普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

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书名：普林斯顿微积分读本（修订版）



作者：［美］阿德里安·班纳 (作者) 译者：杨爽 赵晓婷 高璞




ISBN：978-7-115-43559-0




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版权声明


译者序

前言


如何使用这本书备考


两个通用的学习小贴士

考试复习的重要章节 (按主题划分)


致谢


第 1 章 函数、图像和直线


1.1 函数


1.1.1 区间表示法

1.1.2 求定义域


1.1.3 利用图像求值域


1.1.4 垂线检验

1.2 反函数


1.2.1 水平线检验


1.2.2 求反函数


1.2.3 限制定义域


1.2.4 反函数的反函数

1.3 函数的复合


1.4 奇函数和偶函数


1.5 线性函数的图像

1.6 常见函数及其图像


第 2 章 三角学回顾

2.1 基本知识


2.2 扩展三角函数定义域


2.2.1 ASTC 方法

2.2.2 [0, 2π] 以外的三角函数


2.3 三角函数的图像


2.4 三角恒等式


第 3 章 极限导论


3.1 极限：基本思想

3.2 左极限与右极限


3.3 何时不存在极限


3.4 在 ∞ 和 -∞ 处的极限

3.5 关于渐近线的两个常见误解


3.6 三明治定理


3.7 极限的基本类型小结


第 4 章 求解多项式的极限问题


4.1 x → a 时的有理函数的极限

4.2 x → a 时的平方根的极限


4.3 x → ∞ 时的有理函数的极限


4.4 x → ∞ 时的多项式型函数的极限

4.5 x → -∞ 时的有理函数的极限


4.6 包含绝对值的函数的极限

第 5 章 连续性和可导性


5.1 连续性


5.1.1 在一点处连续

5.1.2 在一个区间上连续


5.1.3 连续函数的一些例子


5.1.4 介值定理


5.1.5 一个更难的介值定理例子


5.1.6 连续函数的最大值和最小值

5.2 可导性


5.2.1 平均速率


5.2.2 位移和速度

5.2.3 瞬时速度


5.2.4 速度的图像阐释


5.2.5 切线


5.2.6 导函数


5.2.7 作为极限比的导数

5.2.8 线性函数的导数


5.2.9 二阶导数和更高阶导数


5.2.10 何时导数不存在

5.2.11 可导性和连续性


第 6 章 求解微分问题

6.1 使用定义求导


6.2 用更好的办法求导


6.2.1 函数的常数倍

6.2.2 函数和与函数差


6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数


6.2.4 通过商法则求商函数的导数


6.2.5 通过链式求导法则求复合函数的导数


6.2.6 那个难以处理的例子

6.2.7 乘积法则和链式求导法则的理由


6.3 求切线方程


6.4 速度和加速度

6.5 导数伪装的极限


6.6 分段函数的导数


6.7 直接画出导函数的图像


第 7 章 三角函数的极限和导数


7.1 三角函数的极限

7.1.1 小数的情况


7.1.2 问题的求解 —— 小数的情况


7.1.3 大数的情况

7.1.4 “其他的” 情况


7.1.5 一个重要极限的证明

7.2 三角函数的导数


7.2.1 求三角函数导数的例子


7.2.2 简谐运动

7.2.3 一个有趣的函数


第 8 章 隐函数求导和相关变化率


8.1 隐函数求导


8.1.1 技巧和例子


8.1.2 隐函数求二阶导

8.2 相关变化率


8.2.1 一个简单的例子


8.2.2 一个稍难的例子

8.2.3 一个更难的例子


8.2.4 一个非常难的例子


第 9 章 指数函数和对数函数


9.1 基础知识


9.1.1 指数函数的回顾

9.1.2 对数函数的回顾


9.1.3 对数函数、指数函数及反函数


9.1.4 对数法则

9.2 e 的定义


9.2.1 一个有关复利的问题

9.2.2 问题的答案


9.2.3 更多关于 e 和对数函数的内容


9.3 对数函数和指数函数求导

9.4 求解指数函数或对数函数的极限


9.4.1 涉及 e 的定义的极限


9.4.2 指数函数在 0 附近的行为


9.4.3 对数函数在 1 附近的行为


9.4.4 指数函数在 ∞ 或 -∞ 附近的行为

9.4.5 对数函数在 ∞ 附近的行为


9.4.6 对数函数在 0 附近的行为


9.5 取对数求导法

9.6 指数增长和指数衰变


9.6.1 指数增长


9.6.2 指数衰变


9.7 双曲函数


第 10 章 反函数和反三角函数

10.1 导数和反函数


10.1.1 使用导数证明反函数存在


10.1.2 导数和反函数：可能出现的问题

10.1.3 求反函数的导数


10.1.4 一个综合性例子

10.2 反三角函数


10.2.1 反正弦函数


10.2.2 反余弦函数

10.2.3 反正切函数


10.2.4 反正割函数


10.2.5 反余割函数和反余切函数


10.2.6 计算反三角函数


10.3 反双曲函数

第 11 章 导数和图像


11.1 函数的极值


11.1.1 全局极值和局部极值

11.1.2 极值定理


11.1.3 求全局最大值和最小值


11.2 罗尔定理


11.3 中值定理


11.4 二阶导数和图像

11.5 对导数为零点的分类


11.5.1 使用一次导数


11.5.2 使用二阶导数

第 12 章 绘制函数图像


12.1 建立符号表格

12.1.1 建立一阶导数的符号表格


12.1.2 建立二阶导数的符号表格


12.2 绘制函数图像的全面方法

12.3 例题


12.3.1 一个不使用导数的例子


12.3.2 完整的方法：例一


12.3.3 完整的方法：例二


12.3.4 完整的方法：例三

12.3.5 完整的方法：例四


第 13 章 最优化和线性化


13.1 最优化

13.1.1 一个简单的最优化例子


13.1.2 最优化问题：一般方法


13.1.3 一个最优化的例子


13.1.4 另一个最优化的例子


13.1.5 在最优化问题中使用隐函数求导

13.1.6 一个较难的最优化例子


13.2 线性化


13.2.1 线性化问题：一般方法

13.2.2 微分


13.2.3 线性化的总结和例子

13.2.4 近似中的误差


13.3 牛顿法


第 14 章 洛必达法则及极限问题总结

14.1 洛必达法则


14.1.1 类型 A：0/0


14.1.2 类型 A：±∞/ ±∞


14.1.3 类型 B1：(∞ - ∞)


14.1.4 类型B2：(0 × ±∞)

14.1.5 类型C：(1±∞, 00或∞0)


14.1.6 洛必达法则类型的总结


14.2 关于极限的总结

第 15 章 积分


15.1 求和符号


15.1.1 一个有用的求和


15.1.2 伸缩求和法


15.2 位移和面积

15.2.1 三个简单的例子


15.2.2 一段更常规的旅行


15.2.3 有向面积

15.2.4 连续的速度


15.2.5 两个特别的估算

第 16 章 定积分


16.1 基本思想


16.2 定积分的定义

16.3 定积分的性质


16.4 求面积


16.4.1 求通常的面积


16.4.2 求解两条曲线之间的面积


16.4.3 求曲线与 y 轴所围成的面积

16.5 估算积分


16.6 积分的平均值和中值定理


16.7 不可积的函数

第 17 章 微积分基本定理


17.1 用其他函数的积分来表示的函数


17.2 微积分的第一基本定理


17.3 微积分的第二基本定理


17.4 不定积分

17.5 怎样解决问题：微积分的第一基本定理


17.5.1 变形 1：变量是积分下限


17.5.2 变形 2：积分上限是一个函数

17.5.3 变形 3：积分上下限都为函数


17.5.4 变形 4：极限伪装成导数

17.6 怎样解决问题：微积分的第二基本定理


17.6.1 计算不定积分


17.6.2 计算定积分

17.6.3 面积和绝对值


17.7 技术要点


17.8 微积分第一基本定理的证明


第 18 章 积分的方法 I


18.1 换元法

18.1.1 换元法和定积分


18.1.2 如何换元


18.1.3 换元法的理论解释

18.2 分部积分法


18.3 部分分式


18.3.1 部分分式的代数运算


18.3.2 对每一部分积分


18.3.3 方法和一个完整的例子

第 19 章 积分的方法 II


19.1 应用三角恒等式的积分


19.2 关于三角函数的幂的积分

19.2.1 sin 或 cos 的幂


19.2.2 tan 的幂

19.2.3 sec 的幂


19.2.4 cot 的幂


19.2.5 csc 的幂

19.2.6 约化公式


19.3 关于三角换元法的积分


19.3.1 类型 1：


19.3.2 类型 2：


19.3.3 类型 3：

19.3.4 配方和三角换元法


19.3.5 关于三角换元法的总结


19.3.6 平方根的方法和三角换元法

19.4 积分技巧总结


第 20 章 反常积分：基本概念


20.1 收敛和发散


20.1.1 反常积分的一些例子


20.1.2 其他破裂点

20.2 关于无穷区间上的积分


20.3 比较判别法 (理论)


20.4 极限比较判别法 (理论)

20.4.1 函数互为渐近线


20.4.2 关于判别法的陈述

20.5 p 判别法 (理论)


20.6 绝对收敛判别法


第 21 章 反常积分：如何解题

21.1 如何开始


21.1.1 拆分积分


21.1.2 如何处理负函数值


21.2 积分判别法总结


21.3 常见函数在 ∞ 和 -∞ 附近的表现

21.3.1 多项式和多项式型函数在 ∞ 和 -∞ 附近的表现


21.3.2 三角函数在 ∞ 和 -∞ 附近的表现


21.3.3 指数在 ∞ 和 -∞ 附近的表现

21.3.4 对数在 ∞ 附近的表现


21.4 常见函数在 0 附近的表现


21.4.1 多项式和多项式型函数在 0 附近的表现


21.4.2 三角函数在 0 附近的表现


21.4.3 指数函数在 0 附近的表现

21.4.4 对数函数在 0 附近的表现


21.4.5 更一般的函数在 0 附近的表现


21.5 如何应对不在 0 或 ∞ 处的瑕点

第 22 章 数列和级数：基本概念


22.1 数列的收敛和发散

22.1.1 数列和函数的联系


22.1.2 两个重要数列


22.2 级数的收敛与发散

22.3 第 n 项判别法 (理论)


22.4 无穷级数和反常积分的性质


22.4.1 比较判别法 (理论)


22.4.2 极限比较判别法 (理论)


22.4.3 p 判别法 (理论)

22.4.4 绝对收敛判别法


22.5 级数的新判别法


22.5.1 比式判别法 (理论)

22.5.2 根式判别法(理论)


22.5.3 积分判别法 (理论)


22.5.4 交错级数判别法 (理论)


第 23 章 求解级数问题


23.1 求几何级数的值

23.2 应用第 n 项判别法


23.3 应用比式判别法


23.4 应用根式判别法

23.5 应用积分判别法


23.6 应用比较判别法、极限比较判别法和 p 判别法

23.7 应对含负项的级数


第 24 章 泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论


24.1 近似值和泰勒多项式

24.1.1 重访线性化


24.1.2 二次近似


24.1.3 高阶近似


24.1.4 泰勒定理


24.2 幂级数和泰勒级数

24.2.1 一般幂级数


24.2.2 泰勒级数和麦克劳林级数


24.2.3 泰勒级数的收敛性

24.3 一个有用的极限


第 25 章 求解估算问题


25.1 泰勒多项式与泰勒级数总结


25.2 求泰勒多项式与泰勒级数


25.3 用误差项估算问题

25.3.1 第一个例子


25.3.2 第二个例子


25.3.3 第三个例子

25.3.4 第四个例子


25.3.5 第五个例子

25.3.6 误差项估算的一般方法


25.4 误差估算的另一种方法


第 26 章 泰勒级数和幂级数：如何解题

26.1 幂级数的收敛性


26.1.1 收敛半径


26.1.2 求收敛半径和收敛区域


26.2 合成新的泰勒级数


26.2.1 代换和泰勒级数

26.2.2 泰勒级数求导


26.2.3 泰勒级数求积分


26.2.4 泰勒级数相加和相减

26.2.5 泰勒级数相乘


26.2.6 泰勒级数相除


26.3 利用幂级数和泰勒级数求导


26.4 利用麦克劳林级数求极限


第 27 章 参数方程和极坐标

27.1 参数方程


27.2 极坐标


27.2.1 极坐标与笛卡儿坐标互换

27.2.2 极坐标系中画曲线


27.2.3 求极坐标曲线的切线

27.2.4 求极坐标曲线围成的面积


第 28 章 复数


28.1 基础

28.2 复平面


28.3 复数的高次幂


28.4 解 zn = w


28.5 解 ez = w


28.6 一些三角级数

28.7 欧拉恒等式和幂级数


第 29 章 体积、弧长和表面积


29.1 旋转体的体积

29.1.1 圆盘法


29.1.2 壳法


29.1.3 总结和变式


29.1.4 变式 1：区域在曲线和 y 轴之间


29.1.5 变式 2：两曲线间的区域

29.1.6 变式 3：绕平行于坐标轴的轴旋转


29.2 一般立体体积


29.3 弧长

29.4 旋转体的表面积


第 30 章 微分方程

30.1 微分方程导论


30.2 可分离变量的一阶微分方程


30.3 一阶线性方程

30.4 常系数微分方程


30.4.1 解一阶齐次方程


30.4.2 解二阶齐次方程


30.4.3 为什么特征二次方程适用


30.4.4 非齐次方程和特解

30.4.5 求特解


30.4.6 求特解的例子


30.4.7 解决 yP 和 yH 间的冲突

30.4.8 IVP


30.5 微分方程建模


附录 A 极限及其证明


A.1 极限的正式定义


A.1.1 小游戏

A.1.2 真正的定义


A.1.3 应用定义的例子


A.2 由原极限产生新极限

A.2.1 极限的和与差及证明


A.2.2 极限的乘积及证明

A.2.3 极限的商及证明


A.2.4 三明治定理及证明


A.3 极限的其他情形

A.3.1 无穷极限


A.3.2 左极限与右极限


A.3.3 在 ∞ 及 -∞ 处的极限


A.3.4 两个涉及三角函数的例子


A.4 连续与极限

A.4.1 连续函数的复合


A.4.2 介值定理的证明


A.4.3 最大 - 最小定理的证明

A.5 再谈指数函数和对数函数


A.6 微分与极限


A.6.1 函数的常数倍


A.6.2 函数的和与差


A.6.3 乘积法则的证明

A.6.4 商法则的证明


A.6.5 链式求导法则的证明


A.6.6 极值定理的证明

A.6.7 罗尔定理的证明


A.6.8 中值定理的证明

A.6.9 线性化的误差


A.6.10 分段函数的导数


A.6.11 洛必达法则的证明

A.7 泰勒近似定理的证明


附录 B 估算积分


B.1 使用条纹估算积分


B.2 梯形法则


B.3 辛普森法则

B.4 近似的误差


B.4.1 估算误差的例子


B.4.2 误差项不等式的证明

符号列表



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Original edition, entitled The Calculus Lifesaver : All the

Tools You Need to Excel at Calculus by Adrian Banner, ISBN:


978-0-691-13088-0, published by Princeton University Press.


Copyright 2007 by Princeton University Press.




All rights reserved. No part of this book may be reproduced

or transmitted in anyform or by any means, electronic or


mechanical, including photocopying, recording or by any


information storage and retrieval system, without


permission in writing from Princeton University Press.



Simplified Chinese translation copyright 2016 by Posts &


Telecom Press.








本书简体中文版由普林斯顿大学出版社授权人民邮电出版社独家出


版。未经出版者许可, 不得以任何方式复制本书内容。仅限于中华人


民共和国境内 (香港、澳门特别行政区和台湾地区除外) 销售发行。



版权所有，侵权必究。

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献给亚里




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译者序





对于大多数学生来说, 微积分或许是他们曾经上过的倍感迷茫且最受

挫折的一门课程了. 而本书, 不仅让学生能有效地学习微积分, 更重要


的是提供了战胜微积分的必备工具.




本书源于风靡美国普林斯顿大学的阿德里安 · 班纳的微积分复习课程.


他激励了一些考试前想获得优秀但考试结果却平平的学生.



对于任何单变量微积分的课程, 本书既可以作为教科书, 也可以用作学


习指南, 对于全英文授课的教师来说更是一个得力助手. 作者班纳是美


国普林斯顿大学的著名数学教授并担任新技术研究中心主任. 班纳教

授的授课风格是非正式、有吸引力并完全不强求的, 甚至在不失其详


尽性的基础上又增添了许多娱乐性, 而且他不会跳过讨论一个问题的


任何步骤.




作者独创的“内心独白”方式, 即写出问题求解过程中学生们应遵循的

思考过程, 为我们提供了不可或缺的推理过程以及求解方案. 本书的重


点在于培养问题求解的能力, 其中涉及的例题从简单到复杂并对微积


分理论进行了深入探讨. 读者会在非正式的对话语境中体会到微积分


的无穷魅力.



本书特点：

可作为任何单变量微积分教科书的学习指南;



非正式的、娱乐性的且非强求的对话语境风格;




丰富的在线视频;




大量精选例题 (从简单到复杂) 提供了一步一步的推理过程;



定理和方法有证明, 还有诸多实际应用;




详细探讨了诸如无穷级数这样的难点问题.




这样的一本经典著作将易用性与可读性以及内容的深度与数学的严谨

完美地结合在一起. 对于每一个想要掌握微积分的学生来说, 本书都是


极好的资源. 当然, 非数学专业的学生也将大大受益.




在翻译本书的过程中, 译者虽然尽最大努力尊重原文, 并尽可能避免直

译产生的歧义, 但是由于才疏学浅, 难免存在翻译不当之处, 敬请广大


读者批评指正, 以便再版时更正．








本书能得以顺利出版, 首先要感谢人民邮电出版社图灵公司的大力支


持; 同时, 首都经济贸易大学华侨学院信管系的全体教师也给予了无私


的帮助, 在此一并表示衷心感谢. 最后感谢我的家人在本书翻译过程中


所给予的支持与鼓励, 尤其是爱女芮绮!

《普林斯顿微积分读本》


微笑着面对数学的世界

积累着超越无穷的力量


分化出化解疑难的翅膀


求解出优化问题的阳光

生成了数学天空的晴朗


秘籍 —— 放飞自己的理想




谨以此诗献给爱女芮绮以及喜爱数学的新生代!








杨爽




首都经济贸易大学华侨学院信管系




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前言





本书旨在帮助你学习单变量微积分的主要概念, 同时也致力于教会你

求解问题的技巧. 无论你是第一次接触微积分, 还是为了准备一次测


验, 或是已经学过微积分还想再温习一遍, 我都希望本书能够对你有所


帮助.




写作本书的灵感来自我在普林斯顿大学的学生们. 他们在过去的几年

里发现, 与课堂授课、作业讲解以及他们的教科书一样, 本书的初稿是


很有帮助的学习指南. 以下是他们在学习过程中提出的一些你可能也


想问的问题.



这本书为什么这么厚？ 我是假设你真的想要掌握这门课程, 而不只


是想囫囵吞枣, 一知半解, 所以你已经准备好投入一些时间和精力, 去


阅读并理解这些详尽的阐述.




阅读之前, 我需要知道些什么？ 你需要了解一些基本的代数知识, 并

且要知道如何求解简单的方程式. 本书的前两章涵盖了你所需要的大


部分的微积分预备知识.




啊! 下周就要期末考试了, 我还什么都不知道呢! 从哪里开始啊？ 接

下来的几页就会介绍如何使用本书来备考.

例题的求解过程在哪里？我所看到的只是大量的文字与少量的公式.


首先, 看一个求解过程并不能教会你应该怎样思考. 所以我通常试图给

出一种“内心独白”, 即当你尝试求解问题的时候, 脑海中应该经历怎样


的思考过程. 最后, 你想到了求解问题的所有知识点, 但仍然需要用正


确的方式把它们全部写出来. 我的建议是, 先看懂并理解问题的求解方

法, 然后再返回来尝试自己解答.




定理的证明哪儿去了？ 本书中的大部分定理都以某种方式被验证了.


在附录 A 中可以找到更多正式的证明过程.




主题没有次序! 我该怎么办呢？ 学习微积分没有什么标准次序. 我选

择的顺序是有效的, 但你可能还得通过搜索目录来查找你需要的主题,


其余的可以先忽略. 我也可能遗漏了一些主题. 为什么不尝试给我发送


电子邮件呢? 地址是 [email protected]. 你一定想不到, 我

可能会为你写一个附加章节 (也为下一版写, 如果有的话!).




你使用的一些方法和我学到的不一样. 到底谁的正确, 我的任课老师的


还是你的？ 希望我们都没错! 如果还有疑问, 就请教你的任课老师什


么是对的吧.



页边空白处怎么没有微积分的历史和有趣的史实呢？ 本书中有一点


微积分历史内容, 但不在这里过多分散我们的注意力. 如果你想记下这

1
些历史内容, 就请阅读一本关于微积分历史的书 吧, 那才更有趣, 而且

比零零散散的几句话更值得关注.



1
对微积分历史感兴趣的读者, 可参阅《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》(人民邮电出版社,
2010). —— 编者注




我们学校可以用这本书作为教材吗？ 这本书配有很好的习题集, 可

以作为一本教材, 也可以用作一本学习指南. 你的任课老师也会发现这


本书很有助于备课, 特别是在问题求解的技巧方面.




这些录像是什么？ 在网站 www.calclifesaver.com 上, 你可以找

到我过去复习课的录像, 其中涉及了很多 (但不是全部) 本书的章节和


例题.




如何使用这本书备考




如果你快要参加考试了, 那么发挥本书效用的机会就来了. 我很同情你


的处境, 因为你没有时间阅读整本书的内容! 但是你不用担心, 后面的


那张表会标出本书的要章节, 来帮助你备考. 此外, 纵观整本书, 下列


图标会出现在书中页边空白处, 让你快速识别什么是重要内容.



例题求解过程始于此行.




这里非常重要.

你应当自己尝试解答本题.



注意：这部分内容大多是为感兴趣的读者准备的. 如果时间有限,


就请跳到下一节.









两个通用的学习小贴士




把你自己总结的所有重要的知识点和公式都写出来, 以便记忆. 虽


说数学不死记硬背, 但也有一些关键的公式和方法, 最好是你能自


己写得出来. 好性不如烂笔头嘛! 通常来说, 做总结足以巩固和加

强你对所学知识的理. 这也是我没有在每一章的结尾部分做要点


总结的主要原因. 如果你自己做, 那将会更有价值.




尝试自己做一些类似的考试题, 比如你们学校以前的期末试题, 并


在恰当的条件下进行测验. 这将意味着遵守不间断, 不吃饭, 不看

书, 不打手机, 不发子邮件, 不发信息等诸如此类的考试规则. 完


成之后, 再看看你是否可以到一套标准答案来评阅试卷, 或请人帮


你评阅.




考试复习的重要章节 (按主题划分)

主题 子主题 节
主题
子主题
节


直线 1:5

其他常用图像 1:6

三角学基础 2:1
微积分基础 [0, π/2] 以外的三角函数 2:2

三角函数的图像 2:3

三角恒等式 2:4

指数函数与对数函数 9:1




三明治定理 3:6

多项式的极限 第 4 章全部

导数伪装的极限 6:5

极限 三角函数的极限 7.1(跳过 7.1.5)
指数函数与对数函数的极限 9:4

洛必达法则 14:1

极限问题的总结 14:2




定义 5:1
连续性
介值定理 5:1:4

主题 子主题 节





定义 6:1

求导法则(例如, 乘积法则/商法则/

链式求导法则) 6:2
求切线方程 6:3

分段函数的导数 6:6

画导函数图像 6:7

三角函数的导数 7:2; 7:2:1

微分 隐函数求导 8:1
指数函数与对数函数求导 9:3

取对数求导法 9:5

双曲函数 9:7

反函数 10:1

反三角函数 10:2
反双曲函数 10:3

求导定积分 17:5

主题 子主题 节





相关变化率 8:2

指数增长与指数衰变 9:6

求全局最大值与全局最小值 11:1:3
罗尔定理/中值定理 11:2; 11:3

临界点的分类 11:5; 12:1:1
导数的应用
求拐点 11:4; 12:1:2

画图 12:2; 12:3

最优化 13:1
线性化/微分 13:2

牛顿法 13:3





定义 16.2(跳过 16.2.1)
基本性质 16:3

求面积 16:4

估算积分 16.5, 附录 B

平均值/中值定理 16:6

基本例子 17:4; 17:6
积分
换元法 18:1

分部积分法 18:2

部分分式 18:3

三角函数的积分 19:1; 19:2

三角换元法 19.3(跳过 19.3.6)

积分技巧的总结 19:4

主题 子主题 节





速度与加速度 6:4

负常数加速度 6:4:1
运动
简谐运动 7:2:2
求位移 16:1:1





基本知识 20:1; 20:2
反常积分
求解技巧 第 21 章全部




基本知识 22:1:2; 22:2
无穷级数
求解技巧 第 23 章全部




估算和误差估算 第 25 章全部
泰勒级数与幂级数
幂级数/泰勒级数问题 第 26 章全部





可分一阶 30:2
一阶线性 30:3
微分方程
常系数 30:4

建模 30:5

主题 子主题 节





参数方程 27:1

极坐标 27:2

复数 28:1 ~ 28:5
其他话题
体积 29:1; 29:2

弧长 29:3

表面积 29:4






除非特殊说明, 标明“节”的一栏包括其下所有小节. 例如, 6.2 节包括


从 6.2.1 到 6.2.7 的所有小节.




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致谢





感谢所有在我写作本书过程中给予我支持和帮助的人. 我的学生们长

久以来在给我教益、喜悦和快乐, 他们的意见使我受益匪浅. 特别感谢


我的编辑 Vickie Kearn、制作编辑 Linny Schenck 和设计师


Lorraine Doneker, 感谢他们对我的所有帮助和支持, 还要感谢


Gerald Folland, 他的很多真知灼见对本书的改善有很大的贡献. 此


外, 感谢 Ed Nelson、Maria Klawe、Christine Miranda、Lior

Braunstein、Emily Sands、Jamaal Clue、Alison Ralph、


Marcher Thompson、Ioannis Avramides、Kristen Molloy、


Dave Uppal、Nwanneka Onvekwusi、Ellen Zuckerman、

Charles MacCluer 和 Gary Slezak, 本书中的很多修正都得益于他


们的意见和建议.




感谢下列普林斯顿大学数学系的教员和工作人员对我的大力支持：Eli


Stein、Simon Kochen、Matthew Ferszt 和 Cott Kenny. 我也要

感谢我在 INTECH 的同事们给予的支持, 特别是 Bob Fernholz、


Camm Maguire、Marie D'Albero 和 Vassilios Papathanakos,


他们提出了一些优秀的审读建议. 我还要感谢我高二、高三的数学老

师 ——William Pender, 他绝对是世界上最好的微积分老师. 这本书


中很多方法都是从他的教学中获得了启发. 我希望他能原谅我曲线不

画箭头, 所有的坐标轴上没有标注, 以及在每一个 +C 后都没有写 “对


于任意一个常数 C”.



我的朋友和家人都给了我无私的支持, 尤其是我的父母 Freda 和


Michael、姐姐 Carly、祖母 Rena, 还有姻亲 Marianna 和


Michael. 最后, 我要特别感谢我的妻子 Amy 在我写书过程中对我的

帮助和理解, 她总是陪伴在我身边. (还要感谢她为我画的 “爬山者图


标”.)





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第 1 章 函数、图像和直线





不借助函数却想去做微积分, 这无疑会是你所能做的最无意义的事情

之一. 如果微积分也有其营养成分表, 那么函数肯定会排在最前面, 而


且是占一定优势. 因此, 本书的前两章旨在让你温习函数的主要性质.


本章包含对下列主题的回顾：




函数, 其定义域、上域、值域和垂线检验;



反函数和水平线检验;




函数的复合;



奇函数与偶函数;




线性函数和多项式的图像, 以及对有理函数、指数函数和对数函


数图像的简单回顾;




如何处理绝对值.



下一章会涉及三角函数. 好啦, 就让我们开始吧, 一起来回顾一下到底


什么是函数.

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1.1 函数





函数是将一个对象转化为另一个对象的规则. 起始对象称为输入, 来自


称为定义域的集合. 返回对象称为输出, 来自称为上域的集合.




来看一些函数的例子吧.



2
假设你写出 f (x) = x , 这就定义了一个函数 f , 它会将任何数变

为自己的平方. 由于你没有说明其定义域或上域, 我们不妨假设它


们都属于 , 即所有实数的集合. 这样, 你就可以将任何实数平方,

并得到一个实数. 例如, f 将 2 变为 4、将 -1/2 变为 1/4, 将 1 变


为 1. 最后一个变换根本没有什么变化, 但这没问题, 因为转变后的


对象不需要有别于原始对象. 当你写出 f (2) = 4 的时候, 这实际

上意味着 f 将 2 变为 4. 顺便要说的是, f 是一个变换规则, 而 f


(x) 是把这个变换规则应用于变量 x 后得到的结果. 因此, 说 “f


(x) 是一个函数” 是不正确的, 应该说 “f 是一个函数”.



2
现在, 令 g (x) = x , 其定义域仅包含大于或等于零的数 (这样的

数称为非负的).它看上去好像和函数 f 是一样的, 但它们实际不同,


因为各自的定义域不同. 例如, f (-1/2) = 1/4, 但 g (-1/2) 却是没

有定义的. 函数 g 会拒绝非其定义域中的一切. 由于 g 和 f 有相同

的规则, 但 g 的定义域小于 f 的定义域, 因而我们说 g 是由限制 f


的定义域产生的.



2
仍然令 f (x) = x , f (马) 会是什么呢？这显然是无定义的, 因为

你不能平方一匹马呀. 另一方面, 让我们指定 “h (x) = x 的腿的数

目”, 其中 h 的定义域是所有动物的集合. 这样一来, 我们就会得到


h (马) = 4, h (蚂蚁) = 6, h (鲑鱼) = 0. 因为动物腿的数目不会


是负数或者分数, 所以 h 的上域可以是所有非负整数的集合. 顺便


问一下, h (2) 会是什么呢？当然, 这也是没有定义的, 因为 2 不在

h 的定义域中. “2”究竟会有几条腿呢？这个问题实际上没有任何


意义. 你或许也可以认为 h (椅子) = 4, 因为多数椅子都有四条腿,


但这也没有意义, 因为椅子不是动物, 所以 “椅子” 不在 h 的定义

域中. 也就是说, h (椅子) 是没有定义的.




假设你有一条狗, 它叫 Junkster. 可怜的 Junkster 不幸患有消化


不良症. 它吃点东西, 嚼一会儿, 试图消化食物, 可每次都失败, 都

会吐出来. Junkster 将食物变成了 …… 我们可以令 “j (x) =


Junkster 吃 x 时呕吐物的颜色”, 其中 j 的定义域是 Junkster 所


吃的食物的集合, 其上域是所有颜色的集合. 为了使之有效, 我们

必须认为如果 Junkster 吃了玉米面卷, 它的呕吐物始终是一种颜


色 (假设是红色的吧). 如果有时候是红色的, 而有时候是绿色的,

那就不太好了. 一个函数必须给每一个有效的输入指定唯一的输


出.



现在我们要来看看函数值域的概念. 值域是所有可能的输出所组成的集


合. 你可以认为函数转变其定义域中的一切, 每次转变一个对象; 转变

后的对象所组成的集合称作值域. 可能会有重复, 但这也没什么.




那么, 为什么值域和上域不是一回事呢？值域实际上是上域的一个子


集. 上域是可能输出的集合, 而值域则是实际输出的集合. 下面给出上


述函数的值域.



2
如果 f (x) = x , 其定义域和上域均为 , 那么其值域是非负数的

集合. 毕竟, 平方一个数, 其结果不可能是负数. 那你又如何知道值

域是所有的非负数呢？其实, 如果平方每一个数, 结果一定包括所


有的非负数. 例如, 平方 (或 ), 结果都是 2.




2
如果 g (x) = x , 其定义域仅为非负数, 但其上域仍是所有实数 ,
那么其值域还是非负数的集合. 当平方一个非负数时, 结果仍然会


包括所有的非负数.




如果 h (x) 是动物 x 的腿的数目, 那么其值域就是任何动物可能会

有的腿的数目的集合. 我可以想到有 0、2、4、6 和 8 条腿的动


物, 以及一些有更多条腿的小动物. 如果你还想到了个别的像失去


一条或多条腿的动物, 那你也可以将 1、3、5 和 7 等其他可能的

数加入其值域. 不管怎样, 这个函数的值域并不是很清晰. 要想了


解真实的答案, 你或许得是一位生物学家.



最后, 如果 j (x) 是 Junkster 吃 x 时呕吐物的颜色, 那么其值域就


会包含所有可能的呕吐物的颜色. 我很怕去想它们会是什么样的,

但或许亮蓝色不在其中吧.




1.1.1 区间表示法




在本书剩余部分, 函数总有上域 , 并且其定义域总会尽可能和 差不


多 (除非另有说明). 因此, 我们会经常涉及实轴的子集, 尤其是像 {x :


2 ≤ x < 5} 这样的连通区间. 像这样写出完整的集合有点儿烦, 但总

比说 “介于 2 和 5 之间的所有数, 包括 2 但不包括 5” 要强. 使用区间


表示法会让我们做得更好.




我们约定, [a, b] 是指从 a 到 b 端点间的所有实数, 包括 a 和 b. 所以

[a, b] 指的是所有使得 a ≤ x ≤ b 成立的 x 的集合. 例如, [2, 5] 是


所有介于 2 和 5 之间 (包括 2 和 5) 的实数的集合. (它不仅仅包括


2、3、4 和 5, 不要忘记还有一大堆处于 2 和 5 之间的分数和无理数,


比如 5/2、 和 π.)像 [a, b] 这种形式表示的区间我们称作闭区间.



如果你不想包括端点, 把方括号变为圆括号就行了. 所以 (a, b) 指的是


介于 a 和 b 之间但不包括 a 和 b 的所有实数的集合. 这样, 如果 x 在

区间 (a, b) 中, 我们就知道 a < x < b. 集合 (2, 5) 表示介于 2 和 5

之间但不包括 2 和 5 的所有实数的集合. 像 (a, b) 这种形式表示的区


间称作开区间.



你也可以混和匹配：[a, b) 指的是介于 a 和 b 之间、包括 a 但不包括


b 的所有实数的集合; (a, b] 包括 b, 但不包括 a. 这些区间在一个端点

处是闭的, 而在另一个端点处是开的. 有时候, 像这样的区间称作半开


区间. 上述的 {x : 2 ≤ x < 5} 就是一个例子, 也可以写成 [2, 5).




还有一个有用的记号就是 (a, ∞), 它是指大于 a 但不包括 a 的所有数;

[a, ∞) 也一样, 只是它包括 a. 此外还有三个涉及 -∞ 的可能性. 总而言


之, 各种情况如下.

1.1.2 求定义域




有时候, 函数的定义中包括了定义域. (例如, 1.1 节中的函数 g 就是如


此.) 然而在大多数情况下, 定义域是没有给出的. 通常的惯例是, 定义

域包括实数集尽可能多的部分. 例如 , 其定义域就不可能是


中的所有实数, 因为不可能得到一个负数的平方根. 其定义域一定是


[0, ∞), 就是大于或等于 0 的所有实数的集合.



好了, 我们知道取负数的平方根会出问题. 那么还有什么会把问题


搞糟呢？以下是三种最常见的情况.




(1) 分数的分母不能是零.



(2) 不能取一个负数的平方根 (或四次根, 六次根, 等等).



(3) 不能取一个负数或零的对数. (还记得对数函数吗？若忘了, 请看看


第 9 章!)




或许你还记得 tan(90°) 也是一个问题, 但这实际上是上述第一种情况


的特例. 你看,









tan(90°) 之所以是无定义的, 实际上是因为其隐藏的分母为零.


这里还有一个例子： 如果定义

那么 f 的定义域是什么呢？当然, 为了使 f (x) 有意义, 以下是我们必

须要做的.




取 (26 - 2x) 的平方根, 所以这个量必须是非负的. 也就是说, 26 -


2x ≥ 0. 这可以写成 x ≤ 13.



取 (x + 8) 的对数, 所以这个量必须是正的. (注意对数和平方根的


区别：可以取 0 的平方根, 但不能取 0 的对数.) 不管怎么说, 我们


需要 x + 8 > 0, 所以 x > -8. 到现在为止, 我们知道 -8 < x ≤

13, 所以其定义域最多是 (-8, 13].




分母不能为 0, 这就是说 (x - 2) ≠ 0 且 (x + 19) ≠ 0. 换句话说,


x ≠ 2 且 x ≠ -19. 最后一个条件不是问题, 因为我们已经知道 x

处于 (-8, 13] 内, 所以 x 不可能是 -19. 不过, 我们确实应该把 2


去掉.




这样就找到了其定义域是除了 2 以外的集合 (-8, 13]. 这个集合可以

写作 (-8, 13] \ {2}, 这里的反斜杠表示 “不包括”.




1.1.3 利用图像求值域




让我们来定义一个新的函数 F , 指定其定义域为 [-2, 1], 并且 F (x) =


2
x 在此定义域上. (记住, 我们看到的任何函数的上域总是所有实数的

2
集合.) 同时又是对于所有的实数 x, f (x) = x . 那么 F 和 f 是同一个
函数吗？回答是否定的, 因为两个函数的定义域不相同 (尽管它们有相


同的函数规则). 正如 1.1 节中的函数 g, 函数 F 是由限制 f 的定义域


得到的.



现在, F 的值域又是什么呢？如果你将 -2 到 1 之间 (包括 -2 和 1) 的


每一个实数平方的话, 会发生什么呢？你应该有能力直接求解, 但这是


观察如何利用图像来求一个函数的值域的很好机会. 基本思想是, 画出


函数图像, 然后想象从图像的左边和右边很远的地方朝向 y 轴水平地射

入两束亮光. 曲线会在 y 轴上有两个影子, 一个在 y 轴的左侧, 另一个


在 y 轴的右侧. 值域就是影子的并集; 也就是说, 如果 y 轴上的任意一


点落在左侧或右侧的影子里, 那么它处于函数的值域中. 我们以函数 F

为例来看一下这是怎么运作的吧.