Verso le competenze ESERCIZI
Verso le competenze Nel sito: ᭤ 30 test interattivi in più
TEST TEST
1 L’equazione 4x2 Ϫ bx ϩ 9 ϭ 0 ha due soluzioni 9 Tra le affermazioni che seguono ce n’è una falsa,
reali coincidenti se: quale?
L’equazione a(x Ϫ 2)(x ϩ 3) ϭ 0, con a ∈ R e
A b ϭ 0. C b ϭ Ϯ 12. a 0,
A indica infinite equazioni di secondo grado.
B ⌬ Ͻ 0. D b Ͻ 0. B al variare di a, ammette sempre la stessa
coppia di soluzioni.
2 Il discriminante dell’equazione C corrisponde graficamente a una parabola che
ax 2 Ϫ (a Ϫ 1) x Ϫ 1 ϭ 0 interseca l’asse x in (Ϫ 2; 0) e (3; 0).
D corrisponde graficamente a infinite parabole.
è:
A a 2 ϩ 1. 10 Un’equazione di secondo grado completa con i
B (a ϩ 1)2. coefficienti a e c discordi
C a ϩ 1. A può avere una soluzione nulla.
D (a Ϫ 1)2. B può avere soluzioni coincidenti.
C ha sempre due soluzioni reali e distinte.
3 Considera l’equazione x 2 Ϫ 3x ϩ 2 ϭ 0. D non ha soluzioni reali.
Soltanto una delle seguenti affermazioni è vera.
Quale? 11 La parabola della figura ha:
A a Ͼ 0 e ⌬ Ͼ 0.
A Il prodotto delle radici è uguale alla loro B a Ͼ 0 e ⌬ Ͻ 0.
somma. C c Ͼ 0 e ⌬ Ͻ 0.
D a Ͼ 0, b Ͻ 0 e ⌬ Ͼ 0.
B L’equazione ha due radici negative.
12 Affinché la parabola y ϭ ax2 ϩ bx ϩ c abbia come
C L’equazione non ha radici reali. asse di simmetria l’asse y, deve avere:
A le coordinate del vertice nulle.
D L’equazione ha due radici positive. B il coefficiente b ϭ 0.
C il termine noto c ϭ 0.
4 Considera l’equazione 4x 2 Ϫ 5x ϩ 1 ϭ 0. D i coefficienti a ϭ b ϭ 0.
La somma delle soluzioni è:
13 In quale delle seguenti equazioni, con a, b e c di-
A 5 . C 1 . versi da 0, si possono avere due radici opposte?
ᎏ4ᎏ ᎏ4ᎏ A ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0
D Ϫ ᎏ45ᎏ . B ax 2 ϩ bx ϭ 0
B 4. C ax 2 ϩ c ϭ 0
D ax 2 ϭ 0
5 Perché l’equazione di secondo grado nell’inco-
gnita x, x2 Ϫ ax ϩ a2 ϭ 0, con a 0, non ammet-
te soluzioni reali?
6 Perché puoi affermare che un’equazione di se-
condo grado ax2 ϩ bx ϩ c ϭ 0 ha sicuramente
soluzioni reali se a e c sono discordi?
7 Puoi affermare che la somma delle radici
dell’equazione 5x2 Ϫ 10x Ϫ 1 ϭ 0 è 2, senza risol-
verla? Perché?
8 In che modo puoi utilizzare la formula risolutiva
delle equazioni di secondo grado per risolvere
l’equazione x4 ϩ 3x2 ϩ 2 ϭ 0?
565
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ESERCIZI CAPITOLO 10. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
14 Per quale valore di k l’equazione 16 Data la parabola di equazione y ϭ x 2 Ϫ 6x ϩ 5,
quale tra le seguenti affermazioni è falsa?
x 2 Ϫ 2kx ϩ 2k Ϫ 1 ϭ 0
A Ha la concavità rivolta verso l’alto.
ha due soluzioni coincidenti? B Non passa per l’origine.
A Per k ϭ 0 oppure k ϭ 1. C Ha l’asse di simmetria parallelo all’asse delle
B Per nessun valore di k.
C Solo per k ϭ 0. ordinate.
D Solo per k ϭ 1. D Non interseca l’asse delle ascisse.
(Invalsi, 2006) (Invalsi, 2006)
15 Il grafico rappresenta una parabola di equazione 17 Quale delle seguenti equazioni ha come soluzioni
y ϭ ax 2 ϩ bx ϩ c. x ϭ Ϫ 1 e x ϭ 3?
A x 2 Ϫ 3x ϩ 2 ϭ 0
B x 2 Ϫ 2x ϩ 3 ϭ 0
C x 2 ϩ 2x Ϫ 3 ϭ 0
D x 2 Ϫ 2x Ϫ 3 ϭ 0
(Invalsi, 2007)
Quale affermazione, tra le seguenti, è vera? 18 Quale delle seguenti equazioni di secondo grado
non ammette soluzioni reali?
A b ϭ 0 e c ϭ 0.
A 4x 2 ϩ 5x ϩ 1 ϭ 0
B a Ͻ 0 e b ϭ 0. B 4x 2 Ϫ 5x ϭ 0
C 4x 2 ϩ 5 ϭ 0
C a Ͼ 0 e c ϭ 0. D 4x 2 ϭ 0
D a Ͻ 0 e c ϭ 0. (Invalsi, 2007)
(Invalsi, 2005) 19 Determina tre numeri interi consecutivi sapendo
che il quadrato del numero centrale è uguale alla
differenza dei quadrati degli altri due.
[3, 4, 5 oppure Ϫ 1, 0, 1]
20 Per quale valore di k la frazione ᎏx2 ϩx2 kϪx 2Ϫᎏx 3Ϫk 8ϩ 1 , semplificata, risulta uguale a ᎏxx ϪϪᎏ41 ? [k ϭ 1]
21 Per l’acquisto di un regalo del costo di € 87,50 due persone, tra quelle che inizialmente avevano aderito, si
ritirano; la spesa per ciascuno dei restanti aumenta pertanto di € 5,00. Determina quante persone avevano
aderito inizialmente. [7 persone]
22 Nella seguente equazione determina i valori del parametro in modo che siano soddisfatte le condizioni indi-
cate.
(4 Ϫ k2)x 2 Ϫ 4x ϩ 1 ϭ 0, con k Ϯ 2.
a) due radici reali;
b) radici uguali;
c) radici opposte;
d) una radice uguale a Ϫ 2;
e) somma dei reciproci delle radici uguale a 4.
΄ ΅a) ∀k ∈ R Ϫ {Ϯ 2}; b) k ϭ 0; c) ∃⁄ k; d) k ϭ Ϯ ᎏ25ᎏ; e) ∀k ∈ R Ϫ {Ϯ 2}
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Complementi CAPITOLOTEORIA
di algebra
11
Formato A4
Il classico foglio di carta, il più utilizzato nelle
stampanti o nelle fotocopiatrici, ha un formato
standard in tutta Europa e dimensioni
quantomeno insolite…
…perché il foglio di formato A4 ha i lati di 21 e 29,7
centimetri?
Nel sito: ᭤ La risposta
1. Le equazioni di grado superiore BRAVI SI DIVENTA
al secondo Videolezione ᭤ V43a
Come per le equazioni di secondo grado, esistono formule risolutive anche ◗ Legge di annullamento
per le equazioni di terzo e di quarto grado ma non le esamineremo, perché del prodotto: affinché un
troppo complesse. Non esistono invece procedimenti generali per risolvere prodotto sia 0 è necessario
equazioni di grado superiore al quarto. Noi forniremo soltanto i metodi e sufficiente che sia 0 al-
per la risoluzione di alcuni tipi di equazione di grado superiore al secondo. meno uno dei suoi fattori.
■ Le equazioni risolubili con la scomposizione in fattori
Consideriamo l’equazione di terzo grado:
2x 3 Ϫ 3x 2 ϩ x ϭ 0.
Raccogliamo x :
x (2x 2 Ϫ 3x ϩ 1) ϭ 0.
Applichiamo la legge di annullamento del prodotto:
x ϭ 0 ∨ 2x2 Ϫ 3x ϩ 1 ϭ 0.
Otteniamo due equazioni, una di primo grado, l’altra di secondo.
Abbiamo abbassato di grado l’equazione iniziale di terzo grado.
567
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TEORIA CAPITOLO 11. COMPLEMENTI DI ALGEBRA
Le soluzioni dell’equazione 2x3 Ϫ 3x2 ϩ x ϭ 0 sono date dall’unione delle
soluzioni delle due equazioni.
◗ 2x 2 Ϫ 3x ϩ 1 ϭ 0: La prima equazione ha per soluzione x ϭ 0, la seconda x 1 e x ϭ 1,
ϭ ᎏ2ᎏ
⌬ϭ9Ϫ8ϭ1 quindi le soluzioni dell’equazione di terzo grado sono 0, ᎏ21ᎏ e 1.
3Ϯ1 ᎏ21ᎏ
1 In generale, se un’equazione è scritta nella forma
x ϭ ᎏ4ᎏ ϭ
P (x) ϭ 0,
dove P (x) è un polinomio di grado n, possiamo cercare di ottenere
una o più soluzioni dell’equazione scomponendo il polinomio in un
prodotto di polinomi di grado minore di n e applicando la legge di an-
nullamento del prodotto.
◗ Ricorda che lo zero di ■ L’uso della regola di Ruffini
un polinomio P(x) è la so-
luzione dell’equazione: Dato un polinomio P (x) e uno zero x 1 del polinomio, la regola di Ruffini
permette di calcolare il quoziente della divisione tra P (x ) e il binomio
P(x) ϭ 0. x Ϫ x 1. Indicando con Q(x) il polinomio quoziente, si può scrivere:
Soluzione e radice di P (x ) ϭ (x Ϫ x 1)Q (x ),
un’equazione sono sino-
nimi. dove Q(x ) è un polinomio che ha il grado di P (x) diminuito di 1.
La regola è quindi utile in molti casi per ottenere l’abbassamento di grado
di un’equazione, della quale, però, bisogna conoscere una radice x1.
Per trovare una radice, bisogna controllare nell’equazione se il coefficien-
te del termine di grado massimo è uguale a 1 oppure è diverso da 1.
Primo caso. Il coefficiente del termine di grado massimo è 1.
Risolviamo, per esempio, l’equazione di terzo grado:
x 3 Ϫ 2x 2 Ϫ 5x ϩ 6 ϭ 0.
◗ P (1) ϭ (1)3 Ϫ 2(1)2 ϩ Per trovare un’eventuale radice intera utilizziamo la seguente regola:
Ϫ 5(1) ϩ 6 ϭ 0
se un polinomio a coefficienti interi ha il coefficiente del termine di
grado massimo uguale a 1, i suoi zeri, se esistono, sono divisori interi
del termine noto.
Nel polinomio P (x ) ϭ x 3 Ϫ 2x 2 Ϫ 5x ϩ 6, i divisori interi di 6 sono: ϩ 1,
Ϫ 1, ϩ 2, Ϫ 2, ϩ 3, Ϫ 3, ϩ 6, Ϫ 6.
Per x ϭ 1 il polinomio assume il valore 0, quindi il numero 1 è uno zero
del polinomio e P (x) è divisibile per x Ϫ 1.
568
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Paragrafo 1. Le equazioni di grado superiore al secondo TEORIA
Applichiamo la regola di Ruffini per calcolare il quoziente della divisione ◗ x 2 Ϫ x Ϫ 6 ϭ 0: Ϫ2
⌬ ϭ 1 ϩ 24 ϭ 25 3
(x 3 Ϫ 2x 2 Ϫ 5x ϩ 6) Ϻ (x Ϫ 1).
1 Ϫ2 Ϫ5 6 1Ϯ5
x ϭ ᎏ2ᎏ ϭ
1 1 Ϫ1 Ϫ6
1 Ϫ1 Ϫ6 0
Il polinomio quoziente è Q(x ) ϭ x 2 Ϫ x Ϫ 6, quindi possiamo scrivere:
x 3 Ϫ 2x 2 Ϫ 5x ϩ 6 ϭ (x Ϫ 1)(x 2 Ϫ x Ϫ 6).
Pertanto l’insieme S delle soluzioni dell’equazione iniziale è dato dal-
l’unione delle soluzioni di x Ϫ 1 ϭ 0 e di x 2 Ϫ x Ϫ 6 ϭ 0:
S ϭ {1, Ϫ 2, 3}.
Secondo caso. Il coefficiente del termine di grado massimo è diverso da 1.
Esiste un teorema che permette di trovare le radici anche in questo caso,
ma prima di enunciarlo forniamo un esempio studiando l’equazione:
6x 3 ϩ 11x 2 Ϫ 3x Ϫ 2 ϭ 0.
Scriviamo in una tabella i divisori, positivi e negativi, del termine noto e
del coefficiente del termine di grado massimo x 3.
divisori interi di Ϫ2 DIVISORI
divisori di 6
1 Ϫ1 2 Ϫ2
1 2 3 6 Ϫ1 Ϫ2 Ϫ3 Ϫ6
Si può dimostrare che una possibile radice dell’equazione è una frazione ESPLORAZIONE
il cui numeratore è un divisore di Ϫ2 (termine noto) e il cui denominato-
re è un divisore di 6 (coefficiente di x 3). La formula segreta
In altri termini, se x 1 è soluzione dell’equazione, allora: Nel sito: ᭤ La scheda
x 1 ϭ ᎏddiivviissoorrᎏee ddii 62 .
L’insieme S delle possibili radici è:
Ά ·S ϭ 1, Ϫ 1, ᎏ21ᎏ , Ϫ ᎏ21ᎏ , 2, Ϫ 2, ᎏ31ᎏ , Ϫ ᎏ31ᎏ , ᎏ61ᎏ , Ϫ ᎏ61ᎏ , ᎏ32ᎏ , Ϫ ᎏ32ᎏ .
569
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TEORIA CAPITOLO 11. COMPLEMENTI DI ALGEBRA
Non tutti gli elementi dell’insieme sono effettivamente radici dell’equa-
zione; per trovare una radice, cerchiamo un valore per cui si annulla il
polinomio P (x ) ϭ 6x 3 ϩ 11x 2 Ϫ 3x Ϫ 2. Per tentativi, troviamo che:
1 1 3 1 2 1
ᎏ2ᎏ ᎏ2ᎏ ᎏ2ᎏ ᎏ2ᎏ
ϩ 11 Ϫ3
◗ Verifica, per esempio, Pϭ6 Ϫ 2 ϭ 0,
che P (1) 0.
quindi l’equazione di terzo grado ha come radice x ϭ 1 .
ᎏ2ᎏ
◗6 11 Ϫ 3 Ϫ 2 Per trovare le altre radici dell’equazione 6x3 ϩ11x2 Ϫ 3x Ϫ 2 ϭ 0, abbas-
1 372 siamo di grado l’equazione applicando la regola di Ruffini.
ᎏ2ᎏ 14 4 0
6 Il quoziente è Q (x ) ϭ 6x 2 ϩ 14x ϩ 4.
L’equazione 6x 3 ϩ 11x 2 Ϫ 3x Ϫ 2 ϭ 0 è equivalente all’equazione
(6x 2 ϩ 14x ϩ 4) x Ϫ ᎏ21ᎏ ϭ 0,
le cui soluzioni si determinano risolvendo separatamente le equazioni
◗ 6x 2 ϩ 14x ϩ 4 ϭ 0: 6x 2 ϩ 14x ϩ 4 ϭ 0 e x Ϫ 1 ϭ 0.
ᎏ2ᎏ
3x 2 ϩ 7x ϩ 2 ϭ 0
⌬ ϭ 49 Ϫ 24 ϭ 25 L’insieme delle soluzioni dell’equazione data di terzo grado è:
x ϭ ᎏϪ 76ᎏϮ 5 ϭ Ϫ2 Ά ·S ϭ ᎏ21ᎏ , Ϫ ᎏ31ᎏ , Ϫ 2 .
1
Ϫ ᎏ3ᎏ
Enunciamo ora il teorema che abbiamo applicato nell’esempio.
TEOREMA
Zeri razionali di un polinomio
Se la frazione ridotta ai minimi termini ᎏNᎏ è uno zero di un polinomio a
D
coefficienti interi, allora N è un divisore intero del termine noto e D è un
divisore intero del coefficiente del termine di grado massimo.
P (x) = an xn + an −1 x n − 1 + … a1 x + a0 a0,a1 … an −1 ,an ʦ ޚ
( )P —DN = 0 —ND = divisore intero di a0
divisore intero di an
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Paragrafo 1. Le equazioni di grado superiore al secondo TEORIA
PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI
Per bisogno o per curiosità Nel sito: ᭤ Scheda di lavoro
«Il quinto grado presenta una specie di barriera che gli sforzi degli analisti
non hanno ancora potuto superare […]. Determinare in numeri i valori delle
radici è […] lo scopo della soluzione di tutti i problemi che i bisogni o la cu-
riosità presentano da risolvere.»
(Joseph Louis Lagrange, Lezioni elementari sulle matematiche, Giusti, Milano, 1839)
La mancanza di formule risolutive generali per equazioni di grado superiore
al quarto ha condotto a sviluppare metodi di calcolo approssimato per
determinare le soluzioni di un’equazione. Risolvi in modo approssimato
x5 ϩ x ϩ 1 ϭ 0 con un errore massimo di 0,2.
STEFANIA: «Aiutiamoci tracciando per punti il grafico di P(x) ϭ x 5 ϩ x ϩ 1.
Nell’intervallo [Ϫ 1; 0] c’è una soluzione, nel punto dove P(x) ϭ 0».
GIACOMO: «E, negli estremi dell’intervallo, P(x) ha valori di segno opposto:
P(Ϫ 1) ϭ Ϫ 1, P(0) ϭ ϩ 1».
᭤ Cerca un metodo che sfrutti le osservazioni di Stefania e Giacomo.
■ Le equazioni binomie BRAVI SI DIVENTA
Videolezione ᭤ V43b
DEFINIZIONE 0.
◗ Le equazioni binomie
Un’equazione binomia è riconducibile alla forma si chiamano così perché in
ax n ؉ b ؍0, esse il polinomio che viene
uguagliato a 0 è un parti-
dove n è un numero intero positivo e a e b numeri reali, con a colare tipo di binomio.
Per n ϭ 1 o n ϭ 2 l’equazione è di primo o di secondo grado. ◗ Se l’esponente n è pari,
Negli altri casi, per risolvere l’equazione in R, basta ricavare x n e utiliz- si hanno due radici oppo-
zare la definizione di radice di un numero. Distinguiamo due casi. ste se xn è uguale a un nu-
mero positivo, mentre non
L’esponente n è dispari ci sono radici se xn è ugua-
le a un numero negativo,
ESEMPIO Risolviamo l’equazione: perché non esiste un nu-
x 5 ϩ 32 ϭ 0 → x 5 ϭ Ϫ 32 → x ϭ ͙5 Ϫෆෆ3ෆ2 ϭ Ϫ 2. mero reale che, elevato a
esponente pari, dia un nu-
L’esponente n è pari mero negativo.
ESEMPIO Risolviamo l’equazione:
x 4 Ϫ 32 ϭ 0 → x 4 ϭ 32 → x ϭ Ϯ ͙4 ෆ32 →
→ x1 ϭ Ϫ 2͙4 ෆ2 , x2 ϭ ϩ 2͙4 ෆ2 .
Invece l’equazione x 4 ϭ Ϫ 32 non ha soluzioni reali.
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TEORIA CAPITOLO 11. COMPLEMENTI DI ALGEBRA
Possiamo riassumere i due casi con il seguente schema.
√n
x= m
n dispari
xn = m √n
n pari
m≥0 x= ± m
m < 0 impossibile
BRAVI SI DIVENTA ■ Le equazioni trinomie 0.
Videolezione ᭤ V43c DEFINIZIONE
◗ Le equazioni trinomie Un’equazione trinomia è riconducibile alla forma
si chiamano così perché in ax 2n ؉ bx n ؉ c ؍0,
esse il polinomio che viene
uguagliato a 0 è un parti- dove n è un numero intero positivo, a, b, c ʦ R, con a
colare tipo di trinomio.
L’incognita compare due volte con esponenti l’uno il doppio dell’altro.
◗ L’incognita è detta ausi- ESEMPIO L’equazione
liaria perché «aiuta» a ri-
solvere l’equazione. x 6 ϩ 19x 3 Ϫ 216 ϭ 0
è un’equazione trinomia. Per risolverla utilizziamo un’incognita ausilia-
ria, per esempio z. Poniamo:
x 3 ϭ z.
In questo modo, poiché x 6 ϭ (x 3)2, trasformiamo l’equazione in x in
un’equazione di secondo grado in z, che sappiamo risolvere.
◗ z2 ϩ 19z Ϫ 216 ϭ 0: z 2 ϩ 19z Ϫ 216 ϭ 0 → z1 ϭ Ϫ 27, z 2 ϭ 8.
⌬ ϭ 361 ϩ 864 ϭ 1225
Poiché x 3 ϭ z, risolviamo le due equazioni binomie:
zϭᎏϪ192Ϯᎏ35 ϭ Ϫ27 x 3 ϭ Ϫ 27 → x ϭ Ϫ 3; x 3 ϭ 8 → x ϭ 2.
8
Le soluzioni dell’equazione trinomia sono: S ϭ {Ϫ 3, 2}.
In generale, per risolvere l’equazione trinomia ax 2n ϩ bx n ϩ c ϭ 0, si
pone z ϭ x n e si risolve l’equazione ausiliaria di secondo grado in z:
az 2 ϩ bz ϩ c ϭ 0.
Trovate le radici reali z 1 e z 2 (se esistono), si risolvono le equazioni bi-
nomie: x n ϭ z 1 e x n ϭ z 2.
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Paragrafo 1. Le equazioni di grado superiore al secondo TEORIA
■ Le equazioni biquadratiche
Le equazioni trinomie in cui n ϭ 2 si chiamano biquadratiche.
DEFINIZIONE
Un’equazione biquadratica nell’incognita x è un’equazione riconducibi-
le alla forma:
ax 4 ؉ bx 2 ؉ c ؍0, con a 0.
Per risolvere un’equazione biquadratica si pone z ϭ x2 e si risolve l’equa-
zione ausiliaria di secondo grado in z:
az 2 ϩ bz ϩ c ϭ 0.
ESEMPIO L’equazione 4x 4 Ϫ 17x 2 ϩ 4 ϭ 0 è biquadratica.
Per risolverla poniamo: x 2 ϭ z. Otteniamo: z2 ϭ ᎏ41ᎏ . ◗ 4z 2 Ϫ 17z ϩ 4 ϭ 0
4z 2 Ϫ 17z ϩ 4 ϭ 0 → z1 ϭ 4 e ⌬ ϭ 289 Ϫ 64 ϭ 225
Essendo x 2 ϭ z, troviamo i valori di x risolvendo le due equazioni: 17 Ϯ 15 4
zϭᎏ8ᎏ ϭ ᎏ14ᎏ
x 2 ϭ 4 → x ϭ Ϯ 2 e x 2 ϭ ᎏ41ᎏ → x ϭ Ϯ ᎏ21ᎏ .
Le soluzioni dell’equazione biquadratica data sono quattro:
x 1 ϭ 2, x 2 ϭ Ϫ 2, x 3 ϭ ᎏ21ᎏ , x 4 ϭ Ϫ ᎏ21ᎏ .
■ Le equazioni reciproche
Consideriamo i seguenti polinomi ordinati:
3x 5 Ϫ 6x 4 ϩ 11x 3 ϩ 11x 2 Ϫ 6x ϩ 3
8x 4 Ϫ 10x 3 ϩ 10x Ϫ 8 ◗ Un’equazione reciproca
di grado pari con coeffi-
Il primo polinomio ha i coefficienti dei termini estremi (il primo e l’ulti- cienti opposti manca sem-
mo) e di quelli equidistanti dagli estremi (il secondo e il penultimo, il ter- pre del termine medio che,
zo e il terzultimo) uguali, il secondo polinomio li ha opposti. essendo equidistante dagli
Se uguagliamo a 0 polinomi di questo tipo, otteniamo particolari equa- estremi, deve coincidere
zioni che vengono chiamate equazioni reciproche. con il suo opposto.
573
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
TEORIA CAPITOLO 11. COMPLEMENTI DI ALGEBRA
◗ Le equazioni recipro- DEFINIZIONE
che vengono chiamate così
perché si può dimostrare Un’equazione scritta nella forma P (x) ϭ 0, dove P (x ) è un polinomio or-
questa proprietà: se dinato secondo le potenze dell’incognita, è reciproca se i coefficienti dei
un’equazione reciproca ha termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono uguali o sono
come radice il numero m, opposti.
essa ammette come radice
anche il reciproco di m, Ci limiteremo a illustrare i metodi risolutivi delle equazioni reciproche di
cioè ᎏ1ᎏ . terzo e di quarto grado, osservando soltanto che per gradi superiori si
può spesso abbassare il grado con la regola di Ruffini.
m Le equazioni reciproche di terzo grado
Un’equazione reciproca di terzo grado è sempre riconducibile a una delle
◗ Per esempio due forme
2x 3 ϩ 5x 2 ϩ 5x ϩ 2 ϭ 0,
ax 3 ؉ bx 2 ؉ bx ؉ a ؍0 oppure ax 3 ؉ bx 2 ؊ bx ؊ a ؍0.
oppure
x 3 ϩ 4x 2 Ϫ 4x Ϫ 1 ϭ 0. L’equazione ax3 ؉ bx2 ؉ bx ؉ a ؍0 ha per radice Ϫ 1.
◗ Infatti, sostituendo x con Ϫ 1 otteniamo:
5 Ϫ21 Ϫ21
a (Ϫ 1)3 ϩ b (Ϫ 1)2 ϩ b (Ϫ 1) ϩ a ϭ Ϫ a ϩ b Ϫ b ϩ a ϭ 0.
Ϫ1 Ϫ5 ϩ26
Quindi abbassiamo di grado l’equazione con la regola di Ruffini.
5 Ϫ26 5 ESEMPIO Risolviamo l’equazione reciproca:
5x 3 Ϫ 21x 2 Ϫ 21x ϩ 5 ϭ 0.
Il polinomio si annulla per x ϭ Ϫ 1, quindi è divisibile per x ϩ 1. Scom-
ponendo con la regola di Ruffini otteniamo
(x ϩ 1)(5x2 Ϫ 26x ϩ 5) ϭ 0 → x ϩ 1 ϭ 0 ∨ 5x 2 Ϫ 26x ϩ 5 ϭ 0
5 x1ϭϪ1 ∨ 13 Ϯ 12 ᎏ51ᎏ
Ϫ5 x2,3 ϭ ᎏ5ᎏ ϭ 5
0
L’insieme delle soluzioni dell’equazione reciproca è:
Ά ·S ϭ Ϫ 1, 5, ᎏ51ᎏ .
◗ Negli esercizi vedremo In modo analogo si procede per l’equazione ax3 ؉ bx2 ؊ bx ؊ a ؍0,
come si risolvono le equa- osservando che l’equazione ammette 1 come radice.
zioni reciproche di quarto
grado. In generale, un’equazione reciproca di terzo grado è abbassabile di
grado con la regola di Ruffini, perché ha sempre come radice 1 o Ϫ 1.
574
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 2. Le equazioni irrazionali TEORIA
2. Le equazioni irrazionali BRAVI SI DIVENTA
Videolezione ᭤ V44a
■ Le equazioni irrazionali e i teoremi di equivalenza
◗ L’equazione
Un’equazione a una incognita è irrazionale quando contiene radicali ͙ෆ2x Ϫ ͙ෆ3 ϭ 1
nel cui radicando compare l’incognita.
non è irrazionale, perché
ESEMPIO L’equazione ͙ෆ2xෆϩෆ5 ϭ 3(x Ϫ 1) è irrazionale. ͙ෆ2 e ͙ෆ3 sono coefficien-
ti, mentre l’incognita x si
Per risolvere un’equazione irrazionale il primo passo da fare è sempre trova fuori dal segno di ra-
quello di «liberarsi» in qualche modo dei radicali presenti, ossia di ricon- dice.
durre il problema alla soluzione di un’equazione razionale che dia
buone informazioni sulle soluzioni dell’equazione iniziale. ◗ Risolvendo equazioni
irrazionali, utilizzi spesso
ESEMPIO Consideriamo l’equazione irrazionale delle radici. Ricorda che le
radici, se sono di indice
͙ෆx ෆϩෆ7 ϭ x ϩ 1. pari, hanno come valore
un numero positivo (o
Eleviamo entrambi i membri al quadrato: nullo), se sono di indice
dispari, hanno per valore
(͙xෆෆϩෆ7 )2 ϭ (x ϩ 1)2. un numero con lo stesso
segno del radicando.
Svolgiamo i calcoli: Per esempio,
x ϩ 7 ϭ x 2 ϩ 1 ϩ 2x → x 2 ϩ x Ϫ 6 ϭ 0 ͙ෆ4 ϭ ϩ 2,
͙3 ෆϪෆ8 ϭ Ϫ 2.
⌬ ϭ 1 ϩ 24 ϭ 25 x ϭ ᎏϪ12Ϯᎏ5 ϭ Ϫ3
2
I valori Ϫ3 e 2 sono le soluzioni dell’equazione
(͙ෆx ෆϩෆ7 )2 ϭ (x ϩ 1)2.
Sono anche soluzioni di ͙ෆx ϩෆෆ7 ϭ x ϩ 1?
Per rispondere sostituiamo Ϫ3 e 2 nell’equazione data.
Sostituiamo Ϫ3: Secondo membro
Ϫ3ϩ1ϭϪ2
Primo membro
͙Ϫෆෆ3 ϩෆෆ7 ϭ ͙4ෆ ϭ 2
Poiché i due membri non hanno lo stesso valore, x ϭ Ϫ 3 non è soluzione
dell’equazione data.
Sostituiamo x ϭ 2:
Primo membro Secondo membro
͙ෆ2 ෆϩෆ7 ϭ ͙9ෆ ϭ 3 2ϩ1ϭ3
I due membri hanno lo stesso valore, quindi x ϭ 2 è la soluzione
dell’equazione irrazionale.
575
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
TEORIA CAPITOLO 11. COMPLEMENTI DI ALGEBRA
◗ Solo 2 è una soluzione Poiché le equazioni
in comune. ͙ෆx ϩෆෆ7 ϭ x ϩ 1 e (͙xෆϩෆෆ7 )2 ϭ (x ϩ 1)2
◗ Il teorema afferma in non hanno le stesse soluzioni, non sono equivalenti.
particolare che, se
͙Aෆෆ(ෆx)ෆ ϭ B (x ) è Questo esempio è un caso particolare del seguente teorema che ci limitia-
un’equazione irrazionale, mo a enunciare.
tra le soluzioni dell’equa-
zione A (x) ϭ [B (x )]2 tro- TEOREMA
viamo anche le soluzioni
di ͙Aෆෆ(ෆx)ෆ ϭ Ϫ B (x). Elevamento al quadrato dei membri di un’equazione
L’equazione A (x ) ϭ B (x ) e l’equazione [A (x )]2 ϭ [B (x )]2, ottenuta
◗ Il teorema afferma che dalla precedente elevando al quadrato i suoi membri, non sono in gene-
le soluzioni dell’equazione rale equivalenti. Più precisamente, [A (x )]2 ϭ [B (x )]2 equivale a
irrazionale
͙n Aෆෆ(x )ෆ ϭ B (x ) sono le [A (x) ϭ B (x)] ∨ [A (x) ϭ Ϫ B (x)],
stesse di A (x ) ϭ [B (x )]n se
n è dispari, sono un sot- ossia ha, oltre alle soluzioni di A (x) ϭ B (x), anche quelle di
toinsieme delle soluzioni di
A(x) ϭ [B(x)]n se n è pari. A (x) ϭ Ϫ B (x).
Se invece eleviamo al cubo entrambi i membri di un’equazione, ottenia-
mo un’equazione equivalente.
ESEMPIO L’equazione
͙3 xෆ ϭ Ϫ 2
ha come unica soluzione x ϭ Ϫ 8. Se eleviamo al cubo entrambi i mem-
bri, otteniamo:
(͙3 xෆ)3 ϭ (Ϫ 2)3 ovvero x ϭ Ϫ 8.
TEOREMA
Elevamento al cubo dei membri di un’equazione
L’equazione A (x ) ϭ B (x ) e l’equazione [A(x )]3 ϭ [B (x )]3, ottenuta dalla
precedente elevando al cubo i suoi membri, sono equivalenti.
I due teoremi precedenti sono casi particolari di un teorema generale.
TEOREMA
Elevamento a potenza dei membri di un’equazione
Consideriamo l’equazione A(x) ϭ B(x) e l’equazione [A(x)]n ϭ [B(x)]n,
ottenuta dalla precedente elevando all’esponente naturale positivo n i
suoi membri.
● Se n è dispari, [A (x )]n ϭ [B (x )]n è equivalente ad A (x ) ϭ B (x ).
● Se n è pari, [A(x)]n ϭ [B(x)]n è equivalente ad [A(x) ϭ B(x)] ∨ [A(x) ϭ
ϭ Ϫ B (x )], ossia ha, oltre alle soluzioni di A(x) ϭ B (x), anche quelle
di A(x ) ϭ Ϫ B(x ).
576
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 2. Le equazioni irrazionali TEORIA
■ La risoluzione di un’equazione irrazionale BRAVI SI DIVENTA
Videolezioni ᭤ V44c
Per risolvere un’equazione del tipo ͙n Aෆෆ(x)ෆ ϭ B(x) dobbiamo:
᭤ V44d
1. elevare a n entrambi i membri dell’equazione [͙n Aෆෆ(x)ෆ]n ϭ [B (x )]n,
da cui si ottiene A(x ) ϭ [B (x )]n; MATEMATICA
PER IL CITTADINO
2. controllare se n è dispari o pari:
Mongolfiere
● se n è dispari, le soluzioni trovate sono quelle dell’equazione data;
● se n è pari, dobbiamo eseguire il controllo delle soluzioni. In una gara di salita in ver-
ticale, una mongolfiera la-
I metodi che si utilizzano per il controllo sono due: scia cadere, in due istanti
diversi, due sacchetti di
● controllo mediante verifica: si sostituisce ciascuna soluzione x di zavorra. Applichiamo la
A (x ) ϭ [B (x )]n nell’equazione iniziale ͙n Aෆෆ(x)ෆ ϭ B (x ); se questa ri- leggi di caduta dei gravi
sulta soddisfatta, x è una sua soluzione, altrimenti no; per studiare il moto dei
sacchetti.
● controllo mediante condizioni: si impongono via via le condizioni Nel sito: ᭤ Il problema
necessarie affinché ogni passaggio che si esegue sia lecito.
ESEMPIO Risolviamo la seguente equazione:
1 ϩ ͙1ෆ9xෆෆϪෆ13ෆ ϭ 3x.
Isoliamo la radice quadrata:
͙ෆ19ෆxෆϪෆ1ෆ3 ϭ 3x Ϫ 1.
Eleviamo al quadrato:
(͙1ෆ9ෆx ෆϪෆ13ෆ)2 ϭ (3x Ϫ 1)2 → 19x Ϫ 13 ϭ 9x 2 Ϫ 6x ϩ 1 →
→ 9x 2 Ϫ 25x ϩ 14 ϭ 0
⌬ ϭ 625 Ϫ 504 ϭ 121 25 Ϯ 11 ᎏ13ᎏ86 ϭ 2
x ϭ ᎏ1ᎏ8 ϭ
14 ϭ 7 .
ᎏ1ᎏ8 ᎏ9ᎏ
Eseguiamo il controllo mediante verifica.
● Sostituiamo x ϭ 2 nell’equazione di partenza:
Primo membro: 1ϩ͙ෆ19ෆиෆ2 ෆϪෆ1ෆ3 ϭ1ϩ͙ෆ38ෆϪෆ1ෆ3 ϭ1ϩ͙ෆ25ϭ1ϩ5ϭ6.
Secondo membro: 3 и 2 ϭ 6.
● Sostituiamo x ϭ ᎏ97ᎏ nell’equazione di partenza:
Primo membro:
Ί Ί Ί1ϩ 16 4 7
19 и 7 Ϫ 13 ϭ1ϩ 133 Ϫ 117 ϭ 1 ϩ ᎏ9ᎏ ϭ 1 ϩ ᎏ3ᎏ ϭ ᎏ3ᎏ .
ᎏ9ᎏ ᎏ9ᎏ
Secondo membro: 3 и ᎏ97ᎏ ϭ ᎏ37ᎏ .
577
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TEORIA CAPITOLO 11. COMPLEMENTI DI ALGEBRA
Le soluzioni 2 e ᎏ97ᎏ sono entrambe accettabili.
Eseguiamo il controllo mediante condizioni. Imponiamo:
● 19x Ϫ 13 Ն 0 → x Ն ᎏ11ᎏ93 , perché il radicando non deve essere negativo;
13– 11–39– 97– 2
● 3x Ϫ1Ն0 → x Նᎏ31ᎏ , perché 3x Ϫ1 deve avere lo stesso segno del radicale.
13 1 13
Essendo ᎏ1ᎏ9 Ͼ ᎏ3ᎏ , la condizione è x Ն ᎏ1ᎏ9 .
Poiché 2 Ն ᎏ11ᎏ93 e ᎏ97ᎏ Ն ᎏ11ᎏ93 , le soluzioni 2 e ᎏ97ᎏ sono entrambe accettabili.
BRAVI SI DIVENTA 3. I sistemi di secondo grado
Videolezione ᭤ V45a
Un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni nelle stesse
◗ Il sistema incognite; l’insieme delle soluzioni è l’intersezione degli insiemi delle so-
luzioni delle singole equazioni.
Ά x 2 ϩ y 2 Ϫ 25 ϭ 0
xϪy2Ϫ3ϭ0 Un sistema ha soluzione se e solo se esiste almeno una soluzione comune.
non è di secondo grado,
perché contiene due equa- Poiché il grado di un sistema è dato dal prodotto dei gradi delle singole
zioni di secondo grado; equazioni, un sistema di secondo grado può contenere una sola equazio-
pertanto è di quarto grado. ne di secondo grado e le altre devono essere di primo grado.
ESEMPIO Il sistema
Ά2x Ϫ y ϭ 0
x 2 ϩ 6y 2 Ϫ 9 ϭ 0
è composto da un’equazione di primo grado e da una di secondo grado;
quindi il grado del sistema è 2.
■ I sistemi di due equazioni in due incognite
◗ Le soluzioni di un siste- Per risolvere questi sistemi si utilizza, in generale, il metodo di sostituzio-
ma di due equazioni in ne: si ricava un’incognita dall’equazione di primo grado e si sostituisce in
due incognite sono coppie quella di secondo grado.
ordinate di numeri reali.
ESEMPIO Risolviamo il seguente sistema:
Ά2x Ϫ y ϭ 0
x 2 ϩ 6y 2 Ϫ 9 ϭ 0
Ricaviamo l’incognita y dalla prima equazione:
y ϭ 2x .
Sostituiamo nella seconda equazione:
Ά Ά Ά Ά Ίy ϭ2x y ϭ 2x
y ϭ 2x y ϭ 2x
x 2 ϩ 6(2x )2 Ϫ 9 ϭ 0 x 2 ϩ 24x 2 Ϫ 9 ϭ 0 25x 2 ϭ 9 x ϭ Ϯ ᎏ29ᎏ5
3 x 2 ϭ Ϫ ᎏ53ᎏ .
x 1 ϭ ϩ ᎏ5ᎏ e
578
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 4. I sistemi simmetrici TEORIA
Sostituiamo questi valori nella prima equazione:
y 2 3 6 ; 3 6 .
1 ϭ и ᎏ5ᎏ ϭ ᎏ5ᎏ y2ϭ2 Ϫ ᎏ5ᎏ ϭ Ϫ ᎏ5ᎏ
Il sistema ha per soluzioni le coppie ordinate (x 1; y 1 ) e (x 2; y 2 ), cioè le
coppie3;6 e Ϫ 3 ; 6 .
ᎏ5ᎏ ᎏ5ᎏ ᎏ5ᎏ Ϫ ᎏ5ᎏ
In generale, un sistema di secondo grado di due equazioni in due inco- ◗ Un sistema è:
gnite, che non sia indeterminato, può avere due, una o nessuna soluzio- ● indeterminato se ha in-
ne; ogni soluzione è una coppia ordinata di numeri reali.
finite soluzioni;
ESEMPIO Il sistema ● determinato se ha un nu-
Άx Ϫ y ϭ 1 mero finito di soluzioni;
● impossibile se non am-
Ϫ x 2 ϩ 2xy ϩ 1 ϭ 0
mette soluzioni.
ha una sola soluzione formata dalla coppia (1; 0), mentre il sistema
◗ Prova a risolvere questi
Άx 2 ϩ y 2 ϩ 1 ϭ 0 sistemi in modo analogo a
quello dell’esempio prece-
2x ϩ y ϭ 3 dente.
non ha soluzioni reali.
Il sistema
Άx 2 Ϫ y 2 ϩ 2y Ϫ 1 ϭ 0
x ϩy ϭ1
è indeterminato. Tutte le coppie (h; 1 Ϫ h), h ʦ R, che soddisfano l’equa-
zione di primo grado sono soluzioni del sistema.
Nota che il polinomio di secondo grado x 2 Ϫ y 2 ϩ 2y Ϫ 1 può essere
scomposto in (x + y Ϫ 1) и (x Ϫ y ϩ 1).
4. I sistemi simmetrici ◗ Il sistema di secondo
grado
Un sistema di due equazioni in due incognite si dice simmetrico
quando, scambiando fra loro le incognite, il sistema non cambia. Άxy ϭ 3
ESEMPIO 2x ϩ y ϭ 4
Άxy ϭ 3 non è simmetrico, perché,
scambiando la x con la y,
x ϩy ϭ4 si ottiene un sistema diver-
è un sistema simmetrico perché, se mettiamo x al posto di y e viceversa, so da quello dato:
otteniamo lo stesso sistema:
Άyx ϭ 3
Άyx ϭ 3
2y ϩ x ϭ 4
y ϩx ϭ4
579
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
TEORIA CAPITOLO 11. COMPLEMENTI DI ALGEBRA
In un sistema simmetrico, poiché si possono scambiare le incognite, se la
coppia (a; b ) è soluzione del sistema, anche la coppia (b ; a) è soluzione
dello stesso sistema. Le due soluzioni si dicono simmetriche.
Fra i sistemi simmetrici di secondo grado esaminiamo il sistema nella
forma fondamentale:
Άxy ؍p
x ؉y ؍s
Potremmo risolverlo per sostituzione, come ogni sistema di secondo gra-
do. Tuttavia è possibile ottenere le soluzioni con maggior facilità utiliz-
zando una particolare equazione di secondo grado.
Abbiamo già visto che, data la somma s di due numeri e il loro prodotto
p, l’equazione che ha per radici i due numeri è x 2 Ϫ sx ϩ p ϭ 0.
Pertanto, per risolvere il sistema
Άxy ϭ p
xϩy ϭs
◗ L’equazione introduciamo la variabile ausiliaria t e scriviamo l’equazione nell’inco-
t2 Ϫ st ϩ p ϭ 0 gnita t :
è detta equazione t 2 ؊ st ؉ p ؍0.
risolvente.
Se le soluzioni di questa equazione sono t 1 e t2, le soluzioni del sistema
LABORATORIO sono (t 1; t 2 ) e (t 2; t 1).
DI MATEMATICA
Nel sito: ESEMPIO
᭤ I sistemi di secondo
Risolviamo il sistema
grado con Excel
Άxy ϭ Ϫ 40
xϩy ϭ3
L’equazione risolvente nell’incognita ausiliaria t è:
t 2 Ϫ 3t Ϫ 40 ϭ 0
⌬ ϭ 9 ϩ 160 ϭ 169 3 Ϯ 13 8
t ϭ ᎏ2ᎏ ϭ Ϫ5
Le soluzioni dell’equazione sono t 1 ϭ 8 e t 2 ϭ Ϫ 5. Le soluzioni del siste-
ma sono le coppie (8; Ϫ 5) e (Ϫ 5; 8).
580
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Teoria in sintesi ESERCIZI
LA TEORIA IN SINTESI
Complementi di algebra
1. Le equazioni di grado superiore Le equazioni binomie sono del tipo:
al secondo ax n ϩ b ϭ 0
Le equazioni di grado superiore al secondo, ricon- (n intero positivo, a 0). Si risolvono ricavando x n
dotte alla forma P(x) ϭ 0, si possono risolvere me- e utilizzando la definizione di radice. Se n è dispari,
diante la legge di annullamento del prodotto se si rie- si ha una soluzione reale; se n è pari, l’esistenza delle
sce a scomporre in fattori il polinomio P(x). radici dipende dal segno del radicando.
Se un polinomio a coefficienti interi P (x), di grado
n Ͼ 2 possiede uno zero reale x1, allora è possibile √m ≥ 0 x = ± n m
abbassare di grado l’equazione associata P (x) ϭ 0
mediante la regola di Ruffini. n pari
Se P(x) ϭ (x Ϫ x1) Q(x) xn = m m < 0 impossibile
grado n grado (n Ϫ 1) n dispari
allora P (x) ϭ 0 si spezza nelle due seguenti √x = n m
x Ϫ x1 ϭ 0 Le equazioni trinomie sono del tipo:
equazioni:
ax 2n ϩ bxn ϩ c ϭ 0
Q(x) ϭ 0
(n intero positivo, a 0). Si risolvono ponendo
Un possibile zero del polinomio P (x) a coefficienti xn ϭ z e risolvendo l’equazione ausiliaria di secondo
grado az 2 ϩ bz ϩ c ϭ 0.
interi è una frazione ᎏNᎏ tale che N è un divisore inte- Le soluzioni reali di questa equazione, se esistono,
D vanno sostituite a z in:
ro del termine noto e D è un divisore intero del ter-
x n ϭ z.
mine di grado massimo.
Si ottengono delle equazioni binomie che possono
ESEMPIO fornire le radici dell’equazione iniziale.
Data l’equazione 15x 3 Ϫ 14x 2 Ϫ 7x ϩ 6 ϭ 0, un Un’equazione è biquadratica quando è riconducibile
alla forma ax 4 ϩ bx 2 ϩ c ϭ 0.
possibile zero di 15x 3 Ϫ 14x 2 Ϫ 7x ϩ 6 è Si pone x 2 ϭ z e si risolve l’equazione ausiliaria
az 2 ϩ bz ϩ c ϭ 0.
ᎏ53ᎏ (3 è divisore di 6) Trovate, se esistono, le soluzioni z1 e z2, si ricava:
(5 è divisore di 15).
x1,2 ϭ Ϯ ͙ෆz1 e x3,4 ϭ Ϯ ͙ෆz2.
Dopo 3 ϭ 0, scompo-
aver verificato che P ᎏ5ᎏ Nelle equazioni reciproche i coefficienti dei termini
estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono
niamo in fattori P(x): uguali oppure opposti. Le equazioni reciproche di
terzo grado hanno come radici 1 o Ϫ 1 e si risolvono
P(x) ϭ 15x 3 Ϫ 14x 2 Ϫ 7x ϩ 6 ϭ abbassando il grado con la regola di Ruffini.
ϭ x Ϫ ᎏ53ᎏ (15x 2 Ϫ 5x Ϫ 10),
quindi abbassiamo di grado l’equazione:
x Ϫ 3 ϭ 0
ᎏ5ᎏ
15x3 Ϫ 14x2 Ϫ 7x ϩ 6 ϭ 0
15x 2 Ϫ 5x Ϫ 10 ϭ 0
581
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 11. COMPLEMENTI DI ALGEBRA
2. Le equazioni irrazionali ESEMPIO grado 3 и 2 ϭ 6
Un’equazione è irrazionale se contiene almeno un Ά5x3 ϩ y ϭ 2 (grado 3)
radicale nel cui radicando compare l’incognita.
2xy ϩ 3 ϭ x (grado 2)
ESEMPIO
I sistemi di secondo grado si risolvono di solito con il
͙ෆx Ϫ 1 ϭ 3 è un’equazione irrazionale; metodo di sostituzione. Un sistema di secondo gra-
x Ϫ ͙ෆ3 ϭ 1 non è un’equazione irrazionale. do, che non sia indeterminato, può avere due, una o
nessuna soluzione.
Data un’equazione A(x) ϭ B(x), consideriamo l’e-
quazione [A (x)]n ϭ [B (x)]n: 4. I sistemi simmetrici
● se n è dispari, essa è equivalente a quella data;
● se n è pari, essa ha come soluzioni, oltre a quelle di Un sistema di secondo grado nelle incognite x e y è
simmetrico quando esso non cambia se al posto di x
A(x) ϭ B (x), anche quelle di A(x) ϭ Ϫ B (x). mettiamo y e viceversa. Il tipo fondamentale di siste-
Per risolvere un’equazione irrazionale ma simmetrico di secondo grado ha la forma
͙n Aෆෆ(x)ෆ ϭ B (x) dobbiamo:
Άxy ϭ p
● elevare a n entrambi i membri dell’equazione;
● controllare se n è pari o dispari: se n è dispari, le ●
soluzioni dell’equazione ottenuta sono le stesse xϩy ϭs
dell’equazione irrazionale; se n è pari, dobbiamo
eseguire il controllo delle soluzioni mediante ve- e si risolve mediante l’equazione ausiliaria
rifica o mediante condizioni.
t2 Ϫ st ϩ p ϭ 0.
3. I sistemi di secondo grado
Altri sistemi simmetrici possono essere ricondotti a
Il grado di un sistema è dato dal prodotto dei gradi quello visto mediante le formule di Waring:
delle sue equazioni.
● x2 ϩ y2 ϭ (x ϩ y)2 Ϫ 2xy;
● x3 ϩ y3 ϭ (x ϩ y)3 Ϫ 3xy(x ϩ y).
1. Le equazioni di grado superiore al secondo –ᮣ Teoriaapag.567
ESERCIZIO GUIDA
1 Risolviamo l’equazione: 12x3 Ϫ 4x2 Ϫ 27x ϩ 9 ϭ 0.
Scomponiamo in fattori di primo e secondo grado il polinomio a primo membro.
Utilizziamo il raccoglimento parziale:
12x3 Ϫ 4x2 Ϫ 27x ϩ 9 ϭ 4x2(3x Ϫ 1) Ϫ 9(3x Ϫ 1) ϭ (4x2 Ϫ 9)(3x Ϫ 1).
L’equazione diventa: (4x2 Ϫ 9)(3x Ϫ 1) ϭ 0.
Per la legge di annullamento del prodotto otteniamo due equazioni:
4x2 Ϫ 9 ϭ 0 → x ϭ ᎏϮ13ᎏᎏ.23ᎏ ,
3x Ϫ 1 ϭ 0 → x ϭ
L’equazione data ha
tre soluzioni: x1 ϭ 3 , x2 ϭ Ϫ 3 , x3 ϭ 1 .
ᎏ2ᎏ ᎏ2ᎏ ᎏ3ᎏ
582
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 1. Le equazioni di grado superiore al secondo ESERCIZI
Risolvi le seguenti equazioni.
2 x4 Ϫ 4x2 ϭ 0 [0; Ϯ 2] 19 4x6 ϩ 12x5 ϩ 9x4 ϭ 0 ΄ ΅0; Ϫ ᎏ23ᎏ
20 x2(x Ϫ 6) ϭ 4(2 Ϫ 3x)
3 3x3 Ϫ 3 x ϭ 0 ΄ ΅0;Ϯ 1 21 2x2(x ϩ 2) ϭ 5(x2 ϩ 10x Ϫ 5) [2]
ᎏ4ᎏ ᎏ2ᎏ
22 4x4 ϩ 12x3 ϭ x(x ϩ 3)
4 2x5 Ϫ 32x ϭ 0 [0; Ϯ 2] ΄ ΅1;Ϯ 5
23 x2(2x Ϫ 3) ϭ 4(2x Ϫ 3)
5 x Ϫ x5 ϭ 0 [0; Ϯ 1] 24 ᎏx3 ϩ xx2ϩϪᎏ39x Ϫ 9 ϭ 0 ᎏ2ᎏ
25 x 3 ϩ x 2 Ϫ x Ϫ 1 ϭ 0
6 x4 Ϫ 6x3 ϩ 9x2 ϭ 0 [0; 3] ΄ ΅0; Ϫ 3; Ϯ ᎏ12ᎏ
7 3x2 Ϫ 1 x6 ϭ 0 [0; Ϯ 3] ΄ ΅Ϯ 2; ᎏ23ᎏ
ᎏ27ᎏ
8 (x3 Ϫ 1)(x2 ϩ 6x) ϭ 0 [Ϫ 6; 0; 1] [Ϫ1; 3]
9 4x3 ϩ 4x2 Ϫ x ϭ 1 ΄ ΅Ϫ 1; Ϯ ᎏ12ᎏ [Ϫ 1; 1]
10 6x 3 ϩ 5x2 Ϫ 4x ϭ 0
΄ ΅0; 1 ; 4 26 x 3 ϩ 3x 2 Ϫ x Ϫ 3 ϭ 0 [Ϫ 3; Ϫ 1; 1]
ᎏ2ᎏ Ϫ ᎏ3ᎏ
11 20x3 ϩ 48x2 ϩ 16x ϭ 0 ΄ ΅0; Ϫ 2; Ϫ ᎏ52ᎏ 27 x 3 Ϫ x Ϫ 3(x Ϫ 1)(x ϩ 1) ϭ 0 [Ϫ 1; 1; 3]
12 27x2 Ϫ 6x3 Ϫ 12x ϭ 0 ΄ ΅0; 4; ᎏ21ᎏ ■ Dalle soluzioni all’equazione
13 4x 3 ϩ 3x2 Ϫ 8x Ϫ 6 ϭ 0 ΄ ΅Ϯ ͙ෆ2; Ϫ ᎏ43ᎏ Scrivi le equazioni che ammettono le seguenti solu-
zioni.
΄ ΅Ϯ ͙ෆ3; ᎏ31ᎏ
14 3x3 Ϫ x2 Ϫ 9x ϩ 3 ϭ 0
΄ ΅15 1 1 28 Ϫ3; 2; 0.
ᎏ6ᎏ ᎏ3ᎏ
2x Ϫ 10x2 ϩ 16x3 Ϫ 8x2 ϩ 20x3 ϭ 0 0; ; 29 Ϯ1; Ϫ4.
30 Ϫ1; Ϫ2; 3; ᎏ21ᎏ .
16 27x 3 ϩ 27x 2 ϩ 9x ϩ 1 ϭ 0 ΄ ΅Ϫ ᎏ31ᎏ 31 Ϯ2; 1; 4.
17 3x 2 Ϫ 18x ϩ 2x 3 Ϫ 27 ϭ 0 ΄ ΅Ϫ ᎏ23ᎏ; Ϯ3
18 x5 Ϫ 2x4 Ϫ x3 ϩ 2x2 ϭ 0 [0; Ϯ 1; 2] 32 0; 1; 6; Ϫ5.
■ L’uso della regola di Ruffini Nel sito: ᭤ 10 esercizi di recupero
ESERCIZIO GUIDA
33 Risolviamo l’equazione 2x 3 Ϫ 5x 2 Ϫ 4x ϩ 3 ϭ 0.
Proviamo a scomporre in fattori il primo mem- numeratore è un divisore intero del termine noto 3 e
bro con la regola di Ruffini. Cerchiamo quindi il cui denominatore è un divisore intero del coeffi-
uno zero del polinomio ciente 2 di x 3:
P (x) ϭ 2x 3 Ϫ 5x 2 Ϫ 4x ϩ 3.
divisori interi di 3 1 Ϫ1 3 Ϫ3
I possibili zeri razionali ᎏNᎏ sono frazioni il cui
D divisori interi di 2 1 Ϫ1 2 Ϫ2
583
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ESERCIZI CAPITOLO 11. COMPLEMENTI DI ALGEBRA
Pertanto l’insieme S delle possibili radici razionali di Per abbassare di grado, possiamo scrivere
P (x) ϭ (x Ϫ x1) Q (x), ossia:
P(x) è:
2x 3 Ϫ 5x 2 Ϫ 4x ϩ 3 ϭ (x ϩ 1) Q (x).
Ά ·S ϭϮ1, Ϯ 1 , Ϯ 3, Ϯ 3 . Calcoliamo Q(x) con la regola di Ruffini:
ᎏ2ᎏ ᎏ2ᎏ
2 Ϫ5 Ϫ4 3
Proviamo a sostituire a x i valori di S: Ϫ1 Ϫ2 7 Ϫ3
x ϭ 1 → 2 Ϫ 5 Ϫ 4 ϩ 3 ϭ Ϫ 4 NO 2 Ϫ7 3 0
x ϭ Ϫ 1 → 2(Ϫ 1)3 Ϫ 5(Ϫ 1)2 Ϫ 4(Ϫ 1) ϩ 3 ϭ P (x) ϭ (x ϩ 1)(2x 2 Ϫ 7x ϩ 3)
ϭ Ϫ 2 Ϫ 5 ϩ 4 ϩ 3 ϭ 0 SÌ
x1 ϭ Ϫ 1 è una radice di P (x).
L’equazione data ha come soluzione l’unione delle soluzioni delle due equazioni:
x ϩ 1 ϭ 0 → x1 ϭ Ϫ 1 x ϭ ᎏ7 Ϯᎏ5 ϭ ᎏ21ᎏ
2x 2 Ϫ 7x ϩ 3 ϭ 0 → ⌬ ϭ 49 Ϫ 24 ϭ 25; 4 3
Le soluzioni dell’equazione di terzo grado sono:
x 1 ϭ Ϫ 1, x 2 ϭ ᎏ21ᎏ , x 3 ϭ 3.
Risolvi le seguenti equazioni. [Ϫ 3; 1; 2]
34 x 3 Ϫ 7x ϩ 6 ϭ 0
35 x 3 Ϫ 7x 2 ϩ 15x Ϫ 9 ϭ 0 [1; 3]
36 x 3 ϩ 2x 2 Ϫ 5x Ϫ 6 ϭ 0
37 6x 3 Ϫ 7x 2 Ϫ x ϩ 2 ϭ 0 [Ϫ 3; Ϫ 1; 2]
38 10x 3 Ϫ 7x 2 Ϫ 14x ϩ 3 ϭ 0 ΄ ΅Ϫ1; 2 ; 1
39 x3 ϩ 8 ϩ 6x (x ϩ 2) ϭ 0 ᎏ2ᎏ ᎏ3ᎏ
40 x (9x ϩ 7) ϭ 2(3 Ϫ x 3)
41 2x3 Ϫ 5x Ϫ 6 ϭ 0 ΄ ΅Ϫ 1; ᎏ51ᎏ ; ᎏ23ᎏ
42 x4 ϩ 3x3 ϩ 9x2 Ϫ3x Ϫ 10 ϭ 0
43 3x3 ϩ 2x2 Ϫ 7x ϩ 2 ϭ 0 [Ϫ 2]
44 x3 Ϫ 3x2 Ϫ 6x ϩ 8 ϭ 0
45 2x4 Ϫ 5x3 Ϫ 5x2 ϩ 5x ϩ 3 ϭ 0 ΄ ΅Ϫ 3; Ϫ 2; ᎏ21ᎏ
46 x5 Ϫ 13x3 ϩ 12x2 ϭ 0 [2]
47 2x5 ϩ 3x4 Ϫ 10x3 Ϫ 15x2 ϩ 8x ϩ 12 ϭ 0 [Ϯ1]
΄ ΅Ϫ2; 1 ; 1
ᎏ3ᎏ
[Ϫ2; 1; 4]
΄ ΅Ϯ1; Ϫ ᎏ21ᎏ ; 3
[Ϫ4; 0; 1; 3]
Ϯ2;΄ ΅Ϯ1;Ϫ 3
ᎏ2ᎏ
584
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Paragrafo 1. Le equazioni di grado superiore al secondo ESERCIZI
■ Le equazioni binomie
ESERCIZIO GUIDA
48 Risolviamo le seguenti equazioni binomie:
a) ᎏ5x1ᎏ52 Ϫ 2 ϭ 0; b) (2x ϩ 3)4 ϭ 625.
a) ᎏ5x1ᎏ52 Ϫ 2 ϭ 0 → x 5 Ϫ 2 и 512 ϭ 0 Poiché l’esponente dell’«incognita» è pari e il termine
x 5 ϭ 1024. noto è positivo, abbiamo due soluzioni:
La soluzione è la radice quinta di 1024: (2x ϩ 3)4 ϭ 625 → (2x ϩ 3)4 ϭ 54
x ϭ ͙5 ෆ10ෆ24 ϭ ͙5 ෆ45 ϭ 4. 2x ϩ 3 ϭ Ϯ ͙4 ෆ54 ϭ Ϯ 5.
b) L’equazione è binomia se consideriamo come Ricaviamo i due valori di x:
«incognita» l’espressione 2x ϩ 3.
2x ϩ 3 ϭ 5 → 2x ϭ 2 → x ϭ 1
2x ϩ 3 ϭ Ϫ 5 → 2x ϭ Ϫ 8 → x ϭ Ϫ 4.
49 ASSOCIA a ogni equazione le sue soluzioni. 59 x7 ϩ 1 ϭ 0 [Ϫ 1]
60 10x5 ϭ 100
1. 2x 4 Ϫ 32 ϭ 0 A. impossibile 61 36x4 Ϫ 25 ϭ 0 [͙5 1ෆ0 ]
B. Ϫ 2 62 (x4 Ϫ 1)8 ϭ 1
2. ᎏ14ᎏ x 8 ϩ 64 ϭ 0 C. Ϯ 2 63 (2x6 Ϫ 3)5 ϭ 1 ΄Ϯ Ίᎏ56ᎏ΅
D. 2 64 16x 4 Ϫ 81a 4 ϭ 0
3. 4x 5 ϩ 128 ϭ 0 [0; Ϯ ͙4 2ෆ]
65 16a 4x 4 Ϫ b 4 ϭ 0 (a 0)
4. 1 x 7 Ϫ 16 ϭ 0 66 (x Ϫ a)3 ϭ 8a 3 [Ϯ ͙6 2ෆ]
ᎏ8ᎏ 67 (x ϩ 2a)6 ϭ 729a 6
68 COMPLETA la tabella. ΄ ΅3
Risolvi le seguenti equazioni binomie in x.
EQUAZIONE BINOMIA Ϯ ᎏ2ᎏ a
50 1 x 3 Ϫ 2 ϭ 0 [2] x4Ϫ…ϭ0
ᎏ4ᎏ 2x … ϩ 16 ϭ 0 ΄ ΅Ϯ ᎏ2bᎏa
5x 5 ϩ … ϭ 0
51 3x 3 ϩ 375 ϭ 0 [Ϫ 5] 128x 6 Ϫ … ϭ 0 [3a]
16x 4 ϩ … ϭ 0
52 ᎏx9ᎏ4 Ϫ 9 ϭ 0 [Ϯ 3] 3x … Ϫ 48 ϭ 0 [a; Ϫ 5a]
53 32x 5 ϭ 1 ΄ᎏ21ᎏ΅ SOLUZIONI
Ϯ ᎏ13ᎏ
54 ᎏ215ᎏ6 x 5 ϩ 180 ϭ 0 [Ϫ 6] Ϫ2
Ϫ2
55 81 ϩ 1 x 6 ϭ 0 [impossibile] 1
ᎏ9ᎏ Ϯ ᎏ2ᎏ
[Ϯ 3]
56 ᎏ91ᎏ x 6 Ϫ 81 ϭ 0 impossibile
Ϯ2
57 (2x Ϫ 1)3 ϭ Ϫ 27 [Ϫ 1]
58 (3x ϩ 5)4 Ϫ 16 ϭ 0 ΄ ΅Ϫ 1; Ϫ ᎏ37ᎏ
585
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ESERCIZI CAPITOLO 11. COMPLEMENTI DI ALGEBRA
■ Le equazioni trinomie
ESERCIZIO GUIDA
69 Risolviamo l’equazione trinomia:
x 10 ϩ x 5 Ϫ 2 ϭ 0.
Per risolvere l’equazione, ci serviamo della variabile ausiliaria z.
Poniamo x 5 ϭ z.
Otteniamo l’equazione ausiliaria di secondo grado in z, che sappiamo risolvere:
z2 ϩ z Ϫ 2 ϭ 0
⌬ ϭ 1 ϩ 8 ϭ 9 z ϭ ᎏϪ 12ᎏϮ 3 ϭ Ϫ2
1
Risolviamo le due equazioni binomie in x:
x 5 ϭ Ϫ 2 → x ϭ Ϫ ͙5 2ෆ; x5 ϭ 1 → x ϭ 1.
L’equazione trinomia assegnata ha due soluzioni reali:
x 1 ϭ Ϫ ͙5 ෆ2 , x 2 ϭ 1.
Risolvi le seguenti equazioni trinomie in x.
70 x 8 Ϫ 17x 4 ϩ 16 ϭ 0 [Ϯ 1; Ϯ 2] 81 x8 Ϫ 10x4 ϩ 9 ϭ 0 [Ϯ 1; Ϯ ͙ෆ3]
71 x 8 Ϫ 15x 4 Ϫ 16 ϭ 0 [Ϯ 2] 82 x10 ϩ 3x5 Ϫ 4 ϭ 0 [1; Ϫ ͙5 4ෆ]
72 x 6 ϩ 19x 3 Ϫ 216 ϭ 0 [Ϫ 3; 2] 83 x6 Ϫ 5x3 ϩ 4 ϭ 0 [1; ͙3 ෆ4 ]
[Ϯ 2; Ϯ 1]
73 x 12 Ϫ 65x 6 ϩ 64 ϭ 0 [Ϯ 1; Ϯ 2] 84 x4 ϩ 16 ϭ 17
ᎏxᎏ4 [Ϫ 1; 2]
[2; 3]
74 16x 8 ϩ 97x 4 ϩ 81 ϭ 0 [impossibile] 85 x2(x3 Ϫ 7) ϭ ᎏ8ᎏ
75 64x 6 ϩ 91x 3 ϩ 27 ϭ 0 x [a; Ϫ 2a]
76 16x 8 Ϫ 17x 4 ϩ 1 ϭ 0
77 x6 Ϫ 7x3 Ϫ 8 ϭ 0 ΄ ΅Ϫ 1; 3 86 x2 ϩ 216 ϭ 35
78 8x6 Ϫ 217x3 ϩ 27 ϭ 0 Ϫ ᎏ4ᎏ ᎏxᎏ4 ᎏᎏ
79 81x8 Ϫ 82x4 ϩ 1 ϭ 0
80 x6 ϩ x3 Ϫ 2 ϭ 0 x
΄ ΅Ϯ 1; Ϯ ᎏ21ᎏ 87 x 6 ϩ 7a 3x 3 Ϫ 8a 6 ϭ 0
[Ϫ 1; 2] 88 x 6 ϩ 7b 3x 3 Ϫ 8b 6 ϭ 0 [b; Ϫ 2b ]
΄ ΅3; 1 89 x 10 ϩ 31b 5x 5 Ϫ 32b 10 ϭ 0 [Ϫ 2b ; b ]
ᎏ2ᎏ
΄ ΅Ϯ 1; Ϯ ᎏ13ᎏ
90 x 8 ϩ 80b 4x 4 Ϫ 81b 8 ϭ 0 [Ϫ b ; ϩ b]
[1; Ϫ ͙3 ෆ2 ] ΄ ΅91 32x 10 ϩ 211k 10x 5 Ϫ 243k 20 ϭ 0 k 2; Ϫ ᎏ23ᎏ k 2
586
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Paragrafo 1. Le equazioni di grado superiore al secondo ESERCIZI
■ Le equazioni biquadratiche Nel sito: ᭤ 12 esercizi di recupero
ESERCIZIO GUIDA
92 Risolviamo l’equazione:
4x 4 ϩ 143x 2 Ϫ 36 ϭ 0.
Per risolvere l’equazione ci serviamo della variabile ausiliaria z.
Poniamo x 2 ϭ z. Otteniamo l’equazione ausiliaria in z di secondo grado, che risolviamo con il metodo
consueto:
4z 2 ϩ 143z Ϫ 36 ϭ 0 ⌬ ϭ 20 449 ϩ 576 ϭ 21 025
Ϫ 143 Ϯ 145 Ϫ 36
z ϭ ᎏ8ᎏ ϭ ᎏ41ᎏ
Sostituiamo i due valori trovati per z nell’equazione x 2 ϭ z e risolviamo le due equazioni di secondo gra-
do in x:
x 2 ϭ Ϫ 36 impossibile; x 2 ϭ ᎏ41ᎏ → x ϭ Ϯ ᎏ21ᎏ .
L’equazione biquadratica assegnata ha due soluzioni:
x 1 ϭ Ϫ ᎏ21ᎏ , x 2 ϭ ϩ ᎏ21ᎏ .
Risolvi le seguenti equazioni in x.
93 x 4 Ϫ 13x 2 ϩ 36 ϭ 0 [Ϯ 2; Ϯ 3] 104 x 4 Ϫ 1 x 2 Ϫ 3 ϭ 0 ΄ ΅͙ෆ3
ᎏ4ᎏ ᎏ8ᎏ
Ϯ ᎏ2ᎏ
94 x 4 Ϫ 7x 2 Ϫ 144 ϭ 0 [Ϯ 4] 105 x 4 ϩ ᎏ19ᎏ4 x 2 ϩ ᎏ28ᎏ7 ϭ 0 [impossibile]
95 x 4 Ϫ 5x 2 ϩ 6 ϭ 0 [Ϯ ͙ෆ2; Ϯ ͙ෆ3] 106 x 4 Ϫ ᎏ94ᎏ ϩ ᎏ95ᎏ x 2 ϭ 0 ΄ ΅Ϯ ᎏ32ᎏ
96 2x 4 ϩ 13x 2 ϩ 25 ϭ 0 [impossibile] 107x2 x 2 ϩ 5 3 ΄ ΅͙ෆ3
97 4x 4 Ϫ 13x 2 ϩ 3 ϭ 0 ᎏ4ᎏ ϭ ᎏ2ᎏ
98 x 4 Ϫ 5x 2 Ϫ 24 ϭ 0 ΄ ΅Ϯ ᎏ21ᎏ ; Ϯ ͙ෆ3 Ϯ ᎏ2ᎏ
[Ϯ 2͙ෆ2] 108 x2 ϩ 18 ϭ 11 [Ϯ ͙ෆ2; Ϯ 3]
ᎏxᎏ2
99 x4 Ϫ 12x2 ϩ 32 ϭ 0 [Ϯ 2͙ෆ2; Ϯ 2] 109 ᎏ5 Ϫxᎏ2x 2 Ϫ 25 ϩ 5 ϭ Ϫ 1 [Ϯ 2]
100 9x4 ϩ 77x2 Ϫ 36 ϭ 0 ᎏ16ᎏ ᎏxᎏ4
101 16x4 Ϫ 25x2 ϩ 9 ϭ 0 ΄ ΅Ϯ ᎏ23ᎏ
102 x4 Ϫ 2x2 Ϫ 15 ϭ 0 ΄ ΅Ϯ1; 3 110 1 Ϫ 3 ϭ ᎏ1x 2ϩϪᎏx22 ΄ ΅Ϯ ᎏ͙2ᎏෆ2 ; Ϯ 1
103 x 2 (2x Ϫ 3)(2x ϩ 3) ϩ 2 ϭ 0 ᎏ4ᎏ ᎏxᎏ2
Ϯ
[Ϯ ͙5ෆ] 111 ᎏxx 22 Ϫϩᎏ23 ϭ 7 Ϫ 5 [Ϯ ͙ෆ3]
ᎏx 4 Ϫᎏ4
΄ ΅Ϯ ᎏ21ᎏ ; Ϯ ͙ෆ2 112 ᎏ21xϪ2 ᎏϩx 21 ϩ ᎏ1 ϩxᎏ2x 2 Ϫ 6 ϭ 0 [impossibile]
ᎏ1 Ϫᎏx 4
587
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ESERCIZI CAPITOLO 11. COMPLEMENTI DI ALGEBRA
Dalle radici all’equazione biquadratica
ESERCIZIO GUIDA
113 Scriviamo un’equazione biquadratica che ha per soluzioni Ϯ 1 e Ϯ ᎏ41ᎏ .
Scriviamo le quattro soluzioni dell’equazione: (x Ϫ 1)(x ϩ 1) x Ϫ ᎏ41ᎏ x ϩ ᎏ41ᎏ ϭ 0.
x1 ϭ 1 → x1 Ϫ 1 ϭ 0 Svolgiamo i calcoli e verifichiamo che otteniamo
un’equazione biquadratica:
x2 ϭ Ϫ 1 → x2 ϩ 1 ϭ 0
1 → x 3 Ϫ ᎏ41ᎏ ϭ 0 (x 2 Ϫ 1) x 2 Ϫ ᎏ11ᎏ6 ϭ 0
x 3 ϭ ᎏ4ᎏ x 4 Ϫ ᎏ11ᎏ6 x 2 Ϫ x 2 ϩ ᎏ11ᎏ6 ϭ 0
16x 4 Ϫ x 2 Ϫ 16x 2 ϩ 1 ϭ 0
1 → x 4 ϩ ᎏ41ᎏ ϭ 0
x 4 ϭ Ϫ ᎏ4ᎏ 16x 4 Ϫ 17x 2 ϩ 1 ϭ 0.
Se eguagliamo a 0 il prodotto dei quattro binomi
1 1
x Ϫ 1, x ϩ 1, x Ϫ ᎏ4ᎏ e x ϩ ᎏ4ᎏ , otteniamo
un’equazione in x che ha come soluzioni quelle
assegnate:
Scrivi le equazioni biquadratiche aventi le seguenti soluzioni.
114 Ϯ 1, Ϯ 2. [x 4 Ϫ 5x 2 ϩ 4 ϭ 0] 118 Ϯ 3, Ϯ ͙ෆ3. [x 4 Ϫ 12x 2 ϩ 27 ϭ 0]
[4x 4 Ϫ 17x 2 ϩ 4 ϭ 0] [x 4 Ϫ 5x 2 ϩ 6 ϭ 0]
115 Ϯ 2, Ϯ 1 . [25x 4 Ϫ 641x 2 ϩ 400 ϭ 0] 119 Ϯ ͙ෆ2, Ϯ ͙ෆ3. [6x 4 Ϫ 5x 2 ϩ 1 ϭ 0]
ᎏ2ᎏ [144x 4 Ϫ 145x 2 ϩ 36 ϭ 0] 120 Ϯ ᎏ͙2ᎏෆ2 , Ϯ ᎏ͙1ᎏෆ3 . [x4 Ϫ 9x 2 ϩ 8 ϭ 0]
116 Ϯ ᎏ54ᎏ , Ϯ 5. 121 Ϯ 2͙ෆ2, Ϯ 1.
117 Ϯ ᎏ32ᎏ , Ϯ ᎏ43ᎏ .
■ La scomposizione in fattori Nel sito: ᭤ 13 esercizi in più
di particolari trinomi
ESERCIZIO GUIDA
122 Scomponiamo in fattori, se è possibile, il trinomio 36x 4 Ϫ 25x 2 ϩ 4.
Dobbiamo trovare, se esistono, le radici dell’equa- Il polinomio corrispondente all’equazione ausiliaria
zione associata al trinomio, che è biquadratica: in z si scompone così:
36x 4 Ϫ 25x 2 ϩ 4 ϭ 0. 36z2 Ϫ 25z ϩ 4 ϭ 36 z Ϫ ᎏ41ᎏ z Ϫ ᎏ94ᎏ .
Poniamo x 2 ϭ z. Poiché x 2 ϭ z, sostituiamo:
36z 2 Ϫ 25z ϩ 4 ϭ 0 36x 4 Ϫ 25x 2 ϩ 4 ϭ 36 x 2 Ϫ ᎏ41ᎏ x 2 Ϫ ᎏ94ᎏ .
⌬ ϭ 625 Ϫ 16 и 36 ϭ 625 Ϫ 576 ϭ 49 Sviluppiamo le differenze di quadrati e otteniamo la
scomposizione del polinomio di partenza:
25 Ϯ 7 1
z ϭ ᎏ72ᎏ ϭ ᎏ4ᎏ 36 x Ϫ ᎏ21ᎏ x ϩ ᎏ21ᎏ x Ϫ ᎏ32ᎏ x ϩ ᎏ32ᎏ .
ᎏ94ᎏ
588
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 1. Le equazioni di grado superiore al secondo ESERCIZI
Scomponi in fattori, se è possibile, i seguenti trinomi. [(x Ϫ 1)(x ϩ 1)(x Ϫ 2)(x ϩ 2)]
123 x 4 Ϫ 5x 2 ϩ 4 [(x Ϫ 3)(x ϩ 3)(x Ϫ 2)(x ϩ 2)]
124 x 4 Ϫ 13x 2 ϩ 36 [(x Ϫ 4)(x ϩ 4)(x Ϫ 6)(x ϩ 6)]
125 x 4 Ϫ 52x 2 ϩ 576 [(x Ϫ 5)(x ϩ 5)(x Ϫ 3)(x ϩ 3)]
126 x 4 Ϫ 34x 2 ϩ 225
127 x 4 Ϫ 48x 2 Ϫ 49 [(x 2 ϩ 1)(x Ϫ 7)(x ϩ 7)]
128 16x 4 Ϫ 32x 2 Ϫ 9 [(2x Ϫ 3)(2x ϩ 3)(4x 2 ϩ 1)]
129 x6 ϩ 2x3 ϩ 1
130 x8 Ϫ 15x4 Ϫ 16 [(x ϩ 1)2(x2 Ϫ x ϩ 1)2]
131 y 8 ϩ 11y4 ϩ 18 [(x4 ϩ 1)(x2 ϩ 4)(x ϩ 2)(x Ϫ 2)]
[(y4 ϩ 2)( y4 ϩ 9)]
Semplifica le seguenti frazioni algebriche, dopo aver indicato le condizioni di esistenza.
132 ᎏxx44Ϫϩ53xxᎏ22ϪϪ346 ΄ ΅C.E.: x Ϯ 1; ᎏxx 22 ϪϪᎏ19
133 ᎏ9x 49Ϫx 41Ϫ0ᎏxx2 2ϩ 1 ΄ ΅C.E.: x Ϯ ᎏ13ᎏ ∧ x Ϯ 1; ᎏx2xϪᎏ2 1
134 ᎏa 4aϪ3 Ϫ3ᎏa42aϪ 4 ΄ ΅C.E.: a
Ϯ2∧a 0; ᎏa 2 ϩᎏ1
a
135 ᎏxx34ϪϪ52x42ᎏxϩ2 Ϫx Ϫ255 [C.E.: x 5; x ϩ 5]
136 ᎏ24aa 34 ϪϪ 51ᎏa7a2 ϩ2 ϩ2a4 ΄ ΅C.E.: a
0∧a ᎏ21ᎏ ∧ a 2; ᎏ(2a ϩ 1)ᎏ(a ϩ 2)
a
137 ᎏy 4yϪ2 Ϫ13ᎏyy Ϫ2 ϩ636 ΄ ΅C.E.: y
Ϯ2∧y Ϯ 3; 1
ᎏ(y Ϫ 2)(ᎏy ϩ 3)
■ Le equazioni reciproche di terzo grado
ESERCIZIO GUIDA
138 Risolviamo l’equazione reciproca:
2x 3 Ϫ 3x 2 Ϫ 3x ϩ 2 ϭ 0.
Una radice è Ϫ1. Infatti 2(Ϫ1)3 Ϫ 3(Ϫ1)2 Ϫ 3(Ϫ1) ϩ 2 ϭ 0. Abbassiamo perciò di grado con la regola di
Ruffini:
589
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 11. COMPLEMENTI DI ALGEBRA
2 Ϫ3 Ϫ3 2 2x 3 Ϫ 3x 2 Ϫ 3x ϩ 2 ϭ (x ϩ 1)(2x 2 Ϫ 5x ϩ 2)
Ϫᎏ1 ᎏ2 ᎏϪϪᎏ25 ᎏ52 ᎏϪ 20
L’equazione di partenza ha come soluzioni Ϫ 1 e le soluzioni dell’equazione:
2x 2 Ϫ 5x ϩ 2 ϭ 0 ⌬ ϭ 25 Ϫ 16 ϭ 9
x ϭ ᎏ5 Ϯ4ᎏ3 ϭ 2
ᎏ21ᎏ
Le soluzioni dell’equazione reciproca sono quindi:
x 1 ϭ Ϫ 1, x 2 ϭ 2, x 3 ϭ ᎏ21ᎏ .
Risolvi le seguenti equazioni reciproche.
΄ ΅139 3x 3 ϩ 13x 2 ϩ 13x ϩ 3 ϭ 0 Ϫ 1; Ϫ 3; Ϫ ᎏ31ᎏ 146 2x 3 ϩ 3x 2 Ϫ 3x Ϫ 2 ϭ 0 ΄ ΅1; Ϫ 2; Ϫ ᎏ21ᎏ
΄ ΅140 2x 3 ϩ 7x 2 ϩ 7x ϩ 2 ϭ 0
Ϫ 1; Ϫ 2; Ϫ ᎏ21ᎏ 147 4x 3 Ϫ 21x 2 ϩ 21x Ϫ 4 ϭ 0 ΄ ΅1; 4; ᎏ41ᎏ
141 4x 3 Ϫ 13x 2 Ϫ 13x ϩ 4 ϭ 0 ΄ ΅Ϫ 1; 4; 1 148 3x 3 Ϫ 13x 2 ϩ 13x Ϫ 3 ϭ 0 ΄ ΅1; 3; ᎏ31ᎏ
ᎏ4ᎏ
142 3x 3 Ϫ 7x 2 Ϫ 7x ϩ 3 ϭ 0 ΄ ΅Ϫ 1; 3; ᎏ31ᎏ 149 5x 3 Ϫ 31x 2 ϩ 31x Ϫ 5 ϭ 0 ΄ ΅1;5;1
ᎏ5ᎏ
΄ ΅Ϫ 1; 5; ᎏ51ᎏ ΄ ΅150 7x 3 ϩ 43x 2 Ϫ 43x Ϫ 7 ϭ 0
143 5x 3 Ϫ 21x 2 Ϫ 21x ϩ 5 ϭ 0 1; Ϫ 7; Ϫ ᎏ71ᎏ
΄ ΅144 6x 3 ϩ 19x 2 ϩ 19x ϩ 6 ϭ 0 Ϫ 1; Ϫ ᎏ23ᎏ ; Ϫ ᎏ32ᎏ 151 6x 3 Ϫ 19x 2 ϩ 19x Ϫ 6 ϭ 0 ΄ ΅1; ᎏ32ᎏ ; ᎏ23ᎏ
΄ ΅145 4x 3 ϩ 21x 2 ϩ 21x ϩ 4 ϭ 0 Ϫ 1; Ϫ 4; 1 ΄ ΅152 x 3 ϩ ᎏ36ᎏ1 x 2 Ϫ ᎏ36ᎏ1 x Ϫ 1 ϭ 0 1; Ϫ 6; Ϫ ᎏ61ᎏ
Ϫ ᎏ4ᎏ
■ Le equazioni reciproche Nel sito: ᭤ 10 esercizi di recupero
di quarto grado
Il tipo ax4 ؉ bx3 ؊ bx ؊ a ؍0
ESERCIZIO GUIDA
153 Risolviamo l’equazione reciproca: 3x 4 Ϫ 10x 3 ϩ 10x Ϫ 3 ϭ 0.
Un’equazione di questo tipo ha per soluzione i valori x = 1 e x = Ϫ 1, quindi utilizziamo due volte la regola
di Ruffini, per abbassare di grado l’equazione:
590
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
RIEPILOGO Le equazioni di grado superiore al secondo ESERCIZI
x ϭ1 3 Ϫ 10 0 10 Ϫ 3 x ϭϪ1 3 Ϫ7 Ϫ7 3
ᎏ1 ᎏ3 ᎏϪ 73 ᎏϪϪ 77 ᎏϪ 73 ᎏ03
ᎏϪ 1 ᎏ3 ᎏϪϪ103 ᎏ103 ᎏϪ 03
3x 3 Ϫ 7x 2 Ϫ 7x ϩ 3 3x 2 Ϫ 10x ϩ 3
3x 4 Ϫ 10x 3 ϩ 10x Ϫ 3 ϭ (x Ϫ 1)(3x 3 Ϫ 7x 2 Ϫ 7x ϩ 3) ϭ (x Ϫ 1)(x ϩ 1)(3x 2 Ϫ 10x ϩ 3).
Risolviamo 3x 2 Ϫ 10x ϩ 3 ϭ 0: ᎏ⌬4ᎏ ϭ 25 Ϫ 9 ϭ 16
x ϭ ᎏ5 Ϯ3ᎏ4 ϭ 3
ᎏ1ᎏ
3
Le soluzioni dell’equazione assegnata sono quindi:
x 1 ϭ 1, x 2 ϭ Ϫ 1, x 3 ϭ 3, x 4 ϭ ᎏ31ᎏ .
Risolvi le seguenti equazioni reciproche.
΄ ΅154 2x 4 ϩ 5x 3 Ϫ 5x Ϫ 2 ϭ 0 Ϫ 1 ; Ϫ 2; Ϯ1 ΄ ΅158 5x 4 ϩ 26x 3 Ϫ 26x Ϫ 5 ϭ 0Ϫ 1 ; Ϫ 5; Ϯ1
ᎏ2ᎏ ᎏ5ᎏ
155 4x 4 Ϫ 17x 3 ϩ 17x Ϫ 4 ϭ 0 ΄ ΅ᎏ41ᎏ ; 4; Ϯ 1 159 3x 4 Ϫ 10x 3 ϩ 10x Ϫ 3 ϭ 0 ΄ ΅ᎏ31ᎏ ; 3; Ϯ 1
΄ ΅156 3x 4 ϩ 10x 3 Ϫ 10x Ϫ 3 ϭ 0 Ϫ ᎏ31ᎏ ; Ϫ 3; Ϯ 1 ΄ ΅160 6x 4 ϩ 37x 3 Ϫ 37x Ϫ 6 ϭ 0 Ϫ ᎏ61ᎏ ; Ϫ 6; Ϯ 1
157 2x 4 Ϫ 5x 3 ϩ 5x Ϫ 2 ϭ 0 ΄ ΅ᎏ21ᎏ ; 2; Ϯ 1 ΄ ΅161 10 ϩ 101x3 Ϫ 10x4 Ϫ 101x ϭ 0 ᎏ11ᎏ0 ; 10; Ϯ 1
RIEPILOGO LE EQUAZIONI DI GRADO Nel sito: ᭤ 31 esercizi in più
SUPERIORE AL SECONDO
162 VERO O FALSO?
a) L’equazione biquadratica x 4 ϩ 4x 2 Ϫ 5 ϭ 0 ha ⌬ ϭ 16 ϩ 20 ϭ 36 Ͼ 0, quindi ammette radici reali. V F
F
b) L’equazione x 6 ϩ 4x 3 Ϫ 5 ϭ 0 ha due soluzioni, una positiva e l’altra negativa. V F
F
c) Un’equazione trinomia può essere di terzo grado. V F
d) Un’equazione biquadratica è trinomia. V
e) Un’equazione reciproca ha sempre x ϭ 1 come soluzione. V
163 COMPLETA la tabella. TIPO GRADO SOLUZIONI
… … …
EQUAZIONE biquadratica …
x7ϩ3ϭ0 … … Ϯ 2, Ϯ 3
… …
32x 10 Ϫ 31x 5 Ϫ 1 ϭ 0
591
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 11. COMPLEMENTI DI ALGEBRA
Risolvi le seguenti equazioni in x. 186 x 3 Ϫ 2x 2 Ϫ x ϩ 2 ϭ 0 [Ϫ 1; 1; 2]
164 2401x 4 ϭ 81
165 4x 4 Ϫ 21x 2 ϩ 27 ϭ 0 ΄ ΅Ϯ ᎏ73ᎏ 187 36x 4 ϩ 5b 4x 2 Ϫ b 8 ϭ 0 ΄ ΅Ϯ ᎏb3ᎏ2
166 x 10 ϩ 31x 5 Ϫ 32 ϭ 0 ΄ ΅Ϯ ᎏ23ᎏ ; Ϯ ͙ෆ3
167 6x 3 Ϫ 7x 2 Ϫ 7x ϩ 6 ϭ 0 188 4x 4 Ϫ 28x 2 ϩ 45 ϭ 0 ΄ ΅Ϯ ᎏ23ᎏ ͙ෆ2; Ϯ ᎏ͙2ᎏෆ10
168 x 4 Ϫ 13b 2x 2 ϩ 36b 4 ϭ 0 [Ϫ 2; 1]
169 4x Ϫ 17x 2 ϩ 15x 3 ϭ 0 189 x 4 Ϫ 5 x 2 ϩ 9 ϭ 0 ΄ ΅Ϯ 1 ; 3
170 32a 5b 10 ϩ x 5 ϭ 0 ΄ ΅Ϫ 1; ᎏ23ᎏ ; ᎏ32ᎏ ᎏ2ᎏ ᎏ1ᎏ6 ᎏ2ᎏ Ϯ ᎏ2ᎏ
[Ϯ 2b; Ϯ 3b] 190 4x 3 ϩ 8x 2 Ϫ x Ϫ 2 ϭ 0 ΄ ΅Ϯ ᎏ21ᎏ; Ϫ 2
΄ ΅0; ᎏ31ᎏ ; ᎏ54ᎏ ͙ෆ2 ͙ෆ3
ᎏ2ᎏ Ϯ ᎏ3ᎏ
[Ϫ 2ab 2 ] 191 x 4 Ϫ 5 x 2 ϩ 1 ϭ 0 ΄ ΅Ϯ ;
ᎏ6ᎏ ᎏ6ᎏ
΄ ΅Ϯ ᎏ21ᎏ ; Ϯ ᎏ͙2ᎏෆ2
192 x 4 Ϫ ᎏ43ᎏ x 2 ϩ ᎏ81ᎏ ϭ 0 0; ᎏ͙2ᎏෆ2 ; Ϫ ᎏ͙4ᎏෆ2
΄ ΅193 8x 3 Ϫ 2͙ෆ2x 2 Ϫ 2x ϭ 0
΄ ΅Ϯ ᎏ31ᎏ ; Ϯ ᎏ͙3ᎏෆ2
171 x 8 Ϫ 97x 4 ϩ 1296 ϭ 0 [Ϯ 2; Ϯ 3] 194 x 4 ϭ ᎏ31ᎏ x 2 Ϫ ᎏ22ᎏ7
172 x 4 Ϫ 53x 2 ϩ 196 ϭ 0 [Ϯ 2; Ϯ 7] 195 ᎏ21ᎏ x 4 Ϫ 250 ϭ 6 Ϫ ᎏ21ᎏ x 4 [Ϯ 4]
΄ ΅173 10x 3 Ϫ 111x 2 ϩ 111x Ϫ 10 ϭ 01; 10; 1 196 125x3 ϩ 8 ϭ 0 ΄ ΅2
ᎏ1ᎏ0
Ϫ ᎏ5ᎏ
174 x 4 Ϫ 13a 4x 2 ϩ 36a 8 ϭ 0 [Ϯ 2a 2; Ϯ 3a 2 ] 197 3x4 ϩ 10x2 ϩ 8 ϭ 0 [impossibile]
175 x 8 ϩ 15b 4x 4 Ϫ 16b 8 ϭ 0 [Ϫ b ; b ] ΄ ΅198 6x 3 ϩ 43x 2 ϩ 43x ϩ 6 ϭ 0 Ϫ 1; Ϫ 6; 1
Ϫ ᎏ6ᎏ
΄ ΅1; 7; ᎏ71ᎏ
176 7x 3 Ϫ 57x 2 ϩ 57x Ϫ 7 ϭ 0 ΄ ΅0; Ϫ 2; ᎏ41ᎏ 199 ᎏ29ᎏ6 x 2 Ϫ ᎏ31ᎏ ϩ x 4 ϭ 0 ΄ ΅Ϯ ᎏ31ᎏ
177 56x 3 ϩ 90x 2 Ϫ 28x ϩ 8x 2 ϭ 0
200 x 2 Ϫ 1 ϭ 1 Ϫ x 3 [1]
178 x 4 Ϫ 100x 2 ϩ 2304 ϭ 0 [Ϯ 6; Ϯ 8] 201 (2x Ϫ 1)4 ϭ 16 ΄ ΅Ϫ ᎏ12ᎏ ; ᎏ23ᎏ
179 4x 4 Ϫ 17a 2x 2 ϩ 4a 4 ϭ 0 ΄ ΅Ϯ 2a; Ϯ ᎏ21ᎏ a BRAVI SI DIVENTA ᭤ E43
180 9x 3 Ϫ 91x 2 ϩ 91x Ϫ 9 ϭ 0
181 9x 4 ϩ 2 ϭ 19x 2 ΄ ΅1; 9; ᎏ91ᎏ 202 ᎏxx2ϩϩᎏ13 Ϫ ᎏ31x02xϩ(1ᎏxϪϪx)2 ϭ ᎏ22ϪϪᎏ3xx
182 3x 3 Ϫ 2͙ෆ3x 2 Ϫ 3x ϭ 0
΄ ΅Ϯ ᎏ31ᎏ ; Ϯ ͙ෆ2 203 ᎏxx2 ϪϪᎏ29 ϭ ᎏx 2Ϫᎏx 3 Ϫ ᎏ2x 22 5Ϫᎏx 4x ΄ᎏ12ᎏ΅
͙ෆ3 ᎏxx22 ϩϩᎏ46 41 ᎏxx 22 ϩϪᎏ41 [Ϯ3]
Ϫ ᎏ3ᎏ ᎏ13ᎏ [Ϯ 1]
΄ ΅0;͙ෆ3; 204 ϭ Ϫ
[6]
183 x 4 Ϫ 6a 2x 2 ϩ 8a 4 ϭ 0 [Ϯ a͙ෆ2; Ϯ 2a] 205 2x 2 ϩ ᎏx3Ϫxᎏ23 ϭ ᎏx22ϪϪᎏ33xx [5]
184 9x 4 Ϫ 72x 2 Ϫ 25 ϭ 0 ΄ ΅Ϯ 5 ͙ෆ3 206 ᎏ(2x Ϫ4ᎏ1x)42 Ϫи (x1ᎏϪ 6)3 ϭ 0
185 4x 4 ϩ 45 Ϫ 29x 2 ϭ 0 ᎏ3ᎏ
3΄ ΅Ϯ 207 ᎏ(x Ϫx3Ϫ)ᎏ4 1Ϫ 16 ϭ 0
ᎏ2ᎏ ; Ϯ ͙ෆ5
592
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 2. Le equazioni irrazionali ESERCIZI
2. Le equazioni irrazionali –ᮣ Teoria a pag. 575
208 VERO O FALSO? 1
ᎏᎏ
a) L’equazione x 2͙5ෆ ϩ x ϭ ͙2ෆx è irrazionale. VF
b) L’equazione ͙Ϫෆෆxෆ2 ϭ 2 è impossibile. VF
VF
c) L’equazione ͙3 xෆෆϪෆ1 ϭ 3 ha come C.E.: x Ն 1. VF
d) Le equazioni ͙xෆϩෆෆ1 ϭ x Ϫ 1 e (͙xෆϩෆෆ1 )2 ϭ (x Ϫ 1)2 sono equivalenti.
■ Le equazioni contenenti un solo radicale
L’equazione contiene una radice con indice pari Nel sito: ᭤ 10 esercizi di recupero
ESERCIZIO GUIDA
209 Risolviamo l’equazione ͙ෆxෆϪෆ5 ϩ x ϭ 11.
Prima di elevare al quadrato, dobbiamo isolare il radicale a primo membro:
͙ෆx Ϫෆෆ5 ϭ 11 Ϫ x.
Eleviamo al quadrato:
(͙ෆx Ϫෆෆ5)2 ϭ (11 Ϫ x)2.
Svolgiamo i calcoli:
x Ϫ 5 ϭ 121 Ϫ 22x ϩ x 2 → x Ϫ 5 Ϫ 121 ϩ 22x Ϫ x 2 ϭ 0 → Ϫx 2 ϩ 23x Ϫ 126 ϭ 0 → x 2 Ϫ 23x ϩ 126 ϭ 0
23 Ϯ 5 9
x ϭ ᎏ2ᎏ ϭ
⌬ ϭ 25
14
Poiché abbiamo elevato l’equazione a un esponente pari, dobbiamo controllare quali tra i valori calcolati
sono soluzioni dell’equazione iniziale.
Controllo mediante verifica
Osserviamo che il secondo membro dell’equazione iniziale è uguale a 11. Controlliamo se il valore
dell’espressione a primo membro è 11 sia per x ϭ 9, sia per x ϭ 14.
Per x ϭ 9 otteniamo:
͙9ෆϪෆෆ5 ϩ 9 ϭ ͙ෆ4 ϩ 9 ϭ 2 ϩ 9 ϭ 11, dunque la soluzione x ϭ 9 è accettabile.
Per x ϭ 14 otteniamo:
͙ෆ14ෆϪෆ5 ϩ 14 ϭ ͙ෆ9 ϩ 14 ϭ 3 ϩ 14 ϭ 17 11, dunque la soluzione x = 14 non è accettabile.
L’equazione ha soluzione x = 9.
Controllo mediante condizioni (il radicando deve essere positivo o nullo)
Imponiamo: (il secondo membro deve avere lo stesso segno del radicale)
ΆxϪ5Ն0→xՆ5
11 Ϫ x Ն 0 → Ϫ x Ն Ϫ 11 → x Յ 11
da cui segue 5 Յ x Յ 11.
Poiché solo 9 soddisfa quest’ultima condizione, allora l’equazione data ammette come unica soluzione x ϭ 9.
593
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 11. COMPLEMENTI DI ALGEBRA
Risolvi le seguenti equazioni irrazionali. [50] 218 ͙ෆ18xෆ Ϫ 6 ϭ 5(͙2ෆx Ϫ 2) [2]
210 ͙ෆx Ϫෆෆ1 ϭ 7 [3]
211 ͙ෆx Ϫෆෆ2 ϭ x Ϫ 8 [11] 219 ͙ෆ4 ෆϪෆx ϭ x Ϫ 2 [1]
[1; 6]
212 ͙ෆ6 ϩෆෆ͙ෆ6 ෆϪෆෆx ϭ 3 [Ϫ3] 220 ͙3ෆϪෆෆ2ෆx ϭ 4x Ϫ 3 [Ϫ 3; Ϫ 7]
221 ͙ෆ3xෆϪෆ2 ϭ ᎏ3x5ϩᎏ2 [Ϫ 4]
213 ͙1ෆෆϪෆ7ෆx ϭ 6 [Ϫ5] 222 2͙1ෆϪෆෆ5ෆx ϭ 5 Ϫ x [2]
214 2͙xෆ Ϫ 5 ϭ Ϫ 3(͙xෆ ϩ 1)
215 3͙ෆx Ϫෆෆ2 ϭ 4 Ϫ ͙ෆx Ϫෆෆ2 ΄ ΅4 223 ͙4ෆϪෆෆ3ෆx ϩ 2x ϭ Ϫ 4 [Ϫ 4]
216 2 ϩ ͙ෆ3xෆϪෆ1 ϭ 3x Ϫ 1
217 x Ϫ 5͙xෆ ϩ 6 ϭ 0 ᎏ25ᎏ Ί224 3x Ϫ ᎏ6 ϩ2ᎏx ϭ 4
[3] Ί225 4 ᎏ2 Ϫ6ᎏx ϩ2 ϭ 3
΄ᎏ53ᎏ΅
[9; 4]
L’equazione contiene una radice con indice dispari Nel sito: ᭤ 10 esercizi di recupero
ESERCIZIO GUIDA
226 Risolviamo l’equazione 1 Ϫ ͙3 ෆ2xෆϩෆ3 ϭ Ϫ 2.
Isoliamo la radice:
Ϫ ͙3 ෆ2xෆϩෆ3 ϭ Ϫ 2 Ϫ 1 → ͙3 ෆ2xෆϩෆ3 ϭ 3.
Eleviamo al cubo:
(͙3 ෆ2xෆϩෆ3)3 ϭ 33 → 2x ϩ 3 ϭ 27 → 2x ϭ 24 → x ϭ 12.
Poiché elevando entrambi i membri di un’equazione a esponente dispari si ottiene un’equazione equiva-
lente, non è necessario eseguire alcun controllo sul valore calcolato: si tratta certamente della soluzione
dell’equazione iniziale.
Risolvi le seguenti equazioni irrazionali. [0; Ϯ 1] 234 ͙3 ෆ12ෆx ෆϩෆ6ෆx 2ෆϩෆෆ9 ϭ x ϩ 2 [1]
227 ͙3 xෆ ϭ x
228 ͙3 xෆ3ෆϩෆxෆ2 ϩෆෆ8 ϭ 2 [0; Ϫ 1] 235 ͙3 ෆ19ෆx 3ෆϩෆෆ1ෆ6xෆ4 ϭ Ϫ 5x [0; Ϫ 9]
229 ͙3 xෆෆ3 Ϫෆ6xෆෆϩෆ2 ϭ x
΄ᎏ31ᎏ΅ 236 ͙3 ෆ30ෆx (ෆ2ෆxෆϩෆ5)ෆϩෆෆ1ෆ24 ϭ 2x ϩ 5 ΄ ΅1
230 ͙3 ෆ4xෆ2 ϩෆෆ8xෆ3ෆϪෆ2xෆ ϭ 2x Ϫ 1 ΄ᎏ14ᎏ΅
231 ͙3 ෆx ෆ3 Ϫෆ4xෆϩෆෆ8 Ϫ x ϭ 0 Ϫ ᎏ2ᎏ
232 ͙3 2ෆ7ෆx ෆ2(xෆϩෆෆ2)ෆ ϭ 3x ϩ 2 [2]
237 1 ϭ ͙5 ෆ(xෆϩෆ1)ෆ2ෆϩෆ1 [Ϫ 1]
233 ͙3 ෆ8xෆϩෆ9 ϭ 3 ΄ ΅2
238 2x ϭ ͙5 ෆ3x5ෆ(ෆx ෆϩෆ7)ෆϩෆෆ1ෆ0xෆ4 ΄ ΅0; ᎏ35ᎏ ; 2
Ϫ ᎏ9ᎏ
΄ ΅239 1
΄ᎏ49ᎏ΅ 2x ϭ ͙3 ෆ30ෆ(xෆ2 ϩෆෆ1)ෆϩෆෆ8ෆxෆ3 ϩෆෆ5ෆ0xෆϪෆ1Ϫ 3 Ϫ1; ᎏ3ᎏ
240 x 2 ϩ 1 ϭ ͙3 ෆx 2ෆ(2ෆϩෆෆx 4ෆ)ෆϩෆ3ෆx 4ෆϩෆෆ(ෆx ෆϩෆ1)ෆ [0; 1]
594
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Paragrafo 2. Le equazioni irrazionali ESERCIZI
■ Le equazioni con due o più radicali
L’equazione contiene due radici quadrate
ESERCIZIO GUIDA
241 Risolviamo le seguenti equazioni:
a) ͙xෆ2ෆϪෆෆ3ෆx Ϫ ͙4ෆxෆϪෆ10ෆ ϭ 0; b) ͙xෆϪෆෆ4 ϩ ͙xෆෆ2 Ϫෆ1ෆ6 ϭ 0.
a) Portiamo un radicale a secondo membro in ● per x ϭ 2:
modo da avere le due radici isolate: ͙4ෆϪෆෆ6 ϭ ͙Ϫෆෆ2,
͙ෆϪෆ2 non esiste, quindi xϭ2 non è soluzione;
͙xෆ2ෆෆϪෆ3xෆ ϭ ͙4ෆxෆϪෆ1ෆ0 .
● per x ϭ 5:
Eleviamo al quadrato: ͙2ෆ5ෆϪෆ15ෆ ϭ ͙2ෆ0ෆϪෆ1ෆ0
͙1ෆ0 ϭ ͙1ෆ0
(͙xෆෆ2 ෆϪෆ3ෆx )2 ϭ (͙ෆ4xෆϪෆ1ෆ0 )2
x ϭ 5 è soluzione.
x 2 Ϫ 3x ϭ 4x Ϫ 10
b) Poiché un radicale con indice pari è sempre posi-
x 2 Ϫ 7x ϩ 10 ϭ 0 tivo o nullo, la somma di due radicali può essere
uguale a zero solo se lo sono entrambi i radicali:
⌬ϭ9 2 ͙ෆx ෆϪෆ4 ϭ 0 per x ϭ 4,
x ϭ ᎏ7 Ϯ2ᎏ3 ϭ 5 ͙xෆ2ෆϪෆ16ෆ ϭ 0 per x ϭ Ϯ 4,
Avendo elevato al quadrato, cioè a una poten- quindi soltanto x ϭ 4 è soluzione.
za pari, controlliamo se 2 e 5 sono soluzioni
mediante verifica:
Risolvi le seguenti equazioni irrazionali. ΄ᎏ34ᎏ΅
242 ͙5ෆϪෆෆ2ෆx Ϫ ͙ෆx ϩෆෆ1 ϭ 0
[ impossibile]
Ί243 ᎏ2x 3ϩᎏ3 Ϫ ͙ෆx ϩෆෆ4 ϭ 0 [2]
244 ͙ෆ3xෆϪෆ6 ϩ ͙2ෆxෆϪෆxෆ2 ϭ 0 [impossibile]
[0]
245 ͙xෆෆ2 Ϫෆ25ෆ ϩ ͙xෆ2ෆϪෆ1ෆ0x ϭ 0
[impossibile]
246 2͙xෆ ϩ ͙xෆ2ෆϪෆ2xෆ ϭ 0 [7]
[0]
247 ͙ෆ6x ϭ ͙xෆෆϪෆ5
248 ͙3ෆxෆϪෆ2 ϭ ͙ෆx 2ෆϩෆ2xෆෆϪෆ44ෆ
249 ͙ෆx ෆϩෆ3 ϭ ͙4ෆϪෆෆ͙ෆx ෆϩෆ1
L’equazione contiene due radici cubiche [Ϫ12]
Risolvi le seguenti equazioni irrazionali.
250 ͙3 ෆ2xෆϩෆ7 Ϫ ͙3 ෆx Ϫෆෆ5 ϭ 0
595
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
ESERCIZI CAPITOLO 11. COMPLEMENTI DI ALGEBRA
Ί251 3 ᎏx Ϫ2ᎏ3 Ϫ ͙3 5ෆϪෆෆ6ෆx ϭ 0 [1]
[Ϫ2; 3]
252 ͙3 2ෆ(ෆx 2ෆϪෆෆxෆϪෆ1)ෆ ϭ ͙3 ෆx 2ෆϪෆෆxෆϩෆ4
΄ ΅Ϫ ᎏ21ᎏ
253 ͙3 ෆ(xෆϪෆ2)ෆ(ෆxෆϩෆ4)ෆ Ϫ ͙3 ෆ(xෆϪෆ3ෆ)(ෆx ෆϩෆ3) ϭ 0
[10]
254 1 Ϫ ᎏ21ᎏ ϭ 0 [Ϫ 8; 125]
ᎏ͙3 ෆx ᎏෆϪෆ2
[1; 1; 2]
255 (͙3 ෆx )2 Ϫ 3͙3 ෆx Ϫ 10 ϭ 0
(Suggerimento. Poni ͙3 xෆ ϭ y.) ΄ ΅Ϫ ᎏ32ᎏ
256 x ϭ ͙3 ෆ4xෆ2 Ϫෆෆ5ෆx ෆϩෆ2 [impossibile]
257 ͙3 3ෆxෆϪෆ1 ϩ ͙3 xෆϩෆෆ7 ϭ 0 [0;Ϯ ͙ෆ2]
[2]
L’equazione contiene due radici con indice diverso
΄ᎏ32ᎏ΅
Risolvi le seguenti equazioni irrazionali.
258 ͙2ෆxෆϩෆ1 ϭ ͙3 xෆෆϪෆ1 [0]
[ impossibile]
(Suggerimento. Trasforma in radicali con lo stesso indice.)
259 ͙3 ෆ2x ϭ ͙5 ෆ4x
260 ͙ෆx ϩෆෆ2 ϭ ͙4 ෆx ϩෆෆ1ෆ4
261 ͙6 3ෆ(1ෆϪෆෆx)ෆ Ϫ ͙3 ෆ3xෆϪෆ1 ϭ 0
262 ͙3 ෆx ϩෆෆ8 ϭ ͙3ෆxෆϩෆ4
263 ͙ෆx ϩෆෆ1 Ϫ ͙3 xෆϪෆෆ1 ϭ 0
L’equazione contiene due radici quadrate e altri termini
ESERCIZIO GUIDA
264 Risolviamo l’equazione:
͙2ෆxෆϩෆ5 Ϫ ͙6ෆෆϪෆx ϭ 1.
Isoliamo un radicale: 3x Ϫ 2 ϭ 2͙6ෆϪෆෆx
͙2ෆxෆϩෆ5 ϭ 1 ϩ ͙ෆ6 Ϫෆෆx
Eleviamo entrambi i membri al quadrato:
2x ϩ 5 ϭ 1 ϩ (6 Ϫ x) ϩ 2͙6ෆϪෆෆx →
Eleviamo ancora al quadrato:
9x 2 ϩ 4 Ϫ 12x ϭ 4(6 Ϫ x) → 9x 2 Ϫ 8x Ϫ 20 ϭ 0
10
ᎏ⌬4ᎏ ϭ 196 x ϭ ᎏ4 Ϯ9ᎏ14 ϭ
Verifica Ϫ ᎏ9ᎏ
● Per x ϭ Ϫ ᎏ190ᎏ :
2
596
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RIEPILOGO Le equazioni irrazionali ESERCIZI
Ί Ί Ί Ίprimo membro: Ϫᎏ29ᎏ0 ϩ5 Ϫ 6ϩᎏ19ᎏ0 ϭ ᎏ29ᎏ5 Ϫ ᎏ69ᎏ4 ϭᎏ53ᎏ Ϫᎏ38ᎏϭϪ1; [ 9]
secondo membro: 1. [ 3]
● Per x ϭ 2.
[ impossibile]
primo membro: ͙ෆ4 ϩෆෆ5 Ϫ ͙6ෆෆϪෆ2 ϭ 3 Ϫ 2 ϭ 1;
secondo membro: 1. ΄ ΅Ϯ ᎏ3 ͙3ᎏ2ෆ32
Concludiamo che x ϭ 2 è soluzione dell’equazione data, mentre x ϭ ᎏ190ᎏ non è soluzione. ΄ ΅0; ᎏ41ᎏ
Risolvi le seguenti equazioni irrazionali. [5]
265 ͙xෆෆϩෆ7 ϩ ͙xෆ Ϫ 7 ϭ 0
266 ͙1ෆ28ෆxෆϩෆ57ෆ ϩ ͙6ෆ4xෆϪෆෆ7ෆ1 ϭ 32 ΄ ΅4; ᎏ341ᎏ
267 ͙ෆ38ෆxෆϩෆ2 ϭ ͙ෆ2xෆϪෆ8 ϩ 3
268 3 Ϫ ͙ෆ8x2ෆϪෆෆ2 ϭ ͙ෆ8x2ෆϩෆෆ4 [1; 4]
269 ͙(ෆ3ෆxෆϩෆ1)ෆ2ෆϪෆ6ෆx ϭ ͙1ෆϪෆෆ3ෆx ϩ 3x
270 ͙3ෆxෆϪෆ6 ϭ 8 Ϫ ͙5ෆx [impossibile]
271 ͙ෆ8 ෆϪෆx ϩ ͙3ෆxෆϪෆ3 Ϫ 5 ϭ 0
272 ͙ෆ5 Ϫෆෆx ϩ ͙xෆ ϭ 3
273 ͙xෆෆϩෆ2 ϩ ͙ෆx Ϫෆෆ2 ϭ 1
RIEPILOGO LE EQUAZIONI IRRAZIONALI Nel sito: ᭤ 22 esercizi in più
274 CACCIA ALL’ERRORE Cerca gli errori motivando le risposte.
a) ͙3 xෆϪෆෆ1 ϭ x è equivalente a x Ϫ 1 ϭ x 3 solo per x Ն 1.
b) ͙ෆϪෆx ϭ 4 è impossibile perché il radicando è un numero negativo.
c) ͙3ෆxෆϪෆ2 ϩ ͙xෆ ϭ 0 → ͙3ෆxෆϪෆ2 ϭ Ϫ ͙xෆ → (͙ෆ3xෆϪෆ2 )2 ϭ (Ϫ͙xෆ)2 → 3x Ϫ 2 ϭ x → x ϭ 1.
d) ͙2ෆx ϭ Ϫ ͙ෆ2x è un’equazione impossibile perché un numero non è mai uguale al suo opposto.
Risolvi le seguenti equazioni irrazionali.
275 ͙ෆ2xෆϪෆ3 Ϫ ͙ෆ5xෆϩෆ1 ϭ 0 [impossibile] 280 ͙ෆx ϩෆෆ7 ϩ ͙ෆ6xෆϩෆ5 ϭ 0 [impossibile]
276 ͙ෆx ϩෆෆ1ෆ8 ϭ x Ϫ 2 [7] 281 ͙6 ෆx 2ෆ(ෆx Ϫෆෆ1)ෆϩෆ3ෆ(xෆϩෆ2)ෆ ϭ ͙3 ෆ2xෆϩෆ1 [1; 5]
277 ͙3 ෆ7xෆϩෆ1 Ϫ 1 ϭ x [0; 1; Ϫ4] 282 ͙ෆ12 x Ϫ ͙ෆ5x2ෆϪෆෆ2 ϭ ͙ෆ5x2ෆϪෆෆ2 [1]
278 ͙3 ෆ2xෆϪෆ1 Ϫ ͙3 ෆ3xෆϩෆ6 ϭ 0 [ Ϫ7] 283 ͙4 (ෆ1ෆϩෆx)ෆ(1ෆϪෆෆx)ෆϪෆෆ2ෆx ϭ ͙1ෆϩෆෆx [0]
279 ͙ෆx ϩෆෆ1 ϭ ͙6 1ෆϪෆෆxෆ2 [0; Ϫ1] ΄ ΅284 ͙ෆ(xෆϪෆ2)ෆ(2ෆxෆϩෆ3)ෆϩෆ4xෆ2ෆϩෆ6ෆ5 ϭ 2x ϩ 5 2; ᎏ12ᎏ7
597
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ESERCIZI CAPITOLO 11. COMPLEMENTI DI ALGEBRA
285 ͙ෆ25ෆx 2ෆϩෆෆxෆϪෆ3 ϭ 5x ϩ ͙ෆxෆϪෆ3 [3]
286 3x ϩ 2 ϭ ͙5 ෆx 2ෆ(ෆx 3ෆϩෆෆ4ෆ) Ϫෆෆ5ෆx ෆϩෆ1 ϩ 2(x ϩ 1) ΄ ΅1;1
287 ᎏ21ᎏ ͙ෆx(ෆ4ෆxෆϪෆ21ෆ)ෆϩෆ6ෆ2 ϭ ᎏ21ᎏ x Ϫ 4 ᎏ4ᎏ
288 ͙ෆ3x2ෆϩෆෆ3(ෆ5ෆxෆϩෆ12ෆ) ϭ 7x ϩ 6
[impossibile]
289 2 Ϫ 2x ϭ ͙3 ෆ7(ෆ3ෆx 2ෆϩෆෆ1ෆ) ϩෆෆ3ෆx 2ෆϪෆෆ2ෆ4x [0]
Ί29013ϭ1 x 3 ϩ 1 (x6 ϩ 1) Ϫ 27 x3 ϩ 10 ΄ᎏ21ᎏ΅
ᎏ4ᎏ ᎏ4ᎏ ᎏ16ᎏ ᎏ16ᎏ
[Ϫ 2]
291 ͙4 ෆ9xෆ2 Ϫෆෆ4ෆ0xෆϩෆ2ෆ0 ϭ ͙ෆ3xෆϪෆ6 [impossibile]
292 ͙3 (ෆ2ෆx ෆϪෆ5)ෆ2ෆϩෆ(3ෆϪෆෆx)ෆ(ෆ3 ϩෆෆx)ෆ ϭ ͙3 (ෆ4ෆϪෆx)ෆ(4ෆϩෆෆx)ෆϪෆෆ2ෆx ΄ ΅ᎏ23ᎏ ; 3
293 ͙ෆx 6ෆϩෆෆx 5ෆϪෆෆx 4ෆϩෆෆx ෆ3 ϭ ͙ෆ(x 3ෆϪෆෆx 2ෆ)ෆ(x 3ෆϩෆෆx 2ෆ)ෆϩෆ2ෆx ෆ3 [0; 1]
Ί2941(xϩ 3) ϭ 1 (3x ϩ 4) ϩ 26 x2 ΄ ΅1
ᎏ8ᎏ ᎏ32ᎏ ᎏ64ᎏ
Ϯ ᎏ5ᎏ
295 Ί3 ᎏ12ᎏxϪ33Ϫᎏ81ᎏx3 ϭ Ί3 Ϫᎏ32ᎏxᎏ32ᎏxϩ9 [1]
BRAVI SI DIVENTA ᭤ E44
296 13
x (x ϩ 2) Ϫ ᎏ4ᎏ ϭ ͙xෆ2ෆϩෆxෆϩෆ3 Ϫ 3 3
ᎏ2ᎏ ϩ x ᎏ2ᎏ Ϫ x
297 5x ϭ ͙4 (ෆ2ෆ5x2ෆϩෆෆ1)ෆ(ෆ25ෆx 2ෆϪෆෆ1ෆ) ϩෆෆ1ෆ6xෆ4 ΄ᎏ21ᎏ΅
298 ͙5 ෆx (ෆxෆϩෆ͙6ෆෆ)(xෆෆϪෆ͙ෆ6)ෆෆϪෆ(xෆෆϪෆ2ෆ)3 ϭ 2 [Ϫ 1; 4]
299 ͙ෆ8x4ෆϪෆෆ2ෆ9x2ෆϩෆෆ1ෆ3 ϭ 2(x 2 ϩ 1) ΄ ΅Ϯ ᎏ21ᎏ ; Ϯ 3
300 ͙xෆෆϩෆ2 ϩ ᎏ͙ෆx1ᎏෆϩෆ2 ϭ ᎏ130ᎏ ΄ ΅Ϫ ᎏ197ᎏ ; 7
3. I sistemi di secondo grado –ᮣ Teoria a pag. 578
■ I sistemi di due equazioni Nel sito: ᭤ 8 esercizi di recupero
in due incognite
I sistemi a coefficienti numerici
ESERCIZIO GUIDA
301 Risolviamo il seguente sistema:
Ά3x ϩ y ϭ 2
24x 2 Ϫ y 2 Ϫ 2x ϭ 1
598
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Paragrafo 3. I sistemi di secondo grado ESERCIZI
Ricaviamo y dalla prima equazione e sostituiamo nella seconda:
Άy ϭ 2 Ϫ 3x
24x 2 Ϫ (2 Ϫ 3x)2 Ϫ 2x ϭ 1
Svolgiamo i calcoli nella seconda equazione:
24x 2 Ϫ 4 Ϫ 9x 2 ϩ 12x Ϫ 2x Ϫ 1 ϭ 0 → 15x 2 ϩ 10x Ϫ 5 ϭ 0 → 3x 2 ϩ 2x Ϫ 1 ϭ 0
⌬ ϭ 4 x ϭ ᎏϪ 13ᎏϮ 2 ϭ Ϫ1
ᎏ4ᎏ ᎏ13ᎏ
Le soluzioni del sistema sono allora quelle dei seguenti due sistemi:
Ά Άxϭ Ϫ 1 ∨ x ϭ ᎏ31ᎏ
y ϭ 2 Ϫ 3x y ϭ 2 Ϫ 3x
Sostituiamo i valori della x nella seconda equazione:
Ά Ά xϭϪ1 ∨ x ϭ ᎏ13ᎏ
y ϭ 2 Ϫ 3(Ϫ 1)ϭ 5
yϭ2Ϫ3 1 ϭ1
ᎏ3ᎏ
Il sistema dato ha le due soluzioni:
(Ϫ 1; 5) e ᎏ13ᎏ ; 1 .
Risolvi i seguenti sistemi di secondo grado.
Άy ϭ3 [(4; 3), (Ϫ 4; 3)] Ά305 2y ϩ 3x ϭ 6 [impossibile]
[(2; ͙ෆ10), (2; Ϫ ͙ෆ10)] xy Ϫ 3y ϭ 4 [(1; 1), (6; Ϫ 4)]
302 x 2 ϩ 3 ϭ 19
Ά3x Ϫ y 2 ϭ 2
Άx ϭ2
306 x ϩ y ϭ 2
303 y 2 Ϫ x ϭ 8
Άx2ϩy ϭϪ8 Ά ΄ ΅[(1; Ϫ 9)]
307 y 2 Ϫ 2x 2 ϩ xy Ϫ 4x Ϫ 5y ϩ 6 ϭ 0 (Ϫ 1; 2), 1 ; 1
304 2x ϩ y ϭ Ϫ 7 2x ϩ 3y ϭ 4 ᎏ2ᎏ
Ά x ϩ 2y Ϫ 3 ϭ 0 [indeterminato]
[(1 ϩ ͙ෆ2; 2 ϩ ͙ෆ2), (1 Ϫ ͙ෆ2; 2 Ϫ ͙ෆ2)]
308 ᎏ34ᎏ ϩ 2y 2 Ϫ 7y ϩ 6 ϭ 2x ϩ ᎏ31ᎏ Ϫ xy ϩ 1
Ά309 3x ϩ 3y Ϫ 2 ϭ 2(x ϩ 2y) Ϫ 3
x (y Ϫ 2) ϭ y
xϪy ϭ2 ΄ ΅(2; 0),Ϫ5;Ϫ 29
ᎏ1ᎏ2 ᎏ1ᎏ2
Ά 310 4(x ϩ 2)2 ϩ 3 y Ϫ ᎏ13ᎏ6 x 2 ϭ 0
599
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ESERCIZI CAPITOLO 11. COMPLEMENTI DI ALGEBRA
Ά3x Ϫ y ϭ 0 [(Ϫ 1; Ϫ 3), (1; 3)]
[(7; Ϫ 3), (Ϫ 3; 7)]
311 19 Ϫ xy ϭ (x ϩ y)2
[(0; 2), (2; 4)]
Άx ϩy ϭ4
΄ ΅1 5
312 x 2 Ϫ xy Ϫ 4x ϭ 42 2; Ϫ ᎏ2ᎏ , Ϫ 2; Ϫ ᎏ2ᎏ
Άx Ϫy ϩ2ϭ0 BRAVI SI DIVENTA ᭤ E45
313 x 2 Ϫ y 2 ϩ xy ϩ 4 ϭ 0
314 Ά ᎏ6xᎏ Ϫ ᎏ3yᎏ ϭ ᎏ12ᎏy25
ᎏ4ᎏ
Ϫ xy ϭ
315 Ά 2(y ϩ 1) ϩ y(x ϩ 1) ϭ 2y Ϫ 1 ϩ x(y Ϫ 2)1)31x (1 2x ) ᎏy 2 Ϫ 54ᎏϪ 10x
2(x ϩ ϩ ᎏ2ᎏ Ϫ 2x )(1 ϩ ϭ
Ά (x Ϫ 2)2 Ϫ 4xy ϩ 11 ϭ 0 ΄ ΅9 53
316 ᎏx Ϫ3ᎏ2 ϩ ᎏy Ϫ2ᎏ1 ϭ y (5; 1), Ϫ ᎏ5ᎏ ; Ϫ ᎏ15ᎏ
[(12; 2), (Ϫ 2; Ϫ 12)]
Άx 2 ϩ (y ϩ 4)2 Ϫ 100 ϭ Ϫ 16 ϩ 8x
317 x Ϫ y ϭ 10
Ά3x Ϫ 3y ϭ 12 [impossibile]
318 2x (x ϩ 4y) Ϫ 12 (1 ϩ 3y) Ϫ x ϩ y ϭ Ϫ 12y 2 Ϫ 8x
x 2 ϩ y 2 Ϫ 4x Ϫ 4y ϩ 6 ϭ 0 3΄ ΅(1; 3),;9
ᎏ5ᎏ ᎏ5ᎏ
Ά 319 (y Ϫ 1)2 ϭ y 2 ϩ 3 x ϩ ᎏ31ᎏ Ϫ 3y
I sistemi a coefficienti letterali
Risolvi i seguenti sistemi. (Qui, come nei paragrafi successivi, nei risultati non è riportata l’eventuale discus-
sione necessaria.)
Ά2x 2 Ϫ y 2 Ϫ xy ϩ 7ax Ϫ 4ay ϩ 5a2 ϭ 0 [(a; 2a), (Ϫ a; Ϫ 3a)]
[(b; 2b Ϫ 1)]
320 5x Ϫ 2y ϭ a
Ά321 x 2 Ϫ b ϭ ᎏ(y Ϫ 1)4(ᎏy ϩ 1)
2x Ϫ y ϭ 1
Άy Ϫ x ϭ 2a [(Ϫ 1; 2a Ϫ 1), (Ϫ a ϩ 1; a ϩ 1)]
322 x (x ϩ y) Ϫ 2(1 Ϫ a) ϭ 0
Άx 2 Ϫ 2by ϩ x (b ϩ 2) ϭ Ϫ 2b [(b; b ϩ 2), (Ϫ 2; 0)]
323 y Ϫ x Ϫ 2 ϭ 0
600
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Paragrafo 3. I sistemi di secondo grado ESERCIZI
■ I sistemi con equazioni fratte
ESERCIZIO GUIDA
Ά324 Risolviamo il seguente sistema: ᎏ2 Ϫxᎏy ϭ ᎏ2y 2Ϫᎏ1
2x ϩ y Ϫ 2 ϭ 0
C.E.: 2 Ϫ y 0 ∧ 2y Ϫ 1 0 → C.E.: y 2 ∧ y ᎏ21ᎏ .
Eliminiamo i denominatori nella prima equazione, moltiplicando per (2 Ϫ y)(2y Ϫ 1):
x (2y Ϫ 1) ϭ 2(2 Ϫ y) → 2xy Ϫ x ϭ 4 Ϫ 2y.
Otteniamo il sistema:
Ά2xy Ϫ x ϩ 2y Ϫ 4 ϭ 0
2x ϩ y Ϫ 2 ϭ 0
Ricaviamo y dalla seconda equazione e sostituiamola nella prima:
Ά Ά2xy Ϫ x ϩ 2y Ϫ 4 ϭ 0 → 2x (Ϫ 2x ϩ 2) Ϫ x ϩ 2(Ϫ 2x ϩ 2) Ϫ 4 ϭ 0
y ϭ Ϫ 2x ϩ 2
y ϭ Ϫ 2x ϩ 2
Risolviamo la prima equazione:
Ϫ 4x 2 ϩ 4x Ϫ x Ϫ 4x ϩ 4 Ϫ 4 ϭ 0 → Ϫ 4x 2 Ϫ x ϭ 0 → 4x 2 ϩ x ϭ 0 →
→ x (4x ϩ 1) ϭ 0 → x 1 ϭ 0, x 2 ϭ Ϫ ᎏ41ᎏ .
Il sistema dato ha come soluzioni quelle dei due sistemi:
Άx ϭ0 Ά1
y ϭ Ϫ 2x ϩ 2
∨ x ϭ Ϫ ᎏ4ᎏ
y ϭ Ϫ 2x ϩ 2
Άxϭ0 ∨ Ά 1
y ϭ2
non accettabile x ϭ Ϫ ᎏ4ᎏ
y ϭ Ϫ 2 и Ϫ ᎏ41ᎏ ϩ 2 ϭ ᎏ21ᎏ ϩ 2 ϭ ᎏ25ᎏ
Il sistema ha come unica soluzione la coppia Ϫ ᎏ41ᎏ ; ᎏ25ᎏ .
Risolvi i seguenti sistemi. [(Ϫ 1; Ϫ 4)]
Ά ᎏxᎏ2 Ϫ ᎏxᎏ ϭ ᎏ6ᎏ ϩ 1
325 y y y
3ϭx Ϫy
601
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ESERCIZI CAPITOLO 11. COMPLEMENTI DI ALGEBRA
326 Ά ᎏ4ᎏ ϩ ᎏ6ᎏ ϭ 4xy 2 3 ΄ ΅1 1
2 2 ᎏ4ᎏ ; Ϫ ᎏ2ᎏ , (2; 3)
ᎏ5ᎏ ϩ ᎏ5ᎏ x Ϫ ᎏ1ᎏ0 y ϭ ᎏ5ᎏ
327 Ά 3x ϩ x 2 ϩ 2 ϩ y 2 ϭ (x ϩ 2)2 ϩ y (y Ϫ 1)
ᎏx ϩyᎏ1 ϭ ᎏ1x ϪϪᎏx2 Ϫ 4 [(Ϫ 2; 0), (0; 2)]
ᎏx Ϫᎏ1
Ά328 ᎏ12ᎏ Ϫ y ϭ 3x ΄ ΅13 7
Ϫ 2; ᎏ2ᎏ , Ϫ 1; ᎏ2ᎏ
ᎏ2xxϪᎏ2 Ϫ ᎏ3x ϩᎏ1 ϭ ᎏx 2xϪᎏy x
x
Ά329 ᎏy xϩᎏ21 ϩ ᎏ1ᎏ ϭ 3 ΄ ΅Ϫ2
x ᎏ3ᎏ
; 1 , (2; 9)
13 3
ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
x y xy
Ά 4x Ϫ y ϭ 6 [(Ϫ 3; Ϫ 18)]
330 ᎏx ϩ2ᎏy ϩ ᎏx Ϫ1ᎏy ϭ ᎏx 2 xϪᎏ2 y 2
Ά (x Ϫ 2)(x ϩ 2) Ϫ y 2 Ϫ x(y Ϫ 1) ϭ (3 Ϫ y)(3 ϩ y) Ϫ 3 [(2; Ϫ 2), (Ϫ 2; 4)]
331 ᎏ2 Ϫyᎏ3x ϭ ᎏ21ᎏ
Ά332 ᎏ2ᎏ Ϫ ᎏ2x 3ϩᎏ1 ϭ ᎏy4(x2x2 ᎏϩϩ51)
y
[(0; Ϫ 1)]
y ϭ ᎏ2x 3Ϫᎏ1 ϩ ᎏ32ᎏ y [(1; 2), (3; 0)]
[(Ϫ 6; 1), (2; 9)]
Άy Ϫ3ϭϪ x
333 ᎏx2ϩᎏx 3 Ϫ 6 ϭ ᎏ2 Ϫyᎏx
ᎏx 2 ϩ xᎏϪ 6
Ά334 ᎏyx(x2 ϩϩᎏ13) Ϫ ᎏ11(x6yᎏϩ 1) ϭ Ϫ ᎏ23(xx Ϫϩᎏ13)
3x ϩ 12 ϭ 2x ϩ y ϩ 5
Nel sito: ᭤ 19 esercizi su Le rette secanti, tangenti ed esterne a una parabola
■ I sistemi di tre equazioni in tre incognite
ESERCIZIO GUIDA
335 Risolviamo il seguente sistema:
Άx ϩy ϩz ϭ0
x Ϫyϭ1
x 2 ϩ xy Ϫ z ϭ 0
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Paragrafo 3. I sistemi di secondo grado ESERCIZI
Ricaviamo y nella seconda equazione e sostituiamo nelle altre due:
Άx ϩy ϩz ϭ0 → Ά x ϩ (x Ϫ 1) ϩ z ϭ 0 → Ά 2x Ϫ 1 ϩ z ϭ 0
y ϭxϪ1 y ϭx Ϫ1 y ϭxϪ1
x 2 ϩ xy Ϫ z ϭ 0 x 2 ϩ x (x Ϫ 1) Ϫ z ϭ 0 2x 2 Ϫ x Ϫ z ϭ 0
Ricaviamo z nella prima equazione e sostituiamo nella terza:
Ά z ϭ 1 Ϫ 2x → Ά z ϭ 1 Ϫ 2x
y ϭxϪ1 y ϭx Ϫ1
2x 2 Ϫ x Ϫ (1 Ϫ 2x) ϭ 0 2x 2 Ϫ x Ϫ 1 ϩ 2x ϭ 0
Risolviamo la terza equazione, che è di secondo grado in x:
2x 2 ϩ x Ϫ 1 ϭ 0 ⌬ ϭ 9 x ϭ ᎏϪ 14ᎏϮ 3 ϭ Ϫ1 x 1 ϭ Ϫ 1, 1
1 x 2 ϭ ᎏ2ᎏ
ᎏ2ᎏ
Le soluzioni del sistema sono date dall’unione delle soluzioni dei due sistemi:
Ά z ϭ 1 Ϫ 2x ∨ Ά z ϭ 1 Ϫ 2x
y ϭx Ϫ1 y ϭx Ϫ1
x ϭϪ1 x ϭ ᎏ21ᎏ
Ά z ϭ 1 Ϫ 2(Ϫ 1) ϭ 3 Ά z ϭ1Ϫ2и 1 ϭ0
y ϭϪ1Ϫ1ϭϪ2 ᎏ2ᎏ
x ϭϪ1
∨ y ϭ ᎏ21ᎏ Ϫ 1 ϭ Ϫ ᎏ21ᎏ
x ϭ ᎏ21ᎏ
Le soluzioni del sistema sono le due terne di valori (Ϫ 1; Ϫ 2; 3) e ᎏ21ᎏ ; Ϫ ᎏ21ᎏ ; 0 .
Risolvi i seguenti sistemi di tre equazioni in tre incognite.
Ά 2x ϩ y ϭ 3 Ά ΄ ΅339
[(2; Ϫ 1; 4), (2; Ϫ 1; Ϫ 4)] x Ϫy ϭ1 ᎏ21ᎏ ; Ϫ ᎏ21ᎏ ; 0 , (Ϫ 1; Ϫ 2; 3)
336 2x Ϫ y ϭ 5 x ϩy ϩz ϭ0
2x 2 ϩ y 2 ϩ z 2 ϭ 25 x 2 ϩ xy Ϫ z ϭ 0
Ά 2x ϩ z Ϫ 3 ϭ 0 Ά ΄ ΅340
[impossibile] (x ϩ y)2 ϭ 1 ᎏ21ᎏ ; ᎏ21ᎏ ; 1 , ᎏ23ᎏ ; Ϫ ᎏ25ᎏ ; Ϫ 1
337 x ϩ y ϭ 1 x ϩy Ϫz ϭ0
x 2 ϩ y 2 ϩ 2xy ϭ 4 2x ϩ z ϭ 2
Άx ϩy ϭ1 ΄ ΅1;1 ; Ϫ 1 Ά x Ϫ 2y ϩ 3z ϭ 0 [impossibile]
ᎏ2ᎏ ᎏ2ᎏ ᎏ2ᎏ
338 x Ϫ z ϩ 2y ϭ 2 341 x ϩ 3y Ϫ 3z ϭ 5
y2Ϫz2ϭ0 x 2 ϩ z 2 ϭ 2xz Ϫ 1
603
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ESERCIZI CAPITOLO 11. COMPLEMENTI DI ALGEBRA
4. I sistemi simmetrici –ᮣ Teoria a pag. 579
■ I sistemi a coefficienti numerici Nel sito: ᭤ 7 esercizi di recupero
ESERCIZIO GUIDA Άb) x 2 ϩ y 2 ϭ 53 Άc) xϩyϭ2
x ϩy ϭϪ5 x 3 ϩ y 3 ϭ 26
342 Risolviamo i seguenti sistemi:
Άa) xy ϭ 8
x ϩy ϭ6
a) Utilizziamo l’incognita ausiliaria t e risolviamo l’equazione t 2 Ϫ 6t ϩ 8 ϭ 0, che è del tipo t 2 Ϫ st ϩ p ϭ 0.
Le soluzioni dell’equazione formano le coppie ordinate che sono soluzioni del sistema dato:
t 2 Ϫ 6t ϩ 8 ϭ 0 ᎏ⌬4ᎏ ϭ 9 Ϫ 8 ϭ 1 t ϭ 3 Ϯ 1 ϭ 2
4
Il sistema ha due soluzioni: (2; 4) e (4; 2).
b) Poiché x 2 ϩ y 2 ϭ (x ϩ y)2 Ϫ 2xy , sostituiamo nella prima equazione:
Ά(x ϩ y)2 Ϫ 2xy ϭ 53 Ά→ (Ϫ 5)2 Ϫ 2xy ϭ 53 Ά→ Ϫ 2xy ϭ 28 →
xϩy ϭϪ5 xϩy ϭϪ5 x ϩy ϭϪ5
Ά→xy ϭ Ϫ 14
x ϩy ϭϪ5
Ci siamo riportati nel caso dell’esercizio a). Risolviamo allora l’equazione ausiliaria in t :
t 2 ϩ 5t Ϫ 14 ϭ 0 ⌬ ϭ 25 ϩ 56 ϭ 81 Ϫ5Ϯ9 Ϫ7
t ϭ ᎏ2ᎏ ϭ 2
Il sistema ha come soluzioni (Ϫ 7; 2) e (2; Ϫ 7).
c) Poiché x 3 ϩ y 3 ϭ (x ϩ y)3 Ϫ 3xy(x ϩ y), sostituiamo nella seconda equazione:
Άx ϩyϭ2 → Ά Άx ϩ y ϭ 2 → xϩy ϭ2 →
(x ϩ y )3 Ϫ 3xy(x ϩ y ) ϭ 26 23 Ϫ 3xy и 2 ϭ 26 8 Ϫ 6xy ϭ 26
Ά Ά→
xϩy ϭ2 → xϩy ϭ2
Ϫ 6xy ϭ 18 xyϭϪ3
Risolviamo l’equazione ausiliaria in t:
t 2 Ϫ 2t Ϫ 3 ϭ 0 ⌬ ϭ 1 ϩ 3 ϭ 4 t ϭ1Ϯ2ϭ Ϫ1
ᎏ4ᎏ ϩ3
Il sistema ha come soluzioni (Ϫ 1; 3) e (3; Ϫ 1).
604
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Sistemi e problemi ESERCIZI
Risolvi i seguenti sistemi simmetrici di secondo grado.
Ά343 xy ϭ Ϫ 2 Ά[(2; Ϫ 1), (Ϫ 1; 2)] ΄ ΅1 1 11
x ϩy ϭ1 348 4x ϩ 4y ϩ 1 ϭ 0 ᎏ4ᎏ ; Ϫ ᎏ2ᎏ , Ϫ ᎏ2ᎏ ; ᎏ4ᎏ
8xy ϩ 1 ϭ 0
Ά344 xy ϭ 48 Ά[(Ϫ 6; Ϫ 8), (Ϫ 8; Ϫ 6)] ΄ ΅3 3
x ϩ y ϭ Ϫ 14 349 2x ϩ 2y ϭ 9 3; ᎏ2ᎏ , ᎏ2ᎏ ; 3
Ά3 2x(y ϩ 1) ϭ 9 ϩ 2x [(Ϫ 2; 1), (1; Ϫ 2)]
345 xy ϭ ᎏ4ᎏ
΄ ΅1 3 3 1 Ά350 x 2 ϩ y 2 ϭ 5 [(0; 1), (1; 0)]
xϩy ϭ2 ᎏ2ᎏ ; ᎏ2ᎏ , ᎏ2ᎏ ; ᎏ2ᎏ x ϩy ϭϪ1
[(5; Ϫ 1), (Ϫ 1; 5)] ΄ ΅1 1
Ά346 x ϩ y ϭ 4 Ά351 x 2 ϩ y 2 Ϫ 5xy ϭ 1 4; Ϫ ᎏ2ᎏ , Ϫ ᎏ2ᎏ ; 4
xy ϭϪ5 x ϩy ϭ1
Ά7
347 x ϩ y ϭ ᎏ2ᎏ ΄ ΅ Ά1;3, 3; 1 352 4x 2 ϩ 4y 2 ϭ 65
ᎏ2ᎏ ᎏ2ᎏ 2x ϩ 2y Ϫ 7 ϭ 0
2xy ϭ 3
Nel sito: ᭤ 26 esercizi di riepilogo su I sistemi di secondo grado
Sistemi e problemi
■ Problemi con i numeri
353 Determina due numeri la cui somma è 20 e il cui prodotto è 96. [8; 12]
354 Determina due frazioni la cui somma è ᎏ120ᎏ9 e il cui prodotto è 1. ΄ ΅ᎏ52ᎏ ; ᎏ25ᎏ
355 Determina due frazioni la cui somma è ᎏ65ᎏ e il cui prodotto è ᎏ61ᎏ. ΄ ΅ᎏ21ᎏ ; ᎏ31ᎏ
356 Determina due numeri il cui rapporto è 3 e la cui differenza dei quadrati è 20. [(6; 4), (Ϫ 6; Ϫ 4)]
ᎏ2ᎏ
΄ ΅357 due la cui 27 3 3 3 3
Determina frazioni il cui rapporto è 2 e differenza dei quadrati è ᎏ1ᎏ6 . ᎏ2ᎏ ; ᎏ4ᎏ , Ϫ ᎏ2ᎏ ; Ϫ ᎏ4ᎏ
358 Determina due numeri, tali che la loro somma sia 16 e la somma dei quadrati sia 130. [7; 9]
359 Determina due frazioni la cui somma è ᎏ21ᎏ e tali che la somma dei loro quadrati sia ᎏ31ᎏ67 . ΄ ΅Ϫ ᎏ61ᎏ ; ᎏ32ᎏ
360 Determina due numeri la cui somma è 8 e tali che il prodotto di uno dei due per l’altro aumentato di 4 sia
uguale al quadrato di 6. [2; 6]
Determina due numeri la cui somma è 15 e tali che, se si aumenta il primo di ᎏ21ᎏ e il secondo di ᎏ31ᎏ, il prodot-
to è ᎏ122ᎏ5 . (7; 8), ᎏ4ᎏ7 ; ᎏ4ᎏ3
66
΄ ΅361
605
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ESERCIZI CAPITOLO 11. COMPLEMENTI DI ALGEBRA
■ Problemi di algebra
362 Determina due monomi la cui somma è 11a e il cui prodotto è 18a 2. [2a; 9a]
363 Determina due monomi il cui rapporto è ᎏ23ᎏ e la cui differenza dei quadrati è 5a 2 b 2. [2ab; 3ab]
364 Determina due frazioni algebriche la cui somma è Ϫ 1 e il cui prodotto è Ϫ 2 . ΄ ΅1 ; Ϫ 2
ᎏᎏ ᎏaᎏ2 ᎏᎏ
a ᎏᎏ
365 Determina due frazioni algebriche il cui rapporto è Ϫ ᎏ23ᎏ e la cui differenza dei quadrati è ᎏ5baᎏ22 . aa
΄ ΅Ϫ 2 ᎏaᎏ ; 3 ᎏaᎏ , 2 ᎏaᎏ ; Ϫ 3 ᎏaᎏb
bb b
366 Suddividi il numero 18 in modo che il doppio prodotto delle due parti, aggiunto alla somma dei loro qua-
drati, sia uguale a 324. [indeterminato]
367 Determina un monomio e un polinomio la cui somma è 3a ϩ b e il cui prodotto è 2a2 ϩ 2ab. [2a; a ϩ b]
368 Determina due polinomi, tali che la loro somma sia 4a e la somma dei loro quadrati sia 2(4a 2 ϩ 1).
[2a Ϫ 1; 2a ϩ 1]
369 Determina due polinomi il cui rapporto è Ϫ 2 e la cui differenza dei quadrati è 3(a ϩ 3b)2.
[(Ϫ a Ϫ 3b; 2a ϩ 6b), (a ϩ 3b; Ϫ 2a Ϫ 6b)]
370 Determina due polinomi la cui somma è 3a e il cui prodotto è 2a 2 ϩ ab Ϫ b 2. [a ϩ b; 2a Ϫ b]
371 Determina due monomi la cui somma è Ϫ ᎏ23ᎏ ab 2 e tali che la somma dei loro quadrati sia ᎏ45ᎏ a 2 b 4.
΄ ΅Ϫ ab2; Ϫ ᎏ21ᎏ ab2
372 Il prodotto di due monomi è Ϫ 3a 2. Sommando 9a al primo monomio e 5a al secondo, la differenza risulta
0. Determina i due monomi. [(Ϫ a; 3a), (Ϫ 3a; a)]
■ Problemi di geometria
ESERCIZIO GUIDA
373 Il perimetro di un triangolo rettangolo è 12 cm. Sapendo che l’ipotenusa è uguale ai ᎏ75ᎏ della somma dei
cateti, calcoliamo l’area del triangolo.
Il perimetro misura 12 cm, ossia: C
AෆෆB ϩ AෆCෆ ϩ BෆCෆ ϭ 12.
L’ipotenusa è i ᎏ75ᎏ della somma dei cateti: y x B
BෆCෆ ϭ ᎏ75ᎏ (AෆෆB ϩ AෆCෆ). A
Poniamo AෆෆB ϭ x
AෆCෆ ϭ y.
Poiché x ϩ y ϩ ෆBCෆ ϭ 12 e ෆBCෆ ϭ 5 (x ϩ y), scriviamo l’equazione:
ᎏ7ᎏ
x ϩ y ϩ ᎏ75ᎏ (x ϩ y) ϭ 12.
606
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Sistemi e problemi ESERCIZI
Il problema non fornisce altre relazioni, quindi per ottenere una seconda equazione dobbiamo utilizzare una
proprietà geometrica della figura. Possiamo applicare il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ABC:
AෆෆB 2 ϩ AෆCෆ 2 ϭ ෆBCෆ 2.
La seconda equazione è:
΄ ΅x 2 ϩ y 2 ϭ
ᎏ75ᎏ (x ϩ y) 2
.
Il sistema risolvente è:
Ά x ϩ y ϩ ᎏ75ᎏ (x ϩ y) ϭ 12x2ϩy2ϭ25(x2ϩy2 ϩ 2xy)
ᎏ4ᎏ9
Portiamo le due equazioni a forma intera e svolgiamo i calcoli:
7x ϩ 7y ϩ 5x ϩ 5y ϭ 84
Ά Ά Ά49x 2 ϩ 49y 2 ϭ 25x 2 ϩ 25y 2 ϩ 50xy
→ 12x ϩ 12y ϭ 84 → xϩy ϭ7
24x 2 ϩ 24y 2 Ϫ 50x y ϭ 0 12 (x 2 ϩ y 2) Ϫ 25x y ϭ 0
Il sistema è simmetrico:
xϩy ϭ7 x ϩy ϭ7
x y ϭ 12
Ά Ά Ά12(x ϩ y )2 Ϫ 24x y Ϫ 25xy ϭ 0
→ x ϩy ϭ7 →
12 и 49 Ϫ 49x y ϭ 0
t 2 Ϫ 7t ϩ 12 ϭ 0 ⌬ ϭ 49 Ϫ 48 ϭ 1 t ϭ ᎏ7 Ϯ2ᎏ1 ϭ ᎏ28ᎏ ϭ 4
6 ϭ 3
ᎏ2ᎏ
I due cateti hanno lunghezza 3 cm e 4 cm.
L’area del triangolo è A ϭ 1 и 3 и 4 cm2, ossia A ϭ 6 cm2.
ᎏ2ᎏ
374 In un triangolo rettangolo la differenza fra i due cateti è 5 cm e l’area è 150 cm2. Determina il perimetro del
triangolo. [60 cm]
375 In un triangolo rettangolo la somma dei cateti ha lunghezza 17 cm e l’ipotenusa 13 cm. Calcola il perimetro
e l’area del triangolo. [30 cm; 30 cm2]
376 In un cerchio di raggio 25 cm è inscritto un rettangolo il cui perimetro è di 140 cm. Calcola l’area del rettan-
golo. [1200 cm2]
377 La somma dei lati di due quadrati è uguale a 50 cm. Il rettangolo formato dalle diagonali dei due quadrati ha
l’area di 1200 cm2. Calcola l’area dei due quadrati. [400 cm2; 900 cm2]
378 Un triangolo isoscele di area 1200 cm2 è tale che la somma dell’altezza con la metà della base è uguale a 70
cm. Calcola il perimetro del triangolo. [160 cm o 180 cm]
379 Un triangolo isoscele ha il perimetro di 250 cm e l’altezza di 75 cm. Determina l’area del triangolo. [3000 cm2]
607
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ESERCIZI CAPITOLO 11. COMPLEMENTI DI ALGEBRA
380 In un triangolo isoscele l’area è di 9000 cm2. La differenza fra la base e l’altezza supera di 5 cm il perimetro
di un quadrato di lato 87,5 cm. Calcola il perimetro del triangolo. [810 cm]
381 Un triangolo isoscele è equivalente a tre quadrati di lato 40 cm. La somma della base e dell’altezza del trian-
golo è uguale al perimetro di un pentagono regolare di lato 44 cm; la base sia maggiore dell’altezza. Calcola
il perimetro del triangolo. [360 cm]
382 Se si diminuiscono di 3 cm due lati opposti di un rettangolo e si aumentano di 3 cm gli altri due, si ottiene
un quadrato la cui area è ᎏ2254ᎏ di quella del rettangolo. Trova i lati del rettangolo.
[12 cm; 18 cm]
383 Determina le dimensioni di un rettangolo, con la base tripla dell’altezza, in cui il numero che esprime il peri-
metro è uguale a quello dell’area. ΄ ΅8; ᎏ83ᎏ
384 In un triangolo rettangolo un cateto misura 32a(a Ͼ 0) e il doppio dell’altro cateto supera l’ipotenusa di 8a.
Determinare le misure dell’area e del perimetro del triangolo. [384a 2; 96a]
385 In un triangolo rettangolo la differenza fra il cateto maggiore e quello minore è 5b e l’area 150b2. Determina
il perimetro del triangolo. [60b ]
386 La somma dei lati di due quadrati vale 8a; l’area del rettangolo avente per dimensioni le loro diagonali misu-
ra 30a 2. Determina il perimetro dei due quadrati. [12a; 20a]
387 L’area di un triangolo rettangolo misura 6b 2. Determina la misura dei cateti, sapendo che l’ipotenusa misu-
ra 5b. [3b; 4b ]
388 In un rombo l’area misura 96l 2 e la somma delle due diagonali è 28l. Determina il perimetro del rombo e
quello del rettangolo avente per dimensioni le diagonali del rombo. [40l ; 56l ]
389 Un rettangolo di area 36a2 ha un lato che supera l’altro di 5a. Calcola il perimetro 2p del rettangolo e l’area S
[26a; 97a 2]
del quadrato costruito sulla diagonale del rettangolo.
390 Un rettangolo ha il perimetro che misura 28r. Calcola l’area, sapendo che il raggio della circonferenza circo-
[48r 2]
scritta misura 5r.
391 Un rettangolo ha il perimetro lungo 14r, e il raggio della circonferenza circoscritta misura ᎏ25ᎏ r. Calcola
l’area del rettangolo. [12r 2]
392 In un triangolo rettangolo la somma dei cateti misura 20r e l’area 48r 2. Calcola la misura del raggio della cir-
[2r ͙ෆ13]
conferenza circoscritta al triangolo.
393 Determina il perimetro del quadrato avente il lato congruente all’ipotenusa di un triangolo rettangolo di
area 24a 2 ͙ෆ7. La somma dei cateti del triangolo vale 4a(3 ϩ ͙ෆ7).
[64a]
394 È dato un quadrato di lato k ; prolungando i quattro lati, nello stesso verso, di un segmento x e congiungen-
do i quattro estremi, si ottiene un secondo quadrato. Determina il valore di x, in modo che l’area del secon-
do quadrato sia il quadruplo dell’area del primo. ΄ ΅ᎏk (͙2ෆ7ᎏϪ 1)
395 In un triangolo isoscele, di area 256b 2, la base è la metà dell’altezza. Calcola il perimetro. [16b (1 ϩ ͙ෆ17)]
608
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Verso le competenze ESERCIZI
Verso le competenze Nel sito: ᭤ 30 test interattivi in più
TEST
1 Una delle seguenti equazioni ammette come so- 10 La diagonale di un rettangolo è lunga 5a e l’area è
luzioni ϩ 2, Ϫ 2, ϩ 3, Ϫ 3. Quale? 10a2. Calcola il perimetro e l’area del quadrato
A (x ϩ 2)(x Ϫ 2)(x 2 ϩ 9) ϭ 0 costruito sulla dimensione minore del rettangolo.
B 4x 4 Ϫ 9x 2 ϭ 0 [4a ͙ෆ5; 5a 2]
C x 4 Ϫ 13x 2 ϩ 36 ϭ 0
D x 4 ϩ 13x 2 ϩ 36 ϭ 0 11 Il prodotto di due numeri è 54 e la somma dei re-
2 Per risolvere l’equazione 36x 4 Ϫ 25x 8 ϩ 1 ϭ 0 ciproci è ᎏ15ᎏ8 . Individua i due numeri. [6; 9]
utilizzando l’incognita ausiliaria z, poniamo:
A x ϭ z 4. C z ϭ x 8. 12 Determina il perimetro di un triangolo isoscele,
sapendo che l’altezza relativa alla base è 9 cm e la
B z ϭ x 4. D x 2 ϭ z 4. somma della base con il lato obliquo vale 39 cm.
[54 cm]
3 Solo una fra le seguenti equazioni irrazionali non
è impossibile. Quale? 13 La concentrazione di un medicinale, in parti per
A 2 ͙5 ෆxෆ4 ϭ Ϫ 3 milione, nel sangue di un paziente x ore dopo la
B ͙3ෆϩෆෆx ϩ ͙ෆ2xෆϩෆ1 ϭ 0 somministrazione è espressa dalla funzione
C ͙Ϫෆෆ2x2ෆϪෆ3 ϭ 4
D ͙ෆ2x2ෆϪෆ3 ϭ 4 f(x) ϭ x4 Ϫ 7x2 Ϫ 6x.
4 L’equazione ͙ෆx ϭ Ϫ x ha come soluzione: Dopo quante ore dalla sua somministrazione il
A 0, 1. medicinale sarà eliminato dalla circolazione san-
B 0, Ϫ1. guigna?
C 1, Ϫ1.
D 0. (USA Southeast Missouri State University: Math Field Day, 2005)
5 Perché l’equazione ͙3 xෆ2ෆϩෆ1 ϭ Ϫ 1 è impossibile? [3]
14 La somma delle aree di due quadrati è 250 cm2 e
il semiprodotto delle due diagonali è 117 cm2.
Determina l’area dei due quadrati costruiti sulle
diagonali.
[162 cm2; 338 cm2]
6 Perché l’equazione ͙n xෆ ϭ k ammette soluzioni 15 Calcola il perimetro di un rettangolo che ha
reali ∀k ʦ R solo se n è dispari? un’area pari a 50 cm2, sapendo che il rapporto fra
7 L’equazione ͙5 xෆෆ2 ϭ Ϫ 2 è impossibile, anche se i lati è uguale a ᎏ21ᎏ. [30 cm]
la radice è di indice dispari. Perché?
16 La somma dei reciproci di due numeri vale ᎏ91ᎏ09 e
8 Senza risolvere l’equazione irrazionale
͙ෆ1 ෆϪෆx ϭ x Ϫ 3, il prodotto del doppio del primo per la terza par-
te del secondo è uguale a 60. Individua i due nu-
puoi stabilire che non ammette soluzioni. Perché? meri.
9 Risolvi il sistema: [9; 10]
Άᎏxᎏ ϩ ᎏyᎏ ϭ 2 [(5; 5)] 17 Se ͙nෆ3ෆϩෆn3ෆϩෆn3ෆϩෆn3ෆϩෆnෆ3 ϭ 25, allora n ϭ …
yx
x ϩ y ϭ 10 (USA Lehigh University: High School Math Contest, 2001)
[5]
609
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ESERCIZI CAPITOLO 11. COMPLEMENTI DI ALGEBRA
TEST 24 Data la seguente equazione:
Ά18 x2 ϩ y2 ϭ 10 4 ϭ ͙ෆ7 ϩෆෆ͙ෆ9 ϩෆෆ͙ෆ4 ϩෆෆෆෆx ,
Individua la soluzione del sistema y ϭ 3x
quanto vale x?
A {(1; 3), (Ϫ 1; Ϫ 3)}. C {(Ϯ 1; Ϯ 3)}.
A 36
B {(1; 3), (1; Ϫ 3)}. D {(Ϯ 1; Ϫ 3)}. B 46
C 56
(USA Tennessee Mathematics Teachers Association: D 68
39th Annual Mathematics Contest, 1995) E 5180
19 Se xy ϭ 2 e xy2 ϭ 8, qual è il valore di x? (Olimpiadi della matematica, Giochi di Archimede, 1997)
A4 B2 1 1 25 L’equazione x 3 ϩ ax 2 Ϫ 7x ϩ b ϭ 0 ha come so-
C ᎏ2ᎏ D ᎏ4ᎏ luzione x ϭ Ϫ 2. Trova le altre soluzioni, sapendo
(Invalsi, 2006) che ab ϭ Ϫ 40 e a Ͻ 0.
[x = 1; x = 5, con a ϭ Ϫ4 e b ϭ 10]
20 Determina quali sono le radici dell’equazione
x5(x4 ϩ 16)(x3 ϩ 2)(x Ϫ 1) ϭ 0.
A 0, Ϯ 2, Ϫ͙3 ෆ2 , 1. C 0, 2, ͙3 2ෆ, 1. 26 Trova l’area di un quadrato che ha il lato con-
B 0, 2, Ϫ͙3 ෆ2 , 1. D 0, Ϫ͙3 ෆ2 , 1.
gruente al lato minore di un rettangolo avente la
diagonale lunga 13 cm e la somma della base con
21 Quale equazione non è irrazionale? l’altezza uguale a 17 cm. [25 cm2]
A ͙xෆෆϩෆ3 ϭ 2 C ͙ෆx ϩ 3 ϭ 5x 27 VERO O FALSO?
B ͙xෆෆϩෆ1 ϭ Ϫ2 D ͙3ෆx Ϫ x ϭ ͙2ෆ a) L’equazione x 4 Ϫ 5x 2 Ϫ 36 ϭ 0 ha due
soluzioni. VF
22 Tra le seguenti equazioni, quale non ammette so- b) Se il prodotto di due numeri è 12 e la VF
luzione? somma dei loro quadrati è 25, i due
A ͙xෆϪෆෆ4 Ϫ 1 ϭ 0 C ͙ෆx ෆϪෆ5 Ϫ x ϭ Ϫ5 numeri possono essere solo 3 e 4.
B ͙xෆෆϩෆ3 ϩ 1 ϭ 0 D ͙ෆ2xෆϪෆ1 Ϫ x ϭ 0 Άxϩyϭ0
c) Il sistema x2 Ϫ y 2 ϭ 1 non ha
23 Il sistema formato dalle due equazioni y ϭ x2 ϩ 1 soluzione. VF
e y ϭ Ϫ2x2:
d) L’equazione ͙3 ෆx ϩෆෆ7 ϭ Ϫ 1 è VF
A ha quattro soluzioni. impossibile. VF
B ha due soluzioni.
C ha una soluzione. Άy ϭ Ϫx2
D non ammette soluzioni.
e) Il sistema y ϭ x2 Ϫ 8 ha come
soluzioni (Ϫ 2; 4) e (2; 4).
610
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
Le disequazioni CAPITOLOTEORIA
di secondo grado
12
Body Mass Index
Una prima indicazione sullo stato del peso forma
di una persona è data dal BMI (dall’inglese Body
Mass Index), definito come il rapporto tra la massa
(in kg) e il quadrato dell’altezza (in m). Di recente
l’Organizzazione Mondiale della Sanità ha fissato
nuovi criteri per classificare lo stato di sottopeso,
normopeso, sovrappeso e obesità di una persona
a seconda dell’indice di massa corporea…
…considerato un peso di 70 kg, per quali fasce di
altezza possiamo ritenere una persona sottopeso,
normale, sovrappeso o obesa?
Nel sito: ᭤ La risposta
1. Le disequazioni
Chiamiamo disequazione una disuguaglianza dove compaiono e- ◗ In questo paragrafo ri-
spressioni letterali per le quali cerchiamo i valori di una o più lettere chiamiamo alcuni concetti
che rendono la disuguaglianza vera. esaminati nel capitolo 6.
Le lettere per le quali si cercano i valori sono le incognite.
Ci occuperemo per il momento soltanto di disequazioni con un’unica in-
cognita.
I valori che soddisfano una disequazione costituiscono l’insieme delle
soluzioni, che può essere rappresentato in diversi modi. Per esempio, l’in-
sieme delle soluzioni della disequazione x Ϫ 4 Ͼ 0 è quello della figura 1.
x>4 oppure ]4; +ϱ[ ᭣ Figura 1 Nella rappresentazione
4 +ϱ mediante intervallo, ]4; ؉ ؕ[, la parentesi
aperta ] significa che il valore 4 è escluso.
Graficamente ciò si realizza disegnando un
pallino vuoto.
Due disequazioni che hanno lo stesso insieme di soluzioni si dicono
equivalenti.
611
Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.BIANCO - Vol.2 © Zanichelli 2012
TEORIA CAPITOLO 12. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
◗ Per esempio, per il primo Valgono i seguenti princìpi di equivalenza:
principio di equivalenza,
● primo principio di equivalenza:
4x Ͼ Ϫ 3 data una disequazione, si ottiene una disequazione a essa equivalente
aggiungendo a entrambi i membri uno stesso numero (o espressione);
è equivalente a:
● secondo principio di equivalenza:
4x ϩ 2 Ͼ Ϫ 3 ϩ 2. per trasformare una disequazione in una equivalente è possibile
moltiplicare o dividere entrambi i membri per uno stesso numero (o
Per il secondo principio di espressione) positivo. In alternativa, si possono moltiplicare o divide-
equivalenza, re entrambi i membri per uno stesso numero (o espressione) negati-
vo e cambiare il verso della disequazione.
2x Ͼ Ϫ 5
è equivalente a: Per il primo principio un termine può essere trasportato da un mem-
bro all’altro di una disequazione, cambiando il suo segno.
ᎏ22ᎏx Ͼ Ϫ5 Per il secondo principio se si cambia il segno di tutti i termini di una
ᎏ2ᎏ
disequazione e si inverte il suo verso, si ottiene una disequazione
e a: equivalente.
ᎏϪ2ᎏx2 Ͻ ᎏϪϪᎏ25 .
■ Le disequazioni lineari numeriche intere
Una disequazione è:
● lineare se l’incognita è di primo grado;
● numerica se non compaiono altre lettere oltre all’incognita;
● intera se l’incognita compare soltanto nei numeratori delle eventuali
frazioni presenti.
Per risolvere una disequazione lineare numerica intera passiamo dalla di-
sequazione a disequazioni equivalenti sempre più semplici applicando i
princìpi di equivalenza.
ESEMPIO Risolviamo la disequazione
3x Ϫ 5 Ͻ x.
ᎏ2ᎏ
Applichiamo il secondo principio di equivalenza moltiplicando entrambi
i membri per 2:
6x Ϫ 5 Ͻ 2x.
ESPLORAZIONE Applichiamo il primo principio trasportando i termini in cui è presente
l’incognita al primo membro e gli altri al secondo:
I segni maggiore
e minore 6x Ϫ 2x Ͻ 5.
Nel sito: ᭤ La scheda Riduciamo i termini simili:
4x Ͻ 5.
Applichiamo il secondo principio dividendo i due membri per 4, cioè per
il coefficiente dell’incognita:
΅ ΄x5 , ϱ; 5
Ͻ ᎏ4ᎏ ossia x∈ Ϫ ᎏ4ᎏ .
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Paragrafo 2. Le disequazioni di secondo grado intere TEORIA
■ Lo studio del segno di un prodotto
Consideriamo la disequazione (x Ϫ 3)(2x ϩ 5) Ͼ 0.
Per risolverla studiamo il segno dei due fattori singolarmente e rappre-
sentiamo i risultati in uno schema grafico:
x Ϫ 3 Ͼ 0 → x Ͼ 3; 2x ϩ 5 Ͼ 0 → x Ͼ Ϫ ᎏ25ᎏ.
– 52– 3 – 52– ᭢ Figura 2
3
segno di x– 3 − − 0+ segno di x– 3 − − 0+
segno di 2x + 5 −0 + + segno di 2x + 5 −0 + +
segno di (x – 3)(2x+ 5) +0 − 0+
a. Rappresentiamo i valori – 52– e 3 sulla retta orientata e, b. Applichiamo la regola dei segni in ognuno degli
per indicare il segno di x – 3 e di 2x + 5, mettiamo il segno +
negli intervalli con segno positivo e segno – negli intervalli intervalli. Per esempio, per x<– –52 , si ha – и – = +.
con segno negativo. Scriviamo 0 dove i binomi si annullano. Per x = – –25 e x = 3 il prodotto è 0.
La disequazione richiede che il –ϱ – 52– 3 +ϱ ᭣ Figura 3 Possiamo rap-
prodotto sia positivo, quindi l’in- presentare le soluzioni
sieme delle soluzioni è dato da ] [∈x – ϱ; – 52– ʜ ]3; +ϱ[ anche in altri due modi,
mediante:
x Ͻ Ϫ ᎏ52ᎏ ∨ x Ͼ 3. ● rappresentazione grafica;
● rappresentazione con in-
tervalli.
2. Le disequazioni di secondo BRAVI SI DIVENTA
grado intere Videolezione ᭤ V46a
Ogni disequazione di secondo grado intera nell’incognita x può essere ri- ◗ Può anche essere Ն op-
condotta alla forma normale: pure Յ .
ax 2 ϩ bx ϩ c Ͼ 0 oppure ax 2 ϩ bx ϩ c Ͻ 0, con a 0. ◗ Ϫ x 2 ϩ 5x Ϫ 6 Ͻ 0,
in cui il primo coefficiente
Possiamo sempre fare riferimento ai casi in cui il coefficiente a di x 2 è po- è negativo, diventa
sitivo. In caso contrario basta moltiplicare i due membri della disequa-
zione per Ϫ 1 e cambiare il verso della disequazione. x 2 Ϫ 5x ϩ 6 Ͼ 0
se moltiplichiamo entram-
Per studiare una disequazione di secondo grado, si scompone, quando è bi i membri per Ϫ 1.
possibile, il trinomio associato ax2 ϩ bx ϩ c risolvendo l’equazione asso-
ciata ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0.
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TEORIA CAPITOLO 12. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Esaminiamo separatamente i tre casi possibili.
L’equazione associata ha ⌬ Ͼ 0
Risolviamo la disequazione
3x 2 ϩ 5x Ϫ 2 Ͼ 0.
◗ ⌬ ϭ 25 Ϫ 4 и 3 и (Ϫ2) L’equazione associata è 3x 2 ϩ 5x Ϫ 2 ϭ 0, con ⌬ ϭ 49 Ͼ 0.
x ϭ ᎏϪ5 Ϯ6ᎏ͙4ෆ9 . Le radici dell’equazione sono
◗ Se il trinomio x 1 ϭ Ϫ 2 , x 2 ϭ ᎏ13ᎏ .
ax 2 ϩ bx ϩ c ammette ra-
dici reali x 1 e x 2, allora si Possiamo scrivere il trinomio come prodotto di tre fattori:
fattorizza come:
3x2 ϩ 5x Ϫ 2 ϭ 3(x ϩ 2) x Ϫ ᎏ13ᎏ .
a (x Ϫ x 1)(x Ϫ x 2).
1
MATEMATICA x Ϫ ᎏ3ᎏ
PER IL CITTADINO La disequazione diventa: 3(x ϩ 2) Ͼ 0.
Regali per tutti Se dividiamo per 3, applicando il secondo principio di equivalenza, si ha:
In una scuola si organizza (x ϩ 2) x Ϫ ᎏ13ᎏ Ͼ 0. –2 31–
una festa con i genitori, in
cui è previsto uno scam- Studiamo ora (figura 4) il segno segno di x+ 2 −0+ +
bio di regali. Tenendo del prodotto: segno di x– 13–
conto del costo fisso dei
regali e di un contributo 1
del Comune, utilizziamo x Ϫ ᎏ3ᎏ
equazioni e disequazioni (x ϩ 2) . − −0 +
per determinare i costi
della festa. segno di + 0 −0 +
Nel sito: ᭤ Il problema
( )(x+2) x–13–
᭤ Figura 4
La disequazione 3x 2 ϩ 5x Ϫ 2 Ͼ 0 è verificata per:
x Ͻ Ϫ 2 ∨ x Ͼ ᎏ13ᎏ . –2 –13
] []–ϱ; –2[ ʜ 13–; +ϱ
Possiamo dire che la disequazione precedente è soddisfatta dai valori
esterni all’intervallo che ha per estremi le radici dell’equazione associata.
Dal quadro dei segni deduciamo inoltre che 3x 2 ϩ 5x Ϫ 2 Ͻ 0 è verifica-
ta per:
Ϫ 2 Ͻ x Ͻ ᎏ31ᎏ . –2 –31
] [–2; –31
La disequazione è soddisfatta dai valori interni all’intervallo che ha per
estremi le radici dell’equazione associata.
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