แผนการสอน รายวิชา ค33202 เสริมทักษะคณิตศาสตร์ 6 ชั้น ม.6_เทอม_2-2564_ครูจำเนียร_(ปรับปรุง 1-11-2564)

Page |8

1.4 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)
การวัดการกระจายของข้อมูลด้วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เป็นค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูลโดย

เป็นค่าที่บอกให้ทราบว่าข้อมูลแต่ละตัวอยู่ห่าวจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยประมาณเท่าใด ซึ่งเป็นวิธีที่ให้ผลลัพธ์
แม่นยำและนิยมใช้มากที่สุด ผลลัพธ์ที่ได้จากการคำนวณให้ค่าการกระจายที่มีความละเอียดถูกต้องและเชื่อถือได้
มากทีส่ ุด

1.4.1 การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่ไมไ่ ดแ้ จกแจงความถ่ี
1) ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานของประชากร ( : อา่ นวา่ ซิกมา)

= √∑ = 1( −µ)2 เมื่อ µ แทน คา่ เฉลีย่ เลขคณติ ของประชากร



= √∑ = 1( )2 − µ2 แทน จำนวนข้อมูลของประชากร



2) ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง (Sample Standard Deviation : . . หรือ )

= √∑ =1( − ̅)2 เมอ่ื ̅ แทน คา่ เฉลีย่ เลขคณิตของกลมุ่ ตัวอย่าง

−1

√= ∑ =1( )2− ̅ แทน จำนวนขอ้ มลู ของกล่มุ ตัวอย่าง

−1

1.4.2 การหาส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานของข้อมลู ทแ่ี จกแจงความถ่ี
การหาสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของข้อมลู ท่แี จกแจงความถ่ีนั้นเป็นเพยี งการหาคา่ โดยประมาณ

เพราะ ใช้จุดก่งึ กลางช้ันในแต่ละอนั ตรภาคช้ันมาเป็นตวั แทนของข้อมูลเพ่ือคำนวณการกระจายตวั
1) สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของประชากร ( )

= √∑ =1 ( −µ)2 เมื่อ แทน จำนวนอันตรภาคช้ัน


= √∑ =1 ( )2 − µ2 แทน จุดก่ึงกลางของอันตรภาคชัน้ ที่



2) สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง (Sample Standard Deviation : . . หรอื )

= √∑ =1 ( − ̅ )2 เมอ่ื แทน จำนวนอนั ตรภาคชน้ั
−1

√= ∑ =1 ( )2− ̅ แทน จดุ ก่งึ กลางของอนั ตรภาคช้นั ท่ี

−1

Page |9

ตวั อยา่ งที่ 66 จงหาส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของข้อมลู 5 6 6 6 7 8

ตวั อย่างที่ 67 จงหาสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมลู 1 2 4 7 9 12

ตัวอย่างที่ 68 จงหาสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของอายุ (ป)ี ของเดก็ 8 คน ซึ่งมีอายุ ดังน้ี
15, 14, 12, 10, 10, 9, 8, 6

P a g e | 10

ตวั อยา่ งที่ 69 จงหาส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานจากตารางแจกแจงความถต่ี ่อไปน้ี

คะแนน 10 – 14 15 – 19 20 – 24

ความถ่ี 3 52

ตวั อย่างที่ 70 จงหาสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานจากตารางแจกแจงความถ่ีต่อไปนี้

คะแนน 1 – 3 4 – 6 7 – 9 10 – 12 13 – 15 16 – 18

ความถี่ 2 35741

P a g e | 11

ตัวอยา่ งท่ี 71 กลุ่มตัวอยา่ งของข้อมูลชุดหนง่ึ มี 11 จำนวนดงั นี้ 15, 10, 12, 15, 16, , 16, 19, 13, 17, 15
ถ้าค่าเฉลยี่ เลขคณติ ของข้อมลู ชดุ น้เี ทา่ กับ 15 แล้วกำลังสองของสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนเี้ ทา่ กบั
เท่าใด

ตวั อย่างที่ 72 ข้อมลู ชุดหนีง่ เรยี งลำดบั จากน้อยไปมากดงั น้ี
2 3 3 4 7

ถา้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของข้อมลู ชุดนเ้ี ท่ากบั 4 และ 4 ตามลำดบั แลว้ −
√7

มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด

P a g e | 12

แบบฝึกทักษะที่ 15

คำชแ้ี จง ใหน้ กั เรียนเตมิ คำตอบลงในชอ่ งวา่ งแต่ละขอ้ ต่อไปน้ใี หถ้ ูกต้องสมบรู ณ์

ข้อที่ ข้อมูล ̅ ∑( − ̅ )2 สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน
1 4, 5, 6, 9

2 3, 4, 5, 6, 7

3 2, 3, 5, 6

4 1, 3, 6, 4, 8, 3, 5, 2

5 13, 9, 14, 6, 8, 11, 5, 8, 8, 6, 11, 9

6 3, 5, 7, 9

7 6, 8, 4, 2, 7, 3

8 2, 4, 14, 15, 20, 53, 71, 101

9 5.2, 1.8, 7.1, 7.1

10 157, 156, 160, 156, 175, 160, 156

P a g e | 13

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 16

คำชี้แจง ให้นักเรยี นเติมคำตอบลงในชอ่ งว่างแต่ละข้อต่อไปนใ้ี ห้ถูกต้องสมบรู ณ์

1. จากตารางแจกแจงคะแนนสอบของนกั เรยี น 20 เปน็ ดังนี้

คะแนน ความถี่ ( ) จุดกึ่งกลางชัน้ ( ) − ̅ ( − ̅ )2 ( − ̅ )2 ̅
20 – 29 2

30 – 39 4

40 – 49 7

50 – 59 5

60 – 69 2

รวม

2. จากตารางแจกแจงวันลาของนกั เรยี น 30 เป็นดงั น้ี

จำนวนครัง้ ความถี่ ( ) 2 2 ̅ ̅ 2
1–3 3

4 – 6 12

7 – 9 15

รวม

3. จากตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตรข์ องนักเรยี น ม.6 โรงเรยี นแห่งหน่ึงเปน็ ดังน้ี

คะแนน จำนวนนกั เรยี น ( − ̅ ) ( − ̅ )2 ( − ̅ )2 ̅

90 – 99 9

80 – 89 32

70 – 79 43

60 – 69 21

50 – 59 11

40 – 49 3

30 – 39 1

รวม

P a g e | 14

1.5 ความแปรปรวน (Variance)
ความแปรปรวน คอื คา่ ท่ีใชว้ ัดการกระจายของข้อมลู โดยคำนวณจากกำลงั สองของสว่ นเบี่ยงเบน

มาตรฐาน โดยสญั ลักษณ์ท่ีใชค้ ือ 2, 2 และ
1.5.1 การหาความแปรปรวนของข้อมูลท่ไี มไ่ ดแ้ จกแจงความถ่ี
1) ความแปรปรวนของกลุม่ ประชากร

2 = ∑ = 1( −µ)2 เมอื่ µ แทน คา่ เฉลี่ยเลขคณติ ของประชากร
แทน จำนวนข้อมูลของประชากร


= ∑ = 1( )2 − µ2



2) ความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง

2 = ∑ =1( − ̅)2 เมอ่ื ̅ แทน คา่ เฉลี่ยเลขคณติ ของกลมุ่ ตัวอยา่ ง
−1 แทน จำนวนขอ้ มลู ของกลมุ่ ตวั อยา่ ง

= ∑ =1( )2− ̅

−1

1.5.2 การหาความแปรปรวนของข้อมูลทแ่ี จกแจงความถี่
1) ความแปรปรวนของกล่มุ ประชากร

2 = ∑ =1 ( −µ)2 เม่อื แทน จำนวนอนั ตรภาคช้ัน



= ∑ =1 ( )2 − µ2 แทน จดุ กง่ึ กลางของอันตรภาคช้นั ท่ี



2) ความแปรปรวนของกลุ่มตัวอยา่ ง

2 = ∑ =1 ( − ̅)2 เม่ือ แทน จำนวนอันตรภาคชั้น

−1

= ∑ =1 ( )2− ̅ แทน จุดกง่ึ กลางของอนั ตรภาคชน้ั ท่ี

−1

P a g e | 15

ตวั อยา่ งท่ี 73 กำหนดข้อมูลเปน็ 3, 5, 7, 9, 11 จงหาความแปรปรวนของขอ้ มลู ชุดน้ี

ตวั อยา่ งท่ี 74 จงหาความแปรปรวนของข้อมูล 44, 40, 45, 42, 39, 44, 42, 45, 49, 50

ตวั อย่างที่ 75 จงหาความแปรปรวน จากตารางแจกแจงความถีต่ ่อไปน้ี
คะแนน 10 – 14 15 – 19 20 – 24
ความถ่ี 3 5 2

P a g e | 16

ตวั อยา่ งที่ 76 ในการศึกษาอายุเฉลยี่ (ปี) ของสตั ว์เลีย้ งลกู ดว้ ยนม นกั วิทยาศาสตร์ได้สุ่มตัวอยา่ งสัตวเ์ ลี้ยงลกู
ดว้ ยนำ้ นมมา 10 ชนิด พบวา่ อายุขับเฉลย่ี ของแต่ละชนดิ เป็นดงั นี้ และจงหาส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานและความ
แปรปรวนของอายุขัยเฉลย่ี ของสัตว์ทง้ั 10 ชนดิ

สตั วเ์ ลยี้ งลกู ด้วยนม อายขุ ัยเฉลย่ี (ปี)

แมว 12

ววั 15

สุนขั 12

ลา 12

แพะ 8

หนูตะเพา 4

ม้า 20

หมู 10

กระตา่ ย 5

แกะ 12

P a g e | 17

1.5.3 ความแปรปรวนรวม (Combined Variance)
การหาความแปรปรวนรวมของข้อมลู มี 2 แบบ คือ
1) การหาความแปรปรวนรวม เม่ือข้อมูลทุกชุดมคี า่ เฉลีย่ เลขคณติ เท่ากัน ( 1̅ = ̅2)
ถา้ กำหนดให้ขอ้ มูล 2 ชดุ มรี ายละเอยี ดดังนี้

ขอ้ มลู ชดุ ที่ 1 จำนวนขอ้ มลู ความแปรปรวน คา่ เฉลีย่ เลขคณติ
ข้อมลู ชุดท่ี 2
1 12 ̅1
2 22 ̅2

ให้ 2 แทนความแปรปรวนรวมของข้อมูล 2 ชุด แลว้ จะได้

2 = 1 12+ 2 22
1+ 2

** ถ้าขอ้ มลู 3 ชุด และแต่ละชุดมี ̅ เท่ากัน จะได้ 2 = 1 12+ 2 22+ 3 32
1+ 2+ 3

*** ในกรณีท่ี 1 = 2 จะได้ 2 = 12+ 22
2

ตัวอยา่ งที่ 77 ข้อมลู 2 ชดุ ชุดแรกมี 5 จำนวน มคี วามแปรปรวน 18 ชดุ ชดุ หลังมี 3 จำนวน มคี วามแปรปรวน
24 ขอ้ มลู ท้งั หมดน้ี มคี า่ เฉลยี่ เลขคณติ เท่ากนั จงหาความแปรปรวนรวมของข้อมูลทั้ง 2 ชุด

P a g e | 18

2) การหาความแปรปรวนรวม เมอ่ื ข้อมลู ทุกชดุ มีคา่ เฉลี่ยเลขคณิตไมเ่ ท่ากัน ( ̅1 ≠ ̅2)
ถา้ กำหนดให้ข้อมลู 2 ชุด มรี ายละเอยี ดดังน้ี

ขอ้ มูลชุดที่ 1 จำนวนข้อมูล ความแปรปรวน ค่าเฉลย่ี เลขคณิต
ข้อมูลชุดท่ี 2
1 12 ̅1
2 22 ̅2

ให้ 2 แทนความแปรปรวนรวมของข้อมูล 2 ชุด แล้วจะได้

2 = 1 12 + 2 22 + 1( ̅ 1− ̅ )+ 2( ̅ 2− ̅ ) เมอ่ื คือ ซง่ึ ̅ ̅ ̅ = 1 ̅1+ 2 ̅2
1+ 2 1+ 2

ตัวอย่างที่ 78 ข้อมูล 2 ชุด ชดุ ท่ี 1 มีจำนวน 20 ขอ้ มูล ̅ = 9, = 3 ข้อมลู ชดุ ที่ 2 มี 15 ขอ้ มูล ̅ = 12,
= 4 จงหาความแปรปรวนของข้อมลู ท้ังสองชุดน้ี

ตวั อยา่ งท่ี 79 นักเรียนหอ้ งหน่ึงเป็นชาย 16 คน เปน็ หญงิ 20 คน ถา้ กลุ่มนักเรียนชายมีคะแนนเฉลี่ย 22
มสี ว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน 2 และกลมุ่ นกั เรยี นหญงิ มีคะแนนเฉล่ยี 22 คะแนน มสี ว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 คะแนน
จงหาความแปรปรวนรวมของนกั เรียนหอ้ งน้ี

P a g e | 19

ตวั อยา่ งที่ 80 นักเรียนห้องหนึง่ เป็นชาย 16 คน เป็นหญิง 20 คน ถ้ากลมุ่ นกั เรียนชายมคี ะแนนเฉลยี่ 15
มสี ่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน 2 และกลุ่มนกั เรียนหญงิ มีคะแนนเฉล่ยี 24 คะแนน มสี ่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน 3 คะแนน
จงหาความแปรปรวนของนกั เรียนห้องน้ี

ตัวอยา่ งท่ี 81 โรงเรียนแห่งหนึ่งมีชั้น ม.6 อยู่สองห้องคือ 6/1 และ 6/2 ซึ่งมีจำนวนนักเรียน 52 และ 48 คน
ตามลำดบั ถ้าคะแนนสอบของนักเรยี นช้ัน ม.6 ทั้ง 2 ห้องมีคา่ เฉลย่ี เลขคณิตเท่ากัน และมีส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน
เท่ากบั 2 และ 1.5 ตามลำดบั แลว้ สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบของช้ัน ม.6 เทา่ กับเท่าใด

P a g e | 20

แบบฝึกทกั ษะที่ 17

คำชีแ้ จง ให้นักเรียนเตมิ คำตอบลงในช่องว่างแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้ใหถ้ ูกตอ้ งสมบรู ณ์

ข้อที่ ข้อมูล ̅ ความแปรปรวน
1 4, 2, 4, 3, 2

2 3, 5, 7, 9, 11

3 10, 20, 30, 40, 50
4 10, 15, 20, 20, 25, 30, 35
5 คะแนน 5-9 10-14 15-19 20-24

ความถ่ี 3 2 4 6

6 คะแนน 4-6 7-9 10-12 13-15
ความถ่ี 3 2 4 6

7 ข้อมลู 2 ชดุ ท่ี 10 และ 18 จำนวน ค่าเฉล่ยี เลข
คณติ คือ 8 ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเท่ากับ 3 และ
2 ตามลำดบั จงหาความแปรปรวนรวมของข้อมูล
ทง้ั สองชุดน้ี

8 ข้อมูล 2 ชดุ ที่ 10 และ 8 จำนวน ค่าเฉลยี่ เลขคณติ
คือ 8 และ 13 ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานเท่ากบั 2.3
และ 1.2 ตามลำดบั จงหาความแปรปรวนรวมของ
ข้อมลู ท้ังสองชุดนี้ (ต้องการทศนยิ ม 1 ตำแหน่ง)

P a g e | 21

1.6 สมบัติที่สำคัญของส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน และความแปรปรวน
1.6.1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลใด ๆ มีค่าเปน็ จำนวนบวก หรอื ศนู ย์ เสมอ
1.6.2 ถ้าคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน โดยใช้ค่ากลางของข้อมูล ชนิดอื่น ๆ ที่ไม่ใช่ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ส่วนเบี่ยงเบนมาจรฐานทีไ่ ด้ จะมคี ่ามากกว่าส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานทีใ่ ช้ค่าเฉลีย่ เลขคณิต นั้นคอื

√∑( − )2 > √∑( − ̅)2 เมอ่ื เป็นค่ากลางของขอ้ มูลที่ไมใ่ ชค่ า่ เฉล่ียเลขคณิต


1.6.3 ถ้าข้อมูล 2 ชุด ซึ่งประกอบด้วยข้อมูล 1 และ 2 จำนวนมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากันแต่ความ

แปรปรวนของข้อมูลชุดที่ 1 เป็น 12 และ ข้อมูลชุดที่ 2 เป็น 22 ตามลำดับ แล้วความแปรปรวนรวมของข้อมูล

ทง้ั สองชดุ เทา่ กบั 1 12+ 2 22
1+ 2

ตัวอยา่ งท่ี 82 กำหนดชุดขอ้ มูล 2 ชดุ ดงั นี้ ชดุ ท่ี 1 : 2, 5, 8, 11, 14 และ ชุดท่ี 2 : 2, 8, 14
จงหาความแปรปรวนรวมของขอ้ มูลท้ังสองชุด

P a g e | 22

ตัวอย่างที่ 83 นักเรียนห้องหนึ่งจำนวน 40 คน มีสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของอายเุ ทา่ กบั 2.5 ปี นกั เรยี นห้องที่
สองจำนวน 45 คน มสี ่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของอายเุ ท่ากับ 2.2 ปี ถ้าทง้ั สองห้องมีค่าเฉลย่ี เลขคณิตของอายุ
เท่ากบั 16 ปี จงหาส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานรวมของอายุของนกั เรียนท้ังสองหอ้ ง

ตัวอย่างท่ี 84 หอ้ งเรียนหอ้ งหนง่ึ มนี กั เรียน 50 คน เปน็ นกั เรียนชาย 20 คน จากการสำรวจนำ้ หนักของนักเรียน
พบว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของน้ำหนักนักเรียนชายและนักเรียนหญิงมีค่าเท่ากัน ถ้าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ
น้ำหนักของนักเรียนชายเท่ากับ 3 กิโลกรัม และความแปรปรวนของน้ำหนักของนักเรียนหญิงเท่ากับ 6 กิโลกรัม
จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวนของน้ำหนกั ของนักเรยี นทั้งห้อง

P a g e | 23

แบบฝึกทักษะที่ 18

คำช้ีแจง ให้นกั เรียนแสดงวธิ ที ำ แลว้ หาคำตอบ
1. นายดำ นายแดง และนายขาว มคี า่ เฉล่ียเลขคณติ ของอายุของเขาเท่ากับ 18 ปีสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของอายุ
ของเขาเท่ากับ 0 ถ้านายเขยี วนำอายุเขามาคำนวณด้วย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายขุ องทั้งสค่ี นจะเท่ากบั 20 ปี
จงหา 1.1 พิสยั ของอายุของทงั้ สี่คน

1.2 สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของอายุของทง้ั สี่คน
2. ครอบครวั หนงึ่ ประกอบด้วย บิดา มารดา และบุตรจำนวน 5 คน ซงึ่ ในปัจจุบันมีอายุ ดังนี้ 40, 35, 15, 13, 11,
8, 4 ปีตามลำดบั จงหา

2.1 ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของอายุของคนท้งั 7 คนในปัจจบุ นั
2.2 สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของอายุของคนท้งั 7 คนใน 5 ปขี า้ งหนา้
3. ความสงู ของนกั เรียน 10 คนเป็นดงั นี้ 150, 151, 152 153 154, 155, 156, 157, 153, 159 เซนติเมตร จงหา
3.1 ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของความสงู
3.2 ความแปรปรวนของความสูง
4. จากการสอบวิชาคณิตศาสตรข์ องนักเรยี นชั้น ม.6 ซึ่งมีทั้งหมด 3 ห้องโดยท่ีห้อง 1, 2 และ 3 มีนักเรียนจำนวน
40, 42 และ 43 คนตามลำดบั ถ้ามคี ่าเฉลยี่ เลขคณิตของคะแนนของแตล่ ะห้องมคี ่าเท่ากับ 65 และความแปรปรวน
ของคะแนนของห้อง 1,2 และ 3 มีค่าเท่ากับ 9, 12 และ 8 คะแนนตามลำดับ จงหาความแปรปรวนรวมของ
คะแนนของนกั เรยี นทั้งสามห้องรวมกัน
5. ข้อมูลชุดท่ี 1 มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 2 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 3√2 ข้อมูลชุดท่ีสองมีค่าเฉล่ีย
เลขคณิตเท่ากับ 16 และส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานเท่ากบั 3√6 จงหาความแปรปรวนรวมของข้อมลู ที่ได้จากการรวม
ข้อมูลทั้งสองชุดเข้าเป็นชุดเดียวกัน ถ้าข้อมูลชุดแรกประกอบด้วย 5 ค่าสังเกตและข้อมูลชุดที่สองประกอบด้วย
3 ค่าสงั เกต

P a g e | 24

2.การวดั การกระจายสัมพัทธ์ (Measures of Relative Variation)
2.1 สัมประสิทธ์ขิ องพสิ ัย (Coeffient of Range)

การเปรยี บเทยี บการกระจายของขอ้ มูลต้ังแต่ 2 ชุดขึน้ ไป โดยใช้สมั ประสิทธข์ิ องพิสัย มีขัน้ ตอนดงั น้ี
1) หาสัมประสทิ ธขิ์ องพิสยั ของขอ้ มลู แต่ละชดุ จากสตู ร

. . = max− min

max+ min

2) นำสัมประสิทธ์ิของพสิ ัยของขอ้ มูลแตล่ ะชดุ เปรยี บเทียบกันได้
3) ถา้ สมั ประสิทธ์ิของพสิ ัยของขอ้ มูลชุดใดมีค่ามากกว่าสัมประสิทธข์ิ องพิสัยของ ข้อมลู ชดุ หนง่ึ แสดงว่า
ขอ้ มูลชุดนนั้ มีการกระจายมากกวา่ ข้อมูลอีกชุดหน่ึง
ตวั อย่างที่ 85 กำหนดข้อมูล 2 ชดุ ดงั น้ี ชุดที่ : 1 62, 65, 63, 64, 66, 61 และชดุ ท่ี 2 : 90, 92, 94, 103, 109,
107 จงเปรียบเทียบการกระจายของขอ้ มูล 2 ชุด โดยใชส้ ัมประสทิ ธขิ์ องพสิ ยั

ตัวอยา่ งที่ 86 คะแนนสอบวิชาสถิติของนกั เรยี น เป็นดงั น้ี
คะแนนสอบครั้งท่ี 1 : 12 , 6 , 7 , 3 , 15 , 10 , 18 , 5
คะแนนสอบครั้งที่ 2 : 9 , 4 , 6 , 8 , 10

จงเปรยี บเทยี บการกระจายของขอ้ มลู 2 ชดุ โดยใชส้ มั ประสทิ ธ์ิของพสิ ัย

P a g e | 25

ตัวอยา่ งท่ี 87 กำหนดตารางแจกแจงความถีข่ องข้อมูล 2 ชดุ เปน็ ดังตาราง แลว้ จงเปรยี บเทียบการกระจายของ
ข้อมูล 2 ชุด โดยใช้สมั ประสทิ ธขิ์ องพสิ ยั

ขอ้ มลู ชุดที่ 1 ข้อมูลชดุ ที่ 2

ข้อมลู ความถี่ ขอ้ มูล ความถี่
50 – 52 12 60 – 62 5
53 – 55 13 63 – 65 18
56 – 58 20 66 – 68 17
59 – 61 15 69 – 71 30

รวม 60 รวม 70

ตัวอยา่ งท่ี 88 จากตารางแจกแจงความถี่ต่อไปน้ี เป็นคะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ของนกั เรียน ช้ัน ม.6/1 และ
ม.6/2 เป็น ดงั ตาราง แล้วจงเปรยี บเทยี บการกระจายของข้อมลู 2 ชุด โดยใชส้ ัมประสิทธิ์ของพิสยั

ชั้น ม.6/1 ช้นั ม.6/2

ขอ้ มูล ความถ่ี ขอ้ มูล ความถ่ี
20 – 25 8 15 – 19 10
26 – 31 10 20 – 24 15
32 – 37 22 25 – 29 3
38 – 43 3 30 – 34 12

P a g e | 26

แบบฝึกทักษะท่ี 19

คำชแี้ จง ใหน้ กั เรยี นเปรยี บเทียบการกระจายของขอ้ มูลในแต่ละข้อตอ่ ไปนี้ โดยใช้สมั ประสิทธข์ิ องพิสยั พร้อมทงั้

เติมตารางให้สมบูรณ์

1. กำหนดใหข้ อ้ มลู ของนกั เรียนเป็นดงั นี้ ข้อมลู ชดุ ท่ี 1 : 12 , 6 , 7 , 3 , 15 , 10 , 18 , 5 และ

ข้อมูลชุดที่ 2 : 9 , 4 , 8 , 8 , 9 , 8 , 9 , 10

ข้อมูลชดุ ที่ max m สมั ประสทิ ธ์ขิ องพิสยั การเปรียบเทียบการกระจายของข้อมลู

1

2

2. จากตารางแจกแจงความถี่ต่อไปน้ี เป็นนำ้ หนักของนักเรียนชาย 2 กลมุ่ ในระดบั ช้นั มัธยมศึกษาตอนปลาย

กลุ่มที่ 1 กลุม่ ท่ี 2

นำ้ หนัก (ก.ก.) จน.นกั เรียน นำ้ หนัก (ก.ก.) จน.นกั เรยี น

40 – 45 2 42 – 45 4

51 – 56 4 46 – 49 8

57 – 62 6 50 – 53 16

63 – 68 8 54 – 57 4

69 – 74 12 58 – 61 8

ข้อมูลชดุ ท่ี max m สัมประสิทธขิ์ องพิสยั การเปรยี บเทียบการกระจายของขอ้ มูล
1

2

P a g e | 27

2.2 สัมประสิทธิข์ องส่วนเบีย่ งเบนควอรไ์ ทล์ (Coefficient of Quartile Deviation)
ในการเปรียบเทยี บการกระจายของข้อมูลตงั้ แต่ 2 ชดุ ขึ้นไป โดยใชส้ มั ประสทิ ธิข์ อง

สว่ นเบยี่ งเบนควอไทล์ มขี ้ันตอนดังนี้
1) หาสมั ประสิทธิข์ องสว่ นเบี่ยงเบนควอรไ์ ทล์ของข้อมลู แต่ละชุด จากสตู ร

. . . = 3− 1
3+ 1

2) นำสมั ประสทิ ธิข์ องสว่ นเบ่ียงเบนควอรไ์ ทล์ของข้อมลู แตล่ ะชดุ เปรียบเทียบกนั ได้
3) ถ้าสัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ของข้อมูลชุดใดมีค่ามากกว่าสัมประสิทธิ์ของส่วน
เบ่ยี งเบนควอไทล์ของ ขอ้ มูลชดุ หนง่ึ แสดงว่าขอ้ มูลชดุ น้ันมกี ารกระจายมากกวา่ ข้อมลู อีกชดุ หนึง่

ตวั อย่างท่ี 89 กำหนดข้อมูล 2 ชดุ เปน็ ดังน้ี ชุดท่ี 1 : 13, 6, 8, 2, 15, 10, 19, 4 และ
ชดุ ท่ี 2 : 8, 2, 7, 7, 8, 7, 8, 19 จงเปรยี บเทียบการกระจายของข้อมลู 2 ชุด โดยใช้สมั ประสทิ ธ์ิของสว่ น
เบย่ี งเบนควอร์ไทล์

ขอ้ มลู ชุดท่ี 1 สมั ประสิทธ์ิของส่วน การเปรียบเทยี บการกระจาย
3 เบย่ี งเบนควอร์ไทล์
ของข้อมูล

1

2

ตวั อยา่ งที่ 90 กำหนดข้อมลู 2 ชุด เป็นดงั น้ี ขอ้ มูลชุดท่ี 1 : 63, 65, 66, 68, 70, 70, 73, 87, 68 และ
ข้อมลู ชดุ ที่ 2 : 64, 66, 66, 69, 70, 70, 71, 75, 85 จงเปรียบเทียบการกระจายของขอ้ มูล 2 ชุด โดยใช้
สัมประสทิ ธิ์ของส่วนเบ่ียงเบนควอรไ์ ทล์

ข้อมูลชดุ ท่ี 1 สมั ประสทิ ธข์ิ องส่วน การเปรียบเทียบการกระจาย
3 เบ่ียงเบนควอร์ไทล์
ของข้อมลู

1

2

P a g e | 28

2.3 สัมประสิทธิ์ของส่วนเบ่ียงเบนเฉลยี่ (Coefficient of Mean Deviation)
ในการเปรยี บเทยี บการกระจายของข้อมลู ต้งั แต่ 2 ชดุ ข้นึ ไป โดยใชส้ ัมประสทิ ธิข์ องสว่ นเบยี่ งเบนเฉล่ีย

มขี ัน้ ตอนดงั น้ี 1) หาสมั ประสิทธิ์ของส่วนเบ่ียงเบนเฉล่ียของข้อมูลแต่ละชุด จากสตู ร

ประชากร . .
กลมุ่ ตัวอย่าง
. . . = µ

. .

. . . = ̅

2) นำสมั ประสิทธข์ิ องสว่ นเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมลู แต่ละชุดเปรียบเทยี บกนั ได้
3) ถ้าสัมประสิทธ์ิของส่วนเบี่ยงเบนเฉลีย่ ของข้อมลู ชดุ ใดมีค่ามากกวา่ สัมประสิทธขิ์ องส่วน
เบ่ียงเบนเฉลยี่ ของ ข้อมูลชดุ หน่งึ แสดงว่าข้อมูลชดุ นั้นมกี ารกระจายมากกว่าข้อมลู อีกชดุ หนงึ่

ตัวอยา่ งที่ 91 กำหนดข้อมูล 2 ชดุ ซึ่งเป็นข้อมลู เกี่ยวกบั น้ำหนักของนักเรียนช้ัน ม.6 ซึง่ สมุ่ มาจำนวนหน่ึงของ
โรงเรยี นบางบัวทอง ดังน้ี ห้องเรียน 6/1 : 52, 56, 57, 59, 64 และ ห้องเรยี น 6/2 : 54, 60, 65, 67, 68, 58
จงเปรียบเทยี บการกระจายของข้อมูล 2 ชดุ โดยใช้สมั ประสทิ ธขิ์ องสว่ นเบ่ียงเบนเฉลย่ี

ขอ้ มูลชุดที่ . . สมั ประสิทธ์ขิ องสว่ น การเปรยี บเทียบการกระจาย
เบีย่ งเบนควอร์ไทล์ ของขอ้ มลู

1

2

ตวั อยา่ งที่ 92 กำหนดข้อมูล 2 ชดุ เปน็ ดงั นี้ ข้อมลู ชุดท่ี 1 : 63, 65, 66, 68 และ ข้อมูลชดุ ที่ 2 : 64, 66, 66,
69, 70 จงเปรยี บเทยี บการกระจายของข้อมลู 2 ชุด โดยใช้สัมประสทิ ธข์ิ องสว่ นเบ่ียงเบนเฉลยี่

ข้อมูลชุดที่ . . สัมประสิทธ์ขิ องส่วน การเปรยี บเทียบการกระจาย
เบ่ยี งเบนควอร์ไทล์ ของขอ้ มูล

1

2

P a g e | 29

2.4 สัมประสิทธิข์ องความแปรผัน (Coefficient of Variation)
ในการเปรยี บเทียบการกระจายของขอ้ มูลตั้งแต่ 2 ชดุ ข้ึนไป โดยใชส้ มั ประสทิ ธิ์ของการแปรผัน

มีขัน้ ตอนดังนี้ 1) หาสมั ประสิทธิ์ของความแปรผนั ของข้อมลู แตล่ ะชดุ จากสตู ร

ประชากร
กลุ่มตวั อยา่ ง . . = µ


. . = ̅

2) นำสมั ประสทิ ธ์ิของความแปรผันของข้อมลู แตล่ ะชดุ เปรียบเทยี บกนั ได้
3) ถ้าสัมประสทิ ธขิ์ องความแปรผันของข้อมลู ชุดใดมคี า่ มากกวา่ สมั ประสิทธ์ิของความแปรผันของ
ข้อมลู ชดุ หน่งึ แสดงว่าข้อมูลชุดนน้ั มีการกระจายมากกว่าข้อมูลอีกชุดหน่งึ

ตวั อยา่ งท่ี 93 กำหนดข้อมูล 2 ชดุ เป็นดังนี้ ชุดที่ 1 : 2, 4, 6, 8, 10 และชุดท่ี 2 : 3, 5, 7, 9 จงเปรียบเทยี บ
การกระจายของข้อมูล 2 ชุด โดยใช้สมั ประสิทธ์ิของความแปรผนั

ข้อมลู ชดุ ท่ี ̅ สัมประสิทธิข์ องแปรผนั การเปรียบเทียบการกระจายของขอ้ มูล
1

2

ตวั อยา่ งท่ี 94 กำหนดข้อมลู 2 ชดุ เป็นดงั นี้ ชดุ ที่ 1 : 4, 5, 6, 9 และชุดที่ 2 : 3, 4, 5, 6, 7 จงเปรยี บเทยี บการ
กระจายของขอ้ มลู 2 ชุด โดยใช้สมั ประสทิ ธ์ขิ องความแปรผนั

ข้อมูลชดุ ท่ี ̅ สัมประสิทธ์ิของแปรผนั การเปรยี บเทยี บการกระจายของขอ้ มลู
1

2

P a g e | 30

ตัวอยา่ งท่ี 95 กำหนดตารางแจกแจงความถี่ซ่งึ เป็นข้อมลู แสดงคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรข์ องนักเรียนชั้น
ม.6/2 และชนั้ ม.6/3 ในโรงเรยี นบางบัวทอง ปีการศกึ ษา 2561 มีดังน้ี

คะแนน จำนวนนกั เรียนช้ัน ม.6/2 จำนวนนักเรยี นช้นั ม.6/3
1–3 2 4
4–6 3 2
7–9 5 8
10 – 12 7 3
13 – 15 4 4
16 – 18 1 9
รวม

ขอ้ มูลชดุ ท่ี ̅ สมั ประสทิ ธข์ิ องแปรผนั การเปรียบเทยี บการกระจายของข้อมลู

1

2

P a g e | 31

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 20

คำช้ีแจง ให้นักเรยี นเปรยี บเทยี บการกระจายของขอ้ มลู ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้ โดยใชส้ มั ประสิทธิ์ของการแปรผนั
พรอ้ มทั้งเติมตารางใหส้ มบรู ณ์

1. กำหนดให้ข้อมูลของนักเรียนเป็นดงั นี้ ขอ้ มลู ชดุ ที่ 1 : 12 , 6 , 7 , 3 , 15 , 10 , 18 , 5 และ
ขอ้ มูลชดุ ที่ 2 : 9 , 4 , 8 , 8 , 9 , 8 , 9 , 10

ขอ้ มูลชุดที่ ̅ สัมประสทิ ธิ์ของแปรผัน การเปรียบเทยี บการกระจายของขอ้ มูล

1

2

2. กำหนดขอ้ มูลดังตารางขา้ งลา่ งน้ี จงเตมิ ตารางให้สมบรู ณ์

ขอ้ มลู ชุดที่ ̅ สัมประสทิ ธิ์ของแปรผัน การเปรียบเทียบการกระจายของข้อมลู

141

282

3 12 3

P a g e | 32

3. ตารางต่อไปน้ี เปน็ คะแนนการสอบวิชาชีววิทยาของนักเรยี นชั้น ม.6/1 และ ชนั้ ม.6/2 ในโรงเรียน

บางบัวทอง ปีการศกึ ษา 2563 เปน็ ดังน้ี

คะแนน จำนวนนักเรยี นชนั้ ม.6/1 จำนวนนักเรียนช้ัน ม.6/2

0–4 2 4

5–9 3 5

10 – 14 4 6

15 – 19 4 8

20 – 24 7 7

รวม 20 30

ข้อมูล ̅ สมั ประสทิ ธิ์ของแปรผัน การเปรียบเทยี บการกระจายของข้อมลู

6/1

6/2

4. ตารางต่อไปนี้ เปน็ คะแนนการสอบวชิ าชีววิทยาของนักเรยี นชนั้ ม.6/3 และ ชั้น ม.6/4 ในโรงเรยี น

บางบวั ทอง ปีการศกึ ษา 2563 เป็นดงั น้ี

คะแนน จำนวนนักเรียนชัน้ ม.6/3 จำนวนนกั เรยี นชน้ั ม.6/4

20 – 24 2 4

25 – 29 3 2

30 – 34 1 3

35 – 39 4 5

40 – 44 6 6

รวม 16 20

ข้อมูล ̅ สมั ประสทิ ธ์ขิ องแปรผนั การเปรียบเทียบการกระจายของขอ้ มลู

6/3

6/4

P a g e | 33

3. ความสัมพนั ธ์ระหวา่ งการแจกแจงความถ่ี คา่ กลาง และการกระจายตัวของข้อมูล
3.1 รูปแบบการแจกแจงของเสน้ โค้งความถี่ (Frequency Curve)

สามารถแบง่ ได้ 3 ประเภท คือ โคง้ ปกติเปน็ ลักษณะขอ้ มูลธรรมชาติทเ่ี กาะกล่มุ อยู่ตรงกลาง (ระฆงั ควำ่ )
โค้งเบ้ขวาเปน็ ลกั ษณะขอ้ มลู ท่ีเกาะกลมุ่ ด้านซ้าย และโค้งเบ้ซ้ายเป็นลกั ษณะข้อมูลทเ่ี กาะกลุ่มด้านขวา

เสน้ โค้งเบ้ลาดทางด้านซ้ายหรอื ทางลบ (เบ้ซา้ ย)
(Negatively Skewed Curve)

คา่ เฉลย่ี เลขคณติ < มัธยฐาน < ฐานนยิ ม

เสน้ โคง้ ปกติ (ระฆังควำ่ )
(Normal Curve)

ค่าเฉล่ยี เลขคณติ = มัธยฐาน = ฐานนยิ ม

เส้นโคง้ เบล้ าดทางดา้ นขวาหรอื ทางบวก (เบ้ขวา)
(Positively Skewed Curve)

ฐานนิยม < มัธยฐาน < คา่ เฉล่ยี เลขคณิต

P a g e | 34

4. การแจกแจงปกติ

การแจกแจงแบบปกติ คือ การคำนวณหาค่าความน่าจะเป็นของข้อมูลที่สนใจเทียบกับข้อมูลทั้งหมด

โดยจะกลา่ วถงึ การแจกแจงแบบปกติ และ“ เส้นโคง้ ปกติ” (Normal Curve) ซ่ึงเกี่ยวข้องกบั “คะแนนมาตรฐาน”

(Standard Score: Z-score) ซึ่งคะแนนมาตรฐานมีประโยชน์ในการวัดตำแหน่งที่หรือตำแหน่งสัมพัทธ์ อีกทั้งยัง

ใช้ตอ่ ยอดในการคำนวณเสน้ โคง้ ปกติ และคา่ ความนา่ จะเปน็ ผา่ นพืน้ ท่ีใต้โคง้ ปกติ

4.1 คะแนนมาตรฐาน หรือค่ามาตรฐาน (Standard Score: Z-score)

ค่ามาตรฐานเปน็ คา่ ท่บี อกให้ทราบว่า ความแตกต่างระหวา่ งคา่ ข้อมูลน้ัน ๆ กบั คา่ เฉลี่ยเลขคณิตของข้อมลู

ชดุ นัน้ เปน็ กเี่ ทา่ ของส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน

4.1.1 คา่ มาตรฐานของประชากร (Population Standard Score)

ถา้ เป็นคา่ ท่ี ของตัวแปร แลว้ คะแนนมาตรฐานของ คอื จะได้
เมอื่ = 1, 2, 3, … ,

= −µ ให้ แทน คา่ ท่ี ของตัวแปร
µ แทน ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของประชากร

แทน ค่าเฉลยี่ เลขคณติ ของประชากร

แทน จำนวนของประชากร

4.1.2 ค่ามาตรฐานของกลุ่มตวั อย่าง (Sample Standard Score)

ถา้ เป็นคา่ ที่ ของตัวแปร แลว้ คะแนนมาตรฐานของ คือ จะได้
เม่ือ = 1, 2, 3, … ,

= − ̅ ให้ แทน ค่าที่ ของตวั แปร
̅ แทน ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของกลมุ่ ตวั อย่าง

แทน ค่าเฉลี่ยเลขคณติ ของประชากร

แทน จำนวนของประชากร

** คะแนนมาตรฐานหรือค่ามาตรฐาน ของข้อมลู ใด ๆ นั้น สามารถเป็นได้ทง้ั คา่ บวกและคา่ ลบ

P a g e | 35

4.1.3 การหาคะแนนมาตรฐาน หรอื คา่ มาตรฐาน
ในการหาค่ามาตรฐานของข้อมลู ใด ๆ เราสามารถหาได้โดยใช้สูตร ดงั ได้กล่าวมาแลว้ ข้างตน้

ดงั ตัวอย่างต่อไปน้ี
ตัวอย่างท่ี 96 จงหาค่ามาตรฐานของทุกค่าในขอ้ มลู ดงั นี้ 1, 2, 3, 4, 5

ตัวอย่างที่ 97 ในการสอบครั้งหนึ่ง ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิต และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเป็น 500
และ 50 คะแนนตามลำดับ ถ้าถือเกณฑ์ตัดสินว่า ผู้ที่สอบได้ต้องได้คะแนนตั้งแต่ 600 คะแนนขึ้นไป
แล้วอยากทราบว่าคนที่สอบไดน้ น้ั ตอ้ งสอบได้คา่ มาตรฐานอย่างต่ำเปน็ เท่าใด

ตัวอย่างท่ี 98 ในการสอบครั้งหนึ่ง ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิต และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเป็น 500
และ 50 คะแนนตามลำดับ ถา้ คะแนนการสอบเตม็ 1,000 คะแนน เดก็ คนหนึ่งสอบได้คะแนน ซึ่งคดิ เป็น
ค่ามาตรฐานได้เท่ากับ 1.8 แลว้ อยากทราบวา่ เดก็ คนนีส้ อบไดก้ ่ีเปอรเ์ ซ็นต์

P a g e | 36

แบบฝึกทกั ษะท่ี 21

คำชแ้ี จง ใหน้ กั เรียนเติมตารางต่อไปนี้ให้สมบูรณ์ จากข้อมูลท่ีกำหนดให้

ขอ้ ท่ี ข้อมูล ( ) ค่าเฉลย่ี เลขคณติ ( ̅ ) สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน ( ) ค่ามาตรฐาน ( )

12 4 10
24 3 5
36 6 8
4 10 8 25
5 35 15 10
6 40 35 5
7 65 20 15
8 75 65 10

P a g e | 37

แบบฝึกทกั ษะท่ี 22

คำชี้แจง ใหน้ ักเรียนเตมิ คำตอบท่ีถูกต้องลงในชอ่ งวา่ งในตารางต่อไปนี้ ให้สมบรู ณ์

ขอ้ คำถาม คำตอบ
1 กำหนดข้อมลู 5, 3, 2, 6 จงหาคา่ มาตรฐานของ 5

2 กำหนด ̅ = 20 และ = 5 จงหาคา่ มาตรฐานของ 30

3 กำหนด ̅ = 30 และ = 10 จงหาค่ามาตรฐานของ 25

4 กำหนด ̅ = 8 และ = 4 จงหาค่ามาตรฐานของ 16

5 กำหนด ̅ = 5 และ 2 = 9 จงหาค่ามาตรฐานของ 20

6 กำหนด ̅ = 60 และ = 5 จงหาค่ามาตรฐานของ 60

7 ในขอ้ มลู ชุดหนึ่งมี ̅ = 50, = 5 ถา้ ค่ามาตรฐานของข้อมูลตวั
หนึง่ เปน็ 1.2 จงหาคา่ ของข้อมูลนนั้

8 ในข้อมูลชดุ หนึง่ มี ̅ = 30, = 10 ถา้ คา่ มาตรฐานของข้อมูล
ตัวหน่ึงเปน็ -1.6 จงหาคา่ ของข้อมลู น้นั

9 ในขอ้ มูลชุดหน่งึ มี ̅ = 60, = 20 ถา้ คา่ มาตรฐานของข้อมลู
ตวั หน่ึงเป็น -2.00 จงหาค่าของข้อมลู นั้น

10 ในการสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ของนักเรยี นห้องหนงึ่ ได้ ̅ = 65,
= 15 ถา้ คา่ มาตรฐานของคะแนนสอบของนักเรียนสองคน
ตา่ งกัน 1.2 คะแนน จงหาว่าคะแนนสอบของนกั เรยี นทั้งสองคน
ต่างกนั เทา่ ไร

P a g e | 38

4.2 การเปรียบเทยี บค่าของข้อมูล โดยใชค้ ะแนนมาตรฐาน
คา่ มาตรฐาน เปน็ คา่ ท่ใี ชเ้ ปรียบเทียบคา่ ของข้อมูลตัง้ แต่ 2 ตัวขนึ้ ไปว่าข้อมูลตัวใดมีคุณภาพดีกว่ากัน เช่น

ตอ้ งการเปรยี บเทยี บผลการเรยี นวชิ าคณติ ศาสตร์ กบั ภาษาไทยของนกั เรียนคนหนง่ึ ในช้ันเรียนว่า เขาจะเรียนวิชา
ใดได้ดีกว่าเราจะนำคะแนนที่นักเรียนคนนี้สอบได้มาเปรียบเทียบกันเลยย่อมไม่ถูกต้องนัก ถึงแม้ว่าจะใช้คะแนน
เต็มเท่ากันก็ตาม ทั้งนี้เพราะความยากง่ายของแต่ละวิชาต่างกัน ดังนั้นจึงจำเป็นที่จะแปลงคะแนนที่สอบได้ในแต่
ละวิชาให้เป็นค่ามาตรฐานเสียก่อน โดยนำคะแนนที่สอบได้นั้น ลบด้วยค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( ̅) แล้วหารด้วยส่วน
เบยี่ งเบนมาตรฐาน ( ) ในแตล่ ะรายวิชาน้ัน ถ้าคา่ มาตรฐานวชิ าใดสูงกว่า ถือว่าเขาสอบวชิ าน้นั ได้ดีกวา่ ดังตัวอยา่ ง

ตัวอยา่ งท่ี 99 ในการสอบคัดเลือกเข้าทำงานในหน่วยงานแห่งหนึ่ง ซึ่งมีวิชาที่ต้องสอบ 2 วิชาปรากฎว่าจาก
ผู้สมัครทั้งหมดมีผู้ที่สอบได้คะแนนรวมกันสูงสุด 3 คน คือนายมงคล, นางสาวนารีรัตน์ และนายสุชาติ ซึ่งได้
คะแนนในแต่ละวิชา ดังตาราง ถ้าหน่วยงานแห่งนี้ ต้องการรับเพียงคนเดียว และสำรองหนึ่งคนผู้ที่จะได้รับการ
คัดเลอื กไว้เปน็ ตัวจรงิ และตวั สำรองคอื ใคร

นายมงคล วิชาท่ี 1 วชิ าที่ 2
นางสาวนารรี ัตน์ 70 72
นายสุชาติ 80 65
ค่าเฉลยี่ เลขคณิต ( ̅) 72 73
ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน (s) 75 70
5 10

P a g e | 39

ตวั อยา่ งที่ 100 ทวีศักดิ์สอบวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาไทยได้ 56 และ 65 คะแนนตามลำดับ ค่าเฉลี่ยเลข
คณิตของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์และภาษาไทยเท่ากับ 56 และ 68 คะแนนตามลำดับ ส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์และภาษาไทยเท่ากับ 3 และ 5 คะแนนตามลำดับ จงหาว่าทวศี กั ดิ์เรียน
วชิ าไหนได้ดกี วา่ กนั

ตวั อย่างที่ 101 ในการสอบคัดเลือกเข้าเรียนต่อในสถาบันแห่งหนึ่ง วิชาที่ต้องสอบมี 3 วิชา คือ คณิตศาสตร์

ภาษาไทย และภาษาอังกฤษ นาย ก. , นาย ข. และนาย ค. เข้าสอบได้คะแนน ดังตาราง จงเปรียบเทียบ

ความสามารถในการเรียนของคนทง้ั สาม

นาย ก. คณติ ศาสตร์ ภาษาไทย ภาษาองั กฤษ
นาย ข. 70 75 70
นาย ค. 75 75 65
คา่ เฉลย่ี เลขคณิต ( ̅) 70 70 70
สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน ( ) 70 80 70
5 5 10

P a g e | 40

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 23

คำช้ีแจง ใหน้ ักเรยี นเติมตารางต่อไปนใ้ี หส้ มบรู ณ์จากข้อมูลทีก่ ำหนดให้

ข้อมูล ค่ามาตรฐานขอ้ มูล ชดุ ก. คา่ มาตรฐานข้อมูล ชดุ ข. ผลการเปรียบเทียบข้อมูลชดุ ก. กบั ชดุ ข.

1 0.30 0.25

2 – 0.2 – 0.15

3 – 0.35 0.25

4 0.19 0.23

5 2.0 2.10

6 0.29 0.26

7 3.0 2.8

8 0.22 0.23

9 0.30 – 0.23

10 1.5 2.5

P a g e | 41

แบบฝกึ ทักษะที่ 24

คำช้แี จง ใหน้ กั เรียนเติมคำตอบทถ่ี กู ต้องลงในช่องวา่ งต่อไปนี้ ใหส้ มบูรณ์
1. ในการสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ปรากฎวา่ ได้ ̅ = 70 คะแนนและ = 10 คะแนน ในการสอบวิชาเคมปี รากฎวา่ ได้
̅ = 40 คะแนนและ = 5 คะแนน ถา้ นายดำสอบได้ 65 คะแนนในการสอบวิชาคณติ ศาสตร์ และนายแดงสอบได้
35 คะแนน ในการสอบวิชาเคมี จงตรวจดูวา่ นักเรียนคนไหนไดผ้ ลการสอบดีกว่ากัน

ตอบ..................................................................................................................................................................

2. ถา้ คะแนนสอบวิชาตา่ ง ๆ ของเด็กชายคมสันต์ คา่ เฉลีย่ เลขคณิตและสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบแต่

ละวิชาของนักเรยี นทง้ั หมดในช้ันที่เด็กชายคมสันต์เรยี นอยู่ เปน็ ดังนี้

วิชา คะแนนสอบที่ได้ คา่ เฉลยี่ เลขคณิตที่ได้ สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน

ภาษาไทย 80 85 15

ภาษาอังกฤษ 60 75 20

วิทยาศาสตร์ 70 65 5

อยากทราบวา่ เดก็ ชายคมสนั ตเ์ รียนวิชาไหนดกี ว่ากนั

ตอบ..................................................................................................................................................................

3. จงตัดสนิ ว่าผลการสอบของนักเรียน 3 คนได้คะแนนตามตารางขา้ งลา่ งน้ี ใครไดค้ ะแนนดกี วา่ กนั

ภาษาไทย ภาษาองั กฤษ คณติ ศาสตร์ วทิ ยาศาสตร์

นายศิวะ 70 60 83 85

นายสถิต 75 55 79 88

นายมนตรี 65 72 67 75

ค่าเฉลย่ี เลขคณิต 70 65 75 70

ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน 5 10 8 15

ตอบ..................................................................................................................................................................

P a g e | 42

4. ตารางต่อไปนี้ เปน็ ผลการสอบวิชาคณติ ศาสตร์ และวิชาเคมีของนายศริ ิ ซ่ึงเป็นนักเรยี นโรงเรยี น

แหง่ หนงึ่ จงหาว่านายศิริเรียนวิชาใดไดด้ ีกวา่ กัน

ภาษาไทย ภาษาองั กฤษ คณติ ศาสตร์

วชิ าคณิตศาสตร์ 78 76 10

วิชาเคมี 79 80 20

ตอบ..................................................................................................................................................................

5. ในการสมัครคัดเลือกเข้าทำงานบริษัทแห่งหนึ่ง ซึ่งมีวิชาที่จะต้องสอบ 3 วิชา ถ้าผู้สมัครเข้าสอบคัดเลือก

สามารถสอบผา่ นถึงรอบสดุ ทา้ ยจำนวน 2 คน คือ นายขาว และนางสาวเขียวซึ่งได้คะแนนสอบในแต่ละรายวิชาดัง

ในตารางข้างลา่ งนี้

ภาษาไทย ภาษาอังกฤษ คณติ ศาสตร์

นายขาวสอบได้ 70 75 75

นางสาวเขียวสอบได้ 75 50 95

ค่าเฉลยี่ เลขคณติ 70 70 80

ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน 5 10 15

อยากทราบว่า ในการสอบคร้ังนใ้ี ครไดร้ ับการคัดเลือกเขา้ ทำงาน

ตอบ..................................................................................................................................................................

P a g e | 43

4.3 เสน้ โคง้ ปกติ (Normal Curve)

เส้นโค้งปกตินั้นพัฒนาต่อยอดจากรูปหลายเหลี่ยมความถ่ีและฮิสโทแกรมโดยเส้นโค้งปกตินั้นมีลักษณะ
การกระจายตัวเป็นรูประฆังคว่ำ เรียกว่า การแจกแจงปกติ (Normal Distribution) ซึ่งสมการและรูปร่างของเส้น
โค้งนี้ถูกกำหนดผ่านตัวแปรเพียง 2 ค่า คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ซึ่งเราสามารถจำแนก
รปู แบบของเสน้ โค้งปกตอิ อกเปน็ ทงั้ หมด 3 ประเภทสำหรับข้อมูล 2 ชุดทีไ่ ม่ได้เกดิ จากแหล่งทม่ี าเดียวกัน
โดยขอ้ มูลแตกตา่ งกนั ทค่ี า่ เฉล่ียเลขคณติ (µ) และส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน ( )

4.3.1 เสน้ โค้งปกติ 2 รูปทีม่ ี 1) ̅ ไมเ่ ท่ากัน ( 1̅ ≠ ̅2)
2) . . เทา่ กนั ( . .1 = . .2 )

กรณีที่มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตต่างกัน ( ̅1 ≠ ̅2) แต่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากัน ( . .1 = . .2 )
ลักษณะของเส้นโค้งท้ังสองจะมจี ุดที่แสดง มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตอยูท่ ี่ตำแหน่งต่างกันบนแกนนอน แต่เส้นโคง้ ทั้งสอง
จะเหมอื นกนั และมีความโด่งเทา่ กนั

. .1

. .2 4.3.2 เส้นโค้งปกติ 2 รปู ท่มี ี 1) ̅ เท่ากัน ( 1̅ = ̅2)
2) . . ไม่เท่ากนั

( . .1 ≠ . .2 )

กรณีที่มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากัน ( 1̅ = ̅2) แต่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานต่างกัน ( . .1 < . .2 )
ลักษณะของเส้นโค้งทั้งสองจะมีจุดที่แสดง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอยู่ที่ตำแหน่งเดียวกันบนแกนนอน แต่เส้นโค้งทั้งสอง
จะนอ้ ยกว่า จะมีความโดง่ มากกว่าเสน้ โค้งปกติทม่ี สี ว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานมากกว่า

P a g e | 44

. .2

. .1 4.3.3 เสน้ โค้งปกติ 2 รปู ทม่ี ี 1) ̅ ไมเ่ ท่ากนั ( ̅1 ≠ ̅2)
2) . . ไมเ่ ท่ากนั

( . .1 ≠ . .2 )

กรณีที่มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตต่างกัน ( 1̅ ≠ ̅2) แต่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากัน ( . .1 > . .2 )
ลักษณะของเสน้ โคง้ ท้ังสองแตกต่างกัน จะมีจุดที่แสดงคา่ เฉลีย่ เลขคณิตจะต่างกนั
ตัวอยา่ งท่ี 102 ขอ้ มลู 3 ชดุ มกี ารแจกแจงปกติ มีคา่ เฉลยี่ เลขคณติ ต่างกัน ( ̅1 < ̅2 < ̅3) และมีสว่ น
เบ่ียงเบนมาตรฐานเทา่ กัน จะมีลกั ษณะของเสน้ โคง้ ปกติของข้อมลู ทัง้ 3 ชุด อยา่ งไร

ตวั อยา่ งท่ี 103 ข้อมลู 4 ชุด มกี ารแจกแจงปกติ มีค่าเฉล่ยี เลขคณิตต่างกัน ( ̅1 < ̅2 < ̅3 < ̅4) และมสี ่วน
เบี่ยงเบนมาตรฐานต่างกัน ( 1 < 2 < 3 < 4) จะมลี กั ษณะของเสน้ โคง้ ปกตขิ องข้อมูลทั้ง 4 ชุด อย่างไร

P a g e | 45

แบบฝึกทกั ษะท่ี 25

คำชแ้ี จง ใหน้ ักเรียนบอกความสมั พนั ธ์ของค่าเฉล่ยี เลขคณติ ต่างกนั และส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานจากการ
เปรยี บเทียบการกระจายของข้อมลู ซง่ึ เป็นการแจกแจงปกตจิ ากรปู ในแตล่ ะข้อต่อไปนี้

ข้อท่ี ลักษณะเส้นโค้งปกติ ความสมั พนั ธ์ของ ̅ และ

1

2

3

ขอ้ ที่ ลักษณะเสน้ โคง้ ปกติ P a g e | 46
4
ความสัมพนั ธ์ของ ̅ และ

5

6

P a g e | 47

4.3.4 สมบัติของเสน้ โค้งปกติ
เส้นโค้งปกติ มีลักษณะคล้ายรูประฆัง ไม่มีการเบ้และเส้นโค้งทั้งสองข้างจะต้องสมมาตรกับแกนตั้งที่ลาก
ผา่ น ̅ ซ่งึ เส้นโคง้ ปกติมสี มบัติ ดงั น้ี
1) ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม จะมีค่าเท่ากัน และอยู่ ณ จุดที่เส้นตรงที่ลากผ่านจุดโด่งสุด
ของเส้นโค้ง
2) เส้นตั้งฉากที่ลากผ่านค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นแกนสมมาตรของเส้นโค้งปกติ และแกนสมมาตรนี้จะแบ่ง
พน้ื ที่ใตเ้ ส้นโค้งปกตอิ อกเปน็ 2 สว่ นเทา่ ๆ กนั
3) เมอื่ ลากตอ่ ปลายทั้งสองข้างของเส้นโคง้ ปกติ ให้ห่างจากคา่ เฉลี่ยเลขคณติ ออกไปเร่ือย ๆ เสน้ โค้งจะเข้า
ใหแ้ กนนอนไปเรื่อย ๆ แตไ่ ม่ตัดแกนนอน
4) พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมีค่าเท่ากับ 1 เสมอ (หรือคิดเป็น 100 เปอร์เซ็นต์) ดังนั้น = 0 แบ่งพื้นท่ี
ออกเป็น 2 ส่วน ๆ ละ 0.5 (หรือ 50 เปอร์เซ็นต)์

P a g e | 48

4.4 การหาพ้ืนท่ีใต้เส้นโค้งปกติ

โดยปกติการคำนวณหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งนั้นต้องใช้ประบวนการทางคณิตศาสตร์ในบทแคลคูลัส แต่

เนอ่ื งจากสมการของเส้นโคง้ นนั้ คำนวณไดย้ าก ดงั นนั้ ในเรือ่ งน้ีจะหาพนื้ ที่ใต้เสน้ โค้งปกตโิ ดยการอ่านคา่ ผ่านตาราง

เส้นโค้งปกติ จะต้องแปลงค่า ของข้อมูลให้อยู่ในรูปค่ามาตรฐาน ( ) ก่อน จึงจะสามารถอ่านค่าผ่านตารางเสน้

โคง้ ปกตไิ ด้

4.4.1 พ้ืนทีใ่ ต้เสน้ โค้งปกติ

ในการหาพื้นท่ีใตเ้ ส้นโคง้ ปกติ จะใชก้ ารเปล่ียนคา่ เปน็ คา่ มาตรฐาน โดยใชส้ ูตร = −µ และ

เมอ่ื เปลีย่ นข้อมูลทุกตวั จาก เป็น แลว้ จะได้ว่า

1) ค่าเฉลีย่ เลขคณติ ของ เท่ากบั 0

2) สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของ เท่ากบั 1

3) ค่ามาตรฐานของข้อมูลยังมีการแจกแจงปกติ

เสน้ โคง้ ปกติของค่ามาตรฐานทไ่ี ด้นี้จึง เรยี กวา่ เสน้ โค้งปกติมาตรฐาน (Standard normal curve)

4.4.2 ขนั้ ตอนการหาพ้นื ทีใ่ ต้เสน้ โค้งปกติ
ในการหาพื้นทีใ่ ต้เส้นโคง้ ปกติ ที่อยูร่ ะหว่าง = 1 ถึง = 2 ทำได้ดังนี้
1) เปล่ียนคา่ 1 และ 2 ให้เปน็ ค่ามาตรฐาน 1 และ 2 ตามลำดับ โดยใชส้ ูตร

1−µ 2−µ

=และ 1 2 =

2) นำค่า 1 และ 2 ท่ไี ด้ไปหาพ้นื ทีใ่ ต้เสน้ โคง้ ปกติมาตรฐาน จากตารางหาพน้ื ที่
3) จะได้พืน้ ทใี่ ตเ้ ส้นโคง้ ปกติระหว่าง 1 และ 2 เทา่ กบั พืน้ ที่ใต้เส้นโคง้ ปกติมาตรฐานระหว่าง
1 และ 2

P a g e | 49

4.4.3 ตารางแสดงพื้นทใี่ ต้เส้นโคง้ ปกติ
ลกั ษณะของตาราง สำหรบั การหาพื้นทใี่ ต้เส้นโคง้ ปกติ จะเปน็ ดังนี้
0.0000
.0041

0.00
.01

.09 .0359

3.99 0.5000

เช่น ถา้ อยากทราบวา่ = 0.09 จะมีพ้ืนท่ีเท่าใด ให้ไปดใู นตารางช่อง แถวท่ี 0.09 ใหต้ รงกับชอ่ ง ก็
จะได้พน้ื ที่ตามต้องการ คือ 0.0359

ตัวอย่างท่ี 104 จงหาพนื้ ทีใ่ ตเ้ สน้ โคง้ ปกติของข้อมูลที่มี ̅ = 1 และ = 1.5 ซ่งึ อย่ทู างขวามือ = 4

ตวั อยา่ งท่ี 105 จงหาพื้นทใ่ี ตเ้ ส้นโคง้ ปกติต่อไปน้ี P a g e | 50
1) พื้นที่ระหว่าง = 1.25 และ = 2.10
2) พน้ื ที่ทางขวามอื = 1.5 4) พ้ืนที่ทางซา้ ยมือ = 1.66
3) พนื้ ที่ทางขวามือ = −1.2 5) พ้นื ที่ระหวา่ ง = −0.57 และ = 1.05

P a g e | 51

แบบฝึกทกั ษะท่ี 26

คำชีแ้ จง จากตารางแสดงพืน้ ท่ใี ต้เสน้ โค้งปกติ (ท้ายเล่ม) ให้นักเรียนเตมิ คำตอบท่ีถกู ต้องลงในช่องว่างใน
ตารางต่อไปนี้ ให้สมบรู ณ์

1. พ้ืนท่ใี ตเ้ ส้นโค้งปกตริ ะหว่าง Z = 0 และ Z = 1.35 เท่ากบั …………………………………………………

2. พน้ื ท่ีใตเ้ สน้ โคง้ ปกตริ ะหว่าง Z = 0 และ Z = –1.35 เทา่ กบั …………………………………………………

3. พืน้ ที่ใต้เสน้ โค้งปกตริ ะหวา่ ง Z = 0 และ Z = 2.45 เท่ากับ…………………………………………………

4. พน้ื ท่ีใต้เส้นโคง้ ปกตริ ะหว่าง Z = 0.65 และ Z = 1.25 เท่ากบั …………………………………………………

5. พ้นื ท่ีใต้เส้นโคง้ ปกติระหว่าง Z = –1.25 และ Z = 1.39 เท่ากับ…………………………………………………

6. พน้ื ทใ่ี ตเ้ ส้นโค้งปกติระหว่าง Z = –1.65 และ Z = 2.15 เท่ากับ…………………………………………………

7. พนื้ ที่ใต้เสน้ โคง้ ปกติทางซ้ายมือของ Z = 1.25 เทา่ กบั …………………………………………………

8. พื้นทใ่ี ต้เสน้ โคง้ ปกติทางซ้ายมือของ Z = –3.45 เทา่ กบั …………………………………………………

9. พน้ื ทใ่ี ต้เส้นโคง้ ปกติทางขวามือของ Z = –1.75 เท่ากับ…………………………………………………

10. พ้นื ท่ใี ต้เส้นโค้งปกตทิ างขวามือของ Z = 2.65 เทา่ กบั …………………………………………………

P a g e | 52

5. การนำความรู้เกี่ยวกับพน้ื ทใี่ ต้เสน้ โคง้ ปกตไิ ปใช้
ความรเู้ กี่ยวกับการแจกแจงปกติ และพน้ื ท่ใี ตเ้ ส้นโค้งปกติ สามารถนำมาใชแ้ กโ้ จทย์ปัญหาได้ ดงั ตวั อย่าง

ต่อไปนี้
ตวั อยา่ งที่ 106 ขอ้ มลู ชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติ มคี ่าเฉล่ียเลขคณติ เป็น 60 คะแนน ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานเป็น
10 คะแนน จงหาวา่ มีเปอร์เซ็นตข์ องคา่ ของข้อมลู ซึ่งมคี ่า 1) ระหวา่ ง 50 และ 80 2) มากกว่า 70 3) นอ้ ยกวา่ 40

ตัวอย่างท่ี 107 ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ นาย ก. สอบได้ 54.4 คะแนน โดยที่ผลการสอบครั้งนี้ค่าเฉลี่ย
เลขคณิต และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเท่ากับ 45และ 5 คะแนนตามลำดบั ถา้ คะแนนการสอบ
มลี กั ษณะการแจกแจงแบบปกติ จงหา นาย ก. สอบได้เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่เทา่ ใด

P a g e | 53

ตวั อยา่ งที่ 108 ค่าจ้างรายวันของบริษัทแห่งหนึ่ง มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 70 บาท ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
เท่ากับ 6 บาท และมีการแจกแจงปกติ นายวิมลได้รับค่าจ้างตรงกับเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 80 จงหาว่านายวิมลได้รับ
คา่ จ้างวันละเทา่ ไร

ตวั อยา่ งที่ 109 ในการสอบวิชา ค33202 มีนักเรียนเข้าสอบ 150 คน ปรากฎว่าคะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ
และการตัดสินผลการสอบจะตัดสนิ จากคา่ มาตรฐานถ้านักเรยี นคนใดสอบไดค้ ่ามาตรฐานตำ่ กว่า –2 ถือว่าสอบตก
จาหาว่าในการสอบคร้งั นี้มีผสู้ อบได้ทง้ั หมดกี่คน

P a g e | 54

ตัวอยา่ งท่ี 110 คา่ ทก่ี ำหนดใหต้ ่อไปน้ี เป็นพ้ืนทใ่ี ต้เสน้ โคง้ ปกติ 1.5 1.6
1.2 1.3 1.4 0.4332 0.4452
0.33849 0.4032 0.4192

ในการสอบคร้ังน้ี ถ้าคะแนนสอบแจกแจงปกติ มีค่าเฉลีย่ เลขคณติ 15 คะแนนและผู้ทไ่ี ด้คะแนนมากกว่า
18 คะแนน มี 6.68 % จงหาความแปรปรวนของการสอบคร้ังนี้

ตัวอยา่ งท่ี 111 คะแนนสอบของนักเรยี นกลุม่ หนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติ พบวา่ ̅ = 66 คะแนน และ = 10
คะแนน จงหาวา่ เปอรเ์ ซ็นไทล์ท่ี 26.76 เทา่ กับก่ีคะแนน กำหนดตารางแสดงพืน้ ทใี่ ต้เสน้ โค้งปกติมาตรฐานเป็นดังน้ี

0.61 0.62 0.73 0.74 1.6
0.2291 0.2324 0.2673 0.2704 0.4452

P a g e | 55

ความสัมพันธ์เชิงฟงั กช์ นั ระหว่างข้อมูล

ในการศึกษาทางสถิติ มีบ่อยคร้งั ทจ่ี ดุ ม่งุ หมายหลักของการศึกษา คอื การสรา้ งความสัมพนั ธร์ ะหว่างส่ิง
สองสง่ิ ท่ีเราสนใจ ทั้งนี้เพ่ือจดุ ประสงคใ์ นการทำนายสงิ่ หนึ่ง เมื่อทราบอกี ค่าหน่ึง

ตัวอย่างเชน่ ความสมั พนั ธ์ระหว่างความสูงและน้ำหนักของนักเรยี น, ความสมั พันธ์ระหว่างคะแนนนยิ ม
จากการสำรวจกบั คะแนนเลือกตั้งท่ีแทจ้ ริง เปน็ ต้น

ดงั น้ันการวิเคราะหค์ วามสัมพันธเ์ ชงิ ฟังกช์ นั ระหวา่ งข้อมลู เรามจี ดุ มงุ่ หมายที่สำคญั คอื การสร้างสมการ
แสดงความสมั พนั ธ์ของส่ิงของสองสิ่งทีเ่ ราสนใจศึกษา พร้อมทง้ั สามารถทำนายคา่ ของสิง่ ๆ หนึง่ เมอื่ ทราบค่าของ
สง่ิ หน่งึ แลว้ เราเรยี กปญั หาแบบนว้ี ่า การวเิ คราะหค์ วามถดถอย (Regression Analysis)
1. แผนภาพการกระจาย (Scatter Diagram)

เป็นแผนภาพทไี่ ด้จากการวาดกราฟของค่าสงั เกตข้อมลู ซง่ึ มีลักษณะเป็นจุด ดงั รปู

P a g e | 56

2. ชนดิ ของความสมั พันธเ์ ชิงฟงั ก์ชัน
โดยทัว่ ไป ความสัมพันธเ์ ชิงฟังกช์ นั ระหว่างข้อมลู แบง่ ออกเปน็ 2 ชนิด คือ

2.1 ความสัมพนั ธ์เชงิ ฟังก์ชันทีเ่ ปน็ เสน้ ตรง (Linear)

สมการทัว่ ไป คือ = +
แทน ตวั แปรตาม
แทน ตัวแปรอิสระ
แทน ระยะตัวแกน
แทน ความชนั ของกราฟ (Slope)

2.2 ความสัมพันธ์เชงิ ฟังกช์ ันท่ีไม่เป็นเสน้ ตรง (Curve)
2.2.1 ความสัมพนั ธ์เชิงฟังก์ชันที่เป็นพาราโบลา (Parabola Curve)

สมการทวั่ ไป คือ = 2 + +
แทน ตวั แปรตาม
แทน ตัวแปรอสิ ระ
, , แทน คา่ คงตัว ; ≠ 0

2.2.2 ความสัมพันธ์เชงิ ฟังก์ชันท่ีเป็นเอ็กซ์โพเนนเซียล (Exponential Curve)

สมการท่วั ไป คือ =
หรอื ( ) = log ( ) + (log ( ))
แทน ตวั แปรตาม
แทน ตัวแปรอสิ ระ
, แทน คา่ คงตัว ; > 0, > 0

P a g e | 57

2.3 การประมาณค่าผ่านระเบียบวธิ ีกำลังสองน้อยสุด (Method of Least squares)

เปน็ วธิ ีการสำหรบั หาค่าคงตัวในสมการของความสัมพันธเ์ ชิงฟังกช์ ันในแต่ละชนิด เพ่ือใหไ้ ด้สมการทั่วไปที่

เหามะสมกบั ขอ้ มลู มากทส่ี ุด กลา่ วคือ

ชนดิ ของความสัมพนั ธ์ สมการท่ัวไป ค่าคงตวั ท่ีต้องการหา

เสน้ ตรง = + ,
พาราโบลา = 2 + + , ,
เอกซ์โพเนนเซยี ล ,
=

เมื่อผ่านกระบวนการระเบียบวิธีกำลังสองน้อยสุดนี้แล้ว จะได้สมการที่เรียกว่า สมการปกติ
(Normal equation) ดังตอ่ ไปน้ี

2.3.1 ความสัมพันธเ์ ชงิ ฟังก์ชันระหวา่ งขอ้ มลู ท่ีเปน็ เส้นตรง
สมมติวา่ ปญั หาการถดถอยต้องการทำนาย จาก

สมการท่วั ไป คือ = + จะได้ สมการปกติ คอื ∑ = ∑ + ∑

∑ = ∑ 2 + ∑

ตวั อยา่ งที่ 112 จากข้อมูลที่กำหนดให้มีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลท่ีเป็นเส้นตรง จงหาคำตอบในแต่
ละขอ้ ต่อไปนี้ 1) สมการเพ่ือใชท้ ำนาย A จากคา่ B 2) สมการเพือ่ ใชท้ ำนาย B จากคา่ A

A 235
B 241