MATH4609_Mathematics for teachers II

248

9. 2 n+3  6 − n+2
15−n−1 5 n+1

10. 9−n+2  32n+1  27n+1
33n+2

11. 3 n+3  152−n
35−n−1 71+n

12. ( 1 x-3 y4)-2(4x4y-7)-1
2

 1 − 2
 b− 
13. 3a 2 3

 a −1 b −2 3  a −4 b 2  −2
 c3   c −3 
14.

15.  a2b−3 3  a b−2 −2 −3
   
 a−2c−2   a5b 

16.  x−5y4 2  x 4 y -5 −3
x 2 y −2 x 3 y −7

17.  x2 y−4 2  x−2 z−3 5
   
 x−3 z−5   z −1 

Expo & Log 249

MATH4609

18. ( 1− −2 ( 2 −1)2 ( −2 −1 )2

2− )

19. (2−3 3 −4 5)−4( 4 3)4 5
[2−2( 3 )−3 3 4 6]−5

20. ÷( −2 −3)−4 ( 5 )−2( −2 4)2
( −3 −4)−2
( −6 −1)−1

21. ∙ ÷( −6 −3)−5 ( −3 −5)−4 ( −3 2)−2( 3 −1)6
( 5 4)8 ( 3 −2)−2 ( −6 3)−3

22. a−3 − b−3
a−1 − b−1

23. 9−x4
3x−1 − x

a2 +b2 2
(a + b)2
24. + ab 2

 1 + 1
a b

( ) ( )25.3x n+1 2  x−n
x2( n+1) x−n 3

250

26. 32n − 4 2n−2
2n − 2n−1

27. 2 n+4 −102 n+1
2 n + 2 n+1

28. 62n − 4 2n−2
2n+1 + 2n−2

29. 22 2n+3 − 242 2(n−1)
10  2 2 n

1
34n+3 + 34n+2  n
 32n+2 ( 4) 
( )30.

31. 4 ∙9 +1+32 ∙22 +1
9 ∙22 +2+4 ∙32 +1

1
729n + 812n  n
32.  27n + 243n 

2 n+1  4 n+1
2n n−1 2n−1 n+1
( ) ( )33.

Expo & Log 251

MATH4609

34. a 2 n−3  a n+5
a3n+1 a n−3

35. 3 + −3 + 5 + −5
+ −

36.  1 y− 1 3  2 3 6
 2  
x3 5 x3 y4

 1   1 2
 x2 y 2   x2 y 3 

 − 1 y−16 3  x − 2 2 −6
 3  3 
37. x 5 y3
 
   
x−1 y −1   x − 1 3 
2
y4

 2 y−13 5  2 3 4  13 6
    
38.  x5 1 6  x3 y4    x3 y2 

 1 2 12
 x−1y 2   x4 y 3   x2 y 3 

 1 a −12 b−13 a2b2 2 −12 6
( )39.a 3 3 
 

252

40. ( 13√ 3 2 3 3√ −1 −2 12

−3)

41. ( 48√ 3 2 3 9√ −3 −2 54

−1)

42. ( − )35 ∙ 3√ 2+2 + 2

2
( 2− 2)3( + )−1

43. 3 ∙ ( 4√ + 4√ )2+( 4√ − 4√ )2 ∙ 3√ √
+√

44. ( 3√ −3√2 23√− 3 √+ 3 √ 2 2 + 3√ 2 −3√ 2 3√

3√ −3√ ) ÷

Expo & Log 253

MATH4609

รากท่ี n ของจำนวนจริงและเลขยกกำลงั ทเ่ี ลขช้กี ำลังเปน็ จำนวนตรรกยะ

บทนิยาม กำหนด x, y เปน็ จำนวนจรงิ n เป็นจำนวนเต็มท่ีมากกวา่ 1
y เปน็ รากที่ n ของ x กต็ อ่ เมอ่ื yn = x โดย

1. ถา้ n เปน็ จำนวนคี่ รากที่ n ของ x มเี พียงคา่ เดียวได้แก่ n x

2. ถา้ n เปน็ จำนวนคู่ รากท่ี n ของ x เปน็ จำนวนจริง กต็ ่อเมอื่
x เปน็ จำนวนจริงบวกและรากท่ี n ของ x มไี ด้ 2 คา่ ได้แก่ + n x

3. เรียก n x วา่ คา่ หลักของรากที่ n ของ x

บทนิยาม กำหนด a เป็นจำนวนจริงใด m, n เป็นจำนวนเตม็ ที่ n มากกว่า 1, (m, n) =1
m
n am
=a n
สมบัตขิ องรากท่ี n เมื่อ n x และ n y เปน็ จำนวนจริง

1. (n x )n = x

2. n xn = x ; n เป็นจำนวนเตม็ คี่
 n เป็นจำนวนเตม็ คู่
 x ;

3. n x n y = n xy

4. n x =n x ; y0
n y y

จงทำให้อยใู่ นรปู อย่างงา่ ย 6. 2 147 + 4 507 −11 108
1. 12 + 27 − 75

2. 8 + 50 − 32 7. 3 343 + 5 1008 − 6 1372

3. 72 − 18 + 288 − 648 8. 12 1053 − 4 507 − 3 7488
9. 53 256 + 23 32 − 3 108
4. 2 50 + 3 32 − 4 18
10. 3 81 + 3 375 − 3 192
( )5. 2
2 + 8 + 18 + ... + 72

254

11. 73 2401 − 23 448 − 53 1512 20. 8 8 125 40

12. 53 1296 − 33 2058 − 3 4374 21. 8 256 625 400

13. 3 2 + 32 − 4 64 22. 243 294 216 27

14. 2 18 + 4 2500 + 32 − 64 64 23. 3 5( 10 + 2 5)

15. 24 324 + 4 5184 − 32 − 54 1024 24. 163 4  43 16

16. 4x3 − 16x5 + x9 25. ( 3 + 2 )( 3 − 2 )

17. 2 a4x + 3a 4a2 − 9a4x 26. (2 3 + 7)(2 3 − 7)
27. (3 5 + 7 2 )( 5 − 3 2 )
18. a − 12 a + 4a 28. ( 5 − 2)(2 5 −1)
3 3

19. 3 147 −7 1 − 11 1
27 3

Expo & Log 255

MATH4609

จงเขียนจำนวนต่อไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปที่สว่ นไม่ติดกรณฑ์

1. 6 13. 4 64 − 3
2
4 729 + 32 − 8
2. 48
512

3. 21
15
18 12
4. 2  6 14. 3+ 2+ 3− 2
3 5

5. 1
5+ 3

6. 4 15. 9 − 3
3− 5 5+2 2 2 2− 5

7. 1 16. 3 −1 + 3 +1
2 2+ 3 3 +1 3 −1

8. −5 7+ 5 7 − 5
2 2− 3 7− 5 7 + 5

17. −

9. 4 7 − 2 5

2 7− 5

10. 10 6−2 7 18. 4( 3 +1) − 2 + 3
3 6+2 7 2 − 3
3 −1

11. 2 2+2 3 19. 3− 2 − (5 + 2 6)
12 + 8 − 32 3+ 2

12. 3 2 − 2 3

108 + 8 − 128

256

การหารากที่ 2 ของจำนวนจริงซง่ึ อยู่ในรปู x + 2 y

พิจารณา ( a+ )2 = ( ) ( )2 2
a +2 a b+ b
b

= a + 2 ab + b = a + b + 2 ab

และ ( a− )2 = a – 2 ab + b = a + b – 2 ab

b

วิธหี ารากท่ี 2 ของ x + y คือทำ x + 2 y ใหอ้ ยู่ในรปู กำลังสองสมบูรณ์

น่นั คือหา a และ b โดยท่ี a + b = x และ a  b = y

จงหารากท่สี องของ 10. 27 – 8 11
1. 4 + 2 3

2. 10 + 2 24 11. 28 – 6 3

3. 12 – 2 27 12. 41 + 6 32

4. 14 + 180 13. 3 + 5

5. 21 + 416 14. 6 – 27

6. 14 – 180 15. 32 − 24

7. 52 – 588 16. 48 − 45
8. 17 + 6 8 17. 2m + 2 m2 − 9n2

9. 27 – 8 11 18. 6a + 36a2 −16b2

จงหาค่าของ

1. 19 + 4 21 − 29 − 2 28 + 7 − 12
2. 28 + 6 3 − 9 − 4 2 + 8 − 27
3. 108 − 72 − 3 17 −12 2 − 2 28 + 6 3
4. 49 − 20 6 − 10 − 4 6 + 6
5. √2 (√10 + √84 − √10 − √84 − √14 + √96)
6. − 3 + 3 + 8 7 + 4 3

7. √9 + √6 + √10 − 4√6 − √10 + √96
8. 1 − 3 − 4

√11−2√30 √7−√40 √8−4√3

9. 2 + 3 − 4
√12−2√35 √7−2√10 √9−√56

258

10.  6+4 2 + 6−4 2 
 2+ 6+4 2 2− 6−4 2 

33

11. (√6+√35) −(√6−√35)
13√10
33

12. (6 + √35)2 − (6 − √35)2

33

13. (5+2√6)2+(5−2√6)2
6√3

33

14. (5+√21)2+(5−√21)2

33

(8+√63)2−(8−√63)2

33
(√5+√21) +(√5−√21)
15.
33

(8+√63)2−(8−√63)2

Expo & Log 259
MATH4609

สมการทตี่ วั แปรอยูใ่ นรปู รากท่ี n

การแก้สมการเกยี่ วกบั จำนวนติดกรณฑ์ มหี ลักการคอื ทำให้สมการอย่ใู นรปู ไมม่ เี ครอื่ งหมายกรณฑ์
ซงึ่ อาจใช้วธิ ียกกำลงั แต่เนื่องจากการทำเครอ่ื งหมายกรณฑใ์ หห้ มดไปนัน้ สมการท่ีได้ใหม่อาจไม่สมมลู กับ
สมการเดมิ นนั่ คือคอื เซตคำตอบอาจแตกตา่ งกนั ดังนัน้ เมอ่ื ได้คำตอบจากสมการใหม่ตอ้ งนำไปแทนค่าตวั แปร
ในสมการเดมิ เพอ่ื ตรวจสอบวา่ เปน็ คำตอบของสมการเดิมหรือไม่

จงหาเชตคำตอบของสมการ
1. x + 2 = x – 4

2. 2x −1 = 8x − 4 − x + 4

3. x + 2 + 3 = 7 − x

4. x + 2 + 3x − 5 = 2x + 5

5. x2 + 6 x2 − 2x + 5 = 11 + 2x

6. x2 + 2x – 2 x2 + 2x + 6 = – 3

7. 2x2 − 3 2x2 − 7x + 7 = 7x − 3

260

8. 2x2 − 2x + 9 − 2 x2 − x + 3 = 15

9. 23 5x − 35 = 53 2x − 7

10. 4 4 −11x – 3 = 0

11. 3 x2 + 2x +1 + 53 x +1 = 6
12. 4 x +1 − x +1 + 2 = 0

13. 3 5x +4 + 3 x −1 = 5
x −1 5x + 4 2

Expo & Log 261
MATH4609

14. x + 1− x = 2 1
1− x 6
x

15. x + 4 − 4x = 3

1− x x

16. x2 + 2x − 3 − x2 − 4x + 3 = 2x2 −10x + 8

17. 2 ∙ 3√ − 3 + 3√ − 2 = 6 ∙ 6√( − 2)( − 3)
18. 15 − x = 22 − 2 105

262

19. √ +3+√ −3 = 2 −1
√ +3−√ −3 3

20. √ +48+√ = √ −4+√3

√ +48−√ √ −4−√3

21. +√ 2−1 + −√ 2−1 = 123
−√ 2−1 +√ 2−1

22. กำหนดให้ √ +1+√ −7 = 2 จงหาค่าของ | − 2|

√ +1−√ −7

Expo & Log 263
MATH4609

23. ถา้ 3−√6 − 2 = แล้ว x จะเปน็ สมาชกิ ของเซตในขอ้ ใด
3+√6 − 2
ก. (−1,1] 3− ข. (1,2] ค. (2,3] ง. (3,4]

24. ให้ 5 + 21 = x + y เมอื่ x, y เปน็ จำนวนตรรกยะ และ 0 < x < y จงหาคา่ ของ 4x – 2y

x 10 − 99 x = 20 มคี ่าเทา่ กบั เทา่ ใด

10 + 99 +
( ) ( )25. ผลบวกของรากของสมการ

26. กำหนดให้ √ − 2√ = 1 และ √5 + + √5 − = 4 จงหาคา่ √ + √

264

ฟังก์ชันเอกโปเนนเชียล

บทนยิ าม ฟังก์ชันเอกโปเนนเชียล คอื f = {(x,y) R  R+y = ax, a > 0, a  1}

สมบตั ขิ องฟงั กช์ นั เอกโปเนนเชียล

1. ฟงั ก์ชนั เอกโปเนนเชยี ลเปน็ ฟงั ก์ชนั 1–1 จาก R ไปทัว่ ถึง R+

2. จากบทนิยาม ระบุไว้วา่ a > 0, a  1 x

2.1 ถ้า a > 1แลว้ y = ax เป็นฟังก์ชันเพ่มิ เช่น y = 3x, y=  3 , y = (1.6)x
2
กราฟมลี ักษณะดังรปู Y

(0, 1)

X

2.2 ถ้า 0 < a < 1แล้ว y = axเป็นฟังกช์ นั ลด เชน่ y = 1 x , y = (0.1)x, y = 2 –x
3

กราฟมีลกั ษณะดงั รปู

Y

(0, 1)
X

กราฟของฟงั กช์ นั y = ax ทั้งในกรณที ่ี 2.1 และ 2.2 จะไม่สมั ผสั แกน X
หรือตัดแกน X แตจ่ ะมคี า่ เข้าใกล้แกน X เพราะ ax > 0 เสมอ
3. โดยสมบตั ิของฟงั กช์ ัน 1–1 จะไดว้ า่ ax = ay ก็ต่อเมื่อ x = y

Expo & Log 265
MATH4609

กราฟของฟงั กช์ ันเอกซ์โพเนนเชยี ล

266

จงวาดกราฟตอ่ ไปน้ี 7. = 4−| |
1. = 2 8. = 4 ∙ 2
2. = 0.5
3. = 2− 9. = 2−( +1) + 3

4. = −3− 10. = 3 −2 + 1

5. = − (1)− 11. = 2| | − 1
2

6. = 2| |

12. = 0.5| −1| + 2

สมการเอกโปเนนเชียล

สมการเอกโปเนนเชียล คอื สมการท่มี ตี วั แปรเปน็ เลขชกี้ ำลัง ซึ่งมี 3 ลักษณะ คือ
1. สมการท่ีใช้ความรู้เรอื่ งทำฐานใหเ้ ท่ากนั และใช้สมบตั ิของฟงั ก์ชัน 1–1 ดังนี้

ถ้า am = an และ a > 0, a  1 แล้ว m = n
2. สมการทฐ่ี านไมเ่ ท่ากนั แตเ่ ลขชี้กำลงั เท่ากัน ใช้สมบัตดิ งั น้ี

ถา้ am = bm และ a  0, b  0 แลว้ m = 0
3. สมการที่ฐานไมเ่ ท่ากนั และเลขชก้ี ำลงั ไมเ่ ท่ากัน โจทยล์ ักษณะนีต้ ้องอาศยั ความรู้เรอื่ งฟงั กช์ นั

ลอการิทึมซึ่งจะกลา่ วถึงต่อไป
นอกจากน้ีโจทย์ในลักษณะที่ 1 และ 2 ยงั สามารถแยกคิดได้อีกดังน้ี
1. สมการทม่ี ี 2 พจนใ์ หแ้ ยกอยู่ขา้ งละพจน์ แล้วพยายามทำใหฐ้ านหรอื เลขช้ีกำลงั เทา่ กนั
2. สมการที่มตี ง้ั แต่ 3 พจนข์ ึน้ ไป ต้องอาศัยการแยกตัวประกอบมาช่วยในการแก้สมการกอ่ นแลว้ ใช้

ความรู้เรือ่ งสมการทม่ี ี 2 พจน์

แบบฝึกหัด
1. จงหาคำตอบของสมการ 2x = 512

2. จงหาคำตอบของสมการ

163 = 2048

3. จงหาคำตอบของสมการ 3x = 2187

4. จงหาคำตอบของสมการ 81 = 6561

5. จงหาคำตอบของสมการ 5 = 3125

6. จงหาคำตอบของสมการ 9x+1 = 729(31 – 2x)

268

7. จงหาคำตอบของสมการ 27−2x = 4802
8. จงหาคำตอบของสมการ 7 ∙ 4 = 3584
9. จงหาคำตอบของสมการ 4x+2 = 2−2x 8x−1
10. จงหาคำตอบของสมการ 16x+2 = 23−x  4−2x 8x−1

11. จงหาคำตอบของสมการ 43 ∙ 322− = 642 −3 ∙ 162(1− )

12. จงหาคำตอบของสมการ 162−3 ∙ 642 −3 = 1282 −3 ∙ 322(2− )

Expo & Log 269
MATH4609

13. จงหาคำตอบของสมการ 2x2−2x = 8x−2
14. จงหาคำตอบของสมการ 2x+1 + 2x+2 + 2x+3 = 7

8

15. จงหาคำตอบของสมการ 2x−1 + 2x−2 + 2x−3 = 896

16. จงหาคำตอบของสมการ 32x−1 + 32x−2 − 32x−4 = 315

17. จงหาคำตอบของสมการ 4(2x )2 + 3(2x ) −1 = 0

270

18. จงหาคำตอบของสมการ 4x+1 = 2x+5 – 64
19. จงหาคำตอบของสมการ 4x – 5(2x – 1 ) = 6
20. จงหาคำตอบของสมการ 32x+3 − 55 = 28(3 − 2)
21. จงหาคำตอบของสมการ 32x+1 – 103x + 3 = 0
22. จงหาคำตอบของสมการ 52x – 65x + 5 = 0

Expo & Log 271
MATH4609

23. จงหาคำตอบของสมการ 9x--1 – 363x--3 + 3 = 0

( )24. หาคำตอบของสมการ x−2+ x2 −4
2x+ x2−4 − 5
2 −6 = 0

25. จงหาคำตอบของสมการ 23x+14(4x) – 65(2x) = 2(4x) – 2x
26. จงหาคำตอบของสมการ 23x − 14 ∙ 22x + 56 ∙ 2x = 64

272

27. จงหาคำตอบของสมการ 54x + 25 − 53x+1 − 5x+1 = 0

28. ค่า x จากสมการ 25x+1 + 32x = 1123x + 625x มคี า่ เท่ากับเท่าใด

29. ค่า x จากสมการ 6(25 ) + 11(23 ) − 3 ∙ 2 = 25 +1 มคี ่าเทา่ กบั เทา่ ใด
30. จงหาคำตอบของสมการ 16x + 36x = 281x

Expo & Log 273
MATH4609

31. จงหาคำตอบของสมการ 3 2+2 − 3 2+1 − 9 +1 + 27 = 0

32. จงหาคำตอบของสมการ 5 2+2 − (25 ∙ 5 )2 − 625 ∙ 5 2 + 390625 = 0

33. ผลบวกของคำตอบของสมการ 12x (− 2 3x ) − 9(4x ) +18=0 มคี ่าเท่ากบั เท่าใด

34. กำหนดให้ a, b เป็นคำตอบของ 64x – 136x + 69x = 0 ค่าของ 10a + 10b เปน็ เท่าใด โดยที่ a
>b

274

35. จงหาคำตอบของสมการ 23x−1  6x  255x−1 = 75x

36. จงหาคำตอบของสมการ 5x – 5x – 2 =120 5

37. จงหาคำตอบของสมการ 52x+1 − 25x = 4x+0.5 + 22x+3

38. จงหาคำตอบของสมการ 1+ 1 1

4 3 2x = 3 x + 27

39. จงหาคำตอบของสมการ 4x – 3x−12 = 3x+ 1 – 22x–1
2

Expo & Log 275
MATH4609

40. จงหาคำตอบของสมการ 3x + 3x+1 + 3x+2 = 35x + 5x+1 − 5x+1

( ) ( ) ( ) ( )41. จงหาคำตอบของสมการ 3x 3x+1 + 3x+1 3x+2 = 2 2x 2x+1 + 2x+1 2x+2 

42. จงหาคำตอบของสมการ (2)x2−3x+1 + (3)x2−3x+1 = 13
3 26

43. จงหาคำตอบของสมการ 4sin2x + 4cos2x = 4 เมือ่ ∈ [0,2 ]

276

44. จงหาคำตอบของสมการ (5)x2−3x+1 + (8)x2−3x+1 = 89
8 5 40

45. จงหาคำตอบของสมการ (√3 + √2)2x−5 = √3 − √2

46. จงหาคำตอบของสมการ ( 5 + )2 x2 −3x−5 = 5 − 2

 5 −1 6x−4 x2 −3x
 4 
5 +1
( )47. จงหาคำตอบของสมการ =

48. จงหาคำตอบของสมการ (3−√5)2 −4 = (3 + √5) 2−2

4

Expo & Log 277
MATH4609

49. จงหาคำตอบของสมการ (5+ 2 6)x − ( )10 −x +1= 0

3+ 2

50. จงหาคำตอบของสมการ (5 − 2√6) − √3 − √2 = 0

2 x −5

20 −
( )51. จงหาคำตอบของสมการ
4 6+ 5 +1=0

52. จงหาคำตอบของสมการ (√3 + √2)2 − 10(√3 − √2)− + 1 = 0

278

53. จงหาคำตอบของสมการ 2 +√ 2−4 − 5(√2) −2+√ 2−4 − 6 = 0

54. จงหาคำตอบของสมการ 322x+1−9∙2x+1+32 = 272 +21

55. ให้ 8x = 3 จงหาค่าของ (23x – 1)(23x + 1)(23x+2– 3x)
56. ให้ 27x = 2 จงหาค่าของ (33x - 1 – 1)(93x + 2)(333x– 3– 3x)

Expo & Log 279
MATH4609

57. ให้ 3 + 3− = 3 จงหาคา่ ของ
1) 32 + 3−2
2) 3 − 3−

3) 32 − 3−2

4) 33 + 3−3

5) 33 − 3−3

6) 34 + 3−4
6) 34 − 3−4

280

58. ถา้ 2x + 2y = 10 และ 2−x + 2−y = 5 โดยท่ี x > y แลว้ 3y − x มคี า่ เท่ากบั เทา่ ใด

8

59. กำหนดให้ 2x – 2(3y) = 2 และ 2(2x) – 3(3y) = 5 จงหาค่า x

 1  x− y = 81 2x 1
3 2
60. จงหาคำตอบของสมการ และ =

61. จงหาคำตอบของสมการ และ4x−y = 128 32x+ y+1 = 243

62. ถา้ x = b, y = c และ cz = a แล้ว 2 2 2 มคี ่าเทา่ กบั เทา่ ใด

Expo & Log 281
MATH4609

63. ถ้า 6−x = 3y = 2z แล้ว 1 + 1 + 1 มีคา่ เทา่ กับเทา่ ใด
xyz

64. ถ้า 8x = 9y = 6z แล้ว 2 + 3 − 6 มีค่าเท่ากับเท่าใด
xyz

65. ถา้ 2x = 3y = 4z = 4√24 แลว้ 1 + 1 + 1 มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด

xyz

66. จงเรียงลำดบั เลขต่อไปน้จี ากนอ้ ยไปมาก 325√3, 520√3, 715√3, 910√3
67. จงเรียงลำดบั เลขต่อไปนจ้ี ากนอ้ ยไปมาก 360, 545, 730, 1815

282

อสมการเอกโปเนนเชยี ล 2. เมื่อ a > 1 เปน็ กรณีฟงั ก์ชันเพมิ่
1. เมื่อ 0 < a < 1 เป็นกรณฟี งั กช์ นั ลด 2.1 ax < ay  x < y
2.2 ax > ay  x > y
1.1 ax < ay  x > y
1.2 ax > ay  x < y

1. จงหาเซตคำตอบของอสมการ 22x < 1

8

2. จงหาเซตคำตอบของอสมการ  1 x < 1024
4

3. จงหาเซตคำตอบของอสมการ 42 −1 ≤ 512 ∙ 22−

4. จงหาเซตคำตอบของอสมการ 4 ∙ 272 −3 ≤ 324 ∙ 34−

1 x2 −3x+4
2 
5. จงแก้อสมการ ( )  0.5 x+9



6. จงหาเซตคำตอบของอสมการ ( )0.04 −(x2−5x+8) 625

5x 2 +3x+ 3
2
7. จงหาเซตคำตอบของอสมการ  5 5

Expo & Log 283
MATH4609

8. จงหาเซตคำตอบของอสมการ 2 x 2 ( x−3)  8 2 −x 
3

9. จงหาเซตคำตอบของอสมการ (sin 3o )x2 −3x  (sin 3o )x−3

10. จงหาเซตคำตอบของอสมการ (sin 60o )x2 −x−5  (sin 60o )15−4x

 2  x (1−x ) 9
3 4
11. จงหาเซตคำตอบของอสมการ 

12. จงหาเซตคำตอบของอสมการ  2 2 x−3  81 5−4 x
3 16


13. จงหาเซตคำตอบของอสมการ (√3 + √2)x2−3x−5 ≥ √3 − √2

14. จงหาเซตคำตอบของอสมการ 22x – 122x + 32 < 0

284

15. จงหาเซตคำตอบของอสมการ 54x + 25 ≤ 53x+1 + 5x+1

16. จงหาเซตคำตอบของอสมการ 32 +3 − 55 ≥ 28(3 − 2)

17. จงหาเซตคำตอบของอสมการ 16x + 36x ≤ 281x

18. จงหาเซตคำตอบของอสมการ 25(16x ) + 16(52x ) ≤ 40(20 x)

19. จงหาเซตคำตอบของอสมการ (4x )−1 2 (+ 81 2x )−1 2  (18 8x − 4x − 2x +1)

Expo & Log 285
MATH4609

เนื่องจากฟงั ก์ชนั เอกโปเนนเชยี ลเปน็ ฟงั กช์ นั ชนิด 1–1 อินเวอร์สของฟงั กช์ ันเอกโปเนนเชยี ล จงึ เป็นฟงั ก์ชนั
ชนดิ 1–1 น่ันคือฟงั กช์ ันเอกโปเนนเชียล y = ax อินเวอร์ส คอื x = ay

บทนิยาม 1 กำหนด a เปน็ จำนวนจรงิ บวกท่ี a  1 x ,y เป็นจำนวนจรงิ ใดๆ
x = ay กต็ ่อเม่ือ y = log a x
บทนยิ าม 2 f ={(x,y) R  R+  y = ax เม่ือ a>0 , a  1 } เรยี กฟงั กช์ นั เอกโปเนนเชยี ล

f -1={(x,y) R+  R  y = log a x เมอื่ a>0 , a  1 }เรยี กฟังก์ชนั ลอการทิ มึ

สมบตั ขิ องฟงั กช์ ันลอการิทมึ
1. ถ้า x = ay แล้วจะได้ y = logax ซ่ึง logax อ่านวา่ “ลอ็ ก x ฐาน a” ดงั นน้ั สมการของจำนวน
จรงิ ที่เขยี นในรปู เลขยกกำลงั จึงเขยี นในรูปลอการทิ มึ ได้
2. ฟังก์ชนั ลอการิทมึ เป็นฟังกช์ ัน 1–1 จาก R+ ไปทั่วถึง R

3. กราฟของฟงั ก์ชัน y = logax, a > 0 และ a  1 จะผา่ นจดุ (1, 0) เสมอ เพราะ loga1 = 0

4. จากบทนิยามระบุไวว้ ่า a > 0, a  1 ทำใหเ้ กดิ คา่ a 2 กรณี คอื

4.1 ถ้า a > 1 แล้ว y = logax เปน็ ฟงั กช์ ันเพมิ่ เช่น y = log3x, y = log2 2 x

Y

0 (1, 0) X

4.2 ถ้า 0 < a < 1 แล้ว y = logax เป็นฟงั กช์ นั ลด เชน่ y = log 1 x , y = log3−1 x

2

0 (1, 0) X
5. โดยสมบตั ิของฟงั ก์ชนั 1–1 จะได้วา่ logax = logay ก็ต่อเมื่อ x = y

286

กราฟของฟังกช์ ันฟงั กช์ ันลอการทิ มึ

Expo & Log 287
MATH4609

จงเขีนกราฟของ 6. y = log1(x + 1) − 2
1. y = −log2 x 2

2. y = −log1 x 7. y = log2 |x|
2
8. y = log1|x|
3. y = log2(−x) 2

4. y = log1(−x) 9. y = |log2 x|
2
10. y = |log1 x|
5. y = log2(x − 2) + 1 2

288

สมบัตทิ ี่สำคญั ของลอการทิ ึม

กำหนด M, N, x > 0; a, b > 0 และ a, b  1

1. logaMN = logaM + logaN 8. logax = logb x

2. loga  M  = logaM – logaN logb a

N = p logaM 9. logax =1
=1
3. logaMp =0 log x a

4. logaa =M 10. ln x = logex = log x
5. loga1
log e
6. alog a M
11. logbalogax = logbx
7. log a p M = 1 logaM
12. ถ้า logblogax = c จะได้ x = abc
p

แบฝกึ หดั
1. จงหาค่าของ log 15 + log 12 + log 5 – log9

2. จงหาค่าของ log280 + log296 – log215

3. จงหาคา่ ของ log3108 – log320 + log3135

4. จงหาค่าของ log22048 – 2 log3243

5. จงหาคา่ ของ 3log21024 + 4 log32187

6. จงหาค่าของ 8log2 2 2 2 + 32log2 2 2 2 2 2

Expo & Log 289
MATH4609

7. จงหาค่าของ log4(log3(log2512)) + log2(log4(log216))

8. จงหาค่าของ ( log 2 16 )  log5 1  − ( log 27 3) ( log8 4)
 25 

9. จงหาค่าของ log216log5 1 – log39log2 1 + log327log28
5 8

10. จงหาคา่ ของ log 0.01 + log20.25 + log5 0.04 + log50 0.0004

11. จงหาคา่ ของ log 1 8 + log1 2 + log 2  1  + log8 1
 8  2
2 8

12. จงหาคา่ ของ log216 ∙ log50.04 − log279 ∙ log2 1 + 3 ∙ log84
8

290

13. จงหาคา่ ของ 4log4√2√2 + 6 ∙ log0.253√43√2√2

14. จงหาค่าของ 9log 8 3√6.25 − log√23 81
16
25

15. จงหาค่าของ log20 + 7log 15 + 5 log 24 + 3log 80
16 25 81

16. จงหาคา่ ของ log15 + log0.01 9 − log 7 + log√10√14
25
2

17. จงหาค่าของ log√27+log√8−log√125
log6−log5

18. จงหาคา่ ของ log2(log31012) − log2(log3103) − (log327)(log20.125)

Expo & Log 291
MATH4609

19. จงหาค่าของ 491−0.25log725

20. จงหาค่าของ 81(0.25+4log815+log94−log35)

21. จงหาคา่ ของ 1 ( 81)1+8log 81 5+log 9 4+log 3 2
81

22. จงหาค่าของ 7log752 + 5log24−3 − 3log94
23. จงหาค่าของ 251−log54 ∙ 641−log82 ∙ 361−log62 ∙ 42−log25

24. จงหาค่าของ √161−log43∙361−log63
251−log5 3 ∙49−log7 3

292

25. จงหาค่าของ 27 1 + log3 3 121 + log 2 2 + log4 2 2 + log8 2 + log16 2 2
3

26. จงหาค่าของ log4[2log3{1 + log2(1 + log28)}]
27. จงหาคา่ ของ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 − 1 + 1 − 1

log2384 log4384 log6384 log8384 log453 log369 log363 log1009

28. กำหนด loga x= 1 , log bx= 1 , log c x = 1 , log d x= 1 จงหาค่าของ log abcd x
2 3 4 5

29. กำหนดให้ A และ B เป็นจำนวนเต็มบวก ถา้ Alog50 5+ B log50 2 = 1 แลว้ จงหา A + B

Expo & Log 293
MATH4609

30. จงหาคา่ ของ log34 log45 log56 ... log 242243
31. กำหนด (logyx)(logzy)(log25z) = log5125 จงหาคา่ ของ x

32. จงหาค่าของ (log35)(log2581)(log√97)(log4936)(log√63) (log3 5) − log554log35

9

33. กำหนด ln(log23) – ln(log43) – ln(log54) – …– ln(logn(n – 1)) = (10- log2)(ln36) จงหาคา่ n

34. จงหาค่าของ log 28 − log 1 325 + log 1 91

10 100

294

35. กำหนดให้ x = 18 log2 23 23 2 และ y = log4(log3(log2512)) จงหาคา่ ของ x + y

36. จงหาคา่ ของ 9 log2781 – 161−log 4 2 + 361−log 6 3 + log1 64

4 8

11

37. จงหาคา่ ของ 27log53 +81log79

14

38. จงหาค่าของ 81log5 3 + 27log9 36 + 3log7 9

1 3
52 78
39. จงหาคา่ ของ 8 + 4 + 4log√2 6√25

Expo & Log 295
MATH4609

40. จงหาค่าของ 81−log1681 ∙ 92−log278+log34

41. จงหาค่าของ log2(log327) − log5(log323) + log22log537 + 43log43−31log227
42. จงหาคา่ ของ 1 + 2 + 4

1+ log2 9 log6 3 1+ log3 6

43. จงหาค่าของ 1 + 1 + 1
1+ 1+ 1+

44. จงหาค่าของ log tan 1olog tan 2olog tan 3o …log tan 89o

296

45. จงหาค่าของ log tan 1o+ log tan 2o+ log tan 3o + … + log tan 89o

46. ให้ a = log 4 2 + log 9 3 + log 16 4 + log 25 5 และ b = ( )( )( )4 6 8log2 6 log28 −log212 จงหาคา่ ของ a + b

− 4 log 25 − 2log 5 + log 24 จงหาค่าของ x
3 y
)(27 8 39
47. กำหนด x = log 3 ,(9−1 ) y=

48. ให้ A = log2√√5+1∙√√5−1 และ B= 8e−ln 2+ln6 จงหา A + B
(ln e2 )(eln3 )(eln 4 )
log3(log125)−log3(log5)

49. กำหนด log 3 = k คา่ ของ log1 9 + log33 3 – log 0.81 เทา่ กบั เท่าใด

9

Expo & Log 297
MATH4609

50. กำหนด loga 3 = k ค่าของ log9 a + log27 3 a + log1 a a+ 1 เท่ากบั เท่าใด
loga 27
3

51. ถ้า log83 = p และ log35 = q ค่าของ log25 เท่ากับเท่าใด

52. ถ้า log35 = a และ log258 = b คา่ ของ log38 เทา่ กบั เท่าใด

53. กำหนดให้ log65 = a, log645 = b แลว้ จงหาค่าของ log3 1
6

54. กำหนดให้ log275 = a, log564 = b แล้ว จงหาคา่ ของ log34