MATH4609_Mathematics for teachers II

448

19. จงสร้างสมการพหุนาม เมอ่ื กำหนด x = ±i, 2 ± 2i

20. จงสรา้ งสมการพหนุ าม เมอื่ กำหนด x = 1, 1 3i , − 21 − 3i
−2 + 2 2

21. กำหนดให้ 1, 2 เปน็ คำตอบของสมการ 2 − x + 1 = 0
จงหาค่าของ 12000 + 22000

22. กำหนดให้ 1, 2 เป็นคำตอบของสมการ 2 − 4x + 6 = 0
จงหาคา่ ของ 12020 + 22020

23. ให้ 1, 2, 3 และ 4 เปน็ รากของสมการ 4 − 4z2 − 36 = 0
แลว้ ̅ ̅1̅ ̅ ̅2̅ ̅ ̅3̅ ̅ 4̅ มคี า่ เทา่ ใด

Complex Numbers 449

MATH4609

24. สมการ Z3 – 3Z2 + 9Z + 13 = 0 กำหนดให้ 1 รากคอื 2 + 3i จงหาอกี 2 รากท่ีเหลอื

25. สมการ 2Z3 – 7Z2 + 10Z – 6 = 0 มรี าก 1 รากคือ 1– i จงหาอกี 2 รากทเี่ หลือ

26. กำหนดสมการ Z3 + Z2 + 4Z + l = 0 เมื่อ l เป็นจำนวนจรงิ และราก 1 รากคอื 1–3i จงหา l และ
อกี 2รากที่เหลอื

27. จงแกส้ มการ Z3 – (4– i)Z2 + (5 – 4i)Z + 5i = 0 ถา้ กำหนด – i เปน็ ราก 1 รากของสมการ

28. จงแกส้ มการ Z4 – 6Z3 + 23Z2 – 34Z + 26 = 0 ถา้ กำหนด 1 + i เป็นราก 1 รากของสมการ

450
29. จงแกส้ มการ Z4 – 4Z3 + 12 Z3 + 4Z – 13 = 0 ถา้ กำหนด 2 – 3i เปน็ ราก 1 รากหาสมการ

30. กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ ( ) = 4 − 6 3 + 15 2 + + ถ้า
จำนวนเซิงซ้อน 1 + i และ 2 + i เปน็ ราก ของ f (x) แลว้ a + b มคี ่าเท่ากบั เท่าใด

31. กำหนดให้ a, b เปน็ จำนวนจริง และ ( ) = 3 + 2 + 4 + ถ้า − 1 +
เปน็ ตวั ประกอบของพหุนาม ( ) แลว้ a2 + b2 มีค่าเทา่ กบั เทา่ ใด

32. กำหนดให้ a, b เปน็ จำนวนจรงิ และ ( ) = 2 3 + 2 + + 12 ถ้า 2 เป็น
คำตอบของสมการ ( ) = 0 แล้ว (1) มีค่าเท่ากับเทา่ ใด

33. ให้ ( ) = 3 + 2 + + 10 โดยที่ a, b เปน็ จำนวนจริง และ (1 + 2 ) =
0 จงหาสว่ นจรงิ ของ ( 10)

Complex Numbers 451

MATH4609

34. ให้ 3 − √39 เปน็ คำตอบหน่ึงของสมการ 2 − 3 + = 0 แล้วเศษท่เี หลือจากหาร

44

หาร 2 − 3 + ดว้ ย + 2

35. ให้ ( − 1 + ) และ ( + 2) เปน็ ตวั ประกอบของฟังก์ชัน ( ) = 3 + 2 +
+ จงหาเศษจากการหาร ( ) ดว้ ย − 3

36. ให้ P(x) เปน็ ฟงั กช์ นั พหนุ ามกำลงั สาม ซง่ึ มสี มั ประสทิ ธเ์ิ ป็นจำนวนจรงิ และสมั ประสทิ ธิ์ของ x3 เปน็ 1 ถา้
x – 2 หาร P(x) เหลือเศษ 5 และ (1 + √3 ) เปน็ รากทห่ี นง่ึ ของ P(x) แลว้ รากทเี่ ปน็ จำนวนจริงของ P(x)
มีค่าเทา่ กบั เทา่ ใด

37. กำหนดให้ f ( x) เป็นพหุนำมดีกรีสำม มีสมั ประสิทธ์ิเป็นจำนวนจริง โดยทม่ี ี x +1 เป็นตวั ประกอบของ f ( x)
5 + 2i เป็นคำตอบของสมกำร f ( x) = 0 และ f (0) = 58 จงหำ f ( x) ในรูปของ ax3 + bx2 + cx + d

452

38. ถ้า a, b, c เป็นรากของสมการ 3 − 2i 2 + x − 2i = 0 โดย b และ c ตา่ งเปน็ สงั ยคุ กัน

จงหาคา่ ของ 256+2
c28−(b+c)2

39. กำหนดให้ z เปน็ จำนวนเชงิ ซอ้ นทส่ี อดคลอ้ งกับ 3 − 2z2 + 2z = 0, z ≠ 0 ถา้

อาร์กวิ เมนต์ของ z อยใู่ นชว่ ง (0, ) แล้ว( z )42 มีคา่ เท่ากับเทา่ ใด

2

40. ให้ 1 เปน็ คำตอบของสมการ 3 + z2 + 3z − 5 = 0 และ | 1 − (2 + 2 )| = 3
แล้ว 1 + 1

41. ถ้า a, b เป็นรากของสมการ 2 − 4x + k = 0 และ 2 + ab + b2 = 0 แล้ว จงหา
ค่า k

Complex Numbers 453

MATH4609

42. ให้ 1, 2, 3 เปน็ รากของสมการ 3 − 5x2 − 4x + 3 = 0
จงหาคา่ ของ 1 + 2 + 3, 1 2 + 2 3+ 1 3, 1 2 3

43. ให้ 1, 2, 3 เปน็ รากของสมการ 3 + (2 − i)x2 + (4 − 2i)x − 4i = 0 จงหาคา่ ของ
1
z1+z2+z3+z4

44. ถ้า 2 เป็นคำตอบหนึง่ ของสมการ 3 − 3x2 − 8x − 72 = 0 จงหาผลบวกของคำตอบทเี่ หลอื ทง้ั หมด

45. ถา้ 2 + เป็นคำตอบหนงึ่ ของสมการ 4 − 9 3 + 29x2 − 41x + 20 = 0 จงหาผลบวกของ
คำตอบทเี่ หลอื ท้งั หมด

454
46. ให้ 1, 2, 3 และ 3i เปน็ รากของสมการ 4 − 2x3 + 14x2 − 18x + 45 = 0 แล้วคา่ ของ
( 1 + 2 + 3)2 มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด
47. ให้ 1, 2, 3 เปน็ รากของสมการ 3 + (1 + 2 )x2 − (3 − 8i)x + (6i + 9) = 0 แล้วค่า
ของ 1 2 + 2 3 + 1 3 + 1 2 3 มคี า่ เทา่ กบั เท่าใด

48. ให้ z1, z2 , z3 เปน็ รากของสมการ 3 + (2 − 3 )x2 + (1 − 2i)x − (2i + 3) = 0 แล้วคา่ ของ
2 1 2 3 − 1 2 − 2 3 − 1 3 มีคา่ เทา่ กับเท่าใด

49. ให้ z1, z2 , z3 , z4 เป็นรากของสมการ 4 + 4x3 + 4x2 − 11x − 42 = 0 โดยที่ แล้วค่าของ
1 2 3 + 1 2 4 + 1 3 4 + 2 3 4 + ( 1+ 2 + 3 + 4)2 มคี ่าเทา่ กับเท่าใด

Complex Numbers 455

MATH4609

50. ให้ z1, z2 , z3 , z4 เป็นรากของสมการ 2z4 + z3 − 7z2 − 4z − 4 = 0 แลว้ จงหำค่ำของ
1+1+1+1
z1 z2 z3 z4
51. จงหาสมการซึ่งทกุ คำตอบเป็นสองเทา่ ของสมการ 3 − 6x2 + 11x − 6 = 0

52. จงหาค่าสัมบรู ณข์ องรากของสมการ z5 – 3iz4 + 4z –12i = 0

53. ค่าสมั บรู ณข์ องรากของสมการ z2 (1– z2 ) = 16 มคี ่าเทา่ กบั เท่าใด

456
54. ให้ 1, 2, 3 เป็นรากของสมการ 3 3 + 2x2 + 2x − 1 = 0 แล้ว (| ̅ 1|| ̅ 2|| ̅ 3|)2 มีคา่ เท่ากบั
เท่าใด

55. ให้ 1, 2, 3 และ 4 เปน็ รากของสมการ 4 + 3 − 5x2 + x − 6 = 0 แล้ว | 1|| 2|| 3| | 4|
มคี ่าเทา่ กบั เทา่ ใด

56. ให้ 1, 2, 3 เปน็ รากของสมการ 3 + 6x2 + kx − 64 = 0 โดยที่ 12 = 2 3 แล้วค่า k มคี า่
เทา่ กบั เท่าใด

57. กำหนดให้ = { ∈ || − | < }, = { ∈ | 3 + 3 2 + 3 + 2 = 0} แล้ว ∩ มี
จำนวนสมาชกิ เทา่ กับเทา่ ใด