Verso le competenze ESERCIZI
Verso le competenze Nel sito: ᭤ 30 test interattivi in più
TEST
1 I punti uniti di una trasformazione sono: 5 Motiva le risposte ai seguenti quesiti.
A punti appartenenti tutti a una stessa linea. a) In una rotazione di 360° rispetto al proprio
centro, un cerchio è una figura unita?
B punti che hanno per immagine uno stesso
punto. b) I punti del cerchio trasformato in a) sono
punti uniti?
C punti che si corrispondono in una traslazio-
ne. 6 Applica al punto P della figura la traslazione di
a¡ ¡ c¡.
D punti che coincidono con i loro corrispon- vettore dato dalla somma dei vettori ϩ ϩ
denti. b
2 Le proposizioni seguenti sono tutte vere tranne →b
una. Quale? →a →c
P
A Le traslazioni, eccettuato il caso dell’identità,
non hanno punti uniti.
B Le traslazioni sono isometrie. 7 Disegna il simmetrico di ognuna delle seguenti
figure rispetto al punto O.
C Ogni traslazione ammette rette unite.
D In una traslazione di vettore ¡ il rettangolo
AB
ABCD si trasforma in un parallelogramma. B
B
3 È dato il rettangolo ABCD. B
AA
Db
C O
A CO OC
Oa a bc
AB 8 In ciascun caso disegna la figura corrispondente
nell’omotetia di centro O e rapporto indicato.
A esso viene applicata la trasformazione t tale che:
t (A) ϭ C, t(B) ϭ D, t(C) ϭ A, t(D) ϭ B. B O
O
Una delle seguenti affermazioni è falsa. Quale?
A OA B
A t può essere una rotazione di centro O e an-
golo 180°. k = —31 k = –2 k=3
a
B I lati del rettangolo sono segmenti uniti. bc
C t può essere la simmetria centrale di centro O.
D Il rettangolo ABCD è una figura unita.
4 La retta b della figura è omotetica della retta a 9 La cornice del quadro ha la stessa larghezza sui
nell’omotetia di centro O e rapporto k. quattro lati. I due rettangoli che delimitano la
cornice sono omotetici?
O
A a ↔↔
b
B ↔↔
Se AB è triplo di OA allora k è uguale a:
A 4. B 3. C ᎏ31ᎏ . D ᎏ41ᎏ .
211 G
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ESERCIZI CAPITOLO G7. LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
10 Partendo dalla figura Ᏺ, disegna la figura che si 12 Quale delle seguenti figure non è simmetrica ri-
ottiene mediante la composizione delle simme- spetto a un punto?
trie assiali sb ؠsa .
A Triangolo equilatero. C Rettangolo.
B Rombo. D Parallelogramma.
a b (Invalsi, 2006)
Ᏺ 13 Quale tra le seguenti affermazioni è falsa?
O
A Un rettangolo ha due assi di simmetria.
B Un rombo ha un solo asse di simmetria.
C Un quadrato ha quattro assi di simmetria.
D Un parallelogramma generico non ha assi di
TEST simmetria. (Invalsi, 2005)
11 Quale delle seguenti trasformazioni non è un’iso- 14 Tra le seguenti scegli l’affermazione falsa.
metria?
A È unita una figura che viene trasformata in se
A Una rotazione. stessa.
B Una simmetria assiale.
C Una traslazione. B Figure unite non sempre sono costituite da
D Una dilatazione. punti uniti.
(USA Northern State University: 52nd Annual Mathematics Contest, 2005) C Figure costituite da punti uniti sono unite.
D L’asse di simmetria di un segmento ne tra-
sforma i punti in punti uniti.
15 Le cinque figure a fianco si chiamano tetramini: note per il videogioco
Tetris, esse sono composte da quattro quadrati connessi tra loro lungo
i lati. È possibile ottenere da queste, tramite una trasformazione geo-
metrica, nuove figure? Se sì, quante sono tutte quelle differenti e non
sovrapponibili?
A No, non è possibile: le figure differenti sono solo 5. C Le figure differenti possibili sono 8.
B Le figure differenti possibili sono 7. D Le figure differenti possibili sono 10.
16 Nella piastrella a fianco si può trasformare un petalo scuro nel petalo scuro successivo con una
rotazione. Di quanti gradi?
A 90° B 60° C 45° D 30°
17 Tra le seguenti affermazioni individua quella fal- 18 Un piastrellista sa che esistono 3 poligoni regolari
sa. Due triangoli che si corrispondono in una che permettono di tassellare il piano senza buchi
traslazione si possono corrispondere anche: né sovrapposizioni; di che forma potrà prendere
le piastrelle per ricoprire un pavimento?
A in una composizione di una simmetria centrale
con una simmetria assiale. A Pentagono, triangolo isoscele e quadrato.
B in una composizione di due simmetrie cen- B Esagono, quadrato e rombo.
trali.
C Triangolo equilatero, quadrato ed esagono.
C in una composizione di due simmetrie assiali
ad assi paralleli. D Rombo, triangolo equilatero e quadrato.
D in una composizione di due rotazioni con
centri diversi.
G 212
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La similitudine CAPITOLOTEORIA
G8
Quale forma per le mura?
Nel Medioevo ai costruttori di fortificazioni
spettava una decisione importante: stabilire quale
forma dare alle mura di cinta di una città in modo
che essa fosse meno vulnerabile agli attacchi dei
nemici e che potesse delimitare una superficie
sufficiente a dare alloggio a tutti i propri abitanti.
In Europa furono molti a scegliere una forma
circolare…
…che cosa accomuna le pesanti fortificazioni di
una città medievale, una mela e una leggerissima
bolla di sapone?
Nel sito: ᭤ La risposta
1. La similitudine e le figure simili
DEFINIZIONE C' C"
B'
Similitudine C B
O
Una similitudine è una trasforma- B"
zione geometrica che si ottiene dal- A
la composizione di un’omotetia e
un’isometria, o viceversa.
A' A"
omotetia isometria
similitudine
Due figure si dicono simili se si corrispondono in una similitudine. Per ◗ In particolare, sono si-
esempio, sono simili i triangoli ABC e A″B″C ″ della figura. mili due figure congruen-
ti: la similitudine che le
Per indicare la similitudine utilizziamo il simbolo Ϸ. Per esempio, per fa corrispondere è la com-
dire che ABC e A″B ″C ″ sono simili, scriviamo posizione di un’opportu-
na isometria con un’omo-
ABC Ϸ A″B″C ″. tetia di centro qualsiasi e
rapporto 1 (cioè l’identità).
Due lati o due angoli che si corrispondono in una similitudine si dicono
omologhi.
213 G
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TEORIA CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE
La similitudine gode di tutte le proprietà delle omotetie. In particolare, se
due poligoni sono simili, essi hanno gli angoli omologhi congruenti e i
lati omologhi in proporzione, per le proprietà dell’omotetia.
Il rapporto fra due lati omologhi si chiama rapporto di similitudine.
2. I criteri di similitudine
I criteri di similitudine dei triangoli sono tre teoremi che forniscono
condizioni sufficienti affinché due triangoli ABC e A′B ′C ′ siano simili.
Esiste anche un criterio per stabilire se due poligoni con un numero qual-
siasi di lati sono simili.
Ci limitiamo a enunciare questi criteri.
■ Il primo criterio di similitudine
TEOREMA
Se due triangoli hanno due angoli ordinatamente congruenti, allora sono
simili.
α ≅ α' γ ≅ γ' C' B' ABC ≈ A'B'C' B'
C γ' C'
γ α'
A' C
A'
α B A B
A
◗ Dai criteri di similitudi- ■ Il secondo criterio di similitudine
ne deriva che:
TEOREMA
● tutti i triangoli equilateri
sono simili fra loro; Se due triangoli hanno due lati ordinatamente in proporzione e l’angolo
tra essi compreso congruente, allora sono simili.
● due triangoli isosceli
sono simili se hanno γ ≅ γ'; C' ABC ≈ A'B'C' C'
congruenti l’angolo al γ'
vertice oppure gli angoli AC : A'C' = BC : B'C'. C
alla base; A'
C
● due triangoli rettangoli
sono simili se hanno un A' B' B'
angolo acuto congruente γ
oppure se hanno i cateti
in proporzione. A BA B
G 214
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Paragrafo 3. Applicazioni dei criteri di similitudine TEORIA
■ Il terzo criterio di similitudine
TEOREMA
Se due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione, allora sono
simili.
AB : A'B' = BC : B'C' = AC : A'C' ABC ≈ A'B'C'
C'
C'
C C
A' B' A' B'
A BA B
■ Un criterio di similitudine per i poligoni ◗ Corollario. Se due poli-
goni regolari hanno lo
TEOREMA stesso numero di lati, allo-
ra sono simili.
Condizione sufficiente affinché due poligoni con lo stesso numero di lati
siano simili è che abbiano angoli ordinatamente congruenti e lati ordinata-
mente in proporzione, tranne al più:
● tre angoli consecutivi, oppure
● un lato e i due angoli a esso adiacenti, oppure
● due lati consecutivi e l’angolo compreso.
3. Applicazioni dei criteri ◗ Poiché ABC Ϸ A′B ′C′,
di similitudine si ha:
■ La proporzionalità fra basi e altezze di triangoli simili b Ϻ b′ ϭ AC Ϻ A′C ′,
A^ Х A^′.
TEOREMA
Osserviamo che anche i
In due triangoli simili le basi stanno fra loro come le rispettive altezze. triangoli rettangoli AHC e
A′H′C ′ sono simili (primo
C ABC ≈ A'B'C' criterio), quindi:
h C' b : b' = h : h' AC Ϻ A′C ′ ϭ h Ϻ h′.
A Hb h'
Dalla proprietà transitiva
B A' H' b' B' dell’uguaglianza segue che:
b Ϻ b′ ϭ h Ϻ h′.
215 G
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TEORIA CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE
◗ Abbiamo indicato con i ■ Il primo teorema di Euclide
l’ipotenusa, con c il cateto
AC e con p la proiezione TEOREMA
AH di questo sull’ipotenu-
sa. Indichiamo allo stesso In un triangolo rettangolo ogni cateto è medio proporzionale fra l’ipote-
modo le rispettive misure. nusa e la propria proiezione sull’ipotenusa.
C
c i:c= c:p
A pH i B
◗ I triangoli sono simili DIMOSTRAZIONE Nel triangolo ABC , CH è l’altezza relativa all’ipotenusa.
perché sono rettangoli e I triangoli ABC e AHC sono simili.
hanno l’angolo A^ in co- Fra i lati omologhi AB e AC, AC e AH vale la proporzione:
mune.
AB Ϻ AC ϭ AC Ϻ AH .
◗ Analogamente, conside-
rando la proiezione HB di Passando alla proporzione fra le loro misure abbiamo:
CB sull’ipotenusa, si dimo-
stra che: i Ϻ c ϭ c Ϻ p → c2 ϭ i и p
AB Ϻ CB ϭ CB Ϻ HB. in cui c 2 è la misura dell’area del quadrato di lato c e i и p è la misura
dell’area del rettangolo di dimensioni i e p. Abbiamo così ritrovato il pri-
mo teorema di Euclide espresso mediante la misura di aree.
COME INDIVIDUARE I LATI OMOLOGHI
Per individuare i lati omologhi di due triangoli simili, ricorda che essi sono i lati opposti ad angoli con-
gruenti.
Come esempio, riprendiamo la figura relativa al primo teorema di Euclide e consideriamo i triangoli ABC
e ACH.
CC C
H
AH B AH B AH BA C
a. Gli angoli AHˆ C e ACˆ B sono b. Gli angoli ACˆ H e CBˆ H sono c. Per individuare facilmente i lati
omologhi si può disegnare
congruenti perché entrambi retti; congruenti perché angoli separatamente il triangolo AHC in
i lati opposti AC e AB sono complementari del medesimo modo che AC sia parallelo
dunque corrispondenti. (o allineato) ad AB, e AH sia
angolo, CAˆ B. parallelo ad AC.
G 216
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Paragrafo 4. La similitudine nella circonferenza TEORIA
■ Il secondo teorema di Euclide
TEOREMA
In un triangolo rettangolo, l’altezza relativa all’ipotenusa è medio propor-
zionale fra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
C
h p1 : h = h : p2
A p1 H
p2 B
DIMOSTRAZIONE Nel triangolo rettangolo AHC, ␣ è complementare di ␥. ◗C
Quindi ␣′ Х ␣ perché complementari dello stesso angolo.
I triangoli rettangoli AHC e BHC hanno un angolo acuto congruente, quin- γ α'
di sono simili. Fra i lati omologhi AH e CH, CH e BH vale la proporzione: α
AH Ϻ CH ϭ CH Ϻ BH. AH B
Passando alle misure:
IA^n;dli’cahnigaomloorceottno␣AlC^’aBngèolo
p1Ϻh ϭh Ϻp2 →h2ϭp1p2. suddiviso dall’altezza nei
due angoli ␥ e ␣′.
Osserviamo che h 2 è la misura dell’area del quadrato di lato h e p 1 и p 2
quella del rettangolo di dimensioni p 1 e p2. Ritroviamo così il secondo
teorema di Euclide scritto mediante la misura di aree.
4. La similitudine nella circonferenza
Enunciamo, senza dimostrarli, alcuni teoremi.
■ Il teorema delle corde
TEOREMA D B
E
Se in una circonferenza C AE : CE = ED : EB
due corde si intersecano, i
segmenti che si formano A
sulla prima corda e quelli
che si formano sulla se-
conda sono, rispettiva-
mente, i medi e gli estre-
mi di una stessa propor-
zione.
217 G
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TEORIA CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE
■ Il teorema delle secanti
TEOREMA
Se da un punto P esterno P
a una circonferenza si
conducono due secanti e A
si considerano i segmenti
che hanno un estremo in
P e l’altro in ciascuno dei C E PF : PE = PA : PC
punti di intersezione, i
segmenti sulla prima se-
cante sono gli estremi e i
segmenti sulla seconda i F
medi di una stessa pro-
porzione.
■ Il teorema della secante e della tangente
TEOREMA
Se da un punto P esterno P
a una circonferenza si
tracciano una secante e A
una tangente, il segmento
di tangente che ha per C
estremi P e il punto di
contatto è medio propor- PF : PA = PA : PC
zionale fra i segmenti di
secante che hanno per
estremi P e ciascuno dei F
punti di intersezione.
᭢ Figura 1 Alcuni suggerimenti per la dimostrazione di questi teoremi compaiono
nella figura 1.
D P P A
B A C
β CE
E
α β'
A
γ
F F
C
c. Teorema della secante e della
a. Teorema delle corde b. Teorema delle secanti tangente
Osservando la costruzione in figura, Poiché Eˆ ≅ Fˆ e l’angolo in P è comune Poiché PAˆ C ≅ PFˆA e l’angolo APˆ F è
comune ai due triangoli PFA e PCA,
si dimostra che α ≅ γ e β ≅ β', quindi ai due triangoli PCE e PFA, essi essi sono simili. Pertanto è soddisfatta
la proporzione PF : PA = PA : PC.
i triangoli AED e BEC sono simili. sono simili. Pertanto è soddisfatta la
Pertanto è soddisfatta la proporzione proporzione PF : PE = PA : PC.
AE : CE = ED : EB.
G 218
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Paragrafo 4. La similitudine nella circonferenza TEORIA
■ La sezione aurea di un segmento ESPLORAZIONE
DEFINIZIONE sezione aurea Un numero d’oro
Sezione aurea AS Nel sito: ᭤ La scheda
AB : AS = AS : SB
La sezione aurea di un segmento è B
quella sua parte che è medio pro-
porzionale fra l’intero segmento e
la parte di segmento rimanente.
Costruiamo la sezione aurea di un segmento. ᭢ Figura 2 Costruzione.
EE
OO O
CC
AM B AM B AM B A MS B
a. Disegniamo un segmento b. La perpendicolare per B c. Tracciamo la circonferenza d. Con centro in A e raggio
AB, il suo punto medio M al segmento AB interseca di centro O e raggio OB. AC, tracciamo un arco che
e un arco di centro B l’arco nel punto O. Essa interseca la semiretta interseca AB nel punto S.
e raggio BM. Tracciamo la semiretta AO. AO nei punti C ed E. Il segmento AS è la sezione
aurea di AB.
Per dimostrare che il segmento AS è la sezione aurea di AB, dobbiamo
dimostrare che vale la proporzione:
AB Ϻ AS ϭ AS Ϻ SB.
Per costruzione AB è tangente alla circonferenza di centro O e AE è se-
cante. Applicando il teorema della secante e della tangente, otteniamo:
AE Ϻ AB ϭ AB Ϻ AC.
Applichiamo la proprietà dello scomporre:
(AE Ϫ AB) Ϻ AB ϭ (AB Ϫ AC ) Ϻ AC.
Poiché AB Х CE, risulta AE Ϫ AB Х AC . Inoltre,
AC Х AS, AE Ϫ AB Х AS e AB Ϫ AC Х AB Ϫ AS Х SB.
Riscriviamo la proporzione sostituendo con queste espressioni:
AS Ϻ AB ϭ SB Ϻ AS.
219 G
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TEORIA CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE
Infine invertiamo i medi con gli estremi:
AB Ϻ AS ϭ AS Ϻ SB.
Ciò dimostra che AS è la sezione aurea di AB.
LA SEZIONE AUREA NELL’ALGEBRA
Se il segmento AS è la sezione aurea di AB vale la ⌬ ϭ l 2 ϩ 4l 2 ϭ 5l 2
proporzione:
x ϭ ᎏϪ l Ϯ2ᎏ͙ෆ5ෆl 2 ϭ ᎏϪ l Ϯ2ᎏl ͙5ෆ
AB Ϻ AS ϭ AS Ϻ SB.
ᎏϪ l Ϫᎏ2l ͙ෆ5 NON ACCETTABILE
Indichiamo con l la misura di AB e con x la misura xϭ
di AS: la misura di SB è l Ϫ x. Determiniamo il va-
lore di x in funzione di l. ᎏϪ l ϩ2ᎏl ͙ෆ5 ϭ ᎏl(Ϫ 1 ϩᎏ2 ͙ෆ5) ϭ
x ϭ ᎏl(͙ෆ52ᎏϪ 1)
A SB x ؍ ᎏ͙5ෆᎏ؊ 1 ؒ l
2
ᐍ
ᎏAᎏS ϭ ᎏ͙ෆ52ᎏϪ 1 ϭ 0,618033…
Nella proporzione sostituiamo ai segmenti le mi- AB
sure delle rispettive lunghezze:
ᎏAᎏB ϭ ᎏ͙ෆ52ᎏϪ 1 ϭ 1,618033…
l Ϻ x ϭ x Ϻ (l Ϫ x). AS
Applichiamo la proprietà fondamentale delle pro- Il rapporto ᎏAᎏB fra un segmento e la sua sezione
porzioni: AS
x2 ϭ l (l Ϫ x) aurea viene chiamato numero aureo e indicato
x2 ϭ l 2 Ϫ lx.
con ⌽.
Ordiniamo l’equazione di secondo grado in x e ri-
solviamola:
x2 ϩ lx Ϫ l 2 ϭ 0
5. Le aree e i perimetri
dei poligoni simili
■ Le aree di poligoni simili
TEOREMA
Il rapporto fra le aree di due triangoli simili è uguale al quadrato del rap-
porto di similitudine.
᐀ ᐀ ≈ ᐀' ᐀' h' —bb' = k —AA' = k2
h b'
b
G 220
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 5. Le aree e i perimetri dei poligoni simili TEORIA
DIMOSTRAZIONE ◗ Indichiamo con A la mi-
sura dell’area del triangolo
A ϭ ᎏb2ᎏh e A′ ϭ ᎏb ′2ᎏh′ . ᐀ e con A′ la misura
Se k è il rapporto di similitudine dei due triangoli, si ha k ϭ ᎏbᎏ′ ϭ ᎏhᎏ′ , dell’area del triangolo ᐀′.
da cui: bh
b ′ ϭ kb e h′ ϭ kh.
Sostituiamo i valori b′ e h′ nella formula di A′:
A′ ϭ ᎏkb 2иᎏkh → A′ ϭ ᎏk2 и2bᎏи h → A′ ϭ k 2A → ᎏAᎏ′ ϭ k 2.
A
Il teorema appena dimostrato si può estendere ai poligoni:
il rapporto fra le aree di due poligoni simili è uguale al quadrato del rap-
porto di similitudine.
IL RAPPORTO FRA LE AREE DI QUADRATI
I quadrati sono poligoni simili fra loro. Se il lato di Q4
Q2 è doppio del lato di Q1, cioè k ϭ 2, allora il rap- Q3
porto fra le aree è k 2 ϭ 4. Se il lato di Q3 è il triplo
del lato di Q1, allora il rapporto fra le aree è 32 ϭ 9. Q2
Analogamente, se il rapporto fra i lati di Q4 e Q1 è
4, allora il rapporto fra le aree è 42. Q1
Consideriamo ancora due triangoli simili (figura a lato). Poiché il rap- C C' B'
porto di similitudine k è uguale al rapporto fra due lati omologhi, possia- A B A'
mo scrivere:
ᎏAᎏ′ ϭ k2 ϭᎏAෆAෆෆ′ෆᎏෆBBෆ′2 ϭ ᎏAෆAෆෆ′ෆෆBBᎏ2ෆ′2 .
A
Aෆෆ′ෆBෆ′2 e AෆෆB 2 sono le misure delle aree dei quadrati di lato rispet-
tivamente A′B ′ e AB, quindi, passando dalle misure alle grandezze:
le aree di due triangoli simili (o di due poligoni simili) sono propor-
zionali alle aree dei quadrati costruiti su due lati omologhi.
■ I perimetri di poligoni simili
TEOREMA
I perimetri di due poligoni simili stanno fra loro come due lati omologhi.
Dal teorema deduciamo che, in poligoni simili, il rapporto dei perime-
tri è uguale al rapporto di similitudine, così come accade per il rappor-
to dei lati omologhi.
221 G
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
TEORIA CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE
6. La lunghezza della circonferenza
e l’area del cerchio
◗ Naturalmente il filo non ■ La circonferenza rettificata
deve avere proprietà elasti-
che, ossia deve essere Supponi di voler determinare sperimentalmente la lunghezza del bordo
inestensibile. di un compact disc.
Se fai coincidere un filo flessibile con il bordo del disco (figura 3) e poi lo
᭡ Figura 3 tendi, puoi pensare a un segmento la cui lunghezza coincide con la lun-
ghezza della circonferenza relativa al bordo del disco.
᭤ Figura 4 Dal punto di
vista intuitivo, i perimetri Diciamo che quel segmento rappresenta la circonferenza rettificata.
del poligono inscritto e del
poligono circoscritto ten- Risulta più complesso giungere alla definizione matematica di circonfe-
dono a identificarsi con la renza rettificata. Descriveremo i passi essenziali, omettendo le dimostra-
circonferenza man mano zioni dei relativi teoremi.
che il numero dei loro lati
aumenta. Data una circonferenza, consideriamo due insiemi: quello dei poligoni
regolari inscritti e quello dei poligoni regolari circoscritti alla circonfe-
renza.
Si può dimostrare che il perimetro di ogni poligono inscritto è minore
del perimetro di ogni poligono circoscritto.
In particolare, sono vere queste due proprietà:
1. il perimetro di ogni poligono regolare inscritto è sempre minore del
perimetro del poligono circoscritto corrispondente (con lo stesso nu-
mero di lati);
2. aumentando il numero dei lati di un poligono regolare inscritto e del
relativo poligono circoscritto, la differenza fra i loro perimetri diventa
sempre più piccola.
Queste due caratteristiche vengono anche riassunte dicendo che le lun-
ghezze dei poligoni inscritti e quelle dei poligoni circoscritti costituisco-
no due classi contigue.
Esiste una e una sola lunghezza che è maggiore di ognuno dei perimetri
dei poligoni inscritti e minore di ognuno dei perimetri dei poligoni cir-
coscritti.
Gli elementi di questi due insiemi si avvicinano sempre di più a tale
lunghezza, tuttavia essa, pur separandoli, non appartiene né all’uno né
all’altro.
Tale lunghezza viene chiamata lunghezza della circonferenza rettificata
(o, in breve, lunghezza della circonferenza).
G 222
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 6. La lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio TEORIA
■ La lunghezza della circonferenza
DEFINIZIONE
Lunghezza di una circonferenza
La lunghezza di una circonferenza è l’elemento separatore fra le classi
contigue costituite dalle lunghezze dei perimetri dei poligoni regolari in-
scritti e da quelle dei perimetri dei poligoni regolari circoscritti alla cir-
conferenza.
TEOREMA
Le misure delle lunghezze di due circonferenze sono proporzionali alle
misure dei rispettivi raggi.
Ꮿ Ꮿ' c : c' = r : r' ◗ r e r ′ sono le misure dei
raggi, c e c′ quelle delle cir-
r r' conferenze.
O O
c c'
Nella proporzione appena esaminata moltiplichiamo il secondo antece- MATEMATICA
dente e il suo conseguente per 2: PER IL CITTADINO
c Ϻ c′ ϭ 2r Ϻ 2r ′. Eurowheel
Permutando i medi otteniamo: Le ruote panoramiche dei
parchi divertimenti girano
c Ϻ 2r ϭ c ′ Ϻ 2r ′. intorno al proprio asse
con un moto regolare. Ca-
Questa relazione dice che il rapporto fra la misura della lunghezza della ratterizziamo la geome-
circonferenza e quella del suo diametro, 2r, è costante. Abbiamo già in- tria, la velocità e la portata
contrato questa costante, che viene indicata con il simbolo ed è un di pubblico della ruota del
numero irrazionale, il cui valore, approssimato a 6 cifre decimali, è parco di Mirabilandia.
3,141592.
Nel sito: ᭤ Il problema
REGOLA c
Misura della lunghezza 2r
della circonferenza O
La misura della lunghezza di una c = 2πr
circonferenza è uguale al prodotto
della misura del diametro per .
223 G
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TEORIA CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE
PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI
Una cifra dopo l’altra Nel sito: ᭤ Scheda di lavoro
Ci sono filastrocche in diverse lingue per ricordare le prime cifre di . Basta
contare il numero di lettere delle parole. Ecco come inizia una in francese:
Que j’aime à faire apprendre ce nombre utile aux sages… (31415926535).
Ma come si calcolano le cifre di ? Determina una procedura per ottenere
approssimazioni sempre migliori di .
VALERIA: « è il rapporto fra la misura di una circonferenza e quella del suo
CLAUDIO: diametro: potremmo partire da lì».
«E la lunghezza di una circonferenza è approssimata sempre meglio
dai perimetri dei poligoni regolari inscritti, all’aumentare del nu-
mero dei lati».
᭤ Considera poligoni regolari inscritti di 4, 8, 16, 32, … lati. Cerca una formu-
la che, noto il lato di uno di questi poligoni, permetta di calcolare quello del
poligono che ha il doppio dei lati. Calcola poi i perimetri dei poligoni, a parti-
re da quello del quadrato…
■ L’area del cerchio
Dato un cerchio, consideriamo l’insieme A delle aree dei poligoni rego-
lari inscritti e l’insieme B delle aree dei poligoni regolari circoscritti al
cerchio. Si può dimostrare che tali insiemi sono classi contigue e che esi-
ste ed è unico il loro elemento separatore.
᭤ Figura 5 Dal punto di
vista intuitivo, i poligoni
inscritti e quelli circoscritti
tendono a identificarsi con il
cerchio man mano che il
numero dei loro lati
aumenta.
◗ L’area del cerchio è DEFINIZIONE
maggiore di quella di un
qualsiasi poligono inscrit- Area del cerchio
to e minore di quella di un L’area del cerchio è l’elemento separatore fra le classi contigue costituite
qualsiasi poligono circo- dalle aree dei poligoni regolari inscritti e da quelle dei poligoni regolari
scritto. circoscritti al cerchio.
Enunciamo inoltre il seguente teorema.
TEOREMA
Un cerchio è equivalente a un triangolo che ha base congruente alla cir-
conferenza rettificata e altezza congruente al raggio.
G 224
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Paragrafo 6. La lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio TEORIA
Poiché la misura della lunghezza della circonferenza è 2r, la relazione
che lega la misura c dell’area del cerchio a quella r del raggio è:
C ϭ ᎏ21ᎏ cr ϭ ᎏ21ᎏ 2r и r ϭ r 2.
REGOLA C C = πr2 ◗ Dalla regola consegue
Or che le aree di due cerchi
Misura dell’area del cerchio
hanno come rapporto il
La misura dell’area di un cerchio è
uguale al prodotto di per il qua- quadrato del rapporto
drato della misura del raggio. dei rispettivi raggi, ossia:
ᎏrᎏ′ ᎏCᎏ′ ϭ2
C′ r′
.
■ La lunghezza di un arco O
αr
Sia Ꮽ l’insieme degli archi di una circonferenza e Ꮾ l’insieme degli angoli
al centro della stessa circonferenza. ᐉ
A ciascun arco di Ꮽ si può associare un angolo al centro di Ꮾ e tale corri- ◗ Più in generale fra aree
spondenza è biunivoca. di settori circolari e angoli
al centro corrispondenti
Al crescere dell’arco anche l’angolo al centro corrispondente cresce, anzi esiste una proporzionalità
si può dimostrare che arco e angoli al centro sono grandezze direttamen- diretta.
te proporzionali.
O
Quindi, se indichiamo con l la misura della lunghezza dell’arco e con ␣ αr
quella del corrispondente angolo al centro in gradi, vale la proporzione: S
l Ϻ 2r ϭ ␣ Ϻ 360 → l ϭ ᎏ1␣8ᎏ0 r .
■ L’area di un settore circolare
Se S è la misura dell’area di un settore, si può dimostrare che è soddisfat-
ta la proporzione:
S Ϻ r 2 ϭ ␣ Ϻ 360 → S ϭ ␣ r 2.
ᎏ36ᎏ0
Dividendo membro a membro questa uguaglianza per quella relativa alla
lunghezza dell’arco si ottiene:
ᎏSᎏ ϭ 1 r → S 1 и r.
l ᎏ2ᎏ ϭ ᎏ2ᎏ l
REGOLA O ᐍ S = —12 ᐍ • r
r
Area del settore circolare
La misura dell’area di un settore
circolare è uguale al semiprodotto
delle misure dell’arco sotteso e del
raggio.
225 G
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TEORIA CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE
Enunciamo alcune regole, utili nei problemi di applicazione dell’algebra
alla geometria.
■ Il raggio del cerchio inscritto in un triangolo
◗ Poiché la circonferenza REGOLA C r = —Ꮽp
è inscritta nel triangolo, B
essa risulta tangente ai lati La misura del raggio del cerchio O
del triangolo. Ogni raggio inscritto in un triangolo è uguale al r
passante per un punto di rapporto fra la misura dell’area del
tangenza è perpendicolare triangolo e la misura del suo semi- A
al lato relativo. perimetro.
C Infatti, poiché la circonferenza è inscritta nel triangolo, essa risulta tan-
gente ai lati del triangolo. I raggi passanti per i punti di tangenza sono
a perpendicolari ai relativi lati, quindi sono le altezze dei triangoli OAB,
OBC e OAC. L’area Ꮽ del triangolo ABC è la somma di quelle dei tre
b r triangoli:
r
Or Ꮽ ϭ ᎏ21ᎏ ar ϩ ᎏ21ᎏ br ϩ ᎏ12ᎏ cr ϭ ᎏ21ᎏ r(a ϩ b ϩ c) ϭ ᎏ21ᎏ r2p ϭ rp.
Ac B
Chiamiamo a, b, c le misure ■ Il raggio del cerchio circoscritto a un triangolo
dei tre lati e 2p quella del
perimetro di ABC. REGOLA
◗ Indichiamo con a, b e c La misura del raggio del cerchio C
le misure dei lati e con R la circoscritto a un triangolo è uguale
misura del raggio. al prodotto delle misure dei lati di- b R a R = —a •—b—• c–
viso per il quadruplo dell’area del O 4•Ꮽ
triangolo.
Ac B
C Infatti, tracciata l’altezza CH e il diametro CD (figura a lato),
ACD Ϸ CHB, quindi:
ba b Ϻ h ϭ 2R Ϻ a → 2R ϭ ᎏa иᎏb
h h
O
A cH B R ϭ ᎏ2ahᎏb ϭ ᎏ2ahbᎏcc ϭ ᎏa4bᏭᎏc , essendo hc il doppio dell’area Ꮽ.
D
C a ■ La formula di Erone
b
Indicate con a, b e c le misure dei tre lati di un triangolo e con p la misura
Ac B del semiperimetro, la misura dell’area Ꮽ del triangolo è:
Ꮽ ͙ ؍pෆෆи (ෆpෆϪෆaෆ) иෆ(pෆෆϪෆb)ෆෆи (ෆpෆϪෆc)ෆ formula di Erone.
G 226
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Paragrafo 6. La lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio TEORIA
■ I lati di poligoni regolari
La misura del lato di un poligono regolare inscritto in una circonferenza è
legata in modo univoco alla misura r del suo raggio. Lo stesso vale per un
poligono regolare circoscritto.
Riassumiamo nella tabella 1 queste relazioni nel caso di un triangolo
equilatero, un quadrato e un esagono regolare.
LATI DI POLIGONI REGOLARI ᭣ Tabella 1
Poligono Inscritto Circoscritto ᭢ Figura 6
C
Triangolo equilatero l3 ϭ ͙3ෆr L3 ϭ 2͙3ෆr
Quadrato l4 ϭ ͙2ෆr L4 ϭ 2r
Esagono regolare l6 ϭ r 2͙3ෆ
L6 ϭ ᎏ3ᎏ r
A O r ᐍ O B
ᐍ r ᐍ 3 H —2r
4 6 A
a. ᐍ = √⎯2 r B b. ᐍ = r c. ᐍ = √⎯3 r E
4 6 3
Applicando il teorema di Pitagora In un esagono regolare inscritto Il triangolo AEC è rettangolo in A
Aa–lB–t2ri=anO–gB–o2l+o OA–AB–O2, si ottiene infatti in una circonferenza il lato è (inscritto in una semicirconferenza);
cioè ᐍ2 = r2 + r2 = 2r 2 congruente al raggio, perché AE è metà di AB, quindi AE è il lato
4
ciascun triangolo avente per base dell’esagono regolare inscritto,
da cui ᐍ = √⎯2 r.
4 un lato dell'esagono e per terzo cioè A––E = r. Da A–C– = √⎯C⎯–E⎯–2⎯−⎯⎯A⎯–E–2 segue
vertice il centro della circonferenza ᐍ = √⎯(⎯2⎯r)⎯2⎯−⎯r2 = √⎯4⎯r⎯2⎯−⎯r2 = √⎯3⎯r2 = √⎯3 r.
3
è equilatero.
᭢ Figura 7
C
L4 O L6 L3
r O
r O
r
AB AH B
a. L4 = 2r b. L6 = –2–⎯√3–3– r c. L3 = 2⎯√3 r
L4 è uguale al diametro della Il triangolo ABO è equilatero, con Il centro della circonferenza inscritta
circonferenza inscritta, da cui L4 = 2r. lato L6 e altezza congruente al è anche baricentro del triangolo,
raggio, da cui
per cui CH = 3OH = 3r.
L6 = –2–⎯√3–3– r.
L3 = –2––• –C–H– = –2–•–3–– r = 2⎯√3 r.
⎯√ 3 ⎯√3
227 G
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TEORIA CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE
■ Le aree e i volumi dei solidi di rotazione
Conoscendo le formule relative alla lunghezza della circonferenza e al-
l’area del cerchio, si possono ricavare quelle relative alle aree delle super-
fici e ai volumi dei solidi di rotazione.
Cilindro
◗ Simboli per le misure: h Ab ϭ r2
r Al ϭ 2r и h
Ab area di base; At ϭ 2r(h ϩ r)
Al area della superficie V ϭ r2 и h
laterale;
At area della superficie
totale;
V volume;
h altezza del solido;
a apotema;
r raggio di base.
Cono
ha Ab ϭ r2
r Al ϭ ra
At ϭ r(a ϩ r)
V ϭ ᎏ31ᎏ r2 и h
Tronco di cono
Un tronco di cono si ottiene considerando i punti di un cono che stanno
fra un piano parallelo alla base e la base stessa. Il solido così ottenuto ha
due basi parallele fra loro.
◗ Chiamiamo Ab e A′b le r' Ab ϭ r2
misure delle aree delle due A′b ϭ r′2
basi, r e r′ quelle dei due h a Al ϭ a(r ϩ r′)
raggi di base. r At ϭ Al ϩ Ab ϩ A′b
V ϭ ᎏ31ᎏ h(r2 ϩ r′2 ϩ r и r′)
Sfera
LABORATORIO r A ϭ 4r2
DI MATEMATICA 4
V ϭ ᎏ3ᎏ r3
Nel sito:
᭤ La lunghezza della
circonferenza e l’area
del cerchio con Cabri
G 228
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La teoria in sintesi ESERCIZI
LA TEORIA IN SINTESI
La similitudine
1. La similitudine e le figure simili A similitudine
C
Due figure si dicono simili se l’una si può ottenere oؠt
dall’altra mediante una similitudine, ossia la com- B O
posizione di una omotetia e una isometria. Gli ele- C' C"
menti (lati, angoli, …) di una figura che si corri- isometria t
spondono in una similitudine si dicono omologhi.
Se due poligoni sono simili, gli angoli omologhi O' B' B"
sono congruenti, i lati omologhi sono in propor-
zione. A' A"
omotetia o
2. I criteri di similitudine
Due triangoli sono simili se si verifica una delle seguenti condizioni:
● i triangoli hanno due angoli ordinatamente congruenti (primo criterio di similitudine);
● i triangoli hanno due lati ordinatamente in proporzione e l’angolo compreso congruente (secondo criterio
di similitudine);
● i triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione (terzo criterio di similitudine).
C' I criteri di similitudine dei triangoli C'
C'
C C ق
C ق
B
A A' ق
Primo criterio B' B B' B B'
Aˆ ≅ Aˆ ' Bˆ ≅ Bˆ ' A A'
A A'
ABC ≈ A'B'C' Terzo criterio
Secondo criterio AB : A'B' = AC : A'C' = BC : B'C'
Aˆ ≅ Aˆ ' AB : A'B' = AC : A'C' ABC ≈ A'B'C'
ABC ≈ A'B'C'
3. Applicazioni dei criteri I teoremi di Euclide possono essere enunciati median-
di similitudine te proporzioni, invece che con l’equivalenza di figure.
In un triangolo rettangolo:
Quando due triangoli sono simili le basi e le rispettive
altezze sono in proporzione. Il rapporto, costante, fra c1 c2 Primo teorema di Euclide
le basi e le relative altezze è lo stesso rapporto che c’è p1 i p2 i : c1 = c1 : p1
fra lati omologhi, ossia il rapporto di similitudine. h i : c2 = c2 : p2
h ≈ b : b' = h : h' Secondo teorema di Euclide
b p1 : h = h : p2
h'
b' p1 p2
229 G
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE
● ogni cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e ● l’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzio-
la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa (pri- nale fra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa (se-
mo teorema di Euclide); condo teorema di Euclide).
4. La similitudine nella circonferenza
Teorema delle corde Teorema delle secanti P Teorema della secante
P E e della tangente
D
B A A
C C
E
A
C F F
AE : CE = ED : EB PF : PE = PA : PC PF : PA = PA : PC
La sezione aurea di un segmento è la parte del seg- 6. La lunghezza della circonferenza
mento che è medio proporzionale fra l’intero seg- e l’area del cerchio
mento e la parte rimanente.
Il rapporto fra le lunghezze di due circonferenze è
sezione aurea uguale al rapporto fra i rispettivi raggi, mentre il rap-
porto fra le aree dei cerchi è uguale al quadrato del
AS B rapporto fra i raggi.
AB : AS = AS : SB
5. Le aree e i perimetri ᐍ
dei poligoni simili
α c = 2πr
I perimetri di due triangoli simili (o di due poligoni Or ᐍ = —1α8—0 πr
simili) stanno fra loro come due lati omologhi; le
aree stanno fra loro come quelle dei quadrati co- a. Misure della circonferenza (c) e dell’arco
struiti su due lati omologhi. di angolo al centro α (ᐍ).
C
C' α
Or
C = πr2
Aᐉ B A' ᐉ' B' S = —3α6—0 πr2 = —21 ᐍr
2p : 2p' = ᐉ : ᐉ' b. Misure dell’area del cerchio (C) e dell’area del settore
Ꮽ : Ꮽ' = ᐉ2 : ᐉ'2 circolare di angolo al centro α (S).
G 230
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La teoria in sintesi ESERCIZI
La misura del raggio del cerchio inscritto in un triangolo è uguale al rapporto fra la misura dell’area del triango-
lo e la misura del suo semiperimetro.
La misura del raggio del cerchio circoscritto a un triangolo è uguale al prodotto delle misure dei lati del trian-
golo diviso per il quadruplo dell’area del triangolo.
Ꮽ b R = —ab—c
r r = —p c 4Ꮽ
R
a
a. Raggio del cerchio inscritto nel triangolo. b. Raggio del cerchio circoscritto al triangolo.
Indicate con a, b, c le misure dei tre lati di un triangolo Ꮽ = p и (p − a) и (p − b) и (p − c) C
e con p quella del semiperimetro, la misura dell’area Ꮽ
del triangolo è data dalla formula di Erone: con p = —a +—b2—+—c a b
Ꮽ ϭ ͙ෆp ෆи (ෆp ෆϪෆaෆ) ෆи (ෆp ෆϪෆb)ෆиෆ(ෆp Ϫෆෆc)ෆ.
Bc A
Le aree e i volumi dei solidi di rotazione CONO
CILINDRO
Ab = πr2 Ab = πr2
Aᐉ = 2πr и h Aᐉ = πra
h At = 2πr(h + r) ha At = πr(a + r)
V = πr2 и h V = —31 πr2 и h
r
r
TRONCO DI CONO SFERA
r' A = 4πr2
r V = —34 πr3
h Ab = πr2
r a A'b = πr'2
Aᐉ = πa(r + r')
At = Aᐉ + Ab + A'b
V = —13 πh(r2 + r'2 + r и r')
231 G
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ESERCIZI CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE
1. La similitudine e le figure simili –ᮣ Teoria a pag. G213
ESERCIZIO GUIDA
1 Dati i triangoli simili della figura, scriviamo la catena di rapporti C E
fra i lati che si corrispondono. F
Quando due triangoli sono simili, i lati che si oppongono ad angoli congruenti si A D
corrispondono nella similitudine. Per esempio, poiché l’angolo C^ è congruente B
all’angolo ^E, il lato AB corrisponde al lato FD. Analogamente BC corrisponde a DE
e AC corrisponde a FE. Perciò possiamo scrivere la seguente catena di rapporti:
AB Ϻ FD ϭ BC Ϻ DE ϭ AC Ϻ FE.
2 ASSOCIA i triangoli simili, metti le lettere su ogni vertice e poi scrivi la catena di rapporti fra i lati che si cor-
rispondono.
12 3 4
ab c d
Negli esercizi che seguono sono indicate tre proporzioni; una sola è riferita ai lati corrispondenti dei due trian-
goli simili in figura. Quale?
3C 4E 5D
DE C AC
AB A EF
BD B
a) AB Ϻ DE ϭ AC Ϻ AD
b) AC Ϻ AD ϭ BC Ϻ BE a) AB Ϻ AD ϭ BC Ϻ DE a) BD Ϻ EF ϭ BE Ϻ BC
c) AC Ϻ DC ϭ BC Ϻ CE b) AB Ϻ BD ϭ BC Ϻ DE b) BD Ϻ EF ϭ BC Ϻ BE
c) AC Ϻ CE ϭ AD Ϻ AB c) CD Ϻ CF ϭ EB Ϻ BF
G 232
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Paragrafo 2. I criteri di similitudine ESERCIZI
2. I criteri di similitudine –ᮣ Teoria a pag. G214
Nel sito: ᭤ 7 esercizi di recupero DC
O
■ Il primo criterio di similitudine
ESERCIZIO GUIDA
6 Dato il trapezio ABCD della figura, riconosciamo due triangoli simili tra i
quattro in cui lo dividono le diagonali, e scriviamo le proporzioni fra i lati
corrispondenti.
I triangoli simili sono ABO e OCD. Infatti essi hanno: AB
● ␣ Х ␣′, perché opposti al vertice; DC
●  Х ′, perché alterni interni di rette parallele tagliate dalla trasver- β' α'
O
sale BD; α
β
quindi i due triangoli sono simili per il primo criterio di similitudine.
Poiché ad angoli congruenti si oppongono lati corrispondenti, le propor- AB
zioni richieste sono:
AB Ϻ CD ϭ AO Ϻ OC; AB Ϻ CD ϭ BO Ϻ DO; BO Ϻ DO ϭ AO Ϻ OC.
COMPLETA. Applicando il primo criterio di similitudine, riconosci i triangoli simili in ognuna delle seguenti fi-
gure, poi scrivi di fianco a ogni figura le proporzioni fra i lati corrispondenti.
7A D A AB E
C
E H M C D
bB C
B
a cM
8A A A
K DF
O
C bB قE ق C B Q
BH c PC
a
233 G
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE
■ Il secondo criterio di similitudine
9 COMPLETA. Nelle figure che seguono sono rappresentati due triangoli e una proporzione. Colora l’angolo
compreso fra lati ordinatamente proporzionali.
C M C R
N M B
L D
AB P
a AC : LN = BC : MN C
Q
FE AB
b DE : BM = FE : CM c AB : QR = BC : PQ
ESERCIZIO GUIDA C
10 Dimostriamo che nella figura a lato si possono individuare due
triangoli simili, poi scriviamo la catena di rapporti fra lati corrispondenti.
B
OA
I triangoli OAB e OAC hanno l’angolo O^ in comune; inoltre:
OA ϭ 2 и OB e OC ϭ 2 и OA,
quindi il rapporto fra i primi due membri delle uguaglianze è uguale al rapporto fra gli ultimi due membri, cioè:
OA Ϻ OC ϭ OB Ϻ OA. B A
O
Pertanto i triangoli sono simili per il secondo criterio di similitudine.
La catena di rapporti fra i lati corrispondenti è:
OA Ϻ OC ϭ BA Ϻ AC ϭ OB Ϻ OA. A
Osservazione. Per individuare con maggior facilità i lati corrispondenti pos-
siamo disegnare i triangoli OAB e OAC con i lati ordinatamente paralleli. O C
11 Usa i dati indicati nelle figure per riconoscere in ciascuna tutte le coppie di triangoli simili, poi scrivi la cate-
na di rapporti fra lati corrispondenti.
C' B' A A
C A'
OB B M C B' M' C'
ipotesi: ABC e A'B'C' simili
A H
A' b
BP C
a
ipotesi: AP : AB = PH : BP
c
G 234
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
RIEPILOGO I criteri di similitudine dei triangoli ESERCIZI
■ Il terzo criterio di similitudine
12 In ognuna delle figure che seguono compaiono due triangoli simili e una catena di rapporti. Individua gli
angoli che si corrispondono e colorali.
C
CE
F H
DC
A BD E AB AB
AB : DC = AE : DE = BE : CE AB : BH = AC : AH = BC : AB
AB : DE = AC : DF = BC : EF b c
a
13 I due triangoli della figura a lato sono simili e vale la proporzione C E
AB Ϻ DE ϭ BC Ϻ EF. F
Individua quale delle seguenti proporzioni è equivalente a quella data:
a) AB Ϻ BC ϭ DE Ϻ EF ; c) DE Ϻ AB ϭ DF Ϻ AC. A BD
b) AB Ϻ DE ϭ DE Ϻ BC; C
14 I due triangoli ABC e EFC della figura a lato sono simili. Quale delle se- EF
guenti proporzioni è errata?
a) AB Ϻ EF ϭ AC Ϻ CE; c) AB Ϻ BC ϭ EF Ϻ FC; e) AC Ϻ BC ϭ EC Ϻ CF. AB
b) AB Ϻ AC ϭ EF Ϻ EC; d) AC Ϻ AE ϭ BF Ϻ FC;
RIEPILOGO I CRITERI DI SIMILITUDINE DEI TRIANGOLI
15 VERO O FALSO? VF
VF
a) Due triangoli equilateri sono sempre simili. VF
b) Due triangoli isosceli non possono essere simili. VF
c) Due triangoli rettangoli isosceli possono essere simili o meno: dipende dall’angolo acuto. VF
d) Due triangoli rettangoli sono sempre simili. VF
e) Un triangolo isoscele e un triangolo ottusangolo non possono mai essere simili.
f) Un triangolo rettangolo e un triangolo isoscele possono essere simili.
16 COMPLETA
2,1 6
5,4
1,5 6 8,4 2,8 2 8 27
2,7 1,5 9
2 24
4,2 3 4 d. Simili? ........
a. Simili? ........ b. Simili? ........ c. Simili? ........ Criterio di
similitudine: ........
Criterio di Criterio di Criterio di
similitudine: ........ similitudine: ........ similitudine: ........ Rapporto di
similitudine: ........
Rapporto di Rapporto di Rapporto di
similitudine: ........ similitudine: ........ similitudine: ........
235 G
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ESERCIZI CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE
COMPLETA utilizzando i dati indicati nelle figure. 24 Disegna un triangolo rettangolo ABC con l’ango-
17 C lo retto in A. Traccia la bisettrice CP dell’angolo
BC^A. Dal punto P traccia la perpendicolare a CP
PH = ... che incontra l’ipotenusa BC nel punto H. Dimo-
12 H Area (HPB) = ... stra che il segmento CP è medio proporzionale
fra i segmenti CA e CH.
AP B
25 Disegna due semirette r e s aventi la stessa origine A.
16 AH = ... Da un generico punto M conduci le perpendicolari
2p (AHB) = ... ad Ar e As e indica con B e con C i piedi di tali per-
18 C Area (AHC) = ... pendicolari. Indica con D il punto di intersezione di
s con MB e con E il punto di intersezione di MC con
8 r. Dimostra che:
H 1. AB Ϻ AC ϭ AD Ϻ AE.
2. MB Ϻ MC ϭ ME Ϻ MD
A6B
26 Inscrivi un quadrilatero ABCD in una circonferen-
19 C za. Dimostra che le diagonali AC e BD dividono il
quadrilatero in quattro triangoli a due a due simili.
CP = ...
20 27 Disegna due triangoli simili ABC e A′B′C ′ e da
due vertici omologhi traccia le bisettrici AP e
KB = ... A′P ′. Dimostra che AP e A′P′ stanno fra loro
come due lati omologhi.
P
A H KB 28 Disegna un triangolo ABC e traccia la bisettrice CP.
Prolunga CP dalla parte di P fino a incontrare in
12 Q la circonferenza circoscritta al triangolo. Dimo-
stra che i triangoli ACP, QBP e QCB sono simili.
20 C
29 Disegna due triangoli simili ABC e A′B′C′ e trac-
H HB = ... cia le mediane AM e A′M′.
9 KH = ... Dimostra che AM Ϻ A′M′ ϭ BC Ϻ B′C ′.
A KB 30 Disegna un triangolo ABC e indica con L, M, N i
12 punti medi dei lati. Dimostra che ABC e LMN
sono simili.
21 In un trapezio ABCD, le diagonali si intersecano
in O. Dimostra che AO Ϻ CO ϭ BO Ϻ DO. 31 Disegna tre semirette a, b, c aventi la comune ori-
gine O. Su a prendi due punti A e A′ e da essi
22 Dato un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa conduci le perpendicolari AB, A′B′, AC, A′C ′ ri-
AB, inscrivi nel triangolo un quadrato PQRS con spettivamente alle semirette b e c. Dimostra che
il lato PQ appartenente ad AB. Dimostra che il BC è parallela a B′C ′. (Suggerimento. I triangoli
lato del quadrato è medio proporzionale fra i due OBC e OB ′C′ sono simili perché...)
restanti segmenti sull’ipotenusa, AP e QB.
32 Nel trapezio ABCD di base maggiore AB, indi-
23 Dimostra che due triangoli aventi i lati a due a chiamo con O il punto di intersezione delle dia-
due paralleli sono simili. gonali e con N il punto medio della base minore
CD. Congiungiamo N con O e prolunghiamo NO
fino a incontrare la base AB nel punto M. Dimo-
striamo che:
1. M è il punto medio di AB;
2. O divide MN in parti proporzionali alle basi
del trapezio.
G 236
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Paragrafo 3. Applicazioni dei criteri di similitudine ESERCIZI
3. Applicazioni dei criteri di similitudine –ᮣ Teoria a pag. G215
■ La proporzionalità fra basi e altezze di triangoli simili
COMPLETA le proporzioni che compaiono sotto le figure (le linee tratteggiate sono le altezze dei triangoli).
33 E C F
E
DC DK C
K E
A HB AH B HA BF D K
AB : CD = EH : ? c AB : CH = FD : ?
? : FK = AB : DE
a b
34 C R C
S H
C
K Q
PT
AH B A B A H B
BC : ? = ? : BH c AH : CH = ? : ?
AK : BC = ? : ? ? : AC = AC : ? CH : ? = ? : CH
a
b
■ I teoremi di Euclide
35 Per ogni triangolo rettangolo in figura scrivi una proporzione che esprima il primo o il secondo teorema di
Euclide, utilizzando come medio proporzionale il segmento colorato.
C
H C A C
AB AH B
H
B
237 G
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ESERCIZI CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE
4. La similitudine nella circonferenza –ᮣ Teoria a pag. G217
■ Il teorema delle corde B A'
A E
ESERCIZIO GUIDA
B'
36 Su una circonferenza fissiamo un verso di percorrenza (per esempio, in
senso orario) e, nell’ordine, scegliamo quattro punti A, B, A′, B′, in modo
che le corde AA′ e BB′ si intersechino in un punto E. Congiungiamo A
con B e A′ con B′.
Dimostriamo che vale la proporzione:
AB Ϻ A′B′ ϭ AE Ϻ EB′.
Ipotesi 1. AA′ è una corda della circonferenza; Tesi AB Ϻ A′B′ ϭ AE Ϻ EB′.
2. BB ′ è una corda della circonferenza;
3. E è il punto di intersezione di AA′ e BB ′.
Dimostrazione
Per le ipotesi 1 e 2 possiamo applicare il teorema delle corde e ottenere la proporzione:
AE Ϻ BE ϭ EB′ Ϻ EA′.
Permutando i medi otteniamo la proporzione:
AE Ϻ EB′ ϭ BE Ϻ EA′.
I triangoli ABE e A′B ′E hanno:
● due lati ordinatamente in proporzione;
● l’angolo compreso AE^B Х A′E^B ′, perché angoli opposti al vertice;
quindi sono simili per il secondo criterio di similitudine dei triangoli.
Pertanto vale la proporzione AB Ϻ A′B′ ϭ AE Ϻ EB′.
37 Traccia due circonferenze che si intersecano in due punti A e B. Da un punto P della corda AB traccia una
retta che incontri la prima circonferenza nei punti C e D e la seconda nei punti E e F. Dimostra che il rettan-
golo avente come lati i segmenti PC e PD è equivalente al rettangolo avente come lati i segmenti PE e PF.
38 Disegna un quadrilatero ABCD inscritto in una circonferenza e chiama P il punto di intersezione delle dia-
gonali. Dimostra che i triangoli ABP e CDP sono simili, così come i triangoli ADP e BCP.
39 Dimostra che, se due segmenti AB e CD si tagliano in un punto P tale che AP Ϻ CP ϭ DP Ϻ BP, allora i punti
A, B, C e D appartengono a una stessa circonferenza. (Suggerimento. Considera la circonferenza passante per
tre punti e utilizza l’unicità della quarta proporzionale.)
40 In una circonferenza sono date due corde MN e M ′N′ che si intersecano in un punto P tale che
PM Ϻ PN ϭ PM′ Ϻ PN′. Dimostra che le due corde sono congruenti.
G 238
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Paragrafo 5. Le aree e i perimetri dei poligoni simili ESERCIZI
■ Il teorema delle secanti
41 Applicando il teorema delle secanti, scrivi una proporzione per ognuna delle figure seguenti.
OC D A B E
A NM D
B
O EA
B BC A C D
c MC
ab d
■ Il teorema della secante e della tangente
42 Applicando il teorema della secante e della tangente, scrivi una proporzione relativa a ogni figura.
P A AA
A D
T P D
B E CB
B
C c F
b
B C P D
a d
5. Le aree e i perimetri dei poligoni simili –ᮣ Teoria a pag. G220
43 Individua le coppie di rettangoli simili fra loro e scrivi il rapporto di similitudine, il rapporto fra le misure
dei perimetri e quello fra le misure delle aree.
1 3 5 7
8
2 4 6
44 Per ognuna delle seguenti figure scrivi una proporzione che coinvolga le misure dei perimetri e una che
coinvolga le misure delle aree di due triangoli simili.
C
F B
K
B BE DC
O
EF O
AD CA CA BA BA H C
a b c d e
239 G
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ESERCIZI CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE
45 In due triangoli simili, un lato del primo è lungo 49 In un triangolo ABC di base AB, M e N sono ri-
24 cm e quello corrispondente del secondo spettivamente i punti medi di AC e BC. Qual è il
40 cm. Determina il rapporto tra i perimetri e rapporto fra i perimetri dei triangoli MCN e
quello tra le aree dei triangoli. ΄ ΅ᎏ53ᎏ ; ᎏ295ᎏ ABC? E il rapporto fra le loro aree? Qual è il rap-
porto fra le aree del triangolo ABC e del trapezio
AMNB? ΄ ΅ᎏ21ᎏ ; ᎏ41ᎏ ; ᎏ43ᎏ
46 Un triangolo ABC ha base AB e altezza CH lun- 50 Dato il triangolo ABC, determina su AC un pun-
ghe rispettivamente 18 cm e 8 cm. A′B′C′ è simile ᎏADᎏ 3
DC ᎏ4ᎏ
ad ABC e ha la base A′B′, omologa di AB, lunga
27 cm. Quanto misura l’area di A′B′C′? [162 cm2]
to D tale che ϭ . Traccia dal punto D la
47 La somma dei perimetri dei triangoli simili ABC parallela DE alla base. Calcola il rapporto fra le
e A′B′C′ è 83,25 cm. Determina i perimetri dei
due triangoli sapendo che AB ϭ 16 cm e il suo aree dei triangoli ABC e CDE. ΄ ΅ᎏ4169ᎏ
corrispondente A′B′ ϭ 20 cm. [37 cm; 46,25 cm]
48 La somma delle aree di due rettangoli simili è 51 È dato un trapezio ABCD, di area 48 cm2, tale che
915 cm2. Le due basi hanno lunghezza 25 cm e
il rapporto fra le basi è 5 . Calcola l’area dei
30 cm. Determina le aree e i perimetri dei rettan- ᎏ3ᎏ
goli. [375 cm2, 540 cm2; 80 cm, 96 cm]
triangoli che si ottengono prolungando i lati non
paralleli del trapezio. [27 cm2; 75 cm2]
RIEPILOGO LA SIMILITUDINE Nel sito: ᭤ 25 esercizi in più
Negli esercizi che seguono sono indicate tre proporzioni; una sola è riferita ai lati corrispondenti dei due trian-
goli simili in figura. Quale?
52 F 53 C 54 B
E F
C E C
D F
A
E
D D
B AB A
a) AB Ϻ DE ϭ AC Ϻ DF a) AB Ϻ FE ϭ BC Ϻ FD a) AB Ϻ DF ϭ BC Ϻ EF
b) AC Ϻ DF ϭ BC Ϻ EF b) AC Ϻ ED ϭ AB Ϻ FD b) AB Ϻ DF ϭ BC Ϻ DE
c) AB Ϻ AC ϭ EF Ϻ DE c) AC Ϻ ED ϭ EF Ϻ AB c) AB Ϻ DF ϭ DE Ϻ BC
55 Applicando il teorema delle corde, scrivi per ognuna delle seguenti figure tutte le possibili proporzioni che
coinvolgono i segmenti disegnati.
D CA A BD
E
A B D
E P
C B M
b C
F
c E
a
G 240
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RIEPILOGO La similitudine ESERCIZI
56 COMPLETA le seguenti uguaglianze o proporzioni 65 Da un punto P di una circonferenza conduci la
utilizzando la figura e applicando i teoremi delle perpendicolare PH a un diametro AB. Dimostra
corde, delle secanti, della secante e della tangente che PH è medio proporzionale tra le parti in cui
(AR è tangente alla circonferenza in R). il diametro rimane diviso dal punto H.
DT Ϻ RT ϭ … Ϻ …; C 66 Disegna un triangolo ABC con l’angolo in A acu-
ෆAෆR2 ϭ AෆෆF и …; to. Traccia la circonferenza di diametro BC e sia-
B T no M e N le intersezioni con i lati AB e AC. Di-
TF Ϻ … ϭ … Ϻ DT; A mostra che i triangoli ABC e ANM sono simili.
ෆACෆ и AෆෆB ϭ AෆDෆ и …;
D 67 Traccia una circonferenza di centro O e congiungi
AC Ϻ AR ϭ … Ϻ AB; un punto P esterno alla circonferenza con O. Indica
F con A il punto di intersezione di PO con la circon-
AB Ϻ AF ϭ … Ϻ AC. ferenza. Da P traccia una tangente alla circonfe-
R renza e indica con T il punto di tangenza. Dimostra
che la differenza dei quadrati costruiti su PT e su PA
57 Disegna un triangolo ABC e indica con AH la è equivalente al rettangolo avente i lati congruen-
proiezione di AC su AB e con AK la proiezione di ti al raggio della circonferenza e al segmento AP.
AB su AC. Dimostra che AB Ϻ AC ϭ AK Ϻ AH.
68 Nel trapezio ABCD, rettangolo in A e in D, le dia-
58 Nel triangolo isoscele ABC, di base BC, traccia le al- gonali AC e BD sono fra loro perpendicolari. Di-
tezze AH e BK. mostra che l’altezza del trapezio è media propor-
Dimostra che AH Ϻ BK ϭ AB Ϻ BC. zionale fra le basi.
59 Disegna un triangolo ABC e conduci dal vertice 69 Disegna tre semirette a, b, c uscenti dalla stessa origi-
B una retta che intersechi la retta AC nel punto D, ne O, in modo che Oc sia contenuta nell’angolo acuto
in modo che l’angolo CB^D sia congruente all’an- aO^b. Fissa su Oc due punti P e Q e da questi traccia
golo CA^B. Dimostra che BC è medio proporzio- due rette parallele che intersecano la semiretta Oa nei
nale fra AC e CD. punti L e M, rispettivamente. Sempre da P e da Q
traccia altre due rette parallele che intersecano la se-
60 Due circonferenze si intersecano in P e Q. Sulla ret- miretta Ob nei punti N e R, rispettivamente. Dimo-
ta PQ considera il punto A, esterno alle due circon- stra che PL Ϻ QM ϭ PN Ϻ QR.
ferenze, e traccia le tangenti AB e AC alle circon-
ferenze. Dimostra che il triangolo ABC è isoscele. 70 In una circonferenza traccia due corde AB e BC e
conduci per B la retta tangente a tale circonferenza.
61 Dato un triangolo rettangolo ABC, da un punto P Dimostra che ogni retta parallela alla tangente taglia
dell’ipotenusa BC conduci la perpendicolare al- le corde AB e BC in due punti M e N tali che i trian-
l’ipotenusa stessa che incontra i cateti AB e AC, o goli ABC e NBM risultano simili. (Suggerimento.
i loro prolungamenti, rispettivamente nei punti Utilizza le proprietà dell’angolo alla circonferenza.)
M e N. Dimostra che PM Ϻ PB ϭ PC Ϻ PN.
71 Nel triangolo ABC traccia l’altezza CD e la cir-
62 Un trapezio rettangolo ADCB ha il lato AB per- conferenza circoscritta indicando con CE un suo
pendicolare alle basi e le diagonali AC e BD fra diametro. Dimostra che il rettangolo avente i lati
loro perpendicolari. Indicato con O il punto di congruenti ad AC e a BC è equivalente al rettan-
intersezione delle diagonali, dimostra che i trian- golo che ha i lati congruenti a CD e a CE. (Sugge-
goli BOC, AOB e AOD sono simili. rimento. I triangoli CBD e CEA sono...)
63 In una circonferenza di centro O, conduci due 72 Disegna il triangolo ABC e traccia le altezze AD e
rette a e b, a essa tangenti e parallele, e una terza BE. Sia F l’intersezione delle rette AD e BE. Di-
retta t tangente alla circonferenza in T. Siano A il mostra che il rettangolo con i lati congruenti ai
punto di tangenza della retta a, B il punto di tan- segmenti AD e AF è equivalente al rettangolo con
genza della retta b, R il punto di intersezione di a i lati congruenti ai segmenti AC e AE. (Suggeri-
con t, S il punto di intersezione di b con t. Dimo- mento. Il quadrilatero CEFD è inscrivibile in una
stra che il segmento OT è medio proporzionale circonferenza...)
fra i segmenti AR e BS.
64 Dimostra che una corda AB di una circonferenza
è media proporzionale fra il diametro AC e la sua
proiezione su AC.
241 G
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ESERCIZI CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE
73 Nel triangolo isoscele ABC, l’angolo al vertice è la quinta parte di un angolo piatto. Dimostra che la base BC
è la sezione aurea di uno dei lati congruenti. (Suggerimento. Traccia la bisettrice BD e dimostra che l’angolo
C^BD è congruente all’angolo al vertice.)
6. La lunghezza della circonferenza –ᮣ Teoria a pag. G222
e l’area del cerchio
Nel sito: ᭤ 7 esercizi di recupero
ESERCIZIO GUIDA
74 Un quadrato ha il lato di 6 cm. Calcoliamo la lunghezza della circonferenza inscritta nel quadrato, di
quella circoscritta e l’area della corona circolare fra esse compresa.
Le due circonferenze hanno lo stesso centro O. Il raggio di quella inscrit- D C
ta è metà del lato del quadrato, quello della circonferenza circoscritta è
metà della diagonale. La misura c della circonferenza inscritta è:
c ϭ 2 и ෆOHෆ ϭ 6.
La misura della diagonale è: AෆCෆ ϭ AෆෆB и ͙ෆ2 ϭ 6͙ෆ2. OH
La misura c ′ della circonferenza circoscritta è:
c′ ϭ 2 и ෆOCෆ ϭ 2 и 3͙ෆ2 ϭ 6͙ෆ2.
L’area della superficie richiesta è la differenza fra le aree dei due cerchi. A B
La sua misura è:
S ϭ и ෆOCෆ 2 Ϫ и ෆOHෆ 2 ϭ и (3͙ෆ2)2 Ϫ и 32 ϭ 9.
La lunghezza della circonferenza inscritta è 6 cm, quella della circonferenza circoscritta 6 ͙ෆ2 cm,
l’area della superficie fra esse compresa 9 cm2.
75 Disegna due cerchi concentrici aventi i raggi che 80 Il lato e la diagonale minore di un rombo misura-
misurano R e r (R Ͼ r). Determina la misura del no a. Calcola la misura dell’area del rombo e del
contorno e l’area della corona circolare delimitata cerchio inscritto in esso. ΄ ΅a2 ᎏ͙2ᎏෆ3 ; ᎏ13ᎏ6 a2
dalle due circonferenze. [2(R ϩ r); (R2 Ϫ r2)]
76 Calcola la misura dell’area del cerchio inscritto e 81 Su una circonferenza sono dati quattro punti
di quello circoscritto a un esagono regolare di consecutivi A, B, C e D che la dividono in quattro
lato che misura l. ΄ ΅ᎏ43ᎏ l2; l2 archi consecutivi AB, BC, CD e DA, lunghi ri-
77 È dato un triangolo equilatero di lato 4 cm. Trac- spettivamente 2 cm, 3 cm, 5 cm e 8 cm.
cia le circonferenze inscritta e circoscritta al Determina il raggio della circonferenza e le am-
triangolo. Calcola l’area della corona circolare piezze degli angoli al centro corrispondenti ai
delimitata dalle due circonferenze. [4 cm2] quattro archi. [9 cm; 40°, 60°, 100°, 160°]
78 L’area di una corona circolare è 731 cm2. Deter- 82 Il triangolo isoscele ABC, di base AB, lunga
mina le lunghezze dei raggi sapendo che il mag-
giore supera il minore di 17 cm. [30 cm; 13 cm] 32 cm, è inscritto in una circonferenza. La diffe-
renza fra il diametro e l’altezza relativa alla base è
4 cm. Determina l’area del triangolo e la lunghez-
79 Le basi di un trapezio isoscele circoscritto a una za della circonferenza. [1024 cm2; 68 cm]
circonferenza sono lunghe 24 cm e 54 cm. Calco-
la la lunghezza della circonferenza. [36 cm]
G 242
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Paragrafo 6. La lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio ESERCIZI
■ La lunghezza di un arco e l’area di un settore circolare
ESERCIZIO GUIDA
83 Calcoliamo il raggio di un cerchio sapendo che l’area di un suo settore di ampiezza 11°15′ è 50 cm2.
Indichiamo le misure dell’ampiezza del settore e della sua area con ␣ e
con S, quella dell’area del cerchio con A.
Calcoliamo A: A
A Ϻ 360 ϭ S Ϻ ␣. r
Trasformiamo 11°15′ in gradi. Tenendo presente che 1′ ϭ ᎏ61ᎏ0 °, risulta α
15′ ϭ 15 и ᎏ61ᎏ0 ° ϭ ᎏ41ᎏ °, e quindi: S
11°15′ ϭ 11° ϩ ᎏ41ᎏ ° ϭ 11 ϩ ᎏ41ᎏ ° ϭ ᎏ44ᎏ5 °.
Riscriviamo la proporzione, sostituendo i valori calcolati:
A Ϻ 360 ϭ 50 Ϻ ᎏ44ᎏ5 → A ϭ 360 и 50 ϭ 360 и 50 и ᎏ44ᎏ5 ϭ 1600.
ᎏ45ᎏ
ᎏ4ᎏ
Calcoliamo il raggio ricavando r dalla formula della misura dell’area del cerchio:
ΊA
ϭ иr2 → ᎏAᎏ ϭ ᎏ иᎏr2 → ᎏAᎏ ϭ r 2 → r 2 ϭ ᎏAᎏ → rϭ ᎏAᎏ .
Sostituendo otteniamo:
Ίr ϭ
1600 → r ϭ ͙ෆ16ෆ00 → r ϭ 40.
ᎏᎏ
Ί ͱස ස සLo stesso risultato si ottiene ricavando r dalla formula S ϭ ᎏ36␣ᎏ0° r2:
r ϭ ᎏ36␣0ᎏ° S ϭ ᎏ36ᎏ404ᎏ5° иᎏ°5и0րր ϭ ͙ෆ16ෆ00 ϭ 40.
Il raggio del cerchio è quindi di 40 cm.
84 La lunghezza di un arco appartenente a una circonferenza di raggio 135 cm è 165 cm. Quanto misura il
rispettivo angolo al centro? ᎏ2ᎏ [110°]
85 Un arco di circonferenza è lungo ᎏ65ᎏ cm e l’ampiezza del rispettivo angolo al centro è 7°30′. Calcola la lun-
ghezza del raggio. [20 cm]
86 Sia MN una corda di una circonferenza di centro O e la sua distanza OH dal centro misuri 6 cm. Sapendo
che l’angolo HN^O è di 30°, calcola la misura dell’area del settore circolare avente per angolo al centro l’ango-
lo MO^N.
[48 cm2]
87 In un cerchio di raggio 2 cm è inscritto un quadrato. Determina l’area della regione del cerchio limitata dal
lato del quadrato e dall’arco minore corrispondente. [( Ϫ 2) cm2]
243 G
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ESERCIZI CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE
88 Disegna un cerchio di raggio r e inscrivi in esso un triangolo equilatero. Determina la misura dell’area della
΄ ΅r2
regione del cerchio limitata dal lato del triangolo e dall’arco minore corrispondente. (4 Ϫ 3 ͙ෆ3)
ᎏ1ᎏ2
89 In un cerchio di raggio r inscrivi un esagono regolare. Determina la misura dell’area della regione del cer-
΄ ΅r2 ᎏ6ᎏ Ϫ ᎏ͙4ᎏෆ3
chio limitata dal lato dell’esagono e dall’arco minore corrispondente.
90 Un triangolo rettangolo ha un angolo di 60° e l’ipotenusa misura 12a. Con centro nel vertice dell’angolo di 60°
traccia un arco di circonferenza con raggio congruente al cateto minore, dividendo il triangolo in due parti. De-
[6a 2; (18 ͙ෆ3 Ϫ 6)a 2]
termina l’area di tali parti.
91 Disegna un quadrato e da due vertici opposti traccia due archi di circonferenza di raggio congruente al lato
del quadrato e interni a esso. Sapendo che il lato del quadrato misura 2a determina le misure delle aree delle
tre parti in cui resta diviso il quadrato. [a 2(4 Ϫ ); a 2(4 Ϫ ); 2a 2( Ϫ 2)]
Applicazioni dell’algebra alla geometria
Nel sito: ᭤ 8 esercizi di recupero
■ Problemi con triangoli simili aventi lati corrispondenti paralleli
92 DE è parallelo ad AB. Ricava le misure x e y incognite.
C C C
y
B3 E D x E 26 D x E 15 2a x
6 x 8 D E 8a
A 12,5
y 5a y
D
5
23 C
Ay B A 21 B A B
b 7a
a cd
ESERCIZIO GUIDA
93 Nel trapezio ABCD la base maggiore, la base minore e l’altezza sono lunghe rispettivamente 25 cm, 10 cm
e 15 cm. I prolungamenti dei lati obliqui si incontrano nel punto E. Nel triangolo EDC determiniamo la lun-
ghezza dell’altezza EH relativa a DC.
Dati 1. AෆBෆ ϭ 25; 2. DෆCෆ ϭ 10; 3. HෆෆK ϭ 15. Richiesta EෆෆH.
I triangoli AEB e DEC sono simili per il primo criterio di similitudine E
(ED^C Х EA^D ed EC^D Х E^BA perché angoli corrispondenti formati dalle D HC
parallele AB e DC con le trasversali EA ed EB). Possiamo allora scrivere la
proporzione fra le corrispondenti basi e altezze:
AB Ϻ DC ϭ EK Ϻ EH AK B
Poniamo ෆEෆH ϭ x. La proporzione diventa:
25 Ϻ 10 ϭ (15 ϩ x) Ϻ x → 10(15 ϩ x) ϭ 25x
150 ϩ 10x ϭ 25x → 150 ϭ 25x Ϫ 10x → 150 ϭ 15x → x ϭ 10.
EH è lunga 10 cm.
G 244
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Applicazioni dell’algebra alla geometria ESERCIZI
94 Un triangolo acutangolo ABC, di area 4,5 dm2, ha alla base, ottenendo un trapezio. Sapendo che
un’altezza congruente alla relativa base. Inscrivi
nel triangolo un quadrato avente un lato sulla l’area del trapezio è 13,5 cm2 e che l’altezza del
base. Calcola il perimetro del quadrato. [6 dm]
triangolo è 6 cm, calcola la lunghezza delle due
basi del trapezio. [6 cm; 3 cm]
98 Un rettangolo ABCD ha la base AB lunga 16a e
95 Nel triangolo isoscele ABC la base AB e i lati sono l’altezza BC lunga 12a. Prolunga la base AB di un
lunghi rispettivamente 36 cm e 30 cm. Sulla base
AB, considera il punto D e la sua proiezione E su segmento BE ϭ ᎏ51ᎏ AE e dal punto E traccia la
CB. Determina la lunghezza di DB sapendo che la
somma delle lunghezze di EB e DB è 24 cm. semiretta perpendicolare ad AE, dalla stessa par-
[15 cm]
te del rettangolo. Indica con F il punto di interse-
zione di tale semiretta col prolungamento della
96 Un triangolo rettangolo ha un cateto lungo diagonale AC. Calcola perimetro e area del trape-
2 ͙ෆ2 cm. Traccia una retta perpendicolare a tale zio BEFC. [36a; 54a2]
cateto, in modo che il triangolo risulti suddiviso 99 Del trapezio ABCD rettangolo in A e in D si co-
noscono le lunghezze 45a, 24a e 28a delle basi
in due poligoni equivalenti. Calcola la lunghezza AB, CD e dell’altezza AD. Indicata con E l’inter-
sezione dei prolungamenti dei lati non paralleli,
delle due parti in cui il cateto è suddiviso dalla
[2 cm; 2(͙ෆ2 Ϫ 1) cm] determina la lunghezza dei lati e l’area del trian-
retta.
golo DBE. (Maturità magistrale 1966/67)
97 Disegna un triangolo di base AB e altezza CH. [53a; 32a; 75a; 720a2]
Dal punto medio dell’altezza traccia la parallela
■ Problemi con triangoli simili che non hanno i lati corrispondenti paralleli
ESERCIZIO GUIDA C B
K
100 Nel triangolo ABC indicato in figura la base AB è lunga 63 cm e l’altezza
CH 20 cm. Il punto H divide AB in due parti, tali che la parte maggiore 20
supera di 12 cm i ᎏ15ᎏ2 della minore. Indichiamo con HK l’altezza del
triangolo CBH relativa al lato CB. Determiniamo il perimetro del AH
triangolo CHK. 63
Dati 1. AෆෆB ϭ 63; 2. CෆෆH ϭ 20; Si ricava:
3. HෆෆB ϭ 12 ϩ ᎏ15ᎏ2 AෆෆH. AෆෆH ϭ 15, HෆෆB ϭ 12 ϩ ᎏ15ᎏ2 и 15 ϭ 48.
Richiesta Perimetro (CHK ). Calcoliamo CෆෆB applicando il teorema di Pitagora al
triangolo CHB:
1. Calcoliamo ෆAෆH e ෆHBෆ.
CෆෆB2 ϭ CෆෆH2 ϩ HෆBෆ2
Poniamo: CෆෆB2 ϭ 202 ϩ 482 ϭ 2704
CෆBෆ ϭ 52.
ෆAෆH ϭ x, quindi HෆBෆ ϭ 12 ϩ 12 x.
ᎏ5ᎏ 2. Calcoliamo il perimetro del triangolo CHK.
Esprimiamo anche AෆෆB in funzione di x: C
AෆෆB ϭ x ϩ 12 ϩ ᎏ15ᎏ2 x ϭ ᎏ15ᎏ7 x ϩ 12. αK
β'
Uguagliamo a 63 il valore di AෆෆB e ricaviamo x:
AH
17 ϩ 12 ϭ 63 → x ϭ 15. β
ᎏ5ᎏ x B
245 G
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ESERCIZI CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE
I triangoli rettangoli CHB e CHK sono simili per il primo criterio perché hanno l’angolo ␣ in comune
e  congruente a ′ perché complementari dello stesso angolo ␣.
Poiché in due triangoli simili i perimetri stanno fra loro come due lati omologhi, vale la proporzione:
2p(CHB) Ϻ 2p(CHK) ϭ CෆෆB Ϻ ෆCHෆ.
Essendo 2p(CHB) ϭ 20 ϩ 48 ϩ 52 ϭ 120,
otteniamo:
120 Ϻ 2p(CHK) ϭ 52 Ϻ 20
2p(CHK) ϭ ᎏ205и2ᎏ120 ϭ ᎏ6103ᎏ0 .
Il perimetro di CHK è ᎏ6103ᎏ0 cm.
101 Nel trapezio rettangolo ABCD congiungi il punto medio M della base minore CD con gli estremi della base
maggiore AB. Supponi che il triangolo ABM sia rettangolo in M . Calcola l’area del trapezio sapendo che le
basi misurano rispettivamente 25a e 18a. [258a 2]
102 Un trapezio rettangolo è circoscritto a un cerchio di raggio 6a. Calcola l’area del trapezio sapendo che il pe-
[150a 2]
rimetro è 50a.
103 Su una semicirconferenza di diametro AෆෆB ϭ 20r fissa un punto P e traccia la tangente in B alla semicirconfe-
renza. Congiungi A con P e prolunga fino a incontrare la tangente in E. Determina ෆAෆP in modo che PE risul-
9
ti ᎏ2ᎏ5 di AE. [16r]
104 In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è lunga a e la proiezione del cateto maggiore
sull’ipotenusa supera di 6a la proiezione del cateto minore. Calcola il rapporto fra le aree dei triangoli ret-
[19 ϩ 6͙1ෆ0]
tangoli che l’altezza determina.
105 Nel triangolo ABC si ha: AB ϭ 20 cm, AC ϭ 18 cm, BC ϭ 16 cm. Traccia la bisettrice dell’angolo ^B e indica
con E il suo punto di intersezione con AC. Conduci dal vertice C la parallela ad AB, che interseca il prolun-
gamento della bisettrice BE nel punto F. Calcola CF, AE, EC. [8 cm; 10 cm; 16 cm]
106 In un triangolo rettangolo ABC di cateti 3a e 4a traccia l’altezza AH relativa all’ipotenusa BC e la bisettrice
AK dell’angolo retto. Calcola l’area del triangolo AKH. ΄ ΅ᎏ177ᎏ25 a2
107 Le diagonali di un trapezio rettangolo sono perpendicolari. Sapendo che l’altezza è 9 cm e la base maggiore
è 12 cm, determina la lunghezza delle diagonali. ΄ ΅15 cm; ᎏ445ᎏ cm
108 Nel triangolo ABC, rettangolo in A, la bisettrice dell’angolo C^ incontra il cateto AB nel punto H. Traccia da
H la perpendicolare HK all’ipotenusa BC. Calcola il perimetro del triangolo BHK sapendo che AB ϭ 12 cm
e che BC ϩ AC ϭ 24 cm. [18 cm]
G 246
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Applicazioni dell’algebra alla geometria ESERCIZI
■ Il teorema delle corde D
? 2B
ESERCIZIO GUIDA
6E
109 Utilizzando i dati forniti in figura, determiniamo la misura del segmento ED. 4
C
Applicando il teorema delle corde Poniamo EෆෆD ϭ x. Otteniamo: A
ricaviamo la proporzione: 12 ϭ 4x
x ϭ 3.
AෆEෆ Ϻ ෆEෆC ϭ EෆෆD Ϻ EෆෆB,
La risposta è dunque EෆෆD ϭ 3.
da cui:
AෆEෆ и EෆෆB ϭ EෆෆC и EෆෆD.
Mediante i dati forniti in ogni figura, determina le misure dei segmenti incogniti.
110
x6 4 x−3 3 2x + 1 9
—13 x 10x x
24
16 x 6x 16 O
a bc d
111 [9; 15; 2; 12]
x−4 20 y 3 44 O
x قM ق 24 x 5 E 17 65 25 x
x+5 28 O x
d 12—65 x M
a b c
[20; 6, 12; 39; 75]
112 Il diametro AB di una circonferenza interseca la corda CD nel punto E. Tale punto dista 25 cm dal centro O,
33 cm dall’estremo C e 63 cm dall’estremo D. Determina il raggio della circonferenza, senza far uso del teo-
rema di Pitagora. [52 cm]
113 In un cerchio una corda CD lunga 48k è perpendicolare al diametro AB nel punto E. Sapendo che AE è lun-
ga 32k, determina la lunghezza del raggio del cerchio e la lunghezza della circonferenza. [25k; 50k]
114 Il diametro AB di una circonferenza è diviso da una corda CD in due parti che misurano 6a e 84a. La misura
della corda è i 9 della parte minore in cui la corda stessa è divisa dal diametro. Determina la misura del-
ᎏ2ᎏ
la corda CD e dell’area del triangolo COD. [54a; 972a 2]
115 Disegna una circonferenza e due corde, AB lunga 27 cm e AC lunga 12 cm. Una terza corda CD taglia AB nel
punto E in modo che il segmento AE sia i ᎏ97ᎏ di AB e CE i ᎏ73ᎏ di AE. Determina il perimetro dei triangoli
AEC e BED. Verifica che il rapporto fra i due perimetri è uguale al rapporto di similitudine. [42 cm; 12 cm]
247 G
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ESERCIZI CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE
■ Il teorema delle secanti
ESERCIZIO GUIDA
116 Utilizzando i dati forniti in figura, determiniamo la misura della secante CE.
Per il teorema delle secanti: A B E
AෆEෆ Ϻ CෆEෆ ϭ ෆDEෆ Ϻ ෆBEෆ → CෆEෆ и ෆDEෆ ϭ AෆEෆ и ෆBEෆ. 11
6 10
Se indichiamo con x la misura di CD, allora CෆEෆ ϭ 10 ϩ x, pertanto:
10(10 ϩ x) ϭ 11(11 ϩ 6) x D
C
100 ϩ 10x ϭ 187 → 10x ϭ 87
x ϭ 8,7.
La misura della secante CE è 8,7.
117 Usando i dati forniti in ogni figura, determina la misura del segmento incognito.
25 x –17– x 2–1–x 5
xx
5 16 x
6x 8 10
9
3
abc d
΄ ΅19; 2; 14; 10
ᎏ3ᎏ
118 È data una circonferenza di centro O e raggio 5 cm. Un punto P dista 9 cm dal centro O. Una secante uscente
da P incontra la circonferenza in due punti tali che la parte esterna della secante è sette volte la corda di
estremi quei punti. Determina la lunghezza di tale corda e la sua distanza dal centro. ΄ ΅1 cm; ᎏ23ᎏ ͙1ෆ1 cm
119 Nella circonferenza di raggio ͙ෆ6 cm disegna una corda AB tale che AB sia il lato del quadrato inscritto. Pro-
lunga AB di un segmento BC lungo ͙ෆ3 cm e traccia un’altra secante per C, la cui parte esterna sia con-
gruente al raggio. Determina la lunghezza dell’intera secante. ΄ ΅ᎏ3 ͙2ᎏෆ6 cm
120 Disegna una circonferenza di diametro AB ϭ 2r e prolunga AB di un segmento BC uguale al raggio. Dal
punto C traccia una secante in modo che determini una corda EF uguale al raggio, con F dalla parte di C.
Congiungi F con O. Calcola il perimetro del triangolo OCF in funzione del raggio. ΄ ΅ᎏ5 ϩ 2͙ᎏ1ෆ3 r
121 In una circonferenza di raggio 10 cm, e centro O, traccia la corda AB, lato del triangolo equilatero inscritto, e
la corda CD, lato dell’esagono regolare inscritto. Prolunga la corda AB dalla parte di B. Tale prolungamento
incontra il prolungamento di CD in un punto E tale che l’area del triangolo AEO è 75 ͙ෆ3 cm2. Determina
DE. [5(͙7ෆ3 Ϫ 1) cm]
G 248
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Applicazioni dell’algebra alla geometria ESERCIZI
■ Il teorema della secante e della tangente
ESERCIZIO GUIDA
122 Usando i dati forniti in figura, determiniamo la misura del segmento di tangente PT.
Per il teorema della secante e della tangente: T
PෆෆA Ϻ ෆPෆT ϭ PෆෆT Ϻ PෆෆB → ෆPTෆ2 ϭ PෆෆA и PෆෆB. x
Tenendo presente che PෆෆA ϭ 16 ϩ 9 ϭ 25 e ponendo
ෆPෆT ϭ x, otteniamo: 16 9
A BP
x 2 ϭ 25 и 9 ϭ 225
x ϭ 15.
Pertanto PෆෆT ϭ 15.
123 Dai dati forniti in ciascuna figura, determina la misura del segmento incognito.
6 x x x
3 25 18 5
16
x 24 56
abc d
[9; 8; 45; 12]
124 Una circonferenza di centro O ha il diametro AB di 16 cm. Prolunga AB di un segmento BC lungo 9 cm e dal
punto C traccia una tangente CD alla circonferenza. Determina il rapporto fra l’area del triangolo equilate-
ro costruito sulla tangente CD e l’area del quadrato inscritto nella circonferenza. ΄ ΅ᎏ5212ᎏ25 ͙ෆ3
125 In una circonferenza di centro O e diametro AB, il raggio è 10 cm. Traccia per A la perpendicolare al diame-
tro e su questa scegli un punto C in modo che OC sia 26 cm. Traccia per C la retta perpendicolare a OC, che
incontra il prolungamento di AB nel punto D. Determina il rapporto fra il perimetro del triangolo ACD e il
perimetro del triangolo AOC. ΄ ΅12
ᎏ5ᎏ
126 Data una circonferenza di centro O e raggio 12 cm, scegli un punto A distante dal centro ᎏ22ᎏ45 del raggio.
Traccia da A una tangente AB alla circonferenza e da B la perpendicolare BC ad AO. Calcola il rapporto fra
l’area del triangolo AOB e quella del triangolo ACB. ΄ ΅ᎏ642ᎏ95
127 In una circonferenza di centro O il diametro AB è 8a. Sul prolungamento di AB scegli un punto C in modo
che BC sia un quarto del raggio. Da C traccia una tangente CE alla circonferenza e da B la perpendicolare al
diametro; indica con F il punto in cui queste due rette si incontrano. Calcola il perimetro del triangolo
BCF e l’area del quadrilatero OBFE. ΄ ΅4a; 16 a 2
ᎏ3ᎏ
249 G
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ESERCIZI CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE
■ Il raggio del cerchio inscritto in un triangolo e del cerchio circoscritto
ESERCIZIO GUIDA C
128 In un triangolo ABC la base AB misura 4a e l’altezza a essa riferita 2 a√⎯6
2a ͙ෆ6. Sapendo che la somma delle misure degli altri due lati è 12a e la
loro differenza è 2a, calcoliamo il raggio del cerchio inscritto nel trian- r
golo e il raggio del cerchio circoscritto.
A HB
4a
Dati 1. AෆෆB ϭ 4a; 2. ෆCHෆ ϭ 2a ͙ෆ6; 3. AෆෆC ϩ BෆෆC ϭ 12a; 4. AෆෆC Ϫ ෆBCෆ ϭ 2a.
Richieste Raggio del cerchio inscritto; raggio del cerchio circoscritto.
Calcoliamo l’area del triangolo mediante 2x ϭ 14a, da cui x ϭ 7a e y ϭ 12a Ϫ 7a ϭ 5a.
Pertanto risulta:
la formula Ꮽ ϭ ᎏb 2иᎏh :
AෆෆC ϭ 7a e ෆBෆC ϭ 5a.
Ꮽ ϭ ᎏ4a и 22ᎏa ͙6ෆ ϭ 4a 2 ͙ෆ6. Calcoliamo il semiperimetro:
Per determinare il raggio del cerchio inscritto p ϭ ᎏ(ෆABෆ ϩ Aෆ2ᎏෆC ϩ BෆCෆ) ϭ
Ꮽ la ϭ ᎏ(4a ϩ 72aᎏϩ 5a) ϭ 8a.
utilizziamo la formula r ϭ ᎏᎏ , dove p indica Ꮽ
p
misura del semiperimetro. Sostituendo questo nella formula r ϭ ᎏᎏ , otteniamo:
p
Per calcolare il semiperimetro, dobbiamo trovare
AෆCෆ e ෆBෆC. r ϭ ᎏ4a82ᎏa͙ෆ6 ϭ ᎏa ͙2ᎏෆ6 .
Poniamo AෆCෆ ϭ x e ෆBෆC ϭ y. Il raggio del cerchio circoscritto è: R ϭ ᎏa4bᏭᎏc .
Sostituendo, otteniamo:
Usando i dati 3 e 4 ricaviamo il sistema:
R ϭ ᎏ44aи 4и 7aᎏa2 ͙и 5ෆ6a ϭ ᎏ43͙5ᎏaෆ6 ϭ ᎏ35a2ᎏ4͙ෆ6 .
Άx ϩ y ϭ 12a
x Ϫ y ϭ 2a
Risolviamo usando il metodo di riduzione:
Άx ϩ y ϭ 12a
x Ϫ y ϭ 2a
129 Le misure dei lati di un triangolo sono espresse da tre numeri consecutivi e il perimetro è 42 cm. Sapendo
che l’altezza relativa al lato di lunghezza intermedia è 12 cm, calcola la misura del raggio del cerchio inscritto
nel triangolo. [4 cm]
130 In un triangolo ABC la base AB è lunga 36 cm e il piede dell’altezza CH la divide in parti proporzionali ai numeri 5
e 7. Calcola la lunghezza del raggio del cerchio inscritto nel triangolo, sapendo che CH è 20 cm. [8 cm]
G 250
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Applicazioni dell’algebra alla geometria ESERCIZI
131 In un triangolo rettangolo il rapporto fra i due cateti è ᎏ43ᎏ e la lunghezza della circonferenza inscritta nel
triangolo è 18 cm. Calcola la lunghezza dell’altezza relativa all’ipotenusa. Dal punto medio dell’ipotenusa
traccia le parallele ai cateti, che determinano due triangoli. Calcola le lunghezze dei raggi dei cerchi inscritti
nei due triangoli. [21,6 cm; 4,5 cm]
132 In un triangolo ABC la base AB è lunga 10,5 cm e l’altezza CH 4 cm. Il rapporto fra gli altri due lati è ᎏ11ᎏ07 e
l’altezza CH è i ᎏ54ᎏ del lato minore. Calcola la lunghezza del raggio del cerchio inscritto e quella del raggio
del cerchio circoscritto al triangolo. [1,75 cm; 5,3125 cm]
133 Le lunghezze dei lati di un triangolo sono proporzionali ai numeri 4, 5 e 7 e il perimetro è 48 cm. L’altezza
relativa al lato minore è 6 ͙ෆ6 cm. Calcola:
a) la lunghezza delle altre due altezze;
b) la lunghezza del raggio del cerchio inscritto nel triangolo;
c) la lunghezza del raggio del cerchio circoscritto.
΄ ΅a) ᎏ25ᎏ4 ͙ෆ6 cm, ᎏ27ᎏ4 ͙ෆ6 cm; b) ᎏ23ᎏ ͙ෆ6 cm; c) ᎏ38ᎏ5 ͙ෆ6 cm
134 In un triangolo scaleno la differenza fra il lato maggiore e quello minore è 22 cm, mentre il terzo lato supera
il minore di 14 cm. Il perimetro del triangolo è 96 cm e l’altezza relativa al lato minore è 33,6 cm. Calcola
l’area della corona circolare delimitata dal cerchio circoscritto al triangolo e dal cerchio inscritto.
[1264,69 cm2]
■ La formula di Erone
ESERCIZIO GUIDA
135 I lati di un triangolo sono proporzionali ai numeri 4, 3 e 6 e il perimetro è 65 cm. Calcoliamo l’area del
triangolo.
Consideriamo un triangolo di vertici A, B e C.
Dati 1. AෆෆC Ϻ ෆBෆC Ϻ AෆෆB ϭ 4 Ϻ 3 Ϻ 6; Richiesta Area (ABC).
2. 2p ϭ 65.
Indichiamo con x la misura di un sottomultiplo Calcoliamo la misura dell’area Ꮽ con la formula di
comune dei tre lati: Erone:
AෆCෆ ϭ 4x, BෆෆC ϭ 3x, AෆෆB ϭ 6x. Ꮽ ϭ ͙ෆp(pෆϪෆෆa)ෆ(ෆp Ϫෆෆb)ෆ(ෆp ෆϪෆc)ෆ.
La misura del perimetro in funzione di x è: Per il dato 2 si ha p ϭ ᎏ62ᎏ5 , quindi:
2p ϭ AෆෆC ϩ BෆCෆ ϩ AෆෆB ϭ 4x ϩ 3x ϩ 6x ϭ 13x.
Ꮽ ϭ Ίᎏ62ᎏ5 иᎏ62ᎏ5 Ϫ20иᎏ62ᎏ5 Ϫ15иᎏ62ᎏ5 Ϫ30ϭ
Uguagliamola a 65:
13x ϭ 65 → x ϭ ᎏ16ᎏ35 ϭ 5. Ίϭ ᎏ62ᎏ5 и ᎏ22ᎏ5 и ᎏ32ᎏ5 и ᎏ25ᎏ ϭ
Calcoliamo le misure dei lati: Ίϭ
AෆCෆ ϭ 4x ϭ 4 и 5 ϭ 20 54 и 45 5 ϭ 25 ͙ෆ45ෆ5
ෆBCෆ ϭ 3x ϭ 3 и 5 ϭ 15 ᎏ 2ᎏ4 ᎏ4ᎏ
AෆෆB ϭ 6x ϭ 6 и 5 ϭ 30.
L’area del triangolo è ᎏ24ᎏ5 ͙ෆ45ෆ5 cm2.
251 G
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ESERCIZI CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE
136 I lati di un triangolo, ordinati secondo lunghezze crescenti, sono tali che il secondo supera di 2k il primo e il
terzo supera di 2k il secondo. Il perimetro del triangolo è 30k. Calcola l’area del triangolo e l’altezza relativa a
΄ ΅15͙ෆ7k
ogni lato. 2; ᎏ1ᎏ5 ͙ෆ7k ; 3͙ෆ7k ; ᎏ25ᎏ͙ෆ7k
4
137 Il perimetro di un triangolo è 16 cm. Due lati differiscono fra loro di 1 cm, mentre il terzo lato è di 2 cm più
lungo del più grande dei due. Calcola l’area del triangolo e i raggi dei cerchi inscritto e circoscritto.
΄ ΅4 ͙ෆ6
͙ෆ6 cm2; ᎏ2ᎏ cm; ᎏ23ᎏ45 ͙ෆ6 cm
138 Un triangolo ABC ha il perimetro di 130 cm. Uno dei lati è 40 cm e gli altri due sono uno doppio dell’altro.
Calcola l’area del triangolo. Supponiamo che il lato di 40 cm sia AB: chiamiamo M il suo punto medio,
tracciamo la parallela al lato AC passante per M e chiamiamo N il punto in cui questa interseca il lato BC.
Determina i raggi delle circonferenze inscritte nei triangoli ABC e MNB. Verifica infine che il rapporto fra i
raggi è 2. [25͙4ෆ55ෆ cm2]
139 In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è 12 cm e la proiezione di un cateto sull’ipo-
tenusa è 4 del cateto stesso. Calcola l’area del triangolo in tre modi diversi. L’altezza relativa all’ipotenusa
ᎏ5ᎏ
suddivide il triangolo in altri due triangoli, in ciascuno dei quali viene inscritto un cerchio. Determina il
rapporto fra i raggi dei due cerchi. ΄ ΅150 cm2; ᎏ34ᎏ
■ I triangoli con angoli di 30°, 60°, 45°
ESERCIZIO GUIDA
140 Dato un triangolo equilatero di lato che misura 6a, mandiamo dal punto medio M della base AB la
perpendicolare al lato BC. Indichiamo con N il piede della perpendicolare. Calcoliamo MෆNෆ.
La perpendicolare MN individua un triangolo rettangolo MNB che, C
avendo un angolo di 60°, ha l’altro angolo acuto di 30°. 60°
6a
Congiungiamo M con C e troviamo un altro triangolo rettangolo,
MBC, anch’esso con gli angoli di 60° e 30°.
60° ? N
A M 60°
B
I due triangoli MNB e MBC sono simili, quindi vale la proporzione: C
MෆෆB Ϻ CෆෆB ϭ MෆෆN Ϻ MෆෆC. K
Possiamo calcolare MෆෆC mediante il teorema di Pitagora applicato al
triangolo rettangolo MBC: 60° N
30°
MෆෆC2 ϭ ෆBෆC2 Ϫ MෆෆB2 → MෆෆC2 ϭ (6a)2 Ϫ (3a)2 ϭ 27a 2
MෆCෆ ϭ 3a ͙ෆ3 30° 60°
3a Ϻ 6a ϭ MෆNෆ Ϻ 3a ͙ෆ3 → MෆNෆ ϭ ᎏ23ᎏ a ͙ෆ3.
AM B
G 252
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Applicazioni dell’algebra alla geometria ESERCIZI
Osservazione. Per calcolare MෆNෆ possiamo applicare anche la formula C
dell’altezza del triangolo equilatero applicata al triangolo MBK, cioè:
6a 30°
MෆNෆ ϭ MෆෆB ᎏ͙2ᎏෆ3 , A
N
e, poiché MෆෆB ϭ 3a, risulta ancora: 60°
MB
MෆNෆ ϭ 3a и ᎏ͙2ᎏෆ3 ϭ ᎏ23ᎏ a ͙ෆ3.
141 In un trapezio isoscele ABCD è inscritta una circonferenza di raggio r. Calcola il perimetro del trapezio sa-
[8r ͙ෆ2]
pendo che il lato obliquo forma con la base maggiore un angolo di 45°.
142 Disegna un triangolo equilatero ABC e la bisettrice dell’angolo esterno di vertice C. Traccia da B la perpen-
dicolare al lato AB, che interseca la bisettrice nel punto E. L’area del quadrilatero ABEC è ᎏ͙1ᎏ8ෆ3 cm2. Calcola il peri-
metro di ABEC. [2(5 ϩ ͙ෆ3) cm]
143 Un triangolo ABC ha gli angoli alla base di 45° e 60°. Il raggio del cerchio a esso circoscritto è 8 ͙ෆ6 cm. Cal-
[6(1 ϩ ͙ෆ2 ϩ ͙ෆ3) cm]
cola il perimetro del triangolo.
144 Un triangolo isoscele ha l’angolo al vertice di 120° e l’area di 400 и ͙ෆ3 cm2. Calcola il perimetro del triango-
lo e il raggio della circonferenza inscritta. (Suggerimento. Indica con x la misura dell’altezza del triangolo.)
[40(͙ෆ3 ϩ 2) cm; 20(2 ͙ෆ3 Ϫ 3) cm]
145 Un parallelogramma ABCD ha BC lungo 2 cm, AB doppio di BC e l’angolo A^ di 60°. Fissa su CD un punto P
e su AB un punto Q in modo che DP sia la metà di AQ. Determina la lunghezza di AQ sapendo che la somma
delle aree dei quadrati di lati DQ e BP è di 12,8 cm2. [0,8 cm, oppure 3,2 cm]
146 In un triangolo AOP la base AO misura 2l e l’angolo in O è di 30°. Traccia da O la semiretta perpendicolare al
lato OP, giacente nello stesso semipiano del triangolo rispetto alla retta AO. Su tale perpendicolare considera
un punto B tale che OB sia lungo l. Calcola la misura del segmento OP, sapendo che vale la seguente relazio-
ne: PෆAෆ2 ϩ BෆPෆ2 ϭ 5l 2. [l ͙ෆ3]
■ Le aree e i volumi dei solidi di rotazione
147 L’altezza di un cilindro circolare retto è ᎏ28ᎏ3 del diametro di base e la superficie totale è equivalente alla su-
perficie di una sfera di raggio 6 cm. Determina il raggio e l’altezza del cilindro. ᎏ4ᎏ ͙ෆ6 cm; ᎏ2ᎏ3 ͙ෆ6 cm
΄ ΅3 3
148 Un cubo ha la superficie totale di 216 cm2. Determina l’area della superficie della sfera inscritta e quella della
[36 cm2; 108 cm2]
sfera circoscritta al cubo.
149 L’apotema di un cono è i ᎏ45ᎏ della sua altezza. Sapendo che l’area della superficie laterale misura 60 cm2,
[96 cm2]
calcola l’area della superficie totale del cono.
253 G
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ESERCIZI CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE
150 Il raggio e l’altezza di un cono circolare retto sono rispettivamente 10 cm e 24 cm. Determina di quanto
si deve diminuire il raggio affinché l’area della superficie totale diventi ᎏ42ᎏ58 di quella data.
[3 cm]
151 In un triangolo rettangolo, il rapporto fra l’ipotenusa e un cateto è 5 e l’area della superficie del solido otte-
ᎏ3ᎏ
nuto da una rotazione completa del triangolo attorno all’ipotenusa è 420 m2. Determina il perimetro del
triangolo. [60 m]
152 Il raggio di base di un cilindro è 6 cm e l’altezza 9 cm. Determina sull’asse un punto V tale che sia 4 il rap-
porto fra i volumi dei due coni aventi per basi le basi del cilindro e per vertice il punto V.
4 ΄ ΅ᎏ35ᎏ6 cm oppure ᎏ59ᎏ cm
ᎏ7ᎏ
153 In un cilindro, la superficie laterale è equivalente ai di quella totale. Sapendo che l’altezza del cilindro
è 12 cm, determina il volume della sfera che ha raggio congruente alla metà del raggio di base del
cilindro. ΄ ΅ᎏ224ᎏ3 cm3
154 Un solido è costituito da un cilindro sulle cui basi sono state sovrapposte due semisfere aventi i cerchi mas-
simi coincidenti con le basi del cilindro. Sapendo che l’altezza del cilindro è 7 cm e che l’area della superficie
totale del solido è 44 cm2, calcola il volume del solido. ΄ ΅ᎏ11ᎏ6 cm3
3
155 Un triangolo rettangolo ha un cateto di 9 cm. La somma dei volumi dei due solidi ottenuti dalla rotazione
completa del triangolo attorno a ciascuno dei suoi cateti è 756 cm3. Calcola l’area del triangolo dato.
[54 cm2]
156 In un triangolo rettangolo, un cateto è ᎏ18ᎏ5 dell’altro e l’altezza relativa all’ipotenusa è lunga ᎏ214ᎏ70 cm. Ruo-
ta il triangolo di 360° attorno all’ipotenusa e calcola l’area della superficie e il volume del solido così ottenuto.
In un triangolo rettangolo, l’ipotenusa è lunga ᎏ25ᎏ cm. Il rapporto fra ΄ ΅ᎏ1110ᎏ740 cm2; ᎏ3814ᎏ700 cm3
157 rotazione completa del triangolo attorno prima all’uno e poi all’altro i volumi dei due solidi ottenuti dalla
triangolo. cateto è ᎏ43ᎏ . Calcola il
perimetro del
[6 cm]
RIEPILOGO LA SIMILITUDINE. Nel sito: ᭤ 20 esercizi in più
LA CIRCONFERENZA E IL CERCHIO
158 Un quadrilatero ABCD, con le diagonali perpendicolari, è inscritto in una circonferenza e la diagonale AC
coincide col diametro. L’area del quadrilatero è 312k 2 e il rapporto tra le diagonali è 12 . Calcola l’area del cer-
chio. ᎏ1ᎏ3 [169 k 2]
159 Il diametro di una circonferenza è diviso da una corda a esso perpendicolare in due parti il cui rapporto è
9 della
΄ ΅ᎏ1ᎏ6
; la lunghezza della corda è 24 cm. Determina la lunghezza circonferenza e l’area del cerchio.
25 cm; 625 cm2
ᎏ4ᎏ
G 254
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
RIEPILOGO La similitudine. La circonferenza e il cerchio ESERCIZI
160 In una corona circolare il raggio della circonfe- ancora di 2b. Determina i lati del triangolo e il
raggio del cerchio circoscritto.
renza interna è i ᎏ52ᎏ del raggio della circonferenza
΄ ΅10b; 12b; 14b; ᎏ13ᎏ25 b ͙ෆ6
esterna; inoltre la metà del primo raggio è uguale
alla terza parte del secondo, diminuita di 2k. Cal- 167 In un triangolo il lato maggiore è doppio di quel-
cola l’area della corona circolare data. [189 k 2] lo minore; il lato di lunghezza intermedia supera
di 2 cm il minore. Sapendo che il perimetro è
161 Disegna un circonferenza di diametro AB e una 42 cm, calcola l’area del triangolo e i raggi dei
cerchi inscritto e circoscritto al triangolo.
circonferenza di diametro AE, tangente interna-
΄ ΅3͙2ෆ3ෆ1 cm2; ᎏ͙ෆ27ᎏ31ෆ cm; ᎏ2002͙3ᎏ12ෆ31ෆ cm
mente alla prima nel punto A. Traccia per E la
corda CD tangente alla circonferenza minore. Sa-
pendo che CD è 48a e BE è 18a, determina i raggi
delle due circonferenze. [16a; 25a] 168 In un triangolo equilatero ABC di lato che misura
162 Disegna tre circonferenze di raggio r, tangenti a l disegna, con centro sulla base AB, una semicir-
due a due, e indica con A, B e C i punti di tangen- conferenza che interseca AC in A ed E, AB in A e
D. Sapendo che: EෆෆD2 ϩ DෆෆB2 ϩ BෆCෆ2 ϩ EෆCෆ2 ϭ
za. Calcola l’area della superficie compresa fra i
48
tre cerchi e la lunghezza del contorno di tale su- ᎏ2ᎏ5 2 determina il raggio della circonferenza.
΄ ΅ϭ l
perficie. ΄ ΅r2 3 9
͙ෆ3 Ϫ ᎏ2ᎏ ; r ᎏ1ᎏ0 l oppure ᎏ2ᎏ0 l
163 Il raggio maggiore di una corona circolare è i ᎏ37ᎏ 169 In una circonferenza siano AB una corda e CD il
del minore e si sa che la differenza fra ᎏ41ᎏ del pri- diametro a essa perpendicolare. Sapendo che AB
mo e ᎏ31ᎏ del secondo
è 3 cm. Calcola l’area della è i ᎏ22ᎏ54 di CD e che la loro differenza è 6 cm
corona circolare e il rapporto fra il perimetro del determina:
a) la lunghezza della circonferenza;
triangolo equilatero inscritto nella circonferenza b) l’area del cerchio;
c) l’area del quadrilatero convesso ABCD.
maggiore e il perimetro del quadrato circoscritto
[a) 150 cm; b) 5625 cm2; c) 10 800 cm2]
alla circonferenza minore.
170 Un diametro AB di un cerchio interseca una cor-
΄ ΅640 cm2; ᎏ7͙8ᎏ3ෆ da in un punto P che divide la corda in due parti
lunghe 12 cm e 20 cm. Sapendo che PB è la quarta
164 In un triangolo rettangolo un cateto supera di 2a parte di AP, calcola l’area del cerchio. [375 cm2]
il doppio dell’altro cateto e l’ipotenusa supera di
a il cateto maggiore. Calcola l’area del triangolo e
il raggio del cerchio inscritto. [30a 2; 2a]
171 Il raggio di una circonferenza è lungo 10 cm. Cal-
165 Disegna un triangolo equilatero e, con centro in cola la misura dei raggi di due circonferenze con-
ciascuno dei tre vertici e apertura congruente al
lato, traccia tre archi, in modo che ogni arco sia centriche interne a essa, tali che la superficie del
sotteso da un lato del triangolo. Sapendo che il
lato del triangolo è lungo 6 ͙ෆ3 cm, calcola l’area cerchio limitato dalla prima circonferenza ri-
della superficie racchiusa dai tre archi.
[54 ( Ϫ ͙ෆ3) cm2] manga diviso in tre parti equiestese.
10 ͙ෆ6
ᎏ3ᎏ
΄ ΅10͙ෆ3cm; cm
ᎏ3ᎏ
166 L’area di un triangolo è 24͙ෆ6b 2 e il raggio del 172 Il raggio maggiore di una corona circolare è 50 cm.
cerchio inscritto è ᎏ34ᎏ͙ෆ6b. I lati, ordinati secon-
do lunghezze crescenti, sono tali che il secondo Conduci per un punto P sulla circonferenza di
supera il primo di 2b e il terzo supera il secondo
raggio maggiore le tangenti alla circonferenza di
raggio minore e indica con A e B i punti di tan-
genza. Sapendo che AB è 48 cm, calcola l’area
della corona circolare. [1600 cm2]
255 G
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE
173 Disegna una circonferenza di centro O e raggio 179 Due circonferenze di centri O e O′ sono tangenti
2r. Disegna un’altra circonferenza tangente ester-
namente alla prima nel punto P, di centro O′ e esternamente nel punto T. Una retta tangente a
raggio r. Traccia nella circonferenza di centro O
una corda PA e nella circonferenza di centro O′ entrambe tocca la prima circonferenza nel punto
una corda PB, entrambe nello stesso semipiano
rispetto alla retta OO′ e tali che PA Х 2PB. Sup- R e la seconda nel punto R′. La distanza fra i cen-
poni inoltre che BP^O′ sia 30°. Determina:
a) PA e PB; tri è 17 cm e il segmento RR ′ è 15 cm. Calcola le
b) il perimetro del triangolo PBA.
aree dei due cerchi e l’area del quadrilatero
[a) 2r ͙ෆ3, r ͙ෆ3; b) 3r͙ෆ3 ϩ r ͙ෆ21] ΄ ΅ᎏ62ᎏ5 cm2; ᎏ8ᎏ1 cm2; ᎏ25ᎏ5 cm2
OO′R′R. 4 42
180 In un triangolo rettangolo ABC i cateti AB e AC
sono lunghi rispettivamente 15 cm e 5 cm. Trac-
174 Data una circonferenza di centro O e raggio r, cia l’altezza AH relativa all’ipotenusa e, sul seg-
traccia una corda AB e le tangenti alla circonfe- mento CH, fissa un punto E. La perpendicolare
renza nei punti A e B che si intersecano nel punto da E all’ipotenusa interseca AC nel punto F. De-
C. Determina la distanza della corda AB dal cen- termina CE in modo che sia soddisfatta la rela-
zione BෆEෆ и EෆCෆ ϭ EෆFෆ2.
tro affinché il rapporto fra l’area del triangolo ΄ ΅͙1ෆ0 cm
ABC e l’area del rettangolo di lato AB inscritto ᎏ2ᎏ
nella circonferenza sia 3 . ΄ ΅1 181 Sia MN una corda di una circonferenza di centro
ᎏ4ᎏ
ᎏ2ᎏ r O e la sua distanza OH dal centro sia 6 cm. Per i
175 Inscrivi una circonferenza in un triangolo isosce- punti M e N conduci le tangenti alla circonferen-
le di area 1680 cm2, avente l’altezza uguale ai za e sia P il loro punto d’incontro. Sapendo che la
misura dell’ampiezza dell’angolo HN^O è 30°, cal-
10
ᎏ2ᎏ1 della base. Determina il raggio della circon- cola l’area del quadrilatero MONP e il rapporto
ferenza. [16,8 cm] fra il perimetro di MONP e la circonferenza data.
(͙ෆ3 ϩ 1)
ᎏᎏ
΄ ΅144 ͙ෆ3 cm2;
176 In una circonferenza la cui lunghezza misura
50a è inscritto un trapezio ABCD, contenente 182 Un rettangolo di perimetro 28 dm è inscritto
in un triangolo di base AB ϭ 16 dm e altezza
il centro O. La base maggiore AB misura 48a e la CH ϭ 12 dm. Calcola le dimensioni del rettan-
golo. [8 dm; 6 dm]
distanza della base minore CD dal centro O mi-
sura 20a. Determina la misura dell’area della su-
perficie compresa fra la circonferenza e il tra-
pezio. [(625 Ϫ 1053)a 2] 183 Un trapezio rettangolo ABCD ha la base maggio-
re AB di 20 dm, l’area di 150 dm2 e l’altezza
177 In un triangolo rettangolo il cateto minore è 6a. uguale alla differenza delle basi. Calcola il peri-
metro del trapezio. Sulla diagonale AC determina
La somma del doppio della proiezione del cateto un punto Q tale che la somma delle distanze da
ciascun lato sia (15 ϩ 5͙ෆ2) dm.
maggiore sull’ipotenusa con il triplo dell’altra [10(4 ϩ ͙ෆ2) dm; AQ Х QC ]
proiezione è uguale a 23,6a. Calcola il perimetro
del triangolo e i raggi del cerchio inscritto e del
cerchio circoscritto. [24a ; 2a; 5a]
178 Sia AB una corda di una circonferenza di centro 184 In un triangolo ABC il rapporto fra i lati AC e BC
O. Per i punti A e B si traccino le tangenti alla cir- è 10 e l’altezza CH è 4 del lato AC. Il raggio
ᎏ1ᎏ7 ᎏ5ᎏ
conferenza e sia C il loro punto d’incontro. Sa-
del cerchio circoscritto al triangolo è 10,625 cm.
pendo che AB è 24 cm e che l’area di ACBO è
300 cm2, calcola l’area del cerchio. Calcola il raggio del cerchio inscritto.
[225 cm2 oppure 400 cm2] [0,875 cm]
G 256
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Verso le competenze ESERCIZI
Verso le competenze Nel sito: ᭤ 30 test interattivi in più
TEST
1 I cerchi Ꮿ1 e Ꮿ2 hanno rispettivamente raggi r1 e 7 Jack cammina attorno a un cerchio di diametro
24 piedi. Jill cammina su un quadrato di lato 19
r2. Se l’area di Ꮿ2 è doppia dell’area di Ꮿ1 allora: piedi. Chi ha camminato di più?
A r2 ϭ 1 r1. 1 (USA Bay Area Math Meet, BAMM, Bowl Sampler, 1995)
ᎏ2ᎏ C r2 ϭ ᎏ͙ᎏෆ2 r1.
[Jill]
B r2 ϭ ͙2ෆ и r1. D r2 ϭ 4r1.
TEST
2 Se l’area della corona circo- r1 r2 8 Due corde, AB e CD, di una circonferenza si in-
lare è uguale a quella del cer- contrano in un punto P.
chio di raggio minore, pos- I triangoli APC e BPD sono...
siamo dire che:
A uguali. C equivalenti.
A r2 ϭ 2r1.
B simili. D simmetrici rispetto a P.
B r1 ϭ ᎏ͙2ᎏෆ2 r2. C r2 ϭ ᎏ͙1ᎏෆ2 r1. D r2 ϭ ᎏ21ᎏ r1. (Invalsi, 2007)
9 Quando due quadrati sono simili?
3 In una circonferenza di raggio r è inscritto un A Mai.
triangolo equilatero di lato l , altezza h e area S. B Sempre.
Quale fra le seguenti uguaglianze è falsa? C Solo se hanno il lato della stessa misura.
A l ϭ͙ෆ3 иr C h ϭ ᎏ23ᎏ r D Solo se hanno la stessa area.
B S ϭ ᎏ34ᎏ ͙ෆ3 и r2 D r ϭ ᎏ32ᎏ l (Invalsi, 2007)
10 Due triangoli rettangoli aventi un angolo acuto
uguale sono sempre...
4 Perché il rapporto fra l’area del cerchio circo- A uguali.
scritto e l’area del cerchio inscritto in un triango-
lo equilatero è uguale a 4? B isoperimetrici.
C simili.
5 In un trapezio rettangolo la diagonale minore D equivalenti.
forma con la base maggiore un angolo di 45° e la (Invalsi, 2007)
base minore è ᎏ35ᎏ della maggiore. Calcola la mi-
11 Una decorazione è formata da cinque rombi si-
sura delle basi del trapezio, sapendo che la sua mili, di diversa grandezza, come in figura.
area è 48 m2. [6 m; 10 m]
6 TEST Sono dati due triangoli simili. Uno ha il pe- I rombi grandi hanno area nove volte quella dei
rimetro che è il doppio di quello dell’altro. Di rombi piccoli.
quale fattore è maggiore l’area del triangolo più Chiamando x la lunghezza del lato del rombo
grande rispetto a quella del triangolo più piccolo? piccolo, il perimetro della figura è...
A2 A 28x. B 36x. C 60x. D 84x.
B4 (Invalsi, 2007)
C ͙2ෆ
D 2͙2ෆ 12 Se due città distano nella realtà 150 km, qual è la
loro distanza in una cartina con scala 1 : 500 000?
E Nessuna delle risposte precedenti.
A 30 cm B 3 cm C 50 cm D 5 cm
(USA North Carolina State High School Mathematics Contest, 2004)
257 G
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE
13 Ho due cartine della stessa zona, una con scala 17 La figura è costituita da due cerchi che si
secano e hanno raggi che misurano rispettiva-
1 : 250 000 e l’altra con scala 1 : 100 000. mente 1 e 3. Sapendo che l’area della regione
comune è ᎏ2ᎏ, si dica qual è l’area totale della fi-
Il rapporto tra le distanze tra le stesse città A e B gura tratteggiata.
nelle due cartine è: A 10.
B ᎏ192ᎏ .
A ᎏ52ᎏ. C 3. C 8.
D ᎏ172ᎏ .
B 2. D 1,5. E 9.
14 In una carta geografica con scala (Olimpiadi della matematica, Giochi di Archimede, 1994)
1Ϻ100 000 la distanza fra due città è 10 cm.
Qual è la distanza fra le stesse due città su una 18 In un rettangolo R di dimensioni 10 e 15 aggiun-
carta con scala 1Ϻ250 000? gi 4 alla dimensione minore.
Per ottenere un nuovo rettangolo R′ simile a R
A 2,5 cm devi aggiungere alla dimensione maggiore:
B 4 cm
C 6,25 cm A 6. B 4. C 21. D 19.
D 25 cm
E 40 cm
(Olimpiadi della matematica, Giochi di Archimede, 1995)
15 Nella figura, la semicirconferenza più grande ha
raggio 5 cm e quella più piccola ha raggio 2 cm.
Quanto vale l’area della regione in grigio? 19 Un triangolo isoscele T ha l’angolo al vertice di 30°.
Raddoppiando l’angolo e raddoppiando i lati obli-
A 4 cm2 qui ottieni il triangolo T1. Raddoppiando i lati obli-
B 6 cm2 qui, ma lasciando immutato l’angolo, costruisci il
C 8 cm2 triangolo T2. Quale affermazione non è corretta?
D 12 cm2
A T è simile a T1.
(Invalsi, 2006) B T è simile a T2.
C T1 non è simile a T2.
16 Disegna su un piano cartesiano il triangolo T1 di D Solo T e T2 sono simili.
vertici A(Ϫ10; 0), B(Ϫ7; 1), C(Ϫ7; 4). Disegna il
triangolo T2, ottenuto aumentando di 2 unità tut- 20 Una diapositiva viene attraversata dalla luce e
te le ascisse dei vertici di T1, e il triangolo T3, ot- proiettata sullo schermo. La distanza tra la sor-
tenuto raddoppiando le ascisse di tutti i vertici di gente della luce e la diapositiva è di 2 cm, mentre
T1. Quale delle seguenti affermazioni non è cor- quella tra la luce e lo schermo è di 1 m.
retta?
Se l’immagine di un albero sullo schermo è alta
A T1 è simile a T2. 5 cm, la stessa immagine sulla diapositiva è alta:
B T2 è simile a T3.
A 0,1 cm.
C T3 non è simile a T1. B 1 cm.
D L’area di T1 è uguale all’area di T2. C 4 cm.
D 2,5 cm.
G 258
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
1 2 3 4 5 Idee per
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