MATH4609_Mathematics for teachers II

7. (y + 4)2 = – 8(x – 3) 199
วิธีทำ ภาพท่ี 2.3.18
ภาพท่ี 2.3.19
v(3, –4) ภาพที่ 2.3.20

c = −2 พาราโบลาตะแคงซ้าย
F (1, −4 )

สมการ directrix x = 5
ความยาว Latus Rectum: 8
ดงั ภาพที่ 2.3.18

8. (y –1)2 = 6(x + 4)

วธิ ที ำ

v(–4, 1)

c = 3 พาราโบลาตะแคงขวา
2

( )F−2 1 ,1
2

สมการ directrix x = −5 1
2

ความยาว Latus Rectum: 6

ดงั ภาพที่ 2.3.19

9. y2 – 6y + 4x + 1 = 0

วิธีทำ

จัดรูปสมการใหมไ่ ด้ดังนี้
y2 – 6y + 9 = – 4x – 1 + 9
(y – 3)2 = – 4(x – 2)
v(2, 3)
c = −1 พาราโบลาตะแคงซ้าย
F (1, 3 )
สมการ directrix x = 3
ความยาว Latus Rectum: 4

ดงั ภาพท่ี 2.3.20

200

10. x2 – 2x – 4y + 9 = 0 ภาพท่ี 2.3.21
วธิ ที ำ
จดั รูปสมการใหม่ไดด้ ังน้ี

x2 – 2x +1 = 4y – 9 +1
(x – 1)2 = – 4(y – 2)

v(1, 2)
c = −1 พาราโบลาคว่ำ
F (1,1)

สมการ directrix y = 3

ความยาว Latus Rectum: 4

ดงั ภาพที่ 2.3.21

ตวั อย่างท่ี 2.3.2 หาสมการพาราโบลา มเี สน้ ไดเรกตริก x = –2 จดุ โฟกสั (2, 0)

วธิ ีทำ

ระยะหา่ งระหว่างเสน้ ไดเรกตรกิ กบั จดุ โฟกสั เท่ากบั 2c

และจากจุดโฟกัสอยทู่ างขวาของเส้นไดเรกตรกิ

ดงั นน้ั c = 2

จุดยอดคอื จุดกงึ่ กลางระหว่างไดเรกตริก และ จดุ โฟกสั

ดังน้ัน v(0, 0)

ดงั น้ัน สมการพาราโบลา มีเส้นไดเรกตริก x = –2 จดุ โฟกสั (2, 0) ภาพที่ 2.3.22
คือ y2 = 8x ดงั ภาพท่ี 2.3.22

ตวั อย่างท่ี 2.3.3 หาสมการพาราโบลา มจี ุดยอด (0, 0) จดุ โฟกัส (0, 3)
วิธีทำ
ระยะห่างระหวา่ งจุดยอดและจุดโฟกสั เท่ากบั c

และจากจุดโฟกสั อยู่ด้านบนบนจดุ ยอด

จะได้ c = 3 ภาพท่ี 2.3.23
ดงั นั้น สมการพาราโบลา มีจุดยอด (0, 0) จุดโฟกัส (0, 3)

คอื x2 = 12y ดังภาพที่ 2.3.23

ตวั อย่างที่ 2.3.4 หาสมการพาราโบลา มจี ุดยอด (0, 0) เสน้ ไดเรกตรกิ ผา่ นจดุ (–3, 3) มีแกน x เปน็
แกนสมมาตร
วิธีทำ

201

พาราโบลา v (0, 0) มแี กน x เปน็ แกนสมมาตร
ดังนน้ั สมการ x2 =4cy

และจากจุดยอดอยทู่ างขวามือของไดเรกตริก ภาพที่ 2.3.24
จะได้ c = 3
ดังน้ันสมการพาราโบลา มีจุดยอด (0, 0)
เสน้ ไดเรกตริกผ่านจดุ (3, – 3) มแี กน x เปน็ แกนสมมาตร

คือ y2 = 12x ดังภาพที่ 2.3.24

ตัวอย่างที่ 2.3.5 หาสมการพาราโบลา จดุ ยอดอยทู่ ่ี (1, 4), F (–3, 4) แกนพาราโบลาขนานแกน x
วธิ ที ำ

พาราโบลา v (1, 4) และ F (–3, 4)

ระยะห่างระหว่างจุดยอดและจดุ โฟกัสเท่ากบั c

และจากจุดโฟกสั อยู่ด้านซ้ายของจดุ ยอด

ดังนัน้ c = – 4

ดังนนั้ สมการคือ (y − 4)2 =−16(x −1)

และมรี ูปทวั่ ไปคอื y2 − 8y +16x =0 ภาพที่ 2.3.25

ดงั ภาพท่ี 2.3.25

ตวั อย่างที่ 2.3.6 หาสมการพาราโบลาทีม่ ีจดุ A(–3, 1) และ B(5 ,1) เปน็ จดุ ปลายของเส้น LR

วิธีทำ

จากสมการพาราโบลามีจุด A(–3, 1) และ B(5 ,1) เป็นจุดปลาย

ของเส้น LR จดุ โฟกัสคือจุดก่ึงกลางของจดุ ปลายของเสน้ LR และ

ความยาวของเสน้ LR เท่ากบั 4c

ดังนั้น พาราโบลาขนานแกน y จดุ โฟกสั F(1,1) และ c = 2,−2 ภาพที่ 2.3.26
ถา้ c = 2 จะได้จดุ ยอด V(1,−1) สมการคือ

(x−1)2 =8(y +1) และมีรปู ทั่วไปคอื x2 − 2x − 8y − 7=0
ถ้า c = −2 จะไดจ้ ดุ ยอด V(1,3) สมการคือ

(x−1)2 =−8(y − 3) และมรี ปู ท่ัวไปคอื x2 − 2x + 8y − 23=0

ดงั นน้ั สมการพาราโบลาทมี่ จี ดุ A(–3, 1) และ B(5 ,1) เปน็ จดุ ปลายของเส้น LR คือ
x2 − 2x − 8y − 7=0 และ x2 − 2x + 8y − 23=0 ดงั ภาพที่ 2.3.26

202

ตัวอย่างที่ 2.3.7 หาสมการพาราโบลา จุดโฟกสั อยูท่ ่ี (2, 3) และเส้นตรง y− 5 = 0 เป็นเสน้ ได

เรกตริก
วธิ ที ำ

ระยะห่างระหว่างเส้นไดเรกตริกกบั จุดโฟกสั เท่ากบั 2c

และจากจดุ โฟกสั อยใู่ ตเ้ สน้ ไดเรกตรกิ

ดงั น้ัน c = – 1

จุดยอดคอื จุดกง่ึ กลางระหว่างเสน้ ไดเรกตรกิ และโฟกสั

ดงั นั้นจุดยอดของพาราโบลาคือ v (2, 4) ภาพที่ 2.3.27
ดังนนั้ สมการคอื (x − 2)2 =− 4(y − 4)

และมรี ูปท่วั ไปคอื x2 − 4x + 4y −12=0 ดงั ภาพที่ 2.3.27

ตัวอยา่ งท่ี 2.3.8 หาสมการพาราโบลา จดุ โฟกสั อยทู่ ่ี (2, 1) เสน้ ตรง x = 2 เป็นแกนพาราโบลา
และ จุดยอดอยบู่ นเสน้ ตรง 3x + 7y +1 = 0

วธิ ที ำ

ไดเรกตรกิ ขนานกบั แกน x

ดงั นน้ั แกนพาราโบลาขนานแกน y

และจากจุดโฟกสั F(2, 1)

จะไดแ้ กนพาราโบลาคอื x = 2 ภาพท่ี 2.3.28
จากกำหนดจดุ ยอดอยบู่ นเสน้ ตรง 3x + 7y +1 = 0

ดงั นั้นจุดยอดของพาราโบลาหาไดจ้ าก

จุดตัดของเสน้ ตรง x = 2 และ 3x + 7y +1 = 0 จะไดจ้ ุดยอดคอื (2, – 1)

ระยะระหวา่ งจุดยอดและจุดโฟกัสคอื c และจากจดุ โฟกสั อยบู่ นจุดยอด จะได้ c = 2

ดังนน้ั สมการคือ (x − 2)2 =8( y +1) มรี ปู ทั่วไปคือ x2 − 4 x − 8y − 4 =0 ดงั ภาพท่ี 2.3.28

ตัวอย่างท่ี 2.3.9 หาสมการพาราโบลาแกนพาราโบลาขนานแกน x จุดโฟกสั อยบู่ นเสน้ ตรง x + y = 1
จุดยอด (2, 1)
วิธีทำ
แกนพาราโบลาขนานแกน x และจากจุดยอด V(2, 1)

จะไดแ้ กนพาราโบลาคอื y = 1

จากกำหนดจุดโฟกสั อยบู่ นเส้นตรง x + y = 1

203

ดงั นนั้ จุดโฟกสั ของพาราโบลา ภาพที่ 2.3.29
คอื จดุ ตดั ของเสน้ ตรง y = 1และ x + y = 1
จะไดจ้ ุดโฟกสั คอื (0, 1)
ระยะระหว่างจดุ ยอดและจุดโฟกัสคอื c

และจากจดุ โฟกสั อย่ดู ้านซ้ายของจดุ ยอด จะได้ c = −2
ดังนั้นสมการคือ (y −1)2 =− 8(x − 2)
และมรี ปู ท่วั ไปคือ y2 + 8x − 2y +1=0 ดังภาพท่ี 2.3.29

ตัวอย่างที่ 2.3.10 หาสมการพาราโบลา จุดยอดอยบู่ นเสน้ ตรง y = x −1 มีเสน้ ตรง y = 1 เป็น

แกนของพาราโบลา และเสน้ ตรง x = −1เปน็ เสน้ LR
วิธที ำ
จากพาราโบลาจดุ ยอดอยบู่ นเสน้ ตรง y = x −1 มเี สน้ ตรง y = 1

เป็นแกนของพาราโบลา
จะได้ จุดยอดพาราโบลาคือจุดตัดของเสน้ y = x −1 และ y = 1

ดังนั้น V (2,1) ภาพที่ 2.3.30
จากเสน้ ตรง x = −1เปน็ เส้น LR และเส้นตรง y = 1 เปน็ แกนของ

พาราโบลา
จะได้ จดุ โฟกสั พาราโบลาคอื จดุ ตัดของเสน้ x = −1และ y = 1 ดงั นน้ั F(−2,1)

จาก V (2,1) และ F(−2,1) จะได้พาราโบลาแนวนอน จดุ โฟกสั อยู่ทางซ้ายของจดุ ยอด และมี

ระยะห่างเทา่ กับ 4 ( C = −4 )

มสี มการคอื (x − 2) = −16(y −1)2 และมรี ูปทว่ั ไปคอื 16y2 − 32y + x +14 = 0

ตัวอย่างที่ 2.3.11 หาสมการพาราโบลา ที่มีแกนพาราโบลาขนานแกน y และผ่านจุด (–3, –1),

(3, 2) และ (7, –6)

วิธีทำ

แกนพาราโบลาขนานแกน y สมการในรูปทั่วไป คือ

x2 + ax + by + c = 0

จากกราฟผา่ นจุด (–3, –1) ------(1)

จะได้ 9− 3a − b + c = 0

จากกราฟผ่านจุด (3, 2) ภาพที่ 2.3.31

204

จะได้ 9+ 3a + 2b + c = 0 -----(2)

จากกราฟผ่านจดุ (7, –6)

จะได้ 49+ 7a − 6b + c = 0 -----(3)
แก้สมการหาค่า a, b และ c
จะได้ a = − 2, b = 4 และ c =−11

ดงั น้ันสมการพาราโบลาทม่ี ีแกนพาราโบลาขนานแกน y และผ่านจดุ (–3, –1) ,(3, 2) และ (7, –6)
คือ x2 − 2x + 4 y −11 = 0 ดงั ภาพท่ี 2.3.31

ตัวอยา่ งท่ี 2.3.12 พาราโบลามจี ดุ ยอดอยทู่ ่ี (1, 0) และมจี ดุ กำเนดิ เปน็ โฟกสั ถ้าเส้นตรง y = − x

ตดั พาราโบลาทจี่ ดุ P และ Q แล้ว ระยะทางระหว่างจุด P กบั จดุ Q เท่ากบั เท่าใด

วธิ ีทำ

จากพาราโบลามีจุดยอดอยูท่ ี่ (1, 0) และมจี ดุ กำเนิดเปน็ โฟกัส

จะได้พาราโบลาตะแคงซา้ ย c = −1

ดังนนั้ สมการพาราโบลาคอื y2 = 4(−1)( x −1) ,

y2 = −4 x + 4

หาจุดตัดกนั ของเสน้ ตรง y = − x และพาราโบลา ภาพท่ี 2.3.32
โดยแก้ระบบสมาการ

y = −x ---(1)

y2 = −4 x + 4 ---(2)

(จะไดจ้ ุดตดั คอื P −2 − 2 2,2 + 2 2 )และ Q(−2 + 2 2,2 −2 2 )

ดังนน้ั ระยะหา่ งระหว่าจดุ P และ Q คอื

((−2 −2 2)−(−2 +2 2))2 +((2 +2 2)−(2 −2 2))2

= (4 2)2 +(4 2)2

= 8 หนว่ ย ดังภาพที่ 2.3.32

205

ตัวอย่างที่ 2.3.13 ถ้าเส้นตรงหนง่ึ ผ่านจดุ กำเนดิ และจดุ ยอดของพาราโบา y2 − 6y + 4x +17 = 0
และ ตดั เส้นไดเรกตริกซท์ จ่ี ดุ (a, b) แลว้ a + b มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด
วิธีทำ
จากสมการพาราโบลา y2 − 6y + 4x +17 = 0

จัดรูปใหม่ไดเ้ ปน็ ( y − 3)2 = −4( x + 2)
จะได้พาราโบลาตะแคงซา้ ยจดุ ยอด V (−2,3),c = −1

และ สมการไดเรกตรกิ ซ์คือ x = −1

สมการเส้นตรงผ่านจุด (0,0) และ (−2,3)

คือ y − 0 = 3−0 ( x − 0) , ภาพท่ี 2.3.33
−2 − 0

y =− 3 x
2

( )ดังน้นั จุดตดั ของเส้นตรง y=− 3 x −1, 3
2 และ x = −1 คือ 2 = (−1,1.5)

ดังภาพที่ 2.3.33

ตัวอยา่ งที่ 2.3.14 ให้ C เป็นวงกลม x2 + y2 + 4x − 2y − 20 = 0 จดุ ศูนย์กลางอยู่ท่ี (h, k) และมี

รัศมี r จงหาสมการพาราโบลาซง่ึ มี (h, k) เป็นจดุ ยอด และ x = r เปน็ สมการไดเรกตริกซ์
วิธที ำ
จากสมการวงกลม x2 + y2 + 4x − 2y − 20 = 0

จัดรปู ใหมไ่ ด้เป็น ( x + 2)2 + ( y −1)2 = 25
จะไดว้ งกลมศนู ย์กลางอยูท่ ี่ (−2,1) และมรี ศั มี 5

จากพาราโบลามีจุดยอดท่ีจุดศูนยก์ ลางวงกลม

และ x = r เป็นสมการไดเรกตริกซ์

ดังนนั้ พาราโบลามจี ุดยอด V(−2,1) และ x = 5 เปน็ สมการ ภาพท่ี 2.3.34

ไดเรกตรกิ ซ์ จะได้ c = −7 และเป็นพาราโบลาตะแคงซ้าย

ดงั นั้นสมการพาราโบลามจี ดุ ยอด V(−2,1) และ x = 5 เปน็ สมการไดเรกตริกซ์ คือ

( y −1)2 = −28( x + 2) มีรูปแบบทวั่ ไปคือ y2 − 2y + 28x + 57 = 0 ดังภาพท่ี 2.3.34

206

ตวั อย่างท่ี 2.3.15 กำหนดใหพ้ าราโบลา x2 − 4x − 8y − 4 = 0 จงหาสมการวงกลมซง่ึ มีจดุ

ศูนยก์ ลางอยทู่ จ่ี ดุ โฟกสั ของพาราโบลาและมีเสน้ ไดเรกตรกิ ซเ์ ปน็ เสน้ สมั ผัส

วิธที ำ

จากสมการพาราโบลา x2 − 4x − 8y − 4 = 0

จัดรปู ใหม่ไดเ้ ป็น ( x − 2)2 = 8( y +1)

จะได้พาราโบลาหงายจุดยอด v(2,−1), c = 2,F(2,1)

และ สมการไดเรกตรกิ ซค์ ือ y = −3 ภาพที่ 2.3.35

จากวงกลมซงึ่ มจี ุดศูนยก์ ลางอย่ทู จี่ ุดโฟกสั ของพาราโบลาและมเี ส้น
ไดเรกตรกิ ซเ์ ปน็ เสน้ สมั ผัส

น้ันคอื วงกลมจดุ ศนู ยก์ ลาง(2,1) และ y = −3 เป็นเส้นสมั ผสั

จะได้ r = 4

ดังน้นั สมการวงกลมมีจดุ ศูนยก์ ลางอยทู่ ่จี ดุ โฟกสั ของพาราโบลาและมเี ส้นไดเรกตรกิ ซเ์ ป็นเสน้ สมั ผัส
คอื ( x − 2)2 + ( y −1)2 = 16

เขยี นในรปู แบบท่ัวไปได้เป็น x2 + y2 − 4x − 2y −11 = 0 ดงั ภาพที่ 2.3.35

ตวั อยา่ งท่ี 2.3.16 ให้เสน้ ตรง y = x + 1 ตดั กบั วงกลม x2 + y2 + 2x − 7 = 0 ทจี่ ดุ A และจุด

B จงหาสมการพาราโบลาซ่ึงมเี สน้ ตรง y = 1 เปน็ แกนของพาราโบลาและผา่ นจุด A และ B

วธิ ที ำ

แก้สมการหาจดุ ตดั ของเสน้ ตรง y = x + 1 และ วงกลม

x2 + y2 +2x −7 = 0

จะได้จดุ ตดั คือ A (1,2) และ B (−3, −2)

จากสมการพาราโบลาซ่งึ มเี สน้ ตรง y = 1 เป็นแกนของพาราโบลา

จะได้พาราโบลาแนวนอนและมจี ดุ ยอด v(h,1) ภาพที่ 2.3.36
พาราโบลามสี มการอยู่ในรปู ( y −1)2 = 4c ( x − h)

จากพาราโบลาผา่ นจุด A (1,2) และ B (−3, −2)

จะได้ 1 = 4c (1 − h) ---(1)

และ 9 = 4c (−3 − h) ---(2)

207

แกร้ ะบบสมการจะได้ c = − 1 และ h= 3
2 2

( )ดงั นนั้ สมการพาราโบลาคือ ( y −1)2 = −2 x − 3 เขยี นในรปู แบบท่ัวไปได้เปน็
2

y2 − 2y + 2x − 2 = 0 ดงั ภาพที่ 2.3.36

ตัวอย่างที่ 2.3.17 เสาสองตน้ สงู 8 เมตรเท่ากนั ปกั ตรงอยู่หา่ งกัน 12 เมตร ขึงเชือกไวร้ ะหว่างยอด
เสาเชอื กห้อยลงมาเป็นแนวโคง้ รปู พาราโบลา จุดต่ำสดุ ของเสน้ เชือกอยสู่ งู ขึน้ จากพนื้ ดนิ 2 เมตร ณ.
จุดหน่งึ บนเสน้ เชือกห่างจากเสาตน้ แรก 2 เมตร จะอยจู่ ากพนื้ ดนิ ทา่ ใด

วธิ ที ำ

กำหนดจุดตำ่ สุดของเชอื กท่อี ยหู่ า่ งจากพน้ื ดนิ 2 เมตร เปน็ จดุ ยอด
พาราโบลาทจ่ี ดุ (0,0) ดังภาพที่ 2.3.36

พาราโบลาหงายจุดยอดท่ี (0,0) สมการอยู่ในรปู x2 = 4cy

จากเสาสองต้นสูง 8 เมตรเท่ากัน ปกั ตรงอยู่ห่างกัน 12 เมตร ภาพท่ี 2.3.37
จะไดว้ า่ พาราโบลาผ่านจุด (−6,8) และ (6,8)

แทนค่าใน x2 = 4cy

จะได้ 62 = 4c(8) ;c = 9
8

ดังน้นั สมการพาราโบลาคอื x2 = 9 y
2

ณ. จุดหนึ่งบนเสน้ เชอื กหา่ งจากเสาตน้ แรก 2 เมตร จะไดค้ ่า x = −4 แทนค่าใน x2 = 9 y
2

จะได้ y = 32 จากจดุ ยอดและพ้นื ดินห่าง 2 เมตร จะได้เชือกห่างจากพนื้ ดนิ เท่ากบั y = 50
9 9

ดังภาพท่ี 2.3.37

208

แบบฝกึ หดั ท่ี 2.3

1. จงหาจดุ ยอด จุดโฟกัส สมการไดเรกตริกซ์ และ ความยาว LR
1) x2 − 8y =0

2) y2 +12y =0

3) x2 − 6x − 8y − 31=0

4) y2 − 2x + 4y + 2=0
5) 2y2 − 4x + 4y + 3=0
6) 4x2 + 4x +16y − 7=0
2. หาสมการพาราโบลา มีเส้นไดเรกตรกิ x = 3 จดุ โฟกสั (–3, 0)
3. หาสมการพาราโบลา มเี ส้นไดเรกตรกิ y = – 3 จุดโฟกสั (0, 3)
4. หาสมการพาราโบลา มีจุดยอด (0, 0) จดุ โฟกสั (0, –2)
5. หาสมการพาราโบลา มีจุดยอด (0, 0) จุดโฟกสั (–4, 0)
6. หาสมการพาราโบลา มีจดุ ยอด (0, 0) เสน้ ไดเรกตริกผ่านจุด (–3, –2) มแี กน x เป็นแกนสมมาตร
7. หาสมการพาราโบลา จดุ ยอดอยู่ทจี่ ดุ กำเนดิ ความกวา้ งของพาราโบลา ณ. จุดโฟกสั เท่ากบั 8 และ
กราฟมลี กั ษณะเปิดทางซ้าย
8. หาสมการพาราโบลา จดุ ยอดอยทู่ ่ี (3, 4), F(1, 4) แกนพาราโบล่าขนานแกน x
9. หาสมการพาราโบลา จดุ ยอดอยู่ท่ี (–1, 4) และจุดโฟกัสท่ี (–1, 1)
10. หาสมการพาราโบลา จดุ โฟกสั อย่ทู ี่ (–5, 2) และมเี สน้ ตรง x = 1 เป็นเสน้ ไดเรกตรกิ
11. หาสมการพาราโบลา จุดยอดอยทู่ ี่ (2 ,3) แกนของพาราโบลาขนานแกน y และผา่ นจดุ (4, 5)
12. หาสมการพาราโบลา จุดยอดอยทู่ ่ี (– 1, 2) แกนของพาราโบลาขนานแกน x และผ่านจดุ (0, 4)
13. หาสมการพาราโบลา ที่มีจดุ A(2,5) B(2 , –3) เปน็ จดุ ปลายของเส้น LR
14. หาสมการพาราโบลา ทมี่ ีจุด (10 , – 4) (– 2 , – 4) เปน็ จดุ ปลาย LR มีสมการไดเรกตริก y = 2
15. หาสมการพาราโบลาแกนพาราโบลาขนานแกน x จุดโฟกสั อยบู่ นเสน้ ตรง x – y = 1 จุดยอด (3,0)
16. หาสมการพาราโบลาแกนพาราโบลาขนานแกน y จุดยอดอยู่บนเส้นตรง y – x = 2 จดุ โฟกสั (3,2)

209

17. หาสมการพาราโบลา จุดยอดอยู่บนเสน้ ตรง y = x + 2 มเี ส้นตรง y = 2 เป็นแกนของพาราโบลา
และเสน้ ตรง x = 2 เป็นเส้น LR

18. หาสมการพาราโบลา จุดยอดอยบู่ นเสน้ ตรง y = 2 − x มเี สน้ ตรง x = – 3 เปน็ แกนของ
พาราโบลา และเสน้ ตรง y = – 2 เป็นเสน้ LR

19. พาราโบลารปู หนง่ึ จุดโฟกสั อยู่ที่ (5, –1) จดุ ยอดอยูบ่ นเส้นตรง 2y – x = 0 เสน้ ไดเรกตรดิ ซ์ขนาน
กบั แกน x จงหาสมการเส้นไดเรกตริกซ์

20. พาราโบลารปู หนงึ่ จดุ โฟกสั อยูท่ ี่ (–1, 1) จุดยอดอยู่บนเสน้ ตรง x + 2y –2 = 0 แกนพาราโบลา
ขนานกับแกน x จงหาสมการเสน้ ไดเรกตรกิ ซ์

21. หาสมการพาราโบลา ท่มี ีแกนพาราโบลาขนานแกน x และผา่ นจุด (–2, 1) ,(1, 2) และ (–1 ,3)
22. หาสมการพาราโบลา ทม่ี แี กนพาราโบลาขนานแกน y และผา่ นจดุ (–1, 9) ,(0, 3) และ (2 ,3)
23. จงหาพื้นทข่ี องสามเหลีย่ มทีม่ จี ดุ มมุ ของสามเหล่ยี มเปน็ จดุ ปลายท้งั สองของLatus Rectum และ

จุดยอดของพาราโบลา y = 4x2 – 3
24. กำหนดให้ P คือพาราโบลา x2 + 8y + 2x + a = 0 โดยท่ี a < 0 และมเี สน้ ตรง y = 4 เปน็

ไดเรกตรกิ ซ์ ถา้ P ตัดแกน X ทางลบทจี่ ุด A แลว้ เส้นตรงทผ่ี ่านจดุ A และจดุ ยอดของ P มีความ
ชันเท่ากบั เท่าใด
25. กำหนดใหพ้ าราโบลารปู หนง่ึ มสี มการเป็น y2 – 4y – 16x – 12 = 0 ถ้า l เปน็ เสน้ ตรงทผี่ า่ นโฟกสั
ของพาราโบลารูปนี้ และตั้งฉากกับเสน้ ตรง 3x – 2y + 5 = 0 แลว้ ระยะตัดแกน Y ของเส้นตรง
l มคี า่ เท่ากบั เท่าใด
26. ให้ C เปน็ จดุ ตดั ของเส้นตรง x – 2y = 0 และเสน้ ไดเรกตรกิ ซ์ของพาราโบลา x2 =8y ระยะระหว่าง
จุด C และเส้นตรง 2x – y = 1 เทา่ กับเท่าใด
27. ให้ P(– 2, y) เป็นจุดบนพาราโบลา 4 x2 + 8x − y + 6 = 0 และ F เปน็ จดุ โฟกสั ของ
พาราโบลา หาระยะหา่ งระหว่างจดุ ยอดของพาราโบลาและเส้นตรงผ่านจุด P และ F
28. ระยะทางจากโฟกสั ของพาราโบลา y2 = – 8x ไปยงั เส้นตรง 2x + y = 6 เท่ากับเทา่ ใด
29. พาราโบลามจี ุดยอดอยทู่ ี่ (–1, 0) และมจี ุดกำเนิดเป็นโฟกสั ถา้ เสน้ ตรง y = x ตดั พาราโบลาทจ่ี ดุ
P และ Q แลว้ ระยะทางระหวา่ งจุด P กบั จดุ Q เท่ากับเทา่ ใด
30. ถ้าเส้นตรงหนง่ึ ผ่านจดุ กำเนิดและจุดยอดของพาราโบลา y2 – 4y + 4x = 0 และ ตดั เส้น
ไดเรกตรกิ ซท์ จ่ี ุด (a, b) แล้ว a + b มคี า่ เทา่ กบั เท่าใด
31. ให้ C เปน็ วงกลม x2 + y2 – 2x – 4y – 20 = 0 มจี ดุ ศูนยก์ ลางอยทู่ ี่ (h, k) และมรี ัศมี r สมการ
พาราโบลาซงึ่ มี (h, k) เป็นจดุ ยอด และ x = r เปน็ สมการไดเรกตรกิ ซ์ คอื

210

32. กำหนดให้ P เปน็ พาราโบลา y2 – 2y – 8x – 7 = 0 ซึง่ มี L เป็นเส้นไดเรกตรกิ ซ์ จงหาสมการ
วงกลมซ่งึ มจี ดุ ศูนย์กลางอยู่ทจ่ี ดุ โฟกสั ของ P และมี L เป็นเสน้ สมั ผสั

33. กำหนดใหเ้ ส้นไดเรกตริกซแ์ ละแกนพาราโบลา y2 – 4y + 8x – 20 = 0 ตดั กนั ทีจ่ ดุ P ถ้าวงกลม
วงหนึง่ ผ่าจดุ กำเนิด จุด P และโพกสั ของพาราโบลานี้ แลว้ กำลงั สองของรศั มขี องวงกลมมีคา่
เท่ากบั เท่าใด

34. ให้เสน้ ตรง x – y + 2 = 0 ตดั กับวงกลม x2 + y2 + 6x – 4y + 4 = 0 ทจ่ี ุด A และจดุ B ถา้ (a,
b) เป็นจดุ โพกัสของพาราโบลาซึง่ มีเสน้ ตรง y = 2 เปน็ แกนของพาราโบลาและพาราโบลานี้ผ่าน
จดุ A และ B แล้ว a + b มคี ่าเทา่ กบั เท่าใด

35. ถา้ A เปน็ จุดบนวงกลม x2 + y2 +4x – 6y + 11 = 0 ซงึ่ อยใู่ ก้ลกบั โฟกสั F ของพาราโบลา
x2 – 12x + 4y + 52 = 0 มากทสี่ ุด แลว้ ระยะห่างระหวา่ ง A กับ F มีคา่ เทา่ กบั เท่าใด

36. พาราโบลาทมี่ ีจดุ โฟกสั F อยทู่ จ่ี ดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลม x2 + y2 –6x + 4y + 4 = 0 และมจี ุดยอด
V อยู่ทจ่ี ุดตดั ของวงกลมกบั แกน y ถา้ A และ B เป็นจดุ บนพาราโบลาซ่งึ สว่ นของเส้นตรง AB ผา่ น
จดุ โฟกสั F และตง้ั ฉากกบั แกนของพาราโบลา แลว้ พนื้ ทข่ี องรูปสามเหลย่ี ม VAB เท่ากบั เท่าใด

37. วงกลม C มจี ดุ ศนู ย์กลางทจ่ี ดุ กำเนิด และผา่ นจดุ โฟกสั ของพาราโบลาซ่ึงมีสมการเป็น (x – 2)2 = 8y
โดยเสน้ ไดเรกตรกิ ซข์ องพาราโบลาตัดวงกลม C ทจี่ ดุ Q ถา้ จดุ R อยบู่ นพาราโบลาและอยหู่ ่างจาก
โฟกสั เป็นระยะทาง 4 หนว่ ย แล้ว สามเหลย่ี ม PQR มพี นื้ ทเ่ี ท่ากบั เทา่ ใด

38. เสาสองต้นสูง 6 เมตรเท่ากัน ปกั ตรงอยหู่ า่ งกัน 12 เมตร ขงึ เชือกไวร้ ะหวา่ งยอดเสาเชือกห้อยลง
มาเป็นแนวโคง้ รปู พาราโบลา จดุ ตำ่ สดุ ของเส้นเชือกอยู่สงู ขนึ้ จากพื้น 2 เมตร ณ. จุดหนงึ่ บนเส้น
เชอื กห่างจากเสาตน้ แรก 6 เมตร จะอยูจ่ ากพนื้ ดินทา่ ใด

39. เสาสองตน้ สงู 10 เมตรเทา่ กนั ปกั ตรงอยหู่ ่างกนั 16 เมตร ขงึ เชอื กไวร้ ะหว่างยอดเสาเชอื กห้อยลง
มาเป็นแนวโค้งรูปพาราโบลา จดุ ต่ำสุดของเสน้ เชือกอย่สู งู ขนึ้ จากพน้ื 3 เมตร ณ. จุดหนงึ่ บนเส้น
เชือกห่างจากเสาตน้ แรก 2 เมตร จะอยูจ่ ากพ้ืนดนิ ท่าใด

40. ถว้ ยแกว้ รูปพาราโบลา มีปากถ้วยกว้าง 6 เซนติเมตร ลึก 12 เซนติเมตร มนี ้ำบรรจอุ ยสู่ ูงถงึ
ตำแหนง่ ของจดุ โฟกสั พอดี จงหาความสงู ชองน้ำที่บรรจุอยู่

211

2.3 วงรี

ในหัวขอ้ นจ้ี ะกลา่ วถึงกราฟท่เี กดิ จากการตดั กรวยกลมด้วยระนาบตดั กรวยกลมเพยี งสว่ นเดียว
โดยทร่ี ะนาบนนั้ ไมข่ นานกับเส้นประกอบรปู และไมต่ ง้ั ฉากกบั แกนของกรวยนนั้ คือกราฟวงรี

นิยามที่ 2.3.1 วงรี คือเซตของจุดทกุ จดุ บนระนาบซึง่ ผลบวกของระยะทางจากจุดเหล่านไี้ ปยงั จุดคงท่ี
สองจดุ มีคา่ คงทเี่ สมอ

จากนยิ ามจดุ คงทสี่ องจุดน้คี อื จดุ โฟกสั ของวงรแี ละค่าคงทีต่ อ้ งมีความยาวมากกวา่ ระยะห่าง
ระหวา่ งโฟกสั ทัง้ สอง

ภาพที่ 2.4.1 สว่ นประกอบของวงรี

จากรปู

1. OV = OV = a

จะได้ ระยะจาก จุดศูนยก์ ลาง (Center) ถงึ จดุ ยอด (Vertex) มีคา่ เท่ากบั a

2. OF = OF = c

จะได้ ระยะจาก จดุ ศนู ย์กลาง ถึงจดุ โฟกสั (Focus) มคี ่าเท่ากับ c

3. OB = OB = b

จะได้ ระยะจากจุดศูนยก์ ลางถึง B,B มคี ่าเท่ากับ b

4. V V = 2a จะไดค้ วามยาวแกนเอก (Major Axis) มีค่าเทา่ กบั 2a

5. B B = 2b จะไดค้ วามยาวแกนโท (Minor Axis) มีคา่ เท่ากบั 2b

6. a = ครงึ่ แกนเอก (Semi-Major Axis)

7. b = ครง่ึ แกนโท (Semi-Minor Axis)

8. สำหรับจุด P ใด ๆ บนวงรี PF + PF = 2a

9. คา่ เย้ืองศนู ยก์ ลาง (Eccentricity) e = c
a

10. a2 =b2 + c2

212

วงรจี ุดศูนยก์ ลางอย่ทู ่ี (0, 0)
ถา้ วงรมี จี ดุ ศูนย์กลางที่จุด (0, 0) จุดโฟกสั อยบู่ นแกน x ท่ี F(c, 0) และ F/(– c, 0) ผลรวม

ของระยะทางจากจดุ ใด ๆ บนวงรีไปโฟกัสทั้งสองมีค่าเท่ากบั 2a ดังภาพที่ .....

ภาพท่ี 2.4.2 วงรีจุดศนู ย์กลางทจี่ ุด (0, 0)

ให้ P(x, y) เป็นจดุ ใด ๆ บนวงรี
ผลรวมของระยะทางจากจดุ ใด ๆ บนวงรไี ปโฟกสั ทง้ั สองเทา่ กับ 2a โดยท่ี a > c

จะได้ ระยะห่างระหว่างจดุ P(x, y) และจดุ F(c, 0) มคี ่าเทา่ กับ (x − c)2 + y2

ระยะหา่ งระหว่างจดุ P(x, y) และจุด F/(– c, 0) มีค่าเทา่ กบั (x + c)2 + y2

จากนิยามวงรี

จะได้ PF/ + PF = 2a

(x −c)2 + y2 + (x + c)2 + y2 = 2a

(x −c)2 + y2 = 2a− (x + c)2 + y2

(x − c)2 + y2 ( )= 2a− (x + c)2 + y2 2

x2 − 2xc + c2 + y2 = 4a2 − 4a ( x + c)2 + y2 + x2 + 2xc + c2 + y2

4 xc = 4a2 − 4a ( x + c)2 + y2

xc = a2 − a ( x + c)2 + y2

a (x + c)2 + y2 = a2 + xc

213

( ) ( )a2 (x + c)2 + y2 = a2 + xc 2

a2 x2 + 2xca2 + a2c2 + a2 y2 = a4 + 2xca2 + x2c2

a2x2 − x2c2 + a2y2 = a4 − a2c2

( )a2 − c2 x2 + a2 y2 ( )= a2 a2 − c2

เนือ่ งจาก a > c จะได้ a2 − c2 0

ดงั น้นั x2 + a2 1 y2 =1
a2 − c2

ให้ b2 = a2 − c2 โดยท่ี b  0

จะได้ x2 + y2 =1
a2 b2

และเน่ืองจาก b2 = a2 − c2 นั้นคือ b2  a2 จะได้ b  a

ดงั นน้ั x2 + y2 = 1 เมอื่ a b
a2 b2

จะไดก้ ราฟเปน็ วงรีตามภาพที่ 2.4.2นนั้ คอื วงรที ่ีมีแกน x เปน็ แกนเอก

ในทำนองเดยี วกนั วงรที ม่ี แี กน y เปน็ แกนเอกมสี มการเปน็ x2 + y2 = 1 เมอื่ a b
b2 a2

วงรีจดุ ศนู ย์กลางอยูท่ ี่ (0, 0)

y สมการ x2 + y2 =1
B/(0, b) a2 b2

V (−a, 0) F(−c, 0) F/( c, 0) V/( a, 0) x จดุ ยอด V(−a,0), V (a,0)

B(o, −b) จุดโฟกสั F(−c,0), F(c,0)

ภาพท่ี 2.4.3 วงรแี นวนอนจดุ ศนู ย์กลางที่จดุ (0, 0) แกนเอกบนแกน x

LR = 2b2
a

214

y สมการ x2 + y2 =1
V/( 0, a) b2 a2

F/( 0, c) จดุ ยอด V(0,−a), V (0,a)

B(−b, 0) B/(b, 0) x y จุดโฟกสั F (0,−c), F (0,c)

F (0, −c) แกนเอกบนแกน y
V (0, −a) LR = 2b2

ภาพที่ 2.4.4 วงรแี นวตงั้ จุดศูนย์กลางทจ่ี ุด (0, 0) a

วงรีจดุ ศูนยก์ ลางอยทู่ ี่ (h, k)

พสิ จู นท์ ำนองเดียวกบั วงรจี ุดยอดที่ (0, 0) หรือใชส้ มบัตกิ ารเลื่อนขนานโดยให้ ( x, y ) เปน็
พกิ ัดของจุด P บนวงรเี มือ่ เทยี บกบั แกนพิกดั เดมิ และ( x, y) เป็นพิกดั ของจุด P บนวงรเี มื่อเทียบ
กบั แกนพกิ ัดใหม่ และ h, k เป็นจำนวนจรงิ จะได้ x = x − h และ y = y − k โดยมขี อ้ สรปุ ดังน้ี

y สมการ (x − h)2 + ( y −k )2 =1
B/(h, k+b) a2 b2

V (h − a, k ) F ( h − c , k ) F/(h+ c, k) V/(h+ a, k) จดุ ยอด V(h − a,k), V (h + a,k)

B (h , k − b ) จุดโฟกสั F(h − c,k), F(h + c,k)

x แกนเอกขนานแกน x

ภาพท่ี 2.4.5 วงรีแนวนอนจุดศนู ย์กลางท่จี ดุ (h k) LR = 2b2
a

y สมการ (x − h)2 + ( y −k )2 =1
V/(h, k+a) b2 a2

F/( h, k+c) จุดยอด V(h,k − a), V (h,k)

B (h − b, k ) B/(h+b, k) จดุ โฟกสั F(h,k − c), F(h,k + c)

F(h, k − c) แกนเอกขนานแกน y

V (h , k − a ) x LR = 2b2
a
ภาพท่ี 2.4.6 วงรแี นวต้ังจุดศูนยก์ ลางทีจ่ ดุ (h, k)

215

ตัวอย่างท่ี 2.4.1 จงหาจดุ ศนู ยก์ ลาง จดุ ยอด จุดโฟกสั ของวงรี ความยาวแกนเอก และความยาว

แกนโทของวงรีซง่ึ มีสมการเป็น
1. 9x2 +25y2 =225

วิธีทำ

จัดสมการใหมโ่ ดยนำ 225 หารตลอดจะได้

x2 + y2 =1, x2 + y2 =1
52 32
25 9

จะได้ a = 5,b = 3 ภาพที่ 2.4.7

และจาก a2 =b2 + c2 จะได้ 52 = 32 + c2 ดงั น้นั c = 4

ดงั นัน้ วงรีแนวนอนจุดศนู ยก์ ลาง (0,0)

จุดยอด V(−5,0), V (5,0) , จุดโฟกสั F(−4,0), F(4,0)

ความยาวแกนเอกเทา่ กบั 2a = 10 และ

ความยาวแกนโทเทา่ กบั 2b = 6 ดังภาพที่ 2.4.7

2. 144 x2 + 25y2 =3600

วธิ ที ำ

จัดสมการใหม่โดยนำ 3600 หารตลอดจะได้

x2 + y2 =1, x2 + y2 =1
52 122
25 144

จะได้ a = 12,b = 5

และจาก a2 =b2 + c2 จะได้ 122 =52 + c2 ดงั นนั้ c = 119

ดังนน้ั วงรีแนวตัง้ จุดศูนยก์ ลาง (0,0)

จดุ ยอดV (0,12), V (0,12) , จดุ โฟกสั F(0, − 119 ), F(0, 119 )

ความยาวแกนเอกเทา่ กบั 2a = 24 และ

ความยาวแกนโทเทา่ กบั 2b = 10ดังภาพท่ี 2.4.8 ภาพที่ 2.4.8

3. 5x2 +9y2 −10x − 54y + 41 =0

วิธที ำ
จดั สมการใหมด่ งั น้ี

5( x2 − 2x )+9( y2 − 6y ) = − 41

216

5( x2 − 2x +1)+9( y2 − 6y + 9) = − 41 + 5 + 81

5( x − 1)2 +9( y − 3)2 = 45

( x − 1)2 + ( y − 3 )2 =1
9 5

จะได้ a = 3,b = 5 และจาก a2 =b2 + c2 ภาพที่ 2.4.9
ภาพที่ 2.4.10
จะได้ 32 = 52 + c2 ดงั น้ัน c = 2
ดงั นั้น วงรีแนวนอนจดุ ศูนยก์ ลาง (1,3)
จดุ ยอด V(−2,3), V (4,3) , จดุ โฟกัส F(−1,3), F(3,3) ,
ความยาวแกนเอกเท่ากบั 2a = 6และ
ความยาวแกนโทเทา่ กบั 2b =2 5 ดังภาพท่ี 2.4.9

4. 9x2 +4 y2 − 36x − 24 y + 36 =0

วิธีทำ

จัดสมการใหม่ดังน้ี

9( x2 − 4x )+4( y2 − 6y ) = − 36

9( x2 − 4 x + 4)+ 4( y2 − 6y + 9) = − 36 + 36 + 36

9( x − 2)2 + 4( y − 3)2 = 36

( x − 2)2 + ( y − 3)2 =1
49

จะได้ a = 3,b =2

และจาก a2 = b2 + c 2 จะได้ 32 =22 + c2

ดังนน้ั c = 5
ดังนนั้ วงรีแนวต้งั จดุ ศูนย์กลาง (2, 3), จุดยอด V(2,0), V (2,6) ,
จดุ โฟกสั F(2,3 − 5), F(2,3 + 5)

ความยาวแกนเอกเทา่ กบั 2a = 6 และ
ความยาวแกนโท เท่ากับ2b = 4 ดังภาพท่ี 2.4.10

217

ตวั อยา่ งที่ 2.4.2 จงหาสมการวงรซี งึ่ มจี ุดโฟกัสอยทู่ ี่ (4,−2) และ(10,−2) จดุ ยอดจุดหนง่ึ อยู่ที่

(12, −2 )

วิธที ำ

จดุ ศูนยก์ ลางวงรีอยทู่ จี่ ดุ ก่ึงกลางของจุดโฟกสั

( )ดังนัน้ จดุ ศูนย์กลางคือ4+ 10,−2 − 2 = ( 7, −2 )
2 2

ระยะห่างระหวา่ งโฟกัสท้ังสองเทา่ กบั 2c = 6 ดังนั้น c =3 ภาพท่ี 2.4.11
ระยะหา่ งระหวา่ งจดุ ศูนยก์ ลางและจดุ ยอดเท่ากับ a = 5

จาก a2 =b2 + c2 จะได้ 52 =b2 + 32 ดังนั้น b = 4

จากแกนเอกของวงรขี นานแกน x จะได้สมการวงรีคือ (x − h)2 ( y −k ) 2
a2 b2
+ =1

แทนค่าจุดศูนย์กลาง (7,−2), a = 5 และ b = 4 จะได้ ( x − 7)2 + ( y + 2)2 = 1

25 16

หรือเขียนในรปู แบบทั่วไปเปน็ 16x2 + 25y2 − 224x +100y + 484 = 0 ดังภาพที่ 2.4.11

ตวั อยา่ งท่ี 2.4.3 จงหาสมการวงรซี ง่ึ มจี ุดยอดอยูท่ ่ี (4, –6) และ (4, 4) จุดโฟกสั จดุ หนึง่ อยทู่ ่ี (4, 3)

วิธีทำ

จุดศูนย์กลางวงรีอยทู่ จ่ี ุดก่งึ กลางของจดุ โฟกสั

( )ดังนน้ั จดุ ศูนยก์ ลางคือ4+4,−6 +4 = ( 4, −1)
2 2

ระยะห่างระหวา่ งจดุ ยอดทั้งสองเท่ากับ 2a = 10 ดงั น้นั a =5

ระยะหา่ งระหว่างจุดศนู ย์กลางและโฟกสั เทา่ กับ c = 4

จาก a2 =b2 + c2

จะได้ 52 =b2 +42 ดงั น้ัน b = 3 ภาพที่ 2.4.12

จากแกนเอกของวงรีขนานแกน y จะไดส้ มการวงรีคอื ( x − h)2 + ( y −k )2 =1
b2 a2

แทนคา่ จดุ ศนู ยก์ ลาง (4,−1) , a = 5 และ b = 4 จะได้ (x − 4)2 + ( y +1)2 = 1

9 25

หรอื เขียนในรปู แบบทัว่ ไปเป็น 25x2 + 9y2 − 200x + 18y + 184 = 0 ดงั ภาพท่ี 2.4.10

218

ตวั อยา่ งที่ 2.4.4 จงหาสมการวงรซี ง่ึ มีโฟกัสอยทู่ ่ี (−1,−1), (1,−1) และวงรีผ่านจดุ กำเนดิ

วธิ ที ำ

จุดศนู ย์กลางวงรีอย่ทู จ่ี ุดก่งึ กลางของจุดโฟกสั

( )ดงั นนั้ จดุ ศูนย์กลางคอื −1 + 1 , −1 − 1 = ( 0, −1)
2 2

จากแกนเอกของวงรีขนานแกน x จะได้สมการวงรีคือ

( x − h)2 ( y −k ) 2
a2 b2
+ =1 ภาพที่ 2.4.13

ดงั นน้ั x2 ( y + 1) 2
a2 b2
+ =1

จากสมการวงรผี า่ นจดุ กำเนิด จะได้ 02 + (0 + 1)2 = 1 นัน้ คอื 1 =1 จะได้ b = 1
a2 b2 b2

ระยะหา่ งระหวา่ งจดุ ศูนยก์ ลางและโฟกสั เท่ากับ c = 1

จาก a2 =b2 + c2 จะได้ a2 =12 +12 ดังนนั้ a = 2

ดังน้ัน สมการวงรีคอื x2 + ( y + 1)2 =1
2

หรือเขียนในรูปแบบท่วั ไปเป็น x2 +2( y +1)2 = 2 ดังภาพที่ 2.4.13

ตวั อยา่ งที่ 2.4.5 สมการของวงรมี จี ุดศูนยก์ ลางอยูท่ ่ี (1,−1) โฟกสั จุดหน่ึงคือ F1 (1,−4) และ
กราฟผา่ นจุด P(0,3)

วธิ ที ำ
จากวงรมี จี ดุ ศูนย์กลางอยทู่ ี่ (1, −1) โฟกสั จดุ หน่งึ คอื F1 (1,−4)

จะได้วงรแี นวนอน c = 3 และจุดโฟกสั อกี จดุ หนง่ึ คือ F2 (1,2)

จากวงรผี ่านจุด P(0,3) และนยิ ามวงรที วี่ า่ ผลรวมของระยะทาง
จากจดุ ใด ๆ บนวงรีไปโฟกัสท้งั สองมีคา่ เท่ากบั 2a

จะได้ PF1 + PF2 = 2a นนั้ คือ

(1 − 0)2 + (−4 − 3)2 + (1 − 0)2 + (2 − 3)2 = 2a ภาพท่ี 2.4.14

50 + 2 = 2a

5 2 + 2 = 2a

6 2 = 2a

219

( )จะได้ a = 3 2 จาก c = 3 และ a2 = b2 + c2 จะได้ 3 2 2 = b2 + 32 ,b = 3

ดงั นน้ั สมการวงรคี ือ (x − 1)2 + (y + 1)2 =1
9 18

หรือเขยี นในรูปแบบทัว่ ไปเปน็ 2x2 + y2 − 4 x + 2y − 15 = 0 ดังภาพท่ี 2.4.14

ตัวอย่างที่ 2.4.6 วงรีมีสมการเป็น16x2 +25y2 − 64 x + 50y − 311 = 0 ถ้า F1 และ F2
เป็นจุดโฟกัสของวงรี โดยที่ OF1  OF2 และ B1 และ B2 เป็นจุดปลายแกนโทของวงรี โดยที่
OF1  OF2 และ OB2  OB1 แลว้ ระยะทางจากจดุ F2 ไปยงั เส้นตรงทผ่ี า่ นจุด F1 และ B1 เท่ากับ
เท่าใด
วิธที ำ

สมการวงรี 16x2 +25y2 − 64 x + 50y − 311 = 0

จัดรปู ใหม่ไดเ้ ปน็ (x − 2)2 + ( y + 1)2 =1
25 16

จะได้วงรแี นวนอนจดุ ศูนยก์ ลาง (2,−1), a = 5 และ b = 4

จาก a = 5,b =4 และ a2 = b2 + c2 ภาพท่ี 2.4.15
จะได้ 52 = 42 + c2 ; c = 3

จากจุดศูนย์กลาง (2,−1) และ c = 3

จะได้จุดโฟกัสคอื (−1,−1) และ (5,−1) และจาก OF1  OF2 จะได้ F1 (5,−1) และ
F2 (−1,−1)

จากจดุ ศูนยก์ ลาง (2,−1) และb = 4

จะไดจ้ ดุ ปลายแกนโทคือ (2,3) และ (2,−5)

และจาก OB2  OB1 จะได้ B1 (2,3) และB2 (2,−5)

สมการเส้นตรงทผ่ี า่ นจุด F1 (5,−1) และ B1 (2,3) คือ y + 1 = 3 − (−1) ( x − 5)
2−5

จดั รูปใหม่ไดเ้ ป็น 3x − 4 y −1 = 0

ระยะหา่ งระหวา่ งจดุ F2 (−1,−1) กับเส้นตรง 4 x + 3y −17 = 0 เท่ากับ

4(−1) + 3(−1) −17 = 24 = 4.8 หน่วย ดงั ภาพท่ี 2.4.15
42 + 32 5

220

ตัวอย่างท่ี 2.4.7 กำหนดให้เสน้ ตรง y = x ตัดวงรี16x2 +7y2 − 32x + 14 y − 33= 0 ท่ีจดุ A

และ B ถ้า F1 และ F2 เปน็ โฟกสั ของวงรนี ้ี แลว้ AF1 + AF2 + BF1 + BF2 มีค่าเทา่ ใด
วธิ ีทำ

สมการวงรี 16x2 +7y2 − 32x + 14 y − 33= 0

จดั รปู ใหมไ่ ด้เปน็ (x − 1)2 + ( y + 1)2 =1
7 16

จะได้วงรีแนวตงั้ a = 4

จากเส้นตรง y = x ตัดวงรที จี่ ดุ A และ B

นน้ั คอื A และ B เปน็ จดุ บนวงรี

จากนยิ ามวงรีที่ว่าผลรวมของระยะทางจากจุดใด ๆ บนวงรไี ปโฟกสั ภาพที่ 2.4.16
ทงั้ สองมีคา่ เท่ากบั 2a

จะได้ AF1 + AF2 = 2a และ BF1 + BF2 = 2a
ดงั น้ัน AF1 + AF2 + BF1 + BF2 = 4a =4(4) =16 ดงั ภาพที่ 2.4.16

ตวั อย่างท่ี 2.4.8 จงหาวงรีวงหน่งึ มจี ดุ ยอดจุดหนงึ่ คือจดุ (5, – 3) แกนโทยาว 6 หนว่ ย และจดุ

ศนู ย์กลางอยบู่ นเสน้ ตรง y = 2

วิธีทำ

เน่อื งจากจุดศนู ยก์ ลางอยบู่ นเส้นตรง y = 2 และจดุ ยอดจดุ หนึ่งคอื

จดุ (5, – 3)

ดงั นัน้ แกนเอกของวงรีขนานแกน y และจุดศูนย์กลางวงรคี อื (5, 2)

จากระยะหา่ งจากจุดศูนย์กลางถึงจุดยอดมคี า่ เทา่ กับ a ดังนน้ั a = 5

จากแกนโทยาว 2b = 6 หน่วย ดงั น้ัน b = 3

จากแกนเอกของวงรีขนานแกน y

ะได้สมการวงรีคือ (x − h)2 +(y − k)2 =1 ภาพท่ี 2.4.17
b2 a2

แทนค่าจดุ ศูนย์กลาง ( 5, 2 ) , a = 5 และ b = 3 จะได้ (x − 5)2 +(y − 2)2 =1 ดังน้ัน
9 25

AF1 + AF2 + BF1 + BF2 = 4a =4(4) =16 ดังภาพที่ 2.4.17

221

ตัวอย่างที่ 2.4.9 ให้ E เป็นวงรซี งึ่ ผลบวกของระยะทางจากจดุ ใด ๆ บนวงรี E ไปยังจุด (–4, 0) และ

(4, 0) เทา่ กับ 10 หนว่ ย ถ้าวงรี E ตัดแกน y ท่จี ดุ A, C และตดั เส้นตรง y = 2.75 ทจ่ี ุด B, D แลว้

พืน้ ที่สเี่ หล่ียม ABCD มีค่าเท่ากบั เท่าใด

วธิ ีทำ

จากนยิ ามวงรี คอื เซตของจุดทุกจดุ บนระนาบซ่ึงผลบวกของ

ระยะทางจากจุดเหล่าน้ไี ปยังจุดคงทสี่ องจดุ มีค่าคงทเ่ี สมอ คอื 2a

และจุดคงท่ีสองจุดน้นั คอื จุดโฟกสั

จะได้ จดุ โพกสั คือ (–4, 0) และ (4, 0) และ 2a = 10, a = 5 ภาพท่ี 2.4.18

จากจุดโพกสั คอื (–4, 0) และ (4, 0)

จะไดแ้ กนเอกของวงรีอยู่บนแกน x จดุ ศนู ยก์ ลางวงรีคือ (0, 0) และ c = 4

จาก a2 =b2 + c2 จะได้ 52 =b2 +42 ดงั น้นั b = 3

จากแกนเอกของวงรีอยบู่ นแกน x จะไดส้ มการวงรคี อื x2 + y2 =1
a2 b2

แทนคา่ a = 5 และ b = 3 จะได้ x2 + y2 =1
25 9

หาจดุ ตัดแกน y แทนค่า x =0 ใน x2 + y2 =1
25 9

จะไดว้ งรตี ดั แกน y ท่ีจดุ A(–5, 0) และ C(5, 0)

หาจดุ ตดั ของวงรีกับเสน้ ตรง y = 2.75 แทนค่า y = 2.75 ใน x2 + y2 =1
25 9

จะไดจ้ ุด B(–2, 2.75) และ D(2, 2.75) ดงั นน้ั จะได้ส่เี หลยี่ ม ABCD เป็นสีเ่ หล่ยี มคางหมู

ดงั นัน้ พ้นื ทส่ี ี่เหลย่ี ม ABCD = 1 (2.75)(4 + 10) = 19.25 ตารางหนว่ ย ดังภาพที่ 2.4.18
2

ตัวอยา่ งที่ 2.4.10 จงหาสมการวงรที ี่มแี กนเอกขนานกบั แกน Y แกนโทยาว 6 หน่วย จุดศนู ยก์ ลาง

อยทู่ ่จี ดุ ศูนยก์ ลางของวงกลม x2 + y2 + 2x + 6y −15 = 0 และมจี ุดยอดสัมผัสกบั วงกลมน้ีพอดี

วธิ ีทำ

หาจดุ ศูนยก์ ลางอยู่ทีจ่ ุดศนู ย์กลางของวงกลม

x2 + y2 + 2x + 6y − 15 = 0

( x2 + 2x )+( y2 + 6y ) = 15

222

( x2 + 2x + 1)+( y2 + 6y + 9) = 15 + 1 + 9

( x + 1)2 +( y + 3)2 = 52

วงกลมจดุ ศูนย์กลาง (−1,−3)

จากวงรีจดุ ศนู ยก์ ลางอยู่ที่จุดศูนยก์ ลางของวงกลม

ดังน้ันจดุ ศนู ย์กลางวงรคี ือ (−1,−3) ภาพที่ 2.4.19
จากจดุ ยอดสมั ผสั กบั วงกลมนี้พอดหี มายความว่า 2r = 2a

และวงกลม r = 5 ดงั นนั้ วงรมี คี ่า a = 5

จากแกนโทยาว 6 หน่วย และความยาวแกนโทเท่ากบั 2b

ดังนั้น 2b = 6 จะได้ b = 3

จากแกนเอกของวงรีขนานแกน y จะไดส้ มการวงรีคือ (x − h)2 + ( y −k )2 =1
b2 a2

แทนค่าจดุ ศนู ย์กลาง (−1,−3) , a = 5 และ b = 3

จะได้ ( x +1)2 + ( y + 3)2 =1 ดังภาพที่ 2.4.19
9 25

ตัวอยา่ งที่ 2.4.11 ให้ A และ B เปน็ จุดโฟกสั และจดุ ยอด ตามลำดบั ของพาราโบลา
x2 − 8x + 4 y + 4 = 0 ถ้าวงรมี ีจุดศูนยก์ ลางอยทู่ ี่ A และโฟกัสจุดหนงึ่ อยู่ที่ B โดยที่จุดยอดจดุ

หนึ่งอยบู่ นเสน้ ตรง y = 4 แล้วสมการวงรนี ี้คอื

วธิ ีทำ

หาจดุ โฟกสั (จุด A) และจุดยอด (จดุ B)

x2 −8x +4y +4 =0

x2 − 8x + 16 = −4 y − 4 + 16

( x − 4)2 = −4( y − 3) ภาพที่ 2.4.20
พาราโบลาจุดยอด B(4,3), cp = −1 จุดโฟกัส A(4,2),

วงรมี ีจุดศูนย์กลางอยทู่ ่ี A(4,2), และโฟกัสจดุ หนึง่ อย่ทู ่ี B(4,3), จะได้ cE = 1

จากจดุ ยอดจุดหนึ่งอยูบ่ นเส้นตรง y = 4 จะได้ a = 2

จากวงรี a2 = b2 + c2 จะได้ b = 3

ดังน้ันสมการวงรีคอื ( x − 4)2 + ( y − 2)2 = 1 ดงั ภาพท่ี 2.4.20
34

223

ตัวอยา่ งท่ี 2.4.12 ประตูโคง้ ครึ่งวงรี กวา้ ง 60 ฟุต และสงุ 15 ฟตุ ทจ่ี ุดกง่ึ กลางประตู ความสูงของ

ประตูทจี่ ุดห่างจากจดุ กง่ึ กลางประตู 10 ฟุต มีค่าเทา่ กบั เทา่ ใด

วิธที ำ

ให้ครง่ึ วงรจี ุดศูนย์กลาง (0,0) แทนประตโู ค้ง

จากประตูโคง้ กว้าง 60 ฟุต และสูง 10 ฟุต จะได้

ครงึ่ วงรแี นวนอน a = 30 และ b = 15 ภาพที่ 2.4.21

ดังนน้ั สมการคร่งึ วงรคี ือ x2 + y2 = 1x, y  0
302 152

จดุ ที่หา่ งจากกึ่งกลางประตู 10 ฟตุ จะได้ x = 10

แทนคา่ x = 10 ใน x2 + y2 =1
302 152

จะได้ 100 + y2 =1 แก้สมการได้ y = 10 2
900 225

ความสูงของประตทู จี่ ุดห่างจากจุดกึง่ กลางประตู 10 ฟุต เทา่ กับ 10 2 หน่วย ดังภาพที่ 2.4.22

แบบฝกึ หดั 2.4

1. จงหาจดุ ศูนย์กลาง จดุ ยอด จดุ โฟกสั ของวงรี ความยาวแกนเอก และความยาวแกนโทของวงรซี ง่ึ
มสี มการเป็น
1) 25x2 +9y2 =225

2) 25x2 +144 y2 =3600

3) 16x2 +25y2 + 32x −100y − 284 =0

4) 25x2 +9y2 +100x −18y −116 =0

5) 625x2 +49y2 −1250x − 30,000=0
2. จงหาสมการวงรซี ึ่งมจี ุดโฟกสั อยทู่ ่ี (0, –8) และ (0, 8) แกนเอกยาว 34 หน่วย
3. จงหาสมการของวงรีมจี ดุ โฟกสั ท่ี (4, 0) กบั (–4, 0) ตดั แกน y ที่จดุ (0, 3) และ (0, – 3)
4. สามเหล่ยี มรปู หนงึ่ มเี สน้ รอบรูปยาว 30 หนว่ ย และมมุ สองมุมทจี่ ุด (0, – 5) และ (0, 5) จงหา

กราฟของมุมทส่ี าม

224

5. จงหาสมการวงรีซงึ่ มจี ุดยอดอยู่ที่ (– 11, –6) และ (15, –6) จดุ โฟกสั จุดหน่งึ อยทู่ ี่ (7, –6)

6. สมการของวงรมี จี ดุ ศนู ย์กลางอยูท่ ่ี (4, –1) โฟกสั จดุ หน่งึ คอื (1, –1) และกราฟผา่ นจดุ P (8, 0)

7. จงหาสมการวงรีซงึ่ มจี ุดโฟกสั อยู่ที่ (1, 1) และ (1, 3) และจดุ ยอดจดุ หนง่ึ อยู่บนแกน x

8. จงหาสมการวงรซี ง่ึ มีจุดยอดอยู่ที่ (7, 12), (7, – 8) และผ่านจุด (1, 8)

9. จงหาสมการวงรีมจี ุดศูนยก์ ลางอยูท่ ี่ (1, 2) แกนเอกขนานกบั แกน x และยาว 6 หนว่ ย แกนโท
ยาว 4 หนว่ ย

10. วงรีจุดศูนยก์ ลางทจี่ ุดกำเนิด แกนเอกยาวกว่าแกนโทอยู่ 16 หนว่ ย และมโี ฟกสั อยูบ่ นแกน y หา่ ง
กนั 40 หนว่ ย จะมสี มการเปน็

11. จงหาสมการวงรีทม่ี ีแกนเอกอยู่บนแกน x แกนโทอยบู่ นแกน y ระยะระหวา่ งจุดโฟกสั ทง้ั สอง
เท่ากบั 12 หนว่ ย ถา้ ความยาวของคอร์ดที่ผา่ นจุดโฟกสั หนง่ึ และต้ังฉากกบั แกนเอกของวงรี
เท่ากับ 10 หนว่ ย

12. วงรที ี่มสี มการเปน็ 4x2 + y2 + 8x − 4y − 8=0 จะมแี กนเอกยาวกว่าแกนโทกหี่ น่วย

13. จงหาสมการของภาคตดั กรวยซึ่งมผี ลบวกของระยะทางจากจดุ ใด ๆ บนกราฟไปยังจุด (1, 0) และ
(–5, n) มคี ่าเทา่ กบั 12 หนว่ ย

14. จงหาวงรีวงหนง่ึ มจี ุดยอดจุดหนง่ึ คือจดุ (5, – 6) แกนโทยาว 2 หน่วย และจุดศนู ย์กลางอยบู่ น
เส้นตรง y = 2

( x − 3)2 ( y − 5) 2
9 25
15. วงรีมสี มการเป็น + =1 ถ้า F1 และ F2 เป็นจุดโฟกสั ของวงรี โดยที่

OF1  OF2 แล้วระยะทางจากจดุ F2 ไปยังเส้นตรงที่ผา่ นจุด F1 และ (0,5) เท่ากบั เทา่ ใด

16. กำหนดใหเ้ ส้นตรง x = y ตัดวงรี ( x + 1)2 + ( y − 2)2 =1 ทจ่ี ุด A และ B ถา้ F1 และ F2
16 9

เปน็ โฟกสั ของวงรีน้ี แล้ว AF1 + AF2 + BF1 + BF2 มีค่าเท่าใด

17. ให้ E เป็นวงรซี ง่ึ ผลบวกของระยะทางจากจุดใด ๆ บนวงรี E ไปยงั จดุ (–3, 0) และ (3, 0) เท่ากับ

14 หนว่ ย ถ้าวงรี E ตัดแกน y ที่จดุ A, C และตดั เส้นตรง y = 3 ที่จดุ B, D แลว้ พ้นื ท่สี ่ีเหลยี่ ม

ABCD มีค่าเท่ากบั เทา่ ใด

18. วงรซี ่งึ ผลบวกของระยะทางจากจุดใด ๆ บนวงรี E ไปยังจดุ (–3, 2) และ (5, 2) เท่ากับ 12 หน่วย
ถา้ A และ B เปน็ จุดยอดของวงรี E และวงรี E ตัดแกน Y ทจ่ี ดุ C และ D แล้วพน้ื ท่ีของรปู สเี่ หลย่ี ม
ABCD เทา่ กับเทา่ ใด

225

19. ให้ E เปน็ วงรที ี่มแี กนเอกขนานกบั แกน X , มจี ดุ ศนู ยก์ ลางท่ี (– 2, 1) สัมผสั เส้นตรง x =1 และ y
= 3 โดยมี F1 และ F2 เป็นจุดโฟกัสของ E ให้ C เป็นวงกลมทมี่ ี F1F2 เป็นเสน้ ผา่ นศูนยก์ ลาง ถา้
วงรี E ตดั วงกลม C ทจี่ ุด P, Q, R และ S แลว้ พ้ืนทรี่ ูปส่เี หลี่ยม PQRS มีค่าเท่ากับเท่าใด

20. จงหาสมการวงรีท่ีมี F1 (1,1) และ F2 (1,−3) เป็นโฟกัส ถา้ A และ B เปน็ จดุ บนวงรที ท่ี ำใหร้ ปู
สามเหล่ยี ม ABF2 มีเสน้ รอบรูปยาว 12 หนว่ ย และส่วนของเสน้ ตรง AB ผ่าน F1

21. วงรวี งหนงึ่ มจี ุดศนู ยก์ ลางที่ (3, 1) จุดโฟกสั จดุ หนง่ึ ที่ (5, 1) และสมั ผสั แกน y ทจ่ี ดุ (0, 1) จงหา
สมการของวงกลมท่ีมจี ดุ ศนู ยก์ ลางที่โฟกสั อีกจุดหนง่ึ ของวงรแี ละมรี ศั มเี ท่ากบั ความยาวของแกนโท
ของวงรี

22. จงหาสมการาวงกลมวงที่มจี ดุ ศูนย์กลางอย่ทู ีจ่ ุดศนู ยก์ ลางของวงรีทีม่ สี มการเป็น
9x2 + 4 y2 − 36x − 24 y + 36 = 0 และสัมผัสกับเส้นตรงทผ่ี า่ นจุด (1, 3) และ (5, 0)

23. จงหาสมการวงรีท่มี แี กนเอกขนานกับแกน x แกนโทยาว 6 หน่วย จดุ ศูนยก์ ลางอยู่ที่จดุ ศูนยก์ ลาง
ของวงกลม x2 + y2 + 2x + 4 y − 20 = 0 และมจี ดุ ยอดสมั ผสั กบั วงกลมนพ้ี อดี

24. จงหาสมการของพาราโบลาทมี่ แี กนอยบู่ นแกน x มจี ดุ ยอดอยู่ทจ่ี ุดกำเนดิ และผา่ นโฟกสั ทงั้ สอง
ของวงรี 4 x2 + 3y2 − 16x + 4 = 0

25. จงหาสมการวงรที มี จี ดุ ศูนย์กลางอยบู่ นเส้นตรง x = – 1 แกนโทยาว 6 หน่วย และมจี ดุ ยอดจุด
หน่งึ อยูท่ จ่ี ดุ ยอดของพาราโบลา x2 − 8x − 2y + 20 = 0

26. ใหว้ งรี E มจี ดุ ศนู ย์กลางอยทู่ จ่ี ดุ ยอดของพาราโบลา y2 − 4 y + 8x − 4 = 0 ถ้าโฟกัสจุดหน่งึ
ของวงรอี ยทู่ ่ีจดุ ซง่ึ เกดิ จากไดเรกตรกิ ซ์ตัดกับแกนของพาราโบลา และวงรผี ่าจดุ P(4,2) แล้ว
สมการวงรี E คือ

27. ประตูโคง้ ครงึ่ วงรี กว้าง 40 ฟุต และสงุ 15 ฟตุ ทจี่ ุดกึ่งกลางประตู ความสงู ของประตูทีจ่ ดุ หา่ ง
จากจดุ กง่ึ กลางประตู 12 ฟตุ มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด

28. อุโมงใต้ดินมลี ักษณะเปน็ โค้งครง่ึ วงรกี วา้ ง 60 ฟตุ และสูง 20 ฟุต จะหาความสูงของอุโมง ณ. จดุ
ที่อุโมงกว้าง 40 ฟตุ

29. เสาไฟฟ้า 4 ตน้ หา่ งกันเปน็ ระยะทางเท่าๆกัน นำเชอื กเส้นหน่งึ มาผกู ไวร้ ะหว่างเสาต้นแรกและตน้
สดุ ทา้ ยใหเ้ ชือกหยอ่ นเป็นรปู ครึ่งวงรพี อดที ี่ตดิ กับพื้นดนิ ถา้ เสาแต่ละตน้ สูง 45 ฟตุ และหา่ งกัน
ชว่ งละ 50 ฟุต จงหาว่า ณ. ตำแหน่งเสาต้นทสี่ องเส้นเชือกอย่สู งู จากพื้นดินกฟ่ี ตุ

30. เสาไฟฟา้ 6 ตน้ หา่ งกันเปน็ ระยะทางเทา่ ๆกนั นำเชอื กเสน้ หนึ่งมาผกู ไวร้ ะหว่างเสาตน้ แรกและต้น
สุดท้ายใหเ้ ชอื กหยอ่ นเป็นรปู ครึ่งวงรีพอดที ี่ติดกบั พน้ื ดนิ ถ้าเสาแตล่ ะตน้ สูง 50 ฟตุ และห่างกนั
ช่วงละ 30 ฟุต จงหาวา่ ณ. ตำแหน่งเสาต้นทสี่ องเส้นเชือกอยสู่ งู จากพื้นดนิ ก่ฟี ุต

226

2.5 ไฮเพอร์โบลา
ในหัวขอ้ นจ้ี ะศึกษาภาคตัดกรวยท่ีเกิดจากการตดั กรวยกลมดว้ ยระนาบทีต่ ัดทงั้ สองส่วนของ

กรวยกลมขนานกับแกนสมมาตรของกรวยนน้ั คอื ไฮเพอรโ์ บลา
นิยามท่ี 2.5.1 ไฮเพอร์โบลา หมายถึง ทางเดนิ ของจุดทกุ จดุ บนระนาบ ซงึ่ มผี ลต่างของระยะทางจาก
จุดเหล่านไ้ี ปยงั จุดคงทีส่ องจดุ คงท่ีมีคา่ คงที่เสมอและมีคา่ มากกว่าศนู ย์

จากนยิ ามจดุ คงทข่ี องไฮเพอรโ์ บลาคือจุดโฟกสั พิจารณากราฟ

ภาพที่ 2.5.1 สว่ นประกอบไฮเพอร์โบลา

จากภาพที่ 2.5.1

1. OV  = OV = a
จะได้ ระยะจาก จดุ ศนู ยก์ ลาง (Center) ถงึ จดุ ยอด (Vertex) มีคา่ เทา่ กบั a

2. OF = OF = c
จะได้ ระยะจาก จุดศนู ย์กลาง ถงึ จดุ โฟกสั (Focus) มคี ่าเท่ากบั c

3. OB = OB = b

จะได้ ระยะจากจุดศูนย์กลางถงึ B,B มีค่าเทา่ กบั b

4. V V = 2a จะไดค้ วามยาวแกนตามขวาง (transverse axis) มีคา่ เท่ากบั 2a

5. B B = 2b จะไดค้ วามยาวแกนโท (conjugate axis) มีคา่ เทา่ กบั 2b

6. PF − PF = 2a ทกุ ๆ จดุ P บน ไฮเพอรโ์ บลา

7. คา่ เย้ืองศนู ย์กลาง (eccentricity) e = c
a

8. c2 = a2 + b2

9. เส้นกำกับ (asymptotes) คือเส้นทผี่ า่ นจุดศูนย์กลางของไฮเพอรโ์ บลาไปสมั ผสั กบั กราฟของ

ไฮเพอรโ์ บลาท่อี นนั ต์ และเสน้ ตรงคนู่ ้ที ำมมุ กบั แกน x เทา่ กนั

227

ต่อไปจะแสดงการหาสมการไฮเพอร์โบลาที่มีจุดศูนย์กลาง (0, 0 ) โดยจะแสดงเฉพาะ
ไฮเพอร์โบลาแนวนอน (y เป็นแกนตามขวาง) ส่วนไฮเพอร์โบลาแนวตั้ง (x เป็นแกนตามขวาง)
สามารถพิสจู น์ไดใ้ นทำนองเดียวกัน
พจิ ารณาไฮเพอรโ์ บลาจุดศูนยก์ ลางท่ี (0, 0) ในภาพท่ี 2.5.2

ภาพท่ี 2.5.2 ไฮเพอรโ์ บลาจดุ ศูนยก์ ลางที่ (0, 0)

ให้ P( x, y) เป็นจุดใด ๆ บนไฮเพอร์โบลา และ

จุด F(c,0) และจุด F(−c,0) เป็นจดุ คงที่ (จดุ โฟกสั )

จะได้ ระยะหา่ งระหวา่ งจดุ P( x, y) และจดุ F(c,0) มคี ่าเทา่ กบั (x − c)2 + y2

ระยะห่างระหว่างจดุ P( x, y) และจดุ F(−c,0) มีค่าเทา่ กับ (x + c)2 + y2

ให้ ผลตา่ งของระยะทางจากจุดใด ๆ บนไฮเพอรโ์ บลาไปโฟกสั ทงั้ สองเท่ากับ 2a โดยที่ a > c

จากนิยามไฮเพอรโ์ บลาคอื ทางเดนิ ของจดุ ทกุ จุดบนระนาบ ซึง่ มผี ลตา่ งของระยะทางจากจดุ เหล่านไ้ี ป

ยงั จุดคงทส่ี องจุดคงท่มี คี า่ คงทเ่ี สมอ

จะได้ PF − PF / = 2a

(x − c)2 + y2 − (x + c)2 + y2 = 2a

(x − c)2 + y2 − (x + c)2 + y2 =  2a
(x − c)2 + y2
=  2a+ (x + c)2 + y2
(x − c)2 + y2
( )= 2a+ (x + c)2 + y2 2

228

x2 − 2 xc + c2 + y2 = 4a2  4a (x + c)2 + y2

+ x2 + 2xc + c2 + y2

−4 xc − 4a2 =  4a (x + c)2 + y2

−( xc + a2 ) =  a (x + c)2 + y2

( xc + a2 )2 ( )= a2 ( x + c)2 + y2

a4 + 2 xca2 + x2c2 = a2 x2 + 2 xca2 + a2c2 + a2 y2

a4 + x2c2 = a2 x2 + a2c2 + a2 y2
x2c2 − a2 x2 − a2 y2 = a2c2 − a4

( ) ( )c2 − a2 x2 − a2 y2
= c2 − a2 a2

เนอ่ื งจาก c > a จะได้ c2 − a2 0

จะได้ c2 − a2  0 และจาก a  0

ดงั นน้ั x2 + c2 y2 =1
a2 − a2

ให้ b2 = c2 − a2 โดยที่ b  0

จะได้ x2 − y2 =1
a2 b2

และเนอื่ งจาก b2 = c2 − a2 นนั้ คือ b2  a2 จะได้ b a

ดังนน้ั x2 − y2 = 1 เม่ือ a b
a2 b2

จะไดก้ ราฟเป็นไฮเพอร์โบลาตามภาพที่ 2.5.2 นัน้ คือวงรีทม่ี แี กน x เปน็ แกนตามขวาง

สำหรบั ไฮเพอร์โบลาทมี่ แี กน y เปน็ แกนตามขวางสามารถพิสูจนไ์ ด้ในทำนองเดียวกันและได้

วา่ ไฮเพอร์โบลมีสมการเปน็ y2 − x2 = 1 เม่ือ a b
a2 b2

จากการพิสจู นไ์ ฮเพอร์โบลาจุดยอดที่ (0, 0) สรปุ ได้ดงั น้ี

229

ไฮเพอรโ์ บลาจดุ ศนู ยก์ ลางที่ (0, 0)
แกน x เปน็ แกนตามขวาง

สมการ x2 − y2 =1
a2 b2

จุดยอด V(−a,0), V (a,0)

จุดโฟกสั F(−c,0), F(c,0)

แกนตามขวางบนแกน x

แกนสังยคุ บนแกน y

ภาพที่ 2.5.3 ไฮเพอร์โบลาแนวนอนจุด LR = 2b2
ศนู ย์กลางที่ (0, 0) a

สมการ asymptotes y =  b x
a

แกน y เป็นแกนตามขวาง

สมการ y2 − x2 =1
a2 b2

จดุ ยอด V(0,−a), V (0,a)

จุดโฟกสั F(0, −c), F(0, c)

แกนตามขวางบนแกน y

แกนสงั ยุคบนแกน x

LR = 2b2
a

ภาพท่ี 2.5.4 ไฮเพอรโ์ บลาแนวตั้งจดุ ศูนยก์ ลาง สมการ asymptotes y= a x
ที่ (0, 0) b

230

ไฮเพอร์โบลาจดุ ศูนยก์ ลางท่ี (h, k)

พิสูจน์ทำนองเดียวกับไฮเพอร์โบลาจุดยอดที่ (0, 0) หรือใช้สมบัติการเลื่อนขนานโดยให้
( x, y ) เป็นพกิ ัดของจดุ P บนไฮเพอร์โบลาเม่อื เทียบกับแกนพิกัดเดิม และ( x, y) เป็นพิกดั ของ
จุด P บนไฮเพอร์โบลาเมอื่ เทยี บกับแกนพิกัดใหม่ และ h, k เป็นจำนวนจรงิ จะได้ x = x − h และ
y = y − k โดยมขี อ้ สรุปดังน้ี

แกนตามขวางขนานแกน x

สมการ (x − h)2 − ( y −k )2 =1
a2 b2

จดุ ยอด V (h − a, k), V (h + a,k)

จุดโฟกสั F(h − c, k), F(h + c, k)

แกนตามขวางขนานแกน x

แกนสังยุคขนานแกน y

ภาพท่ี 2.5.5 ไฮเพอร์โบลาแนวนอนจดุ LR = 2b2
ศูนย์กลางที่ (h. k) a

แกนตามขวางขนานแกน y สมการ asymptotes y − k =  b ( x − h)
a

สมการ ( y −k )2 − ( x − h)2 =1
a2 b2

จดุ ยอด V (h, k − a), V (h, k + a)

จดุ โฟกสั F(h, k − c), F(h, k + c)

แกนตามขวางขนานแกน y

แกนสงั ยคุ ขนานแกน x

ภาพท่ี 2.5.6 ไฮเพอรโ์ บลาแนวต้ังจดุ LR = 2b2
ศูนย์กลางท่ี (h. k) a

สมการ asymptotes y − k= a (x − h)
b

231

ตวั อยา่ งท่ี 2.5.1 จงหาจดุ ศูนย์กลาง จุดยอด จดุ โฟกสั ความยาวแกนตามขวาง ความยาวแกนสงั ยดุ

และสมการ asymptotes ของไฮเพอรโ์ บลาที่มสี มการเปน็

1. 36x2 −64 y2 = 2304

วธิ ีทำ

จดั สมการใหมเ่ ปน็ x2 − y2 =1
82 62

จะได้ a = 8, b = 6 และจาก c2 =a2 +b2

จะได้ c2 =82 +62 , c = 10 ภาพท่ี 2.5.7
ดังนัน้ จดุ ศูนยก์ ลาง (0, 0)

จุดยอด (– 8,0), (8, 0)

จุดโฟกสั (– 10,0), (10, 0)

ความยาวแกนตามขวาง = 2a = 16

ความยาวแกนสังยดุ = 2b = 12

สมการ asymptotes y =  3 x ดังภาพที่ 2.5.7
4

2. 9y2 −16x2 −144 = 0

วิธที ำ

จัดสมการใหม่เปน็ y2 − x2 =1
42 32

จะได้ a = 4, b = 3 และจาก c2 =a2 +b2

จะได้ c2 =42 +32 , c = 5

ดงั นน้ั จดุ ศนู ย์กลาง (0, 0)

จดุ ยอด (0, – 4), (0, 4) ภาพท่ี 2.5.8
จุดโฟกสั (0, –5), (0, 5)

ความยาวแกนตามขวาง = 2a = 8

ความยาวแกนสังยุด = 2b = 6

สมการ asymptotes y =  4 x ดงั ภาพที่ 2.5.8
3

232

3. 4 x2 −9y2 −16x +18y − 29 = 0

วิธที ำ

จัดสมการใหม่เปน็

4( x2 − 4 x) − 9( y2 − 2y) = 29

4( x2 − 4 x + 4) − 9( y2 − 2y +1) = 29 + 4(4) − 9(1)

4( x − 2)2 − 9( y −1)2 = 36 ภาพที่ 2.5.9

(x − 2)2 − (y − 1)2 =1
32 22

จะได้ a = 3, b = 2 และจาก c2 = a2 + b2 จะได้ c2 = a2 + b2 , c = 13

ดงั นนั้ จุดศูนยก์ ลาง (2, 1)
จดุ ยอด (5,1), (– 1, 1)

จดุ โฟกสั (2 − 13,1), (2 + 13,1)

ความยาวแกนตามขวาง = 2a = 6

ความยาวแกนสังยดุ = 2b = 4

สมการ asymptotes y − 1= 2 ( x − 2) ดังภาพที่ 2.5.9
3

4. 16y2 − 9x2 + 32y − 36x −164 = 0

วธิ ที ำ

จดั สมการใหม่เปน็

16(y2 − 2y) − 9(x2 + 4 x) = 164

16(y2 − 2y + 1) − 9(x2 + 4 x + 4) = 164 + 16 − 36

16(y−1)2 − 9(x+ 2)2 = 144

(y − 1)2 (x + 2)2 ภาพที่ 2.5.10
32 42
− =1

จะได้ a = 3, b = 4 และจาก c2 = a2 +b2 จะได้ c2 =32 + 42 , c = 5

ดงั น้ัน จดุ ศูนยก์ ลาง (– 2, 1)

จดุ ยอด (– 2, 4), (– 2, – 2)

233

จุดโฟกสั (– 2, 6), (– 2, – 4)

ความยาวแกนตามขวาง = 2a = 6

ความยาวแกนสงั ยดุ = 2b = 8

สมการ asymptotes y −1= 3 (x + 2) ดงั ภาพที่ 2.5.10
4

ตัวอย่างที่ 2.5.2 จงหาสมการไฮเพอรโ์ บลา ท่ีมจี ดุ ศนู ยก์ ลาง (0, 0) แกนตามขวางของไฮเพอรโ์ บลา
ทับแกน y ลาตสั เรกตมั ยาว 36 หนว่ ย ระยะหา่ งระหวา่ งจดุ โฟกัสท้ังสองเท่ากบั 24 หนว่ ย
วิธีทำ

จากระยะห่างระหว่างจดุ โฟกัสทง้ั สองเทา่ กบั 2c = 24 หนว่ ย

จะได้ c = 12

จากลาตสั เรกตมั ยาว 2b2 = 36 หน่วย
a

จะได้ b2 =18a ภาพที่ 2.5.11

จาก c2 =a2 +b2 แทนค่า c = 12 และ b2 =18a

จะได้ 122 =a2 +18a

a2 +18a −144 = 0

(a + 24)(a− 6) = 0

จะได้ a =6,− 24

เน่ืองจาก a แทนระยะหา่ งระหว่างจดุ ศูนยก์ ลางและจุดยอด ดงั น้ัน a =6

แทนค่า a =6 ใน b2 =18a

และจาก b แทนระยะหา่ งระหว่างจุดศูนยก์ ลางและจดุ ปลายแกนโท ดงั นั้น b =6 3

สมการไฮเพอร์โบลา ทม่ี ีจุดศูนย์กลาง (0, 0) แกนตามขวางของไฮเพอรโ์ บลาทบั แกน y

คอื y2 − x2 =1 แทนค่า a=6 และ b=6 3 ดังภาพที่ 2.5.11
a2 b2

จะไดส้ มการไฮเพอรโ์ บลาคือ y2 − x2 = 1 จัดในรูปทั่วไปไดเ้ ปน็ 3y2 − x2 −108 = 0
36 108

234

ตวั อยา่ งที่ 2.5.3 จงหาสมการไฮเพอรโ์ บลามจี ดุ ศนู ย์กลางทจี่ ุดกำเนิด แกนตามขวางอยบู่ นแกน x

และกราฟผา่ นจุด (6, 4) กบั (– 3, 1)

วธิ ที ำ

จากสมการไฮเพอรโ์ บลามจี ุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด แกนตามขวาง

อยบู่ นแกน x จะไดส้ มการอยู่ในรูป x2 − y2 =1
a2 b2

จากกราฟผา่ นจุด (6, 4) กบั (– 3, 1) จะได้

36 − 16 =1 ---(1) ภาพที่ 2.5.12
a2 b2

9 − 1 =1 ---(2)
a2 b2

แกร้ ะบบสมการจะได้ a2 = 36 และ b2 =4
5

ดังนั้น สมการไฮเพอร์โบลามีจดุ ศูนยก์ ลางท่ีจุดกำเนดิ แกนตามขวางอยูบ่ นแกน x และกราฟผ่าน

จุด (6, 4) กบั (– 3, 1) ดังภาพท่ี 2.5.12

คอื 5x2 − y2 =1 เขยี นในรูปทัว่ ไปได้เปน็ 5x2 −9y2 − 36 =0
36 4

ตัวอยา่ งที่ 2.5.4 จงหาสมการของไฮเพอรโ์ บลาทมี่ โี ฟกสั จดุ หนึ่งอยู่ท่ี (0, 3) จุดศูนย์กลางอยูท่ ่จี ุด

กำเนิดและกราฟของไฮเพอร์โบลานผี้ า่ นจดุ (1,2 2 )

วิธีทำ

จากสมการของไฮเพอร์โบลาที่มีโฟกัส จุดหนึ่งอยู่ที่ (0, 3) จุด

ศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด จะได้ไฮเพอร์โบลาแนวตั้ง c = 3 และมี

สมการอยู่ในรปู y2 − x2 =1
a2 b2

จาก c = 3 และสมบัติ c2 = a2 + b2

จะได้ a2 + b2 =9 ---(1)

และจากไฮเพอรโ์ บลานผ้ี า่ นจุด (1,2 2 )

จะได้ 8 − 1 =1 ---(2) ภาพที่ 2.5.13
a2 b2

235

แก้ระบบสมการจะได้ a2 =6 และ b2 =3

ดังน้นั สมการของไฮเพอร์โบลาทม่ี ีโฟกสั จดุ หนึง่ อยู่ท่ี (0, 3) จดุ ศูนย์กลางอยทู่ จ่ี ดุ กำเนิดและผา่ นจดุ

(1,2 2 ) ดังภาพที่ 2.5.13

คอื y2 − x2 =1 เขียนในรูปทว่ั ไปได้เป็น y2 −2x2 −6 =0
6 3

ตัวอย่างที่ 2.5.5 ไฮเพอร์โบลามีโฟกัสที่จุด F1 (−3,1) และ F2 (3,1) ให้ P เป็นจุดใดๆบน
ไฮเพอร์โบลาและ PF1 − PF2 = 2 5 จงหาสมการของไฮเพอรโ์ บลา
วิธีทำ
จากไฮเพอรโ์ บลามโี ฟกสั ที่จุด F1 (−3,1) และ F2 (3,1)
จะไดไ้ ฮเพอรโ์ บลาแนวนอนจุดศูนยก์ ลาง (0,1) และ c = 3

จาก P เป็นจดุ ใดๆบนไฮเพอรโ์ บลาและ PF1 − PF2 = 2 5

โดยนยิ ามของไฮเพอรโ์ บลาจะได้ 2a = 2 5 ;a = 5

จาก c2 = a2 + b2 ,c = 3 และ a = 5 ภาพท่ี 2.5.14

จะได้ 9 = 5 + b2 ,b = 2

ดังน้ัน ไฮเพอรโ์ บลาแนวนอนจดุ ศูนยก์ ลาง (0,1), a = 5 และ b = 2 ดังภาพที่ 2.5.14

มสี มการคอื x2 − ( y − 1)2 =1 เขยี นในรูปทั่วไปไดเ้ ปน็ 4x2 − 5y2 +10y − 25 = 0
5 4

ตวั อย่างท่ี 2.5.6 จงหาสมการไฮเพอรโ์ บลามีจดุ ยอดอยู่ท่ี (– 10, –5) และ (14, –5) จดุ โฟกัสจุดหนง่ึ

อย่ทู ี่ (– 13, –5)

วธิ ีทำ

จากสมการไฮเพอร์โบลามีจุดยอดอยู่ที่ (– 10, –5) และ (14, –5)

จะได้แกนตามขวางไฮเปอร์โบลาขนานแกน x

และจากจุดศูนยก์ ลางไฮเพอร์โบลาคือจุดก่งึ กลางระหว่างจดุ ยอดท้ัง

สอง ดงั น้ันจะไดจ้ ุดศูนยก์ ลางไฮเพอรโ์ บลาคอื (2, –5)

จากระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางกบั จุดยอดคือ a จะได้ a = 12 ภาพท่ี 2.5.15

จากระยะห่างระหวา่ งจุดศนู ยก์ ลางกับจุดโฟกสั คือ c จะได้ c = 15

236

จาก c2 =a2 +b2แทนค่า a = 12 และ c = 15

จะได้ 152 =122 + b2 ดงั น้นั b = 9

จากแกนตามขวางของไฮเพอร์โบลาขนานแกน x

จะได้สมการไฮเพอรโ์ บลาคอื (x − h)2 −(y − k)2 =1
a2 b2

ดังนั้น ไฮเพอรโ์ บลาแนวนอนจดุ ศนู ย์กลาง (2,− 5) , a = 12 และ b = 9 ดงั ภาพท่ี 2.5.15

มีสมการคือ (x − 2)2 −(y + 5)2 =1
144 81

เขียนในรูปทวั่ ไปไดเ้ ป็น 9x2 −16y2 − 36x −160y −1660 = 0

ตวั อย่างที่ 2.5.7 จงหาสมการไฮเพอรโ์ บลามจี ุดศูนยก์ ลาง (1,– 4) จุดยอดจุดหนง่ึ คอื (1, 4) จดุ โฟกสั
จดุ หนง่ึ อยู่ท่ี (1, 6)
วิธีทำ

จากสมการไฮเพอรโ์ บลามจี ุดศนู ยก์ ลาง (1,– 4)

จดุ ยอดจุดหนงึ่ คือ (1, 4) จดุ โฟกสั จดุ หนง่ึ อย่ทู ่ี (1, 6)

จะไดแ้ กนตามขวางขนานแกน y

และจากระยะหา่ งระหว่างจดุ ศนู ย์กลางและจดุ ยอดคือ a

และระยะหา่ งระหวา่ งจดุ ศูนยก์ ลางและจดุ โฟกสั คอื c

จะได้ a = 8 และ c = 10 ภาพที่ 2.5.16
จาก c2 =a2 +b2แทนคา่ a = 8 และ c = 10

จะได้ 102 =82 +b2 ดงั น้ัน b = 6

จากแกนตามขวางของไฮเพอรโ์ บลาขนานแกน y

จะได้สมการไฮเพอรโ์ บลาคอื (y − k)2 −(x − h)2 =1
a2 b2

ดังนัน้ ไฮเพอรโ์ บลาแนวต้ังจดุ ศนู ย์กลาง (1,– 4), a = 8 และ b = 6 ดงั ภาพท่ี 2.5.16

มีสมการคอื (y + 4)2 −(x − 1)2 =1
64 36

เขียนในรูปท่วั ไปไดเ้ ปน็ 9y2 −16x2 + 32x + 72y − 448 = 0

237

ตวั อยา่ งท่ี 2.5.8 จงหาสมการไฮเพอรโ์ บลา มีเสน้ เส้นกำกบั เป็น3x + 4 y +10 = 0 และ

3x + 4 y + 2 = 0 และผ่านจดุ (2, 1)

วิธีทำ

เส้นกำกบั ของไฮเปอรโ์ ปลาจะตดั กันทจ่ี ุดศูนยก์ ลางไฮเปอรโ์ ปลา

ดงั นน้ั เราจะหาจดุ ตัดกันของ

3x – 4y + 10 = 0 -----(1)

3x +4y + 2 = 0 -----(2)

(2) – (1) จะได้ 8y – 8 = 0 ภาพท่ี 2.5.17
y=1

แทน y = 0 ใน (1) จะได้ x = – 2

ดงั นน้ั จุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลาคอื (– 2, 1)

และจาก ไฮเพอรโ์ บลา ผา่ นจดุ (2, 1)

จะได้ จดุ ยอดของไฮเพอรโ์ บลาคือ (2, 1)

และแกนตามขวางของไฮเพอรโ์ บลาขนานแกน x

จาก a เปน็ ระยะทางระหว่างจุดศูนย์กลางและจดุ ยอดของไฮเพอรโ์ บลา

และ ศูนยก์ ลางและจดุ ยอดของไฮเพอรโ์ บลาคือ (– 2, 1) และ (2, 1) ตามลำดับ ดงั นั้น a = 4

จากความชันของเสน้ กำกบั ของไฮเพอรโ์ บลาที่มีแกนตามขวางของขนานแกน x คอื  b
a

เสน้ เสน้ กำกบั เปน็ 3x – 4y + 10 = 0 และ 3x +4y + 2 = 0 มคี วามชนั เปน็  3 และ a = 4
4
3 b
ดังนนั้ 4 = 4 จะได้ b = 3

จากแกนตามขวางของไฮเพอรโ์ บลาขนานแกน x จะไดส้ มการไฮเพอร์โบลาคือ

( x − h)2 ( y − k ) 2
a2 b2
− =1

ดังนน้ั ไฮเพอรโ์ บลาแนวต้ังจุดศูนย์กลาง (– 2, 1), a = 4 และ b = 3 ดงั ภาพที่ 2.5.17

(x + 2)2 ( y − 1) 2
16 9
มสี มการคือ − =1

เขยี นในรูปทวั่ ไปไดเ้ ป็น 9x2 −16y2 + 72x + 32y −16 = 0

238

ตัวอย่างที่ 2.5.9 ไฮเพอร์โบลา 25x2 − 9y2 − 150x + 36y − 36= 0 มี A และ B เปน็ จุด

ยอดของไฮเพอรโ์ บลาจงหาสมการของพาราโบลาที่มี AB เปน็ เลตสั เรกตมั และมกี ราฟอยเู่ หนอื แกน X
วิธีทำ จัดรูปสมการไฮเพอร์โบลาใหมเ่ ป็นไดเ้ ป็น

25( x2 − 6 x ) − 9( y2 − 4 y ) = 36

25( x − 3)2 − 9( y − 2)2 = 36 + 225 − 36

( x − 3)2 − ( y − 2)2 =1
9 25

ไฮเพอรโ์ บลา ศนู ย์กลาง (3,2) และ a = 3 ภาพที่ 2.5.18

จาก A และ B เปน็ จุดยอดของไฮเพอรโ์ บลาจุดไฮเพอรโ์ บลาจะได้ A(0,2) และ B(6,2)

จากพาราโบลาทม่ี ี AB เปน็ เลตสั เรกตมั และจดุ โฟกสั คอื จดุ กง่ึ กลางของเลตสั เรกตัม

จะไดพ้ าลาโบลามีแกนขนานแกน y และมจี ดุ โพกัสคอื FP (3,2)

จากความยาวเลตสั เรกตมั ยาว 4c และ AB = 6 จะได้ 4c = 6, c =  3
2
3
จากกำหนดพาราโบลาอยเู่ หนอื นแกน x จะได้ c = 2

( )จาก และ 3 1
FP (3,2) แกนพาลาโบลาขนานแกน y c = 2 จะไดจ้ ดุ ยอดพาราโบลาคอื vP 3, 2

ดังภาพท่ี 2.5.18

ดังนั้นสมการพาราโบลาคอื ( x − 3)2 = 6 y − 1

( )2

หรือเขยี นในรูปแบบท่ัวไปได้เปน็ x2 − 6x + 6y + 12 = 0

ตัวอยา่ งท่ี 2.5.10 สมการของไฮเพอรโ์ บลาซ่งึ มจี ุดยอดของวงรี 16 x2 + 25y2 = 400 เปน็ จดุ

โฟกัสและมจี ุดโฟกสั ของวงรนี ั้นเปน็ จุดยอดของไฮเพอรโ์ บลา

วิธที ำ x2 y2
25 16
สมการวงรจี ดั รปู ใหมไ่ ด้เปน็ + = 1,a = 5,b = 4

จาก aE2 = bE2 + cE2 จะได้ 25 = 16 + c2 ; c = 3

ดงั นัน้ วงรเี ปน็ วงรแี นวนอนจุดศูนย์กลาง (0,0) ภาพท่ี 2.5.19

จุดยอดวงรี VE (5,0) และ VE(−5,0) จุดโฟกสั วงรี FE (3,0) และ FE(−3,0)

239

จากจดุ ยอดของวงรเี ปน็ จดุ โฟกสั ของไฮเพอรโ์ บลา จะได้FH (5,0) และ FH(−5,0)

และจากจดุ โฟกัสของวงรนี ้นั เป็นจดุ ยอดของไฮเพอรโ์ บลา จะได้ VH (3,0) และ VH(−3,0)

ดังน้ันไฮเพอรโ์ บลาแนวนอนจุดศนู ย์กลาง (0,0),cH = 5 และ aH = 3

จาก cH2 = aH2 + bH2 จะได้ 25 = 9 + bH2 , bH = 4

ดังนัน้ ไฮเพอรโ์ บลาแนวนอนจุดศนู ย์กลาง (0,0), aH = 3 และ bH = 4 ดังภาพที่ 2.5.18

มสี มการคอื x2 − y2 = 1 เขยี นในรูปทวั่ ไปไดเ้ ป็น 16 x 2 − 9y2 − 144 = 0
9 16

ตวั อย่างที่ 2.5.11 วงรรี ปู หน่งึ มสี มการเปน็ 25x2 + 21y2 + 100x − 42y − 404 = 0 แล้ว

ไฮเพอรโ์ บลาทมี่ จี ดุ ยอดอยู่ทจี่ ุดโฟกัสทั้งสองของวงรแี ละผ่านจดุ (−3,1+ 6 ) มีสมการเป็น

วธิ ีทำ

สมการวงรี 25x2 + 21y2 + 100 x − 42y − 404 = 0

จัดสมการใหม่เปน็

25( x2 + 4 x ) + 21( y2 − 2y ) = 404

25( x + 2)2 + 21( y − 1)2 = 404 + 100 + 21

(x + 2)2 + (y − 1)2 =1
21 25
ภาพที่ 2.5.20
วงรีแนวตัง้ จุดศูนย์กลาง (−2,1), aE = 5, bE = 21

จาก aE2 = bE2 + cE2 จะได้ 25 = 21 + cE2 ; cE = 2

ดังนน้ั จดุ โฟกัสของวงรีคือFE (−2,3) และ FE(−2,−1)

จากไฮเพอร์โบลาทีม่ จี ดุ ยอดอยู่ทจี่ ุดโฟกสั ทง้ั สองของวงรี

ดังนน้ั จดุ ยอดของไฮเพอรโ์ บลาคอื vH (−2,3) และ vH (−2,−1)

จะไดไ้ ฮเพอร์โบลาแนวตงั้ จุดศูนย์กลาง (−2,1) , aH = 2

6 ) มีสมการเปน็ (1 + −1)6 2 ( −3 + 2 )2
bH 2
และผา่ นจุด (−3,1+ 4 − =1

จะได้ bH2 = 2 ดังภาพที่ 2.5.19

ดังน้ัน สมการไฮเพอรโ์ บลาคอื ( y − 1)2 − ( x + 2)2 =1 เขยี นในรูปทัว่ ไปได้เปน็
4 2

x2 − 2 y2 − 2 x − 8 y − 11 = 0

240

ตัวอยา่ งที่ 2.5.12 พืน้ ทีส่ เี่ หล่ียมทมี่ จี ดุ ยอดทงั้ สเี่ ปน็ โฟกสั ของไฮเพอรโ์ บลา y2 − x2 =1 และโฟกสั
16 9
x2 y2
ของวงรี 100 + 64 =1 มคี ่าเท่ากับเท่าใด

วิธที ำ

ไฮเพอรโ์ บลา y2 − x2 = 1 แนวตั้งจุดศนู ยก์ ลาง (0, 0),
16 9

aH = 4, bH = 3 จาก cH2 = aH2 + bH2 จะได้ cH = 5

ดงั น้ันจดุ โฟกสั ของไฮเพอรโ์ บลาคือFH (0,5) และ FE(0,−5)

วงรี x2 + y2 = 1แนวนอนจดุ ศนู ยก์ ลาง (0, 0), aE = 10, ภาพที่ 2.5.21
100 64

bE = 8 จาก aE2 = bE2 + cE2 จะได้ cE = 6 ดังนนั้ จุดโฟกสั ของวงรีคอื FE (5,0) และ

FE ( −5, 0)

ดงั นั้นพน้ื ทส่ี เ่ี หลย่ี มทีมี FH (0,5) , FE(0,−5) , FE (5,0) และ FE(−5,0) เป็นจดุ ยอดเทา่ กบั

1  10  10 = 50 ตารางหน่วย ดงั ภาพท่ี 2.5.20
2

ตวั อยา่ งที่ 2.5.13 สมการไฮเพอรโ์ บลา 9x2 −16y2 +18x + 32y +137=0 มี F1 และ F2 เปน็
โฟกัสของ ถ้า P เป็นจุดบนไฮเพอรโ์ บลา ทท่ี ำให้ F1PF2 =90o แลว้ พน้ื ท่ีของรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก
F1PF2 เป็นกต่ี ารางหน่วย

วธิ ีทำ

สมการไฮเพอรโ์ บลา จดั รปู ใหมไ่ ดเ้ ปน็ (y + 1)2 − (x + 1)2 =1
9 16
ไฮเพอรโ์ บลาแนวตั้งจุดศูนยก์ ลาง (−1,−1), a = 3, b = 4

จาก c2 = a2 + b2 จะได้ c2 = 42 + 32 ; c = 5

ให้ P เป็นจดุ บนไฮเพอรโ์ บลา ดงั ภาพท่ี 2.5.22

จากนยิ ามไฮเพอรโ์ บลา PF1 − PF2 =2a และ F1PF2 =90o ภาพที่ 2.5.22
จะได้ PF1 − PF2 = 6 ---(1), PF12 + PF22 = 100 ---(2)

241

แบบฝึกหัด 2.5

1. จงหาจดุ ศนู ยก์ ลาง จดุ ยอด จุดโฟกสั ความยาวแกนตามขวาง ความยาวแกนสังยุด และสมการ
asymptotes ของไฮเพอรโ์ บลาที่มสี มการเป็น
1) 9x2 −16y2 −144 = 0
2) 49x2 −4y2 −196 = 0
3) 12y2 −4 x2 + 72y +16x + 44 = 0
4) 4 x2 −9y2 +18y − 24x − 9 = 0
5) 16y2 − 9x2 + 32y − 36x −164 = 0

2. จงหาสมการไฮเพอรโ์ บลามจี ดุ ยอดอยทู่ ี่ (– 5, 0) และ (5, 0) จุดโฟกัสจดุ หนง่ึ อยู่ท่ี (7, 0)
3. จงหาสมการไฮเพอรโ์ บลา ทม่ี จี ดุ ศนู ยก์ ลาง (0, 0) แกนตามขวางของไฮเพอร์โบลาทบั แกน x

ลาตสั เรกตมั ยาว 36 หน่วย ระยะหา่ งระหว่างจดุ โฟกสั ทงั้ สองเท่ากบั 24 หนว่ ย
4. จงหาสมการของไฮเพอร์โบลาทมี่ โี ฟกสั จดุ หน่ึงอยทู่ ่ี (6, 0) จดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ จี่ ดุ (0, 0) และ

กราฟของไฮเพอร์โบลานผ้ี า่ นจดุ (3 5,1)

5. จงหาสมการไฮเพอรโ์ บลามจี ดุ ยอดอย่ทู ่ี (– 12, –4) และ (12, –4) จุดโฟกัสจุดหนงึ่ อยู่ท่ี (13, –4)
6. จงหาสมการไฮเพอรโ์ บลามจี ดุ ศูนยก์ ลาง (– 2, 2) จุดยอดจดุ หนง่ึ คอื (4, 2) จุดโฟกสั จุดหนง่ึ อยทู่ ่ี

(6, 2)
7. จงหาสมการไฮเพอรโ์ บลา ทีม่ จี ุดศนู ยก์ ลาง (2, –2) แกนตามขวางของไฮเพอร์โบลาทบั แกน x

ยาว 6 หน่วย แกนสงั ยคุ ยาว 10 หนว่ ย
8. ไฮเพอรโ์ บลามจี ดุ ศนู ยก์ ลางที่จุดกำเนิด แกนตามขวางอยบู่ นแกน Y และกราฟผา่ นจดุ (4, 6) กบั

(1, – 3) จงหาพิกดั ของจดุ ยอด
9. สมการของไฮเพอรโ์ บลาซึง่ มีจดุ ศนู ยก์ ลางท่ี (4, – 5) จดุ โฟกสั จุดหนง่ึ อยทู่ ่จี ดุ (4, – 2) และมี

ความยาวของแกนตามขวางเท่ากับ 4 หน่วย
10. จงหาสมการไฮเพอรโ์ บลา ผา่ นจุด (5, – 2) และมเี ส้นเสน้ กำกับเปน็ 3x − 4 y −11 = 0 และ

3x +4y +5 = 0

11. ให้ H เป็นไฮเพอรโ์ บลาท่ีมจี ุดโฟกสั ทงั้ สองอย่บู นเส้นตรง x = 1 ถ้า H ผ่านจุด (1, 1), (2, 3)
และมีความยาวของแกนตามขวางเทา่ กบั 2.5 หนว่ ยแลว้ สมการของ H คอื

12. สมการของไฮเพอรโ์ บลาซ่ึงมีจุดโฟกสั ของวงรี 9x2 +16y2 = 144 เป็นจดุ ยอด และมจี ดุ ยอด
ของวงรีนน้ั เป็นจุดโฟกสั ของไฮเพอรโ์ บลา

242

13. ไฮเพอรโ์ บลามโี ฟกสั ทจ่ี ุด F1 (−3,0) และ F2 (3,0) ถ้า P เปน็ จุดใดๆบนไฮเพอรโ์ บลา
PF1 − PF2 = 2 5 สมการของวงรที ม่ี จี ุดยอดร่วมกบั ไฮเพอรโ์ บลาและแกนโทมคี วามยาว
เท่ากับแกนสงั ยุคของไฮเพอรโ์ บลามสี มการเป็น

14. ถา้ จดุ โฟกสั ทง้ั สองของวงรี ( x − 1)2 + y2 =1 เป็นจุดเดยี วกบั โฟกสั ทง้ั สองของไฮเพรโ์ บลา
a2 7

( x −1)2 − y2 = 1 แล้ว a2 มีค่าเทา่ กับเทา่ ใด
144 81 25

15. กำหนดให้ไฮเพอรโ์ บลาท่มี จี ุดยอดท่ี (– 4, 0) โฟกสั ท่ี (– 5, 0) และ (1, 0) ถ้าวงรีมจี ุดศูนยก์ ลาง

อยูท่ ี่จุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลานี้ และมคี วามยาวของแกนเอกและแกนโทเท่ากบั ความยาว

ของแกนสงั ยุคและแกนตามขวางของไฮเพอร์โบลาตามลำดบั แลว้ สมการวงรีคือ

16. วงรแี ละไฮเพอร์โบลามจี ดุ ศนู ยก์ ลางร่วมกนั ท่จี ดุ กำเนิด และมีจุดยอดเปน็ จุดเดียวกนั ถ้าวงรีมี

โฟกัสจดุ หนงึ่ เป็น (0,2 5 ) และตัดแกน x ทีจ่ ุด (– 2, 0) จงหาสมการไฮเพอรโ์ บลาทม่ี ีแกนสงั

ยุคยาวเทา่ กับแกนโทของวงรี

17. ไฮเพอรโ์ บลามสี มการเป็น 16x2 – 64x – 9y2 – 80 = 0 แลว้ วงรที ี่มจี ดุ ยอดอย่ทู จี่ ุดอทง้ั สองของ
ไฮเพอรโ์ บลาและมีแกนโทคอื แกนสังยุคของไฮเพอร์โบลามสี มการเปน็

18. ถา้ ไฮเพอร์โบลามีจดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ จ่ี ุดศูนย์กลางของวงรี 4 x2 + 9y2 − 8x − 36y + 4 = 0 จุด
ยอดอยทู่ ่จี ุดโฟกัสทั้งสองจุดของวงรีนี้ และผา่ นจุด (5, 5) แล้วจดุ โฟกสั ของไฮเพอรโ์ บลาคือ

19. ให้ A และ B ปน็ จุดยอดของไฮเพอร์โบลา 4 x2 − y2 − 24 x + 6y +11 = 0 จงหาสมการของ

พาราโบลาทมี่ ี AB เป็นเลตสั เรกตมั และมกี ราฟอย่เู หนอื แกน X
20. ถ้า F เป็นโฟกสั ของไฮเพอรโ์ บลา 6x2 −10y2 −12x − 40y − 94 = 0 อยใู่ นจตภุ าคทส่ี ่ี แลว้

สมการของพาราโบลาทมี่ ีจดุ ยอดท่ี F และมีแกนสงั ยุคของไฮเพอรโ์ บลาเป็นเส้นไดเรกตคิ คือ
21. กำหนดให้ 16x2 − 9y2 − 32x − 36y −164 = 0 เปน็ สมการไฮเพอร์โบลา ถา้ พาราโบลารปู

หนง่ึ มแี กนสมมาตรขนานแกน Y ตดั แกน x ทจี่ ุด (1, 0) และผ่านจดุ ยอดทง้ั สองของไฮเพอรโ์ บลาที่
กำหนดให้แลว้ จงหาสมการของพาราโบลา
22. F1 และ F2 เปน็ โฟกัสของไฮเพอร์โบลาทม่ี สี มการเปน็ 4 x2 − y2 − 8x − 2y −1=0 ถ้า P เปน็
จุดบนไฮเพอรโ์ บลา ท่ที ำให้ F1PF2 =90o แล้วพน้ื ทข่ี องรูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก F1PF2 เป็นกี่ตาราง
หน่วย

243

2.6 สรปุ

1. การเลอื่ นขนาน

การเลอื่ นแกนทางขนาน หมายถงึ การเปล่ียนแปลงแกนพิกดั เดมิ อย่างน้อยหนึ่งแกน (แกน X

หรอื แกน Y) โดยให้แกนพกิ ดั ใหมข่ นานกบั แกนพกิ ดั เดิม

ให้ ( x, y ) เป็นพกิ ัดของจุด P เมื่อเทยี บกบั แกนพิกดั เดิม

( x, y) เป็นพิกดั ของจดุ P เมอื่ เทียบกับแกนพกิ ดั ใหม่ และ h, k เป็นจำนวนจรงิ

ดงั นัน้ x = x + h หรือ x = x − h

y = y+ k y = y −k

2. วงกลม

วงกลม คอื ทางเดินของจุดซงึ่ เคลื่อนทไี่ ปบนระนาบโดยหา่ งจากจุดคงทจี่ ดุ หนง่ึ เป็นระยะทาง

เท่ากนั เสมอ เรยี กจุดคงท่ีน้ีวา่ “จุดศนู ยก์ ลาง (Center) ของวงกลม” และระยะทางทเ่ี ท่ากนั จะ

เรียกวา่ “รศั มี (radius) ของวงกลม”

สมการวงกลมจดุ ศูนย์กลาง (0, 0) รศั มี r หนว่ ย คือ x2 + y2 = r2

สมการวงกลมจุดศนู ยก์ ลาง (h, k) รศั มี r หนว่ ย คือ ( x − h)2 + ( y − k )2 = r2

รปู แบบทวั่ ไปของสมการวงกลมคือ x2 + y2 + Dx + Ey + F =0

เม่อื D =− 2h, E =− 2k, F =h2 + k2 − r2

( ) จุดศูนยก์ ลาง − D , − E
2 2

รศั มี r = 1 D2 + E2 −4F
2

3. พาราโบลา

พาราโบลา คือเซตของจุดทกุ จดุ บนระนาบ ซงึ่ หา่ งจากเสน้ ตรงคงทเี่ ส้นหนง่ึ บนระนาบ และ

จดุ หนงึ่ บนระนาบเปน็ ระยะเทา่ กนั เสมอ

เสน้ ตรงคงที่ เรยี กวา่ เส้นไดเรกตรกิ ซ์ของพาราโบลา จดุ คงที่ เรยี กวา่ จดุ โฟกสั เส้นตรงทีผ่ า่ น

โฟกสั และต้ังฉากกับไดรกตรกิ ซ์ เรียกวา่ แกนของพาราโบลา หรอื แกนสมมาตร จดุ ทพ่ี าราโบลาตดั

กับแกนของพาราโบลา เรยี กวา่ จดุ ยอดของพาราโบลา สว่ นของเสน้ ตรงทผี่ า่ จุดโฟกสั และมีจดุ ปลาย

ทัง้ สองบนแกนพาราโบลา เรยี กว่า Latus Rectum

พาราโบลาทม่ี จี ุดยอดอยทู่ ่ี (h, k)

244

แกน y เป็นแกนสมมาตร สมการ: x2 = 4cy
แกน x เปน็ แกนสมมาตร c > 0 หงาย,
c < 0 ควำ่
จุดยอด: v(0, 0)
จดุ โฟกสั : F(0, c)
สมการ directrix: y = – c
ความยาว Latus Rectum: 4c

สมการ y2 = 4cx :
c > 0 ตะแคงขวา,
c < 0 ตะแคงซ้าย
จดุ ยอด: v(0, 0)
จุดโฟกสั : F(c, 0)
สมการ directrix: x = – c
ความยาว Latus Rectum: 4c

เส้นตรงขนานแกน x เป็นแกนสมมาตร

( y − k)2 = 4c( x − h)

c > 0 ตะแคงขวา,
c < 0 ตะแคงซา้ ย
จุดยอด: v(h, k)
จุดโฟกสั : F(h + c, k)
สมการ directrix: x = h – c
ความยาว Latus Rectum: 4c

เส้นตรงขนานแกน y เปน็ แกนสมมาตร

( x − h)2 = 4c( y − k)

c > 0 หงาย,
c < 0 ควำ่
จุดยอด: v(h, k)
จดุ โฟกสั : F(h, k+c)
สมการ directrix: y = k – c
ความยาว Latus Rectum: 4c

245

4. วงรี

วงรีคือเซตของจดุ ทุกจุดบนระนาบซง่ึ ผลบวกของระยะทางจากจุดเหลา่ น้ีไปยงั จุดคงทสี่ องจดุ มี

ค่าคงท่เี สมอ

วงรีจุดศูนยก์ ลางอยู่ที่ (0, 0)

y สมการ x2 + y2 =1
B/(0, b) a2 b2

V (−a, 0) F(−c, 0) F/( c, 0) V/( a, 0) x จดุ ยอด V(−a,0), V (a,0)
จดุ โฟกสั F(−c,0), F(c,0)

B(o,−b) แกนเอกบนแกน x

LR = 2b2
a
x2 y2
y สมการ b2 + a2 =1
V/( 0, a)

F/(0,c) จุดยอด V (0, −a), V (0, a)

B(−b, 0) B/(b, 0) x y จดุ โฟกสั F (0,−c), F (0,c)

F (0, −c) แกนเอกบนแกน y

V (0, −a) LR = 2b2
a
วงรจี ุดศูนยก์ ลางอย่ทู ี่ (h, k) (x − h)2 )2
สมการ a2 + ( y −k =1
y b2
B/(h, k+b) จุดยอด V(h − a,k), V (h + a,k)

V (h − a, k ) F ( h − c , k ) F/(h+ c, k) V/(h+ a, k) จดุ โฟกสั F(h − c,k), F(h + c,k)
x
แกนเอกขนานแกน x

B (h , k − b ) LR 2b2
a
=

y (x − h)2 ( y −k ) 2
V/(h, k+a) b2 a2
สมการ + =1
F/( h, k+c)
จดุ ยอด V(h,k − a), V (h,k)

B (h − b, k ) B/(h+b, k) จดุ โฟกสั F(h,k − c), F(h,k + c)

F(h, k − c) แกนเอกขนานแกน y
2b2
V (h , k − a ) x LR = a

246

5. ไฮเพอรโ์ บลา
ไฮเพอร์โบลา หมายถึง ทางเดินของจุดทกุ จดุ บนระนาบ ซงึ่ มผี ลต่างของระยะทางจากจุดเหลา่ น้ี
ไปยังจุดคงท่ีสองจุดคงท่มี ีค่าคงทเ่ี สมอและมีค่ามากกวา่ ศูนย์

ไฮเพอรโ์ บลาจุดศูนย์กลางท่ี (0, 0) สมการ x2 − y2 =1
ไฮเพอรโ์ บลาจุดศนู ย์กลางท่ี (h, k) a2 b2
จดุ ยอด V (−a,0), V (a,0)

จุดโฟกัส F(−c,0), F(c,0)

แกนตามขวางบนแกน x แกนสงั ยคุ บนแกน y

LR = 2b2 สมการ asym y =  b x
a a
y2 x2
สมการ a2 − b2 =1

จุดยอด V(0,−a), V (0,a)

จดุ โฟกัส F(0, −c), F(0, c)

แกนตามขวางบนแกน y แกนสงั ยคุ บนแกน x

LR = 2b2 , asymptotes y =  a x
a b
(x − h)2 − k)2
สมการ a2 −(y b2 =1

จดุ ยอด V (h − a, k), V (h + a,k)

จุดโฟกสั F(h − c, k), F(h + c, k)

แกนตามขวางขนานแกน x แกนสังยุคขนานแกน y
2b2
LR = a , asymptotes y −k= b (x − h)
a
(y − k)2 − h)2
สมการ a2 − ( x b2 =1

จดุ ยอด V (h, k − a), V (h, k + a)

จดุ โฟกัส F(h, k − c), F(h, k + c)

แกนตามขวางขนานแกน y แกนสงั ยุคขนานแกน x
2b2
LR = a , asymptotes y −k= a ( x − h)
b

247

เลขยกกำลงั

บทนิยาม ถ้า a เปน็ จำนวนจรงิ ใดๆ และ n เปน็ จำนวนเต็มบวกแลว้

an = aaa a

n

จาก an เรยี กว่า เลขยกกำลัง เรยี ก a ว่า ฐานของเลขยกกำลงั เรยี ก n วา่ เลขชก้ี ำลัง

สมบัติของเลขยกกำลัง

ให้ a และ b เปน็ จำนวนจรงิ ใดๆ โดยท่ี m, nI+ และ kI am k amk
bn b nk
1. aman = am+n 
am 5. = b 0
2. an = am- n
1
3. (am)n = a mn 6. a- n = an โดยที่ a  0

4. (ambn)k = amk bmk 7. a0 = 1 โดยที่ a  0

จงทำใหเ้ ป็นรปู อยา่ งง่ายและกำลังเป็นบวก

1. 2- 4478- 8162

2.  32 94 2
27 

3. 92(3)-5

4. (7)3 (21)2  7 −3
3 

( )5.80 − 20 +  1 0 − 4 −1 0 0
 2 


6. 2−3 3−5
3−5 20

7. (a-5 b7)2(a-2 b-7c0)3

8. 4 2−n  22n+1 8n+1
23n+2