普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

2.2 扩展三角函数定义域






上表 (你背熟了吗？) 仅仅包括介于 0 到 π/2 的一些角. 但事实上, 我

们可以取任意角的正弦或者余弦, 哪怕这个角是负的. 对于正切函数,


我们则不得不小心些. 例如, 上面我们看到的 tan (π/2) 是无定义的.


尽管如此, 我们还是能够对几乎每一个角取正切.



让我们首先来看看介于 0 到 2π (记住, 2π 就是 360°) 的角吧. 假设


你想要计算 sin (θ) (或 cos (θ) 或 tan (θ)), 其中 θ 是介于 0 到 π/2


的角. 为了看得更清楚, 我们先来画一个带有一点古怪标记的坐标平


面, 如图 2-5 所示.

图 2-5




注意到坐标轴将平面分成了四个象限, 标记为Ⅰ到Ⅳ, 且标记的走向为逆


时针方向. 这些象限分别被称为第一象限、第二象限、第三象限和第

四象限. 下一步是要画一条始于原点的射线 (就是半直线). 那么究竟是


哪一条射线呢？这取决于角 θ. 来想象一下, 你自己站在原点上, 面向


x 轴的正半轴. 现在沿着逆时针方向转动角 θ, 然后你沿着一条直线向


前走. 你的足迹就是你要找的那条射线了.



现在, 图 2-5 (以及图 2-2) 中的其他标记就说得通了. 事实上, 如果你


转动了角 π/2, 你将正面向上并且你的足迹将是 y 轴的正半轴. 如果你

转动了角 π, 你将得到 x 轴的负半轴. 如果你转动了角 3π/2, 你将得


到 y 轴的负半轴. 最后, 如果你转动了角 2π, 那么就又会回到了你起

始的那个位置, 即面向 x 轴的正半轴. 这就好像你根本没转动过! 这就


是为什么图中会有 0 ≡ 2π. 对于角度而言, 0 和 2π 是等价的.




好了, 让我们取某个角 θ 并以恰当的方式画出它. 或许它就在第三象限

的某个地方, 如图 2-6 所示.














































图 2-6



注意到我们将这条射线标记为 θ, 而不是这个角本身. 不管怎样, 现在


在这条射线上选取某个点并从该点画一条垂线至 x 轴. 我们对三个量

感兴趣：该点的 x 坐标和 y 坐标 (当然它们被称为 x 和 y), 以及该点


到原点的距离, 我们称为 r. 注意, x 和 y 可能会同时为负 (事实上, 在

图 2-7 中它们均为负). 然而, r 总是正的, 因为它是距离. 事实上, 根


据毕达哥拉斯定理 (即勾股定理), 不管 x 和 y 是正还是负, 我们总会


有 . (平方会消除任何负号.)















































图 2-7



有了这三个量, 我们就可以定义如下的三个三角函数了：

将量 x、y 和 r 分别解释为邻边、对边和斜边, 这些函数恰好就


是 2.1 节中的固定公式了. 不过等一下, 如果你在那条射线上选取了另

外一个点, 那会是什么样子呢？ 这不要紧, 因为你得到的新的三角形


和原来的那个三角形是相似的, 而上述比值不会受到任何影响. 事实


上, 为方便起见, 我们常常假设 r = 1, 这样得到的点 (x, y) 会落在所

谓的单位圆 (就是以原点为中心, 半径为 1 的圆) 上.




现在来看一个例子. 假设, 我们想求 sin (7π/6). 首先, 7π/6 会在第几


象限呢？ 我们需要决定 7π/6 会出现在列表 0, π/2, π, 3π/2, 2π 的


哪个地方. 事实上, 7/6 大于 1 但小于 3/2, 故 7π/6 在 π 和 3π/2 之

间. 事实上, 图 2-8 看起来很像前面的例子.


































图 2-8

因此, 角 7π/6 在第三象限. 然后, 我们选取了该射线上的一点, 该点至


原点的距离 r = 1, 并从该点至 x 轴做了一条垂线. 由前述公式可知,

sin (θ) = y/r = y (因为 r = 1), 因此, 我们还是要求出 y. 好吧, 那个


小角, 就是在 7π/6 处的射线和 x 轴的负半轴 (其为 π) 之间的角一定


是这两个角的差, 即 π/6. 这个小角被称为参考角. 一般来说, θ 的参考

角是在表示角 θ 的射线和 x 轴之间的最小的角, 它必定介于 0 到


π/2. 在我们的例子中, 到 x 轴的最短路径是向上, 所以参考角如图 2-


9 所示. 因此, 在那个小三角形中, 我们知道 r = 1, 以及角为 π/6. 似


乎答案就是 y = sin (π/6) = 1/2, 但这是错的! 由于在 x 轴的下方, y


一定为负值. 也就是说, y = -1/2. 因为 sin (θ) = y, 我们也就证明了

sin (7π/6) = -1/2. 对于余弦来说, 也可以重复这个过程, 求出


. 毕竟, 由于点 (x, y) 在 y 轴的左侧, 因此 x


必须为负. 这样就证明了 , 并且识别出点 (x, y) 即

为点 .

图 2-9




2.2.1 ASTC 方法




上例中的关键是将 sin (7π/6) 和 sin (π/6) 联系起来, 其中 π/6 是


7π/6 的参考角. 事实上, 并不难看出任意角的正弦就是其参考角正弦


的正值或负值! 这就使问题缩小到两种可能性上, 而且没有必要再 x, y

或 r 如此这般麻烦. 因此, 在我们的例子中, 只需要求出 7π/6 的参考


角, 即 π/6; 这就会立即可知 sin (7π/6) 等于 sin (π/6) 或 -sin (π/6),


而我们只需从中选出正确的结果. 我们发现, 结果是负的那个, 因为 y


是负的.



事实上, 在第三或第四象限中的任意角的正弦必定为负, 因为那里的 y


为负. 类似地, 在第二或第三象限中的任意角的余弦必定为负, 因为那

里的 x 为负. 正切是比值 y/x, 它在第二和第四象限为负 (由于 x 和 y


中的一个为负, 但不全为负), 而在第一和第三象限为正.



让我们来总结一下这些发现吧. 首先, 所有三个函数在第一象限 (I) 中


均为正. 在第二象限 (II) 中, 只有正弦为正, 其他两个函数均为负. 在


第三象限 (III) 中, 只有正切为正, 其他两个函数均为负. 最后, 在第四

象限 (IV) 中, 只有余弦为正, 其他两个函数均为负. 具体如图 2-10 所


示.














































图 2-10

事实上, 你只需要记住图表中的字母 ASTC 就行了. 它们会告诉你在那


个象限中哪个函数为正. “A” 代表 “全部”, 意味着所有的函数在第一象

限均为正. 显然, 其余的字母分别代表正弦、正切和余弦. 在我们的例


子中, 7π/6 在第三象限, 所以只有正切函数在那里为正. 特别地, 正弦


函数为负, 又由于我们已经把 sin (7π/6) 的可能取值缩小到 1/2 或

-1/2 了, 因此结果一定是负的那个, 即 sin (7π/6) = -1/2.




ASTC 图唯一的问题在于, 它没有告诉我们该如何处理角 0, π/2, π 或


3π/2, 因为它们都位于坐标轴上. 这种情况下, 最好是先忘记所有


ASTC 的内容, 然后以恰当的方式画一个 y = sin (x) (或 cos (x), 或

tan (x)) 的图像, 并且从图像中读取数值. 我们将在 2.3 节对此进行研


究.




以下是用 ASTC 方法来求介于 0 到 2π 的角的三角函数值的总结.



(1) 画出象限图, 确定在该图中你感兴趣的角在哪里, 然后在图中标出


该角.




(2) 如果你想要的角在 x 轴或 y 轴上 (即没有在任何象限中), 那么就


画出三角函数的图像, 从图像中读取数值 (2.3 节有一些例子).



(3) 否则, 找出在代表我们想要的那个角的射线和 x 轴之间最小的角,


这个角被称为参考角.

(4) 如果可以, 使用那张重要的表来求出参考角的三角函数值. 那就是


你需要的答案, 除了你可能还需要在得到的值前面添一个负号.



(5) 使用 ASTC 图来决定你是否需要添一个负号.




来看一些例子. 如何求 cos (7π/4) 和 tan (9π/13) 呢？我们一个一个

地看. 对于 cos (7π/4), 我们注意到 7/4 介于 3/2 和 2 之间, 故该角


必在第四象限, 如图 2-11 所示.












































图 2-11

为了求出参考角, 注意到我们必须向上走到 2π (注意! 不是到 0), 因


此, 参考角就是 2π 和 7π/4 的差, 即 (2π - 7π/4), 或简化为 π/4. 所

以 cos (7π/4) 是正的或负的 cos (π/4). 根据表, cos (π/4) 是 .


但到底是正的还是负的呢？由 ASTC 图可知, 在第四象限中余弦为正,


故结果为正的那个： .



现在来看一下 tan (9π/13). 我们发现 9/13 介于 1/2 和 1 之间,


故角 9π/13 在第二象限, 如图 2-12 所示.











































图 2-12

这一次, 我们需要走到 π 以到达 x 轴, 故参考角就是 π 和 9π/13 的


差, 即 (π-9π/13), 或简化为 4π/13. 这样, 我们知道 tan (9π/13) 是

正的或负的 tan (4π/13). 哎呀, 可是数 4π/13 没有在我们的表里面,


因此不能化简 tan (4π/13). 可我们还是需要确定它是正的还是负的.


那好, ASTC 图显示, 在第二象限中只有正弦为正, 故正切一定为负, 于

是 tan (9π/13) = -tan (4π/13). 这就是不使用近似可以得到的最简


形式. 在求解微积分问题的时候, 我不建议取近似结果, 除非题目中有


明确要求. 一个常见的误解是, 当你计算如同 -tan (4π/13) 这样的问


题时, 由计算器计算出来的数就是正确答案. 其实, 那只是一个近似!


所以你不应该写







因为它不正确. 就应该写 -tan (4π/13), 除非有特别的要求, 让做近似.

在那种情况下, 使用约等号和更少的小数位数, 并恰当化整近似 (除非


要求保留更多小数位数)：








顺便说一下, 你应该少用计算器. 事实上, 一些大学甚至不允许在考试

中使用计算器! 因此, 你应该尽量避免使用计算器.




2.2.2 [0, 2π] 以外的三角函数

还有一个问题, 就是如何取大于 2π 或小于 0 的角的三角函数. 事实


上, 这并不太难, 简单地加上或减去 2π 的倍数, 直到你得到的角在 0

和 2π 之间. 你看, 它并不是在 2π 就完了. 它是一直在旋转. 例如, 如


果我让你站在一点面向正东, 然后逆时针方向旋转 450°, 一种自然的


做法是, 你旋转一整周, 然后再旋转 90°. 现在你应该是面向正北. 当

然, 另一种不那么头晕目眩的做法是, 你只逆时针方向旋转 90°, 而你


面向的是同样的方向. 因此, 450° 和 90° 是等价的角. 当然, 这对于


弧度来说也一样. 这种情况下, 5π/2 弧度和 π/2 弧度是等价的角. 但


为什么要止步于旋转一周呢？9π/2 弧度又如何？这和旋转 2π 两次


(这样我们得到 4π), 然后再旋转 π/2 是一样的. 因此, 在得到最终的

π/2 之前, 我们做了两周徒劳的旋转. 旋转周数无关紧要, 我们再次得


到 9π/2 和 π/2 等价. 这个过程可以被无限地扩展下去, 以得到等价于


π/2 的角的一个家族：









当然, 这其中的每一个角都比第一个角多一个整周旋转, 即 2π. 但这仍


然还没算完. 如果你做了所有这些逆时针旋转, 并感到头晕目眩, 或许

你也会要求做一个或两个顺时针旋转来缓和一下. 这就相当于一个负


角. 特别地, 如果你面向东, 我让你逆时针旋转 -270°, 对我这个怪异


要求唯一合理的解释就是顺时针旋转 270°(或 3π/2). 显然, 你最终仍

然会面向正北, 因此, -270° 和 90° 一定是等价的. 确实, 我们将

360° 加到 -270° 上就会得到 90° . 使用弧度, 我们则看到, -3π/2 和


π/2 是等价的角. 另外, 我们可以要求更多负的 (顺时针方向) 整周旋

转. 最后, 以下就是等价于 π/2 的角的完全的集合：









这个序列没有开端也没有结束. 当我说它是 “完全的” 时, 我用前后两


头的省略号代表了无穷多个角. 为了避免这些省略号, 我们可以使用集


合符号 {π/2 + 2πn}, 其中 n 可以取所有整数.



来看一下是否可以应用它吧. 如何求 sec (15π/4) 呢？首先, 注


意到如果我们能够求出 cos (15π/4), 所要做的就是取其倒数以得到


sec (15π/4). 因此, 让我们先求 cos (15π/4). 由于 15/4 大于 2, 让


我们先试着消去 2. 这样, 15/4 - 2 = 7/4, 现在它介于 0 和 2 之间,

这看上去很有希望了. 代入 π, 我们看到 cos (15π/4) 和 cos (7π/4)


是一样的, 并且我们已经求出其结果为 . 因此, .


取其倒数, 我们发现 sec (15π/4) 就是 .




最后, sin (-5π/6) 又如何呢？有很多方法来求解此问题, 但上面

提到的方法是试着将 2π 的倍数加到 -5π/6 上, 直到结果是介于 0 到


2π 的. 事实上, 2π 加上 -5π/6 得 7π/6, 因此, sin (-5π/6) = sin


(7π/6), 后者我们已经知道等于 -1/2. 另外, 我们也可以直接画图 2-


13.

图 2-13



现在, 你必须找出图中的参考角. 不难看出, 它是 π/6, 然后一如前述.




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2.3 三角函数的图像





记住正弦、余弦和正切函数的图像会非常有用. 这些函数都是周期的,


这意味着, 它们从左到右反复地重复自己. 例如, 我们考虑 y = sin (x).


从 0 到 2π 的图像看上去如图 2-14 所示.






























图 2-14



你应该做到能够不假思索就画出这个图像, 包括 0, π/2, π, 3π/2 和 2π


的位置. 由于 sin (x) 以 2π 为单位重复 (我们说 sin (x) 是 x 的周期


函数, 其周期为 2π), 通过重复该模式, 我们可以对图像进行扩展, 得到

图 2-15.

图 2-15



从图像中读值, 可以看到 sin (3π/2) = -1, sin (-π) = 0. 正如之


前注意到的, 你应该这样去处理 π/2 的倍数的问题, 而不用再找参考角


那么麻烦了. 另一个值得注意的是, 该图像关于原点有 180° 点对称性,

这意味着, sin (x) 是 x 的奇函数. (我们在 1.4 节中分析过奇偶函数.)


y = cos (x) 的图像和 y = sin (x) 的图像类似. 当 x 在从 0 到 2π 上


变化时, 它看起来就像图 2-16.






























图 2-16




现在, 利用 cos (x) 是周期函数及其周期为 2π 这一事实, 可对该图像

进行扩展, 得到图 2-17.

图 2-17



例如, 如果你想要求 cos (π), 只需从图像上读取, 你会看到结果是 -1.


此外, 注意到该图像关于 y 轴有镜面对称性. 这说明, cos (x) 是 x 的


偶函数.



现在, y = tan (x) 略有不同. 最好是先画出 x 介于 -π/2 到 π/2 的图


像, 如图 2-18 所示.

图 2-18



与正弦函数和余弦函数不同的是, 正切函数有垂直渐近线. 此外, 它的


周期是 π, 而不是 2π. 因此, 上述图样可以被重复以便得到 y = tan


(x) 的全部图像, 如图 2-19 所示.










































图 2-19



很明显, 当 x 是 π/2 的奇数倍数时, y = tan (x) 有垂直渐近线 (因而


此处是无定义的). 此外, 图像的对称性表明, tan (x) 是 x 的奇函数.




y = sec (x)、y = csc (x) 及 y = cot (x) 的函数图像也值得我们去

学习, 它们分别如图 2-20、图 2-21 及图 2-22 所示.

图 2-20

图 2-21

图 2-22



从它们的图像中, 可以得到所有六个基本三角函数的对称性的性质, 这


些也都值得学习.













因此, 对于所有的实数 x, 我们有 sin (-x) = -sin (x), tan (-x) = -tan

(x), cos (-x) = cos (x).




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2.4 三角恒等式






三角函数间的关系用来十分方便. 首先, 注意到正切和余切可以由正弦

和余弦来表示：










(有时, 根据这些恒等式, 用正弦和余弦来代替每一个正切和余切会有


帮助, 但这只是你被卡住时不得已而为之的下下策.)



所有三角恒等式中最重要的就是毕达哥拉斯定理了 (用三角函数表示),











这对于任意的 x 都成立. (为什么这是毕达哥拉斯定理呢？如果直角三


角形的斜边是 1, 其中一个角为 x, 自己验证三角形的其他两条边长就


是 cos (x) 和 sin (x).)





2
现在, 让这个等式两边同除以 cos (x). 你应该能够得到以下结
果：

该公式在微积分里也会经常出现. 另外, 你也可以将毕达哥拉斯定理等

2
式两边同除以 sin (x), 得到以下等式：











这个公式好像没有其他公式出现得那么频繁.



三角函数之间还有其他一些关系. 你注意到了吗？一些函数的名字是


以音节 “co” 开头的. 这是 “互余” (complementary) 的简称. 说两


个角互余, 意味着它们的和是 π/2 (或 90°). 可不是说它们相互恭维.

好吧, 不玩双关了, 事实是有以下一般关系：





三角函数 (x) = co-三角函数 .



特别地, 有：









甚至当三角函数名中已经带有一个 “co” 时, 以上公式仍然适用; 你只


需要认识到, 余角的余角就是原始的角! 例如, co-co-sin 事实上就是


sin, co-co-tan 事实上就是 tan. 基本上, 这意味着我们还可以说：

最后, 还有一组恒等式值得我们学习. 这些恒等式涉及角的和与倍角公


式. 特别地, 我们应该记住下列公式：














还应该记住, 你可以切换所有的正号和负号, 得到一些相关的公式：










对于上述方框公式中的 sin (A + B) 和 cos (A + B), 令 A = B = x,


我们就会得到另一个有用的结果. 很明显, 正弦公式是 sin (2x) = 2

sin (x) cos (x). 但让我们更仔细看一下余弦公式. 它会变成 cos (2x)


2
2
= cos (x) - sin (x); 这本身没错, 但更有用的是使用毕达哥拉斯定
2
2
2
理 sin (x) + cos (x) = 1 将 cos (2x) 表示成为 2 cos (x) - 1 或
2
1 - 2 sin (x) (自已验证一下它们是成立的!). 综上, 倍角公式为：















那么如何用 sin (x) 和 cos (x) 来表示 sin (4x) 呢？我们可以将


4x 看作两倍的 2x, 并使用正弦恒等式, 写作 sin (4x) = 2 sin (2x)


cos (2x). 然后应用两个恒等式, 得到

类似地,







你不用记这后两个公式; 相反, 你要确保理解了如何使用倍角公式来推


导它们. 如果你能够掌握本章涉及的所有三角学内容, 就能够很好地学

习本书的剩余部分了. 因此, 抓紧时间消化这些知识吧. 做一些例题,


并确保你记住了那张很重要的表格和所有方框公式.





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第 3 章 极限导论





如果没有极限的概念, 那么微积分将不复存在. 这意味着, 我们将用大

量的时间来研究它们. 事实证明, 虽然恰当地定义一个极限是件相当棘


手的事情, 但你仍然有可能对极限有个直观理解, 而无须深入其中的具


体细节. 这对于解决微分和积分问题已经足够了. 因此, 本章仅仅包含


对极限的直观描述; 正式描述请参见附录 A. 总的来说, 以下就是我们

会在本章讲解的内容：




对于极限是什么的直观概念;




左、右与双侧极限, 及在 ∞ 和 -∞ 处的极限;



何时极限不存在;




三明治定理 (也称作 “夹逼定理”).




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3.1 极限：基本思想






让我们开始吧. 我们从某个函数 f 和 x 轴上的一点出发, 该点称为 a.

需要理解的是：当 x 非常非常接近于 a, 但不等于 a 时, f (x) 是什么


样子的？这是一个非常奇怪的问题, 人类相对晚近才发展出微积分很


可能就是因为这个原因吧.



这里有一个例子, 说明了为什么要提出这样的问题. 令 f 的定义域为


(除 2 以外的所有实数), 并设 f (x) = x - 1. 这可以写作：




f (x) = x - 1 当 x ≠ 2.



这看起来好像是一个古怪的函数. 毕竟, 到底为什么要将 2 从定义域


中去除掉呢？其实, 在下一章就会看到, f 很自然地就是个有理函数


(参见 4.1 节的第二个例子) 不过现在, 让我们姑且接受 f 的定义, 并


画出其图像, 如图 3-1 所示.

图 3-1




那么 f (2) 是什么呢？或许你会说 f (2) = 1, 但这是大错特错了, 因为


2 根本不在 f 的定义域中. 你所能给出的最好回答就是 f (2) 是无定义


的. 另一方面, 当 x 非常非常接近于 2 的时候, 我们可以找到一些 f

(x) 的值, 并看看将会有什么发生. 例如, f (2.01) = 1.01, f (1.999)


= 0.999. 稍作思考, 你会发现当 x 非常非常接近于 2 的时候, f (x)


的值会非常非常接近于 1.



还有, 只要令 x 充分地接近于 2, 那么你想多接近于 1 就能多接近于


1, 却又不是真的达到 1. 例如, 如果你想要 f (x) 在 1 ± 0.0001 内,


可以取在 1.9999 和 2.0001 之间的任意的 x 值 (当然, 除了 x = 2,

这是禁止的). 如果你想要 f (x) 在 1 ± 0.000 007 内, 那么选取 x 的


时候, 你不得不更细心一点. 这一次, 你需要取在 1.999 993 和

2.000 007 之间的任意值了 (当然, 还是除了 2).




这些思想会在附录 A 的 A.1 节里有更详细的描述. 不过现在, 让我们


回到正题, 直接写出







如果你大声将它读出来, 它听起来应该像是 “当 x 趋于 2, f (x) 的极


限等于 1”. 再次说明, 这意味着, 当 x 接近于 2(但不等于 2) 时, f (x)


的值接近于 1. 那到底有多近呢？你想要多近就能多近. 以上陈述的另


外一个写法是



f (x) → 1 当 x → 2.




这个写法更难用来计算, 但其意义很清晰：当 x 沿着数轴从左侧


或者从右侧趋近于 2 时, f (x) 的值会非常非常接近于 1(并保持接近

的状态!).




现在, 取上述函数 f 并对它做一点改动. 假设有一个新的函数 g, 其图


像如图 3-2 所示.

图 3-2



函数 g 的定义域是所有实数, 并且 g (x) 可以被定义为如下的分段函


数：















是什么呢？这里的关键是, g(2) 的值和该极限是不相关的! 只


有那些在 x 接近于 2 时的 g(x) 的值, 而不是在 2 处的值, 才是问题

的关键. 如果忽略 x = 2, 函数 g 和之前的函数 f 就是完全相同的. 因


此, 尽管 g(2) = 3, 我们还是有 .

这里的要点是, 当你写出








的时候, 等式左边实际上不是 x 的函数! 要记住, 以上等式是说, 当 x

接近于 2 时, f (x) 接近于 1. 事实上, 我们可以将 x 替换成其他任意


字母, 上式仍然成立. 例如, 当 q 接近于 2 时, f (q) 接近于 1, 因此我


们有








也可以写成








如此等等, 直到用光了所有的字母和符号! 这里的要点是, 在极限








中, 变量 x 只是一个虚拟变量. 它是一个暂时的标记, 用来表示某个

(在上述情况下) 非常接近于 2 的量. 它可以被替换成其他任意字母,


只要替换是彻底的; 同样, 当你求出极限的值时, 结果不可能包含这个


虚拟变量. 所以对虚拟变量你要灵活处理.




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3.2 左极限与右极限






我们已经看到, 极限描述了函数在一个定点附近的行为. 现在想想

看, 你会如何描述图 3-3 中 h (x) 在 x = 3 附近的行为.

















































图 3-3




当然, 就趋于极限的行为而言, h (3) = 2 实际上是无关紧要的. 现在,


当你从左侧接近于 x = 3 时会发生什么呢？想象一下, 你是图中的远

足者, 顺着山势上下. h (x) 的值会告诉你, 当你的水平位置是 x 时, 你


所在高度是多少. 因此, 如果你从图的左边向右走, 那么当你的水平位

置接近于 3 时, 你所在高度就会接近于 1. 当然, 当到达 x = 3 时你会


陡然坠落 (更不用说那个古怪的小突起), 但暂时我们不关心. 这时任何


在 x = 3 右侧的值, 包含 x = 3 本身对应的值, 都是无关紧要的. 因

此, 就可以看到 h (x) 在 x = 3 的左极限等于 1.




另一方面, 如果你从图的右边向左走, 那么当你的水平位置接近于 x =


3 时, 你所在高度就会接近于 -2. 这就是说, h (x) 在 x = 3 的右极限


等于 -2. 这时任何在 x = 3 左侧 (包含 x = 3 本身) 的值都是无关紧

要的.




可将上述发现总结如下：




及 .



在上面第一个极限中 3 后的小减号表示该极限是一个左极限, 第二个


极限中 3 后的小加号表示该极限是一个右极限. 要在 3 的后面写上减


号或加号, 而不是在前面, 这是非常重要的! 例如, 如果你写成








那么指的是 h (x) 在 x = -3 时的通常的双侧极限, 而不是 h (x)

在 x = 3 时的左极限. 这确实是两个完全不同的概念. 顺便说一下, 在

+
左极限的极限符号底下写 x → 3 的理由是, 此极限只涉及小于 3 的

x 的值. 也就是说, 你需要在 3 上减一点点来看会有什么情况发生. 类

+
似地, 对于右极限, 当你写 x → 3 的时候, 这意味着你只需要考虑如

果在 3 上加一点点会有什么情况发生.




正如我们将在下一节看到的, 极限不是总存在的. 但这里的要点是：通

常的双侧极限在 x = a 处存在, 仅当左极限和右极限在 x = a 处都存


在且相等! 在这种情况下, 这三个极限 (双侧极限、左极限和右极限)


都是一样的. 用数学的语言描述, 我们说, 且




等价于







如果左极限和右极限不相等, 例如上述例子中的函数 h, 那么双侧极限


不存在. 我们写作




不存在



或使用缩写 “DNE” 表示 “不存在”.




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载！！！

3.3 何时不存在极限





我们刚刚看到, 当相应的左极限和右极限不相等时双侧极限不存


在. 这里有一个更戏剧性的例子. 考虑 f (x) = 1/x 的图像, 如图 3-4


所示. 是什么呢？ 双侧极限在那里不大可能存在. 因此, 我们先

来试着求一下右极限, . 看一下图像, 当 x 是正的且接近于 0


时, f (x) 看起来好像非常大. 特别是, 当 x 从右侧滑向 0 时, 它看起来


并不接近于任何数; 它就是变得越来越大了. 但会有多大呢？ 它会比你


能想象到的任何数都大! 我们说该极限是无穷大, 并写作

图 3-4



类似地, 这里的左极限是 -∞, 因为当 x 向 0 上升时, f (x) 会变得越来



越负. 这就是说,



由于左极限和右极限不相等, 故双侧极限显然不存在. 另一方面,


2
考虑函数 g, 其定义为 g (x) = 1/x , 其图像如图 3-5 所示.

图 3-5



此函数在 x = 0 处的左极限和右极限都是 ∞, 因此你也可以说


. 顺便说一下, 现在我们有了一个关于 “垂直渐近线” 的正


式定义：

现在, 可能会出现左极限或右极限不存在的情况吗？答案是肯定的! 例

如, 让我们来看一个怪异的函数 g, 其定义为 g (x) = sin (1/x). 此函


数的图像看起来会是什么样的呢？首先, 让我们来看一下 x 的正值. 由


于 sin (x) 在 x = π, 2π, 3π, ··· 上的值全为 0, 因而 sin (1/x) 在 1/x


= π, 2π, 3π, ··· 上的值全为 0. 我们取其倒数, 会发现 sin (1/x) 在


上的值全为 0. 这些数就是 sin (1/x) 的 x 轴截距. 在


数轴上, 它们看起来如图 3-6 所示.









图 3-6




正如你看到的, 当接近于 0 的时候, 它们都挤在了一起. 由于在每一个


x 轴截距之间, sin (x) 向上走到 1 或向下走到 -1, 因此, sin (1/x) 也

一样. 把目前已知的画出来, 可得到图 3-7.

图 3-7



那么 是什么呢？以上图像在 x = 0 附近很杂乱. 它无限地


在 1 和 -1 之间振荡, 当你从右侧向 x = 0 处移动时, 振荡会越来越快.

1
这里没有垂直渐近线, 也没有极限 . 当 x 从右侧趋于 x = 0 时, 该函

数不趋于任何数. 因此可以说, 不存在 (DNE). 我们会在下


一节将 y = sin (1/x) 的图像补充完整.



1
正式的证明请参见附录 A 的 A.3.4 节.




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3.4 在 ∞ 和 -∞ 处的极限





还有一类需要研究的极限. 我们已经研究了在接近一点 x = a 时的函


数行为. 然而在有些情况下, 重要的是要理解当 x 变得非常大时, 一个


函数的行为如何. 换句话说, 我们感兴趣的是, 研究当变量 x 趋于 ∞ 时

函数的行为. 我们想写出








并以此表示, 当 x 很大的时候, f (x) 变得非常接近于值 L, 并保持这种


接近的状态. (更多详情请参见附录 A 的 A.3.3 节. ) 重要的是要意识


到, 写出 “ ” 表示 f 的图像在 y = L 处有一条右侧水平渐

近线. 类似地, 当 x 趋于 -∞ 时, 我们写出








它表示当 x 变得越来越负 (或者更确切地说, -x 变得越来越大) 时, f


(x) 会变得非常接近于值 L, 并保持接近的状态. 当然, 这对应于函数 y

= f (x) 的图像有一条左侧水平渐近线. 如果愿意, 你也可以把这些转化


为定义：

2
当然, 像 y = x 这样的函数没有任何水平渐近线, 因为当 x 变得越来

越大时, y 值只会无限上升. 用符号表示, 我们可以写作 . 另

外, 极限也有可能不存在. 例如, . sin (x) 会变得越来越接近


何值 (并保持这种接近状态)呢？它只是在 -1 和 1 之间来回振荡, 因此

绝不会真正地接近任何地方. 此函数没有水平渐近线, 也不会趋于 ∞ 或


-∞; 你所能作的最好回答是, 不存在 (DNE). 证明请参见附录


A 的 A.3.4 节.




让我们回到上一节看到的函数 f , 其定义为 f (x) = sin (1/x). 当

x 变得非常大时会怎么样呢？首先, 当 x 很大时, 1/x 会非常接近于 0.


由于 sin (0) = 0, 那么 sin (1/x) 就会非常接近于 0. x 越大, sin


(1/x) 就会越来越接近于 0. 我的论证有点粗略, 但希望能说服你相信 2



2
如果你不信, 请参见附录 A 的 A.4.1 节!







因此, sin (1/x) 在 y = 0 处有一条水平渐近线. 这就能够扩展我们之


前画的 y = sin (1/x) 的图像, 至少是向右边做扩展. 我们仍旧担心当


x < 0 时会发生什么. 事情不是太糟糕, 因为 f 是一个奇函数. 理由是









注意到我们使用了 sin (x) 是 x 的奇函数的事实来由 sin (-1/x) 得到 -


sin (1/x). 这样一来, 由于奇函数有一个很好的性质, 就是其图像关于

原点对称 (参见 1.4 节), 可以完整地画出 y = sin (1/x) 的图像, 如图


3-8 所示.






















图 3-8




同样, 很难画出当 x 在 0 附近时的情况. x 越接近 0, 此函数就会振荡

得越激烈. 当然, 该函数在 x = 0 处无意义. 在上图中, 我选择避免在中


间画得密密麻麻, 而是把那里的激烈振荡留给你想象.



大的数和小的数




希望我们都认同 1 000 000 000 000 是一个大的数. 那么 -1 000


000 000 000 呢？或许这会引起争议, 但我要让你把它看作是一个大


的负数, 而不是一个小的数. 举个小的数的例子, 0.000 000 001, 同时

-0.000 000 001 也是一个小的数 (更确切地说, 是一个小的负数). 有


趣的是, 我们不打算把 0 看作是个小的数：它就是零. 因此, 下面就是


我们对于大的数和小的数的非正式定义：



如果一个数的绝对值是非常大的数, 则这个数是大的;

如果一个数非常接近于 0(但不是真的等于 0), 则这个数是小的.



尽管上述定义在我们的实际应用中很有帮助, 但这实在是一个没有


说服力的定义. “非常大” 和 “非常接近于 0” 分别意味着什么？好吧,


我们考虑极限







正如之前看到的, 它表示当 x 是一个足够大的数时, f (x) 的值就会几乎


等于 L. 可问题是, 多大才是 “足够大” 呢？这取决于你想让 f (x) 距离


L 有多近! 不过, 从实际应用的角度出发, 如果 y = f (x) 的图像看上去


开始变得靠近在 y = L 的水平渐近线, 那么这个数 x 足够大. 当然, 一

切都依赖于函数 f 的定义, 例如图 3-9 中的两种情况.























图 3-9



在这两种情况下, f (10) 都不在 L 的附近. 在左图中, 当 x 至少是 100


时, f (x) 看上去非常接近于 L, 因此, 任何比 100 大的数都是大数. 在


右图中, f (100) 远离 L, 因此, 现在的 100 就不是足够大了. 在这种情

形下, 你可能需要走到 200. 那么你能够只选取一个像 1 000 000

000 000 这样的数, 然后说它已经很大了吗？不可以, 因为一个函数有


可能一直起伏不定, 直到比如 5 000 000 000 000 才变得趋于它的水


平渐近线. 这里的要点是, “大的” 一词必须考虑到相关的某个函数或极

限才有意义. 幸好, 没有最大, 只有更大, 往上还大有余地 —— 甚至一


个像 1 000 000 000 000 这样的数, 相对于 10 100 (古戈尔) 来说还


是相当小, 而 10 100 与 10 1 000 000 比起来又是那么微不足道 …… 顺


便说一下, 我们会经常使用术语 “在 ∞ 附近” 来代替 “大的正的数”.

(在字面意义上说, 一个数不可能真的在 ∞ 附近, 因为 ∞ 无穷远. 不过


在 x → ∞ 时的极限的语境中, “在 ∞ 附近” 的说法还是说得通的.)




当然, 所有这些也都适用于 x → -∞ 时的极限, 你只需在上述所有大的

正的数之前添加一个负号. 在这种情况下, 我们有时会说 “在 -∞ 附近”


来强调我们所指的是大的负的数.




另一方面, 我们会经常看到极限



或 .




在上述三种情况下, 我们知道, 当 x 足够接近于 0 时, f (x) 的值几乎是

L. (对于右极限, x 还必须为正; 而对于左极限, x 还必须为负. ) 那么 x


必须离 0 多近呢？这取决于函数 f . 因此, 当说一个数是 “小的”(或者

“接近于 0”) 时, 必须结合某个函数或极限的语境来考虑, 就像在 “大


的” 情形中一样.



尽管这一番讨论让之前的非正式定义确实变得更严谨了一些, 但它仍不


算完美. 如果你想了解更多, 真的应该查看一下附录 A 的 A.1 节和

A.3.3 节.




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3.5 关于渐近线的两个常见误解





现在是时候来纠正一些关于水平渐近线的常见误解了. 首先, 一个函数


不一定要在左右两边有相同的水平渐近线. 在 3.3 节 f (x) = 1/x 的图


像中, 左右两侧都有 y = 0 这条水平渐近线. 也就是说,




和 .




-1
然而, 考虑图 3-10 中 y = tan (x) (或反三角函数 y = arctan (x),

你可以使用这两种写法中的任意一种) 的图像.






























图 3-10




此函数在 y = π/2 处有一条右侧水平渐近线, 在 y = -π/2 处有一条左

侧水平渐近线, 它们是不同的. 也可以用极限来表示：

因此, 一个函数的确可以有不同的右侧和左侧水平渐近线, 但最多只能

有两条水平渐近线 (一条在右侧, 另一条在左侧). 它也有可能一条都没


x
有, 或者只有一条. 例如, y = 2 有一条左侧水平渐近线, 但没有右侧

水平渐近线 (参见 1.6 节的图像). 这和垂直渐近线相反：一个函数可

以有很多条垂直渐近线 (例如, y = tan (x) 有无穷多条垂直渐近线).




另外一个常见误解是, 一个函数不可能和它的渐近线相交. 或许你曾学


到, 渐近线是一条函数越来越接近但永远不会相交的直线. 这并不正确,


至少当你讨论的是水平渐近线时. 例如, 考虑定义为 f (x) = sin (x) /x

的函数 f , 这里我们只关心当 x 是很大的正数时的函数行为. sin (x)


的值在 -1 和 1 之间振荡, 因此, sin (x) /x 的值在曲线 y = -1/x 和 y


= 1/x 之间振荡. 此外, sin (x) /x 和 sin (x) 有相同的零点, 即 π, 2π,

3π, ··· . 综合所有的信息, 其图像如图 3-11 所示.

图 3-11




图像中用虚线表示的曲线 y = 1/x 和 y = -1/x 形成了正弦波的包络.

毫无疑问, 正如你从图像中看到的,









必定成立. 这意味着, x 轴是 f 的水平渐近线, 尽管 y = f (x) 的图像与


x 轴一次又一次地相交. 为了证明上述极限, 我们需要应用所谓的三明