Paragrafo 2. Le omotetie ESERCIZI
■ La rotazione Nel sito: ᭤ 7 esercizi di recupero
Nei seguenti esercizi, per «rotazione» intenderemo sempre «rotazione di un angolo retto con centro nell’origine».
La rotazione di punti e di poligoni
72 Determina il corrispondente del segmento di estremi A(Ϫ 2; 5) e B(3; 4) in una rotazione oraria e traccia il
grafico.
73 È dato il triangolo di vertici A (Ϫ 2; 3), B (1,5; 1) e C (1; 5). Scrivi la corrispondenza fra i punti nella rotazio-
ne antioraria e disegna i due triangoli.
74 Determina il corrispondente del pentagono di vertici A(Ϫ 4; 3), B(Ϫ 3; Ϫ 1), C (2; Ϫ 1), D(3; 3) ed
E(Ϫ 3; 5) nella rotazione antioraria.
75 Dato il rettangolo di vertici A(2; 3), B(4; Ϫ 1), C(6; 0) e D(4; 4), determina il rettangolo corrispondente
nella rotazione oraria. Verifica che i due rettangoli hanno lo stesso perimetro.
76 Dato il rombo di vertici A(Ϫ 10; Ϫ 1), B(Ϫ 6; Ϫ 4), C(Ϫ 2; Ϫ 1) e D(Ϫ 6; 2), determina il quadrilatero
corrispondente nella rotazione oraria e verifica che A′B′C′D ′ è ancora un rombo.
77 Determina la figura corrispondente del quadrato di vertici A(0; 5), B(Ϫ 5; 0), C(0; Ϫ 5) e D (5; 0) nella ro-
tazione oraria. Che cosa osservi? Le tue osservazioni sono valide anche se la rotazione è antioraria?
Determina la retta corrispondente alla retta data nella rotazione indicata in parentesi. Verifica che ciascuna
retta e la sua corrispondente sono perpendicolari.
78 y ϭ Ϫ 4 (oraria); x ϭ5 (antioraria). [x ϭ Ϫ 4; y ϭ 5]
79 y ϭ Ϫ x ϩ 3 (antioraria); y ϭxϪ4 (oraria). [y ϭ x ϩ 3; y ϭ Ϫ x Ϫ 4]
80 y ϭ 2x (oraria); y ϭ 2x ϩ 5 (oraria). [2y ϩ x ϭ 0; 2y ϩ x Ϫ 5 ϭ 0]
81 y ϭ Ϫ ᎏ21ᎏ x ϩ 3 (antioraria);
2x Ϫ 3y ϩ 7 ϭ 0 (oraria). [y ϭ 2x ϩ 6; 3x ϩ 2y Ϫ 7 ϭ 0]
2. Le omotetie –ᮣ Teoria a pag. 654
Nel sito: ᭤ 7 esercizi di recupero
Disegna le omotetiche delle figure assegnate nell’omotetia di centro O (0; 0) e rapporto k.
82 Segmento di estremi A(Ϫ 2; Ϫ 1) e B(3; 5), con k ϭ ϩ 3.
83 Segmento di estremi A(5; 0) e B(0; 6), con k ϭ Ϫ 3.
84 Triangolo di vertici A(4; 6), B(7; 10) e C(10; 4), con k ϭ Ϫ 2.
85 Quadrilatero di vertici A(0;5), B(10; 1), C (0; Ϫ 7) e D (Ϫ 10; Ϫ 3), con k ϭ Ϫ 1. I quadrilateri corrispon-
denti sono quadrilateri particolari?
665
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 13. LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO CARTESIANO
86 Il segmento di estremi A(Ϫ 3; Ϫ 5) e B(Ϫ 1; 4) e il segmento di estremi A′ 2; ᎏ13ᎏ0 e B′(Ϫ 4; 5) si possono
corrispondere in un’omotetia di centro O? Se la risposta è negativa, modifica le coordinate di un solo punto
affinché i segmenti si corrispondano; determina poi il valore di k.
87 Il triangolo A′B′C ′ è il corrispondente del triangolo di vertici A(2; 4), B(5; 0) e C (6; 7) nell’omotetia di cen-
tro O e rapporto k ϭ 2. Verifica che entrambi i triangoli sono rettangoli e che il rapporto tra il perimetro di
A′B′C′ e quello di ABC è uguale a 2.
3. La composizione di due trasformazioni –ᮣ Teoriaapag.656
88 TEST Sono date le trasformazioni di equazioni: 89 TEST Quali sono le equazioni della trasformazio-
ne ottenuta dalla composizione della traslazione
Άt: x′ϭxϩ1 di vettore v¡(1; 2) con la simmetria rispetto
y′ϭyϩ2 all’asse x ?
Άo: x ′ ϭ Ϫ 2x Άx″ϭx ϩ1
y ′ ϭ Ϫ 2y
A y″ϭϪy Ϫ2
L’immagine del punto P(2; Ϫ 3) nella trasforma-
zione composta t ؠo è: Άx″ϭϪx Ϫ1
A P ′(Ϫ 6; ϩ 2). B y″ϭy ϩ2
B P ′(Ϫ 3; ϩ 8). Άx″ϭx Ϫ1
C P ′(ϩ 2; Ϫ 6). C y″ϭϪy ϩ2
D P ′(ϩ 2; ϩ 7). Άx″ϭx ϩ1
E P ′(ϩ 8; Ϫ 3). D y″ϭy ϩ2
Άx″ϭϪx Ϫ1
E y″ϭϪy Ϫ2
ESERCIZIO GUIDA
90 Sono dati il triangolo di vertici A(Ϫ 5; 2), B (Ϫ 2; 4) e C(Ϫ 4; 6) e il vettore ¡v(7; 2). Trasliamo il triangolo
ABC secondo il vettore ¡v e otteniamo il triangolo A′B′C ′; trasliamo ora A′B′C′ secondo il vettore
w¡(2; Ϫ 7) e chiamiamo A″B ″C ″ il triangolo trasformato. Quali sono le equazioni della trasformazione
che associa ad ABC il triangolo A″B″C ″?
ESERCIZIO GUIDA
Le equazioni della prima traslazione sono: In modo analogo si trovano le coordinate di B′
e C ′: B′(5; 6), C ′(3; 8).
Άx′ ϭ x ϩ 7
y′ϭy ϩ2 Disegniamo i due triangoli.
Sostituiamo a x e a y le coordinate del punto A y C' B'
per ottenere le coordinate del punto A′: t→v 8 A'
C6
Άx′ ϭ Ϫ 5 ϩ 7 ϭ 2
y′ϭ2 ϩ2ϭ4 B4
A2
A′(2; 4).
−5 −4 −2 O 2 3 5 x
666
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Paragrafo 3. La composizione di due trasformazioni ESERCIZI
Scriviamo le equazioni della seconda traslazione, Άx ″ ϭ x ′ ϩ 2 ϭ (x ϩ 7) ϩ 2
indicando con x ″ e y ″ le coordinate del generico
punto trasformato: y ″ ϭ y ′ Ϫ 7 ϭ (y ϩ 2) Ϫ 7
Άx″ ϭ x′ ϩ 2 Άx ″ ϭ x ϩ 9
y″ ϭy′ Ϫ7
y″ϭy Ϫ5
Queste equazioni ci permettono di trovare le
coordinate di A″, B″ e C″ a partire da quelle di Queste sono le equazioni della trasfomazione compo-
A′, B′ e C ′. sta, quella che ad ABC fa corrispondere A″B″C″. Si
tratta ancora di una traslazione, di vettore u¡(9; Ϫ 5).
Sostituendo otteniamo: Osserviamo che le componenti del vettore u¡ sono la
somma delle componenti dei vettori ¡v e w¡.
A″(4; Ϫ 3), B ″(7; Ϫ 1), C ″(5; 1).
y C'
Determiniamo, ora, le equazioni della trasforma- t→v 8 B'
zione composta. Riconsideriamo le equazioni C6
della seconda trasformazione:
A B 4 A' tw→
Άx″ ϭ x′ ϩ 2 C" 7
y″ ϭy′ Ϫ7 2
1
A x ′ e y ′ sostituiamo le loro espressioni date dal-
le equazioni della prima traslazione (x ′ ϭ x ϩ 7; −5 −4 −2−1 O 2 3 4 B" x
y ′ ϭ y ϩ 2):
tw→ ؠt→v−3 A"
91 Determina la traslazione che si ottiene componendo quella di vettore ¡v(2; Ϫ 5) con quella di vettore ¡w(Ϫ 3; 4) e
scrivine le equazioni. Trova, poi, l’equazione della retta r″ corrispondente della retta r di equazione
x Ϫ y ϩ 7 ϭ 0 nella traslazione composta. Che cosa osservi?
92 Considera la traslazione che associa al punto A(3; 2) il punto A′(9; 2). Trova due simmetrie assiali, con assi
paralleli, tali che, eseguite in successione, facciano corrispondere al punto A il punto A′.
93 Determina il corrispondente A′B′ del segmento di vertici A(1; Ϫ 4) e B(3; 2) nella simmetria di asse x ϭ 0.
Applica poi ad A′B′ la simmetria di asse y ϭ x e ottieni il segmento A″B ″. Scrivi le equazioni della trasfor-
mazione che associa ad AB direttamente A″B ″.
94 Disegna il quadrato di vertici A(Ϫ 3; 3), B (3; 3), C (3; Ϫ 3) e D (Ϫ 3; Ϫ 3). Applica al quadrato la rotazione
in senso antiorario che ha per centro l’origine O e per ampiezza un angolo retto. Che cosa osservi? Possiamo
affermare che ABCD è unito anche nella rotazione in senso orario?
95 Determina le equazioni della trasformazione s ؠt, ottenuta componendo la traslazione t di vettore ¡v(4; 6)
con la simmetria s rispetto alla retta di equazione y ϭ Ϫ 2. Applica la trasformazione composta al segmento
AB, con A(Ϫ 8; 2) e B (1; 2), ottenendo il segmento A″B″. Verifica che A″B″ si ottiene anche applicando ad
AB la traslazione e successivamente ad A′B′ la simmetria.
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ESERCIZI CAPITOLO 13. LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO CARTESIANO
RIEPILOGO LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
96 TEST L’isometria di equazioni: 97 TEST La trasformazione di equazioni
Άx′ϭϪxϩ8 Άx′ϭx Ϫ1
y′ϭy
y′ϭy ϩ4
A è la simmetria assiale di asse x ϭ 8.
B è la traslazione di vettore v¡(Ϫ 8; 0). A è l’omotetia di centro O(0; 0) e rapporto Ϫ 1 .
C è la simmetria assiale di asse x Ϫ 4 ϭ 0. ᎏ4ᎏ
D è la traslazione di vettore v¡(1; Ϫ 1).
E è la traslazione di vettore v¡(8; 0). B è la simmetria assiale di asse Ϫ x ϩ 4 ϭ 0.
C è la simmetria assiale di asse y ϩ 4 ϭ 0.
D è la simmetria assiale di asse y ϭ x.
E è la traslazione di vettore v¡(Ϫ 1; 4).
98 Determina l’equazione della retta corrispondente della retta che passa per A(0; 3) e B(1; Ϫ 1) nella
Άtraslazione di equazioni x′ϭxϪ2 [y ϭ Ϫ 4x Ϫ 1]
y′ϭyϩ4
99 Qual è l’immagine della retta r, di coefficiente angolare m ϭ Ϫ 2 e passante per (Ϫ 1; 3), nella traslazione di
vettore ¡v(2; 4)?
[y ϭ Ϫ 2x ϩ 9]
100 Data la simmetria di asse x ϭ Ϫ 4, determina la retta r′ corrispondente della retta r di equazione
y ϭ Ϫ 3x ϩ 5. Trova il punto di intersezione delle due rette. Che cosa osservi? [y ϭ 3x ϩ 29; (Ϫ 4; 17)]
101 Data la retta r di equazione ᎏ21ᎏ x ϩ ᎏ23ᎏ y ϩ 1 ϭ 0, determina la sua simmetrica r′ rispetto all’asse di equazione
΄ ΅3 1
y ϭ Ϫ x. Trova il punto di intersezione delle due rette. ϩ ᎏ2ᎏ y Ϫ 1 ϭ 0; (1; Ϫ1)
ᎏ2ᎏ x
102 Scrivi l’equazione della simmetrica rispetto all’asse x della parabola y ϭ x2 Ϫ 6x ϩ 9. Traccia il grafico delle
due parabole. [y ϭ Ϫ x2 ϩ 6x Ϫ 9]
103 Data la parabola di equazione y ϭ x 2 Ϫ 5x ϩ 6, determina le parabole simmetriche della data rispetto:
a) all’asse x; b) all’asse y; c) all’origine degli assi cartesiani.
[a) y ϭ Ϫ x 2 ϩ 5x Ϫ 6; b) y ϭ x 2 ϩ 5x ϩ 6; c) y ϭ Ϫ x 2 Ϫ 5x Ϫ 6]
104 Disegna il segmento P ′Q′ corrispondente del segmento di estremi P(Ϫ 3; 5) e Q(2; 3) nella rotazione in sen-
so orario; disegna poi il segmento P ″Q″ corrispondente di P ′Q′ nella rotazione in senso antiorario. Che
cosa osservi?
105 Ruota in senso orario il segmento di estremi A(2; 3) e B (5; 6) ottenendo il segmento A′B′. Ruota nuova-
mente in senso orario il segmento A′B′ ottenendo A″B″. Individua la trasformazione che associa diretta-
mente AB ad A″B″ e scrivi le sue equazioni. Di quale isometria si tratta?
106 Sia A′B′C′D′ il corrispondente del parallelogramma di vertici A(Ϫ 8; Ϫ 6), B(Ϫ 4; Ϫ 5), C(Ϫ 1; Ϫ 1) e
D(Ϫ 5; Ϫ 2) nell’omotetia di centro O e rapporto k ϭ Ϫ ᎏ31ᎏ . Verifica che i lati omologhi sono paralleli.
107 Applica le omotetie di centro O (0; 0) e rapporto k ϭ ᎏ21ᎏ e k ϭ 2 alla parabola di equazione y ϭ x2 Ϫ 2x.
Trova le intersezioni con gli assi cartesiani e i vertici della parabola iniziale e delle parabole trasformate.
΄ ΅y ϭ 2x2 Ϫ 2x; y ϭ ᎏ21ᎏ x2 Ϫ 2x; V1(1; Ϫ 1); V2 ᎏ21ᎏ ; Ϫ ᎏ21ᎏ ; V3(2; Ϫ 2)
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Verso le competenze ESERCIZI
Verso le competenze Nel sito: ᭤ 30 test interattivi in più
TEST 3 Considera la trasformazione di equazioni
1 Nella trasformazione di equazioni Άx′ϭ6 Ϫx
Άx ′ ϭ x Ϫ 1 y′ϭy
y′ϭy Ϫ2 Una delle seguenti proposizioni è falsa. Quale?
A Ogni retta di equazione y ϭ k è unita.
al punto P(Ϫ 1; 2) corrisponde il punto: B Tutti i punti della retta di equazione y ϭ k
A P ′(Ϫ 1; Ϫ 2).
B P ′(Ϫ 2; 0). sono uniti.
C P ′(Ϫ 2; Ϫ 1). C Il punto (3; k) è unito.
D P ′(2; Ϫ 2). D Tutti i punti della retta x ϭ 3 sono uniti.
2 Quali sono le equazioni della simmetria rispetto 4 Nella simmetria di equazioni
alla retta di equazione y ϭ Ϫ2?
Άx′ϭϪx Ϫ3
Άx′ϭϪ4 Ϫx
y′ϭy
A y′ϭy la retta 2x Ϫ y ϩ 3 ϭ 0 ha come corrispondente
la retta di equazione:
Άx′ϭx A Ϫ 2x Ϫ y ϩ 3 ϭ 0.
B 2x ϩ y Ϫ 3 ϭ 0.
B y ′ ϭ Ϫ 2y C 2x ϩ y ϩ 3 ϭ 0.
D x ϩ 2y ϩ 3 ϭ 0.
Άx′ϭx
C y′ϭ4Ϫy
Άx′ϭx
D y′ϭϪ4Ϫy
5 Dimostra che il centro O di rotazione è punto unito sia nella rotazione oraria sia in quella antioraria. Com-
menta la tua dimostrazione.
Ά6 x ′ ϭ 2x ϩ y
Data la trasformazione di equazioni y ′ ϭ x ϩ 2y , determina la figura corrispondente al quadrato di verti-
ci A(2; 3), B(7; 3), C(7; Ϫ2) e D (2; Ϫ2) e verifica che si tratta di un altro quadrato.
7 Trasla il triangolo di vertici A (Ϫ2; 3), B (0; 5) e C (3; Ϫ2) secondo il vettore ¡v(2; Ϫ1).
Ά8 x′ϭxϪ4
Sono assegnate la retta r di equazione 4x ϩ y Ϫ 3 ϭ 0 e la traslazione di equazioni: y′ϭyϩ1
Calcola l’equazione della retta r ′ corrispondente di r nella traslazione e rappresenta r e r ′ in un grafico.
[4x ϩ y ϩ 12 ϭ 0]
9 Data la retta r di equazione x ϩ 3 ϭ 0, scrivi le equazioni della simmetria rispetto alla retta r e determina le
coordinate dei punti corrispondenti ai vertici del triangolo ABC, dove A(2; 3), B(4; 7) e C(6; Ϫ3).
΄Ά ΅x
′ yϭ Ϫ 6 Ϫ x; 8; 3), 10; ′(Ϫ 3)
′ ϭ y A′(Ϫ B′(Ϫ 7), C 12; Ϫ
10 I punti P (5; 8) e P ′(5; Ϫ3) si corrispondono in una simmetria assiale. Individua l’asse di simmetria e le
equazioni della trasformazione. ΄ Ά ΅yϭ ᎏ5ᎏ;
2 x′ϭx
y′ϭ5Ϫy
669
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ESERCIZI CAPITOLO 13. LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO CARTESIANO
11 Determina la parabola corrispondente alla parabola di equazione y ϭ x 2 ϩ 2x Ϫ 3 nella simmetria di cen-
tro l’origine degli assi cartesiani e disegna le due parabole. [y ϭ Ϫ x 2 ϩ 2x ϩ 3]
12 Dato il triangolo di vertici A (1; 1), B(2; 6) e C (5; 2), disegna il triangolo a esso corrispondente in un’omote-
tia di centro O(0; 0) e rapporto k ϭ Ϫ3.
13 Scrivi le equazioni della traslazione che si ottiene componendo la traslazione di vettore ¡v(2; 3) con quella di
vettore w¡(Ϫ3; 2). Determina l’equazione della retta r″ corrispondente alla retta r di equazione x ϩ y ϩ 2 ϭ 0
nella traslazione composta. Che cosa osservi? ΄Ά ΅x′ϭxϪϩ15;
y′ϭy
x ϩy Ϫ2ϭ0
14 Al punto (4; Ϫ2) viene applicata la simmetria as- 17 Il triangolo ABC viene traslato nel piano carte-
siale che ha per asse l’asse x. Al punto ottenuto siano in modo che il vertice A venga a trovarsi in
viene applicata la simmetria che ha per asse la A′. Quali sono le coordinate B′ e C′ degli altri
retta y ϭ x. Quali sono le coordinate del punto ri- vertici del triangolo traslato?
sultante?
C A'
(CAN Canadian Open Mathematics Challenge, COMC, 2003)
A B
[(2; 4)] 1
C′ ϵ (9; 3).
TEST O1 C′ ϵ (6; 3).
C′ ϵ (6; 7).
15 La trasformata della parabola di equazione y ϭ Ϫx2 A B′ ϵ (9; 5), C′ ϵ (6; 3).
secondo la rotazione oraria di centro O(0; 0) e B B′ ϵ (3; 5),
angolo 90° è data da: C B′ ϵ (9; 5),
A y Ϫ x2 ϭ 0. D B′ ϵ (6; 7),
B y2 ϩ x ϭ 0.
C x Ϫ y2 ϭ 0. (Invalsi, 2009)
D x2 ϩ y ϭ 0.
18 COMPLETA Sia dato un segmento OP che compie
16 Quale delle seguenti è la trasformazione che tra- una rotazione di centro O. Quale deve essere
sforma F in F′? l’ampiezza dell’angolo di rotazione perché il pun-
A (x; y) → (Ϫ x; y) to P occupi i vertici di un poligono regolare di n
B (x; y) → (x; Ϫ y) lati? Completa la tabella e alla fine generalizza.
C (x; y) → (Ϫ x; Ϫ y)
D (x; y) → (2x; y)
y
F x POLIGONO NUMERO AMPIEZZA
REGOLARE DI LATI n DELL’ANGOLO
O
F' Triangolo ……… 120°
equilatero
……… 90°
Quadrato 5 ………
6 ………
Pentagono n ………
Esagono
n-agono
(USA Northern State University:
52nd Annual Mathematics Contest, 2005)
670
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La probabilità CAPITOLOTEORIA

Il dilemma di Monty Hall
In un popolare show televisivo americano il
presentatore mostra al concorrente tre porte
chiuse. Dietro a una di esse si cela il premio in
palio, un’automobile; le altre due nascondono una
capra. Il giocatore sceglie una delle tre porte, poi il
conduttore, che sa qual è quella vincente, ne apre
un’altra mostrando una capra. A questo punto il
concorrente deve fare la scelta definitiva…
…è più conveniente confermare oppure cambiare
porta per ottenere il premio?
Nel sito: ᭤ La risposta
1. Gli eventi e la probabilità ◗ Aleatorio deriva dal la-
tino a¯lea, che significa
■ Eventi certi, impossibili, aleatori «gioco dei dadi». Il lancio
di un dado è il classico
Ci sono avvenimenti che accadono con certezza, mentre altri sicuramen- esempio di evento aleato-
te non possono mai verificarsi. Per esempio, se una scatola contiene sol- rio.
tanto palline nere, estraendone una a caso siamo sicuri che è nera, men-
tre è impossibile estrarre una pallina bianca.
Chiamiamo gli avvenimenti del primo tipo eventi certi e quelli del se-
condo tipo eventi impossibili.
Ci sono anche eventi che possono accadere, ma senza certezza. Se la sca-
tola contiene sia palline bianche sia palline nere, l’estrazione di una palli-
na bianca è un evento possibile ma non certo, così come l’estrazione di
una pallina nera. In altre parole, non possiamo prevedere il colore della
pallina estratta, perché l’estrazione è casuale.
Un fatto che può accadere o non accadere in modo casuale è detto evento
aleatorio. Per esempio, essere interrogati in matematica nell’arco di una
settimana di lezioni è un evento aleatorio.
È opportuno osservare che uno stesso evento può essere certo, aleatorio
o impossibile a seconda del contesto in cui viene considerato.
1
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
TEORIA CAPITOLO . LA PROBABILITÀ
ESEMPIO L’evento «Susy vince alla lotteria» è certo se Susy compra tutti i
biglietti della lotteria, è impossibile se non ne compra nemmeno uno, è
aleatorio se ne compra uno o più di uno, ma non tutti.
■ La probabilità di un evento
Il fatto che certi eventi siano aleatori ha portato l’uomo a formulare
scommesse sul loro accadere. Il concetto di probabilità è nato proprio per
effetto dei giochi d’azzardo!
Consideriamo il seguente gioco. Hai di fronte due mazzi di carte, A e B,
così composti: A contiene 10 carte con figure e 3 carte senza figure; B è
formato da 12 carte con figure e 6 senza figure. Devi scegliere una carta
da uno dei due mazzi: vinci se scegli una figura. Da quale mazzo convie-
ne scegliere la carta?
Il gioco è interpretabile come un esperimento che ha carattere aleatorio,
in quanto il risultato non dipende da una legge precisa ma, di volta in
volta, è imprevedibile.
Se le carte non sono truccate, le estrazioni di una carta dai due mazzi
sono tutte ugualmente possibili, poiché le carte sono coperte e non pos-
siamo distinguerle l’una dall’altra.
Chiamiamo casi possibili tutti i risultati che possono verificarsi. Per il
mazzo A i casi possibili sono 13, mentre per il mazzo B sono 18.
Chiamiamo casi favorevoli quelli in cui si verifica l’evento che fa vincere.
Poiché per vincere bisogna estrarre una figura, i casi favorevoli sono tanti
quante le carte con figure: 10 per il mazzo A e 12 per il mazzo B.
Consideriamo il rapporto fra i casi favorevoli e quelli possibili:
mazzo A: ᎏ11ᎏ30 ; mazzo B: ᎏ11ᎏ82 .
Poiché ᎏ11ᎏ30 è maggiore di ᎏ11ᎏ82 , conviene scegliere il mazzo A!
Il quoziente ᎏnnuummeerroodᎏdeeiiccaassiifapᎏvoosrseibviolili fornisce una stima sulla possibi-
lità che si verifichi un determinato evento e viene chiamato probabilità
di quell’evento.
DEFINIZIONE probabilità di E numero dei
casi favorevoli
Probabilità
◗ D’ora in poi indichere- p (E) = —uf
mo un evento con una let- La probabilità di un evento è il
tera maiuscola, per esem- quoziente fra il numero dei casi fa- numero dei
pio E, e la probabilità che vorevoli f e quello dei casi possibili casi possibili
l’evento si verifichi con il u, quando essi sono tutti ugual-
simbolo p(E ). mente possibili.
2
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 1. Gli eventi e la probabilità TEORIA
ESEMPIO Nel lancio di un dado a sei facce consideriamo i seguenti eventi:
E 1 ϭ «esce il 4»; E 2 ϭ «esce un numero dispari»;
E 3 ϭ «esce un numero maggiore di 2».
Calcoliamo la probabilità di ciascun evento nell’ipotesi che il dado non
sia truccato:
p(E1) ϭ ᎏ61ᎏ (casi possibili 6, casi favorevoli 1);
p(E2) ϭ ᎏ63ᎏ ϭ ᎏ21ᎏ (casi favorevoli: numeri 1, 3, 5);
p(E3) ϭ ᎏ64ᎏ ϭ ᎏ32ᎏ (casi favorevoli: numeri 3, 4, 5, 6).
■ I valori della probabilità
Abbiamo detto che u rappresenta il numero dei casi possibili e f il nume-
ro dei casi favorevoli.
● Se un evento è impossibile, il numero dei casi favorevoli è 0; quindi
p ϭ ᎏfᎏ ϭ 0 ϭ 0.
u ᎏᎏ
u
Pertanto la probabilità di un evento impossibile è 0.
● Se un evento è certo, il numero dei casi favorevoli è uguale a quello dei
casi possibili; quindi
p ϭ ᎏfᎏ ϭ ᎏuᎏ ϭ 1.
u u
La probabilità di un evento certo è 1.
● Per gli eventi aleatori, il numero f dei casi favorevoli è compreso fra 0
e u: 0 Ͻ f Ͻ u. Dividendo tutti i termini della doppia disuguaglianza
per u, si ottiene:
ᎏ0ᎏ Ͻ ᎏfᎏ Ͻ ᎏuᎏ , ossia 0 Ͻ p Ͻ 1.
u uu
Pertanto la probabilità di un evento aleatorio è un numero compreso ◗ Spesso il valore della
fra 0 e 1. probabilità viene espresso
in termini percentuali. Per
In generale, considerando assieme i tre casi, possiamo dire che la proba- esempio, un evento certo
bilità di un evento è compresa fra 0 e 1, estremi inclusi: 0 Յ p Յ 1. si verificherà al 100%.
3
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TEORIA CAPITOLO . LA PROBABILITÀ
◗ L’insieme U di tutti i ■ Gli eventi e gli insiemi
casi possibili si chiama in-
sieme universo. Consideriamo il lancio di un dado e l’evento «esce un numero dispari».
Per descrivere la situazione possiamo utilizzare il linguaggio degli insiemi.
U I casi possibili sono 6, quindi l’insieme universo è
2
F U ϭ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
13
I casi favorevoli sono tre; infatti l’evento è verificato quando escono 1, 3,
5 oppure 5. Indichiamo con F l’insieme dei casi favorevoli:
46 F ϭ {1, 3, 5}.
Poiché F è un sottoinsieme di U, il numero degli elementi di F è sempre
minore o uguale al numero degli elementi di U. Se l’insieme F non ha ele-
menti, cioè F ϭ л, allora l’evento è impossibile; se F coincide con l’insie-
me universo U, allora l’evento è certo.
◗ N– U ■ L’evento contrario e la sua probabilità
N Dato un evento E, il suo evento contrario è quell’evento che si verifica
quando e solo quando non si verifica E, e lo indichiamo con il simbolo Eෆ.
Se N è l’insieme dei casi fa-
ESEMPIO
vorevoli all’evento E, i casi
Nel lancio di un dado, l’evento contrario dell’uscita di un numero pari è
favorevoli all’evento con- l’uscita di un numero dispari.
trario Eෆ appartengono al
complementare Nෆ di N ri- TEOREMA
spetto a U, ossia all’insie-
La somma della probabilità di un evento e di quella del suo evento con-
me degli elementi di U che trario è 1:
non appartengono a N. p(E) ؉ p(ෆE ) ؍1.
DIMOSTRAZIONE
Se f è il numero di casi favorevoli dell’evento E e u il numero dei casi pos-
sibili, il numero dei casi favorevoli dell’evento contrario è u Ϫ f, quindi:
p (E ) ϩ p (Eෆ) ϭ ᎏfᎏ ϩ ᎏu Ϫᎏf ϭ ᎏf ϩ uᎏϪ f ϭ ᎏuᎏ ϭ 1.
u u u u
2. La probabilità della somma
logica di eventi
■ L’evento unione
Consideriamo 12 dischetti numerati da 1 a 12 e gli eventi:
E 1 ϭ «esce un numero pari»;
E 2 ϭ «esce un numero maggiore di 7».
4
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Paragrafo 2. La probabilità della somma logica di eventi TEORIA
L’insieme dei casi favorevoli a E 1 è A ϭ {2, 4, 6, 8, 10, 12}. AഫB U
L’insieme dei casi favorevoli a E 2 è B ϭ {8, 9, 10, 11, 12}.
L’evento A 3
26
E ϭ «esce un numero pari o maggiore di 7»
487
è formato dai due eventi E 1 ed E 2, uniti dal connettivo «o». 1 10 12 11
Questo evento si verifica se si verifica E1 oppure E2, perciò è detto evento
unione o somma logica di E1 ed E2. 5 9B
L’evento E ha come casi favorevoli sia quelli dell’insieme A sia quelli
dell’insieme B .
L’insieme che lo rappresenta è quindi l’unione dei due insiemi:
A ʜ B ϭ {2, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12}.
DEFINIZIONE U ◗ Come nell’esempio pre-
cedente, nella figura della
Evento unione A definizione, A è l’insieme
B dei casi favorevoli a E1, B
Dati gli eventi E 1, E 2, relativi allo quello dei casi favorevoli a
stesso insieme universo, il loro E2. Allora A ʜ B è l’insie-
evento unione, che indichiamo con me dei casi favorevoli
E 1 ʜ E 2, è quell’evento che si veri- a E1 ʜ E2.
fica al verificarsi di almeno uno de-
gli eventi dati.
AഫB
■ L’evento intersezione AപB U
63
Consideriamo ancora fra i 12 dischetti numerati l’evento
E ϭ «esce un numero pari e maggiore di 7», A
2
formato dai due eventi semplici E 1 ed E 2, uniti dal connettivo «e». Que- 48 7
sto evento si verifica se si verificano entrambi gli eventi E 1 ed E 2, perciò è 11
detto evento intersezione o prodotto logico di E 1 ed E 2. Esso ha come 10 12
casi favorevoli quelli comuni all’insieme A e all’insieme B. L’insieme che 1 B
lo rappresenta è l’insieme intersezione: 59
A ʝ B ϭ {8, 10, 12}.
DEFINIZIONE U ◗ Le notazioni sono le
A stesse della definizione
Evento intersezione precedente. Quindi A ʝ B
B è l’insieme dei casi favore-
Dati gli eventi E 1 ed E 2, relativi allo voli a E1 ʝ E2.
stesso insieme universo, il loro AʝB
evento intersezione, che indichia- ◗ Osserva che, nonostante
mo con E 1 ʝ E 2, è quell’evento che la notazione insiemistica,
si verifica quando si verificano E 1 ʜ E 2 ed E 1 ʝ E 2 non
contemporaneamente gli eventi sono unione e intersezione
dati. di insiemi.
5
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TEORIA CAPITOLO . LA PROBABILITÀ
◗ Se i dischetti fossero 20, ■ Gli eventi compatibili e gli eventi incompatibili
i due eventi resterebbero
incompatibili? Facendo sempre riferimento all’esempio dei 12 dischetti numerati, osser-
viamo che gli eventi E 1 ed E 2 possono verificarsi contemporaneamente:
per esempio, estraendo il dischetto col numero 10, otteniamo sia un nu-
mero pari sia un numero maggiore di 7. In questo caso si dice che gli
eventi sono compatibili .
Consideriamo ora gli eventi:
E 3 ϭ «esce un multiplo di 5»;
E 4 ϭ «esce un multiplo di 3».
Questi due eventi, invece, non possono verificarsi contemporaneamente,
e sono chiamati eventi incompatibili.
In generale due eventi, relativi allo stesso insieme universo, si dicono
incompatibili se il verificarsi di uno esclude il verificarsi contempora-
neo dell’altro. In caso contrario si dicono compatibili.
■ Il teorema della somma per eventi incompatibili
Riprendiamo l’esempio dei 12 dischetti numerati e consideriamo i due
eventi incompatibili
E 3 ϭ «esce un multiplo di 5»;
E 4 ϭ «esce un multiplo di 3».
Cerchiamo la probabilità dell’evento unione
E ϭ «esce un multiplo di 5 o di 3».
I casi favorevoli di E 3 sono 2, quelli di E 4 sono 4. Pertanto i casi favorevoli
di E sono 6, mentre i casi possibili sono 12. La probabilità dell’evento E è
uguale alla somma delle due probabilità:
p (E ) ϭ 6 ϭ 2 ϩ 4 ϭ p (E 3 ) ϩ p (E 4 ).
ᎏ12ᎏ ᎏ1ᎏ2 ᎏ1ᎏ2
Vale il seguente teorema.
TEOREMA
Teorema della somma per eventi incompatibili
Se due eventi, E1 ed E2, sono incompatibili, la probabilità del loro evento
unione è uguale alla somma delle loro probabilità.
p (E 1 ʜ E 2) ϭ p (E 1) ϩ p (E 2).
6
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Paragrafo 2. La probabilità della somma logica di eventi TEORIA
ESEMPIO Un’urna contiene 6 gettoni neri, 5 rossi e 4 bianchi. Estraendo
un gettone a caso si può verificare uno dei seguenti eventi:
E 1 ϭ «estrazione di un gettone nero»; E1 E2 E3
E 2 ϭ «estrazione di un gettone rosso»;
E 3 ϭ «estrazione di un gettone bianco».
Le probabilità sono: p(E 1 ) ϭ 6 ϭ 2 ; p(E 2 ) ϭ 5 ϭ 1 ; p(E 3 ) ϭ 4 .
ᎏ1ᎏ5 ᎏ5ᎏ ᎏ1ᎏ5 ᎏ3ᎏ ᎏ1ᎏ5
Questi eventi sono fra loro incompatibili, perché se uno si verifica, non si
verifica contemporaneamente nessuno degli altri due.
Calcoliamo, applicando il teorema, la probabilità degli eventi seguenti:
E 4 ϭ «estrazione di un gettone nero o rosso»; E∨4 E5 ∨ E∨6
∨
E 5 ϭ «estrazione di un gettone rosso o bianco»;
E 6 ϭ «estrazione di un gettone nero o rosso o bianco».
p(E 4 ) ϭ ᎏ52ᎏ ϩ ᎏ31ᎏ ϭ ᎏ11ᎏ51 ;
p(E5 ) ϭ ᎏ31ᎏ ϩ ᎏ14ᎏ5 ϭ ᎏ19ᎏ5 ϭ ᎏ35ᎏ ;
p(E 6 ) ϭ ᎏ52ᎏ ϩ ᎏ31ᎏ ϩ ᎏ14ᎏ5 ϭ ᎏ11ᎏ55 ϭ 1.
■ Il teorema della somma per eventi compatibili
Consideriamo nuovamente i 12 dischi e i seguenti eventi compatibili:
E 1 ϭ «esce un numero pari»; AഫB U
E 2 ϭ «esce un numero maggiore di 7».
I casi favorevoli di E 1 sono 6, quelli di E 2 sono 5.
I casi favorevoli dell’evento composto
E ϭ «esce un numero pari o maggiore di 7» A 3
26
non sono però 11, ma solo 8. Ciò è dovuto al fatto che vi sono casi favo- 487
1 10 12 11
revoli a entrambi gli eventi. Se sommiamo i casi favorevoli di E 1 e quelli
di E 2, vengono considerati per due volte i casi di E 1 ʝ E 2, mentre 5 9B
nell’unione essi devono essere contati una volta sola. Possiamo conclude-
re che i casi favorevoli di E 1 ʜ E 2 si possono ottenere dalla somma di
quelli di E 1 e di E 2, sottraendo quelli di E 1 ʝ E 2: (6 ϩ 5) Ϫ 3 ϭ 8.
Dividendo per il numero di casi possibili otteniamo:
p (E 1 ʜ E 2 ) ϭ (6 ϩ 5) Ϫ 3 ϭ 6 ϩ 5 Ϫ 3 ϭ 8 ϭ 2 ϭ
ᎏ12ᎏ ᎏ1ᎏ2 ᎏ1ᎏ2 ᎏ1ᎏ2 ᎏ12ᎏ ᎏ3ᎏ
ϭ p (E 1 ) ϩ p (E 2 ) Ϫ p (E 1 ʝ E 2 ).
7
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TEORIA CAPITOLO . LA PROBABILITÀ
◗ Il teorema vale anche In generale, vale il seguente teorema.
nel caso di eventi incom-
patibili. Infatti se E 1 ed E 2 TEOREMA
sono incompatibili, l’insie-
me dei risultati favorevoli Teorema della somma per eventi compatibili
a E 1 ʝ E 2 è vuoto, cioè il
numero di casi favorevoli è Se due eventi E 1 ed E 2 sono compatibili, la probabilità del loro evento
0. Pertanto anche la pro- unione è uguale alla somma delle loro probabilità, diminuita della proba-
babilità è 0 e si riottiene la bilità del loro evento intersezione.
relazione già studiata
p (E 1ʜE 2 )ϭp (E 1 )ϩp (E 2 ). p (E 1 ʜ E 2 ) ϭ p (E 1 ) ϩ p (E 2 ) Ϫ p (E 1 ʝ E 2 ).
111 ESEMPIO Dentro un’urna vi sono 30 palline: 10 bianche numerate da 1 a
222 10, 10 rosse e 10 gialle numerate allo stesso modo.
333 Calcoliamo la probabilità che, estraendone una a caso, venga estratta una
444 pallina gialla o pari.
555
666 Il numero totale di palline è 30. La probabilità che venga estratta una
777
888 gialla è p (G ) ϭ 10 ϭ 1 .
999 ᎏ3ᎏ0 ᎏ3ᎏ
10 10 10
Le palline con numero pari sono 5 per ogni colore, quindi 15. La proba-
bilità che venga estratto un numero pari è p (P ) ϭ 15 ϭ 1 .
ᎏ3ᎏ0 ᎏ2ᎏ
Gli eventi sono compatibili; i casi favorevoli a entrambi gli eventi (pallina
gialla e pari) sono 5. La probabilità dell’evento cercato è
p ϭ 1 ϩ 1 Ϫ 5 ϭ 2 .
ᎏ3ᎏ ᎏ2ᎏ ᎏ3ᎏ0 ᎏ3ᎏ
3. La probabilità del prodotto
logico di eventi
■ La probabilità condizionata
Come si determina la probabilità di un evento che dipende da un altro
evento?
Consideriamo di nuovo il sacchetto con i gettoni numerati da 1 a 12 e i
due eventi:
E 1 ϭ «esce un multiplo di 3»;
E 2 ϭ «esce un numero minore di 9».
L’insieme universo è dato da U ϭ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, quel-
lo dei casi favorevoli a E 1 è A ϭ {3, 6, 9, 12}, quello dei casi favorevoli a
E 2 è B ϭ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
La probabilità di E 1 è: p (E 1 ) ϭ 4 ϭ 1 .
ᎏ1ᎏ2 ᎏ3ᎏ
Supponiamo che un amico estragga un numero e, senza farcelo vedere, ci
dica che esso è minore di 9, ossia che si è verificato l’evento E 2.
8
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Paragrafo 3. La probabilità del prodotto logico di eventi TEORIA
Cosa possiamo dire, ora, della probabilità che il numero estratto sia mul- casi favorevoli
tiplo di 3, ossia di p(E1)? U
L’evento E 1 è condizionato dall’evento E 2: il fatto che E 2 si sia verificato ci
dà alcune informazioni in più sulla possibilità che si verifichi E 1. A B = U'
Indichiamo la probabilità di E1, calcolata nell’ipotesi che E 2 si sia verifi- 12
cato, con il simbolo p (E 1 ͯ E 2 ). 1
9
Chiamiamo p (E 1 ͯ E 2 ) probabilità di E1 condizionata a E2. 10 6 24
3 7
Per calcolare la probabilità condizionata teniamo presente che:
85
● poiché supponiamo che l’evento E 2 si sia verificato, l’insieme universo
U ′ per E1 ͯ E2 è dato dai risultati favorevoli a E 2, cioè U ′ ϭ B ϭ {1, 2, 3, 11
4, 5, 6, 7, 8};
casi possibili
● i casi favorevoli per E1 ͯ E2 devono essere ricercati solo all’interno del
nuovo insieme universo; quindi sono dati dall’intersezione tra i casi fa-
vorevoli per E 1 (insieme A) e quelli per E 2 (insieme B).
L’insieme F dei casi favorevoli è dato da F ϭ A ʝ B ϭ {3, 6}.
Dunque p (E1 ͯ E2) è data dal rapporto tra il numero di elementi di F e il
numero di elementi di U ′:
p (E1 ͯ E2) ϭ ᎏ82ᎏ ϭ ᎏ41ᎏ .
La probabilità di E1 è ᎏ31ᎏ , mentre quella di E1 condizionata a E2 è ᎏ41ᎏ , quindi:
p (E 1) p (E1 ͯ E2).
Consideriamo ora un altro caso con i due eventi:
E 1 ϭ «esce un multiplo di 3»; U
E 3 ϭ «esce un numero pari». casi
favorevoli
Supponiamo che il nostro amico ci dica che ha estratto un numero pari, A
3 C
ossia che si è verificato l’evento E3 rappresentato dall’insieme C ϭ {2, 4, 62
6, 8, 10, 12}. 9
4
Se si è verificato l’evento E 3, i casi possibili che il numero uscito sia multi- 5 12
plo di 3, cioè dell’evento E1 condizionato dall’evento E3, sono 6 e quelli 7 11
favorevoli 2, cioè quelli dell’insieme A ʝ C ϭ {6, 12}. 10
8
La probabilità di E 1 condizionata a E 3 è:
1
p (E 1 ͯ E 3 ) ϭ 2 ϭ 1 . A ʝ C casi possibili
ᎏ6ᎏ ᎏ3ᎏ
◗ Si può dimostrare che la
A differenza del primo caso, in questo esempio le due probabilità sono relazione di indipendenza
uguali, p (E 1) ϭ p (E1 ͯ E3). è simmetrica, ossia che se
l’evento E 1 è indipendente
Due eventi, E 1 ed E 2, si dicono dipendenti se p (E1) è diversa dalla pro- dall’evento E 2,
babilità condizionata p (E1 ͯ E2). cioè p (E 1) ϭ p (E1 ͯ E2),
Gli eventi E1 ed E2 si dicono indipendenti se p (E1) è uguale alla proba- allora anche E 2 è indipen-
bilità condizionata p (E1 ͯ E2). dente da E 1, cioè
p (E 2 ) ϭ p (E2 ͯ E1).
9
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TEORIA CAPITOLO . LA PROBABILITÀ
Le definizioni si interpretano come segue: due eventi sono indipendenti
se il verificarsi di uno non modifica la probabilità che anche l’altro si veri-
fichi.
ESEMPIO Lanciamo contemporaneamente una moneta e un dado, e con-
sideriamo i due eventi «esce testa» ed «esce il numero 2».
Fra i due eventi non c’è nessun legame, ognuno si può verificare indipen-
dentemente dall’altro. In altri termini, la probabilità che esca testa sulla
moneta non influenza la probabilità che esca il numero 2 sul dado. Questi
sono eventi indipendenti.
■ Il teorema del prodotto per eventi indipendenti
Consideriamo un sacchetto che contiene tre gettoni con i numeri 1, 2, 3.
Dal sacchetto estraiamo un gettone e poi un secondo gettone, dopo che il
᭤ Figura 1 In un sacchetto primo è stato rimesso nel sacchetto.
ci sono tre gettoni con
scritti i numeri 1, 2 e 3. I casi Qual è la probabilità che in due seconda
possibili nelle estrazioni estrazioni successive vengano estrazione (1; 3) (2; 3) (3; 3)
successive di un gettone e estratti due numeri dispari?
di un secondo gettone sono 3
9 e possono essere rappre-
sentati dalle coppie del pro- I casi possibili si possono ottenere (1; 2) (2; 2) (3; 2)
dotto cartesiano. 2
mediante il diagramma cartesiano (1; 1) (2; 1) (3; 1)
della figura 1. Per esempio, la cop- 1
pia (3; 2) indica che è stato estratto prima
prima il gettone 3, poi il gettone 2. 1 2 3 estrazione
L’evento composto
E ϭ «escono due numeri dispari»
può essere visto come l’evento intersezione dei due eventi:
E 1 ϭ «il primo numero è dispari»;
E 2 ϭ «il secondo numero è dispari».
E 1 ed E 2 sono indipendenti; infatti, dopo la prima estrazione, il gettone è
rimesso nel sacchetto e la situazione iniziale viene ripristinata.
Poiché i numeri dispari sono 2 e i casi possibili 3, le probabilità di E 1 ed
E 2 sono:
p (E 1) ϭ ᎏ32ᎏ , p (E 2 ) ϭ ᎏ32ᎏ .
I casi favorevoli all’evento composto E corrispondono alle coppie (1; 1),
(1; 3), (3; 1), (3; 3); quindi sono 4. I casi possibili, come è già stato illu-
strato nella figura 1, sono 9, quindi:
p (E) ϭ ᎏ94ᎏ .
 10
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Paragrafo 3. La probabilità del prodotto logico di eventi TEORIA
Osserviamo che ᎏ94ᎏ ϭ ᎏ32ᎏ и ᎏ32ᎏ , ossia la probabilità dell’evento E, che è MATEMATICA
l’intersezione di E 1 ed E 2, è data dal prodotto della probabilità di E 1 per la PER IL CITTADINO
probabilità di E 2.
In generale vale il seguente teorema. Turista per caso
TEOREMA Un turista sbarca per la
prima volta nell’aeroporto
Teorema del prodotto per eventi indipendenti di una città e deve rag-
giungere l’albergo. Dato
Se due eventi, E 1 ed E 2, sono indipendenti, la probabilità del loro evento che non conosce la stra-
intersezione è uguale al prodotto delle loro probabilità. da, decide di affidarsi al
caso, facendo testa o cro-
p (E 1 ʝ E 2 ) ϭ p (E 1) и p (E 2 ). ce a ogni bivio. Calcolia-
mo la probabilità di rag-
giungere l’albergo e altri
punti della città.
Nel sito: ᭤ Il problema
ESEMPIO Due urne contengono: urna 1
urna 2
● urna 1: 5 palline bianche e 5 nere;
● urna 2: 8 palline bianche e 4 nere.
Viene estratta una pallina da ogni urna. Qual è la
probabilità che siano entrambe nere?
L’evento «vengono estratte due palline nere» è
composto dai due eventi:
E1 ϭ «viene estratta una pallina nera dall’urna 1»;
E2 ϭ «viene estratta una pallina nera dall’urna 2».
Si ha: p(E1) ϭ 5 ϭ 1 e p(E2) ϭ 4 ϭ 1 .
ᎏ1ᎏ0 ᎏ2ᎏ ᎏ1ᎏ2 ᎏ3ᎏ
Gli eventi sono indipendenti; quindi:
p (E1 ʝ E2) ϭ p (E1) и p (E2) ϭ p 1 и p 2 ϭ ᎏ21ᎏ и ᎏ31ᎏ ϭ ᎏ61ᎏ .
■ Il teorema del prodotto per eventi dipendenti
Consideriamo ancora il sacchetto con tre gettoni che hanno i numeri 1, 2,
3 e gli eventi
E 1 ϭ «il primo estratto è dispari»,
E 2 ϭ «il secondo estratto è dispari»,
ma supponiamo che, dopo la prima estrazione, il gettone non venga rimesso
nel sacchetto.
Gli eventi sono dipendenti: infatti, la probabilità del secondo evento non
è più quella di prima, perché la composizione iniziale del sacchetto risul-
ta modificata.
I due eventi semplici non hanno lo stesso insieme universo: nella prima
estrazione U contiene 3 elementi, nella seconda ne contiene solo 2.
11 
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
TEORIA CAPITOLO . LA PROBABILITÀ
Abbiamo già visto che
p (E 1) ϭ p (E 2 ) ϭ 2 ,
ᎏ3ᎏ
perché i numeri dispari sono 2 su 3.
Calcoliamo la probabilità condizionata p (E2 ͯ E1), ossia la probabilità che
si abbia E 2 supposto che sia avvenuto E 1.
Se si è verificato E 1, significa che è stato estratto un numero dispari;
quindi nel sacchetto rimangono due gettoni: il 2 e l’altro numero dispari.
La probabilità di estrarre un altro numero dispari è:
p (E 2 ͯ E 1) ϭ 1 .
ᎏ2ᎏ
Calcoliamo, ora, la probabilità dell’evento composto:
E ϭ «i numeri estratti sono entrambi dispari».
seconda Poiché la prima volta si estrae un gettone fra tre e la seconda uno fra i due
estrazione rimanenti, i casi possibili possono essere schematizzati con il diagramma
a fianco.
(1; 3) (2; 3) I casi possibili sono 6. I casi favorevoli sono 2, corrispondenti alle coppie
3 (1; 3) e (3; 1). Quindi:
(1; 2) (3; 2)
2
(2; 1) (3; 1) p (E ) ϭ 2 ϭ 1 .
1 ᎏ6ᎏ ᎏ3ᎏ
123 Osserviamo che la probabilità di E si ottiene moltiplicando la probabilità
prima di E 1, p (E 1), per la probabilità di E 2 condizionata a E 1, p (E2 ͯ E1):
estrazione
1 ϭ 2 и 1 .
Se il primo gettone non è ᎏ3ᎏ ᎏ3ᎏ ᎏ2ᎏ
rimesso nel sacchetto, le
coppie (1; 1), (2; 2), (3; 3)
non sono possibili.
In generale vale il seguente teorema.
TEOREMA
Teorema del prodotto per eventi dipendenti
Se due eventi, E 1 ed E 2, sono dipendenti, la probabilità del loro evento in-
tersezione è uguale al prodotto della probabilità di E 1 per la probabilità di
E 2 condizionata a E 1.
p (E 1 ʝ E 2) ϭ p (E 1) и p (E2 ͯ E1).
ESEMPIO In un’urna ci sono 8 palline bianche e 4 nere (figura a nella pa-
gina seguente). Qual è la probabilità che, estraendo contemporaneamen-
te due palline, esse siano entrambe bianche?
Si può pensare di estrarre prima una pallina e poi, senza rimettere la pri-
ma nell’urna, una seconda pallina.
 12
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Paragrafo 3. La probabilità del prodotto logico di eventi TEORIA
La probabilità che la prima sia bianca è:
p 1 ϭ 8 ϭ 2 .
ᎏ1ᎏ2 ᎏ3ᎏ
La probabilità che la seconda sia bianca, condizionata dal fatto che la pri- a. Situazione iniziale.
ma estratta sia bianca, si ottiene pensando a un’urna che contiene 7 palli-
ne bianche e 4 nere (figura b): b. Situazione dopo
la prima estrazione.
p 2 ϭ 7 .
ᎏ1ᎏ1
La probabilità che entrambe le palline siano bianche è:
p ϭ p 1 и p 2 ϭ 2 и 7 ϭ 14 .
ᎏ3ᎏ ᎏ1ᎏ1 ᎏ3ᎏ3
Il teorema vale anche nel caso di eventi indipendenti. Infatti, se E 1 ed E 2
sono indipendenti,
p (E2 ͯ E1) ϭ p (E 2 ).
Sostituendo nella relazione
p (E 1 ʝ E 2) ϭ p (E 1) и p (E2 ͯ E1),
otteniamo
p (E 1 ʝ E 2) ϭ p (E 1) и p (E 2),
che è la relazione già dimostrata in precedenza.
PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Nel sito: ᭤ Scheda di lavoro
Positivo al test!
Per avere informazioni sulla diffusione di una malattia, si fanno test dia-
gnostici non invasivi e poco costosi, ottenendo una prima informazione, da
sottoporre a verifiche più approfondite nei casi di esito positivo.
Supponiamo che si sappia che la probabilità che il test funzioni corretta-
mente nel caso di individui malati (ossia risulti positivo) sia del 99%, men-
tre quella che il test funzioni correttamente nel caso di individui sani (ossia
risulti negativo) sia del 99,5%. Se si sa anche che la probabilità di avere
quella malattia è dello 0,5%, qual è la probabilità che un individuo positivo
al test sia davvero malato?
FRANCA: «Se il test è positivo, il paziente è malato almeno al 99%!».
MARCO:
«Però la malattia è poco diffusa; intendo dire che è raro che un in-
dividuo testato sia malato, quindi la probabilità dovrebbe essere
molto più bassa del 99%, direi anche molto più bassa del 90%».
᭤ Chi ha ragione, secondo te? Costruisci un diagramma ad albero delle si-
tuazioni possibili; poi usa il teorema del prodotto per eventi dipendenti…
13 
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TEORIA CAPITOLO . LA PROBABILITÀ
4. Fra probabilità e statistica
■ Le variabili aleatorie discrete e le distribuzioni
di probabilità
Consideriamo i punteggi che si possono ottenere nel lancio di due dadi a
sei facce e calcoliamo la probabilità che si verifichi ognuno di essi.
Esaminiamo la seguente tabella a doppia entrata.
᭤ Tabella 1 SECONDO DADO PRIMO DADO
123456
᭤ Tabella 2 1234567
2345678
◗ La definizione si può 3456789
estendere al caso di una in- 4 5 6 7 8 9 10
finità numerabile di valori 5 6 7 8 9 10 11
x1, x2, …, xn, … Per esem- 6 7 8 9 10 11 12
pio, se lanciamo più volte
un dado e ci chiediamo I casi possibili sono 36. La probabilità che il risultato sia 2 è p(2) ϭ ᎏ316ᎏ,
qual è la probabilità che che sia 3 è p(3) 2 ᎏ118ᎏ, 3 1
esca 4 per n volte consecu- ϭ ᎏ36ᎏ ϭ che sia 4 è p(4) ᎏ12ᎏ e così via.
tive, la variabile aleatoria ϭ ᎏ36ᎏ ϭ
ha gli infiniti valori 1, 2, 3, Se indichiamo con X un generico valore che può essere assunto dal risul-
4, 5, …
tato, possiamo riassumere le probabilità che si ottengono con una tabella.
◗ Poiché gli eventi di una
variabile aleatoria sono in- X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
compatibili e la loro unio-
ne coincide con l’insieme p(X) ᎏ31ᎏ6 ᎏ11ᎏ8 ᎏ11ᎏ2 ᎏ19ᎏ ᎏ35ᎏ6 ᎏ61ᎏ ᎏ35ᎏ6 ᎏ19ᎏ ᎏ11ᎏ2 ᎏ11ᎏ8 ᎏ31ᎏ6
universo U, si ha:
Notiamo che gli eventi che abbiamo considerato sono tutti quelli possibi-
p1 ϩ p2 ϩ … + pn ϭ 1. li; inoltre, essi si escludono a vicenda, quindi costituiscono una partizio-
ne dell’insieme universo U di tutti gli eventi.
X viene detta variabile aleatoria (o casuale) e, poiché può assumere un
numero finito di valori, è chiamata discreta.
DEFINIZIONE
Variabile aleatoria discreta
Una variabile aleatoria discreta X è una variabile che può assumere i valori
x1, x2, …, xn corrispondenti a eventi aleatori E1, E2, …, En, non impossibi-
li, che si escludono a vicenda e tali che sicuramente uno di essi si verifichi.
Diciamo inoltre che la tabella appena compilata descrive la distribuzione
di probabilità relativa alla variabile X.
DEFINIZIONE
Distribuzione di probabilità
Data una variabile aleatoria discreta X, con valori x1, x2, …, xn, la succes-
sione delle probabilità p1, p2, …, pn a essi associate si chiama distribuzio-
ne di probabilità della variabile X.
 14
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Paragrafo 4. Fra probabilità e statistica TEORIA
Per rappresentare una distribuzione di probabilità possiamo utilizzare,
oltre che una tabella, un diagramma cartesiano o un istogramma. Per
l’esempio precedente abbiamo le rappresentazioni della figura 2.
Diagramma cartesiano. Istogramma.
■ La legge empirica del caso ᭡ Figura 2 Rappresenta-
zioni grafiche della distribu-
Consideriamo ancora il lancio, ripetuto più volte, di due dadi. Possiamo zione di probabilità p della
studiare i risultati ottenuti da un punto di vista statistico, costruendo una variabile X « ؍somma dei
tabella delle frequenze. La tabella che riportiamo è riferita a 10, 100 e punti realizzati nel lancio di
1000 lanci. Abbiamo indicato anche le frequenze relative espresse me- due dadi».
diante numeri decimali e le probabilità della tabella 2, approssimate alla
terza cifra decimale.
LANCI DI DUE DADI
SOMMA DEI 10 LANCI 100 LANCI 1000 LANCI PROBABILITÀ
PUNTI Ff Ff Ff
2 0 0,1 1 0,01 27 0,027 0,028 ◗ Nella tabella, F rappre-
3
4 1 0,1 4 0,04 51 0,051 0,056 senta la frequenza, f la
5
6 0 0,1 10 0,10 81 0,081 0,083 frequenza relativa, ossia
7
8 1 0,1 7 0,07 110 0,110 0,111 ᎏFᎏ , dove N è il numero
9 N
10 dei lanci. Abbiamo scritto
11 3 0,3 16 0,16 140 0,140 0,139
12 le probabilità della tabella
2 0,2 19 0,19 171 0,171 0,167 2 in forma decimale, per
1 0,1 5 0,05 139 0,139 0,139 poter fare meglio il con-
fronto con le frequenze re-
1 0,1 12 0,12 111 0,111 0,111 lative.
0 0,1 15 0,15 89 0,089 0,083
1 0,1 7 0,07 53 0,053 0,056
0 0,1 4 0,04 28 0,028 0,028
Osserviamo che, aumentando il numero dei lanci, le frequenze relative
tendono ad avvicinarsi ai valori delle probabilità.
In generale si può affermare che, in un grande numero di prove, la fre-
quenza relativa di un evento aleatorio è molto vicina alla probabilità
dell’evento. La differenza fra i due valori tende a diminuire all’aumen-
tare del numero di prove che si eseguono.
Questa affermazione prende il nome di legge empirica del caso.
15 
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TEORIA CAPITOLO . LA PROBABILITÀ
TAVOLA DI MORTALITÀ ESEMPIO In un’urna ci sono 20 palline rosse e 30 gialle. Se facciamo
ANNO 2003 12 000 estrazioni, rimettendo ogni volta la pallina nell’urna, quante volte,
approssimativamente, ci aspettiamo che esca una pallina rossa?
ETÀ MASCHI FEMMINE Per la legge empirica del caso, visto l’elevato numero di prove, possiamo
(ANNI) pensare che le frequenze relative siano molto vicine alle probabilità.
La probabilità che venga estratta una pallina rossa è:
0 100 000 100 000
5 99 483 99 557 pR ϭ ᎏ52ᎏ00 ϭ ᎏ52ᎏ .
10 99 420 99 511
15 99 338 99 460 Per ottenere la frequenza delle palline rosse, identifichiamo la probabilità
20 99 055 99 362 con la frequenza relativa e la moltiplichiamo per il numero delle estrazioni:
25 99 651 99 242
30 98 232 99 105 12 000 и ᎏ52ᎏ ϭ 4800.
35 97 800 98 927
40 97 252 98 649 Ci aspettiamo che, su 12 000 palline estratte, circa 4800 siano rosse.
45 96 484 98 219
50 95 285 97 526 ■ La probabilità statistica
55 93 270 96 397
60 90 070 94 727 Abbiamo definito la probabilità come quoziente fra numero di casi favo-
65 85 005 92 154 revoli e numero di casi possibili. La probabilità così definita viene anche
70 77 534 88 181 detta probabilità «a priori», perché è calcolata senza che vengano esegui-
75 66 138 81 511 te prove concrete.
80 50 272 70 339 Tuttavia ci sono eventi aleatori per i quali non è possibile calcolare la pro-
85 32 085 53 051 babilità in questo modo. Per esempio, non è possibile calcolare a priori la
90 13 811 28 894 probabilità che esca 2 in un dado truccato.
95 3903 10 390 In casi come questi viene in aiuto la legge empirica del caso. Accettiamo
100 529 1818 infatti come probabilità, che chiamiamo probabilità statistica, la fre-
quenza relativa di un evento che si ottiene da un numero abbastanza ele-
◗ La fonte della tavola di vato di prove, tutte ripetute nelle stesse condizioni. Il valore della proba-
mortalità è: bilità statistica è un valore a posteriori.
http://demo.istat.it, ottobre
2006. ESEMPIO Il metodo statistico viene utilizzato nel campo delle assicura-
zioni per calcolare la probabilità che ha una persona di essere in vita o di
morire entro un certo periodo.
La tabella a lato, basata su un’ipotetica popolazione di 100 000 nati vivi,
riporta il numero di coloro che sono vivi alle diverse età. Dalla tabella si
possono calcolare sia le probabilità di morte sia quelle di vita.
Per esempio, la probabilità che una persona di 35 anni e di sesso maschile
muoia nei successivi 5 anni si ottiene calcolando il rapporto fra il numero
dei decessi nei cinque anni (ossia la differenza fra 97 800 e 97 252) e il nu-
mero dei vivi a 35 anni:
97 800 Ϫ 97 252 Ӎ 0,006.
ᎏ97 8ᎏ00
La stessa probabilità calcolata per una persona di 75 anni è molto mag-
giore:
66 138 Ϫ 50 272 Ӎ 0,24.
ᎏ66 1ᎏ38
 16
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Paragrafo 4. Fra probabilità e statistica TEORIA
ESEMPIO ESPLORAZIONE
La probabilità che una persona di 50 anni e di sesso femminile sia in vita Il gioco del lotto
dopo 5 anni si ottiene calcolando il rapporto fra il numero delle donne
vive a 55 anni e quello delle donne vive a 50 anni: Nel sito: ᭤ La scheda
ᎏ9967 34ᎏ2976 Ӎ 0,99. LABORATORIO
DI MATEMATICA
La stessa probabilità a 80 anni è molto minore: Nel sito:
᭤ La probabilità con Excel
53 051 Ӎ 0,75.
ᎏ70 3ᎏ39
■ I giochi d’azzardo
Un gioco d’azzardo è un gioco composto esclusivamente da mosse casuali,
perciò la vincita dipende dal caso anziché dalla bravura del giocatore. Sono
esempi di giochi d’azzardo il gioco dei dadi, la roulette, il baccarat ecc.
In un gioco d’azzardo è importante che, a prescindere dall’intervento del-
la casualità, la somma puntata da ciascun giocatore sia proporzionale alla
probabilità che questo ha di vincere; in tal caso il gioco si dice equo.
ESEMPIO
Due giocatori A e B scommettono la stessa somma sul lancio di un dado:
A vince se esce il 2, in caso contrario vince B.
È chiaro che questo gioco non è equo, perché B ha più probabilità di vin-
cite di A. Infatti le probabilità di vincita di A e di B sono:
p (A ) ϭ 1 , p (B ) ϭ 5 .
ᎏ6ᎏ ᎏ6ᎏ
Indichiamo con S (A) la somma puntata da A e con S (B ) la somma pun-
tata da B. Affinché il gioco sia equo deve valere la proporzione:
S(A ) Ϻ p(A) ϭ S (B ) Ϻ p(B).
Se il giocatore A punta 0,50 euro sulla vincita, la somma puntata da B
deve soddisfare la proporzione:
0,50 Ϻ 1 ϭ S (B ) Ϻ 5 ,
ᎏ6ᎏ ᎏ6ᎏ
da cui si ricava:
S(B ) ϭ 2,50.
Perché il gioco sia equo, il giocatore B deve puntare una somma 5 volte
maggiore, dato che la sua probabilità di vincita è 5 volte più grande di
quella di A. In questo modo, secondo la legge empirica del caso, dopo
molte partite i due sarebbero circa in parità: uno ha vinto spesso una pic-
cola somma, l’altro ha vinto meno spesso ma ogni volta una somma mag-
giore.
17 
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ESERCIZI CAPITOLO . LA PROBABILITÀ
LA TEORIA IN SINTESI
La probabilità
1. Gli eventi e la probabilità Dati due eventi, E1 ed E2:
Un evento è un fatto che può accadere o non accadere. ● l’evento unione E1 ʜ E2 è quello che si verifica se si
Se avviene con certezza è detto evento certo, se non verifica almeno uno degli eventi dati;
può mai accadere evento impossibile, evento aleato-
rio altrimenti. ● l’evento intersezione E1 ʝ E2 è quello che si verifica
La probabilità di un evento E è il quoziente fra il nu- se si verificano entrambi gli eventi dati.
mero dei casi favorevoli e quello dei casi possibili,
quando essi siano tutti ugualmente possibili: La probabilità dell’evento unione di due eventi E1 ed
E2 è uguale:
p(E) ϭ ᎏccaassiifapvoᎏosrseibviolili .
La probabilità di un qualunque evento è un numero ● alla somma delle loro probabilità, se E1 ed E2 sono
compreso fra 0 e 1: la probabilità di un evento certo è incompatibili;
1, quella di un evento impossibile è 0, quella di un
evento aleatorio è maggiore di 0 e minore di 1. ● alla somma delle loro probabilità diminuita della
probabilità del loro evento intersezione, se E1 ed E2
ESEMPIO Estraiamo una carta da un mazzo di sono compatibili.
carte da poker; consideriamo i 4 eventi possibili:
Ec ϭ «esce cuori», Eq ϭ «esce quadri»; ESEMPIO L’evento unione di Ec = «esce cuori» e
Ef ϭ «esce fiori», Ep ϭ «esce picche». La proba- di Ef = «esce fiori» è E = «esce cuori o fiori». Poi-
bilità dell’evento «esce cuori» è p(Ec) ϭ ᎏ41ᎏ . ché i due eventi Ec ed Ef sono incompatibili, la
probabilità dell’evento unione è:
L’evento contrario ෆE di un evento E è l’evento che si
verifica nei casi in cui non si verifica E e soltanto in ᎏ41ᎏ ϩ ᎏ41ᎏ ϭ ᎏ21ᎏ .
essi. Si ha: p(ෆE) ϭ 1 Ϫ p(E).
ESEMPIO L’evento intersezione di Ec ϭ «esce cuo-
ESEMPIO Nel mazzo di carte da poker, l’evento con- ri» e di Ep ϭ «esce una carta pari» è E ϭ «esce una
trario a «esce un seme rosso» è «esce un seme nero». carta pari di cuori», ossia E ϭ «esce il 2, o il 4, o il
6, o l’8 o il 10 di cuori».
2. La probabilità della somma logica
di eventi 3. La probabilità del prodotto logico
di eventi
Due eventi sono incompatibili se il verificarsi di uno
esclude il verificarsi dell’altro; in caso contrario sono La probabilità dell’evento E1 condizionata all’e-
compatibili. vento E2, p (E1 ͉ E2), è la probabilità di E1 calcolata
nell’ipotesi che E2 si sia verificato.
ESEMPIO L’evento «esce un re di quadri» e l’e- E1 ed E2 sono eventi indipendenti se p (E1) ϭ
vento «esce fiori» sono incompatibili; l’evento ϭ p (E1 ͉ E2); in caso contrario sono dipendenti.
«esce un re di quadri» e l’evento «esce una figura»
sono compatibili. ESEMPIO Nel lancio di un dado consideriamo
l’evento E1 ϭ «esce il 2», che ha probabilità ᎏ61ᎏ.
Supponiamo che l’evento si verifichi al primo lan-
cio. Lanciando di nuovo il dado, ogni numero ha
1
ancora probabilità ᎏ6ᎏ perché l’esito del nuovo
lancio non dipende dal precedente.
 18
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Paragrafo 1. Gli eventi e la probabilità ESERCIZI
ESEMPIO In un mazzo di 40 carte da poker (una denti a eventi non impossibili E1, E2, …, En, che
sono incompatibili e tali che uno di essi sicuramen-
volta tolti gli 8, i 9, i 10 e i jolly), la probabilità che te si verifichi.
si verifichi l’evento E1 ϭ «esce l’asso di cuori» Data una variabile aleatoria discreta X, con valori x1,
è ᎏ41ᎏ0 . x2, …, xn, la distribuzione di probabilità di X è la
successione delle probabilità p1, p2, …, pn, associate
Alla prima estrazione si verifica l’evento E2: «esce ai valori di X.
il 2 di picche». Senza reinserire nel mazzo il 2 di
La legge empirica del caso afferma che, considerato
picche, facciamo una seconda estrazione: un evento aleatorio, in un grande numero di prove la
sua frequenza relativa è in generale molto vicina alla
ora la probabilità che esca l’asso di cuori è 1 : probabilità e la differenza fra le due tende a diminui-
ᎏ3ᎏ9 re all’aumentare del numero di prove effettuate.
pertanto p (E1) p (E1 ͉ E2), dunque E1 ed E2 sono Per questo si definisce come probabilità statistica di
un evento la frequenza relativa che si ottiene da un nu-
dipendenti. mero abbastanza elevato di prove, tutte ripetute nelle
stesse condizioni.
Se, prima della seconda estrazione, reimmettiamo
il 2 di picche nel mazzo, gli eventi risultano indi-
pendenti.
La probabilità dell’evento intersezione di due eventi ESEMPIO Su 24 000 lanci di una moneta è usci-
E1 ed E2 è uguale:
ta testa 12 012 volte; f ϭ 12 012 ϭ 0,5005 è la pro-
● al prodotto delle loro probabilità, se E1 ed E2 sono ᎏ24ᎏ000
indipendenti;
babilità statistica che esca testa.
● al prodotto della probabilità di E1 per la probabilità
di E2 condizionata a E1, se E1 ed E2 sono dipendenti.
4. Fra probabilità e statistica Un gioco è equo se, chiamata S(A) la somma puntata
dal giocatore A, p(A) la probabilità che vinca A, S(B)
Una variabile aleatoria discreta X è una variabile la somma puntata dal giocatore B e p(B) la probabilità
che può assumere i valori x1, x2, …, xn corrispon- che vinca B, vale la proporzione:
S(A) Ϻ p(A) ϭ S(B) Ϻ p(B).
1. Gli eventi e la probabilità –ᮣ Teoria a pag. 1
Nel sito: ᭤ 9 esercizi in più
■ Eventi certi, impossibili, aleatori
1 Determina fra i seguenti eventi quali sono certi, quali impossibili, quali aleatori.
a) Domani pioverà.
b) Il 21 settembre il sole sorge alle 7:30.
c) Nel lancio di un dado esce un numero con una sola cifra.
d) Nel lancio di un dado esce un divisore di 12.
2 Per i seguenti eventi, indica due diversi contesti in cui l’evento è rispettivamente certo e aleatorio.
a) Estrai una pallina nera da un’urna.
b) Sei interrogato in Storia.
c) Estrai una figura da un mazzo di carte.
d) Estrai una pedina con un multiplo di 5 da un sacchetto che contiene pedine numerate.
19 
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ESERCIZI CAPITOLO . LA PROBABILITÀ
■ La probabilità di un evento Nel sito: ᭤ 7 esercizi di recupero
ESERCIZIO GUIDA
3 Abbiamo a disposizione un mazzo di 40 carte. Le carte sono di 4 semi (cuori, quadri, fiori, picche), per
ogni seme ci sono 10 carte, di cui tre figure (jack, donna, re) e i numeri da 1 a 7. Viene estratta una carta.
Calcoliamo la probabilità che si abbia:
a) una figura; b) una carta di cuori; c) l’asso di quadri; d) un numero pari.
Poiché il mazzo contiene 40 carte e ne viene b) Nel mazzo ci sono 10 carte di cuori, quindi i casi
estratta una sola, in tutte le situazioni descritte il
numero dei casi possibili è 40. favorevoli sono 10. La probabilità che esca una
a) La probabilità che si verifichi un evento è data carta di cuori è:
dal rapporto:
p ϭ 10 ϭ 1 .
p ϭ ᎏnnuummeerroᎏoccaassiifpavoᎏosrseibviolili . ᎏ4ᎏ0 ᎏ4ᎏ
Nel mazzo ci sono 3 figure per ogni seme; c) Nel mazzo c’è un solo asso di quadri, quindi c’è
quindi in totale le figure sono 12. La probabi- un solo caso favorevole. La probabilità che esca è:
lità che esca una figura è:
p ϭ ᎏ41ᎏ0 .
p ϭ ᎏ41ᎏ02 ϭ ᎏ13ᎏ0 .
d) Per ogni seme ci sono carte numerate da 1 a 7 e i nu-
meri pari sono tre. I casi favorevoli sono ancora 12,
perché i semi sono 4. La probabilità che esca un nu-
mero pari è:
p ϭ ᎏ41ᎏ02 ϭ ᎏ13ᎏ0 .
4 In una pila di compact disc, 6 sono di musica 8 Si lancia un dado a sei facce. Calcola la probabi-
classica, 5 di cantautori italiani, 8 di complessi lità che esca:
rock. Calcola la probabilità che, scegliendone a) il numero 3;
uno a caso, esso sia: ΄ ΅a) ᎏ6ᎏ ; b) ᎏ8ᎏ ΄ ΅b) un numero dispari;
a) di musica classica; 19 19
b) di un complesso rock. c) un multiplo di 4;
a) ᎏ1ᎏ ; b) ᎏ1ᎏ ; c) ᎏ1ᎏ ; d) ᎏ1ᎏ
d) un numero primo. 6 2 6 2
5 Un’urna contiene 8 palline gialle, 4 rosse e 10 9 Il sacchetto della tombola contiene 90 numeri.
verdi. Calcola la probabilità che venga estratta: Viene estratto un numero. Calcola la probabilità
a) una pallina gialla; ΄ ΅a) ᎏ14ᎏ1 ; b) ᎏ12ᎏ1 ; c) ᎏ15ᎏ1 che si abbia:
b) una pallina rossa;
c) una pallina verde. a) un numero pari;
b) un numero maggiore di 10;
6 Un’urna contiene dei dischetti numerati da 1 a c) un numero con due cifre uguali;
΄ ΅d) un multiplo di 5. 1 8 4 1
20. Calcola la probabilità che, estraendone uno a a) ᎏ2ᎏ ; b) ᎏ9ᎏ ; c) ᎏ4ᎏ5 ; d) ᎏ5ᎏ
caso, si abbia: ΄ ΅a) ᎏ2ᎏ ; b) ᎏ1ᎏ 10 Il sacchetto della tombola contiene 90 numeri.
a) un numero primo; 52 Viene estratto un numero. Calcola la probabilità
b) un numero dispari. che esca:
a) un numero maggiore di 50;
7 Nella roulette ci sono 37 numeri così colorati: lo b) un numero con due cifre diverse;
c) un numero multiplo di 4;
0 è bianco, i numeri da 1 a 18 sono rossi, quelli d) un numero primo inferiore a 20.
da 19 a 36 sono neri. Calcola la probabilità che, ΄ ΅a) ᎏ94ᎏ ; b) ᎏ7903ᎏ ; c) ᎏ41ᎏ51 ; d) ᎏ445ᎏ
facendo girare la ruota, la pallina si fermi su:
a) un numero nero; a) ᎏ1ᎏ8 ;b) ᎏ1ᎏ ; c) ᎏ1ᎏ8
b) 0; 37 37 37
΄ ΅c) un numero dispari.
 20
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 1. Gli eventi e la probabilità ESERCIZI
11 Abbiamo un mazzo di 52 carte. Viene estratta ■ Gli eventi e gli insiemi
una carta. Calcola la probabilità che esca:
Negli esercizi che seguono sono riportati alcuni even-
a) una carta di picche; ti. Rappresenta l’insieme universo e l’insieme dei casi
favorevoli relativo all’evento indicato.
b) una figura; ΄ ΅a)1 ; b) 3 ; c) 1
c) una carta rossa. ᎏ4ᎏ ᎏ1ᎏ3 ᎏ2ᎏ 15 Da un sacchetto della tombola viene estratto un
numero maggiore di 20.
■ I valori della probabilità
16 Da un’urna che contiene 10 biglie nere, 8 rosse e
12 Quali dei seguenti numeri non possono rappre- 4 bianche viene estratta una biglia nera.
sentare la probabilità di un evento?
17 Da una collezione composta da 10 francobolli
1 ; 3 ; 5 ; 1 ; 7 ; 7 ; 8 ; 234 ; 0,021. italiani, 7 francesi, 5 inglesi viene estratto un
ᎏ3ᎏ ᎏ5ᎏ ᎏ3ᎏ ᎏ4ᎏ ᎏ9ᎏ ᎏ4ᎏ ᎏ10ᎏ0 ᎏ12ᎏ34 francobollo italiano.
13 Nel lancio di un dado a sei facce, indica un evento: 18 Nel gioco della roulette esce un numero pari.
a) con probabilità diversa da 0 e da 1;
b) con probabilità 0; 19 Nel lancio di un dado, considera i due eventi se-
c) con probabilità 1. guenti:
E1 ϭ «esce un multiplo di 3»;
14 Nel gioco della tombola, indica un evento con E2 ϭ «esce il numero 2».
probabilità diversa sia da 1 sia da 0 e un evento Scrivi qual è l’insieme universo e qual è l’insieme
con probabilità 1. dei casi favorevoli a ciascun evento.
■ L’evento contrario e la sua probabilità
ESERCIZIO GUIDA
20 Nell’esercizio guida 3, da un mazzo di 40 carte veniva estratta una carta e poi venivano indicati i seguenti
quattro eventi: «è una figura»; «è una carta di cuori»; «è l’asso di quadri»; «è un numero pari». Ora propo-
niamo un altro insieme di eventi:
a) «una carta che non è una figura»;
b) «una carta di quadri o di fiori o di picche»;
c) «un asso di cuori o di fiori o di picche»;
d) «una carta dispari».
Quali di questi ultimi eventi sono contrari a quelli indicati in precedenza? Per gli eventi contrari calcolia-
mo la probabilità che essi si verifichino.
a) L’evento «estrarre una carta che non è una Possiamo verificare questo risultato anche calcolan-
figura» è contrario all’evento «estrarre una do direttamente la probabilità. Poiché le carte senza
figura». Per calcolarne la probabilità basta figura sono 7 per ogni seme, i casi favorevoli sono
sottrarre da 1 la probabilità dell’evento 7 и 4 ϭ 28:
«estrarre una figura»:
p ϭ 28 ϭ 7 .
p ϭ 1 Ϫ ᎏ13ᎏ0 ϭ ᎏ17ᎏ0 . ᎏ4ᎏ0 ᎏ1ᎏ0
21 
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ESERCIZI CAPITOLO . LA PROBABILITÀ
b) «Estrarre una carta di quadri o di fiori o di che» non sono contrari, perché è possibile estrarre
picche» è un evento contrario a «estrarre carte che non sono assi.
una carta di cuori»; quindi:
d) Anche in questo caso, i due eventi «estrarre un
p ϭ 1 Ϫ 1 ϭ 3 . numero pari» ed «estrarre un numero dispari»
ᎏ4ᎏ ᎏ4ᎏ non sono uno il contrario dell’altro. Infatti nel
mazzo ci sono anche delle figure, che sono carte
c) I due eventi «estrarre l’asso di quadri» ed senza numero.
«estrarre un asso di cuori o di fiori o di pic-
Nei quattro esercizi che seguono sono indicate, per ogni esperimento, tre coppie di possibili eventi. Per ogni
coppia, indica se sono eventi contrari oppure no; in caso di risposta affermativa, calcola la probabilità di en-
trambi gli eventi.
21 Lancio di un dado a sei facce. 23 Estrazione di una pallina da un’urna che contie-
ne 8 palline gialle, 4 rosse e 10 verdi.
E1 ϭ «esce il numero 3»;
E2 ϭ «esce un numero dispari». E1 ϭ «è una pallina gialla»;
E2 ϭ «è una pallina non gialla».
E1 ϭ «esce un multiplo di 2»;
E2 ϭ «esce un numero dispari». E1 ϭ «è una pallina bianca»;
E2 ϭ «è una pallina rossa».
E1 ϭ «esce un multiplo di 3 e di 5»;
E2 ϭ «esce un numero pari». E1 ϭ «è una pallina verde»;
E2 ϭ «è una pallina rossa o gialla».
22 Si estrae un numero dal sacchetto della tombola.
24 Si fa girare la ruota della roulette. La pallina si
E1 ϭ «è un numero maggiore di 10»; ferma su:
E2 ϭ «è un numero dispari».
E1 ϭ «un numero nero»;
E1 ϭ «è un numero pari»; E2 ϭ «un numero rosso».
E2 ϭ «è un numero minore di 10».
E1 ϭ «0»;
E1 ϭ «è un numero con due cifre uguali»; E2 ϭ «un numero rosso o nero».
E2 ϭ «è un numero pari».
E1 ϭ «un numero dispari»;
E2 ϭ «un numero pari».
25 Calcola la probabilità che nel lancio di un dado si 27 Calcola la probabilità che nel lancio di un dado
verifichi l’evento contrario dell’evento «esce un non esca:
multiplo di 2». ΄ᎏ12ᎏ΅ ΄ ΅a) il numero 5;
b) un numero maggiore di 5;
c) un numero minore di 5.
a) ᎏ65ᎏ ; b) ᎏ65ᎏ ; c) ᎏ31ᎏ
26 Un’urna contiene 5 palline rosse e 3 bianche. Cal-
cola la probabilità che, estraendone una a caso, 28 Un’urna contiene 8 palline bianche, 5 palline
nere e 7 palline rosse. Si estrae una pallina. Cal-
non esca una pallina bianca. ΄ᎏ85ᎏ΅ cola la probabilità che:
a) esca una pallina nera;
b) non esca una pallina nera;
΄ ΅c) non esca una pallina rossa.
a) ᎏ1ᎏ; b) ᎏ3ᎏ; c) ᎏ1ᎏ3
4 4 20
 22
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Paragrafo 2. La probabilità della somma logica di eventi ESERCIZI
2. La probabilità della somma –ᮣ Teoria a pag. 4
logica di eventi
Nel sito: ᭤ 6 esercizi di recupero
■ Gli eventi unione e intersezione
ESERCIZIO GUIDA
29 In un cassetto ci sono 16 biglie numerate da 1 a 16. Estraiamo una biglia a caso e consideriamo gli eventi:
E1 ϭ «estrazione di un numero dispari e divisibile per 3»;
E2 ϭ «estrazione di un numero dispari o divisibile per 3».
Qual è l’insieme degli eventi favorevoli a E1? E quello degli eventi favorevoli a E2?
L’insieme universo è: L’insieme favorevole all’evento E 1 è l’intersezione di
A e B:
U ϭ {1, 2, 3, …, 14, 15, 16}.
A ʝ B ϭ {3, 9, 15}.
L’evento E1 è composto da due eventi:
E1′ ϭ «estrazione di un numero dispari»; L’evento E 2 è formato dagli stessi eventi, però legati
E 1″ ϭ «estrazione di un numero divisibile per dal connettivo «o»; quindi l’insieme degli eventi fa-
3». vorevoli è l’unione di A e di B:
Insieme degli eventi favorevoli a E1′: A ʜ B ϭ {1, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 15}.
A ϭ {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}.
Insieme degli eventi favorevoli a E1″:
B ϭ {3, 6, 9, 12, 15}.
30 Nel lancio di un dado, considera i due eventi se- ■ Gli eventi compatibili
guenti: e gli eventi incompatibili
E1 ϭ «esce un multiplo di 3 o un numero pari»;
E2 ϭ «esce un multiplo di 3 e un numero pari». 34 Considera il lancio di un dado. Quali delle se-
Scrivi qual è l’insieme dei casi favorevoli a cia- guenti coppie di eventi sono compatibili?
scun evento. a) «Esce il numero 2, esce un multiplo di 2».
b) «Esce un numero dispari, esce il numero 4».
31 Un’urna contiene 5 palline rosse, 6 bianche e 4 c) «Esce un numero primo, esce un numero pari».
gialle. Considera gli eventi:
E1 ϭ «estrazione di una pallina gialla»; 35 Nell’estrazione di una carta da un mazzo di 40,
E2 ϭ «estrazione di una pallina nera». determina quali fra i seguenti eventi sono com-
a) Qual è l’insieme dei casi favorevoli a E1 ed E2? patibili e quali incompatibili:
b) Scrivi l’evento unione e determina l’insieme a) «esce un re»;
che lo rappresenta. b) «esce un asso»;
c) «esce una figura»;
32 Nel lancio di due monete identiche, qual è l’insie- d) «esce una carta di quadri».
me universo e l’insieme dei casi favorevoli
all’evento «escono due croci»? 36 Si estrae un gettone da una scatola che ne contie-
ne 25 numerati. Quali dei seguenti eventi sono
33 Nel lancio contemporaneo di due dadi, quanti compatibili e quali incompatibili?
elementi contiene l’insieme universo? Qual è l’in- a) «Esce un numero maggiore di 10».
sieme dei casi favorevoli all’evento «la somma dei b) «Esce un multiplo di 2».
due numeri è pari»? c) «Esce un numero dispari».
23 
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ESERCIZI CAPITOLO . LA PROBABILITÀ
■ Il teorema della somma per eventi incompatibili
ESERCIZIO GUIDA
37 In un sacchetto ci sono 30 gettoni rossi, 20 neri e 15 bianchi. Calcoliamo la probabilità che venga estratto a
caso un gettone nero o bianco.
L’evento che ci interessa è p (E 1) ϭ ᎏ62ᎏ50 ϭ ᎏ14ᎏ3 ;
E ϭ «estrazione di un gettone nero o bianco», p (E 2) ϭ ᎏ61ᎏ55 ϭ ᎏ13ᎏ3 ;
composto dai due eventi: p (E 1 ʜ E2) ϭ p (E 1) ϩ p (E2) ϭ 4 ϩ 3 ϭ 7 .
ᎏ1ᎏ3 ᎏ1ᎏ3 ᎏ1ᎏ3
E 1 ϭ «estrazione di un gettone nero»;
E 2 ϭ «estrazione di un gettone bianco».
Poiché E 1 ed E 2 sono incompatibili, è sufficien-
te calcolare le probabilità p (E 1) e p (E 2) e som-
marle:
38 Un cassetto contiene 18 calzini blu, 6 neri e 4 gri- 44 In un’urna vengono introdotti 100 bigliettini
gi. Calcola la probabilità che, estraendone uno a gialli, verdi e rossi. I gialli sono 40, i verdi sono i
caso, esso sia blu o grigio. ΄ ΅ᎏ11ᎏ41 2 dei rossi.
ᎏ3ᎏ
39 Su uno scaffale sono posati 12 musicassette, 20 Calcola la probabilità che, estraendone uno a
compact disc e 14 floppy disk. Prendendo un og- caso, esso sia verde o rosso. ΄ᎏ53ᎏ΅
getto a caso, qual è la probabilità di prendere un
compact disc o un floppy disk? ΄ ΅ᎏ21ᎏ37 45 Una scatola contiene 54 fra cioccolatini, caramel-
le e liquirizie. Sapendo che i cioccolatini sono il
40 Qual è la probabilità di estrarre a caso una biro doppio delle liquirizie e le caramelle sono i 3
ᎏ2ᎏ
rossa o nera da un cassetto che ne contiene 20
delle liquirizie, calcola la probabilità di prendere
rosse, 15 nere e 23 blu?
΄ ΅ᎏ53ᎏ85 a caso un cioccolatino o una caramella. ΄ᎏ97ᎏ΅
41 Su un tavolo ci sono 65 lampadine piccole, 35 46 Nel suo tratto di spiaggia, un bagnino ha 180
medie e 50 grosse. Qual è la probabilità che, ombrelloni, a righe, a quadri o a fiori. Gli om-
prendendo una lampadina a caso, essa sia media brelloni a quadri sono 44. La probabilità che ven-
o grossa? ΄ ΅17 ga assegnato a un bagnante un ombrellone a ri-
ᎏ3ᎏ0 ghe è ᎏ53ᎏ.
42 Una cassaforte contiene 400 banconote da 5 euro, Qual è la probabilità che venga assegnato a caso
220 da 10 euro e 700 da 20 euro. Qual è la proba- un ombrellone a fiori? ΄ ΅ᎏ475ᎏ
bilità di estrarne a caso una da 5 euro o da 10
΄ ΅euro? ᎏ63ᎏ61 47 In un negozio ci sono 240 paia di jeans blu, rossi
43 In una busta sono contenute 28 figurine numera- e neri. La probabilità di prendere a caso un paio
te da 1 a 28. Calcola la probabilità di estrarre a
caso una figurina con numero dispari o multiplo blu è 2 . Sapendo che i jeans neri sono 60, calco-
ᎏ3ᎏ
΄ ΅di 4. ᎏ43ᎏ
la la probabilità di prendere a caso un paio di
jeans rossi. ΄ ΅ᎏ11ᎏ2
 24
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Paragrafo 2. La probabilità della somma logica di eventi ESERCIZI
48 In una busta ci sono 210 francobolli, alcuni italiani, altri francesi, altri ancora tedeschi. La probabilità che si
prenda a caso un francobollo italiano è ᎏ72ᎏ. I francobolli tedeschi sono 50. Calcola la probabilità che si pren-
΄ ΅10
da a caso un francobollo francese.
ᎏ2ᎏ1
49 In un’urna ci sono palline gialle, rosse e verdi. La probabilità che esca una pallina rossa o verde è ᎏ52ᎏ. Le pal-
line gialle sono 45. Il numero delle rosse è doppio di quello delle verdi. Quante sono le palline verdi? [10]
■ Il teorema della somma per eventi compatibili
ESERCIZIO GUIDA
50 In un sacchetto ci sono 16 gettoni: 7 di forma quadrata (3 rossi e 4 verdi) e 9 di forma circolare (4 rossi e 5
verdi). Qual è la probabilità di estrarre a caso un gettone rosso oppure tondo?
Gli eventi E 1 ϭ «estrazione di un gettone rosso» ed E 2 ϭ «estrazione di un gettone tondo» sono compati-
bili; infatti, un gettone può essere contemporaneamente rosso e tondo. Calcoliamo p (E1) e p(E 2 ) tenendo
presente che i casi possibili sono 16:
p (E 1) ϭ ᎏ17ᎏ6 ; p (E 2 ) ϭ ᎏ19ᎏ6 .
Inoltre, per calcolare p(E 1 ʝ E 2 ), teniamo presente che i casi favorevoli sono i gettoni rossi e tondi:
p (E 1 ʝ E 2 ) ϭ ᎏ14ᎏ6 .
La probabilità che si estragga un gettone rosso oppure tondo è:
p (E 1 ʜ E 2 ) ϭ p (E 1) ϩ p (E 2 ) Ϫ p (E 1 ʝ E 2 ) ϭ ᎏ17ᎏ6 ϩ ᎏ19ᎏ6 Ϫ ᎏ14ᎏ6 ϭ ᎏ43ᎏ .
51 Calcola la probabilità che, lanciando un dado, si verifichi almeno uno dei due eventi: E1 ϭ «numero dispa-
΄ᎏ32ᎏ΅
ri», E 2 ϭ «numero minore di 4».
52 Calcola la probabilità che, lanciando un dado, esca un numero maggiore di 2 o pari. ΄ᎏ65ᎏ΅
53 In una sacca sportiva ci sono 10 maglie numerate da 1 a 10. Calcola la probabilità che, estraendo a caso una
maglia, questa abbia un numero dispari o un numero maggiore di 5. ΄ᎏ54ᎏ΅
54 I 24 libri di uno scaffale sono numerati da 1 a 24. Qual è la probabilità che, scegliendone uno a caso, si pren-
da un libro con numero pari o minore di 12? ΄ᎏ43ᎏ΅
55 In un negozio ci sono 32 paia di sci numerati da 1 a 32. Calcola la probabilità che, prendendone uno a caso,
΄ ΅ᎏ32ᎏ21
abbia il numero dispari o maggiore di 23.
25 
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ESERCIZI CAPITOLO . LA PROBABILITÀ
3. La probabilità del prodotto –ᮣ Teoria a pag. 8
logico di eventi
Nel sito: ᭤ 12 esercizi di recupero
■ La probabilità condizionata
ESERCIZIO GUIDA
56 Un amico lancia un dado e, senza farcelo vedere, dice: «È uscito un numero minore di 5». Qual è la proba-
bilità che sia uscito il 3?
Consideriamo i due eventi: zionato dal fatto che si è verificato E2 ; quindi dob-
biamo calcolare la probabilità condizionata
E1 ϭ «estrazione del numero 3»; p (E 1 ͉ E 2 ); l’insieme universo per E 1 ͉ E 2 è allora B,
E2 ϭ «estrazione di un numero minore di 5». mentre quello dei casi favorevoli è A ʝ B ϭ {3}.
Perciò p (E 1 ͉ E 2 ) ϭ ᎏ41ᎏ .
Insieme universo: U ϭ {1, 2, 3, 4, 5, 6};
insieme degli eventi favorevoli a E1Ϻ A ϭ {3}; La probabilità cercata è ᎏ41ᎏ .
insieme degli eventi favorevoli a E 2Ϻ B ϭ {1, 2,
3, 4}.
Dunque p (E 1) ϭ ᎏ61ᎏ , ma l’evento E 1 è condi-
57 Calcola la probabilità che nel lancio di un dado esca un numero primo, sapendo che è uscito un numero mi-
΄ᎏ21ᎏ΅
nore di 5.
58 Da una scatola contenente 20 palline, numerate da 1 a 20, viene estratta a caso una pallina. Calcola la proba-
bilità che si sia realizzato l’evento «estrazione di un multiplo di 3», sapendo che è uscito un numero minore
΄ ΅di 12. ᎏ13ᎏ1
59 Un’urna contiene palline numerate da 1 a 12, le prime 7 sono nere, le altre rosse. Calcola la probabilità che
΄ᎏ73ᎏ΅
venga estratta una pallina con numero pari condizionata dal fatto che la pallina sia nera.
60 Ripeti l’esercizio precedente, modificando la condizione: la pallina estratta è rossa. ΄ᎏ53ᎏ΅
61 Calcola la probabilità che, estraendo una carta da un mazzo di 40, essa sia un re, sapendo che è uscita una fi-
΄ ΅gura. ᎏ1ᎏ
3
62 Un’urna contiene 22 palline numerate da 1 a 22. Calcola la probabilità che, estraendo una pallina, essa rechi
un numero multiplo di 3, sapendo che è uscito un numero dispari. ΄ ΅ᎏ14ᎏ1
63 Calcola la probabilità che, lanciando due dadi, la somma delle facce sia un numero dispari, sapendo che le
facce portano numeri diversi. ΄ᎏ53ᎏ΅
 26
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Paragrafo 3. La probabilità del prodotto logico di eventi ESERCIZI
■ Il teorema del prodotto per eventi indipendenti
ESERCIZIO GUIDA
64 In un sacchetto ci sono 30 gettoni rossi, 20 neri e 15 bianchi. Viene estratto un primo gettone; il gettone
viene reimmesso nel sacchetto; viene estratto un secondo gettone. Calcoliamo la probabilità che si verifi-
chino i seguenti eventi:
a) i due gettoni sono rossi (E1);
b) viene estratto prima un gettone nero e poi uno bianco (E2);
c) vengono estratti un gettone nero e uno bianco in un ordine qualsiasi (E3).
Poiché le estrazioni sono con reimmissione, La probabilità dell’evento E 2 è:
gli eventi sono indipendenti.
p(E 2) ϭ p(N ) и p(B) ϭ ᎏ14ᎏ3 и ᎏ13ᎏ3 ϭ ᎏ116ᎏ29 .
a) La probabilità p(R ) che venga estratto un get-
c) Poiché non viene precisato in quale ordine de-
tone rosso è: vono essere estratti i due gettoni, dobbiamo
considerare l’evento E 3 come evento unione dei
p (R ) ϭ 30 ϭ 6 due eventi:
ᎏ6ᎏ5 ᎏ1ᎏ3
● «esce un gettone nero e poi uno bianco» (E 2);
quindi, per il teorema del prodotto, la pro- ● «esce un gettone bianco e poi uno nero» (E 2′ ).
babilità che ne vengano estratti due è:
p (E 1) ϭ p(R ) и p(R ) ϭ ᎏ16ᎏ3 и ᎏ16ᎏ3 ϭ ᎏ136ᎏ69 .
b) La probabilità p (N ) che venga estratto un Conosciamo già la probabilità dell’evento E 2.
gettone nero è: Anche E2′ ha la stessa probabilità, infatti:
p (N ) ϭ 20 ϭ 4 . p(E 2′) ϭ p(B) и p(N) ϭ ᎏ13ᎏ3 и ᎏ14ᎏ3 ϭ ᎏ116ᎏ29 .
ᎏ6ᎏ5 ᎏ1ᎏ3
Per il teorema della somma:
La probabilità p (B) che venga estratto uno
bianco è: p(E3) ϭ p(E2) ϩ p(E2′) ϭ ᎏ116ᎏ29 ϩ ᎏ116ᎏ29 ϭ ᎏ126ᎏ49 .
p (B) ϭ ᎏ61ᎏ55 ϭ ᎏ13ᎏ3 .
65 Un sacchetto contiene 4 biglietti blu, 5 rossi e 1 da jogging che sono il doppio di quelle da palla-
bianco. Calcola la probabilità che in due estrazio-
ni successive, con reimmissione del primo estrat- volo. Calcola la probabilità, in due estrazioni con
to, escano nell’ordine un biglietto blu e uno rosso.
reimmissione, di avere nell’ordine un paio di
΄ᎏ51ᎏ΅ ΄ᎏ81ᎏ΅
scarpe da jogging e uno da pallavolo.
68 Dal sacchetto della tombola si fanno due estra-
66 In un cesto ci sono animali di peluche: 6 cagnoli- zioni successive con reimmissione. Calcola la
ni, 10 gattini, 4 papere. Qual è la probabilità di probabilità di ottenere un numero pari e uno di-
΄ ΅spari. ᎏ21ᎏ
estrarre a caso, reimmettendo il primo oggetto
estratto, un gattino e poi una papera? ΄ ΅ᎏ1ᎏ
10
69 Da un mazzo di 40 carte se ne estraggono due
67 In uno scatolone ci sono 52 paia di scarpe sporti- con reimmissione. Calcola la probabilità di otte-
ve, alcune da tennis, altre da jogging, altre da
pallavolo: quelle da tennis sono la metà di quelle ΄ ΅nere una figura e una carta minore di 7. 9
ᎏ2ᎏ5
27 
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ESERCIZI CAPITOLO . LA PROBABILITÀ
70 In una libreria ci sono 1500 volumi fra libri gialli, romanzi e saggi. Sapendo che i romanzi sono 348 e i gialli
sono il triplo dei saggi, calcola la probabilità di ottenere, in due estrazioni successive con reimmissione,
΄ ΅ᎏ1451ᎏ67265
un libro giallo e un romanzo.
71 La probabilità che una persona colpisca un bersaglio è del 20% e la probabilità che lo colpisca un’altra perso-
na è del 60%. Le due persone sparano contemporaneamente. Calcola la probabilità che:
a) il bersaglio venga colpito da entrambi; [12%; 68%]
b) almeno uno colpisca il bersaglio.
■ Il teorema del prodotto per eventi dipendenti
ESERCIZIO GUIDA
72 Consideriamo il sacchetto dell’esercizio guida 64, contenente 30 gettoni rossi, 20 neri e 15 bianchi. Calco-
liamo la probabilità che si verifichino i seguenti eventi:
a) vengono estratti contemporaneamente due gettoni rossi (E1);
b) viene estratto prima un gettone nero e poi uno bianco, senza però reimmettere il primo gettone nel
sacchetto (E 2);
c) vengono estratti contemporaneamente un gettone nero e uno bianco (E3).
a) Estrarre contemporaneamente due gettoni Si ha quindi:
equivale a estrarre prima un gettone e poi,
senza rimetterlo nel sacchetto, estrarre un se- p (E 2) ϭ p (N ) и p (B ͉ N ) ϭ 4 и 15 ϭ
condo gettone. La probabilità che il primo get- ᎏ1ᎏ3 ᎏ6ᎏ4
tone sia rosso è:
ϭ ᎏ210ᎏ58 .
p(R) ϭ ᎏ63ᎏ50 ϭ ᎏ16ᎏ3 . c) Considerare l’estrazione contemporanea di un
gettone nero e di uno bianco equivale a considera-
Senza un gettone, sia i casi possibili sia quelli re l’evento unione dei seguenti eventi senza reim-
favorevoli sono diminuiti di 1. Perciò la pro-
babilità che il secondo gettone sia rosso, sup- missione:
posto che il primo sia stato rosso, è:
● «estrarre prima un gettone nero e poi uno bian-
co» (E 2);
͉ R) 29 ● «estrarre prima un gettone bianco e poi uno
ᎏ6ᎏ4
p (R ϭ . nero» (E2′).
Per il teorema del prodotto per eventi dipen- Abbiamo già calcolato la probabilità di E2 nel caso
denti: b). Calcoliamo la probabilità dell’evento E2′:
p (E 1) ϭ p (R) и p (R ͉ R) ϭ ᎏ16ᎏ3 и ᎏ62ᎏ49 ϭ p (B) ϭ 15 ϭ 3 ;
ᎏ6ᎏ5 ᎏ1ᎏ3
ϭ ᎏ481ᎏ76 . p(N ͉ B) ϭ ᎏ62ᎏ40 ϭ ᎏ15ᎏ6 ;
b) Procedendo come nel caso precedente: p (E 2′) ϭ ᎏ13ᎏ3 и ᎏ15ᎏ6 ϭ ᎏ210ᎏ58 .
p (N ) ϭ 20 ϭ 4 ; Le probabilità di E2 ed E 2′ sono uguali.
ᎏ6ᎏ5 ᎏ1ᎏ3 Applicando il teorema della somma:
p (B ͉N) ϭ 15 . p(E3) ϭ p(E2) ϩ p(E2′ ) ϭ ᎏ210ᎏ58 ϩ ᎏ210ᎏ58 ϭ ᎏ110ᎏ54 .
ᎏ6ᎏ4
΄ ΅73 1
Nell’estrazione contemporanea di due carte da un mazzo di 40, qual è la probabilità che escano due 5? ᎏ13ᎏ0
 28
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Paragrafo 4. Fra probabilità e statistica ESERCIZI
74 Un cassetto contiene 25 magliette; quelle a mani- 77 Da un’urna contenente 20 palline gialle, 18 blu e
4 rosse si estraggono tre palline, senza reimmis-
ca corta sono i ᎏ32ᎏ di quelle a manica lunga. Cal- sione nell’urna. Calcola la probabilità che siano la
cola la probabilità che, estraendone due contem- ΄ ΅prima rossa, la seconda blu, la terza gialla. ᎏ6ᎏ
poraneamente, siano entrambe a manica lunga. 287
΄ ΅ᎏ27ᎏ0 78 Uno scatolone contiene 7 palloni da pallavolo, 5
da pallacanestro e 8 da rugby. Qual è la probabi-
75 Calcola la probabilità che da un mazzo di 40 car- lità che, prelevandone 3, senza reimmetterli nello
te vengano estratti contemporaneamente un re e scatolone, i primi due siano da rugby e il terzo da
un asso. pallavolo? ΄ ΅ᎏ4ᎏ9
855
΄ ΅ᎏ194ᎏ5
79 Un cestino contiene 100 fra castagne, noci e noc-
76 Un ragazzo ha una collezione di 40 videocassette:
ciole. Le castagne sono 20 e le noci sono ᎏ41ᎏ delle
10 di film vari, 12 di cartoni animati e le rima- nocciole. Calcola la probabilità che, estraendone
nenti di film gialli. Qual è la probabilità che,
estraendone due contemporaneamente, si abbia due, senza reimmissione della prima, si ottenga
΄ ΅18
un cartone animato e un film giallo? prima una noce e poi una nocciola. ΄ ΅ᎏ2245ᎏ765
ᎏ6ᎏ5
4. Fra probabilità e statistica –ᮣ Teoria a pag. 14
Nel sito: ᭤ 5 esercizi di recupero
■ La legge empirica del caso
ESERCIZIO GUIDA
80 Un’urna contiene 60 gettoni telefonici e 30 gettoni per distributori di merendine. Si effettuano 900 estra-
zioni reinserendo ogni volta il gettone estratto. Quante volte, approssimativamente, uscirà un gettone te-
lefonico?
Per la legge empirica del caso possiamo identi- dente con la probabilità, per il numero delle
ficare la frequenza relativa con la probabilità.
La probabilità che esca un gettone telefonico è: estrazioni:
p(T ) ϭ ᎏ96ᎏ00 ϭ ᎏ32ᎏ . F (T ) ϭ 2 и 900 ϭ 600.
ᎏ3ᎏ
Per ottenere la frequenza dei gettoni telefonici,
moltiplichiamo la frequenza relativa, coinci- Su 900 estrazioni ci aspettiamo venga estratto
un gettone telefonico circa 600 volte.
81 Si lancia 60 volte un dado. Quante volte uscirà approssimativamente un numero minore di 3? [20]
82 Si lancia 1800 volte un dado. Quante volte uscirà approssimativamente un numero diverso da 2? [1500]
83 Si effettuano 100 estrazioni da una scatola che contiene 20 biro, rosse o blu. Durante le estrazioni, reinseren-
do ogni volta la biro estratta, esce 80 volte una biro rossa. Quante sono, presumibilmente, le biro blu? [4]
84 Una scatola contiene 150 fra cioccolatini e caramelle. Si effettuano 500 estrazioni con reimmissione e si ot-
tengono 350 caramelle. Quanti sono approssimativamente i cioccolatini? [45]
29 
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ESERCIZI CAPITOLO . LA PROBABILITÀ
■ I giochi d’azzardo
ESERCIZIO GUIDA
85 Carla e Guido utilizzano il gioco della tombola per fare scommesse. Carla estrae un numero a caso: se è un
multiplo di 5, Guido dovrà pagare 10 euro. Affinché il gioco sia equo, quanto dovrà pagare Carla se il nu-
mero non è un multiplo di 5?
I numeri della tombola sono 90 e i multipli di 5 Indicando con SC la somma pagata da Carla e con SG
sono 18. La probabilità che venga estratto un la somma pagata da Guido, perché il gioco sia equo
multiplo di 5 è: deve valere la seguente proporzione:
p ϭ ᎏ91ᎏ08 ϭ ᎏ51ᎏ . SC : p ϭ SG : q ;
SC : ᎏ51ᎏ ϭ 10 : ᎏ54ᎏ ;
La probabilità dell’evento contrario è: SC ϭ 2,50.
q ϭ 1 Ϫ p ϭ 1 Ϫ ᎏ51ᎏ ϭ ᎏ54ᎏ . Se vince Guido, Carla deve pagare 2,50 euro.
86 Un giocatore punta 2 euro e vince se, lanciando un dado, esce il numero 4. Quale deve essere la posta del suo
avversario perché il gioco sia equo? [10 euro]
87 Un giocatore punta 2,50 euro e vince se, lanciando un dado, esce un numero dispari. Quanto deve valere la
posta del suo avversario perché il gioco sia equo? [2,50 euro]
88 Un’urna contiene 30 palline rosse e 20 bianche. Un giocatore punta 3,30 euro sull’uscita di una pallina rossa.
Quale deve essere la posta dell’avversario perché il gioco sia equo? [2,20 euro]
RIEPILOGO LA PROBABILITÀ Nel sito: ᭤ 15 esercizi in più
89 Un sacchetto contiene dei gettoni numerati da 1 a 92 Un frigorifero contiene 30 gelati: quelli alla frago-
100. Calcola la probabilità che esca: la sono 4 in meno di quelli alla crema e 4 in più
a) un numero dispari; di quelli al cioccolato. Qual è la probabilità che,
b) un multiplo di 8; estraendone uno a caso, sia al cioccolato o alla
c) un numero a due cifre di cui la seconda cifra fragola? ΄ ΅8
sia uguale a 3; ᎏ1ᎏ5
d) un numero non primo. 93 In un astuccio ci sono 22 oggetti, tra penne a sfe-
΄ ΅a)1 3 9 3
ᎏ2ᎏ ; b) ᎏ2ᎏ5 ; c) ᎏ10ᎏ0 ; d) ᎏ4ᎏ ra, matite e pennarelli colorati. La probabilità di
90 Dal sacchetto della tombola viene estratto un nu- prendere a caso un pennarello è ᎏ16ᎏ1 . Le matite
sono 4. Calcola la probabilità di prendere a caso
mero. Calcola la probabilità che il numero sor-
teggiato sia un multiplo di 3, sapendo che è usci- una penna a sfera. ΄ ΅3
to un multiplo di 5. ΄ᎏ31ᎏ΅ ᎏ1ᎏ1
94 Su uno scaffale ci sono 300 libri: 60 di storia, 70
91 Uno zainetto contiene tre quaderni ad anelli, 5 di scienze, 120 di matematica e 50 di latino. Qual
quadernoni e 7 block notes. Calcola la probabi- è la probabilità che, in due estrazioni successive
lità che, estraendo un oggetto a caso, sia un qua- con reimmissione, si abbia prima un libro di
dernone o un block notes. ΄ᎏ54ᎏ΅ scienze e poi uno di matematica? ΄ ΅7
ᎏ7ᎏ5
 30
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Verso le competenze ESERCIZI
Verso le competenze Nel sito: ᭤ 30 test interattivi in più
TEST
1 Un sacchetto contiene 20 dischetti numerati da 1 7 Un sacchetto contiene 10 caramelle: 6 all’arancia
a 20. Dobbiamo estrarre un dischetto con stam-
pato sopra un numero pari e multiplo di 3. e 4 al limone. Si estraggono consecutivamente,
Quanti sono i casi favorevoli?
senza reimmissione, 2 caramelle: qual è la proba-
A 3 B 13 C 5 D 14
bilità che esse siano all’arancia?
A 1 B 3 C 5 D 52
ᎏ3ᎏ ᎏ5ᎏ ᎏ9ᎏ ᎏ45ᎏ
2 Un sacchetto contiene 21 dischetti, ciascuno con 8 Un’urna contiene 20 palline: 4 bianche, 6 rosse e
stampata una lettera dell’alfabeto italiano. Qual è 10 verdi. Quanto vale il rapporto fra la probabi-
la probabilità di estrarre un disco con una conso- lità di estrarre una pallina bianca o rossa e la pro-
nante? babilità di estrarre una pallina rossa o verde?
A 5 B 16 C 5 D 16 A ᎏ12ᎏ B ᎏ58ᎏ C1 D2
ᎏ2ᎏ1 ᎏ2ᎏ1 ᎏ1ᎏ6
(Invalsi, 2006)
3 Da un’urna contenente 3 palline rosse e 10 palli-
ne bianche ne vengono estratte tre, una dopo l’al- 9 In una lotteria i 4 premi sono assegnati per estra-
tra, senza rimetterle ogni volta nel contenitore. zioni successive, partendo dal 1° fino al 4°. Pietro
Qual è la probabilità che siano tutte e tre rosse? ha acquistato uno solo dei 100 biglietti venduti.
A ᎏ13ᎏ3 C ᎏ281ᎏ6 Egli è presente all’estrazione dei premi e l’estra-
zione del 1° premio lo vede perdente. Qual è la
B 6 D 7 probabilità che Pietro vinca il 2° premio?
ᎏ21ᎏ87 ᎏ1ᎏ3
A 4 B 2 C 1 D 1
ᎏ10ᎏ0 ᎏ10ᎏ0 ᎏ99ᎏ ᎏ10ᎏ0
4 Se p(E) indica la probabilità di un evento E, non
può risultare: (Invalsi, 2007)
A 0 Ͻ p(E) Ͻ 1. 10 Considera il lancio di un dado e i due eventi
B 0 Ͻ p(E) Ͻ ᎏ12ᎏ.
E1 ϭ «uscita di un numero pari» ed E2 ϭ «uscita
C Ϫ 1 Ͻ p(E) Ͻ 0.
D p(E) ϭ ᎏ32ᎏ. di un numero multiplo di 3», l’evento E1 ʜ E2 ha
2
probabilità p(E1 ʜ E2) ϭ ᎏ3ᎏ diversa dal valore di
p (E1) ϩ p (E2). Perché?
11 Nello scaffale di una biblioteca vi sono 10 libri
5 Nel lancio di due dadi qual è la probabilità che il gialli, 20 romanzi e 30 libri di fantascienza. Cal-
totale ottenuto sia 5? cola la probabilità che venga scelto a caso un li-
΄ᎏ32ᎏ΅
A ᎏ12ᎏ C ᎏ112ᎏ bro giallo o un libro di fantascienza.
B ᎏ13ᎏ D ᎏ19ᎏ 12 Un sacchetto contiene 600 biglie bianche e nere.
Sapendo che in 900 estrazioni con reimmissione
6 Se E è un evento ed Eෆ è l’evento contrario, le pro- sono uscite 375 biglie nere, calcola il probabile
babilità dell’evento unione e dell’evento interse- numero di biglie bianche nel sacchetto. [350]
zione sono rispettivamente: 13 Un cestino contiene 100 biglie di cui 50 rosse, 30
A 0 e 0. C 1 e 0. bianche e 20 nere. Calcola la probabilità che,
B 0 e 1. D 1 e Ϫ 1. estraendone due contemporaneamente, si otten-
gano una biglia bianca e una nera. ΄ ΅4
ᎏ3ᎏ3
31 
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ESERCIZI CAPITOLO . LA PROBABILITÀ
TEST 20 TEST In un sacchetto ci sono delle palline: 80
14 Si lanciano due dadi. Qual è la probabilità che, se sono rosse, 24 bianche e le restanti verdi. Se la
probabilità di estrarre una pallina verde è ᎏ15ᎏ ,
escono due numeri il cui prodotto è 6, uno dei quante palline verdi ci sono nel sacchetto?
due numeri usciti sia 2?
A ᎏ118ᎏ B ᎏ19ᎏ C ᎏ12ᎏ D ᎏ23ᎏ A 25 D 28
(Invalsi, 2007) B 26 E 29
15 Un’urna contiene 20 gettoni numerati da 1 a 20. C 27
Si estrae un gettone: è un numero pari. Senza (USA North Carolina State High School Mathematics Contest, 2003)
reinserire il gettone, se ne estrae un secondo. 21 Due numeri diversi vengono scelti a caso tra gli
elementi dell’insieme {0, 1, 2, 3, 4}. Qual è la pro-
Qual è la probabilità di estrarre un numero di- babilità che la loro somma sia maggiore del loro
prodotto?
spari nella seconda estrazione?
(CAN Canadian Open Mathematics Challenge, COMC, 2003)
A 9 B 10 C 9 D 9
ᎏ10ᎏ ᎏ19ᎏ ᎏ1ᎏ9 ᎏ20ᎏ ΄ ΅ᎏ170ᎏ
(Invalsi, 2005)
16 La probabilità di estrarre una pallina bianca da
un’urna è 4 . Quale delle seguenti affermazio- 22 TEST In un cassetto ci sono 64 calzini di 8 colori
ᎏ10ᎏ
diversi, con 8 calzini per ogni colore. Se si scelgo-
ni è compatibile con la precedente? no a caso due calzini dal cassetto dove sono com-
A L’urna contiene 20 palline bianche, 15 rosse e pletamente mischiati, qual è la probabilità che i
5 nere.
due calzini abbiano lo stesso colore?
B L’urna contiene 40 palline bianche, 40 rosse e A 1 B 1 C 1 D 7 E 9
40 nere. ᎏ7ᎏ ᎏ8ᎏ ᎏ9ᎏ ᎏ64ᎏ ᎏ64ᎏ
C L’urna contiene 40 palline bianche e 100 ros- (USA University of South Carolina: High School Math Contest, 2001)
se.
23 Un quiz a scelta multipla ha per ogni domanda le
D L’urna contiene 80 palline bianche, 50 rosse e opzioni a, b, c o d. Se una persona tira a indovi-
70 nere. nare a ogni domanda, che probabilità ha di dare
tutte le risposte corrette?
(Invalsi, 2006)
(USA Southeast Missouri State University: Math Field Day, 2005)
17 Si lancia 900 volte un dado a sei facce. Quante
΄ ΅1
volte è probabile che si verifichi l’evento «esce il
ᎏ25ᎏ6
numero 1 o il numero 6»? [300]
24 In un’urna ci sono 100 palline di colore bianco,
18 Due giocatori, A e B, giocano all’estrazione di rosso e nero. Le palline bianche sono 10. La
probabilità di pescare una pallina nera è ᎏ53ᎏ.
una carta da un mazzo di 40 carte, contenente 12 Qual è la probabilità di pescare una pallina rossa?
Quante sono le palline rosse e le palline nere?
figure. A vince se estrae una figura; in caso con-
΄ ΅ᎏ3ᎏ ; 30; 60
trario vince B. Calcola quanto deve puntare B, af- 10
finché il gioco sia equo, se il giocatore A punta
1,50 euro. [3,50 euro]
19 Una maestra ha rilevato che il 20% dei suoi alun-
ni non sa riconoscere le parole accentate e il 25% 25 Un’urna contiene 10 palline rosse, 6 palline bian-
non usa correttamente la lettera «h». Ritenendo i che e 4 palline nere. Calcola la probabilità di
due tipi di errori indipendenti, calcola la proba- estrarre una pallina rossa oppure una pallina
bilità che ha un alunno di commettere entrambi ΄ ΅nera. ᎏ170ᎏ
gli errori e quella di commettere il primo o il se-
condo. [0,05; 0,4]
 32
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CAPITOLOTEORIA
La circonferenza, G4
i poligoni inscritti
e circoscritti
Bulloni!
La torre Eiffel, un gigante di ferro: 50 ingegneri,
221 operai, 5300 disegni preparatori, 320 metri
d’altezza, 10 000 tonnellate di peso, 18 038 travi in
acciaio e ben due milioni e mezzo di bulloni…
…perché le teste dei bulloni sono quasi sempre
esagonali?
Nel sito: ᭤ La risposta
1. La circonferenza e il cerchio asse di AB
■ I luoghi geometrici A MB
Un luogo geometrico è l’insieme di tutti e soli i punti del piano che godono ◗ Per poter affermare che
di una certa proprietà, detta proprietà caratteristica del luogo. una figura è un luogo geo-
metrico occorre dimostrare
Consideriamo due esempi di luoghi geometrici. che:
Chiamiamo asse di un segmento la retta perpendicolare al segmento, pas- 1. tutti i punti godono del-
sante per il suo punto medio (figura a lato).
L’asse di un segmento è il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del seg- la stessa proprietà carat-
mento. Infatti tutti e soli i punti dell’asse hanno uguale distanza dagli estremi teristica;
A e B del segmento. 2. solo i punti della figura
godono di quella pro-
Tutti i punti… r Solo i punti… r prietà.
P Q
᭣ Figura 1
A MB A MB
a. Un punto P dell’asse è equidistante da b. Un punto Q equidistante da A e da B
A e da B poiché i triangoli AMP e PMB appartiene all’asse di AB poiché, essendo
sono congruenti per il primo criterio il triangolo AQB isoscele, la mediana
di congruenza dei triangoli rettangoli. QM è anche altezza.
99 G
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TEORIA CAPITOLO G4. LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
La bisettrice di un angolo è il luogo dei punti equidistanti dai lati dell’ango-
lo. Infatti tutti e soli i punti della bisettrice hanno uguale distanza dai lati Oa
e Ob dell’angolo.
Tutti i punti… Hb Solo i punti… Hb
O P O Q
s s
᭤ Figura 2 Ka Ka
a. Un punto P della bisettrice è b. Un punto Q equidistante da a e da b
equidistante da a e da b poiché i appartiene alla bisettrice di aOb poiché
triangoli OHP e OKP sono congruenti i triangoli OHQ e OKQ sono congruenti
per il terzo criterio di congruenza per il quarto criterio di congruenza
dei triangoli rettangoli. dei triangoli rettangoli.
◗ Il concetto di luogo geo- ■ La circonferenza e il cerchio O
metrico ci permette di ri- circonferenza
scrivere la definizione di DEFINIZIONE
circonferenza di centro O e
raggio OA che avevamo Circonferenza
definito come l’insieme dei
punti del piano che hanno Una circonferenza è il luogo dei
da O la stessa distanza di A. punti di un piano che hanno di-
Ora possiamo considerare stanza assegnata da un punto, det-
tale insieme come luogo to centro.
geometrico.
raggio Si chiama raggio della circonferenza ogni segmento che ha come estremi
diametro il centro e un punto della circonferenza stessa.
O Ogni segmento che ha per estremi due punti di una circonferenza si chia-
corda ma corda.
◗ I punti interni a una cir- Ogni corda passante per il centro della circonferenza è detta diametro.
conferenza sono i punti
che hanno distanza dal DEFINIZIONE O
centro minore del raggio.
Cerchio
Un cerchio è una figura piana for-
mata dai punti di una circonferen-
za e da quelli interni alla circonfe-
renza.
cerchio
Vale inoltre il teorema di esistenza e unicità della circonferenza per tre
punti, di cui diamo l’enunciato.
TEOREMA
Per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza.
G 100
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Paragrafo 1. La circonferenza e il cerchio TEORIA
OO
A AAA
C CCC
B BBB
a. Disegniamo tre punti A, b. Congiungiamo A con B c. Congiungiamo B con C d. I segmenti AO, BO e CO
B e C non allineati. e tracciamo l’asse del e tracciamo l’asse del sono congruenti per la
segmento AB. segmento BC. Poiché A, B proprietà dell’asse.
e C non sono allineati, i Puntiamo il compasso
due assi si incontrano in un in O con apertura OA e
punto, che chiamiamo O. tracciamo la circonferenza.
■ Le parti della circonferenza e del cerchio ᭡ Figura 3 Costruzione
della circonferenza pas-
sante per tre punti.
DEFINIZIONE A
Arco arco
O
Un arco è la parte di circonferenza
compresa fra due suoi punti. B
I due punti della circonferenza che delimitano l’arco sono gli estremi semicirconferenza
dell’arco. L’arco di estremi A e B si indica con A២B.
AO B
Una semicirconferenza è un arco i cui estremi sono distinti e apparten- semicerchio
gono a un diametro.
᭣ Figura 4 La corda AB
La parte di piano compresa fra una semicirconferenza e un diametro si sottende due archi, quello
chiama semicerchio. disegnato in rosso e quello
disegnato in blu. Per evitare
Gli estremi di una corda suddivi- C ambiguità, l’arco rosso si
dono la circonferenza in due archi; AB
diremo che la corda sottende i due ២può indicare con ACB,
archi oppure che ogni arco è sotte- O ២quello blu con ADB.
so dalla corda (figura 4).
D
DEFINIZIONE
Angolo al centro
Un angolo al centro è un angolo che ha il vertice nel centro della circonfe-
renza.
101 G
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TEORIA CAPITOLO G4. LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
b Se tracciamo due semirette con origine nel centro di una circonferenza,
O individuiamo due angoli al centro.
a I lati di un angolo al centro intersecano la circonferenza in due punti, che
sono gli estremi di un arco, intersezione fra l’angolo al centro e la circon-
segmento circolare ferenza. Diremo che l’angolo al centro insiste su tale arco.
a una base
DEFINIZIONE O
Settore circolare
Un settore circolare è la parte di
cerchio compresa fra un arco e i
raggi che hanno un estremo negli
estremi dell’arco.
segmento circolare La parte di cerchio compresa fra un arco e la corda che lo sottende viene
a due basi chiamata segmento circolare a una base.
Un segmento circolare a due basi è la parte di cerchio compresa fra due
corde parallele e i due archi che hanno per estremi gli estremi delle due
corde.
᭢ Figura 5 ■ Gli angoli al centro e le figure a essi corrispondenti
B Dati una circonferenza e un suo arco A២CB, come nella figura 5, risultano
C determinati senza ambiguità anche l’angolo al centro AO^B che contiene
O C, il settore circolare AOBC e il segmento circolare ABC di base AB.
A Più in generale, ognuna delle figure precedenti determina univocamente
le altre. Diciamo che l’arco, l’angolo al centro, il settore circolare e il seg-
◗ La dimostrazione si basa mento circolare così individuati sono fra loro corrispondenti.
sul fatto che, prese per ipo-
tesi due figure congruenti, TEOREMA
esiste un movimento rigi-
do che porta a coincidere Data una circonferenza, se si verifica una delle seguenti congruenze:
le due figure e tutti gli ele-
menti corrispondenti. ● fra due angoli al centro,
● fra due archi,
● fra due settori circolari,
● fra due segmenti circolari,
allora sono congruenti anche le restanti figure corrispondenti a quelle
considerate.
A២B + B២C Per esempio, se sono congruenti due archi, allora sono congruenti anche
CB le due corde corrispondenti, gli angoli al centro corrispondenti…
OA La corrispondenza fra archi e angoli al centro consente di definire i con-
cetti di minore, maggiore, somma, differenza, multiplo e sottomultiplo
relativamente agli archi e agli angoli a essi corrispondenti. Per esempio,
diciamo che in una circonferenza la somma di due archi è l’arco che ha
come angolo al centro la somma degli angoli al centro corrispondenti ai
due archi dati.
G 102
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Paragrafo 2. I teoremi sulle corde TEORIA
2. I teoremi sulle corde
■ Un diametro è maggiore di ogni corda
non passante per il centro
TEOREMA
In una circonferenza, ogni diametro è maggiore di qualunque altra corda
che non passa per il centro.
Ipotesi 1. AB diametro; Tesi AB Ͼ CD.
2. CD corda non passante per il centro.
DIMOSTRAZIONE Consideriamo il triangolo COD. La corda CD è lato del D
triangolo COD, quindi è minore della somma degli altri due lati. C
Pertanto, possiamo scrivere CD Ͻ OC ϩ OD, oppure OC ϩ OD Ͼ CD.
OC e OD sono due raggi, quindi la loro somma è un segmento congruen- AB
te al diametro AB. Pertanto, il diametro è maggiore della corda. O
■ Il diametro perpendicolare a una corda Ipotesi
TEOREMA 1. AB è una corda;
2. CD è un diametro;
Se in una circonferenza un diametro è perpendicolare a una corda, allo- 3. CD Ќ AB.
ra la corda, l’angolo al centro e l’arco corrispondenti risultano divisi a
metà da tale diametro. Tesi
1. AM ≅ MB;
DD 2. AO^C ≅ CO^B ;
3. A២C ≅ C២B.
O O
AM B AM B
C C
DIMOSTRAZIONE Consideriamo il triangolo ABO. Esso è isoscele, perché D
i lati OA e OB sono due raggi.
Nel triangolo ABO, il segmento OM è altezza, in quanto AB Ќ CD, per O
ipotesi.
Nel triangolo isoscele l’altezza è: AM B
C
● mediana, quindi AM Х MB;
● bisettrice, quindi AO^C Х CO^B.
Inoltre, nella circonferenza, ad angoli al centro congruenti corrispondo-
no archi congruenti, quindi A២C Х C២B.
103 G
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TEORIA CAPITOLO G4. LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
■ Il diametro per il punto medio di una corda
TEOREMA
Se in una circonferenza un diametro interseca una corda non passante
per il centro nel suo punto medio, allora il diametro è perpendicolare alla
corda.
Ipotesi 1. AB è una corda non passante per O; Tesi CD Ќ AB.
2. CD è un diametro;
3. AM Х MB.
D DIMOSTRAZIONE Congiungiamo A e B con il centro O. Otteniamo il
triangolo isoscele AOB in cui OM è la mediana relativa alla base AB, in
O quanto AM Х MB per l’ipotesi 3. In un triangolo isoscele la mediana rela-
A MB tiva alla base è anche altezza. Pertanto, CD è perpendicolare ad AB.
C Corollario. In una circonferenza l’asse di una corda passa per il centro
della circonferenza.
Ipotesi ■ La relazione tra corde aventi la stessa distanza dal centro
1. AB ≅ CD;
2. OH Ќ AB; TEOREMA
3. OK Ќ CD.
In una circonferenza, corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro.
Tesi
1. OH ≅ OK. DIMOSTRAZIONE Congiungiamo il centro O con gli estremi B e D.
Consideriamo i triangoli rettangoli OHB e OKD, essi hanno:
A OD ● OB Х OD perché raggi;
● HB Х KD perché metà di corde congruenti (infatti, nei triangoli isosce-
ق ق
li AOB e COD le altezze OH e OK sono anche mediane).
H K Pertanto, i triangoli rettangoli OHB e OKD sono congruenti per il quarto
criterio di congruenza dei triangoli rettangoli. In particolare, sono con-
BC gruenti i cateti OH e OK.
A Vale anche il teorema inverso.
HO TEOREMA
BC D In una circonferenza, corde aventi la stessa distanza dal centro sono con-
AB > CD K gruenti.
OH < OK
Vale inoltre la seguente relazione tra corde aventi distanze dal centro di-
verse.
TEOREMA
Se in una circonferenza due corde non sono congruenti, non hanno la
stessa distanza dal centro: la corda maggiore ha distanza minore.
G 104
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Paragrafo 3. Rette e circonferenze TEORIA
3. Rette e circonferenze ◗ Tangente deriva dal la-
tino tangere, che significa
■ Le posizioni di una retta rispetto a una circonferenza «toccare, sfiorare».
Secante deriva dal latino
Si può dimostrare che una retta e una circonferenza che si intersecano secare, che significa «ta-
non possono avere più di due punti in comune. gliare».
DEFINIZIONE
Retta esterna, tangente, secante
Una retta è:
● esterna a una circonferenza quando non ha punti in comune con la
circonferenza stessa;
● tangente a una circonferenza quando ha un solo punto in comune con
essa;
● secante una circonferenza quando ha due punti in comune con essa.
ᏯᏯ
Ꮿ
rr
r
B
r ∩Ꮿ =∅ T A
a. Retta esterna alla circonferenza. r ∩ Ꮿ = A,B
r∩Ꮿ= T
b. Retta tangente alla circonferenza. c. Retta secante la circonferenza.
Il punto comune a una retta e a una circonferenza tangenti è detto punto ᭡ Figura 6
di contatto o punto di tangenza.
■ La distanza di una retta dal centro di una circonferenza ESPLORAZIONE
e la sua posizione rispetto alla circonferenza stessa
I cerchi nel grano
Si possono dimostrare tre teoremi, che riassumiamo nel seguente enun-
ciato. Nel sito: ᭤ La scheda
TEOREMI
Se la distanza di una retta dal centro di una circonferenza è:
● maggiore del raggio, allora la retta è esterna alla circonferenza;
● uguale al raggio, allora la retta è tangente alla circonferenza;
● minore del raggio, allora la retta è secante la circonferenza.
Nella figura 7, nella pagina successiva, sono esaminati i tre casi possibili.
I tre teoremi ammettono anche i teoremi inversi, che sono tutti dimo-
strabili per assurdo. Per esempio, se una retta è tangente a una circonfe-
renza, la sua distanza dal centro è uguale al raggio.
105 G
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TEORIA CAPITOLO G4. LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
Ꮿ
O O OO
r H BE a E' A H B E a
H Aa
H Aa
a. Retta esterna. b. Retta tangente. c. Retta secante. do.pAponsatlao,gsaemEe,Hnt≅e,r,dca’èpaurnte
Se OH > r, anche OA > r, Se OH ≅ r, allora OA > r. Prendiamo HE ≅ r ; allora
perché ipotenusa del La retta ha in comune con la OE > r, quindi E è esterno. punto A in cui a interseca
triangolo rettangolo OHA. circonferenza solo il punto H. Essendo H interno, fra H ed la circonferenza. Se la retta
La retta non ha punti in E, sulla retta, c’è un punto B è secante, i punti d’interse-
comune con la circonferenza. sulla circonferenza. zione sono due.
᭡ Figura 7 La posizione di Dal teorema inverso enunciato nella pagina precedente deriva la seguente
una retta rispetto a una cir- proprietà.
conferenza.
Corollario. Se una retta è tangente a una circonferenza, allora è perpen-
dicolare al raggio che ha un estremo nel punto di tangenza.
◗ Infatti, se avessero tre ■ Le posizioni di una circonferenza
punti in comune coincide- rispetto a un’altra circonferenza
rebbero, poiché per tre
punti passa una e una sola Due circonferenze non possono intersecarsi in più di due punti. Pertanto,
circonferenza. possono avere in comune due punti, un solo punto oppure nessun punto.
Il punto comune a due circonferenze tangenti si chiama punto di tan-
◗ Qui e in seguito consi- genza o punto di contatto.
deriamo circonferenze po-
ste su uno stesso piano. DEFINIZIONE
᭢ Figura 8 Circonferenze secanti, tangenti, esterne, una interna all’altra
Ꮿ
Due circonferenze sono:
O
● secanti quando hanno due punti in comune;
● tangenti quando hanno solo un punto in comune;
● esterne quando tutti i punti di una circonferenza sono esterni all’altra
e viceversa;
● una interna all’altra quando tutti i punti di una circonferenza sono in-
terni all’altra.
B Ꮿı ᏯᏯ Ꮿ Ꮿı Ꮿ
O O'
O' Ꮿ' Ꮿı O
A Ꮿ' O'
O T O' T O'
Ꮿ ∩ Ꮿı = A,B Ꮿ ∩ Ꮿı = T c. Circonferenze esterne. d. Circonferenze una
a. Circonferenze secanti. b. Circonferenze tangenti. interna all’altra.
G 106
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Paragrafo 4. Gli angoli alla circonferenza e i corrispondenti angoli al centro TEORIA
Due circonferenze, una interna all’altra, che hanno lo stesso centro ven- O = O'
gono dette concentriche.
circonferenze
■ La posizione reciproca fra due circonferenze concentriche
e la distanza fra i loro centri
Ci limitiamo a enunciare e a illustrare il seguente teorema.
TEOREMA
Condizione necessaria e sufficiente affinché due circonferenze siano:
● una interna all’altra è che la distanza dei centri sia minore della diffe-
renza dei raggi;
● secanti è che la distanza dei centri sia minore della somma dei raggi e
maggiore della loro differenza;
● tangenti internamente è che la distanza dei centri sia uguale alla diffe-
renza dei raggi;
● tangenti esternamente è che la distanza dei centri sia uguale alla som-
ma dei raggi;
● esterne è che la distanza dei centri sia maggiore della somma dei raggi.
Esemplifichiamo nella figura 9 i casi descritti dal teorema. ᭢ Figura 9
Ꮿı è interna a Ꮿ Ꮿı è tangente Ꮿı e Ꮿ sono secanti Ꮿı e Ꮿ sono tangenti Ꮿı e Ꮿ sono una
internamente a Ꮿ
Ꮿ esternamente esterna all’altra
Ꮿı Ꮿ
Ꮿı Ꮿ Ꮿı Ꮿ Ꮿ Ꮿı
O O' O O' O'
r' O O' r O∼ Ꮿı
r' r' r'
r r ∼O' O
r r'
r
∼
∼
OO' < r − r' OO' ≅ r − r' r − r' < OO' < r + r' OO' ≅ r + r' OO' > r + r'
4. Gli angoli alla circonferenza
e i corrispondenti angoli al centro
DEFINIZIONE angolo ᭡ Figura 10 L’angolo colo-
alla circonferenza rato in rosso non è alla cir-
Angolo alla circonferenza conferenza perché non è
convesso. L’angolo colorato
Un angolo alla circonferenza è un in giallo non è alla circonfe-
angolo convesso che ha il vertice renza perché un lato non è
sulla circonferenza e i due lati se- secante e neppure tangente.
canti la circonferenza stessa,
oppure un lato secante e l’altro
tangente.
I lati di un angolo alla circonferenza intersecano la circonferenza in due
punti, che sono gli estremi di un arco. Tale arco è l’intersezione dell’ango-
lo con la circonferenza.
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TEORIA CAPITOLO G4. LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
V Si dice che l’angolo alla circonferenza insiste su tale arco (figura a). Si
A può anche dire che l’arco è sotteso dall’angolo.
a V B Un angolo al centro e un angolo alla circonferenza si dicono corri-
V' O V" spondenti quando insistono sullo stesso arco.
Per ogni arco esiste un solo angolo al centro che insiste su di esso, mentre
gli angoli alla circonferenza che insistono su quell’arco sono infiniti (fi-
gura b).
TEOREMA
Un angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro.
A B Ipotesi 1. ␣ angolo alla circonferenza; Tesi ␣ Х ᎏ21ᎏ .
b 2.  angolo al centro corrispondente di ␣.
B B E B
α' β1 E β1 β2
β
V αβ A α1 β2 O A
O α2O
α1 α2
V A α
V
a. Primo caso: un lato dell’angolo alla b. Secondo caso: il centro O è interno c. Terzo caso: il centro O è esterno
circonferenza contiene un diametro. all’angolo. α = α1 + α2, β = β1 + β2. all’angolo. α = α2 – α1, β = β2 – β1.
᭡ Figura 11 Primo caso. Un lato dell’angolo alla circonferenza contiene un diametro.
◗ Si presentano tre casi, DIMOSTRAZIONE Indichiamo con ␣ ′ l’angolo VB^O.
ma diamo la dimostrazio- Il triangolo VBO è isoscele perché VO e OB sono due raggi, quindi
ne solo del primo. Per la ␣ Х ␣′, per il teorema del triangolo isoscele.
dimostrazione del secondo Nel triangolo VBO l’angolo  è esterno di vertice O, quindi  Х ␣ ϩ ␣′,
e terzo caso puoi ricon- per il teorema dell’angolo esterno (somma).
durti al primo osservando Poiché ␣ Х ␣ ′, possiamo anche scrivere  Х ␣ ϩ ␣ , ossia  Х 2␣ , quindi
la figura 11. ␣ Х ᎏ21ᎏ .
Corollario 1. Nella stessa circonferenza, angoli alla circonferenza che insisto-
no sullo stesso arco (o su archi congruenti) sono congruenti (figura 12a).
Corollario 2. Se un angolo alla circonferenza insiste su una semicirconfe-
renza, è retto (figura 12b).
᭤ Figura 12
V' V'' —21 Pˆ
O B
O
V
aA Pˆ
b
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Paragrafo 6. I poligoni inscritti e circoscritti TEORIA
5. Le tangenti a una circonferenza Pق
da un punto esterno bF ق
TEOREMA O
E
Se da un punto P esterno a una circonferenza si conducono le due rette
tangenti a essa, allora i segmenti di tangente, aventi ciascuno un estremo Ꮿ
nel punto P e l’altro in un punto di contatto, sono congruenti. a
DIMOSTRAZIONE I triangoli OEP e OFP sono rettangoli perché OE e OF Ipotesi a e b tangenti a Ꮿ
sono raggi condotti nei punti di tangenza. Tesi EP ≅ FP
Inoltre hanno l’ipotenusa in comune e i cateti OE e OF congruenti perché
raggi, quindi i triangoli sono congruenti. In particolare EP Х FP. ◗ Applichiamo il quarto
criterio di congruenza dei
Corollario. Se un segmento ha per estremi il centro di una circonferenza triangoli rettangoli.
e un punto P esterno a essa, allora OP appartiene:
1. alla bisettrice dell’angolo F^PE formato dalle due tangenti condotte dal ◗ Inscritto deriva dal lati-
no in, che significa «den-
punto esterno P alla circonferenza; tro», e scribere, che signifi-
2. alla bisettrice dell’angolo FO^E formato dai raggi aventi un estremo nei ca «scrivere».
punti di contatto;
3. all’asse della corda FE che unisce i due punti di contatto.
6. I poligoni inscritti e circoscritti
DEFINIZIONE
Poligono inscritto
in una circonferenza
Un poligono è inscritto in una cir-
conferenza se ha tutti i vertici sulla
circonferenza.
Quando un poligono è inscritto in una circonferenza possiamo anche ◗ Circoscritto deriva dal
dire che la circonferenza è circoscritta al poligono. latino circum, che significa
«intorno», e scribere.
DEFINIZIONE
Poligono circoscritto
a una circonferenza
Un poligono è circoscritto a una
circonferenza se tutti i suoi lati
sono tangenti alla circonferenza.
Quando un poligono è circoscritto a una circonferenza possiamo anche
dire che la circonferenza è inscritta nel poligono.
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TEORIA CAPITOLO G4. LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
TEOREMA
Centro e poligoni inscritti e circoscritti
Se un poligono è:
● inscritto in una circonferenza, gli assi dei suoi lati si incontrano nel
centro della circonferenza;
● circoscritto a una circonferenza, le bisettrici dei suoi angoli si incon-
trano nel centro della circonferenza.
᭤ Figura 13 D
EC
D
O C
O
ق ق
ق
ق
EB
AB A
a. Poligono inscritto. I lati sono corde b. Poligono circoscritto. Due lati
della circonferenza e quindi i loro consecutivi costituiscono le tangenti
assi passano per il centro. condotte alla circonferenza da un punto
esterno; quindi la bisettrice dell’angolo
che formano passa per il centro.
SS ■ I punti notevoli di un triangolo
OS
Un punto notevole di un triangolo è un punto intersezione di segmenti o
a. Circocentro rette particolari quali le altezze, le mediane, gli assi...
Si può infatti dimostrare che i tre assi dei lati si incontrano tutti in uno
xx stesso punto. Anche le tre bisettrici degli angoli interni si incontrano in
un solo punto, così come le altezze (o i loro prolungamenti) e le mediane.
b. Incentro Diamo allora le seguenti definizioni.
◗ Ortocentro è una paro- DEFINIZIONE
la composta da «orto» (dal
greco orthós, che significa In un triangolo:
«diritto, retto») e da «cen- ● il punto di incontro degli assi dei lati si chiama circocentro;
tro». ● il punto di incontro delle bisettrici degli angoli interni si chiama
Baricentro è una parola
composta da «bari» (dal incentro;
greco bary´s, che significa ● il punto di incontro delle altezze (o dei loro prolungamenti) si chiama
«pesante») e da «centro».
Il baricentro è chiamato ortocentro;
anche centro di gravità del ● il punto di incontro delle mediane si chiama baricentro.
triangolo.
Il circocentro è equidistante dai vertici del triangolo, quindi è il centro
della circonferenza circoscritta.
L’incentro è equidistante dai lati del triangolo, quindi è il centro della cir-
conferenza inscritta.
Ogni triangolo, dunque, è inscrivibile in una circonferenza con centro il suo
circocentro, e circoscrivibile a una circonferenza con centro il suo incentro.
G 110
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