MATH4609_Mathematics for teachers II

Real Number 49

MATH4609

49. 2 − x  − 1
50. | − 5| > 0
51. x + 3  0
52. |3 + | < 0
53. |2 − 5| < −1
54. 3  2x − 1  9
55. 5  3 − 2x  15

50

56. 0 < |2 − 3| < 17
57. 3 − x + 1  1
58. 2x − 1 − 3  4

59. x1
−1 

x −1 2

Real Number 51

MATH4609

60. x + 1 − 3  4

x+2

61. 2x − 5  x + 7

62. 5x − 4  6 − 3x

63. x2 − x − 5  4x − 1

52

64. x2 + 7 x − 144  x2 + 7 x − 144
65. 2x2 + 5x − 12  12 − 5x + 2x2
66. 4x2 + 4x − 15  15 − 4x + 4x2
67. x − 3  2x + 1

Real Number 53

MATH4609

68. 2x − 1  x − 3

69. x + 2  2 x − 3

70. x +1
2

x+2

71. x2 − 5x + 4  x2 − 8x − 22

54

72. x2 − 3x + 28  x2 + 8x − 5

73. 2x +1 1


3x + 6 3

74. 11 0
−

x+1 x −3

75. x  1

x−4

76. x −1
0

x −2

Real Number 55

MATH4609

77. x  2

x −5

78. | −1| > 0
1−

79. |2 −1| > 1
2−4

80. x − 3  x

3− x

56

81. 3 x − 2  1 − x

2−x

82. 3 1 − x  − x

x −1

83. x − 2 ( x − 1)
0

x−2

84. x  2x + 4 + 2

2x + 4

Real Number 57

MATH4609

85. x2 −1
− 1 0

x −1

86. 3x − 2  2

x −1

87. x − 3 + 2x + 5  7

88. x − 1 + 2x + 3  5

58

89. 2x − 7x − 1  3

90. 3| − 1| − 2| + 2| − 2| − 5| > 5

91. |2 −3| ≥ 0
| −1|−3

Real Number 59

MATH4609

92. x+3 −2
1

x−4

93. 3x − 2  5

x +1 −1

94. 4  x − 1

x +1 −2

60

95. | −3|−1 ≥ 0
| −1|−3| +2|

96. 5−|2 −3| ≥ 0
| −1|+2| −2|

97. x2 − 2 x − 35  0

Real Number 61

MATH4609

98. x2 + 5 x − 126  0
99. (x + 1)2 + 4 x + 1 − 54  0
100. (3 − x)2 − 9 − 3x − 208  0

62

101. x2 − 2x + 1 x −1 − 63  0
+2
x2 + 4x + 4 x + 2

102. x − 1 − 1  x − 1 + 1  50

สัจพจนค์ วามบรบิ ูรณ์ (The axiom of completeness)
นยิ าม S ซ่ึงเป็นสบั เซตของ R มขี อบเขตบน (bounded above) กต็ อ่ เม่ือ มจี ำนวนจริง a ซ่งึ x
 a สำหรับจำนวนจริง x ทกุ ตัวใน S เรยี กจำนวนจริง a นี้วา่ ขอบเขตบน (upper bound) ของ S

นยิ าม ถา้ S เป็นสบั เซตของ R จำนวนจรงิ a เป็นขอบเขตบนนอ้ ยสุด (least upper bound
หรือ supremum) ของ S กต็ อ่ เม่ือ

1) a เป็นขอบเขตบนของ S
2) ถา้ b เปน็ ขอบเขตบนของ S แล้ว a  b
ตัวอยา่ ง
1) ถ้า S คือชว่ งปิด [1 , 5] จะไดว้ า่ 5 และจำนวนจรงิ ทุกตัวที่มากกว่า 5 เปน็ ขอบเขต
บนของ S ดงั น้ัน S มีขอบเขตบน และมี 5 เป็นขอบเขตบนน้อยสดุ (ในกรณนี ี้ ขอบเขต
บนน้อยสุดเป็นสมาชิกของ S)
2) ถ้า S คือช่วงเปิด (1 , 5) จะไดว้ า่ 5 และจำนวนจรงิ ทุกตวั ท่มี ากกว่า 5 เปน็
ขอบเขตบนของ S ดงั นั้น S มขี อบเขตบน 5 เปน็ ขอบเขตบนนอ้ ยสดุ (ในกรณนี ี้ ขอบเขต
บนนอ้ ยสดุ ไมเ่ ป็นสมาชกิ ของ S)
3) เซตของจำนวนจริง R ไมม่ ีขอบเขตบน และจะไม่มีขอบเขตบนค่านอ้ ยสุด

Real Number 63

MATH4609

ทฤษฎบี ท ถ้า S  R และ S มขี อบเขตบนนอ้ ยสุด แลว้ ขอบเขตบนน้อยสดุ จะมเี พียงตัว
เดยี ว
หมายเหตุ 1) จะใชส้ ญั ลกั ษณ์ sub S หรอื lub S แทน ขอบเขตบนนอ้ ยสุดของ S

2) ถา้ S ไมม่ ขี อบเขตบน S จะไมม่ ีขอบเขตบนน้อยสดุ ถา้ S มขี อบเขตบน S
เราอยากจะกลา่ ววา่ S มขี อบเขตบนนอ้ ยสุด แต่ประโยคหลังน้ีไมจ่ รงิ เพราะ ถ้า S = 
จำนวนจรงิ ทกุ ตวั เป็นขอบเขตบนของ S แต่ S ไมม่ ขี อบเขตบนนอ้ ยสุด เราจงึ ใหส้ ัจพจน์ขอ้
สดุ ท้ายสำหรบั ระบบจำนวนจรงิ ดงั น้ี

สจั พจนค์ วามบรบิ รู ณ์ (axiom of completeness)
ถา้ S  R , S   และ S มีขอบเขตบน แลว้ S จะมขี อบเขตบนน้อยสดุ

นยิ าม S ซง่ึ เป็นสบั เซตของ R มีขอบเขตล่าง (bounded below) กต็ อ่ เม่อื มีจำนวนจรงิ a ซ่ึง a
 x สำหรบั จำนวนจรงิ x ทกุ ตัวใน S เรยี กจำนวนจรงิ a นว้ี ่า ขอบเขตบน (lower bound) ของ
S

นิยาม ถ้า S เปน็ สบั เซตของ R จำนวนจรงิ a เปน็ ขอบเขตบนมากสุด (greatest lower
bound หรอื infimum) ของ S ก็ตอ่ เมื่อ

1) a เป็นขอบเขตล่างของ S
2) ถา้ b เป็นขอบเขตลา่ งของ S แล้ว b  a
ตัวอยา่ ง
1) ถา้ S คือชว่ งปิด [1, 5] จะได้ว่า1 และจำนวนจรงิ ทกุ ตวั ทีน่ อ้ ยกวา่ 1 เปน็ ขอบเขตล่าง
ของ S ดงั น้ัน S มีขอบเขตล่าง และมี 1 เปน็ ขอบเขตลา่ งมากสดุ (ในกรณีน้ี ขอบเขตลา่ ง
มากสุดเป็นสมาชิกของ S)
2) ถ้า S คือช่วงเปดิ (1 , 5) จะไดว้ ่า 1 และจำนวนจริงทุกตวั ที่น้อยกวา่ เป็นขอบเขต
ลา่ งของ S ดงั นนั้ S มขี อบเขตลา่ ง และมี 1 เป็นขอบเขตล่างมากสดุ ในกรณีน้ี ขอบเขต
ลา่ งมากสุดไมเ่ ป็นสมาชิกของ S

ทฤษฎบี ท ถา้ S  R , S   และ S มขี อบเขตล่าง แล้ว S จะมขี อบเขตล่างมากสดุ

64

แบบฝกึ หัด
จงหาขอบเขตบน ขอบเขตบนคา่ น้อยสุด ขอบเขตล่าง และขอบเขตล่างคา่ มากสดุ

1. {1, 2, 3, …, 20}

2. (4, 28)

3. [4, 28]

4. (– , 10)

 5.
n
nN

n +1

 6.
2n + 1
nN

n

 7.
1
x x =1− ,n N
2n

( )8. n 
x x = − 2, n  N 
3

2 

( )9. n
 
x x = 1 − 4 ,n N

 3

ฟงั กช์ ัน(Function)

นยิ าม ฟังก์ชนั คือ ความสัมพันธ์ทถ่ี ้าสมาชิกตวั หน้าเท่ากนั แล้วสมาชิกตวั หลงั ต้องไม่ต่างกนั
น้นั คือถ้า (x, y) r และ (x ,z) r แล้ว y = z

ตัวอย่าง 1 จงพิจารณาความสมั พนั ธต์ อ่ ไปน้ีความสมั พนั ธใ์ ดเปน็ ฟงั กช์ นั

1. r = {(1, 2) ,(2, 3),(3, 4),(4, 5)} 6. r = {(1, 1), (4, 2), (9, 3), (4, 2)}

2. r = {(2, 2) ,(3, 3),(4, 4),(5, 5)} 7. r = {(1, 1), (3, 3), (5, 5)}

3. r = {(1, 2) ,(2, 3),(3, 4),(4, 5)} 8. r = {(1, 2), (2, 4), (4, 8), (6, 8)}

4. r = {(1, 2) ,(1, 4),(3, 4),(3, 6)} 9. r = {(1, 2), (1, 4), (2, 4), (3, 4)}

5. r = {(1, 2), (2, 2), (1, 4), (2, 5)} 10. r = {(2, 6), (4, 6), (6, 6), (2, 6)}

ถา้ ความสมั พันธ์เขียนในรปู แบบบอกเงือ่ นไขมีวิธีตรวจสอบได้ 3 วธิ ีคอื
1. จัดรปู y ในเทอมของ x แล้ว ลองแทนคา่ ถา้ x 1 คา่ ได้ y 1 ค่า สำหรบั ทกุ ๆ x ใน r สรปุ ไดว้ า่ r เป็น

ฟงั ก์ชัน แต่ถา้ มเี พยี ง x เดยี วทท่ี ำใหไ้ ด้ y มากกวา่ 1 ค่า สรปุ ว่า r ไม่เป็นฟังกช์ ัน
2. พสิ จู น์ โดยให้ (x, y)r และ (x, z)r แล้วแสดงไดว้ า่ y = z สรปุ ว่า r เป็นฟังกช์ ัน
3. วาดกราฟของความสมั พันธ์ r แล้วลากเส้นตรงขนานแกน y ถา้ ไมม่ เี ส้นใดเลยตัดกราฟเกนิ 1 จุดสรปุ วา่

r เป็นฟงั กช์ ัน

ตวั อย่างท่ี 2 จงแสดงวา่ f = { (x, y)  RR  y = (x + 2)2 – 1 } เป็นฟงั ก์ชัน
วธิ ที ่ี 1 จาก y = (x + 2)2 – 1

สำหรับแตล่ ะค่าของ x จะหาค่า (x + 2)2 – 1 ไดเ้ พียงค่าเดยี ว ดังน้ัน f เป็นฟงั กช์ ัน
วิธที ี่ 2 ให้ (x, y)  f แสดงว่า y = (x + 2)2 – 1 ------- (1)

ให้ (x, z)  f แสดงว่า z = (x + 2)2 – 1 -------(2)
จาก (1) และ (2) จะพบวา่ y = zดังน้นั f เป็นฟงั กช์ ัน
วธิ ีท่ี 3 y จากรูปไมม่ เี สน้ ตรงทขี่ นานแกน y

ใดเลยที่ตดั กราฟเกนิ 1 จดุ
1 X ดงั น้นั f เป็นฟังก์ชนั

-2

66

แบบฝกึ หัด
จงตรวจสอบวา่ ความสมั พนั ธต์ อ่ ไปนเ้ี ป็น ฟงั ก์ชนั หรอื ไม่(ใช้วธิ ีตรวจสอบทัง้ 3 วิธี)
1. r = { (x, y) y = 3x + 5 }

2. r = { (x, y) y2 + 4x2 + 12x = 0 }

3. r = { (x, y) y = (x – 3)2+ 9 }

4. r = { (x, y) y = x2 – 6x + 1 }

5. r = { (x, y) y2 + 4x2 + 12x = 0 }

6. r = { (x, y) y = |x + 2| }

7. r = { (x, y)  |y| = |x + 2| }

8. r = { (x, y) y2 = 2x – 3 }

Function 67

MATH 4609

คา่ ของฟังก์ชัน
ถ้า f เป็นฟงั ก์ชัน โดยที่ (x, y) f แลว้ เขยี น y ในรูปแบบ y = f(x)

นยิ าม f(x) หมายถึงค่าของฟังก์ชัน f ท่ี x

แบบฝึกหดั
1. กำหนด f(x) = 2x + 3 จงหาค่าของ f(-1) , f(3) , f(4)

1 เมอ่ื x  1 จงหาค่าของ f(– 1), f(0), f(1), f(4), f(6)
2. กำหนด f(x) = x เมอื่ 1 x  4

2 เมอื่ x  4

2 เมอ่ื x  1

3. กำหนด f(x) =  2x เมอ่ื 1 x  6 จงหาคา่ ของ f (6) −f (−5)
7 − x f (3)

− 2 เมอ่ื x  6

x −1 เมื่อ x  2
 x
4. กำหนด f(x) = 1 เมื่อ 2  x  9 จงหาคา่ ของ 2 f (2) − f (9)
x +x 40 เมื่อ x  9 f (3)
2−

5. กำหนด f(x) = x2 – 1 , g(x) = x + , h(x) = 1 – 3x จงหาคา่ ของ f(g(1)), f(h(2)), f(g(h(3)), h(f(g(–
1 )), f(g(1) + h(– 1)) , g(f(h(4) – 3))

68

6. กำหนด f(x – 1) = 2x – 5 จงหาค่าของ f(2)
7. กำหนด f(2x + 1) = 3x + 2 จงหาคา่ ของ f(7)
8. กำหนด f(2 – 3x) = x2 + 2x – 1 จงหาค่าของ f(– 7 )

9. กำหนด f(x) = 4x + 1 จงหาค่าของ f(x – 1)
10. กำหนด f(x) = x 2 + 2x + 3 จงหาคา่ ของ f(x+1)
11. กำหนด f(x + 1) = 2x + 5 จงหาคา่ ของ f(x)

Function 69

MATH 4609

12. กำหนด f(2x – 1) = 4x + 3 จงหาค่าของ f(x)

13. กำหนด f(x – 1) = x 2+ 2x + 5 จงหาค่าของ f(x), f(– 2)

14. กำหนด f(x + 2) = x 2 – x – 3 จงหาค่าของ f(x)

15. กำหนด f( x −2 ) = 4x – 9 จงหาคา่ ของ f(x) , f(0)
2

16. กำหนดให้ f ( x + 1) = x2 + 1 จงหา f (2)

( )17. กำหนดให้ f x = 1 เมอ่ื x  0,1 จงหา f (x)
x −1 x

70

18. กำหนดให้ f ( x − 2) = 2x − 1 จงหา f (x2 )

19. กำหนด f(x) = 3 โดยที่ f(1) = – 3 , f(3) = 3 ถา้ g(x) = x และ A = {x f(x) = g(x) } จง
ax + b
เขยี นเซต A แบบแจกแจงสมาชิก

20. กำหนด f(x) = 12 โดยท่ี f(0) = -3 , f(2) = -6 ถ้า g(x) = x และ A = {x f(x) = g(x) } จง
ax + b
หาผลบวกของเซต A

21. กำหนด f(x) = 3x + 2 จงหาค่าของ f(x + 1) ในเทอมของ f(x)
22. กำหนด f(x – 1) = (x + 2) 2 จงหาค่าของ f(x + 1) ในเทอมของ f(x)

Function 71

MATH 4609

3x − 4, x0
23. ให้ x เปน็ จำนวนจริงใดๆ และ f เป็นฟงั กช์ นั ซึง่ f(x) = x2 , 0  x  2 ถ้า x เปน็ จำนวน

x2 x2 −5x −8, x  2
4
จริงท่ที ำให้ f(x) = 6 แล้ว มีค่าเท่าใด

24. ถา้ g(x) = x2 ,x  0 แลว้ สำหรบั จำนวนจริง x ใดๆ ค่าของ g(x – x )
−x2 ,x  0

2,x  −1
25. กำหนดให้ f(x) = (x −1)2 ,−1 x  2 , จงหาคำตอบของสมการ f(x) – 4 = 0

x +1,x  2

26. กำหนดฟงั ก์ชนั f(x) = 1 36 − 4x2 ถ้า A = {x x[ – 3, 3] และ f(x)  {0, 1, 2, 3}} จงหา
3
n(A)

72

ฟงั ก์ชันจากเซตหน่ึงไปเซตหน่ึง
1. ฟงั กช์ นั จาก A ไป B (Function from A to B)

นยิ าม กาหนด A และ B เป็นเซต f เป็นฟังก์ชนั จาก A ไป B (f: A ⎯in⎯to→ B) กต็ ่อเมื่อ
1. f เป็นฟังก์ชัน
2. Df = A
3. Rf  B

แบบฝึกหดั

1. กำหนด A = { 0, 1, 2, 3, 4 } B= {0, 1, 2, …,7 } จงพิจารณาฟังกช์ ันต่อไปนฟ้ี ังก์ชันใดเป็นฟงั กช์ นั

จากA ไป B

1.1 f = {(x, y)A  By = x2 } 1.3 f = {(x, y)A  By = x + 3 }

1.2 f = {(x, y)A  By = 2x – 1} 1.4 f = {(x, y)A  By = 3x – 2}

2. กำหนด A = {–3, –2, –1, 0 , 1, 2 , 3} B= {0, 1, 2,…, 6} จงพิจารณาฟังกช์ ันตอ่ ไปนฟ้ี งั กช์ นั ใดเป็น

ฟงั กช์ นั จากA ไป B

2.1 f = {(x, y)A  By = |x| } 2.3 f = {(x, y) B  A y = x – 3}

2.2 f = {(x, y)A  By = x – 3} 2.4 f = {(x, y) B  A y = 2x + 1}

3. กำหนด f = {(x, y) xy + y – x – 2 =0 } จงหาเซตA ที่ AR ที่ทำให้ f เป็นฟงั กช์ ันจากA ไป R

4. กำหนด f = {(x, y)  y= x −1 } จงหาเซต A ท่ี AR ที่ทำให้ f เป็นฟังกช์ ันจากA ไป R
2x −3

5. กำหนด f = {(x, y)  x = 2 } จงหาเซต A ท่ี AR ท่ที ำให้ f เปน็ ฟงั กช์ นั จากA ไป R
1+ y2

Function 73

MATH 4609

6. กำหนด f = {(x, y)  x + y = 1 } จงหาเซต A ที่ AR ทีท่ ำให้ f เป็นฟังก์ชนั จากA ไป R

7. กำหนด f = {(x, y)  y 2 + x2 = 9 } จงหาเซต A ท่ี AR ที่ทำให้ f เป็นฟังก์ชนั จากA ไป R

2. ฟงั กช์ นั จาก A ไปทว่ั ถงึ B (Function from A onto B)

นิยาม กาหนด A และ B เป็นเซต f เป็นฟังก์ชนั จาก A ไป ทว่ั ถงึ B (f : A ⎯on⎯to→ B )
กต็ ่อเม่อื

1. f เป็นฟังก์ชัน
2. Df = A
3. Rf = B

แบบฝกึ หัด

1. กำหนด A = { 1 ,3 ,5 ,7 ,9 } B= {0, 2, 4, 6, 8,10 } จงพจิ ารณาฟังก์ชนั ต่อไปนฟ้ี งั ก์ชนั ใดเปน็

ฟังก์ชันจากA ไปทว่ั ถึง B

1.1 f = {(x, y) AXBy = 2x} 1.2 f = {(x, y) BXAy = x – 1}

2. กำหนด A = { -2,-1, 0, 1, 2 } B = {0, 1, 2, 3, 4 } จงพิจารณาฟังก์ชนั ตอ่ ไปนี้ฟงั กช์ นั ใดเปน็ ฟงั ก์ชัน

จากA ไปทั่วถงึ B

1.1 f = {(x, y) AXBy = x – 2 } 1.2 f = {(x, y) BXAy= x – 2}

3. กำหนด f = {(x, y)  y = x − 3 + 5 } จงหาเซต A, B ที่ทำให้ f เป็นฟังก์ชนั จากA ไปท่วั ถึง B

74

4. กำหนด f = {(x, y)  y= 9 − x 2 + 3 } จงหาเซต A, B ท่ีทำให้ f เปน็ ฟงั ก์ชันจากAไปท่ัวถึงB

5. กำหนด f = {(x, y)  y = 4 } จงหาเซต A, B ทที่ ำให้ f เปน็ ฟังก์ชนั จากA ไปท่วั ถึง B
x+2 −3

6. กำหนด f = {(x, y)  y= x − 2 + 1− 2 } จงหาเซตA, Bท่ีทำให้ fเป็นฟงั กช์ นั จากAไปทวั่ ถงึ B

3. ฟงั ก์ชนั หนง่ึ ตอ่ หน่ึงจาก A ไป B

นิยาม f เป็นฟังก์ชันหน่ึงต่อหน่ึงจาก A ไป B กต็ ่อเมือ่ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ซ่ึง ถ้า
y  Rf แล้วมี x  Df เพยี งตวั เดยี วเท่านน้ั ท่ีทาให้ (x, y)  f
f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B เขียนแทนด้วย f : A ⎯1−⎯→1 B

จากนยิ ามของฟงั ก์ชนั หนึง่ ต่อหน่ึงขา้ งต้นจะไดว้ ่า f เป็นฟงั กช์ ันหนงึ่ ต่อหน่ึงกต็ อ่ เม่ือ
ถา้ (x1, y)  f และ (x2, y)  f แล้ว x1 = x2

f เปน็ ฟงั กช์ นั หน่ึงตอ่ หนึง่ จาก A ไปทั่วถึง B (one-to-one function from A onto B)
เขียนแทนดว้ ย f : A ⎯o1−n⎯t1o→ B หมายถึงฟงั ก์ชนั หนง่ึ ตอ่ หนง่ึ ทม่ี ี Df = A และ Rf = B

การพิจารณาว่าฟงั กช์ ันใดจะเปน็ ฟังกช์ นั หนง่ึ ตอ่ หนง่ึ หรือไม่ทำได้ 3 วิธคี ือ
1. สำหรบั ทกุ y  Rf เมอื่ แทนคา่ y 1 ค่า ตอ้ งได้ x 1 คา่ เสมอ
2. ให้ f(x1) = f(x2) แลว้ แสดงให้ไดว้ า่ x1 = x2
3. พิจารณาไดจ้ ากกราฟของฟังกช์ ันนน้ั โดยลากเสน้ ตรงขนานกบั แกน x ถา้ ไมม่ เี ส้นขนานกับแกน x เสน้ ใด
ตัดกราฟของฟงั ก์ชนั ท่กี ำหนดใหม้ ากกว่าหนง่ึ จดุ

Function 75

MATH 4609

แบบฝึกหดั
จงพจิ ารณาฟงั ก์ชันตอ่ ไปนีว้ า่ ฟังก์ชันใดเปน็ ฟังกช์ นั หนึ่งต่อหนึง่

1. f = { (x, y)  y = 2x + 1 }

2. f = { (x, y)  y = x2 – 2x + 3 }

3. f = { (x, y)  y = – x }

4. f = { (x, y)  y = 2 – x +1 }

5. f = { (x, y)  y =2– 3 }
x

ฟงั กช์ ันเพ่ิมฟงั ก์ชนั ลด

นิยาม f(x) เป็นฟังก์ชันเพมิ่ ใน A กต็ ่อเม่อื สาหรับสมาชิก x1 และ x2 ใดๆใน A
ถ้า x1 < x2 แล้ว f(x1) < f(x2)
f(x) เป็นฟังก์ชันลดใน A กต็ ่อเมื่อสาหรับสมาชิก x1 และ x2 ใดๆใน A
ถ้า x1 < x2 แล้ว f(x1) > f(x2)

แบบฝึกหดั

1. พจิ ารณาฟงั กช์ ันต่อไปนเี้ ปน็ ฟงั ก์ชนั เพิ่มหรอื ลด 1.3. f(x) = x2 – 2x + 4

1.1. f(x) = 2x – 1

1.2. f(x) = 3 – 5x 1.4. f(x) = x3 + 1

76 1.7. f(x) = x2 – 3x – 10 , x (– 2, 2)

1.5. f(x) = x3 – 3x2 + 3x + 3

1.6. f(x) = x2 – 4x – 5 , x  [– 2, ) 1.8. f(x) = 2−x , x  (– , – 4)
2x +7

ชนิดของฟงั กช์ ัน
ฟงั ก์ชนั แบ่งเป็น 2 ชนิด คอื ฟงั ก์ชนั พีชคณติ (algebraic function) และฟงั ก์ชันอดิสัย

(transcendental function)
ฟังก์ชันพีชคณิต (Algebraic function) คอื ฟงั ก์ชนั ทเี่ ขยี นอยู่ในรูปตวั แปรและค่าคงตัว โดยมกี ารบวก ลบ
คณู หาร ยกกำลงั หรื ถอดกรณฑ์ เช่น
1. ฟังกช์ นั เชิงเส้น (Linear function) คอื ฟังกช์ นั อยูใ่ นรปู f(x) = ax + b เมอ่ื a และ b เป็น

จำนวนจรงิ

1.1 ฟงั ก์ชนั เชงิ เสน้ f(x) = ax + b หรือ y = ax + b , a  0
เปน็ สมการเส้นตรง a เป็นความชันของเส้นตรง b เป็นระยะตดั แกน y กราฟของฟังก์ชันเหลา่ น้ี
เปน็ เส้นตรงท่ีไม่ขนานกบั แกน y
ตัวอย่างที่ 1 จงเขยี นกราฟฟงั กช์ ันเชงิ เสน้ f(x) = x - 5และหา ความชนั ของสมการ

y = x – 5 และหาวา่ กราฟตดั แกน y ทไ่ี หน และหาโดเมนและเรนจข์ องฟงั กช์ ัน
วิธที ำ สมการ y = x – 5 มคี วามชนั เท่ากบั 1

ตดั แกน y ทจ่ี ดุ (0, 5)
ตดั แกน x ทจ่ี ุด (- 5, 0)
โดเมน Df = R
เรนจ์ Rf = R

ตัวอยา่ งที่ 2 สม้ กิโลกรมั ละ 3 บาท ถา้ f(x) เป็นราคาส้ม x กโิ ลกรัม จงเขยี นสมการทเ่ี ปน็ เงือ่ นไขของ
ฟังกช์ ัน f

ตวั อย่างที่ 3 แม่ค้าขายลูกชนิ้ ซอ้ื ลูกช้นิ มาราคาลกู ละ 0.50 บาท เสยี ค่าใช้จ่ายในการซื้อลกู ชนิ้ ครัง้ ละ

200 บาท ให้ f(x) เป็นราคาทุนในการขายลกู ชิ้น x ลกู , xเปน็ จำนวนลกู ชน้ิ ท่ซี อื้ มาขาย
1. จงสร้างสมการทนุ ในการขายไสก้ รอก
2. ถ้าขายลกู ชิน้ ลกู ละ 1.25 บาทจำนวน 500 ลูก(ซอ้ื มา 500 ลูกขายหมด)จะไดก้ ำไร

เท่าไร

Function 77

MATH 4609

ตวั อย่างที่ 4 พ่อคา้ ขายเสอื้ โดยตง้ั เกณฑไ์ วว้ า่ จะตดิ ราคาเป็นส่ีเทา่ ของทุนแต่ถา้ มีคนมาซ้ือจะลดใหต้ ัว
ละ 40 บาท ถ้า f(x) เปน็ ราคาขาย จงเขียนสมการที่เปน็ เงอ่ื นไขของฟงั กช์ นั f

1.2 ฟงั กช์ ันคงตวั (constant function) เป็นฟงั กช์ นั เชงิ เส้น f(x) = ax + b และ a = 0 (ความชัน

เปน็ 0) ดังน้นั ฟงั ก์ชันอย่ใู นรปู f(x) = b กราฟของฟงั กช์ ันคงตัวจะเป็นเสน้ ตรงขนานกบั แกน x

และกราฟจะทับแกน x เมอื่ b = 0 y

เขียนสมการได้ f(x) = b (0, b)

x

ตวั อยา่ งท่ี 5 จงเขียนกราฟ f(x) = 2 จงหาความชันของสมการ จดุ ตัดแกน y โดเมนและเรนจ์ของ
สมการ Y
วธิ ที ำ
ความชนั ของสมการ y = 2 คอื 0 ตัดแกน y ที่จดุ (0, 2)
Df = RRf = { 2 }

1.3 ฟงั ก์ชันขัน้ บนั ได (step function) คือฟงั ก์ชนั คงตัวเปน็ ชว่ งๆ กราฟของฟงั ก์ชันนีม้ รี ปู ข้ันบนั ได

ตัวอย่างที่ 6 1 เม่ือ 0  x  2 และ หาโดเมนและเรนจข์ องฟงั กช์ ัน
จงเขียนกราฟ f(x) = 2 เมื่อ 2  x  3

3 เม่ือ 3  x  4

โดเมน Df = { x0 < x  4 }
เรนจ์ Rf = { 1, 2, 3 }

ตวั อยา่ งที่ 7 อัตราค่าไปรษณยี ากรสำหรบั สง่ จดหมายในประเทศดังนี้ (ไมใ่ ชท่ างอากาศ)

คา่ ส่งเป็นบาท

ไมเ่ กนิ 20 กรัม 20.00

เกนิ 20 กรัม แตไ่ ม่เกนิ 100 กรัม 35.00

เกิน 100 กรมั แต่ไมเ่ กิน 250 กรมั 50.00

เกนิ 250 กรมั แตไ่ ม่เกิน 500 กรัม 60.00

เกิน 500 กรัม 70.00

จงเขยี นกราฟแสดงฟงั กช์ ันและเขยี นฟงั ก์ชันในรปู f(x) เมอื่ x เปน็ นำ้ หนกั ของจดหมาย และ f(x) เป็นราคา

ค่าส่งจดหมาย

78

2. ฟงั ก์ชนั คา่ สมั บรู ณ์ (Absolute value function) คือฟังกช์ นั ในรปู คา่ สัมบูรณ์
f(x) = |ax + b| หรอื f(x) = |ax + b| + c

ตัวอยา่ งที่ 8 จงเขยี นกราฟฟงั กช์ ัน f(x) = |x| และหาโดเมนและเรนจ์
f(x) = |x| หรอื y = |x|
Y
โดเมน Df = R
เรนจ์ Rf = { xx  0 }

ตวั อยา่ งท่ี 9 จงเขียนกราฟฟงั ก์ชัน f(x) = |x| + 1 และหาโดเมนและเรนจ์

ตัวอย่างท่ี 10 จงเขยี นกราฟฟงั กช์ นั f(x) = |2 – x| + 2 และหาโดเมนและเรนจ์

ตัวอย่างที่ 11 จงเขยี นกราฟฟงั ก์ชัน f(x) = |x – 3| + 1 และหาโดเมนและเรนจ์

3. ฟงั กช์ ันกำลังสอง (Quadratic function) คือฟงั ก์ชันที่อยใู่ นรปู

f(x) = ax2 + bx + c เมอื่ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ และ a  0

f(x) = ax2 + bx + c ถ้า a > 0 f(x) = ax2 + bx + c ถ้า a < 0

กราฟจะหงาย จุดยอดอยทู่ ี่ กราฟจะคว่ำ จุดยอดอยทู่ ี่

 − b , 4ac − b2   − b , 4ac − b2 
2a 4a 2a 4a

YY

XX

โดเมน Df = R 4ac − b2 โดเมน Df = R 4ac − b2
4a 4a
เรนจ์ Rf = {xx } เรนจ์ Rf = {xx }

ตัวอย่างที่ 12 Function 79

Banana Math

จงเขยี นกราฟฟงั ก์ชนั กำลงั สอง f(x) = x2 และหาโดเมนและเรนจข์ องฟงั ก์ชนั
Y

โดเมน Df = R
X เรนจ์ Rf = {x x > 0}

ตัวอย่างท่ี 13 จงเขยี นกราฟฟงั ก์ชนั f(x) = – x2 + 4x – 2 และ และหาโดเมนและเรนจ์ของฟงั ก์ชัน

ตวั อย่างที่ 14 จงเขยี นกราฟฟังก์ชัน f(x) = x2 – 6x +1 และ และหาโดเมนและเรนจข์ องฟงั กช์ นั

ตวั อยา่ ที่ 15 ในการสร้างส่ีเหลย่ี มผืนผา้ โดยให้ f(x) เป็นพืน้ ทสี่ ีเ่ หลยี่ มผนื ผา้ และ x เป็นความยาวของ
ดา้ นยาว โดย f(x) = x2 – 5x – 14 จงหาว่าถ้าด้านยาว (x) ยาว 10 หนว่ ย สเ่ี หล่ยี มผนื ผ้า
รูปนจ้ี ะมีพืน้ ท่กี ีต่ ารางหนว่ ย

ตวั อย่างท่ี 16 จงเขยี นฟงั ก์ชันแสดงความสมั พันธร์ ะหวา่ งพนื้ ที่ของสามเหลย่ี มดา้ นเท่า (f(x) )กับความยาว
ของด้านของรปู สามเหลี่ยมด้านเทา่ (x) พร้อมทงั้ บอกโดเมนและเรนจข์ องฟงั ก์ชัน

ตัวอยา่ งท่ี 17 เม่ือโยนกอ้ นหินขนึ้ ไปในอากาศเป็นเวลา t ใดๆ ซงึ่ มหี น่วยเปน็ วนิ าที ระยะความสงู ของกอ้ น
หินจากพ้ืนซง่ึ มีหน่วยเป็นเมตรไปตามสมการ h(t) = 1 + 8 t – 4 t2

(1) เม่อื ใดก้อนหนิ จะอยสู่ งู จากพน้ื 1 เมตร
(2) วินาทที ่ี 2 ก้อนหนิ อยสู่ งู จากพ้ืนดอนเท่าใด
(3) กอ้ นหินขนึ้ ไปสูงสดุ เวลาเท่าใดและอยจู่ ากพนื้ ดินเทา่ ใด

80

4. ฟังก์ชนั พหุนาม(polynomial function) คอื ฟังก์ชนั ทเี่ ขยี นในรปู
f(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + + a0

เมอ่ื n เป็นจำนวนเตม็ บวกหรอื ศูนย์ และ an, an – 1, an – 2 , … , a0  R

5. ฟงั กช์ ันเอกลกั ษณ์(Identity function) คือฟงั ก์ชันทเี่ ง่อื นไขเขียนไดใ้ นรูป f(x) = x ซงึ่ กราฟเปน็ รปู
เส้นตรงทำมมุ 45o กับแกน x แบบทวนเขม็ นาฬกิ า
P(x)
6. ฟังกช์ ันเศษสว่น(rational function) คอื ฟังกช์ ันทเี่ ขียนในรูป Q(x) เม่ือ P(x) และ Q(x) เป็นพหนุ าม

ท่ี Q(x)  0 เช่น f(x) = 2x2 −5x −3
x3 +3x2 +3x

ฟังก์ชันอดสิ ัย(Transcendental function) คือฟงั กช์ ันที่ไมใ่ ช่ฟังกช์ ันพีชคณติ เชน่
1. ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมิติ(trigonometric function) คอื ฟังกช์ นั ทเ่ี ขยี นในรปู ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ เชน่
f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x

2. ฟังก์ชันเอกดพเนนเชียล(exponential function) คอื ฟงั ก์ชันทเ่ี ขยี นในรปู f(x) = ax , a > 0, a  1

3. ฟังกช์ นั ลอการทิ มึ (logarithmic function) คอื ฟงั กช์ ันท่เี ขยี นในรูป f(x) = logax , a > 0, a  1

ฟงั กช์ ันผกผัน(Inverse function)

กำหนด f = {(x, y) y = f(x)} เป็นฟังกช์ นั เม่อื สลบั สมาชกิ ตวั หนา้ และตวั หลงั ของคู่อันดบั ทุกคขู่ อง
ฟังก์ชนั จะได้ inverse relation of function ใชส้ ญั ลกั ษณ์ f – 1 โดย f – 1 จะเป็นฟงั กช์ ันหรอื ไมก่ ็ได้
จากนิยามของฟังกช์ ันจะไดว้ ่า f – 1 จะเป็นฟังก์ชันกต็ ่อเมอ่ื f เปน็ ฟงั ก์ชนั 1-1

Note
1. ถา้ f: A ⎯in⎯to→B จะได้ f – 1 เป็นความสมั พันธจ์ าก Rf onto B โดย f – 1 จะเปน็ ฟงั กช์ นั หรอื ไม่กไ็ ด้

ข้นึ กับ f เดมิ เปน็ ฟงั กช์ ัน 1-1 หรอื ไม่
2. ถา้ f: A ⎯on⎯to→ B จะได้ f – 1 เปน็ ความสมั พันธ์จาก Rf onto B โดย f – 1 จะเปน็ ฟงั ก์ชนั หรอื ไม่กไ็ ด้

ขน้ึ กับ f เดมิ เปน็ ฟงั กช์ นั 1-1 หรอื ไม่
3. ถ้า f: A ⎯1in−⎯to→1 B จะได้ f – 1: B ⎯o1−n⎯t1o→A เปน็ ฟงั ก์ชนั เนอ่ื งจาก f เดิมเปน็ ฟงั กช์ นั 1-1
4. ถา้ f: A ⎯o1−n⎯t1o→B จะได้ f – 1: B ⎯o1−n⎯t1o→A เปน็ ฟงั ก์ชนั เนอ่ื งจาก f เดมิ เปน็ ฟังก์ชนั 1-1

Function 81

Banana Math

2x +5 แบบฝึกหัด
x−3
1. กำหนด f(x) = , x 3 จงหาอินเวอรส์ ของฟังกช์ ัน

x 1 x
3x −1 3
2. กำหนดฟงั ก์ชนั f(x) = , x  ถา้ อนิ เวอรส์ ของฟังก์ชันเขียนไดใ้ นรปู f– 1 (x) = 3 และ
−
f(x – 1) = x – 6k จงหาคา่ ของ f(x) x k

3. กำหนด f(x) = 4 – x2 , x > 0 จงหา f – 1 (x) และ D f −1

4. กำหนด f(x) = x จงหา f – 1 (x)
+
x 1

5. กำหนด f(x) = 3x − 4,x 10 จงหา f– 1 (x)

 x + 5, x  10

6. กำหนด f(x) = x2 − 4,2  x 10 จงหา f – 1 (x)
2x −11,0  x  2

82

7. กำหนด f(x – 1) = x3 + 1 จงหา f – 1 (x) และ D f −1

8. กำหนดให้ f ( x ) = 2x +1 จงหา f −1 ( x )
x+3

9. กำหนด f(x) = 5x +1 ถา้ a เปน็ จำนวนจริงท่ีไมเ่ ท่ากบั 4 แลว้ จงหาค่าของ f – 1(a + 1)
x−2

10. กำหนด f(x – 1) = x3 – 3x2 + 3x + 5 จงหาค่าของ f – 1 (5) – f – 1 (– 2)

11. กำหนด f(x + 1) = 3x + 2 + f(x) และ g(3x – 1) = 2x + 8 ถ้า f(0) =1 แล้ว g– 1(f(2)) มีค่าเทา่ กบั
เทา่ ใด

Function 83

Banana Math

12. กำหนดให้ f ( x ) = x2 + 3x − 3 โดยท่ี x < 0 จงหำค่ำของ f −1 (1)

13. กำหนดให้ f ( x ) = 1 −2x ; x  −2 โดยที่ x < 0 จงหำคำ่ ของ f −1 (10) + f −1 (3)
 2 +1 ; x  −2
 x

 −1 + 1+ 4x2 ; x  0 ถำ้ f −1 (a) = 2 แลว้ a มคี ำ่ เท่ำกบั เท่ำไหร่
 2x ;x=0 3
14. กำหนดให้ f ( x ) = 

 0

15. กำหนดให้ f และ g เปน็ ฟังก์ชนั นิยามโดย f ( x ) =  x −1 ;x 0
 x3 −1
 และ

;x 0

g( x) = x2 + 4 x + 13 ถำ้ a เป็นจำนวนจริงบวก ซ่งึ g (a) = 25 แลว้ f −1 (2a) + f −1 (13a) มี

คำ่ เทำ่ กบั เท่ำใด

84

ฟังกช์ ันประกอบ(Composite function)

นยิ าม ให้ f(x) และ g(x)เป็นฟังก์ชัน
fog(x) จะเกิดขนึ้ เมื่อ Rg  Df  และหา fog(x)ได้จาก fog(x)= f(g(x))
gof(x) จะเกิดขนึ้ เมื่อ Rf  Dg  และหา gof(x)ได้จาก gof(x)= g(f(x))

เขยี นในรูแบบบอกเงื่อนไขได้เป็น
fog = {(x, z)(x, y) g, (y, z)f และ Rg  Df  }
gof = {(x, z)(x, y) f, (y, z)gและ Rf  Dg }

ทฤษฎีบท ให้ f(x), g(x)เป็นฟังก์ชนั และ fog(x), gof(x)หาค่าได้
จากนิยามเราสามารถหา Dfog และ Dgof ได้ดังนี้

Dfog = {x Dgf(x)  Rg  Df}และ Dgof = {x Dff(x)  Rf  Dg}

Note 1. ถา้ Rg  Df แลว้ Dfog = Dg
2. ถ้า Rf  Dg แลว้ Dgof = Df

ตวั อยา่ ง 1 กำหนด f = {(1, 2), (2, 3) ,(3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9), (9, 10)} และ
g= { (2, 4), (4, 6), (6, 8), (8, 10), (10, 12), (12, 14) , (14, 16) , (16, 18)}

จะได้ fog = { (2, 5), (4, 7), (6, 9), (8, 10)}, Dfog = {2, 4, 6, 8} และ

gof = {(1, 4), (3, 6), (5, 8), (7, 10), (9, 12)}, Dgof = {1, 3, 5, 7, 9}

ตวั อย่าง 2 กำหนด f(x) = 2x + 1, g(x) = x −1

เนือ่ งจาก เม่ือ Rg [0, ) และ Df = R ดงั นั้น Rg  Df  หา fog(x) ได้
น้นั คอื fog(x) = f(g(x)) = f( x −1 ) = 2 x −1 + 1

และ Rg  Df ดังนน้ั Dfog = Dg = [1, )

เนื่องจาก เม่ือ Rf = R และ Dg = [1, ) ดงั นนั้ Rf  Dg  หา gof(x) ได้
น้ันคอื gof(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x +1) −1 = 2x

และ Dgof = {x Dff(x)  Rf  Dg} = {x R2x + 1  R  [1, ) }

= {x R2x + 1  [1, ) } = {x R1  2x + 1 }

= {x Rx  0} = [0, )

Function 85

Banana Math

แบบฝึกหดั
1. กำหนด f = {(2, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 8), (6, 9), (7,10), (8, 11), (9, 12), (10, 13)} และ

g = {(1, 3), (3, 5), (5, 7), (7, 9), (9, 11), (11, 13), (13,15), (15, 17), (17, 19)}
จงหา fog, gof, fof, gog

2. กำหนด f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6,7), (7, 8), (8, 9), (9, 10)} ,
g = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 8), (5, 3), (6, 8), (7,10), (8, 9), (9, 9)} และ
h = {(1, 5), (3, 2), (5, 4), (7, 6), (9, 10), (13, 8), (15,9), (16, 17)}
จงหา fo(goh), go(foh), ho(go(fof)), go(fo(hog))

3. ถา้ f และ g เป็นฟงั กช์ นั กำหนดโดย
f = { (x, y)R  R  x2 + 2y = 5 } และ g ={ (x, y) R  R 2x – y = 3 } จงหา gof

4. ถา้ f และ g เป็นฟงั ก์ชนั กำหนดโดย
f = { (x,y)R+  R  y = 9 − x 2 } และ g ={ (x,y) R  R+ x-2y = 0 } จงหา gof

5. ถ้า f และ g เป็นฟงั กช์ นั กำหนดโดย
f = { (x,y)A  A  y เป็นเศษจากการหาร x ดว้ ย 5} และ
g ={ (x,y) A  A y เป็นค.ร.น.ของ x และ x+1}โดยที่ A ={ 1,2,3,…,10} จงหา fog ,gof

86

6. กำหนด f(x) = 2x – 1 และ g(x) = 4 – 3x จงหาคา่ ของ f(g(2)) , g(f(–1 )), f(f(3)), g(g(1))

7. กำหนด f(x) = x2 – 3 และ g(x) = x2 – x + 1 จงหาค่าของ f(g(– 1)), g(f(2 )), f(f(3)), g(g(-2))

8. กำหนด f(x) = x ;x4 4 และ g(x) = x −1 ;x 0
2 ;0x 2x −1; x  0

x2 ; x  0
(gof )(5) + gof(2)
จง หาคา่ ของ (fog)(−2)

9. 2x −1 ; x  2 x2 −1 ;x 0
กำหนด f(x) = 1 ; - 2  x 1 และ g(x) = 2x − 3; x  0

1 + 2x ; x  -2
(gof )(3) + gof (2)
จง หาคา่ ของ ( fog)(−2) + ( fog)(−3)

10. กำหนด A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ถ้าฟงั กช์ นั f:A→A นิยามโดย
x2 ,x2  9
f(x) = หลกัหน่วยของx2 ,x2  9 จงหาคา่ ของ fof(3) + fof(5) + fof(8)

Function 87

Banana Math

11. ให้ f และ g เป็นฟงั กช์ นั โดยที่ f(x) = 1,xเป็ นจานวนตรรกยะ , g(x) = x +1 จงหาค่าของ fof(
−1,xเป็ นจานวนอตรรกยะ

2 ) + fog( 2 ) + gof(– 2) + gog(– 2)

12. กำหนด f(x) = 2x – 3 และ g(x) = 3x + 1 จงหาคา่ ของ fog(x), gof(x), fof(x), gog(x)

13. กำหนด f(x) = 4 – 3x และ g(x) = x – 2 จงหาคา่ ของ fog(x), gof(x), fof(x), gog(x)

14. ให้ f(x) = x และ g(x) = x 1 จงหาคา่ ของ fog(x), gof(x)
−1

15. กำหนด f(x) = x – 3 และ g(x) = 1 ; x 1 จงหาคา่ ของ fog(x), gof(x) , fof(x) และ gog(x)
x ; x 1

88

16. ให้ f(x) = x + 3 g(x) = x2 และ h(x) = 2x + 1 จงหาคา่ ของ(( fog)oh)(x)

17. ให้ f(x) = 9 – 2x และ g(x) = 5 จงหาคา่ x ทท่ี ำให้ fof(x) = gog(x)
x

18. ให้ f(x) = 2x + 1 และ g(x) = x2 จงหาค่า x ทที่ ำให้ fog(x) = gof(x)

19. ให้ f(x) = 4x และ g(x) = 2 จงหาคา่ x ทท่ี ำให้ fog(x) = gof(x)
x −1

20. ให้ f(x) = x −1 ; x0 และ fog(x) = x จงหาค่า g(x)
x

21. จงหา Dgof และ Dfog เมอ่ื กำหนด f(x) และ g(x) ต่อไปน้ี
a) f(x) = x − 2 และ g(x) = x2 + 1

Function 89

Banana Math

b) f(x) = 2x + 1 เมอื่ –1 < x < 1 และ g(x) = 4 − x 2

c) f(x) = 1 และ g(x) = x + 3 เมอื่ x > 2
x −1

d) f(x) = x2 – 2x และ g(x) = x2 + 1

90

e) f(x) = x2 เมื่อ x  (– 2, 2] และ g(x) = 4
x −1

f) f(x) = (3 + x)(2 − x) และ g(x) = 1
x+3

Function 91

Banana Math

22. ถา้ f(x) = x3 + 1 และ (fog)(x) = x3 + 3x2 – 3x + 2 หาค่าของ g(2) + g(– 3)

23. ถา้ (fog)(x) = 4x2 + 1 , g(x) = 3x หาคา่ ของ f(x)

24. ถา้ f(x) = 2x + 1 , gof(x) = 8x2 + 10x + 5 หาค่าของ g(2)
25. ถา้ g(x) = x2 – 4x + 5 และ (gof)(x) = x + 1 ซึ่ง f(x) < 0 หาค่า f(9)

92

26. ให้ f และ g เป็นฟงั กช์ นั โดยที่ f(x) = x + 3, fog(x) = 3x −2 จงหาค่า g– 1 (5)
x −1

27. กำหนดให้ f ( x ) = 3x + 5 และ h( x ) = 3x2 + 3x −1 ถำ้ g เป็นฟังกช์ นั ทีท่ ำให้ fog = h
แลว้ g(5) เทำ่ กบั เท่ำใด

28. ให้ R เป็นเซตของจำนวนจริง ให้ g : R → R เป็นฟังกช์ นั กำหนดโดย g( x) = 1 3, x  − 3
2x + 2
ถำ้ f : R → R เป็นฟังกช์ นั ที่ ( fog )( x) = x สำหรบั ทกุ จำนวนจริง x จงหำ f ( x )

29. ให้ f และ g เป็นฟงั กช์ ันโดยที่ f – 1 (x) = x + 4 , fog(x) = 3x2 + 2 จงหาค่า g (x)
3

Function 93

Banana Math

30. ให้ f และ g เปน็ ฟงั กช์ นั โดยที่ f(x) = x−4 , fog(x) = 2−x จงหาคา่ ของ g(2) + g– 1 (2)
x x

31. กำหนดให้ f(x) = (x + 1)2, g(x) = x +1 จงหา Dfog  R/gof

32. กำหนดให้ f(x) = x + 1, gof(x) = x +1 จงหา Rgof – Rfog

33. กำหนดให้ f(x) = 4 − x2 และ g(x) = 1 จงหาค่าของ Rgof
9 − x2

94

34. กำหนดให้ f(x) = 5− g(x) , g(x) = 5 + 2x ถ้า Dfog = [a, b] จงหา 4(a + b)

35. กำหนดให้ f ( x) = x3 + ax2 + bx + 3 และ g ( x ) = bx2 + 3x + a เมอื่ a และ b เป็นจำนวนจรงิ
ถำ้ f (3) = 0 และ x− 2 หำร f ( x) เหลือเศษ 5 แลว้ ค่ำของ ( gof )(1) เทำ่ กบั เทำ่ ใด

36. กำหนดให้ f ( x) = 3 x + 5 และ h( x ) = 3x2 + 3x − 1 ถำ้ g เป็นฟังกช์ นั ซึ่งทำให้ fog = h แลว้
g(5) เท่ำกับเท่ำใด

37. ฟังกช์ นั f, g และ h มีสมบตั ิว่ำ

( )( fog)(x) = 3x −14, f x+6 = x − 2, h(2x −1) = 6g( x ) + 12 จงหำ h( x )
3

Function 95

Banana Math

อินเวอรส์ ของฟงั ก์ชันประกอบ
ทฤษฎบี ท ให้ f(x) และ g(x)เป็นฟังก์ชัน โดยท่ี fog(x), gof(x) หาค่าได้
(fog) – 1(x) = g – 1o f –1(x) และ (gof) – 1(x) = f –1o g –1(x)

แบบฝกึ หัด
1. กำหนด f(x) = 2x – 1, g(x) = 5 – 3x จงหาคา่ (fog) – 1 (x), (gof)– 1 (x)

2. ถา้ (g– 1of)– 1(x) = 3x – 1, g(x) = x – 2 จงหาคา่ ของ f(2 – x)

3. กำหนด (f -1og)-1(x) = 2x – 6 และ g(x) = x + 3 จงหาคา่ fog(2x)

4. กำหนด (gof – 1 )– 1 (2x + 1) = 3 – 4x และ g(x) = 3 – 2x จงหาค่าของ (f – 1 og)– 1 (x)

5. ให้ f และ g เป็นฟงั กช์ ันโดยที่ f(x) = x3 – 1, g(x) = 2x +1,x  0

 x − 3, x  0

จงหาคา่ (g– 1 of)– 1 (1) + (fog– 1( – 1)

96

6. ถา้ f(x) = x – 1 และ (gof – 1 )(x) = 4x2 – 1 แล้วจงหาเซตคำตอบของ g(x) = 0

7. ให้ R แทนเซตของจำนวนจรงิ ให้ f = ( x, y)R  R y = 3x − 5 และ

( )8. g =( x, y)R  R y = 2x + 1 ถำ้ aR และ g−1of −1 (a) = 4 แลว้ ค่ำของ

( fog)(2a) เทำ่ กบั เท่ำใด

9. กำหนดให้ f และ g เป็นฟังกช์ นั นิยำมโดย f ( x ) = x2 + 1และ g( x ) = ax, a(0,1) ถำ้ k เป็น

fog −1 1
( )จำนวนจริงทท่ี ำให้ ( fog)(k) = ( gof )(k) แลว้  k2  มคี ำ่ เท่ำกับเท่ำไร

Function 97

Banana Math

10. กำหนดให้ f และ g เป็นฟังกช์ นั นิยำมโดย f ( x ) = ( x − 1)2 + 3และ g−1 ( x ) = x2 −1, x  0

( )ถำ้ gof −1 (a) = 0 จงหำคำ่ ของ a2

11. ให้ R แทนเซตของจำนวนจริง ถำ้ f : R → R และ g : R → R เป็นฟังกช์ นั หนึง่ ตอ่ หนึง่ โดยท่ี
( fog )( x) = 4 x − 5 และ g−1 ( x ) = 2x + 1 สำหรบั ทุกจำนวนจรงิ x ขอ้ ใดต่อไปนถี้ กู

( )a) 4 f −1og (2x + 1) = g(x) +1สำหรบั ทกุ จำนวนจรงิ x

( ( ))b) g−1o f −1og ( x ) = f −1(x) +1

12. ให้ R แทนเซตของจำนวนจรงิ และ a เป้นจำนวนจริงท่ีไมเ่ ท่ำกบั 0 ถำ้ f : R → R และ g : R → R
เป็นฟังกช์ นั นยิ ำมโดย f ( x) = ax + 2 และ g( x ) = x3 − 3x ( x −1) สำหรบั ทกุ จำนวนจรงิ x

( )ถำ้ f −1og−1 (1) = 1 แลว้ ( gof )(a) เท่ำกบั เท่ำใด

.

98

การดำเนนิ การของฟงั กช์ นั

การดำเนนิ การของฟงั ก์ชัน คอื การบวก ลบ คณู และหาร ของฟงี ก์ชันตงั้ แต่ 2 ฟังก์ชันขึน้ ไป

เม่ือกำหนด f และ g เป็นฟงั ก์ชัน จะได้

1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) สำหรับทกุ ค่าของ x  Df  Dg

2. (f – g)(x) = f(x) – g(x) สำหรบั ทกุ ค่าของ x  Df  Dg

3. (f  g)(x) = f(x) g(x) สำหรบั ทกุ ค่าของ x  Df  Dg
f f (x)
4. ( g )(x) = g(x) สำหรับทกุ ค่าของ x  Df  Dg โดยที่ g(x)  0

จาก 1 – 4 จะไดว้ า่

Df + g, Df – g , Dfg มคี ่าเท่ากบั Df  Dg สวน่ D f ม่คี ่าเทา่ กบั Df  Dg โดยท่ี g(x)  0

g

สว่ น Rf + g, Rf – g , Rfg และ R f นน้ั หาไม่ไดจ้ าก Rf และ Rg ตอ้ งหาจากเงอ่ื นไขใหม่ของ (f + g)(x), (f – g )(x),

f g
g
(f g)(x), ( )(x) โดยคำนงึ ถงึ โดเมนของ f และ g ด้วย

แบบฝกึ หัด

1. กำหนด f = {(2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7,8), (8, 9), (9, 10)} และ f
g
g = {(1, 3), (2, 2), (5, 3), (7, 4), (9, 4), (11, 12), (12,15)} จงหา f + g, f – g , fg,

2. กำหนด f(x) = 2x – 1และ g(x) = x + 1 จงหาคา่ ของ (f + g)(3), (f – g)(2),  f ( 4 ) ,(fg)(1)
 g 

3. กำหนด f(x) = 2 – x และ g(x) = 3x + 2 จงหาค่าของ (f + g)(4), (f – g)(1),  f (6) ,(fg)(2)
 g 

4. กำหนด f(x) = 2x2 – 3และ g(x) = 2x + 1 จงหาค่าของ (f + g)(1), (f – g)(3),  f ( 4 ) ,(fg)(-1)
 g 