แผนการสอน รายวิชา ค33202 เสริมทักษะคณิตศาสตร์ 6 ชั้น ม.6_เทอม_2-2564_ครูจำเนียร_(ปรับปรุง 1-11-2564)

Page |9

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 2

คำชแ้ี จง ใหน้ ักเรยี นเติมคำตอบลงในชอ่ งว่างแต่ละข้อต่อไปนีใ้ ห้ถูกต้องสมบูรณ์

ข้อที่ ข้อมูล คา่ เฉลยี่ เลขคณิต
1 ถา้ ΣX = 20 และ x̅ = 4 แล้ว จงหาคา่ N

2 ถ้า N = 10 และ x̅ = 25 แลว้ จงหาค่า ΣX

3 ถา้ ΣX = 780 และ N = 30 แลว้ จงหาค่า x̅

4 จากข้อมูล 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 จงหาค่า x̅

5 ถา้ x̅1 = 10 , ̅x̅2̅ = 5 , ̅x̅3̅ = 8 และ N1 = 30, N2 = 40 และ N3 = 60
แลว้ จงหาคา่ x̅รวม

6 ถ้า w1 = 3 , w2 = 4 , w3 = 8 และ x1 = 30, x2 = 40 และ x3 = 60
แล้วจงหาค่า x̅

7 ในการสอบวชิ าภาษาไทย ศลิ ปศกึ ษาและคอมพิวเตอร์ ครไู ดก้ ำหนดนำ้ หนักของ
แต่ละรายวชิ าเปน็ 4, 3, 1 และ 5 ตามลำดับ ปรากฏว่ามานะสอบได้คะแนนแต่
ละวิชาเป็น 90 , 80 , 70 และ 60 ตามลำดับ จงหาคา่ เฉลี่ยเลขคณิตของคะแนน
สอบของนายมานะ

8 นกั เรียนช้นั ม.6 โรงเรียนแห่งหน่ึงมี 3 ห้องเรียน คือหอ้ งท่ี 1 , 2 และ 3 มีจำนวน
นักเรียน 40 , 44 และ 50 คนตามลำดบั ผลการสอบวชิ าฟสิ ิกส์ ปรากฏว่าคะแนน
เฉลย่ี ห้องท่ี 1 , 2 และ 3 เป็น 72 , 52 และ 60 ตามลำดบั จงหาคา่ เฉล่ยี ของ
นักเรยี นชน้ั ม.6 ท้ังหมด

P a g e | 10

1.2 การหาค่าเฉลี่ยเลขคณติ ของขอ้ มูลท่ีแจกแจงความถ่ี
การหาค่าเฉลีย่ ประเภทนี้ใชใ้ นกรณที ี่ข้อมลู มีจำนวนมาก และไม่ทราบค่าของข้อมูลดิบของแตล่ ะหนว่ ยซ่งึ

ข้อมูลประเภทน้ีมักแจกแจงมาในรปู ความถี่ (f) เรยี บรอ้ ยแลว้

คา่ เฉลี่ยเลขคณิตแจกแจงความถข่ี องประชากร

µ = f1x1+f2x2+f3x3+ … + fkxk = ∑ik=1 fixi = ∑ki=1 fixi
f1+f2+f3+ … + fk ∑ki=1 fi N

คา่ เฉลย่ี เลขคณิตแจกแจงความถข่ี องกลุ่มตัวอย่าง

x̅ = f1x1+f2x2+f3x3+ … + fkxk = ∑ki=1 fixi = ∑ki=1 fixi
f1+f2+f3+ … + fk ∑ki=1 fi n

1.2.1 การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของขอ้ มลู ท่แี จกแจงความถแ่ี บบไมเ่ ปน็ อันตรภาคช้ัน

ในกรณที ่ีขอ้ มลู ทีจ่ ะนำมาคำนวณหาคา่ เฉลีย่ เลขคณิตสามารถเขียนในรปู การณแ์ จกแจงความถี่ได้

จะคำนวณหาผลบวกของขอ้ มูลท้ังหมดได้อย่างง่าย ๆ โดยใชค้ วามถเี่ ข้าชว่ ย ดงั นี้

ให้ xi เป็นขอ้ มลู ท่ปี ระกอบดว้ ย f1
x1 เป็นข้อมลู ทม่ี คี วามถเ่ี ทา่ กบั f2
x2 เป็นขอ้ มูลทมี่ ีความถ่เี ทา่ กบั f3
x3 เปน็ ข้อมลู ทีม่ คี วามถ่เี ทา่ กบั
…

xk เปน็ ขอ้ มูลที่มีความถเ่ี ทา่ กบั fk

จะได้ว่า คา่ เฉลยี่ เลขคณติ ของข้อมูล = f1x1+f2x2+f3x3+ …+ fkxk = ∑ki=1 fixi
f1+f2+f3+ … + fk ∑ki=1 fi

P a g e | 11

ตัวอย่างที่ 15 ในการสอบวชิ าคณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน ช้นั ม.4/2 จำนวน 20 คน ปรากฎผลดงั น้ี

คะแนน 5 6 7 8 9 10

จำนวนนกั เรียน 2 1 7 2 5 3

จงหาค่าเฉล่ยี เลขคณติ ของคะแนนนักเรียน ชนั้ ม. 4/2

1.2.2 การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของขอ้ มลู ทแี่ จกแจงความถ่ีแบบเปน็ อันตรภาคช้ัน

ในกรณีท่ีขอ้ มูลถูกแจกแจงความถ่ีในอนั ตรภาคชัน้ ตอ้ งใช้การประมาณข้อมลู ที่อยใู่ นอนั ตรภาคชั้นด้วยจุด

กง่ึ กลางชัน้ ของแตล่ ะชนั้ โดยถือวา่ จุดกึ่งกลางชั้นคือตวั แทนของขอ้ มลู ที่ดที ส่ี ดุ ในการประมาณคา่ ชั้นน้นั จึงนิยมใช้

ในกรณที ี่ไม่รู้ขอ้ มลู ดิบ

ให้ xi เป็นจดุ กงึ่ กลางชนั้ ท่ีประกอบด้วย
x1 เปน็ จดุ กึ่งกลางชนั้ ที่ 1 ทมี่ คี วามถีเ่ ทา่ กบั f1
x2 เปน็ จดุ กง่ึ กลางชัน้ ท่ี 2 ที่มีความถเี่ ทา่ กบั f2
x3 เปน็ จดุ กง่ึ กลางชน้ั ท่ี 3 ทีม่ ีความถ่เี ทา่ กับ f3
…

xk เป็นจดุ กงึ่ กลางชั้นที่ k ทมี่ คี วามถเ่ี ทา่ กบั fk

จะได้ว่า คา่ เฉล่ียเลขคณิตของขอ้ มลู = f1x1+f2x2+f3x3+ …+ fkxk = ∑ik=1 fixi
f1+f2+f3+ … + fk ∑ik=1 fi

ข้ันตอนวิธีการหาค่าเฉลีย่ เลขคณติ ของข้อมูลท่แี จกแจงความถแ่ี บบเปน็ อนั ตรภาคช้นั มดี ังน้ี

1) หาจุดก่งึ กลางชนั้ (xi) ของแต่ละอันตรภาคช้ัน
2) หาผลคูณของความถ่แี ต่ละอนั ตรภาคชน้ั กบั จดุ ก่งึ กลางชั้นของอนั ตรภาคชั้นในชน้ั เดยี วกนั (fixi)

3) หาผลบวกจากคา่ ที่ได้ในข้อ 2 ของแต่ละอนั ตรภาคชั้น (∑ki=1 fixi)

4) หา µ หรือ x̅ จากสูตร µ = ∑ki=1 fixi หรือ x̅ = ∑ik=1 fixi ตามลำดบั
N n

P a g e | 12

ตวั อย่างท่ี 16 จงหาค่าเฉล่ยี เลขคณติ จากตารางแจกแจงความถ่ีตอ่ ไปนี้

คะแนน 2 – 4 5 – 7 8 – 10 11 – 13 14 – 16

จำนวนนกั เรยี น 2 1 7 2 5

ตัวอยา่ งท่ี 17 ถา้ คา่ เฉล่ียของคะแนน คือ 9 จงหาคา่ x

คะแนน ความถี่
1–4 2
5–8 5
9 – 12
13 – 16 x

3

ตวั อย่างที่ 18 ตารางแจกแจงความถ่ี แสดงถึงนกั เรียนในช่วงอายุต่าง ๆ ของนกั เรียนกลมุ่ หนึง่ เปน็ ดงั ตาราง
จงหาว่าอายเุ ฉลย่ี ของนักเรยี นกลุ่มนี้ เทา่ กบั กปี่ ี

ช่วงอายุ (ปี) ความถ่ี (คน)
1–5 4
6 – 10 9
11 – 15 2
16 – 20 5

P a g e | 13

ตวั อยา่ งที่ 19 ในการทดสอบความถนดั ของนักเรยี นกลุ่มหน่งึ มีตารางแจกแจงความถ่ขี องผลการสอบ
ถ้าค่าเฉลย่ี เลขคณติ ของคะแนนสอบเทา่ กับ 11 แล้วนักเรียนทส่ี อบได้คะแนนในช่วง 5 – 14 คะแนนมจี ำนวนคิด
เปน็ รอ้ ยละของนักเรียนกลุ่มนี้เทา่ ใด

ชว่ งอายุ (ปี) ความถ่ี (คน)
0–4 4
5–9 5
10 – 14
15 – 19 x

7

ตัวอยา่ งท่ี 20 ในการสำรวจน้ำหนกั ของนักเรียนในชั้นเรียนทีม่ นี กั เรยี น 30 คน เปน็ ดังตาราง จงหาวา่ ค่าเฉลย่ี
เลขคณติ ของน้ำหนักตวั ของนักเรยี นในช้นั เรยี นเทา่ กับกกี่ โิ ลกรัม

ช่วงอายุ (ปี) ความถสี่ ะสม (คน)
30 – 49 10
50 – 69 26
70 – 89 30

P a g e | 14

ตวั อยา่ งที่ 21 คะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ของนักเรียน 50 คน เป็นดังตารางดา้ นลา่ ง จงหาค่าเฉลย่ี เลขคณิต
ของคะแนนสอบนีเ้ ท่ากบั เท่าใด

ชว่ งคะแนน จำนวนนกั เรยี น (คน)
1 – 20 3
21 – 40 5
41 – 60 13
61 – 80 20
81 – 100 9

ตวั อย่างที่ 22 คะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ของนักเรยี นกล่มุ หนึ่ง เป็นดงั ตารางดา้ นลา่ ง จงหาค่าเฉลีย่ ของ
คะแนนสอบน้ีเท่ากบั เท่าใด

ชว่ งคะแนน จำนวนนกั เรียน (คน)
20 – 29 7
30 – 39 10
40 – 49 6
50 – 59 7
60 – 69 6
70 – 79 8
80 – 89 6

P a g e | 15

1.3 การหาค่าเฉลย่ี โดยการลดทอนข้อมลู (วิธีทอนค่าขอ้ มลู )

1.3.1 การหาคา่ เฉลย่ี เลขคณิตของข้อมูลทไี่ มแ่ จกแจงความถ่ี

ในการหาค่าเฉล่ยี เลขคณติ ของขอ้ มูลทีไ่ มแ่ จกแจงความถโ่ี ดยใชก้ ารลดทอนข้อมลู มสี ูตรในการคำนวณ

ดงั น้ี

Σ(x−A) ; เม่อื x̅ แทน ค่าเฉลย่ี เลขคณติ
x̅ = A + N แทน ค่าเฉล่ยี สมมตุ ิ
A

x แทน ค่าของข้อมูลแต่ละคา่

N แทน จำนวนของข้อมลู ทั้งหมด

ตัวอย่างท่ี 23 กำหนดข้อมูล 5, 8, 11, 9, 12, 6, 14, 15 จงหาคา่ เฉลี่ยเลขคณติ โดยวธิ ีการลดทอนข้อมูล

ตัวอย่างที่ 24 กำหนดข้อมูล 9.87, 12.87, 12.87, 16.87, 18.87 จงหาค่าเฉล่ยี เลขคณติ
โดยวิธกี ารลดทอนข้อมลู

P a g e | 16

1.3.1 การหาคา่ เฉลีย่ เลขคณิตของขอ้ มูลทแี่ จกแจงความถี่
ในการหาคา่ เฉลยี่ เลขคณติ ของข้อมลู ท่ีแจกแจงความถี่โดยใช้การลดทอนขอ้ มลู มสี ตู รในการคำนวณ ดังนี้

x̅ = A + I (∑ik=N1 fidi)

เมอื่ x̅ แทน คา่ เฉล่ยี เลขคณติ d แทน ผลตา่ งของ x−A
แทน ความกว้างของอันตรภาคช้ัน
I แทน ความถี่ I
f แทน จำนวนของขอ้ มลู ทงั้ หมด
N A แทน จุดกึง่ กลางชน้ั ที่มี
ความถ่ีสูงสดุ

x แทน จดุ กงึ่ กลางช้ันของแตล่ ะ
อันตรภาคชัน้

ข ั ้ น ต อ น ว ิ ธ ี ก า ร ห า ค ่ า เ ฉ ล ี ่ ย เ ล ข ค ณ ิ ต ข อ ง ข ้ อ ม ู ล ท ี ่ แ จ ก แ จ ง ค ว า ม ถ ี ่ แ บ บ เ ป ็ น อ ั น ต ร ภ า ค ชั้ น
โดยใช้วธิ ีการลดทอน มีดงั น้ี

1) จากตารางแจกแจงความถี่ที่กำหนดให้ สร้างช่อง d เพิ่มโดยให้ d = 0 ที่อันตรภาคช้ัน
ทมี่ คี วามถมี่ ากทส่ี ุด และให้ d = −1, −2, −3, … ท่อี นั ตรภาคชั้นท่ีมีคะแนนน้อยกว่า ตามลำดับ และ
ให้ d = 1, 2, 3, … ท่ีอันตรภาคชั้นที่มีคะแนนมากกว่า ตามลำดบั

2) สร้างช่อง fd และหา fd ในแต่ละอนั ตรภาคชัน้
3) หา ∑ik=1 fidi , ∑ki=1 fi หรอื N และ I จากตาราง
4) แทนค่าในสตู ร x̅ = A + I (∑ki=N1 fidi)

ตวั อย่างที่ 25 จงหาค่าเฉลยี่ เลขคณติ โดยวธิ กี ารลดทอน จากตารางแจกแจงความถต่ี ่อไปน้ี

คะแนน ความถ่ี
2–4 6
5–7 4
8 – 10 10
11 – 13 8
14 – 16 2

P a g e | 17

แบบฝึกทกั ษะท่ี 3

คำชี้แจง ใหน้ ักเรียนหาคา่ เฉล่ียเลขคณติ จากตารางแจกแจงความถี่ทก่ี ำหนดให้ แล้วเติมคำตอบลงในชอ่ งวา่ ง
แตล่ ะข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้องสมบรู ณ์

ขอ้ ท่ี ตารางแจกแจงความถที่ กี่ ำหนดให้ คำตอบ

1 นำ้ หนกั 60 – 62 63 – 65 66 – 68 69 – 71 72 – 74

ความถี่ 5 18 42 27 8

2 คะแนน 10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69
ความถี่ 9 21 12 38 16 4

3 อายุ 0 – 5 6 – 11 12 – 17 18 – 23 24 – 29 30 – 35
ความถี่ 3 4 3 7 2 1

4 คะแนน 10 – 15 16 – 21 22 – 27 28 – 33 34 – 39

ความถี่ 3 3 12 8 4

5 ความสงู 110 – 114 115 – 119 120 – 124 125 – 129 130 – 134
ความถ่ี 2 5 13 3 7

P a g e | 18

1.4 สมบัติของคา่ เฉลี่ยเลขคณติ
1.4.1 ค่าเฉล่ียเลขคณติ เมื่อคูณกบั จำนวนข้อมูลทง้ั หมด จะมคี า่ เท่ากบั ผลรวมของข้อมลู ทุก ๆ ค่า ดังนี้

∑ = xi = µ และ ∑ n = xi = µn

1.4.2 ผลรวมของผลต่างระหวา่ งแต่ละค่าของข้อมลู กับคา่ เฉลย่ี เลขคณติ ของข้อมลู ชุดนน้ั ๆ จะเท่ากับศูนย์ นน้ั คือ

∑ = (xi − µ) = 0 และ ∑n = (xi − x̅) = 0

1.4.3 ผลรวมของกำลังสองของผลตา่ งของแต่ละคา่ ของข้อมูลเท่ากบั จำนวนจรงิ M ใด ๆ จะมีค่าน้อยทสี่ ดุ
เมอื่ M เท่ากับค่าเฉลยี่ เลขคณิตของขอ้ มลู ชุดนน้ั นัน้ คือ

∑iN=1(xi − M)2 นอ้ ยทีส่ ุด เม่ือ M = µ
และ ∑ni=1(xi − M)2 นอ้ ยท่ีสดุ เมื่อ M = x̅

1.4.4 ค่าเฉลีย่ เลขคณิตของข้อมลุ ชดุ ใด ๆ จะต้องมีค่าระหว่างข้อมลู ที่มีคา่ น้อยทีส่ ุด ( )x และ
ข้อมูลที่มีค่ามากท่สี ดุ ( )x กลา่ วคอื

x ≤ µ ≤ x และ x ≤ x̅ ≤ x

1.4.5 ให้ x1, x2, x3, … , xN เป็นข้อมูลชดุ ท่ี 1 และ y1, y2, y3, … , yN เปน็ ขอ้ มลู ชดุ ท่ี 2 โดย

yi = axi + b ; เม่อื a และ b เป็นค่าคงตัว จะได้ µy = aµx + b และ y̅ = ax̅ + b

P a g e | 19

ตวั อยา่ งที่ 26 กำหนดข้อมลู 10, 20, 30, 40, 50 จงหาจำนวนจริง a ซึง่ ทำให้ ∑ = (xi − x̅) = 0
เม่ือ x แทนค่าข้อมูลที่กำหนดให้

ตวั อย่างที่ 27 กำหนดข้อมลู 3, 5, 7, 9, 11, 13 จงหาค่าท่นี ้อยทีส่ ุดของ ∑6i=1(xi − a)2
เมื่อ a เปน็ จำนวนจรงิ และ x แทนคา่ ข้อมลู ที่กำหนดให้

ตวั อยา่ งที่ 28 ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งกำไร (y) และราคาทนุ (x) ของสินคา้ ในรา้ นแห่งหน่งึ เป็นไปตามสมการ
y = ax + b ถ้าราคาทุนของสินค้า 5 ชนิด คือ 31, 34, 35, 36 และ 39 บาทแล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกำไรการ
ขายสินคา้ 5 ชนดิ นเ้ี ท่ากับกบ่ี าท

P a g e | 20

แบบฝึกทักษะที่ 4

คำช้แี จง ให้นกั เรียนเตมิ คำตอบลงในชอ่ งว่างแต่ละขอ้ ต่อไปนี้ให้ถูกตอ้ งสมบรู ณ์

ขอ้ ท่ี ขอ้ มูล คำตอบ
1 กำหนดข้อมูล 6, 8, 10, 12, 14 จงหาจำนวนจรงิ M ซึง่ ทำให้ Σ(x − M) = 0 เมื่อ

x แทนค่าข้อมลู ที่กำหนดให้
2 กำหนดข้อมูล 7, 10, 13, 16, 24 จงหาค่าท่นี ้อยที่สุดของ Σ(xi − a)2

เมอ่ื x แทนคา่ ข้อมูลที่กำหนดให้ และ a เป็นจำนวนจริง
3 ในปจั จุบันเด็ก 8 คน มีอายุดงั นี้ 16, 12, 15, 13, 17, 14, 16, 17 จงหาวา่ อกี 10

ปีข้างหน้า ค่าเฉลย่ี เลขคณิตของอายุของเดก็ ท้ัง 8 คนมีคา่ เท่าใด
4 ในรอบปีพนกั งานบริษทั แห่งหนึ่ง จำนวน 3 คน ได้รับเงนิ คา่ ตอบแทนพเิ ศษเปน็

500, 700 และ 900 บาท ตามลำดับ และพนกั งานบริษัทแต่ละคนไดร้ ับเงินเพิ่ม
เป็น 4 เทา่ ของเงนิ ในรอบปี จงหาค่าเฉลยี่ เลขคณิตของเงินท่ีพนกั งานท้งั 3 คน
ได้รบั ในรอบปี
5 นกั เรยี นห้องหนึง่ สอบวิชาคณิตศาสตรแ์ ละวิชาฟิสิกส์ ถ้าให้ M แทน
วิชาคณติ ศาสตรข์ องนักเรยี นแตแ่ ละคนและ P แทนคะแนนวชิ าฟิสกิ ส์
โดยท่ี M = 3P + 7 ถ้าคา่ เฉลย่ี เลขคณติ ของคะแนนวชิ าคณติ ศาสตร์เทา่ กับ 40
จงหาคา่ เฉล่ยี เลขคณิตของคะแนนวิชาฟิสกิ ส์

P a g e | 21

2. มธั ยฐาน (Median : Med)
มัธยฐาน คือ ค่าที่อยกู่ ่ึงกลางของข้อมูลทัง้ หมด ทำหนา้ ทแ่ี บง่ ครงึ่ ข้อมูล โดยข้อมลู นั้นต้องเรียงลำดบั จาก

มากไปน้อย หรือน้อยไปมากเสมอ ซึ่งจะแบ่งข้อมูลท่เี รียงลำดับแลว้ ออกเปน็ 2 ส่วน โดยมขี ้อมูลท่มี ากกว่า และ
น้อยกว่ามัธยฐานร้อยละ 50
** คา่ มัธยฐานจะเป็นค่าใดคา่ หนงึ่ ของขอ้ มูลหรอื อาจเป็นค่าทไ่ี ม่ตรงกับข้อมลู ในชุดนั้นกไ็ ด้
2.1 การหามัธยฐานของข้อมูลท่ไี ม่ได้แจกแจงความถี่

การหามัธยฐานด้วยวิธีนจ้ี ะตอ้ งเรยี งข้อมลู จาก น้อยไปมาก หรือ มากไปน้อย อยา่ งใดอยา่ งหนึ่ง

จะได้วา่ ตำแหน่งของมธั ยฐาน = N+1 ; เมือ่ N คอื ขอ้ มลู ทั้งหมด
2

** ถา้ N เป็นจำนวนค่ี มธั ยฐานจะเทา่ กบั ข้อมลู ท่ีอย่กู งึ่ กลาง หรือ N+1
2
N เป็นจำนวนคู่ มัธยฐานจะเทา่ กับ คา่ เฉลยี่ เลขคณติ ของข้อมูลสองตัวทีอ่ ยู่กึ่งกลาง

(ข้อมลู ในตำแหนง่ N และ N +1)
2 2

ตวั อย่างท่ี 29 จงหามัธยฐานของข้อมลู 2, 6, 4, 8, 12, 10, 14

ตัวอย่างที่ 30 จงหามัธยฐานของข้อมูล 1, 7, 5, 11, 13, 9, 15, 17

P a g e | 22

2.2 การหามธั ยฐานของข้อมูลทแ่ี จกแจงความถ่ี
2.2.1 การหามธั ยฐานของข้อมลู ทแี่ จกแจงความถี่แต่ไม่เป็นอัตรภาคช้นั

การหามัธยฐานในกรณนี ี้จะต้องสรา้ งความถ่ีสะสม และดูว่าตำแหนง่ ของมัธยฐานอยู่ในความถ่สี ะสมช้ันใด
แล้วมธั ยฐานจะมีคา่ เท่ากับข้อมูลในชั้นเดยี วกนั กับความถ่ีสะสมนั้น

ตวั อย่างที่ 31 จงหามธั ยฐานจากข้อมลู ต่อไปนี้
คะแนน 10 13 15 17 19
ความถ่ี 12 14 10 8 6

ตัวอยา่ งท่ี 32 จงหามธั ยฐานจากข้อมูลต่อไปน้ี

คะแนนสอบ ความถสี่ ะสม
6 5
10 12
12 20
15 32
18 40

P a g e | 23

2.2.2 การหามธั ยฐานของข้อมูลทแ่ี จกแจงความถ่ีเป็นอัตรภาคช้นั
การหามัธยฐานสำหรับวิธีนีจ้ ะไดเ้ พียงแค่คา่ ประมาณ เพราะไมส่ ามารถนำข้อมลู มาเรยี งกันได้ โดยมี

ข้ันตอนดงั น้ี 1) หาวา่ ตำแหนง่ ของมัธยฐานอยใู่ นอันตรภาคชัน้ ใด ซ่งึ พจิ ารณาจากความถสี่ ะสม
** ตำแหนง่ ของมธั ยฐาน = N ; เมอ่ื N คือขอ้ มูลทั้งหมด

2

2) หาค่าประมาณของมัธยฐานจากอนั ตรภาคช้ันนั้น

Med = L + I N − ∑fL) และ Med = U + I (∑fU − N

(2 fm fm 2)

เม่อื L และ U เปน็ ขอบบน และขอบลา่ งของอันตรภาคช้นั ที่มีมัธยฐานอยู่ ตามลำดับ
คอื จำนวนข้อมูลทั้งหมด
N คอื ผลรวมความถี่ท้งั หมดที่ต่ำกว่าขอบลา่ งช้ันที่มมี ธั ยฐาน หรอื ความถีส่ ะสมชัน้ ก่อนหนา้
∑fL คอื ผลรวมความถ่ีทั้งหมดทต่ี ่ำกว่าขอบบนชัน้ มัธยฐาน หรือความถส่ี ะสมน้นั
∑fU คือ ความถขี่ องชั้นที่มัธยฐานอยู่
fm คือ ความกว้างของอันตรภาคช้ัน
I

ตวั อยา่ งที่ 33 จงหามัธยฐานของข้อมูลในตารางตอ่ ไปนี้

คะแนน ความถี่

93 – 97 8
98 – 102 2
103 – 107 14
108 – 112 6
113 – 117 10

P a g e | 24

2.3 การหามัธยฐานโดยใชก้ ราฟ
กราฟที่จะนำมาใช้ในการหามัธยฐาน คือ กราฟเส้นโคง้ ความถ่ี (Ogive Graph)

** กราฟโอจีฟ คือกราฟท่ีได้จากการนำ ความถี่สะสม มาเขียนกราฟ แลว้ ลากเสน้ เช่อื มยอดแท่ง ซงึ่ ตา่ งกับรปู
หลายเหลย่ี มของความถ่ี (Frequency Polygon) ท่จี ะลากเสน้ เช่อื มจุดกึ่งกลางของยอดแท่ง

Ogive Graph Frequency Polygon

การหามธั ยฐานจากกราฟนนั้ มีขัน้ ตอน ดังนี้

1) เขียนกราฟเสน้ โค้งความถี่ (Ogive Graph)

2) หาตำแหนง่ ของมัธยฐานจาก N บนแกน y (แกนของความถี่สะสม)
2

3) จากตำแหน่งในข้อ 2) ลากเสน้ ตรงให้ขนานกบั แกน x และให้เสน้ ตรงตัดกบั กราฟเสน้ โคง้

ความถที่ จี่ ดุ p

4) จากจดุ p ลากเสน้ ตรงใหต้ ัง้ ฉากกบั แกน x และตดั แกน x ทีจ่ ดุ r

5) คา่ ของมธั ยฐาน คือ คา่ ทีต่ ำแหน่งจุด r




P a g e | 25

ตัวอย่างที่ 34 กำหนดนำ้ หนักของนักเรยี น 30 คน ดังตารางแจกแจงความถ่ีต่อไปนี้

คะแนน 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74
ความถี่ 7 3 2 8 5 5
จงสรา้ งกราฟเสน้ โคง้ ความถ่ี และหาคา่ มัธยฐาน

2.4 สมบตั ิของมธั ยฐาน
2.4.1 ค่ามธั ยฐานของขอ้ มลุ ชดุ ใด ๆ จะต้องมีค่าระหวา่ งขอ้ มูลท่ีมีคา่ น้อยท่สี ุด ( ) และ

ขอ้ มูลท่ีมีคา่ มากทส่ี ดุ ( ) กลา่ วคือ ≤ Med ≤

2.4.2 ให้ x1, x2, x3, … , xN เป็นขอ้ มูลชดุ ที่ 1 และ y1, y2, y3, … , yN เป็นข้อมลู ชดุ ที่ 2 โดย

yi = axi + b ; เมอ่ื a และ b เป็นค่าคงตัว จะได้ Medy = aMedx + b

2.4.3 ผลรวมของค่าสัมบรู ณข์ องผลตา่ งระหวา่ งขอ้ มลู แตล่ ะค่ากับมัธยฐานของข้อมูลชุดนัน้ จะมีค่าน้อยที่สดุ
กล่าวคอื

∑Ni=1|xi − m| มีค่าน้อยท่สี ุด เมือ่ m แทน คา่ มธั ยฐานของข้อมลู ชดุ น้ัน

2.4.4 การเปลี่ยนแปลงคา่ อื่นที่ไม่ได้อยู่ในตำแหน่งก่ึงกลางของข้อมูลไม่มีผลทำให้มัธยฐานเปลี่ยนแปลงไป
2.4.5 ขอ้ มลู ท่ีแจกแจงความถี่และอนั ตรภาคชน้ั แรก หรอื ช้ันสดุ ทา้ ยเปน็ อันตรภาคชัน้ เปิด หรือแม้กระท่ัง
อนั ตรภาคชั้นในข้อมลู มีความกว้างไม่เทา่ กนั จะยังคงสามารถหามัธยฐานได้

P a g e | 26

ตวั อยา่ งที่ 35 จงหาคา่ ท่ีน้อยทีส่ ดุ เมื่อกำหนดขอ้ มลู ใหด้ งั นี้ 6, 7, 7, 8, 11, 12, 12 และ มธั ยฐาน คือ 8

ตัวอย่างที่ 36 กำหนดข้อมูลชุดหนึ่งเปน็ 3, 4, 6, 13, 8 และ 2 ตามลำดับ เม่ือ xi คอื ขอ้ มลู ตัวท่ี i ของข้อมลู
ชุดนี้ ถา้ m เปน็ จำนวนจริงท่ีทำให้ ∑6i=1|xi − m| มคี า่ นอ้ ยที่สดุ แลว้ m มีคา่ เท่ากับเท่าใด

ตัวอย่างที่ 37 กำหนดข้อมลู ชุดหนึ่ง 13, 14, a, a, 16, 18, 21 ถา้ คา่ เฉล่ียเลขคณติ ของข้อมูลชดุ น้ีเท่ากับ 16
แลว้ ค่ามัธยฐานเทา่ กับเทา่ ใด

P a g e | 27

แบบฝึกทักษะที่ 5

คำชี้แจง ให้นกั เรยี นเติมคำตอบลงในช่องว่างแต่ละขอ้ ต่อไปนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์

ข้อที่ ตารางแจกแจงความถที่ กี่ ำหนดให้ คำตอบ
1 จงหามธั ยฐานของข้อมูล 12 , 18 , 20 , 14 , 16 , 10

2 จงหามัธยฐานของขอ้ มูล 5 , 13 , 9 , 17 , 25 , 21 , 29

3 จงหามัธยฐานจากตารางแจกแจงความถ่ีต่อไปนี้

คะแนน 18 – 20 21 – 23 24 – 26 27 – 29 30 – 32

ความถี่ 5 2 17 3 13

4 จงหามัธยฐานจากตารางแจกแจงความถ่ีต่อไปนี้

อายุ (ป)ี 5 – 8 9 – 12 13 – 16 17 – 20 21 – 24 25 – 29

ความถ่ี 3 3 12 8 4 3

5 กำหนดให้ 1, 2, 3, … , 9 เป็นขอ้ มลู 9 จำนวน ดังนี้ 3, 5, 7, , , 14, 19, 23, 27
โดยท่ี − = 5 ค่าเฉลี่ยของข้อมูลชดุ นี้เทา่ กบั 13 แลว้ ∑i9=1| i − p| มีคา่ น้อยท่ีสุด
เมอ่ื p มคี า่ เท่าใด

P a g e | 28

3. ฐานนยิ ม (Mode : Mod)
ฐานนยิ ม คือ ค่าของข้อมลู ทีม่ ีความถสี่ ูงสุด นิยมใช้กับข้อมลู เชงิ คณุ ภาพมากกว่าข้อมลู เชงิ ปริมาณ หรอื

ขอ้ มลู ท่ีแจกแจงความถีต่ ามกลมุ่ หรอื ช่วงต่าง ๆ โดยเฉพาะกรณีที่ข้อมูลมคี า่ สงู หรือตำ่ ผดิ ปกตริ วมอย่ดู ว้ ย เชน่
ขนาดเสื้อผา้ คะแนนความนิยม
3.1 การหาฐานนิยมของข้อมูลทไ่ี ม่ไดแ้ จกแจงความถ่ี

ฐานนิยมของขอ้ มลู ชนิดนี้หาได้จากการสังเกตดวู ่าข้อมลู ใดจากข้อมลู ทัง้ หมดมีค่าซำ้ พบบ่อยมากท่ีสดุ
หรือมีความถสี่ งู สุด ซงึ่ สำหรบั ขอ้ มูลบางชนดิ อาจไม่พบฐานนิยมเพราะไมม่ ขี ้อมูลใดซ้ำกัน และบางคร้งั ฐานนิยม
อาจมมี ากกว่าหนึง่ คา่ หากขอ้ มลู มคี ่าซ้ำสูงสุดมากกวา่ ค่าเดียว
ตัวอย่างท่ี 38 กำหนดข้อมูล 10 จำนวนดังนี้ 6, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 11 จงหาฐานนิยมของข้อมูล

ตวั อยา่ งท่ี 39 กำหนดข้อมูล 10 จำนวนดงั นี้ 6, 6, 7, 7, 7, 9, 9, 9, 10, 11 จงหาฐานนยิ มของข้อมลู

P a g e | 29

แบบฝกึ ทักษะที่ 6

คำช้แี จง ใหน้ ักเรียนเติมคำตอบลงในชอ่ งว่างแต่ละขอ้ ต่อไปนี้ใหถ้ ูกต้องสมบูรณ์

ขอ้ ที่ ขอ้ มูลท่ีกำหนดให้ ข้อมูลท่ีมีความถม่ี ากท่ีสุด ฐานนยิ ม
1 4 , 6 , 6 , 7 , 9 , 7 , 7 , 10

2 2 , 5 , 5 , 6 , 7 , 8 , 8 , 12
3 3 , 7 , 11 , 15 , 19 , 23
4 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20
5 5 , 10 , 10 , 20 , 30 10 , 40
6 12 , 13 , 13 , 13 , 17 , 18 , 17 , 20 , 17
7 20 , 40 , 60 , 80 , 100 , 120
8 23 , 22 , 22 , 25 , 26 , 22 , 27
9 50 , 51 , 52 , 51 , 50 , 57 , 59
10 10 , 13 , 16 , 19 , 22 , 25

สรุป ฐานนยิ ม คือ ........................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

P a g e | 30

3.2 การหาฐานนิยมของข้อมลู ที่แจกแจงความถี่ (แบบอันตรภาคช้ัน)
หากมขี ้อมลู ดบิ ควรหาฐานนิยมจากข้อมลู ดบิ มากกว่าขอ้ มูลทม่ี กี ารแจกแจงความถี่ เน่ืองจากเปน็ การให้

คำตอบของฐานนยิ มในรปู ค่าประมาณ สำหรบั การหาฐานนยิ มของข้อมูลที่แจกแจงความถ่ีนัน้ ทำได้หลายวิธี
3.2.1 ความกว้างแตล่ ะชัน้ เทา่ กนั : หาจุดกึง่ กลางช้ันของอันตรภาคชั้นท่ีมคี วามถ่สี ูงสดุ อยู่ จะไดค้ ่าประมาณของ
ฐานนิยม
3.2.2 ความกวา้ งแตล่ ะช้ันไม่เท่ากัน : ตอ้ งหารความถด่ี ้วยความกวา้ งของแตล่ ะอนั ตรภาคชั้น โดยอนั ตรภาคชั้นที่มี
ผลหารมากท่ีสุดคือช้นั ทีม่ ฐี านนิยม
3.2.3 ขอ้ มูลในรปู ฮิสโทแกรม : จดุ กึ่งกลางช้นั ของส่เี หลี่ยมมมุ ฉากทมี่ ีค่าสูงสุดในฮิสโทแกรม
** การหาฐานนยิ มจากกราฟ คา่ ทไ่ี ดจ้ ะเป็นคา่ โดยประมาณอย่างหยาบ ๆ เทา่ นน้ั

Mode

P a g e | 31

3.2.4 ใช้สตู ร : การท่จี ะใช้สูตรได้นน้ั ต้องเป็นการหาฐานนยิ มของข้อมูลท่แี จกแจงความถ่ีแบบอนั ตรภาคชัน้ และมี
ความกว้างของแตล่ ะอันตรภาคชั้นเท่ากันทุกชน้ั จะหาได้จากสตู ร

Mod = L + I ( d1 )

d1+d2

เมอ่ื L แทน ขอบล่างของอนั ตรภาคช้นั
d1 แทน ผลต่างระหว่างความถขี่ องอันตรภาคชนั้ ท่มี ีความถี่มากท่ีสุดกบั ความถ่ีของอันตรภาคช้นั ทม่ี ี

ความถตี่ ่ำกวา่ และอยตู่ ดิ กนั
d2 แทน ผลตา่ งระหว่างความถ่ีของอนั ตรภาคช้นั ท่ีมีความถมี่ ากท่ีสุดกบั ความถี่ของอนั ตรภาคชน้ั ที่มี

ความถีส่ ูงกว่าและอยตู่ ิดกนั
I แทน ความถ่ีของชัน้ ทม่ี คี วามถ้ามากที่สดุ

**การหาฐานนยิ มโดยใช้สูตรนนั้ จะได้ค่าฐานนยิ มทล่ี ะเอยี ด แตไ่ ม่นิยม

ตัวอย่างท่ี 40 จงหาฐานนิยม จากตารางแจกแจงความถี่ต่อไปนี้

นำ้ หนัก (กโิ ลกรัม) 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69
จำนวน 8 12 16 2 8 4

ตวั อยา่ งที่ 41 จงหาฐานนิยม จากตารางแจกแจงความถ่ีต่อไปนี้

คะแนน 11 – 16 17 – 22 23 – 28 29 – 34 35 – 40
ความถ่ีสะสม
8 12 16 2 8

P a g e | 32

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 7

คำชีแ้ จง ให้นกั เรียนเติมคำตอบลงในชอ่ งวา่ งแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้ให้ถูกตอ้ งสมบูรณ์

ขอ้ ที่ คำถาม คำตอย
1 จงหาฐานนยิ มจากตารางแจกแจงความถี่ต่อไปนี้

1.1
คะแนน 2 – 4 5 – 7 8 – 10 11 – 13 14 – 16 17 – 19
ความถ่ี 22 8 42 8 12 8

1.2

อายุ (ป)ี 5 – 8 9 – 12 13 – 16 17 – 20 21 – 24

ความถ่ี 3 7 20 8 2

1.3 10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59
คะแนน 2 3 10 3 7
ความถ่ี

1.4
น้ำหนกั (กิโลกรมั ) 20 – 25 26 – 31 32 – 37 38 – 43 44 – 49
ความถี่ 12 18 33 38 40

2 จากตารางแจกแจงความถี่ในข้อ 1.4 ถ้าค่าฐานนิยมของข้อมูลเทา่ กบั และ
ความถี่อันตรภาคชน้ั ทม่ี ีฐานนิยมอยเู่ ทา่ กบั แล้ว จงหาคา่ ของ +

P a g e | 33

3.3 สมบัติของฐานนยิ ม
3.3.1 ฐานนิยมสามารถหาได้จากกราฟเสน้ โคง้ ความถี่ และฮสิ โทแกรม
3.3.2 ในขอ้ มลู แต่ละชดุ อาจมีฐานนยิ ม หรอื ไม่มกี ็ได้ ถ้ามีอาจจะมเี พียงค่าเดยี วหรอื หลายคา่ ก็ได้ (สูงสุด 2 ค่า)
3.3.3 ถ้าให้ 1, 2, 3, … , N เปน็ ข้อมลู ชุดหนึ่งทีม่ ีฐานนิยมเท่ากับ M ถ้า k เป็นค่าคงตัว

จะไดว้ า่ 1 + k, 2 + k , 3 + k, … , N + k เป็นฐานข้อมูลที่ฐานนยิ มเท่ากับ M + k

3.3.4 ถา้ ให้ 1, 2, 3, … , N เป็นข้อมลู ชดุ หนึ่งท่มี ฐี านนยิ มเท่ากบั M ถ้า k เป็นค่าคงตวั ซง่ึ k ≠ 0

จะไดว้ ่า 1k, 2k, 3k, … , Nk เป็นฐานข้อมูลทฐี่ านนิยมเทา่ กบั Mk

P a g e | 34

แบบฝกึ ทักษะท่ี 8

คำชแ้ี จง ให้นกั เรยี นเติมคำตอบลงในชอ่ งว่างแตล่ ะขอ้ ต่อไปนีใ้ ห้ถูกต้องสมบูรณ์

ขอ้ ที่ คำถาม ฐานนยิ ม

1 จากข้อมูลต่อไปน้ี จงหาค่าเฉลย่ี เลขคณติ มัธยฐาน และฐานนยิ ม

1.1) 8 , 6 , 9 , 2 , 5 , 4 , 5 , 7 , 6 , 8 , 6

1.2) 3 , 4 , 5 , 3 , 12 , 22 , 50 , 35 , 40

1.3) 12 , 14 , 12 , 20 , 28 , 30

1.4) 10 , 20 , 20 , 30 , 40 , 10 , 18 , 20

2 จากตารางแจกแจงความถต่ี ่อไปนี้

คะแนน 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79

ความถี่ 13 27 47 20 8 5

จงหา

2.1) ค่าเฉลย่ี เลขคณติ

2.2) มัธยฐาน

2.3) ฐานนิยม

3 ข้อมลู ชุดทีห่ น่งึ มี 10 จำนวน มีค่าเฉลีย่ เลขคณิตเท่ากบั 2 และผลบวกของข้อมูล

จำนวน 9 จำนวน เป็น 320 จงหาข้อมลู ทข่ี าดหายไป

P a g e | 35

4. ค่ากึ่งกลางพิสยั (Mid – Range : M.R.)
คา่ ก่ึงกลางพสิ ัย เปน็ วิธกี ารหาค่ากลางของขอ้ มูลท้ังหมดอย่างคร่าว ๆ และเสยี เวลาในการคำนวณนอ้ ย

โดยใชข้ ้อมูลในการคำนวณเพียง 2 ตัวคอื ค่าสูงสุด และคา่ ตำ่ สุด ดงั น้ันคา่ ที่ได้จึงเปน็ ค่าประมาณอย่างหยาบ ๆ

กล่าวคือ คา่ กึ่งกลางพิสยั = max+ min ; เม่อื max และ min เปน็ ค่าสูงสุดและตำ่ สดุ ตามลำดับ
2

** ถา้ หาค่ากึ่งกลางพสิ ัยแบบแจกแจงความถ่แี บบอัตรภาคช้นั ค่าสงู สุดและตำ่ สุดจะมาจาก ขอบบนของอัตรภาค
ชน้ั มากสดุ และขอบล่างของอันตรภาคช้นั นอ้ ยสดุ ตามลำดับ

ตัวอย่างที่ 42 จงหาคา่ ก่ึงกลางพิสยั ของคะแนนสอบหอ้ ง 6/1 และห้อง 6/2 ต่อไปนี้

คะแนนสอบหอ้ ง 6/1
30 95 21 80 5
20 85 15 75 12
51 84 62 7 11

คะแนนสอบห้อง 6/2
72 81 80 76 75
80 75 75 72 71
81 74 82 77 81

ตัวอยา่ งที่ 43 หาคา่ ก่ึงกลางพิสัยจากข้อมลู 4, 7, 9, 11, 15, 22, a, 20, 16 และมีค่าเฉล่ียคือ 15

P a g e | 36

ตัวอยา่ งที่ 44 จงหาค่ากง่ึ กลางพิสยั จากตารางท่กี ำหนดให้

อนั ตรถาคชั้น ความถี่
5–9 7
10 – 14 6
15 – 19 9
20 – 24 3

ตวั อยา่ งที่ 45 จงหาคา่ กึ่งกลางพสิ ัยจากตารางท่ีกำหนดให้

อันตรภาคชนั้ ความถส่ี ะสม

1 – 10 6

11 – 20 18

21 – 30 20

31 – 40 35

41 – 50 35

P a g e | 37

การวัดตำแหน่งทข่ี องข้อมูล หรอื ตำแหน่งสัมพทั ธข์ องขอ้ มลู

(Measures of Relative Standing)

การวัดตำแหน่งที่ของข้อมูลมีประโยชน์ในการบอกว่าข้อมูลที่สนใจอยู่ในอันดับใด เพราะบางครั้ง
การรเู้ พียงคะแนนหรอื อันดบั อาจไมส่ ามารถบอกได้วา่ ข้อมูลน้ันดีหรอื ไม่ดี เช่น นาย ก ได้คะแนนอนั ดับท่ี 9
ของห้อง ถ้ามองแค่ผิวเผินเหมือนนาย ก น่าจะได้คะแนนสูง แต่ถ้าให้ข้อมูลเพิ่มเติมว่าห้องเรียนนี้มีนักเรียนเพียง
9 คน นาย ก จะกลายเปน็ ทโ่ี หลข่ องห้องทันที

ดังนน้ั การวัดตำแหน่งของข้อมูลจะช่วยให้เข้าใจง่ายขน้ึ วา่ ข้อมูลนัน้ เม่ือเรียงจากน้อยไปมาก หรือมากไป
น้อยแล้ว ข้อมูลนั้นอยู่ส่วนใด เป็นข้อมูลที่ดีหรือไม่ดีเพียงใดในกลุ่ม แบ่งได้ทั้งหมด 3 ประเภท คือ ควอร์ไทล์
เดไซล์ และเปอรเ์ ซน็ ไทล์ ดงั นี้
1. การวัดตำแหนง่ ของขอ้ มูล
1.1 ควอรไ์ ทล์ (Quartiles : )

ควอร์ไทล์ คือ การวัดตำแหน่งที่แบ่งข้อมูลทั้งหมดที่เรียงจากน้อยไปหามากออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กัน

แต่ละส่วนประกอบดว้ ยจำนวนข้อมลู จำนวน เมอ่ื แทนจำนวนขอ้ มลู ทงั้ หมด
2

ขอ้ มูลเรยี งจากน้อยไปมาก

25% ของข้อมลู 25% ของข้อมูล 25% ของข้อมูล 25% ของข้อมลู

1 2 3

คา่ ท่ีตรงกบั จดุ 3 จดุ ในรปู เรียกว่า ควอร์ไทล์ท่ี 1 ( 1), ควอร์ไทล์ท่ี 2 ( 2) และ ควอรไ์ ทล์ท่ี 3 ( 3)
ตามลำดบั ดงั น้นั

1) ควอร์ไทลท์ ี่ 1 ( 1) ข้อมลู ท่มี ีขอ้ มูลตวั อนื่ ๆ ท่ีมีค่านอ้ ยกว่า หรอื เทา่ กับมันอยู่ 1 สว่ น (25%) และ
มขี ้อมลู ตัวอน่ื ๆ ที่มีคา่ มากกว่า หรอื เทา่ กบั มนั อยู่ 3 สว่ น เมอื่ แบ่งขอ้ มูลออกเปน็ 4 สว่ นเทา่ ๆ กัน

2) ควอร์ไทล์ท่ี 2 ( 2) ขอ้ มลู ที่มีขอ้ มลู ตวั อื่น ๆ ท่ีมีค่านอ้ ยกว่า หรือเท่ากับมันอยู่ 2 ส่วน (50%) และ
มีขอ้ มูลตัวอื่น ๆ ท่มี ีคา่ มากกว่า หรือเท่ากับมนั อยู่ 2 ส่วน เมอื่ แบ่งข้อมลู ออกเปน็ 4 ส่วนเท่า ๆ กัน

3) ควอร์ไทลท์ ่ี 3 ( 3) ข้อมลู ทม่ี ีขอ้ มลู ตัวอน่ื ๆ ที่มคี ่าน้อยกวา่ หรือเทา่ กับมันอยู่ 3 สว่ น (75%) และ
มีข้อมลู ตวั อ่ืน ๆ ทม่ี ีค่ามากกว่า หรอื เท่ากับมนั อยู่ 1 สว่ น เมอื่ แบง่ ขอ้ มลู ออกเป็น 4 สว่ นเท่า ๆ กนั

P a g e | 38

1.2 เดไซล์ (Deciles : )
เดไซล์ คือ เป็นการวัดตำแหน่งทีแ่ บ่งข้อมลู ท้ังหมดที่เรยี งจากน้อยไปหามากออกเปน็ 10 ส่วนเท่า ๆ กนั

แต่ละสว่ นประกอบดว้ ยจำนวนขอ้ มลู จำนวน เม่ือ แทนจำนวนขอ้ มลู ทงั้ หมด
10
ข้อมลู เรยี งจากน้อยไปมาก
10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10%

1 2 3 4 5 6 7 8 9

จุดทแี่ บ่งข้อมลู ออกเปน็ 10 ส่วนนัน้ จะมี 9 จุด เรยี กว่า เดไซล์ที่ 1 ( 1), เดไซตท์ ี่ 2 ( 2), ... , เดไซต์ที่ 9
( 9) ตามลำดบั เชน่

เดไซล์ที่ 4 ( 4)
ข้อมลู ที่มีตวั อน่ื ๆ ท่ีมคี า่ น้อยกว่า หรือเทา่ กับมนั อยู่ 4 สว่ น และมากกวา่ หรอื เท่ากับมนั อยู่ 6

ส่วน เม่อื แบ่งข้อมูลออกเปน็ 10 ส่วนเทา่ ๆ กัน

1.3 เปอร์เซน็ ไทล์ (Percentile : )

เปอรเ์ ซ็นไทล์ คอื เปน็ การวัดตำแหน่งท่ีแบ่งข้อมลู ท้ังหมดท่ีเรยี งจากนอ้ ยไปหามากออกเปน็ 100 สว่ น

เท่า ๆ กนั แตล่ ะสว่ นประกอบด้วยจำนวนขอ้ มลู จำนวน เม่ือ แทนจำนวนข้อมลู ท้ังหมด
100

1% 1% 1% ขอ้ มลู เรียงจากน้อยไปมาก 1% 1%
...

1 2 3 99 100

คา่ ทต่ี รงกบั จดุ 100 จุด ในรูปเรยี กวา่ เปอรเ์ ซ็นไทล์ท่ี 1 ( 1), เปอร์เซน็ ไทล์ที่ 2 ( 2), ... , เปอร์เซน็ ไทล์ที่

100 ( 100) ตามลำดบั เชน่

เปอร์เซ็นไทล์ท่ี 70 ( 70) ข้อมูลท่ีมีตวั อนื่ ๆ ท่มี ีค่าน้อยกว่า หรอื เทา่ กับมันอยู่ 70 ส่วน และมากกวา่ หรอื

เทา่ กับมนั อยู่ 30 สว่ น เม่ือแบ่งขอ้ มูลออกเปน็ 100 ส่วนเท่า ๆ กัน

P a g e | 39

1.4 การเปรียบเทยี บค่าของ , ,
ข้อมลู ชดุ ท่ีหน่งึ เรยี งจากน้อยไปมาก และสามารถอา่ นค่าของตำแหนง่ ดว้ ย , และ

ได้ดังน้ี 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0 v1 23 4 56 78 9 10
2
0 1 3 4
0

จากแผนผงั ข้างต้น จะพบวา่ 2 = 5 = 50 =

1 = 25 และ 3 = 75

ตัวอย่างที่ 46 นักเรียนจะตอ้ งสอบได้ตำแหน่งควอร์ไทลท์ ่เี ท่าไร จึงจะมนี กั เรยี นประมาณสามในสข่ี องชนั้
ไดค้ ะแนนตำ่ กว่า

ตวั อยา่ งที่ 47 นักเรียนจะต้องสอบไดต้ ำแหนง่ เดไซลท์ เี่ ท่าไร จึงจะมนี ักเรยี นประมาณ 7 ใน 10 ของชั้น
ได้คะแนนสูงกวา่

ตัวอย่างท่ี 48 จงหาตำแหน่งเปอรเ์ ซ็นไทล์ของคะแนนท่ีมีจำนวนนกั เรยี นซงึ่ ได้คะแนนมากกวา่ คะแนนนี้อยู่
ประมาณร้อยละ 60

P a g e | 40

แบบฝกึ ทักษะท่ี 9

คำชี้แจง ให้นกั เรยี นเตมิ คำตอบลงในชอ่ งวา่ งแตล่ ะข้อต่อไปนใี้ หถ้ ูกต้องสมบรู ณ์

ข้อที่ คำถาม คำตอบ
1 นกั เรียนจะต้องสอบไดต้ ำแหน่งควอรไ์ ทล์ทีเ่ ทา่ ไร จงึ จะมีนักเรยี นประมาณหนึง่ ในส่ี

ของชั้น ได้คะแนนสูงกวา่
2 นกั เรียนจะต้องสอบไดต้ ำแหนง่ ควอร์ไทลท์ ่ีเท่าไร จงึ จะมนี ักเรยี นประมาณหน่ึงในสี่

ของชัน้ ได้คะแนนต่ำกว่า
3 นักเรียนจะต้องสอบไดต้ ำแหน่งเดไซลท์ ี่เท่าไร จงึ จะมีผสู้ อบไดค้ ะแนนน้อยกวา่ 6 ใน 10

4 จงหาตำแหน่งของคะแนนที่มีจำนวนนักเรยี นสอบได้ คะแนนน้อยกวา่ คะแนนน้ีอยู่
4 ใน 10

5 นกั เรียนจะต้องสอบได้ตำแหน่งเดไซลท์ เ่ี ท่าไร จงึ จะมนี ักเรียนประมาณ 1 ใน 10 ของชนั้
ได้คะแนนสูงกวา่

6 จงหาตำแหน่งเปอรเ์ ซน็ ไทล์ของคะแนนท่ีมจี ำนวนนกั เรยี น ซึ่งได้คะแนนน้อยกวา่ คะแนน
นีอ้ ยูป่ ระมาณร้อยละ 40

7 จงหาตำแหนง่ เปอร์เซน็ ไทล์ของคะแนนท่ีมีจำนวนนกั เรียน ซ่งึ ได้คะแนนมากกว่าคะแนน
นอ้ี ย่ปู ระมาณร้อยละ 60

8 จากผลการสอบของนักเรียนห้องหน่งึ จำนวน 20 คน ปรากฏว่า นงนชุ สอบไดเ้ ปอร์เซ็น
ไทลท์ ี่ 80 จงหาว่ามนี ักเรยี นกี่คนทสี่ อบไดค้ ะแนนต่ำกว่านงนุช

P a g e | 41

2. การหาตำแหนง่ ทขี่ องข้อมลู ท่ีไมไ่ ด้แจกแจงความถ่ี
การหาตำแหน่งทีแ่ ละค่าของควอรไ์ ทล,์ เดไซล์ และเปอรเ์ ซน็ ไทล์ ของข้อมลู ที่ไม่ได้แจกแจงความถี่

มีลำดับขน้ั ตอนในการหา ดงั น้ี
2.1 เรียงข้อมูลจากนอ้ ยไปหามาก กำหนดให้ข้อมูลท่ีมีค่าน้อยทสี่ ุดเปน็ ข้อมลู ตำแหน่งที่ 1 เรื่อยไปจนถึง

ค่าสูงสุดเปน็ ตำแหน่งท่ี เมอื่ เป็นจำนวนข้อมลู ทั้งหมด
2.2 หาตำแหน่งของควอไทล,์ เดไซล์ และเปอร์เซน็ ไทล์ โดยใชส้ ูตร ดงั น้ี

ตำแหน่งของ ; = 1, 2, 3
= 4 ( + 1)

ตำแหน่งของ ; = 1, 2, 3, ..., 8, 9
= 10 ( + 1)

ตำแหน่งของ ; = 1, 2, 3, ..., 98, 99
= 100 ( + 1)

เมื่อ แทน ตำแหนง่ ของควอไทล์, เดไซล์ และเปอรเ์ ซน็ ไทล์
แทน จำนวนขอ้ มูลทั้งหมด

ตัวอยา่ งที่ 49 คะแนนสอบของนกั เรียน 9 คน เปน็ ดังน้ี 34, 8, 6, 22, 38, 2, 40, 18, 30 จงหา 30 และ 5

ตวั อย่างท่ี 50 ถ้าข้อมูลเป็นดังนี้ 52, 42, 57, 53, 44, 39, 33, 35 จงหา 1, 7, และ 50

P a g e | 42

แบบฝึกทักษะท่ี 10

คำชแ้ี จง ใหน้ ักเรียนเติมคำตอบลงในช่องว่างแตล่ ะข้อต่อไปน้ใี หถ้ ูกตอ้ งสมบรู ณ์

ขอ้ ท่ี ขอ้ มูล คำตอบ
1 15 , 50 ,4 , 20 , 7 , 30 , 35 , 48 , 24 จงหา 40

2 40 , 31 , 30 , 42 , 42 , 32 , 34 , 36 , 29 จงหา 2

3 35 , 31 , 42 , 43 , 30 , 35 , 49 , 48 , 25 จงหา 3
4 2 , 6 , 10 , 7 , 15 , 14 , 12 จงหา 7

5 3 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 5 จงหา 2
6 20 , 24 , 32 , 40 , 36 , 28 , 26 , 42 จงหา 60
7 15 , 20 , 25 , 35 , 5 , 30 จงหา 1
8 8 , 12 , 14 , 20 , 16 จงหา 6
9 1 , 5 , 9 , 11 , 13 , 7 , 15 , 21 , 18 จงหา 20
10 40 , 42 , 30 , 36 , 38 , 44 จงหา 35

P a g e | 43

3. การหาตำแหนง่ ท่ีของข้อมูลทีไ่ ม่ไดแ้ จกแจงความถี่
การหาตำแหนง่ ที่และค่าของควอรไ์ ทล์, เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ ของข้อมูลท่ีแจกแจงความถ่ี

จะแยกเปน็ 2 กรณี ดงั นี้
3.1 การหาตำแหน่งที่และค่าของควอร์ไทล์, เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ ของข้อมูลที่แจกแจงความถ่ี

ของแต่ละค่า (ไม่เปน็ อนั ตรภาคช้ัน)
มขี ้ันตอนดงั นี้
1) เรยี งขอ้ มูลจากนอ้ ยไปหามาก
2) สร้างตารางความถ่ีสะสม (ตวั เลขในชอ่ งน้ี คอื ตำแหนง่ ของขอ้ มูล)
3) หาตำแหน่งของควอร์ไทล์, เดไซล์ และเปอรเ์ ซ็นไทล์ โดยใช้สูตร ดงั นี้

ตำแหน่งของ ; = 1, 2, 3
= 4 ( + 1)

ตำแหน่งของ ; = 1, 2, 3, ..., 8, 9
= 10 ( + 1)

ตำแหน่งของ ; = 1, 2, 3, ..., 98, 99
= 100 ( + 1)

เมอ่ื แทน ตำแหนง่ ของควอไทล,์ เดไซล์ และเปอรเ์ ซ็นไทล์
แทน จำนวนขอ้ มลู ท้ังหมด

4) การหาค่าของควอร์ไทล์, เดไซล์ และเปอรเ์ ซน็ ไทล์ ตามตำแหน่งท่ีคำนวณได้จากข้อ 3

ตัวอย่างที่ 51 กำหนดขอ้ มูลดงั ตาราง จงหา 50, 7 และ 3

คะแนน ความถ่ี
3 2
5 3
8 5
10 3
20 4
รวม 17

P a g e | 44

ตัวอยา่ งที่ 52 คะแนนสอบวชิ าวทิ ยาศาสตร์ของนักเรียนห้องหนงึ่ จำนวน 119 คน เปน็ ตาราง จงหาวา่ คะแนนที่
เปอรเ์ ซ็นไทล์ที่ 56 เท่ากบั เทา่ ใด

คะแนนท่ไี ด้ จำนวนนกั เรยี น
52 13
55 12
57 17
60 9
62 10
65 6
70 14
75 14
78 7
80 10
82 7

ตัวอย่างที่ 53 นักเรียนกลุ่มหนึ่งจำนวน 80 คน ซึ่งมี ลำเจียก ลำดวน และลำพู รวมอยู่ด้วย ปรากฏว่า
ผลการสอบ ดงั น้ี ลำดวนได้คะแนนตรงกบั ควอไทล์ที่สาม

ลำพไู ดค้ ะแนนตรงกบั เปอร์เซน็ ไทลท์ ่ี 50
ลำเจยี กได้คะแนนเปน็ ลำดับท่ี 30 เมอ่ื เรยี งคะแนนจากมากไปหาน้อย
ขอ้ ใดตอ่ ไปนีเ้ ป็นการเรยี งรายช่ือของผู้ที่ได้คะแนนน้อยไปหาผู้ท่ไี ด้คะแนนมาก

P a g e | 45

3.2 การหาตำแหนง่ ทแี่ ละคา่ ของควอร์ไทล์, เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ ของขอ้ มลู ทแี่ จกแจงความถ่ี
ของแตล่ ะคา่ (เปน็ อนั ตรภาคช้นั )

มีข้ันตอนในการหาดงั น้ี
1) สร้างตารางความถส่ี ะสม
2) หาตำแหน่งของควอรไ์ ทล,์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ โดยใช้สตู ร ดังนี้

ตำแหนง่ ของ ; = 1, 2, 3
= 4 ( )

ตำแหน่งของ ; = 1, 2, 3, ..., 8, 9
= 10 ( )

ตำแหนง่ ของ ; = 1, 2, 3, ..., 98, 99
= 100 ( )

เมื่อ แทน ตำแหน่งของควอไทล์, เดไซล์ และเปอร์เซน็ ไทล์
แทน จำนวนข้อมลู ท้ังหมด

3) หาอันตรภาคชน้ั ที่ควอไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซน็ ไทลท์ ่ีต้องการอยู่
4) คำนวณหาค่าควอไทล์ เดไซล์ และเปอรเ์ ซ็นไทลท์ ี่ต้องการ จากสูตร ดงั ต่อไปนี้

ค่าของ = + ( 4 −Σ )



คา่ ของ = + ( 1 0 −Σ )



คา่ ของ = + ( )1 0 0−Σ



เมอื่ แทน ขอบล่างของอตั รภาคชนั้ ทคี่ วอไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ทีต่ ้องการอยู่
แทน ความกว้างของอันตรภาคชัน้ ท่คี วอไทล์ เดไซลแ์ ละเปปอร์เซน็ ไทลท์ ี่ต้องการอยู่
แทน ความถี่ของอันตรภาคชั้นท่คี วอไทล์ เดไซล์และเปอรเ์ ซน็ ตไ์ ทล์ท่ีต้องการอยู่
Σ แทน ผลรวมความถส่ี ะสมของอันตรภาคชน้ั ท่ีตำ่ กว่าอนั ตรภาคช้นั ทีค่ วอไทล์ เดไซล์

และเปอร์เซ็นต์ไทลท์ ี่ต้องการอยู่

P a g e | 46

ตัวอย่างท่ี 54 จงหา 4 จากตารางแจกแจงความถี่ ตอ่ ไปน้ี

อัตรภาคช้ัน 11 – 15 16 – 20 21 – 25 26 – 30 31 – 35 36 – 40 41 – 45

ความถี่ 5 11 15 18 12 10 9

ตวั อยา่ งที่ 55 กำหนดข้อมูลให้ได้ตาราง จงหาวา่ 10.1 และ 26.5 เป็นเปอรเ์ ซ็นตไ์ ทลท์ ่เี ท่าไร

คะแนนสอบ จำนวนนกั เรียน

1 – 10 5

11 – 20 12

21 – 30 20

31 – 40 3

P a g e | 47

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 11

คำช้ีแจง ใหน้ ักเรยี นเตมิ คำตอบลงในชอ่ งวา่ งแต่ละขอ้ ต่อไปนใี้ หถ้ ูกตอ้ งสมบรู ณ์

ข้อที่ ข้อมูล คำตอบ
1 คะแนน 10 – 14 15 – 19 20 – 24
25 – 29 30 – 34
ความถี่ 3 7 10 8 2
จงหา 2, 8, และ 40
80 – 89 70 – 79 60 – 69 50 – 59
2 คะแนน 90 – 99 57 6 2
ความถี่ 3
20 – 39 40 – 49 60 – 79 80 – 99
จงหา 3, 5, และ 52 16 32 30 12

3 คะแนน 0 – 19
ความถี่ 10

จงหา 1, 4, และ 67

P a g e | 48

4. การหาตำแหน่งทข่ี องขอ้ มูลจากกราฟ

การหาตำแหนง่ ที่ของข้อมูลจากกราฟ เปน็ การหาข้อมลู ตวั ช้ตี ำแหนง่ ผ่านกราฟของข้อมูลที่มีการแจกแจง

ความถี่ โดยกราฟที่ใช้ในการหาควอไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ คือเส้นโค้งของความถี่สะสม หรือ กราฟโอจีฟ

(Ogive graph) ใช้กับข้อมูลที่มีการแจกแจงความถี่แล้ว ซึ่งขั้นตอนในการหาควอไทล์ เดไซล์ และเปอเซ็นไทล์

จากกราฟ ดังน้ี

4.1 เขียนเส้นโค้งความถี่สะสม โดยใช้แกนนอน หรือแกน แสดงค่าข้อมูล และแกนตั้ง หรือแกน

แสดงค่าของความถสี่ ะสม

4.2 ลากเส้นตรง = (สำหรับ ) หรือ = (สำหรับ ) หรือ = (สำหรับ ) ซึ่งเป็น
4 10 100

เส้นตรงที่ขนานกบั แกนนอน ตัดเส้นโค้งความถี่สะสม จากจุดตัดนี้ลากเส้นต้ังฉากกับแกนนอนตดั แกนนอนท่ีจดุ ใด

คา่ บนแกนนอนทีจ่ ดุ นน้ั จะเปน็ , , ของขอ้ มลู ชดุ นั้น
** การหาค่าควอไทล์ เดไซล์ เปอร์เซ็นไทล์ หรือ การหาตำแหนง่ ทีโ่ ดยใช้กราฟ ค่าที่ได้อาจมีความคลาดเคลื่อนไป

จากค่าท่ีควรจะเป็น ทั้งนข้ี ึ้นอยู่กับความละเอียดในการวาดเสน้ โค้งของความถส่ี ะสม และความละเอียดในการอ่าน

จากกราฟ ดังนัน้ การคำนวณจากกราฟมีความเที่ยงตรงสูก้ ารคำนวณโดยใชส้ ตู รไม่ได้

ตวั อยา่ งที่ 56 ตารางแจกแจงความถ่ี แสดงรายไดต้ ่อวันของกรรมกรกลมุ่ หนึ่ง เป็นดังตาราง
จงหา 1, 7, และ 90 โดยใช้กราฟ

รายไดต้ อ่ วนั (บาท) จำนวนกรรมกร
60 – 65 3
66 – 71 7
72 – 77 15
78 – 83 6
84 – 89 10
90 – 95 5
96 – 101 4

P a g e | 49

แบบฝึกทักษะท่ี 12

คำชแ้ี จง ให้นักเรยี นหาค่าของควอไทล์ เดไซล์ และเปอรเ์ ซ็นไทล์ จากตารางแจกแจงความถต่ี ่อไปนี้

นกั เรยี นชน้ั ม.5 ห้องหน่ึง จำนวน 40 คน สอบวิชาคณิตศาสตร์ ไดค้ ะแนนดังตารางต่อไปน้ี

คะแนน จำนวนนักเรียน ความถี่สะสม

0–2 3 3

3–5 2 5

6–8 4 9

9 – 11 7 16

12 – 14 8 24

15 – 17 10 34

18 – 20 6 40

จงหา 3, 5, และ 30 โดยใช้กราฟ

ภาคผนวก ข

เอกสารประกอบการสอนคณติ ศาสตร์ เรื่อง การวิเคราะห์ข้อมลู เบ้ืองตน้ 2
รายวิชา ค33202 เสรมิ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ 6

เอกสารประกอบการสอนคณติ ศาสตร์

การวิเคราะหข์ อ้ มูลเบื้องต้น 2

รายวิชา ค33202 เสริมทักษะคณิตศาสตร์ 6
ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 6

ภาคเรียนที่ 2 ปีการศกึ ษา 2564

ชือ่ ...........................................................................................
ชนั้ …...................... เลขท.ี่ ...........................

สอนโดย

ชอื่ ครูผู้สอน : …………………………….…………………………………

โรงเรียนบางบัวทอง

สำนกั งานเขตพนื้ ท่กี ารศึกษามัธยมศึกษา เขต 3
สำนกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน

Page |1

การวิเคราะหข์ ้อมลู เบอ้ื งต้น 2
การวดั การกระจายของข้อมูล (Measures of Variability)

จากการคำนวณค่ากลางและตวั หาตำแหน่งที่ในบทก่อนจะพบว่ายงั มีข้อบกพร่องอยู่ เพราะค่าเหลา่ นั้นไม่
สามารถบ่งบอกการแจกแจง หรือการกระจายตัวของข้อมูลได้ และไม่ทราบว่าค่าจากการสังเกตแต่ละตัวแตกต่าง
จากคา่ กลางมากน้อยเพยี งใด ค่าสว่ นใหญ่รวมกลุม่ กนั หรือไม่
1. การวัดการกระจายสมั บูรณ์ (Measures of Absolute Variation)
1.1 พสิ ยั (Range)

พิสัย คือ ค่าที่วัดการกระจายตัวผ่านผลต่างของข้อมูลที่มีค่าสูงสุด (Maximum) และ ค่าต่ำสุด
(Minimum) เป็นวธิ วี ัดการกระจายอย่างคร่าว ๆ เน่อื งจากใช้ข้อมูลในการคำนวณเพียง 2 ตัว

1.1.1 การหาพสิ ยั ของข้อมูลท่ีไม่ไดแ้ จกแจงความถี่

พิสยั (Range) = −

ถ้า 1, 2 , 3 , … , เป็นค่าของข้อมูลชุดหนึ่ง เมื่อ และ เป็นค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของ
ข้อมลู ชดุ นี้ ตามลำดบั

1.1.2 การหาพิสยั ของข้อมูลที่ไม่ไดแ้ จกแจงความถ่ี (อนั ตรภาคชน้ั )
ถา้ กำหนดขอ้ มูลทจ่ี ัดเป็นหมวดหมู่ แตล่ ะอนั ตรภาคชั้นไม่จำเปน็ ตอ้ งมคี วามกว้างเทา่ กนั แตต่ ้องไมเ่ ปน็
อันตรภาคชั้นเปิด

พิสยั (Range) = −

เมื่อ แทน ขอบบนอัตรภาคชั้นท่ีมีค่าสงู สุดของข้อมูลอยู่
แทน ขอบล่างอัตรภาคชั้นที่มคี า่ ตำ่ สุดของข้อมลู อยู่

** ถ้าอัตรภาคชั้นแรก หรืออัตรภาคชั้นสุดท้าย เป็นอัตรภาคช้ันแบบเปิดซึ่งไม่สามารถหาค่าของขอบบนหรอื ขอบ
ลา่ งได้แล้ว ขอ้ มูลชดุ น้นั จะไมส่ ามารถหาค่าของพิสัยได้
*** หากภายในข้อมูลมีค่าสูงหรือต่ำผิดปกติ พสิ ยั ท่ีไดจ้ ากการคำนวณผ่านข้อมูลเพียง 2 ค่าจะมีค่าการกระจายตัว
ผิดเพี้ยนไปจากที่ควรจะเป็น ดังนั้นวิธีนี้จึงเป็นวิธีที่สะดวก รวดเร็ว และใช้วัดการกระจายของข้อมูลในกรณีที่ไม่
ตอ้ งการความแมน่ ยำสูง

Page |2

ตวั อยา่ งท่ี 57 จงหาพิสยั จากขอ้ มูลตอ่ ไปนี้
5 12 10 22 11 20 16 8
14 29 20 6 16 12 9 18

ตวั อย่างท่ี 58 คะแนนสอบของนักเรยี น 3 คน มีพิสัยเทา่ กบั 8 คะแนน ถา้ มัธยฐานคอื 12 คะแนน และค่าเฉล่ยี
เลขคณติ คือ 14 คะแนน แล้วจงหาคะแนนของนกั เรียนทั้ง 3 คนนี้

ตัวอย่างท่ี 59 ขอ้ มูลชุดหนงึ่ เรยี งจากน้อยไปมากได้ดังนี้ a 11 15 18 25 b 36 41 47 53
ถา้ ข้อมลู ชดุ น้มี ีมัธยฐานเทา่ กับ 28 และคา่ เฉล่ยี เลขคณิตเท่ากับ 28.5 แล้ว พสิ ยั ของข้อมูลชดุ น้ีเทา่ กบั เทา่ ใด

ตัวอย่างท่ี 60 ความสงู ในหนว่ ยเซนติเมตรของนักเรยี นกลุม่ หนึ่งซง่ึ มี 10 คน เป็นดงั นี้
155 157 158 158 160 161 161 163 165 166

ถ้ามนี ักเรยี นเพ่มิ ข้นึ อีกหนงึ่ คน ซงึ่ มคี วามสงู 158 เซนติเมตรแลว้ คา่ สถิตใิ ดต่อไปน้ีไม่เปลยี่ นแปลง

Page |3

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 13

คำชแี้ จง ให้นกั เรยี นเติมคำตอบลงในช่องว่างแตล่ ะขอ้ ต่อไปนีใ้ หถ้ ูกต้องสมบูรณ์

ข้อที่ ขอ้ มูล ค่าสูงสุด ค่าต่ำสุด พิสยั

1 1, 5, 7, 11, 15

2 20, 38, 12, 28, 42

3 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70

4 9, 11, 13, 15, 17, 21, 33, 43

5 2, 6, 8, 90, 12, 14, 16, 18, 20, 22

6 53, 56, 58, 69, 65, 63, 71, 74

7 110, 112, 118, 162, 142, 153, 158

8 153, 156, 154, 162, 165, 172, 145,
165, 145, 157

9 2.5, 3.5, 4.5, 8.5, 9.5, 10.5, 12.5

10 11.2, 8.2, 7.2, 12.2, 14.2, 13.2, 16.2,
17.2, 18.2, 6.2, 5.2, 4.2

Page |4

แบบฝึกทักษะท่ี 14

คำชแี้ จง ให้นักเรียนเตมิ คำตอบลงในชอ่ งวา่ งแต่ละข้อต่อไปน้ีใหถ้ ูกตอ้ งสมบรู ณ์

ข้อท่ี ข้อมูล พสิ ัย
1 คะเนน 2-4 5-7 8-10 11-13

ความถี่ 5 3 2 8

2 น้ำหนกั 60-62 63-65 66-68 69-71
จำนวนนกั เรยี น 3 18 42 27

3 น้ำหนัก 130-135 136-141 142-147 148-153
จำนวนนักเรียน 3 18 42 27

4 คะเนน 10-19 20-29 30-39 40-49 50-59

ความถ่ี 5 7 8 10 15

5 คะเนน 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30
ความถี่ 8 12 10 3 7

Page |5

1.2 ส่วนเบ่ยี งเบนควอร์ไทล์ หรือก่ึงชว่ งควอไทล์ (Quartile Devition or Semi – Interquartile Range)
ส่วนเบี่ยงเบนควอรไ์ ทล์ คือ ค่าสำหรบั การวดั การกระจาย ผา่ นคร่ึงหนงึ่ ของผลต่างระหวา่ งควอรไ์ ทล์

2 ค่า คือ คา่ ควอไทล์ท่ี 1 ( 1) และคา่ ควอไทล์ท่ี 3 ( 3)

ส่วนเบ่ยี งเบนควอร์ไทล์ ( . .) = 3− 1
2

1.2.1 ข้อดี 1. กรณีขอ้ มลู มคี ่าสูงหรอื ต่ำกว่าปกตมิ าก ๆ มีผลตอ่ พสิ ยั แตไ่ ม่มผี ลต่อค่าควอร์ไทล์
2. กรณอี ตั รภาคชน้ั แรก หรืออัตรภาคชัน้ สดุ ทา้ ยเป็นอตั รภาคแบบเปิด กส็ ามารถหาค่า

สว่ นเบย่ี งเบนเบนควอไทลไ์ ด้ เพราะคา่ จากการคำนวณไม่เก่ียวข้องกบั อันตรภาคชั้นแรกและอนั ตรภาคช้ันสุดทา้ ย

1.2.2 ข้อเสยี ไม่ได้ใช้ข้อมูลทงั้ หมดทุกค่าในการคำนวณ ใชเ้ ฉพาะค่าท่ีใกลเ้ คียงกับควอไทลท์ ัง้ สอง
เทา่ นั้น ค่าที่ไดจ้ ากการคำนวณจงึ ไมล่ ะเอียดมาก

ตวั อย่างท่ี 61 จงหาส่วนเบยี่ งเบนควอไทล์ ของคะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ ซึง่ มขี ้อมูลดงั นี้
30 95 21 80 20 82 15 75 12 32

ตวั อย่างท่ี 62 จงหาส่วนเบีย่ งเบนควอไทล์ของอายคุ นกลุ่มหน่งึ ซง่ึ มีขอ้ มูลดังน้ี

อายุ (ป)ี 10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49

จำนวน (คน) 8 13 15 4

ความถี่สะสม 8 21 36 40

Page |6

1.3 ส่วนเบีย่ งเบนเฉล่ีย (Mean Deviation or Average Deviation)
สว่ นเบี่ยงเบนเฉล่ยี คอื ค่าทใ่ี ช้ในการวัดการกระจายของข้อมูล โดยสังเกตจากคา่ ของขอ้ มูลแตล่ ะตวั ว่ามี

ผลต่างจากคา่ เฉลี่ยเลขคณิตโดยเฉลยี่ เทา่ ไร
1.3.1 การหาส่วนเบ่ียงเบนของข้อมูลท่ไี ม่ไดแ้ จกแจงความถ่ี
ถ้า 1, 2 , 3 , … , เป็นค่าของข้อมูล จำนวน และมีค่าเฉลี่ยเป็น ̅ จะได้

สว่ นเบ่ียงเบนเฉลย่ี ( . .) = | 1− ̅|+| 2− ̅|+| 3− ̅|+ … +| − ̅|



= ∑ = 1| − ̅|



1.3.2 การหาส่วนเบ่ียงเบนของข้อมูลท่ีแจกแจงความถี่
ถา้ 1, 2 , 3 , … , เปน็ จุดกง่ึ กลางชัน้ ในแตล่ ะอนั ตรภาคชนั้ ทงั้ หมด ชน้ั โดยมคี วามถ่ี
1, 2 , 3 , … , ตามลำดับ และค่าเฉลย่ี เลขคณติ ของข้อมลู ชดุ น้ีเท่ากับ ̅ และ = ∑ แลว้

ส่วนเบยี่ งเบนเฉล่ีย ( . .) = 1| 1− ̅|+ 2| 2− ̅|+ 3| 3− ̅|+ … + | − ̅|


= ∑ =1 | − ̅|



เมื่อ แทน จุดกึง่ กลางชั้นของอนั ตรภาคชน้ั ท่ี 31
แทน ความถ่ีของอนั ตรภาคช้ันที่
แทน จำนวนอันตรภาคชั้น

ตวั อย่างที่ 63 จงหาส่วนเบีย่ งเบนเฉลีย่ ของข้อมลู
25 19 32 29 19 21 22

Page |7

ตัวอยา่ งที่ 64 จงหาสว่ นเบ่ยี งเบนเฉล่ยี ของข้อมูล
25 60 45 30 32 40 62 65 54 89 48

ตัวอย่างท่ี 65 ตารางตอ่ ไปนี้เปน็ นำ้ หนัก (กิโลกรมั ) ของนักเรยี นในห้องหนึง่
จงหาส่วนเบย่ี งเบนเฉลีย่ ของนำ้ หนกั ของนกั เรยี นชายและนกั เรยี นหญงิ

น้ำหนกั จำนวนคน
ชาย หญิง

40 1 3

42 5 5

45 6 6

48 5 5

60 3 1