Le equazioni CAPITOLOTEORIA
di secondo grado
10
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I proiettori si usano comunemente nelle sale
cinematografiche, ma, da quando la tecnologia lo
permette, molte persone scelgono di godersi la
visione dei film nella propria casa, disponendo di
un apparecchio ottico per la proiezione e di uno
schermo bianco…
…a quale distanza deve essere posto il proiettore
affinché l’immagine che appare sullo schermo
abbia la dimensione desiderata?
1. Le equazioni di secondo grado Nel sito: ᭤ La risposta
Un’equazione è di secondo grado se, dopo aver applicato i princìpi di 515
equivalenza già studiati per le equazioni di primo grado, si può scrive-
re nella forma, detta forma normale:
ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0, con a 0.
Le lettere a, b e c rappresentano numeri reali o espressioni letterali e si
chiamano primo, secondo e terzo coefficiente dell’equazione; c è anche
detto termine noto.
ESEMPIO L’equazione
5x 2 Ϫ 2x Ϫ 1 ϭ 0
è di secondo grado in forma normale, e i tre coefficienti sono:
a ϭ 5; b ϭ Ϫ 2; c ϭ Ϫ 1.
Ϫ 1 è il termine noto.
Se, oltre ad a 0, si hanno anche b 0 e c 0, l’equazione si dice com-
pleta. Per esempio, l’equazione 2x 2 Ϫ 5x ϩ 6 ϭ 0 è completa.
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TEORIA CAPITOLO 10. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Se invece l’equazione è incompleta, abbiamo i seguenti casi particolari.
EQUAZIONI INCOMPLETE
COEFFICIENTI FORMA NORMALE NOME ESEMPIO
b 0, c ϭ 0 ax 2 ϩ bx ϭ 0 equazione spuria 2x 2 Ϫ 5x ϭ 0
b ϭ 0, c 0 2x 2 ϩ 6 ϭ 0
b ϭ 0, c ϭ 0 ax 2 ϩ c ϭ 0 equazione pura 2x 2 ϭ 0
ax 2 ϭ 0 equazione monomia
◗ Come vedremo, le solu- Una soluzione (o radice) dell’equazione è un valore che, sostituito
zioni di un’equazione di all’incognita, rende vera l’uguaglianza fra i due membri.
secondo grado possono
essere al massimo due; le ESEMPIO
cercheremo nell’insieme
R dei numeri reali. L’equazione x 2 Ϫ 5x ϩ 6 ϭ 0 ha per soluzioni i numeri 2 e 3.
Infatti, sostituendo a x il numero 2 e poi il numero 3, si ottiene
(2)2 Ϫ 5(2) ϩ 6 ϭ 0;
(3)2 Ϫ 5(3) ϩ 6 ϭ 0.
BRAVI SI DIVENTA 2. La risoluzione di un’equazione
di secondo grado
Videolezioni ᭤ V38a
Videolezioni ᭤ V39a
PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI
Babilonia, anno 1000 a.C. Nel sito: ᭤ Scheda di lavoro
Humbaba e Gamesh, studenti della Casa delle Tavolette, chiedono all’amico
Nabu spiegazioni sul problema che avevano come compito a casa: moltipli-
cando un numero per se stesso e aggiungendo il doppio del numero, si ot-
tiene 24; qual è il numero?
Nabu non ha dubbi: «Il numero è 4. Aggiungete la metà di 2 a 24, cioè 25.
Prendete la radice quadrata, cioè 5, e poi...».
(Liberamente tratto da Ian Stewart, L’eleganza della verità, Einaudi, 2008)
CRISTINA: «Come ha fatto Nabu a trovare subito il numero?».
LUCA:
«A me il quadrato di un numero e il suo doppio ricordano il qua-
drato di un binomio».
᭤ Scrivi l’equazione relativa al problema. Cerca di risolverla trasformando
uno dei due membri nel quadrato di un binomio.
516
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Paragrafo 2. La risoluzione di un’equazione di secondo grado TEORIA
■ Il metodo del completamento del quadrato ◗ Di fianco ai passaggi nel
caso generale, scriviamo
Per cercare le soluzioni dell’equazione completa quelli di un esempio
ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0 (a 0, b 0, c 0), numerico.
applichiamo il metodo del completamento del quadrato. 2x2 ϩ x Ϫ 3 ϭ 0
● Portiamo a secondo membro il termine noto: 2x2 ϩ x ϭ 3
x2 ϩ ᎏ2xᎏ ϭ ᎏ23ᎏ
ax 2 ϩ bx ϭ Ϫ c.
x2 ϩ 2 и x и ᎏ14ᎏ ϭ ᎏ23ᎏ
● Dividiamo tutti i termini per a (che abbiamo supposto 0):
x2 ϩ 2 и x и ᎏ41ᎏ ϩ ᎏ11ᎏ6 ϭ
x 2 ϩ ᎏbᎏ x ϭ Ϫ ᎏcᎏ. 31
aa
ϭ ᎏ2ᎏ ϩ ᎏ1ᎏ6
● Scriviamo il termine ᎏbᎏ x come doppio prodotto di due fattori, cioè
nella forma 2 и p и q: a 1 2 24 ϩ 1
x 2 ϩ 2 и x и ᎏ2bᎏa ϭ Ϫ ᎏcᎏ . x ϩ ᎏ4ᎏ ϭ ᎏ1ᎏ6
a
1 ͙2ෆ5
● ᎏ2bᎏa 2 x ϩ ᎏ4ᎏ ϭ Ϯ ᎏ4ᎏ
Aggiungiamo ai due membri il termine
. Si ottiene così al primo 15
x ϭ Ϫ ᎏ4ᎏ Ϯ ᎏ4ᎏ
membro lo svolgimento del quadrato di un binomio, nella forma
p2 ϩ 2pq ϩ q2:
2 ϭ Ϫ ᎏcᎏ ϩ 2
a
x 2 ϩ 2 и x и ᎏ2bᎏa ϩ ᎏ2bᎏa ᎏ2bᎏa .
● Il trinomio al primo membro è il quadrato del binomio x ϩ ᎏ2bᎏa ; quindi:
2 ᎏ4baᎏ22 x ϩ ᎏ2bᎏa 2 ϭ ᎏb 2 4Ϫaᎏ42ac .
x ϩ ᎏ2bᎏa ᎏcᎏ
ϭ Ϫ a ϩ →
L’espressione al primo membro è un quadrato; quindi è sempre positiva o
nulla. Affinché l’equazione ammetta soluzioni reali, anche la frazione al
secondo membro deve essere non negativa.
Poiché il denominatore della frazione è sempre positivo, il numeratore
deve essere non negativo, cioè b 2 Ϫ 4ac Ն 0.
Se b 2 Ϫ 4ac Ն 0, ci sono due valori, uno l’opposto dell’altro, che soddi-
sfano l’equazione. Li otteniamo estraendo la radice quadrata:
x ϩ ᎏ2bᎏa ϭ Ϯ ᎏ͙bෆ22ෆϪaᎏෆ4ෆac .
Isoliamo la x:
x ϭ Ϫ ᎏ2bᎏa Ϯ ᎏ͙ෆb2ෆ2Ϫᎏa ෆ4ෆaෆc ϭ ᎏϪ b Ϯ ͙2aᎏbෆෆ2 Ϫෆ4ෆaෆc .
517
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TEORIA CAPITOLO 10. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Le soluzioni dell’equazione sono:
x1 ϭ Ϫ 1 ϩ 5 ϭ 1 x 1 ϭ ᎏϪ b ϩ ͙2aᎏbෆෆ2 Ϫෆ4ෆaෆc ; x 2 ϭ ᎏϪ b Ϫ ͙2aᎏෆb2ෆϪෆ4ෆaෆc .
ᎏ4ᎏ ᎏ4ᎏ
15 3 L’espressione x ؍ᎏ؊ b ؎ ͙ᎏෆb2ෆ؊ෆ4ෆaෆc
x2 ϭ Ϫ ᎏ4ᎏ Ϫ ᎏ4ᎏ ϭ Ϫ ᎏ2ᎏ 2a
viene detta formula risolutiva dell’equazione di secondo grado.
ESEMPIO Calcoliamo le radici dell’equazione 4x 2 Ϫ 7x Ϫ 2 ϭ 0.
Applichiamo la formula risolutiva, sostituendo a ϭ 4, b ϭ Ϫ 7, c ϭ Ϫ 2.
x ϭ 7 Ϯ ͙7ෆ2ෆϪෆ4ෆи 4ෆиෆ(Ϫෆෆ2)ෆ ϭ
ᎏᎏ2 и 4 ᎏ
ϭ ᎏ7 Ϯ ͙ෆ84ᎏ9ෆϩෆ3ෆ2 ϭ ᎏ7 Ϯ 8͙ᎏෆ81 ϭ 7ϩ9 ϭ 16 ϭ 2
ᎏ8ᎏ ᎏ8ᎏ
ᎏ7 Ϫ8ᎏ9 ϭ Ϫ ᎏ82ᎏ ϭ Ϫ ᎏ41ᎏ
Le radici dell’equazione sono x 1 ϭ 2 e x 2 ϭ Ϫ ᎏ41ᎏ.
◗ Discriminante deriva ■ Il discriminante e le soluzioni
dal latino discrimen che si-
gnifica «ciò che serve a di- Chiamiamo discriminante, e indichiamo con la lettera greca ⌬ (delta),
stinguere». Con il discri- l’espressione che nella formula risolutiva è sotto radice, cioè:
minante possiamo distin-
guere se le soluzioni reali ⌬ ؍b 2 ؊ 4ac.
di un’equazione di secon-
do grado sono due, una o Per sapere se esistono soluzioni reali di un’equazione di secondo grado è
nessuna. sufficiente calcolare il discriminante: se è negativo, non esistono soluzio-
ni reali.
ESEMPIO
x 2 Ϫ 3x ϩ 5 ϭ 0 (a ϭ 1, b ϭ Ϫ 3, c ϭ 5);
⌬ ϭ (Ϫ 3)2 Ϫ 4(1)(5) ϭ 9 Ϫ 20 ϭ Ϫ 11.
Poiché ⌬ Ͻ 0, non esistono soluzioni reali.
In generale, risolvendo l’equazione ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0, possono presen-
tarsi tre casi, che dipendono dal valore del discriminante:
1. ⌬ Ͼ 0: l’equazione ha due soluzioni reali e distinte:
x 1 ϭ ᎏϪ b ϩ2aᎏ͙⌬ෆ , x 2 ϭ ᎏϪ b Ϫ2aᎏ͙⌬ෆ ;
518
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Paragrafo 2. La risoluzione di un’equazione di secondo grado TEORIA
2. ⌬ ؍0: l’equazione ha due soluzioni reali coincidenti: ◗ Se ⌬ ϭ 0:
x 1 ϭ x 2 ϭ Ϫ ᎏ2bᎏa ; x1 ϭ x2 ϭ ᎏϪ b 2Ϯaᎏ͙0ෆ .
3. ⌬ Ͻ 0: l’equazione non ha soluzioni reali. Si dice anche che la solu-
zione è doppia.
■ La formula ridotta
Quando nell’equazione ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0 il coefficiente b è un numero
pari, è utile applicare una formula, detta formula ridotta. Ricaviamola.
Nella formula generale, raccogliamo 4 sotto il segno di radice:
Ί Ί x ϭ ᎏϪ b Ϯ ᎏ42aᎏb4ᎏ2 ᎏϪac ϭ ᎏϪ b Ϯᎏ2 2aᎏb4ᎏ2ᎏϪac .
Dividiamo per 2 il numeratore e il denominatore:
Ί Ί x ⌬
؊ ᎏbᎏ ؎ ᎏbᎏ 2 ؊ ᎏbᎏ ؎ ᎏᎏ
ᎏ2 ᎏ4 .
؊ ac
ᎏ2 ᎏ2 ᎏ
؍ ؍
aa
Per utilizzare questa formula, invece di ⌬ ϭ b2 Ϫ 4ac dobbiamo calcolare
ᎏb2ᎏ
2 4 e si indica con ᎏ⌬4ᎏ . ◗ Si legge delta quarti.
Ϫ ac che si ottiene dividendo ⌬ per
ESEMPIO Risolviamo l’equazione x 2 Ϫ 2x Ϫ 35 ϭ 0.
Poiché b ϭ Ϫ 2, applichiamo la formula ridotta.
x ϭ 1 Ϯ ͙ෆ36 ϭ 1 Ϯ 6 ϭ 7 ◗ ⌬ ϭ 1 Ϫ 1(Ϫ 35).
ᎏ4ᎏ
Ϫ5
■ Casi particolari
Le equazioni pure: ax2 ؉ c ؍0
ESEMPIO
1. Risolviamo l’equazione 5x 2 Ϫ 20 ϭ 0.
Invece di applicare la formula generale, isoliamo il termine con l’inco-
gnita, portando al secondo membro il termine noto:
5x 2 ϭ 20.
Dividiamo entrambi i membri per 5: x 2 ϭ 2.
x 2 ϭ 4 → x ϭ Ϯ ͙ෆ4 ϭ Ϯ 2 → x 1 ϭ Ϫ 2,
519
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TEORIA CAPITOLO 10. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
ESPLORAZIONE 2. Risolviamo l’equazione 3x 2 ϩ 27 ϭ 0.
Il completamento 3x 2 ϩ 27 ϭ 0 → 3x 2 ϭ Ϫ 27 → x 2 ϭ Ϫ 9.
del quadrato
Poiché nessun numero reale ha quadrato negativo, l’equazione non ha
Nel sito: ᭤ La scheda soluzioni reali.
In generale, un’equazione di secondo grado pura, del tipo ax 2 ϩ c ϭ 0,
con a e c numeri reali discordi, ha due soluzioni reali e opposte:
Ί Ίx1ϭϩϪᎏcᎏ ; Ϫᎏcᎏ .
a x2ϭϪ a
Se a e c sono concordi, l’equazione non ha soluzioni reali.
Le equazioni spurie: ax2 ؉ bx ؍0
ESEMPIO Risolviamo l’equazione 6x 2 Ϫ 5x ϭ 0.
Raccogliamo x:
x (6x Ϫ 5) ϭ 0.
Per la legge di annullamento del prodotto:
x ϭ 0 oppure 6x Ϫ 5 ϭ 0 → x ϭ ᎏ65ᎏ.
L’equazione ha due soluzioni:
x 1 ϭ 0 e x 2 ϭ ᎏ65ᎏ .
In generale, un’equazione di secondo grado spuria, del tipo ax 2 ϩ
ϩ bx ϭ 0, ha sempre due soluzioni reali di cui una è nulla:
x 1 ϭ 0, x 2 ϭ Ϫ ᎏbᎏ .
a
◗ La soluzione è doppia. Le equazioni monomie: ax2 ؍0
ESEMPIO Risolviamo l’equazione 2x 2 ϭ 0.
2x 2 ϭ 0 → x 2 ϭ 0 → x 1 ϭ x 2 ϭ 0.
In generale, un’equazione di secondo grado monomia, del tipo ax 2 ϭ 0,
ha sempre due soluzioni reali coincidenti: x 1 ϭ x 2 ϭ 0.
Nel sito: ᭤ teoria e 53 esercizi su I numeri complessi e le equazioni di secondo grado
520
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Paragrafo 3. La somma e il prodotto delle radici TEORIA
3. La somma e il prodotto delle radici BRAVI SI DIVENTA
Videolezione ᭤ V40a
■ La somma delle radici ◗ Le radici dell’equazione
sono:
Data l’equazione ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0, con ⌬ Ն 0, calcoliamo: x ϭ ᎏϪ b Ϯ ͙2ᎏaෆb2ෆϪෆ4ෆac .
x 1 ϩ x 2 ϭ ᎏϪ b ϩ ͙2ᎏaෆb ෆ2 Ϫෆ4ෆaෆc ϩ ᎏϪ b Ϫ ͙2aᎏෆb ෆ2 Ϫෆ4ෆaෆc ϭ ᎏϪ2ᎏ2ab ϭ Ϫ ᎏbᎏ . ◗ Applichiamo al nume-
a ratore la regola
La somma s delle radici di un’equazione di secondo grado a discrimi- (a ϩ b)(a Ϫ b) ϭ a2 Ϫ b2.
nante non negativo è uguale al rapporto, cambiato di segno, fra il coef- ◗ Per verifica ricava le
radici con la formula riso-
ficiente di x e quello di x 2. lutiva e poi calcola la loro
somma e il loro prodotto.
s ؍ ؊ ᎏbᎏ .
a ◗ Esegui la verifica risol-
vendo l’equazione.
■ Il prodotto delle radici
521
Calcoliamo il prodotto delle due radici:
x 1 и x 2 ϭ ᎏϪ b ϩ ͙2aᎏෆb ෆ2 Ϫෆ4ෆaෆc и ᎏϪ b Ϫ ͙2aᎏෆb ෆ2 Ϫෆ4ෆaෆc ϭ
ϭ ᎏb 2 Ϫ (b4a2ᎏϪ2 4ac ) ϭ ᎏb 2 Ϫ 4baᎏ2 ϩ2 4ac ϭ ᎏ44aaᎏc2 ϭ ᎏcᎏ .
a
Il prodotto p delle radici di un’equazione di secondo grado a discrimi-
nante non negativo è uguale al rapporto fra il termine noto e il coeffi-
ciente di x 2.
p ؍ ᎏcᎏ .
a
ESEMPIO Data l’equazione 5x 2 Ϫ 9x Ϫ 2 ϭ 0, calcoliamo la somma e il
prodotto delle radici:
x 1 ϩ x 2 ϭ Ϫ ᎏbᎏ ϭ Ϫ ᎏϪ5ᎏ9 ϭ ᎏ59ᎏ ; x 1 и x 2 ϭ ᎏcᎏ ϭ ᎏϪ5ᎏ2 .
a a
Le relazioni x1 ϩ x2 ϭ Ϫ ᎏbᎏ e x1 и x2 ϭ ᎏcᎏ servono a risolvere problemi
a a
inerenti alle radici di un’equazione senza risolvere l’equazione stessa.
ESEMPIO Data l’equazione 2x 2 Ϫ 13x ϩ 15 ϭ 0, sapendo che una radice è
5, calcoliamo l’altra senza risolvere l’equazione.
Somma delle radici: x 1 ϩ x 2 ϭ Ϫ ᎏbᎏ ϭ Ϫ ᎏϪ2ᎏ13 ϭ ᎏ12ᎏ3 .
a
Poiché una radice è 5, l’altra sarà: ᎏ12ᎏ3 Ϫ 5 ϭ ᎏ23ᎏ .
■ La somma e il prodotto delle radici
e l’equazione in forma normale
Se scriviamo un’equazione di secondo grado in forma normale, è quindi
possibile mettere in relazione i coefficienti a, b e c con la somma s e il
prodotto p delle radici.
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TEORIA CAPITOLO 10. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Data l’equazione in forma normale ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0, possiamo dividere
i due membri per a, poiché a 0:
◗ Scriviamo ᎏbᎏ come x 2 ϩ ᎏbᎏ x ϩ ᎏcᎏ ϭ 0 → x 2 Ϫ Ϫ ᎏbᎏ x ϩ ᎏcᎏ ϭ 0 → x 2 Ϫ sx ϩ p ϭ 0.
a
Ϫ Ϫ ᎏbᎏ . aa aa
a
s ϭ Ϫ ᎏbᎏ , p ϭ ᎏcᎏ . In un’equazione di secondo grado ridotta a forma normale, in cui il
a a primo coefficiente sia 1, il secondo coefficiente è la somma s delle radi-
ci cambiata di segno e il termine noto è il prodotto p delle radici.
◗ Data l’equazione
x 2 Ϫ 2x Ϫ 3 ϭ 0: x2 ؊ sx ؉ p ؍0, ovvero x2 ؊ (x1 ؉ x2)x ؉ x1x2 ؍0.
x 1 ϩ x 2 ϭ 2; Il problema inverso
x 1 и x 2 ϭ Ϫ 3. Dati due numeri qualunque, scrivere l’equazione di secondo grado che
ha come radici quei due numeri.
◗ Per fare la verifica,
risolvi l’equazione. ESEMPIO Scriviamo l’equazione che ha come radici i numeri 3 e 7.
Poiché s ϭ 3 ϩ 7 ϭ 10 e p ϭ 3 и 7 ϭ 21, l’equazione richiesta è:
x 2 Ϫ 10x ϩ 21 ϭ 0.
◗ x1 e x2 sono anche detti 4. La scomposizione di un trinomio
zeri del trinomio. di secondo grado
È dato un trinomio di secondo grado:
ax 2 ϩ bx ϩ c.
Se ⌬ Ͼ 0, l’equazione associata ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0 ha due soluzioni, x 1 e
x 2; il trinomio può essere scomposto in fattori mediante la relazione:
ax2 ؉ bx ؉ c ؍a (x ؊ x 1)(x ؊ x 2).
DIMOSTRAZIONE Raccogliamo a:
ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ a x 2 ϩ ᎏbᎏ x ϩ ᎏcᎏ .
aa
Utilizzando le relazioni Ϫ ᎏbᎏ ϭx1ϩx2 e ᎏcᎏ ϭ x 1 и x 2, scriviamo:
a a
◗ ᎏbᎏ ϭ Ϫ Ϫ ᎏbᎏ . ΄ ΅a x 2 Ϫ Ϫ ᎏbᎏ x ϩ ᎏcᎏ ϭ
aa aa
ϭ a [x 2 Ϫ (x 1 ϩ x 2) x ϩ x 1x 2] ϭ a [x 2 Ϫ x 1x Ϫ x 2x ϩ x 1x 2 ] ϭ
522
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Paragrafo 5. Le equazioni parametriche TEORIA
All’interno della parentesi quadra, raccogliamo x fra i primi due termini
e x 2 fra gli altri due termini:
ϭ a [x (x Ϫ x 1) Ϫ x 2(x Ϫ x 1)] ϭ
Raccogliamo (x Ϫ x 1), giungendo alla scomposizione voluta:
ϭ a (x Ϫ x 1)(x Ϫ x 2).
● Se ⌬ ؍0, il trinomio ha solo uno zero, perché x 1 ϭ x 2; quindi la scom-
posizione è la seguente:
ax2 ؉ bx ؉ c ؍a (x ؊ x1)(x ؊ x1) ؍a (x ؊ x1)2.
● Se ⌬ Ͻ 0, il trinomio non ha zeri reali e non si può scomporre in fattori
reali, cioè è irriducibile.
Riassumendo:
ax 2 ϩ bx ϩ c a (x Ϫ x1) (x Ϫ x2) se ⌬ Ͼ 0
a (x Ϫ x1)2 se ⌬ ϭ 0
irriducibile se ⌬ Ͻ 0
ESEMPIO SCOMPOSIZIONE DEL TRINOMIO DI SECONDO GRADO
TRINOMIO EQUAZIONE ASSOCIATA ⌬ RADICI SCOMPOSIZIONE
5x 2 Ϫ 5x Ϫ 30 5x 2 Ϫ 5x Ϫ 30 ϭ 0 625 Ͼ 0 x1 ϭ 3, x2 ϭ Ϫ 2 5(x Ϫ 3)(x ϩ 2)
4x 2 Ϫ 12x ϩ 9 4x 2 Ϫ 12x ϩ 9 ϭ 0 0 3
2x 2 ϩ 3x ϩ 4 4 x Ϫ ᎏ32ᎏ 2
x1 ϭ x2 ϭ ᎏ2ᎏ
∃ in R
2x 2 ϩ 3x ϩ 4 ϭ 0 Ϫ 23 Ͻ 0 ∃ in R
5. Le equazioni parametriche BRAVI SI DIVENTA
Videolezione ᭤ V41a
Quando in un’equazione letterale si richiede che il valore di una lettera (ov-
viamente non l’incognita) sia tale da rendere vera una condizione, allora la ◗ Puoi trovare altri
lettera prende il nome di parametro e l’equazione si chiama parametrica. esempi negli esercizi
Esaminiamo un paio di esempi di equazioni parametriche di secondo grado. guida.
ESEMPIO ◗ Un’equazione di
secondo grado ammette
1. Determiniamo il valore di k per cui l’equazione in x, due soluzioni reali e
distinte se ⌬ Ͼ 0.
x 2 ϩ (2k Ϫ 1) x ϩ k 2 Ϫ 1 ϭ 0,
ha due soluzioni reali distinte.
Deve essere:
⌬ ϭ (2k Ϫ 1)2 Ϫ 4(k 2 Ϫ 1) Ͼ 0 → 4k 2 Ϫ 4k ϩ 1 Ϫ 4k 2 ϩ 4 Ͼ 0
Ϫ 4k ϩ 5 Ͼ 0 → 4k Ϫ 5 Ͻ 0 → k Ͻ ᎏ45ᎏ .
Essa è verificata per k Ͻ ᎏ45ᎏ .
523
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TEORIA CAPITOLO 10. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
2. Nell’equazione parametrica (k Ϫ 3)x 2 Ϫ 2(k ϩ 1)x ϩ k ϭ 0, determi-
niamo il valore di k affinché una radice sia uguale a 3.
◗ Poiché b ϭ 2(k ϩ 1) è un ● Calcoliamo per quali valori di k si hanno soluzioni reali, cioè ⌬ Ն 0:
numero pari, calcoliamo
ᎏ⌬4ᎏ ϭ (k ϩ 1)2 Ϫ k (k Ϫ 3) Ն 0 → k 2 ϩ 2k ϩ 1 Ϫ k 2 ϩ 3k Ն 0
⌬ . 5k ϩ 1 Ն 0 → 5k Ն Ϫ 1 → k Ն Ϫ ᎏ51ᎏ .
ᎏ4ᎏ
Quindi si hanno soluzioni reali per k Ն Ϫ 1 .
ᎏ5ᎏ
● Sostituiamo x ϭ 3 nell’equazione data:
(k Ϫ 3)32 Ϫ 2(k ϩ 1)3 ϩ k ϭ 0
9k Ϫ 27 Ϫ 6k Ϫ 6 ϩ k ϭ 0 → 4k ϭ 33 → k ϭ ᎏ34ᎏ3 .
Poiché ᎏ34ᎏ3 Ͼ Ϫ ᎏ51ᎏ , il valore di k è accettabile.
Per k ϭ ᎏ34ᎏ3 l’equazione parametrica ha una radice uguale a 3.
6. La funzione quadratica
e la parabola
◗ Diciamo anche che ■ La funzione y ؍ax2 0) ha per grafico una
y ϭ ax2 è l’equazione di
una parabola. Una funzione quadratica del tipo y ؍ax2 (con a
curva chiamata parabola.
◗ Poiché i punti di ascissa
opposta hanno la stessa Per esempio, rappresentiamo nel piano cartesiano la funzione:
ordinata, possiamo scrive-
re la tabella anche così: y ϭ 2x 2, y
xy determinando le coordinate di al- xy y = 2x2
00 cuni suoi punti e scrivendole nella
11 tabella a fianco. 8
Ϯ ᎏ2ᎏ ᎏ2ᎏ
Ϯ1 2 Osserviamo che i punti della para- 00
Ϯ2 8 bola sono a due a due simmetrici
rispetto all’asse delle ordinate. In − —12 —12 2
᭤ Figura 1 La parabola di generale, ogni parabola ha un asse
equazione y ؍2x2. di simmetria. Il punto in cui la pa- —12 —12
rabola si interseca con il suo asse è −1 2
detto vertice. Per parabole di
equazione y ϭ ax2 il vertice è l’ori- 12
gine O(0; 0). −2 8
28
1
−2 −1− —12O—12 1 2 x
524
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Paragrafo 6. La funzione quadratica e la parabola TEORIA
Il segno di a e la concavità
Tutti i punti della parabola diversi da O hanno:
● ordinata positiva se a Ͼ 0: diciamo che la parabola volge la concavità
verso l’alto;
● ordinata negativa se a Ͻ 0: diciamo che la parabola volge la concavità
verso il basso.
ESEMPIO
xy y xy y 246 ᭣ Figura 2 La concavità di
00 9 00 –6 –4 –2O x una parabola dipende dal
±2 – 1 segno di a.
±4 – 4 −1
±2 1 4
±4 4 −4
±6 9 1
–6 –4 –2 O 2 4 6 x ±6 – 9 −9
a. Parabola di equazione y = —1 x2; b. Parabola di equazione y = − —14 x 2;
4 a = − —41 < 0.
a = —14 > 0.
Il valore di a e l’apertura della parabola ᭢ Figura 3 Se a Ͼ 0, l’aper-
Disegniamo per punti le parabole di equazione: tura della parabola diminui-
sce all’aumentare di a.
y ϭ ᎏ31ᎏ x 2, y ϭ x 2, y ϭ 3x 2;
poi confrontiamo i rispettivi grafici disegnandoli su uno stesso riferi-
mento cartesiano.
xy y x y y y = x2 xy y y = 3x2 y a=3
9 0 0 9 ±0 0 9 2—35
00 ±1 1 a=1
±1 —13 3 y = —31 x2 ±2 4 4 ±1 3 1—36
±2 —43 —13 ±3 9 1 ±—43 1—36 3 a = —13
±3 3 —43 -3 -2-1O1 2 3 x Ox
-3 -2-1O1 2 3 x ±—53 2—35 -1O1 x d. All’aumentare di a
−—43 —43 —35 le parabole si «stringono»
a. Grafico di y = —13 x2. attorno al proprio asse.
b. Grafico di y = x2. c. Grafico di y = 3x2.
◗ Confronta le parabole di
Se a è negativo, l’apertura della parabola diminuisce all’aumentare del equazioni:
valore assoluto di a.
y ϭ Ϫ 1 x 2,
Possiamo confrontare anche parabole che hanno coefficienti a di segno ᎏ4ᎏ
opposto: l’apertura diminuisce al crescere di ͉ a ͉. Confronta, per esem-
pio, y ϭ x 2 e y ϭ Ϫ 4x 2. y ϭ Ϫ x 2,
y ϭ Ϫ 4x 2.
525
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TEORIA CAPITOLO 10. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
■ La funzione y ؍ax2 ؉ bx ؉ c
Si può dimostrare che una funzione quadratica del tipo y ؍ax 2 ؉ bx ؉ c
(con a 0) ha per grafico una parabola che:
● ha per asse di simmetria la retta verticale di equazione x ؍؊ ᎏbᎏ ;
2a
●
ha vertice V di coordinate V b b2 ؊4ac .
؊ ᎏᎏ ; ؊ ᎏᎏ
2a 4a
ESEMPIO
Rappresentiamo nel piano cartesiano la parabola di equazione:
᭤ Figura 4 Il grafico della y ϭ x 2 ϩ 6x ϩ 5. xy x = –3 y
–3 –4 5
parabola di equazione L’equazione dell’asse di simmetria –3
y ؍x2 ؉ 6x ؉ 5. 05 –4 –2 Ox
è x ϭ Ϫ ᎏ2bᎏa ϭ Ϫ ᎏ26иᎏ1 ϭ Ϫ 3. –6 5 –3
◗ In alternativa è possibile Inoltre Ϫ 3 è anche l’ascissa del ver- –2 –3 –4
tice, cioè xV ϭ Ϫ 3. Sostituendo tale –4 –3
calcolare l’ordinata del valore nell’equazione della parabola,
ricaviamo l’ordinata del vertice –6
vertice utilizzando la for- yV ϭ (Ϫ 3)2 ϩ 6(Ϫ 3) ϩ 5 ϭ Ϫ 4.
mula y = x2+ 6x + 5
y V ϭ Ϫ ᎏb2 Ϫ4ᎏa4ac . Compiliamo una tabella per deter-
minare le coordinate di altri punti
y V ϭ Ϫ 36 Ϫ 20 ϭ Ϫ 4. della parabola (figura 4).
ᎏᎏ4
y La concavità e l’apertura della parabola
Si può dimostrare che, come per la parabola con vertice nell’origine, an-
y = ax2 + c che per la parabola di equazione y ϭ ax 2 ϩ bx ϩ c:
● la concavità dipende solo dal segno del coefficiente a: se a Ͼ 0 la
concavità è rivolta verso l’alto, se a Ͻ 0 verso il basso;
● l’apertura dipende dal valore assoluto di a: all’aumentare di ͉ a ͉ di-
minuisce l’apertura della parabola, ossia la parabola si «stringe» attor-
no al proprio asse.
V (0; c) ■ Casi particolari della funzione y ؍ax2 ؉ bx ؉ c
O x
a
1. Se b ؍0, l’equazione diventa y ϭ ax 2 ϩ c.
La parabola ha vertice V (0; c) e il suo asse di simmetria è l’asse y (fi-
gura a a lato).
y y = ax2 + bx 2. Se c ؍0, l’equazione diventa y ϭ ax 2 ϩ bx.
Ϫ ᎏ2bᎏa ; Ϫ ᎏ4bᎏa2
O −2—ba La parabola ha vertice V e passa sempre per l’origine
− 4—ba2 V
x O(0; 0);
infatti le coordinate (0; 0) soddisfano l’equazione (figura b a lato).
b 3. Se b ؍0 e c ؍0, l’equazione diventa y ϭ ax 2, parabola già studiata.
526
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Paragrafo 6. La funzione quadratica e la parabola TEORIA
ESEMPIO y x ᭢ Figura 5 MATEMATICA
b=0 O y = −—52 x2 − 1 PER IL CITTADINO
−1 V y
y = —12 x2 + 3x Lo spazio di frenata
−6 −3
Ox Per poter circolare in sicu-
rezza è importante saper
V − —9 stimare lo spazio che ser-
2 ve, in caso di frenata bru-
sca, per arrestare l’auto (o
c=0 il motorino). Calcoliamo lo
spazio di frenata in diver-
■ Gli zeri della funzione quadratica se condizioni di velocità e
aderenza.
Cerchiamo gli zeri di una funzione quadratica y ϭ ax 2 ϩ bx ϩ c, ossia i Nel sito: ᭤ Il problema
valori di x per cui il valore y della funzione è zero.
LABORATORIO
Da un punto di vista grafico ciò equivale a cercare le intersezioni di una DI MATEMATICA
parabola con l’asse x, ossia i punti con y ϭ 0. Nel sito:
Sostituendo nell’equazione della parabola, otteniamo l’equazione di se- ᭤ Le equazioni di secondo
condo grado:
grado con Excel
ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0.
ESEMPIO
Cerchiamo gli zeri della funzione, già considerata in un esempio prece-
dente:
y ϭ x 2 ϩ 6x ϩ 5.
Deve essere: ᭢ Figura 6
y ϭ 0,
da cui: y
x 2 ϩ 6x ϩ 5 ϭ 0.
y = x2+ 6x + 5
L’equazione ha come soluzioni:
x1 ϭ Ϫ 5, x2 ϭ Ϫ 1,
che sono gli zeri della funzione. –5 –1 O x
Da un punto di vista grafico, dicia-
mo che la parabola di equazione
y ϭ x2 ϩ 6x ϩ 5 ha per punti di in-
tersezione con l’asse x quelli di a-
scisse Ϫ 5 e Ϫ 1 (figura 6).
527
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ESERCIZI CAPITOLO 10. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
LA TEORIA IN SINTESI
Le equazioni di secondo grado
1. Le equazioni di secondo grado
Un’equazione di secondo grado è riconducibile alla forma normale:
ax2 ϩ bx ϩ c ϭ 0, con a 0.
Sono presenti un termine di secondo grado (ax2), uno di primo grado (bx) e un termine noto (c). Se en-
trambi i coefficienti b e c sono diversi da 0, l’equazione è completa, altrimenti è spuria se b 0 e c ϭ 0,
pura se b ϭ 0 e c 0, monomia se b ϭ 0 e c ϭ 0.
ESEMPIO 4x2 ϩ 3x Ϫ 5 ϭ 0 è un’equazione di secondo grado completa;
2x2 ϭ 0 è monomia; 5x2 Ϫ 3 ϭ 0 è pura; 7x 2 ϩ x ϭ 0 è spuria.
2. La risoluzione di un’equazione di secondo grado
Il discriminante dell’equazione completa ax2 ϩ bx ϩ c ϭ 0 è ⌬ ϭ b2 Ϫ 4ac.
SOLUZIONI DELLE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO COMPLETE
SEGNO DEL DISCRIMINANTE SOLUZIONI ESEMPIO
⌬Ͼ0 due radici reali e distinte: x2 Ϫ 2x Ϫ 3 ϭ 0
x1 ϭ ᎏϪ b 2ϩᎏa͙⌬ෆ ⌬ ϭ 4 ϩ 3 и 4 ϭ 16
x2 ϭ ᎏϪ b 2Ϫᎏa͙⌬ෆ x1 ϭ ᎏ2 ϩ2͙ᎏෆ1ෆ6 ϭ ᎏ2 ϩ2ᎏ4 ϭ 3
x2 ϭ ᎏ2 Ϫ2͙ᎏෆ1ෆ6 ϭ ᎏ2 Ϫ2ᎏ4 ϭ Ϫ 1
⌬ϭ0 due radici reali e coincidenti: 4x 2 Ϫ 4x ϩ 1 ϭ 0
⌬Ͻ0 x1 ϭ x2 ϭ Ϫ ᎏ2bᎏa
⌬ ϭ 16 Ϫ 4 и 4 ϭ 0
non esistono soluzioni reali 41
x1 ϭ x2 ϭ ᎏ8ᎏ ϭ ᎏ2ᎏ
2x 2 ϩ 3x ϩ 3 ϭ 0
⌬ ϭ 9 Ϫ 4 и 2 и 3 ϭ Ϫ 15
Se il coefficiente di x, cioè b, è divisibile per 2, per risolvere l’equazione si può applicare la formula ridotta.
Ί Ίᎏ⌬4ᎏ ϭ ᎏ2bᎏ 2 Ϫ ac;
x1 ϭ ᎏϪ ᎏ2bᎏ ϩᎏᎏ⌬4ᎏ , x2 ϭ ᎏϪ ᎏ2bᎏ Ϫᎏᎏ⌬4ᎏ .
a a
SOLUZIONI DELLE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO INCOMPLETE
TIPO DI EQUAZIONE EQUAZIONE SOLUZIONI ESEMPIO
pura ax2 ϩ c ϭ 0 Ί Ίx1ϭ ᎏϪᎏc ; x ϭ Ϫ ᎏϪᎏc 6x2 Ϫ 5 ϭ 0
(b ϭ 0, c 0) a a
2 Ί Ίx1 ϭ ᎏ65ᎏ ; x2 ϭ Ϫ ᎏ65ᎏ
le radici sono reali solo se a e c sono
discordi.
528
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La teoria in sintesi ESERCIZI
TIPO DI EQUAZIONE EQUAZIONE SOLUZIONI ESEMPIO
spuria ax2 ϩ bx ϭ 0
(c ϭ 0, b 0) x1 ϭ 0; x 2 ϭ Ϫ ᎏbᎏ 4x 2 ϩ 3x ϭ 0
ax 2 ϭ 0 a x1 ϭ 0; x2 ϭ Ϫ ᎏ43ᎏ
monomia
(b ϭ c ϭ 0) x1 ϭ x2 ϭ 0 25x 2 ϭ 0
x1 ϭ x2 ϭ 0
3. La somma e il prodotto Il trinomio è:
delle radici ● scomponibile in fattori se
Se l’equazione di secondo grado ⌬ Ͼ 0: ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ a (x Ϫ x1) (x Ϫ x2),
⌬ ϭ 0: ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ a (x Ϫ x1)2;
ax2 ϩ bx ϩ c ϭ 0 ● irriducibile in R se ⌬ Ͻ 0.
ha come radici reali x1 e x2, posti ESEMPIO
s ϭ x1 ϩ x2 e p ϭ x1 и x2, Il trinomio 4x2 ϩ 11x Ϫ 3 ha l’equazione asso-
ciata 4x 2 ϩ 11x Ϫ 3 ϭ 0, con ⌬ ϭ 169 Ͼ 0.
si ha: Le radici dell’equazione sono x1 ϭ ᎏ41ᎏ e x2 ϭ Ϫ 3.
Questi valori sono anche gli zeri del trinomio che
s ϭ Ϫ ᎏbᎏ ; p ϭ ᎏcᎏ . è scomponibile:
a a
Pertanto l’equazione è equivalente a: 4x2 ϩ 11x Ϫ 3 ϭ 4 x Ϫ ᎏ41ᎏ (x ϩ 3).
x2 Ϫ sx ϩ p ϭ 0. 5. Le equazioni parametriche
4. La scomposizione di un trinomio Un’equazione parametrica è un’equazione letterale
di secondo grado in cui si richiede che il valore di una lettera, detta
parametro, soddisfi una condizione.
Dato il trinomio ax 2 ϩ bx ϩ c, se l’equazione as-
sociata ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0 ha soluzioni reali, tali so-
luzioni (x1 e x2) sono anche zeri del trinomio.
6. La funzione quadratica e la parabola y x = ––2b–a–
y = ax2+ bx + c
Le funzioni quadratiche hanno per grafici delle parabole.
y
y = ax2
1 x Ox
O vertice ( )V ––2b–a–; –b––2–4––a4–a–c–
asse di simmetria
529
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ESERCIZI CAPITOLO 10. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
1. Le equazioni di secondo grado –ᮣ Teoria a pag. 515
■ Le equazioni di secondo grado
1 Segna con una crocetta le equazioni di secondo grado, dopo averle ridotte in forma normale.
x ϭ x 2; x 2 ϭ 1; x 3 ϭ 0; x 2 Ϫ 2x ϭ 0; ͙2ෆx 2 Ϫ 2 ϭ 0; 3x 2 Ϫ x ϩ 1 ϭ 0; 2x Ϫ 1 ϭ x (x Ϫ 1);
4x (x 2 ϩ 1) ϭ 2x ϩ 4x 3; x (x 2 Ϫ 1) Ϫ x 2 ϭ 0; (x Ϫ 1)2 ϭ 0; 23x ϩ 32 ϭ x 2.
2 Sottolinea le equazioni di secondo grado nell’incognita x.
kx 2 ϭ 0; ax 2 Ϫ 1 ϭ 0; a 2x Ϫ 5 ϭ 0; x Ϫ a 2 ϭ 0; 2a 2x Ϫ b 2 ϭ 0; x Ϫ a 3 ϩ b 3 ϭ 0;
a 2x ϩ b ϭ 0; kx 2 Ϫ ͙ෆ3 ϭ 0.
3 Sottolinea le equazioni di secondo grado nell’incognita y.
2y Ϫ 3y 2 ϩ 1 ϭ 0; x Ϫ y 2 ϭ 0; y 2 Ϫ 2xy ϩ 2 ϭ 0; x 2 ϩ y Ϫ 1 ϭ 0; k 2 Ϫ 3y ϭ 0; k Ϫ 3y 2 ϭ 0.
Nelle seguenti equazioni di secondo grado, scritte in forma normale a meno dell’ordine, individua e scrivi il
primo coefficiente a, il secondo coefficiente b e il termine noto c.
Per esempio, se l’equazione è 2 ؊ x ؉ 3x 2, si ha a ؍3, b ؍؊ 1, c ؍2.
4 Ϫ x 2 ϩ 2x ϩ 3 ϭ 0; Ϫ x 2 ϩ 1 ϭ 0; 2x Ϫ 3x 2 ϭ 0.
5 1 Ϫ 5x 2 ϭ 0; 2 ϩ 7x 2 Ϫ 3x ϭ 0; 4x 2 Ϫ 3x ϩ 2 ϭ 0.
ᎏx5ᎏ2 ϩ 3x Ϫ ᎏ21ᎏ ϭ 0; Ϫ x 2 Ϫ ᎏ2xᎏ Ϫ ᎏ65ᎏ ϭ 0.
6 Ϫ ᎏ12ᎏ x 2 Ϫ 2x ϭ 0; (1 ϩ ͙ෆ2)x 2 Ϫ x ϩ ͙ෆ2 ϭ 0; x ϩ 2 ϩ ͙ෆ3x 2 ϩ ͙3ෆ ϭ 0.
7 ᎏ2x 24ᎏϪ 5 ϭ 0;
Per ogni terna di coefficienti a, b, c, scrivi l’equazione di secondo grado corrispondente, nell’incognita x, in
forma normale.
Per esempio, se a ؍3, b ؍؊ 1, c ؍2, l’equazione è 3x2 ؊ x ؉ 2 ؍0.
8 a ϭ 1 b ϭ Ϫ 1 c ϭ Ϫ 2; a ϭ 2 b ϭ 3 c ϭ Ϫ 20; a ϭ 1 b ϭ ᎏ163ᎏ c ϭ 1.
9 a ϭ 5 b ϭ 0 c ϭ 9; a ϭ 2 b ϭ 0 c ϭ 0; a ϭ 2k b ϭ Ϫ k Ϫ 2 c ϭ 1.
Trasforma le seguenti equazioni nell’incognita x in forma normale; verifica quindi che siano di secondo grado
e scrivine i coefficienti.
10 x (x Ϫ 2) ϩ x 2 Ϫ 2x ϩ 6 ϭ 3x 2. 12 (͙3ෆ ϩ 1)(x Ϫ 3) ϭ x (x Ϫ ͙ෆ3 ).
11 4x (1 Ϫ x) Ϫ 2(x Ϫ 1)(x ϩ 1) ϭ 2x. 13 ax (x Ϫ 2a) Ϫ 3a (x 2 Ϫ 2) ϭ x 2.
530
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 2. La risoluzione di un’equazione di secondo grado ESERCIZI
14 Indica, per ognuna delle seguenti equazioni nell’incognita x, se l’equazione è completa, spuria, pura o monomia.
a) ax2 ϩ a Ϫ 2ax ϭ 0; d) x2 ϩ 6x ϭ Ϫ 2; g) ax2 ϩ 4ax ϭ 0;
b) 9x2 ϩ 2x ϭ 0; e) 2x2 ϩ 4x ϩ ͙3ෆ ϭ 0; h) (͙3ෆ ϩ 1)x2 ϭ 0;
c) 2x2 ϭ 8; f) kx2 ϩ 2x ϩ k ϭ 0; i) x2 ϩ ͙2ෆx2 Ϫ 2 ϭ 0.
■ Le soluzioni
15 Indica quali di questi valori sono soluzioni dell’equazione nell’incognita x scritta a fianco.
ᎏ21ᎏ , 2, Ϫ 1, 0; 4x2 Ϫ 8x ϭ 0. a, Ϫ a, 2a, 0; x2 Ϫ 3ax ϩ 2a2 ϭ 0. 2, Ϫ ᎏ31ᎏ , 0, ᎏ13ᎏ ; 9x2 Ϫ 6x ϩ 1 ϭ 0.
COMPLETA le seguenti equazioni che hanno per soluzioni i valori indicati a fianco, inserendo un numero al po-
sto dei puntini.
16 3x 2 ϩ … x ϭ 0, 0 e Ϫ 3. 19 … x 2 Ϫ 9 ϭ 0, Ϯ ᎏ35ᎏ .
17 … x 2 Ϫ ᎏ32ᎏ x ϭ 0, 20 5x 2 Ϫ … ϭ 0, Ϯ 2.
18 9x 2 ϩ … x Ϫ 4 ϭ 0, 0 e ᎏ43ᎏ .
Ϯ ᎏ23ᎏ . 21 … x 2 Ϫ 1 ϭ 0, x ϭ Ϯ 2.
2. La risoluzione di un’equazione –ᮣ Teoria a pag. 516
di secondo grado
■ Il discriminante Nel sito: ᭤ 8 esercizi di recupero
In ognuno degli esercizi seguenti sostituisci nella formula ⌬ ؍b2 ؊ 4ac i valori indicati e calcola il risultato.
22 a ϭ Ϫ 2; b ϭ Ϫ 3; c ϭ 0. [9] 25 a ϭ 1; b ϭ Ϫ 3k; c ϭ 2k2. [a 2]
23 a ϭ 1; b ϭ Ϫ ͙ෆ2; c ϭ 3. [Ϫ 10] 26 a ϭ k; b ϭ Ϫ k Ϫ 1; c ϭ 1. [(k Ϫ 1)2]
24 a ϭ 2; b ϭ 0; c ϭ Ϫ 5. [40] 27 a ϭ ͙ෆ3 Ϫ 1; b ϭ 2͙ෆ3; c ϭ ͙ෆ3 ϩ 1. [4]
Date le seguenti equazioni, calcola ⌬ e indica se le soluzioni sono reali.
28 3x 2 Ϫ x ϩ 1 ϭ 0 [Ϫ 11] 30 ᎏ41ᎏ x 2 ϩ 2x Ϫ 12 ϭ 0 [16]
[0]
29 2x 2 ϩ 3x Ϫ 2 ϭ 0 [25] 31 4x2 Ϫ 12x ϩ 9 ϭ 0
32 Senza calcolare le soluzioni, indica se le seguenti equazioni ammettono soluzioni reali e distinte, soluzioni
reali coincidenti o non ammettono soluzioni reali.
x2 ϭ 3 Ϫ 2x; 3x2 Ϫ 2x ϩ 1 ϭ 0; 4x2 ϩ 25 Ϫ 20x ϭ 0;
ᎏ12ᎏ x2 ϩ 9 ϩ 3x ϭ 0; 2x2 ϩ 3x Ϫ 2 ϭ 0; 6x2 ϩ 2 ϭ 3x.
531
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ESERCIZI CAPITOLO 10. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
33 COMPLETA la seguente tabella.
EQUAZIONE ab c⌬
2x 2 ϩ 3x Ϫ 1 ϭ 0 … … … …
…x2…x…ϭ0 2 Ϫ2 1 …
x2…x…ϭ0 …3…5
…x2…xϩ4ϭ0 … 1 … 17
x 2 ϩ 16 ϭ 0 …………
■ Le equazioni numeriche intere Nel sito: ᭤ 9 esercizi di recupero
ESERCIZIO GUIDA
34 Risolviamo le seguenti equazioni:
a) 10x 2 Ϫ 2 ϭ x ; b) 49x 2 ϩ 126x ϩ 81 ϭ 0; c) x 2 Ϫ 2x ϩ 2 ϭ 0.
a) 10x 2 Ϫ 2 ϭ x Calcoliamo:
Scriviamo l’equazione in forma normale: ⌬ ϭ (126)2 Ϫ 4 и 49 и 81 ϭ 15 876 Ϫ 15 876 ϭ 0.
10x 2 Ϫ x Ϫ 2 ϭ 0 Poiché ⌬ ؍0, l’equazione ha due soluzioni reali
Calcoliamo il discriminante ⌬ ϭ b 2 Ϫ 4ac: coincidenti.
⌬ ϭ (Ϫ 1)2 Ϫ 4 и 10 и (Ϫ 2) ϭ 1 ϩ 80 ϭ 81. Calcoliamo le soluzioni con la formula x ϭ Ϫ ᎏ2bᎏa :
Ϫ 126 63 9
Poiché ⌬ Ͼ 0, l’equazione ha due soluzioni x ϭ ᎏ2 и (ᎏ49) ϭ Ϫ ᎏ4ᎏ9 ϭ Ϫ ᎏ7ᎏ
reali distinte. Usiamo la formula risolutiva:
x ϭ ᎏϪ b Ϯ2aᎏ͙ෆ⌬ : ᎏ1 2ϩ0ᎏ9 ϭ ᎏ21ᎏ00 Le soluzioni coincidenti sono:
Ϫ (Ϫ 1) Ϯ ͙ෆ81 ᎏ12Ϫᎏ09 ϭ ᎏϪ2ᎏ08
x 1 ϭ x 2 ϭ Ϫ ᎏ79ᎏ .
x ϭ ᎏ2 и (ᎏ10) ϭ c) x 2 Ϫ 2x ϩ 2 ϭ 0
Scriviamo i coefficienti:
Le due soluzioni distinte sono: a ϭ 1; b ϭ Ϫ 2; c ϭ 2.
10 1 e x 2 ϭ ᎏϪ2ᎏ08 ϭ Ϫ ᎏ52ᎏ . Calcoliamo il discriminante:
x 1 ϭ ᎏ20ᎏ ϭ ᎏ2ᎏ
⌬ ϭ (Ϫ 2)2 Ϫ 4 и (1) и (2) ϭ Ϫ 4.
b) 49x 2 ϩ 126x ϩ 81 ϭ 0
L’equazione è già in forma normale. Poiché ⌬ Ͻ 0, l’equazione non ha radici reali.
35 TEST Mediante la formula xriϭsoᎏlv3iϮ? ͙49ෆᎏϩෆෆ32ෆ , Risolvi le seguenti equazioni.
delle seguenti equazioni 36 6x 2 ϩ 13x ϩ 7 ϭ 0;
quale
4x 2 Ϫ 8x ϩ 3 ϭ 0.
A 2x 2 ϩ 3x ϩ 4 ϭ 0. ΄ ΅Ϫ 7 1 3
37 x 2 Ϫ 2x Ϫ 3 ϭ 0; ᎏ6ᎏ ᎏ2ᎏ ᎏ2ᎏ
B x 2 Ϫ 3x ϩ 32 ϭ 0. 9x 2 Ϫ 12x ϩ 4 ϭ 0. 1, Ϫ ; ,
C 4x 2 Ϫ 3x Ϫ 2 ϭ 0.
D 2x 2 Ϫ 3x Ϫ 16 ϭ 0. ΄ ΅Ϫ 2
ᎏ3ᎏ
E 2x 2 Ϫ 3x Ϫ 4 ϭ 0. 1, 3; doppia
532
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Paragrafo 2. La risoluzione di un’equazione di secondo grado ESERCIZI
38 x 2 ϩ 3x Ϫ 10 ϭ 0; 12x 2 ϩ x Ϫ 6 ϭ 0. ΄ ΅Ϫ 5, 2; Ϫ ᎏ43ᎏ , ᎏ23ᎏ
39 2x 2 Ϫ 3x ϩ 20 ϭ 0;
40 x 2 Ϫ 4x Ϫ 32 ϭ 0; 6x 2 ϩ 13x ϩ 8 ϭ 0. [impossibile; impossibile]
41 x 2 ϩ 3x Ϫ 4 ϭ 0;
42 x 2 Ϫ 3x ϩ 2 ϭ 0; x 2 ϩ x ϩ ᎏ29ᎏ ϭ 0. ΄ ΅Ϫ 4, 8; Ϫ ᎏ32ᎏ , Ϫ ᎏ31ᎏ
43 x 2 Ϫ ͙ෆ2x Ϫ 4 ϭ 0;
44 2x 2 Ϫ 2͙ෆ2x ϩ 1 ϭ 0; 2 5 25 0. ΄ ΅Ϫ 4, 1; 5
x Ϫ ᎏ3ᎏ x ϩ ᎏ36ᎏ ϭ ᎏ6ᎏ doppia
x 2 Ϫ 9x ϩ 33 ϭ 0. [1, 2; impossibile]
x 2 Ϫ 4͙3ෆx Ϫ 36 ϭ 0. [Ϫ ͙ෆ2, 2͙ෆ2; Ϫ 2͙3ෆ, 6͙ෆ3]
͙ෆ3x 2 Ϫ 3x ϩ ͙ෆ3 ϭ 0. ΄ ΅͙ෆ2
ᎏ2ᎏ
doppia; impossibile
45 21x 2 Ϫ 10x ϩ 1 ϭ 0; x 2 Ϫ 6x Ϫ 16 ϭ 0. ΄ ΅ᎏ71ᎏ , ᎏ31ᎏ ; Ϫ2, 8
46 18x 2 Ϫ 21x Ϫ 4 ϭ 0; 2x 2 Ϫ 13x Ϫ 7 ϭ 0. ΄ ΅Ϫ ᎏ16ᎏ , ᎏ43ᎏ ; Ϫ ᎏ12ᎏ , 7
47 3x 2 ϭ 5 ϩ 14x; 4x (3x ϩ 1) ϭ 5. ΄ ΅Ϫ 1 , 5; Ϫ 5 , 1
ᎏ3ᎏ ᎏ6ᎏ ᎏ2ᎏ
48 x (2x ϩ 13) ϭ 24; x 2 ϭ 4(x ϩ 3). ΄ ΅Ϫ8, 3 ; Ϫ2, 6
ᎏ2ᎏ
49 ASSOCIA a ogni equazione le sue soluzioni.
1. x2 Ϫ x Ϫ 12 ϭ 0 A. 3; Ϫ 4.
2. x 2 ϩ x Ϫ 12 ϭ 0 B. 4; 4.
3. Ϫx 2 Ϫ 4x ϩ 12 ϭ 0 C. Ϫ3; 4.
4. x 2 Ϫ 8x ϩ 16 ϭ 0 D. 2; Ϫ6.
La formula ridotta
ESERCIZIO GUIDA
50 Risolviamo l’equazione:
x 2 ϩ 6x Ϫ 7 ϭ 0.
Scriviamo i coefficienti: Poiché ᎏ⌬4ᎏ Ͼ 0, l’equazione ha due soluzioni reali di-
stinte.
a ϭ 1, b ϭ 6, c ϭ Ϫ 7.
Poiché b è pari, possiamo utilizzare la formula Calcoliamo le due soluzioni con la formula ridotta:
ridotta:
Ίx
ϭ Ϫ ᎏb2ᎏ Ϯ ⌬ : x ϭ ᎏϪ 3 Ϯ1ᎏ͙1ෆ6 ϭ Ϫ3ϩ4ϭϩ1
ᎏ4ᎏ Ϫ3Ϫ4ϭϪ7
ᎏᎏ
a
ᎏ2bᎏ ϭ ᎏ26ᎏ ϭ 3. Le soluzioni sono x 1 ϭ 1 e x 2 ϭ Ϫ 7.
⌬ ᎏ2bᎏ 2
ᎏ4ᎏ ϭ Ϫ ac ϭ 32 Ϫ (1) и (Ϫ 7) ϭ 9 ϩ 7 ϭ 16.
533
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ESERCIZI CAPITOLO 10. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado, applicando la formula ridotta.
51 x 2 ϩ 8x Ϫ 9 ϭ 0 [Ϫ 9; 1] 60 x 2 ϭ 1 (2x ϩ 1) ΄ ΅Ϫ1; 1
ᎏ3ᎏ ᎏ3ᎏ
52 10y 2 ϩ 8y ϩ 5 ϭ 0 [impossibile] 61 x(10 Ϫ x) ϭ 21 [7; 3]
53 x 2 Ϫ 10x Ϫ 75 ϭ 0 [Ϫ 5; 15] 62 15x 2 Ϫ 8x ϩ 1 ϭ 0 ΄ ΅ᎏ31ᎏ ; ᎏ15ᎏ
54 3y 2 Ϫ 2y ϩ 4 ϭ 0 [impossibile] 63 TEST Sull’equazione
55 24t ϩ 13 Ϫ 4t 2 ϭ 0 ΄ ΅Ϫ ᎏ21ᎏ ; ᎏ123ᎏ 3x 2 ϩ 14x ϩ 8 ϭ 0,
56 9 ϩ 16x 2 ϩ 24x ϭ 0
57 3x 2 ϩ 2͙ෆ3x Ϫ 3 ϭ 0 ΄ ΅Ϫ 3 puoi affermare che:
58 x 2 ϩ 4͙ෆ2x ϩ 8 ϭ 0 ᎏ4ᎏ doppia
59 x(x Ϫ 2) ϭ 15 A è equivalente all’equazione 8x2 ϩ 14x ϩ 3 ϭ 0.
΄ ΅Ϫ ͙ෆ3; ᎏ͙3ᎏෆ3 B il discriminante è uguale a 10.
C non è possibile applicare la formula ridotta.
[Ϫ 2͙ෆ2 doppia] D ha lo stesso discriminante dell’equazione
[Ϫ 3; 5] 8x 2 ϩ 14x ϩ 3 ϭ 0.
Ά ·E l’insieme delle soluzioni è S ϭ ᎏ32ᎏ , 4 .
Equazioni il cui discriminante è riconducibile a un quadrato di binomio
ESERCIZIO GUIDA
64 Risolviamo l’equazione:
3x 2 Ϫ 4 ͙ෆ3 x ϩ 2x ϩ 3 Ϫ 2 ͙ෆ3 ϭ 0.
Riduciamo in forma normale:
3x 2 Ϫ (4 ͙ෆ3 Ϫ 2)x ϩ 3 Ϫ 2 ͙ෆ3 ϭ 0
3x 2 Ϫ 2 (2 ͙ෆ3 Ϫ 1)x ϩ 3 Ϫ 2 ͙ෆ3 ϭ 0.
Scriviamo i coefficienti:
a ϭ 3; b ϭ Ϫ 2(2 ͙ෆ3 Ϫ 1); c ϭ 3 Ϫ 2 ͙ෆ3.
Poiché b è divisibile per 2, possiamo applicare la formula ridotta, ponendo:
t ϭ ᎏ2bᎏ ϭ Ϫ (2 ͙ෆ3 Ϫ 1).
⌬
Calcoliamo ᎏ4ᎏ :
ᎏ⌬4ᎏ ϭ [Ϫ (2 ͙ෆ3 Ϫ 1)]2 Ϫ 3 и (3 Ϫ 2 ͙ෆ3) ϭ 12 ϩ 1 Ϫ 4 ͙ෆ3 Ϫ 9 ϩ 6 ͙ෆ3 ϭ 4 ϩ 2 ͙ෆ3.
Possiamo considerare 2 ͙ෆ3 come doppio prodotto: 2 ͙ෆ3 ϭ 2 и (1 и ͙ෆ3). Allora 4 ϩ 2 ͙ෆ3 può derivare dal
quadrato di 1 ϩ ͙ෆ3. Proviamo:
(1 ϩ ͙ෆ3)2 ϭ 1 ϩ 2 ͙ෆ3 ϩ 3 ϭ 4 ϩ 2 ͙ෆ3, pertanto ᎏ⌬4ᎏ ϭ (1 ϩ ͙ෆ3)2 Ͼ 0.
534
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Paragrafo 2. La risoluzione di un’equazione di secondo grado ESERCIZI
Calcoliamo le soluzioni dell’equazione di partenza con la formula ridotta:
ᎏ2 ͙ෆ3 Ϫᎏ13ϩ 1ᎏϩ ͙ෆ3 ϭ 3 ͙ෆ3 ϭ ͙ෆ3
ᎏ3ᎏ
2 ͙ෆ3 Ϫ 1 Ϯ ͙ෆ(1ෆϩෆ͙ෆ3)ෆ2
x ϭ ᎏᎏ3 ᎏ ϭ
ᎏ2 ͙ෆ3 Ϫᎏ13Ϫ 1ᎏϪ ͙ෆ3 ϭ ͙ෆ3 Ϫ 2
ᎏ3ᎏ
Le soluzioni sono:
x 1 ϭ ͙ෆ3 ; x 2 ϭ ᎏ͙ෆ33ᎏϪ 2 .
Risolvi le seguenti equazioni. [Ϫ 2 Ϫ ͙ෆ2; ͙ෆ2] 68 x 2 Ϫ 2͙ෆ3x Ϫ 2 Ϫ 2͙ෆ6 ϭ 0 [Ϫ ͙ෆ2; 2͙ෆ3 ϩ ͙ෆ2]
65 x 2 ϩ 2x Ϫ 2͙ෆ2 Ϫ 2 ϭ 0
66 2x 2 Ϫ 4x Ϫ 1 ϩ 2͙ෆ2 ϭ 0 ΄ ΅ᎏ͙2ᎏෆ2 ; ᎏ4 Ϫ2ᎏ͙ෆ2 69 x(x Ϫ 2) ϭ 4͙ෆ3(2 Ϫ x) [Ϫ 4͙ෆ3; 2]
67 x 2 Ϫ x ϭ ͙ෆ3 и (x Ϫ 1)
[1; ͙ෆ3]
Le equazioni pure
ESERCIZIO GUIDA
70 Risolviamo le seguenti equazioni:
a) 2x 2 Ϫ 1 ϭ 0; b) x 2 ϩ 1 ϭ 0.
a) a ϭ 2, c ϭ Ϫ 1: i coefficienti sono discordi, per- Le soluzioni sono: x 1 ϭ ᎏ͙2ᎏෆ2 , x 2 ϭ Ϫ ᎏ͙2ᎏෆ2 .
tanto l’equazione ha due soluzioni reali opposte. b) a ϭ 1, c ϭ 1: i coefficienti sono concordi,
Ricaviamo x 2: x 2 ϭ 1 . pertanto l’equazione non ha radici reali.
2x 2 Ϫ 1 ϭ 0 → 2x 2 ϭ 1 → ᎏ2ᎏ Infatti:
Estraiamo la radice quadrata:
x 2 ϩ 1 ϭ 0 → x 2 ϭ Ϫ 1.
Ίx ϭ Ϯ ᎏ21ᎏ ϭ Ϯ ᎏ͙1ᎏෆ2 ϭ Ϯ ᎏ͙2ᎏෆ2 .
Non esiste un numero reale che, elevato al
quadrato, dia un numero negativo.
Risolvi le seguenti equazioni.
71 3x 2 Ϫ 2 ϭ 0; Ϫ 6x 2 ϩ 216 ϭ 0; 5x 2 ϩ 125 ϭ 0. ΄ ΅Ϯ ᎏ͙3ᎏෆ6 ; Ϯ 6; impossibile
2x 2 ϩ 3 Ϫ 5 ϭ 0.
72 3x 2 ϩ 1 ϭ 0; Ϫ 5x 2 Ϫ 5 ϭ 0; 4 ϩ 3x 2 ϭ 0. [impossibile; impossibile; Ϯ 1]
16x 2 ϭ 1.
73 1 Ϫ x 2 ϭ 0; 2 Ϫ x 2 ϭ 0; 25 ϭ 9x 2. [Ϯ 1; Ϯ ͙2ෆ; impossibile]
74 Ϫ 3x 2 ϭ Ϫ 12; Ϫ 4x 2 ϭ 36; ΄ ΅Ϯ 2; impossibile; Ϯ ᎏ14ᎏ
75 4 Ϫx 2 ϭ 0;
1 x 2 Ϫ 18 ϭ 0; 2;΄ ΅ϮϮ6; Ϯ 5
ᎏ2ᎏ ᎏ3ᎏ
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ESERCIZI CAPITOLO 10. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
76 2x 2 ϩ 1 ϭ 0 [impossibile]
77 ͙ෆ2x2 Ϫ 2 ϭ 0
[Ϯ ͙4 ෆ2]
78 4x 2 Ϫ 2 ͙ෆ2 ϭ 0
΄ϮΊ4 ᎏ21ᎏ ΅
79 ͙ෆ3x 2 Ϫ 3 ϭ 0
[Ϯ ͙4 3ෆ]
80 (x ϩ 4)2 ϩ 1 ϭ 8x
[impossibile]
81 x 1 2 (2x Ϫ 1) ϭ 0
Ϫ ᎏ2ᎏ ΄ ΅1
Ϫx
Ϯ ᎏ2ᎏ
82 18x 2 Ϫ 2 ϭ 0
΄ ΅1
83 3x 2 ϩ 8 Ϫ 5 ͙ෆ2 ϭ 0
Ϯ ᎏ3ᎏ
[impossibile]
84 Quanto vale il ⌬ delle equazioni 2x 2 Ϫ 7 ϭ 0 e x 2 ϩ 9 ϭ 0? In generale, il discriminante di un’equazione pura
può essere nullo? [56, Ϫ36; no…]
85 ͙5ෆ(x 2 Ϫ 1) ϩ 1 ϭ x 2 [Ϯ 1]
86 ᎏ32ᎏ x ϩ ᎏ51Ϫᎏ2x ϭ ᎏ(2x Ϫ6ᎏ1)5 Ϫ ᎏx (x4ϩᎏ1) [impossibile]
87 11x ϩ (x Ϫ 2)2 ϩ (2x ϩ 1)(x Ϫ 3) ϭ (x ϩ 1)2 Ϫ 14 [impossibile]
Le equazioni spurie Raccogliamo x:
ESERCIZIO GUIDA x (8x Ϫ 7) ϭ 0
88 Risolviamo la seguente equazione: Per la legge di annullamento del prodotto: 7
4(x 2 ϩ 1) ϩ 4(x Ϫ 1)(x ϩ 1) ϭ 7x . ᎏ8ᎏ 7
x ϭ 0 oppure 8x Ϫ 7ϭ0 x → 0 x ϭ ϭ ᎏ8ᎏ .
Riduciamo in forma normale: Le soluzioni dell’equazione sono: 1ϭ e x2
4(x 2 ϩ 1) ϩ 4(x Ϫ 1)(x ϩ 1) ϭ 7x
4x 2 ϩ 4 ϩ 4(x 2 Ϫ 1) Ϫ 7x ϭ 0
4x 2 Ϫ 7x ϩ 4x 2 Ϫ 4 ϩ 4 ϭ 0
8x 2 Ϫ 7x ϭ 0
Risolvi le seguenti equazioni.
89 4x2 Ϫ 8x ϭ 0; Ϫ 2x2 ϩ x ϭ 0; 6x2 ϩ 12x ϭ 0. ΄ ΅0, 2; 0, ᎏ12ᎏ; 0, Ϫ 2
7x Ϫ 5x2 ϭ 0. ΄ ΅0, ᎏ43ᎏ ; 0, 2; 0, ᎏ75ᎏ
90 9x2 Ϫ 12x ϭ 0; Ϫ 3x2 ϩ 6x ϭ 0; 6x2 Ϫ 4x ϭ 0.
΄ ΅0, 11; 0, ᎏ245ᎏ ; 0, ᎏ32ᎏ
91 2x(x Ϫ 11) ϭ 0; 4x2 ϭ 25x;
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Paragrafo 2. La risoluzione di un’equazione di secondo grado ESERCIZI
92 ᎏ13ᎏ x2 Ϫ 2x ϭ 0; ᎏ41ᎏ x2 ϭ ᎏ51ᎏ x; 2x2 Ϫ ᎏ38ᎏ x ϭ 0. ΄ ΅0, 6; 0, ᎏ54ᎏ ; 0, ᎏ34ᎏ
93 ᎏ21ᎏ x(3x Ϫ 2) ϭ 0; ᎏ43ᎏ x2 ϭ ᎏ43ᎏ x; ᎏ12ᎏ x ϭ x2. ΄ ΅0, ᎏ23ᎏ ; 0, ᎏ196ᎏ ; 0, ᎏ21ᎏ
94 x 2 Ϫ x ͙ෆ8 ϭ 0; x(x Ϫ 4) ϭ 0; 6x ϭ 2x 2. [0, 2͙ෆ2; 0, 4; 0, 3]
95 x 2 Ϫ ͙ෆ3x ϩ ͙ෆ2x ϭ 0 [0, ͙ෆ3 Ϫ ͙2ෆ] 99 x2 Ϫ 2͙2ෆx ϭ 0 [0, 2͙ෆ2]
96 2x 2 Ϫ ͙ෆ2x Ϫ ͙ෆ3x ϭ 0
97 6x Ϫ ͙ෆ3x 2 ϩ 3x ϭ 0 ΄ ΅ 0, ᎏ͙ෆ2 ϩ2ᎏ͙ෆ3
98 2x 2 ϩ x ϭ 0 100 x (x ϩ 3) ϩ 1 ϭ (1 ϩ x)2 Ϫ 2x 1 ϩ ᎏ21ᎏ x [Ϫ 3, 0]
[0, 3͙ෆ3] 101 (2x ϩ 3)2 ϭ (x Ϫ 3)2 [Ϫ 6, 0]
΄ ΅Ϫ ᎏ12ᎏ , 0 102 ᎏ53ᎏ (2x Ϫ 3)(x ϩ 1) ϭ 10x Ϫ 5 ΄ ΅0, ᎏ72ᎏ
Le equazioni monomie
Risolvi le seguenti equazioni.
103 9x 2 ϭ 0; 6x 2 ϭ 0. [0 doppia; 0 doppia]
[0 doppia; 0 doppia]
104 ᎏ12ᎏ x 2 ϭ 0; 3x 2 ͙ෆ5 ϭ 0.
[0 doppia]
105 ͙2ෆx2 ϭ 0 [0 doppia]
[0 doppia]
106 3x 2 ϩ 3 Ϫ ᎏx ϩ2ᎏ2 ϭ ᎏ3 Ϫ2ᎏx Ϫ (1 ϩ x 2) [0 doppia]
ᎏ2ᎏ [0 doppia]
[0 doppia]
107 (x ϩ 7)2 ϩ (x Ϫ 7)2 ϭ 98 [0 doppia]
108 2(x2 Ϫ 3x) ϩ 3 ϭ 3(1 Ϫ 2x)
109 (x Ϫ 3)(x ϩ 3) ϭ 3x(x Ϫ 1) ϩ 3x Ϫ 9
110 2(x2 Ϫ 6x) ϩ 5 ϭ Ϫ 2x ϩ 5(1 Ϫ 2x)
111 3x ϩ (4x Ϫ 1)2 ϭ (x Ϫ 4)2 Ϫ 3(5 Ϫ x)
Nel sito: ᭤ teoria e 53 esercizi su I numeri complessi
537
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ESERCIZI CAPITOLO 10. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
RIEPILOGO LE EQUAZIONI NUMERICHE INTERE
112 VERO O FALSO? 113 TEST Esamina le tre equazioni:
1. 2x2 ϩ 5x ϭ 0; 2. 7x2 ϭ 0; 3. ͙ෆ3x2 ϭ 0.
a) L’equazione 4x 2 ϭ 7x è pura. VF Quali di esse sono fra loro equivalenti?
A Tutte e tre.
b) Se c Ͻ 0, l’equazione 3x 2 ϩ c ϭ 0 ha VF B 1 e 2.
due soluzione reali e opposte. C 1 e 3.
D 2 e 3.
c) Per risolvere l’equazione 5x 2 Ϫ 2x ϭ 0 E Nessuna è equivalente alle altre.
si può applicare la legge di
annullamento del prodotto. VF
d) Le equazioni 2x 2 ϭ 18 e
2 (x Ϫ 3) (x ϩ 3) ϭ 0 sono equivalenti. V F
e) Le soluzioni dell’equazione Ϫ 4x 2 ϭ 0
sono ϩ 2 e Ϫ 2. VF
114 CACCIA ALL’ERRORE Trova gli errori commessi nel risolvere le seguenti equazioni.
a) x2 ϩ 16 ϭ 0 → x2 ϭ Ϫ 16 → x ϭ Ϯ 4.
b) 4x(x Ϫ 1) ϭ 0 → x ϭ Ϫ 4, x ϭ 1.
c) (x Ϫ 6)(x Ϫ 3) ϭ 1 → x Ϫ 6 ϭ 1 ∨ x Ϫ 3 ϭ 1 → x ϭ 7 ∨ x ϭ 4.
d) Ϫ9x2 ϭ 0 → x2 ϭ 9 → x ϭ Ϯ 3.
Risolvi le seguenti equazioni. ΄ ΅Ϫ ᎏ21ᎏ; 3 124 x2 Ϫ 3͙2ෆx ϩ 4 ϭ 0 [͙ෆ2; 2͙ෆ2]
115 2x 2 Ϫ 5x Ϫ 3 ϭ 0
116 4x 2 Ϫ 4x ϩ 1 ϭ 0 ΄ ΅1 125 x 2 ϩ 3 ͙ෆ3 x ϩ 6 ϭ 0 [Ϫ 2 ͙ෆ3; Ϫ ͙ෆ3]
ᎏ2ᎏ
doppia
117 x 2 Ϫ x ϩ 2 ϭ 0 [impossibile] 126 2x 2 Ϫ 3 ͙ෆ2x Ϫ 4 ϭ 0 ΄ ΅Ϫ ᎏ͙2ᎏෆ2 ; 2 ͙ෆ2
118 x2 ϩ 5x ϩ 6 ϭ 0 [Ϫ 3; Ϫ 2] 127 x 2 ϭ 4(x Ϫ 1) [2 doppia]
119 x2 ϩ 5x ϩ 7 ϭ 0 [impossibile] 128 x 2 ϭ ᎏ5(x ͙4ෆ5ᎏϪ 1) ΄ ΅ᎏ͙4ᎏෆ5 ; ͙ෆ5
129 6x 2 Ϫ 6x ϭ 2(1 Ϫ 2x) Ϫ 2 Ϫ x(2 Ϫ x) [0; 0]
120 x 2 Ϫ 5 ͙ෆ2 x ϩ 12 ϭ 0 [2͙ෆ2; 3 ͙ෆ2]
121 x 2 Ϫ ᎏ32ᎏ x ϩ ᎏ11ᎏ2 ϭ 0
΄ ΅ᎏ61ᎏ ; ᎏ21ᎏ 130 2(3x Ϫ 1)2 Ϫ 3x(5x ϩ 1) ϭ 2 Ϫ 3x [0; 4]
122 20x 2 Ϫ 41x ϩ 20 ϭ 0 ΄ ΅ᎏ45ᎏ ; ᎏ54ᎏ 131 ᎏ͙2ᎏx3ෆ Ϫ x 2 Ϫ ᎏ31ᎏ ϭ 0 ΄ ΅ᎏ͙3ᎏෆ3 doppia
132 (5x Ϫ 1)x ϩ (x Ϫ 1)(x ϩ 1) ϭ 0 ΄ ΅Ϫ ᎏ31ᎏ; ᎏ21ᎏ
2 8 16 0 4΄ ΅Ϫ
123 x ϩ ᎏ5ᎏ x ϩ ᎏ2ᎏ5 ϭ ᎏ5ᎏ doppia 133 x(x ϩ 2) ϩ 9 ϭ 8x ϩ 1 [2; 4]
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RIEPILOGO Le equazioni numeriche intere ESERCIZI
134 (2x ϩ 1)2 Ϫ x 2 Ϫ (x Ϫ 1)2 ϭ (2x ϩ 3)(2x Ϫ 3) ϩ 1 [Ϫ 1; 4]
135 (2 Ϫ 3x)(x Ϫ 2) ϩ 3(x Ϫ 1)2 ϭ (x Ϫ 1)(x ϩ 3) [Ϯ ͙2ෆ]
136 (1 Ϫ x)2 ϭ 2x ϩ ᎏx2 Ϫ 32ᎏx ϩ 7 ΄ ΅ᎏ5 Ϯ 23ᎏ͙ෆ5
137 2 ϩ 1 x (x ϩ 2) Ϫ 5x ϩ 1 ϭ ᎏ3xᎏ (x Ϫ 5) [5 Ϯ 2 ͙6ෆ]
ᎏ3ᎏ x ᎏ2ᎏ ᎏ6ᎏ
138 (2 Ϫ 3x)2 Ϫ (2x ϩ 1)2 ϭ 4(2 Ϫ 4x) [Ϯ 1]
139 x Ϫ (2x Ϫ 1)2 ϩ ᎏ12ᎏ ϭ ᎏ3 Ϫ2ᎏx Ϫ (3x Ϫ 1)(x Ϫ 2) ΄ ΅0; Ϫ ᎏ23ᎏ
΄ ΅0; ᎏ23ᎏ5
140 (3x Ϫ 4)2 Ϫ 3x 2 ϭ 2(8 ϩ 13x)
[0; Ϫ 2 ͙6ෆ]
141 x(x ϩ 2 ͙2ෆ) ϩ 2 ͙ෆ3x(1 ϩ ͙ෆ2) ϭ 2x(͙ෆ3 ϩ ͙2ෆ)
΄ ΅2 ͙ෆ2
142
2 2 Ϫ 2x (x Ϫ 1) ϭ 2 2 Ϯ ᎏ3ᎏ
x ϩ ᎏ3ᎏ x Ϫ ᎏ3ᎏ x Ϫ ᎏ3ᎏ
[Ϯ 1]
143 x(1 Ϫ 5x) ϩ 3 ϭ [5 Ϫ (2 ϩ 5x)]x Ϫ 2(x ϩ 1) Ϫ (x 2 Ϫ 6)
144 2(x 2 ϩ 2) Ϫ 2(x ϩ 3)(x Ϫ 3) Ϫ 4 ϭ 7x 2 Ϫ (3x ϩ 4)2 ϩ 34 [0; Ϫ 12]
145 2x (x Ϫ 5) Ϫ (2x Ϫ 3)(x ϩ 1) ϭ x (2 Ϫ x) Ϫ 15 [2; 9]
146 (x ϩ 3)(3x Ϫ 1) Ϫ 2[2x2 Ϫ x(x Ϫ 2)] ϩ 6 ϭ 0
147 x(x Ϫ 1)(x Ϫ 2) Ϫ (x ϩ 2)(x2 Ϫ 4) ϩ 2(x ϩ 20) ϭ 0 [Ϫ3; Ϫ1]
148 (x Ϫ 3)2 ϩ 6(x ϩ 2) ϭ (2x Ϫ 1)(x ϩ 4) ϩ 37
΄ ΅Ϫ ᎏ15ᎏ2 ; 4
[Ϫ3; Ϫ4]
149 (x Ϫ 4)(x ϩ 8) ϩ 20 ϭ 0 [Ϫ 6; 2]
150 x(4 Ϫ x) Ϫ (5 Ϫ x)(x ϩ 5) ϭ x(x ϩ 1) [impossibile]
151 (x ϩ 3)(2x Ϫ 1) Ϫ 3[2x2 ϩ x(x Ϫ 6)] ϭ 13 ΄ ΅1;16
ᎏ7ᎏ
152 (x ϩ 2)3 Ϫ (x Ϫ 2)3 ϭ 1 ϩ (4x ϩ 1)(4x Ϫ 1) [Ϯ 2]
153 ᎏ2xᎏ (2x ϩ ͙3ෆ) ϩ ᎏx ͙2ᎏෆ3 ϩ ᎏ43ᎏ ϭ 0
΄ ΅Ϫ ᎏ͙ᎏ2ෆ3 doppia
154 x ᎏx Ϫ2ᎏ1 ϭ ᎏ23ᎏ (3 Ϫ x) ϩ ᎏ13ᎏ ΄ ΅2; Ϫ ᎏ37ᎏ
155 (x Ϫ 6)(x ϩ 1) Ϫ (2 Ϫ x)(x ϩ 3) ϭ 36 [Ϫ 4; 6]
BRAVI SI DIVENTA ᭤ E38
156 ᎏ2x ͙Ϫᎏෆ3͙ෆ3 ϩ 2x ϭ (2x Ϫ 1)(1 ϩ ͙ෆ3 x) Ϫ 6
ᎏ͙ᎏෆ3
539
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ESERCIZI CAPITOLO 10. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
157 ᎏ(3x Ϫ 1)2ᎏ(3x ϩ 2) Ϫ (x Ϫ 4)2 ϩ 3(1 ϩ x) ϭ ᎏϪ 6x2ᎏϩ 10 ΄ ΅Ϫ ᎏ37ᎏ8 ; 1
158 ᎏ2(3x 6ϩᎏ10) Ϫ x 2 ϭ ᎏ3x 3ϩᎏ1
159 ᎏ6 Ϫ5ᎏ3x ϩ ᎏx21ϩ5ᎏ2 Ϫ x ϭ ᎏ4 Ϫ3ᎏx2 [Ϯ ͙ෆ3 ]
160 ᎏ(x Ϫ 2)3ᎏ(x ϩ 2) ϩ ᎏ191ᎏ ϭ Ϫ ᎏ4 Ϫ9ᎏ2x
[0; 4]
161 (x Ϫ 1)3 ϭ x2(x Ϫ 1) Ϫ (x ϩ 3)(x Ϫ 2) Ϫ 19
[impossibile]
[Ϫ2; 6]
162 (x ϩ 1)[2(3x Ϫ 1) Ϫ (4 ϩ 5x)] ϭ 2(x Ϫ 1)(x ϩ 2) ϩ 4 [Ϫ6; Ϫ1]
163 ᎏ21ᎏ (x Ϫ 4)2 ϩ ᎏ31ᎏ (x Ϫ 6) ϭ ᎏ23ᎏ
164 (x Ϫ 2)(x2 ϩ 2x ϩ 4) ϩ (x Ϫ 5)2 ϭ x2(x Ϫ 1) ΄ ΅2; ᎏ13ᎏ6
[impossibile]
165 (x2 Ϫ x)(x2 ϩ x) ϭ (x2 Ϫ 3)2 ϩ 2x ϩ 42 ΄ ΅Ϫ3;17
ᎏ5ᎏ
166 (3x ϩ 1)(x ϩ 3) ϭ 1 (1 Ϫ x )(7x ϩ 9) [Ϫ 2; 0]
ᎏ3ᎏ
167 2 x Ϫ ᎏ12ᎏ (x Ϫ 1) ϭ 3(x ϩ 1) x Ϫ ᎏ31ᎏ ϩ 2 [Ϫ 5; 0]
168 ᎏ125ᎏx ϩ ᎏx2 ϩ6ᎏx ϭ ᎏ(x ϩ 21)0(ᎏx ϩ 1) [Ϯ ͙ෆ3 ]
169 2(x Ϫ 1) Ϫ ᎏ45ᎏ x ϭ ᎏ3 Ϫ4ᎏ5x Ϫ 2 ᎏ21ᎏ x Ϫ 1 2 ΄ ΅Ϯ ᎏ͙2ᎏෆ6
170 ᎏ2x4Ϫᎏ3 ϩ ᎏx Ϫ2ᎏ5 x Ϫ ᎏ3 Ϫ2ᎏx ϭ x 2 Ϫ ᎏx ϩ2ᎏ4 ϩ ᎏ55 Ϫ8ᎏ3x [0; 11]
171 ᎏ32ᎏ ᎏ6 ϩ2ᎏx Ϫ ᎏx Ϫ4ᎏ3 ϭ ᎏ(x Ϫ12ᎏ2)2 Ϫ ᎏ3xᎏ ϩ ᎏ16ᎏ [Ϫ2; 12]
172 ᎏ13ᎏ(5x Ϫ 3)(2 ϩ x) Ϫ x ᎏ3xᎏ Ϫ 1 ϭ ᎏ21ᎏ(x ϩ 3)(2 Ϫ 3x) ΄ ΅Ϫ3; ᎏ1170ᎏ
173 3x (x Ϫ 2) Ϫ 2x (2x Ϫ 3) ϭ (3 Ϫ x)(x Ϫ 1) Ϫ 6 Ϫ (2x Ϫ 3)2 ϩ 18 [0; 4]
174
ᎏ(2 Ϫ x)6(ᎏ3x Ϫ 1) Ϫ ᎏ4xᎏ ϩ ᎏ2x 2ϩᎏ1 2 ᎏ2(3 Ϫ3ᎏx)x 1 Ϫ ᎏ5x1Ϫ2ᎏ13 [Ϯ 1]
ᎏ3ᎏ
ϭ ϩ x ΄ ΅0; ᎏ21ᎏ
175 (x Ϫ 2)(x ϩ 3) ϩ ᎏ(x ϩ 1)3 Ϫ4ᎏ(x Ϫ 2)3 ϭ ᎏx2 Ϫ2ᎏ4 Ϫ ᎏx ϩ 74ᎏϪ 3x2 [impossibile]
176 (x Ϫ 1)3 ϩ ᎏ32ᎏ [x(x ϩ 6) ϩ 1] ϭ (2 ϩ x)3 [0; ͙ෆ2 ϩ 1]
177 ᎏx ϩ2ᎏ͙ෆ2 Ϫ ᎏx2 Ϫ 22ᎏϩ ͙2ෆ ϭ ᎏ͙͙2ෆ ᎏϪෆ2 x
΄ ΅ᎏ3 ͙ෆ3 Ϯ4ᎏ͙ෆ19
178 (͙3ෆx Ϫ 1)2 Ϫ ͙3ෆ(͙6ෆx ϩ 1) ϭ x(͙3ෆ ϩ x) Ϫ ͙3ෆ(1 ϩ ͙ෆ6x)
[impossibile]
179 (4 Ϫ 3x)2 Ϫ (x ϩ 2)(2x ϩ 3) Ϫ 6 ϭ 1 Ϫ x (1 ϩ x) Ϫ 18x Ϫ 12x
540
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 2. La risoluzione di un’equazione di secondo grado ESERCIZI
■ Le equazioni numeriche fratte Nel sito: ᭤ 8 esercizi di recupero
ESERCIZIO GUIDA
180 Risolviamo l’equazione ᎏ3xxϪϪᎏ12 ϭ ᎏx ϩxᎏ1 Ϫ 3 Ϫ ᎏ1 Ϫ2ᎏxx 2 .
Scriviamo le condizioni di esistenza: 1 Ϫ x 2 0 → (1 Ϫ x )(1 ϩ x ) 0 →
→ x 1 ∧ x Ϫ 1.
x Ϫ 1 0 → x 1; C.E.: x 1 ∧ x Ϫ 1.
x ϩ 1 0 → x Ϫ 1;
Riduciamo i due membri allo stesso denominatore:
ᎏ((3xxϪϪ12))(ᎏ(xxϩϩ11)) ϭ ᎏx (x Ϫ(1x)ϪᎏϪ13)((xx2ϩϪᎏ11)) ϩ 2x .
Moltiplichiamo entrambi i membri per il denominatore comune e riduciamo a forma normale:
(3x Ϫ 2)(x ϩ 1) ϭ x (x Ϫ 1) Ϫ 3(x 2 Ϫ 1) ϩ 2x
3x 2 ϩ 3x Ϫ 2x Ϫ 2 ϭ x 2 Ϫ x Ϫ 3x 2 ϩ 3 ϩ 2x
5x 2 Ϫ 5 ϭ 0.
Risolviamo l’equazione di secondo grado incompleta:
x 2 Ϫ 1 ϭ 0 → x 2 ϭ 1 → x ϭ Ϯ ͙ෆ1 ϭ Ϯ 1.
Le soluzioni sono x 1 ϭ Ϫ 1 e x 2 ϭ ϩ 1. Esse non sono compatibili con le condizioni di esistenza; pertanto
l’equazione data è impossibile.
Risolvi le seguenti equazioni. 6 213 [5; Ϫ2]
187 ᎏx Ϫᎏ1 Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏ2ᎏ ϩ ᎏᎏ
ᎏ1ᎏ ᎏx ϩ4ᎏ1 x x
181 x ϩ 1 ϭ [1 doppia]
1 ΄ ΅Ϫ1
ᎏx 3ϩᎏx 2 ᎏ3ᎏ 188 ᎏᎏ Ϫ 2 ϭ 3x 1; ᎏ3ᎏ
x x
182 ϭ [2; Ϫ 1]
1
ᎏ3x ϩᎏ1 2 4 189 ᎏᎏ ϭ 2 Ϫ x [1 doppia]
x ᎏx ϩᎏ1 ᎏx2 ϩᎏx x [impossibile]
183 ϩ ϭ ͙ෆ3
ᎏx Ϫxᎏ1 ᎏᎏ
[Ϫ 1 Ϫ ͙2ෆ ; Ϫ1 ϩ ͙2ෆ] 190 ϭ
x
184 ᎏ1ᎏ Ϫ 3 ϭ ᎏ1x Ϫϩᎏ2x ΄ ΅ᎏ12ᎏ ; 1 191 ᎏ(xxϩϪᎏ11)2 Ϫ ᎏ9(x4ϩᎏ1) ϭ 2 Ϫ x [3; Ϫ7]
x
[Ϫ 3; 6] 192 ᎏx2 Ϫx Ϫxᎏϩ1 1 ϭ ᎏx Ϫ1ᎏ1
185 ᎏ5xᎏ ϭ ᎏxx Ϫϩᎏ22 Ϫ ᎏ54ᎏ [0; 1 non accettabile]
[Ϫ10; 5]
11 1 193 Ϫ ᎏx4ϩxᎏ22 ϩ ᎏx Ϫ2ᎏ2 ϭ ᎏ5xϪ2 Ϫᎏ4x43 ΄ ΅Ϫ ᎏ21ᎏ ; ᎏ41ᎏ
186 ᎏᎏ Ϫ ᎏ1ᎏ0 ϭ ᎏx ϩᎏ5
x
194 ᎏx Ϫxᎏ3 Ϫ 4 ϭ ᎏ2x12 ϪϪᎏ9x [Ϯ 3 non accettabili: impossibile]
ᎏx ϩᎏ3
[3; 1 non accettabile]
195 ᎏx2 Ϫx ϩ2ᎏx3ϩ 1 ϭ ᎏxx ϪϪᎏ12 ϩ 4
ᎏ(x Ϫᎏ1)2 BRAVI SI DIVENTA ᭤ E39
3 11 2
196 ᎏ2x ϩᎏ4 Ϫ ᎏ1 Ϫᎏ2x ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏx 2 ϩᎏ2x
x
541
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ESERCIZI CAPITOLO 10. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
197 ᎏx Ϫxᎏ5 Ϫ ᎏ23ᎏx ϭ ᎏ21x52 Ϫϩᎏ170xx [impossibile]
198 3 ϩ ᎏx Ϫxᎏ3 ϩ 2 ϭ ᎏ129 ϪϪᎏ1x12 x [impossibile]
ᎏx2 Ϫᎏ9 ᎏ3 ϩᎏx
199 9 Ϫ ᎏ2xx Ϫϩᎏ122 ϭ 1 [Ϫ3; 4]
ᎏx2 ϩᎏ6x ᎏ2ᎏx
2 2 21 [2; 2]
200 ᎏ3(x ϩᎏ2) ϩ ᎏx ϩᎏ2 ϭ ᎏ3ᎏx ϩ ᎏ3ᎏ
201 ᎏx Ϫxᎏ2 Ϫ ᎏx ϩ4ᎏ2 ϭ 8 [0; 2 non accettabile]
ᎏx2 Ϫᎏ4
202 ᎏ12ᎏ ϩ ᎏ2xxϩϩᎏ12 ϭ ᎏ3xxϩᎏ3 [0; Ϫ 2]
203 ᎏ2x2Ϫᎏx 1 Ϫ ᎏ48xx22 Ϫϩᎏ31 ϭ ᎏ2x3ϩᎏ1 [0; Ϫ 1]
204 ᎏx Ϫxᎏ1 ϩ ᎏ1ᎏ ϩ 1 ϭ ᎏx2 Ϫxᎏx [Ϯ ͙ෆ2]
x ᎏx Ϫᎏx2
205 2x ϩ ͙2ෆ ϭ ᎏ2 Ϫ2x͙ϩ2ෆᎏ͙Ϫෆ22x ΄ ΅ᎏ1 Ϫ2ᎏ͙2ෆ ; ᎏϪ 2 Ϫ2ᎏ͙2ෆ
΄ ΅ᎏ196ᎏ ; 1
206 ᎏ23xx ϩϪᎏ18 Ϫ ᎏ42(xx ϩϪᎏ31) ϭ ᎏ1403ᎏ
207 ᎏ3x ϩϩᎏ1x (x Ϫ 2) ϭ ᎏx Ϫxᎏ2 3 Ϫ ᎏ3x Ϫ32Ϫ(ᎏxxϩ 3) [Ϫ 3; 2]
ᎏx 7ϩᎏx 1 2 3 ᎏ5x(2xxϪ2 Ϫᎏ1)2ϩ 6 ΄ ΅1
ᎏx2 Ϫᎏ1 ᎏ2x Ϫᎏ2
ᎏ3ᎏ
208 ϩ ϩ ϭ doppia
209 2 ϩ ᎏxx Ϫϩᎏ72 Ϫ ᎏ142xxϩᎏϩ81 ϭ ᎏ58x4Ϫx21Ϫ4ᎏx126ϩ 67 1΄ ΅Ϫ; 1
ᎏx2 Ϫᎏ4 ᎏ2ᎏ ᎏ3ᎏ
■ Le equazioni letterali Nel sito: ᭤ 13 esercizi di recupero
ESERCIZIO GUIDA
210 Risolviamo le equazioni a coefficienti letterali, nell’incognita x, ed eseguiamo la discussione delle soluzio-
ni al variare della lettera in R: a) 2x2 Ϫ ax Ϫ 3a2 ϭ 0; b) kx2 Ϫ 2x(k ϩ 1) ϩ 4 ϭ 0.
a) Scriviamo i coefficienti, indicandoli con lettere maiuscole per non fare confusione:
A ϭ 2; B ϭ Ϫ a; C ϭ Ϫ 3a 2.
Calcoliamo ⌬ ϭ B 2 Ϫ 4AC : ⌬ ϭ (Ϫ a)2 Ϫ 4 и 2 и (Ϫ 3a 2) ϭ a 2 ϩ 24a 2 ϭ 25a 2.
Poiché ⌬ Ն 0, l’equazione ha due soluzioni reali, che calcoliamo con la formula risolutiva:
x ϭ ᎏa Ϯ2͙иᎏ2ෆ25ෆaෆ2 ϭ ᎏa Ϯ4ᎏ5a ϭ ᎏ64ᎏa ϭ ᎏ23ᎏ a
Ϫ ᎏ44ᎏa ϭ Ϫ a
Le soluzioni dell’equazione sono x 1 ϭ ᎏ23ᎏ a e x 2 ϭ Ϫ a. Esse sono distinte se a
0, mentre sono coinci-
denti se a ϭ 0 (x1 ϭ x 2 ϭ 0). Infatti, per a ϭ 0, il discriminante si annulla.
542
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 2. La risoluzione di un’equazione di secondo grado ESERCIZI
b) Poiché il coefficiente di x2 è letterale, esaminiamo due casi.
● Se k ϭ 0, sostituendo nell’equazione otteniamo:
0 и x 2 Ϫ 2x(0 ϩ 1) ϩ 4 ϭ 0, Ϫ 2x ϩ 4 ϭ 0, x ϭ 2.
● Se k 0, calcoliamo il ⌬ :
ᎏ4ᎏ
ᎏ⌬4ᎏ ϭ (k ϩ 1)2 Ϫ 4k ϭ k 2 ϩ 2k ϩ 1 Ϫ 4k ϭ k 2 Ϫ 2k ϩ 1 ϭ (k Ϫ 1)2.
⌬ ⌬
Discutiamo i due casi: ᎏ4ᎏ 0, ᎏ4ᎏ ϭ 0.
– Se ⌬ 0, ossia k 1, l’equazione ha due soluzioni distinte:
ᎏ4ᎏ
ᎏk ϩ 1 ϩᎏk Ϫ 1 ϭ 2
ϭ k ϩ 1 Ϯ (k Ϫ 1) k
x ᎏᎏ ϭ
k ᎏk ϩ 1 Ϫᎏk ϩ 1 2
k ϭ ᎏkᎏ.
– Se ⌬ ϭ 0, ossia k ϭ1, l’equazione ha due soluzioni coincidenti.
ᎏ4ᎏ
ᎏk ϩᎏ1 ᎏ1 ϩ1ᎏ1
x1 ϭ x2 ϭ k ϭ ϭ 2.
In sintesi:
● Se k ϭ 0, l’equazione ha una soluzione x ϭ 2.
● Se k ϭ 1, l’equazione ha due soluzioni coincidenti x1 ϭ x2 ϭ 2. ᎏ2ᎏ.
● Se k 0 ∧ k 1, l’equazione ha due soluzioni distinte: x1 ϭ 2e k
x2 ϭ
211 Considera l’equazione nell’incognita x, ax2 ϩ (1 Ϫ a)x ϭ 1. Discuti e trova le soluzioni quando a assume i se-
guenti valori: a ϭ 0, a ϭ Ϫ 1, a ϭ ͙ෆ3 Ϫ 1, a ϭ 2, a ϭ ͙ෆ2.
΄ ΅1; 1 doppia; Ϫ ᎏ12ᎏ (͙3ෆ ϩ 1), 1; Ϫ ᎏ12ᎏ , 1; Ϫ ᎏ͙2ᎏෆ2 , 1
Risolvi le seguenti equazioni nell’incognita x eseguendo la discussione quando è necessaria.
212 x 2 ϩ xb Ϫ 6b2 ϭ 0 [Ϫ 3b; 2b]
213 x 2 Ϫ kx Ϫ 20k2 ϭ 0 [Ϫ 4k; 5k]
214 x 2 ϩ kx ϩ k2 ϭ 0 [k ϭ 0 : 0 doppia; k 0: impossibile]
215 5a2x 2 Ϫ 20a3x ϭ 0 [a ϭ 0 : indet.; a 0 : 0; 4a]
216 2x 2 Ϫ 11ax ϩ 14a2 ϭ 0
217 5mx 2 ϭ 0 (m 0) ΄ ΅2a; ᎏ72ᎏ a
[0 doppia]
218 x 2 Ϫ 2ax Ϫ 2x ϭ 0 [0; 2(a ϩ 1)]
219 x 2 Ϫ 10ax ϩ 25a2 ϭ 0 [5a doppia]
220 2kx2 ϩ kx Ϫ x ϭ 0, (k 0)
΄ ΅0; ᎏ12Ϫᎏkk
543
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ESERCIZI CAPITOLO 10. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
221 Ϫ 4x 2 Ϫ 12ax Ϫ 9a2 ϭ 0 ΄ ΅Ϫ3
222 x 2 Ϫ 12kx ϩ 36k2 ϭ 0 ᎏ2ᎏ a doppia
223 x 2 ϩ 3k2 ϭ 0
224 ᎏ29ᎏ a 2 ϩ ᎏa3ᎏ x Ϫ x 2 ϭ 0 [6k doppia]
225 x 2 Ϫ 2kx Ϫ 3k2 ϭ 0
226 4ax 2 Ϫ a3 ϭ 0 (a 0) [impossibile]
227 (a Ϫ 2)x 2 ϭ 0 (a 2)
228 ᎏb6ᎏ2 Ϫ ᎏ5b6ᎏx ϩ x 2 ϭ 0 ΄ ΅Ϫ ᎏa3ᎏ ; ᎏ23ᎏ a
229 2a͙2ෆx 2 ϭ 0 (a 0)
230 2x 2 Ϫ 4bx ϩ 3b2 ϭ 0 [Ϫ k; 3k]
231 3x 2 Ϫ 8ax ϩ 4a2 ϭ 0
232 36x 2 ϩ 6ax ϭ 0 ΄ ΅Ϯ ᎏa2ᎏ
233 2a2 Ϫ ax Ϫ x 2 ϭ 0
234 x 2 ϩ 8a2x ϩ 15a4 ϭ 0 [0 doppia]
235 a2x2 Ϫ 3ax ϩ 2 ϭ 0
236 5k2x2 Ϫ 125k3 ϭ 0 ΄ ΅ᎏb3ᎏ ; ᎏb2ᎏ
237 x 2 ϩ 3ax Ϫ 1 Ϫ 3a ϭ 0
238 6b2x2 Ϫ 3bx ϭ 0 [0 doppia]
[b 0, impossibile; b ϭ 0, 0 doppia]
΄ ΅ᎏ23ᎏ a; 2a
΄ ΅0; Ϫ ᎏa6ᎏ
[a; Ϫ 2a]
[Ϫ 3a2; Ϫ 5a2]
΄ ΅a ϭ 0: impossibile; a 0: ᎏ1ᎏ, 2
ᎏᎏ
aa
[k ϭ 0: indet.; k Ͼ 0: Ϯ 5͙ෆk; k Ͻ 0: impossibile]
[a Ϫ ᎏ23ᎏ: 1, Ϫ (3a ϩ 1); a ϭ Ϫ ᎏ23ᎏ: 1 doppia]
΄ ΅b ϭ 0: indet.; b 0: 0, ᎏ21ᎏb
BRAVI SI DIVENTA ᭤ E40
239 ᎏ(aa2ϪϪᎏ24)ax 2 ϩ ᎏxᎏ ϭ ᎏa Ϫ2ᎏ4
a
240 ΄ ΅Ϫ ᎏ2a Ϫᎏ1 ; ᎏ1 Ϫᎏa
x2Ϫ ᎏ2ᎏ Ϫ 3 x Ϫ ᎏ3ᎏ ϩ 1 ϩ 2 ϭ 0 (a 0) aa
a a ᎏaᎏ2 ΄ ΅a 0: Ϫ ᎏ35ᎏ , 1
[a 0: 0; a2 Ϫ a]
241 ᎏ1ᎏ
x 2 Ϫ ᎏ2x 3ϩᎏ1 Ϫ ᎏx Ϫᎏ2a ϭ x 2x Ϫ a [a Ϯ 3: 0; Ϫ a]
a
242 ᎏaxᎏ22 ϭ x Ϫ ᎏxᎏ
a
243 ᎏ3 Ϫxᎏa Ϫ 2 ϭ ᎏx2 Ϫa2aϪxᎏϪ9 12 ϩ ᎏax Ϫϩᎏ23
ᎏa Ϫᎏ3
544
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 3. La somma e il prodotto delle radici ESERCIZI
3. La somma e il prodotto delle radici –ᮣ Teoria a pag. 521
244 VERO O FALSO? VF
VF
a) La somma delle radici dell’equazione 2x2 Ϫ 4x Ϫ 1 ϭ 0 è 2. VF
b) Il prodotto delle radici dell’equazione 3x2 Ϫ x Ϫ 2 ϭ 0 è 2. VF
c) Nell’equazione x2 Ϫ 6x ϭ 0 la somma e il prodotto delle radici valgono rispettivamente 6 e 0. VF
d) Se nell’equazione ax2 ϩ bx ϩ c ϭ 0 la somma delle radici è uguale al loro prodotto, allora b ϭ c.
e) In un’equazione pura la somma e il prodotto delle soluzioni valgono sempre 0.
ESERCIZIO GUIDA
245 Senza risolvere le equazioni, calcoliamo per ognuna la somma e il prodotto delle radici, specificando se le
radici sono reali oppure non lo sono:
a) 3x 2 Ϫ 2x Ϫ 8 ϭ 0;
b) x 2 Ϫ x ϩ 1 ϭ 0.
a) Applichiamo le due formule s ϭ Ϫ ᎏbᎏ e p ϭ ᎏcᎏ, tenendo presente che a ϭ 3, b ϭ Ϫ 2, c ϭ Ϫ 8:
a a
s ϭ Ϫ ᎏϪ3ᎏ2 ϭ ϩ ᎏ32ᎏ ; p ϭ ᎏϪ3ᎏ8 ϭ Ϫ ᎏ38ᎏ .
Controlliamo se le radici sono reali, ossia se ⌬ Ն 0. In questo caso, poiché b è un numero pari, calcoliamo
⌬ ᎏ2bᎏ 2
ᎏ4ᎏ ϭ Ϫ ac:
b) Ls ϭeᎏ⌬4rᎏϪaϭdiᎏcϪ(iϪ1ᎏs1o1nϭ)o2 Ϫϩrea31l,iи;p(lϪaϭlo8ᎏr)11oᎏϭϭso1m1ϩ,m⌬2a4ϭèϾ(ᎏ32Ϫ0ᎏ.,1il)2loϪro4pϭroϪdo3ttϽo è0Ϫ. ᎏ38ᎏ.
Le radici non sono reali; la loro somma e il loro prodotto sono entrambi uguali a 1.
Senza risolvere le equazioni seguenti nell’incognita x, calcola per ognuna la somma e il prodotto delle radici,
specificando se le radici sono reali.
246 x 2 ϩ 3x ϩ 2 ϭ 0; 1 Ϫ 3x Ϫ 4x 2 ϭ 0. ΄ ΅s ϭ Ϫ 3; p ϭ 2; s ϭ Ϫ ᎏ43ᎏ ; p ϭ Ϫ ᎏ41ᎏ
247 x 2 ϩ 2x Ϫ 15 ϭ 0;
248 Ϫ x 2 ϩ 5x Ϫ 6 ϭ 0; 7x 2 Ϫ 10x ϩ 3 ϭ 0. ΄ ΅sϭ Ϫ 2; p ϭ Ϫ 15; s ϭ ϩ 10 ; p ϭ 3
249 4x 2 ϩ 8x ϩ 3 ϭ 0; 2x 2 Ϫ ᎏ12ᎏ1 x ϩ 3 ϭ 0. ᎏ7ᎏ ᎏ7ᎏ
250 3x 2 Ϫ 5x ϩ 3 ϭ 0; Ϫ 2x 2 Ϫ 7x Ϫ 5 ϭ 0.
΄ ΅s ϭ ϩ 5; p ϭ 6; s ϭ ᎏ14ᎏ1 ; p ϭ ᎏ23ᎏ
7x 2 ϩ 48x Ϫ 7 ϭ 0.
΄ ΅s ϭ Ϫ 2; p ϭ ᎏ43ᎏ ; s ϭ Ϫ ᎏ27ᎏ ; p ϭ ᎏ25ᎏ
΄ ΅s ᎏ35ᎏ ; 48
ϭ p ϭ 1, radici non reali; s ϭ Ϫ ᎏ7ᎏ ; p ϭ Ϫ 1
251 x 2 ϩ 3ax ϩ 2a 2 ϭ 0 [s ϭ Ϫ3a ; p ϭ 2a 2]
545
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ESERCIZI CAPITOLO 10. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
252 8x 2 Ϫ 3kx ϩ k 2 ϭ 0 ΄ ΅s ϭ ᎏ38ᎏk ; p ϭ ᎏk8ᎏ2 , radici non reali se k 0
253 12x 2 ϩ 7x ϭ 1 Ϫ ͙ෆ2 x ΄ ΅s ϭ Ϫ ᎏ7 ϩ1ᎏ2͙ෆ2 ; p ϭ Ϫ ᎏ11ᎏ2
254 ASSOCIA a ogni equazione la somma s e il prodotto p delle soluzioni.
1. x2 Ϫ 6x ϩ 4 ϭ 0 A. s ϭ 6, p ϭ 2.
B. s ϭ 6, p ϭ ᎏ21ᎏ.
2. 2x 2 Ϫ 12x ϩ 1 ϭ 0 C. s ϭ 6, p ϭ 4.
D. s ϭ Ϫ 6,
3. x 2 ϩ 6x ϩ 4 ϭ 0 p ϭ 4.
4. 1 x 2 Ϫ 3x ϩ 1 ϭ 0
ᎏ2ᎏ
Determina quanto richiesto, note le seguenti informazioni per l’equazione ax 2 ؉ bx ؉ c ؍0.
255 c ϭ 4 e x1 и x2 ϭ 20. a ϭ ?
256 a ϭ 3 e x1 и x2 ϭ 12. c ϭ ?
257 a ϭ Ϫ ᎏ31ᎏ e x1 ϩ x2 ϭ 21. b ϭ ?
■ Dalle radici all’equazione
ESERCIZIO GUIDA
258 Scriviamo l’equazione di secondo grado in forma normale che ha come radici:
x 1 ϭ Ϫ 2 e x 2 ϭ ᎏ31ᎏ .
Calcoliamo la somma s e il prodotto p delle radici:
s ϭ Ϫ 2 ϩ ᎏ31ᎏ ϭ Ϫ ᎏ35ᎏ; p ϭ Ϫ 2 и ᎏ31ᎏ ϭ Ϫ ᎏ32ᎏ.
L’equazione di secondo grado avente come somma delle soluzioni s e come prodotto p è x 2 Ϫ sx ϩ p ϭ 0;
quindi:
x 2 ϩ ᎏ35ᎏ x Ϫ ᎏ32ᎏ ϭ 0 → 3x 2 ϩ 5x Ϫ 2 ϭ 0.
Per ogni coppia di valori scrivi l’equazione di secondo grado in forma normale che ha questi valori come radici.
259 1; 2. Ϫ 3; Ϫ 1. 2; Ϫ 5. 1; 1.
260 3; Ϫ ᎏ31ᎏ . ᎏ21ᎏ ; Ϫ 6. Ϫ ᎏ32ᎏ ; Ϫ ᎏ32ᎏ . ᎏ23ᎏ ; Ϫ 1.
261 a; 2a. Ϫ a; Ϫ a. ᎏ23ᎏ a; Ϫ ᎏ51ᎏ a. 2; ͙ෆ3.
262 ͙ෆ2; Ϫ ᎏ͙1ᎏෆ2 . ͙ෆ5; ͙ෆ5.
Ϫ ͙ෆ2; Ϫ ͙ෆ3. a ϩ b ; a Ϫ b.
546
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Paragrafo 3. La somma e il prodotto delle radici ESERCIZI
ESERCIZIO GUIDA
263 Determiniamo i due numeri che hanno come somma s ϭ 6 ͙ෆ2e come prodotto p ϭ 16.
Scriviamo l’equazione x 2 Ϫ sx ϩ p ϭ 0: x ϭ 3 ͙ෆ2 Ϯ ͙ෆ2 ϭ 3 ͙ෆ2 Ϫ ͙ෆ2 ϭ 2 ͙ෆ2
x 2 Ϫ 6 ͙ෆ2 x ϩ 16 ϭ 0. 3 ͙ෆ2 ϩ ͙ෆ2 ϭ 4 ͙ෆ2
Risolviamo l’equazione (infatti le radici sono i I numeri richiesti sono 2 ͙ෆ2 e 4 ͙ෆ2.
numeri richiesti):
ᎏ⌬4ᎏ ϭ (Ϫ 3 ͙ෆ2)2 Ϫ 1 и 16 ϭ 18 Ϫ 16 ϭ 2
Determina, se possibile, due numeri reali, conoscendo la loro somma s e il loro prodotto p.
264 s ϭ 0, p ϭ Ϫ 16. [Ϯ 4] 269 s ϭ 6, p ϭ 13. [impossibile]
265 s ϭ 0, p ϭ Ϫ 12. [Ϯ 2 ͙ෆ3] 270 s ϭ 2a, p ϭ a 2 Ϫ 1. [a Ϫ 1; a ϩ 1]
266 s ϭ 0, p ϭ Ϫ 2a 2. [Ϯ a ͙ෆ2] 271 s ϭ 1,
267 s ϭ 2, p ϭ 0. 272 s ϭ 2a ϩ 2, p ϭ 2 . ;΄ ΅1 2
268 s ϭ ᎏ31ᎏ , p ϭ 0. [0; 2] 273 s ϭ 1, ᎏ9ᎏ ᎏ3ᎏ
ᎏ3ᎏ
΄ ΅0; ᎏ31ᎏ
p ϭ a 2 ϩ 2a ϩ 1. [a ϩ 1; a ϩ 1]
p ϭ ͙ෆ2 Ϫ 2. [͙ෆ2; 1 Ϫ ͙ෆ2]
274 Scrivi l’equazione di secondo grado che ha per soluzioni i valori opposti delle soluzioni di
2x 2 Ϫ 5x Ϫ 1 ϭ 0, senza risolvere questa equazione.
Puoi generalizzare il risultato per l’equazione ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0?
Motiva la risposta. [2x 2 ϩ 5x Ϫ 1 ϭ 0; sì]
275 Senza risolvere l’equazione 2x 2 Ϫ 3x Ϫ 2 ϭ 0 scrivi l’equazione di secondo grado le cui soluzioni sono dop-
pie rispetto a quelle dell’equazione data. [x 2 Ϫ 3x Ϫ 4 ϭ 0]
■ Da una soluzione all’altra
ESERCIZIO GUIDA
276 Data l’equazione 2x2 ϩ 3x Ϫ 20 ϭ 0, calcoliamo una radice sapendo che l’altra vale Ϫ 4, senza utilizzare la
formula risolutiva.
Calcoliamo il prodotto delle radici: p ϭ Ϫ 20 ϭ Ϫ 10.
ᎏ2ᎏ
Se x 1 и x 2 ϭ Ϫ 10 e x 1 ϭ Ϫ 4, allora:
Ϫ 4 и x 2 ϭ Ϫ 10 → x 2 ϭ Ϫ 10 ϭ 5 .
ᎏϪᎏ4 ᎏ2ᎏ
La radice cercata è ᎏ25ᎏ .
547
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ESERCIZI CAPITOLO 10. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Per ognuna delle seguenti equazioni in x è indicata una soluzione: calcola l’altra, senza applicare la formula ri-
solutiva.
277 x 2 ϩ x Ϫ 6 ϭ 0; x ϭ Ϫ 3. [2] 281 4 Ϫ 3x Ϫ x 2 ϭ 0; x ϭ Ϫ 4. [1]
278 x 2 Ϫ 8x ϩ 15 ϭ 0; [3]
279 2x 2 ϩ 3x ϩ 1 ϭ 0; x ϭ 5. [Ϫ 1] 282 Ϫ 2x 2 Ϫ 5 x ϭ 3 ; x ϭ Ϫ 1 . ΄ ΅3
280 x 2 ϩ 2ax Ϫ 3a2 ϭ 0; x ϭ Ϫ ᎏ21ᎏ . [a] ᎏ2ᎏ ᎏ4ᎏ ᎏ2ᎏ
x ϭ Ϫ 3a. Ϫ ᎏ4ᎏ
283 16x Ϫ 4x 2 Ϫ 15 ϭ 0; x ϭ ᎏ52ᎏ .
΄ᎏ23ᎏ΅
284 2x 2 ϩ bx Ϫ b2 ϭ 0; x ϭ 1 b .
ᎏ2ᎏ [Ϫb]
285 COMPLETA la seguente tabella.
EQUAZIONE SOMMA DELLE RADICI PRODOTTO DELLE RADICI x1 x2
… … Ϫ2 Ϫ9
… … … …
x2 Ϫ 2x Ϫ 35 ϭ 0 … … … …
3x2 Ϫ x Ϫ 2 ϭ 0 …
Ϫ ᎏ16ᎏ … … …
…x2 ϩ x Ϫ 1 ϭ 0 Ϫ2
Ϫ24 … …
… ᎏ31ᎏ
Ϫ2 … …
…x2 Ϫ 7x ϩ 2 ϭ 0 …
… …
…0
286 VERO O FALSO? VF
VF
a) L’equazione 2x2 Ϫ 3x Ϫ 3 ϭ 0 ha la somma delle soluzioni uguale al loro prodotto. VF
b) Nelle equazioni spurie il prodotto delle soluzioni è sempre uguale a zero. VF
c) Se la somma delle soluzioni è zero, un’equazione di secondo grado è pura.
d) Se la somma delle soluzioni vale 4, nell’equazione ax2 ϩ bx ϩ c ϭ 0 si ha b ϭ Ϫ 4.
4. La scomposizione di un trinomio –ᮣ Teoria a pag. 522
di secondo grado
ESERCIZIO GUIDA
287 Scomponiamo in fattori, se è possibile, i seguenti trinomi di secondo grado:
a) 3x2 ϩ 14x Ϫ 5; b) 4x2 Ϫ 12ax ϩ 9a2; c) 2x2 Ϫ 6x ϩ 15.
Il polinomio di secondo grado ax 2 ϩ bx ϩ c è scomponibile in a (x Ϫ x 1) (x Ϫx 2), dove x 1 e x 2 sono le
eventuali soluzioni reali dell’equazione associata al polinomio, cioè di ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0.
a) L’equazione associata a 3x 2 ϩ 14x Ϫ 5 è:
3x 2 ϩ 14x Ϫ 5 ϭ 0.
Risolviamo l’equazione; poiché b ϭ 14 è pari, applichiamo la formula ridotta:
548
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Paragrafo 4. La scomposizione di un trinomio di secondo grado ESERCIZI
⌬ ϭ 72 Ϫ 3 и (Ϫ 5) ϭ 49 ϩ 15 ϭ 64 Ͼ 0; l’equazione ha due radici reali distinte.
ᎏ4ᎏ
ᎏϪ 73ᎏϪ 8 ϭ Ϫ 5
Ϫ 7 Ϯ ͙6ෆ4
x ϭ ᎏ3ᎏ ϭ
Ϫ7ϩ8 1
ᎏ3ᎏ ϭ ᎏ3ᎏ
Il trinomio dato si può scomporre così:
3x 2 ϩ 14x Ϫ 5 ϭ 3(x ϩ 5) x Ϫ ᎏ31ᎏ ϭ (x ϩ 5)(3x Ϫ 1).
b) L’equazione associata a 4x 2 Ϫ 12ax ϩ 9a 2 è:
4x 2 Ϫ 12ax ϩ 9a 2 ϭ 0.
Risolviamo l’equazione; poiché il secondo coefficiente B ϭ Ϫ 12a è pari, applichiamo la formula ridotta:
ᎏ⌬4ᎏ ϭ (Ϫ 6a)2 Ϫ 4 и 9a 2 ϭ 36a 2 Ϫ 36a 2 ϭ 0; l’equazione ha due radici reali coincidenti.
ᎏ64ᎏa 3
x ϭ ϭ ᎏ2ᎏ a.
Nel caso di radici coincidenti, la formula di scomposizione diventa:
Ax 2 ϩ Bx ϩ C ϭ A (x Ϫ x 1)(x Ϫ x 1) ϭ A (x Ϫ x 1)2
Il trinomio dato si può scomporre così:
4x 2 Ϫ 12ax ϩ 9a2 ϭ 4
x Ϫ ᎏ23ᎏ a 2 ᎏ2x Ϫ2ᎏ3a 2
ϭ4 ϭ (2x Ϫ 3a)2.
c) L’equazione associata al trinomio 2x 2 Ϫ 6x ϩ 15 è:
2x 2 Ϫ 6x ϩ 15 ϭ 0.
Risolviamo l’equazione:
⌬ ϭ (Ϫ 3)2 Ϫ 2 и 15 ϭ 9 Ϫ 30 ϭ Ϫ 21 Ͻ 0.
ᎏ4ᎏ
Poiché ⌬ Ͻ 0, l’equazione non ha radici reali; pertanto il trinomio dato è irriducibile.
ᎏ4ᎏ
Scomponi in fattori, quando è possibile, i seguenti trinomi.
288 x 2 ϩ x Ϫ 6 [(x ϩ 3)(x Ϫ 2)] 295 5x 2 ϩ 4x ϩ ᎏ54ᎏ ΄ ΅5 x ϩ ᎏ52ᎏ 2
289 x 2 ϩ 6x ϩ 5 [(x ϩ 1)(x ϩ 5)] 296 4a2 Ϫ 4a Ϫ 3 [(2a Ϫ 3)(2a ϩ 1)]
[(2x ϩ 1)(3x Ϫ 1)]
290 2x 2 Ϫ 4x ϩ 5 [irriducibile in R] 297 6x 2 ϩ x Ϫ 1
[(b Ϫ 2)(3b ϩ 1)]
291 x 2 Ϫ ax Ϫ 2a2 [(x ϩ a)(x Ϫ 2a)] 298 3b2 Ϫ 5b Ϫ 2 [(a ϩ 5)(2a Ϫ 1)]
[(3x ϩ 4)(x Ϫ 2)]
292 4x 2 ϩ 9k 2 [irriducibile in R] 299 2a2 ϩ 9a Ϫ 5
[(3x Ϫ 4a)2]
293 2x 2 Ϫ 3ax ϩ a2 [(x Ϫ a)(2x Ϫ a)] 300 3x2 Ϫ 2x Ϫ 8
294 3x 2 Ϫ 8ax ϩ 7a2 [irriducibile in R] 301 9x2 Ϫ 24ax ϩ 16a2
549
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 10. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
302 TEST Se le radici dell’equazione ax2 ϩ bx ϩ c ϭ 0 sono Ϫ3 e 2 e a ϭ 5, qual è la scomposizione in fattori del tri-
nomio ax2 ϩ bx ϩ c ?
A 5 (x Ϫ 3) (x ϩ 2)
B ᎏ51ᎏ (x ϩ 3) (x Ϫ 2)
C 5 (x ϩ 3) (x Ϫ 2)
D 5 (x Ϫ 5) (x ϩ 3) (x Ϫ 2)
E Non si può determinare.
■ La semplificazione di frazioni algebriche
ESERCIZIO GUIDA
303 Semplifichiamo la seguente frazione algebrica:
ᎏ2x23Ϫx Ϫ5ᎏx9Ϫ 3 .
Scomponiamo il trinomio al denominatore, risolvendo l’equazione corrispondente:
2x 2 Ϫ 5x Ϫ 3 ϭ 0 Ϫ ᎏ21ᎏ
3
x ϭ ᎏ5 Ϯ ͙ෆ24ᎏ5ෆϩෆ2ෆ4 ϭ 5Ϯ7 ϭ
ᎏ4ᎏ
2x 2 Ϫ 5x Ϫ 3 ϭ 2 x ϩ ᎏ21ᎏ (x Ϫ 3) ϭ (2x ϩ 1) (x Ϫ 3).
Le condizioni di esistenza della frazione algebrica sono:
C.E.: x 1 3.
Ϫ ᎏ2ᎏ ∧ x
Semplifichiamo la frazione algebrica:
ᎏ(2x ϩ3(x1)Ϫᎏ(x3)Ϫ 3) ϭ ᎏ2x 3ϩᎏ1 .
Semplifica le seguenti frazioni algebriche, esplicitando le condizioni di esistenza.
304 ᎏ62x2ϩϩᎏ62xx ΄ ΅x, x Ϫ ᎏ31ᎏ 308 ᎏ84bb2 ϪϪᎏ84bxx [2b, x b]
305 ᎏ284xx2 ϪϪᎏ61x8
306 ᎏ2x2 Ϫ4x1Ϫ2ᎏx1ϩ2 18 ΄ ΅ᎏ3ᎏ ᎏ43ᎏ 309 ᎏ2a28ϩx28Ϫxᎏ22Ϫa28ax ΄ ΅ᎏ22xx ϩϪᎏaa , x ᎏa2ᎏ
307 ᎏ2x24ϩx23Ϫᎏx9Ϫ 9 x
, x 0∧x
΄ ΅ᎏx Ϫ2ᎏ3 , x 3 ΄ ΅310 ᎏ63x02ϩϪ39xᎏxϪϪ61x52
Ϫ ᎏxx ϩϩᎏ12 , x Ϫ 1 ∧ x ᎏ52ᎏ
΄ ΅ᎏ2xxϩϩᎏ33 , x Ϯ ᎏ23ᎏ 311 ᎏ2aa22ϪϪ131ᎏaaϪϩ412 ΄ ΅ᎏ2aaϩϪᎏ13 , a 4 ∧ a ᎏ23ᎏ
550
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Paragrafo 4. La scomposizione di un trinomio di secondo grado ESERCIZI
312 ᎏ6x26Ϫx Ϫ1ᎏ1x12Ϫ 2 ΄ ΅ᎏ6x6ϩᎏ1 , x 2 ∧ x Ϫ ᎏ16ᎏ 315 ᎏx23xϪ2 Ϫ6x5ᎏ2xϩϪ93x ΄ ΅ᎏx2(xx Ϫϩᎏ31) , x 3 ∧ x Ϫ ᎏ21ᎏ
313 ᎏ4x42xϩ2 ϩᎏ4x2ϩx 1 ΄ ΅ᎏ2x2ϩᎏx 1 , x 0 ∧ x Ϫ ᎏ12ᎏ
316 ᎏ82xx22Ϫϩ6aaᎏxxϪϩaa22 ΄ ΅ᎏ4xxϩϪᎏaa , x Ϫ a ∧ x ᎏa2ᎏ
314 ᎏ2b3bϪ3 Ϫbᎏ2bϪ b 317 ᎏa2x24Ϫax42aϩᎏ2x8Ϫax12a2
΄ ΅ᎏ2bbϩϩᎏ11 , b 1 ∧ b Ϫ ᎏ12ᎏ ∧ b 0 ΄ ΅ᎏa(x4Ϫᎏx 6) , x Ϫ 2 ∧ x ϩ6 , a 0
Un’applicazione: le equazioni fratte di secondo grado
ESERCIZIO GUIDA
318 Risolviamo l’equazione:
ᎏ3x2 Ϫx ϩ7ᎏx7ϩ 2 ϩ 2 ϭ ᎏ3x ϪϪᎏ2x .
Per calcolare il denominatore comune, scomponiamo 3x 2 Ϫ 7x ϩ 2 in fattori. Determiniamo gli zeri del
polinomio:
3x2 Ϫ 7x ϩ 2 ϭ 0 → x ϭ ᎏ7 Ϯ ͙4ෆ6ᎏ9ෆϪෆ2ෆ4 ϭ ᎏ7 Ϯ6ᎏ5 ϭ 1
ᎏ3ᎏ
2
Quindi:
3x 2 Ϫ 7x ϩ 2 ϭ 3 x Ϫ ᎏ13ᎏ (x Ϫ 2) ϭ (3x Ϫ 1)(x Ϫ 2).
Ritornando all’equazione di partenza abbiamo:
C.E.: x Ϫ ᎏ13ᎏ 0→x ᎏ1ᎏ ; x Ϫ 2 0→x 2.
3
Utilizzando il m.c.m. dei denominatori, l’equazione diventa:
ᎏ(3x Ϫx1ϩ)ᎏ(7x Ϫ 2) ϩ ᎏ2((33xxϪϪ11)ᎏ)((xxϪϪ22)) ϭ ᎏ((33xϪϪx1)()ᎏ3(xx ϪϪ 21)) .
Eliminando il denominatore comune e svolgendo i calcoli nei numeratori, otteniamo:
x ϩ 7 ϩ 6x2 Ϫ 14x ϩ 4 ϭ 9x Ϫ 3 Ϫ 3x2 ϩ x
9x2 Ϫ 23x ϩ 14 ϭ 0 18 ϭ 1
x ϭ ᎏ23 Ϯ ͙ෆ5128ᎏෆ9 Ϫෆෆ5ෆ04 ϭ ᎏ23 Ϯ18ᎏ͙ෆ25 ϭ ᎏ231Ϯᎏ8 5 ϭ ᎏ1ᎏ8
Viste le C.E., le radici dell’equazione sono entrambe accettabili:
ᎏ21ᎏ88 ϭ ᎏ194ᎏ
x1 ϭ 1; x2 ϭ 14 .
ᎏ9ᎏ
551
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 10. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Risolvi le seguenti equazioni nell’incognita x.
319 ᎏxx22 ϪϪ 52ᎏxx ϩϩ 56 ϩ ᎏxx Ϫϩᎏ32 ϭ ᎏxx Ϫϩᎏ32 [0; 2 non accettabile]
[1; Ϫ 4]
320 2 ϩ 1 ϭ ᎏx25ϪϪxᎏxϪ2 6
ᎏx Ϫᎏ3 ᎏx ϩᎏ2 [2 non accettabile; 3]
[impossibile]
321 ᎏx3Ϫᎏx2 ϩ ᎏx ϩ4ᎏ3 Ϫ 2 ϭ ᎏ62ϪϪxᎏ21Ϫ6xx [Ϫ 2; Ϫ 3]
322 ᎏx2 Ϫ2 ϩ2ᎏxxϪ 3 ϩ ᎏ(x Ϫ 2)ᎏ(x32xϪ 2ᎏx Ϫ 3) ϭ ᎏx2 Ϫ1 ϩ5ᎏx2ϩx 6 ΄ ΅ᎏ38ᎏ ; 1 non accettabile
΄ ΅͙ෆ2
323 ᎏx2Ϫᎏx4 ϩ ᎏx Ϫ3ᎏ3 ϩ 4 ϭ ᎏ3x02ϩϪ57xxᎏ2 ϩϪ 1326x
Ϯ ᎏ8ᎏ
324 ᎏ2xxϩϪᎏ23 ϩ ᎏx1 ϩϪᎏ2x ϭ ᎏ2xx(21ϩϪxᎏxϪ) Ϫ2 9 [Ϫ 1; ϩ 1 non accettabile]
[a ϭ 0: impossibile; a 0: Ϫ 2a]
325 ᎏ38Ϫx Ϫᎏ164x ϩ ᎏ48Ϫx Ϫ1ᎏ61x2 ϭ ᎏ4 Ϫ121ᎏx6x 2 Ϫ 3
ᎏ8x ϩᎏ4 [0; 3 non accettabile]
[5a; Ϫ 2a, a 0]
326 ᎏ130ϪϪᎏ32xx ϩ ᎏ14 ϪϪᎏ23xx ϭ ᎏ13ᎏ ϩ ᎏ3x(22Ϫx2 Ϫ40ᎏ3xxϩϩ311)
327 ᎏx 2 Ϫaᎏ2ax Ϫ ᎏaᎏ ϭ ᎏxᎏ
x x Ϫa
328 ᎏ132xx ϪϪᎏ136 Ϫ ᎏ3x4ϩᎏx 3 ϩ ᎏ4x2 Ϫ4x8Ϫᎏx Ϫ2 12 ϭ ᎏ31ᎏ ϩ ᎏ1225(xx2ϪϪ2ᎏ2xx2 Ϫϩ 53)
329 ᎏx Ϫᎏ2a ϭ ᎏxxϪϪᎏ2aa ϩ 1 ϩ ᎏx21Ϫ7aa2 xϪᎏϪ2x22a2
xϩa
5. Le equazioni parametriche –ᮣ Teoria a pag. 523
Nel sito: ᭤ 13 esercizi di recupero VF
VF
330 VERO O FALSO? Data l’equazione 2x 2 Ϫ x Ϫ 21 ϭ 0: VF
VF
a) la somma delle soluzioni è 1. VF
b) le radici sono reali.
c) una soluzione è 3.
d) il prodotto delle radici è maggiore di Ϫ11.
e) la somma dei reciproci delle radici è ᎏ211ᎏ .
552
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 5. Le equazioni parametriche ESERCIZI
331 COMPLETA la tabella utilizzando le informazioni indicate, relative all’equazione ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0.
abc INFORMAZIONE
3 4… x1 ϭ x2
… 10 5 1
x1 ϭ ᎏᎏ
x2
1 … Ϫ 12 x1 ϭ Ϫ 3
1 … Ϫ4
x1 ϩ x2 ϭ 0
2 …… x1 ϭ 1 e x1 ϩ x2 ϭ Ϫ 3
ᎏᎏ
x2
… Ϫ4 … x1 ϩ x2 ϭ 2 e x1 x2 ϭ 6
ESERCIZIO GUIDA
332 Data l’equazione di secondo grado nell’incognita x:
(k Ϫ 1) x2 ϩ (2k Ϫ 5) x ϩ k ϩ 1 ϭ 0,
determiniamo per quali valori del parametro k sono soddisfatte le condizioni:
a) le soluzioni sono reali distinte;
b) le soluzioni sono reali coincidenti;
c) non esistono soluzioni reali;
d) una radice è nulla.
Affinché l’equazione sia di secondo grado, deve essere k Ϫ 1 0→k 1.
a) La condizione da imporre è ⌬ Ͼ 0.
Calcoliamo ⌬:
⌬ ϭ (2k Ϫ 5)2 Ϫ 4 (k Ϫ 1)(k ϩ 1) ϭ 4k 2 Ϫ 20k ϩ 25 Ϫ 4 (k 2 Ϫ 1) ϭ
ϭ 4k 2 Ϫ 20k ϩ 25 Ϫ 4k 2 ϩ 4 ϭ Ϫ 20k ϩ 29.
Imponiamo la condizione ⌬ Ͼ 0:
Ϫ 20k ϩ 29 Ͼ 0 → Ϫ 20k Ͼ Ϫ 29 → 20k Ͻ 29 → k Ͻ ᎏ22ᎏ09 .
b) Dobbiamo imporre la condizione ⌬ ϭ 0:
Ϫ 20k ϩ 29 ϭ 0 → k ϭ ᎏ22ᎏ09 .
c) Dobbiamo imporre la condizione ⌬ Ͻ 0:
Ϫ 20k ϩ 29 Ͻ 0 → 20k Ͼ 29 → k Ͼ 29 .
ᎏ2ᎏ0
d) Sostituiamo a x il valore 0:
(k Ϫ 1) и 02 ϩ (2k Ϫ 5) и 0 ϩ k ϩ 1 ϭ 0
k ϩ 1 ϭ 0 → k ϭ Ϫ 1.
553
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ESERCIZI CAPITOLO 10. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Per ogni equazione di secondo grado nell’incognita x determina per quali valori del parametro k sono soddi-
sfatte le condizioni indicate a fianco.
333 x 2 Ϫ 2kx ϩ 5k Ϫ 6 ϭ 0; soluzioni reali coincidenti. [k ϭ 2 ∨ k ϭ 3]
334 6x 2 ϩ (2k Ϫ 3)x Ϫ k ϭ 0; soluzioni reali. [∀ k ∈ R]
335 (k Ϫ 2)x 2 ϩ 2(2k Ϫ 3)x ϩ 4k ϩ 2 ϭ 0, con k 2; x 1 ϭ 0. ΄ ΅1
336 (2k Ϫ 1)x2 ϩ (k Ϫ 3)x ϩ 3k Ϫ 1 ϭ 0, con k ᎏ12ᎏ; x 1 ϭ Ϫ 2.
337 kx 2 ϩ (4k Ϫ 1)x ϩ 4k ϭ 0, con k 0; soluzioni reali distinte. k ϭ Ϫ ᎏ2ᎏ
338 6kx 2 Ϫ (5k ϩ 2)x ϩ 9 Ϫ k 2 ϭ 0, con k 0; x 1 ϭ 0. ΄ ΅1
339 (8k Ϫ 2)x 2 Ϫ (1 Ϫ 2k)x ϩ 2 Ϫ 5k ϭ 0, con k ᎏ41ᎏ; x 1 ϭ Ϫ 1. k ϭ Ϫ ᎏ9ᎏ
340 9x 2 Ϫ 2(3k ϩ 1)x Ϫ 1 ϩ k2 ϭ 0; soluzioni reali. ΄ ΅1
341 (1 ϩ m2)x 2 ϩ (m ϩ 1)x ϩ 10m Ϫ 3m2 Ϫ 5 ϭ 0; x 1 ϭ Ϫ 3. k Ͻ ᎏ8ᎏ
342 x 2 Ϫ 2(k ϩ 1)x ϩ 4k ϭ 0; non esistono soluzioni reali. [k ϭ Ϯ 3]
[k ϭ Ϫ 1]
΄ ΅5
k Ն Ϫ ᎏ3ᎏ
΄ ΅m ϭ Ϫ ᎏ16ᎏ ∨ m ϭ Ϫ 1
[∃/ k ∈ R]
Condizioni che riguardano la somma delle radici
ESERCIZIO GUIDA
343 Nell’equazione di secondo grado nell’incognita x:
kx2 ϩ (4k Ϫ 1) x ϩ 4k ϭ 0 con k 0, che la somma s delle radici sia Ϫ 9 .
determiniamo il valore del parametro k tale ᎏ2ᎏ
Dobbiamo porre due condizioni: 2. Calcoliamo la somma delle radici s ϭ Ϫ ᎏbᎏ:
s ϭ Ϫ ᎏ4k Ϫᎏ1 . a
1. ⌬ Ն 0, affinché le radici siano reali;
2. s ϭ Ϫ ᎏbᎏ ϭ Ϫ 9 , affinché sia soddisfatta la k
a ᎏ2ᎏ
Poniamo s ϭ Ϫ 9 :
condizione richiesta su s. ᎏ2ᎏ
1. Calcoliamo ⌬: ᎏ4k Ϫᎏ1 ᎏ29ᎏ
k
⌬ ϭ (4k Ϫ 1)2 Ϫ 4 и k и 4k ϭ Ϫ ϭ Ϫ → 2 (4k Ϫ 1) ϭ 9k
ϭ 16k 2 Ϫ 8k ϩ 1 Ϫ 16k 2 ϭ Ϫ 8k ϩ 1. 8k Ϫ 2 Ϫ 9k ϭ 0 → Ϫ k Ϫ 2 ϭ 0 → k ϭ Ϫ 2.
Poniamo ⌬ Ն 0: Poiché Ϫ 2 Ͻ 1 , il valore trovato per k è accetta-
Ϫ 8k ϩ 1 Ն 0 → Ϫ 8k Ն Ϫ 1 → k Յ ᎏ81ᎏ . bile. ᎏ8ᎏ
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Paragrafo 5. Le equazioni parametriche ESERCIZI
Per ogni equazione di secondo grado nell’incognita x determina i valori del parametro k tali che sia soddisfatta
la condizione scritta a fianco riguardante la somma s delle radici.
344 kx 2 ϩ (4k ϩ 2)x ϩ 4k ϩ 5 ϭ 0; 0; radici opposte (x1 ϭ Ϫ x2). ΄ ΅k ϭ Ϫ ᎏ12ᎏ
345 5kx 2 Ϫ 2(k Ϫ 1)x ϩ ᎏ51ᎏ k ϭ 0, con k
346 (4k Ϫ 1)x Ϫ 4x 2 Ϫ k 2 ϭ 0; radici opposte. [k ϭ 1 non accettabile]
s ϭ Ϫ ᎏ54ᎏ.
[k ϭ Ϫ 1]
347 x 2 Ϫ 2(k ϩ 1)x ϩ 4k ϭ 0; s Ͼ 10. [k Ͼ 4]
348 x 2 Ϫ 4(k Ϫ 3)x ϩ 4(k 2 Ϫ 2k) ϭ 0; s Ͼ 8. [k Ͼ 5 non accettabile]
s ϭ 4.
349 (9k Ϫ 1)x 2 Ϫ 12(k Ϫ 2)x ϩ 3 ϩ 4k ϭ 0, con k 1 ; ΄ ΅5
ᎏ9ᎏ
k ϭ Ϫ ᎏ6ᎏ
Condizioni che riguardano il prodotto delle radici
ESERCIZIO GUIDA
350 Data l’equazione parametrica di secondo grado nell’incognita x
(k Ϫ 1) x2 Ϫ 2kx ϩ k ϩ 3 ϭ 0, con k 1,
determiniamo i valori del parametro per i quali l’equazione ha:
a) le radici reciproche; uguale a ᎏ21ᎏ .
b) il prodotto p delle radici
Calcoliamo per quali valori di k le radici sono reali, ponendo ⌬ Ն 0:
ᎏ4ᎏ
ᎏ⌬4ᎏ ϭ k 2 Ϫ (k Ϫ 1) (k ϩ 3) ϭ k 2 Ϫ k 2 Ϫ 3k ϩ k ϩ 3 ϭ Ϫ 2k ϩ 3
ᎏ⌬4ᎏ Ն 0 ⇒ Ϫ 2k ϩ 3 Ն 0 → 2k Յ 3 → k Յ ᎏ23ᎏ
a) Le radici sono reciproche se x 1 ϭ 1 , ossia x1 ؒ x2 ؍ 1, cioè: p ϭ 1.
ᎏᎏ
x2
Poniamo p ϭ ᎏcᎏ ϭ 1:
a
ᎏkk Ϫϩᎏ31 ϭ 1 → k ϩ 3 ϭ k Ϫ 1 → 3 ϭ Ϫ 1 impossibile.
Non esiste alcun valore di k tale che le radici siano reciproche.
b) Poniamo p ϭ ᎏcᎏ ϭ 1 :
a ᎏ2ᎏ
ᎏkk Ϫϩᎏ31 ϭ ᎏ21ᎏ → 2(k ϩ 3) ϭ k Ϫ 1 → 2k ϩ 6 ϭ k Ϫ 1 → k ϭ Ϫ 7.
Poiché Ϫ 7 Յ ᎏ23ᎏ , il valore trovato per k è accettabile.
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ESERCIZI CAPITOLO 10. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Per ogni equazione parametrica nell’incognita x, determina i valori del parametro affinché le radici siano reali
e siano soddisfatte le condizioni scritte sotto. Il prodotto delle radici è indicato con p.
351 x 2 Ϫ kx ϩ 4k ϭ 0; ΄ ΅a) 1
a) radici reciproche; k ϭ ᎏ4ᎏ non accettabile; b) k ϭ 3 non accettabile
b) p ϭ 12.
352 (k Ϫ 2)x 2 Ϫ 2kx ϩ k Ϫ 3 ϭ 0; (k 2)
a) radici reciproche;
b) p ϭ Ϫ 1. ΄ ΅a) ∃⁄ k ∈R; b) k ϭ ᎏ52ᎏ
353 x 2 Ϫ 8x ϩ 4m Ϫ 5 ϭ 0; ΄ ΅a) m ϭ 0; b) 3 Ͻ m Յ 21
a) p ϭ Ϫ 5; ᎏ2ᎏ ᎏ4ᎏ
b) p Ͼ 1.
354 3x 2 Ϫ (2k Ϫ 3)x Ϫ 2k ϭ 0;
a) x 1 ϭ 1 ;
ᎏᎏ
x2
b) p ϭ Ϫ ᎏ32ᎏ . ΄ ΅a) k ϭ Ϫ ᎏ32ᎏ ; b) k ϭ 1
355 2x 2 Ϫ 7x ϩ 4k ϭ 0; ΄ ΅a)k ϭ 1 ; b) 0 Ͻ k Յ 49 ; c) k ϭ Ϫ 5
a) radici reciproche; ᎏ2ᎏ ᎏ32ᎏ
b) radici concordi (Suggerimento. p Ͼ 0);
c) p ϭ Ϫ 10.
Alcune applicazioni di somma e prodotto delle radici
ESERCIZIO GUIDA
356 Data l’equazione parametrica nell’incognita x:
4x2 Ϫ 2 (k ϩ 2) x ϩ 2k ϭ 0,
determiniamo i valori di k per i quali sono soddisfatte le seguenti condizioni:
a) la somma dei reciproci delle radici sia uguale a 6;
b) la somma dei quadrati delle radici sia uguale a 10.
Imponiamo che le radici siano reali: s ϭ ᎏk ϩ2ᎏ2 ; p ϭ ᎏk2ᎏ.
Poniamo ᎏsᎏ ϭ 6, con p 0 ossia k
⌬ Ն 0 → (k ϩ 2)2 Ϫ 8k ϭ
ᎏ4ᎏ p
0.
ϭ k 2 ϩ 4k ϩ 4 Ϫ 8k ϭ k 2 Ϫ 4k ϩ 4 ϭ
ϭ (k Ϫ 2)2 Ն 0 ᎏᎏkᎏϩ2k2ᎏᎏ2
è vero ∀ k ∈ R. ᎏsᎏ ᎏk ϩ2ᎏ2 ᎏ2ᎏ ᎏk ϩᎏ2
p k k
ϭ ϭ и ϭ ϭ 6
a) La somma dei reciproci delle radici è: k ϩ 2 ϭ 6k → 5k ϭ 2 → k ϭ ᎏ2ᎏ .
ᎏ1ᎏ ؉ ᎏ1ᎏ ؍ᎏx2 ؉ᎏx1 ؍ᎏsᎏ . 5
x1 x2 x1x2 p
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RIEPILOGO Le equazioni parametriche ESERCIZI
b) La somma dei quadrati delle radici è: Poniamo la condizione s 2 Ϫ 2p ϭ 10:
x12 ϩ x 22.
ᎏk ϩ2ᎏ2 2 Ϫ 2 и ᎏk2ᎏ ϭ 10
Poiché:
(x 1 ϩ x 2)2 ϭ x12 ϩ x 22 ϩ 2x 1 x 2 ᎏk2 ϩ 44ᎏk ϩ 4 Ϫ k ϭ 10
k 2 ϩ 4k ϩ 4 Ϫ 4k ϭ 40
possiamo scrivere:
x12؉ x12( ؍x 1 ؉ x 2)2 ؊ 2x 1 x 2 ؍s2 ؊ 2p. k 2 ϭ 36 → k ϭ Ϯ 6.
Per ogni equazione parametrica nell’incognita x, determina i valori del parametro affinché le radici siano reali
e siano soddisfatte le condizioni scritte sotto.
357 Data l’equazione parametrica: (k Ϫ 1) x2 Ϫ 2(k ϩ 1) x ϩ k ϩ 2 ϭ 0, con k 1, determina il valore di k in
modo che:
a) la somma delle radici sia nulla; ΄ ΅a)kϭϪ 1; b) k ϭ Ϫ 7
b) la somma dei reciproci delle radici sia uguale a 8. ᎏ3ᎏ
358 Data l’equazione kx2 ϩ 2(1 Ϫ k)x Ϫ 3 ϩ k ϭ 0, con k 0, determina k in modo che: ΄ ΅a) k ϭ ᎏ31ᎏ ; b) k ϭ 7
a) la somma delle radici sia Ϫ 4;
b) la somma dei reciproci delle radici sia 3.
359 Data l’equazione x2 Ϫ 2(k ϩ 1)x ϩ 4k ϭ 0, determina k in modo che: [a) k ϭ Ϫ 1; b) k ϭ Ϯ ͙ෆ2]
a) la somma dei reciproci delle radici sia nulla;
b) la somma dei quadrati delle radici sia 12.
360 Data l’equazione (2m Ϫ 3)x2 Ϫ 4mx ϩ 2m Ϫ 1 ϭ 0, con m ᎏ23ᎏ ,
determina m in modo che:
a) la somma dei reciproci delle radici sia uguale a 4; [a) m ϭ 1; b) ∃⁄ m ∈R]
b) la somma dei reciproci delle radici sia nulla.
361 Data l’equazione 3mx2 Ϫ 2(3m Ϫ 1) x Ϫ 3(1 Ϫ m) ϭ 0, con m 0, determina m in modo che:
a) la somma dei reciproci delle radici sia ᎏ31ᎏ ;
b) la somma dei reciproci dei quadrati delle radici sia 2. ΄ ΅a)mϭ 1 ; b) m ϭ 7
ᎏ5ᎏ ᎏ1ᎏ5
RIEPILOGO LE EQUAZIONI PARAMETRICHE Nel sito: ᭤ 11 esercizi in più
Per ogni equazione parametrica nell’incognita x, determina i valori del parametro relativi alle condizioni poste.
362 (b Ϫ 3)x 2 Ϫ 2bx ϩ b Ϫ 1 ϭ 0, con b 3;
a) una radice è uguale a ᎏ21ᎏ;
b) le due radici sono reali coincidenti. ΄ ΅a)b ϭ 7; b) b ϭ 3
ᎏ4ᎏ
363 3x 2 Ϫ 2(3k ϩ 2)x ϩ 8k ϭ 0; ΄ ΅a) k ᎏ2ᎏ; b) k ϭ ᎏ1ᎏ
a) le soluzioni sono reali e distinte; 3 2
b) una radice è uguale a 1.
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ESERCIZI CAPITOLO 10. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
364 (9k Ϫ 2)x 2 Ϫ (6k ϩ 1)x ϩ k ϭ 0, con k ᎏ29ᎏ ;
a) una radice è uguale a Ϫ 2;
b) la somma delle radici vale ᎏ31ᎏ . ΄ ΅a) k ϭ ᎏ46ᎏ9 ; b) k ϭ Ϫ ᎏ59ᎏ non accettabile
365 x 2 Ϫ 2(m Ϫ 1) ϭ 0; ΄ ΅a) 1 non b) c) 1 non
a) radici reciproche; m ϭ ᎏ2ᎏ accettabile; m ϭ 1; m Ͻ accettabile
b) p ϭ 0;
c) radici concordi.
366 (k Ϫ 1) x2 Ϫ 2(k ϩ 1) x ϩ k ϩ 2 ϭ 0;
a) la somma delle radici è positiva;
b) il prodotto delle radici è negativo;
΄ ΅c) la somma dei reciproci delle radici è uguale a 8.
a) Ϫ 3 Յ k Ͻ Ϫ 1 ∨ k Ͼ 1; b) Ϫ 2 Ͻ k Ͻ 1; c) k ϭ Ϫ ᎏ37ᎏ
367 kx 2 Ϫ (2k Ϫ 1)x ϩ k Ϫ 3 ϭ 0, con k 0; [a) k Ͼ 0; b) k ϭ Ϫ 1 non accettabile]
a) la somma delle radici è minore di 2;
b) il prodotto delle radici è uguale a 4. BRAVI SI DIVENTA ᭤ E41
368 (k Ϫ 3)x 2 Ϫ 2kx ϩ k ϩ 1 ϭ 0;
a) le soluzioni sono reali concordi;
b) ⏐x1 ϩ x2⏐ Ͼ 4;
1 1
c) ᎏxᎏ12 ϩ ᎏxᎏ22 ϭ 2.
369 x 2 Ϫ 2(k Ϫ 2)x ϩ k2 Ϫ 3k ϭ 0;
a) soluzioni non reali;
b) una radice nulla;
c) somma positiva;
d) prodotto negativo;
e) x 2 ϩ x 2 ϭ 16.
1 2
[a) k Ͼ 4; b) k ϭ 0 ∨ k ϭ 3; c) 2 Ͻ k Յ 4; d) 0 Ͻ k Ͻ 3; e) k ϭ 0, k ϭ 5 non accettabile]
I problemi di secondo grado
Nel sito: ᭤ 13 esercizi di recupero
■ Problemi di geometria
370 Vogliamo piantare 21 bulbi di tulipano in un’aiuola rettangolare. Per disporli in file uguali e con la condi-
zione che il numero dei bulbi in ogni fila superi di 4 il numero delle file, quante file di bulbi dobbiamo
piantare?
1. I risultati:
È richiesto il numero di file.
2. L’incognita:
Poniamo x ϭ numero di file.
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I problemi di secondo grado ESERCIZI
3. Le relazioni:
Il numero totale di bulbi è 21; i bulbi su ogni fila sono x ϩ 4.
Pertanto il numero totale di bulbi è x (x ϩ 4).
4. L’equazione risolvente: x (x ϩ 4) ϭ 21.
Le condizioni sono: x Ն 0, poiché non è pensabile un numero negativo di file.
5. La risoluzione:
x (x ϩ 4) ϭ 21 → x 2 ϩ 4x Ϫ 21 ϭ 0;
⌬ ϭ 4 ϩ 21 ϭ 25 → x ϭ Ϫ 2 Ϯ ͙ෆ25 ϭ Ϫ 2 Ϫ 5 ϭ Ϫ 7 non accettabile
ᎏ4ᎏ Ϫ2ϩ5ϭ3
6. La risposta:
Dobbiamo piantare i bulbi su 3 file.
371 TEST Esamina il problema: «In un rettangolo la cui 377 Un rettangolo ha le dimensioni di 5 cm e 2 cm. Voglia-
area vale 36 cm2, sottraendo al doppio di una di- mo incrementare la base e l’altezza di una stessa quan-
mensione l’altra, si ottiene come risultato 21 cm; tità in modo da ottenere un secondo rettangolo che
abbia l’area di 70 cm2. Determina tale quantità. [5 cm]
calcola la lunghezza delle dimensioni del rettango-
lo». Quale delle seguenti equazioni risolve il pro- 378 In un triangolo isoscele base e altezza stanno tra
blema? loro come 3 sta a 2, e il perimetro è 16 cm. Deter-
A x Ϫ ᎏ7ᎏ2 ϭ 21. mina l’area. [12 cm2]
x
B 2x Ϫ (36 Ϫ x) ϭ 21. 379 In un triangolo rettangolo, un cateto misura 7 cm
C 2x Ϫ ᎏ3ᎏ6 ϭ 21. in più dell’altro cateto e l’ipotenusa 14 cm in meno
x
della somma dei due cateti. Determina il perimetro
D 2x Ϫ 21 ϭ 36. del triangolo. [84 cm]
ᎏᎏ
x
380 In un rettangolo il lato maggiore è pari al doppio
E 2x Ϫ (18 Ϫ x) ϭ 21.
del minore diminuito di 10 cm e la differenza dei
372 Determina le lunghezze dei due lati di un rettango- quadrati dei due lati è 52 cm2. Determina l’area del
lo di area 15 cm2 e perimetro 16 cm. [3 cm; 5 cm]
rettangolo. [168 cm2]
373 Dato un segmento AB di lunghezza 9 cm, determi- 381 L’area di un triangolo rettangolo è di 80 cm2. Determi-
na l’ipotenusa, sapendo che un cateto è pari al doppio
na su di esso un punto P, tale che AP sia medio dell’altro cateto aumentato di 4 cm. [4 ͙ෆ29 cm]
proporzionale tra l’intero segmento e la parte re-
stante aumentata di 1 cm. [AP ϭ 6 cm] 382 L’area di un triangolo rettangolo è di 120 cm2.
Determina l’ipotenusa, sapendo che un cateto è
374 Un rettangolo è equivalente a un quadrato di lato pari alla metà dell’altro cateto aumentata di 2 cm.
[4 ͙ෆ34 cm]
10 cm. Determina il perimetro del rettangolo, sa-
pendo che la metà della base sommata al doppio
dell’altezza è 20 cm. [50 cm] 383 Trova il perimetro di un triangolo rettangolo con
l’ipotenusa di 25 cm e l’area di 150 cm2. [60 cm]
375 Un quadrato ha perimetro 24 cm. Un rettan-
golo ha lo stesso perimetro, mentre l’area è BRAVI SI DIVENTA ᭤ E42
pari ai ᎏ34ᎏ di quella del quadrato. Determina le 384 Un trapezio rettangolo ABCD è circoscritto
a una semicirconferenza di diametro ෆAෆD ϭ 24 cm.
dimensioni del rettangolo. [3 cm; 9 cm]
Il punto P di tangenza divide il lato obliquo CB in
376 Un rettangolo di area 20 cm2 ha l’altezza minore della due parti CP e PB tali che CෆPෆ ϩ 1 ෆPෆB ϭ 17 cm.
base di 1 cm. Calcola il perimetro del rettangolo. Trova l’area del trapezio. ᎏ2ᎏ
[18 cm]
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ESERCIZI CAPITOLO 10. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
385 In un triangolo rettangolo un cateto è lungo 9 cm in meno dell’ipotenusa e l’altro cateto è i ᎏ43ᎏ del primo. Deter-
mina l’area del triangolo. [486 cm2]
386 Un trapezio è inscritto in una semicirconferenza di diametro 70 cm. La base minore supera di 14 cm il doppio
dell’altezza. Determina l’area del trapezio. [1323 cm2]
387 In un triangolo rettangolo, delle due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa, la maggiore è pari al doppio della mino-
re diminuito di 4 cm, mentre l’altezza relativa all’ipotenusa supera di 10 cm la differenza delle due proiezioni.
Determina l’area del triangolo. [600 cm2]
388 Un’antenna di 9 m è posta perpendicolarmente al pavimento di un terrazzo. Un forte vento la spezza in modo
tale che la cima dell’antenna tocca il pavimento a 3 m dalla base della stessa. A quale altezza si è prodotta la rot-
tura? [4 m]
389 In un quadrato di area 49 cm2 è inscritto un quadrato di area 25 cm2. Determina il perimetro di ciascuno dei
triangoli individuati dal quadrato inscritto nel quadrato più grande. [12 cm]
390 Per abbellire una coperta rettangolare che ha la superficie di 5,72 m2 viene cucito sui quattro lati un pizzo lungo
9,6 m. Quali sono le dimensioni della coperta? [2,2 m; 2,6 m]
391 Andrea ha incollato la foto del suo gruppo musicale preferito su un pannello. La foto, che ha area uguale a
360 cm2, è di forma rettangolare, come il pannello che ha il perimetro di 438 cm e l’altezza di 105 cm. Deter-
mina le dimensioni della foto, sapendo che è stata incollata con i lati equidistanti da quelli del pannello.
[15 cm, 24 cm]
■ Problemi vari [ϩ 5 o Ϫ 5]
392 Il doppio del quadrato di un numero intero è uguale a 50. Qual è il numero?
393 Sommando a 7 il triplo del quadrato di un numero intero si ottiene 55. Qual è il numero? [ϩ 4 o Ϫ 4]
394 Il doppio aumentato di 9 del prodotto di un numero naturale con un altro, che lo supera di 4, è uguale a 3
volte il quadrato del primo. Determina i due numeri. [9; 13]
395 Ho depositato in banca € 20 000 in un conto corrente e ritiro oggi, dopo due anni, € 21 632. Quale tasso di
interesse annuo costante è stato praticato? [4%]
396 In una frazione il denominatore supera di 5 il numeratore. Trova la frazione sapendo che sommandola
con la sua reciproca si ottiene ᎏ5134ᎏ . ΄ᎏ27ᎏ΅
397 La divisione intera tra due numeri naturali dà quoziente 5 e resto 2, mentre la divisione intera tra i loro quadrati
dà quoziente 29 e resto 4. Determina i due numeri. [27; 5]
398 Determina l’età di un ragazzo sapendo che il rapporto tra l’età che egli avrà tra 24 anni e quella che aveva un
anno fa è uguale al rapporto tra il triplo della sua età di 6 anni fa e quella che egli avrà tra 4 anni. [26 anni]
399 In un numero di due cifre la cifra delle decine supera di 4 quella delle unità. Il triplo prodotto delle due cifre ri-
sulta pari al numero diminuito di 10. Determina il numero. [73]
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Paragrafo 6. La funzione quadratica e la parabola ESERCIZI
6. La funzione quadratica e la parabola –ᮣ Teoria a pag. 524
■ La funzione y ؍ax2
ESERCIZIO GUIDA
400 Tracciamo il grafico delle seguenti funzioni:
a) y ϭ 1 x 2; b) y ϭ Ϫ 1 x 2.
ᎏ4ᎏ ᎏ2ᎏ
Sono due funzioni quadratiche del tipo y ϭ ax2, quindi i grafici sono parabole con vertice nell’origine e asse
di simmetria coincidente con l’asse y.
La prima ha a Ͼ 0, quindi ha concavità rivolta verso l’alto; la seconda ha a Ͻ 0, quindi ha concavità verso il
basso. Disegniamo le due curve, compilando una tabella con le coordinate di alcuni punti.
xy y xy y 4
y =41–x2 – 4 –2 –1 O 1 2 x
±1 –14 ±1 –12–
±2 1 4 ±2 –2 –12–
–2
±4 4 ±4 –8
1–4 1 –8
– 4 –2 –1 O 1 2 4 x y = –12–x2
ab
Traccia nello stesso piano cartesiano i grafici delle seguenti funzioni.
401 y ϭ x2, y ϭ ᎏ21ᎏ x2 , y ϭ 4x2. 406 Che equazione ha la parabola della figura?
402 y ϭ Ϫ x2, y ϭ Ϫ 2x2, y ϭ Ϫ 4x2. y
403 Per quali valori di k la parabola di equazione ( )A –12–; –23–
y ϭ (k Ϫ 3)x2 rivolge la concavità verso l’alto?
Disegna la parabola che si ottiene per k ϭ 6. [k Ͼ 3]
404 Verifica se i punti A(2; 1) e B(Ϫ 3; 2) appartengono Ox
alla parabola di equazione y ϭ ᎏ14ᎏ x2.
[y ϭ 6x2]
405 Trova per quale valore di a la funzione y ϭ ax2 as-
sume valore 1 per x ϭ Ϫ ᎏ13ᎏ . [a ϭ 9]
Disegna il grafico relativo.
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ESERCIZI CAPITOLO 10. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
■ La funzione y ؍ax2 ؉ bx ؉ c Nel sito: ᭤ 10 esercizi di recupero
ESERCIZIO GUIDA
407 Tracciamo il grafico della funzione:
y ϭ Ϫ x 2 Ϫ 5x Ϫ 6.
Il grafico è una parabola il cui asse di simmetria xy y
14–
ha equazione: –52– 14– y = –x2– 5x – 6
–1 –2 –5 – 4 –25– –1 O
x ϭ Ϫ ᎏ2baᎏ ϭ Ϫ Ϫ5 ϭ Ϫ 5 ; –4 –2 x
ᎏϪᎏ2 ᎏ2ᎏ 0 –6 –2
–5 –6
Il vertice V ha ascissa xV ϭ Ϫ ᎏ52ᎏ e ordinata
yV ϭ f (xV) ϭ f Ϫ ᎏ52ᎏ ϭ Ϫ ᎏ245ᎏ ϩ ᎏ225ᎏ Ϫ 6 ϭ
ϭ Ϫ 25 ϩ 50 Ϫ 24 ϭ ᎏ14ᎏ. –6
ᎏ4ᎏ
y =– –25
Compiliamo una tabella con le coordinate
di alcuni punti e tracciamo il grafico.
Traccia il grafico delle seguenti funzioni, determinando le coordinate del vertice e di almeno cinque punti.
408 y ϭ x2 Ϫ 4x [V(2; Ϫ 4)] 415 Per ognuna delle parabole con le seguenti equa-
zioni, indica l’equazione dell’asse di simmetria, le
409 y ϭ Ϫ x2 ϩ 2x Ϫ 1 [V(1; 0)] coordinate del vertice e se la concavità è rivolta
410 y ϭ x2 ϩ 3x ϩ 2 ΄ ΅V Ϫ ᎏ23ᎏ ; Ϫ ᎏ41ᎏ verso l’alto o verso il basso.
411 y ϭ Ϫ ᎏ21ᎏ x2 ϩ x Ϫ 1 ΄V1; Ϫ ᎏ21ᎏ΅
412 y ϭ 2x2 Ϫ 8x ϩ 3 a) y ϭ Ϫ ᎏ21ᎏ x 2 Ϫ 4x; c) y ϭ Ϫ 2x 2 ϩ 6x;
[V(2; Ϫ 5)]
b) y ϭ x 2 Ϫ 2x ϩ 4; d) y ϭ 3x 2 Ϫ 2.
416 VERO O FALSO?
a) La parabola di equazione y ϭ 2x2 ϩ 1 VF
ha il vertice sull’asse y.
413 Indica quali dei seguenti punti appartengono alla b) Il punto (1; 2) appartiene alla parabola
parabola di equazione y ϭ x2 Ϫ 5x ϩ 4. di equazione y ϭ Ϫ x2 ϩ 2x Ϫ 3. VF
A(2; 2), 1 c) La parabola di equazione y ϭ Ϫ 2x2 ϩ x
B( Ϫ 1; 10), C Ϫ ᎏ2ᎏ ; 3 , D(0; 4).
rivolge la concavità verso il basso.
VF
414 Determina il valore di a per cui la parabola di d) Se nell’equazione y ϭ ax2 ϩ bx ϩ c VF
equazione y ϭ ax2 ϩ x Ϫ 1 ha il vertice di ascissa 2. si ha b ϭ 0, la parabola associata
Rappresenta graficamente la parabola ottenuta. ha il vertice nell’origine degli assi.
΄ ΅1 e) Tutte le parabole che hanno il vertice VF
a ϭ Ϫ ᎏ4ᎏ nell’origine hanno equazione del tipo
y ϭ ax2, con a 0.
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Paragrafo 6. La funzione quadratica e la parabola ESERCIZI
417 ASSOCIA a ogni parabola la relativa equazione. y y
yy
O1 x O 2 x
11
O 12– x O 2x
d
–4 V –4 V
c
ab
1. y ϭ ᎏ14ᎏ x 2 2. y ϭ x 2 Ϫ 4x 3. y ϭ 4x 2 Ϫ 4 4. y ϭ 4x2
418 Date le equazioni: 421 Quali delle seguenti parabole passano per l’origi-
y ϭ x(x Ϫ 2) ϩ 1, y ϭ (x Ϫ 1)(x ϩ 1), ne? Quale parabola ha il vertice sull’asse x?
y ϭ 2x2 Ϫ 3, y ϭ (x Ϫ 3)2, 3x2 Ϫ x3,
a) y ϭ Ϫ x2 ϩ 2x; c) y ϭ x2 Ϫ 4x;
quale di esse non è rappresentata da una parabola? b) y ϭ 3x2 ϩ x Ϫ 1; d) y ϭ x2 Ϫ 4x ϩ 4.
419 ASSOCIA a ogni equazione di parabola il relativo 422 Determina il valore di b per cui la parabola di
vertice. equazione y ϭ x2 Ϫ 3bx ϩ 1 ha il vertice sull’asse
y e poi rappresenta il grafico della parabola.
1. y ϭ 2x 2 Ϫ 4x ϩ 3 A. V 1(2; 5). [b ϭ 0]
B. V 2(1; 1).
2. y ϭ Ϫ x 2 ϩ 4x ϩ 1 C. V 3(Ϫ 2; 0). 423 Trova per quale valore di a la parabola di equa-
3. y ϭ 2x 2 ϩ 8x D. V 4(Ϫ 2; Ϫ 8).
4. y ϭ x 2 ϩ 4x ϩ 4 zione y ϭ ax2 ϩ 2x Ϫ ᎏ12ᎏ ha il vertice sull’asse x.
420 Trova per quale valore di c la parabola di equazione Rappresenta il suo grafico. [a ϭ Ϫ 2]
y ϭ Ϫ 2x2 ϩ x ϩ c passa per il punto A(1; 3). [4]
424 Indica per quale valore di b la parabola di equazione y ϭ 4x2 ϩ bx ϩ 3 passa per il punto P(1; Ϫ 1). [Ϫ 8]
425 Trova per quali valori di a e b la parabola di equazione y ϭ ax2 ϩ bx ϩ 1 passa per A(Ϫ 1; 1) e B(2; Ϫ 5). [Ϫ 1; Ϫ 1]
■ Gli zeri della funzione quadratica VF
VF
426 VERO O FALSO? La funzione quadratica y ϭ x2 Ϫ 4x ϩ 12 rappresenta una parabola che: VF
a) volge la concavità verso il basso. VF
b) passa per l’origine degli assi. VF
c) ha il vertice di ascissa 2.
d) passa per il punto (Ϫ 1; 17).
e) ha come zeri x 1 ϭ Ϫ 6 e x 1 ϭ 2.
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ESERCIZI CAPITOLO 10. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
427 La parabola del grafico ha equazione: 428 La parabola del grafico ha equazione:
y ϭ Ϫ x 2 ϩ 2x ϩ 8. y ϭ x 2 Ϫ 4x ϩ 4.
Trova le coordinate dei punti A e B. Trova le coordinate dei punti A e B.
y y
y = –x2+ 2x + 8 y = x2– 4x + 4
B
A B OA x
O x
[A(Ϫ 2; 0), B(4; 0)] [A(2; 0), B(0; 4)]
429 Trova gli zeri della funzione quadratica y ϭ x2 Ϫ 4x. Cosa rappresentano graficamente i valori trovati?
[x1 ϭ 0, x2 ϭ 4]
430 Disegna il grafico della parabola di equazione y ϭ 2(x ϩ 2)(x Ϫ 3), dopo aver determinato le coordinate del
vertice e i punti di intersezione con gli assi cartesiani. ΄ ΅V ᎏ12ᎏ ; Ϫ ᎏ225ᎏ ; A(Ϫ 2; 0), B(3; 0), C(0; Ϫ12)
431 Data la parabola di equazione y ϭ Ϫ 1 (x Ϫ 1)(x Ϫ 5), trova l’area del triangolo ABC che ha come vertici i
ᎏ2ᎏ
punti di intersezione della parabola con gli assi. [5]
432 La parabola di equazione y ϭ (x Ϫ 2)(x Ϫ 6) ha vertice V, mentre A e B sono le sue intersezioni con l’asse x.
[4(͙5ෆ ϩ 1)]
Determina il perimetro del triangolo AVB.
■ La funzione quadratica e i problemi
433 Considera la scatola di cartone della figura.
4 cm a) Trova l’area totale A della scatola in funzione di x e rappresenta la funzio-
x
ne ottenuta.
b) Quanti cm2 di cartone sono necessari per costruirla se x ϭ 3 cm?
c) Quanto deve misurare x se A ϭ 130 cm2?
[a) A ϭ 2x 2 ϩ 16x; b) 66 cm2; c) 5 cm]
x
434 Si deve costruire una piscina rettangolare di perimetro uguale a 32 m.
a) Dimostra che l’area occupata è A ϭ Ϫ x 2 ϩ 16x, dove x è la lunghezza della piscina.
b) Rappresenta graficamente la funzione A tenendo conto che x non può essere un numero negativo.
c) Trova per quale valore di x si ha la piscina più grande possibile (con il perimetro invariato).
d) Calcola in questo caso le sue dimensioni. [c) 8; d) 8,8]
435 Trova per quali valori di a la parabola di equazione y ϭ Ϫ x 2 ϩ (4a ϩ 1)x Ϫ 4a2 interseca l’asse x in due punti
distinti. ΄ ΅a Ͼ Ϫ ᎏ81ᎏ
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