MATH4609_Mathematics for teachers II

149

ตัวอย่างที่ 1.4.3 จงแสดงว่าเส้นตรงที่ผ่านจุด A(4, 8) และ B(3, 7) ขนานกับเส้นตรงผ่านจุด
C(– 3, – 2) และ D(1, 6)

วิธีทำ

mAB = 7 − (−3)
3 − (−2)

= 10 = 2
5

mCD = 6 − (−2) ภาพท่ี 1.4.9
1 − (−3)

= 8 = 2
4

จะได้ mAB =mCD ดงั น้ัน เสน้ ตรงที่ผา่ นจดุ A(– 2, – 3) และ B(3, 7) ขนานกับเสน้ ตรงผา่ นจุด
C(– 3, – 2) และ D(1, 6) ดังภาพท่ี 1.4.9

ตัวอย่างที่ 1.4.4 จงแสดงว่าเส้นตรงที่ผ่านจุด A(–4, – 1) และ B(6, 4) ตั้งฉากกับเส้นตรงผ่านจดุ
C(– 3 , 5) และ D(1, –3)

วธิ ีทำ

mAB = 4 − (−1)
6 − (−4)

= 5 = 1
10 2

mCD = 5 − (−3) ภาพท่ี 1.4.10
−3 −1

= − 8
4

= −2

จะได้ mAB mCD = 1  (−2) = −1 ดงั นั้น เสน้ ตรงท่ผี ่านจุด A(–4, – 1) และ B(6, 4)
2
ตั้งฉากกบั เสน้ ตรงผ่านจดุ C(– 3 , 5) และ D(1, –3) ดงั ภาพที่ 1.4.10

150

ตัวอย่างที่ 1.4.5 จงแสดงว่า A(– 2, – 2), B(6, 2) และ C(3, 8) เปน็ จดุ ยอดของสามเหลีย่ มมมุ ฉากท่ี
มี B เปน็ มุมฉาก

วธิ ีทำ

mAB = 8−2
3−6

= 6 = − 2
−3

mBC = 2 − (−2)
6 − (−2)
ภาพท่ี 1.4.11
4 1
= 8 = 2

จะได้ mAB mBC = (−2)  1 = −1
2
นั้นคือเส้นตรงทีผ่ ่านจุด A(– 2, – 2) และ B(6, 2) ตั้งฉากกับเส้นตรงผ่านจดุ B(6, 2) และ C(3, 8)

ดังนัน้ A(– 2, – 2), B(6, 2) และ C(3, 8) เป็นจดุ ยอดของสามเหล่ียมมมุ ฉากท่มี ี B เป็นมมุ ฉาก ดัง

ภาพที่ 1.4.11

ตวั อย่างที่ 1.4.6 กำหนด A(3, 3) และ B(4, – 2) หาจดุ C บนแกน x ทท่ี ำให้มมุ ACB เปน็ มุมฉาก

วธิ ที ำ

ให้ C(x, 0) เป็นจดุ บนแกน x ทท่ี ำให้มมุ ACB เป็นมมุ ฉาก

จะได้ mAC mBC = −1

จาก mAC = 3−0 และ mBC = −2 − 0
3−x 4−x

ดังนั้น 3 − 0  −2 − 0 = −1 ภาพที่ 1.4.12
3 − x 4−x

−6
x2 − 7x +12 = −1

x2 −7x +6 = 0

( x −1)(x − 6) = 0

x = 1,6
ดงั นัน้ พกิ ดั จุด C ที่ทำให้มุม ACB เปน็ มมุ ฉาก คือ C(1, 0) และ C(6, 0) ดงั ภาพที่ 1.4.12

151

ตัวอยา่ งท่ี 1.4.7 จงพิจารณาวา่ A(1, 5), B(– 1, 1), C(2, 7) อยู่บนเส้นตรงเดียวกนั หรอื ไม่
วธิ ีทำ

จาก A(1, 5), B(– 1, 1) จะได้ mAB = 1 5−1 = 2
− (−1)

จาก B(– 1, 1), C(2, 7) จะได้ mBC = 2 7−1 =2
− (−1)

ดงั นั้น mAB =mBC ภาพท่ี 1.4.13
จาก A(1, 5), B(– 1, 1), C(2, 7) จะอยบู่ นเสน้ ตรงเดียวกนั

กต็ ่อเมอ่ื mAB =mBC

ดังน้ัน A(1, 5), B(– 1, 1), C(2, 7) อยู่บนเสน้ ตรงเดยี วกนั ดังภาพที่ 1.4.13

ตวั อยา่ งที่ 1.4.8 จงหาค่า x ท่ีทำให้ A(– 2, 2), B(x, 4) และ C(6, 6) อยบู่ นเส้นตรงเดียวกัน
วธิ ที ำ

จาก A(– 2, 2), B(x, 4) และ C(6, 6) จะอยบู่ นเสน้ ตรงเดยี วกัน

กต็ ่อเมอื่ mAB =mBC

จะได้ 4−2 = 6 − 4
x − (−2) 6 − x
ภาพที่ 1.4.14
2 2
x+2 = 6 − x

2(6 − x) =2(x + 2)

12 − 2x =2x + 4

4x =8

x =2

ดังน้ัน x ท่ที ำให้ A(– 2, 2), B(x, 4) และ C(6, 6) อยบู่ นเสน้ ตรงเดยี วกนั คือ 2ดังภาพท่ี 1.4.14

152

แบบฝกึ หัดท่ี 1.4
1. จงหาความชันของเส้นตรงทผ่ี า่ นจดุ A, B เมือ่ กำหนด

1. A(1, 1) และ B(3, 7)
2. A(–1, 1) และ B(–2, 7)
3. A(2, –7) และ B(–4, 8)
4. A(1, –3) และ B(1, 6)
5. A(2, –2) และ B(–4, –2)
2. จงแสดงว่าเส้นตรงท่ผี า่ นจุด A(3, 4) และ B(1, 2) ขนานกับเส้นตรงท่ผี า่ นจดุ C(3, 0) และ D(5,2)
3. กำหนดเส้นตรงผ่านจุด A(k, 5) และ B(– 5 , – 4 ) ขนานกับเส้นตรงที่ผ่านจุด C(1, 0) และ
D(– 1 ,– 6 ) จงหาคา่ k
4. จงพจิ ารณาวา่ A(1, 1), B(– 1, 7), C(2, –2) อยบู่ นเส้นตรงเดียวกนั หรอื ไม่
5. จงหาค่า x ทท่ี ำให้ A(– 1, 5), B(x, 1) และ C(3, – 3) อยูบ่ นเสน้ ตรงเดียวกัน
6. จงแสดงว่า A(1, 2), B(– 5, – 4) และ C(5, – 2) เปน็ จุดยอดของสามเหล่ยี มมมุ ฉาก
7. กำหนด A(5, k), B(6, – 6) และ C(2, – 3) เป็นจดุ ยอดของสามเหล่ียมท่มี ี C เปน็ มมุ ฉาก จงหาค่า k
8. กำหนด A(2, 2) และ B(5, – 2) หาจดุ บนแกน x ทท่ี ำใหม้ มุ ACB เป็นมมุ ฉาก

1.5 สมการเส้นตรงในแบบตา่ งๆ

1. เส้นตรงผา่ นจดุ (x, y) และมคี วามชัน m

สมการคือ y − y1 = m( x − x1 )

2. เส้นตรงผ่านจดุ (x1, y1) และ (x2, y2) ; x1  x2

สมการคือ y − y1 =  y1 − y2 ( x − x1 )
 x1 − x2
 

3. เสน้ ตรงที่ตดั แกน x ที่ a และ ตัดแกน y ที่ b

สมการคอื x + y = 1
a b

4. เส้นตรงมีความชัน m และตัดแกน y ที่จุด c

สมการคอื y = mx + c

153

สมการเสน้ ตรงในรูปทวั่ ไป

สมการเส้นตรงในรปู ทัว่ ไป Ax + By + C =0 จะไดว้ า่

1. ความชนั m=− A
B

2. ถ้า A = 0 เสน้ ตรงจะขนานกบั แกน X โดยมสี มการเปน็ y = − C
B

3. ถ้า B = 0 เสน้ ตรงจะขนานกบั แกน Y โดยมสี มการเป็น x = − C
A

4. ถ้า C = 0 เสน้ ตรงผา่ นจดุ (0, 0) โดยมสี มการเป็น Ax + By = 0

( )5. C
ถ้า x = 0 เสน้ ตรงตัดแกน y ทจี่ ุด 0, − B

( )6. ถ้า y = 0 เสน้ ตรงตดั แกน x ทจ่ี ดุ − C ,0
A

7. เสน้ ตรงทขี่ นานกบั Ax + By + C =0 จะมสี มการอย่ใู นรปู Ax + By + C=0

8. เส้นตรงที่ตง้ั ฉากกับ Ax + By + C =0จะมสี มการอยู่ในรปู Bx − Ay + C=0

ตวั อย่าง 1.5.1 จงหาสมการเส้นตรงทผ่ี า่ นจดุ A(– 4, 3) และความชัน m= 2
3
2
วิธที ำ สมการเส้นตรงทผ่ี า่ นจดุ A(– 4, 3) และความชนั m= 3

คอื y−3 = 2 ( x − ( −4) )
3
3y −9 = 2x +8

2x − 3y +17 = 0

ตัวอย่าง 1.5.2 จงหาสมการเส้นตรงที่ผา่ นจุด A(– 2, 5) และ B(– 5, 3)

วิธีทำ สมการเส้นตรงทผี่ ่านจุด A(– 2, 5) และ B(– 5, 3)
5−3
คือ y−5 = −2 − (−5) ( x − (−2) )

= 2 ( x + 2)
3
3y −15 = 4x + 4

4x − 3y +19 = 0

154

ตัวอย่าง 1.5.3 จงหาสมการเสน้ ตรงท่ีตัดแกน x ท่ี – 3 และ ตดั แกน y ท่ี 4

วธิ ที ำ สมการเส้นตรงทตี่ ัดแกน x ท่ี – 3 และ ตัดแกน y ท่ี 4
x y
คือ −3 + 4 =1

4 x − 3y = 12

4 x − 3y −12 = 0

ตวั อย่าง 1.5.4 จงหาสมการเส้นตรงทผ่ี ่านจุด (– 3, 6) และขนานกบั เส้นตรง 3x + 4 y −12 = 0

วิธที ำ สมมตสิ มการเสน้ ขนานคือ3x + 4y + C = 0
เสน้ ตรงผา่ นจุด (– 3, 6) จะไดว้ ่า 3(– 3) + 4(6) + C = 0
– 9 + 24 + C = 0
C = 15
ดังนั้น สมการเสน้ ขนานคอื 3x + 4y + 15 = 0

ตวั อย่างที่ 1.5.5 จงหาสมการเสน้ ตรงทผ่ี า่ นจุด (– 2, 4) และตง้ั ฉากกบั เสน้ ตรง3x − 4 y + 2 = 0

วธิ ที ำ สมมตสิ มการเส้นตงั้ ฉากคอื 4x + 3y + C = 0
เสน้ ตรงผา่ นจดุ (– 2, 4) จะได้วา่ 4(– 2) + 3(4) + C = 0
– 8 + 12 + C = 0
C=–4
ดงั นัน้ สมการเส้นขนานคือ 4x + 3y – 4 = 0

ตัวอย่างท่ี 1.5.6 จงหาสมการเส้นตรงทผี่ า่ นจุดตัดของเสน้ ตรง 2x + y − 4 = 0 และ
2x − 3y + 4 = 0 และตง้ั ฉากกบั เส้นตรง 3x + 4 y − 5 = 0

วธิ ที ำ หาจุดตัดของเส้นตรงจุดตดั ของเสน้ ตรง โดยแก้สมการ ---(1)

2x + y −4 = 0

2x −3y +4 =0 ---(2)

จะได้ x = 1 และ y = 2

ดังนน้ั จดุ ตดั คอื (1,2)
สมมตสิ มการเส้นตัง้ ฉากคือ 4 x + 3y + c = 0

เส้นตรงผ่านจดุ (1,2) จะไดว้ า่ 4(1) + 3(2) + c = 0

10 + c = 0

c = −10

ดงั นนั้ สมการเสน้ ขนานคอื 4 x + 3y −10 = 0

155

แบบฝึกหัด 1.5

1. จงหาสมการเส้นตรงทผี่ า่ นจุด A และความชนั m

1) A(–2 , 3) ; m = 1
2

2) A(– 3, – 1) ; m = − 3
4

2. จงหาสมการเส้นตรงทผี่ า่ นจุด A และ B

1) A(–1 , – 3) และ B(2 , 6)

2) A(–2 , 3) และ B(3 , – 7)

3) A(–2 , 4) และ B(–2 , 5)

3. จงหาสมการเสน้ ตรงทต่ี ดั แกน x ท่ี 2 และ ตดั แกน y ที่ – 3

4. หาสมการเสน้ ตรงทผ่ี า่ นจุด (2, 4) และมรี ะยะตัดแกน x เปน็ ครึง่ หนงึ่ ของระยะตัดแกน y

5. หาสมการเสน้ ตรงขนานแกน x และห่างจากแกน x เป็นระยะทาง 1 หนว่ ย

6. กำหนด ABCD เปน็ จุดยอดของสเี่ หลย่ี มจัตรุ ัสมี AC เป็นเส้นทแยงมุม ถ้ากำหนด A(2, 6) และ
C(4, 2) เป็นจุดปลายของเสน้ ทแยงมุมเสน้ หน่ึง จงหาสมการเสน้ ทแยงมมุ BD

7. กำหนด A(– 2, 3), B(2, 1) และ C(6, 5) เป็นจุดยอดของสามเหล่ียม ABC หาสมการเส้นตรงทีม่ ี
2
ความชันเป็น − 3 และผ่านจดุ ตดั กนั ของเสน้ มัธยฐานของสามเหลี่ยม ABC

8. วงกลมผ่านจดุ A(2, 3) และ B(– 4, 1) ถ้าลากเสน้ ตรงผ่านจดุ ศนู ย์กลางของวงกลมมาตงั้ ฉากกบั
คอร์ด AB แลว้ สมการเส้นตรงนค้ี ือ

9. วงกลมวงหน่ึงมีจดุ ศนู ย์กลางอยทู่ ี่ (– 2, 3) ถ้าเส้นตรง AB เป็นเสน้ ตรงทลี่ ากมาสมั ผสั วงกลมนที้ ่ี
(– 3, 5) แล้วสมการของเสน้ ตรง AB คอื

10. จงหาสมการเส้นตรงทผ่ี ่านจุด (– 5, 2) และขนานกบั เส้นตรง 2x + 3y – 5 = 0

11. จงหาสมการเสน้ ตรงทผี่ ่านจุด (– 1, – 3) และต้ังฉากกบั เสน้ ตรง 4x + 3y + 5 = 0

12. จงหาสมการเสน้ ตรงทผี่ ่านจุดตดั แกน x ของสมการ 3x + 4y = 12 และตั้งฉากกับเส้นตรง
4x – 5y + 3 = 0

13. จงหาสมการเสน้ ตรงทผี่ า่ นจุดตัดของเส้นตรง x + 2y – 5 = 0 และ x – 2y – 10 = 0 และตงั้
ฉากกับเสน้ ตรง 4x + 3y + 5 = 0

14. กำหนด A(8, – 1) และ B(– 2, 3) มี C เป็นจดุ ทอี่ ยบู่ นส่วนของเส้นตรง AB ท่ีทำให้ AC : CB
= 3 : 4 จงหาสมการเสน้ ตรงทผ่ี า่ นจุด C และขนานกบั เสน้ ตรง 2x – 5y + 10 = 0

156

1.6 ระยะหา่ งระหว่างจุดกับเสน้ ตรง

เมื่อพิจารณาระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรงโดยที่จุดนั้นไม่ได้อยู่บนเส้นตรงจะหมายถึง
ระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดกับเส้นซึ่งก็คือระยะตั้งฉากกับเส้นตรง หัวข้อนี้จะกล่าวถึงการหา
ระยะห่างระหว่างจุดและเส้นตรง

ระยะห่างระหวา่ งจุด P( x1 , y1 ) กบั เสน้ ตรง

Ax + By + C =0 คอื d= Ax1 + By1 + C
A2 + B2

ภาพท่ี 1.6.1 ระยะหา่ งระหว่าง
จดุ P( x1 , y1 ) กับเสน้ ตรง

พสิ จู น์ ให้ L เป็นเส้นตรงที่มสี มการเป็น Ax + By + C =0 โดยท่ี A และ B ไมเ่ ปน็ ศนู ยพ์ รอ้ ม
กัน

P( x1 , y1 ) เป็นจุดที่อย่นู อกเส้นตรง Lและ ดงั ภาพที่ 1.6.2
d เปน็ ระยะห่างระหว่างเส้นตรง Lและ จุด P( x1 , y1 )

P( x1 + h, y1 + k) เป็นจดุ ที่ PP ต้ังฉากกบั เส้นตรง L

ภาพที่ 1.6.2 P( x1 + h, y1 + k) เป็นจุดที่ PP ต้งั ฉากกบั เส้นตรง L

จากสมการเส้นตรง L: Ax + By + C =0 เปน็ เส้นตรงท่ีมีความชนั คอื − A
B

สว่ นของเสน้ ตรงผ่านจดุ P( x1 , y1 ) และ จุด P( x1 + h, y1 + k) มีความชนั คอื k
h

เนื่องจากสว่ นของเส้นตรง PP ตัง้ ฉากกับเสน้ ตรง Lดงั น้นั ผลคูณของความชันจะมคี า่ เทา่ กบั −1

157

( )( )นัน่ คือ−A k = −1
B h

จะได้ Bh− Ak =0

(Bh− Ak )2 =0

B2h2 − 2BhAk + A2k2 =0 -----(1)

จาก P( x1 + h, y1 + k) เป็นจดุ บนเส้นตรง Ax + By + C =0

จะได้ A( x1 + h)+ B( y1 + k ) + C = 0

Ax1 + Ah+ By1 + Bk+ C =0

Ah+ Bk = − Ax1 − By1 − C

( Ah+ Bk )2 =( Ax1 + By1 + C )2

A2h2 + 2AhBk + B2 k2 =( Ax1 + By1 + C )2 -----(2)

นำ (1) + (2) จะได้

A2h2 + B2 k2 + B2h2 + A2k2 =( Ax1 + By1 + C )2

( ) ( )A2h2 + B2h2 + B2 k2 + A2k2 =( Ax1 + By1 + C )2

( ) ( )A2 + B2 h2 + A2 + B2 k2 =( Ax1 + By1 + C )2

( )( )A2 + B2 h2 + k2 =( Ax1 + By1 + C )2

h2 + k2 = ( Ax1 + By1 + C )2
A2 + B2

จาก d2 = h2 + k2

จะได้ d2 = ( Ax1 + By1 + C )2
A2 + B2

นน่ั คอื d = Ax1 + By1 + C
A2 + B2

ดังนน้ั ระยะหา่ งระหว่างจุด P( x1 , y1 ) กบั เส้นตรง Ax + By + C =0 คอื d= Ax1 + By1 + C
A2 + B2

158

ตวั อยา่ งที่ 1.6.1 จงหาระยะห่างระหว่างจุด (– 2, – 1) กบั เส้นตรง 4x + 3y – 4 = 0
วธิ ีทำ

ระยะห่างระหวา่ งจดุ (– 2, – 1) กบั เส้นตรง 4x + 3y – 4 = 0
ดงั ภาพท่ี 2.6.3

คอื d = 4(−2) + 3(−1) − 4
42 + 32

= −8 − 3 − 4 ภาพที่ 1.6.3
5

= 15
5

= 3 หนว่ ย

ตวั อยา่ งท่ี 1.6.2 จงหาจุดบนแกน y ทหี่ ่างจากเส้นตรง 5x + 12y – 8 = 0 เปน็ ระยะ 2 หน่วย
วธิ ที ำ

ให้ A(0, y) จดุ บนแกน y ทหี่ ่างจากเส้นตรง 5x + 12y – 8 = 0

เป็นระยะ 2 หนว่ ย

ดงั น้นั 2 = 5(0) + 12(y) − 8
52 + 122

= 12y − 8 ภาพท่ี 1.6.4
13

26 = 12y − 8

12y − 8 =  26

y = 17 , − 3
6 2

ดังน้นั จุดบนแกน y ทหี่ ่างจากเสน้ ตรง 5x + 12y – 8 = 0 เปน็ ระยะ 2 หนว่ ย

( )คือ 0, 17  , 0, − 3 ดงั ภาพท่ี 1.6.4
6 2

159

ตัวอยา่ งที่ 1.6.3 หาสมการเสน้ ตรงท่ีห่างจากจุด (1, 2) เปน็ ระยะทาง 3 หนว่ ย และต้งั ฉากกับ
เส้นตรง 4x + 3y –2 = 0
วิธีทำ

สมมตสิ มการเส้นตั้งฉากคอื 3x – 4y + c = 0

จาก สมการเส้นตงั้ ฉาก ห่างจากจดุ (1, 2) เป็นระยะทาง 4 หนว่ ย

จะได้ 3 = 3(1) − 4(2) + c
42 + 32

15 = −5 + c ภาพท่ี 1.6.5
−5 + c =  15

c = 20,−10

ดังน้นั สมการเสน้ ตรงท่หี า่ งจากจุด (1, 2) เปน็ ระยะทาง 3 หน่วย และตงั้ ฉากกบั เส้นตรง

4x + 3y –2 = 0 คือ 3x – 4y + 20 = 0 และ 3x – 4y – 10 = 0 ดังภาพท่ี 1.6.5

ตวั อย่างท่ี 1.6.4 จงหาจดุ บนเส้นตรง x + 3y + 2 = 0 ซงึ่ หา่ งจากเสน้ ตรง 5x + 12y – 4 = 0 เปน็
ระยะ 2 หนว่ ย

วธิ ที ำ

ให้ (a, b) เป็นจุดบนเส้นตรง x + 3y + 2 = 0

จะได้ a + 3b + 2 = 0

ดังน้ัน a = –3b – 2

จาก (a, b) ห่างจากเสน้ ตรง 5x + 12y – 4 = 0 เป็นระยะเท่ากบั

2 หนว่ ย ภาพท่ี 1.6.6

จะได้ 2 = 5a + 12b − 4
52 + 122

26 = 5a +12b − 4

แทนคา่ a = –3b – 2

จะได้ 26 = 5(−3b − 2) +12b − 4

= −15b −10 + 12b − 4

= −3b −14

160

นน้ั คอื −3b −14 =  26

b =4, − 40
3

ถา้ b = 4 จะได้ a = − 3(4) − 2 = −14

( )ถา้ 40 40
b = − 3 จะได้ a = − 3 − 3 − 2 = 38

( )จะได้ (a,b)=(−14,4), 38, − 40
3

ดังนนั้ จดุ บนเส้นตรง x + 3y + 2 = 0 ซงึ่ ห่างจากเส้นตรง 5x + 12y – 4 = 0 เป็นระยะ 2 หน่วย

( )คอื (−14,4), 38, − 40 ดังภาพท่ี 1.6.6
3

ตัวอย่างท่ี 1.6.5 จงหาสมการเสน้ ตรงท่ีไมข่ นานแกน y แตผ่ ่านจดุ (4, 3) และ หา่ งจากจดุ (0, 0)
เปน็ ระยะทาง 4 หน่วย

วธิ ที ำ

สมการเสน้ ตรงผา่ นจดุ (4, 3) คอื y − 3 = m( x − 4)

mx − y − 4m + 3 = 0

จากสมการเสน้ ตรง mx − y − 4m + 3 = 0 ห่างจากจุด (0, 0)

เป็นระยะทาง 4 หนว่ ย

จะได้ 4 = m(0) − 0 − 4m + 3 ภาพที่ 1.6.7
m2 + (−1)2

= 4m+ 3
m2 + 1

4 m2 +1 = 4m + 3

( )16 m2 +1 = (4m + 3)2

16m2 +16 = 16m2 + 24m + 9

m = 7
24

แทนค่า m= 7 ใน mx − y − 4m + 3 =0
24

161

( ) ( )จะได้7 7
24 x − y −4 24 +3 =0

7x − 24 y + 44 = 0

ดงั นัน้ สมการเส้นตรงที่ไมข่ นานแกน y แตผ่ า่ นจดุ (4, 3) และ หา่ งจากจดุ (0, 0) เปน็ ระยะทาง 4

หนว่ ย คือ 7x − 24 y + 44 = 0 ดงั ภาพที่ 1.6.7

ตวั อย่างที่ 1.6.6 กำหนด 4x – 2y – 7 = 0 และ 2x + 4y + 3 = 0 เป็นสมการของดา้ นของ

สเ่ี หล่ยี มผนื ผ้า และมจี ดุ (– 1, 2) เปน็ จดุ ยอดจดุ หนง่ึ ของรูปสเี่ หล่ียมผนื ผ้า จงหาพนื้ ที่ของรปู
สี่เหลย่ี มผนื ผา้ น้ี

วธิ ที ำ

จาก 4x – 2y – 7 = 0 ตงั้ ฉากกับ 2x + 4y + 3 = 0

และ (– 1, 2) เป็นจดุ ยอดจุดหนง่ึ ของรูปส่เี หลีย่ มผนื ผ้า

จะไดค้ วามกวา้ งและยาวของสี่เหลี่ยมมคี า่ เท่ากับระยะห่างระหว่าง ภาพที่ 1.6.8
จดุ (– 1, 2) และเส้น 4x – 2y – 7 = 0 และ 2x + 4y + 3 = 0

จะได้ ความกว้าง = 4(−1) − 2(2) − 7
42 + 22

= −15
20

= 15 หน่วย
25

ความยาว = 2(−1) + 4(2) + 3
42 + 22

= 9
20

= 2 9 5 หนว่ ย

ดังนัน้ พน้ื ทส่ี เี่ หล่ยี มผืนผา้ มคี ่าเท่ากบั 15 2 95 = 27 ตารางหน่วย ดังภาพที่ 1.6.8
25 4

162

ตัวอยา่ งที่ 1.6.7 จงหาสมการเสน้ ตรงแบง่ ครง่ึ มมุ ซึ่งเกิดจากเสน้ ตรง L1 :3x − 2y −1 = 0 และ
เส้นตรง L2 :2 x− 3 y+ 4 = 0 ตดั กนั
วธิ ที ำ

ให้ P( x, y) เป็นจุดท่ีอยบู่ นเส้นตรงแบ่งคร่งึ มมุ ซง่ึ เกิดจากเส้นตรง
L1 :3x − 2y −1 = 0 และ เสน้ ตรง L2 :2 x− 3 y+ 4 = 0 ตัดกัน

จะได้วา่ ระยะทางจากจุด P( x, y) ไปยงั เสน้ ตรง L1 เท่ากบั
ระยะทางจากจดุ P( x, y) ไปยงั เสน้ ตรง L2

ดังนน้ั 3x −2y −1 = 2x −3y +4 ภาพท่ี 1.6.9
32 + (−2)2 22 + (−3)2

3x −2y −1 = 2x −3y +4

3x −2y −1=(2x −3y +4)

x + y − 5 =0 และ 5x − 5y + 3 =0

ดังน้นั สมการเสน้ ตรงแบง่ ครงึ่ มมุ ซง่ึ เกิดจากเส้นตรง L1 :3x − 2y −1 = 0 และ เสน้ ตรง
L2 :2 x+ 3 y+ 4 = 0 ตดั กันคือ x + y − 5 =0 และ 5x − 5y + 3 =0 ดงั ภาพที่ 1.6.9

ในทำนองเดียวกันกับตวั อยา่ งที่ 1.6.7 ให้ P( x, y) เป็นจดุ ทอ่ี ย่บู นเส้นตรงแบ่งครึง่ มมุ ซึง่ เกิด

จากเส้นตรง L1 : A1x + B1y + C1 = 0 และ เส้นตรง L2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 ตัดกัน จะได้

สมการเส้นตรงแบ่งครึ่งมุมซึ่งเกิดจากเส้นตรง L1 : A1x + B1y + C1 = 0 และ เส้นตรง

L2 : A2 x + B2 y + C2 = 0ตดั กนั คอื A1x + B1y + C1 =  A2 x + B2 y + C2
A12 + B12 A22 + B22

ตัวอย่างที่ 1.6.8 จงหาระยะห่างระหว่างเส้นขนาน 5x +12y − 3 =0 และ 5x +12y +10 =0
วธิ ที ำ
ระยะห่างระหวา่ งเสน้ ขนาน โดยเลอื กจุดบน 5x +12y − 3 =0

มาหนง่ึ จดุ ได้แก่  3 ,0  แลว้ หาระยะหา่ งระหวา่ งจดุ  3 ,0 
5 5

กับเสน้ ตรง 5x +12y +10 =0

( )คอื 5 3 +12(0) +10 13
5 52 + 122 13
d= = = 1 หน่วย ภาพที่ 1.6.10

163

หรืออกี วธิ โี ดยหาระยะห่างระหว่างเสน้ ขนาน โดยเลอื กจุดบน 5x +12y +10 =0 มาหนง่ึ จุด

ได้แก่ (−2,0) แลว้ หาระยะห่างระหว่างจุด (−2,0) กบั เส้นตรง 5x +12y − 3 =0

คือ d = 5(−2) + 12(0) − 3 = 13 =1 หนว่ ย ดังภาพที่ 1.6.10
52 + 122 13

จากตวั อยา่ งท่ี 1.5.9 การหาระยะทางระหวา่ งเสน้ ตรง L1 กบั L2 โดยท่ี L1 / /L2 ทำไดโ้ ดย

เลือกจดุ บน L1 และหาระยะห่างระหว่างจดุ นัน้ กบั เส้นตรง L2 หรอื เลอื กจดุ บน L2 และหาระยะหา่ ง

ระหว่างจุดนน้ั กับเสน้ ตรง L1 หรือหาได้จากสตู รซงึ่ จะกล่าวถึงในหวั ข้อถัดไป

แบบฝึกหดั 1.6

1. จงหาระยะห่างระหว่างจดุ (2, – 1) กบั เส้นตรง 3x + 4y + 4 = 0

2. จงหาจดุ บนแกน x ที่หา่ งจากเสน้ ตรง 3x – 4y + 5 = 0 เปน็ ระยะ 2 หนว่ ย

3. จงหาจดุ บนแกน y ท่หี า่ งจากเส้นตรง 12x + 5y – 4 = 0 เปน็ ระยะ 2 หนว่ ย

4. หาสมการเส้นตรงทห่ี ่างจากจดุ (3, 2) เป็นระยะทาง 4 หน่วย และตั้งฉากกบั เส้นตรง

3x + 4y – 12 = 0

5. จงหาสมการเส้นตรงท่ขี นานกับส้นตรง 3x – 2y + 7 = 0 และหา่ งจากจดุ (5, 6) เป็นระยะ 13 หน่วย

6. จงหาจดุ บนเส้นตรง 2x + 3y + 4 = 0 ซงึ่ ห่างจากเสน้ ตรง 3x + 4y – 6 = 0 เปน็ ระยะ 2 หนว่ ย

7. จงหาสมการเสน้ ตรงทผ่ี า่ นจดุ (3, 4) และ หา่ งจากจดุ (0, 0) เปน็ ระยะทาง 3 หนว่ ย

8. เส้นตรงผา่ นจุด (– 4, 3) และไม่ขนานกับแกน x แตห่ า่ งจากจดุ (0, 0) เปน็ ระยะทาง 3 หนว่ ย มี

ความชัน a และ (a, b) = 1 จงหา a + b
b

9. กำหนด 3x – 2y – 5 = 0 และ 2x + 3y + 7 = 0 เปน็ สมการของดา้ นของสเี่ หลย่ี มผนื ผ้า และมี

จุด (– 2, 1) เป็นจุดยอดขุดหนงึ่ ของรปู สเี่ หลยี่ มผนื ผา้ จงหาพ้ืนทข่ี องรปู สีเ่ หลี่ยมผืนผา้ นี้

10. กำหนด 3x – 4y + 5 = 0 และ 4x + 3y – 5 = 0 เป็นสมการของดา้ นของสเ่ี หลย่ี มมุมฉากและ

จดุ (0, 0) เปน็ จุดยอดจดุ หนง่ึ ชองสีเ่ หลย่ี มรปู น้ีจงหาความยาวของเส้นทแยงมุม

11. จงหาสมการเสน้ ตรงแบง่ ครงึ่ มุมซง่ึ เกดิ จากเส้นตรง L1 :3x − 4 y − 2 = 0 และ เสน้ ตรง
L2 :4 x+ 3 y+ 2 = 0 ตัดกนั

12. จงหาสมการเสน้ ตรงแบง่ ครงึ่ มมุ ซง่ึ เกดิ จากเสน้ ตรง L1 :3x + 4y −12 = 0 และ เสน้ ตรง
L2 :5x−12 y+1 = 0 ตัดกนั

164

1.7 ระยะห่างระหวา่ งเสน้ ขนาน

ในหวั ขอ้ นีจ้ ะกลา่ วถึงการหาระยะห่างระหว่างเสน้ ขนาน

ระยะหา่ งระหว่างเส้นขนาน
Ax + By + C1 =0 และ Ax + By + C2 =0

d= C1 − C2
A2 + B2

ภาพท่ี 1.7.1 ระยะห่างระหวา่ งเสน้ ขนาน

พิสจู น์ ให้ ( x1, y1 ) เปน็ จุดบนเสน้ ตรง Ax + By + C1 =0

จะได้ Ax1 + By1 + C1 =0 น้นั คือ Ax1 + By1 =− C1

ให้ d เป็นระยะหา่ งระหวา่ งจุด ( x1, y1 ) กบั เส้นตรง Ax + By + C2 =0

จากสูตรระยะห่างระหว่างจุดกับเสน้ จะได้ d = Ax1 + By1 + C2
A2 + B2

จาก Ax1 + By1 = − C1

จะได้ d = −C1 + C2 น้นั คอื d = C2 − C1
A2 + B2 A2 + B2

ดงั นนั้ ระยะหา่ งระหว่างเส้นขนาน Ax + By + C1 =0 และ Ax + By + C2 =0

เท่ากบั d = C1 − C2
A2 + B2

เส้นตรงทอี่ ยูก่ ง่ึ กลางระหวา่ งเสน้ ขนาน Ax + By + C1 =0 และ Ax + By + C2 =0 , C2  C1
คือ
C1 + C2
Ax + By + 2 = 0

พสิ จู น์ ให้ Ax + By + C =0 เปน็ เสน้ ตรงทอี่ ยู่ก่งึ กลางระหวา่ งเสน้ ขนาน Ax + By + C1 =0 และ

Ax + By + C2 =0

ดงั นั้น ระยะทางระหว่างเส้นขนาน Ax + By + C =0 และ Ax + By + C1 =0 และ
Ax + By + C2 =0 ระยะทางระหวา่ งเสน้ ขนานและ Ax + By + C =0 และ Ax + By + C2 =0

165

เท่ากัน น่ันคอื C − C1 = C − C2
A2 + B2 A2 + B2

C − C1 = C − C2

(C − C1 )2 = (C − C2 )2

(C − C1 ) − (C − C2 ) (C − C1 ) + (C − C2 ) =0

(C2 − C1 )(2C − C1 − C2 ) =0

ดังนั้น C2 − C1 =0 หรือ 2C − C1 − C2 = 0 แต่เน่ืองจาก C2 − C1 0 ดังน้ัน
2C − C1 − C2 = 0
C1 + C2
จะได้ C = 2

ดังน้ัน เส้นตรงทอ่ี ยกู่ ่ึงกลางระหว่างเส้นขนาน Ax + By + C1 =0 และ Ax + By + C2 =0
C1 + C2
คอื Ax + By + 2 =0

ตวั อยา่ งท่ี 1.7.1 จงหาระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ ขนาน 5x + 12y – 3 = 0 และ 5x + 12y + 10 = 0

วิธีทำ

ระยะห่างระหวา่ งเสน้ ขนาน

5x + 12y – 3 = 0 และ 5x + 12y + 10 = 0 ดังภาพท่ี 1.7.2
13
คอื d= −3 −10 = 13 = 1 หน่วย
52 + 122
ภาพที่ 1.7.2

ตัวอยา่ งท่ี 1.7.2 จงหาสมการเสน้ ตรงทีห่ ่างจาก 4x – 3y + 2 = 0 เป็นระยะ 2 หน่วย

วธิ ีทำ

ให้ 4x – 3y + c = 0 เปน็ สมการเสน้ ตรงทห่ี า่ งจากเสน้ ตรง

4x – 3y + 2 = 0 เป็นระยะ 2 หนว่ ย ดังภาพที่ 1.7.3
c−2
จะได้ 2 = 32 + 42

= c−2 ภาพที่ 1.7.3
5

10 = c − 2 , c = − 8,12

ดงั นน้ั สมการเส้นตรงทห่ี า่ งจาก 4x – 3y + 2 = 0 เปน็ ระยะ 2 หน่วย

คือ 4x – 3y – 8 = 0 และ 4x – 3y + 12 = 0

166

ตวั อย่างท่ี 1.7.3 จงหาสมการเสน้ ตรงท่สี มั ผสั วงกลม ทีม่ จี ดุ ศูนยก์ ลาง (2, 1) และรศั มี 13 หน่วย
2
เมอื่ เส้นสมั ผัสมีความชันเปน็ − 3

วธิ ีทำ
จากสมบัติเส้นตรงสามเสน้ มีความชันเท่ากนั เสน้ ตรงผ่านจุด
ศนู ย์กลางวงกลมจะเป็นเส้นกง่ึ กลางเส้นขนานทส่ี ัมผสั วงกลม

หาสมการเสน้ ตรงผา่ นจุดศนู ยก์ ลาง (2, 1) ความชันเปน็ − 2
3

y −1 = − 2 (x − 2) ภาพท่ี 1.7.4
3

3y − 3 = −2x + 4

2x +3y −7 =0

ให้ 2x +3y + c = 0 เป็นสมการเสน้ สมั ผสั วงกลมและความชันเป็น − 2
3
นน้ั คอื จะขนานกบั เสน้ 2x + 3y − 7 = 0 และระยะหา่ งระหว่างเสน้ 2x + 3y + c = 0 กบั เสน้

2x + 3y − 7 = 0 มคี ่าเทา่ กบั 13 จะได้ 13 = c − (−7) , c = 6,−20
22 + 32

ดังน้ันสมการเสน้ ตรงทสี่ มั ผสั วงกลม ท่มี จี ดุ ศูนยก์ ลาง (2, 1) และรัศมี 13 หนว่ ย เม่อื เส้นสัมผัสมี
2
ความชันเป็น − 3 คือ 2x +3y +6 =0 และ 2x +3y − 20 = 0 ดังภาพที่ 1.7.4

แบบฝึกหัดท่ี 1.7

1. จงหาระยะหา่ งระหว่างเส้นขนาน 3x + 4y – 3 = 0 และ 3x + 4y + 12 = 0

2. จงหาสมการเส้นตรงทห่ี ่างจาก 5x – 12y + 3 = 0 เป็นระยะ 2 หนว่ ย

3. จงหาสมการเส้นตรงทสี่ ัมผสั วงกลม ทม่ี จี ดุ ศนู ยก์ ลาง (1, 2 ) และรัศมี 5 หน่วย เมอ่ื เส้น

สัมผสั มคี วามชนั เปน็ 1
2

4. กำหนด 3x – 4y + 3 = 0 และ 3x – 4y – 11 = 0 จงหาสมการเส้นตรงทีอ่ ยู่กง่ึ กลางระหวา่ ง
เส้นตรงสองเส้นนี้

5. ให้ l1, l2 และ l3 เปน็ เสน้ ตรงสามเสน้ โดยที่ l2 อยรู่ ะหวา่ ง l1 และ l3 มอี ัตราส่วนระหว่าง

ระยะทางจาก l1 ไป l2 กับ ระยะทางจาก l2 ไป l3 เท่ากับ 3 : 4 ถา้ l1 มสี มการเป็น 2x – 3y +4
= 0 และ l2 มสี มการเปน็ 2x – 3y + 2 = 0 จงหาสมการเสน้ ตรง l3

167

1.8 สรุป

1. ระยะทางระหวา่ งจดุ สองจดุ

สำหรบั จุด 2 จุด A( x1 , y1) และ B( x2 , y2 ) ใด ๆ

ระยะห่างระหวา่ ง A และ B คือ ( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2

2. จดุ แบ่งของส่วนของเสน้ ตรง

พกิ ดั c ที่ทำให้ AC : BC = r1 : r2

กำหนด A(x1, y1) และ B(x2, y2) หาพกิ ัด C ท่ีทำให้ AC : BC = r1 : r2

พิกัดจดุ C คือ  r1 x 2 + r2 x1 , r1 y2 + r2 y1 
 r1 + r2 r1 + r2 
 

( )ถ้า C เป็นจดุ กงึ่ กลางระหว่าง A, B พิกดั จุด C คอื x1 + x2 , y1 + y2
2 2

3. การหาพน้ื ทร่ี ปู หลายเหล่ยี ม

การหาพ้ืนท่รี ปู หลายเหลี่ยมทำไดโ้ ดย
1. นำจุดยอดของรูปเหล่ียมมาเขยี นในแนวตัง้ ในทิศทวนเข็มนาฬิกาโดยถา้ ทเ่ี ร่ิมจากจุดไหน
ใหป้ ดิ ท้ายดว้ ยจดุ น้นั

2. พื้นที่ของรูปเหลี่ยมจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลบวกของผลคูณในแนวทแยงลง ลบด้วย
ผลบวกของผลคณู ในแนวทแยงขึน้

x1 y1
y2
= 1 x2 y3
2 x3 y1

พนื้ ทส่ี ามเหล่ียม ABC x1

ดงั นน้ั พ้ืนท่ีสามuเหลี่ยม ABC = 1 ( x1y2 + x2 y3 + x3 y1 ) − ( x1y3 + x3 y2 + x2 y1 )
2
4. ควาามชนั ของเสน้ ตรง เส้นตรงขนานกันและเสน้ ตรงทต่ี งั้ ฉากกัน

ให้ L เปน็ เสน้ ตรงทผี่ า่ นจดุ A(x1, y1) และ B(x2, y2) โดยท่ี x1  x2 , m เปน็ ความชันของ
y1 − y2 y2 − y1
เสน้ ตรง L ก็ต่อเม่ือ m = x1 − x2 หรือ x2 − x1

- ถา้ x1 = x2 เสน้ ตรงจะขนานแกน Y
- ถา้ y1 = y2 เสน้ ตรงจะขนานแกน X

168

- ถา้ เส้นตรงทที่ ำมุมแหลมกบั แกน X ความชนั จะมคี า่ มากกว่าศนู ย์
- ถา้ เสน้ ตรงท่ีทำมุมปา้ นกบั แกน X ความชันจะมีคา่ น้อยกวา่ ศนู ย์

- เส้นตรงสองเสน้ ทีไ่ ม่ขนานแกน Y จะขนานกนั ก็ตอ่ เมื่อ ความชันของเส้นตรงทงั้ สอง
เทา่ กนั

- เสน้ ตรงสองเสน้ ท่ไี ม่ขนานแกน Y จะตงั้ ฉากกัน ก็ตอ่ เม่ือ ผลคณู ของความชนั ของเสน้ ตรงท้ัง

สองเท่ากบั – 1

5. สมการเส้นตรงในแบบต่างๆ
สมการเสน้ ตรงในรปู ท่วั ไป Ax + By + C =0 จะได้วา่

- ความชัน m =− A
B
C
- ถา้ A = 0 เส้นตรงจะขนานกบั แกน X โดยมสี มการเป็น y =− B

- ถ้า B = 0 เสน้ ตรงจะขนานกบั แกน Y โดยมสี มการเปน็ x = − C
A
- ถ้า C = 0 เสน้ ตรงผ่านจดุ (0, 0) โดยมสี มการเป็น Ax + By = 0

( )- C
ถ้า x = 0 เส้นตรงตดั แกน y ทจี่ ดุ 0, − B

( )- C
ถ้า y = 0 เสน้ ตรงตัดแกน x ทจ่ี ดุ − A , 0

- เสน้ ตรงทีข่ นานกบั Ax + By + C =0 จะมสี มการอยู่ในรปู Ax + By + C=0

- เส้นตรงทต่ี งั้ ฉากกบั Ax + By + C =0จะมสี มการอยใู่ นรปู Bx − Ay + C=0

6. ระยะหา่ งระหว่างจุดกบั เสน้ ตรง

ระยะหา่ งระหวา่ งจดุ P( x1 , y1 ) กบั เส้นตรง Ax + By + C =0

d= Ax1 + By1 + C
A2 + B2

7. ระยะหา่ งระหว่างเส้นขนาน

ระยะห่างระหวา่ งเส้นขนาน

Ax + By + C1 =0 และ Ax + By + C2 =0

d= C1 − C2
A2 + B2

ภาคตัดกรวย

ภาคตัดกรวยเปน็ การศึกษารปู กราฟทเี่ กดิ จากการนำกรวยกลมตรงมาตัดดว้ ยระนาบไดเ้ สน้ โคง้
เปน็ รปู ลกั ษณะต่าง ๆ กันไป การศกึ ษาภาคตัดกรวยสามารถศกึ ษาได้หลายแนวทาง ในบทน้ีจะศึกษา
ภาคตดั กรวยโดยใชว้ ิธีการทางเรขาคณิตวเิ คราะห์ โดยจะเนน้ ท่กี ารหาสมการของภาคตัดกรวยในแต่
ละชนิด และการจำแนกวา่ กราฟของสมการเปน็ ภาคตดั กรวยชนิดใดและสามารถเขียนกราฟของ
สมการภาคตัดกรวยนน้ั ได้

กรวยกลมตรงมลี กั ษณะดังนี้

ถา้ ระนาบทตี่ ัดกรวยกลมตรงนีไ้ มผ่ ่านจุดยอดของกรวยแลว้ จะได้ภาคตดั กรวยดงั ภาพต่อไปน้ี

ระนาบตัดกรวย รอยตดั ความหมาย

วงกลม เกิดจากการตัดกรวย
กลมด้วยระนาบที่ตั้งฉากกับแกนของ
กรวยกลม

วงรเี กิดจากการตดั กรวยกลมดว้ ยระนาบ
ตดั กรวยกลมเพียงส่วนเดยี วโดยทรี่ ะนาบ
นั้นไม่ขนานกบั เส้นประกอบรูปและไมต่ ง้ั
ฉากกับแกนของกรวย

พาราโบลาเกิดจากการตดั กรวยกลม
ดว้ ยระนาบท่ีขนานกบั เส้นประกอบรปู
กรวย

170 รอยตัด ความหมาย
ระนาบตัดกรวย
ไฮเพอร์โบลาเกิดจากการตัดกรวยกลม
ด้วยระนาบทตี่ ัดทงั้ สองสว่ นของกรวย
กลม ขนานกับแกนสมมาตรของกรวย

จากกรณขี า้ งตน้ ระนาบท่ีตัดกรวยกลมตรงไมผ่ ่านจุดยอดของกรวย ถ้าระนาบระนาบผ่านจุด
ยอดของกรวย รอยตัดของระนาบกับกรวยจะเป็น จุด หรือเสน้ ตรงหน่ึงเส้น หรือเส้นตรงสองเสน้ ตดั
กัน และเราจะเรียกภาคตัดกรวยนีว้ า่ ภาคตัดกรวยลดรปู (Degenerate Conics)

รอยตัดเปน็ จุด รอยตัดเปน็ เส้นตรง 1 เส้น รอยตัดเปน็ เส้นตรง 2 เสน้

ในหวั ขอ้ นี้เราจะศึกษาภาคตัดกรวยโดยใช้เรขาคณิตวเิ คราะห์เพ่ือหาสมการของภาคตดั กรวย
และจำแนกได้ว่าภาคตัดกรวยมีกราฟเป็นและบอกส่วนประกอบต่าง ๆ ของแต่ละกราฟได้ โดยจะ
ศึกษาดงั หัวขอ้ ตอ่ ไปน้ี

1. การเล่อื นแกนทางขนาน (Translation of Axes)
2. วงกลม
3. พาราโบลา
4. วงรี
5. ไฮเพอรโ์ บลา

171

2.1 การเลอื่ นแกนทางขนาน
การเลอ่ื นแกนทางขนาน หมายถงึ การเปล่ยี นแปลงแกนพิกดั เดิมอยา่ งนอ้ ยหน่ึงแกน (แกน X

หรอื แกน Y) โดยให้แกนพกิ ดั ใหมข่ นานกบั แกนพกิ ัดเดมิ
ในระบบแกนมมุ ฉาก เราใช้แกน x และ y สำหรับอา้ งองิ พกิ ัดหรือตำแหนง่ ของจดุ ในระนาบ

จุด P(x, y) เป็นจดุ ที่อยหู่ า่ งจากแกน y ไปทางขวามอื เป็นระยะ x หน่วย และอยหู่ า่ งจากแกน x ซงึ่ อยู่
เหนอื แกน x เป็นระยะ y หน่วย ดงั ภาพท่ี 2.1.1

ภาพที่ 2.1.1 จดุ P(x, y) ในระนาบพิกัดฉาก ภาพที่ 2.1.2 การเล่อื นขนานจุดกำเนดิ ใหม่
o(h,k )

เมอ่ื เล่ือนแกน จุด P(x, y) ยังคงท่ี แตพ่ ิกดั ของจุด P จะเปลีย่ นไปเมือ่ เทยี บกับแกนพิกดั ใหม่
แกนพิกดั ใหม่ x และ y ขนานกบั แกนพิกัดเดิม X และ Y ตามลำดบั พิกดั ของจดุ กำเนิดใหม่ เมอ่ื
เทียบกับแกนพิกัดเดิม คือจุด o(h,k ) นั่นคือแกนพิกัดใหมเ่ กดิ จากการเล่ือนแกนตามแนวนอน h
หนว่ ย และตามแนวตง้ั k หน่วย ดังภาพที่ 2.1.2

ให้ ( x, y ) เปน็ พิกัดของจดุ P เมอื่ เทยี บกบั แกนพกิ ดั เดมิ
( x, y) เป็นพกิ ดั ของจุด P เม่ือเทียบกบั แกนพิกัดใหม่ และ h, k เป็นจำนวนจริง

ดังน้นั x = x + h หรือ x = x − h

และ y = y + k y = y −k

172

ตัวอยา่ งท่ี 2.1.1 ถา้ เลื่อนแกนไปโดยใช้จดุ (–2, 4) เปน็ จุดกำเนดิ ใหม่ ซง่ึ A(2, 0) เป็นพิกดั ของจดุ
เมอื่ เทียบกบั แกนพกิ ดั เดิม จงหาพกิ ดั ของจดุ A เมอื่ เทียบกบั แกนพิกดั ใหม่

วธิ ีทำ
ให้ (x, y) เปน็ พิกดั ของจุดเมอื่ เทียบกบั แกนพิกัดเดมิ และ

( x, y) เปน็ พกิ ัดของจดุ เม่ือเทยี บกบั แกนพกิ ดั ใหม่

ในทน่ี ี่ (h,k )= (–2, 4)

นัน่ คือ h = –2 และ k = 4

A(0, 2) ซ่ึง x = 2 , y = 0

จาก x = x − h จะได้ x = 2 − (−2) = 4 และ

y = y − k จะได้ y = 0 − 4 = − 4 ภาพที่ 2.1.3

ดงั นั้น พิกัดของจุด A(2, 0) เมอ่ื เทยี บกบั แกนพิกดั ใหม่ คอื จดุ (4, –4) ดังภาพท่ี 2.1.3

ตัวอย่างท่ี 2.1.2 ถา้ เลอื่ นแกนไปโดยใชจ้ ุด (1, – 2 ) เป็นจดุ กำเนดิ ใหม่ ซง่ึ A (–2, –1), B(–1, 9),
C(2, 3), D(3, 5), E(5, 8) และ F(6, 4) เป็นพิกดั ของจุดเมอื่ เทยี บกบั แกนพิกดั เดิม จงหาพกิ ดั ของจดุ
เหล่าน้เี มอ่ื เทียบกบั แกนพิกดั ใหม่
วธิ ที ำ
ให้ (x, y) เปน็ พกิ ัดของจุดเมอื่ เทียบกบั แกนพกิ ัดเดิม และ

( x, y) เป็นพกิ ัดของจุดเมอ่ื เทยี บกบั แกนพกิ ัดใหม่

ในท่นี ี่ (h,k )= (–2, 4)

นัน่ คือ h = –2 และ k = 4
จาก x = x − h และ y = y − k จะได้

A (–2, –1) เมื่อเทยี บกบั แกนพิกัดใหม่ คือ จุด (–3, 1)

B(–1, 9) เมื่อเทียบกบั แกนพกิ ัดใหม่ คอื จดุ (–2, 11)

C(2, 3) เมอ่ื เทียบกับแกนพิกดั ใหม่ คือ จดุ (1, 5)

D(3, 5) เมอ่ื เทียบกบั แกนพิกดั ใหม่ คอื จดุ (2, 7) ภาพท่ี 2.1.4
E(5, 8) เมื่อเทยี บกบั แกนพกิ ดั ใหม่ คอื จดุ (4, 10)

F(6, 4) เมอ่ื เทียบกบั แกนพิกัดใหม่ คือ จุด (5, 6)

ดงั ภาพท่ี 2.1.4

173

การเลื่อนแกนทางขนานกบั การเขยี นกราฟ
การเขียนกราฟโดยการเลอ่ื นแกนทางขนานไปทจ่ี ดุ (h, k) ทเ่ี หมาะสม จะเขียนงา่ ย

กวา่ การเขียนกราฟใน ระบบพกิ ดั ฉากทม่ี จี ดุ กาเนิดท่ีจุด (0, 0) โดยเปลย่ี นพกิ ดั จุด P(x, y) ใดๆ ใน
ระบบเดมิ เป็น P(x', y') ในระบบ ใหม่ โดยท่ี x = x − h และ y = y − k จะทำใหส้ มการเทียบ
กับแกนใหม่มรี ูปซงึ่ สะดวกตอ่ การเขยี นกราฟ
ตวั อยา่ งท่ี 2.1.3 จงเขียนกราฟของสมการตอ่ ไปนลี้ งกราฟเดยี วกนั
(1) y = x ,

y = x+2 +3,
y = x+2 −3

ภาพท่ี 2.1.5

(2) y = x2 ,

y = ( x −1) 2 + 2
y = ( x −1) 2 − 2

ภาพท่ี 2.1.6

(3) y = x3 ,

y = ( x + 2)3 − 3
y = ( x − 2)3 + 3

ภาพที่ 2.1.7

174

แบบฝกึ หัดที่ 2.1

1. ถ้าเลือ่ นแกนไปโดยใชจ้ ดุ (– 3, 1 ) เป็นจุดกำเนดิ ใหม่ ซ่ึง A (–3, 1), B(–1, – 7), C(1, – 3),
D(4, 2), E(2, – 3), F(– 6, 4) และ G(– 4, – 2) เป็นพกิ ดั ของจุดเมอ่ื เทยี บกับแกนพกิ ดั เดมิ
จงหาพิกัดของจดุ เหลา่ นเ้ี มื่อเทยี บกบั แกนพิกดั ใหม่

2. จงเขยี นกราฟของสมการตอ่ ไปนลี้ งกราฟเดยี วกัน
(1) y = − x ,

y =− x−2 +3,
y =− x+2 −3

(2) y = − x2 ,

y = −(x −2)2 +1
y = −(x −2)2 −1

(3) y = − x3 ,

y = ( x + 3)3 + 2
y = ( x − 3)3 − 2

175

2.2 วงกลม

วงกลม คอื ทางเดินของจดุ ซง่ึ เคล่อื นทีไ่ ปบนระนาบโดยหา่ งจากจุดคงทจี่ ดุ หนงึ่ เป็นระยะทาง
เท่ากันเสมอ เรยี กจดุ คงท่นี วี้ ่า “จุดศนู ยก์ ลาง (Center) ของวงกลม” และระยะทางทเ่ี ท่ากันจะเรยี กวา่
“รัศมี (radius) ของวงกลม”
กรณที ี่จุดศูนยก์ ลาง (0, 0) รศั มี r หนว่ ย

ให้ P( x, y) เป็นจดุ ใด ๆ บนวงกลม ดงั รปู
CP = r = ( x − 0)2 + ( y − 0)2

= x2 + y2
 x2 + y2 = r2

ภาพท่ี 2.1.1 วงกลมจุดศนู ย์กลาง (0,0)
ดังน้นั จะได้ สมการวงกลมจุดศูนย์กลาง (0, 0) รัศมี r หน่วย คอื x2 + y2 = r2
กรณที ีจ่ ุดศูนยก์ ลาง (h,k )รัศมี r หน่วย

ให้ P(x,y) เปน็ จุดใดๆบนวงกลม ดงั รูป
CP = r = ( x − h)2 + ( y − k )2
 ( x − h)2 + ( y − k )2 = r2

ภาพที่ 2.1.2 วงกลมจุดศนู ยก์ ลาง (h, k)
ดงั นั้นจะได้ สมการวงกลมจุดศูนยก์ ลาง (h, k) รัศมี r หนว่ ย คอื ( x − h)2 + ( y − k )2 = r2

สมการเส้นตรงในรปู ทั่วของวงกลม (General Equation of Circle)

จากสมการ ( x − h)2 + ( y − k )2 = r2

กระจายได้ x2 − 2xh + h2 + y2 − 2yk + k2 = r2

x2 + y2 − 2hx − 2yk + h2 + k2 − r2 =0

รปู แบบทั่วไปของสมการวงกลมคอื x2 + y2 + Dx + Ey + F =0

เมอื่ D = − 2h, E = − 2k, F = h2 + k2 − r2

176

( ) จดุ ศนู ยก์ ลาง− D ,− E รศั มี r = 1 D2 + E2 −4F
2 2 2

จากรศั มวี งกลมมคี า่ เทา่ กับ r = 1 D2 + E2 − 4F จะไดว้ า่ สมการวงกลมรปู แบบทวั่ ไป
2

x2 + y2 + Dx + Ey + F =0 ไมจ่ ำเปน็ ตอ้ งเกดิ รปู วงกลมเสมอไป

พจิ ารณา รัศมี r = 1 D2 + E2 −4F
2

ถา้ D2 + E2 − 4F = 0 ได้ จดุ

ถา้ D2 + E2 − 4F  0 ได้ วงกลม

ถ้า D2 + E2 − 4F  0 ได้ วงกลมในจิตภาพ

ตวั อยา่ งที่ 2.2.1 หาสมการวงกลมในรปู แบบทั่วไปเมอื่ กำหนด

1. จุดศนู ย์กลาง ( 2, – 3) รัศมี 2
วธิ ที ำ
สมการวงกลมจุดศนู ยก์ ลาง (2, – 3) รศั มี 2 คอื

( x − 2)2 + ( y − (−3))2 = 22

x2 −4x +4+ y2 +6y +9 = 4

x2 + y2 −4x +6y +9 =0 ภาพที่ 2.2.3

ดังนัน้ สมการวงกลมในรูปแบบทว่ั ไปคือ x2 + y2 − 4x + 6y + 9=0 ดงั ภาพท่ี 2.2.3

2. จุดศูนย์กลาง (–3, 1) รศั มี 3
วธิ ที ำ
สมการวงกลมจดุ ศูนยก์ ลาง (–3, 1) รศั มี 3 คือ

( x − (−3))2 + ( y −1)2 = 32

x2 +6x +9+ y2 −2y +1 = 9

x2 + y2 +6x −2y +1 = 0 ภาพท่ี 2.2.4

ดังนน้ั สมการวงกลมในรูปแบบทวั่ ไปคอื x2 + y2 + 6x − 2y +1 = 0 ดังภาพที่ 2.2.4

ตวั อยา่ งที่ 2.2.2 หาจุดศนู ยก์ ลางวงและรัศมี ของวงกลมตอ่ ไปนี้ 177
1. x2 + y2 − 2x + 4y +1 =0 ภาพท่ี 2.2.5
วิธที ำ ภาพที่ 2.2.6
จากสมการ x2 + y2 − 2x + 4y +1 =0 ภาพท่ี 2.2.7

เขยี นใหมไ่ ด้เป็น

( ) ( )x2 − 2x + y2 + 4y = −1

( ) ( )x2 − 2x +1 + y2 + 4y + 4 = −1+1+4

( x −1)2 + ( y + 2)2 = 22

ดงั นั้น สมการวงกลมจุดศนู ยก์ ลาง (1, – 2) รศั มี 2 ดงั ภาพท่ี 2.2.5

2. x2 + y2 − 8x + 6y −11 =0
วิธีทำ
จากสมการ x2 + y2 − 8x + 6y +11 =0
เขยี นใหมไ่ ด้เปน็

( ) ( )x2 − 8x + y2 + 6y = −11
( ) ( )x2 − 8x +16 + y2 + 6y + 9 = −11+ 16 + 9

( x − 4)2 + ( y + 3)2 = 62
ดงั นั้น สมการวงกลมจดุ ศูนยก์ ลาง (4, – 3) รศั มี 6 ดงั ภาพที่ 2.2.6

3. x2 + y2 + 4x −14y + 4 =0
วิธที ำ
จากสมการ x2 + y2 + 4x −14y + 4 =0
เขยี นใหมไ่ ด้เปน็

( ) ( )x2 + 4x + y2 −14y = −4
( ) ( )x2 + 4x + 4 + y2 −14y + 49 = −4 + 4 + 49

( x + 2)2 + ( y − 7)2 = 72

ดงั นัน้ สมการวงกลมจดุ ศนู ยก์ ลาง (– 2, 7) รศั มี 7 ดังภาพท่ี 2.2.7

178

4. 2x2 + 2y2 − 2x + 6y + 3 =0

วธิ ีทำ
จากสมการ 2x2 + 2y2 − 2x + 6y + 3 =0

เขียนใหมไ่ ดเ้ ปน็ 3
2
x2 + y2 − x +3y = −

( ) ( )x2− x + 1 + y 2 + 3 y + 9 =− 3 + 1 + 9
4 4 2 4 4
ภาพที่ 2.2.8
( ) ( )x − 12 y+1 2
= 12
+
43

( )ดงั นน้ั สมการวงกลมจดุ ศูนยก์ ลาง 1 , 1 รัศมี 1 ดังภาพที่ 2.2.8
4 3

ตวั อยา่ งที่ 2.2.3 จงหาคา่ k ทที่ ำให้ x2 + y2 − 2x + 4y + k =0 เป็นวงกลมรัศมี 4
วธิ ที ำ จากสมการ x2 + y2 − 2x + 4 y + k =0 เขียนใหมไ่ ดเ้ ป็น

(x2– 2x + 1) + ( y2 + 4y + 4) = 1 + 4 – k

(x– 2)2 + ( y + 4)2 = 1 + 4 – k = r2

จากกำหนด r = 4 ดงั นัน้ 1 + 4 – k = 42

จะได้ k = – 11

ตัวอยา่ งท่ี 2.2.4 หาสมการวงกลมในรปู แบบทวั่ ไปที่มจี ดุ ศูนย์กลางอยทู่ ่ี (– 2, 1) และผ่านจดุ (1, –3)

วิธีทำ

จากนยิ าม รศั มขี องวงกลมคอื ระยะทางจากจดุ ศูนย์กลางไปยังจุด
ใดๆบนวงกลม

ดังนน้ั r = (−2 −1)2 + (1− (−3))2 = 5

จะไดส้ มการวงกลมคือ ( x + 2)2 + ( y +1)2 =25

กระจายใหอ้ ยูใ่ นรูปท่วั ไปได้ x2 + y2 + 4 x + 2y − 20 =0 ภาพที่ 2.2.9

ดังนนั้ สมการวงกลมท่มี จี ดุ ศูนย์กลางอยู่ท่ี (– 2, 1) และผา่ นจดุ (1, –3) มรี ปู แบบทว่ั ไป คือ

x2 + y2 + 4 x + 2y − 20 =0 ดงั ภาพที่ 2.2.9

179

ตัวอย่างที่ 2.2.5 หาสมการวงกลมในรปู แบบทัว่ ไปทมี่ จี ุด (5, 2) และ (– 1, – 6) เป็นจดุ ปลายของ
เสน้ ผ่านศนู ยก์ ลาง

วธิ ที ำ

จุดศนู ย์กลางวงกลมคอื จุดกงึ่ กลางของเสน้ ผา่ นศนู ย์กลาง

ดงั นน้ั จุดศูนยกลางวงกลมคอื

( )5+ (−1), 2 + (−6) = (2,−2)
2 2

รัศมีของวงกลมคอื ระยะทางจากจุดศนู ย์กลางไปยังจดุ ใดๆบน

วงกลม ดงั นัน้ r = (2 − 5)2 + ((−2) − 2)2 = 5 ภาพที่ 2.2.10

จะไดส้ มการวงกลมคอื ( x − 2)2 + ( y + 2)2 =25

กระจายให้อยู่ในรปู ทัว่ ไปได้ x2 + y2 − 4 x + 4 y −17=0

ดังนัน้ สมการวงกลมท่มี จี ุด (5, 2) และ (– 1, – 6) เป็นจุดปลายของเสน้ ผา่ นศนู ย์กลางมรี ปู แบบ
ทัว่ ไปคือ x2 + y2 − 4 x + 4 y −17=0 ดังภาพ 2.2.10

ตัวอย่างท่ี 2.2.6 จงหาวงกลมท่ีมพี ้นื ทน่ี ้อยทสี่ ุดผ่านจุด A(– 2, – 1) และ จดุ B(6, 8)

วิธที ำ

จากวงกลมผา่ นจุด A(– 2, – 1) และ จดุ B(6, 7)

จากสมบัตวิ งกลมผ่านจดุ สองจุดจะมพี ้นื ท่ีนอ้ ยสุดก็ต่อเม่ือจดุ สอง

จุดน้นั เปน็ จดุ ปลายเส้นผา่ ศูนยก์ ลาง และจากจุดศูนยก์ ลางวงกลม
คอื จุดกง่ึ กลางของเส้นผ่านศนู ยก์ ลาง

( )ดังนัน้ จดุ ศูนยกลางวงกลมคือo −2 + 6 , −1 + 7 = o(2,3)
2 2
ภาพท่ี 2.2.11

รัศมีของวงกลมคือ ระยะทางจากจดุ ศนู ย์กลางไปยงั จดุ ใดๆบน

วงกลม ดงั น้นั r = (2 − 6)2 + (3 − 7)2 = 32

จะได้สมการวงกลมคือ ( x − 2)2 + ( y − 3)2 =32

กระจายให้อยใู่ นรูปท่วั ไปได้ x2 + y2 − 4 x − 6y −19=0

ดังนัน้ สมการวงกลมท่ีมีพื้นท่ีนอ้ ยทสี่ ุดผ่านจุด A(– 2, – 1) และ จดุ B(6, 8) มรี ูปแบบทั่วไปคอื
x2 + y2 − 4 x − 6y −19=0 ดังภาพที่ 2.2.11

180

ตวั อย่างที่ 2.2.7 หาสมการวงกลมในรปู แบบท่วั ไป ท่มี จี ุดศูนย์กลางอยทู่ ่ี (3, 2) และสมั ผสั แกน x
วธิ ีทำ
จากวงกลมจดุ ศูนย์กลาง (3, 2) และสมั ผสั แกน x

ดังนน้ั r =2

จะไดส้ มการวงกลมคอื ( x − 3)2 + ( y − 2)2 =22

กระจายใหอ้ ยใู่ นรูปทั่วไปได้ x2 + y2 − 6x − 4 y + 9=0

ดงั นัน้ สมการวงกลมทีม่ จี ดุ ศนู ย์กลางอย่ทู ่ี (3, 2) และสัมผัสแกน x ภาพที่ 2.2.12

มรี ปู แบบท่วั ไปคือ x2 + y2 + 2x + 2y − 8=0 ดงั ภาพที่ 2.2.12

ตัวอยา่ งท่ี 2.2.8 จงหาสมการของวงกลมซง่ึ มจี ุดยอดท้ังสามของรปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก ABC อยู่

บนเส้นรอบวง เมื่อจดุ A, B และ C มพี กิ ดั เปน็ (4, 2), (6, – 4), (0, – 6) ตามลำดบั
วธิ ีทำ

จากจุด A(4,2), B(6, −4) และ C(0,−6) อยบู่ นเสน้ รอบวงและ
เปน็ จดุ ยอดท้ังสามของรปู สามเหล่ียมมุมฉาก ABC

เนอื่ งจาก mAB  mBC = −4 − 2  −4 − (−6) = −1
6−4 6−0

ดังนน้ั สามเหล่ยี ม ABC จะมี B เป็นมมุ ฉาก

และจากสมบัตมิ ุมภายในครงึ่ วงกลมเปน็ มมุ ฉาก ภาพที่ 2.2.13
จะได้วา่ AC เปน็ เส้นผ่านศูนยก์ ลาง

จุดศูนย์กลางคอื จุดกง่ึ กลาง ด้าน AC และรศั มวี งกลมคอื ระยะห่างระหวา่ งจุดศุนย์กลางและจดุ บน
วงกลม

( )ดังนัน้ จุดศูนยก์ ลางวงกลมคอื o 0 + 4 , −6 + 2 = o(2, −2)
2 2

และ รศั มี r = (2 − 4)2 + (−2 − 2)2 = 20

จะไดส้ มการวงกลมคอื ( x − 2)2 + ( y + 2)2 =20

กระจายใหอ้ ยใู่ นรูปท่ัวไปได้ x2 + y2 − 4 x + 4 y − 4 =0
ดงั น้นั สมการวงกลมมีจดุ ยอดทง้ั สามของรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก ABC อยบู่ นเส้นรอบวง มรี ูปแบบ
ท่ัวไปคือ x2 + y2 + 2x + 2y − 8=0 ดังภาพ 2.1.13

181

ตวั อย่างที่ 2.2.9 จงหาสมการวงกลมซง่ึ มรี ศั มี 5 ผ่านจดุ กำเนิดและจุด (8, 0)
วธิ ีทำ
ใหว้ งกลมจดุ ศนู ยก์ ลางท่ี (h,k)

มีสมการคอื ( x − h)2 + ( y − k)2 =r2

และจากวงกลมมรี ศั มี 5 และผ่านจดุ กำเนดิ และจดุ (8, 0)

จะได้ (0 − h)2 + (0 − k)2 =52 ---(1)

และ (8 − h)2 + (0 − k)2 =52 ---(2)

แก้สมการไดจ้ ุดศูนยก์ ลางวงกลมคือ (4,3) และ (4,−3) ภาพท่ี 2.2.14

จะได้สมการวงกลมคือ ( x − 4)2 + ( y − 3)2 =52 และ ( x − 4)2 + ( y + 3)2 =52

กระจายให้อยใู่ นรูปทวั่ ไปได้ x2 + y2 − 8x − 6y =0 และ x2 + y2 − 8x + 6y =0

ดงั นัน้ สมการวงกลมรัศมี 5 ผา่ นจุดกำเนิดและจดุ (8, 0) มรี ปู แบบท่วั ไปคือ

x2 + y2 − 8x − 6y =0 และ x2 + y2 − 8x + 6y =0 ดงั ภาพท่ี 2.2.14

ตวั อย่างที่ 2.2.10 หาสมการวงกลมทสี่ ัมผสั แกน y และผ่านจดุ (2, – 2) รศั มี 5 หนว่ ย
วธิ ที ำ

จากวงกลมสมั ผสั แกน y และผา่ นจุด (2, – 2) รศั มี 5 หนว่ ย
จะได้จดุ ศูนยก์ ลางวงกลม คอื (5,k)

จากวงกลมศนู ย์กลางวงกลม คอื (5,k) และผ่านจุด (2, – 2) และ
รัศมี 5 หนว่ ย

จะได้ 5 = (5 − 2)2 + (k − (−2))2
แกส้ มการจะได้ k = − 6,2

ดงั น้ันจดุ ศนู ย์กลางวงกลม คอื (5,2) และ (5,− 6) ภาพท่ี 2.2.15
และจาก รัศมี 5 หนว่ ย

จะไดส้ มการวงกลมคอื ( x − 5)2 + ( y − 2)2 =52 และ ( x − 5)2 + ( y + 6)2 =52

กระจายใหอ้ ยู่ในรูปทวั่ ไปได้ x2 + y2 −10x − 4 y + 4 =0 และ x2 + y2 −10x − 4 y + 36=0

ดังน้นั สมการวงกลมสัมผัสแกน y และผา่ นจดุ (2, – 2) รัศมี 5 หน่วยมรี ปู แบบทั่วไปคือ

x2 + y2 −10x − 4 y + 4 =0 และ x2 + y2 −10x − 4 y + 36=0 ดงั ภาพท่ี 2.2.15

182

ตวั อยา่ งที่ 2.2.11 หาสมการวงกลมในรูปแบบทัว่ ไป ผ่านจุด (0, 0), (8, 4) และ (3, – 1)

วธิ ีทำ

วิธีที่ 1 ใหว้ งกลมจุดศูนย์กลาง (h,k)

จากวงกลมผา่ นจดุ (0, 0), (8, 4) และ (3, – 1)

และรศั มีวงกลมคอื ระยะห่างระหว่างศูนย์กลางและจดุ ผา่ น ดังนัน้

r = h2 + k2 = (h − 3)2 + (k + 1)2 = (h − 8)2 + (k − 4)2

น้ันคอื h2 + k2 = (h − 3)2 + (k + 1)2 ภาพท่ี 2.1.16

3h − k = 5 ---(1)

h2 + k2 = (h − 8)2 + (k − 4)2

2h + k = 10 ---(2)

แก้สมการจะได้ (h,k) = (3,4) ดังนนั้ r = 32 + 42 = 5

จะได้สมการวงกลมคอื ( x − 3)2 + ( y − 4)2 =52

กระจายใหอ้ ยใู่ นรูปทั่วไปได้ x2 + y2 − 6x − 8y =0

ดงั น้นั สมการวงกลมผา่ นจุด (0, 0), (8, 4) และ (3,–1) มรี ปู แบบทัว่ ไปคือ x2 + y2 − 6x − 8y =0
ดงั ภาพที่ 2.2.16

วธิ ที ่2ี จากสมการวงกลมรปู แบบท่วั ไป x2 + y2 + Dx + Ey + F =0
และวงกลมผ่านจุด (0, 0), (8, 4) และ (3, – 1)
นน่ั คือแทนค่าจดุ ผา่ นลงในสมการเป็นจริง
ดงั นน้ั F =0

2D + E =− 20 ---(i)
3D − E =−10 ---(ii)

แก้สมการได้ D = −6 และ E = −8
ดงั นน้ั สมการวงกลมผ่านจุด (0, 0), (8, 4) และ (3,–1) มรี ปู แบบทัว่ ไปคอื x2 + y2 − 6x − 8y =0
ดังภาพที่ 2.2.16

183

ตวั อยา่ งที่ 2.2.12 หาสมการวงกลมซึง่ ผ่านจุด (0,0), (3,−1) และ (−1,−3)

วธิ ีทำ
จากสมการวงกลมรปู แบบท่วั ไปอย่ใู นรปู

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

สมการวงกลมซงึ่ ผา่ นจดุ (0,0)

จะได้ F = 0 ภาพท่ี 2.1.17

สมการวงกลมซงึ่ ผา่ นจดุ (3,−1)

จะได้ 32 + (−1)2 + 3D − E = 0 ,

10 + 3D − E = 0 ---(1)

สมการวงกลมซง่ึ ผ่านจุด (−1,−3)

จะได้ (−1)2 + (−3)2 − D − 3E = 0,

10 − D − 3E = 0 ---(2)

แก้สมการ จะได้ D = −2 และ E = 4

ดังนั้นสมการวงกลมซึ่งผ่านจุด (0,0), (3,−1) และ (−1,−3) คือ x2 + y2 − 2x + 4y = 0

ดังภาพท่ี 2.2.17

ตวั อยา่ งท่ี 2.2.13 หาสมการวงกลมในรปู แบบทัว่ ไป ทมี่ จี ดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ี (– 1, – 1) และสมั ผสั กบั
เส้นตรง x − 3y + 8 = 0

วิธที ำ

จากทฤษฎีทวี่ ่าเสน้ สัมผสั วงกลมย่อมตง้ั ฉากกบั รศั มที ่จี ดุ สัมผสั และ

รศั มีของวงกลมคอื ระยะทางจากจดุ ศนู ย์กลางไปยงั จดุ ใดๆบนน้ัน

จะไดว้ า่ รศั มเี ทา่ กับระยะหา่ งระหวา่ งศนู ยก์ ลางและเส้นสัมผสั

ดังน้ัน r= (−1) − 3(−1) + 8 = 10
(1)2 + (−3)2

จะไดส้ มการวงกลมคอื ( x + 1)2 + ( y + 1)2 =10 ภาพที่ 2.1.18
กระจายใหอ้ ย่ใู นรปู ทั่วไปได้ x2 + y2 + 2x + 2y − 8=0

ดังนั้นสมการวงกลมท่ีมจี ุดศูนย์กลางอยูท่ ่ี (– 1, – 1) และสมั ผสั กับเสน้ ตรง x − 3y + 8 = 0

มีรปู แบบทัว่ ไปคอื x2 + y2 + 2x + 2y − 8=0 ดังภาพท่ี 2.1.18

184

ตัวอยา่ งท่ี 2.2.14 หาสมการวงกลมในรปู แบบท่ัวไป ผ่านจดุ (5, 1), (–2, 0) และมจี ุดศูนย์กลางอยู่
บนเสน้ ตรง 3x + 4 y + 6 = 0

วธิ ีทำ

กำหนดใหจ้ ดุ ศนู ย์กลางวงกลมคือ (h, k)
จากระยะหา่ งจากจดุ ศนู ยก์ ลางวงกลมไปยงั จดุ ใดๆ
บนวงกลมมคี า่ คงทเี่ สมอ(รศั มี)

ดงั น้ัน (h − 5)2 + (k −1)2 = (h + 2)2 + k2

ยกกำลังสองทัง้ สองข้างแล้วจดั สมการใหม่ได้เป็น ภาพที่ 2.1.19

7h + k − 11 = 0 ---------- (1)

จากกำหนด จุดศูนยก์ ลางอยบู่ นเส้นตรง 3x + 4 y + 6 = 0 ดงั นั้น

3h + 4k + 6 = 0 ---------- (2)

สองสมการสองตัวแปรแก้สมการ ไดจ้ ดุ ศนู ย์กลางวงกลมคอื (2, – 3)

r = (2 − 5)2 + ((−3) −1)2 = 5 จะไดส้ มการวงกลมคอื ( x − 2)2 + ( y + 3)2 =25
ดงั นั้นสมการวงกลมในรปู แบบท่ัวไปคอื x2 + y2 − 4x + 6y −12=0 ดังภาพที่ 2.1.19

ตัวอยา่ งท่ี 2.2.15 จงหาสมการวงกลมทม่ี จี ดุ กำเนดิ เปน็ จุดศูนย์กลาง และสมั ผสั กบั วงกลม
(x + 3)2 + (y + 4)2 = 49

วิธที ำ

วงกลม (x + 3)2 + (y + 4)2 = 49

มจี ดุ ศูนยก์ ลางที่ (−3,−4) รศั มี r1 = 7

ให้วงกลมท่มี จี ดุ กำเนดิ รัศมี r2

เน่ืองจากวงกลมสองวงสัมผสั กัน ดังน้ันระยะห่างระหว่างจุด

ศนู ยก์ ลางของวงกลมทงั้ สองมีคา่ เทา่ กับ r1+ r2 ภาพท่ี 2.1.20
จะได้ 7 + r2 = (−3 − 0)2 + (−4 − 0)2 = 5 ดงั นน้ั r2 = 2

ดังนน้ั สมการวงกลมทม่ี จี ุดกำเนดิ เปน็ จดุ ศูนยก์ ลางและสัมผสั กับวงกลม
(x + 3)2 + ( y + 4)2 = 49 คือ x2 + y2 = 4 ดังภาพที่ 2.1.20

185

ตัวอย่างท่ี 2.2.16 จงหาค่า m ทท่ี ำใหเ้ ส้นตรง y = mx สัมผสั วงกลม
x2 + y2 − 2x −10y +1=0

วธิ ีทำ

วงกลม x2 + y2 − 2x −10y +1=0

จดั รูปใหมไ่ ดเ้ ปน็ ( x −1)2 + ( y − 5)2 =52

นัน้ คือวงกลมมีจดุ ศนู ยก์ ลาง (1,5) รศั มี r = 5

จากเสน้ ตรง y = mx สมั ผสั วงกลม

x2 + y2 − 2x −10y +1=0 จะไดร้ ะยะทางระหวา่ งจุด ภาพท่ี 2.1.21

ศนู ยก์ ลางวงกลมและเส้นตรงมีค่าเท่ากบั รัศมี ดังนั้น
m(1) − 5 5
5= m2 + (−1)2 , m = 0, − 12

ดังนน้ั เสน้ ตรง y = mx สมั ผสั วงกลม x2 + y2 −2x − 10 y +1=0 มีค่า m = 0, − 5
12

ดังภาพที่ 2.1.21

ตวั อยา่ งท่ี 2.2.17 จงหาสมการวงกลมซง่ึ มจี ุดศูนย์กลางอยบู่ นเส้นตรง x + y − 3 = 0 และสมั ผสั กบั
เสน้ ตรง 3x + 4 y +15 = 0 ทจ่ี ุด (−1,−3)

วิธีทำ

ใหว้ งกลมจดุ ศูนย์กลาง (h,k)

จากวงกลมสมั ผัสกบั เสน้ ตรง 3x + 4 y +15 = 0 ที่จดุ (−1,−3)

จะได้เส้นสัมผสั มีความชนั เทา่ กบั − 3 และความช้ันของเส้นตรง
4
k+3
ผา่ นจดุ ศนู ยก์ ลางและจุดสัมผสั เท่ากบั h+1

จากสมบัตเิ ส้นตรงทผ่ี า่ นจดุ ศนู ยก์ ลางวงกลมจะตงั้ ฉากกบั เสน้ สัมผสั ภาพที่ 2.1.22

วงกลม ณ. จดุ สมั ผสั และเสน้ ตรงสองเสน้ จะตงั้ ฉากกันกต็ อ่ เมื่อ

ความชนั คณู กนั ได้ −1 จะได้

( )−3k+3 = −1
4 h+1

3k −4h+ 5 = 0 ---(1)

186

จากจดุ ศูนยก์ ลางอยบู่ นเสน้ ตรง x + y − 3 = 0
จะได้ h + k − 3 = 0 ---(2)

แกส้ มการจะได้ (h,k) = (2,1)

รศั มีวงกลม r = (2 − (−1))2 + (1− (−3))2 = 9 +16 = 5 หน่วย

จะได้สมการวงกลมซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่บนเส้นตรง x + y − 3 = 0 และสัมผัสกับเส้นตรง

3x + 4 y +15 = 0 ทจ่ี ุด (−1,−3) คือ ( x − 2)2 + ( y −1)2 = 25 ดงั ภาพท่ี 2.1.22

ตัวอยา่ งท่ี 2.2.18 หาสมการวงกลมซง่ึ มจี ุดศูนยก์ ลางอยบู่ นเสน้ ตรง x – y – 1 = 0 และสัมผสั กบั

เส้นตรง 3x – 4y + 10 = 0 และ 3x – 4y – 10 = 0

วธิ ีทำ

จากวงกลมสมั ผัสกบั เส้นตรง 3x – 4y + 10 = 0 และ

3x – 4y – 10 = 0

และเน่อื งจากเส้นตรงสองเสน้ น้ีมีความชนั ตา่ งเทา่ กับ 3
4

ดงั นน้ั เสน้ ตรงสองเส้นนีข้ นานกัน ภาพที่ 2.1.23

ทำใหไ้ ด้วา่ ระยะหา่ งระหว่างเสน้ ขนานมีความยาวเท่ากบั เสน้ ผา่ นศนู ย์กลางของวงกลม

น้นั คอื 2r = 10 − (−10) = 20 =4 ดงั น้นั r =2
32 + (−4)2 5

จากวงกลมสมั ผัสกบั เส้นขนาน 3x – 4y + 10 = 0 และ 3x – 4y – 10 = 0

จะได้ จดุ ศนู ย์กลางวงกลมจะอย่บู นเส้นก่ึงกลางระหวา่ งเส้นขนาน

และเสน้ ตรงที่อยกู่ ง่ึ กลางระหวา่ งเส้นขนานหาจาก 3x −4y + 10 + (−10) = 0
2

ดงั น้นั ศนู ยก์ ลางวงกลมอยบู่ นเสน้ ตรง 3x − 4 y = 0

และจากโจทย์กำหนดวงกลมซงึ่ มีจุดศนู ยก์ ลางอยบู่ นเส้นตรง x − y −1 = 0

ดงั นนั้ จุดศูนยก์ ลางวงกลมคอื จดุ ตัดกันของเส้นตรง 3x − 4 y = 0 และ x − y −1 = 0

แกส้ มการจะได้ x = 4, y = 3

นน้ั คือวงกลมจุดศูนยก์ ลาง (h,k) = (4,3)

ดงั นน้ั สมการวงกลมซง่ึ มจี ุดศูนย์กลางอยบู่ นเสน้ ตรง x − y −1 = 0 และสมั ผสั กับเสน้ ตรง

3x − 4 y + 10 = 0 และ3x − 4 y −10 = 0 คอื ( x − 4)2 + ( y − 3)2 = 4 ดงั ภาพท่ี 2.1.23

187

ตวั อยา่ งที่ 2.2.19 กำหนดสมการเส้นตรง 3x + 4y − 24 = 0 ตัดแกน x และแกน y ทจ่ี ดุ A และ B

ตามลำดบั โดยที่ O เป็นจดุ กำเนิด หาสมการวงกลมท่แี นบในสามเหลีย่ ม AOB
วธิ ีทำ

สมการเส้นตรง3x + 4 y − 24 = 0

ตดั แกน x ทจ่ี ดุ A(8,0) และตัดแกน y ทจี่ ดุ B(0,6)

ให้วงกลมจุดศนู ยก์ ลาง (h,k)

จากวงกลมทแี่ นบในสามเหลี่ยม AOB และสามเหลีย่ ม

AOB เปน็ สามเหล่ยี มมมุ ฉาก ภาพท่ี 2.2.24

จะได้ h=r,k =r และ r= 3h + 4k − 24
h2 + k2

จะได้ r= 3r + 4r − 24 = 7r − 24
32 + 42 5

ดงั นัน้ r =2,12 เนอื่ งจากวงกลมทีแ่ นบในสามเหลยี่ ม AOB r = 12 ไมไ่ ด้ ดังน้นั r =2

จะไดว้ งกลมจดุ ศนู ยก์ ลาง (2,2) และ r =2 ดังภาพท่ี 2.2.24

ดงั น้ัน สมการวงกลมที่แนบในสามเหลย่ี ม AOB คือ (x − 2)2 + ( y − 2)2 =4

ตวั อยา่ งที่ 2.2.20 สามเหล่ยี มมีดา้ นทัง้ สามอยบู่ นเส้นตรง 2x + y + 4 = 0, x − 3y + 9 = 0 และ

y = 4 จงหาสมการวงกลมแนบนอกรปู สามเหลย่ี ม
วิธที ำ

จุดตดั กันของเส้นตรง 2x + y + 4 = 0, x − 3y + 9 = 0

และ y = 4 คือจดุ ยอดของสามเหลย่ี มและจดุ ผ่านของ

วงกลม ดงั นัน้ แกส้ มการหาจุดตดั

2x + y + 4 = 0 และ x − 3y + 9 = 0 ตดั กนั ที่ (−3,2) ภาพท่ี 2.2.25
2x + y + 4 = 0 และ y = 4 ตัดกันที่ (−4,4)

x − 3y + 9 = 0 และ y = 4 ตัดกนั ท่ี (3,4)

ดงั นัน้ (−3,2),(−4,4) และ (3,4) เป็นจดุ ยอดของสามเหลี่ยมและจุดผ่านของวงกลม

จากสมการวงกลมรปู แบบทัว่ ไป x2 + y2 + Dx + Ey + F =0

และวงกลมผา่ นจุด (−3,2),(−4,4) และ (3,4)

น่นั คือแทนค่าจดุ ผา่ นลงในสมการเปน็ จริง

188

ดังนั้น 13 − 3D + 2E + F =0 --- (1)

32 − 4D + 4E + F =0 --- (2)

25 + 3D + 4E + F =0 --- (3)

แกร้ ะบบสมการจะได้ D = 1, E = −9 และF = 8

ดงั นน้ั สมการวงกลมแนบนอกรูปสามเหลย่ี มทม่ี ีดา้ นทง้ั สามอยู่บนเส้นตรง 2x + y + 4 = 0,

x − 3y + 9 = 0 และ y = 4 คือ x2 + y2 + x − 9y + 8=0 ดงั ภาพท่ี 2.2.25

ความยาวเส้นสมั ผัส

ให้ Q เปน็ จุดสมั ผัสของวงกลม และ P( x1, y1 ) เป็นจุดภายนอกวงกลมจะไดว้ ่า PQ

เปน็ ความยาวเส้นสัมผสั พิจารณา ได้ดังน้ี

1. กำหนดสมการวงกลมเป็น x2 + y2 = r2

PQ = x12 + y12 − r2
2. กำหนดสมการวงกลมเปน็ ( x − h)2 + ( y − k )2 = r2

ภาพท่ี 2.2.26 เส้นสัมผสั 1 PQ = ( x1 − h)2 + ( y1 − k )2 − r2

3. กำหนดสมการวงกลมเป็น x2 + y2 + Dx + Ey + F =0

PQ = x12 + y12 + Dx1 + Ey1 + F

ภาพที่ 2.2.27 เส้นสัมผัส 2

ตัวอย่างท่ี 2.2.21 จงหาความยาวเส้นสมั ผสั จากจุด P(−1,−2) ไปยงั วงกลม

( x − 3)2 + ( y + 4)2 = 4

วิธีทำ ความยาวเสน้ สมั ผสั = (−1− 3)2 + (−2 + 4)2 − 4
= 4 หน่วย

ตัวอยา่ งท่ี 2.2.22 จงหาความยาวเส้นสมั ผสั จากจดุ P (3,1) ไปยังวงกลม

x2 + y2 −2x + 6y −1=0

วิธที ำ ความยาวเสน้ สมั ผสั = 32 + (1)2 − 2(3) + 6(1) −1
= 3 หนว่ ย

สมการเส้นสมั ผสั วงกลม

189

การหาสมการเสน้ สัมผสั วงกลมเม่ือโจทยก์ ำหนด สมการวงกลม และจุดสัมผสั ( x1, y1 ) มาให้

หลกั การหาคอื
1. หาจุดศนู ย์กลางของวงกลม
2. หา m1 ผ่านจดุ ศนู ยก์ ลางวงกลมและจดุ สมั ผัส
3. หาความชันเสน้ สมั ผัสวงกลม m2 ซึง่ ตง้ั ฉากกบั m1 ( m1  m2 =−1)

4. เมื่อร้จู ุดสมั ผัส ( x1, y1 ) และ m2

จะไดส้ มการเสน้ สมั ผสั คือ y − y1 =m2 (x − x1)

ตวั อย่างท่ี 2.2.23 หาสมการเส้นสัมผัสวงกลม( x − 4)2 + ( y −1)2 = 10 ณ. จุด (3,4)

วิธที ำ วงกลม ( x − 4)2 + ( y −1)2 = 10 จดุ ศนู ย์กลาง (4,1)

ความชันของเส้นตรงผา่ นจดุ (4, 1) และ (3, 4) คือ m1 = 1 − 4 = − 3
4 − 3

ความชันเส้นสัมผสั วงกลม m2 ซึง่ ต้ังฉากกับ m1น่ันคอื m1  m2 = −1

จะได้ ความชนั ของเส้นสมั ผสั วงกลม m2 = 1
3

ดงั นั้น สมการเสน้ สมั ผสั วงกลม ( x − 4)2 + ( y −1)2 = 10 ณ. จดุ (3,4)

คอื y −4 = 1 ( x − 3) จัดรูปใหม่ไดเ้ ป็น x −3y +9= 0
3

ดังนน้ั สมการเสน้ สัมผัสวงกลม( x − 4)2 + ( y −1)2 = 10 ณ. จดุ (3,4)

คอื x −3y +9= 0

ตัวอย่างที่ 2.2.24 หาสมการเส้นสัมผสั วงกลม x2 + y2 = 9 ความชันเส้นสัมผัส เป็น 3
4

วธิ ีทำ กำหนดสมการเสน้ สมั ผัสวงกลมที่มีความชัน 3 คอื 4 y −3x + c =0
4

จากระยะห่างระหวา่ งจุดศนุ ยก์ ลางวงกลมกบั เสน้ สมั ผสั มคี า่ เท่ากบั ความยาวรัศมี

จะได้ 3= 4(0) − 3(0) + c c = 15
(−4)2 + 32

ดงั นั้นสมการเสน้ สัมผสั วงกลม x2 + y2 = 9 ความชนั เส้นสัมผัส เปน็ 3 คือ
4

4 y −3x +15=0 และ 4 y −3x −15=0

190

แบบฝึกหดั 2.2

1. หาจดุ ศูนยก์ ลางวงและรัศมี ของวงกลมตอ่ ไปน้ี
1) x2 + y2 − 6x + 4y −12=0
2) x2 + y2 − 8x + 12y + 3=0
3) x2 + y2 +16x −10y + 53=0
4) x2 + y2 + 6x + 4y − 23=0
5) 4 x2 + 4 y2 + 4 x −16y +1=0
6) 2x2 + 2y2 − 6x + 2y −13=0

2. จงหาคา่ k ท่ที ำให้ x2 + y2 − 2x + 6y + k =0 เกิดกราฟวงกลมทมี่ รี ศั มยี าว 2 ถงึ 5 หนว่ ย
3. หาสมการวงกลมในรปู แบบท่ัวไป ทมี่ จี ุดศนู ย์กลางอยูท่ ่ี (5, –1) เส้นรอบวงยาว 14¶
4. หาสมการวงกลมในรูปแบบทั่วไป ทมี่ จี ดุ ศนู ย์กลางอยทู่ ่ี (2, 1) และผา่ นจุด (6, 4)
5. หาสมการวงกลมในรปู แบบท่ัวไป ทมี่ จี ุด (2, 3) และ (4, 5) เปน็ จดุ ปลายของเส้นผา่ นศนู ย์กลาง
6. กำหนดสมการ x2 + y2 + Dx + Ey + F =0 เป็นวงกลมทมี่ พี นื้ ท่นี ้อยท่สี ดุ ผา่ นจดุ A(2, 1)

และ จดุ B(4, 7) จงหาค่า D + E − F
7. ให้ a, b และc เปน็ จำนวนจรงิ ถ้าวงกลม x2 + y2 + ax + by + c =0 มีจดุ ศูนย์กลางที่ (2, 1)

และมีเส้นตรง x − y + 2 = 0 เป็นเส้นสัมผสั วงกลม แล้ว a + b + c เทา่ กบั เทา่ ใด
8. หาจุดศนู ย์กลางของวงกลมทสี่ ัมผสั แกน x และผ่านจดุ (1, – 2) รัศมี 5 หนว่ ย
9. หาสมการวงกลมในรปู แบบท่วั ไป ทม่ี ีจุดศูนยก์ ลางอยทู่ ่ี (2, 3) และสมั ผสั แกน y
10. จงหาสมการวงกลมท่มี รี ัศมี 3 หน่วย และสมั ผสั กับแกน y ท่ีจุด (0, 2)
11. จงหาสมการวงกลมซ่ึงมีรัศมี 13 ผ่านจดุ กำเนดิ และจดุ (0, – 24)
12. จงหาสมการวงกลมท่มี จี ุดศูนยก์ ลางอยบู่ นเสน้ x = 2 และผา่ นจดุ (1, 3) และ (3, –11)
13. จงหาสมการของวงกลมซง่ึ มจี ดุ ยอดทั้งสามของรปู สามเหลย่ี มมุมฉาก ABC อยู่บนเสน้ รอบวง เมื่อ

จดุ A, B และ C มพี ิกัดเป็น (3, 4), (5, – 2), (– 1, – 4) ตามลำดับ

191

14. เส้นตรงความชนั − 4 ผ่านจุดศูนยก์ ลางของวงกลม x2 + y2 −4x +2y −4=0 โดยตัด
3

วงกลมท่ีจุด A กบั B หากกำหนดจดุ D (–1, –2) แล้วพืน้ ทส่ี ามเหลยี่ ม ABD มคี ่าเท่ากับเท่าใด

15. หาสมการวงกลมในรปู แบบทว่ั ไป ผ่านจุด (2, 3), (–1, 1) และมจี ดุ ศูนยก์ ลางอยบู่ นเสน้ ตรง

x − 3y −11 = 0

16. หาสมการวงกลมในรูปแบบท่ัวไป ผา่ นจดุ (0, 0), (4, 8) และ (9, 3)

17. หาสมการวงกลมในรูปแบบทวั่ ไป ผา่ นจดุ (5, 3), (6, 2) และ (3, – 1)

18. สมการเส้นตรง x + y – 9 = 0 ตัดกับวงกลมทจ่ี ุด AB โดยที่ AB =4 2 ถ้าจุดศนู ยก์ ลาง คอื
(3, 4) จงหาสมการวงกลม

19. หาสมการวงกลมทมี่ จี ุด (3, – 4) เป็นจดุ ศนู ยก์ ลาง และสัมผสั กบั วงกลม x2 + y2 = 1

20. หาสมการวงกลมรศั มี 15 หน่วย และสมั ผสั วงกลมทมี่ ีจุดศนู ย์กลางที่จดุ กำเนิด และมรี ศั มี 10
หนว่ ย ท่จี ดุ (6, – 8)

21. จงหาสมการเสน้ ตรงซง่ึ สมั ผสั กบั วงกลมทมี่ จี ุดศนู ยก์ ลางที่ C(–2, 7) โดยสัมผสั ทจี่ ุด P(1, 3)
22. กำหนดสมการ x2 + ( y − 2)2 = 25 จงหาสมการเสน้ ตรงซงึ่ สัมผสั กับวงกลมน้ี ทจ่ี ดุ A(–4, 5)

23. หาสมการเสน้ สมั ผัสวงกลม x2 + y2 + 2x − 4y −1=0 ณ. จุด A(2, –1)

24. กำหนดวงกลมซงึ่ มจี ุดศนู ยก์ ลาง ณ จดุ C(0, 0) ผา่ นจุด A(3, 2) จงหาสมการของเส้นสัมผสั ท่ีทำ
มุมปา้ นกบั แกน X และสัมผัสวงกลมท่จี ุด B(–2, b)

25. หาสมการวงกลมในรูปแบบทัว่ ไป ทม่ี ีจุดศูนย์กลางอยทู่ ี่ (1, – 1) และสมั ผสั กับเส้นตรง

3x −4y +3 =0

26. จงหาสมการซึง่ มกี ราฟเป็นวงกลมจุดศนู ย์กลางอยทู่ ่ี (–1,–3) และสมั ผัสกับเส้นตรงทผ่ี ่านจดุ
(–2, 4) กบั (2, 1)

27. วงกลมทีส่ มั ผสั กบั เส้นตรง 12x − 5y + 2 = 0 และมจี ุดศนู ย์กลางร่วมกบั จุดศนู ย์กลางของ
วงกลม x2 + y2 − 4 x − 3 =0 มสี มการเปน็

28. เส้นตรง y = mx สมั ผัสวงกลม x2 + y2 −10x + 9=0 ทจ่ี ุด p จงหาคา่ m

29. ถ้า a เปน็ จำนวนจรงิ บวกทท่ี ำใหเ้ สน้ ตรง ax + 12y + 15 = 0 สมั ผสั วงกลม
x2 + y2 −14x + 4y + 49=0 แล้วคา่ a มคี ่าเทา่ กบั เทา่ ใด

192

30. หาสมการวงกลมในรปู แบบทวั่ ไป ทมี่ ีจุดศนู ยก์ ลางอยบู่ นเสน้ ตรง x − y −1 = 0 สมั ผสั แกน x

และ ผ่านจดุ (3, 1)

31. หาสมการวงกลมในรูปแบบทัว่ ไป ท่ีมจี ดุ ศนู ย์กลางอยทู่ ี่จดุ C(2, 1) ถ้าเส้นสมั ผสั วงกลมทจ่ี ดุ x = 1

เส้นหนงึ่ มีความชันเทา่ กบั 1
3

32. ให้ a, b และ c เปน็ จำนวนจรงิ ถา้ วงกลม x2 + y2 + ax + by + c =0 มีจุดศนู ย์กลางท่ี (2,1)

และมีเสน้ ตรง x − y + 2 = 0 เป็นเสน้ สมั ผสั วงกลมแล้ว a + b + c เทา่ กบั เท่าใด

33. ถา้ เส้นตรง l ผา่ นจุดศูนย์กลางของวงกลม x2 + y2 − 2x +10y − 39=0 และขนานกับเสน้

สัมผัสของวงกลมน้ีทจ่ี ุด A(2, 3) แล้วสมการเส้นตรง l ตดั แกน x ทจ่ี ุดใด

34. หาสมการวงกลมในรปู แบบทว่ั ไป ซง่ึ มจี ดุ ศูนยก์ ลางอยบู่ นเสน้ ตรง x + y − 9 = 0 และสมั ผสั กบั

เส้นตรง 2x + y + 1 = 0 ท่จี ุด (2,1)

35. หาสมการวงกลมในรปู แบบทัว่ ไป ซง่ึ มจี ดุ ศนู ยก์ ลางอย่บู นเสน้ ตรง x + y − 2 = 0 และสมั ผัสกับ

เสน้ ตรง x − 2y + 1 = 0 ทจี่ ุด (3, 2)

36. หาสมการวงกลมซึ่งสมั ผัสกบั เสน้ ตรง 4x + 3y −16 = 0 ทจ่ี ุด (1, 4) และ สมั ผสั กบั เสน้ ตรง

3x + 4 y −18 = 0 ที่จุด (2, 3)

37. หาสมการวงกลมรัศมี 5 หนว่ ย และสมั ผสั เส้นตรง 3x − 4y − 20 = 0 ทจี่ ุด (4, –2)

38. หาสมการวงกลมซึ่งมีจดุ ศูนย์กลางอยบู่ นเส้นตรง 2x + y −1 = 0 และสมั ผสั กับเส้นตรง

4x − 3y + 20 = 0 และ 4x − 3y − 20 = 0

39. เส้นสัมผสั วงกลม x2 + y2 − 6x − 7 = 0 และขนานแกน x จะสมั ผัสวงกลมท่ีจุดใด

40. กำหนดใหเ้ ส้นตรง l1 และ l2 สมั ผสั วงกลม (x − 5)2 + y2 = 20 ท่จี ุด P และ Q ตามลำดับ

และจุดศูนยก์ ลางของวงกลมอยบู่ นเส้นตรงทีผ่ ่านจุด P และ Q ถ้า l1 มีสมการเปน็
x − 2y + 5 = 0 แล้วสมการเสน้ ตรง l2 คอื

193

2.3 พาราโบลา

นิยามท่ี 2.3.1 พาราโบลา คอื เซตของจุดทกุ จุดบนระนาบ ซง่ึ ห่างจากเสน้ ตรงคงทเี่ ส้นหนง่ึ บน
ระนาบ และจดุ หนง่ึ บนระนาบเปน็ ระยะเท่ากันเสมอ

ภาพท่ี 2.3.1 สว่ นประกอบของพาราโบลา
เสน้ ตรงคงท่ี เรียกวา่ เสน้ ไดเรกตริกซ์ (directrix) ของพาราโบลา จุดคงท่ี เรยี กวา่ จุดโฟกสั
(Focus) เส้นตรงทผ่ี า่ นโฟกสั และต้ังฉากกบั ไดรกตริกซ์ เรียกวา่ แกนของพาราโบลา หรือ แกน
สมมาตร (Axis of symmetry) จุดทพ่ี าราโบลาตัดกบั แกนของพาราโบลา เรียกวา่ จุดยอด (Vertex)
ของพาราโบลา ส่วนของเส้นตรงทผี่ า่ จดุ โฟกสั และมจี ุดปลายทง้ั สองบนแกนพาราโบลา เรยี กว่า (Latus
Rectum) ดังภาพท่ี 2.3.1
พาราโบลาทมี่ ีจดุ ยอดอยู่ท่ี (0, 0)
แกน y เป็นแกนสมาตร

ภาพที่ 2.3.2 พาราโบลาจุดยอดทจี่ ุด (0, 0) แกน y เปน็ แกนสมมาตร
ถ้าพาราโบลามีจดุ ยอดท่ีจุด (0, 0) จุดโฟกสั F(0, c) แกน Y เป็นแกนสมมาตร และสมการ
เสน้ ไดเรกตรกิ ซ์คือ y = – c เม่อื c > 0 ดังภาพที่ 2.3.2
ให้ P(x, y) เป็นจดุ ใด ๆ บนพาราโบลา

194

จะได้ ระยะห่างระหว่างจดุ P(x, y) และจุด F(0, c) มคี า่ เท่ากับ x2 + (y − c)2

ระยะหา่ งระหว่างจดุ P(x, y) และเส้นไดเรกตริกซ์ มคี ่าเทา่ กบั y − (−c) = y + c

จากนิยามพาราโบลา คอื เซตของจดุ ทกุ จุดบนระนาบ ซง่ึ หา่ งจากเส้นตรงคงทเี่ สน้ หน่ึงบนระนาบ และ

จดุ หนึ่งบนระนาบเปน็ ระยะเท่ากันเสมอ

จะได้ x2 + (y − c)2 = y+c

x2 + (y − c)2 = ( y + c)2

x2 + y2 − 2cy + c2 = y2 + 2cy + c2

x2 = 4cy

ในทำนองเดียวกันถ้าพาราโบลามีจุดยอดที่จุด (0, 0) จุดโฟกัส F(c, 0) แกน y เป็นแกน

สมมาตร และสมการเส้นไดเรกตรกิ ซ์คอื x = – c เมอื่ c < 0 พาราโบลาจะควำ่ ไดส้ มการคือ y2 = 4cx

แกน x เปน็ แกนสมาตร

ภาพท่ี 2.3.3 พาราโบลาจดุ ยอดทจี่ ดุ (0, 0) แกน x เปน็ แกนสมมาตร

ถ้าพาราโบลามีจุดยอดทีจ่ ุด (0, 0) จุดโฟกสั F(c, 0) แกน x เป็นแกนสมมาตร และสมการ
เสน้ ไดเรกตริกซ์คือ x = – c เมอ่ื c > 0 ดงั ภาพท่ี 2.3.3

ให้ P(x, y) เปน็ จุดใด ๆ บนพาราโบลา
จะได้ ระยะห่างระหว่างจุด P(x, y) และจดุ F(c, 0) มีค่าเทา่ กบั (x − c)2 + y2

ระยะหา่ งระหว่างจุด P(x, y) และเสน้ ไดเรกตรกิ ซ์ มคี ่าเท่ากบั x − (−c) = x + c
จากนยิ ามพาราโบลา คือเซตของจดุ ทุกจุดบนระนาบ ซึง่ หา่ งจากเส้นตรงคงทเี่ ส้นหนึ่งบนระนาบ และ
จุดหนึง่ บนระนาบเปน็ ระยะเท่ากันเสมอ

195

จะได้ (x − c)2 + y2 = x+c

(x − c)2 + y2 = ( x + c )2
x2 − 2cx + c2 + y2
= x2 + 2cx + c2
y2
= 4cx

ในทำนองเดยี วกนั พาราโบลามีจดุ ยอดท่จี ดุ (0, 0) จดุ โฟกสั F(c, 0) แกน x เปน็ แกน
สมมาตร และสมการเส้นไดเรกตริกซ์คอื x = – c เมื่อ c < 0 พาราโบลาตะแคงซา้ ย

จากการพสิ จู น์พาราโบลาจุดยอดท่ี (0, 0) สรปุ ไดด้ ังน้ี

1. แกน y เป็นแกนสมมาตร

ภาพที่ 2.3.4 พาราโบลา สมการ: ภาพที่ 2.3.5 พาราโบลาคว่ำ
หงายจดุ ยอด (0,0) จดุ ยอด (0,0)
x2 = 4cy

c > 0 หงาย,
c < 0 คว่ำ
จุดยอด: v(0, 0)
จดุ โฟกสั : F(0, c)
สมการ directrix: y = – c
ความยาว Latus Rectum: 4c

2. แกน x เป็นแกนสมมาตร สมการ: ภาพที่ 2.3.7 พาราโบลา
ตะแคงซ้ายจดุ ยอด (0,0)
ภาพที่ 2.3.6 พาราโบลา y2 = 4cx
ตะแคงขวาจดุ ยอด (0,0)
c > 0 ตะแคงขวา,
c < 0 ตะแคงซา้ ย
จุดยอด: v(0, 0)
จดุ โฟกสั : F(c, 0)
สมการ directrix: x = – c
ความยาว Latus Rectum: 4c

196

พาราโบลาที่มีจดุ ยอดอยู่ท่ี (h, k)

พิสูจน์ทำนองเดียวกับพาราโบลาจุดยอดที่ (0, 0) หรือใช้สมบัติการเลื่อนขนานโดยให้
( x, y ) เป็นพิกัดของจดุ P บนพาราโบลาเมอ่ื เทยี บกบั แกนพิกดั เดิม และ( x, y) เป็นพิกัดของจดุ
P บนพาราโบลาเมื่อเทียบกับแกนพิกัดใหม่ และ h, k เป็นจำนวนจริง จะได้ x = x − h และ
y = y − k โดยมีขอ้ สรปุ ดงั นี้
1. เสน้ ตรงขนานแกน y เป็นแกนสมมาตร

ภาพท่ี 2.3.8 พาราโบลา สมการ: ภาพท่ี 2.3.9 พาราโบลาคว่ำ
หงายจุดยอด (h, k) จุดยอด (h, k)
( x − h)2 = 4c( y − k)

c > 0 หงาย,
c < 0 ควำ่
จดุ ยอด: v(h, k)
จุดโฟกสั : F(h, k+c)
สมการ directrix: y = k – c
ความยาว Latus Rectum= 4c

2. เสน้ ตรงขนานแกน x เปน็ แกนสมมาตร

ภาพที่ 2.3.10 พาราโบลา สมการ: ภาพท่ี 2.3.11 พาราโบลา
ตะแคงขวาจดุ ยอด (h, k) ตะแคงซา้ ยจดุ ยอด (h, k)
( y − k)2 = 4c( x − h)

c > 0 ตะแคงขวา,
c < 0 ตะแคงซ้าย
จุดยอด: v(h, k)
จดุ โฟกสั : F(h + c, k)
สมการ directrix: x = h – c
ความยาว Latus Rectum= 4c

สมการพาราโบลารูปแบบทั่วไป

ส ม ก า ร พ า ร า โ บ ล า เ ส ้ น ต ร ง ข น า น แ ก น x เ ป ็ น แ ก น ส ม ม า ต ร ม ีส ม ก าร เ ป็น
(y − k)2 = 4c( x − h) เขยี นในรูปทั่วไปได้เป็น y2 + Ax + By + C = 0

ส ม ก า ร พ า ร า โ บ ล า เ ส ้ นต ร ง ข น าน แ ก น y เ ป ็ น แ ก น ส ม ม าต ร ม ีส ม ก าร เ ป็น
(y − k)2 = 4c( x − h) เขยี นในรูปทวั่ ไปไดเ้ ป็น x2 + Ax + By + C = 0

197

ตวั อย่างที่ 2.3.1 จงหาจดุ ยอด จดุ โฟกัส สมการไดเรกตริกซ์ และ ความยาว LR

1. y2 = 4x ภาพท่ี 2.3.12
วธิ ีทำ

v(0, 0)
4c = 4 , c = 1 พาราโบลาตะแคงขวา
F(1,0)
สมการ directrix x = – 1
ความยาว Latus Rectum= 4
ดงั ภาพที่ 2.3.12

2. y2 = – 8x
วิธีทำ

v(0, 0)
4c = -8, c = – 2 พาราโบลาตะแคงซ้าย
F(– 2, 0)
สมการ directrix x = 2
ความยาว Latus Rectum = 8
ดังภาพที่ 2.3.13

3. x2 = – 2y ภาพที่ 2.3.13
ภาพท่ี 2.3.14
วิธที ำ

v(0, 0) 1
2
c = − พาราโบลาคว่ำ

( )F0,− 1
2

สมการ directrix y = 1
2

ความยาว Latus Rectum = 1

ดงั ภาพท่ี 2.3.14

198

4. x2 = 12y ภาพท่ี 2.3.15
วธิ ที ำ ภาพที่ 2.3.16
ภาพที่ 2.3.17
v(0, 0)
c = 3 พาราโบลาหงาย
F(0,3)

สมการ directrix y = −3

ความยาว Latus Rectum= 12
ดังภาพที่ 2.3.15

5. (x – 2)2 = 4(y +1)
วธิ ที ำ

v(2, – 1)

c = 1 พาราโบลาหงาย
F(2,0)

สมการ directrix y = 0

ความยาว Latus Rectum = 4

ดงั ภาพท่ี 2.3.16

6. (x+ 3)2 = – 2 (y – 2)

วิธีทำ

v(–3, 2)

c = − 1 พาราโบลาควำ่
2

( )F−3,1 1
2

สมการ directrix y = 2 1
2

ความยาว Latus Rectum 2

ดังภาพที่ 2.3.17