MATH4609_Mathematics for teachers II

348Trigonometry
MATH4609

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิตขิ องผลบวกและผลตา่ งของจำนวนจรงิ หรือมุม

กำหนดให้ A และ B เป็นจำนวนจริงหรือมุมสองมมุ ใดๆ

sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB

sin(A – B) = sinA cosB – cosA sinB

cos(A + B) = cosA cosB – sinA sinB

cos(A – B) = cosA cosB + sinA sinB

tan(A + B) = tan A + tan B

1 - tanA tan B

tan(A – B) = tan A - tan B

1 + tanA tan B

cot(A + B) = cot A cot B - 1

cotB + cotA

cot(A – B) = cot A cot B + 1

cotB - cotA

ตวั อย่างที่ 1 กำหนดให้ A และB เปน็ มุมแหลม ถา้ tan A = 3 , sinB = 4 จงหา
4 5

1. sin(A + B) = sinA cosB+cosA sinB

= 3 3+ 4 4 =1

55 55

2. sin(A – B) =

3. cos(A + B) =

4. cos(A – B ) =

349Trigonometry
MATH4609

5. tan(A + B) =
6. tan(A – B) =
7. cot(A + B) =
8. cot(A – B) =

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาค่าของ
1. sin 150 = sin(45o – 30o )

= sin45ocos30o+ cos45osin30o

= 2 3 2 1 6− 2
+=

22 22 4

2. cos 150=

3. sin 750 =

4. cos 750 =

5. tan 750 =

350Trigonometry
MATH4609

6. cos 1050 =
7. cot 1050 =
8. cosec 1050 =

ตวั อย่างท่ี 3 จงหาคา่ ของ
1. cos 750cos150 + sin 750sin150

2. sin1120cos680 + sin680cos1120

3. sin  cos  + cos  sin 

9 18 9 18

4. sin  − 5  sin  + cos  cos  − 5 
 2  2 2  2 

5. sin(  + A )cos(  + A ) + cos(  + A )sin(  + A )
36 36

6. tan1050 − tan750

1+ tan1050 tan750

7. tan200 + tan250

1 − tan 200 tan 250

8. tan 2200 − tan 400

1 + tan 2200 tan 400

351Trigonometry
MATH4609

ฟังกช์ นั ตรีโกณของสองเท่าของจำนวนจรงิ หรอื มุม

ให้ A เปน็ จำนวนจรงิ หรือมมุ ใดๆ

sin 2A = 2sinAcosA
cos 2A = cos2A – sin2A = 1 – 2sin2A = 2 cos2A – 1
2 tan A
tan 2A = 1− tan2 A

ตวั อยา่ งที่ 1 กำหนดให้ cos  = − 4 เมอื่ sin  0 จงหาคา่ ของ sin 2, cos 2 และ tan

5

2 5
วธิ ีทำ เน่อื งจาก cos < 0 และ sin  < 0 จะได้ว่า  อยใู่ นควอดรันตท์ ่ี 3

oQ34

1. sin 2 = 2sincos = 2  − 3   − 4  = 24
2. cos 2  5   5  25

3. tan 2 = 2 cos2A – 1 = 2 − 4 2 −1 = 7
5  25

= 2  3  = 24
 4 

1 −  3 2 7
 4 

ตัวอยา่ งที่ 2 กำหนดให้ sin  = − 3 เมอ่ื cos > 0 จงหาคา่ ของ sin 2, cos 2 และ tan 2

5

352Trigonometry
MATH4609

ตวั อยา่ งที่ 3 จงหาคา่ ของ =
1. 2 cos2150 – 1

2. 1 – 2sin2  =

8

3. 2 tan 750 =

1− tan2 750

4. 1− tan2   −  เมอ่ื  = 
4 

1+ tan2   −  8

4 

ตัวอยา่ งท่ี 4 จงหา tan 4A ถา้ tan A = 1 , sin A  0

2

วธิ ีทำ จาก tan 4A = tan 2(2A) = 2 tan 2A
1− tan2 2A

เน่ืองจาก 2 tan A 2  1  4
1− tan2 A  2  3
tan 2 A = = =
2
1 −  1 
 2

ดังน้ัน 2  4  − 24
 3  7
tan 4 A = 4 2 =
3 
1− 


ตวั อยา่ งท่ี 5 จงหาค่าของ  cos 2 cos 4
cos
77 7

353Trigonometry
MATH4609

ฟังก์ชันตรโี กณมติ ขิ องครึ่งหน่งึ ของจำนวนจริงหรอื มมุ

ให้ A เปน็ จำนวนจริงหรอื มมุ ใดๆ
A 1- cosA
1. sin 2 =  2

2. cos A =  1+ cosA
2 2
A 1- cosA
3. tan 2 =  1+ cosA

ตวั อยา่ งท่ี 1 กำหนดให้ cos  = 3 และ tan  0 จงหาคา่ ของ
5

1. sin 2

2. cos 
2

3. tan 
2

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงพสิ จู นว์ ่า
1- cos
1. tan  = sin
2

2. tan  = sin 
2 1 + cos

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงหาคา่ ของ
1. sin 22.50 =
2. tan 150=

354Trigonometry
MATH4609

ฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิติของสามเทา่ ของจำนวนจริงหรือมมุ

ให้ A เป็นจำนวนจรงิ หรือมุมใดๆ

sin 3A = 3sin A – 4sin3A
cos3A = 4cos3A – 3cos A
3tan A − tan3 A
tan 3A = 1− 3tan 2 A

cot 3A = cot3 A − 3cot A
3cot2 A −1

ตัวอย่างท่ี 1 กำหนดให้ sin A = 3 และ 900 < A <1800 จงหาค่าของ
5
1. sin 3A 3. tan 3A

2. cos 3A 4. cot 3A

ตัวอย่างที่ 2 จงหาคา่ ของ
1. sin 18o

2. cos 18o

ตวั อยา่ งที่ 3 จงหาค่าของ
1. sin 36o

2. cos 36o

355Trigonometry
MATH4609

การเปลยี่ นผลคณู ของฟังก์ชันไซนห์ รือโคไซน์ให้เป็นผลบวกหรอื ผลตา่ งของฟงั กช์ ันไซน์หรอื โคไซน์

ให้ A และ B เป็นจำนวนจรงิ หรอื มมุ ใดๆแล้ว
1. 2sin A cos B = sin(A + B) + sin(A – B)
2. 2cos A sin B = sin(A + B) – sin(A – B)

3. 2cos A cos B = cos(A + B) + cos(A – B)
4. 2sin A sin B = cos(A – B) – cos(A + B)

การเปลยี่ นผลบวกและผลตา่ งของฟงั กช์ นั ไซนแ์ ละของฟงั กช์ นั โคไซนใ์ ห้อยู่ในรปู ผลคูณ

ให้ A และ B เปน็ จำนวนจรงิ หรอื มุมใดๆแล้ว
( ) ( )1. A+B A−B
sinA + sinB = 2sin 2 cos 2

( ) ( )2. A+B A−B
sinA – sinB = 2cos 2 sin 2

( ) ( )3. A+B A−B
cosA + cosB = 2cos 2 cos 2

( ) ( )4. A+B A−B
cosA – cosB = –2sin 2 sin 2

ตวั อย่างที่ 1 จงเปลยี่ นฟงั ก์ชนั ตอ่ ไปนีใ้ หอ้ ยู่ในรูปผลบวกหรอื ผลต่าง

1. 2sin 3A cos 2A 3. 2cos 50o cos 70o

2. 2sin (2A + B) sin (A – 2B) 4. cos 25o sin 75o

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาคา่ ของ
1. 2cos 45ocos 15o

2. 2sin 75osin 15o

3. 2cos 50ocos 70o – cos 20o
4. sin 70ocos 20o – cos 50ocos 10o

ตวั อย่างที่ 3 จงเปลยี่ นเป็นฟังกช์ ันผลคณู 356Trigonometry
1. sin 80o + sin 20o = MATH4609

2. sin 50o – sin 20o = 5. sin 4 + sin2 =
6. sin 4x – sin 6x =
3. cos 3 + cos  = 7. cos2a – cos 6a =
8 8 8. cos 3a + cos 8a =

4. cos 7 + cos 5 =
12 12

ตัวอยา่ งที่ 4 จงหาค่าของ
1. sin 50o + sin 10o – cos 20o

2. cos 80o + cos 40o – cos 20o

3. sin 40o – sin 20o – 3 sin 10o

4. cos 50o + cos 40o – 2 cos 5o

ตวั อยา่ งที่ 5 ถ้า A + B + C = 180o จงแสดงวา่
1. tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C

2. sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4sinA sin B sin C

3. cos 2A + cos 2B + cos 2C = – 1 – 4 cos A cos B cos C

แบบฝึกหดั

1. กำหนดให้ sin A = 1 , tan B = − 1 เมอื่ 0< A<  และ  < B < 
2 2
53

จงหาคา่ ของ sin(A + B) – cos(A – B)

2. กำหนดให้ sin A = 1 , tan B = 1 เมือ่ A และ B เปน็ มมุ เหลม แลว้ A + B มคี า่ เทา่ ใด
5 3

3. กำหนดให้ sin(A + B) = 56 , cos (A – B) = 63 และ sin B = 5 จงหาคา่ ของ cos A
65 65 13
เมื่อ A , B เปน็ มมุ เหลม

4. จงหาคา่ ของ cos2 (60o + A) + cos2 (60o – A) + cos2 A

358Trigonometry
MATH4609

5. ถ้า sin  = – 1 และ cos  < 0 แลว้ tan tan(45o + ) − sec(90o − )

2

6. จงหาค่าของ tan A + tan B + tan A − tan B

tan(A + B) tan(A − B)

7. กำหนด 0 < A, B <  , tan A = 2 และ A + B = 3 จงหา sin B
2 4

8. ถา้ A + B = 585o จงหาค่าของ  1 + cot A  1 + cot B 
cot A cot B

9. ถา้ A + B = 765o จงหาคา่ ของ  tan A A  tan B B 
1− tan 1− tan

359Trigonometry
MATH4609

10. กำหนด tan 5o = a จงหาค่าของ tan189o − tan109o
1+ tan189o tan109o

11. ให้ tan A = 1 และ sin B = 1 โดยท่ี 0  A   และ 0  B   แลว้ A + 2B มคี ่า

7 10 2 2

เท่ากบั เท่าใด

12. ถ้า 3cos 2A – 2cos 2B = – 3 และ sin A – 2sin B = 0 โดยท่ี A, B [ 0,  ] แล้ว sin(A +

2

B) เทา่ กบั เท่าใด

13. กำหนด cos (A + B) = 3 − 4 3 และ cos (A – B) = 3 + 4 3 จงหาค่าของ sin 2A sin 2B

10 10

360Trigonometry
MATH4609

14. คา่ ของ cot 70o + cot 50o + 3 cot 70o cot 50o เปน็ เท่าใด

15. 9sin3 + 18sin2 – sin = 2 แล้ว 2tan2 มีค่าเทา่ ใด

16. กำหนดให้ sin 3 + sin  = 1 – 4sin3 แลว้ sec 2 + cos ( 3 +) เทา่ กับเท่าใด

2

17. ถ้า 1 + 1 = 8 โดยท่ี  < x < 3 แล้ sin x + cos 2x + tan 3x มีคา่
1− sin x 1+ sin x 2

เทา่ ใด

361Trigonometry
MATH4609

18. กำหนดให้ 0o < A, B < 90o, 3sin2A – 2sin2B = 0 และ 3sin2A + 2sin2 B = 1 จงหามุม A
+2B

19. ให้ sin ( + 30o) + cos ( + 60 o) = 1 จงหาคา่ cos 3
4

20. ถา้ tan  = 1 แลว้ คา่ ของ sin 4 คอื
3

21. คา่ ของ ( 1+ cos  )(1 + cos 3 )(1 + cos 5 )(1 + cos 7 ) มคี า่ เทา่ ใด
8 8 8 8

362Trigonometry
MATH4609

22. sin 15o + sin 55o = x และ cos 15o + cos 55o = y แล้ว (x + y)2 – 2xy มีค่าเทา่ ใด
23. คา่ ของ tan 15o +cot 15 o + tan 22.5 o + cot 22.5o มีคา่ เท่าใด

24. –sin21o + sin22o – sin23o + … – sin289o + sin290o มคี า่ เท่าใด

25. คา่ ของ tan2 67 o30/ + tan222 o30/ – 2tan 67 o30/ tan 22 o30/ เทา่ กบั ข้อใด

363Trigonometry
MATH4609

26. กำหนดให้ sin 2x = 24 จงหาคา่ ของ sin4x + cos4x
25

27. กำหนดให้ tan 2x = 1 จงหาค่าของ sin6x + cos6x
2

28. กำหนดให้ sin 35 o = a จงหาคา่ ของ 1+ tan1350 tan1150
tan1350 − tan1150

29. คา่ ของ tan 53 o + tan 37 o – cot 82 o (cot 37 o – cot53 o) เทา่ กบั

364Trigonometry
MATH4609

30. กำหนดให้ cos (A + B) = 0.6 , cos (A – B) = 0.8 คา่ ของ (sin 2A)(sin 2B) คอื

31. ให้ tan A + tan B = 6 และ cot A + cot B = 3 คา่ ของ tan (2A + 2B) มคี ่าเทา่ ใด

32. ค่าของ  sin 30o − cos 30o  มีค่าเท่ากับเทา่ ใด
 cos10o 
 sin10o 

33. จงหาคา่ ของ sin 15 sin 13 sin 9 sin 

34 34 34 34

365Trigonometry
MATH4609

34. ให้ A = tan 15 o + tan 30 o +tan15 o tan30 o
B = sin215 o + 2sin 67.5 o (cos67.5 o – sin67.5 o) + cos215 o

ดงั นนั้ A + B เท่ากับข้อใด

35. กำหนดให้ sin6 + cos6 = 13 , 90o <  < 180o แลว้ tan A มคี า่ เทา่ ใด
16

36. ผลบวกของค่าสงู สุดและคา่ ต่ำสดุ ของฟังกช์ ัน f (x) =sin6 x + cos6 x เท่ากบั เท่าใด

37. กำหนดให้ cos8A – sin8A = 5 คา่ ของ cos2A คอื
27

366Trigonometry
MATH4609

38. คา่ ของ sin3 15o cos 45o + cos3 15o sin 45o ตรงกบั ขอ้ ใด
sin 60o

39. จงหาคา่ ของ 4(cos3 200 + cos3 400 )
cos200 + cos400

40. จงหาค่าของ 4 cos3 200 + 8cos3 400 − 4 cos3 800
cos200 + 2cos400 − cos800

41. ถ้า sin2 3A − cos2 3A =2 แลว้ cos 2 A มคี า่ เทา่ กบั เท่าใด
sin2 A cos2 A

367Trigonometry
MATH4609

42. ถา้ 1+ tan x = 1+ Acos xsin x แลว้ A มีค่าเท่ากับเทา่ ใด
1− tan x cos 2x

43. จงหาคา่ ของ sin 1o + sin 91 o – 2sin 157 o (sin 112 o + sin 158 o)

44. กำหนดให้ A + B + C = 180 o และ sin C cos (A+B) = 1 จงหาคา่ ของ tan C
2 2

45. ค่าของ 1 − 2sin 70o คอื ขอ้ ใด
2 sin 10 o

368Trigonometry
MATH4609

46. ให้ cos150 + sin150 − sin 450 + sin150 = A และ 4 sin3 200 − 3sin 200 = B
cos150 − sin150 cos 450 + cos150 4 cos3 400 − 3cos 400
จงหาค่าของ 3A + 2B

47. ให้ 3 tan A = tan(A + B) ค่าของ sin(2A + B) คือ
sin B

48. จงหาค่าของ cos 20o + cos100o + cos140o

49. ค่าของ sin800 sin150 เทา่ กบั
sin 250 + sin 50

369Trigonometry
MATH4609

50. ให้ tan 2A = 0.5 จงหาค่าของ sin 3A + sin 4A + sin 5A
cos3A + cos4A + cos5A

51. จงแสดงว่า tan 2A = sin2A + sin5A −sin A
cos2A + cos5A + cos A

52. ให้ A =  คา่ ของ sin 3A + sin 5A + sin 7A + sin 9A

18 cos 3A + cos 5A + cos 7 A + cos 9A

53. จงหาค่าของ sin 9x + 6sin 7x +17 sin 5x +12sin 3x

sin 8x + 5sin 6x +12 sin 4x

370Trigonometry
MATH4609

54. จงหาคา่ ของ cos 20o + cos100o + cos140o

55. จงหาคา่ ของ (2 sin2 10o + sin2 110o )+ sin2 130o

56. กำหนดให้ sin 5o = k คา่ ของ 2 + cos5o + cos15o + cos35o + sin35o + sin65o คือ
2

57. กำหนด 0o <   270o และ sin  + sin 2 + sin 3 = cos  + cos 2 + cos
3
จงหาผลบวกของสมาชกิ ในเซตคำตอบของสมการ

58. ถา้      และ sin 5 cos 3 – cos 5 sin 3 = sin 4 + sin 2

2

จงหาคา่ ของ sin2

371Trigonometry
MATH4609

การแกส้ มการที่อยใู่ นรูปฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิ
การแกส้ มการตรโี กณมติ ิทำไดใ้ นทำนองเดียวกบั การแกส้ มการพีชคณติ โดยอาศยั ความรู้

เก่ยี วกับฟงั ก์ชันตรโี กณมติ ิ เพ่ือหาคำตอบของสมการ
เนื่องจากฟังกช์ ันตรีโกณมิติไมเ่ ปน็ ฟงั ก์ชัน 1-1 คา่ ของฟงั กช์ ันตรโี กณมติ ิของจำนวนจรงิ หรือ

มุมใดๆอาจซ้ำกันได้ ดงั นัน้ ในการหาคำตอบของสมการถ้าโจทย์ไม่กำหนดใหค้ ำตอบอย่ชู ่วงใด

ชว่ งหน่งึ แลว้ คำตอบควรจะอยใู่ นรูปของคา่ ทั่วไป

ตวั อยา่ งที่ 1 จงแกส้ มการ sin = 1

2

วธิ ีทำ ถ้าพจิ ารณา ; 0    2 ซึ่งทำให้ sin = 1 คอื  =  , 5

2 66

และเนือ่ งจาก sin  2n +  =sin  = 1; n I และ
 6  6 2

sin  2n + 5  = sin 5 = 1; nI
 6  6 2

ดงั นั้น คา่ ทว้ั ไปของ  ทที่ ำให้สมการเป็นจรงิ คือ 2n +  ,2n + 5 ; n I

66

ตวั อยา่ งที่ 2 จงแกส้ มการ 2sin2  + 3cos − 3 = 0; 0o    360o

วิธที ำ 2sin2  + 3cos − 3 =0
=0
( )2 1− cos2  + 3cos − 3

2 cos2  − 3cos +1 =0
=0
(2 cos −1)(cos −1)

cos = 1 ,1
2

ดังนัน้  = 0o , 60o ,300o,360o

ตัวอย่างที่ 3 ถา้ 0o    360o แลว้ จงหาเซตคำตอบของสมการ

sin 5 cos 3 − cos 5 sin 3 = cos

วิธที ำ sin 5 cos 3 − cos 5 sin 3 = cos

sin (5 − 3 ) = cos

sin 2 = cos
2sin cos − cos = 0

cos (2sin −1) = 0

นั่นคอื cos = 0 หรอื sin = 1 เนอ่ื งจาก 0o    360o

2

ถ้า cos = 0 จะได้  = 90o , 270o ถ้า sin = 1 จะได้  = 30o,150o

2

ดังนั้น เซตคำตอบของสมการคอื 30o,90o,150o, 270o

372Trigonometry
MATH4609

แบบฝกึ หดั
1. จงแกส้ มการตอ่ ไปนี้ เมอื่ 0    2

1.1 3sin = 3 cos

1.2 2 cos2  + cos = 0

1.3 2sin2  − sin −1 = 0

1.4 2sin = tan

1.5 2 cos2  − 3 cos = 0

1.6 3 csc2  + 2 csc = 0

373Trigonometry
MATH4609

1.7 tan sin + tan = 0
1.8 4 tan2  − 3sec2  = 0
1.9 sin 2 + sec2  = sin + 2 cos + tan2 
1.10 4sin3  − sin = 0
1.11 2sin4  − 3sin2  +1 = 0
1.12 cos 2 = sin

374Trigonometry
MATH4609

1.13 cos 2 + 3sin = 2
1.14 cos + 4sin − sin 2 = 2
1.15 sin 2 cos − sin = 0
1.16 sin 5 + sin 3 = 0
1.17 tan 4 + 2sin 2 = 0
1.18 tan  + cot = 0

2

375Trigonometry
MATH4609

2. กำหนด 0   < 2 จงหาผลบวกของคำตอบของสมการ cos x – 3 sin x = 1

3. จงหาคา่ x จากสมการ sin x + cos x = 1 + sin x cos x
4. จงหาค่า  ทที่ ำให้ cos = − 1

2

5. จงหาค่า  ทท่ี ำให้ 2cos 2 − 3 = 0
6. จงหาค่า  ทท่ี ำให้ 4 tan2  − 3sec2  = 0
7. จงหาคา่  ทที่ ำให้ cos2 2 + 3sin 2 − 3 = 0
8. จงหาคา่  ทที่ ำให้ tan2  + sec2  − 7 = 0

376Trigonometry
MATH4609

อนิ เวอร์สของฟังกช์ ันตรโี กณมติ ิ
เน่อื งจากฟงั กช์ นั ตรโี กณมิตไิ มเ่ ป็นฟังก์ชัน 1 – 1 ดังนนั้ อินเวอร์สของฟังก์ชันตรโี กณมติ จิ ึงไม่

เปน็ ฟงั กช์ ันแตถ่ า้ กำหนดโดเมนของฟงั ก์ชันตรีโกณมิตใิ หเ้ หมาะสมจะพบว่าอนิ เวอร์สของฟังกช์ ัน
ตรโี กณมิตจิ ะเป็นฟงั กช์ ันและเรยี กอินเวอส์ ของ ฟงั ก์ชันวา่ ฟงั กช์ ันอินเวอรส์ เชน่ y = sin x มอี ินเวอร์

สของฟงั ก์ชนั คอื x = sin y เม่ือจำกัดโดเมนเทา่ กบั −  ,  
2 2 

x = sin y นยิ มเขยี นเป็น y = arcsin x หรอื เขียนไดอ้ ีกแบบคอื y = sin-1x และฟังกช์ นั
ตรีโกณมิติอนื่ ๆกส็ ามารถเขยี นได้ในทำนองเดียวกนั

เราจำกัดโดเมนของฟงั กช์ ันตรีโกณมิติเพือ่ ใหไ้ ดอ้ ินเวอรส์ เปน็ ฟงั ก์ชนั ดงั นี้

ฟงั กช์ นั โดเมน เรนจ์
1. y =sin x [-1,1]
−  ,  
y = arcsin x 2 2 
2. y = cos x
[-1,1] −  ,  
y = arccos x 2 2 
3. y = tan x
[0,] [-1,1]
y = arctan x [-1,1]
4. y = cot x [0,]

y = arccot x  −  ,   R
5. y = sec x  2 2 

y = arcsec x R  −  ,  
 2 2 
6. y = cosec x
(0,) R
y = arccosec x R
(0,)

0,      ,  (-, -1][1, )
2   2 

(-, -1][1, ) 0,      , 
2   2 

−  , 0    0,   (-, -1][1, )
2   2 

(-, -1][1, ) −  , 0    0,  
2   2 

377Trigonometry
MATH4609

กราฟของฟงั กช์ ัน y = arcsin x , y = arccos x , y = arctan x , y = arcsec x ,
y = arc csc x และ y = arc cot x ดงั รูป

y = arcsin x y = arccos x y = arctan x

y = arc sec x y = arc csc x y = arc cot x

ตัวอย่างที่ 1 จงหาคา่ ของ
1. arccos 0

2. arcsin 0

3. arcsin 1
2

4. arccos ( − 3 )
2

5. arctan ( 1 )
3

6. arccos (–1)

7. arcsin( − 2 )
2

8. arccosec (-2)

378Trigonometry
MATH4609

9. arctan(–1)

10. arcsin(–1)

11. arctan( 3 )

12. arctan( − 3 )

13. arccot 0

14. arcsec 1

15. arcsin 1
2

16. arccosec 2
3

ความสัมพันธร์ ะหว่างฟงั กช์ ันและอินเวอร์สของฟงั กช์ นั มีดังน้ี

1. sin(arcsin x) = x เม่อื –1  x  1

arcsin(sin x) = x เมื่อ  
− x
22

2. cos(arccos x) = x เม่อื –1  x  1

arcos(cos x) = x เมื่อ 0  x  

3. tan(arctan x) = x เมอื x R

arctan(tan x) = x เมื่อ −   x  

22

4. cot(arccot x) = x เมอื่ x R

arccot(cot x) = x เมอ่ื 0 < x < 

5. sec(arcsec x) = x เมอ่ื x  –1 หรอื x  1

arcsec(sec x) = x เม่ือ 0  x<  ,   x  

22

6. cosec(arccsc x) = x เมอื่ x–1 หรอื x1

arccsc(csc x) = x เม่อื −   x  0 , 
0 x
22

379Trigonometry
MATH4609

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาคา่ ของ

1. sin  arcsin  − 1  
  2  
 

2.  3  
cos  arccos  − 2  

3. tan  arctan  1  
  2  
 

4. arcsin  sin    
  6  
 

5. arcsin  sin  5  
  6  
 

6. arccos  cos    
  6  
 

7. arccos  cos  −   
  6  
 

8.  3  
cos  arcsin  − 2  

9. tan  arccos  1  
  3  
 

380Trigonometry
MATH4609

10.  2  
cos  arcsin  3  

11. csc  arctan  1  
  2  
 

12.  3  
cot  arccos  − 3  

13.  25 
sec  arcsin  5  

14. tan  arcsin  cos   
  6  
 

15. cot  arccos  sin  
  6  
 

16. cos  arccos  tan  
  4  
 

381Trigonometry
MATH4609

ตัวอยา่ งที่ 3 จงแสดงวา่ 4
3 5
1. arcsin 5 = arccos

2. arctan 3 = arccos 4
4 5

3. arcsin 5 = arctan 5
13 12

4. arccos 8 = arctan 15
17 8

5. arcsin x = arccos 1− x2

382Trigonometry
MATH4609

6. arccos x = arcsin 1− x2
7. arccsc 17 = arctan 8

8 15

8. 2arccos 4 = arcsin 24

5 25

9. arcsin x + arcos x = 

2

10. arccos12 + arcsin 16 = arcsin 3

13 65 5

ตวั อย่างท่ี 4 จงหาคา่ x จากสมการ
1. arcsin x = arccosec 2

2. arccos x = arcsec 2
3

3. arctan x = arccot 3

4. arcsin x = arcos x

384TRIGONOMETRY
BANANA MATH

5. arctan 2x +arctan 3x = − 
4

6. arctan(x+1)+arctan(x–1) = arctan 8
31

7. arccot x + arctan 2x = − 
4

8. arctan x + 2arctan 1 = 2

x3

385TRIGONOMETRY
BANANA MATH

กฎของโคไซน์ (The Law of Cosine )

ในรปู สามเหล่ยี ม ABCใดๆ ถ้า a , b, c เปน็ ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ A, Bและ C ตามลำดบั
1. a2 = b2 + c2 – 2bccosA
b2 = a2 + c2 – 2accosB

c2 = a2 + b2 – 2abcosC
b2 +c2 −a2
2. cosA = 2bc

cosB = a2 +c2 −b2
2ac
a2 +b2 −c2
cos C = 2ab

กฎของไซน์(The Law of Sine )

ในรูปสามเหลย่ี ม ABC ใดๆ ถา้ a , b, c เป็นความยาวของดา้ นตรงข้ามมมุ A , B และ C ตามลำดับ
sin A sin B sin C
1. a = b = c

2. พน้ื ท่รี ปู สามเหลีย่ ม ABC = 1 ab sinC = 1 bc sinA = 1 ac sinB
2 2 2

ตัวอยา่ งท่ี 1 กำหนดให้รปู สามเหล่ียม ABC มี ด้านตรงขา้ มมุม A ยาว a หน่วย ด้านตรงขา้ มมมุ B ยาว b หนว่ ย

และ ด้านตรงขา้ มมมุ C ยาว c หนว่ ย

1. กำหนด a = 3 , c = 5 และ B = 120o จงหา b

2. กำหนด b = 3 +1 , c = 2 และ A = 30o จงหา b, B, C

3. กำหนด a = 7 , b = 5 และ c = 8 จงหามมุ A

4. กำหนด a = 15, b = 7 และ c = 13 จงหามุม C

386TRIGONOMETRY
BANANA MATH

2. รูปสเ่ี หล่ียมดา้ นขนานรูปหน่ึง มขี นาดของมมุ ๆหนึง่ เป็น 60o ดา้ นประกอบมมุ นี้ยาว 5 และ 10 เซนตเิ มตร

จงหาความยาวของเสน้ ทแยงมมุ เสน้ ทสี่ ัน้ ทส่ี ดุ

3. กำหนดให้ ABC เปน็ รูปสามเหล่ยี มหน้าจว่ั ซง่ึ มี BC เป็นด้านฐาน และยาว 6 3 น้ิว ถา้ มุม BAC เท่ากบั

120o จงหา AB + AC

4. กำหนดใหร้ ปู สามเหล่ยี ม ABC มีด้านตรงขา้ มมุม A, B และ C ยาว a,b และ c หนว่ ย ตามลำดบั

ถ้า ( a + b +c)(a + b – c) = 3ab จงหา C

5. กำหนดใหร้ ปู สามเหลยี่ ม ABC มดี า้ นตรงขา้ มมุม A, B และ C ยาว a, b และ c หน่วย ตามลำดบั

ถา้ a4 – 2(b2 + c2)a2 + b2c2 + c4 = 0 จงหา A

387TRIGONOMETRY
BANANA MATH

6. กำหนดใหร้ ูปสามเหลย่ี ม ABC มีด้านตรงขา้ มมุม A, B และ C ยาว a, b และ c หนว่ ย ตามลำดบั ถา้
1 1 3
a + b + b + c = a + b + c จงหา B

แบบฝกึ หดั

1. 1+ cos   +  arccos 4 − arctan 4   เทา่ กบั เท่าใด
 2  5 3  
 

2. sin  2 arctan 1  + cot 2  arcsin 1  เทา่ กบั เท่าใด
 2   3 

3. ถา้ (sin + cos )2 = 3 , 0     แลว้ arccos(tan 3 ) มคี า่ เท่าใด

24

388TRIGONOMETRY
BANANA MATH

4. ค่าของ cos [arcsin ( − 2 )] + cos [arcos ( − 1 )] มีคา่ เท่ากบั
2 2

5. จงหาคา่ ของ sin (arccos 3 + arcsin (− 3 ))
5 5

cot2 13  7 
4  2 
( )6.
จงหาคา่ ของ − sin − 2arctan 1− 2

7. sec(2arcsin 1 ) มคี า่ เทา่ ใด

3

389TRIGONOMETRY
BANANA MATH

8. จงหาคา่ ของ arctan 1 + arctan 1 + arctan 1
8 5 2

9. จงหาค่าของ arcsin 1 + arctan 1 + arccos 7 + arctan 1
10 5 8
5 2

10. sec  1 (arcsin 3 + arccos 53) + tan 12 (arcsin 3 + arccos 4 ) มคี ่าเทา่ ใด
 2 5 5 5

11. sin (2arctan 1 ) + cot2 (arcsin 1 ) มคี า่ เทา่ ใด

23

390TRIGONOMETRY
BANANA MATH

12. จำนวนคำตอบท่แี ตกตา่ งกันของสมการ arcsin x = 2arccos x มีทัง้ หมดก่คี ่า

13. ถ้า arcsin (5x) + arcsin ( x) =  แลว้ ค่าของ tan (arcsin x) เท่ากบั เทา่ ใด

2

14. จงหาคำตอบของสมการ arctan (1 + x) + arctan (1 – x) = 

4

15. ถ้า f(x) = sin x และ g(x) = arcsin 2x + 2arcsin x แลว้ คา่ ของ (fog)( 1 ) คือเท่าใด

3

16. จงหาคำตอบของ arccos x + 2arc sec 1 = 
x 4

391TRIGONOMETRY
BANANA MATH

( )17. จงหาคำตอบของสมการ arccos ( )( )sin  + arccos x2 − 0.5 = 

18. กำหนด arctan ( 1 ) – arcsin ( 4 ) + x =  คา่ ของ tan x เป็นเท่าใด
7 5 2

19. ถา้ arccos x – arcsin x =  แลว้ arccos x – arctan 2x มคี ่าใด

6

392TRIGONOMETRY
BANANA MATH

20. ถา้ a และ b เปน็ คำตอบของสมการ sin (2arcsin x) = x โดยที่ a  b  0 แล้ว sin arctan (ab)
เทา่ กับเทา่ ใด

21. ถา้ arctan x = arctan 1 – 2arctan 1 แลว้ sin( + arctan x) มีคา่ เทา่ ใด

42

22. กำหนด f(x) =  x + 7  เม่อื -3  x ≤ 3 และ f(x+6) = f(x) ทกุ x R

 24 

ถา้ g(x) = A + arcsin x โดยที่ A [0 , ] และ cos A = 2 จงหาคา่ ของ (g- 1 o f)(5)

5

23. ถ้า ABC เป็นสามเหลยี่ มมมุ ฉาก ซ่ึงมี A เป็นมมุ ฉาก และ tan B = 3

4

จงหาค่าของ sec C cot B cosec A

393TRIGONOMETRY
BANANA MATH

24. กำหนดให้ ABC เปน็ สามเหลี่ยมซง่ึ มดี า้ น BC ยาว 3 หนว่ ย ด้าน AC ยาว 2 หน่วย ถา้ มมุ

B = arctan  1 แลว้ ค่าของ sin ( A + B) + sin ( A − B) เทา่ กบั เทา่ ใด
 3 

25. กำหนดให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมซึง่ มีดา้ น BC, CA และ AB ยาว a, b และ c หน่วยตามลำดับ
ถ้า (a + b + c)(a – b – c) = –3bc และ 4a2 = 6b2 แล้ว 1 + 2sin2(3A – 2B) เทา่ กบั เทา่ ใด

26. สามเหลี่ยมรปู หนง่ึ มพี ื้นทีเ่ ทา่ กับ 450 3 ตารางนิ้ว มมี ุมหน่ึงเทา่ กับ 60o และดา้ นตรงขา้ มมมุ นยี้ าว
30 3 นิ้ว จงหาความยาวของดา้ นท่ีส้นั ทสี่ ดุ ของสามเหล่ยี มน้ี

27. กำหนดให้ ABC เป็นสามเหลย่ี มซ่ึงมีด้าน BC, CA และ AB ยาว a, b และ c หนว่ ยตามลำดบั ถา้
cos B = 1 และ (a + b + c)(a – b + c) = 30 แลว้ ac มคี ่เท่าใด

4

394TRIGONOMETRY
BANANA MATH

28. รูปสีเ่ หล่ียมดา้ นขนานรปู หน่งึ มีมมุ มมุ หนงึ่ = 120o ถา้ ด้านประกอบมมุ นีย้ าว 5 และ 10 เซนตเิ มตร
แล้วเสน้ ทแยงมมุ เส้นส้นั จะยาวเทา่ ใด

29. ในรปู สามเหลีย่ ม ABC ถา้ B :C =1:2 และ b = 25 หนว่ ย และ sin A= 117 แลว้ sin B มคี ่า
125
เท่าใด

30. กำหนดให้ ABC เปน็ รปู สามเหล่ียม a, b, c เปน็ ดา้ นท่อี ยตู่ รงข้ามมมุ A มมุ B และ มมุ C ตามลำดบั

ถา้ a = 3 + 1 หนว่ ย, b = 6 หน่วย และ c = 2 หนว่ ย จงหาคา่ ของ tan A + tan B – tan

A tan B

395TRIGONOMETRY
BANANA MATH

31. ในรูปสามเหลี่ยม ABC ถ้า A = 30o ดา้ น BC ยาว 2 cm. และด้าน AC ยาว 3 cm. แล้ว 4sin 3B มคี ่า
เท่าใด

32. กำหนดให้ ABC เปน็ รูปสามเหล่ียม ซง่ึ มี ACB =60o ลากเส้นตรงจากจดุ A ไบพบดา้ น BC ท่จี ุด D
โดยทำให้ BAD = 30o ถา้ ระยะ BD ยาว 3 หน่วย และระยะ AD ยาว 2 หน่วย แล้วระยะ CD ยาว
เทา่ ใด

33. กำหนดให้ ABC เปน็ สามเหลยี่ มซ่ึงมีดา้ น AB ยาว 2 หน่วย ถ้า BC3 + AC3 = 2BC + 2AC แลว้
cot C มคี ่าเท่ากบั เทา่ ใด

34. มุมเงยของยอดเขาแห่งหน่ึงเปน็ 45o ถ้าเดินเขา้ ไปหายอดเขา ซ่งึ ทางทเี่ ดนิ เอียงทำมมุ 15o กบั แนวราบ
เป็นระยะทาง 500 เมตร แล้วมองไปยงั ยอดเขาอกี ครง้ั พบวา่ มุมเงยเป็น 75o จงหาความสงู ของยอด
เขาจากพืน้ ราบ

396TRIGONOMETRY
BANANA MATH

35. นายดำอยู่ทางทิศตะวันออกของตกึ มองเห็นยอดตกึ เปน็ มมุ เงย 45o จากจุดนเ้ี ขาเดินไปทางทศิ ใตเ้ ป็น
ระยะ 200 เมตร จะมองเหน็ ยอดตึกที่ตำแหน่งเดิมเป็นมมุ เงย 30o จงหาความสูงของตึก

36. จากตึกซง่ึ สงู จากพื้นดิน 150 เมตร มองเห็นรถยนต์คันหนึ่งอยู่ทางทศิ เหนือเปน็ มมุ 30o และมอง เหน็
รถยนตอ์ ีกคนั หนงึ่ อยู่ทางทศิ ตะวนั ออกเปน็ มมุ 45o จงหาระยะห่างระหว่างรถยนต์ท้งั สองคัน

37. นายดำยนื บนสนาม มองเห็นยอดเสาธงเปน็ มมุ เงย 60o แตเ่ มือ่ เขาเดินเขาไปหาเสาธงอกี 20 เมตร เขามองเหน็
ยอดเสาธงเป็นมมุ เงย 75o ในขณะทเี่ ขามองเห็นยอดเสาธงเปน็ มมุ เงย 60o เขาอยู่หา่ งจากเสาธงเทา่ ใด

38. ถ้าสามเหลยี่ ม ABC มมี ุม BAC = 45o มุม ACB = 60o และดา้ น AC ยาว 20 นว้ิ แลว้ พื้นทขี่ อง
สามเหลี่ยม ABC มีคา่ เทา่ ใด

จำนวนเชิงซอ้ น (Complex numbers)

บทนิยาม จำนวนเชงิ ซอ้ น คอื จำนวนทเี่ ขยี นในรูปของค่อู นั ดับ (a, b) โดยท่ี a และ b เปน็ จำนวนจริงใดๆ
จำนวนจรงิ a เรียกว่า ส่วนจรงิ (real part) และ จำนวนจรงิ b เรยี กวา่ สว่ นจนิ ตภาพ (imaginary

part)
หมายเหตุ

1. นยิ มใช้ C แทนเซตของจำนวนเชิงซ้อน น่ันคอื C = {(a, b) | a  R และ B  R}
2. ถ้าให้ Z = (a, b) เปน็ จำนวนเชงิ ซอ้ นแลว้ ส่วนจรงิ และส่วนจินตภาพของ Z จะเขียน

แทนด้วยสญั ลกั ษณ์ดังนี้ a = Re (Z) หรือ Re(a, b) และ b = Im (Z) หรอื Im(a, b)
3. จะเหน็ ไดว้ า่ จำนวนจรงิ คือ จำนวนเชงิ ซ้อนท่ีมสี ว่ นจินตภาพเท่ากบั 0 ซึ่งหมายความวา่ เซตของจำนวน
จรงิ เป็นสบั เซตของจำนวนเชงิ ซ้อน และจำนวนเชิงซ้อนทม่ี ีสว่ นจรงิ เป็นศนู ย์ แต่ส่วนจนิ ตภาพไมเ่ ปน็ ศนู ย์
เรียกว่าจำนวนจนิ ตภาพแท้ (purely imaginary number)

การเท่ากัน การบวก และการคณู ของจำนวนเชิงซอ้ น

บทนิยาม เมื่อ (a, b) และ (c, d) เป็นจำนวนเชิงซอ้ นสองจำนวน

1. การเทา่ กัน (a, b) = (c, d) ก็ตอ่ เมอื่ a = c และ b = d

2. การบวก (a, b) + (c, d) = (a + c , b + d)

3. การคูณ (a, b) (c, d) = (ac – bd, ad + bc)

สมบตั ิของการบวก และการคณู ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

กำหนดให้ Z1, Z2, Z3 เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ

สมบัติ การบวก การคูณ

ปดิ Z1 + Z2 เปน็ จำนวนเชิงซ้อน Z1Z2 เป็นจำนวนเชิงซอ้ น

การเปลย่ี นกลมุ่ (Z1+Z2) + Z3 = Z1 + (Z2+Z3) (Z1Z2)Z3 = Z1(Z2Z3)

การสลบั ที่ Z1 + Z2 = Z2 + Z1 Z1Z2 = Z2Z1

การมเี อกลักษณ์ มีจำนวนเชงิ ซอ้ น (0, 0) ซงึ่ มจี ำนวนเชงิ ซอ้ น (1, 0) ซง่ึ

(0, 0) + Z1 = Z1 + (0, 0) = Z1 (1, 0) Z1 = Z1(1, 0) = Z1

การมีอนิ เวอรส์ มีจำนวนเชิงซอ้ น –Z1 ซ่งึ ถา้ Z1  (0, 0) แลว้ จะมีจำนวนเชงิ ซอ้ น
การตัดออก Z1 + (–Z1) = (–Z1) + Z1 = (0, 0) Z1−1 ซ่งึ Z1Z1−1 = Z1−1Z1 = (1, 0)
ถา้ Z1−1  (0, 0) แลว้ Z1Z2 = Z1Z3
ถา้ Z1 + Z2 = Z1 + Z3 หรอื Z2+ Z1 = Z3 หรือ
+ Z1 แลว้ Z2 = Z3

Z2Z1 = Z3Z1 แล้ว Z2 = Z3

การแจกแจง Z1(Z2+Z3) = Z1Z2 + Z1Z3 (Z1+Z2)Z3 = Z1Z3 + Z2Z3

หมายเหตุ 1. ถ้า Z = (a, b) แล้ว อนิ เวอรส์ ของการบวกของ Z คอื (–a, –b)

2. ถา้ Z = (a, b) และ Z  (0, 0) แลว้ อนิ เวอร์สของการคณู ของ Z คือ =
( )a −b
, a2 +b2
a2 +b2