普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

同时收敛或同时发散. 这里, 级数还是可以从任何数开始, 不必一定从 n

= 1 开始, 只需要改变相应的积分下限. 下一章将讨论一些应用积分判


别法的例题, 现在我们至少可以用它来证明级数的 p 判别法, 该判别法


已经在 22.4.3 节见过.






为了研究 的收敛性, 首先假设 p > 0 并考虑函数 f (x) =

p
p
1/x , x > 0. 该函数显然当 x = n 时等于 1/n , 且递减. (证明递减的
一个方法就是考虑导数. 在这个例子中, f'(x) = -px p-1 , 当 x > 0 时为


负, 故 f 递减.) 我们可以由积分判别法得






和



同时收敛或同时发散, 到底是哪个呢？当 p > 1, 根据积分的 p 判别法


知积分收敛, 所以级数也收敛; 当 0 < p ≤ 1, 根据积分的 p 判别法知


积分发散, 所以级数也发散.



p
那 p < 0 的时候呢？这时不能运用积分判别法, 因为 f (x) = 1/x 是

增函数. 你知道, 若 p < 0, 则对于某 q > 0, 可令 p = -q. 则

q
最后一个级数根据第 n 项判别法可知发散, 因为当 n → ∞, n → ∞



(不是 0). 最后, 若 p = 0, 级数 为 , 显然




发散. 综上所述, 我们知级数 时收敛, 当 p ≤ 1 时发散, 这就是

级数的 p 判别法!




22.5.4 交错级数判别法 (理论)







假设级数 , 其中各项不确定是正还是负, 但正负交替出现. 我们

在 22.4.4 节见过这样的例子, 有些情况下, 绝对收敛判别就可以解决




问题, 比如当级数 收敛, 则原级数收敛. 但若 发散怎么办


呢？你究竟能做什么呢？



这的确是个问题, 通常没有简单的答案. 多年来, 这个困扰人的问题引


起了很多的思考和讨论. 令人振奋的是, 有一个简单的判别法常被应用.


假设级数是交错的, 意味着每隔二项为正, 而每隔一项为负. 若令每个

n
正项级数各项乘以 (-1) , 则可得到一个交错级数. (也可乘以 (-1) n+1 .)

前面我们讨论的两个级数






和

都是交错级数. 我们已经知道 (见 22.4.4 节), 第一个级数绝对收


敛, 故收敛. 第二个更有意思, 它不是绝对收敛的, 因为它的绝对值形式



发散. 令人惊奇的是, 原级数 是收敛的! 当一个级数


收敛而其绝对值形式发散, 我们就说该级数条件收敛. 所以级数




条件收敛. 来看下原因.






交错级数判别法表明, 若级数 是交错的, 且各项的绝对值递减趋

于 0, 则级数收敛. 也就是说, a 正负交错, |a | 递减, 且 ,
n
n


则级数收敛. 例如前面的级数 收敛, 因为它是交错级数, 各

项的绝对值为递减数列 {1/n}, 且趋于 0. 在 23.7 节, 我们将总结判


别法, 讨论更多关于交错级数判别法的例子.




为什么该判别法可行呢？首先我们做个可信度验证. 其中的一个条件为

级数各项的极限趋于 0. 如果不是这样, 则根据第 n 项判别法可知级数


发散! 所以该条件是显而易见的. 再看看剩下的条件是怎么起作用的.




考虑部分和 {A }, 其中 . 由于 a 不停地在正负之间交错,
n
N
部分和 A 则来回游移. 回想持扩音器的家伙告诉你来回走：每一秒,
N

他告诉你向前走, 而下一秒他告诉你向后走. 你可能向前走迈右脚, 而


向后走会迈左脚. 另一方面, 步长 (即 |a |) 变得越来越小且趋于 0, 所
n

以你发现自己在用越来越小的步长来回走动. 这意味着, 你左脚和右脚

正在向一起靠近. 每次迈出左脚, 就会比原来的位置远一点; 每次迈出


右脚, 就会回来一点. 在极限情况下, 你的两只脚并在了同一点上, 所以


级数收敛!



假定 a , a , a , … 都为正, a , a , a , … 都为负, 则我们可以用
3
1
5
6
4
2
数学方式表述上述过程. 现在考虑奇部分和 A , A , A , …, 这是你的
3
1
5
右脚不断走的位置. 我要求其为递减数列. 实际上, A = a , 而 A =
3
1
1
a + a + a , 也可写为 A + a + a . 现在 a 是负的, a 是正的,
2
3
1
2
3
3
1
2
且由对步长递减的假设知 |a | ≥ |a |. 这意味着 a + a ≤ 0, 即 A 3
2
3
2
3
= A + a + a ≤ A . 现在对 A 重复该论证, 看会发生什么. 你知
5
3
1
2
1
道, A 是前五项 a 之和, 而 A 是前三项之和, 故可以写为 A = A 3
3
5
5
n
+ a + a . (若你在三步之后知道自己在哪儿, 即 A , 则只需走下两个
4
5
3
带符号的步 a 和 a 来看一下五步之后在哪儿, 即 A .) 不管怎样, a 4
5
4
5
+ a ≤ 0, 因为 a 为负, a 为正, 且 |a | ≥ |a |. 这意味着 A ≤ A .
5
3
5
4
5
4
5
若继续该过程, 你会发现
所以你的右脚实际上随着时间的流逝一直往回走.
你可以对偶部分和 A , A , A , … 重复相同的论证 (但方向相反). 做一
4
2
6
下看看能否得出

故你的左脚随时间变化不断向前走. 关键是：数列 A , A , A , … 递
1
5
3
减, 所以它要么趋于 -∞, 要么收敛于某有限值. 不过它不会趋于 -∞, 因


为所有项都大于 A . (为什么呢？) 类似地, 偶数列 A , A , A , … 递
4
6
2
2
增, 故其要么趋于 ∞, 要么收敛. 它不会趋于 ∞, 因为所有项都小于 A .
1
(为什么？) 所以奇部分和数列与偶部分和数列都收敛. 由于两者之差


|a | 越来越小, 故两者的极限一定相同! 即, 奇部分和数列递减至偶部
n

分和数列增长的值, 即你的两只脚靠得越来越近直到任意接近. 这就证




明了部分和数列 {A } 收敛, 而这意味着原级数 也收敛.
N



所以交错级数判别法可行. 重要的是, 只有当你验证了给定的级数


非绝对收敛时才需要用它. 下一章我们将用更多例题来讨论它的用法.




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第 23 章 求解级数问题







问题：对于级数 , 确定它收敛与否. 若该级数收敛, 你可能想知道


它的值(即收敛于哪个值). 要想求得一个具有漂亮表达式的级数值, 这

个级数就必须很特殊. 当然, 级数不必与上面一样从 n = 1 开始, 它可


以从 n = 0 或 n 的其他值开始.




本章主要围绕这样的问题展开讨论. 下面是关于级数的讨论布图.



n
3n
(1) 是几何级数吗？ 如果级数只包含 2 或 e 这样的指数, 那么它
可能是几何级数, 或是一个或多个几何级数之和. 这种情形的讨论见


23.1 节.




(2) 级数各项趋于 0 吗？ 如果不是几何级数, 尝试用第 n 项判别法.

检验一下各项是否趋于 0, 如果不是, 则根据第 n 项判别法知级数发


散. 详情见 23.2 节.




(3) 级数中有负项吗？如果有, 你可能要用绝对收敛判别法或交错级数


判别法. 更多信息见 23.7 节.



(4) 级数中有阶乘吗？如果有, 用比式判别法. 该判别法同样适用于级


数中包含指数而非几何级数的情形. 详情见 23.3 节.

(5) 有底和指数都包含 n 的指数吗？如果有, 试着用根式判别法. 一般


地, 如果容易对项 a 取 n 次方根, 就可以用根式判别法. 详情见 23.4
n

节.



(6) 项里面有因子 1/n 或对数吗？在这种情况下, 积分判别法可能是


你想用的. 我们将在 23.5 节讨论.



(7) 上面的所有判别法都不能用吗？你可能需要用比较判别法或 p 判


别法与极限比较判别法联合使用, 并重温第 21 章关于函数所有表现


的讨论. 我们将在 23.6 节应用这些判别法.




以上讨论计划将引导你在各种不同的级数中穿梭. 上述这些其实并不

完美, 仍不时会有陷阱出现, 希望这些情况能少出现一点. 我的建议是


掌握所有这些资料, 然后在你平时的学习中时刻提防不常见的陷阱. 现


在让我们来看一下具体细节.




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23.1 求几何级数的值





n
如果级数只包含 2 或 e 3n 这样的指数, 那么它可能是一个或多个几

何级数之和. 如上一章所述, 几何级数很简单, 可以直接求它的值 (如




果它收敛的话). 几何级数的一般式是 , 其中 r 是公比. 在


22.2.1 节, 我们讨论了如何求该级数的值, 我推荐用文字而不是数学


语言来学习这个方法：












如果公比不是介于 -1 和 1 之间, 则级数发散.



我们来具体应用, 假定要求解










这是一个几何级数, 因为我们有










由此, 我们可知公比是 1/3, 它介于 -1 到 1 之间, 故该级数收敛. 你会


5
问：收敛于何处？首项在 n = 5 时为 4/3 . 所以

结果为 2/81.




这是个极具欺骗性的例子：










它不是几何级数, 但可以分成两个几何级数之差：










n
为什么分开后两个都是几何级数呢？在第一个级数中, 你可以用 4 替

2n
n
n
n
换 2 , 然后将 4 /11 表示成 (4/11) . 最后这一步变换同样可以用
在第二个级数中, 我们有









由于这两个级数的公比分别为 4/11 和 -7/11, 都介于 -1 和 1 之间,


因此都收敛, 故我们可以写成上式. n = 2 为第一项, 所以首项分别为

2
2
(4/11) 和 (-7/11) . 因此计算出来为








化简后为 -5/126.

如果把问题稍微变一下会怎样呢？考虑










这次还是把和拆成两组, 写为










不必求出第一个级数的值, 只需要知道它收敛. 第二个级数由于公比


-13/11 不是介于 -1 和 1 之间而发散. 收敛级数和发散级数之和一定


发散!



可见, 几何级数很好计算. 如果给定的不是几何级数, 按照下面的顺序,


从第 n 项判别法开始进行判断.




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23.2 应用第 n 项判别法






无论什么时候都要首先考虑第 n 项判别法! 其内容为：












若级数通项不趋于 0, 则级数定发散. 若通项趋于 0, 则级数可能


发散也可能收敛： 需要进一步判断. 该判别法不能用于级数收敛性的


判定. 总之, 只需快速检验一下通项是否趋于 0, 避免在其他判别法上


浪费时间. 例如, 考察级数










不需要考虑其他任何判别法, 只要注意










即该级数通项不趋于 0, 由第 n 项判别法可知原级数发散.



如果级数通项趋于 0, 则需要尝试用其他判别法来判别. 在进行判


定之前, 一定要快速看下级数是否有负项. 这种情况一般发生在有些项

n
包含负号、因子 (-1) 或三角函数 (尤其是 sin(n) 或 cos(n)) 时. 出

现负项的情形参见 23.7 节. 若各项均为正, 用下面的判别法进行判定.

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23.3 应用比式判别法





若级数中包含阶乘, 用比式判别法. 记住, 阶乘包含感叹号, 如 n! 或


3n
n
(2n + 5)!. 对于含有指数的级数, 如 2 或 (-5) , 比式判别法同样适
用. 根据 22.5.1 节, 该判别法总结为：













可按照下面的步骤使用比式判别法进行判别：












因为可能会是分式比分式的形式, 所以这里要用稍长的分数线. 级数的

第 n 项是 a , 把 n 换成 (n + 1) 就得到 a n+1 . 现在求上面的极限. 假
n

设我们已经完成这一步并求得极限值 L, 则有三种可能：






(1) 若 L < 1, 则原级数 收敛, 实际上是绝对收敛;




(2) 若 L > 1, 则原级数发散;



(3) 若 L = 1 或极限不存在, 则比式判别法无效, 尝试用其他方法.

来看一些例子. 首先考虑










由于分子是多项式, 所以该级数不是几何级数, 又因为指数增长速度快


于多项式 (见 21.3.3 节), 可知第 n 项的极限为 0, 即









则我们不能用第 n 项判别法. 因为该级数包含指数, 我们试一下比式判

别法. 根据标准步骤, 有











注意分母就是第 n 项, 我们直接将其从原级数中挪过来的; 分子除了将


n 换为 n + 1 外, 跟分母一样. 现在通过将上述表达式颠倒相乘, 分组


同类项, 得到










注意我们去掉了绝对值号 (每项都为正), 把 1000 次方的项也写在一

起, 同时运用了事实 . 总之, 上面的极限为 1/2, 它小于


1, 所以由比式判别法可知原级数收敛. 解题完毕.




考虑

能够得到, 当 n → ∞ 时, 级数通项趋于 ∞, 所以由第 n 项判别法可知


该级数发散. 假设你只考虑了比式判别法, 同样能得到












我们用到了 和 , 前者好


求, 而后者就不容易了. 对后一个极限, 可用洛必达法则验证是否极限

为 1. 总之, 上述比值的极限是 3, 因 3 > 1, 原级数发散. 所以, 虽然我


们没用第 n 项判别法, 比式判别法也能判别.



当遇到含阶乘的级数时, 比式判别法是相当有用的. 记住, n! 是从 1 到


n 的自然数之积：







当用比式判别法对含阶乘的级数判别时, 经常会考虑到比式









化简该式的唯一可行方法就是将阶乘展开并做相消, 即

该方法还可以, 不过当遇到类似 (2n)! 的式子可能就有麻烦了. (2n)!

与 2 × n! 不同 —— 这是个常犯的错误. 考虑比式










分子是前 2n + 2 个数之积, 而分母只是前 2n 个数之积. 故比式为









这类计算经常有, 例如级数










该级数收敛还是发散呢？通项是否趋于 0 并不清楚, 但级数中含有阶


乘, 所以我们直接考虑用比式判别法：











注意我们对比式和幂次进行了变形, 上述结果可化简为










所以极限值大于 1, 级数发散. 为了说明该级数的敏感性, 我们对


n
其做个小小的修改, 在其通项的分母上加一个因子 5 , 为

现在试着计算比值, 将额外的一个因子 1/5 提出来, 就可求得极限


为 4/5, 小于 1, 所以修改后的级数收敛.




考虑级数










它含有阶乘, 故我们用比式判别法, 有











可将上式中的 (n + 1)!/n! 化简为 (n + 1), 因此, 上式结果可化为









现在怎么做呢？看起来似乎很难. 何不把分母变为 (n + 4) × (n +


n
4) , 以使其与分子的幂次一样呢？然后, 我们就可以把各部分组合成：









有些明朗了. 第一个因子 (n + 1)/(n + 4) 显然在 n → ∞ 时趋于 1, 但

第二个似乎有点难. 计算它的一个方法就是将 n 换成 x, 考虑极限

根据洛必达法则类型 C (参见 14.1.5 节), 求对数 (经过某些代数运算


后) 的极限：












分子当 x → ∞ 时趋于 0, 因为 (x + 3)/(x + 4) → 1, 且 ln(1) =

0. 分母也趋于 0, 可用洛必达法则证明










这部分工作留给你自己完成. 取幂并将 x 换回 n, 我们就得到









现在, 我们需要的每一部分都已得到, 上面比式的极限值为










由于该极限值小于 1, 故原级数收敛.




级数

的敛散性如何呢？显然, 当 n → ∞ 时通项趋于 0. 我们试一下比式判别

法：











(对于含对数的比式的极限, 仍要用到洛必达法则.) 我们已经得到比式


的极限为 1, 这意味着什么？这就意味着比式判别法不能给出任何有用


的信息. 除了知道比式判别法无效外, 与刚看到级数时状况相比, 我们

没有得到更多关于级数的信息. 我们需要试一下其他的方法. 事实上,


积分判别法是判定这个级数的最好方法, 我们将在 23.5 节进行讨论.




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23.4 应用根式判别法





当级数通项的指数为特殊的关于 n 的函数时, 用根式判别法. 当通项具


B
有形式 A , 其中 A 和 B 都为关于 n 的函数时, 根式判别法尤其有用.

根据 22.5.2 节, 该判别法的新内容为：













使用根式判别法, 一般先讨论表达式








然后将 a 代换为所研究级数的通项, 求极限 (如果存在的话), 并称之
n

为 L. 则与比式判别法一样, 有三种可能, 幸好结论也是一样的：






(1) 若 L < 1, 则原级数 收敛, 实际上是绝对收敛;




(2) 若 L > 1, 则原级数发散;



(3) 若 L = 1 或极限不存在, 则根式判别法无效, 尝试用其他方法.




例如, 考虑级数

由于通项的指数包含 n 的幂次, 因而该级数能用根式判别法来判别. 应

用根式判别法, 有














注意我们把绝对值号去掉了, 因为该式为正, 并应用了 22.1.2 节最后

-2
的那个重要极限 (把 k 换成 -2). 所以极限值为 e , 显然小于 1; 由根

式判别法知原级数收敛.




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23.5 应用积分判别法





当级数同时含有 1/n 和 ln (n) 时, 可用积分判别法. 由 22.5.3 节知,


若 N 为任意正整数, 则我们可以说：











下面是积分判别法的实际应用步骤.






将 n 换为 x, 将 换成 , 并在后面加 dx. 当然, 若级数从 n


= 2 开始, 则用 代换.



检验被积函数是否递减, 这可以通过验证导数是否为负或直接检查


被积函数获知.



现在讨论第一步中的反常积分. 用积分讨论级数的一个主要好处是


可以对积分做换元 (或变量替换, 如果你喜欢的话). 本书中最常见


的换元是 t = ln(x).




若反常积分收敛, 则级数也收敛; 若积分发散, 则级数也发散.



例如, 考虑

事实上我们已经讨论过该级数了, 在 23.3 节曾试图用比式判别法进行


敛散性判定, 但没有成功. 现在我们换用积分判别法进行判定, 因为它


包含了 1/n 和 ln(n). 将变量 n 换为 x, 和式换为积分, 可得









被积函数 1/(x ln(x)) 关于 x 递减, 这可以通过证明其导数为负得到;


或更直接地, 观察 x 和 ln(x) 均关于 x 递增, 则它们的乘积也递增, 所

以倒数 1/(x ln(x)) 递减. 不管怎样, 我们已经在第 21 章讨论过这个积


分, 这里给出大致过程: 做换元 t = ln(x), 则 dt = 1/x dx, 积分变为










由积分 p 判别法可知该积分发散. 由于积分发散, 则原级数也发散 (积


分判别法).



另一方面, 我们对级数做个小的变动：考虑










同样包含因子 1/n 和对数, 所以尝试用积分判别法. 将 n 换为 x, 并将


级数转换为积分可得

确保被积函数关于 x 递减. 做换元 t = ln(x), 这次积分变为









根据 p 判别法, 该积分收敛. 这一次级数收敛 (积分判别法). 将这个例


子与前面例子一起来看, 可以发现级数收敛的整个过程是多么地微妙.


我们知道随着 n 的增大, ln(n) 与 n 的任意正数次幂相比是很小的, 但



上面的例子共同说明了对数会带来很大的不同. 分母上


ln(n) 的幂次增加一个很小的量都会将一个发散级数变为一个收敛级


数. (在 21.3.4 节, 我们见过一个类似的例子.) 本书由


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23.6 应用比较判别法、极限比较判别法和 p



判别法





当其他的判别法不能使用时, 对正项级数应用这些判别法. 你一定是想

最先应用第 n 项判别法, 然后对包含阶乘的级数采用比式判别法, 对


包含底和指数都为 n 的函数的项的级数采用根式判别法, 或对包含因


子 1/n 和对数的级数采用积分判别法. 还剩下什么呢？基本上与积分


的工具一样：比较判别法、极限比较判别法、p 判别法, 以及对常见


函数在 ∞ 和 0 附近的表现的理解. 非常有必要在学习本节前复习第

21 章, 因为方法几乎是相同的. 不管怎样, 这里会再次讨论那些判别


法. (为了便于对比, 在这里, 比较判别法和极限比较判别法中的 a 都
n

假定为非负.)






(1) 比较判别法的发散情形：若认为 发散, 则找一个同样发散的


较小的级数, 即找一个使得对所有 n 都有 a ≥ b 的正项数列 {b },
n
n
n

使得级数 发散. 则

所以级数 发散.






(2) 比较判别法的收敛情形：若认为 收敛, 则找一个同样收敛的


较大的级数; 即找一个使得对所有 n 都有 a ≤ b 的数列 {b }, 使
n
n
n

得级数 收敛. 则












所以级数 收敛.






(3) 极限比较判别法：找一个当 n → ∞ 时 a ~ b 的简单级数 .
n
n


则若 收敛, 也收敛. 另一方面, 若 发散, 则 也


发散. (要知道 “当 n → ∞ 时 a ~ b ” 与 “ ” 意思一样.)
n
n


(4) p 判别法：若 a ≥ 1, 级数













∞
这与积分的 p 判别法中 ∫ 情形一样.

现在来看一些例子. 在下面的每个例子中, 你都可以用积分代


换和式得到一个反常积分 (有瑕点 ∞) 来代换级数. 反常积分问题的解

就是相应级数的解. 对每种情形, 应该试着写下对等的反常积分的问题


和解. 返回第 21 章, 试着将每个瑕点为 ∞ 的反常积分转换成级数, 也


是一个好办法. 它们几乎都可以用上述判别法求解. (解中包含变量变


换 t = ln(x) 的问题是个例外. 对于这些问题, 为了求解相应的级数问

题, 你需要用积分判别法.) 考虑级数











为了检验这个说法, 注意每个多项式的最高次项起决定作用, 由于 n

变得越来越大 (详见 21.3.1 节), 我们有






当 n → ∞ 时, .





由 p 判别法知 收敛 (常数 2 不相关); 故由极限比较判别法知


原级数也收敛.




考虑几乎一样的例子：

这需要采用一点小小的技巧. 该级数与上个级数的唯一区别是, 和式从


n = 0 开始. 若采用与前面级数相同的讨论方法, 就会发现需将上述级




数与 进行比较. 后者显然没有定义好, 因为它的第一项看似为

2/0, 显然没有意义. 你可以通过如下两种方法之一来避免这样的问


题：可以改变首项 n = 0, 如换成 n = 1, 这样并不改变原级数的敛散

2
性; 或者, 将首项从和式中提出来. 事实上, 当 n = 0, (2n + 3n +

4
3
7)/(n + 2n + 2) 为 7, 所以









右边的级数收敛, 故左边的级数也收敛. 加上有限数 7 仍然收敛.

通常, 若和式从 n = 0 开始, 且你想应用极限比较判别法, 就可将首项


提出来, 这样就可以考虑从 n = 1 开始的级数了.




现在来看










根据我们关于较高次幂起决定作用的标准观点, 有





当 n → ∞ 时, .

由 p 判别法知 发散, 故由极限比较判别法知原级数也发散.




那










呢？在 23.3 节, 我们运用了比式判别法来解这个问题. (事实上我们将


-n 1000
n
2 n 写成了 n 1000 /2 , 不过它们当然是一样的!) 现在我们用比较
判别法来求解这个问题. 用这种方法解题, 需要用到指数增长较快的观


点. 用 21.3.3 节描述的方法, 我们有









这里选择指数为 1002, 因为它比问题中的指数 1000 大 2. 现在我们


有










最后的级数由 p 判别法可知收敛, 故由比较判别法知原级数也收敛.




现在考虑

这恰恰是 21.3.4 节中例子的级数形式. 事实上, 你可以用积分判别法


将该级数问题转化为反常积分问题, 因为被积函数是递减的, 但关键点

是什么？我们可以直接解该题. 与在反常积分中的方法一样, 我们采用


ln(n) ≤ Cn 0.0005 , 这里巧妙地选择如此小的指数 0.0005 以使得原指


数 (原级数中的指数)1.001 减去它后仍大于 1. 故我们有










最后的级数由 p 判别法可知收敛, 故根据比较判别法知原级数收敛.




级数










相当容易求解. 要知道 |sin(n)| ≤ 1, 我们知










故由比较判别法知级数收敛.




现在考虑级数

该级数似乎有些项为负, 不过那只不过是表面现象. 事实上, 当 n 从 1


开始随着正整数的不断增大, 数 1/n 从 1 开始不断减小并趋于 0. 即,

1/n 总是介于 0 和 1 之间. 由于 sin(x) 在 0 和 1 之间恒正, 则级数


所有项均为正. 我们还没解决该问题, 下面该怎么做呢？在 21.4.2 节,


当 x → 0 时 sin(x) ~ x. 用 1/n 替换 x, 则当 1/n → 0 时 sin(1/n)

~ 1/n. 等一下, 当 1/n → 0 必须使 n → ∞. 即, 我们已经证得当 n →




∞ 时 sin(1/n) ~ 1/n, 这正是我们需要的! 由于级数 发散, 由


极限比较判别法知原级数也发散. (将这个例题与 21.4.2 节中最后一


个例题比较一下.)




另一方面, 级数










2
2
收敛, 因为当 n → ∞ 时 sin (1/n) - 1/n , 具体过程请自行完成.


最后来看一个很让人头疼的级数










2
如何讨论呢？分开考虑该级数. 当 n → ∞, 因式 (n + 4n - 3) 渐近等
2
价于 n , 且因式 渐近等价于 , 就是 n 7/2 . 所以

可以说

当 n → ∞ 时, .



另一方面, 当 n 很大时, 上述关系式两边都趋于 0. (要知道, 对数增长


缓慢!) 所以可以运用关系当 x → 0 时 tan x ~ x, 将 x 换成长串

可得






当 n → ∞ 时, .




现在我们来关注










这里我们需要运用对数增长缓慢的事实, 即 ln(n) 较之 n 3/2 不重要


(详见 21.3.4 节). 特别地, 我们需要分母中的幂次 3/2, 不希望其为 1

或更小. 故我们采用 ln(n) < Cn 1/4 (这里幂次仅需小于 1/2) 可得










因此, 把所有项加起来, 由 p 判别法可得










所以由比较判别法可知

收敛. 现在回到前面的渐近关系, 由极限比较判别法可推得










2
也收敛. 太好了, 我们就要成功了. 那因子 cos (n) 呢？这个因子不起

什么作用, 因为它一直在振荡. 我们知道该因子小于等于 1, 且为正


2
(因为是平方). 所以我们只需看看由 cos (n) ≤ 1 能得到什么. 事实上









如我们刚刚得证的, 右边的级数收敛, 所以根据比较判别法可知原级数


收敛. 在这个问题中, 我们用了两次比较判别法, 一次极限比较判别法


和两次 p 判别法. 一堆令人迷惑的判别法. 不过如果你能够独立完成


这类问题, 就能够解决任何一个涉及这三个判别法的问题了.



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23.7 应对含负项的级数





对于某些项为负的级数, 这里有一些解决方法.




(1) 若所有项都为负, 则可通过在所有项前面加负号来修改级数：




修改后的级数 所有项均为正. 然后运用前面所学的正项级数判


别法来判定级数的敛散性. 若修改后的级数发散, 则原级数也发散; 若

修改后的级数收敛, 则原级数也收敛. 事实上, 若修改后的级数收敛于


L, 则原级数收敛于 -L, 因为修改后的级数与原级数只相差一个负号. 例


如, 级数










收敛还是发散？当 n 很大时, 1/n 趋于 0, 所以它的对数值是一个负数.


(要知道, 若 0 < x < 1, 则 ln(x) < 0.) 所以现在考虑修改后的级数










就比较容易了, 该级数其实与

是一样的, 因为 - ln(1/n) = -(ln(1) - ln(n)) = ln(n). 有灵感了吗？若

该级数只是











由 p 判别法可知是发散的. 通常, 对数不起什么作用, 但这并不总是对

的, 想一下前面的积分判别法的例题. 不管怎样, 这个特殊的对数帮助


级数发散, 因为当 n → ∞, 它无界. 基本的逻辑是 n 从 3 往上取值,


ln(n) 的最小值是 ln(3), 故我们有







对任意 n ≥ 3 均成立. 在我们的级数中, 由 p 判别法 (p = 1/2) 可得










即修改后的级数发散到 ∞, 由此可知原级数发散到 -∞.



(2) 若有些项为正, 有些项为负, 尝试用第 n 项判别法：即, 验证




当 n → ∞ 时通项趋于 0, 否则, 马上可知级数发散. 例如,




n 2
发散, 因为项 (-1) n 的极限不为 0. (实际上, 极限不存在, 因为数列
在越来越大的正数与负数之间来回振荡.) 这里没必要运用其他的判别


法.

(3) 若有些项为正, 有些项为负, 且当 n → ∞ 时通项趋于 0, 尝试应用

绝对收敛判别法：













在这种情况下, 我们说数列绝对收敛. 例如, 级数











绝对收敛, 因为我们已经在 23.6 节见到










收敛. 所以对给定的有些项为正、有些项为负的级数, 若其不是明显不

能用第 n 项判别法, 则需看一下该级数是否绝对收敛. 若该级数绝对收


敛, 则其收敛; 若不是绝对收敛, 不要放弃, 继续下一步.




(4) 若级数不是绝对收敛, 尝试交错级数判别法：如 22.5.4 节所述,











所以若想对级数 应用该判别法, 有三件事情需要验证：

a 的值在正负之间交替 (即各项的符号顺序为 +, -, +, -, …, 或
n

-, +, -, +, …);



随着 n 的增大, 量 |a | 趋于 0, 即
n







绝对值 |a | 关于 n 递减 (即通项的绝对值变得越来越小).
n



如果上面三个性质都满足, 则级数收敛. 注意：无论何时都要首先尝试

运用绝对收敛判别法. 若级数绝对收敛, 就不必用交错级数判别法! 同


样, 注意第二个性质是第 n 项判别法的另一种形式, 因为 ,


当且仅当 . 所以, 即使你忘了先用第 n 项判别法, 但作为交


错级数判别法的一种形式, 你还是会用到第 n 项判别法的.



这是一个经典的例子：













根据 p 判别法, 其绝对值形式 发散. 所以原级数不是绝对收敛

的. 现在直接应用交错级数判别法. 我们需要验证这三个性质. 首先, 级


n
数交错吗？是的. 一个级数如果含有形如 (-1) 或 (-1) n+1 乘以一个正

n
数的项, 则一定是交错的. 在这个例子中, 第 n 项是 (-1) 与正数 1/n
相乘. 那第二个性质呢？我们需要证明

n
此式显然成立, 因为 |(-1) /n| = 1/n. 对第三个性质, 我们需要证明 {|
n
n
(-1) /n|} 是一个递减数列. 可以很直接得出来, 还是因为 |(-1) /n| =
1/n, 且我们知道 1/n 关于 n 递减. 所以可以应用交错级数判别法, 并


得到原级数










收敛. 由于我们已经知道它不绝对收敛, 故其条件收敛.




另一方面, 考虑级数












它的绝对值形式为 , 根据 p 判别法知其收敛. 所以上述级数绝


对收敛, 因此没必要浪费时间在交错级数判别法上.



我们来看另一些例题. 首先来看










n
这与 23.6 节讲到的一个例题很像, 只是现在这个级数含有因子 (-1) .

对该级数要做的第一件事是验证其是否绝对收敛. 绝对值形式为

在原来的例题中, 我们已知当 n ≥ 1, sin(1/n) 非负, 这就可以去掉绝


对值号. 我们同样知道, 上式右侧级数发散, 所以原级数不是绝对收敛


的. 另一方面, 该级数的各项显然交错, 且当 n → ∞ 时通项趋于 0, 因

为 sin(1/n) 是这样的. 现在考虑 |a |, 其实就是 sin(1/n). 它关于 n 递
n

2
减吗？对 sin(1/x) 关于 x 求导, 可得 - cos(1/x)/x , 当 x ≥ 1 时它为

负. 或者可以说, 1/n 关于 n 递减, 且在 0 附近 sin x 关于 x 递增, 所


以 sin(1/n) 关于 n 递减. 不管用哪种方法, 我们已经证得了三个性质,

故由交错级数判别法可知级数收敛. 由于该级数不绝对收敛, 所以它条


件收敛.




最后一个例题. 考虑级数










该级数显然交错, 但第 n 项的极限是多少？若期望该级数收敛, 我们需


要极限值为 0. 这里似乎有点问题, 根据 22.1.2 节末方框中的极限, 将

k 用 1 代换, 我们有










所以这个数列的交错形式在数 e 和 -e 之间振荡. 这意味着

不存在.



由于极限不为 0, (甚至不存在!) 由第 n 项判别法知原级数










肯定发散, 这里不要掉进交错级数判别法的陷阱, 否则会得出级数收敛


的结论.



可见, 级数的讨论并不简单. 另外, 我们在下一章讨论幂级数和泰勒级


数时仍会用到这些技术, 所以你非常有必要理解这一章的内容, 否则的


话就难以应对后面接踵而来的问题. 当然, 大量做题会很有帮助.





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第 24 章 泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论





现在我们讨论关于幂级数、泰勒多项式和泰勒级数的重要话题. 本章

将从总体上探讨这些话题. 后面两章将讨论以本章为背景的解题方法.


下面是本章要讨论的内容：




近似值、泰勒多项式和泰勒近似定理;




近似值的精确度和完整的泰勒定理;



幂级数定义;




泰勒级数和麦克劳林级数定义;



泰勒级数的收敛性问题.




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24.1 近似值和泰勒多项式





这里有个不错的结果：对任意实数 x, 我们有










另外, x 越趋近于 0, 近似程度就越好.



现在我们来讨论这个结果. x = 0 时, 两边其实都等于 1, 所以这个近似


值很理想! 那 x 不为 0 时呢？我们试一下 x = -1/10, 由上述等式可得









化简可得









根据计算器所得结果, e -1/10 等于 0.904 837 418 0(精确到 10 位小


数), 而 5429/6000 等于 0.904 833 333 3(也精确到 10 位小数).

这些数很接近. 事实上, 它们的差仅为 0.000 004 084 7.




2
3
那到底我是怎么想出多项式 1 + x + x /2 + x /6 的呢？很显然, 它
x
x
不只是一个旧多项式, 特别的是它与 e 有关系. 与其只关注 e , 倒不
如考虑其他更一般的函数. 同样, 该多项式的次数 3 也没有什么特别的,


我们可用任何次数. 我们就从次数 1 开始吧, 看看会发生什么.

24.1.1 重访线性化




我们说, 有些光滑函数 f 可以被求任意阶导而不会出现任何问题. 这里


有个 13.2 节问过的问题：在点 (a, f (a)) 附近, 与曲线 y = f (x) 最

近似的直线方程是什么？答案是所求直线为曲线上点 (a, f (a)) 处的切


线, 它的方程为







这就是 f 在 x = a 的线性化. 右边是次数为 1 的多项式. 图 24-1 给出


了曲线 y = f (x) 在 x = a 的切线, 看起来不像是整个曲线的近似.

























图 24-1




不过, 它确实为曲线在 (a, f (a)) 附近的近似. 事实上, 我们把 (a, f

(a)) 附近放大, 如图 24-2 所示. 可以看到, 切线与曲线 y = f (x) 并没


有很大的差别. 图像放得越大, 它们的差别就越小.

图 24-2



24.1.2 二次近似




为什么只讨论直线？我们再来探讨这个与前一节开始相同的问题, 但这


次讨论抛物线. 问题： 在点 (a, f (a)) 附近, 与曲线 y = f (x) 最近似


的二次曲线方程是什么？采用相同的函数, 图 24-3 是我们猜出的二次


曲线可能的样子.

图 24-3



事实上, 在 x 接近于 a 时 (即, 曲线上点 (a, f (a)) 附近), 最近似于曲


线 y = f (x) 的二次曲线方程为









2
它其实是一个关于 x 的二次函数, 因为若展开 (x - a) , 则 x 的最高次

2
项为 x . 这里仍保留了相同的形式, 并称之为 “关于 (x - a) 的二次函

数”. 我们称该二次函数为 P , 即
2








现在, 我们搜集一些关于 P 的好结论.
2


(1) 将 x = a 代入方程 P (x), 可以很容易地得到 P (a) = f (a). 所以
2
2
当 x = a 时, P 与 f 的值相等. 事实上, 因为函数的零阶导为该函数本
2

身, 所以当 x = a 时, P 与 f 的零阶导相等.
2



(2) 对 P 求导可得 . 同样, 若代入 x = a, 可
2

知 . 当 x = a 时, 一阶导 与 f' 也相等.




(3) 再求一次导可得 . 当 x = a, 有 . 所以当

x = a, 二阶导数值也相等.

(4) 另一方面, 由于 f'' (a) 为常数, 所以对所有 x 有 . 对所有

更高阶导数均有相同结论. (毕竟, P 是二次的, 任何二次函数的三阶或
2

更高阶导数必处处为 0!)




所以 P 与 f 在 x = a 有相同的零阶导、一阶导和二阶导, 但 P 的三
2
2
阶或更高阶导恒为 0. 可以说, P 提取了 f 在 x = a 处二阶导及以下
2

的所有信息.



另一个关于 P 的好结论是：若忽视 P (x) 方程右边的最后一项, 就得
2
2
到 f (a)+ f'(a)(x - a). 这恰恰是上一节的线性化, 所以可以认为最后的


项 为所谓的二阶修正项. 这意味着我们应该能够找到比切


线更好的近似. 二阶修正项有助于更接近于曲线, 至少当 x 在 a 附近时

是这样的. (当 f'' (a) = 0 时是例外, 在这种情况下 P 仅为线性化, 并
2

不能使近似更好.)




24.1.3 高阶近似




我们继续相同形式的讨论, 只不过这里用任意次 N 代替 1 或 2. 问题：


对 a 附近的 x, 哪个次数为 N 或更低的多项式最近似于 f (x)？答案由

下面的定理给出.

用求和号表示该公式为：











在这个公式中, 要知道 0! = 1, f (0) (a) 与 f (a) 意思一样 (零阶导数),


f (1) (a) 与 f'(a) 意思一样 (一阶导数).



我们称多项式 P 为 f (x) 在 x = a 处的 N 阶泰勒多项式. 注意 P 的
N
N
次数可能小于 N . 例如, 若 f (N) (a) = 0, 则上述和式的最后一项为 0,


P 的次数至多为 N - 1. 因此, 我们称之为 N 阶泰勒多项式而不是 N
N

次泰勒多项式. (多项式 P (x) 有时被写成 P (x; a), 以强调每次选择
N
N
不同的 N 和 a 得到不同的多项式. 我将采用形式 P (x), 因为每次讨
N

论我们只选择一个 a.)



再次强调, P 的重要性质是对所有 n = 0, 1, … N,
N

即当 x = a 时, P 的所有 N 阶导及以下的导数值都与 f 对应值相等,
N

但是 P 的所有更高阶导数必须处处为 0. 函数 P 提取了 f 在 x = a
N
N
处直到 N 阶导数的所有信息.



当然, 当 N = 1 时, 我们得到 P (x) = f (a) + f'(a)(x - a), 为 f 在 x
1

= a 处的线性化. 当 N = 2 时, 我们就得到上一节的公式 P (x). 下面
2

x
看一下该方法对 a = 0 的 f (x) = e 的应用. 由上面的公式, 令 N =

3 且 a = 0, 我们有









x
x
幸运的是, e 关于 x 的所有导数均为 e , 所以可知 f (0), f'(0), f'' (0)
0
和 f (3)(0) 都是 e , 等于 1. 由于 2! = 2, 3! = 6, 因而上述公式变为







这恰恰是 24.1 节开头提到的三次多项式! 在所有的次数为 3 或更低次


x
的多项式中, 这个多项式是与 x 在 0 附近的 e 最近似的. 为什么是 0

呢？ 因为那是我们所选择的 a 值. 若选择不同的 a 值, 我们将得到 x


3
x
在 a 附近对 e 有很好近似的另一个不同的多项式. 去掉三次项 x /6
2
2
后可以看到, P (x) = 1 + x + x /2, 然后再去掉二次项 x /2, 得到线
2
性化 P (x) = 1 + x. 从另一个角度来看, P (x) 通过加上二阶修正项
2
1

3
2
x /2 而改进了 P (x), 而 P (x) 通过加上三阶修正项 x /6 而改进了
3
1
P (x). 每次使 N 加 1 都会使近似通过加上另一个修正项而变得更好.
2

其实泰勒近似定理依赖于泰勒定理, 泰勒定理将在下一节讨论. 近似定


理也有一些模糊不清的说法：“最好的近似” 究竟是什么意思？我们将


在下一节进一步探讨, 真正的答案连同定理证明在附录 A.7 节.




24.1.4 泰勒定理




在 24.1 节开始, 我们看到









特别地, 注意当 x = -1/10, 上面的近似变为了









这个近似有多好？衡量的一个方法是, 考虑真正的量 e -1/10 与近似值


5429/6000 的差. 我们称这个差量为近似的误差, 因为它指出了用近

似值代替真实值的错误有多大. 该例子的误差是：





误差 = 真实值 - 近似值 = .



若误差很小, 则近似程度较好. 在 24.1 节, 我们看到近似到 10 位小数


时差值为 0.000 004 087, 但我们需要用计算器, 且这不是我们做近

似的全部目的. 要知道, 计算器给出的数也是近似值! 此外, 你认为计算


器是怎么工作的？可能它是用泰勒多项式求出 e -1/10 的近似的.



我们真正喜欢的是误差的另一个公式, 泰勒定理由此而来. 与其只讨论

x
特定的例子 e , 倒不如讨论更一般的问题. 我们正在讨论光滑函数 f 和

它的关于 x = a 的 N 阶泰勒多项式, 如前一节所见, 该多项式为











我们想用 P (x) 的值来获取 f (x) 的近似值, 所以考虑误差项, 即真实
N

值和近似值之差：







实际上, R (x) 被称为 N 阶误差项, 也称为 N 阶余项, 因为它就是从 f
N

(x) 取走 P (x) 所余下的部分. 如前所述, 泰勒定理给出了 R (x) 的
N
N
另一个公式：















注意数 c 依赖于 x 和 N , 一般不能确定! 由于 f (x) = P (x) + R N
N

(x), 则我们可以写为