1 2 3 4 5 Idee per 2
il tuo futuro
Massimo Bergamini
Anna Trifone Graziella Barozzi
Matematica.bianco
Copyright © 2012 Zanichelli editore S.p.A., via Irnerio 34, 40126 Bologna [9275] Legenda dei rimandi a Bravi si diventa*:
www.zanichelli.it
Spiegazione filmata su Le percentuali, codice V05a.
I diritti di elaborazione in qualsiasi forma o opera, di memorizzazione anche digitale su supporti
di qualsiasi tipo (inclusi magnetici e ottici), di riproduzione e di adattamento totale o parziale
con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche), i diritti di noleggio, di prestito
e di traduzione sono riservati per tutti i paesi. L’acquisto della presente copia dell’opera
non implica il trasferimento dei suddetti diritti né li esaurisce.
Per le riproduzioni ad uso non personale (ad esempio: professionale, economico, commerciale, Esercizio interattivo, codice E25.
strumenti di studio collettivi, come dispense e simili) l’editore potrà concedere a pagamento
l’autorizzazione a riprodurre un numero di pagine non superiore al 15% delle pagine Per accedere a questi contenuti, clicca sull’icona
del presente volume. Le richieste per tale tipo di riproduzione vanno inoltrate a corrispondente nell’e-book. Oppure digita il codice V05a
o E25 nell’apposita sezione della homepage
Centro Licenze e Autorizzazioni per le Riproduzioni Editoriali (CLEARedi) di Bravi si diventa.
Corso di Porta Romana, n.108
20122 Milano *nell’e-book allegato al Libro Misto Multimediale (LMM),
e-mail [email protected] e sito web www.clearedi.org disponibile anche online con chiave di attivazione ( ).
L’editore, per quanto di propria spettanza, considera rare le opere fuori del proprio catalogo Prima edizione: febbraio 2012
editoriale, consultabile al sito www.zanichelli.it/f_catalog.html.
La fotocopia dei soli esemplari esistenti nelle biblioteche di tali opere è consentita, oltre il limite del 15%, L’impegno a mantenere invariato il contenuto di questo volume
non essendo concorrenziale all’opera. per un quinquennio (art. 5 legge n. 169/2008) è comunicato
Non possono considerarsi rare le opere di cui esiste, nel catalogo dell’editore, una successiva edizione, nel catalogo Zanichelli, disponibile anche online sul sito
le opere presenti in cataloghi di altri editori o le opere antologiche. Nei contratti www.zanichelli.it, ai sensi del DM 41 dell’8 aprile 2009, All. 1/B.
di cessione è esclusa, per biblioteche, istituti di istruzione, musei ed archivi, la facoltà
di cui all’art. 71 - ter legge diritto d’autore. File per diversamente abili
Maggiori informazioni sul nostro sito: www.zanichelli.it/fotocopie/ L’editore mette a disposizione degli studenti non vedenti,
ipovedenti, disabili motori o con disturbi specifici
Realizzazione editoriale: di apprendimento i file pdf in cui sono memorizzate
le pagine di questo libro. Il formato del file permette
– Coordinamento redazionale: Giulia Laffi l’ingrandimento dei caratteri del testo e la lettura mediante
– Collaborazione redazionale: Massimo Armenzoni, Marco Giusiano, software screen reader.
Le informazioni su come ottenere i file
Elena Meucci sono sul sito www.zanichelli.it/diversamenteabili
– Segreteria di redazione: Deborah Lorenzini
– Progetto grafico: Byblos, Faenza Suggerimenti e segnalazione degli errori
– Progetto grafico del sommario, delle aperture di capitolo e delle schede Realizzare un libro è un’operazione complessa, che richiede numerosi
controlli: sul testo, sulle immagini e sulle relazioni che si stabiliscono
Problemi, ragionamenti, deduzioni: Roberto Marchetti tra essi. L’esperienza suggerisce che è praticamente impossibile
– Composizione e impaginazione: Litoincisa, Bologna pubblicare un libro privo di errori. Saremo quindi grati ai lettori
– Disegni: Graffito, Cusano Milanino che vorranno segnalarceli. Per segnalazioni o suggerimenti relativi
– Ricerca iconografica: Raffaella Agostini, Alessandra Giannini, Giulia Laffi a questo libro scrivere al seguente indirizzo:
Contributi: [email protected]
– Stesura del Laboratorio di matematica: Antonio Rotteglia Le correzioni di eventuali errori presenti nel testo sono pubblicate
– Revisioni dei testi e degli esercizi: Monica Prandini nel sito www.zanichelli.it/aggiornamenti
– Stesura di schede: Chiara Ballarotti (Erone e la radice quadrata, La formula
Zanichelli editore S.p.A. opera con sistema qualità
segreta, La proporzionalità che frena), Silvia Benvenuti (Internet, Il problema certificato CertiCarGraf n. 477
di Delo, Bulloni!, Annodando funi, Che misure!), Elena Bergamini secondo la norma UNI EN ISO 9001:2008
(Il completamento del quadrato, I cerchi nel grano, Il tangram), Andrea Betti
(Musica e trasformazioni geometriche, In viaggio), Daniela Cipolloni
(Problemi cinesi e sistemi, Home Cinema, Formato A4, Body Mass Index,
I segni maggiore e minore, Il dilemma di Monty Hall), Robert Ghattas
(Discesa pericolosa, Letture allo specchio!, Quale forma per le mura?),
Elisa Menozzi (La nascita della geometria analitica), Ilaria Pellati (Il gioco
del lotto), Alessandro Zago (Tassellare è un’arte)
– Revisione di schede: Ambra Tinti
– Risoluzione degli esercizi: Francesca Anna Riccio, Angela Capucci,
Elisa Capucci, Elisa Garagnani, Erika Giorgi, Emilia Liviotti, Ambra Tinti
– Stesura degli esercizi di Verso le competenze: Adria Archetti, Eleonora Basile,
Angela Fanti
– Stesura e revisione degli esercizi di Matematica per il cittadino: Roberto Ceriani,
Andrea Betti, Daniela Boni, Maria Luisa Pagani
– Stesura e revisione degli esercizi in lingua inglese: Andrea Betti
– Revisione linguistica degli esercizi in inglese: Alexander Synge
– Rilettura dei testi: Francesca Anna Riccio
Derive è un marchio registrato della Soft Warehouse Inc.
Excel è un marchio registrato della Microsoft Corp
Cabri-Géomètre è un marchio registrato della Texas Instruments
L’intera opera è frutto del lavoro comune di Massimo Bergamini e Anna Trifone
Il format Bravi si diventa, inclusi i video e le spiegazioni teoriche,
è un’opera collettiva di proprietà di Zanichelli editore.
Hanno collaborato alla realizzazione di questo volume Davide Bergamini,
Enrico Bergamini, Lisa Cecconi.
Copertina:
– Progetto grafico: Miguel Sal & C., Bologna
– Realizzazione: Roberto Marchetti
– Immagine di copertina: Artwork Miguel Sal & C., Bologna
Massimo Bergamini
Anna Trifone Graziella Barozzi
Matematica.bianco 2
www.online.zanichelli.it/bergaminibianco
RISORSE ONLINE INDICE TEORIA ESERCIZI
ᮣ Esercitazioni guidate su 7CAPITOLO
Motori di ricerca,
Elaborazione di testi, Il piano cartesiano
Presentazioni multimediali, e la retta
Introduzione a GeoGebra,
Introduzione a Wiris.
…che cosa indica questo se-
gnale stradale?
RISORSE ONLINE 1. Le coordinate di un punto 375 393
2. I segmenti nel piano cartesiano 376 394
ᮣ Risposta al quesito di apertura 3. L’equazione di una retta passante per l’origine 378 398
ᮣ Esplorazione 4. L’equazione generale della retta 381 401
ᮣ Scheda di lavoro su Problemi, 5. Il coeiciente angolare 384 406
6. Le rette parallele e le rette perpendicolari 385 408
ragionamenti, deduzioni
ᮣ Matematica per il cittadino PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Lo dimostro io! 387
ᮣ 11 esercitazioni di Laboratorio 7. I fasci di rette 387 410
8. La retta passante per due punti 389 414
con Excel 9. La distanza di un punto da una retta 390 416
ᮣ 68 esercizi in più Q Verso le competenze
ᮣ 55 esercizi di recupero 419
ᮣ 30 test interattivi
BRAVI SI DIVENTA
ᮣ 5 videolezioni
ᮣ 2 esercizi interattivi
…come scegliere il contratto 8CAPITOLO
più conveniente?
I sistemi lineari
RISORSE ONLINE 1. I sistemi di due equazioni in due incognite 421 434
2. Il metodo di sostituzione 423 436
ᮣ Risposta al quesito di apertura 3. I sistemi determinati, impossibili, indeterminati 424 438
ᮣ Esplorazione 4. Il metodo del confronto 429 441
ᮣ Scheda di lavoro su Problemi, 5. Il metodo di riduzione 429 442
6. Il metodo di Cramer 430 444
ragionamenti, deduzioni 7. I sistemi di tre equazioni in tre incognite 431 448
ᮣ Matematica per il cittadino
ᮣ 19 esercitazioni di Laboratorio Sistemi lineari e problemi 450
con Derive o Wiris PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Bruciare metano 431
ᮣ 73 esercizi in più 455
ᮣ 30 esercizi di recupero Q Verso le competenze
ᮣ 30 test interattivi
BRAVI SI DIVENTA
ᮣ 6 videolezioni
ᮣ 4 esercizi interattivi
II
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Indice
9CAPITOLO TEORIA ESERCIZI
…come fecero gli ateniesi a I numeri reali e i radicali
raddoppiare l’altare?
1. La necessità di ampliare l’insieme Q 457 481
2. Dai numeri razionali ai numeri reali 459 482
RISORSE ONLINE 3. I radicali in Rϩ0 463 483
ᮣ Risposta al quesito di apertura 4. La proprietà invariantiva dei radicali 464 484
ᮣ Esplorazione 5. La moltiplicazione e la divisione fra radicali 467 490
ᮣ Scheda di lavoro su Problemi, 6. La potenza e la radice di un radicale 469 495
ragionamenti, deduzioni 7. L’addizione e la sottrazione di radicali 471 499
ᮣ Matematica per il cittadino
ᮣ 29 esercitazioni di Laboratorio PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Espressioni a confronto 472
con Derive o Wiris
ᮣ 95 esercizi in più 8. La razionalizzazione del denominatore di una frazione 473 503
ᮣ 45 esercizi di recupero 9. I radicali quadratici doppi 474 505
ᮣ 30 test interattivi
ᮣ Teoria e 25 esercizi su 10. Le equazioni, i sistemi e le disequazioni con coeicienti 474 507
I numeri immaginari irrazionali
BRAVI SI DIVENTA 11. Le potenze con esponente razionale 475 510
ᮣ 6 videolezioni 12. I radicali in R 477 512
ᮣ 4 esercizi interattivi Q Verso le competenze 513
…a quale distanza deve esse- 10CAPITOLO
re posto il proiettore ainché
l’immagine che appare sullo Le equazioni
schermo abbia la dimensione di secondo grado
desiderata?
1. Le equazioni di secondo grado 515 530
RISORSE ONLINE 2. La risoluzione di un’equazione di secondo grado 516 531
516
ᮣ Risposta al quesito di apertura PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Babilonia, anno 1000 a.C. 521 545
ᮣ Esplorazione 3. La somma e il prodotto delle radici 522 548
ᮣ Scheda di lavoro su Problemi, 4. La scomposizione di un trinomio di secondo grado 523 552
5. Le equazioni parametriche 558
ragionamenti, deduzioni 524 561
ᮣ Matematica per il cittadino I problemi di secondo grado 565
ᮣ 15 esercitazioni di Laboratorio 6. La funzione quadratica e la parabola
Q Verso le competenze
con Excel
ᮣ 113 esercizi in più
ᮣ 74 esercizi di recupero
ᮣ 30 test interattivi
ᮣ Teoria e 53 esercizi su
I numeri complessi
BRAVI SI DIVENTA
ᮣ 4 videolezioni
ᮣ 5 esercizi interattivi
III
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
www.online.zanichelli.it/bergaminibianco
11CAPITOLO TEORIA ESERCIZI
…perché il foglio di formato Complementi di algebra
A4 ha i lati di 21 e 29,7 cen-
timetri?
RISORSE ONLINE 1. Le equazioni di grado superiore al secondo 567 582
ᮣ Risposta al quesito di apertura PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Per bisogno 571
ᮣ Esplorazione o per curiosità 575 593
ᮣ Scheda di lavoro su Problemi, 2. Le equazioni irrazionali 578 598
3. I sistemi di secondo grado 579 604
ragionamenti, deduzioni 4. I sistemi simmetrici
ᮣ Matematica per il cittadino Sistemi e problemi 605
ᮣ 15 esercitazioni di Laboratorio Q Verso le competenze 609
con Excel
ᮣ 179 esercizi in più
ᮣ 67 esercizi di recupero
ᮣ 30 test interattivi
BRAVI SI DIVENTA
ᮣ 7 videolezioni
ᮣ 3 esercizi interattivi
…considerato un peso di 70 12CAPITOLO
kg, per quali fasce di altezza
possiamo ritenere una per- Le disequazioni
sona sottopeso, normale, so- di secondo grado
vrappeso o obesa?
RISORSE ONLINE
ᮣ Risposta al quesito di apertura
ᮣ Esplorazione 1. Le disequazioni 611 627
ᮣ Scheda di lavoro su Problemi, 2. Le disequazioni di secondo grado intere 613 630
ragionamenti, deduzioni
ᮣ Matematica per il cittadino 3. La risoluzione graica di una disequazione di secondo grado 618 633
ᮣ 16 esercitazioni di Laboratorio
con Derive o Wiris PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Se Rufini non funziona 620
ᮣ 42 esercizi in più 4. Le disequazioni di grado superiore al secondo 621 638
ᮣ 50 esercizi di recupero
ᮣ 30 test interattivi 5. Le disequazioni fratte 622 640
BRAVI SI DIVENTA 6. I sistemi di disequazioni 623 643
ᮣ 4 videolezioni Applicazioni delle disequazioni 647
ᮣ 3 esercizi interattivi Q Verso le competenze 649
IV
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Indice
…l’esito di una sequenza di 13CAPITOLO TEORIA ESERCIZI
trasformazioni geometriche
dipende dall’ordine in cui Le trasformazioni 651 659
vengono eseguite? geometriche 654 665
nel piano cartesiano 656 666
RISORSE ONLINE 657
1. Le isometrie
ᮣ Risposta al quesito di apertura 2. Le omotetie 669
ᮣ Esplorazione 3. La composizione di due trasformazioni
ᮣ Scheda di lavoro su Problemi,
PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Parallelo all’asse x
ragionamenti, deduzioni Q Verso le competenze
ᮣ Matematica per il cittadino
ᮣ 9 esercitazioni di Laboratorio
con Derive o Wiris
ᮣ 21 esercizi in più
ᮣ 29 esercizi di recupero
ᮣ 20 test interattivi
…è più conveniente confer- CAPITOLO
mare oppure cambiare porta
per ottenere il premio? La probabilità
RISORSE ONLINE 1. Gli eventi e la probabilità β1 β19
2. La probabilità della somma logica di eventi β4 β23
ᮣ Risposta al quesito di apertura 3. La probabilità del prodotto logico di eventi β8 β26
ᮣ Esplorazione
ᮣ Scheda di lavoro su Problemi, PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Positivo al test! β13
4. Fra probabilità e statistica β14 β29
ragionamenti, deduzioni Q Verso le competenze
ᮣ Matematica per il cittadino β31
ᮣ 13 esercitazioni di Laboratorio
con Excel
ᮣ 51 esercizi in più
ᮣ 33 esercizi di recupero
ᮣ 30 test interattivi
…perché le teste dei bulloni G4CAPITOLO
sono quasi sempre esagona-
li? La circonferenza,
i poligoni inscritti
RISORSE ONLINE e circoscritti
ᮣ Risposta al quesito di apertura 1. La circonferenza e il cerchio G99 G119
ᮣ Esplorazione G120
ᮣ Scheda di lavoro su Problemi, 2. I teoremi sulle corde G103 G121
G122
ragionamenti, deduzioni 3. Rette e circonferenze G105
ᮣ Matematica per il cittadino
ᮣ 37 esercitazioni di Laboratorio 4. Gli angoli alla circonferenza e i corrispondenti angoli al centro G107
con Cabri o GeoGebra
ᮣ 85 esercizi in più
ᮣ 30 esercizi di recupero
ᮣ 20 test interattivi
V
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
www.online.zanichelli.it/bergaminibianco
5. Le tangenti a una circonferenza da un punto esterno TEORIA ESERCIZI
6. I poligoni inscritti e circoscritti
G109 G123
PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Sempre in la G109 G126
(e non solo)
7. La piramide e i solidi di rotazione G111 G128
G114 G129
Q Verso le competenze
…come si fa a delimitare sul G5CAPITOLO
terreno un campo rettango-
lare? L’equivalenza
delle superfici piane
RISORSE ONLINE 1. L’estensione e l’equivalenza G131 G144
2. L’equivalenza di due parallelogrammi G135 G146
ᮣ Risposta al quesito di apertura 3. I triangoli e l’equivalenza G136 G147
ᮣ Esplorazione 4. La costruzione di poligoni equivalenti G139 G150
ᮣ Scheda di lavoro su Problemi, 5. I teoremi di Euclide e Pitagora G139 G150
ragionamenti, deduzioni PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Più di Pitagora G141 G153
ᮣ Matematica per il cittadino
ᮣ 20 esercitazioni di Laboratorio Q Verso le competenze
con Cabri o GeoGebra
ᮣ 20 esercizi in più
ᮣ 13 esercizi di recupero
ᮣ 20 test interattivi
…come si può misurare con G6CAPITOLO
un metro l’altezza di una pi-
ramide? La misura
e le grandezze
proporzionali
RISORSE ONLINE 1. Le classi di grandezze geometriche G155 G173
2. Le grandezze commensurabili e incommensurabili G158 G173
ᮣ Risposta al quesito di apertura G159
ᮣ Esplorazione PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Atene, IV secolo a.C. G160 G175
ᮣ Scheda di lavoro su Problemi, 3. I rapporti e le proporzioni fra grandezze G164 G177
4. Il teorema di Talete G165 G178
ragionamenti, deduzioni 5. Le aree dei poligoni G179
ᮣ Matematica per il cittadino G168 G190
ᮣ 21 esercitazioni di Laboratorio La risoluzione algebrica di problemi geometrici G193
6. Le aree e i volumi dei poliedri
con Cabri o GeoGebra Q Verso le competenze
ᮣ 47 esercizi in più
ᮣ 22 esercizi di recupero
ᮣ 20 test interattivi
VI
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Indice
G7CAPITOLO TEORIA ESERCIZI
…esistono parole che si pos- Le trasformazioni G195 G206
sono leggere anche allo spec- geometriche
chio? G201 G210
1. Le isometrie G203 G211
RISORSE ONLINE PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Il percorso più breve
ᮣ Risposta al quesito di apertura 2. L’omotetia
ᮣ Esplorazione Q Verso le competenze
ᮣ Scheda di lavoro su Problemi,
ragionamenti, deduzioni
ᮣ Matematica per il cittadino
ᮣ 24 esercitazioni di Laboratorio
con Cabri o GeoGebra
ᮣ 58 esercizi in più
ᮣ 15 esercizi di recupero
ᮣ 20 test interattivi
…che cosa accomuna le pe- G8CAPITOLO
santi forti cazioni di una
città medievale, una mela e La similitudine
una leggerissima bolla di sa-
pone?
RISORSE ONLINE 1. La similitudine e le igure simili G213 G232
2. I criteri di similitudine G214 G233
ᮣ Risposta al quesito di apertura 3. Applicazioni dei criteri di similitudine G215 G237
ᮣ Esplorazione 4. La similitudine nella circonferenza G217 G238
ᮣ Scheda di lavoro su Problemi, 5. Le aree e i perimetri dei poligoni simili G220 G239
6. La lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio G222 G242
ragionamenti, deduzioni G244
ᮣ Matematica per il cittadino Applicazioni dell’algebra alla geometria G224
ᮣ 21 esercitazioni di Laboratorio G257
PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Una cifra dopo l’altra
con Cabri o GeoGebra
ᮣ 66 esercizi in più Q Verso le competenze
ᮣ 22 esercizi di recupero
ᮣ 20 test interattivi
VII
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
www.online.zanichelli.it/bergaminibianco
FONTI DELLE ILLUSTRAZIONI
II (a), 375: Roberto Marchetti, 2006; 425: Ljupco Smokovski/Shutterstock;
II (b), 421: Yuri Arcurs/Shutterstock; 428: Daniele Pellegrini, 1988;
III (b), 515: Photodisc, Just Documents 12, Seattle, WA, 1995; 462: Michael Wesemann/Shutterstock;
IV (a), 567: Radian-Alexandru Olaru/BigStockPhoto; 527: www.hecklerspray.com, gennaio 2006;
IV (b), 611: Elena Bacchilega, 2006; 577: pio3/Shutterstock;
V (a), 651: Radian-Alexandru Olaru/BigStockPhoto; 614: Photodisc, Backgrounds and Objects 8, Seattle, WA, 1993;
V (b), β1: David Meharey/IStockphoto; 653: Mircea Bezergheanu/Shutterstock;
V (c), G99: PhotoAlto, I. Rozenbaum/F. Cirou, CD 7 Paris, e 656: jokter/Shutterstock;
β11: Tatiana Popova/Shutterstock;
City, Paris, 1996; β17: Edw/Shutterstock;
VI (a), G131: Fedorov Oleksiy/Shutterstock; G134: Johnny Lye/Shutterstock;
VI (b), G155: Vladimir Korostyshevskiy/Shutterstock; G139: Oez /Shutterstock;
VII (a), G195: Norbert Kaiser, 2006; G160: Ana Blazic/Shutterstock;
VII (b), G213: Beato Angelico, Pala di Santa Trinità (particolare G163: ben smith/Shutterstock;
G201: Maurizio Farnetti/Shutterstock;
dell’anta di destra), Firenze, Museo di San Marco; G203: M.C. Escher Works © 2003 Cordon Art-Holland;
379: Brenda Carson/Shutterstock; G223: buchan/Shutterstock.
383: Brandon Alms/Shutterstock;
387, 431, 472, 516, 571, 620, 657, β13, G111, G141, G159, G201,
G224: Yuri Arcurs/Shutterstock;
VIII
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Il piano cartesiano CAPITOLOTEORIA
e la retta
7
Discesa pericolosa
Molte immagini quotidiane offrono indicazioni
sulle proprietà geometriche degli oggetti e
dell’ambiente che ci circonda. I cartelli stradali
sono importanti per la circolazione e hanno il
compito di avvertirci di ciò che troveremo sul
nostro cammino…
…che cosa indica questo segnale stradale?
Nel sito: ᭤ La risposta
1. Le coordinate di un punto y P
5x
■ Il riferimento cartesiano ortogonale 3
1
I punti di un piano possono essere messi in corrispondenza biunivoca O1
con coppie di numeri reali.
375
Per creare tale corrispondenza consideriamo due rette orientate e tra loro
perpendicolari. Per comodità, scegliamo la prima orizzontale e la seconda
verticale. Chiamiamo tali rette assi del riferimento e il loro punto di inter-
sezione O origine del riferimento. In questo modo abbiamo fissato nel
piano un sistema di assi cartesiani ortogonali.
L’asse orizzontale è detto asse delle ascisse, o anche asse x; l’asse vertica-
le è detto asse delle ordinate, o anche asse y.
Fissata un’unità di misura su entrambi gli assi (spesso si usa la stessa),
possiamo rappresentare un punto mediante una coppia ordinata di nume-
ri reali. Per esempio, consideriamo la coppia (5; 3) e determiniamo il pun-
to P a cui essa è associata (figura a lato). Sull’asse x segniamo il punto cor-
rispondente a 5 e sull’asse y quello corrispondente a 3. Tracciamo le paral-
lele agli assi passanti per questi punti. Il punto P cercato è il punto di inter-
sezione delle due rette tracciate.
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
TEORIA CAPITOLO 7. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA
y I numeri della coppia vengono detti coordinate del punto; la prima coor-
dinata viene detta ascissa, la seconda viene detta ordinata. Per esempio,
II quadrante I quadrante P ha ascissa 5 e ordinata 3.
(−; +) (+; +) Viceversa, se in un piano fissiamo un punto, possiamo fargli corrispon-
dere una coppia di numeri reali mandando dal punto le rette parallele
Ox agli assi e considerando le loro intersezioni con gli assi stessi.
III quadrante IV quadrante A ogni punto del piano corrisponde una e una sola coppia di numeri; vi-
ceversa, a ogni coppia di numeri corrisponde uno e un solo punto del
(−; −) (+; −) piano. La corrispondenza è quindi biunivoca.
In generale, per indicare che al punto P corrisponde la coppia di numeri
reali (x; y) (e viceversa), si usa la scrittura P (x; y), che si legge: «Il punto
P di coordinate x e y».
Per esempio, A(Ϫ 1; 4) indica il punto A di coordinate Ϫ 1 e 4.
Gli assi dividono il piano in quattro angoli retti, detti quadranti (figura a
lato). Le coordinate dei punti del piano sono positive o negative a secon-
da del quadrante in cui i punti si trovano.
■ La rappresentazione di punti particolari
L’origine I punti dell’asse x I punti dell’asse y
y y y
B (0; y)
OA
(0; 0) (1; 0) (x; 0) x (0; 2)
O x O x
(0; 0) (0; 0)
a. L’origine O è il punto di b. Tutti i punti dell’asse x hanno come c. Tutti i punti dell’asse y hanno come
intersezione degli assi x e y:
ha coordinate (0; 0). ordinata 0. Un generico punto ascissa 0. Un generico punto
dell’asse x è quindi del tipo A (x; 0). dell’asse y è quindi del tipo B (0; y).
᭡ Figura 1
2. I segmenti nel piano cartesiano
■ La distanza fra due punti
I punti hanno la stessa ordinata
y Consideriamo i punti A (Ϫ 5; 2) e B (3; 2).
Essi hanno la stessa ordinata e stanno quindi su una retta parallela all’asse x.
A B Le parallele all’asse y passanti per A e per B incontrano l’asse x rispettiva-
2 mente nei punti A′ e B ′ (figura a lato). Poiché A′B ′BA è un rettangolo,
A' B'
−5 O1 3x risulta AෆෆB ϭ Aෆෆ′ෆBෆ′, e inoltre x A′ ϭ x A ϭ Ϫ 5 e x B ′ ϭ x B ϭ 3. Quindi nel
nostro caso:
AෆෆB ϭ Aෆෆ′ෆBෆ′ϭ ͉ x B ′ Ϫ x A ′ ͉ ϭ ͉ x B Ϫ x A ͉ ϭ ͉ 3 Ϫ (Ϫ 5) ͉ ϭ 8.
376
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 2. I segmenti nel piano cartesiano TEORIA
In generale, la distanza fra due punti A (x A ; y A ) e B (x B ; y B ) che hanno la y
stessa ordinata y A ϭ y B è: B7
ෆABෆ ͉ ؍xB ؊ xA͉ . A2
−3 O 1 x
I punti hanno la stessa ascissa
Se i punti di cui dobbiamo calcolare la distanza hanno la stessa ascissa, y
valgono considerazioni analoghe a quelle del caso precedente, ma riferite 7B
all’asse y: infatti i punti in questione si trovano su una retta parallela a
questo asse. Quindi, con riferimento alla figura a lato: A H
3
AෆෆB ϭ ͉ y B Ϫ y A ͉ ϭ ͉ 7 Ϫ 2͉ ϭ 5.
In generale, la distanza fra due punti A (x A; y A ) e B (x B ; y B ) che hanno la O2 5x
stessa ascissa x A ϭ x B è:
◗ Questa formula com-
ෆAෆB ͉ ؍yB ؊ yA͉ . prende anche i due casi
particolari precedenti.
Il caso generale
Studiamo ora il caso generale e determiniamo la distanza fra due punti y
che non abbiano necessariamente la stessa ascissa o la stessa ordinata. yA=yB A M B
Consideriamo i punti: A(2; 3) e B (5; 7). O xA xM xB x
Per calcolare la distanza fra A e B applichiamo il teorema di Pitagora al ◗ Considerazioni analo-
triangolo rettangolo ABH (figura a lato): ghe si possono fare se
xA Ͼ xB.
AෆෆB ϭ ͙AෆHෆ2ෆϩෆෆBHෆෆ2.
Poiché AෆHෆ ϭ ͉ 5 Ϫ 2͉ ϭ 3 e ෆBHෆ ϭ ͉7 Ϫ 3 ͉ ϭ 4, otteniamo:
AෆෆB ϭ ͙ෆ32ෆϩෆ4ෆ2 ϭ ͙9ෆϩෆෆ1ෆ6 ϭ ͙ෆ25 ϭ 5, ossia AෆෆB ϭ 5.
In generale, la distanza fra due punti A (x A; y A ) e B (x B ; y B ) è data da:
ෆAෆB (͙ ؍ෆxAෆෆ؊ෆxෆB)2ෆ؉ෆ(ෆyAෆ؊ෆyBෆ)ෆ2 .
■ Il punto medio di un segmento
Il punto medio M di un segmento AB è tale che ෆAෆM ϭ MෆෆB, cioè è quel
punto che ha la stessa distanza dagli estremi A e B del segmento.
I punti hanno la stessa ascissa o la stessa ordinata
Dati due punti A e B con la stessa ordinata, il segmento di cui sono estre-
mi è parallelo all’asse x, quindi l’ordinata del punto medio M è la stessa di
A e di B. Per ricavare l’ascissa di M, notiamo che:
⏐xM Ϫ xA⏐ ϭ ⏐xB Ϫ xM⏐.
Considerando, come nella figura a lato, xB Ͼ xA, possiamo scrivere le dif-
ferenze senza valore assoluto:
xM Ϫ xA ϭ xB Ϫ xM → xM ϩ xM ϭ xA ϩ xB → 2xM ϭ xA ϩ xB.
377
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
TEORIA CAPITOLO 7. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA
y ᎏxA ؉ᎏxB .
2
L’ascissa del punto medio di AB è pertanto: xM ؍
yB B Analogamente, per due punti A e B con la stessa ascissa, l’ordinata è:
yM M yM ؍ ᎏyA ؉ᎏyB .
yA A 2
O xA= xB x Il caso generale
Consideriamo i punti A (xA; yA) e B (xB; yB). Vogliamo calcolare le coordi-
nate del punto medio del segmento AB.
᭤ Figura 2 y y
yA A' A A
= M M
B
yM M'
yB = B'
B
Ox A" M" B" x
a. Dai tre punti A, B, M tracciamo le xx
parallele all’asse x. Otteniamo così tre
rette parallele tagliate da due trasversali: O xA xM xB
l’asse y e la retta passante per A e per B.
b. Dai tre punti A, B, M tracciamo le
parallele all’asse y. Otteniamo
tre rette parallele tagliate da due
trasversali: l’asse x e la retta passante
per A e per B.
y Dopo aver tracciato le parallele agli assi passanti per i punti A, B e M , ap-
plichiamo il teorema del fascio di rette parallele.
4 M2 F Se AM Х MB, allora A′M ′ Х M ′B ′ e A″M ″ Х M ″B ″.
3 Applichiamo le formule del punto medio determinate nei casi precedenti.
2E Concludiamo che il punto medio di AB ha coordinate:
O 123 x xM ؍ ᎏxA ؉ᎏxB , yM ؍ ᎏyA ؉ᎏyB .
2 2
c. xM2 = –1–+2–3– = 2;
yM2 = –2–+2–4– = 3. 3. L’equazione di una retta passante
per l’origine
y y=x
■ Le equazioni delle bisettrici dei quadranti
y P
ق Consideriamo la bisettrice del primo e del terzo quadrante. Ogni punto
della bisettrice gode della proprietà di essere equidistante dai lati dell’an-
1 ق golo, cioè dagli assi cartesiani.
−1
2 xx Preso un punto generico P (x; y) sulla bisettrice, l’ascissa e l’ordinata,
O prese in valore assoluto, rappresentano le distanze di P dagli assi. Quindi
−1 ͉ y ͉ ϭ ͉ x ͉. Nel primo e terzo quadrante, d’altra parte, l’ascissa e l’ordinata
di un punto hanno lo stesso segno, quindi:
᭡ Figura 3 (؊1; ؊1) appar-
tiene alla bisettrice del primo y ؍x.
e del terzo quadrante.
(2; 1) non vi appartiene.
378
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 3. L’equazione di una retta passante per l’origine TEORIA
Questa uguaglianza è un’equazione nelle variabili x e y e caratterizza di MATEMATICA
fatto i punti della bisettrice del primo e terzo quadrante. Le sue infinite PER IL CITTADINO
soluzioni (x; y) corrispondono a tutti e soli gli infiniti punti di tale biset-
trice; se le coordinate di un punto non soddisfano l’equazione, il punto non La corsa
appartiene alla bisettrice.
In un allenamento di atleti-
Con considerazioni analoghe, si ricava che alla bisettrice del secondo e ca tratti corsi a ritmo co-
quarto quadrante è associata l’equazione: stante si intervallano a scat-
ti e decelerazioni. Studia-
y ؍؊ x. mo il moto del corridore
utilizzando grafici spazio-
Tutti i punti di questa bisettrice, e soltanto essi, hanno le coordinate che tempo e velocità-tempo.
sono numeri opposti. Nel sito: ᭤ Il problema
Vedremo nei prossimi paragrafi che, data una qualsiasi retta del piano, le ᭢ Figura 4 I punti
coordinate dei suoi punti, e soltanto esse, soddisfano un’equazione che (؊ 2; ؊ 4), (2; 4), ... appar-
chiamiamo equazione della retta. tengono alla retta AB; il
punto (5; 1) non appartiene
■ L’equazione di una generica retta passante per l’origine alla retta.
Consideriamo i punti A(1; 2) e B(3; 6) e la retta passante per A e B. y
B
I due punti hanno l’ordinata uguale al doppio dell’ascissa; quindi la rela-
zione che lega le coordinate (x; y) di ciascuno di essi è y ϭ 2x. 6
y = 2x
Si può dimostrare che ogni altra coppia di numeri che soddisfi l’equazio-
ne y ϭ 2x corrisponde a un punto della retta AB e, viceversa, che ogni 4
punto della retta ha coordinate che soddisfano tale equazione. A
Pertanto l’equazione della retta AB è: 2
1
y ϭ 2x. −2 O 1 2 3 5 x
Fra i punti della retta è compresa anche l’origine O, in quanto la coppia (0; 0) −4
soddisfa l’equazione.
BRAVI SI DIVENTA
Più in generale, se l’ordinata è m volte l’ascissa, l’equazione è y ϭ mx. Videolezione ᭤ V27a
Osserviamo che ognuna di queste rette passa per l’origine.
In generale, si può dimostrare che l’equazione di una retta passante per
l’origine, purché diversa dall’asse y, è del tipo y ϭ mx e che, viceversa,
un’equazione del tipo y ϭ mx rappresenta sempre una retta passante per
l’origine, diversa dall’asse y.
PROPRIETÀ
Equazione di una retta passante y
per l’origine
Una retta passante per l’origine e Ox
diversa dall’asse y ha equazione del y = mx
tipo y ϭ mx.
379
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
TEORIA CAPITOLO 7. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA
◗ Per x ϭ 1, si ha y ϭ m, ■ Il coefficiente angolare
dunque m è l’ordinata del
punto di ascissa 1. Nell’equazione y ϭ mx il numero m è chiamato coefficiente angolare.
Esso esprime, per una retta passante per l’origine, il rapporto fra ordina-
y ta e ascissa di ogni punto della retta stessa, a eccezione dell’origine.
y = mx
ᎏyᎏA ϭ ᎏyᎏB ϭ ᎏyᎏC ϭ ᎏyᎏD ϭ ... ϭ m
m xA xB xC xD
O 1x o, in generale, ᎏyᎏ؍m , con x, y 0.
x
Se m è positivo, anche ᎏyᎏ è positivo: i punti della retta hanno coordinate
x
entrambe positive o entrambe negative. Ciò significa che la retta appar-
tiene al primo e terzo quadrante (figura 5).
Inoltre, nel semipiano di ordinate y y = 3x
positive la retta forma con la semi-
retta positiva dell’asse x un angolo β y = —12 x
acuto. x
α
᭤ Figura 5 Al coefficiente maggiore, O
ossia 3, corrisponde l’angolo maggiore,
cioè .
᭤ Figura 6 A coefficien- Se m è negativo, anche ᎏyᎏ è negati- y = −3x y
1 x
y = − —21 x β
te maggiore, ossia ؊ ᎏᎏ , vo: i punti della retta hanno coor- α
2 dinate discordi. Ciò significa che la
retta appartiene al secondo e quarto O x
corrisponde angolo mag- quadrante (figura 6).
giore, cioè .
᭢ Figura 7 Inoltre, nel semipiano di ordinate
positive la retta forma con la semi-
y retta positiva dell’asse x un angolo
ottuso.
(−1; 0) O (0; 0) (2; 0) x
a ■ Le equazioni degli assi cartesiani
y Consideriamo i punti (Ϫ 1; 0), (0; 0), (2; 0)... (figura 7a).
(0; 2)
Essi, come tutti gli altri punti dell’asse x , godono della stessa proprietà:
la loro ordinata è 0.
O (0; 0) x Assumiamo allora come equazione dell’asse x l’uguaglianza y ϭ 0.
(0; −1) In modo analogo si ragiona per l’asse y, i cui punti hanno tutti ascissa 0
b (figura 7b).
380
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 4. L’equazione generale della retta TEORIA
PROPRIETÀ y y=0 y x=0
y=0 Ox
Le equazioni degli assi
Ox
L’equazione dell’asse x è y ϭ 0.
L’equazione dell’asse y è x ϭ 0.
L’equazione dell’asse x può essere vista come caso particolare dell’equa-
zione y ϭ mx, quando m ϭ 0, mentre quella dell’asse y , come abbiamo
già notato, non è del tipo y ϭ mx.
4. L’equazione generale della retta BRAVI SI DIVENTA
Videolezione ᭤ V27b
■ L’equazione di una retta parallela a un asse
᭢ Figura 8
I punti (Ϫ 1; 3), (0; 3), (2; 3)... (figura 8a) appartengono a una retta pa-
rallela all’asse x e, come tutti gli altri punti di questa retta, godono della y
stessa proprietà: hanno l’ordinata uguale a 3. Per questo l’equazione della (–1; 3) (0; 3) (2; 3)
retta è y ϭ 3.
3 y=3
Analogamente, i punti (2; Ϫ 1), (2; 0), (2; 3)... (figura 8b) appartengono
a una retta parallela all’asse y . Essi hanno l’ascissa uguale a 2, come tutti i –1 O 2 x
punti della retta a cui appartengono. Questo ci fa capire che l’equazione
della retta è x ϭ 2. a
In generale vale la seguente proprietà. y
PROPRIETÀ y y=k y x=h 3 (2; 3)
y=k Ox
Equazione di una retta parallela x=2
a un asse Ox
(2; 0)
L’equazione di una retta parallela O 2x
all’asse x è y ϭ k . –1 (2; –1)
L’equazione di una retta parallela
all’asse y è x ϭ h. b
■ La forma esplicita y ؍mx ؉ q ◗ Le lettere h e k indicano
un qualunque valore reale.
Consideriamo la retta r passante per l’origine e di equazione Al variare di k otteniamo
tutte le rette parallele
y ϭ 2x. all’asse x, compreso l’asse
x stesso per k ϭ 0.
Scegliamo su tale retta i due punti O (0; 0) e A(1; 2). Al variare di h, otteniamo
Aumentando di 3 l’ordinata dei due punti, otteniamo i punti Q(0; 3) e tutte le rette parallele
B (1; 5). all’asse y. Per h ϭ 0 l’equa-
zione è quella dell’asse y.
381
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
TEORIA CAPITOLO 7. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA
᭤ Figura 9
y x ys x
5 Br 5 Br
Q Q
3 3
2A
2A
O
1 O
−2 1
a. O (0; 0) e A (1; 2) sono punti −4
della retta r ; l‘ordinata di Q è 3,
l’ordinata di B è 5. Il quadrilatero b. La retta s passante per Q e B è
OABQ è un parallelogramma. parallela alla retta r.
◗ Una condizione suffi- Il quadrilatero OABQ è un parallelogramma, perché ha i lati opposti OQ
ciente affinché un quadrila- e AB congruenti e paralleli; quindi la retta s passante per B e Q risulta pa-
tero sia un parallelogram- rallela alla retta r.
ma è che abbia due lati op-
posti paralleli e congruenti. Le coordinate dei punti Q e B soddisfano l’equazione
◗ L’aggettivo «esplicita» y ϭ 2x ϩ 3.
sottointende «rispetto alla
variabile y» e significa che Se aumentiamo sempre di 3 l’ordinata di un qualsiasi altro punto di r , per
nell’equazione è messa in esempio (Ϫ 2; Ϫ 4), otteniamo il punto (Ϫ 2; Ϫ 1) che appartiene alla
evidenza y in funzione di x. retta s, perché le sue coordinate soddisfano l’equazione y ϭ 2x ϩ 3.
In generale, data una retta passante per l’origine di equazione
y ϭ mx,
una retta a essa parallela passante per il punto (0; q ) ha equazione
y ϭ mx ϩ q .
Viceversa, una retta qualsiasi del piano, che intersechi l’asse y nel punto
di ordinata q , può essere associata a un’equazione del tipo y ϭ mx ϩ q .
Tale equazione viene chiamata equazione esplicita della retta.
PROPRIETÀ y y = mx + q
q
Forma esplicita y ؍mx ؉ q
y = mx
Ogni retta del piano, purché non
parallela all’asse y , è rappresen- Ox
tata da un’equazione del tipo
y ϭ mx ϩ q.
Il coefficiente q si chiama termine noto oppure ordinata all’origine, per-
ché rappresenta l’ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse y.
Il coefficiente m è detto, anche in questo caso, coefficiente angolare.
382
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 4. L’equazione generale della retta TEORIA
Due casi particolari
caso m = 0 y caso q = 0 y ᭣ Figura 10
y = mx
ESPLORAZIONE
q y=q m
O x La nascita della
O1 x geometria analitica
a. Se nell‘equazione y = mx + q b. Se nell‘equazione y = mx + q Nel sito: ᭤ La scheda
poniamo m = 0, otteniamo y = q, ossia poniamo q = 0, otteniamo y = mx,
l’equazione di una retta parallela ossia l’equazione di una retta passante
all’asse x. per l’origine.
■ L’equazione della retta in forma implicita
L’equazione esplicita y ϭ mx ϩ q può rappresentare tutte le rette del pia-
no, tranne l’asse y e le rette parallele a esso.
Infatti non esistono valori di m e di q che, sostituiti nell’equazione, ci for-
niscano equazioni del tipo x ϭ 0 oppure x ϭ k .
Un’equazione che rappresenti tutte le possibili rette del piano è della forma:
ax ϩ by ϩ c ϭ 0,
dove a, b, c sono numeri reali (a e b non entrambi nulli).
In questo caso, si dice che l’equazione della retta è in forma implicita,
nel senso che nessuna tra le variabili x e y è scritta esplicitamente in fun-
zione dell’altra.
PROPRIETÀ
Equazione generale della retta
Ogni retta del piano è rappresentata da un’equazione lineare del tipo
ax ؉ by ؉ c ؍0,
dove a, b, c sono numeri reali (a e b non entrambi nulli).
La forma implicita comprende tutti i casi già esaminati.
■ Dalla forma implicita alla forma esplicita
È possibile trasformare un’equazione scritta in forma implicita nella sua
equivalente scritta in forma esplicita ricavando y (purché sia b 0):
y ϭ Ϫ ᎏaᎏ x Ϫ ᎏcᎏ .
b b
ᎏa qϭϪᎏbc .
Osserviamo che il coefficiente angolare è mϭϪ b e il termine noto è
ESEMPIO
Scriviamo in forma esplicita l’equazione 6x Ϫ 2y ϩ 1 ϭ 0.
383
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
TEORIA CAPITOLO 7. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA
Ricaviamo y: y ϭ 3x ϩ ᎏ21ᎏ.
Ϫ 2y ϭ Ϫ 6x Ϫ 1 → 2y ϭ 6x ϩ 1 →
Il coefficiente angolare è 3, il termine noto ᎏ21ᎏ .
5. Il coefficiente angolare
y Consideriamo la retta di equazione y ϭ 3x ϩ 2 e tre suoi punti A (1; 5),
11 C y = 3x + 2 B (2; 8) e C (3; 11). Calcoliamo il rapporto fra la differenza delle ordinate
e la differenza delle ascisse dei punti A e B:
3
8B ᎏyB ϪᎏyA ϭ ᎏ82 ϪϪᎏ15 ϭ 3.
xB Ϫ xA
1
3 Eseguiamo poi lo stesso calcolo per B e C:
5A
1 ᎏyC ϪᎏyB ϭ ᎏ131ϪϪᎏ28 ϭ 3.
xC Ϫ xB
O 123 x Osserviamo che in ambedue i casi il rapporto calcolato è uguale al coeffi-
ciente angolare della retta, che è 3.
᭢ Figura 11 Quando Avremmo ottenuto lo stesso risultato scegliendo una qualsiasi altra cop-
l’ascissa aumenta di 1, pia di punti appartenenti alla retta. Interpretiamo questo risultato dicen-
l’ordinata aumenta di m. do che il coefficiente angolare dà informazioni sulla «pendenza» della
Poiché m ؍؊ 2, un retta. Osserviamo a questo proposito la figura a lato.
aumento di ؊ 2 equivale a
una diminuzione di 2. Per andare dal punto A(1; 5) a B(2; 8) e da B a C(3; 11) possiamo spostar-
ci prima verso destra di 1 unità, poi verso l’alto di 3 unità. È come se sa-
y = −2x + 3 lissimo una scala con gradini profondi 1 e alti 3, cioè alti quanto il coeffi-
y ciente angolare.
A1 7 ESEMPIO
2
1 Consideriamo la retta di equazione y ϭ Ϫ 2x ϩ 3 (figura 11) e i suoi due
2 punti A(Ϫ 2; 7) e B (1; 1). Osserviamo che anche in questo caso il coeffi-
1 ciente angolare è dato dal rapporto ᎏyBϪᎏyA :
2 xB ϪxA
1B x ᎏyB Ϫᎏy A ϭ ᎏ1 Ϫ1 Ϫ(ᎏϪ72) ϭ ᎏϪ3ᎏ6 ϭ Ϫ 2.
xB Ϫ xA
−2 O 1
◗ Si può anche scrivere In generale, dati due punti distinti A(xA; yA) e B(xB; yB) appartenenti alla
retta di equazione y ϭ mx ϩ q, si può dimostrare che la formula che espri-
m ϭ ᎏyA ϪᎏyB , me il coefficiente angolare m in funzione delle coordinate dei due punti è:
xA Ϫ xB
m ؍ᎏxyBB ؊؊ᎏxyAA .
in quanto, cambiando il
segno a numeratore e a de-
nominatore, il segno della
frazione non cambia.
384
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 6. Le rette parallele e le rette perpendicolari TEORIA
PROPRIETÀ y B(xB; yB)
Coefficiente angolare m = —xyBB—−− —xyAA A(xA; yA) yB − yA
e coordinate di due punti
xB − xA
Il coefficiente angolare di una retta
di equazione y ϭ mx ϩ q è il rap- Ox
porto fra la differenza delle ordina-
te e la differenza delle ascisse di
due punti qualunque distinti della
retta.
Casi particolari
1. Se due punti A e B hanno la stessa ordinata, yB Ϫ yA ϭ 0 e
m ϭ ᎏyB ϪᎏyA ϭ 0,
xB Ϫ xA
quindi il coefficiente angolare di una retta parallela all’asse x è m ϭ 0.
2. Se i punti A e B hanno la stessa ascissa, xB Ϫ xA ϭ 0 e la frazione
ᎏyB ϪᎏyA perde di significato, quindi il coefficiente angolare di una
xB Ϫ xA
retta parallela all’asse y non esiste.
6. Le rette parallele BRAVI SI DIVENTA
e le rette perpendicolari Videolezione ᭤ V27d
■ Le rette parallele ◗ Il teorema non si appli-
ca alle rette parallele
Poiché il coefficiente angolare indica la «pendenza» di una retta rispetto all’asse y, perché il loro
all’asse x, se due rette di equazioni y ϭ mx ϩ q e y ϭ m′x ϩ q′sono paral- coefficiente angolare non è
lele, hanno lo stesso coefficiente angolare: definito.
m ؍m′. ◗ Verificalo disegnando il
grafico delle rette.
TEOREMA
Rette parallele
Due rette (non parallele all’asse y ) sono parallele se e solo se hanno lo
stesso coefficiente angolare.
ESEMPIO
Sono parallele le due rette di equazione:
y ϭ 2x ϩ 4, y ϭ 2x Ϫ 1.
385
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
TEORIA CAPITOLO 7. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA
᭢ Figura 12 Costruzione. ■ Le rette perpendicolari
Consideriamo la retta r di equazione y ϭ 3x e cerchiamo l’equazione del-
la retta r ′ passante per l’origine e perpendicolare a r .
y r y = 3x yr yr
3A 3A
A1 B1 A1 B1
O1
Ox 3x O1 3x
r'
r' r'
a. Tracciamo la retta r: y = 3x e la B
sua perpendicolare r' passante per
l’origine. b. Scegliamo su r il punto A (1; 3) e c. Mandiamo da B1 la perpendicolare
chiamiamo A1 (1; 0) la sua proiezione all’asse x. Chiamiamo B il punto di
sull’asse x. Consideriamo, ancora
sull’asse x, il punto B1 (3; 0). intersezione di questa retta con r'.
◗ Si utilizza il secondo cri- Si può dimostrare che i triangoli OA1A e OB1B sono congruenti e, quindi,
terio di congruenza dei che il punto B ha ordinata Ϫ 1.
triangoli.
Poiché il punto B (3; Ϫ 1) appartiene alla retta r ′, passante per l’origine, il
coefficiente angolare di tale retta è:
m ′ ϭ ᎏyᎏB ϭ Ϫ 1 .
xB ᎏ3ᎏ
ᎏ31ᎏ
I due coefficienti angolari m e m ′ sono 3 e Ϫ , ossia sono l’uno l’oppo-
sto del reciproco dell’altro, ovvero l’uno l’antireciproco dell’altro.
◗ Per dimostrarlo, basta La proprietà di essere l’uno l’antireciproco dell’altro lega i coefficienti an-
applicare lo stesso proce- golari di tutte le coppie di rette passanti per l’origine e perpendicolari fra
dimento dell’esempio pre- loro. Se m è il coefficiente angolare della retta r , m ′ quello della retta r ′ e
cedente alla retta generica le rette r e r ′ sono perpendicolari, allora vale la relazione:
di equazione y ϭ mx.
ᎏ1ᎏ oppure m и m′ ؍؊ 1.
m′ ؍ ؊ m
Si può anche dimostrare che, viceversa, se due rette hanno coefficienti
angolari legati dalla relazione m и m′ ϭ Ϫ 1, allora sono perpendicolari.
Questa relazione vale anche se le rette r e r ′ non passano per l’origine. In
y tal caso, infatti, ci possiamo ricollegare al caso di rette per l’origine come
r'
s' segue: consideriamo le rette s e s′ per l’origine e parallele rispettivamente
O a r e r ′. È chiaro che r e r ′ sono perpendicolari se e solo se s e s′ lo sono.
s x Se r ha equazione y ϭ mx ϩ q e r ′ ha equazione y ϭ Ϫ 1 x ϩ q ′, allora
r ᎏᎏ
m
s ha equazione y ϭ mx e s′ ha equazione y ϭ Ϫ ᎏ1ᎏ x . Poiché s è perpen-
dicolare a s′, anche r è perpendicolare a r ′. m
386
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 7. I fasci di rette TEORIA
Vale dunque il seguente teorema. ◗ Il teorema non si applica
alle rette parallele agli assi,
TEOREMA poiché per le rette parallele
all’asse y il coefficiente an-
Rette perpendicolari golare non è definito.
Due rette (non parallele agli assi) sono perpendicolari se e solo se il pro-
dotto dei loro coefficienti angolari è uguale a Ϫ 1.
PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Nel sito: ᭤ Scheda di lavoro
Lo dimostro io!
Due rette perpendicolari hanno i coefficienti angolari che sono uno l’antireci-
proco dell’altro.
GIULIO: «Ho pensato una dimostrazione tutta mia!».
CARLA:
GIULIO: «Guarda che in geometria analitica si calcola e non si dimostra!».
«Non è vero: partiamo dal fatto che l’asse di un segmento è perpendi-
colare al segmento. E che ogni suo punto è equidistante dagli estremi
del segmento».
᭤ Considera un segmento di generici estremi A(xA; yA) e B(xB; yB) e un punto
P(x; y) sull’asse di AB. Applica la formula della distanza fra due punti un paio di
volte…
7. I fasci di rette
■ Il fascio improprio
Consideriamo una retta r del piano: l’insieme formato da r e da tutte le
rette a essa parallele si chiama fascio improprio di rette parallele a r.
ESEMPIO
fascio improprio di equazione L’equazione ᭣ Figura 13 Ogni retta del
fascio è parallela alla retta
y = 2x + q y y ϭ 2x ϩ q base, passante per l’origine,
y ؍2x. A seconda del valore
3 rappresenta, al variare di q, tutte le di q cambia l’intersezione
rette del piano che hanno coefficien- della retta con l’asse y.
te angolare 2, cioè è l’equazione di
Ox un fascio improprio di rette.
Se q ϭ 0, abbiamo la retta del fa-
scio passante per l’origine:
−4 y ϭ 2x .
Per disegnare altre rette del fascio basta attribuire dei valori a q e sosti-
tuirli, di volta in volta, nell’equazione del fascio: per q ϭ 3 abbiamo la
retta y ϭ 2x ϩ 3, per q ϭ Ϫ 4 la retta y ϭ 2x Ϫ 4 ecc.
387
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
TEORIA CAPITOLO 7. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA
■ Il fascio proprio
L’insieme di tutte le rette del piano che passano per uno stesso punto P si
chiama fascio proprio di rette per P.
Il punto P comune a tutte le rette del fascio si chiama centro del fascio.
ESEMPIO
Determiniamo l’equazione del fascio di rette di centro P (4; 3).
Se una retta generica y ϭ mx ϩ q deve passare per P, occorre che le coor-
dinate di P soddisfino l’equazione, ossia:
3ϭm и4ϩq.
Ricaviamo q :
q ϭ 3 Ϫ m и 4.
Sostituendo tale espressione a q nell’equazione generica, otteniamo:
y ϭ mx ϩ 3 Ϫ 4m.
᭤ Figura 14 Nel fascio di Così facendo, abbiamo ottenuto y fascio proprio di equazione
rette y ؊ 3 ؍m(x ؊ 4), al l’equazione in forma esplicita di y − 3 = m (x − 4)
variare di m otteniamo tutte una generica retta del fascio. Tutta-
le rette che passano per via la riscriviamo come segue: 11 m = 1
P(4; 3), tranne quella paral-
lela all’asse y, perché per y Ϫ 3 ϭ m(x Ϫ 4)
essa non c’è un corrispon-
dente valore di m. per mettere in evidenza, nell’equazio- P
ne, le coordinate (4; 3) del centro. 3 m=0
Abbiamo trovato l’equazione del O x
fascio di rette di centro P(4; 3). Per −1 4
ogni valore reale che attribuiamo a m = −2
m otteniamo una retta del fascio: ∃/ m
● per m ϭ 1 abbiamo la retta y Ϫ 3 ϭ x Ϫ 4, cioè y ϭ x Ϫ 1;
● per m ϭ Ϫ 2 la retta y Ϫ 3 ϭ Ϫ 2x ϩ 8, cioè y ϭ Ϫ 2x ϩ 11;
● per m ϭ 0 la parallela all’asse x, y ϭ 3 e così via.
L’equazione della parallela all’asse y è x ϭ 4, ma non esiste alcun valore di
m che, sostituito nell’equazione del fascio, fornisca tale equazione.
Pertanto, per avere tutte le rette del fascio proprio per P, dobbiamo aggiun-
gere all’equazione del fascio l’equazione della parallela all’asse y per P:
y Ϫ 3 ϭ m(x Ϫ 4) (rette non parallele all’asse y);
x ϭ4 (retta parallela all’asse y).
In generale, dato un punto P di coordinate (x 1; y 1), il fascio di rette di
centro P ha equazione:
y ؊ y1 ؍m(x ؊ x1).
388
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 8. La retta passante per due punti TEORIA
Al variare di m si ottengono tutte le rette del fascio passanti per P, tranne ◗ L’equazione del fascio
la parallela all’asse y , che ha equazione x ϭ x 1. completo può essere scritta
anche in forma implicita,
Pertanto, il fascio completo è descritto dalle equazioni: come:
y ؊ y 1 ؍m (x ؊ x 1), con m ʦ R e x ؍x 1. a(x Ϫ x1) ϩ b(y Ϫ y1) ϭ 0,
con a e b numeri reali, en-
8. La retta passante per due punti trambi non nulli.
Per due punti distinti passa una e una sola retta. In geometria analitica, BRAVI SI DIVENTA
questo si traduce così: date le coordinate di due punti distinti del piano, è Videolezione ᭤ V28a
possibile determinare l’equazione dell’unica retta passante per quei punti.
Consideriamo due punti generici P (x 1; y 1 ) e Q (x 2; y 2) e determiniamo ◗ Assumiamo per ipotesi
l’equazione della retta passante per essi. che sia:
1. Poiché la retta che cerchiamo passa per il punto P, essa deve appartene- x1 x2.
re al fascio proprio di rette per P, cioè deve avere un’equazione del tipo
y
y Ϫ y 1 ϭ m (x Ϫ x 1), B6
−4 O 2 x
in cui m assume un certo valore che ora determineremo.
−5 A
2. Per calcolare m, utilizziamo la formula che dà il coefficiente angolare,
note le coordinate di due punti della retta:
m ϭ ᎏy2 Ϫᎏy1 .
x2 Ϫ x1
3. Nell’equazione del fascio di rette di centro P, sostituiamo a m l’espres-
sione ottenuta:
y Ϫ y 1 ϭ ᎏy2 Ϫᎏy1 (x Ϫ x 1).
x2 Ϫ x1
4. Infine, se y1 y2, dividendo entrambi i membri per y 2 Ϫ y 1, riscrivia-
mo tale formula nella seguente forma:
ᎏy ؊ᎏy1 ؍ᎏx ؊ᎏx1 .
y2 ؊ y1 x2 ؊ x1
Questa è l’equazione della retta passante per i punti dati.
ESEMPIO
Applichiamo la formula appena ricavata per determinare l’equazione del-
la retta passante per A(2; Ϫ 5) e B (Ϫ 4; 6):
ᎏ6y ϩϩᎏ55 ϭ ᎏϪx4ϪᎏϪ22 → ᎏy 1ϩ1ᎏ5 ϭ ᎏxϪϪᎏ62 →
→ Ϫ 6y Ϫ 30 ϭ 11x Ϫ 22 → 6y ϭ Ϫ 11x Ϫ 8.
L’equazione cercata è quindi: y ϭ Ϫ ᎏ16ᎏ1 x Ϫ ᎏ34ᎏ .
389
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
TEORIA CAPITOLO 7. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA
◗ Per esempio, dati i punti Osservazione. Non si applica la formula ᎏy Ϫᎏy1 ϭ ᎏx Ϫᎏx1 quando
A(1; 3), B(1; Ϫ5), l’equa- y2 Ϫ y1 x2 Ϫ x1
zione della retta passante
per i punti dati è x ϭ 1. Se ● x 1 ϭ x 2 : l’equazione della retta si ottiene ponendo x ϭ x 1;
A(3; Ϫ2) e B(Ϫ7; Ϫ2),
l’equazione è y ϭ Ϫ 2. ● y 1 ϭ y 2 : l’equazione della retta si ottiene ponendo y ϭ y 1.
᭢ Figura 15 9. La distanza di un punto da una retta
P
r Mandiamo da un punto P la perpendicolare a una retta r. Chiamiamo H
H il punto di intersezione fra la retta stessa e la perpendicolare. La misura
del segmento di perpendicolare PH è la distanza del punto P dalla retta
BRAVI SI DIVENTA r (figura 15).
Videolezione ᭤ V28b
ESEMPIO
᭤ Figura 16
Dato il punto P (2; 3) calcoliamo la sua distanza PH dalla retta di equa-
◗ La misura di AB si calco-
la con la formula della di- zione 4x ϩ 3y Ϫ 5 ϭ 0 (figura 16).
stanza fra due punti:
AෆෆB ϭ Tracciamo da P le parallele agli assi
ϭ ͙(ෆϪෆෆ1ෆϪෆ2ෆ)2ෆϩෆ(3ෆϩෆ1ෆ)2 fino a incontrare la retta data nei y P (2; 3)
ϭ ͙ෆ9 ෆϩෆ1ෆ6 ϭ ͙ෆ25 ϭ 5. punti A e B. Individuiamo così il A (–1; 3)
triangolo rettangolo APB, di cui PH
LABORATORIO
DI MATEMATICA è l’altezza relativa all’ipotenusa. H
Nel sito:
᭤ Le rette con Excel Il punto A ha la stessa ordinata di P.
Sostituendola nell’equazione della x
retta, possiamo determinare la sua B (2; –1)
ascissa:
4x ϩ3(3)Ϫ5ϭ0, da cui x ϭϪ1.
In modo analogo, poiché l’ascissa di B è uguale a quella di P, si può ricavare
l’ordinata di B, che è Ϫ1. Otteniamo quindi: A(Ϫ1; 3), B (2; Ϫ1).
Il doppio dell’area di APB si può ottenere moltiplicando le misure dei due
cateti AP e PB. Se dividiamo poi per la misura dell’ipotenusa AB, otteniamo
l’altezza PH relativa all’ipotenusa, ossia la misura cercata:
ෆPHෆ ϭ ᎏෆPෆAAෆиᎏෆBෆPෆB ϭ 3и4 ϭ 12 .
ᎏ5ᎏ ᎏ5ᎏ
In generale, si può dimostrare (con calcoli che omettiamo perché troppo
laboriosi) che la distanza di un punto P (x0; y0) da una retta di equazio-
ne ax ؉ by ؉ c ؍0 è data dalla formula:
d ؍ᎏ͉ax͙0 ؉aෆ2ෆbᎏ؉y0ෆb؉ෆ2 c͉ .
ESEMPIO
La distanza del punto P (2; 3) dalla retta di equazione 4x ϩ 3y Ϫ 5 ϭ 0 ri-
sulta:
d ϭ ͉4 и 2 ϩ 3 и 3 Ϫ 5͉ ϭ ͉8 ϩ 9 Ϫ 5͉ ϭ ᎏ152ᎏ .
ᎏ͙ෆ42ෆϩᎏෆ3ෆ2 ᎏ͙ෆ2ᎏ5
390
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
La teoria in sintesi ESERCIZI
LA TEORIA IN SINTESI
Il piano cartesiano e la retta
1. Le coordinate di un punto 2. I segmenti nel piano cartesiano
Il piano cartesiano è suddiviso dai due assi in quattro La distanza fra due punti A(xA; yA) e B(xB; yB)
angoli retti chiamati quadranti. Ogni punto del piano è data da:
è individuato da una coppia di numeri reali, detti
coordinate. La prima coordinata si chiama ascissa e AෆෆB ϭ ͙ෆ(xෆBෆϪෆxAෆ)ෆ2 ෆϩෆ(ෆyෆB ෆϪෆyAෆ)ෆ2.
la seconda ordinata.
L’origine O degli assi ha coordinate (0; 0). Il punto medio del segmento AB è M(xM; yM) con:
xM ϭ ᎏxA ϩ2ᎏxB , yM ϭ ᎏyA ϩ2ᎏyB .
II quadrante y asse delle ordinate y B
I quadrante 5
4
5C —72
3
coordinate A2
1 M
2 1 A (3; 2)
ordinata
B
−3 ascissa
O (0; 0) 3x
asse delle
ascisse
−1 O 1 2 3 x
III quadrante IV quadrante A–B– = √⎯⎯[3⎯−⎯(⎯−⎯1)⎯]2⎯+⎯(5⎯⎯− ⎯2)2 = √⎯⎯42⎯+⎯32 = 5
Il punto B (–3; 0) sta sull’asse x, il punto C (0; 5) M (1; —27 ) perché xM = —3 —−2 1– = 1 e yM = —5 —+2 2– = —27
sta sull’asse y.
3. L’equazione di una retta passante per l’origine
Una retta passante per l’origine, purché diversa y = −x y x=0 y=x
dall’asse y, ha equazione y ϭ mx, mentre l’asse y ha 1
equazione x ϭ 0.
Il numero m dell’equazione y ϭ mx è chiamato coef-
ficiente angolare. In particolare:
● se m ϭ 0, otteniamo y ϭ 0 (equazione dell’asse x); −1 y=0
● se m ϭ 1, otteniamo y ϭ x (equazione della biset- O 1x
trice del I e III quadrante);
● se m ϭ Ϫ1, otteniamo y ϭ Ϫx (equazione della bi-
settrice del II e IV quadrante).
391
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 7. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA
4. L’equazione generale della retta 5. Il coefficiente angolare
L’equazione generale di una retta è del tipo: Il coefficiente angolare è dato dal rapporto fra la dif-
ferenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di
ax ϩ by ϩ c ϭ 0 (forma implicita). due punti distinti P(x1; y1) e Q(x2; y2) di una retta:
Se un punto appartiene a una retta, le sue coordinate m ϭ ᎏy2 Ϫᎏy1 .
soddisfano l’equazione della retta. x2 Ϫ x1
Se una retta non è parallela all’asse y, l’equazione può A seconda che il valore di m sia positivo o negativo, la
essere scritta nella forma: retta forma col semiasse positivo delle x un angolo
acuto oppure ottuso; se m ϭ 0 la retta è parallela
y ϭ mx ϩ q (forma esplicita), all’asse x.
Il coefficiente angolare m non esiste se la retta forma
in cui m è il coefficiente angolare e q è il termine noto. un angolo retto con l’asse x; in tal caso la retta è paral-
lela all’asse y.
y
ESEMPIO P(1; 4), Q(2; 6)
4
m ϭ 6Ϫ4 ϭ 2, m Ͼ 0,
3 ᎏ2 Ϫᎏ1
2 x la retta passante per P e Q forma un angolo acuto
col semiasse positivo delle x.
1
1
O 1 2 34
2
Forma implicita: 2x + y − 4 = 0 6. Le rette parallele
Forma esplicita: y = −2x + 4 e le rette perpendicolari
coefficiente angolare termine noto Due rette di equazioni y ϭmx ϩ q e y ϭ m′x ϩ q′ sono
fra loro:
Se una retta è parallela all’asse y, ha equazione del tipo
x ϭ k. ● parallele quando hanno lo stesso coefficiente ango-
lare, cioè m ϭ m′;
Casi particolari della forma y ϭ mx ϩ q:
q ϭ 0 → y ϭ mx (la retta passa per l’origine); ● perpendicolari quando il prodotto dei loro coeffi-
m ϭ 0 → y ϭ q (la retta è parallela all’asse x); cienti angolari è uguale a Ϫ 1, cioè m и m′ ϭ Ϫ 1.
q ϭ 0 e m ϭ 0 → y ϭ 0 (la retta è l’asse x).
y y = 2x + 5
x = −4 y 5 y = 2x − 1
4
2 y = 2 (m = 0) 3
1 x
2
−4 −3 −2 −1 O 1 1
O1 x
−1
y = − —12 x + 2
392
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 1. Le coordinate di un punto ESERCIZI
7. I fasci di rette 8. La retta passante per due punti
Data la retta r di equazione y ϭ 2x Ϫ 1, l’insieme for- L’equazione della retta passante per due punti
mato da r e da tutte le rette a essa parallele si chiama P(x1; y1) e Q(x2; y2) è:
fascio improprio di rette parallele a r e ha equazione:
ᎏy Ϫᎏy1 ϭ ᎏx Ϫᎏx1 .
y ϭ 2x ϩ q. y2 Ϫ y1 x2 Ϫ x1
Se y1 ϭ y2, allora l’equazione è y ϭ y1;
L’insieme di tutte le rette che passano per uno stesso se x1 ϭ x2, allora l’equazione è x ϭ x1.
punto P(x1; y1) si chiama fascio proprio di rette e ha
equazione: 9. La distanza di un punto
da una retta
y Ϫ y1 ϭ m(x Ϫ x1) ʜ x ϭ x1.
La distanza di un punto P(x0; y0) da una retta r di
Il punto P è il centro del fascio. equazione ax ϩ by ϩ c ϭ 0 è data dalla misura del seg-
mento che ha per estremi il punto P e il piede della
y x perpendicolare a r passante per P. Tale misura d si cal-
P cola come segue:
3 d ϭ ᎏ͉ax͙0 ϩaෆ2bෆᎏϩy0ෆbϩෆ2 c͉ .
2
1
O2
fascio proprio di centro P(2; 3)
y − 3 = m(x − 2) ∪ x = 2
1. Le coordinate di un punto –ᮣ Teoria a pag. 375
1 Scrivi le coordinate dei punti indicati in ogni figura.
yy yy
BB LM A
I
A A G H
C O1
D C O AB B
O1 x O1 x Fx O1 C x
C
D E
b
a c DE G D
dF
2 Indica in quale quadrante può trovarsi un punto se:
a) l’ascissa è negativa e l’ordinata positiva;
b) le sue coordinate sono entrambe positive;
c) le sue coordinate sono tali che xy Ͼ 0;
d) le sue coordinate sono tali che xy Ͻ 0;
e) le sue coordinate sono entrambe nulle;
f) l’ascissa è uguale all’ordinata;
g) il prodotto delle coordinate è nullo.
393
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 7. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA
2. I segmenti nel piano cartesiano –ᮣ Teoria a pag. 376
■ La distanza fra due punti y C
A 3x
ESERCIZIO GUIDA
1
3 Calcoliamo le distanze AෆෆB, AෆCෆ e BෆCෆ fra i punti −2 O
disegnati in figura.
B −5
Le coordinate dei punti disegnati sono:
Calcoliamo ෆBCෆ
A(Ϫ 2; 1), B (Ϫ 2; Ϫ 5), C(3; 1). I punti B (Ϫ 2; Ϫ 5) e C(3; 1) non sono allineati né
Calcoliamo AෆෆB lungo una retta orizzontale, né lungo una retta verti-
A(Ϫ 2; 1) e B(Ϫ 2; Ϫ 5) si trovano su una cale. Applichiamo allora la formula generale della di-
stessa retta verticale, infatti hanno la stessa stanza fra due punti:
ascissa. La loro distanza è data quindi dal valo-
re assoluto della differenza delle ordinate: ෆBCෆ ϭ ͙(ෆxBෆෆϪෆxCෆෆ)2ෆϩෆ(ෆyBෆϪෆyෆC ෆ)2 ϭ
ϭ ͙ෆ(Ϫෆ2ෆϪෆ3ෆ)2ෆϩෆ(ෆϪෆ5ෆϪෆ1ෆ)2 ϭ
AෆෆB ϭ ͉yA Ϫ yB ͉ ϭ ͉1 Ϫ (Ϫ 5)͉ ϭ ͉6 ͉ ϭ 6. ϭ ͙ෆ(Ϫෆ5ෆ)2ෆϩෆ(ෆϪෆ6ෆ)2 ϭ ͙ෆ25ෆϩෆ3ෆ6 ϭ ͙6ෆ1 Ӎ 7,8.
Osserviamo che avremmo trovato lo stesso ri-
sultato sottraendo le ordinate in ordine inverso:
AෆෆB ϭ ͉yB Ϫ yA ͉ ϭ ͉(Ϫ 5) Ϫ 1͉ ϭ ͉Ϫ 6 ͉ ϭ 6.
Calcoliamo AෆෆC
A(Ϫ 2; 1) e C (3; 1) si trovano su una stessa ret-
ta orizzontale, infatti hanno la stessa ordinata.
La loro distanza è data quindi dal valore asso-
luto della differenza fra le ascisse:
AෆෆC ϭ ͉xA Ϫ xC͉ ϭ ͉Ϫ 2 Ϫ 3͉ ϭ ͉Ϫ 5͉ ϭ 5.
Calcola le distanze indicate fra i punti disegnati in ogni figura.
4 y y B y
A A C
C
1B 1 A1
O1 O1
x x O1 Bx
DE EC D
D
a A––B–, B––C–, D––E–, A––D– , C––E– b A––C–, O–––B, O––C–, O––D– , O––E– c A––C–, B––C–, B––D–, A––D– , D––C–
Calcola la distanza fra i punti indicati.
5 A(2; 4), B(2; 7). 7 2 5 9 A(Ϫ 4; 0), B(6; 0).
10 A(2; 5), B(3; 7).
A Ϫ 4; ᎏ3ᎏ , B Ϫ 4; ᎏ2ᎏ .
A(Ϫ 3; Ϫ 4),
6 A(Ϫ 1; 3), B(4; 3). 8 1 B; Ϫ 4 .
ᎏ3ᎏ
394
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 2. I segmenti nel piano cartesiano ESERCIZI
11 Determina il perimetro del triangolo i cui vertici sono A(Ϫ 3; 2), B(0; 2), C(0; Ϫ 2). [12]
12 Determina il perimetro del quadrilatero i cui vertici sono A(Ϫ 6; Ϫ 10), B(Ϫ 6; 11), C(Ϫ 3; 15), D (9; 10). [64]
13 6; 3 , C(4; 5) è isoscele.
Verifica che il triangolo di vertici A(2; 2), B ᎏ2ᎏ
14 Verifica se il triangolo ABC di vertici A(Ϫ 2; 3), B(4; 5), C(3; Ϫ 2) è isoscele. [sì]
15 Verifica se il triangolo ABC di vertici A(1; Ϫ 2), B(Ϫ 1; 2), C(Ϫ 1; Ϫ 3) è un triangolo rettangolo (è suffi-
ciente verificare se le misure dei lati soddisfano il teorema di Pitagora). [sì]
16 Determina il punto P sull’asse x equidistante da A(Ϫ 1; 2) e da B(4; 5). ΄P ᎏ15ᎏ8 ; 0΅
΄ ΅17 Determina il punto P che ha ordinata uguale all’ascissa ed è equidistante da A(Ϫ 3; 1) e B(4; 3). P ᎏ65ᎏ; ᎏ65ᎏ
■ L’area di triangoli e poligoni
ESERCIZIO GUIDA
18 Determiniamo l’area del triangolo di vertici A(2; 1), B(5; 3), C(3; 5).
y C y C y LC K
5 5 5
T1 T2
3 B3 B 3 B
1A 1A 1A T3
H
O 23 5x O 23 5x O 23 5x
a. Disegniamo il triangolo ABC nel b. Tracciamo le parallele all’asse x c. Tracciamo le parallele all’asse y
passanti per A e per B. Le quattro
piano cartesiano. passanti per A e per C. parallele, incontrandosi,
determinano un rettangolo AHKL.
Il rettangolo è formato dal
triangolo ABC e dai triangoli
rettangoli T1, T2, T3. Quindi possiamo
determinare l’area del triangolo ABC
sottraendo all’area del rettangolo
l’area dei tre triangoli T1, T2, T3.
Calcoliamo l’area A(AHKL) del rettangolo Calcoliamo l’area di T1:
AHKL (figura c): AT1 ϭ ᎏෆLCෆ 2иᎏLෆAෆ
LෆCෆ ϭ ͉3 Ϫ 2͉ ϭ 1, LෆෆA ϭ ͉5 Ϫ 1͉ ϭ 4
A(AHKL) ϭ AෆHෆ и HෆKෆ
AෆHෆ ϭ ͉5 Ϫ 2͉ ϭ 3, HෆKෆ ϭ ͉5 Ϫ 1͉ ϭ 4 AT1 ϭ ᎏ1 2иᎏ4 ϭ 2.
A ϭ 3 и 4 ϭ 12.
395
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 7. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA
Calcoliamo l’area di T2 : AෆHෆ ϭ ͉2 Ϫ 5͉ ϭ ͉Ϫ 3͉ ϭ 3, BෆHෆ ϭ ͉3 Ϫ 1͉ ϭ 2
AT2 ϭ ᎏෆCෆK 2иᎏෆKBෆ AT3 ϭ ᎏ3 и ր2 ϭ 3.
CෆෆK ϭ ͉5 Ϫ 3͉ ϭ 2, ր2
KෆෆB ϭ ͉5 Ϫ 3͉ ϭ 2
Calcoliamo l’area del triangolo ABC:
AT2 ϭ ᎏگ22گи 2 ϭ 2. A (ABC ) ϭ A (AHKL ) Ϫ (AT1 ϩ AT 2 ϩ AT ),
Calcoliamo l’area di T3: 3
AT3 ϭ ᎏෆAෆH 2иᎏBෆHෆ
ossia
A (ABC) ϭ 12 Ϫ (2 ϩ 2 ϩ 3) ϭ 12 Ϫ 7 ϭ 5.
Calcola l’area dei triangoli che hanno i vertici indicati. Negli esercizi seguenti, dato il poligono che ha per
vertici i punti indicati, determina la misura della sua
19 A(10; 0), B(2; 3), O(0; 0). area.
20 A Ϫ 4; ᎏ23ᎏ , 24 A(1; 1), B(5; 0), C(4; 4), D(2; 5).
B 6; ᎏ23ᎏ , C(0; Ϫ 5).
25 A(3; Ϫ 3), B(6; Ϫ 2), C(4; 4), D(1; 3).
21 A(Ϫ 11; Ϫ 3), B Ϫ 11; 5 , C(7; Ϫ 9).
ᎏ3ᎏ 26 A (2; 0), B(6; Ϫ 2), C(10; 1), D(10; 4),
22 A 5; Ϫ 1 , B 5; 9 , C(Ϫ 8; Ϫ 5). E (6; 6), F (2; 4).
ᎏ2ᎏ ᎏ2ᎏ
23 A 3 ; Ϫ 4 , B 3 ; 6 , C(Ϫ 10; Ϫ 5).
ᎏ2ᎏ ᎏ2ᎏ
■ Il punto medio di un segmento
ESERCIZIO GUIDA
27 Calcoliamo le coordinate del punto medio del segmento di estremi A(Ϫ 3; Ϫ 5) e B(4; 1).
Disegniamo il segmento.
Calcoliamo l’ascissa del punto medio M, utilizzando la formula: y B
1 4x
xM ϭ ᎏxA ϩ2ᎏxB ossia Ϫ3ϩ4 1 −3 O —12
xM ϭ ᎏ2ᎏ ϭ ᎏ2ᎏ . −2 M
Calcoliamo l’ordinata del punto medio, utilizzando la formula: A −5
yM ϭ ᎏyA ϩ2ᎏyB ossia yM ϭ ᎏϪ 52ᎏϩ 1 ϭ ᎏϪ2ᎏ4 ϭ Ϫ 2.
Il punto medio del segmento AB è M ᎏ21ᎏ ; Ϫ 2 .
ESERCIZIO GUIDA
28 1
Conoscendo le coordinate del punto A Ϫ ᎏ2ᎏ ; 6 e quelle del punto medio del segmento AB,
M 5 ; Ϫ 2 , calcoliamo le coordinate di B.
ᎏ2ᎏ
396
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
RIEPILOGO La distanza fra due punti e il punto medio ESERCIZI
Disegniamo il segmento AM. Applichiamo le formule del punto medio: y
A6
xM ϭ ᎏxA ϩ2ᎏxB , yM ϭ ᎏyA ϩ2ᎏyB .
Sostituiamo le coordinate di M e di A:
1
ᎏϪ ᎏ2ᎏ2ᎏϩ xB
ᎏ5ᎏ ϭ , Ϫ 2 ϭ ᎏ6 ϩ2ᎏyB .
2
− —12O 1 x
—52
Ricaviamo xB e yB nelle due equazioni:
−2 M
5 ϭ Ϫ ᎏ21ᎏ ϩ xB → xB ϭ 5 ϩ ᎏ21ᎏ → xB ϭ ᎏ12ᎏ1 ,
Ϫ 4 ϭ ϩ 6 ϩ yB → yB ϭ Ϫ 10 → yB ϭ Ϫ 10.
Il punto cercato è B ᎏ12ᎏ1 ; Ϫ 10 .
Determina le coordinate del punto medio M o dell’estremo incognito del segmento AB.
29 A(4; Ϫ 7), B(8; Ϫ 7). 34A1 ; Ϫ 5 , B(3; 2).
ᎏ2ᎏ
30 A(Ϫ 3; 2), B(Ϫ 3; Ϫ 8). 35 B (Ϫ 2; Ϫ 5), M (1; 3).
31 A(2; 4), M(5; 7). 36 A(2; 7), B(6; Ϫ 3).
32 A(Ϫ 1; 3), B(3; 7). 37 B ᎏ58ᎏ ; ᎏ58ᎏ , M(0; 0).
38 A ᎏ32ᎏ ; ᎏ31ᎏ ,
33 A Ϫ ᎏ21ᎏ ; 3 , M ᎏ23ᎏ ; 2 . B ᎏ31ᎏ ; Ϫ ᎏ31ᎏ .
39 Nel triangolo ABC, di vertici A (Ϫ 2; 4), B(0; 2), C (4; 6), determina i punti medi dei lati e la misura delle
mediane. [(Ϫ 1; 3), (2; 4), (1; 5); ͙3ෆ4 , 4, ͙ෆ10]
RIEPILOGO LA DISTANZA FRA DUE PUNTI E IL PUNTO MEDIO
40 Determina sull’asse y il punto equidistante dai due punti A(Ϫ3; 2) e B(Ϫ1; 3). ΄0; Ϫ ᎏ23ᎏ΅
41 Verifica che il quadrilatero di vertici A(Ϫ3; Ϫ4), B(10; Ϫ4), C(15; 8), D(2; 8) è un rombo.
Determina la misura dell’area. [156]
42 Verifica che il triangolo di vertici A(Ϫ2; Ϫ3), B 3; Ϫ ᎏ21ᎏ , C(Ϫ8; 9) è rettangolo e poi verifica che la
mediana relativa all’ipotenusa è congruente alla metà dell’ipotenusa stessa.
43 Verifica se il quadrilatero di vertici consecutivi I(Ϫ2; 3), L (1; Ϫ2), M (6; 1), N(3; 6) è un rettangolo.
397
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 7. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA
44 Considerati i punti A(Ϫ2a; Ϫ1) e B(a Ϫ5; Ϫ1), con a Ͼ 0, determina a in modo che la distanza AෆෆB sia uguale a
7. Determina poi il punto C di ascissa 5, tale che l’area del triangolo ABC misuri 35. [a ϭ 4; C1(5; 9), C2(5; Ϫ11)]
45 Il quadrilatero di vertici A(2; 1), B(6; 5), C(4; 7), D(0; 3) è un rettangolo. Trova i punti medi di ciascun lato,
[4͙1ෆ0; 8]
congiungili e stabilisci di che quadrilatero si tratta. Calcolane poi perimetro e area.
46 Dato il triangolo ABC con A(1; 1), B(7; 3) e C(3; 5), stabilisci che esso è isoscele sulla base AB. Dopo aver
determinato i punti medi M1 e M2 dei lati obliqui, verifica che il segmento M1M2 è uguale alla metà di AB.
47 Dato il rombo di coordinate A(Ϫ2; Ϫ2), B(11; Ϫ2), C(16; 10), D(3; 10), trova il perimetro. Determina poi i
[52; 3͙1ෆ3]
punti medi di AB e BC e calcola la lunghezza del segmento che li congiunge.
48 Il quadrilatero di vertici A(Ϫ1; Ϫ3), B(3; Ϫ7), C(7; Ϫ3) e D è un quadrato. Determina le coordinate del
punto D sapendo che il punto medio del segmento DC è M(5; Ϫ1). Calcola poi perimetro e area del quadrato.
[D(3; 1); 16͙ෆ2; 32]
49 Sia ABCD un rombo con A(Ϫ2; 0), C(2; 0) e D appartenente all’asse y di ordinata 4. Siano inoltre noti i
punti medi dei lati AB e BC, rispettivamente M1(Ϫ 1; Ϫ 2) e M2(1; Ϫ 2).
Determina le coordinate del punto B e calcola l’area del rombo. Trova poi le coordinate dei punti medi M3 e
M4 dei lati DC e AD e determina il perimetro del quadrilatero M1 M2 M3 M4. Di che tipo di quadrilatero si
tratta? Verifica inoltre che il perimetro del quadrilatero costruito è uguale alla somma delle diagonali del
rombo. [B(0; Ϫ 4); 16; M3(1; 2); M4(Ϫ 1; 2); 12]
3. L’equazione di una retta –ᮣ Teoria a pag. 378
passante per l’origine
■ Il coefficiente angolare
ESERCIZIO GUIDA
50 ᎏ21ᎏ ; ᎏ52ᎏ ; verifichiamo
Determiniamo l’equazione della retta passante per l’origine e per il punto A
se i punti B ᎏ45ᎏ; 1 e C(2; 5) appartengono a tale retta.
Poiché una retta passante per l’origine ha equazione del tipo y ϭ mx, ci basta determinare il coefficiente
angolare m.
Ricordiamo che la relazione m ϭ ᎏyᎏ lega le coordinate di tutti i punti della retta (esclusa l’origine). Sosti-
x 1 2
ᎏ2ᎏ ; ᎏ5ᎏ e ricaviamo m :
tuiamo in tale relazione le coordinate del punto A
2 y
ᎏ5ᎏ 1
ᎏyᎏA ᎏ ᎏ52ᎏ ᎏ54ᎏ —25 A B
xA ᎏ21ᎏ
m ϭ ϭ ϭ и 2 ϭ .
L’equazione della retta è dunque: O —21 1 —45 x
y ϭ ᎏ54ᎏ x.
398
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 3. L’equazione di una retta passante per l’origine ESERCIZI
Verifichiamo se B appartiene alla retta (e quindi se le sue coordinate ne
soddisfano l’equazione). Sostituendo xB e yB nell’equazione y ϭ ᎏ54ᎏ x si ha:
1 ϭ 4 и ᎏ45ᎏ.
ᎏ5ᎏ
Poiché i due membri dell’equazione sono uguali, B appartiene alla retta. Verifichiamo se C appartiene alla
retta:
5 ᎏ54ᎏ и 2.
I due membri dell’equazione non sono uguali e quindi C non appartiene alla retta.
Scrivi l’equazione della retta, passante per l’origine e per il punto A. Verifica se il punto B appartiene alla retta trovata.
51 A ᎏ21ᎏ ; 1 , B(Ϫ 1; Ϫ 2). [y ϭ 2x; sì] 53 A(Ϫ 2; 0), B(Ϫ 2; 10). [y ϭ 0; no]
[y ϭ Ϫ x; sì] 54 A(3; 2), B(6; 4).
52 A(1; Ϫ 1), B Ϫ ᎏ21ᎏ ; ᎏ21ᎏ . ΄ ΅y ϭ ᎏ32ᎏ x; sì
I punti dei seguenti gruppi appartengono tutti a una stessa retta passante per l’origine, tranne uno. Scrivi
l’equazione della retta e individua il punto che non le appartiene.
55 A(Ϫ 1; Ϫ 5), B(2; 10), C (5; 10), D(3; 15). [y ϭ 5x; C ]
56 A(Ϫ 3; 9), B(Ϫ 2; 6), C (2; Ϫ 6), D(1; 3). [y ϭ Ϫ 3x; D]
Scrivi l’equazione della retta passante per l’origine avente il coefficiente angolare indicato e disegna la retta.
57 m ϭ 2; m ϭ Ϫ 2. 58 m ϭ 3; m ϭ Ϫ 3. 59 m ϭ ᎏ31ᎏ ; m ϭ Ϫ ᎏ31ᎏ .
■ Dall’equazione al grafico e viceversa
ESERCIZIO GUIDA
60 Disegniamo il grafico della retta d’equazione y ϭ ᎏ43ᎏ x.
Per disegnare una retta bastano due punti. Poiché la retta passa per y
l’origine, è sufficiente determinare un secondo punto. Tuttavia, dise- 6
gniamone alcuni in più.
3
Per x ϭ 4, y ϭ 3 и 4 ϭ 3. O
ᎏ4ᎏ −4 1 4
−3
La retta passa per il punto (4; 3). Osserviamo che conviene assegna- 8x
re a x valori multipli di 4, per evitare di fare calcoli con le frazioni.
Per esempio, per x ϭ 8, y ϭ 6, mentre per x ϭ Ϫ 4, y ϭ Ϫ 3.
399
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 7. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA
Disegna le rette rappresentate dalle seguenti equazioni.
61 y ϭ ᎏ21ᎏ x; y ϭ Ϫ ᎏ32ᎏ x. 64 y ϭ ᎏ83ᎏ x; y ϭ Ϫ ᎏ83ᎏ x.
62 y ϭ ᎏ53ᎏ x; y ϭ Ϫ ᎏ45ᎏ x. 65 y ϭ Ϫ ᎏ31ᎏ x; y ϭ 3x.
63 y ϭ ᎏ76ᎏ x; y ϭ ᎏ38ᎏ x. 66 y ϭ ᎏ18ᎏ1 x;
y ϭ 11x.
Scrivi per ogni grafico una delle seguenti relazioni, riferite al coefficiente angolare della retta disegnata: m Ͼ 0,
m ؍0, m Ͻ 0, m non definito. Indica per ogni retta l’angolo che forma con la semiretta positiva dell’asse x nel
semipiano delle ordinate positive.
67 y 68 y 69 y
Ox Ox Ox
ESERCIZIO GUIDA y
6
70 Dalle indicazioni date in figura ricaviamo l’equazione della retta disegnata.
−2 O x
Il rapporto fra le coordinate del punto indicato è il seguente:
ᎏyᎏ ϭ 6 ϭ Ϫ 3.
x ᎏϪᎏ2
Poiché la retta passa per l’origine, l’equazione richiesta è: y ϭ Ϫ 3x.
Dalle indicazioni date in ogni figura, ricava l’equazione della retta disegnata.
71 y 72 y 73 y
2
4 −3 O
O2 x Ox x
400
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 4. L’equazione generale della retta ESERCIZI
4. L’equazione generale della retta –ᮣ Teoria a pag. 381
■ L’equazione di una retta parallela a un asse
ESERCIZIO GUIDA
74 Scriviamo le equazioni delle rette disegnate nei due grafici:
a) y b) y
1 O 3x
Ox
a) Poiché la retta è parallela all’asse x, tutti i suoi b) Poiché la retta è parallela all’asse y, tutti i suoi
punti hanno ascissa variabile e la medesima punti hanno la medesima ascissa, uguale a 3, e or-
ordinata, uguale a 1. L’equazione della retta è: dinata variabile. L’equazione della retta è:
y ϭ 1. x ϭ 3.
Per ogni grafico scrivi l’equazione della retta corrispondente.
75 y 76 y 77 y
Ox
Ox x −6
−1 O
−3
Disegna le rette che hanno le seguenti equazioni.
78 x ϭ Ϫ 2; y ϭ Ϫ 2; x ϭ 3; y ϭ 3 ; x ϭ 1.
ᎏ2ᎏ 2x ϭ Ϫ 8.
79 2x Ϫ 6 ϭ 0; Ϫ3y ϭ 0; 3 Ϫ y ϭ 0; 5 Ϫ 10x ϭ 0;
■ La forma esplicita y ؍mx ؉ q y
rs
ESERCIZIO GUIDA
80 Dalle informazioni fornite dal grafico, ricaviamo l’equazione della
retta r passante per l’origine e l’equazione della retta s parallela a r.
Ricaviamo l’equazione di r 2A
Poiché la retta passa per l’origine, la sua equazione è del tipo O
y ϭ mx. Per determinare m consideriamo −1 1 x
B
il punto A (1; 2) e calcoliamo ᎏyAᎏ , ossia m ϭ ᎏ12ᎏ . −3
xA
L’equazione di r è: y ϭ 2x.
401
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 7. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA
Ricaviamo l’equazione di s
Il punto B(1; Ϫ 1) di s ha la stessa ascissa di A e ordinata diminuita di 3 unità: 2 Ϫ 3 ϭ Ϫ 1. L’equazione
di s si ottiene da quella di r aggiungendo al membro di destra il termine Ϫ 3, che nel grafico è l’ordinata
del punto di intersezione di s con l’asse y.
L’equazione di s è: y ϭ 2x Ϫ 3.
Dalle informazioni fornite da ogni grafico ricava l’equazione della retta r e l’equazione della retta s.
81 ys 82 y 83 y
6B r
s
4A 2 x 3 r
2 1 x
O1 s 1
−2 O r O4
x
■ Dall’equazione al grafico Nel sito: ᭤ 15 esercizi in più su Insiemi di punti
ESERCIZIO GUIDA
84 Rappresentiamo in un grafico cartesiano le seguenti rette:
a) y ϭ Ϫ 1 x ϩ 2;
ᎏ5ᎏ
b) y ϭ 5.
a) y ϭ Ϫ 1 ϩ 2.
ᎏ5ᎏ x
y
Il termine noto 2 indica che la retta passa per il punto di coordi- 2 y = − —15 x + 2
nate (0; 2). Infatti se x ϭ 0, sostituendo, si ha: O 10
y ϭ Ϫ ᎏ51ᎏ и 0 ϩ 2 ϭ 2. x
Determiniamo ora un secondo punto assegnando a x un valore
a piacere, per esempio 10. Per x ϭ 10:
y ϭ Ϫ ᎏ51ᎏ и 10 ϩ 2 ϭ 0. y
5 y=5
La retta passa per i punti (0; 2) e (10; 0). Segnati i punti nel siste-
ma di riferimento cartesiano, tracciamo la retta.
b) y ϭ 5. La retta ha equazione del tipo y ϭ k, quindi è parallela O1 x
all’asse x e passa per il punto dell’asse y di ordinata 5.
Disegniamo il grafico.
402
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 4. L’equazione generale della retta ESERCIZI
Disegna i grafici delle rette rappresentate dalle seguenti equazioni.
85 y ϭ 4x Ϫ 3 91 y ϭ Ϫ 3x 97 y ϭ Ϫ ᎏ54ᎏ x Ϫ 2
86 y ϭ Ϫ 3 5
87 x ϭ Ϫ 3 92 y ϭ Ϫ 3x Ϫ 2
88 y ϭ 2x ϩ 1 98 x ϭ ᎏ3ᎏ
89 y ϭ Ϫ x ϩ 3 93 y ϭ Ϫ 5x ϩ 7 99 y ϭ x ϩ ᎏ41ᎏ
90 y ϭ Ϫ 1 94 y ϭ ᎏ21ᎏ x ϩ 1 100 y ϭ 2
95 y ϭ 2x Ϫ 6
101 y ϭ Ϫ 4x ϩ 2
96 x ϭ Ϫ 2 102 y ϭ Ϫ ᎏ21ᎏ x ϩ 3
■ Dalla forma esplicita alla forma implicita e viceversa
ESERCIZIO GUIDA
103 a) Data l’equazione della retta y ϭ ᎏ43ᎏ x Ϫ ᎏ32ᎏ , scriviamola in forma implicita.
b) Data la retta di equazione 3x Ϫ 4y Ϫ 1 ϭ 0, scriviamola in forma esplicita, specificando quali sono il
coefficiente angolare e il termine noto.
a) La forma implicita dell’equazione di una ret- Tuttavia è preferibile avere coefficienti non fraziona-
ri. A questo proposito, «eliminiamo i denominatori»,
ta è del tipo ax ϩ by ϩ c ϭ 0, dove a, b, c cioè moltiplichiamo l’equazione per il loro m.c.m.,
12; otteniamo:
sono coefficienti reali. Pertanto, l’equazione
9x Ϫ 12y Ϫ 8 ϭ 0.
considerata è già in forma implicita se la scri-
viamo così:
3 x Ϫ y Ϫ 2 0.
ᎏ4ᎏ ᎏ3ᎏ ϭ
b) La forma esplicita dell’equazione di una retta è del tipo y ϭ mx ϩ q, quindi dobbiamo ricavare y
dall’equazione 3x Ϫ 4y Ϫ 1 ϭ 0: ᎏ3x 4Ϫᎏ1 31
y ϭ ᎏ4ᎏ x Ϫ ᎏ4ᎏ .
Ϫ 4y ϭ Ϫ 3x ϩ 1 → 4y ϭ 3x Ϫ 1 → y ϭ →
Il coefficiente angolare è ᎏ43ᎏ il termine noto Ϫ ᎏ41ᎏ .
e è
Scrivi in forma implicita le seguenti equazioni.
104 y ϭ 4x ϩ 8; y ϭ 1 Ϫ 2x; y ϭ Ϫ 3x Ϫ 2.
105 y ϭ x Ϫ 1 ; y ϭ Ϫ 4 x ϩ 3; y ϭ 1 2x.
ᎏ2ᎏ ᎏ5ᎏ ᎏ4ᎏ Ϫ
106 y ϭ ᎏ53ᎏ ; y ϭ ᎏ53ᎏ x; y ϭ Ϫ ᎏ51ᎏ x ϩ ᎏ32ᎏ .
Scrivi in forma esplicita le seguenti equazioni, specificando quali sono il coefficiente angolare e il termine noto.
107 3x Ϫ y ϩ 3 ϭ 0; 4x ϩ 2y ϭ 0; 5x ϩ 2y ϭ 0.
108 Ϫ 2x ϩ 5y Ϫ 1 ϭ 0; Ϫ y ϩ 2 ϭ 0; Ϫ x ϩ 3y ϭ 0.
403
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 7. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA
109 2x ϩ 2y ϭ 0; x Ϫ y ϭ 0; x ϩ y Ϫ 1 ϭ 0.
Disegna i grafici delle rette rappresentate dalle seguenti equazioni, indicando per ciascuna il coefficiente ango-
lare e il termine noto.
110 x Ϫ 2y ϭ 0; 6x ϭ 0; 2y Ϫ 2 ϭ 0; y ϭ 2x.
111 x ϭ Ϫ 3y; 5 y ϭ 0; 2y ϭ Ϫ 4x ϩ 3; 4x Ϫ y ϩ 1 ϭ 0.
112 x ϩ y Ϫ 3 ϭ 0; ᎏ3ᎏ y ϭ Ϫ 2; x ϭ Ϫ ᎏ12ᎏ y ϩ 1.
2x ϩ 1 ϭ 0;
113 ASSOCIA a ogni equazione il coefficiente angolare della retta corrispondente.
1. 2y Ϫ 3x ϩ 1 ϭ 0 2. 6x ϩ 4y Ϫ 5 ϭ 0 3. y ϭ Ϫ ᎏ32ᎏ x ϩ 1 4. 2x Ϫ 3y ϩ 3 ϭ 0 5. 2y Ϫ 3 ϭ 0
A. Ϫ ᎏ32ᎏ B. 0 C. ᎏ23ᎏ D. ᎏ32ᎏ E. Ϫ ᎏ23ᎏ
114 ASSOCIA a ogni retta la sua equazione.
y y yy y
2
1 11
–2 O O 2x
a x O 21– x O 1x –1 – 12– O x
1. y ϭ 2x ϩ 1 b c d e
2. y ϭ Ϫ 2x ϩ 2 3. y ϭ ᎏ21ᎏ x Ϫ 1 4. y ϭ Ϫ 2x ϩ 1 5. y ϭ ᎏ12ᎏ x ϩ 1
115 COMPLETA la seguente tabella, dove m indica il 116 VERO O FALSO?
coefficiente angolare e q l’ordinata all’origine del-
la retta di equazione assegnata. a) L’equazione x ϭ 0 rappresenta l’asse VF
delle ascisse.
RETTA mq b) La bisettrice del secondo e quarto
y ϭ Ϫ 5x ϩ 2 quadrante ha equazione y ϩ x ϭ 0.
2x ϩ y ϭ 1 VF
x ϩ 2y Ϫ 3 ϭ 0
3y ϭ 4x ϩ 1 c) Il coefficiente angolare dell’asse y VF
xϭ6 è nullo.
yϪ4ϭ0
x ϭ Ϫ 6y d) Se nell’equazione y ϭ mx ϩ q è m ϭ 0,
allora si ottiene una retta parallela
all’asse x. VF
404
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 4. L’equazione generale della retta ESERCIZI
■ L’appartenenza di un punto a una retta
ESERCIZIO GUIDA
117 È data la retta di equazione 3x Ϫ 6y ϩ 2 ϭ 0.
a) Stabiliamo se i punti AϪ2; Ϫ 2 eB 1; 1 vi appartengono.
ᎏ3ᎏ ᎏ3ᎏ
b) Determiniamo le coordinate del punto C appartenente alla retta, sapendo che la sua ascissa è 3.
c) Determiniamo le coordinate del punto D appartenente alla retta, sapendo che la sua ordinata è Ϫ 1.
a) Un punto appartiene a una retta se e solo se le b) Sostituiamo a x il valore 3 nell’equazione della retta:
sue coordinate (x; y) soddisfano l’equazione
della retta. 3x Ϫ 6y ϩ 2 ϭ 0
Sostituiamo le coordinate di A alle variabili x e
y che compaiono nell’equazione: 3 и 3 Ϫ 6y ϩ 2 ϭ 0
9 Ϫ 6y ϩ 2 ϭ 0
3x Ϫ 6y ϩ 2 ϭ 0 11 Ϫ 6y ϭ 0
3(Ϫ 2) Ϫ 6 Ϫ ᎏ32ᎏ ϩ 2 ϭ 0 6y ϭ 11
Ϫ6ϩ4ϩ2ϭ0 y ϭ 11 .
0 ϭ 0 vero. ᎏ6ᎏ
Il punto C ha coordinate: 3; ᎏ16ᎏ1 .
Il punto A appartiene alla retta. 1; ᎏ31ᎏ : c) Sostituiamo a y il valore Ϫ 1 nell’equazione della
retta:
Sostituiamo ora le coordinate di B, ossia
3x Ϫ 6y ϩ 2 ϭ 0
3x Ϫ 6y ϩ 2 ϭ 0
3x Ϫ 6 и (Ϫ 1) ϩ 2 ϭ 0
3(1) Ϫ 6 1
ᎏ3ᎏ ϩ2ϭ0 3x ϩ 6 ϩ 2 ϭ 0
3Ϫ2ϩ2ϭ0 3x ϩ 8 ϭ 0
3 ϭ 0 falso. x ϭ Ϫ ᎏ38ᎏ .
Il punto B non appartiene alla retta. Il punto D ha coordinate: Ϫ ᎏ38ᎏ; Ϫ 1 .
Per ogni retta assegnata stabilisci se i punti A e B le appartengono.
118 y ϭ 2x Ϫ 1, A 1 ; Ϫ 3 , B (1; Ϫ 1). [no]
ᎏ2ᎏ [A no; B sì]
119 y ϭ 1 ϩ 2, A(Ϫ 5; 3), B(10; 4). [sì]
ᎏ5ᎏ x [no]
120 2x Ϫ 6y ϩ 3 ϭ 0, A Ϫ 3 ; 0 , B Ϫ 1; 1 .
ᎏ2ᎏ ᎏ6ᎏ
121 8x ϩ 4y Ϫ 5 ϭ 0, A(1; Ϫ 3), B 1 ; 1 .
ᎏ8ᎏ ᎏ4ᎏ
122 Nella retta y ϭ 1 Ϫ x determina il punto A di ascissa Ϫ 1 e il punto B di ordinata 7.
[A(Ϫ 1; 2), B(Ϫ 6; 7)]
405
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 7. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA
123 Determina nella retta y ϭ Ϫ ᎏ21ᎏ x ϩ ᎏ32ᎏ il punto A di ascissa Ϫ 2 e il punto B di ordinata ᎏ32ᎏ .
΄ ΅A Ϫ 2; ᎏ35ᎏ , B 0; ᎏ23ᎏ
124 Trova la distanza tra i punti A e B della retta di equazione x Ϫ 2y ϩ 3 ϭ 0, sapendo che xA ϭ 7 e yB ϭ 1. [4͙ෆ5]
125 Il punto P della retta di equazione y ϭ 3x Ϫ 1 ha ordinata 5. Calcola la sua distanza dall’origine 0. [͙2ෆ9]
126 Trova per quale valore di k la retta di equazione y ϭ 4x ϩ k passa per il punto P(2; 5). [Ϫ 3]
΄ ΅127 Determina k in modo che la retta di equazione 2kx ϩ y Ϫ k ϩ 1 ϭ 0 passi per il punto A(Ϫ 2; Ϫ 3). Ϫ ᎏ52ᎏ
5. Il coefficiente angolare –ᮣ Teoria a pag. 384
ESERCIZIO GUIDA
128 Determiniamo, quando è possibile, il coefficiente angolare delle rette AB, CD, EF, conoscendo le coordi-
nate dei punti A(Ϫ 1; 3), B(2; 4), C(2; 3), D(5; 3), E(Ϫ 2; 4), F (Ϫ 2; Ϫ 1).
Calcoliamo m(AB), applicando la formula m ϭ ᎏyB ϪᎏyA :
m(AB) ϭ ᎏ2 Ϫ4 Ϫ(ᎏϪ31) ϭ ᎏ31ᎏ. xB Ϫ xA
Calcoliamo m(CD), sempre mediante la stessa formula:
m(CD) ϭ ᎏ53 ϪϪᎏ32 ϭ ᎏ30ᎏ ϭ 0; la retta è parallela all’asse x e la sua equazione è y ϭ 3.
Calcoliamo m(EF) allo stesso modo:
m(EF) ϭ ᎏϪϪ2 Ϫ1 ᎏϪ(Ϫ42) ϭ ᎏϪ0ᎏ5 , ovvero il coefficiente angolare non esiste;
la retta è parallela all’asse y e la sua equazione è x ϭ Ϫ 2.
Determina, quando è possibile, il coefficiente angolare della retta passante per ogni coppia di punti indicata.
129 A(1; 2), B(4; 5). 131 C(5; Ϫ 3), D(7; Ϫ 2). 133 E(0; 2), F (0; Ϫ 2).
130 A(2; 4), B (Ϫ 4; 4). 134 A(4; 0), B(Ϫ 2; 4).
132 A ᎏ31ᎏ ; Ϫ ᎏ21ᎏ , B ᎏ32ᎏ ; Ϫ ᎏ23ᎏ .
Nei seguenti esercizi sono dati: il coefficiente angolare di una retta, le coordinate di un suo punto A e l’ascissa,
oppure l’ordinata, di un altro suo punto, B. Determina la coordinata mancante di B.
135 m ϭ 5, A(1; 2), B (2; ?). [yB ϭ 7] 138 m ϭ Ϫ 4, A (5; 9), B (6; ?). [yB ϭ 5]
136 m ϭ 3, A(7; 2), B (?; 8). [xB ϭ 9] 139 m ϭ Ϫ 1, A (8; 4), B (11; ?). [yB ϭ 1]
137 m ϭ 2, A(4; 1), B (7; ?). [yB ϭ 7] 140 m ϭ 4, A (Ϫ 7; Ϫ 2), B (?; 6). [xB ϭ Ϫ 5]
406
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 5. Il coefficiente angolare ESERCIZI
■ Dal grafico all’equazione y B
A 5x
ESERCIZIO GUIDA
2 x
141 Ricaviamo l’equazione della retta utilizzando le informazioni fornite dal O
grafico.
La retta non è parallela all’asse y, quindi la sua equazione è del tipo
y ϭ mx ϩ q.
Calcoliamo q
La retta interseca l’asse y nel punto A(0; 2), quindi q ϭ 2.
Calcoliamo m
Applichiamo la formula: L’equazione della retta è:
m ϭ ᎏyB ϪᎏyA . Abbiamo quindi y ϭ Ϫ 2 ϩ 2.
xB Ϫ xA ᎏ5ᎏ x
m ϭ ᎏ50 ϪϪᎏ02 ϭ Ϫ ᎏ52ᎏ .
In ogni esercizio scrivi l’equazione della retta utilizzando le informazioni fornite dal grafico.
142 y y y
2 x 4 x O
−3 O O2
a y b c
y
143 y
3
O ق x O —23 x –1 x
ق b O
(4; 1)
a −5 c x
144 y yy 407
4
O x (3; 1) O
(2; –1) b Ox
a c
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 7. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA
6. Le rette parallele –ᮣ Teoria a pag. 385
e le rette perpendicolari
Nel sito: ᭤ 18 esercizi in più
᭤ 12 esercizi di recupero
ESERCIZIO GUIDA
145 Date le rette di equazione y ϭ 3x Ϫ 2, Ϫ x ϩ y Ϫ 4 ϭ 0, y ϭ ᎏ32ᎏ x, x Ϫ y Ϫ 5 ϭ 0, 2x ϩ 6y Ϫ 1 ϭ 0,
stabiliamo quali sono parallele e quali perpendicolari.
Poiché due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare e perpendicolari quando
m и mЈ ϭ Ϫ 1 ovvero m ϭ Ϫ ᎏm1ᎏЈ , occorre calcolare i coefficienti angolari delle rette date.
r: y ϭ 3x Ϫ 2. Il coefficiente angolare è m ϭ 3. 1
ᎏ1ᎏ
s: Ϫx ϩ y Ϫ 4 ϭ 0. Il coefficiente angolare è m ϭ ᎏϪᎏa ϭ ϭ 1.
b
2 Il coefficiente angolare è m ϭ ᎏ32ᎏ.
t: y ϭ ᎏ3ᎏ x.
u: x Ϫ y Ϫ 5 ϭ 0. Il coefficiente angolare è m ϭ 1. ᎏ62ᎏ ᎏ31ᎏ.
v: 2x ϩ 6y Ϫ 1 ϭ 0. Il coefficiente angolare è m ϭ Ϫ ᎏaᎏ ϭ Ϫ ϭ Ϫ
b
Conclusione:
● le rette r e v sono perpendicolari;
● le rette s e u sono parallele;
● la retta t non è perpendicolare o parallela a nessuna delle rette date.
Considera le rette di ciascuno dei seguenti gruppi, determina il loro coefficiente angolare e infine stabilisci
quali sono parallele e quali perpendicolari.
146 y ϭ 2x Ϫ 3, y ϭ Ϫ 3x ϩ 2, y ϭ Ϫ 1 ϩ 1, y ϭ 2x ϩ 6.
147 y ϭ x ϩ ᎏ31ᎏ , y ϭ ᎏ31ᎏ x, ᎏ2ᎏx y ϭ ϩ ᎏ31ᎏ .
y ϭ ᎏ31ᎏ x ϩ ᎏ31ᎏ ,
148 3x Ϫ 2y ϩ 1 ϭ 0, Ϫ 6x ϩ 4y ϩ 7 ϭ 0, 6x Ϫ 4y Ϫ 3 ϭ 0.
149 5x ϩ 8y Ϫ 3 ϭ 0, 8x Ϫ 5y ϩ 1 ϭ 0, 20x ϩ 32y ϩ 15 ϭ 0.
150 y ϭ Ϫ 3x ϩ 1, 6x ϩ 2y Ϫ 5 ϭ 0, 9y Ϫ 3x ϭ 0, y ϭ Ϫ 3.
151 2x Ϫ y Ϫ 6 ϭ 0, 2y ϭ 4x ϩ 1, y ϭ Ϫ 1 x Ϫ 6, 2x Ϫ 6 ϭ 0.
ᎏ2ᎏ
152 Scrivi le equazioni di tre rette parallele all’asse x e di tre rette parallele all’asse y.
153 Scrivi le equazioni di due rette parallele alla retta di equazione 2y ϩ 5 ϭ 0 e di due parallele alla retta di
equazione 4x Ϫ 3 ϭ 0.
154 Scrivi le equazioni di due rette perpendicolari alla retta di equazione y ϩ 2 ϭ 0 e di due perpendicolari alla
retta di equazione x Ϫ 1 ϭ 0.
408
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 6. Le rette parallele e le rette perpendicolari ESERCIZI
155 Scrivi le equazioni di due rette parallele alle rette: Per ogni retta scrivi l’equazione di una retta a essa pa-
a) y ϭ ᎏ31ᎏ x ϩ 2; rallela e l’equazione di una retta a essa perpendicolare.
b) 2x Ϫ y ϭ 0.
157 y ϭ x
156 Scrivi le equazioni di due rette perpendicolari alle
158 y ϭ Ϫ 2x ϩ 1
rette: a) y ϭ 3 Ϫ 5; b) 4x ϩ 3y Ϫ 1 ϭ 0. 159 y ϭ ᎏ31ᎏ x Ϫ 3
ᎏ2ᎏ x 160 4x Ϫ 2y ϩ 1 ϭ 0
ESERCIZIO GUIDA
161 1. Determiniamo per quale valore di a le due rette 2x Ϫ 3y ϩ 1 ϭ 0 e (a Ϫ 1)x ϩ y ϭ 2 risultano parallele.
2. Determiniamo per quali valori di k la retta di equazione (k Ϫ 2)x ϩ 2ky ϩ 3 ϭ 0 risulta rispettivamente:
a) parallela alla bisettrice del I e III quadrante;
b) parallela all’asse x; Ϫ 1 x ϩ 2;
c) perpendicolare a y ϭ ᎏ4ᎏ
d) parallela a x ϭ Ϫ 5.
1. Scriviamo in forma esplicita entrambe le equa- Ricaviamo il valore di k:
zioni:
Ϫk ϩ 2 ϭ 2k con k 0
2x Ϫ 3y ϩ 1 ϭ 0 (a Ϫ 1)x ϩ y ϭ 2 Ϫ3k ϭ Ϫ 2 → k ϭ ᎏ32ᎏ.
3y ϭ 2x ϩ 1 y ϭ Ϫ (a Ϫ 1)x ϩ 2 b) Il coefficiente angolare deve essere nullo:
y ϭ ᎏ32ᎏ x ϩ ᎏ31ᎏ Ϫ ᎏ(k 2Ϫᎏk 2) ϭ 0 con k 0
e quindi k ϭ 2.
Poiché due rette sono parallele se hanno lo stes-
c) Affinché le due rette siano perpendicolari dobbia-
so coefficiente angolare, dobbiamo imporre: mo imporre:
Ϫ ᎏ(k 2Ϫᎏk 2) ϭ 4, con k 0.
ᎏ32ᎏ ϭ Ϫ (a Ϫ 1). Ricaviamo il valore di k :
Ricaviamo il valore di a: Ϫk ϩ 2 ϭ 8k con k 0
ᎏ32ᎏ ϭ Ϫ a ϩ 1 Ϫ9k ϭ Ϫ 2 → k ϭ ᎏ92ᎏ.
2 1
a ϭ 1 Ϫ ᎏ3ᎏ ϭ ᎏ3ᎏ . d) Poiché si richiede una retta parallela all’asse y, che
ha equazione implicita in cui manca il termine
2. Scriviamo in forma esplicita l’equazione del- con y, imponiamo:
la retta: 2k ϭ 0 → k ϭ 0.
y ϭ Ϫ ᎏk 2Ϫᎏk 2 x Ϫ ᎏ23ᎏk , con k 0.
a) La bisettrice del I e III quadrante, di equa-
zione y ϭ x, ha m ϭ 1. Imponiamo l’ugua-
glianza dei coefficienti angolari:
Ϫ ᎏ(k 2Ϫᎏk 2) ϭ 1.
162 Stabilisci se la retta che passa per i punti A(2; Ϫ 7) e B(Ϫ 1; 5) è parallela alla retta di equazione y ϭ Ϫ 4x. [sì]
163 Dati i punti A(2; 3k), B(6; 1), C(8; 2), determina per quale valore di k il segmento AB è perpendicolare al seg-
mento BC. Una volta sostituito il valore opportuno di k, trova l’area del triangolo ABC. [3; 10]
409
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 7. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA
BRAVI SI DIVENTA ᭤ E29
164 Determina l’equazione della retta r pas- d) perpendicolare alla retta di equazione
sante 1 9 4x Ϫ 2y ϩ 1 ϭ 0.
ᎏ2ᎏ ᎏ2ᎏ ΄ ΅a) 1
per i punti A Ϫ ; Ϫ 3 eB 2; e consi- k ϭ 0; b) k ϭ Ϫ 1; c) k ϭ Ϫ ᎏ3ᎏ ; d) k ϭ 1
derata la retta s di equazione 2kx Ϫ (k Ϫ 1)y + 166 Determina per quali valori di a la retta di equazio-
+ 4(k Ϫ 1) ϭ 0: ne (a ϩ 1)x ϩ (2a Ϫ 3)y ϩ 2a ϭ 0 risulta ri-
a) trova per quale valore di k le due rette sono spettivamente:
parallele;
a) parallela alla retta 3x Ϫ 1 ϭ 0;
b) calcola la distanza tra le due rette.
b) parallela alla retta 2y ϩ 5 ϭ 0;
c) perpendicolare alla retta 9x Ϫ 3y ϩ 1 ϭ 0;
d) parallela alla retta y ϭ Ϫ x ϩ 2;
165 Determina per quali valori di k la retta di equa- e) parallela alla retta y ϭ 2;
zione kx ϩ (k ϩ 1)y ϩ 2 ϭ 0 risulta rispettiva-
mente: f) perpendicolare alla retta y ϭ Ϫ 1;
a) parallela all’asse x; perpa)enadϭicoᎏ23lᎏae;r)bea)ablϭlaϭϪreϪt1ta;1f;y)caϭ) aϭϪϭᎏ23ᎏᎏϪ51;ᎏg6x); ϩ 2.
b) parallela all’asse y; ΄ ΅g)
c) parallela alla retta di equazione x Ϫ 2y ϭ 0; d) a ϭ 4;
a ϭ ᎏ11ᎏ14
7. I fasci di rette –ᮣ Teoria a pag. 387
■ Il fascio improprio Nel sito: ᭤ 10 esercizi di recupero
ESERCIZIO GUIDA
167 Scriviamo l’equazione del fascio improprio di rette contenente la retta di equazione 3x Ϫ y ϩ 2 ϭ 0 e
disegniamo tre rette qualsiasi del fascio.
Scriviamo l’equazione in forma esplicita, per ricavare il suo coefficien- y q=2
te angolare m : y = 3x + q q=0
q = −2
y ϭ 3x ϩ 2 ⇒ m ϭ 3.
2 x
Il fascio di rette ha equazione y ϭ 3x ϩ q.
O
Disegniamo le rette corrispondenti a tre valori di q, per esempio −2
0, 2, Ϫ 2. Le rette corrispondenti hanno equazioni:
y ϭ 3x;
y ϭ 3x ϩ 2;
y ϭ 3x Ϫ 2.
168 Disegna cinque rette del fascio di equazione y ϭ 2x ϩ 1 Ϫ k.
169 Disegna cinque rette del fascio di equazione y ϭ Ϫ 3x ϩ k Ϫ 2.
170 Scrivi l’equazione del fascio improprio contenente la retta di equazione 6x ϩ 2y Ϫ 12 ϭ 0 e disegna tre ret-
te del fascio. [y ϭ Ϫ 3x ϩ q]
171 Ripeti l’esercizio precedente con la retta di equazione 8x Ϫ 4y ϩ 10 ϭ 0. [y ϭ 2x ϩ q]
410
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 7. I fasci di rette ESERCIZI
172 Scrivi l’equazione del fascio di rette parallele alla retta di equazione y ϭ Ϫ 4x ϩ 5 e l’equazione del fascio di ret-
te perpendicolari alle precedenti. Rappresenta alcune rette di ciascun fascio. ΄ ΅1
y ϭ Ϫ 4x ϩ q; y ϭ ᎏ4ᎏ x ϩ q
173 Ripeti l’esercizio precedente con la retta 2x ϩ 4y ϩ 1 ϭ 0. ΄ ΅yϭϪ1 x ϩ q; y ϭ 2 x ϩ q
ᎏ2ᎏ
■ Il fascio proprio Nel sito: ᭤ 10 esercizi di recupero
ESERCIZIO GUIDA
174 Scriviamo l’equazione del fascio proprio di rette passante per il punto P Ϫ 5; ᎏ31ᎏ e disegniamo le rette del
fascio aventi rispettivamente coefficiente angolare m ϭ 0, m ϭ 1 e m ϭ Ϫ 3.
Per trovare l’equazione del fascio utilizziamo l’equazione y Ϫ y 1 ϭ m (x Ϫ x 1).
Nel nostro caso x 1 ϭ Ϫ 5 e y 1 ϭ 1 , perciò:
ᎏ3ᎏ
ᎏ31ᎏ ϭ m [x
y Ϫ m (x ϩ 5) Ϫ (Ϫ 5)],
y ϭ ϩ ᎏ31ᎏ .
A tale fascio dobbiamo aggiungere la retta parallela all’asse y di equazione x ϭ Ϫ 5.
Per disegnare le rette del fascio aventi coefficiente angolare 0, 1 e Ϫ 3, determiniamo prima le loro equazioni:
● se m ϭ 0, y ϭ 1 ; y = −3x − 4—34 y = x + 1—36
ᎏ3ᎏ m = −3 y m=1
6 1—39
● se m ϭ 1, y ϭ x ϩ 5 ϩ 1 , P
ᎏ3ᎏ −7 −5 1—36
● ossia y ϭ x ϩ ᎏ13ᎏ6 ; ϩ 5) ϩ ᎏ31ᎏ ,
se m ϭ Ϫ 3, y ϭ Ϫ 3(x
ossia y ϭ Ϫ 3x Ϫ 15 ϩ ᎏ31ᎏ —31 y = —31
m=0
e y ϭ Ϫ 3x Ϫ 44 . O —32 x
ᎏ3ᎏ
Poiché le tre rette passano per P, per disegnarle basta determinare un solo altro punto su ciascuna.
Scrivi l’equazione del fascio di rette passante per ciascun punto indicato e disegna le rette aventi coefficiente
angolare m ϭ 0, m ϭ 5, m ϭ Ϫ 3. (Per brevità, nelle soluzioni non indichiamo l’equazione della retta paralle-
la all’asse y.)
175 A(Ϫ 1; 3) [y ϭ mx ϩ m ϩ 3] 178 C(Ϫ 2; Ϫ 3) [y ϭ mx ϩ 2m Ϫ 3]
176 O(0; 0) [y ϭ mx] 179 D(6; Ϫ 4) [y ϭ mx Ϫ 6m Ϫ 4]
177 B(5; 8) [y ϭ mx Ϫ 5m ϩ 8]
E 1801; Ϫ 2 ΄ ΅y ϭ mx Ϫ 1 m Ϫ 2
ᎏ2ᎏ ᎏ2ᎏ
411
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 7. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA
Equazione della retta passante per un punto, che soddisfa una condizione
Scrivi l’equazione della retta che passa per il punto indicato e ha coefficiente angolare m che soddisfa le condi-
zioni date.
181 A(Ϫ 1; Ϫ 3) e m ϭ Ϫ 2. 184 D(Ϫ 2; 3) e con lo stesso coefficiente angolare
della retta di equazione 4x Ϫ 2y Ϫ 3 ϭ 0.
182 B ᎏ12ᎏ ; Ϫ 1 e m ϭ Ϫ 4.
185 E Ϫ ᎏ21ᎏ ; 2 e con il coefficiente angolare della
183 C(1; 6) e m ϭ Ϫ 1 .
ᎏ3ᎏ retta che passa per i punti (0; 2) e (3; 5).
ESERCIZIO GUIDA
186 Determiniamo l’equazione della parallela e della perpendicolare alla retta r di equazione: 2y Ϫ x ϩ 6 ϭ 0,
passanti per A(1; 1).
Scriviamo in forma esplicita l’equazione di r e rica- y
viamo il coefficiente angolare m:
1A r
2y ϭ x Ϫ 6 → y ϭ ᎏ21ᎏ x Ϫ 3, dunque m ϭ ᎏ21ᎏ . x
Scriviamo l’equazione del fascio di rette di centro A: O 12
y = —21 x − 3
y Ϫ 1 ϭ m (x Ϫ 1). −2
−3
Fra tutte le rette del fascio, cerchiamo la parallela a r,
cioè quella con il coefficiente angolare uguale a quel-
lo di r .
Imponiamo cioè che sia m ϭ ᎏ21ᎏ : y
y Ϫ 1 ϭ ᎏ21ᎏ(x Ϫ 1) → y ϭ 1 ϩ 1 .
ᎏ2ᎏ x ᎏ2ᎏ
y = —21 x + —12
Cerchiamo ora, fra le rette del fascio di centro A, la y = −2x +3 5x
perpendicolare a r, cioè la retta che ha come coeffi- 3
ciente angolare l’antireciproco di quello della retta r; 1A
imponiamo cioè m ϭ Ϫ 2:
O1
y Ϫ 1 ϭ Ϫ 2(x Ϫ 1).
Scriviamo l’equazione in forma esplicita:
y ϭ Ϫ 2x ϩ 3.
Per ciascuna retta, scrivi l’equazione della parallela e della perpendicolare a essa e passanti per il punto A.
187 y ϭ ᎏ31ᎏ x, A(1; 1). ΄ ΅y ϭ ᎏ31ᎏ x ϩ ᎏ32ᎏ; y ϭ Ϫ 3x ϩ 4
A(Ϫ 3; Ϫ 3).
188 y ϭ 7 x, A(Ϫ 1; 5). ΄ ΅yϭ 7 x ϩ ᎏ21ᎏ; 6x ϩ 7y ϩ 39 ϭ 0
ᎏ6ᎏ ᎏ6ᎏ
189 y ϭ Ϫ ᎏ98ᎏ x, ΄ ΅y ϭ Ϫ ᎏ98ᎏ x ϩ ᎏ39ᎏ7 ; 9x Ϫ 8y ϩ 49 ϭ 0
412
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 7. I fasci di rette ESERCIZI
190 y ϩ 3x ϩ 2 ϭ 0, A(0; Ϫ 2). ΄ ΅yϭ Ϫ 3x Ϫ 2; y ϭ 1 x Ϫ 2
191 6x Ϫ 3y Ϫ 2 ϭ 0, A(Ϫ 5; 2). ᎏ3ᎏ
192 3x Ϫ y Ϫ 4 ϭ 0, A(0; Ϫ 4).
193 x ϩ y ϭ 0, A(1; Ϫ 1). [y ϭ 2x ϩ 12; x ϩ 2y ϩ 1 ϭ 0]
΄ ΅y ϭ 3x Ϫ 4; y ϭ Ϫ ᎏ31ᎏ x Ϫ 4
[y ϭ Ϫ x; y ϭ x Ϫ 2]
194 Scrivi l’equazione della retta che passa per l’origine degli assi ed è parallela alla retta di equazione:
2x Ϫ 3y ϩ 2 ϭ 0. ΄ ΅y ϭ ᎏ23ᎏ x
195 Determina il coefficiente angolare della retta r che passa per i punti P(1; 4) e Q(Ϫ 2; 5). Scrivi poi l’equazio-
ne della retta passante per il punto A(3; 2) e perpendicolare a r. ΄ ΅Ϫ1
ᎏ3ᎏ
; y ϭ 3x Ϫ 7
196 Tra le rette parallele alla retta di equazione 2x Ϫ 8y ϩ 1 ϭ 0 trova quella che passa per il punto P(Ϫ 4; 2).
΄ ΅y
ϭ 1 x ϩ 3
ᎏ4ᎏ
197 Dati i punti A(Ϫ 3; 2) e B(6; Ϫ 1), determina l’equazione dell’asse del segmento AB. (Suggerimento. L’asse
di un segmento è la retta perpendicolare al segmento nel suo punto medio.) [y ϭ 3x Ϫ 4]
198 Scrivi l’equazione dell’asse del segmento di estremi P(2; Ϫ 5) e Q(Ϫ 8; 1). ΄ ΅y ϭ ᎏ35ᎏ x ϩ 3
199 Tra le rette parallele a quella di equazione 2x Ϫ 6y ϩ 5 ϭ 0, trova quella:
a) passante per l’origine;
b) passante per P(2; Ϫ 9);
c) che ha ordinata all’origine 6;
d) passante per il punto medio del segmento di estremi A(1; Ϫ 2) e B(Ϫ 3; 4).
΄ ΅a) y ϭ ᎏ31ᎏ x; b) y ϭ ᎏ13ᎏ x Ϫ ᎏ23ᎏ9 ; c) y ϭ ᎏ31ᎏ x ϩ 6; d) y ϭ ᎏ31ᎏ x ϩ ᎏ34ᎏ
200 Tra le rette del fascio di centro P(Ϫ 2; 4) trova la retta:
a) passante per A(1; Ϫ 3); c) parallela all’asse x;
b) passante per l’origine; d) perpendicolare alla retta che passa per B(0; 2) e C(4; 0).
΄ ΅a)
y ϭ Ϫ 7 x Ϫ 2 ; b) y ϭ Ϫ 2x; c) y ϭ 4; d) y ϭ 2x ϩ 8
ᎏ3ᎏ ᎏ3ᎏ
201 Tra le rette del fascio di centro P(1; 2) determina quella che: d) ha coefficiente angolare 2 ;
a) passa per l’origine; e) è parallela all’asse x. ᎏ3ᎏ
b) è parallela alla bisettrice del II e IV quadrante;
c) è perpendicolare alla bisettrice del I e III quadrante;
΄ ΅a) y ϭ 2x; b) y ϭ Ϫ x ϩ 3; c) y ϭ Ϫ x ϩ 3; d) y ϭ ᎏ32ᎏ x ϩ ᎏ34ᎏ; e) y ϭ 2
202 Tra le rette del fascio di equazione kx ϩ (k ϩ 1) y ϩ 2 ϭ 0 determina quella che:
a) è perpendicolare alla bisettrice del II e IV quadrante; c) è perpendicolare alla retta 3x Ϫ 6y ϩ 1 ϭ 0;
b) è parallela alla retta 4y Ϫ 3 ϭ 0; d) è parallela all’asse y.
[a) x Ϫ y Ϫ 4 ϭ 0; b) y ϭ Ϫ 2; c) y ϭ Ϫ 2x ϩ 2; d) x ϭ 2]
413
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 7. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA
8. La retta passante per due punti –ᮣ Teoria a pag. 389
Nel sito: ᭤ 12 esercizi di recupero
ESERCIZIO GUIDA
203 Scriviamo l’equazione della retta passante per i punti:
a) A(Ϫ 1; 3), B(Ϫ 4; 2); b) A(Ϫ 5; 2), B Ϫ 5; ᎏ21ᎏ ; c) A(6; 3), B Ϫ ᎏ27ᎏ; 3 .
a) Essendo xA xB e yA yB, applichiamo la formula:
ᎏy Ϫᎏy1 ϭ ᎏx Ϫᎏx1 .
y2 Ϫ y1 x2 Ϫ x 1
Sostituiamo a (x 1; y 1) le coordinate di A e a (x 2; y 2) le coordinate di B:
ᎏ2y ϪϪᎏ33 ϭ ᎏ(Ϫx4Ϫ) Ϫ(ᎏϪ(Ϫ1)1) → Ϫ (y Ϫ 3) ϭ Ϫ ᎏ31ᎏ (x ϩ 1) → y ϭ ᎏ31ᎏ x ϩ ᎏ31ᎏ ϩ 3.
L’equazione richiesta è y ϭ 1 ϩ 10 .
ᎏ3ᎏ x ᎏ3ᎏ
b) Poiché xA ϭ xB, l’equazione della retta è x ϭ Ϫ 5.
c) Poiché yA ϭ yB, l’equazione della retta è y ϭ 3.
Scrivi l’equazione della retta passante per le seguenti coppie di punti.
204 A (0; 3), B (8; 0). ΄ ΅y ϭ Ϫ ᎏ83ᎏ x ϩ 3 210 Scrivi l’equazione della retta che passa per A(2; 1)
205 A (Ϫ 5; 0), B (0; Ϫ 2).
΄ ΅y 2 e B(4; Ϫ 1) e stabilisci se il punto C(Ϫ 3; 6) è alli-
ᎏ5ᎏ
ϭ Ϫ x Ϫ 2 neato ai primi due. [y ϭ Ϫ x ϩ 3; sì]
206 A (Ϫ 2; 5), B (Ϫ2; Ϫ3). [x ϭ Ϫ 2] Stabilisci se i punti delle seguenti terne sono allineati.
207 A (7; 0), B (6; Ϫ 4). [y ϭ 4x Ϫ 28] 211 A(1; 2), B(0; 3), C(4; 1).
208 A (0; 0), B (1; 1). [y ϭ x] 212 A(3; 0), B(Ϫ 3; 2), C(6; 1).
213 A(1; 5), B(Ϫ 2; Ϫ 1), C(0; 3).
209 A Ϫ ᎏ21ᎏ; 3 , 5; B3 . ΄ ΅3
ᎏ4ᎏ ᎏ4ᎏ
y ϭ ᎏ4ᎏ
214 COMPLETA la seguente tabella.
Punti P e Q Equazione della retta r Coefficiente Ordinata Equazione della retta
passante per P e Q angolare di r all’origine di r parallela a r passante per O
P(2; 4) … … … …
Q(Ϫ 1; 2)
Ϫ1
P(Ϫ 3; …) … 4…
Q(…; 6) … …
1 y ϭ 4x
P ᎏ12ᎏ ; …
Q(…; 2)
414
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Matematica.bianco Vol.2
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Matematica.bianco Vol.2
- 1 - 50
- 51 - 100
- 101 - 150
- 151 - 200
- 201 - 250
- 251 - 300
- 301 - 350
- 351 - 400
- 401 - 450
- 451 - 499
Pages: