Paragrafo 4. La proprietà invariantiva dei radicali TEORIA
Essendo le basi delle potenze due numeri positivi o nulli, per la proprietà
a ϭ b ⇔ a n ϭ b n abbiamo:
͙n aෆෆm ϭ ͙nؒp ෆaෆmиෆp.
ESEMPIO
1. ͙2 ෆ2 ϭ ͙2ؒ3 ෆ2ෆ3 ϭ ͙6 ෆ8. 2. ͙3 aෆෆ2 ϭ ͙3ؒ5 aෆ2ෆи5 ϭ ͙15 aෆෆ10.
■ La semplificazione di radicali :p
Per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza, possiamo anche scrivere la √⎯⎯⎯ √⎯n • pn
proprietà invariantiva nel modo seguente:
am • p = am
͙nؒp aෆෆmиෆp ϭ ͙n aෆෆm.
:p
Dato cioè un radicale, si ottiene un radicale equivalente dividendo l’indi-
ce della radice e l’esponente del radicando per un divisore comune. ◗ È sbagliato semplificare
In questo caso si dice che si è semplificato il radicale. così:
ESEMPIO ͙6 ෆ23ෆϩෆ53ෆ ϭ ͙ෆ2 ෆϩෆ5 .
1. ͙9 ෆ5ෆ6 ϭ ͙9:3 ෆ56Ϻෆ3 ϭ ͙3 ෆ5ෆ2. 2. ͙6 ෆa ෆ4 ϭ ͙6:2 aෆ4ෆϺ2ϭ ͙3 ෆa ෆ2. ◗ Non è sempre possibile
semplificare un radicale.
In particolare, ͙n aෆෆn ؍a. Infatti ͙n aෆෆn ϭ ͙n:nෆaෆnϺෆn ϭ ͙1 aෆෆ1 ϭ a. Per esempio, il radicale
͙5 aෆ2 non si può semplifi-
DEFINIZIONE care, perché 5 e 2 non han-
no divisori comuni, tranne
Radicale irriducibile l’unità.
Un radicale si dice irriducibile (cioè non semplificabile) quando il suo in-
dice e l’esponente del radicando sono primi fra loro. BRAVI SI DIVENTA
Videolezione ᭤ V34a
ESEMPIO ͙3 ෆ5ෆ4 è un radicale irriducibile, perché 3 e 4 sono primi fra loro.
Per semplificare un radicale e renderlo irriducibile, occorre:
a) cercare il M.C.D. fra indice ed esponente del radicando;
b) dividere l’indice e l’esponente per il loro M.C.D.
ESEMPIO Rendiamo irriducibile il radicale ͙20 ෆ7ෆ12.
a) M.C.D. (20; 12) ϭ 4;
b) dividiamo per 4 l’indice e l’esponente del radicando:
͙20 ෆ7ෆ12 ϭ ͙20:4 ෆ7ෆ12Ϻෆ4 ϭ ͙5 ෆ7ෆ3.
465
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
TEORIA CAPITOLO 9. I NUMERI REALI E I RADICALI
◗ Osserva che ͙4 ෆ(Ϫෆ5ෆ)2 è ■ La semplificazione e il valore assoluto
un radicale perché l’espo-
nente 2 è pari e dunque Per semplificare il radicale ͙4 (ෆϪෆ5)ෆ2 non possiamo scrivere:
(Ϫ 5)2 Ͼ 0. ͙4 (ෆϪෆ5)ෆ2 ϭ ͙2и2 (ෆϪෆ5ෆ)2 ϭ ͙2 ෆϪෆ5
Non è invece un radicale,
per esempio, perché, essendo il radicando negativo, il secondo membro non rappre-
͙15 (ෆϪෆ5ෆ)9, perché (Ϫ 5)9 Ͻ 0. senta un numero reale.
◗ In particolare: Tuttavia la semplificazione è possibile perché l’esponente del radicando è
͙aෆෆ2 ͉ ؍a͉. pari, e perciò possiamo scrivere (Ϫ 5)2 ϭ (ϩ 5)2, considerando quindi il
valore assoluto di Ϫ 5:
͙4 ෆ(Ϫෆ5)ෆ2 ϭ ͙4 ෆ(ϩෆ5)ෆ2 ϭ ͙4 ෆΈ Ϫෆ5ෆΈ2 ϭ ͙5ෆ.
In generale, se a Ͻ 0 e mؒ p è pari, risulta:
͙nؒpaෆෆmෆؒp ͙ ؍n ෆ͉ aෆ͉ m.
Per esempio: ͙8 (ෆϪ2ෆ)2ෆ ϭ ͙4 ෆ⏐Ϫෆ2ෆ⏐ ϭ ͙4 ෆ2 .
■ La riduzione di radicali allo stesso indice
Applicando la proprietà invariantiva, si possono trasformare due o più
radicali in altri che hanno lo stesso indice. In particolare si può ridurli a
radicali che abbiano il minimo comune indice.
I passaggi necessari sono due:
a) cercare il m.c.m. fra gli indici;
b) trasformare ogni radicale in uno equivalente, che ha per indice il
m.c.m. trovato.
ESEMPIO Riduciamo al minimo comune indice i radicali ͙5 ෆ2aෆ2 e ͙4 ෆa ෆ3.
a) m.c.m. (5; 4) ϭ 20;
b) eleviamo ogni radicando al quoziente fra il m.c.m. e l’indice; nel no-
stro caso, 20 Ϻ 5 ϭ 4 e 20 Ϻ 4 ϭ 5.
͙5 2ෆa ෆ2 ϭ ͙5ؒ4 (ෆ2ෆaෆ2)ෆ4ϭ ͙20 ෆ16ෆaෆ8, ͙4 ෆa ෆ3 ϭ ͙4ؒ5 (ෆa 3ෆ)ෆ5 ϭ ͙20 ෆa ෆ15.
■ Il confronto di radicali
Si dimostra che fra due radicali con lo stesso indice è maggiore quello che
ha il radicando maggiore. Per esempio, ͙5 2ෆ8 Ͼ ͙5 1ෆ2, poiché 28 Ͼ 12.
Per confrontare radicali con indici diversi bisogna ridurli prima a radicali
che abbiano lo stesso indice.
ESEMPIO Confrontiamo i due radicali ͙4 ෆ5 e ͙6 ෆ8.
Riduciamoli allo stesso indice:
͙4 ෆ5 ϭ ͙12 5ෆෆ3 ϭ ͙12 1ෆ2ෆ5, ͙6 ෆ8 ϭ ͙12 8ෆෆ2 ϭ ͙12 6ෆ4 .
Poiché 64 Ͻ 125, anche ͙12 6ෆ4 Ͻ ͙12 1ෆ2ෆ5, quindi ͙6 ෆ8 Ͻ ͙4 ෆ5.
466
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 5. La moltiplicazione e la divisione fra radicali TEORIA
5. La moltiplicazione e la divisione BRAVI SI DIVENTA
fra radicali Videolezione ᭤ V35a
◗ In particolare, per i ra-
■ La moltiplicazione fra radicali dicali quadratici:
Si possono moltiplicare due o più radicali se questi hanno lo stesso indi- ͙ෆa и ͙bෆ ϭ ͙ෆaෆb.
ce. Vale infatti il seguente teorema.
◗ Quarta proprietà delle
TEOREMA potenze:
Teorema del prodotto (a и b)n ϭ a n и bn
Il prodotto di due radicali con lo stesso indice è un radicale che ha per in-
dice lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi, ossia ◗ Con a e b non negativi:
a n ϭ bn ⇔ a ϭ b.
͙n aෆ ؒ ͙n bෆ ͙ ؍n aෆෆи bෆ
con a e b reali, a Ն 0, b Ն 0 e n naturale, n 0.
DIMOSTRAZIONE
Eleviamo i membri dell’uguaglianza allo stesso esponente n. Otteniamo:
Primo membro Secondo membro
(͙n aෆ и ͙n bෆ)n ϭ (͙n aෆෆи ෆb)n ϭ
Per la quarta proprietà delle potenze: Per la definizione di radice:
ϭ a и b.
ϭ (͙n aෆ)n и (͙n bෆ)n ϭ
Per la definizione di radice:
ϭ a и b.
Poiché le potenze n -esime di ͙n aෆ и ͙n bෆ e di ͙n aෆෆи ෆb forniscono lo stesso
risultato a и b, concludiamo che sono uguali anche le loro basi, quindi:
͙n aෆ и ͙n bෆ ϭ ͙n aෆෆи ෆb.
ESEMPIO
͙4 ෆ2 и ͙4 ෆ5 ϭ ͙4 2ෆиෆ5 ϭ ͙4 ෆ10.
In particolare, moltiplicando un radicale quadratico per se stesso si ottie-
ne il radicando:
͙ෆ3 и ͙ෆ3 ϭ ͙ෆ3ෆ2 ϭ 3.
Se i radicali hanno indice diverso, per moltiplicarli è necessario ridurli al
loro minimo comune indice.
467
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
TEORIA CAPITOLO 9. I NUMERI REALI E I RADICALI
ESEMPIO
͙ෆ2 и ͙3 ෆ5 ϭ ͙6 ෆ2ෆ3 и ͙6 ෆ5ෆ2 ϭ ͙6 ෆ23ෆиෆ5ෆ2 ϭ ͙6 8ෆиෆ2ෆ5 ϭ ͙6 ෆ20ෆ0.
BRAVI SI DIVENTA ■ Il trasporto di un fattore fuori dal segno di radice
Videolezione ᭤ V36a
Riprendiamo l’uguaglianza:
◗ Nel radicale ͙3 2ෆ3ෆϩෆ5
non si può portare fuori 2 ͙n aෆ и ͙n bෆ ϭ ͙n aෆෆи ෆb, con a Ն 0 e b Ն 0.
perché 23 è un addendo e
non un fattore del radi- Per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza possiamo scrivere:
cando.
͙n aෆෆи ෆb ϭ ͙n aෆ и ͙n bෆ,
◗ Notiamo che la divisio-
ne 13 Ϻ 3 ha come quo- che significa: la radice n-esima del prodotto a и b è uguale al prodotto
ziente 4 e resto 1. della radice n-esima di a per la radice n-esima di b. In altre parole: un ra-
dicale il cui radicando è scomposto in fattori non negativi è uguale al
◗ ͙3 aෆෆ13 ϭ ͙3 aෆෆ3иෆ4ϩෆ1 ϭ prodotto di più radicali con lo stesso indice che hanno per radicandi i di-
ϭ ͙3 aෆෆ3иෆ4 иෆaෆ1 ϭ versi fattori.
ϭ ͙3 aෆෆ3иෆ4 и ͙3 aෆෆ1 ϭ a 4 и ͙3 aෆ. Questa proprietà permette di trasportare fuori dal segno di radice i fat-
tori del radicando che hanno come esponente un multiplo di n.
ESEMPIO
1. Consideriamo il radicale ͙3 aෆ9ෆиෆbෆ2, con a Ն 0.
Applichiamo il teorema del prodotto e poi la proprietà invariantiva:
͙3 aෆ9ෆиෆbෆ2 ϭ ͙3 aෆෆ9 и ͙3 bෆෆ2 ϭ a 3 и ͙3 bෆෆ2.
Il fattore a 9 è stato portato fuori dalla radice cubica ed è diventato a 3.
2. Semplifichiamo il radicale ͙3 aෆෆ13, con a Ն 0.
Il fattore a 13 è una potenza con esponente maggiore dell’indice, ma
non multiplo. Esso si può scrivere come prodotto a 12 и a. Pertanto:
͙3 aෆෆ13 ϭ ͙3 aෆෆ12ෆиෆa ϭ ͙3 aෆෆ12 и ͙3 aෆ ϭ a 4 и ͙3 aෆ.
In generale, considerato il radicale ͙n ෆaෆm, con a Ն 0 e m Ն n, e indicati
con q il quoziente della divisione m Ϻ n e con r il resto, poiché vale la rela-
zione m ϭ n и q ϩ r , si ha:
͙n ෆaෆm ϭ ͙n ෆaෆnиqෆϩෆr ϭ ͙n ෆaෆnиqෆиෆaෆr ϭ ͙n ෆaෆnиෆq и ͙n ෆaෆr ϭ a q ͙n ෆaෆr.
Quando si vuol portare fuori radice un fattore di cui non si conosce il se-
gno, si scrive tale fattore in valore assoluto.
ESEMPIO
͙2ෆиෆ(ෆaෆϪෆb)ෆ2 ϭ ͉ a Ϫ b ͉ и ͙ෆ2.
468
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 6. La potenza e la radice di un radicale TEORIA
■ La divisione fra radicali BRAVI SI DIVENTA
Videolezione ᭤ V35b
TEOREMA
◗ Per i radicali quadratici:
Il quoziente di due radicali (il secondo diverso da 0) con lo stesso indice è ͙ෆa Ϻ ͙ෆb ϭ ͙aෆෆϺෆb.
un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il quoziente
dei radicandi.
͙n ෆa Ϻ ͙n bෆ ͙ ؍n ෆa ෆϺෆb, con a e b reali, a Ն 0 e b Ͼ 0, n naturale, n 0.
La dimostrazione è analoga a quella del teorema del prodotto.
Anche per le divisioni valgono considerazioni analoghe a quelle fatte per
le moltiplicazioni.
ESEMPIO
1. ͙5 8ෆ Ϻ ͙5 ෆ2 ϭ ͙5 8ෆϺෆෆ2 ϭ ͙5 ෆ4.
Ί2. ͙3 aෆ Ϻ ͙4 bෆ ϭ ͙12 aෆෆ4 Ϻ ͙12 bෆෆ3 ϭ 12 ᎏbaᎏ34 (con a Ն 0 e b Ͼ 0).
6. La potenza e la radice di un radicale ◗ Nei radicali quadratici:
■ La potenza di un radicale (͙aෆ)m ϭ ͙aෆෆm.
TEOREMA
La potenza m -esima di un radicale è un radicale che ha per indice lo stes-
so indice e per radicando la potenza m-esima del radicando, ossia
(͙n ෆa)m ͙ ؍n ෆaෆm, con n e m naturali, n 0 e m 0, e a reale, a Ն 0.
DIMOSTRAZIONE
Eleviamo a n entrambi i membri dell’uguaglianza.
Primo membro Secondo membro
[(͙n ෆa)m]n ϭ (͙n ෆaෆm )n ϭ
Per la terza proprietà delle potenze: Per la definizione di radice:
ϭ a m.
ϭ (͙n ෆa)m иn ϭ
Per la stessa proprietà:
ϭ [(͙n ෆa)n ]m ϭ
Per la definizione di radice:
ϭ a m.
I due membri sono uguali alla stessa espressione am e quindi sono uguali
fra loro. Poiché le potenze n -esime delle due espressioni (͙n ෆa)m e ͙n ෆaෆm
sono uguali, concludiamo che sono uguali anche le espressioni stesse.
469
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
TEORIA CAPITOLO 9. I NUMERI REALI E I RADICALI
ESEMPIO
1. (͙5 ෆ3)4 ϭ ͙5 ෆ3ෆ4 ϭ ͙5 ෆ81.
2. (͙4 ෆaෆ3)5 ϭ ͙4 (ෆa 3ෆ)ෆ5 ϭ ͙4 ෆaෆ15 ϭ a 3 и ͙4 ෆaෆ3 (con a Ն 0).
◗ (͙3 2ෆ)3 ϭ ͙3 2ෆෆ3 ϭ 2. In particolare, (͙n ෆa)n ϭ ͙n ෆaෆn ϭ a.
BRAVI SI DIVENTA ■ La radice di un radicale
Videolezione ᭤ V36c
TEOREMA
La radice m -esima di un radicale di indice n è un radicale che ha per in-
dice il prodotto degli indici m и n e per radicando lo stesso radicando.
͙m ͙ෆn ෆa ͙ ؍mؒn ෆa,
con m e n naturali, n 0 e m 0, e a reale, a Ն 0.
DIMOSTRAZIONE
Eleviamo entrambi i membri dell’uguaglianza allo stesso esponente m и n.
Primo membro Secondo membro
(͙m ෆ͙n ෆa)m иn ϭ (m͙ؒn aෆ)m иn ϭ
Per la terza proprietà delle potenze: Per la definizione di radice:
ϭ a.
ϭ [(͙m ෆ͙n ෆa)m ]n ϭ
Per la definizione di radice:
ϭ [͙n aෆ]n ϭ a.
I due membri sono entrambi uguali ad a e quindi sono uguali fra di loro.
Poiché le potenze di esponente m и n dei due radicali ͙m ෆ͙n ෆa e ͙mؒn ෆa sono
uguali, concludiamo che sono uguali anche i radicali stessi.
Per la proprietà commutativa della moltiplicazione m и n ϭ n и m, e si ha:
͙m ͙ෆn ෆa ϭ ͙mؒnෆa ϭ ͙nؒm ෆa ϭ ͙n ෆ͙m ෆa.
Pertanto è possibile scambiare gli indici delle radici. Ciò può rendere
più immediata la semplificazione di un radicale.
ESEMPIO
͙3 ͙ෆ4 aෆෆ3 ϭ ͙4 ͙ෆ3 aෆෆ3 ϭ ͙4 aෆ (con a Ն 0).
■ Il trasporto di un fattore dentro al segno di radice
Dato il radicale 3 и ͙4 ෆ5, è possibile portare il fattore 3 sotto segno di radi-
ce, tenendo presente che 3 ϭ ͙4 ෆ3ෆ4.
Possiamo scrivere: 3 и ͙4 ෆ5 ϭ ͙4 ෆ3ෆ4 и ͙4 ෆ5 ϭ ͙4 ෆ34ෆиෆ5.
470
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 7. L’addizione e la sottrazione di radicali TEORIA
In generale, se a Ն 0, ◗
a и ͙n ෆb ϭ ͙n ෆaෆn и ͙n ෆb ϭ ͙n aෆෆn иෆb, a ͙ෆb ϭ ͙aෆෆ2 ͙bෆϭ͙aෆෆ2b
(con a, b Ն 0).
cioè, per trasportare dentro radice un fattore non negativo, occorre ele-
varlo all’indice del radicale. ◗ Possiamo portare den-
tro radice (3a 2)3, perché è
ESEMPIO 2. 3a 2 ͙3 ෆb ϭ ͙3 (ෆ3ෆa2ෆ)ෆ3b ϭ ͙3 ෆ27ෆaෆ6b. sempre 3a 2 Ն 0.
1. 2 ͙3 ෆ7 ϭ ͙3 ෆ23ෆиෆ7 ϭ ͙3 ෆ56. ◗ Il valore assoluto di
Ϫ 3 è 3.
Osservazione. I fattori negativi non vengono portati dentro la radice: il
segno meno resta fuori e viene portato dentro il valore assoluto elevato
all’indice del radicale.
ESEMPIO
Ϫ 3 ͙ෆ5 ϭ Ϫ ͙9ෆиෆ5 ϭ Ϫ ͙ෆ45.
7. L’addizione e la sottrazione BRAVI SI DIVENTA
di radicali Videolezione ᭤ V37a
Non sempre è possibile semplificare espressioni che contengono somme ◗ Analogamente,
o differenze di radicali. ͙ෆ9 Ϫ ͙ෆ4 non è ͙9ෆෆϪෆ4 !
Infatti,
ESEMPIO
͙9ෆ Ϫ ͙ෆ4 ϭ 3 Ϫ 2 ϭ 1,
͙ෆ4 ϩ ͙ෆ9 non è ͙4ෆϩෆෆ9! Infatti mentre ͙ෆ9 Ϫෆෆ4 ϭ ͙ෆ5 .
͙ෆ4 ϩ ͙ෆ9 ϭ 2 ϩ 3 ϭ 5, mentre ͙4ෆϩෆෆ9 ϭ ͙ෆ13.
◗ Si opera in analogia con
In generale: quanto si farebbe con i
monomi 2a e 5a, ponendo
͙ෆa ϩ ͙ෆb ͙ෆaෆϩෆb e ͙ෆa Ϫ ͙ෆb ͙ෆaෆϪෆb. a ϭ ͙ෆ3:
2a ϩ 5a ϭ (2 ϩ 5)a ϭ 7a
Però, date le espressioni 2 и ͙ෆ3 e 5 и ͙ෆ3, si può eseguire l’addizione o la 2a Ϫ 5a ϭ (2 Ϫ 5)a ϭ Ϫ 3a.
sottrazione raccogliendo a fattore comune ͙ෆ3:
2͙ෆ3 ϩ 5͙ෆ3 ϭ (2 ϩ 5)͙ෆ3 ϭ 7 ͙ෆ3
2͙ෆ3 Ϫ 5͙ෆ3 ϭ (2 Ϫ 5)͙ෆ3 ϭ Ϫ 3͙ෆ3.
DEFINIZIONE 3√⎯ è simile a 15√⎯
Radicali simili
Due radicali irriducibili si dicono
simili quando hanno lo stesso indi-
ce, lo stesso radicando e possono
essere diversi solo per il fattore che
li moltiplica, detto coefficiente del
radicale.
471
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
TEORIA CAPITOLO 9. I NUMERI REALI E I RADICALI
◗ I radicali 5 и ͙9 ෆ2 e ESEMPIO
5 и ͙7 ෆ2 non sono simili,
perché le due radici hanno 9 и ͙5 ෆ2 e 7 и ͙5 ෆ2 sono simili, perché i due radicali hanno lo stesso indice 5
indici diversi, 9 e 7. e lo stesso radicando 2.
◗ I radicali a и ͙3 ෆb e A volte due radicali possono essere trasformati in radicali simili portan-
a и ͙3 ෆbෆ2 non sono simili, do fuori dalla radice alcuni fattori.
perché le due radici hanno
radicandi diversi, ESEMPIO
b e b 2.
I radicali b 2 и ͙ෆbෆ3 e ͙ෆbෆ5, con b Ն 0, non sono simili.
Portiamo fuori radice i fattori:
b 2 и ͙ෆbෆ3 ϭ b 2 и b и ͙ෆb ϭ b 3 и ͙ෆb ͙ෆbෆ5 ϭ b 2 и ͙ෆb.
I radicali ottenuti b 3 и ͙ෆb e b 2 и ͙ෆb sono simili.
DEFINIZIONE 3√⎯ + 2√⎯ = 5√⎯
Somma algebrica di radicali simili
La somma algebrica di due o più
radicali simili è il radicale, simile ai
dati, che ha come coefficiente la
somma algebrica dei coefficienti.
ESEMPIO
1. 4 ͙3 ෆa ϩ 2 ͙3 ෆa ϭ 6 ͙3 ෆa (con a Ն 0). 2. a ͙ෆ2 ϩ ͙ෆ2 ϭ (a ϩ 1) ͙ෆ2.
PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI
Espressioni a confronto Nel sito: ᭤ Scheda di lavoro
È maggiore ͙ෆ2 ϩ ͙3ෆ o ᎏ͙ෆ2 1ϩ0ᎏ͙ෆ3 ?
ᎏ8ᎏ ᎏ12ᎏ
FRANCESCO: «Nessuna delle due: sono uguali! Ho fatto il calcolo approssimato,
CHIARA: sapendo che ͙ෆ3 è circa 1,7 e ͙ෆ2 è circa 1,4: entrambe le espres-
FRANCESCO: sioni danno 0,3».
«Forse hai usato un’approssimazione eccessiva. Inoltre, anche se
due espressioni hanno lo stesso valore approssimato con un nume-
ro grande di cifre, non è detto che siano uguali. Posso farti degli
esempi».
«Giusto. E poi, perché tanti calcoli? Usiamo l’algebra!».
᭤ Per il confronto, utilizza le regole sui radicali e quelle sulle disuguaglianze.
472
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 8. La razionalizzazione del denominatore di una frazione TEORIA
8. La razionalizzazione
del denominatore di una frazione
Razionalizzare il denominatore di una frazione significa trasformare la
frazione in una equivalente che non ha radicali a denominatore. Ciò ri-
sulta utile, per esempio, nella somma di frazioni.
Per razionalizzare il denominatore di una frazione si applica la proprietà
invariantiva delle frazioni, moltiplicando numeratore e denominatore
per uno stesso fattore diverso da 0. Esaminiamo i casi più comuni.
1. Il denominatore è un unico radicale
ESEMPIO
Se il denominatore contiene un radicale quadratico, basta moltiplicare
numeratore e denominatore per il radicale stesso.
6 ϭ 6 и ͙ෆ2 ϭ 6 и ͙ෆ2 ϭ 3 и ͙ෆ2. ◗ ͙2ෆ и ͙ෆ2 ϭ ͙ෆ4 ϭ 2.
ᎏ͙ᎏෆ2 ᎏ͙ᎏෆ2 ᎏ͙ᎏෆ2 ᎏᎏ
◗ Se al denominatore c’è
2 una differenza, dobbiamo
invece moltiplicare per la
Il risultato 3 и ͙ෆ2 non contiene radicali al denominatore. somma dei due termini.
In generale, supposto a Ͼ 0, se il radicale al denominatore non è quadra-
tico, si razionalizza nel seguente modo:
1 ϭ ͙n aෆෆnϪෆm ϭ ͙n aෆෆn Ϫෆm ϭ ͙n aෆෆn Ϫෆm ϭ ͙n aෆෆn Ϫෆm .
ᎏ͙n aෆᎏෆm ᎏ͙n aෆෆm ͙ᎏn aෆෆn Ϫෆm ᎏ͙n aෆෆmෆϩᎏ(ෆnϪෆm)ෆ ᎏ͙n ᎏෆaෆn ᎏᎏ
a
ESEMPIO
21 ϭ 21 ϭ 21 и ͙5 ෆ7ෆ3 ϭ 21͙5 ෆ7ෆ3 ϭ 3͙5 ෆ7ෆ3.
ᎏ͙5 ᎏෆ49 ᎏ͙5 ᎏෆ7ෆ2 ᎏ͙5 ᎏෆ7ෆ2 ᎏ͙5 ᎏෆ7ෆ3 ᎏᎏ
7
2. Il denominatore è la somma o la differenza di due termini, dei quali
almeno uno è un radicale quadratico
ESEMPIO
ᎏ͙ෆ7 ϩ8ᎏ͙ෆ2 .
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per la differenza ͙ෆ7 Ϫ ͙ෆ2,
in modo da applicare il prodotto notevole (a ϩ b )(a Ϫ b) ϭ a 2 Ϫ b 2.
8 (͙ෆ7 Ϫ ͙ෆ2) 8(͙ෆ7 Ϫ ͙2ෆ) 8(͙ෆ7 Ϫ ͙ෆ2)
ᎏ͙ෆ7 ϩᎏ͙ෆ2 и ᎏ͙ෆ7 Ϫᎏ͙ෆ2 ϭ ᎏ(͙7ෆ)2 Ϫᎏ(͙2ෆ)2 ϭ ᎏᎏ.
5
473
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
TEORIA CAPITOLO 9. I NUMERI REALI E I RADICALI
9. I radicali quadratici doppi
Si chiama radicale quadratico doppio un’espressione del tipo:
͙ෆa ϩෆෆ͙bෆෆ oppure ͙aෆϪෆෆ͙bෆ .
Un radicale doppio può essere trasformato nella somma o nella differen-
za di due radicali semplici solo quando l’espressione a 2 Ϫ b è il quadrato
di un numero razionale o di una espressione che non contiene radicali.
In tal caso valgono le due uguaglianze che consideriamo di seguito:
Ί Ί͙ෆaෆϩෆ͙ෆb ϭ ᎏa ϩ ͙2ᎏaෆ2ෆϪෆb ϩ ᎏa Ϫ ͙2ᎏෆa2ෆϪෆb ,
Ί Ί͙ෆaෆϪෆ͙ෆb ϭ ᎏa ϩ ͙2ᎏaෆ2ෆϪෆb Ϫ ᎏa Ϫ ͙2ᎏaෆ2ෆϪෆb ,
con a, b, a 2 Ϫ b Ն 0.
◗ Il radicale doppio: ESEMPIO Trasformiamo il radicale doppio ͙ෆ8 Ϫෆෆ͙ෆෆ15 nella differenza
͙ෆ3ෆϩෆ͙ෆ2 fra due radicali semplici.
Ciò è possibile poiché 8 2 Ϫ 15 ϭ 64 Ϫ 15 ϭ 49 ϭ 7 2.
non è trasformabile in una
somma o differenza di ra- Ί Ί͙8ෆϪෆෆ͙ෆ1ෆ5 ϭ ᎏ8 ϩ2͙ᎏ4ෆ9 Ϫ ᎏ8 Ϫ2͙ᎏෆ49 ϭ
dicali semplici, in quanto
3 2 Ϫ 2 ϭ 7 non è il quadra- ϭ Ίᎏ8ϩ2ᎏ7 Ϫ Ίᎏ8Ϫ2ᎏ7 ϭ Ίᎏ12ᎏ5 Ϫ Ίᎏ21ᎏ .
to di un razionale.
10. Le equazioni, i sistemi
e le disequazioni con coefficienti
irrazionali
Le proprietà finora esaminate vengono utilizzate anche quando si devono
risolvere equazioni, disequazioni e sistemi con coefficienti irrazionali.
ESEMPIO
Risolviamo l’equazione
(͙ෆ2 ϩ 1)(x ϩ 1) ϭ 2 (2 Ϫ x).
474
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 11. Le potenze con esponente razionale TEORIA
Svolgiamo i calcoli:
͙ෆ2x ϩ ͙ෆ2 ϩ x ϩ 1 ϭ 4 Ϫ 2x.
Portiamo i termini con l’incognita al primo membro, gli altri al secondo:
͙ෆ2x ϩ x ϩ 2x ϭ 4 Ϫ ͙ෆ2 Ϫ 1.
Sommiamo i termini simili:
3x ϩ ͙ෆ2x ϭ 3 Ϫ ͙ෆ2.
Raccogliamo l’incognita x:
(3 ϩ ͙ෆ2) x ϭ 3 Ϫ ͙ෆ2.
Dividiamo per 3 ϩ ͙ෆ2:
ᎏ(33ϩϩ͙ᎏ͙ෆ2ෆ2) x ϭ ᎏ33 Ϫϩ ᎏ͙͙ෆ2ෆ2 .
Razionalizziamo il denominatore:
x ϭᎏ33 ϩϪᎏ͙͙ෆ2ෆ2 иᎏ33 ϪϪᎏ͙͙ෆ2ෆ2 ϭᎏ(3 Ϫ9 Ϫ͙ᎏ2ෆ2)2 ϭᎏ9 ϩ 2 Ϫ7ᎏ6 ͙ෆ2 ϭᎏ11 Ϫ76ᎏ͙ෆ2 .
La soluzione è x ϭ ᎏ11 Ϫ76ᎏ͙ෆ2 .
11. Le potenze con esponente
razionale
È possibile scrivere i radicali in una forma diversa, che permette di estende-
re il concetto di potenza al caso in cui l’esponente sia un numero razionale.
DEFINIZIONE
Potenza con esponente razionale
La potenza con esponente raziona- m n (a ≥ 0) ◗ Nel caso in cui sia
le ᎏmᎏ di un numero reale a, positi- m Ͻ 0, supponiamo a Ͼ 0.
an = √⎯⎯a⎯m
n
vo o nullo, è la radice n-esima di am.
ESEMPIO
13 ◗ La scrittura (Ϫ 4)ᎏ21 non
ha significato, perché nella
1. 1ᎏ4 ϭ ͙4 ෆ1 ϭ 1; 0ᎏ2 ϭ ͙ෆ0ෆ3 ϭ 0. definizione sono escluse le
potenze di numeri
2 negativi.
Ί Ί2. 5ᎏ3 ϭ ͙3 ෆ5ෆ2 ϭ ͙3 ෆ25;
2Ϫᎏ45 ϭ ͙5 2ෆϪෆ4 ϭ 5 1 4 5 1 .
ᎏ2ᎏ ᎏ1ᎏ6
ϭ
475
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
TEORIA CAPITOLO 9. I NUMERI REALI E I RADICALI
La definizione data permette di estendere alle potenze con esponente ra-
zionale le proprietà delle potenze con esponente intero.
PROPRIETÀ ESPRESSIONE CON
1. Prodotto di potenze di am и an ϭ amϩn
ugual base
2. Quoziente di potenze di am Ϻ an ϭ amϪn a0
ugual base
3. Potenza di una potenza (am)n ϭ am иn
4. Prodotto di potenze di an и bn ϭ (a и b)n
ugual esponente
5. Quoziente di potenze di an a n b0
ugual esponente d numero dispari
ᎏbᎏn ϭ ᎏbᎏ d numero dispari
6. Segno di una potenza (Ϫ a)d ϭ Ϫ ad
(ϩ a)d ϭ ϩ ad p numero pari
(Ϯ a)p ϭ ϩ ap
a Ϫn b n bn
ᎏbᎏ ϭ ᎏaᎏ ϭ ᎏaᎏn a 0 ∧ b 0
7. Potenza con base
frazionaria ed esponente
negativo
Le proprietà delle potenze con esponente razionale possono essere dimo-
strate mediante le proprietà dei radicali. Per esempio, dimostriamo che:
aᎏmn и aᎏqp ϭ aᎏmn ϩ ᎏqp .
Infatti:
aᎏmn и aᎏqp ϭ ͙n aෆෆm и ͙q aෆෆp ϭ ͙nq aෆෆmෆq и ͙nq aෆෆnp ϭ ͙nq aෆෆmqෆෆи aෆnp ϭ
ϭ ͙nq aෆෆmqෆϩෆnp ϭ a ᎏmqnϩqnp ϭ aᎏmnqq ϩ ᎏnnqp ϭ aᎏmn ϩ ᎏqp .
Nelle espressioni irrazionali, invece di operare con i radicali, possiamo
operare con le potenze.
SEMPLIFICAZIONE ESEMPI DI ESPRESSIONI IRRAZIONALI POTENZA
ADDIZIONE
con i ͙12 7ෆෆ8 ϭ1͙2Ϻ4 7ෆෆ8Ϻ4ෆ ϭ ͙3 7ෆෆ2 2 ͙3 aෆෆ2 ϩ 5 ͙3 aෆෆ2 ϭ (2 ϩ 5) ͙3 aෆෆ2 ϭ 7 ͙3 aෆෆ2 (͙7 aෆෆ3 )2 ϭ ͙7 (ෆa ෆ3)ෆ2 ϭ ͙7 aෆෆ6
radicali
con le 7 ᎏ182 ϭ 8Ϻ4 ϭ 7 ᎏ32 2a ᎏ32 ϩ 5a ᎏ23 ϭ (2 ϩ 5)a ᎏ23 ϭ 7a ᎏ23 (a ᎏ37 )2 ϭ a ᎏ37 и2 ϭ a ᎏ76
potenze
7 ᎏ12Ϻ4
476
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 12. I radicali in R TEORIA
12. I radicali in R
Estendiamo la definizione di radice a tutto l’insieme dei numeri reali.
DEFINIZIONE n0 a ͙n aෆ ◗ La definizione estende il
concetto di radicale anche
Radice dispari ϩ ϩ al caso di radicando nega-
dispari Ϫ Ϫ tivo. Se il radicando è posi-
Dati il numero naturale n di- pari ϩ ϩ tivo o nullo, non ci sono
verso da zero e il numero reale pari Ϫ variazioni rispetto a quello
a, la radice n-esima di a è quel ∃/ che abbiamo finora stu-
numero reale b, se esiste, aven- diato.
te lo stesso segno di a e tale che
bn ϭ a. ◗ Se l’indice della radice è
dispari, non dobbiamo
Se l’indice della radice è pari, la radice esiste soltanto quando il radican- porre condizioni di positi-
do è positivo o nullo, non esiste se il radicando è negativo. vità del radicando.
ESEMPIO ◗ Possiamo anche scrivere:
͙3 Ϫෆ8ෆ ϭ Ϫ ͙3 ෆ8
͙6 ෆ64 ϭ 2, perché 26 ϭ 64. ͙8 0ෆ ϭ 0, perché 08 ϭ 0.
͙2 ෆϪෆ2ෆ5 non esiste, perché non esiste un numero b tale che b2 ϭ Ϫ 25. e applicare poi la proprietà
invariantiva:
Se l’indice della radice è dispari la radice esiste sempre.
͙3 Ϫෆෆ8 ϭ Ϫ ͙3 ෆ8 ϭ
ESEMPIO ϭ Ϫ͙3и2 ෆ82 ϭ
ϭ Ϫ ͙6 ෆ64 ϭ Ϫ 2.
1. ͙3 Ϫෆෆ8 ϭ Ϫ 2, perché (Ϫ 2)3 ϭ 8. 2. ͙3 ෆ125ෆ ϭ 5, perché 53 ϭ 125.
■ Le condizioni di esistenza
Se l’indice della radice è pari e il radicando è un’espressione letterale,
poniamo la condizione di esistenza che il radicando sia positivo o
nullo.
ESEMPIO
͙6 4ෆxෆϪෆ3 esiste soltanto se 4x Ϫ 3 Ն 0, da cui C.E.: x Ն 3 .
ᎏ4ᎏ
■ La proprietà invariantiva
La proprietà invariantiva vale per le radici con radicando negativo?
ESEMPIO
Dato il radicale ͙3 Ϫෆෆ8, possiamo scrivere
͙3 Ϫෆෆ8 ϭ ͙3 Ϫෆෆ2ෆ3 ϭ ͙3Ϻ3 Ϫෆෆ23ෆϺෆ3 ϭ Ϫ 2,
mentre non possiamo scrivere 3͙и2 (ෆϪ8ෆ)ෆ2 ϭ ͙6 ෆ64 ϭ 2.
477
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
TEORIA CAPITOLO 9. I NUMERI REALI E I RADICALI
LABORATORIO In generale, se n è dispari e a un numero reale positivo, vale la relazione:
DI MATEMATICA ͙n Ϫෆෆa ϭ Ϫ ͙n aෆ.
Nel sito: ■ La semplificazione e il valore assoluto
᭤ I radicali con Derive Per semplificare una radice con radicando scomponibile in fattori negati-
o con Wiris vi basta introdurre il valore assoluto quando l’indice della radice è pari.
Quando l’indice è dispari si procede al solito modo.
ESEMPIO
1. ͙2 (ෆϪ5ෆ)ෆ2 ϭ ͉ Ϫ 5 ͉ ϭ 5.
2. ͙12 (ෆϪ3ෆ)ෆ10 ϭ 12͙Ϻ2 (ෆϪ3ෆ)ෆ10Ϻෆ2 ϭ ͙6 ͉ෆϪෆ3͉ෆ5.
3. ͙3 (ෆϪ2ෆ)ෆ3 ϭ Ϫ 2.
In generale, valgono le seguenti uguaglianze:
Άa se n è dispari
͙n aෆෆn ͉ ؍a ͉ se n è pari
■ La riduzione di radicali allo stesso indice
La proprietà invariantiva permette di trasformare due o più radicali allo
stesso indice.
ESEMPIO
Riduciamo al minimo comune indice i seguenti radicali:
͙3 Ϫෆෆa2ෆϪෆ1; ͙ෆa 4ෆϩෆ1.
a) Trasformiamo il primo radicale, rendendo positivo il radicando:
͙3 Ϫෆෆa2ෆϪෆ1 ϭ ͙3 Ϫෆෆ(a2ෆϩෆ1)ෆ ϭ Ϫ ͙3 aෆ2ෆϩෆ1;
b) m.c.m. (3; 2) ϭ 6;
c) eleviamo ogni radicando al quoziente fra il m.c.m. e l’indice:
Ϫ ͙3 ෆa 2ෆϩෆ1 ϭ Ϫ ͙6 (ෆa 2ෆϩෆ1)ෆ2; ͙ෆa 4ෆϩෆ1 ϭ ͙6 (ෆa 4ෆϩෆ1)ෆ3.
Per le operazioni di moltiplicazione, divisione, addizione, sottrazione e
l’elevamento a potenza valgono per i radicali in R le stesse proprietà in-
contrate nei paragrafi precedenti per i radicali in Rϩ0 .
Nel sito: ᭤ teoria e 25 esercizi su I numeri immaginari
478
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
La teoria in sintesi ESERCIZI
LA TEORIA IN SINTESI
I numeri reali e i radicali
1. La necessità di ampliare Al simbolo ͙n aෆ, con a Ն 0, si dà il nome di radicale. I
l’insieme Q radicali con indice 2 si chiamano radicali quadratici,
La radice quadrata di un numero è quel numero po- quelli con indice 3 radicali cubici.
sitivo o nullo che, elevato al quadrato, dà come risul-
tato il numero dato. L’estrazione di radice non è indice esponente
un’operazione interna in Q. Per esempio, 2 non ha del radicando
per radice quadrata un numero razionale. √4⎯ 35
2. Dai numeri razionali ai numeri reali radicando
Ogni numero razionale può essere approssimato me- 4. La proprietà invariantiva
diante due successioni di numeri decimali: una che lo dei radicali
approssima per eccesso, l’altra che lo approssima per
difetto. Proprietà invariantiva dei radicali: dato un radica-
le, moltiplicando l’indice del radicale e l’esponente
ESEMPIO 0,22 Ͻ … Ͻ 2 Ͻ ... Ͻ 0,23 Ͻ 0,3 Ͻ 1 del radicando per uno stesso numero naturale diver-
ᎏ9ᎏ so da 0, si ottiene un radicale equivalente. È possibile
0 Ͻ 0,2 Ͻ ottenere un radicale equivalente anche dividendo in-
dice ed esponente per un loro divisore comune.
a meno di 0,01
•p≠0
a meno di 0,1
√⎯ √⎯⎯⎯n n • p
a meno di 1 am = am • p (a≥ 0)
I numeri irrazionali sono numeri decimali illimitati •p≠0
non periodici. Possono essere approssimati per difet-
to e per eccesso da due successioni di decimali. Applicando la proprietà invariantiva è possibile sem-
I numeri reali sono tutti i numeri razionali e irrazio- plificare un radicale oppure ridurre allo stesso in-
nali. dice più radicali.
3. I radicali in Rϩ0 semplificazione riduzione allo
stesso indice
Dati un numero naturale n diverso da 0 e un numero :2
reale a positivo o nullo, la radice n-esima di a è quel •2
numero reale b, anch’esso non negativo, la cui poten-
za con esponente n è uguale ad a. √⎯ √⎯6
naturale diverso da 0 a5
√⎯6 √⎯3 75 12
=
710 = a10
n√⎯a = b bn = a :2 •2
•3
reali √⎯4 a3 √⎯12
maggiori o
uguali a 0 = a9
•3
479
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 9. I NUMERI REALI E I RADICALI
Nella semplificazione, se il radicando è letterale e 6. La potenza e la radice
non se ne conosce il segno, occorre scrivere il radi- di un radicale
cando in valore assoluto.
La potenza m-esima di un radicale è un radicale che
ESEMPIO ͙n aෆෆn ϭ ⏐a⏐. ha per indice lo stesso indice e per radicando la po-
tenza m-esima del radicando.
͙ෆaෆ2 ϭ ⏐a⏐,
5. La moltiplicazione e la divisione ) )√⎯n am √⎯n am ) )√⎯7 4 √⎯7 (⎯32)4 = √⎯7 38
fra radicali 32 =
=
Il prodotto di due radicali con lo stesso indice è un ra-
dicale che ha lo stesso indice e per radicando il pro- La radice m-esima di un radicale di indice n è un ra-
dotto dei radicandi. dicale che ha per indice il prodotto degli indici m и n
e per radicando lo stesso radicando.
ESEMPIO prodotto degli indici
͙ෆ3 и ͙ෆ7 ϭ ͙ෆ2ෆ1. +
• m √⎯n a √⎯m • n 7
•
Se i radicali hanno indice diverso, per moltiplicarli è =a √⎯3 2 = 2√⎯1 2
sufficiente ridurli al loro minimo comune indice.
Un fattore non negativo può essere portato dentro
stesso indice il segno di radice, diventando fattore del radicando,
se lo si eleva alla potenza che ha per esponente l’indi-
√⎯3 4 • √⎯2 5 = √⎯6 16 • √⎯6 1⎯25 = √6⎯2⎯0⎯00 ce del radicale.
riduciamo prodotto ESEMPIO
allo stesso dei radicandi
5 ͙ෆ3 ϭ ͙2 5ෆෆ2 и ͙2 3ෆ ϭ ͙ෆ5ෆ2 ෆи 3 ϭ ͙ෆ7ෆ5.
indice
Considerazioni analoghe valgono per il quoziente di
radicali.
ESEMPIO 7. L’addizione e la sottrazione
di radicali
͙2ෆෆ4 Ϻ ͙5 2ෆෆ3 ϭ ͙10 ෆ(2ෆ4)ෆ5 Ϻ ͙10 ෆ(2ෆ3)ෆ2 ϭ
ϭ ͙10 2ෆෆ20ෆϺෆ2ෆ6 ϭ ͙10 ෆ2ෆ14 ϭ ͙5 ෆ2ෆ7. Due radicali irriducibili sono simili se hanno lo stes-
so indice e lo stesso radicando.
Un fattore del radicando, scritto sotto forma di po- La somma di due radicali simili è un radicale simile
tenza con base non negativa, può essere portato ai dati avente per coefficiente la somma dei loro coef-
fuori dal segno di radice, se il suo esponente m è ficienti.
maggiore o uguale all’indice n della radice. Il fattore
esterno ha per esponente il quoziente della divisione radicali stessa parte
fra m e n, quello interno ha per esponente il resto simili radicale
della divisione.
4 √3⎯ 2 + 5 √3⎯ 2 = 9 √3⎯ 2
14 3
somma algebrica
24 dei coefficienti
resto
quoziente
33 33 3
√⎯ √⎯⎯⎯ √⎯⎯ √⎯ √⎯514 = 54•3+2 = 54•3 • 52 = 54 • 52
480
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 1. La necessità di ampliare l’insieme Q ESERCIZI
8. La razionalizzazione ESEMPIO
del denominatore di una frazione
͙ෆ2 x ϭ 4 → x ϭ ᎏ͙4ᎏ2ෆ ϭ ᎏ͙4ᎏ2ෆ и ᎏ͙͙ᎏෆ2ෆ2 ϭ 2 ͙ෆ2.
È possibile razionalizzare il denominatore (in cui
compaiono radicali) di una frazione, moltiplicando 11. Le potenze con esponente
numeratore e denominatore per un opportuno fatto- razionale
re diverso da 0.
È possibile scrivere i radicali sotto forma di potenze
ESEMPIO con esponenti razionali.
ᎏ͙2ᎏ2ෆ ϭ ᎏ͙2ᎏ2ෆ и ͙ෆ2 ϭ ᎏ2͙2ᎏෆ2 ϭ ͙ෆ2.
ᎏ͙2ෆ
9. I radicali quadratici doppi n 4
√⎯ √⎯m 5
Il radicale doppio ͙aෆෆϩෆ͙ෆb può essere trasformato
an 74
nella somma algebrica di due radicali semplici solo se = am (a ≥ 0) = 75
a2 ؊ b è il quadrato di un numero razionale o di
un’espressione che non contiene radicali. 12. I radicali in R
͙aෆෆϮෆ͙ෆb ϭ Dati un numero naturale n 0 e un numero reale a,
si chiama radice n-esima del numero a il numero
Ί Ίϭ ᎏa ϩ͙ᎏෆ2aෆ2ෆ؊ෆb Ϯ ᎏaϪ͙ᎏ2ෆaෆ2ෆ؊ෆb . reale b, se esiste, avente lo stesso segno di a, la cui
potenza con esponente n è uguale ad a.
Viene indicata con il simbolo ͙n ෆa .
10. Le equazioni, i sistemi n0 a ͙n aෆ
e le disequazioni con coefficienti
irrazionali dispari ϩ ϩ
dispari Ϫ Ϫ
È possibile risolvere equazioni, sistemi e disequazio- pari ϩ ϩ
ni a coefficienti irrazionali. pari Ϫ
∃/
1. La necessità di ampliare l’insieme Q –ᮣ Teoria a pag. 457
1 Con considerazioni analoghe a quelle fatte per ͙ෆ2, dimostra che ͙ෆ3 non è un numero razionale.
2 Come nell’esercizio precedente, ma per ͙ෆ5.
3 Come nell’esercizio 1, ma per ͙ෆ2 и ͙ෆ3.
4 Utilizzando il teorema di Pitagora costruisci i segmenti di lunghezza (in centimetri) ͙ෆ3, ͙ෆ5, ͙ෆ6.
481
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 9. I NUMERI REALI E I RADICALI
2. Dai numeri razionali ai numeri reali –ᮣ Teoria a pag. 459
Scrivi i primi 4 termini delle successioni approssimanti, per difetto e per eccesso, i seguenti numeri razionali.
5 1, ᎏ41ᎏ , ᎏ15ᎏ4 . 7 ᎏ31ᎏ , ᎏ73ᎏ , ᎏ12ᎏ14 .
6 ᎏ42ᎏ , ᎏ83ᎏ , ᎏ98ᎏ . 8 ᎏ61ᎏ , ᎏ54ᎏ , ᎏ12ᎏ3 .
Nei seguenti esercizi, vengono forniti un intervallo di approssimazione e delle coppie di numeri formate da un
numero decimale e da una frazione. Indica se il numero decimale è l’approssimazione della frazione e, in caso affer-
mativo, se lo è per difetto o per eccesso.
9 Approssimazione a meno di 0,1. 10 Approssimazione a meno di 0,1.
0,2; ᎏ92ᎏ. 0,85; ᎏ65ᎏ . 3,3; ᎏ41ᎏ33 . 0,58; ᎏ74ᎏ . 0,6; ᎏ96ᎏ . 4,9; ᎏ15ᎏ .
Scrivi i primi 5 termini delle successioni approssimanti, per difetto e per eccesso, i seguenti numeri irrazionali.
11 ͙ෆ3, ͙ෆ5 ͙ෆ7, ͙ෆ11 13 ͙ෆ2 ϩ ͙ෆ3 15 2͙ෆ3
12 5,12122122212222... 14 ͙ෆ2 и ͙ෆ3 16 5 ϩ ͙ෆ2
Indica quale dei seguenti numeri è razionale e quale irrazionale. Per ciascun numero razionale indica se è deci-
male finito oppure periodico.
Ί Ί173 ; 2 2 1 ; 25 ; ͙ෆ7 ; 2,61777…; 1,123456…
ᎏ8ᎏ ᎏ3ᎏ ᎏ4ᎏ ᎏ9ᎏ
;
Ί Ί18 5,2323323332…; Ϫ 2,79813; ͙ෆ81; ͙ෆ11; Ϫ ͙4ෆ9; 16 ; 32 .
ᎏ9ᎏ ᎏ4ᎏ
Sottolinea nel seguente gruppo di numeri quelli irrazionali.
19 2,84ෆ; Ϫ ͙3ෆ6; 3,6444; 5 ; ͙ෆ4 и ͙2ෆ.
ᎏ9ᎏ Ϫ ᎏ275ᎏ ; ͙ෆ225ෆ.
20 ͙ෆ3 и ͙8ෆ; 7,5252…; 7,5252;
21 COMPLETA inserendo i simboli Ͼ, Ͻ , ϭ .
4,12 … 4,1ෆ2, Ϫ ᎏ31ᎏ … Ϫ ᎏ41ᎏ , ͙7ෆ … ᎏ25ᎏ ,
Ί25 … 2,51, 2 … 0,2ෆ, Ί1 … 0,408.
ᎏ4ᎏ ᎏ9ᎏ ᎏ6ᎏ
482
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 3. I radicali in Rϩ0 ESERCIZI
Disponi in ordine crescente i seguenti numeri reali. 23 ᎏ287ᎏ ; ͙4ෆ1; ᎏ365ᎏ ; 8,71; 6,ෆ2.
22 6,2; 6,2ෆ; 6,21; 6,223; 6,12ෆ.
24 COMPLETA inserendo un numero reale compreso fra i numeri di ciascuna delle seguenti coppie.
͙ෆ7 …… ͙8ෆ, 12,8 …… 12,81, 3͙6ෆ …… ͙5ෆ2, Ϫ ᎏ51ᎏ …… Ϫ ᎏ52ᎏ , ᎏ16ᎏ …… ᎏ71ᎏ , ᎏ2ᎏ …… Ϫ 2.
Calcola con l’approssimazione a meno di ᎏ1ᎏ il risultato delle seguenti operazioni.
100
25 ͙2ෆ ϩ 7,31 27 4,ෆ3 и ͙7ෆ 29 ͙6ෆ и ͙1ෆ5
26 6,7ෆ2 Ϫ 4,561562 … 28 ͙ෆ5 Ϻ 2,1ෆ4 30 ͙1ෆ0 Ϻ 2,5
3. I radicali in Rϩ0 –ᮣ Teoria a pag. 463
■ Le potenze e le radici aritmetiche
31 COMPLETA, quando è possibile, inserendo la base 32 COMPLETA inserendo l’esponente mancante nelle
mancante nelle seguenti potenze. seguenti potenze.
(. . . . . )5 ϭ 32; (. . . . . )2 ϭ Ϫ 9; (2). . . ϭ 64; (3). . . ϭ 27;
(. . . . . )3 ϭ Ϫ 8; (. . . . . )4 ϭ 625. (5). . . ϭ 625; (4). . . ϭ 64.
33 COMPLETA applicando la definizione di radice n-esima: ͙n ෆa ϭ b ⇔ bn ϭ a.
͙4 ෆ16 ϭ … Ίᎏ295ᎏ ϭ … ͙3 ෆ27 ϭ … ͙2ෆ6 ϭ … ͙4 ෆ81aෆ4 ϭ … ͙4 ෆx8 ϭ … ͙1ෆ6ෆa6 ϭ …
34 Determina, quando è possibile, le radici quadrate dei seguenti numeri.
25; 36; Ϫ 81; 49; Ϫ 144; 121.
CACCIA ALL’ERRORE
Operando con radicali in Rϩ0, indica quali delle seguenti scritture non sono corrette, spiegando il perché.
35 ͙4 (ෆϪෆ9)ෆ4 ϭ Ϫ 9; 36 ͙3 ͉ෆϪෆ8͉ෆ ϭ 2; 37 Ϫ ͙ෆ4 ϭ 2;
͙(ෆϪෆ5)ෆ2 ϭ 5; ͙3 ͉ෆϪෆ4͉ෆ3 ϭ 4; Ϫ ͙3 Ϫෆෆ8 ϭ 2;
͙6 (ෆϪෆ2)ෆ6 ϭ ͉Ϫ 2͉; ͙3 Ϫෆෆ2ෆ7 ϭ ͉Ϫ 3 ͉; Ϫ ͙Ϫෆෆ4 ϭ 2;
͙Ϫෆෆ7ෆ2 ϭ 7. ͙3 ෆ12ෆ5 ϭ ͉5 ͉. Ϫ ͙3 ෆ8 ϭ Ϫ 2.
483
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 9. I NUMERI REALI E I RADICALI
■ Le condizioni di esistenza dei radicali in Rϩ0 b) ͙3 ෆa ෆϪෆ2.
ESERCIZIO GUIDA
38 Determiniamo le condizioni d’esistenza dei seguenti radicali in Rϩ0: a) ͙ෆ6aෆ4bෆ5;
a) ͙ෆ6aෆ4bෆ5 b) ͙3 ෆa ෆϪෆ2
Il radicando è il binomio a Ϫ 2, che non si scom-
Il radicando è il prodotto di tre fattori e deve es- pone in fattori. Dobbiamo porre a Ϫ 2 maggiore
sere positivo o nullo: 6 è un numero positivo; o uguale a 0, ossia
a4 è sempre positivo o nullo, indipendentemen-
te dal segno di a, poiché il suo esponente è pari; a Ϫ 2 Ն 0, da cui a Ն 2. Quindi:
b5, avendo esponente dispari, assume il segno C.E.: a Ն 2.
di b, quindi, affinché b5 sia positivo o nullo, oc-
corre che sia b Ն 0. Pertanto C.E.: b Ն 0.
Determina le condizioni d’esistenza dei seguenti radicali in Rϩ0.
39 ͙ෆa; ͙ෆaෆ2; ͙3 ෆaෆ5; ͙4 ෆ2xෆ2. Ί45 Ϫ ᎏ(1 Ϫ3ᎏ2x) ; ͙4 ෆx ෆ2 ϩෆ1; ͙ෆϪෆ1ෆϪෆx.
40 ͙ෆaෆb; ͙3 ෆ2aෆ3bෆ2; ͙4 ෆ3aෆ2b.
46 ͙(ෆϪෆ4ෆϪෆx)ෆ2 ; ͙3 ෆ(Ϫෆaෆ)5 ; ͙ෆϪෆyෆ3 .
41 ͙ෆ5aෆ2bෆ3; ͙ෆ2aෆ5bෆ2; ͙ෆ6aෆ2xෆ3y. Ί Ί47 ͙ෆ(Ϫෆaෆ)4;
42 ͙3 ෆa ෆϪෆ3; ͙ෆx ෆϩෆ2; ͙5 ෆ2xෆϩෆ4. ᎏa ϩ1ᎏ1 ; 3 2 .
43 ͙4 ෆb ෆϪෆ1; ͙3 1ෆϪෆෆ2ෆa; ͙ෆaෆϩෆ1. ᎏ(a Ϫᎏ2)2
44 ͙ෆ3aෆϩෆ3; ͙3 ෆx ෆϩෆ5; ͙4 ෆ2xෆϪෆ1.
Ί Ί481
ᎏxᎏ2 ; 1 ; ͙ෆ1 ෆϪෆx ϩ ͙xෆ.
ᎏϪ ᎏx 4
Ί49 ͙ෆΈ xෆϪෆ3ෆΈ ; 3 ᎏΈ 2xᎏΈ ; ͙ෆϪෆx.
4. La proprietà invariantiva dei radicali –ᮣ Teoria a pag. 464
■ La proprietà invariantiva
ESERCIZIO GUIDA
50 Indichiamo fra le seguenti coppie di radicali (con a, b ∈ Rϩ0 ) quelle equivalenti, applicando la proprietà
invariantiva:
a) ͙ෆ2aෆ4b, ͙6 ෆ8aෆ12ෆbෆ3; b) ͙ෆaෆ3b, ͙4 ෆaෆ9bෆ2; c) ͙3 ෆa ෆϪෆb , ͙6 ෆa2ෆϪෆ2ෆaෆbෆϩෆbෆ2, con a Ն b.
a) ͙ෆ2aෆ4b è equivalente a ͙6 ෆ8aෆ12ෆbෆ3. Infatti otte- ͙ෆaෆ3b ϭ ͙2ؒ2 ෆ(aෆ3b)ෆ1иෆ2 ϭ ͙4 ෆ(aෆ3b)ෆ2 ϭ ͙4 ෆaෆ6bෆ2
niamo il secondo radicale dal primo moltipli- e non ͙4 ෆaෆ9bෆ2.
cando l’esponente del radicando e l’indice per 3:
c) ͙3 ෆa ෆϪෆb è equivalente a ͙6 ෆa2ෆϪෆ2ෆaෆb ϩෆෆbෆ2. Infatti,
͙ෆ2aෆ4b ϭ͙2и3 ෆ(2ෆaෆ4b)ෆ1иෆ3ϭ͙6 (ෆ2ෆaෆ4b)ෆ3ϭ͙6 ෆ8aෆ12ෆbෆ3. moltiplicando per 2 indice ed esponente, otteniamo:
b)͙ෆaෆ3b non è equivalente a ͙4 ෆaෆ9bෆ2. Infatti, se ͙3 ෆa ෆϪෆb ϭ ͙3ؒ2 ෆ(aෆϪෆb)ෆ1иෆ2 ϭ ͙6 ෆ(aෆϪෆb)ෆ2 ϭ
si moltiplicano per 2 l’esponente del radican- ϭ ͙6 ෆa2ෆϪෆ2ෆaෆb ෆϩෆbෆ2.
do e l’indice, si ottiene:
484
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 4. La proprietà invariantiva dei radicali ESERCIZI
Fra le seguenti coppie di radicali indica quali sono quelle equivalenti, applicando la proprietà invariantiva.
(Supponi che siano verificate le condizioni di esistenza dei radicali.)
Ί Ί51 ͙4 ෆ32, ͙12 ෆ36; ͙ෆ4 ෆи5ෆ3, ͙4 ෆ24ෆи ෆ56; 39
3 ᎏ12ᎏ07 , 6 ᎏ10ᎏ2 . 55 ͙ෆ3aෆ2b , ͙6 ෆ9aෆ6bෆ3;
͙ෆ2aෆbc, ͙3 ෆ6aෆ3bෆ3cෆ3;
52 ͙ෆ8 , ͙12 2ෆ18ෆ; ͙3 2ෆ5 , ͙9 ෆ56 ; ͙3 ෆ81 , ͙12 3ෆ8 . ͙ෆaෆbcෆ3, ͙6 ෆ3aෆ3bෆ3cෆ6.
53 ͙ෆx ෆϩෆ1, ͙4 ෆx2ෆϩෆ2ෆx ෆϩෆ1; ͙1ෆϪෆෆx, ͙6 1ෆϪෆෆx ෆ3. 56 ͙ෆaෆϪෆ1, ͙10 ෆa ෆ10ෆϪෆ1 ;
54 ͙3 ෆ2aෆb , ͙6 ෆ4aෆ2bෆ2; ͙5 ෆ32ෆaෆ5b, ͙10 ෆ64ෆaෆ10ෆbෆ2; Ίᎏ29ᎏ(2aϪ5), Ί69 5)3
͙3 ෆ2aෆc , ͙6 ෆ6aෆ3cෆ3. ᎏ2ᎏ
(2aϪ .
ESERCIZIO GUIDA
57 Applicando la proprietà invariantiva, determiniamo il radicale equivalente a quello dato, indicando anche
le condizioni di esistenza dei radicali.
͙4 ෆ2aෆ5b ϭ ͙12 ෆ...ෆ.. .
La proprietà invariantiva dice che ͙n xෆෆm ϭ ͙nиp ෆxෆmиෆp. Dobbiamo risolvere un problema del tipo
͙n xෆෆm ϭ ͙nиp ෆ...ෆ.. , dove n ϭ 4 e n и p ϭ 12, ossia 4p ϭ 12, da cui p ϭ 12 Ϻ 4 ϭ 3. Pertanto:
͙4 ෆ2aෆ5b ϭ ͙12 (ෆ2ෆaෆ5b)ෆ12ෆϺෆ4 ϭ ͙12 (ෆ2ෆaෆ5b)ෆ3 ϭ ͙12 ෆ8a ෆ15ෆbෆ3.
quoziente
degli indici
Per l’esistenza dei radicali basta porre:
ab Ն 0.
Infatti, se ab Ն 0, è anche:
a5b ϭ a4(ab) Ն 0 e a15b3 ϭ a14b2(ab) Ն 0.
COMPLETA applicando la proprietà invariantiva e determina il radicale equivalente. Scrivi anche le condizioni
di esistenza dei radicali.
58 ͙8ෆ ϭ͙6 .ෆ..ෆ.. ; ͙5 ෆ27 ϭ ͙15 ෆ....ෆ. ; ͙2ෆ4ෆи ෆ33 ϭ ͙12 ෆ....ෆ. .
59 ͙3 ෆa4bෆ ϭ ͙6 ෆ...ෆ.. ; ͙ෆ3a3ෆ ϭ ͙4 ෆ...ෆ.. ; ͙2ෆb4ෆ ϭ ͙6 .ෆ...ෆ. .
60 ͙aෆϩෆෆ1 ϭ ͙4 ෆ...ෆ.. ; ͙ෆ2aෆb2 ϭ ͙4 ෆ....ෆ. ; 3ab 2 ϭ ͙3 ෆ....ෆ. .
61 ͙ෆ2aෆb3 ϭ ͙6 ෆ...ෆ.. ; ͙5 ෆ3acෆ ϭ ͙10 ෆ....ෆ. ;
Ί Ίᎏa64ᎏb3 ϭ 4 ᎏa..6.ᎏb..3 .
485
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 9. I NUMERI REALI E I RADICALI
■ La semplificazione di radicali
La semplificazione di radicali con radicandi non negativi
ESERCIZIO GUIDA b) ͙6 ෆ27xෆ3yෆ6 (con x Ն0, y Ն 0).
62 Semplifichiamo i radicali: a) ͙9 6ෆ4 ,
a) Scriviamo il radicando come potenza e dividiamo per 3 (che è il M.C.D. tra 9 e 6) l’indice di radice e
l’esponente del radicando:
͙9 ෆ64 ϭ ͙9 2ෆ6 ϭ ͙3 ෆ22 ϭ ͙3 4ෆ.
b) Scriviamo il radicando come una potenza e dividiamo per 3 l’indice di radice e l’esponente del radi-
cando:
͙6 2ෆ7xෆ3ෆy6 ϭ ͙6 ෆ33ෆx3yෆ6 ϭ ͙6 (ෆ3ෆxyෆ2)3ෆ ϭ ͙3ෆxෆy2 .
63 VERO O FALSO? VF d) ͙6 ෆa8ෆb4 ϭ ͙3 ෆa4ෆb2 VF
VF e) ͙8 ෆ34ෆϩෆ5ෆ4 ϭ ͙3ෆෆϩෆ5 VF
a) ͙9 ෆ27 ϭ ͙3 3ෆ VF f) ͙8 ෆ16 ϭ ͙4 8ෆ. VF
b) ͙3 ෆa3ෆϩෆbෆ3 ϭ a ϩ b
c) ͙ෆ(1ෆϩෆ͙ෆ2ෆ)2 ϭ 1 ϩ ͙2ෆ
Indica quali dei seguenti radicali non si possono semplificare.
64 ͙3 ෆ32 ; ͙7 ෆ28 ; ͙5 aෆ10ෆyෆ2 ; ͙4 ෆ225ෆ; ͙9 2ෆ16ෆ.
͙4 ෆ4(xෆෆϩෆyෆ)2 ;
Ί65 Ί8
ᎏa2 ϩaᎏ4 b2 ; ͙3 ෆ9a3ෆ; ͙6 xෆෆ2 ϩෆyෆ2 ; 64 .
ᎏa2 ϩ 2ᎏa ϩ 1
Semplifica, se possibile, i seguenti radicali supponendo non negativi tutti i fattori letterali che eventualmente
compaiono (anche nei risultati).
66 ͙10 ෆ32; ͙4 ෆ9; ͙6 ෆ25. [͙ෆ2; ͙ෆ3; ͙3 ෆ5]
67 ͙3 ෆ8; ͙10 ෆ16; ͙6 ෆ12ෆ5. [2; ͙5 ෆ4; ͙ෆ5]
Ί68 8 1 ; 25Ί Ί6; 6 23 . Ί Ί Ί΄ ΅81;35;2
ᎏ8ᎏ ᎏ6ᎏ4 ᎏ2ᎏ7 ᎏ8ᎏ ᎏ8ᎏ ᎏ3ᎏ
Ί Ί4 Ί Ί΄ ΅͙ෆ10;
69 ͙6 ෆ100ෆ0 ; 36 и 72 ; 8 ᎏ614ᎏ . 6и7 ; 4 ᎏ81ᎏ
ᎏ5ᎏ4 ᎏ5ᎏ2
70 ͙8 ෆ21ෆ2 ; ͙6 4ෆ2ෆϩෆ3ෆ2 ; ͙4 ෆ13ෆ2 Ϫෆ5ෆ2 . [͙ෆ8 ; ͙3 ෆ5 ; ͙ෆ12 ]
71 ͙6 ෆ27ෆaෆ3bෆ6; ͙10 ෆ32ෆaෆ5bෆ5. [͙ෆ3aෆbෆ2; ͙ෆ2aෆb]
72 ͙ෆaෆ4bෆ6; ͙ෆaෆ2bෆ4; ͙3 ෆaෆ6bෆ9. [a 2b 3; ab 2; a 2b 3]
486
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 4. La proprietà invariantiva dei radicali ESERCIZI
73 ͙6 ෆa2ෆ(ෆa2ෆϪෆෆ4ෆa ෆϩෆ4)ෆ [͙aෆෆ(aෆϪෆ2)ෆ] Ί80 4 ᎏ1x63xϪϪᎏ2x322 ΄ ΅ᎏ͙2ᎏxෆ
Ί81 6 ᎏxa22ϩϩ42ᎏaxϩϩ41
74 ͙9 ෆa3ෆϩෆෆ8ෆϩෆ6ෆa2ෆϩෆෆ1ෆ2a [͙3 ෆa ෆϩෆ2] Ί82 9 ᎏa3 ϩ 3a82aϩᎏ6 3a ϩ 1 Ί΄ ΅3 ᎏax ϩϩᎏ12
Ί83 x 2 ϩ ᎏxaᎏ42 ϩ 2a2 Ί΄ ΅3 ᎏa2ϩaᎏ21
75 ͙6 ෆ4aෆ2bෆ12; ͙10 ෆ4a4ෆbෆ2 . [͙3 2ෆabෆ6 ; ͙5 ෆ2aෆ2b ] Ί84 6 ᎏ(a2 Ϫa1Ϫ)ᎏ(a1ϩ 1)3
΄ ΅ᎏa2 ϩᎏx 2
Ί76 6 ᎏ91ᎏ ϩ a2 ϩ ᎏ32ᎏ a ΄Ί3 ᎏ13ᎏϩa΅ x
΄Ίᎏ2(2b5ᎏϩ1)΅
Ί77 4 ᎏ4(2b2ᎏϩ5 1)2 ΄Ί3 ᎏ(aϩ1ᎏ1)2 ΅
Ί΄ ΅3 ᎏba ϩϪᎏ11
Ί78 6 ᎏb2(ϩa Ϫ2bᎏ1 ϩ)2 1 Ί Ί΄ ΅3 ᎏ2caᎏ2 ; 5 ᎏ2caᎏ3b
Ί Ί79 6 ᎏ4caᎏ42 ;
10 ᎏ4acᎏ26b2 .
La semplificazione dei radicali con la discussione sul segno dei radicandi
ESERCIZIO GUIDA
85 Semplifichiamo i radicali:
a) ͙4 (ෆϪෆ5)ෆ6; b) ͙6 ෆxෆ2 yෆ4; c) ͙ෆx ෆ2 Ϫෆෆ4ෆx ෆϩෆ4.
a) ͙4 (ෆϪෆ5)ෆ6 ϭ ͙4:2 (ෆϪෆ5)ෆ6Ϻෆ2 ϭ
Poiché (Ϫ 5)6Ϻ2 ϭ (Ϫ 5)3 è negativo, dovendo essere il radicando sempre positivo, occorre introdurre il
valore assoluto:
ϭ ͙͉ෆϪෆ5͉ෆ3 ϭ ͙ෆ12ෆ5.
b) C.E.: ∀x ʦ R, ∀y ʦR. Infatti il radicando è positivo o nullo per qualsiasi valore attribuito a x o a y.
͙6 ෆxෆ2y ෆ4 ϭ ͙3ր6 ෆ(xෆy2ෆ)2ෆր1 ϭ ͙3 ͉ෆx͉ෆy ෆ2.
Per avere il radicando non negativo, dopo la semplificazione occorre introdurre il valore assoluto di x.
c) ͙ෆx 2ෆϪෆෆ4ෆx ෆϩෆ4 ϭ ͙ෆ(xෆϪෆ2)ෆ2 ϭ C.E.: ∀x ∈ R, perché l’esponente del radicando è pari.
ϭ ͉x Ϫ 2͉, perché un radicale deve essere non negativo.
86 VERO O FALSO? VF
VF
a) ͙(ෆϪ9ෆ)ෆ2 ϭ 9 VF
b) ͙4 (ෆ1ෆϪෆ͙3ෆ)ෆ2 ϭ ͙1ෆϪෆෆ͙ෆ3ෆ VF
VF
c) ͙6 ෆa3 ϭ ͙aෆ VF
d) ͙4 ෆ(2xෆϪෆෆ3ෆ)2 ϭ ͙2ෆxෆϪෆ3
e) ͙12 ෆ(Ϫ2ෆ7ෆ)6 ϭ ͙Ϫෆෆ27
f) ͙n ෆan ϭ a è vera per ∀a ʦ R e ∀n ʦ N.
487
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 9. I NUMERI REALI E I RADICALI
Semplifica, se è possibile, i seguenti radicali dopo aver indicato le condizioni di esistenza.
87 ͙9 2ෆ7xෆෆ3 ; Ί8 ᎏ4xaᎏ42 . ΄ Ί΅x Ն 0, ͙3 ෆ3x; x 0, 4 ᎏ2⏐xaᎏ2⏐
88 ͙6 ෆa3ෆb6 ; ͙10 6ෆ4ෆx4yෆ1ෆ0 . [a Ն 0, ͙ෆab2ෆ; ͙5 ෆ8xෆ2⏐yෆ⏐ෆ5 ]
89 ͙4 1ෆ6ෆ(aෆϪෆ1)ෆ2 ; ͙6 ෆa2ෆ(aෆϩෆ3ෆ)4 . [͙ෆ4⏐aෆϪෆෆ1ෆ⏐ ; ͙3 ෆ⏐ෆa⏐ෆ(aෆϩෆ3ෆ)2 ]
͙ෆx 2ෆϪෆ6ෆx ෆϩෆ9 .
Ί90 6 ᎏ8baᎏ63 ; ͙8 aෆ2ෆϪෆ2aෆෆϩෆ1 . ΄ Ί ΅a Ͼ 0, b 0, ᎏ2baᎏ2 ; ⏐x Ϫ 3⏐
91 ͙4 ෆa4bෆ6 ; [͙ෆa2ෆ⏐ෆb⏐3ෆ; ͙4 4ෆ⏐aෆෆϪෆ1ෆ⏐ ]
BRAVI SI DIVENTA ᭤ E34
Ί92 12 ᎏ2544(bx68(ϩaᎏ2 ϩ4x66 aϩᎏϩ4x94))
Ί93 4 ᎏ4x 2aϩᎏ4 4y2 ; Ί8 ᎏaa24ϩ(a4Ϫᎏa ϩ4)44 . ΄ Ί΅a 0, non semplif.; a Ϫ 2, 4 ᎏa⏐2(aaϩϪᎏ24⏐)2
Ί Ί94 6 ᎏ4xx22ϩϩ24ᎏxxϩϩ11 ; 6 ᎏx3 ϩ 3ᎏx227ϩa63ᎏx ϩ 1 . ΄ ΊΗ Η Ί΅x
Ϫ 1 , 3 ᎏ2xxϩϩᎏ11 ; x Ͼ Ϫ 1, ᎏx3ϩaᎏ21
95 Per quali valori di x si ha: ᎏ2ᎏ
a) ͙4ෆxෆ2 ϭ 2x,
b) ͙xෆ2ෆϪෆ1ෆ0xෆϩෆ25ෆ ϭ 5 Ϫ x ? [a) x Ն 0; b) x Յ 5]
■ La riduzione di radicali allo stesso indice
ESERCIZIO GUIDA
96 Riduciamo allo stesso indice i seguenti radicali, supponendo verificate le C.E.:
a) ͙5 3ෆ; ͙3 2ෆ; ͙ෆ2 . b) ͙4 ෆ2a2ෆ, ͙6 3ෆabෆ3 , ͙3 aෆ2bෆ4 .
a) Calcoliamo il minimo indice comune, ossia il m.c.m. fra gli indici: m.c.m. (5, 3, 2) ϭ 30.
Applichiamo la proprietà invariantiva per passare dai radicali dati a radicali equivalenti con indice 30.
Eleviamo cioè ogni radicando al rapporto fra il m.c.m. e l’indice di partenza:
и6 и10 и 15
͙5 ෆ3 ϭ ͙30 ෆ36 ; ͙3 2ෆ ϭ ͙30 ෆ210ෆ; ͙2 2ෆ ϭ ͙30 2ෆ1ෆ5 .
b) Calcoliamo il minimo indice comune: m.c.m. (4, 6, 3) ϭ 12.
Applichiamo la proprietà invariantiva:
и3 и2 и4
͙4 2ෆaෆ2 ϭ ͙12 ෆ(2ෆa2)ෆ3 ϭ ͙12 ෆ8aෆ6 ; ͙6 3ෆaෆb3 ϭ ͙12 (ෆ3ෆaෆb3ෆ)ෆ2 ϭ ͙12 9ෆaෆ2bෆ6 ; ͙3 ෆaෆ2bෆ4 ϭ ͙12 ෆ(aෆ2b4ෆ)ෆ4 ϭ ͙12 ෆaෆ8bෆ16.
488
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 4. La proprietà invariantiva dei radicali ESERCIZI
Riduci allo stesso indice i seguenti radicali. (Qui e in seguito, se non vengono date indicazioni diverse, supponi
verificate le C.E.)
97 ͙3ෆ, ͙3 ෆ3 , ͙4 ෆ3 . [͙12 ෆ72ෆ9 ; ͙12 ෆ81 ; ͙12 2ෆ7 ]
98 ͙3 ෆ2, ͙ෆ3, ͙6 ෆ5. [͙6 ෆ4; ͙6 ෆ27; ͙6 ෆ5]
99 ͙12 ෆ52, ͙4 ෆ6, ͙3 ෆ7. [͙12 ෆ52; ͙12 ෆ21ෆ6; ͙12 ෆ24ෆ01]
100 ͙ෆ5, ͙4 ෆ7 , ͙aෆ. [͙4 ෆ25 ; ͙4 7ෆ; ͙4 aෆ2ෆ]
101 ͙4 aෆ3 , ͙3 ෆa , ͙2ෆa2ෆ. [͙12 aෆෆ9 ; ͙12 aෆෆ4 ; ͙12 ෆ64ෆa 1ෆ2 ]
102 ͙12 ෆ3x ෆ2y ෆ3, ͙4 ෆ2xෆy ෆ2, ͙3 ෆ3xෆy . [͙12 ෆ3xෆ2y ෆ3; ͙12 ෆ8xෆ3y 6ෆ; ͙12 ෆ81ෆx ෆ4y ෆ4]
103 ͙6 (ෆaෆϪෆb)ෆ2 , ͙ෆa ෆϩෆb, ͙3 ෆaෆϩෆb. [͙6 ෆ(aෆϪෆb)ෆ2; ͙6 ෆ(aෆϩෆb)ෆ3; ͙6 ෆ(aෆϩෆb)ෆ2]
104 ͙15 ෆ25ෆaෆ3bෆ4, ͙3 ෆ3abෆ2 , ͙5 ෆ5a2ෆb . [͙15 ෆ25ෆaෆ3bෆ4; ͙15 ෆ24ෆ3aෆ5bෆ10; ͙15 ෆ12ෆ5aෆ6bෆ3]
105 ͙ෆa ϩෆෆ2, ͙3 aෆෆ2 ϩෆ4ෆa ϩෆෆ4 , ͙4 ෆ(aෆϩෆ2)ෆ3 . [͙12 (ෆaෆϩෆ2)ෆ6 ; ͙12 (ෆaෆϩෆ2ෆ)8 ; ͙12 ෆ(aෆϩෆ2)ෆ9 ]
Ί106 5 ᎏyx ϩϪᎏ11 , Ίᎏa ϩ3ᎏb , Ί10 ᎏzϪᎏt . ΄Ί Ί Ί΅10
zϩt ᎏ((yx ϩϪᎏ11))22 ; 10 ᎏ(a ϩ3ᎏ5b)5 ; 10 ᎏz Ϫᎏt
zϩt
■ Il confronto di radicali
ESERCIZIO GUIDA
107 Confrontiamo i radicali
͙4 ෆ3, ͙3 ෆ3, ͙6 ෆ7.
Riduciamo allo stesso indice: 27 Ͻ 49 Ͻ 81
Mettiamo i radicali nello stesso ordine dei radicandi:
͙4 ෆ3 ϭ ͙12 ෆ3ෆ3 ϭ ͙12 ෆ27
͙3 ෆ3 ϭ ͙12 ෆ3ෆ4 ϭ ͙12 ෆ81 ͙4 ෆ3 Ͻ ͙6 ෆ7 Ͻ ͙3 ෆ3.
͙6 ෆ7 ϭ ͙12 ෆ7ෆ2 ϭ ͙12 ෆ49
Confronta i seguenti radicali. [͙ෆ2 Ͻ ͙6 ෆ12 Ͻ ͙3 ෆ5] Disponi in ordine crescente i seguenti radicali dopo
108 ͙ෆ2, ͙3 ෆ5, ͙6 ෆ12. averli ridotti allo stesso indice.
112 ͙5ෆ, ͙3 ෆ6 , ͙4 ෆ10 , ͙7ෆ.
109 ͙ෆ90, ͙5 ෆ80, ͙10 ෆ12ෆ0. [͙10 ෆ12ෆ0 Ͻ ͙5 ෆ80 Ͻ ͙ෆ90]
113 ͙ෆ8 , ͙4 ෆ14 , ͙6 ෆ25 , ͙3 2ෆ8 .
2Ί Ί ΄Ί Ί ΅110,3 3 , ͙6 ෆ4. 2 3 3 Ͻ ͙6 ෆ4
ᎏ3ᎏ ᎏ4ᎏ ᎏ3ᎏ Ͻ ᎏ4ᎏ 114 Disponi in ordine crescente i numeri reali:
͙4 2ෆ7 , 2,2, ͙5ෆ, ͙3 ෆ18 .
111 ͙3 ෆ3, ͙ෆ2, ͙5 ෆ5. [͙5 ෆ5 Ͻ ͙ෆ2 Ͻ ͙3 ෆ3]
489
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 9. I NUMERI REALI E I RADICALI
5. La moltiplicazione e la divisione –ᮣ Teoria a pag. 467
fra radicali
■ La moltiplicazione fra radicali
ESERCIZIO GUIDA
115 Eseguiamo le seguenti moltiplicazioni fra radicali:
Ί Ί Ίa) 3 ᎏ35ᎏ и 3 ᎏ29ᎏ5 и 3 ᎏ25ᎏ; Ί Ίb) ᎏ2ᎏa и 3 ᎏa6bᎏ2 .
b
a) Poiché gli indici dei radicali sono uguali, è sufficiente applicare il teorema del prodotto
͙n ෆa и ͙n ෆb ϭ ͙n aෆෆи b :
Ί Ί Ί Ί Ί3 ᎏ35ᎏ и 3 ᎏ29ᎏ5 и 3 ᎏ25ᎏ ϭ 3 ᎏ35ᎏ и ᎏ29ᎏ53и ᎏ25ᎏ ϭ 3 ᎏ23ᎏ .
b) Poiché i radicali hanno indici diversi, li riduciamo allo stesso indice:
Ί Ί Ί Ίᎏ2ᎏa ϭ
b
6 ᎏ8baᎏ33 e 3 ᎏa6bᎏ2 ϭ 6 ᎏa32ᎏ6b4 .
Ί Ί Ί Ίᎏ2ᎏa и
b
3 ᎏa6bᎏ2 ϭ 6 ᎏ8baᎏ33 и 6 ᎏa32ᎏ6b4 ϭ
Il prodotto è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi:
ͱසසස Ίր گϭ
6 2گ8a 3 и a 2 и bր4 ϭ 6 ᎏ2a9ᎏ5b .
36 9
b3
Esegui le seguenti moltiplicazioni fra radicali e semplifica i risultati.
116 ͙4ෆ8 и ͙3ෆ; ͙3 3ෆ и ͙3 ෆ9 ; ͙3ෆ2 и ͙2ෆ. [12; 3; 8]
117 ͙5 1ෆ2 ͙5 3ෆ6 ͙5 1ෆ8 ; ͙6 ෆ2 ͙6 ෆ8 ͙6 ෆ32 . [6; ͙ෆ8]
Ί Ί118 5 ᎏ56ᎏ и 5 ᎏ43ᎏ25 и ͙5 ෆ2; Ί Ίᎏ43ᎏ и ᎏ28ᎏ7 и ͙ෆ6. Ί΄ ΅͙5 ෆ2; ᎏ34ᎏ
Ί΄ ΅͙ෆ2; ᎏ31ᎏ0
Ί Ί119 ᎏ45ᎏ и ᎏ38ᎏ0 и ͙ෆ6; Ί Ί Ίᎏ15ᎏ2 и ᎏ28ᎏ5 и ᎏ13ᎏ2 .
[͙ෆ2azෆ; ͙6 3ෆx2ෆy2ෆ]
Ί Ί Ί120 ᎏ2aᎏb и ᎏzbᎏ2 и ᎏzb3ᎏ2x ; ᎏx34ᎏy иΊ Ί Ί669и 6 ᎏyᎏ .
x ᎏᎏ x ΄Ίᎏ23ᎏᎏxyᎏ; Ί΅ᎏ3a(a5bᎏϪ2 b)2
x
Ί Ί Ί121 Ί Ίᎏ4(a5Ϫaᎏ2b)2 и ᎏ122(a5aϪᎏb2b)4 .
6 27 6 ᎏx8yᎏ5 и 6 1 ;
ᎏxᎏ4 и ᎏyᎏ2
490
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 5. La moltiplicazione e la divisione fra radicali ESERCIZI
122 ͙6 ෆ3 и ͙3ෆ и ͙3 ෆ3 ; ͙4 ෆ7 и ͙6 ෆ7 и ͙3 7ෆ. [3; ͙4 7ෆ3 ]
[͙3 aෆ7 ; x]
123 ͙6 aෆ и ͙aෆ3 ͙3 aෆ2 ; ͙5 ෆx ͙10 ෆx3 ͙ෆx .
΄Ί Ί΅15 ᎏ32aᎏb3 5 ; 6 ᎏ22070ᎏab35
Ί Ί Ί124 15 ᎏ287bᎏa3 и 5 ᎏ32ᎏba и 3 ᎏ2aᎏb ; Ί Ί Ί3 ᎏ190ᎏba и 6 ᎏ841aᎏb2 и ᎏ23bᎏa2 .
[͙6 ෆx ϩෆෆy ; ͙4 ෆa4ෆ(aෆϪෆbෆ) ]
Ί Ί Ί Ί Ί Ίxϩy xϪy
125 3 1 и ᎏx ϩᎏy и ᎏx2 Ϫᎏy2 ; ᎏa2 Ϫ 2aaᎏ2b ϩ b2 и ᎏaᎏ4 и 4 1
ᎏᎏ ᎏᎏ
xϩy aϪb aϪb
■ La divisione fra radicali
ESERCIZIO GUIDA
126 Eseguiamo le divisioni fra radicali:
Ί Ίa) 4 ᎏ21ᎏ Ϻ 3 ᎏ21ᎏ ; b) ͙4 ෆ24ෆaෆbෆ2 Ϻ ͙ෆ2b.
Ί Ίa) 4 ᎏ21ᎏ Ϻ 3 ᎏ21ᎏ ϭ Ί Ί ϭ 12ᎏ12ᎏ
3 ᎏ12ᎏ ϭ4 12 1 3Ϫ4
Portiamo allo stesso indice: ᎏ2ᎏ ϭ
Ϻ
Ί Ί ϭ 121Ϻ3 1214 Ίϭ 121 Ϫ1 ϭ ͙12 ෆ2.
ᎏ2ᎏ ᎏ2ᎏ ϭ ᎏ2ᎏ
Applichiamo il teorema del quoziente: b) ͙4 ෆ24ෆaෆbෆ2 Ϻ ͙ෆ2b ϭ ͙4 ෆ24ෆaෆbෆ2 Ϻ ͙4 (ෆ2ෆb)ෆ2 ϭ
͙n aෆ Ϻ ͙n bෆ ϭ ͙n aෆෆϺෆb: ϭ ͙4 ෆ24ෆaෆb2ෆϺෆ4ෆbෆ2 ϭ ͙4 ෆ6a .
Esegui le seguenti divisioni fra radicali.
127 ͙ෆ9 Ϻ ͙ෆ3; ͙ෆ7 Ϻ ͙ෆ5; Ί͙ෆ8 Ϻ ᎏ34ᎏ . ΄ Ί ΅͙ෆ3; ᎏ57ᎏ ; ͙ෆ6
Ί͙ෆx ෆ3 Ϻ ᎏxᎏ2 . ΄ Ί ΅͙ෆa; ᎏaᎏ ; ͙ෆxy
128 ͙ෆaෆ2Ϻ ͙ෆa; ͙ෆa Ϻ ͙ෆb;
y b
Ί129 ͙4 ෆ2 Ϻ 4 ᎏ58ᎏ ; Ί Ί3 ᎏ23ᎏ Ϻ 3 ᎏ23ᎏ ;
͙7 ෆ32 Ϻ ͙7 ෆ2ෆ6 . Ί Ί΄ ΅4 ᎏ45ᎏ ; 1; 7 ᎏ21ᎏ
Ί130 4 25 Ί͙3 ෆ2 Ϻ 12 8
͙ෆ5Ϻ ᎏ8ᎏ1 ; ᎏ9ᎏ ; Ί1ϩᎏ53ᎏ Ϻ Ίᎏ54ᎏ . [3; ͙12 ෆ18; ͙ෆ2]
131 ͙ෆ4 : ͙4 ෆ8; Ί Ί23и3 : 4 8 . ΄ ΅͙4 ෆ2; ͙4 ෆ72
ᎏ5 ᎏ25
΄Ί ΅4 ᎏxyᎏ43 ; ͙12 ෆaෆbෆ2
Ί132 ͙ෆx Ϻ 4 ᎏyxᎏ45 ; Ί͙3 ෆa Ϻ 12 ᎏbaᎏ23 .
491
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 9. I NUMERI REALI E I RADICALI
■ Espressioni con moltiplicazioni e divisioni
Semplifica le seguenti espressioni contenenti moltiplicazioni e divisioni fra radicali.
Ί133 ͙1ෆ2ෆ5 Ϻ 5 и ͙6ෆ [30] Ί Ί Ί140 ᎏxᎏ Ϻ ᎏxᎏ2 и ᎏyᎏ ΄Ίᎏxzᎏ2΅
ᎏ6ᎏ y zx
΄Ίᎏ38ᎏ΅
134 (͙ෆ8 и ͙4ෆ8) Ϻ (͙ෆ24 и ͙6ෆ) Ί Ί Ί141
[͙6 1ෆ8 ] ᎏ3aᎏb2 Ϻ ᎏ9bᎏ2 и ᎏ3aᎏ ΄ᎏ3aᎏ΅
Ί 135 ͙3 ෆ162ෆ Ϻ ᎏ23ᎏ и ͙6 4ෆ32ෆ c c
[͙6 ෆa15ෆb1ෆ1 ]
Ί Ί Ί142
136 ͙3 aෆ6ෆb7 Ϻ ͙ෆab2ෆ и ͙aෆ2ෆb [͙9 ෆ72ෆ9aෆ5cෆ9] ᎏx2Ϫx28Ϫxᎏ4ϩx16 и ᎏxϪᎏ4 Ϻ ᎏx2 Ϫxᎏ216
x ΄Ί΅ᎏx2Ϫxᎏ216
137 ͙3 ෆ3aෆ2c Ϻ ͙9 ෆ27ෆa и ͙3 ෆ9cෆ2
Ί Ί ΄Ί΅[͙6 ෆaෆbෆ7]1 1 ͙3 ෆxෆ2
138 ͙ෆaෆ2bෆ3Ϻ ͙3 ෆaෆ3bෆc и ͙6 ෆaෆcෆ2 143 1 Ϫ ᎏxᎏ2 Ϻ 1 ϩ ᎏᎏ и ᎏx Ϫᎏ1 6 ᎏ(x Ϫxᎏ1)3
x
139 ͙4 ෆ12ෆbෆ2c Ϻ ͙ෆ2b и ͙4 ෆ4c ෆ3 Ί Ί Ί[͙4 1ෆ2ෆc4] 144
Ϫ 9 3 ᎏx2ϩᎏx 3 Ϻ 6 ᎏ(x Ϫ2ᎏx3)3 [͙6 8ෆ(ෆx ϩෆෆ3)ෆ]
x ᎏᎏ Ϻ
x
Ί Ί Ί145 ΄Ί8 ᎏ2(xϩ1ᎏ3y) ΅
4 ᎏ2ᎏy ϩ 1 и 8 ᎏ2xxϩϩᎏ32yy Ϻ ᎏx ϩᎏ3y Ϻ ͙8 ෆx ෆϩෆy ΄Ί΅6 ᎏ((bb ϪϪ 12))43ᎏ((bb ϩϩ 21))
x ϩy xϩy
[͙6 (ෆaෆϩෆ2ෆ) ෆи (ෆa ϩෆෆ1)ෆ2 ]
Ί Ί Ί146 ᎏb2bϪ2 ϪbᎏϪ1 2 и 3 ᎏbb ϩϩᎏ12 Ϻ 6 ᎏbb2ϩϪᎏ14
Ί Ί Ί147 ᎏaa2ϩϪᎏ14 Ϻ 3 ᎏa2aϩ2 ϪaᎏϪ1 2 и ᎏaa ϩϪᎏ12 .
■ Il trasporto di un fattore Nel sito: ᭤ 17 esercizi di recupero
fuori dal segno di radice
ESERCIZIO GUIDA
148 Trasportiamo fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili nei seguenti radicali:
Ίa) ͙3 2ෆ4; b) ͙4 ෆ29 ; c) ᎏ13ᎏ6 ; d) ͙9ෆaෆ8b ; e) ͙3 ෆa5ෆϩෆ3ෆa4ෆϩෆ3ෆa3ෆϩෆaෆ2 (a Ն Ϫ 1).
a) ͙3 ෆ24 ϭ ͙3 8ෆиෆ3 ϭ ͙3 ෆ23ෆиෆ3 ϭ ͙3 ෆ2ෆ3 и ͙3 ෆ3 ϭ 2 и ͙3 ෆ3.
b) ͙4 2ෆ9 ϭ ͙4 2ෆ8ෆи 2ෆ ϭ ͙4 2ෆ8 и ͙4 ෆ2 ϭ 22 и ͙4 2ෆ ϭ 4͙4 ෆ2 .
Ίc) 3 ϭ ͙ෆ3 ϭ ͙ෆ3 ϭ 1 ͙ෆ3.
ᎏ1ᎏ6 ᎏ͙ᎏෆ16 ᎏ4ᎏ ᎏ4ᎏ
d) ͙ෆ9aෆ8b ϭ ͙ෆ32ෆиෆa8ෆиෆb ϭ ͙ෆ3ෆ2 и ͙ෆaෆ8 и ͙ෆb ϭ 3 и a 4 и ͙ෆb.
492
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 5. La moltiplicazione e la divisione fra radicali ESERCIZI
e) ͙3 ෆa 5ෆϩෆ3ෆa4ෆϩෆ3ෆa3ෆϩෆaෆ2 ϭ
Raccogliamo a 2:
ϭ ͙3 ෆa 2ෆ(ෆa3ෆϩෆ3ෆa2ෆϩෆ3ෆa ෆϩෆ1)ෆ ϭ
Riconosciamo il cubo di un binomio:
ϭ ͙3 ෆa2ෆ(ෆa ෆϩෆ1)ෆ3 ϭ
Scriviamo la radice come prodotto di due radici:
ϭ ͙3 ෆaෆ2 и͙3 ෆ(aෆϩෆ1)ෆ3 ϭ
Poiché per ipotesi a Ն Ϫ 1, il fattore (a ϩ 1) non è negativo:
ϭ (a ϩ 1) ͙3 ෆa ෆ2.
Trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili. (Supponi che i fattori da trasportare non siano nega-
tivi.)
149 ͙ෆ18; ͙ෆ12; ͙3 ෆ54; ͙3 ෆ40. [3 ͙ෆ2; 2 ͙ෆ3; 3 ͙3 ෆ2; 2 ͙3 ෆ5]
Ί150 ᎏ13ᎏ6 ; Ίᎏ45ᎏ ; Ί3 ᎏ22ᎏ7 ; Ί3 ᎏ58ᎏ. ΄ Ί Ί΅4 и ᎏ31ᎏ ; ᎏ21ᎏ ͙ෆ5; ᎏ31ᎏ ͙3 ෆ2; 2 3 ᎏ51ᎏ
151 ͙ෆ40; ͙ෆ24ෆ3; ͙ෆ12ෆ5; ͙3 ෆ16. [2 ͙ෆ10; 9 ͙ෆ3; 5 ͙ෆ5; 2 ͙3 ෆ2]
152 ͙3 ෆ96; ͙3 ෆ81; ͙4 ෆ32ෆ0; ͙4 ෆ24ෆ3. [2 ͙3 ෆ12; 3 ͙3 ෆ3; 2 ͙4 ෆ20; 3 ͙4 ෆ3]
Ί153 ᎏ83ᎏ; Ίᎏ27ᎏ52 ; Ί3 ᎏ88ᎏ1 ; Ί3 ᎏ136ᎏ30 . ΄ Ί Ί Ί΅ᎏ21ᎏ ᎏ23ᎏ ; ᎏ56ᎏ ͙ෆ2; ᎏ32ᎏ 3 ᎏ31ᎏ ; ᎏ21ᎏ 3 ᎏ23ᎏ03
154 ͙3 ෆ32ෆ0; ͙3 ෆ37ෆ5; ͙4 ෆ11ෆ2; ͙4 ෆ40ෆ5. [4 ͙3 ෆ5; 5 ͙3 ෆ3; 2 ͙4 ෆ7; 3 ͙4 ෆ5]
155 ͙ෆ5aෆ8bෆcෆ2; ͙3 ෆ6aෆbෆ3c ෆ6; Ί4 ᎏ82ᎏ1 x 12 . ΄ ΅a4c ͙ෆ5b; bc2 ͙3 ෆ6a; ᎏ31ᎏ x 3͙4 ෆ2
156 ͙ෆ2aෆ2b ; ͙3 ෆ3b ෆ6; ͙4 ෆ16ෆaෆ8b ෆ3 . [a ͙ෆ2b; b 2 ͙3 ෆ3; 2a 2 ͙4 ෆbෆ3]
157 ͙3 ෆa3ෆϩෆ3ෆa2ෆϩෆ3ෆa ෆϩෆ1; ͙3 ෆa6ෆ(ෆx ෆϪෆy)ෆ3. [a ϩ 1; a 2 (x Ϫ y)]
158 ͙ෆx 2ෆϩෆxෆ2y ; ͙4ෆϩෆෆ4ෆbෆ2; ͙ෆxෆ2yෆϪෆ3ෆx ෆ2 . [x ͙1ෆϩෆෆy; 2 ͙1ෆϩෆෆbෆ2; x ͙ෆy ෆϪෆ3]
159 ͙ෆx6ෆϪෆ2ෆx3ෆb3ෆϩෆbෆ6 ; Ίᎏ3a2 Ϫ91bᎏ82xa ϩ27 . ΄ Ί΅x 3 Ϫ b3; ᎏa Ϫᎏ3ᎏ31ᎏx
b
Ί160 4 ᎏ(aaϪϩᎏ33)5 ; ͙8ෆ(xෆ5ෆϪෆ6ෆx4ෆϩෆ9xෆ3ෆ) .
΄ Ί ΅ᎏa Ϫ1ᎏ3 4 ᎏaa ϩϪᎏ33 ; 2x(x Ϫ 3) ͙2ෆx
493
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 9. I NUMERI REALI E I RADICALI
Fattori trasportati fuori dal segno di radice e discussione
ESERCIZIO GUIDA
161 Trasportiamo fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili nei seguenti radicali:
a) ͙aෆ6bෆ; b) ͙3 ෆ12ෆ5aෆ3b; c) ͙3 ෆ8aෆ3bෆ9cෆ2; d) ͙ෆ2a2ෆϪෆ4ෆaෆϩෆ2 .
a) C.E. di ͙ෆa6ෆb : b Ն 0. c) C.E. di ͙3 ෆ8aෆ3b9ෆcෆ2 : ab Ն 0.
͙ෆaෆ6b ϭ ͉ a 3 ͉ ͙ෆb. ͙3 8ෆa3ෆb9ෆcෆ2 ϭ ͙3 ෆ2ෆ3aෆ3bෆ9cෆ2 ϭ 2ab 3 ͙3 cෆ2 .
Infatti, affinché l’uguaglianza sia vera, occorre I valori assoluti non occorrono, perché le C.E. ga-
che sia a 3 Ն 0, ma le C.E. non lo garantiscono. rantiscono che ab 3 Ն 0, essendo: ab3 ϭ ab и b2 Ն 0.
b) C.E. di ͙3 ෆ12ෆ5aෆ3b : ab Ն 0. d) C.E. di ͙2ෆa2ෆϪෆ4ෆa ϩෆෆ2 ϭ
ϭ ͙ෆ2ෆ(a2ෆϪෆ2ෆaෆϩෆ1)ෆ ϭ ͙ෆ2ෆ(aෆϪෆ1)ෆ2 : ∀a ∈ R.
͙3 ෆ12ෆ5aෆ3b ϭ ͙3 ෆ53ෆaෆ3b ϭ 5 ͉ a ͉ ͙3 ෆ͉ b͉ෆ. ͙ෆ2ෆ(aෆϪෆ1)ෆ2 ϭ ͉ a Ϫ 1 ͉ ͙ෆ2.
Occorre infatti che il radicando b sia Ն 0, ma Infatti le C.E. non garantiscono che sia a Ϫ 1 Ն 0.
le C.E. non lo assicurano. Inoltre, affinché sia
vera l’uguaglianza, deve essere anche a Ն 0 (e
neppure questo è assicurato dalle C.E.).
COMPLETA. Nelle seguenti uguaglianze sono stati trasportati fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili
senza mettere i necessari valori assoluti. Aggiungili dove mancano.
162 ͙ෆx2 ϭ x; ͙xෆ3 ϭ x и ͙xෆ; ͙ෆab2ෆ ϭ b͙aෆ. Ί Ί166 ͙3 ෆ8aෆ3bෆcෆ3 ϭ 2ac ͙3 ෆbෆ;
163 ͙ෆx ෆ4 ϭ x 2; ͙ෆx ෆ5 ϭ x 2 и ͙ෆx; ͙3 aෆ6 ϭ a 2. 3 ᎏ2b7ᎏ6ac3 ϭ ᎏb3ᎏa2 3 1 .
164 ͙ෆa2ෆиෆb ϭ a ͙ෆb; ͙2ෆaෆ4b2ෆ ϭ a 2 и b и ͙ෆ2; ᎏᎏ
c
͙ෆ9aෆ4b ϭ 3a 2 ͙ෆb.
165 ͙4 aෆ4bෆ8cෆ ϭ ab 2 ͙4 ෆc ; ͙5 ෆ32ෆaෆ5b ϭ 2a ͙5 ෆb; Ί Ί167 4 ᎏ16caᎏ84b ϭ ᎏ2cᎏa2 ͙4 ෆb; ᎏ4acᎏ42d ϭ ᎏ2cᎏa2 ͙ෆd.
168 ͙ෆ9ෆ(aෆϪෆ1)ෆ2ෆb ϭ 3 (a Ϫ 1) ͙ෆb;
͙ෆ16ෆa2ෆ(ෆb ෆϪෆ1)ෆ2 ϭ 4a (b Ϫ 1).
͙6 ෆa ෆ12ෆbෆ6c ϭ a 2b ͙6 ෆc .
Trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili.
169 ͙ෆ16ෆbෆ4c; ͙3 ෆ27ෆaෆ2bෆ12ෆx ෆ6; ͙3 ෆ12ෆx ෆ3y ෆ2. [4b 2 ͙ෆc ; 3b 4x 2 ͙3 ෆa ෆ2; x ͙3 ෆ12ෆy ෆ2]
[͉ a Ϫ 1 ͉ ͙ෆb; yc 2 ͙3 ෆ6x ෆ2; x ͙5 ෆ10ෆy ෆ4]
170 ͙ෆ(a2ෆϪෆ2ෆaϩෆෆ1)ෆb ; ͙3 ෆ6xෆ2yෆ3cෆ6; ͙5 ෆ10ෆx ෆ5y ෆ4.
BRAVI SI DIVENTA ᭤ E35
Ί Ί Ί171
3 9 и 6 ᎏ9(x 2 Ϫᎏ9)4 Ϻ ᎏx 3 Ϫ3ᎏ3x 2
ᎏx 2 ϩ 6ᎏx ϩ 9 x
494
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 6. La potenza e la radice di un radicale ESERCIZI
172 ͙ෆ12ෆa2ෆϩෆaෆ2x; ͙3 ෆ15ෆx 3ෆϩෆx 5ෆ. [͉ a ͉ ͙ෆ12ෆϩෆx; x ͙3 ෆ15ෆϩෆx ෆ2]
173 ͙ෆ4xෆ2c; [2 ͉ x ͉ ͙ෆc; 3x 2y 4 ͙3 ෆ3cෆ2; ͉ a ͉ ͙ෆb ෆϩෆbෆ2]
174 ͙ෆaෆ2b2ෆϩෆ4ෆbෆ2; ͙3 ෆ81ෆx ෆ6y ෆ12ෆcෆ2; ͙ෆaෆ2b ෆϩෆb ෆ2a ෆ2. [͉ b ͉ ͙ෆa2ෆϩෆ4; ͉ b ͉ ͙ෆ͉ aෆϪෆb ͉ෆ; 3 ͙3 ෆa3ෆϩෆ1]
175 ͙ෆ16ෆa2ෆ(ෆb2ෆϪෆ2ෆb ෆϩෆ1)ෆ;
͙3 ෆaෆb3ෆϪෆbෆ4; ͙3 ෆ27ෆa3ෆϩෆ2ෆ7. [4 ͉a (b Ϫ 1)͉; 4 ͉a ϩ 1͉ ͙ෆx]
͙ෆ16ෆ(aෆ2x ෆϩෆ2ෆaෆx ෆϩෆx)ෆ.
■ Moltiplicare e portare fuori dal segno di radice
Trova le condizioni di esistenza dei radicali e, dopo aver eseguito le moltiplicazioni indicate, trasporta fuori dal
segno di radice i fattori possibili; metti il valore assoluto dove necessario.
Ί Ί Ί Ί176 ͙2ෆ4 и ͙3ෆ0;5 3 ; 3 3 3 9 . ΄ ΅12͙ෆ5;1 ͙ෆ3; 3
ᎏ4ᎏ и ᎏ12ᎏ5 ᎏ2ᎏ и ᎏ4ᎏ ᎏ1ᎏ0 ᎏ2ᎏ
177 ͙4 ෆaෆ2bෆ3 и ͙4 ෆaෆ7bෆ9; ͙6 bෆ3ෆc и ͙6 ෆ3b3ෆcෆ5 ; ͙5 ෆ2x ෆ3y ෆ4 и ͙5 ෆ16ෆx ෆ3y ෆ3 . [a 2b 3 ͙4 ෆa; bc͙6 3ෆ; 2xy ͙5 ෆxyෆ2]
Ί Ί Ί Ί Ί Ί ΄ Ί Ί Ί΅178 3 ᎏ53xᎏy2 и 3 ᎏ295yᎏx87 ;
ᎏ2caᎏ43b и ᎏ4baᎏ54c ; 4 ᎏ14taᎏ6z6 и 4 ᎏ8az7ᎏt8 . ᎏyᎏ2 3 ᎏ53xᎏy2 ; ᎏ2cbaᎏ23 ᎏ2ᎏa ; ᎏaᎏ2 4 7
x ct ᎏ4zᎏ2t
Ί Ί Ί Ί Ί Ί179 2 ᎏx6ᎏy3 и 3 ᎏ94yᎏx3 ; 6 ᎏxy4ᎏ5 и 3 ᎏ2xyᎏ82 ; ΄ Ί Ί Ί͉͉΅2 ᎏ͉xyᎏ2͉
6 ᎏ8baᎏ44 и 4 ᎏ4abᎏ22 . 2
ᎏᎏ ᎏ3xᎏy 3
⏐x⏐
6 ; ᎏyᎏ ; 2 6 ᎏaᎏ
xb
ΊΊ Ί Ί Ί ΄ Ί΅180
ᎏx Ϫᎏ3 ᎏxx23 ϪϪᎏyy32 и ᎏxx22ϩϩ2xxᎏyyϩϩyy22 ; ᎏx 2 Ϫ 2ᎏx ϩ 1 и 3 1 . 1 ͙ෆx ෆϪෆ3 ; ᎏ⏐x Ϫᎏ1⏐ и 6 1
xϩy x ᎏxᎏ2 ᎏᎏ x ᎏᎏ
x ϩy x
6. La potenza e la radice di un radicale –ᮣ Teoria a pag. 469
■ La potenza di un radicale [3 ͙ෆ3; ͙ෆ2; ͙5 ෆ4; ͙ෆ3]
[24 ͙ෆ3; 81; ͙5 ෆ7; ͙5 ෆ9]
ESERCIZIO GUIDA
181 Calcoliamo le seguenti potenze di radicali:
a) (͙3 ෆ2)5; b) (͙5 ෆ2xෆy ෆ2)3; c) (͙3 ෆaෆϩෆ3)2.
Applichiamo in tutti i casi il teorema della potenza:
(͙n aෆ)m ϭ ͙n aෆෆm.
a) (͙3 ෆ2)5 ϭ ͙3 ෆ2ෆ5 ϭ 2 ͙3 ෆ2ෆ2 ϭ 2 ͙3 ෆ4.
b) (͙5 ෆ2xෆy ෆ3)3 ϭ ͙5 (ෆ2ෆxy 3ෆ)ෆ3 ϭ ͙5 ෆ8xෆ3y ෆ9 ϭ y ͙5 ෆ8x3ෆy4ෆ.
c) (͙3 ෆa ෆϩෆ3)2 ϭ ͙3 ෆ(aෆϩෆ3)ෆ2.
Calcola le seguenti potenze di radicali.
182 (͙ෆ3)3; (͙6 ෆ2)3; (͙5 ෆ2)2; (͙4 ෆ3)2.
(͙10 ෆ7)2; (͙5 ෆ3)2.
183 (͙ෆ12)3; (͙3 ෆ9)6;
495
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 9. I NUMERI REALI E I RADICALI
184 (͙ෆ10)3; (͙3 ෆ2)5; (͙ෆ15)2; (͙15 ෆ3)5. [10 ͙ෆ10; 2 ͙3 ෆ4; 15; ͙3 ෆ3]
185 (͙ෆ2aෆ5b )3; (͙3 ෆ3xෆ4y)2; (͙6 ෆbcෆ3 )4. [2 a7b ͙ෆ2abෆ; x 2 ͙3 ෆ9xෆ2y ෆ2; c 2͙3 ෆb ෆ2 ]
186 [͙3 ෆ(xෆϩෆ3yෆ)ෆ(xෆϪෆy)ෆ]2; (͙3 2ෆxෆϪෆ3ෆy )2. [͙3 ෆ(xෆϩෆ3yෆ)2ෆ(ෆx ෆϪෆy)ෆ2; ͙3 (ෆ2ෆx ෆϪෆ3yෆ)ෆ2]
187 (͙3 ෆ2aෆϪෆb )4; Ίᎏ3aϪᎏx 3 ΄ Ί΅(2a Ϫ b) ͙3 ෆ2aෆϪෆb; ᎏ3a Ϫᎏx ᎏ3a ᎏϪx
aϩb a ϩb aϩb
. [3(x ϩ 2)2; a͙ෆa (3x Ϫ y)3]
188 [(x ϩ 2) ͙ෆ3]2; [(3x Ϫ y) ͙ෆa ]3.
■ Espressioni con potenze di radicali
Semplifica le seguenti espressioni con potenze di radicali.
Ί Ί Ί Ί18992 16 2 1 2 1 [͙3 9ෆ; ͙6 5ෆ; ͙6 ෆ24ෆ3 ]
3 ᎏ16ᎏ 3 ᎏ3ᎏ (͙5ෆ)3 Ϻ (͙3 2ෆ5 )2 ; 3 ᎏ3ᎏ ᎏ27ᎏ [a3; 3a 2(a Ϫ 2b)]
и ; Ϻ [͙ෆx Ϫෆෆy]
[1]
΄ Ί΅190 (͙4 ෆa)2 и (͙3 aෆ2)3 и ͙aෆ ;
(a Ϫ 2b) Ϻ ᎏa3Ϫaᎏ22 b 2 ΄Ί3 ᎏa1bᎏ2 ΅
Ί Ί Ί191 3 ᎏ1ᎏ
6 1 Ϫ ᎏx Ϫᎏ3y и 6 ᎏx4Ϫᎏy y x ϩy
x ϩy Ϻ
Ί Ί Ί 192 2
3 ᎏaᎏ ϩ ᎏbᎏ ϩ 1 Ϻ 3 ᎏ1ᎏ ϩ ᎏ1ᎏ 3 ᎏaa23 ϪϪᎏbb23 2
Ϻ
ba ab
Ί Ί Ί193 2
3 ᎏbaᎏ22 ϩ ᎏbaᎏ22 Ϫ 2 Ϻ 3 2 ϩ ᎏaᎏ ϩ ᎏbᎏ 3 ᎏ(a Ϫᎏb)4
ba Ϻ a
■ La radice di un radicale
ESERCIZIO GUIDA
194 Eseguiamo la radice di radicale: ͙͙ෆ3 ෆ5.
Applichiamo il teorema della radice di una radice: ͙m ͙ෆn ෆෆa ϭ ͙mиnෆa . La radice che otteniamo ha come indice
il prodotto degli indici delle singole radici: 2 и 3 ϭ 6.
͙͙ෆ3 ෆ5 ϭ ͙6 ෆ5.
Esegui le seguenti radici di radicali. [͙6 ෆ2; ͙10 ෆ3; ͙4 ෆ6] 196 ͙͙ෆ3 ෆ7; ͙6 ͙ෆෆ3; ͙3 ͙ෆ3 ෆ3. [͙6 ෆ7; ͙12 ෆ3; ͙9 ෆ3]
195 ͙͙ෆ3 ෆ2; ͙͙ෆ5 ෆ3; ͙͙ෆෆ6.
496
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 6. La potenza e la radice di un radicale ESERCIZI
197 ͙͙ෆ3 2ෆෆa ; ͙͙ෆ3 ෆ3aෆ2bෆ3. [͙6 ෆ2a; ͙6 ෆ3aෆ2bෆ3] 199 ͙͙ෆ͙ෆෆෆa5ෆbෆ3 ; ͙͙ෆ3 aෆ3bෆ6 . [͙8 ෆa5ෆb3 ; ͙ෆab2ෆ]
198 ͙3 ͙ෆෆ6aෆx; ͙5 ͙ෆෆ9aෆ2b. [͙6 ෆ6aෆx; ͙10 ෆ9aෆ2b] [͙25 xෆෆ2 ; ͙6 ෆ2a1ෆ0 ]
200 ͙5 ͙ෆ5 ෆx ෆ2ෆ ; ͙8 ͙ෆ2ෆaෆ10 .
■ Il trasporto di un fattore Nel sito: ᭤ 9 esercizi di recupero
dentro il segno di radice
ESERCIZIO GUIDA
201 Trasportiamo dentro il segno di radice un fattore:
a) Ϫ 1 ͙ෆ12; Ίb) a ϩ 2 4 3 ; c) (a Ϫ 6) ͙ෆa Ϫෆෆ1, a Ն 6.
ᎏ3ᎏ ᎏ8ᎏ
a) Poiché non possiamo portare dentro il segno b) Il fattore da trasportare è soltanto 2:
di radice fattori negativi, portiamo dentro ᎏ31ᎏ,
mentre il segno Ϫ rimane fuori. Ί Ίրa ϩ2 3
4 ᎏ83ᎏ ϭ a ϩ 4 2ր4 1и ᎏ23 ϭa ϩ ͙4 ෆ6.
Ί Ϫ1͙ෆ12 ϭ Ϫ 1 2 c) Il fattore da trasportare è a Ϫ 6, che, per la condi-
ᎏ3ᎏ ᎏ3ᎏ zione posta, non è negativo:
и4и3ϭ
(a Ϫ 6) ͙aෆϪෆෆ1 ϭ ͙(ෆaෆϪෆ6ෆ)2(ෆaෆϪෆ1ෆ) .
Ί Ίϭ Ϫ 1 и 4 и ր3 ϭ Ϫ ᎏ34ᎏ .
ᎏ3ր2
Trasporta i fattori dentro il segno di radice, supponendoli non negativi.
202 3͙2ෆ; 4͙ෆ3 ; Ϫ 2͙3 2ෆ; 3͙3 3ෆ. [͙ෆ18 ; ͙ෆ48 ; Ϫ ͙3 ෆ16 ; ͙3 8ෆ1 ]
203 (Ϫ 2)͙ෆ7; 2Ί1 Ϫᎏ41ᎏ ; 3 ϩ 2͙3ෆ; 1 ͙1ෆ8. [Ϫ͙2ෆ8; ͙ෆ3; 3 ϩ ͙ෆ12; Ϫ͙ෆ2]
Ϫ ᎏ3ᎏ
Ί204 2 5 Ί4 9 ΊϪ 3 2 25Ί ΄Ί Ί΅2 10 1
ᎏ5ᎏ4 ᎏ8ᎏ ᎏ3ᎏ ᎏ8ᎏ ᎏ27ᎏ ᎏ2ᎏ
Ϫ ᎏ3ᎏ ᎏ5ᎏ
; ; ; . ; Ϫ͙2ෆ; Ϫ͙ෆ6;
Ί2 3 ᎏa4ᎏ2 ; Ί1 ΄ Ί ΅2
Ϫ ᎏ2ᎏ ᎏ3ᎏ
205 3 ͙ෆa ; ᎏ2abᎏ ; ͙ෆ18aෆ . ͙9ෆa ; ͙3 ෆ2aෆ2 ; Ϫ ᎏ8abᎏ ; ͙ෆ8a
206 Ϫ ᎏ21ᎏ ͙3 ෆaෆbෆ2 ; a Ϫ 2 ͙6 ෆaෆb ; b 2 Ϫ 2 ͙5 ෆb 2ෆ . ΄ Ί ΅Ϫ 3 ᎏa8bᎏ2 ; a Ϫ ͙6 6ෆ4ෆab; b 2 Ϫ ͙5 ෆ32ෆb 2ෆ
207 a͙ෆa ;
x2 ͙xෆ3 ; Ίa22 ; Ϫ x͙ෆ2x . [͙aෆ3ෆ; ͙ෆx ෆ7 ; ͙ෆ2aෆ3 ; Ϫ ͙ෆ2xෆ3 ]
ᎏ1ᎏ ͙5 3ෆaෆ3 ; ᎏᎏ
a a
΄ Ί ΅͙ෆ4(ෆa ෆϪෆ1)ෆ;
208 2͙ෆaෆϪෆ1; Ϫ ᎏa2ᎏ ͙ෆ4a . 5 3 ; Ϫ͙ෆa 3ෆ
ᎏaᎏ2
209 (x Ϫ 1)͙5ෆ; a2b͙3 ෆabෆ2 ; a2͙3 aෆ2ෆϪෆ1 . [͙ෆ5(ෆx Ϫෆෆ1ෆ)2 ; ͙3 aෆ7ෆbෆ5 ; ͙3 aෆ6ෆ(aෆෆ2 Ϫෆ1ෆ) ]
Ί Ί210 3ab ΄Ίᎏ27aᎏ ; 2 ϩ Ίᎏaϩaᎏ2 ΅
7 ; 2 ϩ a ᎏa 2 ϩ1ᎏ2a . ΄ Ί΅͙3 ෆa ෆϪෆ2; ᎏ2 ϩᎏa
ᎏ18aᎏ3b 2
a
Ί211 Ί(2 ϩ a) ᎏa2 ϩ1ᎏ2a .
(a Ϫ 2) 3 1 ;
ᎏa2 Ϫ 4ᎏa ϩ 4
497
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 9. I NUMERI REALI E I RADICALI
Trasporto di un fattore dentro il segno di radice e discussione
ESERCIZIO GUIDA
212 Trasportiamo dentro il segno di radice un fattore di cui non conosciamo il segno:
(a Ϫ 4) ͙aෆෆϪෆ3.
C.E.: a Ϫ 3 Ն 0, ossia a Ն 3.
Quando il fattore da portare dentro la radice è letterale, se non conosciamo il segno del fattore, bisogna
distinguere due casi: fattore positivo o nullo, oppure fattore negativo:
Primo caso: a ؊ 4 Ն 0.
Deve essere a Ն 3 per le C.E. e a Ϫ 4 Ն 0, ossia a Ն 4: quindi, se a Ն 4:
(a Ϫ 4) ͙ෆa ෆϪෆ3 ϭ ͙ෆ(aෆϪෆ4)ෆ2ෆ(aෆϪෆ3)ෆ.
Secondo caso: a ؊ 4 Ͻ 0.
Per la C.E. deve essere a Ն 3, inoltre deve essere a Ͻ 4: quindi, 3 Յ a Ͻ 4. Scriviamo a Ϫ 4 come
Ϫ [Ϫ (a Ϫ 4)]: in questo modo Ϫ (a Ϫ 4) risulta positivo. Se 3 Յ a Ͻ 4:
(a Ϫ 4) ͙ෆaෆϪෆ3 ϭ Ϫ [Ϫ (a Ϫ 4)] ͙ෆaෆϪෆ3 ϭ Ϫ ͙[ෆϪෆ(aෆෆϪෆ4ෆ)]2ෆ(ෆa Ϫෆෆ3ෆ) ϭ Ϫ ͙ෆ(aෆϪෆ4)ෆ2ෆ(aෆϪෆ3)ෆ.
Dopo aver determinato le C.E., trasporta i fattori (di cui non conosci il segno) dentro alla radice.
Ί Ί Ί213 (a Ϫ1) 1
1 ; 2Ϫx 1 ;a2 3 ᎏaᎏ2 .
ᎏa Ϫᎏ1 ᎏ2 Ϫᎏx
΄ Ί Ί ΅se a Ͼ 1, ͙aෆϪෆෆ1; se 0 Յ x Ͻ 2, 2 Ϫ ᎏ2xϪᎏ2x , se x Ͻ 0, 2 ϩ ᎏ2xϪᎏ2x ; se a 0, ͙3 aෆෆ4
Ί Ί214 (x ϩ 3)͙2ෆ;
y 1 ; (2 Ϫ b) 3 1 .
ᎏᎏ ᎏ(b Ϫᎏ2)2
y
[se x Ն Ϫ 3, ͙2ෆ(xෆϩෆෆ3)ෆ2 , se x Ͻ Ϫ 3, Ϫ ͙2ෆ(ෆx ϩෆෆ3)ෆ2 ; se y Ͼ 0, ͙yෆ; se b Ͼ 2, Ϫ ͙3 ෆ⏐2ෆϪෆෆb⏐ෆ, se b Ͻ 2, ͙3 2ෆෆϪෆb ]
Ί215 a͙ෆa Ϫෆෆ2; (a ϩ 5) ᎏ31aᎏ ; b͙ෆ3 ϩෆෆb. ΅se Ϫ 3 Յ b Ͻ 0, Ϫ ͙bෆෆ2(ෆ3 ෆϩෆbෆ) , se b Ն 0, ͙ෆb ෆ2(3ෆϩෆෆb)ෆ
΄ Ίse a Ͼ 2, ͙ෆa ෆ2(aෆෆϪෆ2ෆ); se a Ͼ 0, ᎏ(a ϩ3aᎏ5)2 ;
■ La radice di un radicale con trasporto di un fattore dentro radice
ESERCIZIO GUIDA
216 Poniamo sotto forma di unico radicale i seguenti radicali:
ΊΊ a) 5 3 ᎏ53ᎏ0 ; b) ͙(ෆxෆϪෆ1)ෆ͙ෆ3 ෆx ෆϩෆ1 .
Ί Ίa) 5 3 ᎏ53ᎏ0 ϭ Semplifichiamo la frazione e b) ͙(ෆxෆϪෆ1ෆ) ෆ͙3 xෆෆϩෆ1 ϭ
ϭ͙͙ෆ3 ෆ(xෆϪෆ1)ෆ3ෆ(xෆϩෆ1)ෆ ϭ
Trasportiamo il fattore 5: moltiplichiamo gli indici dei ra-
ϭ͙6 ෆ(xෆϪෆ1)ෆ3ෆ(xෆϩෆ1)ෆ.
3ΊΊϭ53 и 3 ϭ dicali, applicando il teorema del-
ᎏ2 иᎏ52
la radice di un radicale:
Ίϭ 6 ᎏ12ᎏ5 .
498
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 7. L’addizione e la sottrazione di radicali ESERCIZI
Poni sotto forma di un unico radicale.
217 ͙2ෆ͙ෆ3 ෆ3; ͙3 2ෆ͙ෆෆ4; ͙2ෆ͙ෆෆ2. 222 ͙ෆx ͙ෆ3 ෆx и ͙3 ෆx ͙ෆෆx и ͙3 ෆx ͙ෆ3 ෆx. [͙18 xෆ2ෆ9 ]
Ί218 ͙3 2ෆ͙ෆ4͙ෆ2ෆ ; ͙3ෆ͙ෆ3 3ෆ͙ෆෆ9 ; 3 ᎏ41ᎏ ͙4ෆ͙2ෆෆ . 223 Ί7 xΊᎏ1xᎏ и Ί5 x3Ίᎏx1ᎏ5 и Ίᎏ1xᎏ Ί΄ ΅701
ᎏx ᎏ23
Ί224 ᎏ1ᎏ ͙aෆ3ෆϪෆaෆ2
219 ͙3 ෆ4͙ෆෆ2 и ͙ෆ2͙ෆ3 4ෆෆ; ͙6 (ෆ3ෆ͙ෆෆ3)ෆ2 иෆ͙3ෆෆ . a
Ί225 3 ᎏx ϩ1ᎏ3 ͙ෆx ෆϩෆ3 [͙4 aෆϪෆෆ1 ]
220 ͙4 2ෆ͙ෆෆ5; ͙4 3ෆ͙ෆ3 ෆ9; ͙3 3ෆ͙ෆෆ12.
221 ͙3 ෆx ͙ෆෆx; ͙ෆaෆ͙ෆaෆ3; ͙4 ෆa3ෆ͙ෆa. ΄Ί6 ᎏxϩ1ᎏ3 ΅
7. L’addizione e la sottrazione di radicali –ᮣ Teoria a pag. 471
ESERCIZIO GUIDA
226 Calcoliamo le seguenti somme algebriche di radicali:
a) 5 ͙1ෆ8Ϫ 7 ͙1ෆ2 ϩ ͙7ෆ5 Ϫ ͙9ෆ8;
b) 3 ͙ෆa Ϫ 2 ͙bෆ ϩ 2 ͙ෆa ϩ ᎏ21ᎏ ͙ෆb; (a Ն 2).
c) 3 ͙ෆa3ෆϪෆ2ෆaෆ2 Ϫ ͙ෆa3ෆϪෆ6ෆa2ෆϩෆ1ෆ2aෆϪෆ8
a) 5 ͙ෆ18 Ϫ 7 ͙ෆ12 ϩ ͙ෆ75 Ϫ ͙ෆ98 ϭ Calcoliamo la somma:
Scomponiamo in fattori i radicandi e portia- ϭ 5 и ͙ෆa ϩ Ϫ ᎏ23ᎏ и ͙ෆb ϭ
mo fuori dal segno di radice:
Togliamo le parentesi:
ϭ 5 ͙ෆ2ෆи 3ෆ2 Ϫ 7͙ෆ2ෆ2 иෆ3ϩ ͙ෆ3ෆи 5ෆ2 Ϫ ͙ෆ2ෆи 7ෆ2 ϭ ϭ 5 и ͙ෆa Ϫ ᎏ23ᎏ и ͙ෆb.
ϭ 15 ͙ෆ2 Ϫ 14 ͙ෆ3 ϩ 5 ͙ෆ3 Ϫ 7 ͙ෆ2 ϭ
c) Scomponiamo in fattori entrambi i radicandi:
Dopo aver segnato allo stesso modo i radi-
cali simili, calcoliamo la somma algebrica: 3 ͙ෆa2ෆ(ෆaෆϪෆ2)ෆ Ϫ ͙ෆ(aෆϪෆ2)ෆ3 ϭ
ϭ 8 ͙ෆ2 Ϫ 9 ͙ෆ3. La condizione a Ն 2 garantisce che i fattori da
portare fuori non siano negativi:
b) Segniamo i radicali simili: 1
ᎏ2ᎏ ϭ 3a ͙ෆaෆϪෆ2 Ϫ (a Ϫ 2) ͙ෆaෆϪෆ2 ϭ
3 ͙ෆa Ϫ 2 ͙ෆb ϩ 2 ͙ෆa ϩ ͙ෆb ϭ
Sommiamo i radicali, visto che sono simili:
Raccogliamo i radicali facendo precedere ϭ [3a Ϫ (a Ϫ 2)] ͙ෆaෆϪෆ2 ϭ
ogni parentesi dal segno ϩ : ϭ (3a Ϫ a ϩ 2) ͙ෆaෆϪෆ2 ϭ
ϭ (2a ϩ 2) ͙ෆaෆϪෆ2.
ϭ (3 ϩ 2) и ͙ෆa ϩ Ϫ 2 ϩ ᎏ21ᎏ и ͙ෆb ϭ
499
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 9. I NUMERI REALI E I RADICALI
Calcola le seguenti somme algebriche di radicali, considerando non negativi gli eventuali fattori da portare
fuori dal segno di radice.
227 3͙2ෆ ϩ 5͙2ෆ Ϫ 7͙2ෆ; 2͙3ෆ Ϫ ͙3ෆ [͙ෆ2; ͙ෆ3]
228 6͙3 ෆ3 Ϫ ͙3 ෆ3 ϩ 2͙3 3ෆ; 11 ͙ෆ5 ϩ 6 ͙ෆ2 Ϫ (8 ͙ෆ5 ϩ 3 ͙ෆ2) [7͙3 3ෆ; 3 (͙ෆ5 ϩ ͙ෆ2)]
229 5 ͙ෆ3 ϩ 3 ͙ෆ7 Ϫ [2 ͙ෆ3 Ϫ (4 ͙ෆ7 Ϫ 3 ͙ෆ3)]; 3 ͙ෆ48 ϩ 2 ͙ෆ32 ϩ ͙ෆ98 Ϫ (4 ͙ෆ27 ϩ ͙ෆ45ෆ0) [7 ͙ෆ7; 0]
Ί Ί Ί Ί230 2 ͙3 ෆ54 Ϫ ͙4 ෆ24ෆ3 ϩ 3 ͙4 ෆ48Ϫ ͙3 ෆ25ෆ0; 2 ᎏ28ᎏ7 ϩ 5 ᎏ53ᎏ0 ϩ 7 ᎏ92ᎏ87 Ϫ 5 ᎏ154ᎏ07 [͙3 ෆ2 ϩ 3 ͙4 ෆ3; 0]
[3 ͙ෆa; 0; Ϫ ͙ෆa]
231 ͙ෆa ϩ ͙ෆa ϩ ͙ෆa; ͙ෆb Ϫ ͙ෆb; ͙ෆa Ϫ 2 ͙ෆa
232 ͙ෆ75 ϩ 3 ͙ෆ18 Ϫ 2 ͙ෆ12 Ϫ 2 ͙ෆ50; 3 ͙ෆ12ෆ8 Ϫ 2 ͙ෆ72 Ϫ (2 ͙ෆ50 ϩ ͙ෆ8) [͙ෆ3 Ϫ ͙ෆ2; 0]
233 ͙ෆaෆ3 Ϫ 3 ͙ෆa; ͙ෆx Ϫෆෆ1 ϩ 3͙xෆෆϪෆ1 Ϫ 2͙xෆϪෆෆ1 [(a Ϫ 3) и ͙ෆa; 2͙xෆෆϪෆ1]
234 ͙ෆaෆ5 Ϫ 3a 2 ͙ෆa ϩ 2a 2 ͙ෆa; 5 ͙ෆa Ϫ 1 ͙ෆb ϩ 3 ͙ෆb Ϫ 2 ͙ෆa [0; ͙ෆa ϩ 1 ͙ෆb]
ᎏ4ᎏ ᎏ2ᎏ ᎏ4ᎏ ᎏ8ᎏ ᎏ4ᎏ
235 2 ͙ෆx Ϫ ᎏ32ᎏ ͙ෆx ϩ ͙ෆy Ϫ ᎏ37ᎏ ͙ෆx
[Ϫ ͙ෆx ϩ ͙ෆy]
236 Ϫ 1 ͙ෆa ϩ 2 ͙ෆa Ϫ 3͙ෆb Ϫ 1 ͙ෆa ϩ 2 ͙ෆb ΄ ΅7 ͙ෆa Ϫ ͙ෆb
ᎏ3ᎏ ᎏ2ᎏ
ᎏ6ᎏ
237 Ϫ 5 ͙ෆa Ϫ ᎏ21ᎏ ͙ෆa ϩ ᎏ31ᎏ͙ෆaෆb ϩ ᎏ32ᎏ ͙ෆaෆb ΄ ΅Ϫ ᎏ12ᎏ1 ͙ෆa ϩ ͙ෆaෆb
238 (2x ϩ 3y) ͙ෆxy Ϫ ͙ෆ4xෆ3y Ϫ ͙ෆ9xෆyෆ3 [0]
239 ͙3 ෆa ෆϪෆb ϩ ͙3 ෆa4ෆϪෆaෆ3b Ϫ ͙3 ෆaෆb3ෆϪෆbෆ4 [(1 ϩ a Ϫ b) ͙3 ෆaෆϪෆb]
240 ͙ෆ32ෆaෆϩෆ4ෆ8b ϩ ͙ෆ18ෆaෆϩෆ2ෆ7b Ϫ ͙ෆ50ෆaෆϩෆ7ෆ5b [2 ͙ෆ2aෆϩෆ3ෆb]
241 ͙4 ෆb4ෆϩෆaෆbෆ4 ϩ ͙3 ෆa3ෆϩෆaෆ3b Ϫ ͙8 1ෆϩෆෆa2ෆϩෆ2ෆa Ϫ a ͙3 1ෆϩෆෆb (b Ն 0) [(b Ϫ 1) ͙4 ෆa ෆϩෆ1]
242 ͙ෆaෆ4b ϩ 2 ͙ෆb Ϫ ͙ෆaෆ2bෆϪෆ2ෆaෆb ෆϩෆb Ϫ ͙ෆaෆ4bෆϩෆ2ෆaෆ2bෆϩෆb (a Ն 1) [(2 Ϫ a) ͙ෆb]
Utilizzando anche le regole dei prodotti notevoli semplifica le seguenti espressioni.
243 (2 ϩ ͙3ෆ)(1 ϩ ͙3ෆ); (͙ෆ3 Ϫ 1)(͙3ෆ ϩ 1); (͙5ෆ ϩ 2)2. [5 ϩ 3͙ෆ3; 2; 9 ϩ 4͙5ෆ]
244 3(2 ϩ ͙ෆ6); 3 ͙ෆ5(1 ϩ ͙ෆ5). [6 ϩ 3͙ෆ6; 3 ͙ෆ5 ϩ 15]
245 5 ͙ෆ2 (3 ϩ ͙ෆ2); 2 ͙ෆ3(3 ϩ 2 ͙ෆ5). [15 ͙ෆ2 ϩ 10; 6 ͙ෆ3 ϩ 4 ͙ෆ15]
246 (2 ͙ෆ3 Ϫ 2)(͙ෆ2 ϩ 1); (3 ͙ෆ5 Ϫ ͙ෆ3)(͙ෆ2 Ϫ 1). [2 ͙ෆ6ϩ 2 ͙ෆ3Ϫ 2 ͙ෆ2Ϫ 2; 3 ͙ෆ10Ϫ ͙ෆ6Ϫ 3 ͙ෆ5ϩ ͙ෆ3]
247 (͙ෆx ϩ 2)(͙ෆx ϩ 3); (͙ෆx Ϫ 4)(͙ෆx ϩ 1). [x ϩ 5 ͙ෆx ϩ 6; x Ϫ 3 ͙ෆx Ϫ 4]
248 (͙ෆx ϩ 1)(͙ෆx Ϫ 5); (͙ෆx Ϫ a)(͙ෆx ϩ 2a). [x Ϫ 4 ͙ෆx Ϫ 5; x ϩ a ͙ෆx Ϫ 2a 2 ]
249 (1 Ϫ ͙ෆ2)(1 ϩ ͙ෆ2); (1 Ϫ ͙ෆ3)2. [Ϫ 1; 4 Ϫ 2 ͙ෆ3]
250 (1 ϩ ͙ෆ2)2 ; (͙ෆa ϩ 2)2. [3 ϩ 2 ͙ෆ2; a ϩ 4͙ෆa ϩ 4]
251 (͙ෆ3 Ϫ ͙ෆ2) (͙ෆ3 ϩ ͙ෆ2); (1 ϩ ͙ෆ2)3. [1; 7 ϩ 5 ͙ෆ2]
500
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
RIEPILOGO Le espressioni con i radicali ESERCIZI
252 (͙ෆa ϩ 2)(͙ෆa Ϫ 2); (1 Ϫ ͙ෆ3)3. [a Ϫ 4; 10 Ϫ 6 ͙ෆ3]
253 (͙ෆ3a ϩ ͙ෆc)2 ; (3 ϩ ͙ෆ3)2. [3a ϩ 2 ͙ෆ3aෆc ϩ c ; 12 ϩ 6 ͙ෆ3]
254 Ϫ 2͙2ෆ(͙ෆ3 Ϫ 1) ϩ (͙ෆ6 ϩ 1)2 [7 ϩ 2͙2ෆ]
255 (͙ෆ2 Ϫ ͙3ෆ)(͙ෆ2 ϩ ͙3ෆ) ϩ (͙3ෆ Ϫ 2)2 ϩ ͙4ෆ8 [6]
256 [(3͙ෆ2 Ϫ 2)(3͙2ෆ ϩ 2) Ϫ (͙ෆ2 )3 Ϫ 14] Ϻ ͙ෆ32 ΄ ΅Ϫ ᎏ12ᎏ
257 (͙ෆ5 Ϫ 2)2(͙ෆ5 ϩ 2)2 Ϫ [(3 Ϫ 2͙2ෆ)(3 ϩ 2͙2ෆ)]2 ϩ ͙3 2ෆ͙ෆෆ2 [͙ෆ2 ]
RIEPILOGO LE ESPRESSIONI CON I RADICALI Nel sito: ᭤ 12 esercizi di recupero
VERO O FALSO? VF
VF
258 a) La radice terza del triplo di a è uguale ad a. VF
b) Il doppio della radice quadrata di a è uguale alla radice quadrata del quadruplo di a. VF
c) La radice terza del cubo di a è uguale ad a. VF
d) La radice quarta di 16 è 2.
e) La radice cubica di 27 è 9.
259 a) La radice cubica di 2 è la metà della radice cubica di 8. VF
VF
b) Dati due numeri reali positivi, il quoziente delle loro radici quadrate è uguale alla radice VF
quadrata del loro quoziente. VF
VF
c) Dati due numeri reali positivi, la somma delle loro radici cubiche è uguale alla radice
cubica della loro somma.
d) Dato un numero reale positivo, la radice quadrata della sua radice cubica è uguale alla
radice cubica della sua radice quadrata.
e) La somma di due radicali simili è un radicale che ha la stessa parte letterale dei radicali dati.
Semplifica le seguenti espressioni considerando non negativi gli eventuali fattori da portare fuori dal segno di
radice.
260 ͙ෆbෆ3 Ϫ ͙ෆb [(b Ϫ 1) и ͙ෆb]
261 ͙5 ෆaෆ2b Ϻ ͙10 ෆ2a и ͙2 ෆ3aෆb Ί΄ ΅10 ᎏ2432aᎏ8b7
262 ͙ෆaෆ3 Ϫ ͙ෆbෆ3 ϩ 2 ͙ෆa ϩ ͙ෆb [(a ϩ 2) ͙ෆa ϩ (1 Ϫ b) ͙ෆb]
263 3 ͙ෆx Ϫ ᎏ32ᎏ ͙ෆx ϩ ͙ෆy Ϫ ᎏ37ᎏ ͙ෆx
264 ᎏ21ᎏ ͙ෆa Ϫ ᎏ54ᎏ ͙ෆb Ϫ ͙ෆa ϩ 0,4 и ͙ෆb [͙ෆy]
΄ ΅Ϫ ᎏ21ᎏ ͙ෆa Ϫ ᎏ52ᎏ ͙ෆb
501
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 9. I NUMERI REALI E I RADICALI
265 ͙4 ෆ16ෆ2 Ϫ ͙4 ෆ32 ϩ 5 ͙3 ෆ16 Ϫ ͙3 ෆ54 ϩ ͙3 ෆ25ෆ0 [͙4 ෆ2 ϩ 12 ͙3 ෆ2]
266 (4 ϩ ͙ෆ2 )2 Ϫ (2͙2ෆ Ϫ 1)2 Ϫ 3(4͙2ෆ ϩ 2) [3]
267 [(2 ͙ෆ5 ϩ 1)(2 ͙ෆ5 Ϫ 1) Ϫ (͙ෆ5 Ϫ 1)2 Ϫ (͙ෆ5 Ϫ 4)2] Ϻ 2 [5 ͙ෆ5 Ϫ 4]
268 6 ͙ෆaෆb Ϫ 3 ͙ෆa Ϫ 7 ͙ෆaෆb ϩ 2 ͙ෆa ϩ 9 ͙ෆb ϩ ͙ෆa [Ϫ ͙ෆaෆb ϩ 9 ͙ෆb]
Ί Ί Ί269 ΄ᎏ3aᎏ΅
ᎏ3aᎏb2 Ϻ ᎏ9bᎏ2 и ᎏ3aᎏ
c c Ί΄ ΅6 ᎏ4x2ᎏ27y3
Ί Ί Ί270 [͙6 ෆ2ෆ(aෆϪෆb)ෆ2]
3 ᎏ23xᎏy2 Ϻ ᎏxᎏ и 6 ᎏx3yᎏ2
y
ΊΊ271 ͙ෆ2ෆ(aෆϪෆb)ෆ и
3 1
ᎏ4a Ϫᎏ4b
272 ͙͙ෆ(ෆ2ෆxෆϩෆ3)ෆ3Ϻ ͙6 ෆ2x ෆϩෆ3 [͙12 (ෆ2ෆx ෆϩෆ3)ෆ7]
Ί273 3 ᎏyxᎏ3 1 ϩ ͙3 ෆxy 3ෆϪෆy ෆ4 Ϫ ͙3 ෆ8xෆϪෆ8ෆy ΄ ΅ᎏ(1 Ϫᎏy)2 ͙3 ෆxෆϪෆy
Ϫ ᎏyᎏ2 y
Ί Ί Ί274 4 ᎏxa42 ϪϪᎏby24 и 4 ᎏ((ax ϪϪᎏyb))33 и 4 ᎏaxϪϩᎏ2yb Ί΄ ΅ᎏa Ϫᎏb
xϪy
4 ᎏ(x 2 ϩ ya2ϩ)ᎏ(ab Ϫ 2b)
BRAVI SI DIVENTA ᭤ E36
Ί Ί 275 ᎏxx2 2ϩ(x3ᎏϪx Ϫ1)4 и 3 ᎏ(x ϩxᎏ44)2 ϩ 8͙3 xෆ Ϻ ͙6 ෆx ϩෆෆ4 и ͙6 xෆϩෆෆ4 [a Ն 0; ͙ෆa]
Ί Ί Ί276 ᎏaa32ϩϩ26aᎏa2ϩϩ9a ϩ ᎏaa32ϩϩ46aᎏa2 ϩϩ49a Ϫ ᎏa2 ϩa6ᎏ3a ϩ9 Ί΄ ΅6 ᎏ(a ϩ(a2)ϩ4(ᎏa1)Ϫ3 2)2
Ί Ί Ί277 ᎏa2aϩ2 ᎏϪa Ϫ1 2 Ϻ 3 ᎏaa2ϩϪᎏ14 и 6 ᎏa2 ϩa ϩ2ᎏa2ϩ 1
■ Scomposizioni in fattori con i radicali
ESERCIZIO GUIDA
278 Scomponiamo in fattori le seguenti somme algebriche:
a) 3 ͙ෆ2 ϩ 2; b) x Ϫ 2; c) a ϩ 2 ͙ෆab ϩ b; d) 6 ϩ 2 ͙ෆ5.
a) 3 ͙ෆ2 ϩ 2 ϭ 3 и ͙ෆ2 ϩ ͙ෆ2 и ͙ෆ2 ϭ ͙ෆ2 и (3 ϩ ͙ෆ2).
In generale, possiamo scrivere: n ϭ ͙nෆ и ͙nෆ.
b) Possiamo scrivere x ϭ (͙xෆ)2 e 2 ϭ (͙ෆ2)2, pertanto: x Ϫ 2 ϭ (͙ෆx)2 Ϫ (͙ෆ2)2 ϭ
Applichiamo la regola della differenza di due quadrati: ϭ (͙ෆx Ϫ ͙ෆ2) (͙xෆ ϩ ͙ෆ2).
c) Poiché a ϭ (͙ෆa)2 e b ϭ (͙ෆb)2, riconosciamo il quadrato di un binomio: a ϩ 2 ͙ෆaෆb ϩ b ϭ (͙ෆa ϩ ͙ෆb)2.
d) 2͙5ෆ è il doppio prodotto di 1 per ͙ෆ5. Quindi: 6 ϩ 2 ͙ෆ5 ϭ 1 ϩ 5 ϩ 2 ͙ෆ5 ϭ (1 ϩ ͙ෆ5)2.
502
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 8. La razionalizzazione del denominatore di una frazione ESERCIZI
Scomponi in fattori le seguenti somme algebriche.
279 ͙ෆ6 ϩ ͙ෆ2; ͙ෆ5 ϩ ͙ෆ10. [͙ෆ2 (͙ෆ3 ϩ 1); ͙ෆ5 (1 ϩ ͙ෆ2)]
[͙ෆ2 (͙ෆ7 ϩ ͙ෆ2); 2 (2 ͙ෆ2 ϩ ͙ෆ5)]
280 ͙ෆ14 ϩ 2; 4 ͙ෆ2 ϩ 2 ͙ෆ5. [(x ϩ ͙ෆ5)(x Ϫ ͙ෆ5); (x 2 ϩ 2)(x Ϫ ͙ෆ2)(x ϩ ͙ෆ2)]
281 x2 Ϫ 5; x 4 Ϫ 4. [(x ϩ ͙ෆ2)2; (a Ϫ 2 ͙ෆ3)2]
[͙ෆ5 (1 ϩ ͙ෆ5); ͙ෆ2 (͙ෆ2 Ϫ 1)]
282 x 2 ϩ 2 ͙ෆ2x ϩ 2; a 2 Ϫ 4 ͙ෆ3a ϩ 12. [͙ෆ3 (1 Ϫ 2 ͙ෆ2); ͙ෆ3 (3 ͙ෆ2 ϩ ͙ෆ5)]
[͙ෆa (a Ϫ 2b ϩ ͙ෆa); ͙xෆ(͙ෆx Ϫ 1)]
283 ͙ෆ5 ϩ 5; 2 Ϫ ͙ෆ2.
[(a Ϫ ͙ෆ3)2; (͙ෆ2a ϩ 1)2)]
284 ͙ෆ3 Ϫ 2 ͙ෆ6; 3 ͙ෆ6 ϩ ͙ෆ15. [(1 ϩ ͙ෆ2)2; (1 Ϫ ͙ෆ2)2]
285 a ͙ෆa Ϫ 2b ͙ෆa ϩ a; x Ϫ ͙ෆx. [͙ෆ3 a(b ϩ ͙ෆ3)(b Ϫ ͙ෆ3); x (x ϩ ͙ෆ3)(x Ϫ ͙ෆ3)]
286 a 2 Ϫ 2 ͙ෆ3a ϩ 3; 2a 2 ϩ 2 ͙ෆ2a ϩ 1.
287 3 ϩ 2 ͙ෆ2; 3 Ϫ 2 ͙ෆ2.
288 ͙ෆ3 ab2 Ϫ 3 ͙ෆ3a ; x 3 Ϫ 3x.
■ La semplificazione di frazioni algebriche
Dopo aver scomposto opportunamente in fattori, semplifica le seguenti frazioni.
289 ͙2ෆ ϩ ͙1ෆ0 ; ͙ෆ5 ϩ 5 ; 3͙6ෆ ϩ ͙3ෆ . [͙ෆ5 ϩ 1; ͙5ෆ; 3͙2ෆ ϩ 1]
ᎏ͙ᎏ2ෆ ᎏ1 ϩ ᎏ͙ෆ5 ᎏ͙ᎏෆ3
290 ᎏ7 ϩ͙ᎏ͙7ෆ ෆ7 ; ᎏ͙ෆ6͙ϩ1ෆᎏ8͙2ෆ ; ᎏ2aaϪ2 Ϫᎏ͙31ෆ2 . ΄ ΅͙7ෆ ϩ 1; ᎏ23ᎏ (͙ෆ3 Ϫ 1); ᎏ12ᎏ (a ϩ ͙3ෆ)
291 ᎏ͙7ෆ1ϩ4 ϩᎏ͙͙7ෆ ෆ2 ; ᎏ͙͙ෆ104ෆϩ5ᎏϩ3͙9 2ෆ ; ᎏ31ϩϩ2ᎏ͙͙2ෆෆ2 . ΄ ΅ᎏ͙7ෆ1ᎏ4 ; ᎏ͙3ᎏෆ2 ; ͙ෆ2 ϩ 1
292 ᎏ͙͙ෆa ᎏϪaෆ a ; ᎏ͙ෆaa Ϫϩᎏb͙bෆ ; ᎏ2xxϩ2 Ϫᎏ͙a4ෆa . ΄ ΅1 Ϫ ͙aෆ; ͙ෆa Ϫ ͙bෆ; ᎏx Ϫ2ᎏ͙aෆ
8. La razionalizzazione del denominatore –ᮣ Teoria a pag. 473
di una frazione
ESERCIZIO GUIDA
293 Razionalizziamo i denominatori delle seguenti frazioni:
a) ᎏ͙3ᎏ3ෆ ; b) 1 ; c) ᎏ͙aaෆϩᎏෆϩbෆb con a Ͼ Ϫ b ; d) ᎏ͙ෆaaϩϩᎏb͙bෆ con a Ͼ 0, b Ͼ 0.
ᎏ͙3 ෆ25
503
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 9. I NUMERI REALI E I RADICALI
a) Moltiplichiamo numeratore e denominatore per la radice presente nel denominatore:
ᎏ͙3ᎏ3ෆ ϭ 3 и ᎏ͙ෆ3͙иᎏෆ3͙3ෆ ϭ ᎏ3 ͙3 ෆ3 ϭ ͙ෆ3.
b) 1 ϭ 1 ϭ ͙3 ෆ2 ϭ ͙3 2ෆ ϭ ᎏ͙34ᎏෆ2 .
ᎏ͙3 ᎏෆ25 ᎏ2 ͙3ᎏෆ22 ᎏ2 ͙3 2ෆ2ᎏи ͙3 ෆ2 ᎏ2 иᎏ2
Infatti:
͙3 ෆ22 и ͙3 ෆ2 ϭ ͙3 2ෆ2ෆи ෆ2 ϭ ͙3 ෆ22ϩෆ1 ϭ ͙3 ෆ23 ϭ 2.
c) Il denominatore è un unico radicale che ha per radicando un binomio; moltiplichiamo per tale radicale:
ᎏ͙aaෆϩᎏϩෆbෆb ϭ ᎏ͙(aෆaϩϩෆbෆb) ииᎏ͙͙aෆaෆϩෆෆϩෆbෆb ϭ ᎏ(a ϩ b) ͙ᎏෆa ϩෆෆb ϭ ͙ෆa ෆϩෆb .
a ϩb
d) Quando al denominatore compare la somma di due termini di cui almeno uno è una radice quadrata,
moltiplichiamo il numeratore e il denominatore per la differenza dei due termini. Se compare una dif-
ferenza moltiplichiamo per la somma, in modo da poter utilizzare in entrambi i casi il prodotto notevo-
le (x ϩ y)(x Ϫ y) ϭ x 2 Ϫ y 2.
ᎏ͙ෆaa ϩϩᎏ͙b bෆ ϭ ᎏ(͙(ෆaa ϩϩ b͙ᎏ)(bෆ͙)(aෆ͙Ϫaෆᎏ͙Ϫbෆ͙) bෆ) ϭ ᎏ(a ϩ b)ᎏ(a͙ϪaෆbϪᎏ͙bෆ) .
Razionalizza i denominatori delle seguenti frazioni.
294 ᎏ͙1ᎏෆ2 ; ᎏ͙3ᎏෆ27 ; 2 . ΄ ΅ᎏ͙2ᎏෆ2 ; ͙ෆ3 ; 2 ͙ෆ3
ᎏ͙ᎏෆ3 ᎏ3ᎏ ᎏ3ᎏ
295 ᎏ͙2ᎏෆ010 ; ᎏ͙5ᎏෆ2 ; 6 ΄ ΅2 5 3 ͙ෆ2
ᎏ͙ᎏෆ8 . ͙ෆ10; ᎏ2ᎏ ͙ෆ2; ᎏ2ᎏ
3 ϩ ͙3ෆ ͙ෆ3 ϩ 1 ͙7ෆ
ᎏ5͙ᎏ3ෆ ᎏ5ᎏ ᎏ2ᎏ
296 1 ; ; 7 . ΄ ΅͙2ෆ ; ;
ᎏ4͙ᎏ2ෆ ᎏ2͙ᎏ7ෆ
ᎏ8ᎏ
͙3 3ෆ6
ᎏ3ᎏ
4 2 12 ΄ ΅2͙3 2ෆ;
297 ᎏ͙3 ෆ4 ; ᎏ͙3 ෆ6 ; ᎏ͙5 ෆ8 . ; 6͙5 ෆ4
298 4 ; 3 ; ᎏ͙24ᎏxෆx . [2 ͙3 ෆ4; ͙5 ෆ81; 2 ͙4 ෆx ෆ3]
ᎏ͙3 ᎏෆ2 ᎏ͙5 ᎏෆ3
299 ᎏ͙1ᎏෆx ; ᎏ͙2ᎏෆ3xx ; ᎏ͙2ᎏෆxxy . ΄ ΅ᎏ͙ᎏෆx ; ᎏ32ᎏ ᎏ2ᎏ
x y
͙ෆ3x; ͙ෆxy
300 ᎏ͙aෆabᎏb2xෆ ; ᎏ͙2xෆxᎏ2ෆ3yy ; ᎏ͙21ෆa8ᎏ3ෆab . ΄ ΅ᎏbᎏ ᎏ3aᎏb2
x
͙ෆaෆbx ; 2 ͙ෆxy; ͙ෆ2aෆb
ᎏ͙͙2ෆa2ෆᎏෆaϩxෆෆ2 . ᎏ͙6a3ෆᎏ2a ᎏ͙aෆxෆ(aᎏෆϩෆ1)ෆ
ax
301 ᎏ3͙xᎏ2ෆx ; ᎏ2a͙1ᎏෆ3a ; ΄ ΅ᎏ͙6ෆ2ᎏx ; ;
302 ᎏ͙xෆxϪᎏϪෆ1ෆ1 ; ᎏ͙a2aෆϪᎏෆϩ4ෆ2 ; ᎏ͙3yyෆϩᎏϩෆ9ෆ3 . [͙xෆϪෆෆ1; (a Ϫ 2)͙aෆෆϩෆ2; 3͙yෆෆϩෆ3]
303 ᎏ͙ෆa1ᎏෆϩෆb ; ᎏa 2 ϩ͙2ෆaaᎏෆbϩϩෆb b 2 ; ᎏ͙xxෆϪᎏϪෆyෆy . ΄ ΅ᎏ͙aෆᎏෆϩෆb
aϩb
ϩ b ; (a ϩ b) ͙ෆaෆϩෆb; ͙xෆϪෆෆy
504
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 9. I radicali quadratici doppi ESERCIZI
304 ᎏ͙3 xෆxᎏyyෆ2 ; ᎏ͙52ෆaaᎏෆ4bbෆ2 ; ᎏ͙74ෆ8xxᎏ2ෆ5yyෆ2 . [͙3 ෆx ෆ2y; 2 ͙5 ෆaෆbෆ3; 2x ͙7 ෆ16ෆx ෆ2 y ෆ5]
305 ᎏ͙ෆ21ᎏϪ 1 ; ᎏ͙ෆ73ᎏϩ 1 ; ᎏ͙ෆ65ᎏϪ 1 . ΄ ΅͙ෆ2 ϩ 1; ᎏ͙ෆ72ᎏϪ 1 ; ͙ෆ6 ϩ 1
306 ᎏ͙ෆ54ᎏϩ 1 ; ᎏ͙ෆ5 Ϫ3ᎏ͙ෆ2 ; ᎏ͙ෆ310ᎏϪ 1 . [͙ෆ5 Ϫ 1; ͙ෆ5 ϩ ͙ෆ2 ; 5 (͙ෆ3 ϩ 1)]
307 ᎏ͙ෆxx Ϫϩᎏ͙y ෆy ; ᎏx Ϫ͙ᎏ͙ෆx ෆx ; ᎏxxϪ2 Ϫ2ᎏ͙4yyෆ . ΄ ΅͙ෆx Ϫ ͙ෆy; ᎏ͙xෆxϪᎏϩ11 ; x ϩ 2 ͙ෆy
308 ᎏ͙a ෆaϪϪᎏ4b22b ; ᎏa Ϫ͙͙ᎏaෆaෆ b ; ᎏ͙͙ෆෆaa ϩϪᎏ22 ͙͙bbෆෆ . ΄ ΅͙ෆa ϩ 2b ; ᎏ͙a ෆaϪᎏϩb 2b ; ᎏ(͙ෆaa ϩϪᎏ24͙b ෆb)2
΄ ΅7 ϩ 2 ͙ෆ6
ᎏ5ᎏ
309 5 ; ͙ෆ3 Ϫ ͙2ෆ ; ͙ෆ5 ϩ 1 . ; 5 Ϫ 2 ͙ෆ6; 3 ϩ ͙ෆ5
ᎏ7 Ϫ 2ᎏ͙6ෆ ᎏ͙3ෆ ϩᎏ͙ෆ2 ᎏ͙ෆ5 ᎏϪ 1 ᎏ2ᎏ
͙1ෆ0 Ϫ 2 ͙ෆ7 Ϫ 2 7 ͙ෆ2 Ϫ 4 ͙ෆ5 11 Ϫ 4 ͙ෆ7
ᎏ͙ෆ5 ϩᎏ͙ෆ2 ᎏ͙ෆ7ᎏϩ 2 ᎏ3ᎏ ᎏ3ᎏ
5 ΄ ΅5
ᎏ4 Ϫ 2ᎏ͙ෆ3
ᎏ2ᎏ
310 ; ; . (2 ϩ ͙ෆ3); ;
17 ͙ෆ15 22 ͙ෆ3 5 ͙ෆ3 ϩ 3 ͙ෆ5
ᎏ2 ͙ෆ5 ϩᎏ͙ෆ3 ᎏ3 ͙ෆ3ᎏϩ 4 ᎏ2ᎏ
311 ; 15 ; . ΄ ΅10 ͙ෆ3 Ϫ 3 ͙ෆ5; ; 18 Ϫ 8 ͙ෆ3
ᎏ5 ͙ෆ3 Ϫᎏ3 ͙ෆ5
9. I radicali quadratici doppi –ᮣ Teoria a pag. 474
312 Indica quali fra i seguenti sono radicali doppi. ͙ෆ6 ෆϪෆ͙1ෆෆ1 ; ͙ෆ2͙ෆ5ෆ.
͙ෆ3 ϩ ͙5ෆ; ͙ෆ͙ෆ7ෆϩෆ4 ; ͙͙ෆෆa ϩෆෆෆ3 ;
ESERCIZIO GUIDA
313 Trasformiamo il seguente radicale doppio nella somma o differenza di due radicali semplici:
͙4ෆϩෆෆ͙ෆෆ7 .
Ί ΊUtilizziamo la formula ͙aෆෆϮෆ͙ෆෆb : ϭ ᎏa ϩ ͙2aෆᎏෆ2 Ϫෆb Ϯ ᎏa Ϫ ͙2aෆᎏ2ෆϪෆb .
Ί Ί Ί Ί Ί Ί͙4ෆϩෆෆ͙ෆෆ7 ϭ
4 ϩ ͙1ෆ6ෆϪෆ7 ϩ 4 Ϫ ͙ෆ16ෆϪෆ7 ϭ ᎏ4 ϩ2ᎏ͙ෆ9 ϩ ᎏ4 Ϫ2ᎏ͙ෆ9 ϭ ᎏ27ᎏ ϩ ᎏ21ᎏ .
ᎏ2ᎏ ᎏ2ᎏ
La formula è utile solo nel caso in cui a2 Ϫ b sia un quadrato perfetto.
Trasforma i seguenti radicali doppi nella somma di due radicali semplici.
314 ͙8ෆϪෆෆ͙4ෆෆ8 ; ͙ෆ3 Ϫෆෆ͙8ෆෆ; ͙6ෆϩෆෆ2ෆ͙ෆ5. [͙ෆ6 Ϫ ͙2ෆ; ͙ෆ2 Ϫ 1; ͙ෆ5 ϩ 1]
315 ͙ෆ4 ෆϩෆ͙ෆ1ෆ2 ; ͙ෆ11ෆϪෆ͙4ෆෆ0 ; ͙7ෆϩෆෆ2ෆ͙ෆ6. [͙ෆ3 ϩ 1; ͙1ෆ0 Ϫ 1; ͙ෆ6 ϩ 1]
316 ͙ෆ5 ෆϪෆ͙ෆෆ24 ; ͙ෆ8 Ϫෆෆ͙6ෆ0 ; ͙8ෆϪෆෆ2ෆ͙ෆ7. [͙ෆ3 Ϫ ͙2ෆ; ͙ෆ5 Ϫ ͙3ෆ; ͙ෆ7 Ϫ 1]
317 ͙ෆ6 ෆϪෆ͙ෆ32 ; ͙ෆ6 ෆϪෆ͙1ෆ1 ; ͙4ෆϩෆෆ2ෆ͙ෆ3.
΄ Ί Ί ΅2 Ϫ ͙2ෆ; ᎏ121ᎏ Ϫ ᎏ21ᎏ ; ͙ෆ3 ϩ 1
505
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 9. I NUMERI REALI E I RADICALI
RIEPILOGO LE ESPRESSIONI IRRAZIONALI Nel sito: ᭤ 18 esercizi in più
Semplifica le seguenti espressioni. ΄ ΅ᎏ21ᎏ 320 ᎏ7 ϩ͙2ᎏෆ2͙ෆ6 и ᎏ͙ෆ2 ϩ4ᎏ2 ͙ෆ3 [2(1 ϩ ͙ෆ6)]
318 ᎏ32ϩϩ2ᎏ͙͙ෆ22ෆ и ᎏ͙͙ෆ2ᎏϪෆ2 1 [Ϫ 2 ͙ෆ5]
319 ᎏ͙7ෆ6ϪϪ4ᎏ2͙͙ෆ3ෆ2 и ᎏ͙͙ෆ3ᎏෆ1ϩ02
321 ᎏ8 ϩ͙2ෆ7ᎏ͙x ෆ7 и ᎏ͙7ෆ7xᎏϩ2 1 [͙ෆ7 x (͙ෆ7 ϩ 1)]
322 [(3 ͙ෆ2 ϩ 2 ͙ෆ3)(͙ෆ3 ϩ ͙ෆ2) Ϻ ͙ෆ6](5 Ϫ 2 ͙ෆ6) Ϫ 1 [0]
[0]
323 (͙ෆ6 Ϫ 1) ͙7ෆෆϩෆ2ෆ͙ෆ6ෆ Ϫ ͙6ෆϪෆෆ͙ෆ11 и ͙6ෆϩෆෆ͙ෆෆ11
Ί 324 ͙ෆ5 Ϫ 2 ϩ ᎏ͙͙ෆ5 ϩ7ෆ 2 Ϻ ᎏ͙͙ෆෆ75 ᎏϪϪ 12 Ϫ ͙ෆ11ෆϪෆ2͙ෆෆ30 [͙ෆ5]
325 ᎏx͙2 ϩෆ2 2x2͙Ϫᎏ3ෆ3x͙ϩෆ23 и ᎏ͙ෆ2x Ϫᎏ͙ෆ6 ΄ ΅ᎏx ϩᎏ͙ෆ3
3 3
΄ᎏ21ᎏ΅
͙ෆ3 2 и ᎏx ϩ͙ᎏ͙ෆ6 ෆ2
ᎏx 2 Ϫᎏ2 Ϻ ᎏ͙ෆ2 xᎏϪ 2
326
Ί Ί 327 ᎏa2ϩᎏab Ϫ1Ϫ ᎏa2 Ϫa22Ϫaᎏbbϩ2 b2 и ᎏa2ϩᎏab [0]
328 ᎏ2xᎏ ϩ ͙ෆ3 52 ΄ᎏ54ᎏ΅
ᎏᎏ Ϻ ᎏ4ᎏx и ᎏx 2 ϩ 2ᎏ͙ෆ3 ΄ ΅ᎏ͙ᎏෆxy
x xy
Ί Ί 329 ᎏyᎏ ϩ ᎏxᎏ Ϫ 2 Ϻ (͙ෆx Ϫ ͙ෆy)2 ΄ ΅ᎏ͙ෆ2xᎏෆϪෆ1
xy x
Ί Ί Ί330
ᎏ23x6Ϫᎏx21 ϩ ᎏ184xx32ϩϪᎏ91x2 ϩ 11
ᎏ2ᎏx Ϫ ᎏ4xᎏ2
331 ᎏ͙ෆ2͙x ϩෆᎏ2x͙ෆy Ϫ ᎏ22xx ϩϪᎏyy ϩ ᎏ͙ෆ2x͙Ϫᎏෆy ͙ෆy [0]
BRAVI SI DIVENTA ᭤ E37
ΊΊ Ί Ί332 ͙4 aෆ3ෆ
ᎏa ϩaᎏ2 и ᎏa2 ϩa4ᎏ3a ϩ 4 ϩ 2 ᎏᎏ и ᎏa 2 9Ϫᎏ1 и 4 ᎏa 2 Ϫ a2ᎏa ϩ 1
a
333 ͙ෆa 6ෆϩෆaෆ4 ϩ ͙ෆa 2ෆϩෆ1 Ϫ ͙ෆa6ෆϩෆ3ෆa4ෆϩෆ3ෆa2ෆϩෆ1 [0]
[a 2 Ϫ b 2]
334 ᎏ͙͙ᎏaෆbෆ Ϫ ᎏ͙͙ᎏෆෆba [(b͙ෆa ϩ a͙ෆb)(͙ෆa ϩ ͙ෆb) Ϫ 2ab] [1 Ϫ a2b 2]
335 1 ϩ ͙4 ෆaෆ2bෆ2 и ͙3 ෆaෆb Ϻ ͙6 ෆaෆb и ͙3 ෆaෆ4bෆ4 Ϫ 2a2b2
506
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 10. Le equazioni, i sistemi e le disequazioni con coefficienti irrazionali ESERCIZI
10. Le equazioni, i sistemi e le disequazioni –ᮣ Teoriaapag.474
con coefficienti irrazionali
Nel sito: ᭤ 7 esercizi di recupero
■ Le equazioni
ESERCIZIO GUIDA
336 Risolviamo l’equazione ᎏ2x Ϫ͙ᎏ3ෆ2͙ෆ2 Ϫ ᎏx Ϫ3ᎏ3 ϭ ᎏ34͙ᎏxෆ2 .
Il m.c.m. fra i denominatori è 3 ͙ෆ2. ᎏx(22ϪϪᎏ͙͙ෆ2ෆ2) ϭ ᎏ26Ϫ͙ᎏ͙ෆ2ෆ2 → x ϭ ᎏ26Ϫ͙ᎏ͙ෆ2ෆ2 .
Eliminiamo i denominatori: Razionalizziamo il denominatore:
3(2x Ϫ 3͙2ෆ) Ϫ ͙2ෆ(x Ϫ 3) ϭ 4x. 6 ͙ෆ2 2 ϩ ͙ෆ2 12 ͙ෆ2 ϩ 12
x ϭ ᎏ2 Ϫ ᎏ͙ෆ2 и ᎏ2 ϩ ᎏ͙ෆ2 ϭ ᎏ4 Ϫᎏ2 ϭ
Eseguiamo i calcoli:
6x Ϫ 9 ͙ෆ2 Ϫ x ͙ෆ2 ϩ 3 ͙ෆ2 ϭ 4x ϭ ᎏ12( ͙2ᎏෆ2 ϩ 1) ϭ 6 и (͙ෆ2 ϩ 1).
6x Ϫ x ͙ෆ2 Ϫ 4x ϭ 6 ͙ෆ2 La soluzione è:
2x Ϫ x ͙ෆ2 ϭ 6 ͙ෆ2.
x ϭ 6 и (͙ෆ2 ϩ 1).
Raccogliamo x:
x(2 Ϫ ͙ෆ2) ϭ 6 ͙ෆ2
Risolvi le seguenti equazioni. [2] 344 x Ϫ ͙2ෆ ϭ ᎏ1͙ϩᎏ2ෆx [3(͙2ෆ ϩ 1)]
337 ͙3ෆx ϭ ͙1ෆ2 345 ᎏx3͙Ϫᎏෆ21 ϩ ᎏx6͙ϩᎏෆ23 ϭ ᎏ2xᎏ
΄ ΅ᎏ͙ෆ52ᎏϪ 1 ΄ ΅ᎏ͙ෆ23ᎏϩ 1
338 ͙ෆ5x ϭ 2 Ϫ x
[2͙2ෆ] 346 3x ͙ෆ3 Ϫ 2 ϩ ͙ෆ3 ϭ 2 ͙ෆ3 ΄ ΅ᎏ3 ϩ 29ᎏ͙ෆ3
339 ͙ෆ8x Ϫ ͙2ෆx ϭ 4
[3͙3ෆ ϩ 5] ͙ෆ3
340 2x Ϫ 1 ϭ ͙3ෆx ϩ ͙3ෆ Ϫ ᎏ3ᎏ
΄ ΅ᎏ14ᎏ(1 ϩ 2͙2ෆ) ΄ ΅347
341 ͙ෆ2x Ϫ 4 ϩ ͙1ෆ8x ϭ ͙2ෆ (͙ෆ3xϪ1)2ϩ(x Ϫ͙ෆ3)(x ϩ͙ෆ3)ϭ4x 2
342 6 Ϫ x ϭ ᎏ͙2ᎏx2ෆ [6(͙2ෆ Ϫ 1)]
343 ͙ෆ3(2 Ϫ x) ϭ 2(͙3ෆ Ϫ x) 348 (x Ϫ͙ෆ3)(x ϩ͙ෆ6)ϩ3͙ෆ2ϭx(x ϩ͙ෆ6)Ϫ3 [͙ෆ3]
[0] 349 ͙ෆ2 (x ϩ ͙ෆ2) ϩ ͙ෆ5 (x Ϫ ͙ෆ5) ϭ 0 [͙ෆ5 Ϫ ͙ෆ2]
350 (͙ෆ7 x Ϫ 2)2 ϩ ͙ෆ7x (3 Ϫ ͙ෆ7x) ϭ x Ϫ 3 ΄ ΅7(͙ෆ7 Ϫ 1)
351 5 ͙ෆ2 (x ϩ ͙ෆ10) Ϫ 10 ͙ෆ5(1 ϩ ͙ෆ5x) Ϫ 5(͙ෆ2 Ϫ 10) ϭ 0
352 ᎏ͙x ϩෆ3 ᎏ͙Ϫ3ෆ1 ϭ ᎏ(͙͙ෆ33ෆϪᎏϩ11)x ϩ ͙3ෆ Ϫ 1 ᎏ6ᎏ
[1]
΄ ΅Ϫ 2͙3ෆ Ϫ 1
ᎏ3ᎏ
507
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 9. I NUMERI REALI E I RADICALI
353 ᎏ1xϪϩᎏ͙22ෆ ϭ ᎏx Ϫ4ᎏ͙2ෆ ΄ ΅ᎏ3͙2ෆ7ᎏϪ 16
354 ᎏ2x2ϩ͙ᎏ͙5ෆ ෆ5 ϭ ᎏ2xᎏ Ϫ 4
[9͙5ෆ(2 ϩ ͙ෆ5)]
Risolvi le seguenti equazioni fratte.
΄ ΅͙ෆ3 Ϫ 1
2 1 ͙3ෆ
355 ᎏᎏ ϩ ᎏx Ϫ ᎏ͙3ෆ ϭ ᎏᎏ ᎏ2ᎏ
x x
΄ ΅͙ෆ2
356 ᎏxx Ϫϩ ᎏ͙͙22ෆෆ Ϫ ᎏxx Ϫϩ ᎏ͙͙2ෆ2ෆ ϭ 4
ᎏx 2 Ϫᎏ2 ᎏ2ᎏ
[6 ϩ 4 ͙ෆ2]
357 ᎏ͙ෆ22xᎏϪ 1 ϩ ͙ෆ2 ϩ 1 ϭ ᎏ͙͙ෆ2ෆ2xᎏϩϩ11
ᎏ2x2 ᎏϪ 1 [impossibile]
358 ᎏx͙2 ϩෆ3 xᎏ͙ϩෆ31x Ϫ ᎏx32ϪϪ͙ᎏ͙ෆ3ෆ3xx ϭ ᎏ2͙ᎏ3ෆ ΄ ΅12 ϩ 7 ͙ෆ3
x
ᎏ2ᎏ
359 ͙3ෆ Ϫ 1 Ϫ ᎏx ϩx2 2Ϫᎏ͙3 3ෆ ϩ 2 ϭ 1 Ϫ ᎏ3(x Ϫxᎏ͙ෆ3)
ᎏx ϩ ᎏ͙3ෆ ᎏ3ᎏ
■ I sistemi lineari
ESERCIZIO GUIDA
360 Risolviamo il seguente sistema:
Ά͙ෆ2 x Ϫ 3y ϭ ͙ෆ6
2x Ϫ ͙ෆ2 y ϭ ͙ෆ3
Utilizziamo il metodo di riduzione:
Eliminiamo y и ͙ෆ2 Ά ͙ෆ2 x Ϫ 3y ϭ ͙ෆ6 Eliminiamo x и 2
и3 2x Ϫ ͙ෆ2 y ϭ ͙ෆ3
и ͙ෆ2
ΆϪ 2x Ϫ 3 ͙ෆ2 y ϭ 2 ͙ෆ3 ΆϪ2 ͙ෆ2x Ϫ 6 y ϭ 2 ͙ෆ6
6x Ϫ 3 ͙ෆ2 y ϭ 3 ͙ෆ3 2 ͙ෆ2 x Ϫ 2y ϭ ͙ෆ6
Ϫ 4x ϭ Ϫ ͙ෆ3 Ϫ 4y ϭ ͙ෆ6
͙ෆ3 y ϭ Ϫ ᎏ͙4ᎏෆ6
x ϭ ᎏ4ᎏ
La soluzione del sistema è ᎏ41ᎏ ͙ෆ3; Ϫ ᎏ41ᎏ ͙ෆ6 .
Risolvi i seguenti sistemi.
Ά361 x Ϫ y ϭ ͙3ෆ Ϫ 1 ΄ ΅ Ά͙3ෆ
x ϩ y ϭ ͙3ෆ Ϫ 1 ; 1 y ϭ 1 Ϫ ͙3ෆx [(͙ෆ3; Ϫ 2)]
ᎏ2ᎏ ᎏ2ᎏ 362 x ϭ Ϫ ͙3ෆy Ϫ ͙ෆ3
508
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 10. Le equazioni, i sistemi e le disequazioni con coefficienti irrazionali ESERCIZI
Ά363 x ϩ 2y ϭ 2͙2ෆ Ά[(Ϫ 4͙2ෆ; 3͙2ෆ)] ͙ෆ2x Ϫ y ϭ 3 ͙ෆ10 [(2 ͙ෆ5; Ϫ ͙ෆ10)]
x ϩ y ϭ Ϫ ͙2ෆ 365 3x ϩ ͙ෆ2 y ϭ 4 ͙ෆ5 [(2 ͙ෆ5; Ϫ ͙ෆ5)]
Ά364 ͙2ෆx ϩ y ϭ 0 ΄ ΅Ϫ ͙2ෆ ; 2 Ά ᎏxxϪϩᎏ͙yෆ5 ϭ 1
Ϫ x ϩ ͙2ෆy ϭ ͙ෆ2 ᎏ3ᎏ ᎏ3ᎏ
366 ᎏx ϩᎏ͙ෆ5 ϭ Ϫ 3
y
Ά367 2x Ϫ ͙ෆ3 y ϭ 2 ͙ෆ3 x Ϫ y Ϫ 4 ͙ෆ3 [(3; 2 ͙ෆ3)]
2 ͙ෆ3(x Ϫ ͙ෆ3 y) ϭ Ϫ 3y [(͙3ෆ; Ϫ 1)]
Ά4͙3ෆx ϩ 7y ϭ 5
368 3͙3ෆ(x Ϫ 2y) ϭ 6͙3ෆ Ϫ 1 Ϫ 10y
■ Le disequazioni
ESERCIZIO GUIDA
369 Risolviamo la disequazione:
x (x ϩ 1) ϩ 1 ϩ ͙ෆ2 Ͼ x2 ϩ ͙ෆ2 (x ϩ 1).
Svolgiamo i calcoli e utilizziamo la regola di can- x Ͻ Ϫ ᎏ1 Ϫ1ᎏ͙ෆ2 .
cellazione: Razionalizziamo il denominatore:
x 2 ϩ x ϩ 1 ϩ ͙ෆ2 Ͼ x 2 ϩ ͙ෆ2x ϩ ͙ෆ2. Ϫ ᎏ1 Ϫ1ᎏ͙ෆ2 ϭ Ϫ ᎏ1 Ϫ1ᎏ͙ෆ2 и ᎏ11 ϩϩ ᎏ͙͙ෆෆ22 ϭ
Trasportiamo al primo membro i termini con x e Ϫ ᎏ11ϩϪ͙ᎏ2ෆ2 ϭ Ϫ ᎏ1 ϩϪᎏ͙1 ෆ2 ϭ 1 ϩ ͙ෆ2.
al secondo membro i termini noti: Il risultato della disequazione è: x Ͻ 1 ϩ ͙ෆ2.
x Ϫ ͙ෆ2x Ͼ Ϫ 1.
Raccogliamo x nel primo membro:
x (1 Ϫ ͙ෆ2) Ͼ Ϫ 1.
Dividiamo entrambi i membri per 1 Ϫ ͙ෆ2 e,
poiché 1 Ϫ ͙ෆ2 Ͻ 0, invertiamo il verso:
Risolvi le seguenti disequazioni. [x Ͼ 3(͙2ෆ ϩ 1)]
370 ͙2ෆx Ϫ 3 Ͼ x
371 Ϫ ͙ෆ3 x ϩ x Ͻ ͙3ෆ ϩ 1 [x Ͼ Ϫ 2 Ϫ ͙ෆ3]
372 ͙ෆ5x Ϫ ͙5ෆ Ͼ 5
373 3x Ϫ ͙3ෆ ϩ 1 Ͼ (3͙3ෆ ϩ 2)x [x Ͼ 1 ϩ ͙5ෆ]
374 2(2x Ϫ ͙ෆ6 ) Ն (͙3ෆ Ϫ ͙2ෆ)2 Ϫ ͙2ෆ(x Ϫ 2) ϩ 3
΄ ΅x Ͻ ᎏ͙ෆ313ᎏϪ 4
[x Ն 2]
509
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 9. I NUMERI REALI E I RADICALI
375 ᎏ52͙͙ᎏෆ2ෆ3x Ϫ ᎏ͙3ᎏෆ6 Ͻ ᎏ3 ͙2ᎏෆ6 x ΄ ΅x Ͼ Ϫ ᎏ43ᎏ
376 (͙ෆ3 ϩ 3)(x Ϫ 2) Ͻ 2 ϩ 3x ΄ ΅x Ͻ ᎏ2(4 ͙3ᎏෆ3 ϩ 3)
377 ᎏ1xϪϩᎏ͙2ෆ3 Ͼ ᎏ1 ϩxᎏ͙ෆ3 ΄ ΅x Ͻ Ϫ ᎏ͙ෆ33ᎏϩ 3
378 (3 Ϫ ͙ෆ5)(x ϩ 2) Ͼ ͙ෆ5 x ΄ ΅x Ͻ ᎏ2(3 ͙11ᎏෆ5 Ϫ 1)
379 ᎏ͙ෆ3 ͙x ϩෆ3 1ϪᎏϪ2 ͙ෆ3 Յ ᎏ͙2 ͙ෆ3ᎏϪෆ3 x1
΄ ΅x Ն ᎏ͙ෆ33ᎏϪ 1
■ I radicali e il piano cartesiano Nel sito: ᭤ 16 esercizi in più
Calcola la distanza fra le seguenti coppie di punti. (Ricorda che AෆෆB ϭ ͙(ෆxෆA ϪෆෆxෆB)ෆ2 ϩෆ(ෆyAෆϪෆyBෆ)ෆ2 .)
380 A(Ϫ ͙ෆ2; 2), B(2 ͙ෆ2; 2). [3 ͙ෆ2]
381 A(Ϫ ͙ෆ8; Ϫ 5), B(Ϫ ͙ෆ2; Ϫ 5). [͙ෆ2]
382 A(0; Ϫ ͙ෆ32), B (0; ͙ෆ2). [5 ͙ෆ2]
383 A(Ϫ 1; ͙ෆ5), B(Ϫ 1; ͙ෆ20). [͙ෆ5]
384 Verifica che il triangolo di vertici A(Ϫ2; 0), B (2; Ϫ2), C(4; 7) è isoscele e calcola il perimetro e l’area.
[2(͙ෆ5 ϩ ͙ෆ85), 20]
385 Dato il triangolo di vertici A(Ϫ 3; 1), B (2; 2), C(1; Ϫ 6), calcola le misure del suo perimetro e delle tre
mediane. ΄ ΅͙ෆ13(͙ෆ2 ϩ 2͙5ෆ); ᎏ͙2ෆ2ᎏ34ෆ , ᎏ͙1ෆ2ᎏ17ෆ , ᎏ͙1ෆ2ᎏ1ෆ7
386
Calcola la misura del perimetro e dell’area del triangolo di vertici A(Ϫ 1; 3), B ᎏ29ᎏ ; 5 , C(6; 3) e infine cal-
cola la misura della mediana relativa al lato BC.
΄ ΅19 ϩ ͙ෆ137ෆ
ᎏ2ᎏ
; 7; ͙ෆ641ෆ
ᎏ4ᎏ
11. Le potenze con esponente razionale –ᮣ Teoria a pag. 475
■ Dalle potenze alle radici
ESERCIZIO GUIDA ᎏmᎏ
387 Scriviamo sotto forma di radicale le seguenti potenze con esponente razionale, ricordando che an ϭ ͙n aෆෆm:
a) 16 ᎏ45ᎏ; b) ᎏ49ᎏ ᎏ34ᎏ; c) Ϫ ᎏ32ᎏ; d) 49x 8y2 ᎏ32ᎏ.
125
510
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 11. Le potenze con esponente razionale ESERCIZI
a) 16 ᎏ45ᎏ ϭ ͙4 ෆ16ෆ5 ϭ ͙4 (ෆ24ෆ)ෆ5 ϭ ͙4 (ෆ25ෆ)ෆ4 ϭ 25 ϭ 32. d) Mettiamo sotto un unico segno di radice e poi
portiamo fuori i fattori possibili:
ᎏ49ᎏ ᎏ34ᎏ ϭ 3
Ί Ίb) ᎏ49ᎏ 49 3 ᎏ49ᎏ. 49x 8y2 ᎏ32ᎏ ϭ 72x 8y 2 ᎏ32ᎏ ϭ ͙3 (ෆ7ෆ2xෆ8y 2ෆ)ෆ2 ϭ
ϭ ᎏ4ᎏ
ϭ ͙3 ෆ7ෆ4x ෆ16ෆy ෆ4 ϭ 7 ͯ x 5y ͯ ͙3 7ෆෆͯ xෆy ͯෆ.
c) 125Ϫᎏ32ᎏ ϭ ͙3 (ෆ1ෆ25)ෆϪෆ2 ϭ ͙3 ෆ53ෆи(Ϫෆ2ෆ) ϭ 5Ϫ2 ϭ ᎏ21ᎏ5 .
Scrivi sotto forma di radicale le seguenti potenze con esponente razionale e semplifica, quando è possibile.
388 25ᎏ23ᎏ; 27ᎏ34ᎏ; 8Ϫᎏ32ᎏ; 16 ᎏ43ᎏ. 392 (4a 6b 4)ᎏ23ᎏ; (9a 4b 8)Ϫᎏ32ᎏ; (8a 3b 6)Ϫᎏᎏ23ᎏ.
64Ϫᎏ31ᎏ; ᎏ23ᎏ; 2 ᎏ35ᎏ; Ϫ ᎏ23ᎏ.
389 Ϫ 9 393 ᎏyxᎏ24 ᎏ23ᎏ; ᎏ82aᎏ76 Ϫᎏ43ᎏ.
ᎏ4ᎏ ᎏ27yᎏx6 3 Ϫᎏ23ᎏ;
4
390 (͙3 7ෆ)ᎏ32ᎏ; ᎏ811ᎏ Ϫᎏ21ᎏ; 1 ᎏ͙3ᎏෆ2 ᎏ31ᎏ.
125ᎏ6ᎏ;
΄ ΅394
391 xᎏ21ᎏ; yϪᎏ21ᎏ; (2a)ᎏ43ᎏ; 2aᎏ43ᎏ. a ᎏ23ᎏ b ᎏ65ᎏ cᎏ43ᎏ 2 (2Ϫ2a Ϫ4b Ϫ6)Ϫᎏ31ᎏ ᎏ21ᎏ.
;
■ Dalle radici alle potenze
ESERCIZIO GUIDA
395 Scriviamo sotto forma di potenze con esponente razionale i seguenti radicali, poi applichiamo, quando è
possibile, le proprietà delle potenze:
a) ͙4 ෆaෆ2bෆ5; b) ͙3 ෆa 2ෆϩෆbෆ3; c) ͙4 ෆy ෆϩෆ͙3ෆෆyෆ2 ; d) ͙5 ෆa 2ෆϩෆ2ෆa ෆϩෆ1.
a) ͙4 ෆaෆ2bෆ5 ϭ (a 2b 5)ᎏ41ᎏ ϭ a ᎏ42ᎏb ᎏ45ᎏ ϭ a ᎏ21ᎏb ᎏ45ᎏ. c) ͙4 ෆy ϩෆෆ͙ෆ3 yෆෆ2 ϭ (y ϩ ͙3 ෆyෆ2)ᎏ41ᎏ ϭ (y ϩ y ᎏ32ᎏ)ᎏ41ᎏ
b) ͙3 ෆa 2ෆϩෆbෆ3 ϭ (a 2 ϩ b 3) ᎏ31ᎏ
La presenza della somma impedisce di procedere
Poiché i termini a 2 e b 3 sono sommati, non ulteriormente.
è possibile applicare alcuna proprietà delle
potenze. d) ͙5 ෆa 2ෆϩෆ2ෆa ෆϩෆ1 ϭ ͙5 ෆ(aෆϩෆ1)ෆ2 ϭ (a ϩ 1) ᎏ52ᎏ.
Scrivi sotto forma di potenza con esponente razionale i seguenti radicali, poi applica, quando è possibile, le
proprietà delle potenze.
396 ͙3ෆ; ͙7 ෆ4 ; ͙5 3ෆ3 ; 1 . ΄ ΅3ᎏ21ᎏ; 4ᎏ71ᎏ; 3ᎏ35ᎏ; 2Ϫᎏ21ᎏ
ᎏ͙ᎏ2ෆ
Ί397 ͙3 ෆ9; ͙5 2ෆෆи 7ෆ2; ͙2ෆ͙ෆ2ෆ ; 3 1 . ΄ ΅3ᎏ32ᎏ; 2ᎏ15ᎏ и 7ᎏ52ᎏ; 2ᎏ43ᎏ; 2Ϫᎏ32ᎏ
ᎏ4ᎏ
398 ͙3ෆ͙3ෆ͙3ෆෆ; ͙3 2ෆ͙ෆ8ෆ ; 1 и ͙3 ෆ4 . ΄ ΅3ᎏ87ᎏ; 2ᎏ65ᎏ; 2Ϫᎏ11ᎏ2
ᎏ͙2ෆ͙ෆ2ෆ
511
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 9. I NUMERI REALI E I RADICALI
Ί399 ͙ෆx; ͙3 ෆa2; ͙5 ෆy3; 1 . ΄ ΅xᎏ21ᎏ; aᎏ23ᎏ; yᎏ53ᎏ; aϪᎏ21ᎏ
ᎏᎏ
a ΄ ΅a ᎏ21ᎏb ᎏ23ᎏc ᎏ25ᎏ; a ᎏ32ᎏb ᎏ34ᎏc ᎏ31ᎏ; a ᎏ21ᎏb ᎏ41ᎏc ᎏ43ᎏ; a ᎏ52ᎏb ᎏ11ᎏ0
΄ ΅(a ϩ 2)ᎏ21ᎏ; (a3 ϩ b3)ᎏ31ᎏ; (x ϩ 1)ᎏ21ᎏ
400 ͙ෆaෆbෆ3cෆ5; ͙3 ෆaෆ2bෆ4c; ͙4 ෆaෆ2bෆcෆ3; ͙5 ෆa2ෆ͙ෆbෆ.
΄ ΅a ᎏ37ᎏb ᎏ35ᎏ; a ᎏ31ᎏ(a ϩ b)ᎏ32ᎏ; x ᎏ52ᎏy ᎏ11ᎏ0 z ᎏ11ᎏ0 ; (x Ϫ y)ᎏ31ᎏ
401 ͙ෆa ෆϩෆ2 ; ͙3 aෆ3ෆϩෆbෆ3 ; ͙4 ෆx2ෆϩෆ2xෆϩෆෆ1 .
402 a 2b ͙3 ෆabෆ2 ; ͙3 aෆ(aෆෆϩෆb)ෆ2 ; ͙5 ෆx2ෆ͙ෆyෆz ; ͙3 ෆx ෆϪෆy.
■ Espressioni ed esponenti razionali
Semplifica le seguenti espressioni, utilizzando, quando è possibile, le proprietà delle potenze.
403 2ᎏ21ᎏ и 2ᎏ43ᎏ; 2ᎏ31ᎏ и 8 и 2Ϫᎏ65ᎏ; 3ᎏ32ᎏ Ϻ 3Ϫ1. ΄ ΅2ᎏ45ᎏ; 2ᎏ52ᎏ; 3ᎏ35ᎏ
΄ ΅26; 3ᎏ32ᎏ; 2ᎏ13ᎏ3
404 2ᎏ53ᎏ 10 3ᎏ21ᎏ и 3ᎏ43ᎏ ᎏ29ᎏ; 2ᎏ41ᎏ ᎏ38ᎏ и 16 и 2Ϫᎏ31ᎏ.
[3Ϫ2]
;
΄ ΅2Ϫᎏ47ᎏ
405 3Ϫᎏ21ᎏ 2 и 3ᎏ14ᎏ и 3Ϫᎏ43ᎏϺ 3ᎏ21ᎏ ΄ ΅5ᎏ23ᎏ
406 2Ϫ1 и 2Ϫ2 ᎏ16ᎏ Ϻ 2Ϫᎏ41ᎏ и 23 Ϫᎏ21ᎏ
407 5ᎏ21ᎏ ᎏ21ᎏ и 5ᎏ21ᎏ Ϻ 5Ϫᎏ43ᎏ
12. I radicali in R –ᮣ Teoria a pag. 477
Stabilisci se le seguenti radici esistono in R. In tal caso, calcolale. [͙4 ෆ8 ; ͙3 ෆϪ7ෆ; ∃/ ; ∃/ ; 1; 0]
408 ͙4 ෆ8; ͙3 Ϫෆෆ7; ͙6 Ϫෆෆ2; ͙Ϫෆෆ1; ͙ෆ1; ͙4 ෆ0.
409 ͙5 Ϫෆෆ1; ͙ෆ2; ͙3 Ϫෆෆ8; ͙4 ෆ32. [Ϫ1; ͙2ෆ; Ϫ2; 2͙4 ෆ2 ]
Ί Ί410 25 ΄ ΅32
ᎏ1ᎏ6 Ϫ 1; 3 2 Ϫ ᎏ24ᎏ76 ; ͙2n ෆ3n; ͙3n ෆ8n. ; ᎏ3ᎏ ; ͙ෆ3 ; 2
ᎏ4ᎏ
Indica le condizioni di esistenza e semplifica i seguenti radicali in R.
411 ͙4 aෆ2ෆb4 ; ͙ෆx ෆ2 ; ͙3 ෆx3 . [⏐b⏐͙⏐ෆෆa⏐ ; ⏐x⏐; x]
412 ͙6 (ෆaෆϪෆ1)ෆ2 ; ͙9 (ෆaෆϩෆ3)ෆ3 ; ͙8 aෆ4ෆx 2ෆ. [͙3 ෆ⏐aෆෆϪෆ1ෆ⏐ ; ͙3 (ෆaෆϩෆ3)ෆ; ͙4 aෆ2⏐ෆෆx⏐ ]
Ί Ί413 12 ᎏ(x ϩxᎏ3y)6 ; ͙4 ෆ16ෆa6ෆ(bෆϩෆ2ෆ)2; ΄Ί Η Η΅4
ᎏax4 ϩ2 ϩ9a2ᎏ2xϩϩ61a3 . ᎏ(x ϩᎏy)2 ; 2͙ෆ⏐aෆ3(ෆb ෆϩෆ2ෆ)⏐ ; ᎏa(xaϩϩᎏ13)
x
Nel sito: ᭤ teoria e 25 esercizi su I numeri immaginari
512
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Verso le competenze ESERCIZI
Verso le competenze Nel sito: ᭤ 30 test interattivi in più
TEST TEST
1 Considera il radicale ͙3 ෆaෆϩෆ3. 9 Se x ϭ 1 Ϫ 2͙3ෆ, allora x2 Ϫ 2x Ϫ 3 ϭ
Per quali valori del numero reale a esiste?
A Ϫ 16.
A Solo per a Ն 0. B 8.
C 8 ϩ 4͙3ෆ.
B Per ogni valore di a. D 8 Ϫ 4͙3ෆ.
E 8 Ϫ 8͙3ෆ.
C Solo per a Ն Ϫ 3.
(USA Tennessee Mathematics Teachers Association: 39th Annual
D Solo per a Ն 3. Mathematics Contest, 1995)
2 ͙3 ෆ62ෆ5 è uguale a: C 5 ͙3 ෆ25. D 25 ͙3 ෆ5. 10 Dati due segmenti AB e CD che misurano rispet-
A 25. B 5 ͙3 ෆ5. tivamente ͙ෆ5 e ͙ෆ10, si può affermare che:
A AෆෆB Ͼ CෆDෆ.
3 Quale delle seguenti uguaglianze è vera? B CෆDෆ ϭ 2AෆෆB.
A ͙6 (ෆϪ3ෆ)ෆ2 ϭ ͙3 Ϫෆෆ3 C ෆAෆB Ϫ CෆDෆ Ͼ 0.
B ͙6 (ෆϪ3ෆ)ෆ2 ϭ ͙3 ෆ3 D CෆDෆ Ͼ AෆBෆ.
C ͙6 (ෆϪ3ෆ)ෆ2 ϭ ͙4 ෆ3
D ͙6 (ෆϪ3ෆ)ෆ2 ϭ Ϫ ͙3 ෆ3 11 Disponi in ordine crescente i numeri ͙ෆ6, ͙3 8ෆ,
͙6 3ෆ, ͙ෆ5 :
4 L’uguaglianza A ͙6 ෆ3 Ͻ ͙5ෆ Ͻ ͙3 ෆ8 Ͻ ͙6ෆ.
͙4 (ෆxෆϪෆ3ෆ)4 ϭ x Ϫ 3 B ͙6 ෆ3 Ͻ ͙3 8ෆ Ͻ ͙5ෆ Ͻ ͙6ෆ.
C ͙6 ෆ3 Ͻ ͙6ෆ Ͻ ͙5ෆ Ͻ ͙3 ෆ8 .
non è vera ∀x ʦ R. Spiega perché. D ͙6ෆ Ͻ ͙5ෆ Ͻ ͙3 ෆ8 Ͻ ͙6 ෆ3 .
5 Considera il radicale ͙4 ෆaෆ2bෆ7cෆ12 e supponi che sia 12 Quale dei seguenti radicali non è equivalente a
b Ն 0. Quali fattori possono essere portati fuori ͙7ෆ?
dal segno di radice? E quali di essi vanno scritti
in valore assoluto? Motiva la risposta.
6 Perché l’uguaglianza Ϫ7 ͙ෆz ϭ ͙ෆ49ෆz, con z Ͼ 0, A ͙6 7ෆ3 B ͙4 7ෆ2 C ͙8 7ෆ6 D ͙10 7ෆ5
è falsa? Correggila in modo che diventi vera.
7 I radicali 4 e ͙ෆ45 possono essere trasformati 13 Quale dei seguenti radicali non è riducibile?
ᎏ͙ᎏෆ5 A ͙12 4ෆxෆ6yෆ4
in radicali simili? Motiva la risposta. B ͙5 ෆϪෆ32ෆxෆ10
C ͙4 8ෆa8ෆbෆ8
8 Semplifica le seguenti espressioni senza fornire
risultati espressi con numeri decimali. ΊD 3 ᎏ287bᎏa36
a) ͙2ෆ4 ϩ 6͙5ෆ4. 14 Il perimetro di un triangolo isoscele di base 16
cm e di area 32͙5ෆ cm 2 è:
b) (͙1ෆ0 Ϫ ͙7ෆ)(2͙1ෆ0 ϩ 3͙7ෆ). A 24͙ෆ5 cm.
B (16 ϩ 4͙5ෆ) cm.
c) ͙ෆ48ෆx ෆ2y ϩ 5x͙2ෆ7yෆ (poni x, y Ն 0). C (16 + 8͙5ෆ) cm.
D 40 cm.
d) ͙5ෆ͙1ෆ5 Ϫ 4͙3ෆ.
(CAN John Abbott College, Final Exam, 2001)
[a) 20͙ෆ6; b) ͙ෆ70 Ϫ 1; c) 19x͙3ෆy; d) ͙ෆ3]
513
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 9. I NUMERI REALI E I RADICALI
15 ͙ෆ2aෆ2 и ͙3 ෆab2ෆ и ͙4 ෆb è uguale a: 20 Quando è vera l’uguaglianza
A ͙12 2ෆa3ෆb3ෆ. ͙ෆa ϩ ͙bෆ ϭ ͙aෆϩෆෆb
B ͙12 ෆ64aෆ1ෆ6bෆ11 .
C ͙12 ෆ2a1ෆ6ෆb9 . se a e b sono due numeri reali non negativi?
D ͙4 2ෆa3ෆbෆ3 .
A Sempre.
16 ͙8ෆ ϩ 3͙4ෆ8 Ϫ 3͙1ෆ2 Ϫ ͙1ෆ8 ϩ ͙2ෆ è uguale a: B Se e solo se a ϭ b.
C Se e solo se a и b ϭ 0.
A 6͙3ෆ. C 6͙ෆ2 ϩ 6͙3ෆ. D Mai.
B ͙2ෆ8 . D nessuno dei precedenti.
(Invalsi, 2006)
17 ͙ෆ8 и 3͙2ෆ и (Ϫ 2͙3 5ෆ) и ͙3 2ෆ5 è uguale a: 21 Riporta, se possibile, sulla retta orientata i se-
guenti numeri:
A Ϫ 120. C Ϫ 30͙6 ෆ2 .
͙ෆ25, ͙ෆ8, ͙ෆ39, ͙ෆ6,ෆ25, ͙ෆϪෆ4, ͙ෆ0,ෆ9 .
B 120. D nessuno dei precedenti. 22 La costruzione raffigurata permette di rappre-
sentare segmenti lunghi ͙2ෆ, ͙3ෆ, … Utilizzala
18 Se ͙3 2ෆ͙ෆaෆ ϭ 2, quanto vale a? per rappresentare un segmento lungo ͙6ෆ.
A 16 C4
B8 D2
(Invalsi, 2007)
19 Il numero ͙7ෆ Ϫ ͙5ෆ è…
A Ͻ 1. C ͙2ෆ.
B 1. D Ͼ 2.
(Invalsi, 2007)
23 CACCIA ALL’ERRORE Trova l’errore nello svolgimento e completa l’esercizio in modo corretto, razionaliz-
zando eventualmente il risultato.
Ί Ίᎏa3͙ϩᎏaෆ3 и ᎏa2 ϩ9ᎏ3a Ϫ ᎏa ϩaᎏ3 Ϻ ᎏ͙ෆ3a2ෆϩ͙ෆ23ෆᎏ7ෆaϩෆෆ1ෆ8a ϭ
Ίϭ ᎏa3͙ϩᎏaෆ3 и ᎏ͙ෆa(aෆ3ᎏϩෆෆ3ෆ) Ϫ ᎏa ϩaᎏ3 и ᎏ͙3ෆ(aෆ2͙ෆϩෆ3ᎏෆ9aෆϩෆ6ෆa) ϭ
Ίϭ ᎏa2a(aϩϩᎏ33) Ϫ ᎏ͙͙3ෆ3ෆaaෆ((ෆaaᎏෆෆϩϩෆෆ33ෆ))ෆ2 ϭ ΄ ΅Ϫ ᎏ3 ͙a ϩaෆᎏϩෆ3 ෆ3
ϭ a Ϫ ͙aෆෆϩෆ3.
514
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Matematica.bianco Vol.2
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Matematica.bianco Vol.2
- 1 - 50
- 51 - 100
- 101 - 150
- 151 - 200
- 201 - 250
- 251 - 300
- 301 - 350
- 351 - 400
- 401 - 450
- 451 - 499
Pages: