普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

由于我们已经假设函数的导数始终为零, 这说明 f' (c) 也一定为零. 所


以上述方程变为









这意味着 f (x) = f (S). 如果设 C = f (S), 那么对于所有在该区间内的


x 有 f (x) = C, 所以该函数为常数函数. 于是我们有这样的结论：











事实上, 在 10.2.2 节中已经使用过这个结论. 在那里, 如果 f (x) =

-1
-1
sin (x) + cos (x), 那么对于开区间 (-1, 1) 内的所有 x, f' (x) = 0.
于是我们得出结论, 函数 f 在该区间内为常数函数. 又由于 f (0) =


-1
π/2, 实际上得到：对于所有在开区间 (-1, 1) 内的 x 都有 sin (x) +
-1
cos (x) = π/2.



(2) 假设两个可导函数有相同的导数. 那么它们是同一个函数吗？不一

2
2
定, 它们可能相差一个常数. 例如, 函数 f (x) = x 和 g(x) = x + 1
有相同的导数 2x, 但很明显, 这两个函数是不同的函数. 那么还有其他


方法使这两个函数处处有相同的导数吗？答案是否定的, 相差一个常数


是唯一的方法.

事实上, 使用前面的事实 (1) 可以很容易证明这一点. 假设对于所有 x,


f' (x) = g'(x). 现在令 h(x) = f (x)-g (x). 对等式两边同时求导, 有 h'

(x) = f' (x)-g' (x) = 0, 所以 h 为常数函数. 也就是说, h(x) = C (C


为某个常数). 这意味着 f (x) - g (x) = C 或 f (x) = g(x) + C. 函数 f

和 g 确实只相差一个常数. 这个事实对于我们后面章节的积分学习将


是非常有用的.




(3) 如果函数 f 的导函数始终为正, 那么该函数为增函数. 也就是说, 如


果 a < b, 则有 f (a) < f (b). 换句话说, 在图像上任取两点, 那么左边

的点一定低于右边的. 当你从左向右看时, 此曲线一点点变高. 但为什


么会这样呢？假设对于所有 x, 有 f' (x) > 0 并且假设 a < b. 根据中


值定理, 在开区间 (a, b) 内至少存在一个常数 c 使得









这意味着 f (b) - f (a) = f' (c)(b - a). 由于 f' (c) > 0 且 b - a > 0,


所以等式的右边为正. 这样我们有 f (b) - f (a) > 0, 因此 f (b) > f

(a), 所以该函数的确为增函数. 另一方面, 如果对于所有 x, f' (x) < 0,


那么这样的函数是减函数; 也就是说, 如果 a < b, 则有 f (a) > f (b).


证明的方法是基本一样的.



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11.4 二阶导数和图像





到目前为止, 还没有太多讨论过二阶导数. 我们只用它来定义过加速度,


仅此而已. 但实际上, 二阶导数能告诉你很多关于函数图像的信息. 例如,

假设知道对于开区间 (a, b) 内的所有 x, f'' (x) > 0. 而如果把二阶导数


看作导数的导数, 那么可以把二阶导数写为 (f' )' (x) > 0. 这意味着导


函数 f' (x) 始终是增函数.



那又怎么样呢？好吧, 如果知道导函数为增函数, 这意味着函数图像会变


得越来越 “陡峭”, 如图 11-9 所示. 在紧靠 x = a 的右边, 登山者轻松


惬意：斜率为负. 但情况逐渐变得越来越艰难. 山势变得越来越平坦, 直

到完全水平的 x = c 处, 然后随着斜率逐渐增加, 山势变得越来越陡峭,


直到 x = b 处. 这里的要点在于, 从 x = a 到 x = b 斜率始终在增加.


而这也正是式子 f'' (x) > 0 所暗示的.

图 11-9




我们需要用某种方式描述这样的行为. 如果函数的斜率在某段区间 (a,

b) 内为增函数, 或换言之, 它的二阶导数在该区间内始终为正 (假设二次


导数存在), 那么我们说该函数在该区间是凹向上的. 图 11-10 是一些凹


向上函数的图像.
















图 11-10

它们看上去都像碗的一部分. 注意到仅仅通过 f'' (x) > 0 我们无法判断

一阶导数 f' (x) 的正负. 确实, 上述图像的中间两个的一阶导数为负, 最


右边的一阶导数为正, 最左边的一阶导数由负到正.



如果二阶导数 f'' (x) 为负, 那么情况就反了过来. 它们看上去就像倒扣


的碗. 如果在某段区间内函数 f 的二阶导数始终为负, 那么就称 f 在该区


5
间是凹向下的. 图 11-11 是一些凹向下函数的图像.


5 如果你记不清哪一个是凹向上, 哪一个是凹向下, 那么下面这两个尾韵也许能帮助你：“Like

a cup, con cave up; Like a frown, concave down.” (茶杯样, 凹向上; 皱眉相, 凹向下.)














图 11-11



在这些图像中, 函数的导函数都为减函数. 这意味着你会发现在这座山上


行进越来越容易：如果你是在上山, 山势会越来越平坦; 而如果你是在下

山, 山势则会越来越陡峭 (你都是从左往右).




当然, 凹性并不需要每一个地方都一样：它可以改变. 如图 11-12 所示,


在 x = c 点的左边, 图像是凹向下的; 而在 x = c 点的右边, 图像是凹

向上的. 这时, 我们称 c 点为函数的拐点, 因为函数在 c 点改变了它的凹


性.

图 11-12




关于拐点的更多说明



在图 11-12 中, 我们看到在 c 点的左边二阶导数小于零, 在 c 点的右边


二阶导数大于零. 那么在 c 点的二阶导数又是怎样的呢？它肯定为零,

因为所有的一切都是连续平滑的. 一般而言, 如果 c 点为拐点, 那么 x =


c 点两侧的二次导数的符号必定是相反的, 前提是当 x 接近于 c 点时 f''


(x) 确实存在. 在那种情况下, 必有以下结论：

但另一方面, 如果 f'' (c) = 0, 则 c 点可能是也可能不是拐点! 也就是

说,







3
2
4
例如, 假设函数 f (x) = x , 那么 f' (x) = 4x , f'' (x) = 12x . 在
2
x = 0 点, 它的二阶 导数为零, 因为 f'' (0) = 12(0) = 0. 那么 x =
0 是拐点吗？答案是否定的. 图 11-13 为该函数图像.






































图 11-13



从图像中可以看出, 函数在其定义域内都是凹向上的, 所以在 x = 0 这


点该函数并没有改变它的凹性. 也就是说, 尽管 f'' (0) = 0, x = 0 这点


并不是它的拐点.

另一方面, 如果你想找拐点, 确实应该找二阶导数为零的点. 这样做

至少可以缩小寻找范围, 然后我们可以再逐一检验. 例如, 假设 f (x) =


sin(x), 那么 f' (x) = cos(x), f'' (x) = - sin(x). 当 x 的值为 π 的整数


倍时, 该函数的二阶导数为零. 此时, f'' (0) = - sin(0) = 0, 那么 x = 0

是拐点吗？让我们看一下其图像, 如图 11-14 所示. 是的, x = 0 是拐


点：sin(x) 在 0 的左边是凹向上, 而在 0 的右边是凹向下. 注意到在 x


= 0 处的切线穿过曲线 y = sin(x). 这对拐点而言是典型的：在拐点一

边曲线必定在切线之上, 而在另一边在切线之下.




























图 11-14




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11.5 对导数为零点的分类





现在是时候把前面的部分理论应用到实际问题中去了. 假设有一个函数


f 以及数 c 使得 f' (c) = 0. 除了可以确定地说 c 点是函数 f 的临界点,


你还可以说出什么？事实证明，这里仅有三种常见可能性：x = c 可

能为局部最大值; 也可能为局部最小值; 还可能为水平拐点, 也就是说,


6
这点不仅是拐点, 通过该点的切线也是水平的. (也有可能对于所有接

近于 c 的 x, f (x) 是常数函数, 但这样的话, c 就既是局部最大值又是


局部最小值.) 不论如何, 图 11-15 是这几种常见可能性的示意图.



6 4
另一种可能性是在临界点附近的凹性甚至不是良定义的. 例如 f (x) = x sin(1/x) 这个函

数, 当 x 趋于临界点 0 时, 二阶导数的符号反复振荡, 所以凹性也在不停变化!

























图 11-15

在每一种情况下, 切线都是水平的：这是你只知道 f' (c) = 0 时所能得

出的唯一结论. 那么怎样才能判断究竟属于上图中的哪种情况呢？有两


个方法, 一个只需用到一阶导数, 另一个则需用到二阶导数. 当使用一


阶导数时, 需要观察在 x = c 附近的一阶导数的符号 (是正还是负). 另


一方面, 当使用二阶导数时, 需要考虑在 x = c 点的二阶导数的符号.

让我们逐一来看这两个方法.




11.5.1 使用一次导数




让我们再看一下上边的示意图, 但这次在 x = c 点两侧画一些切线, 如


图 11-16 所示.
























图 11-16




在第一个中, x = c 点为局部最大值. 在 c 点的左侧, 图像的斜率为

正：也就是说, 在那一部分定义域函数为增函数 (参见 11.3.1 节). 另


一方面, 在 c 点的右侧, 图像的斜率为负; 也就是说, 在那一部分定义域

函数为减函数. 很显然, 如果随着你从左往右, 斜率由正变负, 那么斜率


为零的那一点必定是局部最大值.



对于第二个, 情况恰恰相反. 如果从左往右, 斜率由负变正, 那么斜率为


零的那一点必定是局部最小值. 在第三个中, 除 c 点外, 斜率始终为正;

在第四个中, 除 c 点外, 斜率始终为负. 后两者中的 c 点均为拐点：点


两侧的导数的斜率并没有改变符号.




下面是对上述观察的总结. 假设 f' (c) = 0, 这时有：



如果从左往右通过 c 点, f' (x) 的符号由正变负, 那么 c 点为局部


最大值;



如果从左往右通过 c 点, f' (x) 的符号由负变正, 那么 c 点为局部


最小值;




如果从左往右通过 c 点, f' (x) 的符号不发生变化, 那么 c 点为水


平拐点.



2
3
例如, 如果函数 f (x) = x , 那么我们有 f' (x) = 3x . 由于当 x
= 0 时导数为零, 所以 x = 0 一定是局部最大值、局部最小值或水平

拐点中的一种. 但到底是哪一种呢？由于当 x ≠ 0 时, 导函数始终为


正, 则从左往右通过 x = 0 时, 导数的符号不发生变化, 所以该点一定

为拐点. 你可以画函数图像检验一下! (在 11.5.2 节你会看到该函数图


像).



下面是另一个例子. 如果设 f (x) = x ln(x), 那么函数 f 的局部最


大值、局部最小值和水平拐点又在哪里呢？首先, 可以使用乘积法则求

得 f' (x) = ln(x) + 1. (自己检验一下!) 接下去需要求解方程 f' (x)=


0, 即 f' (x)= ln(x) + 1 = 0.




-1
通过重新整理, 我们得到 ln(x) = -1, 两边同时取幂, 得到 x = e =
1/e. 这是唯一的候选者, 但它是哪种类型的临界点呢？




好吧, 让我们看一下 f' (x) = ln(x) + 1 在 x 接近 1/e 时的符号. 最简


单的方式是画出导函数 y = f' (x) 的图像草图. 我们所需做的只是把

ln(x) 的图像向上平移一个单位, 如图 11-17 所示. 从图像中可以看出,


随着从左往右通过 x = 1/e 导函数由负变正, 所以 x = 1/e 必定为局


部最小值. 那么在该点的函数值又是多少呢？把 x = 1/e 代入原函数,

-1
得到 f (1/e) = (1/e) ln(1/e) = -1/e, 因为其中 ln(1/e) = ln(e ) = -

ln(e) = -1. 因此, 该函数在点 (1/e, -1/e) 有局部最小值. 它在那个局


部的图像应该如图 11-18 所示. 但正如你所看到的, 我们还不知道其他


部分的图像如何. 我们将在 12.3.2 节将它补完.

图 11-17






























图 11-18




11.5.2 使用二阶导数




再来看一下当 f' (c) = 0 时几种常见可能性, 如图 11-19 所示.

图 11-19




假设 f'' (c) > 0. 从 11.4 节可知, 这样的函数 y = f (x) 的图像在 x


= c 附近是凹向上的. 上面只有第二个满足条件, 这时 x = c 是局部最

小值. 类似地, 如果 f'' (c) < 0, 那么图像就是凹向下的, 也就是上面第


一个的情形, 此时 x = c 为局部最大值.



这个方法相当管用, 但它也有一个缺陷：如果 f'' (c) = 0, 那么可能遇


4
3
到上述四种情况的任意一种! 例如, 假设 f (x) = x , g(x) = x . 我们
2
有 f' (x) = 3x , 所以 f' (0) = 0. 接下来让我们用它的二阶导数去对这

个临界点进行分类. 由于 f'' (x) = 6x, 则有 f'' (0) = 0.



3
另一方面, 函数 g 呢？在 11.4.1 节中已经求得 g' (x) = 4x , 所以 g'

(0) = 0. 这里的 x = 0 又是什么类型的临界点呢？让我们用二阶导数

2
来检验一下：g'' (x) = 12x , 所以 g'' (0) = 0.



在这两种情况下, 在临界点 x = 0 的二阶导数都为零. 而从图 11-


20 可以看出, 函数 f 在 x = 0 有一个拐点, 函数 g 在 x = 0 则有一个

局部最小值.
































图 11-20



在这样的情况下, 使用二阶导数并没有什么用处. 当二阶导数为零时,


你无异于两眼一抹黑, 完全无法分辨自己面对的究竟是局部最大值、局

部最小值还是水平拐点. 下面是一些总结. 假设 f' (c) = 0, 则有：




如果 f'' (c) < 0, 那么 x = c 为局部最大值;




如果 f'' (c) > 0, 那么 x = c 为局部最小值;



如果 f'' (c) = 0, 那么你无法判断发生了什么! 需要使用上一节讲


过的一阶导数方法.



是的, 一阶导数方法更好, 虽然它略微复杂一点. 它在任何情况下


都可以使用, 而不像二阶导数方法那样有局限性. 下面是一个两种方法

都适用的例子. 假设函数 f (x) = x ln(x). 这是上一节中使用过的例子!

我们已经通过一阶导数方法发现 1/e 是该函数的局部最小值. 现在就用


二阶导数方法再试一下.




首先, 忆及 f' (x) = ln(x) + 1, 所以 f' (1/e) = 0. 很容易看出, f'' (x)

= 1/x. 所以当 x = 1/e 时, 有 f'' (e) = e, 而这是个大于零的数. 所以


该函数在 x = 1/e 的凹性为凹向上, 就像一个碗的形状; 而根据前面的


总结, x = 1/e 的确为局部最小值.





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第 12 章 绘制函数图像





现在是时候来看一下绘制函数 y = f (x) 的图像的一般方法了. 当我们

绘制函数图像时, 并没有打算追求完美, 而只是希望能把函数的主要特


征表现出来. 确实, 我们将用到已经掌握的微积分知识：用极限去找渐


近线, 用一阶导数去找极大值和极小值, 用二阶导数去找函数的凹性.


以下是我们将要讨论的话题：



建立符号表格这种有用技巧;




绘制函数图像的一般方法;




如何应用该方法的五个例子.



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12.1 建立符号表格





假设要绘制函数 y = f (x) 的图像. 对于任意的 x 值, 它所对应的 f (x)


可能为正, 可能为负, 可能为零, 也可能在该点没有定义. 幸运的是, 如


果该函数除可能少量点外都是连续的, 并且你能找到它所有的零点以及

不连续点, 那么通过使用符号表格就可以很容易地看出 f (x) 在哪里为


正, 哪里为负了.




下面就是具体做法：首先, 以递增的顺序列出所有零点和不连续


点. 例如, 如果









那么零点分别为 3 和 1, 不连续点分别在 0 和 -2. 按递增的顺序排列


就是 -2, 0, 1, 3. 现在, 建立一个三行多列的表格, 前两行分别标为 x

和 f (x), 第三行暂时留白. 接下来, 把刚才列出的零点以及不连续点填


入表格的第一行, 并且每个数的左右都要留出空格, 如图 12-1 所示.















图 12-1

现在你可以填充第二行的部分空格 —— 函数值为 0 的点直接填 0, 不


连续点填以星号, 见图 12-2.














图 12-2




接下来, 在第一行的每两个数之间及其前后选取你喜欢的数. 在我们的


例子中, 可能会为 -2 的左边选 -3, 在 -2 和 0 之间选 -1, 如此等等. 最

后表格看上去会如图 12-3.















图 12-3




我们也可以选 -4 而不是 -3, 选 1/3 而不是 1/2 ——这是无关紧要的.


我们可以选取两个数之间的任意数. 接下去要做的是, 判断所选的数所


对应的函数值的正负. 例如当 x = -3 时,

所以我们可以在 -3 的下面填一个减号. 实际上没有必要完全求出函数

值, 因为我们不怎么关心 f (-3) 的具体值, 只关心它的正负. 我们只需


通过判断每一个因式的正负去判断整个算式的正负. 具体说, 当 x = -3


2
时, (x -3) 为负, (x - 1) 为正, (必然为正, 因为这是个平方表达式!)
3
x 为负, (x + 2) 也为负. 这样, 总的效果是









所以 f (-3) 为负. 现在试着对其他数作同样的分析, 应该得到图 12-


4.















图 12-4



这里的关键不是 f (-3) 为负, 而是 f (x) 对于所有的 x < - 2 都为负.


数 -3 仅仅是 (-∞, -2) 中所有数的一个代表性样本. f (-3) 的正负体现


了该函数在 (-∞, -2) 区间内的正负. 类似地, 由于 f (-1) 是正的, f (x)

在 (-2, 0) 的整个区间内是正的. 这样的表格已然告诉了我们关于函数


y = f (x) 的很多信息, 对此将在 12.3.1 节再展开讨论.



下面是另一个例子. 假设函数

我们在 10.1.4 节中已经见过这个函数了. 现在用符号表格再来更仔细


看一下这个函数. 该函数的零点只有 x =0 和 x =5, 但没有不连续点.

所以特殊点为 0 和 5. 接下来需要填表. 在 0 的左边我选 -1, 在 0 和


5 之间我选 2, 在 5 的右边我选 6. 所以我们的表格大致如图 12-5.















图 12-5




下面是我如何得到在 -1, 2 和 6 处的符号.



2
3
当 x = -1 时, x 和 (x - 5) 都为负. 因此, f (-1) 为 (-) (-) = (+)
(-) = (-).




2
3
当 x = 2 时, x 为正, (x - 5) 为负. 因此, f (2) 为 (+) (-) , 仍然
为负.




3
2
当 x = 6 时, x 和 (x - 5) 都为正. 因此, f (6) 为 (+) (+) =
(+).



我们会在 12.3.3 节绘制该函数图像时再次回到这个表格. 不过现在,


先看看如何建立一阶导数和二阶导数的符号表格.

12.1.1 建立一阶导数的符号表格




正如 11.3.1 节所述, 一阶导数的符号可以告诉我们关于函数的很多信


息. 导数为正, 函数为增函数; 导数为负, 函数为减函数; 导数为 0, 函数

有局部最大值、局部最小值或水平拐点. 一个一阶导数的符号表格能把


所有这些信息简明扼要地总结出来.



方法同刚才 f (x) 的符号表格所用方法是一样的, 只是现在你是基于 f'


(x). 另外一个不同之处是, 当 f' (x) 为 0 时, 我们在第三行画一条小水


平横线; 当 f' (x) 大于 0 时, 我们画一条斜向上的斜线; 当 f' (x) 小于


0 时, 我们画一条斜向下的斜线.



2
3
让我们看看它如何应用于刚才的例子 f (x) = x (x - 5) . 在
2
10.1.4 节中已经算得 f' (x) = 5x(x - 5) (x - 2). (如果你不想翻回去

看, 可以自己重新计算一下!) 这意味着当 x =0, x =2 或 x =5 时 f'

(x) = 0. 让我们选取它们之间的一些点：在 0 的左边选 -1; 在 0 和 2


之间选 1; 在 2 和 5 之间选 3; 最后, 在 5 的右边选 6. 我们的符号表


格目前看上去如图 12-6.















图 12-6

接下来, 需要判断在所选取的这些新点上 f' (x) 的符号. 例如, 当

x = -1 时, 5x 为负, (x - 5) 为负, (x - 2) 也为负, 所以 f' (-1) 的符号


2
为 (-)(-) (-) = (+). 我留给你重复这个练习, 判断其他几个点上的符

号, 确保得到图 12-7.

















图 12-7



注意我在第三行是怎样画线的：当 f' (x) 为正时, 画斜向上的线; 当 f'


(x) 为负时, 画斜向下的线; 当 f' (x) 为 0 时, 画水平的线. 这样我们马


上就知道, 当 x < 0 和 x > 2 时 f 为增函数; 当 0 < x < 2 时, f 为减

函数. 上述表格也告诉我们, x =0 为局部最大值, x =2 为局部最小值,


x =5 为水平拐点. 我们会在 12.3.3 节绘制该函数图像时再次用到这


个表格.



一点提醒：表格第三行中的短线旨在作为你作图时的导引. 函数图像很


有可能根本不像把这些短线连起来后的样子! 所以应该只用那一行中的


信息来理解函数在哪里是增函数、在哪里是减函数, 或者在哪里暂时是


水平的.

12.1.2 建立二阶导数的符号表格




我们也已经看到二阶导数的重要性 (回顾一下 11.4 节). 当二阶导数为


正时, 函数图像是凹向上的; 为负时, 图像是凹向下的; 为 0 时, 你可能

得到也可能得不到一个拐点. 一张二阶导数的符号表格会告诉我们这些


信息.



方法同函数值或一阶导数的符号表格所用方法是一样的, 只是现在第三


行要用来表示函数图像是凹向上还是凹向下. 当 f'' (x) 为正时, 画一个


开口向上的小抛物线; 为负时, 画一个开口向下的; 为 0 时, 画一个点.



3
2
回到刚才的例子 f (x) = x (x - 5) , 我们已经知道 f' (x) = 5x(x
2
- 5) (x - 2). 为了对这再求导, 需将 x 和 (x - 2) 合并在一起, 得到 f'

2
2
(x) = 5(x - 5) (x - 2x). 接下来, 可以应用乘积法则, 得到





2
提出公因式 (x - 5) 并重新整理, 得到 f'' (x) = 10(x - 5)(2x - 8x +

2
5). 实际上, 可以使用二次方程求根公式去求 2x - 8x + 5 = 0 的解,

求得解为 所以可以把 f'' (x) 彻底地因式分解为











这意味着当 和 x = 5 时, f'' (x) 的值为 0. 这


样我们初步得到 f'' (x) 的表格如图 12-8.

图 12-8




现在, 要填充空白处. 如果能知道 的大概值会很有帮助, 所以


让我们试着不用计算器去估算一下. 你看, 是在 2 和 3 之间 (因为


6 是在 4 和 9 之间), 所以 是在 1 和 3/2 之间. 这意味着



是在 和 2 - 1 = 1 之间, 而 是在 2+1=3 和



之间. 所以我们在 的左边选 0; 在 和


之间选 2; 在 和 5 之间选 4; 最后, 在 5 的右边选 6.


这样就会得到图 12-9.
















图 12-9





确保你理解了上表中我所填写的所有符号是正确的. 例如当 x =

0 时, f'' (x) 的三个因式都是负的, 所以乘积也是负的. 还要注意到我如

何在第三行画小抛物线. 你可以很清楚地看到, 当


或 x > 5时, 图像是凹向上的; 而当



或 时, 图像是凹向下的. 同时, 点 和


5 都是拐点, 因为在这些点的左右两侧的凹性正好相反. 我们会在

12.3.3 节再回到这个表格.




9
8
再看另一个例子. 假设 g(x) = x -9x . 很容易算得 g' (x) = 9x 8
7
6
7
6
-72x , g'' (x) = 72x - 72 × 7x = 72x (x - 7). 所以当 x = 0 或
x =7 时 g'' (x) = 0. 让我们选 x = -1, x =3 和 x = 8 作为填充的
点. 我留给你来证明 g'' (-1) < 0, g'' (3) < 0 和 g''(8) > 0. 最终 g''


(x) 的符号表格应该大致如图 12-10.





















图 12-10



可以发现, x = 0 并不是拐点, 因为在 x = 0 两侧函数都是凹向下的.


另一方面, x = 7 却是拐点, 因为在 7 的左边函数是凹向下的, 而在 7

的右边是凹向上的.

正如我们在上一节提醒的, 第三行中的图示旨在作为你作图时的导引.

它们表明原始函数在哪里是凹向上的, 在哪里是凹向下的. 对于函数图


像实际上是什么样子的, 它们只能给个大概. 这正是为什么我们需要去


看一种绘制函数图像的全面方法. 前面提到的三种类型的符号表格会在

这种方法中用到, 但事情远不止于此. 所以系好安全带, 我们现在出发


……




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12.2 绘制函数图像的全面方法






下边是一个绘制函数图像的十一步方法. 在你开始绘制图像前, 请先画

好坐标轴, 这样就能把收集到的一些关键信息标记在图像上.




(1) 对称性 通过用 -x 替换 x, 然后看是否能得到原始函数, 来检验函


数是奇函数、偶函数或者两者都不是. 如果函数奇函数或偶函数, 你只

需画出 x ≥ 0 的部分, 另外一部分可以通过对称性得到. 这能为你节


省很多时间.




(2) y 轴截距 通过设 x = 0 来求 y 轴截距 (如果存在的话), 并把它


标记在图像上.



(3) x 轴截距 通过设 y = 0 并解得 x 来求 x 轴截距 x. 但这有时会


很困难, 甚至不可能. 例如, 如果要因式分解一个次数为三或更高的多


项式, 可能需要反复观察找出一个根, 然后利用多项式除法降次, 再继

续因式分解. 在图像上标记 x 轴截距.




(4) 定义域 求出函数 f 的定义域. 如果定义域在 f 的定义中已给出,


那不需要再做什么; 否则的话, 定义域应该包括实数线上尽可能多的部


分. 记住, 要剔除那些使得分母为 0、偶次根号下的量为负数, 或者对

数符号里的量为负数或 0 的数. 如果牵扯到反三角函数, 情况就更复

杂了, 所以我建议你记住所有反三角函数的定义域. (例如, 无法取不在


区间 [-1, 1] 中的数的反正弦函数.)



(5) 垂直渐近线 它们通常出现在分母为 0 的位置 (如果有分母的


话!). 注意： 如果此时的分子也为零, 那得到的是一个可去不连续点 1


而不是一条垂直渐近线. 此外, 也可能由于对数因式而得到垂直渐近

线. 在图像上用垂直的虚线来标记所有的垂直渐近线.




1 例如, 如果 f (x) = (x - 3x + 2)/(x - 2). 通过因式分解, 分子变为 (x - 1)(x - 2), 很容易
2

看出 f (x) = x - 1 (除去 x = 2, 在那里函数 f 没有定义). 其图像可见 3.1 节.



(6) 函数的正负 像 12.1 节描述的那样建立一个符号表格. 从上边的


第 (3) 步可知函数的零点, 从第 (4) 步和第 (5) 步可知函数的不连续


点. 这个表格会告诉你, 在哪里函数图像位于 x 轴之上, 在哪里位于 x

轴之下.




(7) 水平渐近线 通过计算 和 来找出函数的水平渐


近线. 即使这个极限为 ±∞, 它也会告诉你当 x 非常大 (或负的非常


大) 时函数的走势, 从而得到某种 “倾斜” 渐近线. 不管怎样, 如果有水

平渐近线, 用水平的虚线在图像中标记出来. 在这里, 你可以在水平和


垂直渐近线周围选取一些合适的点去计算这些点的函数值, 并制成符


号表格, 以此来判断函数图像位于渐近线的哪一侧.

(8) 导数的正负 现在轮到微积分上场了. 求出一阶导数, 找到所有的


临界点. 回想一下, 临界点是导数为 0 的点或导数不存在的点. 像

12.1.1 节讲解的那样, 绘制一个关于一阶导数的符号表格. 从表格的


第三行了解该函数何时为增函数, 或者何时为减函数, 何时为水平.




(9) 最大值和最小值 从上面的符号表格中, 你能找到所有的局部最大

值或最小值. 回想一下, 这些值仅出现在临界点处. 对于每一个最大值


和最小值, 你都需要把 x 的值代入 y = f (x), 求出对应的函数值. 要


确保你把这些点标记在了函数图像上.




(10) 二阶导数的正负 求出二阶导数, 并找到所有二阶导数为零或不

存在的点. 像 12.1.2 节描述的那样, 绘制一个关于二阶导数的符号表


格. 该表格的第三行说明了函数图像在哪里是凹向上的, 又在哪里是凹


向下的.



(11) 拐点 使用二阶导数的符号表格去寻找拐点. 回想一下, 在拐点


处的二阶导数一定为 0, 并在该点的两侧二阶导数的符号是相反的. 对


于每一个拐点 x, 你都需要将其代入 y = f (x) 来求出对应的函数值,


并把这些点标记在图像上.



现在, 使用所有你收集到的信息去完成函数图像的绘制. 如果哪里出现


了不一致, 那你可能什么地方出错了! 你收集到的所有这些信息应该是


能够严丝合缝地拼凑在一起的漂亮的函数图像.

顺便提一下, 对于第 (9) 步的局部最大值和最小值, 记住你也可以使用


二阶导数的正负去找 (参见 11.5.2 节). 不过, 这个方法有时并不适用

—— 这也正是我推荐使用一阶导数的符号表格的原因.




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载！！！

12.3 例题





我们先看一个不使用一阶导数和二阶导数的例子, 再看四个使用上述全


面方法的例子.




12.3.1 一个不使用导数的例子




在 12.1 节的开始, 我们提到过函数










现在让我们仅用上述程序的前七步去绘制函数图像.



(1) 对称性 把 -x 而不是 x 代入原始函数, 努力变换一番, 但这是徒劳


的, 所以该函数是非奇非偶的.



(2) y 轴截距 设 x = 0, 则该函数分母为零. 所以该函数在 x = 0 处


趋于无穷大, 没有 y 轴截距.




(3) x 轴截距 设 y = 0, 则我们必有 x - 3 = 0 或 x - 1 = 0, 所以 x

轴截距为 1 和 3.




(4) 定义域 很显然, 该函数的定义域为除 0 和 -2 外的所有 x.

(5) 垂直渐近线 当 x = 0 或 x = -2 时, 分母都趋于 0, 而此时分子


不为 0, 所以这两处有垂直渐近线.



(6) 函数的正负 这一点已经深入讨论过了, 我们知道该函数在 (-2, 0)


和 (3, ∞) 为正, 其余全为负 (除了在 x 轴截距和垂直渐近线处). 作为

参考, 图 12-11 是在 12.1 节中出现的表格.















图 12-11




(7) 水平渐近线 为此, 需要去求





和 .





我留给你来证明这两个极限均为 0 (使用 4.3 节中的方法), 所以

该函数在 y = 0 有一条双侧水平渐近线.




现在可以画函数图像了. 让我们先把已知的点标记在图 12-12 上.

图 12-12




两条水平渐近线都是 y =0. 在图像的左手边, 曲线在 x 轴的下方, 因为

当 x < -2 时函数值是负的. 在图像的右手边, 曲线在 x 轴的上方, 因为


当 x > 3 时函数值是正的 (可通过符号表格看出来). 至于垂直渐近线,


在 x = -2 的垂直渐近线的右侧, 函数为正, 在其左侧则为负 (再次用到


了符号表格). 用同样的方式来分析 x = 0 的垂直渐近线. 现在考虑 x

轴截距. 在 x =1 点函数与 x 轴相切, 因为在该点的两侧函数值都是负


的. 另一方面, 在另一点 x =3, 函数通过 x 轴, 因为在该点两侧的函数


值的正负是相反的. 下面让我们把这些小段用平滑的曲线连接起来, 从

而得到图 12-13.

图 12-13




这是对函数图像大致样子的一个相当不错的近似. 可问题是, 除了知道

在 x = 1 有局部最大值, 我们并不知道其他的局部最大值和最小值. 显


然, 在 x = -2 和 x = 0 之间有至少一个局部最小值, 在 x = 1 和 x =


3 之间有至少一个局部最小值, 在 x = 3 右边有至少一个局部最大值.


不过, 极值还可能有更多 —— 图像可能有比目前展现的更多的起伏.

不使用导数我们是无法判断的.




那么为什么不使用导数呢？因为对于这个函数, 导数实在太难求解了!

如果你不怕麻烦去求导, 就会发现

我们实际上已经知道 x = 1 是它的局部最大值, 所以 f'(1) 应该为 0.

你可以检验一下, 发现当 x =1 时, 分子确实为 0. 这意味着 (x - 1) 为


2
3
分子的一个因式, 通过长除法, 可以发现分子为 (x - 1)(-x + 9x - 2x
- 18). 这仍然留下了一个三次方程需要去处理, 但至少我们知道这个三

次方程最多有三个解. 这意味着除了 x = 1 外, 最多还有另外三个临界


点. 具体说, 这个图像并没有更多的起伏, 有的只是从上图中可以看出


的四个临界点.




至于使用二阶导数去找出凹性和拐点, 我只能说, 情况会比一阶导数的

还要糟糕. 所幸另一方面, 并不是每一个函数都有这么难以处理的导数


—— 让我们看以下的四个例子, 在它们身上可以应用完整的方法.




12.3.2 完整的方法：例一




在 11.5.1 节的结尾部分, 我们看到函数 f (x) = x ln(x) 在 x =

1/e 这点有局部最小值. 我们甚至画出了它的局部图像. 现在就应用完


整的方法把函数 y = f (x) 的图像补充完整.




(1) 对称性 当 x ≤ 0 时, 该函数甚至没有定义, 所以它显然不可能是


奇函数或偶函数.



(2) y 轴截距 设 x = 0, 则该函数在 x =0 没有定义, 所以它不可能


有 y 轴截距.

(3) x 轴截距 设 y = 0, 则我们必有 x = 0 或 ln(x) = 0. 不可能有

x = 0, 因为在 x = 0 处没有定义; 如果 ln(x) = 0, 那么 x = 1. 所以


唯一的 x 轴截距为 x = 1.




(4) 定义域 由于有因子 ln(x), 所以该函数的定义域必定为 (0, +∞).



(5) 垂直渐近线 因子 ln(x) 是否可能会在 x = 0 引入一条垂直渐近


线？让我们检验一下. 由于该函数只有在 x > 0 才有定义, 所以只需要


考虑它的右极限, 即 . 实际上, 从 9.4.6 节我们已知, 这个极

+
限为 0, 因为随着 x → 0 对数函数缓慢地趋于 -∞. 所以该函数没有垂

直渐近线, 仅仅在原点有个 (右侧) 可去不连续点.




(6) 函数的正负 我们已经知道该函数对于 x ≤ 0 没有定义, 与 x 轴

的截距仅仅有一点 x = 1. 所以还需要在其之间的空格填入诸如 x =


1/2 和 x = 2. 当 x = 1/2 时, ln(1/2) = -ln(2), 为负, 所以 f 的符号


为 (-). 当 x = 2 时, 很容易可以看出 f 的符号为 (+). 这样符号表格看


上去如图 12-14.

















图 12-14

(7) 水平渐近线 仅需要考虑 , 因为 x → -∞ 的极限甚至说都


说不通. 而上述极限显然为 ∞, 因为随着 x → ∞, x 和 ln(x) 都趋于 ∞.

所以也没有水平渐近线.




(8) 导数的正负 通过使用乘积法则, 可以得出 f'(x) = ln(x) + 1 (正

-1
如在 11.5.1 节计算过的). 所以当 ln(x) = -1, 即 x = e = 1/e 时,

f'(x) = 0. 我们只需选在 x =0 和 x = 1/e 之间的一点, 以及大于 x =


1/e 的另一点. 不妨分别选 x =1/10 和 x =1. 注意到 f'(1/10) =


ln(1/10)+ 1 = - ln(10)+ 1, 它显然为负; 而 f'(1) = ln(1) + 1, 它为

正. 这样, f'(x) 的符号表格看上去如图 12-15.

















图 12-15




(9) 最大值和最小值 通过上边的表格可以知道, 仅仅在 x = 1/e 点有


-1
-1
-1
局部最小值. 现在只需计算出 y 值：y = e ln(e ) = -e = -1/e.
所以局部最小值的坐标为 (1/e, -1/e), 正如我们在 11.5.1 节已经见到

的那样.




(10) 二阶导数的正负 由于 f'(x) = ln(x) + 1, 有 f'' (x) = 1/x. 又由

于函数 f 的定义域为 x > 0, 所以对于相关的 x, 都有 f'' (x) > 0. 这意

味着 f 始终是凹向上的.



(11) 拐点 由于 f'' (x) = 1/x, 永远不可能为 0, 所以没有拐点.




现在把所有收集到的信息标记在图像上. 我们在原点有一个可去不连续

点, 在点 (1/e, -1/e) 有一个局部最小值, 在 x 轴上的截距为 1, 并且没


有水平或垂直渐近线. 当 x < 1 时, 图像在 x 轴的下方; 当 x > 1 时,


图像在 x 轴的上方. 此外, 函数当 0 < x < 1/e 时为减函数, 当 x >


1/e 时为增函数, 并且始终是凹向上的. 因此, 它的图像必定看上去如图


12-16.
































图 12-16




这不能说完美, 但比起 11.5.1 节的初步尝试是要好太多了, 毕竟我们


现在知道了多得多的信息.

12.3.3 完整的方法：例二




3
2
再看一个以前的例子：f (x) = x (x-5) . 在 10.1.4 节中, 已经绘
制出了 y = f (x) 图像的大致样子; 而在 12.1 节中, 也已经制作了 f

(x)、f' (x) 和 f'' (x) 的符号表格. 这意味着我们可以加大油门, 快速通


过.



3
2
(1) 对称性 如果用 (-x) 替换 x, 你会得到 f (-x) = (-x) (-x-5) = -
2
3
x (x+ 5) . 这既不是 f (x) 也不是 -f (x), 所以该函数非奇非偶. 好吧,
你总不可能事事顺心如意.




(2) y 轴截距 当 x =0 时, y = f (0) = 0. 所以 y 轴截距为 y = 0.



2
3
(3) x 轴截距 如果 y =0, 则肯定有 x = 0 或 (x - 5) = 0, 所以 x
轴截距为 x = 0 或 x = 5.



(4) 定义域 很显然, f (x) 可以取任意的 x, 所以该函数的定义域为全


体实数 .




(5) 垂直渐近线 由于定义域为全体实数, 所以没有垂直渐近线.



(6) 函数的正负 正如我们在 12.1 节所见, f (x) 的符号表格如图 12-


17.

图 12-17



所以仅当 x > 5 时, 图像在 x 轴上方.




(7) 水平渐近线 很容易看出：



和 .




3
2
毕竟, 当 x → ∞ 时, x 和 (x - 5) 都趋于 ∞, 因此它们的乘积也趋于
3
2
∞; 而当 x → -∞ 时, x 趋于 ∞ 而 (x - 5) 趋于 -∞, 所以乘积趋于
-∞. 我们还可能注意到, 当 x 非常大 (正的或负的) 时, 量 (x - 5) 表现


2
得像其最高次项 x, 所以在图像的左右两端 (但不是在原点附近), x (x
3
5
- 5) 表现得像 x .


(8) 导数的正负 正如我们在 12.1.1 节所见, f'(x) 的符号表格如图


12-18.

图 12-18



这告诉了我们函数在哪里为增函数、在哪里为减函数, 或在哪里为水平


的.




(9) 最大值和最小值 从上表中可以看出：x = 0 为局部最大值, x =

2 是局部最小值, 而 x = 5 是水平拐点. 现在需要计算这些点对应的函


2
3
数值. 通过把这些 x 值代入 f (x) = x (x - 5) 可得：f (0) = 0, f (2)
2
3
= (2) (-3) = -108, 以及 f (5) = 0. 所以在原点处有局部最大值, 在
点 (2, -108) 有局部最小值, 而点 (5, 0) 是水平拐点.



(10) 二阶导数的正负 在 12.1.2 节中, 我们已经见到图 12-19.
















图 12-19



通过该表格, 可以看出函数在哪里是凹向上, 在哪里是凹向下. 注意到


f'' (0) < 0 以及 f'' (2) > 0, 前者再次确认了临界点 x = 0 是局部最


大值, 而后者则再次确认了临界点 x = 2 是局部最小值.




(11) 拐点 从上表中还可以判断出 和 x = 5


为该函数的拐点. 事实上, 最后一个点是我们早就知道的, 因为在步骤

(9) 已经看到点 (5, 0) 为水平拐点. 其他两个点则要麻烦许多, 需要分


2
3
别把 代入原始函数 f (x) = x (x - 5) . 不幸


的是, 得到的结果一团糟. 这里我们取个巧, 设 和



. 这意味着










实际上, 如果费劲把它乘开, 你可以化简这个表达式, 但这毫无乐趣可


言. 我们也可以难得使用计算器去计算得到 α 大约等于 -45.3, β 大约

等于 -58.2. 但这些仅仅是近似值! 计算器不可能给出像 α 或 β 这样的


无理数的准确数值. 不管怎样, 我们知道该函数的拐点为




和 (5, 0).



现在, 让我们把一切拼凑起来. 画出坐标系, 标注原点处的 y 轴截距、0


和 5 处的 x 轴截距, 原点处的局部最大值、(2, -108) 处的局部最小



值, 以及 (5, 0) 处的水平拐点、 和 处的非水


平拐点. 我们还知道当 x → ∞ 时, y → ∞ 以及 x → -∞ 时, y → -∞, 所


以可以用小段曲线表示这一点. 综合起来, 得到图 12-20.

图 12-20





注意到我们从 f' (x) 的符号表格已知, 曲线在拐点 处的斜率




为负, 在拐点 处的斜率为正. 现在只需把各段连接起来, 得


到图 12-21.

图 12-21



再一次地, 这比我们在 10.1.4 节中的绘图尝试要做得更好, 因为它还


表示出了拐点.




12.3.4 完整的方法：例三




现在, 让我们绘制 y = f (x) 的函数图像, 其中







2
2
(1) 对称性 用 (-x) 代替 x, 我们得到 -x e -3(-x) /2 = -x e -3x /2 = -

f(x), 所以该函数为奇函数. 这是一个意外之喜：仅仅需要绘制 x ≥ 0

的部分, 剩下的一半则很容易得到.

2
(2) y 轴截距 当 x =0 时, y = 0e -3(0) /2 = 0. 所以 y 轴截距为 y

= 0.



2
(3) x 轴截距 当 y = 0 时, 0 = x e -3x /2 , 所以要么 x = 0 要么 e -


2
3x /2 = 0. 后一个方程是无解的, 因为指数函数永远为正. 因此 x 轴截

距仅有 x = 0. 到目前为止, 我们知道的只是, 该函数为奇函数且它与


坐标轴只相交于原点.



(4) 定义域 很明显, x 可以取任意值而不会引出问题 —— 这里没有


偶次根或对数, 而即使把函数写成









分母也不会为 0, 因为指数函数始终为正. 所以定义域为全体实数 .



(5) 垂直渐近线 没有垂直渐近线, 因为定义域为全体实数 .




(6) 函数的正负 我们知道使 f (x) = 0 的点仅有一点, 就是 x = 0 时.

这样就有图 12-22 所示的这个极其简单的符号表格.
















图 12-22

从表格中可以看出, 当 x > 0 时函数为正, 当 x < 0 时函数为负.



(7) 水平渐近线 为此, 需要求





和



2
注意到在两种情况下 3x /2 都是一个很大的正数, 所以分母是一个很

大的指数. 由于指数函数增长迅速 (参见 9.4.4 节), 两个极限都为 0.

所以有一条双侧水平渐近线 y = 0.




(8) 导数的正负 现在需要求导. 通过使用乘积法则和链式求导法则,


你可以检验一下







它处处都有定义, 但它什么时候为 0 呢？由于指数函数始终为正, 所以


2
仅当 1 - 3x = 0, 即当 或 时, 导数才为 0. 让我

们选 -1, 0 和 1 填充之间的空白, 这样导数的符号表格看上去像图 12-

23.


















图 12-23

从表格中可以看出, 函数在 和 之间时为增函数, 在其他区间

则为减函数. 还注意到 f 是奇函数这一点 (从步骤 (1) 可知) 在上表第


三行中显而易见.




(9) 最大值和最小值 从上面的符号表格很容易看出, 对应的

点是局部最大值, 对应的点为局部最小值. 剩下要做的只是


把 x 值分别代入原始函数以求得 y 值. 当 时, 有










这样在点 有局部最大值. 又由于函数为奇函数, 我们甚


至不需要把 代入就可以看出, 必有 为局


部最小值.



(10) 二阶导数的正负 为此需要再次求导, 再次使用乘积法则和链式


求导法则. 得到







2
再一次地, 由于指数函数始终为正, 所以仅当 x = 0 或 x - 1 = 0, 即

当 x =0, x =1 或 x = -1 时, f'' (x) 才为零. 其符号表格看上去如图


12-24.

图 12-24



2
当 x =1/2 时, 因子 9x 为正, 但 (x - 1) 为负, 同时指数函数始终为

正, 所以整个结果为负. 当 x =2 时, 同样容易看出二阶导数为正. x =


-1/2 和 x = -2 时的情况也容易判断, 并且遵从对称性. (由于原始函数

为奇函数, 它的导函数为偶函数, 它的二阶导函数为奇函数. 你可能需


要在这上面稍微思考一下!) 从第三行可以看出, 当 x < -1 或 0 < x <


1 时, 函数的图像是凹向下的; 当 x > 1 或 -1 < x < 0 时, 图像是凹


向上的. 顺便说一下, 注意到在临界点 , 二阶导数为负 —— 这

再次确认了在该点有局部最大值. 类似地, 当 , 二阶导数为


正, 所以确实在该点有局部最小值.




(11) 拐点 从上表中可以看出, 在 x =0, x =1 或 x = -1 这些点, 函

数的凹性都会发生变化. 所以这些点都是函数的拐点, 而我们需要做的


仅是求出这些点对应的 y 值. 通过把这些点代入原始函数 y = x e -

2
3x /2 , 容易得到这些拐点的坐标分别为 (1, e -3/2 ) , (-1, -e -3/2 ) 和 (0,


0).

如果你真的一直很乖的话, 应该已经在坐标系上标出了所有已知的信


息, 得到图 12-25.
































图 12-25




在上图中可以看到 x 轴和 y 轴截距 (都在原点)、水平渐近线 (x 轴)、


在 的最大值、在 的最小值, 以及在

(0, 0) 和 的拐点 (在图中暂时用虚线表示). 由于


在步骤 (6) 知道了 f (x) 的正负, 甚至已经分析了该函数在水平渐近线


附近的走势, 所以在图中将这一点体现了出来. 不管怎样, 剩下需要做

的只是如图 12-26 把各段连接起来. 这样就确实把图像的所有重要特


征都体现了出来。