Paragrafo 6. I poligoni inscritti e circoscritti TEORIA
Il baricentro gode di una particolare proprietà che ci limitiamo a enunciare. C
TEOREMA N M
قG
Il baricentro divide ognuna delle mediane in due parti, tali che quella
avente per estremo un vertice del triangolo è doppia dell’altra. ق
ق
ALB
PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI
Sempre in fila (e non solo) Nel sito: ᭤ Scheda di lavoro
Che relazioni esistono fra baricentro, circocentro e ortocentro di un qualun-
que triangolo?
GIADA: «Io proverei a partire da qualche caso particolare, per esempio da un
SARA: triangolo rettangolo. Oppure isoscele».
«Ma quante relazioni ci saranno?».
᭤ Formula congetture relative a due relazioni fra i tre punti notevoli, poi di-
mostrale mediante la geometria analitica.
■ I quadrilateri inscritti
TEOREMA
In un quadrilatero inscritto in una circonferenza gli angoli opposti sono
supplementari.
C Ipotesi ABCD è inscritto
γ Tesi in una circonferenza.
Dδ O β 1. ␣ ϩ ␥ Х P^;
α B 2.  ϩ ␦ Х P^.
A
DIMOSTRAZIONE C
Disegniamo i raggi OB e OD. Indichiamo con ␣ l’angolo alla circonfe- γ
renza di vertice A e con ␥ quello di vertice C, con ␣′ l’angolo al centro
DO^B corrispondente di ␣′ e con ␥ ′ l’angolo al centro DO^B corrispon- α'
dente di ␥ . D O
γ'
La somma dei due angoli ␣′ e ␥ ′ è un angolo giro, quindi ␣′ ϩ ␥ ′ Х 2^P.
αB
L’angolo ␣ è un angolo alla circonferenza che insiste sull’arco B២CD, quin-
A
di è la metà del suo corrispondente angolo al centro ␣′ (figura a nella pa-
gina seguente).
111 G
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TEORIA CAPITOLO G4. LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
C L’angolo ␥ è un angolo alla circonferenza che insiste sull’arco D២AB, quindi
è la metà del suo corrispondente angolo al centro ␥′ (figura b).
α' Da ␣ Х ᎏ21ᎏ ␣′ e ␥ Х ᎏ21ᎏ ␥ ′, sommando membro a membro, otteniamo:
D ␣ ϩ ␥ Х ᎏ21ᎏ ␣′ ϩ ᎏ21ᎏ ␥ ′ → ␣ ϩ ␥ Х ᎏ21ᎏ(␣′ ϩ ␥′ ) →
αB
aA → ␣ ϩ ␥ Х 1 и 2^P Х ^P.
C ᎏ2ᎏ
γ Tracciando gli altri due raggi OA e OC e ripetendo lo stesso ragionamen-
to, si deduce che  ϩ ␦ Х ^P.
D B Vale anche il teorema inverso.
γ'
TEOREMA
bA
Un quadrilatero con gli angoli opposti supplementari è inscrivibile in una
circonferenza.
◗ Corollario. Ogni ret- I due teoremi si riassumono in un unico teorema.
tangolo, ogni quadrato,
ogni trapezio isoscele è in- TEOREMA
scrivibile in una circonfe-
renza. Condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero sia inscrivi-
bile in una circonferenza è che abbia gli angoli opposti supplementari.
■ I quadrilateri circoscritti
TEOREMA
In un quadrilatero circoscritto a una circonferenza, la somma di due lati
opposti è congruente alla somma degli altri due.
C Ipotesi ABCD è circoscritto
D a una circonferenza.
O Tesi AB ؉ CD Х AD ؉ BC.
AB
RقC ق DIMOSTRAZIONE
D
Indichiamo con P, Q, R, S i punti di tangenza dei lati con la circonferenza.
Q I segmenti AP e AS sono segmenti di tangente condotti dal vertice A,
esterno alla circonferenza, quindi sono congruenti. Per lo stesso motivo
O sono congruenti i segmenti BP e BQ, CR e CQ, DR e DS, quindi:
S
AP Х AS , BP Х BQ , CR Х CQ , DR Х DS.
AP B
G 112
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Paragrafo 6. I poligoni inscritti e circoscritti TEORIA
Sommando membro a membro otteniamo:ͭ MATEMATICA
AP ϩ BP ϩ CR ϩ DR Х AS ϩ BQ ϩ CQ ϩ DS, ossiaͭ PER IL CITTADINO
AP ϩ BP ϩ CR ϩ DR Х AS ϩ DS ϩ BQ ϩ CQ.ͭ
Viaggio in Toscana
Nelle addizioni indicate, sostituendo a ogni coppia di segmenti il seg-ͭ
mento congruente, otteniamo: AB ϩ CD Х AD ϩ BC. Si viaggia tra i capoluoghi
di provincia della Tosca-
Si può dimostrare, per assurdo, il teorema inverso. na, conoscendo però sola-
mente le distanze tra di
TEOREMA essi. Calcoliamo le lun-
ghezze di alcuni itinerari e
Se in un quadrilatero la somma di due lati opposti è congruente alla som- formuliamo considerazio-
ma degli altri due, allora è possibile circoscrivere il quadrilatero a una ni sulla posizione recipro-
circonferenza. ca delle diverse città.
I due teoremi possono essere riassunti in una sola proposizione. Nel sito: ᭤ Il problema
TEOREMA
Condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero sia circoscri-
vibile a una circonferenza è che la somma di due lati opposti sia con-
gruente alla somma degli altri due.
■ I poligoni regolari
DEFINIZIONE
Poligono regolare
Un poligono è regolare quando ha
tutti i lati congruenti e tutti gli an-
goli congruenti.
Si può dimostrare il seguente teorema.
TEOREMA
Un poligono regolare è inscrivibile in una circonferenza e circoscrivibile
a un’altra; le due circonferenze hanno lo stesso centro.
Come conseguenza, possiamo individuare nei poligoni regolari alcuni
elementi notevoli. In un poligono regolare:
● il centro è il centro delle circonferenze in- raggio centro
scritta e circoscritta;
● l’apotema è il raggio della circonferenza in- O ◗ Apotema deriva dal
scritta; greco apóthema, che signi-
fica «abbassamento».
● il raggio è il raggio della circonferenza circo- apotema È un sostantivo maschile
scritta. (plurale: «apotemi»).
᭡ Figura 14 Il centro,
l’apotema e il raggio di un
esagono regolare.
113 G
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TEORIA CAPITOLO G4. LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
Piramide 7. La piramide e i solidi di rotazione
D vertice ■ La piramide
E V
DEFINIZIONE
α altezza
A Piramide
HC Si chiama piramide la parte di angoloide compresa fra il suo vertice e un
B base piano che interseca tutti i suoi spigoli.
spigolo Il poligono intersezione fra il piano e l’angoloide si chiama base della pi-
laterale V ramide, il vertice dell’angoloide si chiama vertice della piramide.
La distanza fra il vertice e il piano di base è l’altezza della piramide.
D La piramide è delimitata, oltre che dalla base, da triangoli detti facce la-
terali.
EC Ogni lato della base si chiama anche spigolo di base, gli altri lati dei
triangoli si chiamano spigoli laterali.
αA faccia
B laterale
spigolo
di base
V Due piramidi particolari
apotema DEFINIZIONE
C Piramide retta
D OB Una piramide è retta quando nella sua base si può inscrivere una circon-
HK ferenza il cui centro è la proiezione ortogonale del vertice della piramide
A sul piano di base.
Piramide retta Il centro O della circonferenza è la proiezione ortogonale del vertice V,
cioè il piede della perpendicolare alla base passante per il vertice V. Os-
V serva che il segmento VO è l’altezza della piramide.
TEOREMA
In una piramide retta, le altezze delle facce laterali passano per i punti di
tangenza dei lati di base con la circonferenza inscritta e sono tra loro con-
gruenti.
E D L’altezza delle facce laterali della piramide retta si chiama apotema.
C
FO DEFINIZIONE
A B
Piramide regolare
ED Una piramide retta si dice regolare quando la sua base è un poligono re-
golare.
FO C
Le facce laterali di una piramide regolare sono triangoli isosceli fra loro
AB congruenti.
Piramide regolare
G 114
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Paragrafo 7. La piramide e i solidi di rotazione TEORIA
■ I solidi di rotazione raggio altezza
di base
Si chiama solido di rotazione il solido generato dalla rotazione di una fi-
gura piana intorno a una retta r, secondo un angolo ␣.
Se ␣ è un angolo giro, allora si dice che la rotazione è completa.
In una rotazione completa, il punto P, che corrisponde a se stesso, descri-
ve una circonferenza appartenente al piano perpendicolare alla retta e
passante per P.
Il cilindro
DEFINIZIONE
Cilindro
Un cilindro è un solido generato dalla rotazione completa di un rettango-
lo attorno a uno dei suoi lati.
Cilindro
Il lato attorno al quale ruota il rettangolo è detto altezza del cilindro. Gli ◗ Un cilindro si dice equi-
altri due lati perpendicolari all’altezza sono detti raggi di base. latero se la sua altezza è
congruente al diametro
I raggi di base nella rotazione determinano due cerchi, che sono detti della base.
basi del cilindro.
apotema altezza
Il cono
DEFINIZIONE
Cono
Un cono è un solido generato dalla rotazione completa di un triangolo
rettangolo attorno a uno dei cateti.
Il cateto attorno a cui ruota il triangolo è l’altezza del cono, l’altro cateto raggio di base
è il raggio di base. L’ipotenusa è detta apotema del cono. Cono
Un cono si dice equilatero se l’apotema è congruente al diametro della
base. L’intersezione fra un cono equilatero e un piano contenente la sua
altezza è un triangolo equilatero.
La sfera Sfera
DEFINIZIONE
Sfera
La sfera è un solido generato dalla
rotazione completa di un semicer-
chio attorno al suo diametro.
La semicirconferenza che ruota genera una superficie detta superficie LABORATORIO
sferica. Il raggio della semicirconferenza è detto raggio della sfera. DI MATEMATICA
Nel sito:
᭤ La circonferenza
con Cabri
᭤ La circonferenza
con GeoGebra
115 G
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ESERCIZI CAPITOLO G4. LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
LA TEORIA IN SINTESI
La circonferenza,
i poligoni inscritti e circoscritti
1. La circonferenza e il cerchio 2. I teoremi sulle corde
Un luogo geometrico è l’insieme di tutti e soli i punti In una circonferenza due corde hanno la stessa distan-
di un piano che godono di una determinata proprietà za dal centro se e solo se sono congruenti.
caratteristica.
A KB AB
L’asse di un segmento è il luogo dei punti equidistanti ق
dagli estremi del segmento. La bisettrice di un angolo O
è il luogo dei punti equidistanti dai lati dell’angolo. CH D O
La circonferenza è il luogo dei punti di un piano che
hanno una distanza assegnata da un punto fisso detto OH ≅ OK Cق
centro. Il cerchio è la figura formata dai punti della D
circonferenza e dai suoi punti interni.
AB ≅ CD
raggio circonferenza Se un diametro è perpendicolare a una corda non
B passante per il centro, allora esso divide la corda in
due parti congruenti. Tale diametro divide in due
O A =∪ parti congruenti anche i due archi che la corda indi-
centro diametro cerchio vidua e i due angoli al centro corrispondenti a detti
archi.
Per tre punti non allineati passa una e una sola circon- D
ferenza.
Se in una circonferenza sono congruenti due figure O AH ≅ HB
dello stesso tipo, per esempio due archi, allora sono B
congruenti anche le figure corrispondenti, ossia le due AH
corde e i due angoli al centro. C
D
D
A angolo
arco O B al centro O O AOˆ C ≅ COˆ B
A C AOˆ B ≅ COˆ D B
AH
OB D AH B C
C C D
D A DC AB
A២B ≅ D២C O ∈ DC
O B O A២C ≅ C២B
C AB ≅ CD B
AH
corda C
D
G 116
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La teoria in sintesi ESERCIZI
3. Rette e circonferenze 4. Gli angoli alla circonferenza
e i corrispondenti angoli al centro
Le posizioni di una retta rispetto a una circonferenza:
Un angolo al centro e un angolo alla circonferenza si
retta secante dicono corrispondenti quando insistono sullo stesso
arco. Ogni angolo alla circonferenza è la metà dell’an-
O B golo al centro corrispondente.
r
VV
H
A
OH < r
retta tangente O O
B B
O
r
H AA
OH ≅ r
5. Le tangenti a una circonferenza
retta esterna da un punto esterno
O Se da un punto esterno a una circonferenza si condu-
r cono le due rette tangenti, risultano congruenti i due
segmenti di tangente.
H
OH > r a P AP
Le posizioni reciproche fra due circonferenze:
Ꮿı è interna a Ꮿ Ꮿı è tangente O O
internamente a Ꮿ b B
Ꮿ
Ꮿı Ꮿ 6. I poligoni inscritti e circoscritti
Ꮿı
O O' Un poligono è inscritto in una circonferenza quando
r' O O' ha tutti i vertici sulla circonferenza. Il centro di tale
r' circonferenza è il punto di intersezione degli assi dei
r lati del poligono.
r Un poligono è circoscritto a una circonferenza
quando tutti i suoi lati sono tangenti alla circonfe-
OO' < r − r' OO' ≅ r − r' renza. Il centro di tale circonferenza è il punto di in-
tersezione delle bisettrici degli angoli del poligono.
Ꮿı e Ꮿ sono secanti Ꮿı e Ꮿ sono tangenti
esternamente
Ꮿ Ꮿı Ꮿ Ꮿı
O O' O O'
r r' r
r'
r − r' < OO' < r + r' OO' ≅ r + r'
asse di un lato il poligono è circoscritto bisettrice
alla circonferenza di un angolo
Ꮿı e Ꮿ sono una
esterna all’altra
Ꮿ Ꮿı il poligono è
O O' inscritto nella
r circonferenza
r' la circonferenza è
circoscritta al poligono
OO' > r + r' la circonferenza è
inscritta nel poligono
117 G
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ESERCIZI CAPITOLO G4. LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
I punti notevoli di un triangolo sono quattro. ● Il baricentro è il punto di incontro delle mediane del
● Il circocentro è il punto di incontro degli assi dei lati triangolo.
del triangolo. Proprietà del baricentro. Il baricentro divide ogni
● L’incentro è il punto di incontro delle bisettrici degli mediana in due parti di cui quella contenente il verti-
ce è doppia dell’altra.
angoli del triangolo.
● L’ortocentro è il punto di incontro delle altezze del
triangolo.
ق circocentro mediane
ق assi baricentro
قق
incentro
altezze o loro bisettrici
prolungamenti
ortocentro
Condizione necessaria e sufficiente affinché un qua- D ق
drilatero sia inscrivibile in una circonferenza è che
abbia gli angoli opposti supplementari. C
AB
Condizione necessaria e sufficiente affinché un qua-
drilatero sia circoscrivibile a una circonferenza è Bˆ + Dˆ ≅ Pˆ
che la somma di due lati opposti sia congruente alla Aˆ + Cˆ ≅ Pˆ
somma degli altri due.
D
Un poligono regolare è un poligono avente tutti i lati
congruenti e tutti gli angoli congruenti. A
Se un poligono è regolare, allora esso è inscrivibile in C
una circonferenza e circoscrivibile a un’altra.
Le due circonferenze hanno lo stesso centro, detto ق
centro del poligono. B
AB + CD ≅ AD + BC
BC
centro del poligono
AO D
raggio del poligono
FE
apotema
7. La piramide e i solidi di rotazione
Una piramide è un poliedro delimitato da un poligono, detto base, e da facce laterali triangolari, le quali:
● hanno in comune un vertice, detto vertice della piramide;
● hanno il lato opposto a tale vertice coincidente con un lato del poligono di base.
La distanza fra il vertice e il piano della base è detta altezza della piramide.
G 118
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Paragrafo 1. La circonferenza e il cerchio ESERCIZI
Una piramide è retta quando nella sua base si può in- PIRAMIDE RETTA PIRAMIDE REGOLARE
scrivere una circonferenza il cui centro è la proiezione apotema
ortogonale del vertice della piramide sul piano di base.
Le facce laterali di una piramide retta hanno altezze
congruenti; tale altezza viene detta apotema.
Una piramide è regolare quando è retta e la sua base è
un poligono regolare.
I solidi di rotazione sono generati dalla rotazione di raggio apotema raggio
una figura piana attorno a una retta. In particolare: di base
● un cilindro è generato dalla rotazione completa di altezza altezza
un rettangolo attorno a uno dei suoi lati;
● un cono è generato dalla rotazione completa di un
triangolo rettangolo attorno a uno dei suoi cateti;
● una sfera è generata dalla rotazione completa di un
semicerchio attorno al suo diametro.
raggio di base
1. La circonferenza e il cerchio –ᮣ Teoria a pag. G99
Nel sito: ᭤ 20 esercizi in più
■ I luoghi geometrici
ESERCIZIO GUIDA
1 Tracciamo una retta r e, fuori di essa, un segmento RS. Disegniamo il luogo dei punti del piano che hanno
da r distanza RS.
r B B Bb
RS
r r r
P P P
A A
a
RS RS A RS
a. Disegniamo una retta r b. Scegliamo Pʦr e riportia- c. Ripetiamo la stessa d. Il luogo richiesto è
e un segmento RS. formato da due rette a e b,
mo con il compasso, sulla costruzione per altri punti parallele a r, che hanno da
r distanza RS.
retta passante per P e della retta r.
perpendicolare a r, PA e PB,
congruenti a RS.
2 Traccia una retta r e due punti A e B fuori di essa tali che la retta AB non sia perpendicolare a r. Disegna il
luogo dei punti appartenenti a r che sono equidistanti da A e da B.
3 Disegna il luogo dei punti che hanno distanze assegnate da due rette non parallele.
119 G
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ESERCIZI CAPITOLO G4. LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
4 Data una retta r, disegna due punti A e B, in semipiani opposti rispetto a r. Disegna il luogo dei punti appar-
tenenti a uno dei due semipiani che siano allineati con A e con B.
5 Dati un quadrato ABCD e un segmento EF minore di AB, disegna il luogo dei punti del quadrato che hanno
distanza da AB congruente al segmento EF.
6 Disegna due rette r e s, non parallele, e fissa un segmento AB. Disegna il luogo dei punti che hanno distanza
congruente ad AB sia da r sia da s.
■ La circonferenza e il cerchio
7 Disegna tre punti non allineati e costruisci la circonferenza che passa per i tre punti.
8 Scrivi il nome di ognuna delle parti evidenziate.
abc d
ef g h
9 COMPLETA colorando l’arco su cui insiste ogni angolo al centro indicato in figura.
abc de
2. I teoremi sulle corde –ᮣ Teoria a pag. G103
Nel sito: ᭤ 7 esercizi di recupero
■ Il diametro perpendicolare a una corda
e il diametro per il punto medio di una corda
10 Dimostra che, se in una circonferenza un diametro passa per il punto medio di una corda, allora esso risulta
perpendicolare alla corda.
11 Disegna una circonferenza di centro O, un suo punto P e il diametro PQ. Traccia due corde congruenti PE e
PF. Dimostra che PQ è bisettrice dell’angolo EP^F.
G 120
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Paragrafo 3. Rette e circonferenze ESERCIZI
12 Date una circonferenza di centro O e una sua corda AB, dopo aver costruito il punto medio M della corda, scegli
su essa due punti, C e D, equidistanti da M. Dimostra che C e D sono anche equidistanti da O.
13 Disegna una circonferenza, una sua corda CD e il punto medio M della corda. Scegli su CD due punti, A e B,
equidistanti da M. Traccia da A la perpendicolare alla corda CD, che incontra l’arco minore in F, e da B la
perpendicolare sempre a CD, che incontra lo stesso arco in E. Dimostra che AF Х BE.
■ La relazione tra corde aventi la stessa distanza dal centro
14 Disegna una circonferenza di centro O e le corde congruenti AB e CD, che si incontrano in un punto P, in-
terno alla circonferenza. Congiungi P con O. Dimostra che PO è bisettrice dell’angolo formato dalle due
corde. (Suggerimento. Ricorda che corde congruenti hanno distanze dal centro congruenti.)
15 Traccia una circonferenza di centro O e un suo punto P interno. Congiungi P con O e traccia per P due corde, in
modo che PO sia bisettrice dell’angolo formato dalle due corde. Dimostra che le due corde sono congruenti.
16 Disegna una circonferenza di centro O e un suo punto P interno. Dimostra che, fra tutte le corde passanti
per P, la maggiore è un diametro e la minore è quella perpendicolare al diametro.
3. Rette e circonferenze –ᮣ Teoria a pag. G105
■ Le posizioni di una retta rispetto a una circonferenza
ESERCIZIO GUIDA
17 Disegniamo un segmento AC e il suo punto medio M. Con centro in A tracciamo due circonferenze, una di
raggio AM e l’altra di raggio AC. Conduciamo per M la retta tangente alla circonferenza di raggio minore, fino
a incontrare l’altra nei punti B e D. Congiungiamo i punti A, B, C, D. Dimostriamo che ABCD è un rombo.
Ipotesi 1. AM Х MC; Dimostrazione Nella circonferenza maggiore, il
2. BD tangente in M. Nella circonferenza minore, la retta raggio AC è perpendicolare alla
tangente BD è perpendicolare al corda BD, quindi dimezza la
Tesi ABCD è un rombo. raggio AM passante per il punto di corda stessa, ossia BM Х MD.
tangenza M. Quindi scriviamo D’altra parte, AM Х MC per
D AM Ќ BD. ipotesi.
A MC D Il quadrilatero ABCD ha le diago-
nali che si dimezzano scambie-
B A MC volmente, quindi è un parallelo-
gramma. Poiché, inoltre, le diago-
B nali sono perpendicolari, il paral-
lelogramma ABCD è un rombo.
18 Disegna una circonferenza di centro O e un diametro AB. Traccia le rette tangenti alla circonferenza in A e in
B. Dimostra che le due tangenti sono parallele.
19 Disegna una circonferenza di centro O e un punto P a essa esterno. Congiungi P con O e traccia da P due se-
canti Pa e Pb, in modo che PO sia bisettrice dell’angolo aP^b. Dimostra che le due corde intercettate dalla cir-
conferenza sulle secanti sono congruenti.
121 G
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ESERCIZI CAPITOLO G4. LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
20 Da un punto P esterno a una circonferenza di centro O traccia due secanti che intersecano il cerchio in due
corde congruenti AB e CD. Dimostra che PO è bisettrice dell’angolo formato dalle due secanti.
21 Disegna una circonferenza di centro O e due archi consecutivi congruenti, A២B e B២C. Traccia la retta tangente
alla circonferenza in B e disegna la corda AC. Dimostra che AC è parallela alla tangente.
22 Disegna una circonferenza di centro O e un punto P esterno a essa. Congiungi P con O e traccia due secanti
Pa e Pa′ in modo che PO risulti bisettrice dell’angolo aP^a′. Indica con A e A′ i punti di intersezione di Pa
con la circonferenza e con B e B′ i punti di intersezione dell’altra secante, in modo che si abbia PA Ͻ PA′ e
PB Ͻ PB′. Dimostra che:
a) il centro O è equidistante dai lati dell’angolo aP^a′;
b) PA Х PB;
c) PA′ Х PB ′.
■ Le posizioni di una circonferenza rispetto a un’altra circonferenza
23 Disegna una circonferenza di centro O e raggio OA e una con centro il punto medio di OA e raggio
che sia ᎏ41ᎏ di OA. Qual è la posizione di una circonferenza rispetto all’altra? Motiva la risposta.
24 Come nell’esercizio precedente, ma con il raggio della seconda circonferenza che è ᎏ21ᎏ di OA.
25 Disegna una circonferenza di centro O e raggio OA. Una seconda circonferenza ha centro O′ esterno alla
prima e tale che O′O ϭ ᎏ35ᎏ OA. Come deve essere il raggio della seconda circonferenza affinché le due circon-
ferenze siano secanti?
4. Gli angoli alla circonferenza –ᮣ Teoria a pag. G107
e i corrispondenti angoli al centro
26 COMPLETA disegnando, per ogni angolo al centro, tre angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso
arco. Uno degli angoli tracciati deve avere il vertice in B.
BA
B
B
A B A d
a b
A
c
■ Dimostrazioni
ESERCIZIO GUIDA
27 Disegniamo una circonferenza di centro O, un diametro AB e due corde parallele AE e BF. Dimostriamo che:
a) AE Х BF;
b) EF è un altro diametro.
G 122
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Paragrafo 5. Le tangenti a una circonferenza da un punto esterno ESERCIZI
E Dimostrazione BO^E e ad AO^F, E២B e A២F sono
congruenti.
A α γ 2α B Dimostriamo la tesi 1.
Gli angoli ␣ e  sono alterni in- Sottraendo alle semicirconfe-
2β O β terni formati dalle rette parallele
AE e BF tagliate dalla trasversale renze A២EB e A២FB i due archi
F AB, quindi sono congruenti.
E២B e A២F congruenti, otteniamo
Ipotesi 1. AB è un diametro; All’angolo alla circonferenza ␣ cor- due archi congruenti:
2. AE e BF sono corde; risponde l’angolo al centro BO^E,
3. AE ͞͞ BF. quindi BO^E Х 2␣. A២EB Ϫ E២B Х A២FB Ϫ A២F e, di
Tesi 1. AE Х BF; All’angolo alla circonferenza  conseguenza, A២E Х F២B.
2. EF è un diametro. corrisponde l’angolo al centro
AO^F, quindi AO^F Х 2. Le corde AE e FB sono sottese
da archi congruenti, quindi
Poiché ␣ Х , anche 2␣ Х 2, sono congruenti.
quindi gli archi corrispondenti a
Dimostriamo la tesi 2.
␥ ϩ 2␣ Х P^ e, poiché
2␣ Х 2, anche ␥ ϩ 2 Х P^,
pertanto EF è un diametro.
28 Disegna una circonferenza di centro O e scegli su di essa un arco A២B. Traccia due angoli alla circonferenza
che insistono su A២B e poi disegna le bisettrici dei due angoli. Dimostra che tali bisettrici passano per il pun-
to medio dell’arco A២B.
29 Nel triangolo rettangolo ABC, di ipotenusa AB, M è il punto medio dell’ipotenusa. Dimostra che l’angolo
BM^C è doppio dell’angolo A^.
30 Disegna un triangolo ABC e le due altezze AH e BK. Dimostra che i due punti H e K appartengono a una cir-
conferenza che ha per diametro uno dei lati. Quale?
31 Su una circonferenza di centro O scegli tre punti A, B, C e congiungili, ottenendo un triangolo. Traccia l’asse
del segmento AB, che incontra l’arco non contenente C nel punto E. Congiungi E con C. Dimostra che CE è
bisettrice dell’angolo C^.
32 In una circonferenza di centro O disegna due diametri AB e CE. Traccia la corda ED perpendicolare ad AB e
congiungi C con D. Dimostra che AB ͞͞ CD.
33 Con riferimento all’esercizio 31, descrivi una corretta costruzione dell’altezza relativa a un lato di un triangolo.
5. Le tangenti a una circonferenza –ᮣ Teoria a pag. G109
da un punto esterno
Nel sito: ᭤ 11 esercizi di recupero
ESERCIZIO GUIDA
34 Disegniamo una circonferenza Ꮿ di centro O e diametro CD. Fissiamo su di essa un punto Q. Conduciamo
le tangenti alla circonferenza nei punti C, D e Q; tali tangenti si incontrano nei punti A e B. Dimostriamo
che l’angolo AO^B è retto.
123 G
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ESERCIZI CAPITOLO G4. LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
tC Ꮿ tD Ipotesi 1. CD diametro di Ꮿ; Tesi AO^B Х ᎏ21ᎏ ^P.
C
OD 2. Q ∈ Ꮿ;
α
α' 3. tC , tD, tQ tangenti a Ꮿ
nei punti C, D e Q rispettivamente.
A
β' tQ
β
B
Q
Dimostrazione Ragionando allo stesso modo su OB, si dimostra che
′ Х .
Poiché CD è un diametro e tC è tangente alla cir-
conferenza in C, si ha CD Ќ tC; analogamente, Pertanto, la relazione ␣ ϩ ␣′ ϩ  ϩ  ′ Х ^P può
CD Ќ tD. Pertanto tC ͞͞ tD. Gli angoli ␣ ϩ ␣ ′ e essere scritta come 2␣ ϩ 2 Х ^P.
 ϩ ′ sono coniugati interni formati dalle rette
parallele tC e tD tagliate dalla trasversale tQ , quin- Dividendo per 2, si ha: ␣ ϩ  Х 1 ^P .
di sono supplementari: ᎏ2ᎏ
␣ ϩ ␣′ ϩ  ϩ  ′ Х ^P. Nel triangolo AOB si ha ␣′ ϩ  ϩ AO^B Х ^P,
quindi ᎏ21ᎏ ^P ϩ AO^B Х ^P, da cui AO^B Х ᎏ21ᎏ ^P.
Il segmento OA appartiene alla bisettrice dell’an-
golo formato dalle tangenti condotte da A, dun-
que alla bisettrice di CA^Q. Quindi ␣′ Х ␣.
35 Disegna un angolo aV^b e una circonferenza di centro O tangente ai lati dell’angolo. Congiungi V con O. Di-
mostra che VO è la bisettrice dell’angolo aV^b. Detto E il punto di intersezione della circonferenza con il seg-
mento VO, traccia per E la retta perpendicolare a VO, che interseca i lati dell’angolo nei punti A e B. Dimo-
stra che il triangolo AVB è isoscele.
36 Disegna una circonferenza di centro O e un suo diametro AB. Prolunga AB di un segmento BE congruente al rag-
gio e poi traccia la retta per B tangente alla circonferenza. Scegli su tale retta un punto V e disegna l’ulteriore tan-
gente alla circonferenza, VF. Congiungi V con E. Dimostra che l’angolo FV^E è triplo dell’angolo BV^E.
37 Disegna due circonferenze di centri O e O′, che si intersecano nei punti A e B. Traccia la corda comune AB e
la retta r che congiunge i due centri. Dimostra che OO′ Ќ AB.
38 Disegna una circonferenza e due rette, a e b, a essa tangenti, che si incontrano nel punto A. Traccia una terza
tangente, c, che interseca la retta b in B e poi una quarta tangente, d, che interseca la retta c in C e la retta a in
D. Dimostra che nel quadrilatero ABCD vale la relazione AB ϩ CD Х BC ϩ AC.
39 Disegna un triangolo rettangolo circoscritto a una circonferenza. Dimostra che il diametro della circonfe-
renza è uguale alla differenza fra la somma dei cateti e l’ipotenusa. (Suggerimento. Congiungi il centro della
circonferenza con i punti di tangenza e dimostra che il quadrilatero, avente i vertici nei punti di tangenza dei
cateti, nel centro della circonferenza e nel vertice dell’angolo retto, è un quadrato.)
G 124
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RIEPILOGO I luoghi geometrici, la circonferenza e il cerchio ESERCIZI
RIEPILOGO I LUOGHI GEOMETRICI, LA CIRCONFERENZA E IL CERCHIO
ESERCIZIO GUIDA P
40 Fissiamo un punto P nel piano e disegniamo un segmento AB. Traccia-
mo almeno cinque circonferenze passanti per P, aventi raggio con-
gruente ad AB. Disegniamo il luogo dei centri delle circonferenze e
dimostriamo che la figura ottenuta è la circonferenza di centro P e rag-
gio AB.
AB
Dimostrazione 2. Viceversa, se Q è il centro di una delle circonferenze,
essendo P un punto di ᏯQ, P ha distanza AB da Q.
1. Dimostriamo che, preso un qualsiasi punto Q Q è allora un punto della circonferenza che ha cen-
tro P e raggio congruente ad AB, in quanto soltanto
della circonferenza con centro P e raggio con- i punti di quella circonferenza godono di questa
proprietà.
gruente ad AB (chiamiamola ᏯP), esso è centro
di una circonferenza passante per P (chiamia- ᏯᏯ
PQ
mola ᏯQ ). Х AB.
Se Q appartiene a ᏯP, è vero che QP PQ
Questa relazione ci dice anche che P appartiene
a ᏯQ, in quanto su questa circonferenza stanno
tutti i punti che hanno distanza AB da Q.
AB
41 Fissa due punti A e B nel piano. Traccia almeno cinque circonferenze passanti per A e per B. Disegna il luogo
dei centri delle circonferenze passanti per A e per B e dimostra che la figura ottenuta è il luogo richiesto.
42 Disegna una circonferenza di centro O, una sua corda AB e il punto medio di AB. Traccia almeno altre cin-
que corde congruenti ad AB e di ognuna di esse determina il punto medio. Disegna il luogo dei punti medi
delle corde congruenti ad AB e dimostra che la figura ottenuta è il luogo richiesto.
43 Data una retta r e un suo punto T, traccia almeno cinque circonferenze tangenti in T a r. Disegna il luogo dei
centri delle circonferenze tangenti in T a r e dimostra che la figura ottenuta è il luogo richiesto.
44 Disegna due circonferenze concentriche Ꮿ e Ꮿ′. Traccia alcune circonferenze tangenti a entrambe. Determi-
na il luogo dei centri delle circonferenze tangenti a Ꮿ e a Ꮿ′. Dimostra che la figura ottenuta è il luogo richie-
sto.
Nel sito: ᭤ 10 esercizi in più di riepilogo su Circonferenza e cerchio
125 G
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ESERCIZI CAPITOLO G4. LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
6. I poligoni inscritti e circoscritti –ᮣ Teoria a pag. G109
■ I poligoni inscritti e gli assi dei lati
COMPLETA. Nelle figure relative ai seguenti esercizi, i poligoni sono inscrivibili in una circonferenza. Traccia la
circonferenza circoscritta dopo averne determinato il centro.
45 46 47
■ I poligoni circoscritti e le bisettrici degli angoli
COMPLETA. Nelle figure relative ai seguenti esercizi, i poligoni sono circoscrivibili a una circonferenza. Traccia
la circonferenza inscritta, dopo averne determinato il centro.
48 49 50
■ I punti notevoli di un triangolo Nel sito: ᭤ 6 esercizi di recupero
Considera cinque triangoli: un triangolo scaleno acutangolo, uno scaleno rettangolo, uno scaleno ottusangolo,
uno isoscele e uno equilatero. Effettua su questi triangoli le costruzioni richieste.
51 Costruisci il circocentro e traccia la circonferenza 53 Costruisci l’ortocentro.
circoscritta. 54 Costruisci il baricentro.
52 Costruisci l’incentro e traccia la circonferenza in-
scritta.
55 In un triangolo rettangolo, con quale punto coin- 58 Indica dove si trova l’ortocentro di un triangolo
cide il circocentro? Motiva la risposta. acutangolo, di un triangolo rettangolo, di un
triangolo ottusangolo. Motiva le risposte.
56 In un triangolo acutangolo l’incentro è un punto
interno? E in un triangolo rettangolo o in uno ot- 59 Come nell’esercizio 58, ma per il baricentro.
tusangolo? Motiva le risposte.
57 In un triangolo acutangolo l’ortocentro è sempre
interno al triangolo? E in un triangolo ottusangolo?
G 126
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Paragrafo 6. I poligoni inscritti e circoscritti ESERCIZI
■ Quadrilateri e poligoni inscritti Nel sito: ᭤ 21 esercizi in più
e circoscritti
Disegna i poligoni indicati, prima inscritti in una circonferenza e poi circoscritti a un’altra circonferenza.
60 Triangolo acutangolo; triangolo ottusangolo; 61 Quadrilatero; pentagono; esagono.
triangolo rettangolo. (Per queste figure potresti 62 Ottagono; decagono; dodecagono.
eseguire il disegno tenendo conto dei punti note-
voli del triangolo.)
■ I poligoni regolari
63 COMPLETA disegnando, per ogni poligono regolare della figura, il centro, il raggio e l’apotema.
a bc d e
C
■ Costruzione di alcuni poligoni regolari
64 Dimostra la validità della seguente costruzione del quadrato.
C
O D BD B
a. Disegniamo una circonferenza. A A
b. Tracciamo due diametri c. Congiungiamo gli estremi
perpendicolari, AC e BD. dei diametri. La figura ABCD
è un quadrato.
65 Dimostra la validità della seguente costruzione dell’esagono regolare. D
EC
DD
EC
O O O
FB FB
A
a. Disegniamo una circonferenza A A
e un diametro AD.
b. Mantenendo la stessa apertura c. Congiungiamo i punti
OA, puntiamo il compasso in A e ottenuti. La figura ABCDEF
tracciamo l’arco FB; puntiamo il è un esagono regolare.
compasso in D e tracciamo l’arco EC.
127 G
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ESERCIZI CAPITOLO G4. LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
7. La piramide e i solidi di rotazione –ᮣ Teoria a pag. G114
66 VERO O FALSO? VF
a) Le facce laterali di una piramide retta sono congruenti. VF
b) Se una piramide ha per base un quadrato, allora è regolare. VF
VF
c) L’ipotenusa di un triangolo rettangolo che ruota attorno a uno dei cateti si trasforma VF
sempre nell’apotema di un cono.
d) Un triangolo isoscele che ruota completamente attorno alla propria base genera due coni
con la base in comune.
e) Un rettangolo che ruota completamente attorno a una retta parallela alla base, ma esterna al
rettangolo, genera due cilindri, uno dentro all’altro.
67 Dimostra che in una piramide retta gli apotemi sono congruenti.
Disegna i solidi generati dalla rotazione dei seguenti poligoni intorno alla retta indicata e descrivi i solidi otte-
nuti. Se non viene specificato diversamente, considera una rotazione completa (360°).
68 Rotazione di un triangolo rettangolo intorno alla retta:
a) di uno dei cateti;
b) dell’ipotenusa.
69 Rotazione di un triangolo acutangolo intorno alla retta:
a) di uno dei lati;
b) passante per un vertice e parallela al lato opposto.
70 Rotazione di un triangolo isoscele intorno alla retta:
a) della base;
b) dell’altezza relativa alla base (rotazione di 180°).
71 Rotazione di un trapezio isoscele intorno alla retta:
a) della base maggiore;
b) della base minore;
c) di uno dei lati obliqui.
72 Rotazione di un quadrato intorno alla retta:
a) di una diagonale (rotazione di 180°);
b) passante per i punti medi di due lati opposti (rotazione di 180°);
c) passante per un vertice e parallela alla diagonale opposta a quel vertice.
73 Rotazione di un rettangolo intorno alla retta:
a) di un lato;
b) parallela a un lato e non intersecante il rettangolo;
c) passante per un vertice e parallela alla diagonale opposta a quel vertice.
74 Rotazione dell’esagono regolare ABCDEF intorno alla retta:
a) AD (rotazione di 180°);
b) di un lato;
c) passante per D e parallela a EC.
G 128
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Verso le competenze ESERCIZI
Verso le competenze Nel sito: ᭤ 30 test interattivi in più
TEST
1 Due corde hanno uguale distanza dal centro di 5 L’altezza di un triangolo equilatero inscritto in
una circonferenza. Allora sono: una circonferenza è congruente:
A perpendicolari. A alla metà del raggio.
B parallele.
C incidenti. B al doppio del raggio.
D congruenti.
C alla metà del diametro.
D ai 3 del diametro.
ᎏ4ᎏ
2 Nella figura sono disegnate B
due corde AB e BC.
6 Se in un triangolo circocentro e incentro coinci-
Se BC Ͼ AB, allora: A dono, allora esso è:
C A equilatero.
B isoscele.
A BC è un diametro. C ottusangolo e isoscele.
B AB e BC hanno uguale distanza dal centro. D rettangolo e isoscele.
C gli assi delle due corde si incontrano in un
7 Disegna due circonferenze con i raggi congruen-
punto diverso dal centro. ti, e tali che il centro della seconda appartenga
D la distanza di AB dal centro è maggiore di alla prima. Detti A e B i punti di intersezione del-
le due circonferenze, e rispettivamente O e O′ i
quella di BC. centri delle due circonferenze, di che natura è il
quadrilatero AOBO′? Perché?
3 Osserva la figura. La A' 8 Disegna un triangolo rettangolo. Perché il punto
R' medio dell’ipotenusa è equidistante dai vertici del
retta è tangente in T alla triangolo?
C
circonferenza. I punti A T 9 Congiungendo gli estremi di due diametri qual-
e A′ sono equidistanti siasi, presi su una circonferenza, ottieni sempre
un rettangolo. Perché? È corretto affermare che,
da T. A poiché i diametri sono tutti congruenti, allora i
rettangoli inscritti in una circonferenza sono tutti
R congruenti? Perché?
Quale fra le seguenti proposizioni è falsa? TEST
A AC Х A′C.
10 Un angolo si dice alla circonferenza se:
B ACA′ è un triangolo rettangolo.
C TC è bisettrice di AC^A′.
D AR Х A′R′.
4 Solo uno dei seguenti poligoni non è inscrivibile A il vertice si trova sulla circonferenza.
in una circonferenza. Quale?
B il vertice si trova sulla circonferenza e i lati
A Rettangolo. sono secanti.
B Triangolo equilatero.
C il vertice si trova sulla circonferenza, un lato è
C Trapezio rettangolo. secante e l’altro è tangente.
D Triangolo scaleno.
D nessuna delle precedenti definizioni è com-
pleta.
129 G
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ESERCIZI CAPITOLO G4. LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
11 Considera un quadrilatero con i vertici A, B, C, D 15 Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
su una circonferenza. Siano x, y e z i valori di ve-
rità delle seguenti tre proposizioni. Qual è il valo- A In ogni triangolo isoscele l’altezza e la mediana
re della terna ordinata (x, y, z)? relative alla base e la bisettrice dell’angolo al
x: Nel quadrilatero ABCD, A^B C ϩ CD^A ϭ 180°. vertice coincidono.
y: Il perimetro del quadrilatero ABCD è maggio-
re del doppio del diametro del cerchio. B In ogni triangolo isoscele baricentro, in-
z: Gli assi di ogni lato passano per il centro del centro, ortocentro e circocentro sono alli-
cerchio. neati.
A (F, F, V). D (F, F, F). C In ogni triangolo isoscele baricentro, orto-
centro, incentro e circocentro coincidono.
B (F, V, V). E (V, F, V).
D In ogni triangolo equilatero baricentro, or-
C (V, V, V). tocentro, incentro e circocentro coincidono.
(USA North Carolina State High School Mathematics Contest, 2004) (Invalsi, 2005)
12 Nel pentagono regolare in figura, il trian- 16 Osserva attentamente la
golo ABC è equilatero. Quanto vale l’angolo con- figura.
vesso EC^D?
A 120°
B 144° E C D
C 150° Sapendo che AO^B ϭ CO^D ϭ BV^C ϭ ␣, quanto
misura AO^D?
D 168°
E 170° A␣ B 2␣ C 3␣ D 4␣
AB (Invalsi, 2005)
(Olimpiadi della matematica, Giochi di Archimede, 1996) 17 VERO O FALSO? All’interno di
un angolo A^, prendi un qualsia-
13 PR e QR sono tangenti al cerchio in figura. si punto P e traccia le perpendi-
Sapendo che l’arco PSQ è quattro volte l’arco colari PH e PK ai lati dell’ango-
PTQ, allora l’angolo PR^Q è: lo. Il poligono AHPK è sempre:
A 72°. PR a) un rombo. VF
B 90°. T VF
C 105°. Q b) un quadrilatero inscrivibile VF
in una circonferenza.
D 108°. S
E 120°. c) un quadrilatero circoscrivibile
a una circonferenza.
(Olimpiadi della matematica, Giochi di Archimede, 1997) 18 COMPLETA L’angolo alla
circonferenza AB^C ha il
14 Sia data una stella a cinque punte inscritta lato AB …………… e il
in una circonferenza. Quanto vale la somma de- lato BC …………………
gli angoli con vertice nelle punte della stella? alla circonferenza.
A 100° Colora l’arco su cui insiste
B 150° e segna l’angolo al centro
C 180° corrispondente.
D 200°
E I dati a disposizione 19 Trova il raggio di un cerchio circoscritto a un ret-
sono insufficienti.
tangolo di area 84 cm2, con le dimensioni una
(Olimpiadi della matematica, Giochi di Archimede, 2003)
i 3 dell’altra. [͙5ෆ8 cm]
ᎏ7ᎏ
G 130
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L’equivalenza CAPITOLOTEORIA
delle superfici piane
G5
Annodando funi
Racconta Erodoto che il re egizio Sesostri, vissuto
intorno al 2000 a.C., distribuì il territorio tra tutti
gli egiziani, dando a ciascuno un lotto uguale di
forma rettangolare, e richiese in cambio il
pagamento di un tributo annuo. Erano incaricati
della suddivisione gli agrimensori egizi, chiamati
«arpedonapti», ovvero «annodatori di funi»…
…come si fa a delimitare sul terreno un campo
rettangolare?
Nel sito: ᭤ La risposta
1. L’estensione e l’equivalenza ◗ Per brevità diremo su-
perficie per indicare una
■ Le superfici e la loro estensione superficie piana limitata.
Una superficie piana limitata è una figura piana costituita da una re-
gione di piano limitata da una linea chiusa, oppure da una regione di a
piano compresa fra due o più linee chiuse che non si intersecano.
Per indicare una superficie utilizziamo le lettere maiuscole corsive. b
La superficie (figura a) è limitata da una linea chiusa; la superficie
(figura b) è limitata da due linee chiuse.
Abbiamo già introdotto alcuni concetti primitivi (intuitivi, non definibi-
li), quali il punto, la retta e il piano. In questo capitolo introduciamo un
nuovo concetto primitivo: l’estensione di una superficie.
Questo concetto risulta chiaro se si confrontano due superfici. Per esem-
pio, se per ricoprire due pavimenti diversi occorre lo stesso numero di
mattonelle (tutte dello stesso tipo), diciamo che le superfici dei due pavi-
menti hanno la stessa estensione (figura 1).
131 G
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TEORIA CAPITOLO G5. L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE
᭤ Figura 1 Per ricoprire i
due pavimenti vengono uti-
lizzate 16 mattonelle dello
stesso tipo: i pavimenti
hanno la stessa estensione.
= Due superfici che hanno la stessa estensione si dicono equivalenti.
proprietà riflessiva Indichiamo l’equivalenza fra superfici con il simbolo Џ .
=ᐆ L’equivalenza tra superfici piane gode delle proprietà riflessiva, simmetri-
ca e transitiva.
ᐆ= ᐆ ● Proprietà riflessiva: ogni superficie piana è equivalente a se stessa:
proprietà simmetrica Џ .
= ● Proprietà simmetrica: se una superficie è equivalente a una superfi-
cie ᐆ, allora ᐆ è equivalente a :
=ᐆ ᐆ ᐆ= se Џ ᐆ, allora ᐆ Џ .
proprietà transitiva
● Proprietà transitiva: se una superficie è equivalente a una superficie
᭡ Figura 2 Il quadrato e il ᐆ e ᐆ è equivalente a una superficie , allora è equivalente a :
triangolo della figura sono
equivalenti ma non con- se Џ ᐆ e ᐆ Џ , allora Џ .
gruenti.
Poiché gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva, l’equiva-
lenza fra superfici è una relazione di equivalenza.
Possiamo dunque ripartire le superfici del piano in classi di equivalenza,
ciascuna delle quali è costituita da infinite superfici aventi a due a due la
stessa estensione.
Chiamiamo area la caratteristica comune alle superfici che appartengono
alla stessa classe.
Ogni classe di equivalenza alla quale appartengono superfici aventi la
stessa estensione definisce una e una sola area. In particolare, ogni punto
è una superficie, e la classe di equivalenza a cui appartiene è quella che
individua l’area nulla.
In sintesi, diciamo che superfici equivalenti hanno la stessa area.
POSTULATO
Due superfici congruenti sono sempre equivalenti.
Non è detto, invece, che due superfici equivalenti siano congruenti
(figura 2).
G 132
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Paragrafo 1. L’estensione e l’equivalenza TEORIA
■ La somma e la differenza di superfici ᭢ Figura 3
È possibile definire la somma di due superfici e ᐆ quando queste non
hanno punti in comune oppure hanno in comune solo punti appartenen-
ti alle linee che le delimitano.
Ꮿ ᏼ ᏼ+ᐆ
ᐆ
+Ꮿ
a. Consideriamo due superfici e Ꮿ che non hanno b. La superficie + Ꮿ è formata da due parti distinte,
punti in comune e altre due, ᏼ e ᐆ, che hanno in mentre ᏼ + ᐆ da un’unica superficie.
comune solo parte delle linee che le delimitano.
La somma ϩ ᐆ è la superficie ottenuta come unione dei punti di e ᐆ
di quelli di ᐆ:
ϭ ϩ ᐆ.
Se , e ᐆ sono superfici e ϭ ϩ ᐆ, allora le superfici e ᐆ sono
dette parti di . ᏼ=++ᐆ
La somma di due o più superfici gode delle proprietà commutativa e as- ◗ Il concetto di somma
sociativa. Se , e ᐆ sono tre superfici, allora: può essere esteso a più di
due superfici: la superficie
ϩϭϩ ᏼ è la somma delle tre su-
( ϩ ) ϩ ᐆ ϭ ϩ ( ϩ ᐆ). perfici , , ᐆ.
Se la superficie è la somma delle superfici e ᐆ, chiamiamo diffe-
renza di e ᐆ e la indichiamo con:
ϭ Ϫ ᐆ.
POSTULATO
Superfici ottenute come somme o differenze di superfici rispettivamente
equivalenti sono equivalenti.
Se Ꮽ Џ Ꮽ′ e Ꮾ Џ Ꮾ′, allora Ꮽ ؉ Ꮾ Џ Ꮽ′ ؉ Ꮾ′.
Ꮾ = Ꮾ'
Ꮾ
Ꮽ Ꮽ = Ꮽ' Ꮾ'
Ꮽ'
Ꮽ+Ꮾ = Ꮽ'+Ꮾ'
133 G
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TEORIA CAPITOLO G5. L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE
■ Il confronto di superfici
POSTULATO
Postulato di De Zolt
Una superficie non può essere equivalente a una sua parte.
Ꮽ' = Ꮾ Una superficie Ꮽ è maggiore di una superficie Ꮾ se Ꮾ è equivalente a
Ꮽ' Ꮾ una parte di Ꮽ. In tal caso si può anche dire che Ꮽ è prevalente a Ꮾ.
Scriviamo:
Ꮽ
Ꮽ>Ꮾ Ꮽ Ͼ Ꮾ.
Possiamo anche dire che Ꮾ è minore di Ꮽ, o che Ꮾ è suvvalente ad Ꮽ.
᭡ Figura 4 Se Ꮽ′, che è una ■ Le figure equivalenti ed equiscomponibili
parte di Ꮽ, è equivalente a
Ꮾ, diciamo che Ꮽ è mag- Nei prossimi paragrafi studieremo l’equivalenza fra i poligoni conside-
giore di Ꮾ, oppure che Ꮾ è randoli come somme o differenze di poligoni fra loro congruenti.
minore di Ꮽ.
ESEMPIO Consideriamo i poligoni Ꮾ
᭤ Figura 5 Ꮽ e Ꮾ della figura 5.
Ciascuna delle superfici può essere ᏮᏮ
pensata come la somma di quelle di 13
Ꮽ
altri poligoni: Ꮽ è la somma di Ꮽ1, Ꮾ
Ꮽ2, Ꮽ3, mentre Ꮾ è la somma di 2
Ꮾ1, Ꮾ2 e Ꮾ3. Se sappiamo che
Ꮽ1 Х Ꮾ1, Ꮽ2 Х Ꮾ2 e Ꮽ3 Х Ꮾ3, ᏭᏭᏭ
123
possiamo affermare che i poligoni Ꮽ e Ꮾ sono fra loro equivalenti. In-
fatti:
● se Ꮽ1 Х Ꮾ1, Ꮽ2 Х Ꮾ2, Ꮽ3 Х Ꮾ3, allora Ꮽ1 Џ Ꮾ1, Ꮽ2 Џ Ꮾ2, Ꮽ3 Џ Ꮾ3,
perché superfici congruenti sono equivalenti;
● i poligoni Ꮽ e Ꮾ risultano somme di poligoni equivalenti, quindi sono
equivalenti in virtù del postulato che abbiamo enunciato.
ESPLORAZIONE In generale, diciamo che due poligoni sono equicomposti (o equiscom-
ponibili) se sono somme di poligoni congruenti.
Il Tangram
Il risultato dell’esempio si generalizza mediante il seguente teorema.
Nel sito: ᭤ La scheda
TEOREMA
Due poligoni equicomposti sono equivalenti.
Possiamo fare considerazioni analoghe a quelle relative alla somma di
poligoni anche per le differenze tra poligoni: due poligoni sono equiva-
lenti se sono differenze di poligoni congruenti.
G 134
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Paragrafo 2. L’equivalenza di due parallelogrammi TEORIA
2. L’equivalenza di due parallelogrammi DC
A BH
TEOREMA
NM
Se due parallelogrammi hanno congruenti le basi e le altezze corrispon- I LK
denti, allora sono equivalenti.
᭣ Figura 6 Costruzione.
Ipotesi 1. ABCD è un parallelogramma;
2. ILMN è un parallelogramma;
3. CH è altezza di ABCD relativa ad AB;
4. MK è altezza di ILMN relativa a IL;
5. AB Х IL ;
6. CH Х MK.
Tesi ABCD Џ ILMN.
DIMOSTRAZIONE Disegniamo il parallelogramma ABPO congruente a
ILMN e avente base AB.
Poiché ABPO ha la stessa altezza di ABCD, la retta OP coincide con la ret-
ta DC. Si possono presentare i tre casi a, b e c della figura 6.
DO CP D C≡O PD CO P
AB AB AB
a. I segmenti CD e OP b. I segmenti CD e OP c. I segmenti CD e OP
hanno una parte in hanno soltanto un non hanno punti in
comune. estremo in comune. comune.
I parallelogrammi ILMN e ABPO sono congruenti, quindi sono anche DO CP
equivalenti. Poiché vale la proprietà transitiva dell’equivalenza fra super-
fici, invece di dimostrare l’equivalenza fra ABCD e ILMN, possiamo dimo- ق
strare l’equivalenza fra ABCD e ABPO. La dimostrazione è la stessa in ognu- ق
no dei tre casi. Facciamo quindi riferimento alla figura del primo caso.
I triangoli AOD e BPC hanno (figura a): A B P
a OC
● AD Х BC , perché lati opposti di un parallelogramma;
● AO Х BP, per lo stesso motivo; D
● DA^O Х CB^P, poiché i loro lati sono paralleli e concordi.
A B P
Pertanto essi sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei b OC
triangoli.
D
Notiamo che il parallelogramma ABCD è la differenza fra il trapezio
ABPD e il triangolo BPC (figura b), mentre il parallelogramma ABPO è AB
la differenza fra lo stesso trapezio ABPD e il triangolo AOD (figura c). c
Poiché sono differenze di poligoni congruenti, i parallelogrammi ABCD
e ABPO sono equivalenti.
Corollario. Se un parallelogramma e un rettangolo hanno congruenti
le basi e le relative altezze, sono equivalenti.
135 G
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
TEORIA CAPITOLO G5. L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE
3. I triangoli e l’equivalenza
■ L’equivalenza fra parallelogramma e triangolo
TEOREMA
Un triangolo è equivalente a un parallelogramma che ha altezza congruen-
te a quella del triangolo e base congruente a metà di quella del triangolo.
C GF C GF
A HM B D E K A
=
B DE
C La Ipotesi 1. ABC è un triangolo;
N 2. DEFG è un parallelogramma;
3. CH è altezza di ABC relativa ad AB;
AM B 4. FK è altezza di DEFG relativa a DE;
a L 5. CH Х FK;
6. AB Х 2DE.
C
Tesi ABC Џ DEFG.
N
DIMOSTRAZIONE Tracciamo la semiretta Ca di origine C e parallela alla
AM B base AB e indichiamo con M il punto medio della base AB.
b L
Da M conduciamo la parallela ad AC. Essa incontra BC in N e Ca in L.
C
Il quadrilatero AMLC è un parallelogramma, perché ha i lati opposti pa-
N ralleli per costruzione, ed è equivalente al parallelogramma DEFG, per il
teorema di equivalenza dei parallelogrammi.
AM B
c I triangoli MBN e CNL hanno (figura a):
● MB Х CL, perché entrambi congruenti ad AM;
● MB^N Х NC^L, perché sono angoli alterni interni formati dalle rette pa-
rallele AB e CL, tagliate dalla trasversale BC ;
● NM^B Х N^LC, perché sono angoli alterni interni formati dalle stesse ret-
te parallele, tagliate dalla trasversale ML.
Pertanto i triangoli MBN e CNL sono congruenti per il secondo criterio.
Il triangolo ABC può essere considerato come somma del trapezio
AMNC e del triangolo MBN (figura b). Il parallelogramma AMLC può
essere considerato come somma dello stesso trapezio AMNC e del trian-
golo CNL (figura c). Il triangolo ABC e il parallelogramma AMLC, essen-
do equicomposti, sono equivalenti.
Il parallelogramma AMLC è equivalente a DEFG per il criterio di equiva-
lenza dei parallelogrammi, quindi il triangolo ABC è equivalente al paral-
lelogramma DEFG, per la proprietà transitiva.
G 136
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Paragrafo 3. I triangoli e l’equivalenza TEORIA
Corollario. Se due triangoli han- Cᏼ F ᏼ' ᭣ Figura 7 I triangoli ABC e
no congruenti le basi e le rispet-
tive altezze, sono equivalenti. DEF hanno AB ≅ DE e
CH ≅ FK. Per il teorema pre-
A H BD EK
cedente, il triangolo ABC è
Vale anche il seguente teorema, di cui non forniamo la dimostrazione. equivalente al parallelo-
gramma ᏼ, che ha la base
TEOREMA congruente alla metà di AB
e altezza CH. Sempre per il
Un triangolo è equivalente a un parallelogramma che ha base congruente teorema precedente, il
a quella del triangolo e altezza congruente a metà altezza del triangolo. triangolo DEF è equivalente
al parallelogramma ᏼ′, che
ha la base congruente alla
metà di DE e altezza FK. Poi-
ché i parallelogrammi ᏼe ᏼ′
sono equivalenti, anche i
triangoli ABC e DEF sono
equivalenti.
■ L’equivalenza fra triangolo e trapezio DC
ق
TEOREMA
AH B
Un trapezio è equivalente a un triangolo se la sua altezza è congruente a G
quella del triangolo e la somma delle due basi è congruente alla base del
triangolo.
Ipotesi 1. ABCD è un trapezio; 4. GK è altezza del triangolo;
2. EFG è un triangolo; 5. DH Х GK;
3. DH è altezza del trapezio; 6. AB ϩ CD Х EF.
Tesi ABCD Џ EFG.
DIMOSTRAZIONE Prolunghiamo la base AB di un segmento BM Х CD. EK قF
DC
Congiungiamo M con D: il segmento MD interseca BC in N. N
I triangoli AMD ed EFG sono equivalenti, perché, per costruzione, han- A B M
no basi congruenti e altezze congruenti. a
C
Ora consideriamo i triangoli NCD e BMN (figura a). Essi hanno: D
● DC Х BM, per costruzione;
● CD^N Х NM^B, perché sono angoli alterni interni formati dalle rette pa- N
rallele DC e AM, tagliate dalla trasversale DM; A BM
● DC^N Х N^BM, perché sono angoli alterni interni formati dalle stesse b
rette parallele, tagliate dalla trasversale BC. DC
Pertanto sono congruenti per il secondo criterio. N
Il trapezio ABCD è la somma del quadrilatero ABND e del triangolo A BM
NCD (figura b). Il triangolo AMD è la somma dello stesso quadrilatero c
ABND e del triangolo BMN (figura c). Il trapezio ABCD e il triangolo
AMD, essendo equicomposti, sono equivalenti.
Poiché AMD è equivalente a EFG, il trapezio ABCD è equivalente al
triangolo EFG, per la proprietà transitiva dell’equivalenza.
137 G
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TEORIA CAPITOLO G5. L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE
◗ Il perimetro di un poli- ■ L’equivalenza fra triangolo e poligono circoscritto
gono è un segmento con- a una circonferenza
gruente alla somma di tutti
i lati del poligono. TEOREMA
Un poligono circoscritto a una circonferenza è equivalente a un triangolo
che ha base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente al
raggio della circonferenza.
Dimostriamo il teorema per un poligono di cinque lati; la dimostrazione per
un poligono circoscritto con un numero qualsiasi di lati è del tutto analoga.
D
N
E OC LP HQ R SM
AK B b. Riportiamo consecutivamente su una retta i segmenti LP Х AB,
a. Congiungiamo il centro O della PQ Х BC, QR Х CD, RS Х DE, SM Х EA e congiungiamo gli estremi
circonferenza con i vertici del poligono, L e M con un punto N che dista dalla retta di un segmento NH Х OK.
che resta così scomposto in cinque triangoli.
᭡ Figura 8 Costruzione. Il DIMOSTRAZIONE I triangoli ABO e LPN hanno basi congruenti (per co-
poligono è scomposto in struzione) e altezze congruenti (perché congruenti al raggio), quindi
cinque triangoli, ognuno dei sono equivalenti, ossia
quali ha un vertice coinci-
dente con il centro della cir- ABO Џ LPN.
conferenza. Il lato opposto a
tale vertice è tangente alla Analogamente:
circonferenza, quindi
l’altezza relativa è un raggio BCO Џ PQN, CDO Џ QRN, DEO Џ RSN, EAO Џ SMN,
della circonferenza. Per
esempio, l’altezza OK nel ossia ogni triangolo del poligono è equivalente al corrispondente trian-
triangolo AOB è la distanza golo costruito su una parte del segmento LM.
di O dalla retta tangente AB,
ossia il raggio OK. Il triangolo LMN è equivalente alla somma dei triangoli di cui è compo-
sto il poligono ABCDE, quindi il poligono e il triangolo sono equivalenti.
Poiché un poligono regolare è sempre circoscrivibile a una circonferenza,
vale il seguente corollario.
Corollario. Un poligono regolare è equivalente a un triangolo che ha
base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente all’apo-
tema.
G 138
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Paragrafo 5. I teoremi di Euclide e Pitagora TEORIA
4. La costruzione di poligoni ◗ Il metodo che utilizzia-
equivalenti mo è indipendente dal nu-
mero dei lati del poligono
■ Da un poligono convesso a uno equivalente considerato.
con un lato in meno
Da ogni poligono convesso, che non sia un triangolo, possiamo ottenere
con una costruzione un poligono equivalente con un lato in meno. Per
esempio scegliamo un esagono convesso e costruiamo un pentagono a
esso equivalente.
ED ED ED ED
F F F F
AB C A D' A D' A D'
B C B C B C
a. È dato l’esagono b. Tracciamo la retta per D c. Congiungiamo E con D'. d. Il pentagono ABD'EF è
convesso ABCDEF. parallela alla diagonale EC, equivalente all’esagono
Tracciamo la diagonale EC. che incontra in D' il ABCDEF.
prolungamento di BC.
La costruzione si basa sul fatto che i triangoli ECD ed ECD′ sono equiva- ᭡ Figura 9
lenti.
Ripetendo più volte la costruzione precedente su un qualsiasi poligono MATEMATICA
convesso, si può giungere a un triangolo equivalente al poligono dato. Per- PER IL CITTADINO
tanto un qualsiasi poligono convesso è sempre equivalente a un triangolo.
Piastrelle
5. I teoremi di Euclide e Pitagora
Si vuole rivestire un piano
■ Il primo teorema di Euclide D B di lavoro da cucina, di for-
ma irregolare, con pia-
TEOREMA C strelle di ceramica. In base
EQ alla forma di piastrella
In ogni triangolo rettangolo, il scelta, calcoliamo il nu-
quadrato costruito su un cateto è A Hق mero di piastrelle neces-
equivalente al rettangolo che ha i sario e il numero di tagli
lati congruenti all’ipotenusa e alla = da effettuare.
proiezione dello stesso cateto Nel sito: ᭤ Il problema
sull’ipotenusa.
ق
Q=
FG
139 G
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TEORIA CAPITOLO G5. L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE
DIMOSTRAZIONE
᭤ Figura 10 Costruzione.
N N
D M M
EQ D D
C E C E C
H B
A H قB A α' β B
α
AH
ق
FG FG FG
a. Dopo aver disegnato b. Prolunghiamo i lati FA c. Indichiamo con α
il quadrato ACDE e il
rettangolo AFGH, e GH del rettangolo AFGH l’angolo CÂB, con α'
prolunghiamo il lato ED.
fino a incontrare il l’angolo EÂM e con β
prolungamento di ED l’angolo MÂC.
rispettivamente nei punti
M M e N.
D
E ␣Ј C I triangoli ABC e AME (figura a) hanno:
ق ␣
ق ● AC Х AE, per costruzione (ACDE è un quadrato);
aA ● C^ Х E^, retti per costruzione;
B
● ␣ Х ␣′, perché complementari dello stesso angolo 
N
␣ 1 1
ϩ  ϭ ᎏ2ᎏ P^ e anche ␣′ ϩ  ϭ ᎏ2ᎏ P^ .
M C Pertanto sono congruenti per il secondo criterio. In particolare hanno
D AB Х AM.
E Il quadrilatero ACNM è un parallelogramma, perché ha i lati opposti pa-
ralleli per costruzione.
bA B
N
Il parallelogramma ACNM e il quadrato ACDE hanno la stessa base AC e
la stessa altezza EA, quindi sono equivalenti (figura b).
M C Il parallelogramma ACNM e il rettangolo AFGH hanno le basi congruen-
D ti AM Х AF (perché entrambe congruenti all’ipotenusa) e la stessa altez-
za AH, quindi sono equivalenti (figura c).
EQ
AH B Poiché ACDE Џ ACNM e ACNM Џ AFGH, per la proprietà transitiva
dell’equivalenza, abbiamo anche ACDE Џ AFGH, ossia Q Џ .
c FG In modo del tutto analogo, si può procedere eseguendo la costruzione
sull’altro cateto.
G 140
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 5. I teoremi di Euclide e Pitagora TEORIA
■ Il teorema di Pitagora C Q2
Q1 قB
TEOREMA
A
In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equi-
valente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
DIMOSTRAZIONE
Tracciamo l’altezza CH e prolunghiamola in modo da scomporre il qua- ق
drato Q3 nei rettangoli 1 e 2 (figura 12):
Q3
Q 3 Џ 1 ϩ 2. ᭡ Figura 11 Q3 Џ Q1 ϩ Q2.
L’altezza CH individua sull’ipotenusa i segmenti AH e BH, proiezioni dei
cateti. Inoltre AH e BH sono le basi di 1 e 2, che hanno i lati congruenti
alla proiezione di un cateto e all’ipotenusa. Quindi, per il primo teorema di
Euclide, abbiamo:
Q 1 Џ 1, Q 2 Џ 2.
Poiché somme di figure equivalenti sono equivalenti, risulta:
1 ϩ 2 Џ Q1 ϩ Q2. C Q2
Q1 B
Essendo Q 3 Џ 1 ϩ 2 e 1 ϩ 2 Џ Q 1 ϩ Q 2, per la proprietà transiti-
va dell’equivalenza si ottiene: AH
Q3ЏQ1 ϩQ2. 1 Q3
Vale anche il teorema inverso, del quale non diamo la dimostrazione. 2
TEOREMA ᭡ Figura 12
Un triangolo nel quale la somma dei quadrati costruiti su due lati è equi-
valente al quadrato costruito sul terzo lato è rettangolo.
PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Nel sito: ᭤ Scheda di lavoro
Più di Pitagora
Se ABC è un triangolo qualsiasi e se ABDE e ACFG sono parallelogrammi qualsia-
si costruiti sui due lati AB e AC, allora è possibile costruire sul lato BC un terzo
parallelogramma BCHI equivalente alla somma degli altri due.
(Pappo, Collezioni matematiche, IV secolo d.C.)
CARLO: «Più generale del teorema di Pitagora: ABC è un triangolo qualsiasi e
VALERIA: non rettangolo».
«E poi ci sono tre parallelogrammi e non tre quadrati.
Ma come si dimostra?».
᭤ Per dimostrare il teorema, prolunga i lati DE e FG dei parallelogrammi ABDE
e ACFG in modo che si incontrino in un punto K. Costruisci ora sul lato BC un
parallelogramma avente due lati BI e CH paralleli e congruenti ad AK. Prolun-
ga i segmenti BI, CH e AK…
141 G
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TEORIA CAPITOLO G5. L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE
■ Il secondo teorema di Euclide C
TEOREMA Q
A H قB
In ogni triangolo rettangolo il qua-
drato costruito sull’altezza relativa =
all’ipotenusa è equivalente al ret-
tangolo avente i lati congruenti alle
proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
Q=
ق
᭢ Figura 13 DIMOSTRAZIONE Disegniamo: il quadrato Q1 di lato AC, il quadrato Q di
lato CH; il rettangolo 1 di base AH e altezza AD Х AB, ossia il rettango-
lo ADEH (figura 13a).
Q C C
C Q1 Q1
Q1
AH Q
F 1 GQ2
B AH B AH B
Q2 Q2
DE 1
a FG
LABORATORIO
DI MATEMATICA
Nel sito: DE DE
᭤ L’equivalenza delle b c
superfici piane con Cabri Consideriamo su AD il punto F tale che AF Х AH e su HE il punto G tale
o con GeoGebra che HG Х AH. Chiamiamo Q2 il quadrato AFGH. Poiché AD Х AB e
AF Х AH, il rettangolo DEGF è .
Il rettangolo 1 è formato dal quadrato Q2 e dal rettangolo . Vale cioè
la seguente relazione:
1 ϭ Q2 ϩ .
Applicando al triangolo AHC il teorema di Pitagora (figura 13b), ottenia-
mo:
Q1 Џ Q ϩ Q2 → Q Џ Q1 Ϫ Q2.
Applichiamo al triangolo ABC il primo teorema di Euclide (figura 13c):
Q 1 Џ 1 → Q 1 Џ ϩ Q 2 → Џ Q 1 Ϫ Q 2.
Essendo Q e equivalenti entrambi a Q 1 Ϫ Q 2, sono equivalenti fra
loro per la proprietà transitiva:
Q Џ .
G 142
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La teoria in sintesi ESERCIZI
LA TEORIA IN SINTESI
L’equivalenza delle superfici piane
1. L’estensione e l’equivalenza 3. I triangoli e l’equivalenza
Il concetto di estensione di una superficie è primiti- Un triangolo è equivalente a un parallelogramma
vo. Due superfici si dicono equivalenti quando han- che ha altezza congruente a quella del triangolo e
no la stessa estensione. base congruente a metà base del triangolo.
L’equivalenza fra superfici gode delle proprietà rifles- L’equivalenza fra parallelogramma e triangolo
siva, simmetrica e transitiva ed è quindi una relazio-
ne di equivalenza. = altezza
La caratteristica comune alle superfici che apparten- altezza ق
gono alla stessa classe di equivalenza è detta area della قق base
superficie.
base
Due superfici congruenti sono sempre equivalenti.
Un trapezio è equivalente a un triangolo che ha al-
Le superfici ottenute come somme (o differenze) di tezza congruente all’altezza del trapezio e base con-
superfici rispettivamente equivalenti sono equivalenti. gruente alla somma delle basi del trapezio.
ESEMPIO Џ ′, ᐆ Џ ᐆ′ → ϩ ᐆ Џ ′ ϩ ᐆ′.
Due solidi aventi la stessa estensione sono equiva- L’equivalenza fra triangolo e trapezio
lenti. Anche l’equivalenza fra solidi è una relazione base minore
di equivalenza. La caratteristica comune ai solidi che
appartengono alla stessa classe di equivalenza è il vo- altezza = altezza
lume. ق ق
Principio di Cavalieri: due solidi sono equivalenti se base maggiore base
possono essere disposti in modo che ogni piano pa-
rallelo a un altro fissato, scelto come riferimento, li Un poligono circoscritto a una circonferenza è
tagli secondo sezioni equivalenti. equivalente a un triangolo che ha base congruente al
Solidi equicomposti sono equivalenti. perimetro del poligono e altezza congruente al raggio
della circonferenza.
2. L’equivalenza di due L’equivalenza fra triangolo e poligono circoscritto
parallelogrammi a una circonferenza
Se due parallelogrammi hanno congruenti le basi e ᐍ ᐍ
le altezze, relative a tali basi, allora sono equivalenti. 4 3
L’equivalenza di due parallelogrammi ᐍr ᐍ
5 2
ᐍ
= 1 =
altezza altezza
ق ق
base base
Se un parallelogramma e un rettangolo hanno con- ᐍ + ᐍ + ᐍ + ᐍ + ᐍ
gruenti le basi e le relative altezze, sono equivalenti. 1 2 3 4 5
143 G
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ESERCIZI CAPITOLO G5. L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE
4. La costruzione di poligoni Il teorema di Pitagora
equivalenti In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito
sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati
Da ogni poligono convesso, che non sia un triangolo, costruiti sui cateti.
possiamo ottenere un poligono equivalente con un
lato in meno mediante un’opportuna costruzione. Teorema di Pitagora
Da un poligono convesso a uno equivalente Q1 Q2
con un lato in meno
Q3 = Q1 + Q2
D
E C ABCDE = AC'DE
Q3
C'
AB
5. I teoremi di Euclide e Pitagora Il secondo teorema di Euclide
In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito
Il primo teorema di Euclide sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al ret-
In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito su tangolo avente i lati congruenti alle proiezioni dei ca-
un cateto è equivalente al rettangolo che ha i lati con- teti sull’ipotenusa.
gruenti all’ipotenusa e alla proiezione dello stesso ca-
teto sull’ipotenusa.
Primo teorema di Euclide Secondo teorema di Euclide
Q1 oppure Q2 Q Q =
1 2 ق
Q1 = 1
Q2 = 2 =ق
1. L’estensione e l’equivalenza –ᮣ Teoria a pag. G131
1 Individua le coppie di figure equivalenti.
a b c de
f g h il
G 144 Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 1. L’estensione e l’equivalenza ESERCIZI
ESERCIZIO GUIDA
2 Dimostriamo la seguente equivalenza fra superfici, usando le ipotesi indicate.
DP C
Ipotesi 1. ABCD è un parallelogramma;
2. QP ͞͞ AD.
Tesi ABCD Џ 2ABP.
AQ B
Dimostrazione ● Poiché:
● Per l’ipotesi 2 risulta QP ͞͞ AD, per l’ipotesi 1
ABP Џ AQP ϩ QBP,
risulta AD ͞͞ BC. Per la proprietà transitiva del
parallelismo è anche vero che QP ͞͞ BC . tenendo conto delle congruenze precedenti,
si ha:
● I quadrilateri AQPD e QBCP, avendo i lati op-
posti paralleli, sono parallelogrammi. ABP Џ APD ϩ PBC .
● Nel parallelogramma AQPD la diagonale AP ● Il parallelogramma risulta scomposto nei
individua due triangoli congruenti AQP e APD. triangoli APD, ABP, BCP :
● Allo stesso modo nel parallelogramma QBCP ABCD Џ ABP ϩ APD ϩ PBC.
la diagonale PB individua i triangoli congruen-
ti QBP e PBC. Ricordando che ABP Џ APD ϩ PBC conclu-
diamo che:
ABCD Џ ABP ϩ ABP, ossia
ABCD Џ 2ABP.
DP C
DP C
AQ B
AQ B
Dimostra le seguenti equivalenze fra superfici usando le ipotesi indicate.
3 FE D 4 C
Q
R
M
D
B
AB C S
Ipotesi 1. AM Х ME; P
2. ED ͞͞ AC.
A
Tesi ACDE ЏBCDF.
Ipotesi 1. DC ͞͞ SQ ͞͞ AB;
2. DA ͞͞ RP ͞͞ CB.
Tesi ABCD Џ 2PQRS.
145 G
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ESERCIZI CAPITOLO G5. L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE
5 SD CR 7A
MN MP
AP QB BN C
Ipotesi 1. DC ͞͞ AB; Ipotesi 1. ABC è un triangolo equilatero;
2. M, N, P sono i punti medi dei
2. SP Ќ AB ; suoi lati.
3. RQ Ќ AB; Tesi ABC Џ 4MNP.
4. AM Х MD, CN Х NB.
Tesi ABCD Џ PQRS.
6 AB 8 AM D
QN
DC
E BPC
Ipotesi 1. AE ͞͞ BC; Ipotesi 1. ABCD è un parallelogramma;
2. AB ͞͞ DC; 2. Q, P, N, M sono i punti medi dei
3. AD Х DE. suoi lati.
Tesi ABCD Џ 2CDE. Tesi QPN Џ QNM.
2. L’equivalenza di due parallelogrammi –ᮣ Teoria a pag. G135
9 Nelle seguenti figure indica quali sono i parallelogrammi che, avendo basi e altezze rispettivamente C
congruenti, sono equivalenti. Specifica opportunamente la congruenza tra basi e quella tra altezze.
FE DC D
E
GFE
ق B
ق F
aA B bA B C D c A
10 Disegna il parallelogramma ABCD e conduci da C la parallela alla diagonale BD. Chiama E il punto di inter-
sezione di tale parallela con il prolungamento del lato AB. Dimostra che i parallelogrammi ABCD e BDCE
sono equivalenti.
11 Nel parallelogramma ABCD, sul prolungamento del lato AD, scegli un segmento PQ congruente ad AD. Di-
mostra che il quadrilatero convesso BCQP è equivalente ad ABCD.
12 In un parallelogramma ABCD, sul prolungamento del lato AD scegli un segmento PQ congruente ad AD e sul
prolungamento del lato AB disegna un segmento MN congruente ad AB. Dimostra che i quadrilateri convessi
ottenuti congiungendo i punti B, C, P e Q e i punti M, N, C e D sono equivalenti.
G 146
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Paragrafo 3. I triangoli e l’equivalenza ESERCIZI
3. I triangoli e l’equivalenza –ᮣ Teoria a pag. G136
■ L’equivalenza fra parallelogramma e triangolo
Spiega le equivalenze scritte sotto ogni figura, applicando i teoremi sull’equivalenza che conosci.
13 E D C 14 D C 15 D F C
OE
ق
AB ق AB AB
ABD = ADE + BCD ق AOB = DOC AED = ABC
قAOD = BOC
ق
Spiega le equivalenze scritte sotto ogni figura, applicando i teoremi e i corollari sulle equivalenze che conosci.
ق16 C 17 A 18 C
ق
O
AMB B MC AM B
AMC = MBC BMA = —12 BCA ABO = AMC
Dimostrazioni
ESERCIZIO GUIDA
19 Sono dati due triangoli che hanno altezze congruenti. Dimostriamo che un triangolo con la stessa altezza
dei triangoli dati e con la base congruente alla somma delle loro basi è equivalente alla somma dei due
triangoli.
Disegniamo la figura e scriviamo l’ipotesi e la tesi: Consideriamo su PQ il punto T tale che PT Х DE e
TQ Х AB. Congiungiamo T con R.
C FR
TQR Џ ABC perché sono triangoli che hanno basi e
AH B D E KP LQ altezze congruenti.
Ipotesi 1. CH, FK e RL sono altezze congruenti; Per lo stesso motivo PTR Џ DEF.
2. PQ Х AB ϩ DE.
Sommando membro a membro:
Tesi PQR Џ ABC ϩ DEF. PTR ϩTQR Џ ABC ϩ DEF.
Dimostrazione F R Poiché inoltre:
PQR Џ PTR ϩ TQR,
C
concludiamo che:
PQR Џ ABC ϩ DEF.
A BD E PT Q
147 G
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO G5. L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE
20 Disegna un triangolo scaleno ABC e traccia la mediana AM. Dimostra che i triangoli AMB e AMC sono
equivalenti.
21 Disegna un triangolo scaleno ABC e traccia la mediana CM. Indica con P il punto medio di CM. Congiungi
A e B con P. Dimostra che i quattro triangoli AMP, BMP, BCP e CAP sono tra loro equivalenti.
22 Un trapezio ABCD di basi AB e CD ha le diagonali AC e BD che si intersecano nel punto E. Dimostra che i
triangoli AED e BCE sono equivalenti.
23 Disegna un parallelogramma ABCD e sia E un punto qualsiasi del lato CD. Dimostra che la somma dei due
triangoli AED e BEC è equivalente a metà del parallelogramma ABCD.
24 Dimostra che un parallelogramma viene diviso dalle sue diagonali in quattro triangoli equivalenti.
25 Disegna il parallelogramma ABCD e traccia la diagonale AC. Su AC prendi due punti distinti E e F e dimo-
stra che i triangoli EBF ed EDF sono equivalenti.
■ L’equivalenza fra triangolo e trapezio
Dimostrazioni
ESERCIZIO GUIDA
26 Disegniamo un trapezio ABCD. Scegliamo internamente a esso un punto E equidistante dalle due basi.
Congiungiamo E con i vertici del trapezio. Dimostriamo che la somma dei triangoli AEB e DEC è equiva-
lente alla somma dei triangoli AED e BEC.
D KC Dimostrazione
E I triangoli DEC e BEF hanno:
● base congruente, DC Х BF per costruzione;
AH B ● altezza congruente, EK Х EH, metà dell’altezza
Ipotesi 1. ABCD è un trapezio; 2. HE Х EK; del trapezio, quindi sono equivalenti.
3. EK Ќ DC ; 4. EH Ќ AB. D KC
Tesi AEB ϩ DEC Џ AED ϩ BEC.
E
Costruzione AH BF
D C Il triangolo AFE è costituito dai due triangoli ABE e
BEF ; poiché BEF Џ DEC per quanto appena dimo-
E strato, possiamo scrivere:
A BF AFE Џ ABE ϩ DEC.
a. Prolunghiamo la base AB di un segmento Inoltre il triangolo AFE, avendo la base congruente alla
BF ≅ DC. somma delle basi del trapezio e altezza congruente a me-
tà di quella del trapezio, è equivalente a metà trapezio.
D KC
Se AEB ϩ DEC Џ ᎏ21ᎏ ABCD, allora
E AED ϩ BEC Џ ᎏ21ᎏ ABCD.
AH BF Per la proprietà transitiva possiamo scrivere:
b. Tracciamo per E la parallela alle basi e
congiungiamo E con i punti B, C, D e F. AEB ϩ DEC Џ AED ϩ BEC.
G 148
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Paragrafo 3. I triangoli e l’equivalenza ESERCIZI
27 Disegna il trapezio ABCD e indica con M e N rispettivamente i punti medi dei lati paralleli AD e BC. Dimo-
stra che i trapezi ABNM e MNCD sono equivalenti.
28 Nel trapezio ABCD indica con M e N i punti medi dei lati obliqui AB e CD. Da M e N conduci due rette fra
loro parallele che incontrano le rette delle basi maggiore e minore rispettivamente nei punti H ed E per la
parallela da M, nei punti G e F per la parallela da N. Dimostra che il trapezio ABCD e il parallelogramma
EFGH sono equivalenti.
29 Disegna un trapezio avente base maggiore AB doppia della base minore CD. Traccia dal vertice C la paralle-
la ad AD fino a incontrare AB in E. Dimostra che il trapezio ABCD è equivalente al triplo del triangolo ADE.
30 Disegna un trapezio isoscele ABCD di base maggiore AB e di altezza CH. Dimostra che l’estensione di
ABCD è doppia di quella del triangolo ACH.
31 Disegna un trapezio rettangolo ABCD che ha per lato obliquo CD. Dimostra che il trapezio è equivalente a
metà della somma dei due rettangoli aventi come basi le due basi del trapezio e come altezza il lato AB.
32 Disegna un trapezio ABCD di base maggiore AB e altezza CH. Sia M il punto medio di CH. Dimostra che
ABCD è equivalente al rettangolo i cui lati sono congruenti a CM e alla somma delle basi del trapezio.
33 Disegna un trapezio ABCD e conduci dai punti medi M e N dei lati obliqui AB e DC le perpendicolari alle
basi. Tali perpendicolari intersecano le rette delle basi maggiore e minore rispettivamente in S e R per la per-
pendicolare da M, in P e Q per la perpendicolare da N. Dimostra che il rettangolo SPQR è equivalente ad
ABCD.
34 Nel trapezio ABCD, M e N sono i punti medi dei lati obliqui AB e CD. Detto O il punto medio di MN, dimo-
stra che un qualunque segmento avente gli estremi sulle due basi e passante per O divide il trapezio in due
trapezi equivalenti. (Suggerimento. Utilizza l’esercizio precedente.)
■ L’equivalenza fra triangolo e poligono circoscritto a una circonferenza
35 Dimostra che un qualunque triangolo ABC è equivalente a un altro triangolo che ha base congruente al peri-
metro di ABC e altezza relativa congruente al raggio del cerchio inscritto in ABC.
36 Dimostra che ogni quadrato è equivalente a un triangolo che ha un lato e l’altezza a esso relativa congruenti
rispettivamente al quadruplo e alla metà del lato del quadrato.
37 Dimostra che un poligono circoscritto a una circonferenza è equivalente al rettangolo che ha i lati congruen-
ti al raggio della circonferenza e al semiperimetro del poligono. (Suggerimento. Ricorda l’equivalenza tra
triangolo e rettangolo.)
38 Disegna un quadrilatero ABCD circoscritto a una circonferenza di centro O e raggio OH. Dimostra che
ABCD è equivalente a un parallelogramma che ha un lato congruente alla somma dei segmenti AB e CD e
l’altezza congruente a OH. (Suggerimento. Ricorda che in un quadrilatero circoscritto a una circonferenza la
somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due.)
39 Disegna un trapezio ABCD di basi AB e CD circoscritto a una circonferenza di diametro PQ. Dimostra che
ABCD è equivalente a un triangolo che ha un lato congruente alla somma dei segmenti AD e BC e l’altezza a
esso relativa congruente a PQ. (Suggerimento. Ricorda l’equivalenza tra triangolo e trapezio, vedi il suggeri-
mento dell’esercizio 38.)
149 G
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ESERCIZI CAPITOLO G5. L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE
4. La costruzione di poligoni equivalenti –ᮣ Teoria a pag. G139
40 Per ogni quadrilatero convesso rappresentato in figura costruisci un triangolo a esso equivalente.
ab c de
41 Per ogni poligono convesso rappresentato in figura costruisci un triangolo a esso equivalente eseguendo, in
alcuni casi più volte, la costruzione descritta nella teoria.
ab cd e
5. I teoremi di Euclide e Pitagora –ᮣ Teoria a pag. G139
■ Il primo teorema di Euclide
42 In ognuno dei seguenti triangoli rettangoli riconosci le figure equivalenti, applicando il primo teorema di
Euclide.
ق ق
ق
ق
a bc
G 150 Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 5. I teoremi di Euclide e Pitagora ESERCIZI
43 Dimostra che in una circonferenza il quadrato costruito su una corda AB, non passante per il centro, è
equivalente al rettangolo i cui lati sono congruenti alla proiezione della corda sul diametro AC e al diame-
tro stesso.
44 Disegna un rettangolo ABCD e traccia la diagonale AC. Da B traccia la perpendicolare BH ad AC. Dimostra
che il quadrato costruito sul lato AB è equivalente al rettangolo avente i lati congruenti ad AC e AH.
45 Disegna un trapezio rettangolo con la diagonale minore perpendicolare al lato obliquo. Dimostra che il qua-
drato costruito sulla diagonale minore è equivalente al rettangolo i cui lati sono congruenti alle basi del tra-
pezio.
46 Dimostra che un quadrato è equivalente a un rettangolo avente i lati congruenti alla diagonale e alla semi-
diagonale del quadrato stesso.
■ Il teorema di Pitagora Nel sito: ᭤ 7 esercizi di recupero
47 In relazione alle seguenti figure, scrivi tutte le equivalenze possibili, applicando il teorema di Pitagora e il
primo teorema di Euclide.
Q5 Q2 5 Q2 Q1 ᐀1
Q1 4 ᐀1 2 3 Q1 Q2
Q3
ق Q3
1 Q4
Q4 2
ق Q3 1
ق
a bc
48 Disegna un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa BC. Sia D un punto qualunque di AB. Dimostra che la
somma dei quadrati costruiti su AB e su CD è equivalente alla somma dei quadrati costruiti su BC e su AD.
49 Dimostra che un quadrato è equivalente alla metà del quadrato costruito su una sua diagonale.
50 Disegna un trapezio rettangolo ABCD in cui la diagonale minore BD è perpendicolare al lato obliquo. Di-
mostra che il quadrato costruito sulla base maggiore BC è equivalente alla somma dei quadrati costruiti su-
gli altri tre lati.
51 Dimostra che il quadrato costruito sull’altezza di un triangolo equilatero è equivalente al triplo del quadrato
costruito su metà del lato.
52 Disegna un triangolo ABC in cui gli angoli in A e in B sono acuti e tali che l’angolo in A sia minore di quello
in B. Traccia l’altezza CH relativa al lato AB. Dimostra che la differenza fra i quadrati costruiti sui lati AC e
BC è equivalente alla differenza dei quadrati costruiti sui segmenti AH e BH.
53 Disegna un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa BC. Siano P e Q rispettivamente due punti qualsiasi dei
cateti AB e AC. Dimostra che la somma dei quadrati costruiti su BC e su PQ è equivalente alla somma dei
quadrati costruiti su PC e su QB.
151 G
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ESERCIZI CAPITOLO G5. L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE
■ Il secondo teorema di Euclide Nel sito: ᭤ 6 esercizi di recupero
54 È dato un triangolo ABC rettangolo in C^. Verifica che, se le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa sono lunghe
rispettivamente 3 cm e 12 cm, l’altezza CH è lunga 6 cm.
55 Sia ABC un triangolo rettangolo di altezza relativa all’ipotenusa di 4 cm e di proiezione del cateto AC
sull’ipotenusa stessa di 2 cm. Determina la lunghezza della proiezione di CB su AB. [8 cm]
56 È dato un triangolo rettangolo ABC. L’altezza CH relativa all’ipotenusa è lunga 10 cm. Sapendo che le proie-
zioni dei cateti sull’ipotenusa sono una il triplo dell’altra, determina l’area del rettangolo che ha per dimen-
sioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. [100 cm2]
57 Del triangolo rettangolo ABC sono note la lunghezza del cateto CB, che è di 10 cm, e quella dell’altezza CH
΄ ΅32
relativa all’ipotenusa, che è di 8 cm. Determina la lunghezza di AH. cm
ᎏ3ᎏ
58 Sia ABC un triangolo rettangolo. Sapendo che un cateto è lungo 5 cm e che la sua proiezione sull’ipotenusa è
di 3 cm, determina la lunghezza dell’ipotenusa utilizzando il secondo teorema di Euclide. ΄ ΅ᎏ25ᎏ cm
3
59 Determina l’area di un rombo le cui diagonali sono congruenti all’ipotenusa e all’altezza di un triangolo ret-
tangolo le cui proiezioni sull’ipotenusa sono lunghe rispettivamente 5 cm e ᎏ59ᎏ cm. ΄ ΅ᎏ551ᎏ cm2
60 Disegna un trapezio rettangolo con la diagonale 63 Sia AB il diametro di una circonferenza di centro
minore perpendicolare al lato obliquo. Dimostra O e sia CD una corda perpendicolare ad AB che
che il quadrato costruito sull’altezza è equivalen- interseca AB nel punto H. Sulla tangente passante
te al rettangolo le cui dimensioni sono congruen- per A scegli un punto E in modo che AE sia con-
ti alla base minore e alla differenza delle basi del gruente a BH. Da E traccia la parallela ad AB fino
trapezio. a incontrare il prolungamento di CD in F. Dimo-
stra che il quadrato costruito su CH è equivalente
61 Disegna un rettangolo ABCD e traccia la diago- al rettangolo AEFH.
nale AC. Da B traccia la perpendicolare BH ad
AC. Dimostra che il quadrato costruito su BH è 64 Sia AB il diametro di una circonferenza di centro
equivalente al rettangolo avente i lati congruenti O e sia CD una corda perpendicolare ad AB che
a CH e AH. interseca AB nel punto H. Dimostra che il qua-
drato costruito su CD è quadruplo del rettangolo
62 Disegna un rombo ABCD e sia O il punto d’in- avente i lati congruenti a BH e AH.
contro delle diagonali. Dimostra che il quadrato
costruito sull’altezza del rombo è equivalente al 65 Traccia una circonferenza di centro O e da un
quadruplo del rettangolo i cui lati sono con- punto P esterno conduci le tangenti alla circonfe-
gruenti alle proiezioni delle semidiagonali AO e renza. Indica con A e con B i punti di tangenza.
BO su un lato del rombo. Detto H il punto d’incontro dei segmenti PO e
AB, dimostra che il quadrato costruito su AB è
quadruplo del rettangolo i cui lati sono con-
gruenti a PH e HO.
G 152
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Verso le competenze ESERCIZI
Verso le competenze Nel sito: ᭤ 30 test interattivi in più
TEST 5 Una delle seguenti equivalenze riferite alla figura
è falsa. Quale?
1 Due figure si dicono equivalenti se:
A hanno la stessa estensione. DC HG
B sono congruenti.
C sono poligoni regolari e hanno lo stesso nume- A M BEP Q F
ro di lati.
D hanno la stessa forma. AB ≅ EF
CD ≅ HG
2 Due poligoni si dicono equiscomponibili se AD ≅ PH
sono:
A congruenti. A ADC è equivalente a QFG.
B somme di figure equivalenti. B ABC è equivalente a EPH ϩ PFH.
C equivalenti. C ADC è equivalente a EGH.
D somme di poligoni congruenti. D AMCD è equivalente a PQGH.
3 Nella figura E, F, G, H sono i punti medi dei lati 6 Nella figura sono rappresentati quattro quadrila-
del quadrato ABCD. teri, formati dagli stessi due triangoli rettangoli
tra loro congruenti.
DEC
BB
A CA C
FH DD
DB
AG B BD
AC
L’area del quadrato blu, rispetto a quella di AC
ABCD, è: Quale tra le seguenti proposizioni è vera?
A ᎏ12ᎏ . B ᎏ13ᎏ . C ᎏ14ᎏ . D ᎏ51ᎏ . A I quadrilateri hanno tutti la stessa area, ma
non lo stesso perimetro.
4 Osserva i quadrilateri nella figura. B Il quadrilatero di perimetro maggiore ha
anche area maggiore.
D G NM C I quadrilateri hanno tutti lo stesso perimetro.
AC D I quadrilateri hanno tutti la stessa area e lo
HF
stesso perimetro.
(Invalsi, 2007)
B E IL 7 Se D e d sono le misure delle diagonali di un
rombo, a quale delle seguenti figure è equiva-
Se AC Х HF Х IL e BD Х EG Х LM, allora: lente il rombo?
A ABCD è equivalente a EFGH.
B ABCD è equivalente a ILMN. A Un triangolo di base D e altezza d.
C EFGH è equivalente a ILMN. B Un rettangolo di base D e altezza d.
D i tre quadrilateri sono tutti equivalenti. C Un parallelogramma di lati D e d.
D Un trapezio di base maggiore D e altezza d.
(Invalsi, 2005)
153 G
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ESERCIZI CAPITOLO G5. L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE
8 Nella figura i segmenti AB, CD, EF sono con- 14 Sia ABC un triangolo con AB Х AC, M e N punti
gruenti.
medi rispettivamente di AB e di AC e AX ⊥ BC.
EF
Qual è il rapporto tra l’area della regione gialla e
quella del triangolo?
A ᎏ85ᎏ A
A BC D
Quale delle seguenti proposizioni è vera? B 3
ᎏ8ᎏ
A Solo due quadrilateri hanno uguale area.
B Solo due quadrilateri hanno uguale perimetro. C 3 MN
C I quadrilateri hanno tutti uguale perimetro. ᎏ4ᎏ
D I quadrilateri hanno tutti uguale area.
D 1
(Invalsi, 2007) ᎏ2ᎏ
BXC
E ᎏ87ᎏ
9 Se raddoppi il lato di un quadrato o il lato di un (USA University of North Carolina: Western Region State
triangolo equilatero, la loro estensione quadru- Mathematics Finals, 1999)
plica. Perché?
15 Betsy ha disegnato una bandiera usando triango-
10 Con riferimento alla figura Q1 2 li blu, piccoli quadrati bianchi e un quadrato ros-
1 Q2 so centrale come mostrato in figura. Sia B l’area
spiega perché: totale dei triangoli blu, W l’area totale dei qua-
drati bianchi e R l’area del quadrato rosso. Quale
a) 1 Џ ᐀1 ϩ ᐀2; delle seguenti affermazioni è corretta?
b) Џ Q1 ϩ Q2.
A BϭW
᐀3 ᐀4
B WϭR
᐀1 ᐀2 C BϭR
D 3B ϭ 2R
E 2R ϭ W
11 Dimostra che l’estensione di un quadrato circo- 16 VERO O FALSO?
scritto a una circonferenza è il doppio di quella
del quadrato inscritto. a) Se due figure sono congruenti, allora
sono equivalenti ed equiscomponibili. V F
12 Disegna un parallelogramma ABCD e un punto
P interno a esso. b) Se due figure sono equiscomponibili,
Dimostra che la somma dei due triangoli APD e
BPC è equivalente alla somma degli altri due allora sono equivalenti, ma non neces-
triangoli ABP e DCP.
sariamente congruenti. VF
TEST
c) Due figure equiscomponibili sono VF
13 Se in un trapezio si congiungono i punti medi sempre equivalenti e viceversa.
delle basi, si ottengono due trapezi:
A congruenti. d) Due figure sono equiscomponibili se VF
B isosceli. sono formate dallo stesso numero di
C rettangoli. parti congruenti.
D equivalenti.
e) Se due figure sono equivalenti non sono
necessariamente equiscomponibili. VF
f) Se due figure sono equiscomponibili,
allora sono congruenti. VF
G 154
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La misura e le grandezze CAPITOLOTEORIA
proporzionali
G6
Che misure!
La piramide di Cheope, nella piana di Giza, è una
delle più grandi costruzioni realizzate dall’uomo.
Ha un volume 30 volte superiore all’Empire State
Building di New York; può contenere agevolmente
al suo interno San Pietro e un altro paio di
cattedrali europee. Con la sua pietra si potrebbe
fare un’autostrada a 8 corsie da San Francisco a
New York. Pesa 5 milioni e 273 mila tonnellate, ha i
lati alla base lunghi 234 metri…
…come si può misurare con un metro l’altezza di
una piramide?
Nel sito: ᭤ La risposta
1. Le classi di grandezze geometriche ᭢ Figura 1
■ Le lunghezze
lunghezza b a < b AB < CD ق
ق luقnghezza a + b
lunghezza a …قlunghezza b
lunghezza a lunghezza b lunghezza a ق
A B… C … قD …
ق
…ق ق
… ق
ق
… …ق
lunghezza c
a a. Confrontare due lunghezze a e b b. Date le lunghezze a e b, la lunghez
significa confrontare due qualsiasi a + b è la classe dei segmenti ottenuti
bsegmenti che hanno quelle lunghezze. socmmando un qualsiasi segmento del
Consideriamo nel piano l’insieme S dei segmenti e la relazione di con- ◗ La relazione di con-
gruenza fra segmenti. Questa relazione permette di suddividere l’insieme S gruenza fra segmenti gode
in classi di equivalenza. Ogni classe contiene segmenti fra loro congruenti. delle proprietà riflessiva,
simmetrica e transitiva,
Data la relazione di congruenza fra segmenti, chiamiamo lunghezza di quindi è una relazione di
un segmento la classe di equivalenza alla quale il segmento appartiene. equivalenza.
Indichiamo le lunghezze con lettere minuscole dell’alfabeto.
155 G
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
TEORIA CAPITOLO G6. LA MISURA E LE GRANDEZZE PROPORZIONALI
◗ Le proprietà delle ope- Per confrontare due lunghezze a e b basta confrontare due segmenti qua-
razioni fra segmenti sono lunque scelti fra gli elementi appartenenti alle relative classi di equivalen-
valide anche per le lun- za a e b (figura 1b).
ghezze se, invece della re-
lazione di congruenza fra La lunghezza somma di a e b è la lunghezza a ؉ b, ottenuta addizionando
segmenti, applichiamo la un qualunque segmento della classe a con un qualunque segmento della
relazione di uguaglianza classe b. La somma dei due segmenti appartiene alla classe di equivalenza
fra lunghezze. a ϩ b (figura 1c). Se a, b e c sono tre lunghezze, valgono le seguenti proprietà
dell’addizione:
● proprietà commutativa: a ϩ b ϭ b ϩ a;
● proprietà associativa: (a ϩ b ) ϩ c ϭ a ϩ (b ϩ c );
● esistenza dell’elemento neutro: a ϩ 0 ϭ 0 ϩ a ϭ a.
■ Le ampiezze
Consideriamo l’insieme A degli angoli del piano e la relazione di con-
gruenza fra angoli. Tale relazione è anch’essa di equivalenza, pertanto è
possibile suddividere l’insieme A in classi di equivalenza, ciascuna delle
quali contiene angoli fra loro congruenti.
ampiezza α ampiezza β Data la relazione di congruenza fra angoli, chiamiamo ampiezza di un
angolo la classe di equivalenza alla quale l’angolo appartiene.
…… Indichiamo le ampiezze con le lettere minuscole dell’alfabeto greco.
… Nell’insieme A degli angoli è sempre possibile il confronto, ma non l’ad-
ampiezza γ dizione: sommando due angoli di A non sempre si ottiene un angolo di
A, cioè l’operazione di addizione nell’insieme A non è interna.
angolo b
orientato secondo A questo proposito introduciamo il concetto di angolo orientato.
aO^b lato Un angolo aO^b si dice orientato quando i suoi lati sono considerati in
un determinato ordine: per esempio, a è il primo lato e b il secondo.
O primo
senso orario lato Possiamo considerare gli angoli come l’unione delle semirette di origine
O comprese fra i lati: diciamo che l’angolo orientato aO^b, di primo lato a,
a è orientato in senso orario se le semirette che compongono aO^b si sus-
b seguono da a e b in senso orario; ovvero è orientato in senso antiorario
se le semirette si susseguono da a a b in senso antiorario.
senso
O antiorario Se n è un numero naturale, è possibile estendere il concetto chiamando
angolo l’insieme unione di n volte l’angolo giro orientato (in senso orario
a o antiorario) e di un angolo orientato nello stesso senso.
Di conseguenza, l’operazione di addizione fra ampiezze di angoli orienta-
ti è interna, gode delle proprietà commutativa e associativa, ed esiste l’ele-
mento neutro, che è l’ampiezza dell’angolo nullo, cioè l’angolo i cui lati
coincidono.
■ Le aree
Consideriamo l’insieme S delle superfici piane e, in tale insieme, la rela-
zione di uguale estensione.
G 156
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 1. Le classi di grandezze geometriche TEORIA
Tale relazione è di equivalenza, quindi è possibile suddividere l’insieme S area A area B
in classi di equivalenza.
Ogni classe contiene superfici fra loro equivalenti. ……
…
Data la relazione di equivalenza fra superfici piane, chiamiamo area di
una superficie la classe di equivalenza a cui la superficie appartiene. area C
Indichiamo le aree con lettere maiuscole dell’alfabeto. Anche fra le aree ◗ Sono grandezze geome-
sono possibili il confronto e l’addizione. triche i segmenti, gli ango-
li, le superfici.
■ Le classi di grandezze geometriche
◗ Sono classi di grandezze
DEFINIZIONE omogenee:
● l’insieme delle lunghezze
Classe di grandezze geometriche
Una classe di grandezze geometriche è un insieme di enti geometrici in dei segmenti;
cui risultano possibili le due seguenti operazioni: ● l’insieme delle aree delle
1. il confronto fra due elementi qualunque dell’insieme;
2. l’addizione che associa a due elementi qualunque A e B dell’insieme un superfici piane.
terzo elemento A ϩ B dell’insieme detto somma di A e di B. L’addizio- ◗ Esempio
ne deve godere delle proprietà associativa e commutativa, inoltre deve
esistere l’elemento neutro, che chiamiamo grandezza nulla. Aق ق قB
Le grandezze di una stessa classe sono dette omogenee. CقD
■ I multipli e i sottomultipli AB = 3CD
DEFINIZIONE La lunghezza del segmento
AB nella figura è multipla
Multiplo di una grandezza della lunghezza di CD se-
Il multiplo di una grandezza A secondo il numero naturale n è una gran- condo il numero 3. Possia-
dezza B, omogenea alla data, definita come segue: mo anche dire che la lun-
● B è la somma di n grandezze uguali ad A, se n Ͼ 1; ghezza di AB è 3 volte
● B è uguale ad A, se n ϭ 1; quella di CD.
● B è uguale alla grandezza nulla, se n ϭ 0. La lunghezza di CD è sot-
tomultipla di quella di AB
DEFINIZIONE secondo il numero 3 e si
scrive:
Sottomultiplo di una grandezza
Una grandezza A è sottomultipla secondo il numero naturale n 0 di CD ϭ 1 AB.
una grandezza B a essa omogenea, se B è il multiplo di A secondo n. ᎏ3ᎏ
POSTULATO
Postulato di Eudosso-Archimede
Date due grandezze omogenee, che non siano congruenti o nulle, esiste
sempre una grandezza multipla della minore che supera la maggiore.
157 G
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TEORIA CAPITOLO G6. LA MISURA E LE GRANDEZZE PROPORZIONALI
2. Le grandezze commensurabili
e incommensurabili
AB ■ Le grandezze commensurabili
CD Consideriamo i segmenti della figura a lato. Il segmento AB è sottomulti-
plo di CD, secondo il numero 3, e anche di EF , secondo il numero 5.
EF Si dice allora che CD ed EF , avendo un segmento sottomultiplo comune,
sono segmenti commensurabili.
◗ Il termine commensu- La stessa definizione si può dare anche per le loro lunghezze.
rabile viene usato per
grandezze che ammettono In generale, diamo la seguente definizione.
una comune «unità di mi-
sura». DEFINIZIONE
Grandezze commensurabili
Due grandezze omogenee si dicono commensurabili se esiste una gran-
dezza, omogenea con le due date, che sia loro sottomultipla comune.
In generale, date due grandezze A e B commensurabili, detta U la gran-
dezza sottomultipla comune e detti m e n due numeri naturali tali che
U ϭ 1 A, U ϭ 1 B,
ᎏᎏ ᎏᎏ
m n
allora è possibile scrivere la relazione:
A ϭ mU ϭ m ᎏ1ᎏ B ϭ ᎏmᎏ B.
nn
Quindi, due grandezze A e B sono commensurabili se e solo se esiste un nu-
᭢ Figura 2 I segmenti a e b mero razionale ᎏmᎏ tale che:
n
sono commensurabili.
A ϭ ᎏmᎏ B.
Se a = ᎏ2ᎏ b, è anche: n
3
3 ESEMPIO
b = ᎏᎏ a. Inoltre 3a = 2b.
2
a a = —32 b a aaa
—31 b —31 b
b —12 a b = —23 a bb
b —12 a —21 a
3a = 2b
a b c
1 cm ■ La misura di una grandezza commensurabile
A rispetto a un’altra
Se diciamo che la lunghezza di un segmento AB è 3 cm, significa che quel
segmento è multiplo secondo il numero 3 di un segmento di lunghezza 1
B cm. Diremo allora che 3 è la misura di AB rispetto al centimetro.
G 158
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 2. Le grandezze commensurabili e incommensurabili TEORIA
DEFINIZIONE
Misura di una grandezza rispetto a un’altra a essa commensurabile
Date due grandezze A e U com-
mensurabili fra di loro, si definisce A A– = —32 ◗ La grandezza U viene
U detta unità di misura.
misura di A rispetto a U il numero L’unità di misura non deve
essere identificata con 1
razionale ᎏmᎏ tale che: A ϭ ᎏmᎏ U . perché U è una grandezza,
n n mentre 1 è la sua misura.
Indichiamo la misura di A con Aෆ. ◗ Se la misura in centime-
Come unità di misura delle lunghezze viene spesso usato il metro o la tri della lunghezza di AB è
sua centesima parte, il centimetro. 7,3, scriviamo:
Come unità di misura delle aree viene spesso usato il metro quadrato
(m 2), che è l’area di un quadrato di lato 1 m, oppure il centimetro qua- AB ϭ 7,3 cm,
drato (cm 2 ), che è l’area di un quadrato di lato 1 cm. oppure
Come unità di misura delle ampiezze degli angoli viene spesso usato il
grado sessagesimale, che è la trecentosessantesima parte dell’angolo AෆෆB ϭ 7,3.
giro.
■ Le grandezze incommensurabili
DEFINIZIONE
Grandezze incommensurabili
Due grandezze omogenee si dicono incommensurabili se non esiste una
grandezza, omogenea con le due date, che sia loro sottomultipla comune.
Si può dimostrare il seguente teorema.
TEOREMA
La diagonale di un quadrato e il suo lato sono segmenti incommensura-
bili.
PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Nel sito: ᭤ Scheda di lavoro
Atene, IV secolo a.C.
Platone racconta di un dialogo fra Socrate e un giovane schiavo.
«Socrate: “Il lato di questo quadrato è di due piedi; quanto sarà quello del
quadrato avente superficie doppia?”.
Schiavo: “Evidentemente il doppio, Socrate”.»
(Dialogo tratto dal Menone, in Platone, Dialoghi)
LUCIA: «Lo schiavo afferma che, se si raddoppiano i lati di un quadrato,
GABRIELE: si ottiene un quadrato di superficie doppia».
«Non c’è dubbio: è proprio così!».
᭤ Non cadere in errore come Gabriele! Dato un quadrato, come puoi dise-
gnare un quadrato di area doppia?
159 G
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
TEORIA CAPITOLO G6. LA MISURA E LE GRANDEZZE PROPORZIONALI
■ La misura di una grandezza incommensurabile
rispetto a un’altra
Se una grandezza A e l’unità di misura U sono incommensurabili, non
esiste un loro sottomultiplo comune. In altre parole non esiste un numero
razionale ᎏmᎏ che sia la misura di A rispetto a U.
n
Tuttavia è possibile estendere il concetto di misura anche a grandezze
◗ Per esempio, si può di-
mostrare che la misura della non commensurabili, purché si utilizzino i numeri reali anziché i razio-
diagonale di un quadrato
rispetto al lato è ͙ෆ2. nali. In tal caso, se A e U sono grandezze incommensurabili, la misura di
A rispetto a U è un numero irrazionale.
3. I rapporti e le proporzioni
fra grandezze
■ Il rapporto fra due grandezze omogenee
Dati un segmento EF e un segmento MN, è possibile determinare la mi-
sura di EF scegliendo MN come unità di misura.
E F ESEMPIO Se EF è un segmento lungo 3 cm e MN è un segmento lungo
MN 3 1,5 cm, la misura di EF rispetto a MN è uguale a 2:
012 EෆFෆ ϭ 2.
Si dice anche che il rapporto fra le lunghezze di EF e MN è:
(3 cm) Ϻ (1,5 cm) ϭ 2.
MATEMATICA Più in generale, il rapporto fra due grandezze omogenee A e B è la misura
PER IL CITTADINO di A rispetto a B, quando quest’ultima è scelta come grandezza unitaria.
Fusi orari e chat Tale rapporto viene indicato con A Ϻ B, oppure con ᎏAᎏ .
B
Determiniamo la relazio- Si può dimostrare il seguente teorema.
ne tra longitudine e fusi
orari. Scriviamo la relazio- TEOREMA A = aU U
ne che lega gli orari di lo- B = bU —AB = —BA–– = —ba
calità poste in fusi orari di- Date due grandezze omogenee A e
versi, e stabiliamo in quali B, con B diversa dalla grandezza
giorni e orari tre amici che nulla, il loro rapporto ᎏAᎏ è uguale
abitano a Teheran, Vene-
zia e Reykjavík possono B
parlarsi insieme su una al rapporto fra le loro misure Aෆ e
chat. Bෆ, rispetto a una qualunque unità
di misura.
Nel sito: ᭤ Il problema
Questo teorema è importante perché permette di identificare il rapporto
fra le lunghezze di due segmenti con il rapporto fra le loro misure. Consi-
derazioni analoghe valgono per le ampiezze di due angoli o per le aree di
due superfici.
G 160
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
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