VHNLWDU \DQJ PHUXSDNDQ EXNWL NHNXDVDDQ 7XKDQ PHODOXL
keilmuan yang diketahui manusia. Dengan demikian, kita dapat memperkuat
NH\DNLQDQ SDGD 7XKDQ
3. .LWD KDUXV VHPDQJDW GDODP PHODNXNDQ DNWLYLWDV SRVLWLI \DQJ WHODK
GLUHQFDQDNDQ XQWXN PHPSHUNXDW NHWDKDQDQ ¿VLN GDQ SVLNLV GDODP
menghadapi tantangan.

497

$ *UD¿N )XQJVL .XDGUDW

Pertanyaan
Penting

7DQ\DNDQ NHSDGD VLVZD WHQWDQJ SHPDKDPDQ PHUHND PHQJHQDL JUD¿N IXQJVL NXDGUDW
y = ax2 + bx + c 3HUEHGDDQQ\D GHQJDQ JUD¿N IXQJVL OLQLHU y = ax + b dan bagaimana
FDUD PHQJJDPEDU JUD¿N IXQJVL NXDGUDW 6HUWD SHQJDUXK QLODL a, b dan c terhadap
JUD¿N IXQJVL NXDGUDW WHUVHEXW

Pertanyaan
Penting

)XQJVL NXDGUDW DGDODK IXQJVL \DQJ EHUEHQWXN y = ax2 + bx + c, dengan a z 0, x,
yR. Fungsi kuadrat dapat pula dituliskan sebagai f x ax2 + bx + c. Bagaimanakah
FDUD PHQJJDPEDU IXQJVL NXDGUDW SDGD ELGDQJ NDUWHVLXV" $SD SHQJDUXK QLODL a, b dan
FWHUKDGDS JUD¿N IXQJVL NXDGUDW"

Kegiatan 10.1 0HQJJDPEDU *UD¿N )XQJVL y = ax2

7XMXDQ GDUL NHJLDWDQ LQL DGDODK XQWXN PHPEHULNDQ SHPDKDPDQ PHQJHQDL JUD¿N
IXQJVL NXDGUDW y = ax2 dan pengaruh nilai a WHUKDGDS JUD¿N y = ax2.
$MDN VLVZD PHQJLVL WDEHO SDGD EDJLDQ Ayo Kita Gali Informasi $MDN VLVZD
XQWXN PHQJJDPEDUNDQ JUD¿N IXQJVL NXDGUDW EHUGDVDUNDQ WDEHO SDGD EDJLDQ Ayo
Kita Amati .HPXGLDQ DMDN VLVZD XQWXN PHQ\LPSXONDQ SDGD EDJLDQ Ayo Kita
Simpulkan.
Diharapkan siswa dapat menyimpulkan bahwa:
1. Jika a SRVLWLI PDND JUD¿NQ\D DNDQ WHUEXND NH DWDV
6HEDOLNQ\D MLND a QHJDWLI PDND JUD¿NQ\D DNDQ WHUEXND NH EDZDK
3. Jika nilai a VHPDNLQ EHVDU PDND JUD¿NQ\D PHQMDGL OHELK ³NXUXV´

Kegiatan 10.1 0HQJJDPEDU *UD¿N )XQJVL y = ax2

*DPEDUODK JUD¿N IXQJVL NXDGUDW \DQJ SDOLQJ VHGHUKDQD \DNQL NHWLND b = c = 0.
8QWXN PHQGDSDWNDQ JUD¿NQ\D VLVZD GDSDW PHPEXDW JDPEDU XQWXN EHEHUDSD QLODL x
GDQ PHQVXEVWLWXVLNDQQ\D SDGD IXQJVL y = ax2, misalkan untuk a =1, a = -1 dan a = 2.
0LQWD VLVZD PHQJHUMDNDQ .HJLDWDQ LQL GHQJDQ WHPDQ VHEDQJNXQ\D

498 Buku Guru Kelas IX SMP/MTs

Ayo Kita Gali
Informasi

8QWXN PHQGDSDWNDQ JUD¿N VXDWX IXQJVL NXDGUDW VLVZD WHUOHELK GDKXOX KDUXV
PHQGDSDWNDQ EHEHUDSD WLWLN NRRUGLQDW \DQJ GLODOXL ROHK IXQJVL NXDGUDW WHUVHEXW 6LVZD
dapat mencari titik koordinat tersebut dengan mensubstitusikan untuk beberapa nilai
x yang berbeda.

a. Lengkapi ketiga tabel berikut di bawah.

y = x2 x, y y = -x2 x, y y = 2x2 x, y

-3 2 = 9 -3 2 = -9 -3 2 =18

-2 2 = 4 -2 2 = -4 -2 2 = 8

-1 2 = 1 -1 2 = 1 -1 2 = 2

0 02 = 0 0 2 = 0 0 2 = 0

1 12 = 1 1 2 = -1 1 2 = 2

2 22 = 4 2 2 = -4 2 2 = 8

3 32 = 9 3 2 = -9 3 2 = 18

E 7HPSDWNDQ WLWLN WLWLN NRRUGLQDW \DQJ EHUDGD GDODP WDEHO SDGD ELGDQJ NRRUGLQDW
JXQDNDQ WLJD ZDUQD EHUEHGD

F 6NHWVD JUD¿N GHQJDQ PHQJKXEXQJNDQ WLWLN WLWLN NRRUGLQDW WHUVHEXW VHVXDL
ZDUQD

Ayo Kita Amati

*DPEDUNDQ NHWLJD JUD¿N WHUVHEXW PHQJJXQDNDQ ELGDQJ NRRUGLQDW EHULNXW LQL GDQ
DPDWL WLDS WLDS JUD¿N

MATEMATIKA 499

Y

X

Keterangan:
*UD¿N IXQJVL y = x2 berwarna hitam, y = -x2 berwarna biru, y = 2x2 berwarna merah.

Ayo Kita
Simpulkan

Dari Kegiatan 10.1 di atas, kesimpulan apa yang siswa peroleh?
Nilai a SDGD IXQJVL y = ax2 DNDQ PHPSHQJDUXKL EHQWXN JUD¿NQ\D
1. Jika a ! PDND JUD¿NQ\D DNDQ WHUEXND NH DWDV
2. Jika a PDND JUD¿NQ\D DNDQ WHUEXND NH EDZDK
3. Jika a > 0 dan nilai a semakin besar PDND JUD¿NQ\D DNDQ VHPDNLQ ³NXUXV´
4. Jika a < 0 dan nilai a semakin kecil PDND PDND JUD¿NQ\D DNDQ VHPDNLQ ³JHPXN´

Kegiatan 10.2 0HQJJDPEDU *UD¿N )XQJVL y = ax2 + c
7XMXDQ GDUL NHJLDWDQ LQL DGDODK XQWXN PHPEHULNDQ SHPDKDPDQ PHQJHQDL JUD¿N
IXQJVL NXDGUDW y = x2 + c dan pengaruh nilai c WHUKDGDS JUD¿N y = x2 + c.
$MDN VLVZD PHQJLVL WDEHO SDGD EDJLDQ Ayo Kita Gali Informasi $MDN VLVZD
XQWXN PHQJJDPEDUNDQ JUD¿N IXQJVL NXDGUDW EHUGDVDUNDQ WDEHO SDGD EDJLDQ Ayo
Kita Amati .HPXGLDQ DMDN VLVZD XQWXN PHQ\LPSXONDQ SDGD EDJLDQ Ayo Kita
Simpulkan.

500 Buku Guru Kelas IX SMP/MTs

Diharapkan siswa dapat menyimpulkan bahwa nilai c SDGD IXQJVL y = x2 + c akan
PHPSHQJDUXKL SHUJHVHUDQ GDUL JUD¿N y = x2, yakni

1. Jika c PDND JUD¿N y = x2 + c PHUXSDNDQ SHUJHVHUDQ JUD¿N y = x2 VHSDQMDQJ
c satuan ke bawah.

2. Jika c ! PDND JUD¿N y = x2 + c PHUXSDNDQ SHUJHVHUDQ JUD¿N y = x2 VHSDQMDQJ
c satuan ke atas.

Kegiatan 10.2 0HQJJDPEDU *UD¿N )XQJVL y = ax2 + c

3DGD NHJLDWDQ LQL VLVZD GLPLQWD PHQJJDPEDU JUD¿N IXQJVL NXDGUDW NHWLND b = 0
dan c  .HJLDWDQ LQL GLEDJL PHQMDGL GXD VXE NHJLDWDQ 3DGD NHJLDWDQ LQL VLVZD
PHQJDPEDU JUD¿N IXQJVL y = x2 + c sebanyak tiga kali, yakni untuk c = 0, c = 1 dan
c = -1.

Ayo Kita Gali
Informasi

a. Lengkapi ketiga tabel berikut di bawah.

y = x2 + 1 x, y y = x2 – 1 x, y

-3 2 + 1 = 10 -3 2 – 1= 8

-2 2 + 1 = 5 -2 2 – 1= 3

-1 2 + 1 = 2 -1 2 – 1= 0

0 02 + 1 = 1 0 02 – 1 = -1

1 12 + 1 = 2 1 12 – 1 = 0

2 22 + 1 = 5 2 22 – 1 = 3

3 32 + 1 = 10 3 32 – 1 = 8

E 7HPSDWNDQ WLWLN WLWLN NRRUGLQDW GDODP WDEHO SDGD ELGDQJ NRRUGLQDW
F 6NHWVD JUD¿N GHQJDQ PHQJKXEXQJNDQ WLWLN WLWLN NRRUGLQDW WHUVHEXW VHVXDL ZDUQD
G *DPEDUODK NHPEDOL JUD¿N y = x2 seperti pada Kegiatan 10.2.

MATEMATIKA 501

Ayo Kita Amati
*DPEDUNDQ NHWLJD JUD¿N WHUVHEXW PHQJJXQDNDQ ELGDQJ NRRUGLQDW EHULNXW LQL GDQ
DPDWL WLDS WLDS JUD¿N

Y

X

Keterangan:
*UD¿N IXQJVL y = x2 berwarna hitam, y = x2 + 1 berwarna biru, y = x2 – 1

berwarna merah.
Berdasarkan hasil pengamatanmu, lengkapi kalimat-kalimat berikut.
*UD¿N IXQJVL y = x2 memotong sumbu-Y GL WLWLN NRRUGLQDW
*UD¿N IXQJVL y = x2 + 1 memotong sumbu-Y GL WLWLN NRRUGLQDW
*UD¿N IXQJVL y = x2 – 1 memotong sumbu-Y GL WLWLN NRRUGLQDW
*UD¿N IXQJVL y = x2 PHUXSDNDQ JHVHUDQ JUD¿N y = x2 VHSDQMDQJ VDWXDQ NH NDQDQ
*UD¿N IXQJVL y = x2 ± PHUXSDNDQ JHVHUDQ JUD¿N y = x2 VHSDQMDQJ VDWXDQ NH NDQDQ

Ayo Kita
Simpulkan

a. Nilai c SDGD IXQJVL y = x2 + c DNDQ PHPSHQJDUXKL JHVHUDQ JUD¿N y = x2, yaitu
bergeser c VDWXDQ NH DWDV MLND c > 0 dan bergeser c VDWXDQ NH EDZDK MLND c < 0.

E *UD¿N IXQJVL y = x2 + c memotong sumbu-Y GL WLWLN NRRUGLQDW c

502 Buku Guru Kelas IX SMP/MTs

Kegiatan 10.3 0HQJJDPEDU *UD¿N )XQJVL y = x2 + bx

7XMXDQ GDUL NHJLDWDQ LQL DGDODK XQWXN PHPEHULNDQ SHPDKDPDQ PHQJHQDL JUD¿N
IXQJVL NXDGUDW y = x2 + bx dan pengaruh nilai c WHUKDGDS JUD¿N y = x2 + bx . Serta
mengenai titik puncak.

$MDN VLVZD PHQJLVL WDEHO SDGD EDJLDQ Ayo Kita Gali Informasi $MDN VLVZD
XQWXN PHQJJDPEDUNDQ JUD¿N IXQJVL NXDGUDW EHUGDVDUNDQ WDEHO SDGD EDJLDQ Ayo
Kita Amati .HPXGLDQ DMDN VLVZD XQWXN PHQ\LPSXONDQ SDGD EDJLDQ $yo Kita

Simpulkan.

Diharapkan siswa dapat menyimpulkan bahwa titik puncak adalah titik koordinat
x, y GHQJDQ QLODL y SDOLQJ PDNVLPXP PLQLPXP WHUJDQWXQJ QLODL b.

1. Jika b PDND QLODL JUD¿N y = x2 + bx memiliki titik puncak maksimum.

2. Jika b ! PDND QLODL JUD¿N y = x2 + bx memiliki titik puncak minimum.

7LWLN SXQFDN WHUMDGL SDGD NRRUGLQDW xp, yp GHQJDQ xp = b dan yp = f xp
2

Kegiatan 10.3 0HQJJDPEDU *UD¿N )XQJVL y = x2 + bx

3DGD NHJLDWDQ LQL VLVZD GLPLQWD PHQJJDPEDU JUD¿N IXQJVL NXDGUDW NHWLND c = 0 dan
b z .HJLDWDQ LQL GLEDJL PHQMDGL WLJD VXE NHJLDWDQ \DNQL NHWLND b = 1, b = -1 dan
b 3DGD NHJLDWDQ LQL VLVZD DNDQ PHQJHQDO WLWLN SXQFDN GDUL VXDWX JUD¿N IXQJVL
kuadrat.
0LQWD VLVZD PHQJHUMDNDQ NHJLDWDQ LQL EHUVDPD WHPDQ VHEDQJNXQ\D

Ayo Kita Gali
Informasi

Lengkapi ketiga tabel berikut di bawah.

y = x2 + 2x x, y y = x2 – 2x x, y
-3 2 -3 2 ±
-2 2 -2 2 ±
-1 2 -1 2 ±
0 2 0 2 ±
1 2 1 2 ±
2 2 2 2 ±
3 2 3 2 ±

MATEMATIKA 503

y = -x2 + 2x x, y

-3 2

-2 2

-1 2

0 2

1 2

2 2

3 2

E 7HPSDWNDQ WLWLN WLWLN NRRUGLQDW GDODP WDEHOSDGD ELGDQJ NRRUGLQDW JXQDNDQ WLJD
ZDUQD EHUEHGD XQWXN WDEHO

F 6NHWVD JUD¿N GHQJDQ PHQJKXEXQJNDQ WLWLN WLWLN NRRUGLQDW WHUVHEXW VHVXDL ZDUQD

d. Pada tiap-tiap tabel tentukan nilai y yang paling kecil. Apakah ada hubungannya
dengan nilai b?

Ayo Kita Amati

*DPEDUNDQ NHWLJD JUD¿N WHUVHEXW PHQJJXQDNDQ ELGDQJ NRRUGLQDW GL EDZDK LQL GDQ
DPDWL WLDS WLDS JUD¿N 3DGD WLDS WLDS JUD¿N WHQWXNDQ NRRUGLQDW WLWLN \DQJ SDOLQJ EDZDK
WLWLN NRRUGLQDW LQL VHODQMXWQ\D GLVHEXW WLWLN SXQFDN

Y

X

504 Buku Guru Kelas IX SMP/MTs

Keterangan:
*UD¿N IXQJVL y = x2 + 2x berwarna hitam, y = x2 – 2[ berwarna biru, y = -x2 +

2x berwarna merah.

H 8ODQJL NHJLDWDQ LQL GHQJDQ IXQJVL NXDGUDW y = -x2 + x, y = -x2 - x, y = -x2 +
3x 6HODQMXWQ\D WHQWXNDQ WLWLN \DQJ SDOLQJ DWDV WLWLN NRRUGLQDW LQL MXJD GLVHEXW
GHQJDQ WLWLN SXQFDN

I 3DGD WLDS JUD¿N WHQWXNDQ VXDWX JDULV YHUWLNDO \DQJ PHUXSDNDQ VXPEX VLPHWUL

Ayo Kita
Simpulkan

7LWLN SXQFDN DGDODK WLWLN NRRUGLQDW \DQJ PHUXSDNDQ WLWLN SDOLQJ DWDV DWDX SDOLQJ
bawah.

2. Sumbu simetri adalah garis vertikal yang melalui titik puncak.

3. Pengaruh nilai b SDGD JUD¿N IXQJVL y = x2 + bx adalah titik puncaknya berada di

NRRUGLQDW xp, yp GHQJDQ xp = -b dan yp = f xp
2a

Ayo Kita
Menanya

%XDWODK SHUWDQ\DDQ PHQJHQDL VHPXD NHJLDWDQ \DQJ WHODK VLVZD NHUMDNDQ GL DWDV

Materi Esensi *UD¿N )XQJVL .XDGUDW

6HWHODK PHODNXNDQ VHPXD NHJLDWDQ JXUX PHQMHODVNDQ PDWHUL PHQJHQDL JUD¿N
IXQJVL NXDGUDW y = ax2 + bx + c *XUX MXJD PHQMHODVNDQ SHQJDUXK QLODL a, b, dan c
WHUKDGDS JUD¿N IXQJVL NXDGUDW

Materi Esensi *UD¿N )XQJVL .XDGUDW

)XQJVL NXDGUDW PHUXSDNDQ IXQJVL \DQJ EHUEHQWXN y = ax2 + bx + c, dengan a z 0.
*UD¿N GDUL IXQJVL NXDGUDW PHQ\HUXSDL SDUDEORD VHKLQJJD GDSDW GLNDWDNDQ MXJD
VHEDJDL IXQJVL SDUDEROD

MATEMATIKA 505

Y y = x2
5 y = 2x2

4

3

2

1 X
123
-3 -2 -1
-1

-2

-3

-4 y í x2

-5

Gambar 3HUEDQGLQJDQ JUD¿N IXQJVL NXDGUDW y = x2, y = -x2 dan y = 2x2

Nilai a SDGD IXQJVL y = ax2 + bx + c DNDQ PHPSHQJDUXKL EHQWXN JUD¿NQ\D -LND
a SRVLWLI PDND JUD¿NQ\D DNDQ WHUEXND NHDWDV 6HEDOLNQ\D MLND a QHJDWLI PDND
JUD¿NQ\D DNDQ WHUEXND NHEDZDK -LND QLODL D VHPDNLQ EHVDU PDND JUD¿NQ\D PHQMDGL
lebih “kurus”.

Y
5 y = x2 í 2x

4

3

2

1 y = x2 í 3x + 2X
123 45
-5 -4 -3 -2 -1
-1

-2

-3

y = x2 í 5x í -4

-5

Gambar 3HUEDQGLQJDQ JUD¿N IXQJVL NXDGUDW y = x2 + 2x, y = -x2 – 3x + 2 dan y = -x2 – 5x – 4

506 Buku Guru Kelas IX SMP/MTs

Garis putus-putus pada gambar di atas menerupakan sumbu simetri. Koordinat
yang ditandai dengan bulatan merupakan titik puncak sedangkan koordinat yang
ditandai dengan persegi merupakan titik potong dengan sumbu-Y.

Nilai b SDGD JUD¿N y = ax2 + bx + c PHQXQMXNNDQ GLPDQD NRRUGLQDW WLWLN SXQFDN
GDQ VXPEX VLPHWUL EHUDGD WLWLN SXQFDN GDQ VXPEX VLPHWUL GLEDKDV OHELK ODQMXW SDGD
VXE EDE VHODQMXWQ\D -LND a ! PDND JUD¿N y = ax2 + bx + c memiliki titik puncak
minumum. Jika a PDND JUD¿N y = ax2 + bx + c memiliki titik puncak maksimum

1LODL F SDGD JUD¿N y = ax2 + bx + c PHQXQMXNNDQ WLWLN SHUSRWRQJDQ JUD¿N IXQJVL
kuadrat tersebut dengan sumbu-Y \DNQL SDGD NRRUGLQDW c

Contoh 10.1 *UD¿N )XQJVL .XDGUDW

%HULNXW LQL DGDODK JUD¿N OLPD IXQJVL NXDGUDW \DQJ EHUEHGD

Y
10

9

8

7
6

5

4
3

2

1X

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

-3

-4
-5

-6
-7

-8
-9

-10

1. *UD¿N \DQJ EHUZDUQD KLWDP PHUXSDNDQ JUD¿N IXQJVL NXDGUDW y = x2 – x + 2.
*UD¿N y = x2 – x + 2 memotong sumbu-Y SDGD NRRUGLQDW GDQ PHPLOLNL WLWLN
puncak minimum.

2. *UD¿N \DQJ EHUZDUQD PHUDK PHUXSDNDQ JUD¿N IXQJVL NXDGUDW y = 2x2 – 6x + 4.
*UD¿N y = 2x2 – 6x + 4 memotong sumbu-Y SDGD NRRUGLQDW GDQ PHPLOLNL
titik puncak minimum.

MATEMATIKA 507

3. *UD¿N \DQJ EHUZDUQD ELUX PHUXSDNDQ JUD¿N IXQJVL NXDGUDW y = -2x2 *UD¿N
y = -2x2 PHPRWRQJ VXPEX < SDGD NRRUGLQDW GDQ PHPLOLNL WLWLN SXQFDN
maksimum.

4. *UD¿N \DQJ EHUZDUQD PHUDK GHQJDQ JDULV SXWXV SXWXV PHUXSDNDQ JUD¿N IXQJVL
kuadrat y = x2 – 7x *UD¿N y = x2 – 7x + 10 memotong sumbu-Y pada
NRRUGLQDW GDQ PHPLOLNL WLWLN SXQFDN PLQLPXP

5. *UD¿N \DQJ EHUZDUQD ELUX GHQJDQ JDULV SXWXV SXWXV PHUXSDNDQ JUD¿N IXQJVL
kuadrat y = -x2 – 5x ± *UD¿N y = -x2 – 5x – 6 memotong sumbu-Y pada koordinat
GDQ PHPLOLNL WLWLN SXQFDN PDNVLPXP

Ayo Kita
Tinjau Ulang

0HQJDSD IXQJVL NXDGUDW y = ax2 + bx + c disyaratkan a  WHQWXNDQ DODVDQPX

7HUGDSDW GXD IXQJVL NXDGUDW f x ax2 + bx + c dan g x f x ax2 í bx í c.
$SD \DQJ GDSDW GLVLPSXONDQ GDUL JUD¿N f x GDQ g x

Penyelesaian:

.DUHQD MLND a PDND IXQJVLQ\D PHQMDGL y = bx F \DQJ PHUXSDNDQ IXQJVL
linier.

*UD¿N g x PHUXSDNDQ KDVLO SHQFHUPLQDQ JUD¿N f x WHUKDGDSDW VXPEX X.

Latihan 10.1 *UD¿N )XQJVL .XDGUDW

*DPEDUNDQ JUD¿N IXQJVL NXDGUDW EHULNXW

1 1
a. y = 2 x2 c. y = - 2 x2

1 1
b. y = x2 d. y = - 2 x2

4

'DUL 6RDO DSD \DQJ GDSDW VLVZD VLPSXONDQ PHQJHQDL JUD¿N y = ax2 GHQJDQ _a_
< 1 dan a z 0?

Penyelesaian: -LND GLEDQGLQJNDQ GHQJDQ JUD¿N y = x2 PDND JUD¿N y = ax2 akan
lebih “gemuk”.

*DPEDUNDQ JUD¿N IXQJVL NXDGUDW EHULNXW

a. y = x2 + 3x + 2 c. y = x2 + 5x + 6

b. y = x2 – 3x + 2 d. y = x2 – 5x + 6

508 Buku Guru Kelas IX SMP/MTs

'DUL 6RDO DSD \DQJ GDSDW VLVZD VLPSXONDQ PHQJHQDL SHUEDQGLQJDQ JUD¿N
y = ax2 + bx + c dengan y = ax2 – bx + c?

Penyelesaian: *UD¿N y = ax2 – bx + c merupakan pencerminan terhadap sumbu-X
JUD¿N y = ax2 – bx + c

*DPEDUNDQ JUD¿N IXQJVL NXDGUDW EHULNXW

a. y = x2 + 4x + 2 c. y = x2 – 5x + 5

b. y = -x2 + 2x + 3 d. y = -2x2 + 4x + 5

'DUL VRDO QRPRU WHQWXNDQ WLWLN SXQFDN WLDS WLDS JUD¿N 7HQWXNDQ SXOD KXEXQJDQ

WLWLN SXQFDN JUD¿N IXQJVL y = ax2 + bx + c dengan nilai b .
2a

Penyelesaian: 7LWLN SXQFDN WHUMDGL SDGD VDDW x = - b
2a

Ayo Kita
Menalar

$SDNDK PXQJNLQ JUD¿N IXQJVL NXDGUDW WLGDN PHPRWRQJ VXPEX X? Jelaskan
alasanmu.

Penyelesaian: 0XQJNLQ GDUL VXDWX JUD¿N NXQJVL NXDGUDW \DQJ PHPRWRQJ VXPEX X
NLWD GDSDW PHQJJHVHUQ\D NHDWDV DWDX NHEDZDK XQWXN PHQGDSDWNDQ JUD¿N IXQJVL
keuadrat yang tidak memotong sumbu-X. Contoh: y = x2 memotong sumbu-X tapi
y = x2 + 4 tidak memotong sumbu-X.

$SDNDK PXQJNLQ JUD¿N IXQJVL NXDGUDW WLGDN PHPRWRQJ VXPEX Y? Jelaskan
alasanmu.

Penyelesaian: 7LGDN .DUHQD JUD¿N IXQJVL NXDGUDW f x SDVWL PHPRWRQJ VXPEX Y
pada saat x = 0. Diperoleh f c, sehingga memotong sumbu-Y pada titik
NRRUGLQDW c

$SDNDK PXQJNLQ JUD¿N IXQJVL NXDGUDW PHPRWRQJ VXPEX X pada tiga titik
koordinat berbeda? Jelaskan alasanmu.

Penyelesaian: 7LGDN .DUHQD f x ax2 + bx + c memiliki akar-akar maksimal
VHEDQ\DN VHKLQJD JUD¿NQ\D PHPRWRQJ VXPEX X maksimal sebanyak 2 kali.

$SDNDK PXQJNLQ JUD¿N IXQJVL NXDGUDW PHPRWRQJ VXPEX Y pada dua titik
koordinat berbeda? Jelaskan alasanmu.

Penyelesaian: 7LGDN &XNXS MHODV GDUL MDZDEDQ VRDO QR EDKZD QLODL f DGDODK
tunggal.

MATEMATIKA 509

B. Sumbu Simetri dan Nilai Optimum

Pertanyaan
Penting

%HULNDQ SHQMHODVDQ SDGD VLVZD PHQJHQDL VHEHUDSD SHQWLQJQ\D PHQHQWXNDQ QLODL
RSWLPXP 0LVDONDQ MLND PHQHQWXNDQ WLQJJL RSWLPXP GDUL VXDWX EHQGD \DQJ
dilempar.

Pertanyaan
Penting

D %DJDLPDQD PHQHQWXNDQ VXPEX VLPHWUL JUD¿N IXQJVL NXDGUDW"
E %DJDLPDQD PHQHQWXNDQ QLODL RSWLPXP IXQJVL NXDGUDW WHUVHEXW"

Kegiatan 10.4 3HUJHVHUDQ *UD¿N )XQJVL .XDGUDW

Sebelum kegiatan ini guru mengumumkan pada siswanya untuk mempersiapkan
kertas berpetak.
6HWHODK NHJLDWDQ LQL VLVZD GLKDUDSNDQ PHPDKDPL WHQWDQJ SHUJHVHUDQ JUD¿N SDGD
IXQJVL NXDGUDW 8QWXN LWX VLVZD KDUXV PHODNXNDQ Ayo Kita Amati dan Ayo Kita
Simpulkan.
6HWHODK NHJLDWDQ LQL JXUX KDUXV PHPEXDW NHVLPSXODQ PHQJHQDL SHUJHVHUDQ JUD¿N
SDGD IXQJVL NXDGUDW

Kegiatan 10.4 3HUJHVHUDQ *UD¿N )XQJVL .XDGUDW

*DPEDUODK JUD¿N IXQJVL NXDGUDW GL EDZDK LQL SDGD ELGDQJ NRRUGLQDW
a. f x x2
b. f x x í 2
c. f x x í 2
d. f x x 2
e. f x x 2

*DPEDUODK JUD¿N IXQJVL NXDGUDW GL EDZDK LQL SDGD ELGDQJ NRRUGLQDW
a. f x x2

510 Buku Guru Kelas IX SMP/MTs

b. f x x2 + 1
c. f x x2 + 2
d. f x x2 í
e. f x x2 í

Ayo Kita Amati
%HUGDVDUNDQ NHJLDWDQ GL DWDV EDQGLQJNDQ JUD¿N OLPD IXQJVL SDGD EDJLDQ
*UD¿N f x x í 2 DGDODK SHUJHVHUDQ JUD¿N IXQJVL f x x2 VHMDXK VDWXDQ NH
kanan.
*UD¿N f x x í 2 DGDODK SHUJHVHUDQ JUD¿N IXQJVL f x x2 VHMDXK VDWXDQ NH
kanan.

*UD¿N f x x 2 DGDODK SHUJHVHUDQ JUD¿N IXQJVL f x x2 VHMDXK VDWXDQ NH NLUL

*UD¿N f x x 2 DGDODK SHUJHVHUDQ JUD¿N IXQJVL f x x2 VHMDXK VDWXDQ NH NLUL
%DQGLQJNDQ JUD¿N GDUL OLPD IXQJVL SDGD EDJLDQ
*UD¿N f x x2 DGDODK SHUJHVHUDQ JUD¿N IXQJVL f x x2 VHMDXK VDWXDQ NH DWDV

*UD¿N f x x2 DGDODK SHUJHVHUDQ JUD¿N IXQJVL f x x2 VHMDXK VDWXDQ NH DWDV

*UD¿N f x x2 í DGDODK SHUJHVHUDQ JUD¿N IXQJVL f x x2 VHMDXK VDWXDQ NH
bawah.

*UD¿N f x x2 í DGDODK SHUJHVHUDQ JUD¿N IXQJVL f x x2 VHMDXK VDWXDQ NH EDZDK

MATEMATIKA 511

Ayo Kita
Simpulkan

Berdasarkan kegiatan di atas, maka

1. Untuk s SRVLWLI PDND JUD¿N f x x í s 2 DGDODK SHUJHVHUDQ JUD¿N IXQJVL
f x x2 VHMDXK s satuan ke kanan.

2. Untuk s SRVLWLI PDND JUD¿N f x x + s 2 DGDODK SHUJHVHUDQ JUD¿N IXQJVL
f x x2 VHMDXK s satuan ke kiri.

3. Untuk t SRVLWLI PDND JUD¿N f x x2 + t DGDODK SHUJHVHUDQ JUD¿N IXQJVL
f x x2 VHMDXK t satuan ke atas.

4. 8QWXN W SRVLWLI PDND JUD¿N f x x2 í t DGDODK SHUJHVHUDQ JUD¿N IXQJVL
f x x2 VHMDXK s satuan ke bawah

5. Untuk s dan t SRVLWLI PDND JUD¿N f x x í s 2 + t DGDODK SHUJHVHUDQ JUD¿N
IXQJVL f x x2 VHMDXK s VDWXDQ NH NDQDQ GDQ GLODQMXWNDQ GHQJDQ SHUJHVHUDQ
VHMDXK t satuan ke atas.

6. Untuk s dan t SRVLWLI PDND JUD¿N f x x í s 2 í t DGDODK SHUJHVHUDQ JUD¿N
IXQJVL f x x2 VHMDXK s VDWXDQ NH NDQDQ GDQ GLODQMXWNDQ GHQJDQ SHUJHVHUDQ
VHMDXK t satuan ke kiri.

7. Untuk s dan t SRVLWLI PDND JUD¿N f x x + s 2 + t DGDODK SHUJHVHUDQ JUD¿N
IXQJVL f x x2 VHMDXK s VDWXDQ NH NLUL GDQ GLODQMXWNDQ GHQJDQ SHUJHVHUDQ VHMDXK
t satuan ke kanan.

8. Untuk s dan t SRVLWLI PDND JUD¿N f x x + s 2 í t DGDODK SHUJHVHUDQ JUD¿N
IXQJVL f x x2 VHMDXK s VDWXDQ NH NLUL GDQ GLODQMXWNDQ GHQJDQ SHUJHVHUDQ VHMDXK
t satuan ke kiri.

Kegiatan 10.5 Menentukan Sumbu Simetri dan Nilai Optimum

Sebelum kegiatan ini guru mengumumkan pada siswanya untuk mempersiapkan
NHUWDV EHUSHWDN 6HWHODK NHJLDWDQ LQL VLVZD GLKDUDSNDQ PHQGDSDWNDQ IRUPXOD
1. Sumbu simetri
2. Nilai optimum
untuk itu siswa harus melakukan Ayo Kita Amati, Ayo Kita Simpulkan, Ayo Kita
Menalar.
Dan setelah kegiatan ini guru harus membuat kesimpulan mengenai dua hal tersebut
\DLWX VXPEX VLPHWUL GDQ QLODL RSWLPXP GDUL IXQJVL NXDGUDW

512 Buku Guru Kelas IX SMP/MTs

Kegiatan 10.5 Menentukan Sumbu Simetri dan Nilai Optimum
%XDWODK VXPEX VLPHWUL XQWXN VHWLDS JUD¿N \DQJ WHODK GLEXDW SDGD .HJLDWDQ

Ayo Kita Amati

Isilah tabel di bawah ini
Fungsi f x x2 f x x í 2 f x x í 2 f x x 2 f x x 2

Sumbu x=0 x=1 x=2 x = -1 x = -2
simetri f

Nilai f f f f
optimum

Isilah tabel di bawah ini
Fungsi f x x2 f x x2 + 1 f x x2 + 2 f x x2 í f x x2 í

Sumbu x=0 x=0 x=0 x=0 x=0
simetri f

Nilai f f f f
optimum

Ayo Kita
Simpulkan

%HUGDVDUNDQ SHQJDPDWDQ GL DWDV MDZDEODK SHUWDQ\DDQ EHULNXW LQL

1. 7HQWXNDQ VXPEX VLPHWUL GDQ QLODL RSWLPXP JUD¿N IXQJVL f x x í s 2" s
2. 7HQWXNDQ VXPEX VLPHWUL GDQ QLODL RSWLPXP JUD¿N IXQJVL f x x2 + t" t
3. 7HQWXNDQ VXPEX VLPHWUL GDQ QLODL RSWLPXP JUD¿N IXQJVL f x x í s 2 + t" s; t

MATEMATIKA 513

Ayo Kita
Menalar

6XPEX VLPHWUL JUD¿N IXQJVL f x ax2 adalah 0

Jadi

6XPEX VLPHWUL JUD¿N IXQJVL f x a x í s 2 adalah s dan nilai optimumnya adalah 0.

6XPEX VLPHWUL JUD¿N IXQJVL f x a x í s 2 + t adalah s dan nilai optimumnya adalah t.

Kemudian untuk

f x ax2 + bx + c = a x2 + b b b2 í a b2 c
a x c = a x2 + ax+ 4a2 4a2

= a x + b 2 í a b2 c = a x í b 2 í a b2 c
2a 4a2 2a 4a2

didapatkan sumbu simetrinya adalah

b
x= ,

2a

dengan nilai optimumnya adalah

f b - b2 c - b2 4ac ,
2a 4a 4a

sehingga titik optimumnya adalah

- b ,- b2 4ac
2a 4a

Ayo Kita
Simpulkan

$SD UXPXV XQWXN PHQGDSDWNDQ VXPEX VLPHWUL GDQ QLODL RSWLPXP GDUL JUD¿N IXQJVL
f x ax2 + bx + c?

sumbu simetrinya adalah x=- b ,
dengan nilai optimumnya adalah 2a

f §©¨ - b ¸·¹ - b2 c - b2 4ac ,
2a 4a 4a

sehingga titik optimumnya adalah

- b b2 4ac
,-
2a 4a

514 Buku Guru Kelas IX SMP/MTs

Kegiatan 10.6 6NHWVD *UD¿N )XQJVL .XDGUDW

Sebelum kegiatan ini guru mengumumkan pada siswanya untuk mempersiapkan
kertas berpetak.
6HWHODK NHJLDWDQ LQL VLVZD GLKDUDSNDQ PHQJHUWL FDUD PHQJJDPEDU JUD¿N IXQJVL
kuadrat. Untuk itu siswa harus melakukan Ayo Kita Gali Informasi.
Dan setelah kegiatan ini guru harus membuat kesimpulan mengenai cara
PHQJJDPEDU JUD¿N IXQJVL NXDGUDW
Kemudian setelah kegiatan ini lakukan diskusi dan berbagi mengenai subbab
ini. Lihat bagian Diskusi dan Berbagi dan berikan stimulus kepada siswa untuk
EHUWDQD\D EDJLDQ Silakan Bertanya

Kegiatan 10.6 6NHWVD *UD¿N )XQJVL .XDGUDW

6NHWVDODK JUD¿N f x x2 í x + 9 dan f x x2 + 12x í

Ayo Kita Gali
Informasi

1. 3HULNVDODK DSDNDK EHQWXN SDUDEROD JUD¿N IXQJVL GL DWDV WHUEXND NH DWDV DWDX NH
EDZDK

2. 7HQWXNDQ SHUSRWRQJDQ JUD¿N WHUKDGDS VXPEX X; yaitu, koordinat titik potongnya
DGDODK x1 \DQJ PHPHQXKL SHUVDPDDQ
f x1

3HUKDWLNDQ DSDNDK SHUVDPDDQ WHUVHEXW PHPSXQ\DL SHQ\HOHVDLDQ DWDX WLGDN MLND
WLGDN DSD \DQJ ELVD VLVZD VLPSXONDQ

7HQWXNDQ SHUSRWRQJDQ JUD¿N WHUKDGDS VXPEX Y; yaitu,koordinat titik potongnya
DGDODK y1 GHQJDQ y1 didapatkan berdasarkan persamaan
y1 = f

7HQWXNDQ VXPEX VLPHWUL GDQ QLODL RSWLPXP JUD¿N IXQJVL GL DWDV
'DUL LQIRUPDVL \DQJ GLGDSDWNDQ VNHWVDODK JUD¿N IXQJVL NXDGUDW GL DWDV

Ayo Kita
Berbagi

'LVNXVLNDQ GHQJDQ WHPDQPX EDJDLPDQD EHQWXN JUD¿N f x x dan f x x.
%DQGLQJNDQ JUD¿NQ\D GHQJDQ JUD¿N SHUVDPDDQ NXDGUDW $SD \DQJ ELVD VLVZD GDSDWNDQ

MATEMATIKA 515

dari analisis ini? Petunjuk: %XDWODK *UD¿N f x x2 kemudian gantilah sumbu-X dengan
sumbu-Y GDQ MXJD VXPEX Y dengan sumbu-X 'LGDSDWNDQ JUD¿N GDUL f x x .

Ayo Kita
Menanya

%XDWODK SHUWDQ\DDQ PHQJHQDL NHJLDWDQ \DQJ WHODK VLVZD NHUMDNDQ GL DWDV

Materi Esensi Menentukan Sumbu Simetri dan Titik Optimum

Pada bagian ini dibahas tentang menentukan nilai sumbu simetri dan nilai optimum
GDUL IXQJVL NXDGUDW *XUX GLKDUDSNDQ PHQMHODVNDQQ\D EHUGDVDUNDQ SDGD NHJLDWDQ
kegiatan yang telah dilakukan.

Materi Esensi Menentukan Sumbu Simetri dan Titik Optimum

Fungsi kuadrat f x ax2 + bx + c mempunyai sumbu simetri

x= - b
2a

Dengan nilai optimumnya adalah

y0 = D
4a

/DQJNDK ODQJNDK PHQVNHWVD JUD¿N IXQJVL NXDGUDW

/DQJNDK 0HQHQWXNDQ EHQWXN SDUDEROD WHUEXND NH DWDV DWDX NH EDZDK

/DQJNDK 0HQHQWXNDQ SHUSRWRQJDQ JUD¿N WHUKDGDS VXPEX X; yaitu, koordinat titik
SRWRQJQ\D DGDODK x1 \DQJ PHPHQXKL SHUVDPDDQ
f x1

/DQJNDK 0HQHQWXNDQ SHUSRWRQJDQ JUD¿N WHUKDGDS VXPEX Y; yaitu, koordinat titik
SRWRQJQ\D DGDODK \1 GHQJDQ \1 didapatkan berdasarkanpersamaan
y1 = f

/DQJNDK 0HQHQWXNDQ VXPEX VLPHWUL GDQ QLODL RSWLPXP GDUL JUD¿N IXQJVL

/DQJNDK 0HQVNHWVD JUD¿N IXQJVL NXDGUDW EHUGDVDUNDQ ODQJNDK GDQ

516 Buku Guru Kelas IX SMP/MTs

Contoh 10.2 Menentukan Sumbu Simetri dan Nilai Optimum

Dengan membaca contoh ini diharapkan siswa dapat menerapkan algoritma pada
PHWHUL SHPEHODMDUDQ XQWXN PHQHQWXND QLODL VXPEX VLPHWUL GDQ WLWLN RSWLPXP GDUL
IXQJVL NXDGUDW

Contoh 10.2 Menentukan Sumbu Simetri dan Nilai Optimum

1
7HQWXNDQ VXPEX VLPHWUL GDQQLODL RSWLPXP GDUL JUD¿N IXQJVL f x [2 ± [ 2
Alternatif Penyelesaian:

11
'LNHWDKXL IXQJVL NXDGUDW f x x2 í x + 2 , didapatkan a = 1, b = -4 dan c = 2 .
Ditanya: sumbu simetri dan titik optimum

Penyelesaian :

Persamaan sumbu simetrinya adalah

x = - b = - -4 = 2
a

1LODL RSWLPXP IXQJVL WHUVHEXW DGDODK

y0 D b2 4ac 2 1 7
a a 2



Sehingga titik optimumnya adalah

x, y0 7
2

Contoh 10.3 Menentukan Nilai Maksimum dan Minimun

Dengan membaca contoh ini diharapkan siswa dapat menerapkan algoritma pada
PHWHUL SHPEHODMDUDQ XQWXN PHQHQWXND QLODL PDNVLPXP GDQ PLQLPXP IXQJVL
kuadrat.

Contoh 10.3 Menentukan Nilai Maksimum dan Minimun

7HQWXNDQ DSDNDK IXQJVL f x x2 í x í PHPSXQ\DL QLODL PDNVLPXP DWDX
PLQLPXP 7HQWXNDQ QLODLQ\D

MATEMATIKA 517

Alternatif Penyelesaian:

'LNHWDKXL IXQJVL NXDGUDW f x x2 í x í

didapatkan a = -2, b = -12 dan c = -17.

'LWDQ\D 7HQWXNDQ DSDNDK DGD QLODL PDNVLPXP DWDX PLQLPXP 7HQWXNDQ QLODL
PDNVLPXP DWDX PLQLPXPQ\D

Penyelesaian :

Karena nilai a = -2 < 0 maka parabola terbuka kebawah sehingga yang ada hanya
nilai maksimum. Nilai maksimumnya adalah

ym D b2 ac 2 1
a a

Contoh 10.4 6NHWVD *UD¿N

Dengan membaca contoh ini diharapkan siswa dapat menerapkan algoritma pada
PHWHUL SHPEHODMDUDQ XQWXN PHQVNHWVD JUD¿N IXQJVL NXDGUDW

Contoh 10.4 6NHWVD *UD¿N

6NHWVDODK JUD¿N f x x2 í x + 10

Alternatif Penyelesaian:

'LNHWDKXL IXQJVL NXDGUDW f x x2 í x + 10 didapat a = 1, b = -6 dan c = 10.

'LWDQ\D 6NHWVD JUD¿N

Penyelesaian:

Langkah 1. Karena a = 1 > 0 maka parabola terbuka keatas

/DQJNDK 3HUSRWRQJDQ JUD¿N WHUKDGDS VXPEX X

Dihitung bahwa D = b2 í ac = 62 í 6HKLQJJD JUD¿N
tidak memotong sumbu-X.

/DQJNDK 3HUSRWRQJDQ JUD¿N WHUKDGDS VXPEX Y

y0 = f \DLWX SDGD WLWLN

/DQJNDK 6XPEX VLPHWUL GDQ QLODL RSWLPXP GDUL IXQJVL

Sumbu simetrinya adalah x = - b = 3 dan nilai optimumnya didapat
2a

y0 D b2 ac 2 1
a a

518 Buku Guru Kelas IX SMP/MTs

/DQJNDK 6NHWVD *UD¿N x=3
Y



X

Ayo Kita
Tinjau Ulang

7HQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW f x x2 í x + c sedemikian hingga nilai optimumnya
adalah 20. Penyelesaian: 24.

7HQWXNDQ QLODL a GDQ EXQWXN IXQJVL NXDGUDW f x ax2 + bx + 1 sedemikian hingga
a. Fungsi f x PHPSXQ\DL QLODL PDNVLPXP GDQ VXPEX VLPHWUL x = 3.
Penyelesaian: a = -1.

b. Fungsi f x PHPSXQ\DL QLODL PLQLPXP GHQJDQ QLODL PLQLPXP GDQ VXPEX
11

simetri x = 3. Penyelesaian: a = .
9

6NHWVDODK JUD¿N f x x2 í x + 9

Latihan 10.2 Menentukan Sumbu Simetri dan Titik Optimum

Pada bagian ini siswa diharapkan lebih mengerti mengenai contoh-contoh yang

telah diberikan di atas dengan cara melakukan latihan-latihan ini. Pada soal nomor
GDQ VLVZD GLKDUDSNDQ OHELK PHQJHUWL PHQJHQDL QLODL RSWLPXP GDUL VXDWX JUD¿N
IXQJVL NXDGUDW 3DGD VRDO QRPRU VLVZD GLODWLK XQWXN PHQJJDPEDUNDQ JUD¿N

MATEMATIKA 519

Latihan 10.2 Menentukan Sumbu Simetri dan Titik Optimum

7HQWXNDQ VXPEX VLPHWUL JUD¿N IXQJVL GL EDZDK LQL

a. y = 2x2 í x b. y = 3x2 + 12x c. y = -8x2 í x í

Penyelesaian:
a. Sumbu simetrinya adalah x = - b - -5 5

2a 22 4

b. Sumbu simetrinya adalah x = - b - 12 -2
2a 2u3

c. Sumbu simetrinya adalah x = -b - -16 -1
a u

7HQWXNDQ QLODL RSWLPXP IXQJVL EHULNXW LQL

a. y = -6x2 + 24x í F y = 3 x2 + 7x í
4

2
b. y = x2 - 3x + 15

5

Penyelesaian:

D - b2 4ac 24 2 4 -6 -19 - 576 456
a. ym = - 4a - 4 -6 -24 5
4a

-D - b2 4ac 2 ©¨§ 2 ¹¸· 9 24 - 375
4a 4a 5 8 8
b. ym = - -
2
5 25

-D - b2 4ac 2 ¨©§ 3 ¹¸· - 49 54 -5
4a 4a 4 -3 3
c. ym = -
3
4

6NHWVDODK JUD¿N IXQJVL EHULNXW LQL

a. y = 2x2 + 9x
b. y = 8x2 í x + 6

4. Diketahui suatu barisan 1, 7, 16, …. Suku ke-n dari barisan tersebut dapat dihitung
dengan rumus Un = an2 + bn + c 7HQWXNDQ VXNX NH

Penyelesaian:

Bentuk suatu persamaan dari barisan di atas yaitu Ui = ai2 + bi + c didapat
persamaan

520 Buku Guru Kelas IX SMP/MTs

a+b+c=1

4a + 2a + c = 7

9a + 3b + c = 16

Sehigga didapat Ui = 11 i2 + 1 1 i2 dengan demikian suku ke-100 adalah U100 =
15.148 2 2

5. Diketahui suatu barisan 0, -9, -12, …. Suku ke-n dari barisan tersebut dapat

dihitung dengan rumus Un = an2 + bn + c 7HQWXNDQ QLODL PLQLPXP GDUL EDULVDQ
tersebut.

Penyelesaian:

Bentuk suatu persamaan dari barisan di atas yaitu Ui = ai2 + bi + c didapat
persamaan

a+b+c=0

4a + 2a + c = -9

9a + 3b + c = -12

Sehigga didapat Ui = 3i2 – 18i + 15 dengan demikian nilai minimumnya adalah

ym -D - b2 4ac - 2 324 180 - 144 -12
a a


6. Fungsi kuadrat y = f x PHODOXL WLWLN GDQ -LND VXPEX VLPHWULQ\D x
WHQWXNDQ QLODL PLQLPXP IXQJVL f x

Penyelesaian:

0LVDONDQ IXQJVL NXDGUDWQ\D DGDODK f x ax2 + bx + c maka didapat persamaan

9a + 3b + c = 5

49a + 7a + c = 10

- b = 2 atau -b = 4a atau 4a + b = 0
2a

Sehingga didapat f x x2 – 18x + 15 dengan demikian nilai minimumnya adalah

ym -D - b2 4ac - 2 324 180 - 144 -12
a a


%LOD IXQJVL y = 2x2 + 6x í m mempunyai nilai minimum 3 maka tentukan m.

Penyelesaian:
Sumbu simetrinya adalah x = - b - 6 - 6 didapat

2a 22 4

MATEMATIKA 521

2 ¨©§ - 6 ·¹¸2 6 ¨§© - 6 ¹¸· m 3
4 4

Atau

m 2 ¨§© 36 ·¸¹ 9 3 9
16 2

8. Dari tahun 1995 sampai 2002, banyaknya pelanggan telepon genggam N GDODP
MXWD RUDQJ GDSDW GLPRGHONDQ ROHK SHUVDPDDQ N = 17,4x2 + 36,1x + 83,3, dengan
[ PHUHSUHVHQWDVLNDQ WDKXQ >6XPEHU 'DWD GDUL 2005 Statistical Abstract
of the United States 7DEHO KDO @ 3DGD WDKXQ EHUDSD EDQ\DNQ\D
pelanggan mencapai nilai maksimum?

Penyelesaian:

Banyaknya pelanggan mencapai minimum pada saat tahun

x 1995 b 1995 36,1 199
2a 2 u17, 4

0DND SHODQJJDQ PHQFDSDL PDNVLPXP SDGD VDDW \DLWX QLODL PDNVLPXP GDUL
rentang data.

9. Jumlah dua bilangan adalah 30. Jika hasil kali kedua bilangan menghasilkan nilai
yang maksimum, maka tentukan kedua bilangan tersebut.

Penyelesaian:

0LVDONDQ GXD ELODQJDQ WHUVHEXW DGDODK a, b maka a = 30 – b sehingga
f b a u b ± b u b = 30b – b2

Karena diminta nilai maksimum maka

b - 30 15


Sehingga didapatkan

a = 30 – b = 15

10. Selisih dua bilangan adalah 10. Jika hasil kali kedua bilangan menghasilkan nilai
yang minimum, tentukan kedua bilangan tersebut.

Penyelesaian:

0LVDONDQ GXD ELODQJDQ WHUVHEXW DGDODK a, b dengan a > b maka a = 10 + b sehingga
f b a u b ± b u b = 30b – b2

Karena diminta nilai minimum maka

b - 10 -5
2 ˜1

Sehingga didapatkan

a = 10 – 5 = 5

522 Buku Guru Kelas IX SMP/MTs

C. Menentukan Fungsi Kuadrat

6LVZD VXGDK PHQJHWDKXL EDJDLPDQD FDUD PHQJJDPEDU JUD¿N VXDWX IXQJVL NXDGUDW
6LVZD MXJD VXGDK PHQJHWDKXL EDJDLPDQD PHQGDSDWNDQ WLWLN SXQFDN WLWLN SRWRQJ
dan sumbu simetri. Pada sub-bab ini siswa akan mengetahui cara untuk menentukan
IXQJVL NXDGUDW GDUL LQIRUPDVL \DQJ DGD

Pertanyaan
Penting

7DQ\DNDQ NHSDGD VLVZD
D %DJDLPDQD FDUD PHQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW MLND VXGDK GLNHWDKXL JUD¿NQ\D
E %DJDLPDQD FDUD PHQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW MLND GLNHWDKXL WLWLN SXQFDN WLWLN

potong atau sumbu simetri.

Pertanyaan
Penting

D %DJDLPDQD FDUD PHQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW MLND VXGDK GLNHWDKXL JUD¿NQ\D
E %DJDLPDQD FDUD PHQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW MLND GLNHWDKXL WLWLN SXQFDN WLWLN

potong atau sumbu simetri.

Kegiatan 10.7 0HQHQWXNDQ )XQJVL .XDGUDW %HUGDVDUNDQ *UD¿NQ\D

7XMXDQ GDUL NHJLDWDQ LQL DGDODK XQWXN PHPEHULNDQ SHPDKDPDQ NHSDGD VLVZD
EDJDLPDQD FDUD PHQGDSDWNDQ IXQJVL NXDGUDW MLND VXGDK GLNHWDKXL JUD¿NQ\D 3DGD
WDKDS LQL VLVZD GLDMDN XQWXN PHQJDQDOLVD GDUL LQIRUPDVL WLWLN SRWRQJ VXPEX Y.
Pada bagian Ayo Kita Gali Informasi DMDN VLVZD XQWXN PHQFDUL LQIRUPDVL WLWLN
potong dengan sumbu-Y. Pada bagian Diskusi minta siswa berdiskusi dengan
teman sebangkunya:
$SDNDK PXQJNLQ PHQGDSDWNDQ IXQJVL NXDGUDW KDQ\D EHUGDVDUNDQ LQIRUPDVL

titik potong sumbu-Y?
0LQLPDO EHUDSD NRRUGLQDW \DQJ KDUXV GLNHWDKXL DJDU ELVD PHQHQWXNDQ IXQJVL

NXDGUDW EHUGDVDUNDQ JUD¿N"
3DGD DNKLU NHJLDWDQ JXUX PHQMHODVNDQ MDZDEDQ GDUL GXD SHUWDQ\DDQ GL DWDV
7LGDN PXQJNLQ PHQGDSDWNDQ IXQJVL NXDGUDW KDQ\D EHUGDVDUNDQ LQIRUPDVL WLWLN

potong sumbu-Y.

MATEMATIKA 523

0LQLPDO GLNHWDKXL WLJD NRRUGLQDW DJDU ELVD PHQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW
EHUGDVDUNDQ JUD¿N +DO LQL GLNDUHQDNDQ WHUGDSDW WLJD YDULDEHO SDGD IXQJVL
kuadrat f x ax2 + bx + c, yakni a, b dan c.

Kegiatan 10.7 0HQHQWXNDQ )XQJVL .XDGUDW %HUGDVDUNDQ *UD¿NQ\D

Ayo Kita Gali
Informasi

*DPEDU GL VDPSLQJ PHUXSDNDQ JUD¿N VXDWX IXQJVL Y X
NXDGUDW 'DSDWNDK VLVZD PHQHQWXNDQ VXDWX IXQJVL 5 1
\DQJ JUD¿NQ\D VHSHUWL JDPEDU GL VDPSLQJ" 4
D ,QIRUPDVL DSDNDK \DQJ VLVZD SHUROHK GDUL JUD¿N
3
di samping? 2
E $SDNDK JUD¿N GL VDPSLQJ PHPRWRQJ VXPEX X? 1
F 3DGD NRRUGLQDW PDQD JUD¿N GL VDPSLQJ
-4 -3 -2 -1
memotong sumbu-Y. -1

Diskusi

Diskusikan dengan temanmu tiga pertanyaan di atas. Kemudian diskusikan pertanyaan
berikut.

D 'DUL MDZDEDQ WLJD SHUWDQ\DDQ GL DWDV DSDNDK VLVZD ELVD PHQHQWXNDQ IXQJVL
NXDGUDW VHVXDL JUD¿N GL DWDV"

E 0LQLPDO EHUDSD NRRUGLQDW \DQJ KDUXV GLNHWDKXL DJDU VLVZD ELVD PHQHQWXNDQ
WHSDW VDWX IXQJVL NXDGUDW EHUGDVDUNDQ JUD¿N"

Kegiatan 10.8 Menentukan Fungsi Kuadrat Berdasarkan Titik
Potong Sumbu-X

7XMXDQ GDUL NHJLDWDQ LQL DGDODK XQWXN PHPEHULNDQ SHPDKDPDQ NHSDGD VLVZD
EDJDLPDQD FDUD PHQGDSDWNDQ IXQJVL NXDGUDW MLND VXGDK GLNHWDKXL JUD¿NQ\D 3DGD
WDKDS LQL VLVZD GLDMDN XQWXN PHQJDQDOLVD GDUL LQIRUPDVL WLWLN SRWRQJ VXPEX X.
Pada bagian Ayo Kita Gali Informasi DMDN VLVZD XQWXN PHQFDUL LQIRUPDVL WLWLN
potong dengan sumbu-X. Serta hubungan titik potong sumbu-X dan akar-akar
IXQJVL NXDGUDW 3DGD EDJLDQ Diskusi DMDN VLVZD XQWXN PHQGLVNXVLNDQ PHQJHQDL
GXD IXQJVL NXDGUDW

524 Buku Guru Kelas IX SMP/MTs

y = x2 + 3x + 2 dan y = 2x2 + 6x x2 + 3x

'LKDUDSND VLVZD GDSDW PHQ\LPSXONDQ EDKZD MLND IXQJVL NXDGUDW f x ax2 + bx
+ c memiliki akar-akar x = p dan x = q PDND JUD¿N IXQJVL NXDGUDW WHUVHEXW DNDQ
memotong sumbu-X SDGD NRRUGLQDW p GDQ q 6HUWD IXQJVL NXDGUDW WHUVHEXW
GDSDW GLXEDK PHQMDGL

f x ax2 + bx + c = a x – p x – q

Kegiatan 10.8 Menentukan Fungsi Kuadrat Berdasarkan Titik
Potong Sumbu-X

6LVZD VXGDK PHQJHWDKXL EDJDLPDQD FDUD PHQGDSDWNDQ DNDU DNDU IXQJVL NXDGUDW GL
.HODV 'LEHULNDQ IXQJVL NXDGUDW EHULNXW
i. y = x2 + 3x + 4
ii. y = x2 + 4x + 4
iii. y = x2 í x + 5

Ayo Kita Gali
Informasi

D 7HQWXNDQ DNDU DNDU WLDS WLDS IXQJVL NXDGUDW 7HQWXNDQ IXQJVL \DQJ WLGDN PHPLOLNL
DNDU IXQJVL \DQJ PHPLOLNL VDWX DNDU GDQ IXQJVL \DQJ PHPLOLNL GXD DNDU

E *DPEDUNDQ JUD¿N WLDS WLDS IXQJVL NXDGUDW

F 7HQWXNDQ PDQD IXQJVL NXDGUDW \DQJ WLGDN PHPRWRQJ VXPEX X IXQJVL \DQJ
memotong sumbu-X di satu titik dan yang memotong sumbu-X di dua titik.

G $SD \DQJ GDSDW VLVZD VLPSXONDQ PHQJHQDL KXEXQJDQ DNDU DNDU IXQJVL NXDGUDW
dengan titik potong sumbu-X?

Diskusi

0LVDONDQ WHUGDSDW GXD IXQJVL NXDGUDW
y = x2 + 3x + 2 dan y = 2x2 + 6x x2 + 3x

Diskusikan beberapa pertanyaan berikut.
D 7HQWXNDQ DNDU DNDU WLDS WLDS IXQJVL NXDGUDW $SDNDK NHGXD IXQJVL NXDGUDW

tersebut memiliki akar-akar yang sama?

MATEMATIKA 525

E *DPEDUNDQ JUD¿N WLDS WLDS IXQJVL NXDGUDW $SDNDK NHGXD IXQJVL NXDGUDW WHUVHEXW
PHPLOLNL JUD¿N \DQJ VDPD"

c. Apa yang dapat siswa simpulkan?
G -LND GLNHWDKXL DNDU DNDUQ\D DSDNDK VLVZD SDVWL VHODOX ELVD PHQHQWXNDQ IXQJVL

kuadratnya?

Ayo Kita
Simpulkan

-LND IXQJVL NXDGUDW y = ax2 + bx + c memiliki akar-akar x = p dan x = q dengan p z
q PDND JUD¿N IXQJVL NXDGUDW WHUVHEXW DNDQ PHPRWRQJ VXPEX X SDGD NRRUGLQDW p,
GDQ q %HQWXN XPXPQ\D DGDODK f x a x – p x – q

Kegiatan 10.9 Menentukan Fungsi Kuadrat Dari Beberapa Informasi

7XMXDQ GDUL NHJLDWDQ LQL DGDODK XQWXN PHPEHULNDQ SHPDKDPDQ NHSDGD VLVZD
EDJDLPDQD FDUD PHQGDSDWNDQ IXQJVL NXDGUDW EHUGDVDUNDQ EHEHUDSD LQIRUPDVL
,QIRUPDVLQ\D DGDODK WLWLN SRWRQJ GHQJDQ VXPEX X dan sumbu-Y, titik puncak dan
sumbu-simetri serta titik koordinat lainnya.
.HJLDWDQ LQL GLEDJL PHQMDGL
0HQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW MLND GLNHWDKXL WLJD NRRUGLQDW EHUEHGD
0HQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW MLND GLNHWDKXL WLWLN SRWRQJ VXPEX X dan sumbu-Y.
0HQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW MLND GLNHWDKXL WLWLN SRWRQJ VXPEX X dan titik

puncak.
0HQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW MLND GLNHWDKXL WLWLN SRWRQJ VXPEX Y dan titik

puncak.

Kegiatan 10.9 Menentukan Fungsi Kuadrat Dari Beberapa Informasi

3DGD NHJLDWDQ LQL VLVZD DNDQ PHPSHODMDUL GDQ PHQJDQDOLVLV EDJDLPDQD FDUD
PHQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW GDUL EHEHUDSD LQIRUPDVL ,QIRUPDVLQ\D DGDODK VHEDJDL
berikut:
D 7LWLN SRWRQJ GHQJDQ VXPEX X.
E 7LWLN SRWRQJ GHQJDQ VXPEX Y.
F 7LWLN SXQFDN GDQ VXPEX VLPHWUL
G %HEHUDSD WLWLN NRRUGLQDW \DQJ GLODOXL IXQJVL NXDGUDW WHUVHEXW

526 Buku Guru Kelas IX SMP/MTs

%HUGDVDUNDQ .HJLDWDQ GDQ VLVZD PDVLK EHOXP ELVD PHQHQWXNDQ IXQJVL
NXDGUDW MLND KDQ\D GLNHWDKXL VDWX LQIRUPDVL GDUL HPSDW LQIRUPDVL GL DWDV

1. Jika diketahu tiga koordinat berbeda

3HUKDWLNDQ JDPEDU GL VDPSLQJ 0LVDONDQ WHUGDSDW VXDWX Y
IXQJVL NXDGUDW \DQJ JUD¿NQ\D PHODOXL WLJD NRRUGLQDW 7
EHUEHGD \DNQL GDQ
6
$SDNDK VLVZD ELVD PHQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW 5
berdasarkan tiga koordinat yang diketahui dan 4
bagaimana caranya?

Perhatikan langkah-langkah berikut:

D 0LVDONDQ IXQJVL NXDGUDWQ\D DGDODK f x ax2 + 3
bx + c. 2
1
E .DUHQD PHOHZDWL NRRUGLQDW GDQ
GLSHUROHK I f GDQ f X
x f a 2 + b c = 1 o c = 1. Diperoleh

f(x) = ax2 + bx + 1 -1 12 3
-1
x f a 2 + b o a + b + 1 = 3.
Diperoleh persamaan

a + b = 2 ... (1)
x f a 2 + b o 4a + 2b + 1 = 7. Diperoleh persamaan

4a + 2b = 6 ... (2)

c. Dengan mensubstitusi a = 2 – b NH SHUVDPDDQ GLSHUROHK b = 1

d. Dari hasil diperoleh a = 1

H 6HKLQJJD IXQJVL NXDGUDW \DQJ PHPHQXKL DGDODK

f x ax2 + bx + c = x2 + x + 1

Ayo Kita
Simpulkan

-LND JUD¿N IXQJVL NXDGUDW f x ax2 + bx + c PHODOXL WLWLN NRRUGLQDW p, q GLSHUROHK
hubungan f p q.

MATEMATIKA 527

2. Jika diketahui titik potong dengan sumbu-X dan sumbu-Y

3HUKDWLNDQ JDPEDU GL VDPSLQJ 0LVDONDQ Y X
WHUGDSDW VXDWX JUD¿N IXQJVL NXDGUDW \DQJ 3 1 23 4 5
memotong sumbu-X GL GDQ )XQJVL 2
NXDGUDW WHUVHEXW MXJD PHPRWRQJ VXPEX Y GL 1

-2 -1
$SDNDK VLVZD VXGDK ELVD PHQHQWXNDQ IXQJVL -1
kuadratnya dan bagaimana caranya? -2
-3
Perhatikan langkah-langkah berikut: -4

D 0LVDONDQ IXQJVL NXDGUDWQ\D DGDODK f x
ax2 + bx + c.

b. Karena memotong sumbu-X SDGD GL
GDQ GDSDW GLWXOLVNDQ

f x ax2 + bx + c = a x í x í

c. Karena memotong sumbu-Y GL GLSHUROHK f

f a í í
-4 = a u

Diperoleh a GDQ IXQJVL NXDGUDW f x ax2 + bx + c = x2 – 4x.

Ayo Kita
Simpulkan

-LND JUD¿N IXQJVL NXDGUDW f x ax2 + bx + c memotong sumbu-X pada titik koordinat
p GDQ q PDND IXQJVL NXDGUDW WHUVHEXW GDSDW GLWXOLVNDQ PHQMDGL

f x a x – p x – q

-LND JUD¿N IXQJVL NXDGUDW f x ax2 + bx + c memotong sumbu-Y pada titik koordinat
r PDND GLSHUROHK

f r

Dengan mensubstitusikan nilai x SDGD IXQJVL NXDGUDW y = ax2 + bx + c diperoleh

f c

yang berakibat r = c

528 Buku Guru Kelas IX SMP/MTs

3. Jika diketahui titik potong sumbu-X dan titik puncak

3HUKDWLNDQ JDPEDU GLVDPSLQJ 7HUGDSDW VXDWX IXQJVL Y
kuadrat yang memotong sumbu-X GL 7LWLN 4
SXQFDN IXQJVL NXDGUDW WHUVHEXWEHUDGD GL NRRUGLQDW
3

$SDNDK VLVZD VXGDK ELVD PHQHQWXNDQ IXQJVL 2 X
kuadratnya dan bagaimana caranya? 1 12 3

Perhatikan langkah-langkah berikut: -3 -2 -1
-1
D 0LVDONDQ IXQJVL NXDGUDWQ\D DGDODK f x ax2 + -2
bx + c. -3
-4
E 'DUL JUD¿N GLVDPSLQJ GLSHUROHKVXPEX VLPHWUL
x %HUGDVDUNDQ VLIDW VLPHWUL WLWLN SRWRQJ GL
sumbu-X yang lain adalah hasil pencerminan
NRRRUGLQDW WHUKDGDS JDULV x = 1, yakni
pada koordinat x

F 6HKLQJJD IXQJVL NXDGUDWQ\D GDSDW GLQ\DWDNDQ
dengan

f x ax2 + bx + c = a x x í

G .DUHQD WLWLN SXQFDN EHUDGD GL PDND GLSHUROHK f

f a ±
-4 = a u

diperoleh a GDQ IXQJVL NXDGUDW f x x x ± x2 – 2x – 3.

Ayo Kita
Simpulkan

-LND IXQJVL NXDGUDW y = ax2 + bx + c PHPLOLNL WLWLN SXQFDN SDGD WLWLN NRRUGLQDW s, t
PDND VXPEX VLPHWUL IXQJVL NXDGUDW WHUVHEXW DGDODK JDULV

x=s

4. Jika diketahui titik potong sumbu-Y dan titik puncak
3HUKDWLNDQ JDPEDU GL VDPSLQJ 7HUGDSDW VXDWX IXQJVL NXDGUDW \DQJ PHPRWRQJ
sumbu-Y GL 7LWLN SXQFDN IXQJVL NXDGUDW WHUVHEXW EHUDGD GL NRRUGLQDW
$SDNDK VLVZD VXGDK ELVD PHQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDWQ\D GDQ EDJDLPDQD FDUDQ\D"
Perhatikan langkah-langkah berikut:

MATEMATIKA 529

D 0LVDONDQ IXQJVL NXDGUDWQ\D DGDODK f x ax2 + Y
bx + c. 5
4
E 'DUL JUD¿N GLVDPSLQJ GLSHUROHK VXPEX VLPHWUL 3
x %HUGDVDUNDQ VLIDW VLPHWUL MLND WLWLN 2
GLFHUPLQNDQ WHUKDGDS JDUXV x = -2 diperoleh 1
NRRUGLQDW
-1
F 6HKLQJJD JUD¿NIXQJVL NXDGUDW WHUVHEXW PHODOXL -1
tiga titik koordinat yaitu

GDQ

d. Dengan menggunakan cara seperti pada Sub- -3 -2 X
Kegiatan 3.1, diperoleh 1

a = 1 , b = 1 , dan c = 3
84

H 6HKLQJJD GLGDSDWNDQ IXQJVL NXDGUDW f x 1 x2 – 1 x + 3.
84

Materi Esensi Menentukan Fungsi Kuadrat

6HWHODK PHODNXNDQ VHPXD NHJLDWDQ JXUX PHQMHODVNDQ PDWHUL EDJDLPDQD
PHQGDSDWNDQ IXQJVL NXDGUDW EHUGDVDUNDQ EHEHUDSD LQIRUPDVL ,QIRUPDVLQ\D DGDODK
sebagai berikut:

D 7LWLN SRWRQJ GHQJDQ VXPEX X.

E 7LWLN SRWRQJ GHQJDQ VXPEX Y.

F 7LWLN SXQFDN GDQ VXPEX VLPHWUL

G %HEHUDSD WLWLN NRRUGLQDW \DQJ GLODOXL IXQJVL NXDGUDW WHUVHEXW

Materi Esensi Menentukan Fungsi Kuadrat

8QWXN PHQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW GLSHUOXNDQ EHEHUDSD LQIRUPDVL GLDQWDUDQ\D
%HEHUDSD WLWLN NRRUGLQDW \DQJ GLODOXL IXQJVL NXDGUDW WHUVHEXW
7LWLN SRWRQJ IXQJVL NXDGUDW WHUVHEXW GL VXPEX X.
7LWLN SRWRQJ IXQJVL NXDGUDW WHUVHEXW GL VXPEX Y.
7LWLN SXQFDN GDQ VXPEX VLPHWUL

530 Buku Guru Kelas IX SMP/MTs

/DQJNDK SHUWDPD XQWXN PHQGDSDWNDQQ\D DGDODK GHQJDQ PHPLVDONDQ IXQJVL NXDGUDW
tersebut dengan f x ax2 + bx + c %HULNXW LQL DGDODK ODQJNDK VHODQMXWQ\D EHUGDVDUNDQ
LQIRUPDVL LQIRUPDVL GL DWDV

1. Jika diketahui beberapa titik koordinat yang lain.
-LND IXQJVL NXDGUDW WHUVHEXW PHODOXL NRRUGLQDW p, q PDND GLSHUROHK f p q.
-LND GLNHWDKXL WLWLN SRWRQJ IXQJVL NXDGUDW WHUVHEXW GL VXPEX X.
-LND IXQJVL NXDGUDW PHPRWRQJ VXPEX ; GL p GDQ q PDND IXQJVL

NXDGUDW WHUVHEXW GDSDW GLWXOLVNDQ PHQMDGL f x a x í p x í q
-LND GLNHWDKXL WLWLN SRWRQJ IXQJVL NXDGUDW WHUVHEXW GL VXPEX <
-LND IXQJVL NXDGUDW PHPRWRQJ VXPEX X GL r PDND GLSHUROHK

f r
'HQJDQ PHQVXEVWLWXVLNDQ QLODL SDGD I [ GLSHUROHK

f a 2 + b c = c.
Sehingga diperoleh c = r.
4. Jika diketahui titik puncak dan sumbu simetri.
-LND IXQJVL NXDGUDW NXDGUDW WHUVHEXW PHPLOLNL WLWLN SXQFDN GL s, t PDND
GLSHUROHK VXPEX VLPHWUL IXQJVL NXDGUDW WHUVHEXW DGDODK JDULV

x=s
6HODQMXWDQ\D MLND GLNHWDKXL IXQJVL NXDGUDW WHUVHEXW PHODOXL e, d PDND GHQJDQ
PHQJJXQDNDQ VLIDW VLPHWUL GLSHUROHK WLWLN NRRUGLQDW \DQJ ODLQ KDVLO SHQFHUPLQDQ
NRRUGLQDW e, d WHUKDGDS JDULV x = s.

Contoh 10.5 Menentukan Fungsi Kuadrat I

3DGD &RQWRK VLVZD GLDMDN XQWXN PHQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW MLND GLNHWDKXL
tiga titik koordinat.

Contoh 10.5 Menentukan Fungsi Kuadrat I

7HQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW \DQJ JUD¿NQ\D PHODOXL WLWLN NRRUGLQDW GDQ
Alternatif Penyelesaian:
D 0LVDONDQ IXQJVL NXDGUDWQ\D DGDODK f x ax2 + bx + c.
E .DUHQD PHODOXL WLWLN NRRUGLQDW GDQ GLSHUROHK f

f GDQ f

MATEMATIKA 531

- f a 2 + b c = 4 o c = 4. Y
Diperoleh

f x ax2 + bx + 4

- f a 2 + b o a – b + 4
= -1. Diperoleh persamaan

a – b X
- f a 2 + b o a + b + 4 =
5. Diperoleh persamaan

a + b

'HQJDQ PHQMXPODKNDQ SHUVDPDDQ GDQ
diperoleh

2a = -4 o a = -2

Kemudian b = 1 – a ±

c. Diperoleh nilai a = -2, b = 3 dan c VHKLQJJD IXQJVL NXDGUDWQ\D DGDODK

f x x2 + 3x +4.

Contoh 10.6 Menentukan Fungsi Kuadrat II

3DGD &RQWRK VLVZD GLDMDN XQWXN PHQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW MLND GLNHWDKXL
titik potong sumbu-X dan sumbu-Y.

Contoh 10.6 Menentukan Fungsi Kuadrat II

7HQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW \DQJ JUD¿NQ\D Y
memiliki titik potong sumbu-X pada titik

NRRUGLQDW GDQ VHUWD PHPRWRQJ
sumbu-Y SDGD NRRUGLQDW

Alternatif Penyelesaian:

D 0LVDONDQ IXQJVL NXDGUDWQ\D DGDODK f x
ax2 + bx + c. X

b. Karena memotong sumbu-X pada
NRRUGLQDW GDQ IXQJVL
NXDGUDWQ\D GDSDW GLXEDK PHQMDGL

f x a x x ±

532 Buku Guru Kelas IX SMP/MTs

c. Karena memotong sumbu-Y SDGD NRRUGLQDW GLSHUROHK f

f a ± a

Sehingga diperoleh -6a = 3 o a = - 1
2

G 'LSHUROHK IXQJVL NXDGUDW

f x 1 x x ± 1 1 1
x2 – x ± x2 + x2 + 3.
2 2 22

Contoh 10.7 Menentukan Fungsi Kuadrat III

3DGD &RQWRK VLVZD GLDMDN XQWXN PHQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW MLND GLNHWDKXL
titik puncak dan titik potong sumbu sumbu-Y.

Contoh 10.7 Menentukan Fungsi Kuadrat III

7HQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW \DQJ JUD¿NQ\D PHPLOLNL WLWLN SXQFDN SDGD WLWLN NRRUGLQDW
VHUWD PHPRWRQJ VXPEX Y SDGD WLWLN NRRUGLQDW

Y





X

Alternatif Penyelesaian:

D 0LVDONDQ IXQJVL NXDGUDWQ\D DGDODK f x ax2 + bx + c.

b. Diperoleh sumbu simetri x = -1.

F %HUGDVDUNDQ VLIDW VLPHWUL MLND WLWLN GLFHUPLQNDQ WHUKDGDS JDULV x = -1
GLSHUROHK WLWLN NRRUGLQDW

G )XQJVL NXDGUDW PHODOXL WLJD WLWLN NRRUGLQDW \DNQL VHUWD

H .DUHQD PHODOXL WLWLN NRRUGLQDW GDQ GLSHUROHK f
f GDQ f

MATEMATIKA 533

- f a 2 + b F o c = 1. Diperoleh

f(x) = ax2 + bx + 1
- f a 2 + b o a í b + 1 = 3. Diperoleh persamaan

a–b =2 (1)

- f a 2 + b o 4a – 2b + 1 = 1 Diperoleh persamaan

2a í b = 0 (2)

'HQJDQ PHQJXUDQJL SHUVDPDDQ GDQ GLSHUROHK
-a = 2 o a = -2

Kemudian b = 2a

I 'LSHUROHK QLODL a = -2, b = -4 dan c VHKLQJJD IXQJVL NXDGUDWQ\D DGDODK

f(x)= -2x2 í 4x + 1

Contoh 10.8 Menentukan Fungsi Kuadrat

3DGD &RQWRK VLVZD GLDMDN XQWXN PHQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW MLND GLNHWDKXL
salah satu titik potong sumbu-X, titik potong sumbu-Y serta sumbu simetri.

Contoh 10.8 Menentukan Fungsi Kuadrat

1
7HQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW \DQJ JUD¿NQ\D PHPLOLNL VXPEX VLPHWUL x = - yang

2
memotong sumbu-X SDGD WLWLN NRRUGLQDW GDQ PHPRWRQJ VXPEX Y pada
NRRUGLQDW

1Y
x=-

2


X

Alternatif Penyelesaian:
D 0LVDONDQ IXQJVL NXDGUDWQ\D DGDODK f x ax2 + bx + c.

534 Buku Guru Kelas IX SMP/MTs

1
E %HUGDVDUNDQ VLIDW VLPHWUL MLND WLWLN GLFHUPLQNDQ WHUKDGDS JDULV x = -

2

GLSHUROHK WLWLN NRRUGLQDW

c. Karena memotong sumbu-X SDGD NRRUGLQDW GDQ IXQJVL NXDGUDWQ\D
GDSDW GLXEDK PHQMDGL

f x a x x ±

d. Karena memotong sumbu-Y SDGD NRRUGLQDW GLSHUROHK f

f a ± a

Sehingga diperoleh -6a = 2 o a = 1
3

H 'LSHUROHK IXQJVL NXDGUDW

f x 1 x x í 1 x2 + x í 1 x2 í 1 x2 + 2
3 3 3 3

Tahukah Kamu

.HWLND VLVZD PHQJJDPEDU JUD¿N IXQJVL OLQHDU GDQ JUD¿N IXQJVL NXDGUDW DWDX
PHQJJDPEDU GXD JUD¿N IXQJVL NXDGUDW GLPXQJNLQNDQ NHGXD JUD¿N WHUVHEXW VDOLQJ
berpotongan.

y = x2 í x + 2 Y
5

y = x2 í x + 4
4

3

2

1

-3 -2 -1 X
12345 6

-1

y = x í -2

'DUL JDPEDU GL DWDV JUD¿N IXQJVL OLQHDU y = x í GDQ JUD¿N IXQJVL NXDGUDW y = x2
í x EHUSRWRQJDQ SDGD GXD WLWLN NRRUGLQDW \DLWX GDQ 6HGDQJNDQ
JUD¿N IXQJVL NXDGUDW y = x2 í x + 4 dan y = x2 í x + 2 berpotongan pada satu titik
NRRUGLQDW \DLWX

MATEMATIKA 535

6LVZD MXJD GDSDW PHQHQWXNDQ WLWLN SRWRQJQ\D WDQSD PHQJJDPEDU JUD¿N &DUDQ\D
adalah dengan “menyamakannya”.
7LWLN SRWRQJ JUD¿N IXQJVL OLQHDU GDQ IXQJVL NXDGUDW

Fungsi linear : y = -x IXQJVL NXDGUDW y [2 í x + 4
'HQJDQ PHQ\DPDNDQ NHGXD IXQJVL GL DWDV GLSHUROHK
[2 – 5x + 4 = x í
[2 – 5x í x + 1 = 0
[2 – 6x + 5 = 0
x ± x í

Diperoleh x = 1 atau x = 5.
Dari nilai x di atas siswa dapat memperoleh nilai y dengan mensubstitusikan nilai
x SDGD VDODK VDWX IXQJVL
Untuk x = 1 o y = x í í GLSHUROHK WLWLN NRRUGLQDW
Untuk x = 5 o y = x í í GLSHUROHK WLWLN NRRUGLQDW
-DGL WLWLN SRWRQJQ\D SDGD WLWLN NRRUGLQDW GDQ
7LWLN SRWRQJ GXD IXQJVL NXDGUDW
Fungsi kuadrat f1 x x2 í x + 4 dan f2 x x2 í x + 2
Karena yang dicari titik potong maka f1 x f2 x VHODQMXWQ\D GLGDSDWNDQ

x2 – 5x + 4 = x2 í x + 2
x2 – 5x í x2 – 4x

x +- 2 = 0
Diperoleh x = 2.
Dari nilai x di atas siswa dapat memperoleh nilai y dengan mensubstitusikan nilai
x SDGD VDODK VDWX IXQJVL
Untuk x = 2 o y = x2 – 5x 2 í GLSHUROHK WLWLN NRRUGLQDW
-DGL WLWLN SRWRQJQ\D SDGD WLWLN NRRUGLQDW

Ayo Kita
Tinjau Ulang

3DGD EDJLDQ LQL VLVZD GLDMDN XQWXN PHQJHUMDNDQ DWDX PHQJHQDOLVD EHEHUDSD VRDO
WDPEDKDQ PHQJHQDL ³PHQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW´ 'LKDUDSNDQ PHODOXL $\R .LWD
7LQMDX 8ODQJ VLVZD VHPDNLQ PHPDKDPL PHQJHQDL PDWHUL LQL

536 Buku Guru Kelas IX SMP/MTs

Ayo Kita
Tinjau Ulang

1. Untuk suatu bilangan bulat p > q ! DSDNDK WHUGDSDW VXDWX IXQJVL NXDGUDW y = ax2
+ bx + c \DQJ PHODOXL WLWLN NRRUGLQDW p GDQ q "
Jelaskan alasanmu.

2. Untuk suatu bilangan bulat p > q > r ! DSDNDK WHUGDSDW VXDWX IXQJVL NXDGUDW
y = ax2 + bx + c \DQJ PHODOXL WLWLN NRRUGLQDW p p GDQ r "
Jelaskan alasanmu.

$SDNDK PXQJNLQ JUD¿N IXQJVL OLQHDU GDQ JUD¿N IXQJVL NXDGUDW EHUSRWRQJDQ GL
tiga titik koordinat berbeda?
Jelaskan alasanmu.

$SDNDK PXQJNLQ GXD JUD¿N JUD¿N IXQJVL NXDGUDW EHUSRWRQJDQ GL WLJD WLWLN
koordinat berbeda?
Jelaskan alasanmu.

Penyelesaian:

7LGDN PXQJNLQ NDUHQD WLGDN PXQJNLQ JDULV YHUWLNDO PHPRWRQJ IXQJVL NXDGUDW y
= ax2 + bx + c pada dua titik koordinat yang berbeda.

7LGDN PXQJNLQ NDUHQD WLGDN PXQJNLQ JDULV KRULVRQWDO PHPRWRQJ IXQJVL NXDGUDW
y = ax2 + bx + c pada tiga titik koordinat yang berbeda.

7LGDN PXQJNLQ NDUHQD SDOLQJ EDQ\DN EHUSRWRQJDQ SDGD GXD WLWLN \DQJ EHUEHGD

7LGDN PXQJNLQ NDUHQD SDOLQJ EDQ\DN EHUSRWRQJDQ SDGD GXD WLWLN \DQJ EHUEHGD

Latihan 10.3 Menentukan Fungsi Kuadrat

7HQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW \DQJ JUD¿NQ\D PHODOXL WLWLN NRRUGLQDW


Penyelesaian: f x x2 – 3x – 4.

7HQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW \DQJ JUD¿NQ\D PHPRWRQJ VXPEX X pada titik koordinat
GDQ VHUWD PHODOXL WLWLN NRRUGLQDW

Penyelesaian: f x x2 – x – 12.

7HQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW \DQJ JUD¿NQ\D PHPRWRQJ VXPEX X pada koordinat
GDQ PHPLOLNL WLWLN SXQFDN SDGD NRRUGLQDW

Penyelesaian: f x x2 –4x – 12.

7HQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW \DQJ JUD¿NQ\D PHPRWRQJ VXPEX Y pada koordinat
PHODOXL WLWLN NRRUGLQDW GDQ PHPLOLNL VXPEX VLPHWUL x = 2.

MATEMATIKA 537

Penyelesaian: f x x2+ 4x + 4.
7DQWDQJDQ 7HQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW \DQJ JUD¿NQ\D PHODOXL GDQ


Penyelesaian: 7LGDN DGD IXQJVL NXDGUDW \DQJ PHPHQXKL NDUHQD WLGDN PXQJNLQ
IXQJVL NXDGUDW PHPRWRQJ VXPEX X dua kali.
8QWXN VXDWX ELODQJDQ EXODW S WHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW \DQJ JUD¿NQ\D PHODOXL
WLWLN NRRUGLQDW p GDQ p GDQ p

1
Penyelesaian: f x x2 – 2x + p.

p
7HQWXNDQ VHPXD WLWLN SRWRQJ JUD¿N IXQJVL OLQHDU y = x GHQJDQ IXQJVL NXDGUDW

y = x2 – 5x + 4.

Penyelesaian: 7LWLN SRWRQJ GDQ
7HQWXNDQ VHPXD WLWLN SRWRQJ JUD¿N IXQJVL NXDGUDW y = x2 – 6x GHQJDQ IXQJVL

kuadrat y = x2 – 8x.

Penyelesaian: 7LWLN SRWRQJ
7DQWDQJDQ 7HQWXNDQ QLODL a dan b DJDU JUD¿N IXQJVL OLQHDU y = ax + b memotong

JUD¿N IXQJVL NXDGUDW y = x2 – 4x WHSDW SDGD VDWX WLWLN NRRUGLQDW \DNQL
.DODX GLSHUOXNDQ GDSDW PHQJJXQDNDQ JUD¿N

Penyelesaian:

Dari persamaan x2 – 4x + 2 = ax + b diperoleh

x2 ± ± a x ± b
.DUHQD WLWLN SHUSRWRQJDQ KDQ\D SDGD VDWX WLWLN NRRUGLQDW \DNQL PDND

IXQJVL NXDGUDW SDGD 3HUVDPDDQ KDQ\D PHPSXQ\DL VDWX DNDU \DNQL x = 3, atau
dapat dituliskan dengan

x2 ± ± a x ± b x ± x ±
= x2 – 6x + 9

Diperoleh 4 – a = 6 o a = -2 dan 2 – b = 9 o b = -7.
'DUL IXQJVL NXDGUDW y = 2x2 – 12x DNDQ GLEXDW VXDWX VHJLWLJD 7LWLN WLWLN VXGXW

VHJLWLJD WHUVHEXW PHUXSDNDQ WLWLN SRWRQJ VXPEX ; GDQ WLWLN SXQFDN 7HQWXNDQ
luas segitiga tersebut.

Penyelesaian:

Fungsi kuadrat 2x2 – 12x GDSDW GLXEDK PHQMDGL
2x2 – 12x x2 – 6x
x ± x ±

538 Buku Guru Kelas IX SMP/MTs

Diperoleh titik potong sumbu-X SDGD WLWLN NRRUGLQDW GDQ 6XPEX

-b 12 3 .RRUGLQDW WLWLN SXQFDN DGDODK f
simetri adalah x =
2a 4

Perhatikan gambar di bawah.

Y
5

4

3

2

1
X

-2 -1 12 3 45 6
-1

-2
/XDV VHJLWLJD DGDODK ò VDWXDQ OXDV

D. Aplikasi Fungsi Kuadrat

3DGD VXE EDE LQL VLVZD DNDQ PHPSHODMDUL EHEHUDSD DSOLNDVL IXQJVL NXDGUDW GDODP
kehidupan sehari-hari.

Pertanyaan
Penting

%HULNDQ SHQMHODVDQ SDGD VLVZD PHQJHQDL DSOLNDVL GDUL IXQJVL NXDGUDW GDQ
kegunannya dalam kehidupan nyata.

Pertanyaan
Penting

%DJDLPDQD DSOLNDVL IXQJVL NXDGUDW SDGD NHKLGXSDQ Q\DWD"

MATEMATIKA 539

Kegiatan 10.10 Menentukan Fungsi Kuadrat Dari Beberapa Informasi
Sebelum kegiatan ini guru mengumumkan pada siswanya untuk mempersiapkan
1. Penggaris berukuran 100 cm atau 30 cm.
6WRS ZDWFK DWDX MDP WDQJDQ DWDX MDP GLQGLQJ
3. Koin
Setelah kegiatan ini siswa diharapkan dapat menurunkan persamaan kuadrat dan
menentukan tinggi dari maksimum yang dicapai koin. Untuk itu siswa harus
melakukan Ayo Kita Mengamati.
Dan setelah kegiatan ini guru harus membuat kesimpulan mengenai persamaan
kuadrat dan menentukan tinggi dari maksimum yang dicapai koin.

Kegiatan 10.10 Lompat Trampolin

Lompat trampolin adalah sebuah permainan di mana seseorang akan dilemparkan
ke udara dengan menggunakan trampolin seperti yang terlihat pada gambar di
bawah ini. Pada suatu hari diadakan suatu kompetisi lompat trampolin dimana
GHQJDQ SHVHUWD ORPSDWDQ WHUWLQJJL DNDQ NHOXDU PHQMDGL SHPHQDQJ 8QWXN PHQHQWXNDQ
tinggi dari lompatan, panitia menyiapkan suatu alat ukur berupa penggaris dengan
ukuran 5 meter yang dipasang secara vertikal disebelah trampolin sehingga tinggi
dari lompatan peserta bisa dilihat dari penggaris ini. Namun dengan menggunakan
metode ini panitia mengalami masalah yaitu ketika ada peserta yang lompatannya
melebihi 5 meter. Untuk menyelesaikan hal ini lakukanlah kegiatan di bawah ini
sebagai simulasi.

Sumber: http://tahu-x.blogspot.com

540 Buku Guru Kelas IX SMP/MTs

Ayo Kita Amati

1. Siapkan penggaris berukuran 100 cm atau 30 cm.

2. 6LDSNDQ VWRS ZDWFK DWDX MDP WDQJDQ DWDX MDP GLQGLQJ
3. Siapkan koin atau benda kecil yang bisa dilempar keatas

4. Buatlah kelompok minimal terdiri dari tiga orang yang mana bertugas untuk
PHOHPSDU NRLQ PHQJDPDWL XML FRED GDQ PHQFDWDW

5. Letakkan penggaris secara vertikal dan bilangan nol letakkan pada posisi di bawah.

6. Lemparlah koin atau benda kecil yang siswa siapkan dengan posisi lemparannya
di titik nol pada penggaris.

7. Amati waktu yang diperlukan koin untuk mencapai tinggi 100 cm atau 30 cm
VHVXDLNDQ GHQJDQ SHQJJDULV \DQJ VLVZD EDZD

8. Lakukan kegiatan ini sebanyak 10 kali dan isi tabel berikut ini

Percobaan ke- Waktu yang diperlukan untuk mencapai 100 cm
1. atau 30 cm

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Ayo Kita
Mencoba

3DGD WHRUL ¿VLND WHUGDSDW SHUVDPDDQ \DQJ EHUKXEXQJDQ GHQJDQ NHJLDWDQ GL DWDV \DLWX
1

h t v0 t í 2 gt2 dengan h menyatakan tinggi benda, v0 menyatakan kecepatan awal
atau kecepatan disaat waktu sama dengan nol, t menyatakan waktu dan g menyatakan

MATEMATIKA 541

NRH¿VLHQ GDODP JD\D JUDYLWDVL \DQJ EHUQLODL 'DUL NHJLDWDQ GL DWDV LQIRUPDVL DSD
VDMD \DQJ ELVD VLVZD GDSDW WHQWXNDQ GDQ EHUL SHQMHODVDQQ\D
Petunjuk: 0HODOXL XML FRED GDSDWNDQ v0 VHKLQJJD GLGDSDWNDQ IXQJVL NXDGUDW GDUL
NHWLQJJLDQ 'HQJDQ IXQJVL LQL GDSDW GLWHQWXNDQ WLQJJL PDNVLPXP \DQJ GDSDW GLFDSDL
koin.

Ayo Kita
Simpulkan

7HQWXNDQ KXEXQJDQ DQWDUD .HJLDWDQ GHQJDQ SHUPDVDODKDQ SDQLWLD ORPSDW
trampolin di atas. Dan bagaimana pemecahan masalahnya.

Petunjuk: Koin yang dilempar pada kegiatan ini adalah prototype dari manusia
melompat pada trampolin. Dengan kata lain kita dapat menentukan tinggi lompatan
seseorang pada trampolin dengan mencatat waktu yang diperlukan orang tersebut
untuk mencapai tinggi tertentu.

Kegiatan 10.11 Membuat Balok

Sebelum kegiatan ini guru mengumumkan pada siswanya untuk mempersiapkan
1. Kertas karton
2. Gunting
3. Penggaris
Setelah kegiatan ini siswa diharapkan dapat menurunkan persamaan kuadrat dari
kasus pembuatan kubus kubus dan dapat menentukan nilai optimal. Untuk itu siswa
harus melakukan Ayo Kita Menalar untuk memancing pemikiran siswa mengenai
UXPXV MDUDN
Setelah kegiatan ini guru harus membuat kesimpulan persamaan kuadrat dari kasus
pembuatan kubus kubus dan dapat menentukan nilai optimal.

Kegiatan 10.11 Membuat Balok

Seorang pengusaha es ingin membuat cetakan untuk es. Untuk itu dia menyediakan
sehelai kayu berukuran 2,5 meter u 1 meter. Dengan kayu ini dia ingin membentuk
cetakan berbentuk balok dengan tinggi 1 meter tanpa alas dan tutup. Sebagai
pengusaha dia ingin menghasilkan es semaksimal mungkin. Selesaikan permasalahan
ini dengan melakukan kegiatan berikut.

542 Buku Guru Kelas IX SMP/MTs

Ayo Kita Amati

1. Siapkan kertas karton berukuran 25 cm × 10 cm.
2. Buatlah balok atau kubus tanpa alas dan tutup dengan tinggi 10 cm dari kertas

tersebut dengan cara melipat seperti pada contoh gambar berikut ini.

Sumber: Dokumen Kemdikbud

3. Hitunglah volume balok yang siswa buat.
4. Lakukan kegiatan ini sebanyak sepuluh kali dengan menggunakan kertas yang

sama tapi ukuran baloknya berbeda.
5. Isilah tabel berikut ini.

Balok ke- Volume balok

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Ayo Kita
Menalar

Dari kesepuluh balok yang siswa buat, balok nomor berapakah yang mempunyai
YROXPH WHUEHVDU" 0XQJNLQNDK GLEXDW EDORN \DQJ ODLQ GHQJDQ YROXPHQ\D OHELK EHVDU
daripada volume balok tersebut?

MATEMATIKA 543

Petunjuk:

V=pulut

Dari permasalahn tinggi sudah diketahui yaitu 10 dan p + l VHKLQJJD IXQJVL GDUL
volume didapat

V p – p 2

Supaya volume maksimum maka p =12,5 cm dan l =12,5 cm

Ayo Kita
Simpulkan

7HQWXNDQ KXEXQJDQ KDVLO GDUL .HJLDWDQ GL DWDV GHQJDQ NDVXV \DQJ DGD SDGD
Kegiatan 10.11 ini. Bagaimana siswa menyelesaikan kasus yang dihadapi oleh
pengusaha tersebut?

Petunjuk: Dengan pemodelan yang sama untuk kasus sebenarnya supaya volumenya
PDNVLPXP GLGDSDW SDQMDQJ OHEDU PHWHU

Kegiatan 10.12 Membuat Persegi

Sebelum kegiatan ini guru mengumumkan pada siswanya untuk mempersiapkan
1. kertas karton
2. penggaris
3. gunting
Setelah kegiatan ini siswa diharapkan dapat menurunkan persamaan kuadrat dari
kasus pembuatan persegi dan menentukan nilai optimalnya. Untuk itu siswa harus
melakukan Ayo Kita Menalar.
Dan setelah kegiatan ini guru harus membuat kesimpulan mengenai persamaan
kuadrat dari kasus pembuatan persegi dan menentukan nilai optimalnya.
Kemudian setelah kegiatan ini lakukan diskusi dan berbagi mengenai subbab
ini. Lihat bagian Diskusi dan Berbagi dan berikan stimulus kepada siswa untuk
EHUWDQD\D EDJLDQ Silakan Bertanya

Kegiatan 10.12 Membuat Persegi

Seorang pengusaha emas mendapatkan pesanan 10 lempeng emas berbentuk segitiga
samasisi dengan ukuran sisinya adalah 10 cm. Akibat dari produksi ini, bahan untuk

544 Buku Guru Kelas IX SMP/MTs