MATH4609_Mathematics for teachers II

Function 99

Banana Math

5. กำหนด f(x) = 1x1;;xx 0 และ g(x) = x 2 1 หาค่า (f + g)(2) + (f – g)(0)
=0 −

6. ถา้ f และ g เปน็ ฟงั กช์ ันกำหนดโดย
f = { (x,y)R X R  y = x3 + 3x และ –2  x  5} และ
g ={ (x,y) R X R y = 3x2+ 1 และ –1 < x  2 } หา Df – g, Rf – g

7. ถา้ f และ g เป็นฟังกช์ ันกำหนดโดย
f = { (x,y)R X R  y = x2 + 1 และ – 4 < x < 2} และ
g ={ (x,y) R X R y = 2x – 5 และ – 2 < x  4 } หา Rf – g

8. ถา้ f และ g เป็นฟงั ก์ชนั กำหนดโดย
f = { (x,y)R X R  y = x + 1 และ – 2 < x < 3} และ

g ={ (x,y) R X R y = 1 – x และ – 3 < x  1 } หา Rfg

9. กำหนด f(x) = (3 + x)(2 − x) g(x) = 1 หา Rf g
x+3

100

10. กำหนด f(x) = x −1 เม่อื x  5 , g(x) = x +1 เมื่อ x  – 9 จงหา (fg)(x), Dfg และ Rfg

11. กำหนด f(x) = 3x2 – 4x เม่ือ – 9  x  5 , g(x) = x เมือ่ x  – 3
f
จงหา ( g )(x), D f และ Rf

g g

12. กำหนด f = {(x, y)  y = |1 + x| ;– 2 < x  3 } และ g = {(x, y)  y = |1 – x ; – 3 < x < 1 }

จงหา Rfg

13. กำหนด f(x) = x2 เม่อื – 2  x  2 และ g(x) = x – 1 เมื่อ 0  x < 4 จงหา Rf – g

14. กำหนด f(x) = 4x, g(x) = x2 + 1 และ h(x) =  x + 1, x  0 จงหาคา่ ของ (f – 1+ g + h– 1)(– 2 )
 x −1, x  0


101

ตรรกศาสตร์(Logics)

ตรรกศาสตร์(Logics) เป็นวิชาท่ีว่าด้วยกฎเกณฑ์การอ้างเหตุผล (argument) ของขอ้ ความ (statement) เพื่อ
นำมาสูข่ ้อยตุ ิ สรปุ เป็นกฎหรอื ทฤษฎี โดยอาศัย อนยิ าม สัจพจน์ หรือนยิ าม รวมทั้งทฤษฎีท่ีพสิ ูจน์ได้มากอ่ นแลว้

นิยาม ประพจน(์ Propositions or Statements) คือ ประโยคบอกเลา่ หรือประโยคปฎเิ สธทม่ี คี า่ ความจรงิ (true
value) เป็นจรงิ (true) หรือเทจ็ (false) อย่างใดอยา่ งหนง่ึ เท่านัน้

เชน่ เซตวา่ งเป็นสับเซตของทุกเซต, เป็นจำนวนอตรรกยะ, 41 เป็นจำนวนเฉพาะ, x2  0

ประโยคท่ไี ม่อยใู่ นรปู ประโยคบอกเลา่ หรือปฏเิ สธ ไม่เปน็ ประพจน์ เชน่ ประโยคคำถาม ประโยค
คำสั่ง ห้ามขอร้อง หรอื ประโยคอทุ าน

ประพจน์เชงิ ประกอบ (Compound Proposition) เกดิ จากการนำประพจน์ยอ่ ยๆ มารวมกนั โดยใช้
ตวั เชอื่ ม (Connective) ซง่ึ มอี ยู่ 4 ชนิด คือ

1) Conjunction Connective ใชส้ ัญลกั ษณ์ “ ” อา่ นว่า และ(and)

2) Disjunction Connective ใชส้ ญั ลกั ษณ์ “ ” อ่านว่า หรอื (or)
3) Conditional Connective ใชส้ ัญลกั ษณ์ “ →” อา่ นว่า ถ้า...แลว้ ...(if…then)

4) Bi-conditional Connective ใชส้ ญั ลกั ษณ์ “” อ่านว่า ...กต็ อ่ เม่ือ...(…if and only if …)

คา่ ความจรงิ ของประพจนเ์ ชงิ ประกอบอนั เกดิ จากตวั เช่ือมตา่ งๆ เมอ่ื ประพจนเ์ หลา่ นีเ้ กิดจากประพจนย์ ่อยเพียง 2
ประพจน์ มีกรณตี า่ งๆ 4 กรณคี ือ จริงกับจรงิ จรงิ กับเทจ็ เทจ็ กับจรงิ และ เทจ็ กับเท็จ ดังนี้

ตารางแสดงค่าความจรงิ ของประพจน์อนั เกดิ จากตัวเชอื่ ม p→q pq
p q pq pq T T
TTTT F F
TFFT

FTFTTF

FFFFTT

สรุป: pq เปน็ จริงเพยี งกรณเี ดียว คือ จรงิ ทง้ั คู่, pq เป็นเท็จเพยี งกรณเี ดียว คือ เท็จทง้ั คู่

p→q เปน็ เทจ็ เพียงกรณีเดียว คือ ถ้าจรงิ แล้วเทจ็ ,

pq เป็นจรงิ เมื่อ คา่ ความจริงตรงกนั และเป็นเทจ็ เมื่อ ค่าความจริงต่างกัน

นิยาม นิเสธของประพจน์ คือ ประพจน์ที่มขี ้อความตรงกันข้ามกับประพจน์นั้น

ใช้ “” เป็นสญั ลกั ษณ์แทนคำว่า”นิเสธ” อ่านวา่ ไม่ (not)
ถ้า p แทนประพจนใ์ ดๆ จะได้ค่าความจรงิ ดงั ตาราง

102

p p
TF
FT

การหาคา่ ความจริงของประพจน์

ตารางค่าความจรงิ ของประพจน์ทมี่ ีตวั เชื่อมแบบตา่ งๆ ทีก่ ลา่ วมาแล้วไว้เพื่อให้ช่วยในการหาว่าประพจนใ์ ด

เปน็ จรงิ หรือเท็จ

ตวั อยา่ งที่ 1 กำหนดให้ p เปน็ จรงิ q เปน็ เทจ็ r เป็น เทจ็ จงหาคา่ ความจรงิ ของ

[ (p  q )  r ] → [ p  ( q  r ) ]

TF F T FF

FF

FF

T

ดังนั้น คา่ ความจรงิ ของ [(p  q) r ] → [p  (q  r)] มีคา่ ความจรงิ เปน็ จรงิ

แบบฝกึ หัด
1. กำหนดให้ p เปน็ เทจ็ q เป็นจรงิ r เป็น เทจ็ และ s เปน็ จรงิ จงหาคา่ ความจริงของ

1.1 P → (q  (r  S))

1.2 (p  q)  (r → (q  s))

1.3 ((q  s) → r)  ((p  r) → s)

1.4 (p  (q  r))  ((p  q)  (p  r))

1.5 [(p → (q  r))  (p  q)] → ((r  s)  p)

1.6 [(p → (r  s))]  (q → (p  s))

1.7 [(p  s)  (p  r)  (p  s)]  [(p s)  (p  r)  (p  s)]

1.8 [(p  r)  (p  q)  (p  s)]  [(p s)  ((p → (p  s)]

Logics 103
MATH4609
2. กำหนด pq มคี ่าความจริงเป็นจริง และ p→r มีคา่ ความจรงิ เปน็ เทจ็ จงหาค่าความจรงิ ของ
2.1 (pq)(p→(qs))
2.2 ((pq)r)→(r→p)
2.3 ((q r)→r) ((pr)→q)
2.4 [(ps)(pq)(pq)][( p→s)((pq)→q)]

3. กำหนดให้ pq, p→r และ r เป็นประพจนท์ ่ีมีคา่ ความจริงเปน็ “จรงิ ” จงหาคา่ ความจริงของ
3.1 p→(q→r)
3.2 (pr)(q→r)
3.3 [(pq)r]→(pq)
3.4 [(pr)]→[(pq)r]
3.5 [p(p→r)]→(qr)

4. กำหนด [(p→q) (r(sq))] p มีค่าความจรงิ เปน็ “เท็จ” และ p มคี า่ ความจรงิ เป็น “จรงิ ” จงหา
ค่าความจริงของ (p(qr))((p→s)(p→r))

5. กำหนด p q มคี ่าความจรงิ เป็น ”จรงิ ”
จงหาคา่ ความจริงของ [(p  q)  r]  [(p  q) → r]

104

6. กำหนด p q มีคา่ ความจรงิ เปน็ ”เท็จ”
จงหาค่าความจริงของ [(p  q)  r] → [(p  q) → r]

7. กำหนดให้ (p→q)→(pq) มีค่าความจริงเป็น “เท็จ” แล้วประพจน์ใดตอ่ ไปนมี้ ีค่าความจรงิ เปน็ “จริง”

1. pq 3. (pq)→r

2. pq 4. q→(pr)

8. กำหนดให้ p, p→q และ p→(qr) เป็นประพจน์ทม่ี ีคา่ ความจริงเปน็ “จรงิ ” ประพจนใ์ ด

ต่อไปนม้ี ีคา่ ความจรงิ เปน็ “จรงิ ”

1. q(r→p) 3. p(qr)

2. r→(pq) 4. (pq)(r)

9. กำหนดให้ (pr)(pq) มคี ่าความจรงิ เป็นเท็จ ประพจน์ใดต่อไปน้มี ีค่าความจรงิ เป็นจริง

1. p→(qr) 3. pqr

2. p→(qr) 4. pqr

10. กำหนดให้ [(p→q)r](qs) มคี า่ ความจรงิ เป็น ”จรงิ ” และ (ps)→r มคี า่ ความจริงเป็น

“เทจ็ ” แลว้ ประพจนใ์ ดต่อไปนมี้ ีคา่ ความจริงเป็น ”เท็จ”

1. p→q 3. r→s

2. q→r 4. s→p

11. กำหนดให้ pq และ (p→q)→r มีค่าความจรงิ เปน็ จรงิ ท้ังคู่ พิจารณา

ก. p→(r→p) มีค่าความจรงิ เป็นจริง ข. (qr)→p มีค่าความจรงิ เป็นจรงิ

ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู ตอ้ ง

1. ทั้ง ก และ ข ถกู 3. ก ผดิ ข ถูก

2. ก ถกู ข ผิด 4. ทง้ั ก และ ข ผิด

12. ให้ p, q และ r เปน็ ประพจน์ พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้

ก. ถา้ [(p  r)  q]→ (p  q) เป็นเทจ็ แลว้ (p  q) → r เปน็ จริง

ข. ถ้า q  r เป็นเท็จแลว้ [p  (q→r)]→ q เป็นเทจ็

ข้อใดตอ่ ไปน้ีถูกต้อง

1. ทงั้ ก และ ข ถกู 3. ก ผิด ข ถกู

2. ก ถูก ข ผิด 4. ทั้ง ก และ ข ผิด

Logics 105
MATH4609

13. กำหนด p→(qr) มีคา่ ความจริงเป็น ”จริง “และ p(qr) มีค่าความจรงิ เป็น “เทจ็ ” แลว้

ประพจน์ใดต่อไปน้ีมีค่าความจรงิ เป็น “เทจ็ ” .

1. q(p→r) 3. (qr)→p(qr)

2. p (pq) 4. [(q)(r)]→[p(qr)]

14. ให้ p, q และ r เป็นประพจน์ ที่ประพจน์ (p  q) → (r  s) มีคา่ ความจรงิ เป็นเทจ็ และประพจน์

pq มีค่าความจรงิ เปน็ จริง ประพจน์ใดตอ่ ไปนีม้ คี ่าความจริงเปน็ จรงิ

1. (p→q)  (q→r) 3. (p→s)  (rq)

2. p→[q (qr)] 4. (r  s)  [q → (p r)]

15. ให้ p, q และ r เป็นประพจน์ ทปี่ ระพจน์ p → q มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็ ขอ้ ใดสรปุ ถูกตอ้ ง
1. (p  q) → [(p  r) → q] มคี า่ ความจรงิ เป็นเท็จ
2. (p → r) → (q→ p) มคี ่าความจริงเปน็ จรงิ

16. ให้ p, q, r, s และ t เปน็ ประพจน์ ทป่ี ระพจน์ p → (q  r) มคี า่ ความจรงิ เปน็ เทจ็ และ

p  (s  t) มคี ่าความจรงิ เปน็ จริง ประพจน์ใดต่อไปนมี้ คี ่าความจรงิ เป็นจรงิ

1. (qs) → (p  q) 3. (q  s)  p

2. (st) → q 4. (p → r) → s

17. ให้ p, q และ r เป็นประพจน์ พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี

ก. ถา้ p→ (q  r) มคี า่ ความจริงเป็นจรงิ แลว้ ประพจน์ (p → q)  (p → r) มคี า่ ความจรงิ

เป็นจริง

ข. ถ้า p→ (q  r) มคี า่ ความจริงเป็นเทจ็ แล้วประพจน์ [(p → q)  r]  (p  r) มีค่า

ความจริงเป็นจรงิ

ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ ูกต้อง

1. ทงั้ ก และ ข ถกู 3. ก ผิด ข ถกู

2. ก ถกู ข ผดิ 4. ทง้ั ก และ ข ผดิ

106

การสร้างตารางคา่ ความจริง

ถา้ มีประพจนเ์ ดียว ค่าความจรงิ เกิดไดเ้ พยี ง 2 กรณีเทา่ นั้นคอื T หรอื F

ถ้ามสี องประพจน์ ถา้ มสี ามประพจน์

คา่ ความจรงิ เกิดได้ท้ังหมด 4 กรณีดังนี้ คา่ ความจรงิ เกิดได้ทง้ั หมด 8 กรณีดังนี้

pq PQR
TT TTT
TF TTF
FT TFT
FF TFF
FTT
ตัวอย่างที่ 2 จงสร้างตารางคา่ ความจรงิ ของ FTF
(p→q)→(pq) FFT
p q q FFF

p→Q pq (p→q)→(pq)

TTFFT T

TFTTT T

FTFTF F

FFTTT T

ตัวอย่างท่ี 3 จงสรา้ งตารางคา่ ความจรงิ ของ (p→q)(pr)
p q r p q p→q r pr (p→q)(pr)

TTT F F T F T T

TTF F F T T T T

TFTF T T F T T

TFFF T T T T T

FTTT F F F F T

FTFT F F T T F

FFTT T T F F F

FFFT T T T T T

Logics 107
MATH4609

แบบฝึกหัด
1. จงสร้างตารางค่าความจริงของ q → [p  (q → p)]

2. จงสร้างตารางคา่ ความจริงของ [p  (p  q) ]  ((p → q))

3. จงสร้างตารางค่าความจริงของ [p → (q  p)]  (p → (q  p))

4. จงสร้างตารางค่าความจรงิ ของ [p → (q  r)] → (p → q)

5. จงสรา้ งตารางคา่ ความจริงของ [r → (q  p)] → (r → q)

6. จงสร้างตารางค่าความจรงิ ของ [r  (q  p)] → [p→(p  q)]

7. จงสรา้ งตารางคา่ ความจริงของ (p  (q  r))  ((p → s)  (p → r))

108

นยิ าม สัจนิรนั ดร์(Tautology) คือประพจนเ์ ชงิ ประกอบทม่ี ีคา่ ความจรงิ เปน็ จรงิ ทุกกรณี

วิธตี รวจสอบการเปน็ สจั นริ นั ดร์ ทำได้ 3 วิธคี อื

1. ตรวจสอบโดยใช้ตาราง

ตวั อย่างที่ 4 จงตรวจสอบว่าประพจน์ (p→q) (pq) เป็นสจั นริ ันดร์หรือไม่

P q p→q q pq (p→q)(pq)

TTTFF T

TFFTT T

FTTFF T

FFTTF T

ดังนน้ั ประพจน์ (p→q) (pq) เปน็ สจั นิรันดร์

ตัวอย่างท่ี 5 จงตรวจสอบวา่ ประพจน์ (p(qr)) (pq)(pr) เปน็ สัจนริ ันดรห์ รือไม่
p q r qr p(qr) (pq)(pr) (p(qr))(pq)(pr)
TTT
TTF
TFT
TFF
FTT
FTF
FFT
FFF

แบบฝึกหดั
1. จงตรวจสอบว่าประพจน์ (p →( q  r))  (p  q)  (p  r) เป็นสจั นิรันดร์หรอื ไม่

Logics 109
MATH4609
2. จงตรวจสอบว่าประพจน์ [(p → r)(q→r)]→[(p  q) → r] เป็นสจั นริ ันดรห์ รือไม่

3. จงตรวจสอบว่าประพจน์ (p  (q r ))  (p → q)  (p → r) เปน็ สจั นริ ันดรห์ รือไม่

4. จงตรวจสอบว่าประพจน์ (p  q)  [(p → q)(q → p)] เป็นสจั นริ นั ดรห์ รอื ไม่

5. จงตรวจสอบวา่ ประพจน์ [p  (q  r)]  [(p  q)  (p  r)] เปน็ สัจนริ ันดรห์ รอื ไม่

110

2. ตรวจโดย “ ขอ้ ขดั แย้ง”
สำหรับตัวเชอ่ื ม , → มีวธิ กี ารดังนี้
1. สมมุตใิ ห้ประพจนร์ วมนน้ั มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็
2. หาคา่ ความจรงิ ของประพจน์กลุ่มขวามอื หรอื ซ้ายมอื
3. นำค่าความจรงิ ประพจน์ย่อยกลมุ่ ขวามอื หรอื ซา้ ยมอื ทไ่ี ดไ้ ปแทนในประพจนย์ อ่ ยกลมุ่ ซา้ ยหรือ
ขวามอื
4. ถา้ ค่าความจรงิ ของประพจน์ย่อยขัดแยง้ กนั ถือว่าเปน็ สจั นริ นั ดร์
5. ถา้ คา่ ความจริงของประพจนย์ อ่ ยไม่ขัดแย้งกันถอี วา่ ไมเ่ ปน็ สจั นิรันดร์
สำหรับตัวเชอ่ื ม ,  มวี ิธกี ารดงั น้ี
1. pq เป็นสจั นริ นั ดร์ กต็ อ่ เมอ่ื p  q
2. pq เป็นสจั นริ ันดร์ กต็ ่อเมอ่ื pq T

ตัวอย่างที่ 6 จงตรวจสอบวา่ [(p→q)(q→r)]→(p→r) เป็นสจั จนริ นั ดรห์ รอื ไม่
[( p → q )  ( q → r )] → (p → r)
F
TF
T T TF
T TFF

จะเห็นว่าคา่ ความจริงของ r ขัดแยง้ กัน ดังน้ัน [(p→q)(q→r)]→(p→r) เปน็ สจั จนิรันดร์

แบบฝกึ หดั
จงตรวจสอบว่ารปู แบบของประพจน์ทกี่ ำหนดใหเ้ ปน็ สจั นริ นั ดร์หรอื ไม่ ถา้ ไม่เป็นจงยกตวั อย่างกรณคี า่
ความจริงของประพจน์ย่อยทีท่ ำใหร้ ปู แบบของประพจนน์ น้ั ไมเ่ ปน็ สจั นริ นั ดร์
1. [p  (p → q)] → q

2. [p  (p → q)] → p

3. [p  (p  q)] → q

4. [((p  q) → r)  (p → q)] → ( p → r)

Logics 111
MATH4609

5. [(p → r)  (q → r)] → [(p  q) →r]
6. (p → q) → [(q  r) → ( r  p)]
7. [(pq)  q]   q
8. [p (q  r)]  [(p→q)  r]
9. [p  (q  r)]  [p  (q  r)]
10. [(p  q) → r]  [(p  q) → r]
11. [p  (q  r)  [r  (p → q)]
12. (p → q)  (p  q)

112
13. [p  (q  r)] [(pq)  (q r)]
14. [(p  q)  (p → r)]  (p → (q  r)]
15. (p  q)  [(p  q)  (p  q)]
16. (p  q)  (p  q)
17. (p  q)  (q → p)

3. พสิ จู น์ โดยใช้รปู แบบของประพจน์ทส่ี มมูลกนั ถ้าเปน็ สจั นริ นั ดร์แล้วจะสมมลู กับ T

รปู แบบของประพจน์ทสี่ มมลู กัน

ในวชิ าตรรกศาสตร์ ถ้ารปู แบบของประพจนส์ องรูปแบบใดมคี ่าความจริงเหมอื นกนั กรณีตอ่ กรณีแลว้
จะสามารถนำไปใช้แทนกนั ได้ เรยี กสองรปู แบบของประพจนด์ งั กลา่ วว่าเปน็ รูปแบบทส่ี มมูลกนั
การตรวจสอบวา่ สองประพจนใ์ ดๆวา่ สมมูลกันหรอื ไมส่ ามารถตรวจสอบได้ 3 วิธคี ือ

1. ตรวจสอบโดยใช้ตาราง

ตวั อยา่ งท่ี 7 จงใช้ตารางตรวจสอบว่า p → q   p  q pq
p q p p→q T

TTFT

TFFFF

FTTTT

FFTTT

จะเหน็ วา่ p → q และ  p  q มีคา่ ความจรงิ ตรงกันทกุ กรณี ดังน้นั p → q   p  q

Logics 113
MATH4609

แบบฝกึ หัด
จงใชต้ ารางตรวจสอบว่าประพจนท์ ี่กำหนดใหส้ มมลู กนั หรอื ไม่
1. (p  q) กับ p   q
2. p → q กบั q→ p
3. (p  q) → r กบั p → (q → r)

4. (p  q) → r กบั (p→r)  (q → r)

5. p →(q r) กบั (p → q)  (p→ r)

6. p  (q  r) กบั (p  q)  (q  r)
7. p  (q  r)  (p  q)  (q  r)

114

2. พิสูจน์โดยใช้รปู แบบของประพจนท์ ่สี มมลู กนั 1.2 P → q  q → p
รปู แบบของประพจน์ทสี่ มมูลกัน
2.3 (p  q)  p  q
1. สมมลู กันในรูแจงเหตุสู่ผล 2.4 (p → q)  p   q
1.1 P → q   p  q
ppp
2. สมมลู กันในรปู นิเสธ
2.1 (p)  p (p  q)  r  p  (q  r)
2.2 (p  q)   p   q
2.5 (p  q)  p  q  p  q pqqp

3. สมมลู ในรปู กฎต่างๆ p  (q  r)  (p  q)  (q 
3.1 กฎการซ้ำ r)
ppp
3.2 กฎการเปลย่ี นกลมุ่ pT T
(p  q)  r  p  (q  r) pTp
3.3 กฎการสลบั ท่ี
pqqp T  F
3.4 กฎการแจกแจง F  T
p  (q  r)  (p  q)  (q 
r) จากขอ้ 1.1
3.5 กฎการเป็นเอกลกั ษณ์ จากข้อ 2.3
pF p จากข้อ 3.2
pFF จากข้อ 1.1
3.6 กฎของการคอมพลเี มนต์ จากข้อ 1.1
p  p  T
p  p  F

ตวั อยา่ งท่ี 8 จงพิสจู น์ว่า (p  q) → r  p → (q → r)
พสิ จู น์ (p  q) → r  (p  Q)  r

 (p   q) r
 p  (q  r)
 p →(q  r)
 p →(q → r)

Logics 115
MATH4609

แบบฝกึ หดั
จงพสิ จู นว์ า่ ประพจน์ทก่ี ำหนดใหส้ มมูลกันหรือไม่

1. p →(q  r) กบั (p → q)  (p → r)

2. (p → r)  (q  r) กบั (p  q) →r

3. [(p q) → (p  q)] กบั (p  q)  (p  q)

4. (p  q) กบั (p  q)  (q  p)

5. p  (r  q) กบั p → (r → q)

6. [p→ (q  r)] กับ [(p → q)  (p → r)]

116
7. [(p  q)] →r] กบั [(p→r)  (q →r)]
8. (p → q) → q กบั  p → (q → p)
9. [p  (p → q)] กับ q → (q → p)
10. (p  r) → (q  s) กบั (q  s) → (p  r)
11. (p  q  r)  (p  q)  (p  r) กับ p
12. (p  q)  (q  r)  (q  (p  r)) กบั q
3. ตรวจสอบโดยนำประพจนท์ ้งั สองมาเช่ือมดว้ ย  แลว้ ตรวจสอบวา่ เปน็ สัจนริ นั ดรห์ รอื ไม่

Logics 117
MATH4609
แบบฝกึ หดั
จงพสิ จู นว์ ่าประพจนท์ ีก่ ำหนดใหเ้ ปน็ สจั นริ นั ดรห์ รอื ไม่ ถ้าไมเ่ ปน็ จงยกตวั อย่างกรณีคา่ ความจรงิ ของ
ประพจนย์ ่อยท่ีทำใหร้ ปู แบบของประพจน์น้ันไมเ่ ปน็ สจั นริ นั ดร์
1. p → (p  q)

2. (p  q) → q

3. (p  q) → (p  q)

4. [p  (p→ q)] → q

5. [(p → q)  q] → p

6. [(p → q)  (q → r)] → (p → r)

7. (p  q  r)  (p → q)  [( r  p)  ( p → r)]

8. [(p → q)  (q → r)] → [(pq) → r)

118
9. [(p  q) → r]  [(p  q) → r]
10. [(p → q)  (q → r)] → (p → r)
11. [p  (q  r)  [r  (p → q)]
12. [(p  q) → r]  [(p  q) → r]

13. (p  q)  (p → q)  (q→p)  (p→q)
14. [(p  q)  (q → r)] → (p → r)

Logics 119
MATH4609

การอา้ งเหตุผล
การอ้างเหตผุ ล(Argument) เป็นการอ้างวา่ ประพจน์ P1 , P2 , P3 , … , Pn สามารถสรปุ ประพจน์ Q

ซ่ึงสมเหตุสมผล (Valid) หรือไม่สมเหตุสมผล (Invalid)
การอ้างเหตผุ ลจะสรปุ สมเหตุสมผลก็ต่อเม่ือ (P1  P2  P3  …  Pn )→ Q เป็นสจั นริ ันดร์ และ

สรปุ ไม่สมเหตุสมผลกต็ ่อเม่ือ (P1  P2  P3  …  Pn )→ Q ไมเ่ ปน็ สัจนริ ันดร์

รปู แบบการอา้ งเหตผุ ล (Argument Form) รปู แบบการอา้ งเหตผุ ลทสี่ มเหตสุ มผลและนิยมใช้

1. Modus Ponens(M.P) 5. Disjunctive Syllogism(D.S)

เหตุ 1. p →q เหตุ 1. p  q

2. p 2. p
ผล q
ผล q
2. Modus Tollens(M.T) 6. Constructive Delemma(C.D)

เหตุ 1. p → q เหตุ 1. p → r

2. q 2. q → s

ผล p 3. p  q
3. Hypothetical Syllogism(H.S)
ผล r  s
เหตุ 1. p → q 7. Law of Simplification(Simp)

2. q → r เหตุ p  q

ผล p → r ผล p

4. Law of Contrapositive 8. Law of Addition(Add)

เหตุ 1. p → q เหตุ p
ผล q →  p ผล p  q

ตัวอย่างท่ี 8 จงพิจารณาว่าการอ้างเหตผุ ลนี้สมเหตสุ มผลหรือไม่

เหตุ 1. p  q

2. q → s

3. t → s
ผล t
พิสูจน์ 1. p จากเหตขุ อ้ 1 และกฏขอ้ 7

2. S จากขอ้ 1 และเหตขุ ้อ 2
3. t จาก ข้อ 2 และเหตุข้อ 2
ดังนนั้ การอา้ งเหตผุ ลนส้ี มเหตสุ มผล

120

แบบฝึกหัด
จงตรวจสอบการอ้างเหตผุ ลสมเหตสุ มผลหรอื ไม่
1. เหตุ 1. p → q

2. q → s
3. s
ผล p

2. เหตุ 1. p  q
ผล
2. q → r

3. r  S
s

3. เหตุ 1. p → q
ผล
2. q  r

3. r
p

4. เหตุ 1. p → q
ผล 2. q → s
3. s
p

5. เหตุ 1. p → q
ผล 2. p → (r  s)
3. q  t
4. t
r → s

6. เหตุ 1. p → q
ผล 2. (p → q)  r
p→r

7. เหตุ 1. (p  q)  ( r →s)
ผล 2. w →r
3. p → q
w→s

Logics 121
MATH4609

8. เหตุ 1. p →q
ผล 2. p → r
3. s → r
4. q
s

9. เหตุ 1. t → r
ผล
2. s

3. t → w

4. r  s
w

10. เหตุ 1. r → (s → t)
2. r  w
ผล 3. p → s
11. เหตุ 4. w
p  t
ผล
1. (p  q) → r
2. (r s)
3. p
q

12. เหตุ 1. p→(q → r)
ผล 2. s → (t → u)
3. p  q
4. s  t
r  u

122 1. p → q
13. เหตุ 2. p → (r  s)
3. q  t
ผล 4. t
r → s

14. เหตุ 1. p→ q
ผล 2. r → s
3. p  r
r → (q  s)

15. เหตุ 1. (p  q) → (r  s)
ผล 2. (r  s) → (w  s)
3. p
16. เหตุ p→w

ผล 1. (q → r) (s → t)
2. (p → x)  (w → y)
3. p  s
x → t

17. เหตุ 1. p → r
ผล 2. (p  r) → q
3. (p  q) →s
p→s

18. เหตุ 1. (p  q) → (r  s)
ผล
2. (r  s) → w
3. p
w

Logics 123
MATH4609

19. เหตุ 1. p → q
ผล 2. r   q
3. r  s
s

20. เหตุ 1. p  q
ผล 2. (q  s) → (s  p)
3. p→ r
s  r

21. เหตุ 1. สมหมายเป็นคนไม่ขยนั
ผล 2. สมหมายเป็นคนขยันหรอื สมหมายสอบได้ทห่ี นง่ึ

สมหมายสอบไดท้ ห่ี น่ึง

22. เหตุ 1. ถา้ สมศรไี ปเท่ียวทะเลแลว้ สมศรจี ะไม่สบาย
ผล 2. สมศรีสบายดี
สมศรีไม่ได้ไปเท่ียวทะเล

23. เหตุ 1. ถ้าสมชายไปวา่ ยน้ำแลว้ สมศรไี ปดภู าพยนตร์
ผล
2. สมทรงไม่ชอบดูโทรทศั น์
3. สมชายไม่ไปว่านนำ้ แลว้ สมพรไม่ไปพักผอ่ น
4. สมพรนอนพกั ผ่อนหรอื สมหญิงไปดูโทรทศั น์

สมศรีไปดภู าพยนตร์

24. เหตุ 1. ถา้ แดงขยนั แล้วแดงจะสอบไลไ่ ด้
ผล 2. ถา้ แดงสอบได้แลว้ แมจ่ ะใหร้ างวัล
3. แมไ่ ม่ให้รางวลั หรอื แดงดีใจ

4. แดงขยนั
ถา้ แดงไปเทย่ี วแล้วแดงดีใจ

124
ประโยคเปดิ (Open Sentences) คอื ประโยคบอกเลา่ หรือปฏิเสธท่มี ีตวั แปร และไม่อาจบอกได้วา่ ค่าความจรงิ
เป็นจรงิ หรือเท็จอยา่ งใดอย่างหนง่ึ เพียงอย่างเดียว
ตวั บ่งปรมิ าณ(Quantifier) เปน็ ขอ้ ความทใ่ี ชบ่ ่งบอกจำนวนตัวแปรในประโยค โดยเกย่ี วกับสมาชกิ ในเอกภพ
สมั พัทธ์ มี 2 ชนดิ คอื

1. Universal Quantifier เป็นตัวบง่ ปรมิ าณทัง้ หมดของสมาชกิ ในเอกภพสัมพทั ธ์ ใช้ x เปน็ สญั ลกั ษณ์
แทนขอ้ ความ “ สำหรบั ทุกๆ x” “ สำหรบั แต่ละ x “ “ สำหรบั x ทกุ ตวั ” เช่น
x[P(x)] แทนขอ้ ความ “ สำหรบั ทุกๆ x ในประโยคเปดิ P(x) “

2. Existential Quantifier เป็นตัวบง่ ปรมิ าณบางสง่ิ ของสมาชิกในเอกภพสมั พัทธ์ ใช้ x เปน็ สัญลกั ษณ์
แทนขอ้ ความ “ มี x บางตัว” “ มี x อยา่ งนอ้ ยหนงึ่ ตัว “ “ สำหรบั x บางตวั ” เช่น
x[P(x)] แทนข้อความ “ มี x อย่างน้อยหนงึ่ ตวั ในประโยคเปิด P(x) “

จงเขยี นขอ้ ความตอ่ ไปน้ีในรูปสญั ลกั ษณเ์ มอ่ื กำหนดเอกภพสมั พทั ธเ์ ปน็ จำนวนจรงิ
1. สำหรบั x ทกุ ตัว x2  0

2. มีจำนวนจริง x ซง่ึ x2 – 2x – 24 = 0

3. สำหรบั x ทกุ ตวั ถ้า x เป็นจำนวนเต็มแลว้ x เปน็ จำนวนจรงิ

4. สำหรับ x ทกุ ตัว ถ้า x เป็นจำนวนเต็มค่แู ล้ว x + 1 เปน็ จำนวนเตม็ ค่ี

5. จำนวนเต็มบางจำนวนยกกำลงั สองแลว้ มากกวา่ 10

6. จำนวนเตม็ บางจำนวนนอ้ ยกวา่ 9

จงเขยี นขอ้ ความแทนประโยคสญั ลกั ษณ์
1. x[xI  x  5]

2. x[xI → x < 2]

3. x[x3 > 8 →x > 2]

4. x[x I-  x + 3  0]

5. x[xI → x Q]

Logics 125
MATH4609

ประพจน์ทม่ี ตี วั บง่ ปรมิ ารมากกวา่ หน่งึ ตวั
บางครง้ั จะพบตวั แปร 2 ตัวในประโยคคณิตศาสตร์ ซึง่ เปน็ ประโยคเปดิ ทส่ี ามารถทำใหเ้ ปน็ ประพจน์ได้

โดยการกำหนดตัวบ่งปรมิ าร “ “หรอื “ “ใหป้ ระโยคเปิดภายใตเ้ อภพสมั พัทธห์ นึ่ง นยิ มใช้ P(x, y) หรือ
Q(x, y) แทนประโยคเปิดท่ีมตี ัวแปรสองตัว เชน่ x กับ ตวั บ่งปรมิ าณสำหรบั ตัวแปรทง้ั สองอาจตา่ งกันหรอื
เหมอื นกนั กไ็ ด้ เชน่

xy[P(x, y)] อา่ นว่า สำหรบั x และ y ทุกตวั ในประโยคเปิด P(x, y)
xy[P(x, y)] อา่ นวา่ สำหรบั x ทกุ ตัวและ y บางตัวในประโยคเปดิ P(x, y)
xy[P(x, y)] อ่านวา่ สำหรบั x บางตัว และ y ทุกตวั ในประโยคเปิด P(x, y)
xy[P(x, y)] อ่านวา่ สำหรบั x และ y บางตัวในประโยคเปิด P(x, y)

จงเขียนข้อความต่อไปน้ีในรปู สญั ลักษณเ์ ม่อื กำหนดเอกภพสมั พัทธ์เป็นจำนวนจริง
1. สำหรับ x ทุกตวั มี y บางตวั ท่ี x + y = 1

2. สำหรับ x และ y ทุกตัว x2 + y2  0

3. สำหรบั x และ y บางตวั 2x + 3y = 4

4. สำหรับ x บางตวั มี y ทกุ ตัว x – 3 ≤ y2

จงเขยี นขอ้ ความแทนประโยคสญั ลกั ษณ์
1. xy[ y + x =1]

2. xy[x2 – x + 6 = y]

3. xy[xy = yx]

4. xy[4x – 5y = 2]

5. xy[x3 – y3 = (x – y)3]

Note xy[P(x, y)] มคี วามหมายไมเ่ หมอื นกบั xy[P(x, y)]

126

คา่ ความจริงของประพจนท์ ีม่ ีตัวบ่งปรมิ าณ
ถ้ากำหนดเอกภพสมั พทั ธ์ให้สามารถหาคา่ ความจริงของประพจนท์ ีม่ ีตัวบง่ ปริมาณได้ ท้งั น้ีเพราะ

ประพจนน์ จี้ ะเปน็ จริงหรอื เทจ็ ข้ึนกบั เอกภพสมั พทั ธ์
x[P(x)]

มีคา่ เป็นจรงิ ก็ตอ่ เม่ือ แทน x ด้วยสมาชิก a ที่อยใู่ น U ทกุ ตัวแลว้ P(a) เปน็ จรงิ
มีค่าเปน็ เท็จกต็ อ่ เมื่อ แทน x ดว้ ยสมาชิก a ท่ีอยใู่ น U อย่างนอ้ ยหนง่ึ ตวั P(a) เปน็ เทจ็
x[P(x)]
มีค่าเป็นจรงิ กต็ ่อเมือ่ แทน x ดว้ ยสมาชิก a ท่ีอยูใ่ น U อยา่ งน้อยหน่งึ ตัวแลว้ P(a) เป็นจริง
มคี ่าเปน็ เท็จก็ตอ่ เมื่อ แทน x ดว้ ยสมาชกิ a ท่อี ยูใ่ น U ทุกตวั แล้ว P(a) เปน็ เทจ็
xy[P(x, y)]
มีคา่ เป็นจรงิ กต็ ่อเมื่อ แทน x และ y ดว้ ยสมาชิก a และ b ทกุ คูท่ ีอ่ ยใู่ น U ทุกค่แู ลว้ ทำให้

P(a, b) เป็นจรงิ
มีค่าเปน็ เทจ็ ก็ตอ่ เมอ่ื แทน x และ y ด้วยสมาชกิ a และ b อยา่ งนอ้ ย 1 คู่ที่อยใู่ น U ทท่ี ำให้ P(a,

b) เป็นเทจ็
xy[P(x, y)]

มีคา่ เป็นจรงิ ก็ตอ่ เมอื่ แทน x ดว้ ยสมาชิก a ทุกตัวใน U แล้วสามารถแทน y ด้วย b อยา่ งนอ้ ย
หนง่ึ ตวั ใน U แล้วทำให้ P(a, b) เป็นจริง

มคี ่าเปน็ เท็จก็ตอ่ เมอ่ื แทน x และ y ดว้ ยสมาชิก a อยา่ งน้อย 1 ตวั ใน U แลว้ ไมส่ ามารถแทนค่า
y ด้วยสมาชกิ b ตัวใดเลยใน U ท่ที ำให้ P(a, b) เป็นจรงิ ได้

xy[P(x, y)]
มีค่าเป็นจรงิ กต็ อ่ เมอื่ แทน x ดว้ ยสมาชิก a อย่างน้อยหนึ่งตัวใน U ทำให้ P(a, b) เป็นจรงิ เมอ่ื
แทน y ด้วยทกุ ๆคา่ ของสมาชิก b ที่อยู่ใน U
มีคา่ เป็นเทจ็ กต็ ่อเมือ่ ไม่สามารถแทน x ดว้ ยสมาชกิ a ตัวใดเลยใน U ท่ที ำให้ P(a, b) เป็นจริง
เมอ่ื แทน y ดว้ ยทุกๆคา่ ของสมาชกิ b ที่อยู่ใน U

xy[P(x, y)]
มีคา่ เปน็ จรงิ ก็ต่อเมื่อ แทน x และ y ดว้ ยสมาชิก a และ b อย่างนอ้ ย 1 ค่ใู น U แล้วทำให้
P(a, b) เป็นจรงิ
มีค่าเป็นเทจ็ กต็ ่อเมื่อ ไมส่ ามารถแทน x ด้วยสมาชกิ a และ b ทุกคู่ทอ่ี ย่ใู น U แลว้ ทำให้
P(a, b) เป็นจรงิ

จงหาค่าความจริงของ
1. x[x < 5], U = {0, 1, 2, 3, 4}

2. x[x2 – 9 ≤ 0], U = { – 3, – 2, … , 2 , 3}

3. x[x < 0 → x + 3 > 0], U = { – 3, – 2, … , 2 , 3}

Logics 127
MATH4609

4. x[x2 – x + 20  0], U = { – 3, – 2, … , 4 , 5}

5. x[ x ≤0], U = R

6. x[ (x > 1 )  (x2 > 1 ) ], U = [0, 1]
2 2

7. x[x < 0] →x[x2 > 0], U = {– 1, 0, 1}

8. x[x < 0 → x2 > 0], U = {– 1, 0, 1}

9. x[(x < 0)  ( x – 1 = 0)], U = {– 1, 0, 1}

10. x[ x < 0]  x[x – 1 = 0], U = {– 1, 0, 1}

11. x[x2 – 1  0] → x[x < 0], U = {– 1, 1, 2, 3}

12. x[x2 > 1]  x[x2 – 9 > 0] , U = {– 1, 1, 2, 3}

13. x[x2 – 2 < 0]  x[x < 3] ,U = {– 1, 1, 2, 3}

14. {x[x2 + 5 > 0]  x[(x2 – 5)  I+]} → x[ x < 0], U = I+

15. กำหนดให้ P(A) = U เม่อื A = { , {}} จงหาคา่ ความจรงิ ของ
1. x[ xA  x  A]
2. x[x    x  A]
3. x[ (x  =  )( x   = )]

128

16. ให้ U = {-2, -1, 0, 1, 2} และ P(X) หมายถึง x  0, Q(X) หมายถึง x เป็นจำนวนเต็ม และ
4

R(X) หมายถึง x2 – 4 = 0 จงหาค่าความจรงิ ของ

1. x[P(X)  R(X)]

2. x[Q(X) P(0)]

3. x[R(X) → P(X)]

17. ให้ U = {1, 2, 3, …, 10} P(X) แทน x เป็นจำนวนเฉพาะ และ Q(X) แทน 5  x
4

จงหาค่าความจริงของ

1. x[P(X)]  x[Q(X)]

2. x[(P(X) → Q(X)]  P(X)]

18. ให้ U = { – 2, – 1 , 0, 1, 2} P(X) แทน x เปน็ จำนวนคู่ และ Q(X) แทน x2 < 4
จงหาคา่ ความจรงิ ของ
1. x[P(X) → Q(X)]
2. x[P(X)  Q(X)]

19. xy[ x2 < y + 3], U = {– 1 , 1, 2}

20. xy[xy > x + y], U = {0, 1, 2}

21. xy[x2y > xy], U = R

22. xy[3x + 2y = 1], U = I

23. xy[xy = x + y], U = I

Logics 129
MATH4609

24. xy[x + y < x], U = I
25. xy[x + y = 0], U = {– 1 , 0, 1}
26. xy[xy = 1], U = R
27. xy[y > x2 + 5], U = I-
28. xy[x + y = y], U = {0, 1, 2, 3}
29. xy[x + y =  x - y  ], U = { – 2, – 1, 1, 2}
30. xy[x2 + x = y2 + y], U = { – 2, – 1 , 0, 1, 2}

สมมลู ของตวั บง่ ปริมาณ
สมมลู ของประโยคเปดิ ทีม่ ีตวั บง่ ปริมาณจะเหมอื นกบั รปู แบบของประพจนท์ สี่ มมลู กนั เชน่

x[P(X) →Q(X)]  x[ P(X)  Q(X)]
นิเสธของตวั บง่ ปรมิ าณ

x[P(X)]  x[P(X)]
x[P(X)]  x[P(X)]
x[P(X)  Q(X)]  x[P(X)  Q(X)]
x[P(X)  Q(X)]  x[P(X)  Q(X)]

จงตรวจสอบว่าประโยคแต่ละคู่ตอ่ ไปนี้คู่ใดสมมลู กัน
1. x[x > 0 →x2  0] กับ x[x2 ≤ 0 → x ≤ 0]

2. x[xI  (x + 1 = 4)] กบั x[(x +1  4)  x  I]

130
3. x[(x > 5) →(x2 > 25)] กบั x[(x2 ≤ 25) →(x  5)]

4. x[(x + x = 3)  (x2 – 1 > 0)] กบั x[(x + x  3)  (x2 – 1 ≤ 0)]

5. x[ x  0] → x[ x2  4] กับ x[x < 0]  x[x2  4]

จงหานเิ สธของประโยคต่อไปน้ี
1. x[x2 >1]
2. x[x2 – 2x + 1  0]
3. x[x  2 → x2  4]
4. x[x2 – 1 < 3]
5. x[xI  x > 3]
6. xy[xy > 0 → x2 + y2 > 3]
7. xy[xy = 0 → x= 0 หรอื y = 0]
8. จำนวนเตม็ ทกุ จำนวนเป็นจำนวนจริง
9. มีสับเซตของเซตอนนั ตเ์ ปน็ เซตจำกดั
10. จำนวนจรงิ ทุกจำนวนมากกวา่ ศูนย์ หรือมจี ำนวนจริงบางจำนวนยกกำลังสองแลว้ เท่ากบั ศนู ย์

เรขาคณติ วิเคราะห์

เรขาคณิตที่เราจะศึกษาในตำราเล่มนี้เป็นเรขาคณิตในระบบพิกัดฉาก (Rectangular
Coordinate System) ซึ่งระบบพิกัดฉากจะประกอบด้วยเส้นตรงจำนวนสองเส้นที่ตั้งฉากกัน โดย
เสน้ ตรงเสน้ หนงึ่ เป็นแกนในแนวนอน (Abscissa Axis) เรียกวา่ แกน x และอกี เส้นเปน็ แกนในแนวตั้ง
(Ordinate Axis) เรียกแกน y แกนพิกัดทั้งสองตัดกันที่จุด (0, 0) และเรียกจุดตัดนี้ว่า จุดกำเนิด
(Origin Point) ระนานทม่ี แี กนทั้งสองอยู่จะเรียกวา่ ระนานพิกัด (Coordinate Point) ซงึ่ แกนพกิ ดั น้ี
จะแบ่งระนาบ xy ออกเป็น 4 ส่วน เราจะเรียกแต่ละส่วนแบบทวนเข็นนาฬิกาดังนี้ จตุภาคที่ 1
(Quadrants 1, Q1) จตุภาคที่ 2 (Quadrants 2, Q2) จตุภาคท่ี 3 (Quadrants 3, Q3) และ จตุภาค
ท่ี 4 (Quadrants 4, Q4) ตามลำดับ ภาพที่ 1

ภาพท่ี 1 ระนานพิกดั (Coordinate Point)

ในบทน้เี ราจะศึกษาในหวั ขอ้ ตอ่ ไปนี้
1. ระยะทางระหวา่ งจดุ สองจดุ
2. จดุ แบ่งของสว่ นของเส้นตรง
3. การหาพืน้ ท่รี ปู หลายเหลีย่ ม
4. ควาามชันของเสน้ ตรง เส้นตรงขนานกนั และเสน้ ตรงทต่ี งั้ ฉากกนั
5. สมการเส้นตรงในแบบต่างๆ
6. ระยะหา่ งระหวา่ งจดุ กับเสน้ ตรง
7. ระยะห่างระหว่างเสน้ ขนาน

132

1.1 ระยะห่างระหวา่ งจดุ สองจุด

- พิจารณาบนเส้นจำนวน
ถ้าจุด A แทนจำนวนจริง x1 และจุด B แทนจำนวนจริง x2 ระยะห่างระหว่าง A

และ B คอื x1 − x2 เขยี นแทนดว้ ย AB หรอื AB
- พจิ ารณาบนพกิ ัดฉาก

สำหรับจุด 2 จุด A( x1 , y1) และ B( x2 , y2 ) ใด ๆ เราสามารถหาระยะหา่ ง
ระหวา่ งสองจดุ ไดโ้ ดยแบง่ เป็น 3 กรณี ดังนี้
กรณีที่ 1 จุดอยบู่ นเส้นตรงขนานแกน x

ภาพที่ 1.1.1จดุ อยบู่ นเสน้ ตรงขนานแกน x
จะได้ว่าระยะหา่ งระหวา่ ง A และ B คอื x1 − x2
กรณที ี่ 2 จุดอยู่บนเสน้ ตรงขนานแกน y

ภาพที่ 1.1.2 จุดอยบู่ นเสน้ ตรงขนานแกน y
จะได้ว่าระยะหา่ งระหว่าง A และ B คือ y1 − y2

133

กรณีท่ี 3 จดุ อยบู่ นเสน้ ตรงทไ่ี มข่ นานแกน x และ y

ภาพท่ี 1.1.3 จุดอยู่บนเสน้ ตรงท่ีไม่ขนานแกน x และ y

ลากสว่ นของเส้นตรง AC และสว่ นของเสน้ ตรง BC ขนานแกน y และ แกน x ตามลำดับ จะได้

จดุ C มีพกิ ดั ( x1, y2 ) และสามเหลีย่ ม ABC เปน็ สามเหลี่ยมมุมฉาก

จาก ACB เป็นสามเหลี่ยมมมุ ฉาก จะไดว้ า่
AB 2 = AC 2 + CB 2

= ( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2
AB = ( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2

ดังน้ันระยะห่างระหว่าง A และ B คอื ( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2

ตวั อยา่ งที่ 1.1.1 จงหาระยะหา่ งระหวา่ ง A(3, – 4) และ B(– 2, 8)
วธิ ที ำ
ระยะหา่ งระหว่าง AB = (3 − (−2))2 + ((−4) − 8)2

= 25 + 144
= 169
= 13 หนว่ ย

ภาพที่ 1.1.4

134

ตัวอยา่ งท่ี 1.1.2 กำหนดพิกัด A(0, 3), B(4, 6) และ C(5, 3)
จงพจิ ารณาวา่ สามารถสร้างสามเหลี่ยม ABC ได้หรอื ไม่ถ้าไดจ้ ะเป็นสามเหล่ียมชนิดใด

วิธที ำ

ระยะห่างระหวา่ ง AB = (4 − 0)2 + (6 − 3)2

= 16 + 9

= 25
= 5 หนว่ ย

ระยะหา่ งระหว่าง AC = (5 − 0)2 + (3 − 3)2 ภาพท่ี 1.1.5
= 25 + 0

= 25

= 5 หนว่ ย

ระยะห่างระหวา่ ง BC = (5 − 4)2 + (3 − 6)2

= 1+9

= 10 หนว่ ย

จะเหน็ วา่ ด้าน AB มีความยาวเท่ากบั ดา้ น AC ดังน้ัน สามเหล่ยี ม ABC เป็นสามเหลยี่ มหนา้ จัว่ ทีม่ ี
ด้าน BC เป็นฐาน ดังภาพท่ี 1.1.5

ตวั อย่างท่ี 1.1.3 จงหาจดุ บนแกน x ซงึ่ หา่ งจากจุด A(4, 12) เปน็ ระยะทาง 13 หนว่ ย

วธิ ีทำ
ให้ B เป็นจุดบนแกน x (จดุ บนแกน x คา่ y เป็น 0) ดังนัน้ B(x, 0)

ระยะหา่ งระหว่าง AB เป็นระยะทาง 13 หนว่ ย

ดังน้นั ( x − 4)2 + (0 −12)2 = 13

( x − 4)2 + 144 = 169

( x − 4)2 = 25

x−4 = 5 ภาพท่ี 1.1.6
x = −1,9

ดงั น้นั B(−1,0) และ B(9,0) เป็นจดุ บนแกน x ซงึ่ หา่ งจากจุด A(4,12) เปน็ ระยะทาง 13 หนว่ ย
ดงั ภาพที่ 1.1.6

135

ตวั อย่างท่ี 1.1.4 จงหาจดุ บนแกน y ซ่งึ หา่ งจากจุด A(–4, 3) และ B(3, – 5) เปน็ ระยะทางเท่ากนั

วิธที ำ

ให้ C เป็นจุดบนแกน y (จดุ บนแกน y ค่า x เปน็ 0) ดงั น้นั C(0, y)

ระยะหา่ งระหว่าง AC เทา่ กับ ระยะห่างระหว่าง BC ดงั นน้ั
(0 − 4)2 + ( y − 3)2 = (0 − 3)2 + ( y − (−5))2

16 + ( y − 3)2 =9 + ( y − (−5))2

16 + y2 − 6y + 9 =9 + y2 + 10y + 25 ภาพท่ี 1.1.7
16y = − 9

y = − 9
16

ดงั นัน้ C  0,− 9  เป็นจุดบนแกน y ซึง่ ห่างจากจุด A(–4, 3) และ B(3, – 5) เปน็ ระยะทาง
16
เท่ากนั ดงั ภาพที่ 1.17

ตัวอยา่ งที่ 1.1.5 จงหาจดุ A ซงึ่ ห่างจากจุด P(5, – 3), Q(6, 4) และ R(– 2, – 2) เปน็ ระยะทางท่ี
เทา่ กนั

วธิ ีทำ

ให้ A(x, y) เป็นจดุ ท่ีหา่ งจากจุด P(5, – 3), Q(6, 4) และ

R(– 2, – 2) เปน็ ระยะทางทเ่ี ทา่ กนั ดังนัน้ AP = AQ = AR

จาก AP = (5 − x )2 + (−3 − y )2

AQ = (6 − x )2 + (4 − y )2 และ

AR = (−2 − x )2 + (−2 − y )2 ภาพท่ี 1.1.8

จะได้

(5 − x )2 + (−3 − y )2 = (6 − x )2 + (4 − y )2 = (−2 − x )2 + (−2 − y )2

นน่ั คอื (5 − x )2 + (−3 − y )2 = (6 − x )2 + (4 − y )2
(5 − x )2 + (−3 − y )2 = (6 − x )2 + (4 − y )2

136

x2 −10x + 25 + y2 + 6y + 9 = x2 −12x + 36 + y2 − 8y + 16

x +7y = 9 ---------(1)

และ (5 − x )2 + (−3 − y )2 = (−2 − x )2 + (−2 − y )2

(5 − x )2 + (−3 − y )2 = (−2 − x )2 + (−2 − y )2

x2 −10x + 25 + y2 + 6y + 9 = x2 +4x +4+ y2 +4y +4

−7x + y = − 13 ---------(2)

จากสมการที่ (1) และ (2) แกร้ ะบบสมการได้ x =2 และ y =1
ดงั นน้ั A(2, 1) เปน็ จดุ ที่หา่ งจากจุด P(5, – 3), Q(6, 4) และ R(– 2, – 2) เป็นระยะทางที่เทา่ กนั

แบบฝึกหดั ที่ 1.1

1. จงหาระยะห่างระหวา่ งจุด A และ B เมื่อกำหนด
1) A(– 3, 2), B(1, – 1)
2) A(– 4, 1), B(8, – 4)
3) A(– 2, 2), B(4, – 6)
4) A(4, – 10), B(–6, 14)
2. กำหนดพกิ ดั P, Q และ R จงพจิ ารณาว่าสามารถสร้างสามเหลี่ยม PQR ได้หรอื ไมถ่ ้าได้จะ
เป็นสามเหลีย่ มชนิดใด
1) P(– 2, – 2), Q(1, 1) และ R(6, – 4)
2) P(0, 3), Q(4, 6) และ R(5, 3)
3) P(– 4, – 2), Q(– 5,– 4) และ R(– 7, – 8)
4) P(3, 3), Q(1, 1) และ R(– 2, 4)
5) P(– 3, – 8), Q(4, 16) และ R(– 20, 9)
3. จงหาจดุ บนแกน x ซ่งึ ห่างจากจดุ A(4, – 5) เป็นระยะทาง 13 หน่วย
4. จงหาจุดบนแกน y ซ่งึ หา่ งจากจุด A(2, 3) และ B(3, – 9) เป็นระยะทางเทา่ กัน
5. จงหาจดุ บนแกน x ซึ่งห่างจากจุด A(5, 6) และ B(3, – 4) เปน็ ระยะทางเท่ากนั
6. จงหาจุด A ซ่งึ หา่ งจากจุด P(1, – 4), Q(– 1, – 3) และ R(7, 3) เปน็ ระยะทางทเ่ี ทา่ กัน

137

1.2 จดุ แบง่ ของส่วนของเส้นตรง

พิกัด c ที่ทำให้ AC : BC = r1 : r2
กำหนด A(x1, y1) และ B(x2, y2) หาพิกัด C ทท่ี ำให้ AC : BC = r1 : r2 ดังภาพที่ 1.2.1

พกิ ัดจุด C คอื

 r1 x2 + r2 x1 , r1 y2 + r2 y1 
 r1 + r2 r1 + r2 
 

ดังภาพท่ี 1.2.1 AC : BC = r1 : r2

พสิ จู น์ ให้ A(x1, y1) และ B(x2, y2) และพกิ ดั C(x, y) ทีท่ ำให้ AC : BC = r1 : r2

จะไดร้ ะยะ AC = r1a AB = r2a เม่อื a R

AF = x − x1 CD = x2 − x

CF = y − y1 BD = y2 − y

และจากสามเหลยี่ ม ACF คลา้ ยกบั สามเหลี่ยม CBD

จะได้ AC = AF = CF
CB CD BD

ดังน้ัน r1 = x − x1 = y − y1
r2 x2 − x1 y2 − y

จาก r1 = x − x1
r2 x2 − x

จะได้ r1 ( x2 − x ) = r2 ( x − x1 )

r1x2 − r1x = r2 x − r2 x1
r2 x + r1x = r1x2 + r2 x1

(r2 + r1 ) x = r1x2 + r2 x1

x = r1 x2 + r2 x1
r1 + r2

138

จาก r1 = y − y1
r2 y2 − y

จะได้ r1 ( y2 − y ) = r2 ( y − y1 )

r1y2 − r1y = r2 y − r2 y1

r2 y + r1y = r1y2 + r2 y1

(r2 + r1 ) y = r1y2 + r2 y1

y = r1 y2 + r2 y1
r1 + r2

ดงั น้นั พกิ ดั จุด C ทีท่ ำให้ AC : BC = r1 : r2 คอื  r1 x2 + r2 x1 , r1 y2 + r2 y1 
 r1 + r2 r1 + r2 
 

ขอ้ สงั เกต

ถ้า C เปน็ จดุ ก่ึงกลางระหวา่ ง A, B หมายความวา่ r1 = r2

( )ดงั นน้ั พกิ ัดจุด C คือ x1 + x2 , y1 + y2
2 2

( )น้ันคอื จดุ กง่ึ กลางระหว่างจดุ A(x1, y1) และ B(x2, y2) คือ
x1 + x2 , y1 + y2
22

ตวั อยา่ งท่ี 1.2.1 จงหาพิกัดจดุ C ท่ีแบง่ ส่วนของเส้นตรง A(– 1, 4) และ B(4, –1) เปน็ อตั ราส่วน 2 : 3

วธิ ที ำ

ให้ C เป็นจดุ บนสว่ นของเสน้ ตรง AB ที่ทำให้ AC : BC = 2 : 3

จากสูตรพิกัดจุด C ที่ทำให้ AC : BC = r1 : r2 คือ

 r1 x2 + r2 x1 , r1 y2 + r2 y1 
 r1 + r2 r1 + r2 
 

( )ดงั น้ันพิกัดจุด C คอื
2(4) + 3(−1) , 2(−1) + 3(4) = (1,2) ภาพที่ 1.2.2
2+3 2+3

ดังนนั้ พิกดั จุด C ที่แบ่งส่วนของเสน้ ตรง A(– 1, 4) และ B(4, –1) เปน็ อตั ราสว่ น 2 : 3 คือ C(1,2)

ดงั ภาพที่ 1.2.2

139

ตวั อยา่ งที่ 1.2.2 กำหนด A(– 5, 3), B(2, – 4) เปน็ จดุ ปลายของเส้นตรง จงหาพกิ ดั ของจุดบนสว่ น
ของเส้นตรง AB ซงึ่ ห่างจาก A เทา่ กบั 3 เทา่ ของระยะหา่ งระหวา่ ง A และ B

7

วิธีทำ

ให้ C เปน็ จุดบนส่วนของเส้นตรง AB ซ่งึ ห่างจาก A เทา่ กบั 3

7

เท่าของระยะหา่ งระหวา่ ง A และ B จะได้ AC : BC = 3 : 4

จากสูตรพกิ ัดจดุ C ทท่ี ำให้ AC : BC = r1 : r2 คือ

 r1 x2 + r2 x1 , r1 y2 + r2 y1  ภาพท่ี 1.2.3
 r1 + r2 r1 + r2 
 

( )ดงั นัน้ พิกัดจดุ C คอื
3(2) + 4(−5) , 3(−4) + 4(3) = (−2,0)
3+4 3+4

ดังนนั้ C(−2,0) เป็นพกิ ัดของจุดบนสว่ นของเสน้ ตรง AB ซง่ึ หา่ งจาก A เทา่ กับ 3 เท่าของ

7
ระยะหา่ งระหวา่ ง A และ B ดงั ภาพที่ 1.2.3

ตัวอยา่ งที่ 1.2.3 จงหาพกิ ดั จดุ C, D, E ทีแ่ บง่ สว่ นของเส้นตรง A(– 2, 8) และ B(6, – 4) เปน็ 4 สว่ น
เท่าๆกนั

วิธีทำ

ให้ C, D, E จุดที่แบง่ ส่วนของเสน้ ตรง A(– 2, 8) และ B(6, – 4)
เปน็ 4 ส่วนเทา่ ๆกนั ดงั ภาพท่ี 1.2.3

หมายความวา่ D เปน็ จดุ กึ่งกลางระหว่าง A และ B

C เป็นจดุ กง่ึ กลางระหวา่ ง A และ D

E เป็นจุดก่ึงกลางระหวา่ ง D และ B ภาพท่ี 1.2.4

( )จาก D เป็นจุดกึง่ กลางระหวา่ ง A และ B จะได้ D −2 + 6 , 8 + (−4) = D(2,2)
2 2

( )จาก C เป็นจุดกึ่งกลางระหว่าง A และ D −2 + 2 8 + 2 = C(0,5)
จะได้ C 2 , 2

( )จาก E เปน็ จุดกงึ่ กลางระหวา่ ง D และ B จะได้ E 2 + 6 , 2 + (−4) = E(4, −1)
2 2
ดังน้นั C (0,5) , D(2,2) , E(4,−1) เปน็ จุดท่แี บง่ ส่วนของเสน้ ตรง A(– 2, 8) และ B(6, – 4) เป็น

4 สว่ นเทา่ ๆ กนั ดงั ภาพท่ี 1.2.4

140

ตวั อยา่ งท่ี 1.2.4 สว่ นของเสน้ ตรง A(– 3, 4), B(1, 1) ถกู ตอ่ ออกไปทง้ั สองขา้ งโดยท่ีส่วนทีต่ อ่ ออกไป
ทั้งสองขา้ งยาวเป็น 4 เท่าของความยาว AB หาพิกัดของจดุ ปลายทงั้ สองของเส้นตรงท่ีตอ่ ออกไป

วิธที ำ

ให้ C ( x1, y1 ) และ D( x2 , y2 ) เป็นจุดปลายทงั้ สองของ

เสน้ ตรงท่ตี อ่ ออกไปทัง้ สองขา้ งยาวเป็น 4 เทา่ ของความยาว AB

จะได้ AB : BD = 1 : 4 และ BA : AC = 1 : 4

( )นน่ั คือ x1 + 4(1) , y1 + 4(1) = (−3,4) ภาพท่ี 1.2.5
1+4 1+4

แก้สมการ จะได้ x1 = −19 และ y1 =16
นน่ั คอื D(−19,16)

( )และ
4(−3) + x2 , 4(4) + y2 = (1,1)
1+4 1+4

แก้สมการจะได้ x2 =17 และ y2 = −11

นน่ั คือ C (17,−11)

ดังน้นั C (17,−11) และ D(−19,16) เปน็ จุดปลายท้งั สองของเส้นตรงทีต่ ่อออกไปทงั้ สองขา้ งยาว
เป็น 4 เทา่ ของความยาว AB ดังภาพที่ 1.2.5

ตัวอยา่ งที่ 1.2.5 กำหนด A(x1, y1), B(x2, y2) และ C(x3, y3) เปน็ จดุ ยอดของสามเหล่ยี มจงหาจดุ ตัด
กนั ของเสน้ มธั ยฐาน

วธิ ที ำ

ให้ D เปน็ จดุ ก่งึ กลางของดา้ น AB

( )จะได้
D x1 + x2 , y1 + y2
22

ให้ O เป็นจดุ ตดั ของเส้นมธั ยฐาน

จากคุณสมบัตทิ ีว่ ่า จุดตัดของเส้นมธั ยฐานจะแบง่ สว่ นของ ภาพที่ 1.2.6

เส้นตรงทลี่ ากจากจดุ ยอดมาแบ่งครง่ึ ฐานเปน็ อัตราสว่ น
2: 1 ดงั น้นั CO : OD = 2 : 1

141

( ) ( ) ( )นนั้ คือx3+2x1 + x2 y3 + 2 y1 + y2  x1 x2 x3 y1 y2 y3
 2 1 2  3 3
O  ,  =O + + , + +
+2
 1+2 



( )ดังนั้น Ox1+x2 + x3 , y1 + y2 + y3 เป็นจุดตัดกันของเส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยมที่มี
3 3
A(x1, y1), B(x2, y2) และ C(x3, y3) เปน็ จดุ ยอด ดังภาพท่ี 1.2.6

ตัวอย่างท่ี 1.2.6 กำหนด A(–2, 3), B(1, 4) และ C(7, 2) เปน็ จดุ ยอดของสามเหลยี่ ม จงหาจดุ ตดั ของ
เส้นมัธยฐาน

วธิ ที ำ จากตัวอยา่ งท่ี 1.2.4 จดุ ตดั กนั ของเสน้ มัธยฐานของ

สามเหลี่ยมทม่ี ี A(x1, y1), B(x2, y2) และ C(x3, y3) เปน็ จุดยอด คอื
( )Ox1 x2 x3 y1 y2 y3
+ 3 + , + 3 +

ดงั น้ัน จุดตัดของเสน้ มัธยฐานท่มี ี A(–2, 3), B(1, 4) และ C(7, 2) ภาพที่ 1.2.6

( )เปน็ จดุ ยอดของสามเหลยี่ ม คอื O −2 +1 + 7 , 3 + 4 + 2 = O ( 2, 3 ) ดังภาพที 1.2.6
3 3

แบบฝึกหดั ที่ 1.2

1. จงหาพิกัดจดุ C บนสว่ นของเส้นตรง A(6, 8) และ B(2, – 4) ทท่ี ำให้ AC : CB = 1 : 3

2. จงหาพิกดั จุด C บนส่วนของเส้นตรง A(0, 7) และ B(8, – 3) ทท่ี ำให้ AC : CB = 3 : 5

3. จงหาพิกดั จดุ C, D, E ท่แี บง่ สว่ นของเส้นตรง A(– 1, –2) และ B(17, – 6) เป็น 4 ส่วนเทา่ ๆกัน

4. จงหาพกิ ดั จุด C, D, E, F ที่แบง่ ส่วนของเสน้ ตรง A(– 12, 10) และ B(8, – 5) เป็น 5 ส่วนเทา่ ๆกนั

5. สามเหล่ยี มรปู หนง่ึ มจี ดุ ยอดท่ี A(2, 5), B(2, – 2) และ C(8, 4) จงหาความยาวของเส้นมัธยฐาน
จากจุด A ไปยงั ดา้ นตรงข้ามยาวกห่ี น่วย

6. กำหนด A(– 3, 7), B(– 5, 5) เป็นจุดปลายของเสน้ ตรง จงหาพิกัดของจุดบนส่วนของเส้นตรง AB
ซงึ่ ห่างจาก A เทา่ กับ 5 เทา่ ของระยะห่างระหวา่ ง A และ B

8

7. สว่ นของเส้นตรง A(– 2, 3), B(2, 0) ถกู ต่อออกไปทง้ั สองขา้ งโดยทีส่ ว่ นทต่ี อ่ ออกไปท้ังสองขา้ ง
ยาวเป็น 4 เทา่ ของความยาว AB หาพกิ ดั ของจุดปลายท้ังสองของเสน้ ตรงทต่ี ่อออกไป

8. กำหนด A(–1, –2), B(2, 5) และ C(5, 3) เป็นจดุ ยอดของสามเหล่ียม จงหาจดุ ตดั ของเสน้ มัธยฐาน

142

1.3 การหาพืน้ ทขี่ องรูปหลายเหล่ยี ม

การหาพ้นื ที่รปู หลายเหล่ยี มทำได้โดย
1. นำจดุ ยอดของรปู เหลย่ี มมาเขียนในแนวตง้ั ในทศิ ทวนเขม็ นาฬิกาโดยถ้าท่ีเร่ิมจากจุดไหน
ใหป้ ดิ ทา้ ยดว้ ยจุดน้ัน
2. พื้นที่ของรูปเหลี่ยมจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลบวกของผลคูณในแนวทแยงลง ลบด้วย
ผลบวกของผลคูณในแนวทแยงข้นึ

x1 y1
y2
พื้นที่สามเหลีย่ ม ABC = 1 x2 y3
2 x3 y1

x1

ภาพท่ี 1.3.1 สามเหล่ียม ABC 1
2
ดงั นนั้ พนื้ ทส่ี ามuเหลยี่ ม ABC = ( x1y2 + x2 y3 + x3 y1 ) − ( x1y3 + x3 y2 + x2 y1 )

ตัวอย่างที่ 1.3.1 กำหนด A(– 1, 6), B(6, 2) และ C(– 4, – 2) เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยม จงหา
พื้นท่ขี องสามเหล่ยี ม ABC

วิธที ำ
วาดรปู สามเหล่ยี มทีม่ ี A(– 1, 6), B(6, 2) และ C(– 4, – 2) เป็น
จุดยอด ดังภาพที่ 1.3.2

จากกราฟจุดเรยี งแบบทวนเขม็ นาฬิกาคอื A(– 1, 6), C(– 4, – 2)
และ B(6, 2)

−1 6

ดงั นัน้ พนื้ ทส่ี ามเหล่ยี ม ABC = 1 −4 −2 ภาพท่ี 1.3.2
2 6 2

−1 6

= 12(2 − 8 + 36) − (−24 −12 − 2)
1
= 2 (30 ) − ( −38) =34 ตารางหนว่ ย

ดังนั้น พื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC ที่มี A(– 1, 6), B(6, 2) และ C(– 4, – 2) เป็นจุดยอดของ

สามเหล่ยี ม เปน็ 34 ตารางหนว่ ย

143

ตัวอย่างที่ 1.3.2 กำหนด A(– 1, 1), B(3, – 3) และ C(4, 5) เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยม ABC และ
D, E และ F เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน AB, BC และ AC ตามลำดับ จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC

และ สามเหลยี่ ม DEF
วิธที ำ
วาดรูปสามเหลีย่ มทมี่ ี A(– 1, 1), B(3, – 3) และ C(4, 5)

เปน็ จุดยอด ดังภาพท่ี 1.3.3

จากกราฟจดุ เรยี งแบบทวนเขม็ นาฬิกาคอื A(– 1, 6), C(– 4, – 2)
และ B(6, 2)

−1 1 ภาพที่ 1.3.3

ดังนน้ั พ้นื ทส่ี ามเหล่ียม ABC = 1 3 −3
2 4 5

−1 1

= 1 (3 + 15 + 4) − ( −5 −12 + 3)
2
1
= 2 (22 ) − ( −14) =18 ตารางหนว่ ย

( )จาก D, E และ F เปน็ จดุ ก่ึงกลางของดา้ น AB, BC และ AC ตามลำดับ จะได้ D(1,1) , E 7 ,1
2
( ) ( ) ( )และ F3,3 7 ,1 3,3
2 และจุดเรยี งแบบทวนเขม็ นาฬิกาคอื D(1,1) , E 2 และ F 2

1 −1

7 1
3
ดังนนั้ พนื้ ทสี่ ามเหล่ียม DEF = 1 2
2 3

2

1 −1

1( ) ( )=1+ 21 − 3 − 3 + 3 − 7  = 9 ตารางหนว่ ย
2  2 2 2 2  2
9
ดังนั้น พื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC และ สามเหลี่ยม DEF เป็น 18 ตารางหน่วย และ 2 ตาราง

หน่วย ตามลำดับ ดังภาพที่ 1.3.3

144

ตัวอยา่ งที่ 1.3.3 กำหนด A(4, 8), B(– 6, 2), C(– 2, – 4) และ D(6, – 3) เป็นจุดยอดของสเ่ี หลยี่ ม
จงหาพ้นื ทข่ี องสี่เหล่ยี ม ABCD

วธิ ที ำ

วาดรปู สเี่ หล่ยี มทม่ี ี A(4, 8), B(– 6, 2), C(– 2, – 4) และ D(6, – 3)
เป็นจดุ ยอด ดังภาพท่ี 1.3.4

จากกราฟจดุ เรียงแบบทวนเข็มนาฬิกาคอื A(4, 8), B(– 6, 2),
C(– 2, – 4) และ D(6, – 3)

4 8
2
−6 −4 ภาพท่ี 1.3.4
−3
พนื้ ทีส่ ามเหลยี่ ม ABC = 1 −2
2 6

48

= 1 ( 8 + 24 + 6 + 48) − ( −48 − 4 − 24 − 12 )
2
1
= 2 86 − ( −88)

=87 ตารางหนว่ ย

ดังนั้น พื้นที่ของสามเหลี่ยม ABCD ที่มี A(4, 8), B(– 6, 2), C(– 2, – 4) และ D(6, – 3) เป็นจดุ
ยอดของสี่เหลยี่ ม เปน็ 77 ตารางหนว่ ย ดังภาพท่ี 1.3.4

แบบฝกึ หดั ที่ 1.3

1. กำหนด A(– 3, 6), B(– 3, – 4) และ C(1, – 6) เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยม จงหาพื้นที่ของ
สามเหล่ียม ABC

2. กำหนด A(– 2, 4), B(12, – 1) และ C(0, 5) เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยม จงหาพื้นที่ของ
สามเหลี่ยม ABC

3. กำหนด A(– 2, 2), B(2, – 2) และ C(3, 6) เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยม ABC และ P, Q และ R

เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน AB, BC และ AC ตามลำดับ จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC และ
สามเหลี่ยม PQR
4. กำหนด A(1, 2), B(7, 2), C(11, 7) และ D(5, 7) เป็นจุดยอดของสี่เหลี่ยมจงหาพื้นที่ของสีเ่ หลียม

ABCD
5. กำหนด A(2, 7), B(– 8, 1), C(– 4, – 5) และ D(4, – 4) เป็นจุดยอดของสี่เหลี่ยม จงหาพื้นท่ี

ของสเ่ี หล่ยี ม ABCD

145

1.4 ความชันของเสน้ ตรง เสน้ ตรงขนานกนั และเสน้ ตรงทีต่ ัง้ ฉากกัน

พิจารณาจุด A(x1, y1) ในระนาบ เราสามารถลากส่วนของเส้นตรงผ่านจุด A ได้ไม่จำกัด
จำนวนเสน้ แต่ถา้ เรากำหนด B(x2, y2) เพ่มิ อกี จดุ จะมีส่วนของเส้นตรงเพียงเส้นเดยี วเทา่ นั้นท่ผี ่านจุด

A และ B นอกจากนี้ถ้าเรากำหนดจุด A(x1, y1) และความชัน ก็จะมีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวเท่านัน้ ท่ี
ผ่านจุด A และความชนั เท่ากับท่ีกำหนด ซ่ึงความชันของเสน้ ตรงจะนยิ ามได้ดงั นยิ ามท่ี 1.4.1

นยิ ามท่ี 1.4.1 ให้ L เปน็ เส้นตรงท่ีผา่ นจดุ A(x1, y1) และ B(x2, y2) โดยท่ี x1  x2 , m เปน็ ความ
ชนั ของเสน้ ตรง L ก็ตอ่ เมือ่

m= y1 − y2 หรือ y2 − y1
x1 − x2 x2 − x1
จากนยิ ามไดว้ า่

1. ถ้า x1 = x2 เส้นตรงจะขนานแกน Y หรือต้ัง
ฉากกันแกน X และหาความชันของเส้นตรงนี้ไม่ได้

เ น ื ่ อ ง จ า ก ไ ม ่ น ิ ย า ม ค ว า ม ช ั น ข อ ง เ ส ้ น ต ร ง เ มื่ อ
x1 = x2 หรือกล่าวอีกอย่างหนึ่งว่าเส้นตรงนี้ไม่มี
ความชัน

ภาพที่ 1.4.1 เสน้ ตรงขนานแกน y

2. ถ้า y1 = y2 เส้นตรงจะขนานแกน X หรือตั้ง
ฉากกนั แกน Y และหาความชนั ของเส้นตรงมคี า่ เป็น
ศูนย์

ภาพที่ 1.4.2 เส้นตรงขนานแกน x

3. ความชนั ของเส้นตรงทท่ี ำมมุ แหลมกบั แกน X จะ
มคี ่ามากกวา่ ศูนย์

จากภาพท่ี1.4.3 จะเห็นว่า x1 − x2 และ
y1 − y2 จะเปน็ ลบท้งั คู่ (หรอื ถา้ สลบั จุด A และ B
x1 − x2 และ y1 − y2 จะเปน็ ลบบวกทงั้ คู่) และ
y1 − y2 y2 − y1
จาก m = x1 − x2 = x2 − x1 ภาพที่ 1.4.3 เส้นตรงทำมมุ แหลมกับแกน x

จะได้วา่ m มีคา่ เปน็ บวกเสมอ นนั่ คือเสน้ ตรงทที่ ำ

มุมแหลมกบั แกน X

146

4. ความชนั ของเส้นตรงทท่ี ำมุมป้านกบั แกน X จะมี
ค่าน้อยกว่าศนู ย์

จากภาพท่ี 1.4.4 จะเห็นวา่ x1 − x2
มคี ่าเป็นลบและ y1 − y2 มีค่าเปน็ บวก (หรอื ถา้
สลบั จดุ A และ B x1 − x2มีค่าเป็นบวกและ
y1 − y2 มีค่าเปน็ ลบ) และ จาก
y1 − y2 y2 − y1 ภาพที่ 1.4.4 เสน้ ตรงทำมุมปา้ นกับแกน x
m = x1 − x2 = x2 − x1

จะไดว้ า่ m มีคา่ เป็นลบเสมอ นนั่ คือเส้นตรงทที่ ำมุม

ป้านกับแกน X

ตัวอย่างท่ี 1.4.1 จงหาความชนั ของเส้นตรงทผ่ี ่านจดุ A(4, 8) และ B(2, – 3)
วิธที ำ

m = (−3) − 8
2−4

= 11
2

ดงั นั้น ความชนั ของเสน้ ตรงทผ่ี ่านจุด A(4, 8) และ B(2, – 3) ภาพท่ี 1.4.5
เทา่ กับ 11 (ทำมมุ แหลมกบั แกน X) ดังภาพท่ี 1.4.5

2

ตวั อยา่ งท่ี 1.4.2 จงหาความชนั ของเส้นตรงทผ่ี ่านจุด A(6, – 2) และ B(– 1, 5)
วิธที ำ

m = 5 − (−2)
−1 − 6

= 7 = −1
−7

ดงั น้ัน ความชันของเส้นตรงทผี่ า่ นจุด A(2, – 4) และ B(– 1, 2) ภาพท่ี 1.4.6
เท่ากบั −1 (ทำมมุ ปา้ นกบั แกน X) ดงั ภาพที่ 1.4.6

147

ทฤษฎบี ทท่ี 1.4.1 เส้นตรงสองเส้นทไ่ี ม่ขนานแกน Y จะขนานกนั กต็ อ่ เมอ่ื ความชนั ของเสน้ ตรงทงั้
สองเท่ากนั

พิสจู น์ ใหเ้ ส้นตรง l1และเส้นตรง l2 เปน็ เส้นตรงสองเสน้ ท่ีไมข่ นานแกน Y และมีความชนั เทา่ กบั m1
และ m2 ตามลำดบั จะแสดงว่าถา้ เสน้ ตรง l1ขนานกับเส้นตรง l2 แล้ว m1 = m2
ให้เส้นตรง l1 ขนานกบั เส้นตรง l2 เราจะพสิ ูจน์โดยแบ่งเป็น 2 กรณีดงั นี้
1. กรณี l1 และ l2 ขนานแกน X

จากสมบัตเิ สน้ ตรงขนานแกน X จะมคี วามชนั เป็น 0

จะได้ m1 =0 และ m2 =0

ดงั นนั้ m1 = m2

2. กรณี l1 และ l2 ไม่ขนานแกน X

ให้ เสน้ ตรง l1 ตดั แกน X ที่จดุ A( x1,0)

และ เสน้ ตรง l2 ตดั แกน X ทจี่ ดุ B( x2 ,0)

และ C ( x3 ,0) เปน็ จดุ บนแกน X และเปน็ คนละจุด

กบั จุด A และ B

ลากเสน้ ตรงตงั้ ฉากกบั แกน X ผ่านจุดC ( x3 ,0)

และตดั สน้ ตรง l1 และ เสน้ ตรง l2

ที่จุด E ( x3 , y2 ) และ D( x3 , y1 ) ตามลำดบั ภาพท่ี 1.4.7

จาก เส้นตรง l1 ขนานกับเส้นตรง l2 มแี กน X และ เส้นตรง CE เปน็ เสน้ ตัด
จะได้  ACE คล้ายกับ  BCD

จะได้ AC = EC ดงั นนั้ EC = DC
BC DC AC BC
จาก A( x1,0) และ E ( x3 , y2 ) เปน็ จดุ บนเสน้ ตรง l1
y2 − 0 EC
จะได้ m1 = x3 − x1 = AC

จาก B( x2 ,0) และ D( x3 , y1 ) เปน็ จุดบนเสน้ ตรง l2
DC
จะได้ m2 = y1 − 0 = BC
x3 − x2
ดงั นั้น m1 = m2
ในทำนองเดยี วกนั เราสามารถพสิ จู นไ์ ด้วา่ ถา้ m1 = m2 แลว้ เส้นตรง l1ขนานกับเสน้ ตรง

148

ทฤษฎีบทที่ 1.4.2 เส้นตรงสองเส้นท่ีไม่ขนานแกน Y จะต้งั ฉากกัน กต็ ่อเมอื่ ผลคูณของความชนั ของ
เสน้ ตรงทง้ั สองเท่ากบั – 1
พิสูจน์ ใหเ้ สน้ ตรง l1และเสน้ ตรง l2 เปน็ เสน้ ตรงสองเส้นที่ไมข่ นานแกน Y และมีความชนั เทา่ กบั m1
และ m2 ตามลำดบั

จะแสดงว่าถ้าเส้นตรง l1 ต้งั ฉากกบั เสน้ ตรง l2 แลว้

m1  m2 = −1

ใหเ้ ส้นตรง l1ตง้ั ฉากกับเสน้ ตรง l2

สร้างเสน้ ตรง l1และ l2ผา่ นจุดกำเนิด และขนานกบั

เสน้ ตรง l1และ l2 ตามลำดบั

สร้างเสน้ ตรงตง้ั ฉากแกน x ผา่ นจุด (1, 0) และตดั เส้นตรง

l1 และ l2 ที่จดุ P(1, y1 ) และ Q(1, y2 ) ตามลำดบั ภาพที่ 1.4.8

จาก เส้นตรง l1 ขนานกบั เสน้ ตรง l1จะไดเ้ ส้นตรง l1 มคี วามชันเปน็ m1 y1 − 0
1−0
จาก จดุ (0, 0) และ P(1, y1 ) เป็นจดุ บนเส้นตรง l1 จะได้เสน้ ตรง l1 มีความชันเปน็ = y1

ดงั นั้น m1 = y1 จะได้พกิ ัดจุด P คอื P(1,m1 )
จาก เส้นตรง l2 ขนานกบั เสน้ ตรง l2 จะได้เสน้ ตรง l2 มีความชันเป็น m2
y2 −0
จาก จดุ (0, 0) และ Q(1, y2 ) เป็นจดุ บนเส้นตรง l2 จะได้เส้นตรง l2 มีความชันเปน็ 1−0 = y2

ดงั นนั้ m2 = y2 จะได้พิกัดจุด Q คือ Q(1,m2 )
จากเส้นตรง l1 ตง้ั ฉากกบั เสน้ ตรง l2 และเสน้ ตรง l1 และ l2 ขนานกบั เส้นตรง l1และ l2
จะไดเ้ สน้ ตรง l1 ต้งั ฉากกบั เสน้ ตรง l2
ดงั นน้ั สามเหล่ยี ม POQ เปน็ สามเหลย่ี มมมุ ฉาก
จากทฤษฎบี ทพทิ าโกลสั จะได้ PQ2 = OP2 + OQ2

2 (0 −1)2 + (0 − m2 )2 2
( ) ( )=
m2 − m1 2 (0 −1)2 + (0 − m1 )2 +

(m2 − m1 )2 = (0 −1)2 + (0 − m1 )2 + (0 −1)2 + (0 − m2 )2

m22 − 2m1m2 + m12 = 1 + m12 + 1 + m22
−2m1m2
=2

m1m2 = −1

ในทำนองเดียวกนั เราสามารถพสิ จู น์ไดว้ ่า ถา้ m1  m2 = −1 แลว้ เสน้ ตรง l1 ต้ังฉากกับเส้นตรง l2