MATH4609_Mathematics for teachers II

398

แบบฝึกหดั
1. จงหาส่วนจรงิ และส่วนจินตภาพของจำนวนเชงิ ซ้อนต่อไปน้ี

1.1 (2, –2) + (–5, 3)

1.2 (–1, 2 ) + (2, 2 ) + (–3, –3 2 )

1.3 (1, 2) (–3, –4)

1.4 (–1, 2 )(1, – 2 )(2, 0)

2. กำหนดให้ Z1 = (1, –1), Z2 = (2, 1) และ Z3(–2, 2) จงหาค่าของ
2.1 Z1(Z2+Z3)

2.2 2Z1 + Z2

2.3 Z1Z2 + 2Z1Z3
2.4 21 Z12 + Z2

2.5 Z1Z2Z3

3. จงหาจำนวนจรงิ x และ y ทีส่ อดคล้องกบั สมการในขอ้ ต่อไปนี้
3.1 (2x, 3) = (4, y–1)

3.2 (x + y, 2x – y) = (5, 7)

3.3 (x – 4, y – x) = 1

3.4 (x + 5, 2x + y) = (y, 2)

3.5 (x, y) (–1, 2) = (5, 15)

3.6 (x, y) (– 3, 4) = (5, – 10)

Complex Numbers 399

MATH4609

4. จงหาอนิ เวอร์สการบวกและการคูณของจำนวนเชิงซอ้ นตอ่ ไปน้ี
4.1 (–3, 4)

4.2 (0, –6)

4.3 (2, 0)

4.4 ( 1 , 1 )
√2 √2

หน่วยจินตภาพ

บทนยิ าม จำนวนเชิงซอ้ น (0, 1) เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ −1 หรือ i โดยท่ี i2 = –1
เรยี ก i วา่ หน่วยจินตภาพ (imaginary unit)

การหาคา่ ของ in ค่าของ in เมือ่ n เป็นจำนวนเต็มบวก จะมีคา่ ท่ีแตกต่างกนั เพียง 4 ค่าเท่านัน้ คือ i, –1, –i หรือ
ถา้ n หารด้วย 4 ลงตวั แลว้ in = 1
1 ซ่งึ จะหาไดด้ ังนี้

ถ้า n หารด้วย 4 เหลอื เศษ 1 แล้ว in = i
ถา้ n หารดว้ ย 4 เหลอื เศษ 2 แลว้ in = –1
ถ้า n หารด้วย 4 เหลอื เศษ 3 แลว้ in = –i

ตวั อย่างที่ 1 จงหาค่าของ 4. i376 7. i1331
1. i13 5. i555 8. i2357
2. i46 6. i1028 9. i5431
3. i95

ตวั อย่างท่ี 2 จงหาค่าของ 5. i96 + i97 + i98 + i99 + ... + i357
1. i125 + i286 + i318 + i655

2. i1990 + i1991 + i1992 + i1993 6. i10  i11  i12  i13

3. i + i2 + i3 + i4 + ... + i100 7. i4  i5  i6  i7  ... i68

4. i15 + i16 + i17 + i18 + ... + i248 8. i42  i43  i44  i45  ... i199

400

การเขียนจำนวนเชิงซ้อนในรปู ของหนว่ ยจินตภาพ

จำนวนเชิงซ้อนที่อยูใ่ นรปู (0, b) สามารถเขยี นในรปู หน่วยจนิ ตภาพได้เป็น bi
จำนวนเชิงซ้อน (a, b) เขยี นในรปู หนว่ ยจนิ ตภาพได้เป็น a + bi

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนจำนวนเชิงซอ้ นต่อไปนีใ้ หอ้ ยใู่ นรูปหน่วยจนิ ตภาพ

1. (–3, 4) = 6. 5625 − −144 =
=
2. (4, –5) = 7. 324 − −169 =
=
3. −4 = 8. −49 − 289 =

4. 2 + −9 = 9. 441 − −225

5. 36 − −25 = 10. −324 − 361

การเทา่ กัน การบวก และการคณู ของจำนวนเชงิ ซ้อน
นยิ ามสำหรบั จำนวนเชงิ ซอ้ นในรปู (a, b) ยังคงใชไ้ ดส้ ำหรบั จำนวนเชงิ ซอ้ นในรปู a + bi ดงั นี้
1. การเท่ากนั a + bi = c + di ก็ต่อเมอื่ a = c และ b = d

2. การบวก (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

3. การคณู (a+bi) (c+di) = (ac – bd) + (ad+bc)i

ตวั อยา่ งที่ 1 กำหนดให้ Z1 = 1 + 2i , Z2 = 3 – 4i , Z3 = 1 – 2i จงหาคา่ ของ

1. Z1 + Z2 2. 2Z1 + Z3

3. Z1Z2 4. Z1Z3

5. Z1(Z2+Z3) 6. 3(Z1+Z3)Z2

ตวั อยา่ งท่ี 2 กำหนดให้ Z = 1 – i จงหาค่าของ Z2, Z3, Z4 และ Z5

Complex Numbers 401

MATH4609

เอกลักษณ์และอินเวอรส์

1. เอกลักษณ์การบวกของจำนวนเชงิ ซอ้ น คอื 0 + 0i = 0

2. เอกลกั ษณ์การคณู ของจำนวนเชิงซ้อน คือ 0 + 0i = 1

3. เอกลักษณก์ ารบวกของ Z = a + bi คือ Z = –a –bi

4. เอกลักษณก์ ารคูณของ Z = a + bi  0 คอื −1 = −
2+ 2

ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาจำนวนจริง x และ y ทีส่ อดคลอ้ งกบั สมการในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้
1. 2x – 5 + (3x–1)i = y – 3 + (2x+y)i

2. (x+yi) (3+2i) = 12 – 5i

ตวั อย่างท่ี 2 จงหาอินเวอรส์ การบวกของ Z เม่ือ Z = (–1 + −12 ) + (2 – −75 )

ตัวอย่างท่ี 3 จงหาอนิ เวอรส์ การบวกของ Z เมื่อ Z = (2–i)(3+2i)(1+i)

ตัวอยา่ งที่ 4 จงหาอนิ เวอร์สการคูณของ Z เมื่อ Z = (1 – i) (i + 2)

ตวั อยา่ งท่ี 5 จงหาอนิ เวอรส์ การคูณของ Z เมอื่ Z = (7+ −8 ) + (6+ −18 )

402

การลบ และการหารจำนวนเชิงซอ้ น
การลบจำนวนเชิงซ้อน

นิยาม (a, b) – (c, d) = (a–c , b–d) หรอื (a+bi) – (c+di) = (a–c) + (b–d)i

ตวั อยา่ งที่ 1 กำหนดให้ Z1 = 1 – i , Z2 = 2 + 3i และ Z3 = 3 – 4i

จงหา 1. Z1 – Z2 2. Z2 – Z1

3. Z1 – (Z2–Z3) 4. (Z1–Z2) – Z3

การหารจำนวนเชงิ ซอ้ น

( )นิยาม (a, b)  (c, d) =
(a, b) cd เม่ือ (c, d)  (0, 0)
c2 +d2 − c2 +d2

( )หรือ ac++dbii = ac+ bd + bc−ad i
c2 +d2 c2 +d2

ตวั อย่างท่ี 1 จงหาผลหารของจำนวนเชิงซ้อนในขอ้ ต่อไปนี้
1. (2 + 4i)  (1– i)

2. 1−2i
2−√−1

3. 3−i
1− −4

4. + 2+ 3+ 4+ 5+ 6
1+

Complex Numbers 403

MATH4609

สังยคุ ของจำนวนเชิงซอ้ น
บทนิยาม กำหนดจำนวนเชงิ ซ้อน = ( , ) = + สงั ยุคของ (conjugate) เขยี นแทนด้วย
สัญลักษณ์ หรอื ( , ) หรอื + ซงึ่ นิยามว่า ( , ) = ( , ) หรอื + = −

สมบัตขิ องสงั ยุคของจำนวนเชิงซ้อน
กำหนด และ เป็นจำนวนเชิงซ้อน

1. = ก็ตอ่ เมื่อ เป็นจำนวนจริง
2. ในกรณีที่  0 จะไดว้ ่า = − กต็ ่อเม่อื เปน็ จำนวนจินตภาพแท้
3. ถา้ = + แลว้ z z และ z + z จะเป็นจำนวนจรงิ

โดยท่ี 1. z z = a2 + b2 2. z + z = 2a
4. =
5. + = +
6. − = −
7. =
8. ( ) = ( ) เม่ือ n เปน็ จำนวนเตม็ บวก
9. ในกรณที ่ี  0 จะได้ว่า −1 = ( )−1 = 1



10. ( ) = เมื่อ Z  0


การหารจำนวนเชิงซ้อนโดยใชส้ ังยุค
การหารจำนวนเชงิ ซ้อนนนั้ อาจทำได้โดยนำสงั ยุคของตวั หารมาคูณท้ังตัวตงั้ และตวั หาร

แบบฝกึ หัด
1. จงหาผลลบของจำนวนเชงิ ซอ้ นตอ่ ไปนี้ และตอบในรปู a + bi

1.1 (3–5i) – (7+4i)

1.2 (4– −3 ) – (5+2 −3 )

1.3 (3– −36 ) – (5 + 2 −256 )

1.4 ( 72 − i ) – ( 98 − 2 −144 )

1.5 2i15 – 3i18 – 4i50 – i99

404

2. จงหาสังยคุ ของจำนวนเชิงซอ้ นตอ่ ไปนี้
2.1 Z = 2 + 3i

2.2 Z = (1–i)(1+i)

2.3 Z = –5i + (2+i)2

2.4 Z = (2–i)2 – (1+2i)2

2.5 Z = (1–2i)3

2.6 Z = 2−
1+

3. จงหาค่าของจำนวนเชิงซ้อนตอ่ ไปนใ้ี นรูป a + bi
3.1 2+2i3i

3.2 11−+ii

3.3 1
(2 − i)(1+ i)

3 2 Complex Numbers 405
1+2i 3−i
MATH4609

3.4 −

3.5 −14+23 + 27−5
3+4 3−7

3.6 3+4 − 3+2 − 6−4
3+2 3−4 3−2

3.7 1− 1−111−+ii
3.8 4

1+ +1 +3

3.9 2 + 3+4
1+ +31++4

406

3.10 (1+ ) + (1+ )2 + (1+ )3 + (1+ )4
1− 1− 1− 1−

(1+ i) 4
( )3.11 1
1+ 2i53 (3+ i)

3.12 (1+ )4 1
1 +

1 + 1+

3.13 10
i(i +1)(i + 2)(i + 3)(i + 4)

3.14 2+2(1−3 )−3(2−3 )−2
(3− )(2+3 )(3+ )(2−3 )

Complex Numbers 407

MATH4609

4. ถ้าผลบวกและผลคูณของจำนวนเชงิ ซอ้ น 2 จำนวนเป็น 4 และ13 ตามลำดบั จงหาจำนวนเชงิ ซอ้ นทง้ั สอง
จำนวนนน้ั

5. จำนวนเชงิ ซ้อน 2 จำนวนมผี ลบวกเท่ากับ 4 3 และผลคูณของจำนวนเชิงซอ้ น 2 จำนวนนี้เท่ากบั 14
ถา้ จำนวนเชิงซ้อนดงั กลา่ วมรี ปู เปน็ a + bi และ c + di แลว้ จงหาค่าของ a4 + b4 + c4 + d4

6. กำหนด x และ y เปน็ จำนวนเชิงซอ้ นใดๆ ซึ่ง x + 4y = 8 + 3i และ 3x + 2y = 2 – 8i จงหา
ผลบวกของสว่ นจรงิ และส่วนจินตภาพของ x + 2y

7. ถ้า (1 + )3 = −74 + 5ki เมอ่ื k, i เปน็ จำนวนจรงิ แลว้ |k| มคี า่ เทา่ กบั เท่าใด

408

8. จงหาจำนวนเชงิ ซ้อน (x, y) เมอื่ กำหนดให้ (x, y) (4, –7) = (–6, 43)

9. ถา้ จำนวนเชงิ ซอ้ น (–5 , 2) หารด้วยจำนวนเชิงซ้อน (a, b) แลว้ ได้ผลลพั ธ์เปน็ (− 17 , 1 ) จงหา (a, b)
10 10

10. ถา้ Z1 = 2 + 6i และ Z1Z2 + 2Z2 – 2 = 0 แล้ว อินเวอรส์ การคณู ของ Z2 เป็นเท่าใด
11. กำหนดให้ Z1 = 1 + 3i และ Z2 (Z1+3) = 1 จงหาคา่ ส่วนจินตภาพของ Z2
12. ถา้ z เป็นจำนวนเชิงซอ้ นซง่ึ (1 + )̅(̅ ̅ ̅+̅̅̅1̅̅) = −1 ส่วนจรงิ ของจำนวนเชงิ ซ้อน 2

Complex Numbers 409

MATH4609

13. ให้ x และ y เปน็ จำนวนจรงิ ใดๆ ถา้ x3+−1i + y −1 = 2i จงหาค่า x และ y
3−i

14. กำหนดให้ f(z) = Z2 – 6Z + 9 จงหาคา่ ของ f(2–3i)
15. กำหนดให้ Z1 = 13+−2ii , Z2 = 12−+3ii จงหาคา่ ของ Z1−1 + Z−2 1
16. กำหนดให้ Z–1 = −133 − 123 i เปน็ อนิ เวอรส์ การคูณของ Z แล้ว คา่ ของ Z(1–i) เป็นเทา่ ไร

17. กำหนดให้ z = i9 + i10 + … + i126 แล้ว 2z−1 เทา่ กับเท่าใด

18. กำหนดให้ z1 และ z2 เป็นจำนวนเชิงซ้อน ถำ้ z1−1 = 3 − 4 i และ 5z1 + 2z2 = 5 จงหำค่ำของ z2
5 5

410

ค่าสมั บูรณข์ องจำนวนเชิงซอ้ น
บทนิยาม ค่าสัมบรู ณ์ (absolute value หรือ modulus) ของจำนวนเชงิ ซ้อน Z = ( , ) = +
เขยี นแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ | | หรอื |( , )| หรอื | + | โดยท่ี | |= |( , )| =
| + | = √ 2 + 2

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหา | | เมอ่ื กำหนด Z ดังในขอ้ ตอ่ ไปน้ี

1. Z = (3, 4) 2. Z = 1 + 3 i

3. Z = (2–3i) + (1+i) 4. Z = (4+5i) – (1+i)

สมบัตขิ องคา่ สมั บูรณข์ องจำนวนเชิงซ้อน กำหนดให้ Z และ W เปน็ จำนวนเชิงซอ้ น

1. | |2 =

2. | | = |− |

3. | | = | |

4. | | = | || |

5. | | = 0 ก็ต่อเมื่อ Z = 0

6. ถ้า Z  0 แลว้ | −1| = 1
| |
W |W|
7. ถ้า Z  0 แล้ว Z = |Z|

8. Re (Z) £ | | และ Im(Z) £ | |

9. | + | £ | |+ | |

10. | − | ³ | |– | |

11. | − | ³ || |– | ||
12. | | = | | เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก

ตวั อย่างที่ 1 กำหนดให้ Z = 3 – 4i และ W = 1 + 3 i จงหา
1. |Z–1|
2. |ZW|

3. |Z3W–1| 4. Z2
W

Complex Numbers 411

MATH4609

แบบฝกึ หดั
1. จงหาค่าสมั บรู ณ์ของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้

1. |(2–3i) + (–4+i)|

2. |(6–8i) + (1+ 3 i)|

3. |2i(5+12i)( 3 –i)|

4. | 3+4 |

1−2√2

5. | (1+21 0)(1+ )|

6. | (3+4 ) |

(1−2√2 )(1−√3 )

7. |(−12−( 5 )−(2142+ )10 )|

8. |(6+8 )(1− √3 ) |

(4+3 )

9. |(2−√3 )(3+4 )(1− )|

(√6+ )(1+ )

10. |3 19(2(+− 3 )−3( 1)2−√3 )4|

412

11. | 200(1(+4− )33 5 )(83−4 )7|
12. |5 (235−7(√17− ))1126((1√+3 − )4 )5|
13. | 238(2(−3− ) 3)53(43(−44− 3)2 )12(01− )28|
14. |1−2 + 1+2 |

1− 1+

15. | 1+ − 1−2 |

1−2 2+

16. |1+2 − 2+3 + 3+4 − 4+5 |



2. ถา้ (14, –5) = (4, 1)·(x, y) แลว้ จงหาคา่ |(x, y)|

3. กำหนดให้ Z1 = 1 1 i และ Z2 = 6 – 8i จงหาคา่ Z13Z22
2+ 2

4. กำหนดให้ Z = (2+i)(1–2i)(–3–4i) จงหาค่าของ |Z–1|

5 Complex Numbers 413
2i(1+ i)(1− 2i)(1+ 3i)
MATH4609

5. กำหนดให้ Z2 = จงหาคา่ ของ |Z |

6. กำหนดให้ 2 = 3+4 + 2+ จงหาค่าของ | |4

1+2 2−

7. กำหนดให้ 1 = 5 − 2 15, 2 = 21 − 2 32 + 19 + 7 จงหาค่าของ
50 |̅ ̅2̅2̅̅ −̅ ̅1̅(+̅2̅̅̅̅ ̅ ̅̅12̅̅̅̅−−̅̅̅̅32̅̅)|2

8. กำหนดให้ Z เปน็ จำนวนเชงิ ซ้อน ซ่ึง |(7 − 24i)(3 + 4i) 6| = 1 แล้ว ̅ มี
ค่าเทา่ กับเทา่ ใด

9. กำหนดให้ Z เปน็ จำนวนเชงิ ซอ้ น ซึ่ง |Z–1| = 2 5 และ Z2 = –7 + 24i จงหาสว่ นจินตภาพของ Z

414

10. กำหนดให้ Z = 3−+24ii จงหาค่าของ |Z2– 6Z + 9|

11. ให้ a และ b เป็นจำนวนจรงิ จงหาค่าของ a2 + b2 เม่อื (6 – 8i)(a+bi)2 = i(2+i)2

12. กำหนดให้ ( + )( + ) = 17 + 6i

( + )( + ) = 29 + 22i

( + )( + ) = 17 − 20i
จงหาคา่ ของ 2 + b2

13. กำหนดให้ Z เป็นจำนวนเชิงซ้อน และ |Z+16| = 4|Z+1| จงหาค่าของ |Z|
14. กำหนดให้ Z เป็นจำนวนเชิงซอ้ น และ |Z–4| = 2|Z–1| จงหา |Z|

Complex Numbers 415

MATH4609

15. กำหนดให้ Z เปน็ จำนวนเชิงซอ้ นที่สอดคล้องกบั สมการ 2|Z + 1| = |Z + 4| จงหา | |

16. จงหาสว่ นจนิ ตภาพของจำนวนเชงิ ซ้อน Z ซึ่ง | | = |3 − 4i| และ | − 1| = √30

17. กำหนดให้ Z เป็นจำนวนเชิงซอ้ น ซง่ึ −1 เปน็ จำนวนจินตภาพแท้ จงหา | |

z+1

18. กำหนดให้ z เป็นจำนวนเชงิ ซอ้ นซง่ึ อยใู่ นควอดรนั ตท์ ห่ี นงึ่ บนระนาบเชงิ ซอ้ น โดยที่ | ( +1)(1+ ) | = 1
(1+ )+5+
และ | | = √65 แล้วผลบวกของสว่ นจรงิ และสว่ นจินตภาพของ Z เทา่ กบั เท่าใด

416

19. จงหาจำนวนเชงิ ซ้อน Z ท่ีทำให้ Z+Z(3+−12i) = 1 และ ZZ = 29

20. ให้ z = a + bi ซึง่ b > 0 ถ้า z สอดคลอ้ งกับ | 2 + 24− 6−432| = 1 และ ̅ = 61 แลว้ a + b มีคา่
เท่ากบั เท่าใด

21. กำหนดให้ Z1 = 5 – 12i และ Z2 เปน็ จำนวนเชงิ ซอ้ น ซ่งึ ทำให้ Z1Z2 และ Z1+Z2 เปน็ จำนวน
จริง จงหาค่าของ |Z1| + |Z2|

22. ถ้า z เปน็ จำนวนเชิงซอ้ นซง่ึ z  0 และ (5 – 12i)z3 (–3 + 4i) = 130 ̅ แลว้ |Z| มีคา่ เท่ากับเทา่ ใด

22+− i 33−+ 4i Complex Numbers 417
i 4i
MATH4609

23. กำหนดให้ Z2 = + จงหาค่าของ |Z|

24. ถ้า Z เปน็ จำนวนเชงิ ซ้อนซง่ึ Z2 = 2 + 4i แลว้ คา่ ของ | + 1| เท่ากับเท่าใด



25. ถา้ Z เป็นจำนวนเชงิ ซ้อนจำนวนหน่งึ ทอ่ี ยู่ในควอดรนั ต์ทีห่ นงึ่ บนระนาบเชิงซอ้ น |Z2| = 5 และสว่ นจินต
ภาพเทา่ กบั 1 อนิ เวอรส์ การคณู ของ Z เปน็ สงั ยคุ ของจำนวนในขอ้ ใด

26. ให้ Z เป็นจำนวนเชงิ ซอ้ น และ 2Z = |Z| + 2i จงหาคา่ ของ |Z|

418

27. ให้ Z เปน็ จำนวนเชิงซอ้ นซ่ึง ( − 1)5 = 32( + 1)5 จงหาค่าของ | + 5|

3

28. กำหนดให้ z เปน็ จำนวนเชงิ ซอ้ นซง่ึ |Z –1| =2 5 และ Z2 = −7 + 24i แลว้ ผลบวกของสว่ นจริง และ
ส่วนจนิ ตภาพของ ̅ มีค่าเท่ากบั เทา่ ใด

1+i

29. กำหนดให้ = ( − 1 −1 จงหาคา่ ของ |16 2 − 8 + 3 − 8 |

+2 )

30. ให้ Z1 และ Z2 เปน็ จำนวนเชงิ ซอ้ นใด ๆ และ 2̅ แทนสงั ยุค (conjugate) ของ Z2 ถา้ 5Z1 + 2Z2 =
5 และ 2̅ = 1+ 2i เมื่อ i2 = –1 แล้ว คา่ ของ 5z−1 มีค่าเท่ากับเทา่ ใด

Complex Numbers 419

MATH4609

31. กำหนดให้ z เป็นจำนวนเชงิ ซ้อน โดยท่ี z = z −1+ i และ Re (1 − 2i) z  = 0 แล้วค่าของ
3−i
2z + 1 2 เท่ากับเท่าใด

32. ให้ Z1 และ Z2 เป็นจำนวนเชงิ ซอ้ น ซึ่ง | 1 + 2|2 = 5 และ | 1 − 2|2 = 1 แลว้ คา่
ของ | 1|2 + | 2|2 เทา่ กบั เทา่ ใด

33. ให้ Z1 และ Z2 เปน็ จำนวนเชงิ ซ้อนซึง่ | 1 + 2| = 3 และ | 1 − 2| = 1 จงหาคา่ ของ | 1|2 + | 2|2

34. ให้ z เปน็ จำนวนเชงิ ซอ้ น ทสี่ อดคลอ้ งกบั สมการ z + 2z − 3z = 3 − 45i จงหาคา่ ของ z
35. ให้ Z1 และ Z2 เปน็ จำนวนเชิงซ้อนซึง่ | 1 + 2| = 3 และ 1 ̅ 2 = 3 + 4

จงหาค่าของ | 1|2 + | 2|2

420
36. ให้ Z1 และ Z2 เปน็ จำนวนเชิงซอ้ นซง่ึ | 1 + 2| = | 1 − 2| = 3 ถ้า | 2| = 2 จงหา | 1 − 2 2|2

37. ให้ Z1 และ Z2 เปน็ จำนวนเชงิ ซอ้ นซง่ึ z1 = 2, z2 = 3 และ z1 − z2 = 1 จงหำคำ่ ของ
z1 + z2

38. ให้ a, b และ Z เปน็ จำนวนเชงิ ซ้อนโดยที่ | | ≠ | | ≠ 1 ถ้า |2 + | = | + a|
แล้ว 3 + 4 | | เทา่ กบั เท่าใด

39. ให้ Z1 และ Z2 เปน็ จำนวนเชิงซอ้ นซึ่ง | 1| = | 1 + 2| = 3 และ | 1 − 2| = 3√3 จงหาค่าของ

|11 1|−|5 2|
| 1 2+ 1 2|

Complex Numbers 421
MATH4609

40. ให้ Z1 และ Z2 เปน็ จำนวนเชงิ ซอ้ นซึ่ง | 1| = | 1 + 2| = 4 และ | 1 − 2| = 2√5 จงหาคา่ ของ

|4 1|+| 2 2|

|3 1 2+3 2 1|

41. กำหนดให้ z = a + bi โดยท่ี a และ b เปน็ จำนวนจรงิ ab> 0 ถ้า z3 = i แลว้ ค่าของ z5 + 2 2
เท่ากับเทา่ ใก

42. ให้ เปน็ จำนวนเชิงซอ้ นซ่ึงสอดคลอ้ งกบั อสมการ | 1 + 1| = 1, | 1 − 1| = 1 แลว้ ( + 1)4
− +
มคี ่าเทา่ กบั เท่าใด

422
กราฟของจำนวนเชงิ ซอ้ น

การเขยี นกราฟของจำนวนเชิงซอ้ น เราจะเขียนลงบนระนาบเชิงซอ้ น เรยี กแกน x วา่ แกนจรงิ และ
เรียกแกน y ว่า แกนจินตภาพ
ตัวอย่างท่ี 1 ให้ Z เป็นจำนวนเชิงซอ้ น โดยท่ี Z = x + yi จงเขยี นกราฟในแตล่ ะข้อ
1. |Z| = 1

2. |Z| = 3

3. |Z–2| = 3

4. |Z+1| = 3

5. |Z–2i| = 1

Complex Numbers 423

MATH4609

6. |Z–1+2i| = 3
7. |Z+1–i| = 2
8. Z + Z = |Z|
9. |Z–1| = |Z+2|

424

10. |Z–1| = |Z–i|
11. |Z–2| = |Z–2i|
12. |Z+3+i| = 2|Z+i|
13. 2|Z–1| = |2Z–i|

Complex Numbers 425

MATH4609

14. |2Z–1+ i| = |3 – 2i–2Z|
15. |Z – 3i| + |Z – 4| = 7
16. |Z – 2i| + |Z +2i| = 6
17. |3Z+ i| = |Z + 3i|

426

18. = { ∈ |(1 + 2 ) ∈ }
19. ( 2) = 1

19. ( 2) = 1

Complex Numbers 427

MATH4609

รากทส่ี องของจำนวนเชิงซ้อน (Square Roots of Complex Number)

การหารากทส่ี องของจำนวนเชิงซอ้ นใด ๆ และหาคาตอบของสมการกาลงั สองทีม่ สี มั ประสิทธ์ิ

เปน็ จำนวนจรงิ

ให้ z เปน็ จำนวนเชงิ ซอ้ นใด ๆ รากทส่ี องของ z คือ จำนวนเชงิ ซ้อน w ซ่ึง w2 = z

นัน่ คือ ถา้ w เป็นรากทส่ี องของ z แลว้ –w จะเป็นรากทสี่ องของ z ด้วย และรากท่ีสองของจำนวนเชงิ ซอ้ นท่ี

ไมใ่ ช่ศูนยจ์ ะมีเพียงสองจำนวนเท่านั้น

ตอ่ ไปน้ีจะหาสตู รเพอื่ ใช้ในการหารากทสี่ องของจำนวนเชิงซอ้ นใด ๆ

ให้ z = x + yi เปน็ จำนวนเชงิ ซอ้ น ซงึ่ x และ y เป็นจำนวนจรงิ ที่ไมเ่ ป็นศูนย์พรอ้ มกนั

และให้ w = a + bi เป็นรากทส่ี องของ z

ดงั น้ัน z = x + yi
= w2 = (a + bi)2 = (a2 – b2) + 2abi
a2 – b2 = x
จงึ ทำให้ ……………………. (1)

และ 2ab = y ……………………. (2)
เน่ืองจาก (a2 + b2)2 = a4 + 2a2b2 + b4 = (a4 – 2a2b2 + b4) + 4a2b2 = (a2 – b2)2 + 4a2b2
= x2 + y2

จะได้ a2 + b2 = √ 2 + 2 ……………………. (3)

(1) + (3) จะได้ a2 = 1 √ 2 + 2 +

2

ดงั นนั้ = ±√√ 2+ 2+
(3) - (1) จะได้
2

b2 = 1 √ 2 + 2 −
2

ดงั นัน้ = ±√√ 2+ 2−

2

แตร่ ากทส่ี องของ z มเี พยี งสองจานวนเทา่ นั้น เราจึงเลอื กเครอื่ งหมายของ a และ b ให้ถกู ต้องโดยสงั เกตจาก
สมการ (2) ซึ่งแสดงวา่ 2ab = y นนั่ คือเครอ่ื งหมายของผลคณู ab ตอ้ งเหมือนกับ เครอ่ื งหมายของ y เราจงึ
เลือก a และ b ดงั นี้

ถา้ y ³ 0 รากทส่ี องของ z คอื

√√ 2+ 2+ + √√ 2+ 2− กบั −√√ 2+ 2+ − √√ 2+ 2−
22 22

ถา้ y < 0 รากทสี่ องของ z คอื

√√ 2+ 2+ − √√ 2+ 2− กบั −√√ 2+ 2+ + √√ 2+ 2−
22 22

428

ตวั อย่าง จงหารากทส่ี องของ
1. –7 – 24i
2. 3 + 5i
3. 25i
4. – 49i
5. –7 + 4i
6. 1–7i

Complex Numbers 429

MATH4609

จำนวนเชิงซอ้ นในรปู เชิงขวั้ (Polar form)
ถ้า Z = a + bi เปน็ จำนวนเชงิ ซอ้ น เราเขยี น Z แทนดว้ ยเวกเตอร์บนระนาบเชงิ ซ้อนได้ ดงั นี้

y (แกนจินตภาพ)

Z (a, b)

|Z|
b

O qa x (แกนจริง)

ให้ |Z| = r = a2 + b2 , q เปน็ มมุ บวกทเี่ ลก็ ทสี่ ุด

tanq = , หรอื b = r sinq
หรือ a = r cosq
a

sinq =
cosq = r

r

จะได้ Z = a + bi = r(cosq + i sinq)
เรยี ก r(cosq + i sinq) วา่ รูปเชงิ ขว้ั (polar form) ในบางครง้ั อาจเขียนแทน

r (cosq + i sinq) ด้วย cisq เราเรยี ก q วา่ เปน็ อารค์ ิวเบนต์ของ Z (argument of Z)

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงเขยี นจำนวนเชิงซอ้ นในข้อตอ่ ไปนี้ในรปู เชงิ ขั้ว
1. Z = 1 – 3 i
2. Z = –1

3. Z = −2 − √2i 4. Z = −√3 + i

ตวั อยา่ งที่ 2 จงเขียนจำนวนเชงิ ซอ้ นตอ่ ไปนใ้ี นรปู a + bi

1. 2(cos 135o + i sin 135o) 3. cos 150o + i sin 150o

2. 4(cos 300o + i sin 300o) 4. 3(cos 270o + i sin 270o)

430

การคูณและการหารจำนวนเชงิ ซอ้ นในรปู เชงิ ขวั้

ทฤษฎีบทให้ Z1 และ Z2 เปน็ จำนวนเชิงซอ้ นโดยท่ี

Z1 = r1 (cosq1 + i sinq1) และ Z2 = r2 (cosq2 + i sinq2)

จะได้ 1. ZZZ121Z2 = rrr211r2[c[ocso(sq(q1–1q+q2)2+) + i sin (q1+q2)]
2. = i sin(q1–q2)] ;
Z2  0

ตวั อยา่ งที่ 1 จงเขียนจำนวนเชงิ ซอ้ นในแต่ละข้อตอ่ ไปนี้ให้อยใู่ นรปู a + bi
1. (cos 28o + i sin 28o) (cos 32o + i sin 32o)

2. [2(cos 15o + i sin 15o)] [3(cos 70o + i sin 70o)] [4(cos 65o + i sin 65o]
cos130o + i sin130o

3. cos 40o + i sin 40o

(cos22.5o + i sin22.5o )(cos67.5o + i sin67.5o )
4. 2(cos315o + i sin315o )

ทฤษฎบี ทของเดอมวั ฟ์ (De Moivre’s Theorem) Zn = rn(cos nq + i sin nq)
ถ้า Z = r(cosq + i sinq) และ n เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว

ตวั อย่างที่ 1 จงเขียนจำนวนเชงิ ซอ้ นในแตล่ ะข้อต่อไปน้ใี ห้อยู่ในรปู a + bi
1. (cos 45o + i sin 45o)100

2. (cos6 + i sin6 )16

3. (√3 + 1 100

22 )

Complex Numbers 431

MATH4609

แบบฝกึ หัด
1. จงเขยี นจำนวนเชิงซอ้ นต่อไปนีใ้ นรปู เชิงขั้ว

1.1 Z = 2 + 2i

1.2 Z = – 3 + i

1.3 Z = –5i

1.4 Z = 1 3 i
2− 2

1.5 Z = 1

2. จงเขียนจำนวนเชงิ ซอ้ นในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ีให้อยใู่ นรปู a + bi
2.1 [2(cos 210o + i sin 210o)] + [3(cos 30o + i sin 30o)]

2.2 [4(cos 40o + i sin 40o)] [5(cos 20o + i sin 20o)]

2.3 [5(cos 80o + i sin 80o)] [2(cos 70o + i sin 70o)]

8(cos122o + i sin122o )
2.4 4(cos62o + i sin62o )

2.5 2(cos 56 + i sin 56
(cos 3 + i sin 3 )

2.6 [2(cos 30o + i sin 30o)]10

432

2.7 (cos 7 + sin 7 )−3

12 12

2.8 (cos 5 + sin 5 )−4

24 24

3. จงหาคา่ ของจำนวนต่อไปน้ี และตอบในรปู a + bi
3.1 (1+ 3 i)7

3.2 (– 2 + 2 i)20

3.3 (√3 − 1 10

22 )

( )3.41 3 i 8 (–2 + 2i)–4
2+ 2

100 8
( ) ( )3.51 1 i 1 3 i
2+ 2  −2 + 2

Complex Numbers 433

MATH4609

4. กำหนดให้ Z = 1 + 3 i จงหาส่วนจริงของ 1
2 2 1+Z5

5. สว่ นจรงิ ของ ( 2 12 มีค่าเท่ากบั เทา่ ใด

1− )

6. (–1+ 3 i)13 + (–1– 3 i)13 มีค่าเทา่ ใด

7. กำหนดให้ Z1 = 3 (cos 90o + i sin 90o), Z2 = 2จ2งห(าcคo่าsข1อ6ง5oZ+Z2 Z1i sin 165o)
2
3
Z3 = 2 (cos 15o + i sin 15o)

8. ให้ = √8( 40 +i 40 )2 ส่วนจริงของ 105 คอื
√2( 56 +i 56 )

434

9. จงหาส่วนจริงของ ( 27 +i 27 )55(−3+ )

|1−i|

10. กำหนดให้ Z = i−2 3 จงหาคา่ ของ Z60
11. ถ้า Z = –4 3 + 4i แล้วกราฟของ Z101 เป็นจุดอยใู่ นควอดรนั ตใ์ ด

12. กำหนด 1 = −1+√3 และ 2 = −1−√3 ถ้า = 15 + 25 และ = 16 + 26
2 2
แลว้ คา่ ของ 2 + 2 มคี ่าเทา่ กบั เทา่ ใด

13. กำหนด 1 = 1 + √3 และ 2 = 1+ จงหาค่าของ
√2
16 210

8[cos(−120o)+i sin(−120o)][cos(30o)−i sin(30o)]

1 Complex Numbers 435
Z3
MATH4609

14. ให้ Z เปน็ จำนวนเชิงซอ้ นซึ่ง Z + Z1 = 2+ 2i จงหาคา่ ของ Z3 +

15. ให้ Z เป็นจำนวนเชิงซอ้ นซ่งึ = (1 + 1 100 2553 + 1
2553
√2 √2 ) จงหาค่าของ

16. ถ้า 1 = cos 12 + sin 12 และ 12 = −cos 16 − sin 16 แลว้
( 1)15 มีค่าเท่ากบั เท่าใด

2

17. ให้ Z1 และ Z2 เป็นจำนวนเชงิ ซ้อนที่ 2 1 ̅ 2 = 1 + ̅ 2 และ 1 = (cos +
18
6
sin แลว้ อนิ เวอรส์ การคณู ของ Z2 มีคา่ เทา่ กับเท่าใด
)
18

18. จำนวนเชิงซอ้ น = 2 + 2 แล้วคา่ ของ + 2 + 3 + 4 + 5 +

77

6 เทา่ กบั เทา่ ใด

436

19. ให้ Z1 และ Z2 เปน็ จำนวนเชงิ ซอ้ นซงึ่ 1 = (cos + sin 4 และ z̅2 =

16 16 )

2̅̅̅+̅̅̅i − √2

z1

20. ถ้า 2 3 = 1 + √3 และ 18 = + เม่อื a, b เปน็ จำนวนจรงิ แล้ว a + b มีค่า
i−z27
เทา่ กับเทา่ ใด

21. ให้ = −1 − √3 แล้ว 6 + z̅6 มคี ่าเทา่ กับเท่าใด
22. ให้ = −1 + +3 + −5 + +7 + −9 + +11 + −13 + +15 แลว้ 8 +



z̅8 มคี า่ เท่ากบั เทา่ ใด

Complex Numbers 437

MATH4609

23. กำหนด = √2 ( − ) และ = 1 (2 − 3 )10
8 220
8

24. จำนวนเต็มบวก n ทีน่ ้อยทส่ี ุดทที่ ำให้ = (√3 + ) เปน็ จำนวนเชิงซอ้ นทส่ี ว่ นจรงิ มีคา่ เป็นลบมี
ค่าเทา่ กับเทา่ ใด

25. จำนวนเต็มบวก n ทน่ี ้อยทส่ี ดุ ทท่ี ำให้ = (√3 + ) เปน็ จำนวนจรงิ มีค่าเทา่ กับเท่าใด

26. จำนวนเต็มบวก n ท่ีนอ้ ยทส่ี ุดทท่ี ำให้ = (√3 + ) เป็นจำนวนจินตภาพแทม้ ีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด

27. จำนวนเต็มบวก n ทน่ี อ้ ยทส่ี ดุ ทที่ ำให้ (√2 + √2 = 1

22 )

438
การหารากท่ี n ของจำนวนเชิงซอ้ น
นิยาม ให้ X และ Z เปน็ จำนวนเชิงซอ้ น และ n เปน็ จำนวนเต็มบวก X เป็นรากที่ n ของ Z ก็ตอ่ เมอ่ื Xn =
Z
ทฤษฎีบท ถา้ Z = r (cosq + i cosq + i sinq) แล้วรากที่ n ของ Z มีทั้งหมด n รากท่แี ตกตา่ ง

 ( ) ( ) กันคือ X = n r cos q+2nk + i sin q+2nk เมือ่ k  {0, 1, 2, ... , n–1}

ตัวอย่างที่ 1 จงหารากที่ 2 ของ 1+ 3 i

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหารากท่ี 3 ของ 8i

Complex Numbers 439

MATH4609

ตัวอยา่ งที่ 3 จงหารากที่ 4 ของ – 16

ตัวอย่างท่ี 4 จงหารากที่ 5 ของ 32 – 32i

แบบฝกึ หดั

1. จงหารากที่ 2 ของ Z = 1 + 3 i
2 2

440

2. จงหารากท่ี 3 ของ –27i
3. จงหารากท่ี 4 ของ –8 + 8 3 i
4. จงหารากที่ 4 ของ –81
5. จงหารากท่ี 6 ของ –64

Complex Numbers 441

MATH4609

6. ให้ a เปน็ รากท่ี 2 ของ 5 – 12i และ b เป็นรากที่ 2 ของ –3 – 4i ถา้ a + b มคี า่ ทีเ่ ปน็ จำนวนจรงิ จง
หาคา่ ของ (a + b)6

7. กำหนดให้ a, b และ c เปน็ รากทง้ั สามของสมการ √2z3 = 1 + ถา้ a และ b เปน็ รากทอี่ ยใู่ นค
วอดรันตท์ ่ี 1 และ 2 ตามลำดบั แลว้ 4a2 – b4 + 2c4 มค่ี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด

8. กำหนดให้ a, b และ c เปน็ รากทง้ั สามของสมการ 7 ถ้า b และ c เปน็ รากทอ่ี ยู่ในควอดรนั ตท์ ี่ 3 และ
4 ตามลำดบั แลว้ 2 b + 4c มคี่ า่ เทา่ กบั เทา่ ใด

9. ให้ Z เปน็ จำนวนเซงิ ซอ้ น ถ้า –1+ √3 i เป็นรากท่ี 5 ของ Z แลว้ รากท่ี 2 ของ Z มีคา่ เท่ากับเทา่ ใด

442
10. ถา้ w เปน็ รากทส่ี ามของ 4√2(−1 + ) และเปน็ รากที่สข่ี อง 8(1 − √3 ) แล้ว w มีคา่
เทา่ กบั เทา่ ใด

11. กำหนดให้ 5 = 1 และ ≠ 1 จงหาค่าของ 4 + 3 + 2 + z

12. ถ้า 1 และ 2 เป็นรากของสมการ ( − 2√3)3 = −8 ซึง่ มขี นาดเปน็ จำนวนเตม็ แล้ว
1 + 2

13. ถ้า 1, 2และ 3 เป็นรากของสมการ (1 − i)z3 = √2 ถา้ 1, 2และ 3เปน็ รากที่อยู่
ในควอดรนั ตท์ ี่ 1, 2 และ 3 ตามลำดับ แล้ว 1 3 + z22 มี่ค่าเท่ากบั เทา่ ใด

Complex Numbers 443

MATH4609

14. ถ้า 1 , 2 และ 3 เป็นรากของสมการ 1 + (1 + 1)3 = 0 แล้ว ( 1 + 2 + 3)



15. ให้ Z1, Z2 เป็นค่ารากของสมการ Z2 = 3 + 4i โดย Z1เป็นค่ารากที่อยใู่ นควอดรันตท์ ี่ 1
ถา้ W Z1 – Z2 – W = 1 แลว้ คา่ ของ |W|2 ตรงกบั ขอ้ ใด

16. ให้ Z = –8 – 8 3 i มี a, b, l และ g เป็นค่ารากทง้ั สี่ของ Z ถ้า l เป็นคา่ รากท่อี ยใู่ นควอดรันตท์ ่ี
3 จงหา l6

17. ให้ a, b, g, q, l เป็นรากท้งั 5 รากของสมการ Z5 – 16 3 i + 16 = 0 ถ้า a เปน็ รากทีอ่ ยู่ในควอดรนั ต์
ท่ี 1 b เป็นรากทอ่ี ยใู่ นควอดรันตท์ ่ี 2 และมอี ารก์ ิวเมนตม์ ากกว่า 23 , g เป็นรากทอ่ี ยใู่ นควอดรนั ตท์ ี่ 3

แลว้ a 3b มคี ่าเทา่ ใด
g

444

18. ให้ Z1 และ Z2 เปน็ รากของสมการ X2 = –2 – 2 2 i จงหาค่าของ |Z1|2 + |Z2|2

19. ให้ Z1 และ Z2 เปน็ จำนวนเชงิ ซอ้ นทสี่ อดคล้องกบั สมการ 2 − 3z + 4 = 0 จงหาคา่ ของ

(| 1|2 + | 2|2) (1 + 1)

z1 z2

20. ถ้า A เปน็ เซตคำตอบของสมการ Z14 – i = 0 และ B เป็นเซตคำตอบของสมการ Z22 – i = 0 แลว้
จำนวนสมาชกิ ของ ∩ เท่ากับเท่าใด

Complex Numbers 445

MATH4609

การแกส้ มการพหนุ าม

ทฤษฎี ถา้ สมการพหุนามคือ anxn + an–1xn–1 + an–2xx–2 + ... + a1x + a = 0
เม่ือ n เป็นจำนวนเตม็ บวก โดยที่ an  0 มี a + bi เป็นคำตอบหนงึ่ ของสมการแลว้ a – bi จะเปน็ คำตอบของ
สมการดว้ ย เมื่อ a, b R และ b  0

Vieta's Formula
กำหนด 1, 2, 3, … , n เปน็ คำตอบของพหนุ ามดีกรี ≥ 1

+ −1 −1 + −2 −2 + ⋯ + 1 + 0 = 0

ผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมการ เท่ากับ an−1
an
1 + 2 + 3 + ⋯ + n = −

ผลบวกของผลคูณทลี ะสองคำตอบ เท่ากบั an−2
an
1 2 + 2 3 + ⋯ + n 1 =

ผลบวกของผลคณู ทลี ะสามคำตอบ เท่ากับ an−3
an
1 2 3 + 2 3 4 + ⋯ + n 1 2 = −

⋮

ผลคณู ของคำตอบทัง้ หมดของสมการ เท่ากบั a0
an
1 2 3 ⋯ n = (−1)n

แบบฝึกหดั

จงแกส้ มการพหนุนาม
1. x2 + 4x + 29 = 0

2. x2 – 6x + 10 = 0

446

3. Z2 – 2Z – 2 + 4i = 0
4. Z2 + 2iZ + 1 = 0
5. Z2 – (5 + 2i) Z + 21 + i = 0
6. Z 3 + 2Z 2 + 2Z + 4 = 0
7. Z3 + 2Z2 – 2Z + 3 = 0
8. Z 3 – 4Z 2 – 2Z + 20 = 0
9. 3Z 3 + 5Z 2 + 8Z + 4 = 0
10. Z 3 – Z 2 + 2i Z 2 + Z+ 2iZ – 2i = 0
11. Z 4 + 10 Z 2 + 169 = 0

Complex Numbers 447

MATH4609

12. Z 4 + Z 3 – 5Z 2 + Z – 6 = 0
13. Z 4 + 6Z 3 + 4Z 2 – 3 Z + 10 = 0
14. 5Z 4 – 4Z 3 + 19Z 2 – 16 Z – 4 = 0
15. Z5 – 2Z4 – Z3 + 6Z – 4 = 0
16. Z5 – Z3 + 4Z2 – 2Z + 4 = 0
17. Z 6 – 3 Z 2 + 2 = 0
18. Z6 + 5Z4 – 9Z2– 45 = 0