普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

现在求积分并计算在端点处的值：















尝试将上式用求和号表示是一个很好的做法. 总之, 现在可将 x


= 1 代入得










说实话, 这里我将两个更快的方法放在了一起. 首先, 我将 cos(t) 用它

的麦克劳林级数代替. 还好我们已经在 24.2.3 节知道这对所有 t 都成


立. 其次, 我对无穷级数逐项求积分, 并声明对所有 x 都可以这么做.


我们将在 26.2.3 节看到这么做是可以的 (虽然我们不会对其证明).


总之, 上面的等式是正确的. 现在给定的积分有一个无穷级数的表达


式.



现在唯一的问题是, 要求与真实值误差在 1/3 000 内的近似值需取多


少项？注意该级数是各项递减趋于 0 的交错级数, 那么我们可以运用

下一项的绝对值大于误差的结论. 例如, 若用首项 1/2! 近似积分, 则


误差不大于 1/(3 × 4!), 即 1/72. 这也太大了. 那用前两项来近似该




积分怎么样？即,

怎样？那么误差小于下一项的绝对值：




|误差| .




这小于我们的容忍度 1/3000, 很好. 我们完全可以说积分近似等于


35/72, 误差小于 1/3000. (我们甚至可以说 35/72 是低估的, 为什

么？) 我用处理这类问题的计算机程序求了一下积分, 得到积分值约为


0.486 385, 而计算器计算的 35/72 值等于 0.486 111 (精确到 6


位小数), 这两个数的差的确在 1/3000 内.





作为练习, 试着用与上面相同的方法近似










误差为 1/1000. (你会用到 sin(t) 的麦克劳林级数, 这个可在 26.2


节找到.)




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第 26 章 泰勒级数和幂级数：如何解题





本章, 我们将讨论涉及泰勒级数、泰勒多项式和幂级数的四类不同问

题：




如何确定幂级数收敛或发散的区间;




如何利用现有泰勒级数来求其他的泰勒级数和泰勒多项式;



利用泰勒级数或泰勒多项式求导;




利用麦克劳林级数求极限.




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26.1 幂级数的收敛性





假定有一个关于 x = a 的幂级数










由几何级数的例子可见, 一个幂级数可能对某些 x 收敛, 而对某些 x 发


散. 我们想问的一个问题是：对上面给定的幂级数, x 取何值时收敛, 取


何值时发散？另外, 假设级数对某特定的 x 收敛, 若能确定该收敛是绝

对收敛还是条件收敛就好了. 所以, 我们来看一下可能会发生什么, 然


后好好利用这些观察所得结果.




26.1.1 收敛半径






我们想知道什么样的 x 能使幂级数 收敛. 表面上看, 我们


似乎必须回答无穷多个问题, 因为有无穷多个 x 的值需要代入并验证级


数收敛与否. 我们画一个数轴来表示 x 的不同值. 对每个使级数收敛的

x, 都在它上面打个对号; 而对使级数发散的 x 就打个叉号. (当然, 我们


不是对每个 x 都这么做, 若如此, 图就太挤了! 只标一部分, 得到结论就




可以了.) 例如, 几何级数 时收敛, 其他情况均发散, 如图 26-1 所


示.

图 26-1



注意我对在端点 -1 和 1 处的发散做了特别标注.




另外, 我们已经知道级数










x
对所有 x 收敛 (当然, 收敛到 e ), 如图 26-2 所示.










图 26-2



看起来似乎是难以预测的. 我们可以确定的是, 幂级数在 x = a 处都收


敛. 其实, 若将 x = a 代入










就能知道除了 a 外, 其他项都没有了. 因此, 级数显然收敛 (到 a ). 不
0
0
幸的是, x = a 是我们唯一可以确定收敛性的值. 那其他的值呢？可能


会是对号和叉号的大杂烩, 如图 26-3 所示.

图 26-3




事实证明, 幂级数是不会像上图这样. 具体来说, 只可能出现如下三种


可能性.



(1) 存在某数 R > 0, 被称为幂级数的收敛半径, 如图 26-4 所示.














图 26-4



该图的解释如下.




幂级数在区域 |x - a| < R 内收敛 (也可将该条件写为 a - R < x


< a + R), 所以图像在那个区间是对号.



幂级数在区域 |x - a| > R 内发散 (也可将该条件写为 x < a - R


或 x > a + R), 所以图像在那个区间是叉号.



在两个特殊点 |x - a| = R (即 x = a + R 和 x = a - R) 处, 幂级


数可能绝对收敛、条件收敛或发散. 这需要分别对这两个点进行讨


论, 所以上图在这两个点处是问号. 我将称这样的点称为 “端点”.

(2) 幂级数可能对所有的 x 均绝对收敛, 这种情况下的图像如图 26-5


所示.










图 26-5



在这种情况下, 我们说收敛半径为 ∞. 如我们前面所见, 这样的一个例


x
子是 e 的幂级数









其他的例子包含 sin(x) 和 cos(x) 的麦克劳林级数.



(3) 幂级数可能只在 x = a 时收敛, 而对其他所有的 x 均发散. 在这种


情况下, 收敛半径为 0, 我们很快就会知道, 级数










就是这种情形. 这种情况的图像如图 26-6 所示.










图 26-6




当然, 我还没有说为什么这些是仅有的可能. 不过很快就可以弄清楚了!

26.1.2 求收敛半径和收敛区域




给定一个幂级数, 如何求收敛半径？答案是用比式判别法. 有时,


根式判别法会更有效, 但比式判别法对大多数问题更合适. (比式判别法

和根式判别法的更多细节分别见 23.3 节和 23.4 节.) 这里是一般的方


法.



(1) 写出比值绝对值的极限, 常常为










若使用的是根式判别法, 则得到








(2) 算出极限. 注意, 极限是在 n → ∞ 时而不是 x → ∞ 时. 它们的差别


很大! 无论是运用比式判别法还是根式判别法, 答案都形如 L |x - a|,


其中 L 可能是一个有限值、0 或者 ∞. 重要的是结果中有因子 |x - a|.



(3) 不管是比式判别法还是根式判别法, 重要的是极限 L |x - a| 是小于


1, 大于 1, 还是等于 1. 所以, 若 L 是正的, 则除以 L 就能知道一切：


若 |x - a| < 1/L, 则幂级数绝对收敛; 若 |x - a| > 1/L, 则幂级数发散;

若 |x - a| = 1/L, 则得不到结论, 需要讨论两个端点. 这是前一节的第


一种情形, 收敛半径是 1/L.

(4) 若 L = 0, 则不论 x 取何值, 比式的极限都为 0. 由于 0 < 1, 这意


味着幂级数对所有的 x 值都绝对收敛, 所以, 这是前一节的第二种情形,

收敛半径为 ∞.




(5) 若 L = ∞, 则看起来似乎幂级数永不收敛. 其实, 当 x = a 时幂级

数一定收敛, 但幂级数对其他的任何 x 值都发散. 所以, 这里前一节的


第三种情形, 收敛半径为 0.




这或多或少地说明了我们为什么必然得到前一节的三种情形之一. 不


过, 这些仍很抽象, 还需要用一系列的例子来加以说明.



首先, 考虑幂级数










n
我们采用比式判别法. 我们从取通项 x /(n ln(n)) 开始, 并把它作为一
n
个大分数的分母; 然后选取大分数的分子, 还是从通项 x /(n ln(n)) 开

始, 不过这次将每个 n 用 n + 1 代换; 最后, 取绝对值, 然后取 n → ∞


的极限. 所以, 我们需要考虑的是











这与普通的用比式判别法的级数问题一样：只需合并同类项. 可得

同样, 极限是在 n → ∞ 时, 这就是将 n/(n + 1) 和 ln(n)/ ln(n +

1) 换成 1 的原因. (对对数运用洛必达法则, 细节自行完成.) 总之, 比


式的极限为 |x|, 故由比式判别法, 我们的幂级数当 |x| < 1 时绝对收


敛, 当 |x| > 1 时发散, 即收敛半径为 1. 我们仍需讨论 x = 1 和 x =

-1 时的情形. 先看 x = 1, 将 x = 1 代入, 则原幂级数变为










它收敛吗？你可运用积分判别法得到, 它发散 (或见 23.5 节). 现在将


x = -1 代入原幂级数可得











它不绝对收敛, 事实上, 将该级数的各项用它们的绝对值代换就是


当 x = 1 时的级数, 这个级数刚刚已被证得是发散的. 另一方面, 上面


x = -1 对应的级数可由交错级数判别法证得是收敛的 (用 23.7 节的


方法, 可自行写出具体细节). 于是, 我们知道在点 x = -1 处条件收敛.

总之, 幂级数在 -1 < x < 1 时绝对收敛, 当 x = -1 时条件收敛, 对其


他的所有 x 都发散. 图像如图 26-7 所示.

图 26-7




现在考虑










这与前一个问题几乎一样, 我们来看看. 我们有
















它仍然可以化简到 |x|. 故幂级数还是在 |x| < 1 时绝对收敛, 在 |x| >


1 时发散. 因此, 收敛半径是 1. 对于端点, 我们令 x = 1：










如 23.5 节所述, 你可运用积分判别法得到该级数收敛, 由于各项均为

正, 所以收敛为绝对收敛. 现在, 代入 x = -1, 我们得到

各项取绝对值对应的级数为










这与 x = 1 时的级数一样, 所以它绝对收敛. 我们得到结论：当 -1 ≤


x ≤ 1 时幂级数绝对收敛, 且级数对其他所有 x 发散, 如图 26-8 所示.














图 26-8



所以, 除了在端点 1 和 -1 处不同之外, 它与前一个例子一样.




那级数










呢？我们有










最后的极限是什么？若 x = 0, 则当 n → ∞ 时, 0(n + 1) = 0 的极限

n
当然为 0. (你可能注意到了, 这种情况下的 x n+1 /x 并没定义!) 然而,

对其他的任何 x 值, 我们就有点晕了 —— 极限是 ∞, 肯定大于 1. 我们

得出结论, 级数只在 x = 0 时收敛 (要知道, 级数必在 x = a 处收敛,


在这个例子中 a 为 0). 所以收敛半径为 0, 且图像如图 26-9 所示.










图 26-9




现在考虑











这是一个 a = 7 的幂级数, 所以该点肯定在收敛区域的中心. 不管


怎样, 通过讨论, 我们有













所以幂级数在 2 |x - 7| < 1 时绝对收敛, 在 2 |x - 7| > 1 时发散. 两



边除以 2, 可知级数在 时收敛, 在 时发散. 故收敛



半径为 , 图像如图 26-10 所示.

图 26-10




我们仍需讨论端点. 试一下 , 则级数为











n
n
n
要确保, 你意识到了为什么 (-2) /2 能化简到 (-1) . 不管怎样,
我把证明最后这个级数条件收敛 (用交错级数判别法) 而非绝对收敛



(用 p 判别法) 留给你自行完成. 现在, 当 , 可得











发散. 我们得出结论, 幂级数在 时绝对收敛, 在 时条


件收敛, 其他情况发散, 完整图示见图 26-11.















图 26-11




考虑级数

2
n
该级数因为复杂的因子 2 使其更适合运用根式判别法. 你可以用比式
判别法求出结果, 但根式判别法更好. 考虑第 n 项绝对值的 n 次方根的


极限：










现在无论 x 取何值, 极限都等于 0, 小于 1; 根据根式判别法, 幂级数对


所有 x 都绝对收敛, 即收敛半径是 ∞, 图像如图 26-12 所示.










图 26-12



在进入下一节前, 这里还有最后一点说明：当收敛半径为正时, 可能在


两端点都收敛, 或在两端点都不收敛, 或只在左端点收敛, 或只在右端


点收敛. 我们在前面见过了所有这四种可能.




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26.2 合成新的泰勒级数





我们来看一些求泰勒级数的方法. 求给定函数 f 关于 x = a 的泰勒级


数的一个方法, 是像 25.2 节那样直接用公式. 为了运用公式需要求 f


的所有导数, 至少是在 x = a 的所有导数. 对大多数函数来说, 这是一

件令人厌烦的事. 通常, 一个较好的办法是用一些常见的泰勒级数来合


成新的泰勒级数. 当然, 首先你需要知道一些泰勒级数! 下面 5 个麦克


劳林级数 (关于 x = 0 的泰勒级数) 是非常有用的.



x
(1) 对应 f (x) = e ：













对所有实数 x 都成立.




(2) 对应 f (x) = sin(x)：













对所有实数 x 都成立.



(3) 对应 f (x) = cos(x)：

对所有实数 x 都成立.



(4) 对应 f (x) = 1/(1 - x)：













只对 -1 < x < 1 成立.




(5) 对应 f (x) = ln(1 + x) 或 f (x) = ln(1 - x)：




















对 -1 < x < 1 成立. (其实, 第一个公式也对 x = 1 成立, 第二个公式

也对 x = -1 成立, 不过这个有点复杂了!)




至今为止, 我们已经证明了公式 (1) 和 (3) (见 24.2.3 节) 和 (4) (见


22.2 节). 后面的 26.2.2 节和 26.2.3 节将分别讨论 (2) 和 (5).

无论如何, 我假设你已经学过了这 5 个级数. 下面介绍如何通过对它们


进行操作来得到新的幂级数. 1



1 这些方法的证明不在本书讨论范围内.




26.2.1 代换和泰勒级数




最有用的方法就是做代换. 在麦克劳林级数中, 你可以将 x 换为

n
x 的倍数来得到一个新的麦克劳林级数, 其中 n 是一个整数. 例如, 我

们知道









2
x
对任意 x 都成立, 故若想求 f (x) = e 的麦克劳林级数, 只需将上述

2
级数的 x 换成 x , 可得








并可化简为









由于原级数对任意 x 都成立, 这个级数也一样.




2
我们来看另一个常见的例子：f (x) = 1/(1 + x ) 的麦克劳林级

数是什么？要求解该题, 我们从下面的几何级数开始：

2
它对 -1 < x < 1 成立, 然后将 x 换成 -x 可得









2
它对 -1 < -x < 1 成立. 注意, 我们将这个 “成立” 的不等式中的

2
x 换成了 -x . 在此, 这并不重要, 因为不等式最后可化简为 -1 < x <

2
1. 但是假设我们要求 1/(1 + 2x ) 的麦克劳林级数, 则需将 x 换成
2
-2x , 此时可得









2
但它只对 -1 < -2x < 1 成立. 可以确信, 该不等式可化为

. (这里的所有级数都是几何级数.)




假设现在从下面的等式开始, 该等式对所有的 x 都成立：









右边是 sin(x) 的麦克劳林级数, 或可看作 sin(x) 关于 x = 0 的泰勒级


数. 若将 x 用 (x - 18) 代换, 则得到一个关于 x = 18 的泰勒级数：

右边不是 sin(x) 关于 x = 18 的泰勒级数, 因为左边不再是 sin(x), 而

是 sin(x - 18). 所以我们的代换也改变了原函数. 我们其实求出了


sin(x - 18) 关于 x = 18 的泰勒级数. 为了求出 sin(x) 关于 x = 18


的泰勒级数, 需要用到泰勒定理中的公式. (我们在 25.2 节末见过类似


的问题.)



上面这个例子告诉我们, 若将 x 换为 (x - a), 则得到关于 x = a


的泰勒级数而不是麦克劳林级数, 且函数也变了. 这还是有用的. 例如,


为了求 ln(x) 关于 x = 1 的泰勒级数, 我们从前一节的公式










开始. 现在, 将 x 换为 (x - 1), 则 ln(1 + x) 变为 ln(1 + (x - 1)), 即

ln(x), 则我们得到













注意, 我同样将原不等式 -1 < x < 1 中的 x 换为 (x - 1), 得到 -1 <


(x - 1) < 1. 这个不等式看起来有些蠢, 故各项加 1, 得到 0 < x < 2.

最后可得

这里用了 ln(1 + x) 的麦克劳林级数得到 ln(x) 关于 x = 1 的泰勒级


数.



代换方法也可以用于求泰勒多项式, 不过要注意写对阶数. 例如, 若取 f

x
(x) = e 和 a = 0, 则 3 阶泰勒多项式为









2
2
x
若 g(x) = e , 将上述多项式的 x 换为 x , 则认为 g 的 3 阶泰勒多
项式为









这是错的. 它其实是 g 关于 x = 0 的 6 阶泰勒多项式, 所以左边应为


P (x) 而不是 P (x). 为了得到 P (x) 的正确公式, 只需去掉所有次数
6
3
3
2
大于 3 的项, 即为 P (x) = 1 + x . 当然, 它也是 P (x)! 当心, 不要看
3
2
作次数哦! 那可是阶数. (至少, 你想通过微积分这门课并取得学位 ……

2
好吧, 我发誓再也不使用双关语 了.)



2 这里指上一句的阶数 order 一词, 该词也有 “命令” 之意。—— 编者注




26.2.2 泰勒级数求导




若一个幂级数收敛于开区间 (a, b) 上可导的函数 f , 则可以通过对幂


级数逐项求导, 得到一个在相同区间上收敛于 f'(x) 的新幂级数. 在端

点 a 和 b 的情况比较棘手：求导后的级数可能发散, 即使原级数是收

3
敛的 所以要单独讨论端点.



3 若求导后的级数在一个 (或两个) 端点处收敛, 则原级数也在那里收敛.




我们的第一个例子是求 sin(x) 的麦克劳林级数, 假设已知 cos(x)

的麦克劳林级数为










该公式对所有 x 都成立. (这个我们已在 24.2.3 节证明.) 若两边同时

求导, 右边逐项求导, 可得










为了处理左边的负号, 两边同乘 -1. 不过还需要做另一步化简. 我们要

处理形如 2/2!、4/4!、6/6! 和 8/8! 的量. 先来考虑 4/4!, 由于 4! 实


为 3! × 4, 所以可通过消掉因子 4 而将 4/4! 化简为 1/3!. 类似地, 6!


= 5! × 6, 故有 6/6! = 1/5!, 同样 8! = 7! × 8, 所以 8/8! = 1/7!.


综上, 上面的等式变为









由于 cos(x) 的级数对所有 x 都成立, 所以上述求导后的级数也如此.

即, sin(x) 的麦克劳林级数由上式给出, 且对所有 x 都成立. 这就证明

了 26.2 节的公式 (2).



这里是幂级数求导的另一个例子. 假定欲求 f (x) = 1/(1 + x) 2


的麦克劳林级数. 最好的方法是从 1/(1 + x) 的级数开始, 该级数是通


过将标准几何级数 (前面的公式 (4)) 的 x 换为 -x 而得到的：









对 -1 < x < 1 成立. 然后两边求导, 右边逐项求导, 可得









剩下的就是两边同时取负, 得











对 -1 < x < 1 成立. (你需要验证, 带求和号的表达式是正确的,


且级数在端点 x = ±1 处不收敛.)



同样, 你可以将这些方法用于泰勒多项式, 还是要注意阶数. 由于多项


式求导使得次数减 1, 所以求导后的泰勒多项式的阶比原多项式的阶小


3
2
1. 例如, 1/(1 + x) 关于 0 的 3 阶泰勒多项式是 1 - x + x - x , 如
2
前一个例子. 若求导并乘以 -1, 则 1/(1 + x) 关于 0 的二阶泰勒多项

2
式为 1 - 2x + 3x .

26.2.3 泰勒级数求积分




我们还可以对泰勒级数逐项求积分. 新的级数与原级数收敛区间一


样 (收敛区间的端点除外). 若用的是不定积分, 别忘了常数! 我们来看

一些例子. 首先, 证明 ln(1 - x) 的公式, 这是 26.2 节的公式 (5), 不过


没证过：










我们将用到几何级数的公式, 即 26.2 节的公式 (4)：










然后对每一项关于 x 求积分：










(注意, 我既用了求和号, 也用了展开式, 不过你一般只用其中之一.) 现


在逐项求积分：










这里最好将常数放在前面, 而不以 +C 的方式放在后面, 因为常数是幂


级数的零次项. 现在我们要求出 C 的值. 最好的方法是代入 x = 0, 由

此可得

化简后得 C = 0. 将其代入并两边取负, 则得到前面的 ln(1 - x) 的级

数：










由于原级数 (1/(1 + x) 的级数) 对 -1 < x < 1 收敛, 故积分后的级数


(即 - ln(1 - x) 的级数, 进而对 ln(1 - x) 的级数) 也对 -1 < x < 1 收


敛. 其实, ln(1 - x) 的级数当 x = -1 时也收敛, 不过如我所说, 逐项积

分以后的幂级数并未给出收敛区间端点的任何信息. 现在, 可将 26.2


节公式 (5) 中的 x 代换为 - x, 得到 ln(1 + x) 的展开式.




-1
另一个例子：如何求 tan (x) 的麦克劳林级数？不断求导是很痛

苦的 (试试看就知道了!) 但我们可以更灵活一点, 对已知的级数求积分.

-1
2
我们来看一下, tan (x) 是 1/(1 + x ) 的一个反导数, 我们在 26.2.1
节得知









现在可以两边求积分, 得到









右边逐项求积可得

代入 x = 0 来求 C ：









-1
化简为 C = tan (0) = 0. 故, 我们有









2
(确信右边的求和号形式是正确的.) 由于 1/(1 - x ) 的原级数在 -1 <

-1
x < 1 时收敛, 所以 tan (x) 的级数也在 -1 < x < 1 时收敛. 4



4 -1
其实, 根据交错级数判别法, tan (x) 的级数在 x = 1(或 x = -1) 时也收敛, 最后可得一

个漂亮的公式






我们来看一个定积分的例子. 假定函数 f 定义为










3
它的麦克劳林级数是什么？我们应该从求 sin(t ) 的级数开始. 为此,
3
对 sin(x) 的麦克劳林级数做换元 x = t , 可得

3
由于 sin(x) 的级数对所有实数 x 均成立, 则 sin(t ) 的级数对所有实
数 t 都成立. 现在两边可同时求 0 到 x 的积分, 得










对右边逐项求积分, 可得















对所有实数 x 都成立. (你应该试着将这个级数写成求和号的形式,


答案在 26.3 节给出.)




也可将上述积分方法用于泰勒多项式, 这次泰勒多项式的阶要加 1.



26.2.4 泰勒级数相加和相减





若已知两个函数 f 和 g 关于 x = a 的泰勒级数, 则和式 f (x) +

g(x) 的泰勒级数显然是两个泰勒级数之和, 这至少对于两泰勒级数收


敛区间的交集是成立的. 差 f (x) - g(x) 遵循相同规则. 在实践中唯一


需要做的事就是合并同类项, 然后关注所得级数在哪里收敛. 例如,

x
sin(x) - e 的麦克劳林级数为

这里需要化简. 消减后, 至少到 7 阶的级数为









x
x
由于 sin(x) 和 e 的级数对所有 x 成立, 所以 sin(x) - e 的级数也一
样.



若讨论泰勒多项式, 则需要注意阶数取两个阶数中的较小者. 例如, 我


们知道 1/(1 - x) 关于 0 的三阶泰勒多项式为







x
而 e 关于 0 的四阶泰勒多项式为








x
若 f (x) = 1/(1 - x) + e , 求它关于 0 的泰勒多项式, 则取上述两个

x
多项式的和是 不对的. 问题出在 e 的多项式有四阶项, 但 1/(1 - x)

没有四阶项. 这好比是拿苹果和桔子这样两种无法相比的东西做比较.


x
你应该将 e 多项式的四阶项略去来得到三阶泰勒多项式








3
2
现在可将 1 + x + x + x 加到上面的多项式, 得到 1/(1 - x) + e x
关于 x = 0 的三阶泰勒多项式

化简可得









26.2.5 泰勒级数相乘




你也可以将两个泰勒级数相乘, 从而得到一个收敛于两个函数之积


的新级数, 至少该级数在两个泰勒级数收敛区域的交集收敛. 用求和号


形式书写这些会很乱, 且通常会有两个求和号. 一般地, 大家只关注级

x
数的前面几项. 例如, 求 f (x) = e sin(x) 的三阶及以下的麦克劳林级

x
数. 欲求该问题, 写出 e 和 sin(x) 的三阶及以下的级数, 相乘, 然后略

去所有大于三阶的项：


















有一个略去无用项的技巧. 例如, 分别略去第一个和与第二个和中的项


4
3
x 和 - x /6 的乘积, 因为我意识到它们之积会得到一个含 x 的项, 而
这不是我关心的项, 因为我只需要到三阶的项. 若我要关心到四阶的项,


则必然要关注更多的项.



事实上, 不要把注意力集中在次数大于原函数级数的阶的项, 这点很重

x
要. 例如, 取 e 关于 0 的二阶泰勒多项式

-x
现在令其与 e 关于 0 的二阶泰勒多项式









相乘, 得到









化简为









x
-x
若你说, 它是乘积 (e )(e ) 关于 0 的四阶泰勒多项式, 那就大错特错
了! 毕竟, 两函数之积是 1, 故它的所有泰勒多项式都是 1. 正确的做法


是, 略去积中所有次数大于 2 的项. 毕竟, 我们只是从二阶多项式开始,


怎么能期望将这两个多项式相乘就得到更高阶呢？在上面的多项式 1

4
4
+ x /4 中, 项 x /4 的次数大于 2, 故不准确, 应该略去. 多项式的二阶
多项式为 1, 这就是你能从两个二阶泰勒多项式的积中得到的所有结


论. 不要将精力都集中在更高次数上, 以免贪多嚼不烂而使自己骑虎难


下.



26.2.6 泰勒级数相除

你可以用长除法来做与除法一样的事. 方法是略掉不关心的项. 例

如, 为了求 f (x) = sec(x) 的四阶麦克劳林级数, 首先将 sec(x) 写为


1/ cos(x), 然后与多项式一样做长除法. 这里的主要区别是, 你应该将


各项按次数递增的顺序写, 而不是平常的递减顺序写. 由于我们关心四

阶及以下的项, 所以将










用在 1/ cos(x) 的长除法中：




























4
2
所以 sec(x) 的麦克劳林级数是 1 + x /2 + 5x /24 + …, 直到四阶
项.




若我们欲求 tan(x) 的四阶麦克劳林级数, 可类似求解, 因为

3
tan(x) = sin(x)/ cos(x). 利用 sin(x) = x - x /6 + … 和 cos(x) =

2
4
1 - x /2 + x /24 - …, 除法如下：

计算请自行完成. 通过计算可知, 当含有四阶及以下项时, tan(x)


3
= x + x /3 + …(注意这里四阶项为 0).


以上论述表明你可能不需要连续求导, 而利用泰勒级数公式来求泰勒级


数. 若幸运的话, 可以用 5 个基本级数, 外加一个或多个如换元、求


导、积分、相加、相减、相乘和相除的方法来求级数.




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26.3 利用幂级数和泰勒级数求导





回忆 f (x) 关于 x = a 的泰勒级数的第 n 项系数公式：










两边同乘 n! 得到：










用语言描述, 意思是









所以若知道一个函数关于某点 a 的泰勒级数, 就可以很容易地求得该函


数在 a 点的导数. 这就是你的全部所得! 这里并没有任何关于其他 x 值


的导数值的信息, 只有 x = a. (其实, 为求第 n 阶导数, 只需要一个在

x = a 的 n 阶或更高阶的泰勒多项式, 而不是整个泰勒级数.)




为了应用上面的方程, 需先求给定函数的一个合适的泰勒级数. 前

2
x
几节的方法也很有用的. 例如, 假设 f (x) = e , 我们欲求 f (100) (0)

2
x
和 f (101) (0). 我们从求 e 的麦克劳林级数开始：

根据前面方框中的公式,



f (100) (0) = 100! × (上述麦克劳林级数中 x 100 的系数).




那么麦克劳林级数中 x 100 的系数是什么？看上面的麦克劳林级数, 可

知系数就是 1/(50!), 或者更正式地说, 你能够算出 n 的什么值对应


2n
x 100 . 特别地, 我们想确定 x 100 的倍数 x /n!, 而这就意味着 2n =

100, 所以 n = 50, 对应的项为 x 100 /(50!). 故系数是 1/(50!). 于是









(不要犯将最后的表达式化简为 2! 的错误, 阶乘不是这样算的.) 现在想


一想, f (101) (0) 又怎么求呢？它等于上述级数中 x 101 系数的 101!

倍. 那个系数是什么？等一下, 级数中没有奇次幂! 换一种方式思考, 什


么样的 n 值对应 x 101 ？需要解 2n = 101, 但 n 必须为整数, 所以没


有幂 x 101 . 那就意味着 x 101 的系数为 0, 所以







好吧, 我们来看一个更难的例子. 在 26.2.3 节, 我们发现函数









的麦克劳林级数是

这个级数对所有的 x 都收敛于 f (x). 现在要问: f (50) (0) 是什么？f

50
(52) (0) 呢？为了求出这些, 我们需要知道前面 f (x) 的级数中 x 和

52
50
x 的系数. 要知道, f (50) (0) 是 f (x) 麦克劳林级数中 x 系数的
50! 倍, 当然, 除了处处用 52 代替 50 之外, f (52) (0) 也同理.



52
50
为了求上面级数中 x 0 和 x 的系数, 需要将级数写出至足够长以便
于理解. 更好的方法是将级数用求和号表示. 之前我已经让你练习过,


这里是相应的做法. 注意 x 的幂为 4, 10, 16, 22, …. 这意味着幂次从


4 开始, 每次增长 6. 所以, 指数为 6n + 4, 其中 n 取值为 0, 1, 2, 3,

…. 现在来看分母, 它是 6n + 4 与某奇数阶乘的乘积. 其中奇数为 1,


3, 5, 7, …, 故分母是 (6n + 4)(2n + 1)!. 最后, 各项以正项开始, 正

n
负交错, 所以应该还有 (-1) . 现在, 我们得到









52
50
现在来求 x 和 x 的系数. 对前者, 解 6n + 4 = 50 得到 n =
50
23/3, 它不是整数, 所以 x 的系数为 0. 意味着








52
另外对 x , 解 6n + 4 = 52 得到 n = 8, 故我们可以通过观察 n =
52
8 时的结果来确定 x 的系数. 和式中 n = 8 的项是

所以系数是 1/(52 × 17!). 最后,











注意, 这里做了一个小的相消：52!/52 = 51!, 在继续之前要明白这么

做的正确性!




有时, 一个函数已经被关于 x = a 的一个幂级数定义, 你可能需要


求这个函数在 a 处的某些导数. 这个甚至比前面的例子容易些, 因为不

用先求泰勒级数. 例如, 假设 f (x) 定义为










它对所有 x 都收敛 (为什么？). 假设要求 f (300) (6) 的值. 幂级数是关


于 x = 6 的, 故利用公式









要知道系数的值, 应该求出 n 的什么值给出了正确的项. 看上面的级数,

(x - 6) 的指数为 3n, 所以我们需要 3n = 300 的项. 因此 n = 100,


代入后可以看到正确的项是

所以系数是 -1 000 000/100!. 要想使它更别致一点, 可以将 100! 写

成 100 × 99! 并消掉 100, 得到系数为 -10 000/99!. 总之, 这个给


出了










那要求 f (301) (6) 怎么办呢？可以证明幂级数中没有 (x - 6) 301


这项, 所以答案为 0, 这部分留给你自己完成.




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26.4 利用麦克劳林级数求极限






你也可以利用泰勒级数来求特定的极限. 特别地, 若你有极限









其中当 x = 0 时, 分子分母都为 0, 则可以用洛必达法则; 然而,


若想求










的值, 要是还那么做, 你会发疯的. 对分子分母求导一次可不好玩, 更

不必说可能要求 6 次了 (结果确实如此). 所以, 正确的方法是用合适


的麦克劳林级数中足够多的项来做替代. “足够多的项” 是什么意思？


我们希望能消去一些项, 且不想让分子或分母为 0. 我们先求到第 8 阶


来试一下. 写出完整的麦克劳林级数, 首先, 因为









2
用 - x 代换 x, 得到








又因为

2
2
通过两边乘 x 可得 x cos(x) 的级数：








3
若我们回到 cos(x) 的级数并用 2x 代换 x, 可得








这里我们甚至不需要最后那项, 更不必理会任何次数更高的项, 因为我


们只决定到 8 阶. 当然, 把它放在其中也不会有坏处, 所以我们留下了


它. 总之, 若将所有这些联系在一起, 分子就是

















而分母变为










现在代入极限, 我们有

6
上下同时除以最低次项 x , 并代入 x = 0 可知该极限等于










所以可知, 阶数大于 6 的项都不用写出来 (这就是为什么我从不烦心


要化简 1/24 - 1/720 的原因). 基本上, 若所有的项都消去了, 就意味

着你没用到足够多的项; 如果还有一些项, 说明你已经写出了足够多的


项并能继续下去. 如果最高只能写到 5 阶 (或更少), 又得到了 0/0, 那


么就不会继续下去了.




我们再看一个例子：求









这看起来不像是个分式, 所以第一步要做些代数运算. 取公分母, 就像


我们在 14.1.3 节中对洛必达类型 B1 的极限所做的一样, 将极限写


成









现在, 我们有










和

把这些代入, 极限变为





















2
当 x → 0 时, 还是最低次起决定作用. 为了说明这个, 上下同除以 x .

不过, 我们可以稍微变通一下：在分母上, 让两个因子都除以 x, 这与

2
整个分母除以 x 一样. 极限变为












同样, 写出其他的项不会有什么坏处 —— 这里我只用了三阶, 不过更


高阶也行. 其实, 甚至三阶项也没有参与计算, 分母中只用到了一阶项.

除非你是心理学家或对这事有很好的直觉, 否则猜测需要多少项真是


太难了. 所以, 用较多的项比用较少的项要好, 因为你总是可以稍后略


去它们; 然而若用太少的项, 你甚至都解不出问题.



N
这是前面所有极限可行的真正原因：若 f 有最低次项为 a x 的
N

麦克劳林级数, 则

, 当 x → 0



我们在 21.4.5 节提过这个结论, 与极限比较判别法联系起来是有用


的. 事实上, 上述等式甚至对 f 的麦克劳林级数关于 x = 0 不收敛的


情况也是成立的. 所以没必要讨论完整的麦克劳林级数：最低阶且非


0 的 f 关于 x = 0 的泰勒多项式足以了. 只有一个条件, f 的第 N + 1

阶导数在 0 附近有界. 下面是完整过程：根据泰勒定理, 我们有










N
其中 c 介于 0 和 x 之间. 现在两边同时除以 a x 可得
N








右边量 f (N +1) (c)/(a (N + 1)!) 的绝对值当 x → 0 时有界, 因为分
N

母是常数且我们已经假设分子是有界的. 现在可用三明治定理来证明




上述方程右边的最后一项在 x → 0 时趋于 0. 即,



也就是说：




, 当 x → 0



证毕. 怎样？我们不仅得到了一个利用极限比较判别法的便利工


具, 而且证明了前面的极限都是成立的. 例如, 为了真正证明极限

x
2
我们应该注意到 e - 1 - sin(x) 有一个以 x /2 开始的麦克劳林级数,
2
x
所以当 x → 0 时 e - 1 - sin(x) ~ x /2. 类似地, 当 x → 0 时 sin(x)
x
~ x, 且当 x → 0 时 e - 1 ~ x. 由于可以乘以或除以这些渐近关系

(但不能做加法或减法!), 因而可以说





, 当 x → 0.




右边就是 1/2, 所以我们证明了









在现实中, 上面的方法 (运用带 + … 符号的整个级数) 是被广泛接受


的, 虽然严格上讲它只是围绕真正问题论述的. 真正发生的已在前面关


于余项 R 的论证中给出.
N




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第 27 章 参数方程和极坐标





岂今为止, 我们已经画过很多笛卡儿坐标系下形如 y = f (x) 的方程的

图像. 现在, 我们将从不同的角度来看问题：首先看一下当坐标 x 和 y


不直接相关而是通过一个公共参数相联系时会怎样; 接着看一下当将


整个坐标系换成完全不同的形式时又会发生什么. 当然, 我们也会做一


些计算. 下面是本章的计划：



参数方程、图和求切线;




极坐标与笛卡儿坐标的互换;




求极坐标曲线的切线;



求由极坐标曲线围成的面积.




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27.1 参数方程





2
当写下形如 y = x sin(x) 的方程时, 你是将 y 表示为了关于 x 的函

数. 所以, 若已有 x 的特定值, 则通过将该 x 值代入方程可以很容易地


2
2
求出相应的 y 值. 另一方面, 考虑关系 x + y = 9. 若已有一个特定
的 x 值, 则你需要稍费点力气来求得相应的 y 值. 其实, 可能会有多个

y 值与给定的 x 值对应, 也可能一个都没有. 当然, 你可以写成


的形式, 意思是：如果 -3 < x < 3, 则有两个 y 值对应


于 x; 但若 x = ±3, 则只有一个 y 值与之对应.




来看另一种方法：假设 x 和 y 都是另一个变量 t 的函数, 例如



x = 3 cos(t) 和 y = 3 sin(t).




这里是想让你将 x 看作关于 t 的函数; 若你愿意, 甚至可以写成 x(t)


= 3 cos(t) 的形式加以强调. 对 y 同理. 若选定 t 的值, 则可通过将该

t 值代入上面的方程求得相应的 x 和 y 值. 变量 t 被称为参数, 上述方


程被称为参数方程.




上述这对参数方程的图像是什么样的呢？我们来试着描点. 与选择 x


值求得相应 y 值的一般方法不同, 我们选择一些 t 值, 并求得相应的 x

和 y 值. 为了描点, 只能采用 x 和 y 值, 因为没有 t 轴! 总之, 因为有

三角函数, 所以我们应确保选定的值包含 π. 假定我们用了下面的 t


值.





t 0 π/6 π/4 π/3 π/2




x





y






我们用方程 x = 3 cos(t) 和 y = 3 sin(t) 算出了对应的 x 和 y 值,

便可填表如下.





t 0 π/6 π/4 π/3 π/2





x 3 3/2 0





y 0 3/2 3





例如, t = 0 对应于点 (3, 0), t = π/6 对应于点 . 上面 5


个点如图 27-1 所示.

图 27-1




看似我们正在讨论中心在原点且半径为 3 的 1/4 圆. 这并不奇怪, 只


2
2
要知道关于三角函数的知识! (当然, 对任意的 t 值, 有 x + y = (3
2
2
2
2
cos(t)) + (3 sin(t)) = 9(cos (t) + sin (t)) = 9.) 若继续上表,
直到 t = π, 就描述了半圆; 而若一直到 t = 2π, 则得到整个圆. 那再

继续下去会发生什么呢？你就会重新描述这个圆. 若从 t = 0 开始向


负方向继续, 那就是在沿着顺时针方向而不是逆时针方向走圆. 注意,


若在圆上选一点 (x, y), 并不是只有一个 t 值与该点对应, 而是有无穷

多个 2π 倍于 t 值的数与之对应. 例如, 若 n 为任意整数, 则 t = 2πn


对应于 x = 3 和 y = 0, 即点 (3, 0).

2
2
所以, 前面的这对参数方程描述了圆 x + y = 9, 至少 t 在一个足够
大的区间 (例如, [0, 2π)) 里取值时是这样的. 你可以说



x = 3 cos(t) 和 y = 3 sin(t), 其中 0 ≤ t ≤ 2π




2
2
2
2
是 x + y = 9 的参数化. 现在, 我问你：x + y = 9 的图像与上
面参数化的图像一样吗？一样, 但也不一样. 当然, 两个图像看似是同
一个圆, 不过参数化图像能告诉你更多信息：圆是怎么画的. 若从 t =


0 开始且连续移动到 t = 2π, 则你就可以从 (3, 0) 开始并以不变的速


度沿逆时针方向画, 直到回到起点.



通过观察, 整件事情就像蜗牛移动和离开时留下的粘液轨迹. 只是从轨


迹并不足以看出蜗牛移动的方向 —— 它甚至可能往回走! 你也说不出


它沿着轨迹移动时不同时间处的速度. (“蜗牛步伐” 不是它移动快慢的


科学描述.) 借助参数化, 就像是知道了每一时刻蜗牛的位置一样, 能够

知道方向和速度等其他信息.




2
2
那么, 上面的参数化是 x + y = 9 的唯一可能的参数化吗？当然不
是. 还有很多其他方法可以画出相同的圆. 例如, 令 x = 3 cos(2t) 和


y = 3 sin(2t), 现在只需令 t 在 0 到 π 间取值就能包含整个圆, 并且

这时的速度是原来的两倍. 亦或, 令 x = 3 sin(t) 和 y = 3 cos(t), 其


中 0 ≤ t < 2π. 现在又回到原来的速度了, 不过这次是从 (0, 3) 开始


以顺时针方向而不是逆时针方向运动. 可以通过描点来验证这些结论.

2
2
怎么求 x + 4y = 9 的参数化？画该方程的图像得到一个通过
2
2
点 (±3, 0) 和 (0, ±3/2) 的椭圆. 若令 Y = 2y, 则 x + Y = 9. 这
是新坐标 (x, Y) 的圆, 所以可以用前面的参数化：x = 3 cos(θ) 和 Y


= 3 sin(θ), 0 ≤ θ < 2π. 现在只需写出 y = Y/2 来得到椭圆的参数


化




x = 3 cos(t) 和 , 其中 0 ≤ t < 2π




当然, 这不是唯一的参数化!



6
6
那 x + y = 64 呢？这个曲线留给你来画, 你可以看到该图像
就像是一个膨胀的 “半径” 为 64 1/6 = 2 单位的圆. 这启发了我们可以


调整前面的圆的参数化. 首先, 我们需要将半径改为 2 单位：其实, x


2
2
= 2 cos(t) 和 y = 2 sin(t) 适合圆 x + y = 4, 但不能参数化膨胀
6
6
的圆, 因为 cos (t) + sin (t) = 1 一般不成立. 那怎么调整它呢？ 我
们可用 cos(t) 的某些次幂来替换它, 当对它们取 6 次方时, 可得


2
cos (t). 这应该是 cos 1/3 (t). 所以, 若令 x = 2 cos 1/3 (t) 和 y = 2

sin 1/3 (t), 则应该可行. 我们来验证一下：







这正是我们想要的. 为了得到整个曲线, 如前面一样, 我们令 t 在 0 到


2π 间取值.

参数方程的导数



这是一本微积分图书, 所以我们最好对这些参数求微积分. 要求曲线的


切线方程, 当然要求导数. 由于 x 和 y 都是关于 t 的函数, 所以要用到


链式法则. 就是说









两边除以 dx/dt, 整理后得














若把 x 看作 x(t), y 类似, 则可将该方程另写为










我们用 3 个例子来看一下如何应用.



首先, 求参数曲线上对应于 t = 1/2 点的切线斜率和切线方程,


参数曲线定义为







求导, 我们有