MATH4609_Mathematics for teachers II

เอกสารประกอบการสอน
รายวชิ า MATH4609 คณติ ศาสตรส์ ำหรับครู 2

ชอื่ ....................................รหัส................หมู่เรียน.......เลขที่.........

ผ้สู อน อาจารยด์ วงรตั น์ จติ ตเ์ จริญ
คณะวิทยาศาสตร์

มหาวิทยาลยั ราชภัฏจนั ทรเกษม

คำอธบิ ายรายวชิ า

MATH4609 คณิตศาสตรส์ ำหรับครู 2 (Mathematics for teachers 2)

รายวชิ าทต่ี ้องเรียนมาก่อน : MATH3609 คณิตศาสตรส์ ำหรับครู 1

จำนวนจริง เลขยกกำลัง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ระบบจำนวนจริง ฟังก์ชนั
อัตราส่วนตรีโกณมิติ เรขคณิตวิเคราะห์ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชัน
ลอการทิ ึม ฟังก์ชัน ตรีโกณมติ ิ จำนวนเชงิ ซอ้ น

Real Number 1

MATH4609

จำนวนจรงิ (REAL NUMBER)

โครงสรา้ งของจำนวนจริง

Real Number

Rational Number Irrational Number

Integer

Negative Integer Positive Integer

จำนวนจริง (Real number) ประกอบด้วย จำนวนตรรกยะ (Rational Number) และ

จำนวนอตรรกยะ (Irrational Number) a
b
1. จำนวนตรรกยะ (Rational Number) คือจำนวนทเี่ ขยี นไดใ้ นรูปเศษสว่ น โดยที่ a และ

b ต่างเปน็ จำนวนเต็ม และ b  0 ซง่ึ เซตของจำนวนตรรกยะจะเขียนได้ ดงั น้ี
a
Q = {x  x = b เมอ่ื a, b  I และ b  0}

ดังน้นั จำนวนตรรกยะจงึ ประกอบดว้ ย

1.1 จำนวนเตม็ (Integer) ประกอบด้วย จำนวนเตม็ ลบ ศนู ย์ และจำนวนเตม็ บวก
1.1.1 จำนวนเตม็ ลบ (Negative Integer (I+)) ได้แก่ {…, -3, -2, -1}
1.1.2 ศนู ย์
1.1.3 จำนวนเตม็ บวก (Positive Integer (I – )) หรอื จำนวนนบั (Counting
Number) ได้แก่ {1, 2, 3, …}

1.2 จำนวนตรรกยะท่ไี ม่ใช่จำนวนเตม็ (เศษสว่ น ทศนยิ มรจู้ บ ทศนยิ มซ้ำแบบรจู้ บ)

2. จำนวนอตรรกยะ (Irrational Number) คือจำนวนทไ่ี มส่ ามารถเขียนในรปู เศษส่วนของ
จำนวนเตม็ ทีต่ ัวส่วนไมเ่ ปน็ ศนู ย์ แต่จะเขียนไดใ้ นรูปทศนิยมไม่รู้จบแบบไมซ่ ้ำ และสามารถ

กำหนดคา่ โดยประมาณได้ เชน่ 2, 3,

2

สมบัตขิ องระบบจำนวนจรงิ
ให้ G เปน็ เซตใดๆภายใตก้ ารกระทำ (Operation) *
1. สมบตั ปิ ดิ (Closure property) เม่อื นำสมาชกิ ใดๆในเซต G มา * กนั แลว้ ผลลพั ธ์ทีไ่ ด้ยงั คง

เป็นสมาชกิ ในเซต G จะเรยี กวา่ G มสี มบตั ปิ ิดภายใตก้ ารกระทำ *

นน่ั คอื ถา้ a, b  G แลว้ a * b  G
เชน่ เซตของจำนวนเตม็ มสี มบตั ปิ ดิ ภายใหก้ ารบวก กลา่ วคือ จำนวนเตม็ บวกจำนวนเตม็
ยงั คงได้จำนวนเตม็

เซตของจำนวนตรรกยะมสี มบตั ิปดิ ภายใต้การบวก
เซตของจำนวนเตม็ บวกไมม่ สี มบตั ปิ ิดภายใตก้ ารหาร กล่าวคอื จำนวนเต็มหารด้วย
จำนวนเต็มไมจ่ ำเปน็ ตอ้ งได้จำนวนเตม็
2. สมบตั กิ ารสลบั (Commutative property)

a * b = b * a สำหรับ a, b G
3. สมบัตกิ ารเปลี่ยนกลุม่ (Association property)

a * (b * c) = (a * b) * c โดยท่ี a, b, c G
4. สมบตั กิ ารมเี อกลักษณ์ (Identity property)

ถ้า e  G โดยที่ e* a = a = a *e

สำหรับทกุ คา่ a  G จะเรียก e วา่ เอกลกั ษณ์ภายใตก้ ารกระทำ *
(ในแตล่ ะเซตถา้ มเี อกลกั ษณ์แลว้ จะมเี อกลกั ษณ์พยี งตัวเดียวเทา่ นัน้ )
เช่น ในเซตของจำนวนจรงิ 0 เป็นเอกลกั ษณภ์ ายใต้การบวก กลา่ วคอื สำหรบั ทกุ จำนวน
จรงิ a, a + 0 = a = 0 + a
เซตของจำนวนจรงิ มี1 เป็นเอกลกั ษณข์ องการบวก
เซตของจำนวนเตม็ บวกไมม่ เี อกลักษณ์ของการบวก เพราะ 0 ไมเ่ ปน็ จำนวนเต็มบวก
5. สมบตั กิ ารมอี ินเวอรส์ (Inverse property)

สำหรับทกุ ๆ สมาชิก a G จะต้องมี a – 1  G ซึ่งทำให้ a * a – 1 = e = a – 1*a
เรียก a – 1 วา่ อินเวริ ส์ ของ a ภายใตก้ ารกระทำ *

ขอ้ สงั เกต ถา้ เซตใดไม่มสี มบัตกิ ารมเี อกลกั ษณ์ จะไมม่ สี มบตั กิ ารมอี นิ เวอรส์ ด้วย
เช่น เซตของจำนวนจริง – 2 เปน็ อนิ เวอรส์ การบวกของ 2 เพราะ (–2)+ 2 = 0 = 2 + (–2)

Real Number 3

MATH4609

สมบตั ขิ องจำนวนจรงิ เกย่ี วกบั การบวกและการคณู
กำหนดให้ a, b และ c เป็นจำนวนจรงิ ใดๆ

PROPERTY ADDITION MULTIPLICATION
Close property
Commutative a+bR ab  R
property a+b=b+a ab = ba
Associative
property (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc)
Identity property
a+0=a=0+a a1 = a = 1a
Inverse property
0 เปน็ เอกลกั ษณ์ภายใต้การบวก 1 เปน็ เอกลกั ษณ์ภายใตก้ ารคูณ
Distributive
property Inverse การบวกของ a คอื – a Inverse การคูณของ a คือ 1
a + (– a) = 0 = (– a) + a
a

a 1 = 1 = 1 a เมื่อ a  0

aa

a(b + c) = ab + ac

สมบตั เิ ก่ยี วกบั การเทา่ กนั ของจำนวนจริง

มสี มบตั ขิ องการเท่ากันทเ่ี ป็นข้อตกลงพ้ืนฐาน 5 ขอ้ ต่อไปน้ี

ให้ a, b และ c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบตั กิ ารสะท้อน (Reflexive property) a = a

2. สมบัตสิ มมาตร (Symmetric property) ถ้า a = b แลว้ b = a

3. สมบัตกิ ารถา่ ยทอด (Transitive property) ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c

4. สมบตั กิ ารบวกด้วยจำนวนทเ่ี ทา่ กนั ถ้า a = b แลว้ a + c = b +c

5. สมบตั กิ ารคณู ด้วยจำนวนที่เทา่ กัน ถา้ a = b แลว้ ac = bc

นยิ าม การลบ เมื่อ a และ b เปน็ จำนวนจรงิ ใดๆ a – b = a + (– b)

การหาร เม่อื a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ a = a(b−1 )

b

จงพจิ ารณาข้อความต่อไปนี้ขอ้ ใดถูกหรือผดิ 4
1. 0 เป็นจำนวนนบั
11. มีจำนวนเตม็ ที่นอ้ ยท่สี ดุ ทม่ี ากกว่า 0
2. √9 + √16 เปน็ จำนวนตรรกยะ 12. มจี ำนวนเตม็ ท่ีมากท่ีสุดที่น้อยกว่า 0
13. จำนวนเต็มทกุ จำนวนเปน็ จำนวน
3. √0.0169 เปน็ จำนวนอตรรกยะ
ตรรกยะ
4. √0.144 เปน็ จำนวนอตรรกยะ 14. ถ้า x ไมใ่ ชจ่ ำนวนเต็มแล้ว x เป็น

5. 3.99999… เป็นจำนวนอตรรกยะ จำนวนอตตรกยะ
15. ถา้ x ไม่ใชจ่ ำนวนเต็มบวกแล้ว x
6.  เป็นจำนวนอตรรกยะ
เป็นจำนวนเตม็ ลบ
7. 0 เป็นจำนวนอตรรกยะ 16. Q – I+  I
17. [R – (I – N)]  I
π 18. R–[(Q – I) (I – N)  Q] = N

8. √2√18 เป็นจำนวนตรรกยะ

9. มีจำนวนตรรกยะทน่ี อ้ ยทสี่ ุดท่ี
มากกวา่ 0

10. มจี ำนวนอตรรกยะทนี่ ้อยทส่ี ุดท่ี
มากกวา่ 0

จงพจิ ารณาเซตต่อไปน้มี สี มบัตปิ ดิ ภายใต้การกระทำใดบา้ ง การหาร

สมบตั ิปิด
การบวก การลบ การคูณ
เซตของจำนวนจรงิ ลบ
เซตของจำนวนเตม็ บวก
เซตของจำนวนเตม็ ลบ
เซตของจำนวนเตม็ คู่
เซตของจำนวนเตม็ คี่
เซตของจำนวนเต็มท่หี ารด้วยสามลงตวั
เซตของจำนวนตรรกยะ
เซตของจำนวนอตรรกยะ

Real Number 5

MATH4609

แบบฝกึ หัด

1. กำหนด การกระทำ * และ a *b = a + b – 3 เมื่อ a, b  R
จงหาคา่ ของ (2 *4)*6

2. กำหนด การกระทำ * และ a *b = 2a + 3b – 4 เม่อื a, b  R
จงหาค่าของ (2 *1)*(– 1)

3. กำหนด การกระทำ * และ a *b = 2 − เมอื่ a, b  R
3
จงหาคา่ ของ (2 *1)*(– 1)

4. กำหนด การกระทำ * และ a *b = a + b – 5 เมอื่ a, b  R
จงหาค่าของ (4 *7)*x = 6

5. กำหนด การกระทำ * และ a *b = 2 −3 เม่อื a, b  R
5
จงหาค่า x ทที่ ำให้ (2 *x)*(1) = 2

6

6. จงตรวจสอบสมบัติ ปดิ สลบั ที่ เปล่ยี นกลมุ่ เอกลกั ษณ์ และ อนิ เวอรส์ ของการกระทำ
ต่อไปนี้
6.1 a * b = a + b – 1 เมอ่ื a, b R

6.2 a * b = 4 – a – b เม่อื a, b R

6.3 a * b = 2a + b เมอ่ื a, b R

6.4 a * b = a + b – ab เม่ือ a, b R

6.5 a * b = 2ab + b + a เม่อื a, b R

Real Number 7

MATH4609

6.6 a * b = ab เมอื่ a, b R

2

6.7 a * b = ( )2 เมื่อ a, b R
4

6.8 a * b = a + b เม่ือ a, b R

2

6.9 a * b = a + b เมอ่ื a, b  R – {0}

ab

8

7. กำหนด x เปน็ อินเวอร์สการบวกของ 4 ภายใต้การกระทำ * และ a * b = a + b – 5
เมอ่ื a, b  I จงหา x * 2

8. กำหนด x เป็นอนิ เวอรส์ การบวกของ 5 ภายใตก้ ารกระทำ * และ a * b = 3 + a + b
เมื่อ a, b  I จงหา (2x * 3) * 1

9. กำหนด x เปน็ อินเวอรส์ ของ 2 ภายใต้การกระทำ * และ a*b = a + b – 2 เมอื่ a,
bR
Y เปน็ อินเวอรส์ ของ 8 ภายใตก้ ารกระทำ  และ a  b = ab เม่ือ a, bR

4

จงหาคา่ ของ (x*y) 2y

10. กำหนด x เปน็ อินเวอรส์ ของ – 6 ภายใตก้ ารกระทำ * และ a*b = a + b + 4 เมอื่ a,
bR
Y เป็นอนิ เวอร์สของ 8 ภายใตก้ ารกระทำ  และ a  b = เมอ่ื a, bR

2

จงหาคา่ ของ (x*2y) y

Real Number 9

MATH4609

11. ให้ N แทนเซตของจำนวนนบั กำหนดให้ a*b = a + b สำหรับ a,b  N ข้อใด
ตอ่ ไปน้ถี ูกตอ้ ง
a) (a*b)*c = a*(b*c) สำหรบั a,b,c N
b) a*(b+c) = (a*b) + (a*c) สำหรบั a,b,c N

12. ให้ N แทนเซตของจำนวนนบั กำหนดให้ a*b = ab สำหรบั a,b  N ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
ถูกต้อง สำหรับ a,b,c N
a) a*b = b*a
b) (a*b)*c = a*(b*c)
c) a*(b + c) =(a*b) + (a*c)
d) (a + b)*c = (a*c) +(b*c)

13. กำหนดให้ x*y = (x+1)(y+1) – 1 ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีผิด
a) (x-1)*(x+1) = (x*x) -1
b) x*(y+2) = (x*y) + (x*2)
c) x*(y*2) = (x*y)*2
d) x*(x*y) = (x+1)(x*y) +x

10

14. สำหรบั x และ y เปน้ จำนวนจรงิ บวกใด ๆ กำหนดให้ x*y เป็นจำนวนจรงิ บวก ทมี่ สี มบัติ
ตอ่ ไปน้ี
i) x*(xy) = (x*x)y
ii) x*(1*x) = 1*x
iii) 1*1 =1
จงหาคา่ ของ 2*(5*(5*6))

15. สำหรบั x และ y เปน้ จำนวนจรงิ ท่ีไม่ใช่ 0 นยิ าม x * y =  x xy y ,x + y 0
 +

 0 , x + y = 0

ถ้า a, b และ c เป็นจำนวนจริงท่ไี มใ่ ช่ 0 โดยที่ a*b =1, a*c = 2 และ b*c = 3

แล้วขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ถกู ต้อง

a) a + b < c

b) a < b +c

c) a < b < c

d) b < c < a

e) c < a < b

Real Number 11

MATH4609

สมบตั ิตา่ งๆของจำนวนจริง
ทฤษฎบี ทท่ี 1 (การตดั ออกสำหรบั การบวก) เมอ่ื a, b และ c เป็นจำนวนจรงิ ใดๆ

ถา้ a + c = b + c แล้ว a = b
ถา้ a + b = a + c แลว้ b =c

ทฤษฎบี ทที่ 2 (การตัดออกสำหรบั การคณู ) เมอ่ื a, b และ c เปน็ จำนวนจริงใดๆ
ถ้า ac = bc แลว้ a = b เมอื c  0
ถ้า ab = ac แล้ว b =c เมอื a  0

ทฤษฏีบทท่ี 3 เมือ่ a เปน็ จำนวนจรงิ ใดๆ a0 = 0

ทฤษฏีบทที่ 4 เมือ่ a เป็นจำนวนจรงิ ใดๆ (– 1)a = – a

ทฤษฏบี ทท่ี 5 เมอ่ื a, b และ c เป็นจำนวนจรงิ ใดๆ ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรอื b = 0

ทฤษฏบี ทท่ี 6 เมอ่ื a, b และ c เป็นจำนวนจรงิ ใดๆ
1. a(– b) = – ab
2. (–a)b = –ab
3. (–a)( –b) = ab

12

ทฤษฏีบทท่ี 7 เมอ่ื a, b และ c เป็นจำนวนจรงิ ใดๆ
1. a(b – c) = ab – ac

2. (a – b)c = ac – bc
3. (– a)(b – c) = – ab + ac

( )ทฤษฏบี ทที่ 8 เมอ่ื a, b และ c เป็นจำนวนจรงิ ใดๆ และ c  0a

b a
=

c bc

ทฤษฏบี ทที่ 9 เมอ่ื a, b และ c เปน็ จำนวนจรงิ ใดๆ และb, c  0 a = ac

b bc

ทฤษฏีบทที่ 10 เมื่อ a, b และ c เปน็ จำนวนจรงิ ใดๆ และ b, d  0 a + c = ad + cb

bd bd

Real Number 13

MATH4609

ทฤษฏบี ทท่ี 11 เมื่อ a, b และ c เปน็ จำนวนจรงิ ใดๆ และ b, d  0  a   c  = ac
 b   d  bd

ทฤษฏีบทที่ 12 เมือ่ a, b และ c เปน็ จำนวนจรงิ ใดๆ และ b, c  0  b −1 = c
 c  b

ทฤษฏีบทที่ 13 เมอ่ื a, b และ c เปน็ จำนวนจรงิ ใดๆ และ b, c  0 a ac
=
( )b b
c

( )ทฤษฏบี ทท่ี 14 เม่อื a, b และ c เป็นจำนวนจรงิ ใดๆ และ b,c, d  0 a

b ad
=
( )c bc
d

14

การแก้สมการตวั แปรเดยี ว
ทฤษฎีเศษเหลอื (Remainder Theorem)

เมอ่ื P(x) คอื พหุนาม a xn + a xn−1 + a xn−2 + a x+a โดยท่ี n I และ an, an –
n n−1 n−2 10

1, …a1, a0 เป็นสมั ประสทิ ธข์ิ องพหนุ ามที่เปน็ จำนวนจรงิ โดยท่ี an  0

ถ้าหารพหนุ าม P(x) ดว้ ย x – c เมอ่ื c เป็นจำนวนจรงิ ใดๆแลว้ เศษจะเท่ากับ P(c)

ตวั อยา่ ง จงหาเศษจากการหาร 4x4 − 2 x3 + x2 − 2x + 3 ด้วย x – 1

จาก P(x) = 4x4 − 2 x3 + x2 − 2x + 3
ดงั น้ัน เศษจากการหาร P(x) ดว้ ย x – 1 เทา่ กับ P(1) = 4 – 2 + 1 – 2 + 3 = 4

ทฤษฎีบทตวั ประกอบ (Factor Theorem)

เมือ่ P(x) คอื พหุนาม a xn + a xn−1 + a xn−2 + a x + a โดยท่ี n  I และ
n n−1 n−2 10

an, an – 1, …a1, a0 เปน็ สมั ประสทิ ธข์ิ องพหุนามทเ่ี ป็นจำนวนจริงโดยที่ an  0

พหุนาม P(x) จะมี x – c เป็นตัวประกอบก็ตอ่ เมื่อ P(c) = 0

เราสามารถนำทฤษฎีบทเศษเหลอื และทฤษฎีตัวประกอบมาช่วยในการแยกตัวประกอบของพหนุ าม ซง่ึ
ทฤษฎบี ทดงั กล่าวใช้ได้ในกรณที สี่ มั ประสิทธ์ิของพหนุ ามเป็นจำนวนจริงใดๆ ในทีน่ ้ีเราจะแยกตัว

ประกอบท่ีสัมประสทิ ธเิ์ ปน็ จำนวนเต็มเทา่ นั้น โดยจะแยกพจิ ารณาเปน็ 2 กรณี คือ an = 1 และ an  1

กรณี an = 1 การแยกตวั ประกอบของพหุนาม P(x) โดยทฤษฏีบทเศษเหลือทำดังนี้

1. หาตัวประกอบ c ของ a0
2. นำค่าที่ไดจ้ ากขอ้ หน่ึงแทนใน P(x) หาตวั ประกอบ c ทท่ี ำให้ P(c) = 0
3. จากข้อสอง เราจะไดว้ ่า x – c เปน็ ตัวประกอบของพหนุ าม แลว้ นำ x – c ไปหารพหนุ าม

P(x) ผลหารท่ีไดจ้ ะเป็นพหนุ ามท่ีมีดีกรตี ่ำกว่า P(x) อยหู่ นึ่ง
4. ถ้าผลหารจากข้อ 3 ยังดีกรีสูงกวา่ สอง และสามมารถแยกออกเป็นตัวประกอบไดอ้ ีกก็ให้

แยกต่อไปอกี โดยวิธีตามขอ้ 1, 2 และ 3 แตถ่ า้ ไดผ้ ลลัพธ์ที่เปน็ พหุนามดกี รสี องกแ็ ยกเป็น
สองวงเลบ็ ปกติ
ตัวอยา่ ง จงแยกตวั ประกอบของ x3 – 2x2 – 5x + 6
วธิ ีทำ ให้ P(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6 ตวั ประกอบทัง้ หมดของ 6 คือ 1,  2,  3,  6

ลองแทน x = 1 ใน P(x) จได้ P(1) = 1 – 2 – 5 + 6 = 0 แสดงวา่ x – 1 เปน็ ตวั ประกอบของ
P(x)

ดงั น้นั (x3 – 2x2 – 5x + 6)  (x – 1) = x2 – x – 6
ดงั นั้น (x3 – 2x2 – 5x + 6) = (x – 1) (x2 – x – 6) = (x – 1) (x – 3)(x + 2)

Real Number 15

MATH4609

แบบฝึกหัด

จงแยกตวั ประกอบของ 8. x3 – 4x2 – 17x + 60
1. x3 + x2 – 8x – 12

2. x3 + 7x2 + 7x – 15 9. x3 + 5x2 – 18x – 72

3. x3 – 4x2 – 4x + 16 10. x3 + 5x2 – 16x – 80

4. x3 + 2x2 – 9x – 18 11. x3 + 3x2 – 36x – 108

5. x3 + 3x2 – 10x – 24 12. x3 + 8x2 – 16x – 128

6. x3 – x2 – 26x – 24 13. x3 – 6x2 – 25x + 150

7. x3 + 3x2 – 18x – 40 14. x4 + x3 – 7x2 – x + 6

15. x4 – x3 – 6x2 + 4x + 8 16

22. x4 – 2x3 – 23x2 + 24x + 144

16. x4 + 4x3 + 16x – 16 23. x4 – 27x 2 + 14x + 120

17. x4 + 3x3 – 7x2 – 27x – 18 24. x4 – 27x 2 + 14x + 120

18. x4 – 6x3 + 5x2 + 24x – 36 25. x5 – 2x4 – 6x3 + 4x2 + 13x + 6

19. x4 + 7x3 + 8x2 – 28x – 48 26. x5 + x4 – 9x3 – 13x2 + 8x + 12

20. x4 + 3x3 – 12x2 – 52x – 48 27. x5 + 2x4 – 9x3 – 14x2 + 20x + 24

21. x4 + 6x3 – x2 – 54x – 72 28. x5 + 8x4 + 13x3 – 22x2 – 68x – 40

Real Number 17

MATH4609

กรณี an  1 การแยกตัวประกอบของพหุนาม P(x) เราจะหาตัวประกอบที่เป็นพหุนามดีกรีหนึ่งท่ี
อย่ใู นรปู − เม่อื k, m  I, m  0 จากข้างตน้ พหุนาม P(x) จะมี − เป็นคำตอบก็



ต่อเม่ือ ( ) = 0 การพิจารณาคา่ k, m อาจใช้ทฤษฏบี ทตอ่ ไปน้ี


ทฤษฎีบทตวั ประกอบตรรกยะ

เมือ่ P(x) คือพหุนาม a xn + a xn−1 + a xn−2 + a x+a โดยท่ี n  I และ an,
n n−1 n−2 10

an – 1, …a1, a0 เปน็ สมั ประสทิ ธ์ขิ องพหนุ ามทเี่ ปน็ จำนวนจรงิ โดยท่ี an  0

ถา้ − เปน็ ตัวประกอบของพหนุ าม P(x) โดยท่ี k และ m เปน็ จำนวนเตม็ ท่ี m  0


และ ห.ร.ม. ของ k และ m เทา่ กบั 1 โดยที่ k เป็นตัวประกอบของ a0 และ m เป็นตัวประกอบของ

an

ดังนนั้ การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามทำไดด้ ังน้ี

1. หา โดยที่ k เป็นตัวประกอบของ a0 และ m เป็นตวั ประกอบของ an และ ห.ร.ม. ของ k

และ m เท่ากบั 1

2. นำค่า ที่ไดใ้ นข้อ 1 ไปแทนในพหุนาม P(x) ถา้ ( ) = 0 แสดงวา่ − เปน็

ตัวประกอบของพหุนาม (แต่ถา้ ไมม่ ี ทที่ ำให้ ( ) = 0 แสดงวา่ พหนุ าม P(x) ไม่มีตัว

ประกอบทเี่ ป็นพหนุ ามดกี รหี นง่ึ ท่ีอยใู่ นรปู − ซง่ึ เรยี กว่าตัวประกอบตรรกยะ)


3. นำ − ไปหารพหนุ าส P(x) ผลหารท่ีได้จะเป็นพหุนามทมี่ ดี ีกรตี ำ่ กวา่ P(x) อยหู่ น่ึง


4. ถ้าผลหารจากขอ้ 3 ยงั ดีกรีสูงกว่าสอง และสามมารถแยกออกเป็นตวั ประกอบไดอ้ ีกกใ็ ห้

แยกตอ่ ไปอกี โดยวิธตี ามขอ้ 1, 2 และ 3 แตถ่ า้ ได้ผลลพั ธ์ท่เี ป็นพหนุ ามดกี รสี องก็แยกเป็น

สองวงเลบ็ ปกติ

ตวั อยา่ ง จงแยกตวั ประกอบของ 2x3 + 3x2 – 8x + 3
วธิ ที ำ ให้ P(x) = 2x3 + 3x2 – 8x + 3

k (ตัวประกอบทง้ั หมดของ 3): 1,  3 k 13
=  1,  3,  , 
m (ตวั ประกอบทงั้ หมดของ 2): 1,  2 m 22

ลองแทน x = 1 ใน P(x) จได้ P(1) = 2 + 3 – 8 + 3 = 0 แสดงว่า x – 1 เปน็ ตวั ประกอบของ P(x)

ดงั นั้น (2x3 + 3x2 – 8x + 3)  (x – 1) = 2x2 + 5x – 3
ดังนั้น (2x3 + 3x2 – 8x + 3) = (x – 1) (2x2 + 5x – 3) = (x – 1) (2x – 1)(x + 3)

18

จงแยกตัวประกอบของ 7. 6x3 + 7x2 – 9x + 2
1. 2x3 – 3x2 – 2x + 3
2. 2x3 + x2 – 5x + 2 8. 6x3 + 11x2 –4x – 4
3. 2x3 – 3x2 – 17x + 30
4. 4x3 + 4x2 – x – 1 9. 6x3 – 17x2 – 26x – 8
5. 4x3 + 4x2 – 11x – 6
6. 4x3 + 8x2 – 15x – 9 10. 12x3 – 8x2 – 13x – 3

11. 12x3 + 13x2 – 13x – 12

12. 12x3 + 40x2 + 41x + 12

13. 15x3 – 29x2 – 4x + 4 Real Number 19

MATH4609

17. 9x4 – 3x3 + 34x2 – 12x – 8

14. 20x3 – 19x2 – 13x + 12 18. 12x4 + 128x3 + 181x2 + 6x – 27

15. 4x4 + 5x3 – 34x2 + 37x – 12 19. 6x5– x4 – 15x3 + 5x2 + 9x – 4

16. 4x4 – 8x3 – 61x2 + 2x + 15 20. 6x5+ 11x4–14x3 – 45x2 – 34x – 8

แบบฝกึ หัด

1. กำหนดให้ a เปน็ คา่ คงตวั P(x) = x3– ax2 + 2x + 4 ถา้ P(x) หารดว้ ย x – 1 ได้เศษเหลือ
เท่ากับ 5 แล้ว ( + 1)มีคา่ เทา่ กับเท่าใด

20

2. กำหนดให้ a เป็นคา่ คงตวั P(x) = x3– 3x2 + x + 5 ถ้า P(x) หารดว้ ย x – 2 ได้เศษเหลือ
2
เท่ากับ 7 แลว้ ( + 2)มคี า่ เท่ากบั เทา่ ใด
3

3. กำหนด P(x) = x4 – ax2 – x + b เมือ a, b R ถ้า x – 1 หาร P(x) เหลือเศษ – 2 และ x
+ 1 หาร P(x) เหลอื เศษ 2 แล้ว x หาร P(x) เหลอื เศษเท่าใด

4. กำหนด P(x) = x3 + ax2 + bx + 2 เมอื a, bR ถ้า x – 1 และ x – 3 ต่างหาร P(x) เหลอื
เศษ 5 จงหาเศษจากการหาร x3 – 5x2 + 3x – 2 ด้วย x – a + b

5. กำหนด f(x) = x3 + kx2 + mx + 4 เมอื k, mR ถ้า x – 2 เปน็ ตัวประกอบหนงึ่ ของ f(x)
และ เมอื่ นำ x + 1 ไปหาร f(x) เหลือเศษ 3 จงหาคา่ สมั บรู ณ์ของ k + m

6. กำหนด 4x4 – 21x2 + 26x – 17 หารด้วย x – 4 เหลือเศษ a และ 3x3 + 13x2 + 11x +
5 หารดว้ ย x + 3 เหลอื เศษ b จงหาเศษจากการหาร x3 – ax2 + bx – 2 ดว้ ย x – 1

Real Number 21

MATH4609

7. กำหนดให้ x – 1 และ x + 1 เป็นตัวประกอบของพหนุ าม P(x) = 3x3 + x2 – ax + b เมอื
a, b เป็นคา่ คงท่ี จงหาเศษจากการหาร P(x) ด้วย x – a – b

8. ให้ P(x) = x3 + ax2 + bx + 10 เม่ือ a, b เป็นจำนวนเต็ม และ Q(x) = x2 + 9 ถา้ Q(x)
หาร P(x) เหลือเศษ 1 แลว้ P(a) + P(b) มีค่าเท่ากับเท่าใด

9. ให้ a, bI ถ้า x – a หาร x3 – 2x2 – x + 7 เหลอื เศษ 5 และ x – b หาร x3 – 7x + 9 เหลอื
เศษ 3 ผลบวกของ a ท้ังหมดทเ่ี ปน็ ไปได้ มคี า่ มากกว่าผลบวกของ b ทงั้ หมดท่ีเปน็ ไปได้อยู่
เท่าใด

10. ให้ a และ b เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ x2 + ax + b หาร x3 – 3x2 + 5x + 7 มเี ศษเหลอื
เท่ากับ 10 จงหาค่าของ a + b

22

11. กำหนด P(x) = x3 + ax2 + bx + 10 เมือ a, b เปน็ จำนวนเต็ม และ Q(x) = x2 + 9 ถา้
Q(x) หาร P(x) เหลอื เศษ 1 แลว้ P(a) + P(b) มคี า่ เท่ากับเท่าใด

12. ให้ A = {a| a = y, y เปน็ คำตอบของสมการ x6 – 6x5 + 8x4 + 10x3 – 21x2 – 4x +12 = 0}
จงหาผลบวกของสมาชิกทกุ ตัวใน A

13. กำหนให้ A = { x| x4 – 6x3 + 11x2 – 6x = 0} และ
B = {b| b เปน็ เศษจากกาหาร x3 – 5x2 + 4x + 1 ด้วย x – c เมื่อ – 2  c  2}
จงหา A  B

สมบัตกิ ารไมเ่ ท่ากัน (Inequality Property)
นยิ าม 1 สมาชกิ ของ R+ เรียกว่า จำนวนบวก และถา้ – a  R+ เราเรยี ก a ว่า จำนวนลบ
นยิ าม 2 a < b หมายความว่า b – a  R+, a > b หมายความวา่ a – b  R+
สมบตั ไิ ตรวภิ าค (Trichotomy Property) ถ้า a และ b เป็นจำนวนจรงิ แลว้ a = b, a
< b และ a > b จะเป็นจริงเพียงอย่างใดอย่างหน่งึ เทา่ นั้น
ทฤษฎีบท 1 สมบตั กิ ารถา่ ยทอด

ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c

ทฤษฎบี ท 2 Real Number 23

MATH4609

สมบตั กิ ารบวกเขา้ ด้วยจำนวนทีเ่ ท่ากัน
ถา้ a > b แล้ว a + c > b + c เมอื่ c เปน็ จำนวนจรงิ ใดๆ

ทฤษฎีบท 3 จำนวนบวกและจำนวนลบเปรียบเทยี บกบั 0

a เปน็ จำนวนบวก ก็ต่อเมือ่ a > 0
a เปน็ จำนวนลบ กต็ ่อเมื่อ a < 0

ทฤษฎีบท 4 สมบัตกิ ารคูณเขา้ ด้วยจำนวนเทา่ กนั ท่ีไม่เปน็ 0
1) ถา้ a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc

2) ถา้ a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc

ทฤษฎบี ท 5 สมบัตกิ ารตดั ออกเนอ่ื งจากการบวก
ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b

ทฤษฎีบท 6 สมบตั กิ ารตัดออกเน่ืองจากการคูณ
1) ถา้ ac > bc แล้ว c > 0 และ a > b
2) ถ้า ac < bc แล้ว c < 0 และ a < b

ทฤษฎบี ท 7 ให้ a, b, c  R

1) ถา้ a < b และ c < d แลว้ a + c < b + d
2) ถ้า a < b และ c < d แล้ว a – d < b – c

ทฤษฎบี ท 8 ให้ a, b, c  R
1) ถา้ 0 < a < b แล้ว 1 > 1



2) ถ้า a < b < 0 แล้ว 1 > 1


ทฤษฎบี ท 9 ให้ a, b, c  R ถ้า 0 < a < b และ ถ้า 0 < c < d แลว้
1) ac < bc
2) <



24

ทฤษฎบี ท 10 ให้ a, b, c  R ถ้า a < b < 0 และ ถา้ c < d < 0 แลว้

1) ac > bc
2) >



นยิ าม 3 a  b หมายถงึ a ไมม่ ากกวา่ b
หมายเหตุ a  b หมายถงึ a ไมน่ ้อยกวา่ b
a < b < c หมายถงึ a < b และ b < c
a  b  c หมายถงึ a  b และ b  c

a < b  c หมายถึง a < b และ b  c

a  b อา่ นวา่ a น้อยกวา่ หรอื เทา่ กับ b
a  b อา่ นว่า a มากกว่าหรือเท่ากบั b

ช่วง (Interval)
นิยาม เมอื่ เอกภพสมั พทั ธ์เปน็ เซตของจำนวนจรงิ และ a < b

ช่วงเปิด ( a , b ) หมายถงึ { xa < x < b }
ช่วงปิด [ a , b ] หมายถึง { xa < x < b }
ชว่ งครงึ่ เปิด ( a , b ] หมายถงึ { x a < x < b }
ชว่ งครง่ึ เปดิ [ a , b ) หมายถึง { x a < x < b }
ช่วงอนนั ต์ ( a ,) หมายถึง { xx > a }

[ a , ) หมายถงึ { xx > a }
(– , a ) หมายถงึ { xx < a }
(–, a ] หมายถึง { xx < a }
(–  ,  ) หมายถึง เซตของจำนวนจรงิ

ตวั อย่าง จงเขยี นชว่ งต่อไปนี้ใหอ้ ยู่ในรปู เซตพรอ้ มทงั้ แสดงแผนภาพบนเสน้ จำนวน

1. (– 2, 7) 4. (– 4, 5]

2. [3, 8] 5. (– , 5]

3. [– 1, 9) 6. (– 2, )

Real Number 25

MATH4609

ตวั อย่าง ถา้ A = [– 3, 5) , B = (– 1, 7] และ C = (–5, 3) จงเขียนเซตตอ่ ไปนใ้ี ห้อยูใ่ นรปู ชว่ ง
1. A  B  C
2. A  B  C
3. A  B  C
4. (A  B)  C
5. (A  B)  C

ตัวอย่าง ถ้า A = [– 6, ) , B = (– , 7] และ C = (–3, 5] จงเขียนเซตตอ่ ไปนีใ้ ห้อยู่ในรูป
ช่วง
1. (A  B)  C
2. (A  B)  C
3. (A – B)  (C – B)
4. (A – C)  B
5. (A B)  C
6. (A – C)  (C  B) 
7. (A  C)  (C  B) 

ตัวอยา่ ง กำหนดช่วง (a, b) และ (c, d) มีจดุ รว่ มกนั แลว้ พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนีถ้ ูกหรอื ผดิ
1. ถา้ a < c และ b < d แล้ว c < d
2. ถา้ a < c และ d < b แล้ว c < b
3. ถา้ a > c และ b > c แลว้ d < a
4. ถา้ a > c และ b < d แล้ว b > c

26

อสมการ (Inequality)
เซตคำตอบของอสมการ คอื เซตทม่ี สี มาชิกเปน็ จำนวนจรงิ โดยทจ่ี ำนวนเหล่าน้ันเมอ่ื

นำไปแทนคา่ x ในอสมการแล้วทำใหอ้ สมการเปน็ จริง การแก้อสมการ คอื การหาเซตคำตอบของ
อสมการ
หลักการแกอ้ สมการ ลำดบั การแกอ้ สมการทำได้ดงั น้ี

1. ทำขา้ งใดข้างหนึง่ ให้เป็นศนู ย์
2. แยกตัวประกอบ สมมุติแยกได้ (x – a)(x – b)(x – c) เม่อื a < b < c
3. นำค่าวกิ ฤต (คา่ วกิ ฤต คือ คา่ ทีแทนใน x แลว้ ทำใหแ้ ต่ละ factor เปน็ ศูนย์)
4. นำคา่ วิกฤตที่ได้มาเขียนบนเส้นจะนวน แล้วใหช้ อ่ งขวาสดุ เปน็ + ถดั มาดา้ นซ้ายเปน็ –

แล้วก็สลับบวก ลบ บวก ไปเรื่อยๆ
– + –+
abc

5. ถ้าโจทยเ์ ปน็ (x – a)(x – b)(x – c) < 0 ให้ตอบช่องท่เี ปน็ ลบ (x < a หรือ b < x < c)
แต่ถ้า (x – a)(x – b)(x – c) > 0 ใหต้ อบชอ่ งท่เี ป็นบวก (a < x < b หรอื x > c)
แต่ถ้าโจทย์มเี ครื่องหมายเท่ากบั รวมอยู่ด้วยคำตอบก็จะมีเคร่ืองหมายเทา่ กบั อยูด่ ้วย

ข้อสงั เกต และข้อระวงั

1. วธิ ีการน้ที ำได้เฉพาะเมอื่ สมั ประสทิ ธิ์ของ x ในแตล่ ะวงเลบ็ เป็นบวกเท่านน้ั

2. ในกรณีทำเปน็ การหาร ใหใ้ ช้วิธกี ารเดยี วกัน แตต่ อ้ งระวงั ว่าตวั หารตอ้ งไมเ่ ปน็ ศนู ย์

3. ในกรณที ่แี ยกตวั ประกอบไมไ่ ด้ ต้องทำใหอ้ ยูใ่ นรูปกำลงั สองสมบรณู ์

4. เมอ่ื นำจำนวนจรงิ ใดๆคณูทง้ั สองขา้ งอสมการตอ้ งระวงั ถ้านำจำนวนบวกคูณทงั้ สองข้าง
เครอ่ื งหมายอสมการจะเหมือนเดมิ แตถ่ า้ นำจำนวนลบคณทู ง้ั สองข้างเครอื่ งหมายจะเปลยี่ น

5. ถา้ ไมแ่ นใ่ จวา่ ตวั ท่คี ูณเปน็ บวกหรอื ลบห้ามคูณเดด็ ขาด

6. ห้ามยกกำลงั สองทง้ั สองข้างของอสมการ ยกเวน้ ทง้ั สองขา้ งอสมการนนั้ เปน็ บวกทง้ั สองข้าง
(แต่ถา้ ทง้ั สองข้างของอสมการเป็นเปน็ ลบยกกำลงั สองแลว้ เครอ่ื งหมายจะเปลยี่ น)

ตัวอย่าง 1 จงแกอ้ สมการ x3 + 4x2 + x – 6 < 0
วธิ ีทำ แยกตัวประกอบได้ (x – 1)(x + 2)(x + 3) < 0 จดุ วิกฤตคือ – 3, – 2, 1

– + –+
–3 –2 1
ดังนัน้ คำตอบของอสมการคอื x < – 3 หรอื – 2 < x < 1

หรืออาจตอบในรปู ชว่ ง (– , – 3)  (– 2, 1)

Real Number 27

MATH4609

ตัวอยา่ ง 2 จงแก้อสมการ x2 − 2x − 8  0

x +1

วธิ ีทำ แยกตวั ประกอบได้ (x − 4)(x + 2)  0 , x  − 1

x +1

นำ (x + 1)2 คณู ทงั้ สองข้างของอสมการจะได้ (x – 4)(x + 2)(x + 1)  0, x  0
จดุ วกิ ฤตคือ 4, – 2, – 1

–+ – +

–2 –1 4

ดังน้ัน คำตอบของอสมการคือ – 2  x < 1 หรือ x  4

หรอื อาจตอบในรูปชว่ ง [– 2, 1)  [4, )

ตวั อยา่ ง 3 จงแก้อสมการ x2 + 2x + 5 > 0

วิธที ำ จะเห็นวา่ เราไมส่ ามารถแยกตัวประกอบได้ดงั นนั้ จึงใช้กำลงั สองสมบรูณ์
(x + 1)2 + 4 > 0 ซึ่งเป็นจรงิ เสมอไม่วา่ แทน x เปน็ อะไรกต็ าม

ดงั นนั้ คำตอบของอสมการ คือ จำนวนจรงิ

ตัวอย่าง 4 จงแกอ้ สมการ x2 + 4x + 6 < 0

วธิ ีทำ จะเห็นวา่ เราไมส่ ามารถแยกตัวประกอบได้ดงั นน้ั จึงใช้กำลงั สองสมบรณู ์
(x + 2)2 + 2 < 0 ซึง่ เปน็ ไปไม่ได้

ดงั นัน้ อสมการนไี้ มม่ ีคำตอบทเ่ี ปน็ จำนวนจริง

แบบฝกึ หดั

1. x2 – 5x – 6  0

2. 6x2 – 5x – 4 < 0

3. x2 – 2x – 48  0

28

4. x2 + 8x – 84 > 0
5. 18 – 7x – x2 > 0
6. x2 – 6x + 15 > 0
7. 4x2 – 6x + 15 > 0
8. 4x2 – 12x + 9 > 0

9. 9x2 – 12x + 16  0
10. x3 – x2 – x + 1 > 0
11. x3 – 7x + 6  0

Real Number 29

MATH4609

12. x3 + 3x2 – 9x – 27  0
13. x3 – 3x2 + 4  0
14. x3 – 5x2 + 3x + 9 > 0
15. 2x3 + 5x2 + x – 2 < 0
16. 4x3 + 4x2 – 11x – 6  0
17. x4 + 3 x3 – 3x2 – 11x – 6 > 0

30

18. x4 – 5x3 + 5x2 + 5x – 6  0

19. (x – 1)2(x + 3)3(x – 2)5  0
20. (x – 2)4(x + 2)5(x – 4)3 > 0
21. (x + 3)6(x – 2)5(x + 4)7 < 0
22. (x + 2)3(x – 2)4(x + 5)5 < 0
23. x3 – 4x2 – 11x – 6  0
24. x3 – x2 – 16x – 20 < 0

Real Number 31

MATH4609

25. x4 – 6x3 + x2 + 24x + 16  0
26. x4 – 2x3 – 11x2 + 12x + 36 > 0
27. x (x2– 3x–16)  12
28. (x2 – 1)(x2 – 3)  15

29. x2 − 36  0

x +1

30. 2+9 +14 < 0
−3

32

31. 2−2 −8 ≥ 0
+4

32. x2 − 4x − 5 0

x2 −1

33. x2 − 9  0

2−x

34. x4 − 13x2 + 36  0

x2 + 5x + 6

35. 2+2 +1 ≥0
2−4 2+4

Real Number 33

MATH4609

36. 2−6 +9 ≥0
2−2 2+1

37. 4−8 2+16 ≥0
4−5 2+4

38. x3 + 6 x2 + 11x + 6  0

x+2

39. x3 − 5x2 − x + 5  0

x2 − 4x − 5

40. ( x2 − 3x − 10)( x2 + x − 6)  0

x2 − 2 x − 15

34

41. x2 − 6x + 9
0
x2 + x

42. ( x2 − 2 x − 143)( x2 + 2 x + 1)
0
x2 − 11x − 26

43. ( x2 − 4 x + 4)( x2 − 6 x + 9)
0
x2 + 5x + 4

44. x20 ( x2 − 4)29 ( x + 1)32

0
( x − 3)18 ( x + 8)42

Real Number 35

MATH4609

45. 1

1

x

46. 1  2

2−x

47. 2 ≥ 4

−2

48. 2 ≥ 1

+1 −2

36

49. 3 ≥ 1

−1 +2

50. 5 − 6  7

x +1 x −3

51. x  x+2

x2 − 3x + 2 x2 − 1

52. x3 − x + 1
x3 − 1  1

Real Number 37

MATH4609

53. x3 − 3x2 − 10
6

x−3

54. 7 − 6 5
x −1 x2 −1

55. 4x − 17 + 10x − 13  8x − 30 + 5x − 4

x − 4 2x − 3 2x − 7 x − 4

38

ค่าสมั บรู ณ์ (Absolute Values)

นิยาม ให้ a เป็นจำนวนจรงิ ค่าสมั บูรณ์ของ a เขยี นแทนดว้ ย a

โดยที่ a =  a เมื่อ a  0
 0 เมื่อ a = 0

− a เม่ือ a  0

มที ฤษฎีบททีน่ ่าสนใจเก่ียวกบั ค่าสัมบรู ณ์ ดงั น้ี

ให้ x และ y เป็นจำนวนจรงิ ใดๆ

1. x  0

2. x = –x

3. xy = xy
x x
4. y = y ;y0

5. x2 = x2 = x2

6. x2 = x

7. x – y = y – x

8. ถ้า x = y แลว้ x = y หรอื x = – y

9. x + y  x + y

10. x – y  x – y

11. x  y ก็ตอ่ เม่อื x2  y2

12. x < y กต็ อ่ เม่อื x2 < y2

13. และเมอื่ a  R+ แลว้

13.1 x < a มคี วามหมายตรงกบั –a < x < a

13.2 x  a มคี วามหมายตรงกบั –a  x  a

13.3 x > a มีความหมายตรงกับ x > a หรอื x < – a

13.4 x  a มีความหมายตรงกบั x  a หรอื x  – a

Real Number 39

MATH4609

แบบฝกึ หดั

1. 2x − 3 = 15
2. 5 − 3x = 26
3. 4x − 1 + 3 = 10

4. x − 1 − 3 = 3

5. 2x + 3 = 4x − 3

6. 5 − 3x = 9x − 1

7. 3 − 2x − 1 = x − 1

40

8. x2 − 4 = x + 2
9. x2 − x − 4 = x + 4

10. 2x − 5 = 2x − 5
11. 3x − 7 = 7 − 3x
12. | 2 − 2 − 195| = 195 + 2 − 2

13. x2 − 7 x − 18 +3 = 21 + 7x − 2

x

Real Number 41

MATH4609

14. || 2 − 2 − 224| + 234| = 10 − 2 + 2
15. x2 − 4 x + 3 = x2 − 3x

16. x −1 x −1
=

x +1 x +1

17. 2x − 7 = 14 − x
18. 10 − 4x = 12 − 5x

42

19. 2x − 7 = 14 − x
20. 3x2 + x − 7 = 2x2 + 2x − 1

21. 2 + 3x + 3 = 2x + 3

x

22. x2 − 1 = x2 − 2x − 3

23. | 2 − 2 − 8| = | 2 + 3 − 28|

Real Number 43

MATH4609

24. | 3 + 3 2 − 4 + 12| = | 2 − 5 − 6|

25. 3x − 10 =1

10 − x

26. x2 − 2 x − 24 = 0

27. x2 − 3x − 54 = 0

44

28. 3(2x + 1)2 − 8x + 4 − 4 = 0
29. x2 + 2x − 5 = x + 1
30. x2 − 4x − 11 = 2x − 4
31. 2 + 3x = 2 + 3 x

Real Number 45

MATH4609

32. 4x − 3 = 3 + 4x

33. 4x3 + 5x2 + 2x + 4 = 4x3 + 5x2 + 2x + 4

34. |3 3 + 2 2 − 4 + 1| = |3 3 + 2 2| + |4 − 1|

35. x +1
=5

x +1 −1

46

36. || −2|+1| = 2
| −2|−1

37. x − 1 + x + 1 = 2

38. x + 3 + 4 − x = 7
39. x + 2 − 2x − 3 = 1

Real Number 47

MATH4609

40. x − 1 = 3x + 1 + 2
41. 4| + 1| − 3| − 1| = 10
42. x − 1 + x − x − 6 = 2

43. x − 3 + x + 2 − x − 4 = 3

48

44. 4| + 1| − 2| − 1| − | + 3| = 5

45. x + 2  5
46. |7 − 2 | ≤ 19
47. 2x − 1  7
48. |3 − 4 | ≥ 15