Paragrafo 3. I rapporti e le proporzioni fra grandezze TEORIA
■ Le proporzioni fra grandezze ◗ Non è necessario che le
quattro grandezze siano
Dati quattro numeri reali a, b, c e d (b 0 e d 0), una proporzione è tutte omogenee fra di loro,
l’uguaglianza fra i due rapporti: basta che lo siano le prime
due e le seconde due.
ᎏaᎏ ϭ ᎏcᎏ ,
bd medi
A:B=C: D
che si può anche scrivere:
estremi
a Ϻ b ϭ c Ϻ d. antecedenti
Estendiamo la definizione di proporzione anche alle grandezze. —AB = —DC
conseguenti
DEFINIZIONE
Proporzione fra grandezze
Date due grandezze omogenee A e B, con B diversa dalla grandezza nulla,
e altre due grandezze omogenee C e D, con D diversa dalla grandezza
nulla, si chiama proporzione fra le grandezze assegnate l’uguaglianza fra
il rapporto ᎏAᎏ e il rapporto ᎏCᎏ .
BD
Anche una proporzione fra grandezze può essere scritta nei due modi
equivalenti:
ᎏAᎏ ϭ ᎏCᎏ e A Ϻ B ϭ C Ϻ D.
BD
Inoltre, la terminologia usata per le proporzioni fra grandezze è del tutto
identica a quella utilizzata per le proporzioni fra numeri.
In particolare, la proporzione A Ϻ B ϭ C Ϻ D si legge: «A sta a B come C
sta a D». In una proporzione fra grandezze si chiamano medi il secondo
e il terzo termine, immediatamente a sinistra e a destra del segno di
uguale, estremi il primo e l’ultimo elemento della proporzione.
In una proporzione fra grandezze gli antecedenti sono i numeratori dei
due rapporti, i conseguenti sono i denominatori.
Diciamo poi che una proporzione fra tre grandezze omogenee è conti-
nua se ha i due medi uguali:
A Ϻ X ϭ X Ϻ D.
La grandezza X è detta media proporzionale fra A e D.
Poiché il rapporto fra due grandezze omogenee è uguale al rapporto fra
le loro misure, si può dimostrare il seguente teorema, che noi enunciamo
solamente.
TEOREMA
Se due grandezze omogenee A e B e altre due grandezze omogenee C e D
sono in proporzione, allora lo sono anche le loro misure, e viceversa.
161 G
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TEORIA CAPITOLO G6. LA MISURA E LE GRANDEZZE PROPORZIONALI
■ Le proprietà delle proporzioni fra grandezze
È possibile estendere alcune proprietà delle proporzioni fra numeri alle
proporzioni fra grandezze, purché ogni rapporto considerato sia fra
grandezze omogenee.
◗ C’è un’altra proprietà PROPRIETÀ DELLE PROPORZIONI FRA GRANDEZZE
riguardante le proporzioni
detta proprietà fonda- PROPRIETÀ A Ϻ B ؍C Ϻ D se e solo se
mentale. Essa stabilisce
che il prodotto dei medi è del comporre (A ϩ B) Ϻ B ϭ (C ϩ D) Ϻ D
uguale al prodotto degli
estremi. dello scomporre (A Ϫ B) Ϻ B ϭ (C Ϫ D) Ϻ D
Nel caso di proporzioni fra (con A Ͼ B e, di conseguenza, C Ͼ D)
grandezze non possiamo,
però, enunciarla perché del permutare A Ϻ C ϭ B Ϻ D (con A, B, C, D tutte omogenee fra loro)
non abbiamo definito il
«prodotto fra grandezze». dell’invertire BϺAϭDϺC
Tuttavia, possiamo utiliz-
zarla nelle proporzioni che dei due multipli hA Ϻ hB ϭ C Ϻ D
riguardano le misure delle A Ϻ B ϭ kC Ϻ kD (per ogni h, k reali non nulli)
grandezze.
Vale inoltre la seguente proprietà relativa a una catena di rapporti uguali
di grandezze tutte omogenee fra loro:
A Ϻ B ϭ C Ϻ D ϭ E Ϻ F ⇒ (A ϩ C ϩ E ) Ϻ (B ϩ D ϩ F ) ϭ A Ϻ B.
Si può anche dimostrare il teorema della quarta proporzionale, che noi
enunciamo solamente.
TEOREMA
Date due grandezze omogenee A e B, e una terza grandezza C (A, B e C
non nulle), esiste ed è unica una quarta grandezza D, omogenea a C, che
con le prime tre grandezze forma la proporzione A Ϻ B ϭ C Ϻ D.
■ Le grandezze direttamente proporzionali
Consideriamo l’insieme L delle lunghezze dei segmenti del piano e l’in-
sieme P delle lunghezze dei perimetri dei quadrati del piano.
La corrispondenza fra i due insiemi L e P, che alla lunghezza di un seg-
mento fa corrispondere la lunghezza del perimetro del quadrato costrui-
to su quel segmento, è biunivoca perché:
● è iniettiva (scelte in L due diverse lunghezze, i corrispondenti perimetri
sono diversi);
● è suriettiva (ogni perimetro dell’insieme P è il corrispondente di una
sola lunghezza, pari a ᎏ41ᎏ del perimetro).
Per studiare i rapporti fra le grandezze dei due insiemi in esame, co-
struiamo una tabella con alcune misure delle lunghezze dei segmenti e
dei corrispondenti perimetri dei quadrati.
G 162
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Paragrafo 3. I rapporti e le proporzioni fra grandezze TEORIA
LUNGHEZZE DEI SEGMENTI E PERIMETRI DEI QUADRATI ESPLORAZIONE
LUNGHEZZA MISURA LUNGHEZZA MISURA La proporzionalità
SEGMENTO PERIMETRO che frena
s1 0,2 p1 0,8 Nel sito: ᭤ La scheda
s2 0,5 p2 2
s3 1 p3 4
s4 1,5 p4 6
s5 2 p5 8
s6 2,5 p6 10
Calcoliamo il rapporto fra due lunghezze di segmenti qualunque, per
esempio fra s 3 e s 5:
ᎏssᎏ53 ϭ 1 .
ᎏ2ᎏ
Il rapporto fra le lunghezze dei perimetri corrispondenti p 3 e p5 è:
ᎏppᎏ53 ϭ 1 .
ᎏ2ᎏ
Confrontando i due rapporti otteniamo:
ᎏssᎏ53 ϭ ᎏppᎏ53 .
In generale, il rapporto fra le lunghezze di due segmenti è sempre uguale al ◗ Per convincerti che que-
rapporto fra le lunghezze dei perimetri dei quadrati corrispondenti. Date sta affermazione è vera,
infatti due lunghezze s e s ′ in L e i rispettivi perimetri p e p ′ in P, risulta: calcola alcuni rapporti
ᎏpᎏ e ᎏsᎏ , usando i dati
p ϭ 4s e p ′ ϭ 4s ′, p′ s′
pertanto, applicando la proprietà dei due multipli, si ottiene: della tabella.
ᎏppᎏ′ ϭ ᎏ44sᎏs′ ϭ ᎏssᎏ′ .
DEFINIZIONE ◗ Se Ꮽ e Ꮾ sono insiemi
di grandezze proporzionali
Insiemi di grandezze direttamente proporzionali e le grandezze di Ꮽ e di Ꮾ
sono omogenee, allora il
Consideriamo due insiemi Ꮽ e Ꮾ, Ꮽ Ꮾ ∀ A, B ∈ Ꮽ rapporto fra due grandez-
ciascuno di grandezze omogenee, A A' —AB = —AB'' ze corrispondenti è co-
fra i quali esiste una corrisponden- B B' stante e si chiama rapporto
za biunivoca. Ꮽ e Ꮾ sono insiemi C' di proporzionalità:
di grandezze direttamente propor- C D'
zionali quando il rapporto fra due D ᎏAᎏ ϭ ᎏABᎏ′′ ϭ ... ϭ r.
grandezze qualunque di Ꮽ è ugua- B
le al rapporto fra le grandezze cor-
rispondenti di Ꮾ. ◗ Nell’esempio preceden-
te, Ꮽ ϭ L e Ꮾ ϭ P.
163 G
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TEORIA CAPITOLO G6. LA MISURA E LE GRANDEZZE PROPORZIONALI
4. Il teorema di Talete
◗ Per brevità, parliamo di Si può dimostrare il seguente teorema: noi ne daremo solo l’enunciato.
proporzionalità fra seg-
menti per indicare la pro- TEOREMA
porzionalità fra le loro lun-
ghezze. Teorema di Talete
Se un fascio di rette parallele è intersecato da due trasversali, i segmenti
(compresi fra rette parallele) che si formano sulla prima trasversale sono
direttamente proporzionali ai segmenti (compresi fra le stesse rette paral-
lele) che si formano sulla seconda trasversale.
r s rs
D D' D D'
C C'
d d
c C C'
b Ipotesi a ͞͞ b ͞͞ c ͞͞ d c
B B' Tesi B AB Ϻ CD ϭ A′BB′ Ϻ' C′D′
b
A A' A A'
aa
Ipotesi DE ͞͞ BC. ■ La retta parallela a un lato di un triangolo
Tesi AD Ϻ DB ϭ AE Ϻ EC.
TEOREMA
A r
D E Una retta parallela a un lato di un triangolo divide gli altri due lati, o i
loro prolungamenti, in segmenti proporzionali.
BC
DIMOSTRAZIONE Tracciamo per A la retta r parallela a DE e BC. Le rette
BC , DE ed r costituiscono un fascio di rette parallele tagliate dalle tra-
sversali AB e AC.
Per il teorema di Talete, possiamo scrivere la proporzione:
AD Ϻ DB ϭ AE Ϻ EC.
Si può anche dimostrare il teorema inverso.
TEOREMA
Una retta che determina su due lati di un triangolo, o sui loro prolunga-
menti, segmenti proporzionali, è parallela al terzo lato.
■ Il teorema della bisettrice di un angolo interno
di un triangolo
TEOREMA
In un triangolo, la bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto in
parti direttamente proporzionali agli altri due lati.
Ipotesi C C
1. ABC è un triangolo qua- E E
lunque; A BA B
2. AE è bisettrice dell’an-
BE : CE = AB : AC
golo interno ^A.
Tesi
BE ϺCE ϭAB ϺAC.
G 164
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Paragrafo 5. Le aree dei poligoni TEORIA
DIMOSTRAZIONE Indichiamo con ␣ l’angolo CA^E e con ␣′ l’angolo BA^E. C
Disegniamo la retta per C parallela alla bisettrice AE (figura a). βE
Prolunghiamo il lato BA fino a incontrare in D la parallela alla bisettrice.
Indichiamo con  l’angolo DC^A e con ′ l’angolo AD^C. D β' αα'
Nel triangolo DBC la retta AE, essendo parallela al lato DC, divide gli al-
tri due lati in parti direttamente proporzionali (figura b): A B
a
BE Ϻ CE ϭ AB Ϻ DA.
C
Gli angoli ␣ e  (figura c) sono alterni interni delle rette parallele AE e E
CD tagliate dalla trasversale AC, quindi sono congruenti.
Gli angoli ␣′ e ′ sono corrispondenti delle stesse rette parallele, tagliate DA B
dalla trasversale DB, quindi sono congruenti. b
Poiché ␣ Х ␣′, per ipotesi, e abbiamo dimostrato che ␣ Х  e ␣′ Х ′, ri-
sulta anche  Х ′, quindi il triangolo ADC è isoscele sulla base DC. Per- C B
tanto DA Х AC.
Nella proporzione BE Ϻ CE ϭ AB Ϻ DA possiamo quindi sostituire DA βα E
con AC : β' α'
DA
BE Ϻ CE ϭ AB Ϻ AC , c
ossia la bisettrice divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri
due lati.
5. Le aree dei poligoni ◗ La misura di un seg-
mento AB continua a
Da questo momento in poi, per alleggerire la notazione, indicheremo le essere indicata con AෆෆB.
grandezze e le loro misure allo stesso modo, cioè con lettere corsive e sen-
za soprassegni. Di volta in volta, scriveremo esplicitamente se si tratta di
grandezze o di misure.
■ L’area del rettangolo
TEOREMA
La misura dell’area di un rettango-
lo è uguale al prodotto delle misure
della base e dell’altezza.
hA A=bиh
b
165 G
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TEORIA CAPITOLO G6. LA MISURA E LE GRANDEZZE PROPORZIONALI
◗ Per esempio, il teorema ■ Le aree di altri poligoni
relativo all’area del paral-
lelogramma si basa sul Dal teorema precedente e dai teoremi relativi all’equivalenza fra poligoni
fatto che un parallelo- si ricavano i seguenti teoremi.
gramma è equivalente a
un rettangolo con la base TEOREMA hA A=bиh
e l’altezza rispettivamente b
congruenti a quelle del Area del parallelogramma
parallelogramma.
La misura dell’area di un parallelo-
gramma è uguale al prodotto della
misura di un suo lato e della misu-
ra dell’altezza relativa a esso.
◗ Un quadrato può essere Area del quadrato A ᐍ A = ᐍ2
considerato un particolare La misura dell’area di un quadrato
rettangolo che ha base e al- è uguale al quadrato della misura ᐍ
tezza congruenti. del suo lato.
hA
Area del triangolo b
La misura dell’area di un triangolo è
uguale al semiprodotto della misura A = —21 b и h
della base per quella dell’altezza. b
Area del trapezio hA
La misura dell’area di un trapezio è B
uguale al semiprodotto della misu-
ra della somma delle basi per quel- A = —12 (B + b) и h
la dell’altezza.
◗ Questo teorema vale in TEOREMA d2 A
particolare per il rombo. d1
Un quadrilatero con le dia- Area di un quadrilatero con le
gonali perpendicolari può diagonali perpendicolari A = —21 d1 и d2
essere visto come la somma
di due triangoli che hanno La misura dell’area di un quadrila- A
per base una stessa diago- tero con le diagonali perpendicola- r
nale e per altezza due seg- ri è uguale al semiprodotto delle
menti la cui somma è ugua- misure delle diagonali. A=pиr
le all’altra diagonale.
TEOREMA
◗ Un poligono circoscritto
a una circonferenza, infatti, Area di un poligono circoscritto
è equivalente a un triangolo a una circonferenza
che ha base congruente alla
somma dei lati del poligono La misura dell’area di un poligono
e altezza congruente al rag- circoscritto a una circonferenza è
gio. Indicata con 2p la mi- uguale al prodotto della misura del
sura del perimetro e con r semiperimetro del poligono per la
quella del raggio: misura del raggio della circonferenza.
A ϭ ᎏ21ᎏ (2p) и r ϭ p и r .
G 166
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Paragrafo 5. Le aree dei poligoni TEORIA
TEOREMA A ◗ Questo è un caso parti-
a colare del teorema prece-
Area di un poligono regolare dente, poiché un poligono
A=pиa regolare ammette sempre
La misura dell’area di un poligono la circonferenza inscritta, il
regolare è uguale al prodotto della cui raggio è l’apotema del
misura del semiperimetro del poli- poligono.
gono per quella dell’apotema.
■ Le relazioni fra le misure degli elementi
di un triangolo rettangolo
Dato un triangolo rettangolo, indichiamo con c 1 e c 2 le misure dei cateti, c1 h c2
con i quella dell’ipotenusa, con h la misura dell’altezza relativa all’ipote- p1
nusa, con p 1 e p 2 quelle delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. p2
i
I teoremi relativi all’area del rettangolo e del quadrato ci permettono di scri-
vere i teoremi di Pitagora e di Euclide mediante relazioni fra queste misure.
Teorema di Pitagora: c 2 ϩ c 2 ϭ i 2
1 2
2
Primo teorema di Euclide: c 1 ϭ p1 и i
Secondo teorema di Euclide: h2 ϭ p1 и p2
A queste relazioni si può aggiungere quella che si ricava tenendo presente
che la misura dell’area A del triangolo rettangolo può essere calcolata
considerando come base l’ipotenusa oppure uno dei due cateti, quindi la
misura della doppia area del triangolo è uguale al prodotto di c1 e c2 e an-
che al prodotto di i e h: 2A ϭ i и h ϭ c1 и c2 .
■ I triangoli rettangoli con angoli di 45° 45° ᐍ √⎯2
ᐍ
Ogni triangolo rettangolo con angoli di 45° è la metà di un quadrato.
45°
Se indichiamo con l la misura del lato del quadrato e con d quella della ᐍ
diagonale, applicando il teorema di Pitagora, troviamo:
d ϭ ͙ෆl 2ෆϩෆlෆ2 ϭ ͙ෆ2l ෆ2 ϭ ͙ෆ2 и ͙lෆ2 → d ϭ l ͙ෆ2.
Viceversa, conoscendo la diagonale di un quadrato è possibile ricavare il lato:
l ϭ ᎏ͙dᎏෆ2 ϭ ᎏ͙dෆ2͙иᎏ͙ෆ2 2ෆ ϭ ᎏd͙2ᎏෆ2 → l ϭ ᎏd͙2ᎏෆ2 .
■ I triangoli rettangoli con angoli di 60° e di 30°
Ogni triangolo rettangolo con gli angoli di 60° e di 30° è la metà di un
triangolo equilatero.
Detta l la misura del lato del triangolo e h quella dell’altezza, applicando il 30°
teorema di Pitagora, troviamo:
—ᐍ √2⎯—3 ᐍ
Ί Ί Ί h ϭ ᎏ43ᎏ l 2 ϭ ᎏl ͙2ᎏෆ3 h ϭ ᎏl ͙2ᎏෆ3 .
l2Ϫ ᎏ2lᎏ 2 l 2 Ϫᎏl4ᎏ2 ϭ → 60°
ϭ —2ᐍ
Viceversa, conoscendo l’altezza è possibile ricavare il lato:
l ϭ ᎏ͙2hᎏ3ෆ ϭ ᎏ͙2hෆ3ииᎏ͙͙3ෆ3ෆ ϭ ᎏ2h͙3ᎏ3ෆ → l ϭ ᎏ2h͙3ᎏ3ෆ .
167 G
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TEORIA CAPITOLO G6. LA MISURA E LE GRANDEZZE PROPORZIONALI
6. Le aree e i volumi dei poliedri
■ Le superfici dei poliedri
La superficie di un poliedro è la somma delle superfici di tutte le sue
facce.
Immaginiamo di trasportare su un unico piano le facce che compongono
il solido (figura 3).
᭤ Figura 3 Lo sviluppo su a superficie di base
un piano della superficie di b acb
un poliedro.
superficie laterale
ch h
superficie di base
La figura che si ottiene si chiama sviluppo della superficie poliedrica e
permette lo studio delle aree delle superfici dei poliedri.
In particolare, studieremo alcuni solidi notevoli nei quali, essendo pre-
senti una o due basi, si distinguono la superficie laterale, relativa alle sole
facce laterali, e la superficie totale, che si ottiene aggiungendo le superfici
delle basi alla superficie laterale.
◗ Ricordiamo che, date ■ I volumi dei poliedri
due grandezze omogenee
A e U, si definisce misura Per i solidi, si sceglie come unità di misura dei volumi quello di un cubo
di A rispetto a U il numero U che ha per spigolo il segmento di lunghezza u, unità di misura delle
reale m tale che: lunghezze.
A ϭ mU, Mediante i teoremi di equivalenza fra solidi che si possono dimostrare
sulla base del principio di Cavalieri, si ottengono le seguenti formule che
dove U rappresenta l’unità ci limitiamo a enunciare, insieme a quelle delle aree delle superfici.
di misura fissata.
Prisma retto
◗ Simboli per le misure: h Al ϭ 2p и h
At ϭ Al ϩ 2Ab
At area della superficie V ϭ Ab и h
totale
Al area della superficie
laterale
Ab area di base
V volume
2p perimetro di base
h altezza del solido
G 168
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Paragrafo 6. Le aree e i volumi dei poliedri TEORIA
Parallelepipedo rettangolo
c Ab ϭ a и b
Al ϭ 2(ac ϩ bc)
b
a At ϭ 2(ac ϩ ab ϩ bc)
Vϭaиbиc
Cubo
Ab ϭ s2 ◗ Indichiamo con s la mi-
At ϭ 6s2 sura dello spigolo.
V ϭ s3
s Al ϭ p и a ◗ Indichiamo con a la mi-
sura dell’apotema.
Piramide retta At ϭ Al ϩ Ab
1
ha
V ϭ ᎏ3ᎏ Ab и h
Tronco di piramide retta LABORATORIO
Un tronco di piramide si ottiene considerando i punti di una piramide DI MATEMATICA
che stanno fra un piano parallelo alla base e la base stessa. Il solido così
ottenuto ha due basi parallele fra loro. Nel sito:
Chiamiamo p e p′ le misure dei semiperimetri delle basi e Ab e A′b quelle ᭤ Le grandezze
delle aree delle due basi. proporzionali con Cabri
Al ϭ (p ϩ p′) и a
h At ϭ Al ϩ Ab ϩ A′b
a V ϭ ᎏ31ᎏ h (Ab ϩ A′b ϩ ͙AෆbෆиෆAෆ′b)
169 G
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ESERCIZI CAPITOLO G6. LA MISURA E LE GRANDEZZE PROPORZIONALI
LA TEORIA IN SINTESI
La misura e le grandezze proporzionali
1. Le classi di grandezze geometriche U A = —34 U A– = —43
Data la relazione di congruenza fra segmenti, la lun- A misura di A
ghezza di un segmento è la classe di equivalenza alla
quale il segmento appartiene. Data la relazione di con- Due grandezze omogenee sono incommensurabili se
gruenza fra angoli, chiamiamo ampiezza di un angolo non esiste una grandezza, omogenea con le due date,
la classe di equivalenza alla quale l’angolo appartiene. che sia loro sottomultipla comune.
Data la relazione di equivalenza fra superfici piane,
chiamiamo area di una superficie la classe di equiva- Se A e U sono incommensurabili fra loro, la misura
lenza alla quale la superficie appartiene. di A rispetto a U è un numero irrazionale.
Una classe di grandezze geometriche omogenee è
un insieme di enti geometrici in cui sono possibili due 3. I rapporti e le proporzioni
operazioni, il confronto e l’addizione. fra grandezze
L’addizione deve essere interna all’insieme e godere
delle proprietà associativa e commutativa. Deve inoltre Il rapporto fra due grandezze omogenee A e B, con
esistere l’elemento neutro, ossia la grandezza nulla. B diversa dalla grandezza nulla, è la misura di A ri-
ESEMPIO L’insieme delle lunghezze dei segmenti
è una classe di grandezze omogenee.
Una grandezza B è multipla di una grandezza A se- spetto a B e si indica con A Ϻ B, oppure con ᎏAᎏ .
condo il numero naturale n se: B
● B è somma di n grandezze uguali ad A, se n Ͼ 1; Il rapporto fra due grandezze omogenee A e B è ugua-
● B è uguale ad A, se n ϭ 1; le al rapporto fra le loro misure.
● B è uguale alla grandezza nulla, se n ϭ 0.
Date due grandezze omogenee A e B e altre due gran-
Se una grandezza B è multipla di una grandezza A se- dezze omogenee C e D, si chiama proporzione fra le
condo n (con n 0), diciamo che A è sottomultipla
di B secondo n. grandezze l’uguaglianza fra il rapporto ᎏAᎏ e il rappor-
B
ESEMPIO A ϭ 2B: A è multipla di B secondo 2;
B ϭ ᎏ21ᎏ A: B è sottomultipla di A secondo 2. to ᎏCᎏ e si scrive:
D
A Ϻ B ϭ C Ϻ D.
2. Le grandezze commensurabili Data una catena di rapporti uguali di grandezze tutte
e incommensurabili omogenee fra loro, si ha:
Due grandezze omogenee sono commensurabili se AϺBϭCϺDϭEϺF ⇒
⇒ (A ϩ C ϩ E) Ϻ (B ϩ D ϩ F) ϭ A Ϻ B.
esiste una grandezza che sia loro sottomultipla comune.
Due insiemi Ꮽ e Ꮾ, ciascuno di grandezze omoge-
Date due grandezze A e U commensurabili fra loro, la nee, fra i quali esiste una corrispondenza biunivoca,
sono insiemi di grandezze direttamente propor-
misura di A rispetto a U è il numero razionale ᎏmᎏ tale zionali quando il rapporto fra due grandezze qua-
n lunque di Ꮽ è uguale al rapporto fra le grandezze
che A ϭ ᎏmᎏ U. La grandezza U viene detta unità di corrispondenti di Ꮾ.
n
misura.
G 170
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La teoria in sintesi ESERCIZI
PROPRIETÀ PROPRIETÀ DELLE PROPORZIONI FRA GRANDEZZE
del comporre A Ϻ B ؍A Ϻ D se e solo se
dello scomporre
(A ϩ B) Ϻ B ϭ (C ϩ D) Ϻ D
del permutare
(A Ϫ B) Ϻ B ϭ (C Ϫ D) Ϻ D
dell’invertire (con A Ͼ B e, di conseguenza, C Ͼ D)
dei due multipli
AϺCϭBϺD
(con A, B, C, D tutte omogenee fra loro)
BϺAϭDϺC
hA Ϻ hB ϭ C Ϻ D
A Ϻ B ϭ kC Ϻ kD
(per ogni h, k reali non nulli)
4. Il teorema di Talete Teorema della bisettrice di un angolo interno di un
triangolo. In un triangolo la bisettrice di un angolo
Teorema di Talete. Dato un fascio di rette parallele in- interno divide il lato opposto in parti direttamente
tersecato da due trasversali, i segmenti che si formano proporzionali agli altri lati.
su una trasversale sono direttamente proporzionali ai
segmenti corrispondenti che si formano sull’altra tra-
sversale.
A A' C
B B' E
C C' AB
AB : BC = A'B' : B'C' BE : CE = AB : AC
5. Le aree dei poligoni
Utilizzando la teoria della proporzionalità fra grandezze e la teoria dell’equivalenza di superfici piane, troviamo
le formule per calcolare la misura delle aree di alcune figure.
Le lettere b, h, ᐍ, ecc. indicano le misure dei segmenti corrispondenti. A indica la misura dell’area.
Rettangolo Parallelogramma Quadrato Triangolo
h h ᐍ h
b b ᐍ b
A=bиh A=bиh A = ᐍ2 A = —21 b и h
171 G
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ESERCIZI CAPITOLO G6. LA MISURA E LE GRANDEZZE PROPORZIONALI
Trapezio Quadrilatero con diagonali Poligono circoscritto Poligono regolare
b perpendicolari a una circonferenza
h
(in particolare rombo) r a
B A=pиr A=pиa
d1
A = —21 (B + b) и h d2
A = —12 (d1 и d2)
Teoremi di Pitagora e di Euclide Triangoli rettangoli particolari
c1 c2 Teorema di Pitagora 45° 30° ᐉ
h c12 + c22 = i2 d h
p1 p2 Primo teorema di Euclide 45° 60°
i c12 = p1 и i ᐉ –2ᐉ–
c22 = p2 и i h = –ᐉ–2––3
Area del triangolo d=ᐉ 2 ᐉ = –2–h3––3–
2A = c1и c2 = i и h Secondo teorema di Euclide ᐉ = d––2–2–
h2 = p1 и p2
6. Le aree e i volumi dei poliedri
PRISMA RETTO PARALLELEPIPEDO RETTANGOLO CUBO
Aᐉ = 2p и h Ab = ab Ab = s2
At = Aᐉ + 2Ab Aᐉ = 2(ac + bc) At = 6s2
V = Ab и h c At = 2(ac + ab + bc) V = s3
h V=aиbиc
s
b
a
PIRAMIDE RETTA TRONCO DI PIRAMIDE RETTA
ha Aᐉ = p и a h Aᐉ = (p + p') и a Ab и A'b)
a At = Aᐉ + Ab + A'b
At = Aᐉ + Ab V = —13 h(Ab + A'b +
V = —13 Ab и h
G 172
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Paragrafo 2. Le grandezze commensurabili e incommensurabili ESERCIZI
1. Le classi di grandezze geometriche –ᮣ Teoria a pag. G155
■ I multipli e i sottomultipli
Negli esercizi seguenti sono indicate delle relazioni fra le lunghezze a e b di due segmenti. Disegna i due seg-
menti ed esprimi a parole la relazione usando i termini «multipla» e «sottomultipla».
1 a ϭ 3b; b ϭ 4a; b ϭ 1a; a ϭ ᎏ51ᎏ b. 3 a ϭ 0,1 b; b ϭ 3,2 a; a ϭ 0,5 b.
3 7 5 4 2a ϭ 3b; 5b ϭ 7a; 6a ϭ 5b.
2 a ϭ ᎏ4ᎏ b ; a ϭ ᎏ3ᎏ b; b ϭ ᎏ6ᎏ a.
5 COMPLETA. Nella figura sono rappresentati il segmento AA′ di lunghezza a e il segmento BB′ di lunghezza b.
Scrivi la relazione fra le due lunghezze e traduci la relazione in una frase.
A' A' A
A A A'
B B B'
B' B
B' c ………………………………………
a ……………………………………… b ………………………………………
Le frasi che seguono sono riferite a due grandezze A e B. Per ognuna di esse scrivi la relazione fra A e B e poi fai
dei disegni riferiti a lunghezze che ne rappresentino il significato.
6 a) A è multipla di B secondo 4; 7 a) La grandezza multipla secondo 3 di A è ugua-
b) A è sottomultipla di B secondo 3; le alla multipla secondo 2 di B.
c) A è sottomultipla secondo 2 della multipla di
B secondo 5; b) La grandezza multipla secondo 4 di A è ugua-
d) A è multipla secondo 3 della sottomultipla di le alla sottomultipla secondo 2 di B.
B secondo 4.
c) La grandezza sottomultipla secondo 5 di A è
uguale alla sottomultipla secondo 7 di B.
2. Le grandezze commensurabili –ᮣ Teoria a pag. G158
e incommensurabili
■ Le grandezze commensurabili Nel sito: ᭤ 5 esercizi di recupero
ESERCIZIO GUIDA
8 Siano AB e CD due segmenti tali che AB ϭ 3 CD. Esprimiamo i due segmenti in funzione di un opportu-
ᎏ4ᎏ
no sottomultiplo comune U e poi rappresentiamoli graficamente.
La relazione AB ϭ 3 CD ha il seguente signifi- sottomultiplo comune di entrambi i segmenti, pos-
ᎏ4ᎏ siamo scegliere U come unità di misura. Quindi le
cato: CD è diviso in 4 parti congruenti e AB è relazioni richieste sono:
uguale a 3 di queste parti. Sia U un segmento AB ϭ 3U; CD ϭ 4U.
congruente a una di queste parti. Poiché U è un
173 G
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ESERCIZI CAPITOLO G6. LA MISURA E LE GRANDEZZE PROPORZIONALI
Rappresentando U come il lato del quadretto del sottomultipli comuni. Per esempio, con
foglio, il disegno dei due segmenti è il seguente: U ′ ϭ ᎏU2ᎏ, ossia U ϭ 2U ′,
U BC D abbiamo
A
AB ϭ 3U ϭ 3 и (2U ′) ϭ 6U ′;
Osserviamo che U è il più grande sottomultiplo CD ϭ 4U ϭ 4 и (2U ′) ϭ 8U ′.
comune di AB e CD, e che esistono infiniti altri
Esprimi in funzione di un segmento U, sottomultiplo comune, i segmenti legati fra loro dalle seguenti relazioni
e fornisci una rappresentazione grafica.
9 AB ϭ 3 CD ; HL ϭ 6 EF ; PO ϭ 3 MN. 11 6CD ϭ 4EF ; 2AB ϭ 5MN; 2 QP ϭ 3 RS.
ᎏ5ᎏ ᎏ7ᎏ ᎏ8ᎏ ᎏ3ᎏ ᎏ4ᎏ
10 3CD ϭ 2AB; EF ϭ 3GH; 5MN ϭ 4PQ. 12 ᎏ21ᎏ MN ϭ ᎏ83ᎏ CD; ᎏ52ᎏ OR ϭ ᎏ76ᎏ PQ.
■ La misura di una grandezza commensurabile rispetto a un’altra
ESERCIZIO GUIDA
13 Date le seguenti relazioni fra i segmenti AB, CD ed EF :
3 3
AB ϭ ᎏ4ᎏ CD ϩ 3EF e ᎏ2ᎏ CD ϭ 4EF,
calcoliamo la misura di AB rispetto a EF.
Dalla seconda relazione ricaviamo CD, divi- Sostituiamo nella prima relazione:
dendo i due membri per 3 : 3 8 ϩ 3EF ϭ 2EF ϩ 3EF ϭ 5EF.
ᎏ2ᎏ ᎏ3ᎏ EF
AB ϭ ᎏ4ᎏ
ᎏᎏ23ᎏᎏ23CᎏD ϭ ᎏ4ᎏE23ᎏF
La misura di AB rispetto a EF è:
AෆෆB ϭ 5.
CD ϭ 2 (4EF ) ϭ 8 EF.
ᎏ3ᎏ ᎏ3ᎏ
14 Date le relazioni: 16 Calcola la misura di AB rispetto a CD, sapendo
che:
AB ϭ 2CD ϩ 1 EF, 4 CD ϭ 1 EF, 3AB ϭ 2EF ;
ᎏ4ᎏ ᎏ3ᎏ ᎏ2ᎏ 5CD ϭ 3EF.
calcola la misura di AB rispetto a EF. 17 Valgono le seguenti relazioni:
7AB ϭ 6CD;
15 Date le relazioni: 14AB ϭ 3EF.
AB ϭ ᎏ54ᎏ CD ϩ ᎏ32ᎏ EF, ᎏ23ᎏ CD ϭ ᎏ41ᎏ EF,
Calcola la misura di CD rispetto a EF.
calcola la misura di AB rispetto a CD.
G 174
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Paragrafo 3. I rapporti e le proporzioni fra grandezze ESERCIZI
3. I rapporti e le proporzioni fra grandezze –ᮣ Teoriaapag.G160
■ Il rapporto fra due grandezze omogenee
ESERCIZIO GUIDA
18 Dati i segmenti in figura, determiniamo le loro misure scegliendo U come unità di misura e poi determi-
niamo il rapporto ᎏAᎏB .
CD
La misura di AB rispetto a U è il rapporto ᎏAᎏB . Poiché U è contenuto due volte in AB, scriviamo:
U
AෆෆB ϭ 2.
La misura di CD rispetto a U è il rapporto ᎏCᎏD , ossia:
U U
CෆෆD ϭ ᎏ21ᎏ . A
B
Il rapporto fra AB e CD è uguale al rapporto fra le loro misure, quindi:
CD
ᎏAᎏB ᎏCAෆෆᎏෆෆDB ᎏᎏ221ᎏ
CD ϭ ϭ ϭ 4.
19 COMPLETA determinando le misure dei segmenti in figura; scegli U come unità di misura.
U ……………… ………… …………………… ………………………………
A BC DE FM N
20 Con riferimento alla figura precedente, determina i seguenti rapporti.
ᎏAᎏB ; ᎏCDᎏ ; ᎏEᎏF ; ᎏMᎏN ; ᎏEᎏF .
CD EF MN AB AB
COMPLETA determinando le misure degli angoli in figura; scegli U come unità di misura.
21 22
α β
U γ
…………………
…………………
23 Con riferimento alle figure precedenti, determina 25 In riferimento alla figura che segue, determina i
i seguenti rapporti. seguenti rapporti.
␣ ;  ; ␣ ; ␥ . ᎏAᎏ ; ᎏCᎏ ; ᎏAᎏ ; ᎏBᎏ .
ᎏᎏ ᎏᎏ ᎏᎏ ᎏᎏ BBCC
␥␥
24 Calcola la misura dell’area di ogni superficie della U ABC D
figura a lato, rispetto a U.
175 G
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ESERCIZI CAPITOLO G6. LA MISURA E LE GRANDEZZE PROPORZIONALI
■ Le proporzioni fra grandezze
ESERCIZIO GUIDA
26 Date quattro grandezze A, B, C e D, non nulle e tali che 2A ϭ 3B e 2C ϭ 3D, dimostriamo che vale la pro-
porzione A Ϻ B ϭ C Ϻ D.
Ipotesi 1. 2A ϭ 3B; Tesi A Ϻ B ϭ C Ϻ D.
2. 2C ϭ 3D.
Dalle relazioni fra le grandezze passiamo alle cor- Dividiamo entrambi i membri della seconda ugua-
rispondenti relazioni fra le loro misure: glianza per 2ෆD:
2Aෆ ϭ 3ෆB; 2Cෆ ϭ 3ෆD. ᎏ22ෆDCෆᎏ ϭ ᎏ23ෆෆDDᎏ → ᎏෆDCෆᎏ ϭ ᎏ23ᎏ.
Dividiamo entrambi i membri della prima ugua- Poiché sono uguali i rapporti fra le misure di A, B, C,
glianza per 2ෆB: e D, sono uguali anche i rapporti fra le grandezze,
quindi:
ᎏ22ෆAෆBᎏ ϭ ᎏ23ෆෆBᎏB → ᎏෆAෆBᎏ ϭ ᎏ23ᎏ.
ᎏAᎏ ϭ ᎏCᎏ ossia A Ϻ B ϭ C Ϻ D.
BD
27 Date quattro grandezze A, B, C e D non nulle e 29 A, B, C e D sono quattro grandezze. Dimostra che, se
tali che 3A ϭ 4B e 3C ϭ 4D, dimostra che vale A Ϻ B ϭ C Ϻ D, allora è vero che 3A Ϻ 7B ϭ 3C Ϻ 7D.
la proporzione A Ϻ B ϭ C Ϻ D.
30 Dimostra che, se per quattro grandezze vale la
28 Come nell’esercizio precedente ma con le relazioni: proporzione 4A Ϻ 9B ϭ 4C Ϻ 9D, allora vale an-
ᎏA2ᎏ ϭ ᎏB5ᎏ e ᎏC2ᎏ ϭ ᎏD5ᎏ . che la proporzione A Ϻ B ϭ C Ϻ D.
■ Le proprietà delle proporzioni fra grandezze
31 VERO O FALSO? 33 A e B sono grandezze omogenee (B non nulla), n
è un numero naturale diverso da 0 e da 1. Dimo-
Data la proporzione A Ϻ B ϭ C Ϻ D, indica quali fra stra che A Ϻ B ϭ nA Ϻ nB.
le seguenti proporzioni sono vere e quali sono false.
34 Dimostra che, se fra quattro grandezze omogenee
a) A Ϻ 5B ϭ C Ϻ 5D VF non nulle vale la proporzione A Ϻ B ϭ C Ϻ D, allo-
b) 5A Ϻ 5B ϭ 6C Ϻ 6D VF ra si possono permutare i medi A Ϻ C ϭ B Ϻ D.
c) 2A Ϻ 7D ϭ 2C Ϻ 7B VF
d) B Ϻ 2C ϭ A Ϻ 2D VF 35 Dimostra che, se fra quattro grandezze omoge-
nee non nulle vale la proporzione A Ϻ B ϭ C Ϻ D,
e) 8B Ϻ 9A ϭ 8D Ϻ 9C VF allora si possono invertire gli antecedenti con i
loro conseguenti B Ϻ A ϭ D Ϻ C.
f) D Ϻ B ϭ 3C Ϻ 3A VF
36 A, B, C, D, F e G sono grandezze omogenee. Di-
32 A, B, C e D (B e D non nulle) sono grandezze mostra che, se A Ϻ F ϭ C Ϻ G e F Ϻ B ϭ G Ϻ D,
omogenee, h e k sono numeri naturali diversi da allora A Ϻ B ϭ C Ϻ D.
0. Dimostra che, se hA ϭ kB e hC ϭ kD, allora
A Ϻ B ϭ C Ϻ D.
■ Le grandezze direttamente proporzionali
ESERCIZIO GUIDA
37 Tre numeri sono proporzionali ai numeri 3, 7 e 8 e la loro somma è 90. Determiniamo i tre numeri.
G 176
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Paragrafo 4. Il teorema di Talete ESERCIZI
Per le proprietà della proporzionalità diretta, la somma dei numeri è proporzionale alla somma dei loro
corrispondenti, ossia a 3 ϩ 7 ϩ 8 ϭ 18.
Indichiamo i numeri con x, y, z e scriviamo tre proporzioni mediante le quali ricaviamo i tre numeri:
x Ϻ 3 ϭ 90 Ϻ 18 y Ϻ 7 ϭ 90 Ϻ 18 z Ϻ 8 ϭ 90 Ϻ 18
x ϭ ᎏ3 1и8ᎏ90 ϭ 15; y ϭ ᎏ7 1и8ᎏ90 ϭ 35; z ϭ ᎏ8 1и8ᎏ90 ϭ 40.
38 Le misure delle lunghezze dei lati di un triangolo sono proporzionali ai numeri 2, 3 e 5; il perimetro misura
70 rispetto al cm. Determina le misure dei lati. [14; 21; 35]
39 Determina l’ampiezza degli angoli di un triangolo sapendo che sono proporzionali ai numeri 7, 10, 13.
[42°; 60°; 78°]
40 In un triangolo isoscele ogni angolo alla base è il quadruplo dell’angolo al vertice. Determina l’ampiezza de-
gli angoli. [20°; 80°; 80°]
41 Determina l’ampiezza degli angoli acuti di un triangolo rettangolo sapendo che sono proporzionali ai nu-
meri 5 e 7. [37° 30′; 52° 30′]
42 Il perimetro di un rettangolo è 220 m e i lati sono proporzionali ai numeri 5 e 3. Determina le lunghezze dei
lati. [68,75 m; 41,25 m]
43 Il lato obliquo, la base minore e la base maggiore di un trapezio isoscele sono proporzionali ai numeri 15, 7 e
25; il perimetro del trapezio è 372 m. Determina le lunghezze dei lati. [90 m; 42 m; 150 m]
4. Il teorema di Talete –ᮣ Teoria a pag. G164
44 Determina in ogni figura la lunghezza del seg- 21 mm 22 mm
mento indicato con il punto interrogativo rosso. 10 mm
12 mm
20 mm ?
36 mm ? 32 mm ?
40 mm 22 mm
a bc
ESERCIZIO GUIDA
΄ ΅1130 704
mm; mm; ᎏ2ᎏ1 mm
45 Dato il triangolo ABC, consideriamo sul lato AB due punti qualsiasi M e N. Da M e N tracciamo le
parallele al lato AC. Indichiamo rispettivamente con P e con Q i punti di intersezione di queste parallele
con CB. Dai punti M e N tracciamo anche le parallele a CB e chiamiamo R e S i punti in cui intersecano
AC. Dimostriamo che AC Ϻ RS ϭ CB Ϻ PQ.
177 G
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ESERCIZI CAPITOLO G6. LA MISURA E LE GRANDEZZE PROPORZIONALI
Ipotesi 1. MP ͞͞ NQ ͞͞ AC ; Tesi AC Ϻ RS ϭ CB Ϻ PQ . C
2. MR ͞͞ NS ͞͞ CB. S
R
Dimostrazione N B
Applichiamo il teorema di Talete al fascio di parallele alla retta CB: AM
AC Ϻ RS ϭ AB Ϻ MN. CP
Applichiamo il teorema di Talete al fascio di parallele alla retta AC:
Q
AB Ϻ MN ϭ CB Ϻ PQ.
Per la proprietà transitiva, dalle due uguaglianze deduciamo che: AM N B
AC Ϻ RS ϭ CB Ϻ PQ.
46 Disegna due rette incidenti a e b. Considera sulla ne con CB ; dal punto Q traccia la parallela a CB e
retta a i punti A, A′ e A″, e sulla retta b le loro chiama R il punto di intersezione con AC. Dimo-
proiezioni ortogonali B, B′ e B″. Dimostra che stra che RS è parallela ad AB.
AA′ Ϻ A′A″ ϭ BB′ Ϻ B′B″.
■ Il teorema della bisettrice di un
47 Dimostra che la parallela a un lato di un triango- angolo interno di un triangolo
lo passante per il baricentro divide gli altri due
lati in parti che sono l’una il doppio dell’altra. 52 Utilizzando il teorema della bisettrice di un an-
golo interno, dimostra che in un triangolo iso-
48 Costruisci un triangolo ABC. Da un punto P di scele la bisettrice dell’angolo al vertice è anche
AB traccia la parallela a CB e chiama Q il suo mediana.
punto di intersezione con AC. Da P traccia la pa-
rallela a QB e indica con R la sua intersezione con 53 Nel triangolo ABC la bisettrice di C^ incontra il
AC. Dimostra che AQ è medio proporzionale fra lato AB nel punto D. Sul lato AC considera un
AR e AC. punto P in modo che AP sia congruente ad AD.
La parallela ad AB per il punto P interseca CB nel
■ La retta parallela a un lato punto Q. Dimostra che DB è congruente a QB.
di un triangolo
54 Nel trapezio ABCD prolunga i lati obliqui AD e
49 Dimostra che i punti medi dei lati consecutivi di un BC fino a che si incontrano nel punto P. Dimo-
quadrilatero sono vertici di un parallelogramma. stra che la bisettrice dell’angolo AP^B divide
ognuna delle basi del trapezio in segmenti diret-
50 Nel quadrilatero ABCD da un punto P della dia- tamente proporzionali ai lati obliqui.
gonale AC traccia le parallele a CB e CD che in-
contrino AB e AD rispettivamente in Q e in R. 55 Nel triangolo ABC, rettangolo in A, la bisettrice
Dimostra che la retta RQ è parallela a DB. dell’angolo ^B incontra il lato AC in P. Traccia da
P la perpendicolare all’ipotenusa CB e indica con
51 Nel triangolo ABC il lato AB è diviso dai punti P Q il suo punto di intersezione. Dimostra che
e Q in tre segmenti congruenti. Da P traccia la PQ Ϻ CP ϭ AB Ϻ CB.
parallela ad AC e chiama S il punto di intersezio-
5. Le aree dei poligoni –ᮣ Teoria a pag. G165
56 Verifica che esiste proporzionalità fra le aree e le 57 L’insieme delle aree dei quadrati è direttamente
altezze dei triangoli aventi basi congruenti. proporzionale all’insieme dei lati? Motiva la ri-
sposta.
G 178
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La risoluzione algebrica di problemi geometrici ESERCIZI
58 Le aree dei rombi che hanno una diagonale con- 60 Verifica che un triangolo rettangolo viene diviso
gruente sono proporzionali alle altre diagonali? dall’altezza relativa all’ipotenusa in due triangoli
Motiva la risposta. le cui aree sono proporzionali alle proiezioni dei
cateti sull’ipotenusa.
59 Verifica che le aree dei rettangoli sono proporzio-
nali a quelle dei rombi che hanno per vertici i 61 Verifica che in un triangolo rettangolo i quadrati
punti medi dei lati dei rettangoli. costruiti sui cateti hanno aree proporzionali alle
proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
La risoluzione algebrica di problemi geometrici
Nel sito: ᭤ 12 esercizi in più
■ Problemi sui segmenti
ESERCIZIO GUIDA
62 Determiniamo la lunghezza di due segmenti, sapendo che la loro differenza è 20 cm e che uno dei
segmenti è i ᎏ23ᎏ dell’altro.
1. Disegniamo la figura: Ά ᎏ23ᎏ x Ϫ x ϭ 20 CෆෆD ϭ 3 40 ϭ 60.
y ϭ ᎏ23ᎏ x ᎏ2ᎏ
AB
Άx ϭ 40 I due segmenti hanno lunghezza
20 cm y ϭ 60 40 cm e 60 cm.
CD I due segmenti hanno lunghezza 40 Terzo metodo
cm e 60 cm. 3. Usiamo come incognita la mi-
2. Relazioni:
a) CෆෆD Ϫ AෆෆB ϭ 20; Secondo metodo sura di un sottomultiplo co-
b) CෆෆD ϭ ᎏ23ᎏ AෆෆB. 3. Usiamo una sola incognita. mune.
Indichiamo con x la misura del
Risolviamo il problema con Poniamo: AෆෆB ϭ x. sottomultiplo comune:
tre metodi diversi.
Primo metodo La seconda relazione ci dice che: AෆෆB ϭ 2x;
3. Usiamo due incognite. CෆෆD ϭ ᎏ23ᎏ x. CෆෆD ϭ 3x.
Indichiamo con x e y le mi- 4. La prima relazione dà origine al- 4. Utilizzando la prima relazione
sure dei due segmenti: otteniamo:
l’equazione di primo grado in x: 3x Ϫ 2x ϭ 20, cioè x ϭ 20.
AෆෆB ϭ x ; CෆෆD ϭ y.
3 x Ϫ x ϭ 20. 5. Pertanto:
4. Con le due relazioni scri- ᎏ2ᎏ
viamo un sistema lineare: AෆෆB ϭ 2x ϭ 40,
5. Risolvendo troviamo: x ϭ 40. CෆෆD ϭ 3x ϭ 60.
Ά y Ϫ x ϭ 20
y ϭ ᎏ23ᎏ x Calcoliamo la misura del se- Quest’ultimo metodo permette
condo segmento: di evitare calcoli con le frazioni.
5. Risolviamo con il metodo
di sostituzione:
179 G
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ESERCIZI CAPITOLO G6. LA MISURA E LE GRANDEZZE PROPORZIONALI
63 Due segmenti sono uno doppio dell’altro e la loro somma è 120 cm. Calcola le lunghezze dei due segmenti.
[40 cm; 80 cm]
64 Calcola le lunghezze di due segmenti, sapendo che uno è i ᎏ43ᎏ dell’altro e che la loro somma è 210 cm.
[90 cm; 120
cm]
65 Calcola le lunghezze di due segmenti, sapendo che uno supera l’altro di 6 cm e che la loro somma è 78 cm.
[42 cm; 36 cm]
66 Calcola le lunghezze di due segmenti sapendo che la loro somma è 60 cm e che la loro differenza è 17 cm.
[21,5 cm; 38,5 cm]
67 Determina le lunghezze di due segmenti sapendo che il minore supera i ᎏ52ᎏ dell’altro di 9 cm e che la loro
differenza è 6 cm. [19 cm; 25 cm]
■ Problemi sugli angoli
ESERCIZIO GUIDA
68 Due angoli A^ e ^B sono complementari. Determiniamo le loro ampiezze, sapendo che il loro rapporto vale 5.
1. Disegniamo la figura. 3. Scelta delle incognite; indichiamo con x la
misura in gradi dell’angolo A^, con y la misu-
 ra in gradi di B^:
x ϭ A^, y ϭ B^.
Bˆ
4. Traduciamo le relazioni in due equazioni:
2. Relazioni:
A^ ϩ B^ ϭ 90°; Άx ϩ y ϭ 90
ᎏA^B^ᎏ ϭ 5.
ᎏxᎏ ϭ 5
y
5. Risoluzione:
Ά Άx ϩ y ϭ 90 5y ϩ y ϭ 90 →
→ x ϭ 5y
x ϭ 5y
Ά Ά6y ϭ 90 y ϭ 15
→ x ϭ 5y → x ϭ 75
I due angoli hanno ampiezza di 15° e di 75°.
69 Determina le ampiezze in gradi di due angoli la 72 La somma di due angoli è un angolo giro, uno
cui somma è 33° e la differenza è 9°. [21°; 12°]
dei due angoli è i ᎏ75ᎏ dell’altro. Determina le loro
ampiezze. [150°; 210°]
70 Due angoli complementari differiscono di 32°.
Calcola le loro ampiezze. [29°; 61°] 73 Due angoli supplementari sono tali che il doppio
71 Due angoli supplementari sono uno metà dell’al- del minore supera il maggiore di 15°. Calcola
tro. Determina le loro ampiezze. [60°; 120°] l’ampiezza dei due angoli. [115°; 65°]
G 180
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La risoluzione algebrica di problemi geometrici ESERCIZI
■ Applicazioni dei teoremi Nel sito: ᭤ 10 esercizi di recupero
di Pitagora e di Euclide
Il teorema di Pitagora
ESERCIZIO GUIDA C
74 Determiniamo le misure dei cateti del triangolo rettangolo indicate in
figura; le misure sono espresse in funzione di una incognita x per i ca-
teti, mentre l’ipotenusa misura 34 rispetto al centimetro.
Scriviamo le espressioni che esprimono le misure x−2 34
dei lati in funzione di x:
AෆBෆ ϭ ᎏ21ᎏ x; AෆCෆ ϭ x Ϫ 2; ෆBෆCෆෆ ϭ 34. A —21 x B
Applichiamo il teorema di Pitagora:
AෆෆB2 ϩ CෆAෆ2 ϭ CෆෆB2 N L1a81seconda soluzione è da scartare perché la misura
ᎏ21ᎏ x 2 di un segmento non può essere negativa.
Troviamo le lunghezze dei cateti sostituendo 32 nelle
ϩ (x Ϫ 2)2 ϭ 342.
Sviluppando i calcoli otteniamo l’equazione di se- espressioni iniziali:
AෆCෆ ϭ x Ϫ 2 ϭ 30;
condo grado:
5x 2 Ϫ 16x Ϫ 4608 ϭ 0. AෆෆB ϭ 1 x ϭ 16.
Calcoliamo le soluzioni: ᎏ2ᎏ
x 1 ϭ 32, x 2 ϭ Ϫ ᎏ154ᎏ4 . Le misure dei cateti del triangolo, rispetto al centi-
metro, sono 30 e 16.
ESERCIZIO GUIDA
75 In un triangolo rettangolo un cateto è i ᎏ15ᎏ2 dell’altro e il perimetro è 180 cm. Determiniamo le lunghezze
dei tre lati.
1. Disegniamo il triangolo rettangolo ABC . 4. Per il teorema di Pitagora:
CෆෆB2 ϭ AෆෆB 2 ϩ AෆCෆ2 ϭ 25x 2 ϩ 144x 2 ϭ 169x 2;
2. Scriviamo le relazioni indicate nel testo: CෆෆB ϭ 13x.
AෆෆB ϭ 5 AෆCෆ; C La relazione relativa al perimetro diventa:
ᎏ1ᎏ2 5x ϩ 12x ϩ 13x ϭ 180;
30x ϭ 180 → x ϭ 6.
AෆෆB ϩ AෆCෆ ϩ CෆෆB ϭ 180;
5. Sostituendo troviamo le misure dei lati ri-
AෆෆB 2 ϩ AෆෆC2 ϭ CෆෆB 2 (teorema spetto al cm:
di Pitagora). AෆෆB ϭ 5x ϭ 30;
AෆෆC ϭ 12x ϭ 72;
AB CෆෆB ϭ 13x ϭ 78.
3. Indichiamo con x la misura del sottomulti-
plo comune dei cateti:
AෆෆB ϭ 5x;. AෆCෆ ϭ 12x.
181 G
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ESERCIZI CAPITOLO G6. LA MISURA E LE GRANDEZZE PROPORZIONALI
76 In una semicirconferenza di diametro AB ϭ 2r è 80 In un rettangolo di base 60 cm l’altezza è i ᎏ53ᎏ del-
la diagonale. Determina il perimetro di ciascuno
inscritto un triangolo avente un lato uguale ai ᎏ34ᎏ dei due triangoli nei quali il rettangolo risulta
suddiviso da una delle due diagonali. [180 cm]
del diametro. Calcola il perimetro del triangolo.
[il problema non ha soluzione]
77 Il diametro di una semicirconferenza misura 81 In un trapezio rettangolo una base è doppia
15 cm. Calcola le lunghezze dei tre lati di un trian- dell’altra, la diagonale maggiore è 13 cm, l’area
45 cm2. Determina l’altezza del trapezio.
gololo inscritto nella semicirconferenza, sapendo
[5 cm oppure 12 cm]
che i due lati distinti dal diametro sono uno i
3 dell’altro. [15 cm; 12 cm; 9 cm] 82 Un triangolo rettangolo ha il perimetro che mi-
ᎏ4ᎏ
sura quanto quello di un quadrato di lato 18a. I
cateti stanno fra di loro come 3 sta a 4. Determi-
78 I lati di un rettangolo inscritto in una circonferen- na l’area del triangolo. [216a 2 ]
za di diametro 30 cm stanno fra loro nel rapporto 83 In un triangolo isoscele la base è i ᎏ56ᎏ del lato obli-
3 quo e l’area 588 cm2. Determina la lunghezza dell’al-
ᎏ4ᎏ . Determina l’area del rettangolo. [432 cm2 ]
tezza. [28 cm]
79 Un rettangolo ha la diagonale di 10 cm. I lati 84 In un triangolo isoscele il lato obliquo ha lun-
sono uno i ᎏ43ᎏ dell’altro. Determina l’area del ret- ghezza 5a in meno della base. Determina l’area
tangolo. [48 cm2 ]
sapendo che il perimetro è 80a. [300a 2 ]
ESERCIZIO GUIDA
85 In un rettangolo di area 300 cm2, la base è i 3 della diagonale. Determiniamo il perimetro.
ᎏ5ᎏ
1. Disegniamo la figura. D C ΊෆBෆC ϭ Ϯ ᎏ21ᎏ56 x2.
2. Esplicitiamo le relazioni Essendo ෆBCෆ la misura di un segmento, accettiamo
solo la radice positiva:
fra le misure indicate nel
ΊෆBෆC ϭ ϩ ᎏ21ᎏ56 x2 ϭ ᎏ54ᎏ x.
testo:
AෆෆB и ෆBෆC ϭ 300;
3
AෆෆB ϭ ᎏ5ᎏ AෆCෆ; AB
AෆෆB 2 ϩ ෆBCෆ2 ϭ AෆCෆ2 (teorema di Pitagora ap- La prima relazione, relativa all’area, diventa l’equa-
zione in x :
plicato al triangolo rettangolo ABC).
ᎏ53ᎏ x ᎏ54ᎏ x ϭ 300 → ᎏ21ᎏ52 x 2 ϭ 300 →
3. Utilizziamo una sola incognita: la misura della
diagonale. Poniamo: AෆCෆ ϭ x. 25 25
Dalla seconda relazione risulta: AෆෆB ϭ ᎏ53ᎏ x. → x2 ϭ 300 и ᎏ1گ2 ϭ 625 → x ϭ Ϯ ͙ෆ62ෆ5.
Determiniamo ෆBCෆ in funzione di x mediante la 1
terza relazione:
Scartando la radice negativa, otteniamo x ϭ 25.
ෆBෆC 2 ϭ AෆCෆ 2 Ϫ AෆෆB 2 ϭ x 2 Ϫ 9 x 2 ϭ 16 x 2 AෆCෆ ϭ 25; AෆෆB ϭ ᎏ53ᎏ x ϭ 15; BෆCෆ ϭ ᎏ54ᎏ x ϭ 20.
ᎏ2ᎏ5 ᎏ2ᎏ5
G 182
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La risoluzione algebrica di problemi geometrici ESERCIZI
La misura del perimetro è:
2 и (AෆෆB ϩ BෆCෆ) ϭ 2 и (15 ϩ 20) ϭ 70.
Il perimetro è lungo 70 cm.
86 Risolvi l’esercizio guida precedente ponendo 89 In una circonferenza, due corde aventi un estre-
come incognita la misura di un sottomultiplo co-
mune alla base e alla diagonale. mo in comune e di cui una è il diametro sono una
i 5 dell’altra. Il perimetro del triangolo indivi-
ᎏ4ᎏ
duato unendo i due estremi non comuni è 84 cm.
87 Determina le lunghezze dei cateti di un triangolo
Determina l’area di tale triangolo. [294 cm2 ]
rettangolo avente area 600 cm2 e un cateto con-
gruente ai ᎏ54ᎏ dell’ipotenusa. [40 cm; 30 cm] 90 Un triangolo è diviso dall’altezza in due triangoli
88 La diagonale maggiore di un rombo è i ᎏ52ᎏ del aventi lati obliqui e basi che stanno tra loro ri-
3 9
spettivamente nel rapporto ᎏ4ᎏ e ᎏ1ᎏ6 . Il triangolo
perimetro, mentre l’altra diagonale è 36 cm. De- iniziale ha un perimetro di 60 cm e base di 25
termina l’area del rombo. [864 cm2 ] cm. Determina l’area del triangolo. [150 cm2 ]
Il primo teorema di Euclide
ESERCIZIO GUIDA
91 Calcoliamo il perimetro di un triangolo rettangolo, le cui proiezioni C
dei cateti sull’ipotenusa sono lunghe 13 cm e 36 cm, senza usare il
teorema di Pitagora.
AH B
13
La misura dell’ipotenusa è: 36
AෆෆB ϭ 13 ϩ 36 ϭ 49.
Applichiamo il primo teorema di Euclide per trovare la misura del cateto AC:
AෆෆC2 ϭ AෆෆB и AෆෆH → AෆෆC2 ϭ 49 и 13.
Estraiamo la radice quadrata positiva:
AෆෆC ϭ ͙ෆ49ෆиෆ1ෆ3 ϭ ͙ෆ72ෆиෆ1ෆ3 ϭ 7 ͙ෆ13.
Applichiamo ancora il primo teorema di Euclide per trovare la misura del cateto BC:
ෆBෆC2 ϭ AෆෆB и ෆBෆH → ෆBෆC2 ϭ 49 и 36 → ෆBෆC ϭ ͙ෆ49ෆиෆ3ෆ6 ϭ ͙ෆ72ෆиෆ6ෆ2 ϭ 7 и 6 ϭ 42.
La lunghezza del perimetro del triangolo, espressa in cm, è:
49 cm ϩ 42 cm ϩ 7 ͙ෆ13 cm ϭ (91 ϩ 7 ͙ෆ13) cm.
ESERCIZIO GUIDA
92 In un triangolo rettangolo la proiezione di un cateto sull’ipotenusa è 4 del cateto stesso, mentre la proie-
ᎏ9ᎏ
zione dell’altro cateto ha lunghezza 65 cm. Determiniamo il perimetro del triangolo.
183 G
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ESERCIZI CAPITOLO G6. LA MISURA E LE GRANDEZZE PROPORZIONALI
Disegniamo un triangolo rettangolo avente come Introduciamo una sola incognita, la misura di un
base l’ipotenusa, per tracciare facilmente l’altezza
a essa relativa. Il piede di tale altezza determina le sottomultiplo comune.
proiezioni dei due cateti:
Poiché AH ϭ 4 AC, poniamo:
ᎏ9ᎏ
AෆෆH ϭ 4x e AෆCෆ ϭ 9x.
C
9x Abbiamo:
AෆෆB ϭ 65 ϩ 4x.
AH
4x B Applichiamo il primo teorema di Euclide:
AෆCෆ2 ϭ AෆෆB и AෆHෆ.
65
Sostituendo, otteniamo l’equazione in x: 1. applicando il teorema di Pitagora:
(9x) 2 ϭ (65 ϩ 4x)4x ෆBෆC ϭ ͙AෆෆB 2ෆϪෆෆAෆCෆෆ2 ;
81x 2 ϭ 260x ϩ 16x 2
81x 2 Ϫ 16x 2 Ϫ 260x ϭ 0 2. applicando ancora il primo teorema di Euclide:
65x 2 Ϫ 260x ϭ 0
65x ϭ 0 → x1 ϭ 0 ෆBෆC2 ϭ AෆෆB и ෆBෆH.
Utilizziamo il secondo, anche perché il calcolo della
65x(x Ϫ 4) ϭ 0 radice di un prodotto risulta più facile della radice
quadrata della differenza di due quadrati:
x Ϫ 4 ϭ 0 → x2 ϭ 4
ෆBCෆ2 ϭ 81 и 65
x1 ϭ 0, soluzione non accettabile;
x2 ϭ 4, accettabile. ෆBCෆ ϭ ͙ෆ81ෆиෆ6ෆ5 ϭ ͙ෆ92ෆиෆ6ෆ5
Per x ϭ 4, calcoliamo AෆෆC, AෆෆH e AෆෆB: ෆBCෆ ϭ 9 ͙ෆ65.
AෆෆC ϭ 9x ϭ 9 и 4 ϭ 36; La lunghezza del perimetro del triangolo è, in cm:
AෆHෆ ϭ 4x ϭ 4 и 4 ϭ 16; 36 ϩ 81 ϩ 9 ͙ෆ65.
AෆෆB ϭ 65 ϩ 16 ϭ 81. Se 2p rappresenta la misura del perimetro in cm, scri-
viamo:
Possiamo trovare ෆBCෆ in due modi:
2p ϭ 117 ϩ 9 ͙ෆ65.
93 Ripeti l’esercizio guida precedente utilizzando gli 96 In un triangolo rettangolo un cateto e la sua
altri due metodi usati generalmente negli esercizi proiezione sull’ipotenusa sono rispettivamente
guida, relativi alla scelta delle incognite. 60k e 36k. Calcola il perimetro del triangolo.
[240k ]
94 In un triangolo rettangolo le proiezioni dei due
cateti sull’ipotenusa sono rispettivamente 9 e 16 97 Calcola il perimetro di un triangolo rettangolo
cm. Determina l’area del triangolo. [150 cm2 ] avente l’ipotenusa di 50 cm e un cateto uguale ai
95 L’ipotenusa di un triangolo rettangolo è lunga 25 ᎏ45ᎏ della sua proiezione sull’ipotenusa. [120 cm]
cm e supera di 9 cm una delle proiezioni dei cate-
ti. Determina l’area del triangolo. [150 cm2 ] 98 In un triangolo rettangolo un cateto è 75 cm, la
sua proiezione sull’ipotenusa 30 cm in meno. De-
termina l’area del triangolo. [3750 cm2 ]
G 184
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La risoluzione algebrica di problemi geometrici ESERCIZI
99 La proiezione del lato maggiore di un rettangolo 100 I cateti di un triangolo rettangolo sono lunghi 60
sulla diagonale è 320 cm, il lato minore e la sua cm e 80 cm. Determina le due proiezioni sull’ipo-
proiezione sulla diagonale stanno tra loro
tenusa. [36 cm; 64 cm]
nel rapporto ᎏ35ᎏ. Determina il perimetro del ret- 101 Determina l’area di un rettangolo la cui altezza
tangolo. [1400 cm]
4
è i ᎏ3ᎏ della diagonale e il perimetro è 10a.
[il problema non ha soluzione]
Il secondo teorema di Euclide
ESERCIZIO GUIDA
102 Nel triangolo rettangolo ABC della figura, di ipotenusa AB e altezza C
CH, la mediana CM è lunga 30,5 cm. 60 –61—10 x
ᎏ1ᎏ1 x
L’altezza CH relativa all’ipotenusa è i del segmento HM.
Calcoliamo il perimetro dei triangoli HMC e ABC. AH M B
Utilizziamo una sola incognita. Poniamo: ᎏ3162ᎏ010 x 2 ϩ x 2 ϭ ᎏ374ᎏ21
ᎏ3172ᎏ211 x 2 ϭ ᎏ374ᎏ21
HෆෆM ϭ x, per cui CෆෆH ϭ 60 x.
ᎏ1ᎏ1
Nel triangolo rettangolo la mediana CM è la metà
dell’ipotenusa AB, quindi AෆෆB ϭ 30,5 и 2 ϭ 61.
Calcoliamo in funzione di x le misure delle x 2 ϭ ᎏ374ᎏ21 и ᎏ3172ᎏ211 ϭ ᎏ142ᎏ1
proiezioni AH e BH:
Ίx ϭ Ϯ ᎏ142ᎏ1 ϭ Ϯ ᎏ12ᎏ1 .
AෆෆH ϭ 30,5 Ϫ x ϭ ᎏ62ᎏ1 Ϫ x;
Scartiamo la soluzione negativa, quindi:
ෆBෆH ϭ 30,5 ϩ x ϭ ᎏ62ᎏ1 ϩ x.
C HෆMෆ ϭ 11 ;
ᎏ2ᎏ
–61—10 x
AH B 30 1
–62—1 − x –62—1 + x CෆෆH ϭ ᎏ61րگ01 и ᎏ1ր2گ1 ϭ 30.
11
Applichiamo il secondo teorema di Euclide: Calcoliamo la misura in cm del perimetro di HMC:
2p(HMC) ϭ CෆෆM ϩ HෆෆM ϩ CෆHෆ
CෆෆH2 ϭ AෆෆH и ෆBෆH 2p(HMC ) ϭ ᎏ62ᎏ1 ϩ ᎏ12ᎏ1 ϩ 30
2p(HMC ) ϭ 66.
60 2 61 61
ᎏ1ᎏ1 x ϭ ᎏ2ᎏ Ϫ x и ᎏ2ᎏ ϩ x
3600 x 2 ϭ 3721 Ϫ x 2
ᎏ12ᎏ1 ᎏ4ᎏ
185 G
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ESERCIZI CAPITOLO G6. LA MISURA E LE GRANDEZZE PROPORZIONALI
Calcoliamo AෆCෆ applicando il primo teorema di Calcoliamo ෆBCෆ, sempre mediante il primo teorema
Euclide: di Euclide:
C C
5 √⎯61 6 √⎯61
AH B AH B
25
36
61 61
AෆෆC2 ϭ AෆෆB и AෆHෆ ෆBෆC2 ϭ AෆෆB и ෆBෆH
AෆෆC2 ϭ 61 и 25 ෆBෆC2 ϭ 61 и 36
AෆෆC ϭ ͙ෆ61ෆиෆ2ෆ5 ϭ ͙ෆ61ෆиෆ5ෆ2 ෆBෆC ϭ ͙ෆ61ෆиෆ3ෆ6 ϭ ͙ෆ61ෆиෆ6ෆ2
AෆෆC ϭ 5 ͙ෆ61. ෆBෆC ϭ 6 ͙ෆ61.
Calcoliamo la misura in cm del perimetro di ABC:
2p(ABC) ϭ AෆෆC ϩ ෆBෆC ϩ AෆෆB
2p(ABC) ϭ 5 ͙ෆ61 ϩ 6 ͙ෆ61 ϩ 61
2p(ABC) ϭ 11 ͙ෆ61 ϩ 61.
103 Ripeti l’esercizio guida precedente seguendo gli 108 Il perimetro di un rombo è 40 m. Sapendo che il
altri due metodi, ossia utilizzando prima due in-
cognite x e y, poi ponendo come incognita la mi- punto di contatto della circonferenza inscritta
sura di un sottomultiplo di HM e di CH.
con ciascun lato divide questo in parti propor-
104 Calcola l’area di un triangolo rettangolo, sapendo
che l’ipotenusa è 10 cm e che le proiezioni dei ca- zionali a 16 e 9, calcola l’area del rombo e il rag-
teti sull’ipotenusa sono proporzionali ai numeri 1
e 9. [15 cm2] gio del cerchio inscritto. [96 m2; 4,8 m]
105 Calcola l’altezza relativa all’ipotenusa, il perime- 109 La base maggiore di un trapezio rettangolo è 5 m,
tro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo
che un cateto ha lunghezza 3 m e che la sua proie- il lato obliquo 4 m e la diagonale minore è per-
zione sull’ipotenusa è 1,8 m. Ripeti l’esercizio
nel caso in cui il cateto sia 1,8 m e la sua proiezio- pendicolare al lato. Calcola l’area e il perimetro
ne 3 m. [2,4 m, 12 m, 6 m2 ; non ha soluzione]
del trapezio. ΄ ΅ᎏ220ᎏ54 m2; ᎏ65ᎏ6 m
106 Calcola perimetro e area di un triangolo rettan-
golo, sapendo che le proiezioni dei cateti sull’ipo- 110 In un trapezio isoscele la base minore è 5,6 m e la
tenusa hanno per somma 13 m e che sono pro-
porzionali ai numeri 25 e 144. [30 m; 30 m2] proiezione del lato obliquo sulla base maggiore è
7,2 m. Sapendo che la diagonale è perpendicolare
al lato obliquo, calcola perimetro e area del tra-
pezio. [49,6 m; 122,88 m2]
111 Un quadrilatero ABCD ha l’angolo in A retto, le
107 L’ipotenusa di un triangolo rettangolo è lunga 13 diagonali perpendicolari e l’area di 336 m2. Sa-
lp’aelrtiemzzeatrroeleatairveaa.all’ipotenusa[3è0ᎏ16cᎏ3m0 ;c3m0.cCma2l]- pendo che il punto O d’incontro delle diagonali
cm, divide la diagonale DB in parti proporzionali ai
cola
numeri 16 e 9 e che AO è 9,6 m, calcola le lun-
ghezze delle diagonali. [20 m; 33,6 m]
G 186
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La risoluzione algebrica di problemi geometrici ESERCIZI
■ Triangoli rettangoli Nel sito: ᭤ 7 esercizi di recupero
con angoli particolari
Angoli di 45°
ESERCIZIO GUIDA
112 Conoscendo la misura del segmento AO in figura (rispetto al cm), calcoliamo l’area gialla della figura.
Il quadrato ABCD è inscritto in una circonferenza L’area del segmento circolare è la quarta parte della
di diametro AC. Ricordando che fra le misure d e differenza fra l’area del cerchio e l’area del quadrato:
l della diagonale e del lato di un quadrato esiste la
relazione d ϭ l ͙ෆ2, possiamo scrivere: A ϭ (A c Ϫ A q ) Ϻ 4 ϭ (50 Ϫ 100) Ϻ 4 ϭ
ෆACෆ ϭ AෆෆB и ͙ෆ2. ϭ ᎏ22ᎏ5 Ϫ 25 ϭ 25 Ϫ 1 .
ᎏ2ᎏ
La diagonale coincide con il diametro della cir-
conferenza perciò: L’area della parte
ෆAෆC ϭ 2 и 5 ͙ෆ2 ϭ 10 ͙ෆ2 gialla è D C
10 ͙ෆ2 ϭ AෆෆB и ͙ෆ2 → AෆෆB ϭ 10.
25 Ϫ 1 cm2. 5√⎯2 O
La misura dell’area del quadrato è A q ϭ 100. ᎏ2ᎏ
La misura dell’area del cerchio è:
AB
A c ϭ и r 2 ϭ и (5 ͙ෆ2)2 ϭ 50.
113 Il perimetro di un quadrato è 32 cm. Calcola la 118 L’altezza di un trapezio rettangolo è congruente
[8 ͙ෆ2 cm]
lunghezza della diagonale. alla base minore e alla metà di quella maggiore.
Sapendo che il perimetro è 4(4 ϩ ͙ෆ2) cm, cal-
114 In un quadrato le diagonali si dividono in parti [24 cm2]
uguali a 5 ͙ෆ2 cm. Calcola area e perimetro del cola l’area.
quadrato. [100 cm2; 40 cm] 119 In un triangolo ABC l’angolo in B è 135°. Sapen-
do che le lunghezze dei lati AB e BC sono rispet-
115 L’area di un quadrato è 8k 2. Calcola la lunghezza tivamente 20k e 12k, calcola l’area del triangolo e
l’altezza relativa alla base BC.
della diagonale. [4k ] [60 ͙ෆ2 k 2; 10 ͙ෆ2 и k ]
116 L’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo ret-
tangolo isoscele è ͙ෆ2 m. Calcola il perimetro e
120 Un poligono ABCDE è formato da un quadrato
l’area del triangolo. [2(2 ϩ ͙ෆ2) m; 2 m2] ABCE su cui è costruito un triangolo rettangolo
isoscele ECD con EC come ipotenusa. Il perime-
117 L’area di un triangolo rettangolo isoscele è 8 m2. tro del poligono è 4(3 ϩ ͙ෆ2) cm. Calcola l’area
e la distanza di D dal lato AB. [20 cm2; 6 cm]
Calcola il perimetro e l’altezza relativa all’ipote-
nusa. [4(2 ϩ ͙ෆ2) m; 2 ͙ෆ2 m]
Angoli di 30° e 60°
ESERCIZIO GUIDA
121 Un triangolo rettangolo ABC ha l’angolo B^ di 60° e l’angolo C^ di 30°. La bisettrice BE dell’angolo B^ è
12 cm. Calcoliamo il perimetro del triangolo ABC.
187 G
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ESERCIZI CAPITOLO G6. LA MISURA E LE GRANDEZZE PROPORZIONALI
Disegniamo la figura riportando i dati. C C
C
30°
E E 12 B' A 6√⎯3 B
30° 6 c
30°
AB
AB 6
a 12
b C'
La bisettrice divide l’angolo B^ in due angoli di 30°, quindi il triangolo EBC è isoscele (figura a), perciò BE
è congruente a CE, quindi:
CෆEෆ ϭ 12.
Consideriamo il triangolo AEB. L’angolo AE^B è di 60°, quindi AෆEෆ ϭ 1 EෆෆB, ossia AෆEෆ ϭ 6.
ᎏ2ᎏ
Il lato AB del triangolo AEB rappresenta l’altezza del triangolo equilatero di lato EB (figura b), quindi:
AෆෆB ϭ ᎏ12 2͙ᎏෆ3 ϭ 6 ͙ෆ3.
La misura del cateto AB, base del triangolo ABC, è AෆෆB ϭ 6 ͙ෆ3, la misura del cateto AC, altezza, è
AෆCෆ ϭ 12 ϩ 6 ϭ 18.
Il lato BC è doppio di AB, perciò BෆෆC ϭ 12 ͙ෆ3 (figura c).
La misura del perimetro del triangolo ABC è:
AෆCෆ ϩ AෆෆB ϩ ෆBCෆ ϭ 18 ϩ 6 ͙ෆ3 ϩ 12 ͙ෆ3 ϭ 18 ϩ 18 ͙ෆ3 ϭ 18(1 ϩ ͙ෆ3).
Il triangolo ha perimetro di lunghezza 18(1 ϩ ͙ෆ3) cm.
122 Un triangolo rettangolo ha un angolo acuto di 30° e l’altezza relativa all’ipotenusa di 7 cm. Calcola il perime-
tro, l’area del triangolo e le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. 7 ͙3ෆ
ᎏ3ᎏ
΄ ΅14(1 ϩ ͙ෆ3) cm; 98 ͙ෆ3 cm2; 7 ͙ෆ3 cm; cm
ᎏ3ᎏ
123 Un trapezio rettangolo ha l’angolo acuto adiacente alla base maggiore di 60°. Calcola l’area del trapezio sa-
3
pendo che la base minore è i ᎏ4ᎏ di quella maggiore e che il perimetro è 2(9 ϩ ͙ෆ3) cm. [14 ͙ෆ3 cm2]
124 Il triangolo rettangolo ABC ha l’angolo A^ di 90° e ^B di 60°. La bisettrice BD dell’angolo ^B divide il cateto CA
in due parti tali che DA è 2 m. Calcola la lunghezza del perimetro, l’area del triangolo ABC e la lunghezza del
segmento CD. [6(͙ෆ3 ϩ 1) m; 6 ͙ෆ3 m2; 4 m]
125 Un triangolo ABC ha l’angolo in C^ di 120°. L’altezza AH relativa alla base BC è 5 cm, il lato BC è
5 ͙ෆ3 ͙ෆ3
ᎏ3ᎏ ᎏ3ᎏ
Ϫ 12 cm. Calcola il perimetro. ΄ ΅55ϩ cm
126 Un trapezio isoscele è inscritto in una semicirconferenza di raggio r. Gli angoli alla base maggiore sono di
60°. Calcola area e perimetro del trapezio. ΄ ΅ᎏ3 ͙4ᎏෆ3 r2; 5r
G 188
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RIEPILOGO La risoluzione algebrica di problemi geometrici ESERCIZI
RIEPILOGO LA RISOLUZIONE ALGEBRICA DI PROBLEMI GEOMETRICI
127 La diagonale maggiore AC di un rombo è 16a. 136 Le proiezioni dei cateti di un triangolo rettangolo
sull’ipotenusa sono una i ᎏ19ᎏ6 dell’altra; il cateto
Indica con O il punto di incontro delle diagonali maggiore è 28 cm in più della sua proiezione. De-
termina il perimetro del triangolo. [420 cm]
e traccia il segmento OH perpendicolare ad AB.
Sapendo che AH è uguale a 6,4a, calcola perime-
[40a; 96a 2]
tro e area del rombo.
128 Il perimetro di un trapezio isoscele è 336 cm. La 137 Il cateto maggiore di un triangolo rettangolo è i
base maggiore è doppia della minore e la diffe- ᎏ45ᎏ della sua proiezione sull’ipotenusa ed è anche
renza fra il lato obliquo e i 3 della base maggiore
ᎏ5ᎏ
il doppio dell’altra proiezione aumentato di 2a.
è 6 cm. Calcola l’area del trapezio. [6480 cm2]
Determina l’area del triangolo. [150a 2 ]
129 In un triangolo rettangolo un cateto supera di 12 138 I cateti di un triangolo rettangolo stanno tra loro
cm la sua proiezione sull’ipotenusa. Sapendo che nel rapporto 3 . Il doppio dell’ipotenusa, dimi-
ᎏ4ᎏ
la proiezione dell’altro cateto sull’ipotenusa è 32
nuito della somma dei due cateti, misura 3 cm.
cm, calcola perimetro e area del triangolo.
[120 cm; 600 cm2]
130 I lati consecutivi di un parallelogramma differisco- Determina le lunghezze dei due cateti.
no di 8a e l’angolo fra essi compreso è di 60°. Sa-
pendo che l’area del parallelogramma è 120a2 ͙ෆ3, [3 cm; 4 cm]
calcola la misura delle diagonali. [4 ͙ෆ19 a; 28a]
139 In un triangolo rettangolo di perimetro 40 cm,
131 Un rombo ha il perimetro di 40 cm e la diagonale l’ipotenusa è uguale alla somma dei cateti dimi-
nuita di 6 cm. Determina le lunghezze dei due ca-
minore di 12 cm. Conduci dal punto O di incon- teti. [15 cm; 8 cm]
tro delle diagonali la perpendicolare OL al lato 140 Il rapporto tra il perimetro di un triangolo ret-
AB. Calcola l’area del rombo e la lunghezza dei tangolo e il suo cateto minore è uguale a 6, la dif-
segmenti AL, LB e OL. ferenza tra i due cateti è 7 cm. Determina le lun-
[96 cm2; 3,6 cm; 6,4 cm; 4,8 cm]
132 In un trapezio rettangolo il lato obliquo e la sua ghezze dei due cateti. [5 cm; 12 cm]
proiezione sulla base maggiore sono rispettiva- 141 Un rettangolo ha per lati le proiezioni dei cateti
mente 60a e 48a, la diagonale AC è perpendicola- sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo. Tale
re al lato obliquo CB. Determina l’area e il peri- rettangolo ha la stessa area di un quadrato di lato
metro del trapezio. [1836a 2; 198a] 2,4 m. Sapendo che nel triangolo la differenza fra
133 Le misure rispetto al centimetro dei lati di un le proiezioni dei due cateti è 1,4 m, determina
triangolo sono AෆෆB ϭ 6, AෆCෆ ϭ 9 e BෆCෆ ϭ 10.
Detta AD la bisettrice dell’angolo BA^C, determi- area e perimetro del triangolo. [6 m2; 12 m]
na l’area del rettangolo che ha per lati i segmenti 142 In un parallelogramma l’angolo acuto ha l’am-
CD e BD. [24 cm2] piezza di 30°, il lato maggiore è quattro volte
134 Un rombo ha il lato lungo 20 cm e l’area di quello minore e l’area è 1250 cm2. Determina le
384 cm2. Determina le due diagonali.
lunghezze dei lati e delle due altezze del parallelo-
[24 cm; 32 cm]
gramma. [25 cm; 100 cm; 12,5 cm; 50 cm]
135 Disegna un trapezio rettangolo con la diagonale 143 Un triangolo ABC è inscritto in una semicircon-
minore perpendicolare al lato obliquo. L’altezza ferenza di centro O e raggio 2a. L’angolo CO^B è di
60°. Calcola area e perimetro del triangolo, altez-
del trapezio è ᎏ43ᎏ della base minore e il lato obli- za relativa al diametro AB e le due parti in cui
tale altezza divide la base.
quo è 3a. Calcola area e perimetro del trapezio. [2͙ෆ3a2; 2a (3 ϩ ͙ෆ3); a ͙ෆ3; 3a; a]
[9,84a 2; 13,6a]
189 G
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ESERCIZI CAPITOLO G6. LA MISURA E LE GRANDEZZE PROPORZIONALI
144 In un triangolo rettangolo la proiezione di un ca- 145 Data una circonferenza di raggio r costruisci il
teto sull’ipotenusa è ᎏ52ᎏ и ͙ෆ5 volte il cateto stes- triangolo rettangolo OAB, retto in B (O è il cen-
so, mentre la proiezione dell’altro cateto è 4
ᎏ5ᎏ и tro della circonferenza e OB il raggio). Sapendo
che l’angolo AO^B ha ampiezza 60°, calcola area e
͙ෆ5 cm. Determina il perimetro del triangolo. perimetro del triangolo ABC, con C intersezione
[(12 ϩ 4 ͙ෆ5) cm] di AO con la circonferenza. ΄ ΅͙ෆ3
rᎏ4ᎏ2; r (2 ϩ ͙ෆ3)
6. Le aree e i volumi dei poliedri –ᮣ Teoria a pag. G168
■ Le aree dei poliedri
ESERCIZIO GUIDA
146 Un parallelepipedo rettangolo ha la diagonale che forma un angolo di 45° con la diagonale di base. La base
ha un lato lungo 20 dm e l’altro che è i 2 dell’altezza del solido. Determina l’area della superficie totale
del parallelepipedo. ᎏ3ᎏ
D' C' Relazioni e dati Sappiamo inoltre che la diagonale DෆෆB′ෆ forma un
A' B' 1. BD^B ′ ϭ 45°; angolo di 45° con la diagonale di base DෆෆB; ne deriva
2. AෆෆB ϭ 20; che il rettangolo DBB ′D′ è un quadrato e quindi:
3. ෆBCෆ ϭ ᎏ32ᎏ ෆBෆB′ෆ.
ෆDෆB ϭ ෆBෆBෆ′ ϭ ෆBෆ′ෆDෆ′ ϭ ෆDෆDෆ′ ϭ 3x.
D 45° C Richiesta
90° 90° At ● Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo ret-
tangolo ADB :
AB 202 ϩ 4x 2 ϭ 9x 2 → 5x 2 ϭ 400 → x 2 ϭ 80
x ϭ ͙ෆ80 → x ϭ 4͙ෆ5.
Risoluzione
● Scegliamo l’incognita. Sostituiamo alla x il valore trovato e otteniamo:
Poiché ෆBCෆ è i ᎏ32ᎏ di ෆBෆBෆ′, possiamo considerare ෆBCෆ ϭ 8͙ෆ5 e ෆBෆBෆ′ ϭ 12͙ෆ5.
un sottomultiplo comune, indicandone con x la
misura, tale che: ● Calcoliamo l’area della superficie totale del parallele-
pipedo:
ෆBCෆ ϭ 2x Abϭ (20 и 8͙ෆ5) ϭ 160͙ෆ5
ෆBෆBෆ′ ϭ 3x. Al ϭ 2pиhϭ(40 ϩ 16͙ෆ5) и 12͙ෆ5ϭ 480͙ෆ5ϩ 960
At ϭ 2Ab ϩ Al ϭ
ϭ 2 и 160͙ෆ5 ϩ 480͙ෆ5 ϩ 960 ϭ 800͙ෆ5 ϩ 960.
L’area della superficie totale del parallelepipedo ret-
tangolo è (800͙ෆ5 ϩ 960) dm2.
In un parallelepipedo rettangolo, le dimensioni della base sono una i 3 dell’altra e il lato maggiore della
base è i ᎏ32ᎏ dell’altezza del parallelepipedo. Calcola le lunghezze delle tre ᎏ4ᎏ della
superficie totale del parallelepipedo è 1200 dm2. sapendo che l’area dm
10 dm; ᎏ43ᎏ0 dm; 20
΄ ΅147
dimensioni,
G 190
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Paragrafo 6. Le aree e i volumi dei poliedri ESERCIZI
148 La diagonale di un parallelepipedo rettangolo forma un angolo di 60° con lo spigolo laterale del solido ed è
lunga 20 dm. Sapendo che un lato di base è 8 ͙ෆ3 dm, calcola l’area della superficie totale del parallelepipedo.
[8(35͙3ෆ ϩ36) dm2]
149 Determina la misura della diagonale di un parallelepipedo rettangolo in cui la somma delle tre dimensioni è
15 cm, il rapporto fra le dimensioni di base è ᎏ32ᎏ e l’area della superficie totale è 148 cm2.
[͙ෆ77 cm]
150 Un prisma esagonale regolare ha la diagonale di ogni faccia laterale inclinata di 60° rispetto alla base e di
[900͙ෆ3 dm2]
lunghezza 20 dm. Determina l’area della superficie totale del solido.
151 Una piramide retta a base quadrata ha l’altezza lunga 15͙ෆ3 cm, che forma un angolo di 30° con l’apotema
[2700 cm2]
di ogni singola faccia. Determina l’area della superficie totale del solido.
152 Una piramide regolare a base esagonale, il cui lato di base è lungo 10a cm, ha l’area della superficie totale di
1050 и a2͙ෆ3 cm2. Determina l’altezza della piramide.
[5͙ෆ10ෆ5a cm]
153 Un prisma regolare ha per base un triangolo equilatero, il cui lato è i ᎏ72ᎏ dell’altezza del solido. Sapendo che
l’area della superficie totale del prisma è (168 ϩ 8͙ෆ3) dm2, determina la lunghezza degli spigoli del prisma.
[4 dm; 14 dm]
154 In un tronco di piramide regolare a base quadrata, la somma di uno spigolo della base minore con uno della
base maggiore è 20 cm e la superficie laterale è equivalente al quadruplo della differenza fra le aree delle due
basi. Sapendo che l’apotema del tronco di piramide è 8 cm, calcola l’area della superficie totale. [528 cm2]
■ I volumi dei poliedri
ESERCIZIO GUIDA
155 In un prisma regolare a base esagonale, il rapporto fra l’altezza e il lato di base è 2 ͙ෆ3 e l’area della super-
ficie laterale è 192a 2 ͙ෆ3. Calcola il volume del prisma.
Risoluzione
● Calcoliamo il volume del prisma.
h O apotema Scegliamo l’incognita.
B B d Poiché ᎏhᎏ ϭ 2 ͙ෆ3, risulta h ϭ 2 ͙ෆ3 и l.
ᐍ cubo l
AA
prisma base del prisma
Pertanto, se poniamo l ϭ x, abbiamo
h ϭ 2 ͙ෆ3 и x.
Relazioni e dati Richiesta Poiché Al ϭ 192a 2 ͙3ෆ, determiniamo Al in fun-
ᎏVᎏp zione di x e poi uguagliamo l’espressione ottenu-
1. ᎏhᎏ ϭ 2 ͙ෆ3; Vc ta a 192a 2 ͙ෆ3 :
l
2. Al ϭ 192a 2 ͙ෆ3; Al ϭ 2p и h → Al ϭ 6x и 2͙ෆ3 x ϭ 12͙ෆ3 x2
3. d ϭ 2a ͙ෆ3.
191 G
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ESERCIZI CAPITOLO G6. LA MISURA E LE GRANDEZZE PROPORZIONALI
12 ͙ෆ3 x 2 ϭ 192a 2 ͙ෆ3 → 12x 2 ϭ 192a 2 ● Determiniamo l’apotema dell’esagono, ricordan-
do che il triangolo OAB è equilatero. Appli-
x 2 ϭ ᎏ1912ᎏ2a 2 → x 2 ϭ 16a 2 → x ϭ Ϯ 4a. chiamo quindi la formula h ϭ ᎏl ͙2ᎏෆ3 , in cui h e l
sono rispettivamente l’altezza e il lato del trian-
Pertanto, x ϭ 4a (perché Ϫ 4a non accettabile). golo equilatero, e otteniamo:
Sostituiamo a x il valore 4a e calcoliamo le misu- apotema ϭ 4a и ᎏ͙2ᎏෆ3 ϭ 2a ͙ෆ3.
re del prisma: Poiché il perimetro di base è
l ϭ 4a 2p ϭ 24a → p ϭ 12a,
h ϭ 2 ͙ෆ3 и 4a ϭ 8a ͙ෆ3. risulta:
area (base) ϭ 12a и 2a ͙ෆ3 ϭ 24a 2 ͙ෆ3.
Poiché la formula per calcolare il volume del pri-
sma è V ϭ Ab и h, dobbiamo calcolare l’area di Il volume del prisma è:
base.
Per farlo, usiamo la formula Ab ϭ p и apotema. V ϭ 24a 2 ͙ෆ3 и 8a ͙ෆ3 ϭ 576a 3.
156 Il volume di un prisma triangolare regolare è 108 ͙ෆ3 cm3. L’altezza del prisma è doppia dello spigolo di
[216 cm2]
base. Determina l’area della superficie laterale del prisma.
157 Un prisma pentagonale regolare ha l’area della superficie totale di 204 cm2. La somma delle basi è ᎏ15ᎏ2 della
superficie laterale e l’altezza è uguale al perimetro di una base. Determina il volume del prisma e lo spigolo
di base. ΄ ΅360 cm3; 12 cm
ᎏ5ᎏ
158 Un parallelepipedo retto ha per base un rombo le cui diagonali stanno fra loro come 8 sta a 15. Sapendo che
l’altezza del parallelepipedo è 10 cm e che l’area della superficie totale è 3280 cm2, determina il volume del
solido. [9600 cm3]
159 Una piramide retta a base quadrata ha lo spigolo lungo 12a ed è inclinato di 60° rispetto alla base. Calcola il
[144a3͙ෆ3 ]
volume della piramide.
160 In una piramide regolare a base quadrata, la differenza fra l’area della superficie laterale e quella di base è 640
cm2; l’altezza della piramide è ᎏ56ᎏ del lato di base. Calcola l’apotema e il volume della piramide.
[26 cm;
3200 cm3]
161 Un parallelepipedo rettangolo ha la diagonale inclinata di 60° rispetto al piano di base e lunga 40 dm. Sapen-
do che i lati di base sono l’uno i ᎏ43ᎏ dell’altro, calcola il volume del solido.
[3840͙3ෆ dm3]
162 In un tronco di piramide regolare a basi quadrate, la somma dei perimetri delle basi è 64 m e la somma delle
loro aree è 160 m2. Il volume del solido è 1664 ͙ෆ7 m3. Calcola l’area della superficie totale. ͙ෆ29
ᎏ3ᎏ [160
ϩ 128 m2]
G 192
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Verso le competenze ESERCIZI
Verso le competenze Nel sito: ᭤ 30 test interattivi in più
TEST
1 Le seguenti uguaglianze relative alla lunghezza di 7 Trova l’area di un esagono regolare di perime-
due segmenti sono tutte equivalenti tranne una. tro 12.
Quale?
(USA Bay Area Math Meet, BAMM, Bowl Sampler, 1997)
A AB ϭ 2,5 CD C 0,4 AB ϭ CD
[6͙3ෆ]
B 2 AB ϭ 5 CD D 5 TEST
CD ϭ ᎏ2ᎏ AB
8 Il piccolo fermacarte della
2 Nel triangolo ABC rappresentato in figura la ret- figura è realizzato nel se-
ta r è parallela a BC e passa per il punto medio M guente modo. Si prende un
di AB. cubo di lato 3 cm e su una
sua faccia si realizza una ca-
A vità a forma di piramide con
rM N la stessa base del cubo e al-
B C 2
tezza ᎏ3ᎏ di quella del cubo.
Qual è il volume del solido così ottenuto?
Quale delle seguenti relazioni è falsa? A 6 cm3 B 9 cm3 C 21 cm3 D 33 cm3
A MA ϭ AN C AB Ϻ AM ϭ BC Ϻ MN (Invalsi, 2006)
B AN ϭ NC D AM Ϻ MB ϭ AN Ϻ NC 9 Un quadrato ha perimetro p Ͼ 0 e area
A ϭ 2p. Qual è il valore di p?
3 In un quadrato la diagonale misura 5. Quanto A 24 B 32 C 36 D 48 E 54
misura il lato?
(USA University of South Carolina: High School Math Contest, 2001)
͙ෆ2 5
A ᎏ5ᎏ B 5 ͙ෆ2 C 2 ͙ෆ5 D ᎏ2ᎏ ͙ෆ2 10 Da un quadrato di
4 Nella figura le cifre rappresentano il peri- lato 4a sono stati ri-
metro, in centimetri, del corrispondente rettan- tagliati quattro trian-
golo. Quanti centimetri è lungo il perimetro del
quarto rettangolo? goli rettangoli isosceli
come nella figura.
A1 Quanto vale l’area
della parte colorata?
B2 A 8a2 C 14a2
C4 2 B 12a2 D 15a2
D 3 12 11 Nella figura tutti i trian- (Invalsi, 2006)
ᎏ2ᎏ (Olimpiadi della matematica, Gara provinciale, 1995) goli sono rettangoli e (Invalsi, 2005)
hanno i lati delle misure
E3 indicate. Quale delle se-
guenti uguaglianze forni-
5 In un triangolo rettangolo un cateto è cinque vol- sce la misura di OP in fun-
te l’altro. Dimostra che l’ipotenusa è incommen- zione della misura a?
surabile con entrambi i cateti.
A OP ϭ ͙aෆϩෆෆ4
6 Supponi che un trapezio abbia i lati che misura-
no 5, 5, 5, e 11. Trova la sua area. B OP ϭ ͙aෆ2ෆϩෆ4
(USA Bay Area Math Meet, BAMM, Bowl Sampler, 1997) C OP ϭ ͙aෆ2ෆϩෆ3
[32] D OP ϭ ͙aෆ2ෆϩෆ1ෆ6
193 G
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ESERCIZI CAPITOLO G6. LA MISURA E LE GRANDEZZE PROPORZIONALI
12 Se l’area del triango- 16 Trova l’affermazione non corretta.
Il rapporto tra due grandezze commensurabili
lo equilatero ABC è può essere:
10 cm2, qual è l’area A un numero naturale.
della stella? B un numero decimale finito.
A10 ϩ 10 cm2 C un numero irrazionale.
ᎏ9ᎏ
B D un numero decimale periodico.
10 ϩ 10 cm2
ᎏ3ᎏ
C 13 cm2 17 La base di una piramide retta è un trapezio iso-
scele circoscritto a una circonferenza di raggio 4
D 15 cm2 (Invalsi, 2005) cm e che ha il lato obliquo lungo 10 cm.
Se il volume della piramide misura 240 cm3, la
13 Il poligono raffigu- sua altezza è:
rato è stato ottenuto
costruendo, esterna- A 3 cm.
mente a un quadrato
di lato 10 cm, quat- B 6 cm.
tro triangoli.
Il perimetro del po- C 9 cm.
ligono è:
D i dati non sono sufficienti.
A 20(2 ϩ ͙ෆ2) cm.
B 60͙ෆ2 cm. 18 Il poligono della figura è costituito da due esa-
C 20(͙3ෆ ϩ ͙2ෆ) cm. goni regolari di lato 6 cm e da due triangoli.
La sua area è:
D 80 cm.
A 126͙3ෆ.
14 Quali tra le seguenti scritture sono equivalenti? B 108͙3ෆ.
C 252͙3ෆ.
a) a : b ϭ c : d; d) d : c ϭ b : a;
e) c : d ϭ b : a. D i dati non sono
b) ᎏcᎏ ϭ ᎏaᎏ; sufficienti.
db
19 VERO O FALSO?
ᎏd ϭ ᎏbᎏ;
c) ca a) L’area di un quadrato è direttamente
proporzionale al lato. VF
A Tutte. C b, c. b) Nell’insieme dei triangoli aventi la
B a, d, e. D a, b, c, d. stessa base l’area è direttamente
proporzionale all’altezza.
VF
15 La stecca BD dell’aquilone ABCD è lunga 50 cm c) Il costo di un quotidiano è direttamente
ed è divisa dall’altra stecca in due parti che
stanno tra loro come 9 e 16. Tenendo conto che proporzionale al numero delle sue
BA^D e BC^D sono retti, l’area dell’aquilone è:
pagine. VF
A 600 cm2.
B 1200 cm2. d) Il peso di una persona è direttamente
C 2400 cm2.
D 2500 cm2. proporzionale alla sua età. VF
e) L’incasso di una serata al cinema è
direttamente proporzionale al numero
di biglietti venduti. VF
f) La distanza casa-scuola è direttamente
proporzionale al tempo impiegato
a percorrerla. VF
G 194
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Le trasformazioni CAPITOLOTEORIA
geometriche
G7
Letture allo specchio!
Ingegni, ossesso, anilina: tre esempi di palindromi,
ovvero di parole che si possono leggere sia da
sinistra verso destra, sia da destra verso sinistra.
Esistono anche delle frasi palindrome, come per
esempio «I re sono seri», o perfino interi
componimenti letterari. Ma se guardi la parola
INGEGNI allo specchio ottieni INGEGNI , che
rispetta sì la successione delle lettere, ma non la
loro forma…
…esistono parole che si possono leggere anche
allo specchio?
Nel sito: ᭤ La risposta
1. Le isometrie ED E'
ᏲC
■ Le trasformazioni geometriche Ᏺ'
AB C' D'
Consideriamo il punto O e un angolo orientato di ampiezza ␣ (figura 1). A'
Al punto A associamo il punto A′ tale che OA Х OA′. B'
α
Allo stesso modo possiamo associare a un altro punto B il punto B′, a C il
punto C′ e così via. O
Abbiamo creato una corrispondenza fra punti del piano che è biunivoca ᭡ Figura 1 Al punto A
perché, fissato il punto O e l’angolo orientato ␣, a ogni punto del piano associamo A′, al segmento
corrisponde uno e un solo punto del piano stesso e viceversa. AB il segmento A′B ′, al poli-
gono ABCDE (figura Ᏺ)
In generale, diamo la seguente definizione. il poligono A′B′C′D ′E′
(figura Ᏺ′).
DEFINIZIONE
Trasformazione geometrica
Una trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca che as-
socia a ogni punto del piano un punto del piano stesso.
In altre parole, una trasformazione geometrica è una funzione biiettiva
del piano in sé.
195 G
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TEORIA CAPITOLO G7. LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
◗ Si legge «A′ uguale a Ogni punto (o figura) che si ottiene mediante una trasformazione geo-
erre di A». metrica viene detto il trasformato (o l’immagine) del punto (o della fi-
gura) di partenza.
◗ Per esempio, fra le rota-
zioni di centro O quella in Nell’esempio precedente il punto A′ è immagine di A, il segmento A′B ′ è
cui l’angolo di rotazione è immagine del segmento AB.
nullo è l’identità. Se indichiamo con r la rotazione, r rappresenta una funzione, quindi
possiamo anche scrivere: A′ ϭ r (A).
Quando in una trasformazione a un punto corrisponde se stesso, di-
ciamo che il punto è unito.
Per esempio, nella rotazione precedente il punto O è un punto unito.
L’identità è la trasformazione che a ogni punto del piano associa il
punto stesso.
Le proprietà delle figure che non cambiano nelle trasformazioni si chia-
mano invarianti della trasformazione.
◗ Isometria deriva dal ■ Le isometrie
greco iso, che significa
«uguale», e métron, che si- Le isometrie o congruenze sono
gnifica «misura». le trasformazioni che descrivono,
in modo astratto, i movimenti che
᭤ Figura 2 Rappresen- mantengono inalterate le misure
tiamo un ascensore con un degli oggetti, ossia i movimenti ri-
rettangolo. Il movimento gidi.
traslatorio dell’ascensore in
direzione verticale è una In altre parole, esse hanno come
particolare isometria detta invariante la distanza fra i punti: la
traslazione. distanza fra due punti è uguale alla
distanza fra le loro immagini.
Le figure che si corrispondono in un’isometria sono congruenti.
Studieremo quattro tipi di isometrie: traslazione, rotazione, simmetria
centrale, simmetria assiale.
→ B ■ La traslazione
AB B
A I vettori
B→A È possibile orientare un segmento AB, fissandone un verso di percorren-
A za, da A verso B oppure da B verso A. Parleremo in questo caso di seg-
mento orientato.
¡
Indichiamo il segmento orientato da A verso B con il simbolo AB e da B
¡
verso A con il simbolo BA.
G 196
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 1. Le isometrie TEORIA
¡¡
Dato un segmento orientato AB, diciamo che è equipollente ad AB ogni
altro segmento orientato che ha la stessa lunghezza, la stessa direzione e
lo stesso verso.
Nell’insieme dei segmenti orientati, la relazione di equipollenza è una re- ◗ Vettore deriva dal lati-
lazione di equivalenza, perché gode delle proprietà riflessiva, simmetrica no vector, il cui significato
e transitiva. L’equipollenza suddivide perciò i segmenti orientati del pia- è «che trasporta».
no in classi di equivalenza. Ogni classe è chiamata vettore e contiene tutti
e soli i segmenti fra loro equipollenti.
Indichiamo un vettore con una lettera sormontata da una freccia, a¡, op-
¡
pure con il segmento orientato che lo rappresenta: .
AB
¡ direzione verso
Un vettore AB è caratterizzato da:
● il modulo ͉ ¡ ͉, ossia la misura della lunghezza del segmento AB ri- B
A modulo = AB
AB
→v = A→B
spetto a una unità prefissata;
A −→v = B→A B
● la direzione, cioè la direzione della retta a cui appartiene il segmento;
● il verso.
Si chiama vettore nullo il vettore che ha come rappresentanti i segmenti
nulli. Il vettore nullo viene indicato con 0¡, ha modulo 0 e direzione e ver-
so indeterminati.
¡¡
Si chiama vettore opposto di un vettore AB il vettore BA, ossia il vettore
¡ ᭢ Figura 3 Facciamo coin-
che ha lo stesso modulo di e la stessa direzione, ma verso contrario. cidere il secondo estremo
AB del primo segmento con il
primo estremo del secondo
Indichiamo il vettore opposto di v¡ con Ϫ v¡. segmento. Il vettore somma
Per ottenere la somma di due vettori a¡ e b¡ rappresentiamo a¡ con il seg- ¡
¡ ¡ ¡
mento e con il segmento consecutivo al primo (figura 3). Il vet- è AC.
AB b BC,
tore somma è rappresentato dal segmento A¡C. In altre parole il vettore →a →b
somma ha lunghezza e direzione della diagonale del parallelogramma di
lati i due vettori. Per questa ragione, la regola per sommare due vettori A →a
→a + →b
assegnati è nota come regola del parallelogramma. B
La traslazione C →b
DEFINIZIONE
Traslazione
Fissato nel piano un vettore v¡, una →v
traslazione è una trasformazione
geometrica che a ogni punto P fa P P' P' = t →v (P)
corrispondere il punto P ′ tale che
P¡P ′ è equipollente a v¡.
Indichiamo una traslazione di vettore v¡ con il simbolo t¡v; analogamente,
¡
la traslazione di vettore AB si indica con tA¡B.
197 G
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TEORIA CAPITOLO G7. LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
→v B' Dimostriamo che una traslazione è una isometria: basta dimostrare che,
B →v dati due punti qualsiasi A e B e i loro trasformati A′ e B ′, i segmenti AB e
A′B ′ sono congruenti.
→v Al punto A corrisponde il punto A′, a B corrisponde B ′. Il quadrilatero
A' AA′B ′B è un parallelogramma, perché ha due lati opposti AA′ e BB ′ con-
gruenti e paralleli (sono due rappresentanti del vettore v¡). In un paralle-
A logramma i lati opposti sono congruenti, quindi AB Х A′B ′.
Si può dimostrare anche che alla retta AB corrisponde la retta A′B ′ e che
le due rette sono parallele. Questa proprietà è comune a tutte le traslazio-
ni: a ogni retta corrisponde una retta a essa parallela.
Un caso particolare di traslazione è la traslazione nulla, ossia la trasla-
zione di vettore nullo. La traslazione nulla coincide con l’identità.
I punti uniti e le figure unite
Una figura unita è una figura che coincide con la sua trasformata.
᭤ Figura 4 La retta r è ESEMPIO In una traslazione di vet- →v
parallela al vettore della tra- tore v¡ ogni retta parallela al vettore è
slazione. Al punto P di r cor- P' r
risponde il punto P′ ancora unita. Infatti, se una retta è parallela P
di r. La retta è unita. al vettore v¡, a ogni suo punto corri- Q'
Q
sponde ancora un suo punto, quindi
alla retta corrisponde se stessa.
In una traslazione di vettore qualsiasi non esistono punti uniti.
→a →b La composizione di due traslazioni
Poiché le trasformazioni geometriche sono funzioni, possiamo conside-
Ᏺ' rare la loro composizione.
Ᏺ
Applichiamo la traslazione ta¡ alla figura Ᏺ (figura a lato). A Ᏺ corrispon-
Ᏺ" de la figura Ᏺ′.
→a →b
La traslazione t ¡ fa corrispondere a Ᏺ ′ la figura Ᏺ ″.
b
La composizione delle due traslazioni t ¡ ؠ t a¡ è una nuova traslazione, t c¡, il
b
cui vettore, c¡, è la somma vettoriale di a¡ e di b¡, ossia:
→c
Ᏺ t ¡ ؠ t a¡ ϭ t .a¡ϩb¡
b
Ᏺ" ■ La rotazione
◗ Indichiamo una rota- DEFINIZIONE P'
zione di centro O e angolo α
␣ con il simbolo r (O ; ␣). Rotazione
Fissati nel piano un punto O e un O P
angolo ␣, la rotazione di centro O e P' = r(O;α) (P)
angolo ␣ è quella trasformazione
geometrica che a ogni punto P fa
corrispondere il punto P ′ tale che:
● OP ′ Х OP ;
● l’angolo PO^P ′ è congruente ad ␣
e ugualmente orientato.
G 198
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 1. Le isometrie TEORIA
Si può dimostrare che una rotazione è un’isometria.
Un caso particolare di rotazione è la rotazione nulla, ossia la rotazione di
angolo nullo o di un angolo multiplo di un angolo giro. La rotazione nul-
la coincide con l’identità.
In una rotazione non nulla l’unico punto unito è il centro O, mentre esi-
stono figure unite rispetto a particolari rotazioni. Per esempio:
● la circonferenza e il cerchio sono figure unite rispetto a una rotazione,
di angolo qualsiasi, intorno al loro centro;
● il quadrato è una figura unita per rotazioni di centro il punto d’incon-
tro delle diagonali e di angoli multipli interi di un angolo retto (un an-
golo retto, un angolo piatto...).
■ La composizione di rotazioni Ᏺ"
Ᏺ'
Date due rotazioni con lo stesso centro O e con angoli di rotazione diversi
␣ e  (figura a), rotazioni indicate rispettivamente con β α+β
α
r (O; ␣) e r (O; ),
O Ᏺ
la trasformazione composta r (O; ) ؠr (O; ␣) è una nuova rotazione avente lo a
stesso centro O e angolo uguale all’angolo somma di ␣ e :
β
r (O; ) ؠr (O; ␣) ϭ r (O; ␣ϩ).
O'
Non è detto, invece, che la composizione di due rotazioni di centri diversi α
sia ancora una rotazione (figura b). O
b
Pertanto la composizione fra rotazioni di centri diversi non è un’opera-
zione interna all’insieme delle rotazioni.
■ La simmetria centrale P O P' ◗ Indichiamo una simme-
P' = sO (P) tria di centro O con il sim-
DEFINIZIONE bolo sO.
Simmetria centrale
Fissato nel piano un punto O, una
simmetria centrale di centro O è la
trasformazione geometrica che a
ogni punto P fa corrispondere il
punto P ′ tale che il segmento PP ′
abbia O come punto medio.
Dalla definizione deduciamo che al punto O corrisponde se stesso, quin- B O A'
di O è un punto unito. A B'
c
Si può dimostrare che la simmetria centrale è un’isometria.
Inoltre, nelle simmetrie centrali a ogni retta corrisponde una retta a
essa parallela (figura a lato).
199 G
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
TEORIA CAPITOLO G7. LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
Pˆ Dunque anche nella simmetria centrale, come nella traslazione, la dire-
zione delle rette è un invariante.
A'
AO Il punto O, centro di simmetria, è l’unico punto unito della simmetria
centrale, mentre ogni retta passante per O è unita.
C
La simmetria centrale può anche essere pensata come una rotazione di
E un angolo piatto intorno al centro di simmetria e viceversa (figura a lato).
DO F B Il centro di simmetria di una figura
Consideriamo la figura ABCD e il punto O interno a essa. Determiniamo
A la figura corrispondente nella simmetria di centro O.
᭢ Figura 5 In questo caso particolare osserviamo che a ciascun punto della figura
corrisponde un altro punto della figura: ad A corrisponde C, a B corri-
sponde D, a E corrisponde F ecc. La figura data è quindi una figura uni-
ta rispetto alla simmetria centrale. Il punto O, centro della simmetria, è
detto centro di simmetria della figura.
In generale, un punto del piano è detto centro di simmetria di una fi-
gura se la figura è unita rispetto alla simmetria centrale di centro quel
punto.
DC
O O
M
c. Un cerchio ha come centro di
a. Un segmento ha come centro AB simmetria il proprio centro.
di simmetria il proprio punto medio.
b. Un parallelogramma ha come
centro di simmetria il punto di
incontro delle diagonali.
Ᏺ" La composizione di due simmetrie centrali
Ᏺ A" Consideriamo la simmetria centrale sO applicata alla figura Ᏺ. Alla figura
O' Ᏺ corrisponde Ᏺ′ (figura a). Applichiamo la simmetria centrale sO ′ alla
figura Ᏺ′. Alla figura Ᏺ′corrisponde Ᏺ″.
A'
AO La composizione delle due simmetrie sO′ ؠsO è una traslazione, t¡v, il cui vet-
tore v¡ è il doppio del vettore che congiunge i due centri (figura b), ossia:
Ᏺ'
a
sO′ ؠ sO ϭ t2 .¡
OO′
traslazione Infatti, nel triangolo AA′A″ il punto O è punto medio di AA′ e O′ è pun-
to medio di A′A″, quindi il segmento OO ′ è parallelo ad AA″ e metà del
A" segmento stesso per il teorema di Talete.
O'
AO A' Questo esempio fa capire che l’operazione di composizione non è un’opera-
zione interna nell’insieme delle simmetrie centrali: componendo due sim-
b metrie centrali non si ottiene una simmetria centrale ma una traslazione.
G 200
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 1. Le isometrie TEORIA
La composizione di una simmetria centrale con se stessa dà come risulta- MATEMATICA
to l’identità. Infatti, a un qualunque punto A corrisponde in una simme- PER IL CITTADINO
tria sO il punto A′ e al punto A′ corrisponde nella stessa simmetria sO di
nuovo il punto A. Le isometrie
nell’arte
Si dice anche che la simmetria centrale è una trasformazione involutoria.
Nella storia dell’arte, per
In generale, una trasformazione geometrica è involutoria quando esempio nei mosaici di
componendola con se stessa fornisce come risultato l’identità. epoca romana, si trovano
spesso elementi decorati-
■ La simmetria assiale vi geometrici. Creiamo al-
cuni fregi applicando ri-
DEFINIZIONE petutamente alla figura di
base diversi tipi di isome-
Simmetria assiale trie.
Fissata una retta a nel piano, una simmetria assiale è la trasformazione Nel sito: ᭤ Il problema
geometrica che:
1. a ogni punto R di a fa corrispondere se stesso; a
2. a ogni punto P, non appartenente ad a, fa corrispondere il punto P ′,
R
dalla parte opposta di P rispetto ad a, tale che:
● P ′ appartiene alla retta passante per P e perpendicolare ad a; P P'
● P e P ′ hanno la stessa distanza da a .
R = sa(R)
Indichiamo una simmetria assiale di asse a con il simbolo sa. P' = sa(P)
La retta a viene detta asse di simmetria.
Si può dimostrare che la simmetria assiale è una isometria.
In una simmetria assiale, l’asse di simmetria è l’insieme di tutti e soli i
punti uniti della trasformazione.
PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI
Il percorso più breve Nel sito: ᭤ Scheda di lavoro
Due punti A e B sono situati in uno stesso semipiano generato da una retta r.
Determina su r il punto P tale che la spezzata APB abbia la minima lunghezza.
MARCELLO: «Dipende molto da come sono messi A e B. Bisogna esaminare
GIOVANNA: più casi».
«Mi sembra che quello più semplice sia quando A e B sono alla
stessa distanza da r. Partiamo da lì».
᭤ Procedi come suggerisce Giovanna. Dove si trova P? Scegli poi B a diverse
distanze da r e, in ognuno dei casi che esamini, determina P. Riassumi i casi
in uno stesso foglio che contenga un unico punto A, i punti B1, B2, B3, … e i
corrispondenti P1, P2, P3, … Riesci a individuare qualche proprietà?
201 G
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TEORIA CAPITOLO G7. LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
L’asse di simmetria di una figura
Una retta del piano si dice asse di simmetria di una figura se la figura è
unita rispetto alla simmetria assiale che ha per asse quella retta.
ESEMPIO
᭤ Figura 6
a. Le rette delle due b. Il quadrato ha quattro c. Il cerchio ha infiniti assi
diagonali sono assi di assi di simmetria: oltre di simmetria: tutte le
simmetria per il rombo. alle rette delle diagonali, rette dei suoi diametri.
sono assi di simmetria le
rette passanti per i punti
medi dei lati opposti.
La composizione di simmetrie con assi non paralleli
Ᏺ Ᏺ' Ᏺ Ᏺ' Ᏺ Ᏺ'
AH A' b A A'K b A A' b
α 2α
O A" A"
O
a O
a Ᏺ"
a. Consideriamo le rette a e b a Ᏺ"
incidenti in O. La simmetria sa b. La simmetria sb trasforma Ᏺ' nella
trasforma la figura Ᏺ nella figura Ᏺ'. figura Ᏺ". I triangoli rettangoli A'KO c. La composizione delle due
I triangoli rettangoli AHO e OHA' e KOA" sono congruenti, sempre per
sono congruenti per il primo il primo criterio, quindi simmetrie sb ؠsa è la rotazione di
criterio, perciò AOˆ H ≅ HOˆ A'. A'Oˆ K ≅ KOˆ A".
centro O, intersezione degli
assi, e di angolo il doppio dell’angolo
α segnato in figura (l’angolo
convesso formato dalle rette a e b).
᭡ Figura 7 In figura La composizione di una simmetria con se stessa
costruiamo la composizione Se applichiamo due volte una stessa simmetria assiale vediamo che a un
sb ؠsa. Cosa puoi dire della punto A corrisponde il suo simmetrico A′ e ad A′ corrisponde di nuovo
composizione sa ؠsb? A. La simmetria assiale è quindi una trasformazione involutoria.
᭢ Figura 8 La composizione di simmetrie con assi paralleli
a ab ab
Ᏺ Ᏺ' Ᏺ Ᏺ' Ᏺ" Ᏺ Ᏺ' Ᏺ"
a. Consideriamo la simmetria sa, che b. Applichiamo ora a Ᏺ' la simmetria c. La composizione delle due
applicata alla figura Ᏺ produce sb (dove l’asse b è parallelo ad a).
la figura Ᏺ'. A Ᏺ' corrisponde la figura Ᏺ". simmetrie sb ؠsa è una traslazione,
il cui vettore ha per lunghezza il
doppio della distanza fra i due assi.
G 202
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 2. L’omotetia TEORIA
La composizione di simmetrie con assi perpendicolari ESPLORAZIONE
Se gli assi di simmetria sono perpendicolari, la composizione delle due
simmetrie equivale a una rotazione di un angolo piatto, ossia a una sim- Tassellare è un’arte
metria centrale (figura 9).
Nel sito: ᭤ La scheda
Ᏺ Ᏺ' Ᏺ Ᏺ'
Pˆ
b Ob
Ᏺ" Ᏺ"
a a
a. Alla figura Ᏺ corrisponde Ᏺ' nella b. La figura Ᏺ viene trasformata in Ᏺ"
simmetria di asse a e a Ᏺ' corrisponde con una rotazione di un angolo piatto
la figura Ᏺ" nella simmetria di asse b. Pˆ di centro O, ossia con una simmetria
centrale di centro O.
᭡ Figura 9
Le simmetrie assiali e le isometrie
Si può dimostrare che ogni rotazione e ogni traslazione può essere pen-
sata come composizione di due opportune simmetrie assiali. Abbiamo
anche visto che la simmetria centrale coincide con la rotazione di un
angolo piatto e di medesimo centro. Pertanto, possiamo dire che ogni
isometria può essere pensata come composizione di simmetrie assiali.
2. L’omotetia ᭣ Figura 10
■ Il rapporto fra vettori paralleli
I vettori sono segmenti orientati, quindi è possibile definire il rapporto
fra due vettori paralleli in analogia al rapporto fra due segmenti.
ESEMPIO
DD
B B
→b CD = 2AB →b CD = − 2AB
→a —CD– = 2 →a —CD– = − 2
AC AB AC AB
a. Se→a e→b hanno lo stesso verso, b. Se→a e→b hanno verso opposto,
—→→ba è positivo. —→→ba è negativo.
Il rapporto fra due vettori paralleli è quel numero reale k che esprime il
rapporto fra i segmenti corrispondenti, con la seguente convenzione:
● se i vettori hanno lo stesso verso il numero k è positivo;
● se i vettori hanno verso opposto il numero k è negativo.
203 G
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TEORIA CAPITOLO G7. LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
■ L’omotetia
◗ Indichiamo un’omote- DEFINIZIONE o(O; k) P'
tia di centro O e rapporto
k con il simbolo o(O; k). Omotetia P k
Per esempio, o(P ; Ϫ2) indica O P' = o(O; k) (P')
l’omotetia di centro P e Fissati un punto O nel piano e un
rapporto Ϫ 2. numero reale k diverso da zero, 3
l’omotetia è la trasformazione geo- 2
metrica che a un punto P fa corri- 1
spondere il punto P ′ tale che:
● P ′ appartiene alla retta OP ;
● ᎏOO¡¡PᎏP′ ϭ k.
Oق C' k = —12 B' A' ق k = − —21 Il punto O è detto centro dell’omo-
A' B'ق C C' قO C tetia e k rapporto di omotetia.
Una omotetia si dice diretta se
ق k Ͼ 0, inversa se k Ͻ 0.
In generale, se ͉k ͉ Ͼ 1 la figura im-
AB AB magine è ingrandita rispetto a quel-
la iniziale, se ͉k ͉ Ͻ 1 è rimpicciolita.
a. Dato un triangolo ABC e un punto b. A'B'C' è il corrispondente del In una omotetia l’unico punto uni-
to è il centro.
O, il triangolo A'B'C' è omotetico ad triangolo ABC nell'omotetia di centro Talvolta le omotetie sono dette dila-
tazioni (sia per k Ͼ 1, sia per k Յ 1).
ABC nell'omotetia di centro O e O e rapporto – —12 (omotetia inversa).
rapporto —21 (omotetia diretta). Due punti corrispondenti stanno su
Due punti corrispondenti stanno semirette opposte di origine O.
sulla stessa semiretta di origine O.
᭡ Figura 11 Studiamo ora i due casi particolari k ϭ 1 e k ϭ Ϫ 1.
P' O P L’identità (k ؍1)
k = −1
¡
ᎏO¡Pᎏ′ ϭ 1,
Se OP allora è ¡ ′ ϭ O¡P. A ogni punto corrisponde se stesso:
OP
l’omotetia considerata è l’identità.
La simmetria centrale (k ؍؊ 1)
¡
ᎏO¡Pᎏ′
Se OP ϭ Ϫ 1, allora è ¡ ′ ϭ Ϫ ¡ , ossia i due vettori ¡ ′ e ¡ hanno
OP OP OP OP
lo stesso modulo, la stessa direzione e verso opposto. L’omotetia è la sim-
metria centrale di centro O.
■ Alcune proprietà dell’omotetia
Ci limitiamo a enunciare i seguenti teoremi.
TEOREMA
LABORATORIO In una omotetia di rapporto k , a un segmento AB corrisponde un seg-
DI MATEMATICA
mento A′B ′ parallelo ad AB e tale che ᎏA′Bᎏ′ ϭ k .
Nel sito: AB
᭤ Le trasformazioni TEOREMA
geometriche con Cabri
In una omotetia a ogni angolo corrisponde un angolo congruente.
᭤ Le trasformazioni
geometriche con
GeoGebra
G 204
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La teoria in sintesi ESERCIZI
LA TEORIA IN SINTESI
Le trasformazioni geometriche
1. Le isometrie trasformazione t A'
Ᏺ
Una trasformazione geometrica è una corrisponden- CD
za biunivoca che associa a ogni punto del piano un
punto del piano stesso. BE E' B'
L’identità è la trasformazione che a ogni punto del A D' Ᏺ' C'
piano associa il punto stesso.
A' = t(A) immagine del punto A
Un invariante di una trasformazione è una proprietà Ᏺ' = t(Ᏺ) immagine della figura Ᏺ
che si conserva nel passare da una figura alla sua cor-
rispondente.
Se, in una trasformazione, a un punto corrisponde se stesso allora tale punto si dice punto unito.
Se, in una trasformazione, a una figura corrisponde se stessa allora tale figura si dice figura unita.
Le isometrie, o congruenze, sono particolari trasformazioni geometriche che hanno come invariante la distan-
za fra punti. Nelle figure sono illustrati i quattro tipi di isometrie con le relative definizioni.
→v P' P P a
P P P'
α P' α O Simmetria assiale
Traslazione O P'
Rotazione Simmetria centrale
2. L’omotetia
Fissato un punto O e un numero reale k 0, un’omotetia fa corrispondere a un punto P il punto P′ tale che:
1. P′ appartiene alla retta OP; 2. il rapporto ᎏO¡¡Pᎏ′ ϭ k.
OP
O k > O B' |k|> 1 |k|< 1
omotetia A' O O
diretta
ingrandimento rimpicciolimento
AB
O A Ᏺ A' Ᏺ'
Ᏺ' A Ᏺ
A' B' A
ab k< O A'
omotetia
B inversa
c d
205 G
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ESERCIZI CAPITOLO G7. LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
1. Le isometrie –ᮣ Teoria a pag. G195
■ La traslazione Nel sito: ᭤ 4 esercizi di recupero
1 Rappresenta il vettore somma dei vettori indicati nelle figure.
→b →a →a →b →a →b
→a →b →b →a
→b →a
a bc d e f
2 Verifica che l’addizione tra vettori è commutativa. 3 Verifica che l’addizione tra vettori è associativa.
ESERCIZIO GUIDA P →a
4 Applichiamo al punto P della figura la traslazione t a¡ e determiniamo il
punto P ′ corrispondente.
Disegniamo sul quaderno il vettore a¡ con il primo estremo in P. Il se- →a P'
condo estremo del vettore indica il punto cercato. P t →a
5 Applica a ogni punto della figura la traslazione di P →a Q →c
vettore indicato e determina il punto corrispon- →a →b R
dente.
OR OS
6 Trasla ogni figura secondo il vettore indicato. →c
→b
→p D F f
A O
→q E P
a B bC c →r e
d
7 Trasla ogni figura secondo il vettore indicato. 8 Applica a ogni figura la composizione di trasla-
zioni t a¡ ؠ t ¡ e poi t ¡ ؠ t a¡. Si tratta della stessa tra-
b b
sformazione?
→a b →b →c →b →a
a c →a →b
ab
G 206
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Paragrafo 1. Le isometrie ESERCIZI
■ La rotazione 45° A
O
ESERCIZIO GUIDA
A'
9 Dati i punti A e O e l’angolo orientato ␣ di 45° in figura, applichiamo A
al punto A la rotazione di angolo ␣ e centro O.
O
Congiungiamo O con A e tracciamo un arco di centro O e raggio OA.
Determiniamo sull’arco il punto A′ in modo che l’angolo AO^A′ sia di
45°. (Possiamo usare il goniometro.) Il punto A′ è il punto cercato.
10 In ogni figura applica al punto disegnato in nero la rotazione di centro O e angolo indicato.
O A B O O
a 30° O C D
90° 135° 180°
b c d
11 Applica ai segmenti e ai cerchi dati la rotazione di centro O e angolo indicato.
A BO O D C O
a O
C C
135° 90° 90° 135°
c
b d
12 Ruota ogni figura di 90° in senso antiorario in- 13 Ruota ognuna delle figure seguenti di 90° in sen-
torno a O. so orario intorno a O.
OO
a Ob O a bO c
cO
207 G
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ESERCIZI CAPITOLO G7. LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
La composizione di rotazioni
14 Applica a ciascuna figura la composizione della 15 Applica la composizione della rotazione r (O ; 90°)
in senso antiorario intorno a O con la rotazione
rotazione r (O ; 90°) in senso antiorario con la rota-
zione r (O ; 180°) sempre in senso antiorario. Applica r (O′; 45°) intorno a O′ sempre in senso antiorario al
poi la trasformazione composta r (O ; 90°) ؠr (O ; 180°). trapezio in figura. Applica poi la trasformazione
Le due composizioni danno la stessa trasforma-
composta r (O ; 90°) ؠr (O′; 45°). Ottieni la stessa tra-
zione? sformazione?
O'
aO b Oc O
O
■ La simmetria centrale
ESERCIZIO GUIDA
16 Dati i punti A e O, determiniamo il punto A′ corrispondente di A nella simmetria centrale di centro O.
Congiungiamo A con O e prolunghiamo il seg- A'
mento AO di un segmento OA′ congruente al seg- O
mento AO. Il punto A′ è il punto cercato.
A
17 In ciascuna figura determina il simmetrico di 19 Disegna per ogni figura la figura corrispondente
ogni punto rispetto al punto O. nella simmetria centrale di centro O.
D O
AB O C O
O
O CA a bc
DB 20 Trasforma le due figure mediante la composizione
ab di simmetrie sO′ ؠsO. Trasformale poi mediante
sO ؠsO′. Ottieni le stesse figure trasformate?
18 Disegna il simmetrico di ogni segmento in figura
rispetto al punto O.
OB O O'
O F O O'
A C DE O
a bc b
a
G 208
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Paragrafo 1. Le isometrie ESERCIZI
■ La simmetria assiale Nel sito: ᭤ 5 esercizi di recupero
ESERCIZIO GUIDA 22 In ciascuna figura determina il simmetrico del
punto indicato rispetto alla retta disegnata.
21 Dati il punto A e la retta a, determiniamo il
punto A′ simmetrico di A rispetto all’asse di A bc C
simmetria a. B
a c
a ab
A
23 Disegna il simmetrico di ogni segmento in figura
rispetto all’asse a.
Tracciamo per A il segmento AM perpendico- Aa aC a
lare all’asse. Prolunghiamo AM di un segmento B
MA′ congruente ad AM. Il punto A′ è il punto B cD
cercato. a bA
24 In ciascuna delle seguenti figure disegna il sim-
metrico del cerchio rispetto all’asse a.
A A' aa
M
a
a
a bc
25 Disegna per ogni figura la figura corrispondente nella simmetria assiale di asse a.
aa a a
ab cd
26 Disegna gli assi di simmetria di ogni figura. 27 Disegna la figura trasformata di Ᏺ mediante la
a composizione delle due simmetrie ad assi per-
pendicolari s b ؠs a. Applica s a ؠs b . Si tratta della
stessa trasformazione?
a b
Ᏺ
O
b
Nel sito: ᭤ 20 esercizi in più su Isometrie e dimostrazioni
209 G
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ESERCIZI CAPITOLO G7. LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
2. L’omotetia –ᮣ Teoria a pag. G203
Nel sito: ᭤ 6 esercizi di recupero
28 In ogni riquadro ci sono due figure omotetiche Ꮽ e Ꮽ′. Alla figura Ꮽ corrisponde la figura Ꮽ′. Stabilisci se
l’omotetia, di centro O, è diretta o inversa e determina il rapporto k di omotetia.
?? Ꮽ'
Ꮽ' O
Ꮽ
Ꮽ
a Ꮽ' Ꮽ OO c
b
ESERCIZIO GUIDA
29 Dati i punti P e O determiniamo il punto P′ corrispondente di P nell’omotetia di centro O e rapporto Ϫ 3.
Poiché il rapporto di omotetia è negativo, il punto P ′ si trova da parte opposta a P rispetto a O.
Pertanto congiungiamo P con O e prolunghiamo il segmento PO.
Poiché ᎏO¡¡ᎏP′ ϭ Ϫ 3, ͉O¡P′ ͉ ϭ 3 и ͉O¡P ͉, quindi costruiamo il segmento OP ′
OP PO P'
triplo di OP. Il punto P′ disegnato in figura è il punto cercato.
30 Determina per ogni riquadro il punto corrispon- 33 Nelle due figure un’omotetia di centro O trasfor-
dente rispettivamente ad A, B e Q nell’omotetia ma A in A′, B in B′ e C in C′. Determina B′ e C.
di centro O e rapporto k indicati.
AO O C' C'
B B
O BQ k = —31
a k=2 k = −5 A A' O AO A'
b c
31 Disegna il segmento corrispondente nell’omote- 34 Disegna le figure omotetiche a quelle date nella
tia di centro O e rapporto indicato. omotetia di centro O e rapporto k indicati.
OA O≡A
O
AB OB c B O
k = −2 k=3 k = —32
b a k=2 b k = −3
a
32 Il punto P ′ è omotetico di P nell’omotetia di cen- 35 Nel triangolo ABC il segmento DE è parallelo ad
tro O e di rapporto 3. Quale figura rappresenta in
modo corretto l’omotetia? AB. Individua il centro e il rapporto dell’omote-
tia che trasforma A in D e B in E.
O C
PP
O P' OP P' ق
a b ق
P' ق
c DE
AB
G 210
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
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