Paragrafo 2. Le disequazioni di secondo grado intere TEORIA
In generale, possiamo enunciare la seguente regola.
REGOLA
Se l’equazione ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0 (con a Ͼ 0) ha ⌬ Ͼ 0, cioè ha due solu-
zioni reali distinte x 1 Ͻ x 2:
● la disequazione ax 2 ϩ bx ϩ c Ͼ 0 è verificata dai valori esterni all’in-
tervallo individuato dalle radici dell’equazione associata;
● la disequazione ax 2 ϩ bx ϩ c Ͻ 0 è verificata dai valori interni.
a>0,Δ>0
ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0
valori
valori x1 x2
esterni x1 x2 interni
x < x1 ∨ x > x2 x1 < x < x2
x ∈]−ϱ; x1[ ʜ ]x2; +ϱ[ x ∈]x1; x2[
IL SEGNO DEL TRINOMIO ax2 ؉ bx ؉ c QUANDO ⌬ Ͼ 0
Se ⌬ Ͼ 0, l’equazione associata al trinomio ha due Se a > 0: x1 x2
radici distinte x1 e x2. Possiamo scrivere:
segno di a + ++
ax2 ϩ bx ϩ c ϭ a(x Ϫ x1)(x Ϫ x2).
segno di x – x1 − 0+ +
Il segno del trinomio dipende dal segno dei tre fat-
tori: segno di x – x2 − − 0+
a, (x Ϫ x1), (x Ϫ x2). segno di + 0 − 0+
a (x – x1)(x – x2)
Supponiamo x1 Ͻ x2. Se a Ͼ 0, basta studiare il se-
gno di (x Ϫ x1) (x Ϫ x2). Studiando il caso di a Ͻ 0, si trova che vale la stes-
Otteniamo il quadro dei segni della figura. sa regola: il segno del polinomio è concorde con a
Il prodotto a(x Ϫ x1)(x Ϫ x2) è positivo, ossia con- (cioè negativo) per valori di x esterni all’intervallo
corde con a, per valori di x esterni all’intervallo delle radici.
che ha per estremi le radici, è negativo per valori
interni.
L’equazione associata ha ⌬ ؍0
Risolviamo la seguente disequazione:
4x 2 ϩ 20x ϩ 25 Ͼ 0.
L’equazione associata è 4x 2 ϩ 20x ϩ 25 ϭ 0, con ⌬ ϭ 0.
L’equazione ha una radice reale doppia: x1 ϭ x2 ϭ Ϫ ᎏ14ᎏ0 ϭ Ϫ ᎏ25ᎏ .
x ϩ ᎏ25ᎏ 2
Scomponiamo in fattori il trinomio: 4x2 ϩ 20x ϩ 25 ϭ 4
.
x ϩ ᎏ25ᎏ 2
La disequazione diventa: 4
Ͼ 0.
615
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TEORIA CAPITOLO 12. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Studiamo il segno del primo membro (figura 5).
–52– x ؉ ᎏ5ᎏ 2
᭣ Figura 5 4
è composto da
2 52
2
due fattori: 4 è sempre positivo; x ؉ ᎏᎏ
4 ++ è il quadrato di un binomio, quindi è
+0 +
( )x+25– 2 +0 + positivo per ogni x reale, tranne che per
( )4 x+25– 2
x ؍؊ ᎏ5ᎏ , valore per cui si annulla.
2
Il trinomio 4x2 ؉ 20x ؉ 25 è quindi sempre
5
non negativo e si annulla solo per x ؍ ؊ ᎏᎏ .
2
La disequazione 4x 2 ϩ 20x ϩ 25 Ͼ 0 è verificata per x Ϫ 5 , mentre la
disequazione 4x 2 ϩ 20x ϩ 25 Ͻ 0 non è mai verificata. ᎏ2ᎏ
In generale, possiamo enunciare la seguente regola.
REGOLA
Quando l’equazione ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0 (con a Ͼ 0) ha ⌬ ϭ 0, cioè ha due
soluzioni reali coincidenti x 1 ϭ x 2:
● la disequazione ax 2 ϩ bx ϩ c Ͼ 0 è sempre verificata per qualunque
valore di x, escluso x 1;
● la disequazione ax 2 ϩ bx ϩ c Ͻ 0 non è mai verificata.
a > 0, Δ = 0
ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0
x1 ∃x∈ޒ
∀ x ∈ ޒ− {x1}
IL SEGNO DEL TRINOMIO ax2 ؉ bx ؉ c QUANDO ⌬ ؍0
Se ⌬ ϭ 0, l’equazione associata ha una radice doppia x1 ϭx2. Possiamo scrivere:
ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ a(x Ϫ x1)2 .
Considerando a Ͼ 0, essendo (x Ϫ x1)2 Ն 0, il prodotto a(x Ϫ x1)2 risulta concorde con a (quindi positi-
vo) per qualunque valore di x, escluso il valore x1 in cui si annulla. Vale lo stesso risultato nel caso di
a Ͻ 0, ossia a(x Ϫ x1)2 risulta concorde con a (quindi negativo) per qualunque valore di x x1.
Se a > 0 : x1 Se a < 0 : x1
segno di a ++ segno di a −−
segno di (x – x1)2 + 0+ segno di (x – x1)2 + 0+
segno di a(x – x1)2 + 0+ segno di a(x – x1)2 − 0−
616
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Paragrafo 2. Le disequazioni di secondo grado intere TEORIA
L’equazione associata ha ⌬ Ͻ 0
Risolviamo la seguente disequazione:
2x 2 Ϫ 12x ϩ 19 Ͼ 0.
L’equazione associata è:
2x 2 Ϫ 12x ϩ 19 ϭ 0, con ⌬ ϭ 144 Ϫ 152 ϭ Ϫ 8 Ͻ 0.
Poiché l’equazione non ha radici reali, non possiamo scomporre il trino-
mio in fattori. Utilizziamo allora il metodo del completamento del quadra-
to per trasformare la disequazione in un’altra a essa equivalente.
Raccogliamo 2, in modo che il coefficiente di x 2 sia 1:
2 x2 Ϫ 6x ϩ ᎏ12ᎏ9 Ͼ 0.
Il termine 6x può essere scritto come prodotto 2 и x и 3, cioè come doppio
prodotto di x e di 3. Pertanto aggiungiamo e togliamo al primo membro
della disequazione il quadrato di 3:
x΄ ΅22Ϫ 6x ϩ 19 ϩ 9 Ϫ 9 Ͼ 0.
ᎏ2ᎏ
Il trinomio x 2 Ϫ 6x ϩ 9 è il quadrato del binomio x Ϫ 3, quindi:
΄ ΅2 (x Ϫ 3)2 ϩ ᎏ129ᎏ Ϫ 9 Ͼ 0
΄ ΅2 (x Ϫ 3)2 ϩ ᎏ21ᎏ Ͼ 0. ◗ L’addendo (x Ϫ 3)2 può
anche essere nullo, ma la
Questa disequazione è equivalente a quella di partenza. La somma fra pa- somma è comunque posi-
rentesi quadre risulta positiva per ogni valore reale di x, perché è la som- tiva.
ma di un addendo positivo o nullo e di un addendo positivo.
Pertanto la disequazione 2x 2 Ϫ 12x ϩ 19 Ͼ 0 è verificata per qualunque
valore attribuito a x. Al contrario, la disequazione 2x 2 Ϫ 12x ϩ 19 Ͻ 0
non è verificata per alcun valore di x.
In generale, vale la seguente regola.
REGOLA
Quando l’equazione ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0 (con a Ͼ 0) ha ⌬ Ͻ 0, cioè non ha
soluzioni reali:
● la disequazione ax 2 ϩ bx ϩ c Ͼ 0 è verificata per qualunque valore di x;
● la disequazione ax 2 ϩ bx ϩ c Ͻ 0 non è mai verificata.
a>0,Δ<0
ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0
∀x∈ޒ ∃x∈ޒ
617
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TEORIA CAPITOLO 12. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
◗ Le disequazioni IL SEGNO DEL TRINOMIO ax2 ؉ bx ؉ c QUANDO ⌬ Ͻ 0
con Ն o Յ
1. ax 2 ϩ bx ϩ c Ն 0 Consideriamo il trinomio ax 2 ϩ bx ϩ c.
è equivalente a: Raccogliamo a (a 0):
ax 2 ϩ bx ϩ c Ͼ 0 a x2 ϩ ᎏbᎏ x ϩ ᎏcᎏ .
∨ aa
ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0, Consideriamo il termine ᎏbᎏ x come il doppio prodotto 2иx и ᎏ2bᎏa ; ag-
a
quindi l’insieme delle solu- giungiamo e togliamo entro parentesi il quadrato di ᎏ2bᎏa :
zioni della disequazione 2 2
con Ն è l’unione delle so- x2 ϩ ᎏbᎏ x ϩ ᎏcᎏ ϩ ᎏ2baᎏ ᎏ2baᎏ
luzioni della disequazione aa Ϫ
con Ͼ e delle soluzioni ΄ ΅a .
dell’equazione associata.
Per esempio, Il trinomio x2 ϩ ᎏbᎏ x ϩ ᎏ2baᎏ 2 è il quadrato del binomio x ϩ ᎏ2bᎏa :
a
3x 2 ϩ 5x Ϫ 2 Ն 0
΄ ΅a x ϩ ᎏ2baᎏ2 ᎏcᎏ Ϫ ᎏ4baᎏ22 .
ha come soluzioni: a Ϫ
x Յ Ϫ 2 ∨ x Ն ᎏ31ᎏ . Sommiamo le ϩ
Analogamente: due frazioni ϩ ᎏcᎏ ᎏ4baᎏ22 :
a
2. ax 2 ϩ bx ϩ c Յ 0
ᎏcᎏ Ϫ ᎏ4baᎏ22 ϭ ᎏ4a4cᎏaϪ2 b2 ϭ ᎏϪ (b24Ϫaᎏ24ac) ϭ Ϫ⌬ .
equivale a: a ᎏ4aᎏ2
ax 2 ϩ bx ϩ c Ͻ 0 Abbiamo trasformato il trinomio ax2 ϩ bx ϩ c nel seguente:
∨ a΄x ϩ ᎏ2bᎏa 2 ϩ ΅Ϫ⌬ .
ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0. ᎏ4aᎏ2
Per esempio, Essendo ⌬ Ͻ 0, l’espressione Ϫ⌬ è positiva. Anche la somma dentro le
ᎏ4aᎏ2
3x 2 ϩ 5x Ϫ 2 Յ 0 parentesi quadre è allora positiva per ogni valore di x.
ha come soluzioni: Pertanto il trinomio assume sempre lo stesso segno del coefficiente a.
Ϫ 2 Յ x Յ ᎏ31ᎏ .
BRAVI SI DIVENTA 3. La risoluzione grafica di una
Videolezione ᭤ V46g disequazione di secondo grado
Consideriamo la disequazione di secondo grado:
ᎏ21ᎏ x 2 Ϫ 3x ϩ 4 Ͼ 0.
Per risolverla graficamente associamo alla disequazione la parabola di
equazione:
y ϭ ᎏ21ᎏ x 2 Ϫ 3x ϩ 4.
Poiché nella disequazione di partenza compare il segno Ͼ, risolvere la di-
sequazione significa risolvere y Ͼ 0, ossia individuare le ascisse dei punti
della parabola che hanno ordinata positiva. 1
La parabola (figura 6a) ha vertice V Ϫ ᎏ2ᎏ
3; e interseca l’asse x nei
punti A(2; 0) e B (4; 0).
618
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Paragrafo 3. La risoluzione grafica di una disequazione di secondo grado TEORIA
I punti che hanno y Ͼ 0 sono quelli con ascissa minore di 2 oppure mag- ◗ I punti di intersezione
giore di 4 (le due semirette rosse della figura 6b). con l’asse x si ottengono
ponendo, nell’equazione
La disequazione è quindi verificata per x Ͻ 2 ∨ x Ͼ 4. della parabola, y ϭ 0, ossia
risolvendo l’equazione
Lo stesso grafico può essere utilizzato per risolvere la disequazione con
verso opposto, ossia: 1 x 2 Ϫ 3x ϩ4ϭ0
ᎏ2ᎏ
ᎏ21ᎏ x 2 Ϫ 3x ϩ 4 Ͻ 0.
Poiché compare il segno Ͻ, risolvere la disequazione significa individua- x 2 Ϫ 6x ϩ 8 ϭ 0
re le ascisse dei punti della parabola di ordinata negativa (y Ͻ 0). Tali
punti sono quelli che hanno ascissa compresa fra 2 e 4 (figura 6c). La di- ⌬ ϭ 1
sequazione è dunque verificata per 2 Ͻ x Ͻ 4. ᎏ4ᎏ
x ϭ3Ϯ1ϭ 2
4
y y = —12 x2 − 3x + 4 y —21 x2 − 3x + 4 > 0 y ᭢ Figura 6
—12 x2 − 3x + 4 < 0
44
234 x 24 x 24 x
− —12 V V V
a. La parabola di equazione b. I punti della parabola con y > 0 c. I punti della parabola con y < 0
y = —12 x2 − 3x + 4 interseca l’asse x appartengono alla parte della appartengono alla parte della
nei punti di ascissa 2 e 4. curva che «sta sopra» l’asse x. curva che «sta sotto» l’asse x e
Tali punti hanno ascissa maggiore hanno ascissa compresa tra 2 e 4.
di 4 o minore di 2.
Le soluzioni di ax2 ؉ bx ؉ c Ͼ 0 (a Ͼ 0) ◗ L’ipotesi a Ͼ 0 ci dice
Per dare un’interpretazione grafica della disequazione di secondo grado che la parabola volge la
concavità verso l’alto.
ax 2 ϩ bx ϩ c Ͼ 0,
● si disegna la parabola di equazione y ϭ ax 2 ϩ bx ϩ c;
● si cercano gli eventuali punti di intersezione della parabola con l’asse x ;
● si considera la parte di parabola che sta nel semipiano dei punti di or-
dinate positive (y Ͼ 0).
Le soluzioni della disequazione sono date dalle ascisse dei punti della pa-
rabola che hanno ordinata positiva.
Si possono presentare tre casi diversi, ossia che la parabola y ϭ ax2 ϩ bx ϩ c
intersechi l’asse x in due punti, in un punto o in nessun punto (figura 7).
Le soluzioni di ax2 ؉ bx ؉ c Ͻ 0 (a Ͼ 0)
Nel caso della disequazione ax 2 ϩ bx ϩ c Ͻ 0 si procede allo stesso
modo scegliendo, però, la parte di parabola che sta nel semipiano delle y
negative (figura 8).
619
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TEORIA CAPITOLO 12. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
ax2 + bx + c > 0, Δ > 0 ax2 + bx + c > 0, Δ = 0 ax2 + bx + c > 0, Δ < 0
y y y
x1 x2 x x1 = x2 x x
x < x1 V x > x2 x ∈ ޒx ≠ x1 ∀x ∈ ޒ
a. La parabola interseca l’asse x in b. La parabola interseca l’asse x in c. La parabola non interseca l’asse x.
un solo punto, ossia è tangente Tutti i suoi punti hanno ordinata
due punti: x1 e x2. all’asse x nel vertice; x1 e x2 sono positiva. La disequazione è sempre
Le soluzioni della disequazione coincidenti. La disequazione è verificata.
verificata per ogni valore reale x ≠ x1.
sono x < x1 ∨ x > x2.
᭡ Figura 7
y ax2 + bx + c < 0, Δ > 0 y ax2 + bx + c < 0, Δ = 0 y ax2 + bx + c < 0, Δ < 0
x1 x2 x x1 = x2 x x
x1 < x < x2 nessuna soluzione nessuna soluzione
a. La parabola interseca l’asse x in b. La parabola interseca l’asse x in un c. La parabola non interseca l’asse x.
due punti: x1 e x2. Le soluzioni solo punto, ossia è tangente all’asse x Non ci sono suoi punti con ordinata
sono x1 < x < x2. nel vertice. Poiché non ci sono suoi negativa: anche in questo caso la
punti con ordinata negativa, la disequazione non è mai verificata.
disequazione non è mai verificata.
᭡ Figura 8
PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI
Se Ruffini non funziona Nel sito: ᭤ Scheda di lavoro
Risolvi la disequazione x3 Ϫ 5x2 ϩ 1 Ͼ 0.
ALESSANDRO: «Ho provato a scomporre con Ruffini, ma non riesco; non so pro-
VALERIA: prio come risolvere questa disequazione».
ALESSANDRO: «Potremmo risolverla graficamente. Però noi sappiamo risolvere
graficamente disequazioni di secondo grado. Questa è di ter-
zo…».
«Ma, se riusciamo a disegnare il grafico, il metodo mi sembra lo
stesso».
᭤ Partendo dall’idea di Valeria, aiuta i due amici a risolvere la disequazione.
620
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Paragrafo 4. Le disequazioni di grado superiore al secondo TEORIA
4. Le disequazioni di grado
superiore al secondo
Per risolvere una disequazione di grado superiore al secondo del tipo
P (x) Ͻ 0 o P (x ) Ͼ 0 occorre prima scomporre il polinomio P (x ) in fat-
tori di primo o secondo grado, poi discutere il segno dei fattori.
ESEMPIO Risolviamo la disequazione di terzo grado
2x 3 Ϫ 7x 2 ϩ 2x ϩ 3 Ͻ 0.
Per prima cosa dobbiamo abbassare di grado l’equazione associata:
2x 3 Ϫ 7x 2 ϩ 2x ϩ 3 ϭ 0.
I possibili zeri razionali del polinomio sono rappresentati dalle frazioni il
cui numeratore è un divisore intero del termine noto e il denominatore è
un divisore intero del coefficiente del termine di grado maggiore (x3).
Sono quindi:
Ϯ 1, Ϯ 3, Ϯ 1 e Ϯ 3 .
ᎏ2ᎏ ᎏ2ᎏ
Provando a sostituire il valore 1 all’incognita x troviamo che 1 è uno zero.
Applicando la regola di Ruffini otteniamo:
2x 3 Ϫ 7x 2 ϩ 2x ϩ 3 ϭ (x Ϫ 1)(2x 2 Ϫ 5x Ϫ 3). ◗
2 Ϫ7 2 ϩ3
La disequazione iniziale è dunque equivalente a:
1 2 Ϫ5 Ϫ3
(x Ϫ 1)(2x 2 Ϫ 5x Ϫ 3) Ͻ 0.
2 Ϫ5 Ϫ3 0
Studiamo il segno dei due fattori:
● x Ϫ1Ͼ0 ⇔ x Ͼ 1; 1
● 2x 2 Ϫ 5x Ϫ 3 Ͼ 0
⇔ x Ͻ Ϫ ᎏ2ᎏ ∨ x Ͼ 3. ◗ La disequazione
2x 2 Ϫ 5x Ϫ 3 Ͼ 0 è verifi-
– 12– 1 3 cata per valori di x esterni
all’intervallo che ha come
estremi le radici
x–1 − −0 + + x ϭ Ϫ 1 e x ϭ 3
ᎏ2ᎏ
2x2– 5x – 3 +0 − − 0+ 1 2
(x–1)(2x2– 5x – 3) −0 +0 0+ dell’equazione associata.
−
᭣ Figura 9
La figura 9 mostra il quadro dei segni.
La disequazione 2x 3 Ϫ 7x 2 ϩ 2x ϩ 3 Ͻ 0 è quindi verificata per
1 ∨ 1 Ͻ x Ͻ 3,
x Ͻ Ϫ ᎏ2ᎏ
ossia l’insieme delle soluzioni è dato dall’unione di due intervalli:
΅ ΄Ϫϱ; Ϫ 1 ʜ ]1; 3[.
ᎏ2ᎏ
621
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TEORIA CAPITOLO 12. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
BRAVI SI DIVENTA 5. Le disequazioni fratte
Videolezione ᭤ V47a
Nelle disequazioni fratte compare l’incognita anche al denominatore.
Possono essere sempre trasformate in disequazioni del tipo
ᎏAB ((ᎏxx)) Ͼ 0 oppure ᎏAB ((ᎏxx )) Ͻ 0
o in quelle analoghe con i segni Ն e Յ.
Per risolvere una disequazione fratta, come per il prodotto di fattori, è
necessario studiare il segno della frazione al variare di x.
ESEMPIO Risolviamo la disequazione fratta 0∧x 4.
ᎏx 24Ϫx Ϫ2ᎏxxϪ2 3 Ͻ 0.
C.E.: 4x Ϫ x 2 0 → x (4 Ϫ x ) 0 → x
◗ Le radici dell’equazione Studiamo il segno del numeratore, ponendo N ϭ x 2 Ϫ 2x Ϫ 3 Ͼ 0:
x 2 Ϫ 2x Ϫ 3 ϭ 0 sono: x 2 Ϫ 2x Ϫ 3 Ͼ 0,
x Ͻ Ϫ 1 ∨ x Ͼ 3.
x ϭ1Ϯ2ϭ Ϫ1
3 Studiamo il segno del denominatore, ponendo D ϭ 4x Ϫ x 2 Ͼ 0:
4x Ϫ x 2 Ͼ 0 → x 2 Ϫ 4x Ͻ 0
Le radici dell’equazione 0 Ͻ x Ͻ 4.
4x Ϫ x 2 ϭ 0 sono:
La figura 10 illustra il quadro dei segni.
x1 ϭ 0 e x2 ϭ 4.
᭤ Figura 10 Il segno della –1 0 34
frazione
x2– 2x – 3 +0 − − 0+ +
x2 ؊ 2x ؊ 3
ᎏ4x ؊ᎏx2 4x – x2 − − 0 + + 0−
viene stabilito mediante le
regole di segno della divi- –x–24––x–2––xx––2–3– −0+ ∃ − 0 + ∃−
sione (o moltiplicazione) fra
numeratore e denominato-
re. Per x ؍0 o per x ؍4 la
frazione non esiste, perché
si annulla il denominatore.
La disequazione
ᎏx 24Ϫx Ϫ2ᎏxxϪ2 3 Ͻ 0
richiede che la frazione sia negativa; quindi, osservando il quadro dei se-
gni, deduciamo che la disequazione è verificata per:
x Ͻ Ϫ 1 ∨ 0 Ͻ x Ͻ 3 ∨ x Ͼ 4.
622
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 6. I sistemi di disequazioni TEORIA
6. I sistemi di disequazioni BRAVI SI DIVENTA
Videolezione ᭤ V48a
Un sistema di disequazioni è un insieme di più disequazioni nella stessa
incognita. Le soluzioni del sistema sono quei valori reali che soddisfano ◗ Le soluzioni dell’equa-
contemporaneamente tutte le disequazioni. zione x 2 Ϫ 12x ϩ 11 ϭ 0
sono:
ESEMPIO
x ϭ 6 Ϯ ͙ෆ2ෆ5 ϭ
Risolviamo il seguente sistema di disequazioni:
ϭ6Ϯ5ϭ 1
Ά2x Ϫ 24 Ͻ 0 11
x 2 Ϫ 12x ϩ 11 Ͼ 0
Άx Ͻ 12
x Ͻ 1 ∨ x Ͼ 11
Rappresentiamo gli intervalli delle soluzioni (figura 11). Coloriamo le
parti che rappresentano le soluzioni comuni alle due disequazioni.
1 11 12
x < 12
x< 1 ∨ x> 11
᭡ Figura 11 Nella rappresentazione dei valori sulla retta non è necessario rispettare le
distanze fra i numeri, ma solo il loro ordine. Il sistema delle due disequazioni ha per solu-
zioni gli intervalli corrispondenti alle parti colorate in figura, ossia
x Ͻ 1 ∨ 11 Ͻ x Ͻ 12.
Il sistema è soddisfatto per
x Ͻ 1 ∨ 11 Ͻ x Ͻ 12,
ossia l’insieme delle soluzioni è dato da:
] Ϫ ϱ; 1[ ʜ ]11; 12[.
Osservazione. Negli esercizi esamineremo diversi esempi di applicazione
delle disequazioni nelle:
● condizioni di esistenza dei radicali;
● risoluzioni delle equazioni irrazionali.
LABORATORIO
DI MATEMATICA
Nel sito:
᭤ Le disequazioni di
secondo grado con
Derive o con Wiris
623
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 12. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
LA TEORIA IN SINTESI
Le disequazioni di secondo grado
1. Le disequazioni
Una disequazione è una disuguaglianza tra espressioni letterali per la quale cerchiamo i valori delle lettere
che la rendono vera. I valori che soddisfano una disequazione costituiscono l’insieme delle soluzioni; due di-
sequazioni che hanno lo stesso insieme di soluzioni si dicono equivalenti.
Primo principio di equivalenza: da una disequazione si ottiene una disequazione equivalente aggiungendo a
entrambi i membri uno stesso numero (o espressione).
Secondo principio di equivalenza: se in una disequazione si moltiplicano o si dividono entrambi i membri
per uno stesso numero (o espressione):
● positivo,
● negativo e si cambia il verso della disequazione,
si ottiene una disequazione equivalente.
Per studiare il segno di un prodotto di polinomi, si studia il segno di ogni polinomio fattore, poi si determina
il segno del prodotto mediante la regola dei segni della moltiplicazione.
2. Le disequazioni di secondo grado intere
Per risolvere le disequazioni ax2 ؉ bx ؉ c Ͼ 0 e ax2 ؉ bx ؉ c Ͻ 0 (con a Ͼ 0), si considera l’equazione associata
ax2 ϩ bx ϩ c ϭ 0.
Se ⌬ Ͼ 0, la disequazione:
● ax2 ϩ bx ϩ c Ͼ 0 è verificata dai valori esterni all’intervallo individuato dalle radici dell’equazione associata;
● ax2 ϩ bx ϩ c Ͻ 0 è verificata dai valori interni.
Se ⌬ ؍0, la disequazione:
● ax2 ϩ bx ϩ c Ͼ 0 è sempre verificata tranne che per il valore della radice doppia dell’equazione associata;
● ax2 ϩ bx ϩ c Ͻ 0 non è mai verificata.
Se ⌬ Ͻ 0, la disequazione:
● ax2 ϩ bx ϩ c Ͼ 0 è sempre verificata;
● ax2 ϩ bx ϩ c Ͻ 0 non è mai verificata.
a>0
Δ>0 Δ=0 Δ<0
ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c > 0
x1 x2 x1 = x2
ax2 + bx + c < 0
624
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La teoria in sintesi ESERCIZI
3. La risoluzione grafica di una disequazione di secondo grado
Una disequazione di secondo grado può essere risolta graficamente considerando la parabola associata.
Per risolvere ax2 ؉ bx ؉ c Ͼ 0, occorre:
● porre y ϭ ax2 ϩ bx ϩ c, con y Ͼ 0;
● disegnare la parabola di equazione y ϭ ax2 ϩ bx ϩ c;
● determinare gli eventuali punti di intersezione della parabola con l’asse x;
● evidenziare la parte di parabola che si trova nel semipiano delle y positive;
● scrivere le soluzioni, che sono date dalle ascisse dei punti della parabola appartenenti a tale semipiano.
ax2 + bx + c > 0
(a > 0)
yy y
O x1 x2 x O x1 = x2 x Ox
∀x∈ޒ
x < x1 ∨ x > x2 ∀ x ∈ ޒ, x ≠ x1
Analogamente, per ax2 ؉ bx ؉ c Ͻ 0, le soluzioni sono date dalle ascisse dei punti della parabola aventi ordina-
ta negativa.
ax2 + bx + c < 0
(a > 0)
yy y
O x1 x2 x O x1 = x2 x Ox
∃x ∈ ޒ
x1 < x < x2 ∃x ∈ ޒ
Quando una disequazione di secondo grado ha il coefficiente di x2 negativo, può essere risolta in due modi:
1. considerando la parabola associata con la concavità rivolta verso il basso;
2. moltiplicando i due membri della disequazione per Ϫ 1 e invertendo il verso della disequazione stessa.
625
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ESERCIZI CAPITOLO 12. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
4. Le disequazioni di grado superiore al secondo
La risoluzione delle disequazioni di grado superiore al secondo è a volte possibile se si riesce a scomporre in
fattori il polinomio associato.
In tal caso si studia il segno dei diversi fattori e si compila un quadro dei segni complessivo. Da questo quadro
si determina il segno del polinomio iniziale mediante la regola dei segni della moltiplicazione.
5. Le disequazioni fratte
Per risolvere una disequazione fratta, ᎏAB((ᎏxx)) Ͼ 0, si studiano i segni del numeratore e del denominatore, poi
si determina il segno della frazione mediante la regola dei segni.
La frazione si annulla se e solo se il numeratore è 0; non esiste se il denominatore è nullo.
ESEMPIO Risolviamo la disequazione fratta: x1 x3 x2
ᎏAB((ᎏxx)) Ͼ 0. A (x) +0 − − 0+
B (x)
Supponiamo che x1 e x2 siano gli zeri di A(x), es- A–B–((–xx–)) − −0+ +
sendo A(x) di secondo grado, e che x3 sia l’unico
zero di B(x), essendo B(x) di primo grado. − 0 + ∃ − 0+
Sia x 1 Ͻ x 3 Ͻ x 2 .
–AB–((–xx–)) > 0
6. I sistemi di disequazioni
Per risolvere un sistema di disequazioni si risolvono le singole disequazioni; quindi si determina in quali in-
tervalli sono verificate contemporaneamente tutte le disequazioni.
ESEMPIO Risolviamo il sistema: x4 x1 x3 x2
A(x)> 0
ΆA(x) Ͼ 0 x < x1 ∨ x > x2 B(x)< 0
B(x) Ͻ 0 x > x3 C(x)> 0
C(x) Ͼ 0 x > x4
{A(x) > 0
Supponiamo che le disequazioni siano verificate B(x)< 0
negli intervalli indicati in figura. Il sistema è allora C(x)> 0
verificato soltanto per x Ͼ x2.
626
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Paragrafo 1. Le disequazioni ESERCIZI
1. Le disequazioni –ᮣ Teoria a pag. 611
■ Le disequazioni lineari numeriche intere [x Ͼ Ϫ 4]
Risolvi le seguenti disequazioni lineari numeriche. [x Յ Ϫ 7]
1 3x Ϫ 2 ϩ 7x Ͻ 12x ϩ 6 ΄ ΅x Ն ᎏ78ᎏ
2 2(1 Ϫ 4x) Ն 3 Ϫ 5(x Ϫ 4) [∀ x ʦ R]
3 2x Ϫ 4 Ն 3(1 Ϫ 2x) ΄ ΅x Ͼ ᎏ34ᎏ
΄ ΅19
4 6 Ϫ (2x Ϫ 3) Ͻ 6x ϩ 2(9 Ϫ 4x)
x Յ ᎏ16ᎏ
5 ᎏ21ᎏ x Ϫ ᎏ31ᎏ(2 Ϫ x) Ͼ ᎏx Ϫ6ᎏ1
΄ ΅4
6 ᎏx Ϫ3ᎏ2 ϩ 1 Ն 3(x Ϫ 1) Ϫ 1
ᎏ2ᎏ ᎏ3ᎏ x Յ ᎏ3ᎏ
[x Ͻ 0]
΄ ΅7 2 x ϩ ᎏ21ᎏ(1 Ϫ 2x) Յ Ϫ x ϩ ᎏ6 Ϫ2ᎏx
΄ ΅x Ͼ ᎏ17ᎏ6
8 ᎏx Ϫ3ᎏ1 ϩ ᎏ2 Ϫ2ᎏx Ͼ ᎏ4 ϩ6ᎏx ϩ x ΄ ΅11
9 ᎏ14ᎏ (x ϩ 2) ϩ ᎏ13ᎏ Ͻ x Ϫ ᎏx ϩ6ᎏ3 x Ն Ϫ ᎏ9ᎏ
[x Ͼ 2]
΄ ΅101
ᎏ2ᎏ 2(x ϩ 1) Ϫ ᎏ2 Ϫ2ᎏx Յ 6(x ϩ 1) Ϫ ᎏ4xᎏ ΄ ΅x Ͻ Ϫ ᎏ45ᎏ
΄ ΅x Յ ᎏ1110ᎏ
΄ ΅11 9
4 ᎏ2x 3Ϫᎏ3 Ϫ 1 ᎏ1 Ϫ3ᎏx Ϫ ᎏ1 ϩ2ᎏx Ͼ ᎏ4ᎏ [x Ͼ Ϫ 1]
ᎏ2ᎏ
΄ ΅x Ͼ ᎏ12ᎏ
12 (x ϩ 1)(x Ϫ 1) Ͻ ᎏ12ᎏ ϩ x(x Ϫ 2) Ϫ 4 ΄ ΅4
13 1 ϩ [4 Ϫ (2x Ϫ 1)(x ϩ 3)] Ն 6 ϩ x(5 Ϫ 2x) Ϫ 9 x Յ ᎏ1ᎏ5
[x Ͻ Ϫ 1]
14 (1 Ϫ 3x)2 Ϫ 2x(x Ϫ 1) Ͻ 7(x ϩ 1)2 ϩ 12
[x Ն 2]
15 Ϫ 2 ϩ x ϩ 2 x Ϫ ᎏ12ᎏ x ϩ ᎏ21ᎏ Ͼ x(x Ϫ 6) ϩ x2 ϩ 1
΄ ΅9
16 (3x Ϫ 1)2 Ϫ (3x ϩ 1)2 Ն 2 ϩ 3(x Ϫ 2)
x Ն ᎏ5ᎏ
17 ᎏ4xᎏ (8x Ϫ 3) Ϫ 2(x ϩ 2)2 Ͼ 3
ᎏ4ᎏ
18 1 Ϫ (x Ϫ 2)(x ϩ 3) ϩ x ϩ (5 ϩ x)(x Ϫ 3) Ն Ϫ 2x
19 (3x ϩ 5)2 Ϫ 9x(x ϩ 4) Յ 3(3x ϩ 2) Ϫ 5x ϩ 1
627
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ESERCIZI CAPITOLO 12. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
■ Lo studio del segno di un prodotto
La rappresentazione degli intervalli
ESERCIZIO GUIDA
20 Scriviamo i seguenti intervalli (o unioni di intervalli) utilizzando le parentesi quadre e rappresentiamoli
graficamente.
a) x Ͼ 1; b) 0 Ͻ x Ͻ 2; c) Ϫ 1 Յ x Յ 1; d) x Յ 3 ∨ x Ն 5.
a) ] 1; ϩ ϱ [ b) ] 0; 2 [ d) x Յ 3 ∨ x Ն 5 è l’unione dei
due intervalli x Յ 3 e x Ն 5:
1 +ϱ 02
] Ϫ ϱ ; 3] ʜ [5; ϩ ϱ [
L’estremo 1 è escluso: abbia- I due estremi sono esclusi: ab-
mo scritto ] 1; ϩ ϱ [; grafi- biamo scritto ] 0; 2 [ e i due cir- −ϱ 3 5 +ϱ
camente, 1 è rappresentato coletti sono vuoti.
da un circoletto vuoto.
Poiché ϩ ϱ non è un nu- c) [Ϫ 1; 1]
mero reale, ma un simbolo
che rappresenta una quan- −1 1
tità «più grande» di qual-
siasi numero reale, abbia- Gli estremi Ϫ 1 e 1 sono inclusi:
mo scritto ] 1; ϩ ϱ [. abbiamo scritto [Ϫ 1; 1] e i due
circoletti sono pieni.
Rappresenta i seguenti intervalli mediante le parente- Correggi la notazione dei seguenti intervalli, scritti
si quadre e poi graficamente. mediante parentesi quadre, in modo che siano corri-
spondenti alle disuguaglianze poste a fianco.
x Ͻ ᎏ21ᎏ .
21 2 Ͻ x Ͻ 3; x Ͼ 2;
27 ] 1; ϩ ϱ ], x Ͼ 1; ] Ϫ ϱ ; 2 [, x Յ 2.
22 Ϫ 2 Ͻ x Ͻ 5; x Ն 1; x Յ 0.
23 Ϫ 1 Յ x Յ 1; 4 Յ x Յ 7. 28 [ 3; ϩ ϱ [, x Ͼ 3; [0; 1 [, 0 Ͻ x Յ 1.
Ϫ ᎏ43ᎏ Ͻ x Յ 1.
24 ᎏ51ᎏ Յ x Ͻ 1; x Յ 0 ∨ x Ͼ 1. ΅ ΅29 ᎏ43ᎏ ; ᎏ21ᎏ , ᎏ21ᎏ Յ x Ͻ ᎏ43ᎏ .
1 x Յ Ϫ 1 ∨ x Ն 1. ΅ ΄30 3 3
25 x Ͻ Ϫ ᎏ2ᎏ ∨ x Ͼ 0; ] 1; ϩ ϱ [ ഫ ᎏ2ᎏ ; ϩ ϱ , x Ͻ 1 ∨ x Ͼ ᎏ2ᎏ .
26 x Ͻ 3 ∨ x Ն ᎏ13ᎏ0 ;
Per ogni rappresentazione grafica scrivi il corrispondente intervallo sia mediante le parentesi quadre sia me-
diante le disuguaglianze.
31 − 6 4 − —12 2 −2 3
a −3 —14 b c 7 d
−1 5 2 − 4 —15
32
a bc d
628
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Paragrafo 1. Le disequazioni ESERCIZI
Lo studio del segno di un prodotto
ESERCIZIO GUIDA
33 Studiamo il segno del seguente prodotto:
(x ϩ 1)(5 Ϫ x).
Dal risultato ottenuto, deduciamo il segno del polinomio quando la variabile x assume i valori: Ϫ 2, Ϫ 1, 0, 7.
Studiamo il segno dei due fattori:
x ϩ 1 Ͼ 0 → x Ͼ Ϫ1. –1 5
5 Ϫ x Ͼ 0 → Ϫ x Ͼ Ϫ 5 → x Ͻ 5.
Compiliamo il quadro applicando la regola dei segni. x+1 − 0 + +
Detto p il prodotto: 5–x + + 0−
● per x Ͻ Ϫ 1 ∨ x Ͼ 5, p Ͻ 0; (x+1)(5–x) − 0 + 0 −
● per Ϫ 1 Ͻ x Ͻ 5, p Ͼ 0;
● per x ϭ Ϫ 1 ∨ x ϭ 5, p ϭ 0.
Quindi, in particolare, per x ϭ Ϫ 2 e x ϭ 7, p Ͻ 0;
per x ϭ Ϫ 1, p ϭ 0; per x ϭ 0, p Ͼ 0.
Studia il segno dei seguenti prodotti. Dai risultati ottenuti, deduci il segno per i valori indicati a fianco. Verifica
l’esattezza della deduzione, almeno in qualche caso.
34 x (x ϩ 8), x ϭ Ϫ 3, 0, 3. 38 5(x ϩ 3)(2x Ϫ 1), x ϭ Ϫ 4, 0, 4.
35 (x Ϫ 4)(6x ϩ 1), x ϭ Ϫ 1, 0, 1. 39 Ϫ 7(2 Ϫ x)(1 Ϫ x), x ϭ Ϫ ᎏ21ᎏ , ᎏ23ᎏ , ᎏ25ᎏ .
x ϭ Ϫ 1, 0, 1. 40 (x Ϫ 5)(x ϩ 1)(x Ϫ 2), x ϭ 0, 3, 6.
36 x ϩ ᎏ31ᎏ (2x Ϫ 1),
37 (3x ϩ 2)(x ϩ 6), x ϭ Ϫ 7, Ϫ 1, 2. 41 (3 Ϫ 2x )(4x Ϫ 1)(2x Ϫ 3), x ϭ 0, 1, 2.
ESERCIZIO GUIDA
42 Risolviamo la disequazione (x ϩ 2)(5 Ϫ x) Յ 0.
Studiamo il segno di ognuno dei fattori, cercando i valori di x per –2 5
i quali ciascun fattore è positivo:
x ϩ 2 Ͼ 0 → x Ͼ Ϫ 2, x+2 − 0 + +
5 Ϫ x Ͼ 0 → Ϫ x Ͼ Ϫ 5 → x Ͻ 5. 5–x + + 0−
Compiliamo il quadro dei segni (figura a lato).
Poiché si richiede che il prodotto sia negativo o nullo, le soluzioni (x+2)(5–x) − 0 + 0 −
della disequazione sono le seguenti: x Յ Ϫ 2 ∨ x Ն 5.
−2 5
629
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 12. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Risolvi le seguenti disequazioni. [Ϫ 4 Ͻ x Ͻ Ϫ 2] 49 x (x Ϫ 1)(x ϩ 1) Ͼ 0 [Ϫ 1 Ͻ x Ͻ 0 ∨ x Ͼ 1]
43 (x ϩ 2)(x ϩ 4) Ͻ 0
44 (x ϩ 3)(x Ϫ 5) Ͼ 0 [x Ͻ Ϫ 3 ∨ x Ͼ 5] 50 (x Ϫ 3)(2x ϩ 8)(5x Ϫ1)Ͻ0
΄ ΅x ΄ ΅x ϽϪ4 ∨ ᎏ51ᎏϽx Ͻ3
45 Ϫ x (3x ϩ 1) Յ 0 1 ∨ x Ն0
Յ Ϫ ᎏ3ᎏ ᎏ12ᎏ (x ϩ 1)(2x Ϫ 3)(2 Ϫ x )x Ն 0
Ϫ1Յx Յ0
΄ ΅46 (2x ϩ 3)(x ϩ 1) Ͼ 0 x Ͻ Ϫ ᎏ32ᎏ ∨ x Ͼ Ϫ 1 ΄ ΅51
∨ ᎏ23ᎏ Յ x Յ2
47 (4x Ϫ 16)(9x Ϫ 3) Ն 0 1΄ ΅x
Յ ᎏ3ᎏ ∨ x Ն4 52 Ϫ 6x (5x Ϫ 2)(x ϩ 4)(x Ϫ 2) Ͻ 0
΄ ΅x 2
48 Ϫ 9x (3x ϩ 18) Ͼ 0 [Ϫ 6 Ͻ x Ͻ 0] ϽϪ4 ∨ 0Ͻx Ͻ ᎏ5ᎏ ∨ x Ͼ2
2. Le disequazioni di secondo grado intere –ᮣ Teoriaapag.613
■ Le disequazioni di secondo grado Nel sito: ᭤ 12 esercizi di recupero
a coefficienti numerici
Senza eseguire calcoli, indica le soluzioni delle seguenti disequazioni, giustificando la risposta.
53 x 2 ϩ 8 Ͼ 0; (x ϩ 6)2 Ͼ 0; 4x 2 Յ 0; Ϫ 7x 2 Ͻ 0.
54 2x 2 ϩ 9 Ͻ 0; Ϫ x 2 Ͻ 0; Ϫ x 2 Ϫ 3 Ͻ 0; Ϫ (x ϩ 1)2 Յ 0.
55 VERO O FALSO? VF c) Se nella disequazione x 2 Ͼ 6x VF
VF si semplifica per x, si ottiene VF
a) Se x 2 Ͻ 9, allora x Ͻ 3. la disequazione equivalente x Ͼ 6. VF
b) La disequazione x 2 Ϫ 6x ϩ 9 Ͼ 0 d) Se x 2 Ն 0, allora x Ն 0.
è vera per ogni valore reale di x, e) Se Ϫ 4x 2 Ն Ϫ 36, allora x 2 Ն 9.
purché x 3.
c) 3x 2 Ϫ 2x ϩ 1 Ͻ 0.
ESERCIZIO GUIDA
56 Risolviamo le seguenti disequazioni:
a) Ϫ 10x Ϫ 8x 2 Ϫ 3 Ͼ 0; b) 4x 2 Ϫ 12x ϩ 9 Ն 0;
a) Riscriviamo la disequazione ordinando il Risolviamo l’equazione associata:
polinomio al primo membro:
8x 2 ϩ 10x ϩ 3 ϭ 0
Ϫ 8x 2 Ϫ 10x Ϫ 3 Ͼ 0.
ᎏ⌬4ᎏ ϭ (ϩ 5)2 Ϫ 8 и 3 ϭ 25 Ϫ 24 ϭ 1
Essendo il coefficiente del termine di secondo 3
grado negativo, moltiplichiamo i due membri x ϭ ᎏϪ 58ᎏϮ 1 ϭ Ϫ ᎏ4ᎏ
per Ϫ 1 e cambiamo il verso della Ϫ ᎏ21ᎏ
disequazione :
8x 2 ϩ 10x ϩ 3 Ͻ 0.
630
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 2. Le disequazioni di secondo grado intere ESERCIZI
Applichiamo la regola: se l’equazione ax 2 ϩ Possiamo riscrivere la disequazione così:
ϩ bx ϩ c ϭ 0 (con a Ͼ 0) ha ⌬ Ͼ 0, la dise-
quazione ax 2 ϩ bx ϩ c Ͻ 0 è verificata dai 4 и
valori interni all’intervallo delle radici 3 2
dell’equazione. x Ϫ ᎏ2ᎏ
L’intervallo delle soluzioni di Ն 0.
8x 2 ϩ 10x ϩ 3 Ͻ 0 è:
La disequazione è verificata per ogni valore di x :
΅ ΄Ϫ ᎏ43ᎏ Ͻ x Ͻ Ϫ ᎏ21ᎏ , ossia Ϫ ᎏ43ᎏ ; Ϫ ᎏ21ᎏ .
∀x ʦ R ossia ] Ϫ ϱ ; ϩ ϱ [.
Avremmo potuto dedurre la soluzione senza fare
calcoli, riconoscendo che 4x 2 Ϫ 12x ϩ 9 è il qua-
drato del binomio 2x Ϫ 3 e ricordando che un
quadrato non può essere negativo.
− —43 − —21 c) Calcoliamo il discriminante dell’equazione asso-
ciata:
b) Calcoliamo il discriminante dell’equazione as- 3x 2 Ϫ 2x ϩ 1 ϭ 0,
sociata:
⌬
⌬ ϭ 6 2 Ϫ 4 и 9 ϭ 36 Ϫ 36 ϭ 0. ᎏ4ᎏ ϭ 1 Ϫ 3 ϭ Ϫ 2 Ͻ 0.
ᎏ4ᎏ
L’equazione ha dunque una radice reale dop- Poiché il coefficiente di x 2, a ϭ 3, è positivo e
pia: ⌬ Ͻ 0, la disequazione non è mai verificata.
Scriviamo pertanto:
x ϭ ᎏ23ᎏ.
∃/ x ʦ R.
Risolvi le seguenti disequazioni.
57 x 2 ϩ 3x ϩ 2 Ͼ 0 [x Ͻ Ϫ 2 ∨ x Ͼ Ϫ 1] 68 9x 2 ϩ 4 Ͼ 0 [∀ x ʦ R]
58 x 2 ϩ x Ϫ 6 Ͼ 0 [x Ͻ Ϫ 3 ∨ x Ͼ 2] 69 81x 2 ϩ 18x ϩ 1 Յ 0 ΄ ΅1
59 x 2 Ϫ 2x ϩ 10 Ͼ 0 [∀x ʦ R] 70 Ϫ x 2 Ϫ 6x Ϫ 8 Ն 0
x ϭ Ϫ ᎏ9ᎏ
[Ϫ 4 Յ x Յ Ϫ 2]
60 x 2 Ϫ 2x Ϫ 8 Ͼ 0 [x Ͻ Ϫ 2 ∨ x Ͼ 4] 71 6x2 ϩ x Ϫ 1 Ͻ 0 ΄ ΅1 1
Ϫ ᎏ2ᎏ Ͻ x Ͻ ᎏ3ᎏ
61 x 2 ϩ 4x ϩ 5 Ͻ 0 [∃/ x ʦ R] 72 x 2 Ϫ 8x ϩ 20 Ͼ 0 [∀x ʦ R]
62 16x 2 Ϫ 24x ϩ 9 Ͻ 0 [∃/ x ʦ R]
63 Ϫ x 2 ϩ 3x Ϫ 2 Ͼ 0 [1 Ͻ x Ͻ 2] 73 1 (x Ϫ 1) Յ x 2 Ϫ x Յ΄ ΅x1 ∨ x Ն 1
64 x(x ϩ 3) Յ Ϫ 2x ᎏ2ᎏ ᎏ2ᎏ
65 Ϫ x 2 ϩ 9 Յ 0
66 x 2 ϩ 10x ϩ 34 Ͻ 0 74 9x 2 Ϫ 30x ϩ 25 Ͼ 0 ΄ Ά ·΅∀x ʦ R Ϫ ᎏ35ᎏ
67 Ϫ x(x Ϫ 4) Ͻ 3
[Ϫ5 Յ x Յ 0] 75 Ϫ x 2 Ϫ 3 Ն 0 [∃/ x ʦ R]
[x Յ Ϫ 3 ∨ x Ն 3]
76 x2 Ϫ 7 x Ϫ 15 Ͼ 0 ΄ ΅3 5
[∃/ x ʦ R] ᎏ4ᎏ ᎏ8ᎏ
[x Ͻ 1 ∨ x Ͼ 3] x Ͻ Ϫ ᎏ4ᎏ ∨ x Ͼ ᎏ2ᎏ
77 x 2 Ϫ ᎏ16ᎏ3 x ϩ 1 Ͻ 0
΄ ΅ᎏ32ᎏ Ͻ x Ͻ ᎏ23ᎏ
78 x 2 ϩ ᎏ43ᎏ x Ϫ ᎏ85ᎏ Ն 0 ΄ ΅x Յ Ϫ ᎏ45ᎏ ∨ x Ն ᎏ21ᎏ
631
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 12. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
79 3x 2 ϩ 4x ϩ ᎏ34ᎏ Ͼ 0 ΄ Ά ·΅∀x ʦ R Ϫ Ϫ ᎏ32ᎏ 97 9x Ϫ x 2 Ϫ 20 Ն 0 [4 Յ x Յ 5]
98 7 Ϫ x 2 Յ 0 [x Յ Ϫ ͙7ෆ ∨ x Ն ͙ෆ7]
΄ ΅80 Ϫ x2 Ϫ 5 x Ϫ 3 Ͻ 0 x Ͻ Ϫ 3 ∨ x Ͼ Ϫ 1 99 Ϫ 4(x ϩ 1)2 Ͻ 0
ᎏ2ᎏ ᎏ2ᎏ ᎏ2ᎏ 100 2x 2 ϩ x Ն 1
101 (x Ϫ 3)2 Յ 4
81 4x 2 Ϫ 48x ϩ 145 Ͼ 0 [∀x ʦ R] 102 x 2 Ϫ 10x ϩ 21 Յ 0 [∀ x ʦ R Ϫ {Ϫ 1}]
103 x 2 Ϫ 7x ϩ 10 Ͼ 0
82 2x 2 Ϫ 4x Ϫ ᎏ22ᎏ1 Յ 0 ΄ ΅Ϫ ᎏ23ᎏ Յ x Յ ᎏ27ᎏ 104 9x 2 ϩ 30x ϩ 25 Յ 0 ΄ ΅xՅϪ1 ∨ x Ն 1
105 6x 2 Ϫ 5x ϩ 1 Ͻ 0 ᎏ2ᎏ
106 x 2 ϩ 2x ϩ 5 Ͻ 0
83 x 2 ϩ ᎏ58ᎏ x ϩ ᎏ21ᎏ56 Ͻ 0 [∃/ x ʦ R] 107 2x 2 Ϫ x ϩ ᎏ18ᎏ7 Յ 0 [1 Յ x Յ 5]
108 Ϫ 9x 2 ϩ 12x Ϫ 4 Ͻ 0
84 2x 2 Ϫ 9x ϩ 81 Ͼ 0 ΄ Ά ·΅∀x ʦ R Ϫ 9 109 Ϫ x 2 ϩ 4x ϩ 12 Ͼ 0 [3 Յ x Յ 7]
ᎏ8ᎏ ᎏ4ᎏ 110 x 2 Ϫ x Ϫ ᎏ49ᎏ0 Ն 0
111 25x(1 Ϫ x) Ϫ 6 Ͻ 0
85 Ϫ x2 ϩ 5 x Ϫ 1 Յ 0 ΄ ΅xՅ 1 ∨ x Ն 2 [x Ͻ 2 ∨ x Ͼ 5]
ᎏ2ᎏ ᎏ2ᎏ
΄ ΅5
86 Ϫ 4x 2 Ϫ 3x Ϫ ᎏ19ᎏ6 Ͼ 0 [∃/ x ʦ R]
x ϭ Ϫ ᎏ3ᎏ
87 x 2 Ϫ 36 Ͼ 0 [x Ͻ Ϫ 6 ∨ x Ͼ 6]
΄ ΅ᎏ31ᎏ Ͻ x Ͻ ᎏ21ᎏ
88 9x 2 ϩ 25 Ͻ 0 [∃/ x ʦ R]
[∃/ x ʦ R]
89 x 2 ϩ 9x Յ 0 [Ϫ9 Յ x Յ 0] [∃/ x ʦ R]
90 9x 2 Ͻ 25
91 x 2 Ϫ 4x ϩ 4 Ͼ 0 ΄ ΅Ϫ ᎏ35ᎏ Ͻ x Ͻ ᎏ35ᎏ ΄ Ά ·΅2
[∀x ʦ R Ϫ {2}] ∀x ʦ R Ϫ ᎏ3ᎏ
[Ϫ2 Ͻ x Ͻ 6]
92 8x Ϫ x 2 Ͼ 0 [0 Ͻ x Ͻ 8] ΄ ΅x Յ Ϫ ᎏ35ᎏ ∨ x Ն ᎏ38ᎏ
93 Ϫ 4x 2 ϩ 12x Ϫ 9 Ն 0 ΄ ΅x ϭ ᎏ32ᎏ ΄ ΅x Ͻ ᎏ52ᎏ ∨ x Ͼ ᎏ53ᎏ
΄ ΅1 1
94 2x 2 Ϫ 1 Ͻ 0
ᎏ8ᎏ Ϫ ᎏ4ᎏ Ͻ x Ͻ ᎏ4ᎏ
1 [∃/ x ʦ R] 112 4 Ն 9x(x ϩ 1) ΄ ΅4 1
95 Ϫ ᎏ9ᎏ x 2 Ͼ 0
[0 Ͻ x Ͻ 20] Ϫ ᎏ3ᎏ Յ x Յ ᎏ3ᎏ
96 ᎏ15ᎏ x 2 Ϫ 4x Ͻ 0 113 x2 Ͼ 1 (x ϩ 1) Ͻ΄ ΅xϪ1 ∨ x Ͼ 1
ᎏ2ᎏ ᎏ2ᎏ
114 ASSOCIA alle seguenti disequazioni l’insieme di soluzioni corretto.
1. x 2 Ն 4 2. 4 Ն x 2 3. x 2 Ͻ 4 4. Ϫ x 2 Յ 4
A. ∀ x ʦ R B. x Յ Ϫ 2 ∨ x Ն 2 C. Ϫ 2 Ͻ x Ͻ 2 D. Ϫ 2 Յ x Յ 2
115 Risolvi la disequazione 6 x 2 Ϫ ᎏ13ᎏ Ն Ϫ x.
Senza eseguire ulteriori calcoli scrivi l’intervallo di soluzioni delle seguenti disequazioni:
a) 6x 2 ϩ x Ϫ 2 Ͻ 0; b) Ϫ (6x 2 ϩ x Ϫ 2) Ͻ 0; c) 6x 2 ϩ x Ϫ 2 Ͼ 0.
΄ ΅x Յ Ϫ ᎏ32ᎏ ∨ x Ն ᎏ21ᎏ; a) Ϫ ᎏ32ᎏ Ͻ x Ͻ ᎏ12ᎏ; b) x Ͻ Ϫ ᎏ32ᎏ ∨ x Ͼ ᎏ21ᎏ; c) x Ͻ Ϫ ᎏ23ᎏ ∨ x Ͼ ᎏ12ᎏ
632
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 3. La risoluzione grafica di una disequazione di secondo grado ESERCIZI
■ Le disequazioni Nel sito: ᭤ 15 esercizi in più
di secondo grado letterali
ESERCIZIO GUIDA
116 Risolviamo la disequazione, nella variabile x, 4x 2 ϩ 4ax Ϫ 3a2 Ͼ 0, con a Ͼ 0.
Calcoliamo il discriminante dell’equazione asso- Poiché a Ͼ 0, Ϫ ᎏ23ᎏ a è negativo, mentre ᎏ21ᎏ a è posi-
ciata: tivo; allora:
4x 2 ϩ 4ax Ϫ 3a 2 ϭ 0 Ϫ ᎏ23ᎏ a Ͻ ᎏ21ᎏ a.
ᎏ⌬4ᎏ ϭ 4a 2 Ϫ 4(Ϫ 3a 2) ϭ 4a 2 ϩ 12a 2 ϭ 16a 2.
Poiché il coefficiente di x 2 è 4 Ͼ 0 e ⌬ Ͼ 0, la dise-
Calcoliamo le radici: Ϫ ᎏ23ᎏ a quazione 4x 2 ϩ 4ax Ϫ 3a 2 Ͼ 0 è verificata per valo-
x ϭ ᎏϪ 2a4ᎏϮ 4a ϭ ᎏ12ᎏ a
ri esterni all’intervallo delle radici:
− —32 a —12 a x 3 ∨ x Ͼ 1 a.
Ͻ Ϫ ᎏ2ᎏ a ᎏ2ᎏ
a>0
Risolvi le seguenti disequazioni in x. [∀x ʦ R] 121 3ax Ն a 2 ϩ 2x 2 (a Ͼ 0) ΄ ΅ᎏa2ᎏ Յ x Յ a
117 x 2 Ϫ 4bx ϩ 4b2 Ն 0
΄ Ά ·΅122
118 x 2 Ϫ 4a 2 Ͼ 0 (a Ͼ 0) [x Ͻ Ϫ 2a ∨ x Ͼ 2a] ᎏ25aᎏ Ϫ x 2 (a Ͻ 0) ∀ x ʦ R Ϫ ᎏ25aᎏ
Ͼ0
119 9x 2 ϩ 6kx ϩ k2 Ͼ 0 ΄ Ά ·΅∀ x ʦ R Ϫ ᎏ3kᎏ 123 x(2x Ϫ k) Ͻ k 2 (k Ͼ 0) ΄ ΅Ϫ ᎏ2kᎏ Ͻ x Ͻ k
΄ ΅120 (3x Ϫ a) x Ϫ ᎏ23aᎏ Ͻ 0 (a Ͼ 0) ᎏa3ᎏ Ͻ x Ͻ ᎏ23aᎏ ΄ ΅124 16bx Ϫ 12b2 Ϫ 5x 2 Ն 0 (b Ͻ 0) 2b Ͻ x Ͻ ᎏ56ᎏ b
125 ᎏ21ᎏ x (11b Ϫ x) Ϫ ᎏ21ᎏ (x 2 ϩ 5b 2) Ͻ 0 (b Ͼ 0) ΄ ΅x Ͻ ᎏ2bᎏ ∨ x Ͼ 5b
126 Ϫ x 2 Ϫ x ϩ b2 Ϫ 3b ϩ 2 Ͻ 0 b Ͼ ᎏ23ᎏ [x Ͻ 1 Ϫ b ∨ x Ͼ b Ϫ 2]
3. La risoluzione grafica di una –ᮣ Teoria a pag. 618
disequazione di secondo grado
Nei seguenti grafici sono rappresentate alcune parabole. Per ognuno di essi indica per quali valori di x i punti
della parabola hanno ordinata positiva, per quali valori hanno ordinata negativa, per quali hanno ordinata
nulla.
y y y
3
127
2O
−4 −2 x
O 1 3 5x O2 x
abc
633
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 12. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
■ Risolviamo ax 2 ؉ bx ؉ c Ͼ 0 oppure ax2 ؉ bx ؉ c Ͻ 0
ESERCIZIO GUIDA d) Ϫ x 2 ϩ 2x Ͼ 0.
128 Risolviamo graficamente le seguenti disequazioni:
a) x 2 ϩ 3x ϩ 2 Ͼ 0; b) x 2 Ϫ 2x ϩ 1 Ͼ 0; c) x 2 ϩ 1 Ͻ 0;
a) Associamo la disequazione alla parabola di equazione y ϭ x 2 ϩ 3x ϩ 2.
La parabola ha vertice in VϪ 3 ; Ϫ 1 , la concavità rivolta verso l’alto (il coefficiente a è positivo) e
ᎏ2ᎏ ᎏ4ᎏ
interseca l’asse y nel punto P(0; 2).
Le ascisse dei punti di intersezione con l’asse x y y = x2 + 3x + 2
sono le soluzioni dell’equazione:
x 2 ϩ 3x ϩ 2 ϭ 0 2
x2 + 3x + 2 > 0
x ϭ ᎏϪ 3 Ϯ2ᎏ͙ෆ1 ϭ Ϫ2 −2 −1 O x
Ϫ1 x<−2 ∨ x>−1
ossia x 1 ϭ Ϫ 2, x 2 ϭ Ϫ 1.
I punti della parabola che hanno ordinata positiva
sono quelli disposti «sopra l’asse x», sono cioè quelli che hanno ascissa minore di Ϫ 2 o maggiore di Ϫ 1.
La disequazione è verificata per: x Ͻ Ϫ 2 ∨ x Ͼ Ϫ 1.
b) Associamo la disequazione alla y
parabola di equazione y = x2 − 2x + 1
y ϭ x 2 Ϫ 2x ϩ 1.
La parabola ha vertice in x2 − 2x + 1 > 0
V (1; 0), la concavità rivolta
verso l’alto (il coefficiente a è 1 x
positivo) e interseca l’asse y nel O1
punto P(0; 1).
La parabola è quindi tangente
all’asse x nel vertice e si trova
interamente «al di sopra» di
esso: per ogni valore di x diver-
so da 1 le ordinate dei punti
della parabola sono positive.
La disequazione è soddisfatta
∀x ʦ R, x 1.
∀x ∈ ޒ, x ≠ 1
634
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 3. La risoluzione grafica di una disequazione di secondo grado ESERCIZI
c) Associamo la disequazione alla parabola di y y = x2 + 1
equazione y ϭ x 2 ϩ 1. x2 + 1 > 0
1 x
Tale parabola ha vertice in V (0; 1), che appar- O ∃/ x ∈ ޒ
tiene all’asse y: l’asse della parabola coincide x2 + 1 < 0
con l’asse y. Inoltre, essa ha la concavità rivolta
verso l’alto e, poiché l’ordinata del vertice è 1, y
non interseca l’asse x in alcun punto. V(1; 1)
La parabola si trova interamente «al di so- –x2+ 2x > 0
pra» dell’asse x, quindi non c’è alcun punto
della parabola che abbia ordinata negativa, O
pertanto la disequazione non è mai verifica-
ta per alcun valore reale di x. 0<x<2 2x
Non esistono soluzioni reali della disequa- y = –x2+ 2x
zione.
d) Associamo la disequazione alla parabola di
equazione y ϭ Ϫ x 2 ϩ 2x.
Questa parabola ha vertice in V(1; 1), ha con-
cavità rivolta verso il basso e interseca l’asse x
in (0; 0) e (2; 0).
I punti con ordinata positiva sono quelli con
ascissa compresa fra 0 e 2. Quindi le soluzioni
della disequazione sono:
0 Ͻ x Ͻ 2.
Risolvi graficamente le seguenti disequazioni di secondo grado.
129 x 2 Ϫ 1 Ͼ 0 [x Ͻ Ϫ 1 ∨ x Ͼ 1] 140 Ϫ x 2 ϩ 3x ϩ 4 Ͻ 0 [x Ͻ Ϫ 1 ∨ x Ͼ 4]
130 4 Ϫ x 2 Ͻ 0 [x Ͻ Ϫ 2 ∨ x Ͼ 2] 141 x 2 Ϫ 5x ϩ 8 Ͼ 0 [∀x ʦ R]
131 x 2 Ϫ 2x ϩ 1 Ͻ 0 142 x 2 ϩ 4x ϩ 3 Ͻ 0
[∃/x ʦR] [Ϫ 3 Ͻ x Ͻ Ϫ 1]
132 Ϫ x 2 Ͻ 0 [∀x ʦ R Ϫ {0}] 143 Ϫ x2 ϩ 16 Յ 0 [x Յ Ϫ 4 ∨ x Ն 4]
133 x 2 ϩ x Ϫ 6 Ͼ 0 [x Ͻ Ϫ 3 ∨ x Ͼ 2] 144 6x 2 ϩ x Ϫ 1 Ͻ 0 ΄ ΅1 1
134 Ϫ 3x 2 Յ 0 [∀x ʦ R] 145 Ϫ x 2 ϩ 6x Ϫ 9 Ն 0 Ϫ ᎏ2ᎏ Ͻ x Ͻ ᎏ3ᎏ
[x ϭ 3]
135 Ϫ x 2 Ϫ 2x Ͻ 0 [x Ͻ Ϫ 2 ∨ x Ͼ 0] 146 x 2 ϩ 4x ϩ 5 Ͻ 0
136 x 2 ϩ x ϩ 6 Ͻ 0 [∃/ x ʦ R] 147 Ϫ x 2 Ϫ 5 Ͻ 0 [∃/ x ʦ R]
137 x 2 Ϫ 4x ϩ 6 Ͼ 0 [∀x ʦ R] 148 Ϫ x 2 Ϫ 8x Ͼ 0
138 Ϫ x 2 ϩ 1 Ͼ 0 149 3x 2 Ϫ 4x Ϫ 7 Ͻ 0 [∀x ʦ R]
[Ϫ 1 Ͻ x Ͻ 1]
[Ϫ 8 Ͻ x Ͻ 0]
139 Ϫ x 2 Ϫ 1 Ͼ 0 [∃/ x ʦ R] 150 81x 2 ϩ 18x ϩ 1 Յ 0
΄ ΅Ϫ 1 Ͻ x Ͻ ᎏ37ᎏ
΄ ΅x ϭ Ϫ ᎏ91ᎏ
635
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 12. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
151 Ϫ x 2 ϩ 8x ϩ 9 Ն 0 [Ϫ 1 Յ x Յ 9]
152 x2 ϩ ᎏ43ᎏ x Ϫ ᎏ85ᎏ Ͼ 0
153 Ϫ x 2 ϩ ᎏ25ᎏ x Ϫ ᎏ19ᎏ6 Ͼ 0 ΄ ΅x Ͻ Ϫ ᎏ45ᎏ ∨ x Ͼ ᎏ21ᎏ
΄ ΅ᎏ41ᎏ Ͻ x Ͻ ᎏ49ᎏ
154 Ϫ 2x 2 Ϫ 6 Ͼ 0 [∃/ x ʦ R]
155 4x 2 Ϫ 21x ϩ 27 Ͼ 0
΄ ΅x Ͻ ᎏ49ᎏ ∨ x Ͼ 3
156 4x 2 ϩ 7x Ϫ 2 Ͼ 0
157 Ϫ x 2 ϩ ᎏ65ᎏ x Ϫ ᎏ61ᎏ Ͼ 0 ΄ ΅x Ͻ Ϫ 2 ∨ x Ͼ 1
158 32x 2 Ϫ 12x ϩ 1 Ͻ 0 ᎏ4ᎏ
159 Ϫ 2x 2 Ϫ ᎏ25ᎏ x ϩ ᎏ43ᎏ Ն 0
΄ ΅ᎏ31ᎏ Ͻ x Ͻ ᎏ21ᎏ
΄ ΅ᎏ81ᎏ Ͻ x Ͻ ᎏ41ᎏ
΄ ΅Ϫ ᎏ23ᎏ Յ x Յ ᎏ41ᎏ
160 ASSOCIA a ogni disequazione la corrispondente soluzione grafica (la soluzione è indicata in rosso).
1. (x Ϫ 2)2 Ͼ 0 2. Ϫ x 2 ϩ 2x Յ 0 3. x 2 ϩ 2 Ͼ 0 4. x 2 ϩ 2x Ն 0 5. Ϫ 1 x 2 ϩ 2 Ն 0
ᎏ2ᎏ
yy yy y
4
2
2 1
1
Ox
O1 2 x Ox –2 O 2 x O 2 x –2 –1
e
a bc d
RIEPILOGO LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
161 CACCIA ALL’ERRORE Trova l’errore e correggilo.
a) Ϫᎏ41ᎏ x 2 Ն 0 → x 2 Յ Ϫ 4
b) x 2 Յ 0 → x Յ 0
c) Ϫ4 x 2 Ն Ϫ 4 → x 2 Ն 1 → x Յ Ϫ 1 ∨ x Ն 1
d) x 2 Յ 16 → x Յ 4
e) x 2 ϩ 4 Յ 0 → Ϫ 2 Յ x Յ 2
636
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
RIEPILOGO Le disequazioni di secondo grado ESERCIZI
Risolvi le seguenti disequazioni. [x Ͻ Ϫ 4 ∨ x Ͼ Ϫ 3]
162 2 ϩ x(1 Ϫ x) Ͻ 2(4x ϩ 7)
[x Յ 2 ͙ෆ3 Ϫ 5 ∨ x Ն 2 ͙ෆ3 ϩ 5]
163 Ϫ x 2 ϩ 4 ͙ෆ3 x ϩ 13 Յ 0
΄ ΅Ϫ͙ෆ3 Ͻ x Ͻ ͙ෆ3
164 ͙ෆ3 x 2 Ϫ 2x Ϫ ͙ෆ3 Ͻ 0 ᎏ3ᎏ
165 1 Ϫ x2 Ն 2 x ϩ ᎏ21ᎏ [Ϫ 2 Յ x Յ 0]
166 2x(x Ϫ 1) ϩ x (8 ϩ 3x) Ϫ (x 2 ϩ 8) Ͼ 4x ϩ 6x(x Ϫ 1) [∃/ x ʦ R]
BRAVI SI DIVENTA ᭤ E46
167 6(x Ϫ ͙3ෆ)2 ϩ ᎏx2ᎏ (2 Ϫ x) Ն 12(1 Ϫ ͙3ෆx) ϩ ᎏ(4 ϩ x)2(ᎏ4 Ϫ x)
168 ᎏ32ᎏ (3x ϩ 3) ϩ ᎏ91ᎏ [9x 2 ϩ (Ϫ 3)2] ϩ ᎏ41ᎏ [8x ϩ (Ϫ 2)2] Յ 0 [x ϭ Ϫ 2]
16912 1 (2x 1) x (x 1) 1 2 [∀x ʦ R]
ᎏ3ᎏ ᎏ3ᎏ ᎏ2ᎏ
ϩ ϩ ϩ ϩ ϩ Ն0 ΄ ΅ᎏ͙2ᎏෆ2 Ͻ x Ͻ 2 ͙ෆ2
΄ ΅Ϫ ᎏ͙2ᎏෆ2 Ͻ x Ͻ ᎏ͙2ᎏෆ2
170 Ϫ x 2 ϩ ᎏ͙5ᎏෆ2 x Ϫ 2 Ͼ 0
[∀x ʦ R]
171 ᎏ21ᎏ x x Ϫ ᎏ31ᎏ Ϫ ᎏ31ᎏ 1 Ϫ ᎏ23ᎏ x 2 ϩ x Ϫ ᎏ61ᎏ Ͻ ᎏ65ᎏ x
172 ᎏ13 ϩ9ᎏ9x 2 Ϫ ᎏ2x 2Ϫᎏ1 Ϫ 1 (4x ϩ 1) Ͼ 0
ᎏ3ᎏ
173 ᎏ31ᎏ (3x 2 Ϫ 2) Ϫ 2(x Ϫ 1) Ϫ ᎏ34ᎏ x Ϫ ᎏ11ᎏ23 Ͻ 0 [∃/ x ʦ R]
174 ΄ ΅x
Ϫ 6x ϩ 1 1 Ϫ 9(Ϫ 1)2 Ͻ 0 Ͻ Ϫ 7 ∨ x Ͼ Ϫ 5
ᎏ2ᎏ Ϫ x ᎏ2ᎏ ϩ x ᎏ2ᎏ ᎏ2ᎏ
175 ᎏ51ᎏ ᎏx Ϫ2ᎏ2 ϩ ᎏ4x 24ᎏϩ x Ϫ ᎏ81ᎏ 1 ϩ ᎏ15ᎏ3 Ͼ 0 ΄ ΅x Ͻ Ϫ 1 ∨ x Ͼ ᎏ21ᎏ03
176 ᎏ45ᎏ ϩ ᎏ3xᎏ (3x Ϫ 8) Ϫ ᎏ35ᎏ ᎏ41ᎏ Ϫ 2x Յ ᎏ32ᎏ x ϩ ᎏ16ᎏ25 ΄ ΅Ϫ ᎏ35ᎏ Յ x Յ ᎏ35ᎏ
΄ ΅177 2 1 1 ΄ ΅11 11
Ϫ ᎏ4ᎏ 2 Ϫ ᎏ4ᎏ (x ϩ 1) Ϫ (15 ϩ x 2) Ͼ 0
Ϫ ᎏ2ᎏ Ͻ x Ͻ Ϫ ᎏ4ᎏ
Ϫ 4x
178 ͙ෆ3x 2 Ϫ x ϩ ᎏ21ᎏ Ն ͙ෆ3x Ϫ ᎏ21ᎏ ΄ ΅x Յ ᎏ͙3ᎏෆ3 ∨ x Ն 1
179 ᎏ1 Ϫ x2ᎏϩ x 2 ϩ ᎏx (3x8ᎏϩ 16) Ϫ ᎏ3x 24ᎏϩ 2 Յ x 2 ϩ ᎏ5x 3Ϫᎏ4 ΄ ΅x Յ Ϫ ᎏ34ᎏ ∨ x Ն ᎏ78ᎏ
΄ ΅180815 ϩ 90 6 20x ϩ 6 (Ϫ 10)2 Ϫ x2 Ͻ 0 [x Ͻ Ϫ 12 ∨ x Ͼ 0]
ᎏ5ᎏ ᎏ2ᎏ x Ϫ ᎏ5ᎏ ᎏ5ᎏ
181 Ϫ ᎏ21ᎏ 2[2 Ϫ (Ϫ 2x)2] Ϫ ᎏ2 ϩ9ᎏ9x Ϫ ᎏ21ᎏ (x ϩ 1) Ͼ 0 ΄ ΅Ϫ ᎏ34ᎏ Ͻ x Ͻ Ϫ ᎏ61ᎏ
182 (1 Ϫ x)2 ϩ x (x Ϫ 3) Ͼ 1 Ϫ 2x 1 Ϫ ᎏ2xᎏ [x Ͻ 0 ∨ x Ͼ 3]
637
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 12. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
183 2 (x ϩ 5)2 Ϫ (x Ϫ 3)(x ϩ 3) Ͼ 2 (6x ϩ 5) ϩ 22x [∀x ʦ R Ϫ {7}]
184 (2x ϩ 1)2 Ϫ (3 Ϫ x )(x ϩ 2) Ն 2 ϩ 5x ϩ (1 Ϫ x )2 [x Յ Ϫ ͙ෆ2 ∨ x Ն ͙ෆ2]
Ϫ 3 Ϫ ͙ෆ5 Ϫ3 ϩ ͙ෆ5
ᎏᎏ ᎏ2ᎏ
2
185 ᎏ(3 Ϫ1ᎏ22x )2 ϩ ᎏ2(1 Ϫ x)ᎏ(1 ϩ x) Ͻ ᎏϪ x 2 Ϫ4ᎏ3x ϩ 6 Ͻ΄ ΅x ∨ x Ͼ
3
186 (x ϩ 5)2 Ϫ 8(Ϫ x Ϫ 5) ϩ (Ϫ 4)2 Յ 0 [x ϭ Ϫ 9]
187 Ϫ (x Ϫ ͙ෆ3)2 Ϫ (x ϩ ͙ෆ2)2 Ϫ (x ϩ 1)2 Ͼ 1 [∃/ x ʦ R]
188 x 2 Ϫ bx Ϫ 12b 2 Ͼ 0 (b Ͼ 0) [x Ͻ Ϫ 3b ∨ x Ͼ 4b]
189 2 [1 ϩ a (x Ϫ 4a)] Ն 2 Ϫ x2 (a Ͼ 0) [x Յ Ϫ 4a ∨ x Ն 2a ]
190 x2 ϩ a ᎏ3xᎏ ϩ ᎏ2aᎏ Ͻ a ᎏ3aᎏ Ϫ ᎏ2xᎏ (a Ͻ 0) ΄ ΅Ϫ ᎏ3aᎏ Ͻ x Ͻ Ϫ ᎏ2aᎏ
΄ ΅x Ͻ ᎏ4ᎏ ∨ x Ͼ ᎏ2ᎏ
191 x (ax Ϫ 3) Ͻ ᎏa2xᎏ2 Ϫ ᎏ4ᎏ (a Ͻ 0)
a aa
4. Le disequazioni di grado –ᮣ Teoria a pag. 621
superiore al secondo
Nel sito: ᭤ 12 esercizi di recupero
ESERCIZIO GUIDA
192 Risolviamo le disequazioni: a) 2x3 ϩ x 2 Ϫ 13x ϩ 6 Ͼ 0; b) x 4 Ϫ x 2 Ϫ 2 Ͻ 0.
a) Cerchiamo di scomporre in fattori il polino- Il polinomio si può quindi scomporre in fattori:
mio (x Ϫ 2)(2x 2 ϩ 5x Ϫ 3).
2x 3 ϩ x 2 Ϫ 13x ϩ 6,
applicando la regola di Ruffini. Studiamo il segno dei fattori:
Cerchiamo uno zero del polinomio fra: ● primo fattore Ͼ 0: x Ϫ 2 Ͼ 0 per x Ͼ 2;
● secondo fattore Ͼ 0: 2x 2 ϩ 5x Ϫ 3 Ͼ 0.
Ϯ 1, Ϯ 2, Ϯ 3, Ϯ 6 , Ϯ ᎏ21ᎏ , Ϯ ᎏ32ᎏ .
L’equazione associata
Proviamo a sostituire a x i valori indicati: se
x ϭ 2, si ha 16 ϩ 4 Ϫ 26 ϩ 6 ϭ 0. 2x 2 ϩ 5x Ϫ 3 ϭ 0 x1 ϭ Ϫ 3, x2 ϭ ᎏ12ᎏ .
ha ⌬ ϭ 49 Ͼ 0 e
Applichiamo la regola di Ruffini, dividendo il
polinomio per x Ϫ 2: Il secondo fattore del polinomio è positivo per
x Ͻ Ϫ 3 ∨ x Ͼ ᎏ21ᎏ .
2 1 Ϫ 13 6
ᎏ2 ᎏ2 ᎏ54 ᎏϪᎏ103 ᎏϪ 60
638
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 4. Le disequazioni di grado superiore al secondo ESERCIZI
Compiliamo il quadro dei segni. Essendo x2 ϭ 2 e x2 ϭ Ϫ 1, il polinomio x4 Ϫ x2 Ϫ 2
è scomponibile nei fattori (x 2 Ϫ 2) e (x 2 ϩ 1), ossia:
–3 –12 2
x 4 Ϫ x 2 Ϫ 2 ϭ (x Ϫ ͙ෆ2)(x ϩ ͙ෆ2)(x 2 ϩ 1).
x–2 − − −0 +
Dallo studio del segno dei singoli fattori otteniamo il
seguente quadro dei segni.
2x2+ 5x – 3 + 0 − 0 + + –2 +2
2x3+ x 2– 13x+6 − 0 + 0 − 0 + x– 2 − −0 +
La disequazione è verificata per: x+ 2 −0 + +
Ϫ 3 Ͻ x Ͻ ᎏ21ᎏ ∨ x Ͼ 2. x2+ 1 + + +
(x – 2)(x + 2) (x2+ 1) +0 −0 +
b) Consideriamo l’equazione associata:
x 4 Ϫ x 2 Ϫ 2 ϭ 0.
Risolviamo l’equazione biquadratica ponendo: La disequazione è verificata per Ϫ ͙ෆ2 Ͻ x Ͻ ͙ෆ2.
x 2 ϭ z.
z2 Ϫ z Ϫ 2 ϭ 0
⌬ϭ9 Ϫ1
1Ϯ3 2
z ϭ ᎏ2ᎏ ϭ
Risolvi le seguenti disequazioni. ΄ ΅x Ͻ Ϫ ᎏ32ᎏ
193 3x 3 ϩ 2x 2 ϩ 3x ϩ 2 Ͻ 0
΄ ΅Ϫ1 Ͻ x Ͻ 1 ∨ x Ͼ 1
194 2x 3 Ϫ x 2 Ϫ 2x ϩ 1 Ͼ 0 ᎏ2ᎏ
195 8x 3 Ϫ 8x 2 ϩ 4x Ϫ 4 Ͼ 0
196 x 3 Ϫ 3x 2 Ϫ 13x ϩ 15 Ͻ 0 [x Ͼ 1]
197 2x 4 Ͼ 0
198 x 4 ϩ 1 Ͼ 0 [x Ͻ Ϫ 3 ∨ 1 Ͻ x Ͻ 5]
199 Ϫ 3x 3 ϩ x 2 ϩ 7x Ϫ 5 Յ 0
200 x 4 ϩ x 3 Ͻ 0 [∀x ʦ R Ϫ {0}]
201 x 4 Ϫ 2x 2 Ն 0
202 x 4 Ϫ 1 Ͼ 0 [∀x ʦ R]
΄ ΅x Ն Ϫ ᎏ35ᎏ
[Ϫ 1 Ͻ x Ͻ 0]
[x Յ Ϫ ͙ෆ2 ∨ x Ն ͙ෆ2 ∨ x ϭ 0]
[x Ͻ Ϫ 1 ∨ x Ͼ 1]
639
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ESERCIZI CAPITOLO 12. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
203 x 4 ϩ x 2 Ͻ 0 [∃/ x ʦ R]
204 9x 3 ϩ ᎏ23ᎏ x 2 Ϫ 2x Ϫ ᎏ21ᎏ Ͻ 0
205 9x 4 Ϫ 145x 2 ϩ 16 Ͼ 0 ΄ ΅x Ͻ ᎏ21ᎏ ∧ x Ϫ ᎏ31ᎏ
206 76x 2 Ϫ 3x 4 Ϫ 25 Ͼ 0 ΄ ΅x Ͻ Ϫ 4 ∨ Ϫ ᎏ31ᎏ Ͻ x Ͻ ᎏ31ᎏ ∨ x Ͼ 4
207 6x 3 ϩ 13x 2 ϩ x Ϫ 2 Ն 0 ΄ ΅Ϫ 5 Ͻ x Ͻ Ϫ ᎏ͙3ᎏෆ3 ∨ ᎏ͙3ᎏෆ3 Ͻ x Ͻ 5
208 3x 2 ϩ 4x 4 Յ 0
209 x 4 Ϫ 81 Յ 0 ΄ ΅Ϫ2 Յ x Յ Ϫ ᎏ21ᎏ ∨ x Ն ᎏ31ᎏ
210 x 3 ϩ 2x 2 Ϫ 9x Ϫ 18 Ն 0
211 4x 4 Ϫ 37x 2 ϩ 9 Յ 0 [x ϭ 0]
212 x 3 Ϫ 4ax 2 ϩ a 2x ϩ 6a 3 Ͼ 0 (a Ͼ 0)
213 2x 3 Ϫ ax 2 ϩ 2a 2x Ϫ a 3 Ն 0 [Ϫ 3 Յ x Յ 3]
214 a 2x 3 Ϫ b 2x 2 ϩ a 2x Ϫ b2 Ͻ 0
215 x 4 Ϫ 3a 2x 2 Ϫ 4a 4 Յ 0 (a Ͼ 0) [Ϫ3 Յ x Յ Ϫ 2 ∨ x Ն 3]
΄ ΅Ϫ3 ᎏ1ᎏ ∨ ᎏ1ᎏ Յ Յ 3
Յ x ՅϪ 2 2 x
[Ϫa Ͻ x Ͻ 2a ∨ x Ͼ 3a]
΄ ΅x Ն ᎏ2aᎏ
΄ ΅x Ͻ ᎏbaᎏ22
[Ϫ2a Յ x Յ 2a ]
5. Le disequazioni fratte –ᮣ Teoria a pag. 622
Nel sito: ᭤ 12 esercizi di recupero VF
VF
216 VERO O FALSO? VF
VF
a) La disequazione ᎏx ϩᎏ1 Ͼ 0 è equivalente alla disequazione x (x ϩ 1) Ͼ 0.
x
b) La disequazione 1 Ͼ 0 è vera ∀xʦ R.
ᎏxᎏ2
c) Il segno della frazione ᎏgf((xxᎏ)) è positivo solo se f(x ) Ͼ g(x ).
d) Le due disequazioni ᎏxx2ϩϩᎏ34 Ͼ 0 e x ϩ 3 Ͼ 0 sono equivalenti.
640
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Paragrafo 5. Le disequazioni fratte ESERCIZI
ESERCIZIO GUIDA
217 Risolviamo la seguente disequazione fratta:
ᎏx 29Ϫx 25ᎏϩx ϩ2 6 Ͻ 0.
Studiamo il segno del numeratore e del denomi- Compiliamo il quadro dei segni.
natore: 23
● 9x 2 ϩ 2 Ͼ 0 è verificata ∀x ʦ R; N+ + +
D +0 −0 +
● x 2 Ϫ 5x ϩ 6 Ͼ 0. –ND– + ∃ − ∃ +
Equazione associata:
x 2 Ϫ 5x ϩ 6 ϭ 0
⌬ϭ1 2
5Ϯ1 3
x ϭ ᎏ2ᎏ ϭ
La disequazione è verificata per valori esterni a 2 La disequazione fratta è soddisfatta per 2 Ͻ x Ͻ 3,
e 3: ossia nell’intervallo ]2; 3[.
x Ͻ 2 ∨ x Ͼ 3.
Risolvi le seguenti disequazioni fratte.
218 ᎏx Ϫᎏ1 Ͼ 0 [x Ͻ 0 ∨ x Ͼ 1] BRAVI SI DIVENTA ᭤ E47
x
[x Ͻ Ϫ 1 ∨ x Ͼ 0] 1 41
219 ᎏx ϩᎏ1 Ͼ 0 228 ᎏ3x Ϫᎏx 2 Ϫ ᎏx 2 Ϫ 6ᎏx ϩ 9 Յ ᎏx Ϫᎏ3
x ΄ ΅x Ͼ ᎏ32ᎏ
΄ ΅x Ͻ Ϫ 5 ∨ 1 Ͻ x Ͻ ᎏ23ᎏ
220 ᎏ9x 2 xϪᎏ6x Ͼ 0 229 ᎏ33xx22ϩᎏϩ22x Ն 0 ΄ ΅x Ͻ Ϫ ᎏ32ᎏ ∨ x Ͼ 0
[x Ͼ 0, x 1]
221 ᎏx 22ϩx 4Ϫᎏx 3Ϫ 5 Ͻ 0 230 ᎏ55xϪϩᎏxx22 Յ 0 [x Ͻ Ϫ 5 ∨ Ϫ ͙ෆ5Յ x Ͻ 0 ∨ x Ն ͙ෆ5]
222 ᎏx 2 Ϫ62xᎏx ϩ 1 Ͼ 0 231 ᎏxx22ϩϪ23ᎏxx ϩϪ 28 Ͻ 0 [Ϫ 4 Ͻ x Ͻ 1]
΄ ΅223 1 1
ᎏ(2x Ϫ21x)Ϫᎏx 8ϩ ᎏ21ᎏ Ն 0 Ϫ ᎏ2ᎏ Ͻ x Ͻ ᎏ2ᎏ ∨ x Ն 4 232 ᎏxx22ϪϪ73ᎏxx Ϫϩ 46 Ն 0 [x Յ Ϫ 1 ∨ 1 Ͻ x Յ 4 ∨ x Ͼ 6]
224 ᎏx Ϫ3ᎏ2 ϩ x ϩ 2 Ն 0 [Ϫ 1 Յ x Յ 1 ∨ x Ͼ 2] 233 ᎏ4xx2 ϩϪ34ᎏxϪϩx72 Ͻ 0 [∀x ʦ R Ϫ {2}]
225 Ϫ 2 Ϫ x Ͻ 0 [1 Ͻ x Ͻ 2 ∨ x Ͼ 3] 234 Ϫ ᎏx 2 xϩϪ2ᎏϪ1 x ϩ 4 Ͼ 0 [x Ͻ 1 ∨ 2 Ͻ x Ͻ 3]
ᎏx Ϫᎏ3 [∀x ʦ R Ϫ {0}]
[∀x ʦ R Ϫ {0}]
226 ᎏx 22 xϩᎏ2 1 Ͼ 0 6 [x Յ 2 ∨ 3 Յ x Ͻ 5]
235 ᎏ5 Ϫᎏx Ն x [x Ͻ Ϫ 2 ∨ Ϫ 1 Յ x Յ 2]
227 ᎏ9x 2 Ϫ51xᎏ22x ϩ 4 Ն 0 236 3 Ϫ x Ն ᎏx ϩᎏ4 2
641
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ESERCIZI CAPITOLO 12. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
237 x Յ ᎏx Ϫ6ᎏ1 [x Յ Ϫ 2 ∨ 1 Ͻ x Յ 3]
238 4 Ϫ x Ͼ 10 [x Ͻ Ϫ 3 ∨ Ϫ 1 Ͻ x Ͻ 2]
ᎏx ϩᎏ3
΄ ΅Ϫ ᎏ21ᎏ Ͻ x Ͻ ᎏ21ᎏ ∨ x Ͼ 3
239 ᎏ4(x3Ϫ5ᎏ3) ϩ x ϩ 3 Ͼ 0
[x Յ Ϫ 2 ∨ 2 Յ x Ͻ 3]
240 x ϩ 3 Յ 5
ᎏ3 Ϫᎏx ΄ ΅Ϫ 1 Ͻ x Ͻ ᎏ41ᎏ ∨ x Ͼ ᎏ32ᎏ
΄ ΅x Ͻ Ϫ ᎏ23ᎏ ∨ Ϫ ᎏ21ᎏ Ͻ x Ͻ 4
241 ᎏ7 ϩ1ᎏ212x Ͼ ᎏ12(42x5ᎏϪ 1)
[Ϫ 3 Ͻ x Ͻ Ϫ 2 ∨ Ϫ 1 Ͻ x Ͻ 0]
242 ᎏ4(x Ϫ 44ᎏ)x(xϪϩ166ᎏ) ϩ 99 Ͻ 0
΄ ΅1 2 3
243 ᎏ6 ϩᎏx Ͻ ᎏx ϩ2ᎏ1
x ᎏ2ᎏ Յ x Յ ᎏ3ᎏ ∨ x Ͼ ᎏ2ᎏ
51 ΄ ΅x Յ Ϫ ᎏ52ᎏ ∨ ᎏ51ᎏ Ͻ x Յ ᎏ52ᎏ
244 Ϫ ᎏ6x Ϫᎏ9 Յ x ϩ ᎏ3ᎏ
[Ϫ 2 Ͻ x Յ 0 ∨ 1 Ͻ x Յ 5]
245 x ϩ ᎏ51ᎏ Յ ᎏ25x3ᎏϪ 5
[Ϫ 2 Ͻ x Ͻ 3]
246 1 Յ 14 ϩ 4
ᎏ3(x ϩᎏ2) ᎏ3x Ϫᎏ3 [x Ͻ Ϫ 2 ∨ (x Ͼ 0 ∧ x 1)]
247 ᎏxx ϩϪᎏ32 Ͻ ᎏx ϩᎏ1 2 [x Ͻ Ϫ 2 ∨ 0 Ͻ x Ͻ 1 ∨ x Ͼ 3]
248 3 ϩ ᎏx3 ϩϪᎏx1 Ͼ 0 [x Ͻ Ϫ 2 ∨ Ϫ 1 Ͻ x Ͻ 1 ∨ x Ͼ 3]
ᎏx 2 Ϫ 2ᎏx ϩ 1
[Ϫ3 Ͻ x Յ 0 ∨ x Ͼ 3 ∨ x ϭ 2]
249 6 Ϫ 6 Ͻ 1
ᎏx Ϫᎏ1 ᎏᎏ [x Ͻ Ϫ 6 ∨ Ϫ 4 Ͻ x Ͻ Ϫ 1]
x
[Ϫ 2 Յ x Ͻ 1 ∨ x Ն 2]
250 ᎏ5(x 8Ϫᎏ3) ϩ 1 Ͼ ᎏ5(x 3ϩᎏ2)
[Ϫ 4 Ͻ x Ͻ 0 ∨ x Ͼ 2]
251 x Ն ᎏ4xx22ϪϪᎏ193x
΄ ΅7
252 ᎏx ϩ6ᎏ3 Ͻ 1 x Ն Ϫ ᎏ4ᎏ
ᎏx ϩᎏ4
253 ᎏ8xϪϪᎏ21x Յ 2x
254 x Ϫ ᎏ8ᎏ Ͼ Ϫ 2
x
255 Ϫ ᎏ44xx2ϩᎏϩ77 Յ 0
642
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Paragrafo 6. I sistemi di disequazioni ESERCIZI
256 ᎏxx 22 ϪϪᎏ41 Ն 1 [Ϫ 1 Ͻ x Ͻ 1]
257 ᎏ(3x2Ϫxᎏ25)2 Ն 0
΄ Ά ·΅∀x ʦ R Ϫ ᎏ53ᎏ
258 ᎏx 22Ϫxᎏ4 Ն ᎏxx ϩϩᎏ32 Ϫ 3 ΄ ΅x Ͻ Ϫ 2 ∨ Ϫ 2 Ͻ x Յ ᎏ23ᎏ ∨ x Ͼ 2
351 ΄ ΅15 Ͻ x Ͻ 3 ∨ x Ͼ 3
259 ᎏ2x 2 Ϫᎏ6x Ͼ ᎏ2xᎏ2 Ϫ ᎏ(x Ϫᎏ3)2 ᎏ7ᎏ
260 ᎏxx ϩϪᎏ21 ϩ ᎏ1ᎏ Ͼ ᎏ2xx22 ϪϪᎏ49x [x Ͻ 0 ∨ x Ͼ 2]
x
261 ᎏ52xx ϩϩᎏ25 Յ x 3 ΄ ΅Ϫ ᎏ52ᎏ Ͻ x Յ Ϫ 2 ∨ Ϫ 1 Յ x Յ Ϫ ᎏ12ᎏ ∨ x Ն 1
262 ᎏx9ᎏ2 ϩ 1 Յ ᎏ1336ᎏ ΄ ΅Ϫ ᎏ32ᎏ Ͻ x Յ Ϫ 1 ∨ 1 Յ x Յ ᎏ32ᎏ
ᎏ4xᎏ2
263 x 2 ϩ 1 Ͻ 5 ΄ ΅Ϫ 1 Ͻ x Ͻ Ϫ 1 ∨ 1 Ͻ x Ͻ 1
ᎏ4xᎏ2 ᎏ4ᎏ ᎏ2ᎏ ᎏ2ᎏ
264 ᎏ(xx 2ϪϪ81)(01ᎏx6ϩϪ2x52) Ն 0 [x Յ Ϫ 4 ∨ 4 Յ x Ͻ 5 ∨ 5 Ͻ x Յ 8]
265 ᎏ(x 2 ϩ86ϩ)(ᎏxx 2Ϫ 4)4 Ͼ 0 [∀x ʦ R Ϫ {4}]
6. I sistemi di disequazioni –ᮣ Teoria a pag. 623
Nel sito: ᭤ 14 esercizi di recupero
266 ASSOCIA a ogni disequazione o sistema di disequazioni la propria soluzione.
ΆxϪ3Յ0 2. ᎏxx ϩϪᎏ31 Յ 0 3. ᎏxx Ϫϩᎏ31 Ն 0 4. ᎏxx ϩϪᎏ13 Ͻ 0 ΆxϪ3Ն0
1. x ϩ 1 Ͼ 0 5. x ϩ 1 Ͼ 0
A. x Ն 3 B. Ϫ 1 Յ x Ͻ 3 C. Ϫ 1 Ͻ x Յ 3 D. x Ͻ Ϫ 1 ∨ x Ն 3 E. Ϫ 1 Ͻ x Ͻ 3
ESERCIZIO GUIDA
267 Risolviamo il seguente sistema di disequazioni:
Ά 2x Ϫ x2 Ͻ 0
x 2 Ϫ 3x Ϫ 4 Ͻ 0
x ϩ6 Ϫ x2 Ͼ 0
643
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ESERCIZI CAPITOLO 12. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Ordiniamo i polinomi rispetto a x e moltiplichiamo per Ϫ 1 quando il coefficiente di x 2 è negativo:
Ά x 2 Ϫ 2x Ͼ 0
x 2 Ϫ 3x Ϫ 4 Ͻ 0
x2 Ϫ x Ϫ 6 Ͻ 0
Risolviamo le disequazioni separatamente considerando le equazioni associate.
● Prima disequazione: Ϫ1
x 2 Ϫ 2x ϭ 0 → x (x Ϫ 2) ϭ 0 → x 1 ϭ 0, x 2 ϭ 2 4
Ϫ2
È verificata per x Ͻ 0 ∨ x Ͼ 2. 3
● Seconda disequazione:
x 2 Ϫ 3x Ϫ 4 ϭ 0; ⌬ ϭ 9 ϩ 16 ϭ 25; x ϭ ᎏ3 Ϯ2ᎏ5 ϭ
È verificata per Ϫ 1 Ͻ x Ͻ 4.
● Terza disequazione:
x 2 Ϫ x Ϫ 6 ϭ 0; ⌬ ϭ 1 ϩ 24 ϭ 25; x ϭ ᎏ1 Ϯ2ᎏ5 ϭ
È verificata per Ϫ 2 Ͻ x Ͻ 3.
Compiliamo il quadro.
–2 –1 0 234
1a disequazione
2a disequazione
3a disequazione
Il sistema è verificato negli intervalli in cui sono verificate contemporaneamente tutte le disequazioni, os-
sia per:
Ϫ 1 Ͻ x Ͻ 0 ∨ 2 Ͻ x Ͻ 3.
Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni. [x Ͼ Ϫ 1]
[∃/ x ʦ R]
Άx2 ϩ 2 Ͼ 0
268 x ϩ 1 Ͼ 0
Ά269 ᎏ͙xᎏෆ3 Ϫ 1 Ͼ 0
x2 Ϫ 2Ͻ0
644
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Paragrafo 6. I sistemi di disequazioni ESERCIZI
Άx2 ϩ 2x Ͼ 0 Ά[Ϫ 3 Ͻ x Ͻ Ϫ 2 ∨ x Ͼ 0] x Ϫ2Ͻ0 ΄ ΅Ϫ1 Ͻ x Ͻ 2
274 Ϫ 4x 2 ϩ 12x ϩ 7 Ͼ 0 ᎏ2ᎏ
270 x ϩ 3 Ͼ 0
Ά ΄ ΅ Ά ΄ ΅271
3x Ϫ 2 Ն 0 2 39 16x 2 Ϫ 8x ϩ 1 Ͼ 0 Ϫ1Յx Յ9∧x 1
8x 2 Ϫ 30x ϩ 27 Ͼ 0 ᎏ3ᎏ Յ x Ͻ ᎏ2ᎏ ∨ x Ͼ ᎏ4ᎏ 275 x 2 Ϫ 8x Ϫ 9 Յ 0 ᎏ4ᎏ
Άx2 ϩ 3 Ͼ 0 Ά[3 Ͻ x Ͻ 4] ΄ ΅3
8x 2 ϩ 6x Ϫ 9 Ͼ 0
272 x2 Ϫ 7x ϩ 12 Ͻ 0 276 x 2 ϩ 8x Յ 0 Ϫ 8 Յ x Ͻ Ϫ ᎏ2ᎏ
Άx2 Ϫ 5x Ϫ 7 Ͼ 0 Ά[∃/ x ʦ R]
25 Ϫ x 2 Յ 0 [∃/ x ʦ R]
273 Ϫ 4 Ϫ x 2 Ն 0 277 x 2 ϩ x Ϫ 12 Յ 0
BRAVI SI DIVENTA ᭤ E48
Ά278 ᎏx 2 Ϫx4ϩxᎏ3Ϫ 12 Ն 0 Յ΄ ΅x0∨ x Ն 3
x(x Ϫ 6) Յ 7 ᎏ2ᎏ
Ά(x Ϫ 3)(x ϩ 3) ϩ (2x Ϫ 1)2 Ϫ x(x ϩ 2) ϩ 8 Ն 0
279 x(x Ϫ 1) Ͼ x Ϫ 1 ΄ ΅3 7
Ά280 ᎏx Ϫ3ᎏ2 Ϫ ᎏ6x 2ϩᎏ1 Ͼ ᎏ23ᎏx Ϫ ᎏ4ᎏ Յ x Ͻ Ϫ ᎏ20ᎏ
Ϫ 4x 2 Ն 3x
΄ ΅3 1
Ά281 3x ϩ 1 Յ ᎏ6x 4ϩᎏ5
x(2x Ϫ 1) ϩ 1 Ͻ 4x ϩ 13 Ϫ ᎏ2ᎏ Ͻ x Յ ᎏ6ᎏ
Ά(2 Ϫ x)2 Ͼ 8 Ϫ x [x ϭ Ϫ 2] ΆϪx2 ϩ x ϩ 2 Ͻ 0 [x Ͼ 7]
[Ϫ 4 Ͻ x Ͻ Ϫ 3]
282 ᎏx 2 4Ϫᎏ4 ϩ x Յ Ϫ 2 ΄ ΅3 7 286 ᎏx ϩ2ᎏ2 Ն 1
x 2 Ϫ 5x Ϫ 14 Ͼ 0 [∃/ x ʦ R]
Ά 2x ϩ 1 Ͼ 0 ᎏ2ᎏ Ͻ x Ͻ ᎏ3ᎏ [7 Ͻ x Ͻ 9]
Ά 2x2 ϩ 5x Ϫ 3 Ͼ 0
283 7x Ϫ 3x 2 Ͼ 0 ΄ ΅1 Ͻ x Ͻ ᎏ47ᎏ
2x Ϫ 3 Ͼ 0 287 x(x ϩ 2) Ͻ 8
[∃/ x ʦ R] 2x 2 Ϫ 7x Ͼ 0
Ά 4x Ϫ 7 Ͻ 0
Ά 6x2 ϩ 7x Ϫ 5 Ͼ 0
284 1 Ϫ x Ͻ 0
9 Ϫ 16x 2 Ͻ 0 288 7x ϩ 2 Ϫ 4x 2 Ͼ 0
x 2 Ͼ 2x
Ά 2x Ϫ 3 Ͼ 0
Ά 2x2 Ͼ 9(x ϩ 2)
285 3x ϩ 1 Ͼ 0
6x 2 Ϫ x Ϫ 1 Ͻ 0 289 2x 2 Ϫ 13x Ͼ 7
4x 2 Ϫ 39x ϩ 27 Ͻ 0
645
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ESERCIZI CAPITOLO 12. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Ά3 Ϫ x2 Ն 0 ΄ ΅Ϫ 1 Ͻ x Ͻ Ϫ ᎏ21ᎏ
΄ ΅x ϭ ᎏ23ᎏ ∨ x Յ ᎏ31ᎏ ∨ x Ն 4
290 2x 2 Ϫ 5x Ϫ 3 Ͼ 0 ΄ ΅x ϭ Ϫ ᎏ32ᎏ ∨ ᎏ53ᎏ Յ x Յ ᎏ32ᎏ
x ϩ 4x 2 Ϫ 3 Ͻ 0
[x Ͻ Ϫ 2 ͙ෆ3 ∨ ͙ෆ3 Ͻ x Ͻ 2 ͙ෆ3]
Ά 4x(x Ϫ 3) Ն Ϫ 9
΄ ΅3͙ෆ2 Ͻ x Ͻ 7 ͙ෆ2
291 6x 2 Ϫ 11x ϩ 3 Ն 0 ᎏ2ᎏ
2(x 2 ϩ 6) Ն 11x
[͙ෆ2 Ͻ x Ͻ ͙ෆ3]
Ά 9x 2 Ϫ 4 Յ 0
292 3x 2 ϩ 5x ϩ 2 Ն 0
15x 2 ϩ x Ϫ 6 Ն 0
Ά x 2 ϩ ͙ෆ3 x Ϫ 6 Ͼ 0
293 2x 2 ϩ ͙ෆ3 x Ͼ 3
4x Ϫ 8 ͙ෆ3 Ͻ 0
Ά 2x 2 Ϫ 7 ͙ෆ2 x ϩ 6 Ͼ 0
294 2x 2 Ϫ 7x ͙ෆ2 Ͻ 0
12x 2 Ϫ 17x ͙ෆ2 Ϫ 14 Ͼ 0
Ά x 2 Ϫ x ͙ෆ2 Ϫ x ͙ෆ3 ϩ ͙ෆ6 Ͻ 0
295 3x 2 Ϫ 7x ͙ෆ2 ϩ 4 Ͻ 0
4x 2 ϩ 4 ͙ෆ3 x ϩ 3 Ͼ 0
Ά296 ᎏx 2ϩxᎏ6 Ͼ 0 ΄ ΅1 Ά301 ᎏ22 ϩϪᎏxx Յ 0 [2 Յ x Յ 4]
ᎏ1xϪϪᎏ24x Ն 0
ᎏ1ᎏ ϩ ᎏx Ϫ2ᎏ1 Ն 0 0 Ͻ x Յ ᎏ3ᎏ ∨ x Ͼ 1
x [x Ͼ 0]
Άᎏ8ᎏ Ն 0 x [Ϫ 6 Ͻ x Յ Ϫ 2] Ά ΄ ΅ᎏ2x2 Ϫ ᎏ5x Ϫ 3 Ͼ 0 1 1
ᎏx ϩ2ᎏ3 Ͻ 1 [3 Ͻ x Ͻ 4] 302 4x Ϫ 1 Ϫ ᎏ2ᎏ Ͻ x Ͻ ᎏ4ᎏ ∨ x Ͼ 6
297 x 2 Ϫ 7x ϩ 6 Ͼ 0
΄ ΅1
Ά298 ᎏx Ϫ1ᎏ2 Ͻ 0 Ά303 ᎏ6xx22 Ϫϩ x7ᎏxϩϩ72 Ͻ 0 ΄ ΅1 2
ᎏxx2ϩϪᎏ64 Ն 0 0 Ͻ x Ͻ ᎏ2ᎏ x 2 Ϫ x Ϫ 30 Յ 0
ᎏ2ᎏ Ͻ x Ͻ ᎏ3ᎏ
Ά1 1 ᎏᎏ Ͼ ᎏx Ϫᎏ5 Ά304 ᎏxᎏϾ ᎏ(x Ϫ22ᎏ)(xx Ϫ3) [x Ͻ0∨2Ͻx Ͻ3∨x Ͼ4]
x xϪ3
ᎏ2ᎏ Ͻ 7
299 x(7 Ϫ x) Ͼ 12 x
Ϫ 2x Ͻ 0 Άᎏx Ϫxᎏ6 Յ ᎏ(x ϩ31x)Ϫ(ᎏx1Ϫ 6)
300 Ά1 Յ ᎏ2ᎏ x 305 ᎏxx2ϩϪᎏ49 Ն 0 [3 Յ x Ͻ 6]
ᎏ23xϪϪᎏx1 ϩ ᎏ31ᎏ Յ 0
646
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Applicazioni delle disequazioni ESERCIZI
Ά306 ᎏxx Ϫϩᎏ62 Ն 0 [2 Յ x Յ 3] Άᎏx2(xx2Ϫᎏϩ14) Ն 0 [x Ͼ 2]
2x 2 Ϫ 7x ϩ 3 Յ 0 [x Ͻ Ϫ 1 ∨ x Ն 3]
310 ᎏxx4 2ϩϪᎏ64x 2 Ն 1 [1 Ͻ x Յ 9 ∧ x 2]
Άᎏ1xϪϩᎏ23x Ͻ 0
[x Ͼ 2] Άx4 Ͼ x2 ΄ ΅5
307 ᎏx Ϫxᎏ2 Ͼ 1
311 ᎏ(x ϩ 1)x(ᎏx32 Ϫ 3x ) Ն 0 1 Յ x Յ ᎏ4ᎏ
Ά308 ᎏx(x Ϫx29ϩ)ᎏ(x4ϩ 1) Ն 0 [Ϫ 1 Յ x Յ 0 ∨ x Ն 9] Ά312 x 2 Ϫ 5x ϩ 8 Ͼ 0
x2 Ϫ x ϩ7Ͼ0 ᎏ2x Ϫᎏ1
(x Ϫ 2)4(x 2 ϩ x Ϫ 2) Ͼ 0
9x Ն x 2
Ά ΄ ΅309 1 Ϫ 1 Ͻ Ϫ 1 1 Ά313 ᎏx 2 Ϫx 2 7Ϫxᎏ2ϩx 12 Յ 0
ᎏx 2 Ϫᎏ3x ᎏᎏ ᎏ2ᎏ ᎏ5 ϩᎏx 2 ϩ 3x Յ 9
x Ͻ x Ͻ 2 ∨ 2 Ͻ x Ͻ 3
ᎏx4(xx2ϩᎏϪ31) Ն 0 x
Applicazioni delle disequazioni
■ Le condizioni di esistenza dei radicali
Determina le condizioni di esistenza dei seguenti radicali.
314 ͙ෆϪෆx 2ෆϩෆ9 ; ͙xෆෆ(xෆϪෆ3)ෆ . [Ϫ 3 Յ x Յ 3; x Յ 0 ∨ x Ն 3]
315 ͙ෆ3xෆ2 ϩෆෆ11ෆxෆϪෆ4 ; ͙ෆx 2ෆϪෆ3ෆx ෆϩෆ9 . Յ΄ ΅xϪ 4 ∨ x Ն 1 ; ∀ x ʦ R
ᎏ3ᎏ
316 ͙8ෆෆϩෆxෆ2 ; ͙4ෆxෆ2 ෆϪෆ4ෆx ෆϩෆ1 . [∀ x ʦ R; ∀ x ʦ R]
Ί317 ᎏx Ϫxᎏ5 ; Ίᎏx 2x(xϩᎏϩ31) . [x Յ 0 ∨ x Ͼ 5; x Յ Ϫ 3 ∨ Ϫ 1 Ͻ x Ͻ 0 ∨ x Ͼ 0]
Ί318 ᎏxx ϩϪᎏ12 ; ΊᎏxϪϩᎏx8 .
[x Ͻ Ϫ 2 ∨ x Ն 1; Ϫ 8 Ͻ x Յ 0]
Determina il dominio delle seguenti funzioni.
319 f(x) ϭ ͙ෆ16ෆϪෆxෆ2 ϩ ͙xෆ [0 Յ x Յ 4]
Ί320 f(x) ϭ
1 Ϫ ͙xෆ2ෆϪෆ3ෆx ෆϩෆ2 [x Ͻ 0 ∨ x Ͼ 2]
ᎏx 2 Ϫᎏ2x
321 f(x) ϭ 1 ϩ ͙2ෆxෆϪෆ1 ΄ ΅x Ն ᎏ12ᎏ ∧ x 6
ᎏ6x Ϫᎏx 2
Ί322 f(x) ϭ ᎏx 4xϩᎏ1 ϩ ͙3 ෆx [x Ն 0]
Ί323 f(x) ϭ ᎏ4x 2xϪ(x1ϩᎏ3x1)ϩ 3 ΄ ΅xϽ Ϫ 1 ∨ 0 Ͻ x Յ 1 ∨ x Ն 3
ᎏ4ᎏ
647
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ESERCIZI CAPITOLO 12. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
■ La risoluzione delle equazioni irrazionali
ESERCIZIO GUIDA
324 Risolviamo l’equazione:
͙xෆ2ෆෆϪෆ4xෆϩෆෆ3 ϩ 2 ϭ 2x .
Isoliamo la radice: ᎏ31ᎏ
1
͙xෆෆ2 ෆϪෆ4ෆx ෆϩෆ3 ϭ 2x Ϫ 2. ⌬ ϭ 1, x ϭ ᎏ2 Ϯ3ᎏ1 ϭ
ᎏ4ᎏ
Imponiamo la non negatività del radicando e del Poiché dobbiamo tener conto della condizione
secondo membro:
Ά Άx2 Ϫ 4x ϩ 3 Ն 0→ x Յ1∨x Ն3 x ϭ 1 ∨ x Ն 3, essendo ᎏ31ᎏ 1 e ᎏ13ᎏ Ͻ 3, è accettabile
2x Ϫ 2 Ն 0 x Ն1 solo la soluzione:
da cui segue la condizione: x ϭ 1 ∨ x Ն 3. x ϭ 1.
Eleviamo al quadrato:
(͙xෆ2ෆϪෆෆ4xෆෆϩෆ3)2 ϭ (2x Ϫ 2)2
Svolgiamo i calcoli:
x 2 Ϫ 4x ϩ 3 ϭ 4x 2 Ϫ 8x ϩ 4
Ϫ 3x 2 ϩ 4x Ϫ 1 ϭ 0
3x 2 Ϫ 4x ϩ 1 ϭ 0
Risolvi le seguenti equazioni irrazionali. ΄ ΅Ϫ5 333 x ϩ 2 ϩ ͙ෆ2x2ෆϩෆෆ5ෆxෆϩෆ1ෆ1 ϭ 2x ϩ 1 [∃/ x ʦ R]
325 ͙ෆx 2ෆϪෆ1 ϭ x ϩ 3 ᎏ3ᎏ
326 ͙ෆx 2ෆϪෆx ϭ 2x [ 0] 334 2x ϭ ͙ෆ2xෆϪෆxෆ2 ϩ 3 ΄ᎏ59ᎏ΅
327 ͙ෆ4 ෆϪෆx 2ෆ ϭ x ϩ 1 ΄ ΅Ϫ 1 ϩ ͙7ෆ 335 ͙5ෆϪෆෆ2ෆxෆ2 ϩ 1 ϭ x 2 [Ϯ ͙ෆ2]
ᎏ2ᎏ
328 ͙ෆx 2ෆϪෆ9 ϭ x ϩ 1 [∃/ x ʦ R] 336 ͙ෆx2ෆϪෆෆxෆϪෆ6 ϭ ᎏ2xᎏ Ϫ 1 ΄2 Ίᎏ37ᎏ΅
329 ͙ෆx2ෆϪෆෆ1ෆ0xෆϩෆ1ෆ6 ϭ 4 Ϫ 2x [0; 2] 337 x 2 ϭ 3 ϩ ͙5ෆϪෆෆxෆ2 (poni x 2 ϭ t)
[Ϯ 2]
330 ͙ෆ2x2ෆϪෆෆ9ෆx ෆϩෆ4 ϭ x Ϫ 2 [5] 338 ͙(ෆ2ෆxෆϪෆ5)ෆ(ෆ2xෆϩෆ5)ෆϩෆෆ2ෆ5 ϭ (x Ϫ 3) ϩ 2x [3]
331 ͙ෆ2xෆ2 ෆϪෆ3ෆx ෆϪෆ2 ϭ 2x Ϫ 1 [∃/ x ʦ R]
332 2 ͙ෆ2x2ෆϪෆෆx ϭ 3x Ϫ 1 [1]
648
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Verso le competenze ESERCIZI
Verso le competenze Nel sito: ᭤ 30 test interattivi in più
TEST
1 Le soluzioni della disequazione 6 Quale affermazione, riferita al seguente sistema
x 5 Ϫ 8x 2 Յ 0 di disequazioni, è vera?
sono tutti gli x tali che: Ά2x 2 ϩ 18 Ն 0
A x Յ 0 ∨ x Ն 2. x ϩ2Ͻ0
B 0 Յ x Յ 2.
C x Ն 2. A È sempre verificato.
D x Յ 2. B Non è mai verificato.
C È verificato per x Ͻ Ϫ 3.
2 Date le disequazioni D È verificato per x Ͻ Ϫ 2.
x 3 Ϫ 27 Յ 0 e x 2 Ϫ 9 Ͼ 0,
7 La disequazione Ϫ2x2 Ϫ 5x + 3 Ͼ 0 è equivalen-
possiamo affermare che: te a:
A sono equivalenti. A (1 Ϫ 2x)(x ϩ 3) Ͼ 0.
B l’unione delle loro soluzioni è R.
C l’intersezione delle loro soluzioni è l’insieme B (1 Ϫ 2x)(x ϩ 3) Ͻ 0.
vuoto. C (2x Ϫ 1)(x ϩ 3) Ͼ 0.
D sono entrambe verificate da x ϭ 3.
D Ϫ 2 x Ϫ ᎏ21ᎏ (x + 3) Ͻ 0.
3 La disequazione 25x2 ϩ 10x ϩ 1 Ͻ 0: 8 Quale dei seguenti valori appartiene all’insieme
delle soluzioni di x2 Ϫ 5x Ϫ 24 Ͻ 0?
A è sempre verificata in R.
A Ϫ3 C ᎏ452ᎏ
B è verificata solo per x = Ϫ5.
C è verificata solo per x = Ϫᎏ15ᎏ. B 2 D Ϫ ͙1ෆ0
D non è mai verificata in R.
9 Quale delle seguenti disequazioni non ha solu-
zioni reali?
4 Sia m una costante. Le rette y ϭ x Ϫ 2 e A 1 Ͼ 0
ᎏx2 Ϫᎏ1
y ϭ mx ϩ 3 si intersecano in un punto di coordi-
nate x e y entrambe positive se e solo se B Ϫ5 Ͼ 0
ᎏx2 Ϫᎏ1
A m ϭ 1. D Ϫ ᎏ23ᎏ Ͻ m Ͻ 0.
3
E Ϫ ᎏ32ᎏ Ͻ m Ͻ 1. C ᎏx2 + 2ᎏx + 5 Ͻ 0
B m Ͻ 1.
C m Ͼ Ϫ 3 . D Ϫ1 Ͻ 0
ᎏ2ᎏ ᎏx2 + 2ᎏx + 5
(USA North Carolina State High School Mathematics Contest, 2003) 10 Risolvi il sistema di disequazioni.
5 Quale delle seguenti espressioni ha valore positi- Άx Ͼ 0
vo per ogni valore reale di x?
ᎏ3 Ϫᎏx
A x 2 ϩ 2x C x3 x 2 Ϫ 16 Ͻ 0
B x2ϩ1 D x2Ϫ1 x 2 Ϫ 3x ϩ 2 Ͼ 0
(Invalsi, 2006) [0 Ͻ x Ͻ 1 ∨ 2 Ͻ x Ͻ 3]
649
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ESERCIZI CAPITOLO 12. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
11 È possibile che il quadrato di un numero sia mi- 16 Tra le seguenti disequazioni, quella che ha per
nore del numero stesso? Spiega perché con una soluzione Ϫ1 Յ x Յ 3 è:
disequazione.
A x2 Ϫ 2x Ϫ 3 Ն 0.
12 Dopo aver spiegato perché non è corretta l’impli- B x2 ϩ 2x Ϫ 3 Յ 0.
cazione C x2 Ϫ 2x Ϫ 3 Յ 0.
x 2 Ͼ 9 ⇒ x Ͼ Ϯ 3, D x2 Ϫ x ϩ 3 Ն 0.
scrivi, motivando, la soluzione corretta.
17 In un rombo una diagonale è i 3 dell’altra. Indi-
TEST ᎏ5ᎏ
cando con 3x la diagonale minore, quali possibili
13 Le soluzioni di x2(x ϩ 3) Ͼ x ϩ 3 sono:
valori può assumere x affinché l’area del rombo sia
A Ϫ3 Ͻ x Ͻ Ϫ 1 ∨ x Ͼ 1. inferiore a 30 cm2?
B x Ͻ Ϫ 3 ∨ Ϫ1 Ͻ x Ͻ 1.
C x Ͼ Ϫ3. A Ϫ2 Ͻ x Ͻ 2
D Ϫ1 Ͻ x Ͻ 1. B Ϫ2 Յ x Յ 2
C 0 Յ x Ͻ ͙2ෆ
14 0 Յ x Ͻ 5 è l’insieme delle soluzioni di: D 0ϽxϽ2
A ᎏ95x3Ϫϩᎏxx Ն 0. C ᎏ9xx3Ϫϩᎏ5x Ն 0. 18 COMPLETA Data la disequazione 2x2 Ϫ 7x Ϫ 15 Ն 0,
scrivi una disequazione a essa equivalente
B ᎏ95x3Ϫϩᎏxx Ͼ 0. D ᎏ95x3Ϫϩᎏxx Յ 0.
con lo stesso verso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 Le condizioni di esistenza del radicale e una
Ί4 ᎏ(x ϩxᎏ43)2 di verso opposto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
sono: 19 Disegna le parabole di equazione y ϭ 4x2 ϩ k, at-
A x Ն Ϫ 3. C x 0. tribuendo a k i valori Ϫ1, 0, 1, e per ognuno di
tali valori di k risolvi la disequazione 4x2 ϩ k Ն 0.
B x Յ Ϫ 3 ∨ x Ͼ 0. D ∀x ʦ R.
20 Da una lamiera quadrata di lato x cm vengono tagliati quattro quadrati di lato (x Ϫ 12) cm e, ripiegando
lungo i lati tratteggiati, si costruisce una scatola.
x –12
x
Determina per quali valori di x:
a) è possibile costruire la scatola;
b) si ottengono scatole con superficie maggiore di 180 cm2.
[a) 12 Ͻ x Ͻ 24; b) 14 Ͻ x Ͻ 18]
650
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CAPITOLOTEORIA
Le trasformazioni 13
geometriche
nel piano cartesiano
In viaggio
Le indicazioni di un navigatore satellitare per
automobili sono, in definitiva, una successione di
traslazioni e di rotazioni nel piano, cioè una
sequenza di trasformazioni geometriche.
Ma una sequenza di istruzioni contiene,
implicitamente, un’istruzione ulteriore,
trascurando la quale si rischia di trovarsi molto
lontano dalla meta prevista…
…l’esito di una sequenza di trasformazioni
geometriche dipende dall’ordine in cui vengono
eseguite?
Nel sito: ᭤ La risposta
1. Le isometrie yB
Consideriamo due punti qualunque, A e B, del piano e i loro corrispon- A A'
denti A′ e B ′ in una trasformazione geometrica:
B'
A ۋA′ e B ۋB ′.
Ox
La trasformazione viene detta isometria se la distanza fra i punti A e B è
uguale alla distanza fra i punti corrispondenti A′ e B ′, comunque si scel- In ogni isometria
gano A e B nel piano, ossia se si ha AෆෆB ϭ Aෆ′ෆෆB′ෆ. AB = A'B'
Studiamo questi tipi di isometrie: la traslazione, la simmetria assiale, la →v
simmetria centrale e la rotazione. a
■ La traslazione y
La rappresentazione di un vettore nel piano cartesiano O2 x
Rappresentiamo nel piano cartesiano il vettore v¡ della figura a a lato, po- →v
nendo il primo estremo nell’origine degli assi (figura b).
−5
Le coordinate del secondo estremo sono una coppia di numeri, dette b
componenti del vettore. Le componenti del vettore v¡ della figura b sono
2 e Ϫ 5. Possiamo indicare il vettore in modo sintetico scrivendolo segui-
to, fra parentesi, dalle sue componenti: v¡(2; Ϫ 5).
651
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TEORIA CAPITOLO 13. LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO CARTESIANO
y A Lo stesso vettore può essere rappresentato con altri segmenti orientati
7 equipollenti a quello dato, ossia con uguale distanza fra gli estremi (mo-
dulo), stessa direzione e stesso verso.
2 B Per esempio, nella figura c consideriamo A¡B, con A(3; 7), B (5; 2), e C¡D,
−4 −2O con C (Ϫ 4; Ϫ 1), D (Ϫ 2; Ϫ 6). Entrambi rappresentano v¡, perché sono
23 5x equipollenti al segmento iniziale. In questo caso, per calcolare le compo-
C −1 →v nenti, dobbiamo considerare le differenze fra le coordinate del secondo
estremo e quelle del primo estremo:
−5
c D −6 A¡B(xB Ϫ xA; yB Ϫ yA ) ϭ A¡B(5 Ϫ 3; 2 Ϫ 7) ϭ A¡B(2; Ϫ 5);
C¡D(xD Ϫ xC ; yD Ϫ yC) ϭ C¡D(Ϫ 2 Ϫ (Ϫ 4); Ϫ 6 Ϫ (Ϫ 1)) ϭ C¡D(2; Ϫ 5).
A' Le equazioni della traslazione
Consideriamo un generico punto A del piano e il vettore v¡ applicato ad
→v A: facciamo coincidere con A il primo estremo di v¡ e chiamiamo A′ il
A punto del piano coincidente con il secondo estremo.
La traslazione di vettore v¡ è quella isometria che associa al punto A il
y A punto A′.
7 Il trasformato dell’origine O nella traslazione di vettore v¡(a; b) è il pun-
t to O′(a; b). Per esempio (figura a lato), la traslazione individuata dal vet-
−5 tore precedente v¡(2; Ϫ 5) fa corrispondere al punto O (0; 0) il punto
E(2; Ϫ 5). Per trovare il corrispondente di un altro punto, per esempio
2 +2 A' A(2; 7), applichiamo ad A il vettore v¡, ottenendo il punto A′(2 ϩ 2;
O 7 Ϫ 5) ϭ A′(4; 2). Dato un generico punto P(x; y), le coordinate del suo
corrispondente P ′(x′; y′) sono date dalle equazioni:
24 x
→v t Άx ′ ϭ x ϩ 2
y′ϭy Ϫ5
−5 E In generale:
Άx′ ؍x ؉ a equazioni della traslazione secondo il vettore
¡v(a; b)
y′ ؍y ؉ b
P r ■ La simmetria assiale
H
Fissata nel piano una retta r, la simmetria assiale rispetto alla retta r è
P' quell’isometria che a ogni punto P fa corrispondere il punto P ′, nel semi-
piano opposto rispetto a r, tale che r sia asse del segmento PP ′, ossia:
y P H P'
y = y' ● r passa per il punto medio di PP ′;
● PP ′ è perpendicolare a r.
O x a x' x
b x=a La retta r è detta asse di simmetria.
La simmetria rispetto a un asse parallelo all’asse y
Consideriamo una generica retta parallela all’asse y di equazione x ϭ a
e un punto P (x; y). Disegniamo il punto P ′ simmetrico di P rispetto alla
retta data (figura a lato).
Il punto P ′ ha la stessa ordinata di P. Per calcolare l’ascissa di P ′, osser-
viamo che H è punto medio di PP ′, quindi la sua ascissa a è data da
652
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Paragrafo 1. Le isometrie TEORIA
a ϭ ᎏx ϩ2ᎏx ′ → x ′ ϭ 2a Ϫ x. MATEMATICA
Pertanto: PER IL CITTADINO
Άx′ ؍2a ؊ x equazioni della simmetria rispetto all’asse x ؍a I frattali
y′ ؍y Nei frattali uno stesso mo-
tivo geometrico si ripete
Se a = 0, l’asse di simmetria è l’asse y. all’infinito su scala sempre
Se una trasformazione geometrica manda un punto P in se stesso, P è più ridotta: ingrandendo
detto punto unito della trasformazione. un particolare di un fratta-
Ponendo x ϭ x′ nella prima equazione, puoi dimostrare che i punti uniti le, si ritrova la figura di ori-
della simmetria assiale sono i punti dell’asse. gine. Studiamo l’insieme di
trasformazioni geometri-
che che, applicate in modo
iterativo, permettono di
ottenere un famoso fratta-
le, il triangolo di Sierpinski.
Nel sito: ᭤ Il problema
La simmetria rispetto a un asse parallelo all’asse x
Con ragionamenti analoghi, si ricava:
Άx′ ؍x equazioni della simmetria rispetto all’asse y ؍b
y′ ؍2b ؊ y
y
Se b = 0, l’asse di simmetria è l’asse x. P'
La simmetria rispetto alla bisettrice dei quadranti y=b
Άx′ ؍y equazioni della simmetria rispetto alla bisettrice y H
del primo e del terzo quadrante P
y′ ؍x
O x = x' x
Άx′ ؍؊ y equazioni della simmetria rispetto alla bisettrice b y=x
b′ del secondo e del quarto quadrante
y′ ؍؊ x y
P(x; y)
y
x P'(y; x)
■ La simmetria centrale xy x
Fissato nel piano un punto M, la simmetria centrale di centro M è l’iso- P M P'
metria che a ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P ′ tale che
M è il punto medio del segmento PP ′. yP
2
La simmetria centrale rispetto all’origine degli assi
Dato il punto P (3; 2), disegniamo il punto simmetrico di P rispetto a O. −3 O 3 x
Congiungiamo P con O e, sul prolungamento di PO, scegliamo il punto
P ′ tale che sia ෆPෆ′ෆO ϭ OෆෆP. PЈ −2
Vediamo che il simmetrico di P(3; 2) rispetto a O è il punto P ′(Ϫ 3; Ϫ 2) ◗ Poiché al punto O(0; 0)
di coordinate opposte a quelle di P. corrisponde se stesso, il
centro di simmetria O è
In generale, si dimostra che due punti simmetrici qualsiasi rispetto all’ori- punto unito della trasfor-
gine degli assi cartesiani hanno le rispettive coordinate opposte. Pertanto: mazione.
Άx′ ؍؊ x equazioni della simmetria centrale di centro O
y′ ؍؊ y
653
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TEORIA CAPITOLO 13. LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO CARTESIANO
O P' ■ La rotazione
α P
Dato un angolo aO^b, possiamo considerarlo orientato pensando di con-
y siderare le semirette da cui è formato procedendo da a verso b oppure da
5A b ad a.
Fissati nel piano un punto O e un angolo orientato ␣, la rotazione di an-
O 2 5x golo ␣ è l’isometria che a ogni punto P del piano fa corrispondere il pun-
−2 A' to P ′ tale che:
1. ෆOෆP ϭ ෆOෆP ′;
◗ Poiché in una rotazione 2. l’angolo PO^P ′ è congruente ad ␣ e ugualmente orientato.
al centro di rotazione cor-
risponde se stesso, il cen- O è detto centro di rotazione.
tro O (0; 0) è punto unito
della trasformazione. La rotazione di un angolo retto con centro nell’origine degli assi
Ruotiamo di un angolo retto intorno all’origine degli assi cartesiani, in
y →v1 = k→v senso orario, un punto A(2; 5) e otteniamo il corrispondente A′(x ′; y ′).
yB = kyA B Si può dimostrare che l’ascissa di A′ risulta uguale all’ordinata di A e l’or-
dinata di A′ è l’opposta dell’ascissa di A, ossia:
yA →v A
A(2; 5) ۋA′(5; Ϫ 2).
x
O xA xB = kxA In generale, si dimostra che le equazioni della rotazione di un angolo
retto in senso orario di centro O sono:
Άx′ ؍y
y′ ؍؊ x
Si dimostra inoltre che la rotazione di un angolo retto in senso antiora-
rio di centro O ha equazioni:
Άx′ ؍؊ y
y′ ؍x
2. Le omotetie
■ Il prodotto di un vettore per un numero reale
Dati un vettore v¡ e un numero reale k 0, il prodotto k и v¡ (o semplice-
mente k v¡) del numero per il vettore è un nuovo vettore v¡1 che ha:
● la stessa direzione di v¡;
● modulo uguale al prodotto del valore assoluto di k per il modulo di v¡,
ossia ͉ v¡1͉ ϭ ͉ k ͉͉ v¡͉;
● verso concorde con quello di v¡ se k è positivo, discorde se k è negativo.
Se (a; b) sono le componenti di v¡, le componenti di v¡1 ϭ kv¡ sono
(ka; kb), cioè:
k и v¡(a; b) ϭ v¡1(ka; kb).
La figura 1 riporta due esempi con v¡(2; 1) e con k ϭ 3 e k ϭ Ϫ 3.
654
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Paragrafo 2. Le omotetie TEORIA
᭣ Figura 1
k=3 y →v1 P' y k = −3
6
3
•3 →v • (−3) 1 →v
P P
1
O2 x −6 O2 x
P" • (−3)
•3
→v2 −3
da.aI→lvv=etO→toPrme o→v1lt=ip3licv→a=ndO→oP'esnitorattmiebnee
le sue componenti per 3. bd.aI→lvvmetotlotirpeli→vc2a=nd−o3 v→= → si ottiene
OP" le sue
entrambe
componenti per −3.
■ Le omotetie con centro nell’origine degli assi y P'
ky kx x
Dati un numero reale k 0 e un punto P del piano, l’omotetia di rap-
porto k e centro O (dove O è l’origine degli assi) è quella trasformazione yP
che associa a P il punto P ′ tale che: Ox
¡ ϭ k и O¡P.
OP′
Il punto P ′ è detto omotetico di P. Il numero k è detto rapporto di omo-
tetia.
Le equazioni dell’omotetia di centro O e rapporto k sono:
Άx′ ؍kx
y′ ؍ky
Osservazioni k = 1 identità
1. Se k ؍1 (figura a), l’omotetia coincide con l’identità, ossia con la trasfor- yC
mazione che a ogni punto associa se stesso. Infatti le equazioni diventano: A B
x
Άx ′ ϭ x O
a
y′ϭy
k = −1 simmetria
In questo caso a ogni punto P (x; y) corrisponde se stesso, quindi tutti
i punti del piano sono punti uniti della trasformazione. di centro O
2. Se k ؍؊ 1 (figura b), otteniamo:
y C
Άx ′ ϭ Ϫ x A
y′ϭϪy O B
B' x
ossia ritroviamo la simmetria di centro O (0; 0). In tal caso sappiamo
già che O è l’unico punto unito della trasformazione. A'
3. Se k 1 (k 0), si può dimostrare che il centro O (0; 0) è l’unico C'
punto unito dell’omotetia. b
655
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
TEORIA CAPITOLO 13. LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO CARTESIANO
ESPLORAZIONE ■ Gli ingrandimenti e le riduzioni
Musica e L’omotetia permette di ingrandire o ridurre una figura, lasciandone inal-
trasformazioni terata la forma. Valgono le seguenti proprietà:
geometriche
● se ͉ k ͉ Ͼ 1, l’omotetia ingrandisce la figura;
Nel sito: ᭤ La scheda ● se ͉ k ͉ Ͻ 1, l’omotetia riduce la figura;
● se k Ͼ 0, l’omotetia è diretta, cioè due punti corrispondenti si trovano
᭤ Figura 2 L’omotetia di
rapporto 3 ingrandisce la nello stesso quadrante;
figura data ed è diretta; ● se k Ͻ 0, l’omotetia è inversa, cioè punti corrispondenti appartengono
1 a quadranti opposti (primo e terzo oppure secondo e quarto).
quella di rapporto ؊ ᎏᎏ ri-
Nella figura 2 sono illustrati due esempi di omotetie per diversi valori del
2 rapporto k.
duce la figura ed è inversa.
y y k = − —21
18 C' k = 3 6C
6C −2 1 A B x
B' A' 2 4
3 A' B' −3
1A B 12 C'
O 246 x
a. A(2; 1) ۋA'(6; 3) b. A(2; 1) ۋA'(−1; − —21 )
B(4; 1) ۋB'(12; 3) B(4; 1) ۋB'(−2; − —21 )
C(2; 6) ۋC'(6; 18) C(2; 6) ۋC'(−1; −3)
3. La composizione
di due trasformazioni
È data una figura Ᏺ del piano. Supponiamo di applicare a Ᏺ una trasfor-
mazione t e chiamiamo Ᏺ′ la trasformata di Ᏺ mediante t. Successiva-
mente, applichiamo a Ᏺ′ una trasformazione s, e chiamiamo Ᏺ″ la tra-
sformata di Ᏺ′ mediante s.
Esiste una trasformazione che applicata a Ᏺ dia Ᏺ″? Sì: è la composizione
delle due trasformazioni. La composizione viene indicata nel seguente
modo:
Ᏺ s ؠt Ᏺ″.
656
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Paragrafo 3. La composizione di due trasformazioni TEORIA
yy y sx ° t
x
t sx
x x
t: x' = x + 2 sx: x" = x' sx ؠt: x" = x + 2
y' = y + 2 y" = −y' y" = − y − 2
Una trasformazione geometrica è una funzione. Pertanto, la scrittura s ؠt ᭡ Figura 3
si legge «s composto t» e significa che eseguiamo la trasformazione otte-
nuta applicando prima t e poi s. LABORATORIO
DI MATEMATICA
Nella figura 3 puoi osservare in un esempio il modo di ottenere le equa- Nel sito:
zioni di una trasformazione composta a partire dalle equazioni delle tra- ᭤ Le trasformazioni
sformazioni che la compongono.
geometriche con Derive
PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Nel sito: ᭤ Scheda di lavoro
Parallelo all’asse x
Utilizza le trasformazioni geome- y ?
triche per ottenere l’equazione y = 2x2
della parabola disegnata in rosso
nella figura, che è congruente alla 1
parabola di equazione y = 2x 2.
O 3x
FRANCESCO: «Se la parabola avesse lo stesso vertice, ma asse parallelo all’asse
CHIARA: y, basterebbe una traslazione».
FRANCESCO:
«Forse dobbiamo prima trovare il modo di ribaltare la parabola
blu».
«Usiamo una simmetria?».
᭤ Componi due isometrie in modo da passare dalla parabola blu a quella
rossa. Generalizza il risultato ottenuto.
657
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 13. LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO CARTESIANO
LA TEORIA IN SINTESI
Le trasformazioni geometriche
nel piano cartesiano
1. Le isometrie
Abbiamo trattato le seguenti isometrie: traslazione, simmetria centrale, rotazione e simmetria assiale. Le loro
equazioni sono le seguenti
Traslazione di vettore →v (a; b) Simmetria centrale di centro O(0; 0) Rotazione di centro O(0; 0) di
un angolo retto in senso orario
x' = x + a x' = − x
y' = y + b y' = − y x' = y
y' = − x
Simmetria assiale di asse…
...una retta parallela ...una retta parallela ...la bisettrice del I e del ...la bisettrice del II e del
all’asse y(x = a) all’asse x(y = b) III quadrante (y = x) IV quadrante (y = − x)
x' = 2a − x x' = x x' = y x' = − y
y' = y y' = 2b − y y' = x y' = − x
2. Le omotetie
Fissato un numero reale k (k 0), le omotetie con centro l’origine O degli assi sono quelle trasformazioni
¡ O¡P.
che associano a ogni punto P del piano un punto P′ tale che ′ ϭ k и
OP
● Se k Ͼ 0, l’omotetia si dice diretta e in tal caso due punti corrispondenti A e A′ si trovano sulla medesima
semiretta con origine il centro O.
● Se k Ͻ 0, l’omotetia si dice inversa e due punti corrispondenti sono allineati con il centro O, ma si trovano
su semirette opposte.
● Se ͉ k ͉ Ͼ 1, si ha un ingrandimento.
● Se ͉ k ͉ Ͻ 1, si ha una riduzione.
Omotetia di centro O(0; 0) e rapporto k
x' = kx
y' = ky
diretta (k > 0) inversa (k < 0) ingrandimento (|k| > 1) riduzione (|k| < 1)
y A' y y C' yC
A A
C A' B' C' A B
Ox A' O x
B B'
OA x O A' x
3. La composizione di due trasformazioni
Se a un punto P si applica una trasformazione t e al punto trasformato P ′ si applica un’altra trasformazione s, si
ottiene un punto P″ che è il corrispondente di P mediante la trasformazione s ؠt, detta composizione delle due.
658
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Paragrafo 1. Le isometrie ESERCIZI
1. Le isometrie –ᮣ Teoria a pag. 651
■ La traslazione Nel sito: ᭤ 5 esercizi di recupero
La traslazione di punti e di poligoni
ESERCIZIO GUIDA
1 Trasliamo il triangolo di vertici A(6; Ϫ 5), B (9; Ϫ 3) e C (8; Ϫ 2) secondo il vettore ¡v (Ϫ 2; 5).
Scriviamo le equazioni della A(6; Ϫ 5) ۋA′(4; 0) y C'
traslazione: B(9; Ϫ 3) ۋB′(7; 2) 5 B'
C(8; Ϫ 2) ۋC ′(6; 3).
Άx′ ϭ x Ϫ 2 3 A' 8 9
y′ϭy ϩ5 Disegniamo il vettore v¡ applicato →v 2 4 67 C x
nell’origine e i due triangoli corri- −2 O
Determiniamo le coordinate spondenti ABC e A′B′C ′. −2 B
dei punti corrispondenti ai −3
dati: A
−5
Trasla il poligono di vertici indicati secondo il vettore v¡ dato.
2 A(Ϫ 8; Ϫ 3), B(Ϫ 3; Ϫ 2), C(Ϫ 7; 6); v¡(9; 1).
v¡(Ϫ 6; Ϫ 3).
3 A(2; 5), B(4; 7), C(2; 8); v¡(9; 1).
v¡(9; 1).
4 A(Ϫ 3; 1), B(Ϫ 2; 5), C(Ϫ 3; 9), D(Ϫ 5; 5); v¡(9; 1).
D(Ϫ 4; 3);
5 A(Ϫ 2; 1), B(4; 1), C(2; 3), D(4; Ϫ 8);
6 A(4; Ϫ 12), B(6; Ϫ 12), C(Ϫ 16; Ϫ 8),
La traslazione di una retta
ESERCIZIO GUIDA
7 Sono assegnate la retta r di equazione y ϭ 4x Ϫ 4 e la traslazione di equazioni
Άx′ ϭ x Ϫ 6
y′ϭy ϩ3
Scriviamo l’equazione della retta r′ corrispondente di r nella traslazione data.
Disegniamo la retta r calcolando le coordinate dei y = 4x − 4 →v yr x
suoi punti di intersezione con gli assi cartesiani, xy −6 3
cioè A (0; Ϫ 4) e B (1; 0), come in figura a. 0 −4
10 B
La traslazione è individuata dal vettore v¡(Ϫ 6; 3). O1
Ricaviamo x e y dal sistema: a
−4 A
Άx ϭ x′ ϩ 6
y ϭy′Ϫ3
659
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ESERCIZI CAPITOLO 13. LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO CARTESIANO
Sostituiamo le espressioni di x e y così trovate nell’equazione della retta r, y ϭ 4x Ϫ 4, ottenendo:
y ′ Ϫ 3 ϭ 4(x ′ ϩ 6) Ϫ 4.
Gli apici delle variabili x ′ e y ′ servono solo per distinguere r ′ da r. Determinata l’equazione di r ′, possia-
mo eliminarli:
y Ϫ 3 ϭ 4(x ϩ 6) Ϫ 4, r' y r
y Ϫ 3 ϭ 4x ϩ 20 → y ϭ 4x ϩ 23.
L’equazione di r ′ è: y ϭ 4x ϩ 23. B' x
B
Le rette r e r ′ hanno lo stesso coefficiente angola-
re, quindi sono parallele. Questo è vero in genera- A' O 1
le: le rette che si corrispondono in una traslazio-
ne sono parallele. −4 A
Disegniamo le due rette r e r ′ in uno stesso riferi-
mento cartesiano (figura b). b
Sono date l’equazione di una retta e le equazioni di una traslazione. Trova l’equazione della retta traslata e trac-
cia il grafico completo. Άx ′ ϭ x Ϫ 3 Άx ′ ϭ x ϩ ᎏ1ᎏ
8 y ϭ ᎏ4xᎏ Ϫ ᎏ45ᎏ y′ ϭ y 2
11 y ϭ 2x Ϫ 3
y ′ ϭ y ϩ ᎏ25ᎏ
Άx ′ ϭ x ϩ 5
9 4x Ϫ 3y ϩ 2 ϭ 0 y′ϭy Ϫ6 1 Άx ′ ϭ x ϩ ᎏ31ᎏy′ϭyϪᎏ1ᎏ
10 x ϩ y ϭ 2 12 y ϭ Ϫ ᎏ3ᎏ x 3
Άx ′ ϭ x Ϫ 1
y′ϭy Ϫ4
La traslazione di una parabola
Applica a ogni parabola la traslazione di vettore w¡ scritto di fianco all’equazione e disegna le due parabole.
13 y ϭ x 2; w¡(Ϫ 2; 0). 16 y ϭ 1 x 2; w¡(3; 2).
14 y ϭ Ϫ x 2 ϩ 4; w¡(0; Ϫ 2). ᎏ2ᎏ
15 y ϭ Ϫ 2x 2 Ϫ x; w¡(Ϫ 5; 0). 17 y ϭ Ϫ ᎏ41ᎏ x 2 ϩ 1; w¡(Ϫ 4; 2).
18 y ϭ 3x 2 ϩ x Ϫ 2; w¡ Ϫ 1; Ϫ ᎏ21ᎏ .
■ La simmetria assiale Nel sito: ᭤ 5 esercizi di recupero
La simmetria di punti e di poligoni
ESERCIZIO GUIDA
19 Data la retta r di equazione x ϭ Ϫ 2, scriviamo le equazioni della simmetria rispetto a r e determiniamo le
coordinate dei punti corrispondenti ai vertici del quadrilatero ABCD, dove A(Ϫ 12; Ϫ 4), B (Ϫ 6; Ϫ 4),
C(Ϫ 8; 3), D(Ϫ 11; 1). Disegniamo la figura.
660
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 1. Le isometrie ESERCIZI
La retta r è parallela all’asse y. Le equazioni di una C y C'
simmetria di asse parallelo all’asse y di equazione 3
x ϭ a sono del tipo
Άx ′ ϭ 2a Ϫ x D −8 −6 −2 O 2 4 D'
y′ ϭy −12 7 8x
e, poiché nel nostro caso a ϭ Ϫ 2, le equazioni A −4 A'
della simmetria sono: B B'
Άx′ϭ Ϫ 4 Ϫ x x = −2
y′ ϭ y
Scriviamo le coordinate dei punti corrispondenti e disegniamo la figura:
A(Ϫ 12; Ϫ 4) ۋA′(8; Ϫ 4); B (Ϫ 6; Ϫ 4) ۋB′(2; Ϫ 4); C(Ϫ 8; 3) ۋC ′(4; 3);
D(Ϫ 11; 1) ۋD′(7; 1).
Dati i vertici di un poligono e l’equazione di un asse di simmetria, scrivi le equazioni della simmetria e deter-
mina i simmetrici dei poligoni assegnati. Disegna la figura.
20 Triangolo di vertici A(2; 9), B(Ϫ 2; 3), C (Ϫ 4; 7); asse di equazione x ϭ 0.
21 Quadrilatero di vertici A(2; 2), B(5; 6), C(0; 10), D (Ϫ 4; 5); asse di equazione x ϭ Ϫ 3.
22 Trapezio di vertici A(0; 0), B Ϫ ᎏ23ᎏ ; 4 , C Ϫ ᎏ29ᎏ ; 4 , D(Ϫ 6; 0); asse di equazione x ϭ Ϫ 3.
23 Triangolo di vertici A(3; 1), B(1; 5) e C(Ϫ 2; 1); asse di equazione y ϭ 0.
24 Quadrilatero di vertici A(Ϫ 1; 2), B (0; 6), C(3; 6) e D(5; 0); asse di equazione y ϭ Ϫ 1.
25 Parallelogramma di vertici A(Ϫ 2; Ϫ 2), B (Ϫ 1; 1), C(2; 2) e D(Ϫ 1; 1); asse di equazione y ϭ 3.
26 Dato il triangolo di vertici A (2; 1), B(0; 4) e C (Ϫ 1; 1), trova il suo simmetrico A′B′C ′ rispetto all’asse di
equazione x ϭ 1. Verifica che i due triangoli abbiano la stessa area.
27 Fra i seguenti punti, individua quelli che si corrispondono nella simmetria di asse y ϭ x:
Ϫ 2;1,Ϫ2;1, Ϫ 1 ; 3 , 3; Ϫ 1 , (1; 6), (1; Ϫ 6), (6; 1), (Ϫ 6; 1).
ᎏ3ᎏ ᎏ3ᎏ ᎏ2ᎏ ᎏ2ᎏ
28 Fra i seguenti punti individua quelli che si corrispondono nella simmetria di asse y ϭ Ϫ x:
(Ϫ 1; 2), (2; Ϫ 1), ᎏ21ᎏ ; 5 , (Ϫ 2; ϩ 1), (4; 3), 3; ᎏ41ᎏ , Ϫ 5; Ϫ ᎏ21ᎏ , Ϫ ᎏ41ᎏ ; Ϫ 3 .
29 Determina il simmetrico del parallelogramma di vertici A(Ϫ 6; Ϫ 5), B(Ϫ 3; Ϫ 3), C(Ϫ 1; Ϫ 4),
D(Ϫ 4; Ϫ 6) rispetto alla bisettrice y ϭ Ϫ x; scrivi la corrispondenza fra i punti e disegna la figura.
30 Dato il triangolo di vertici A(1; 2), B(5; 2) e C (3; 4), determina il suo simmetrico rispetto alla bisettrice del
secondo e del quarto quadrante e verifica che tali triangoli sono isosceli e fra loro congruenti.
31 Disegna il triangolo di vertici A(4; Ϫ 1), B(6; Ϫ 3) e C(1; Ϫ 4). Determina il suo simmetrico rispetto alla bi-
settrice del secondo e del quarto quadrante e verifica che tali triangoli sono rettangoli e fra loro congruenti.
661
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 13. LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO CARTESIANO
La simmetria di rette
32 In una trasformazione geometrica una figura è unita se coincide con la sua corrispondente. Dimostra che
in una simmetria assiale, con asse di equazione y ϭ b, l’asse è una retta unita.
33 Dimostra che in una simmetria di asse di equazione x ϭ a ogni retta perpendicolare all’asse è unita.
Per ognuna delle seguenti rette, determina la retta corrispondente nella simmetria di asse assegnato e disegna
la figura.
34 Retta: 2x ϩ 5y Ϫ 7 ϭ 0; asse: x ϭ 0. 41 Retta: y ϭ 1 ϩ 3 ; asse: y ϭ 1 .
ᎏ2ᎏ x ᎏ2ᎏ ᎏ3ᎏ
35 Retta: y ϭ 2x Ϫ 4; asse: x ϭ Ϫ 1. 42 Retta: y ϭ x Ϫ 3; asse: y ϭ x.
36 Retta: 4x Ϫ 2y ϩ 1 ϭ 0; asse: x ϭ Ϫ 3. 43 Retta: 2x ϩ 5y Ϫ 6 ϭ 0; asse: y ϭ x.
37 Retta: y ϭ Ϫ ᎏ32ᎏ x ϩ ᎏ21ᎏ; asse: x ϭ ᎏ23ᎏ. 44 Retta: y ϭ Ϫ ᎏ23ᎏ x ϩ 2; asse: y ϭ x.
38 Retta: 3x Ϫ 5y ϭ 0; asse: y ϭ 0. 45 Retta: 2x Ϫ ͙ෆ3 y ϭ 0; asse: y ϭ Ϫ x.
39 Retta: 3x ϩ 2y Ϫ 1 ϭ 0; asse: y ϭ 0. 46 Retta: 2x ϩ 2y Ϫ 5 ϭ 0; asse: y ϭ Ϫ x.
40 Retta: y ϭ Ϫ 3x ϩ 5; asse: y ϭ Ϫ 2.
47 Retta: y ϭ 5 ϩ 2 ; asse: y ϭ Ϫ x.
ᎏ7ᎏ x ᎏ7ᎏ
48 Determina la retta r′ corrispondente della retta r di equazione y ϭ 2 nella simmetria di asse x ϭ Ϫ 1. Dise-
gna entrambe le rette e l’asse di simmetria. Che cosa puoi affermare? [y ϭ 2]
49 Determina la retta r′ corrispondente della retta r di equazione x ϭ Ϫ 3 nella simmetria di asse x ϭ 1. Dise-
gna entrambe le rette e l’asse di simmetria. Che cosa osservi? [x ϭ 5]
50 La retta r, di coefficiente angolare 2, passa per A(Ϫ 1; 4). Trova l’equazione della sua simmetrica rispetto
all’asse y. [2x ϩ y Ϫ 6 ϭ 0]
51 Determina la retta r ′ corrispondente della retta r di equazione x ϭ Ϫ 3 nella simmetria di asse y ϭ Ϫ 1.
Che cosa osservi? Come si trasforma il punto P (Ϫ 3; Ϫ 5) appartenente a r? [x ϭ Ϫ 3; P′(Ϫ 3; 3)]
52 Determina la retta r′ corrispondente della retta r di equazione 2x Ϫ 3y ϩ 4 ϭ 0 nella simmetria di asse y ϭ 3.
Determina il punto di intersezione di r e r′ senza risolvere il sistema delle loro equazioni.
΄ ΅2x ϩ 3y Ϫ 14 ϭ 0; ᎏ25ᎏ ; 3
53 Data la retta r di equazione 2x ϩ 4y Ϫ 1 ϭ 0, determina la sua simmetrica r ′ rispetto all’asse di equazione
΄ ΅4x ϩ 2y Ϫ 1 ϭ 0;
y ϭ x. Dove si incontrano r e r′? ᎏ1ᎏ ; ᎏ1ᎏ
66
La parabola e la simmetria assiale
ESERCIZIO GUIDA
54 Verifichiamo che la parabola di equazione y ϭ 1 x 2 Ϫ 4x ϩ 2 è simmetrica rispetto al suo asse.
ᎏ2ᎏ
662
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 1. Le isometrie ESERCIZI
L’asse della parabola ha equazione: y ϭ ᎏ21ᎏ и (64 Ϫ 16x ϩ x 2) Ϫ 32 ϩ 4x ϩ 2,
x ϭ Ϫ ᎏ2bᎏa ϭ Ϫ ᎏϪ 41 ϭ 4. y ϭ 32 Ϫ 8x ϩ 1 x 2 Ϫ 32 ϩ 4x ϩ 2,
2 и ᎏ2ᎏ ᎏ2ᎏ
y ϭ ᎏ21ᎏ x 2 Ϫ 4x ϩ 2.
Le equazioni della simmetria di asse x ϭ 4 sono:
Άx′ ϭ 8 Ϫ x Otteniamo l’equazione della parabola iniziale, quindi
y′ ϭ y
la retta di equazione x ϭ 4, asse della parabola di
Ricaviamo x e y: equazione y ϭ ᎏ21ᎏ x 2 Ϫ 4x ϩ 2, è asse di simmetria
Άx ϭ 8 Ϫ x′ della parabola stessa.
y ϭy′
Per calcolare la trasformata della parabola inizia- y y = —12 x2 − 4x + 2
le, sostituiamo le espressioni calcolate nella sua x=4
equazione: xy
4 −6
y ϭ ᎏ21ᎏ и x 2 Ϫ 4 и x ϩ 2 (parabola data), 2 x 02
2 2 −4
y ′ ϭ ᎏ21ᎏ и (8 Ϫ x ′)2 Ϫ 4 и (8 Ϫ x ′) ϩ 2 6 6 −4
(parabola simmetrica). O
Nell’equazione della parabola simmetrica, elimi- −4
niamo gli apici e svolgiamo i calcoli: −6
55 Verifica che la parabola di equazione y ϭ Ϫ x 2 è figura unita nella simmetria rispetto all’asse y.
56 Verifica che l’asse della parabola di equazione y ϭ Ϫ 3x 2 ϩ 2x è asse di simmetria per la parabola stessa.
57 Data la parabola di equazione y ϭ x 2, determina la sua corrispondente nella simmetria rispetto all’asse x.
Che cosa osservi? [y ϭ Ϫ x 2]
58 Determina la simmetrica rispetto all’asse y della parabola di equazione y ϭ ᎏ31ᎏ x 2 ϩ x. ΄ ΅y ϭ ᎏ31ᎏ x 2 Ϫ x
59 Data la parabola di equazione y ϭ 2x2, determina la sua simmetrica rispetto alla bisettrice del primo e terzo
quadrante.
■ La simmetria centrale Nel sito: ᭤ 5 esercizi di recupero
La simmetria di punti e di poligoni
Di seguito, sono dati i vertici di alcune figure. Deter- 61 Quadrato di vertici A(Ϫ 5; 3), B(Ϫ 3; 1), C(Ϫ 1; 3) e
mina le figure simmetriche rispetto all’origine degli D(Ϫ 3; 5).
assi e disegnale.
62 Rombo di vertici A(0; 3), B(Ϫ 2; 0), C (0; Ϫ 3) e
60 Triangolo di vertici A(3; 4), B (2; 3) e C(4; 1). D(2; 0). Che cosa osservi in questo caso?
663
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ESERCIZI CAPITOLO 13. LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO CARTESIANO
La simmetria di rette
ESERCIZIO GUIDA
63 Determiniamo la retta corrispondente alla retta r di equazione y ϭ 3x Ϫ 2 nella simmetria con centro
nell’origine degli assi cartesiani.
Le equazioni della simmetria con centro nell’origine degli assi sono:
Άx′ ϭ Ϫ x
y′ ϭ Ϫ y
Ricaviamo x e y dalle equazioni precedenti:
Άx ϭ Ϫ x′
y ϭϪy′
Nell’equazione della retta r sostituiamo a x e y le y r' r r: y = 3x − 2
espressioni trovate: 2 xy
y ϭ 3x Ϫ 2 (retta r), − —2 0 −2
Ϫ y ′ ϭ 3(Ϫ x ′) Ϫ 2 (retta r′). 3 —23 0
O
Togliamo gli apici e otteniamo, cambiando i se- —23 x r': y = 3x + 2
gni, l’equazione della retta r′: xy
y ϭ 3x ϩ 2.
Disegniamo il grafico: le due rette r e r ′ sono pa- −2 0 2
rallele. Infatti le loro equazioni hanno lo stesso − —32 0
coefficiente angolare 3.
Determina le rette corrispondenti alle rette date nella simmetria di centro O (0; 0) e verifica che due rette corri-
spondenti sono parallele.
64 y ϭ Ϫ 2x ϩ 5 [y ϭ Ϫ 2x Ϫ 5] 66 2x Ϫ 3y ϩ 2 ϭ 0 [2x Ϫ 3y Ϫ 2 ϭ 0]
65 y ϭ ᎏ21ᎏ x ϩ 4 67 Ϫ 2x ϩ 6y Ϫ 3 ϭ 0 [6y Ϫ 2x ϩ 3 ϭ 0]
΄ ΅y ϭ ᎏ21ᎏ x Ϫ 4
La parabola e la simmetria centrale
68 Data la parabola di equazione y ϭ Ϫ x2, determina la sua simmetrica rispetto al vertice.
Trova le simmetriche rispetto all’origine delle seguenti parabole e determina le eventuali intersezioni fra la pa-
rabola data e la sua simmetrica.
69 y ϭ Ϫ x 2 ϩ 5x Ϫ 4 [y ϭ x 2 ϩ 5x ϩ 4; ∃⁄ ]
70 y ϭ x 2 Ϫ x Ϫ 2 [y ϭ Ϫ x2 Ϫ x ϩ 2; (Ϫ ͙ෆ2; ͙ෆ2); (͙ෆ2; Ϫ ͙ෆ2)]
71 x ϭ y 2 Ϫ 1 [x ϭ Ϫ y 2 ϩ 1; (0; 1); (0; Ϫ1)]
664
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
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Matematica.bianco Vol.2
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