MATH4609_Mathematics for teachers II

298

55. กำหนดให้ log2 = a, log3 = b แล้ว จงหาค่าของ log 45

56. กำหนดให้ log2 = a, log3 = b, log5 = c แลว้ จงหาคา่ ของlog 0.006

57. กำหนดให้ log304 = a, log305 = b แล้ว จงหาคา่ ของ log300.0001
58. กำหนด log 12 27 = a จงหาคา่ ของ log 6 16

59. ให้ A = log18 12, B = log54 24 จงหา 1− ab
a−b

Expo & Log 299
MATH4609

60. กำหนดให้ log (1 + 1) = a, log ( 1 + 1) = b จงหาค่าของ 7 (log 25 − log 4)
8 15

61. กำหนดให้ log (1 + 1) = a, log ( 1 + 1) = b, log ( 1 + 1) = c จงหาคา่ ของ log ( 1 + 1)
8 15 24 80

62. กำหนดให้ log (16) = a, log (25) = b, log (81) = c จงหาคา่ ของ log2
15 24 80

63. กำหนดให้ logaba = 5 เมอื่ a >0, b > 0, a  1, b  1 แล้ว logab (5√a) มีค่าเทา่ กับเทา่ ใด

√b

64. กำหนดให้ 2 = 3 = 4 = 12 จงหาคา่ ของ logd8a2 − logd4b3 + logd6c4

300

65. กำหนด log 5 = 0.699 คา่ ของ 20(1 – log 2) เทา่ กบั เท่าใด
66. กำหนด log 2 = 0.301 ค่าของ −10log 1 เท่ากับเทา่ ใด

5

67. กำหนด log 2 = 0.301 ค่าของ log 2 − log 4 เท่ากับเท่าใด
125 5

68. กำหนด log 2 = 0.30, log 3 = 0.477, log 5 = 0.699 และ log 7 = 0.845 จงหาค่าของ log 420 และ log
0.125

69. กำหนด log 2 = 0.30, log 3 = 0.477, log 5 = 0.699 และ log 7 = 0.845 จงหาคา่ ของ

log275, log3210

Expo & Log 301
MATH4609

70. กำหนดให้ a, b, c > 1 ถ้า loga d = 30,logb d = 50 และ logabc d =15 จงหาคา่ ของ logc d

71. ถา้ log4x 2x2 = log9y 3y2 = log25z 5z2 แล้ว logxz ( yz) มคี า่ เท่ากับเทา่ ใด
72. กำหนดให้ logy x + 4logx y = 4 แล้ว logy x3 มีค่าเท่าใด

302

ลอการิทึมสามัญ

ฟงั ก์ชนั ลอการทิ มึ ทสี่ ำคัญมีอยู่ 2 ชนิด คอื ลอการทิ มึ ฐานสิบหรือลอการิทมึ สามัญ (Common
logarithms) กับลอการทิ มึ ฐาน e หรอื ลอการิทมึ ฐานธรรมชาติ (Natural logarithm) เนือ่ งจากลอการทิ มึ ฐาน
สิบหรอื ลอการิทมึ สามญั เปน็ ทนี่ ยิ มใชใ้ นการคำนวณกนั มาก เนื่องมาจากระบบตวั เลขทมี่ นุษย์นยิ มใชก้ นั ใน
ปัจจบุ ันเป็นระบบตัวเลขฐานสิบ

เนอื่ งจาก ลอการิทมึ ของจำนวนจริงบวกระหวา่ ง 1 กบั 10 จะมคี า่ ระหว่าง 0 กบั 1 เสมอ หรอื 1≤ N0<10
จะได้ 0 ≤ log N0< 1 และเพมิ่ ความสะดวกในการคำนวนณค่าลอการทิ มึ จะมีตารางลอการิทมึ ดังกล่าวให้
ตวั อย่างการใช้ตารางลอการิทมึ

N0123456789
1.0 .0000 .0043 .0086 .0128 .0170 .0212 .0253 .0294 .0334 .0374
1.1 .0414 .0453 .0492 .0531 .0569 .0607 .0645 .0682 .0719 .0755

1.2 .0792 .0828 .0864 .0899 .0934 .0969 .1004 .1038 .1072 .1106 1. ในชอ่ งแรกของตารางเป็น

คา่ ของจำนวนจรงิ N ต้ังแต่ 1.0 – 9.9

2. แถวบนสุดของตาราง จะเป็นตัวเลขทเ่ี ปน็ ทศนิยมตำแหนง่ ทสี่ องของ N เชน่ N = 1.23

3. ตัวเลขทีป่ รากฏในตารางยกเว้นช่องท่ี 5 และแถวท่ี 4 เปน็ ค่าของลอการิทึมของ N เช่น log1.23 = 0.899

4. .ในกรณีท่ีคา่ N ทตี่ อ้ งการไมม่ ีในตารางให้ใช้การเทบี่ สัดสว่ น

ในการหาคา่ ของ log N ทกุ จำนวนเมื่อ N เปน็ จำนวนจริงบวก โดยการเปลี่ยน N ใหอ้ ยู่ในรปู N0 เมื่อ
0 × 10 ; 0 ≤ 0 < 1, ∈ เพ่อื สามารถเปดิ ค่า log ของ N0 จากตารางได้

= 0 × 10 ; 0 ≤ 0 < 1
log = log ( 0 × 10 )

logN = log 0 + n

เรยี ก n วา่ เป็น แคเรคเทอรสิ ติก (Characteristic) ของ log N เรียก log N0 วา่ เปน็ แมนทสิ ซา (Mantissa)
ของ log N ดงั นัน้ log N = Mantissa + Characteristic
Note 1. ลอการิทมึ สามญั ทมี่ ีตัวเลขชุดเดียวกนั จะมแี มนทิสซาเท่ากนั

2. ลอการทิ มึ สามญั เท่าน้ันจงึ จะมีแมนทิสซาและคาแรกเตอริสติก

ตวั อย่าง จงหาค่า Mantissa และ Characteristic ของ log 4980 และ log 0.0564

วิธที ำ log 4980 = log(4.98  103) = log 4.98 + log103 = log 4.98 + 3 = 0.6973 + 3
ดังนัน้ log 4980 มี Mantissa เท่ากับ 0.6973 และ Characteristic เทา่ กับ 3

log 0.0564 = log(5.64  10- 2) = log 5.64 + log10-2 = log 5.64 – 2 = 0.7513 – 2

ดงั นั้น log 0.0564 มี Mantissa เทา่ กับ 0.7513 และ Characteristic เทา่ กบั – 2
แอนติลอการทิ ึม( Antilogarithms)

แอนตลิ อการิทึม คอื จำนวนจรงิ บวก N ท่ีมาจาก log N เปน็ การกระทำหรือ ดำเนินการตรงข้ามกบั
การหาค่าลอการิทึม แอนติลอการทิ มึ ของ log N เขียนแทนดว้ ย antilog(log N)ซงึ่ antilog (log N) = N
เช่น จาก log 2 = 0.3011 จะได้ว่า antilog(0.3011) = 2

Expo & Log 303
MATH4609

การหาค่าแอนตลิ อการิทึม (steps to find the antilogarithm)

1 เขยี น log N ท่ีกำหนดให้อยใู่ นรูป log N =  + n หรือ log N = Mantissa + characteristic

2 เปิดตารางลอการทิ มึ สามญั เพอ่ื หาจำนวนจริง N0 ท่ีทำให้ log N0 =  (Mantissa)

log N =  + n

log N = log N0 + log 10n = log (N0× 10n )
N = N0× 10n

ตวั อยา่ ง จงหาค่า N เมอ่ื log N = 2.5647

วธิ ีทำ log N = 2.5647 = 0.5647 + 2 = log 3.67 + log 102 = log(3.67  102) = log 367

ดงั นนั้ N = 367 (367 is antilogarithm of 2.5647)

ตวั อย่าง กำหนดให้ log 5.7 = 0.7559 จงหา antilog – 3.2441

วธิ ที ำ จาก antilog – 3.2441 สามารถเขียนได้ในรูป log N = – 3.2441

log N = – 3.2441 = – 3 + – 0.2441 = – 3 – 1 + 1 – 0.2441 = – 4 + 0.7559
ดงั นนั้ log N = log 5.7 + log 10-4 = log(5.7 ×10-4) = log 0.00057

ดังน้นั N = 0.00057 (0.00057 is antilogarithm of – 3.2441)

แบบฝึกหดั

1. จงหาคา่ Mantissa และ Characteristic ของจำนวนตอ่ ไปน้ี

1) log 1.16 4) log 0.000876

2) log 375 5) log 0.07134

3) log 671,000 6) log 0.00005412

2. จงหาคา่ N เมอื่ กำหนด 2) log N = 4.5237
1) log N = 4.0588

304

3) log N = 3.0836 5) log N = −2.4584
4) log N = −0.8149
6) log N = −6.4082

3. จงหาคา่ ต่อไปนี้โดยใช้ลอการิทมึ 4) 3√0.0357
1) (2)−1.4 5) (7.68×0.000732)4

2) (0.0432)8 612

3) √0.112 6) (0.732)3×3√871

√10.9

Expo & Log 305
MATH4609

สมการลอการทิ ึม
การแก้สมการลอการิทึม หลักการแกส้ มการลอการทิ มึ

1. ถา้ สามารถจัดสมการใหอ้ ยใู่ นรปู loga x = loga y แล้วปลด log จะได้ x = y
2. ถา้ สามารถจัดสมการใหอ้ ยใู่ นรปู loga x = y เปลี่ยนใหอ้ ยใู่ นรูปเลขยกกำลัง จะได้ ay = x
3. ถา้ สมการน้นั มหี ลายจำนวนทีฐ่ านต่างกนั ใหพ้ ยายามเปลย่ี นเปน็ ฐานเดยี วกนั นยิ มเปลย่ี นเป็นฐานสบิ

4. เนอื่ งจาก logax = y มีข้อจำกัดวา่ a > 0, a  1 และ x  R+ ดงั น้ันเมอ่ื แก้ สมการแลว้ ตอ้ ง
ตรวจสอบคำตอบของสมการทุกครงั้ วา่ สอดคลอ้ งกบั ข้อจำกดั ดงั กล่าวหรือไม่
แบบฝกึ หัด

1. กำหนด log x = log 3 + 3log2 − 2 log32 จงหาคา่ ของ x
10 5

2. กำหนด (log3185 − log65) = 2 + log24.01 จงหาคา่ ของ x

3. กำหนด log 2x + log 23 = 96 จงหาค่าของ x

4. กำหนด log (1 + x) = 1 + log x จงหาคา่ ของ x
5. กำหนด log (x + 4) + log (2x + 3) = log (1 – 2x) จงหาค่าของ x

306

6. กำหนด log 6(x – 8) + log 6 (x + 8) = 2 จงหาคา่ ของ x + 1.25

7. จงหาค่าของ x จากสมการ log2(x2 – x – 4)2 = log0.10.01

8. จงหาคา่ ของ x จากสมการ log 2 (4 − x) = log2 (9 − 4x) +1

9. จงหาคำตอบของสมการ log3(x2 – x + 6) + log3(x + 1) = 1 + log3(x2 – 1) + log32

10. จงหาคำตอบของสมการ log(x3 – x2) – log (x – 1) = log 9

11. ค่า x ท่ีสอดคล้องกบั สมการ log2 (9x+1 +15 ) = 2 + log2 (613x − 3)

Expo & Log 307
MATH4609

12. ผลบวกของคำตอบของสมการ log2 (4x−1 + 2x−1 + 6) = 2 + log2 (2x−1 +1)

13. กำหนด 2log2 a – 3log2b = 4 และ 3log2a – 4log2b = 6 จงหาคา่ ของ (a2b + log2a)1/2

14. ผลบวกของคำตอบของสมการ 1  = log3 4 + 1+ 1
log3  3x + 27  2x

 

15. จงหาค่าของ x จากสมการ 3log4x2 = 4(log4x)2
16. จงหาค่าของ x จากสมการ log √ = √log

17. จงหาคำตอบของสมการ log 3 x + 6log x 3 = 5

308

18. ผลบวกของคำตอบของสมการ log3 x =1+ logx 9

19. ผลบวกของคำตอบของสมการ 1+ (2logx 3)(log9(9 − x)) =logx 14 มคี า่ เท่ากบั เทา่ ไหร่

20. คา่ x ท่ีสอดคล้องกบั สมการ log2 (9x+1 +15 ) = 2 + log2 (613x − 3)

21. ถา้ log4 log3 log2 5log 5 (x2 −2x) = 0 แล้ว x มคี า่ เท่าใด
22. ค่าของ x จากสมการ 9x – 3x+log 3 2 = –1
23. กำหนดให้ log5x + 3log 3 y = 7 และ xy = 512 คา่ ของ x + y

Expo & Log 309
MATH4609

24. ถา้ กราฟ y = log 4 (x – 2)2 + log 2 (x + 4) + log1 x ผ่านจดุ (a,2) จงหาค่า a

2

25. กำหนด a, b เปน็ รากของสมการ log1 log 1 log1 x2 1 + 4 = 0 , a < b จงหา 2a+b
−x
326

26. ผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมการ log 1 log 1 log 1 3 x2 − 1 + 4 = 0
3x
432

27. จงหาคำตอบของสมการ log9 3(x2 +3x−30) = x

log 2x
log 3
( )28.
x ทสี่ อดคล้องกับสมการ + log3 ( x −12) = log  x x+5 − x−5  มคี ่าเท่ากับเท่าใด
3 

310

29. ถ้า log4(2 log3(1 + log2a)) = 1 ; a R และ 2 2x – a = a2 + 3a + 4 จงหาคา่ x
2

30. จงหาเซตคำตอบของสมการ log100x = log3 log√3√6 − log√10logx − 5

31. ค่าของ x จากสมการ log(√x − 1 + 1) + 2log(√x − 1 − 2) = log4 มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด

32. กำหนดให้ A =   R z= x  6 log ( x − 2 y ) = log x3 + log y3 
z 
y 

33. จงหาคำตอบของสมการ 2 ln 5log5x = 2ln5 + 2ln2 + ln5log5 (110−x)

100

Expo & Log 311
MATH4609

34. จงหาคำตอบของสมการ (log x3)2 − (log 0.1 × x10) = 0

35. จงหาคำตอบของสมการ (log x)2 + log x + 1 = 7
log1x0

36. จงหารากของสมการ log2x−1 = 2log2√x + 3 − (log2x)2
log2x2

37. ผลบวกของรากทง้ั หมดของสมการ log( x −10) − 2 log(x −10) +1 = 2
log(x −1) log(x −1)

38. ผลบวกของรากทง้ั หมดของสมการ logx = log52x

312

39. ผลบวกของรากทง้ั หมดของสมการ logx125 = log8x3

40. จงหารากของสมการ 1 + 2log0.25(4−x) = 1
log6(x+3) log2(x+3)

41. กำหนด A = {x  R  (log2x)2 + 8 log16x – 3 = 0}
B = { x  R  22x+1 – 12(2)x – 16 = 0} แลว้

ผลคณู สมาชิกทัง้ หมดใน A  B มคี ่าเทา่ ใด

42. กำหนด A = {x  R  log4log2log3(2x − 1) = 0.5 }
B = { x  R (1 − log2)log5x = log3 − log (x − 2) } แล้ว

ผลบวกสมาชกิ ทงั้ หมดใน A  B มคี ่าเทา่ ใด

Expo & Log 313
MATH4609

43. จงหาค่า x ท่ีสอดคล้องกับสมการ log6 9125log9(x2−5x) = 5(log8)(log2 5+1)

44. จงหาคำตอบของสมการ log0.5 (8−2x2x) = x2√x
45. จงหาคำตอบของสมการ log 2 (9x+1 +15) = 2 + log2 (613x −3)

46. จงหาผลบวกของคำตอบของสมการ xlog3x2+(log3x)2−9 = 1
x

314

47. จงหาคำตอบของสมการ xlog x = 100x
48. จงหาคำตอบของสมการ √log = 108

49. จงหาคำตอบของสมการ 1−log = 0.01

50. จงหาเซตคำตอบของสมการ x2log5(x2 + 2x – 3) −x log 1 (x2 + 2x − 3) = x2 + x

5

Expo & Log 315
MATH4609

51. ให้ A เปน็ เซตคำตอบของสมการ x2log6(x2 + x − 6) − xlog1(x2 + x − 6) = x2 + x
6
ผลบวกของคา่ สมั บรู ณข์ องสมาชกิ ในเซต A เทา่ กบั เท่าใด

52. จงหาเซตคำตอบของสมการ logx2 = log2x25

53. จงหาเซตคำตอบของสมการ log0.5xx2 − 14log16xx3 + 40log4x√x = 0

54. ถ้า ln(log23) − ln(log43) − ln(log53) − ⋯ − ln(log ( − 1)) = (10−log2)(ln36)
จงหาค่า n

316

55. กำหนดให้ n + log(1 + 2n) = nlog5 + log6 จงหาค่าของ 3 + 1

56. ผลคณู ของรากทงั้ หมดของสมการ logx(3xlog5x + 4) = 2log5x

57. จงหาคำตอบของสมการ (√1 + logx√27) log3x + 1 = 0

58. กำหนด 9log3 x + 4log2 x =16 และ log3 x − log1 y = 2 − log3 2 จงหาค่าของ x2 – y2 

3

59. กำหนด 2log3x = log3(y + 3) + log3(y – 3) และ x + y = 9 จงหาคา่ ของ log(y + 4)(x – 1)

Expo & Log 317
MATH4609

60. กำหนด x และ y เป็นจำนวนจรงิ ทสี่ อดคล้องกบั สมการ 2x = 10 – 2 – x และ y = log64log86log108 จง
3

หา xy

61. กำหนดให้ log627 = r และ 2log4 576 = 2x+y3x−y จงหาค่าของ [(3− r)log 2 108 − 2r]xy

62. กำหนดให้ log√2x + log3y = 5, log2x3 − log√3y = 4 จงหาค่าของ x + y

63. กำหนดให้ log5x + 3log3y = 7, xy = 512 จงหาคา่ ของ x + y

318

64. กำหนดให้ 4x + (log xy)2 = 68, 2x + logy = 8 + log 100 , , ∈ จงหาคา่ ของ 2 + 2
x

65. จงหารากของสมการ 4 ( 2+1)2 − 1 ( 2+1)729 = 3 + ( 2+1)10 − 1
3 2 45 ( 2+1)

66. ถ้า A เป็นผลคูณของคำตอบท้งั หมดของสมการ

3 3 3 − 6 3 3 + 11 3 − 6 = 0

จงหาคา่ ของ log3A + log9A + log27A

67. กำหนดระบบสมการ

log2x + log4y + log4z = 2
log3y + log9z + log9x = 2
log4z + log16x + log16y = 2

จงหาคา่ ของ xyz

Expo & Log 319
MATH4609

อสมการลอการิทมึ 2. เมื่อ a > 1 เปน็ กรณีฟังกช์ นั เพ่ิม
1. เม่ือ 0 < a < 1 เปน็ กรณีฟังก์ชนั ลด 2.1 logax < logay  0 < x < y
2.2 logax > logay  x > y > 0
1.1 logax < logay  x > y > 0

1.2 logax > logay  x < y < 0

68. จงหาเซตคำตอบของอสมการ log32x > 4 log3x

69. จงหาเซตคำตอบของอสมการ log 2  4  log2 (2 − x)
 x + 3 

70. จงหาเซตคำตอบของอสมการ log2 (x + 1) + log2 (x – 1)  2

71. จงหาเซตคำตอบของอสมการ 3 − 9 < 1.5

72. จงหาเซตคำตอบของอสมการ log  x2 − 4x +3  −2
 
2  4 

320

73. จงหาเซตคำตอบของอสมการ log0.5(x2 + x − 2) < log0.5(x + 2) − 1

74. จงหาเซตคำตอบของอสมการ logx(2x2 + x − 1) < logx(x2 + 1)

75. จงหาเซตคำตอบของอสมการ log2x2 + log2x|x − 1| > 0.5

76. จงหาเซตคำตอบของอสมการ 1 + 1 +...+ 1 + 1  1
log2 x log3 x log9 x log x

77. จงหาเซตคำตอบของอสมการ log(3x +4) > log(x – 1) + 1

Expo & Log 321
MATH4609

78. จำนวนเต็มทสี่ อดคลอ้ งกบั อสมการ log1 log3(x +1)  −1

2

79. จงหาเซตคำตอบของอสมการ log1 log4(x2 − 5) 0

3

80. กำหนดให้ A = { ∈ | log4log3log2(x2 + 2x) ≤ 0} แล้ว n(A) มคี า่ เทา่ กบั เท่าใด

81. จำนวนเต็มทส่ี อดคลอ้ งกบั อสมการ log 1 2x2 − 4x − 6  −1
 
2  4x −11 

82. จงหาเซตคำตอบของอสมการ log 16 x + log 4 x + log 2 x < 7

322

83. จงหาเซตคำตอบของอสมการ log1[log4(x2 − 5)] > 0
3

84. ให้ S เปน็ เซตคำตอบของอสมการ log(log x) + log (9 − log x2 )  1 ถ้า a และ b เปน็ สมาชกิ ของ S

ที่มคี า่ มากและนอ้ ยทส่ี ดุ ตามลำดบั แลว้ ab เทา่ กกบั เทา่ ใด

85. ผลบวกของจำนวนเตม็ ทง้ั หมดท่ีสอดคลอ้ งกบั อสมการ x 1+log0.5 x x มคี ่าเทา่ กบั เทา่ ใด

16

86. จงหาเซตคำตอบของอสมการ (4x – 2)log(1 – x2) > 0

Expo & Log 323
MATH4609

87. จงหาเซตคำตอบของอสมการ (52x – 125)log(10 – 4x2) < 0

88. จงหาเซตคำตอบของอสมการ (42x – 256)log(4x2- 1) (52x +1+ 1)  0

2 −log( x2 + x −2 )  1 log( 2 x+4 )
2
89. จงหาเซตคำตอบของอสมการ 

1 log 2 (x 2 +2 ) 1 log 2 ( 4 x −1)
3 3
90. จงหาเซตคำตอบของอสมการ   

324

3 2 log 0.1 ( x 2 +4 x+4 )
5
91. จงหาเซตคำตอบของอสมการ (2.5)log x −3 x−10  

92. จงหาเซตคำตอบของอสมการ ( 3)3x−7 > ( 310)7x−3

93. จงหาเซตคำตอบของอสมการ (0.5)log91(x2−3x+1) < 1

94. จงหาเซตคำตอบของอสมการ (0.25)log116(x4−9x2+1) < 1

อัตราสว่ นตรีโกณมิตขิ องสามเหล่ยี มมมุ ฉาก

นิยาม กำหนดให้ ABC เปน็ สามเหลีย่ มมุมฉากทม่ี มี ุมฉากท่ี C และมี a, b, c เปน็ ความยาวของดา้ น

ตรงขา้ มมมุ A, B, C ตามลำดบั

B sin A = ความยาวดา้ นตรงขา้ มมุมA(ขา้ ม)
ความยาวดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก(ฉาก)

c (ฉาก) a (ขา้ ม) cos A = ความยาวดา้ นประชิดมมุ A(ชิด)
ความยาวดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก(ฉาก)
A b (ชิด) C
tan A = ความยาวดา้ นตรงขา้ มมุมA(ขา้ ม)
(ชิด) ความยาวดา้ นประชิดมุมA(ชิด)

และอตั ราส่วนอ่นื ๆ อีก คือ
1
1. cosec A = sin A , เม่อื sin A  0,
sec A
cot A = 1 A , เมอื่ cos A  0,
cos
2. tan A 1
cot A = tan A , เมอื่ tan A0

= sin A , เม่ือ cos A  0,
cos A
cos A
= sin A , เมอื่ sin A  0,

3. sin2A + cos2A = 1
4. tan2A + 1 = sec2A
5. 1 + cot2A = cosec2A

ตวั อยา่ งที่ 1 กำหนดสามเหลย่ี ม ABC ดงั รปู จงหา

C sin A = ……………, cosec A = ……………
cos A = ……………, sec A = ……………

5 tan A = ……………, cot A = ……………
sin C = ……………, cosec C = ……………

A3 B cos C = ……………, sec C = ……………
tan C = ……………, cot C = ……………

Trigonometry 326

MATH4609

1. จงตอบคำถามต่อไปนี้ แบบฝกึ หดั
=
(1) ถ้า sin A = 3 แล้ว cot A
5

(2) ถ้า cosec A = 1.25 แล้ว cos A =

(3) ถา้ sec A = 2.6 แล้ว sin A =

(4) ถา้ tan A = 0.75 แล้ว cos A + sinA =

(5) ถา้ cot A = 1 แล้ว 2cos A sinA =

(6) ถ้า 2 cos A = 1 แลว้ cosec A =

(7) ถ้า 13 sin A = 5 แล้ว cos A – cot A =

(8) ถ้า 17 sin A – 8 = 0 แล้ว cot A – sec A =

(9) ถ้า 9 cot A = 40 แลว้ 9sin A – 2cos A =

(10)ถ้า 53 cos A = 28 แล้ว 3cot A – sec A =

(11)ถ้า 13 cos A = 12 แล้ว 12 sec A – 13 sin A =

(12)ถา้ tan A = 5 แล้ว 2sin A + cos A =
12
2sin A − cos A

Trigonometry 327

MATH4609

(13)ถ้า cot A = 2.4 แลว้ sec A + cot A =

cot A − sec A

(14)ถา้ sinA = 5 แลว้ 2sin A + cos A =

13 2sin A − cos A

(15)ถา้ sin A = a2 แล้ว cos A =
a2 + b2

(16)ถา้ a tan A = b2 − a2 แล้ว sin A =

(17)ถ้า b2 + tan A = 1 แลว้ sin A =
a2

(18)ถ้า 2ab + a2 cosec A = a + b แล้ว sec A =

(19)ถา้ (1 + a2)cot A + a2 = 1 แลว้ cos A =

(20)กำหนดให้ ACB เป็นสามเหลย่ี มทมี่ ี C เป็นมมุ ฉาก และ sin A =0.6 แล้ว cot B =

(21) กำหนดให้ ACB เป็นสามเหลี่ยมที่มี C เป็นมุมฉาก และ tan B = 1 แล้ว (cos A+sin B)2 =

(22) กำหนดให้ ACB เปน็ สามเหลีย่ มท่มี ี C เปน็ มุมฉาก และ cos B = 0.5 แล้ว 2cos Asin B =

Trigonometry 328

MATH4609

อัตราสว่ นตรีโกณมติ ิของมุม 30o, 45o และ 60o

1 2 30o 30o 2
11
45o 1

มุม sin cos tan cosec Sec cot
30o

45o

60o

การเปรยี บเทยี บมาตรการวดั มมุ ระบบอังกฤษและระบบเรเดียน

360o = 2 เรเดียน 180o =  เรเดียน 90o =  เรเดยี น
2
  
60o = 3 เรเดยี น 45o = 4 เรเดียน 30o = 6 เรเดียน

ตวั อย่าง จงหาคา่ ของ
1. 2 sin 45o cos 45o sin 30o =

2. 2 sin 30o cos 30o cot 30o =

3. sec 30o cosec 30ocos 60o =

4. sin 60o cosec 60o tan 30o =

5. 3 cot 45o – cos230o – 1 cot230o + 1 sec245o =
2 8

6. sin260otan60o – 2sec245o + 3sin 30otan 45o + cot230o =

Trigonometry 329

MATH4609

7. 1 cosec260o + sec245o – 2cot260o =
2

8. 3tan450 + 4sin230cos230 – 2cos260o =

9. tan  sin2  cos2  cos2  =
4 3 3 6

10. sin2  cosec2  cos2  cot  =
6 3 6 4

11. 1 cosec  + 2 cos  + sin  =
2 6 3 6

12. cot2   sin  tan   tan  =
4 3 6 3

13. tan2  + sin2  – cos2  + cos2  =
4 3 3 3

14. tan2  + cos  – cosec2  – 3 cot2  =
4 3 3 4 3

15. cot2  + cosec2  + sec2  – 6cot2  =
4 3 3 3

16. cot2  – 2cos2  – 3 sec2  – 4sin2  =
6 3 4 3 6

ตัวอยา่ ง จากรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉากในขอ้ ต่อไปนี้ จงหาค่าของ x Trigonometry 330
1. 3.
MATH4609
x
x

2. 30o 5 60o
245o 4.

x 6
30o x
ตวั อยา่ ง จงหาขนาดของมมุ A เมอื่ 0 < A < 90o
1. 1 – 2 cos A = 0

2. 2 cosec A – 2 = 0

3. 1 – 2sec A = 0

4. 3 – 4 cos2 A = 0

5. 3 – cot2 A = 0

6. 2sin2A + 3sinA – 2 = 0

7. tan2A – 2tanA + 1 = 0

8. 2cos A tan A – 2cos A – tan A + 1 = 0

9. 5cos A = 1 + 2sin2A

10. 2cos2x + 4sin2x = 3

Trigonometry 331

MATH4609

การพสิ จู นเ์ อกลักษณต์ รีโกณมิติ

ทบวนสูตร

1. cosec A = 1 , เมือ่ sin A  0, sec A = 1 A , เมอื่ cos A  0,
sin A cos
1
cot A = tan A , เม่ือ tan A0

2. tan A = sin A , เมอื่ cos A  0, cot A = cos A , เมอ่ื sin A  0,
cos A sin A

3. sin2A + cos2A = 1

4. tan2A + 1 = sec2A

5. 1 + cot2A = cosec2A

ตัวอยา่ ง จงพสิ ูจน์ว่า (sin A + cos A)2 + (sin A − cos A)2 = 2

วธิ ที ำ (sin A + cos A)2 + (sin A − cos A)2

( ) ( )= sin2 A + 2sin Acos A + cos2 A + sin2 A − 2sin Acos A + cos2 A

= sin2 A + cos2 A + sin2 A + cos2 A

= 1+1

( )sin2 A + cos2 A = 1 =2

ตวั อยา่ ง จงพสิ ูจน์วา่ 11 = 1
1+ tan 2A + 1+ cot2A
11
วธิ ที ำ 1+ tan 2A + 1+ cot2A

=1+ 1

sec2 A cos ec2 A

= sin2 A + cos2 A  cos ecA = 1 A , sec A= 1 A 
=1  sin cos 

( )sin2 A + cos2 A = 1

แบบฝกึ หัด

จงพสิ ูจน์วา่
1. (1 + cot2A)(1 – cos2A) = 1

Trigonometry 332

MATH4609

2. 1 + cot2 A  sec2 A −1  1 − sin 2 A = 1
3. tan Asin A + cos A = sec A
4. cos4 A − sin4 A = 2 cos2 −1

5. cos ec A - cot A =  sin A 2
cos ec A + cot A 1 + cos A 

6. tan2 A +1 = tan2 A

cot2 A +1

7. 1− tan2 A = cos2 A − sin2 A
1+ tan2 A

Trigonometry 333

MATH4609

8. sec2 x + cos ec2 = sec2 x cos ec2 x
9. cos2A(sec2A – tan2A) + sin2A(cosec2A – cot2A) = 1

10. (1 + cot2)(1 – cos2) = 1
11. (tan x + cot x)2 = sec2 x + cos ec2x
12. (sec4A – 1) = 2 tan2A + tan4A

13. (sec A + cosec A)(sin A + cos A) = sec A cosec A + 2

Trigonometry 334

MATH4609

14. cot2A + cot4A = cosec4A – cosec2A

15. (1 + cot A + cosec A)( 1 + cot A – cosec A) = 2cot A

16. (cot  – 1)2 + (cot  + 1)2 = 2 cosec2

17. 2sin cos = cot 
1 − sin  + sin 2  − cos2 

18. (tan A + sceA)2 = 1+ sin A

1− sin A

Trigonometry 335

MATH4609

19. (1 + sin A + cos A)2 = 2(1 + sin A)(1 + cos A)

20. ถา้ cos A + cos B = a และ sin A + sin B = b จงหา cos A cos B + sin A sin B

21. ถา้ (sin – cos)2 = a2 แลว้ cosec  – sec  มีคา่ เทา่ ใด

22. ถ้า sin  – cos  = a แล้ว sin  cos  มีคา่ เท่าใด

Trigonometry 336

MATH4609

การนำอัตราส่วนตรีโกณมติ ไิ ปประยุกตใ์ ช้
มุมกม้ หรอื มุมกดลง (Angle of Depression) หมายถงึ มุมท่ีวัดจากเสน้ ระดบั สายตาไปยงั เส้นแนวการ
มองเม่อื วตั ถุอยตู่ ่ำกวา่ เส้นระดบั สายตา
มุมเงยหรือมมุ ยกขึน้ (Angle of Elevation) หมายถงึ มุมทว่ี ัดจากเส้นระดับสายตาไปยังเส้นแนวการ
มองเมอ่ื วัตถุอยสู่ งู กว่าเส้นระดบั สายตา

แบบฝกึ หัด
1. ถ้าเงาของเสาธงทอดไปยาว 3 3 เมตร และมุมยกขนึ้ ของดวงอาทติ ยเ์ ปน็ 60 องศา
แล้วเสาธงสูงกเ่ี มตร

2. นายแดงยืนหา่ งจากเสาธง 100 เมตร เขามองไปยังยอดเสาธงโดยทำมุมเงยกบั ยอดเสาธง
เปน็ มมุ 60 องศา จงหาความสงู ของยอดเสาธง ถ้านายแดงสูง 170 เซนตมิ ตร

3. มมุ ยกข้ึนของยอดเสาธงเป็น 30o เมอื่ เดนิ ตรงเขา้ ไปใกลโ้ คนเสาธงอกี 100 เมตร มมุ ยกข้ึน
ของยอดเสาธงเป็น 60o พอดี ดังนัน้ เสาธงสูงก่เี มตร

Trigonometry 337

MATH4609

4. นายสมหวงั ยนื อย่บู นยอดประภาคารแห่งหนง่ึ ซึ่งสูง 75 เมตร จากระดบั นำ้ ทะเล ถา้ เขามอง
ออกไปทเ่ี รอื 2 ลำในทะเล และอยใู่ นแนวเดียวกันกับประภาคาร พบวา่ มมุ กม้ มคี า่ เทา่ กบั 45o และ 60o
จงหาระยะระหว่างเรอื ทงั้ สองลำ

5. จากจดุ โคนเสาตน้ หนึ่ง มองเหน็ มุมยกขน้ึ ของยอดหอคอยเท่ากับ 45o และจากยอดของเสา
น้นั มมุ ยกข้นึ เท่ากับ 30o ถ้าเสานนั้ สงู 30 ฟตุ แล้วหอคอยสูงกีฟ่ ตุ

6. รถยนต์คันหนึ่งวง่ิ ขน้ึ เนนิ เขาซ่งึ ทำมุม 30o กบั พ้ืนราบ เมอ่ื วง่ิ ไปได้ 2,400 เมตร ถนนชนั ขน้ึ
อกี โดยทำมมุ 45o กับพ้นื ราบ ถ้ายังว่ิงต่อไปอีก 4,000 เมตร รถยนตค์ ันนีอ้ ยสู่ ูงจากพื้นราบกเี่ มตร

7. จากหนา้ ผาสงู 150 ฟุต เมือ่ มองดเู รอื สองลำเบอ้ื งลา่ ง ปรากฏวา่ มุมกดลงได้ 30o และ 60o
ตามลำดบั เรือทั้งสองน้นั อยหู่ ่างกันเท่าไร

Trigonometry 338

MATH4609

วงกลมหน่ึงหน่วย (Unit Circle)
ฟงั ก์ชันตรโี กณมติ เิ ปน็ ฟังก์ชนั จากสบั เซตของ R ไป R ในทน่ี จี้ ะใชว้ งกลมรัศมี 1 หนว่ ยซง่ึ มจี ดุ ศนู ย์กลาง

อยทู่ ่จี ดุ กำเนดิ เปน็ หลัก ในการนิยามฟงั ก์ชนั ตรโี กณมิติ และจะเรียกวงกลมดงั กล่าวว่า วงกลมหนง่ึ หน่วย (The

unit circle) วงกลมนเี้ ปน็ กราฟของความสมั พันธ์ {(x, y) RRx2+ y2 = 1}
เมือ่ กำหนดจำนวนจรงิ a จากจุด (1, 0) วัดระยะไปตามส่วนโคง้ ของวงกลม 1 หน่วยให้ยาว a หน่วย จะ

ถึงจุด (x, y) ซง่ึ อยู่บนวงกลม โดยมขี ้อตกลงสำหรบั ทิศทางของการวัดดงั นี้
ถา้ a > 0 จะวดั สว่ นโค้งจากจดุ (1, 0) ไปในทิศทางทวนเขม็ นาฬิกา
ถ้า a < 0 จะวัดส่วนโค้งจากจดุ (1, 0) ไปในทิศทางตามเขม็ นาฬิกา
จดุ (x, y) ดงั กล่าวจะเรยี กว่า จุดปลายสว่ นโค้งท่ียาว a หน่วย
YY

(x, y) a (x, y) 0 (1,0) X
0 (1,0) X a

จากความรเู้ กีย่ วกับการวดั มุมเป็นเรเดียน  = a และจาก r =1 ทำใหไ้ ด้วา่  = a

r

ดังนน้ั เมื่อกล่าวถงึ จุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  หน่วย เมอ่ื  เป็นจำนวนจรงิ ใดๆ จะหมายถึง จุดปลายของ
ส่วนโค้งที่เริม่ วดั ระยะจากจดุ (1, 0) ไปตามส่วนโค้งของวงกลมหน่งึ หน่วย ไปยาว  หน่วย โดยคิดทศิ ทาง

จากวงกลมหนงึ่ หนว่ ย ให้ P(x, y) เป็นจุดใดๆบนเส้นรอบวง ลากเสน้ ตรง PA ตั้งฉากกยั แกน x ทีจ่ ดุ
A จะได้รปู สามเหลีย่ มุมฉาก OAP จะเห็นว่า

Y

P(x, y)

1y (1,0) X นนั่ คอื และ

0 xA

ข้อสงั เกตุ เนือ่ งจาก (x, y) เปน็ จดุ บนเส้นรอบวงกลมหนง่ึ หนว่ ยทีม่ จี ุดศูนยก์ ลางทจ่ี ดุ กำเนิดมสี มการคอื
x2 + y2 = 1 ทำใหไ้ ดว้ ่า −1  x  1 และ −1  y  1 ดงั นั้น −1  cos  1 และ −1  sin  1
จากพกิ ัดตา่ งๆของวงกลมหนง่ึ หน่วย x = cos และ y =sin ดงั นั้นจดุ ทกุ จุดบนเสน้ รอบวงกลมหนงึ่ หน่วยท่ี
เราทราบ จะสามารถหาคา่ cos และsin ได้ ดังเชน่

Y มมุ sin Trigonometry 339
0o 0
 1 MATH4609
 (90o )
(02,1) 0 cos
2 –1 1
(– 1,0) 0 (1,0) X 0
 (180o )
3 (0, – 1) –1
3 (270o ) 0
2
2

นอกจากนเ้ี ราสามารถหาคา่ ของ cosec,sec, tan,cot ได้ด้วย นอกจากน้ันยงั สามารถหามมุ แบบทวน
เข็มนาฬิกาและมุมทเ่ี กดิ จากการหมุนมากกวา่ หนง่ึ รอบทงั้ ทวนเข็มและตามเขม็ นาฬกิ าได้อกี ดว้ ย

ตัวอยา่ ง จงหาคา่ ของ มมุ sin cos tan sec cosec cot
sin cos tan sec cosec cot
มมุ 7
0o 2
23
90o 2
25
180o 2

270o 5
360o
540o 7
630o
10
– 90o
3
–180o −

– 270o 2
–540o 9
– 630o −
– 810o 2
– 1080o 13
– 1890o −
2

5

8

−7

−10

−17

−29

Trigonometry 340

MATH4609

ต่อไปพิจารณาคา่ sin และ cos เมอ่ื  เป็น  ,  , 

463

จากคา่ ของ  sin  , cos   =  1 , 3  ,  sin  , cos   =  2 2 และ
 6 6   2 2   4 4   , 
  
2 2

 sin  , cos   =  3 , 1  โดยอาศยั รปู ขา้ งล่าง สามารถหาคา่ ของ sin และ cos ของจำนวนจรงิ
 3 3   
 2 2

2 , 3 , 5 , 7 , 5 , 4 , และ − 2 , − 3 , − 5 , − 7 , − 5 , − 4 ,
346643 346643

ตัวอยา่ ง จงเตมิ ค่าของฟงั ก์ชนั ตรโี กณมิติในตารางตอ่ ไปนใี้ หส้ มบรู ณ์
มุม sin cos tan sec cosec cot มมุ sin cos tan sec cosec cot

2 − 2
33
4 − 4
33
5 − 5
33
5 − 5
44
7 − 7
44
5 − 5
66
7 − 7
66
11 − 11
66

มมุ sin cos tan sec cosec cot Trigonometry 341
120o
135o MATH4609
150o
210o มุม sin cos tan sec cosec cot
255o – 30o
240o –45o
300o – 60o
330 o – 120o
420 o –135o
690 o –150o
960 o –210o
–255o
ตวั อย่าง จงหาค่าของ –240o
–300o
( )1. sin 300o tan 240o cos 390o sin −765o –330

( )2. tan 660o sin 780o sec960o sin −405o

3. cos (−765o )sec(−540o ) + tan (−930o )cos ec (495o )

4. tan (−405o )cos (−900o ) + cot (−1290o )cos ec (855o )

5. sin (675o )cosec(−945o ) − tan (−660o )cot (1140o )

6. cos (750o )sec(−570o ) − sin (−1140o )cos ec (1860o )

7. tan 11 sec13 + sec 4 sec 4
66 33

8. sin 2 tan 7 + cos 13 cot 5
36 63

Trigonometry 342

MATH4609

9. sec 7 sin 7 cos ec  − 5  tan  − 31 
6 4  4   6 

10. cot 19 cos 21 sin  − 11  tan  − 34 
6 4  4   3 

11. sin 25 cos  − 17  cos ec  − 7  cot  − 37 
6  6   3   4 

12. cot 31 cos  − 20  s ec  7  cos  − 13 
6  3   4   2 

สรปุ ฟังกช์ ันตรโี กณมิตขิ องจำนวนจรงิ    , 2   เมือ่ 0  
2

ฟงั กช์ ัน   –  + 2 –  2 + 
sin
cos
tan
cot
sec
cosec

นอกจากนเี้ ราสามารถหาฟังก์ชันตรโี กณมติ ขิ องจำนวนจริง    , 3   เมอื่ 0   
2 2 2

  –  + 3 – 3 + 
2 2 2 2
ฟงั ก์ชัน

sin

cos

tan

cot

sec

cosec

Trigonometry 343

MATH4609

กราฟของฟังกช์ ันตรโี กณมติ ิ
กราฟของฟังกช์ ันตรโี กณมิติ โดยเฉพาะกราฟของฟงั ก์ชนั ไซน์และโคไซน์เป็นกราฟท่มี คี วามสำคญั มาก

ทั้งในวชิ าคณิตศาสตร์และวิชาอ่ืนๆ เช่น ในวชิ าฟิสิกสใ์ นเร่อื งแสง เสยี งเปน็ ต้น
สำหรบั ฟงั ก์ชนั ไซน์ ให้ ( x, y)  sine จะได้ y =sin x

การเขียนกราฟของ y =sin x เมื่อ 0 x  2

x0    2 5  7 4 3 5 11 2

63 2 36 63 23 6
31
sin x 0 1 3 1 22 0 −1 −3 −1 − 3 −1 0
2 2 2 2
22

เนอื่ งจากเรนจ์ของฟังก์ชันไซนค์ อื จำนวนเตม็ ตง้ั แต่ – 1 ถงึ 1 ดงั นนั้ ค่าของฟงั กช์ นั ไซนจ์ งึ มคี า่ ต้งั แต่ –
1 ถึง 1 ซงึ่ คา่ ของ sin x เม่ือ x เปน็ จำนวนจรงิ ต้งั แต่ 0 ถงึ 2 จะมีค่าเพ่มิ ขน้ึ หรือลดลงดงั แสดงดังตอ่ ไปน้ี

x sin x

0 x   เพิม่ ขึน้ จาก 0 ถงึ 1

2

  x   ลดลงจาก 1 ถงึ 0

2

  x  3 ลดลงจาก 0 ถงึ – 1

2

3  x  2 เพ่ิมข้นึ จาก – 1 ถึง 0

2

เนือ่ งจาก sin (2n + x) = sin x เม่อื n เป็นจำนวนเตม็ สมบัตินเี้ ปน็ สมบตั ทิ ่ีสำคญั อยา่ งหนง้ึ ของ

ฟงั ก์ชนั ไซน์ ทำให้กราฟของฟงั กช์ ันไซน์มลี ักษณะซ้ำกนั เปน็ ช่วงๆ ซ่ึงช่วยใหก้ ารเขยี นกราฟง่ายขึ้น
กราฟของ y =sin x เขียนได้ดงั น้ี

จากกราฟ จะเห็นวา่ โดเมนของฟังกช์ นั ไซน์ คือ เซตของจำนวนจริง เรนจข์ องฟังกช์ ันไซน์ คอื −1,1

Trigonometry 344

MATH4609

กราฟของฟงั ก์ชันไซน์ตัดแกน y ทจี่ ุด y =0
กราฟของฟงั กช์ ันไซนต์ ดั แกน x ท่ีจุด ( x,0) เมอื่ x คอื , −2 ,− ,0, ,2 ,
กราฟของฟงั กช์ นั ไซนม์ คี า่ เทา่ กบั 1 เม่อื x คือ ,− 7 ,− 3 ,  , 5 ,

2 222

กราฟของฟังก์ชนั ไซน์มีค่าเทา่ กบั – 1 เมอ่ื x คือ ,− 5 ,−  , 3 , 7 ,

2 22 2

ในทำนองเดยี วกนั กบั การเขยี นกราฟของ y =sin x จะเขียนกราฟของ y = cos x ได้ดงั นี้

เนอื่ งจากฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ทิ กุ ฟงั ก์ชันเป็นฟงั กช์ ันคาบ (periodic function) กล่าวคอื สามารถแบง่
แกน x ออกเปน็ ชว่ งย่อย (subinterval) โดยทค่ี วามยาวของแตล่ ะช่วงย่อยเทา่ กนั และกราฟในแต่ละช่วงย่อยมี
ลกั ษณะเหมอื นกัน ความยาวของช่วงยอ่ ยทส่ี ัน้ ทส่ี ุดทม่ี สี มบตั ิดังกลา่ วเรียกว่าคาบ (period) ของฟงั กช์ นั คาบ
ของฟังกช์ ัน y =sin x และ y = cos x เท่ากบั 2

สำหรับฟงั ก์ชันท่ีเปน็ คาบซงึ่ มคี ่าต่ำสุดและสงู สุด จะเรียกค่าทเ่ี ทา่ กบั ครงึ่ หนงึ่ ของคา่ สงู สดุ ลบด้วยค่า
ต่ำสดุ ของฟังก์ชันนน้ั ว่า แอมพลจิ ดู (amplitude)

น่ันคือ ถ้า a และ b เป็นคา่ สูงสุดและคา่ ต่ำสุดของฟงั กช์ น้ั ทเ่ี ปน็ คาบตามลำดับจะได้ แอมพลิจูดของ

ฟงั ก์ชนั นีเ้ ทา่ กบั 1 (a − b) ดังน้นั ฟังกช์ ัน y =sin x และ y = cos x มแี อมพลจิ ดู เท่ากบั 1

2

ตัวอย่าง จงเขยี นกราฟของ 2. y = sin x
1. y = sin 2x
2

Trigonometry 345

MATH4609

3. y = sin ( x +  ) 7. y = cos x
4. y = 2sin x
5. y = sin x + 2 2

8. y = cos ( x − )

9. y = −2 cos x

6. y = cos 2x 10. y = cos x − 2

346Trigonometry
MATH4609

กอ่ นจะเขยี นกราฟของฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิอ่นื ๆ มขี อ้ สงั เกตเกยี่ วกับโดเมนของฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ

ดังตอ่ ไปน้ี

โดเมนของฟงั กช์ นั sine function และ cosine function คอื จำนวนจรงิ

โดเมนของ tangent function คอื  x x R, x  n +  ,n I 
 2 
 

โดเมนของ secant function คอื  x x R, x  n +  ,n I 
โดเมนของ cotangent function คอื  2 
 

x x  R, x  n , n  I

โดเมนของ cosecant function คือ x x  R, x  n , n  I

กราฟของ y = tan x; −   x   0  
0 64 3
22 31
x − − − 3 3

3 46

tan x − 3 −1 − 3
3

พิจารณากราฟของ y = tan x; 0  x  3

2

จากกราฟจะเห็นวา่ เมอ่ื x มีค่าเพ่ิมขน้ึ จาก 0 และเข้าใกล้  คา่ ของ tan x จะเปน็ จำนวน

2

บวกและเพมิ่ ขนึ้ เรอื่ ยๆ และเสน้ กราฟจะโคง้ เข้าหาเสน้ ตรง x =  แตเ่ ม่อื x =  จะหาคา่ tan x

22

ไมไ่ ด้
เมอื่ x มีคา่ ลดลงจาก  จนเข้าใกล้  คา่ ของ tan x จะเปน็ จำนวนลบและลดลงเรอ่ื ยๆและ

2

เสน้ กราฟจะโค้งเขา้ หาเส้นตรง x = 

2

ในทำนองเดียวกนั เมือ่ x มีค่าเพ่ิมจาก  และเขา้ ใกล้ 3 ค่าของ tan x จะเพ่ิขึน้ เรอื่ ยๆ

2

และเสน้ กราฟจะโคง้ เขา้ หาเสน้ ตรง x = 3

2

ในทำนองเดียวกนั กราฟของฟงั ก์ชนั y = tan x โดยทั้วไปจะมลี กั ษณะดังนี้

347Trigonometry
MATH4609

จากรปู จะเหน็ วา่ tangent function เปน็ ฟงั ก์ชนั คาบ และมคี าบเทา่ กับ 
ส่วนกราฟของ cosecant function, secant function และ cotangent function ซ่งึ เปน็
สว่ นกลบั ของ sine function, cosine function และ tangent function ตามลำดบั ดังนี้