普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

为 7/3. 还有另一个例子. 假设要计算










我们需要知道 cos(x) 的反导数. 幸运的是, 我们知道一个反导数, 它是


sin(x). 毕竟, cos(x) 是 sin(x) 关于 x 的导数. 所以有










在之后的 17.6 节中, 我们会看到更多的例子.




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17.4 不定积分






到目前为止, 我们使用两种不同的方法计算定积分：黎曼和的极限 (太

繁琐了) 和反导数 (不算太糟糕). 很显然, 我们不得不很熟练地寻找一


个函数的反导数 —— 事实上, 在以后的章节中, 这种技巧非常必要.


所以, 可能需要一种简单的表示反导数的方式. 我们从微积分的第一基

本定理中得到了灵感, 可以用










表示 “函数 f 的反导数的集合”. 请记住任何可积函数都有无限多


个反导数, 它们唯一的不同是常数部分. 这就是我说的 “集合” 的意思.

例如,










3
2
对于任何常数 C 成立. 这个等式说明 x (关于 x) 的反导数是 x /3 +
C, 其中 C 是任意的常数. 如果忽略 C, 那么这个结果就是错误的, 因

为这样只会得到一个反导数, 而实际上我们需要所有的反导数.




如果你知道一个函数的导数, 那么就会很快求出这个导数的反导数. 具


体情况是：

上述例子适合这种情况：





, 因此 .




同样地, 有





, 因此 .



到目前为止, 另一个例子为 (以后我们会有更多例子)：





, 因此 .




再一次提醒, 常数 C 为任意常数. 本质上是任何可导函数只有一个导


数, 而任何的可积函数都有无穷多个反导数.



上述的所有积分都是不定积分. 通过它们有无积分上下限, 可以区分定


积分和不定积分. 不定积分没有积分上下限, 而定积分有. 这看起来可


能是个很小的差别, 但实际上这两个积分有很大不同.



定积分, 如 , 是一个数. 它表示由曲线 y = f (x)、x 轴以


及垂线 x = a 和 x = b 所围成的面积.

不定积分, 如 , 是一个函数的集合. 这个集合由函数 f 的所


有反导数 (关于 x) 组成. 这些函数仅有的不同是它们的常数部分.



例如






而 .



如果不是微积分的第二基本定理, 那么对于这两个表达式使用同样的


符号 ∫ 将是错误的. 幸运的是, 不定积分 (或者反导数) 正是你计算定


积分所需要知道的东西, 所以我们在两个表达式中用了同样的符号.



这里有不定积分的两个性质, 它们来源于导数的相关性质：如果 f 和


g 是可积的, c 是一个常数, 这时
























也就是说, 和的积分是积分的和, 并且作为乘数的常数可以移到积


分符号之外. 例如：

3
注意我们仅仅需要一个常数 —— 尽管 5x /3 和 sin(x) 都有它们自己

的常数, 但你可以把这两个常数合并到一起. 顺便说一下, 适合于和的

性质也适合于差：










再一次提醒, 只需要一个常数.



在看其他例子之前, 我想对微积分的这两个基本定理再做些解释. 微积


分的第一基本定理表明










从某种意义上讲, 积分的导数就是原始的函数. 你需要注意 “积分” 的


意义, 请记住变量是积分上限而不是虚拟变量. 另外, 微积分的第二基

本定理说明











其中 F 是 f 的反导数. 这就是说 . 所以上述表达式可以


重写为

将其解释为一个函数的导数的积分就是这个函数本身. 再一次提醒, 它


不是实际的原始函数, 它应该是原始函数在 a 和 b 两点数值的差. 这

是很显然的, 微分和导数是相反的运算.




现在让我们看看怎样运用微积分的基本定理去解决问题.




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17.5 怎样解决问题：微积分的第一基本定理






思考一下怎样计算导数









你可以试着计算 这个不定积分, 再把 x 和 3 代入求差, 这会


得出









最后再求这个结果的导数. 为什么不考虑积分和导数可以互相抵消的


性质呢？毕竟, 如果想要计算 , 没有必要浪费时间先计算


的结果再去平方,可以直接写下答案 54756. 同样, 使用微积分


的第一基本定理可以得到









2
所有需要做的是把被积函数 sin(t ) 中的 t 改为 x. 数值 3 对我们的

计算结果没有影响 (参见 17.1 节的讨论). 顺便说一下, 在计算结果后


面放上 “+C” 是个严重的错误：你正在求导, 而不是反导!

当然, 你需要灵活掌握这个知识点 —— 用任何字母来表示变量.



例如,




是什么意思? 我们可以用 z 替代被积函数中的 w, 这样有









注意 -e 是一个常数, 但再一次提醒的是, 它可以用任何其他常数替代,


而答案会是一样的. (顺便说一下, 该积分只有当 z > -5 时才有意义.)


这同上一节的讲解是一样的, 该函数的变量 (也就是对谁求导) 就是积

分上限. 所有需要做的是用实际的变量去替代虚拟变量. 还有其他四种


情况, 我们分别看看.




17.5.1 变形 1：变量是积分下限




考虑积分










问题是变量是积分下限而不是积分上限. 没问题, 只要把 x 和 7 互换,


再在新的积分前面加个负号 (参见 16.3 节计算这个积分). 可以得到

现在把负号移出积分符号, 然后使用微积分的第一基本定理解决这个


问题. 如果 x > 0, 该结果为







实际上, 我们所要做的就是提取被积函数, 用变量 x 替代虚拟变量 t,


再在前面加上负号. 在前面加上负号, 再互换积分上下限使用微积分的

第一基本定理, 这很重要, 就像在前面例子中见过的那样.




17.5.2 变形 2：积分上限是一个函数




这有另一个例子：










2
因为积分上限是 x 而不是 x, 所以不能直接使用微积分的第一基本定

理, 需要使用链式求导法则. 我们可以设置这个积分为 y, 然后再求


导：










2
我们想要计算 dy/dx. 因为 y 是一个关于 x 的函数, 而不直接关于
2
x, 我们可以设置 u = x . 这就是说

链式法则告诉我们,









而第一基本定理告诉我们,









2
又因为 u = x , 所以有 du/dx = 2x. 这样,






2
现在需要做的是用 x 替代 u, 可得









即,









当你把它分解时, 这并不太糟.




让我们看看这种问题的另一个例子：










是怎么回事儿呢? 设积分

并时刻提醒自己正在计算 dy/dq. 现在设 u = sin(q), 所以










通过链式求导法则, 有









根据微积分的第一基本定理：










因为 u = sin(q), 所以有 du/dq = cos(q), 上述积分应用链式法则后

为










最后用 sin(q) 替代 u, 这样有










你可能在同一问题中遇到过上述两种情况. 例如, 计算

时, 可以首先交换积分上下限, 在前面加上一个减号, 这样有










现在积分上限像我们上道例题那样. 最后的极限结果会是一样的, 只是


多了一个负号：













17.5.3 变形 3：积分上下限都为函数




这是另一个更为复杂的例子：










其积分上下限都是关于 x 的函数. 解决这个问题的方法是用一个常数

把这个积分分成两个部分. 在哪里分开这个积分并不重要, 只要所使用


的常数在该被积函数的定义域内. 所以, 选一个你最喜欢的数 —— 我


们选 0, 这样把该积分分为：

这样, 便把这个问题分解成了两个简单的导数. 前面这个积分就是前面


两种情况的混合. 通过交换积分上下限, 并在前面加上负号, 我们有










5
现在通过设 u = x 使用链式求导法则, 然后用上一节的方法. 计

算后会得出这个导数为








这个导数的另一部分是










6
这次我们不用交换积分上下限了 —— 仅仅设 v = x 然后再次应用链
式求导法则. 你会发现上述的导数等于








再将两者放在一起, 有












17.5.4 变形 4：极限伪装成导数




这是一个看起来很不同的例子：

这不是一个导数, 它是一个极限. 实际上, 它是伪装的导数 (参见 6.5


节关于这种极限的讨论). 技巧是对于某个常数 a 设









也可以用一个指定的常数, 或则干脆就使用 a. 这都无关紧要, 因为在


任何情况下, 我们都有










如果你不信, 可以自己校验一下; 也可参见 17.2 节. 在任何情况下, 关

于函数 F , 我们都有










所以, 实际上对于任何常数 a, 我们有










看, 我告诉过你, 这个极限是个伪装的导数! 为了解决这个问题, 我们


可以使用微积分的第一基本定理, 通过计算可知该极限为

6
log (cos (x) + 2).
3

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17.6 怎样解决问题：微积分的第二基本定理






使用微积分的第二基本定理计算定积分 (这是计算定积分的方法,

相信我) 首先要找到不定积分, 然后分别把积分上下限代入, 最后再求


差. 所以让我们花一些时间讨论怎样找到不定积分 (也就是反导数), 然


后再看一些计算定积分的例子. 这只是积分学的开始, 在后两章中, 我

们将会看到更多计算不定积分的方法.




17.6.1 计算不定积分




像我们在 17.4 节中看到的, 只要知道一个函数的导函数, 那么就一定


会知道这个导函数的反导数. 我们已经给出了一些例子, 这里还有另一


个：因为









所以立刻可知









因为常数可以被移到积分符号的外边, 所以改写为

现在两边分别除以 4：









这很好, 但 C/4 看上去有些傻. 任意常数除以 4 得到的还是任意常数.


所以可以用任意常数去替代 C/4, 我们还使用 C, 这样有










让我们对 x 的幂重复这个计算. 注意









这就是说









如果 a ≠ -1, 这时 a + 1 ≠ 0; 所以可以等式两边同时除以 (a + 1),


把它写为














(再一次提醒, 我们用 C 替代了 C/(a+1); 这是可以的, 因为 C 仅仅是

任意常数. ) 那么当 a = -1 时, 情况又是怎样呢？上述的方法并不适


用于

另外, 从 9.3 节可知




因此 .




这很好, 但实际上我们可以做得更好. 你看, 除了在 x =0 点外, 1/x 在


任意一点都有意义, 而 ln(x) 仅仅当 x >0 时才有意义. 我们可以这样


改写来弥补这个不足：









让我们检查一下刚才的计算是否正确. 我们需要证明









对于所有的 x ≠ 0 都成立. 当 x >0 时, 左边就是 ln(x), 符合要求; 当


x <0 时, |x| 实际上等于 -x, 所以这时左边为









它看起来很奇怪, 但请记住当 x <0 时, -x 为正. 在这种情况下, 通过

链式求导法则, 上述的导数为

所以我们已经证明了：














参见 17.7 节关于使用这个公式的技巧. 与此同时, 我们要用基本的求

导公式总结相应的积分公式.




导数和积分公式



如我们所知, 在上述微分公式中, 如果用 ax 替代 x, 那么把每一个相


应的公式乘以 a 就可以了. 例如：









但如果是积分呢？现在这个规则是这样的：如果你用 ax 替代 x,

这时需要把相应的公式除以 a. 例如：










从这个例子被 7 除可以直接看出这个说法是正确的. 这有另一个

例子：










你可以把 x 看作被 -1/3 倍的 x 替代; 所以除以 -1/3 可得









再多练习一个怎么样？考虑










这个积分可以改写为

现在可以把 x 看作是被 替代. 所以除以 可得









在后两章中, 我们将会看到更多更复杂的计算反导数的技巧, 但也要先


记住这个简单的, 因为常数作倍数是积分中常见的现象.




17.6.2 计算定积分




微积分的第二基本定理告诉我们, 为计算










仅仅需要先找到它的反导数, 然后把 x = a 和 x = b 分别代入,


最后求它们的差. 在 17.3 节中, 我们已经看到了一些例子, 现在再看

5 个例子. 首先, 考虑










通过使用公式










4
5
我们知道 x 的反导数是 x /5. 没有必要考虑这个常数, 你可以选择任
何反导数, 我们简单地选取 C = 0 这个反导数. 所以有

使用括号很重要, 因为这样可以避免丢掉负号! 现在你可能会考虑, 如


果我们使用不同的反导数情况会是怎样. 这个想法很好, 但常数最后是


5
会被抵消的. 例如, 如果你选 x /5 - 1001 作为它的反导数, 这样会得

到














注意 -1001 和 +1001 这两项相互抵消了, 我们得到的正是之前的结


果. 这个方法给我们的启迪是, 当计算定积分时可以忽略常数 C.




第二个例子是：










常数 4 可以移到积分符号的外边, 所以我们需要使用公式









从前述总结的公式表中可以看出, 4ln|x| 是 4/x 的反导数. 所以有

2
在这儿, 我们使用了 ln(1) = 0, ln(e ) = 2 ln(e) = 2.


第三个例子是










2
你应该马上就能看出来, 应该把这个积分分成两部分：sec (x) 和

2
sin(x/2), 不考虑第二个积分外面的常数. 根据公式表可得, sec (x)

的反导数为 tan(x); 对于 sin(x/2), 它的反导数是 - cos(x/2) 除以


1/2, 因为 x 可以被它的常数倍 x/2 所替代. 这样结果为 -2 cos(x/2)

(因为除以 1/2 和乘以 2 是等价的). 综合在一起, 我们有











通过化简和替代有









你可以发现最终结果为 .




这是第四个例子：

解这道题的技巧是把被积函数写为 x -3/2 的形式. 确信你理解这种写


法! 现在我们可以使用公式表里的 解决这个问题.














这节的最后一个例子为










不要因为把 dx 写在分子的位置就看不懂了, 其实就是换了一个写法,


它与下式等价：









2
2
我们用 (3x) 替代 9x , 这样有









从上面的公式表可知










但我们需要除以 3, 因为 x 被 3x 替代. 现在计算这个定积分的值：

这里我们利用了 .




17.6.3 面积和绝对值




在 16.1 节中, 我们见过









因为坐标轴上下的面积可以互相抵消. 图 17-5 是这个积分的图像.







































图 17-5

我们可以用反导数的方法来计算这个定积分：












如果不考虑面积的正负, 也就是只计算实际面积, 那么刚才的例题又是


怎样呢？ 在 16.4.1 节中, 我们看到了解决这个问题的例子：这个以


平方为单位的面积等于









我们的方法是把这个原始积分在它与 x 轴的交点处分成两部分, 这时


再取每一部分的绝对值：











我们可以使用它的反导数 - cos x 计算这两个积分的结果, 它们


分别为 -2 和 2, 我把这个计算工作留给你. 如果简单地把这两个数加

到一起, 就得到了有向面积为 0 平方单位; 但如果首先取绝对值, 那么


就可得到这个面积的实际值, 它是 | - 2| + |2| = 4 平方单位.

现在来看看求两条曲线间的面积的例子. 我们在 16.4.2 节中已


经说明该怎样计算, 但现在可以使用微积分的第二基本定理这个强大

的工具来帮助我们解决问题. 我们可以求图 17-6 所示的不规则图形


的面积.
















































图 17-6




我们计算由 y = x、y = 1/x 和直线 x =2 所围成的面积. 需要找到 y

2
= x 和 y = 1/x 的交点：设 x = 1/x 可以得 x = 1; 也就是说, x

=1 或 x = -1. 在这个图像中, 交点的横坐标为正, 所以我们选择 x

=1. 因为 y = x 在 y = 1/x 的上边, 我们用上边的函数减下边的函数


并求积分可得





阴影部分面积




可以容易地使用 求 x 的反导数, 当 a = 1 时,

2
该反导数为 x /2; 并且我们也知道, 1/x 的反导数为 ln|x|. 所以上述

积分等于










化简后为 3/2-ln(2), 即我们要计算的这块面积为 3/2-ln(2) 平方单位.


现在让我们看看图 17-7, 如果计算这个面积该怎样做?

图 17-7



让我们试着把这个面积写为






新的阴影部分面积 ,




但实际上这是不对的. 你看, 在区间 1/2 和 1 之间曲线 y = x 不在函

数 y =1/x 的上边. 在 16.4.2 节中我们讨论过这个问题, 实际上需要


取被积函数的绝对值：






新的阴影部分面积 .

因为唯一的交点是在 x =1 处, 所以我们从该点分割这个积分, 然后分


别取绝对值再求积分










我们已经求过第二个积分, 它的结果为 3/2-ln(2), 因为 ln(2)

<ln(e)=1, 所以这个值是正的. 对于第一个积分, 我们有




















在这里可以使用 9.1.4 节中的对数法则, 把 ln(1/2) 改写为 ln(1/2)


-1
=ln(1)-ln(2) 或 ln(1/2) = ln(2 ), 这样就可以说 ln(1/2)= -ln(2).

请注意 3/8-ln(2) 的值为负. 当在 [1/2, 1] 这个区间时, x 是比 1/x

小的, 所以 x-1/x 的积分为负. 我们取 3/8-ln(2) 的绝对值, 即


ln(2)-3/8. 所以有















我们要计算的阴影部分面积是 9/8 平方单位. 实际上计算这个面积可


以不用微积分的方法. 请看图, 我们可以发现 y = x 和 y =1/x 关于直

线 y = x 对称, 所以如果把这个楔形物移动到直线 y = x 的上边, 这


时它组成了一个三角形, 如图 17-8 所示.
















































图 17-8




这个三角形的底和高都是 3/2 单位, 所以它的面积为 9/8 平方单位,


同我们刚才计算的结果是一致的!




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17.7 技术要点






在 17.6.1 节, 我们知道









尽管每个人都这样写这个公式, 但从技术上说这并不正确. 你知道, 我


们想要求所有的 1/x 的反导数. 虽然对于每个不同的常数 C, ln|x| +

C 都是它的一个反导数, 但实际上还有更多. 要知道原因, 让我们看看


函数 y =ln|x| 的图像, 如图 17-9 所示.







































图 17-9

这个图像有两部分, 我们可以任意上下移动其中的一部分, 却不影响它


的导数的结果. 例如, 如果把左边的图像向上移动一个单位, 把右边的

图像向下移动 1/2 个单位, 图像将会如图 17-10 所示.



















































图 17-10




该函数不是 ln|x| + C 这种形式, 但是它的导数仍然是 1/x. 所以我们


真的需要两个常数项, 这两项是不同的, 每一项对应这两个函数中的一

个：

我们通常只写一个而不写两个常数的原因是, 在一次计算中只用

到了一个常数. 考虑以下三个积分：











在第一个积分中, 我们只用到了 y =1/x 图像的右侧分支. 同样,


我们对第二个积分只用了图像的左侧分支. 通过计算可得, 这两个积分


的结果分别为 1 和 -1. 至于第三个积分, 我们需要使用这个图像的两


个分支了, 但出问题了：在区间 [-1, e] 有一条垂直渐近线 x =0, 我

们不知道怎样去做. 事实上, 在第 20 章的反常积分中, 我们将学习如


何处理这种类型的积分. 而本例中, 由于这条垂直渐近线使得第三个积


分看起来没有意义. 所以对于










这种类型的定积分有意义的情况是当 a 和 b 同时为正或同时为负. 在

任何一种情况下, 我们只需要使用其中的一个分支, 没有必要考虑两个


常数的问题了.

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17.8 微积分第一基本定理的证明






在 17.2 节中, 我们给出了微积分第一基本定理的大致证明. 现

在, 我们要使这个定理更加严谨. 回顾这个式子：










我们要计算 F' (x). 我们已经看到









假设 h >0. 根据积分学的中值定理有 (参见 16.6.1 节), 在区间 [x, x


+ h] 上有个常数 c 使得










成立. 这样, 我们有










对于某个在区间 [x, x + h] 内的常数 c 成立. 实际上对于 h < 0, 这

个等式也是成立的, 这时的区间就变为 [x + h, x], 因为在这种情况下


x + h < x. 而等式的两端同时除以 h 有

关键点是：当 x 是一个固定数时 (暂时), 数 c 的变化是由 h 决定的,


而且它在 x 和 x + h 之间. 可能我们需要重写这个方程为：









这样写就强调了 c 是由 h 决定的. 当 h → 0 时情况又怎样呢？这个值

c 被夹在了 x 和 x + h 之间, 所以当 h → 0 时, 根据三明治定理 (参
h

见 3.6 节) 我们有 c → x. 另一方面, 因为函数 f 是连续的, 当 h →
h

0 时, 一定有 f (c ) → f (x). 也就是说,
h







这足以说明 F' (x) = f (x), 这就完成了这个定理的证明. 至于微积分


的第二基本定理, 实际上已经在 17.3 节中证明过了, 所以我们可以进

入下一章学习了!





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第 18 章 积分的方法 I





让我们开始发展一套求反导数的技巧. 在这一章中, 我们将要学习以下

方法：




换元法 (也可以叫变量替换);




分部积分法;



使用部分分式对有理函数求积分.




在下一章中, 我们将会看到关于三角函数的更多技巧.




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18.1 换元法





2
x
使用链式求导法则, 我们可以很容易地求出 e 关于 x 的导数, 请看








2
因子 2x 是出现在指数位置的 x 的导数. 现在, 像我们在 17.4 节中见

过的, 可以得到









2
x
对于任意常数 C 成立. 所以我们求得了 2x e 关于 x 的积分. 那么
2
x
e 的积分为多少呢？ 你可能认为求解积分








是很容易的. 这个积分好像并不难求, 但这是不可能的! 虽然不是完全

2
x
不可能, 但事实上 e 的反导数表达式是很复杂的. (要计算这个积分你

2
x
需要求助无穷级数、定积分或一些其他方法.) 你会不会认为, e /2x
为这个函数的反导数呢？不是. 你可以使用除法规则对这个函数求导


2
x
(关于 x), 求导后的结果和 e 有天壤之别.

能让我们解出 , 是由于 2x 这个因子的存在, 该因子恰恰

2
就是链式求导法则之后的 x 的导数. 现在考虑从下面的不定积分开

始：









3
要求这个带着 x 的余弦函数的反导数, 我们有一线希望：里面的 x 3

2
2
的导数是 3x . 这几乎和被积函数里的一个因子 x 相匹配 —— 这里
仅仅是常数 3 使得问题看起来有些难了. 但是常数可以移到积分符号


的外边去, 所以这并不是一个问题.



3
3
让我们从设 t = x 开始, 所以 cos(x ) 变为 cos(t). 我们的目的是：
要用 t 替代表达式中的每一个 x. 你可能会说上述积分是变量 x 统治的

3
领地, 但我们要把它变成 t 的领地. 我们已经把 cos(x ) 替换掉, 但还

2
需要考虑替换 x 和 dx.



3
事实上, dx 是很重要的. 你不能随便地把它改为 dt! 因为 t = x , 所以
2
有 dt/dx = 3x . 我们可以把 dx 移到等式的右侧, 这样有 dt =

2
3x dx. 先不要考虑这意味着什么, 我们将会在 18.1.3 节中讨论. 好,


现在把等式两端同时除以 3 得 . 这样, 对于原积分函数, 我


2
们可以去掉 x 和 dx, 而用 去替代, 像这样：

2
中间的过程不是很必要, 但把 x 和 dx 放到一起可以帮助我们更清楚
地看到它们被 dt/3 所代替. 无论如何, 现在我们都可以把 1/3 移到积


分符号的外边, 然后再求积分; 所以有










如果仅仅把答案写为 , 这样未免有些懒. 我们从变量 x 开始,


3
然后变为变量 t, 现在让我们再变回 x. 这样做并不难：仅仅用 x 替代

t 即可. 所以最后的答案为










我们可以通过求 的导数来校验这个结果是否正确.



让我们再来看些例子. 首先, 考虑










2x
2
因为 sec 里面的变量是讨厌的 e , 所以我们用 t 去替代它. 假设 t =
2x
2x
2x
e . 求导可得 dt/dx = 2e . 现在把 dx 移到右边可得 dt = 2e dx.
这几乎是积分符号里面的样子, 我们仅仅需要去掉因子 2. 所以两端同



时除以 2 可得 . 把刚才的积分变为以 t 为变量, 我们有

现在把因子 1/2 移出积分符号, 然后积分可得 tan(t) + C. 最后再回到

2x
以 x 为变量的状态, 只要用 e 替代 t. 这样我们证明了









再一次提醒, 你可以通过对右边求导来校验这个结果是否正确.



来看另一个例子：










3
这个例子看起来很难. 幸运的是, 如果我们对分母 x + 7x - 9 求导可
3
2
得 3x + 7. 因此可以通过设 t = x + 7x - 9 来求解. 因为 dt/dx =
2
2
3x + 7, 所以可以写为 dt = (3x + 7)dx. 用 t 做变量, 积分的结果
为









3
现在用 x + 7x - 9 来替代 t, 可以回到以 x 为变量的状态. 这样结果

为










实际上, 这是一种特殊情况：如果 f 是可导函数, 那么

所以如果分子为分母的导数, 这时的积分结果恰恰是分母的对数(分母


要取绝对值并加 C). 我们可以通过设 t = f (x) 来证明. 这时 dt/dx =


f' (x), 所以有 dt = f' (x)dx. 如果用链式法则把由 x 为变量变为由 t

为变量的状态, 这时就回到










这事实上是说, 在上述例子









3
中, 可以把答案写为 ln |x + 7x - 9| + C, 因为分子恰恰为分母

的导数. 有时分子是分母导数的倍数, 像这样：









分母的导数是 2x, 但在分子的位置仅有 x. 没问题, 乘以一个 2 再除以


一个 2, 像这样：

现在你可以把答案写为 了, 因为分子 (2x) 恰恰是

2
分母 (x + 8) 的导数. 最后考虑









做这道题的最好方法是把这个积分重写为









请注意分母 ln(x) 的导数就是分子 1/x. 根据刚才方框里的公式, 这个


积分的结果为 ln |ln(x)| + C, 这样有









18.1.1 换元法和定积分




在定积分中也可以使用换元法. 解决这样的问题有两种方法. 例如,


计算










可以先计算不定积分 , 然后把积分上下限写上. 在上一节


3
中, 我们已经计算过这个不定积分了. 为了简便, 我们用 t = x 做换元,

2
注意 dt = 3x dx, 所以 , 这时为

事实上最后一步换回到 x 很重要. 无论如何, 关键是我们已经找到了它

3
2
的导数为 x cos(x ), 并且可以使用 17.3 节中微积分的第二基本定理
去解决问题：










通过计算可得结果为 1/3. 所以使用换元法计算定积分的一个方法是：


先求不定积分, 然后分别代入积分上下限去求定积分.




这里还有一个方法! 在整个计算过程中你都一直计算定积分, 但一

定要记住, 把积分的上下限也用变量 t 来表示. 我们在例子中, 用 t =



3
x 去换元, 然后使用 换到以变量为 t 的积分. 现在当 x =0
3
时, 我们有 t = 0 = 0, 所以积分下限为 0. 但对于积分上限, 当


时, 我们有 . 这就是说, 我们必须把积分上


限换为 π/2. 综上所述, 这道题换元后的结果为：










我们很快就会完成这道题目, 但请注意如果把积分上限写成这样就大错


特错了：

因为我们现在正在对 t 而不是 x 求积分, 因此积分上下限也是以 t 为


变量. 事实上, 我们可以以被积函数的变量为积分上下限的变量, 从而


使该积分更容易求解, 像这样：










这真的强调了我们正在做的事：当 x =0 时, t 也为 0; 当

时, t = π/2. 所以我们总结一下, 实际上有三次换元：




(1) dx—— 要用 dt 来表示它, 可以借用被积函数里的其他带有 x 的项

来做相应的变化;




(2) 把被积函数里所有带有 x 的项都用 t 来表示;




(3) 积分上下限也用 t 来表示.



让我们来完成这道题目. 最好的方法是把计算过程写在左边, 像这样：

注意, 在开始计算右边之前要先把左边的准备工作做完, 因为我们要使


用左边所有的信息完成以 t 为变量的转换.



这里还有一个看起来更复杂的例子：










先问问你自己：在这个被积函数中, 有哪一项是另一项的导数吗？ 我


-1
-1
们很幸运, sin (x) 的导数为 . 所以试着做替换 t = sin (x).
的确, , 所以有









我们还需要把积分上下限用 t 来替代, 把 和 分别代

-1
入 t = sin (x), 分别得到 t = π/4 和 t = π/3, 只要你还记得反三角函

数的基本知识! (参见第 10 章复习这方面的知识.) 我们把这些东西综


合在一起, 可得：

为得到这个最后的化简结果, 我们需要知道基本的对数运算法则 (参见


9.1.4 节). 最好你能记住这些.



顺便说一下, 如果你目光锐利, 会注意到上述换元实际上是上一节最后


例子的特例. 这给了我们一个新方法去求解积分










让我们从不定积分开始, 把它重写为










注意分子正好是分母的导数, 所以我们要取分母的绝对值的对数, 得到

最后的答案为











现在为了计算这个定积分, 可以把原始的积分上下限 和

-1
, 一次一个地代入 ln | sin (x)| 表达式, 然后再求差. 我把计算的

细节留给你去做.




这儿有一个关于换元法的不同的问题. 在 16.1.1 节中, 我们说过





如果 f 是一个奇函数, 这时对于任何 a 都有 .