RIEPILOGO Problemi sulle rette ESERCIZI
RIEPILOGO PROBLEMI SULLE RETTE
ESERCIZIO GUIDA
215 Scriviamo l’equazione della retta che soddisfa le due condizioni seguenti:
a) è parallela alla retta passante per A(1; Ϫ 2) e B (3; 2); b) passa per il punto C(Ϫ1; 1).
La retta per A e B ha coefficiente angolare: y y = 2x + 3
m ϭ ᎏyA ϪᎏyB ϭ Ϫ2Ϫ2 ϭ 2,
xA Ϫ xB ᎏ1 Ϫᎏ3
che è lo stesso della retta parallela ad AB. 5
Una generica retta per C ha equazione 3
2
y Ϫ yC ϭ m(x Ϫ xC) C1 B
3
quindi la retta per C parallela ad AB ha equazione: −1 O 1 x
−2 A
y Ϫ 1 ϭ 2(x ϩ 1) → y Ϫ 1 ϭ 2x ϩ 2 → y ϭ 2x ϩ 3.
216 Fra le rette passanti per il punto Q (Ϫ 2; 5) deter- 221 Scrivi l’equazione della retta r passante per
mina l’equazione della retta parallela alla retta A (Ϫ 3; 0) e B (1; 2). Determina l’equazione della
passante per i punti A(Ϫ 1; 0) e B (2; Ϫ 4). retta parallela a r passante per C (1; Ϫ 4) e della
retta perpendicolare a r passante per D (6; 1).
΄ ΅y ϭ Ϫ ᎏ34ᎏ x ϩ ᎏ37ᎏ
[x Ϫ 2y ϩ 3 ϭ 0; x Ϫ 2y Ϫ 9 ϭ 0; 2x ϩ y Ϫ 13 ϭ 0]
217 Fra le rette parallele alla retta r di equazione
222 I punti A(Ϫ 3; 1), B (6; 3) e C (Ϫ 1; Ϫ 5) sono i
x ϩ 2y Ϫ 10 ϭ 0 determina quella che passa per vertici di un triangolo. Determina:
a) le equazioni delle rette contenenti i tre lati;
il punto P (4; Ϫ 3). [x ϩ 2y ϩ 2 ϭ 0] b) le coordinate dei punti di intersezione della
retta contenente BC con gli assi cartesiani.
218 Scrivi l’equazione della retta passante per i punti
A (Ϫ 2; Ϫ 2) e B (6; 10). Determina su tale retta ΄a) 2x Ϫ 9y ϩ 15 ϭ 0, 8x Ϫ 7y Ϫ 27 ϭ 0, 3x ϩ y ϩ 8 ϭ 0;
un punto C la cui ascissa è la metà dell’ordinata. ΅b) 0; Ϫ ᎏ27ᎏ7 , ᎏ28ᎏ7 ; 0
[3x Ϫ 2y ϩ 2 ϭ 0; C(2; 4)]
223 Dati la retta r di equazione 2x ϩ y Ϫ 12 ϭ 0 e il
219 Fra le rette perpendicolari alla retta s di equazio- punto A (Ϫ 2; Ϫ 1), scrivi:
ne 3x Ϫ 6y ϩ 1 ϭ 0 determina: a) l’equazione della retta parallela a r e passante
a) la retta a che passa per il punto A(1; 3); per A;
b) la retta b che passa per l’origine. b) l’equazione della retta perpendicolare a r e
[a) 2x ϩ y Ϫ 5 ϭ 0; b) 2x ϩ y ϭ 0] passante per A.
[a) 2x ϩ y ϩ 5 ϭ 0; b) x Ϫ 2y ϭ 0]
220 Fra le rette passanti per il punto P (1; 3) determina:
a) l’equazione della retta che interseca l’asse x nel
punto A(2; 0);
b) l’equazione della retta che interseca l’asse y nel
punto B (0; Ϫ 1).
[a) y ϭ Ϫ 3x ϩ 6; b) y ϭ 4x Ϫ 1]
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ESERCIZI CAPITOLO 7. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA
224 Scrivi l’equazione della retta che è perpendicola- 227 Scrivi le equazioni delle rette contenenti i lati del
re alla retta passante per A(Ϫ 2; Ϫ 5) e B(3; 1) e quadrilatero ABCD, con A(Ϫ 3; 3), B (Ϫ 3; Ϫ 1),
che passa per il punto C (2; Ϫ 3). C (2; Ϫ 2), D(2; 2). Verifica che il quadrilatero sia
[5x ϩ 6y ϩ 8 ϭ 0] un parallelogramma.
225 Scrivi l’equazione della retta r perpendicolare alla [x ϩ 3 ϭ 0; x ϩ 5y ϩ 8 ϭ 0; x ϭ 2; x ϩ 5y Ϫ 12 ϭ 0]
retta s passante per i punti A (5; 0) e B (0; Ϫ 3) e
passante per l’origine degli assi. [5x ϩ 3y ϭ 0] 228 Scrivi l’equazione della retta passante per i punti
226 Disegna il triangolo di vertici A (1; 4), B (Ϫ 2; 1) A(3; 1) e B (6; 5). Determina su tale retta un pun-
e C (1; 1). Scrivi le equazioni delle mediane. 1
[x ϩ y Ϫ 2 ϭ 0; 2x Ϫ y ϩ 2 ϭ 0; x Ϫ 2y ϩ 4 ϭ 0] la ᎏ4ᎏ dell’ordinata.
΄ ΅toC cui ascissa è
4x
Ϫ 3y Ϫ 9 ϭ 0; C Ϫ ᎏ89ᎏ;Ϫ 9
ᎏ2ᎏ
9. La distanza di un punto da una retta –ᮣ Teoria a pag. 390
ESERCIZIO GUIDA
229 Determiniamo la distanza del punto P ( Ϫ2; Ϫ3) dalla retta d’equazione 6x ϩ 8y ϭ 0.
La formula da applicare è:
d ϭ ᎏ⏐ax͙0 ϩaෆ2ෆbᎏϩy0ෆbϩෆ2 c⏐ .
Poiché abbiamo P (Ϫ2; Ϫ3) e la retta di equazione 6x ϩ 8y ϭ 0, otteniamo:
d ϭ ⏐6 и (Ϫ2) ϩ 8(Ϫ3)⏐ ϭ ᎏ⏐͙Ϫ13ෆ26ෆᎏϪϩෆ2644ෆ⏐ ϭ ᎏ⏐͙Ϫ1ෆ3ᎏ060ෆ⏐ ϭ ᎏ13ᎏ06 ϭ ᎏ15ᎏ8 .
ᎏ͙ᎏෆ62ෆϩෆ8ᎏෆ2
Calcola la distanza dei punti assegnati dalle rette con equazione indicata a fianco.
230 A(Ϫ 2; 1), 3x Ϫ 4y Ϫ 1 ϭ 0. ΄ ΅11
231 A(2; 4), y ϭ 4 x ϩ 1. ᎏ5ᎏ
ᎏ3ᎏ
΄ᎏ15ᎏ΅
232 A(0; 3), 6y ϭ Ϫ 8x ϩ 3. ΄ᎏ32ᎏ΅
΄ ΅43
233 A(1; 2), y ϭ 5 x Ϫ 2.
ᎏ12ᎏ ᎏ13ᎏ
234 A(Ϫ 2; 3), 9x Ϫ 12y ϭ 0. ΄ ΅18
235 A(3; Ϫ 1), x ϭ 4. ᎏ5ᎏ
236 1 [1]
Calcola la distanza di P (Ϫ1; 4) dalla retta che passa per i punti A(5; 2) e B Ϫ1; Ϫ ᎏ2ᎏ .
΄ ΅54
ᎏ1ᎏ3
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RIEPILOGO La retta ESERCIZI
237 Considera il triangolo ABC di vertici A(Ϫ3; 3), B (2; Ϫ1), C (3; 1). Determina l’altezza relativa
al lato AB e l’area del triangolo. ΄ ΅14
ᎏ͙4ෆᎏ1 ; 7
238 Determina, con la formula della distanza, l’area del triangolo di vertici A(2; 0), B (Ϫ1; 3); C (4; 4). [9]
RIEPILOGO LA RETTA Nel sito: ᭤ 11 esercizi di recupero
239 Verifica se i tre punti A (1; 2), B (Ϫ 3; 4), 247 Considera le rette le cui equazioni sono le se-
guenti e stabilisci quali sono parallele fra loro e
C (2; Ϫ 1) sono allineati. [no] quali perpendicolari.
240 Dati i punti A (Ϫ 1; 2), B (3; Ϫ 1), C (2; 4), deter- r: y ϭ 2x Ϫ 1; s: x ϩ 2y ϩ 3 ϭ 0;
mina le equazioni dei lati del triangolo da essi in-
dividuato. t: 2x Ϫy Ϫ6 ϭ 0; u: y ϭ 1 x; v: y 1 Ϫ 3.
ᎏ2ᎏ ϭ ᎏ2ᎏ x
[3x ϩ 4y Ϫ 5 ϭ 0; 5x ϩ y Ϫ 14 ϭ 0; 2x Ϫ 3y ϩ 8 ϭ 0] [r ⊥ s; r // t; u // v]
241 Dato il triangolo ABC di vertici A (Ϫ 2; Ϫ 4), 248 Determina l’equazione della retta parallela a
B(6; Ϫ 2), C (2; 2), determina le equazioni delle 3x Ϫ 2y ϩ 5 ϭ 0 e passante per il punto medio del
sue mediane. segmento di estremi A (3; 7) e B (Ϫ1; Ϫ3).
[2x Ϫ 3y Ϫ 8 ϭ 0; x ϩ 6y ϩ 6 ϭ 0; x ϭ 2] [3x Ϫ 2y ϩ 1 ϭ 0]
242 Dato il triangolo ABC di vertici A (1; 2), B (6; 2), 249 Scrivi l’equazione del fascio di rette passante per
C (3; 8), determina le equazioni delle sue altezze. il punto P (Ϫ2; 3) e disegna le rette del fascio
[x ϭ 3; x Ϫ 2y ϩ 3 ϭ 0; x ϩ 3y Ϫ 12 ϭ 0] aventi coefficiente m ϭ Ϫ1, m ϭ 1, m ϭ 5.
[y ϭ mx ϩ 2m ϩ 3]
243 Dato il triangolo ABC di vertici A(2; 2),
B (10; Ϫ 2), C (2; 6), determina le equazioni degli 250 Data la retta di equazione 2x Ϫ 3y ϩ 2 ϭ 0, scri-
assi dei lati. vi le equazioni delle rette passanti per il punto
[2x Ϫ y Ϫ 12 ϭ 0; x Ϫ y Ϫ 4 ϭ 0; y ϭ 4] A(2; 3) perpendicolare e parallela alla retta data.
[3x ϩ 2y Ϫ 12 ϭ 0; 2x Ϫ 3y ϩ 5 ϭ 0]
251 Dato il triangolo di vertici A(2; 2), B (Ϫ1; Ϫ1) e
244 Determina l’equazione della retta passante per C (6; 0), scrivi le equazioni dei suoi lati.
A(Ϫ 5; 4) e B(Ϫ 5; Ϫ 6) e l’equazione della per- ΄ ΅y
pendicolare condotta per P(3; 2) alla retta AB. ϭ x; y ϭ ᎏ1ᎏ x Ϫ ᎏ6ᎏ; y ϭ Ϫ ᎏ1ᎏ x ϩ 3
Determina l’area del triangolo ABP. 7 7 2
[xϭ Ϫ 5; y ϭ 2; area ϭ 40] 252 Determina l’equazione della retta r passante per
P (1; 3) e avente per coefficiente angolare m ϭ 2;
245 Verifica che il triangolo di vertici A (2; 1), B (6; 5) calcola la misura dell’area del triangolo indivi-
duato dalla retta e dagli assi cartesiani.
e C (Ϫ2; 9) è un triangolo isoscele e calcolane
΄ ΅2x Ϫ y Ϫ 1 ϭ 0; area ϭ ᎏ41ᎏ
l’area. [24]
253 Scrivi le equazioni delle rette dei lati del triangolo
246 Scrivi in forma esplicita le seguenti equazioni, di vertici A(Ϫ 3; 1), B (4; Ϫ 1), C (4; 6) e deter-
specificando quali sono il coefficiente angolare e il mina la sua area.
termine noto, poi disegna il grafico delle tre rette.
΄ ΅2x ϩ 7y Ϫ 1 ϭ 0; x ϭ 4; 5x Ϫ 7y ϩ 22 ϭ 0; ᎏ429ᎏ
a) 2x Ϫ 2y ϩ 3 ϭ 0; b) 3y ϩ 5 ϭ 0;
c) x Ϫ 3y ϩ 9 ϭ 0.
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ESERCIZI CAPITOLO 7. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA
254 Data la retta di equazione 260 Verifica che il quadrilatero di vertici A(1; 1),
B (5; 4), C (2; 8), D (Ϫ 2; 5) è un quadrato e trova
(k ϩ 1) x Ϫ 2y ϩ 3 ϭ 0, le equazioni delle sue diagonali.
[7x Ϫ y Ϫ 6 ϭ 0; x ϩ 7y Ϫ 33 ϭ 0]
determina k in modo che:
261 Disegna sul piano cartesiano la retta passante per
a) la retta sia parallela alla retta y Ϫ 1 ϭ 0; l’origine degli assi e per A(3; 2). Calcola poi la di-
b) la retta sia parallela alla retta 2x Ϫ y ϭ 0; stanza del punto P (5; Ϫ1) da tale retta. [͙ෆ13]
c) la retta sia perpendicolare alla retta x Ϫ 3y ϭ 0;
d) la retta passi per il punto (2; Ϫ 1). 262 Disegna sul piano cartesiano la retta r di equazio-
ne y ϭ 2x Ϫ 3. Determina le coordinate del suo
΄ ΅a) k ϭ Ϫ 1; b) k ϭ 3; c) k ϭ Ϫ 7; d) k ϭ Ϫ ᎏ27ᎏ punto di intersezione A con l’asse delle ordinate.
Trova le equazioni delle rette s e t passanti per A,
255 Data la retta di equazione con s perpendicolare a r e t parallela all’asse x.
[A(0; Ϫ 3); x ϩ 2y ϩ 6 ϭ 0; y ϩ 3 ϭ 0]
x ϩ (a ϩ 2) y Ϫ 1 ϭ 0, con a ∈ R ,
BRAVI SI DIVENTA ᭤ E28
determina a in modo che la retta:
263 Trova per quale valore di k la retta r pas-
a) sia parallela all’asse x; sante per A(k Ϫ 3; 6) e B(3; Ϫ 2k ϩ 2) è perpen-
b) sia parallela all’asse y; dicolare alla retta s passante per l’origine e per
c) passi per l’origine. C(Ϫ 2; Ϫ 1) e scrivi l’equazione della retta r.
[a) non esiste; b) a ϭ Ϫ 2; c) non esiste]
256 Dato il fascio di rette di equazione 264 Determina l’equazione della retta passante per
kx Ϫ 2ky ϩ 1 ϭ 0, A(Ϫ5; 2) e B (3; 2). Dopo aver verificato se il
a) stabilisci se si tratta di un fascio proprio o im- punto P(5; Ϫ3) appartiene a tale retta, calcola la
proprio; [y ϭ 2; ͙1ෆ2ෆ5]
sua distanza dal punto A.
b) determina la retta del fascio passante per
A (0; 1).
[a) fascio improprio; b) x Ϫ 2y ϩ 2 ϭ 0]
257 Il triangolo isoscele ABC ha la base AB di estremi 265 Data la retta r di equazione ax ϩ 2y ϩ a ϩ 1 ϭ 0,
A(Ϫ 2; Ϫ 1) e B (6; 3) e il vertice C sull’asse y. determina a in modo che:
Trova l’ordinata di C e l’area del triangolo.
a) r sia parallela all’asse x;
[yC ϭ 5; 20] b) r sia parallela all’asse y;
c) r passi per l’origine;
258 Dato il triangolo di vertici A(Ϫ 1; 2), B (2; Ϫ 3), d) r abbia coefficiente angolare positivo;
e) r sia parallela alla retta passante per
C(5; 4), scrivi l’equazione della mediana AM e
A (4; Ϫ 5), B (5; Ϫ 7).
verifica che il punto G (2; 1) appartiene a tale ret-
[a) a ϭ 0; b) non esiste; c) a ϭ Ϫ 1;
ta e inoltre divide la mediana AM in due parti, d) a Ͻ 0; e) a ϭ 4]
una doppia dell’altra. [x ϩ 3y Ϫ 5 ϭ 0]
259 Nel triangolo di vertici A(2; 6), B (5; 1), 266 Verifica che il quadrilatero di vertici A (Ϫ 3; 0),
C(Ϫ 1; Ϫ 2): B(Ϫ 1; 4), C(5; 1), D(3; Ϫ 3) è un parallelo-
gramma. Determina le misure dei lati e il punto
a) determina le lunghezze delle mediane e le di incontro delle diagonali.
equazioni delle rette a cui appartengono;
΄ ΅͙ෆ20; ͙ෆ45; 1; ᎏ12ᎏ
b) verifica che tali rette passano tutte per il punto
267 Verifica che nel triangolo di vertici A(Ϫ 2; 2),
D 2; ᎏ35ᎏ . B(4; 3), C (1; 7) il segmento che unisce i punti
΄a) ᎏ123ᎏ , x ϭ 2; ᎏ͙2ෆ8ᎏ5 , 2x ϩ 9y Ϫ 19 ϭ 0; medi di due lati è parallelo al terzo lato e con-
gruente a metà di questo.
΅ᎏ͙ෆ22ᎏ0ෆ2 , 11x Ϫ 9y Ϫ 7 ϭ 0
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Verso le competenze ESERCIZI
Verso le competenze Nel sito: ᭤ 30 test interattivi in più
TEST
1 Il punto medio del segmento di estremi A(Ϫ 4; 3) 7 Partendo dall’equazione y ϭ mx ϩ q, per quali
e B(2; 5) è: valori di m e di q ottieni l’equazione dell’asse x?
Esistono opportuni valori di m e di q per ottenere
A M (6; 2). C M (Ϫ 1; 4). l’equazione dell’asse delle y? Perché?
[m ϭ 0, q ϭ 0; no]
B M (3; 1). D M (Ϫ 2; 8).
2 Nella figura è rappresentato il triangolo di vertici 8 Come puoi usare la formula della retta passante per
due punti per verificare che i punti A(x1; y1),
A(Ϫ 3; Ϫ 1), B(1; Ϫ 1) e C(Ϫ 2; 4).
y B(x2; y2) e C(x3; y3) sono allineati?
C4
TEST
3
2 9 La relazione tra le distanze tra i punti A(3; Ϫ 2),
B(Ϫ 3; Ϫ 2), C(Ϫ 3; 6) è:
1
A AB Ͻ BC Ͻ AC. C BC Ͻ AB Ͻ AC.
−3 −2 −1 O 1 x B AB ϭ BC Ͻ AC. D AB Ͻ AC Ͻ BC.
A −1 B
10 L’area del triangolo raffigurato è:
La sua area è: A 85. C 15.
B ᎏ825ᎏ. D 46.
A ᎏ12ᎏ5 . B 20. C 6. D 10.
3 Una delle seguenti rette è parallela all’asse delle
ordinate. Quale?
A y ϭϪ2 C 2x ϩ 7 ϭ 0 11 Per la retta di equazione y ϭ x ϩ 2, quale delle se-
guenti affermazioni è vera?
B 1 Ϫ 3y ϭ 0 D x ϭ Ϫ y
A La retta interseca l’asse delle y nel punto di
4 Il coefficiente angolare della retta passante per i ordinata 3.
punti A(Ϫ 3; 2) e B (1; 4) è: B La retta passa per l’origine.
C La retta è parallela alla bisettrice del primo e
A ᎏ21ᎏ. B 2. C Ϫ 2. D Ϫ ᎏ21ᎏ.
del terzo quadrante.
5 L’equazione della retta r è: D Il coefficiente angolare della retta è 2.
5x ϩ y Ϫ 6 ϭ 0. (Invalsi, 2006)
Quanto vale il coefficiente angolare di una retta 12 Quale dei grafici seguenti
perpendicolare a r ?
A 5 B Ϫ 5 C ᎏ51ᎏ D Ϫ ᎏ51ᎏ
6 L’equazione della retta passante per A(3; 1) e pa- rappresenta la retta y ϭ 2x ϩ 1?
rallela alla bisettrice del I e III quadrante è:
A x Ϫ y Ϫ 3 ϭ 0. C x Ϫ y Ϫ 2 ϭ 0. A 1. B 2. C 3. D 4.
B 2x Ϫ y Ϫ 1 ϭ 0. D x ϩ y Ϫ 2 ϭ 0. (Invalsi, 2006)
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ESERCIZI CAPITOLO 7. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA
TEST 18 TEST L’equazione della retta passante per il pun-
to P(Ϫ 3; 2) e perpendicolare alla retta di equa-
13 In un piano cartesiano i punti zione 3x Ϫ y ϩ 2 ϭ 0 è:
(0; 0), (1; 1), (Ϫ 1; 1) A Ϫ 3x Ϫ y Ϫ 7 ϭ 0.
sono… B x ϩ 3y Ϫ 3 ϭ 0.
A i vertici di un triangolo ottusangolo. C y ϭ Ϫ 1 x Ϫ 2.
B i vertici di un triangolo acutangolo. ᎏ3ᎏ
C i vertici di un triangolo rettangolo.
D allineati. D y ϭ ᎏ13ᎏ x ϩ 3.
(Invalsi, 2007) 19 VERO O FALSO?
14 Tre vertici di un rettangolo hanno coordinate (2; a) Ogni retta è rappresentata da VF
2), (0; 4), (66; 66). Quali sono le coordinate del un’equazione di primo grado.
quarto vertice?
b) Le rette parallele hanno tutte lo VF
A (0; 132) B (62; 70) C (64; 64) D (64; 68) stesso termine noto.
(Invalsi, 2007) c) Le rette parallele hanno tutte lo stesso
coefficiente angolare e lo stesso termi-
15 Trova quali tra i punti elencati appartengono alla ne noto. VF
retta r passante per l’origine e parallela alla retta
s di equazione y = 3x Ϫ 1: d) Le rette parallele hanno tutte lo stesso
A(0; 3), B(1; 2), C(2; 1), D(1; 3), E(3; 1), coefficiente angolare. VF
F(Ϫ 1; Ϫ 3).
e) La retta 3x Ϫ 1 ϭ 0 è perpendicolare
all’asse delle ascisse. VF
A D, F. C B, C. 20 Scrivi l’equazione della retta passante per
B A, D, E, F. D C, E. A(Ϫ 1; Ϫ 2):
16 ASSOCIA a ogni retta del grafico la corrisponden- a) parallela all’asse x;
te equazione: b) parallela all’asse y;
c) passante per l’origine;
d) parallela alla retta 3x Ϫ y ϩ 2 ϭ 0.
[a) y ϭ Ϫ2; b) x ϭ Ϫ1; c) y ϭ 2x; d) y ϭ 3x ϩ 1]
21 Calcola l’area dell’esagono ABCDOE che ha per
vertici i punti
xϭϪ1 → retta … A(Ϫ 6; 2), B(0; 4), C(3; 4),
y ϭ Ϫ 1 x ϩ 2 → retta … D(4; 2), O(0; 0), E(Ϫ 3; 0).
ᎏ3ᎏ
[26]
y ϭ ᎏ13ᎏ x ϩ 2 → retta … 22 Data la retta di equazione (k Ϫ 1) x ϩ 3y Ϫ2 ϭ 0,
determina k in modo che:
yϭϪ1 → retta … a) la retta sia parallela alla retta y ϩ 2 ϭ 0;
b) la retta sia parallela alla retta x Ϫ 3y ϭ 0;
17 TEST L’equazione della retta che passa per il c) la retta sia perpendicolare alla retta x ϩ 2y ϭ 0;
d) la retta passi per P (Ϫ2; 1).
punto P(Ϫ 1; 5) ed è parallela alla retta AB, con
A(Ϫ 2; Ϫ 4) e B(3; 6) è: ΄ ΅a)k ϭ 1; b) k ϭ 0; c) k ϭ Ϫ 5; d) k ϭ 3
ᎏ2ᎏ
A y ϭ 2x. C y ϭ ᎏ12ᎏ x ϩ ᎏ121ᎏ.
B y ϭ 2x ϩ 4. D y ϭ 2x ϩ 7.
420
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
I sistemi lineari CAPITOLOTEORIA
8
Internet
Più della metà delle famiglie in Italia dispone di
una connessione ADSL e il numero è in continua
crescita. L’offerta di tariffe e tecnologie dei gestori
telefonici è sempre più ampia…
…come scegliere il contratto più conveniente?
1. I sistemi di due equazioni Nel sito: ᭤ La risposta
in due incognite
421
■ Le equazioni lineari in due incognite
Consideriamo l’equazione
3x Ϫ 5y Ϫ 4 ϭ 0.
Si tratta di un’equazione di primo grado in due incognite, ovvero di
un’equazione lineare in due incognite.
Una soluzione dell’equazione è una coppia di valori (x; y) che rende il
primo membro uguale al secondo.
Per esempio, la coppia ordinata0;Ϫ4 è una soluzione; per verificarlo
ᎏ5ᎏ 0, a y il valore Ϫ ᎏ54ᎏ e control-
basta sostituire, nell’equazione, a x il valore
lare che l’uguaglianza risulti soddisfatta.
Per trovare altre soluzioni è sufficiente assegnare un qualsiasi valore a x e
poi risolvere rispetto a y l’equazione così ottenuta. Per esempio, se ponia-
mo x ϭ 13, l’equazione diventa:
39 Ϫ 5y ϭ 4 → Ϫ 5y ϭ 4 Ϫ 39 → Ϫ 5y ϭ Ϫ 35 → y ϭ ᎏ35ᎏ5 ϭ 7.
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TEORIA CAPITOLO 8. I SISTEMI LINEARI
◗ Dire che le soluzioni Ricavando y, abbiamo ottenuto y ϭ 7.
sono infinite non significa
dire che qualunque coppia La coppia ordinata (13; 7) è soluzione dell’equazione data.
di numeri è soluzione
dell’equazione. Per esem- Possiamo trovare altre soluzioni allo stesso modo, attribuendo diversi va-
pio, la coppia (1; 1) non è lori a x e ricavando i rispettivi valori di y . Poiché le coppie (x; y) che sod-
soluzione di disfano l’equazione sono infinite, ogni equazione lineare in due incognite
3x Ϫ 5y Ϫ 4 ϭ 0. è indeterminata.
■ I sistemi di due equazioni lineari in due incognite
Consideriamo, oltre all’equazione 3x Ϫ 5y Ϫ 4 ϭ 0, la seguente equazio-
ne, sempre di primo grado in due incognite:
x Ϫ 2y ϭ Ϫ 1.
Ciascuna delle due equazioni considerate ha infinite soluzioni. Ma esisto-
no soluzioni comuni a entrambe? Cioè, esistono coppie ordinate (x ; y) di
valori che soddisfano contemporaneamente le due equazioni?
«Mettere a sistema» le due equazioni significa chiedersi esattamente questo.
DEFINIZIONE
Sistema di equazioni
Un sistema di equazioni è un insieme di equazioni in cui compaiono le
stesse incognite, per le quali ci chiediamo quali sono le soluzioni comuni.
◗ La coppia (0; 0) non è Per indicare un sistema, si scrivono le equazioni in colonna, racchiuse da
soluzione del sistema, per- una parentesi graffa:
ché soddisfa la prima
equazione ma non la se- Ά3x Ϫ 5y Ϫ 4 ϭ 0
conda.
x Ϫ 2y ϭ Ϫ 1
Le soluzioni comuni a tutte le equazioni sono le soluzioni del sistema.
ESEMPIO
Il sistema
Ά3x Ϫ y ϭ 0
4x Ϫ y Ϫ 1 ϭ 0
ha come soluzione la coppia di numeri (1; 3), perché per x ϭ 1 e y ϭ 3
sono soddisfatte tutte e due le equazioni.
■ Il grado di un sistema
DEFINIZIONE
Grado di un sistema
Il grado di un sistema di equazioni algebriche intere è il prodotto dei gra-
di delle singole equazioni che lo compongono.
422
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Paragrafo 2. Il metodo di sostituzione TEORIA
ESEMPIO ◗ Il grado del sistema
Il sistema Ά3x 2 Ϫ 2xy ϩ 3 ϭ 0
Ά3x Ϫ 2y ϩ 1 ϭ 0 7x 3 Ϫ xy ϭ 0
è 6.
4x Ϫ 5y ϭ Ϫ 2 Perché?
è di primo grado, perché è formato da due equazioni di primo grado; il ◗ Due sistemi sono equi-
prodotto dei gradi è dunque 1 и 1 ϭ 1. valenti se hanno lo stesso
insieme di soluzioni.
Così come un’equazione di primo grado è anche detta lineare, un sistema
di primo grado è detto sistema lineare. Un sistema lineare è formato sol-
tanto da equazioni di primo grado. Per il momento ci occupiamo solo di
sistemi lineari.
■ La riduzione di un sistema lineare a forma normale
Facendo uso dei princìpi di equivalenza delle equazioni, possiamo sem-
pre scrivere un sistema lineare, equivalente a quello dato, in forma nor-
male, cioè nella forma:
Άax ϩ by ϭ c
a 1x ϩ b 1 y ϭ c 1
dove i valori a , a 1 e b , b 1 indicano, rispettivamente, i coefficienti delle
incognite x e y, e dove c e c 1 indicano i termini noti delle due equazioni.
2. Il metodo di sostituzione BRAVI SI DIVENTA
Videolezione ᭤ V29a
Per risolvere un sistema lo si riduce solitamente in forma normale appli-
cando i princìpi di equivalenza delle equazioni. Si utilizzano poi diversi ◗ La tabella riassume i
metodi. Cominciamo esaminando il metodo di sostituzione. passaggi che occorre svol-
gere, in generale, per tro-
METODO DI SOSTITUZIONE vare la soluzione di un si-
stema con il metodo di so-
PROCEDIMENTO ESEMPIO stituzione. A fianco del
procedimento da seguire,
1. Ricaviamo un’incognita in funzione Άx ϩ 5y ϭ 3 sono riportati i passaggi
dell’altra, da una delle due equazioni: corrispondenti in un
2x Ϫ 4y ϭ Ϫ 8 esempio.
2. Sostituiamo l’espressione trovata per l’in-
cognita nell’altra equazione; ottieniamo Άx ϭ 3 Ϫ 5y
un’equazione in una sola incognita:
2x Ϫ 4y ϭ Ϫ 8
Άx ϭ 3 Ϫ 5y
2(3 Ϫ 5y ) Ϫ 4y ϭ Ϫ 8
3. Risolviamo l’equazione in una sola incognita: Άx ϭ 3 Ϫ 5y
y ϭ1
4. Sostituiamo la soluzione trovata nell’espres-
sione dell’incognita ancora da determinare; Άx ϭ 3 Ϫ 5 и 1 ϭ Ϫ 2
ricaviamo così la seconda incognita: y ϭ1
423
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TEORIA CAPITOLO 8. I SISTEMI LINEARI
BRAVI SI DIVENTA 3. I sistemi determinati, impossibili,
Videolezione ᭤ V30a indeterminati
◗ Osserviamo che il rap- ■ I sistemi determinati
porto fra i coefficienti di x,
cioè ᎏ21ᎏ , è diverso dal rap- Un sistema si dice determinato quando ha un numero finito di soluzioni.
porto fra i coefficienti di y, Si dimostra che un sistema lineare determinato ha una sola soluzione.
che vale Ϫ ᎏ45ᎏ .
ESEMPIO Il sistema dell’esempio precedente
◗ Questa affermazione
può essere dimostrata, ma Άx ϩ 5y ϭ 3
noi daremo solo una giu-
stificazione grafica. 2x Ϫ 4y ϭ Ϫ 8
è determinato e la sua soluzione è (Ϫ 2; 1).
Consideriamo un generico sistema scritto in forma normale:
Άax ϩ by ϭ c con a , a 1, b , b 1 0.
a 1x ϩ b 1y ϭ c 1
Esso è determinato quando il rapporto fra i coefficienti di x, ᎏaᎏ , è di-
a1
verso dal rapporto fra i coefficienti di y, ᎏbᎏ , ossia quando:
b1
ᎏaᎏ ᎏbᎏ .
a1 b1
Interpretazione grafica
Nel piano cartesiano, ogni equazione lineare in due incognite individua
una retta. È quindi possibile dare un’interpretazione grafica anche dei si-
stemi lineari di due equazioni in due incognite x e y.
᭤ Figura 1 Le rette di ESEMPIO SISTEMA DETERMINATO
equazioni y ؍x ؉ 1 e y = −2x − 2
y ؍؊2x ؊ 2 si intersecano Consideriamo il sistema
nel punto P(؊1; 0): il
sistema è determinato e la Ά Άy ϭ x ϩ 1 xϭϪ1 y=x+1
sua soluzione è la coppia y ϭ0
(؊1; 0) delle coordinate di P. y ϭ Ϫ2x Ϫ 2→ y = −2x − 2 y y=x+1
Ciascuna equazione del sistema ha 1 x
per soluzioni le coordinate (x ; y) (−1; 0) P
dei punti della retta che la rappre-
senta. −1 O
(Ϫ1; 0), unica soluzione del siste- −2
ma, è l’unico punto in comune alle
due rette.
424
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Paragrafo 3. I sistemi determinati, impossibili, indeterminati TEORIA
In generale, consideriamo il sistema MATEMATICA
PER IL CITTADINO
Άax ϩ by ϩ c ϭ 0 retta r
I ciclisti
a 1x ϩ b1 y ϩ c 1 ϭ 0 retta s
Due ciclisti si allenano in
Esplicitiamo le due equazioni, supponendo che a, a1, b, b1 siano non nulli: pista confrontandosi sul
passo (cioè pedalando a
Άby ϭ Ϫ ax Ϫ c Άy ϭ Ϫ ᎏaᎏ x Ϫ ᎏcᎏ lungo a velocità costante).
→ b b Utilizzando equazioni e si-
b 1y ϭ Ϫ a1 x Ϫ c 1 y ϭ Ϫ ᎏaᎏ1 x Ϫ ᎏcᎏ1 stemi lineari, analizziamo
b1 b1 il loro moto e confrontia-
mo le loro prestazioni.
Nel sito: ᭤ Il problema
Le rette r e s si intersecano se non sono parallele, cioè se hanno coeffi-
cienti angolari diversi, ovvero se
Ϫ ᎏaᎏ Ϫ ᎏaᎏ1 .
b b1
Dimostriamo che questa condizione equivale a quella di «sistema deter-
minato».
Poiché abbiamo supposto a1 0, è possibile moltiplicare entrambi i
membri per Ϫ ᎏbᎏ :
a1
Ϫ ᎏaᎏ и Ϫ ᎏbᎏ Ϫ ᎏaᎏ1 и Ϫ ᎏbᎏ .
b a1 b1 a1
Otteniamo proprio:
ᎏaᎏ ᎏbᎏ .
a1 b1
■ I sistemi impossibili
Un sistema è impossibile quando non ammette soluzioni.
ESEMPIO
Risolviamo il seguente sistema con il metodo di sostituzione:
Ά2x Ϫ 3y ϭ 1 Άx ϭ ᎏ1 ϩ2ᎏ3y ◗ Osserviamo che nel si-
2x Ϫ 3y ϭ 7 → 2 и ᎏ1 ϩ2ᎏ3y Ϫ 3y ϭ 7 → stema considerato il rap-
Ά→ x ϭ ᎏ1 ϩ2ᎏ3y porto fra i coefficienti di x,
0иy ϭ6
2 , è uguale al rapporto
ᎏ2ᎏ
Ά→ x ϭ ᎏ1 ϩ2ᎏ3y
1 ϩ 3y Ϫ 3y ϭ 7 fra i coefficienti di y, ᎏϪϪᎏ33 ,
mentre tale rapporto è di-
verso da quello fra i termi-
Poiché siamo giunti a un’equazione impossibile, il sistema non ha solu- ni noti, ᎏ71ᎏ .
zione; quindi è impossibile.
425
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TEORIA CAPITOLO 8. I SISTEMI LINEARI
Consideriamo un generico sistema scritto in forma normale:
Άax ϩ by ϭ c con a , a 1, b, b 1 0.
a 1x ϩ b 1y ϭ c 1
Esso è impossibile quando il rapporto fra i coefficienti di x, ᎏaᎏ , è ugua-
a1
◗ Giustificheremo grafica- le al rapporto fra i coefficienti di y , ᎏbᎏ , e tale rapporto è diverso dal rap-
mente anche questa affer- porto fra i termini noti, ᎏcᎏ , ossia: b1
mazione. c1
ᎏaᎏ ؍ᎏbᎏ ᎏcᎏ .
a1 b1 c1
᭤ Figura 2 Le rette di Interpretazione grafica SISTEMA IMPOSSIBILE
y = − —21 x + 1
equazione y ؍؊ ᎏ1ᎏ x ؉ 1 ESEMPIO y = − —21 x − 3
2
Consideriamo il sistema y = − —21 x + 1 y
e y ؍ ؊ ᎏ1ᎏ x ؊ 3 sono pa-
2 Ά y ϭ Ϫ ᎏ21ᎏ x ϩ 1
y ϭ Ϫ ᎏ21ᎏ x Ϫ 3
rallele e distinte, quindi non
Mediante interpretazione grafica
si incontrano in alcun pun- possiamo dire che è impossibile.
Infatti, le due equazioni individua-
to: il sistema è impossibile. no rispettivamente due rette con
uguale coefficiente angolare e diffe-
rente termine noto, ossia parallele, 1 x
come abbiamo visto nel capitolo 7. O2
y = − —12 x − 3 −3
Per passare al caso generale, consideriamo di nuovo le rette di equazione:
Άy ϭ Ϫ ᎏaᎏ x Ϫ ᎏcᎏ retta r
b b retta s
y ϭ Ϫ ᎏaᎏ1 x Ϫ ᎏcᎏ1
b1 b1
Le rette r e s sono parallele e distinte se hanno uguali i coefficienti angola-
ri ma diversi i termini noti, cioè se:
Ϫ ᎏaᎏ ϭ Ϫ ᎏaᎏ1 e Ϫ ᎏcᎏ Ϫ ᎏcᎏ1 .
b b1 b b1
La prima condizione, come abbiamo visto, equivale a:
ᎏaᎏ ϭ ᎏbᎏ.
a1 b1
426
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Paragrafo 3. I sistemi determinati, impossibili, indeterminati TEORIA
Moltiplicando entrambi i membri della seconda condizione per Ϫ ᎏbᎏ ed ◗ Ϫ ᎏcᎏ Ϫ ᎏbᎏ
c1 b c1
eseguendo le semplificazioni, si ottiene: Ϫ ᎏcᎏ1 Ϫ ᎏbᎏ
b1 c1
ᎏcᎏ ᎏbᎏ.
c1 b1
Le due condizioni messe assieme danno:
ᎏaᎏ ϭ ᎏbᎏ ᎏcᎏ.
a1 b1 c1
Questa è proprio la condizione di «sistema impossibile».
■ I sistemi indeterminati
Un sistema è indeterminato quando ha infinite soluzioni.
ESEMPIO ◗ Osserviamo che nel si-
stema considerato i rap-
Risolviamo il seguente sistema: porti fra i coefficienti di x,
quelli di y e fra i termini
Ά5x Ϫ 2y ϭ 1 Ά→ x ϭ ᎏ1 ϩ5ᎏ2y noti sono uguali:
15 и ᎏ1 ϩ5ᎏ2y Ϫ 6y ϭ 3
15x Ϫ 6y ϭ 3 → 5 ϭ Ϫ2 ϭ 1 .
ᎏ1ᎏ5 ᎏϪᎏ6 ᎏ3ᎏ
Ά→ x ϭ ᎏ1 ϩ5ᎏ2y Ά→ x ϭ ᎏ1 ϩ5ᎏ2y
3 ϩ 6y Ϫ 6y ϭ 3 0иy ϭ0
Poiché siamo giunti a un’equazione indeterminata, il sistema ha infinite ◗ In sintesi
soluzioni; quindi è indeterminato.
Il sistema
Un generico sistema scritto in forma normale, ax + by = c
a1x + b1y = c1
Άax ϩ by ϭc c con a , a 1, b, b 1 0,
1y ϭ determinato
a 1x ϩ b 1 se
è indeterminato quando il rapporto fra i coefficienti di x , —aa1 ≠ —bb1
ᎏaᎏ , è uguale al rapporto fra i coefficienti di y, ᎏbᎏ , e al rapporto fra i impossibile
a1 b1 se
termini ᎏcᎏ
noti, c1 , ossia: è
—aa1 = —bb1 ≠ —cc1
ᎏaᎏ ؍ᎏbᎏ ؍ᎏcᎏ .
a1 b1 c1 indeterminato
se
—aa1 = —bb1 = —cc1
427
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TEORIA CAPITOLO 8. I SISTEMI LINEARI
Interpretazione grafica
ESEMPIO
Consideriamo il sistema indeterminato:
Άy ϭ 2x ϩ 1 → Ά y ϭ 2x ϩ 1ᎏ33ᎏyᎏ63xᎏ3 → Ά y ϭ 2x ϩ 1
ᎏ3ᎏ y ϭ 2x ϩ 1
3y ϭ 6x ϩ 3 ϭ ϩ
Se scriviamo le due equazioni del sistema in forma esplicita, ci accorgia-
mo che coincidono.
᭤ Figura 3 Le rette di Pertanto coincidono anche le rette SISTEMA INDETERMINATO
equazione y ؍2x ؉ 1 e che tali equazioni individuano: le y = 2x + 1
3y ؍6x ؉ 3 coincidono: il infinite soluzioni del sistema sono 3y = 6x + 3
sistema è indeterminato. Le le coordinate degli infiniti punti in y 3y = 6x + 3
sue soluzioni sono le infinite comune alle due rette.
coppie costituite dalle coor-
dinate dei punti della retta.
O x
y = 2x + 1
In generale, consideriamo le equazioni delle rette r e s:
Άy ϭ Ϫ ᎏaᎏ x Ϫ ᎏcᎏ retta r
b b retta s
y ϭ Ϫ ᎏaᎏ1 x Ϫ ᎏcᎏ1
b1 b1
ESPLORAZIONE Le due rette r e s coincidono se hanno lo stesso coefficiente angolare e lo
stesso termine noto, cioè se
Problemi cinesi
e sistemi Ϫ ᎏaᎏ ϭ Ϫ ᎏaᎏ1 e Ϫ ᎏcᎏ ϭ Ϫ ᎏcᎏ1 ,
b b1 b b1
Nel sito: ᭤ La scheda
che diventa, con passaggi analoghi a quelli già visti:
428
ᎏaᎏ ϭ ᎏbᎏ ϭ ᎏcᎏ.
a1 b1 c1
Questa è la condizione di «sistema indeterminato».
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Paragrafo 5. Il metodo di riduzione TEORIA
4. Il metodo del confronto BRAVI SI DIVENTA
Videolezione ᭤ V29b
Possiamo risolvere un sistema lineare anche utilizzando il metodo del
confronto. ESEMPIO
La seguente tabella riassume i passaggi che occorre svolgere, in generale, Ά 5x ϩ y ϭ Ϫ 2
per trovare la soluzione di un sistema mediante questo metodo. 2x Ϫ y ϭ 16
METODO DEL CONFRONTO Ά y ϭ Ϫ 2 Ϫ 5x
y ϭ Ϫ 16 ϩ 2x
PROCEDIMENTO
ΆϪ 2 Ϫ 5x ϭ Ϫ 16 ϩ 2x
1. Ricaviamo la stessa incognita da entrambe le equazioni: y ϭ Ϫ 16 ϩ 2x
2. Uguagliamo le due espressioni ottenute; ricaviamo così un’equazione nella Άx ϭ2
quale compare solo l’altra incognita: y ϭ Ϫ 16 ϩ 2x
3. Risolviamo l’equazione in una sola incognita: Άx ϭ2
y ϭ Ϫ 16 ϩ 2 и 2
4. Sostituiamo il valore dell’incognita, trovato al punto 3, in una delle due
equazioni iniziali: Άx ϭ2
y ϭ Ϫ 12
5. Risolviamo l’equazione in un’incognita trovata al punto 4:
5. Il metodo di riduzione BRAVI SI DIVENTA
Videolezione ᭤ V31a
Il metodo di riduzione è anche detto metodo di addizione e sottrazio-
ne, perché per applicarlo è necessario sommare (o sottrarre) membro a
membro le equazioni del sistema.
La seguente tabella riassume i passaggi che occorre svolgere, in generale,
per trovare la soluzione di un sistema con il metodo di riduzione.
METODO DI RIDUZIONE
PROCEDIMENTO ESEMPIO
1. Moltiplichiamo una o entrambe le equazioni per fattori Ά3x Ϫ 4y ϭ 27 Ά6x Ϫ 8y ϭ 54
non nulli, in modo che i coefficienti di una delle variabi-
li risultino uguali od opposti: 2x ϩ 8y ϭ Ϫ 14 2x ϩ 8y ϭ Ϫ 14
2. Se i coefficienti ottenuti al punto 1 sono uguali, sottraia- Ά6x Ϫ 8y ϭ 54
mo membro a membro le due equazioni; se i coefficienti
sono opposti, sommiamo membro a membro; ottenia- ϩ 2x ϩ 8y ϭ Ϫ 14
mo così un’equazione in una sola incognita: 8x ϭ 40
3. Risolviamo l’equazione in una sola incognita: x ϭ ᎏ48ᎏ0 ϭ 5
4. Ripetiamo i passi 1, 2 e 3 per determinare l’altra incognita: Ά6x Ϫ 8y ϭ 54
Ϫ 6x ϩ 24y ϭ Ϫ 42 → y ϭϪ3
Ϫ 32y ϭ 96
429
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TEORIA CAPITOLO 8. I SISTEMI LINEARI
BRAVI SI DIVENTA 6. Il metodo di Cramer
Videolezione ᭤ V32a
La soluzione del sistema
Άax ϩ by ϭ c
a1x ϩ b1 y ϭ c1
è data dalle formule:
◗ Questo risultato si può x ϭ ᎏb1 c Ϫᎏbc1 e y ϭ ᎏac1 Ϫᎏa1 c con ab1 Ϫ a1 b 0.
ottenere, per esempio, con ab1 Ϫ a1 b ab1 Ϫ a1 b
il metodo di riduzione.
Esaminiamo ora un metodo semplice per ricordare queste formule. Uti-
lizzeremo i determinanti.
◗ Ecco un esempio nume- Chiamiamo determinante del sistema il numero D definito da:
rico di calcolo di determi-
nante: ͉ ͉D ϭ a b ϭ ab1 Ϫ ba1.
a1 b1
͉ 2 1 ͉
3 5 Analogamente possiamo scrivere altri due determinanti.
ϭ 2 и 5 Ϫ 1 и 3 ϭ 7. 1. Determinante ottenuto da quello del sistema sostituendo, nella prima
colonna, i termini noti ai coefficienti di x :
͉ ͉Dx ϭ c b ϭ cb1 Ϫ bc1.
c1 b1
2. Determinante ottenuto da quello del sistema sostituendo, nella secon-
da colonna, i termini noti ai coefficienti di y:
͉ ͉Dyϭ a c ϭ ac1 Ϫ ca1.
a1 c1
Riscriviamo le soluzioni del sistema utilizzando i determinanti appena
definiti:
◗ La soluzione ͉ ͉x cb
ᎏDᎏx ; ᎏDᎏy ϭ ᎏb1c Ϫᎏbc1 ϭ ᎏc 1 ᎏb 1 ϭ ᎏDᎏx
DD ab1 Ϫ a1b ab D
esiste se D 0 e il sistema ͉ ͉a1 b1
è determinato.
͉ ͉y ac
Se D ϭ 0, i casi sono due:
● se Dx ϭ 0 e D y ϭ 0, il si- ϭ ᎏac1 Ϫᎏa1 c ϭ ᎏaa 1 ᎏbc 1 ϭ ᎏDDᎏy .
ab1 Ϫ a1 b ͉ ͉a1 b1
stema è indeterminato;
● se Dx 0 o Dy 0, il si- Le frazioni che esprimono la soluzione (x; y) hanno senso, perché stiamo
supponendo D ϭ ab1 Ϫ a1 b 0.
stema è impossibile.
Questo metodo per studiare le soluzioni di un sistema lineare determina-
◗ Gabriel Cramer, mate- to è noto come metodo di Cramer.
matico svizzero, utilizzò la
regola che prende il suo
nome verso il 1750.
430
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Paragrafo 7. I sistemi di tre equazioni in tre incognite TEORIA
PROCEDIMENTO METODO DI CRAMER ͉ ͉Dϭ 2 Ϫ5 ϭ 4 ϩ 15 ϭ 19
ESEMPIO 3 2
1. Calcoliamo il determinante del sistema:
Ά2x Ϫ 5y ϭ 11
2. Calcoliamo il determinante Dx :
3x ϩ 2y ϭ 7
3. Calcoliamo il determinante Dy:
4. Calcoliamo la soluzione: ͉ ͉11 Ϫ5 ϭ 22 ϩ 35 ϭ 57
2
Dxϭ 7
͉ ͉2 11 ϭ 14 Ϫ 33 ϭ Ϫ 19
7
Dyϭ 3
x ϭ ᎏDᎏx ϭ ᎏ15ᎏ97 ϭ 3 y ϭ ᎏDᎏy ϭ ᎏϪ1ᎏ919 ϭ Ϫ 1
D D
7. I sistemi di tre equazioni BRAVI SI DIVENTA
in tre incognite Videolezione ᭤ V33a
Nel caso di un sistema di tre equazioni nelle tre incognite x , y, z la solu- LABORATORIO
zione è una terna di valori (x; y; z) che risolve contemporaneamente tut- DI MATEMATICA
te le equazioni del sistema. Nel sito:
᭤ I sistemi lineari con
Vedremo un esempio di risoluzione nell’esercizio guida 153.
Derive
PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Nel sito: ᭤ Scheda di lavoro
Bruciare metano
Combinando molecole di metano (CH4) con molecole di ossigeno (O2), si ot-
tengono, per combustione, molecole di diossido di carbonio (CO2) e acqua
(H2O) secondo la reazione CH4 ϩ O2 → CO2 ϩ H2O. Che relazione c’è tra le
molecole di metano, ossigeno, diossido di carbonio e acqua coinvolte?
FRANCESCO: «Basta leggere lo schema: una molecola di metano e una di ossi-
MARIA: geno danno una di diossido di carbonio e una di acqua».
«Non direi. Nella reazione ci sono tre elementi, C, H e O, cioè
carbonio, idrogeno e ossigeno. Il numero di atomi di ognuno, in
una molecola, è in basso a destra. La reazione va bilanciata: gli
atomi che ci sono prima e dopo la combustione devono essere
gli stessi».
᭤ Trova, utilizzando un sistema, quale coefficiente numerico assegnare a cia-
scuna molecola.
431
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 8. I SISTEMI LINEARI
LA TEORIA IN SINTESI
I sistemi lineari
1. I sistemi di due equazioni Prima di applicare qualsiasi metodo risolutivo a un
in due incognite sistema lineare è bene ridurlo a forma normale,
cioè:
Un sistema di equazioni è un insieme di due o più
equazioni nelle stesse incognite. Il sistema è detto li- Άax ϩ by ϭ c
neare se formato da equazioni di primo grado.
a1x ϩ b1 y ϭ c1
Il grado di un sistema di equazioni algebriche intere
è il prodotto dei gradi delle singole equazioni che lo 2. Il metodo di sostituzione
compongono.
Lo schema risolutivo di un sistema lineare di due
La soluzione di un sistema è una soluzione comune a equazioni in due incognite con il metodo di sostitu-
tutte le equazioni che lo compongono. zione è il seguente:
ESEMPIO Ά4x ϩ y ϭ 5 → y ϭ 5 Ϫ 4x
Il sistema 3x Ϫ 2y ϭ 12
Ά2x ϩ y ϭ 0 Άy ϭ 5 Ϫ 4x
6x Ϫ y ϭ 8 3x Ϫ 2(5 Ϫ 4x) ϭ 12 → x ϭ 2
ha come soluzione la coppia (1; Ϫ 2), mentre la Ά Άy ϭ 5 Ϫ 4 и 2 → y ϭϪ3
coppia (0; 0) non è soluzione del sistema perché x ϭ2
soddisfa solo la prima equazione. x ϭ2
3. I sistemi determinati, impossibili, indeterminati
Un sistema è determinato, impossibile o indeterminato a seconda che abbia una, nessuna o infinite
soluzioni.
determinato se ᎏaᎏ ᎏbᎏ ;
a1 b1
Il sistema Ά ax ϩ by ϭ c è indeterminato se a ϭ ᎏbᎏ ϭ ᎏcᎏ ;
a1 x ϩ b1 y ϭ c1 ᎏaᎏ1 b1 c1
impossibile se ᎏaᎏ ϭ ᎏbᎏ ᎏcᎏ .
a1 b1 c1
Se studiamo il problema in termini geometrici, le equazioni di un sistema lineare di due equazioni in due in-
cognite sono le equazioni di due rette. Se il sistema è:
● determinato, le due rette si intersecano in un punto;
● indeterminato, le due rette sono coincidenti;
● impossibile, le due rette sono parallele.
432
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La teoria in sintesi ESERCIZI
y y y
y=x+3 y=x+3
6 y=x+3
le rette le rette
P 3 coincidono 3 sono parallele
4 un punto
3 di intersezione
−3 O 1 3 x −3 O 1 x −3 O 1 2 x
−2
y = −2x + 6
y=x−2
−x + y = 3 x=1 −x + y = 3
−3x + 3y = 9 −x + y = 3
2x + y = 6 y=4 −x + y = −2
P (1; 4)
4. Il metodo del confronto
Lo schema risolutivo di un sistema lineare di due equazioni in due incognite col metodo del confronto è il se-
guente:
Ά4x ϩ y ϭ 5
3x Ϫ 2y ϭ 12
y ϭ ᎏ3x Ϫ2ᎏ12 y ϭ 5 Ϫ 4x
ᎏ3x Ϫ2ᎏ12 ϭ 5 Ϫ 4x
x ϭ2
Άy ϭ Ϫ 3
x ϭ2
5. Il metodo di riduzione
Lo schema risolutivo di un sistema lineare di due equazioni in due incognite col metodo di riduzione è il se-
guente:
и 2 Eliminiamo y Ά 4x ϩ y ϭ 5 и 3 Eliminiamo x
3x Ϫ 2y ϭ 12
и4
Άϩ 8x ϩ 2y ϭ 10 ΆϪ 12x ϩ 3y ϭ 15
3x Ϫ 2y ϭ 12 12x Ϫ 8y ϭ 48
ᎏ11x ᎏϭ 22 ᎏᎏ11yᎏϭ Ϫ 33
x ϭ2 y ϭϪ3
Άy ϭ Ϫ 3
x ϭ2
433
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ESERCIZI CAPITOLO 8. I SISTEMI LINEARI
6. Il metodo di Cramer
Per risolvere un sistema lineare di due equazioni in due incognite si può applicare anche il metodo di
Cramer.
Ά4x ϩ y ϭ 5 ͉ ͉Poiché D ϭab ϭ ab1 Ϫ ba1, ͉ ͉D ϭ4 1 ϭ Ϫ 8 Ϫ 3 ϭ Ϫ 11.
a1 b1 3 Ϫ2
3x Ϫ 2y ϭ 12
͉ ͉ ͉ ͉Dx ϭcbϭ 5 1 ϭ Ϫ 10 Ϫ 12 ϭ Ϫ 22, ͉ ͉ ͉ ͉Dy ϭac ϭ 4 5 ϭ 48 Ϫ 15 ϭ 33.
c1 b1 12 Ϫ2 a1 c1 3 12
● se D 0, il sistema è determinato: x ϭ ᎏDᎏx ; y ϭ ᎏDᎏy ;
D D
Dx ϭ 0 e quindi anche Dy ϭ 0, il sistema è indeterminato;
● se D ϭ 0 Dx 0 (e quindi Dy 0), il sistema è impossibile.
Nel nostro esempio, D
0: il sistema è determinato e le soluzioni sono x ϭ Ϫ 22 ϭ 2 e y ϭ 33 ϭ Ϫ 3.
ᎏϪᎏ11 ᎏϪᎏ11
7. I sistemi di tre equazioni in tre incognite
Per risolvere un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite possiamo utilizzare i metodi di sostitu-
zione, confronto e riduzione opportunamente combinati fra loro.
1. I sistemi di due equazioni –ᮣ Teoria a pag. 421
in due incognite
■ Le equazioni lineari in due incognite
Per ogni equazione nelle incognite x e y verifica se le coppie di numeri scritte a lato sono soluzioni.
1 2x ϩ 6y Ϫ 5 ϭ 0 (0; 1), 1; ᎏ21ᎏ , ᎏ25ᎏ ; 0 . [no; sì; sì]
[sì; no; sì]
2 5y ϩ ᎏ21ᎏ x Ϫ 1 ϭ Ϫ 4y Ϫ ᎏ21ᎏ x (1; 0), 2; ᎏ91ᎏ , 2; Ϫᎏ91ᎏ . [sì; no; sì]
3 ᎏy Ϫ5ᎏx ϭ ᎏx Ϫ3ᎏy (0; 0), (1; 2), (Ϫ 6 ; Ϫ 6).
■ Le soluzioni di un sistema
Verifica se la coppia scritta di fianco a ogni sistema è soluzione del sistema oppure no.
Ά5x Ϫ 3y ϭ 12 (3; 1) Ά[sì] 3y ϭ x ϩ 2 (1; 1) [sì]
6 x ϩ 5y ϭ 6 (0; 2a) [sì]
4 x Ϫ 2y ϭ 1
Ά3x ϩ 2y ϭ Ϫ 1 (5; Ϫ 2) Ά[no] 7 x ϩ y ϭ 2a
6x ϩ 3ay ϭ 6a 2
5 6x Ϫ 9y ϭ 2
434
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Paragrafo 1. I sistemi di due equazioni in due incognite ESERCIZI
8 La coppia (1; Ϫ 2) è soluzione di un solo sistema fra i seguenti. Quale?
Ά ᎏy Ϫ5ᎏ1 ϭ 2x ϩ 6 Ά ᎏy ϩ6ᎏ2 ϭ x Ϫ 1 Ά ᎏ4y8Ϫᎏ3 ϭ ᎏ1 Ϫ5ᎏx
ᎏx ϩ3ᎏ1 ϭ ᎏy Ϫ5ᎏ2 ᎏ21ᎏ y ϩ 1 ϭ ᎏ1 Ϫ2ᎏx ᎏ8 y3ϩᎏ2 ϭ Ϫ x Ϫ 1
ASSOCIA a ogni sistema la relativa coppia soluzione.
Ά Ά Άx ϩ 3y ϭ Ϫ 1 2x Ϫ y ϭ 2 3x ϩ 2y ϭ Ϫ 2 (0; Ϫ 1), (5; Ϫ 2), (3; 4).
9 xϪy ϭ7 x ϩ 2y ϭ 11 Ϫ 5x ϩ y ϭ Ϫ 1
Ά Ά Ά2x Ϫ 6y ϭ Ϫ 1 2x Ϫ 6y ϭ Ϫ 3 2x Ϫ 6y ϭ 1 1 1
11 11
10 4x ϩ 9y ϭ 5 4x ϩ 9y ϭ 1 Ϫ ᎏ2ᎏ ; ᎏ3ᎏ , Ϫ ᎏ2ᎏ ; Ϫ ᎏ3ᎏ , ᎏ2ᎏ ; ᎏ3ᎏ .
4x ϩ 9y ϭ Ϫ 5
Ά11 5x Ϫ y ϭ 2 Άx ϩ 2y ϭ 2 Άᎏ21ᎏx Ϫ y ϭ ᎏ15ᎏ6 2 6
3x ϭ 4 4x ϩ 3y ϭ 2 4 14 4 18
Ϫ ᎏ5ᎏ ; ᎏ5ᎏ , ᎏ3ᎏ ; ᎏ3ᎏ , Ϫ ᎏ5ᎏ ; Ϫ ᎏ5ᎏ .
3x 6
Ϫ y ϭ ᎏ5ᎏ
■ Il grado di un sistema
Fra i seguenti sistemi indica quelli di primo grado.
Ά2x Ϫ y ϭ 0 Άb) 7x Ϫ 1 y ϩ 1 ϭ y Ά 2y ϩ 2 ϭ 1 Ϫ x
ᎏ3ᎏ
12 a) c)
x 2 Ϫ 2xy ϭ 0 4xy Ϫ 2 ϭ 0 3x ϩ y ϭ 1 Ϫ 2y
Scrivi il grado di ciascuno dei seguenti sistemi.
Άxϭy ϩ2 Άxy ϭ Ϫ 7 Άx 3 Ϫ 3x 2y 2 ϭ 0
13 a) 4x Ϫ 3y ϭ 2y ϩ 2 Ϫ 5x b) x ϭ Ϫ y 2 ϩ 9 c) x 2y Ϫ 2 ϩ 3xy ϭ y
Άy ϭ 4x 2 Ϫ 2x ϩ 1 Άx 2 Ϫ y 2 ϭ 4xy Ϫ 8 Άxy 2 ϭ 1
14 a) x 2 ϩ y 2 ϭ 9 b) 2x Ϫ 3y ϩ 1 ϭ 0 c) x ϩ y ϭ 2
15 COMPLETA i seguenti sistemi scrivendo un’equazione nelle incognite x e y in modo che il sistema formato
dalle due equazioni abbia il grado indicato di fianco.
Άx Ϫy ϩ1ϭ0 secondo grado Ά 3x Ϫ 2y ϭ 5 primo grado
a) b)
. ........................... ............................
435
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ESERCIZI CAPITOLO 8. I SISTEMI LINEARI
■ La riduzione di un sistema lineare a forma normale
ESERCIZIO GUIDA
16 Riduciamo a forma normale il seguente sistema:
Ά2x Ϫ 5 ϭ 7y
4y ϩ 2x Ϫ 1 ϭ 0
Dobbiamo scrivere le due equazioni nella forma ax ϩ by ϭ c, in cui compaiono le due incognite a primo
membro e il termine noto a secondo membro.
Il sistema ridotto a forma normale è:
Ά2x Ϫ 7y ϭ 5
2x ϩ 4y ϭ 1
Fra i seguenti sistemi, indica quelli scritti in forma normale e riduci poi gli altri alla stessa forma.
Ά 2x Ϫ y Ϫ 3 ϭ 0 Ά y ϭ 2x ϩ 1 Ά 8x ϩ 3y ϭ 6
17 a) x ϭ y ϩ 1 b) 6x Ϫ y ϭ Ϫ 1 c) Ϫ 2x ϩ 7y ϭ Ϫ 2
Άx Ϫy ϭ0 Ά 6x Ϫ y ϭ 4 Ά 4x ϭ y ϩ 1
18 a) 2x ϩ 3y Ϫ 1 ϭ 0 b) 8y ϩ 7x ϭ Ϫ 5 c) 3x ϭ Ϫ 2y ϩ 6
Riduci a forma normale i seguenti sistemi. Ά9(x ϩ y) Ϫ 8(x Ϫ y) ϭ 19
Ά2x Ϫ 3y Ϫ 14 ϭ 9 Ϫ 3x ϩ y 20 4(x Ϫ y) ϩ 2(3x Ϫ y) ϭ 14
19 x ϩ 4y Ϫ 10 ϭ ϩ 14 ϩ 1 Ϫ 3x Ϫ 6y
2. Il metodo di sostituzione –ᮣ Teoria a pag. 423
ESERCIZIO GUIDA
21 Risolviamo il seguente sistema con il metodo di sostituzione:
Ά2y Ϫ 5 ϭ Ϫ 2x Ϫ 6 ϩ y
2(x Ϫ 1) ϭ 3(1 Ϫ 2y) ϩ 19
Riduciamo il sistema a forma normale:
Ά Ά Ά Ά2x Ϫ 2 ϭ 3 Ϫ 6y ϩ 19 → 2x ϩ 6y ϭ 22 ϩ 2 →
2x ϩ 2y Ϫ y ϭ Ϫ 6 ϩ 5 2x ϩ y ϭ Ϫ 1 2x ϩ y ϭ Ϫ 1 2x ϩ y ϭ Ϫ 1
2x ϩ 6y ϭ 24 → x ϩ 3y ϭ 12
436
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Paragrafo 2. Il metodo di sostituzione ESERCIZI
Ricaviamo y dalla prima equazione, perché ha il coefficiente uguale a 1, quindi il calcolo è più semplice:
Ά y ϭ Ϫ 1 Ϫ 2x
x ϩ 3y ϭ 12
Sostituiamo l’espressione a y nella seconda equazione:
Ά y ϭ Ϫ 1 Ϫ 2x
x ϩ 3(Ϫ 1 Ϫ 2x) ϭ 12
Risolviamo la seconda equazione:
Ά y ϭ Ϫ 1 Ϫ 2x → Ά Άy ϭ Ϫ 1 Ϫ 2x → y ϭ Ϫ 1 Ϫ 2x
x Ϫ 3 Ϫ 6x ϭ 12 Ϫ 5x ϭ 15 x ϭϪ3
Sostituiamo il valore di x nella prima equazione:
Ά Άy ϭ Ϫ 1 Ϫ 2(Ϫ 3) → y ϭ5
x ϭϪ3 x ϭϪ3
La soluzione del sistema è (Ϫ 3; 5).
Risolvi col metodo di sostituzione i seguenti sistemi.
Άx Ϫy ϭ3 Ά[(6; 3)] 3(x Ϫ 1) ϩ 2(y ϩ 1) Ϫ 6 ϭ 5 [(2; 3)]
30 2(x ϩ 1) Ϫ 3(y Ϫ 1) ϭ 0
22 x ϩ y ϭ 9
Ά2x Ϫ 5y ϭ 7 [(16; 5)] Ά8(x Ϫ y) ϩ 6(x ϩ y) Ϫ 96 ϭ 144 [(20; 20)]
[(4; 3)]
23 x Ϫ 3y ϭ 1 31 x ϩ y ϭ 40
Ά5x ϩ y ϭ 20 [(4; 0)] Ά x Ϫ 2 ϭ ᎏ3yᎏ Ϫ 1 ϩ ᎏ2xᎏ
24 5x ϩ 7y ϭ 20 32 ᎏ5x ϩ6ᎏ3y ᎏ2x 4Ϫᎏy 7
ᎏ1ᎏ2
Ά25 x Ϫ 6y ϩ 5 ϭ 3 Ϫ 7y ϩ 10 ϩ 2x ϩ 2 [(Ϫ6; 4)] Ϫ 3 ϭ ϩ
x ϩy ϭ6Ϫ8
Ά2x Ϫ 4 ϭ 3y ΄ᎏ12ᎏ9 ; 5΅ Ά3(x Ϫ 1) Ϫ 2(y Ϫ 1)2 ϭ 5 Ϫ 2y 2 [(2; 1)]
26 4y Ϫ 1 ϭ 2x 33 6x(y Ϫ 1) ϩ 3y(4 Ϫ 2x) ϭ 0
Ά3x Ϫ 1 ϭ 0 Ϫ ᎏ2ᎏ΄ ΅ᎏ31ᎏ; Ά34 ᎏx Ϫ5ᎏ2 Ϫ ᎏ2y 3Ϫᎏ1 ϭ ᎏx ϩ1ᎏ5y [(Ϫ27 ; Ϫ 5)]
3 ᎏ31ᎏ x Ϫ 2y ϭ 1
27 4x ϩ 2y ϭ 0
Ά2x Ϫ y ϭ 7 ΄ᎏ5ᎏ; Ϫ2΅ Ά35 BRAVI SI DIVENTA ᭤ E30
2
28 4x ϩ 3y ϭ 4 ᎏ23ᎏ (x ϩ 1) ϩ 4(x Ϫ y) ϭ 3x ϩ ᎏ13ᎏ
Ά5(5x Ϫ 2) ϭ 20x Ϫ 2(y Ϫ 3) [(2; 3)] x(1 Ϫ x) ϩ (y Ϫ 2)2 ϭ 7 ϩ (y Ϫ x)(x ϩ y)
ᎏ3ᎏ
29 2(x Ϫ 5) Ϫ 12y ϭ 21(1 Ϫ y)
437
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ESERCIZI CAPITOLO 8. I SISTEMI LINEARI
Ά(x Ϫ 2)2 ϩ (y Ϫ 1)(y ϩ 1) ϭ x 2 ϩ y 2 ϩ 3 ΄0; ᎏ34ᎏ΅
36 (x Ϫ 3y)(x ϩ 3y) Ϫ x 2 ϩ 3y ϭ 4 Ϫ 9y 2 Ϫ 2x [(0; 0)]
Ά(x Ϫ 2y)(x ϩ y) ϩ 3y ϭ x 2 Ϫ 2y 2 Ϫ xy ϩ x
37 ᎏ2x 3Ϫᎏ1 ϩ ᎏ21ᎏ ϭ ᎏy ϩ6ᎏ1
3. I sistemi determinati, impossibili, –ᮣ Teoria a pag. 424
indeterminati
ESERCIZIO GUIDA
38 Stabiliamo se ognuno dei seguenti sistemi è determinato, indeterminato o impossibile senza risolverlo. In-
terpretiamo poi graficamente i sistemi.
Άx ϩ 2y ϭ 4 Ά2x Ϫ y ϭ 1 Άx Ϫ 2y ϭ Ϫ 2
a) 3xϪ 4y ϭ 2 b) 4x Ϫ 2y ϭ 2 c) Ϫ 3x ϩ 6y ϭ Ϫ 12
I tre sistemi sono scritti in forma normale, quindi confrontiamo in ognuno di essi i rapporti ᎏaᎏ fra i coef-
c a1
ficienti di x, ᎏbᎏ fra i coefficienti di y e ᎏᎏ fra i termini noti.
b1 c1
Ά 1x ϩ 2y ϭ 4 ᎏaᎏ ϭ ᎏ1ᎏ ; ᎏbᎏ ϭ ᎏ2ᎏ ϭ Ϫ ᎏ1ᎏ .
a1 3 b1 Ϫ 4 2
a)
3x Ϫ 4y ϭ 2
I due rapporti sono diversi, quindi il sistema è determinato.
Le equazioni x ϩ 2y ϭ 4 e 3x Ϫ 4y ϭ 2 sono rappresentate nel piano cartesiano da due rette. Troviamo
alcuni punti mediante tabelle e disegniamo le rette.
x ϩ 2y ϭ 4 → y ϭ Ϫ ᎏ2xᎏ ϩ 2 y
x Ϫ2 0 2 3 3x – 4y = 2
y 32 1 2
31 1
y ϭ ᎏ4ᎏ x Ϫ ᎏ2ᎏ
3x Ϫ 4y ϭ 2 →
x Ϫ2 0 2 –2 O – 12– 2x
x + 2y = 4
y Ϫ 2 Ϫ ᎏ12ᎏ 1 –2
Ά 2x Ϫ 1y ϭ 1 ᎏaᎏ ϭ ᎏ2ᎏ ϭ ᎏ1ᎏ ; ᎏbᎏ ϭ ᎏϪᎏ1 ϭ ᎏ1ᎏ ; c ϭ ᎏ1ᎏ .
ᎏᎏ
b) a1 4 2 b1 Ϫ 2 2 c1 2
4x Ϫ 2y ϭ 2
I tre rapporti sono uguali, quindi il sistema è indeterminato.
438
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Paragrafo 3. I sistemi determinati, impossibili, indeterminati ESERCIZI
Rappresentiamo graficamente il sistema. y
2x Ϫ y ϭ 1 → y ϭ 2x Ϫ 1
2x –y = 1
x Ϫ1 0 1 1 4x –2 y = 2
y Ϫ3 Ϫ1 1
–1 O 1 x
4x Ϫ 2y ϭ 2 → y ϭ 2x Ϫ 1 –3
x Ϫ1 0 1
y Ϫ3 Ϫ1 1
Ά 1x Ϫ 2y ϭ Ϫ 2 ᎏaᎏ ϭ 1 ϭ Ϫ 1 ; ᎏbᎏ ϭ Ϫ2 ϭ Ϫ 1 ; c ϭ Ϫ2 ϭ 1 .
a1 ᎏϪᎏ3 ᎏ3ᎏ b1 ᎏ6ᎏ ᎏ3ᎏ ᎏᎏ ᎏϪ ᎏ12 ᎏ6ᎏ
c) c1
Ϫ 3x ϩ 6y ϭ Ϫ 12
ᎏaᎏ ϭ ᎏbᎏ ᎏcᎏ, quindi il sistema è impossibile. y
a1 b1 c1 2 x– 2 y = –2
Interpretiamolo graficamente.
x Ϫ 2y ϭ Ϫ 2 → y ϭ ᎏx2ᎏ ϩ 1 1
x Ϫ2 0 2
y 0 12 –2 O 2x
Ϫ 3x ϩ 6y ϭ Ϫ 12 → y ϭ ᎏ2xᎏ Ϫ 2 –1 –3x+6 x =–12
x Ϫ2 0 2 –2
–3
y Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1
Per ogni sistema stabilisci se esso è determinato, impossibile o indeterminato, senza risolverlo. Se il sistema è
determinato, risolvilo con il metodo di sostituzione. Interpreta poi graficamente il sistema.
Ά3x ϩ 2y ϭ 7 [indeterminato] Ά y Ϫ 3x ϭ 1 [indeterminato]
39 6x ϩ 4y ϭ 14 ΄ ΅determinato, ᎏ71ᎏ ; ᎏ72ᎏ 43 x Ϫ ᎏ31ᎏ y ϭ Ϫ ᎏ31ᎏ
Ά ΄ ΅44
Ά2x Ϫ y ϭ 0 [impossibile] 2x ϩ ᎏ61ᎏ y Ϫ 3 ϭ 0 determinato, 16 ; 42
ᎏ21ᎏ y Ϫ ᎏ21ᎏ x ϭ 1 ᎏ1ᎏ3 ᎏ1ᎏ3
40 x ϩ 3y ϭ 1 [impossibile]
Ά1 Ϫ 4y Ϫ 1 x ϭ 0
Ά6x Ϫ 2y ϭ 5 ᎏ3ᎏ
45 [impossibile]
41 18x Ϫ 6y ϭ Ϫ 1 2 1
ᎏ3ᎏ x ϩ 8y ϭ ϩ ᎏ2ᎏ
Ά4x Ϫ 2y ϭ 1
42 Ϫ 2x ϩ y ϭ Ϫ 2
439
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ESERCIZI CAPITOLO 8. I SISTEMI LINEARI
Determina per quali valori di k i seguenti sistemi sono determinati, senza risolverli.
Άkx Ϫ y ϭ 1 ΄ ΅ Ά2 x Ϫ 3y ϭ k Ά ΄[∀ k ʦ R] 48
47 2x ϩ y ϭ 2 (k ϩ 1)x Ϫ 2ky ϭ k ΅1
46 2x ϩ 3y ϭ 6 k Ϫ ᎏ3ᎏ
4x ϩ 2y ϭ 1 k Ϫ ᎏ5ᎏ
Trova per quali valori di k i seguenti sistemi sono im- Trova per quali valori di a i seguenti sistemi sono in-
possibili, senza risolverli. determinati.
Άx ϩ 2ky ϭ 2 ΄ ΅1 Ά2ax ϩ y ϭ Ϫ 2 ΄ ΅1
49 Ϫ 2x ϩ y ϭ 1 k ϭ Ϫ ᎏ4ᎏ 52 xϪ 2y ϭ ϩ 4 a ϭ Ϫ ᎏ4ᎏ
[k ϭ Ϫ 2] [a ϭ 1]
Ά3x Ϫ y ϭ 5 Άax ϩ ay ϭ Ϫ 3
50 6kx ϩ 4y ϭ 1 53 3ax ϩ 3y ϭ Ϫ 9
Άkx Ϫ (k ϩ 3)y ϭ 1 Ά[k ϭ 1] Ϫx ϩyϭ2 [/∃a ʦ R]
54 2ax Ϫ 4y ϭ 3
51 2x Ϫ 8y ϭ 3
■ Sistemi e geometria analitica y
55 ASSOCIA a ogni grafico il sistema di equazioni che lo rappresenta.
y yy
3 x 3 x 1 x 3
6 1 6 –2 O –6
1 1
O2 –2 O x
O2
a b c d
Ά2y ϩ x ϭ 2
Ά1. 6 ϭ 6y Ϫ 3x Ά2. 2y ϭ x ϩ 2 3. y ϭ 1 x ϩ 3 Ά4. x ϭ 2 Ϫ 2y
x ϭ 2y Ϫ 2 x ϭ 6 Ϫ 2y ᎏ2ᎏ 2y ϭ 6 Ϫ x
Determina le coordinate degli eventuali punti di intersezione delle seguenti coppie di rette.
56 3x Ϫ y ϩ 7 ϭ 0; 2x ϩ y ϩ 3 ϭ 0. [(Ϫ 2; 1)]
57 y ϭ 4x Ϫ 7; x ϩ y ϩ 2 ϭ 0. [(1; Ϫ 3)]
58 2x Ϫ y ϩ 1 ϭ 0; y ϭ 2x Ϫ 3. [nessun punto di intersezione]
59 3x Ϫ y ϩ 9 ϭ 0; y ϭ 2x ϩ 6. [(Ϫ 3; 0)]
60 y ϭ 3x ϩ 1; 2y Ϫ 8 ϭ 0. [(1; 4)]
61 2x Ϫ 3y Ϫ 2 ϭ 0; 6x Ϫ 9y Ϫ 6 ϭ 0. [rette coincidenti: infiniti punti di intersezione]
62 2x ϩ y ϩ 4 ϭ 0; 2y ϩ 5 ϩ x ϭ 0. [(Ϫ 1; Ϫ 2)]
63 2x Ϫ 6y Ϫ 12 ϭ 0; [rette coincidenti: infiniti punti di intersezione]
y ϭ 1 x Ϫ 2.
ᎏ3ᎏ
440
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Paragrafo 4. Il metodo del confronto ESERCIZI
64 y ϭ ᎏ23ᎏ x Ϫ 1; 4x ϩ 3y Ϫ 2 ϭ 0. ΄ ΅ᎏ11ᎏ70 ; Ϫ ᎏ12ᎏ7
65 y ϭ 3x Ϫ 2; 3x Ϫ y Ϫ 1 ϭ 0.
[nessun punto di intersezione]
66 Trova le coordinate dei vertici del triangolo indi- triangolo rettangolo. Calcola poi l’area del trian-
viduato dalle rette di equazioni x Ϫ 3y Ϫ 13 ϭ 0, golo e le coordinate del circocentro D.
΄ ΅area ϭ ᎏ14ᎏ5 ; D1
4x Ϫ y Ϫ 8 ϭ 0, 3x ϩ 2y Ϫ 17 ϭ 0 e calcolane 1; Ϫ ᎏ2ᎏ
l’area. [(3; 4), (1; Ϫ 4), (7; Ϫ 2); area ϭ 22]
67 Trova perimetro e area del triangolo individuato 70 Di un parallelogramma ABCD sono noti l’equa-
dalle rette di equazioni y ϩ 2 ϭ 0, 3x Ϫ 4y ϩ zione del lato AB, y ϭ Ϫ3x ϩ 6, il vertice
Ϫ 11 ϭ 0, 3x ϩ 4y Ϫ 19 ϭ 0, verificando che è C (Ϫ1; 1), l’ascissa Ϫ4 del vertice D e l’ascissa
un triangolo isoscele. [perimetro ϭ 18; area ϭ 12] Ϫ6 del vertice A. Determina le coordinate man-
canti dei vertici A, B, D.
[A (Ϫ6; 24); B (Ϫ3; 15); D (Ϫ4; 10)]
68 Scrivi l’equazione della retta r passante per P (0; 4) 71 Determina per quale valore di k le rette
parallela alla retta 2x Ϫ y ϩ 1 ϭ 0 e calcola l’area (k ϩ 1)x ϩ y Ϫ 4 ϭ 0 e kx ϩ (k Ϫ 1)y ϩ 2 ϭ 0
del quadrilatero limitato dalle due rette e dagli ΄ ΅si intersecano sull’asse delle ordinate. 1
assi cartesiani. ΄ ΅2x Ϫ y ϩ 4 ϭ 0; area ϭ ᎏ14ᎏ5 k ϭ ᎏ2ᎏ
72 Determina per quale valore di k le rette
69 Date le rette y Ϫ x ϭ 0, x ϩ y Ϫ 3 ϭ 0, (k Ϫ 2)x ϩ ky Ϫ 1 ϭ 0 e 2x Ϫ ky ϩ 2 ϭ 0
x Ϫ 4y Ϫ 3 ϭ 0, verifica che esse determinano un
si incontrano sull’asse delle ascisse. [k ϭ 1]
4. Il metodo del confronto –ᮣ Teoria a pag. 429
Nel sito: ᭤ 14 esercizi di recupero
ESERCIZIO GUIDA
73 Risolviamo col metodo del confronto il seguente sistema, dopo aver stabilito se è determinato, impossibile
o indeterminato:
Ά3y Ϫ 2x ϩ 1 ϭ 0
3(x ϩ 1) ϩ 11 ϭ 2(5 Ϫ 6y)
Riduciamo il sistema a forma normale:
Ά ΆϪ 2x ϩ 3y ϭ Ϫ 1 → Ϫ 2x ϩ 3y ϭ Ϫ 1
3x ϩ 12y ϭ Ϫ 4
3x ϩ 3 ϩ 11 ϭ 10 Ϫ 12y
Poiché ᎏϪ3ᎏ2 ᎏ13ᎏ2 , il sistema è determinato. Poiché nessuno dei coefficienti di x o y è uguale a 1, è indiffe-
rente ricavare da entrambe le equazioni una variabile o l’altra. Ricaviamo y:
Ά3y ϭ Ϫ 1 ϩ 2x → Ά Άy ؍ᎏ2x؊ᎏ1 → y ϭ ᎏ2x 3Ϫᎏ1
3 ᎏ2x ؊ᎏ1 ؍ᎏ؊ 3xᎏ؊ 4
12y ϭ Ϫ 4 Ϫ 3x y ؍ᎏ؊ 3xᎏ؊ 4
12 3 12
441
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 8. I SISTEMI LINEARI
Άy ϭ ᎏ2x 3Ϫᎏ1 Ά→ y ϭ ᎏ2x 3Ϫᎏ1 Ά→ y ϭ ᎏ2x 3Ϫᎏ1
8x ؊ 4 ؍؊ 3x ؊ 4 11x ؍0
4(2x ؊ 1) ؍؊ 3x ؊ 4
Ά Ά xϭ0
y ؍ ᎏ2 ؒ 0ᎏ؊ 1 → 1 1
3 y ϭ Ϫ ᎏ3ᎏ. La soluzione del sistema è 0; Ϫ ᎏ3ᎏ .
x ϭ0
Risolvi con il metodo del confronto i seguenti sistemi, dopo aver stabilito se ognuno di essi è determinato, im-
possibile o indeterminato.
Ά3x Ϫ y ϭ Ϫ 1 Ά[(1; 4)] Ϫ 3x ϩ 6y ϭ 4 [indeterminato]
78 3x ϭ 6y Ϫ 4
74 x ϩ y ϭ 5
Άx ϩ 4y ϭ 4 Ά(2x Ϫ 1)(y ϩ 3) ϩ 5y ϩ 1 ϭ 2x (y ϩ 4) ϩ x
΄2; ᎏ21ᎏ΅ 79 12x ϩ 17 ϭ 7y [(Ϫ 2; Ϫ 1)]
75 y ϭ ϩ ᎏ12ᎏ(x Ϫ 1) ΄Ϫ 1; ᎏ27ᎏ΅
Ά3y ϩ 24 ϩ (y Ϫ 2)2 ϩ 4y ϭ 4x ϩ y 2 ϩ 4
Ά6x ϭ 1 Ϫ 2y 80 3x ϩ 2y ϭ 1 [(3; Ϫ 4)]
76 5x ϩ y ϭ Ϫ ᎏ32ᎏ Ά3x ϩ 2(y Ϫ 4)2 ϭ 36 ϩ 2y 2 Ϫ 15y ϩ 2x
81 3 (y Ϫ 1) ϩ 2 [x Ϫ (x Ϫ 1)2] ϭ Ϫ 2 Ϫ 2x (x Ϫ 2)
[(3; Ϫ 1)]
Ά77 ᎏ31ᎏ x ϩ 4y ϭ 5 Ά5(x Ϫ y)[1 ϩ (x ϩ y)] ϩ 5y 2 ϭ 5x 2 Ϫ 6
Ϫ x ϩ ᎏ21ᎏ y ϭ Ϫ ᎏ25ᎏ [(3; 1)] 82 5(y Ϫ x) ϭ 1 [impossibile]
Ά2(8 Ϫ 2x) Ϫ y Ϫ (y ϩ 1)2 ϭ 3(y Ϫ x) Ϫ y 2 Ϫ 1
83 Ϫ24ϩ4(4Ϫy)ϭx Ϫ24ϩ2y [indeterminato]
5. Il metodo di riduzione –ᮣ Teoria a pag. 429
Nel sito: ᭤ 8 esercizi di recupero
ESERCIZIO GUIDA
84 Risolviamo i seguenti sistemi, già ridotti in forma normale, con il metodo di riduzione:
ΆϪ 2x ϩ 3y ϭ 1 Ά2x Ϫ 3y ϭ 5
a) 4xϪ 5y ϭ Ϫ 1 b) 5x ϩ 2y ϭ 3
a) Poiché ᎏϪ4ᎏ2 ᎏϪ3ᎏ5 , il sistema è determinato.
Eliminiamo x, moltiplicando i termini della prima equazione per 2 e sommando membro a membro:
Άи 2 Ϫ 4x ϩ 6y ϭ 2
ϩ
ϩ 4x Ϫ 5y ϭ Ϫ 1
y ϭ1
442
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 5. Il metodo di riduzione ESERCIZI
Sostituendo y ϭ 1 in una delle due equazioni, Άи2 4x Ϫ 6y ϭ 10
per esempio la prima, si ha:
ϩ
Ϫ 2x ϩ 3 и 1 ϭ 1 → Ϫ 2x ϭ 1 Ϫ 3 →
→ Ϫ 2x ϭ Ϫ 2 → x ϭ 1. и 3 15x ϩ 6y ϭ 9
19x ϭ 19
Il sistema ha come soluzione la coppia (1; 1). x ϭ1
b) Poiché ᎏ25ᎏ ᎏϪ2ᎏ3 , il sistema è determinato. Sostituiamo x ϭ 1 nella seconda equazione:
Eliminiamo y moltiplicando i termini della 5 ϩ 2y ϭ 3 → 2y ϭ 3 Ϫ 5 → 2y ϭ Ϫ 2 → y ϭ Ϫ 1.
prima equazione per 2 e quelli della seconda
per 3 e sommando membro a membro: La soluzione del sistema è (1; Ϫ 1).
Risolvi i seguenti sistemi con il metodo di riduzione, dopo aver stabilito, per ciascuno, se è determinato, inde-
terminato o impossibile. [(5; 1)] Ά93 x Ϫ 1 ϭ ᎏyᎏ ΄ᎏ21ᎏ ; Ϫ 2΅
4
Άx Ϫy ϭ4
2x ϩ y ϭ Ϫ 1
85 x ϩ 3y ϭ 8
Ά3x ϩ 7y ϭ 2 ΄ ΅1 1 Ά94 ᎏx ϩ3ᎏ3 ϭ 2 Ϫ y ΄ ΅ᎏ3ᎏ ; ᎏ1ᎏ
Ϫ ᎏ2ᎏ ; ᎏ2ᎏ 3x Ϫ y ϭ 4 22
86 4x Ϫ 2y ϭ Ϫ 3
[(2; 0)] Ά(x ϩ 2)2 Ϫ 1 ϭ x 2 Ϫ 5y ΄ᎏ21ᎏ ; Ϫ 1΅
Άy ϭ 6 Ϫ 3x
95 4x Ϫ 1 ϭ Ϫ y
87 y Ϫ 2x ϭ Ϫ 4
2΄ ΅Ϫ;Ϫ 19 Ά ΄ ΅x(x ϩ y) Ϫ 3 ϭ x ϩ x 2 ϩ xy Ϫ 2y 5 7
Ά2x Ϫ y ϭ 3 ᎏ5ᎏ ᎏ5ᎏ ᎏ3ᎏ ᎏ3ᎏ
96 3(x Ϫ y) ϩ 2 ϭ 0 ;
88 7x Ϫ y ϭ 1
[impossibile] 10(x Ϫ 1) ϩ 7y Ϫ (x ϩ 1)(x Ϫ 1) ϭ x (1 Ϫ x) ϩ 1
Άx ϭ 4y ϩ 1
΄ ΅ᎏ11ᎏ13 ;Ϫ1 Ά97 6x ϩ 7y ϭ 9
89 4x Ϫ 16y ϭ 3 ᎏ1ᎏ1 ΄ ΅ᎏ1ᎏ ; 1
Ά3x Ϫ 4 ϭ 5y 3
90 2y ϩ x ϭ 1
Ά91 x Ϫ ᎏ2yᎏ ϭ ᎏ53ᎏ ΄Ϫ 1 ; Ϫ 4΅ Ά1 ϩ 3(2x Ϫ 2)(1 ϩ x) Ϫ 6x 2 ϩ 3 ϭ 2y Ϫ 6x ϩ 4
ᎏ32ᎏ x Ϫ ᎏ38ᎏ y ϭ 1 ᎏ3ᎏ
98 x Ϫ 3y ϩ 2 ϭ 0
΄ ΅ᎏ11ᎏ ; ᎏ9ᎏ
88
BRAVI SI DIVENTA ᭤ E31
92 Ά3x Ϫ 8y ϭ Ϫ 121 ΄ ΅Ϫᎏ29ᎏ ; Ϫ ᎏ136ᎏ Ά99 ᎏx Ϫ3ᎏ5 ϩ ᎏ53ᎏ y ϭ x ϩ 1 Ϫ 2 y
ᎏ2ᎏ ᎏ5ᎏ
x ϩ 4y ϭ Ϫ 3
(y ϩ 1)2 Ϫ 6x ϩ y(x ϩ 1) ϭ 10 ϩ y (y ϩ x ϩ 1) Ϫ x
443
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ESERCIZI CAPITOLO 8. I SISTEMI LINEARI
6. Il metodo di Cramer –ᮣ Teoria a pag. 430
■ Il calcolo dei determinanti
ESERCIZIO GUIDA ͉4
100 Calcoliamo il determinante 2 Ϫ1
͉3
Poiché, in generale: nel nostro caso abbiamo:
͉ ͉a b ͉ ͉2 4
ϭ ad Ϫ bc, ϭ 2 и (Ϫ 1) Ϫ 4 и 3 ϭ Ϫ 2 Ϫ 12 ϭ Ϫ 14.
cd 3 Ϫ1
Calcola i seguenti determinanti.
⏐0 ⏐1 [Ϫ1] ⏐Ϫ 2 ⏐3 11 [2]
101 1 0 104 4 5 ⏐ ⏐[Ϫ22] 107 ᎏ2ᎏ Ϫ ᎏ3ᎏ
Ϫ6 8
⏐1 ⏐0 4 ⏐5 2a 2 ⏐Ϫ 3a3
105 Ϫ 2 108 Ϫ 5a 4a 2
102 0 1 ⏐[1] 3 ⏐[22] [Ϫ7a4]
⏐1 ⏐Ϫ 1 ⏐1 ⏐1 a ϩb aϪb
2a ϩ 2b 3a Ϫ 3b
103 1 Ϫ1 [0] 106 ᎏ2ᎏ Ϫ4 ⏐ ⏐[1] 109 [a2Ϫb2]
Ϫ3
■ Il metodo di Cramer Nel sito: ᭤ 8 esercizi di recupero
ESERCIZIO GUIDA
110 Utilizzando il metodo di Cramer, risolviamo il seguente sistema: 2x Ϫ 3y ϭ 1
Ά 4x ϩ 7y ϭ 15
Ά 2 x Ϫ3 y ϭ 1 Calcoliamo Dy, ottenuto da D sostituendo la seconda
4 x ϩ 7 y ϭ 15 colonna dei coefficienti di y con i termini noti:
Calcoliamo il determinante D, formato dai ⏐ ⏐2 1
coefficienti di x e di y:
Dy ϭ 4 15 ϭ 30 Ϫ 4 ϭ 26.
⏐ ⏐2 Ϫ3
Calcoliamo la soluzione:
D ϭ 4 ϩ 7 ϭ 14 ϩ 12 ϭ 26.
ᎏDᎏx ᎏ25ᎏ62 ᎏDᎏy ᎏ22ᎏ66
Calcoliamo Dx, ottenuto da D sostituendo la pri- x ϭ D ϭ ϭ 2; y ϭ D ϭ ϭ 1.
ma colonna dei coefficienti di x con i termini noti:
La soluzione del sistema è (2; 1).
1
⏐ ⏐Dx ϭ15Ϫ3ϭ 7 ϩ 45 ϭ 52.
ϩ7
444
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RIEPILOGO La risoluzione dei sistemi ESERCIZI
Risolvi i seguenti sistemi, usando il metodo di Cramer. Ά114 4x ϩ 5y ϩ 23 ϭ 0 [(3; Ϫ 7)]
9(2 Ϫ x) ϩ y ϩ 7 ϭ Ϫ 9 [(4; Ϫ 5)]
Ά3x Ϫ y ϭ 1
[(1; 2)] Ά3 x ϩ y ϭ Ϫ 2 [(5; 6)]
111 2x ϩ 3y ϭ 8 ᎏ4ᎏ
115 4 2 ᎏ2xᎏ
ᎏ5ᎏ
Ά2x Ϫ 4 ϩ y 2 ϭ y (y Ϫ 3) ϩ 16 y ϩ x ϭ Ϫ
112 2x Ϫ 3y ϭ 8 [(7; 2)]
Ά113 3x ϩ 2y ϩ 4 ϭ 0 [(2; Ϫ 5)] Άᎏ32ᎏ y ϩ ᎏ51ᎏ x ϭ 5
x (2x Ϫ 1) Ϫ x 2 ϩ y ϭ x 2 ϩ 2y ϩ 3
116 2x Ϫ ᎏ65ᎏ y ϩ 3 ϭ 8
BRAVI SI DIVENTA ᭤ E32
Ά xϪᎏ21ᎏ 2ϩy(xϪ8)ϭx(1ϩy)Ϫ(2Ϫx)(xϩ2)ϩᎏ94ᎏ
117 ᎏ3(y ϩ21ᎏ) Ϫ x ϭ ᎏx3ᎏ ϩ ᎏ7y Ϫ6xᎏϪ 4
RIEPILOGO LA RISOLUZIONE DEI SISTEMI Nel sito: ᭤ 13 esercizi in più
118 VERO O FALSO? Άc) Il sistema xϭyϪ1 rappresenta
2x ϩ 2y ϭ 0
Άa) Il sistema x ϩ 4y ϭ 3
ax ϩ 8y ϭ 6 nel piano cartesiano due rette parallele,
per a ϭ 2 è impossibile. VF quindi è impossibile. V F
VF
͉b) Il determinante k Ϫ1 ͉2 Άd) Il sistema x Ϫ 3y ϭ 1
0 yϭϪxϩ5
2
Άè equivalente a yϭxϪ3
vale zero se k ϭ 1. xϩyϭ5 VF
■ I sistemi numerici interi
Risolvi i seguenti sistemi lineari, utilizzando per ciascuno il metodo che ritieni più opportuno.
2(2y Ϫ 1) ϭ Ϫ ᎏ31ᎏ x ΄2; ᎏ31ᎏ΅ ᎏ65ᎏ x ϩ ᎏ53ᎏ y ϭ ᎏ21ᎏ x Ϫ ᎏ54ᎏ ΄1; Ϫ ΅ᎏ1ᎏ1
΄ ΅1 2 9
Ά 119 ᎏx ϩ 33ᎏy Ϫ 1 ϭ 2 ᎏ31ᎏ x Ϫ y Ά 122 2 x ϩ y ϩ ᎏ91ᎏ ϭ y ϩ 1
ᎏ2ᎏ ; ᎏ3ᎏ
Ά 1 1 1 Ά (x ϩ y) 1 ϩ ᎏ5yᎏ 2 1 2
ᎏ3ᎏ x ϭ ᎏ2ᎏ y Ϫ ᎏ3ᎏ ΄ ΅5 3 ᎏ1ᎏ5 ϩ y Ϫ xy ϭ ᎏ5ᎏ ϩ ᎏ1ᎏ5 y ϩ y
ᎏ8ᎏ ; ᎏ4ᎏ
120 1 2 3 123 1 Ϫ ᎏ12ᎏ5y ϭ Ϫ ᎏ5xᎏ
ᎏ2ᎏ ᎏ3ᎏ ᎏ2ᎏ
(x Ϫ y) ϭ Ϫ x [(Ϫ 3; 3)]
Ά 4 (x Ϫ y) ϭ y Ϫ ᎏ45ᎏ Ά ΄ ΅124
ᎏϪ (x ϩᎏ1)(x Ϫ2ᎏ1) ϩ x (ᎏx ϩ 1) Ϫ 1 ϭ ᎏy ϩ4ᎏ3
121 4 x ϩ ᎏ21ᎏ y ϭ ᎏ12ᎏ1 Ϫ 2y ᎏ21ᎏ (x Ϫ 1) Ϫ ᎏy Ϫ2ᎏ1 ϭ 1 [indeterminato]
445
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 8. I SISTEMI LINEARI
Ά ᎏ61ᎏ [3x Ϫ 4y Ϫ (2x Ϫ 7)] ϩ ᎏx (x4Ϫᎏ1) Ϫ ᎏ41ᎏ x 2 ϭ ᎏ21ᎏ y ΄ ΅Ϫ14 ; 4
ᎏ3ᎏ ᎏ3ᎏ
125 ᎏx Ϫ2ᎏ2y Ϫ ᎏ3x3ϩᎏy ϭ ᎏ3 Ϫ3ᎏy
[(16; 36)]
Ά ᎏ(y Ϫ x)(1ᎏϩ1x0) Ϫ xᎏ(y Ϫ x) ϭ ᎏ6yᎏ Ϫ 4
΄ ΅2; 2
126 ᎏ(y Ϫ x)(ᎏy ϩ2x) Ϫᎏ(x Ϫ y) Ϫ ᎏ4xᎏ ϭ 6 ϩ ᎏy 2 Ϫ2ᎏx 2 ᎏ1ᎏ5 ᎏ5ᎏ
Ά127 ᎏ12ᎏ5 Ϫ xy ϭ ᎏ53ᎏ ϩ (1 Ϫ y)(x Ϫ 1)
(x ϩ y) (4 Ϫ x) ϩ x 2 ϩ 2x ϭ 2 Ϫ xy ϩ y
Ά1 (x ϩ 2y) (x ϩ 1) Ϫ 2 xy Ϫ 5 ϭ ᎏx3ᎏ2 ϩ ᎏy Ϫ4ᎏx
ᎏ3ᎏ ᎏ3ᎏ
128 ᎏ2(x Ϫ7ᎏ8) Ϫ y Ϫ 2 ϭ Ϫ ᎏy ϩ3ᎏ4 [(35; Ϫ 37)]
■ I sistemi numerici fratti
ESERCIZIO GUIDA
129 Risolviamo il seguente sistema fratto:
1Ά ᎏxy ϪϪᎏ11 ϭ 2Ϫ5ϭᎏ18 Ϫᎏ6x
ᎏᎏ
yy
Calcoliamo le C.E.: x 1 ∧ y 0 e riduciamo Utilizziamo il metodo di riduzione e sommiamo
il sistema a forma normale, moltiplicando la membro a membro le due equazioni per eliminare y :
prima equazione per x Ϫ 1 e la seconda per y:
Ά2x Ϫ y ϭ 1
Ά ᎏxy ϪϪᎏ11 и (x Ϫ 1) ϭ 2 и (x Ϫ 1)5
ᎏᎏ ᎏ18 Ϫᎏ6x ϩ 6x ϩ y ϭ 23
y
8x ϭ 24
1 Ϫ y и y ϭ и y 24
ᎏ8ᎏ
Άy Ϫ 1 ϭ 2x Ϫ 2 x ϭ ϭ 3.
y Ϫ 5 ϭ 18 Ϫ 6x
Sostituiamo x ϭ 3 a una delle due equazioni, per
ΆϪ 2x ϩ y ϭ Ϫ 1 esempio alla prima:
6x ϩ y ϭ 23
Ά Ά Ά Άx ϭ 3 x ϭ3
y ϭ5
2x Ϫ y
ϭ 1→ x ϭ3 1→ x ϭ3 Ϫ 5 →
6 Ϫy ϭ Ϫy ϭ
Ά2x Ϫ y ϭ 1
6x ϩ y ϭ 23 (forma normale) Poiché abbiamo ottenuto per x un valore diverso da 1
e per y un valore diverso da 0, la soluzione (3; 5) è
Poiché 2 Ϫ 1, il sistema è determinato. accettabile.
ᎏ6ᎏ
446
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
RIEPILOGO La risoluzione dei sistemi ESERCIZI
Risolvi i seguenti sistemi di equazioni fratte.
Ά2 1 Ά1 1 2
ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ 0 ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ΄ᎏ21ᎏ ; 2΅
xy x y
130 x y [(2; Ϫ 1)] 136 [(1; 3)]
[(0; Ϫ 8)] ᎏx ϩᎏ2 ᎏy ϩᎏ2 3 [(4; 2)]
8x Ϫ 1 ϭ Ϫ 15y [indeterminato] ϭ ϩ ᎏᎏ
x y xy ΄ᎏ31ᎏ; Ϫ1΅
Ά ᎏx Ϫyᎏ2 ϭ 4 ΄Ϫ3; Ϫ ᎏ32ᎏ΅
Ά137 ᎏ1ᎏ4 Ϫ ᎏ1ᎏ0 ϭ ᎏ21xᎏ3 ϩ ᎏ22xᎏ5y [(Ϫ 3; 18)]
131 ᎏx2ᎏ ϭ y ϩ 8 [indeterminato] x y
y Ϫ 3x ϭ 0
Ά ᎏxy Ϫϩᎏ31 ϭ 2 138 Ά ᎏy (x2xϪᎏϩ11) Ϫ 3y ϭ ᎏx (x2ϪϪᎏ1y)
1 Ϫ ᎏ2xᎏ y Ϫ ᎏ4ᎏ
132 ᎏx ϩ2ᎏ1 ϭ y Ϫ 3 2y ϭϪx x
Ά ᎏ1ᎏ ϩ ᎏ1ᎏ ϭ ᎏ3ᎏ Ά ᎏ6yϪϩᎏ41x Ϫ ᎏ21xϪϪᎏ23x ϭ ᎏ12x ϪϪᎏ8yx
xyx
133 x Ϫ y ϭ Ϫ ᎏ23ᎏ 139 x Ϫ y ϭ ᎏ34ᎏ
Ά ᎏxx ϩϪᎏ4y ϭ 2 Ά140 ᎏyxϩϪᎏx32 Ϫ 2x ϭ ᎏx 2 ϩ3 Ϫ3ᎏxxϩ 9
Ϫ y ϩ 9 ϭ 3x
134 ᎏxy ϩϩᎏ35 ϭ Ϫ 1
Ά135 ᎏ2(61ϪϪᎏ32yx) ϭ Ϫ 1 [(Ϫ 1; 4)]
xϩyϭ3
■ I sistemi letterali interi Nel sito: ᭤ 15 esercizi in più
ESERCIZIO GUIDA
141 Risolviamo e discutiamo il seguente sistema letterale nelle incognite x e y al variare del parametro a in R:
Ά2x ϩ y ϭ 2a
(a ϩ 1)x ϩ ay ϭ 2a
Il sistema è ridotto in forma normale. Applichiamo il metodo di Cramer.
Calcoliaamo i dϩete1rmiϭna5nti D, Dx, Dy .
⏐ ⏐(a ϩ 2
Ϫ1 ϭ
Dϭ 2 ϭ 2a Ϫ (a ϩ 1) ϭ 2a Ϫ a Ϫ 1 ϭ a Ϫ 1.
aϩ1 a
a
⏐ ⏐(2aaϩ12 1
ϭ 2a2 Ϫ 2a ϭ 2a(a Ϫ 1).
Dx ϭ 2a a
447
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 8. I SISTEMI LINEARI
⏐ ⏐2 2a ϭ 4a Ϫ 2a (a ϩ 1) ϭ 4a Ϫ 2a 2 Ϫ 2a ϭ 2a Ϫ 2a 2 ϭ 2a (1 Ϫ a ).
D y ϭ a ϩ 1 2a
Il sistema è determinato se D 0, cioè se a Ϫ 1 0 → a 1.
Ά1 si ha x ϭ ᎏDᎏx ϭ ᎏ2aa(aϪᎏϪ11) ϭ 2a Ά→ x ϭ 2a
D y ϭ Ϫ 2a
● Se a
ᎏDᎏy ᎏ2aa(1ϪᎏϪ1a) ᎏϪ 2aa(ϪaᎏϪ1 1)
y ϭ D ϭ ϭ ϭ Ϫ 2a
● Se a ϭ 1 si ha D ϭ 0, Dx ϭ 0 e Dy ϭ 0, quindi il sistema è indeterminato.
Risolvi e discuti i seguenti sistemi letterali.
Ά3x Ϫ y ϭ 6a Ϫ 1 Άx ϩ 3y ϭ a ΄ ΅det.,
[(2a; 1)] a ϩ 15 ; aϪ5
142 x ϩ 2y ϭ 2(a ϩ 1) 148 x Ϫ y ϭ 5 ᎏ4ᎏ ᎏ4ᎏ
Ά x ϩ y ϭ 3a [(6a; Ϫ 3a)] Άbx ϩ b Ϫ by ϭ 4b ΄ ΅b 0, det., ᎏ34ᎏ; Ϫ ᎏ35ᎏ ;
143 2x ϩ 4y ϭ 0 149 2bx Ϫ b ϩ by ϭ 0 b ϭ 0, indet.
Ά 3ax ϩ 5ay ϩ 2a ϭ Ϫ a ΄ ΅a 0, (9; Ϫ 6); Ά2x Ϫ 3ay ϭ Ϫ 10a ΄ ΅a 2, (a; 4);
a ϭ 0, indet.
144 x ϩ y ϭ 3 150 x Ϫ 3y ϭ a Ϫ 12 a ϭ 2, indet.
Ά 2x ϩ y ϭ 0 [(a; Ϫ 2a)] Ά3ax ϩ 4y ϭ Ϫ 4a ΄ ΅a 0, (4; Ϫ 4a);
145 3x ϩ 5y ϭ Ϫ 7a [(5a; Ϫa)] 151 2ax Ϫ 4y ϭ 24a a ϭ 0, indet.
Ά146 x ϩ 4y ϭ a ΄ ΅a 0, det., (1 Ϫ a; a); Ά ΄ ΅152
x ϩ 3y ϭ 2a 0, det., ᎏaϪᎏ1 ; ᎏ1Ϫᎏa ;
a ϭ 0, indet. aa
Ά147 ax ϩ ay ϭ a ax ϩyϩ1ϭaϪx a
ax ϩ (a ϩ 1)y ϭ 2a x Ϫayϩy ϭaϪ1
a ϭ 0, indet.
7. I sistemi di tre equazioni –ᮣ Teoria a pag. 431
in tre incognite
Nel sito: ᭤ 14 esercizi in più
ESERCIZIO GUIDA
3x Ϫ 2y ϩ z ϭ 0
Ά153 Risolvi il seguente sistema: x Ϫ y ϩ z ϭ 0
4x ϩ 2y Ϫ 3z ϭ 5
448
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Paragrafo 7. I sistemi di tre equazioni in tre incognite ESERCIZI
Osserviamo che si può applicare il metodo di Ricaviamo y dalla prima equazione e procediamo per
riduzione alla prima e seconda equazione per sostituzione:
eliminare z.
Ά y ϭ 2x Ά y ϭ 2x
Ά3x Ϫ 2y ϩ z ϭ 0 x Ϫ 2x ϩ z ϭ 0
→ Ϫxϩzϭ0
Ϫ x Ϫ y ϩzϭ0 4x ϩ 4x Ϫ 3z ϭ 5 8x Ϫ 3z ϭ 5
2x Ϫ y ϭ 0
Dalla seconda equazione ricaviamo z e procediamo
Sostituiamo la prima equazione del sistema con ancora per sostituzione:
l’equazione equivalente ottenuta. Si ottiene:
Ά y ϭ 2x Άy ϭ 2x Άyϭ2
Ά 2x Ϫ y ϭ 0 zϭx zϭ1
xϪyϩzϭ0 8x Ϫ 3x ϭ 5 → zϭx → xϭ1
4x ϩ 2y Ϫ 3z ϭ 5 5x ϭ 5
La soluzione del sistema è data dalla terna di numeri
(1; 2; 1).
Risolvi i seguenti sistemi mediante il metodo di sostituzione o quello di riduzione.
Άx ϩ y ϩ z ϭ 3 [(1; 1; 1)] Ά3x Ϫ 2y ϭ 1 [impossibile]
[(5; 1; 2)]
154 2x Ϫ y ϩ z ϭ 2 161 2x ϩ y Ϫ 3z ϭ 2
4x ϩ 2y Ϫ z ϭ 5 4x ϭ 6z Ϫ 2y ϩ 1
Ά2x ϩ y Ϫ 3z ϭ 1 [(Ϫ 17; 29; Ϫ 2)] Ά 13 Ϫ 3y
155 x ϩ y ϩ 4z ϭ 4 x ϭ ᎏ2ᎏ
x ϩ 2y ϭ 41 162 3y ϭ z ϩ 1
Άx ϩ y Ϫ z ϭ 6 2x ϩ 4y ϩ z ϭ 16
156 x ϩ y ϭ 3 [(3; 0; Ϫ 3)] Ά y ϩ ᎏx Ϫ3ᎏ2z ϭ 2 ΄ ΅Ϫ 1; 2; Ϫ ᎏ1ᎏ
xϩzϭ0 [(1; Ϫ 1; Ϫ 1)] 2
163 x Ϫ 3y ϭ 2z Ϫ 6
Ά2x ϩ 3y Ϫ z ϭ 0 ᎏz Ϫ y3ᎏϩ 2x ϭ Ϫ 3
ᎏ2ᎏ
157 x Ϫ y ϩ z ϭ 1
3x ϩ 2y ϩ 4z ϭ Ϫ 3
Άy ϭ x ϩ 2 [impossibile] Ά2(x Ϫ y) ϩ 3(z ϩ 2) ϭ 24 [(1; Ϫ 2; 4)]
[(4; 0; 5)]
158 x Ϫ z ϭ 4 164 5x Ϫ y ϭ z ϩ 3
y ϭ zϪ1 4(y ϩ 3x) ϩ 4 ϭ 2z [(Ϫ 1; 2; 3)]
Άx ϭ z ϩ 3 [indeterminato] Ά3(z Ϫ x) ϭ y ϩ 3(x Ϫ 3)
159 y ϭ x 165 2(x ϩ y) Ϫ 3 ϭ z
y Ϫ z ϭ3 5x Ϫ 4(y ϩ z ϩ 1) ϭ Ϫ 4
Άx ϩ z Ϫ 1 ϭ 0 [(Ϫ1; Ϫ 2; 2)] Ά2(x Ϫ 2y ϩ z) ϭ 5x ϩ 1
160 y ϩ ᎏ2zᎏ ϩ 1 ϭ 0 166 3x Ϫ 4y ϭ 1 Ϫ 4z
2x ϭ Ϫ z 5 Ϫ 3x ϩ 2y ϭ 2(y ϩ z) ϩ 2
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ESERCIZI CAPITOLO 8. I SISTEMI LINEARI
Sistemi lineari e problemi
■ Problemi vari in due incognite
ESERCIZIO GUIDA
167 Hai a disposizione € 5,00 per acquistare penne e quaderni. Se compri 4 quaderni e 3 penne, ti mancano
€ 0,25; se compri 3 quaderni e 3 penne, ti avanzano € 0,65. Quanto costa un quaderno e quanto una penna?
1. Richieste: 3. Relazioni:
Costo di un quaderno Costo di 4 quaderni ϩ costo di 3 penne ϭ 5 ϩ 0,25
Costo di una penna Costo di 3 quaderni ϩ costo di 3 penne ϭ 5 Ϫ 0,65
2. Incognite: 4. Sistema risolvente:
x ϭ costo di un quaderno (in euro)
y ϭ costo di una penna (in euro) Ά4x ϩ 3y ϭ 5,25
3x ϩ 3y ϭ 4,35
Condizioni: x Ͼ 0, y Ͼ 0, perché
rappresentano il prezzo di due oggetti.
5. Risoluzione:
Poiché i coefficienti di y nelle due equazioni sono uguali, risulta semplice utilizzare il metodo di ridu-
zione. Sottraiamo membro a membro:
4x ϩ 3y ϭ 5,25 y ϭ 0,55
x ϭ 0,9
Ά Ά Ά ΆϪ 3x ϩ 3y ϭ 4,35
→ 4 и 0,9 ϩ 3y ϭ 5,25 → 3y ϭ 5,25 Ϫ 3,6 ϭ 1,65 →
x ϭ 0,9 x ϭ 0,9
ᎏᎏᎏ
x ϭ 0,9
La soluzione del sistema è (0,9; 0,55).
Controllo: La soluzione è accettabile perché entrambi i valori sono numeri positivi.
6. Risposta: Un quaderno costa € 0,90, una penna costa € 0,55.
168 Un automobilista percorre 615 km in due giorni. 172 Un bibliotecario vuole disporre in ordine dei libri
Sapendo che il tragitto del primo giorno è dop-
pio di quello del secondo giorno, trova quanti di storia sugli scaffali di una libreria. Se mette 8
km ha percorso ogni giorno. [410 km; 205 km]
libri su ogni scaffale, ne rimane vuoto uno; se in-
vece mette 6 libri su ogni scaffale, riempie la li-
breria ma gli restano fuori 2 libri. Quanti libri
169 Una scatola contiene forchette a 2 e a 3 punte. Sa- deve sistemare il bibliotecario? [32]
pendo che le forchette in totale sono 22 e che le
punte in totale sono 54, calcola quante sono le 173 Determina due numeri naturali sapendo che la
forchette a 2 punte e quante quelle a 3. [12; 10]
loro somma divisa per la loro differenza dà per
di ᎏ61ᎏ del
170 Lucia e Elena sono sorelle. La somma delle loro quoziente 3 e resto 4 e che la somma [18; 10]
età è 31 e Lucia è nata tre anni prima di Elena. maggiore e di 2 del minore vale 7.
ᎏ5ᎏ
Quanti anni ha ciascuna? [17; 14]
174 Sᎏd43oᎏomcdhmeelalsanodmloomraoai ndᎏ65diᎏfofedireᎏel73nlᎏazdase,olmsmimionatotirdeeinadelum3e7an.gugSmiaopereernis-ii
171 10 sacchi di frumento e 8 di mais pesano 1646 kg; ottiene 26, determina i due numeri naturali. [7; 23]
30 sacchi di frumento e 12 di mais, rispettiva-
mente uguali ai precedenti, pesano 3894 kg.
Quanto pesa ciascun sacco di frumento e ciascun
sacco di mais? [95 kg; 87 kg]
450
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Sistemi lineari e problemi ESERCIZI
■ Problemi di geometria in due incognite
ESERCIZIO GUIDA
175 Un rettangolo ha il perimetro di 48 cm. Sapendo che il doppio dell’altezza è i 2 della base, quali sono le
lunghezze della base e dell’altezza? ᎏ3ᎏ
1. Richieste: 3. Relazioni: 4. Sistema risolvente:
Lunghezza di AB (in cm) Perimetro ϭ 48 cm
Lunghezza di BC (in cm) 2 и ෆBෆC ϭ ᎏ32ᎏ и AෆෆB Ά2x ϩ 2y ϭ 48
2. Incognite: DC 2y ϭ ᎏ32ᎏ x
x ϭ AෆෆB y ϭ ෆBෆC
y Condizioni:
x Ͼ 0, y Ͼ 0, poiché sono misure di lun-
A x B ghezza.
5. Risoluzione:
Ά Ά ΆϺ2 x ϩ y ϭ 24 x ϩ 1 ϭ 24 4 ϭ 24 Άx ϭ 24 и 3 ϭ 18
ᎏ3ᎏ x ᎏ3ᎏ x ᎏ4ᎏ
→ → → y ϭ ᎏ31ᎏ и 18 ϭ 6
1 y ϭ ᎏ31ᎏ x y ϭ ᎏ31ᎏ x
Ϻ 2 y ϭ ᎏ3ᎏ x
La soluzione del sistema è (18; 6).
Controllo: La soluzione è accettabile poiché 18 e 6 sono entrambi positivi.
6. Risposta: Il rettangolo ha la base di 18 cm e l’altezza di 6 cm.
176 Calcola la lunghezza di due segmenti, sapendo 180 Calcola la lunghezza delle diagonali di un rom-
che la loro somma è 19 m e la loro differenza è bo, sapendo che la somma di ᎏ11ᎏ0 della maggio-
5 m. [12 m; 7 m] re e ᎏ91ᎏ della minore è 19 m e che, diminuendo
la maggiore di 10 m e aumentando di 9 m la mi-
177 Calcola l’area e il perimetro di un rettangolo, sa- nore, le due diagonali diventano congruenti.
[100 m; 81 m]
pendo che le due dimensioni sono tali che la loro
somma è 10 cm e che, aggiungendo 1 cm alla mi-
nore e togliendo 1 cm dalla maggiore, si ottiene
un quadrato. [24 cm2; 20 cm] BRAVI SI DIVENTA ᭤ E33
181 In un trapezio isoscele che ha il perimetro
178 Calcola l’area di un rombo, sapendo che il rap- uguale a 128 cm, il rapporto tra la base maggiore
porto tra le diagonali è ᎏ25ᎏ e che la differenza fra 1sea9lpacemnbdaisoᎏe23ᎏcmhdieenloilarᎏeb75ᎏaèsdeᎏ49eᎏml .ilnaTtororoevo.ablli’qaureoa del trapezio
superano di
la maggiore e il doppio della minore vale la metà
della minore. [indeterminato]
179 Calcola le lunghezze delle basi di un trapezio, 182 Calcola la lunghezza dei lati di un rettangolo, sa-
sapendo che l’area è 32 cm2, l’altezza è 4 cm e pendo che il suo perimetro è 68 m e che il doppio
della dimensione minore è uguale alla dimensio-
la differenza delle basi è 4 cm. ne maggiore diminuita di 4 m. [24 m; 10 m]
[10 cm; 6 cm]
451
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ESERCIZI CAPITOLO 8. I SISTEMI LINEARI
183 Calcola l’ampiezza dei due angoli acuti di un ■ Problemi in tre incognite
triangolo rettangolo, sapendo che la somma dei 192 Cinque ragazze fanno colazione al bar prenden-
ᎏ73ᎏ del maggiore e del minore vale i ᎏ25ᎏ del mi-
do: 2 caffè, 3 bicchieri di latte, 4 brioche. Alla ri-
nore. [70°; 20°] chiesta del conto il barista Lorenzo, con fare
scherzoso, risponde: «Un caffè e un bicchiere di
184 Determina le ampiezze di due angoli, supple- latte fanno € 1,00, un bicchiere di latte e una
mentari, sapendo che essi diventano congruenti brioche fanno € 1,15, un caffè e una brioche fan-
sottraendo 20° al maggiore e sommando 20° al no € 1,35. Quanto mi dovete?». [€ 5,40]
minore. [110°; 70°] 193 In un triangolo ABC, un terzo dell’ampiezza del-
l’angolo A^ supera di 5° l’ampiezza dell’angolo B^.
185 Calcola la lunghezza della diagonale di un rettan- Determina le ampiezze dei tre angoli, sapendo
che C^ è ᎏ23ᎏ di B^.
golo, sapendo che il perimetro è 14 m e che l’al- [105°; 30°; 45°]
tezza supera la base di 1 m. [5 m]
186 Calcola l’area di un trapezio isoscele, sapendo 194 La settimana scorsa ho comprato 3 litri di latte e
che le basi differiscono di 6 m, che la base mag- 2 pacchi di biscotti, spendendo € 4,70. Qualche
giore è uguale al doppio della minore diminuito giorno fa ho comprato 2 litri di latte e 6 uova e ho
di 3 m e che il lato obliquo è 5 m. [48 m2] speso € 2,60. Oggi, comprando un pacco di bi-
scotti e 12 uova, ho speso € 2,05. Trova il prezzo
187 Calcola l’area di un triangolo isoscele, sapendo di ciascun prodotto. [€ 1; € 0,85; € 0,10]
che il perimetro è 16a e che il doppio del lato 195 Fabrizio è 20 cm più alto di Aldo e 13 cm più di
Antonio. La media delle altezze di Fabrizio, Aldo,
obliquo è uguale alla base aumentata dei suoi Antonio è 174 cm. Determina le altezze dei tre.
2 [185 cm; 165 cm; 172 cm]
ᎏ3ᎏ . [12a 2 ]
188 Calcola il perimetro di un rombo, sapendo che 196 Tre numeri naturali hanno somma 78. Il primo
le sue diagonali differiscono di 2a e che la loro diviso per il secondo dà quoziente 3 e resto 11,
semisomma è il doppio della minore diminuito diviso per il terzo dà quoziente 2 e resto 9. Trova i
di 5a. [20a] tre numeri. [47; 12; 19]
189 Calcola l’area di un rettangolo, sapendo che il pe- 197 La media delle età di Giorgio, Luigi, Marco è 20.
rimetro è 26 cm e che, se si tolgono 2 cm alla di- L’età di Giorgio sta all’età di Luigi come 2 sta a 1.
mensione maggiore e si aggiungono 3 cm alla di- Dividendo l’età di Marco per l’età di Luigi, si ot-
mensione minore, quest’ultima diventa superiore tiene per quoziente 1 e per resto 8. Determina
di 4 cm rispetto all’altra. [42 cm2 ] l’età dei tre. [26; 13; 21]
190 Due circonferenze sono tangenti. La distanza tra 198 Tre numeri naturali sono tali che il secondo è la
i centri vale il doppio del raggio minore più somma degli altri due aumentata di 7. La diffe-
4 renza tra il secondo e il primo è tre volte la metà
ᎏ3ᎏ
2 cm. Il raggio maggiore, sommato ai del rag- del terzo, mentre la differenza tra il terzo e il dop-
ᎏ12ᎏ3
gio minore, vale 9 cm. Calcola le aree dei due cer- pio del primo è i del secondo. Trova i tre nu-
meri. [5; 26; 14]
chi. [9 cm2; 25 cm2 ]
191 Calcola le lunghezze dei lati di un rettangolo, sa- 199 In un trapezio isoscele, la base maggiore è infe-
pendo che il maggiore supera di 4 cm il minore e riore di 1 cm al doppio della base minore, che è i
che, aumentando di 2 cm il maggiore e dimi- 3 del lato obliquo. Sapendo che il perimetro è
ᎏ4ᎏ
nuendo di 1 cm il minore, l’area diminuisce di
16 cm, determina le lunghezze dei lati.
2 cm2. [8 cm; 4 cm]
[4 cm (lato obliquo); 3 cm (base minore);
5 cm (base maggiore)]
452
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Sistemi lineari e problemi ESERCIZI
200 In un parallelepipedo i perimetri dei rettangoli mi due, un centimetro in meno per il terzo. Cal-
cola di quanto affonda ciascun chiodo nel muro.
individuati da ciascuna faccia sono rispettiva-
[4 cm; 7 cm; 6 cm]
mente 26 cm, 24 cm, 18 cm. Determina il volume
del parallelepipedo. [160 cm3 ] 208 Tre metri di stoffa rossa e due di stoffa blu sono
3 costati a Silvia € 42,50. Essendo avanzati due
ᎏ4ᎏ
201 In un triangolo la lunghezza di di un lato è metri di stoffa rossa, Silvia è tornata al negozio
uguale a quella di un altro lato aumentata di per restituirli e, per cinque metri di stoffa verde,
1 cm; il terzo lato è la semisomma dei primi due, ha dovuto pagare ancora € 15. È tornata infine
mentre il perimetro del triangolo è 9 cm. Deter- per un altro metro di stoffa blu e due metri di
mina la lunghezza dei tre lati. [4 cm; 2 cm; 3 cm] stoffa verde, pagando € 22. Determina il costo
delle tre stoffe al metro. [€ 7,50; € 10; € 6]
202 Un quadrilatero avente due lati congruenti tra 209 La somma delle cifre di un numero di 3 cifre è 12.
loro ha il perimetro uguale a 13 cm. Tali lati in-
sieme sono lunghi come un terzo lato, il quale è La somma della cifra delle decine e di quella delle
1 cm in meno del quarto lato. Trova la lunghezza
dei quattro lati del poligono. centinaia è doppia della cifra delle unità. Dimi-
[2 cm; 2 cm; 4 cm; 5 cm]
nuendo di 3 la cifra delle decine e aumentando di
3 la cifra delle unità, si ottiene un numero dove,
rispetto al numero iniziale, risultano scambiate
203 In un trapezio rettangolo, la base maggiore supe- decine e unità. Determina il numero. [174]
ra la minore di 2 cm. Il rettangolo avente come
lati la base minore e l’altezza del trapezio avrebbe 210 Sono andata in pasticceria e ho comprato 10 pa-
perimetro 14 cm, mentre il triangolo avente
come lati le basi e l’altezza del trapezio avrebbe ste, 6 cioccolatini e 15 caramelle; ho speso
perimetro 12 cm. Determina l’area del trapezio.
[16 cm2 ] € 9,00. Se avessi comprato 5 paste in meno avrei
speso € 6,00. Un mio amico, che ha comprato 5
paste e 10 cioccolatini, ha speso € 5,50. Determi-
na il costo unitario di paste, cioccolatini e cara-
204 Il perimetro di un triangolo isoscele è uguale a melle. [€ 0,60; € 0,25; € 0,10]
quello di un rombo, il cui perimetro è i ᎏ34ᎏ della 211 Due triangoli isosceli hanno egual base. Il peri-
somma dei due lati congruenti del triangolo. La metro del primo è 19 cm, quello del secondo 11
somma dei due perimetri è 32 cm. Determina le
lunghezze dei lati dei due poligoni. cm; inoltre la differenza tra uno dei lati con-
[4 cm; 6 cm; 4 cm] gruenti e la base del primo triangolo è pari alla
misura di uno dei lati congruenti del secondo di-
minuito di 1 cm. Determina le lunghezze dei lati
205 Due triangoli isosceli hanno la stessa base. Il pe- dei due triangoli. [5 cm; 7 cm; 3 cm]
rimetro del primo è 11 cm, quello del secondo è
7 cm, mentre quello del quadrilatero individuato 212 La somma delle diagonali di un rombo è pari alla
dai due lati congruenti di ciascun triangolo è 12
cm. Determina le lunghezze dei lati dei due trian- lunghezza del perimetro di un quadrato; la dia-
goli. [3 cm; 4 cm; 2 cm]
gonale minore ha la lunghezza del lato del qua-
drato aumentata di 1 cm, mentre la diagonale
maggiore è lunga quanto la somma della diago-
206 In un trapezio la base maggiore, doppia della nale minore e del lato del quadrato. Determina la
base minore, è i ᎏ34ᎏ di un lato obliquo e i ᎏ32ᎏ lunghezza delle due diagonali del rombo e del
dell’altro. Il perimetro del trapezio è 15 cm. De- lato del quadrato. [5 cm; 3 cm; 2 cm]
termina le lunghezze dei lati del poligono.
213 Il perimetro di un triangolo isoscele è pari al pe-
[6 cm; 3 cm; 4 cm; 2 cm] rimetro di un quadrato aumentato di 1 m. La
base del triangolo è lunga quanto il lato del qua-
207 Tre chiodi di 6 cm, 9 cm e 7 cm vengono piantati drato, mentre la somma dei due lati congruenti è
alla parete. La somma delle porzioni conficcate è pari al quadruplo della base diminuito di 4 m.
17 cm e le porzioni esterne sono uguali per i pri- Trova le lunghezze dei lati dei due poligoni.
[5 m; 5 m; 8 m]
453
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 8. I SISTEMI LINEARI
■ Problemi in due o tre incognite 221 Possiedo € 30,00. Con questo denaro acquisto
214 In un rettangolo il perimetro è 80 cm. La base su- alcune magliette da € 6,50 ciascuna e alcuni faz-
pera l’altezza di 10 cm. Trova le dimensioni del zoletti da € 3,50 ciascuno. Sapendo che il nume-
rettangolo. [25 cm; 15 cm] ro di magliette coincide col numero di fazzoletti,
calcola quante sono. [3]
215 Due lati di un triangolo stanno tra loro come 3 222 In un cortile si contano, tra gatti, cani e galline,
sta a 4, il terzo lato è pari alla loro somma dimi- 17 teste e 54 zampe. Il numero dei gatti supera di
nuita di 2 cm, mentre il perimetro è 26 cm. Trova 2 quello dei cani. Determina quanti sono gli ani-
i tre lati del triangolo. [6 cm; 8 cm; 12 cm] mali di ciascun tipo. [6; 4; 7]
216 Per coprire una spesa di € 30,00, Anna, Giorgio e 223 Le case di tre amiche si trovano sui vertici di un
Giuseppe decidono quanto segue. Anna pagherà triangolo. Anna va a trovare Carla, passando da
ᎏ51ᎏ della somma pagata complessivamente da Barbara, e percorre in tutto 3 km. Se Carla va a
Giorgio e Giuseppe, Giorgio pagherà i ᎏ73ᎏ della
trovare Barbara, e torna a casa, dopo essere pas-
sata da Anna, percorre 5,5 km. Quando Barbara
somma pagata da Giuseppe. Determina l’impor- va da Carla, dopo essere stata a prendere Anna,
to pagato dai tre. [€ 5,00; € 7,50; € 17,50] percorre 4 km. Calcola le distanze tra le case delle
tre amiche. [1,5 km; 1,5 km; 2,5 km]
217 Determina una frazione, sapendo che il denomi-
natore è il doppio del numeratore aumentato di 1 224 Un giovane imprenditore vuole iniziare una nuo-
va attività. Una legge per l’imprenditoria giovani-
e che, diminuendo di 1 il numeratore e aumen- le gli consente di scegliere fra due diversi regimi
fiscali: nel primo caso le tasse sono pagate a per-
tando di 1 il denominatore, si ottiene la frazio- centuale fissa, pari al 25% dei guadagni, e nel se-
1 ΄ ΅5 condo caso le tasse sono pagate a fasce di reddito,
ne ᎏ3ᎏ . cioè sui primi 20 000 euro di guadagno deve pa-
ᎏ1ᎏ1 gare il 10%, sulla parte eccedente deve pagare il
35%.
218 In una fabbrica ci sono 2 macchine, la prima pro- Rappresenta graficamente la situazione e stabili-
sci qual è il regime più conveniente a seconda
duce 10 pezzi all’ora, la seconda 7 pezzi all’ora. delle previsioni di guadagno.
[fino a un guadagno di € 50 000
Le due macchine hanno prodotto in tutto 191 conviene il secondo regime fiscale]
pezzi lavorando complessivamente 23 ore. Deter-
mina il numero dei pezzi prodotti dall’una e
dall’altra macchina. [100; 91]
219 Carlo e Laura possiedono due somme di denaro.
Complessivamente potrebbero acquistare 6 con-
fezioni di caramelle da € 0,35 ciascuna. Se Carlo 225 Un gestore di telefonia mobile A offre ai propri
clienti la tariffa di € 0,10 per ogni minuto di con-
regala € 0,20 a Laura, giungono ad avere la stessa versazione, con in più lo scatto alla risposta che
addebita € 0,10 all’inizio della conversazione. Il
somma di denaro. Quanto possiede Carlo e secondo gestore B offre invece la tariffa di € 0,01
ogni 4 secondi di conversazione, senza scatti alla
quanto Laura? [€ 1,25; € 0,85] risposta. Rappresenta la situazione in un grafico
cartesiano e stabilisci, sulla base di esso, quale
220 Un fruttivendolo compera una cesta di mele a delle due tariffe è la più conveniente in relazione
all’uso che si intende fare del telefonino.
€ 0,45 al kg e un sacco di patate a € 0,10 al kg, [fino a 120 secondi conviene il gestore B]
spendendo in tutto € 6,40. Trova il peso delle
mele e quello delle patate, sapendo che la cesta di
mele costa il quintuplo del sacco di patate, più
€ 0,40. [12 kg; 10 kg]
454
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Verso le competenze ESERCIZI
Verso le competenze Nel sito: ᭤ 30 test interattivi in più
TEST Άx ϩ y ϩ z ϭ 1
1 Le soluzioni di un’equazione lineare in due inco- 6 Il sistema y ϭ z :
gnite sono:
xϭϪy
A una sola coppia ordinata di numeri reali.
B tutte le coppie ordinate di numeri reali. A è impossibile.
C infinite. B è indeterminato.
D due. C ha tre soluzioni: Ϫ 1, 1, Ϫ 1.
D ha una soluzione.
2 La coppia (1; Ϫ3) è soluzione di uno dei seguenti 7 Cosa puoi concludere analizzando il sistema se-
sistemi. Quale? guente? Qual è l’interpretazione grafica?
Ά 3x ϩ 5y ϭ Ϫ 12 Ά 3x ϩ y ϭ 0 Ά3x ϩ 4y ϭ 1
Ϫ 2x ϩ y ϭ 3
A C
x Ϫ 2y ϭ Ϫ 3
Ϫ 2y ϭ 9 Ϫ 3x x Ϫy ϭϪ4
ΆB y ϭ Ϫ 3 ΆD 2x ϩ 3y ϭ 2
3x Ϫ y ϭ 0 5x Ϫ 2y ϭ 1
3 Il sistema formato dalle due equazioni 8 Cosa si intende per sistema letterale? Esistono va-
kx Ϫ 4y ϭ 6 e 3x ϩ 2y ϭ 3 lori di a ʦ R per i quali il sistema seguente è de-
terminato? Perché?
A è impossibile se k ϭ Ϫ 6.
B è indeterminato se k ϭ Ϫ 6. Ά3ax Ϫ 4y ϭ 1
C è determinato se k ϭ Ϫ 6.
D è impossibile se k Ϫ 6. yϭ2
9 Sono date le seguenti equazioni:
a) 2x Ϫ 3y ϩ 1 ϭ 0; c) Ϫ 2x ϩ 3y ϩ 2 ϭ 0;
b) 2x ϩ 2y ϭ 0; d) 4x Ϫ 6y ϩ 2 ϭ 0.
4 Le rette associate alle equazioni di un sistema in- Puoi costruire con due di esse un sistema impos-
determinato e di uno impossibile sono rispettiva- sibile? E un sistema indeterminato?
mente:
[imposs. con a) e c), c) e d); indet. con a) e d)]
A incidenti, parallele.
10 A una festa di beneficenza sono presenti 275 per-
B coincidenti, parallele.
sone fra uomini, donne e bambini. Il nume-
C parallele, coincidenti.
ro complessivo delle donne e dei bambini è i 3
D coincidenti, incidenti. ᎏ2ᎏ
di quello degli uomini. Il biglietto di ingresso co-
sta € 5 per gli uomini, € 2,50 per le donne e €
5 I lati di un triangolo si trovano sulle rette di 1,50 per i bambini. Trova il numero degli uomini,
equazioni y ϭ 2, y ϭ Ϫ x ϩ 5, 2x ϩ 5y ϭ 22.
I vertici del triangolo hanno coordinate: delle donne, dei bambini presenti alla festa, sa-
A (2; 3), (2; 6), (1; 4). pendo che l’incasso totale è di € 882,50.
B (3; 2), (6; 2), (1; 4). [uomini ϭ 110, donne ϭ 85, bambini ϭ 80]
C (Ϫ 3; 2), (6; Ϫ 2), (Ϫ 1; 4). 11 Jeff, Gareth e Ina compiono gli anni lo stesso
giorno. Gareth ha un anno in più di Jeff e Ina due
D (0; 2), (3; 2), (1; 4). in più di Gareth. Quest’anno la somma delle loro
età è 118. Quanti anni ha Gareth?
(CAN Canadian Open Mathematics Challenge, 2003)
[39]
455
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ESERCIZI CAPITOLO 8. I SISTEMI LINEARI
12 Un quadrato magico è una tabella in cui la somma dei numeri di 2x 3x Ϫ y ϩ 4 6
ogni riga, di ogni colonna e di ogni diagonale ha come risultato
una costante k. Sapendo che nel quadrato rappresentato a fianco 10 Ϫ x 4x Ϫ 5y ϩ 1 x
la costante k è uguale a ᎏn3 ϩ2ᎏn , dove n rappresenta il numero di
righe o colonne, trova i valori di x e di y.
[k ϭ 15; x ϭ 1, y ϭ 0]
yϩ4 3 5x Ϫ 4y ϩ 3
13 Quelle nel grafico sono le curve della domanda e 16 In due villaggi dell’Amazzonia la popolazione
dell’offerta di un prodotto. Sul mercato la do-
manda decresce, mentre l’offerta cresce al cresce- dell’uno era i ᎏ56ᎏ della popolazione dell’altro. Una
re del prezzo, quindi è lecito aspettarsi che le due grave epidemia costrinse a emigrare 70 abitanti di
funzioni si incontrino in un punto in cui si verifi- ciascun villaggio, per cui attualmente il primo vil-
ca l’equilibrio del mercato. Utilizza i dati della fi-
gura per determinare il prezzo e la quantità di laggio ha i ᎏ45ᎏ degli abitanti del secondo. Quanti
equilibrio in questo mercato. abitanti ha oggi ciascun villaggio? [280 e 350]
offerta 17 Riempiendo di terra una carriola e ponendola su
una bilancia si rilevano complessivamente 45 kg.
Dimezzando la quantità di terra, il tutto pesa 33
kg. Quanto pesa da sola la carriola? [21 kg]
[4; 3] 18 TEST Marco e Luca sono fratelli. La somma delle
loro età è 23 anni. Il doppio dell’età di Luca è
14 Un uomo dice a un amico: «Se mi dai 8 euro avrò uguale alla differenza tra l’età del loro padre e il
triplo dell’età di Marco. Quando Luca è nato il
cinque volte la somma che ti rimarrà». L’amico padre aveva 43 anni. Quanti anni hanno rispetti-
vamente Marco e Luca?
gli risponde: «Se tu dai a me 5 euro, ne avrò otto
A 10 e 13.
volte i tuoi». Quanti euro possiede ognuno dei B 15 e 8.
C 14 e 9.
due uomini? [7; 11] D 13 e 10.
15 Consideriamo due automobili: D con il motore (Invalsi, 2005)
diesel e B a benzina. Per l’auto D si paga una tas-
sa annua di € 450 e l’auto percorre in media 22 19 TEST Un lato di un quadrato e un lato di un
km con un litro di gasolio. Per l’auto B la tassa triangolo equilatero, di uguale perimetro, hanno
annua è di € 120 e si percorrono 16 km con un lunghezze la cui somma è 14 m. Quanto misura-
litro di benzina. Sapendo che il gasolio costa € no rispettivamente il lato del quadrato e quello
1,43 al litro e la benzina € 1,59 al litro calcola il del triangolo?
numero di kilometri percorsi in un anno per i
quali si spende la stessa somma usando le due A 5 m e 9 m. (Invalsi, 2005)
automobili. Per un numero di kilometri maggio- B 6 m e 8 m.
re quale delle due auto è più conveniente? C 7 m e 7 m.
[9600; D] D 8 m e 6 m.
456
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I numeri reali CAPITOLOTEORIA
e i radicali
9
Il problema di Delo
Una leggenda narra che nell’anno 400 a.C. la città
di Atene fu colpita da una terribile epidemia di
peste. Una delegazione di ateniesi si diresse a Delfi
per consultare l’oracolo, nella speranza che
potesse indicare un modo per porre fine
all’epidemia. Questo fu il responso dell’oracolo:
«Ateniesi, per far cessare la peste, dovete duplicare
l’altare consacrato ad Apollo nell’isola di Delo»…
…come fecero gli ateniesi a raddoppiare l’altare?
Nel sito: ᭤ La risposta
1. La necessità di ampliare l’insieme Q
■ L’estrazione di radice non è un’operazione interna in Q
La sottrazione, operazione inversa dell’addizione, è diventata operazione
interna introducendo i numeri interi. Analogamente, con l’introduzione
dei numeri razionali, è stato possibile rendere interna la divisione, opera-
zione inversa della moltiplicazione.
Vedremo ora che l’operazione inversa della potenza, l’estrazione di radi-
ce, non è interna nell’insieme dei numeri razionali. Questo indurrà ad
ampliare l’insieme Q. Per semplicità limitiamoci a considerare solo l’ope-
razione inversa dell’elevamento al quadrato, ossia la radice quadrata, e
consideriamo solo numeri positivi o nulli.
DEFINIZIONE √⎯a = b ◗ ͙aෆ si legge radice qua-
drata di a.
Radice quadrata se
La radice quadrata di un numero a = b2
razionale positivo o nullo è quel
numero, positivo o nullo, che, ele- (a 0, b 0)
vato al quadrato, dà come risultato
il numero dato.
457
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TEORIA CAPITOLO 9. I NUMERI REALI E I RADICALI
ESEMPIO
͙ෆ9 ϭ 3, perché 32 ϭ 9 ; ͙ෆ0 ϭ 0, perché 02 ϭ 0.
◗ ᎏaᎏ è una frazione appa- Nell’insieme dei numeri razionali positivi o nulli, che indichiamo con
b Qϩ0 , la radice quadrata non è un’operazione interna, perché esistono
rente se a è multiplo di b. numeri la cui radice quadrata non è un numero razionale.
6
Per esempio, ᎏ2ᎏ ϭ 3 è ap- Dimostriamo, per esempio, che 2 non ha per radice quadrata un nume-
ro razionale, facendo vedere che non esiste alcun numero razionale che,
parente; ᎏ12ᎏ e ᎏ27ᎏ non sono elevato al quadrato, dia come risultato 2.
apparenti.
Suddividiamo a tale scopo l’insieme dei razionali positivi, compreso lo
zero, in due sottoinsiemi: uno contenente le sole frazioni apparenti, cioè i
numeri naturali, e l’altro contenente tutte le altre frazioni.
Procediamo in questi due insiemi alla ricerca di un numero il cui quadrato
sia uguale a 2.
1. Nessun naturale ha come quadrato 2. Infatti, associando a ogni natu-
rale il suo quadrato, si può vedere che fra i quadrati il numero 2 non
compare.
n0123 4 5…
n 2 0 1 4 9 16 25 …
2. Nessuna frazione non apparente ha come quadrato 2. Supponiamo che
esista una frazione non apparente ᎏaᎏ , ridotta ai minimi termini, il cui
b
quadrato sia uguale a 2, ossia tale che:
b ᎏaᎏ 2
ϭ 2.
◗ In una frazione non ap- Se ᎏaᎏ non è una frazione apparente, significa che a non è multiplo di b.
parente ridotta ai minimi b
termini il numeratore e il Ma allora neanche la frazione ᎏaᎏ 2 ϭ ᎏa иᎏa può essere apparente.
denominatore sono primi b b и b
fra loro. Se eleviamo al bᎏaᎏ 2
quadrato la frazione, anco- pertanto non può essere vera l’uguaglianza tra la frazione
ra numeratore e denomi- non
natore sono primi fra loro,
perché sono dati dagli apparente e il numero naturale 2, che è una frazione apparente.
stessi fattori, ripetuti due
volte. Per esempio: Possiamo concludere che non esiste alcun numero razionale il cui quadrato
sia uguale a 2; pertanto l’operazione di radice quadrata non è interna in Qϩ0 .
5 2 52 5 и5 ■ Punti di una retta e numeri razionali
ᎏ7ᎏ2 ᎏ7 иᎏ7
ᎏ7ᎏ ϭ ϭ . Nella rappresentazione dei numeri razionali su una retta, a ogni numero
razionale corrisponde un punto della retta. Viceversa, è vero che a ogni
punto della retta corrisponde un numero razionale?
458
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Paragrafo 2. Dai numeri razionali ai numeri reali TEORIA
Possiamo rispondere che non è vero con un esempio. ◗ Teorema di Pitagora: in
un triangolo rettangolo
ESEMPIO Consideriamo la retta orientata r. Costruiamo sul segmento AB l’area del quadrato costrui-
unitario un quadrato (figura 1a), indicando con d la misura della diagona- to sull’ipotenusa è uguale
le AC (figura 1b), e applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo ABC: alla somma delle aree dei
quadrati costruiti sui cateti.
d 2 ϭ 12 ϩ 12 ϭ 2.
Il segmento AE (figura 1c) misura d, con d 2 ϭ 2. Al punto E della retta r
non può quindi corrispondere un numero razionale.
DC DC DC
AB d1
01
rA 1 B r A Br
a. Costruiamo sul segmento 2
unitario il quadrato ABCD. 20 1 0 1E 2
b. Tracciamo la diagonale AC. c. Riportiamo AC col compasso
sulla retta, ottenendo
il segmento AE.
Abbiamo così mostrato che esiste un punto sulla retta r a cui non corri- ᭡ Figura 1
sponde nessun numero razionale.
2. Dai numeri razionali ai numeri reali
■ Le successioni approssimanti
Consideriamo la frazione ᎏ65ᎏ , che corrisponde al numero decimale perio- ◗ Abbiamo già visto che
dico 0,8ෆ3. ogni numero razionale si
può scrivere in forma deci-
Questo numero può essere approssimato al numero di cifre decimali che male limitata o illimitata
si vuole, per difetto o per eccesso. periodica e viceversa.
Le approssimazioni per difetto all’intero e a una, due, tre... cifre deci-
mali sono le seguenti:
0 0,8 0,83 0,833 0,8333 ...
Le approssimazioni per eccesso sono:
1 0,9 0,84 0,834 0,8334 ...
IPsneicùpoarnuidmmaaeanapptpaprnoroossslseimimciafazrzieoiodnneececimphoeasᎏls65iᎏ,iapèmiùcoocmdi siprieraevcshvoiecfriᎏn65aᎏa0èa,8lcveoam0lo,p9rreeeᎏsc65ooᎏsf.ìrvai0a.e 1, in
459
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TEORIA CAPITOLO 9. I NUMERI REALI E I RADICALI
Ogni numero decimale periodico può essere associato a due successioni
di numeri decimali finiti che lo approssimano sempre meglio.
■ I numeri decimali illimitati non periodici
Vediamo ora se è possibile applicare il procedimento delle approssima-
zioni alla radice quadrata di 2, ͙ෆ2, che come abbiamo dimostrato non è
un numero razionale.
Cerchiamo ora due successioni di numeri decimali, tali che i loro quadra-
ti approssimino il numero 2, per difetto e per eccesso.
Prima approssimazione. Sappiamo che:
(1) 2 Ͻ 2 Ͻ (2 )2.
Seconda approssimazione. Calcoliamo tutti i quadrati dei numeri con
una cifra decimale, compresi fra 1 e 2, e controlliamo fra quali di questi
numeri si trova il numero 2:
(1,1)2 ϭ 1,21 (1,2)2 ϭ 1,44 (1,3)2 ϭ 1,69
(1,4)2 ϭ 1,96 (1,5)2 ϭ 2,25
Possiamo fermarci qui, perché abbiamo già trovato i due numeri richiesti:
1,96 Ͻ 2 Ͻ 2,25 ossia (1,4)2 Ͻ 2 Ͻ (1,5)2.
Terza approssimazione. Con un procedimento analogo calcoliamo i
quadrati dei numeri con due cifre decimali, compresi fra 1,4 e 1,5, con-
trollando fra quali di essi si trova il 2.
(1,41)2 ϭ 1,9881 (1,42)2 ϭ 2,0164.
Possiamo fermarci qui, perché abbiamo già trovato i due numeri fra cui è
compreso 2:
1,9881 Ͻ 2 Ͻ 2,0164 ossia (1,41)2 Ͻ 2 Ͻ (1,42)2.
Ulteriori approssimazioni. Questo procedimento può continuare per la
terza cifra decimale, la quarta e così via.
Le due successioni che approssimano per difetto e per eccesso ͙ෆ2 sono:
● S 1: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; ...
● S 2: 2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143; 1,41422; ...
I termini della prima successione sono crescenti, quelli della seconda de-
crescenti. La differenza fra un termine della seconda successione e il cor-
rispondente della prima successione va via via diminuendo:
2 Ϫ 1 ϭ 1; 1,5 Ϫ 1,4 ϭ 0,1; 1,42 Ϫ 1,41 ϭ 0,01…
tuttavia non si giunge mai a uno stesso numero decimale finito o periodi-
co. In tal caso, infatti, avremmo trovato un numero razionale il cui qua-
drato è 2, cosa esclusa in precedenza.
460
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 2. Dai numeri razionali ai numeri reali TEORIA
■ I numeri irrazionali MATEMATICA
PER IL CITTADINO
Così come la scrittura 0,833333... è collegata alle due successioni che ap-
prossimano ᎏ65ᎏ e rappresenta ᎏ65ᎏ in forma decimale, possiamo pensare Gli scorpioni
che anche 1,41421... sia la scrittura decimale di un numero. irrazionali
Si tratta di un numero non razionale, al quale associamo il simbolo ͙ෆ2.
In geometria anche per le
͙ෆ2 ϭ 1,41421... figure più semplici, come
il quadrato, non si può
͙ෆ2, pur avendo infinite cifre decimali, non è periodico. Un numero di fare a meno dei radicali.
questo tipo è detto numero decimale illimitato non periodico. Ricaviamo e analizziamo
successioni di numeri irra-
In modo analogo potremmo far vedere che ogni volta che un’estrazione zionali a partire da alcune
di radice non ha come risultato un numero razionale, esiste un procedi- costruzioni geometriche.
mento per associare alla radice un numero decimale illimitato non perio- Nel sito: ᭤ Il problema
dico. Diamo allora la seguente definizione.
ޒ
DEFINIZIONE
⎯√ ޑ2
Numero irrazionale ޚπ
Chiamiamo numero irrazionale ogni numero decimale illimitato non pe- ގ
riodico.
–√⎯3 2
I numeri irrazionali sono infiniti. Per esempio, ͙ෆ3 , ͙5ෆ, ͙3 ෆ2 , ͙5 7ෆ sono
numeri irrazionali. ◗ Si può dimostrare che
Esistono anche numeri irrazionali che non derivano dall’estrazione di ra- R è un ampliamento di Q:
dici: per esempio, il numero ϭ 3,14159... le operazioni fra numeri
reali conservano le pro-
■ I numeri reali prietà formali delle opera-
zioni nei numeri razionali.
Per ampliare l’insieme dei numeri razionali, consideriamo un nuovo in-
sieme, quello dei numeri reali, che è l’unione dell’insieme dei numeri ra-
zionali e di quello degli irrazionali.
DEFINIZIONE
Numero reale
Chiamiamo numero reale ogni numero razionale o irrazionale.
Indichiamo con R l’insieme dei numeri reali, mentre Rϩ0 è l’insieme dei
numeri reali positivi o nulli.
Nei numeri reali non negativi l’operazione di estrazione della radice è interna.
Inoltre si potrebbe dimostrare che, nella corrispondenza fra numeri e punti di
una retta, a ogni numero reale corrisponde un punto della retta e viceversa.
■ Le operazioni tra numeri reali e le approssimazioni
Dal punto di vista teorico sarebbe possibile definire in modo rigoroso le
operazioni fra numeri reali e studiarne le proprietà.
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Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
TEORIA CAPITOLO 9. I NUMERI REALI E I RADICALI
ESPLORAZIONE Noi ci limiteremo a osservare che, per svolgere i calcoli, si devono utiliz-
zare le approssimazioni decimali di tali numeri. Cerchiamo di capire che
Erone e cosa questo comporta.
la radice quadrata
Consideriamo ͙ෆ31 e ͙ෆ67, limitandoci, per semplicità, alle approssima-
Nel sito: ᭤ La scheda zioni con due cifre decimali:
◗ Se invece di un’opera- ͙ෆ31 è approssimato per difetto da 5,56 e per eccesso da 5,57, ossia
zione eseguiamo i calcoli 5,56 Ͻ ͙ෆ31 Ͻ 5,57;
relativi a un’espressione
con più operazioni, l’in- ͙ෆ67 è approssimato per difetto da 8,18 e per eccesso da 8,19, ossia
certezza si propaga di ope- 8,18 Ͻ ͙ෆ67 Ͻ 8,19.
razione in operazione,
rendendo sempre meno Notiamo che le approssimazioni per difetto, come quelle fornite dalle cal-
attendibile il risultato. colatrici, forniscono sempre cifre certe, ossia cifre che sarebbero senz’altro
presenti se considerassimo approssimazioni con più cifre decimali. In altre
parole siamo sicuri di poter scrivere:
͙ෆ31 ϭ 5,56... ͙ෆ67 ϭ 8,18...
Calcoliamo ora la somma di ͙ෆ31 e ͙ෆ67 per eccesso e per difetto.
͙ෆ31 ϩ ͙ෆ67 ϭ 5,56 ϩ 8,18 ϭ 13,74 (per difetto)
5,57 ϩ 8,19 ϭ 13,76 (per eccesso)
Poiché il risultato è compreso fra 13,74 e 13,76, non si può dire con cer-
tezza quale sia la seconda cifra decimale della somma considerata.
L’unica cifra decimale certa è la prima, quindi possiamo solo scrivere:
͙ෆ31 ϩ ͙ෆ67 ϭ 13,7...
La somma è nota con una incertezza maggiore di quella dei suoi ad-
dendi.
Questa «propagazione dell’incertezza» è ancora più evidente se eseguia-
mo la moltiplicazione.
͙ෆ31 и ͙ෆ67 ϭ 5,56 и 8,18 ϭ 45,4808 (per difetto)
5,57 и 8,19 ϭ 45,6183 (per eccesso)
Nel prodotto sono comparse quattro cifre decimali, ma non per questo il
risultato è più preciso. Infatti, poiché il prodotto è compreso fra 45,4808
e 45,6183, l’incertezza è già presente nella prima cifra decimale, quindi
possiamo scrivere:
͙ෆ31 и ͙ෆ67 ϭ 45,...
Il prodotto è noto con un’incertezza maggiore di quella dei fattori.
Questi due esempi forniscono un’idea dei problemi che sorgono quando
si opera con approssimazioni di numeri irrazionali.
Per evitare questi problemi, si preferisce non operare con i numeri reali
in forma approssimata, ma definendo le operazioni con i radicali. Per
esempio, impareremo che ͙ෆ31 и ͙ෆ67 ϭ ͙ෆ31ෆи ෆ67 ϭ ͙ෆ20ෆ77.
462
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Paragrafo 3. I radicali in Rϩ0 TEORIA
3. I radicali in Rϩ0 ◗ I radicali in Rϩ0 si chia-
mano anche radicali
Abbiamo visto che la radice quadrata è l’operazione inversa della potenza aritmetici.
con esponente 2. Allo stesso modo possiamo parlare di radice cubica
come operazione inversa della potenza con esponente 3 e così via. In ge- ◗ Per esempio, ͙3 2ෆ7 ϭ 3,
nerale la radice n-esima (si legge «ennesima») è l’operazione inversa della ͙4 ෆ62ෆ5 ϭ 5, ͙5 ෆ32 ϭ 2…
potenza con esponente n e si indica con ͙n ෆa .
◗ Le condizioni di esi-
DEFINIZIONE naturale diverso da 0 stenza dei radicali in Rϩ0
La definizione di radice
Radice di un numero positivo n√⎯a = b bn = a impone che il radicando
o nullo sia un numero reale positi-
reali vo o nullo. Se il radicando
Dati un numero naturale n, diverso maggiori o è un’espressione letterale
da 0, e un numero reale a, positivo uguali a 0 bisogna porre la condizio-
o nullo, la radice n-esima di a è ne che essa sia maggiore o
quel numero reale b, positivo o uguale a 0.
nullo, la cui potenza con esponente Affinché esista il radicale
n è uguale ad a. in Rϩ0
ESEMPIO ͙3 ෆx ෆϪෆ1
dobbiamo porre la condi-
͙3 ෆ12ෆ5 ϭ 5 perché 5 3 ϭ 125. zione x Ϫ 1 Ն 0, ossia:
C.E.: x Ն 1.
Nell’insieme dei numeri reali non negativi l’operazione di radice è inter-
na, perché si può dimostrare che la radice n-esima di un numero reale
positivo o nullo esiste sempre ed è unica.
■ Casi particolari
Applicando la definizione puoi verificare che, per ogni n naturale diverso
da 0 e per ogni a reale non negativo si ha:
1. ͙1 aෆ ϭ a; 2. ͙n 0ෆ ϭ 0; 3. ͙n 1ෆ ϭ 1.
Non si attribuisce alcun significato alla radice con l’indice uguale a 0:
͙0 aෆ non ha significato.
■ Un po’ di terminologia indice
La scrittura ͙n aෆ viene detta radicale. √4⎯35 esponente
del radicando
Il numero n viene detto indice del radicale;
il numero a si chiama radicando. Se il radi- radicando
cando è scritto sotto forma di potenza,
l’esponente di tale potenza si chiama esponente del radicando.
Per la radice quadrata l’indice del radicale può essere omesso: ͙ෆ5 è un
modo diverso di scrivere ͙2 ෆ5. I radicali con indice 2 vengono detti radi-
cali quadratici, quelli con indice 3 radicali cubici.
463
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TEORIA CAPITOLO 9. I NUMERI REALI E I RADICALI
4. La proprietà invariantiva dei radicali
Per dimostrare i prossimi teoremi utilizzeremo spesso la seguente pro-
prietà, che ci limitiamo a enunciare.
◗ La proprietà non vale in PROPRIETÀ a= b naturale diverso da 0
generale se a Ͻ 0 o b Ͻ 0:
per esempio, Dati due numeri reali a e b, non ne- an = bn
gativi, e un numero naturale n, di-
(Ϫ 5)2 ϭ (ϩ 5)2, verso da 0, se a e b sono uguali, reali maggiori o uguali a 0
sono uguali anche le loro potenze
ma Ϫ 5 5! n-esime e viceversa.
■ La proprietà invariantiva •p
◗ Due radicali sono equi- TEOREMA √⎯ √⎯⎯⎯n n • p
valenti se rappresentano am = am • p
lo stesso numero reale, po- Dato un radicale, si può ottenere
sitivo o nullo. Per esem- un radicale equivalente moltipli- •p
pio, ͙ෆ4 e ͙6 6ෆ4 sono equi- cando per uno stesso numero na-
valenti perché ͙4ෆ ϭ 2 e turale (diverso da 0) sia l’indice del
͙6 ෆ64 ϭ 2. radicale sia l’esponente del radi-
cando.
◗ Terza proprietà delle
potenze: DIMOSTRAZIONE
(a n)m ϭ a nиm Per la definizione di radicale in Rϩ0 , ͙n aෆෆm e ͙nؒp ෆaෆmиෆp indicano numeri posi-
tivi o nulli. Eleviamo i due radicali allo stesso esponente n и p.
Primo membro Secondo membro
(͙n aෆෆm)n иp ϭ (͙nؒp ෆaෆmиෆp)nиp ϭ
Per la terza proprietà delle potenze: Per la definizione di radice:
ϭ [(͙n aෆෆm)n]p ϭ ϭ a m иp.
Per la definizione di radice:
ϭ [a m]p ϭ
Per la terza proprietà delle potenze:
ϭ a mиp.
Le potenze dei due radicali forniscono lo stesso risultato, pertanto scri-
viamo:
(͙n aෆෆm)nиp ϭ (͙nؒp ෆaෆmиෆp)n иp.
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Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
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