普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

并应用辛普森法则, 其中 n = 8. (我们不能用 n = 5, 因为 n 必须为偶


数才能使用辛普森法则. ) 每一条的宽度为 h = (2 - 0) /8 单位, 即 ,

因此划分为









根据以上公式, 我们有














使用计算器, 这大约是 0.882 066, 这十分接近我们在上一节的


估算. 确切地说, 使用梯形法则时 (其中 n = 5), 我们得到估算 0.881

131. 为了准确起见, 我使用了计算机程序, 得积分近似到小数点后六位


的正确值是 0.882 081. 因此, 辛普森法则 (n = 8) 比梯形法则 (n =


5) 更好. 当然, 更公平的比较需在两种情况下都使用 n = 8; 希望你来

重复这种情况下的梯形法则的计算, 并和刚才相应的辛普森法则的估算


结果进行比较.




辛普森法则的证明



让我们将图像平移, 以便中线位于 y 轴, 如图 B-7 所示.

图 B-7




可以看到, 平移的结果将划分端点的 x 坐标移到了 -h、0 和 h. 不再使

用 f (x )、 f (x ) 和 f (x ), 我们只分别写出 P 、Q 和 R. 上边的点由
1
2
0
某二次曲线连接, 但我们不知道它是什么. 好吧, 我们就称它为 g 并假


2
设 g (x) = Ax + Bx + C. 我们知道 P = g (-h)、Q = g (0) 及 R =

g (h), 这表示

中间那个方程就是 C = Q, 那么重新整理其他两个方程, 会看到 A =

2
(P + R - 2Q) / (2h ). (我们不需要知道 B 是什么!) 现在, 所求阴影部

分的面积简化后就是










平方单位. 从上述公式中代换 A 和 C 的值, 表达式可简化为









现在, 我们所要做的就是将它平移至更一般的位置 (不影响其面积) 并


用函数值 f (x )、f (x ) 和 f (x ) 分别替换 P 、Q 和 R, 来获得上一节
0
2
1
开始部分的原型公式.




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B.4 近似的误差





做近似 (或估算, 如果你更喜欢这个词) 的意义就是求接近于你要找的


真实量的结果. 如果你真的能够确切地回答这个问题, 你就应该去做,


但有些时候这太难了. 因此, 近似至少可以给你提供接近于真实值的一

个数. 正如我们多次看到的, 特别是当我们讨论线性化以及泰勒级数的


时候 (见 13.2 节及 25.3 节), 还有一个重要的问题：近似有多好呢？


你的近似是至少接近真实值, 还是在四周打转呢？




为了将这个问题量化, 我们再来看看近似中的误差, 它就是真实量和近

似之间的差. 因此, 假设我们使用上述技巧中的一个 —— 均匀划分的


条纹、梯形法则或辛普森法则 —— 来近似积分 . 我们会得到









其中 A 是近似值. 误差的绝对值是






|误差| = .




事实表明, 通过 f 的导数 (如果它们存在), 我们可以对误差大小有些了

解. 在那种情况下, 我们可以设 M 是 |f' (x)| 在 [a, b] 上的最大值. 类
1

似地, 设 M 是 |f'' (x)| 在 [a, b] 上的最大值, 最后设 M 是 |f (4) (x)|
4
2

在 [a, b] 上的最大值. 那么, 我们可以证明下列误差的范围, 这取决于

所使用的方法：























如往常一样, 这里的 h 是条纹宽度 (b - a) /n. 尽管上述公式都很相似,

但是它们还是有所不同的. 首先, 前面的系数不一样. 其次, 所涉及的导


数不同：对于条纹, 出现的是一阶导 (M 的形式); 对于梯形法则, 出现
1

的是二阶导; 而对于辛普森法则, 则是四阶导. 然而, 最显著的区别是 h


的次数. 这显示了条纹宽度变小时, 误差减少的程度, 这当然发生在你

4
2
取了很多条纹的时候. 当 h 变小时, h 会比 h 或 h 更快变小, 因此,
当使用很多条纹时, 辛普森法则与其他方法相较更胜一筹.




B.4.1 估算误差的例子




我们来看看这个附录中早早出现的例子










中误差结果的情况, 首先, 我们设 f (x) = e -x 2 , 然后计算

首先, 我们来求 M . 这表示, 我们需要求出 |f' (x)| 在 [0, 2] 上的最大
1
值, 它实际上是 -f' (x). 由于二阶导 f'' (x) 在 时为 0, 并且在


那里其符号由负变为正, 故在 处 f' (x) 有一个局部最小值. 这意


味着, f' (x) 在 [0, 2] 上的最小值是 , 因此, |f' (x)| 的最大值


是 . 即 .



现在, 我们可以回到 B.1.1 节的积分估算中了. 那里, 我们使用了 10


个均匀划分的条纹来估算积分. 由于 a = 0, b = 2, ,

故我们有















这大约是 0.171 553. 注意, 不管你使用左端点、右端点或中间的某个

点作为 c , 都不要紧. (在 B.1.1 节, 我们使用了右端点和中点来求两个
n
不同的估算, 它们都精确到大概 ±0.171 553.)




我们再来看看梯形法则. 在 B.2 节, 我们使用了 5 个宽度为 h = 2/5


的梯形来估算积分 (故 n = 5). 为了查看误差会有多大, 我们需要在


[0, 2] 上最大化 |f'' (x)| 来求 M . 为此, 回头看看上述公式中的 f (2)
2
(x) 和 f (3) (x). f (3) (x) 在 [0, 2] 上的零点在 x = 0 和 , 因

此, 这些点就是 f (2) (x) 的临界点. (请记住, 三阶导是二阶导的导数!)


因此, 我们可以检验 f'' (0) 和 的值, 还有在另一个端点 2 上

的 f'' (2) 的值. 我们求出 f'' (0) = -2, , f'' (2) =


-4
14e . 它们绝对值当中的最大值是 f'' (0). 这意味着 M = 2. 现在,
2
我们可以估算误差了 (记住 h = 2/5)：





|使用 5 个梯形的误差| ,




这大概是 0.053 333.... 这比使用 10 个条纹的误差要小很多, 尽管我


们只使用了 5 个梯形! 由于我们之前的估算大约是 0.881 131, 我们

证明了










这个近似可精确到 ±0.053 333. (这当然和我们在 B.3 节结尾部分的


观察是一致的, 其中, 近似到小数点后六位的正确值实际上是 0.882

081. )




最后, 我们使用辛普森法则来估算误差. 在 B.3 节, 我们使用了 n = 8


时的辛普森法则来证明

我们需要求 M , 它是 |f (4) (x)| 在 [0, 2] 上的最大值. 这可能非常繁
4

杂, 因为 f (4) (x) = 4 (4x - 12x + 3) e -x 2 . 我们来分别求这三个因
4
2

子的最大值, 以代替求整个式子的最大值. 对于 4 没有任何问题, e -x 2

是正的且在 x = 0 上达到最大 (其最大值为 1); 因此, 我们只需要求出


|4x - 12x + 3| 在 [0, 2] 上的最大值点. 我们有
4
2







因此, 要找的最大值点只能出现在临界点 x = 0 和 , 或另一


个端点 x = 2 上. 将这些数代入, 我们可以求出最大值 19 出现在 x =


2, 这意味着在 [0, 2] 上有







综上所述, 我们可以说







(实际上 M = 12, 但是你需要看看 f 的五阶导, 这就够了!) 现在, 终于
4

可以使用我们的公式了 (h = (2 - 0) /8 = 1/4)：
















这大约是 0.003 299, 它比我们之前计算的那两个误差更小一些.

B.4.2 误差项不等式的证明




证明 B.4 节三个误差不等式的后两个, 有点超出本书的范围, 但是第一


个并不难证明：




|使用 n 个均匀划分条纹宽度为 h 的误差| ,




其中, M 是 f' (x) 在 [a, b] 上的最大值. 假设我们使用左端点来做估
1
算. 我们就来看看其中的一条吧. 如果它的底是区间 [q, q + h](对于某


个 q), 那么它看起来就如图 B-8 所示.








































图 B-8

近似矩形的高度是 f (q) 且宽度为 h 个单位, 因此, 近似的面积是 hf


(q) 平方单位. 一般地, 这个近似的结果会有多糟呢？这完全取决于 f

的图像和常数直线 y = f (q) 的偏离程度. 图 B-9 就是两种最坏的情


况.

































图 B-9




第一个图像显示了一条始于 (q, f (q)) 且斜率为 M 的线段, 而第二个
1

图像显示了一条始于同一点且斜率为 -M 的线段. 事实上, 该函数一定
1

被夹在这两个极值之间. 的确, 第一条直线的方程为 y = f (q) + M (x
1

- q). 如果 f (x) 高过这条线 (对于在区间 [q, q + h] 内的 x), 那么我

们有





或 .

根据中值定理 (见 11.3 节), 对于在 [q, x] 上的某个 c, 左边部分等于

f' (c), 故 f' (c) > M . 这是不可能的, 因为 M 是 |f' (x)| 在 [a, b] 上
1
1
的最大值. 类似的论证显示了 y = f (x) 总是位于那条向下倾的线的上


方.





现在, 我们可以来看看误差了. 在第一种最坏的情况中, 真正的区

域包括该条纹及一个边长为 h 与 M h 个单位的三角形; 在第二种最坏
1

的情况中, 实际上从该条纹中去除了一个同样的三角形. 不管在哪一种


情况中, 可能会偏离的面积是这个三角形的面积, 即 平方单位.


剩下要做的就是, 用这个误差和条纹的个数 n 相乘, 会看到我们的近似

不可能再比 更糟了. 事实上, 我们可以拿掉 h 的某个因子, 并使


用等式 nh = (b - a) 将上述表达式写作 . 这就是我们想要


的了! 有时我们不是必须选择左端点的, 其他情形就请你来重复上述的


证明. (事实上, 如果你使用中点, 可以证明误差实际上仅仅是

. )





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符号列表






符号 意义





实数集合




[a, b] 从 a 到 b 的闭区间





(a, b) 从 a 到 b 的开区间




(a, b] 从 a 到 b 的半开区间





A \ B 在 A 中但不在 B 中的数




f (x) 以 x 为变量的函数





f -1 函数 f 的反函数





f ○ g 函数 f 和 g 的复合函数




Δ 二次函数判别式





|x| x 的绝对值

符号 意义





sin, cos, tan 基本三角函数 (正弦、余弦、正切)




sec, csc, cot 基本三角函数的倒数 (正割、余割、余切)





-1
-1
sin , cos , tan -
反三角函数 (反正弦、反余弦、反正切)
1




-1
-1
sec , csc , cot -
反三角函数的倒数 (反正割、反余割、反余切)
1




sinh, cosh, tanh 基本的双曲函数 (双曲正弦、双曲余弦、双曲正切)




sech, cosh, coth 基本双曲函数的倒 (双曲正割、双曲余割、双曲余切)





-1
-1
sinh , cosh , 基本双曲函数的反三角函数 (反双曲正弦、反双曲余弦、反
tanh -1 双曲正切)




-1
-1
sech , csch , 基本双曲函数的反三角函数的倒数 (反双曲正割、反双曲余
coth -1 割、反双曲余切)




ln(x), log (x) x 的自然对数
e

符号 意义





当 x 趋于 a 时的双方向极限




当 x 趋于 a 时的右极限





当 x 趋于 a 时的左极限




DNE 极限不存在





0/0, ∞/∞, 0 × ∞ 不定式




∞
0
0 , 1 , ∞ 0 不定式



等于, 使用洛必达法则





~ 渐近函数或数列




≈ 约等于





Δx 自变量 x 所发生的变化




f'(x) 函数 f 关于 x 的导数

符号 意义






f''(x), f (2) (x) 函数 f 关于 x 的二次导数





f (n) (x) 函数 f 关于 x 的 n 次导数




y 关于 x 的导数






y 关于 x 的二次导数





x, v, a 位移，速度，加速度




g 重力加速度





|AB| 割线 Ab 的长度




ΔABC 以 A、B、C 为定点的三角形





e 自然对数的底




t 1/2 放射性物质的半衰期





不连续（使用在符号表格里）

符号 意义





L(x) 线性化




df 函数 f 的微分






从 j = a 到 b 的和







F (a) - F (b)






函数 f 关于 x 的定积分





函数 f 关于 x 的不定积分 (反导数)






f av 函数 f 的平均值




I n 积分数 n (递归公式)





{a } 数列 a , a , a …
1
2
n
3


无穷级数 a + a + a + …
3
2
1

符号 意义





n! n 的阶乘 (1 × 2 × 3 × … × (n - 1) × n)




P (x) N 阶泰勒多项式
N




R (x) n 阶余项
N




(r, θ) 极坐标





i




z = x + iy 笛卡儿形式的复数





z = r e iθ 极坐标形式的复数





e z 以 z 为指数的复数





Re(z) z 的实部




Im(z) z 的虚部




z 的复共轭

符号 意义





|z| z 的模




arg(z) z 的论证





y H 齐次解 (微分方程)





y P 特解 (微分方程)







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Table of Contents





版权信息

版权声明


译者序


前言


如何使用这本书备考


两个通用的学习小贴士

考试复习的重要章节 (按主题划分)


致谢


第 1 章 函数、图像和直线

1.1 函数


1.1.1 区间表示法


1.1.2 求定义域


1.1.3 利用图像求值域


1.1.4 垂线检验

1.2 反函数


1.2.1 水平线检验


1.2.2 求反函数

1.2.3 限制定义域


1.2.4 反函数的反函数

1.3 函数的复合


1.4 奇函数和偶函数

1.5 线性函数的图像


1.6 常见函数及其图像


第 2 章 三角学回顾

2.1 基本知识


2.2 扩展三角函数定义域


2.2.1 ASTC 方法


2.2.2 [0, 2π] 以外的三角函数


2.3 三角函数的图像

2.4 三角恒等式


第 3 章 极限导论


3.1 极限：基本思想

3.2 左极限与右极限


3.3 何时不存在极限


3.4 在 ∞ 和 -∞ 处的极限


3.5 关于渐近线的两个常见误解


3.6 三明治定理

3.7 极限的基本类型小结


第 4 章 求解多项式的极限问题


4.1 x → a 时的有理函数的极限

4.2 x → a 时的平方根的极限


4.3 x → ∞ 时的有理函数的极限

4.4 x → ∞ 时的多项式型函数的极限


4.5 x → -∞ 时的有理函数的极限


4.6 包含绝对值的函数的极限

第 5 章 连续性和可导性


5.1 连续性


5.1.1 在一点处连续


5.1.2 在一个区间上连续


5.1.3 连续函数的一些例子

5.1.4 介值定理


5.1.5 一个更难的介值定理例子


5.1.6 连续函数的最大值和最小值

5.2 可导性


5.2.1 平均速率


5.2.2 位移和速度


5.2.3 瞬时速度


5.2.4 速度的图像阐释

5.2.5 切线


5.2.6 导函数


5.2.7 作为极限比的导数

5.2.8 线性函数的导数


5.2.9 二阶导数和更高阶导数

5.2.10 何时导数不存在


5.2.11 可导性和连续性


第 6 章 求解微分问题

6.1 使用定义求导


6.2 用更好的办法求导


6.2.1 函数的常数倍


6.2.2 函数和与函数差


6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数

6.2.4 通过商法则求商函数的导数


6.2.5 通过链式求导法则求复合函数的导数


6.2.6 那个难以处理的例子

6.2.7 乘积法则和链式求导法则的理由


6.3 求切线方程


6.4 速度和加速度


6.5 导数伪装的极限


6.6 分段函数的导数

6.7 直接画出导函数的图像


第 7 章 三角函数的极限和导数


7.1 三角函数的极限

7.1.1 小数的情况


7.1.2 问题的求解 —— 小数的情况

7.1.3 大数的情况


7.1.4 “其他的” 情况


7.1.5 一个重要极限的证明

7.2 三角函数的导数


7.2.1 求三角函数导数的例子


7.2.2 简谐运动


7.2.3 一个有趣的函数


第 8 章 隐函数求导和相关变化率

8.1 隐函数求导


8.1.1 技巧和例子


8.1.2 隐函数求二阶导

8.2 相关变化率


8.2.1 一个简单的例子


8.2.2 一个稍难的例子


8.2.3 一个更难的例子


8.2.4 一个非常难的例子

第 9 章 指数函数和对数函数


9.1 基础知识


9.1.1 指数函数的回顾

9.1.2 对数函数的回顾


9.1.3 对数函数、指数函数及反函数

9.1.4 对数法则


9.2 e 的定义


9.2.1 一个有关复利的问题

9.2.2 问题的答案


9.2.3 更多关于 e 和对数函数的内容


9.3 对数函数和指数函数求导


9.4 求解指数函数或对数函数的极限


9.4.1 涉及 e 的定义的极限

9.4.2 指数函数在 0 附近的行为


9.4.3 对数函数在 1 附近的行为


9.4.4 指数函数在 ∞ 或 -∞ 附近的行为

9.4.5 对数函数在 ∞ 附近的行为


9.4.6 对数函数在 0 附近的行为


9.5 取对数求导法


9.6 指数增长和指数衰变


9.6.1 指数增长

9.6.2 指数衰变


9.7 双曲函数


第 10 章 反函数和反三角函数

10.1 导数和反函数


10.1.1 使用导数证明反函数存在

10.1.2 导数和反函数：可能出现的问题


10.1.3 求反函数的导数


10.1.4 一个综合性例子

10.2 反三角函数


10.2.1 反正弦函数


10.2.2 反余弦函数


10.2.3 反正切函数


10.2.4 反正割函数

10.2.5 反余割函数和反余切函数


10.2.6 计算反三角函数


10.3 反双曲函数

第 11 章 导数和图像


11.1 函数的极值


11.1.1 全局极值和局部极值


11.1.2 极值定理


11.1.3 求全局最大值和最小值

11.2 罗尔定理


11.3 中值定理


11.4 二阶导数和图像

11.5 对导数为零点的分类


11.5.1 使用一次导数

11.5.2 使用二阶导数


第 12 章 绘制函数图像


12.1 建立符号表格

12.1.1 建立一阶导数的符号表格


12.1.2 建立二阶导数的符号表格


12.2 绘制函数图像的全面方法


12.3 例题


12.3.1 一个不使用导数的例子

12.3.2 完整的方法：例一


12.3.3 完整的方法：例二


12.3.4 完整的方法：例三

12.3.5 完整的方法：例四


第 13 章 最优化和线性化


13.1 最优化


13.1.1 一个简单的最优化例子


13.1.2 最优化问题：一般方法

13.1.3 一个最优化的例子


13.1.4 另一个最优化的例子


13.1.5 在最优化问题中使用隐函数求导

13.1.6 一个较难的最优化例子


13.2 线性化

13.2.1 线性化问题：一般方法


13.2.2 微分


13.2.3 线性化的总结和例子

13.2.4 近似中的误差


13.3 牛顿法


第 14 章 洛必达法则及极限问题总结


14.1 洛必达法则


14.1.1 类型 A：0/0

14.1.2 类型 A：±∞/ ±∞


14.1.3 类型 B1：(∞ - ∞)


14.1.4 类型B2：(0 × ±∞)

14.1.5 类型C：(1±∞, 00或∞0)


14.1.6 洛必达法则类型的总结


14.2 关于极限的总结


第 15 章 积分


15.1 求和符号

15.1.1 一个有用的求和


15.1.2 伸缩求和法


15.2 位移和面积

15.2.1 三个简单的例子


15.2.2 一段更常规的旅行

15.2.3 有向面积


15.2.4 连续的速度


15.2.5 两个特别的估算

第 16 章 定积分


16.1 基本思想


16.2 定积分的定义


16.3 定积分的性质


16.4 求面积

16.4.1 求通常的面积


16.4.2 求解两条曲线之间的面积


16.4.3 求曲线与 y 轴所围成的面积

16.5 估算积分


16.6 积分的平均值和中值定理


16.7 不可积的函数


第 17 章 微积分基本定理


17.1 用其他函数的积分来表示的函数

17.2 微积分的第一基本定理


17.3 微积分的第二基本定理


17.4 不定积分

17.5 怎样解决问题：微积分的第一基本定理


17.5.1 变形 1：变量是积分下限

17.5.2 变形 2：积分上限是一个函数


17.5.3 变形 3：积分上下限都为函数


17.5.4 变形 4：极限伪装成导数

17.6 怎样解决问题：微积分的第二基本定理


17.6.1 计算不定积分


17.6.2 计算定积分


17.6.3 面积和绝对值


17.7 技术要点

17.8 微积分第一基本定理的证明


第 18 章 积分的方法 I


18.1 换元法

18.1.1 换元法和定积分


18.1.2 如何换元


18.1.3 换元法的理论解释


18.2 分部积分法


18.3 部分分式

18.3.1 部分分式的代数运算


18.3.2 对每一部分积分


18.3.3 方法和一个完整的例子

第 19 章 积分的方法 II


19.1 应用三角恒等式的积分

19.2 关于三角函数的幂的积分


19.2.1 sin 或 cos 的幂


19.2.2 tan 的幂

19.2.3 sec 的幂


19.2.4 cot 的幂


19.2.5 csc 的幂


19.2.6 约化公式


19.3 关于三角换元法的积分

19.3.1 类型 1：


19.3.2 类型 2：


19.3.3 类型 3：

19.3.4 配方和三角换元法


19.3.5 关于三角换元法的总结


19.3.6 平方根的方法和三角换元法


19.4 积分技巧总结


第 20 章 反常积分：基本概念

20.1 收敛和发散


20.1.1 反常积分的一些例子


20.1.2 其他破裂点

20.2 关于无穷区间上的积分


20.3 比较判别法 (理论)

20.4 极限比较判别法 (理论)


20.4.1 函数互为渐近线


20.4.2 关于判别法的陈述

20.5 p 判别法 (理论)


20.6 绝对收敛判别法


第 21 章 反常积分：如何解题


21.1 如何开始


21.1.1 拆分积分

21.1.2 如何处理负函数值


21.2 积分判别法总结


21.3 常见函数在 ∞ 和 -∞ 附近的表现

21.3.1 多项式和多项式型函数在 ∞ 和 -∞ 附近的表现


21.3.2 三角函数在 ∞ 和 -∞ 附近的表现


21.3.3 指数在 ∞ 和 -∞ 附近的表现


21.3.4 对数在 ∞ 附近的表现


21.4 常见函数在 0 附近的表现

21.4.1 多项式和多项式型函数在 0 附近的表现


21.4.2 三角函数在 0 附近的表现


21.4.3 指数函数在 0 附近的表现

21.4.4 对数函数在 0 附近的表现


21.4.5 更一般的函数在 0 附近的表现

21.5 如何应对不在 0 或 ∞ 处的瑕点


第 22 章 数列和级数：基本概念


22.1 数列的收敛和发散

22.1.1 数列和函数的联系


22.1.2 两个重要数列


22.2 级数的收敛与发散


22.3 第 n 项判别法 (理论)


22.4 无穷级数和反常积分的性质

22.4.1 比较判别法 (理论)


22.4.2 极限比较判别法 (理论)


22.4.3 p 判别法 (理论)

22.4.4 绝对收敛判别法


22.5 级数的新判别法


22.5.1 比式判别法 (理论)


22.5.2 根式判别法(理论)


22.5.3 积分判别法 (理论)

22.5.4 交错级数判别法 (理论)


第 23 章 求解级数问题


23.1 求几何级数的值

23.2 应用第 n 项判别法


23.3 应用比式判别法

23.4 应用根式判别法


23.5 应用积分判别法


23.6 应用比较判别法、极限比较判别法和 p 判别法

23.7 应对含负项的级数


第 24 章 泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论


24.1 近似值和泰勒多项式


24.1.1 重访线性化


24.1.2 二次近似

24.1.3 高阶近似


24.1.4 泰勒定理


24.2 幂级数和泰勒级数

24.2.1 一般幂级数


24.2.2 泰勒级数和麦克劳林级数


24.2.3 泰勒级数的收敛性


24.3 一个有用的极限


第 25 章 求解估算问题

25.1 泰勒多项式与泰勒级数总结


25.2 求泰勒多项式与泰勒级数


25.3 用误差项估算问题

25.3.1 第一个例子


25.3.2 第二个例子

25.3.3 第三个例子


25.3.4 第四个例子


25.3.5 第五个例子

25.3.6 误差项估算的一般方法


25.4 误差估算的另一种方法


第 26 章 泰勒级数和幂级数：如何解题


26.1 幂级数的收敛性


26.1.1 收敛半径

26.1.2 求收敛半径和收敛区域


26.2 合成新的泰勒级数


26.2.1 代换和泰勒级数

26.2.2 泰勒级数求导


26.2.3 泰勒级数求积分


26.2.4 泰勒级数相加和相减


26.2.5 泰勒级数相乘


26.2.6 泰勒级数相除

26.3 利用幂级数和泰勒级数求导


26.4 利用麦克劳林级数求极限


第 27 章 参数方程和极坐标

27.1 参数方程


27.2 极坐标

27.2.1 极坐标与笛卡儿坐标互换


27.2.2 极坐标系中画曲线


27.2.3 求极坐标曲线的切线

27.2.4 求极坐标曲线围成的面积


第 28 章 复数


28.1 基础


28.2 复平面


28.3 复数的高次幂

28.4 解 zn = w


28.5 解 ez = w


28.6 一些三角级数

28.7 欧拉恒等式和幂级数


第 29 章 体积、弧长和表面积


29.1 旋转体的体积


29.1.1 圆盘法


29.1.2 壳法

29.1.3 总结和变式


29.1.4 变式 1：区域在曲线和 y 轴之间


29.1.5 变式 2：两曲线间的区域

29.1.6 变式 3：绕平行于坐标轴的轴旋转


29.2 一般立体体积

29.3 弧长


29.4 旋转体的表面积


第 30 章 微分方程

30.1 微分方程导论


30.2 可分离变量的一阶微分方程


30.3 一阶线性方程


30.4 常系数微分方程


30.4.1 解一阶齐次方程

30.4.2 解二阶齐次方程


30.4.3 为什么特征二次方程适用


30.4.4 非齐次方程和特解

30.4.5 求特解


30.4.6 求特解的例子


30.4.7 解决 yP 和 yH 间的冲突


30.4.8 IVP


30.5 微分方程建模

附录 A 极限及其证明


A.1 极限的正式定义


A.1.1 小游戏

A.1.2 真正的定义


A.1.3 应用定义的例子

A.2 由原极限产生新极限


A.2.1 极限的和与差及证明


A.2.2 极限的乘积及证明

A.2.3 极限的商及证明


A.2.4 三明治定理及证明


A.3 极限的其他情形


A.3.1 无穷极限


A.3.2 左极限与右极限

A.3.3 在 ∞ 及 -∞ 处的极限


A.3.4 两个涉及三角函数的例子


A.4 连续与极限

A.4.1 连续函数的复合


A.4.2 介值定理的证明


A.4.3 最大 - 最小定理的证明


A.5 再谈指数函数和对数函数


A.6 微分与极限

A.6.1 函数的常数倍


A.6.2 函数的和与差


A.6.3 乘积法则的证明

A.6.4 商法则的证明


A.6.5 链式求导法则的证明

A.6.6 极值定理的证明


A.6.7 罗尔定理的证明


A.6.8 中值定理的证明

A.6.9 线性化的误差


A.6.10 分段函数的导数


A.6.11 洛必达法则的证明


A.7 泰勒近似定理的证明


附录 B 估算积分

B.1 使用条纹估算积分


B.2 梯形法则


B.3 辛普森法则

B.4 近似的误差


B.4.1 估算误差的例子


B.4.2 误差项不等式的证明


符号列表


看完了



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