普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

你怎样证明这是正确的呢？我们从在 x =0 点把这个积分分成两部分

开始：










对于等式右边的第一个积分, 用 t = -x 去替代. 这时 dt = -dx. 并且我


们看到当 t = -a 时, x = a; 当 t = 0 时, x = 0. 所以有









在最后一步, 我们用负号切换积分上下限. 因为函数 f 为奇函数, 所以 f


(-t) = -f (t), 这表明了










现在, 如果我们把虚拟变量变回 x, 那就证明了随后的这个结果：









这个等式只有在函数 f 为奇函数时才成立! 总之, 我们可以回到最初的


方程并使用刚才的这个结果：










我们的任务完成了!

18.1.2 如何换元




你怎样选择被替代的函数呢？这是个很好的问题. 基本思想是寻找其导


数也在被积函数中的那些部分. 在积分









-1
中, 我们选择 t = sin (x) 换元, 因为它的导数 也恰恰

在被积函数中. 在下列积分中这个方法也适用：





和 .




在以 t 为变量的情况下, 这些积分分别变为：





和 ,



前两个积分很容易观察出来, 但第三个就不那么容易了, 需要把平方根


拆开并观察使用换元法怎样计算











现在确定你能准确计算出上述以 t 为变量的积分, 然后可以再把


它们替换回以 x 为变量的积分. (对于第三个积分, 如果把 写为 t

-1/2 会方便我们计算. ) 无论怎样计算, 你都会分别得到

和 ,




把得到的每一个结果求导以校验我们的计算是否正确.



有时怎样换元并不很明显. 例如, 怎样计算积分









2x
2x
x
可能想象出来的替代为 t = e , t = e , t = e + 1. 后两个换元并
2x
不能解决问题, 因为在这两种情况中 dt = 2e dx, 但被积函数的分子

x
x
2x
中没有 e 这项. 所以我们设 t = e , 这时有 dt = e dx, 该项正好出
x 2
2
2x
现在分子. 至于分母, 我们可以把 e 改写为 (e ) , 这就是 t . 所以






-1
这个积分的结果为 tan (t) + C. 再把它换回以 x 为变量的积分, 有








对于任何常数 C 都成立. 我们可以对等式的右端求导来校验这个结果


是否正确.



我们再看一个例子：

关于计算 这种类型的积分, 我们有一个非常好的方法. 可以简


单地设 , 在求 dt 之前先两边同时 n 次方. 所以：








5
所以, 我们设 . 为找到 dt, 把等式两端 5 次方, 得 t = 3x

+ 2. 现在把这个新的等式两端同时对合适的变量 (由链式法则决定) 求

5
4
4
导, 得 5t dt = 3dx. 5t 是 t 关于 t 的导数, 3 是 3x+2 关于 x 的
导数. 所以, 我们找到了可以用 t 表示 3 dx 的表达式, 等式两端同时除


以 3 就得到了 dx 的表达式. 在本例中有










(通过写出关于 x 的表达式 , 再两边同时对 t 求导也可得上

式.) 现在让我们重新看看这个积分. 该积分表达式有三项：x、


和 dx. 第二项就是 t, 我们已经找到了用 t 表示第三项的表达式. 那么


5
第一项 x 该怎么处理呢？我们知道 t = 3x + 2, 所以可以重新整理这

个等式得 . 这样, 这个积分表达式为










现在我们先做乘法然后再积分可得

再回到以 x 为变量的积分：用 t = (3x + 2) 1/5 再替换得










你应该试着自己解决这个问题, 把你的解题思路写在计算过程的左


边, 就如前面例子中演示过的那样. 并且你也应该把所得的积分结果求

导, 校验是否会得到 . 顺便说一下, 你是否注意到这道题用的


换元法同我们以前的换元有何不同？确实有一点点不同. 在其他例子


中, 我们用的方程是 dt=(关于 x 的函数)dx, 然而在这个例子中我们写


为 . 这种写法对于计算很有帮助, 因为我们可以直接替代 dx.


在所有的其他例子中, 我们不得不找到一个已经存在的 x 的表达式的常


数倍才有机会化简. 在 19.3 节中, 我们将要看到能直接替代 dx 的其

他例子.




总的来说, 对于怎样换元没有硬性规定. 你需要跟着直觉走, 这个直觉


只有在你做了大量的习题之后才会越来越正确. 可以尝试任何你想到的

换元. 如果换元后的积分比原始的积分更糟糕, 或者你找不到任何方法


把每一个变量都化成 t 变量, 那也不要着急：你仅仅需要做的是再回到


原始积分, 然后尝试其他的换元.



现在, 在介绍分部积分法之前我需要再阐述两点. 第一点是换元方


法的识别, 我将在下一节介绍这点. 第二点是对换元法的总结, 即

对于不定积分, 用 t 和 dt 分别表示带有 x 的表达式和 dx, 然后再


求这个新的用 t 表达的积分, 最后再换回到 x;



对于定积分, 用 t 和 dt 分别表示带有 x 的表达式和 dx, 并且也要


把积分上下限换为与 t 相关, 这时计算这个新的积分 (没有必要再

回到以 x 为变量的状态). 当然也可以用另一个方法, 就是先把它


看成不定积分去计算结果, 然后再把积分上下限分别代入求最后的


结果.




18.1.3 换元法的理论解释




2
假设你想在某些积分中做这样的换元 t = x , 这样就得到 dt/dx
= 2x, 改写为 dt = 2x dx. 在某种意义下, 这是一种没有意义的陈述


—— 毕竟 dt 和 dx 没什么实际意义. 我们知道 dt/dx 是导数的一种表


示, 但在第 13 章中 dt 和 dx 仅仅被定义为微分. 所以 dt = 2x dx 究

竟意味着什么？一个好的解释是, 当 t 发生微小变化时, 它的变化量是


它所对应的 x 的微小变化量的 2x 倍. 实际上在 5.2.7 节中有过这种


类型的表达式. 你可以采用这种方式去观察它, 看怎样用黎曼和解释它,


但这里有一个更好的方式：仅仅使用链式法则.



设想你已经做了一个换元 t = g(x), 我们用以 t 为变量的 ∫f (t)dt 结束


求解, 设结果为 F (t) + C (C 为常数). 所以这个积分以 t 为变量可写


为

因为 t = g(x), 所以可得 dt = g' (x)dx, 这样上述方程可以转化为以


x 为变量的式子：









我所做的就是分别用 g(x) 替代 t, 用 g' (x)dx 替代 dt. 如果你想证明


这个替代是有效的, 我们需要证明上述等式是正确的. 设 h(x) = F


(g(x)), 根据链式法则 (参见 6.2.5 节第一部分), h' (x) = f' (g(x))g'

(x) 是正确的. 我们可以以不定积分的形式来表达：










因为 h(x) = F (g(x)), 我们有









现在, 因为 ∫ f (t)dt = F (t) + C, 所以 f' (t) = f (t); 因为 t = g(x),


我们有 F' (g(x)) = f (g(x)). 这样上述等式变为









这正是我们要证明的!

顺便说一下, 这个漂亮的等式可以帮助我们证明一种换元法, 这种方法

恰恰就是我们在上一节最后例子之后讨论过的. (当我们学习 19.3 节


的三角换元法时, 将会一次又一次地见到这个方法). 第二种换元法是,


不设 t = g(x) 而是对于一些函数 g 设 x = g(t), 这样用 g' (t)dt 替代

dx. 在这种情况下, 最初的积分 ∫f (x)dx 现在变为










现在可以计算出这个积分了, 然后再回到以 x 为变量的积分上. 根据我


们刚才证明的漂亮的等式, 其中用 t 替代了 x, 我们看到上述积分等于

F (g(t)) + C, 其中 F 是 f 的反导数. 这时的结果恰恰就是 F (x) + C,


这正是我们想要的. 所以这个方法很有用, 我们证明了此换元法的合理


性.



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18.2 分部积分法






我们已经看到换元法是怎样逆用链式求导法则的. 还有一种方法可以

逆用乘积法则, 我们称之为分部积分法. 让我们回忆一下 6.2.3 节的乘


积法则：如果 u 和 v 是关于 x 的函数, 则有









让我们重新写一下这个等式, 然后两边同时再对 x 求积分, 得到









等式右侧的第一项是函数uv导数的反导数, 所以它等于uv+C. 其实


+C 是不必要的, 因为等式右侧的第二项已然是个不定积分：它自动包


含一个 +C. 所以我们已经证明了









这就是分部积分公式, 这种形式非常实用, 但我们还有这种形式的简单



写法, 更方便. 如果我们用 dv 替代 , 用 du 替代 , 会得到公


式

再一次提醒, 这仅仅是公式的简写形式, 但这种写法确实很实用.


让我们看看它怎样帮助我们解决问题. 假设我们想求解









换元法看起来不管用了 (试试看是否能解决问题), 所以我们尝试使用


分部积分法. 首先要得到 ∫u dv 形式的积分, 这样才能应用分部积分


法. 有很多种方法可以化成这种形式, 但有一种很管用的方法：设 u =

x
x
x 并且 dv = e d x. 这时我们有 ∫ x e d x = ∫u dv.


现在我们使用分部积分法, 需要找到 du 和 v. du 很容易找到：我们


x
知道 u = x, 所以 du=dx. 那么 v 怎样找呢？我们有 dv = e dx, 所

以 v 究竟是多少呢？仅仅对这个等式两侧同时求积分：∫dv = ∫e x

x
dx. 这就是说 v = e + C. 实际上我们并不需要这样的 v, 仅仅需要

x
能给出 dv = e dx 这种形式的 v. 所以我们可以忽略 +C 仅仅设 v

x
= e .


x
我们现在要开始应用分部积分公式了, 其中 u = x, du = dx, v = e ,

x
并且 dv = e dx. 使用这个公式的最简单方式是留有一定间隔地写下

这个公式, 然后进行如下替代：

x
x
现在仍然有一个积分被剩下了, 唯一被剩下的 ∫e dx 的结果为 e +
x
x
x
C. 把这个加进去, 就得到 ∫x e dx = x e - e + C. (从技术角度来
说应该是 -C, 而不是 +C; 但减一个常数也就是加这个常数的相反数,

区分这个是没有必要的.)




为了能计算出 du 和 v, 我建议你这样来写：









这时通过对 u 求导和对 dv 求积分来填写空白处：









你能很容易地用分部表达式替代这个积分, 因为我们已经做好了所有


的准备工作.



x
你究竟为什么决定选择 u = x 和 dv = e dx 呢？为什么我们不设 u

x
= e 和 dv = x dx 呢？我们可以这样做的. 在这种情况下, 会有

注意我们通过对 dv = x dx 求积分得到 (记住我们不需要

+C). 这时, 通过分部积分法有














整个解题过程没有任何错误, 但它很不实用. 你看, 最后这个积分是比


原始积分更复杂的积分! 所以我们最好使用第一种方法. 通常来说, 如


x
果你在表达式里面见到 e , 好好待它, 它是你的朋友, 因为它的积分是
x
x
它自己. 这里的规则是：如果 e 存在, 通常让 dv = e dx, 因为这样
x
可以很简单地得到 v 即为 e .



一些变形



这里面有很多复杂的情况. 有时你需要多次计算分部积分. 例如,


你怎样计算










很好, 它是一个乘积的形式, 所以换元法不适用, 我们试着用分部积分

2
x
法. 这里没有 e , 但是有 sin(x), 这也非常好. 让我们设 u = x , 并且
dv = sin(x)dx. 我们得到

这里我们通过对 dv = sin(x)dx 求积分可得 v = ∫sin(x)dx = -


cos(x)(记住没有必要写 +C). 所以我们有


















现在我们把 2 从最后的积分中提出来, 我们将要完成这个积分, 只要


知道 ∫ x cos x dx 的积分结果. 这比我们的原始积分表达式要简单,

2
原始表达式里是 x 而现在仅仅为 x 了, 毕竟余弦函数和正弦函数是

非常相似的. 所以再一次用分部积分法. 我们假设 U = x 并且 dV =


cos(x)dx; 这次我使用大写字母是因为前面已使用了小写字母. 现在

我们有










这样, 通过替代有














我们已经知道 ∫sin(x)dx = - cos(x) + C, 所以有

我们几乎快完成了, 仅仅需要做的是把这些代入最开始的表达式里：









(再一次强调, 我不写 +2C 因为它只是一个常数. )




有时在两次分部积分之后情况并未好转. 在这种情况下, 如果你运

气好, 那么将会得到原始积分的倍数. 如果你很不走运, 那只有把刚才


的计算扔到一边, 重新再来了. (如果你很不走运, 那么原始积分就可能


会被正好约掉, 这样就一点忙也帮不上了!) 这种情况到底是什么样的,


这里有一个例子：









这个被积函数既包含余弦函数又包含指数函数, 但我更倾向于用指数


2x
函数, 所以, 我们设 u = cos(x), dv = e dx. 得到










2x
(当你对 e 求积分以求 v 时, 别忘记要除以 2. ) 这样, 我们有

现在等式右侧的新积分同我们最开始计算的积分表达式的难度是等同


的, 所以我们选择的这种计算方法是否合适还不是很清楚. 无论如何,

我们先坚持这种方法, 再次用分部积分法. 这次我们设 U = sin(x),


2x
dV = e dx. 我们看看得到什么：










通过分部积分法, 我们有



















把这两次计算合并到一起, 有















这能帮助我们计算吗？是的. 我们注意到等式两端出现了同样的积分,

再把这两个积分都移到等式的左边. 事实上, 我们可以在等式两侧同时


加上原始积分的 1/4, 这样可以把等式右边的积分消掉, 再加上一个常


数 C 得到

现在我们在等式两侧同时乘以 4/5 得到










(再一次提醒, 我们不写 , 仅仅写 +C 来表示常数.)



这里有另一种类型的积分也需要用到分部积分法, 但是它的计算


更复杂. 在这种情况下, 这种类型的积分没有乘积的形式. 这种类型的


积分有;









这就是说, 如果积分是反三角函数或 ln(x) 的幂的形式, 可以用分


部积分法. 在这种情况下, 应该设 u 为这个函数本身, 并让 dv=dx. 例


如, 计算









-1
我们设 u = tan (x), dv = dx, 这时有












并且有 (我们暂时忽略积分上下限)

使用 18.1 节最后的方法, 右侧的积分等于 (确信

你同意这点!), 所以我们有











你怎么得到这个最后答案的呢？我们知道对数和反三角函数!


确保你相信上述答案是正确的. 同时注意, 我们先计算不定积分以便计


算定积分 (我们要先把积分变量转移到以 u 和 v 为变量上来). 这通常


是一个很好的方法. 也就是说, 当用分部积分法求解一个定积分的表达

式时, 先寻找它的不定积分, 最后再把积分上下限代入.




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18.3 部分分式






让我们研究怎样对一个有理函数求积分. 我们将要计算积分









其中 p 和 q 为多项式. 这种类型在积分中所占的比例很大, 例如





或 .




这些题目看起来有些复杂. 也有一些简单的例子：





和 .





后面这四个积分也是有理函数的积分, 但相对简单一些. 我们可以


尽量使用换元法求解这些积分. (这四道题的换元分别是 t = x - 3, t

2
= x + 5, t = x/3 和 t = x + 9.) 前面两个积分的分母是线性方程

的幂, 而后两个是二次函数且不能因式分解.



基本方法：首先会看怎样处理有理函数, 我们通过一些代数运算把它


分解成几个更简单的有理函数的和的形式; 然后将看到如何对这些简


单的有理函数求积分. 我们提到的这些更简单的有理函数就像刚才最


后那四个一样：它们看起来要么像一个常数除以一个线性函数, 要么

像一个线性函数除以一个二次函数. 我们将首先研究这些代数运算, 然


后再用微积分的方法. 最后我将总结这种方法, 并给出一个完整的例

子.




18.3.1 部分分式的代数运算




我们的目的是把一个有理函数分成许多更简单的部分. 第一步是确保


这个函数的分子的次数小于分母的次数. 如果不是这样, 我们需要先做


一个多项式的除法. 所以在下面这些例子中：





和 .




第一例很容易, 因为很显然分子的次数小于分母的次数. 但第二个例子

就不那么容易了, 因为分子的次数同分母的次数是一样的 (都是 2). 如


果分子是三次或更高次, 那我们会有同样的麻烦. 这样的话, 我们要做


一个多项式的除法. 为此, 将其写为










来看我们的例子









这道题的除法算式如下：

这个除法告诉我们, 商为 5, 余数为 x+2. 所以有










如果等式两边同时对 x 求积分, 我们有









现在, 我们能把这个积分分成了两部分, 并且对第一部分求积分, 我们


看到原始的积分变为









这个新积分的分子次数为 1, 分母次数为 2, 这正是我们想要的结果.


现在我们可以继续计算了.




接下来, 我们将要分解分母中的因式. 如果分母是一个二次函数, 请检


验它的判别式：像在 1.6 节中那样, 如果判别式为负, 你不能对它进行

因式分解. 否则, 可以手动进行因式分解或使用二次公式. 如果分母很


复杂, 你就不得不猜想一个根, 然后再用多项式的除法.

在因式分解分母之后, 下一步要写下的东西叫做 “分部”. 这是通


过把分母的一个或更多的因式加到一起构成的, 它依据如下的规则.



(1) 如果有线性式 (x + a), 那么这个分部有如下形式：









2
(2) 如果有线性式的平方 (x + a) , 那么这个分部有如下形式：









2
(3) 如果有二次多项式 (x + ax + b), 那么这个分部有如下形式：








这些都是很常见的例子. 也有一些不常见的例子.



3
(4) 如果有线性式的三次方 (x + a) , 那么这个分部有如下形式：









4
(5) 如果有线性式的四次方 (x + a) , 那么这个分部有如下形式：








注意：分部仅仅由分母决定, 同分子没有关系! 并且当我们使用


常数 A、B 、C 、D 时, 记住不能在不同的表达式里重复使用这些字

母. 所以, 你需要使用字母表中后续的字母. 在刚才的例子









中, 分母是 (x + 1)(x - 1); 所以我们有两个线性因子, 分部为：









我们不能两次使用 A, 所以在第二项使用 B. 顺便说一下, 如果你使用


字母 C 、C 、C 或其他字母, 而不是使用 A、B 、C 等字母, 那么
3
2
1
是在玩火自焚. 如果这样做, 那你会经常犯一些不经意的错误, 除非你


能注意到这些字母下脚标的不同.



这里还有另一个例子.












这种形式会怎样呢？答案是









你可能会以不同的顺序写下这些项, 或交换从 A 到 H 这些字母的顺


序; 这都可以.

一旦写下这种形式, 你也应该写下被积函数等于这种形式, 然后再


使用等式两端同时乘以分母的方法. 例如, 我们发现积分









的被积函数可以写为









所以我们有









实际上, 最好把等式左侧的分式写为









现在等式两侧同时乘以分母可得








注意, 等式右侧的第一项消掉了 (x-1) 因子, 第二项削掉了 (x+1) 因

子. 无论如何, 现在我们有两个方法可以继续. 第一个方法是替代 x. 如


果设 x =1, 这时 B(x-1) 这项就消失了, 这时我们有

也就是说 . 现在如果你把 x = -1 代入原始方程, 那么 A(x+1)

这项将会消失：









所以 . 另一个求解 A 和 B 的方法, 是将原始方程 x+2 =

A(x+1)+B(x-1), 重写为








现在通过 x 的系数相等可得 1 = A + B, 通过常数项相等可得 2 = A


- B. 同时解这两个方程, 可得 , 同刚才的答案是一样的.




你可能已经注意到, 计算 A 和 B 的两种方法都需要两个条件：对于替


代法, 把 x =1 和 x = -1 分别代入; 对于系数相等的方法, 让 x 的系

数相等, 也让常数项相等. 我们可以选择其中的任意一种方法. 例如,



如果代入 x =1 会得到 ; 如果取 x 的系数相等, 会发现 1= A +



B, 所以 . 在通常情况下, 有多少个常数需要求出, 就需要应用

多少次刚才的某种方法, 或者你也可以混着使用两种方法.




我们剩下的工作是重写积分表达式 (用分部的形式), 但这次需要把常


数代进去. 所以我们的例子为

现在对等式两端同时积分, 并把常数项移到等式的外边, 可得









我们已经成功地把原始复杂的积分化成了两个很简单的积分. 我们会


很快求解这两个积分的.



到目前为止, 我们看到除非分子的次数小于分母的次数, 否则都要做一


个多项式的除法, 然后对分母进行因式分解, 写下它的每一个分部, 再


使用上述两种方法中的一个计算这些未知的常数. 最后我们写下这些


积分的各个部分. 我们将在 18.3.3 节中看到另一个解决这类问题的例


子. 与此同时, 让我们做一些积分.



18.3.2 对每一部分积分





我们需要知道在把原始积分分成小部分后怎样求解每一部分的积分.

简单的积分形式是









为此, 我们可以设 t = ax + b. 例如在上一节的最后, 我们看到

对于第一个积分表达式, 可以通过设 t = x - 1 求解, 而第二个可设 t


= x + 1. 在这两种情况下 dt=dx, 所以很容易得到









还有另一个例子, 求解









我们设 t = 4x + 5 所以有 dt=4dx ; 这时积分转移到了以 t 为变量



的状态, 变为 , 它的结果为 . 最后再用 x 替代 t , 上



述积分结果为 .



若分母是线性因式的幂, 这种方法也是适用的. 例如, 计算











可以再一次用 t = 4x + 5 换元. 这样, 这个积分变为 , 它的积



分结果为 ; 再换回到以 x 为变量的状态, 这样就证明了









当分母是一个二次函数时, 情况会变得很复杂, 像这样：

请注意! 如果分母可以因式分解, 那么就转化为了第一种情况. 下面是


前面的一个例子：









我们把分母因式分解为 (x - 1)(x + 1), 这样可得两个被积函数的分母


为线性式的积分. 如果是这种情况, 我们就没有必要对分母为二次多项

2
式的被积函数求积分了. 即使上一个例子的分母为 (4x + 5) , 我们也

没有必要对二次多项式求积分, 因为它是线性式的平方.




还有什么情况没有考虑到呢？可能的情况是分母的二次多项式不

2
能因式分解. 也就是说, 它的判别式 b - 4ac 为负. 这类积分的一个例

子是









2
它的分母是二次多项式且它的判别式为 6 - 4 × (13), 结果为负. 因

为这个分母不能因式分解, 所以对于这道题不能使用刚才的代数运算


方法. 我们没有必要去使用任何分部, 所要计算的就是求这个积分. 其


做法是：把分母写成平方的形式, 然后再换元. (参见 1.6 节关于配方


的讲解.) 在这个例子中, 让我们完成配方：







所以有

现在换元 t = x + 3, 所以有 x = t - 3 并且 dx=dt：









第二步是把这个积分分成两个积分, 并把常数 5 移到积分符号的外边,


所以上述积分变为









第一个积分就像 18.1 节末尾的那个例子. 分母分子同时乘以 2, 可以


发现分母的导数恰恰为分子, 所以我们得到了一个以分母为对数的结


果：









2
实际上, 因为 t + 4 一直为正, 所以可以把绝对值符号去掉. 现在开始

计算第二个积分, 它是









仅仅需要记住这个有用的公式：

(你应该通过对等式的右侧求导证明这个结果, 或对等式左边进行


换元 t=au.) 无论如何, 当 a =2 时, 这个公式为









所以, 我们的积分结果为










现在用 x+3 替代 t, 得到最后的结果为










2
2
表达式 (x + 3) + 4 可以化简为 x + 6x + 13, 这正是我们最初的
分母. 实际上没有必要展开它, 仅仅回到我们配方的地方, 你就会发现

需要的方程了. 所以, 我们最终证明了










如果分母的最高项的系数不是 1, 我建议你在配方之前把这个系


数提出去. 所以, 计算









把 2 提出来, 把这个积分表达式写为

这同我们以前的积分是一样的, 只是在积分符号外边放置了 1/2, 所以

它的结果为










现在, 我们总结部分分式法, 然后看一个更完整的例子.




18.3.3 方法和一个完整的例子




这是一个关于有理函数积分的完整方法.



第一步 —— 先看分子分母最高项的次数, 如有必要请做除法. 查看分


子的次数是否小于分母次数. 如果是, 那你运气好, 直接进入第二步;


如果不是, 就要做一个多项式的除法了, 然后再进入第二步.




第二步 —— 对分母进行因式分解. 使用二次公式或猜想一个根, 然后


再做除法, 以便因式分解被积函数的分母.



第三步 —— 分部. 像之前描述的那样, 分别写出带有未知常数的 “分


部”. 写下一个像这样的等式：



被积函数 = 分部

第四步 —— 计算常数的值. 把方程的两边同时乘以分母, 通过任一方


法计算常数的值：(a) 换掉 x 的值; (b) 系数相等法; 或者结合使用

(a) 和 (b) 两种方法. 现在你能用几个有理函数的和来表示这个被积函


数, 这些有理函数可能是分子为常数分母为线性函数的幂, 或者分子为


线性函数分母为二次函数.



第五步 —— 求解分母为线性项次幂的积分. 求解分母是线性函数次幂


的积分; 答案将会是对数形式或该线性项的负次幂.




第六步 —— 对分母是二次函数的被积函数求积分. 对于分母是二次函


数且不能因式分解的被积函数求积分, 先配方, 然后换元, 再把它尽可

能分解为两个积分. 前者会涉及对数, 而第二个会涉及正切函数的反函


数. 如果仅仅有一个积分, 它可能是对数形式又可能是正切函数的反函


数形式. 这个公式通常是非常实用的：













记住你不需要每次都经历完整的六步. 有时可能直接跳到最后一步, 比


如上一节的例子：









在此还有一个很复杂的例子, 它用到了所有的六个步骤：

下面详细介绍怎样应用上述方法解决这个问题.



第一步 —— 先看分子分母最高项的次数, 如有必要请做除法. 在上面


的积分表达式中, 分子最高次数为 5, 分母最高次数为 4. 很讨厌, 我们


要做多项式的除法了：





















检查细节! 无论如何, 我们已经看到









现在对两边同时求积分可得











等式右侧前两项的积分很容易求, 其积分结果为 (我们将在最


后的结果中 +C). 所以现在我们要求解积分

分子的次数仅仅为 2, 这个数低于分母的次数 4. 我们准备好进入下一


步了.



第二步 —— 对分母进行因式分解. 在分母中我们有一个四次项, 很显


2
然可以把 x 提出来. 所以我们把分母因式分解为






2
2
这个二次项 x - 5x + 9 的判别式为 (-5) - 4 × (9) = -11; 因为它
是负的, 所以这个二项式不能因式分解. 我们完成了第二步.




2
2
第三步 —— 分部. 我们已经有两个因子 x 和 x - 5x + 9. 不要把第
2
一个因子 x 看作二次函数, 而应看作一个线性函数的平方. 为了证明

2
2
这个观点, 它可以写为 (x - 0) . 所以因子 x 产生分部：







2
另外, 因子 x - 5x + 9 产生分部








将两者放在一起, 我们有










第四步 —— 计算常数的值. 现在不得不求常数 A、B 、C 、D 的值

2
2
了. 首先把上述等式的两边同时乘以分母 x (x - 5x + 9) 得到

注意, 出现在等式右边每一项的分母部分恰恰没有出现在该项所对应

2
2
的分部里. 例如, 当用 x (x - 5x + 9) 乘以 B/x 时, 约掉了一个 x 得
2
到 Bx(x - 5x + 9).



让我们用一个值替代上述等式的 x. 能消掉这个等式里的大多数项的

唯一的 x 值是 x =0. 如果把 x =0 代入上述等式, 则








所以我们马上就知道 A =2. 我们仍然需要求解另外三个常数的值, 所

以最好找到这些 x 幂项所对应的系数. 让我们从扩展上述方程开始, 再


把 x 的不同次幂合并可得：










3
2
现在可以把 x 、x 、x 的系数分别写出了：














2
3
注意 x 的系数在等式的左侧为 0, 因为等式左边的 8x - 19x + 18
3
并没有 x 项. (顺便说一下, 如果你用系数相等法, 可得到 18=9A, 这

同我们把 x =0 代入得到的结果是一样的. 你能说出为什么是这样


吗？)



无论怎样, 我们得到一些方程去求解; 从最后一个开始, 然后把 A =2


从后向前代入, 很容易就可得到 B = -1, D = 1, C = 1. 把这些值代


入第三步的最后一个表达式中有









这就是说










这样我们把一个很复杂的积分化简成了三个简单的积分. 让我们分别


对它们求积分.



第五步 —— 求解分母为线性次幂的积分. 前两个积分是很容易求的：










所以这道题的第五步真的不麻烦. 但很不走运, 第六步却很繁琐 ……



第六步 —— 对分母是二次函数的被积函数求积分. 我们需要计算第三


个积分, 它是

通过配方可得










现在让我们重写积分表达式










我们能用 做换元. 这时 且 dt = dx, 所以这个积分


变为










这里以 t 为变量. 现在把它分成两个积分：






和 .



先计算这两个积分中的第一个, 分子分母同时乘以 2 可得











再一次提醒, 这个绝对值符号是不必要的, 因为 一定为正. 为把



它换回以 x 为变量的状态, 我们需要用 替代 t：

不要把这个乘法算式展开 —— 仅仅看看上一页我们标记为 (**) 的方



程, 当时我们正在配方, 可知这个结果可以化简为 .

这样, 我们完成了这个积分的第一部分.




我们仍然需要考虑第二部分, 即









我们使用公式










其中 , 事实上它等于 ：











现在把 再次代入可得










最后两个积分给出了第六步的最终答案：

猜想我们将要做什么？我们正准备把得到的所有结果放到一起! 前 4


步中我们得到














这是完整的部分分式分解形式. 现在再用第五步和第六步计算这个积


分, 上述的积分结果为











我们终于解决了这个复杂的例子. 它确实是很复杂的, 但是如果你

能解答这么难的问题, 那么对于简单的问题你就游刃有余了. 作为一个


练习, 看你明天不看这几页是否能独立做出这道题目.





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第 19 章 积分的方法 II





在这一章中, 我们将继续介绍积分方法 —— 求解涉及三角函数的积分

方法. 有时, 我们需要使用三角恒等式解决一些问题; 有时题目中没有


三角函数, 而在计算过程中需要使用三角换元法. 介绍完三角函数的积


分方法之后, 我们将要总结一下本章和上一章讲述的积分方法. 所以,


在这一章中我们将要学习如下知识点：



关于三角恒等式的积分;




关于三角函数的幂以及约化公式的积分;




关于三角换元法的积分;



关于所学习过的所有积分方法的总结.




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19.1 应用三角恒等式的积分





有三大类型的三角恒等式, 它们在积分计算中非常有用. 第一大类型是


关于 cos(2x) 的倍角公式. 在 2.4 节中, 我们知道 cos(2x) = 2


2
2
cos (x)-1, 也知道 cos(2x) = 1-2 sin (x). (请记住, 其中的一个可以
2
2
由另一个应用公式 sin (x)+cos (x) = 1 推导出来.) 该公式在积分计
2
2
算中最好的应用地方是当被积函数中出现 sin (x) 和 cos (x) 时. 所
以, 我们有











这两个公式很值得记住! 具体而言, 如果需要求 1 + cos (任何值)


或 1-cos(任何值) 的平方根, 那这两个公式就派上用场了. 例如,








这道题看起来很麻烦, 但实际上










可以用刚才的第二个方框里的公式导出. (我们在使用这个公式前需要


乘以 2.) 然而, 如果直接用 替代 是很鲁莽的, 我们

需要做个检测. A 的平方根不一定是 A 本身, 而是 |A|. 所以上述积分

变为










幸运的是, 当 x 在 0 到 π/2 之间时, sin(x) 的值一直大于或等于零, 所


以我们最终可把绝对值符号去掉! 我们已经导出










剩余的计算留给你去做, 它的结果为 .



有时你需要更灵活. 考虑










看起来我们需要使用刚才第一个方框里的公式, 但原始公式是 1 +


cos(2x), 而我们的被积函数是 1+cos(x). 没问题. 如果你用 x/2 去替


代 x, 然后再乘以 2, 就得到








这正是我们想要的! 检验这个：

现在我们得非常小心! 当 x 在 π 到 2π 之间时, x/2 是在 π/2 到 π 之


间, 但 cos(x) 在区间 [π/2, π] 上是小于等于零的 (可以画图像校验).

所以上述积分实际上等于











剩余的计算工作留给你去做, 它的结果为 . 顺便说一下, 如果


你错误地用 cos(x/2) 而不是 -cos(x/2) 替代 |cos(x/2)|, 那么得到的

答案将会是 . 这是不正确的, 因为原始的被积函数 一


直为正的, 所以这个积分的结果也应该为正.




让我们接下来讨论第二大类型的三角恒等式, 它们是毕达哥拉斯恒等

式：









如 2.4 节所述, 这些等式对于所有的 x 都适用. 有时它们是很有



帮助的. 例如,




应该被写为









因为当 x 在 0 到 π 之间时 sin(x) ≥ 0, 我们可以去掉绝对值符号, 写


为

结果为 2. (你自己计算一下!) 把这个例子 和我们刚才

做过的例子 进行比较. 它们看起来可能很相似, 但所使


用的三角恒等式是不同的.



有时你不得不应用一些技巧才能使用上述公式. 如果你在一个


积分的分母中看到 1+trig(x) 或 1-trig(x), 其中 trig 是三角函数的意


思 (可能是正弦、余弦、正割或余割), 那么可以考虑用这个积分表达式


乘以与其分母共轭的表达式. 例如, 计算









分子分母同时乘以分母的共轭表达式, 在此是 sec(x)+1. 也就是









现在可以在积分的分母表达式中使用平方差公式 (a - b)(a + b) = a 2


2
- b , 把这个积分写为








2
根据刚才方框里的公式, 分母恰恰就是 tan (x). 使用这个结果重写这

个积分, 然后再把它分成两个积分, 我们发现原始积分变为

第一个积分看起来不容易计算, 但可以用正弦和余弦的形式来表示它.

具体情况是











下一步是换元 t =sin(x), 因为在分子中 dt=cos(x)dx. 试试看你

2
能得到什么. 更简单的方式是把 cos(x)/sin (x) 改写成 csc(x) cot(x),

所以










因为 csc(x) 的导数为 - csc(x) cot(x). 现在我们需要计算第二个积

分：










2
没问题, 把这个积分表达式改写为 ∫cot (x)dx, 这时使用刚才方框里的
另一个三角恒等式, 把这个表达式改为









2
2
(你还能记住 csc (x) 的积分结果吗?) 它与 sec (x) 的积分很相似,
2
sec (x) 的积分的结果为 tan(x)+C. 仅仅在转换过程中加一个“co-”

2
(“余” 字), 就得到了 csc (x) 形式的积分结果!) 我们把这两个积分结
果放到一起得到










以上计算确实需要一些技巧.



让我们看看第三大类型的三角恒等式, 它叫作积化和差公式：
























这些公式确实不容易记住. 实际上它们都从表达式 cos(A ± B) 和

sin(A ± B) 而来 (可在 2.4 节找到相关知识), 如果你已经掌握了这些


公式, 就可以很容易地把它们转换过来. 这些公式对于









这类积分是必要的. 实际上, 我们可以使用上面的第三个公式解决这个


问题, A = 19x 和 B = 3x. (千万不要让 cos 和 sin 的顺序愚弄了你!


该积分同 ∫sin(19x) cos(3x)dx) 是一样的.) 使用这个公式可得

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19.2 关于三角函数的幂的积分






现在我们将要研究怎样求解被积函数是三角函数的幂的形式的积分,

7
10
6
例如求解 ∫cos (x) sin (x)dx 或 ∫sec (x)dx. 遗憾的是, 被积函数
中的三角函数的类型不同, 求解积分所要求的积分技巧也不同. 所以我


们来分别讨论它们.




19.2.1 sin 或 cos 的幂




10
7
刚才的例子 ∫cos (x) sin (x)dx 就属于这种类型. 这里有一个
黄金法则：如果 sin(x) 或 cos(x) 其中一个的幂是奇数, 那就一定要


抓住它 —— 它是你的朋友! (如果两个都为奇数, 把幂低的那个选做你


的朋友.) 如果你已经抓住了奇次幂, 这时需要做的是拿出一项同 dx 放


在一起, 再用下列公式中的一个处理剩下的项 (现在是偶次幂了)









2
2
注意这两个公式就是 sin (x) + cos (x) = 1 的另一种写法. 我
7
10
们来看怎样使用这个方法. 在 ∫cos (x) sin (x)dx 中, 注意 7 是奇
7
数, 于是我们得到了 cos (x), 这时需要移出一个 cos(x) 并把它和 dx

放到一起. 我们得到

6
这又能怎样呢？很好, 我们需要处理剩下的 cos (x). 现在 6 是偶数,
3
2
6
3
2
所以可以写为 cos (x) = (cos (x)) = (1 - sin (x)) , 这样该积分为





现在如果设 t =sin(x), 则 dt=cos(x)dx, 所以很容易用 t 为变量来表


示这个积分：









结果为









再把它换回以 x 为变量的积分, 就得到了答案：










你看到了吧, 借用一个 cos(x) 来帮助我们改变被积函数把 cos(x) 和


dx 结合在一起做换元 t =sin(x), 从而使被积函数仅仅关于 sin(x)：



如果它们的幂都不是奇数该怎么办呢？很好, 如果它们的幂都为


2
4
偶数, 例如 ∫cos (x) sin (x)dx, 那应该使用倍角公式. 我们在上一节
中见过这些公式, 这里将再一次用到它们了：

直接用这两个公式做替代, 可以看到关于 cos 的幂的更简单的被积函


数. 这时你可以使用刚才的计算方法, 看积分的每一部分是奇次还是偶


2
2
4
次. 在这个的例子中, 我们需要把 sin (x) 用 (sin (x)) 来表示, 所以
有










现在把它展开得到









我们需要把这个积分分解为四个单独的积分. 我们暂时先不要考虑积


分符号前面的 1/8 或负号. 前面两个积分很容易计算, 因为


. 我们怎样才能计算 ∫cos 2

(2x)dx 呢? 这是一个偶次方, 我们需要再次使用倍角公式, 但需要用


2x 替代 x：









3
那么 ∫cos (2x)dx 又该怎样计算呢？很好, 现在它是奇次的 (也就是

2
3), 所以我们已经知道怎么做了! 把这个积分写为 ∫cos (2x)

2
2
cos(2x)dx, 然后用 (1 - sin (2x)) 替代 cos (2x). 用 t = sin(2x)
3
换元, 这样就有 dt = 2 cos(2x)dx, 所以 ∫cos (2x)dx 这个积分为














(休息一下. ) 现在把这些综合到一起再化简, 你会发现我们得到了


















要确保你自己也能做出来.




19.2.2 tan 的幂




n
考虑 ∫tan (x)dx, 其中 n 是整数. 我们先研究前几种情况. 当 n =1

时, 我们需要知道怎样计算 ∫tanx dx. 这是一个标准的积分, 可以通过


设 t = cos(x) 来解答, 注意 dt = - sin(x)dx：









这个答案也可以被写为 ln |sec(x)| + C. (为什么呢？)