普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

图 16-13



如果考虑面积的方向, 那么标记为 II 的阴影部分面积就为负的, 这时有

这里利用从前一节学的知识把这个积分分开来写. 因为已知这三个积分

的值, 所以有





有向阴影面积 平方单位




很显然这不是通常的面积, 因为我们所求得的面积是负的! 那么, 怎样

求通常的面积呢？方法是把积分表达式分成几部分, 把在 x 轴下方的面


积挑出来, 然后取它们的绝对值. 在上述例子中, 我们需要知道这条曲

2
线与 x 轴的交点. 所以通过解方程 -x - 2x + 3 = 0, 会得到 x =1 或

x = -3. 显然, x =1 是我们想要的, 因为它在 0 和 2 之间, 而 -3 不是.




现在, 我们把积分表达式写为两部分：





和 .




这分别表示了刚才图像中的两个有向面积 I 和 II. 为计算这两个积分,

我们需要用到本章前面的一些公式：















下面的结果留给你去计算.





和 .

像我们预测的那样, 第一个积分是正的, 因为面积 I 是在 x 轴上方; 第

二个积分是负的, 因为面积 II 是在 x 轴下方. 这两个积分的和是


-2/3(平方单位), 这是有向面积. 现在有一个关键点：忽略前面的减号


可以求出面积 II 的实际值! 这个方法很管用, 因为这块面积完全在坐标

轴的下方. 所以面积 II 的实际面积是 7/3 平方单位, 而面积 I 的面积是


5/3 平方单位, 总面积为 5/3+7/3=4 平方单位. 最有效的方式是, 我


们可以取 5/3 和 -7/3 的绝对值, 然后直接相加.




附带着, 我们实际已经证明了









所以, 让我们研究一下为什么带有绝对值的积分求出的就是通常的面


2
积, 就像 y = | - x - 2x + 3| 的图像显示的那样 (如图 16-14 所示).

图 16-14




标记为 IIa 的面积与刚才标记为 II 的坐标轴下方的面积关于 x 轴对称,

所以它们面积相同. 该阴影部分的总面积同刚才图像阴影部分的面积一


样大.



现在, 我们总结如何求 y = f (x)、x 轴和 x = a 及 x = b 所围成的面


积. 这个方法同样也适用于下列两个积分, 因为它们都等价于它们所对

应的面积.





或 .




方法如下所示.



找出在 [a, b] 区间内满足函数值为 0 的所有 x 的值.




接下来写出以 f (x)(而不是 |f (x)|) 为被积函数的积分表达式. 第

一个积分以 a 开始, 然后以使函数为 0 的最小 x 值结束. 第二个


积分以使函数为 0 的最小 x 值开始, 以下一个使函数为 0 的 x 值


结束. 以此类推, 直到取遍所有使函数为 0 的 x 值. 最后的积分是

以使函数为 0 的最大 x 值开始, 以 b 值结束.




分别计算每一个积分.




把刚才计算出的每一个积分分别取绝对值, 再把这些数加到一起,

这样就得到了所求的面积.




在 17.6.3 节中, 我们会看到另一个例子. 现在, 我们可以用刚才的方法


求物体运动的路程了, 注意是路程不是位移. 实际上, 我们在 16.1 节中

得到了下面的式子：






路程 , 就像刚才方法中陈述的那样, 我们应用了绝对值.

16.4.2 求解两条曲线之间的面积




假设有两条曲线, 一条在另一条之上, 你想要求它们与 x = a 和 x = b


所围成的面积. 如果曲线是 y = f (x) 和 y = g(x), 前者在后者之上,

图像如图 16-15 所示.





























图 16-15




我们要求的面积是标记为 I 的那块面积. 另一方面, 标记为 II 的面积是

函数 y = g(x) 与 x 轴所围成的面积, 所以它的面积为










那么










又是什么呢？

它是上面那个函数与 x 轴所围成的面积, 所以它实际上是两部分的面积

和. 所以我们有






有向面积I 我们可以重写前面的积分表达式, 把

这两个积分放到一起, 有






有向面积I .



所以这两条曲线之间的面积是上边曲线的积分减下边曲线的积分.


例如. 求图 16-16 所示阴影的面积.

图 16-16



2
上面的阴影是在 y = x 和 y = x 之间所围成的面积. 交点为 x =0 和

x =1, 所以有





阴影面积 平方单位.




如果区间是从 0 到 2, 结果又是怎样的呢？图像如图 16-17 所

示. 如果把面积表达为

那就是大错特错了.




















































图 16-17




如果计算这个积分, 你会发现它的结果为 -2/3, 但这不可能是一个面积


的值. 那么问题出现在哪儿呢？实际上, 仅仅当 x 在区间 0 和 1 之间

2
2
时, y = x 才在 y = x 的上边. 在 x = 1 的右边时, 曲线 y = x 是在
2
2
上边的. 很显然 x - x 是不对的, 应该用 |x - x | 来替代. 用这种方式,

我们会很确定所求的是实际面积, 无论哪个曲线在上边. 所以我们可以

用前面的方法去计算










2
这个不是问题. 首先注意当 x =0 或 x =1 时 x - x = 0, 所以我们考

虑下面这两个积分：





和 .




前面积分的结果是 1/6, 但第二个积分的结果是 3/2-7/3= -5/6. 第二


个积分是负的, 这个结果是有意义的. 因为当 x 在区间 [1,2] 时, y = x

2
不在 y = x 的上边. 不要管这些, 我们需要做的是把这两个数的绝对

值加到一起去：










所以, 要求的面积是 1 平方单位.



总的来说, 由 y = f (x)、y = g(x)、x = a 及 x = b 所围成的面积由


如下公式给出：

如果在区间 [a, b] 内 f (x) 一直是大于或等于 g(x), 那么这个绝对值

符号就没有必要了. 否则, 我们可以用 16.4.1 节中的方法去解决这个


绝对值问题. 在 17.6.3 节中, 我们将要看到应用这个方法的另一个例


子.




16.4.3 求曲线与 y 轴所围成的面积




让我们求这个面积：该面积由 、y 轴以及直线 y =2 围成.

图 16-18 是 该面积的图示.

































图 16-18



如果我们把面积写成






甚至是

将是一个严重的错误.



这两个积分表示的是与 x 轴, 而不是与 y 轴围成的面积. 事实上, 它们


分别等价于图 16-19 所示图像的面积.























图 16-19




第二个图像更好些, 因为当 x =4 时所对应的 y 值为 2. 但是, 这两个

积分表达式都不能正确表达这个面积. 要正确地计算面积, 最好的方法


是对 y 求积分, 而不是对 x 求积分. 我们可以把该面积按水平的方向切


成条状, 而不是竖条了. 图 16-20 是该图像的例子.

图 16-20




我们以其中一个横条为例, 它的长为 x, 宽为 dy, 如图 16-21 所示.




























图 16-21



这个小横条的面积为 x dy 平方单位, 通过积分的方法可以求出整块面


积. 在我们的例子中, y 是从 0 到 2(不是到 4), 所要求的面积是 (平方

单位)



2
, 可知 x = y , 所以上述积分表达式可写为









这同我们以前的积分表达式









没有什么不同, 只是虚拟变量由 x 变成了 y. 这个改变对我们的积分结


果并没有影响, 该积分依然为 8/3, 所以这块面积为 8/3 平方单位. 要


想弄清楚这一点, 让我们重新看看刚才的面积. 可以发现需要做的是把

2
该图像依 y = x 这条直线对称翻转, 这样得到函数 y = x 从 x =0 到

x =2 的面积. 我们所需要做的仅仅是把 x 和 y 对换. 当然, 如果 y = f


-1
(x), 反函数是存在的, 那么我们有 x = f (y), 所以我们可以把上述观

点总结如下.













如果你喜欢, 可把上述积分写为

-1
这是因为当 y = f (x) 时 x = f (y). 而且, 请注意积分的上下限, 我用
的是大写字母 A 和 B —— 这样做的目的是为了强调我们是对 y 求积


分, 而不是对 x 求积分. 所以刚才的例子中, 积分上下限是从 0 到 2 而


2
-1
不是从 0 到 4. 因为 , 我们可以说 f (x) = x . 所以上述公
式也可以改写为










结果为 8/3, 就像我们刚才算的那样.




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16.5 估算积分





这有个非常简单但很实用的原则：当一个函数一直都大于另一个函数


时, 它的积分也一直大于另一个函数的积分. 让我们看看图 16-22 所


示的图像.


































图 16-22



在区间 [a, b] 内, 函数 g 一直都在函数 f 的上方. (我们在 16.4.1 节


中见过的这两个函数, 情况正好相反!) 在任何情况下, 函数 y = f (x)


与 x 轴所围成的面积都要比函数 y = g(x) 与 x 轴所围成的面积小. 用


符号可表示如下.

即使这两个曲线都在 x 轴的下方, 这个结论也是成立的, 因为我们使用


的是有向面积. 例如, 如果函数 f 是在 x 轴的下方, 函数 g 是在 x 轴上


方, 这时积分 为负, 而 为正, 所以上述不等式依然是

成立的.





如果使用黎曼和, 那么证明上述结论是非常容易的. 不用考虑细节,


我们仅仅需要考虑划分, 并注意到对于任意一个 j 都有 f (c ) ≤ g(c ),
j
j
所以函数 f 的黎曼和小于函数 g 的黎曼和. 我把证明过程留给你了.



我们可以用速度和位移更好地解释上述公式. 假设在同一地点有两辆车


同时出发. 第一辆车在时刻 t 的速度为 f (t), 第二辆车在时刻 t 的速度


为 g(t). 因为速度的积分是位移, 所以上述结论中的公式可以解释为,


如果第一辆车的速度一直比第二辆车的速度小, 那么可以说第一辆车的

位移要比第二辆车的位移小. 你若这样考虑, 就很容易理解了. 如果我


们以右方向为正方向, 那么第一辆车永远在第二辆车的左边, 它永远不


可能到达第二辆车的右边.



一个简单的估算

使用上述不等式, 我们不用计算定积分的值也能估算一个定积分有多大


或多小. 例如, 我们要估计 的值, 也就是图 16-23 所示的面

积.








































图 16-23




设 M 为函数 f (x) 在 [a, b] 区间的最大值, 设 m 为其在该区间的最小

值. 我们分别把 y = M 和 y = m 两条直线画出来, 图像如图 16-24


所示.

图 16-24



注意, 我们要计算的面积是在直线 y = M 和 y = m 之间. 这点通过绘


制更多的函数图像很容易看出来, 如图 16-25 所示.

















图 16-25




我们可以很容易地求出图 16-25 中左图和右图中长方形的面积. 对于


左边的长方形, 底为 (b - a), 高为 m, 所以它的面积为 m(b - a) 平方

单位. 对于右边的长方形, 底仍然为 (b - a), 但它的高为 M , 所以面积


为 M (b - a) 平方单位. 由上述图像得到以下结论.













当然, 这里我们两次应用了上一节的原则. 下面来看一个使用这个

结论的例子. 假设我们要想知道积分











的值是多少. y = e -x 2 的函数图像是非常有名的钟形曲线, 它处处可见,

特别是在概率论和统计学中. 我们计算图 16-26 中阴影部分的面积.

























图 16-26



即使用上接下来三章中所有计算积分的方法, 我们都不能计算出该积分


的准确值. 事实上, 如果不用积分符号或求和, 我们再也找不到更好的

方法去表达这个积分值了. 但至少我们可以用刚才的原理估算一下它的


值.





我们需要找到在 区间内函数 y = e -x 2 的最大值和最小值. 通过链


式求导法则, 我们有 dy/dx = -2x e -x 2 , 当 x 为 0 时导数为 0, 其余情



况为负值. 这样可以说 y = e -x 2 在 区间为减函数, 所以最大值出


现在 x =0 处, 最小值出现在 x =1/2 处. 把这些值代入, 可以得到最




大值为 e -0 2 = 1, 最小值为 e -(1/2) 2 = e -1/4 . 也就是说, 在区间

中有









根据上面的原理, 把 a = 0, 代入可得










所以, 可以说要求的积分值在 和 之间. 通过图 16-27, 我们可


以更清楚地看到, 一个值估算过高, 一个值估算过低.

图 16-27




这两个长方形的面积分别为 和 平方单位.




上面的估算很不精确. 我们可以使用更多的长方形做更精确的估算, 或


者使用梯形、抛物线一样的小竖条等奇特形状. 更多信息参见附录 B.



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16.6 积分的平均值和中值定理





最后我们讨论平均速度的问题. 是的, 在单位时间内, 我们可以说速率


的值等于路程, 也可以说速度的值等于位移. 但这段陈述成立的前提是


速度为常数; 否则, 就像在 5.2.3 节讲述的那样, 需要引入平均速度.



我们已经了解, 使用微分可以在已知某时间段位移的前提下求即时速


度. 使用积分, 可以在已知某时间段即时速度的前提下求位移. 当然, 在


已知某时间段即时速度的前提下, 也可以求出平均速度. 你所需要做的


是求出位移, 然后用这个值除以总时间. 如果时间是从 a 到 b, 在时刻 t

的速度是 v(t), 那么我们有





位移 .




因为总的时间为 b - a, 所以有













总的来说, 我们可以在区间 [a, b] 内, 将可积函数 f 的平均值定义为：

2
例如, 求函数 f (x) = x 在 [0, 2] 区间上的平均值是多少？很简

单,





平均值 .



所有要做的是, 用积分结果除以积分上下限的差.




来看看这个定义的几何解释. 我们把函数 f 在区间 [a, b] 的平均值记


为 f , 图 16-28 是关于 y = f (x) 和 y = f 图像的例子.
av
av
























图 16-28



注意, 如果 f 仅仅为一常数, 则 y = f 的图像是一条水平线. 现在,
av
av
使用上述公式, 我们有










两边同时乘以 (b - a), 可得

这实际上是在说, 图 16-29 中两个图像阴影部分的面积是相等的,


















图 16-29




由图 16-29 可见, 右侧图像中长方形的高为 f 单位, 底为 (b - a) 单
av

位, 所以它的面积为 f × (b - a) 平方单位. 你可以这样考虑它：假设
av

你拨动鱼缸里的水, 水面在某一时刻就像函数 y = f (x), 等水平静下

来, 其表面就像y = f 这条水平线.
av



积分的中值定理




在上述图像中, 水平线 y = f 与函数 y = f (x) 有交点, 我们将其横
av
坐标记为 c, 如图 16-30 所示.

图 16-30




所以我们有 f (c) = f . 可以得出这样的结论：如果函数 f 是连续的,
av

那么总会有这样一个数 c.













简言之, 连续函数在一段区间内至少一次达到它的平均值. 例如,

2
在上一节中我们看到, 函数 f (x) = x 在区间 [0, 2] 的平均值为 4/3.

根据上述定理, 我们可以说一定有一个数 c 在区间 [0, 2] 满足 f (c) =


2
4/3. 因为 f (c) = c , 可以知道 是在区间 [0, 2] 上的一个解

(另一个解 不在该区间内).



如果从速度的角度考虑上述定理, 我们可以说在区间 [a, b] 内有一点 c


满足 v(c) = v . 也就是说, 在任何一段旅途中都有一个时刻 c, 使得
av

这个时刻的速度 v(c) 等于该段路程的平均速度 v . 无论你怎样努力
av

求证, 在任何一段旅途中, 至少会有这样一个时刻, 其即时速度等于该

段路程的平均速度. 至少会有一个这样的时刻, 不可能一个都没有. 假


设你在第一小时的速度为 45 英里/小时, 在第二小时的速度为 55 英


里/小时, 该段路程的平均速度为 50 英里/小时, 那么在该段时间内一定

会有某一个时刻的速度为 50 英里/小时, 这个时刻可能出现在从 45 英


里/小时到 55 英里/小时的加速过程中.




为什么上述定理也叫作中值定理呢？毕竟, 我们已经有了一个中值定


理. 如果重新看一下 11.3 节讨论过的定理, 你会发现我们两次得到的

是同样的结论：在任何一段旅途中, 都有某一时刻的即时速度等于平均


速度. 这两个定理中唯一的不同是：在前一个版本中, 我们是用位移 -


时间图像中的斜率来解释的; 而现在, 我们使用速度 - 时间图像中的面

积来解释.




现在来看看这个定理为什么是成立的. 如 16.5 节所述, 我们设 M


为函数在 [a, b] 区间的最大值, m 为函数在 [a, b] 区间的最小值. f av


可能比 M 大吗？ 如果它比 M 大, 那么情况将会如图 16-31 所示.

图 16-31




虚线部分所围成的长方形面积不可能等于阴影部分的面积, 因为长方形

包含了阴影区域! 所以这种情况不可能出现. 同样, f 也不可能比最小
av

值 m 小. 它一定会在 m 和 M 之间. 介值定理告诉我们, 函数 f 可取


m 和 M 之间的任意值 (你知道为什么吗), 所以 f 在某一时刻一定等于


平均值 f . 也就是说, 一定有某个数 c 满足 f (c) = f , 所以该定理是
av
av
正确的. 在 17.8 节中, 我们将使用该定理证明微积分学的第一基本定

理.




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16.7 不可积的函数






16.2 节曾提及, 如果函数 f 为有界函数并在区间 [a, b] 上有有

限个不连续点, 那么函数 f 是可积的; 也就是说, 定积分 存在.


顺便提一下, 不连续是不可导的一种情况; 也就是说, 如果函数在 x =


a 点不连续, 那么它在该点也不可导 (参见 5.2.11 节). 积分同可导的

情况有所不同, 即使是不连续的函数, 只要它有有限个不连续点也是可


积的. 现在, 让我们看一个有太多个不连续点的函数的积分情况.




首先, 我们回忆一下有理数的定义. 有理数可以被写成 p/q 形式, 其中


p 和 q 为整数 (它们没有公约数), 而无理数就不可能写成这种形式.

现在, 对于区间 [0, 1] 内的数 x, 我们设














这是一个很奇怪的函数. 在 0 和 1 之间有太多的有理数和无理数. 事

实上, 每两个有理数之间都有一个无理数; 每两个无理数之间也有一个


有理数! 所以当我们试着绘制函数 y = f (x) 的图像时, 可能会想到如


图 16-32 的图像.

图 16-32



函数 f (x) 的值在高度 1 和 2 之间以超乎你想象的速度来回跳跃. 在


1 和 2 这两条线段间有很多不连续处, 我们说有很多不连续点. 这个函


数实际上在任何一点都不连续. 那么积分 究竟为多少呢？让


我们取黎曼上和以及黎曼下和. 在此把区间 [0, 1] 分成许多小区间.

无论这些子区间的宽有多小, 小竖条中都会有一些无理数点. 所以求上


和会如图 16-33 所示.

图 16-33



为了求上和, 每一个长方形的高一定要是 2, 即使这个长方形很窄. 注


意, 无论其中有多少个长方形, 所有长方形的面积和为 2 平方单位, 因


为我们是对一个 1 乘以 2 的长方形进行划分的. 这样就有









相似地, 对同样的划分求下和, 每个长方形的高为 1 单位. 毕竟, 无论


长方形的宽多小, 它的底 (在 x 轴上) 都包含一个有理数. 对于所有的


有理数, 该函数的高为 1. 所以求下和如图 16-34 所示.

图 16-34




现在该面积为 1 平方单位, 因为这些小分区填充的大长方形为 1 乘以

1. 所以我们已经证明










当最大区间趋于 0 时, 这个极限取黎曼上和和取黎曼下和是不同的.


对于连续函数, 这种情况不会出现. 但对于一些不连续的函数, 这种情


况时有发生! 唯一的结论是, 函数在区间 [0, 1] 上不可积. 我们说函数

f 是不可积的. 实际上有一种方法可以求这种函数的积分, 叫作勒贝格


积分(与黎曼积分相对), 它超出了本书的讨论范围. 所以, 我们不用考


虑这种不正常的积分, 而是要寻求求解正常、连续函数的定积分的好


方法.

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第 17 章 微积分基本定理





我们现在来讨论微积分中的关键部分 —— 微积分基本定理, 它不仅提

供一种不用黎曼和就可以求解定积分的方法, 同时也展示了微分和积


分的关系. 不多说了, 这一章我们将要学习：




用另一个函数的积分形式来表示的函数;




第一基本定理, 以及反导数的基本思想;



第二基本定理;




不定积分和它们的性质.



在介绍完所有这些理论之后, 我们将针对下面的知识点举出若干例


子：




以第一基本定理为基础的问题;



计算不定积分;




计算定积分以及使用第二基本定理计算面积.

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17.1 用其他函数的积分来表示的函数





在上一章中, 我们使用黎曼和证明了






和 .



(实际上, 我们仅仅证明了第二个, 第一个留给你了!) 遗憾的是, 黎曼和


方法太繁琐了, 最好能找到一个相对简单的方式. 为什么我们在那儿停


下来了呢？让我们试着计算













在此, 我们让极限上限为变量. 最常用的变量是 x, 但是你不能把这个积


分写成









除非你想造成混乱局面. 毕竟, x 是虚拟变量, 实际上不是一个变量. 我


们重新开始, 这次使用 t 为虚拟变量. 首先, 我们有





和 .

请记住, 虚拟变量用什么字母都无所谓 —— 我们已经重新命名 x 轴为

t 轴. 实际面积并没有改变. 现在我们考虑积分










如果把 x =1 代入这个积分表达式, 会得到 , 积分结果为 1/3; 如


果把 x =2 代入, 会得到 , 积分结果为 8/3. 为什么得出这个表达

式就不往下计算了呢？ 你可以把任意值放到 x 的位置, 得到不同的积


分. 上述积分表达式实际上是一个以积分上限 x 为变量的函数. 我们用


F 来标记这个函数, 这样有









可以发现, F (1) = 1/3, F (2) = 8/3. 那么 F (0) 是多少呢？来看下面


式子：









在 16.3 节中我们已经知道, 对于积分上下限都一样的积分表达式, 该


积分的结果为 0. 也就是说, 我们知道 F (0) = 0. 不走运的是, 求解其


他的 F 值并不是很容易, 例如 F (9)、F (-7) 或 (1/2). 在下一节中, 我


们将要研究这个问题. 与此同时, 怎样用文字来描述 F (x) 呢？准确地

2
说, 它应该是曲线 y = t 、t 轴、 t = x 和 t =0 所围成的有向面积.

我们可以用两种方式推广这个问题. 首先, 积分下限不一定是 0. 你可以

定义另一个函数：










这个积分表达式也可以用面积 (平方单位) 来解释, 它是由曲线 y = t 2

、t 轴以 及两条垂线 t =2 和 t = x 所围成的面积. 那么 G(2) 为多少


呢？来看下式：










因为积分上下限是一样的. 那么 G(0) 是多少呢？我们有










16.3 节曾讲述怎样计算这个积分, 你可以交换积分的上下限, 然后再在

积分表达式的前边加上一个负号. 所以有










事实上, 在函数 F 和 G 之间有一种奇妙的关系. 首先, 这两个函数是：





和 .




我们从 t =2 这点分解第一个积分表达式, 可参见 16.3 节. 可得

左边是 F (x). 右边的第一项是 8/3, 第二项是 G(x). 这样, 就证明了









也就是说, F 和 G 的差是 8/3. 我们可以做得更多. 假设 a 是任意固定

的数, 设










如果从 t = a 而不是 t =2 分解函数 F , 会得到









右侧的第二项恰恰就是 H(x), 所以我们已经证明了










这是什么呢？实际上, 是个常数 —— 它不因 x 的变化而变化!

尽管我们没有确定 a 的值, 但说过 a 是一个常数, 所以这个积分结果一


定是个常数. 这样就证明了







其中 C 是一个常数, 由 a 而不是 x 决定. 这个方法的基本思想是把积


分下限从一个常数换至另一个常数, 这对整个表达式没有太大的影响.

2
我们的第二个解释是被积函数不一定是 t , 它可以是关于 t 的任意连续
函数. 假设被积函数是 f (t), 如果 a 是任意常数, 我们定义










2
例如, 如果 a = 0, f (t) = t , 则可以从上述定义得到原始函数 F . 总
的来说, 对任何数 x, 函数 F (x) 的值都是一个有向面积 (平方单位), 该


区域是由曲线 y = f (t)、t 轴以及 t = a 和 t = x 两条垂线所围成的.


图 17-1 是关于不同 x 的 3 种情况图示.
















图 17-1




上述图像让人想到了窗帘, 左边固定, 右边移动. 不真实的一面是, 窗帘


杆高低不平, 除非 f 是个常函数! 在任何情况下, 请注意函数 F 主要是

由被积函数 f (t) 和常数 a 决定的. 通过刚才的分割法可知, 改变 a 的


值仅仅使函数值增加或减少一个常数, 并没有太大的影响. 后面几节将


会体现出所有这些思想的重要性.



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17.2 微积分的第一基本定理





我们的目的是不用黎曼和来求积分










我们要做 3 件并不显而易见的事情.




(1) 首先, 把虚拟变量改为 t , 把上述积分表达式写为 . 像上一

节那样, 没什么不同 —— 用什么来表示虚拟变量无关紧要.




(2) 现在, 用变量 x 来替代 b 从而得到一个新的函数 F , 定义


. 这就是我们在上一节见过的函数. 最终要求函数 F (b)

的值, 即第 (1) 步中的积分. 但是, 我们首先来看看该怎样理解函数 F .




(3) 现在有了这个新函数 F , 它像是我们刚刚得到的一个新玩具. 在上

一节中, 我们已经花了很多时间求解函数的导数, 这次将对 x 求这个函


数的导数. 考虑










理解 F' (x) 的实质将会帮助我们求解 F (x). 一旦找到这个答案, 就能

计算出 F (b), 这就是我们要求解的积分.




表达式

看起来可能很奇怪, 让我们看看怎样才能拆开它. 选你最喜欢的变量 x

并求解 F (x). 这时微微变换一下 x—— 把它变为 x + h, 其中 h 是个


很小的数. 所以, 现在的函数值是 F (x + h). 这种情况的图像如图 17-


2 所示.





















图 17-2



可以看到, x 和 x + h 非常接近, 它们所对应的函数值 F (x) 和 F (x +


h) 也非常接近 —— 它们分别表示上图中阴影部分的面积. 现在对 F 求

导, 我们有










F (x + h) - F (x) 的差就是图 17-2 中两阴影部分面积的差, 也就是那

个小竖条的阴影面积 (顶部是弯曲的), 该面积在 t = x 和 t = x + h


之间, 如图 17-3 所示.

图 17-3



我们可以通过从 t = x 处分解这个积分来计算函数 F (x + h) 的值, 像


这样：









通过整理可得










这就是小竖条的阴影部分面积 (平方单位). 实际上, 这并不是一个竖条,


因为它的顶是弯曲的. 但当 h 很小的时候, 它几乎就是个竖条了. 该竖

条左边的高度为 f (x) 单位, 所以可以用计算长方形面积的方法来估算


该竖条的面积, 它的底从 x 到 x+h, 高从 0 到 f (x), 如图 17-4 所示.

图 17-4




这样该长方形的底为 h 单位, 高为 f (x) 单位, 所以面积是 hf(x) 平方

单位. 如果 h 很小, 那么这就是对这个积分的一个非常好的估算. 也就


是










两边同时除以 h , 得到









当 h 非常接近于 0 时, 这个估算就会很准确. 也就是说, 当 h 趋于 0

时, 这个估算是精确的：









我们会在 17.8 节中看到, 上述公式是正确的. 我们可以总结为

总结如下.
















简而言之, 可以总结为














我们把这个奇怪的表达式化简为 f (x)!




关于这个表达式要关注的一点是, a 出现在积分下限而不是积分上限.

这一点确实很有用, 信不信由你. 假设 A 是区间 (a, b) 中的某个数, 并


且





和 .




如我们在 17.2 节见过的那样, F 和 H 的差是个常数 C ：







如果对两边分别求导, 这个常数就消失了, 会得到 F' (x) = H' (x) (x


在区间 (a, b) 内). 所以, 常数 a 的选择不会影响这个求导的结果. 拿窗

帘来做比喻, 我们需要考虑的是拉窗帘的速度有多快, 以及右侧拉点的


位置放多高. 而左侧的固定点并不影响整体的拉动效果.



反导数的引入



现在稍事休息. 我们以一些变量为 t 的函数以及常数 a 开始, 然后建立


了一个以 x 为变量的新函数 F . 对 F 求导, 可以得到原来的函数 f , 但


现在我们要以 x 为变量而不是 t 来计算它. 很奇怪吧!




是的, 很奇怪, 但很有用. 它实际上解决了我们的一个大问题. 让我

2
们看看它是 怎样解决的. 假设 f (t) = t , a = 0, 所以有








2
微积分的第一基本定理告诉我们 F' (x) = f (x). 因为 f (t) = t , 所以

2
2
有 f (x) = x ; 也就是说, F' (x) = x . 换一种说法, 函数 F 的导数为
2
2
x . 我们说 F 是 x 的反导数 (关于 x). 你能想到其他的函数, 它的导
2
数为 x 吗？这里有一些：








2
在每一种情况下, 我们都可以发现导数为 x . 事实上, 任何形式为


2
(其中 C 为任意常数) 的关于 x 的函数都是 x 的反导数. 还有其

他的吗？答案是否定的! 我们在 11.3.1 节已经得到了这个结论. 如果

两个函数有相同的导数, 那么它们的差是个常数. 这就是说, 所有反导

3
数之间的差都是一个常数. 因为其中的一个反导数是 x /3, 所以任何其

3
他反导数一定是 x /3 + C, C 是任意常数. 等一下, 刚才那个奇怪的函

2
数也是 x 的反导数. 也就是说对于某个常数 C 有








现在我们所要做的是找到 C. 我们知道










所以有









这就是说 C =0. 现在我们找到了一直在寻找的公式：










2
最后, 要从 0 到任意数对 t 求积分. 具体情况是, 如果用 1 和 2 分别

替代 x, 就会得到熟悉的公式了：





和 .

这其实可以更简单, 我们将在下一节介绍. 首先, 我将要介绍另一

个重要的知识点. 我们现在用一种方式去建立任何一个连续函数的反导



数. 例如, e -x 2 的反导数为多少呢？我们把变量 x 换为 t, 选一个你喜


欢的数作为积分下限 (我们暂时选 0), 求积分得到 e -x 2 的反导数为









常数 0 可以被任意其他数替代, 替代后的式子依然成立. 当然, 对于每


一个不同的积分下限, 你会得到一个不同的反导数.




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17.3 微积分的第二基本定理





2
上一节 f (t) = t 的例子告诉了我们怎样求解 . 首先, 我们知道

被定义为









的函数 F 是函数 f (关于 x) 的反导数. 我们真地很想求解 F (b), 因为










我们知道










因为积分上下限是一样的.



现在, 假设对于函数 f 有其他的反导数, 我们称之为 G. 这时 F 和 G 之


间的唯一不同是相差一个常数, 所以有 G(x) = F (x) + C. 如果用 a

替代 x, 就有 G(a) = F (a) + C; 因为由上述计算知 F (a)=0, 所以有


G(a) = C. 这就是说







如果用 b 替代 x, 我们有

换一种方式表达, 即









这对于任何反导数 G 都是成立的. 注意, 表达式里已经没有 x 了. 现在


要做的是把虚拟变量变回 x, 再把函数字母由 G 变回 F , 这样就有了如


下的结论.
















在实践中, 我们通常把等式右边写成 的形式. 也就是说, 设









以计算










2
3
为例, 第一步我们寻找 x 的一个反导数. 我们已经知道 x /3 是一个反
导数, 所以










3
现在把 x =2 和 x =1 代入 x /3, 计算它们的差