普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

图 29-22



所以, 变式 3 的一般思想是：

图 29-23



我们来看一些变式 3 的例子. 在这些例子中, 我们将讨论在曲线 y =


3
x 、直线 x = 2 和 y = 1 之间的区域, 如图 29-23 所示. (注意图中
的 x 轴和 y 轴尺度不同, 因此这只是个粗略图. ) 我们先来求该区域绕


直线 y = 1 旋转所得立体的体积. 为求该体积, 就要将 y 替换为 y - 1,


该图向下移 1 个单位. 因此体积是

很容易算出它为 163π/14 立方单位. 想一想能否通过求圆盘的体


积来验证这个答案 (小条是垂直的).



若此区域绕直线 x = 2 旋转呢？这其实是变式 1 和变式 3 的组


合, 由于旋转轴平行于 y 轴, 所以我们将交换 x 和 y, 并用 (2 - x) 代

换 x 来处理这个平移. 注意这里是 (2 - x) 而不是 (x - 2), 因为区域在


直线 x = 2 的左边. 同样, 积分应该从 1 到 8, 因为积分是关于 y 而不


是关于 x 的. 因此体积为










化简后为 8π/5 立方单位. 最好验证一下通过求圆盘体积也可求出该体

积, 不过注意, 这次我们将区域切成了水平小条, 就像变式 1 一样.




若我们让此区域绕 x = -3 旋转呢？开始有点乱了. 若我们用垂直


小条, 则需用壳法, 因为每个小条的短边垂直于旋转轴. 我们将组合使

3
用变式 2 和变式 3. 垂直来看, 区域在两个曲线 y = x (在顶部) 和
1
y = 1(在底部) 之间. 同样, 壳法标准公式中的 x 要替换为 (x + 3).
2

这意味着体积由










给出, 计算可得 259π/10 立方单位.

我们来重复这个例子, 这次取水平小条. 现在我们要用圆盘法, 因

为每个小条的短边平行于旋转轴. 我们需交换 x 和 y, 因为旋转轴是垂


直的 (变式 1); 同样, 我们要把该区域看作平放在右曲线 x = 2 和左
1

曲线 x = y 1/3 之间; 最后, 我们需将 x 代换为 x + 3(变式 3), 意思
2

是将 x 代换为 x + 3 且将 x 代换为 x + 3. 所以这个例子运用了
1
1
2
2
2
2
以上三个变式! 标准圆盘体积是 πy dx; 交换 x 和 y 可得 πx dy; 用 x
2
+ 3 代换 x 得 π(x + 3) dy; 对该形式分别关于 x 和 x 从 1 到 8
2
1
积分, 取差. 可得体积为









算出来仍为 259π / 10 立方单位. 至少我们得到了一样的答案! 同样,


最好你可以自己求圆盘体积.




至此, 我们已经有足够多关于旋转体体积的理论了, 要想掌握所有的变

式就必须多做练习. 现在是时候讨论求更一般立体体积了.




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29.2 一般立体体积






大多数立体不能通过平面区域绕平面内某轴旋转而形成. 例如, 一个棱

锥没有曲面, 所以无论你怎么看, 它都不是旋转体. 求类似立体体积的


一个方法是切片法, 这是推广了 29.1.1 节的圆盘法.




把立体想象成一种蔬菜, 比如黄瓜或南瓜. 将它放在案板上切成薄的平

行的切片. 这些切片的大小不会全部相同, 甚至一个切片的两面也不一


样. 例如黄瓜, 靠近端部的切片会有点斜. 另一方面, 若切片很薄, 则它


的两面会很接近. 所以我们将取其中一面的面积乘上切片的厚度来近


似切片的体积 —— 取哪面都没关系. 然后我们将把所有切片的体积加

起来, 求切片厚度趋于 0 的极限.




在实践中, 这个过程有些复杂. 事实上, 有很多方法来切割立体. 例如,


若切平放的黄瓜, 则得到盘状的薄切片; 若切竖放的黄瓜, 虽然较难,

不过还是可行的, 你会得到大小不同的椭圆形切片. 或者, 将黄瓜倾斜


一个角度, 切得更小的椭圆形.




基本上, 你的选择是：选择一个轴, 它不必穿过立体. 所有的切片将垂


直于这个轴. 一旦选定了轴, 后续的思路就清晰了：求得每个垂直于该

轴的切片的横截面面积. 不同的切片有不同的面积. 所以, 要在轴上选


择一个原点和正方向, 然后算出穿过 x 的切片的横截面面积, 其中 x

是轴上的任意一点. 最后一步是用面积乘厚度 dx 来近似切片的体积,


然后积分. 这步相当于把所有切片的体积加起来, 同时取切片最大厚度

趋于 0 的极限. 综上, 解题思路是：




(1) 选定一个轴;



(2) 求轴上点 x 处的切片横截面面积, 称该面积为 A(x) 平方单位; (3)


若 V 为立体的体积 (立方单位), 我们有










其中 [a, b] 是完全覆盖立体的 x 的取值范围.




相信我, 你一定要选一个使横截面越简单越好的轴. 最好能确保横截面

都很相似, 也就是它们互为不同大小的副本. 不过, 这个可能也不是总


有.




让我们用上述方法求一个 “广义” 锥体的体积. 这里的意思是, 在

平面上有面积为 A 平方单位的某个形状, 平面上方一定距离处有一顶


点 P , 如图 29-24 所示. 现在, 我们做从平面形状边上的每个点到 P


的线段, 这就得到一个底为起始形状的曲面. 我们要讨论的立体就是被


填充了的曲面, 或者说是曲面的内部. 图 29-25 为大概的曲面框架图.

图 29-24


































图 29-25




例如, 若底为圆且点 P 在圆心的正上方, 则我们得到一个通常的圆锥.

若底为正方形且点 P 在正方形中心 (即正方形对角线的交点) 的正上

方, 则我们得到一个四棱锥. 你可以想象一下, 什么样的底和顶点 P 可


以得到规则的锥体或斜锥体 (就像一顶奇怪的帽子, 类似巫师帽, 但不

是直的). 结果表明, 与求立体体积相关的仅有的量是底面积 —— A 平


方单位, 以及点 P 到平面的垂直距离 —— h 单位 (图 29-25 已标出).




那么, 如何求体积呢？首先要选一个轴. P 似乎是一个特殊的点, 所以

我们选择的直线或许应该穿过 P . 那其他点呢？你可以进行各种尝试,


但唯一有用的是让直线垂直于底所在的平面. 我们也把轴的原点设在


P , 正方向向下, 这会使计算更容易. (看起来有点怪, 但谁说正方向不


可以向下呢. 毕竟, 广义锥体也可能顶点在下, 此时向上是正方向.) 我

们来看若选择轴上的点 x 并取穿过 x 的垂直切片会怎样 (参见图 29-


26).

































图 29-26

横截面是原底的一个较小副本. 用数学语言讲就是横截面与底相似. 现


在我们要求横截面的面积. 为此, 我们选取底的边上任意一点并连接到

P . 这条线在广义锥体的边上, 且穿过较小截面上的相应点. 我们选的


点最好能使得直线位于图像的右边缘, 当然我们也可以选底的边上任


意点. 我们还要画一些垂线段, 如图 29-27 所示.































图 29-27




我在上图标出了垂线的长度. 垂线形成的三角形如图 29-28 所示.

图 29-28




运用相似三角形, 我们可知









这意味着 l = xL/h. 我们验证一下这个方程. 若 x = 0, 则切片过锥体


的顶点 (P) 且 l 应该为 0, 而它就是 0. 另一方面, 若 x = h, 则切片是

底, 且横截面不是底的较小副本 —— 它就是底. 所以, 这时 l 理所当然


应该等于 L. 事实的确如此.




现在我们来看底和横截面, 其中画出了长度为 L 和 l 的线段, 如图 29-


29 所示.

图 29-29



在这两幅图中, 包括线段在内都是相似的 —— 一个是另一个的精确放


大. 这里有一个相似性的重要原理. 假设我们有两个相似图形, 且已知


两个图形中对应线段的长度. 当我们将一个图形放大到与另一个图形

一样大小时, 两条线段应该严格匹配. 那么, 两个图形的面积之比就是


对应线段长度之比的平方. 例如我们取两个正方形的瓷砖, 其中一个边


长是另一个边长的 3 倍, 则大瓷砖的面积是小瓷砖面积的 9 倍. 回到


上图, 底的面积是 A 平方单位, 横截面的面积是 A(x) 平方单位. 因此,

面积之比是对应线段长度之比的平方, 在本例中长度是 L 和 l, 则










化简并运用前面 l 的表达式, 可得










同样来验证一下：若 x = 0, 横截面为点 P , 此时横截面没有面积. 得

2
2
到验证, 因为 A(0) = A × 0 /h = 0. 那 x = h 时呢？这时我们讨论

的是底, 所以横截面面积应该为 A 平方单位. 没问题：A(h) = A ×

2
2
h /h = A.


最后, 我们可以做积分了! 唯一的问题是 x 的范围是多少. 我们可知, x


= 0 是顶, x = h 是底, 这就是 x 的正确取值范围. 所以










立方单位.



好了, 我们已求得任意棱锥或类圆锥体的体积公式. 例如讨论过的正圆



2
锥, 体积是 立方单位, 正是根据上面公式由 A = πr 求得的结


果. 对正四棱锥也一样有效, 其体积为 立方单位(其中底边长 l 单

2
位), 因为此时底面积是 A = l .




x
我们再来看一个例子. 取在 x = 0 和 之间的曲线 y = e ,

并考虑曲线和 x 轴之间的区域. 如图 29-30 所示. 假设有一个形状怪

异的立体位于上述平面的上方, 并延伸出纸面, 它的底就是上图的阴影


区域. 该立体的形状是：若沿平行于 y 轴的任何直线竖直向下切, 则其


横截面是一个矩形, 长边位于上图的底上, 短边为长边一半. 将图稍微


倾斜一下来看透视图, 这些横截面的样子如图 29-31 所示.

图 29-30

































图 29-31




该立体的体积是什么？我们先来选轴. x 轴怎样？似乎有道理, 因为我


们知道垂直于该轴的横截面是什么样的. 我们已经有了原点和正方向,

x
那就以它们为准吧. 在轴上的 x 点, 垂线段长度为 e 单位. 这是矩形

长边, 所以短边长度为 单位 (要知道, 短边是长边的一半). 因此矩


形的面积为









平方单位. 故体积是






立方单位.




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29.3 弧长





对于某函数 f , 我们有 y = f (x) 的图像, 其中 x 的取值范围为 a 到 b.


取一段细绳, 顺着曲线摆放, 标记两端, 然后细绳离开纸面, 拉直并测量


两个标记点之间的长度. 你怎么计算曲线长度呢？这个长度称为曲线弧

长, 我们希望找到一个求弧长的公式. 其策略是先得到某个基本表达式,


然后加以修改, 得到一些有用的公式.




我们来看介于 x 和 x + dx 之间的一小段曲线, 如图 29-32 所示.




































图 29-32

我们用虚线段 AB 的长度来近似 A 和 B 之间的曲线长度. A 与 B 越接


近, 近似程度就越好. 根据勾股定理, AB 的长度是 单位.

现在, 我们只需对很多小线段重复该过程, 就形成了对曲线的近似. 像


往常一样, 积分关注连加和极限部分, 要小心. 若只在小段长度

前加一个积分号, 会得到






弧长 .



问题是, 这个积分没有任何意义! 我们需要关于变量的积分. 幸运的是,


我们可以针对各种情形来调整上面的公式, 从而得到有意义的结果. 例


2
如, 你可以将因子 (dx) 移到根号外面, 将小段长度表示为
单位. 这看起来更可行. (这个变动其实需要证明, 不过


其细节超出了本书的范围. ) 不管怎样, 在下面的每个例子中, 我们将讨


论如何调整上面的基本公式来得到合乎情理的弧长公式.




(1) 若 y = f (x), 且 x 在 a 到 b 间取值, 则在上述被积函数中取因子

2
(dx) (如前所述) 并将其移到根号外面得













将其写成关于 f 的形式为

弧长 .



(2) 假设给定关于 y 的 x. 若 x = g(y) 且 y 在 A 到 B 间取值, 则取因

2
子 (dy) (或者, 交换上面方框中公式的 x 和 y) 得














也可写为





弧长 .




(3) 参数形式呢？这意味着 x 和 y 是关于参数 t 的函数, t 在 t 到 t 1
0

2
间取值. (参数方程参见 27.1 节. ) 我们将量 (dx) 看作
2
2
2
(dx/dt) (dt) ; y 同理. 然后可将 (dt) 移到根号外面, 得到一个有用
的公式：














(4) 最后, 这个公式的特殊情况发生在极坐标情形. 特别地, 在 27.2.4


节, 我们讨论了如何求曲线 r = f (θ) 内部的面积, 其中 θ 的取值范围


为 θ 到 θ , 现在我们来求相同曲线的弧长. 我们知道 x = r cos(θ), y
0
1

= r sin(θ), 所以用 f (θ) 代换 r, 可得 x = f (θ) cos(θ), y = f (θ)

sin(θ). 这里的 θ 即为参数, 所以我们可以使用参数版的弧长公式 (t 代


换为 θ). 我们需知道 dx/dθ 和 dy/dθ 是什么. 根据乘积法则,









和










现在需对这两个式子取平方并相加. 试一下吧! 你会发现有些项消


2
2
掉了; 另外, sin (θ) + cos (θ) 项可用 1 代换. 综上, 可得到公式











顺便说一下, 你应该在表示弧长时带上单位.



我们来看一些例子. 假设要求曲线 y = ln(x) 的弧长, 其中 x 的取


值范围为 到 . 我们用前面的第一个公式可得

这其实是个非常难的积分. 你一定要练习一下. 如果卡住了, 对策


是：从一个合适的三角换元开始. 若做对了, 积分对应的不定积分为

2
. 要求它, 可将分子表示为 sec(θ)(1 + tan (θ)), 将原

积分分成两个积分, 再用第 19 章的方法求解. 可验证所得弧长为



单位.



2
若弧长是由参数 x = 3t - 12t + 4 和 表述的, 其中 t

在 3 到 5 间取值, 该怎么求呢？我们需用参数版的公式. 事实上,


dx/dt = 6t - 12, , 故






弧长 .



2
现在, 我们来看被积函数的最里面部分, 其中有一个因子 6 可被提出

来, 得











现在将这个结果带入被积函数并作积分, 可得弧长为 72 单位. 这


就是一件简单的事了, 细节留给你完成!



参数化和速率

在讨论求表面积之前, 我还想谈谈关于参数坐标系下弧长公式的一点


事. 假设一只蚂蚁 (这次不是蜗牛!) 绕一个平地爬行, 我定义在时间 t

秒处的蚂蚁位置是 (x(t), y(t)). 那么, 蚂蚁在时间 t 的速率是多少？我


们知道速度是位移关于时间的导数. 因此蚂蚁在 x 方向的速度是

dx/dt, 在 y 方向的速度是 dy/dt. 它的实际速率需涉及这两个速度. 其


3
实, 根据毕达哥拉斯定理, 我们应该有 ：



3 这里进入了向量范畴, 它属于关于多变量微积分的书所涉及的内容.














嘿, 这是在参数情况下求弧长时所积分的量啊! 确实, 要求蚂蚁爬过的


总距离, 需要对它的速率求积分. 因此, 现在弧长公式中的被积函数有


了意义, 至少在参数情形下是有意义的：它是质点在曲线上移动的瞬时

速率, 就像参数所描述的一样.




考虑前一节末的例子, 其中 . 根据前面


的探讨,






速率 .

其中答案以单位每秒表示 (假设 t 的单位为秒). 这意味着在时间 t = 3


处, 质点 (此时位于 (x(t), y(t)) 的速率是 6(3 + 2) = 30 单位每秒;

而在时间 t = 5 处 (速率稍快一点), 为 6(5 + 2) = 42 单位每秒.




在 27.1 节, 我们探讨了参数方程 x = 3 cos(t) 和 y = 3 sin(t)

(0 ≤ t < 2π) 所描述的中心在原点、半径为 3 的圆. 由这些方程所描


述的运动的质点速率为











2
2
因为 sin (t) + cos (t) = 1. 这意味着质点以恒定的速率 3 单位每秒
绕圆运动 (当然是逆时针方向). 另一方面, 我们也探讨了 x = 3


cos(2t) 和 y = 3 sin(2t) (0 ≤ t < π) 所描述的相同的圆, 这时的速


率是










所以这个新的参数方程的质点确实以两倍于原质点的速率绕相同的圆


运动.




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29.4 旋转体的表面积





本章最后要讨论的问题, 是如何求由曲线绕某轴旋转所得表面的表面


积. 我们采用的方法结合了求弧长和体积的方法. 我们从将曲线切割成


小段弧开始, 然后关注绕轴旋转其中一段弧时的情况. 假设绕 x 轴旋转.

当旋转这一小段弧时会发生什么呢？我们得到了一个环, 但它的边是弯


的. 若环的宽足够小, 我们应该能用直边环来近似它. 我们从割线段近


似弧开始, 如 29.3 节的做法. 可见, 割线的长为 单位.


当我们用该割线代替弧段旋转时, 得到了一个直边环, 如图 29-33 所

示.








































图 29-33

左边的图给出了一段曲线和近似割线; 中间的图给出了我们所求表面积

的真实的曲边环; 右边的图给出了用于替换的近似环. 事实上, 我们可


以更懒：环的边并不平行于 x 轴, 所以我们的环实际上是圆锥表面的一


部分. 这类物体的表面积是可以计算的, 但比较麻烦. 因而我们进一步

近似, 假想要讨论的是一个边长都相等的环, 不过这个环是一个圆柱形


的, 如图 29-34 所示.














































图 29-34




最终的结果是, 我们得到了一个半径为 y 单位、宽度为


单位的圆柱形环, 因此它有表面积 平方单位(周长

4
2πy 单位乘以宽度). 结果表明 , 这个近似在极限中是可行的, 即将这
些环的表面积加起来, 并令环的宽度趋于 0 的极限. 所以, 我们由此得


到关于 x 轴旋转的原型公式：



4 所牵涉的计算有些令人生厌. 如果你想算的话, 可运用半径为 r 和 R, 高为 h 单位的圆台的


侧面积公式 平方单位.





表面积 (关于 x 轴旋转).




若旋转是关于 y 轴的, 则我们采用的环宽度不变, 但现在的半径是 x 而

不是 y 单位, 所以关于 y 轴旋转的原型公式是






表面积 (关于 y 轴旋转).



你也可以参照体积的变式 1 (见 29.1.4 节), 将第一个原型公式中的 x


和 y 对换来得到该公式.



不管怎样, 与弧长一样, 这些原型公式不能用于求任何表面积! 我们来


看一下如何修改才能使用它们.




(1) 假设我们关于 x 轴旋转曲线 y = f (x), 其中 x 取值范围为 a 到 b.

2
我们从第一个原型公式中的被积函数中提出因子 (dx) 并将其提到根

号之外, 就像在讨论弧长时所做的一样, 得

写成关于 f 的形式, 即为






表面积 .



(2) 若我们关于 y 轴旋转相同的曲线, 可对另一个原型公式采用相同的


处理, 得出














或者写成关于 f 的形式为





表面积 .




(3) 当然也有参数形式. 若 x 和 y 是参数 t 的函数, 其中 t 的取值范围

为 t 到 t , 则可推出下面的公式：
1
0












和

所有这些表面积的单位都是平方单位.



来看一个例子. 若从 x = 0 到 x = π/2 的曲线 y = cos(x) 关于


x 轴旋转, 我们需应用第 1 种情形中的公式, 可知表面积为












要求该积分, 首先令 t = sin(x), 然后用三角换元来求解新积分.

试一下, 算出来的表面积应为 平方单位.




2
另一方面, 在 x = 0 和 间的抛物线 y = x /2 绕 y 轴

(非 x 轴) 旋转所得的表面积可用第 2 种情形中的公式求得. 由于

dy/dx = x, 表面积由











2
给出, 做换元 t = 1 + x 后可算得 52π/3.



现在考虑以原点为中心、半径为 r 单位的上半圆. 参数形式为 x

= r cos(θ) 和 y = r sin(θ), 其中 θ 的取值范围为 0 到 π (只取到 π

是为了只取上半圆). 我们关于 x 轴旋转该半圆, 将得到一个球, 它的表

面积由情形 3 给出 (t 代换为 θ)：











2
2
2
现在可利用 sin (θ) + cos (θ) = 1 计算, 可得表面积为 4πr 平方单
位, 这就验证了传统公式.



最后, 我们来考虑类似于旋转体体积变式 3 的表面积 (见 29.1.6 节).


若旋转轴不是 x 轴, 而是直线 y = h(平行于 x 轴), 则圆柱形环的半径


是 y - h 单位 (而非 y 单位), 所以情形 1 中的公式需要做适当修改：






表面积 (关于 y = h).



(其实, 若曲线在直线 y = h 下方, 最好用 h - y 代替 y - h, 否则将得


到表面积为负的答案!) 同样, 你不能单纯地学习上面的公式, 而应理解


如何由已知推出该公式. 事实上, 你现在应该能够对前面所有的公式进


行适当改动, 正确处理关于 y = h 或 x = h 的旋转.




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第 30 章 微分方程





微分方程就是包含导数的方程, 它们对于描述现实世界中量的变化非

常有用. 例如, 若想了解种群增长快慢, 或是还清学生贷款的快慢, 都


可以使用微分方程模拟对应情形从而得出令人满意的答案. 在本书的


这最后一章, 我们将讨论如何求解特定类型的微分方程. 下面是我们将


讨论的内容：



微分方程导论;




可分离变量的一阶微分方程;




一阶线性微分方程;



一阶和二阶常系数微分方程;




微分方程建模.




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30.1 微分方程导论






早在 9.6 节讨论指数增长和衰退时, 我们就已经见过微分方程的例子.

当时的方程是









kx
其中 k 是确定的常数, 并断言唯一解的形式为 y = A e , A 为常数.

我们将在后面的 30.2 节证明这个断言. 我们不应该对这个突然出现的


形如 A 的常数感到意外. 毕竟, 原方程包含一个导数, 消去导数的唯一


方法就是对其积分, 而积分会引入一个未知常数 (回想 +C).



方程 dy/dx = ky 是一个一阶微分方程的例子, 因为方程中只有一个


一阶导. 一般地, 一个微分方程的阶是其所包含的最高阶导数的阶. 例


如, 这个复杂的方程










是一个四阶微分方程, 因为它包含一个四阶导数, 没有五阶或更高阶导


数.



现在考虑本节开始讨论的一阶微分方程的一个特例, 但附带一个


条件：

这意味着所求得的解不仅要满足微分方程, 还要保证当 x = 0 时 y =


kx
5. 我们知道 y = A e 是微分方程 dy/dx = ky 的通解, 令 k = -2

即知上面微分方程的通解是 y = A e -2x , A 为常数. 现在代入 x = 0

和 y = 5 可知 5 = A e -2(0) , 可得 A = 5. 附带的信息 y(0) = 5 使得


我们能够确定 A 的值, 所以实际解为 y = 5e -2x .




我们刚才看的是 IVP(Initial Value Problem, 初值问题) 的例子. 其思


想是已知一个初始条件 (在这个例子中为 y(0) = 5) 和相关的微分方

程 (在这个例子中为 dy/dx = -2y), 你可以运用这两个条件来求无不


定常数的解. 对于一个二阶微分方程, 需积分两次, 所以你将得到两个


不定常数, 由此可知需要两条已知信息. 一般地, 这两条信息是 y(0)

的值和 y' (0) 的值 (x = 0 处的导数). 我们将在 30.4.2 节给出一些


例题.




现在, 微分方程的研究已相当广泛. 这些问题很难求解, 事实上, 基本


是不可能求解的, 至少一般是这样的. 幸运的是, 有一些简单的类型解

起来并不很麻烦. 我们将讨论其中三种：一阶可分离变量方程、一阶


线性方程、线性常系数方程.

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30.2 可分离变量的一阶微分方程






如果能够把一阶微分方程中所有关于 y 的部分 (包括 dy) 放在一边,

所有关于 x 的部分 (包括 dx) 放在另一边, 则该微分方程被称为是可


分离变量的. 例如, 方程 dy/dx = ky 可重新整理为









故它是可分离变量的. 另一个例子, 方程









可重新整理 (代数运算自行验证!) 成








1
现在, 继续计算的方法是两边加积分号并积分, 然后整理 求 y.
在第一个例子中, 我们得到




1 如你所预期的, 这些操作都可用链式求导法则证明.










即

其中 C 为常数. 要解 y, 两边乘 k 并取指数. 我们得到







kC
kC kx
这意味着 y = ±e e . 现在, ±e 是一些不为 0 的常数, 我们称它
kx
为 A, 因此给出了我们所期望的解 y = A e . (事实上, A 甚至可以为

0：若对所有 x 有 y = 0, 方程 dy/dx = ky 显然可以成立, 因为两边

都为 0. 这在我们的解中没有出现, 原因是我们要除以 y, 这是出于 y


恒不为 0 的假设. )




对于第二个例子, 两边同时积分有









可推出







其中 C 是常数. 这个解已经很好了, 但或许你更愿意写成








这里有个问题, 反正切函数的值域为 (-π/2, π/2). 我们应该可以在上述

2
表达式上加 π 的任何整数倍, 仍得到有效解. 事实上, sec (y) 有周期

π, 故全解应该为

其中 C 为常数, n 为整数. 或许我们应该避开这些讨论, 仍写成 tan(y)

2
= sin(x) + C 的形式. (同样, 我们在开始求解时曾除以 cos (y), 这

导致我们丢了常数解 y = nπ/2, 其中 n 为奇数, 因为这些是当


2
cos (y) = 0 时的值. 这些解在上面解中 C → ±∞ 时 出现. )



对于同样的例子, 涉及初值时会是怎样的情形呢？例如, 考虑 IVP









若用上面的方法求解微分方程, 可得与前面一样的







现在, 令 x = 0 和 y = π/4 可得







这意味着 C = 1. 所以我们有







若我们写为








-1
其中 n 为整数, 还令 x = 0 和 y = π/4, 可知 π/4 = tan (1) + nπ,
这意味着 n = 0. 故将解写成

是合情理的. 为使该点更清晰, 令初始条件为 y(0) = 5π/4 而不是


y(0) = π/4. 将它代入方程 tan(y) = sin(x) + C, 又一次推出了 C =

1, 因为 tan(5π/4) = 1. 所以, 我们再次求出了 tan(y) = sin(x) +


-1
1, 但将这个方程写成 y = tan (sin(x) + 1) 是错误的. 为什么？当

x = 0, 我们有








这不是我们想要的. 所以应加上 π, 即








现在微分方程得到满足, 且如我们所希望的 y(0) = 5π/4. 如果初始条

件为 y(0) = π/4 + nπ 对任意非 0 整数 n 成立, 同样需要警惕. 这需


要微妙技巧.




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30.3 一阶线性方程






这是另一种一阶微分方程：








其中 p 和 q 是关于 x 的函数. 这样的方程称为一阶线性微分方程. 它


可能不是可分离变量的, 甚至连线性看起来也不很明显! 例如.









就不像是线性的, 然而这个方程确实是一阶线性的, 因为 y 和 dy/dx


的幂次都是 1. 而方程









3
不是一阶线性的, 因为 y 不是 y 的一次. 类似地.









也不是线性的, 因为量 dy/dx 被平方了.




回到前面的线性方程

这个方程不是可分离变量的. 试一下! 你不可能得到一边都关于 y 而


另一边都关于 x 的方程. 幸运的是, 有个诀窍可用. 假如我们两边都乘


e 2x 3 . 这个操作显然会使右边变得简洁了, 但其实还有一个更有趣的


作用. 我们来看看发生了什么：









现在要仔细了：我将它改写为了









这其实没隐藏什么. 怎么可能呢- 好吧, 我所做的就是在求导时把乘积

法则反过来用了一下罢了! (小菜一碟.) 为了证明这是正确的, 你要做



的就是把导数算出来. 事实上, 根据乘积法则, 其中一项为 e 2x 3 乘以 y


2 2x
的导数, 即 y × 6x e 3 (用链式求导法则). 那正是原来方程的左边!

所以我们确实有









现在要做的就是两边关于 x 积分. 这样, 就消掉了左边的导数, 剩下










除以 e 2x 3 , 得到解

其中 C 为任意常数. 现在可以试着对其求导来验证它满足原微分


方程!




上述求解的关键是乘以 e 2x 3 . 之后, 我们能将左边整体写成 (某式)



的形式. 这样就很容易积分了. 出于这个原因, e 2x 3 被称为积分因子.

可知, 对于一般一阶线性微分方程









一个好的积分因子由等式




积分因子




给出, 这里不必对积分结果 +C. 在将原微分方程乘了这个积分因子之

后, 左边就可被 “因式分解” 成












我们稍后讨论原因. 现在, 我们用这个更一般的框架来重新计算前面的


例子

2
首先, 通过取 y 的系数 (即 6x ) 来找积分因子, 对其积分并指数化结

果：



积分因子 .




现在可以如前那样：用 e 2x 3 乘微分方程并将左边重写为 , 它


是积分因子和 y 乘积的导数.




目前为止, 学习这个方法的最好办法就是做大量的练习, 直到掌握

为止. 这里有另外两个例子. 首先, 如何解










这是一个 IVP, 但我们担心的是微分方程解完后的事. 第一件事是将其

变成标准形式, 意思是需将所有关于 y 的部分放在左边, 所有关于 x


的部分放在右边, 且 dy/dx 的系数要为 1. 在本例中, 我们只需两边减


x
去 e y, 得








x
y 的系数为 -e , 故积分因子是该量积分的指数化：



积分因子 .



(记住, 这里不需 +C. ) 我们用这个积分因子乘上述微分方程的两边：

如往常一样, 左边是 y 乘积分因子的导数, 所以我们有









最好通过对左边求导来验证这个化简的合理性. 总之, 对上述方程的两


边积分可得










2x
x
x
为了求这个积分, 令 t = e , 则 dt = e dx. 注意, 需将 e 写成
x x
e e 来计算. 我把积分的计算 (运用分部积分法) 留给你来完成, 并验

证结果方程为








最后, 两边除以积分因子 e -e x 可得







对某常数 C 成立. 现在剩下的就是解 IVP. 当 x = 0 时, 我们知道 y =


2(e - 1), 所以将这个代入上述方程, 有







你可以很容易解出 C = 2, 故最后的解是

可对其求导来验证它满足原微分方程.



我们再快速浏览一个一阶线性微分方程









首先, 将关于 y 的部分放在左边并令方程除以 tan(x), 以使 dy/dx 的


系数等于 1：









y 的系数是 cot(x), 故




积分因子 .



(技术上讲, 我们应该写成 |sin(x)|, 但这会使事情变得不必要的复杂. )


不管怎么说, 用 sin(x) 乘微分方程可得









因为 sin(x) cot(x) = cos(x). 现在左边变为 y 乘积分因子的导数 (验


证它)：









两边积分 (用换元来化简右边)：

最后, 用 sin(x) 除以两边可得







我们已经找到了微分方程的解.




综述, 下面是求解一阶线性微分方程的方法.



将包含 y 的部分放在左边, 包含 x 的部分放在右边, 然后两边除


以 dy/dx 的系数得到一个标准形式的方程









两边乘积分因子, 我们称其为 f (x), 它由











给出, 这里不需为指数上的积分 +C.




左边变为 , 其中 f (x) 是积分因子. 用这个新的左边重写


方程.




两边积分, 这次必须在右边 +C.



除以积分因子来解出 y.

练习这个方法, 你不会后悔的.



为什么积分因子起作用




为什么怪异的表达式 e ∫p(x)dx 是个很好的积分因子呢？假设我们


取一般方程









并用积分因子 e ∫p(x)dx 乘以它. 我们得到




关于 x 的部分.




现在我只关注左边, 故只将右边写为：关于 x 的部分. 我们已经声明可


将左边重写. 使得上面的方程变为





关于 x 的部分.




这就容易求解了. 为了证明我们的声明, 对左边运用乘积法则, 写为









这个几乎就是我们需要的了, 我们只需运用链式求导法则写成

注意, , 因为 (不带 +C) 是 p 的反导. 现在如果把


前面各部分整理一下, 最后可知









我们的方法是可行的.




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30.4 常系数微分方程






现在我们来讨论常系数线性微分方程. 这些方程形如









这里 f 是只关于 x 的函数, a , … , a , a 只是一些普通的常实数. 注
0
1
n
意上面方程的左边有点像一个 y 的多项式, 不过它用的是导数而不是


y 的幂.



我们来看个例题. 考虑微分方程









这个方程可以整理成所有关于 x 的部分在右边, 所有关于 y 的部分


(包括导数) 在左边的形式. 最后, 除以 3 可得










这是一个一阶常系数线性方程. 其实, 你可以用前一节的一阶线性


方程的方法来解它. 如果这么做, 你将需要用到积分因子, 而这在这个


例子中有点难度 (试一下看看). 我们很快会讨论求解该方程的另一个

方法. 事实上, 我们将在 30.4.6 节求解上面这个例子.

我们也要详细考察一下二阶的情形. 在这种情况下, 我们要讨论形如









的方程. 例如.









我们将在 30.4.6 节讨论它的解法. 首先, 我们需要讨论一阶和二阶常


2
系数线性方程的一般解法 .



2 这些方法对高阶方程也适用, 不过本书将主要着重于一阶和二阶方程.




我们从一个简单例子入手：假设右边没有关于 x 的部分, 例如




和 .




这样的方程称为齐次的. 我们来看如何求解一阶 (左边的例子) 和二阶


(右边的例子) 齐次方程.




30.4.1 解一阶齐次方程




这个非常简单.

的解为 y = A e -ax . (其实, 这个方程就是 dy/dx = ky, 其中 k = -a


的形式, 见 30.1 节和 30.2 节. ) 例如, 给定微分方程








3x
可以直接写出其解为 y = A e , 其中 A 是常数.



30.4.2 解二阶齐次方程




这种情况有点棘手. 我们需解










它看起来有点奇怪, 最简单的办法就是提取出一个二次方程. 这个


2
二次方程称为特征二次方程, 即 at + bt + c = 0. 例如, 考虑下面 3
个微分方程：







2
2
注意, 我们已经用 y' 代替 dy/dx, 用 y'' 代替 d y/dx . 不管怎样, 这
2
2
3 个例子的特征方程分别为 t - t - 20 = 0、t + 6t + 9 = 0 和 t 2
- 2t + 5 = 0.




接下来就是求特征方程的根. 这有三种可能, 取决于方程是否有两个实


根、一个 (双重) 实根或两个复根. 我们来总结一下整个方法, 然后解

上述三个例子.

下面是解齐次方程 ay'' + by' + cy = 0 的方法.



2
(1) 写出特征二次方程 at + bt + c = 0 并解 t.



(2) 若有两个不同实根 α 和 β, 解为







(3) 若只有一个 (双重) 实根 α, 解为








(4) 若有两个复根, 它们将是共轭的, 即其形为 α ± iβ. 解为







在所有情形中 (2、3 和 4), A 和 B 为不定常数.



2
所以, 对前面的例 (a), 我们看到特征二次方程是 t - t - 20 = 0. 若

将二次式因式分解为 (t + 4)(t - 5), 显然方程的解为 t = -4 和 t =


5. 由上面第 (2) 步可知, 方程 y'' - y' - 20y = 0 的解为








对某些常数 A 和 B 成立.



2
2
例 (b) 的特征二次方程 t + 6t + 9 = 0 化简为 (t + 3) = 0, 因此
唯一解为 t = -3. 由前面第 (3) 步, 齐次方程 y'' + 6y' + 9 = 0 的解

为

2
最后, 如果我们用二次公式来解例 (c) 的特征二次方程 t - 2t +

5 = 0, 可得 t = 1 ± 2i. (试一下看看!) 故, 由 α = 1 和 β = 2, 上面


的第 (4) 步给出了 y'' - 2y' + 5y = 0 的解：







同样, A 和 B 为不定常数.




30.4.3 为什么特征二次方程适用




为什么前面的方法适用呢？(若你不关心原因, 可以直接转到下一


αx
节!) 考虑将 y = e 代入方程 ay'' +by' +cy = 0 时会发生什么. 我
αx
2 αx
们有 y' = α e 和 y'' = α e . 所以







2
2
故, 若 α 为特征二次式 at + bt + c 的一个根, 则有 aα + bα
αx
+ c = 0. 上述等式暗示了 ay'' + by' + cy = 0, 即 y = e 解出了

微分方程! 同样, 该解的任何常数倍也是方程的解, 且若有另一个根 β,

βx
αx
则可将两个解 y = A e 和 y = B e 加起来得到更多解. (试试看!)
但要小心第 (2) 步.




下面我们来看第 (4) 步. 若二次方程的两个解是形如 α + iβ 的共轭复


根, 则根据第 (2) 步的讨论, 解定为

这里 A 和 B 甚至可以为复数. 现在可用欧拉等式 (见 28.2 节) 得









重新标记常数 (A + B) 为 A, 常数 (A - B)i 为 B, 得到正确的公式.




αx
最后对第 (3) 步, 假定特征二次方程只有一个根 α. 若将 y = x e 带
αx
αx
入微分方程 ay'' + by' + cy = 0, 可以由 y' = αx e + e 和 y''
αx
2
αx
= α x e + 2α e 推出





2
2
若 α 是 at + bt + c 的双重根, 则不仅 aα + bα + c = 0, 而且
3
2aα + b = 0 . 由此可推出前面第 (3) 步的正确解.



3 这是二次方程 at + bt + c = 0 有双重根 t = α 时 2aα + b = 0 的原因：判别式为 0,
2

2
所以 b = 4ac. 则


2
又因为 (2aα + b) = 0, 当然有 2aα + b = 0.



30.4.4 非齐次方程和特解




我们来看方程右边仅有 x 部分时的情况. 例如, 考虑微分方程